FACULT FACULTAD AD DE ING. I NG. ELECTRÓNICA ELECTRÓNICA Y ELÉCTRICA APELLIDOS Y NOMBRES (GRUPO 2)
• • • • •
•
DOMINGO POLLO, JULIO CESAR EGOAVIL BONIFACIO,RICHARD JONATHAN MANRIQUE HERRERA, FLAVIO CESAR PALOMINO PALOMINO HUACCAMAYTA, HUACCAMAYTA, OSIMO O SIMO RAMIRE MONTES, LUIS DARIO ROMAN ANCCARI, ED!IL JULIAN
Nº DE PREGU DESARROLL
CODIGO
2 "" "' 2% 2$
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CURSO
INFORME
FUNCIONES ANALITICAS ANALITICAS
PRACTICA CALIFICADA " * GRUPAL
PROFESOR
CASTRO VIDAL, RAUL
HORARIO MARTES*JUEVES*VIERN "# + " HORAS
Ciudad Universitaria, 30 de Setiembre del 2015
CONTENIDO I.
INTRODUCCION
II.
PRESENTACION
III.
OBJETIVOS
IV.
INFORMACION TEORICA
V.
DESARROLLO DE PROBLEMAS
VI.
CONCLUSIONES
VII. BIBLIOGRAFIA
Página 9
I.
INTRODUCCION
L- /01- 341 56 778080- 9:0;71<-= >41 ?48@1 04:5- 80@ ?1 ;70:8- 6 :@1-8- 1@1 78 :04?8? :1@>:8. P: 8 ;:, ; 78 :1:1@1 1?1:8 ?1 -4 4@7?8?, 8:88 ; -1 :0/01@1 8:1;@8?-, 84341 >41 1 :0;1??- 58-@8 ;:8- 1:1@1-. N8?8 586 ?1 1@8 1 177 - ;1-80- 341 7/01- 18@- >41 ;71801@1 8:1;@8?- 58-@8 >871- ?17 -7 VII. L- /01- :0;71<- 58:1 -4- ;018- @0?8- 8;8:1- 1 7@88<- ?1 C8?8 ("'%"*"') 6 B0177 ("'2*"2) 178:8?: 17 :K7:47 ?1 78- 8:1- ?1 78 :/:8 1:48: ?1 @1:1 8?. F41 R1 D1-:8@1- ("'$*"'%) 341 8>0 341 9:1@8- 1:48:18718:8- -7 @11 -74: 1 41-@8 088:= 6 8:4 17 :87>:8@ 90888-= ;88 1>1-1 8 1778-. D1-?1 17 -7 VI 58-@8 >871- ?17 -7 VIII 7- /01- :0;71<- 088- - 4-8?: 1:17, : ?1-:>88. C >1:41:8, :48? 78 -74: ?1 4 ;7108 1-47@8 -1 4 /01 :0;71< -1 @1;1@8 1-@ :0 341 17 ;7108 @11 -74:. P88 L1@ 917 /01 088 1- 4 1:4- -4@7 6 08877- ?17 1-;@4 ?, :8- 4 8> 1@1 17 -1 6 17 -1.= L8- 81- ?1 @? 1-@ - :788-. A- :0 7- /01- 18711-;?1 87 ;7108 1 :@?8 ?1 78 01??8 ?1 08@4?1-, :41 8?8 -078 : 7- /01- :0;71<-. M1@8- 7- 08@10K@:1:1-@8 @1;1@8 1 @0- >-:- -4- <1@- ?1 1-@4?, -1 88 04:5 1 78 :0;1- ?1 7- /01- :0;71<-.
Página 9
II.
PRSNT!CION
III.
O"#TI$OS
Página 9
P78@18 78 1:1-?8? ?1 80;78 -4:1-801@1 7- :<4@-
40:- ?1 7- /01- 8@4871-, 1@1-, 8:871- 6 1871- ;88 ?1> 17 :<4@ ?1 7- /01- :0;71<-. I@?4: 17 ::1;@ ?1 4?8? 0888. M81<8 78- ?-@@8- >08?1 1-: 4 0-0 /01 :0;71< : 78- 1-;1:@8- :1-1?1 48- 1 @8-. D1>10- 887@:801@1 7- ::1;@- ?1 0?47 6 8401@ 6 1-@4?810- 78- ?>11@1- ;18:1- ;88 78- ?-@@8- >08- ?1 1;1-8 4 /01 :0;71<. S81 1878 78- ;18:1- ?1 -408,
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IN%OR&!CION TORIC!
