Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO Solicitações Normais Estados Limites Últimos

Teoria e Aplicações

PÉRICLES BRASILIENSE FUSCO Professor Adjunto da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo

CUANABARA DOIS

Direitos exclusivos para a língua portuguesa Copynght by EDITORA GUANABARA DOIS S.A. Rio de Janeiro - RJ

"

Reservados todos os direitos. É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, ou de partes do mesmo, sob quaisquer formas ou por quaisquer meios (eletrônico, mecânico, gravação, fotocópia, ou outros), sem permissão expressa da Editora. Fotocomposição da Editora Guanabara Koogan S.A.

O presente volume cuida do dimensionamento das peças de concreto armado submetidas a solicitações normais, tendo-se em vista a segurança contra os possíveis estados limites últimos. Entendem-se por solicitações normais os esforços solicitantes que produzem tensões normais no plano das seções transversais das peças da estrutura. As solicitações normais englobam, portanto, os momentos fletores e as forças normais. As peças de concreto protendido submetidas a solicitações normais serão estudadas em volume a parte. O desenvolvimento dos temas aqui considerados foi orientado pela experiência didática acumulada nas disciplinas de graduação e de pós-graduação do Departamento de Estruturas e Fundações da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, e pela experiência profissional associada a elaboração e a aplicação da NB- 1/78. O volume foi dividido em três partes. Na primeira parte é considerado o estado limite último de ruptura ou de alongamento plástico excessivo, na flexão simples ou composta, normal ou oblíqua. A experiência já acumulada neste campo mostrou que sempre devem ser empregados ábacos e tabelas organizados exclusivamente em função dos valores de cálculo, evitando-se qualquer tipo de dimensionamento feito diretamente em função dos valores característicos. A segunda parte trata do estado limite último de instabilidade naflexão composta, normal ou obl(qua. Na terceira parte é considerado o dimensionamento dos pilares, das paredes e das estruturas de contraventamento, procurando-se esclarecer e comentar as prescrições da NB-1/78 pertinentes a estes temas. Nestes comentários são feitas algumas sugestões para eventuais modificações a serem introduzidas em futuras versões da NB-I, tendo-se em vista a necessidade de calibragem do novo modelo de segurança incluído na NB-1/78. Esta calibragem é parte essencial dos trabalhos de implantação de um novo modelo de segurança. Em anexo é apresentado um conjunto de tabelas e de gráficos de dimensionamento. Tendo em vista a atual legislação metrológica brasileira, nos exemplos e tabelas foi empregado o Sistema Internacional de Unidades, tomando-se o cuidado de facilitar, em cada caso particular, a imediata transformação dos valores para unidades técnicas ainda transitoriamente em uso.

PARTE I ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RUPTURA OU DE ALONGAMENTO PLÁSTICO EXCESSIVO 1 FLEXAO SIhlPLES E FLEX.iO COMPOSTA. FUNDAMENTOS 1.1 DEFINIÇOES 1.I .1 Solicitações normais, 2 1.1.2 Estados últimos, 2 1.1.3 Estado limite último, 3 7 HIP~TESESBÁSICAS 1.2.1 Manutençáo da seçáo plana, 4 1.2.2 Solidariedade dos materiais, 5 1.2.3 Encurtamentos últimos do concreto, 5 1.2.4 Alongamentos últimos das armaduras, 5 1.2.5 Diagrama de tensões parábola-retângulo, 5 1.2.6 Diagrama retangular de tensões, 6 1.3 CASOS DE SOLICITAÇAO 1.3.1 Domínios de deformação, 6 1.3.2 Domínio 1, 7 1.3.3 Domínio 2, 8 1.3.4 Domínio 3, 9 1.3.5 Domínio 4, 10 1.3.6 Domínio 4a, 10 1.3.7 Dominio 5, 10 1.4 DIAGRAMAS DE CALCULO DOS AÇOS 1.4.1 Propriedades gerais, 10 1.4.2 Aços Classe A, 11 1.4.3 Aços Classe B, 11 1.5 VALORES DE CÁLCULO 1.5.1 Aços Classe A, 13 1.5.2 Aços Classe B, 14 1.5.3 Valores limites, 15 1.6 EXERCÍCIOS 2 SEÇÕES RETANGULARES 2.1 TRAÇAO SIMPLES E TRAÇAO COM PEQUENA EXCENTRICIDADE (DO. M ~ N I Oi) 2.1.1 Condições de equilíbrio, 17

2.1.2 Cálculo de verificação. Exemplo, 19 2.1.3 Cálculo de dimensionamento. Exemplo, 20 2.2 FLEXÃO SIMPLES. CÁLCULO PRÁTICO 2.2.1 Variáveis adimensionais. Armadura simples, 22 2.2.2 Tabelas adimensionais, 24 2.2.3 Variáveis adimensionais. Armadura dupla, 24 2.2.4 Exemplos, 26 2.2.5 Variáveis dimensionais. Tabelas tipo k, 28 2.2.6 Organização das tabelas dimensionais. Formulário, 31 2.2.7 Exemplos de dimensionamento, 36 2.2.8 Exemplos de verificação, 39 2.2.9 Seção submetida a momentos de sentidos contrários. Exemplo, 42 2.3 FLEXÃO SIMPLES E FLEXÃO COMPOSTA COM GRANDE EXCENTRICIDADE (DOMNIOS 2-3-4-4a) 2.3.1 Condições de equilíbrio, 45 2.3.2 Propriedades básicas das seções retangulares, 46 2.3.3 Equações adimensionais de equilíbrio, 49 2.3.4 Equações adimensionais de compatibilidade, 51 2.3.5 Resolução dos problemas de flexão simples e de flexão composta, 53 2.4 FLEXAO COMPOSTA COM GRANDE EXCENTRICIDADE. CÁLCULO ~ ~ Á n c o 2.4.1 Variáveis adimensionais. Emprego de tabelas universais, 55 2.4.2 Exemplos, 57 2.4.3 Variáveis dimensionais. Emprego de tabelas tipo k, 60 2.4.4 Exemplos, 62 2.4.5 Diagrama retangular de tensões, 63 2.5 FLEXO-COMPRESSAO COM PEQUENA EXCENTRICIDADE (DoM~NIO 5) 2.5.1 Condições de equilíbrio, 64 2.5.2 Condições de compatibilidade de deformações, 65 , 2.5.3 Propriedades básicas das seções retangulares, 66 2.5.4 Equações adimensionais de equilíbrio, 67 2.5.5 Resolução geral dos problemas de flexo-compressão com pequena excentricidade, 68 2.6 FLEXO-COMPRESSAO COM PEQUENA EXCENTRICIDADE. CÁLCULO ~ ~ Á n c o 2.6.1 Momento limite de separação entre os dois casos básicos, 69 2.6.2 Armadura unilateral, 70 2.6.3 Armadura unilateral. Exemplos, 72 2.6.4 Compressão uniforme, 75 2.6.5 Compressão uniforme. Exemplos, 77 2.6.6 Diagrama retangular de tensões, 79 2.7 EXERC~CIOS

3 SEÇÓES T 3.1 FLEXÃO SIMPLES E FLEXÁO COMPOSTA 3.1.1 As vigas de seção T das estnituras de concreto, 82 3.1.2 A largura da mesa de compressão de acordo com a NB-1,85 3.1.3 O processo de dimensionamento das seções T, 86 3.2 CALCULO PRÁTICO DAS SEÇÓES T 3.2.1 Variáveis adimensionais. Emprego de tabelas universais, 89 3.2.2 Exemplos, 90 3.2.3 Variáveis dimensionais. Emprego de tabelas tipo k, 95 3.2.4 Exemplos, 96 3.3 EXERCICIOS, 100

4 FLEXÁO OBLÍQUA 4.1 MÉTODOS GERAIS DE CÁLCUW 4.1.1 Cálculo exato, 101 4.1.2 Superfícies de interação e diagramas de interação, 104 4.1.3 Exemplo, 108 4.1.4 Cálculo por tentativas, 110 4.1.5 Excentricidades acidentais, 111 4.2 MÉTODOS SIMPLIFICADOSDE CÁLCULO 4.2.1 Linearização dos diagramas de interação, 112 4.2.2 Exemplo, 114 4.2.3 Um processo empirico tradicional, 116 4.3 MÉTODO DA TRANSFORMAÇAO AFIM DAS SEÇÓES 4.3.1 Transformação afim das seções retangulares, 117 4.3.2 Fundamentos do método de cálculo, 121 4.3.3 Roteiro de cálculo, 126 4.3.4 Flexão diagonal da seção quadrada. Grande excentricidade, 129 4.3.5 Exemplo, 131 4.3.6 Flexão diagonal da seção quadrada. Pequena excentricidade, 136 4.3.7 Exemplo e advertência, 140 4.3.8 Outras formas de seção transversal, 146 4.3.9 Exemplo, 146 4.4 EXERCÍCIOS, 152

PARTE 11 ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE INSTABILIDADE 5 INSTABILIDADE 5.1 FUNDAME&TOS 5.1.1 Instabilidade na compressão axial. Flambagem, 154 5.1.2 Estabilidade da configuração fletida de equilíbrio, 158 5.1.3 Flexáo c9mposta de barras esbeltas no regime elástico, 161 5.1.4 Instabilidade na flexão composta, 163 5.2 DEFORMAÇÕES NA FLEXO-COMPRESSÁO 5.2.1 Diagrama momento fletor - curvatura (M, 1/r), 167 5.2.2 Cálculo de flechas com não-linearidade física, 168 5.2.3 Diagrama momento fletor-força normal- curvatura (M, N, l/r), 170 5.2.4 Cargas de longa duração, 172 5.3 CÁLCULO DA CARGA CRÍTICA PELO &TODO GERAL 5.3.1 Fundamentos do método geral, 177 5.3.2 Processo do carregamento progressivo proporcional, 178 5.3.3 Processo das excentricidades progressivas, 179 5.3.4 Pilar padrão, 181 5.3.5 Processo do pilar padrão (com o método geral), 182 5.3.6 Exemplos, 188 5.4 CÁLCULO DA CARGA CRÍTICA PELO &TODO DO EQUILIBRIO 5.4.1 O método do equilíbrio, 189 5.4.2 Método do equilíbrio. Processo do deslocamento de referéncia, 190 5.4.3 Método do equilíbrio. Processo do pilar padrão, 192 5.4.4 Processo simplificado do equilíbrio, 195 5.4.5 Processo simplificado da NB-1, 197 5.4.6 Exemplo, 198 5.5 EXERCICIOS 6 INSTABILIDADE NA FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA 6.1 DEFORMAÇOES NA FLEXÃO COMPOSTA OBLIQUA 6.1.1 Deformações do eixo da barra, 200 6.1.2 Curvaturas, 202 6.1.3 Cálculo das curvaturas, 204

6.2 CÁLCULO DA CARGA CR~TICAPELO MÉTODO GERAL 6.2.1 Processos exatos de cálculo, 207 6.2.2 Pilar padrão, 210 6.3 CALCULO DA CARGA CR~TICAPOR PROCESSOS SIMPLIFICADOS 6.3.1 Linearização dos diagramas de interação, 215 6.3.2 Processo simplificado do equilíbrio. Diagrama linearizado, 216 6.3.3 Redução da flexão oblíqua a duas flexões normais, 218 6.4 EXERCÍCIOS PARTE n I PILARES, PAREDES E ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO 7 PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIF~cIOS 7.1 VERIFICAÇAO DA SEGURANÇA DAS PEÇAS ESTRUTURAIS 7.1.1 Condiçoes gerais, 222 7.1.2 Tração simples. Tirantes, 222 7.1.3 Flexão simples. Vigas, 223 7.1.4 Peças comprimidas, 223 7.1.5 Flexão composta, 224 7.2 COMPRESSAO SIMPLES DE PILARES 7.2.1 Pilares não-cintados, 225 7.2.2 índice de esbeltez, 228 7.2.3 Pilares cintados, 230 7.3 PILARES DE EDIF~CIOS 7.3.1 Ação do vento, 233 7.3.2 Contraventamento das estruturas, 235 7.3.3 Situações básicas de projeto, 236 7.3.4 Solicitações iniciais dos pilares intermediários, 238 7.3.5 Solicitações iniciais dos pilares de extremidade, 239 7.3.6 Solicitações iniciais dos pilares de canto, 240 7.4 PILARES CURTOS ~7.4.1Situações de projeto e situações de cálculo, 241 7.4.2 Caso particular de simplificação das situações de cálculo, 242 7.4.3 Exemplos, 244 7.4.4 Processos simplificados de cálculo de flexão composta oblíqua, 245 7.4.5 Caso particular de simplificação, 248 7.4.6 Exemplo, 250 7.5 PILARES ESBELTOS 7.5.1 Consideração dos efeitos de 2.= ordem, 251 7.5.2 Consideração da fluência, 252 7.5.3 Situações de projeto e situações de cálculo, 253 7.5.4 Superposição dos momentos fletores de I.= e de 2.a ordem, 256 7.6 PROCESSOS SIMPLIFICADOS DE CALCULO 7.6.1 Critério básico de simplificação, 258 7.6.2 Pilares curtos sob carga centrada, 259 7.6.3 Exemplos, 260 7.6.4 Pilares medianamente esbeltos sob carga centrada, 261 7.6.5 Processo aproximado de pré-dimensionamento e de dimensionamento expedito, 262 7.7 PAREDES ESTRUTURAIS 7.7.1 Conceitos básicos, 263 7.7.2 Excentricidade do carregamento, 264 7.7.3 Momentos fletores de 2.a ordem, 265 7.8 DISPOSIÇ~ESCONSTRUTIVAS 7.8.1 Resistência ao fogo, 266 7.8.2 Dimensões externas mínimas, 267 7.8.3 Cobrimentos mínimos, 268 7.8.4 Armaduras longitudinais, 268

7.8.5 Espaçamento das barras longitudinais, 269 7.8.6 Armaduras transversais, 269 7.9 EXERC~CIOS, 271 8 PILARES USUAIS DE EDIF~CIOS.EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 8.1 DADOS BÁSICOS DE PROJETO 8.1.1 Cargas de projeto, 272 8.1.2 Arranjo geral e carregamento das lajes, 273 8.1.3 Cálculo das vigas, 275 8.1.4 Carregamento dos pilares, 278 8.2 PILARES INTERNOS 8.2.1 Pilar curto, 279 8.2.2 Pilar medianamente esbelto, 281 8.2.3 Pilar esbelto sem consideração da fluência, 283 8.2.4 Pilar esbelto. Solução alternativa por meio de diagramas de interação, 286 8.2.5 Pilaresbelto. Solução alternativapor meiodediagramas(M, N, 110,288 8.2.6 Pilar esbelto. Consideração da fluência, 290 8.2.7 Pilar cintado, 292 8.3 PILARES DE EXTREMIDADE 8.3.1 Pilar curto, 297 8.3.2 Pilar medianamente esbelto. 1 . O Exemplo, 304 8.3.3 Pilar medianamente esbelto. 2." Exemplo, 311 8.3.4 O estudo dos pilares esbeltos, 313 8.4 PILARES DE CANTO 8.4.1 Pilar curto. Dimensionamento rigoroso, 313 8.4.2 Pilar curto. Dimensionamento simplificado, 319 8.4.3 Pilar medianamente esbelto, 321 8.4.4 O estudo dos pilares esbeltos, 327

9 PROBLEMAS ESPECIAiS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CRÍTICA 9.1 CARGAS DE LONGA DURAÇÃO 9.1.1 Consideração da fluência, 328 9.1.2 Carga parcialmente de longa duração, 329 9.1.3 Método de função equivalente de fluência, 330 9.1.4 Método da excentricidade equivalente, 331 9.1.5 Justificativa do método da excentricidade equivalente, 332 9.2 PILAR PADRÃO MELHORADO 9.2.1 Modos de emprego do pilar padrão. 336 9.2.2 Fundamentos do processo do pilar padrão melhorado, 338 9.2.3 Processo do pilar padrão melhorado, 339 9.2.4 Coeficientes de correção. Casos particulares, 343 9.2.5 Exemplo, 344 9.3 ESTUDO GERAL DOS PILARES ESBELTOS 9.3.1 Pilares esbeltos de seção constante, 347 9.3.2 Pilares muito esbeltos de seção constante, 348 9.3.3 Pilares com seção transversal variável ou força normal variável, 348 9.3.4 Exemplo preliminar, 349 9.3.5 A rigidez do concreto a ser considerada, 352 9.3.6 Exemplo definitivo, 353 9.4 ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO 9.4.1 A estabilidade global das estruturas, 354 9.4.2 Rigidez mínima das estruturas de contraventamento, 356 9.4.3 Exemplo. Paredes isoladas de contraventamento, 358 9.4.4 Solicitaçóes devidas ao efeito de contraventamento, 360

9.4.5 Paredes e pilares de contraventamento. Cálculo rigoroso, 362 9.4.6 Paredes e pilares de contraventamento. Cálculo simplificado, 363 9.4.7 Exemplo. Parede isolada de contraventamento, 364 9.5 ESTRUTURAS ESBELTAS NAO-CONTRAVENTADAS 9.5.1 A esbeltez das estruturas deslocáveis, 365 9.5.2 Exemplo. Esbeltez de um pórtico deslocável, 367 9.5.3 Pórticos hiperestáticos. Cálculo rigoroso, 369 9.5.4 Pórticos hiperestáticos. Cálculo simplificado, 371 9.5.5 Influência da deformabilidade da fundação, 372 9.5.6 Exemplo. Parede isolada de contraventamento, 374 Apêndice 1 Tabelas e diagramas de dimensionamento, 377 Apêndice 2 Diagramas, 417 Referências bibliográficas, 462 índice alfabético, 463

PARTE i

ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE R U P T U R A OU DE ALONGAMENTO PLÁSTICO EXCESSIVO

Flexão Simples e Flexão Composta. Fundamentos

1.1.1 SOLICITAÇOES Designam-se por solicitaçóes normais os esforços solicitantes que produzem NORMAIS tensões normais nas seções transversais das peças estmturais. As solicitaçóes no mais englobam o momento fletor e a força normal. De acordo com os princípios da Resistência dos Materiais, os esforços solicita tes são entes mecânicos referidos ao centro de gravidade da seção transversal. Nas peças de concreto estrutural, armado ou protendido, os esforços solicitantes atuantes são calculados tomando-se, como pólo de redução dos esforços, o centro de gravidade da seçiío geométrica da peça, sem consideração da armadura.' 1.1.2 ESTADOS ÚLTIMOS

De modo tradicional, a ruptura das peças de concreto estmtural é caracterizada pela ruptura do concreto, quer tenha havido ou não o escoamento prévio de suas armaduras. Com a ruptura do concreto, atinge-se um estado último de ruptura. Até alguns anos atrás, no cálculo das seções transversais em regime de ruptura, tomava-se a defiiiição de ruptura acima indicada, não se cogitando de qualquer limitação do alongamento das armaduras. Isso era feito, por exemplo, pela NB-1/60 para o cálculo no estádio III.% Constatou-se posteriormente que havia a necessidade de limitação do alongamento da armadura tracionada das peças submetidas a solicitações normais. O alongamento excessivo da armadura tracionada acarreta uma fissuração exagerada, atingindo-se um estado último, sem que necessariamente tenha ocorrido a mpturado concreto do banzo comprimido da peça. Por essa razão, presentemente, a verificação da segurança é feita admitindo-se que o esgotamento da capacidade resistente tanto possa ocorrer pela ruptura do concreto comprimido, quanto pela deformação excessiva da armadura tracionada. Consideram-se, portanto, estados últimos de ruptura do concreto do banzo cornprimido ou de alongamento plástico excessivo da armadura tracionada das peças submetidas a solicitações normais. No entanto, como o início do fenômeno físico de ruptura do concreto é de difícil identificação experimental, convencionou-se aceitar que o concreto atinge a mptura quando o seu encurtamento alcança determinados valores experimentalmente justificados. Deste modo, os estados últimos de mpturado concreto passam a ser substituídos por estados de encurtamento último do concreto.

FLEXÃO SIMPLES E FLEXAO COMPOSTA. FUNDAMENTOS

3

Tendo em vista as dificuldades de caracterização do esgotamento da capacidade 1.1.3 ESTADO LIMITE resistente das peças submetidas a solicitações normais, considera-se um estado limite ÚLTIMO último convencional, designado por estado limite último de ruptura ou de deformação plástica excessiva.

Este estado limite último é alcançado 'quando na fibra mais comprimida de concreto o encurtamento é igual a um valor último convencional E ~ ~ . , O quando U na armadura tracionada a barra de aço mais deformada tem o alongamento igual ao valor último convencional E. = ]O%,,. Observe-se que para ser alcançado o estado limite último, necessariamente deverá estar satisfeita pelo menos uma das duas condições últimas

E.,

-

m o s . - Esu =

10%'

Deste modo, todos os diagramas de deformação das Figs. 1.1.3-1 a 1.1.3-3 correspondem ao estado limite último considerado. Observe-se que nesses diagramas já está incluída a hipótese de manutenção da forma plana da seção transversal até o estado limite último. Na Fig. 1.1.3-1, a ruína ocorre por ruptura do concreto comprimido. Este caso corresponde a existência na peça de um banzo tracionado e outro comprirnido, ocorrendo a ruptura convencional do concreto com uma deformação última consL

= c..

=

VARIAVEI

Fig. 1.1.3-2 Ruptura do concreta. Fig. 1.1.3-1 Ruptura d o concreto

L E, = E',

I

loO/,

Fig. 1.1.3-3 Alongamento excessivo da armadura.

Fig. 1.1.3-4 Náo há ruina

tante e igual a 3,5%0,qualquer que seja o alongamento E, da armadura, admitindo-se E,, , ,,,s E, = 1Wo. Na Fig. 1.1.3-2, a mína também ocorre por mptura do concreto comprimido. Entretanto, neste outro caso, em que se admite a peça totalmente comprimida, o encurtamento convencional último do concreto é variável. Admite-se que seja

estando agora a situação últimacaracterizada pela passagem do diagrama de deformações pelo ponto C, de abscissa 2%, e ordenada 3 h/7, Fig. 1.1.3-2. O caso de mina caracterizada pelo alongamento plástico excessivo da armadura está indicado na Fig. 1.1.3-3. Qualquer que seja a deformação da fibra extrema da borda comprimida da seção transversal, mesmo que seja E,,, , ,, S E,,, = 3,5%0,o estado limite último é caracterizado pela ocorrência de deformaçáo E , = 10%0. O valor E, = I a o foi arbitrado com a consideração de que, desprezando-se o alongamento do concreto tracionado, essa deformaçáo corresponde a uma fissuração de 10%0,ou seja, corresponde a uma físsura de 1 mm de abertura para cada 10 cm de comprimento da peça. Com essa fissuração, é dada por esgotada a capacidade resistente da peça. Conforme está mostrado na Fig. 1.1.3-4. não ocorrerá a mína, ou seja, não será atingido o estado limite último de ruptura ou de alongamento plástico excessivo quando forem simultaneamente E , < E,, e E , , , ,, < E., Deste modo, para que um diagrama de deformações corresponda a uma situação última, ele deverá necessariamentepassarporumdostrêspontos,A,B ouC,indicadosnas Figs. 1.1.3-1 a 1.1.3-3. Com isso, as possíveis configurações últimas do diagrama de deformações especificas ao longo da seção transversal da peçadefinem os seisdomínios apresentados na Fig. 1.1.3-5. Os domínios 1 e 2 são fixados pelo ponto A , os domínios 3 , 4 e 4a pelo ponto B e o domínio 5 pelo ponto C. Os diagramas de deformaçóes referentes aos diferentes domínios variam desde a reta a , correspondente a tração uniforme, até a reta 6 , correspondente a compressão uniforme.

Fig. 1.1.3-5 Domínios de deformação.

1.2 HIPÓTESES No estado limite último, o estudo da capacidade resistente das peças submetidas BÁSICAS a solicitaçóes normais é feito com as seguintes hipóteses básicas: 1.2.1 MANUTENÇÃO DA SEÇÃO PLANA

Nas peças de concreto estrutural submetidas a solicitações normais, é admitida a validade da hipótese de manutenção da forma plana da seção transversal até o estado

FLEXAO SIMPLES E FLEXÃO COMPOSTA. FUNDAMENTOS

limite último, desde que se tenha uma relação

sendo toa distância entre as seções de momento fletor nulo, e d a altura útil da seção transversal. Com esta hipótese, as deformações normais específicas são, em cada ponto, proporcionais a sua distância a linha neutra da seção, inclusive quando a peça alcança o estado limite último. 1.2.2 SOLIDARIEDADE DOS MATERIAIS

Admite-se a solidariedade perfeita entre as barras da armadura e o concreto que as envolve. Com esta hipótese, a deformação específica de uma barra da armadura é igual a deformação específica do concreto que lhe é adjacente.

1.2.3 ENCURTAMENTOS Qualquer que seja a sua resistência, no estado limite último o encurtamento ÚLTIMOS DO CONCRETO específico de ruptura do concreto vale: 3,5 x 10-3 na flexão pura 2,O x 10-3 na compressão axial variando na compressão excêntrica conforme indicado na Fig. 1.1.3-2 1.2.4 ALONGAMENTOS ÚLTIMOS DAS ARMADURAS

Nas peças de concreto armado, o alongamento específico último da armadura tracionada é tomado com o valor convencional de 10%0. Nas peças de concreto protendido, o alongamento específico máximo é limitado ao valor de Imo, contados a partir do estado d e neutralização da seção transversal. O estado de neutralização é obtido anulando-se, em todaa seção transversal, as tensões no concreto decorrentes da aplicação isolada dos esforços de protensão.

1.2.5 DIAGRAMA DE Admite-se que, no estado limite último, as tensões de compressão na seção TENSOES transversal das peças submetidas a solicitações normais tenham uma distribuição de PARÁBOLA-RETÂNGULO acordo com o diagrama parábola-retângulo indicado na figura seguinte:

' GRAU

Fig. 1.2.5-1 Diagrama parábola-reténgulo.

O diagrama parábola-retângulo é composto por uma parábola do 2." grau, com vértice na fibra correspondente a deformação de compressão de 2%0,prolongada por um segmento reto limitado na fibra correspondente a deformação de compressão de

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS

3,5%0.A ordenada máxima do diagrama corresponde a uma tensão igual a

1.2.6 DIAGRAMA De modo geral é possível admitir-se para as tensões de compressão a distribuição RETANGULAR DE retangular simplificada indicada na Fig. 1.2.6-1. É importante saber-se que os resuitaT E N S ~ E S dos obtidos com este diagrama simplificado são praticamente iguais aos resultados obtidos com o diagrama parábola-retãngulo, As possíveis divergências de resultados ocorrem apenas no domínio 5.

DEFORMA ÓES

I

1 O U CRESCENTE PARA A BORDA COMPRIMIDA

L A R G U R A DECRESCENTE PARA A BORDA CDMPRIMIDA

Fig. 1.2.6-1 Diagrama retangular.

No trecho de altura 0,2x, a partir da linha neutra, são desprezadas as tensões de compressão. No trecho restante de altura 0 . 8 ~ admite-se . distribuição uniforme de tensões. Nas zonas comprimidas de largura constante, ou crescente no sentido das fibras mais comprimidas, admite-se uma tensão constante e igual a 0,85 f,,. Nas zonas comprimidas de largura decrescente no sentido das fibras mais comprimidas, admite-se uma tensão constante igual a 0.80 f,,. Este caso ocorre, por exemplo, nas.seções circulares, nas seções triangulares ou trapezoidais com vértice do lado mais comprimido e nas seçóes retangulares submetidas a flexão oblíqua.

1.3 CASOS DE SOLICITAÇÃO 1.3.1 D O M ~ N I O S O estado limite último de ruptura ou deformação plástica excessiva é caracteriDE DEFORMAÇAO zado convencionalmente na situação de cálculo pelas deformações específicas de cálculo e E ~ , ,respectivamente, do concreto e da armadura tracionada. Para a determinação da resistência de cálculo de uma dada seção transversal, é necessário considerar em qual dos domínios definidos pela Fig. I. 1.3-5 está situado o diagrama de deformações específicas de cálculo da seção analisada. Na Fig. 1.3.1-1 estão novamente representados os domínios de deformação, explicitando-se aposição da linha neutra paracada um dos domínios considerados. A posição da linha neutra é definida pela sua distância x a fibra extrema mais comprimida. A posição da linha neutra também pode ser fixada, de forma adimensional, pelo coeficiente

Na Fig. 1.3.1-2 estão mostrados os casos de solicitação possíveis para cada um dos domínios de deformação. variando-se a posição da linha neutra de -ma +m, ou

FLEXAO SIMPLES E FLEXAO COMPOSTA. FUNDAMENTOS

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seja, variando-se as solicitações desde a tração uniforme até a compressão uniforme. A análise das Figs. 1.3.1-1 e 1.3.1-2 permite as seguintes observações: 1.3.2 D O M ~ N I O1

O estado limite último é caracterizado pela deformação E,,

=

10%0.A linha neutra

é externa a seção transversal, a qual está inteiramente tracionada.

Neste domínio estão incluídos os casos de traçãoaxial e de tração excêntricacom pequena excentricidade. A seção resistente é composta pelas duas armaduras de aço, não havendo participação resistente do concreto, o qual é admitido como inteiramente fissurado.


1

=-"

Fig. 1.3.1-2 Casos de solicitação - Domínios de deformação. Diagramas de deformacão correspondentes aos extremos dos domínios.

1.3.3 D O M ~ N I O2

O estado limite último é caracterizadopeladeformaçáoe,, = IO%o. A linha neutra corta a seção transversal, havendo na peça um banzo tracionado e um banzo comprimido. Neste domínio estão incluídos os casos de tração excêntrica com grande excen-

FLEXAO SIMPLES E FLEXÃO COMPOSTA. FUNDAMENTOS

9

tricidade, de flexão pura e de compressão excêntrica com grande excentricidade. Na peça existe um banzo tracionado. mas o concreto da zona comprimida não atinge a ruptura, pois esta somente poderá ocorrer na posição limite do fim do domínio 2, quando então E ~ , , = 3,5%0. Observe-se que da Fig. 1.3.1-1 resulta a relação 3,5%0 X,, iim

1Wo d

- X2, iim

ou seja

donde

Na Fig. 1.3.1-1, o domínio 2 está subdividido em dois outros, indicados, respectivamente, por 2a e por 2b. A separação entre estes dois subdominios é dada pela condição E,,, = 2%0,à qual corresponde a condição

obtendo-se para a posição limite da linha neutra o valor

A subdivisão do domínio 2 é aqui considerada tão-somente com afinalidade de ser determinado um valor limite da profundidade da linha neutra, a partir da qual as armaduras de compressáo podem ser realmente eficientes. Deste modo, somente no subdomínio 2b deverão ser levadas em conta as eventuais armaduras de compressão. No subdominio 2a, tais armaduras, mesmo quando existentes, deverão ser ignoradas, pois a deformação última das mesmas é muito pequena e incerta. 1.3.4 DOMINIO 3

O estado limite último é caracterizado pela deformação E,,, = 3,5%0.A linha neutra corta a seção transversal, havendo um banzo comprimido e outro tracionado. Na situação última, a deformação da armadura tracionada é pelo menos igual a deformação de inicio de escoamento. Assim, a ruptura do concreto ocorre simultaneamente com o escoamento da armadura. Esta é a situação desejável para projeto, pois os dois materiais são aproveitados inteiramente e, além disso, não há risco de ruínanão-avisada. As peças quechegamaoestado último nodomínio 3 sãoditas peças srtbarmadas (na verdade deveriam ser chamadas de peças normalmente armadas). Neste domínio também estão incluídos os casos de tração excêntncacom grande excentricidade, de flexão pura e de compressão excêntrica com grande excentncidade. O domínio 3 é limitado pela condição

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

resultando na posição limite da linha neutra

que é variável com o tipo de aço empregado 1.3.5 DOMÍNIO 4

O estado limite último é caracterizado pela deformação E,,, = 3,5%0. A linha neutra corta a seção transversal, havendo um banzo comprimido e outro tracionado. No estado último, adeformação da armadura é inferior a deformação de início de escoamento. A ruptura da peça ocorre, portanto, de formafrágil, não-avisada, pois o concreto se rompe sem que a armadura tracionada possa provocar umafissuração que sirva de advertência. As peças que chegam ao estado último no domínio 4 são ditas superarmadas, devendo ser evitadas tanto quanto possível. No domínio 4 estão incluídos apenas os casos de compressão excêntrica com grande excentricidade. Existe predominância do efeito de compressão, embora a excentricidade não possa ser chamada de pequena, pois a peça ainda apresenta um banzo tracionado. O domínio 4 é limitado pela condição

sendo nula a deformação da chamada armadurade tração, a qual na situação limite não é solicitada. 1.3.6 DOMíNIO 4a

O estado limite último é caracterizado pela deformação E,,, = 3,5%0. A linha neutra ainda corta a seçáo transversal, mas na região de cobrimento da armadura menos comprimida. No domínio 4a, ambas as armaduras estão comprimidas, embora sejam usualmente desprezíveis as tensões na armadura menos comprimida. O domínio 4.2 é um simples domínio de transição conceitual, estando limitado por uma posiçáo da linha neutra tangente a fibra extrema da seção, sendo'pois

1.3.7 D O M ~ N I O 5

No domínio 5 estão incluídos os casos deflexo-compressão com pequena excentricidade e o caso limite da compressão centrada. A linha neutra não corta a seção transversal, a qual está inteiramente comprimida. Admite-se que neste domínio seja variável a deformação última do concreto, sendo igual a 2%0na compressão uniforme e 3,5%0na flexo-compressão com a linha neutra tangente à seção. Os diagramas de deformação dos dois casos limites citados cruzam-se no ponto C, afastado de 3 h/7 da borda mais comprimida da seção, como decorrência da hipótese de que o estado limite último seja caracterizado peladeformação ced= 2%0na fibra que passa ppr esse ponto C , estando E,, compreendido entre os limites de 2%0 e 3,5%0.

1.4 DIAGRAMAS DE CÁLCULO DOS AÇOS 1.4.1 PROPRIEDADES

O diagrama tensáo-deformação de cálculo dos aços é obtido do diagrama caracteGERAIS rístico, dividindo-se por y, as ordenadas oblíquas, paralelas a reta de Hooke. Para os aços das armaduras passivas, tanto da ClasseA quanto da Classe E , a NB-1 adota o modulo de deformação

i

FLEXÁO SIMPLES E FLEXAO COMPOSTA. FUNDAMENTOS

E,

=

210 000 MPa

(1 MPa

=

11

10 kgf/cmz)

Para esses aços, mesmo para os da ClasseB, nos quais o efeito Bauschinger pode não ser desprezível, admite-se um comportamento na compressão simétrico ao cornportamento na traçáo. Além disso, em virtude de o concreto solidário as armaduras sofrer ruptura com encurtamentos não superiores a3,5%a, do lado das tensóes de compressão o diagrama tensão-deformaçáo dos aços já é truncado em função desse encurtamento de ruptura do concreto. Para estes mesmos aços, o CEB3 adota o valor E, = 200 GPa. 1.4.2 AÇOS CLASSE A

Para os aços da Classe A , caracterizados pelalinearidade do diagrama até o limite de escoamento e pela presença do patamar de escoamento, adota-se o diagrama indicado na Fig. 1.4.2-1.

Fig. f.4.2-1 A ~ o sclasse A . Diagrama tensão-deformafio.

1.4.3 AÇOS CLASSE B

Para os aços Classe B , obtidos por encruamento a frio, adota-se o diagrama apresentado na Fig. 1.4.3-1 quando se dispõe de dados experimentais que permitam o traçado do diagrama característico tensão-deformação. Quando não existe informação experimental suficiente, permite a NB-1 a adoção do diagrama simplificado apresentado na Fig. 1.4.3-2.

I N =0,1kgf IkN =lWkgf=O.ltf I kN.m = IW k8f.m = 0.1 I f m I k N c m = !W kgf.cm = 0.1 tf.cm

I MPa

=

I 1 I I

MPa = I MN/m' = I0 kgflcm' kNlm = I W kgflrn = O,I tflm kNim* = 1W kgflmz = 0.1 f i m 2 k N l m a = 100 kgflm3 = 0.1 fim3

0.1 kNicm' = 100 N/crn2


Fig. 1.4.3-1 Aços classe B. Diagrama tensáo-defomaçáo

(

'0-, o,7 )2 ycd

Fig. 1.4.3-2 Aços classe B. Diagrama simplificado tensão-deformação.

Na figura da Tabela 10 estão desenhados em escala os trechos curvos dos diagramas correspondentes aos aços CA-40B, CA-SOB e CA-6OB. É oportuno salientar que o trecho curvo do diagrama simplificado adotado pela NB-I é uma parábola do 2.O grau, enquanto que, para essa simplificaçáo, o CEB admite uma parábola do 5.O grau. Na Fig. 1.4.3-3 estão apresentados resultados experimentais obtidos com aços produzidos pela indústna brasileira.* 'Resultados obtidos em diversos laboratonos

~

,

FLEXAO SIMPLES E FLEXAO COMPOSTA. FUNDAMEhTOS

,

.:.. . <:. .. .. .... ..... . .. , . , . . . . ..

, ,

'

.. .. . . . . .. . o .I

. .:

-

' :

0002

0.001

Fig. 1.4.3-3 Aços classe B - Resultados experinicntais.

0003

€obs-

5bs Es

Note-se que a parábola do 5 . O grau adotada pelo CEB adapta-se com maior segurança aos resultados da fase de encruamento que aos valores anteriores ao escoamento. A parábola adotada pela NB-I, além de ser numericamente mais simples, pode garantir com maior segurança a região anterior ao escoamento, pois a NB-1 não considera a fase de encruamento.

1.5 VALORES DE CÁLCULO 1.5.1 AÇOS CLASSE A

(y, = 1,15, E, = 210.000 MPa)

f"* =

k Ys

I N =O,Ikgf IkN =IWkgf=O,ltf 1 kN.m = 100 kgf.m = 0.1 t t m 1 k N . c m = 100 kgi.cm = 0.1 t f c m

I MPa = I kN/m = I kN/m2= I kN/mS=

I M N / m 2 = IOkgflcm' 100 kgflm = 0.1 tflm 100kgilmz=O,I rf/m' IWkgf/rna =O,I tf/m3

I MPa = 0.1 kN/cmz = 1 W Nlcm'

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS

Fig. 1.5.1-1 Diagrama de cálculo.

1.5.2 AÇOS CLASSE B

fud =

3% Y.

cyd

=

+

2%0 Azyd

Ng. 1.5.2-1 Diagrama de cálculo

CA-40B CA-SOB CA-60B

600

I N -0,lkgf IkN =IWkgf=0,ld I kN.m = 100 k g f m s 0.1 tf.m I kN.cm = 1W kgf.cm = 0.1 tf.cm

I MPa = I kN/m = 1 kNim2= I kN/mg=

I MPa

=

400

348 435 522

500

I MN/m2 = I0 kgf/cmZ 100 kgflm = 0,I tflm 1W kgfim2 s 0.1 tfIm2 103 kgflm" 0.1 U/m'

0.1 kN/cm2 = IW Nlcm2

1,66 287 2.48

3,66 4.07 4,48

FLEXAO SIMPLES E FLEXAO COMPOSTA. FUNDAMENTOS

1.5.3 VALORES LIMITES

Para os aços C l a s s e B c a b e a i n d a considerar o limite d e proporcionalidade fad e a c o r r e s p o n d e n t e d e f o r m a ç ã o específica E,,, d a d o s por fod = 0,7 f,d

CA-40B C A-SOB CA-6OB

400 500 600

348 435 522

243 304 365

1,16 1,45 1,74

Como é fisicamente definido o esgotamento d a capacidade resistente das seções de concreto armado submetidas a solicitaçóes normais? Quais os estados últimos correspondentes? Como é definido o estado limite último d a ruptura ou de deformação plástica excessiva? O que significa a circunstância desse estado ser considerado como um estado limite? Qual a diferençaentre o estado limite último d e ruptura ou deformação plásticaexcessiva e o conceito d e estádio III? Por que o estado limite de ruptura é caracterizado por um encurtamento último do concreto? Quanto vale esse encurtamento? doconcreto éinferiorao valor Último, pode aindaassim ter S e o encurlamentomáximo~~, sido atingido o estado limite último? Que interpretação física deve ser dada a o limite adotado para a deformação última da armadura? Quais as hipóteses básicas da teoria d e flexão no estado limite último? Como são definidos os diagramas parábola-retângulo e retangular d e tensões de compressão nas seçóes transversais? Desenhar os diagramas de deformações da seção transversal no estado limite último de ruptura ou deformação plástica excessiva d e peças submetidas à flexo-tração. à flexão

IN = 0.1 kgf I kN = IW kgf = 0.1 tf I k N . m = 1W kgf.rn = 0.1 1f.m I kN.crn = 100 kgf.cm = 0.1 r f c m

I MPa = I MNlm' = 10 k$/crnz I k N i m = IW k d i m = 0.1 t f i m I kNlm' = I W kgf!m2 = 0.1 tfirn' I kNim,; = I W kgfim3 = 0.1 tfirn"

I MPa = 0.1 kNicrn2 = 100 N/crn2

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITACÓES NORMAIS

simples e à flexo-compressão com pequena excentricidade. Justificar. Nas mesmas três situaçóes da questão anterior, desenhar diagramas de deformações correspondentes a estados que ainda não sejam estados últimos. Justificar. Que estado Último caracteriza os domínios 1 e 2 de deformaçóes? Que estado último caracteriza os demais domínios de defonnaçóes? Na determinação da ruptura do concreto, que diferenças existem entre os domínios 3.4, 4a e S? Que relaçóes obrigatórias existem entre a posição da linha neutra e o tipo de solicitação normal que age na seção considerada? Em que domínios de deformação podem estar situados os casos de flexão simples? O que se entende por peças subarmadas e por peças superarmadas? Em que domínios elas ocorrem? Calcular a posição relativa da linha neutra no fim dos domínios 2 e 3 . Por que um destes valores é constante e o outro variável? Em que parte do domínio 2 não se pode usar armadura de compressão? Justificar. Por que no domínio 5 o ponto fixo dos diagramas de deformação está a distância de 3 h17 da borda mais comprimida? Caracterizar os diagramas tensão-deformação dos aços ClasseA e dos aços ClasseB. Definir o limite de escoamento para ambas as classes de aço. Como se determina o diagrama de cálculo tensãodeformação, a partir do diagrama característico dos aços? Que forma simplificada do diagrama tensão-deformação dos aços Classe B é permitida pela NB-I? Quanto vale o módulo de deformação E, dos aços Classe A e dos aços Classe B? Calcular a deformação de início de escoamento dos aços CA-SOA e CA-SOB.

2

Seções Retangulares

2.1 TRAÇÁO SIMPLES E TRAÇAO COM PEQUENA EXCENTRICIDADE. 2.1.1 CONDICOES DE As peças de concreto armado submetidas à tração simples ou à tração com pequena EQUILÍBRIO excentricidade devem ser admitidas com suas seções transversais inteiramente fissuradas. No domínio 1, a seção resistente é formada apenas pelas duas seções metálicas A , e k s , Fig.2.1.1-1. Neste caso, o estado limite último é caracterizado pelo fato de a deformação específica da armadura mais tracionada, de área A,, ter atingido o valor E* = 10%0. Embora se saiba que a outra armadura, de área A',, também está tracionada, não

w Kg. 2.1.1-1 Flexo-tração no domínio I


se conhece a priori a tensão ridque age na mesma, pois não se conhece a posição da linha neutra, podendo ser E,, < E;,. Em princípio, as forças R: e R, que agem nas armaduras podem ser estudadas em função da ação última F, e da geometria do sistema, impondo-se as condições de equilíbrio de esforços e de compatibilidade de deformações. No entanto, torna-se mais simples proceder a uma duplaverificação, como é feito a seguir, Fig. 2.1.1-2.

Fig. 2.l.l-2 tquilibi-io de forças.

a. Condições de equilíbrio Das condições de equilíbrio, têm-se:

sendo

RSd = A:

b. Cálculo de verificaçáo (incógnita: F,) O valor de cálculo Fd da ação é dado pelo menor dos dois valores

F,,

com

=SA',

d - d' -fvd e,

(2.1.1-5)

SEÇÕES RETANGULARES

19

Observe-se que será F,, = F., quando a distância 1 x 1 da linha neutra for suficientemente grande paraque E; 2 eyd, logo quando aLd= fUd. c. Cálculo de dimensionamento (incógnitas: A,, A;) Impõe-se nas equações (2.1.1-1) a (2.1.1-4) a condição

obtendo-se então as áreas A, e A; 2.1.2 CÁLCULO DE VERIFICAÇAO. EXEMPLO*

Fig. 2.1.21 Exemplo

Para a seção da Fig. 2.1.2-1, determinar o valor de serviço da força de tração que pode ser aplicada com uma excentricidade e = 10 cm. São dados: h

=

50 cm

d'

=

Aço CA-SOA (f,, Admitindo

4 cm

=

A,

=

4 4 25 (20 cm2)

435 MPa)

Md M* = e = 10 Cm =

Nd

Nk

têm-se

Das condições de equilíbrio, resultam

e = MIN

A: =

=

2 4 25 (10 cm2)

10 cm


ou seja

F.

=

3,82 Ri,

F.

=

1,35 R,,

Considerando a condição limite o;,= uad= fvd, para a qual

sendo

Rid 5 Riu e R,, s R,, obtêm-se

resultando finalmente

Fd = 1 175 kN Em condições de serviço, adotando y,

=

1,4, tem-se

2.1.3 CÁLCULO DE DIMENSIONAMENTO. EXEMPLO

Fig. 2.1.3-1 Condições de serviço.

Determinar as áreas A, e A8 das seções das armaduras do tirante indicado na Fig. 2.1.3-1. Sendo dados M, e N,, a peça pode ser tratada como se estivesse submetida a uma -

-

IN =0,1w IkN =IWkgf=O,Ití I kN.m = IWkgfm = O,] t t m 1 kN.cm = 1W kgfcm = 0.1 tf.cm

I MPa = I MNlmS= IOkgíIcm' 1 kNlm = IW kd/m = 0.1 tflm I kNlmZ= I W k g í l m ~ = O , ld/mS I kNlm" lCü kgflm' = 0.1 tílm"

1 MPa = 0.1 kNIcm'

=

ICü N/cm'

SEÇOES RETANGULARES

força de tração excêntrica

F k = N,,com excentricidade

Para o dimensionamento das armaduras será considerada então, Fig. 2.1.3-2, a solicitação dada por

Fig. 2.1.3-2 Condi~óesde $álculo.

Da geometria do sistema, têm-se

e das condições de equilíbrio, obtêm-se

Admitindo-se o emprego de Aço CA-50A, com f,, armaduras os valores:

I N =O,lkgf I kN = 103 kgf = 0,1 tf I k N m = IW W . m = 0.1 1f.m 1 kN.cm = IW kgf.crn = 0.1 tf.crn

I I I I

MPa = I MNlrn2 = IOkgitcrn* kN/m = 103 kgflm = 0.1 tflm k N / m L lWkgflrna = 0,l tfirn* kNlms = 1W kgflrn' = 0,I tfirn'

= 435

MPa, resultam para as

2.2 FLEXAO SIMPLES. As expressões aqui deduzidas têm por finalidade apresentar o estudo do caso básico CÁLCULO PRÁTICO que permite as primeiras aplicações da teoria de flexão. No estudo com variáveis adimensionais é empregado o diagrama parábolaretângulo, enquanto que, no estudo com variáveis dimensionais, é usado o diagrama retangular de tensóes. 2.2.1 VARIÁVEIS ADIMENSIONAIS. ARMADURA SIMPLES

&

b

A

Fig. 2.2.1-1 Caso básico - FlexXo simples - Armadura simples.

Considerando-se o caso básico da flexão simples de seções retangulares com armadura simples, as equaçóes de equilíbrio podem ser deduzidas diretamente a partir da Fig. (2.2.1-1). De fato, sendo

,.\

R,

=a

R,

=

bx.0,85 fcd

e A, c,

definindo-se os valores (taxa mecânica de armadura)

(momento fletor reduzido)

as equações de equilíbrio

R,

=

R, z

R, =

M,

podem ser escritas

donde

Nestas expressões, o coeficiente a mede a relação entre a tensão média de compressão e o valor extremo 0,85 f,,; o coeficiente 5' fixa a posição da resultante das tensões de compressão no concreto e, portanto, define o braço de alavanca dos esforços internos. Conforme será visto em 5 2.3.4, as condiçóes de compatibilidade de deformações fornecem as seguintes funções da variável f : a = a(f) (permite a determinação da tensão média de compressão em função da

posição da linha neutra)

f' = C(5) (permite a determinação do braço de alavancados esforços internos em função da posição da linha neutra) uSd= usd(f) (tensão na armadura de tração em função da posição da linha neutra) Desse modo, a expressão (2.2.1-2) pode ser posta sob a forma de uma equação a uma incógnita:

I p, = função ( 0 1 a qual, uma vez resolvida, fornece a função inversa

Uma vez conhecida a posição da linha neutra em função do momento fletor, a equação (2.2.1-1) permite a determinação da taxa mecânica da armadura de tração, obtendo-se w

=

035 a

-

Nos casos de dimensionamento, usualmente faz-se o.,

(2.2.14) =

fy,, resultando então

Em lugar da expressão anterior, a armadura também pode ser determinada pela expressão

onde z=d-5'x=d(l-5>6)


Nos casos usuais de dimensionamento, adora-se uSd = f,,, resultando

2.2.2 TABELAS ADIMENSIONAIS

Tendo em vista as aplicações práticas, foram tabelados os valores das variáveis que intervêm no estudo das seções retangulares, estando os resultados apresentados na Tabela 1 do Anexo desta publicação. Observe-se que as tabelas são apresentadas sempre em função dos valores de cálculo. Desse modo, para o seu emprego deverá sempre ser utilizado o valor do momento fletor majorado

Como será visto posteriormente, a tabela correspondente ao caso básico de flexão simples de seções com armadura unilateral poderá ser empregada para todos os casos de flexão, simples ou composta, de seçóes com armadura simples ou armadura dupla. Como essas tabelas são válidas para qualquer tipo de aço e para qualquer resistência do concreto, elas são chamadas de tabelas universais. 2.2.3 VARIÁVEIS ADIMENSIONAIS. A R M A D U R A DUPLA'

1-

)Md

As

.

=

v,+

I--

(d-d')

As

I

L----

As2

, I

1

Fig. 2.2.51 Redugão ao caso básico

A armadura de compressão será usada quando a armadura simples conduzir a

5 > f n m , isto é, quando a armadura unilateral corresponder ao domínio 4. Com esta precaução são evitadas as peças frágeis. Todavia, com os aços ClasseB, para os quais a deformação E,, é convencional, admite-se que hajaumazona utilizável do domínio4, co&espondente a deformações E,, maiores do que a deformação de início de escoa-


25

mento do aço da mesma categoria, mas da Classe A . Para a consideração da armadura dupla, o momento fletor é decomposto em duas partes

.

das quais M,, é a parcela resistida pela seção com armadura simples e AM, é a parcela resistida por uma seção metálica. Dessa maneira, conforme é ilustrado pela Fig. 2.2.3-1, têm-se: armadura de tração

armadura de compressão /;7

De modo geral, faz-se

correspondente a

8

=

[li,.

Nesse caso, obtêm-se

armadura de tração

A,

=. 1 ( M, Ud Z

,I7"+=)

d-d'

armadura de compressão

\

É importante salientar-se que a decomposição considerada é válida porque foi admitido o mesmo diagrama de deformações tanto para a seção simplesmente armada, com armadura de área A,,, quanto para a seção metálica formada pelas armaduras de áreas A: e A,, Fig. 2.2.3-1. Note-se que os valores correspondem a 5 = 5irrnEm também com os aços Classe B adotado pela NB-I. os valores

vezes é tolerada a solução com armadura simples paravalores def algo maiores do que 511rn, desde que não se chegue a peças de ruptura francamente frágil. Admite-se, em geral, como ainda utilizável a parte do domínio 4 onde

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇ~ESNORMAIS

2.2.4 EXEMPLOS

a. Armadura simples

Fig. 2.2.41 Exemplo.

Calcular a armadura da viga indicada na Fig. 2.3.4-1. Solicitação: q,

=

20 kN/m

Me = Yr Mx, mus. = 1,4 X 90 f,,

h d'

=

= =

18 MPa

=

=

126 kN.m

12 600 kN.cm

=

1,X kN,!cm2

50 cm

b

=

25 cm

4 cm (valor estimado)

d=h-d'=50-4=46cm

Pela Tabela 1 (para @, = pgd= 0,186)

5 = 0,31 < c,im

5 = 0,867 = 7,49%0

E,

(domínio 3, pode ser usada armadura simples)

logo z = (a,d

=

b

=

0,867 x 46

=

39,9 cm

f,,)

Sendo Aço CA-SOA, têm-se f,,

=

500 MPa

1 N

= 0.1 kgf

I kN

=

=

50 kN/cmZ

100 kgf = 0.1 tf I kN.m = 1W M m = 0.1 t f m I kN.crn = 1M kgi.cm = 0.1 1f.m

I MPa = I M N / m 2= 10kgf/cmS I kNIm = 1W kgflm = 0.1 dlm I kNlm2= 1M kgflrn2= 0.1 dlmz I k N l m L 100kgf/ma= 0.1 tf/d


logo

-

ou seja

A, = 7,26 cmZ

4 6 16

.

sendo A, > A,, ,i, pois para o Aço CA-50 p,,,,

=

A , .,

A,, ,,,/bd =

0,15%, logo

3

0,15 x 25 x 461100

=

1,73 cm2

b. Armadura dupla Determinar a armadura da viga do caso anterior, reduzindo-se a largura para 12 cm. Neste caso, obtém-se

Adotando pd = p d , lim

5

=

(rim

5

=

0,739 logo z

Ecl

=

=

0,319, têm-se

0.6283 =

< d = 0,739 x 46 = 34,O cm

= 3,5%0

donde, sendo tem-se

ou seja

E'*

a',

d'

8' = - =

d

4

5 - '' = eCl-

5

=

0,09,

46

-

3,5

= 3,00%0>

0,628

f',, = 435 MPa = 43,5 kN/cmZ

Desse modo, sendo Md, ii,

1 N

= pd, fim.bdZ fcd =

= 0.1 kgf I k = 100 kgf = 0.1 f f 1 kN.m = 100 kgf.m = 0.1 1f.m I k N . c m = IW kgtcm = 0.1 tf.cm

0,319

X

12 x 462 x 1,28 = 10 368 kN.cm

I MPa = 1 MNlmP= 10l;gficmz I kNlm = 100 W i m = 0.1 tflm I kNlm2 = 100 kgfim" = 0.1 (fim' I kN/mS= la)kgf/m3=0.1 tflms

I MPa =O,! kNlcmz = 100 Nicm'


resultam, com d - d'

=

46 - 4

=

42 cm,

logo

2.2.5 VARIÁVEIS Tradicionalmente entre nós o cálculo rotineiro das peças de concreto armado DIMENSIONAIS. TABELAS submetidas à flexão normal era feito com o auxílio de tabelas que genericamente TIPO k podem ser chamadas de tabelas tipo k . Essas tabelas tiveram o seu formato estabelecido originariamente por Loeser4 para o cálculo no estádio 11. Quando se introduziu entre nós o cálculo no estádio 111, como conseqüência dos trabalhos de Langendonck2,já eram utilizadas tanto tabelas com variáveis adimensionais quanto tabelas com variáveis dimensionais. A apresentação de tabelas tipo k para o cálculo no estádio 111, com o formato e a notação originalmente empregados para o cálculo no estádio 11, foi feita por Burkes e. posteriormente, por Burke e Gertsenchtein.Tomo essas tabelas* foram empregadas durante muitos anos, tanto na formação dos nossos engenheiros quanto no trabalho profissional em nosso meio técnico, tabelas do tipo k são novamente aqui apresentadas, mantendo-se de modo aproximado o formato tradicional, empregando-se porém os valores de calculo dos momentos fletores.** Tendo em vista a notação internacional estabelecida pelo CEB e adotada pela NB-1, as tabelas tipo k aqui apresentadas tiveram a sua notação adaptada, definindose os seguintes coeficientes:*

*As tabelas citadarr eram empregadas com os momentos caracte"sticos M,. '.Obseivpse que todos os momentos fletores sáo tomados sempre com seus valores de cálculo

1N =O.!@ IkN =IWkgf=O,ltf I kN.m = 1 0 0 W m = 0.1 tf.m I kN.cm = 100 kgfem = 0.1 tf.crn

i i I I

MPa = 1 MNlm' = I0 kgf/cmz kNlm = 100 kgfim = 0,I tilm kNlmS= 100kgflm2=0,1 tiimz kN/mZ= i00 kgflm" 0.1 tflm3


Com armadura simples:

Com armadura dupla, sendo A, = A,,

A',

=

+ A,,,

k:- AMd

d - d'

onde

O momento Md. e é a parcela resistida pela seção com armadura simples de área A,,, e o momento A M d é a parcela resistida pelas seções metálicas de áreas A,, tracionada e A: comprimida. Usualmente é adotado o valor

Md, C

=

(2.2.5-8)

Md, lim

eiim.

correspondente a 5 = Em todas as expressóes, Mdi Md, Md, lim e A M d são valores de cálculo. Das expressóes anteriores pode ser mostrada a equivalência entre os coeficientes k e os coeficientes empregados no cálculo com variáveis adimensionais. Assim, por suas próprias definições, têm-se

O coeficiente k, faz o papel do momento fletor reduzido P,, pois

logo

k,

=

1 p d fed

Considerando seçóes com armadura simples, tem-se

onde

De modo análogo, para as seções com armadura dupla, sendo

I AM, A,$ = vid d - d '

-

podem ser escritas as expressões

resultando AMd -u8d

- d'

d

=

kn- A Md d

- d'

e 1 AMd -

uid d - d '

=kgl- AM, d-d'

logo

k,,

I

=-

(2.2.5-1 1)

08,

As tabelas apresentadas no Anexo desta publicação, para os aços CA-25, CA-32, CA-40A, CA-40B, CA-SOA, CA-SOB e CA-6OB e para concretos de resistência fck iguais a 9; 13,5; 15; 18; 21; 25 e 30 MPa, fornecem os valoresdos coefícientesk,, k,, k,, e k: em função da posição da linha neutra dada por .$ = x/d. Além disso, para o cálculo de verificação, que é ilustrado pelos Exemplos 4 e 5 do § 2.2.7, as tabelas fornecem os valores dos coeficientes 100 A,, 100p, = bd

(2.2.5-13)

estando os valores de k, dados em função de a , e os valores de ki em função de 6. As tabelas foram constmídas com os coeficientes básicos de ponderação adotados pela NB-1, isto é,

Quando forem adotados coeficientes y, f 1,4, as mesmas tabelas poderão ser empregadas, entrando-se com o valor corrigido h, em lugar d o valor real h, sendo

2.2.6 ORGANIZAÇAO DAS TABELAS DIMENSIONAIS. FORMULÁRIO

FLEXÃO SIMPLES -

ARMADURA

SIMPLES

Fig. 2.2.6-1 Caso básico - Diagrama retangular de tensóes.

i. VERIFICAÇAO DO CONCRETO EM FUNÇÃO DO MOMENTO ATUANTE

Sendo

pode ser calculado o momento

- 0,4 x)

Md

=

0,85 fcd.0,8 x.b (d

Md

=

0,68 fcd.bdz 5 (1 - 0,4 4)

logo

obtendo-se então a relação

Sendo por definição


resulta

k,

=

1 . -

f,d

1 0,68 5- (1

- 0,4f )

Depende da resistência do concreto e da posição da linha neutra, mas não depende do tipo de aço.

Para um dado concreto, a cada valor de 5 corresponde um único valor de k,. Reciprocamente, a cada k, corresponde um único 5. Quando 6 s f,,,, a seçáo de concreto é satisfatóna, não havendo necessidade de armadura de compressão.

2 . VERIFICAÇAO DO CONCRETO EM FUNÇAO DA ARMADURA EXISTENTE Considerando-se apenas o caso deflexáo simples, tem-se Nd = O (flexão simples) Admitindo-se que haja armadura simples, tem-se A', = O

A,

=

A,, (armadura simples)

logo

Do equilíbrio de forças, resulta

A, u,d

=

0 3 5 f,d

. b 0,8 x

logo A, - 0,68 f fCd

bd

usd

donde

Para 8

tem-se

&im.

u.d

= fud. Para f

> &,

no domínio 4, tem-se

logo, em qualquer caso, a cada valor de f corresponde um único valor de p,. Reciprocamente, dado p, tem-se f e, em função deste, obtém-se k,; ou seja, tem-se o máximo valor de Md compatível com a armadura A,,. 3 . CÁLCULO DA ARMADURA SIMPLES

Para um dado

tem-se z=d-0,4

x=[d

logo

A seção transversal da armadura é dada então por

ou seja

Nos domínios 2 e 3:

logo

Fazendo

k,

=

1

Depende d o tipo de aço e da posiçáo da linha neutra, mas ( 1 - 0,4f)fVd não depende da resistência do concreto.

pode-se escrever

No domínio 4

logo

k,

=

(I

-

1 Depende do tipo de aço e da posição da linha neutra, mas 0 4 ) u d náo depende da resistência do concreto.

As peças que chegam ao estado último no domínio 4 são, em princípio, peças superarmadas e portanto devem, no caso de flexão simples, ser evitadas por conduzirem a rupturas frágeis. Por essa razão, para osaços Classe A , os valores de k, são fornecidos até o valor de c,,,. Para os aços Classe B , cujas deformações e,, são muito maiores que para os correspondentes aços Classe A da mesma categoria, admite-se que ainda seja utilizável a faixa de deformações conforme é mostrado na Fig. 2.2.6-2

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓESNORMAIS

L

Fig. 2.2.6-2 Diagramas tensão-deformação dos aços.

Em função de c, foram tabelados os valores de k,. Para os aços ClasseA, o último valor apresentado corresponde a 5,,,. Para os aços Classe E , o último valor apresentado corresponde ao Ça, do aço da mesma categoria, mas da Classe A . Para os aços Classe B, os valores de k., correspondentes a zona utilizável do domínio 4, estão abaixo do traço indicado na tabela. Para o cálculo da tensão crsd dos aços Classe B, no domínio 4, tem-se

md-x 3,5%0

Ec,, =35°/w

-

x

Esd

d-x

logo

-t -

eed = 0,0075 1

d

5

obtendo-se a tensão usda partir da expressão adotada pela NB-1

E d

esd= (Tad

Fig. 2.2.6-3 Armadura simples Deformações

E,

+

(5 - 0,7)2

45

fvd

IB.

A R M A D U R A DUPLA

I . SEÇÃO COM ARMADURA DUPLA. ARMADURA DE TRAÇAO

Fig. 2.2.64 Flexão simples - Armadura dupla.

SEÇOES RETANGZTLARES

Dado o momento

tem-se

Sendo A,, =

1 a,,

AM, d - d'

resulta

I Depende do tipo de aço, mas não depende da resistência do k, = concreto. a, Quando se admite

k,

=

1 = k,,

5 C f,,, (domínios 2 e 3), resulta uad= fyd,logo

I,,

f vd

Quando se considera

Válido para f C [I,,, não dependendo da posição da linha neutra. Para cada tipo de aço, este é o único valor apresentado nas tabelas resumidas.

5 > frrm

(domínio 41, tem-se

podendo ser feito

Medida da eficiência da armadura de tração. Depende do tipo de aço e da posição da linha neutra.

a = - ud

fud

2 . SEÇAO COM ARMADURA DUPLA. ARMADURA DE COMPRESSAO

sendo A:=,

I U*d

AM, d

- d'


resulta

1

=r,,

k,

Depende do tipo de aço, mas não depende da resistência do concreto. .~

De modo geral, tem-se =

Ecld

x

s u T

~id x-d'

=

&ad

d-x

Domínio 3 ( E ~=, 3,5%0) ~

'eid

&id= 0,0035 5 -f8 '

d'= ~ ' d z

Domínio 2 (ead= 10%0)

u Fig. 2.2.6-5 Armadura dupla mações.

- Defor-

Para f

tem-se

=

&id= 0,0035

fllm tiim

"

resultando c',, =

função (8')

logo

ki, li,

=

1 (r'sd) f =&im

c,,,.

Válido para 5 = Para cada tipo de aço são estes os valores apresentados nas tabelas resumidas em função de 6'.

No caso geral, pode-se escrever

UM

I

-

f"d = f;d fld c r i d p

k i = 1 - -- 1

Medida da eficiência da armadura de compressao. Depende do tipo f:, de aço, da posição da linha neutra e da profundidade relativa da armadura de compressão. o:,

=

2.2.7 EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO

a. Exemplo I . Armadura simples Recalcular o exemplo do 8 2.2.4-a, empregando as tabelas tipo k.

