G18508.1

UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA

La Universidad Católica de Loja MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN COMPUTACIÓN

Métodos Cuantitativos Guía didáctica

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1. Datos informativos

AUTORA: Gloria Cecilia Piedra Pullaguri

Reciba asesoría virtual en:

CICLO UTPL-ECTS Informática

www.utpl.edu.ec

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MÉTODOS CUANTITATIVOS Guía didáctica Gloria Cecilia Piedra Pullaguari

UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA CC Ecuador 3.0 By NC ND Diagramación, diseño e impresión: EDILOJA Cía. Ltda. Telefax: Tele fax: 593-7-2611418 San Cayetano Alto s/n www.ediloja.com.ec [email protected] Loja-Ecuador Segunda edición ISBN-978-9942-08-372-2

Esta versión impresa, ha sido acreditada bajo las licencias Creative Commons Commons Ecuador 3.0 de reconocimiento -no comercial- sin obras derivadas; la cual permite copiar, distribuir y comunicar públicamente la obra, mientras se reconozca la autoría original, no se utilice con fnes comerciales, ni se realicen obras derivadas. http://www. creativecommons.org/li creativecomm ons.org/licences/by-nc-n cences/by-nc-nd/3.0/ec/ d/3.0/ec/ Octubre, 2012

3. Introducción ..........................................................................................................................................

5

4. Bibliograía .............................................................................................................................................

6

4.1. Básica ......................................................................... ........................................................................ 4.2. Complementaria........................................................................ ...........................................................

6 6

5. Orientaciones generales para el estudio ..................................................................................

8

6. Proceso de enseñanza-aprend enseñanza-aprendizaje izaje para para el logro de de competencias competencias ..............................

11

PRIMER BIMESTRE

6.1. Competencias genéricas .................................................................................................................. 6.2. Planifcación para el trabajo del alumno ....................................................................................... 6.3. Sistema de evaluación primer bimestre .......................................................................................... 6.4. Orientaciones específcas para el aprendizaje por competencias..................................................

14

Unidad 1: TEORIA GENERAL DE LOS MÉTODOS CUANTITATIVOS ........................................... ........................................................................ .............................

14

11 11 13

1.1. HISTORIA................... ..................................... ..................................... ...................................... ..................................... ..................................... .............................. ........... 14 1.2. DEFINICIÓN .................. .................................... ..................................... ...................................... ..................................... ..................................... ........................... ........ 14 1.3. SOLUCIÓN SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y TOMA DE DECISIONES DECISIONES ................... ..................................... ..................................... ........................... ........ 15 1.4. CONSTRUCCIÓN DE MODELOS ................. .................................... ...................................... ..................................... ..................................... ....................... 15 1.5. LOS MODELOS MATEMÁTICOS .................. .................................... ..................................... ...................................... ..................................... ...................... 17 1.6. MODELOS DE COSTOS, INGRESOS Y UTILIDADES.................. .................................... ..................................... ................................. .............. 19 Autoevaluación 1 .................. ..................................... ..................................... ..................................... ..................................... ..................................... ........................... ........ 22 Unidad 2: ANÁLISIS ANÁL ISIS DE DECISIÓN DECIS IÓN .............................................. ............................................................................ ............................................................. ....................................... ........

23

2.1. INTRODUCCIÓN ..................................... ....................................................... ..................................... ...................................... ..................................... ...................... 23 2.2.FORMULACIÓN DEL PROBLEMA .................. .................................... ..................................... ...................................... ..................................... ...................... 23 2.3. PROCESO DE TOMA DE DECISIONES ................... ...................................... ..................................... ..................................... .............................. ........... 25 2.4. ANÁLISIS CUANTITA CUANTITATIVO TIVO EN LA TOMA DE DECISIONES ................ ................................... ...................................... ........................... ........ 26 Autoevaluación 2 .................. ..................................... ..................................... ..................................... ..................................... ..................................... ........................... ........ 33 Unidad 3: INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL (PL) ( PL) .............................. ............................................................ ............................................ ..............

3.1. INTRODUCCIÓN ................... ...................................... ..................................... ..................................... ...................................... ..................................... ...................... 3.2. CONSTRUCCIÓN CONSTRUCCIÓN DEL MODELO................... ..................................... ..................................... ...................................... ..................................... ...................... 3.3. PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN ................. ................................... ..................................... ...................................... ..................................... ...................... 3.4 PROBLEMAS DE MINIMIZACIÓN ................. ................................... ..................................... ...................................... ..................................... ...................... Autoevaluación 3 .................. ..................................... ..................................... ..................................... ..................................... ..................................... ........................... ........

34

34 35 35 37 40

Unidad 4: APLICACIÓN DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL ........................................................... .................................................................................... .........................

4. APLICACIONES ................. .................................... ..................................... ..................................... ...................................... ..................................... ........................... ......... 4.1. EN LA MERCADOTECNIA ................. ................................... ..................................... ...................................... ..................................... .............................. ............ 4.2. APLICACIÓN FINACIERA .................. .................................... ..................................... ...................................... ..................................... .............................. ............ 4.3. PROBLEMAS DE MEZCLA ................... ..................................... ..................................... ...................................... ..................................... ........................... ......... 4.4. ADMINISTRACION DE PRODUCCION .............................................. ................................................................. ..................................... ..................... ... Autoevaluación 4 ................. .................................... ..................................... ..................................... ...................................... ..................................... ........................... .........

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41 41 43 45 49 52

SEGUNDO BIMESTRE

6.5. Competenci Competenciaa Genéricas: Genéricas : ............... ............................... ................................ ................................. ................................. ................................. ..................... .... 6.6. Planifcación para el trabajo del alumno .............................................................................. 6.7. Orientaciones específcas para el aprendizaje por competencias......... ................... ................... ................... ................ ......

55 55 57

Unidad 5: ANÁLISIS DE DUALIDAD Y DE SENSIBILIDAD ............................ ........................................................... ........................................................ .........................

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5.1 INTRODUCCION. .................. ..................................... ...................................... ..................................... ..................................... ...................................... ....................... 5.2 ANÁLISIS DE DUALIDAD................... .................................... ..................................... ...................................... ..................................... .............................. ............ 5.3. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD PARA PROBLEMAS DE MAXIMIZACIÓN............ MAXIMIZACIÓN............................... .................................. ............... 5.4. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD SENSIBILIDAD PARA PARA PROBLEMAS PROBLEMAS DE MINIMIZACIÓN .................. ..................................... ............................ ......... 5.5. PROBLEMAS DE APLICACIÓN ......................... ............................................ ..................................... ..................................... .................................. ............... Autoevaluación 5 ................. .................................... ..................................... ..................................... ...................................... ..................................... ........................... ......... Unidad 6: MODELO DE TRANSPORTE Y SUS VARIANTES ............................ ........................................................... ........................................................ .........................

57 57 59 63 65 71 72

6.1. DEFINICION DE MODELO DE TRANSPORTE........... TRANSPORTE.............................. ..................................... ..................................... ............................... ............ 72 6.2. EL ALGORITMO DE TRANSPORTE TRANSPORTE .................. ..................................... ..................................... ..................................... ..................................... .................. 76 6.3. EL MODELO DE ASIGNACIÓN ...................... ......................................... ..................................... ..................................... ..................................... .................. 82 6.4. EL METODO DE ASIGNACION DE VOGEL ................. .................................... ...................................... ..................................... ........................... ......... 83 6.5. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ................. .................................... ..................................... ..................................... ..................................... ..................... ... 85 Autoevaluación 6 ................. .................................... ..................................... ..................................... ...................................... ..................................... ........................... ......... 87 Unidad 7: ADMINISTRACIÓN DE PROYECTO PERT - CPM .......................................................... ................................................................................... .........................

7.1. IMPORTANCIA IMPORTANCIA.................. ..................................... ..................................... ..................................... ...................................... ..................................... ........................ ...... 7.2. REPRESENTACIÓN DE LA RED ................................................. .................................................................... ..................................... ........................... ......... 7.3. CÁLCULO DE LA RUTA CRÍTICA ................................................... ...................................................................... ..................................... ........................ ...... 7.4. PROBLEMAS DE APLICACIÓN ......................... ............................................ ..................................... ..................................... .................................. ............... Autoevaluación 7 ................. .................................... ..................................... ..................................... ...................................... ..................................... ........................... .........

7. Solucionario ..........................................................................................................................................

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88 88 88 91 94

95

PRELIMINARES

Guía didáctica: Métodos Cuantitativos

En esta sección se presenta la asignatura de Métodos Cuantitativos, se imparte en el quito ciclo de la carrera de Inormática, esta materia es de tipo genérico y tiene un valor de cuatro créditos al estudiante. La importancia de Métodos Cuantitativos tiene como nalidad brindar al estudiante una serie de herramientas que acilitan el proceso de toma de decisiones en las organizaciones y que son aplicables en el área de la administración de negocios, por lo que se pretende mostrar algunas de sus más importantes aplicaciones en diversos ámbitos del entorno empresarial. Su propósito es traducir problemas y hechos reales en un conjunto de símbolos y signos matemáticos como son los modelos matemáticos, luego a través de métodos y procesos cientícos busca una solución, el resultado que se obtiene le ayudará al administrador, alta gerencia, directores y jees, a tomar la mejor decisión. Al igual que otras ciencias vamos de lo particular a lo general, para denir y proponer soluciones basada en modelos matemáticos, por eso partimos en el primer bimestre, unidad 1 revisando una breve historia de la creación y origen de los métodos cuantitativos, los modelos, denición y tipos, para relacionarnos con hechos reales. La capacidad del hombre le permite realizar análisis, es así que en la unidad 2 nos reerimos al análisis de decisión, análisis cuantitativos y toma de decisiones. En la unidad 3 se abordará la programación lineal en varios campos. Para el segundo bimestre se estudiará en la unidad 5 el análisis de dualidad y sensibilidad sobre los problemas de maximización y minimización. En la unidad 6 nos dedicaremos a revisar otros tipos de modelos tales como: el de transporte y sus variantes, asignación y transbordo. Para concluir revisaremos en la unidad 7 lo reerente a administración de proyectos PERT- CPM organizando tareas y determinando su ruta critica. Estimado estudiante, insisto en el compromiso de colaborar abiertamente con las actividades de estudio e investigación propuestas en la presente guía didáctica, acuda a todas las estrategias de comunicación sugeridas, con el objeto de garantizar el entendimiento de los temas aquí tratados. Una vez que usted haya culminado este ciclo, le aseguro lo va hacer con éxito, va a estar en capacidad de analizar los procesos de orma completa, la identicación de una herramienta de ayuda para desarrollar la capacidad de razonamiento, el análisis, la compresión, resolución de problemas y en ser una herramienta a la toma de decisiones.