L8 : ?1 /01 :0;71< 8;81:1 8@1 78 0;-7?8? ?1 7- /011871- ?1 88:8 8 78- 8:1- ?1 ?1 ;8 ?17 :<4@ ?1 7- /0118@-. L- /01- :0;71<- ;41?1, ; 7 @8@, 1>71<8 8 t'das las ra()es de l's *'lin'mi's, 87 341 7- /01- 1871- 1-@K 1 :?:1?1 58:1 . Página 9
G8:8- 8 1-@8 ;8@:478?8?, 7- /01- :0;71<- -1 10;718 1 ?1-:80;- ?1 78- 08@10K@:8-, 1 78 >-:8 6 1 78 in+enier(a. P -4 :8;8:?8? ;88 1;1-1@8 78 :1@1 17:@:8 6 78- ?8- 171:@08@:8-, ; :@8 4 :8-, - 4@78?- : >1:41:8 1 78 ele)trni)a 6 78- tele)'muni)a)i'nes. Y 1- 341 17 77808? 8K7-- :0;71<, -18 78 @18 ?1 78- >4:1- ?1 1-@1 @;, -1 :-?18 48 ?1 78- >8:1@8- 0K- :8- ?1 7808@10K@:8-. !-UN!S PROPID!DS/
S408 -1 -408 ;8@1- 1871- 6 ;8@1- 0888- ; -1;88?, 1- ?1:
P?4:@ -1 047@;7:8 -1/ 78 178 8@0@:8
F08 1;1:87 ?1 4 /01 :0;71< E-@1 48 0;@8@1 178: 1@1 78 >4: 1;1:87 6 78- >4:1@0@:8-, 1- 78 77808?8 178: ?1 E471
P88 :487341 /01 187 x. E@:1- - -@- @080- 78 >08 @0@:8 ?17 /01 :0;71< z = r (:-
-
)
C 3 1;1-8? 1 8?81- (1- 0;1-:?71 ;41- 7- 8?- - /01- 1871-), ;?10- 1;1-8 17 ;8@1-- :0
P 7 @8@, 17 /01 :0;71< z ;41?1 -1 1;1-8? :0
Página 9
P?4:@ -1 047@;7:8 7- 0?47- 6 -1 -408 7- 1;1@1- ?1 78 1;1:87 1- ?1:
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L8@0 ?1 4 /01 :0;71<. D8? 4 /01 :0;71< , 17 78@0 1;18 (1 C -7 @11 -1@? 7- 78@0- 1;18-) ?1 z 11 ?8? ; L z 7 r ( 2 )
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FUNCIÓN ANALTICA E 08@10K@:8- 48 >4: 887@:8 1- 8341778 341 ;41?1 1;1-8-1 :0 48 -11 ?1 ;@1:8- :11@1. U8 >4: 887@:8 1- -481 - @11 >@8- ?18?8-. L8 : ?1 >4: 887@:8 ;41?1 ?1>-1 ;88 >4:1- 1871- :0;71<8-, 84341 80- :<4@- @11 ;;1?8?1?-@@8-. L8- >4:1- complejas ?1871- 1 4 81@ -10;1 - 887@:8-, 6 -1 ?108 >4:1- 570>8-. S 108, 48 >4: 187 >@801@1 ?1871 1- 1:1-8801@1 887@:8.
Página 9
L8 ?1>: ?1 >4: 887@:8 1- ?@:8 ;88 7- :8-- 187 6 :0;71< U8 >4: 187 (:0;71<8) f 1- 887@:8 1 4 ;4@ x % ?1 -4 ?0 - 1-@1 48 -11 ?1 ;@1:8- :1@8?8 1 x %
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E:48:1- ?1 C84:56*R108
L8- 1:48:1- ?1 C84:56*R108 - ?- 1:48:1- ?>11:871;8:871- 341 - K-:8- 1 17 8K7-- ?1 >4:1- :0;71<8- ?1 8871 :0;71<8, ?1? 8 341 -4 1>:8: :-@@461 48 :?: 1:1-88 (84341 -4>:1@1) ;88 78 ?187?8? ?1 1-@1 @ ; ?1 >4:1-.