SEÇÕES RETANGULARES

Dados conhecidos:

Md

=

yfMr = 1,4

X

90

=

126 kN.m = 12 600 kN.cm

h

=

50 cm

Aço CA-50A

b

=

25 cm

fCk = 18 MPa

d'= d

=

4cm 46 cm

Calcula-se

De acordo com a Tabela6 d o Anexo, para o Aço CA-SOA, k, = 4,2 > k,, ,,,, logo o diagrama de deformações está no domínio 3, donde a peça poderá ter armadura simples, sendo A,

=

k,%

d

=

0,026

.12'* - 7 , 1 2 c m 2 ( 4 0 16) 46

b. Exemplo 2

Recalcular o exemplo d o § 2.2.4-b, empregando a s tabelas tipo k. Dados conhecidos:

Md = 12 600 kN.cm d = 46 cm

Aço 50-CA

b

f,, = 18 MPa

=

12cm

Calculando

k , = - -bd2 - 12 x 462 M, 12600

=

2,0 < k,,

li,

(Tabela 6)

conclui-se que, com armadura simples, a peça seria superarmada, pois o diagrama de deformações estaria no domínio 4. Desse modo, sendo

tem-se

-

I N -0.1kgf I kN IM) kgf = 0,l tf I kN.m = IW kgf.m 5 0.1 1f.m I kN.crn= 1Wkgf.cm = 0.1 t f c m

I I I I

MPa = I MN/m2 = I0 kgflcm' kNlm = I W k8«m = 0,I tflm kN/rn2 = I W kgf/rnP = O,! tf/rn2 kN/m'= IWkgf/mim'=O,In/mz


resultando, com d A. = 0,031-

- d'

10 580 46

=

42 cm,

020 + 0,023-2 42 = 7,13 + 1,11 = 8,24cmZ

(3020)

c. Exemplo 3 Recalcular o exemplo anterior, item b, empregando o Aço CA-SOB. De acordo com os dados do problema, têm-se Md = 12 600 kN.cm

fcx= 18 MPa

d

Aço CA-50B

=

46 cm

b = 12cm

(Tabela 7)

Sendo

k , = - -bd2 Md

-

l 2 46z = 2 8 < kc. 12600

o, ,

"til,,, ,e1

é necessário empregar armadura dupla. Adotando-se

k, = k , ,,=,3,O correspondente a 6

=

c,,, = 0,4623

resultam, sendo

a = 1,00 logo k, =

-- 0,023 a

donde

-

-

1 N =0,1kgf IkN =IWkgf=O,ltf I kN.m = I W kgf.m = 0,l 1f.m I kN.cm = 100 kgf.cm = 0.1 tf.cm

I MPa = i MN/m2 = IOkBflcm2 i kNIm = 1W k8fim = 0.1 tflm I k N / m Z = tWkgf/m'= O,! tf/m' 1 k N l m a = I W kgflm' = 0.1 tflmx


Sendo

isto é

obtêm-se

2.2.8 EXEMPLOS DE VERIFICAÇAO

a. Exemplo 4. Problema de venfícaçáo* Determinar o máximo momento Md que pode ser aplicado à seçáo dimensionada no Exemplo 2 (caso b dos exemplos de dimensionamento). Dados: d

=

46 cm

Aço CA-50A

b

=

12 cm

f,,

=

18 MPa

(Tabela 6)

Tentativa. Admite-se o escoamento das duas armaduras. Sendo

a hipótese de que as duas armaduras estejam em escoamento corresponde a

k;

=

k,,

logo AP2= A i

=

1,60 cmZ

-0cáicula de veririca$áo é feito aqui por tentativas, evitandrrre o emprego de diagamas d e inteniqão

I N =O,lkgf IkN =IWk~=O,Ilf I kN.m = 100 k d . m = 0.1 1f.m I kN.cm = I00 kgf.cm = 0.1 tf.cm

I i I I

MPa = kNlm = kNlm' = kN/mL

I MPa = 0.1 kNIcm"

-

I MN/m3 = 10 kgf/cmz

100 kgf/m = 0.1 tflm 100 kgi/m2 = 0.1 tf/mZ I00 kgí/ma = 0,I tflm*

I W N/cm9

donde A,,

=

A, - A,,

=

9,45

- 1,60 = 7,85 cm2

Desse modo, pode ser calculada a porcentagem de armadura

resultando

2.a Tentativa. Como no entorno de 100 p, = 1,26 o valor procurado de k, é pouco sensível a variações e a = 1,00, adota-se k, = 2,4 resultando

tem-se para Md o valor máximo admissível de

resultando o valor

b. Exemplo S .

Determinar o momento máximo M, que pode ser aplicado a seção do Exemplo3 (caso c dos exemplos de dimensionamento), usando-se Aço CA-SOB. Dados: d

=

46 cm

Aço CA-SOB

b

=

12 cm

f,,

A, = 3 4 20 A: = 2

c$

=

=

18 MPa

(Tabela 7).

9.45 cm2

12,5 = 2,50 cm2

1.O Tentativa. Analisando a tabela referente ao Aço CA-SOB, verifica-se que nas proximidades de .&, têm-se

a

-

1,O

logo

-

kS2 0,023

-

e, para S '

p

=

-

d f / d = 4/46 = 0,09

0,W logo k;

-

0,10,

-- 0,026 03

Desse modo, sendo

da condição

AMd

=

As* (d -

-

d')

= -c

ks2

ks

(d

- d')

obtém-se

logo A82

=

k,, A;

= !!8?2,50

k',

-

=

2,21 cmZ

0,026

resultando As, = As - A,,

O valor 100 p,

=

=

9,45 - 2,21

=

7,24 cm2

1,31% corresponde a

0,56 < f< 0,60 para o qual a 0.90, concluindo-se que há a necessidade de uma segunda tentativa, pois nesta primeira tentativa foi adotado o valor a I 1 ,O. 2.O Tentativa. Admitindo-se a

A,,

-

B , = 0,9, tem-se

=

A6 = 2,50 cm2

=

A, - AQ= 9,45 - 2,50

donde A,,

=

6,90 cm2

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOÍ?S

NORMAIS

correspondente a

k, = 2,6 a

=

0,90

Nessas condições, têm-se

logo

Observação Seria espontâneo que a condição A,, = A, tivesse sido adotada logo na I .a Tentativa. Essa hipótese foi intencionalmente evitada apenas-para se mostrar que o problema é sempre resolvido no máximo com duas tentativas.

2.2.9 SECAOSUBMETIDA A Dadaa seçãoda Fig. 2.2.9-1, calcular os momentos limites que podem ser aplicados, MOMENTOS DE SENTIDOS considerando-se sucessivamente cada uma das armaduras como sendo a de tração. CONTRÁRIOS. EXEMPLO

Fíg. 2.2.9-1 Exemplo.

Caso A . Armadura A , tracionada

Sendo A: = 9,45 cmZ A,

1N 1 kN

= 18,90

cmZ

=O,lkgf

= 100 kgf = 0.1 tf l k N m = 100 kgtm = 0.1 tf.m I kN.cm = IW kgf.em = 0.1 tf.cm

1 I I I

MPa = I MNlm9= IOkgfIcm' kN/m = IW kgflm = 0,l tflm kN/mn = 100 kgflm' = 0.1 tflm' kN/mS = 100 kBf/mS =0.1 Um'

procede-se da seguinte forma: Tentativa. Admitindo o escoamento de ambas as armaduras, têm-se

A,

=

A,,

+ AgZ= 18,90 cmZ

resultando

Calculando o valor de

pela Tabela 6 (CA-SOA), para f,,

= 13,5

MPa e 8'

= 0,10,

obtêm-se

ficando confirmada a validade da hipótese de que ambas as armaduras estejam em escoamento. Desse modo, resulta

Md = Md. c

bd2 + AMd = + As (d - d') r

k,

k,'

ou seja

Caso B . Armadura A,, tracionada

Neste caso, têm-se

I I I I

N =O,Ikgf = 100 kgf = 0.1 tf kN kN.m = I W kgf.m = 0.1 1f.m kN.cm = I W kgfcm = 0.1 tfcm

I I I I

MPa = I M N / m 2 = I 0 kgflcm' kNlm = 100 W l m = 0.1 d/m kN/rn9= 1 W W l m ' = 0,I d/m' kNIm3 = I W kgflm" 0.1 ffim"

i MPa = 0.1 kNlcm2 = I W N/crn2

Sendo A: > A,, é evidente que deverá ser P < 1 ,O, pois este coeficiente mede a relação ~ : ~ / f , ~ . Neste exemplo particular, sendo A: = 2A,, necessariamente deverá ser P < 0,5. Consultando a Tabela 6, verifica-se que, para 6' = 0,10, o valor de P cai rapidamente, para valores de 5 no entorno de 5 = 0,16.

P

=

0,34 correspondente a

9,45 - 3,24

=

6,21

Tentativa. Admite-se o valor

resultando então

As,

=

A, - A,,

=

A solução será verdadeira se for satisfeita a condição

Com os valores admitidos. têm-se

estando portanto satisfeita a condição de validade do valor P escolhido. Desse modo, de Md = Md, c

bd2 + A: + AMe = kc

obtém-se, com k',

=

(d - d') k:

0,23/0,34,

logo 'ri

M, = 5 841

+

1 1 315 =

IN =0,1kgf IkN =IWkgf=O,Itf 1 kN.m = IW kptm = 0.1 t f m I kN.cm = IW kgtcm = 0.1 tf.cm I MPa

=

11

156 kN.cm

I MPa = 1 MNlm" 10 kgflcm' 1 kN/m = 1W kgflm = 0,1 tflm I k N l m 3 = IWl
0.1 kN/cmz c 100 Nlcm"

SEÇÓES RETANGULARES

45

2.3 FLEXÃO SIMPLES Flexáo simples é a flexão não acompanhada de força normal. 3 FLEXÃO COMPOSTA Flexáo composta com grande excentricidade é a flexão acompanhada de força norCOM G R A N D E mal, havendo na peça um banzo comprimido e outro tracionado. EXCENTRICIDADE (DOMINIOS 2-3-4-4a) 2.3.1 CONDIÇÕES DE EQUILIBRIO

Redução a um caso básico único. (M e N em valores absolutos.)

l

dl 1%

F, R'

=

F, e,

R, - R, =

- R;

R,(d - c x )

+ R:(d - d')

-e6

F u (tração)

FLEXO-TRAÇAO

FLEXAO SIMPLES

F,

=

N, e,

rrTl =,

d

R, - R,

- R;

=

M,

R,(d

- c x ) + R:(d

=

FLEXO-COMPRESSÁO F . = R,

M

F, e, A$

FLEXO-WMPRESSAO Fig. 2.3.1-1 Condiçóes de equilibrio

R*

=

O

=

+ R; - R, R,(d

- Cx)

+ R;(d

-

d')

-

d')


46

Comparando-se as equações de equilíbrio daflexo-tração, da flexão simples e da flexo-compressão, verifica-se que elas podem tomar-se idênticas desde que na flexotração seja feita F c: O. Desse modo, os três problemas ficam reduzidos a um único, tomando-se o caso da flexo-compressão como caso básico. As equações de equilíbrio, tanto na flexo-compressão quanto na flexão simples e na flexo-tração, podem pois ser escritas sob a forma

F, e,

=

R,(d

- ['x)

+ R: (d - d')

(2.3.1-2)

com F, > O de compressão e F, < O de tração, sendo

Nu= F,

(2.3.1-3)

N o caso de flexão simples, tem-se Nu = 0, sendo

Observe-se que a equação de equilíbrio de momentos será sempre referida ao centro de gravidade da "armadura de traçáo" (armadura mais tracionada ou menos comprimida). 2.3.2 PROPRIEDADES Consideram-se a seguir as propriedades básicas das seções retangulares, tendo em BÁSICAS DAS SEÇOES vista a forma do diagrama de tensões de compressão e a posição da linha neutra, nos RETANGULARES domínios 2, 3 , 4 e 4a. Os elementos básicos de notação estão indicados na Fig. 2.3.2-1.

a. Domínio 2

Ag. 2.3.2-1 Seçóes relangulares Notação usual

Conforme já foi visto anteriormente, o domínio 2 pode ser dividido em dois subdomínios, indicados respectivamente por 2a e 2b. A diferença essencial entre esses subdomínios reside no fato de que, embora em ambos não se possa falar em ruptura do concreto, no subdominio 2b já háuma franca pseudoplastificação por microfissuração do concreto comprimido, enquanto em 2a esse fenômeno praticamente ainda não se iniciou. Conforme é mostrado na Fig. 2.3.2-2, no domínio 2a existe um encurtamento máximo do concreto eCld< 2%0,chegando-se, portanto, ao estado limite último com c,,, ia,, = 0 3 5 fediOU seja, chega-se ao estado limite último com a hipótese de que o concreto ainda não se tenha rompido. Observe-se que no domínio 2a não existe possibilidade de emprego eficiente de armaduras de compressão, pois E: 0. No domínio 2b, o encurtamento máximo E,,, do concreto já supera o valor de 2%0, que é o limite para o qual se admite o início dapseuGoplastificação do concreto. Desse modo, no trecho em que 2%0< eClds 3,5%0,a tensão no concreto é constante e igual a

-

Conforme foi visto em 5 1.3, têm-se

I


47

Fig. 2.3.2-2 Segão retangular - Domínio 2.

De modo geral, a resultante das tensões de compressão no concreto pode ser escrita

ou então R, = 0,85 a bx fcd

-

onde o coeficiente de bloco a dá o valor da tensão média de compressão r:,, definida por

ou seja o:,

=

0,85 a fcd

(2.3.2-4)

conforme está mostrado na Fig. 2.3.2-3 para o domíni- 2 e na Fig. 2.3.2-4 para os -2 domínios 3, 4 e 4a. A Fig. 2.3.2-3 mostra os valores dos coeficientes a e 5' em função da posição da linha neutra dada por 5, sendo

b. Domínios 3-44a Nos domínios 3 , 4 e 4a, embora a profundidade x da linha neutra possa ser uma fraçáo variável da altura útil d, as proporções do diagrama de tensões de compressão são sempre as mesmas, conforme se vê na Fig. 2.3.2-4.

CEB - Boletim 82

Ir C m 4

variável Fig. 2.3.2-3 Domínio 2 - Resultante de compressão.

SECOES RETANGULARES

1

i

@c-

DOM~NIOS3 - 4 - 4 0

Fig. 2.3.2-4 Domínios 3-4-4a - Resultante de compressão

De fato, embora x possa ter qualquer valor para o qual

Ca

52, um =

0,2593

a resultante das tensões de compressão pode ser escrita R,

=

3 0,85 fcd . b - x 7

R,

=

0,85 f

+ -2 . 0,85 fcd . b-4 x 7

3

logo (

3

+ -2 . -)4

Cd73

7

bx

Desse modo, para os domínios 3, 4 e 4a, obtém-se o valor constante

PARABOLA

De maneira análoga, conhecendo-se a posição do centro de gravidade de um segmento de parábola do 2.O grau, Fig. 2.3.2-5, tem-se

DO ~ " R A U Fig. 2.3.2-5 Posi~ãodo centro de gra. vidade.

donde resulta, com R,

=

0,8095.0,85 fCdbx,o valor constante

2.3.3 EQUAÇÕES De acordo com o que foi visto 8 2.3.1, todos os casos de flexão com grande excentnciADIMENSIONAIS DE dade podem ser tratados globalmente, tomando-se as expressóes (2.3.1-1) e (2.3.1-2) EQUII IBRIO como equações gerais de equilíbrio, as quais, segundo a Fig. 2.3.1-1, podem ser escritas

F, e, = RJd

- cx)

+ R:(d

-

d')

(2.3.3-2)

I

50

ESTRUTWAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

com F. > O na compressão e F, C O na tração, sendo N, = F" No caso de flexão simples, tem-se N.

=

0, sendo

F, e, = M,

Para o estabelecimento das equações adimensionais de equilíbrio definem-se os símbolos

FLEXO- COMPRESSÃO

x

Fig. 2.3.3-1 Flexo-compressão.

FLEXÁO

(2.3.3-3)

(2.3.3-4)

A', ot --

SIMPLES

bd

Fig. 2.3.3-2 Flexão simples.

vu

f:d -

(2.3.3-7)

fCd

N, =bd fCd

- Nu e, p s u = - -Msu --

bd2 f,d

(2.3.3-9)

bd2 f,d

Considerando sempre o momento M, em relação ao centro de gravidade da armadura de tração e lembrando que

R, FLEXO-TRAÇ~O

F~

O

=

(2.3.3-10)

0,85 a bx fCd

as equações de equilíbrio podem ser escritas sob a forma adimensional

Fig. 2.3.3-3 Flexo-tração.

Nd e, - 0 3 5 a bx fcd(d - c'x) bd2 f,d bd2 fCd

,Ld=--

+

A', aid(d - d') bd2 f,d

logo

onde todos os termos são tomados em valor absoluto, exceto o valor de v < O quando Nd é de tração.

SECOES RETANGULARES

2.3.4 EQUAÇÕES ADIMENSIONAIS DE COMPATIBILIDADE

51

Considerando os domínios 2, 3 e 4, nos quais há uma armadura comprimida e outra tracionada, Fig. 2.3.4-1, têm-se as seguintes condições de compatibilidade de deformações, já escritas na sua forma adimensional:

Fig. 2.3.4-1 Domínios 2-3-4.

No dominio 4a, sendo x > d, ambas as armaduras estão comprimidas (Fig. 2.3.4-2), e as condições de compatibilidade podem ser escritas

Fig. 2.3.4-2 Domínio 4a.

Como a deformação na armadura menos comprimida é de sentido oposto ao que ocorre nos domínios 2, 3 e 4, fazendo-se E $ = -

, E * ,

para indicar esse fato e lembrando que

resultam para o domínio 4a as mesmas condições de compatibilidade que nos domínios

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOESNORMAIS

2,3 e 4, ou seja, para todos os domínios 2 , 3, 4 e 4a têm-se

com eg < O quando A, for comprimida. Verifica-se então que, uma vez fixado o valor de 5, ficará conhecido o domínio correspondente e já estarão determinados os valores das outras variáveis que comparecem nas condições de compatibilidade expressas por (2.3.4-3), bem como as tensões que agem no concreto e nas armaduras. Esses resultados estão apresentados deforma sintética na tabela seguinte.

Variáveis impostas pelo domínio

Domínio

Eõ

=

Variáveis

Variáveis calculadas a partir do valor de (

10%0

f E8 = 0 -

=

Ecl

1-5

determinadas a partir

das anteriores

, 0 1 0 1 1 - I

ocid

2 asd

(f S 0,2593)

w, .$'

2 fva

E:

ECI

=

3,5%0

v c l d = 0.85

fcd

G

f S

e,)

I- 8' -

=

Es

1 -f

=

.$' = 0,416

-

'

Ea

=

--- E,,

E:

=

I -% E=,

3 3 0

U C I= ~

0,85

=

I

fcd

I S

1 - I 0,0035 -

I

= 0,0035

5 -8' f

-

.$' = 0,416

-

ES

1 - 5 eC, = 0,0035 1-6 --

E;

=

I

I,O)

5

aCls = 0,85 fcd

V9d

f - 8' " srl= 0,0035 -

< fVd

d d

e

5

= 334"

2 f".,

msd

a = 0,8095

4 (6<,

4 6

1 -C

-

5

E<,

6'

= 0 , 0 1 0 L

w = 0,8095

3 (0,2593

-

Tabela da Fig. 2.3.2-3

a = 0,8095

-

C

-

=

0,416

4á h (Ix0

ss =

- E", f

=

0.0035

f

2) E:

=

f - 8' I

E",

1
=

6 - S' 0.0035 f

vOd <0

(compressão)

4 J

2.3.5 RESOLUÇAO DOS PROBLEMAS DE FLEXÃO SIMPLES E DE FLEXAO COMPOSTA

Conforme já foi visto, para a resolução dos problemas de flexão simples e de flexão composta nos domínios 2, 3, 4 e 4a, dispõe-se das duas equações de equilíbrio (2.3.3-11) e (2.3.3-12) v, = 0,85 (1 6

+ o'
fYd

nas 10 variáveis

das quaisa, E>, us, e u:, são funções unívocas de 5,sendo o valor de 6' estabelecido em função do arranjo das armaduras. Nos problemas de dimensionamento, nos quais são conhecidos os valores dep,, e v,, consideram-se as duas equações de equilíbrio em função apenas das cinco variáveis independentes

Desse modo, para os problemas de dimensionamento, conhecidos os valores de 5 e calculam-se w e w'. Observe-se que a solução dos problemas de dimensionamento por meio das duas equações de equilíbrio, quando são conhecidas apenas duas das cinco variáveis independentes, exige que seja arbitrado o valor de uma terceira variável para que restem apenas duas incógnitas. Assim, na flexão composta, conhecidos u, e p,,, arbitra-se o valor de 5 e calculam-se o e o'. É importante observar que a variável 6 , que fixa a posição da linha neutra, pode efetivamente ser arbitrada. De fato, quando se adota o valor de 5, o que se está fazendo é fixar o tipo de estado limite último a ser atingido em primeiro lugar e, nesse estado limite último, determinar o valor da deformação extrema do material que não condicionou o estado limite. Assim, por exemplo, quando se faz 5 = 0,27, escolheu-se odominio 3, pois 0,2593 = f2, < 5 < C3, I ( m , sendo atingido em primeiro lugar o estado limite último de ruptura do concreto. Nesse domínio sempre vale ced = 3,5%0,logo a escolha de 5 = 0,27 corresponde à fixação de um certo valor para E,,, que no caso é de E,, = 9,45%0. Nos problemas de verificação, -.S.o melhor caminho ;ser seguido é o do emprego....de diagrãmãs de interação, Fig. 2.3.5-p-.. .---- .~ ~ à f e c 3 i ~ a ~diagramas e ~ s são e apresentados s com diferentes particular i d a d e ~ , ' .as ~ quais deverão ser devidamente consideradas para a sua correta aplicação. Nos problemas de verificação, nos quais são conhecidos os valores de w e o',não se pode arbitrar o valor de 6 , pois existem infinitos pares de valores psde v, que satisfazem as equações de equilíbrio, correspondendo um par para cada valor diferente de 5. Para o emprego dos diagramas de interação procede-se como é indicado na Fig. 2.3.5-2. Conhecidas as solicitações de serviço M, e N, e escolhida a direção da verificação da segurança, determina-se o ponto correspondente a situação de cálculo M, e N,, a qual deve estar situada na região de segurança delimitada pelo diagrama de interação das condições últimas M, e N,.

psde v,, arbitra-se o valor de

/,_

-

~

*Nos problemasde vetifica~ãodesegóesretangulares submetidasàflexão simples, a processode tentativasilustradopeloi exemplos dos itens 2.2.8 e 2.2.9 é recomendável.

~-

~

~

1

'>u, +ração

simples

, diagrama

de

interoção

Ju,compressáo

simples

Fig. 2.3.5.2 Ventícação da segurança

COMPOSTA COM GRANDE EXCENTRICIDADE. CÁLCULO PRÁTICO 2.4.1 VARIÁVEIS -A-c.~sideracão. nos problemas de flexão composta, do momento M, referi&= ADIMENSIONAIS. centro de gravidade da armadura de tração em lugar do momento M, referido ao EMPREGO DE TABELAS centro de gravidade da seção transversal da peça tem avantagem principal de permitir as fossem vrobLemas de fl_ã_mplzs, UNIVERSAIS a r e s o l u ç á o _ d ~ ~ e ~ g b l q pcomo"-se empregando-se as m e s m a a & l a s iá anteriormente analisada^. A Fig. 2.4.1-1 ilustra a redução dos problemas de flexão composta a problemas tratados como se fossem de ilexão simples. A demonstração formal da validade dos raciocínios ilustrados pela Fig. 2.4.1-1 pode ser feita a partir das equaçóes de equilíbrio (2.3.1-1) e (2.3.1-2) do § 2.3.1 ou a partir das equaçóes adimensionais de equilíbrio (2.3.3-1 1) e (2.3.3-12) do § 2.3.3. Qualquer que seja o caminho escolhido, quando se admite armadura simples, a equação de equilíbrio de momentos, a qual determina a posição da linha neutra, é exatamente a mesma, quer se trate de flexáo simples quer de flexão composta. Esse fato decorre de se admitir o momento Mgde não O momento M,. Ainda considerando armadura unilateral, a armadura de tração A, é determinada pela equação de equilíbrio de forças, a qual exige que a resultante-R. das tens.Õg-na srnvadui'a de tr:iyGo equilibre ir resultante K,. da, irn\Oes de comprrss,;iu . . -na . - ;on
1

1 1


ARMADURA

Flex6o

SIMPLES

R, = R,

Nd =O

simples

I

I Flexo

- compressáo

R < = R ~ nd -

Nd> O

1

I

-

= R s , ~ Nd

I 1 I

Flexo- tracáo

ARMADURA

A',

WPLA

=o

Fig. 2.4.1-1 Flexáo composta com grande excentncidade

onde, tanto para a tração quanto para a compressãa, é feito N > 0. Por outro lado, quando a armadura simples levar a peças superarmadas, o problema é novamente resolvido pela adoção de armadura dupla. Fazendo-se novamente, como no caso da flexão simples,

Msd

=

Msd, e + AMsd

(2.4.1-3)

onde M , , .é a parcela resistida por uma seção com armadura simples e AM,aparcela resistida por uma seção metálica, tem-se ,


57

onde o sinal (+) vale para N de tração e o sinal (-) para N de compressão, e

Nos casos usuais, a decomposição do momento é feita tomando determinando-se o valor

6

=

tlim e

resultando então

tomando-se o sinal (+) para tração e (-) para compressão, e

,,

Observe-se que tanto o valor de M,, correspondem a condição imposta de 6 = &,.

quanto os valores de z, os, e o:d

2.4.2 Exemplos Considere-se o dimensionamento da peça indicada na Fig. 2.4.2-1, sendo admitidos os seguintes dados:

e = 80

cm

yr = 1,4 Yc = 1,4

f,,

=

25 MPa

a. Exemplo I Aço CA-SOA Fig. 2.4.2-1 Exemplo

b =25cm h =70cm

IN =O,Ikgf IkN =IMkgf=O,Itf I kN.m = 1W kgfm = 0.1 t t m I kN.crn = IW kgf.cm = 0.1 d.cm I MPa

=

I MPa = 1 MNlrnz = 10 kgflcrn' I kNlm = IW kgfim = 0.1 tflm I kNlmP = 100 kgflrnP= 0.1 tflrn' I kN/mS = IW kgflmJ = 0.1 tfimJ

0.1 kN/cm2 = 1W Nlcm'

ESTRUTURAS DE COFWETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS

Sendo Fd = yf Fk = 1,4 x 500 e,

=

M,

=

700 k N (compressão)

110 cm =

fcd =

Fd e,

=

700 x 110 = 77 x 103 kN.cm

fck = 2 = 17,8 MPa = 1,78 kN/cm2 14

YC

obtém-se

Empregando o Aço CA-SOA, tem-se p.., = 0,410

> psd,lim

= 0,315

havendo, portanto, necessidade de armadura dupla, a fim de ser evitada a peça superarmada. Adotando-se então Psd

= Psd, hm =

0,315

têm-se

" 0,615

5

= tilm

x

=

5d

=

0,744

=

0,615 x 65

=

40,0 cm

x 65

=

48,4 cm

z = cd = 0,744 = E$

=

fVd)

3,5%0

2,8%0

uSd= fvd = -- 435 MPa = 4 3 3 kN/cmZ

1,15

IN =O,Ikgf IkN =lWkgf=O,ltf i kN.m = IW kgf.m = 0,I tf.m I kN.cm= IW kgfcm = 0.1 tf.cm I MPa

=

I i I I

MPa = I MNlm' = I0 kgficmz kN/m = IW kgfim = 0.1 fim kN/m8 = 100 kgf/m2 = 0.1 fim' kNlm3= IWkgfim3= 0.1 d/m8

0.1 kNicmP = IW N/cmz


resultando

AMSd=I -l7 O' - 6 3 2 cm2 (4 0 16) d - d' 43,5 65 - 5

A;=- 1 ukd

b. Exemplo 2 Resolver o mesmo problema anterior, empregando o Aço CA-50B. De acordo com os resultados obtidos no exercício 1 , tem-se

Para o Aço CA-SOB, psd,

=

0,255, logo para psd= pSd,

=

0,255

obtêm-se

5 = 5,,,,,= 0,457 x

=

6

=

0,809

=

0,457 x 65

=

29,7 cm

z = cd = 0,809 x 65 = 52,6 cm EC1 =

eg =

3,5%o

4,14%0

a,,, = f,,,, = -- 435 MPa = 4 3 3 kN/cm2 1,15

x-d' x

e; = eel -= 0,0035 29'7 -

I N =O.lkgi IkN =IWkgf=O,lff I kN.m = 100 kgfm = 0.1 t f m I kN.cm = 1W kgfcm = 0.1 U.cm

29,7

=

0,00291 < e,,

MPa = I MNlm' = 10 k8ficm' I kNim = 100 kgilm = 0,l Ulm I kN/mP= 1W kgilm' = 0,l tflrn' I kN/rn8 = 1W kgflrns = 0.1 Ulm' I

1 MPa = 0.1 kNlcrn2 = 100 Nlcrn'

=

4,07%0


Msd, um AM,,

= P S ~um ,

=

bd2 fcd = 0,255

X

25

X

65'

X

1,78 = 47 940 kN.cm

77 000 - 47 940 = 29 060 kN.cm

resultando

2.4.3 VARIÁVEIS DIMENSIONAIS. EMPREGO DE TABELPS TIPO k

De acordo com o que já foi visto anteriormente, qualquer problema de flexão composta pode ser tratado como se fosse um problema de flexão simples, Fig. 2.4.3-1.

As

( As

=

AS? AS;

ARMADURA

ARMADURA

DUPLA

SIMPLES

Fig. 2.4.51 Reduçáo ao caso básico de flexáo simples

Lembrando as definições dos coeficientes k, dadas em § 2.2.5, a posição da linha neutra é definida pelo coeficiente k,, sendo

Nos casos de armadura simples, válidos para k , 2 k,,ll,, sendo

k,,

1

=-

U8d

tem-se A,

=

MSd k, - + k,, Na d

(2.4.3-1)

com o sinal (+) para N de tração e o sinal (-) para N de compressão. No caso de armadura dupla, adota-se k , = k,, ,,,, determinando-se o valor de Mad, lim =

bd2 kc, li",

--

sendo

têm-se

com o sinal (+) para tração e (-) para compressão, e A',

=

k', .

d - d'

I

M,d

Desse modo, as tabelas tipo k apresentadas no Anexo desta publicação podem ser usadas para o cálculo das seções retangulares submetidas a flexão composta. Essas tabelas empregam as unidades kN e cm e foram calculadas para y, = 1,4 e y, = 1,15. Para valores de y, # 1,4, deve-se empregar a largura fictícia

I N = 0.1 kgf IkN =100kgf=O,Ilf I kN.m = IW kgfm = 0.1 t t m I kN.cm = IW kgf cm = 0.1 U.cm

I MPa = 1 MNlmP = 10 kgflcmP I kNlm = 1W kgflm = 0,l Ulm I kNlm2= 1 W W / m 2 =O,I U/ml I kNlma = 1W kgflm3 = 0.1 Ulm3

~

62


2.4.4 EXEMPLOS

Resolver os problemas apresentados em 5 2.4.2, empregando a s tabelas tipo k, sendo

YC

=

19

y, = 1,15

f,

=

25 MPa

a. Exemplo 1. Aço CA-SOA (Tabela 6) Sendo d

=

h - d' = 70

- 5 = 65 cm

têm-se d-d' 65 - 5 % = e + - 2= 8 0 + = 2

llocm

resultando

k,, Sendo k, i Msd, iim =

,,

=

bd2 kc, ,i,

1 3 , é adotado k, = k,, ,,,, obtendo-se

=

= 58 680 kN.cm

25

13

logo

Nessas condições, têm-se

onde o sinal (-) diante de Nd decorre do fato de N, ser de compressão, logo A,

=

58 680 + 0,023 -( 18 320 - 700) = 28,O - 9.1 0,031 65 65 - 5

1N =O,lkgf = 100 kgf = 0.1 tf IkN i kN.m = 1W kgf.m = 0,l t f m I kN.cm = 100 k&cm = 0.1 tfsm

I MPa = I MN/mZ = I0 kgflcm' 1 kNlm = I W W l m = 0,l tflm 1 kNlm2= 1Wkgf/mZ= 0,l tflm' 1 kN/ms= 100 kgfim' = 0.1 ü/m3

=

18,9 cm2(4025)


e com dr/d = 5/65

=

0,08

-

0,l

b. Exemplo 2. Aço CA-50B (Tabela 7)

Neste caso, sendo k,,

AMsd = Msd - MJd,

,i,

=

=

2,2, têm-se

77 000 - 48 000

=

29 000 kN.cm

donde

2.4.5 DIAGRAMA RETANGULAR DE TENSOES

I

.?,.I.,.

.

Fig. 2.4.5-1 Diagrama retangular de tensões.

Conforme já foi visto, as equações adimensionais do equilíbrio para os casos de flexão simples e de flexão composta com grande excentricidade são

1N =O,Ikd 1kN =LWkgí=O,Itf I kN.m = 100 kgfm = 0.1 t f m I kN.cm = IW kgf.cm = 0.1 tfcm

I MPa = I MNlm2 = I0 kdlcm' I kN/m = IW kgfim = 0.1 lfim I kNlm' = 1W kdlm' = 0.1 tf/m2 I kN/mS = I M kgfim' = 0.1 tf/mJ

I MPa = 0.1 kNlcmX = IW N/cm2

II

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORNIAIS

Quando se emprega o diagrama retangular de tensões, Fig. 2.4.5-1, têm-se

resultando as expressões simplificadas

A experiência mostra que nos domínios 2, 3, 4 e 4a são obtidos resultados praticamente iguais, quer se use o diagrama parábola retângulo, quer se use o diagrama retangular de tensões. Por isso, as tabelas tipo k do Anexo foram calculadas com o diagrama retangular de tensões.

2.5 FLEXOCOMPRESSAO COM PEQUENA EXCENTRICIDADE (DOMINIO 5) 2.5.1 CONDIÇOES DE

No domínio 5, a seção transversal está inteiramente comprimida, sendo então mais E Q U I L ~ B R I O conveniente considerar-se como p610 de redução dos momentos o centro de gravidade da armadura mais comprimida.

i t Fig. 2.5.1-1 Pequena excentricidade

Considerando a notação indicada na Fig. 2.5.1-1 e tratando todos os elementos em valor absoluto, obtêm-se


65

h g o as equações de equilíbrio podem ser escritas =

R,

Nd e;

=

Nd

+ R; + Rs

e R, (a - d')

+ R, (d - d')

2.5.2 CONDIÇOES DE A Fig. 2.5.2-1 indica as condições de deformação no domínio 5, para o qual são COMPATIBILIDADE DE definidos os seguintes coeficientes: DEFORMAÇOES X 51= (2.5.2-1) h

Fig. 2.5.2-1 Deformações no domínio 5

Da condição de manutenção da forma plana da seçáo transversal, têm-se Ecl = -

x

--

x-h

EQ

x-d

-

E:

x-d'

(2.5.2-4)

e, da definição de domínio 5: resulta

obtendo-se as seguintes equações adimensionais de compatibilidade:

2.5.3 PROPRIEDADES Como foi mostrado na Fig. 2.5.2-1, no domínio 5, para qualquer posição da linha BÁSICAS DAS SEÇÓES neutra, a deformação do concreto ao longo da espessura 3 h17 a partir da borda mais RETANGULARES comprimida supera o valor 2%0. Portanto, nessa parte da seção, a tensão é igual a

No restante da seção transversal, as tensões ficam univocamente determinadas desde que se estabeleça o valor de 5,. Desse modo, definindo-se os coeficientes a, e 5; através das expressões

onde R, é a resultante das tensões de compressão no concreto e a é a distância dessa resultante à borda mais comprimida da seção, Fig. 2.5.3-1, como R, e a são funções unívocas de C,, também são univocamente determinadas as funções

I

conforme está mostrado na tabela seguinte (CEB - Boletim 82)

I Fig. 2.5.3.1

Resultante de compressáo - Domínio 5 .


67

Domínio 5 - CEB (Boletim 82)

Observe-se que, no domínio 5 , tanto o coeficiente de bloco do diagrama de tensões

quanto o coeficiente 6; que determina a posição da resultante R, são definidos em função da altura h da seção e não mais, como no caso de flexão com grande excentricidade, em função da profundidade da linha neutra. Fara assinalar esse fato, todos os coeficientes adimensionais definidos em função da altura total h são assinalados com o índice 1. 2.5.4 EQUAÇÕES Conforme foi visto em 5 2.5.1, tomando-se como pólo de redução dos momentos o ADIMENSIONAIS DE centro degravidade daarmaduramais comprimida, asequações (2.5.1-3) e (2.5.1-4) de E Q U I L ~ B R I O equilíbrio podem ser escritas Nd = R,

+ R; + R,

N, e:. = R, (a - d')

+ R,

(d - d')

onde todos os termos são tomados em valor absoluto. Por outro lado, sendo


têm-se

+ & r i d + As uSd

Nd = 0,85 a ibh fCd Nd e;

=

0,85 a , bhz fcd (5; - 8;)

+ A, uXd(d - dr)

Definindo-se os esforços solicitantes relativos adimensionais

e as taxas mecânicas de armadura

obtêm-se as equações adimensionais de equilíbrio

2.5.5 RESOLUÇAO GERAL Os problemas deflexo-compressão com pequena excentricidade devem ser resolvidos DOS PROBLEMAS DE por meio de duas equações adimensionais de equilíbrio, nas quais comparecem as 11 FLEXO-COMPRESSÃO variáveis: COM PEQUENA Vdr tii w ' , W , a,,C:, a J d , u s d r 81, 8; EXCENTRICIDADE Analogamente ao que acontece com os problemas de flexão composta com grande excentricidade, correspondentes aos domínios 2 , 3 e 4 , também nos problemas de flexo-compressão com pequena excentricidade, correspondentes ao domínio 5, o cálculo de verificação tem como solução ideal o emprego dos diagramas de interaçáo. De maneira análoga, também nos casos de flexo-compressão o cálculo prático de dimensionamento é feito através da fixação da posição da linha neutra. De fato, estabelecendo-se o arranjo geral da armadura dentro da seção transversal da peça, ficam fixados os valores de 8 , e S ' , e, arbitrando-se o valor de ficam determinados os valores de a,,t i , vide ea,restando portanto no problema apenas

(,,

as cinco variáveis independentes:

Desse modo, arbitrando-se o valor de C,,as incógnitas w e w' podem ser calculadas em função dos esforços v d e &. Nos casos de flexão composta com grande excentricidade, todos os problemas eram reduzidos ao problema básico da flexão simples de uma seção com armadura simples, isto é, com armadura unilateral. De forma análoga, nos casos de flexocompressão com pequena excentficidade, todos os problemas serão reduzidos a um dos problemas básicos seguintes: armadura unilateral (A, = 0) ou compressão uniforme ((, = m).

2.6 F L E X O COMPRESSÃO COM PEQUENA

2.6.1 MOMENTO LIMITE Para os problemas de flexo-compressão com pequena excentricidade, as duas equaDE SEPARAÇAO ENTRE OS çóes gerais de equilíbrio são as seguintes: DOIS CASOS BÁSICOS U.d (2.6.1-1) v d = 0,85 a,+ o' +wfid fVd

*

Conforme se observa pela segunda dessas equações, a presença da armadura menos comprimida, de taxa mecânica w , contribui de fato para o equilíbrio do momento &. Desse modo, a condição o = 0, correspondente a armadura unilateral, somente poderá ser aceita enquanto pidnão ultrapassar o máximo valor possível de ser atingido pela parcela 0 3 5 a,((;- 8;). De acordo com a Fig. 2.6.1:1, o máximo valor de 0,85 a,(5;- 8;) ocorre na compressão uniforme, pois, nesse caso particular, a,e 5; tomam simultaneamente seus valores máximos:

+-r=ik

= 10

-a : , , a,,m o i . -

035

5;.m a s .

-

fcd

a . 1 --

h

2

As

Eig. 2.6.1-1 Compressão unlfome


Observe-se que o valor de p d cresce a medida que aforça Fd se aproxima do eixo da peça, pois MQd cresce com a excentricidade e;. Quando o valor de& supera o valor pid, limr a diferença pkd - pLd, somente poderá ser equilibrada se existir a força R,, uma vez que R, já deu a máxima contribuição possível. No caso da compressão uniforme existem duas armaduras, de taxas o e o',diferentes entre si, com as quais podem ser equilibrados os momentos fletores Md atuantes na seção transversal. Verifica-se portanto que a armadura unilateral, para a qual o = 0, somente pode ser empregada para valores de pkd inferiores a

Esse valor limite também pode ser escrito

ou seja, sendo

logo h-2d1=d-d' donde

tem-se

Dessa maneira, todos os problemas de flexo-compressão com pequena excentricidade podem ser reduzidos a um dos seguintes casos básicos: a. Armadura unilateral - quando pkò b. Compressão uniforme

pQd,lini

- quando pCgd> p'gd,~,m.

2.6.2 ARMADURA UNILATERAL (/L;,G /I:,, I,,)

Fig. 2.6.2-1 Armadura unilateral


Neste caso básico, A, 2.6.2-1, Nd

=

71

= 0, logo as equações de equilíbrio podem

ser escritas, Fig.

R c + R:

Nd e,; = MBd = R, (a - d') e sendo

R:

=

Ascrid = Al, fid fld

logo Nd =0,85 a , bh

+

fCd

ASfha bb

uJd

fbd

fid

têm-se

As expressões (2.6.2-1) e (2.6.2-2), que foram deduzidas diretamente, também poderiam ser obtidas a partir das equações gerais (2.5.4-5) e (2.5.4-6), fazendo-se simplesmente w = 0.

( DOMI'NIO 5

C' sd

= 0,002 $1

-

7

Fig. 2.6.2-2 Deforma~Ãoda armadura mais comprimida

I

\

I

72


Parao cálculo d e o ' , pelaexpressão (2.6.2-I), é preciso que se conheça0 valor de a&. Para isso, emprega-se a equação de equilíbrio de momentos, de onde resultou a da linha neutra, pois a,e 5; expressão (2.6.2-2). pela qual fica linha neutra, fica determidependem apenas de Uma A partir dessa defor-

e,.

tabelados os Desse modo, dados os valores de v, e p;,, em função de p;, é determinado o valor de C,, logo podem ser calculados os valores de a , e cri* Com isso, sendo

têm-se

2.6.3 ARMADURA UNILATERAL. EXEMPLOS

Fig. 2.6.3-1 Exemplo.

I

1

Exemplo I

Dirnensionar a peça apresentada na Fig. 2.6.3-1, sendo dados:

Fk = 2 000 kN

IN

= 0.1 l
yf = 1,4

I MPa = 1 MNim' = I 0 kgf/cm2 I kNim = I W kgflm = O, I tfim I kN/m2= I W kgf/m2= 0.1 tflm' I kNim3= I W kgfims = 0.1 tflm3

I MPa = 0.1 kN/cm2 = 100 N/cmZ


13

Aço CA-SOA

y , = 1,15

fvd = --- - 435 MPa = 43,s kN/cm2 1,15

fcK= 25 MPa

y, = 1,4

fed = 25 - - 17,8 MPa = 1,78 kN/cmZ 1,4

Sendo N,

=

yf Nk = 1,4

X

2 000

=

2 800 kN

têm-se

Por outro lado, sendo

ou seja

comprova-se então a possibilidade de armar a seção com armadura unilateral, pois

Nessas condições, sendo

-

-

de acordo com a Tabela 9 do Anexo, tem-se a seção no domínio 5, com

5, I I I I

1,12

e

0 3 5 a,

N =O,Ikgf kN = 100 kgi = 0.1 tf k N . m = IW kgf.m = 0.1 1f.m k N c m = 100 k g f c m = 0.1 d . c m

I I I I

0,74

MPa = I MNlm' = I O k ~ / c m 2 k N l m = I W kgilm = 0.1 S i m kN/mP = 100 $gf/m' = 0.1 tf/m' k N l m L I00 kgflm* = 0.1 tf/rng

I MPa = 0.1 kN/cms = 100 N/cmS

logo

e sendo E;<

=

3,04%0 1 E : ~ (Aço CA-50A)

=

2,07%c

resulta u;, =

fia = 435 MPa

donde o = 0

Desse modo, sendo ,,

=

I

A:f;, bh

fCd

têm-se

Exemplo 2

Dimensionar a seção do exemplo anterior, adotando-se o aço CA-SOB. Como a qualidade do açs empregado somente afeta a tensão r;,,,tem-se, neste caso,

De acordo com a NB-I, sendo

I

~ 1

SECOES RETANGULARES

obtém-se (com E,

=

75

210 000 MPa)

6

logo =

402 MPa

Esse valor também pode ser determinado pela Tabela 10 do Anexo, resultando

ou seja

Com o Aço CA-SOB, resultam A,

=

O

2.6.4 COMPRESSÃO Quando a força de compressão está aplicada em posição próxima do centro de UNIFORME gravidade da seção transversal da peça, torna-se conveniente o dimensionamento com a hipótese de compressão uniforme. De acordo com o que já foi visto, a condição de compressão uniforme pode ser imposta desde, que seja

Nesse caso, admite-se toda a seção com a mesma deformação de 2%0,ou seja, &cld = EC2d

=

= Bsd =

2%0

donde

v IN = 0.1 kgf = 100 kgf = 0.1 tf I kN I k N . m = I00 kgf.m = 0.1 t t m 1 kN.cm= IWkgfcrn = 0.1 tf.cm

1 MPa = I MNlmt = I 0 kgficm' I kNim = 100 kgflm = 0.1 tfim 1 k N i m S = 100kgf/m2=0,1 tf/rn2 1 kNirnS= 100kgf/m'=OO,Ifim3

1 MPa = 0.1 kNicmZ = 100 N/cm2 i

Considerando-se as condições gerais de equilíbrio na flexo-compressão com pequena excentricidade, expressas pelas equações (2.5.4-5)e (2.5.4-6),

têm-se no caso da compressão uniforme, admitindo f,,

=

fh,,

Por outro lado, conforme jáfoi visto na dedução do momento limite, dado pela expressão (2.6.1-I),tem-se

e sendo

obtêm-se as equações

e em virtude das relações

resultam finalmente

corresponde a deformação E , = 2%,. onde uSd Para os aços Classe A , as expressões dadas podem ser simplificadas, pois para esses aços pode-se admitir E , E,, logo

porquanto até para o Aço CA-SOA, para o qual condição

=

2,07%0, pode ser aceita a

Desse modo, resultam: AÇO CLASSE A

AÇO CLASSE B

2.6.5 COMPRESSAO Dimensionar a seçáo apresentada na Fig. 2.6.5-1, sendo dados: UNIFORME. EXEMPLOS F 1 , = 3 0 0 0 k N y f = 1,4 e = 10cm

b

f,,

y, = 1,4

=

25 MPa

25 cm

=

h=70cm

d'=5cm

Fig. 2.6.5-1 Compressão uniforme - Exemplo.

Exemplo I . Aço CA-SOA (fVd= 435 MPa = 43,5 kN/cmZ)

I N =0,1kgf I kN = 100 kgf = 0,l tf I kN.m = 1W kgf.m = 0.1 t t m I kN.cm- 100 k g t c m 0.1 t f c m

-

I I I I

MPa = t MN/m2 = Iokgflcm' kNim = 1 W kgflm = 0.1 Iilm k N / m 2 = IWkgfIrn'=O,i d/ms kN/ma = I W k@1m3 = 0,1 Sim3


fcd=fCL=--25 r,

-

17,8 MPa

=

1,78 kN/cmZ

1,4

Sendo ,L;, > pbd,I,mr é impossível armar-se unilateralmente a seção, sendo conveniente adotar a hipótese de compressão uniforme. Nesse caso, tratando-se de aço Classe A , têm-se

Exemplo 2. Aço CA-SOB (f,,

=

435 MPa

43,5 kN/cmZ)

=

(cUd= 4,07%a) Neste caso, tem-se usd

=

r*, 2s1= 356 MPa = 35,6 kN/cm2

logo o = (v, -- 0,425)

d - d'

f"d Usd

=

0,024

43 5 35,6

*(Vide comentátio no final do 5 2.6.4, referente ao valor de f,,)

1N =O,IkBf I kN = IW kgf = 0.1 tf 1 kN.m = IW k&.m = 0.1 1f.m I kN.cm = I W kgf.cm = 0.1 tf.cm I MPa

=

I I I I

MPa = I MNlm2= 10kBf!cmz kN!rn = I W kgf!rn = 0.1 tflm kN!mP = IWkgfim*=O,I tf!m2 kNlm" I W k8flms = 0.1 d!ma

0.1 kNicm2 = 100 NlcmP

=

0,029

2.6.6 D I A G R A M A RETANGULAR DE TENSOES

Fig. 2.6.6-1 Diagrama retangular de tensóes.

As equações de equilíbrio para os casos de flexo-compressão com pequena excentricidade são, Fig. 2.6.6-1,

MJd = Fd e,

=

R, (a - d')

+ R, (d - d')

onde Nd = Fd Sob a forma adimensional, essas equações são escritas:

M:d P J ~= -

bh2 fcd

=

0.85 a , (5; - 8;)

onde, conforme foi visto.

+w

2 (8, - O;) fud

logo

R,

=

0,85 a, bh fcd

(2.6.6-1)

Quando é adotado o diagrama retangular de tensões para a condição

x

1,25 h

S

(2.6.6-2)

tem-se 0,8 x s h havendo compressão apenas em uma parte da seção transversal Nesse caso, sendo

R,

=

0,85 fCd.b.0,8 x

onde x

=

5, h

tem-se

R,

=

035

X

0,8 5, bh fcd

com a

=

5; h

=

0,4 x

logo

Comparando as expressões (2.6.6-1) e (2.6.6-3), conclui-se que neste caso

Desse modo, as equações de equilíbrio podem ser postas sob a forma seguinte:

Os resultados numéricos mostram que não há diferenças significativas quando são empregados os diagramas parábola-retângulo ou retangular de tensões, desde que a linha neutra não se afaste muito da borda menos comprimida da seção transversal. Todavia, quando x > 1,25 h, as diferenças podem ser significativas. De fato, empregando-se o diagrama retangular de tensões, quando x > 1,25, haverá compressão uniforme da seção transversal, com


81

valores sensivelmente diferentes d o s obtidos com o diagrama parábola-retângulo, conforme se p o d e v e r p o r comparação c o m os dados d a Tabela incluída e m 5 2.5.3.

2.7 EXERCICIOS

2.1 Por que os casos deflexo-tração com pequenaexcentricidadecorrespondem ao domipio 1 de deformações? 2.2 Escrever as equaçóes de equilíbrio de uma seção retangular submetida 2 flexo-tração com pequena excentricidade. 2.3 O que caracteriza uma flexão composta com grande excentricidade? Quais os casos de solicitação correspondentes? 2.4 Escrever as equaçóes de equilíbrio de uma seção retangular para todos os casos deflexão com grande excentricidade. 2.5 Sendo R, = 0.85 a bx f,, e 5' = alx, determinar as expressões de a e de 5' em função de ( para os domínios 2, 3 , 4 e 4a, quando é adotado o diagrama retangiilar de tensões. 2.6 Para uma seção retangular com armadura simples, escrever a expressão de p,, em função de 5. quando é adotado o diagrama retangular de tensões. 2.7 Escrever as condiçóes de compatibilidade de deformações de uma seção transversal retangular. Quais as variáveis conhecidas e quais as variáveis incógnitas, respectivamente, nos domínios 2, 3, 4 e 4a? 2.8 Escrever as equações adimensionaisde equilíbrio de seções transversais retangulares para os casos de flexão composta com grande excentricidade. 2.9 Considerando a questão anterior, explicitar o número de variáveis do problema. Em principio, como são resolvidos os problemas de dimensionamento e os de verificação? 2.10 Quando deve ser empregada armadura dupla numa seção retangular submetida à flexão simples? Como é ela calculada? 2.11 Justificar a validade da decomposição do momentofletor em duas partes paraocálculo das seções duplamente armadas.

simples. 2.13 Como são calculadas as seçóes transversais duplamente armadas submetidas à flexão composta com grande excentricidade? Justificar o processo adotado. 2.14 Definir os coeficientes empregados nas tabelas tipo k. 2.15 Qual a relação entre k, e p,,? 2.16 Qual o significado de k, e de k:? Definir os coeficientesa e p apresentados nas Tabelas 5 a 8. 2.17 Como devem ser empregadas as tabelas tipo k para coeficientes y, e y,diferentes de 1,4? 2.18 No domínio 4, o que se entende por zona utilizável dos aços ClasseB? Nas Tabelas 7 e 8, quais os valores de k, correspondentes a essas zonas? 2.19 Como se emprega o coeficiente 100 p , apresentado nas Tabelas 5 a 8? 2.20 Do ponto de vista prático, como sejustificao cálculo de verificação de seçóes duplamente armadas por meio de tentativas? Como são feitas essas tentativas? 2.21 Escrever as equações de equilíbrio para os casos de flexo-compressão com pequena excentricidade de seçóes retangulares. 2.22 Estabelecer as condições de compatibilidade de deformações no domínio 5. 2.23 Que condição deve ser satisfeita para que uma seção retangular submetida à flexocompressão com pequena excentricidade possa ter armadura unilateral? Justificar. 2.24 Nas mesmas condiçóes anteriores, quando é recomendável considerar a seçáo uniformemente comprimida? Justificar. 2.25 Determinar o valor p:,, que separa os casos básicos daflexo-compressáo com pequena excentricidade de seções retangulares.

,

3.1 F L E X A O SIMPLES Nas estruturas de concreto, as vigas de seção T são de uso corrente, pois, de E FLEXÁO COMPOSTA modo geral, as nervuras dasvigas estãoligadasaslajes, asquaisfornecem a necessária mesa de compressão, Fig. 3.1.1-1. De acordo com os princípios de notação, as 3 . 1 . 1 AS "IGAS DE SECÃo dimensõesda mesasáo indicada~porb~e hf(flange),e alarguradaalmaporb,(web). T DAS ESTRUTURAS DE CONCRETO

A Fig. 3.1.1-2 mostra seções transversais com diferentes arranjos, cujo cálculo recai na consideração de uma seçáo T.

Fig. 3.1.1-1 Notação usual.

É preciso salientar-se que uma viga de concreto composta por uma nervura e por abas salientes apenas será considerada como de seçáo T quando a mesa estiver comprimida. Caso contrário, quando as abas estiverem tracionadas, a viga será considerada como de seção retangular. A Fig. 3.1.1-3 mostra o caso usual das vigas contínuas de edifícios.

LAJES

VIGAS

NERVURADAS

DE

SEÇÃO

CELULAR

Fig. 3.1.1-2 Diferentes seções transversais.

loja

comprimido

sação T Fig. 3.1.1-3 Vigas continuas de edifícios

t e 60

reta ulor

laje

tracionodo

seçáo retanqulor

4

seçóo retangulo

Nos trechos de momentos negativos junto aos apoios tem-se uma viga de seçáo retangular, pois as abas estão tracionadas. Observe-se que no balanço da direita, junto ao apoio C , a viga também deve ser considerada de seção retangular, em virtude da descontinuidade aí existente na posição da laje.

Fig. 3.1.1-4 Largura colaborante.

Fig. 3.1.1-5 Efeitos das cargas con-

--------

Fig. 3.1.1-6 .Carga na extremidade.

-

centradas.

Nas vigas em que a mesa de compressão temlargura real sensivelmente maior que a largura b, da alma, as tensões de compressão não têm distribuição uniforme, Fig. 3.1.1-4. Por esse motivo, em lugar da largura real, admite-se que a mesa tenha uma certa largura b,, usualmente menor que a largura verdadeira. Pretende-se que dessa forma fiquem corrigidos os efeitos da variação das tensões na mesa de compressão. A determinação dalargura bf apresenta dificuldades de ordem prática. Assim, em princípio, o valor bf será diferente conforme se considere a estrutura em regime elástico ou em um estado último. De maneira análoga, bf terá valores diferentes conforme se considere o problema de resistência ou o problema de rigidez da peça. Além disso, a largura bf varia com as condições de apoio da viga e com o tipo de carregamento. Na Fig. 3.1.1-5 está ilustrado ofatode que, em regime elástico, a largura bftende a diminuir na região de aplicação de cargas concentradas. A Fig. 3.1.1-6 mostra o crescimento de bf a partir das extremidades onde se aplicam cargas concentradas. Em virtude das múltiplas dificuldades existentes na determinação de b , adotamse soluções simplistas a favor da segurança, como a que se indica no item seguinte. 3.1.2 A LARGURA DA MESA DE COMPRESSÃO DE ACORDO COM A NB-1

Para as ações diretas, a largura bf é determinada de acordo com a NB-I da seguinte maneira, Fig. 3.1.2-1:

VIGA

DE

EXTREMIDADE

VIGA

INTERNA

VIGA

ISOLADA

Fig. 3.1.2-1 Largura colabarante conforme a NB-I.

sendo b, b.

=

b,

=

=

largura real da nervura largura da nervura fictícia (b, = b, + soma dos menores catetos dos triângulos das mísulas correspondentes) distância entre as faces das nervuras fictícias sucessivas

tanto para o cálculo de resistência quanto para o cálculo de deformações, adotam-se os valores

b,.

0,10 a ( 8 hf 0,s b2

0,10 a 6 h,

onde: viga simplesmente apoiada

a=(

tramo com momentos na. duas extremidades

3 a = - e 4 a = -3 e

viga em balanço

a=2!

tramo com momento em uma só extremidade

I

I

3.1.3 O PROCESSO DE DIMENSIONAMENTO DAS SEÇÕES T

5

O dimensionamento das seções T é feito de acordo com os mesmos critérios gerais adotados paraas seções retangulares, considerando-se aqui apenas os casos de flexão simples e de flexão composta com grande excentricidade.

FLEXO COMPRESSÃO

FLEXÁO SIMPLES

FLEXO

Fd

Fig. 3.1.3-1 Casos de dimensionamento

Embora os problemas de flexo-compressão com pequenaexcentricidade também pudessem ser tratados pelos mesmos critérios, isso não será feito, pois nessas peças usualmente existem armaduras distribuídas ao longo de todaa seção, e não apenas um par de armaduras concentradas junto as bordas da mesma. Dada a seção transversal, Fig. 3.1.3-1, no caso da flexão composta determinamse os esforços solicitantes

e no caso de flexão simples calcula-se

O processo usual de dirnensionamento considera a transformação da seção T numa seção retangular equivalente, conforme é indicado a seguir. 1. A linha neutra corta a mesa de compressão (x < h,)

i

Conforme é ilustrado pela Fig. 3.1.3-2, quando a linha neutra corta a mesa de

Fig. 3.1.3-2 Linha neutra cortando a mesa.

compressão, não importa a formado restante da seção transversal, podendo a seção T ser tratada como uma seção retangular de dimensões bf.d. 2 . A linha neutra corta a alma da seção ( x > h,) Considerando-se o diagrama parábola-retãngulo de tensóes, a determinação da resultante das tensões de compressão na mesa da seção apresenta dificuldades numéricas. Nesse caso, o dimensionamento da seção exige a construção de tabelas ou de ábacos especiais, como o que é apresentado pelo CEB (Boletim 82, Tabela 26 página 90). O problema pode, porém, ser resolvido de maneira bastante fácil, quando se admite o diagrama retangular de tensões. Neste caso, consideram-se as seguintes situações básicas: a. A zona comprimida estd contida na mesa (x < 1,25 h,) Admitindo-se o diagrama retangular de tensóes, Fig. 3.1.3-3, enquanto

< 1,25 h,, aprofundidade da zonacomprimida efetiva, de 0,8 x, aindaestará restrita a mesa da seção. Desse modo, a seção T ainda poderá ser tratada como uma seção

x

retangular de dimensões bf.d.

Fig. 3.1.3-3 Linha neutra cortando a nervura próximo à mesa.


b. A zona comprimida atinge a alma da seção (x 3 1,25 h,) Admite-se a decomposição da seção, conforme é ilustrado pela Fig. 3.1.3-4parao caso de armadura simples e pela Fig. 3.1.3-5 para o de armadura dupla. A seção formada pelas abas salientes, de largura b, - b,, e pela armadura &,tem braço de alavanca interno igual a d - hJ2. Essa seção resiste à parcela de momento indicada por M,,, A seção formada pelo concreto comprimido da nervura e pela armadura A,, absorve a parcela de momento M,, ., Se esta seção puder resistir ao momento Msd,>L. com C S &,,a peça poderá ter armadura simples. desdobra-se o momento Quando a armadura simples levar a um valor E > M,,, ,em duas outras parcelas, como no caso da seção retangular. A parcela M,, .é o valor resistido pela seção retangular com armadura simples A,,, e a diferença AM,,, é resistida por uma seção metálica composta pelas armaduras de áreas A,, e A',. Usualmente, M,,,, será feito igual a M,,, ,i, correspondente a c = No caso dos aços Classe B , admite-se que a zona utilizável de deformações seja aceitável para a decomposição do momento Msdw. É oportuno observar-se que, em geral, não é recomendável o emprego de seções T com armadura dupla. A necessidade de ser empregada uma armadura de compressão frequentemente indica uma deficiência de altura da viga, a qual pode acarretar problemas de flechas excessivas.

,.

.

cii,.

ARMADURA

SIMPLES

Fig. 3.1.3-4 Linha neutra cortando a nervura

ARMADURA

Fig. 3.1.3-5 Linha neutra cortando a nervura

DUPLA

I

Verifica-se inicialmente se a seção pode ser tratada como retangular de dimen3.2 CÁLCULO IIÁTICO DAS SEÇOES sões bl.d. Calcula-se rp

I

ADIMENSIONAIS. EMPREGO DE TABELAS com o qual é determinado o valor de 5 por meio das tabelas universais. Usando-se tabelas constmídas com o diagrama parábola-retângulo, quando se UNIVERSAIS tiver

o problema será resolvido como o de uma seção retangular. Quando resultar

a manutenção da hipótese do diagrama parábola-retângulo exigirá tabelas especiais. Nesse caso, é preferível admitir-se o diagrama retangular de tensões. Desse modo, para 5 3 1,25 Sf, fa2ase

onde o momento MPd,I resistido pelas abas é dado por Msd,

=

h (ht - b,) h,.0,85 fCd(d - 2) 2

(3.2.1-3)

Observe-se que o momento Msd, também poderia ser calculado pela expressão seguinte

Para o emprego dessa expressão seria necessário dispor-se de uma tabela universal constmída com o diagrama retangular de tensões. Esse caminho não será aqui\ seguido, preferindo-se o emprego da expressão (3.2.1-3); a fim de evitar a duplicidade de tabelas universais. Um caminho dessa naturezaé seguido no cálculo com variáveis dimensionais, pois as tabelas tipo k foram construídas com o diagrama retangular de tensões. O momento resistido pela nervura M,, é então calculado por

Considerando agora a seção retangular de dimensões b;d,

calcula-se o valor de

e a partir dele, por meio das tabelas universais, são determinados os valores de 5,a,e de v',caso seja empregada a armadura dupla. Note-se que, por coerência teórica, aqui também deveria ser empregada uma tabela constmída com o diagrama retangular de tensões. No entanto, como as diferenças de resultados são desprezíveis, emprega-se a Tabela 1 constmida com o diagrama parábola-retângulo.

I


Desse modo, são determinadas as armaduras nos seguintes casos: a. Armadura simples (A,

A#

=

+ A,,)

com sinal (+) para tração e (-) para compressão. b. Armadura dupla (A, A,=- 1

[

rsd

=

A,

Ma,. f + d - hf -

-

+ A,, + A,;

A',)

&+ AMSdiu - t N, d-d'

z

I

com sinal (+) para tração e (-) para compressão A:=-

1

.AMsau

r,

d-d'

sendo

onde usualmente é feito

3.2.2 EXEMPLOS

a. Exemplo I. Dimensionar a armadura de uma viga simplesmente apoiada de edifício, indicada na Fig. 3.2.2-1. São dados: fck = 15 MPa

YC

=

1,4

h4

iT

Aço CA-50B b,

12 cm

=

hf=7cm h

45 cm

=

M,

=

60 kN.m

Y f = 1,4

Fig. 3.2.2-1 Exemplo

De acordo com as expressóes (3.1.3-11, a largura disponível de mesa vale bf

=

b,

+ 2 b,

IN =O.lkgf I kN = 100 kgf = 0.1 tf I k N m = 100 k g f m = 0.1 t t m I kN.cm = 100 kgfcm = 0.1 t t c m

I MPa = I kN/m = I kN/mP = 1 kN/m3 =

I MNlmZ = 10 kgficm* IW kgfim = 0.1 tflm 100 kgi/m8 = 0.1 tfimS 100 kgf/m3 = 0.1 tfim3

onde 0,10 a = 0,10 x 500 = 50 cm b,h[8hl =Sx7=56cm 0,5 h, = (admite-se que não seja condicionante)

logo

15 fCd= = 10,7 MPa 1,4 500 - 435 MPa fUd= 1,15

=

=

1,07 kN/cm2 43,5 kN/cm2

Verificação inicial: seção retangular b,.d

-

Da Tabela 1, para wSd= 0,044, têm-se

5

x

0.11

Esd =

=

10%0,logo (Tsd

0,11 x 40

=

4,4 cm < h,

=

7 cm

= f#d

resultando, para o Aço CA-50B,

h. Exemplo 2. Dimensionar a armadura de uma viga continua de ponte, indicada na Fig. 3.2.2-2. São dados:

f,,

=

18 MPa

Aço CA-50A

Y C = 1,4 y, = 1,15

e = 20 m (tramo de extremidade) 1N I kN I kN.m I kN.cm

=O,lkgf IW kgf = 0.1 d 1W kgf.m = 0.1 !í.m IW kgtcm = 0.1 tf.cm

= = =

I MPa = I kNlm = I kNlmX= I kNlmJ =

I MNlm' = 10 kgf/cm2 100 kgflm = 0,l tflm 100 kgf/mP = 0.1 If/mP I00 kgf/mJ = 0.1 tfim'

I MPa = 0.1 kNlcmZ = 100 Nlcm'


De acordo com a NB-1 (vide Fig. 3.1.2-1) bf

h,

=

C

+ h, + b,

b,

=

h,

+2x

20

+ b, + h,

(viga de borda)

3 3 0,10a=0,10x-Ç=l5Ocm (a=-e) 4 4 8 h, = 8 x 12 = 96 cm 0,5 h, = (admite-se que náo seja condicionante)

I

Verificação inicial: seção retangular h,. d

fcd =

18

-=

12,8 MPa

=

1,28 kN/cmZ

1,4

De acordo com a Tabela 1, constmída com o diagrama parábola-retângulo, para pSd= 0,093, têm-se

5 =0,17

logo

x = 0,17 x 155 = 26,4 cm > h,

O problema deve então ser tratado como seção T e não como seção retangular, pois a zona comprimida atinge a alma da seção. Fazendo-se

onde

,

M ~ ,= (b,

-

b,) hf . 0 3 5 fcd

'Vide comentário em $3.21 I N =O,lkgf = 100 kgf = 0.1 tf I kN I k N . m = I00 kgfm = 0.1 t f m I k ~ c m = 100 kgfcm = 0.1 t f c m

I I I I

. id

MPa = kN/m = kN/m8 = kN/mS=

-

-I*

2

1 MNlmZ = 10 kgf/cmP IW kgflm = O , ] tfim I00 kgf/mZ = 0.1 tf/mz IW kgfimJ = 0.1 tf/ma

I MPa = 0.1 kN/cmZ = IW N/cmX

SEÇOES T

tem-se

M , ,

=

(238 - 30) 12 x 0,85 x 1,28 (155

- 6) = 404 600 kN.cm

logo

,

M ,,= M d - Md, = 680 000 - 404 600 = 275 400 kN.cm Considerando agora a seçáo retangular b;d,

têm-se

z - 0 , 7 6 d - 118cm

sendo possível empregar armadura simples, resultando:

ou seja

c. Exemplo 3. Armar a mesma vigado Exemplo 2, empregando-se o Aço CA-50B. Neste caso, os resultados seguintes são os mesmos para qualquer dos dois aços considerados:

No entanto, para o Aço CA-SOB, de acordo com a Tabela 1,

Fazendo-se

com Md,,

c

= Mdw, t ~ r n

resultam

,<,

Mdw, lim= pd, b, d2 fcd I N = 0.1 kgf I kN = 100 kgf = 0.1 lf 1 k ~ . m= 100 kgf.m = 0.1 I kN.cm = 100 kgfcm = 0.1 t f c m

=

0,257 x 30 x 155%x 1,28 P 237 000 kN.cm

1 MPa = I kN/m = I k ~ i m= * I kN/mJ =

I MNlm* = 10 kgflcmz 100 kgflm = 0.1 tflm IW kgf(mz = 0.1 tfimP 100 kgflm" 0.1 !fim3

1 MPa = 0.1 kN/cms = 100 N/cmZ

e =

Mdw - Mdw,lim

=

275 400 - 237 000

=

38 400 kN.cm


com

logo, de acordo com a Tabela 2,

dSd= 405,2 MPa

=

40,52 kN/cm2

obtêm-se:

logo

A,

=

62,4 + 43,6

+ 6,O = 112 cm"

(23 0 25)

e

I N =O,Ikgf I kN = IW k g f = 0.1 tf I k N m = 100 kgfm = 0,I tf.m I kN.cm = IW k g t c m = 0.1 tf.cm

I MPa = 1 kNlm = I kNlm' = I kNlms=

1 MNlm' = 10 kgflcms

IW kpfim = 0,I tflm 100 kgflm2 = 0,I tflm' 100 kgf/m3 = 0.1 tf/m3

De acordo com o que jáfoivistoanteriormente, em primeiro lugar deve ser feita a 3.2.3 VARIÁVEIS DIMENSIONAIS. tentativa de consideração de uma seçáo retangular de dimensóes bfd. Dados os esforços EMPREGO DE TABELAS TIPO k Nd = F K . Y ~ (3.2.3-1)

calcula-se o valor de

e a partir dele, pelas Tabelas 3 a 8, fica conhecido o valor de

sendo válida a hipótese desde que

resultando

com o sinal (+) para tração e (-) para a compressão. Quando resultar c > 1,25 h , deve ser feita a decomposição

onde Msd, I. =

(b, - b,)d2 kc, = 1,25 w

devendo o momento Msd. w

=

Msd - Msa. I

ser resistido pela seçáo retangular de dimensóes b, x d Calculando-se o valor

quando k e , to

kc,

~ i m

(3.2.3-9)

pode ser empregada a armadura simples, e, no caso contrário, quando kc, w > kc, iim

(3.2.3-10)

95


é preciso fazer-se a decomposição

MadW

=

Msdw, c +

AMsd

sendo aparcela M, ,resistida pela nervuracom aarmadura simples A,, e adiferença AM,,, resistida pela seçáo metálica composta pelas armaduras A, e A',. Observando-se que a real posição da linha neutra é condicionada pelo momento M,,,, do qual decorrem os coeficientes k,,, k,, k,, e k',,resultam as armaduras seguintes: a. Armadura simples (A,

=

A*

+ A,,)

com k, e k, determinados em função de k,, , sendo o sinal (+) para N, de tração e (-) para Ndde compressão.

