ISP ISP“Toribio “ToribioRodríguez Rodríguezde deMendoza” Mendoza”
Unidad UnidadII––PROGRAMA PROGRAMADE DEFORTALECIMIENTO FORTALECIMIENTOIIII
CONTENIDOS: FUNCIONES I
Plano Cartesiano. Producto cartesiano. Relaciones en el Plano Cartesiano Funciones: Formas de representación.
APRENDIZAJES ESPERADOS ESPERADOS Reconoce e identifica los elementos y características del plano cartesiano. Identifica y representa pares ordenados en el plano cartesiano. Elabora diagramas y tablas para expresar y resolver problemas de producto cartesiano. Analiza y aplica definiciones para hallar el producto cartesiano. Halla las variables de una función: independiente y dependiente. Determina el dominio y rango de una función. Expresa una función mediante enunciados, ecuaciones, tablas y gráficos. Resuelve problemas con funciones.
TEMA GENERADOR
En el restaurant “EL CHACHA” , para el menú se ofrece de entradas: causa, rocoto relleno, ocopa, y solterito y de plato fuerte: tallarines, frejoles con seco y lomo saltado. ¿Cuántos menús se pueden ofrecer a los comensales? Discusión de la solución:
Describe brevemente de que trata el problema …………………………………………. Un menú puede estar formado por, ¿dos entradas?, ¿dos platos fuertes?, Suponiendo que eso fuera posible, ¿a quién convendría más esto?, ¿al dueño?, ¿al comensal?, ¿a ambos? ¿Crees que ayudaría a la solución del problema la simbolización de los datos? ¿qué utilizarías? Organicemos y completemos la información en la siguiente tabla Plato Fuerte EntradaTallarines (t)Frejoles con seco ( f )Lomo saltado ( l) Causa (c)(c; (c; t)Rocoto relleno (r)Ocopa ( o)Solterito (s)
¿Cuántos menús se pueden formar teniendo como plato fuerte el tallarín? ¿Cuántos menús se pueden formar teniendo como entrada el rocoto relleno? Responde la pregunta: ¿cuántos menús se pueden ofrecer a los comensales? Será lo mismo seleccionar ¿una ocopa y un frejol con seco?, y ¿un frejol con seco con una acopa, siempre?
1
PLANO CARTESIANO
1. María viaja a su ciudad acompañada de Ana. Ana quiere conocer algunos lugares, le solicita de María que le indique las ubicaciones aproximadas. María realizó este gráfico para ayudar a Ana. ¿Entre que calles está ubicada la alcaldía?, ¿Entre que calles está ubicado el mercado? Solución La alcaldía se encuentra ubicada entre las calles alfa y 3, que se puede representar de la siguiente manera (alfa, 3). De manera similar, también podríamos representar la posición de los demás lugares utilizando pares, por ejemplo el mercado está ubicado en las calles (teta, 3), la Sunat en (delta, 2), el restaurant en (delta, 4), etc. Estos pares que utilizamos para describir la ubicación aproximada de estos lugares, se denominan pares ordenados.
ORIENTACIÓN PARA EL DOCENTE En la presentación de la teoría es importante proponer situaciones sencillas, concretas y tomando en cuenta el contexto en el cual se desarrolla la capacitación.
El Plano cartesiano lleva ese nombre en honor al filósofo francés René Descartes. Hubo también otro francés, Pierre Fermat (16011665) también invento los principios de la geometría analítica al mismo tiempo.
Al igual que los puntos sobre una recta se pueden representar con números reales para formar la recta numérica, los puntos sobre un plano se pueden identificar por medio de pares ordenados de números para formar el plano cartesiano o coordenado. Para hacerlo, trazamos dos rectas de números reales entre sí y que se cortan en el 0 de cada recta. Una recta es horizontal con dirección positiva hacia la derecha y se llama eje x ó eje de abscisas; la otra recta vertical y la dirección positiva hacia arriba; recibe el nombre de eje y o eje de ordenadas. El punto de intersección del eje x y del eje y es el origen O, y los dos ejes dividen el plano en cuatro cuadrantes. Los puntos que se localizan sobre los ejes coordenados no se asignan a ningún cuadrante. y
Y (-4; 5) P(a;b)
b
II
(3;3)
I (2;0) O
III
a
x
O
IV
X (1; - 4)
( - 5;-6) FIGURA 01
El par (x; Cualquier punto P y)en, seeldenomina ordenado, porque el par plano cartesiano se que (x, y) no es el mismo puede ubicarel par por(ymedio ; x). Por ejemplo: la ubicación par en el plano de un único cartesiano del punto (2; 5) ordenado de números es diferente que la del (a;b), como punto se muestra ( 5; 2) 1. Podemos pensar que las coordenadas de P son como su “domicilio” porque especifican su ubicación en el plano. En la figura 2 se muestran varios puntos con sus coordenadas.