S18 48 >4: :0;71<8 , : . S1 -81 341 -1 ;41?1 ?1-:0;1 1 -408 ?1 ?- >4:1- 1871- ?1 ?- 8871- 6 , ?1 0818 341 . S 78 >4: 1- ?1871 1 4 ;4@ 1@:1- ?11 1>:8-1 78- :?:1- ?1 C84:56*R108
??1
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. AK7801@1 ;88
1-;1:@ 8 78 8871 , ,
6
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A?10K- -1 :40;71 341 17 87 ?1 78 ?18?8 1 17 ;4@, ?1 1-@, ?11 -1 Página 9
$.
DS!RRO--O D PRO"-&!S PRO"-&! 2.
z + 1
> z − 1
a dem'strar ue
Re z > 0
s( s'lamente si
S'lu)in z = x + iy
S18
∧
x > 0
1@:1-.
z + 1 = ( x + 1) + iy
Página 9
z − 1 = ( x − 1) + iy
, 8?10K-. z + 1
= ( x + 1) 2 + y 2
z − 11
= ( x − 1) 2 + y 2
Y x > 0
1 > −1
P8@0- ?1 341 :0 ;?10- -408 8 80010- 6 8>1:@8 8 78 ?1-487?8?. x + 1 > x − 1
, 17180- 87 :48?8? 80- 010-.
( x + 1) 2 > ( x − 1) 2 , -4080- 4 /01 ;-@ 8 80010-.
( x + 1) 2 + y 2 > ( x − 1) 2 + y 2 , -8:8? 8 :48?8?8 8 80010-.
( x + 1) 2 + y 2 > ( x − 1) 2 + y 2 , 1@:1- @110-. z + 1
> z − 1
) dem'strar ue si
Im α
α − β α − β
Im β > 0
>0 e
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, ent'n)es
S'lu)in/
S18 α = a + ib
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n>0
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n > −n
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b
8 80- 010-, 1@:1-.
, 858 17180- 87 :48?8?.
( b + n ) 2 > ( b − n ) 2 S4080- 8@8801@1 4 /01 ;-@ 8 80- 010-,
( a − m ) 2 ;88 41-@8 :11:8 -4080-
, @110-.
( b + n ) 2 + ( a − m ) > ( b − n ) 2 + ( a − m ) 2 , -8:80- 78 8 :48?8?8.
( b + n ) 2 + ( a − m ) 2 > ( b − n) 2 + ( a − m ) 2 " R178:8? : 7- /01- :0;71<- ?8?- @80- 341 α − β = ( a − m ) + i( b − n ) α − β = ( a − m ) + i( b + n )
, -8:80- 0?47 8 :8?8 4, 1@:1-. α − β
= ( a − m) 2 + ( b − n) 2
∧
α − β
= ( a − m) 2 + ( b + n ) 2
R110;788? 1 " @110- α − β
< α − β E@:1-.
α − β α − β
α − β α − β
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<1
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2
341 7- ?8?- 7- /01- :0;71<-
− α − β 2 = (1 − α 2 )(1 −
β
2
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S810- ; @18 341
Página 9
2
z
z z
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1 − α β
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α − β
2
= ( α − β ) (α − β ) ..
A58 1-@80- 0 6 2
1 − α β
− α − β 2 (1 − α β )(1 − α β ) − (α − β ) (α − β )
(1 − α β − α β + α α β β ) − (α α − α β − β α + β β ) 1 + α α β β − α α − β β
2
1 + α β
2
− α 2 −
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1 − α
2
−
2
β 1 − α
2
= 1 − α 2 1 −
β
2
, 1@:1-. 1 − α β
2
− α − β 2 = (1 − α 2 )(1 −
β
2
)
PRO"-&! . Si la *arte real de t'd's l's )er's de un *'lin'mi' P es ne+ativa, *r'bar ue la *arte real de t'd's l's )er's de P4 tambin es ne+ativa 6su+eren)ia l's *'lin'mi's ue tiene esta *r'*iedad se llaman *'lin'mi's de 7ur8it9 a*are)e en la te'r(a de la estabilidad de l's sistemas me):ni)'s el)tri)'s.