I

+ A,, + A,,; A(,)

b. Armadura dupla (A, = A,

com k,, k', e k,, determinados em função de k,, , sendo o sinal (+) para N, de tração e (-) para N, de compressão.

3.2.4 EXEMPLOS

a. Exemplo 4. Resolver o Exemplo 1 (53.2.2), empregando as tabelas tipo k. Dados:

f,,

=

15 MPa

YC

=

1,4

Aço CA-SOB

Calculando-se

I N I kN I kN.m I kN.cm

=O,lkgf = IW kgf = 0.1 if = IW kgf.m = O,? t f m = 100 kgfcm = 0.1 ff.cm

1 I I I

MPa = kNim = kN/m2 = kNlmJ =

I MNlm* = 10 kgficm' 100 kgfim = 0.1 [fim 100 kgfimZ = 0.1 ff/m2 I00 kgfim3 = 0,1 fVm3

SEÇOES T

-

da Tabela 7 resultam, a favor da segurança,

6

0,07, logo x

=

0,07 x 40

=

2,8 cm < h,

e

k,

0,024, logo A,

=

=

8 400 0,024 -= 5,M cm2 40

(4

0123

b. Exemplo 5. Resolver o Exemplo 2 ( 5 3.2.2), empregando as tabelas tipo k. Dados:

M, f,,

= =

6 800 kN.m

=

680 000 kN.cm

18 MPa

? r = 1,4 YC = 1,4

Aço CA-SOA (Tabela 6) b,

=

30 cm

155 cm

d

=

h,

=

12 cm

b,

=

238 cm

Verificação inicial Calculando-se

da Tabela 6 resulta

6

-

0,15, logo

não sendo possível tratar a seçáo como retangular. Determinando-se o momento

sendo

logo

5=

1,25 6,

=

1,25 x 0,077 = 0,097

IN =O,lkgf I kN = 1W kgf = 0.1 tf i k N . m = 100 k g t m = 0.1 r f m I k N c m = IW kgfcm = 0.1 t f c m

I MPa I kNim I kNim' I kN1d

= = = =

I MNlm2 = 10 kgficm2 IW kgflm = O. I !fim 1W kgflm' = 0.1 rfima 100 kgfim" 0.1 tf/m3


resulta da Tabela 6

,-11,9

k,, donde

Md,

=

Md - Md,

=

680 000 - 419 930 = 260 070 kN.cm


têm-se

5 = 0,52

logo x

=

0,52 x 155 = 80,6 cm

resultando de A,

=

k,,

Mdf + k, MdW d - 2h 2

d

o valor

C.

Exemplo 6. Resolver o problema anterior usando Aço CA-50B (Tabela 7)

Neste caso, valem os seguintes resultados:

M,

=

419 930 kN.cm

M,, = 260 070 kN.cm

com k,,

=

2,s ik,,

,

=

3,0, embora o valor de k,

=

2,8

ainda esteja dentro da chamada zona utilizável. Todavia, a fim de comparar os I N I'kN I kN.m I kN.cm

=0,1kgf =lWkgf=O,Id = 1W kgfm = 0.1 d.m = 100 kgtcm = 0.1 ü.cm

I MPa = I kNlm = I kN1m2 = 1 kN/m3 =

I MNlmz = 10 kgf/cmS 100 kgflm = 0.1 tflm IW kgflm* = 0.1 dlm2 I00 kgf/m3 = 0.1 tf/m3

I MPa = 0,I kN/cm2 = 100 Nicm'

resultados deste problema com os resultados do problema 3 , será adotada armadura dupla. Fazendo

com k,,

=

li,

3,0, tem-se

logo =

AMdw = Mdw - Mdw,

260 070

- 240 250

=

19 820 kN.cm

As armaduras são determinadas pelas expressões

5 = tiim = 0,4623 e 8'

onde, para

k,

=

=

71155

=

0,05, têm-se

0,029

a

=

1 ,O0 logo

p

=

0,93

logo

k,

=

k:

0,023 0 023 0,93

= L=

0,025

resultando

isto é A,

=

64,U

+ 3,l + 44,9 = 112,U cmZ

(23 0 25)

e

, ~~-. 1kN =IWkgf=O,Itf 1 kN.m = 100 kgf.m = 0.1 t f m I k N c m = IM) kgf.cm = 0.1 t f c m ~

~~~~,

I kNim = 100 k d m = 0.1 ifim I kNimS = 100 kgfim' = 0.1 tfim' I kN/m3 = IW kgfim3 = 0.1 tf/mJ

3.1 Nas vigas de edifício, quais as que devem ser consideradas de seçáo retangulare quais as de segáo T? Exemplificar, considerando lajes naface superior da viga e lajes rebaixadasde um e dos dois lados da nervura. 3.2 Que variáveis devem ser considei-adas nadeterminaçáo da largura bf da mesa d e compressâo? 3.3 Quando a seção T pode ser tratada como uma seção retangular? 3.4 Admitindo-se o diagrama retangular de tensões, qual aposição limite dalinha neutra para que a seçáo T seja tratada como retangular? Justificar. 3.5 Justificar a decomposição do momento M, nas parcelas M,[, e M,: para as seções T com armadura simples. 3.6 Por que a parcela Md, náo depende d a real posição d a linha neutra? Discutir. 3.7 Por que a posição d a linha neutra só depende da parcela M,, ?, 3.8 Qual a relação existente entre os momentos M,, e M,, i> 3.9 Por que o cálculo d e M,, ,com o diagrama parábola-retângulo apresenta maiores diticuldades do que com o diagrama retangular d e tensões? Justificar. 3.10 Comparar os exercícios I e 4. Comentar os resultados. 3.1 1 Comparar os exercícios 2 e 5. Comentar os resultados. 3.12 Comparar os exercícios 3 e 6. Comentar os resultados.

,..

,

4

F1exã.o Oblíqua

4.1 MÉTODOS GERAIS DE CÁLCULO 4.1.1 CÁLCULO EXATO

Considerando o caso geral daflexáo oblíquacomposta, Fig. 4.1.1-1, têm-se os seguintes elementos para a solução exata do problema.

Fig. 4.1.1-1 Flexão composta oblíqua.

i

102


a. Condições de equilíbrio

M ~= , F, e,

=

JJ

+

x

ued . d ~ d ~ A, A..

M

=

F e

ucdY

=

X,

c~dd

i = l

i

. ~ X ~+ Y A, uw Y*

A,,

i = l

h. Condições de compatibilidade As condições de compatibilidade são decorrentes da manutenção da forma plana da seção transversal. Dada a posição da linha neutra e imposta a deformação específica de um ponto particular da seção transversal, ficam determinadas as deformações específicas de todos os outros pontos da seção e, conseqüentemente, as respectivas tensões. Assim, por exemplo, Fig. 4.1.1-1, uma vez fvtada a posição da linha neutra e imposta a deformação eeld= 3,S%o no ponto mais comprimido, ficam determinados o diagrama de tensões no concreto bem como as tensões que agem em cada uma das barras da armadura. c. Solução do problema Para umadada seçáo transversal, escolhidas inclinação
podem ser calculadas todas as tensões. As equações de equilíbrio (4.1.1-1) fornecem então os valores dos esforços solicitantes correspondentes NdrMsd e M,,. d. A p s e n t a ç ã o dos resultados -\

I

Variando a profundidade x da zona comprimida e, para cada x, variando a inclinação a dalinha neutra, obtêm-se todos os possíveis ternos de valores Nd, Mrde M,, que conduzem uma dada seção ao estado limite último de ruptura ou de alòngamento plástico excessivo. Confoiine se mostra em § 4.1.3, esses ternos de valores podem ser representados por meio de superfícies ou de diagramas de interação. Cabe, no entanto, salientar que o traçado sistemático dos diagramas de interação somente pode ser feito, do ponto de vista prático, da maneira indicada a seguir. e. Traçado dos diagramas de interação Para o traçado sistemático dos diagramas de interação, ao invés do sistema de coordenadas indicado na Fig. 4.1.1-1, adota-se o sistema indicado na Fig. 4.1.1-2. Com o sistema de coordenadas mostrado nessa figura, as equações de equilíbrio podem ser escritas da seguinte forma, onde as integrais seguem um sentido de circuitação preestabelecido:

O traçado sistemático dos diagramas de interação é feito para valores constantes de N,. Nessas condições, adotado um valor de N,, ou seja, admitido um valor de

fixa-se uma inclinação a para a linha neutra e calculam-se os valores de Nd para valores crescentes da profundidade x,, da zona comprimida. Quando se obtém o valor preestabelecido para N,, nessa posição são calculados os momentos M, e MWde, a partir deles, os momentos Mzd e M,,, obtendo-se então valores de

com os quais fica determinado um ponto d o diagrama de interação, Fig. 4.1.1-3. Observe-se que, na Fig. 4.1.1-2, M, é o momento que age no plano que contém o eixo M, atua no plano que contém Gy. dotam-se a seguir novas inclinações a para a linha neutra e repete-se para cada elas o processo descrito anteriormente, obtendo-se desse modo, por pontos, o aiagrama de interação (/L=, pyd,vd = const.)

104

ESTRU-rURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇóES NOHXAIS

Pyd

( J d = v a l o r prefixado )

I r i %

J'(yd, cai

-----

I

N xd,

calculado

Fig. 4.1.1-3 Traçado ,do diagrama de intelacão

4.1.2 SUPERFICIES DE INTERAÇAO E DIAGRAMAS DE INTERAÇAO

Conforme jáfoi visto, dando-se a forma da seçáo transversal, definindo a armadura e especificando as resistências de cálculo dos materiais, podem ser determinados os ternos de valores N,, M,, e M,,que levam a seção transversal ao estado limite último de ruptura ou alongamento plástico excessivo. A Fig. 4.1.2-1 mostra de forma genérica a superfície de interaçáo dos valores últimos Nu, M,, e M,,.

1

u

,

compressão

" " (ELEMENTO FUNDAMENTAL A S A P L I C A Ç ~ E S)

__C

M~ u

," p/

o 5'0 OP'O

OE'O

02'0

01'0

00'0

O 01'0 -I 3 C3

Z

02'0

+

hrl

lx 1

0£'0

-x

-I

O

3

o*"'

CC Oi'O

'$

u 5

a w a

OC'O E

Oi,O,

.. O

""t

a

O

01'0 Z

O

O

00'o

01'0,

* 02'0

'1

0

O

O£'O

;

4

O C ' O ,

OS'O

OS'O

OE'O

O

o

:219 a 2i

I . .

O 2i

I

I

OE'O

a

-I

m ,u

.a o*, OS'O

a a

OE'O

..

C W

02'0

5 Z

01'0

O

OE'O

a

m

rp

Ob'O

OE'O

a-

OE'O

108


A propriedade mais importante dessas superfícies de interação (Nu,MA, M,,)éa sua convexidade, conforme está mostrado nos cortes correspondentes a N, = 0, M,, = O, M,,, = O e Nu = constante # 0, respectivamente, Fig. 4.1.2-1. Essa propriedade de convexidade permite, como será visto posteriormente. o estabelecimento de processos aproximados de cálculo, a favor da segurança. Na verdade, a convexidade dos diagramas de interação (M,,,, M,,) para N, = constante # Oparece não ser rigorosamente perfeita. Todavia, Eomo é aparente nos diagramas aqui apresentados, para todos os efeitos práticos pode ser admitida a convexidade perfeita da superfície de interaçáo. A apresentação das superfícies de interação é feita por meio de ábacos. por vezes chamados de ábacos em roseta, correspondentes a cortes da superfície de interação, definidos por diferentes valores de v,. Para as seçóes com dupla simetria. os diagramas de interação são frequentemente apresentados em octantes.', V a r a o emprego rotineiro, esse tipo de representrição não é o mais cômodo. Nas figuras seguintes," Figs. 4.1.2-2 a4.1.2-4, estão apresentados ábacos calculados de acordo com as especificações da NB-1/78. Em qualquer caso, para as aplicaçóes é importante observar quais as coordenadas adotadas para os diagramas de interaçáo, pois alguns são apresentados em função das excentricidades relativas e,lh, e e,/h, e outros em função dos momentos relativos w, = ve,/h, e w~ = vedh". De forma análoga. deve-se prestar atenção nas definições adotadas para as grandezas adimensionais. pois pode haver pequenas diferenças de uma apresentação para outra.

4.1.3 EXEMPLO

I I

,

Para exemplitlcar a utilizaçao dos diagramas de interação, considere-se a seção transversal mostrada na Fig. 4.1.3-1.

Sao dados os seguintes valores: I

'Marcos Antonio Marino, Sesó-

~ r a n ~ ~ e de r ~ca< iI ~~ c ~ Parmado ~<> sujeitos a solicitacoes normais. Dissertaçáo de Mestrado elaborada sob a otientaqáo do Autor. Escola Politécnica USP, Sáo Paulo, 1978. I I I i

N = 0.1 kgf kN = 100 kgf = 0.1 t i kN.m = 1W kgf.m = 0.1 t f m k N c m = 100 kgf.cm = 0.1 I f c m

I I I I

MPa = I MNlrnZ= 10kgficm2 kNlm = 100 kgflrn = 0.1 tflm kN/m2 = 100 kgf/mz = 0.1 tf/m2 kN/mS = 100 kgf/ma = 0.1 tf/rn3

fck

=

15 MPa

=

1,s kN/cm2

?c

=

1,4

f,., = - -

1.07 k ~ / c m ~

1,4 Aço CA-SOB

fyd= 43.5 kN/cinY

y, = 1,15

Ábucos du Fiz. 4.1.2-2

Para a utilização destes ábacos, calculam-se os valores:

De acordo com a Fig. 4.1 .?-2, tem-se

e para

Interpelando linearmente, para u = 0.62, obtém-se

resultando

ou seja, pode ser adotada a soluçáo

=u,lkgf = 100 kgf = 0.1 tf I k N . m = 100 kgf.m = 0.1 r t m I kN.cm = 100 k b i c m = 0.1 S.cm 8

1

I kN

I I 1 I

MPa = kN/m = kN/m2 = kN/rnS =

I M N l m 2 = 10ksficmZ

100 kgflm = 0.1 tflm 100 k8fim2 = 0.1 tflm* ' 100 kgf/ms = 0.1 tf/m3


110

4.1.4 CÁLCULO P O R

TENTATIVAS

Quando não existem os diagramas de interação paraa seção transversal consideradae nem são aplicáveis outros processos de cálculo, o dimensionamento da seçãopode ser feito por tentativas, conforme é indicado na Fig. 4.1.4-1.

Dada a seção transversal e a posição da força Fd, escolhe-se o arranjo da armadura de traçáo de forma tão concentrada quanto possível, a fim de facilitar a solução do problema. P A posição da linha neutra deverá ser determinada por tentativas, sabendo-se que a força Fd aplicada, a resultante R, das tensões na armadura de tração e a resultante R,, das tensões de compressão no concreto deverão estar contidas num mesmo plano.

I

FLEXAO OBL~QUA

111

Desse modo, conhecendo-se as posições de Fd e de R,,, Fig. 4.1.4-1, e sabendose que

sendo Nd = Fd

(4.1.4-2)

determina-se, por tentativas, a posição da linha neutra que satisfaz as condições (4.1.4-1) a (4.1.4-3). Uma vez determinada a posição da linha neutra, calcula-se a armadura de tração pela condição

com o sinal (+) para N, de traçáo e o sinal (-)para compressão, controlando-se as deformações para verificar se realmente é satisfeita a condição

4.1.5 EXCENTRICIDADES ACIDENTAIS

De modo tradicional, na presença de força normal de compressão, os casos de solicitações normais são classificados em: compressüo centradu,flexüo normal composta eflexüo oblíqua composta. Todavia, de acordo com os novos princípios de verificação da segurança, no caso de força normal de compressão, passou-se a considerar explicitamente a incerteza na localização do ponto de aplicação da resultante dos esforços normais. Foi assim criado o conceito de excentricidade adicional, que na nova NB-1 é designada por excentricidade acidental. A excentricidade acidental foi fixada convencionalmente com o maior dos dois valores seguintes:

onde h é a maior dimensão da seção na direção considerada. Desse modo, em princípio, todos os problemas de compressão passaram a ser problemas de flexão oblíqua composta. Evidentemente, por razões de ordem prática, nem todos os problemas serão tratados com o mesmo grau de rigor. Assim, na Fig. 7.3.1-1 do B 7.3.1 estão indicadas as excentricidades a serem admitidas no cálculo, em função das situações teóricas de projeto, deacordo com a NB-I. Quando a situação suposta no projeto for de compressão centrada ou de flexo-compressão normal, a obliquidade decorrente das excentricidades adicionais será tratada de forma simplista. Pelo contrário, quando a situação teórica de projeto já for de flexão oblíqua composta, o problema será tratado com maior rigor, conforme será discutido posteriormente no Cap. 7. Observe-se que no caso de peças esbeltas, além das excentricidadesjá consideradas, ainda deverão ser levados em conta os efeitos de segunda ordem, decorrentes da deformação das peças.

4.2 MÉTODOS SIMPLIFICADOS DE CÁLCULO 4.2.1 LINEARIZAÇÃO DOS Este critério conduz a soluçóes necessariamente a favor da segurança, em virtude da DIAGRAMAS DE convexidade da superfície de interação, Fig. 4.2.1-1. INTERACAO Emprega-se um diagrama linearizado d e interação para o dimensiona-

DIAGRAMA

REAL

DIAGRAMA LINEARIZADO

I Resultados 0

fovor

do

sistematicamente segurança

Fig. 4.2.1-1 Mérodos simplificados de cálculo.

xd, cal

mento de seçóes submetidas à flexáo oblíqua composta, obtendo-se a expressão I

Mvd + Mzd = -

Muo, u

1

Ma,u

,,

válida para Nu, = Nd. A critica a ser feita a esse processo simplificado é a de conduzir, por vezes, a soluções sensivelmente antieconômicas. A sua defesa é a de conduzir sempre a soluções a favor da segurança e de permitir o dimensionamento da armadura por tentativas, e não a simples verificação da carga que pode ser aplicada numa dada posição de uma seçáo conhecida. Observe-se que a linearidade dos diagramas de interaçáo pode ser interpretada tanto nas coordenadas M,, e M,, quanto em e,, e e,,, bem como em e,,/h,e e,,/h,. conforme mostra a Fig. 4.2.1-2 e de acordo com o que já havia sido mostrado nas figuras do § 4.1.2. Para o emprego do método, dado o pontoA ( p s d ,p y d ,v d ) ,escolhe-se uma reta que passe por esse ponto, cortando os eixos coordenados nos pontos B GyO, d , vd)e C ( w ~ , ,v~d ,) .Fig. 4.2.1-1. Dimensiona-se a seção sob a ação de uma das flexões normais definidas pelos pontos A e B e verifica-se, a seguir, para a outra flexáo normal. Caso esta última verificação dê resultado satisfatório, a seçáo terá segurança superabundante para a flexão oblíqua original.

Fig. 4.2.1-2 Linea"zaç80 dos diagramas de interacão

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITACÕES NORMAIS

No caso de seções retangulares com armaduras iguais nas quatro faces, os diagramas de interação linearizados terão uma inclinação de 45O com os eixos coordenados, bastando então um único cálculo de dimensionamento numa das direções principais. 4.2.2 EXEMPLO

Considere-se o dimensionamento aproximado doexemplo resolvido de modo rigoroso em § 4.1.3. São dados os seguintes valores: N,

=

f,,

=

1000 kN 15 MPa

y, =

=

Aço CA-SOB

h,

=

b

=

Nd

1,4

1,s kN/cm2

e,

=

1,4 x 1000 = 1400 kN

y, = 1,4

y, = 1,15

30 cm

=

f,d

=

f,,

=

1,07 kN/cm2

43,5 kN/cm2

6 cm

-- - -

b

Y

IJ

Plano

de

My

ey :28 r

hY

Plano de M,


1 N I kN 1 kN.m I kN.cm

=O,lkgf = 100 kgf = 0.1 tf = 100 k g f m = 0.1 1f.m = 100 kgfcm = 0.1 tf.cm

I MPa = 1 kN/m = 1 kN/m2 = 1 kN/rn3 =

I MPa = 0.1 kN/crnn = 100

e~ 3, -

I MNlm* = 10kgf/cm*

I W kgfim = 0,I tflm I W kgfim2 = 0.1 tflrn2 1 0 0 k g f / ~= = 0.1

30

0,20

Admitindo-se diagramas de interação linearizados e mantendo-se o mesmo arranjo da armadura, isto é, colocando-se armadura igual nos quatro cantos, o dimensionamento mais econômico deflexáonormal compostacorresponde ao que se mostra na Fig. 4.2.2-1. Quando se empregam diagramas de interaçáo nas coordenadas e,/h, e e,/h,, como é o caso apresentado na Fig. 4.2.1-1, o dimensionamento mais econômico corresponde a

Quando se empregam diagramas de interação nas coordenadas pZd e pVdicomo aqueles apresentados nas Figs. 4.1.2-2 a 4.1.2-4, a condição econômica é obtida com

Ambas as condições decorrem do fato de a armadura estar igualmente concentrada nos quatro cantos, pois, nesse caso, o diagrama linearizado mais econômico corresponde a uma reta igualmente inclinada em relação aos eixos coordenados. De fato, com esse arranjo de armadura, para um mesmo valor de v,, deve ser obtida a mesma taxa de armadura quer se considere uma flexáo normal composta segundo o eixo Gx, quer segundo o eixo Gy. Nessas condições, empregando, por exemplo, os ábacos de flexão normalcomposta de Montoya,* para

obtêm-se: para 6'

para

d' h

= -=

d' h

0,10

6' = - = 0,05

o = 0,86

o = 0,76

Interpolando-se para 8'

resultando

logo A,,

,,C,L=

4 x 10,3 cm2

=

0,07, tem-se

Sabendo que este resultado é sempre a favor da segurança, seria aceitável a mesma solução obtida anteriormente A,, ,,,,L =4

X

3 c$ 20

=

4 x 9,45 cmZ

Note-se que a aproximação do cálculo simplificado foi muito boa neste caso particular em que os diagramas reais de interação são praticamente lineares, Figs. 4.1.2-2 a 4.1.2-4. Observe-se novamente que, pelo fato de a armadura estar igualmente concentrada nos cantos, bastou o cálculo de flexão normal composta em uma só direção. 4.2.3 UM PROCESSO Em face das dificuldades existentes no cálculo das seções submetidas a flexáo comEMPIRICO TRADICIONAL posta oblíqua, muitos processos empíricos foram sugeridos pelaliteratura técnica. Na Fig. 4.2.3-1 está ilustrado o chamado processo da Norma Russa, que teve larga aceitação durante muito tempo.

I

Fig. 4.2.3-1 Um método antiga de cálculo.

Por esse processo, sendo N,,,

=

força normal última na compressão centrada

N,,

=

força normal última na flexão normal composta com o momento último M,,

N,, = força normal última na flexão normal composta com o momento último M,,

admite-se que, na flexão oblíqua composta, a força normal última Nu, acompanhada dos momentos M,, e M,,, seja dada por 1 Nu

-

- +1 - - - I N,, N,

I No,

Alguns autores tentaram justificar teoricamente essa expressão, mas conforme se ilustra na Fig. 4.2.3-1, ela deve ser entendida como uma expressâo empirica. De acordo com estudos realizados por Moran," a chamada fórmula da Norma Russa pode conduzir a erros contra a segurança de importância bastante significativa, não existindo estimativa d o máximo erro possível. Os resultados indicados na Fig. 4.2.3-1 são válidos apenas para a seção particular aí indicada. Por esse motivo, a chamada fórmula d a Norma Russa deve ser definitivamente abandonada.

4.3 MÉTODO DA TRANSFORMAÇAO AFIM DAS SEÇOES* 4.3.1 TRANSFORMAÇAO O método d a transformação das seções é baseado na possibilidade de realizar uma A F I M DAS SEÇOES transformação d a seção, mantendo constantes os valores dos parimetros adimensioRETANGULARES nais que intervêm no dimensionamento d a mesma sob a ação d e solicitações normais,Iu Fig. 4.3.1-1.

Fig. 4.3.1-1 Sesões ntins

'Telèmaco van Langendonck, Fierio comportu ubiíouo no con
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAB

Considerem-se duas seções retangulares de lados paralelos aos eixos coordenados Ox e Oy, armadas em cada uma dessas duas direções com duas camadas de barras de aço. Admita-se que as duas seções estejam submetidas àflexão composta oblíqua. Os parâmetros de cada uma das seções estão indicados, respectivamente, pelos índices 1 e 2. Para a manutençáo dos parâmetros adimensionais são possíveis dois caminhos diferentes: num deles altera-se a intensidade da forçalongitudinal F na mesmaproporção que a razão A de afinidade e mantêm-se as resistências dos materiais; no outro, alteram-se as resistências dos materiais na proporção l i 1 e mantém-se a intensidade da força F. Considerando então as duas seçóes, a original e a transformada, a cada uma delas correspondem as seguintes grandezas:

A,,,

a. Dimensóes: h,,, h,,, A,,,

A

,,,$,

A,,,

b. Materiais: fcdlrfydl= fidl c. Taxas mecânicas de armadura: os, =

=

As,,

wu, =

fvdl

hz1 hu, fCdl A'8Zl

as#^ fudl h,, h,,

o;l =

f ~ d l

h91 fcdl

K8U1

fCd,

fUdl

hzl hyl fcdl

d. Esforços: Ndl = Fd MZdi =

Fd.e,, (atuante no plano que contém o eixo Ox)

M,,,,

F,.e,,

=

(atuante no plano que contém o eixo Oy)

e. Esforços relativos:

Pzdl

=

Fd . e,, h,, hZ,, fCd1

b. Materiais: f,,,, fvd2=

fid2

c. Taxas mecânicas de armaduras:

r W,z2

- AS,, -

f'vdz

h52 hy2 fcd2

,y,

-

ASa

flud2

fcd2

d. Esforços: Ndz

=

Fd

(por hipótese)

M,,

=

Fd . e,,

(atuante no plano que contém o eixo Ox)

MVd2 = Fd

. eVz (atuante no plano que contém o eixo Oy)

e. Esforços relativos:

Admita-se que aSeção 2 sejaobtidaapartir daSeção 1 por meio de umaafinidade paralela ao eixo Oy, de razão h igual a

Como a afinidade é paralela ao eixo Oy. são alteradas apenas as dimensões paralelas a essa direção, mantendo-se as dimensões paralelas ao eixo Ox. Desse modo, resultam as relações seguintes:

h,*

=h

h,,

e,,

= h

e,,

h,*

=

h,,

er2 = e,, 1 ." Alternutiva

Admita-se ainda que existam as seguintes relações entre as resistências dos materiais das duas seções consideradas:

f,,,

=

A f,'dl

Com todas as hipóteses formuladas anteriormente, obtêm-se então Vp =

Fd

h,, h,, fcd,

-

Fd

=

V,

h,, Ah,, f,,,

Conforme já foi assinalado, há uma outra forma alternativa de transformar a seção, mantendo-se também os valores dos parâmetros adimensionais. De fato, basta manter os valores das tensoes e alterar a intensidade da força longitudinal, fazendo-se

Neste caso, têm-se

Py~d=

F P ey2 ~ = AF,d . Ae,, - Puid h,, A2 h : , fCd h,, h;z fCd

o52 =

A,,, fvd h,, h,, f,,

012

=

=

AA,,, . fvd - os, h,, . h,, fCd

A,, fuL = h A3,1 . fv, = o:, h,, . A hyl fcd hzz h,, fcd

4.3.2 FUNDAMENTOS DO MÉTODO DE CÁLCULO

Considere-se uma seção transversal retangular de lados h, = b e h, submetida à flexão composta oblíqua em virtude daaplicação da forçalongitudinal F d rque age com as excentricidades e, e e,, Fig. 4.3.2-1.

Fig. 4.3.2-1 Transforrna~ioafim

Admitindo-se a transformação da seção por uma afinidade paralela ao lado maior h,, com razão

1


obtém-se uma seção quadrada de lados

hxQ= h,,

=

b

(4.3.2-2)

Com essa afinidade tamhém ficam alteradas as áreas das seções transversais das armaduras, sendo (4.3.2-3) A,,u = A As, Aszu =

h

De forma análoga, admite-se que a afinidade também afete as excentricidades da força F,, resultando ezy = e,

(4.3.2-4)

e

Admitindo ainda a hipótese suplementar de que também seja alterada a intensidade da força axial, sendo

sabe-se, de acordo com o que foi visto no item anterior, que permanecem invariantes os valores das seguintes grandezas adimensionais:

Observe-se que, em virtude dà alteração da força axial, conforme (4.3.2-6), n6o haverá alteração das resistências dos materiais empregados.

1

b. Condições de dimensionamento De acordo com o que foi visto em § 4.1.1, as condições gerais de equilíbrio da5 seções retangulares, Fig. 4.3.2-2, podem ser escritas:

N.=,=//

%dXdY+i A,,

Astu.. 1

Fig. 4.3.2-2 Flexão composta oblíqua.

Introduzindo as condições de compatibilidade de deformações nas expressões de equilíbrio, elas podem ser reduzidas as suas formas adimensionais, resultando num sistema de equações nas variáveis seguintes:

I


11. Armaduras:

111. Cobrimentos: d!, ss = -

., 8'3,

d',, hu

= -

hz

IV. Posição da linha neutra:

5 = -X

; a, (Fig. 4.3.2-2)

h,,é,ccia V. Resultante das tensões no concreto: a

=

R" A," ' J " l d

;

tt,

;

E ' ~

L[(

e

5: coordenadas adimensionais da posição de R,,)

VI. Tensões nas armaduras:

VII. Deformaçáo de referência: (no ponto mais comprimido da seçáo)

(juntamente com 5 e a, definem o domínio de deformações da seçáo)

Tendo em vista que a transformação afim de razão h juntamente com a trarisformação da força longitudinal para FQd= A F, não alteram as variáveis V,, pzd,pyd,ws. I a',, w,, o:, s:, s:, e que a s demais variáveis a , C,, t:, usa/f,,~, 'Jss/fvd? 'Jsc/fUd3 uSD/fi,,são funções unívocas de 5, o, e E , . , ~conclui-se , que o dimensionamento pode ser feito com a seçáo transformada em lugar de ser realizado com a seção original. De fato, impondo-se os mesmos valores de 5, a, e E,,, para as duas seções, a original e a transformada, são iguais os correspondentes valores de todas as demais variáveis adimensionais que regem o equilíbrio e a compatibilidade do sistema. Desse modo, dimensionando-se a seção transformada, é obtido o dimensionamento da seção original. Para a realização desse dimensionamento, um dos caminhos possíveis é o do traçado dos diagramas de interaçáo V,. psd.pyd. Com essa finalidade, dada a seção transversal e admitidos os valores de w,, w',, w, e o',,para cada terno de valores E ~ , 5~ e, a,, resultam nos valores dos esforços vd, psd e pUdr que podem ser aplicados. Pelo exposto conclui-se que, se existissem os diagramas de interação da seção transformada, o dimensionamento poderia ser efetivamente realizado, de forma rigorosa, com a própria seção transformada. O dimensionamento aproximado, considerado a seguir, tem por finalidade eliminar a necessidade do emprego dos diagramas de interação da seção transformada. c. Dimensionamento aproximado O dimensionamento aproximado das seções submetidas a flexão composta obliqua pode ser feito, em princípio, pela decomposição dos esforços solicitantes. Várias soluções dessa natureza são encontradas na literatura referente ao assunto.

Em todas elas, em lugar de uma flexão composta oblíqua, são consideradas duas flexões normais. Algumas soluçóes consideram duas flexões normais compostas, enquanto outras consideram uma flexão normal composta e uma flexáo normal simples. Para seçóes retangulares, a decomposição tem sido tradicionalmente feita considerando-se duas flexóes atuantes em planos paralelos aos lados da seção, Fig. 4.3.2-3. Em cada uma dessas flexões esgota-se uma parceladaresistênciaf,, do concreto. As armaduras calculadas em cada caso são somadas para a obtenção da solu~ão completa. Todavia, a distribuição das armaduras calculadas não é a que melhor se adapta a resistência aos esforços decorrentes de uma flexão oblíqua.

Fig. 4.3.2-3 Decomposição tradicional de esforços

O dimensionamento aproximado a seguir considerado,* que requer a transformação preliminar da seção retangular em uma seção quadrada, decompõe os esforços aplicados em duas flexões normais compostas, agindo uma delas num plano paralelo a um dos ladosdaseção e a outra segundouma das diagonais do quadrado, Fig. 4.3.2-4.

Fig. 4.3.2-4 Decornposiçào dos esforços na seção transformada

Também neste caso, a resistência do concreto é esgotada parcialmente em cada uma das solicitações. Na solicitação que age segundo o plano que contém o eixo Oy, admite-se uma 'Telêmaco van Langendonck. Flexriu composro oblíqua no concreto ormudu. A.B.C.P..Sáo Paulo, 1977

resistência 0,85 feda e, na solicitação segundo o plano que contém a diagonal Z, considera-se a resistência 0,85 f,, sendo

As armaduras calculadas para cada uma das flexões consideradas são somadas para a obtenção da solução final. Note-se que, com a decomposição agora adotada, é obtida uma distribuição de armaduras mais adequadapara aresistênciaaflexão oblíqua. Essa melhor distribuição pode ser obtida em virtude de se considerar uma das flexóes no plano diagonal. Para isso é necessário transformar a seção retangular original numa seção quadrada, pois só então o plano diagonal passa a ser um plano principal da seção. 4.3.3 ROTEIRO DE CÁLCULO

Dada uma seção retangular submetida a flexão composta oblíqua, transforma-se a seção num quadrado, por meio de uma afinidade paralela ao lado naior, alterando-se também na mesma proporção A a força aplicada, sendo A a razão de afinidade, Fig. 4.3.3-1. A seguir, desdobra-se a flexão composta oblíqua em duas flexões compostas normais, conforme está mostrado na Fig. 4.3.3-2.

Fig. 4.3.3-1 Transformacão da seçáo.

A força longitudinal FQé decomposta em duas outras, F,, e F,,, que lhe são estaticamente equivalentes. A força F,, age no pontoA sobre o eixo Oy paralelo ao lado, e a força F,, atua no ponto B sobre a diagonal Oz, sendo

Como as duas forças F,, e F,, estão sobre a mesma paralela ao eixo Ox, não se altera o momento fletor M,,, pois M,Q = FQeu,

=

(4.3.3-2)

(FUQ+ FN) eu,

Para que não se altere o momento M,,,

Fig. 4.3.3-2, deve ser

~ i g 4.3.3-2 . Seção transformada.

e, como a seção é quadrada, tem-se

KB

=

ÓA

=

e,,

ou ainda

FXg= FQ.tg a pois -e= - - tg a ~ V Q

com (tg a s 1,O), resultando também -

tg a)

Uma vez decomposta a força longitudinal

Fg = A F d

I

I

I

logo

FVQ = F, (1

I

nas componentes F,y

=

FQ( I

-

tg a ) = h Fd ( I - tg a )

de excentricidade

de excentricidade e . ~=

fl ~

V Q

é feito o dimensionamento das armaduras para cada uma das solicitações separadamente, Fig. 4.3.3-3. Admite-se que a re~istênciaf,~ sejadecomposta nas duas parcelas seguintes:

flexão paralela ao lado fcdY= fcd(1 - tg a ) flexáo diagonal

sendo, portanto, respeitada a condição fcdv +

.:'

=

fcdx

fcd

Y F y Q = X F d ( i - t 9o < )

e

d5YQ

-f

= XeY

YQ

cdy

= fcd

w

FLEXÁO PARALELA AO LADO

( 1 - t9

a)

b

FLEXÃO

DIACONAL

Fig. 4.3.3-3 Esforços atuantes

Uma vez calculadas as armaduras da seçáo quadrada, obtêm-se as armaduras da seçáo original pelas expressões

~ E X A O OBL~QUA

1 AS, = - A',,,

A

Com as armaduras assim calculadas, os parâmetros adimensionais da seção original e da seçâo quadrada obtida pela transformação afim de razão A são iguais. 4.3.4 FLEXAO DIAGONAL DA SEÇÃO QUADRADA. GRANDE EXCENTRICIDADE

Analogamenteao que se fez na seçáo retangular, tambémno estudo daflexâodiagonal da seção quadrada, o momento fletor será sempre tomado em relação ao centro de gravidade da armadura de traçáo, Fig. 4.3.4-1.

AR

A

SIMpLE

Fig. 4.3.4-1 Flexiio diagonal da seção quadrada

Pelas mesmas razões já discutidas no estudo da seção retangular, como situação básica de estudo será considerada a seçâo com armadura simples. Neste caso, têm-se: Flexáo simples

Nxd = O

RE= R,

R,

Flexo-compressão

NZd> O

R* = R< - Nzd

Rs = RI. M

-

Flexo-tração

Nzd > O

R, = R,

R,

+ Nid

+ N.d

=

=

R,,

R,,

M

M

Nzd

Desse modo, a seção pode sempre ser dimensionada com o emprego de tabelas universais preparadas para o caso básico daflexão simples, obtendo-se a armadura de tração pelas expressões


Como no caso da seção retangular, a armadura simples poderá ser empregada desde que o momento MS2,aplicado seja compatível com uma posição da linha neutra tal que 5 < tlim, isto é, sempre que isso não resultar numa seção superarmada. Quando a tentativa de empregar armadura simples conduzir a 5 > deverá ser empregada armadura dupla. Para o cálculo da seção com armadura dupla, a seção resistente é desdobrada em duas partes, Fig. 4.3.4-2.

ARMADURA

quadrada.

A seção com a armadura simples, de área A,,,,, resiste ã força normal NZde a parcela M,,,, ,do momento fletor. Para esta parcela admite-se a situação 5 = &,. A parcela restante AM,, = M,,,, - M,,,, do momento fletor é resistida por uma seção metálica. Desse modo, têm-se

.

Analogamente ao que foi visto para a seção retangular e de acordo com o que se mostra na Fig. 4.3.4-3, o problema de dimensionamento fica inteiramente resolvido quando se impóe a posição da linha neutra. Na Fig. 4.3.4-3 está mostrada a notação empregada para a organizaçáo das tabelas de cálculo. De fato, seiido

onde

I

1

DUPLA

Fig. 4.3.4-2 Flexão diagonal da se+

I I

Fig. 4.3.4-3 Flexjo diagonal com grande excentricidade

e z,=d-a=d-('x dado o valor de

ficam univocamente determinados os valores de

Na Tabela 1 I do Anexo estão apresentados os elementos necessários ao dimensionamento. Essa tabelafoi organizada empregando-se odiagrama parábola-retângulo de tensões no concreto, nos termos da NB-1178. A I .a Parte da Tabela 1 1 corresponde a valores de 5 -S 0,50, para os quais não há influência do valor de 6' = d'ld. Na?.a Parte, correspondente a ( > 0,50, a influência de 6' é explicitada. 4.3.5 EXEMPLO Considere-se o dimensionamento da seção retangular já estudada em § 4.1.3. As diferentes fases do cálculoestão ilustradas pelos desenhos das Figs. 4.3.5-1 a 4.3.5-4. a. SEÇÃO ORIGINAL (Fig. 4.3.5-1)

1N =0,lkgf I kN = 1W kgf = 0.1 t i I kN.m = 100 kgfm = 0.1 1i.m I k N c m = 100 kgfcrn = 0.1 rtcm

I MPa = I MNim' = I 0 kgficmz I kNlm = 100 kgfim = 0.1 tflm I kN/m2 = 100 kgflrn* = 0.1 àimP I kN/rn3 = 1W kgfim3 = 0.1 tilrn3


f,,

=

15 MPa = 1,s kN/cm2

15 1,4

f,,

y, = 1,15

fyd = 435 MPa

=1 =

I

Aço CA-50B

b. SEÇAO TRANSFORMADA (Fig. 4.3.5-2)

=

e,,

=

e,,

=

tga

=e, = -6

3 x 28 7

=-

fle,,

=

=

=

0,s

F, (1 - tg a)

=

F,,

= F,

12 = 16,97 cm

12

~ V Q

F,,

12 cm

flx

=

600 ( I - 0 5 )

tg a = 600 x 0,5

=

=

300 kN

300 kN 0,535 kN/cm2

fcdu=fcd (1 -tg

a) =

f,,,

1,07 x 0,5 = 0,535 kN/cmZ

=

f,,.tg a

=

1,07 (1 - 0,5)

=

c. FLEXAO PARALELA AO LADO (Fig. 4.3.5-3) F,,

=

300 k N

,e,

=

12 cm

fcdu= 0,535 kN/cm2 hyp= 30 cm

=

43,s kN/cmZ

I

I

e, = 6 cm

e,,

Ae,

1,07 kN/cmZ

y, = 1,4

Fig. 4.3.5-1 Seção original.

F YQ

fcdy

=

F

Fig. 4.3.5-2 Seção transformada.

( I - t g u ) = 300kN

Q

= fcd

( I

- t q a1 =

rig. 4.3.5-3 Flexáa paralela ao lado.

0,535 kN/cm

2

Fig.


d,,

=

Psud

h,, - d' = 30

=

I

r

- 2 = 28 cm

300 25 Fue . esu = b,, dZ,u fcdu 30 x 28%x 0,535

i

=

0,596

Admitindo-se o emprego do Aço CA-50B, de acordo com a Tabela I correspondente a flexão com grande excentricidade, têm-se

logo I

Para a seção real, obtêm-se os valores A,,

=

A:,

=-

I

0

A

A ,T,o

=

7 x 3,8 3

-

=

8,9 cm2 + 3 + 2 0

=

9,45 cm2

d. FLEXAO DIAGONAL DO QUADRADO (Fig. 4.3.5-4) FZa= 300 kN e,,

=

16,97 cm

f,.di

=

0,535 kN/cm2

1N = 0.1 kgf I kN = I W kgf = 0.1 r f I kN.m = 100 k g t m = 0.1 t f m I k N c m = 100 kgfcrn = 0.1 tf.cm

1 MPa = I MNlm* = IOkgf/cm2 I kNim = 1W kgflm = 0.1 tflm I k N / m Z = 100 kgfimn = 0.1 tflmx 1 kNim3 = 100 kgfim" 0 , l tflmx

I MPa = 0.1 kN/cm2 = 100 N/cmS

e,,

=

M,,,

h e , ~+ (1 - dtZ)= I6,97 + (21,21 - 4) = 34,18 cm 2 = F,,.e, = 300 x 34,18 = 10254 kN.cm

Empregando-se Aço CA-SOB, de acordo com a I .a Parte da Tabela 1 I , têm-se paz,,

5

=

=

0,090

0,738

z, = 0,738 x 38,43

=

28,36 cm

M,,,,, =pai,, limd3ifcdr = 0,090

X

38,433 x 0,535

donde Msrd, c =

2732 kN.cm

AM,,,

M,,,

A,,,

=

1 43,s

= --

-

M,,,,

c

2732

=

10254 - 2732

7522

[ 28.93 + 34.43 --

-- -

1

300

=

7522 kN.cm

=

Para a seção real, obtêm-se os valores A,,

=

O

A;,

=

-

1 A',,,

h

7 = -

x 5,02 = 11,72 c m 2 + 4 $ 20

3

A Fig. 4.3.5-5 mostra a solução final do problema

w Fig. 4.3.5-5 Arranja da armadura.

I I I I

N =O.lkgf = 1W kgf = 0.1 rf k~ kN.m = IW kgf.m = 0.1 1f.m k N c m = 100 k g f c m = 0.1 t f c m

I M

=

I MNim" = 10k&cm2

1 kNim = 100 kgfim = 0.1 iflm

I k N / m 2 = IiKl kgfim' = 0.1 [fimz I kN/m3 = I00 kgf/m3 = 0.1 tfimJ

(12,60 cm2)

4.3.6 FLEXAO DIAGONAL DA SEÇAO QUADRADA. PEQUENA EXCENTRICIDADE

O dimensionamento da seção quadrada sob flexo-compressão com pequena excentricidade será feito de modo semelhante ao que foi considerado no estudo geral da seção retangular. Em virtude de a excentricidade ser pequena, a seção estará inteiramente comprimida. O diagrama de deformações está no domínio 5, caracterizado pela deformação = 2%0na fibra situada ã distância 3 h17 da borda mais comprimida. O diagrama de tensões no concreto terá a forma da parábola-retângulo admitida na teoria geral. Também para este tipo de seção, serão considerados dois casos básicos: seção com armadura unilateral e compressão uniforme. a. Armadura unilateral Neste caso, a seção possui armadura apenas do lado mais comprimido, Fig. 4.3.6-1. Os momentosfletores M',,, são sempre considerados em relação ao centro de gravidade da seção desta armadura de compressão, de área A',,,.

Fig. 4.3.6-1 Fiexáo diagonal com pequena excentriiidade.

Estando a seção totalmente comprimida, a resultante das tensões de compressão vale

onde a , é função exclusiva de

O momento em relação ao centro de gravidade da armadura de compressão vale

MVSpd = Fid. e;,

(4.3.6-3)

sendo igual a

onde (; também é função exclusiva de x. Na Tabela 12, em função da posição dalinha neutra, dada por(,

= xlh > 1,O,

para

diferentes cobrimentos relativos

são apresentados os valores de 0,85 a,,que permitem a determinação de R,, e os valores do momento fletor relativo

determinado pela expressão

ou seja, por meio da equação

Desse modo, dado o valor de w',,,, obtêm-se de forma unívoca os valores de c,,

5'1 e a,.

A solução do problema de flexo-compressão por meio do emprego de armadura unilateral somente será possível enquanto for válida a equação (4.3.6-4) de equilíbrio de momentos. O máximo valor que pode ser tomado pelo segundo membro de(4.3.6-4) corresponde a um diagrama uniforme de tensóes de compressão, obtendo-se assim

logo

Quando se tiver a situação I L :>. K ~r d ,

[im

em princípio será obrigatório o emprego de armadura do lado menos comprimido, pois somente assim poderá ser satisfeita a condição (4.3.6-4) de equilíbrio. Nesse caso, será preferível o emprego da solução seguinte, de compressão centrada. No caso presente, a armadura de compressão é obtida a partir da condição de equilíbrio de forças. Sendo

com


tem-se Fzd = 0 3 5 ai A, fcdl +

I

Asa, uQd

logo 1 A,,, = -- (Fzd - 0,85 01 . Ac fcdJ

(4.3.6-9)

d d

onde

A expressão de equilíbrio de forças também pode ser escrita -

- Fad -

Ac

fcdz

0,85 a, + A S I ~' d d Ac fcdz

e fazendo

- &.a

6JLQ -

A,

fld fCd,

= KgZefid

1 2

- hZfC&

resulta

donde

Na Tabela 12, em função de 5: = xih e de 8: = d'ih, estão indicados os valores de gd.Para os aços definidos pela EB-3, a Tabela 10 permite a determinação do

i

correspondente valor de uld, de acordo com os diagramas tensão-deformação admitidos pela NB-I. b. Compressão uniforme

Quando o momento pLZdultrapassar o valor limite ~ : , d , . ~= i~

( -i 8;) 2

o equilíbrio somente poderá ser mantido com o emprego de duas armaduras, Fig. 4.3.6-2. Para que acondição de compressão uniforme possa ser mantida, é necessário que as armaduras KS,e A,, sejam diferentes, a fim de que os momentos possam ser

\

Fig. 4.3.6-2 Compressáo uniforme

equilibrados. Neste caso, sendo as deformações de todas as fibras da seção iguais, tem-se

Sendo u:, a tensão nas duas armaduras e 0,85 f,, a tensão no concreto ao longo de toda a seção, têm-se

F,,

=

R,

+ R', + R,

onde

RQ= A,' R,

=

ujd

Ama c&

Da condição de equilíbrio de forças, obtém-se

resultando

onde

(4.3.6-14)

A condição de equilíbrio de forças também pode ser escrita

resultando

ou ainda

Da condição de equilíbrio de momentos (4.3.6-15) em relação ao centro de gravidade da armadura indicada por A:,, Fig. 4.3.6-2 tem-se

resultando

onde

A condição de equilíbrio de momentos também pode ser escrita

ou seja uzd

'-= 0,425 (1 h

-

26')

+ w,,

(1 - 2Srl)

(4.3.6-19)

fvd

donde

4.3.7 EXEMPLO E ADVERTÊNCIA A. Exemplo Como exemplo de aplicação considere-se a seção indicadana Fig. 4.3.7-1, sendo

=

fed =

??= 1,42 MPa = 1,42 kN/cmZ 124

Yc

fUd= 500 = 435 MPa 1,15

=

4 3 3 kN/cm2 (Aço CA-SOA)

B . Seção Transformada (Fig. 4.3.7-2) h = -h,- - = 40 -

h, e,,

=

e,

2 3

60 =

3 cm

C . Flexúo Paralela ao lado (Fig. 4.3.7-3)

FyQ= FQ(I

-

tg a) = 2667 (1 - 0,75)

fCdY = fcd (1

-

tg a) = 1,42 (1 - 0,75)

e',,

= -- -

2

= =

40 - 4 - 4 d~ - evQ= 2

De acordo com a Tabela 9, pam 6;

=

667 kN 0,36 kN/cm2

=

12 cm

0,10, resulta

não sendo possível o emprego de armadura unilateral. Admitindo-se a situação de compressão uniforme, têm-se

1N

=O,Ikgf

= I W kgf = 0.1 tf I kN 1 k N . m = IW kgf.m = 0.1 1f.m I kN.cm = 1W kgf.cm = 0.1 d c m

I MPa

=

I MPa = I MNlm* = I0 kgflcm' I kNim = 100 kgfim = 0,I tfim 1 k N i m Z = 1W kgfim* = 0.1 fim' 1 kNimg = IW kgfim5 = 0.1 tflm3

O,1 kNicm'

=

IW Nicrn"

FQ =

Fd = 2.667 k N

e x Q = ex = 3 c m e y O = Xey = 4 c m

t g a = ex, / e

YQ

= 0,75

Fig. 4.3.7-1 Seção original.

Fig. 4.3.7-3 Flexão paralela ao lado.

Fig. 4.3.7-4 Flexão diagonal

Com vid = 42 kN/cm2 correspondente a

=

2%0obtêm-se

D. Flexão Diagonal (Fig. 4.3.7-4) F,,

=

F,.tg a

=

2667 x 0,75 = 2000 kN

f,,,

=

fcd.tga

=

1,40 x 0,75 = 1,06 kN/cm2

e ' , , = ? h- d > 2

- e , , = - - 656,6 -5,7=16,6cm 2

De acordo com a Tabela 12

Parte), para 6'

=

6 56,6

0,11, resulta, por

interpolaçáo,

não sendo possível o emprego de armadura unilateral. Admitindo-se a situação de compressão uniforme, têm-se

donde, sendo uQld = 42 kN/cm2 (Aço CA-50A), resultam

e A',,,

=

1 (2 000 - 0,85 x 1 600 x 1,06) - 0,56 = 12,74 cm2 42

I N

= 0.1 kgf = IW kgf = 0.1 tf kN.m = IW kgfm = 0.1 t f m kN.cm = 1 0kgtcm = 0.1 tfcm

1 kN

I I

I MPa

=

I MPa = I MNlmz = 10 kgflcm' I kN/m = IW kgflm = 0,)Ulm I k N / m 2 = IW kgflm' = 0.1 tf/m2 1 kNlms = 100 kgf/ma = 0.1 U/m3

0,I kN/cmP = IW N/cms

1


E. Solução Final (Fig. 4.3.7-5) Admitindo-se o arranjo mostrado na Fig. 4.3.7-5, de acordo com os resultados anteriores, a armadura da seçáo transformada é composta por

resultando para a seçáo verdadeira, Fig. 4.3.7-5, 1 3 x 0,69 = 1,04 cm2 A, = A,, = h 2

= O,! I cmz = 0 , 4 5 % A A

3

4

Alo+=

=%I9 cm2 =89,04 %

= 1,58 cm' ' 6,3 4 %

A to1

A A to1

2492cm'

Fig. 4.3.7-5 Arranjo da amadura.

F. Advertência O emprego de seções transversais com armaduras muito assimétricas pode conduzir a superfícies de interaçáo h,, pyd,ud) do tipo indicado na Fig. 4.3.7-6.

Fig. 4.3.7-6 Caso particular da superfície de interaçáo.

Note-se que, para forças normais relativas v, muito altas, o diagramade interação 4.3.7-7. Essa circunstância decorre da grande assimetria das armaduras e do fato de ter sido admitidaa hipótese de compressão uniforme. Com isso, o eixo mecânico da peça é excêntrico em relação ao seu eixo geométrico, e a seção transversal não tem

(pzd,pua)é uma curva fechada que não envolve a origem do sistema, Fig.

AÇO C A - S O A

3, =

Fig. 4.3.7-7 Advenència

1,20

A3

= 8 0 % . A,,,

A4

=

1 0 % . A,,,

146


condições de resistir a força longitudinal Fd dada, quando esta se aplica na posição do eixo geométrico. Em situações dessa natureza é necessário cautela para que se considerem adequadamente as excentricidades acidentais de projeto, levando-se em conta as reais posições mais desfavoráveis da força longitudinal. 4.3.8 OUTRAS FORMAS DE SEÇAO TRANSVERSAL I

Em principio, o método da transformação das seções pode ser aplicado a seçóes com outras formas que não a retangular. Para que a aplicação seja possível, é preciso que a seção transformada seja simétrica em relação à diagonal do quadrado circunscrito, além de o ser também em relação aos eixos paralelos aos lados do mesmo. Fig. 4.3.8-1.

(a, =b,)

(a, = b , )

Fig. 4.3.8-1 Transformasão de outras seçóes transversais.

Observe-se que nos casos de seçóes cruciformes e de seções retangulares vazadas, mostradas na Fig. 4.3 2-1, as dimensões a, e b, devem estar na mesma proporção que os lados h,, e h,,. Desse modo, ao transformar-se a seção por uma afinidade paralela ao lado maior, obtém-se uma figura simétrica em relação a diagonal do quadrado circunscrito. Para o cálculo destas seçóes transversais emprega-se o diagrama retangular de tensões, com tensão máxima igual a 0,80 f,,, atuando na profundidade 0,s x.

4.3.9 EXEMPLO a. Dados Considere-se o dimensionamento da seção retangul;xr vazada mostrada na Fig

FLEXAO OBLÍQUA

147

4.3.9-1, sendo

Fd = yf F k = 3300 kN fcd

=

15 & == 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2 1,4

YC

0 3 0 fcd fyd

=

0,80

500 1,15

= -=

1,07

X

-

0,86 kN/cmZ '(Aço CA-SOA)

435 MPa = 4 3 3 kN/cmZ

b. Seçáo transformada Sendo A = -h,,- - --- 80 - 2 h,, 120 3 têm-se

F,

C.

=

2 AFd = 3

e,,

=

e,

e,,

=

Ae,

=

X

3 300

=

2 200 kN

30 cm 2 3

=-X

75

=

50 cm

Flexão paralela ao lado F,,

=

(1 - tg a)FQ = (1 - 0,6) x 2200

e,,

=

50 cm

eSv. = e..

+ (d.

M,,, = F,,.e,,, 0,80 f,,,

=

=

880 kN

-

%)

=

880 x 82 = 72160 kN.cm

= 50

0 3 0 (1 - tg a ) fcd

+ (72 - 40) = 82 cm

=

0,80 x 0,4 x 1,07 =0,34 kN/cm2

De acordo com a Fig. 4.3.9-2, têm-se Aço CA-50A I,& .

I I I I

=

2,07%0(uud=

N =0,1kgf kN = IW kgf = 0.1 tf k N m = 100 kgfm = 0.1 1f.m kN.cm = 100 kgfcm = 0.1 tf.cm

fud =

4 3 3 kN/cmZ)

I MPa = I MNlm' = I0 kgf/cmZ I kNim = 100 kgi/rn = 0,1 tfirn I kN/mZ= 1Wkgf!m2 = 0.1 tf/m2 I kNim3 = 100 k g f i m b 0.1 fim'

14s



;,,=(I-

t g a)FQ

Fig. 4.3.9-2 Flexão paralela ao lado.

A resultante das tensões no concreto comprimido vale R, = R,, 655,O kN

+ ReZ= (2 x

16 x 36,2+ 48 x 16)cmZx 0,34 kN/cmZ= 393,9+ 261,1=

logo, a seçáo com armadura simples pode resistir até o momento

havendo portanto necessidade de armadura dupla. Sendo

(

1 Mld, c + ASUQ =f f ~ d

"M*d, - d',

.-)

onde

=

fld = 43,5 kN/cm2

d-d'=72-8=64cm resultam

I N =O,ikgf = IW kgf = 0.1 t i I kN I kN.m = IM) k g t m = O,l tf.m 1 kN.cm = 1W kgf.cm = 0.1 tf.cm

I MPa = 1 MNlm2 = 10 kgficm2 I kNlm = 1W kgfim = 0.1 tflm 1 k N / m 2 = I W kgfim2 = 0.1 tflm' I kNima = I W kgfima = 0.1 tfim'

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLlClTAÇÓES NORMAIS

Voltando a seção retangular original, obtêm-se 1 s u Q = - 3 x 7,l A,,=-A h 2 A',,

1 A',,,

=

10,7cmZ

3 x 12,3 = 18,s cmZ 2

=-

=-

h

d. Flexão diagonal F,,

=

tg a.FQ= 0,6 x 2200 = 1320 kN

e,,

=

ge,,

r,,,

=

e,

M,,,

=

0,80 fcd,

=

+ (d,

F,,.e,,, =

flx -

50

=

70,7 cm

h = 70,7 2)

+ (101,~

2, =

0 3 0 tg

1320 x 116 = 153120 kN.cm a.fcd

=

0,80

X

0,6

X

1,07 = 0,51 kN/cm2

De acordo com a Fig. 4.3.9-3. tem-se

I N IkN 1 kNm I kN.cm

= 0.1 kgf =IWkgf=O,ltf = 1W k g t m = 0.1 t t m = 100 kgf.cm = 0.1 t t c m

I MPa = 1 kNim = I k ~ i m 2= I k ~ / m= =

I MNlrn2 = 10kgficm* 100 kgfim = 0.1 fflm I W kgfim* = O,I tfimn I W kgflrn3 = 0.1

A resultante das tensões no concreto comprimido vale

102,4

R.=( =

X

1337 - 417

51,2 - 57,2 =

2

2836) cm2 x 0,51 k ~ / c r n=~

920 kN

O momento limite resistido pela seção com armadura simples é 513 2 ) +L

N o caso, sendo c,,= expressões

f,,

-

417 (50,6

=

+

L)=283 6

43,s kN/cm2, as armaduras são dadas pelas

valendo, respectivamente,

Voltando a seção retangular original, resultam

A',,

1 I I I

=

1 AQZQ= 3 x 22,3 = 33,s cm2 A 2

N = 0.1 kgf = IW kgf = 0.1 tf kN kN.m = IW kgfm = 0.1 1f.m k N c m = 1W kgf.cm = 0.1 1f.cm

I MPa

=

1 MPa = I MNlmZ= 10 kdlcm' I kN/m = IW kgflm = O,! tflm I kN/mP = 1W kgflm' = 0.1 tf/mZ I k N / m 8 = 100 kgflmg = 0.1 lf/rn3

0.1 kNlcm* = IW N/cm2


A título d e controle d o s valores calculados, determina-se a seguir a resultante das f o r ç a s internas n a seção retangular original: ZR, =

[(As,+ &d

= [(18,5

ZR,=

1

-

A

-

(A,,

+ Asz)l fu,

=

+ 33,s) - (10,7 + 19,7)] X

(R,,

+ R,,)

3

= - (655

2

+ 920)

43,5

=

= 2363

940 kN

kN

D e s s e modo, resulta

4.4 EXERCICIOS

4.1 Como são usualmente apresentados os diagramas de interação para o.cálculo da flexão

oblíqua composta? 4.2 Qual a diferença que existe na representação correspondente às seções com simetria

simples e com simetria dupla? 4.3 O que se entende por superfície de interação naflexão oblíqua composta? Qual aprincipal

propriedade dessas superfícies? Como se faz o cálculo por tentativas? Justificar. O que são excentricidades acidentais? Quanto valem? O que se entende por linearizaçáo dos diagramas de interação? Justificar o seu emprego. Como são determinados os esforços para a transformação d a flexão oblíqua em duas flexóes normais? 4.8 Que simplificação d e cálculo das seções retangulares acarreta o emprego de armaduras iguais nas quatro faces? Justificar. 4.9 Quais os fundamentos do método de transformação afim das seções transversais? 4.10 Qual a vantagem em transformar a seção retangular numa seção quadrada, conforme o método da transformaçáo afim das seçóes? 4.4 4.5 4.6 4.7

I N =O,Ikgf l kN = 100 kgf = 0.1 lf 1 kN.m = 100 kgtm = 0,l 1f.m 1 k N . c m = 1M)kgf.cm = 0.1 tfcm I MPa

=

I MPa = I MNlma = 10 kdlcm* i kN/m = 1W kgfim =O,] tf/m 1 kNlm' = IW kgflm' = 0.1 lf/m2 1 kNima= lWl
0.1 k N I c m k I00 N/cmz

PARTE 2

ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE INSTABILIDADE

5

Instabilidade

5.1. FUNDAMENTOS 5.1.1 INSTABILIDADE NA COMPRESSAO AXIAL. FLAMBAGEM

Considerando as barras retas axialmente comprimidas, verifica-se experimentalmente que sob aaçáo de carregamentos crescentes pode ser atingido um estado limite, a partir do qual a forma reta de equilíbrio é instável. A carga correspondente a esse estado limite é dita carga crítica Feri,, ou carga de flambagem. No regime elástico,* para cargas F > F,,,, a forma estável de equilíbrio passa a ser a configuração fletida, Fig. 5.1.1-1. Nesse caso, diz-se que a mudança da forma de equilíbrio corresponde a um comportamento simétrico estável. O comportamento é simétrico porque não importa para que lado ocorrem os deslocamentos da barra, e é dito estável porque a configuração secundária de equilíbrio é estável.

'FORMA

RETA I N S T ~ V E I

'PONTO DE, BIFURCASÁO DO E Q U I L I B R I O

Fig. 5.1.1-1 in\iiibilidadr n a cornprçbsio aniai.

O fenômeno de instabilidade das barras retas axialmente comprimidas pode ser caracterizado pela presença do ponto de bifurcação do equilíbrio, no diagrama que relaciona a carga F aplicada com o máximo deslocamento transversal a da barra. IDefine~seo regime el6rliro como sendo aquele em que existe o
INSTABILIDADE

155

Mantendo-se o regime elástico, no entorno desse ponto são possíveis duas diferentes configuraçóes estáveis de equilíbrio. Fig. 5.1.1-1. Para os materiais estruturais, como o concreto e o aço, o estado limite de flambagem é um estado limite último. De fato, conforme se mostra na Fig. 5.1.1-1, para cargas pouco superiores à carga crítica, a flecha máxima já é igual a uma fração apreciável do comprimento da barra, a qual se rompe entáo por flexao composta. Em certos materiais, principalmente nas chamadas mutériasplásricas, como, por exemplo, o celulóide e o acrílico, a barra pode resistir a cargas sensivelmente superiores a carga de flambagem, pelo que o estado limite de flambagem deixa de ser um estado limite último. Em princípio, a determinação das flechas da barra para cargas superiores à carga crítica exige que se empregue a expressão exata da equação diferencial da linha elástica, ou seja,

1 onde - é a curvatura da barra, E1 o produto de inércia correspondente ao plano de r flexão e

o momento fletor. Se, em lugar da equação exata (5.1.1-I), for empregada a equaçáo aproximada

ainda assim podem ser determinados os valores da carga critica, embora fiquem indeterminadas as flechas da configuraçáo fletida, Fig. 5.1.1-2.

Fig. 5.1.1-2 Emprego da equafáo aproximada da curvatura

Desse modo, para a simples determinação da carga critica, basta empregar a equação aproximada (5.1.1-2), obtendo-se, de acordo com a Fig. 5.1.1-3:

y

=

+ C, cos k x

C , sen k x

com y = O para x

=

O, logo C,

=

O

e dy

-

dx I

X

Fig. 5.1.1-3 Integraçáo d a e q u a ç ã o aproximada da curvatura.

C, k

O para x

ke

=

=

e, logo

o

resultando para a configuração fletida, com C , # O, o valor cos k

= 0,

logo

Para diferentes condições de contorno, obtém-se a expressão geral da fórmula de Euler

onde o comprimento de flambagem usuais.

e,*

é dado pela Fig. 5.1.1-4 para os casos mais

Fig. 5.1.1-4 Comprimentos de flambagem

As expressões anteriormente consideradas admitem implicitamente a existência de um comportamento elástico linear do material da barra. Isso será verdade enquanto a tensão critica de compressão uc,, for inferior ao limite de proporcionalidade f, do material, ou seja, enquanto for

*Esta é a atual n o t ~ ã adotada o pelo CEB. A NB-i reteve a notagáo anterior e,

1

INSTABILIDADE

I

15'

onde i

=

=

raio de giraçiio

te A == índice de esbeltez 1

Quando ucfir= f,, tem-se A = A,,,

=

gE

Conforme se mostra na Fig. 5.1.1-5, afórmula de Euler é válida para h 3 h,,,, pois nesse caso a flambagem se dá dentro do regime elástico. Quando h < h,,,, a barra é menos esbelta, e ucnl> fo. hova-se que nesse caso a expressão (5.1.1-4) ainda pode ser empregada desde que se substitua o módulo de elasticidade E pelo módulo tangente

iGCdl

~ 6 0 T~A N~G E 0 NTE

ff cc

.

)i: -

I

Xl,m

Fig. 5.1.1-5 Curva de flambagem

O que se quer salientar é que o fenômeno de instabilidade das barras retas comprimidas axialmente pode ocorrer tanto com tensões menores quanto com tensões maiores do que o limite de proporcionalidade, sem que se altere a natureza do fenômeno, que é o da mudança da forma de equilíbrio. Todavia, quando não mais existe a elasticidade linear do material, é possível provar-se que a mudança da forma de equilíbrio pode corresponder a um comportamento simétrico instável,l3 Fig. 5.1.1-6.

P

o = flecha de r e f e r ê n c l o

1

Fig. 5.1.1- 6 Flambagem além do limite F, dé proporcionalidade.

I

158


Neste caso, para F > F,,, a forma reta de equilíbrio é instável e a forma fletidaé impossível. Quando se pretende aplicar uma carga F > F,,,,, por menor que seja o acréscimo em relação a F,,,, será efetivamente atingido um estado limite último, pois a barra passará à forma curva de equilíbrio impossível. 5.1.2 ESTABILIDADE DA A fim de ser ilustrada a possibilidade de a existência de uma configuração de equilíCONFIGURAÇAO brio, fletida e estável, para as barras originalmente retas e que foram comprimidas FLETIDA DE E Q U I L ~ B R I O axialmente, admita-se que após a flambagem exista uma linha elástica senoidal, Fig. 5.1.2-1.

Ix

Com a hipótese adotada, têm-se: a. linha elástica

/F y = a s e n -71x

(5.1.2-1)

e

b. curvatura aproximada 1 = d2y =

y =a.sen C x

t

r

dx2

($1

a

rr

sen-x

(5.1.2-2)

A

logo

P

1 r

E

d2y dx2

= -

(5))1

(5.1.2-3)

Observe-se que o emprego da equação aproximada da curvatura permite estabelecer, para cada seção, a relação

Y

Fig. 5.1.2-1 Linha elástica senoidal.

y C.

=

1 kr

(5.1.2-4)

curvatura exata

I

3 dx2

1r

~

[1+(:)1"'

-

-a

(+I2

i sen

[1+az(+)'cos2-x

71

x (5.1.2-5)

e

donde

Considere-se agora o carregamento progressivo da barra, após a ocorrência do fenômeno de flambagem. A um aumento da força F corresponde um aumento das deformações da barra, aumentando conseqüentemente os momentos fletores atuantes, dados por

,,----+.

INSTABILIDADE

cujo valor máximo vale

Os momentos fletores atuantes F.y são consideradosmomentos externos, porque são determinados pelas ações externas F e pelos correspondentes braços de alavanca, que no caso presente são definidos pelos deslocamentos y da barra. A cada configuração da linha elástica corresponde uma certa distribuição de momentos fletores da barra. Em cada seção atua o momento

Neste caso o valor máximo age na seção a meio comprimento, sendo dado, com a hipótese de elasticidade l i n s p e l a expressão , --". -

. -

I Estes momentos - . E1 são considerados momento., internos, porque são de!'

1 terminados pela rigidez E1 da barra e pela curvatura - da seção considerada. r Em princípio, o equilíbrio da barra será estável se a um aumento do momento externo corresponder um aumento do momento interno, de tal forma que fique satisfeita a condição de equilíbrio ~ --\ - ~

L-.__d

Nas figuras seguintes está ilustrada a possibilidade de existência da configuraçáo fletida estável. Para que o equilíbrio possa realmente ocorrer, as funções M,,, e Me,, devem necessariamente se cruzar, sem que com isso sobrevenha a ruptura do material. a. COMPRESSAO CENTRADA - REGIME ELÁSTICO - EQUAÇAO SIMPLIFICADA A necessidade de cruzamentodas funções M,,,e M,,,mostraaimpossibilidadede se justificar a estabilidade da forma fletida de equilíbrio quando se usa a equação diferencial sim~lificadada linha elástica, Fir. - 5.1.2-2. Pela equação (5.1.2-3), tem-se /-,

'\ M,,,

r

=

F.y

da condição de equilíbrio Me,,

=

M,,,

I

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLlCITAÇOES NORMAIS

obtendo-se assim o valor da carga crítica

embora fiquem indeterminadas as flechas para cargas maiores que a carga de flambagem, conforme se mostra na Fig. 5.1.2-2. b. COMPRESSÃO CENTRADA -REGIME ELÁSTICO - EQUAÇAO EXATA Quando se usa a expressão exata da curvatura, têm-se as expressões:

a)

COMPRESSAO

CENTRADA

-

REGIME

ELÁSTI C0

-

E quaçáo simplificada

Fig. 5.1.2-2 Estabilidade das formas de equilibrio

/

RUPTURA

Fig. 5.1.2-3 Estabilidade das formas de equilíbrio

DO

MATERIAL

INSTABILIDADE

C)

COMPRESSÃO

CENTRADA

-

(

161

GCrl+>fo)

-

EOUAÇÃO

COMPLETA

L;;-

FUNTK~O-L;NÉAR

I

( rm,z f.

I I

EsTivIL

PARA

Mext

=

t,tint

f o = limite de proporcimali A"*

I

Fig. 5.1.2-4 Estabilidade das formas de equilibrio.

'.-"-.!

i

onde y pode, em princípio, ser calculado a partir da curvatura

1 dada pela expresr

são (5.1.2-6).

Conforme se mostra na Fig. 5.1.2-3, enquanto subsiste o regime elástico as funções Me,, e Min, cruzam-se obrigatoriamente num ponto, o qual corresponde a configufação estável de equilíbrio. A estabilidade do equilíbrio é garantida pelo andamento retilíneo da função Mi,,, a qual sempre interceptará a curva de M,,, para valores de F > FCtit Note-se porém que o equilíbrio somente poderá existir de fato se não ocorrer a ruptura física do material. c. COMPRESSAO CENTRADA - REGIME ANELÁSTICO No regime anelástico a função M., deixa de ter um andamento retilíneo, Fig. 5.1.2-4. Desse modo, se a curva de M,,, tiver um andamento convergente com a curva de Me,, correspondente a um certo valor F > F,,,, então será possível o equilíbrio estável da configuração fletida de equilíbrio, desde que antes não ocorra a niptura material. Neste caso a mudança de equilíbrio corresponde a um comportamento simétrico estável. Pelo contrário, se as curvas de M,,, e Me,, tiverem um andamento divergente, elas não se cruzarão, não existindo equilíbrio estável para F > F,,,. Neste caso, tem-se um comportamento simétrico instável. 5.1.3 FLEXAO COMPOSTA DE BARRAS ESBELTAS NO REGIME ELÁSTICO

Considerando-se a flexo-compressão de barras esbeltas em regime elástico, Fig 5.1.3-1, as suas flechas podem ser determinadas pela equação diferencial

."

..

<

I

I

i


e,:

O

FC,,I,

EULER

10 .

Fig. 5.1.3-1 Flexáo composta de barras esbeltas no regime elástico.

onde

que pode ser escrita

sendo

A equação diferencial (5.1.3-3), por ter segundo membro, permite o cálculo das flechas mesmo com o emprego da expressão aproximada da curvatura. No entanto, conforme mostra a Fig. 5. 1.3-1, a equação simplificada da curvatura leva à falsa idéia de que a carga crítica de Euler, correspondente a compressão axial, tenha algum significado físico na flexáo composta.

dZy

O resultado obtido com a curvatura aproximada -!= r dx2'

F

-

lim a F,,,

=m

não tem significado físico real, como se comprova pelo emprego da expressão c u r v a t u r a 3 g J J,3=l, C!nclui-se, desse m o d á que enquanto o m>al permanecerno elástica nao existe problema de instabilidade na flexáo composta. Chegaremos novamente a essa mesma conclusão no item seguinte ao analisar a estabilidade da configuração / / fletida das barras submetidas a flexão composta.

/ I

reg^

--

INSTABILIDADE

5.1.4 INSTABILIDADE NA FLEXÃO COMPOSTA

163

Considere-se agora o problema da estabilidade da configuração deformada das barras submetidas ã flexo-compressão. Para isso, admita-se inicialmente que a barra tenha uma linha elástica senoidal, Fig. 5.1.4-1.

Fig. 5.1.4-1 Barra de eixo senoidal,

A hipótese de que a linha elástica seja senoidal é admitida, de inicio, como mera simplifícação. Esta simplificação, mais o emprego da expressão aproximada da curvatura levam a uma expressão linear do momento externo Me,, em função da curvatura llr. Com a hipótese adotada, têm-se: ,,

y = a sen-

x

i b. curvatura aproximada Para a justificação do aparecimento do fenômeno de instabilidade na flexão composta, pode-se admitir a expressão aproximada da curvatura. Na continuação deste item esta restrição será eliminada, juntamente com a hipótese de ser senoidal a linha elástica. Admitindo-se então a expressão aproximada

resulta

ou seja, em valor absoluto,

Enquanto perdurar a validade da equação diferencial aproximada (as rotações dy/dx deverão ser desprezíveis em face da unidade), o momento externo Me,, será uma função linear da curvatura da seção. De fato, sendo e, a excentricidade inicial de I.a ordem, tem-se

+ y) = F.e, + F

= F (e,

(3: -

-

1

obtém-se para Me,, a função acima, que é linear da curvatura- , conforme se mostra r na Fig. 5.1.4-2.

RUPTURA

r

E o u a C Ã o aPROxiMAOA CURVATURA 1

ELASTICA

oa

DO

MATERIAL

~ a u ~ ~ í sESTÁVEL ~ i o

NAO-SENOIOAL

FLEXO- WMPRESSÁO NO REGINIE ELÁSTQ NXO HÁ PROBLEMA DE ESTABILIDAPT RUPTURA

DO

M4TERIAL

EQUIL~BRIO I N S T ~ V E L

E O ~ ~ L ~ B R ESTÁVEL IO

FLE x o -CDMPRESS;O

com

rmox.7fe

INSTABILIWDE NA

Fig. 5.1.4-2 Instabilidade na f l e x o - c o m p r e s s ã o ,

FLEXOWMPRES~Q

Para ser verificada a estabilidade das formas de equilíbrio, considere-se a possibilidade de ser mantido o equilíbrio, dado pela condição quando é dado um acréscimo a M,,. Enquanto a barra permanecer no regime elástico, sempre haverá uma configuração de equilíbrio estável, pois M,,, também será uma função linear das curvaturas. Nesse caso, uma situação de mína somente poderá ser alcançada por ruptura do material, Fig. 5.1.4-2. Pelo coneário, se for ultrapassado o regime de proporcionali-I\ dade, o diagrama de M,,, passará a ser curvo, surgindo então um novo fenômeno de \ instabilidade. Na Fig. 5.1.4-2, esse fenômeno de instabilidade na flexão composta é caracterizado pela existência de uma carga F,,, para a qual a reta Me,, é tangente a curva M,,,. Para F < F,,,épossível o equilíbrio estável, e para F > F,,,, o equilíbrio é impossível. Observe-se agora que o emprego da expressão exata dacurvatura ou a consideração de uma lei não-senoidal para a linha elástica não altera os resultados anteriores. De fato, abandonando-se as hipóteses simplificadoras a expressáp Me, deixa de ser 1 linear em funcão de - . Esse fato não altera a circunstância de sempre existir o r 1 equilíbrio estável enquanto M,,, for uma função linear de - . ~

Somente a não-linearidade da função M,, permitirá o aparecimento do ponto de tangência entre as funções Me, e M,,,, seja Me,, uma funçáo linear ou não, como se pode observar na Fig. 5.1.4-2. Na Fig. 5.1.4-3 estão reunidas todas as conclusóes tiradas sobre os diferentes fenômenos que podem ocorrer com as barras comprimidas.

a @

COMPRESSÁO

CENTRADA

COMPRESS~O CENTRADA FLEXO-

COMPRESSÁO

-

-

REGIME E L / ~ S T I C O- EOUAJO

REGIME ELASTICO

REGIME

ELÁSTICO

F L E X O - ~ M P R E S S ~ D- REGIME E L A S T I C O COMPRESSAO CENTRAOA

@

FLEXO-COMPRESSÁO

-

-

-

SIMPLIFICADA

- EOUAGLOC O M P L E T A E Q U A Ç ~ O SIMPLIFICADA EQUACÁO COMPLETA

REGIME ANELÁSTICO

REGIME ANELÁSTICO

Fig. 5.1.4.3 Estabilidade das formas de equillbno

Observe-se, Fig. 5.1.4-3,que no caso de flexo-compressão o equilíbrio é impossível para F > F,,. O ponto B não corresponde a uma mudança da configuração de equilíbrio estável, mas sim a uma reversão do andamento das deformações. Antes de se atingir o ponto B, isto é, para F < F,,,, a um aumento de F corresponde um aumento da flecha a. Pelo contrário, após ser atingido o ponto B, não somente é impossível aumentar a carga, como a própria manutenção do equilíbrio somente será possível com um sistema de deformaçáo controlada, pois o aumento das flechas corresponde a uma diminuição das cargas. Conforme se mostra na Fig. 5.1.4-2, o fenômeno de instabilidade na flexáo composta é caracterizado pelo fato de que, para uma dada excentricidade inicial de l.a ordem e,, existe um valor máximo daforçaaxial além doqual o equilíbrio é impossível. Conseqüentemente, para uma dada força axial F = F, = constante, existe uma excentricidade máxima de l.a ordem, além da qual o equilíbrio é impossível. Essa é a excentricidade e,, .dt indicada na Fig. 5.1.4-4: com F = F,, para e, > e,, , . não há equilíbrio, e para e, < e,, ,,, o equilíbrio é estável.

1Equllibrlo

c

ext

eat8ve1 y

= k

I

r

Fig. 5.1.4-4 Valor crítico da excentricidade de I . a ordem.

Na Fig. 5.1.4-5 está ilustrado o aparecimento do fenômeno de instabilidade em ' função do momento fletor de I .a ordem M, = F e,. M, M, 'MOMENTO

I

Ig

FLETOR

DE

ORDEM

=MOMENTO I!

I

FLETOR ORDEM

/

DE

R U ~ N A POR INSTABILIDADE

R U ~ N A POR RUPTURA

+ DESLOCAMENTOS

ESTADO

L I M I T E ÚLTIMO RUPTURA

DE

ESTADO L I M I T E ULTIMO DE INSTABILIDADE.

Rig. 5.1.45 Estados Ilmltes últlmos na flexo-compressão

INSTABILIDADE

167

A presença do ponto de máximo relativo no diagrama da Fig. 5.1.4-5 indica que o equilíbrio é impossível para o momento de l .a ordem M, > M,, e que o aumento das flechas além do valor correspondente a M,, ,,,somente seria possível em condições de deformações controladas, para as quais haveria redução automática do valor de M,. Para uma dada força normal F = F,, a segurança contra o estado limite último de instabilidade na flexão composta é garantida impondo-se a condição de que, na situação de cálculo,

..,,

a M,, d

Mi, t,.

De forma prática, conforme serávisto adiante, isso é feito levando-se em conta os momentos de 2.a ordem no dimensionamento das seções transversais das peças submetidas a flexo-compressão.

5.2 DEFORMAÇ ÕES Nota: A presente seção apresentaapenas os conceitos essenciais referentes ao cálculo N A das deformações das peças fletidas que são necessários ao entendimento dos métodos FLEXO-COMPRESSÁO de cálculo da carga crítica relativa a instabilidade na flexão composta.

O estudo geral da deformabilidade das peças de concreto estmtural será feito posteriormente, ao se estudar a segurança contra os estados limites de utilização.

5.2.1 DIAGRAMA Considere-se a deformação de uma barra submetidaàflexão simples. Da Fig. 5.2.1-1, com as convenções de sinais nela indicadas, têm-se: MOMENTO FLETOR-

Por outro lado, considerando o alongamento da fibra T D , tem-se:

resultando então

logo

Aplicando a expressão acima as fibras extremas, têm-se:

pois c , < O e y, < 0, bem como E, > O e y, > O. Desse modo, resulta

a

No caso de uma viga de concreto armado, com deformações extremas concreto comprimido e E , na armadura de tração, resulta

onde

e

E,

sáo considerados em valor absoluto.

E,

no

(5.2.1-3)

7

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES ~ORMAIS

6O

ALONGAMENTO

FLEXÁO SIMPLES

Fig. 5.2.1-1 Curvatura na flexão simples

Admitindo a linearidade física do material, têm-se

I

que é a equação diferencial da linha elástica das barras fletidas. Dentro do regime de elasticidade linear o cálculo das flechas pode ser feito, seja por integração direta da linha elástica, seja pela aplicação da analogia de Mohr. 5.2.2 CÁLCULO DE A Fig. 5.2.2-1 mostra o diagrama tensáo-deformação de um material que apresenta FLECHAS COM escoamento bem definido e o diagrama momento fletor-curvatura correspondente a NÁO-LINEARIDADE um dada seçáo transversal retangular. Para tensóes acima do limite de proporcionali-

FíSICA

dade, o diagrama

é determinado por pontos, impondo-se o diagrama de

deformações na seçáo transversal e calculando-se o correspondente valor do momento fletor. O momento fletor Mo correspondente ao inicio do escoamento vale

e a respectiva curvatura é dada por

I

O momento fletor último vale

ou seja

sendo

I

1 O RUPTURA

E

I I I

I

I

I I

I

-I

I

r

I

I

r.

L: r"

2- I

r.

I

Fig. 5.2.2-1 Diagrama momento-curvatura.

I

Para o cálculo das flechas de uma dada viga, Fig. 5.2.2-2, a partir do diagrama correspondente a seção conside momentos M , conhecendo-se o diagrama

L/

r

derada, determina-se o diagrama de curvaturas ..

p r obtém-se a flecha por meio da analogia de Mohr.

/'

/"

Fig. 5.2.2-2 Determinação do eixo deformado no regime anelástico.

5.2.3 DIAGRAMA Conforme se mostrana Fig. 5.2.3-1, naflexo-compressãoacurvaturadabarranãovai MOMENTO FLETOR - depender da deformação total E de suas fibras, mas tão somente da diferença E - 80 FORCA NORMAL - entre a deformação total e a deformação da fibra situada no nível do centro de CURVATURA ou seja, tem-se

Fig. 5.2.3-1 Curvatura na flexo-campressáo.

Desse modo, resultam as seguintes condições de compatibilidade de deformações em função da curvatura: no concreto

1-8 -

- E e u

r

logo

YC

na armadura

1- &ai - E0 r

Ysi

logo

,

i I

i

INSTABILIDADE

171

e uma vez conhecidos os diagramas tensão-deformação, tanto do concreto quanto do aço, ficam determinadas as tensões

Por outro lado, das condições de equilíbrio na flexo-compressão, têm-se:

N

=

1

o,d A,

+ 2 o, A,,

Desse modo, os esforços solicitantes M e N podem ser escritos -

~~

