Aula 5 – Funções lineares ou afim.
Objetivos: . Definir funções lineares ou Afim. . Resolver situações problemas com aplicações de funções afim. . Aplicações Aplicações de inequações lineares em problemas de otimização de custos. Na nossa aula anterior c!e"amos # e$pressão e$pressão de uma função linear linear a partir da construção construção de uma uma equação da reta. %imos %imos que uma função linear pode ser escrita na forma y = ax + b onde o par&metro 'a( representa o coeficiente an"ular da reta e o par&metro ' b( c!amado de coeficiente linear corresponde corresponde ao ponto onde a reta intercepta o ei$o ). Definição formal: *unção linear + uma função que varia a uma ta$a constante em relação # vari,vel
independente. independente. O "r,fico de uma função linear + uma lin!a reta. Situação problema: A ,"ua ,"ua pot,vel utilizada em propriedades rurais de
modo "eral + retirada de poços com o au$-lio au$-lio de uma bombad/,"ua bombad/,"ua el+trica. 0m certo s-tio para abastecer o reservat1rio reservat1rio de ,"ua + utilizada uma bombad/,"ua com capacidade para bombear 23 litros por minuto. 0ssa bomba + li"ada automaticamente quando quando o reservat1rio reservat1rio est, com 435 litros de ,"ua e desli"ada desli"ada ao enc!6lo. a7 8om essas informações escreva uma f1rmula que permita calcular a quantidade de ,"ua contida no reservat1rio em função do tempo t empo em que a bomba permanece li"ada considerando considerando que não !aja consumo de ,"ua durante esse per-odo. b7 9ual o volume no no reservat1rio ap1s 45 minutos de funcionamento funcionamento da bomba bomba c7 8aso o volume total to tal de seu reservat1rio seja de 4555 litros quanto tempo demoraria para enc!6 lo d7 8onstrua um "r,fico representativo e interprete o mesmo ;olução: a7 ) < a$ = b
) < 23$ = 435 tempo em que a bomba permanece li"ada
quantidade de litros de ,"ua ) < 23 $ = 435 litros de ,"ua bombeados por minuto
b7 Ap1s Ap1s 45 minutos: ) < 23 . 45 = 435 435 ) < >55 = 435 ) < 335 litros c7 para para um volum volumee de 4555 4555 litro litros s terem teremos: os: 4555 < 23$ = 435 4555 ? 435 < 23 $ 2@35 < 23 $ $ < 2@3523 $ < 22BB@ minutos d7 8o 8ons nstr truç ução ão do "r, "r,fi fico co::
quantidade inicial de litros de ,"ua no reservat1rio
)Clitros7
335 355 435 5
25
45
$ Cminutos7
nterpretação: 8alcule a inclinação desta reta. O que se observa a =yB –yA
a < 335 ? 435 < >55 < 23 45 ? 5
xB –xA
45
Eortanto o coeficiente an"ular representa a ta$a de variação da min!a função que no nosso problema corresponde # quantidade de litros que estar, sendo bombeado por minuto. O ponto onde a reta intercepta o ei$o ) corresponde ao valor da quantidade inicial de ,"ua no reservat1rio Ccoeficiente linear7. Observação: A função linear tamb+m pode ser e$pressa na forma: f(x) = ax + b
;u"estões de pesquisa: 27 9uando se vai furar um poço em uma propriedade o mesmo pode ser artesiano ou semi artesiano. 9ual a diferença entre os dois 47 9uais as t+cnicas usadas na perfuração de um poço semiartesiano e um artesiano >7 A ,"ua retirada destes poços pode ser usada sem fazer analise da qualidade da mesma F7 Nas cidades "eralmente o abastecimento de ,"ua + feito pela ;abesp ou em al"umas cidades pela prefeitura. Eer"untase: G permitido abrir poços semiartesianos ou artesianos em uma resid6ncia urbana 37 8omo se procede para determinar o local de abertura de um poço ipos !e "r#fi$o% a7 9uando a H 5
b7 9uando a I5
)
)
b
b
5
$ *unção crescente 0$.: ) < >$ = 4
5
$
*unção decrescente 0$.: ) < 4$ = F
&ai' !e uma função linear: 8!amamos de raiz de uma função o valor de $ que torna nula esta função ou seja o ponto
onde a reta intercepta o ei$o $. 0$.: ) < >$ ? B
;ua raiz ser, dada por: >$ ? B < 5 Eortanto a raiz de ) < >$ ? B vale 4.