La Universidad Católica de Loja

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PRELIMINARES

4.1. Básica Anderson, D.; Sweeney, D. y Williams, T. (2011). Métodos Cuantitativos para los negocios. México :Editorial Thomson. Los contenidos se desarrollan y describen muchos métodos cuantitativos que han sido desarrollados a lo largo de los años, en este texto se explica cómo uncionan y muestra la orma en quién toma las decisiones puede aplicarlos e interpretarlos. Otra característica es que la pedagogía utilizada para escribir el libro, es pensada en las personas que no tienen especialización en matemáticas, lo cual avorece enormemente a los estudiantes de la carrera inormática. El texto también hace una integración con el sotware, la mayoría de contenidos y ejercicios tienen una aplicabilidad computacional, el texto lo especica de acuerdo a la resolución de los problemas. Piedra, G. (2012). Guía de Métodos Cuantitativos. Loja – Ecuador:Editorial UTPL. Como proesora de Métodos Cuantitativos, he desarrollado esta guía con el propósito de llegar a cada uno de ustedes, con orientaciones para que puedan obtener las competencias denidas y planteadas. El trabajo autónomo que debe realizar el alumno es importante, por tanto esta guía será su apoyo a lo largo del presente ciclo académico.

4.2. Complementaria Taha, H. (1998). Investigación de Operaciones una Introducción. México: Editorial Prentice Hall. De este libro los capítulos que hemos destacados son: La solución de problemas y toma de decisiones, los modelos que se presentan en el libro, los numerosos problemas de aplicación y los casos detallados que se presentan al nal del capítulo permiten tener una perspectiva del análisis de casos en la práctica. Debido a la importancia de los cálculos en la investigación de operaciones, el libro contiene muchas herramientas para llevar a cabo esta tarea. El aprendizaje de técnicas, y modelos a partir de los cuales se pueden representar problemas de la vida real, a ser aplicados en las dierentes ciencias y disciplinas, acilitando la toma de decisiones, por quienes administran o representan las instituciones; a la vez se busca encontrar los mejores resultados a los problemas, sin inter erir en las limitaciones de recursos. Los contenidos se explican a través del desarrollo de ejemplos sencillos y para cada tema plantea una “Serie de problemas “, cuyo desarrollo permitirá al estudiante adquirir destrezas en la ormulación de modelos para resolver problemas y en la interpretación económica de los resultados. El texto incluye un sotware que puede ser utilizado para la resolución de problemas. Pero como se insistirá mas adelante, el sotware sólo ayuda a los cálculos matemáticos, más no ormula el modelo matemático. Hillier, F.;Hillier, M. y Lieberman, G. (2001). Introducción a la Investigación de Operaciones. México: Editorial Mc Graaw Hill. En este texto encontrarán breves explicaciones, comentarios de cada uno de los temas: Teoría del

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PRELIMINARES


método simplex, teoría de dualidad y análisis de sensibilidad y otros algoritmos para programación lineal nalmente los Problemas de transporte y asignación. Este texto tiene tres enoques claves: “Un enoque de modelos”; “Un enoque de casos”. Hojas de cálculo.El sotware moderno, incluye el Microsot Excel utilizando en el texto, se puede usar para practicar la ciencia de la administrativa real. Sin embargo hay que tomar en cuenta que las hojas de cálculo o cualquier sotware ayudan a resolver modelos, son un medio y no un n. Un enoque de modelos.- “La ormulación de modelos nace de la metodología de la ciencia administrativa. Por tanto, enatizamos considerablemente el arte de la ormulación de modelos, la unción de un modelo y el análisis de los resultados que éstos generan. Utilizamos principalmente (más no de manera exclusiva) un ormato de hoja de cálculo en lugar de álgebra para ormular y presentar un modelo. Un enoque de casos.- Además de los ejemplos, en casi todos los capítulos se incluyen casos que transmite todo el proceso de aplicación de la ciencia administrativa.

Direcciones Electrónicas -

Tutorias en Linea – Videoconerencia – UTPL, [ En línea]. Disponible en: http://www.youtube.com/ prole?user =videoconerencia#p/search/0/Kgsp2Mv1niE [Consulta 2012-05-15] Se ha tomado como herramienta principal el uso de los videos grabados y que se encuentra en el canal que la UTPL tiene en youtube. Estos videos contienen la explicación sobre los temas a estudiarse durante el presente ciclo académico.



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PRELIMINARES

La asignación tiene un compromiso mayormente práctico y aplicativo, la idea es partir de hechos reales que puedan ser aplicados en nuestro entorno, además que nos provea de una herramienta de apoyo a la toma de decisiones. Para el estudio de esta asignatura, usted dispone de un texto básico y la guía didáctica como material ísico, a través de internet dispone del EVA entorno virtual de aprendizaje. A continuación le desarrollo algunas sugerencias que debe tomar en cuenta para mejorar y optimizar el proceso de aprendizaje.

El Tiempo, organizar de manera que pueda avanzar secuencialmente en cada una de las unidades

-

y temas propuestos en la guía y que le permitan desarrollar el trabajo a distancia de una orma paralela. La denición de un horario es primordial, dedique al menos una hora diaria al autoestudio.

El lugar, para el estudio de la asignatura debe ser tranquila, bien iluminada y cómodo, además

-

debe tener a mano todo el material necesario para evitar distracciones.

La lectura, como parte de la mitología de autoestudio debe ser de orma compresiva y analítica

-

de tal manera que pueda asimilar lo esencial de las unidades, a la par, trabajará la guía con el texto básico. -

Ejercicios, de reuerzos a parte de los que desarrolla en la explicación de cada tema.

-

Actividades, propuestas que debe realizar para cumplir con lo planicado en la guía. Además debe desarrollar la evaluación a distancia que es un requisito indispensable para presentarse a la prueba presencial.

Entorno Virtual de Aprendizaje (EVA), en donde podrá interactuar con su proesor, tutore

-

y compañeros, comentar en los oros sobre temas propuestos y sobre los aportes de sus compañeros, visitar el EVA continuamente para inormarse de los anuncios y novedades que publique el proesor.

Videoconerencias, en la que se explicarán los temas de la asignatura, todos los videos quedan

-

almacenados en el canal de la UTPL que tiene en youtube.

Autoevaluación, que debe desarrollar para medir sus avances en los temas y el nivel de

-

conocimiento adquirido, es una buena oportunidad para evaluarse, queda invitado a hacerlo. La evaluaciones y autoevaluaciones nos permiten medir el nivel de aprendizaje, por eso se ha introducido autoevaluación al nal de cada unidad y el trabajo a distancia que debe desarrollar de acuerdo al avance de la asignatura. Así que, le animo a iniciar la revisión de los contendidos, interactuar en el entorno virtual de aprendizaje, a participar de los oros, a comunicarse son su proesor y compañeros, desarrollar los ejercicios propuestos y entregar los trabajos a distancia.

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PRELIMINARES


Por último le recomiendo revisar la Planicación para el trabajo del alumno, este cuadro le da una visión global de la asignatura, pues allí se encuentran las competencias genéricas, competencias especícas e indicadores de logros por cada uno de los bimestres. Espero que estas sugerencias y recomendaciones contribuyan al aprendizaje exitoso de esta y todas las asignaturas que este cursando.



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PRIMER BIMESTRE

PRIMER BIMESTRE

6.1. Competencias genéricas 

Capacidad para organizar y planicar el tiempo.



Capacidad de abstracción, análisis y síntesis.



Habilidades para buscar, procesar y analizar inormación procedente de uentes diversas.



Capacidad para identicar, planear y resolver problemas.



Capacidad creativa e innovadora.



Capacidad para tomar decisiones.



Habilidades interpersonales.



Compromiso con la calidad



Capacidad para ormular, diseñar y gestionar proyectos.



Compromiso ético.

6.2. Planificación para el trabajo del alumno COMPETENCIAS ESPECÍFICAS Analizar problemas de programación y plantear soluciones mediante métodos computacionales. Implementar aplicaciones a partir de especicaciones y modelos de sotware utilizando estándares de documentación y programación. Administrar centros de comunicación y datos (servidores y aplicaciones). Denir, planicar y controlar proyectos de TI. Elaborar presupuestos y estimaciones de alcance, costo y tiempo en proyectos de TL.

INDICADORES DE APRENDIZAJE •

•

CONTENIDOS Unidades/Temas

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

Identica hechos importantes en el desarrollo de métodos cuantitativos.

UNIDAD 1: TEORÍA DE GENERAL DE LOS METODOS CUANTITATIVOS.

•

Analiza críticamente los aportes de los compañeros de materia en el oro y emite su comentario en el mismo.

1.1.

Historia

1.2.

Denición

1.3.

Solución de problemas y toma de decisiones.

1.4.

Construcción de Modelo.

1.5.

Los modelos matemáticos

1.6.

