Funciones de Bessel La ecuación diferencial de segundo orden
∑
Es llamada la ecuación de Bessel de orden
, donde
es un parámetro. La solución de esta
ecuación es la llamada función de Bessel de primer a clase de orden v y se define:
La serie que define
converge para todo .
Debido a que la ecuación de Bessel es una ecuación diferencial de segundo orden, se necesita una segunda solución, linealmente independiente de inicial de la ecuación de Bessel es estas raíces ( 1.
Si
, para escribir la solución general. La ecuación
, con raíces
. El análisis está en la diferencia de
de la cual se dan las siguientes conclusiones.
no es un entero, entonces
y
son linealmente independientes, y la solución
general de la ecuación de Bessel de orden es:
2.
Si
es un enero positivo impar, es decir
y
, entonces
siguen siendo linealmente independientes. Entonces
En En este caso y
pueden expresarse como una suma finita de términos que contienen raíces cuadradas, senos y cosenos como por ejemplo:
En este caso la solución general de la ecuación de Bessel de orden es:
3.
Si
caso
es un entero pero no es de la forma y
para cualquier entero positivo
. En este
son soluciones de la ecuación de Bessel, pero son linealmente
dependientes.
En este caso debemos construir una solución de la ecuación de Bessel, linealmente independiente de
. Esto nos conduce a las funciones de Be ssel de segunda clase.
Funciones de Bessel de segunda clase Para el caso
, la solución para la ecuación de Bessel es:
∑ []
En donde
Se realiza una combinación lineal de denota
y esta definida para
y
, la cual es una solución. Esta combinación se
por:
Donde es la constante de Euler, definida por
[ ] y
son linealmente independientes debido al término
en
, por lo tanto la
solución general de la ecuación de Bessel de orden cero es:
La solución general de la ecuación de Be ssel de orden (entero positivo) es por tanto
Hasta aquí solo tenemos definición de
para
un entero no negativo. Es por eso que se extiende la
para incluir todos los valores reales de haciendo
Para cualquier entero no negativo , podemos demostrar que
Si
son constantes y es cualquier entero no negativo, entonces
y
las soluciones de la ecuación diferencial general
(*)
son
Ceros de
√
En varias aplicaciones se necita saber donde prueba que
Sea
. Se
tiene un número infinito de ceros simples positivos y también se puede obtener
estimaciones Como
. Tales puntos son los ceros de
para
se
sabe
. Ahora ponemos
obtener
sus
es
localizaciones. una
solución
de
. Sustituimos este en la ecuación de Bessel para
…(1)
Conforme crece, el termino
ejerce menos influencia en esta ecuación para , la cual
empieza a verse mas como
, con soluciones en seno y coseno. Esto sugiere que para
grande,
√
esta aproximada por una función trigonométrica, dividida entre
que tal función tiene un número infinito de ceros positivos, lo mismo Consideramos la ecuación
. Debido a
.
…(2)
Esta ecuación tiene solución
con
cualquier número positivo. Multiplicamos
la ecuación (1) por y la ecuacion (2) por y restamos para obtener
Escribimos esta ecuación como
Ahora calculamos
∫
∫
∫ √ Aplicamos a la última integral, el teorema del valor medio para integrales. Existe algún numero entre y
tal que
Ahora
para
(dependiendo de
) que
Para
. Más aun, podemos elegir
suficientemente grande
. Por tanto, la integral de la derecha de la última ecuación es positiva.
Entonces
no pueden ser todas del mismo signo. Como
dede tener un cero en algún sitio entre
tiene por lo menos un cero entre y
En general, si
cero entre y
y
. Como
es continua,
, esto prueba que
.
es cualquier numero suficientemente grande y
, entonces
tiene un
.
Lema de entrelazado
Sea cualquier número real. Sean y ceros positivos distintos de
. Entonces
y
cada
uno tiene al menos un cero entre y .
La siguiente tabla da los primeros cinco ceros positivos de números están redondeados
para
Aquí los
al tercer lugar decimal. La propiedad de entrelazamiento de
funciones de Bessel de índices sucesivos puede verse observando hacia abajo las c olumnas.
2.405 3.832 5.135 6.379 7.586
5.520 7.016 8.417 9.760 11.064
8.654 10.173 11.620 13.017 14.373
11.792 13.323 14.796 16.224 17.616
14.931 16.470 17.960 19.410 20.827
Aplicaciones de las Funciones de Bessel Desplazamiento de una cadena suspendida Consideremos una cadena flexible uniforme suspendida en reposo como se muestra en la figura 3.9. Analizaremos las oscilaciones causadas por un pequeño desplazamiento en el plano vertical.
( )
Supóngase que cada partícula de la cadena se mueve en una recta horizontal. Sean la cadena por unidad de longitud,
es su longitud, y
la masa de
el desplazamiento horizontal en el
tiempo t de la particula cuya distancia desde el punto de suspensión es . Se coloca el origen O del
sistema de coordenadas en el punto donde la cadena esta fija y se considera el movimiento de un elemento
de la cadena entre
elemento tiene una magnitud
y
(figura 3.10). Si la tensión en los extremos de este
en un extremo y
en el otro, entonces la segunda ley del
movimiento de Newton, aplicada a las componentes horizontales de la tensión de los extremos, nos da:
Entonces
Ahora
( )
, el peso de la cadena bajo . Por tanto, la última ecuación se convierte en
Cambiamos las variables poniendo Entonces
Y
y
La ecuación diferencial parcial para se convierte n
Hacemos un cambio de variable para convertir la ecuación diferencial parcial a un problema que involucra una ecuación diferencial ordinaria. Como se espera que las oscilaciones sean periódicas en el tiempo, intentamos una solución de la forma
√ ( ) Sustituimos esto en la ecuación diferencial parcial para obtener
Dividimos esta ecuación entre
para obtener
Esta ecuación diferencial tiene la misma forma que la e cuación (*), con ,y
La solución general para
Ahora
,
. Asi elegimos
es
conforme
, debido a su término logarítmico. Pero esperamos que
las oscilaciones en una cadena sean acotadas en su amplitud. Entonces, elegimos obtener
,
para
Entonces
Así
La cadena esta fija en su extremo superior (el origen), de manera que Suponiendo que
, esto requiere que
Como sabemos por la teorías de los ce ros de positivas. Si denotamos a estas por para
, ya que
para
:
para todo t.
, la ecuación
tiene infinidad de raíces
en orden ascendente, entonces podemos resolver
debe ser una de estas raíces. Entonces tenemos infinidad de posibilidades
Estas son las frecuencias fundamentales de oscilaciones de la cadena. A partir de la tabla de los
ceros de la funciones de Bessel, encontramos que las primeras cinco raíces positivas de son aproximadamente 2.405, 5.520, 8.654, 11 .792 y 14.931. Estas son
hasta
,
respectivamente. Así las primeras cinco frecuencias fundamentales de la cadena son
Estas representan aproximadamente las frecuencias de los modos normales de vibración. El periodo asociado con
es