>$ < B
$< B>
$<4
erunta*se: 0m uma função crescente ou decrescente mantendose o coeficiente an"ular
o que acontece se
mudarmos o valor do par&metro b 8onstrua o "r,fico das duas funções abai$o e analiseos. 0$. 2: a7 ) < 4$ = 2 b7 ) < 4$ = > 0$.4: a7 ) < $ = 4
b7 ) < $ ? >
stu!o !o sinal !e uma função: Eara sabermos onde o valor de uma função + positivo ou ne"ativo devemos analisar primeiro sua raiz ou seja analisar onde a mesma + i"ual a zero C) < 57 pois a- saberemos onde ela ser, positiva C) H 57 ou ne"ativa C) I57.
)
)
b b 5
$
5
raiz
$
raiz
0$. : Eara quais valores de $ a função ) < 4$ ? F tem valores i"uais a zero positivo e ne"ativo Raiz de ): 4$ ? F < 5
$ < F4
$<4
4
)H5
)I5
$ )<5
Apli$ação: Jm estacionamento oferece duas opções de
preço para seus clientes: 0stacionamento A: RK F55 fi$o mais RK 535 por !ora ? 0stacionamento L: RK 235 por !ora 9uais os intervalos de tempo em que cada opção + mais vantajosa nequação do 2M "rau: 8erta empresa de telefonia calcula a quantia a ser pa"a na fatura mensal de um plano da se"uinte maneira: uma ta$a fi$a de RK 4555 e mais RK 543 por minuto de li"ação. Nessas condições quantos minutos de li"ação um usu,rio desse plano telefnico pode realizar no m6s para que o valor da fatura seja no m,$imo RK 2>355 %Ct7 < 543t = 4555 Desejamos saber onde vCt7 2>355
543t = 45 2>355
t FB5 minutos
Eara resolvermos este problema utilizamos uma desi"ualdade envolvendo uma função linear c!amada de inequação linear. ;endo fC$7 < a$ = b poderemos ter as se"uintes desi"ualdades: a$ = b H 5
a$ = b I 5
a$ = b P 5
a$ = b 5
Jnifeob: 8urso de 0n"en!aria 8ivil Disciplina: *undamentos de Qatem,tica Atividades de *unções ineares 27 O custo de um fabricante de pisos cer&micos consiste em um custo fi$o de RK F555 e um custo vari,vel de RK 2555 por mS produzido. 0$presse o custo total em função do nTmero de mS produzidos e desen!e o "r,fico associado. 47 Jma firma de cartões de cr+dito calcula que a d-vida m+dia D dos portadores de cartões de cr+dito era de RK @.U3>55 no ano 4555 e RK V.24@55 em 4553. ;upon!a que essa divida aumenta a uma ta$a constante. a7 0$presse D como uma função linear de t o nTmero de anos ap1s o ano 4555 e desen!e o "r,fico correspondente. b7 Jse a função obtida para estimar qual foi a divida m+dia dos usu,rios de cartões no ano de 4525. c7 0m que ano apro$imadamente a d-vida m+dia dos usu,rios de cartões de cr+dito ser, duas vezes maior que no ano de 4555 >7 Jma construtora compra RK 2U5.55555 em equipamentosW esses equipamentos sofrem uma depreciação linear que reduz seu valor para RK 2>5.55555 em 3 anos. a7 0$presse o valor dos equipamentos em função do tempo e desen!e o "r,fico associado. b7 Determine o valor dos equipamentos > anos ap1s a aquisição. c7 Ap1s quanto tempo os equipamentos perdem totalmente o valor Eara o empres,rio talvez não seja interessante esperar tanto tempo para se desfazer dos equipamentos. Discuta os fatores que o empres,rio pode levar em conta para decidir qual + a mel!or ocasião para vender os equipamentos. F7 0m al"umas re"iões do mundo observouse que o nTmero N de mortes por semana est, relacionado # concentração $ de di1$ido de en$ofre no ar. ;upon!a que ten!a !avido V@ mortes quando $ < 255 m"mX e 225 mortes quando $ < 355 m"mX. a7 9ual + a relação funcional entre N e $ b7 Jse a função obtida no item Ca7 para determinar o nTmero de mortes por semana quando $ < >55 m"mX. c7 Eara que concentração de di1$ido de en$ofre 255 pessoas morrem por semana d7 eia a respeito dos efeitos da poluição sobre a ta$a de mortalidade. 