Modelo de Costos, Ingresos y utilidades

Lea comprensivamente el capítulo 1 del texto básico y las orientaciones que se presentan en la guía didáctica para los temas de esta unidad.

•

Elabore un resumen con los aspectos undamentales de la Unidad 1.

•

Realice un cuadro sinóptico sobre los modelos.

•

Resuelva la autoevaluación 1.

•

Revise los anuncios del EVA.

•

Inicie el desarrollo de la evaluación a distancia del primer bimestre.


CRONOGRAMA ORIENTATIVO Tiempo estimado Semana 1: 4 horas de autoestudio y 4 horas de interacción.


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•

Descubre y explica al menos una solución al problema planteado.

PRIMER BIMESTRE

UNIDAD 2: ANÁLISIS DE DECISIÓN

Semana 2 y 3: •

2.1. Introducción. •

Propone estrategias de desarrollo para los problemas planteados.

2.2. Formulación del Problema 2.3. Proceso de toma de decisiones.

•

Analice el caso “MC en acción” que se presenta en el texto básico, capitulo 4.

•

Analice el documento sobre el enoque constructivista que consta en el EVA.

•

Analice los ejemplos del texto básico y de la guía didáctica y proponer otros ejemplos.

•

Responda argumentadamente los cuestionarios planteados en la guía didáctica.

•

Resuelva la autoevaluación.

•


UNIDAD 4: APLICACIÓN DE LA PROGRAMACION LINEAL.

•

Siga paso a paso el desarrollo de los ejercicios en el texto básico capitulo 9.

4.1. En la Mercadotecnia

•


•

Continúe con el desarrollo de la evaluación a distancia del primer bimestre.

2.4. Análisis Cuantitativo en la toma de decisiones

Formula repuesta válidas para ayudar en la toma de decisiones basado en los resultados encontrados con el desarrollo de los ejercicios.

UNIDAD 3: INTRODUCCIÒNA LA PROGRAMACIÓN LINEAL ((PL). 3.1. Introducción. 3.2. Construcción del Modelo. 3.3. Problema de Maximización. 3.4. Problema de Minimización.

Propone estrategias para optimizar la resolución de ejercicios y su aplicabilidad en las áreas determinadas de esta unidad.

Estudie con atención el capítulo 4 del texto básico y las orientaciones que se presentan en la guía didáctica.

8 horas de autoestudio y 8 horas de interacción.

Semana 4 y 5: 8 horas de autoestudio y 8 horas de interacción.

Semana 6: 4 horas de autoestudio y 4 horas de interacción.

4.2. Aplicación Financiera 4.3. Problemas de mezcla 4.4. Administración de producción.

UNIDADES 1 A LA 4:TODOS LOS CONTENIDOS

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Revise los contenidos de la asignatura como preparación para la evaluación presencial del primer bimestre.


Semana 7 y 8 : 8 horas de autoestudio y 8 horas de interacción.


PRIMER BIMESTRE

6.3. Sistema de evaluación primer bimestre s e d a d i v i t s c a a d y a n d n ó i e c a m u o l a c r v e e o t u A . 1

Formas de evaluación

Competencia: Criterio

s e d u t i t c A

2. Heteroevaluación

Evaluación a distancia**

a v i t e j b o e t r a P

o y a s n e e d e t r a P

Comportamiento ético

X

X

X

Cumplimiento, puntualidad, responsabilidad

X

X

X

Esuerzo e interés en los trabajos

X

X

Respeto a las personas y a las normas de comunicación

X

Creatividad e iniciativa s e d a d i l i b a H

X

Emite juicios de valor argumentadamente s o t n e i m i c o n o C

n e n ó A i c V c E l a r e e t n I

Dominio del contenido

X

X

a v i t e j b o e t r a P

: o s y a a s t x n i e m y s s a a b i v e t u j e r P b o

n ó i c a u l a v e o C 3

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

Contribución en el trabajo colaborativo y de equipo Presentación, orden y ortograía

n l a ó i i c c a n u e s l a e v r E p

X

X

Investigación (cita uentes de consulta)

X

Aporta con criterios y soluciones

X

X

X

Análisis y proundidad en el desarrollo de temas

X

X

X

e e d j a a z i g i d e t n e a r r t s p E a

PORCENTAJE

Puntaje

10%

20%

30%

2

4

6

TOTAL

o t a a n l u a n ) a p t i ó i e c c 1 l n a o p a u t l s m m a i i x o v d c á ( e M

70%

14

n e s y e s d e A a l V a E d i i v c l i e t n c e A s e r p

20 PUNTOS

Para aprobar la asignatura se requiere un puntaje mínimo de 28/40 puntos, que equivale al 70%

*Se reere a las estrategias de aprendizaje, sin embargo no tienen calicación; pero es necesario responderlas con el n de autocomprobar su proceso de aprendizaje. ** Para Recordar; que la evaluación a distancia tanto del primer y segundo bimestre consta de dos partes: una objetiva y otra de ensayo, la misma debe desarrollarla y entregarla en las echas establecidas. Señor estudiante:

Tenga presente que la fnalidad de la valoración cualitativa es principalmente ormativa.



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PRIMER BIMESTRE

6.4. Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias

Unidad 1

TEORIA GENERAL DE LOS MÉTODOS CUANTITATIVOS Para el estudio de esta asignatura comenzaremos revisando su historia, sus orígenes, objetivos y justicaciones para su creación, esta unidad es más teórica y tiene que leer bastante, esto le ayudará a ormarse una idea de la importancia que tiene como herramienta de soporte en la toma de decisiones.

1.1. HISTORIA Las primeras actividades ormales se dieron en 1937, durante la Segunda Guerra Mundial, Jees Militares británicos reunieron a un equipo de matemáticos, cientícos e ingenieros para que analizaran varios problemas militares tales como: el despliegue del radar, administración de un convoy, las operaciones de bombardeo, la colocación de minas, etc. El objetivo del equipo era determinar la orma más eectiva de utilizar recursos militares limitados. A la aplicación de las matemáticas y del método cientíco a las operaciones militares, se las llamó Investigación de Operaciones, debido a que el equipo se dedicaba a analizar operaciones militares. Después de la guerra, muchas de las personas asociadas con la investigación de operaciones militares durante el conficto bélico, se dieron cuenta de que muchos de los métodos y técnicas que se aplicaron a los problemas militares, podían aplicarse a problemas industriales. Sin embargo, estos conceptos e ideas, tuvieron que esperar el desarrollo de las computadoras, la década de 1950. Aunque Inglaterra tiene el crédito del inicio de la investigación de operaciones como disciplina, los investigadores de los Estados Unidos han hecho contribuciones importantes a su desarrollo. Una de las técnicas matemáticas de más amplia aceptación, es el método simplex de Programación Lineal desarrollado en 1947 por el estadounidense George B. Dantzing. Esta técnica en particular ha tenido amplias aplicaciones a muchos problemas operativos y es base para muchas otras técnicas matemáticas. Aunque numerosas aplicaciones de la ciencia de la administración ocurrieron en los años de 1950, no ue sino hasta principios de la década de 1960 y principios de 1970 se han superado, gracias a los progresos de la tecnología de computadoras y a cambios en los planes académicos de las universidades. Estos avances y cambios también nos aectan, es así que actualmente los conceptos de Investigación de Operaciones, los estamos revisando en la asignatura “Métodos Cuantitativos”. Sobre la historia encontrará más en el texto propuesto como bibliograía complementaria, “Investigación de Operaciones” de Taha Hamdy. Estimado estudiante, lea detenidamente la introducción del capitulo 1 del texto básico y participe del oro propuesto en el eva. Si el oro no ésta activo, comuníquese con el docente.

1.2. DEFINICIÓN La Investigación de Operaciones (IO), Ciencia de la Administración (CA) o Métodos Cuantitativos (MC), es una disciplina que ayuda a la toma de decisiones mediante la aplicación de un enoque cientíco a problemas administrativos que involucra actores cuantitativos.

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PRIMER BIMESTRE

La Investigación de Operaciones (IO), Ciencia de la Administración (CA) o Métodos Cuantitativos (MC), es la aplicación de procedimientos, técnicas y herramientas cientícas a problemas operativos con el objeto de ayudar a desarrollar y evaluar soluciones. Como su nombre lo indica, la Investigación de Operaciones (IO), Ciencia de la Administración (CA), o Métodos Cuantitativos (MC), signica “hacer investigación sobre las operaciones”. Es una manera de abordar la toma de decisiones en la administración, que se basa en el método cientíco y que utiliza ampliamente el análisis cuantitativo. El análisis cuantitativo se basa en datos cuantitativos asociados al problema y desarrollo de expresiones matemáticas que describen el objetivo, las restricciones y las relaciones existentes en el problema, que se conoce como Modelo. La Investigación de Operaciones (IO), Ciencia de la Administración (CA) o Métodos Cuantitativos (MC), se aplica a problemas que se reere a la conducción y coordinación de operaciones (o actividades) dentro de una organización. La naturaleza de la organización es esencialmente inmaterial y, de hecho, la investigación de operaciones, se ha aplicado de manera extensa en áreas tan diversas como la manuactura, el transporte, las telecomunicaciones, planeación nanciera, el cuidado de la salud. La milicia y los servicios públicos, por nombrar sólo unas cuantas. Así, la gama de aplicaciones es extraordinariamente amplia.

1.3. SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y TOMA DE DECISIONES La solución de problemas, puede denir el proceso de identicar una dierencia entre el estado actual y el estado deseado, luego emprender acciones para reducir o eliminar la dierencia. Para problemas que tienen la suciente importancia como para justicar el tiempo y el esuerzo de un análisis minucioso. El proceso de solución de problema implica el paso siguiente: 1.

Identicar y denir el problema.

2.

Determinar el conjunto de soluciones alternas.

3.

Determinar el criterio o criterios que se utilizarán para evaluar las alternativas.

4.