~~~

\. . _

~~~

~

~~~

\

~~~.

_

/ ,' __--/

_-------A-

/

As expressóes acima permitem a determinação de M e de N em função de -,

P.2

i -~-

,-

~-

tomando-se E~ C mo parâmetro a ser determinado por condições limitès; .~ . . O parâmetró E, é determinado a partir das condições

_ _

_

.

T~ - .Yc1 ~ - ~ = mos. + = (3,5%0 S S 80,

i Ec, m a r .

OU

s E c d . tim

. -~./~-.:r -~ -~ -. Ysi 2 < &si, mas. = &O, mo*. + E*& li", = 10%o r ,

L

-

~~~

..

~.

,

EC,~

2%0)

..

J

'7

1 '

. -

onde y,, e y,,, são as ordenadas extremas referentes, respectivamente, ao concreto mais com~rimidoe a armadura mais tracionada. Com as expressóes acima podem ser determinados os diagramas para uma seção transversal conhecida, pelo processo iterativo seguinte:

4 (1)

Adota-se um valor de, 1

(2)

Adota-se um valor de

i E,,

i

(3)

1 escolhido) Calculam-se M e N (para o valor T-

(4)

Adota-se um novo c,>(atése chegar a e ,,,)

1 h

(E,,

< E,>.

ma.

r

(5)

I

-

(e,, =

- -

e,,, ,,..I

- - - - - - - - - - -- - -

f

Adota-se um novo valor de -- --- -- - - - - -

CEB

103

Boletim

( v i d e a notacão n o ) FIG

5.2.3-3

FGR 4 = O and 4 r 2 , RECTANGULAR SECTION,COXNER REINFORCEMENT c 6 = 0.2 % d'/h = 0.1

TAáLE 2:::-1

I;Ci:'.::T-:3tiil':i.,:i:SsE

)

.

O

-. C

.

a.

.

I

.

.

.

e

.

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- ~ r i e o

.....

-

C-O*Cri .-*-OU0 e . . . .

-

O C O a n N " - L < O .

.

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S

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e

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- - N N

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. e . . .

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Fig. 5.2.3-2 Diagrama momento fletor-força normal-curvatura

i

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e

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C-...".

a . ,. -. .. - .C

*,..--o C...""

INSTABILIDADE

Fig. 5.2.3-3 Diagrama momento fletor-for$= normal-curvatura.

173

Fig. 5.2.3-4 Diagrama momento fletor-força normal-curvatura

Fig. 5.2.3-5 Diagrama momento fletor-força normal-curva!

INSTABILIDADE

A I1

175

Na Fig..\5.2.3-2 estão reproduzidos os dados correspondentes aos diagramas (M - N - - de seções retangulares com armaduras iguais concentradas nos quarl ) tro cantos da secão. Algumas das funções tabeladas na figura anterior sáo apresentadas na Fig. 5.2.3-3. Observe-se que, de início, para valores baixos da força normal, para uma dada curvatura, a um acréscimo de N corresponde um aumento de M. Todavia, para valores de v > 0,5, esta tendência se inverte. A um aumento da força normal , diminuindo também a rotação

corresponde um abaixamento do diagrama

última que pode ser atingida pela seçáo transversal. As Figs. 5.2.3-4 e 5.2.3-5 mostram os diagramas

correspondentes

a seções retangulares com armadura simétrica, nos casos, respectivamente, de aços CA-50A e CA-SOB, para uma taxa mecânica o = 0,2.* 5.2.4 CARGAS DE LONGA DURAÇAO

Na presença de cargas de longa duração o concreto sofre aumento de deformações ao longo do tempo. Com isso, são aumentados os momentos fletores de 2.a ordem e, conseqüentemente, fica diminuído o valor critico dos momentos de I . a ordem, Fig. 5.2.4-1.

=

EXCENTRICIDADE

DE

I

ORDEM.

er = e =

EXCENTRICIDADE

DE

29

ORDEM.

IOEFORMAFXO

EXCENTRICIDADE

DE

29

ORDEM

(FLUÊNCIA)

e,

INSTANT~NEAi

\

CARGA

OE

LONGA

.. e,+%

*a+

et+ e*,,

Fig. 5.2.41 Cargas de longa duração.

No caso da Fig. 5.2.4-1, a parcela F, da carga age em caráter permanente, reduzindo a parcela F, da carga variável que posteriormente poderá ser aplicada. Para a determinação da influência da deformaçáo lenta admite-se a teoria da deformaçáo 'Diagramas elaborados pelo Eng. Roberto Buchain nodesenvolvimentode sua Disserta~áodeMestrado na EPUSP. soba 0"e"tagào do Autor

'O

JBTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

lenta linear, onde E,,

-

= 'P E ,

sendo

-

)!.

\

\

Fig. 5.1.4-1 Diagramas tensão-defurma$ão.

a

3 cSQri

r lp

Observe-se que, embora seja adotada a teoria linear da fluência, essa linearidade é apenas referente a deformabilidade do material. Não existe a linearidade física do sistema e, além disso, não é válido o princípio da superposição dos efeitos, pois não existe a linearidade geométrica, a qual não pode existir quando são considerados efeitos de 2.a ordem. Por esse motivo, sendo e, a excentricidade instantânea de 2.a ordem, essa deformação ao longo do tempo não será obtida multiplicando-se o valor e2

por (1 + v), pois a fluência afeta apenas uma das parcelas das deformações que definem a curvatura, sendo genericamente

Tendo em vista a simplificação do cálculo, o CEB* apresenta dois métodos aproximados para a consideração da fluência. Num deles transforma-se o efeito da fluência numa excentricidade suplementar equivalente. No outro admite-se a expressão acima, tomando-se porém em lugar de (1 + (P)E< O valor-(i + apV)&,;onde a é a fração da força normal que produz fluência e é a fração do momento fletor que também produz fluência.**

5.3 CÁLCULO DA CARGA CRÍTICA PELO MÉTODO GERAL 5 3.1 FUNDAMENTOS DO A determinação da carga crítica pelo método geral é feita através do cálculo de METODO GERAL deformações da estrutura, considerando-se tanto a não-linearidade física do material quanto a não-linearidade geométrica do sistema. O método geral é aplicável a qualquer tipo de estrutura, podendo portanto ser empregado para a determinação da carga crítica de barras de seção variável com qualquer tipo de carregamento, Fig. 5.3.1-1. Observe-se todavia que o trabalho material necessário a aplicação do método geral é muito grande. Por esse motivo, no caso de pilares de seção variável, é recomendavel o emprego do método doguilíbrio_pm o processo do deslocamento de referência, conforme está m"oSfi"d~no item 5.5.1.

I

Fig. 5.3.1-1 Casos de aplicação do método geral

-cro - c6digo Modelo. * * A aplicação sistemática desses m é t d o r aproximados será feita na 3.a pane deste volume. mento de pilares não-contraventados e de estruturas de contraventarnento.

ao se tratar do dimensiona-

Em princípio deve ser determinado o diagrama carga-deslocamento, adotando-se para isso um parâmetro a que represente o carregamento aplicado e escolhendo um deslocamento y que sirva de referência para aaferição daestabilidade daconfiguração de equilíbrio, Fig. 5.3.1-2. Este é o fundamento do processo de carregamento progressivo adiante considerado.

Fig. 5.3.1-2 Processo de carregamento progressivo.

A presença de um ponto de máximo relativo nesse diagramacaracteriza ainstabilidade do sistema, podendo assim ser determinada a carga crítica correspondente. a determinaçáo da carga crítica pelo método geral, em alguns casos é conveniente do carregamentoprogressivo proporcional, adiante descrito, Fig. 5.3.2-1. exato e deve ser empregado em peças de grande esbeltez ou que variável ao longo do seu comprimento. O processo é

a. O carregamento da estrutura é aplicado por incrementos progressivos AF,, partindo de zero e aumentando-se todas as açóes proporcionalmente ao mesmo coeficiente a , tomando como carregamento de referência, por exemplo, as cargas F de serviço. b. Para cada etapa de carregamento a F , calcula-se o deslocamento y,,de uma seção de referência. Para o cálculo da flecha y,, correspondente ao carregamento a,.F = AF, AF, + . . . .AF,, além dos efeitos de I.a ordem devidos a cargaa,.F são considerados os momentos de 2.aordem decorrentes das deformaçóes devidas ao carregamento a,-,.F da etapa anterior. amento crítico é obtido através do valor a,,,.F para o qual tend diagrama carga-deslocamento. do método exato, basta ter-se a disposição meios para o cálculo do deslocamento y de referência. é suficiente o conhecimento da analogia

4

+

.$

apenas da grandeza dos incrementos de carga aplicados. Quanto menor o valor desses incrementos, maior será a precisão conseguida. Nas estruturas hiperestáticas, em cada etapa de carregamento deve sei resolvida a estrutura, considerando-se simultaneamente a não-linearidade geométrica do sistema e a náo-linearidade física do material.

.i

179

INSTABILIDADE I? ETAPA

Fl

F, . e ,

no

ETAPA AF,

+..AFn

CARREGAMENTO

APLICADQ

~ i g 5.3.2.1 . Processo das excentricidades progressivas

No processo de carregamento progressivo proporcional, as excentricidades das cargas são mantidas constantes, com seus valores verdadeiros, variando-se apenas o PROGRESSIVAS módulo das forças aplicadas. Em princípio o carregamento critico também pode ser determinado mantendo as cargas constantes, com seus valores de cálculo, variando-se progressivamente as ordem, até serem atingidos os seus valores cnticos e,, excentricidades de

,,,

Esta outra formulação do método geral é aqui apresentada com a finalidade de se ilustrar a determinação do carregamento critico quando se faz constante o valor da força normal, variando-se apenas a excentricidade de ordem. A Fig. 5.3.3-1 mostra um exemplo de aplicação. Como no processo anterior, o cálculo é feito por etapas. Na primeira etapa aplica-se a excentricidade e,, , = Ae, e calcula-se a flecha y,, de uma seção de referência, desprezando os efeitos de 2.a ordem. Nas etapas seguintes, considera-se a

CARREGAMENTO

APLICADO

no E T A P A

LF

K-F ~ " . , Ee,,"

CARREGAMENTO

APLICADO

~ig.5.3.3-1Etapas do processo do carregamento progressivo.

DESLOCAMENTO CALCULADO

1%

INSTABILIDADE

deformação da estrutura provocada pela excentricidade da etapa anterior. O valor crítico da excentricidade é obtido como o valor assintótico e,, do diagrama (e,, Y,). É importante assinalar que, uma vez conhecido o diagrama (e,, y), também pode ser construido o diagrama (M, y), Fig. 5.3.3-2, onde

,

.,

pois

Mi

=

F.y

Rg. 5.3.3-2 Determinaçáo do valor cntlco do momento de 1 " ordem

Reciprocamente, se puder ser traçado o diagrama ( M , y), pela subtração do momento de 2.a ordem M, = F.y, pode ser obtido ovalor crítico M,, ,. Esse caminho será seguido no processo do pilar padrão, examinado a seguir.

.,..,

i

Conforme foi visto anteriormente, a aplicação do método geral de cálculo com o processo exato de carregamento progressivo proporcional exige, em cada etapa de carregamento, o cálculo das deformações da barra por meio da integração do diagrama de curvaturas. O trabalho material resultante é em geral excessivo para o cálculo manual. Tendo em vista uma simplificação do método geral, criou-se o conceito depilar padrão, aplicável a barras de seção transversal constante, inclusive a armadura, ao longo de todo o seu comprimento. ,*ra_~e&ítZ": Pilar padrão é um pilar em balanço com uma distribuição de curvaturas que provoque na sua extremidade livre, Fig. 5.3.4-1, uma flecha a dada por

p . 2P2

,.

-a

'-" =

a.%

Fig. 5.3.4-1 Pilar pidráo.

0.4

(ezT)

---~.~~

base ,

e:

=-

10

(-)rI.

(5.3.4-1) s.e

Obseri~ação: h,,. -:I i v u piar padrão admite-se que a flecha máximaa seja uma função linear da curvatura da seção da base.

ESTRUTURAS DE CONÇRFTO. SOLICITAÇÕES NORMAIS

182

b. Fundamento do conceito: Frequentemente a linha elástica na flexão composta pode ser substituída de forma satisfatória por uma função senoidal, Fig. 5.3.4-2. Desse modo, sendo

têm-se: ?T

7 'r

e

e

y' = -a - cos - x

y" = a

I

*

(3

- sen - x

e fazendo

obtém-se a curvatura da seção média

Nessas condições, a flecha máxima a pode ser escrita sob a forma

\'xz-l1

-----.._L Considerando-se agora a viga em balanço, sendo

resulta +, / .h-+'

,-

eZ a =L 10

($1

.

+fl-

nose

.O\>.

"

i

~ o n A i - s epÓrtanto, , que o pilar padrão é um pilar em balanço, com uma linha elástica senoidal. A flecha máxima, que depende apenas do seu comprimento e da curvatura da seção de engastamento, é uma função linear dessa curvatura na seção da base do pilar. 5.3.5 PROCESSO DO PILAR PADRÃO (COM O MÉTODO GERAL)

O processo do pilar padrão segue o caminho delineado anteriormente com o processo das excentricidades progressivas. A possibilidade de ser seguido esse caminho decorre da propriedade básica do pilar padrão, a saber:

- Yestremidade /

.*'

-

liure

=

(5.3.5-1)

, .*,~ . /" Desse modo, pode se; construido o diagrama da Fig. 5.3.5-1, diretamente a partir do diagrama da seção transversal da base do pilar padrão, sem

a necessidade de integração das curvaturas ao longo do comprimento do pil,

INSTABILIDADE

183

Fig. 5.3.5-1 Método geral com o processo do pilar padrio.

Para uma dada seção transversal, sendo conhecido o diagrama mitindo-se um certo valor d a força normal N , pode ser traçada a curva d o momento interno resistente

Mj,,

função -

=

O momento externo solicitante vale Mmt

=

M I + MZ

onde M, = momento de I .a ordem

M,

momento d e 2.a ordem

=

Na seção da base, tem-se

'L ,

i/

lembrando que se admite que a força normal N = F não fique alterada por efeitos de 2.a ordem. Admitindo-que se tenha um pilar padrão, será

.. ~.

logo ?+?

M2, .a*

C_<%j..

.

C-

^

.-

%-. .

=

..

e: N1o

(+)

~:,

.: "nsr

.

.

Desse modo, Fig. 5.3.5-1, na seção da base, do momento interno disponível Mjnt,

ESTRUTURAS DE CONCRETO. sOLICITAÇOES NORMAIS

restará para as solicitaçóes de 1 .a ordem a parcela

M1.bme

=

Mil

- Mz,base

-

cujo valor máximo M,, C,, corresponde ao estado limite último de instabilidade. Com esse cálculo foi obtido 1 ponto do diagrama de interação (N,M,),,,,, para um certo valor de e,, Fig. 513.5-2.

Fig. 5.3.5-2 Diagramas de interaçao.

Repetindo o cálculo para diferentes valores de N, tem-se o diagrama de interação da seção considerada, parateconhecido, Fig. 5.3.5-2. Nocaso de seçóes transversais que difiram apenas pela taxa de armadura o,podem ser traçados diagramas adimensionais de interaçã-o (P,, vcrit)r + e m p ~ e w : p ? ~ ~... ~ _ d a d o 0 ~ ~ ! ~ ~~.,de ~~omp f l a e a g e. m daj-eça,-~. Fig__3.5,2,-. .. Para a apresentação dos resultados, em lugar dos diagramas de interação sugeridos pela Fig. 5.3 5 2 , podem ser adotadas tabelas de interaçáo, como a que é mostrada na Fig. 5.3.5-3, a qual foi realmente calculada com o processo do pilar padrão."j~17 As Figs. 5.3.5-4 e 5.3.5-5 mostram diagramas de interaçáo calculados apartir dos diagramas (momento fletor-força normal curvatura) calculados para os aços nacionais, conforme indicado em B 5.2.3.18 1i Note-se, finalmente, que o processo do pilar padrão com o método geral conduzirá ao resultado exato se a linha elástica for realmente senoidal. Isso acontecerá quando a barra for de seçáo transversal constante e náo houver cargas transversais. No caso de existirem cargas transversais, o processo pode ser melhorado, chegandose ao chamado "processo do pilar padráo corrigidoM.* %----

3

'CEB

- Manual de Flarnbagern.'" ''

*

O O O

O

o

"

.-" ."

O

o

-

.. .-.

m

N .i

.. ..

N' .

O I, O O

"O

fl: 4: -

C.

0

n

d

-

.

H

m ." *-o S

e . .

.

o-lV .

.

....

o r -c-* N n*c

10nm-

....

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*I

l

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-

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n o m VI a" a>

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C W O S

O 0

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r

0

r-0.8"

O

O

1> 0 ',I ,V

-."o

o

....

- 0 - 4

m c n

YICNN

"> N 00-N

NC O 00-

i"

S . .

COJVI O U, C1 O

22::

.... .... ..... ..... ..... o--.-

Orr.N

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-.,as-

NDm-m

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I 1 - U N

00-r

. . e .

~ . ~ N Y o .a

.,-mil-

O d - N n

. . e . . .

a ~ n -

O * O Q N

,ooii-N

- L . ~ .

..

Fig. 5.3.5-5 Diagramas de interação (M,,, N,) para pilares esbeltos.


188

5.3.6 EXEMPLOS

Apresentam-se a seguir exemplos de cálculo, nos quais são empregadas as tabelas da Fig. 5.3.5-3, que foram preparadas empregando-se o processo do pilar padrão com o método geral.

,

I /EXEMPLO

-'

NQI.

Fig. 5.3.6-1 Exemplos.

fck = I5 MPa = 1,5 kN/cm2

y, = 1,4

f,,

=

0,85 fcd = 0,91 kN/cm2

I

(fUd= 435 MPa

ACO CA-SOA

=

1,07 kN/cm2 ,

43,5 kN/cm2)

Considerando a excentricidade adicional e,, sendo

tem-se:

e,

=

e,

+ e,

= 13 + 2 = 15 cm.

J

Calculando-se os valores reduzidos:

I N =0,1kd IkN =IWkgf=O,ltf I kN.m = 100kgf.m = 0.1 tf.m I kN.cm = 100 kgf.cm = 0.1 tf.cm

1 MPa = I MNlm" IOkgflcm' I kN/m = 100 kgflm = 0.1 tflm I kNlmZ= 1 0 0 W l m " =0.1 tflm2 I k N l m h 11M kgflm5 = 0.1 tflm'

I MPa = 0.1 kN1cm2 = 100 Nlcm'

I

1

1

INSTABILIDADE

Da tabela da Fig. 5.3.5-3, por interpolaçáo entre os valores apresentados, obtêm-se: 8,lh

=

v. =

0 3 5 (entre

A,,

600160 = 10

=

,O,,,

/

v, =

0,80 e v, = 0,901

o,

2134 cm2 = 4 x-5,46 cmZ = 4 x 3

b. Exemplo n." 2 .

e,

=

e,,

=

-

0,29

/

+ 16 (4 x 6,0 cm2)

5 cm

v

A excentricidade de I .a ordem vale:

= (

;Y

- =

g,66~

62

-

e,=ei+e,=5+2=7cm / logo v, =

0 3 5' v

Da tabela da Fig. 5.3.5-3, por interpolação entre os valores apresentados, obtêm-se: 8,lh,

=

600130

v. =

035

po =

0,198

20 o,

A,,

,, , = 2 A,

A,,

,O,,,

=

=

=

= 0.39

/

2 x 14.69 = 29,37 cmZ

J

29.37 cm2 = 4 x 7,34 cm2 = 4 x 3 4 20 (4 x 9,45 cmz)

5.4 CÁLCULO DA CARGA CRITICA PELO MÉTODO DO EQUILIBRIO 5.4.1 O MÉTODO DO Conforme foi visto no item anterior, adeterminaçáodacarga crítica pelo métodogeral EQUILIBRIO exige sempre o traçado completo de um diagrama esforço-deslocamento. fato. com o processo exato do carregamento progressivo deve ser traçado o

"-


*'

diagrama completo (F, y). Com o processo exato das excentricidades progressivas deve ser traçado o diagrama completo (M,, y). Com o processo do pilar padrão, que é suficientemente preciso apenas quando a barra é de seção transversal constante, inclusive a armadura, e não existem cargas transversais aplicadas, também deve ser traçado o diagrama completo

.A

vantagem do processo do pilar padrão

(

reside no fato de que a obtenção do diagrama M,,

:)

-

é muito menos trabalhosa

que a do diagrama (M, y) ou do diagrama (F, y). A idéia central do método do equilíbrio é proceder à verificação da segurança contra o estado limite de instabilidade sem o traçado de um diagrama completo esforço-deslocamento. O método do equilíbrio faz a verificação, calculando apenas 1 ponto desse diagrama. 5.4.2 MÉTODO DO Conforme já se sabe, a carga crítica pode ser calculada pelo método geral, !, EQUILIBRIO. PROCESSO empregando-se o processo do carregamento progressivo ou o processo das excentri',.DO DESLOCAMENTO DE cidades progressivas, conforme se ilustra na Fig. 5.4.2-1, a qual resume as idéias já REFERÊNCIA discutidas anteriormente. ,~ Com ambos os processos a carga crítica é determinada quando a flecha y , da *'. seção de referência tende a uma assíntota paralela ao eixo das abscissas. O método do equilíbrio com o processo do deslocamento de referência consiste em se garantir a segurança contra o estado limite de instabilidade através da verificação de que, sob a ação do carregamento de cálculo F,, ou da excentricidade de cálculo e,,, a flecha y,,, da seção de referência corresponde a uma configuração estável de equilíbrio. 1

,

Fig. 5.4.2-1 Processa do deslocamento de referência

191

INSTABILIDADE

Com isso, calcula-se apenas um ponto do diagrama esforço-deslocamento, conforme mostra a Fig. 5.4.2-2. Para a constataçáo da estabilidade da configuraçáo de equilíbrio, procede-se por etapas como indicado na Fig. 5.4.2-3.

Fig. 5.4.2-2 Modos de aplicação da processo

desconhecida

fFd

colculo d e y ,

YFdYFd cálculo d e y 2

I* E T A P A

Z"ETAPA

rig. 5.4.2-3 Etapas d o processo do deslocamento de referência.

cálculo d e y n9ETAPA

n

Na primeira etapa calcula-se o deslocamento y, considerando apenas os efeitos de l.a ordem. Qualquer que seja o tipo de carregamento ou de variação de seçüo

( ,

transversal, dispondo-se dos diagramas M N,

,~ -..: -

i)

- podem

ser calculadas as fle-

chas y,. Na segunda etapa já se considera a configuração da barra com as deformações calculadas na etapa anterior e assim sucessivamente. As flechas calculadas y,, y,, ... , y ,_,,y, constituem-se numa sequência que, quando convergente, comprova a estabilidade da configuração de equilíbrio. Observe-se que pelo fato de. a sequência ser construída a partir da flecha y, decorrente apenas dos efeitos de l.a ordem, quando ela for convergente o equilíbrio será estável, pois ele corresponderá necessariamente ao ramo ascendente da curva (F, yve,). A convergência da sequência pode ser constatada numericamente. Quando ela ocorre, sabe-se que o ponto Fdestáabaixo do ponto F,,,. Nesse caso fica provado que a estrutura tem segurança superabundante, embora náo se saiba quanto de exagero está sendo cometido.

1 , '

i 1,

5.4.3 MÉTODO DO métododo equilíbrio, com o processo do pilarpadrão, a verificaçáo dasegurança arbitrando-se deformações 8 , e E , tais que nüo ocorra o estado limite último de EQUIL~BRIO.PROCESSO ou de alongamento plástico excessivo na seçáo mais solicitada da peça. Com DO PILAR PADRÃO 1 .. /essas deformações são calculados os valores de: -, N,., e M,,,.

-.

r

I

A peça será considerada segura contra o estado limite último de instabilidade na flexão composta se forem simultaneamente satisfeitas as condições, Fig. 5.4.3-1:

onde

(5.4.3-4) 10

1

arbitrado

ÚNICO

'int

PONTO

CALCULADO

/#L--

//

/

/

/'

/'

mo..

=

/

I

/0

/

0 '

e :2 P 2I-) I 2

0, 0

-

10 r orbllrodo

I

(TI

repão mais witcitodo

C"AL0,

ARBITRADO

Fig. 5.4.3-1 Método d o equ~libriocom o processo d o pilar padrão.

M,"+ c,

-r , I

INSTABILIDADE

193

O método do equilíbrio com o processo do pilar padrão é baseado nas seguintes considerações: 1. Arbitrando-se as deformações específicas E , e E , das fibras extremas de uma seção transversal, ficam conhecidos os valores de: a. curvatura

1 - E* + E, r

d

b. força normal resistente c. momentojletor resistente

+ R; - R,

.Nint= R,,

M,,

=

S (dos momentos de R,,, Ri e R,)

As deformações arbitradas náo devem superar os valores correspondentes ao estado de ruptura ou de deformações plásticas excessivas. Em lugar de E, e E, poderiam ter sido arbitrados diretamente os valores de E,, 1 deformação da fibra no nível do centro de gravidade, e de -, curvatura na seção r considerada. Observe-se, na Fig. 5.4.3-2, que à medida que aumenta a força normal resistente N,,,, diminui o valor da excentricidade interna e,., correspondente à mesma 1 curvatura -. Isso pode ser constatado, por exemplo, pelos resultados mostrados r

anteriormente na Fig. 5.2.3-3, sendo, em geral, verdade pelo menos para v a 0,s.

,

i

.--r-

Y&LOR

FIXADO

/--.R

AUMENTbNOO-SE

O VALOR

Kg. 5.4.3-2 Influência da intensidade da forca normal

2. Admitindo-se que a flecha máxima a seja uma função conhecida da curvatura da seção mais solicitada, os momentos de 2." ordem podem ser calculados em função das deformações específicas arbitradas para essa seção. Adotando o conceito de pilar padrão, tem-se

3. A peça será considerada segura contra o estado limite de instabilidade se forem

satisfeitas simultaneamente as condiçóes seguintes, Fig. 5.4.3-3:

+

Observe-se que a condição ei,,, a e, a não pode ser substituída pela condição Mi,,, a M, + N,a, pelo fato de ser N,,, a N,. Essa substituição somente seria lícita se fosse Ni,,, = N,. De fato, da condição


i

((ti

F M ~ O 5 VALOR

Nint

JIL~BRIO F O S S E N,",

ESTÍVEL SE Na.,

:

e2=a

I Fig. 5.4.3-3 Verificação da estabilidade com

sendo N,,,

2

N, e M,/N,

=

N,,, = Nd, I

e,, obtém-se

I

1

ou seja, dessa condição resulta e,,,

(um número desconhecido menor do que e,

+ a)

concluindo-se que ela não se constitui numa condição de segurança. Desse modo, a condição de segurança relativa aos momentos fletores obrigatoriamente deve ser feita em função das excentricidades, pois N,,, 3 Nd. Com essa 1 verificação, a partir do valor arbitrado de -, obtém-se o valor limite de e,, Fig. r

5.4.3-4.

Fig. 5.4.3-4 Verificaçáo da estabilidade com N,, > N,.

I ,

INSTABILIDADE

195

4. Com o método do equilíbrio, a verificação de segurança contra o estado limite de instabilidade é feita através da constatação da existência de um estado possível de equilíbrio com N,,, 2 N,. O método garante a segurança mas não dá a solução ótima, pois não fica determinado o grau de superdimensionamento existente. 5.4.4 PROCESSO

O processo simplificado do equilíbrio corresponde à aplicação do método do equilíbrio com a restrição suplementar de que a curvatura da seção mais solicitada é SIMPLIFICADO DO arbitrada com um valor convencional. EQUIL~BRIO O processo simplificado do equilíbrio decorre da observação de que, para

$

_*

1

h.Z,,

em função de -, para um dar do valor de N,,,, tem andamento próximo de um diagrama bilinear, Fig. 5.4.4-1

muitas formas de seção transversal, a curva de

I

I

(r),, convencioml

Fig. 5.4.4-1 Processo simplificado do equilibrio.

Esse fato pode ser constatado de modo muito claro nos diagramas das Figs. 5.2.3-3 a 5.2.3-5.

Nessas condições, para barras não excessivamente esbeltas, o ponto de tangência correspondente à situação crítica está muito próximo do ponto correspondente à capacidade última relativa a barras de esbeltez nula. Surgiu assim o processo simplificado do equilíbrio, que engloba a verificação da segurança contra a instabilidade na flexão composta dentro do próprio processo de dirnensionamento da seção transversal. Para isso, a capacidade última da peça é calculada, como se a esbeltez fosse nula, com os esforços

onde Mjd engloba todos os efeitos de 1 ."ordem, inclusive os decorrentes da excentricidade adicional e,, sendo

Observe-se que neste caso a segurançapode ser medidaem função dos momentos M,, não sendo necessário recorrer-se as excentricidades, pois no dimensionamento é imposta a condição Ninr= N,. O valor adotado para a curvatura última - é um valor convencional, ajus.

(:),,

tado em face de verificações feitas para diferentes seções transversais. Para cálculos rápidos o Código Modelo do CEB recomenda o valor -L

/

( )

=

..

I

5

x

(5.4.4-4)

.-

P

j

^

Anteriormente a este valor único, o CEB* recomendava os valores

0,0035 + -d para v, .s 0,5

(5.4.4-5)

I

I 0,0035 + !& para v, > 0,5

I

-

com

B

Os valores adotados pela NB-I são:

0,0035 + h E, (vd + 0,5)h a\ %"" .-,* ,.... .com

($1: v,

+ 0,s 3

1

(5.4.4-9)

onde

I v,,

=

Fd -

(5.4.4-10)

& fcd

Observe-se que as expressões (5.4.4-4)a (5.4.4-10)tendem a fornecer para a curvatura última convencional um valor maior do que o da curvatura última efetiva para o estado limite último de ruptura, desde que a força normal tenha valores significativos. As conseqüências de uma condiçáo dessa natureza estáo mostrada! 5.5.4-2.

T E B - Boletim 103.

)

197

INSTABILIDADE

I

PARA Nint = Nd

Fig. 5.4.4-2 Emprego de uma curvatura úlrirna convencional

5.4.5 PROCESSO NO caso de barras ~ o u c esbeltas, o Lom x 80, a , h ~ - ladotou o processo simplificado SIMPLIFICADO DA NB-I do equilíbrio. A secão transversal mais solicitada deve ser dimensionada como se a esbeltez fosse nula, adotando-se os esforços

L-'

onde M,, engloba os efeitos iniciais e os efeitos da excentricidade adicional (acidental), ou seja

u (e, comprimento de flambagem) =

I

\

isto é, quando v < 0,s toma-se v

+ 0,5 = 1, sendo

I (5.4.5-6)

equivalem as d o CEB, tend o havido um ajuste em função do emprego da força normal reduzida v e não de v v0 = -. 0,85 Observe-se finalmente que não é feita distinção entre os aços Classe A e os aços Classe B. Conforme se mostra nos diagramas das Figs. 5.2.3-4 e

I

5.2.3-5, essa diferença não seria significativa.

I 5.4.6 EXEMPLO

\

Considere-se novamente o mesmo exemplo n.O 2 apresentado no item 5.3.6 pelo método geral. Para efeito de comparação, a armadura será dimensionada pela tabela d e interação d a Fig. 5.3.5-3, ressaltando-se que poderia ter sido empregada qualquer outra tabela ou ábaco de dimensionamento d e seçóes submetidas à flexáo composta. Dados:

e,

=

e,,

+ e,

=

7 cm V'

5\-f=

U, =

0.198

De acordo com a expressa0 (5.4.4-6), tem-se:

I I

O momento de 2.a ordem vale, conforme (5.4.4-3),

ou seja,

I N =0,1kgi I kN = 100 k8f = 0.1 tf 1 kN.m = 100 kgf.m = 0.1 r f m I kN.cm = IW kgi.cm = 0.1 t f c m

1

I MPa

=

1 MPa = 1 MNlrn' = I0 kgficmZ I kNlm = IW kgflm 5 0.1 tflm

I kN/rn3 = 100 kgflm* = 0,I rf/m2 I k N / m L I 0 0 kgf/ml r 0.1 tilm'

0.1 kN/cm2 = 100 Nlirn'

INSTABILIDADE

Somando os efeitos d e po = / L , < + p p d =0,198

-

199

e d e 2.a ordem, obtém-se

+ 0,ll =0,31

e d a tabela d a Fig. 5.3.5-3, resulta o,

0,39

valor este idêntico a o obtido pelo método geral, daí resultando a mesma armadura

A,,

5.5 E X E R C ~ C I O S 5.1 5.2

r,t.,

=

4 x 7,34 cmZ = 4 x 3 4 20

Qual é o fenômeno de instabilidade que pode ocorrer com as barras retas comprimidas axialmente? Como pode ser caracterizado esse caso de instabilidade? Que resultados podem ser obtidos quando se emprega a expressão aproximada da curvatura

1 = d2y/dx2?

r Que novos resultados podem serobtidos com o empregodaexpressão exatadacurvatura? 5.3 Por que a segurança das peças comprimidas de concreto estmtural não é mais verificada em relação ao estado limite de instabilidade que pode ocorrer com as barras retas comprimidas axialmente? 5.4 Por que não existe problema de instabilidade na flexáo composta dentro do regime elástico? Por que tal fenômeno somente existe quando é ultrapassado o limite de proporcionalidade? 5.5 Como é determinado o diagrama Qual a infiuência da deformação lenta sobre a estabilidade na flexo-compressão? Justificar. 5.7 Definir pilar padrão. Como se emprega esse conceito com o método geral? 5.8 Descrever o método do equilíbrio para o cálculo das solicitaçóes criticas. 5.9 Justificar o processo simplificado do equilíbrio. 5.10 Descrever o processo simplificado de verificação da segurança contra a instabilidade na flexão oblíqua composta. 5.6

,

Instabilidade na Flexáo Composta Oblíqua

6.1 DEFORMAÇOES NA FLEXÁO COMPOSTA OBLÍQUA 6.1.1 DEFORMAÇÕES DO Considere-se uma barra submetida a um carregamento que produza flexão composta EIXO DE BARRA oblíqua em suas seçóes transversais, Fig. 6.1.1-1.

e x c e n t r i c i d a d e de 1 % ordem

excentricidade total

Fig. 6.1.1-1 Excentricidade do carregamento.

Sob a ação do carregamento aplicado, o eixo da barra sofre deformaçóes. P de barras esbeltas, os deslocamentos transversais criam as excentricidade segunda ordem, as quais não podem ser ignoradas no estudo do equilíbrio da

INSTABILIDADE NA FLEXÁO COMPOSTA OBL~QUA

201

/

PLANO D E FLEXÁO D A S E C A 0 DA BASE

Fig. 6.1.1-2 Configuração deformada.

!W

LINHA

Fig. 6.1.1-3 Esforços solicitantes na seção da base.

NEUTRA DA BASE

I

Na Fig. 6.1.1-2 ilustra-se a cod~guraçãodeformada de um pilar submetido à flexão composta oblíqua. Admitem-se como desprezíveis as deformações devidas a uma eventual torção da peça. Note-se que o eixo deformado do pilar é umacurvareversa e que o plano deflexão é variável, d e seÇão para seção, em virtude d a própria deformação da barra. Na Fig. 6.1.1-3 estãomostrados os esforços solicitantes na seção dabase do pilar, onde:

Observe-se que o plano de deslocamento do eixo do pilar, no topo, em princípio não é perpendicular a linha neutra da seção da base. Esse perpendicularismo somente poderia existir se o eixo deformado da barra fosse uma curva plana. Isto exigiria que a linha neutra de todas as seções tivesse sempre a mesma direção, fato este que não pode acontecer quando o plano de flexão varia de seção para seção, conforme se mostra na Fig. 6.1.1-2.

6.1.2 CURVATURAS

Na Fig. 6.1.2-1 estão mostradas as curvaturas de um pilar submetido à flexão composta oblíqua. Numa barra de seção transversal retangular, sendo E,, E,, E, e ED as deformações específicas dos vértices, a curvatura no plano perpendicular à linha neutra vale

onde h, é a maior dimensão da seção, medida perpendicularmente a própria linha neutra. Tendo em vista que se admite a hipótese de manutenção de forma plana de seção transversal, a variação de deformação específica ao longo de qualquer fibra paralela ao eixo Gx é sempre a mesma, daí resultando

Fato análogo ocorre com as fibras paralelas ao eixo Gy, sendo 1 - --EA

EB

ED

b

h,

r,

- Ec

Desse modo, sendo

das condiçóes anteriores, resulta:


h,

=

h, cos ol

+ h,

sen a

I

,

1 I


Q. 6.1.2-1 Curvaturas,

203

tem-se

-h,+ - - h, r,

h, cos a

r,

+ h, sen a r,

Para que esta condição seja satisfeita para quaisquer valores de h, e de h,, devem ser simultaneamente 1 -

1 cos a -

r,

r,

(6.1.2-1)

1 sen a -1-- r, 6.1.3 CÁLCULO DAS CURVATURAS

r,

Em princípio, também na flexão composta oblíqua podem ser determinados diagramas (momento fletor-força normal-curvatura), análogos aos que são determinados para a flexão composta normal. Entretanto, como se trata de flexão composta oblíqua, devem ser considerados dois momentos fletores, M, e M,, bem como deve ser definida a direção da linha neutra. Teoricamente esses diagramas podem ser determinados conforme se mostra na Fig. 6.1.3-1. Na verdade, o trabalho material para essa determinação tende a ser proibitivo. O raciocínio teórico é aqui apresentado principalmente para o esclarecimento dos conceitos básicos referentes a instabilidade na flexão composta oblíqua. Para um valor constante da inclinação a da linha neutra, pode ser estabelecido o seguinte algoritmo de cálculo.

adota-se um novo valor de

adota-se um valor de E O

1

/%2d

-=

r,

- sCldl

h,

I

I

Nesta fase está inteiramente fixado o diagrama de deformações, logo são conhecidas as tensões na seção transversal. Calculam-se então os valores da resultante de compressão R, e da resultante

INSTABILIDADE NA FLEXÁO COMPOSTA OBLÍQUA

205

de tração R,, donde se obtêm Nd,M,, e Mvd.Obtêm-se assim 1 ponto do diagrama

(A,

p., v) e 1 ponto do diagrama

Observe-se que não basta fixar a curvatura-

1 r,

=

E ~ Z d- Ecid

para a determina-

h,

ção dos esforços. Para essa determinação também deve ser fixado o valor de pois só assim fica definido univocamente o diagrama de deformações.

E,,

Adota-se um novo valor de E,, voltando à etapa 3, até ser alcançado um dos valores limites E ~ I ~ lim , OU ES%d,tlm = 10%

4.,

1 I E ~ I ~
e

(E.2d

E82d. 14,")

11

l ~ c l d l= l ~ e l d lim/ ,

Ai

OU (Eg2d

=

E a d , ltm)

1 adota-se um novo valor de T,

Note-se que a representação dos diagramas indicada na Fig. 6.1.3-1 não seria das mais adequadas para as aplicações. Para emprego prático, a representação indicada na Fig. 6.1.3-2 seria a mais conveniente.

I

Fig. 6.1.3-1 D i a s @r

- fiy- Y - - I/T.) (I

INSTABILIDADE NA FLEXÁO COMPOSTA OBLÍQUA

Fig. 6.1.3-2 Alternativa dos diagramas

- fiy -

Y

- u - l/ro),

Paraum valor e, 1 e, = tg 0 = constante, entrando-se com as intensidades de p, e de forçanormal v, podem ser obtidos os valores dacurvaturae dainclinaçãoa dalinha neutra.

6.2 CÁLCULO DA CARGA CRITICA PEI;o MÉTODO GERAL .1 PROCESSOS EXATOS Em princípio, a determinação exata da carga crítica na flexão composta oblíqua pode DE CÁLCULO ser feita pelos mesmos métodos empregados na flexão composta normal, com as devidas adaptações para a consideração tanto da existênciade dois momentos fletores quando da variação da posição da linha neutra.

'i /

/

Fig. 6.2.1-1 Cálculo eiato da carga crítica.

DEFINE O PLANO DE F L E X ~ O

I


Na Fig. 6.2.1-1 estáilustrado como senafeitaadeterminaçáo dacargacríticapelo método geral com o processo do carregamento progressivo proporcional. Neste processo todas as ações crescem proporcionalmente ao mesmo coeficiente K . Na Fig. 6.2.1-2 está mostradaa 1 .a etapa de cálculo. Nesta primeira etapa devem ser considerados apenas os momentos fletores de 1 .a ordem. Com essa hipótese serão determinados os deslocamentos do eixo da barra. Na Fig. 6.2.1-3 estão ilustradas as etapas subsequentes docálculo. Em cadaetapa

VALORES

ADMITIDOS

VALORES

CALCULADOS

i/r

O(

ADMITINDO-SE PILAR DE SECAO MNSTANTE

OS MOMENTOS DE

I

sen

Q

( F

= Fl )

W

X

Yl,J

BASE

W &

'TOPO

lg ETAPA

DA BARRA

DE CARREGAMENTO

Fig. 6.2.1-2 Método geral - Processo do carregamento progressivo proporcional

209

INSTABILIDADE NA FLEXÃO COMPOSTA OBL~QUA

I

/

ADMITE-SE A OEMIETRIA DETERUINAD* NA ETAPA ANTERIOR MU A CARGA

no

I

ETAPA

DE

CARREGAMENTO

( F = F, )

Fig. 6.2.1-3 Carregamento progressivo proporcional

deverão ser considerados os momentos de 2.a ordem decorrentes dos deslocamentos calculados na etapa anterior. Conforme se mostra na Fig. 6.2.1-1, em função do parâmetro K , definido por

onde F , é um carregamento adotado como referência, podem ser traçados os diagramas de flechas w, e w, de uma seçáo de referência. A cargacrítica serádeterminada pelo diagramade flechas w,, ou w,, que primeiro tender a uma assíntota paralela ao eixo dos deslocamentos. As figuras anteriores mostram que o trabalho material necessário à aplicação de um processo rigoroso de cálculo é bastante volumoso. O delineamento de cálculo que foi apresentado teve por objetivo principal o esclarecimento dos conceitos pertinentes ao problema, a fim de que possam ser claramente entendidos os processos simplificados de cálculo.

210


CARGA

F = F,

I

ADMITEM-SE CAL.CULAOAS DA

.--

1

CARGA

AS POSI~ES SOB

Fn-l

LPLANO DE F L E X ~ O

CALCULADO

NA ETAW

ANTERIOR SOB DE Fn-,

VALORES CALCULADOS A

Fig. 6.2.1-4 Carregamento progressivo proporcional

6.2.2 PILAR PADRAO De acordo com o que j á foi visto anteriormente, opilar padráo é u m pilar em balanço com linha elástica senoidal, Fig. 6.2.2-1, ou seja, ?7

w = -a sen -7.

e,

A propriedade fundamental do pilar padrão é dada pela relação

ou seja,

INSTABILIDADE NA FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA

Fig. 6.2.2-1 Pilar padrão

Com essa propriedade, pode ser calculado o momento fletor de 2.= ordem na seção da base do pilar, obtendo-se

Com o emprego do pilar padrão o momento fletor de 2.a ordem é calculado como função exclusiva da curvatura da seção da base, não havendo a necessidade de se proceder à integração da equação diferencial do eixo deformado da barra ao longo de todo o seu comprimento. Todavia, conforme se mostra na Fig. 6.2.2-2, o emprego do conceito de pilar padrão corresponde a se admitir que o eixo da barra sejaumacurva plana contida num plano perpendicular à linha neutra da seção da base do pilar.

u Fig. 6.2.2-2 Pilar padrão - Deformaçáes admitidas.

k

mINHABASENEUTRA

DA SFÃO

M -CALCULA-SE

M l n + = f u n ~ a ode

[~/r)

para N = valor

dado

I ra

Fig. 6.2.2-3 Determinação da valor critico de M,.

Ng. 6.2.24 Determinaç!~do mameniv inrerno M,, da segão da base em funçáo de F, e a, para um dado valor de 11.

A

base


213

Uma vez fixada a geometria da seção transversal, paraumadada força nonnal N e para uma dada inclinação O, = arctg (e,Je,J do plano de flexáo da seçáo da base do pilar, deve ser traçada acurva do momento interno M,a,, Fig. 6.2.2-3. O máximo valor disponível para M, = M,,, - M, fornece o valor M,, Na Fig. 6.2.2-4 está esquematizado o cálculo do diagrama

.,

mnr= função ($) Em princípio, pode ser empregado o seguinte algoritmo de cálculo:

t

7

Admite-se uma inclinação a da linha neutra

I

I

Admite-se um valor para a curvatura

I!

a O)

(~s2

I

I

Adota-se um valor para E82

E,,

respeitadas as condições

1 E,,

( s E,,,

,i,

5 10%0

e

_I

t

i

Calcula-se o valor de N d e compara-se com o valor fixado para F, I

Calculam-se os valores de M,, momento interno

,,,,e M,, ,,, obtendo-se o valor dovetor -f

M,nt =

+ Mo,,

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS %

t

I

Calcula-se o momento de 2.a ordem

ee2

+ M2,base =

Fd. -. 10

1

r,

-f

+

sendo o vetor M,,

I

paralelo à linha neutra

oidem M,,

Calcula-se o valor disponível para o momento de

,,,, (

-+ -3 + M1,b ~ 8 e= MIN - M2, be8e

sendo

I

t

I

Verifica-se se o plano de ação do momento M,, 13 = O, sendo O, = arctg e'i e,,

,,

tem a inclinação

I

I

Obtém-se assim 1 ponto do diagrama M1, = função (llra)

t

7 A

Uma vez traçado o diagrama M,., = função (llra), obtém-se o valor M,, ,,., conforme indicado na Fig. 6.2.2-3. Este valor corresponde aos parâmetros v e O, adotados. Variando-se a seguir o valor de O,, podem ser traçados diagramas de interação como os que se mostram na Fig. 6.2.2-5. Observe-se finalmente que, mesmo se fossem determinados inicialmente os diagramas ( M , N, llra) conforme o delineamento teórico do item 6.1.3, ainda assim seria necessário o cálculo por tentativas, a fim de garantir que o momento disponível de 1." ordem, dado por -+

-f

-+

MI, orne = Mint - Mz.base tivesse o plano de ação predeterminado inicialmente.

