UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Facultad de Ingeniería Mecánica Curso: Cálculo Vectorial
Funciones Reales de Varias Variables
NOTA HISTORICA. Ma r y
Fairfax
Somerville
(1780-1872).
Som omer erv ville ille se int interes eresó ó po porr el pro problema lema de crea crearr mo mode delo los s ge geom omét étri rico cos s de fu func ncion iones es de varias variables. Su libro más conocido, The Mechanics ics of the Heavens , se publicó en
1831. Gran divulgadora de los resultados de Laplace.
NOTA HISTORICA. Ma r y
Fairfax
Somerville
(1780-1872).
Som omer erv ville ille se int interes eresó ó po porr el pro problema lema de crea crearr mo mode delo los s ge geom omét étri rico cos s de fu func ncion iones es de varias variables. Su libro más conocido, The Mechanics ics of the Heavens , se publicó en
1831. Gran divulgadora de los resultados de Laplace.
NOTA HISTORICA. Sony Sonya a Koval ovalev evsk sky y (1850-1891). Gran parte de la terminología usada para definir limites y continu inuida idad de una funció ción de dos o tres varia variable bles s la intr introd odujo ujo el ma mate temá mátic tico o alemá alemán n (18155-18 1897 97). ). El en enfo foqu que e Karl Weierstrass (181 riguroso de Weierstrass a los límites y a otros tem emas as en cálc cálcul ulo o le valió lió la repu reputtació ación n de “padre del análisis moderno”. Weierstrass era un maestro excelente. Una de sus alumnas fue la matemática rusa Sonya, quien aplicó mucha chas de las técnica icas de Weie Weierrstrass a problemas de la física matemática y se convi nvirtió en una de las prime imeras mujer jeres
Funciones de dos variables La temperatura T en un punto en la superficie terrestre en cualquier tiempo depende de la latitud x y la longitud y del punto. Podemos considerar T=f(x ,y )
El volumen V de un cilindro circular depende de su radio r y de su altura h V=f(r ,h )=
2
r
h
Definición: Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales (x,y) de un conjunto D, un número real único denotado Por f(x,y)
Función real de n variables
Dominio:
Ejemplo: Hallar el dominio de la siguiente función: f ( x, y ) x ln( y
Solución:
Dom( f ) {( x, y ) R 2 / x y 2 }
2
x)
Rango:
Ejemplo: Hallar el rango de la siguiente función: f ( x, y)
Solución:
0 x 2 y 2 x 2 y 2 0 9 x 2 y 2 9 9 x 2 y 2 3 0 9 x 2 y 2 3
f ( x , y )
Rang ( f ) [0,3]
9 x 2 y 2
Gráfica de una función: f : U R n R definimos la gráfica de f como el conjunto:
{( x, y) / x U , y f ( x)} Ejemplo: Hallar la gráfica de la siguiente función:
f ( x, y) 9 x 2 y 2
Curvas de Nivel Suponga que la superficie z = f (x, y) se intersecta con el plano z = c, y que la curva de intersección se proyecta sobre el plano XY. Esta curva proyectada tiene a f (x, y) = c como su ecuación, y la curva se denomina curva de nivel de la función f en c. Cada punto de la curva de nivel corresponde a sólo un punto de la superficie que se encuentra a c unidades de ella.