Evaluar las alternativas.

5.

Elegir una alternativa.

6.

Implementar la alternativa seleccionada.

7.

Evaluar los resultados para determinar si se ha obtenido una solución satisactoria.

La toma de decisiones es el término generalmente asociado con los primeros cinco pasos del proceso de solución de problemas. Por ende el primer paso de la toma de decisiones es identicar y denir el problema. La toma de decisiones naliza con la elección de una alternativa, lo que constituye el acto de tomar la decisión.

1.4. CONSTRUCCIÓN DE MODELOS Para apreciar en orma completa los dierentes aspectos de la asignatura, es necesario comprender primero los undamentos de las técnicas y después determinar cómo utilizarlas o no en diversas circunstancias. Para ello, resulta conveniente comprender mejor los conceptos generales de planteamiento y desarrollo de modelos, y la orma en que se relacionan con el área de la ciencia de la administración.



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PRIMER BIMESTRE

Ya sea que se trate del sector privado o del público, una de las principales unciones del administrador es resolver problemas, es decir, los administradores son quienes deben resolver los problemas. Se dé cuenta de ellos o no, el administrador aborda la tarea de resolver problemas principalmente a través de la construcción de modelos, o planteamiento de modelos. La construcción de modelos es un medio que permite a los administradores analizar y estudiar problemas, así como también examinar dierentes alternativas. La construcción de modelos no es una idea nueva; el proceso se utiliza todos los días, con recuencia en orma inconsciente, en situaciones de problemas básicos. Para irnos amiliarizando con las deniciones de cada uno de los temas, en base a lo leído en la bibliograía básica, complementaria y de internet, les propongo revisar la siguiente conceptualización. “Un Modelo lo podríamos denir como una representación de un objeto o de una situación real”. A continuación revisemos conceptualizaciones de algunos modelos.

1.4.1. MODELO MENTAL.- “Imagen mental de la estructura que describe un problema”. Considere el problema de una antriona que desea redistribuir los muebles de la sala de la casa. El objetivo es tener una disposición apropiada que resulte atractiva pero también uncional. Una orma de abordar el problema consiste en visualizar dierentes disposiciones de los muebles y evaluar cada alternativa; en este caso la antriona está utilizando un modelo mental del problema. El modelo será útil si la antriona es capaz de visualizar la apariencia de cada una de las dierentes disposiciones.

1.4.2. MODELO A ESCALA.- “Estructuraísica, de tamaño reducido,que representa el problema”.Considere ahora el problema que enrenta un administrador a cargo del diseño de una planta industrial. No podía utilizar un modelo mental ya que existen dierentes necesidades de espacio y de servicios, demasiados elementos, etc. Sin embargo, el administrador podría basarse en un modelo a escala para ubicar equipos, maquinarias, instalaciones, etc. En unción del espacio requerido, del espacio disponible y de las necesidades. También podría utilizar un modelo matemático, si sabe que existe un modelo general de diseño de plantas.

1.4.3. MODELO ICÓNICO.- “Replica o representación ísica de un objeto real” como por ejemplo, representación a escala de un avión o de un carro.

1.4.4. MODELO ANALÓGICO.- “Aunque tiene orma ísica, un modelo analógico no tiene una apariencia ísica parecida a la del objeto o situación real que representa”, por ejemplo, el velocímetro de un automóvil, el termómetro de un horno, etc.

1.4.5. MODELO MATEMÁTICO.- “Símbolo y expresiones matemáticas que se utilizan para representar una situación real”: “Representación simbólica y abstracta de un problema”. Los modelos matemáticos son relativamente nuevos, en particular los relacionados con la toma de decisiones en la administración. La mayoría de los análisis en ciencia de la administración se llevan a cabo utilizando modelos matemáticos. No todos los modelos matemáticos son complejos. Por ejemplo, puede elaborarse un modelo matemático para determinar cuál es el pago que un vendedor recibe por una comisión de $100 por venta. Es posible desarrollar una relación uncional entre el número de ventas y los ingresos por comisión. Si utilizamos X para representar el número de ventas; para representar los ingresos por venta y Y para representar los ingresos totales, entonces la relación matemática entre las ventas y los ingresos se expresa:

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Y = a (X)

(1.1)

Esta relación uncional representa una operación de procesamiento. Puede pensarse que los diversos valores de X (0,1,2,3,…) son los datos de entrada, el valor de a (100) la comisión por cada venta y los correspondientes valores de Y (100, 200,300…) son los datos de salida o resultados. A las entradas y resultados se les denomina por lo general variables. Una variable es sólo una representación de algo que puede asumir diversos valores numéricos. Utilizando la terminología matemática convencional, la variable de entrada se la denomina variable independiente y la variable de salida es la variable dependiente. Por ello en la ecuación 1.1. X es la variable independiente y Y la variable dependiente. El valor a se denomina constante, coeciente o parámetro. Como se conoce el valor del parámetro, la relación uncional anterior puede escribirse:

Y = 100X

(1.2)

Consulte otros tipos de modelos, ejemplique los modelos encontrados y los presentados en esta unidad, luego envíe el trabajo al correo del docente.

1.5. LOS MODELOS MATEMÁTICOS Dentro de los modelos matemáticos existen dos clases principales: los modelos descriptivos y los modelos normativos.

1.5.1. Modelos Descriptivos La relación entre la solución del problema pronosticado y el problema en si, está representado en el modelo descriptivo, que si es cierto representa la estrategia, más no un curso de acción.

1.5.2 Modelo Normativo Si pensamos en normas y que estas deben ser representadas, concluimos que en estos modelos si hay un curso de acción a seguir, con metas y objetivos a alcanzar. Un modelo normativo esta compuesto de elementos por ejemplo: (1) Variables de decisión y parámetros; (2) restricciones; y, (3) Una o más

funciones objetivo. Para continuar con el desarrollo de la materia, le invito a desarrollar un ejemplo del modelo normativo; utilizaremos los elementos antes mencionados. 1.

Variables de decisión y parámetros

Las Variables de decisión. Son las cantidades desconocidas que deben determinarse en la solución del modelo. Un ejemplo de variable de decisión seria la cantidad de un determinado producto que debe elaborarse en una operación de producción en la que podría abricarse diversos productos a partir del mismo recurso básico. Los parámetros son los valores que describen la relación entre las variables de decisión. Los parámetros permanecen constantes para cada problema, pero varían con problemas distintos. Un ejemplo sería las horas de mano de obra que se requiere para abricar una unidad de un producto determinado.



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2.

PRIMER BIMESTRE

Restricciones

Para incluir las limitaciones ísicas que ocurren en el problema cuyo modelo se plantea, dicho modelo debe incluir unciones matemáticas (submodelos descriptivos) que limiten las variables a valores permisibles (actibles). Por ejemplo, si suponemos que X1 ,X2 y X3 ( variables de decisión) representan el número de unidades de tres productos que se está considerando abricar y a1 , a2 y a3 (parámetros) son los respectivos requerimientos unitarios de mano de obra para abricar los productos, y si se señale que la cantidad total disponible de materia prima es b, la unción correspondiente de restricción podrían expresarse como :

a1X1 + a2X2 + a3X3 ≤ b

(1.3)

NOTA: La nomenclatura depende de los autores, ene este caso siga la propuesta en el desarrollo de la presenta guía.

3.

Función objetivo

La unción objetivo dene la eectividad del modelo como unción de las variables de decisión. Por ejemplo, si el objetivo es maximizar las utilidades totales, entonces la unción objetivo debe describir éstas en términos de las variables de decisión. Si consideramos que c1 es el aporte a las utilidades de X1, c2 el aporte a las utilidades de X2, c3 el aporte a las utilidades de X3. En orma matemática, la unción objetivo que maximice las utilidades totales será: U = c1X1+ c2X2 + c3X3

(1.4)

Esta expresión describe las utilidades en términos de las variables de decisión si se conoce el aporte a las utilidades de cada una de ellas.

(1.5)

El modelo normativo completo será: Maximizar

U = c1 X1 + c2 X2 + c3 X3

Sujeto a

a1X1 + a2X2 + a3X3 ≤ b X1, X2, X3 ≥ 0

Al resolver el modelo anterior, se obtiene la solución óptima del mismo cuando los valores de las variables de decisión arrojan el mejor valor de la unción objetivo, al mismo tiempo que se satisacen todas las restricciones. Además de la clasicación en modelos descriptivos y normativos, con recuencia se mencionan otras clasicaciones; pero no son clasicaciones distintas, sino subclasicaciones de los descriptivos y normativos. Así tenemos:

1.5.3. Otros Modelos A continuación les presento en una tabla más modelos conocidos, para ampliar y conocer más sobre ellos, les invito a consultar en la bibliograía propuesta, así como en internet.

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Tabla 1. Modelos y su descripción

Tipo de modelo

Descripción

Modelo Determinístico

En un modelo determinístico las relaciones uncionales, es decir los parámetros se conocen con certidumbre.

Modelo Estocástico Probabilístico

o Si las relaciones uncionales, es decir los parámetros, son inciertos y están sujetos a variación.

Modelo Lineal

Un modelo lineal es en el que todas las relaciones uncionales son de naturaleza que la variable dependiente es proporcional a la suma de las variables independientes.

Modelo no Lineal

Los modelos no lineales utilizan ecuaciones curvilíneas o no proporcionales. Si una de las relaciones no son lineales, se clasican como modelo no lineal.

Modelo Estático

Modelo denido en un punto jo del tiempo. Las condiciones del modelo no cambian para ese período especíco.

Modelo Dinámico

Modelos cuyas características varían de un periodo a otro. Determinar el curso óptimo de acción requiere el examen de períodos múltiples.

Modelo de simulación

Modelos que no pueden plantearse de orma matemática. Se experimenta con las variables para analizar dierentes cursos de acción. Se utiliza para problemas complejos.