215

INSTABUDADE NA n ~ x Ã COMPOSTA o OBL~QUA

X

420

0,IO

o

0,iO

0,20

Jlx= J--

h, Fig. 6.2.2-5 Diagrama de interação (adaptado da Fig. 212-4 do Boletim 103 do CEB).

6.3 CÁLCULO DA CARGA CRITICAPOR PROCESSOS SIMPLIFICADOS 6.3.1 LINEARIZAÇAO DOS O andamento dos diagramas de interação, como os que são mostrados na Fig. 6.2.2-5, DIAGRAMAS DE indica que, analogamente ao que acontece em relação ao estado limite último de INTERAÇAO ruptura ou de alongamento plástico excessivo, também no caso de instabilidade a superfície de interação (M,, M,, N),,, pode ser admitida como convexa. Desse modo, a verificação da segurança pode ser feita como se indica na Fig. 6.3.1-1. A simplificação adotadaéportanto análoga à que foi proposta para o estudo da flexão oblíqua composta com esbeltez nula. Os resultados obtidos são usualmente a favor da segurança, não havendoem geral restrição ao emprego deste processo, o qual pode ser qlicado para peças com qualquer índice de esbeltez. No item seguinte será apresentada a condição de validade da simplificação. Observe-se que os pontos A e B, correspondentes à instabilidade, respectivamente, nos planos Gx e Gy, podem ser determinados por qualquer dos processos de cálculo anteriormente estudados. Iissim, no caso de peças muito esbeltas, em princípio devem ser empregados proce:ssos rigorosos de cálculo. 1\To caso de peças mcdianarnente esbeltas, os pontos A e B podem ser determinados por meio de processos simplificados de cálculo. Esse é o caminho seguido no item seguinte.

d: VALOR J = VALOR

Y

"

DADO

F ~ e, .

M"' M

DADO

: F ~ .e

Y

A.

Fig. 6.3.1-1 Linearimção do diagrama de interação.

6.3.2 PROCESSO No caso de peças medianamente esbeltas a linearização do diagrama de interação SIMPLIFICADO DO pode ser feita como se indica na Fig. 6.3.2-1. A validade da simplificação adotada decorre da hipótese de convexidade da EQUILIBRIO. DIAGRAMA LINEARIZADO superfície de interação (Y , +SI, , +I,, Estudos de investigação n ~ r n é n c a ' ~ mostraram que essa convexidade pode deixar de existir quando os índices de esbeltez A, e A, forem muito diferentes entre si, podendo provar-se15 que a lineanzação do diagrama é válida sob a condição

Para a determinação dos pontos A e B que definem a região de segurança é adotado o conceito de pilar padrão, calculando-se:


INSTABILIDADE NA FLEXAO COMPOSTA OBL~QUA

217

PLANO DE A ~ Ã O M

I

T

I

( SOLU c80

EXATA )

0 "VALOR

DADO

$ :VALOR

DADO

M,=F

ex

d M ~ =d F e Y

JA x fi

2,

poro

tex / hx)

Fig. 6.3.2-1 Processo simplificado do equilibrio.

com A,

=

área da seção transversal geométrica,

onde as curvaturas

no plano onde atua M, e

no plano onde atua M. po-

dem, no caso de barras medianamente esbeltas, ser admitidas com os valores convencionais

(L)= r,

,

(L) = ($1 r,

,

=i

C

O

~

O

~

~

I

~

~

I

Admitindo as curvaturas recomendadas pela NB-I, têm-se:

L,,

com

Observe-se que o emprego do método do equilíbrio simplificado, em função diretamente dos momentos críticos de I .a ordem, exige que seja imposta a condição N,,, = Nd. Caso contrário a verificação da segurança deveria ser feita em função das excentricidades. 6.3.3 REDUÇAO DA Em muitos casos práticos é possível simplificar-se averificação da segurança contraa FLEXAO O B L ~ Q U AA instabilidade através da redução daflexáo composta oblíquaaduasflexões compostas DUAS FLEXÕES NORMAIS normais. Essa simplificação será aceitável nos seguintes casos básicos,* ilustrados pelas Figs. 6.3.3-1 e 6.3.3.-2. a. São diferentes as zonas mais solicitadas em cada uma dasjiexóes normais a que foi reduzida a jiexão oblíqua. Como cntério prático admite-se que esta condição seja satisfeita quando os terços centrais dos eixos deformados correspondentes a cada uma das flexões normais não ficam superpostos. Não há restrições quanto a forma da seção transversal. Assim, na Fig. 6.3.3-1, ao pilar P1 pode ser aplicada a simplificação porquanto não existe superposição dos terços centrais das linhas elásticas das duas flexões. Note-se que, para a flexão no plano (xz), a seção mais solicitada é a do engastarnento na base. Para a flexão no plano (yz), a seção mais solicitada está situada ameia altura do pilar. O pilar P2, mostrado nessa mesma figura, não pode ser calculado com a simplicação considerada. Em particular, neste caso, a seção da base é a mais solicitada para ambas' as flexões. Observe-se finalmente que não há restrições de aplicação desta simplificação em função da forma da seção transversal do pilar, uma vez que o cntério de aplicação decorre apenas da separação das zonas mais solicitadas em cada uma das flexões consideradas. b. Pilares de seçáo retangular quando for satisfeita uma das seguintes condiçóes, Fig. 6.3.3-2:

onde e, e e,, são excentricidades iniciais de I .a ordem, não incluídas as excentricidades acidentais e, ou e.,.

.CRB

- C U g o Modelo.


h,

Fig. 6.3.3-2 Seçáo retangular - Redução a 2 flexoes normais.

Conforme se vê na Fig. 6.3.3-2, admite-se a possibilidade de substituição da flexáo oblíqua por duas flexões normais quando a obliquidade é pequena. Neste caso, para cada uma das direções principais, a seção mais solicitada deve ser verificada separadamente para as excentricidades. e,

=

e,,

+ e,, + e,,

(6.3.3-3)

e,

=

e,,

+ e,, + e,,

(6.3.3-4)

e

c. Pilares de seção retangular submetidos a solicitações iniciais daj7exão normal composta. Neste caso, no plano de flexão iniciai faz-se a verificação com a excentricidade total e,

=

e,,

+ e,, + e,,

(6.3.3-5)

e no plano transversal com a excentricidade e,

=

e,,

+ e,,

Em lugar da expressão (6.3.3-6) a NB-1/78 adota uma expressão alternativa equivalente, a qual será considerada posteriormente no estudo do dimensionamento dos pilares.

6.4 EXERCICIOS

6.1 Mostrar que, emgeral, naflexáocompostaobliquadepilaresesbeltosoeixodeformadonáo

pode ser uma curva plana. 6.2 Como se processaalinearizaçãodos diagramas de interaçáo para o cálculo dacargacntica,

havendo esbeltezes diferentes segundo os dois eixos principais da seçáo transversal? 6.3 Qual a limitação imposta à linearização dos diagramas de interação? 6.4 Quando se pode reduzir a flexão composta oblíqua a duas flexões normais? JustUficar

PARTE 3

PILARES, PAREDES E ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO

7

Pilares e Paredes Usuais dos Edifícios

7.1 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DAS PEÇAS ESTRUTURAIS 7.1.1 CONDIÇÕES GERAIS Em princípio, a verificação da segurança contra os possíveis estados limites últimos das estruturas é feita através da condição geral

onde Facerepresenta a intensidade das ações atuantes e F,,, a intensidade das ações resistentes. As ações atuantes são aquelas que agem sobre a estrutura. As ações atuantes, quando ultrapassam determinados valores, levam a estrutura a estados limites. Entendem-se como ações resistentes aquelas ações que, se aplicadas a estrutura, esgotam a sua capacidade resistente. As ações resistentes são portanto os limites das ações atuantes correspondentes ao aparecimento de determinados estados limites. Para verificação da segurança, ambas as ações F,,, e F,,,, são tomadas com seus valores de cálculo, isto é, com seus valores determinantes. Na maior parte das vezes, em lugar de a condição de segurança ser expressa diretamente em função das ações F,,, e F,,,, empregam-se condições do tipo

Neste caso, a segurança é verificada em função de determinados efeitos S das ações. Na verificação da segurança contra estados limites últimos, usualmente os efeitos considerados são os esforços solicitantes. Frequentemente os esforços solicitantes atuantes são indicados por Ss, e os esforços solicitantes resistentes por SR.

7 . 1 . 2 TRAÇ AO S I M P L E S . Nas peças submetidas à tração simples, a segurançaestágarantidaquandoé satisfeiTIRANTES a condição

PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFÍcIos

223

onde N,

é o valor de cálculo da força normal atuante

NRd

é o valor de cálculo da força normal resistente

Nessas peças, o concreto tem o papel de simples elemento de proteção das armaduras. A segurança depende apenas da armadura, e a mína da peça tem características essencialmente dúcteis, com grande capacidade de acomodação plástica. Por essa razão, mesmo sabendo que é pequena a probabilidade de uma peça estar efetivamente submetida à tração axial, pode-se desprezar a influência das excentricidades inevitáveis que ocorrem no carregamento real das estruturas. Essa mesma hipótese não pode, porém, ser admitida no caso de compressão simples. 7.1.3 FLEXÃO SIMPLES. No caso de peças submetidas a flexão simples, a segurança está garantida desde VIGAS que em todas as seçóes transversais seja verificada a condição

onde Msdé o valor de cálculo do momento fletor atuante MRdéo valor de cálculo do momento fletor resistente 7.1.4 PEÇAS A verificação da segurança das seçóes submetidas a compressão simples é feita, em COMPRIMIDAS princípio, pela condição

onde N, é o valor de cálculo da força normal de compressão atuante NRdé o valor de cálculo da força normal de compressão resistente Todavia, mesmo nas peças teoricamente submetidas à compressão centrada, admite-se que haja uma certaincerteza quanto à real localizaçãodo pontode aplicação das forças externas. Por isso, as solicitações de cálculo são determinadas introduzindo-se, sucessivamente segundo cada uma das direções principais da seção transversal, uma excentricidade mínima dada por, Fig. 7.1.4-1:

A aplicação prática destes critérios tem mostrado que, em estruturas de edifícios correntes com pilares de 20 cm de largura, o valor absoluto e,,. = 2 cm frequentemente conduz a dimensóes significativamente maiores que as que vinham sendo empregadas até agora. Por esta razão, tendo-se essidade de calibrar o modelo de segurança adotado pela NB-1/78 usualmente obtidos anteriormente, parecepossível que luto, respeitando-se apenas o valor

'i / /i I I

1 I

Fig. 7.1.4-2 Efeitos de 2.* ordem.

7.1.5

s i ~ u n ç õ ~DEs

SITUAÇÃO OE PROJETO

CALCULO

Fig. 7.1.4-1 Excentricidades mínimas inevitáveis.

Para peças comprimidas de esbeltez não muito grande, em geral é permitido substituir-se o cálculo exato de flexo-compressão por cálculos aproximados de compressão simples, majorando-se convenientemente o valor da força normal atuante. Nas peças comprimidas, além das excentricidades inevitáveis acima vistas, também devem ser considerados os momentos fletores de 2 . a ordem, Fig. 7 . 1 . 4 - 2 . Os momentos F.e, de l . a ordem são acrescentados aos momentos F.e, de 2.a ordem, verificando-se a segurança em função da flexo-compressão assim determinada. Em peças de esbeltez reduzida, usualmente adotam-se simplificações de cálCU~O.

FLEXAO COMPOSTA O caso geral de verificaçáo da segurançadas seções transversais submetidas a flexáo composta possui um caráter vetorial, Fig. 7 . 1 . 5 - 1 .

I

M

diqromo de intaoç&

ZONA DE S O U

i lrog

( N ~ d t, r a simples) ~

Fig. 7.1.5-1 Veriiicaçáo da segurança

Na Fig. 7 . 1 . 5 - 1 , o ponto A, representa as condições características de solicitação e o ponto A, as condições de cálculo. A direção de verificaçáo da segurançsi, fixada pelo vetor A,Ad, é definida pelos coeficientes de ponderação empregados na 1determinação das solicitaçóes de cálculo. ra qualquer combinação de solicitações M,, e N., a segurança fica garariuud

-

quando o respectivo ponto representativo A, está situado dentro da zona de segurança delineada pelo diagrama de interação (M,,, NRd). Observando o andamento geral dos diagramas de interação nas proximidades do ponto correspondente a tração simples, verifica-se que geralmente a presença de um eventual momento fletor parasitário não afeta significativamente o valor da força normal resistente N,,. O mesmo fato não ocorre, porém, nas proximidades do ponto correspondente a compressáo simples. Neste caso, a presença de um momento fletor parasita usualmente acarreta uma perda significativa no valor da força normal resistente NRò. Em princípio, as peças submetidas à flexão composta com força normal de compressão serão verificadas com a seguinte combinação de solicitações atuantes:

onde Nd = força normal devida às ações consideradas no projeto Mid = momento fletor devido às ações inicialmente consideradas no projeto F,.e, = momento fletor devido a excentricidade adicional e, F,.e, = momento fletor de 2.a ordem Nas peças submetidas a flexo-compressáo, é admitida uma certa incerteza quanto ao ponto de aplicação da resultante das forças externas. Consideram-se por isso as excentricidades adicionais e,, cujos valores são os mesmos admitidos para as excentricidades mínimas das peças teoricamente submetidas a compressão simples, ou seja,

onde h é a maior dimensão da seção transversal da peça, na direçáo em que se considera a excentricidade. As expressões acima indicadas serão posteriormente reconsideradas, tendo-se em vista o dimensionamento prático das seções transversais dos pilares.

7.2 COMPRESSAO SIMPLES DE PILARES 7.2.1 PILARES O dimensionamento de seções submetidas a compressão simples é feito da forma a NÃO-CINTADOS seguir analisada. Admitindo que sejam conhecidos os valores de N,

=

valor de cálculo da força normal atuante

f,,

=

valor de cálculo da resistência do concreto

i

I

1

I

f,, = valor decálculoda resistênciadoaço comprimido (obedecidaarestrição Es, e 2>0%o) e sendo, Fig. 7.2.1-1:

I


A, A,, A,

=

d

área da seção geométrica da peça

= =

*-

área da seçáo de concreto comprimido

área da seção transversal da armadura longitudinal comprimida,

Fig. 7.2.1-1 Pilares não-cintados.

tem-se a condição de segurança

fld

0 3 5 fcd . Acc +

A,,

=

fsd

i

A, - A,

(7.2.1-3) pois na compressáo centrada admite-se que o encurtamento da ruptura do concreto seja de 2%0. Da condição de segurança acima indicada, tem-se a condição de dimensionamento

que também pode ser escrita

Nd = 0,85 fCdA,

+

w

Definindo a taxa geométrica de armadura longitudinal pela expressão

onde A, é a área da seção geométrica da peça (área da seção de concretiJ sem o desconto da parte ocupada pela armadura longitudinal), de (7.2.1-4) obtém-se

resultando

>

-'w'

<

PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFÍCIOS

Para o dimensionamento prático das seções comprimidas, é conveniente definirse a tensão ideal de compressão u, pela expressáo

Na verdade, conforme será visto adiante, quando se faz o cálculo a compressão simples, aforça normal de cálculo Nddeve ser majorada afim de ser levada em contaa influência das excentricidades acidentais e das excentricidades de 2.a ordem, tomando-se o valor

resultando

Substituindo as expressões acima em (7.2.1-6), tem-se finalmente ~

i

= d

0.8'

fd

+

PS

(7.2.1-10)

( f r - 0%)

Por vezes a expressão acimaé escntada forma simplificada seguinte, que ignoraa devida à presença da armadura longitudinal: (7.2.1-11)

s (1.2.1-9) a (7.2.1-11) permitem o dimensionamento das seções transversais comprimidas. Para os aços classe A, a resiçtência de cálculo à compressão é dada pelo menor dos dois valores seguintes:

Para os aços classe B, a resistência de cálculo à compressão, de acordo com a NB-I, pode ser obtida a partir da expressão esd =

2 + -
e-

fazendo-se e8d =

2%0

E,

210 000 MPa*

e =

Na tabela seguinte apresenta-se o resumo dos valores f,, para os aços especificados pela EB-3.

*I MPa = 10 kgficmz

I

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITACOES NORMAIS

*,,,

*-

a*

f,, (compressão simples

(MPa)*

*I MPa = 10 kgflcm*

Na Tabela 13 do Anexo apresentam-se valores de fa - 0,85 fcdpara diferentes valores de f,,. 7.2.2 INDICE DEESBELTEZ

O índice de esbeltez dos pilares não-cintados é definido pela relação

onde

i

= comprimento de flambagem = raio de giração da seção geométrica

da peça (seçáo transversal de concreto, não se considerando a presença da armadura).

Nas estmturas de nós indeslocáveis, a NB-I permite considerar-se como comprimento de flambagem(,de um pilar a distância entre os eixos das vigas entre as quais ele se situa. Essa hipótese corresponde a se admitir os pilares como barras com nós articulados fixos. A existência de vigas, cuja rigidez inibe parcialmente arotação que existiria se as extremidades dos pilares fossem perfeitamente articuladas, diminui o comprimento de flambagem. A NB-1 não considera essadiminuiçáo, embora o CEB* permitadescontos de até 15% na determinaçáo do valor de e,. No caso de estruturas de nós deslocáveis, o comprimento de flambagem pode ser significativamente maior do que a distância entre os andares sucessivos da estrutura. Nesse caso, o comprimentot, somente pode ser estimado de forma adequada através da consideração da flambagem do conjunto da estrutura. No caso particular de estruturas com nós deslocáveis mas com vigas de rigidez muito grande, capazes de tornar desprezível a rotação dos nós da estrutura, o comprimento de flambagem e, também é igual a distância entre os eixos das vigas que delimitam o pilar considerado. Cada pilar é entáo considerado como se tivesse nas suas extremidades apoios de simples escorregamento, Fig. (7.2.2-1). Na determinaçáo da distância entre os eixos das vigas que delimitam os pilares, é preciso considerar-se a eventual ixistência de vigas invertidas e de lajes rebaixadas em cada um dos pisos considerados. Conforme é ilustrado pelas Figs. 7.2.2-2 e 7.2.2-3, apresença de vigas invertidas ou de lajes rebaixadas pode alterar o comprimento de flambagem em relaç; direito usual da constmçáo.

Fig. 7.2.2-1 Pilares deslocáveis com vigas de grande t.igider

Fig. 7.2.22 Arranjo estrutural do nó

230

1


Fig. 7.2.2-3 Vigas invertidas e lajes rebaixadas

-

7.2.3 PILARES CINTADOS a. Condições de emprego De acordo com a NB-1 é permitido o emprego de pilares cintados por armadura de projeção circular desde que se tenha esbeltez A < 40, referida ao núcleo, Fig. 7.2.3-1, admitindo-seque apresença do cintamentqseja equivalente aumaumentoda resistência característica do concreto de f,, para o valor

t

onde e

=

excentricidade do carregamento, já incluída a excentricidade acidental, devendo ser

A,

=

volume de armadura transversal por unidade de comprimento do pilar r d , . A,,

A,,

=

área da seção transversal da barra de cintamento de diâmetro

A 11 k s ,

=

A,,

(7.2.3-71

6,

r+t2 -

4 espaçamento entre as espiras da armadura de cintamento

=

área da seção do núcleo, definido pelo eixo da barra de cintamento

(7.2.3-4)

-

Fig. 7.2.3-1 Pilares cintados

Com as considerações acima, o pilar é calculado como se não fosse cintado, não se considerando o concreto exterior ao núcleo. A resistência total de cálculo dapeça cintada não poderá, porém, ser considerada com valor superior a 1,7 vezes a resistência do pilar calculado como se não houvesse cintamento. O efeito do cintamento sobre aresistência do concretojáfoi analisado deformageral em outro volume deste curso.* b. Compressão centrada No caso de ser admitida uma situação de compressão centrada, sendo h < 40, pode-se fazer:

logo

*Fundamentos do Projeto Estmturd

"


Sendo A,,a área da seção da armadura longitudinal e n o coeficiente de majoração correspondente à influência das excentricidades acidentais, resulta a condição de segurança f,, aNd

0,85

+2

A

f,, (A,,

-

+ fsd

As,

(7.2.3-8)

Yc


Ignorando, por simplicidade, a redução da seção efetiva de concreto devida a presença da armadura longitudinal, tem-se a condição simplificada:

aN, < 0.85

f,,

A +2L f,, A,;

+ f.,

A,,

(7.2.3-10)

da qual resulta

devendo ser

c. Prescriçóes construtivas As prescnçóes construtivas, impostas pela NB-I, sáo as seguintes: 1 . esbeltez da peça

as extremidades das barras de cintamento, sejam elas formadas por uma armadura helicoidal ou por estribos isolados, deverão estar bem ancoradas no núcleo de concreto 3. ,~ t o l yinimu da barra de cintamento

Y"\

PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFICIOS

/-

S . valores limites da armadura de cintamenro

/' ./

L-6 . armadura ion~irudinal

.

(inclusive na seçáo de emenda por traspasse)

7.3 PILARES DE EDI FICIOS 7.3.1 AÇAO DO VENTO

De modo geral, exige-se a consideração da açáo do vento nas estruturas em que esta ação possa produzir efeitos estáticos ou dinâmicos importantes. Essa possibilidade existe de modo significativo nas estmturas aporticadas com nós deslocáveis. Definem-se como sendo de nós deslocáveis as estruturas cujos nós mudam de posiçáo em virtude da flexáo de suas barras. No estudo da deslocabilidade das

STRUTURA r . *

,...i-1

DESLOCÁVEL

Deslocabilidade das estmturas.

ESTRUTURA

INDESLOC~VEL

234


estruturas são desprezadas as eventuais variações de comprimento das barras. Na Fig. 7.3.1-1 são mostrados exemplos de estrutura deslocável e de estrutura indeslocável. De acordo com a NB-1 (item 3.1.1-3) a ação do vento deve ser considerada "obrigatoriamente no caso de estrutums com nós deslocáveis, nas yuais a altura sqju maior que quatro vezes a largura menor, ou em que. numa drida direção, o número de filas de pilares seja inferior a 4".

Na Fig. 7.3.1-2 é mostrada a aplicação dessa exigência da NB-1. Admitindo que as estmturas mostradas nessa figura tenham nós deslocáveis, pelo critérios o vento deverá ser considerado apenas na direçãox, pois nesta direção Hlb > 4, enquanto que na direção y tem-se Hlb < 4. Pelo critério b, o vento deverá ser considerado em ambas as direçõesx e y , pois em ambas existem menos de quatro filas de pilares.*

4

critério d e altura relativa

4

critério do número de filas de pilares

Fig. 7.3.1-2 Consideração obrigatória da açáo do vento.

'O símbolo H foi empregado intencionalmente para chamar a aten$áo sobre o con~fm~ão

ieru us a s

iratar da altura total da

PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFfCIOS

235

CONTRAVENTAMENTO Nos edifícios correntes não é recomendável que todos os pilares participem do DAS ESTRUTURAS sistema estrutural que se admite como responsável pela estabilidade global da estrutura e pela resistência às açóes horizontais atuantes. Caso isso fosse admitido, o projeto seria em geral excessivamente trabalhoso, com resultados reais de precisáo duvidosa, em virtude da complexidade das estruturas assim consideradas. Usualmente os pilares dos edifícios são divididos em duas categorias, Fig. 7.3.2-1: pilares contraventados e pilares (elementos) de contraventamento. Os elementos de contraventamento sáo constituídos por pilares de grandes dimensões, por paredes estruturais, por treliças ou pórticos de grande rigidez. De modo geral procura-* fazer com que a estrutura de contraventamento, composta por dois ou mais elementos de contraventamento e pelas lajes do edifício, tenha rigidez suficiente para que os demais pilares possam ser considerados como participantes de uma estrutura com 116sindeslocáveis, Fig. 7.3.2-2. Os elementos de contraventamento devem assegurar a va'lidade desta hipótese. Além disto, o sistema de contraventamento deve garantir a estabilidade da estrutura no seu conjunto, bem como deve resistir a açao do vento sobre toda a construção. Os elementos de contraventamento podem, em princípio, ser classificados em flexíveis e rígidos, Fig. 7.3.2-2. Consideram-se como elementos flexíveis de contraventamento os que devem ser calculados com a consideraçáo de efeitos de 2.a ordem. Este tipo de elemento de contraventamento, sempre que possível, deve ser evitado, pois em geral acarreta grandes dificuldades de cálculo. Consideram-se como elementos rígidos de contraventarnento os que podem ser calculados sem a consideração de efeitos de 2.a ordem. Para isso eles devem ter rigidez superior a certos mínimos preestabelecidos. De acordo com os critérios de rigidezdo CEB, para pilares essa rigidez mínima corresponde ao índice de esbeltez A = 25.

Fig. 7.3.2-1 Pilares contraventados

I


I

CONTRAVENTADOS

7.3.3 SITUAÇÓES BÁSICAS DE PROJETO

ELEMENTOS

DE

CONTRAVENTAMENTO

De acordo com a NB-I os pilares de edifícios podem ser calculados de forma simplificada, desde que respeitados certos requisitos complementares adiante considerados. O cálculo simplificado permitido pela NB-1 pode ser aplicado as "estruturas de edij%ios em que stj afuem carxas previstas na NB-5 e em que não seja necessário considerar a açáo d o vento". Nocaso de estruturas submetidasaaçáo do vento, o cálculo simplificado podeser aplicado aqueles pilares que ,260 participem dos sistemas estruturais resistentes aaçáo do vento. Para efeito de projeto, os pilares dos edifícios podem ser classificados nos seguintes tipos: pilares intermediários, pilares de extremidade e pilares de canto, Figs. 7.3.3-1 e 7.3.3-2, desde que sejam pilares adequadamente contraventados. A cada um desses tipos básicos de pilares corresponde uma situação de projeto diversa. Os pilares intermediários estão basicamente sujeitos a cargas axiais de compressão. Como as vigas e lajes que se ap6iam nesses pilares não sofrem interrupção total sobre os mesmos, admitern-se como desprezíveis os momentos fletores transmitidos para os pilares. A situação básica de prqjeto dos pilares intermediários é, portanto, a de compressáo centrada. Os pilares de extremidade, em principiu, estão submetidos a flexão normal composta. A flexáo decorre da interrupção, sobre o pilar, da viga perpendicular à borda considerada, Fig. 7.3.3-2. No caso dos pilares de canto, em virtude da intermpção das vigas situadas nas duas bordas, existe basicamente uma situação de projeto de flexão oblíquacomposta. Em todos os casos considerados é importante notar que as situações de projeto levam em conta apenas os esforços solicitantes iniciais, que são os esforços de l.a ordem, decorrentes apenas das cargas atuantes sobre a estmtura. Para o dimensionamento dos pilares, devem ainda ser consideradas as excentricidades acidentais, que também são excentricidades de I .a ordem, bem como; no caso :s esbeltos, as excentricidades de 2.= ordem.

PILAR

INTERMEDIARIO

EXTREMIDADE

Fig. 7.3.3-1 Pilares de edifícios

Fig. 7.3.3-2 Arranjos estmturais dos pilares de edifícios.

7.3.4 SOLICITAÇÕES As solicitações iniciais dos pilares intermediáriospodem ser calculadas sem cocsideINICIAIS DOS PILARES ,ração de momentosfletores. As solicitações iniciais resumem-se, neste caso, a força normal devida ao carreINTERMEDIÁRIOS gamento aplicado. A situaçáo de projeto dos pilares intermediários é portanto a de compressão centrada, podendo ser aplicados os processos simplificados de cálculo adiante descritos. Para o cálculo das cargas que atuam sobre os pilares dos edifícios, de acordo com o item 3.2.2.3 da NB-1, as vigas podem ser calculadas como continuas, sem ligações rígidas com os apoios, respeitadas certas restrições impostas pela própria NB-1. No caso de vigas contínuas em que os tramos tenham aproximadamente amesma

rigidez, desde que o menor índice de rigidez Iltnão seja inferior a 80% do maior, a NB-1 permite que as reações das vigas sobre os pilares sejam calculadas considerando-se cada tramo independente dos demais e livremente apoiado. Todavia, se houver balanço de extremidade, o efeito de suas cargas será calculado, considerando-se a continuidade existente. De modo geral não se recomenda o emprego dessa permissao da NB- I para vigas com número reduzido de tramos, nem para a ava!iaçao das cargas dos pilares que suportam os tramos de extremidade das vigas. Nos exemplos de projeto apresentados no Cap. 8, essa permissão da NB- I não foi empregada. riamente calculados a flexáo composta, Fig. 7.3.5 SOL~CITAÇOES Os pilares de extremidade sã INICIAIS DOS PILARES DE 7.3.5-1. Os esforços solicitantes iniciais são constituídos pela força normal e por um EXTREMIDADE momento fletor atuante no plano perpendicular a borda em que se situa o pilar. A situação de projeto dos pilares de extremidade é, portanto, a deflexão normul composta.

De acordo com a NB-1, os momentos fletores dos nós dos pilares extremos poderão ser calculados pelas expressões seguintes:

Ma,

=

Me,,

r, + r,

1

(7.3.5-2)

+ r,,

onde Me,,

momento de engastamento perfeito I . . r = - (indice de rigidez) =

e

Fig. 7.3.5-1 Pilares de extremidade.

Fig. 7.3.5-2 Efeito da superposiçáo de pilares.

Observe-se que o tramo extremo da viga estará solicitado por momentos negativos, cujo valor máximo é dado por

Conforme se mostra na Fig. 7.3.5-1, paraas extremidades opostas, tanto do pilar inferior quanto do pilar superior, propagam-se momentos que, em geral, podem ser admitidos com metade do valor do momento propagado. Nos edifícios de vários andares, os momentos que aparecem nos pilares são provenientes da superposição dos efeitos das vigas dos diferentes níveis, Fig. 7.3.5-2. Assim, por exemplo, no pilar situado entre os níveis (i) e (i 1) são:

+

ondeMi, ,,e Mi+ ,,i, são os momentos calculados isoladamente pelas expressóes (7.3.5-1) a (7.3.5-4). Observe-se que para o cálculo dos momentos fletores é indispensável o conhecimento da seção transversal do pilar. O dimensionamento final será obtido então por m e i o de aproximações sucessivas. No caso de pilares usuais de edifícios, para efeito de pré-dimensionamento da seção de concreto, pode-se admitir, de início, uma excentricidade relativa ei/h entre 0,05 e 0,10, onde e, = MIN e h é a dimensáo do pilar no plano de flexão.

I

I I

I

7.3.6 SOLICITAÇÕES Nos pilares de canto, em princípio existe uma situaçáo de projeto deflexao oblíqua INICIAIS DOS PILARES DE composta. Os esforços solicitantes iniciais são constituídos pela força normal e por dois CANTO momentos fletores, os quais atuam nos planos verticais que contêm os eixos das vigas que formam o canto considerado. Para a determinação desses esforços repetem-se, para cada um dos planos de flexáo considerados, os raciocínios feitos para o caso do pilar de extremidade, Fig. 7.3.6-1.

Rg.7.3.6-1 Pilares de canto

241


7.4 PILARES CURTOS 7.4.1 SITUAÇÓES DE Entendem-se porpilares curtos aqueles que podem ser calculados sem a consideração PROJETO E SITUAÇOES DE de suas deformações. De modo geral admitem-se como curtos os pilares que tenham índice de esbeltez CÁLCWLO não maior que A = 40, desde que sejam devidamente contraventados. No dimensionamento dos pilares curtos, além dos esforços iniciais decorrentes da situação de projeto em consideração, também devem ser admitidos outros esforços, que se adicionam aos anteriores, e que têm por finalidade cobrir certos riscos

ei e,

=EXCENTRICIDADE

INICIAL

= EXCENTRICIOAOE

AOICIONAL

( N8- I

Fig. 7.4.1-1 Pilares curtos.

-

ACIDENTAL)

N~

= Fd

Mxd=Fde~

M ~ = Fe d.

devidos à incerteza quanto a real posição do ponto de aplicação da força de compressão. A NB-1 considera essa incerteza acrescentando à excentricidade inicial ei outras excentricidades e,, ditas excentricidades acidentais, conforme se mostra na Fig. 7.4.1-1. Observe-se que todas essas excentricidades são excentricidades de I .a ordem. No caso de pilares esbeltos, deverão ainda ser consideradas as excentricidades de 2.a ordem. Em virtude da consideração das excentricidades acidentais e,, a maioria dos casos em que agem forças normais de compressão deveria ser tratada, em princípio, como se fossem problemas de flexão composta oblíqua. Todavia, como o cálculo rigoroso de seções submetidas a flexão composta oblíqua somente é exequível em termos práticos quando se dispõe de auxilio de um computador ou, o que é equivalente, quandojá existem os diagramas de interação (v,, pZdrpUd)da seção considerada, diferentes simplificações são admitidas no projeto de pilares. No item 7.5.6 é feita uma sugestão visando a simplificaçáo das situações de cálculo atualmente admitidas pela NB-I . 7.4.2 CASO P A R T I C U L A R Conforme foi mostrado na Fig. 7.4.1-1, quando se tem uma situação de projeto de DE SIMPLIFICAÇAO DAS flexão normal composta, uma das situações de cálculo a ser teoricamente considerada SITUACOES DE CÁLCULO é a de flexao composta oblíqua. No entanto, como a obliquidade dessa flexão decorre apenas da excentricidade acidental e,,, medida na direção do eixo Gy que não contém a excentricidade inicial e,,, a NB-1 permite uma simplificaçáo. Em lugar da flexão composta oblíqua, considera-se uma outra flexão composta normal, majorando-se o valor da excentricidade e, de acordo com os critérios indicados na Fig. 7.4.2-1. Em princípio, majoram-se as excentricidades na proporção

onde e é aexcentricidade daflexãooblíqua. Comisso, como se indicana Fig. 7.4.2-2, é considerada agora a flexão composta segundo o eixo Gy, com excentricidade e

=

!

e e,,

+ e,,"

Z VeiZ2

uma vez qlte na direção Gx já foi considerada a flexão composta com excentricidade e,

=

e,, + e,,

(7.4.2-2)

Admite-se que, neste plano, esta última verificação já seja suficiente para a garantia da segurança da peça. Para a verificação da seção na direção Gy, em lugar da expressão (7.4.2-1) adotam-se os valores indicados na Fig. 7.4.2-1, os quais decorrem das aproximações indicadas na Fig. 7.4.2-2.


Fig. 7.4.2-1 SituaçUes simplificadas de cálculo.

Fig. 7.4.22 C i t é i o de sirnplificaçáo.

243

1 1

1

244


7.4.3 EXEMPLOS

Considere-se a situação de projeto de flexão normal composta, Fig. 7.4.3-1, com os seguintes dados:


Para esta seçáo transversal, as excentricidades acidentais valem:

ear a

e,,

=

3 cm

eou

e,,

=

2 cm

1.' Exemplo: e,, = 10 cm

Neste caso, sendo e,, > 3 e,,, tem-se e,

e,,, logo:

=

I I.a situação de cálculol e,

=

e,,

+ e,,

=

10 + 3

=

13 cm

(---e, l3 h, 90 -

12.a situaçáo de cálculo (e,, > 3 e,,)l

e,

=

e,,

=

2 cm

2." Exemplo: e,, = 5 cm Neste caso, sendo e,, < e,, < 3 e,,, tem-se

logo:

-

0,144)

e,

=

e,,

+ e,,

=

5

+ 3 = 8 cm

(e,h,

-

8 90

-=

0.089)

/ 2.a situaçáo de cálculo I

3.O

Exemplo: ei, = 1,5 cm Neste caso, sendo e,, < e,,, tem-se

,

logo:

]

situaçáo de, cálculol

e,

=

e,,

+ e,,

=

1,5 + 3

=

4,5 cm

1 2.a situaçáo de cálculo/

7.4.4 PROCESSOS Em muitos casos da prática é possível adotar-se um tratamento simplificado quando SIMPLIFICADOS DE existe uma situação de cálculo de flexão composta obliqua. As possíveis simplificaCÁLCULO DE FLEXAO ções de cálculo sáode três tipos, conforme adiante indicado. Noitem 7.5.6é mostrada COMPOSTA O B L ~ Q U A uma possível simplificação geral do problema. a. Transformaçáo afim da seçáo transversal Para aquelas seções que, por uma transformaçáo afim paralela a uma direçio, possam ser reduzidas a uma figurainscrita num quadrado, com simetria emrelação aos eixos paralelos aos lados e também em relação a uma diagonal, pode ser aplicado o método de cálculo tratado na Seçáo 4.3. Ainda assim, o trabalho material requerido para essa aplicação náo é de todo desprezível, pelo que também são de interesse prático os métodos de transformação daflexáo composta oblíqua em umaflexáo normal composta equivalente, atuante num plano paralelo a um dos lados da seçáo. h. Transforma~áodaJlexáo oblíqua em uma flexáo normal equivalente Quando se conhece o andamento das curvas (pgd,pyd)dos diagramas de interação (pldr pud,vd), é possivel transformar-se a flexáo composta obliqua em uma flexáo normal composta equivalente, Fig. (7.4.4-1). Essa transformação tem por objetivo reduzir o trabalho de cálculo nos casos rotineiros. Conforme se observa na Fig. 7.4.4-1, para uma dada força normal relativa Yd =

Fd A, fCd

deve ser empregada a mesma taxa mecânica w de armadura para ambas as combina-


1 X

= F~ .e, M ~ = Fe

d' Y

Ii "d = Jd Il x d

-

3

h d , eq

Fig. 7.4.4-1 Transformaçao da flexão oblíqua em flexão normal.

çóes de momentos a seguir consideradas: Flexão oblíqua real

Flexão normal equivalente P s d , emtualente

Pvd

=

= Fsd

+P

Pyd

0

A condição de equivalência Pzd,

eQ

= CL,d

+P

Pvd

também pode ser escrita

logo

pyd =

d'

h, eY -

hY

- - Fd - A, f c d


247

daí resultando a excentricidade equivalente

aqual age no plano onde é maior a excentricidade relativa, istoé,adireção x é definida pela condição

A expressão (7.4.4-2) é a adotadapela NB-I para a simplificação por ela considerada no seu 5 4.1.1.3(A). Os valores do coeficiente /3 podem ser determinados a partir dos diagramas de interação (V,, pxdrp,,). A tabela incluída na NB- I corresponde a seções retangulares com armaduras iguais nas quatro faces. Para outros arranjos de armadura o raciocínio pode ser repetido, determinando-se o coeficiente /3 a partir dos diagramas de interação da seção.

I

c. Linearizaçáo do diagrama de interaçao Quando não se dispoe do conhecimento prévio do andamento das curvas (pd, pyd)dos diagramas de interação (v,, p,,, p,,), pode-se recorrer a linearização do diagrama de interasão, Fig. 7.4.4-2.

Fig. 7.4.42 Linearizaçáo do diagrama de interaçáo

Ao invés da flexão composta oblíqua de esforços (ud,prd, pyd),sáo consideradas duas flexóes normais compostas, respectivamente, de esforços (vdrpxd)e (V,, pvOd);

!

24s


onde

As expressões anteriores são válidas para seções transversais de forma qualquer Elas permitem que sejam escritas as relações

Observe-se que com esse método a solução obtida pode ser muito antieconômica. A força Fd é considerada sucessivamente no ponto A, sobre o eixoGy, e no ponto B, sobre o eixo Gx. A essas posiçóes correspondem, respectivamente, os momentos relativos pyo,ae l . ~ ~ , , ,O ~ . erro cometido, contra a economia, decorre do fato de o diagrama de interação ser curvo e não reto. Note-se que, quando se dimensiona a seção sob a ação dos esforços (vd;fiuo, a) e (v,; pzn, d ) , impõe-se que o diagrama real (p,,, pua) para v = vd passe efetivamente pelos pontos P, e P,, Fig. 7.4.4-2. Todavia, se o dimensionamento fosse feito separadamente para cada uma das flexões normais, somando-se as armaduras assim calculadas, o erro cometido sena muito maior, pois entao o diagrama real @L=,, pyd)passaria pelos pontos P', e P',. Este último tipo de dimensionamento t e v e portanto ser evitado. Observe-se que este tipo de erro não é cometido pelo método da traiisformação afim de seção, pois nesse método a força F, é decomposta em duas partes, sendo cada uma delas levada em cònta apenas em uma das flexões consideradas. O que não se deve fazer é considerar duas flexões normais com a totalidade da força normal Nd em ambas as flexões e,aseguir, somaras armaduras obtidas em cadaumadessasflexóes. O método da linearização do diagrama de interação somente deverá ser usado quando nao se dispuser de outra alternativa válida de cálculo. 7.4.5 CASO PARTICULAZ DE SIMPLIFICAÇAO

De acordo com a NB-1, no caso particular de seções retangulares comarmaduraigual nos quatro lados, a situação de flexão composta oblíqua pode ser tratada da forma simplificada discutida no item 7.4.4(b), considerando-se uma flexão normal composta equivalente, Fig. 7.4.5-1.

PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFfClOS

Fig. 7.4.5-1 ~ilar'cornarmadura igual nas 4 faces

Admite-se a excentricidade equivalente de valor

com

sendo o valor de p, de acordo com a NB-I, dado pela tabela seguinte Valores de 100 p

o

=

A, f,d/A, f,,i

7.4.6 EXEMPLO

Considere-se como exemplo a seção indicada na Fig. 7.4.6-1, sendo:

Fig. 7.4.61 Exemplo.

Os esforços solicitantes reais valem, neste caso: vd

= 0,7

Sendo de fato

10 5 > 5,pois > -,2 hz

da por

h,

50

Admitindo o valor aproximado w

a excentricidade equivalente é defini-

20

=

0,5, da Tabela incluída na NB-1, tem-se:

donde

e,,

.

= 10

50 + 0,63 . 2 = 13,2 cm 20

logo, a seção pode ser dimensionada a nexo-compressão no.rmal, sob a ação dos esforços:


7.5 PILARES ESBELTOS 7.5.1 CONSIDERAÇAO DOS Nas peças esbeltas, além dos esforços de l . a ordem, os quais abrangem os esforços EFEITOS DE 2.a ORDEM iniciais dexidos as cargas aplicadas a estrutura e os esforços devidos as excentricidades acidentais, também devem ser considerados os momentos fletores de 2.a ordem, que aparecem em virtude das deformações da própria estrutura. Na Fig. 7.5.1-1 é mostrado um exemplo no qual são indicados os esforços de I.= ordem iniciais e os esforços de 2.a ordem. Nesse exemplo, não estão indicados os momentos fletores devidos as excentricidades acidentais.

FORÇA NORMAL

MOMENTOS FLETORES I NICIAIS

MOMENTOS FLETORES DE 2e ORDEM

Fig. 7.5.1-1 Solicitações dos pilares esbeltos.

Em geral admite-se que nas peças muito robustas sejam desprezíveis os efeitos de 2.a ordem. A NB-1 admite que os efeitos de 2.a ordem possam ser ignorados quando o índice de esbeltez da peça está abaixo do valor limite A = 40, e esta é contraventada. Sendo o índice de esbeltez definido pela relação

onde[, é o comprimento deflambagem e i o raio de giração referente ao plano deflexão considerado, a limitação A s 40 corresponde nos casos práticos correntes aos seguintes valores: seção retangular de lados h, e h,

i=

/

&):\:

i.-

ee G

-..

.

12

ll,z

LI. +/'-.

j

11 I

33~<:, , -

4) '1) . . , '.

-'.., ,

,

seção circular de diâmetro d ii

L

--

I

I

!i


As exigências feitas pela NB-I para a verificação da segurança dos pilares esbeltos estão resumidas no quadro mostrado na Fig. 7.5.1-2.

Fig. 7.5.1-2 Venficaçáo da segurança dos pilares (NR-I

7.5.2 CONSIDERAÇAO DA FLUÊNCIA

4.1.1.3)

Na determinação dos efeitos de 2.a ordem das peças submetidas à compressáo por ações de longa duração, em princípio deve ser considerada a fluência. Em virtude dacomplexidade de determinação dos efeitos da fluência, usualmente sáo adotados métodos aproximados de cálculo.

De acordo com o CEB será dispensável a consideração da fluência dos pilares isolados quando for satisfeita pelo menos uma das seguintes condições: a. jlexo-compressão com grande excentricidade (ei = excentricidade inicial de 1." ordem) ei/h 2 2,O

(7.5.2-1)

b. predominância de cargas de curta duração

F o * s0 2 F o + v , k

(7.5.2-2)

c. pilares pouco esbeltos A < 50

(7.5.2-3)

2. CRITÉRIOS DA NA-I De acordo com a NB-I é desnecessário levar em conta o efeito da fluência nas seguintes alternativas: a. predominância de cargas de curta duração l o m o a NB-1 náo fornece critério quantitativo

apenas que afluência deve ser considerada "sefor o caso", parece razoável o critério do CEB, adotando-se a condição de dispensa de consideração. Fsh

0 2 Fo + c,

k

(7.5.2-4)

b . pilares curtos ou mediatzanznzte esbeltos h

S

80

(7.5.2-5)

Subentende-se que esta restriçáo é paralelamente completada pela condição de existir uma armadura de compressão. Com a presença de uma armadura de compressáo, a fluência do concreto é substituída, em parte, por um processo de transferência das tensões de compressão do concreto para o aço. Usualmente esta condiçáo é satisfeita pelos pilares que dispõem de armadura simétrica. Nos casos em que não existe justificativa para a dispensa da consideraçáo da fluência, o cálculo poderá ser feito adotando-se simplificações de diversas naturezas, de acordo com o que está apresentado no Cap. 9 referente aos pilares nãocontraventados e as estruturas de contraventamento. \

7.5.3 SITUAÇÕES DE PROJETO ESITUAÇOES DE CÁLCULO

No item 7.4.1 foram examinadas as situações de projeto e as correspondentes situações de cálculo, de acordo com as exigências da NB-I. As situações de cálculo determinam os esforços solicitantes de dimensionamento que agem nos pilares curtos, para os quais não são feitas considerações de deformação, nem elástica nem viscosa, pelo fato de os pilares serem pouco esbeltos. Estas mesmas situações de cálculo também serão suficientes pardaverificação da segurança dos pilares esbeltos, desde que sejam calculados por processos rigorosos. De fato, embora nesses pilares existam efeitos de 2.a ordem bem como de fluência, o cálculo da carga crítica ou da excentricidade crítica pelo método geral com os processos do carregamento progressivo e da excentricidade progressiva, bem como pelo método de equilíbrio com o processo do deslocamentode referência,já incluem esses efeitos dentro dos próprios métodos de cálculo.

r.=.=-l Pilares curtos e pilares esbeltos calculados por processos rigorosos. Simplificação das situa~ õ e básicas s de cálculo.

rig.

O conceito de excentricidade e, de 2.a ordem do carregamento bem como o de excentricidade suplementar e, devida a fluência somente surgem na aplicação do método do equilíbrio, particularmente com o processo do pilar padráo. As deformações da peça, de natureza elástica e de natureza viscosa, sáo transformadas em excentricidades adicionais das cargas aplicadas. Tendo em vista que as excentricidades acidentais e, têm por finalidade estabelecer tão-somente uma segurança suplementar contra os efeitos das incertezas quanto ao ponto de aplicação das cargas e quanto àlinearidade e verticalidade dos pilares, as situações de cálculo estipuladas pela NB-I e reproduzidas na Fig. 7.4.1-1 podem ser

Fie. 7.5.3-2 Simpliiicaçáodas situaçóes básicas de cátculo. Pilares esbeltos

:ados.

calculados por processos

PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFICIOS

255

simplificadas conforme se mostra na Fig. 7.5.3-1. Estas simplificações são coerentes com o que recomenda o Código Modelo do CEB.3Essas são as situações básicas de cálculo, válidas para os pilares curtos e para os pilares esbeltos calculados por processos rigorosos. No caso depilares esbeltos calculados por processos simplificados, as situações de cálculo são derivadas das situaçóes anteriores, considerando-se também as excentricidades e,, e e, quando houver fluência significativa. As situaçóes de cálculo assim resultantes estão mostradas na Fig. 7.5.3-2. É oportuno observar-se que as simplificações propostas são coerentes com ofato de que a excentricidade e, de 2.a ordem e a excentricidade suplementar e, devida a fluêncianão podem ser admitidas na mesma direçáo da excentricidade oblíqua e(, Fig. 7.5.3-3, conforme já foi discutido no Cap. 6. Quando se emprega o método geral de cálculo com o processo do pilar padrão, utilizando, por exemplo, diagramas de interação (MldrNd) como os que são mostrados nas Figs.(5.3.5-4) e (5.3.5-5),nas situações de cálculo devem ser explicitadas as excentricidades suplementares e, mas não as excentricidades e,, as quais são consideradas pelo próprio método de cálculo. Um exemplo dessa situação é mostrado no Cap. 8, item 8.2.6.

NEUTRA Fig. 7.5.3-3 Flexáo obliqua

Quando a fluência é considerada através de uma excentricidade equivalente de ordem, as excentricidades suplementares e,, e e,, serão calculadas pelas expressões gerais discutidas no Cap. 9, as quais fornecem:

onde F,

=

carga de longa duração, a qual produz fluência.

F,

=

carga de flambagem de Eul'er, calculada conforme se indica no Cap. 9.

4 (t, , to) = função de fluência. e,,,

.

e,,,

..= excentricidade na direção Gy da carga F,

e,,

=

excentricidade acidental na direção Gx

e,,

=

excentricidade acidental na direçáo Gy

=

excentricidade na direçáo Gx da carga F,

A carga de longa duração F, vale Fn

I

i I t

I

= Yn

(Fgk +

$2

F~R)

sendo F,,

=

valor característico da carga permanente

$2F-o-cela.&longa

duração do valor característico da carga acidental usual .. 1,110 a 1,25, conforme o t i p o d G &

"--4

7.5.4 SUPERPOSICIO DOS A determinaião seuarada dos momentos fletores de 1," e de 2.. ordem com a sua MOMENTOS FLETORES DE posterior superposição somente será possível se os pilares da estrutura puderem ser 1.a E DE 2.a ORDEM considerados isoladamente, sem a necessidade de uma análise global da estabilidade do conjunto. Discute-se adiante, no Cap. 9, as condiçóes gerais para que os pilares de uma estrutura possam ser tratados isoladamente. Essa possibilidade sempre existe nas estruturas de nós indeslocáveis, como as estruturas usuais dos edifícios correntes. No caso de pilares de estruturas com nós indeslocáveis, distinguem-se os dois casos básicos seguintes: a. Momentosfletores iniciais nulos ou constantes, Fig. 7.5.4-1.

e , = const -Fig. 7.5.4-1 Superposiçáo dos momentos de

3,-

e de 2.* ordem.

Neste caso, a seção mais solicitada do pilar é aquela onde se dá a máxima excentricidade e, de 2.a ordem. O dimensionamento será feito então para os valores

e

=

e,

+ e, + e,

(7.5.4-1)

acrescentando-se ainda a excentricidade caso, resultando

b. Momenrosfleiores iniciais variáveis, Fig. 7.5.4-2.

Fig. 7.5.4-2 Superposi~áodos momentos de 1."

de 2." ordem

Neste caso, não se sabe a priori se a seção mais solicitada é aquela onde ocorre ou aquela onde existe e,, , ,, No caso de não existirem cargas transversais aplicadas ao longo do pilar, Fig. 7.4.7-2. a NB-I prescreve a verificação nas seguintes seções da peça:

e,,

,,,

1. Seçi io da extremidade mais solicitada (elA = e,,

,,, ; e,

=

0)

1

2 . Seçáo intermediária (e,

=

e,,

.

; e, = e,,

Nd = Fd

admitindo-se convencionalmente o valor

I

com

I

eic > O

quando tiver o mesmo srntido que e,.

Neste último caso, se houver fluência significativa, deverá ser considerada a excentricidade suplementar e,, resuitando e

=

e,

+ e, + e, + e,

(7.5.4-6)

7.6 PROCESSOS SIMPLIFICADOS DE CÁLCULO 7.6.1 CRITÉRIO BÁSICO DE SIMPLIFICAÇÃO

O critério básico de simplificaçáo decorre da análise dos diagramas de interaçáo, como o que é mostrado na Fig. 7.6.1-1.

!

!

i d'=

0.5 h

I

<

-

Jd

36

Fig. 7.6.1-1 Transformagáo da flexo-cornpressáaem compressáo centrada

3d

e = 3d i i ( P d

PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFíCIOS

259

Desde que se tenha um arranjo simétrico de armaduras e uma força normal relativa de compressão com valores

a taxa mecânica w de armadura correspondente as solicitações reais (v, , ,L,) pode ser determinada, a favor da segurança, em função de uma compressão centrada equivalente, com uma força normal relativa equivalente (vd, eR) dada por

que também pode ser escrita ud,

=C

=

aud

(7.6.1-2)

com

No caso da Fig. 7.6.1-1, tem-se

K

=

3,

logo

ou seja,

O coeficiente K = 3 é válido para seções retangulares em que pelo menos 213 da armadura estejam concentrados junto as bordas perpendiculares a altura h da seção. Para as demais seções retangulares e para as seçóes circulares, da análise dos diagramas de interação resulta

ou seja,

No item (7.6.4) estas condições de equivalência estão ilustradas por algumas figuras explicativas.

7.6.2 PILARES CURTOS De acordo com a NB-I, quando Fd é suposta centrada e A c 40, o pilar poderá ser SOB CARGA CENTRADA calculado à compressão, com a força normal aumentada na proporção I + 6lh, mas não menor que 1, I , onde h, medido em centímetros, é o menor lado do retângulo mais estreito circunscrito ã seçáo transversal, Fig. 7.6.2-1. No caso de pilares curtos (A c 40) em situações de projeto de compressão centrada (ei = O), o critério adotado pela NB-1 é o mesmo admitido pelo CEB, o qual de à condição (7.6.1-2), ou seja,

"7 ----

- ~ ~ -

1

Fig. 7.6.2-1 Retingulo circunscrito a seção transversal.

donde

Neste caso, não se faz qualquer restriçáo ao valor v,, e a adoção da expressão única(7.6.2-1) deve ser entendidacomouma soluçáo simplistaválida paraos casos em ' que a excentricidade é pouco significativa. De fato, neste caso a única excentricidade a ser considerada é a excentricidade acidental e,, dela decorrendo: 1. p a r a h s 60cm

:

2 h

3

60 cm

=

2cm

e,

=

h130

6 h

a = l i 3 - = I + -

2. para h

e,

:

Na Tabela 13 estão apresentados os coeficientes u de majoração da força normal, correspondentes a pilares curtos (A s 40). 7.6.3 EXEMPLOS

Determinar a força normal equivalente para o dimensionamento das seguintes seçóes transversais, admitindo-se sempre A < 40. a. Seçáo refungular: h,

=

30 cm , h,

b. Seção circular: d = 40 cm

=

70 cm

7.6.4 PILARES Neste caso, válido para 40 < A < 80, de acordo com a NB-l , além das excentricidades MEDIANAMENTE acidentais também devem ser consideradas as excentricidades de 2.a ordem. as quais ESBELTOS SOB CARGA podem ser determinadas da forma convencional já discutida anteriormente, ou seja:

sendo

onde -1-- 0,0035 + f,,/E, r (v, + 0 3 h

com vd + 0,5 a 1,O

Como a situaçáo de projeto é de compressão centrada, a situação de cálculo decorre dos valores de e, e h, medidos na direção correspondente à maior esbeltez. Para a determinação da força normal equivalente são adotados os critérios já discutidos em (7.6.1), a saber: a. Seçbes retangulares com@,

=

A, a

com

Fig. 7.6.4-1 Seçóes retangulares com A,,

2

AJ3.

3 ) Fig. 76.4-1 3

b. Seçóes circulares e seções refangulares com

Fig. 7.6.4-2 Seçoes circulares e seçoes retangulares com A,,

,A,/3

Nas Tabelas 14 a 19 são apresentados os valores do coeficiente c< de majoração de força normal, correspondentes aos aços CA-25, CA-50 e CA-60, para pilares medianamente esbeltos (40 < A < 80). Exemplos numéricos de aplicação estao apresentados no Cap. 8.

i

7.6.5 PROCESSO Em princípio, o critério introduzido no item 7.6.1 para a transformaçáo de umaflexão APROXIMADO DE composta normal em uma compressáo centrada, expresso pela equação PRÉ-DIMENSIONAMENTO E DE DIMENSIONAMENTO Ud,en = V d + pdi (7.6.5-1) EXPEDITO pode ser empregado mesmo quando no momento pd existir uma parcela devida a uma excentricidade inicial ei. Entretanto esta aplicação deve ser usada com cautela, pois a precisáo de seus resultados depdnde do andamento dos diagramas de interação nas faixas de valores

altos de pd. Por esta razão, a expressão (7.6.5-1) pode ser empregada irrestritamente tãosomente para o pré-dimensionamento. O emprego desta expressão para dimensionamento somente é lícito após o seu controle, por meio da análise do andamento dos correspondentes diagramas de interação. Em muitos casos da prática essa aplicação é possível, com precisão numérica muito boa, conforme será visto nos exemplos de projeto. Generalizando o critério de simplificação, pode-se resolver de forma semelhante o problema do pré-dimensionamento das peças sujeitas a flexão composta oblíqua. Através da análise dos diagramas de interação (v,, pzdipyd),a flexáo composta oblíqua pode ser transformada numaflexão composta normal equivalente, para a qual se obtenha a mesma taxa o de armadura, conforme já foi mostrado no item 7.4.4, particularmente através da Fig. 7.4.4-1. A seguir, esta flexão composta normal é transformada numa compressão centrada equivalente, podendo-se fazer assim o dimensionamento expedito da seção transversal da peça.

7.7 PAREDES ESTRUTURAIS 7.7.1 CONCEITOS BÁSICOS

Definem-se como paredes estruturais as estruturas laminares planas verticais apoiaz das de modo continuoem toda a sua base, com comprimento b maior que cinco vezes a espessura h, solicitadas predominantemente por cargas contidas no seu plano médio, Fig. 7.7.1-1.

b > 5h

b G 5h

PAREDE

PILAR

Fig. 7.7.1-1 Distin$ao entre paredes e pilares

Para efeito de dimensionamento, as paredes estruturais são tratadas da mesma forma que os pilares, alterando-se apenas alguns detalhes particulares. Um problema particular que merece consideração especial é constituído pelos elementos que podem ser assimilados a pilares de seção celular, compostos paredes estruturais, Fig. 7.7.1-2. Particularmente em relação a armadura mínima dos pilares de seção celular, é importante lembrar que as exigências de um mínimo de armadura nos pilares nasceram do conceito de excentricidade acidental. No caso de seções nãu-vazadas, as exigências tradicionais parecem usualmente satisfatórias. No entanto, no caso de pilares de grandes seções transversais, como é o caso usual dos pilares de seção celular, essas mesmas exigências frequentemente são

exageradas, pois nesses casos nada se melhora, em princípio, em relação a segurança da peça, pelo aumento da armadura além dos valores requeridos pelo cálculo. No caso de pilares de seção celular, cabe então garantir, através das exigências de armaduras mínimas, a segurança contra flexões localizadas não previstas das paredes que compõem o pilar. Em casos destanatureza, a solucão lógica será admitir-se a existência de um pilar para o cálculo do conjunto e dar-se o tratamento de parede estmtural para a consideração das disposicoes construtivas, tais como cobrimentos mínimos, armaduras míni. mas, espaçamentos miximos e exigências quanto as armaduras transversais.

Fig. 7.7.1-2 Pilares de seçia celular

7.7.2 EXCENTRICIDADE De modo geral, o dimensionamentodas paredes estruturais será feito considerando-se DO CARREGAMENTO queacargatenhaumaexcentricidade emrelaçãoaoplano médio da peça, Fig. 7.7.2-1.

Fig. 7.7

"cidade do carregamento das paredes

II

A excentricidade a considerar será a soma das seguintes parcelas: a. excentricidade inicial ei correspondente a posição prevista para o ponto de aplicação das cargas; b. excentricidade acidental e, resultante da imprecisão de execução; c. excentricidade de 2.a ordem e,, correspondente as deformações de flexáo em plano perpendicular a parede. No caso de paredes estruturais, a determinaçáo da excentricidade inicial e, deve considerar ainteração das paredes tanto com as vigas quanto com as lajes com as quais elas estejam monoliticamente ligadas. No caso de pilares, as ligações destes com as lajes são usualmente ignoradas, exceto quando existirem lajes-cogumelo. Com paredes estruturais, a interação das mesmas com as lajes pode ser importante, mesmo quando as lajes são maciças, particularmente no caso de paredes de extremidade dispostas paralelamente à borda da construção, Fig. 7.7.2-2.

Fig. 7.7.2-2 Interaçao laje-parede.

De acordo com a NB-1, as excentricidades acidentais a serem adotadas para o cálculo de paredes estruturais deverão estar no intervalo

dependendo a escolha do valor específico, a ser adotado no cálculo, dos cuidados previstos para a execução da obra. 7.7.3 MOMENTOS No caso de paredes estruturais fixadas no topo e no pé, os momentos fletores FLETORES DE 2.a OR,DEM ordem poderão ser calculados da mesma forma que para os pilares, adotando-se o processo simplificado do equilíbrio, pelo qual

onde a curvatura Ilr é adotada com o valor convencional

com

266


sendo h a espessura da parede e

Para a determinação do comprimento de flambagem e,, a NB-1 admite os seguintes valores aproximados, determinados em função da altura (da parede e da relação I

P

altura da parede = largura da parede

a. Topo e pé articulados fixos Bordas verticais livres

b. Topo e pé articuladosfixos Uma borda vertical livre e outra faa (articulada ou engastada)

c. Topo e pé articulados fixos Bordas verticais firas (articuladas ou engastadas)

e,

=

e,

=

e -

para íj3

1)

(7.7.3-4)

e -

para íj3 > 1)

(7.7.3-5)

1

+ pz

2P

G

1

d. Topo e pé engastados, com P G I Adotam-se os valores indicados em a , b, c multiplicados por 0,85 i

7.8 DISPOSIÇOES CONSTRUTIVAS 7.8.1 RESISTÊNCIA AO FOGO

Os valores máximos e mínimos relativos as disposições construtivas consideram as exigências das seguintes normas brasileiras:

1

NB-1/78: Projeto e execução de obras de concveto armado

I

NB-503177: Exigências particulares das obras de concreto armado e protendido em relação a resistência ao fogo

I

Tendo em vista a ação do fogo sobre as estruturas, devem ser analisados os seguintes aspectos fundamentais:

1

1. Classificação dos incêndios Para a consideração da intensidade do fogo, a NB-503 classifica os incêndios da seguinte forma: a. Admite-se para o poder calorífico da madeira o valor de 4 500 kcalJi.0 b. Transformam-se os materiais combustíveis da e num equiv

-

267


madeira, considerando o poder calorífico e a quantidade desses materiais. c. Admite-se a seguinte correlação entre o potencial calorifico equivalente em madeira e a duração do incêndio: Tabela 1 Potencial calorifico equivalente em madeira (kg/mz)*

Duração do incêndio (minutos)

30 60 90 120

60 120

180 240

Representação simbólica do fogo F 60

F 120 F 180 F 240

*Para valores inrermediários do potencial calorifico adota-se a duracão imediatamente superior.

2. Incêndio a ser considerado no projeto a. Para edifícios residenciais de altura não superior a 12 m, medida do piso mais baixo ao teto mais alto, pode ser adotada a duração F 60 para toda a estrutura. b. Nos edifícios em que o potencial calorífico equivalente não exceda a 60 kg/m2 de madeira, deve o projeto considerar no mínimo as seguintes durações: - para elementos estruturais essenciais aresistência global da estrutura, tais como pilares e vigas de transição: F 120 - para os demais elementos da estrutura: F 60 c. Nos edifícios em que o potencial calorífico equivalente exceder a 60 kg/m2,em lugar da duração F 120 adotar-se-á a duração indicada na Tabela 1, e a duração imediatamente inferior em lugar da duração F 60 para os elementos estruturais classificados no caso b.

Valores exigidos pela NB-1

7.8.2 DIMENSOES EXTERNAS M ~ N I M A S

Nota 1 - apoiado em toda a extensão da base e obrigatoriamente considerada a flexáo devidaãs ligações com lajes e com os pilares de andares adjacentes.

e, = altura livre i = raio de giração mínimo L = distância numa certa direçao entre eixos de pilares di = diâmetro do núcleo cintado b = largura da seção h =. espessura da seção

268


Observação: N á o sáo permitidas canalizações embutidas longitudinalmente nos pilares, quer no concreto, quer em espaços vazios sem aberturas de drenagem.

Valores exigidos pela NB-503 (centímetros) Duração do fogo Peças 1: Pilares de seção quadrada, inteiramente comprimida, e expostos ao fogo em duas ou mais faces. 2. Pilares de seção quadrada, inteiramente comprimida, e expostos ao fogo em uma só face. 3. Paredes de seçáo retangular com relação de lados blh 5, inteiramente comprimida.* 4: Peças fletidas que não possam dilatar livremente na direçáo longitudinal.

F60

FIZ0

F180

F24

20

30

36

40

12

16

20

24

12

16

20

24

8

11.5

15

18

'Para pilares com relagão de lados entre 1 e 5, interpela-se linearmente entre os valores dos casos 1 e 3.