Ejemplo: Graficar las curvas de nivel de la función: z f ( x, y )
sin( x 2 y 2 ) 2 2 x y
Algebra de Funciones Sean f:URnR;
g:VRnR
Con dominios U y V respectivamente; definimos:
1. (fg)(X)=f(X) g(X)
Dom(f g)=UV
2. (f.g)(X)=f(X) .g(X)
Dom(f.g)=U V
3. (f/g)(X)=f(X)/g(X)
Dom(f/g)=U V-{x/g(X)=0}
Límite de una función:
Sea f una función de dos variables definidas en un disco abierto centrado en ( x0 , y0 ) , excepto posiblemente en ( x0 , y0 ) , y sea L un número real. Entonces
lim f ( x, y ) L ( x , y ) ( x0 , y0 )
Si para cada > 0 existe un >0 tal que
0 ( x, y ) ( x0 , y0 ) f ( x, y ) L
Teorema Si f(x,y)L1
cuando (x,y) (a,b) por una trayectoria C1
y f(x,y)L2 cuando (x,y) (a,b) por otra trayectoria C2, donde L1≠L2, entonces
lim f ( x, y ) L ( x , y ) ( a ,b )
no existe
Ejemplo: Sea f ( x, y)
xy x 2 y 2
calcule
lim f ( x, y) ( x , y ) ( 0 , 0 )
si es que existe
Continuidad de Funciones
Interpretación Geométrica Ejemplo:
Derivadas Parciales
Las derivadas parciales existen siempre que sus límites existan
Notación:
Interpretación Geométrica C 1 : y b ; z f ( x, y ) C 2 : x a
; z f ( x, y ) D1 f (a, b) Es la pendiente de la recta tangente a C1 en P
D2 f (a, b) Es la pendiente de la recta tangente a C2 en P
Ejemplo:
Derivada Parcial para n variables Dk f ( x1 ,, xk , xn ) li lim m
xk 0
Siempre que el límite exista
f ( x1 ,, xk xk , xn ) f ( x1 ,, xk , xn )
xk
Derivada Parcial de orden superior
Definición:
Ejemplo:
Diferenciabilidad
Definición: Sea f una función de 2 variables f(x,y) entonces el incremento de f en El punto (x0,y0) se denota por ∆f(x0,y0)
f ( x0 , y0 ) f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
Definición: Si el incremento de una función se puede expresar como
f ( x0 , y0 ) D1 f ( x0 , y0 ) x D2 f ( x0 , y0 ) y 1 x 2 y donde:
1 ( x, y ) 2 2 ( x, y ) Lim 1 0 1
( x , y )( 0 , 0 )
Lim
( x , y ) ( 0 , 0 )
2
Entonces f es diferenciable en (x 0,y0)
Ejemplo: Hallar una aproximación del valor:
4.04 8.97
Solución:
x 0.04, y 0.03, f ( x, y) xy f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 ) D1 f ( x0 , y0 ) x D2 f ( x0 , y0 ) y D1 f ( x, y ) D1 f (4,9)
y
2 xy 3 4
,
, D2 f ( x, y ) D2 f (4,9)
3
x
2 xy
1 3 1
Ejercicio:
Solución:
Teorema: Si f(x,y) es diferenciable en el punto entonces existe un plano tangente a la superficie z=f(x,y) en y tiene por ecuación
donde
Regla de la Cadena Sea u=f(x,y), donde f es una función diferenciable de x e y. Si x=g(r,s), y=h(r,s) son tales que las derivadas parciales de primer orden x x y y Entonces u , u existen y están dadas por , , , x y r s r s
Ejemplo: x Si z e sin y
encuentre
z z , s t Solución:
2 2 donde x st , y s t
La Derivada Direccional
Definición: La derivada direccional de f en la dirección dada por el vector unitario u está dada por:
D f(x, y) lim
u
h 0
f ( x hu1 , y hu 2 ) - f(x, y) h
si el límite existe.
Derivada direccional Si f es una función diferenciable de x e y, su derivada direccional en la dirección del vector unitario
u cos i sen j Denotada por:
Du f ( x, y )
Du f ( x, y ) lim t 0
se define como
f ( x t cos , y t sen ) f ( x, y ) t
La Derivada Direccional
Interpretación geométrica de la derivada direccional
x a t cos : y b t sen z z
( x, y, z ) / z f ( x, y) a, b, f (a, b)
u
Derivada direccional Si f es una función diferenciable de x e y, su derivada direccional en la dirección del vector unitario
u cos i sen j es:
Du f ( x, y) f x ( x, y) cos f y ( x, y ) sen
Derivada Direccional y Parcial
Teorema: Si f tiene sus primeras derivadas parciales continuas entonces tiene derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario u y:
D f(x, y) f x (x, y) u1 f y (x, y) u 2
u
Teorema Si f es una función diferenciable de x e y entonces la derivada direccional de f en la dirección del vector u=(cos ,sin)
Du f ( x, y) f x ( x, y ) cos f y ( x, y ) sin f ( x, y ).u
Ejemplo:
Hallar la derivada direccional de f(x,y) = x2-xy+y en la dirección del vector v = (1,2). D f ( x, y ) ( 2 x y , x 1)
u
y 2
5
1 5
(1,2)
Ejemplo: Encuentre la derivada direccional de la función
f ( x, y ) x 2 y 3 4 y En el punto (2,-1) en la dirección del vector v=2i+5j Solución:
f ( x, y) (2 xy 3 ,3 x 2 y 2 4) f (2,1) (4,8) u
v v
(
2 29
,
5 29
)
Du f (2,1) f (2,1).u
32 29
Gradiente:
z
f ( x, y )
f x ( x, y) i f y ( x, y) j
y
f ( x, y ) (
)
Gradiente de una función de dos variables
Sea z=f (x, y) una función de x e y, tal que f x y f y existen. Se llama gradiente de f , al vector
f ( x, y) f x ( x, y)i f y ( x, y) j
f
Se “lee delta de f ”
Otra notación
grad f ( x, y )
orma a erna va e a derivada direccional Si f es una función diferenciable de x e y, su derivada direccional en la dirección del vector unitario
u cos i sen j es:
Du f ( x, y) f ( x, y) u
Propiedades del Gradiente Sea z=f (x, y) una función diferenciable en el punto (x, y)
Si f ( x, y) 0 entonces
D f ( x, y) u
0 para todo u
La dirección de máximo crecimient o de f
dada por f ( x, y ).