1.6. MODELOS DE COSTOS, INGRESOS Y UTILIDADES Algunos de los modelos cuantitativos básicos que surgen para aplicaciones de negocios y económicos son aquellos que implican la relación entre una variable de volumen, como el volumen de producción, el volumen de ventas, y los costos, los ingresos y las utilidades. Mediante el uso de estos modelos, un gerente puede determinar los costos, ingresos o utilidades previstos, asociados con una cantidad de producción establecidos o un volumen de ventas previsto. La planeación nanciera, la planeación de la producción, las cuotas de ventas y otras áreas de la toma de decisiones pueden beneciarse de estos modelos de costos, ingresos y utilidades.

1.6.1. Modelos de costo El costo de manuactura o abricación de un producto es una unción del volumen producido. Este costo por lo general se dene como la suma de dos costos: el costo jo y el costo variable. El costo jo es la porción del costo total que no depende del volumen de producción; este costo permanece igual sin importar la cantidad que se produzca. El costo variable, por otro lado, es la porción del costo total que depende del volumen de producción y varían con el mismo. 

Costo Total = Costo jo + Costo Variable Costo jo: 

No varía con la producción



Varía con la producción

Costo variable:



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PRIMER BIMESTRE

1.6.2. Modelos de ingreso Quiere inormación sobre los ingresos asociados con la venta prevista de una cantidad especíca de unidades, por lo que también se necesita un modelo de la relación entre los ingresos y el volumen.

Ingreso = aX



 

a= precio de venta de una unidad de producto X= Número de unidades vendidas

1.6.3. Modelo de utilidades Uno de los criterios más importantes para la toma de decisiones son las utilidades. Si damos por hecho que sólo se producirá lo que se puede vender, el volumen de producción y el de ventas serán iguales. Dado que las utilidades totales son los ingresos totales menos los costos totales.

Utilidad total = Ingreso total – Costo Total





UT = aX – ( Costo jo + Costo variable)

UT = aX – Costo jo – Costo variable Ejemplo: Costo total = Costo fjo + Costo variable   

Costo total = 50 + 4X Ingreso Total = aX Ingreso Total = 9X Utilidad total = Ingreso – Costo



•

UT = 9X – ( 50 + 4X)

Si X = 10   

UT = 9(10) – (50 + 4(10)) UT = 90 – 50 – 40 UT = 0 Utilidad total = Ingreso – Costo



•

UT = 10 X – ( 50 + 4(20))

Si X = 20   

20

UT = 10(20) – (50 + 4(20)) UT = 200 – 50 – 80 UT = 70




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PUNTO DE EQUILIBRIO PE, cuando la producción no genera ni perdidas ni ganancias. La utilidad es cero. Ejemplo: Utilidad total = Ingreso – Costo    

UT = 9X – (50 – 4X) 0 = 9X – 50 – 4X 5X = 50 X = 10 ( producción en el PE)

ACTIVIDADES RECOMENDADAS

Es hora de trabajar con la inormación que consta en el texto básico. Le invito a resolver el ejercicio que a continuación le plateamos tomando como estrategia de trabajo la revisión del capítulo 1 del texto básico. Ejercicio No. 1 a)

Realice un cuadro sinóptico con la clasicación y tipos de modelos.

b)

De un concepto de Métodos Cuantitativos

c)

Elabore una lista de los paso del proceso de toma de decisiones y comente cada uno.

d)

Desarrollar el siguiente ejercicio por el Modelo de Producción de la sección 1.3

Max 10X s.a 5X ≤ 40 X≥0 Suponga que la empresa de este ejemplo considera un segundo producto que tiene una utilidad unitaria de $5 y que se requiere 2 horas para producir cada unidad. Suponga también la capacidad de producción total que sigue siendo 40. Utilice y como el número de unidades abricadas del segundo producto. 

Muestre el modelo matemático cuando dos productos se considera de manera simultánea.



Identique los insumos controlables e incontrolables para este modelo.



Trace el diagrama de fujo del proceso de entrada-salida para este modelo (gura 1.5).



¿Cuáles son los valores de solución óptimo de x y y?

Una vez que hemos concluido el estudio de la unidad, conviene comprobar el logro de su aprendizaje. Para ayudarnos en esta tarea le proporcionamos el siguiente cuestionario que está basado en el capitulo 1 del texto básico.



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Autoevaluación 1

LEA CADA UNA DE LAS SIGUIENTES ASEVERACIONES, EMITA SU CRITERIO DE VERDADERO O FALSO DENTRO DEL PARÉNTESIS RESPECTIVO. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

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Los métodos cuantitativos son una ciencia administrativa Los métodos cuantitativos nos ayudan a maximizar gastos y minimizar benecios La aplicación de las herramientas de métodos cuantitativos, son exclusivamente de uso en entidades privadas. El modelo mental representa a una estructura ísica, de tamaño reducido Los modelos analógicos aunque tiene orma ísica, no tiene una orma o apariencia ísica o similar a la del objeto que representa Los modelos matemáticos son el conjunto de símbolos y expresiones matemáticas que se utilizan para representar una situación real Un modelo normativo está conormado por : Variable de decisión, parámetros, restricciones y unción objetivo. La nomenclatura utiliza para representar los hechos reales en el modelo matemático es exclusiva: por ejemplo variables de decisión X,Y,Z Una restricción es limitada El modelo dinámico determina un curso optimo de acción que requiere el examen de periodos múltiples



( (

) )

(

)

( (

) )

(

)

(

)

(

)

( (

) )


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Unidad 2

ANÁLISIS DE DECISIÓN

2.1. INTRODUCCIÓN Estimado estudiante, en este capitulo, explicaremos el proceso de Análisis de decisión, nos apoyaremos en el texto básico capitulo 4 El análisis de decisiones se utiliza para desarrollar una estrategia óptima cuando un tomador de decisiones enrenta varias alternativas de decisión y aun patrón de eventos uturos inciertos o lleno de riesgo. El concepto de decisión ha sido interpretado como una acción que permite lograr un objetivo propuesto. Hoy en día, el término se lo dene como el estudio analítico, exhaustivo y comparativo que permite racionalizar los distintos medios a través de los cuales podemos llegar al objetivo deseado. Este concepto nos transmite la idea del “como hacer” para inclinarnos por una u otra alternativa, es decir, evaluar las posibilidades existentes y elegir aquella que nos brinden los mejores resultados minimizado su riesgo. El éxito de una decisión depende básicamente del grado de conocimiento de orden cuantitativo y cualitativo que sobre esa alternativa elegida (decisión) tengamos a disposición. La ausencia de elementos de inormación respecto de una alternativa, obviamente, nos conducirá a una situación incierta, muchas veces denitiva e irreversible. La atención y buen juicio en el estudio previo a la “toma de decisiones” nos ayudará, innegablemente, a comprender que, el decidir es un proceso técnico-cientíco en procura de obtener los resultados de conormidad a la planicación de un objetivo. El conocimiento sobre técnica de decisión pretende evitar que una empresa u organización actué en orma intuitiva, esto es, el que no exista un esuerzo sistemático para denir y evaluar las ventajas y desventajas respecto de las dierentes alternativas para un mismo n. Para mejor compresión de esta unidad, revise el capitulo 4. Análisis de decisiones, 4.1. Formulación del problema

.

2.2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA Se puede denir la resolución de problemas como el proceso de identicar una dierencia entre algún estado de cosas actual (Estados de la Naturaleza) y uno no deseado (Alternativa de decisión), y de emprender después una acción para resolver la dierencia (Ganancia). El proceso de resolución implica los siguientes pasos: 1.

Identicar y denir el problema ( Estado de la naturaleza)

2.

Determinar el conjunto de soluciones en alternativas( Alternativas de decisión)

3.

Determinar el criterio o criterios que se utilizarán para evaluar las opciones ( Ganancias) 3.1.

Evaluar tales opciones

3.2.

Elegir una de ellas



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PRIMER BIMESTRE

3.3.

Implantar la opción o alternativa seleccionada, y

3.4.

Evaluar los resultados y determinar si se ha obtenido una solución satisactoria.

La toma de decisiones es el término que generalmente se asocia con las primeras cinco etapas del proceso de resolución de problemas. Así, el primer paso de la toma de decisiones es identicar y denir el problema. La toma de decisiones determina con la elección de una alternativa, que es el acto de tomar una decisión. Considérese el siguiente ejemplo de un proceso decisorio. Suponga por el momento que, ha terminado sus estudios universitarios y que se encuentra sin trabajo; es casado tiene amilia y desea alcanzar una posición económica/social importante. De pronto se inorma de cuatro oertas de trabajo, las mismas que se detallan en el siguiente cuadro: Tabla 2: Datos para ejemplos de toma de decisiones

Alternativa

Sueldo Inicial

Potencialidad de progreso

Ubicación del empleo

1. Loja

3.500.000

Regula

Excelente

2.Quito

4.500.00

Muy buena

Buena

3.Cuenca

4.000.000

Buena

Muy buena

4.Guayquil

5.000.00

Muy buena

Regular

Preguntas: 1.

Identique y dena el problema

2.

Identique y plantee el conjunto de alternativas disponibles

3.

¿Qué criterios utilizaría usted para evaluar las cuatro opciones?

4.

Evalúe las opciones respecto a cada criterio

5.

¿Qué alternativa eligió? ¿Cuál es su decisión? ¿Por qué?

Al dar contestación a las cinco preguntas del ejemplo, usted ha tomado una decisión, pero no ha resuelto el problema. Con esto se quiere enatizar que el término toma de decisiones tiene un alcance más limitado que el término resolución de problema. En la gura siguiente se da una relación entre la toma de decisiones y la resolución de problemas.