7.8.3 C O B R I M E N T O S M~NIMOS

Valores exigidos pela NB-I: Cobrimento c (centímetros)* Concreto revestido com argamassa de pelo menos 1 cm de espessura

Concreto aparente

Peças

Interior de edifícios

Ao ar livre

Interior de edificios

Ao ar livre

Concreto em contato com o solo

Pilares Paredes

1,s 1,0

2,O

2,O 28

2.5 2,s

3,O 3 ,o

1s

Concreto em meio fortemente agressivo 4.0 4,O

'Cobnmento c medido a partir dor estribos ou das armaduras secundárias externas à armadura principal.

.Valores exigidos pela NB-503: Cobrimento c( da armadura longitudinal (cm)

I

Peças de concreto náo-revestido

(7

(**I

I~ilarescom seção inteiramente comprimida

1

Peças fletidas que não possam dilatar livremente na direção longitudinal

1

2.5

/I

Paredes I

2,5

1,5

4.5

/

3,O

/

5,O

4,O

1I

6,O

/I

4,s

1

7,s 6,O

1I

-

1

'Permitem-se descontos de 1.0 cm do cobrimcnto c,, para cada 1,s cm de revestimento de argamassa de cal e areia. "Permitem-se descontos de 1.0 cm do cobrimento c,. oara cada 0.4 sm de revestimento de x s s o ou de fibras de amianto, ou de argamassa de vermiculite

7.8.4 A R M A D U R A S

V A L O R E S E X I G I D O S P E L A NB-1

LONGITUDINAIS a . Pilares não-cintados que tenham todas as barras comprimidas

,i,

=

0.8%

para teli > 30

=

0,5%

para t,/i '

s 30

lusive no trecho de emenda I

sse)


b. Pilares com seção efeíiva A,, A, A,, A,,

= ,i,

=

,i,

=

0 3 % A,, 0,5% A,, 0,5% A,,

.., .., ,

, f

superior a seçáo calculada A,,

,.,l

para (,/i > 30 parateli s 30 (videcomentários, § 7.7.1, arespeito de pilares de seção celular). De modo geral esta condiçáo da NB-I parece exagerada, podendo por isso ser suprimida. ...

c. Paredes (b 6 h) p,,, = 0,4%

d. Paredes com seçáo efetiva A,, ,superior A,,

min =

0,4% A,,

c,

A,,

,i,

=

0 2 % A,,

,f

a seçáo calculada A,., ,.,,

e. Paredes com 5 h < b < 6 h Interpolar linearmente entre os valores recomendados para pilares e paredes.

I

f. Pilares cintados Veja-se o § 7.2.3 7.8.5 ESPAÇAMENTO DAS BARRAS L O N G I T U D I N A I S

VALORES E X I G I D O S PELA NB-1

a. Espaço livre mínimo entre barras; 2 cm; 1 4; 1,2 dogregodo = diâmetro das barras, das luvas ou dos feixes

+

b. Espaço livre mínimo entre barras, na posição das emendas por traspasse: 2 $ c. Espaçamento máximo, junto ao contorno dos pilares náo-cintados: 40 cm d. Espaçamento máximo, das barras da armadura principal das paredes: 2 h, 30 cm

I

i

I

iI

I

7.8.6 ARMADURAS TRANSVERSAIS

VALORES E X I G I D O S PELA NB-I

a. Espaçamento máximo dos estribos dos pilares náo-cintudos

- 30 cm menor dimensão externa da seção da peça 21 +,e 340 m2,1 para aço CA-25 e CA-32 - 12 e 190 +2,/ para aço CAIIO, CA-50 e CA-60

-

+,

Caso f,k,

+, +,

esi,.o,< fuk, armadura

reduzir o espaçamento proporcionalmente a

f,k.Jf,.,

b. Arranjos básicos dos estribos Na Fig. 7.8.6-1 são mostrados os arranjos básicos dos estribos, de acordo com as exigências da NB-1.


Fig. 7.8.6-1 .4rranjos básicos dos estribos das peças náo-cintadas.

c. Diâmetro mínimu dos estribos De acordo com a NB-1, deve-se ter:

d. Armaduras secundárias das paredes A armadura secundária, normal à armadura principal, deverá ter seção tr,.,, sal no mínimo 50% da principal.

.,-

PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIF'fCIOS

e. Estribos suplementares nas paredes O emprego nas paredes d e estribos suplementares, c o m o os indicados n a Fig. 7.8.6-1, é exigido pela NB-1 apenas quando ocorre pelo menos u m a d a s seguintes circunstâncias:

f. Pilares cintados Veja-se o § 7.2.3

7.9 E X E R C ~ C I O S 7.

1 Que são ações atuantes e ações resistentes? Definir solicitações atuantes e soiicitaçóes resistentes. 7. 2 Qual a condição de segurança na flexão pura? 7. 3 Definir a direçáo da verificação da segurança na flexão composta. 7. 4 Que são excentricidades acidentais? 7. 5 Deduzir as expressões básicas de dimensionamento dos pilares não-cintados submetidos a compressão centrada. 7. 6 Qual a funçáo do coeficiente a de majoraçáo da força normal? 7. 7 Como é determinado o índice de esbeltez dos pilares dos edifícios correntes? Quais as hipóteses envolvidas nessa determinação? 7. 8 Que é pilar cintado? Qual o efeito do cintamento? 7. 9 Como a NB-I considera quantitativamente a influência do cintamento? 7.10 Quais as restriçóes ao emprego de pilares cintados? 7.11 Quais as exigências da NB-I quanto a dimensões, espaçamentos e taxas de armadura dos pilares cintados? 7.12 Quais as condiçóes que tornam obrigatória a consideração da açáo do vento sobre os edifícios? 7.13 Que são estruturas de contraventamento? 7.14 Como são considerados os nós dos pilares de estruturas contraventadas? 7.15 Quais sáo as situações básicas de projeto dos pilares dos edifícios? 7.16 Como são calculados os momentos fletores iniciais dos pilares de extremidade? 7.17 Como sáo calculados os momentos fletores iniciais dos pilares de canto? 7.18 Definir as situaçóes de projeto e as correspondentes situações de cálculo estipuladas pela NB-1. Como podem ser elas simplificadas? Justificar. 7.19 Como se faz a transformação de uma flexáo composta oblíqua numa flexáo composta normal equivalente? 7.20 O que se entende por diagrama de interação linearizado na flexáo composta oblíqua? Quando é lícita essa linearizaçáo? 7.21 Quais as desvantagens do emprego do diagrama de interaçáo linearizado?

Pilares Usuais de Edifícios. Exemplos de Dimensionamento

8.1 DADOS BÁSICOS DE PROJETO 8.1.1 CARGAS DE PROJETO

Para a determinação das cargas de projeto, dispõe-se da Norma Brasileira NB-5/78 (Cargas para cálculo de estruturas de edificações), a qual "fixa as condições exigíveis para a determinação dos valores das cargas que devem ser consideradas no projeto de estruturas de edificações, qualquer que seja a sua classe e destino, salvo os casos previstos em normas especiais". A NB-5 classifica as cargas em permanentes e acidentais, indicando-as, respectivamente, pelos símbolos (g) e (q). A carga permanente (g) da construção é constituída pelo peso próprio da estwtura e pelo peso de todos os elementos constmtivos fixos e instalações permanentes. Para os casos em que não há determinação experimental, a NB-5 fornece os valores dos pesos específicos aparentes dos materiais de construção mais frequentes. A tabela seguinte é um extrato da Tabela 2.1.3 da NB-5178.

1 Blocos artificiais

e concretos

Materiais blocos de argamassa cimento amianto lajotas cerâmicas tijolos furados tijolos maciços tijolos sílico-calcários argamassa de cal. cimento e areia argamassa de cimento e areia argamassa de gesso concreto simples concreto armado

I N =0.1kgf I kN = I W k g f = 0.1 tf I kN.m = 1W kgfm = 0.1 t t m 1 kN.cm = IW k g f c m = 0.1 tf.cm

I I I I

MPa = I M N l m X = 10kflcm2 kN1m = I W kgfim = 0,l tfim k N i m S = I W kgfimP = 0.1 tflm' k N i m b I W kgflm' = 0.1 tfIm3

I

Peso específico aparente íkN/m3) 22 20

18 13

18 20

19 21 12.5 24 25

PILARES USUAIS DE EDIFÍCIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO

273

De acordo com a NB-5, carga acidental é toda aquela que pode atuar sobre a estrutura de edificações em função de seu uso (pessoas, móveis, materiais diversos, veículos etc.). Na tabela seguinte apresenta-se um pequeno extrato da Tabela 2.2.1.2 da NB-5, na qual são especificados os valores mínimos das cargas verticais. Carga (kN/mZ)

Local Casas de máquinas

Corredores

(incluindo o peso próprio das máquinas) a ser determinada em cada caso, porém com o valor mínimo de

7.5

com acesso ao público sem acesso ao público

3 2

Edifícios residenciais dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiro despensa, área de serviço e lavanderia Escritórios

1.5 2

salas de uso geral e banheiro

2

A NB-5 fixa ainda diversos valores numéricos e formula uma série de recomendações para diferentes casos específicos de carregamento. No caso de edifícios para escritórios, residências e casas comerciais não destinadas a depósito, para o cálculo de pilares e defundações, as cargas acidentais podem ser reduzidas de acordo com os seguintes valores prescritos pela NB-5.

I

-

Número de pisos que atuam sobre o elemento

Redução percentual das cargas acidentais

1.2 e 3 4 5

0 20 40 60

6 ou mais C

Na Fig. 8.1.2-1 está delineado o arranjo geral da estrutura que servirá de suporte 8.1.2 ARRANJO GERAL E CARREGAMENTO DAS para os exemplos de dimensionamento a seguir apresentados. Nos itens seguintes serão dimensionados os pilares P1, P4, P5, W e P8, LAJES admitindo-se diferentes índices de esbeltez. a. Carregamento das lajes g, = peso próprio = 0,12 m x 2 5 kN/m3 g, = revestimento (taco + argamassa) q = carga acidental (escritórios) p = carga total

1 N =O,lkgf I kN = IW kgf = 0,1 tf I kN.m = I W k g f m = 0.1 tf.m I kN.cm = IW kgfcm = 0.1 õ c m

i I I I

= = =

MPa I MNlm* = IOkgf!cm2 kN1m = I W kglirn =O,! tfim kN!mS= 100kgf/m2=0,1 tf/rnS kN/rnS = l W kgflm' = 0.1 tflm" I

3,O kN/mZ 0,8 kN/mZ 2,O kN/m2 5,8 kN/mZ


Fig. 8.1.2-1 Arranjo geral

b . Reações das lajes De acordo com o quejáfoi discutido anteriormente,* as reações de apoiadas lajes sobre as vigas são obtidas da seguinte forma:

'Fundamentos do Projeto Estnitural. I N =O,Ikgf I kN = 100 kgf = 0.1 tf 1 kN.m = 1W kgf.m = 0.1 1f.m 1 kN.cm = 1W kgf.cm = 0.1 tfcm

I 1 I I

MPa = I MNlmZ= 10 kgficm2 kNim = 100 kgf/m = 0.1 tflm kNlms= 100kgf/mP = 0,1 tfim2 kNlm3 = 100 kgfIm3 = 0.1 tflm=


8.1.3 cÁLCULO DAS VIGAS VIGA

@

275

I . Viga V I (20/50

+

12)

Fig. 8.1.3-1 Cálculo da viga VI

a. Cargas peso próprio + alvenaria laje (L1 = L2) p

=

12,0 kN/m 7,8 kN/m 1 9 3 kN/m

-

20 kN/m

b. Reaçóes As reações estão indicadas na Fig. 8.1.3-1 e foram calculadas admitindo-se uma viga contínua (os momentos nos apoios internos foram calculados de forma aproximada pelo valor - pt2/10). Não convém, em situaçóes dessa natureza, o uso indiscnminado da permissão dada pela NB-I em seu 5 3.2.2.3 B (d). c. Rigidez (de acordo com a Tabela 27)

-

0,i k d I00 k d =- 0,l lf i00 kgtm = 0.1 tf m 100 kgtcm = 0.1 tf.cm 1 MPa

=

1 MPa = i MN/mS = 10 kgficrnP 1 kN/m = 100 kgfim = 0,l tfim I kNim2 = 1001
0.1 kN/cmP = 100 N/cmz

d. ?víomento de engastamento perfeito

VIGAS

o=@

( 2 0 / 5 0 + 12)

Fig. 8.1.3-2 Cálculo das vigas V2 e V3

a. Cargas peso próprio

laje (L1 laje (L3

--

=

0,20 m x 0,60 m x 25 kN/m3 = 3,O kN/m L1 L3 p

L2)

L4)

= =

=

b. Reações

Valores indicados na Fig. 8.1.3-2. c . Rigidez

I N =O,lkgi = I W k g i = 0.1 tf I kN I kN.m = 1W k d m = 0.1 t f m I kN.cm= 1Wkgj.cm =U,I tf.cm

I MPa = I MNlrn2= IOkgflcm' I kNlm = IW kgflm = O, I tfim I kN1m' = IW kgfimP = 0.1 lflm' 1 kNlmZ= 1Wkgflm8=U,1 tfirn3

7 , s kN/m 7 , s kN/m 18,6 kN/m

-

19 kN/m

PILARES USUAIS DE EDIF~CIOS.EXEMF'LOS DE DIMENSIONAMENTO

d. Momento d e engastamento perfeito Me,

pe2 1 2 -- 19 kN/m12 . (6mY = 57 kN,m

=

111. Viga V4

Fig. 8.1.3-3 Cálculo da viga V4

a. Cargas

I

peso próprio laje (Ll)

+ alvenaria

= =

p

=

10 kN/m 5,s kN/m 15,s kN/m

-

16 kN/m

b . Reações O equilíbrio de rigidez dentre os pilares P1 e P4 permite que neste caso sejaválida uma simplificação como a do item 3.2.2.3 B (d) da NB-1. Os valores das reaçóes estão indicados na Fig. 8.1.3-3. c. Rigidez

b,/b,

=

12/36 = 0,33 I)

hJh

=

=

0,51

12/52 = 0,23

I MPa

=

0,l kN/cm2 = I00 N/cmP

(Tabela 27)

h


r,,

= -I

t

= 21 i = 0,55 dm3

40

d. Momento de engastamenro perfeito

I V . Viga V5

I

Fig. 8.1.3-4 Cálculo da viga VS.

1

a. Cargas peso próprio laje L1 laie L2

=

= =

2,O kN/m 5,s kN/m 5.8 kNim

b. Reações Reações calculadas de forma simplificada. Valores indicados na Fig. 8.1 5 4 .

8.1.4 CARREGAMENTO DOS PILARES

a. Cargas devidas a 1 andar

Total I

=

82 k N

Total

=

I l l kN

Total I

I

'Peso próprio já incluído na consideração das alvenarias. "Valor estimado para o peso próprio.

1N =O,lkgf 1 kN = IW kgf = 0.1 tf 1 kN.m = IW kgf.m = 0,l tfm 1 kN.cm= 100 kgf:cm = 0,l tfcm

1 MPa I kN/m

I I

=

= kN/m2 = kNIm3 =

I MNlms = I0 kgf/cm2 IW kgfim = 0.1 tflm 1W k8f/mP= 0.1 rf/m2 IW kgflms = 0.1 tfim"

=

181 kN I

b. Carga de 10 andares (Valores característicos) P1 = 820 kN P4 = 1110 kN P5 = 1810 kN P7 = 1110 kN P8 = 1810 kN

8.2 PILARES INTERNOS .2.1 PILAR CURTO ( h s 40)

a. Problema proposto Considere-se o dimensionamento do pilar PS, admitindo que o comprimento de flambagem seja l', = 3,50 m. De acordo com os dados básicos, têm-se

Admita-se o emprego dos seguintes materiais: Aço: CA-SOB

y, = 1,15

Na compressão simples Concreto: fCk

=

15 MPa

= 2%0):fsd

=

356 MPa (Tabela 20)

Y C = 1,4

15 Na compressão simples: 0,85 f,, = 0 , 8 5 1,4

=

9,l MPa

b. Pré-dimensionamento ' Admitindo-se a taxa geométrica de armadura p, = 1%

a tensão ideal a,,vale (Tabela 23) aia = 0 3 5 f,d

+ p,

(fad - 0,85 f,n) = 12,5 MPa = 1,25 kN/cmZ

resultando a estimativa

ou seja, será adotada a seção A,

=

35 cm x 60 cm = 2100 cm2

1 N =O,lkgf I kN = 1W kgf = 0.1 tf 1 kN.m = 100 kgf.m = 0.1 tf.m I kN.cm = 100 kgf.cm = 0.1 tf.cm

I MPa = 1 MNlmZ = 10kgficmZ I kNim I W kgfim = O,] tfim 1 kN/rnP = 100 kgfim* = 0.1 tfimP I kNim3 = I W k g f i m b 0.1 tfima

I MPa = 0.1 kN/cmZ = 100 Nlcm'

,I I


c. Dimensionamento Adotando-se a seção definitiva

têm-st

De acordo com a NB-1 , para A < 40, a excentricidade acidental mínima pode ser substituída por uma majoração da força normal, devendo tomar-se

com

É óbvio que esta majoração será feita em função da menor dimensão da seção transversal, a qual já foi considerada na determinação de A,,. Neste caso, as duas situações de cálculo de flexáo composta, teoricamente definidas pela NB-I, Fig. 7.4.1-1, ficam reduzidas a uma única situação de cálculo de compressão centrada. Desse modo, resulta

obtendo-se a tensão ideal média Nld = =-

. ld

A,

2965 kN 2100 cmZ

=

1,41

kN = 14,l MPa cmZ

De acordo com a Tabela 23, para o Aço CA-50B e

f,, = 15

MPa, a tensão

ufd= 14,l MPa corresponde a taxa de armadura

logo

não havendo restrições quanto ao arranjo da armadura longitudinal além das prescnções constmtivas da NB-I.

:

0 , l kgf IW kgf = 0.1 tf 100 kgf.m = 0.1 t f m IW kgf.cm = 0.1 tf.cm

;

1 MPa = I MNlms = 10 kgflcm' 1 kNlm = IW kgfim = 0.1 tfim I kNlma = 1W kgf/mP = 0.1 fims I k N i d = I W k g f i d = 0.1 ifim3

PILARES USUAIS DE EDIF'~cIoS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO

8.2.2 PILAR MEDIANA MENTE ESBELTO (40 iA s 80)

281

a. Problema proposto Considere-se novamente o mesmo pilar P5, admitindo agora o novo compnmento de flambagem

e, = 5,60 m

(e,, = te,por hipótese)

e a mesma seção transversal do caso anterior, ou seja,

Neste caso têm-se, novamente, Fig. 8.2.2-1:

Fig. 8.2.2-1 Arranjo da armadura

I MPa

= 0.1

kN/cm2 = 100 N/cmz

+

1

1

sendo mantidos os mesmos materiais: Aço CA-SOB, f,,

=

15 MPa

b. Pimensionamento O pilar poderá ser novamente dimensionado apenas em função da esbeltez máxima. De acordo com a NB-I , o pilar poderá ser admitido numa situação de cálculo de compressão uniforme, majorando-se a força normal proporcionalmente a

onde K

=

3 (decisxo d e projeto, válida para seçóes retangulares

com A,, e,

=

e,,

e,,

=

1 A,, 3

3-

Tabela 16)

+ e,,

2 cm

faz

=

2 cm > 30

(Ver comentário feito em 7.1.4)

tZ,, . 0,0035 + 0,0027 eZs = 10 (v, + 0,s) h Empregando-se a Tabela 16, com f,, ?!E =

h,

2 cm 35 cm

=

=

10,7 MPa = 1,07 kN/cm2, tem-se

0,057

logo

e sendo

I N =O,lkgf I kN = IW kgf = 0.1 tf I k N . m = 100 kgf.rn = 0.1 tf.m I k N c m = 1W k g f c m = 0.1 t f c m

1 MPa

= I MNlm* = I 0 kgficmz i kNim = IW kgfim = 0.1 f i m I k N i m S = I W kgfimP = 0.1 @/me I kNima = IW kgfim3 = 0.1 tfirn3

1 MPa = 0.1 kNicm2 = 100 Nicm'


resulta (Tabela 16) a2 = 0,26

obtendo-se a = a , + a 2 = 1 , 1 7 + 0 , 2 6 = 1,43

ou seja Nld

=a

Nd

=

l,43

X

2534

=

3624 kN

Com a seção adotada, obtém-se Uid

Nld = =A,

3624kN 2100 cmZ

kN - 1,73 = 17,3 MPa cm2

e da Tabela 23 resulta (CA-SOB, f,,

=

15 MPa)

p, = 2,4%

logo 2100 2,4 -- = 50,4 cm2 = 16 4 20 (50,4 cm2), devendo ser respeitada a con1O0 1 dição A,, > - A,, Fig. 8.2.2-1. 3 A,

=

8.2.3 PILAR ESBELTO S E M a . Problema .urouosto . Considere-se mais uma vez o pilar P5, admitindo os valores: CONSIDERAÇAO DA

.+Ac.=20 cm x 150 cm = 3000 cmz e, = 560 I& (e,, = e,,) h i 7 * p a

=

1,07 kNIcmZ

L.

!1

1

Na direção de menor rigidez, têm-se

I N =0,1kgf IkN =IWkgf=O,ltf I k N m = 100 k g f m = 0.1 t f m I kN.cm = IlM kgfcm = 0.1 t f c m

1 MPa = 1 kN/m = 1 kN/rn2= I kN/m3 =

I MNlrna = 10 kgflcrn* 100 kgflm = 0.1 tfim I00 kgf/rn3= 0.1 tf/m2 I W kgf/rn3 = 0.1 tf/mJ

1 MPa = O,] kN/cmz = 100 N/cmz

Í i

1

i


e na direção de maior rigidez

A Fig. 8.2.3-1 mostra a s situações d e cálculo especificadas pela NB-1, ignorando-se ainda a s possíveis simplificações permitidas.

S I T U A Ç Ã O SUPOSTA N O PROJETO

S I T U A Ç ~ E S DE ( 1"

1'

Y

e.I =

CÁLCULO

CONFORME

i d * x

~

d

A NB - I . ( 2O 1

b

a

y

~

eax

i,' 97

X y = 13

Fig. 8.2.3-1 Situaçóes de cálculo

b. Situação de cálculo (Dimensionamento rigoroso pelas tabelas do Manual de Flambagem do CEB) Neste caso, o único momento de I .a ordem decorre da excentricidade acidental e,,, sendo e,,

=

2 cm

(e,,

=

hz 20 = 0,67 cm) 2 cm > -30 30

logo

Parao emprego das tabelas daFig. 5.3.5-3 do Cap. 5,'6~"calculam-seosvalores:

1 N IkN 1 kN.m 1 kN.cm

=O,lk&f =IWkgf=O.ltf = I W k g f m = 0.1 1f.m = I W kgf.cm = 0,I ü c m

I MPa = I MNim2 = I 0 kgficm* I k N i m = I00 kgflm = 0,I tfim 1 k N i m Z = I W k g f i m 2 = 0 , 1 tiim' I kN/ma = I00 kgfima = 0.1 tfim3

I MPa = 0.1 kNicm2 = 100 NicmP

x

"


De acordo com a tabela citada, têm-se: para

para

Interpolando linearmente para <,/h

=

28, resulta

Observe-se que, de acordo com a definição adotada,'" l7 a taxa o. não fornece a armadura total, mas sim a armadura de cada uma das faces.

Sendo então tem.se logo A,

wn =

5 fUd 2 0,85 fc, A,

0,85 x 10,7 MPa x 3000 cm2 5 = 0,41 2 435 MPa =

2 x 8

=

25,7 cmZ

6 20 (2 x 25,2 cm2), conforme indicação da Fig. 8.2.3-2

/yh,= Fig. 8.2.3-2 Atnanjo da armadura.

I N =0,1kgf I kN = 100 kgf = 0.1 tf 1 kN.m = I W kgf.m = 0.1 t f m 1 k N . c m = 100 kgf.cm = 0.1 d c m

I MPa = I MN/rn2 = 10kgf/cm2 kN/rn = 100 kgfim = 0.1 tf/m I kN/m2 = 100 k8firn2 = 0.1 WmP I k N / m 3 = 100 kgf/mS = 0.1 tf/rn3

r

I MPa = 0.1 kN/crn2 = 100 N/cmZ

20cm

c.

Situaçáo de cálculo (Dimensionamento simplificado) A 2.a situação de cálculo especificadapela NB-1 corresponde aflexáo no plano de maior rigidez da seção transversal do pilar, Fig. 8.2.3-1. Neste caso, sendo A, < 40, adinite-se o cálculo simplificado, resultando: 2.O

Uid =

1 I

Nld A,

-

=

2787 kN 3000 cm2

=

kN 0,93 - = 9,3 MPa cmP

De acordo com a Tabela 23, para CA-SOB, fek= 15 MPa e u,,= 9,3 MPa, resulta um valor Ps,

nec

< Ps, dismnível

= Ps,

I.* sit. de esleuio

I

I<

8.2.4 PILAR ESBELTO. a. Problema proposro SOLUÇAO ALTERNATIVA Considere-se novamente o pilar, P5, nas mesmas condiçoes do item anterior. POR MEIO DE O objetivo deste exemplo é mostrar o emprego de diagramas de interação de DIAGRAMAS DE flexão composta de barras esbeltas, como os que foram mostrados no Cap. 5 , Fig. INTERAÇÃO 5.3.5-5. Basicamente, esses diagramas de interação fornecem os mesmos dados que as tabelas apresentadas pelo Manual de Flambagem do CEB.17 Tendo em vista o objetivo deste exemplo, será considerado apenas o dimensionamento referente a I .a situação de cálculo do item anterior ( 5 8.2.4-b), Fig. 8.2.3-1. b. I . a Situação de cálculo (Solução alternativa - dimensionamento rigoroso por meio dos diagramas de interação da Fig. 5.3.5-5)* Dados do projeto:

N, e,, A, h,

2534 k~ e,, = 2 cm = 20 cm x 150 cm = 20 cm =

N
IJ

=

=

3000 cm2

@,

&J

*ReferSncia (18)

I N =O,lkgf I kN = 100 kgf = 0.1 rf 1 k N m = 1W kgf.m = 0.1 t f m I kN.cm = IW kgfcm = 0.1 t f c m

I;

1 MPa

= I MNlms = 10 kgf/cmZ I kN1m = IW kdim = 0.1 tflm I kN/ma = 1W kgf/m2 = 0.1 tflm' I kNim3 = l m kgfim3 = 0.1 tf/m3

i


fcd

=

10,7 MPa

=

kN 1,O7 cm2

kN cm2

f,, = 435 MPa = 43,5 -

Com esses dados, obtêm-se os valores:

Dos diagramas deinteração da Fig. 5.3.5-5, com vd = 0,79e pId = 0,08, obtêm-se: para

5 = 25

: w = 0,65 r /

5 = 30

: o = 0,85

h

para h

Interpelando para

5 h

=

28, obtém-se

e sendo

resulta

I N I kN I kN.m I kN.cm

=O,lkgf = 100 kgf = 0.1 tf = 100 k g f m = 0.1 tf.m = I W k g f c m = 0.1 tf.cm

1 MPa = I M N l m Z = 10kgf/crn2 1 kN/m = I W kgflm = 0.1 tflm I k N / m 2 = I W kgflmz= 0.1 tflm' 1 kN/mS = 100 kgfimg = 0.1 tf/mJ

I MPa = 0.1 kN/cmP = 100 N/cms

'

zss


ou seja

resultado praticamente igual ao anteriormente obtido. 8.2.5 PILAR ESBELTO. a. Problema proposto Repetir o dimensionamento feito no item anterior, mas empregando-se diretaSOLUÇÁO ALTERNATIVA POR MEIO DE mente os diagramas (moment~fletor-força normal-curvatura). DIAGRAMAS (M, N , Ilr) 1 A Fig. 8.2.5-1 mostra os diagramas (M, N, -) correspondentes a d'/h = 0,05 e r d'lh = 0,15, respectivamente, ambos válidos para u = 0,80

ACO CA 5 0 - A

8 =orctg 0,066

e l = a r c t g 0,074 Fig. 8.2.5-1 Solu~ãopor meio de diagramas

b. Dimensionamento UA =

N = 0,79 d

-

0,8

(M - N - llr).

-

.-

\ \

PILARES USUAIS DE EDIF~cIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO

\

\

\-

I

1

291

sendo

tem-se

ou seja

Considerando que os diagramas daFig. 8.2.5-1 têm por abscissaavanável 103d/r, pode-se escrever

Desse modo, o coeficiente angular da reta que determina o momento de 2.= ordem p2 é dado por

No caso presente, têm-se: d para- -

=

0,95 : tg 8

d para h

=

0,85 : tg

H

o

Conforme se vê na Fig. 8.2.5-1 têm-se: d para h para

=

0,95 :

d = 0,85 :

h

OJ

=

=

0,65

1

o,90

I

d resultando por interpolaçáo, para h

=

0,90,

aticamente o mesmo valor obtido no item anterior, ao qual corresponde =

2 x 9 C$ 20

(2 x 28,35 cm2)

I

290


8.2.6 PILAR ESBELTO. CONSIDERAÇAO DA FLUÊNCIA

a. Problema proposto Considere-se novamente o dimensionamento do pilar P5, levando em conta o efeitoda fluência. Para isso, serão admitidos os seguintes valores:

\

'\

a

e n

i,

a duração

-.'~-

N ~ ,+ . b k ~ = o , s r

+,

+ Nck) com y, ,..~~ ..~ função de fluência +(L, to) = 2

! Fg = y, (No,

N.

% ',

=

,''

1,10

\ '8

A,

h,h,

=

=

20 cm x 150 cm

=

l

3000 cm2

.- --\

b. Cálculo da excentricidade suplementar e, - carga que produz fluência -F (Ngk + I)~N~,) = y,.0,95,Nk i

/-v-----------. F, = 1,10 x 0,95 x 1810 = 1890 k N

- excentricidade

e,

=

e,

;

'\-.'

~

de I .a ordem da carga F,

~.~ ~.

~.

+ e.

sendo

;ei = 0 (situaç,áo..de.projeto de compressão centrada) i -.--... . -

- módulo

..~ -. ~

~

. ~.

.

~~

de deformação longitudinal do concreto

E,

=

0,9 x 6600 d f c k

f,,

=

15 MPa

E, = 0,9 x 6600

+ 3,5

(em MPaj

d m =25550 MPa

=

kN 2555 cmZ

- momento de inércia ideal Admitindo-se a seção retangular da Fig. 8.2.3-2 como fruto de um prédimensionamento aproximado, têm-se A, E,

=

=

2 x 8 4 20 = 50,4 cm2 210000 MPa

I N =O,Ikgf IkN =IWkgf=O,Itf 1 kN.m = 1W k g t m = 0.1 1f.m 1 k N . c m = IW kgf.cm = 0.1 tf.cm

I I I I

MPa = kN/m = kN/mz= kNImz=

I MNlm2 = lOkgfIcm2 100 kgflm = 0.1 tflm IW kgflm2 = 0.1 tf/mS I W k g f / m S = 0,I tf/ma

I MPa = 0.1 kN1cm2 = IW N/cm2

\

PILARES USUAIS DE EDIFICIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO

- carga

de flambagem de Euler

sendo e,

=

5,60 m

- excentricidade

suplementar

S*.> "

~.

L

c

..

. e,

=

2

2,??&890 ) { exp ( 9800 1890 ,

!-

-

I)}

=

V = 1,19 cm 2,e-0,5z

L'

<

c. Situaçóes de cálculo A Fig. 8.2.6-1 mostra as situaçóes de cálculo, considerando-se o efeito dafluência.

SITUAÇAO NO

SUPOSTA PROJETO

S I T U A ~ Õ E S DE CÁLCULO

CONFORME

(1")

A NB - I (2%) -

ei=O

e,,

e

_I + h , = 2 0

x

ecx

X

Y

= 13

Fig. 8.2.6-1 Situaçóes de cálculo.

-

Observe-se aue na Fie. 8.2.6-1 Isto decorre do fato de que o pilar ; d á calculado pelo processo h E l a ~ p a d r a i $ mas sim por um processo rigoroso, no qual são explicitadas apenas as excentricidades de I .a ordem

I N IkN 1 kN.m I kN.crn

=O.lkgf =lmkgf=o,lrf = IW kgf.rn = 0.1 1f.m = 1 U kgf.cm = 0.1 tf.cm

I MPa = I MNlrn2 = 10 k&icrns I kNim = I W kgfirn = 0.1 tflm 1 k N i m Z = 1W kgfim* = 0.1 tfim2 I k N i r n L I W kgfim3 = 0.1 @/ma

1 MPa = 0.1 kNicrn2 = 100 Nlcm*

e


292

.C

d. Dimensionamento e m função da situação de cálculo Neste caso, empregando novamente os diagramas de interação da Fig. 5.3.5-5, têm-se Nd = yf Nk = 1,4 x 1810 = 2534 kN e,, = e,, e, = 2 1,19 = 3 , 1 9 c m A, = 20 em x 150 cm = 3000 cm2 h, = 20 cm

+

+

logo, sendo

obtém-se:

I

para

6 = 25 h

:

resultando para <,/h w = 0,80

+ -3 x 5

=

=

0,80

28

0,20

=

ou seja

podendo fazer-se A, 8.2.7 PILAR CINTADO

=

2 x 11 4 20

(2 x 34,65 c m 3

a. Problema proposto Considere-se o dimensionamento do pilar P8, admitindo uma seção transversal

1N =O,lkgf IkN =lWkgf=O,IIf I kN.m = 1W kgf.m = 0,I t t m 1 kN.cm= 1W kgi.cm = 0,1 tf.cm

1 MPa = I MN/mP = IOksficm' 1 kN/m = 1W kgflm = 0.1 tfim 1 kN/mz = 100 kgf/m2 = 0.1 Um' 1 kNlmS= lWIrBflmS=O,I Iflm"

k'-\1

circular com diâmet m.

d

= 45 cm e a

otando um comprimento de flambagem e, = 3,50

s são os seguintes:

uYY

Nk = 1810 kN Nd = ,Nk = ,4 x 1810 = 2534 kN fvk = 500 MP Aço: C = l,l5 Concreto: fck = I5 MPa y, = 1,4 fcd

b. Tentativa de dimensionamento como pilar náo-cintado

De acordo com a NB-1, em lugar da excentricidade acidental

pode-se admitir compressão centrada com

Sendo (Tabela 13)

Nld

=

aNd = 1,15 x 2534

resultando uid =

_

Nld --2914 = -

A,

1256

kN 2,32 - = 23,2 MPa crn2

A esta tensão ideal corresponderia a taxa geométrica de armadura dada por

1 MPa

=

0.1 kN/cmz =

IW N/cmP

6

294

'>

.A


que no caso vale

resultando a armadura longitudinal

Admitindo-se que houvesse emendas por traspasse, estariaultrapassado o limite de 6% imposto pela NB-1 para a máxima armadura longitudinal de pilares nãocintados. ~. .

Condiçóes de dimensionamento como pilar cintado Admita-se a colocação da máxima armadura longitudinal considerada, impondo a bitola +&ara as barras da armadura longitudinal e respepando as prescrições construtivas da NB-1 e da NB-503, conforme o que foi n b 7.3. --~ ------ ~ ~ ~ C.

Prescriçóes da NB-503 - Admitindo-se um edifício com potencial calorífico equivalente em madeira não superior a 60 kg/m2, deve ser considerado um incêndio F 120 para o dimensionamento dos pilares, uma vez que o prédio tem 10 andares conforme os dados básicos de projeto. - Cobrimento c, da armadura longitudinal, admitindo-se um revestimento de argamassa de cal e areia com 1,5 cm de espessura:

Prescriçóes da NB-1 de edifícios: c

=

2,0 cm

+, O

-

por traspasse. 2

d. Determinaçüo da armadura longitudinal Desse modo, conforme indicado na Fig. 8.2.7-1, tem-se o número máximo de

di

'

EMENDAS P O R TRASPASSE

38,5cm

d=45cm di

Fig. 8.2.7-1 Y L L I . . . ~ ~do ~ ~máximo ~,~o número de banas longitudinais~

38,5 cm

~

PILARES USUAIS DE EDK~CIOS.EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO

295

barras

Armadura longitudinal adotada é então A,,

=

18

4

16 = 36,O cm2

A área do núcleo cintado vale

resultando a taxa

J w "

-

que é aceitável, pois conduz, nas emendas, a um valor inferior a 8%, que é a taxa máxima permitida para pilares cintados. e. Dererminação rln armadura de cinramento Sendo

/

resulta

sendo possível empregar-se o pilar cintado (NB-I : h,,, = 40) Existindo uma situação de projeto de compressão centrada, com

pode-se admitir a situação de cálculo de compressão centrada, pois

h A força normal majorada vale então

resultando

NIa = 1,16 X 2534 kN

=

2940 kN

a expressão simplificada (7.2.3-1I ) , tem-se

1i (r:-Zrl

1164cmZ

2

50

AI = 9,85 cm2

a

Por outro lado, de acordo com a definição dada por (7.2.3-3), tem-se

nd . Atl

onde AI, é a área da seção transversal da barra de cintamento e sl é o espaçamento das espiras, logo

Adotando-se sl = 5 cm, resulta AI,

=

9,85 n x

donde

=

0,4l cmZ

38,5

i/-

+, = 8 mm \

(A,t =

+ 8 cada 5 cm)

)

f. Verificaçãofinal De acordo com a NB-I, deve ser

Calculando-se a carga limite do pilar não-cintado, tem-se

ou seja

N,,, IE
-

I

I 1 (0,85 x -

1,16

1 N = 0.1 kBf IkN =100kgf=0,ltf 1 kN.m = 1W kgf.m = 0,1 1f.m 1 kN.cm= I00 W . c m = 0,I tf.cm

kN x 1256 cmZ + 35,6 kN x 36 cm2 = 2090 kN 1,07 cm" cm2 2i-i I MPa = I MNlmz = 10kBflcmP I kNlm = IW k8fIrn = 0,l tflm 1 kNlrn2= 100 kgflm' = O,l tflm' 1 k N l m k lfWkBflms = 0.1 tflma

II

PILARES USUAIS DE E D ~ C I O SEXEMPLOS . DE DIMENSIONAMENTO

estando portanto satisfeita a condição

J

= 2543 kN < 1,7 x Na, .so.~intaao = 3552 k N Na, ~intaa~

8.3 PILARES DE EXTREMIDADE 8.3.1 PILAR CURTO

a. Problema proposto Considere-se odimensionamento do pilar P4, mostrado em planta na Fig. 8.1.2-1. Esse pilar está submetido à flexão composta em virtude do seu monolitismo com as vigas V2 dos diferentes pisos. Como o plano de flexão contém um eixo de simetna da seção transversal do pilar, a flexão composta será normal. b. Dados de projeto De acordo com o que foi estabelecido em 5 8.1.4 deste capítulo, têm-se:

Admitam-se ainda os seguintes elementos: C = C, = 2,80 m

f,,

=

fcd =

15 MPa 15 fCK = = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2 134

Yc

Aço CA-50B fuk = f@ = -

Y*

joOMPa = 435

MPa = 43,5 kN/cmZ

1,15

c. Pré-dimensionamento Para pré-dimensionamento dos pilares de extremidade dos edifícios usuais, em geral pode ser admitido um valor

No caso presente, admitindo-se um valor médio e,/h resultam as excentricidades

logo

1 N =O,Ikd 1kN =IWkgf=O,ld 1 kN.m = 100 kBf.m = 0,l t f m 1 kN.cm = 100 k d c m = 0.1 tf.cm

I MPa = I MN/m2 = I0 kgf/crnP 1 kNlm = 100 W / m = 0.1 tflm I k N / m z = 100 kgflm' = 0,l tflm' 1 kNlmS = 100 kdim' = 0.1 üimS

1 MPa = 0,l kNlcmx = 100 N/crnZ

=

0,07, com h

=

25cm,


donde

De acordo com o § 7.6.5, pode-se fazer, neste caso, ~ d , ~ ~ = v d + 3 p d = v d ( 1 0,15) + 3 ~ = 1,45 vd

logo

De acordo com a Tabela 23, para p, aid=

12,s MPa

=

=

1%, tem-se

1,25 kN/cmZ

logo

donde A,

=

25 cm x 70 cm

=

1750 cm2

d. Situações de projeto. Esforços solicitantes iniciais Fig. 8.3.1-1 Sendo

e, 280 = 38,8 h =-i

7.22

< 40

(Pilar curto)

Calculando o índice de rigidez do pilar, têm-se:

1 N 1 kN L kN.m I kN.cm

=O,Ikgf = 100 kgf = 0.1 tf = 100 kgf.m = 0.1 1f.m = I W k g t c m = 0.1 f f c m

1 MPa = I M N l m z = 10k8ficm2 I kNim = I W kgflm = 0.1 tíim I kNlmP = 100 kgfim' = 0.1 tíim* I k N / m L ILW 1<8f/m3= 0.1 tí/mJ

P4

( kN. m

X

ikN m)

MOMENTOS

F L E T O R E S ( Mik)

25cm/l'__i

(A-A) Fig. 8.3.1-1 Determinação dos momentos fletores iniciais.

Admitindo-se r,, = r,,, Fig. 8.3.1-1, a presença da viga V2 de um único andar acarreta os seguintes momentos fletores:

donde

Desse modo, considerando a propagação dos momentos através das expressóes (7.3.5-6) e (7.3.5-7), obtêm-se os valores

donde

MI,,

6 =

Moose, 6

= yf

I N =O,Ikgf 1kN =IWkgf=O,Itf 1 kN.m = 100 k g f m = 0.1 t f m I k N c m = 1W kgfcm = O,l tf.cm

I MPa

=

Mk

=

1 MPa = I kNlm = 1 kN/rn2 = I kN/m3 =

l , 4 x 15,5

=

21,7 kN.m

I MNlm* = I0 kgficmz 100 kgflm = 0 , l dlm 100 kgf/mz = 0.1 d/m2 1W kgfim' = 0.1 Wm'

0.1 kN/cm2 = IW Nlcm*


Os esforços soliciiantes iniciais têm portanto os valores indicados na Fig. 8.3.1-2. Observe-se que é desprezada a variação de força normal ao longo de um tramo de pilar, adoiando-se o valor constante

Em arnbas as extremidades, os módulos das excentricidades máximas da força axial são iguais a

FORÇAS

NORMAIS

MOMENTOS FLETORES

( M , ~ )

M , A = 21,7

(Nd)

e , ~ =1, 4 c m

(kN)

(kNm)

ele=

1,4cm

Nd - 1 554 Fig. 8.3.1-2 Situaçóes de projeto. Esforços solicitantes iniciais

e. Excentricidades acidentais De acordo com a NB-1, deve-se fazer: e,,

=

2 cm

e,,

=

! ! ? =i .- = 2,3 cm

30

70 30

A essas excentricidades acidentais correspondem os momentos fletores aciden-

tais:

f. Efeitos de 2 . O ordem No caso presente, por se tratar de um pilar fletores de 2.= ordem a serem considerados no

LN IkN 1 kN.m I kN.cm

=O,lkgf =IWkgf=O,ltf = I W kBfm = 0.1 i f m = 1 M kgf.cm = 0 , l t f c m

I MPa = 1 MNlm2 = 10 kgf/crns 1 kNim = 100 kgfim = 0,I tfim I kN/ms = 1 W kgfim2 = 0.1 tiim' I k N / m ' = I W kgf/m8 = 0.1 tflm'

existem momentos Por essa razão, os


301

momentos fletores totais são obtidos pelasimples superposiçãodos momentos iniciais com os momentos acidentais. g. Momentosfletores totais e situaçóes de cálculo A Fig. 8.3.1-3 mostra os diagramas de momentos fletores totais ao longo do comprimento do pilar. Estes momentos são de 1.a ordem, porque o pilar é suficientemente curto para que sejam desprezados os efeitos de 2.a ordem. Tendo em vista o andamento dos diagramas de momentos fletores, a armadura será constante ao longo do comprimento do pilar e com arranjo simétrico dentro da seção transversal. Na Fig. 8.3.1-4 estão mostradas as situações de cálculo a serem consideradas no dimensionamento do pilar.

ENVOLTÓRIA DOS VALORES DE MXd

ENVOLT~RIA DOS V A L O R E S DE M y d

Fig. 8.3.1-3 Diagramas de momentos fletores totais (pilar curto).

h. I . a Situação de cálculo (Dimensionamento rigoroso) A, = 25 cm x 70 cm = 1750 cm2 = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2 fUd= 435 MPa

Nd = 1554 kN MSd = 52,s kN.m

1N = 0,l kBf I kN = 100 kgí = 0.1 tf I kN.m = 100 kgí.m = 0,l tf.m 1 kN.cm = 100 k g t c m = 0.1 tf.cm

I MPa

=

f,,

1 MPa = I MNlm* = I0 kgficm' 1 kN/m = 100 kgflm = 0.1 tflm 1 k N / m X = lWkgf/ma =O,I tf/ms 1 kN/mz = 100 kBf/ma = 0,l n/ma

0.1 kNlcm'

=/100

N/cmz

w y

4

s i ~ u n ç i o SIMPLIFICADA

e = e

+0,4

/(

e

SITUAÇÃ~ PARA

EQUIVALENTE ( N B - i ) )

eix < e 0 Y

=

ela'

X

= 1 , 4 crn

e,, =

IX

1 , 4 cm

.-

e, =

3,4 c m

Fig. 8.3.1-4 C o n d l ~ ó e rde dirnen~ionarnentu

Empregando-se os diagramas de interação (Ref. 7), resulta w = 0,31

(para d,'

= 0,15

h)

donde

I N =0,1kgf IkN = I W kgf = 0.1 tf 1 k N . m = 100 k8fm = 0,1 t f m 1 k N c m = 100 kgf.cm = 0,l tfcm

I MPa = I kN!m = I kN/mL I kN!m3=

I MNlm2 = 10kgficmP 100 kgfim = O,! tfim I W kgfimP= 0.1 tfim* I W k g f i i n L 0.1 tfimg

cm

X

I

e. = i,4 c m

2,3

303

PILARES USUAIS DE EDIF~cIOS. EXEWlPLOS DE DIMENSIONAMENTO

A,= 12

fl

12,5

logo, Fig. 8.3.1-5, A,,

,

=

12 4 12,s

(A,,

, 15,O cm2) =

i. I.a Situação de calculo (Dimensionamento expedito) Tendo em vista o que já foi dito sobre o andamento dos diagramas de interação, pode-se, em casos desta natureza, proceder da seguinte forma:

I!

I

125

i

v, ,,,,,,,

=

~ ~ , ~ ~ +=0,83 3 p ~+ ~3 ,X d0 , l l

=

1,16

Desse modo, sendo Fig. 8.3.1-5 Dimensionamento rigoroso.

I

tem-se fed = 1,I6 x 10,7 MPa

uid = N1d = vd,

=

12,41 MPa

A,

-

Para f,, p,

logo

=

15 MPa e Aço CA-50B, pela Tabela 23 obtém-se

1,O%

A A , = 1 , 0 2 = 1750 cmz 1O0 1O0

=

17,s cmz

resultando, Fig. 8.3.1-6, A,, e

=

14 4 12,5

(A,,

,,= 17,5 cm2)

j . 2.a Situaçáo de calculo (Dimensionamento simplificado) De acordo com a NB-I , em lugar da situação teórica de flexão oblíqua é possível considerar-se uma situação de flexão normal com a excentricidade

I

I

,

I

Fig. 8.3.1-6 Dimensianamenia expedito.

No entanto, é plenamente satisfatóna a verificação com e,

1N

=

=

e,,

=

2,3 cm

0,l kgf

= 100 kgf = 0,l t f fkN I k N . m = 100 k g f . m = 0.1 t f m 1 k N c m = 100 kgf.cm = 0,l tf.crn

I MPa

=

I MPa = I M N l m 2 = I0 kgficm' 1 k N l m = 100 kgfim = 0.1 t f i m 1 k N i m Z = IW kgfirns = 0.1 dlm' 1 kN/rn3 = IW kgfirns = 0.1 tfirn'

0.1 kNicrnZ = 100 Nicrn'

I

304

ESTRUTüRAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

conforme foi discutido em § 7.5.3 Fazendo-se o cálculo simplificado, neste caso, resulta: N, = 1554 k N e, = e,, = 2,3 cm

Como a armadura está disposta a o longo das bordas de maior comprimento, Fig. 8$.1-5, têm-se

ri,= a Nd - 1759 k N A, 1750 cm2

=

1,Ol kN/cm2 = 10,l MPa

Pela Tabela 23, para fck = 15 MPa, tem-se p.

'0,5% < P , ,!

c.,

Note-se que, se fosse feito e, = e,,+ 0,4 ei,, conforme exige a NB-1, o resultado obtido seria exatamente o mesmo. 8.3.2 PILAR a. Problema proposto Considere-se o mesmo pilar P4 no item 8.3.1, admitindo porém que seu compnMEDIANAMENTE ESBELTO. 1.O EXEMPLO mente seja de 4,60 m. b. Dados de projeto Conforme o que foi determinado na Seção 8.1, bem como no item 8.3.1, têm-se: Nk = 1110 kN N, = yfNh = l r 4 x 1140 = 1554 k N Me,,, = 57 kN.m (V2) Me,,, = yfMeng,k= 1,4 x 57 = 79,s kN.m r,, = 1,16 dm3 Pilar: h, = 25 cm, h, = 70 cm A, = 25 x 70 = 1750 cmZ

I

Admitam-se também os seguintes elementos:

e = e, = 4 , 6 0 m f,,

=

15 MPa

fed

=

fck - 15 - - = 10,7 MPa

=

1,4

Yc

'íPa

= 0.1

kNlcm2 = 100 Nlcm'

1,07 kN/cm2

PILARES USUAIS DE EDlFfCIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENT~

305

Aço CA-SOB f,,,, = 435 MPa c. Situaçóes de projeto. Esforços solicitantes iniciais Analogamente ao que foi mostrado na Fig. 8.3.1-1, têm-se agora:

h, = 25 cm

Az=-- 460

7,22

-

63,7

-

64 (pilar medianamente esbelto)

Momentos devidos à viga V2 de um único andar:

donde

Considerando-se a propagação de momentos devidos a diversos andares, tem-se

M,,

,= - M ,,,,,,= I,5 r 7,3 = 10,95 kN.m

logo

,

M

=

-Mo ,,,,

=

y f M k = 1.4 x 10,95 = 15,3 kN.m

A Fig. 8.3.2-1 mostra os esforços solicitantes iniciais ao longo do pilar considerado. FORÇAS NORMAIS (Nd)

MOMENTOS FLETORES (Mid) h A Mia = I 5 3

~ i g 8.3.21 . Situaçóes de projeto. Esforços solicitantes iniciais.

1N =O,lkgf = 100 kgf = 0.1 tf I kN I k N m = 100 kgf.m = 0,1 ff.m 1 kN.cm = 1UO kgtcm = 0,1 tfcm 1 MPa

=

1 MPa = I MN/m3 = l0kgf/cmS 1 kNim = IW kgflm = 0.1 tfim I kN/mP = 1W kgfim* = 0,I d/m2 1 kN/m8= IWkf/m3 = O,L d/ms

0.1 kNlçms

=

IW Nlem'


d. Excentricidades acidentais h,

=

25 cm, logo

h,

=

70 cm, logo

e,,

=

2 cm e,,

!?!

= !? = !i=

30

30

2,3 cm

e . Excentricidades de 2 . O ordem Na direção de maior esbeltez, tem-se

devendo ser considerados os momentos fletores de 2.a ordem cujo valor máximo, de acordo com a NB-I , pode ser calculado pela expressão

com

No caso presente, empregando Aço CA-50 (não importa para esta expressáo se o aço é da Classe A ou da Classe B ) , tem-se

Esta expressão está tabelada na Tabela 25, da qual, para

resulta

ou seja e,,

= 0,14

x 25

=

3,5 cm

Na direção de menos esbeltez, têm-se

1 N 1kN 1 kN.m I kN.cm

=O,lkgf =IWkgf=O,ltf = 100 1
I MPa = I MNlm* = 10 kgflcm2 I kNlm = 100 kgflm = 0.1 tflm I kNlm' = 100 kgflm' = 0.1 tflms 1 kN/ms = 100kBflm2 = 0,1 tflmS

1 MPa = 0.1 kN/cm2 = L00 N/cma

PILARES USUAIS DE EDIF~CIOS.EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO

3W

sendo portanto desprezíveis, nesta direção, os efeitos de 2.a ordem.

f. Situaçüo de cálculo. Superposição dos esforços Neste caso, sendo h, > 40, no dimensionamento deverão ser levados em conta os momentos fletores de 2.a ordem. Admite-se que o pilar em consideração, por pertencer a uma esttutura de edifício devidamente contraventada, possua extremidades indeslocáveis. Nessas condições, os máximos momentos fletores iniciais agem nas extremidades do pilar e os máximos momentos fletores de 2.a ordem agem em sua seção intermediária. Por essa razão, conforme foi visto no item 7.5.4, a NB-1 especifica que sejam considerados os seguintes momentos fletores iniciais: 1. Seção intermediária

onde

Mic < 0 quando tracionar a face oposta aquela tracionada por M ~ A No caso presente, tem-se M~A,
=

15,3 kN.m

logo

Mi,.,

=

0,4 MiA,d= 0,4 x 15,3 = 6,l kN.m

donde

2 . Seçóes das extremidades

Mt,,

d

=

MLA,

=

15,3 kN.m

logo

Desse modo, resultam as seguintes situações de cálculo:

-

1N I kN 1 kN.m 1 kN.cm

0.1 W 100 kgf = 0.1 tf = 1W kgf.m = 0.1 1f.m = 1W kgf.cm = 0.1 e.cm

= =

I MPa

=

I MPa

=

I MNlm' = I0 kgflcm*

1 kNlm = 100 kgflm = 0.1 tflm 1 kN/mP = IW W l m ' = 0.1 tflm'

L kNlm"

IW kgflm9 = 0,l tflm'

0.1 kNlcmP = LW Nlcm2


.2 Situações


309

1. Seção intermediária Na = 1554 k N 1.a Situação: e, 2.= Situação: e,

= =

+

e,+ ~ e,, e,, e,, = 2,3 cm

=

0,4

+ 2,O + 3 , 5

=

5,9 cm

2. Seçáo de extremidade N, = 1554 kN I.a Situação: e, 2.a Situação: e,

= =

e. e,,

+ e,, =

= 1,0 2,3 cm

+ 2,0 = 3,0 cm

A Fig. 8.3.2-2 mostra as situações de cálculo para as duas seções criticas do pilar, isto é, para a seção intermediária e para a seção de extremidade. As situações de cálculo foram determinadas com as simplificações expostas no item 7.5.3.

.

g. l.a Condição de dimensionamenro (Cálculo rigoroso) Do exame das situações de cálculo mostradas na Fig. 8.3.2-2, torna-se evidente que, para o pilar em consideração, a condição mais desfavorável é aprimeira condição de cálculo da seção intermediária.Desse modo, sendo: Nd = 1554kN e, = 5,9 cm fCd= 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2 fVd= 435 MPa (CA-SOB) A, = 25 cm x 70 cm = I750 cm2

-

têm-se

Dos diagramas de interaçáo, com 8'

=

0,15, resulta

o = 0,61

logo

A,

125.1

=o

A,f,, f ~ d

=

0,61 1750 435

=,26,3 cmz

ou seja, Fig. 8.3.2-3,

A,

=

14 4 16

(A,,,

=

28,0 cm2)

Fig. 8.3.23 Cálculo rigoroso.

I N = 0 , l kgf IkN =lOOkgf=O,Itf L kN.m = 100 kgf.m = 0.1 t t m 1 k N . c m = 100 kgfcrn = 0.1 tf.cm

I MPa = I MNIrn' = I0 kgficrnP I kNim = 100 kgflm = 0,l tWm 1 kNlmP = 1W kgflrn' = 0.1 tWm2 1 kNimJ = 100 kgfim' = 0.1 tfima


A,=

16

$

16

h. 1 .a Situação de dimensionamento (Cálculo expedito) Admitindo-se o emprego do cálculo expedito, têm-se

logo e a=I+3-=1+3x0,24=1,71 h N l d = a N d = 1,71 x 1554 = 2 6 5 4 k N Da Tabela 23, para fck = 15 MPa e Nld = 2654 kN uid= A, 1750 cm2 Fig. 8.3.24 Cálculo expedito

=

1,52 kN/cm2 = 15,2 MPa

resulta p, = 1,78%

logo

I

i

ou seja, Fig. 8 . 3 . 2 4 ,

A,

=

16 4 16

(A,,

d =

32,O cm2)

i. 2.a Condição de di~nensionamento(Cálculo simplificado) A 2.a Condição de dimensionamento é igual para as duas seções críticas do pilar, Fig. 8.3.2-2. Desse modo, sendo Nd = 1554 k N e,, = 2,3 cm A, = 1750 cm2 têm-se


311

logo N,,I

=

a N d = 1,12 x 1554

=

1740 kN

i

1

resultando então

I

Desse modo, o dimensionamento feito pela 1 .a condição é o que determina a armadura do pilar.

I I

1

I

8.3.3 PILAR a. Problema proposto Considere-se agora o pilar P7, mostrado em planta na Fig. 8.1.2-1. MEDIANAMENTE Esse pilar tem esforços iniciais equivalentes aos do pilar P4. ESBELTO. 2.O EXEMPLO Este outro exemplo de pilar de extremidade tem por finalidade salientar a importância da excentricidade acidental e da correspondente excentricidade de 2.a ordem sobre o dimensionamento da peça. Sendo um problema de mesma natureza que o anterior, os seus resultados serão apresentados de forma relativamente sintética.

b. Dados d e projeto

r Pilar:

=

A,

=

f,,

=

e, =

1,16 h, = 70 cm, h, =-25 cm com a maior rigidez correspondendo ao plano de flexao da viga V3 70 x 25 = 1750 cm2 4,60 m fcd = 10,7 MPa = 1 ,O7 kN/cm2 15 L = 435 MPa

I

c. Esforços solicirantes iniciais

lilar medianamente esbelto)

1 N

0.1 kgf 100 kgf = 0.1 tf 1 k N m = 100 k g f m = 0,1 t f m 1 kN.cm = 100 kgf.cm = 0.1 tfcm

I kN

= =

I MPa

=

I MPa = I MNlm2= IOkgflcm* 1 kNlm = 100 kgflrn = 0.1 tflm 1 kN/m2 = 100 kgflm* = 0.1 tflrna 1 kN/mJ = 100 kgflm' = 0.1 fimJ

0,l kNIcmx = 100 Nlcms

d. Situações de cálculo (h < 40) 1 . bireçáo x Seção crítica: topo e base do pilar

e,,

h= 70 = =--

30 e,, E O

30

2,3 cm

2. Direçio y Seção crítica: seção intermediária Nd = 1554 kN

ei, e,,

=O =

2 cm

Sendo

da Tabela 25 resulta

ou seja e,, = 0,14

X

25 = 3,5 cm

e. Dimensionamento Embora o momento fletor inicial atue no plano que contém o eixo Gx, o d sionamento é comandado pela flexão no plano Gy, decorrente dos esforços

1 I 1 I

N = 0.1 kgf = 100 kgf = 0,l lf kN kN.m = 100 kgfm = 0.1 t t m kN.cm = 100 Wcrn = 0,l ff.cm

I MPa = I MN/mX= lOkgf/cm2 I kN/m = 1m kgflrn = 0,I õ/m 1 kN/m3= IMkgi/m'= 0,I tf/mZ 1 kN/m" 102 kgffma= O , l lffmS

d

My,

=

Nd. e,,

com

Com estes esforços obtém-se praticamente a mesma quantidade de armadura que a do item 8.3.2 ( l . a condição de dimensionamento). Como no caso anterior, a 2.a condição de dimensionamento não afeta os resultados já obtidos. Observe-se que o dimensionamento do pilar P7 dependeu da força normal N, e das excentricidades e,, e e,,, não tendo sido influenciado pelo momento inicial e,, ao contrário do que aconteceu no caso anterior do pilar P4.

8.3.4 O ESTUDO DOS PILARES ESBELTOS

A consideração de pilares esbeltos com momentos fletores iniciais que variam ao longo do comprimento não pode ser feita de forma adequada através dos processos já exemplificados. A dificuldade essencial que impede essa consideração é a incongruência existente entre um diagrama de momentos fletores de forma qualquer e o conceito de pilar padrão, o qual admite sempre uma linha elástica senoidal. A solução geral dos problemas de pilares esbeltos será estudada no Cap. 9, onde são considerados os processos do pilar padrão corrigido e do deslocamento de referência.

-

8.4 PILARES DE

CANTO 8.4.1 PILAR CURTO. a. Problema proposto Considere-se o dimensionamento do pilar P1 de canto, mostrado na Fig. 8.1.2-1. DIMENSIONAMENTO O pilar P1 está submetido aflexão composta oblíqua, emvirtude de sua continuiRIGOROSO dade estmtural com as vigas V1 na direção Ox e com as vigas V4 na direção Oy. Admite-se o comprimento de flambagem e, = 2,80 m. b. Dados de projeto De acordo com o que foi estabelecido em 8.1, os dados básicos de projeto são os seguintes:

,

I

1 I

viga V I : viga V4:

Me,,,, rd,,,

= 60 kN.m = 0,96 dm3

Mew,Uk= 21,3 kN.m = 0,55 dm3 Aço CA-SOB fck = 15 MPa

r,,,,,

1N = 0.1 kgf 1 kN = 1W k$ = 0.1 tf I kN.m = 1Wkgf.m = 0,I t t m 1 kN.cm = 1W kgi.em = 0,l tf.crn

1 MPa = 1 MNlm' = 10 kgilem2 1 kNlm = I M kgflm = 0.1 fflm 1 kNlm2= 1Wksflm2= 0.1 tflm* I kNlma = 100 kgflm3 = 0.1 fflm"


c. Pré-dimensionamenro Analogamente ao que foi feito em 8.3.1, admitem-se as excentricidades iniciais

transformando-se aflexão compostaobliquanumaflexão composta normal, conforme foi discutido em 7.4.4. Desse modo, sendo

onde

a expressão anterior, conforme mostrado pela equação (7.4.4-2), pode ser escrita

ou seja

A tabela do item 7.4.5 reproduz os valores de p recomendados pela NB-1 para pilares de seção retangular com armadura igual nas quatro faces. Estimando-se vd

--

w

resulta

p donde

0,7 0,50

0,63

Por outro lado, de acordo com a expressão (7.6.1-7), estaflexão normal composta equivalente pode ser transformada num caso de compressão uniforme, sendo a = 1 + 4 - =e1 + 4 X 0 , 1 1 = 1 , 4 4

h

resultando NM = a

N d = 1,44

X

1148 = 1653 kN

315


Desse modo, admitindo-se uma taxade armadurap, da ordem de 1,2%, de acordo com a Tabela 23, para f,, = 15 MPa e Aço CA-SOB, tem-se ad = 13,2 MPa = 1,32 kN/cmZ

resultando para a área de concreto o valor

podendo ser adotada a seção

A,

=

25 cm x 50 cm

=

1250 cm2

onde

Com a seção adotada, sendo

-

tem-se

h = - = - - 280 - 38,s

i

7,22

i 40

(Pilar curto)

d. Situações de projeto. Esforços solicitantes iniciais (Fig. 8.4.1-1) I Direção x

-

Mtw.

k

=

Mmp, k

=

r,ila, ~ S U U+ r,,

+ riw

donde

logo

IN IkN 1 kN.m 1 kN.cm

=O,lkgf =lWkgi=O,llf = 1W k8f.m = 0.1 t f m = IM) k8f.cm = 0.1 1f.cm

I MPa = I MNlmn = 10 kgf/cms 1 kN/m = IM) kgfim = 0.1 tfim I kN/m2 = 100 k8f/mz = O,l f i m ' 1 kN/ms = 1W kgf/mS = 0 , l tflm3

1 MPa = 0.1 kN/cmz = 1W N/cmz

Me,,

,k

resultando -Maoae.

M,,.,

=

eu,

= e,,

d

=

y, MK = 1,4

X

14,58

=

20,41 kN.m

logo

.

Md = -Nd

2041 kN.cm 1148 kN

=

1,78 cm

2 Direçáo y

rpiiar

h l , ~k, = MNP, L =

rgup+

~VIY.

+ rinf

Me,.

k

donde

logo Mtwo,k=

-Mbose,k

=

1,s

X

8,22

=

12,33 kN.m

*~-

resultando

logo

e. Excentricidades acidentais Tendo-se em vista o que foi dito em § 7.5.3, serão consideradas apenas as excentricidades segundo os eixos centrais de inércia das seções transversais. Observando-se as exigências da NB-I e o pré-dimensionamento já feito, têm-se

h,

=

50 cm

I MPa

e,,

=

=

2 cm

0.1 kNlçm' = 1W Nlcm*

* h, = 2 5 c m

SEÇÁO DO TO^

SE#O

Fig. 8.4.1-1 Situaçoes de3rojeto - Momentos fletores

DA BASE

iniciais

AY

Y

-

1,78 em

(e,=ei,=

3

_BI

f

e = e,y = 1,50cm

'L 1'

c1 e,, = i,78 cm

,.B 2

4

x

eiy= 1,50cm .

A1

-, -

e,,

- . J-

\e,=

eay=2,0 cm

= 2,O cm

I

c2

3,78cm

Fig. 8.4.1-2 Situações de cálculo.

A2

x

ESTRUTZTRAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

f. Situações de calculo Como a armadura será disposta com dupla simetria, não se fará qualquer distinção entre a seçáo do topo e a seção de base. A. Fig. 8.4.1-2 mostra as situações de cálculo das seções transversais do pilar, resultando: I .a Situação

2.QSituação

g. Dimensionamento rigoroso De acordo com os dados de projeto, têm-se Nd = 1148 kN A, = 25 x 50 = 1250 cm2 fcd = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2 fud = 435 MPa = 43,s kN/cm2 1 .a Situação de cálculo

Nd vd = --

=

A, f,,

1250 x 1,07

0,86

(compressão)

Empregando-se o ábaco da Fig. 4.1.24, válido para o Aço CA-SOB, com o arranjo de oito barras, obtêm-se

resultando, para v,

2.O

=

036,

Situação de cálculo De forma análoga, sendo vd

=

0,86

1N = 0,l W IkN =IWkgf=O,Id 1 kN.m = 1W kgf.rn = 0.1 tf.m I kN.cm = 1W kgf.ern = 0.1 t f c m I MPa

=

1 MPa = I MN/rn2 = 10kgf/cmx 1 kNlm = 100 kgfirn = 0,I dlm 1 k N / m Z = I W kgf/rnz = 0.1 tf/rnz I kN/mJ = 1W kgflm' = 0.1 WmJ

0.1 kNlcm2 = I W Nlcm'

li


obtém-se o

=

0,40

valor determinado a favor da segurança com v, = 1,0. Desse modo, predomina a I.= situação de cálculo, resultando

Como o arranjo admitido foi o de oito barras, tem-se, Fig. 8.1.4-3, A,

=

8 4 16

(A,

16,0 cmz)

=

Fig. 8.4.1-3 Arranjo da armadura.