El valor máximo de Du f ( x, y ) es f ( x, y )
viene
Derivada Direccional en término del
D f ( x, y )
f ( x, y ) u
u
Ejemplo : Sea f ( x, y ) x y 2
2
a)Encuentr e f ( 2,2) y represéntelo geométrica mente. b)Halle D f ( 2,2) en la dirección de u
Teorema a) El valor máximo de Du f(x0,y0) se alcanza en la dirección f(x0,y0). b) La tasa máxima de crecimiento de f en (x0,y0) es || f (x0,y0 ) ||.
Corolario a) El valor mínimo de Du f(x0,y0) se alcanza en la dirección de - f(x0,y0) b) La tasa mínima de crecimiento de f en (x0,y0) es -||f (x0,y0) || .
Derivada direccional para funciones de tres variables Si f es una función diferenciable de x, y, z su derivada direccional en la dirección del vector unitario
u a i b j c k
u
1
es:
Du f ( x, y, z ) af x ( x, y, z ) bf y ( x, y, z ) c f z ( x, y, z )
Propiedades del gradiente de una función de tres variables
Si f ( x, y, z ) 0 entonces Du f ( x, y, z) 0 para todo u La dirección de máximo crecimient o de f
dada por f ( x, y, z ).
viene
El valor máximo de Du f ( x, y, z ) es f ( x, y, z ) Sea u=f (x, y,z) una función diferenciable en el punto (x 0 , y 0 ,z 0 ) y
entonces
f ( x0 , y0 , z0 ) 0
f ( x y z ) es normal a la superficie de nivel
Propiedades del Gradiente
Sea f diferenciable en el punto (x,y), 1. Si f ( x, y) 0, entonces Du f ( x, y) 0 para todo u 2. La dirección de máximo incremento de f está dada por f ( x, y), El valor máximo de Du f ( x, y) es f ( x, y ) 3. La dirección de mínimo incremento de f está dada por f ( x, y), El valor mínimo de Du f ( x, y) es f ( x, y)
Ejemplo: La temperatura en grados Celsius en la superficie de una placa metálica es
T ( x, y ) 20 4 x 2 y 2 Donde x e y se miden en centímetros. ¿En qué dirección a partir de (2,-3) aumenta más rápido la temperatura?. ¿Cuál es la tasa o ritmo de crecimiento?
Solución:
T ( x, y ) (8 x,2 y ) T (2,3) (16,6)
dirección de máximo incremento
Tasa o ritmo de incremento:
T (2,3) 292 17.09o por centimetro
Extremo de Funciones Definición de extremos de funciones de varias variables.
Una función f definida en un dominio D abierto presenta un mínimo (máximo) local en (a,b) ∈ D si existe un entorno U de (a,b) tal que f (x, y) ≥ f ( a,b) ∀ (x, y) ∈ U
( f (x, y) ≤ f ( a,b)) .
Diremos (a,b) es un extremo local o relativo de f si es un mínimo o máximo local.
El punto (a,b) ∈ D abierto, es un punto crítico de f : D ⊆ R2 → R, si f es diferenciable en (a,b) [i.e: f continua y con derivadas parciales en (a,b)] y (a,b) = (0,0) .
∇f
Teorema Si f es diferenciable en el punto ( a,b) ∈ D abierto y además dicho punto es un extremo local entonces (a,b) es un punto crítico de f ; i.e: ∇f (a,b) = (0,0) . Este teorema pone de manifiesto que para encontrar extremos locales sólo tenemos que determinar los puntos críticos. Un punto crítico que no es un extremo local se denomina punto de silla.
Matriz Hessiana La matriz formada por todas las derivadas parciales de segundo orden se llama matriz hessiana. La construcción de esta matriz se hace según el siguiente cuadro:
PROPIEDAD (Teorema de Schwartz): La matriz hessiana siempre es
Criterio de la Segunda Derivada Parcial