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Aunque la toma de decisiones puede tener en cualquier circunstancia de nuestras vidas, la ciencia de la administración es un enoque aplicable primordialmente a la toma de decisiones en un contexto gerencial. Algunos expertos en la adopción de decisiones, señalan que con el objeto de “entender lo que implica la toma de decisiones, se tiene que interpretar el concepto de orma amplia, de modo tan amplio que se vuelva casi sinónimo de administrar”. Revisemos, la siguiente gura 1, he colocado un ciclo de procesos y en el distinguiremos los momentos y la relación entre la resolución de problemas y la toma de decisión:

1.

Denir el problema

2.

Identicar las alternativas

3.

Determinar las alternativas

Toma de

4.

Evaluar las alternativas

Resolución problemas

Decisiones

5.

Elegir una alternativa

Decisión

6.

Implantar la decisión

7.

Evaluar los resultados

de

Fig. 1 Relación entre la resolución de problemas y la toma de decisiones

2.3. PROCESO DE TOMA DE DECISIONES “La toma de decisiones de un proceso de selección entre cursos alternativos de acción, basado en un conjunto de criterios, para alcanzar uno o más objetivos” Las cinco ases del proceso de toma de decisiones de la gura 1, podemos dividirlas en dos: Estructuración del problema y Análisis del problema, tal como se ilustra en la gura 2. Analizar el problema

Estructurar el Problema

Denir el problema

Identicar las alternativas

Determinar las condiciones

Evaluar las opciones

Elegir una opción

Fig. 2. Proceso de toma de decisiones

Las tres primeras ases del proceso decisorio constituye la “Estructuración del Problema” y las dos últimas ases son el “Análisis del problema”. La ase de análisis del proceso de toma de decisiones puede asumir dos ormas básicas, cualitativas y cuantitativas: El análisis cualitativo se basa primordialmente en el razonamiento y la experiencia del administrador; incluye la impresión intuitiva que el administrador tiene del problema, y es más un arte que una ciencia. Si el administrador ha tenido experiencia con problemas similares, o si el problema es relativamente simple, el énasis uerte se puede hacer en el análisis cualitativo. Sin embargo, si el



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administrador ha tenido poca experiencia con problemas similares, o si el problema es sucientemente complejo, entonces un análisis cuantitativo del problema puede ser una consideración muy importante en la decisión nal del administrador.

El análisis cuantitativo, el análisis se concentra en los hechos, datos cuantitativos asociados al problema y desarrolla expresiones matemáticas que describen los objetivos, las restricciones y las relaciones existentes en el problema. Luego utiliza, uno o más métodos cuantitativos, para orecer una recomendación con base en los aspectos cuantitativos del problema. El administrador que conoce los procedimientos de toma de decisiones cuantitativas está en una mejor posición para comparar y evaluar las uentes de recomendaciones tanto cualitativas como cuantitativas para, nalmente, combinar las dos uentes para tomar la mejor decisión posible. El análisis cuantitativo es el objeto de estudio de esta materia. Se considerará un problema gerencial, se presentará la metodología cuantitativa apropiada y, después, se elaborará la decisión a recomendar.

AMBIENTE DE DECISIÓN El análisis de decisión implica el uso de un proceso racional para seleccionas la mejor entre varias alternativas. “La bondad” de una alternativa seleccionada depende de la calidad de los datos utilizados para describir la situación de decisión. Desde el punto de vista, un proceso de toma de decisiones cae en tres categorías: 1.

Toma de decisiones bajo certidumbre: En la que conocen los datos de orma determinista

2.

Toma de decisiones bajo riesgo: En la que los datos se describen mediante distribuciones de probabilidad.

Toma de decisiones bajo incertidumbre: En la que no es posible asignar a los datos pesos

3.

relativos que representen su grado de relevancia en el proceso de decisión.

2.4. ANÁLISIS CUANTITATIVO EN LA TOMA DE DECISIONES El proceso de análisis cuantitativo para la toma decisiones, nos introduce en la programación lineal y lo podemos dividir en 5 pasos, estos son: 1)

Denición del problema

2)

Desarrollo del modelo

3)

Preparación de los datos

4)

Resolución del modelo

5)

Generación de reportes

Para que este proceso quede claro, vamos a describir cada uno de los pasos, le invito a que de orma paralela vaya desarrollando un ejemplo siguiendo lo mismo:

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1.

DEFINICIÓN DEL PROBLEMA

Esta ase es esencial para determinar el éxito o el racaso del cualquier enoque cuantitativo a la toma de decisiones. Se trata de convertir una descripción un tanto general de un problema en un problema bien denido que pueda ser abordado cuantitativamente. Es necesario denir el problema en orma clara y en términos de objetivos especícos y de restricciones de operación precisas. Para tener éxito al aplicar el método cuantitativo en la toma de decisiones, el cientíco de la investigación de operaciones debe trabajar en orma estrecha con el gerente o administrador, o con el usuario de los resultados.

Ejemplo ¿Cuántas carteras de mujer deben producirse cada semana con objeto de maximizar las utilidades?. Cada cartera deja una utilidad de $10 por unidad y requiere de 5 horas para ser abricada. Se dispone de 40 horas de trabajo por semana únicamente. El problema queda denido; tiene un objetivo y restricciones precisas.

2.

DESARROLLO DEL MODELO

Cuando el cientíco de la investigación de operaciones como el gerente está de acuerdo que el problema ha quedado denido en orma adecuada, el cientíco de la investigación de operaciones comienza su labor de desarrollar un modelo que se pueda utilizar para representar el problema en términos matemáticos. Los modelos que se desarrollan en CA/IO son modelos normativos. Esto quiere decir, como ya lo vimos, que están constituidos por tres conjuntos básicos de elementos (1) Función Objetivo, (2) Restricciones; y (3) Variables de decisión.

Función Objetivo Cuando se considera un problema gerencial, por lo general se encuentra que la ase de denición del problema conduce a un objetivo especíco (tal como maximización de utilidades o la minimización de costos). A una expresión matemática que describe el objetivo del problema se la denomina unción objetivo. Por ejemplo

Max U = 10X

(2.1)

La unción anterior sería una unción objetivo para una empresa que trata de maximizar las utilidades provenientes de la producción de X unidades de carteras.

Restricciones Igualmente, en la ase de denición del problema es seguro que tengamos que enrentarnos a un conjunto de limitaciones o restricciones (tal como capacidad de producción, limitación de materia prima, horas disponibles de trabajo, demanda del producto, etc.). El éxito del modelo matemático y del enoque cuantitativo depende de la precisión con la que se expresen el objetivo y las restricciones en términos de ecuaciones o relaciones matemáticas.



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PRIMER BIMESTRE

En nuestro ejemplo, se requeriría una restricción para la capacidad de producción. Utilizando X para indicar el número de carteras que se abrican cada semana, la restricción del tiempo de producción está dada por:

5X ≤ 40

(2.2)

El valor de 5X es el tiempo total que se requiere para abricar las X unidades: el símbolo ≤ indica que el tiempo que se requiere para la reproducción debe ser menor o igual a las 40 horas disponibles. Maximizar

U = 10 X Función objetivo

Sujeto a ( s.a)

5X ≤ 40

X≥0

restricción de tiempo

restricción de no negatividad

Planteado el modelo se pueden desarrollar procedimientos de solución con objeto de elegir la decisión que resuelva el problema de la “mejor manera”. La solución de este ejemplo es evidente: X = 8; U = 80 Este modelo es un ejemplo de un modelo de programación lineal. En capítulos posteriores se analizaran modelos matemáticos algo mas complicados y se aprenderá a resolverlos en situaciones en las que las respuestas no son tan evidentes.

Variables de decisión y parámetros A los actores que controla el administrador o decisor se los llama insumos controlables del modelo .Tales insumos son las alternativas de decisión que el administrador especica y, por ello, también se les denomina variables de decisión del modelo. En el ejemplo anterior, el número de unidades a producirse X=8, es una variable de decisión del modelo. Igualmente, en el ejemplo anterior la utilidad por unidad ($ 10), el tiempo de producción por unidad (5 horas) y la capacidad de producción (40 horas por semana) son conocidos como parámetros o actores del medio ambiente, que no están bajo control del administrador o decisor. A estos actores que pueden aectar tanto a la unción objetiva como a las restricciones, se le denomina también insumos incontrolables del modelo. Una vez que se especican todos los insumos controlables e incontrolables, es posible evaluar la unción objetivo y las restricciones y determinar el resultado del modelo. En este sentido el resultado del modelo es simplemente la proyección de lo que sucedería si ocurrieran esos actores ambientales y esas decisiones en una situación real. La gura 3 muestra un diagrama que ilustra cómo un modelo matemático transorma los insumos controlables e incontrolables en resultados. Insumos incontrolable( Estado de la naturaleza) (Factores ambientales)

Insumos controlable (Variables de decisión) (Alternativas de decisión)

MODELO MATEMATICO

Salida Resultados proyectados (Ganancia, consecuencia)

Fig3. Transormación de insumos d el modelo, en resulta dos

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En la gura 4 se presenta un fujograma similar que muestra los detalles especícos del modelo de producción. Como se planteaba antes, los insumos incontrolables son aquellos sobre los cuales no puede infuir quien toma las decisiones. Los insumos controlables e incontrolables especícos de un modelo dependen del problema o de la situación especíca. En el ejemplo anterior, el tiempo disponible para la producción es de 40 horas, es un insumo incontrolable, sin embargo, si uera actible contratar más empleados o utilizar tiempo extra, el número de horas de producción convertía en un insumo controlable y, por tanto, en una variable de decisión para el modelo.