0screva um te$to dissertativo com pelo menos 45 lin!as a respeito do assunto e dizendo se + poss-vel e de que forma um 0n"en!eiro pode contribuir para a redução destes -ndices de mortalidade devido # poluição do ar. 37 Durante uma seca os moradores do condado de Qarin na 8alif1rnia tiveram que enfrentar uma s+ria escassez de ,"ua. Eara combater o desperd-cio as autoridades aumentaram drasticamente as tarifas. O preço para uma fam-lia de quatro pessoas passou a ser de 244 d1lares por 255 p+s cTbicos de ,"ua para os primeiros 2.455 p+s cTbicos 25 d1lares por 255 p+s cTbicos para os 2.455 p+s cTbicos se"uintes e 35 d1lares por 255 p+s cTbicos para consumos maiores. a7 0$presse o valor de ,"ua para uma fam-lia de quatro pessoas em função do consumo de ,"ua em centenas de p+s cTbicos. b7 *aça um "r,fico representativo do custo em função do consumo de ,"ua. c7 9ual a relação entre 2 mX e 2 p+X d7 *aça uma pesquisa a respeito de como + cobrado o custo de ,"ua de sua cidade em função do consumo. e7 Na sua cidade e$iste um plano para diminuição de consumo de ,"ua caso ocorra uma estia"em consider,vel 8omo + este plano f7 %oc6 como um futuro 0n"en!eiro 8ivil poderia criar um plano para diminuição deste consumo que não se baseasse somente no aumento de preço por consumo De que maneira B7 Jma 0mpresa de Q,quinas de Yerraplena"em A cobra RK V555 a t-tulo de deslocamento da m,quina mais RK 4555 por !ora trabal!ada. Outra empresa L cobra RK V355 mais RK 2355 por !ora trabal!ada. ;e voc6 tiver que contratar uma destas empresas em que condições contrataria A ou L para obter um lucro maior @7 Eara que valores de $ o volume do prisma L + maior que o volume do prisma A A L $=> > $=2
3 4
3
U7 Jm aluno do curso de 0n"en!aria 8ivil representou a casa onde mora por meio do esquema.
a7 9uais são as medidas reais da cozin!a da casa deste aluno sabendo que essa casa tem 25 m de comprimento por @3 m de lar"ura b7 9ual foi a escala utilizada por ele ao fazer o esquema de sua casa c7 0screva uma função que permita calcular as medidas reais m em metros de cada cmodo da casa por meio das medidas $ em cent-metros indicadas no esquema. d7 9ual + a constante de proporcionalidade da função que voc6 escreveu no item c e7 *aça um esquema representativo de sua casa usando este conceito. V7 A fi"ura abai$o representa um terreno em formato trian"ular e outro em formato retan"ular com as medidas de seus lados em função de uma vari,vel $. 25 4$
4$
4$
4$
$ 25 a7 9ual a função que e$pressa o per-metro p de cada terreno em relação # medida x b7 9ual + o maior valor inteiro que x pode assumir para que o per-metro do terreno trian"ular seja menor que o retan"ular 257 9uando !, redução no preço de um produto "eralmente a procura dos consumidores por ele se torna maior. 0m 0conomia essa situação representa a c!amada lei de demanda se"undo a qual ao reduzir o preço de determinado produto a quantidade demandada ou seja a quantidade m,$ima do produto que os compradores estão dispostos a adquirir aumenta. 0m relação ao mercado acontece uma situação inversa. 9uando o preço de um produto sofre uma elevação !, um aumento na quantidade ofertadaW quando o preço + reduzido a quantidade ofertada diminui. 0sta + a c!amada lei da oferta tamb+m utilizada em 0conomia. 9uando as variações de preço tendem a não ocorrer podese dizer que !, um equil-brio no mercado. 0sse equil-brio acontece para o preço do produto em que a quantidade ofertada + i"ual # quantidade demandada ou seja compradores adquirem e vendedores comercializam a quantidade desejada. %eja no quadro abai$o o preço e a quantidade di,ria de demanda e oferta de certo produto. reço
RK F355 RK F555 RK >355 RK >555
,uanti!a!e !i#ria !eman!a!a
B3 @3 U3 V3
,uanti!a!e !i#ria oferta!a
245 253 V5 @3
a7 0m relação ao quadro apresentado represente os dados "raficamente e escreva a função f que associa o preço $ # quantidade di,ria demandada pelos consumidores e a função " que associa o preço $ # quantidade di,ria ofertada pela distribuidora. b7 Jtilizando as duas funções determine o ponto de equil-brio do mercado. c7 Eensando a"ora se esses produtos fossem apartamentos que uma construtora de sua propriedade estivesse vendendo no mercado e que estivesse !avendo um e$cesso de oferta que estrat+"ias voc6 proporia para tentar uma quantidade maior de vendas d7 ;e a demanda por apartamentos estiver superior # quantidade de apartamentos colocados # venda o que isto poderia acarretar