8.4.2 PILAR CURTO. a. Problema proposto Considere-se novamente o dimensionamento da armadura d o pilar P I , DIMENSIONAMENTO empregando-se agora o processo simplificado permitido pela NB-1. Serão admitidas SIMPLIFICADO as mesmas dimensões obtidas no item anterior para a seção transversal do pilar. b. Dados de projeto De acordo com o que foi visto no item anterior, têm-se

I.a Situação de dlculo: e, 2.a Situação de cálculo: e, f,, = 1,O7 kN/cmZ fud = 43,5 kN/cm2

I N IkN I kN.m 1 kN.cm

=O,Ikgi =IWkgf=O,lff = IW k&m = 0.1 tf.m = IW k g t c m = 0 , l t f c m

=

=

3,78 cm 1,78 cm

e, e,

= =

1,50 cm 3,50 cm

(Aço CA-SOB)

1 MPa = I MNlm2 = I 0 kgf/cm2 I kN/m = 1W kgfim = 0 , l tfim I kNim2 = 1 W kBfim2 = 0.1 tfim* I kNima = 1W kgfim3 = 0.1 @/ma

1 MPa = 0.1 kNicm' = 1W N/cm'

ESTRUTLJRAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

c. Excentricidade equivalente De conformidade com o que foi visto em 7.4.5,inicialmente deve ser verificado o setor em que se encontra a força normal, Fig. 8.4.2-1.

%;m=Q07 hy

50

Fig. 8.4.21 Simplificação permitida pela NB-I.

A excentricidade equivalente, de acordo com (7.4.5-I),tem por expressão

onde p é dado pela NB-I em função de vd e de o. Considerando a situação de cálculo, tem-se e,,

.,

= 3,78

+ p-25 x 50

1,50

não sendo necessário, conforme já foi discutido, considerar a 2.= condição. Por outro lado, sendo

e admitindo p

-

cmZ

1,2%, ou seja, tomando-se

1N =0,1k@ IkN =100kgf=O,Itf 1 kN.m = 100kgf.m = 0.1 d.m 1 kN.cm = 100 W c m = 0.1 d.cm

1 MW

= I MN/mZ= IOkgflcm2 I kNlm = ICQkgílm = 0.1 dlm 1 kNlmZ= 100kgfImz= 0.1 tflm' I kNlma = I00 kgf/m3 = 0.1 UIm'

PILARES USUAIS DE EDIFICIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO

321

da tabela do item 7.4.5, resulta /3 = 0,55

logo e,,

25 ,= 3,78 + 0,55 x x 50

1,50

=

3,723

+ 0,41 = 4,19 cm

d. Dimensionamento Admitindo-se os valores

do diagrama de interaçáo correspondente ao arranjo de oito barras de aço encmado a frio, (Ref. 7, 2.O vol., p. 222), obtém-se o = 0,47

resultando a mesma solução obtida no item anterior, ou seja, i

A,

-.-/

=

0,47 1250 433

= 14,45 cmZ

(A, = 8 qi 16) i

1 dos itens anteriores, admitindo porém que o seu

ME DIANAMENTE

,/

r*,,,

=

0,%.d

, , .-\

viga V4: Mew,uk= 21,3 k ~ f X r"'sa., = -0; fck = 15 MPa f,, = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2 Aço CA-50B fvd = 435 MPa = 43,5 kN/cm2

1N =O,lkgf 1kN =IWkgf=O,ld 1 kN.m = 100 kgf.m = O,I 1f.m 1 kN.cm= 100 kgf.cm = 0.1 d.cm

1 MPa = I MNlma= 10 ksf/cm2 1 kNlm = 1M ksflm = 0,l dlm 1 kNlm2 = 100Lgf/m2 = 0.1 dlm' I kN/ma = IWkgflma =O,I #ma

c . Situaçóes de projeto. Esforços solicitantes iniciais (Fig. 8.4.3-1) 1. Direção x

,

M I ~k ,= MNP, L =

+

M ~ Wz k.

+ rffl

donde

M I ~k . =

0,14

0,14

+ 0,96 + 0,14

x 60 kN.m = 6,77 kN.m

logo Mt,,,k=

-Mbaae,k=1,5 x 6,77 =

resultando Mtogo, d = -Mbase,

donde e,.,

Md = = -~Ic, =-

Nd

1148 kN

\

u

2 . Direçáo y

logo M,,,,k= Mbaae,k= 1,5 x 7 , 1 8 = 10,78 kN.m

resultando

IN =O,Ikgf IkN =lWkgf=O.itf 1 kN.m = IW kgfm = 0.1 t t m i kN.cm = 1W W e m = 0.1 Ii.cm I MPa

=

I MPa = 1 MNlrn2 = 10 kgflcmZ 1 kNlm = 100 kgflm = 0,l tflm I k N l m L lWkgflm'= 0,l tflm' 1 kN/ma = IW kgflma = 0.1 tfim'

0.1 kNlcmz = 100 Nlcm'


Fig. 8.4.3-1 Situações de projeto. Esfovos solicitantes iniciais,

d. Excentricidades acidentais

h, = 25 cm, h, = 50 cm,

logo logo

e,, _=_~ /e,, = 2 cm ~~~~~

--

,

e. Excentricidades d e 2.R ordek1 . Direçáo x h,

=

25 cm

1N =O,Ikgf IkN =IWkgf=O,lõ 1 kN.m = 100 W . m = 0.1 t f m I kN.cm = 1W kgfcm = 0.1 d.cm I MPa

=

I MPa = I MN/m2 = IOkgf/cmP 1 kNim = IW kgfirn = 0.1 f i m 1 kN/ms = 1W kgfim' = 0.1 t£lm2 I kNlrnS = 100 kgf/ma = 0.1 tfima

0.1 kNicmP = t M N/çms

De acordo com a NB-1, para um pilar de esbeltez média, com Aço CA-50. pode-se admitir o valor

com

O valor de 3pode ser obtido da Tabela 25, da qual, para h,

resulta

2. Direção y

u

Sendo A, < 40, não há necessidade de ser considerada uma excentricidade de 2.a ordem na direção y. Todavia, caso fosse

os efeitos de 2.a ordem na direção y seriam determinados pelas mesmas expressões

325

PILARES USUAJS DE EDIF~CIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMEiWO

empregadas para a determinação de e,,. Nesse caso, seria tomado o valor

f. Situações de cálculo. Superposição dos esforços A Fig. 8.4.3-2 mostra as situações de cálculo, considerando-se separadamente as seções de extremidade e a seção intermediária. SECÕES

DAS EXTREMIDADES

%-. ,Y

ei, =1,24 cm

eX=1,24cm A

X

e, = 3 , 2 4 c m S I T U A C ~ O DE

19

PROJETO

DE

e y = 3 , 3 cm

SITUAÇ~

CALCULO

I

-

2% S I T U A Ç ~

DE

CÁLCULO

e,, = 0 , 5 0 cm

= 2,0

e,= 6,O cm

SITUAÇÃO PROJETO

DE

I

i! SITUAÇÃO D E CÁLCULO Fig. 8.4.3-2 Situaçóes de cálculo

20 SITUAÇÃO

DE

ÇÁLCULO

crn

T : ~ ~

-..__

)

1

ESTRUTURAS DE C O N C R E T B S O & l C ~ T A ~ O E S N ~ S

--I;

i . %

/ ~ - ~

P

2.a Situação

?/r

,. e,

r 1 l

=

i

d I . a Situação de cálculo / e, = 0,5 + 2,O % 3 , s = 6,O cm 2.a Situação de cálculo e, = O 4.

. g , Dimensionamento ~

<~ ~

. . . .

--

-...--------

Tendo em vista que a seção terá um arranjo de armadura com dupla simetria, parece evidente que a situação mais desfavorável corresponde a I.a situação de cálculo da seção intermediária. Caso persista qualquer dúvida, as seções de extremidade também devem ser verificadas. C p d e q n d o ; s e então a 1.a situação de cálculo da seção intermediária, tem-se:

Do diagrama de interação naflexão composta normal, correspondente ao arranjo de 8 b a r r a s d ~aço encniado (Ref. 7, 2.O vol., p. 222), obtém-se

ou seja, Fig. 8.4.3-3

A, = 8 4 20 (A, = 25,2 cm3

No caso presente, o dimensionamento feito no item 8.4.2 permite dispensar-se a verificação tanto das seções de extremidade quanto da2.a situação de cálculo da seção intermediária.

I

I1

I

Fig. 8.4.3-3 Arranjo da armadura

8.4.4 O ESTUDO DOS PILARES ESBELTOS

Analogamente ao que já foi dito em 8.3.4 em relação aos pilares de extremidade, também no caso de pilares de canto não se podem aplicar os processos simplificados aqui considerados, quando a esbeltez ultrapassa determinados limites. No Cap. 9 serão estudados os problemas de instabilidade na flexão composta oblíqua de pilares esbeltos e muito esbeltos.

Problemas Especiais de Determinação da Carga Crítica

9.1 CARGAS DE LONGA DURAÇÁO 9.1.1 CONSIDERAÇÁO DA Na avaliação da segurança dos pilares com esbeltez acima de certos limites (k = 80), FLUÊNCI A quando houver cargas de longa duração, também deverão ser obrigatoriamente consi. derados os efeitosda fluência. Como a fluência ocorre sob aação dos esforços permanentes de serviço (característicos), as tensões no concreto são suficientemente baixas para que se empregue a teoria linear da fluência, na qual é admitidauma função 4 de fluência independente da tensão aplicada. Nesse caso, sendo CC

Ec &C

Ecc '0'01

4

= tensão de compressão no concreto = módulo de deformação longitudinal do = deformação imediata do concreto = deformação por fluência do concreto = deformação total do concreto =

concreto

função de fluência

têm-se

Com a hipótese adotada de ser 4 independente de uc,por efeito da fluência, o diagrama tensão-deformação do concret'sofre uma transformação afun, de razão 4, paralelamente ao eixo de E,, Fig. 9.1.1-1. Conforme j á foi mostrado na tabela da Fig. 5.2.3-2, de posse do diagrama tensão-deformação correspondente a um certo valor 4 da função de fluência, podem ser determinados os diagramas (M, N, l/r), onde as curvaturas são dadas por .

329

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇÃO DA CARGA CR~TICA

Fig. 9.1.1-1 Influência da fluência sobre o diagrama c - E do concreto.

Umavez conhecidos os diagramas (M, N, llr) correspondentes aum dado+, para o cálculo da carga crítica, em princípio poderiam ser aplicados os mesmos métodos já vistos anteriormente, se as cargas aplicadas fossem todas de longa duração. Todavia, como na grande maioria das constmções, nem todas as cargas são de natureza permanente, o problema de determinação da carga crítica precisa ser reanalisado. 9.1.2 CARGA PARCIALMENTE DE LONGA DURAÇÁO

No caso de existirem cargas de longa e cargas de curta duração, a verificação rigorosa da segurança contra o estado limite de instabilidade fica bastante complicada. A dificuldade maior decorre do fato de que, para as cargas de longa duração, devem ser empregados diagramas (M, N, Ilr) correspondentes a # O e, para o restante do carregamento, que é de curta duração, os diagramas de acréscimos (AM, AN, 1lAr) +=, devem ser calculados com = 0. Note-se que, para a intensidade do carregamento de longa duração, deveria ser admitido o valor característico F,, ou, no máximo, o valor y, F,,.* Em muitos casos também existe uma parcela$, F, da carga variável que deveria ser consideradacomo de longa duração. O valor II<, Fcké a parcela de longa duração (quase permanente) da carga acidental F,. Admita-se então estabelecida uma certa história de carregamento da estrutura, constituída, por exemplo, da seguinte sequência:

+

+

1. Açóes iniciais de longa duração: F,, 2. Açóes suplementares de curta duração: (F, - F,,)

. . ..,

--

+ Fd

Na Fig. 9.1.2-1 estão ilustradas as diferentes soluçóes associadas a esse problema, empregando-se o método geral com o piocesso de carregamento progressivo. Pelo fato de não ser válido o princípio da superposição dos efeitos, a solução rigorosa seria teoricamente possível, desde que fossem traçados os diagramas (M, N, l/r) de cada seção transversal com a respectiva história de carregamento. Para o traçado desses diagramas, considerar-se-ia o efeito da fluência para valores de M e de N inferiores aos esforços provocados, na seção considerada, pelo carregamento F,, + Jr,F,. Para os valores de M e N superiores a esses limites, os acréscimos de esforços não provocariam deformação lenta, mas o cálculo dacurvatura exigiria a definição do diagrama (Ao, AE) correspondente a esses acréscimos de esforços. Em face dacomplexidade do problema são empregadas as soluçóes aproximadas .---. 'Paras discussão do significadoda cargay, F,ver do Autor: Fundamentos doPi.ojetoEstrulural. O Código Modelodo CEB introduz esse conceito sob a forma de um coeficiente y. de comportamento, admitindo valores de 1.10 a 1.25.

.

0 '0

ITOW O CARREGAMENTO DE

Folt,$=o

CURTA o u n ~ ç l o i

Fcrit

-,.=-=--

-

I xiw o CARREGAMENTO Fgk

DE LONGA D U R A ~ ~ , ~ )

SOLUÇÃO RIGOROSA ACENAS T E O R I C A M E N T E POSSIVEL

yref Fig. 9.1.2-1

-,-----

< ,",

,s

Carga parcialmente

de

longa

duração

a seguir analisadas. É preciso observar desde já que essas soluções aproximadas são plenamente L satisfatórias, pois as cargas de longa duração a t u m com seus valores de serviço, não havendo portanto muito interesse no que se poderia chamar de solução exata.

--,

I

,/*' 9.1.3 MÉTODO DE FUNÇAO EQUIVALENTE DE FLUÊNCIA

De acordo com este método aproximado, realiza-se o cálculo como se toda a carga fosse de longa duração, adotando-se para a função de fluência o valor equivalente efetivo (9.1.3-1)

i

~

o

i

a = fração da força normal que produz fluência = fração de momento fletor de 1.a ordem que produz fluência

p

@(t,,t,)

.~

=

função de fluência real do problema

i

-~~

,,

I

Para emprego prático, esta solução somente será exequível se forem conhecidos os diagramas (M, N, llr) para o valor adotado. Para isso, os diagramas (M, N, l/r), = poderão ser calculados diretarnente ou obtidos porinterpolação entre os diagramas (M, N, Ilr), =, e (M, N, Ilr),, onde4 éum valor padronizado, por exemplo, 4 = 2. ~ m a ; e z conhecidos os diagramas (M, N, Ilr) correspondentes a$,f, podem ser aplicados todos os processos de cálculo discutidos anteriormente. Deve-se observar que este método é bastante geral, podendo ser aplicado inclusive nos casos de pilares muito esbeltos ou de seção transversal variável.

I

,,

,,y+a--,

i-l

9.1.4 MÉTODO DA EXCENTRICIDADE EQUIVALENTE

I

I 8

i

Com este outro método aproximado de cálculo admite-se que todo o carregamento seja de curta duração, introduzindo-se para todas as cargas longitudinais, tanto de longa quanto de curta duração, uma excentricidade suplementar e, de l.a ordem, dada por

F,

=

e,,

= excentricidade de -,

=

i

carga de longa duração que produz fluência

-

I.a ordem dacarga F,, na qual se inclui a excentricidade acidental &, ou seja,

e;.

+ e.

I I

I

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇÁO DA CARGA C ~ T I C A

e,, F,

331

excentricidade inicial da carga F, = carga de flambagem de Euler, sendo

=

n----\

LF,

=

E, /L

w

7

5

I>-

I

r

10 E,

=

1,/ee2J \ ,

-

módulo de deformação longitudinal do concreto

I

De acordo com a NB-1/78, tem-se

w

2.

E, .

.

/I,

0,9 x 6600

f

l

f(MPa) ( 1 MPa

=

10 kgf/cm2) ~~~~

- .

~

~

~

~

~

momento de inérciada seção total A, de concreto. Tendo em vista agrande influência da armadura na inibição da deformação lenta, será razoável tomar-se a seção ideal no estádio Ia,* levando em conta, pelo menos de ~- forma apr~~ximada~a~presençadaarmadura~ = comprimento de flambagem

=

i , ,

=

..

e,

~~

~~

Admite-se o valor

F,

=

y n (F,k

+ $2 F,)

com /

sendo $, F, a parcela de longa duração da carga acidental. Uma vez transformado o efeito da fluência numa excentricidade de 1." ordem, aplicam-se os mesmos métodos de cálculo já estudados anteriormente. Um exemplo de aplicação deste método já foi visto no item 8.2.6 do capítulo anterior. Tendo em vista que os efeitos de longa duração ocorrem sob tensões relativamente baixas do concreto e que, além disso, existe um efeito inibidor da fluência pela presença das armaduras, não há em princípio necessidade de grande rigor na consideração desse fenômeno. Por essa razão, no caso de peças com armadura variável, é preferível determinar-se a carga de flambagem de Euler ignorando a presença da armadura e considerando um valor atenuado da função de fluência, adotando-se a expressão

em lugar da expressão (9.1.4-1). De forma análoga, no caso de pilares de seção transversal variável, é aceitável a determinação da carga de flambagem de Euler por processos simplificados, ou mesmo por processos aproximados. Nos casos usuais são muito úteis as tabelas organizadas por L a n g e n d o n ~ k . ~ ~

*O Código Modelo do C1EB sugere a adoção da se$ão de concreto simples, desprezando-se a armadura

1N =0,lk8f IkN =lWkgf=O,Itf 1 kN.m = 1W W m = 0.1 tf.m i kN.cm= 1W kd.cm = 0,l d c m

I MPa = I MNlm* = I0 kgflcm' I kNim = 100 kgflm = 0,l tflm 1 kNlmZ = IW kgflm' = 0,1 tflm2 1 kNlmS= IW kgflm3 = 0.1 tflma

-

'\ ! ,' , '

I

9.1.5 JUSTIFICATIVA DO A justificativa da validade desse método de cálculo pode ser dada da maneiradescrita MÉTODO DA a seguir. EXCENTRICIDADE EQUIVALENTE Consideração Em reeime elástico. a determinação das flechas das barras esbeltas submetidas a flexo-compressão pode ser feita assimilando-se a excentricidade inicial e, do carregamento a uma flecha inicial w, da barra, Fig. 9.1.5-1.

-

Fig. 9.1.5-1 Carga de curta duraçéa. Flexão composta de b m s esbeltas - Regime elástico.

Desse modo, tomando uma barra articulada nas extremidades cujo eixo já tenha uma pequena curvatura inicial, a aplicação de uma força de compressão longitudinal com linha de ação segundo a reta que une as extremidades da barra acarreta a ampliação das flechas, as quais passamdos valores iniciais y, paraos valoresfinais y,. Quando a configuração inicial da barra for dada pela curva senoidal TX y, = wl sen -

e

prova-se quer9a configuração final é expressa por \

F

=

força de compressão aplicada

F,

=

carga de flambagem de Euler de uma barra reta de mesmo compri mesmo produto de rigidez E1

A flecha máxima da barra, que originalmente tinha o valor w,, pass;i a valer

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇÁO DA CARGA CR~TICA

333

2.a Consideração Nas mesmas condições do caso anterior, admita-se que o material da barra seja visco-elástico e que, portanto, sofra um processo de fluência. Esse processo se dá com tensões variáveis, pois, a medida que aumentam as flechas, aumentam as tensões devidas aos efeitos de 2.a ordem, Fig. 9.1.5-2.

INSTANTE INICIAL

INSTANTE F I N A L 1,

to

Fig. 9.1.52 Barras com curvatura inicial

- Fluência

No caso de barras de eixo senoidal, prova-se que2'

\ %

onde +(t,,to)

=

função de fluência entre os instantes t, e to

Sendo w, aflecha máxima da barra no instante tologo após a aplicação das forças F,, a flecha máxima no tempo infinito t, passa, por efeito de fluência, a valer b_

WI =

w2. exp

[+ '(t,, to) F, b F, 1 .

(9.1.5-2)

-

3.a Consideração Conforme se mostra na Fig. 9.1.5-3, para a verificação da segurança contra o estado limite de instabilidade, em lugar da história real de carregamento pode ser admitida uma história equivalente. Esta história equivalente de carregamento admite que, antes da aplicação da carga de curta duração F,, a estrutura seja descarregada da carga F, de longa duração e, a seguir, carregada com o valor total F, F,. A Fig. 9.1.5-4 mostra o efeito do carregamento e do descarregamento de uma esrrurura submetida a uma carga F, de longa duração. centricidade inicial e,, do carregamento F, de longa duração é assimilada à ixima w, de uma barra com curvatura inicial, a qual é admitida com eixo senoiaai. No instante inicial h, a aplicação de F, amplia aflecha máxima para o valor w2(to),

+


1

HISTÓRIA

R E A L DE CARREGAMENTO

F

CARREGAMENTO TOTAL

I

9

I I

t,

to

IF

,CARREGAMENTO

H I S T ~ R I A EQUIVALENTE DE CARREGAMENTO

fr

TOTAL

Fig. 9.1.5-3 Históna de carregamento.

dado por

Por efeito da fluência, no tempo final t,, a flecha máxima toma o valor wdt,)

=

w2(to). exp 4 (t-, to) F, FE - F g

_*."

w3ítoa)= elg

F~

. exp

-_

FE"- Fo

--.-.~", .;:. ...........

+(L> to) F, FE - Fo

Observe-se, Fig. 9.1.5-4, que, se a carga F, fosse aplicada no tempo t,e não no tempo topara que se obtivesse a mesma flecha w3(t,) dadapor (9.1.5-3), aflechainicial da barra deveria ser

ou seja, por efeito da fluência, aflecha inicial w, = e,, sofreu um acréscimo e, dado por e,

=

w,.

-

.,luale.,

w,

Desse modo, a flecha suplementar e,correspondente aos efeitos da fluênciavale .. ...... ...... .

,.-.:*I'-

__

..... . ..-.,. . .Observe-se então, Fig. 9.1.5-3, que essa flecha suplementar se traduz numa excentricidade suplementare, para todas as cargas, tanto , q u a n t o F,, que seaplicam ~imnlfaneamenteno tempo final t,,de acordo com a históna equivalente de carrega~

%~.=

!

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇÁO DA CARGA C a T I C A

335

Fig. 9.1.5-4 Determinação da excentricidade suplementar e, devida à fluência.

9.2. PILAR PADRÃO MELHORADO 9.2.1 MODOS DE EMPREGO DO PILAR PADRAO

De acordo com o que foi visto no item 5.3.4, o conceito de pilar padrão surgiu como sendo o de um pilar em balanço com linha elástica senoidal, Fig. 9.2.1-1. Com essa hipótese, sendo o eixo do pilar dado por

onde o comprimento de flambagem e, vale e, = 2e obtém-se

-,

-

..I..111. ?do r 2

10, resulta

3-(L) 10

r

base

O momento fletor M, de 2.a ordem na seção da base, dado por Mz = F,a

36

ESTRUT~RASDE CONCRETO. SOLICITAÇ~ESNORMAIS

9.2.1-1 Pilar

pode então ser determinado pela expressão

que é uma função linear da curvatura

-

lhas

Surge, desse modo, o processo do pilar padrão. Na Fig. 9.2.1-2 é ilustrada a sua aplicação dentro do método geral de calculo. Deve-se notar que é dessa maneira que são usualmente determinados os diagramas de interação (M,, N),,,, como aqueles ilustrados pelas Figs. 5.3.5-4 e 5.3.5-5. A Fig. 9.2.1-3 mostra a aplicação do processo do pilar padrão dentro do método do equilíbrio: arbitra-se o valor critico de (llr),., e, com este valor arbitrado, é calculado o valor de M,,. Para dimensionamento impõe-se a condição de que, para N, = N,, seja M, não menor que M,, M,,. Na prática, essa aplicação do método do equilíbrio torna-se difícil, pois elarequer que seja arbitrado, de forma adequada, o valor de (llr),,,. No caso de pilares não muito esbeltos, a dificuldade de escolha do valor (llr),, pode ser contornada, adotando-se curvaturas críticas próximas a curvatura última correspondente a peças de esbeltez nula, Fig. 9.2.1-4. Conforme se mostra na Fig. 9.2.1-4, essa possibilidade decorre do própii o andamento dos diagramas (M - N - l/r). De fato, para barras não muito esbeltas, o ponto de tangência para a determinação de M,,, é razoavelmente próximo do pontc u"'.uapondente a ruptura material da seção da base. Desse modo, a expressão (5.4.4-8), que dá as curvaturas convencionais adotadas pela NB-1/78, fornece os valores

+

*c-

3

com V,

+ 0,5

1

os quais, na realidade, correspondem a pontos de um intervalo qut: piuvaveiiiiciiir contém o valor exato da curvatura ( l/r), relat iva à mptiura materi,

'

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇÃO DA CARGA CR~TICA

337

M

M D I A G R A M ( M - N - ih) DA SEÇAO DA BASE PARA UMDADO VALOR M N*

,,,"----------- 1.--'

ÚNICO WNTO CALCULADO

.

/

/

/

I

base I

(T )base. cri, arctg (- t e 2 F,

I0

I

I

(7)wbitrodo

(~)boie,u

)

Fig. 9.2.1-2 Processo do pilar padrão aplicado ao método geral.

Fig. 9.2:l-3 Processo do pilar padrão aplicado ao método do equilibrio.

Nessas condiçóes, o emprego de curvaturas críticas convencionais acarreta erros na determinação de M,,c,, , pois o valor de (I/r),,i,,, arwtado pode diferir do valor de (l/r). correspondente à mptura material. Por essa razão, o método simplificado do equilíbrio é restrito a barras medianamente esbeltas ( h 80). Para barras de maior esbeltez, exige-se o emprego de processos mais rigorosos, como, por exemplo, o processo do pilar padrão com o método geral.

O Nu =Nd

RUFTURA MATERIAI

Fig. 9.2.1-4 Processo do pilar padrão aplicado ao método simplificado do equilibno.

9.2.2 FUNDAMENTOS DO PROCESSO DO PILAR PADRÁO MELHORADO

Conformejáfoi discutido, para os pilares esbeltos (h > 80) não pode ser empregado o processo simplificado do equilíbrio. A solução rigorosa do problema exigiria o emprego do método geral, por exemplo, com o processo do carregamento progressivo proporcional. Todavia, cálculos dessa natureza somente podem ser elaborados em casos excepcionais. Como altemativa, pode ser empregado o método do equilíbrio com o processo do deslocamento de referência, cujos resultados estão sempre a favor da segurança. No caso usual de pilares de seçáo constante, uma soluçáo suficientemente precisa pode ser obtida através do método geral com o processo do pilarpadráo. Todavia, em

certos casos, toma-se necessário melhorar a precisão dos resultados obtidos, uma vez que, paraos pilares de maior esbeltez, nem sempre pode seradmitidaumalinhaelástica senoidal. De fato, tendo em vista que a real conf~gumçãodo eixo deformado do pilar depende da verdadeira distribuição de momentos fletores totais M, + M,, em pnncipio não se pode admitir como verdadeira a expressão (9.2.1-l), sendo portanto

Para a melhoria dos resultados surge a idéia do pilarpadrão melhorado. Nele é considerada a verdadeira distribuição de momentos de ordem, admitindo-se que apenas os momentos de 2.a ordem produzam deslocamentos transversais com dis& buição senoidal. A Fig. 9.2.2-1 mostra como o fato de a linha elástica total não ser senoidal afeta a determinação da carga crítica. RUPTURA MATERIAL

m

~

L

Fig. 9.2.21 iniiuência da forma da linha elástica na determinação da carga crítica.

Nessa figura, os momentos de 1.a e de 2.a ordem correspondentes ao pilar padrão (linha elástica senoidal) estão indicados, respectivamente, por M, e M,. No caso do pilar padrão melhorado, de linha elástica não-senoidal, esses mesmos valores são indicados por M,, e M,,, respectivamente. Observe-se que, em princípio, pode ser M,, 5 M,. 7

De acordo com o que se mostra na Fig. 9.2.2-1, o momento crítico de ordem poderia ser em princípio obtido através da determinação do maior valor de M,, que pode ser resistido pela seção dabase. A curvatura íl/r)b,,, correspondente a esse valor M,,, seria a curvatura crítica. Esse caminho teórico pode, no entanto, ser simplificado, conforme se verá adiante.

,

9.2.3 PROCESSO DO PILAR PADRÁO MELHORADO

1

No processo do pilar padrão melhorado admite-se que apenas a componente de 2.a ordem da linha elástica tenha distribuição senoidal. A componente de ordem depende da lei de distribuição dos momentos de ordem, Fig. 9.2.3-1. Admite-se também que, tanto no pilar padrão quanto no pilar padrão melhorado, sejam iguais as curvaturas ctíticas da base e o momento total crítico. Com as hipóteses adotadas, quando se passa do pilar padrão para o pilar ---'-'melhorado, uma parte de M,, transforma-se em M , , ou vice-versa, co seja o andamento do diagrama de momentos M, ao longo do pilar. Paira a detenninação da correção a ser introduzida no valor clisponível do mo-

,,

.,,

COMPONENTE SENOIWL

NAo-SENOIDAL

COMPONEKTE

OS MESMOS MUX1ES

DE

JLrbase ait

PILAR PADRÃO

PILAR

PADRAO

MELHORADQ

Fig. 9.2.3-1 Decomposiçáo dos deslocamentos.

mento de 1." ordem, admite-se a decomposição da curvatura total da base do pilar padrão melhorado em duas parcelas, Fig. 9.2.3-2, fazendo (9.2.3-1) = (l/r)crit = (l/ri)m + (1Irz)m onde (1 (li,,,,

.,, -

Para que es (M - N - llr) é

, , ~urvaturada seção da base devida a

M,,,

da curvatura da seção da base devida a M,,,

C ,,

,.

posição seja exequível em termos práticos, o diagrama io, Fig. 9.2.3-2, daí resultando:

sendo E1 o produto de rigidez secante da seção da base. Para a determinação das parcelas (llr,), e (Ilr,), da decomposição da curvatura da seção da base, admite-se que a flecha da extremidade livre do pilar padrão melhorado também seja decomposta em duas parcelas, conforme já foi mostrado na Fig. 9.2.3-1, resultane-

onde ite dos momentos fletores de I .a ordem, a ser determinada alm = flech, diretamen~t:ciii função da lei de distribuição destes momentos, que é um dado inicial do problema-

DAWMA (M-N-f I DA S E Ç ~ ODA BASE PARA U M 0400 VALOR DE N

Fig. 9.2.3-2 Processa do pilar padrão melhorado.

e: (l/r,),, a,, = 10

correspondente à componente senoidal da linha elástica

Observe-se que a,, é umvalor conhecido e que h, éumaincógnitadoproblema. De acordo com as hipóteses adotadas, tem-se MI, c n t + M2, c n t = Mim, cn.t que passará a ser escrita

+ Mzm, c n t

suprimindo-se o índice crit por simplicidade. Desse modo, sendo M,,

=

M - M,,

M1m

=

(M1+ Mz)

logo

- Mzm

tem-se M,,

=

M,

+ M,

< -+I 1


-

Mmt

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CR~TICA

M,

a,,, = P. [alm

=

e: (I) +10 r,

obtém-se Mz" M,

alm + =

a,,, a

=

e: (1lrJm 10

5 (!) 10

r

logo

M,,

=

M,

1 1

+ M,

Nessas condições, considerando a linearização expressa pelas equações (9.2.3-2), tem-se M,,

=

M,

[

+ M,

I

eZ

a,, E;

LM2,

10

-

- wric

10

De acordo com a analogia de Mohr, a flecha a,, é obtida como o momento estático do diagrama&emrelação ao topo do pilarpadrão. Desse modo, fazendo-se E1

Z

=

a,, E1

(9.2.3-3)

onde Z é o momento estático do diagrama de momentos M,, resulta

M,,

=

M,

+ M,

(

10

z + M,, -

1wri1

)

ou seja

Introduzindo nessa expressão a relação Mcv,t - Mm

=

M~rn

obtém-se L

M,, - 10 -

e:

Como a correção procurada é sempre moderada, no 2.O termo da expressão

~

342


anterior admitem-se, por simplicidade, que sejam

onde M, corresponde ao momento último relativo ao estado limite último de ruptura ou de alongamento plástico excessivo. Nessas condições, resulta finalmente

que para maior clareza será escrita

Uma vezcalculado o valor de Z em função do diagrama de momentos fletores de I .a ordem, a expressão (9.2.3-5) fornece o valor melhorado domomento critico de I.= ordem.

9.2.4 COEFICIENTES DE CORREÇÃO. CASOS PARTICULARES

Deacordo com o processo do pilarpadráomelhorado, o momentode I.aordemcritico melhorado M,,, é dado pela expressão

,, -1*..--/

;

Mm. c,, MI, cvit ,e-

=

---

J%---."---

I

+

Mz, crit

10

-

Mu

Definindo-se os coeficientes ' . y Mz, ctit k=M"

z

""7

MI, ,,.i,

.._,

'-\-,

'

resulta

MI,,

,tit

=

M,,

,dt

(1

+ k a,)

ou sob a forma adimensi.onal,_, d --e--".~ i. ~ i m ctit , = /*i, crit (1 + k p m.) ,\

-.._

~

A % ~ . ~ ~ d e c o m ~ o do s diagrama i ~ ã ode momentos fletores de I." ordem para o cálculo do coeficiente a,. Note-se que, na expressão (9.2.4-7) n momento M,, .,, é o valor que atua na base do pilar padrão. Considerando as diferentes componentes da diagrama de M,, têm-se: a. Componente retangular

343

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CRfTICA

10

Fig. 9.2.41 Determinação de a, = 1 --

6,

z MI, base

b. Componente triangular

c . Componente parabólica Z,

= a1 Mt, base

2e , e - = M,, base 3

2

ai

e2

Na Fig. 9.2.4-2 estão apresentados alguns resultados particulares

1

MI

Ml

Tabela básica de valores de a,

Fig. 9.2.42 Coeficientes de cowefão.

344

ESTRUTZTRAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS

Sendo

e = P,/2,

resulta

ou seja

logo " .,~"Z,X.

9.2.5 EXEMPLO

,

h

--

I)

Considere-se a determinação da máxima força horizontal F, que pode ser aplicada ao pilar da Fig. 9.2.5-1.

A S = 2 x 8 8 2 5 = 80cm2 Aço C A - 5 0 A fck


De acordo com os dados do problema, têm-se

= 21 MPa

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇÁO DA CARGA cRÍTICA 345

fck =-

f,d

21 = 15 MPa -

=

1,50 kN/cm2

134

YC

A, = 2 X 8 qí 25 = 80 cm2 fyd = 435 MPa = 43,5 kN/cm2 o=- As f& = 80 43,5 = 0,36 A, fcd 6400 x 1,s

~

~.

,.&%C

.

.

L~

. -,.

,

.:

*.

.' a. Processo do pilar padrüo "Deacordo c o m o áBeiaco d i F i g . 5.3.5-5, para !,/h tem-se pI, er(l = 0,11, donde

.,

=

30, o

=

0,36 e v,

=

0,26,

Desse modo, obtêm-se e,, = 0,42 x 80 = 33,6 cm e,,

=

5 cm

logo Fhd

=

Fud(elc - e,,) - 2520 x 28,6 h 1200

=

60,O k N

donde

Esta seria portanto a máxima força horizontal que em serviço poderia ser aplicada ao topo do pilar se a componente dalinha elástica, devidaaos momentos de 1.a ordem, fosse senoidal. e-

4 ' b. Processo do pilar padrüo melhorado

Admitindo-se o resultado obtido anteriormente, o diagrama de momentos de ordem permite o cálculo do fator de correçáo, conforme indicado na Fig. 9.2.5-2, resultando

De acordo com o ábaco da Fig. 2.3.5-1, para v, último pd = 0,23. Desse modo, sendo

= 0,26 e o = 0,36 tem-se o valor

I

346


Fig. 9.2.5-2 Aplicação do pilar padrão melhorado

obtém-se 0 2 3 - O,11 = 0,52 /"d 0,23 Conhecidos os dois coeficientes k e a,, resulta finalmente o valor melhorado, dado por =

/"d

-

/"I.

=

erir

ou seja plm,ertt =0,11(1

+ 0,52 X0,lM) =O,11 x

1,054=0,116

donde os valores melhorados

O 116 42,9 = 45,2 kN 0,11 Em face da ordem de grandeza da correção obtida, não cabe a reformulação do diagrama de M, empregado no cálculo dos coeficientes de correção.

F,,

= Lx

\

% '

9.3 ESTUDO GERAL DOS PILARES ESBELTOS , .

' '. . ."xi." 9.3.1 PILARES ESBELTOS De acordo com o que foi mostrado na Fig. 7.5.1-2, no caso de pilares esbeltos, com DE SEÇAO CONSTANTE 80 < h e 140, a NB-1 não mais permite o emprego do processo simplificado do \, ( h s 140) equilíbrio, no qual são adotadas curvaturas últimas padronizadas. No caso de pilares esbeltos com h s 140, a NB-1 ainda permite o emprego de ..,.J-,... ,,@..* processos simplificados de cálculo desde que justificados, exigindo porém que,' na presença de cargas de longa duração, seja levada em conta a influência da flu'

1N =U,lksf = 100 k d = U,l tf I kN I I < N . ~= IW kgf.,,, = U,I tf.,,, 1 ~ N . C 100 ~ =ligtcm = 0,1 tf.cm

1 MPa = 1 MNlm2 = lu kgf/cmP 1 kNim = 1W kgfim = 0,l dlm I kNim2 = 100 ksflm' = 0.1 Wm' 1 kNlms= 100ksflm8 = 0,l tflm"

1

I

No caso de pilares de seção constante submetidos a força normal constante, quando 80 < A s 140, o processo de cálculo mais aconselhável é o correspondente ao emprego do método geral com o pilar padrão. O cálculo fica bastante simplificado quando existem diagramas de interação em função da esbeltez, como os que são mostrados nas Figs. 1.3.5-4 e 5.3.5-5.,Caso contrário, é preciso lançar-se mão dos diagramas (momento fletor-força normalcurvatura), procedendo como foi mostrado no exemplo do item 8.2.4. Em qualquer dos dois casos, cabe formular a correção permitida pelo conceito de pilar padrão melhorado. Na presença de cargas de longa duração convém empregar o método da excentricidade equivalente, conforme exemplificado em (8.2.6). Nos casos de flexão composta oblíqua, os critérios de linearização do diagrama de interação podem ser empregados sem maiores dificuldades. Quando o pilar estiver submetido a força normal com significativa variação ao longo do seu comprimento, toma-se necessário recorrer a processos mais rigorosos como, por exemplo, o do deslocamento de referência. 9.3.2 PILARES MUITO A NB-1 permite o emprego de pilares desta natureza, desde que sejam tomadas ESBELTOS DE SEÇAO precauções adequadas. Dentre essas precauções estão a limitação de ser h < 200, a obrigatoriedade de CONSTANTE (h > 140) consideração de eventuais fenômenos de vibração e a majoraçáo do coeficiente de ponderação da força normal para o valor y, = 1,4 0,Ol (h - 140)

+

Além disso, no caso de pilares com A > 140, a NB-I exige que a segurança seja demonstrada por processo exato. Torna-se portanto obrigatório o emprego do método geral com o processo do carregamento progressivo proporcional ou então, afavor da segurança, do método do equilíbrio com o processo do deslocamento de referência, discutido no item 5.4.2. Analogamente ao que foi dito para os pilares esbeltos, a influência da fluência pode ser considerada pelo método da excentricidade equivalente, e aflexão composta oblíqua pode ser tratada a partir da idéia da linearização do diagrama de interação. 9.3.3 PILARES COM SEÇAO TRANSVERSAL VARIÁVEL OU FORCA NORMAL VARIÁVEL

Conforme foi mostrado no item 5.4.2, o método do equilíbrio com o processo do deslocamento de referência permite a verificação da estabilidade de pilares com seção transversal variável submetidos a qualquer tipo de carregamento. Observe-se, no entanto, que adeterminação exatada carga crítica somente pode ser feita pelo método geral. Q que* método do equilíbrio permite fazer é a simples verificação de se o equilíbrio é ou não estável sob a ação do carregamento de cálculo. Apresenta-se a seguir uma sistematização do método do equilíbrio aplicado a pilares com seção transversal variável. Note-se que a mesma sistematização é válida se apenas a força normal varia ao longo do pilar. Para isso, considere-se o pilar genérico mostrado na-Fig. 9.3.3-1. =& -il carregamento, admitindo todas as açôes com seus valores de cálculo

F,

= Y , FIK

Subdivide-se o pilar em segmentos que possam ser admitidos com seção constante e com força normal constante. Consideram-se na l.= etapa apenas os momentos fletores de ordem, incluindo-se neles aeventual infiuênciadaexcentricidade equivalente correspondente a fluência. Através dos diagramas (M, N, l/r) determinam-se as curvaturas desta etapa e, por meio da analogia de Mohr, calculam-se as flechas dos pontos nodais adotados na subdivisão do pilar em segmentos. Essas flechas são adotadas como ponto de partida da 2.a etapa, na qual são

rl TODAS AS

A Ç ~ ECOM S

SEUS VALORES DE CALCULO

Fi

= rfFi

Mi= &,I + M2,i Fig. 9.3.3-1 Pilares de seçáo variável.

considerados os momentos de I.=ordem e os momentos de 2.a ordem determinados com as flechas da etapa anterior. Com esses esforços são recalculadas as flechas, prosseguindo-se o processo por aproximações sucessivas. A segurança do pilar estará demonstrada se as flechas dos diferentes pontos nodais tenderem para valores limites finitos, pois então terá sido atingidauma posição de equilíbrio estável. 9.3.4 EXEMPLO PRELIMINAR

Verificar a segurança contra o estado limite último do pilar indicado na Fig. 9.3.4-1, sendo dados:

F,,d = yf FIiK= 200 kN fck = 14 MPa fcd = 10 MPa Aço CAJOA o = constante = 0,60

Este exemplo tem caráter preliminar e serve tão-somente para que sejamostrado o tipo de algoritmo de cálculo empregado. As flechas calculadas neste exemplo são

349

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA C ~ ~ T I C A

4C

IkN =lWkBf=O,ltf I kN.m = IW kgtm = 0.1 1f.m d' =

O,O5 h Fig.

9.3.4-1 Exemplo.

exageradas porque se admitiu, para todo o pilar, o diagrama v, - E , determinadocom os valores de cálculo. Nos itens seguintes, o problema do diagrama tensãodeformação a ser empregado será reconsiderado. Solução Empregam-se os diagramas (pd,vd. ]/r) do Apêndice 2. De acordo com os resultados adiante indicados, verifica-se que já na 3.a etapa fica evidenciada a convergência do processo, estando portanto já garantida em termos práticos a segurança do pilar considerado, conforme está mostrado na Fig. 9.3.4-1. I.= ETAPA

CÁLCULO DOS ESFORÇOS

Seção

h (m)

A, (m3

Nd

(kN)

Na v6 = A,

f
M L ~ ei (m)

(kN.m)

5 h

P I = ~

' h

~d e


CÁLCULO DAS FLECHAS y,.,

Seção

o

v,

,

pid

d 103 r

d = 0,95 h

i

(m)

r

103

?i?

(cm) (m-'1

2.a ETAPA CÁLCULO DOS ESFORÇOS

h

Seção

(

YI: Vd

4

(cm)

e,

e,

e,

-

e

h

h

h

- -

(cm)

e Wd=Ud-

h

CÁLCULO DAS FLECHAS y,,.,,,,

Seção

o

vd

,A*

d 1O3 -

d = 0,95 h

1

ím)

r

r

103

Yzo

(

4

(m-'1

3.a ETAPA

CÁLCULO DOS ESFORÇOS

Seçáo

h

YZP

e2

Ud

(cm)

(cm)

(cm)

e,

-

h

e, - e h h

-

pd

=

e

Vd

h


CÁLCULO DAS FLECHAS ys= Seção

9.3.5 A RIGIDEZDO CONCRETO A SER CONSIDERADA 1 /

w

vd

p,,

lo3

-d d = 0,95 h r

Iml

I r

Y8

Icml

No exemplo preiiminar do item anterior, admitiu-se que o diagrama tensãodeformação do concreto, empregado no cálculo dos deslocamentos transversais do eixo do pilar, fosse o mesmo diagrama parábola-retângulo adotado no cálculo do estado limite último de ruptura ou alongamento plástico excessivo. Empregou-se, portanto, no exemplo preliminar anterior, o diagrama A da Fig. 9.3.5-1, que é o diagrama apresentado no item 8.2.4 da NB-1/78. Este também era o diagrama recomendado pelo CEB no seu Manual de Flambagem1" (Boletim 123, 1978). Esse diagrama leva a uma estimativa exagerada da defoi'mabilidade da estrutura.

0185 fck

0,85 fcd

Fig. 9.3.5-1 Possíveis diagramas (c,E ) para o cálculo dos deslocamentos da barra

De acordo com o Código Modelo do CEB, no estudo da instabilidade é conveniente relacionar a rigidez do concreto à sua resistência média, adotando-se para isso um coeficiente de comportamento y. = 0,8, daíresultando para aavaliação de f,d o valor y, = 1,2. Além disso, o Código Modelo passou a adotar uma expressão analítica mais realista para o diagrama uc - E,, correspondente ao diagrama B da Fig. 9.3.5-1.

i

Todavia, esse diagrama B, embora menos impreciso que o diagrama parábolaretângulo, também é convencional, podendo ser ainda comgido em função da densidade do concreto. Além disso, como esse diagrama é variável com a resistência do concreto e com aforma da seção transversal, o seu emprego exige o cálculo automático direto do problema específico em consideração. Parao emprego de diagramas (pd- vd - l/r) comoos apresentados no Apêndice% sugere-se a adoçáo usual do diagrama C, particularmente para os pilares esbeltos ( h > 80) e para os não contraventados, permitindo-se o diagrama D para os pilares simultaneamente contraventados e medianamente esbeltos (h < 80). O diagrama B poderá então ser exigido apenas no caso de pilares muito esbeltos, (h > 140). É importante observar-se que nos diagramas C e D foi explicitado o coeficiente 0 3 5 quejáestáembutido no cálculodosdiagramas (pd- vd - l/r) do Apêndice2. Parao emprego desses diagramas, no caso C será feito con~encionalmentef,~ = f,,e, no caso D, será tomado o valor fcd= femi,sendo f,, a resistência média ao j dias de idade. Por motivos análogos, em ambos os casos será adotado fUkem lugar de fVd. Note-se, finalmente, que o diagrama D decorre da interpretação de que fciestruh
- fe,eomos

de p r w a l ~ c ~

ou seja fcm,eatmaTa E fcm/132E 0 3 5 fcm E fek ou seja, admite-se parao concretodaestmturaarigidez correspondenteao quantil de 5% das resistências dos corpos de prova de controle. 9.3.6 EXEMPLO Considere-se novamente a verificação da estabilidade do pilar tratado no exemplo do DEFINITIVO item 9.3.4. Nas mesmas condições do exemplo citado, adotando o diagrama tensáodeformação correspondente a 0.85 fCk fck/1,2,tem-se:

-

ETAPA CÁLCULO DOS ESFORÇOS PARA O CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS Seção

h

A,

Nd*

(cm) (m2)

(kN)

e,

e,

Mld

Nd

v, = A,€,,**

(kN.m)

(m)

pia =

vd

h

h

'Na = y, N r = 1.4 N1. "7. = 1.0 r,, = f,. ***y,= 1.4 y.= 1,O.

CÁLCULO DAS FLECHAS y , .

.,.

-bOL

4 '

Seção

4, = 1,O

o*

r, = 1.0

*'Fmmeea-s

v*

Wld

d** 109 -

f, = f, = I4 MPa o Diagrama 31 do Anexo.

d

2

f,

=

=

0,95 h

(m)

f, = SOO M W .

1 r

e , *** -

105

ím-'t

Yi"

(cm)

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA C-ICA

2.a ETAPA

CÁLCULO DOS ESFORÇOS h

Seção

(cm)

"a

CÁLCULO DAS FLECHAS

Seção

o

y , , ~ e, ícm) ícm)

e, e, e h

h

h

e pa =

h

yt:,,,,

vd

pd

103

j d = 0,95h r

2

x 103

r

ím)

Yza

(cmj

3.a ETAPA

CÁLCULO DOS ESFORÇOS h

Seção (

vd

4

yz"

e,

(cm)

(cmj

e, e, e -

h

h

h

pd

e* = Vd -

h

*A comparagáo com os vaiores da etapa anterior já garante a converg6ncia do processa, provando-se assim a estabilidade do pilar.

CÁLCULO DAS FLECHAS y,..

.,.

Em virtude da igualdade dos esforços obtidos, pode-se escrever diretamente

9.4 ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO 9.4.1 A ESTABILIDADE GLOBAL DAS

ESTRUTURAS

A análise da estabilidade global das estruturas deve ser feita levando-se em conta o caráter tridimensional das constmções. Usualmente, esta análise é feita considerando-se a estabilidade de pilares isola-

I

I


dos ou de elementos estruturais planos verticais situados segundo duas direções ortogonais. De modo geraL3 admite-se que haja risco de ruína por instabilidade desde que o índice de esbeltez do elemento supere o valor limite h = 25. No caso de pilares isolados, de acordo com o que já foi visto no estudo da instabilidade na flexáo composta oblíqua, a análise usualmente recai no estudo da estabilidade segundo os planos principais de flexáo da peça. No caso de elementos estruturais planos aporticados, faz-se a distinção entre estruturas indeslocáveis e estruturas deslocáveis. Em qualquer caso, deve ser assegurada a estabilidade em dois planos, tanto no plano do elemento quanto no plano a ele perpendicular. Para isso, cada peça estrutural é considerada ou como pertencente a dois elementos estruturais planos que se cruzam, ou então em uma das direções como pilar isolado. Quando se consideram estruturas indeslocáveis, as barras comprimidas são frequentemente tratadas, no plano da estrutura, como pilares isolados. A Fig. 9.4.1-1 mostra os critérios adotados pelo CEB3 para a determinação do comprimento de flambagem desses pilares no caso de estruturas planas aporticadas.

b +

valor

U S U ~ :I

valor

mínimo-

te =to

te a 0,85 to

Fig. 9.4.1-1 Comprimentos de flambagem de estruturas indeslocáveis (cnténos CEB).

Observe-se que o critério considerado é mais elaborado que o critério simplista adotado pela NB-1/78, pelo qual se admite que o comprimento de flambagem seja sempre igual à distância entre os eixos das vigas entre as quais ele se situa, desprezando-se portanto totalmente a rigidez à flexáo das vigas. Nas exigências da NB-1/78, esta simplificaçáo é compensada pela elevação para A = 40 do limite, a partir do qual é obrigatória a consideração de efeitos de 2.a ordem. Desse modo, quando se estuda convenientemente a estrutura de contraventamento, os pilares contraventados podem ser admitidos como pertencentes a uma estrutura de nós indeslocáveis, podendo empregar-se os critérios da NB-1/78 ou adotar-se o comprimento de flambagem igual ao comprimento livre entre vigas, e, = e, (9.4.1-1)

1

1

ou até um valor menor, determinado em função da rigidez dessas vigas. Nesses casos será tomado sempre um valor e, 3 o,ss e, e os efeitos de 2.a ordem deverão ser considerados a partir do limite A = í Nos edifícios de poucos andares frequentemente não há um arranjo estrutural de peças de concreto armado que garanta a indeslocabilidade do sistema. Nestes casos, frequentemente a indeslocabilidade dos nós é obtida pela colaboração das alvenarias imentn

s

,

I]

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAODA CARGA CRfTICA

Fig. 9.4.1-2 Influência da "gidez das vigas de contraventamento

No caso de estruturas deslocáveis, a estabilidade depende em grande parte da rigidez das vigas. A Fig. 9.4.1-2 mostra como as vigas influenciam o valor dos momentos de 2.a ordem. 9.4.2 RIGIDEZ M ~ N I M A De acordo como que foi apresentadono Cap. 7, item 7.2.2, no projetodeedifícios, em DAS E S DE geral não ~ é conveniente~que todos os pilares ~ participem~do sistema estrutural ~ admitido ~ CONTRAVENTAMENTO como responsável pcia estabilidade global da construção. Essa participação, se fosse considerada, levaria a uma complexidade exagerada de cálculo. Por esse motivo, os pilares das construções são usualmente divididos em duas categorias: pilares contraventados e pilares pertencentes à estrutura de contraventamento. Os pilares contraventados são tratados como se pertencessem a uma estrutura indeslocável. A estrutura de contraventamento deve assegurar a validade dessa hipótese. Para isso, ela deve ter rigidez adequada. Frequentemente, a estrutura de contraventamento é composta por paredes estruturais em balanço, engastadas na fundação, ou por pórticos múltiplos eventualmente entreliçados. Em qualquer desses casos, os nós da estrutura de contraventamento são de fato deslocáveis. No entanto, desde que a estrutura de contraventamento seja suficientemente rígida para que seus deslocamentos não afetem a segurança dos pilares contraventados, estes podem continuar sendo tratados como se pertencessem a uma estrutura indeslocável. Quando isso acontece, isto é, quando a estrutura de contraventamento é quase-indeslocável, ela pode efetivamente garantir a estabilidade global da construção. Caso contrário, não se pode admitir a estrutura como contraventada, e todos os pilares devem ser tratados como pertencentes a elementos estruturais de nós deslocáveis. De acordo com o CEB,3 no caso de edifícios de vários andares, uma estrutura de contraventamento pode ser admitida como quase-indeslocável, desde que obedeça as seguintes restrições: parans 3 (9.4.2-1)


onde n L R,

número de andares altura total da construção = soma de todas as cargas verticais da constmção, em condições de serviço, dada por =

=

E, I, = soma da rigidez aflexão de todos os elementos verticais que compõem a estrutura de contraventamento, no estado não-fissurado, na direção considerada. Quando houver variação da rigidez ao longo do comprimento de um elemento, deverá ser empregadauma rigidez equivalente adequadamente estimada E, = módulo secante de deformação do concreto que, de acordo com a NB-1, pode ser tomado o valor* E, = 6000 d f em MPa /

Observe-se que a maneira como e calculado o valor de E,I, equivale a consideração da estrutura de contraventamento como um conjunto de pilares em balanço, engastados na fundação, desprezando-se totalmente a rigidez das vigas que ligam esses pilares, Fig. 9.4.2-1. RIGIDEZES EQUIVALENTES

Fig. 9.4.2-1 Rigidez das estruturas de contraventamenta.

No caso de estruturas entreliçadas, a rigidez equivalente pode ser determinada, por exemplo, igualando-se aflecha na extremidade livre daestmturareal sob aaçáo de uma carga horizontal unitária a flecha do pilar em balanço equivalente. Os critérios indicados anteriormente podem ser interpretados como decc de uma limitação do peso total da constmção a uma fração de carga de flambs *Em unidades t6enicas ainda empregadas transitoriamente E,

=

19u00 -em

kgflcm

estrutura de contraventamento. No caso de pilares submetidos a uma carga axial de compressão uniformemente L , a carga crítica de Euler valelg

com pelo menos quatro andares, em condiçóes de serviço, é exigida a relação

admitindo-se que R, seja uniformemente distribuída ao longo da altura da constmçào, resulta

ou seja

0 ~ 0 5~u

R",

5%

E

No caso de construções com até três andares, a condição imposta por (9.4.4-1) corresponde a

0,03 R,

R,,

(9.4.2-5)

.ti*, E

9.4.3 EXEMPLO. PAREDES Como exemplo de estrutura contraventada por paredes isoladas, considere-se um ISOLADAS DE edificio alto com as seguintes características, Fig. 9.4.5-1. CONTRAVENTAMENTO a. Número de pisos elevados: 13 b. Altura total L L = 4,O m 12 x 2,90 m = 3 8 3 0 m

+

c. Concreto f,,

E,,

=

6000

=

=

3880 cm

15 MPa

v-'=

6000 0 1 5

+ 3,5 = 25800 MPa = 2600 kN

cmZ

d. Peso total do prédio R, = G + Qk admitindo-se o peso total unitário pk = g + q, = 10 kN/m2 R, = n.e, e, pk = 13 x 25 m x 8 m x 10 kN/m2 = 26000 kN e. Rigidez mínima da estrutura de contraventamento

obtendo-se

-

1N -0,lkgf = 1W kgf = 0.1 tf 1 kN 1 kN.m = 1W kgfm = 0.1 tf.m I kN.cm= 100kgf.cm = O,? ttcm 1 MPa

=

1 MPa = I MNlms = I0 k@/cms I kNlm = 1W kgf/m = 0.1 tfim 1 kNlmz= 1Wkgflm2=0,1 tfimz 1 kN/mS= 100kgfims=O,l tWmg

0.1 kN/cm2 = IW Nlcm'

358


logo

ou seja

Admitindo que a estrutura de contraventamento seja formada por duas paredes isoladas, tem-se

logo, adotando-se b = 20cm

I

~

I PAREDES ISOLADAS DE CONTRAVENTAMENTO

i

L

TL

A s lajes funcionam como diafragmas horizontais rígido: 19

i

I

3

4,OOn



resulta s

r

Conforme semostra, em escala, na Fig. 9.4.3-1, a estruturade contraventamento, na direção paralela ao lado menor da planta do edifício, pode ser constituída por duas paredes de 20 cm x 500 cm. Observe-se que o emprego do critério L . &< 0,6 E" I" permite admitir-se que as duas paredes isoladas de 20 cm x 500 cm sejam um contraventamento adequado para o prédio em questão, na direção de sua menor rigidez. Com essa hipótese, os demais pilares poderão ser considerados, nessa direção, como pertencentes a uma estrutura indeslocável. Todavia, nessa mesma direção, o índice de esbeltez da própria estrutura de contraventamento vale

Desse modo, como h > Ali, = 25, no dimensionamento dessas paredes, inclusive de suas fundações, deverá ser considerado o efeito dos momentos de 2.a ordem. 94.4 SOLICITAÇÕES DEVIDAS AO EFEITO DE CONTRAVENTAMENTO

Para adeterminação dos esforços de 2." ordem das estruturas decontraventamento, é preciso considerar o funcionamento básico das mesmas, ilustrado pela Fig. 9.4.4-1. Fl

I p2

F2

p1

/ I B

+

B PILAR DE CON'TRAVENTAI1 M T O

PILAR CONTRAVENTUDJ

EFEIJO GLOBAL PARA O CALCULO DE Y t

Fig. 9.4.4-1 F u n c i o n im e n t o básic o d a s e s t m t uras d e c o n t r a v e n t a m e n t o .

Neste exemjplo, o eqliilíbrio do pilar P2, que é contraventado pelo pilar PI, fornece a condiçiir. H = Fz a/L O momento

Ms

,,,em HL=

i.

+

na base do pilar de contraventamento P1 vale então a

Df :sse modo , o cálculo do momerito de 2.a ordem necessário ao dimensionamento ......ut: > -- LuiiriavciirdiiicllLu ----a,. -, pode ser feito como se todas as cargas verticais da estruruid fossem aplicadas à própria estrutura de coptraventamento. Observe-se que essa hipótese só é válida para o cálculo dos momentos de 2.a ordem. Para o cálculo dos efeitos de l .a ordem, as forças devemser aplicadas em suas iras. posiçõe

3-50

ESTRUTVRAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS

Note-se também que as flechas a são consideradas na determinação dos esforços solicitantes da estrutura de contraventamento, embora essas mesmas flechas sejam admitidas como desprezíveis para a determinação dos esforços dos pilares contraventados. Em edifícios altos, o esquema básico de funcionamento das estruturas de contraventamento é repetido em todos os andares da constmçáo, Fig. 9.4.4-2.

PILAR DE CWTRAVENTAYENTO

PILAR CONTRAVENTADO

EFEITO GLOBAL PARA O C ~ C U L ODE Y t

Fig. 9.4.4-2 Contraventamento em edificios altos

Nesse exemplo, os pilares e as paredes d e contraventamento são tratados como peças isoladas submetidas a forças normais variáveis ao longo do seu comprimento. Nas estmiuras deslocáveis, em lugar d a excentricidade acidental das cargas, pode-se considerar uma inclinação acidental dos pilares. De acordo com o CEB,3 deve-se considerar uma inclinação a em relação à vertical com os seguintes valores: - constmções de um único andar e estmturas carregadas principalmente no topo: 1

tga = 150 - outras constmções: tga 9.4.5 PAREDES E PILARES DE CONTRAVENTAMENTO. CALCULO RIGOROSO

1

=

200

Em geral, as estruturas de contraventamento têm esbeltez bastante reduzida, embora nem sempre possam ser desprezados os seus efeitos de 2.a ordem. A verificação rigorosa da estabilidade pode ser feita pelo método do equilíbrio com O processo do deslocamento de referência, tal qual foi empregado no item 9.3.3 para o cálculo de pilares com seção variável ou com força normal variável Na Fig. 9.4.5-1 está esquematizada a marcha de cálculo. Na 1 .a etapa, em função dos momentos de I .a ordem M,, e das forças nonnais N,, que efetivamente a t u m na peça de contraventamento, são determinadas as (:umaturas llr, e, a partir delas, calculam-se os deslocamentos y , Todos os esfor.ços são considerados com seus valores majorados de cálculo. Na 2.a etapa já se considera a peça de contraventamento com uma CLimatura inicial.

,.

361


Nld

l* ETAPA

A

H,

-

Mld

-1

-

-i

Y41

Fl,n MOMENTOS DE IPORDEY

DESLOCAMEMOS Yi,>

2 0 ETAPA A C ~ E SDE CkwI.0 A P E N M PARA

DESLOCAMENTOS Y i , t

A

I

ordem são, nesta etapa, os mesmos que na etapa anterior. Os momeqtos de Calculam-'se a seguir o s ~ m o m e r i t d ~ ' ~ordem, ~ 2 . ~ devidos as flechas iniciais calculadas na etapaantenor, procedendo-se como se em cadaandar as forças verticais tivessem os valores RUdicorrespondentes a soma de todas as forças verticais desse andar. Com isso são calculados os valores de M,. De posse do novo diagrama de momentos M,, obtido pela soma Mld + M,,, e considerando novamente as forças normais efetivas N,,, determinam-se as novas curvaturas. A partir dessas curvaturas calculam-se as novas flechas y , , ~ .

i


O processo é repetido tantas vezes quantas forem necessárias para se provar que todas as diferenças de flechas Ay, obtidas entre duas etapas sucessivas tendem a zero. Se isso for provado, a estrutura será estivel. O processo numérico é desenvolvido nos moldes do exemplo apresentado no item 9.3.4. 9.4.6 PAREDES E PILARES DE CONTRAVENTAMENTO. CÁLCULO SIMPLIFICADO

Sempre que a esbeltez da estrutura de contraventamento for moderada, poderá ser aplicado o processo simplificado do equilíbrio, com a adaptação que agora se apreSenta para a consideração das cargas axiais distribuídas ao longo do comprimento do pilar, Fig. 9.4.6-1. Observe-se que as mesmas considerações podem ser feitas para se levar em o n t a o peso de um pilar isolado. ,.*,- .v,T- próprio .. e n d õ m i ~ b o ~ ae adbase do pilar, no caso do pilar padrão, carregado na extremidade e de linha elástica senoidal, é obtida a flecha

L- i

a

eZ

(1)

=F

10

r

base 1I


,! í

--

L

/

sendo o c a r r e s e n t o aistnbuido ao longo do comprimento do x = 5 L pilar, admite-se que a linha elástica sejaparabólica, com a mesma flechaa que o pilar padrão e com a mesma curvatura da seção da base, resultando então a equação (9.4.6-1) essa hipótese, obtém-se o seguinte valor para o momento de 2.a ordem na 1, -__' seçãoCom da base:

I

L

Fig. 9.4.6-1 Cargas axiais uniformemente distribuídas.

Mi.bnar

=

qdY dx

O

I

M~ Orne

=

)!(r

04

L base

aJT e G C > - E ~ Chamando-se de R,, .2 '."

-

T

qd o

xz dx

=

0,4

(+Ibeee qd

L3

a carga total que produz efeitos de 2.a ordem, tem-se

Rvd qd = -

r.

2. (9.4.6-2)

'U

a expressão anterior pode ser escrita

Z MP,base

=

1

Rud -

Observe-se que 0rnomentode2.~ordem M,, b,,,vale 113 do que valeria sc .~ estivesse aplicado na extremidade do pilar. do pilar, na seção genérica de abscissa x, Fig. 9.4.6-1,o momenl ~

ivale ,.

- t2 + 2 t3)

~

-

I

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CRITICA !

1

onde

Para as aplicações, desde que A s 80, pode-se admitir o valor convencional (l/r),,,, especificado pela NB-1/78. 9.4.7 EXEMPLO. PAREDE' Calcular o momento de 2.a ordem na base das paredes ISOLADA DE exemplo do item 9.4.3. De acordo com os dados do problema, têm-se CONTRAVENTAMENTO L = 38,80 m r)

y

\ ./

I - i-..

R,,

=

26000 k N

A,

=

20

V-

X

500

=

10000 cm2

carga unitária de serviço: p,

=

II i

/

15 MPa

fck =

w

Aço CA-5$

-

10 kN/m2

I

I

,-

A

(8 m x,h,5 x 10 kN/m2) V força normal de cálculo: N, = y, N, = 1,4 x 2600 = 3640 kN força normal efetiva na base: N,

peso total correspondente a: uma parede peso total de cálculo: R,, ,i,,\

Sendo f,.

=

=

2 y,.R,,,

=

i

=

I

I

4 13 = 2600 kN 13000 k~

2

1,07 KN/cm2, tem-se

I MPa = I MNlm' = I0 kgf/cmP 1 kNlm = 1W kgflm = 0,I tflrn I kNlm'=1WkBflrn~=O,ltflm' 1 kNlrnS= 100 kgflma = 0.1 tflm3

1 MPa = 0,1 kNlcm2 = 100 Nlc

=

!