Insumos incontrolables Utilidad por unidad Horas – hombre por unidad Horas disponibles

Insumo controlable X, valor para el volumen de producción

MODELO MATEMÁTICO Max U = 10 X 5X ≤ 40 X≥0

Resultado Utilidad proyectada, y restricción de tiempo de producción

Fig. 4 Diagrama de lujo para el modelo de producción

A los insumos incontrolables se los puede conocer con exactitud o pueden ser inciertos y estar sujetos a una variación. Si todos los insumos incontrolables de un modelo son conocidos y no pueden variar (tasas de impuestos, por ejemplo), al modelo se lo llama modelo determinístico. La característica distintiva de los modelos determinísticos es que los valores de los insumos incontrolables se conocen con anticipación. Si cualquiera de los insumos incontrolables son inciertos y están sujetos a variación (demanda del producto, por ejemplo), el modelo se denomina estocástico o probabilístico. En el ejemplo anterior, el número de horas que se requiere para la producción de cada unidad, el total disponible de horas y la utilidad por unidad son todos incontrolables. Como se sabía, que todos estos insumos incontrolables asumían valores jos, el modelo era determinístico. Sin embargo, si el número de horas de producción para cada unidad pudiera variar de 3 a 6 horas dependiendo de la calidad de la materia prima, el modelo seria estocástico. La característica distintiva de los modelos estocásticos es que no es posible determinar el valor del resultado, aun cuando se conozcan los valores de los insumos controlables, porque se desconocen los valores especícos de los insumos incontrolables. Por esta razón, con recuencia es más diícil analizar los modelos estocásticos. En general, la experimentación con modelos requiere menos tiempo y es menos costoso que la experimentación con el objeto o la situación real. Ciertamente, cuesta menos construir y estudiar un avión a escala que un avión de tamaño real. De manera similar, el modelo matemático anterior permite identicar en orma rápida las expectativas de ganancia o utilidad sin que se requiera que el



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administrador produzca y venda las X unidades. Los modelos también tienen la ventaja de que reducen el riego inherente a la experimentación con la situación real. La precisión de las conclusiones y las decisiones basadas en un modelo depende de cuán bien representa el modelo la situación real. Conorme más estrechamente representa el modelo del avión real, más precisas serán las conclusiones y predicciones sobre las características de vuelo.

3.

PREPARACIÓN DE LOS DATOS

Hemos analizado los dos pasos iniciales en el proceso de análisis cuantitativo, esto es: denición del problema y desarrollo del modelo. El siguiente paso en el proceso de análisis cuantitativo es la preparación de datos que el modelo requiere. Los datos se reeren a los valores de los insumos incontrolables del modelo. Se deben especicar todos los datos o insumos incontrolables antes de que sea posible analizar el modelo y elegir una decisión o solución recomendable para el problema. Este paso, dependerá de la complejidad del problema. En el modelo de producción, el valor de los datos o insumos incontrolables era $10 de utilidad por unidad, 5 horas para la producción de una unidad y 40 horas para la capacidad de producción. En el ejemplo anterior, tanto el desarrollo del modelo y la preparación de los datos, ueron dos actividades que se desarrollaron simultáneamente. En problemas más complejos, esto puede no ser posible. En ocasiones, los datos, no están ácilmente disponibles. En estas situaciones es posible que el cientíco de la administración sepa que los datos que necesita son la utilidad por unidad, el tiempo de producción por unidad, la capacidad por semana (como en el ejemplo), pero que, éstos deben obtenerse de los departamentos de contabilidad, producción, ingeniería. En estas situaciones el analista adopta una notación general para la ase de desarrollo del modelo. En el ejemplo anterior, el modelo planteado debió ser: Maximizar U = cX Sujeto a: aX≤b X≥0 Siendo: c = utilidad por unidad a = tiempo de producción en horas por unidad b = capacidad de producción en horas Luego de desarrollado el modelo, la etapa posterior se reere a identicar los valores de c, a y b para poder terminar el modelo. La investigación determina que: c = utilidad por unidad = 10 sucres (unidades monetarias) a = tiempo de producción en horas por unidad b = capacidad de producción en hora

30




PRIMER BIMESTRE

A esta altura sí podemos plantear el modelo como lo hicimos anteriormente: Max U = 10 X Sujeto a : 5X ≤ 40 X≥ 0 Como dijimos anteriormente, esta ase dependerá de la complejidad del problema. En problemas sencillos, esta ase puede parecer sencilla y poco importante, sin embargo, en problemas con 50 variables de decisión y 25 restricciones por ejemplo, habría muchos datos que sería necesario identicar en esta ase de preparación de datos. Por otra parte, estos datos, no pueden ser obtenidos de una sola uente o a través de una sola persona, sino que, a veces es necesaria una base de datos bastante grande y que participen en la preparación de los mismos algunos especialistas.

4.

RESOLUCIÓN DEL MODELO

Una vez que se han terminado las etapas de desarrollo del modelo y preparación de datos, se puede proceder a la etapa de resolución del modelo. En este caso usted (el analista) intente identicar los valores de las variables de decisión que orecen el “mejor” resultado para el modelo. Determinados valores de las variables de decisión, denimos si continuamos la solución por el método gráco (simplex). En la tabla 3 se muestran los resultados de un método de ensayo y error para resolver el modelo de producción de la g. 4. Para el problema que nos ocupa, el caso se resuelve al encontrar que X = 8, ya que con este valor se maximiza la unción objetivo, cumpliendo las restricciones planteadas Tabla 3. Solución de ensayo y error para el modelo de producción de la Fig. 4 Alternativas de decisión (volumen de producción)

Utilidad Proyectada

Total de horas de producción

Solución actibles?

0 2 4 6 8 10 12

0 20 40 60 80 100 120

0 10 20 30 40 50 60

SI SI SI SI SI SI SI

En este ejemplo, el encontrar el valor de X ha sido una tarea ácil (un simple cálculo matemático, o una prueba de ensayo y error), sin embargo, en la práctica el número de variables de decisión y de restricciones pueden ser varias, dicultando la resolución del modelo. Por ello, el analista ha desarrollado procedimientos de solución especiales para modelos, que son más ecientes que el procedimiento de ensayo y error. El objetivo de esta asignatura es presentar procedimientos de solución a los modelos matemáticos especícos que se plantearán.



31


PRIMER BIMESTRE

Es importante darse cuenta que las etapas de desarrollo del modelo y de resolución del modelo no son completamente separables. Al mismo tiempo que un analista desea desarrollar un modelo, deseará también estar en posibilidades de encontrar una solución para el modelo. Si se aborda la etapa de desarrollo del modelo intentando encontrar el modelo matemático más preciso y realista, es posible que el modelo resultante sea tan grande y complejo que se nos haga imposible obtener una solución. En este sentido sería preerible un modelo más sencillo y quizá más accesible, aun cuando la solución recomendada sólo sea una aproximación tosca a la mejor decisión.

5.

GENERACIÓN DE REPORTES

El paso nal del proceso de análisis cuantitativos es la preparación de reportes gerenciales con base en la solución del modelo. Con reerencia a la Fig 3 se observa que la solución basada en el análisis cuantitativo de un problema es uno de los actores que el administrador toma en consideración antes de tomar una decisión nal. Por ello, es esencial que los resultados del modelo aparezcan en un reporte gerencial que sea de ácil comprensión para el decisor. El reporte debe incluir la solución que se recomienda y otras inormaciones relevantes de los resultados del modelo que puedan ser de utilidad para quien toma las decisiones. ACTIVIDADES RECOMENDADAS

Es hora de trabajar con la inormación que consta en el texto básico. Le invito a resolver el ejercicio que a continuación le plateamos tomando como estrategia de trabajo la revisión del capítulo 4 del texto básico. Ejercicio No 2.1 a.

Desarrollar el siguiente ejercicio: La tabla de resultados siguientes muestra las utilidades para un problema de análisis de decisiones con dos alternativas de decisión y tres estados de la naturaleza.

Estado de la

naturaleza

Alternativas de decisión

s1

s2

s3

d1

250

100

25

d2

100

100

75



Construya un árbol de decisión para este problema.



Si el tomador de decisiones no sabe nada respecto a las probabilidades de los tres estados, conservador y de arrepentimiento minimax

. Proponga dos problemas, que pueden ser casos reales, desarróllelos en el espacio que a continuación se reserva.

b.

Problema:

32




PRIMER BIMESTRE

Función Objetivo:

Restricción:

Respuesta:


Autoevaluación 2 LEA CADA UNA DE LAS SIGUIENTES ASEVERACIONES, EMITA SU CRITERIO DE VERDADERO O FALSO DENTRO DEL PARÉNTESIS RESPECTIVO. 1.

El análisis de decisiones se utiliza para desarrollar una estrategia óptima cuando un tomador de decisiones enrenta varias alternativas de decisión.

(

)

2.

Diagrama de infuencia proporciona una representación gráca del proceso de toma de decisiones.

(

)

3.

Los rectángulos o cuadrados representan los nodos ortuitos.

(

)

4.

El enoque optimista evalúa cada alternativa de decisión en unción del mejor resultado que pueda ocurrir.

(

)

5.

Nodo. Es una intersección o punto de unión de un diagrama de infuencia o árbol de decisión.

(

)

6.

El árbol de decisión. Son las líneas que muestran las alternativas de los nodos de decisión y los resultados de los nodos ortuitos.

(

)

7.

Análisis de riesgo. Una alternativa de decisión y un estado de la naturaleza se combinan para generar el resultado asociado con una decisión

(

)

8.

Perl de riesgo. Probabilidades de los estados de la naturaleza antes de obtener la inormación muestral.

(

)

9.

Estrategia de decisión, consiste en una secuencia de decisiones y resultados de probabilidad para proporcionar la solución óptima a un problema de decisión

(

)

10.

Nodos Fortuitos, indican puntos dónde ocurrirá un evento incierto.

(

)



33


PRIMER BIMESTRE

Unidad 3

INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL (PL) Estimado estudiante, lea detenidamente la introducción del capitulo 7 del texto básico, se presente un enoque sobre programación lineal. Luego continúe con la revisión de la guía.