Página 9
S74:.
= an z n + ... + a1 z + a0 , ( an ≠ 0)
p( z )
S18 ;?10- 1-: p( z )
4 ;70 ?1 H4@,
= an [ ( z − z 1 )...( z − z n ) ]
Re z k
<0
C
;88 @? ",2,, .
p′( z ) p( z )
H87710- 17 ::1@1 p ′( z ) p ( z ) p ′( z ) p ( z )
S18
a n [ ( z − z 1 ) + ( z − z 2 ) + ... + ( z − z n−1 ) + ( z − z n ) ]
=
=
a n ( z − z 1 )( z − z 2 )...( z − z n ) 1 z − z 1
z ∈ c
+
1 z − z 2
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1 z − z n−1
+
1 z − z n
z ≠ z k
@87 341
Re z ( z − z k )
Re z k
6 -4;80- 341
6 ; :-41@1
1 > 0 z z − k 1
ω
ω
∈c
Re
. E 1-@1 :8-,
Re
>0
51:5 341 -
≥0
∈c
:
ω ≠ 0
ω
=
. E-@ :1 ?1?4:1 ?17
ω ω
1@:1-
1 ω
Re
2
, 1- ?1:
6
@11 17 0-0 -. E@:1-
p( z )
′
p( z )
= Re
E- ?1:, -
1 z − z 1
+ Re
Re z ≥ 0
1 z − z 2
z ≠ z k
+ ... + Re
1 z − z n−1
+ Re
1 z − z n
>0
p( z ) ′ Re z p( z )
: 1@:1 1- ?-@@8 8 :1 p ′( z ) ≠ 0 p′( z ) 6 1 :-1:41:8 ( 1- 8 ?1 ). L8- 8:1- ?1 p′( z ) @11 ; @8@ ;8@1 187 18@8.
Página 9
PRO"-!&! 11.
;*rese en <'rma bini)a l's n=mer's 1
+i √ 3 + i ¿ ¿ ,6 ¿ , ¿ ¿ ¿
+i √ 3 −1 + i ¿¿
1
24
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¿ ¿ ¿
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?108?. (−1−i) −1 + √ 3−( 1 + √ 3 ) i (−1−i) 2
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19 π 6
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√ 3 + i ¿ ¿ ¿
12
2
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√ 3 + i
¿ ¿ ¿
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PRO"-&! 15. a Sea B91B> B92B> B93B> 1. Prueba ue 9 1, 9 2, 9 3 s'n vrti)es de un tri:n+ul' euil:ter' si, sl' si, 91 ? 92 ? 93 > 0. b Dedu)e de l' anteri'r ue si el bari)entr' el )ir)un)entr' de un tri:n+ul' )'in)iden, di)' tri:n+ul' debe ser euil:ter'.
S74:. a. S ", 2, - @:1- ?1 4 @K47 1347K@1, 1@:1- :8?8 4
?11 1-@8 8? 4 K47 ?1 Z\ 8?81- 1-;1:@ ?1 @. S810- 341 047@;7:8 ; 4 :0;71<, 4, ?1 0?47 " 1- 4 ?1 80;7@4? 487 8 8(4). D1>80- 4 :-(Z\) -1(Z\). L- @1@:1- 7- ;?10- 1-: :0 ", 24,
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u−1
=0
S4;80- 858 341 X "X X2X XX ", 6 341 " 2 %. P88 ;8 341 ?:5- /01- - @:1- ?1 4 @K47 1347K@1, 7 341 80- 8 58:1 1- :0;8 341 - 78- 8:1- :/:8- ?1 4 /01 :0;71<. E- ?1:, -1 @8@8 ?1 ;8 341 586 4 /01 @87 341 ", 2 6 - 78- 8:1- ?1 78 1:48: ;70:8 z −α %. 3
P88 1-@ 1- 1:1-8 6 -4>:1@1 341 17 ;?4:@ (* ")(*2)(*) ;41?1 1-:-1 1 78 >08 (*")(*2)(*)
z
3
z
3
3
z −α
. T110-
+ (" 2 )
z
2
( "2 " 2) * "2
("2 " 2) * "2
P1?