FIGURA 02
Para determinar el punto (3; 3), primero avanzamos sobre el eje x tres unidades a la derecha y después ascendemos una perpendicular de tres unidades. Antes de ubicar en el plano el punto (- 5; - 6), notemos que ambas coordenadas son negativas. Así, primero avanzamos sobre el eje x cinco unidades a la izquierda y después llevamos una perpendicular 6 unidades hacia abajo. PRODUCTO CARTESIANO
2. Al cumpleaños de Anita asisten Germán, Juan, María, y Cathy. ¿Cuántas parejas de hombre y mujer se pueden formar para bailar. Solución
Sea A, el conjunto de los hombres A = {Germán, Juan} Sea B, el conjunto de mujeres B = {Anita, María y Cathy} Entonces, las parejas que se podrían formar se podrían representar como sigue: 2
A x B = {(Germán; Anita), (Germán; María), (Germán; Cathy), (Juan; Anita), (Juan; María), (Juan; Cathy) Al contar, podemos notar que se forman 6 parejas. Para resolver el problema también podemos utilizar otras formas de representación: Formas de representación
El producto cartesiano A x B, se puede representar de diferentes maneras:
DIAGRAMA DEL ÁRBOL
Germán
Juan
Anita
(g, a )
María
(g, m)
Cathy
(g, c )
Anita
(j, a )
María
(j, m )
Cathy
(j, c )
Se denomina producto cartesiano de los conjuntos A y B, y se representa A x B, al conjunto formado por todos los pares ordenados, donde el primer elemento del par ordenado pertenece a A y el segundo a B. A x B = {(a, b)/ a ε A y b ε B}
3. Robertito desea elaborar placas para sus 5 bicicletas. sabe que el cuenta con las plantillas de impresión de los números 1, 3, 5, 6 y de las letras M, N, P. ¿Cuántas placas elaboradas, comenzando con una letra, no se utilizaran? Solución
Sea A, el conjunto de letras. A = {M, N, P} B = {1, 3, 5, 6}, Entonces: A x B = {(M; 1), (M; 3), (M; 5), (M; 6), (N; 1), (N; 3), (N; 5), (N; 6), (P; 1), (P; 3), (P; 5), (P; 6)} L as placas serán: M1, M3, M5; M6, N1, N3, N5, N6, P1, P3, P5, P6, Al contar, podemos notar que se forman 12 placas, pero Roberto solo tiene 5 bicicletas, entonces no se utilizarán: 12 – 5 = 7 placas. Otra manera de resolver el problema sería utilizando el diagrama del árbol 4. Se lanzan dos dados, Determinar el número de casos en el cual: a) Los puntos del primer dado y segundo dado son diferentes. b) La suma sea 7 3
Se
Solución Dado 2 Sea A, los puntos que se podrán obtener al lanzar el dado 1. 1 2 3 4 5 6 Dado 1 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 1 (1,1) (1;2) (1;3) (1,4) (1;5) (1;6) Sea B, los puntos que se podrán 2 (2,1) (2;2) (2;3) (2,4) (2;5) (2;6) obtener al lanzar el dado 2. 3 (3,1) (3;2) (3;3) (3,4) (3;5) (3;6) B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 4 (4,1) (4;2) (4;3) (4,4) (4;5) (4;6) Al lanzar los dos dados, cada 5 (5,1) (5;2) (5;3) (5,4) (5;5) (5;6) punto del dado 1, tendrá seis 6 6 (6,1) (6;2) (6;3) (6,4) (6;5) (6;6) posibilidades, por ejemplo si tomamos punto 2 del dado 1, este podrá formar los siguientes pares; (2;1), (2;2), (2; 3), (2; 4),(2;5), (2;6), de igual manera sucederá con los demás puntos del dado 1. Los pares mostrados en la tabla nos indican todos los pares que se forman, existen 36 casos.
a) Hallamos los pares cuyos puntos del primer y segundo dado, sean iguales: (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6), son 6 casos o pares.