1.4 x 13000 = 18200 kN

I5 MPa, logo fCd= 10,7 MPa

1N =O,Ikgf = 100 kgf = 0,1 tf I kN 1 k N m = IWIrgtm = 0.1 tem 1 kN.cm = 100 kgf.crn = 0,l ttcm

- 22600 kN

-

d

364


I

logo

M,,

, ,= 4237 kN.m

9.5 ESTRUTURAS ESBELTAS NAOCONTRAVENTADAS 9.5.1 A ESBELTEZ DAS

ESTRUTURAS c

No caso de estruturas deslocáveis, Fig. 9.5.1-1, o comprimento de flambagem dos pilares é maior que a distância entre os eixos das vigas adjacentes.

DESLOCAVEIS

Fig. 9.5.1-1 Comprimento de flambagem

dos pilares de estruturas deslocáveis.

Em princípio não é aconselhável o emprego de estruturas aporticadas deslocáveis muito esbeltas. Sempre que possível, a construção deve ser contraventada por meio de paredes quase-rígidas, maciças ou entreliçadas, que tornem indeslocáveis os nós dos elementos estruturais aporticados. Para a determinação do índice de esbeltez das estruturas deslocáveis pode ser empregado o critério do CEB3 mostrado na Fig. 9.5.1-2, pelo qual se obtém o valor

onde

K

deslocamento horizontal de um andar em relação àquele que está abaixo, sob a ação de uma carga H aplicada no topo da estrutura, suposta de comportamento elástico linear, com módulo de deformação E. A = soma das áreas das seções de todos os pilares situados entre os dois andares considerados. O CEB formula seu critério com H = 1 e E = 1, embora isso não seja necessário e nem sempre conveniente, como está mostrado em 9.5.5. =

1 N = O , ] kgf 1kN =100kgf=O,lõ 1 kN.m = 100 kgtm = 0,I lf.m I kN.cm= 1W kgf.cm = 0.1 d.cm

1 1 I I

MPa = I MNlmz = I0 kgf/gflema kNIm = 100 kgflm = 0,l dlm kN/m' = 100 kgi/rnZ = 0.1 d/ml kKlma = 1W kgf/m3 = 0.1 dlm'

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇÃO DA CARGA CRfTICA

365

Fig. 9.5.1-2 Estruturas deslocáveis. Determinação do comp"menro ae Iiamoagem.

.essão (9.5.1-1) decorre da generalização do resultado A justificativ o,gastado em uma extremidade e com apoio de simples correspondente a6 escorregamento na outra,z3Fig. 9.5.1-2. Neste caso particular, tem-se

K 2

9 3 E1

logo

K = - H h3 12 E1 ~~~

~~

Fazendo I = AiZ obtém-se

K =

H h3 12 E Ai'

e sendo

resulta

ou seja

Verifica-se abbiiii qur: a c q u a ~ ã o(9.5.1-1) decorre da expressão citada, admitindo que a influência da flexibilidade das vigas fique considerada pela determinação do

deslocamento K, na estrutura tal qual ela é.

9.5.2 EXEMPLO. ESBELTEZ DE UM PÓRTICO

Determinar o índice de esbeltez da estrutura da Fig. 9.5.2-1

.

7

I

I e,

3

( M E D I D A S EM CENT~METROSI

I

= 800

Pl(6Ox60)

1

P2(60x6O) 2

I

tnJ, I


Para o cálculo do deslocamento do andar superior em relação ao nível inferior aplicou-se o processo de Cross, já se considerando as condições de antimetna dos resultados, Fig. 9.5.2-2. Neste caso, têm-se: 1 . Pilar P1

I

'

, 6 = 63 -- 108 dm4 = 0,0108 m4 12

2. Viga

3. Coeficientes de distribuição

PROBLEMAS ESPECIAIS DE D E T E R ~ A Ç A O DA CARGA

CRITICA

D

A

\

MOMENTOS FLETORES

.

Fig. 9.5.2-2 Cálculo do deslocamento horizontal relativo

4. Recalque aplicado (Me,, Sendo M,,,,

obtém-se

=

= --- -

Y2

100 kN.m) 100 kN.m

1 100 X 8' - 98765,4 K =-. E 6 x 0,0108 E

5. Força aplicada Sendo

resulta

6. Índice d e esbeltez efetivo

367

~


7. Comparação Desprezando-se o efeito de pórtico, os pilares isolados teriam o índicede esbeltez aparente

9.5.3 PÓRTICOS HIPERESTÁTICOS. CÁLCULO RIGOROSO

A verificação exata da segurança contra a instabilidade de pórticos hiperestáticos somente pode ser feita através do método geral, com uma análise não-linear. Em cada etapa do processo de resolução, deve ser resolvido o problema hiperestático. As dificuldades materiais desse cálculo exato são excessivas para a sua aplicação prática. No caso de pórticos múltiplos com barras perpendiculares entre si, pode-se desenvolver um processo de cálculo suficientemente rigoroso que pode ser programado para emprego prático, Fig. 9.5.3-1. O processo se desenvolve por aproximações sucessivas. Na etapaé feita uma análise linear de ordem, calculando-se os deslocamentos horizontais a, dosdiferentes andares. Na 2.a etapa vão ser considerados os efeitos dos deslocamentos horizontais calculados na etapa anterior. Todavia, em lugar de as barras serem consideradas com deformações iniciais, como foi feito em outros casos já analisados, admite-se novamente a confliguração inicial do pórtico, substituindo-se o efeito de 2.a ordem por um efeito de ordem equivalente. Para isso, na 2.a etapa serão consideradas forças horizontais suplementares, Fig. 9.5.3-1, calculadas por critério análogo ao empregado na determinação do efeito de contraventamento, Fig. 9.4.4-1. Desse modo, admitindo-se para essa finalidade que todos os nós sejam articulados, a força horizontal de sustentação é dada, em cadanó, pela expressão

conforme se mostra nsFig. 9.5.3-1. Calculam-se novamente os deslocamentos horizontais dos diferentes andares, repetindo-se o processo quantas vezes for necessário. Em cada etapa deve ser avaliada convenientemente a rigidez de cada barra da estrutura, em funçãodos esforços calculados na etapa anterior," como se indica na Fig. 9.5.3-2. A estrutura seráconsiderada estável quando os deslocamentos ai dos andares e as forças fictícias H, convergirem para valores finitos. De acordo com o CEB,* o processo de determinação dos momentos fletores finais pode ser acelerado. Assim. sendo M,, M,, ... os momentos fletores calculados numa dada seçáo de referência da estrutura, Fig. 9.5.3-2, prova-se que o valor final pode ser obtido pela expressão

'Manual de Flambegem, Boletim 123

O

Fh -i

a i-i WSIÇ~O ANDAR

ihiih

75m7

O

xm

O

@

I

DEFORMADA

I

DO

I

(1-1)

I I I

I

I! ETAPA

fll

F2 1

b

P,i-l

@

O

-

i'

Fh t

i

nm-

rn

F1 1

ai

O

I

DO

DEFORMADA ANDAR L

2OETAPA

I

4

I 1

I

H1

Fh i

-

5,i-1

I7.i-1

O

__C

Fh,i-i

O

-

F 1,i

F 2,i

Hi=-

Hi-1

F

pai

p

Z N hi 1'1 j,i

-

Zai-1

P ,i

~

0

~P 1

hi-1 ai

j:i

Ni,i-i

P

-

Pai = a i

-"L

-

DEFORMADA DO ANDAR ( i + 1

Fh,i

P

m

O

m

O

Fl N i l i - ~

7~

@

P

=

P

' ' F,,, P

i-1

)--I m i l

i

Z N = Z 5 Fj,, 1:i 1,i j:i m:i

CÁLCULO

RIGOROSO

DE

P~RTICOS

Fig. 9.5.3-1 Cálculo rigoroso de pórticos hiperestáticos.

HIPEREÇTÁTICOS

i

370


I

Rigidez equivalente

IM

'

-

-

1

2

e t pos de c8iculo ;

Fig. 9.5.3-2 Evolução dos resultados de cálculo.

9.5.4 PÓRTICOS HIPERESTÁTICOS. CÁLCULO SIMPLIFICADO

Tendo em vista a grande complexidade do cálculo rigoroso dos pórticos hiperestáticos, tal como foi descrito no item anterior, cabe o processo simplificado considerado adiante. A aplicação normal deste processo é exequível quando os pórticos são relativamente simples, como o do exemplo a seguir apresentado. Conforme se mostra na Fig. 9.5.4-1, na etapa do processo é feita a análise linear de l.=ordem do pórtico, aplicando-se todas as ações verticais F, e horizontais F,, já com seus valores de cálculo FOd= y, FUke Fhd = yf Fh*

Todos o s esforços são sempre considerados com seus valores d e cdkulo ( Fvd,FhdiMd ,Vd , N d )

PILARFS I SOLADl ETAPAS POSTERIC Fig. 9.5 .4-1 Cálcula8 simplificado de pórticos hiperestáticos


371

Nas etapas seguintes, verifica-se a estabilidade de cada pilar considerado isoladamente, submetido as ações que a ele são diretamente aplicadas e aos esforços M,,, V,,, Nld calculados na 1.a etapa, e que atuam nas seções de corte feitas para separar o pilar do restante do pórtico. Este processo aproximado de cálculo dos pórticos hiperestáticos é baseado na consideração de que, no processo rigoroso de cálculo, como mostra a Fig. 9.5.3-2, os momentos fletores crescem amedida que se considerametapas posteriores de cálculo. Desse modo, afavor da segurança, os momentos fletores introduzidos nas seções de corte são mantidos com seus valores calculados na I .a etapa, através de uma análise linear do sistema. As variações de V,, e N,, são, por maior razão, consideradas como desprezíveis, pois elas decorrem apenas das variações dos momentos fletores, uma vez que todo o carregamento é aplicado desde o início do processo. A partir da2.=etapa, procede-se de acordo com o que foi visto no item9.3.3 parao cálculo de pilares com seção transversal variável ou forçanomal variável. O exemplo apresentado no item 9.3.4 ilustra a marcha de cálculo a ser empregada. 9.5.5 INFLUÊNCIA DA DEFORMABILIDADE DA FUNDAÇAO

De acordo comoque é mostrado na Fig. 9.5.5-1, adeformabilidadedafundaçãodeum pilar agrava o risco de mína por instabilidade. A esbeltez do pilar aumenta, crescendo também os efeitos de 2.a ordem, pois, além das flechas decorrentes da própria deformação do pilar, ainda existem o 9 e s i a camentos horizontais devidos a rotação d s base. Para o cálculo do índice de esbeltez do pilar pode-se empregar, por exemplo, o critério dado pela expressão (9.5.1-1). De acordo com esse critério, ilustrado no item 9.5.1 pela Fig. 9.5.1-2, tem-se 7

onde h é a distância entre os dois andares consecutivos. No exemplo da Fig. 9.5.5-1, toma-se para h o valor do comprimento efetivo do pilar e, em compensação, toma-se para K o valor de sua flecha horizontal medida entre a seção da base e a sua extremidade livre.

,//,$//~ %,, ,

+

I

\

.--'

'\

Fig. 9.5.5-1 Influência da defonnabilidade da fundação.

.


372

A consideração da deformabilidade da fundação na determinação dos efeitos de 2.= ordem é feita agora dentro dos diferentes métodos de cálculo já discutidos. No caso de serem empregados processos nos quais é feita a integração da linha elástica, somam-se as flechas devidas a rotação da base com as flechas devidas à deformação do pilar, resultando y=b'x+w (9.5.5-2) Os momentos fletores de 2.a ordem valem entáo M2

F" (K

=

-

Y)

e sendo

K'= 8 e + a

onde a é a parcela da flecha da extremidade livre devida à deformação do pilar e M b a e = k 8.8 (9.5.5-3) tem-se

e = - %me ke

B

logo

que na seção de engastamento vale

M,,

=

F~(+

h

+ a)

Por outro lado, sendo Mòme = MI. bme + Mz, base 1 obtem-se Mz, boae+ F" a = F , h - MI ame + F , h kn ke

M, *b.,, I

resultando Mz.

F h1

f / /

0,

F , a + F,h- M,, aose k.9 = h 1 - Fnke

Quando se empregaopilarpadráo, aparcela F; adomomento de 2.aordem vale

Rv=ql/ += F;a

=

F,

h2 (2) .2,5

(9.5.5-5)

r

onde h = 8. De forma análoga, quando se considera uma carga axial R, uniformemente distribuída ao longo do comprimento do pilar, em lugar da parcela F,.a deve ser empregado o valor

--

h2

R"-(I) 7,5

r

e as parcelas F,

~ i g 9.5.5-2 . Caso gemi.

base

h e Fo ,I

h

devem ser reduzidas à me--,

M1,

ke

,... ..rtude do

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAODA CARGA CRfTICA

tipo de distribuição de R,, resultando, neste caso, R hZ " ) + -1R h - Ml, tm*e 7,s r e 2 ke Mz, base= (9.5.5-7) 1 h 1 - - R,2 ke Finalmente, quando se considera o caso geral mostrado na Fig. 9.5.5-2, tem-se M ~ + ( P .++)h.* ~ k@

M2, o,= 1-

(9.5.5-8)

R" h

(F n l + -2- ) k e

onde M,, é a parcela de Mz devida apenas à deformação do pilar. 9.5.6 EXEMPLO. PAREDE Considere-se a determinação do momento fletor na base da parede de contratrentaISOLADA DE mento estudada nos itens 9.4.3 e 9.4.7, levando em conta a açáo do ventok,a CONTRAVENTAMENTO deformabilidade da fundação. De acordo com os dados do projeto Fig. 9.5.6-1, tem-se: L = 38,80 m R,,, = 18200 kN (metade do peso total da constmção) h = 5,O m (altura da seção da parede) % 1

--

r N,,

,

1,16 x lOP cm-' (curvatura da seção da base) =

2600 kN (de cada uma das duas paredes)

8.0 rn

1

P

1

Fig. 9.5.6-1 Iniiuência da deformabilidade da fundação

argila

rija

I

a) Vento Para a consideração do vento (23), são admitidos os seguintes valores: V, = 40 mls (NB-599) logo 4,

=

V2,/1,6= 402/1,6 = 1000 N/mZ = 1 kN/m2

donde, para uma largura de influência de 12,5 m, obtém-se pk = 12,5 m x 1 kN/m2 = 12,5 kN/m2 resultando, na base da parede, o momento

b) Momentos de 1.a ordem Neste exemplo meramente ilustrativo, das combinações de solicitações prescritas pela NB-1, será examinada apenas aquela em que o vento é a ação variável de natureza diferente que se admite produzir efeitos de menor intensidade. Num projeto real, a situação inversa também deverá ser considerada. Desse modo, neste exemplo, tem-se M,, = O,X y, M,, = 0,8 x 1.4 x 9409 = 10538 kN.m

.,.,,

correspondente a uma excentricidade inicial

Além disso, considerando-se a excentricidade acidental

resultam os valores e, = e , e, =2,90

+

+ 0,17 = 3 , 0 7 m * ' i

e M,,

=

N, e,

=

1,4 x 2600 kN x 3,07 m

=

11175 kN.m

C)Fundação direta sobre argila dura De acordo com a NB-51 (24), em condições de serviço, admite-se paraas argilas duras o valor básico da tensão admissível. uadm= 0,4 MPa

H

Admitindo-se que a base sejauma placa rígida de largura B = 3 m e comprimento 8 m, Fig. 9.5.6-1, as suas propriedades são as seguintes: área da base A=3x8=24mZ W = 3 x X2/6 = 32 m3 módulo de resistência I = 3 x X3/12 = 128 m4 momento de inércia

=

Admitindo que opeso próprio da sapata de fundaçãojuntamente coma:3 cargas do andar térreo dupliquem a força normal na base da fundação, sob os efeiitos de I .a 1N =0,1kgf 1kN =1W@=O,lff I kN.m = 100 kgtm = 0.1 ttm 1 kN.cm= IW kgf.cm = 0,l ftcm

1 MPa = L MN/m2 = 10 kgfiçm* 1 kNlm = 1W kgflm = 0.1 tflm I kNlrnz= 100 kgfim2= 0,I tflmz 1 kN/mJ= 1Wk8flm8 = 0.1 Iilma


375

ordem, em serviço, resultariam as tensões extremas nas bordas da sapata M,, = 2 x 2600 2600 x 3,07 N, + moor* -2 -A W 24 32 +

ou sejam r,,,

217

+ 249 = 466 -s 0.47

217

+ 249 = -32

=

mmi, =

kN

kN m2

-

-

MPa (com~ressão)

0,03 MPa (tração)

Embora a tensão na borda tracionada seja muito baixa, ela sugere um reexame da solução estmtural adotada, tanto da fundação, quanto do próprio sistema de contraveutamento empregado. Todavia, apenas para ilustrar a influência da deformabilidade da base nos efe&-de 2.=ordem do pilar, admite-se que a solução sejaaceitável, pois a tensão máxima de 0,5 MPa. compressão na borda não supera 1,2 ma,,

-

d) Deformabilidade da fundação De modo geral quando são calculados os recalques de uma estrutura, a Mecânica dos Solos (25) (26) fornece os elementos para isso necessários. Quando o problema se refere a ações permanentes, os parâmetros do terreno são os habitualmente considerados na Engenharia de Fundações (27). No caso presente em que se quer calcular a rotação da base, com exceção dos momentos devidos às excentricidades acidentais, todos os outros, devidos ao vento e aos efeitos de 2.a ordem dele decorrentes, são de curta duração. Por esta razão, em casos dessa natureza, em lugar dos valores tradicionalmente adotados no cálculo de recalques de fundação, serão empregados os parâmetros adequados a condições de solicitação dinâmica (28). Desse modo, no caso presente de uma argila dura com tensão admissivel para solicitações estáticas da ordem de 0,5 MPa, para a compressão uniforme é possível adotar-se (28), a favor da segurança, o coeficiente de recalque vertical k, = 0,5 MPalcm admitindo-se placas rígidas de aproximadamente 10 m2. No caso presente, a favor da segurança recomenda-se (28) adotar k,,

=

k,

fl 24

=

0,5 x 0,65

=

0,32 MPalcm

No cálculo de rotações, para uma relação de lados a = -8-

-

2,7

3m

-

o coeficiente de recalque correspondente à compressão não uniforme vale (28) k, 2,8 k, donde k,

=

2,8 x 0,32

=

0.09 kN/cm3

=

0,90 MPalcm

isto é k,

De acordo com a notação empregada neste trabalho, resulta então k,

=

k,

hndog.0

~1

ou seja k,

=

kN 0,09 -x 128 x 108 cm4 = 11,s x 108 kN.cm cm3

ou aproximadamente

e) Momentos de 2." ordem

M,,

[equação (9.5.5-8)]

Roa . L,. MI base +^ .,

Sendo de acordo com o exemplo do item 9.4.7

(i)

M,, = R"d 7,5 r

= 4237

kN.m

base

tem-se

resultando

.a

Conclui-se que, neste caso particular, devido à deformabilidade da fundaçáo resultou

havendo portanto um aumento de 12% do momento de 2.a ordem na base das paredes de contraventamento. No caso de ações de longa duração, este aumento pode ser consideravelmente ampliado pela diminuição da rigidez do terreno de fundação.

Apêndice 1 TABELAS E DIAGRAMAS DE DIMENSIONAMENTO

Tabela 1 Flexáo simples e flexáo composta com grande excentricidade. Seções retangulares. Tabela universal. Diagrama parábola-retângulo

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇ~ESNORMAIS

Tabela 1 (Continuação)

CA-SOA CA-4OA

Nd

=

E,, ( N d > O tração; N, < O compressão)

FLEXAO SIMPLES

M~~= M*

ARMADURA SIMPLES

ARMADURA DUPLA (Vide Tabela :

N*

=

O

Tabela 2 Flexão simples e flexáo composta com grande excentricidade. Seçóes retangulares. Tabela auxiliar para o cálculo da armadura de compressáo Fazendo

M,,,

.

Uld

u

= M,,,

,,

para

5 = 5,,

têm-se:

= fWd

com os valores abaixo

--I-----x - X I

;

lirn

Valores d e v;, MPa para

I ,

Acos

: : : ::

MPa

i

1N = 0,1 k!# IkN =IWkgf=O.llf 1 kN.m = 1W [email protected] = 0,l lf.m 1 kN.cm = 1W k!#.cm = 0,l t . c m

217,O

278,O

217,O

278,O

217,O

278,O

i MPa 1 kNlm 1 kN!mz 1 kN!m3

= 1 MN!ml = 10 k!#!cmx = 104 k8fim = 0,1 lflm = 1Wm m #lki!' = 0.1 tf/mP = 100 kgflmJ = 0,l Sims

5

=

fil, I


Tabela 3 Flexáo simples e flexáo composta com grande excentricidade. Seções retangulares. Diagrama retangular de tensões. Tabela resumida para dimensionamento (C A-25, C A-SOA, C A-50B, C A-6OB) (y. Para

y, = 1.4)

= 1,15

O' = d'ld

4 = b,, k',

Aço

kB

CA-25 CA-SOA CA-50B CA-60B

0,046 0,023 0,023 0,019

6'

=

0,05

O'

0,046 0,023 0,025 0,021

=

0.10

0,046 0,023 0,026 0,022

O' = 0.15

8' = 0.20

0,046 0,023 0,026 0,024

0,046 0,023 0,028 0,026

Unidades: kN. cm

ld '

. 'L:. L.

Flexão simples M,d = M,

Flexão composta: N, = F, (N, > O tração; Nd < 0 compressão) M,,= Fd e,

Armadura simples: A,

Armadura dupla

=

k,

5 + kg2Nd d

Md Armadura simples: A, = k, d

I

Armadura dupla (k', calculado para 5

M,,,

=

cam)

,= momento resistido pela seção com armadura simples = Msd. C + AMa

k; calculado para

1N =O,lkgf = 1W kgf = 0,1 tf I kN 1 kN.m = IW kgf.m = 0,l t f m 1 kN.cm = IW W.cm = 0.1 tf.cm 1 MPa

=

5=

1 MPa = I MNlm' = I0 kgflcmP I kNlm = 1M)kgflm = 0,I lflm I kNlmZ= 1W kgflm' = 0,l ülm' 1 kNlma = I W kgf/ms = 0.1 tflm'

(Mld. C

=

MSd,

M,

=

Ma

=

OU

momento resistido pela seção com armadura simples Md, c + AMd

(Md, c

=

Ma, lirn)


k,

=

bd21MSd

Para fckMPa

Para y,

ks

I

Para os aços

+ 1.4 entrar com o valor o b YE

1

Tabela 4 Flexáo simples e flexáo composta com grande excentricidade. Seçóes retangulares. Tabela resumida para dimensionamento (CA-32, CA-40A, CA-40B) (y, = 1,15

y , = 1,4)

I

1

I

Unidades: k N , cm

Flexão composta N, = Fd (Nd > O tração; N d < O compressão) M, = F, e,

Armadura simples: A, = k,

Flexáo simples MBd = Md


5 + kg2 N d d

Armadura dupla

Armadura dupla

I

AMSd A; = k', (k; calculado para d - d'

M,,,,= momento resistido pela seçáo com armadura simples MPd = MDd,C + AM.d

n .cm \

I MPa

=

O,

I MPa = 1 MNlms = 10 kgflcrn' i kNlm = 1 0kgfim = 0,l tflm 1 kNlmZ= IW kgf/rnP= 0,l tf/m2 I kN/ma = 100 kgf/mS = 0.1 tflmz

=

rI I

htm) Md, C

A, = k,

AMd M,.+ k,, d d - d'

A : = k g - AMd d - d'

momento resistido pela seçáo com armadura simples Md = Md, C + AMd =

APÊNDICE 1 TABELAS E DIAGRAMAS DE DIMENSIONAMENTO


Ir

=

Para f,, MPa

Para 71i 1.4 entrar com o valor

I

3 b YI

Para os aços

384


Tabela 5 Flexão simples e flexão cnmposta com grande excentricidade. Seçóes retangulares armadas com aço CA-25 (Y, = ],I5

YC

Armadura simples Armadura dupla

k* Flexão composta Nd = Fd (Nd > O tração; Nd Mid = Fd e,

0,46 a

=-

O compressão)

Armadura dupla

~

I

= A'1

+

A*

k; = -0,46

B

Flexão simples M,d = Md

M*d, c

A,

=

k,- Md, c d

+ kB- dAMd - d'

Armadura dupla .A\

(Usualmente Mid,

M,,

.

c

1 MPa = I MNlm* = 10 kgflcm" 1 kNlm = 1W kgilm = 0,l õ l m 1 kNlmB= I W kdlm' = 0.1 tflm' 1 kNlm8 = 100 k g i l d = 0.1 @/ma

= Md,

=

AMa k: d

- d'

= momento resistido pela seção com armadura

simples A,, M, = M , ,+ AMd

-

1 MPa = O ,

{A%


Md, ,= momento resistido pela seção com armadura simples A,, Msd = M*d. e + AMSd

N =O,Ikgf kN = 100 kgf = 0.1 tf' kN.m = 100 W m = 0,I t t m kN.cm = 1W kptcm = 0,l C e m

I

A,

Unidades: kN, cm

Msd + k,, Nd Armadura simples: A, = k, d =

=

= 1-41

correspondente a g

= ,g .

)

Tabela 5 (Continuação) Aço CA-25

* b = &cm

Pani y. i1.4 entrar com o valor

2b Yr

I

Tabela 6 Flexão simples e flexáo composta com grande excentricidade. Sgões retangulares armadas com aço CAdOA (y,

=

1.15

YC

= 1,4)

I Armadura simples = A,

'O-

Armadura dupla 100 p , = 100

(2:

=

I +

A91 bd

e..

a=rfVd sd

/i

Armadura dupla

M,,,

.

I IA''

M,d = Md

Unidades: k N , cm

Flexão composta (N, > O tração; N, < O compressão) N, = F, Msd = Fd e.

Armadura simples: As = k,

P = - r:d fVd

Msd =

M'd + kSt Nd


d

Armadura dupla

AM8d = k; d - d'

momento resistido pela seção com armadura simples A,, M, = M,, c + AM,d

M,,

=

(Usualmente M ,,

I MPa 1 kN = 1W kgf = 0.1lf 1 kN.m = 1W kd.m = 0.1 tf.m I kN.cm = 100 kgfcm = 0.1 ttcm

.

1 MPa

Flexão simples

=

.

= I MNlm' = I0 kg«cmX 1 kNlm = 100 kgflm = 0.1 tflm 1 kNlm2 = 1W kgtlms = 0,l fimx 1 kNlm3= 1W kgflm3 = 0.1 tflma

O,1 kNlcmS = 100

=

.

I I

,

=

Md k, -

k:

d

A Md d-d'

= momento resistido pela seção com armadura

simples A.. Md = Md, C + AMb

M,,

=

Md

correspondente a

6 = 6,.)

i

I

Tabela 6 (Continuação) Aco CAJOA

Para y, f 1,4 entrar com o valor

3b Yc

I

I

388


Tabela 7 Flexáo simples e flexáo composta com grande excentricidade. Seções retangulares armadas com aço CA-SOB (Y. = ],I5 Y C = 14) k,

=

bd2 -

MSd

Armadura simples = A, Armadura dupla A - A,, + As2 lOOp, = 100- A,, bd

P=-

a=- V*d

fWd

fWd

k,

0,23

=-

k' - -O,23

a

Plexão composta Nd = F d ( N b > O traçáo; N d 1 0 compressão) Msd = F d es


Armadura dupla

I

=

k,

A, = k,

6

Msd + kB (%L+ N d-d'

~)

I

Armadura dupla

.

(Usualmente M , ,

M,,

.

1 MPa = I MNlmP= I 0 kgf/cmz i kN/m = I W kgfim = 0.1 tflm I kN/m2 = 100 kgf/mz = 0.1 tf/rnS I kNlrn3 = 1W kgflrn' = 0.1 tf/rns

1 MPa = 0,I k N b m S =

I(U

.

II

A,

=

k, Md d

=

Md. c + k,, AMd k, d d - d'

momento resistido pela seção com armadura simples A,, M, = M , = AM,

-

IN =U,LXS 1k N = IOO kgf = 0.1 tf 1 k N rn = 100 kgf rn = 0.1 tf rn I k N crn = 100 kgf cm = 0,I tf crn

Flexão simples M,, = Md


M , , = momento resistido pela seção com armadura simples A,, MSd = Msd, e + AMsd

-

P

Unidades: kN, cm

5 + kB Na d d

-

=

M,,,

,

=

correspondente a

.

5 = fti,.)

' k,

Tabela 7 (Continua@o) Aço CA-SOB X

f=;

f,r = 9

k,

fCx= 13,s

1100~~ k,

(1MIp,

f,,

=

15

k, 1100p,

fCk= 18

k, 1100p,

fCk

=

21

k, 1100p,

k,, = 0 023

f,, (MPa) f,,

=

25

k, 1100p,

Para y, # 1,4 entrar com o valor

OL

f,,

=

1'4b Yc

0,023 --

B

P

30

k, 1 1 0 0 ~ ~k,

8

u

6' = 0,0516' = 0,1016' = 0,15 16' = 0,20

390


Tabela 8 Fiexáo simples e tiexáo composta com grande excentricidade. Seçóes retangulares armadas com aço CA-óOB (Y, = 1,15

= 1,4)

YC

k,=-bd2 Mad Armadura simples

=

A,

A*, A Armadura dupla {K; 100p,

01

=

100- A,, bd

=- mad

P=-d

f"d

k,,

023 =i

r

Msd + k,, N, Armadura simples: A, = k, d =

k,

c + k, d

( ! ! ! ? L d - d'

A\ = k.

d - d' M,

simples A., Ma,c + AM,,

=v,, 1(BI = 1W kgf = 0.1 ?i

-

I Mia

I kN 1k N m = I W k d m = 0 , 1 tfm I k N . c m = 1 W k g f c m = O , 1 t i cm

i MPa

=

.

Mh (Usualmente M , ,

N

Flexão simples M, = M d

+ N,)

Ma,,= momento resistido pela seção com armadura

1

P

Armadura dupla

I =

a -

1 kNlm I kN/m2 I kNlma

0.1 k ~ / c =~ IW *

1


Armadura dupla

i'

0,23 --

Unidades: k N , cm

Flexão composta N, = Fd (Nd > O tração; Nd < O compressão) M,, = Fd e,

A,

d

f"d

a

1

+ A,

,= M , , ,

=

=

I I

A,

=

+

Md,c k,, AM d k, d d - d'

momento resistido pela seção com armadura simples A,, Md, c + AMd

correspondente a f = (,,,,,.)

I

1

*P

= tum

Para y,

+ I , 4 entrar com o valor 1'4b YE

Tabela 9 Flexo-compressáo com pequena excentricidade. Armadura unilateral. Seçóes retangulares. Tabela universal. Diagrama parábola-retângulo

o' =

(ud

- 035 a,)f;d

Uid




Tabela 10 Diagramas tensão-deformação dos aços Classe B Aços classe B - Relação (u8drzsd) usd(Mpa)

I

E,d

CA-40B

CA-SOB

I

Vale 1 ,O 1,l 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7

1 3 2,4 2,6 2,8

313,s 320,2 326,O

1,s

CA-óOB

a lei de Hooke ;

U3d

250,3 261,l 269,O 275,6 281,3 286,4 291,l 295,4

!

=

Ead

E*

i

, 313,2 325,3 334,6 342,s

376,l

376,4 385,2 393,3

4303 443,O 453,9

(1 MPa = 10 kgficrn')



396

Tabela 11 Flexão simples e flexão composta com grande excentricidade. Flexão diagonal da seçáo quadrada. Diagrama parábola-retângulo

1. Flexão composta

N,

=

ESQ (N,, > O tração; N,, < O compressão)

2. Flexão simples a. Armadura Simples

M,,,

=

A,,

Ma =

N.,

L 'Jad

h. Armadura Dupla Parte

Assa =

=

(%+

O

N,,)

L (* + U S ~ d, - d:

1 AMszd A;zQ = -

vid d2 - d:


Tabela 11 (l.aparte - Continuação)

398


Tabela 11 (2.a Parte) E<,,,

=

-3<50%0

Tabela 11

Parte - Continuação) Eclb

6' = 0,15

=

-3,5Wa

6' = 0,20

Esd

(%o)

X f = -

d

/

CA-50A

CA-40A

CA-32

CA-25

Pard

zc Plad

zc

5 =d

0,52 0,54 0,56 0,58 0,60

0,109 0,116 0,122 0,129 0,136

0,705 0,694 0,682 0,671 0,660

0,109 0,116 0,122 0,129 0,136

0,705 0,694 0,682 0,671 0,660

3,23 2.98 2,75 2,53 2.33

0,62 0,6283

9,143 0,145

0,649 0,644

0,143 0,145

0,649 0,644

2,15 2,07

0,64 0,66 0,6788

0,149 0,155 0,161

0,638 0,627 0,618

0,149 0,156 0,162

0,637 0,626 0,616

1,97 1,80

0,68 0,70

0,161 0,167

0,617 0,607

0,162 0,168

0,616 0,605

0,72 0,7254

0,173 0,174

0,598 0,595

0,174 0, 176

0,595 0,593

1,36 1.33

0,74 0,76 0,7717

0,178 0,183 0,186

0,589 0,580 0,575

0,180 0,185 0,188

0,586 0,576 0,571

1,23 1,11 1,O4

0,80

0,188 0,192

0,571 0,563

0,190 0,195

0,567 0,559

0,99 0,85

0,82 0,84 036 0,88 0,90

0,197 0,200 0,204 0,207 0.21 1

0,555 0,548 0,540 0,533 0,526

0,199 0,204 0,207 0,211 0,214

0,550 0,542 0,534 0,527 0,519

0,77 0,67 0,57 0,48 0,39

0,92 0,94 0,96 0,98 1 ,O0

0,213 0,216 0,218 0,221 0,223

0,520 0,514 0,507 0,502 0,496

0,218 0,220 0,223 0,225 0,228

0,512 0,506 0,499 0,493 0,487

0,30 022 0,lS 0,07 0,W

1,05 1,10 1,15 1.20

0,227 0,230 0,232

0,483 0,472 0,463

0,232 0,236 0,238 0,240

0,472 0,460 0,449 0,440

____-___-

_ _ _ _ _ _ _ - _ _ CA-SOA

_ - - - - - - - - - - - - - - - - - - ._- - - - - .-- - _ - - - _ - _ - - _ ____-___--

.0,78

_______-_

-

0,17 0,32 0,46 0,58

ICA-40A

-1-

_ CA-32 CA-25

e

0 c

~g

a 6 O

E

e'È

Tabela 12 Flexo-compressão com pequena excentricidade. Flexáo diagonal da seção quadrada. Diagrama parábola-retângulo l.aParte

'I= h x

6; = o,os

s:

Valores de piZd = 0.10 s: = 0.15

0.85.m,

s; = 0.20

1 ,O6 1 ,O8

0,316 0,320 0,324 0,328 0,331

0,278 0,282 0,286 0,289 0,292

0,240 0,244 0,247 0,250 0,253

0,202 0.206 0,209 0,212 0,214

0,758 0,7M 0,769 0,774 0,779

1.10 1.15 1,20 I ,25 1.30

0,334 0,341 0,346 0,350 0,354

0,295 0,301 0,306 0,310 0,313

0,256 0,261 0,266 0,270 0,273

0,217 0,222 0,226 0,229 0,232

0,783 0,792 0,799 0,805 0,810

1,35 1,40 1,45 1,50 1,55

0,357 0,359 0,362 0,364 0,365

0,316 0,319 0,321 0,322 0,324

0,275 0,278 0,280 0,281 0,283

0,235 0,237 0,238 0,240 0,241

0,814 0.818 0,821 0,824 0,826

1,60 1,65 1,70 I ,75 1,80

0,367 0,368 0,369 0,370 0,371

0,325 0,326 0,327 0,328 0,329

0,284 0,285 0,286 0,287 0,288

0,242 0,243 0,244 0,245 0.246

0.828 0.830 0.831 0,833 0,834

1,90 2,OO 2,25 2,50 2,75

0,372 0,374 0,376 0,377 0,378

0,331 0,332 0,334 0,335 0,336

0,289 0,290 0,292 0,293 0,294

0,247 0,248 0,250 0,251 0,252

0.836 0,838 0,841 0,843 0,844

3,OO 3,50 4,OO 5,00

0,379 0,380 0,381 0,381 0,382

0,337 0,338 0,338 0,339 0.340

0,295 0,296 0,296 0,297 0.297

0,252 0,253 0,254 0,254 0,255

0,845 0.847 0,848 0,849 0,850

1 ,O0 I ,O2 1

a

P

4RM4DUR4 UNILATERAL

d :

o

9

3.

2. 0 vi

401


Tabela 12 (La Parte -Continuação) 61

= LX

E:< (%O)

s;

Tabela 12

=

O,OS

Parte - Compressau unirui

s; = 0 , l O

s;

=

O,lS

s;

= O,2O


mlh
/ - '\

.<

. o:.. .... :,i.: . . , ) . . ,, . .. , , . .. , ,d .. , . . , d .:.. , .A.;~, i';. ,:.

., . . , . .

. ., I

.

.

.

..,'-.. . . .I';. ' a .!.

...

. ~ . &', , , - :. .- <:,. .

8'

:

'

.

~

:,,.,'.O

'.

,'4'., . ,

- ... . .

"

. .

. . ., . . . ,

,

0..

:

.:O;

.,.

,.. .', ;a

,.;;:,.,;.~d;;',,

: . . . . ..

,.4.:.

,

.

'

\ .

'

'\

I MPa

=

)

\

.:

.,:,I,!

.

4:

..il

.,~..~'::

-;

I MPa = 1 MNlmz = 10 kgf/crnP 1 kNlm = 1W kgflm = 0,l fflm I kN/m* = 100 kgf/m= = 0.1 tflm* I kNlrnS = 100 kgf/ms = 0,1 tflm8

0.1 kNlcm2= 10

..d

..'.., . . . . . . . : . ..,,.. d...d'.., A ., .. . 4 .,; '.,"..;. . .

\ ,a

:

\

Valores de a

1N =O,Ikgi I kN = 1W kgf = 0,l tf 1 kN.m = 100 kgfrn = O,l 1f.m I kN.cm = IW kgtcrn = 0,l C.cm

.

.,

,

As$$fl

Tabela 14 Cálculo simplificado de compressão centrada Pilares de esbeltez média 40 < A s 80 Coeficiente a de majoração da força normal CA-25

-

SEÇÕES

RETANGULARES

3

com AS!

(A,

2 A ,

A, = b h

-

+

2As2

As,

bl h i

L CX

=

a,+ a 2

N,,=

J

b e = e,+

O(N,

e2

B

Valores de a,

Valores de a,

I I i i

N =0,1kgf = 1W kgf = 0,l tf kN kN.m = 100 k g t m = 0.1 1f.m kN.cm= 1 W k g f c m = 0,1 t f c m

1 MPa = I MNlm2 = IOkgfIcm' I kNlm = 100 kgflm = 0.1 tfirn 1 kNimz= 100 kgfim' = 0.1 tfimP 1 kNimS= IWkgf/m'=O,lffims

al=l+3& h

e + %=-(q( + 1 3 10

h

0,003s v,,

0,001~ 0,s

Tabela 15 Cálculo simplificado de compressáo eentrada Pilares d e esbeltez média 40 < A = 80 Coeficiente a de majoração d a força normal

-

SEÇÓES RETANWLARES

can

A,,

<

2

,As,

In (X-

a , +M e

N,,

=

O: N,

vd = N /A f

*Esbeltezlimite para sefóes circulares 1 N = 0,ik I kN = 1001 I kN.m = 100L .,. i kN.cm = 100 kgf.crn = 0.1 t

...-

*....

I MPa

=

O

I MPa = I MNIrn2= I0 kgflcm' I kN/m = 100 kgflm = 0,Itflm

' b"'m2=

100 kgflm2=0.1 lilm'

ma = 100 kgflmX= 0.1 lflm3

e = e,+

e2

Tabela 16 Cálculo simplificado de compressão centrada Pilares de esbeltez média 40 < A s 80 coeficiente a de majoração da força normal CA-50

Valores de a ,

Valores de a,

1N =O,lkgf = IW kgf = 0,1 tf I kN 1 kN.m = 100 kgfm = 0.1 tf.m I kN.cm= IW kgfcm = 0,l ttcm 1 MPa

=

1 1 1 I

MPa = I MNlm2 = 10kgf/cm' kN/m = 100 kgflm = 0.1 tflm kN/mx= lWkgf/mP= 0,1 fim' kN/ms = 100 kgfim3= 0,1 fflma

0,l kN/cmz = 100 Nlcrns

a, = l f 3

5 h

Tabela 17 Cálculo simplifcado de compressão centrada Pilares de esbeltez média 40 < A s 80 Coeficiente a de majoração da força normal

+

SECÕES RETANGULARES

can A,, < (A,= 2A,,

ll,5<

SEÇÓES CIRCULARES

+ 2A,,)

e 5 23 h 4

Ac : b h - b i h1

0:- O(,

10<$<20

+ a,

A

n i h c hi2)

e=e,+e,

Nld = O:Nd

Valores de a,

Valores de or,

23

0,98

0,91

0,84

0,79

'Esbeltez limite para sqóes circulares 1 N =O,Ikgf IkN =lWkgf=O,llf 1 k N m = LW k 6 . m = 0.1 tf.m 1 kN.cm = 100 kgtcm = 0,l tf.e I MPa = O,I

1 MPa = I MNlm* = 10kgflcrnz 1 kNlm = 100 kgflm = 0,l tflm 1 kNlmz = I W k ã l m a = 0.1 tflmx

0,74

0,69

0,65

0,62

0,59

0,56

0,54

As-Jj$jfl

Tabela 18 Cálculo simplificado de compressão centrada Pilares de esbeltez média 40 < A S 80 Coeficiente a de majoração da força normal C A-60

SEÇÕES

RETANGULARES AS

com A s , 1

(As

,

= 2 A ,

+

~

2As2) A?.,

b h

A,=

cx

=

-

O(,

bi hi

+a2

B Valores de a,

Valores de a,

1 MPa = 0,l kN/cm2= 100 Nlcm'

C y d

= O(N,

b

e = e,

4 7

e,

-

Tabela 19 Cálculo simplificado de compressão centrada Pilares de esbeltez média 40 < A s 80 Coeficiente a de majoração da força normal

CA-60

SEÇÓES

S E Ç ~ E ! RETANGULARES SE@ES

4 11-<3+ 4

OOm a , "

(A,

= 2Aw

/"SI

+ 2Ae

Q

11,5<+<

CIRCULARES

.

)

23

'k

A c = b h - b i hi

10 < + < 2 0

Ac= 1(h2- h;) 4

Valores de a, e,/h

0,033

0-04

0,05

a1

1,13

1,16

1,20

0.06

1

1.24

1

0,07

0,08

1.28

1,32

1

0.09

0.10

1,36

1,40

Valores de a,

I

I

23

1,06

0,97

0,90

(*)Esbeltezlimite para seçóes circulares

8

I MPa i kN/m 1 kNim2

I

I

0,84

0,79

I

I

0,74

0,70

I

0,67

I

I

0,63

0,60

0,58

Tabela 20 Dimensionamento - Compressão simples Y, = 1,4 y,= I , I S f,x (MPa)

Dimensionar com a força normal majorada N,, = a N d = resistência de cálculo do aço, respeitada a condição

'f.8

s2%~

Tabela 21 Dimensionamento - Compressão simples y, = 1,4

CA-25

Valores de

N = 0,l kgf = 1W kgi = 0,l tf kN kN.m = IW kd.m = 0,l Ur.m kN.cm = IW kgfcm = 0.1 d.cm

I MP; 1 kNi 1 kNI I kNl

utd =

0.85 f,#

y, = 1,15

+ ps (fad 0,85 fcd) -

em (MPa)

Tabela 22 Dimensionamento - Compressão simples CA-SOA

y, = 1,4

Valores de

1N =0,1kgf IkN =IWkgf=O,ltf 1 kN.m = 1W k g t m = 0.1 1f.m 1 kN.cm = 1W kgf.cm = O,L tf.cm 1 MPa

=

c,,= 0,85 fcd

1 MPa = I MN/m2 = I0 k8flcmz 1 kNIm = 100 kgfim = 0,l Iílm I kN/ml = 100 k8f/rnz = 0.1 tflm2 I kN/m3 = 1W kgf/mS = 0.1 tflm'

0.1 kNlcmS = 100 Nlcmz

y. = 1,15

+ p, (f,, - 0,85 fcd)

em (MPa)

Tabela 23 Dimensionamento - Compressão simples y , = 1,4

CA-SOB

Valores de

I N = 0.1 kgf 1kN =lWkgf=O,ltf 1 kN.m = 100 kgfm = 0.1 tf.m 1 kN.cm = I M ligtcm = 0.1 ã.cm

= 0 3 5 f,,

L MPa = 1 MNlmz = 10 kgficmz 1 kNlm = I W kgfim = 0,I tfim 1 k N i m x = 1Wkgf/m2 = 0.1 tfim' I kNimZ = I W kgfim3 = 0,l tfim3

y, = 1,15

+ p, (f,

- 0 3 5 f,,)

em (MPa)


413

I

Tabela 24 Cálculo de momentos fletores de 2.a ordem Pilares de esbeltez média 40 < h s 80

e:

M Z d = N d e 2= N d - . I0

I

I

I

I

I

I

*Esbeltez limite para seiões circulares

1N =0,1kgf 1kN =IWkgf=O,llf 1 kN.m = 1W kgf.m = 0.1 1f.m I k N c m = 1W k g t c m = 0,1 t t c m

1 MPa = I MN/m2 = 10 kgflcm' I kNlm = 1W kgflm = 0.1 tflm 1 kN1m2 = I W kgf/ma = 0,l tf/rnZ 1 kN/m3 = IWkgf/m3 = 0 , 1 a m a

I

I

0,0035 (V,

I

+ fud/E,

+ 0,5) h

I

I

I

I

I

I

414


Tabela 25 Cálculo de momentos iietores de 2.a ordem Pilares d e esbeltez média 40 < A < 80

*Esbeltez limite para seções circulares

1 Ii = 0.1 kgf IkN =IWkgi=O,ltf 1 kN.m = 1W kgf.m = 0.1 d m I kN.cm = 1W kgfem = 0.1 ttcm I MPa = O,

I MPa = 1 MNlmP= 10kgf/cm2 1 kN/m = 1 M kgilm = 0,1 tflm 1 kN/m2= 1W kgfima= 0.1 tf/m2 1 kNimS= 1W kgfim3 = 0.1 tflma


Tabela 26 Cálculo de momentos fletores de 2.a ordem Pilares de esbeltez média 40 < A S 80

Valores de

I

I

I

I

h --

I

I

& ($)

I

I

v,,

+ 0,00248 + 0.5

I

I

0,0035

I

I

I

23 0,316 0,288 0,264 0,243 0,226 0,211 0,198 0,186 0,176 0,166 0,158 0,151 0,144 *Esbeltez limite para seções circulares

1N =0,1kgí IkN =IWkgf=O,ltf 1 kN.m = IW kgí.m = 0 , l tf.m 1 kN.cm = IW kgf.cm = 0,I @.cm

1 MPa

=

I MPa = 1 MNlmZ = 10 kgf/cm2 1 k N i m = I W kgflm = O,I tflm 1 kNlm* = 1W k d m ' = 0.1 lflm' 1 kN/m3 = 100 kgíimJ = 0,l lflm8

0.1 kNicmz = 100 Nicm'

VIGA

INTERNA

VIGA

ISOLADA

Apêndice 2 Diagramas Momento fletor Força normal - Curvatura

-

I

d'

fluência

I$ = O

I

ACO CA-25

DIAGRAMA ( p - 4

- d/r

fluência

DIAGRAMA

I$ = O

- - d/r

í H J

l

APÊNDICE 2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - C U R V A W

$ =

A, = bh

Acfcd

r.

Ac fcd

.

AÇO CA-25

.&h

fluência

Md Achfcd

4=O

= nn5

DIAGRAMA

( p-3-d/r

)

=

4+

419

420


Ac:

9=

bh

1=

- Acfyd

3

= AChfcd

Acfcd

fluência

AÇO CA-25

Nd Acfcd

2 h

$=o

dI/h=~05

.

I

3

4

5

6

7

9

id d i r

APRNDICE 2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATURA

A, = bh

.Acfvd Ac fcd fluência

9=

Nd Acfcd

r=

Md Achfcd

4I

=O

r

3+

422


w

:* A C fcd

AÇO CA-25

I

Md , $2 .IE

fluência

(I = O

dl/h= 405

piq

DIAGRAMA i M

- 3 - d/r

AChfCd

1

h

I

1

d'

AÇO C A - 25

I

fluência

$=O

AÇO C A - 2 5

DIAGRAMAS ( H - 3 - d / r )

I

fluência

$I = O

AÇO C A - 2 5

I

i

DIAGRAMAS (

p - 2 -d/r)

Md p= = "+ Ach fcd I

d' fluência

ACO C A - 25

AÇO C A - 25

r h

03

o

I

4=O

2

DIAGRAM

fluência

AÇO CA- 25

O

J

1

! I

"

l

!

'

2

4=O

AÇO C A - 25

l

'

!

"

3

'

o

!

103d/r

I

2

3

103d/r

APÊNDICE 2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATURA

ACO CA - 25 DIAGRAMAS

,!

(r-*- d / r )

F

r,-

.1 ACO CA- 25

f iuêncio

A,=

bh

@=0 $ =-

Nd fcd

, ,-sfra. Ac f c d

A c h fcd

427

428


ACO CA- 25

ACO C A - 2 5

AÇO C A - 2 5

e

As/2 As/2

d' A, = b h

,A s fyd ,

fcd

J =-

Nd Acfcd M

=' I

4

103d/r

=

14, hdfcd fluência

O=O


AÇO C A - 2 5 DIAGRAMAS ( ! - - 3 - d / r )

E, 0.4

0.1

o

I

2

3

lo3dh

I

2

fluência

3

$r

4

=O

J

:N" Ac fcd

APÊNDICE 2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATCTRA

431

ACO C A - 2 5

'1

+1e+b,9 1 3;-

AC fcd

A*= bh

fluência

DIAGRAMAS í P - a - d

Nd

a

$=0

I

1

U2


a, = w Y 4 Ac fcd

I

fluência

DIAGRAMA (

p. Mb h 'cd 0=O

- 9 - d/f

, 3 e

APRNDICE 2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR

- FORÇA NORMAL - CURVATURA

A c fcd

1

I

d'

fluência @ = O

r 0-5

o

3

4

5

DIAGRAMA (

7

6

r- 4 - d/r

8

9

10

lo3d/r )


W;-

A f d

r;A = J h fcd

fcd fluência

@ =O

AÇO CA-50-A

DIAGRAMA (

p-

9 - d/r )

&

h

$=O

fluência

AÇO C A - 5 0 - A

DIAGRAMA ( p- +d/r

)

$ =L Acfcd

A d 2

Ac=bh

As/ 2

Asf Y d w = A C fcd

fluência

ACO

CA-50A

DIAGRAMA (

- 3-d h )

=$o

Md A c h b

h

6

= O

I

w

I ACO

CA- 50-A

Asf d A c fcd fluência

r= 4=O

Md Achfcd

= 3 P h

I

fcd

fcd

I

d'

fluência

(I =

O

,

-

DIAGRAMAS ( p 9- d/r )


r=Md

,k?Y& Acfcd

Achfcd

fluência

RAMAS

(I"-

4=O

9- d/r)

= J hL

439

d'

1

-

Asfyd A c fcd fluência

fcd

4.

O

r 43

42

o " : " ' : " ' : ' " :


DIAGRAMAS (

I

4

p- J -

5

d/r )

6

7

8

9

'01

d/r

442


'1

r

g

A

s

/

2

As/2

Ac

= bh

$=-A N c fdc d

- As fvd

Md p =

bhfcd

Acfcd fluência

ACO

=O

CA-50-A

DIAGRAMA (

p - J - d/r

)

J

A

h

APONDICE

2

- DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATURA

443

o

I

2

3

4 DIAGRAMAS (

I

5

v - 9 - d/r

6

7

8

fluência )I = O

)

6

APÊNDICE 2 -DIAGRAMAS

DIAGRAMAS (

I

AÇO C A - 5 0 - A

P!

MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATURA

p- J -

d/r )

ACO CA-50-A

d'/h= 4 1 5

AÇO CA-5C-A fluência

I) =

O

DIAGRAMAS ( fi

- 3 - d/r )

r

r 43

42

o

I

2

3

o 103d/r

A, = bh

I

J=-

2

Nd Ac f c d

3

d

A c = bh w

=

Nd cd

=U f i z Acfcd fluência

GRAMA

Md

z

A c h fcd

d> = O

(k -v - d / r

)

J- e h

448


e A,

Nd

J =-

= bh

cd

, A s fvd

= I>- e

,

h

Acfcd fluência

@=

5

6

o

ACO C A - 5 0 - B

O,]

o I

2

3

4

DIAGRAMA (&-v

7

- d/r)

8

A P ~ N D I C E2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATURA

,,nçfvd Acfcd fluência

AÇO C A - 5 0 - B

~d = A c h fcd

(0 = 0

9

e

h

450

ESTRUTU~AS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

A,

4

= bh

-

Asfvd

I=

fluência

()I-3

Nd cd

Acfcd

DIAGRAMA

=

-d/r

'

Md A c h fcd

$=O

=

e Jh

-J =

A c = bh

w

Nd cd

- A s fyd

Md

I = A, h fcd

Acfcd fluência

= 9- e

h

$=O

AÇO CA-50-B dl/h = 0,05

3

4

OIAGRAMA (+ -3

- d/r

5 )

6 i 03d/r

A,

J

= bh

=

Nd cd

,A S fvd ,

=

Acfcd fluência

Md Achfcd

=

$=O

L

r

AÇO CA-50-B

0,5

3

4

5 lo3d,

D I A G R A M A (P-T

q e h

DIAGRAMAS

I

(p -V

fluência

- d/r)

@

=O

I

-

D I A G R A M A S (JA-v d/r

A,

3 . -

= bh

fcd

A,fyd U>

d'

AÇO C A - 5 0 - B = 0,05

d'/h

rC

piiT

Nd

= A , fcd fluência

Md

= A c h fcd = 4 ;

(I = O


1

'

;

DIAGRAMAS

[p - V - d/r

Acfcd fluência

$=O

455

D I A G R A M A S (N-V

-d/r)

r+ A,/2

A c = b h

fluência

+= 0 3.-

Nd AC f c d

APÊNDICE 2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATi

DIAGRAMA

(k

F

. A,

w

= bh

4

=U

r=

Nd

=

cd

Acfcd fluência

Md Ach fcd

4 =O

= 9- e

h

D I A G R A M A ( P - V - d/r)

e As/2 As/2

A,

4

= bh

=

Nd cd

Asf= d Md w V A, h fcd Acfcd

fiz

fluência

@=O

= J - eh

Ac

=

3

bh

Nd A c f cd

",=% A C

=-

fcd

fluência

DIAGRAMAS

P= Md A C fcd ~

=O

= 9

8

h

460


ACO C A - 5 0 9

I

ACO CA-SOB

d l i

DIAGRAMAS

I

(P - V

fluência

LIA

- d/r )

@=O

AÇO CA-5OB d?h=0.15

I

ACO C A - 5 0 - B

ACO CA-50-A

d'h = 0.15

d/h = 0.15

1

DIAGRAMAS

O

fluência

ACO C A - 5 0 ' B

- d/r)

(@-V

4

Referências Bibliográficas

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Índice Alfabético Os números emnogritoreferem-sea locaisonde oassuntoé abordado mais extensamente. Os númerosem itálico referem-se a localizaç0es fora do tento (legendas. quadros. disticor, notas erc.):

A Ábacos de flenáo normal composta de Montoya. 115 - e m roseta, 108 Açofs) - CA-509, 134 - classe A, II classe B, II - diagrama de cálculo dos. 10 Asóes -atuantes, 222 - resistentes, 222 Analogiade Mohr. 169 Armaduras(s). 90 - alongamentos últimos das.3, 5 de compressáo, 25, 35, d e tração, 10, 25. 34 - - centro de gravidade da, 46 -dupla, 24, 27 - - s e ~ ã ocom, 34, 35 -longitudinais, 268 - minimas, 264 -simples, 22, 26 - - cálculo da, 32 - -deformações, 34 - taxa mecânica de, 22 -transversais, 269 - unilateral. 70 --exemplos, 72

B Barras longitudinais, espaçamento

-

-

dai, 269

c Cálculo - d e deforma$ões, 85 - de flechas com não-lineatidadefisica, 168 - d e resistência, 85 Cargafs) -acidental, 273 - crítica, ou carga de nambagem 154 - - cálculo da, 207 - - - pelo método do - - -pelo método ge - - - p o r processos simolificados 215

problemas especiais de determinação da, 328 - d e flambagem de Euler. 331 - de longa duração. 172, 175, 328 - d e projeto, 272 parcialmente de longa duração. 329 permanente, 272 Carregamento. história de, 334 Coeficiente de correçáo, 342,343 Compatibilidade. equações adimensionair de, 51 Compressáo - armadura de, 25, 35 - centrada, I 1 1 - - cálculo simplificado de, 402-8 - simples, 409.12 - tensáo ideal de, 227 - uniforme, 69. 75,401 e x e m p l o s . 77 Concreto - encunamentos últimos do, 5 - rigidez a ser considerada. 351 - ruptura do, 2.3 - verificação do - - e m funçáo da armadura existente. 32 - - em funçáo do momento atuante, 31 -vigas de seção T das estruturas de, 82 Contraventamento. 236 -das estruturas. 235 - em edifícios altos, 360 estruturas de, 221 --estabilidade giobal das. 353 - - quase-indeslocável, 355 --rigidez mínima das, 355 - influCnciada rigidezdas vigas de, 355 - paredes de, 360, 362 - - isoladas de, 357, 363 - pilares de, 360, 362 - solicitações devidas ao efeito de, 359 Convexidade, propriedade de, 108 Curvaturas, 202,203 -álcula das, 204

65

-

'

-

;formaçáo(ões) álculo de, 85 condições de compatibilidade de,

- do eixo de barra, 200

domínios de (v. Daminios de defoimaçáo) - módulo de. li na flexáo composta oblíqua, 2W - na fleno-compressáo, 167 Derlocabilidade dasestruturas,233 Deslocamentos, decomposição dos, 339, 340 Diagrama(s). 417-62 - carga-deslocamento. 178 - d e cálculo dos agos, 10 - de dimensionamento, 377416 - d e interaçâo (v. Interaçáo, diagramas de) - de tensões parábola-retângulo, 5 - linearizado, 216 - momento-curvatura, 169 - momento fletor-força normalcuivatura, 173 - para o cálculo dos deslocamentos da barra, 351 - retangulardetensóes, 6,63,79,89 tensáo-deformaçáo. 176 - - dos aços Classe B, 394 Dimensionamento -aproximado, 124 - diagrama de, 377416 exemplos de, 36 -expedito, 262 - tabelas de, 3774!6 Domínios. 4 - de deformação, 4, 6,7

E Edificios - cobrimenros mínimos, 268 - dimensões externas mínimas. 267 - disposiçóes construtivas, 266 - pilares (v. Pilares) Equações adimensionais - d e compatibilidade. 51 - de equilíbrio, 67 Equilibtio condiçues de, 17 - de forças, expressão de, I'" - d e momentos, 140 - equaçóesadimensionaisde - estabiiidade das formas di 161 -método do, 189 - proces~o$i mplificado dc

216.217 Esbeltk de um pónicodr 366 Esforços -atuantes. 12, decomposiçi i 1 de. i25 Estabilidade - da configuração flefida
'~

.," .,.

F Flambagem, 154 -carga de, 154 - comprimet - cunia de, Flexão - Composta, c o m grar.". .nu- c á l c u l o prático, 55 - - d e barras esbeltas no regime elástico, 161 --instabilidade na. 168 - - obliqua, 123 - - - deformaç6es na, 200 lidade na, 200

-

-

-

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORIV

- - - p r o c e s s o s simplificados d e cálculo de, 245 - resolução dos ~roblemasde, 53 - diagonal da seçáo quadrada - - erande excentricidade. 129.130 - -pequena excentricidade, 136 - normal composta, 111 -oblíqua, 101.52

-

,

- - -métodos geras de, 101 ,or tentativas, 110 imposta. 111 dução aduas flexóes normair, ",Q .,"

ples, 2.45, 82, 223 1 ~ u l oprático, 22 solução dos problemas de. 53 Fcompressáo, 45 i pequena excentricidade, 64 il~uloprático, 69 solução geral dos problemas de. 68 - curvatura na, 170 - def orrnaçóes na, - esti%doslimites úI - insl'abilidade na, nsformacáo em comoressáo centrãda, 2, Flexo-tracáo. 45 Fárrnula - da Norma Russa A" Norma .Venezuriaiia, ..

2 , "

- -justificativa do, 332 da transformação afim das seçóes, 117 - de funçáo equivalente de fluència, 330 - do equilíbrio, 189 Mohr. analoeia de. 169 Momento(s)' - de inércia, 416 -externos, 159 - - d e 1.'ede2.aordem, superposiçio dos, 256 - - d e Z a ordem, 265 - - - cálculo de, 413-15 -internos, 159

N NÓ(s)

- arranjo estrutural do, 229 - deslocáveis, 233 - indeslocáveir, 235

.

-.

Incêndios, classiti,:ação das, 26f Instabilidade -estado limite últi~ mo de, 153-99 -fundamentos, 15'I - na compressáo a xial, 154 - na nexão compor --oblíqua. 200 - na nexo-compres Interaçáo diagramade,54, 1 - - lineairaçáo dor,, -, , , - para pilares esbeltos, 185-7 - laje~parede,265 - supenicies de. 104 -caso panicular iia. 145

-

.. .

-

Pãreoe(s), /'i de contraventamento. 360. i estruturais, conceitos b i s 263 excentricidade do carreraniento das, 2M isoladas de c tnto, 357, 363 usuais dos edi eças

comprimidas, ''3 subarmadas, 9 superairnadas, 10 ilar(es), 221 carregamento dos, 278 cintados, 230,231, 292 com armadura igual nas 4 faces, 249 compressáo simples de, 225 - com seção transversal variável ou força nomal variável, 347,348 contraventados, 235 CU~OS.241 -calculados por processos rigorosos, 253 - dimensionamento rigoroso, 313 dimensionamento simplificado, ,>r,

- - sob carga centrada, 259 - d e canto, 223,240, 313 - - solicitações iniciais dos, 240 - d e contraventamento. 360. 362 - d e edificios, 233, 236,237 - - açáo d o vento. 233 - - armnios estruturais dos. 238 A,'

Manutenção da seçáo plana, 4 Matérias plásticas, 155 Método(s) da excentricidade equivalente

-

- d e extremidade, 236, 297

- - solicitações iniciais dos, 239 - de seçáo celular, 2M - deslocáveis com vigas de grande rigidez, 229

- dimensionamento, 236 - efeito da superposiçáo de. 239 - e~beltos.272 - - calculados por processos rigororos, 253 --calculados por processos simpli~ados,2% - - considerasão da fluência. 290 - - d e seção constante, 346 --estudo dos. 313 - estudo geral dos. 346 - - sem consideração da flu&ncia, 283 - - solução alternativa por meio de diagramas, 288 - - SOIUF~O alternativa por meio de diagramas d e interaçáo, 286 - influência da deformabilidade da fundaçáo, 371,373 - intermediirios, 236 - - solicitaçóer iniciais dos, 238 -internos, 279 - medianamente esbelto, 304, 311, 321 - - sob carga centrada, 261 - m u i t o esbeltos d e seção constante, 347 - não-cintados, 225,226 --índice d e esbeltez, 228 -padrão, 181, 210,211 - - deformaçóes admitidas, 211 -melhorado, 335, 338 - - - aplicação do, 345 Z - - - fundamentos, 337 - - modos de emprego do, 335 -usuais dos edificios, 222 - verificação da segurança dos, 252 Pórticos hipereatáticos, 36s cálculo rigoroso de, 369 - cálculo simplificado, 370 hocesso - aproximado d e pré-di mensionamenra e df dimensionamento en pedito, 2'62 - d a Norma Russa, 116 - das excentiricidadesprogl 179 - do carregakiiciiiu piugisa - - etapas do, 180 - proporcional, 178, 208 - d o deslocamento de ref isn .," - do pilar padráo, 182, 192 - c o r r i g i d o , 184 --melhorado, 338, 346 -simplificado do equihbrio, 195, 216,217

-

-

Regime

- anelástico, 161 - elástico, 154 - - flexãaçompostade barrasesbeltas no, 161 Resistência

S Seçãa(6es) -afins. 117 com armadura dupla. 34, 35 -método d e transformacão afim das. 117 - quadrada, flexãodiagonalda. 129. 130. 136 - retangulares, 17-81 --propriedades básicas, 46. 66 - - transformações afim das, 117 -submetida a momentos de sentidos contrários, 42 - T , 82-1W --cálculo prático das. 89 - - notação usual, 82 - - p r o c e s s o de dimensionamento das, 86 -transversal, formas de. 146 Segurança, verificação da, 55 Solicitação(6es) - casos de, 6 -normais, 2 Solidariedade dos materiais, 5

Tabelas

- adimensionais, 24 - de dimensionamento, 377416 - dimensionais, organização dar, 31 -tipo K, 28 - - emprego de, 60, 95 - universiils, 24 emprego de, 89 Tirantes, 222 Tração -armadura de, 25, 34 - com pequena excentricidade. 17 -simples, 17, 222 a a ç á e s afim, 121

--

v Valores - d e cálculo, 29 - d e dimensionamento, 29 VanÁveis - adimensionais, 22, 24 - dimensionais, 28 Verificação da segurança das peças estruturais, 222 Viga($), 223 - cálculo das, 275 - d e seção retangular, 82 - invenidas, 230

z

- ao fogo, 266 - cálculo de, 85 Ruína, 3

Zona utilizável, 98

~ ~ o o " ~ , ~ A ~ o M ' , , M c ~ r ~ ~ " ~ c , ~ o ~ . ~ , ~ ~ ~ , , ~ ~

IMPRESSA0 E ACABAMENTO: @ AGGS INDOSTRIAS GRAFICAS SA. R. LUIS CAMARA, 535 - TEL.: 270-6722 - RIO DE JANEIRO

reto. 2, 3 iltimo de. 2. 3 le. 2

- RJ.

Fusco - Estruturas de Concreto

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