α
"2, 7 341 586 341 ;8 1- 341 "2 " 2
%. T?88 510- 4-8? 78 5;@1-- ?1 341 X "X X2X XX ". Página 9
V80- 8 4-878 858 ;88 @1@8 -8:8 >8:@ :0/ 1 78 -408 "2 " 2 % 78 1;1- " 2 . T110- 341 "2 " 2 ´z
z ´
" 2
´z
2 "
z ´
(
" 2
z ´
"
z ´
2
) "2 %
P41- ´z
"
´z
2
´z
z 1 + z´2+ z 3
%.
b.
T080- 17 8:1@ 6 ::4:1@ 1 17 1 ?1 :?18?8P ?8@ @110- z 1
= z 2 = z 1
z 3
=1
= x + iy
S18 r x 2
+ y2 = 1
E@:12 sen 2α
2 sen 2α
= 2 cos α
, ; 78 ?1@?8? @0@:8 -810-.
= 2 senα cos α
, 110;788?.
2 sen α cos α = cos α 2 sen α = 1
Página 9
senα =
1 2
α =
, 1@:1-
π 6
PRO"-&! 20.
C87:478 log ( 3 + 3i )
a
S74: S810- ; ?1>: ?1 78@0 ?1 48 >4: :0;71<8. z = x + iy
S18 log ( z )
, 1@:1-
= ln z + i[ arg( z ) + 2π k ] , ??1
arg( z )
y = arctg x
E 17 ;7108 -18 1@:1-. z = 32
arg( z )
+ 32 = 3
z = 3 + 3i
2
, 3+
π 3 = arctg = arctg (1) = 4 3
A58 log ( 3 + 3i )
= ln (3
π + 2π k 4
2) +
i log i b S'lu)in/
Página 9
S18
Α = i log i
P ?1>: ?1 78@0 ?1 4 :0;71< @110-. log i
1 = π 0 2
θ = arctg
= ln i + i(θ + 2π k ) , ??1
log i
π = ln 1 + i + 2π k 2
P88 % π
log i = i
i
2
, 1@:1-.
π
π
Α = i = (i ) 2 i
2
α
..
Β = ii L41 -18
Β=e
π 2
i i
=e
−
, 1@:1-
Β = e i ln i
π
2
α
,
110;7880- 1
π
− 2 2 Α = e π
, ; 7 @8@
Α=e
−
π
2
2
Determine t'das las s'lu)i'nes de las d's e)ua)i'nes.
z 4 − 16 = 0 1.
.
S74: Página 9
z 4 − 16 = 0 P'dem's es)ribir de l' <'rma.
( z ) − 4 = 0 2 2
2
P ?>11:8 ?1 :48?8?-.
( z + 4 ( z − 4 = 0 2
2
, ent'n)es.
( z + 4) = 0 2
z 2
= −4
2
( z + 2)( z − 2) = 0
∨
z = 2i ∧ z = −2i
z 4
( z − 4) = 0
∨
∨
z = 2 ∨ z = −2
+ 64 = 0
2.
S74: z 4 − 16 = 0 P'dem's es)ribir de l' <'rma.
( z ) + 8 = 0 2 2
2
E@:1-. z 2
= − 82 , ent'n)es.
z 2
= 8i
z = + 8i
∧
z = − 8i
Página 9
PRO"-&! 2A. f ( z )
= u( z ) + iv( z )
Su*'n+a ue
es anal(ti)a en al+una ve)indad N. Demuestre/
uv
")
es armni)a en N. S'lu)in/
uv
P8@0- ?1 741 58:1? 78 -14?8 ?18?8 1 >4: ?1 9= 6 1 >4: ?1 96=, 1@:1-.
∂ 2 uv ∂ 2u ∂u ∂v ∂ 2 v = v+2 +u ∂ x ∂ x ∂ x 2 ∂ x 2 ∂ x 2
α
.....