Dado 2 1
2
3
4
5
6
(1,1)
(1;2)
(1;3)
(1,4)
(1;5)
(1;6)
2
(2,1)
(2;2)
(2;3)
(2,4)
(2;5)
(2;6)
3
(3,1)
(3;2)
(3;3)
(3,4)
(3;5)
(3;6)
4
(4,1)
(4;2)
(4;3)
(4,4)
(4;5)
(4;6)
5
(5,1)
(5;2)
(5;3)
(5,4)
(5;5)
(5;6)
6
(6,1)
(6;2)
(6;3)
(6,4)
(6;5)
(6;6)
Dado 1 1
Sabemos que existen 36 casos o pares que tienen puntos iguales o diferentes. N° de casos o pares diferentes= 36 – 6 = 30 b) Comenzando con el dado de un punto y buscando sistemáticamente los dados que completen los 7 puntos, tendremos los siguientes casos o pares: (1; 6); (2; 5); (3; 4); (4; 3), (5; 2), (6; 1) N° de casos o pares cuya suma sea 7 = 6 5. Con los números 2, 5 y 7, incluyendo los números con cifras repetidas, ¿cuántos números de tres cifras se pueden formar? Solución
Utilizando el diagrama del árbol, analizaremos cada uno de los casos:
Se pueden formar en total 27 números 6.
En la celebración del día del maestro se consideró premiar a los docentes más destacados, a la fecha en el PRONAFCAP 2009 Para ello se contó con tres regalos: un celular, un reloj de pared y un estuche de lapiceros. Si se selecciona un docente del nivel inicial, uno de primaria y uno de secundaria. ¿De cuántas maneras se pueden asignar los regalos? Solución:
Consideremos los conjuntos: R = {r1, r2, r3} formado por los regalos y D = {d1, d2, d3} el conjunto formado por los docentes de inicial, primaria y secundaria respectivamente. Las posibilidades de asignar los regalos están dadas por el producto cartesiano de R por D: 4
R x D = {(r1, d1), (r1, d2), (r1, d3), (r2, d1), (r2, d2), (r2, d3), (r3, d1), (r3, d2), (r3, d3)}. Se puede asignar regalos de 9 maneras diferentes.
TRABAJANDO
EN
EQUIPO
PROBLEMAS PROPUESTOS 1. En una pastelería de los supermercados Metro, preparan tortas de lúcuma, vainilla y chocolate. Las cubren y adornan con chocolate, merengue, mermelada, crema chantilly y envasan en recipientes de plástico o papel. ¿De cuantas formas se puede comprar una torta? a) 6 b) 12 c) 14 d) 24
2.
Carlos y su esposa, docentes de una institución educativa del distrito de BAGUA GRANDE desean comprar un obsequio que se sorteará el día del aniversario de su institución. Para ello se proponen ir a Mega Plaza, Plaza San Miguel o Jockey Plaza y pueden ir en bus o taxi. Carlos advierte que se está haciendo tarde y pregunta que movilidad toman. La esposa, contesta: primero decidamos en qué centro comercial vamos a comprar. Él responde: bueno, pues veamos… ¿Cuántas posibilidades de elección tenemos? a) 5 b) 6 c) 12 d) 13
3. Un cuadrado tiene centro en el origen y tiene un vértice en A (4; 4). Halla las coordenadas de los otros tres vértices. 4. Sábado 03 de Agosto de 2011, 13:00 horas, una docente del nivel primaria termina su jornada de capacitación PRONAFCAP 2011 y se dirige a un restaurante para almorzar. En el restaurante “ “El CHACHO”” pregunta por el menú del día y le dicen que en la pizarra esta la lista, ella observa y lee: papa a la huancaína, sopa de casa, salpicón y papa rellena como “ENTRADAS”. Lomo saltado, tallarines rojos, arroz con pollo y bistec a lo pobre como “SEGUNDOS”. ¿De cuántas formas podría elegir su almuerzo? a) 4
b) 8
c) 12
d) 16
5. ¿Cuántas combinaciones se pueden obtener al lanzar un dado y una moneda?1 a) 2 b) 3 c) 6 d) 12
1
Santillana. Un paso adelante. Quinto grado 5