∂ 2 uv ∂ 2 u v 2 ∂u ∂v u ∂ 2 v = + + ∂ y ∂ y ∂ y 2 ∂ y 2 ∂ y 2
β
..
β
α
S4080-
6
2 ∂ 2 uv ∂ 2 uv ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂v ∂ 2 v ∂ u ∂ v ∂ v v+2 + = +u ∂ y ∂ y ∂ y 2 ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ x 2 v + 2 ∂ x ∂ x + u ∂ x 2 + ∂ y 2
χ
L41 4-8? 78- 1:48:1- ?1 C84:56*R108.
∂u ∂v = ∂ x ∂ y
∧
∂u ∂v =− ∂ y ∂ x
χ
, 110;7880- 1
∂v ∂ 2 uv ∂ 2 uv ∂u ∂v ∂u + = 2 2 − + ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y
Página 9
∂ 2 uv ∂ 2 uv + =0 ∂ x 2 ∂ y 2
2)
, 1@:1-
uv
1- 80:8.
f
u2 es armni)a en N si s'l' si
es )'nstante.
f
S
u2
1- :-@8@1 1:1-8801@1
1- ?88, 1:;:801@1 - 1-
f
80:8
1- :-@8@1. u
2
U-8? 341 1- 80:8 ;341 1- 78 ;8@1 187 ?1 78 >4: 887@:8 @110- 341
∂ 2u 2 ∂ 2u 2 + =0 ∂ x2 ∂ y 2 E@:1- ;?10- 1-: :0. 2 ∂ ∂ u 2 ∂ ∂u + =0 ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y
∂ 2u ∂u ∂ x ∂ x
∂ ∂u = 0 + ∂ y 2u ∂ y
∂ 2u ∂u 2 ∂u 2 ∂ 2u + + 2 =0 2 2 u + ∂ ∂ ∂ ∂ y x x y
∂u 2 ∂u 2 + =0 ∂ x ∂ y ∂u ∂u = =0 ∂ x ∂ y
Página 9
∂v ∂v =− =0 ∂ x ∂ y P 7 @8@ > 1- :-@8@1.
$I.
CONC-USIONS/
A @8- ?1 1-@1 >01 -1 ;4?1 ::1@8 -8@->8:@801@1 7<1@- ;;41-@- 87 : ?1 1-@1 @88<. E-@ -1 7 ; 01? ?1 88?8 >08:, 341 >41 ?18?8 6 1?8:@8?8 ; -@-, ::1? 8-
•
L8- ;;1?8?1- 0K- 0;@8@1- ?1 :8?8 -4:<4@ 40:. P341 6 :0 17 501 >41 1:1-@8? :8?8 4 ?1 1-@-
•
@;- ?1 /01- ;88 -4- 4-- 1 78 ?8 ?88. R1-71 1<1::- ?1 /01- 088-, 8@4871-, 1@1-,
•
8:871- 1 8:871-, 4@78? 78- ;;1?8?1- 01:8?8•
1 17 ?1-877 ?1 41-@ >01. C:0- 0;@8@1- ?8@- ?1 78 4018: 6 ?1 ;1-8341 @88<8 : 7- ?>11@1- /01-, ?1?4:1? @1108-
•
0-@8? >08- ?1 4@78:. C:1 341 :48? 4-80- 17 @1108 ?1 C84:56* R108
•
48 >4: 1- 887@:8. 78 0;@8@1 8;7:8: ?1 7- /01- :0;71<- 1 ?1-8:1:8- 1 118 ?1 1-@4?
VII. BIBLIOGRAFIA:
Página 9
•
• •
• • •
http://www2.ulpgc.es/hege/almacen/dwnlad/!"/!"19!/cap9#cmple $s#pd%.pd% . http://www.cs.&uap.mx/'%$(&les/)a(*m.html . https://www.uam.es/pe(snal#pdi/ciencias/%chami/asignatu(as/calc1i n%1,11/ap$pe(e/calcul#cap,!.pd% . )a(ia&le cmple$a- dua(d spina (ams. )a(ia&le *mple$a- *hu(chill- c0(aw ill. )a(ia&le *mple$a- u((a3 4 5piegel- c0(aw ill.
Página 9