3.1. INTRODUCCIÓN La programación lineal está entre los avances cientícos más importantes de mediados del siglo XX. En la actualidad es una herramienta de uso normal que ha ahorrado miles o millones de dólares a muchas compañías. La programación lineal es un método de solución de problemas desarrollado para ayudar a los gerentes a tomar decisiones. La programación lineal (PL) utiliza un modelo matemático para describir el problema. El adjetivo lineal signica que todas las unciones matemáticas del modelo deben ser unciones lineales. En este caso, la palabra programación no se reere a programación en computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la programación lineal trata la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta entre todas las alternativas de solución. Aunque la asignación de recursos a las actividades es la aplicación mas recuente, la programación lineal tiene muchas otras posibilidades. De hecho, cualquier problema cuyo modelo matemático se ajuste al ormato general del modelo de programación lineal, es un problema de programación. En este capitulo se desarrolla modelos pequeños que pueden resolverse de manera directa en una gráca, excluye que puedan resolverse a través del método simplex o que se utilice un sotware para su resolución. Lo que interesa, no es el proceso de resolución como tal, sino que como estudiante adquiera la habilidad para desarrollar modelos matemáticos para problemas que se planteen. Para ilustrar algunas de las propiedades que tienen en común todos los problemas de programación lineal, considere las siguientes aplicaciones típicas: En cada ejemplo nos interesa la maximización o minimización de alguna cantidad. 1.

Un abricante quiere elaborar un programa de producción y una política de inventario que satisaga la demanda de ventas en periodos uturos. En términos ideales, el programa y la política permitirán a la empresa satisacer la demanda y al mismo tiempo minimizar los costos totales de producción e inventario.

2.

Un analista nanciero debe seleccionar un portaolio entre diversas alternativas de acciones e inversiones. Al analista le gustaría establecer el portaolio que maximice el rendimiento sobre la inversión. El analista nanciero quería maximizar el rendimiento sobre la inversión.

3.

Un gerente de marketing quiere determinar cómo asignar mejor un presupuesto de publicidad jo entre medios de publicidad alternos como la radio, la televisión, el periódico y las revistas. Al gerente le gustaría determinar la combinación de medios que maximice la eectividad de la publicidad. El gerente de marketing quería maximizar la eectividad de la publicidad

34




PRIMER BIMESTRE

4.

Una empresa tiene almacenes en varias ubicaciones. Dadas las demandas especícas de los clientes, a la empresa le gustaría determinar cuánto debe enviar cada almacén a cada cliente, de modo que los costos del transporte local se minimice. La empresa quería minimizar los costos de transporte totales.

Nota: En todos los problemas de programación lineal, el objetivo es la maximización o minimización de alguna cantidad.

3.2. CONSTRUCCIÓN DEL MODELO Ahora iniciamos la parte práctica, para lo cual le pido que revise tanto el texto base y la guía. En el capitulo 7, literal 7.1 pág.236 se inicia con un problema de maximización simple, le sugiero que tome lápiz y papel transcriba el ejercicio en su desarrollo, para que comprenda la metodología. De todas ormas en la guía le presento en orma explicativa la misma. Un modelo es una representación de un objeto o situación real. Un modelo matemático son símbolos y expresiones matemáticas que se utilizan para representar una situación real. Recuerde que un modelo de PL debe tener: •

Función objetivo.- Expresiónmatemáticaque sirve pararepresentarelcriteriodestinado a evaluar la resolución de los problemas. Todos los programas lineales tienen una unción objetivo lineal que debe maximizarse o minimizarse. En muchos problemas de PL, la unción objetivo se utiliza para medir utilidades o costos de una solución especica.

•

Restricciones.- Son limitaciones que se imponen a un problema. Es una ecuación o desigualdad que elimine ciertas combinaciones de las variables de decisión como solución actible.

•

Variablesdedecisión.-Alternativasdedecisiónqueeladministradorespecifca.Valoresque se trata de determinar para optimizar la unción objetiva.

En la sección 7.1 pag. 236 del texto básico se plantea el ejemplo, siga su desarrollo, transcríbalo para su mejor entendimiento.

3.3. PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN A continuación resuelve un ejercicio para que este tema quede entendido. El modelo a resolver es el siguiente: 1.

Formular el modelo:

Max Z =

5X1+

4X2

6X1+

4X2≤

(0)

s.a. 24

(1)



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PRIMER BIMESTRE

X1+

2X2≤

6

(2)

- X1+

X2≤

1

(3)

X2≤

2

(4)

X1, X2 ≥ 0 2.

Trazar un plano coordenado en el que el eje de las abscisas será para X1 (primera variable de decisión) y el eje de coordenadas será para X2 (segunda variable de decisión).

3.

Se gracan todas las restricciones, para esto las desigualdades se las transorma en igualdades

4.

6X1+

4X2=

24

(1)

X1+

2X2=

6

(2)

- X1+

X2=

1

(3)

X2=

2

(4)

Se gráca la región actible (RF) tomando en cuenta el sentido de las restricciones. En restricciones del tipo ≤ la solución se ubicará bajo la recta o hacia el lado izquierdo, incluye el origen (como es el caso de todas las restricciones del ejemplo); si la restricción es una igualdad, la solución se ubicará exactamente sobre la recta; en restricción del tipo ≥ la solución se ubicará sobre la recta o hacia el lado derecho de la recta, no incluye el origen. Hecho esto se obtiene la región actible o espacio de solución como dice el texto. Ver gura 5.

Figura 5: Espacio actible del modelo

36




PRIMER BIMESTRE

Se graca la unción objetivo, para ello se da un valor cualquiera a la utilidad. En el ejemplo se dan tres valores dierentes y usted se dará cuenta que estas rectas son paralelas una respecto de la otra y que a medida que aumenta la utilidad la recta alcanza un extremo derecho de la región actible (RF). Ahora, normalmente sólo se puede gracar una vez la recta que corresponde a la unción objetivo y trazar una paralela hasta alcanzar el extremo derecho de la RF, éste punto será la solución óptima. En el ejemplo, la solución óptimo es el punto C y que corresponde a los valores X1 = 3; X2 =1.5. Reemplazando estos valores en la unción objetivo, tenemos que U= 21. En este problema se tiene cuatro variables de holgura, de las cuales, dos corresponde a recursos. Las variables de holgura normalmente representan la cantidad de un recurso que no se utiliza o que está sobrando. Transormemos el modelo anterior a la orma estándar sumando una variable de holgura a las cuatro restricciones.

MaxZ= s.a

5X1+

4X2+

OH1+

OH2+

OH3 +

6X1+

4X2 +

H1 =

24

(1)

X1+

2X2 +

H2 =

6

(2)

-X1+

X2+

H3 =

1

(3)

X2+ H4 = X1 , X2, H1, H3, H4 ≥ 0

2

(4)

OH4

Remplazar los valores de X1 y X2 en las ecuaciones encontramos que H 1 = 0, H2 = 0, H3 =2, H4 = 0.5, signica que se ha utilizado materia prima M 1, y toda la materia prima M 2 H3 2.5 signica que la producción de pintura para exteriores puede reducirse en 2.5 toneladas y aún así la restricción (3) se cumple. H4 =0.5 signica que la producción de pintura para interiores es de 0.5 toneladas por debajo de lo especicado. Los recursos sobrantes no incrementan las utilidades por lo que el coeciente de estas variables en la unción objetivo, son cero. 5.

Usted tiene que dar la solución al problema a través de un “Reporte técnico “que para el caso del presente problema seria:

Reporte técnico: Para optimizar las utilidades a un valor de 21 mil dólares, la ábrica debe producir 3 toneladas diarias de pintura para exteriores y 1.5 toneladas diarias de pintura para interiores. Se utiliza toda la materia prima M1 y M2 disponible (recursos). La producción de pintura para exteriores es mayor. La producción de pintura para interiores es de 0.5 toneladas menos que lo especicado, es decir que se puede producir 0.5 toneladas más y se cumplirá con lo máximo establecido.

3.4 PROBLEMAS DE MINIMIZACIÓN El siguiente es un problema de minimización de costos de producción. Lo desarrollaremos para que comprenda el proceso. En el texto básico literal 7.5 se trata de minimización. Nuevamente aquí la sugerencia de que transcriba el ejercicio en una hoja y lo vaya resolviendo de orma paralela con la guía



37


PRIMER BIMESTRE

Una empresa elabora dos productos A y B. Con base a una investigación de mercado se ha determinado que la producción de los dos productos debe ser de por lo menos 350 unidades mensuales. Por otro lado, se debe satisacer también un pedido de un cliente importante de 125 unidades mensuales de producto A. El producto A requiere de 2 horas por unidad para ser elaborado, en tanto que el producto B requiere 1 hora por unidad para ser elaborado; existen disponibilidad 600 horas de tiempo de procesamiento para el siguiente mes. El objetivo de la empresa es satisacer los requerimientos planteados incurriendo en un costo de producción mínimo. Los costos de producción son de $2 por unidad para el producto A y de $3 por unidad para el producto B. El Modelo matemático para este problema es el siguiente: Minimizar C = 2X1 + 3X2 Sujeto a: X1 + X2 ≥ 350 Requerimiento mínimo de producción X1 ≥ 125 Demanda mínima del producto A 2X1 + X2 ≤ 600 Tiempo de procesamiento disponible 1)

Trazar un plano coordenado en el que el eje de las abscisas será para X1 ( primera variable de decisión) y el eje de las ordenadas será para X 2 ( segunda variable de decisión);

2)

Se gracan todas las restricciones, para esto las desigualdades se las transorma en igualdades; X1 + X2 = 350 Requerimiento de producción X1 = 125 Demanda del producto A 2X1 + X2 =600 Tiempo de procesamiento

3)

Se graca la región actible (RF) tomando en cuenta el sentido de las restricciones. En la primera y segunda restricción la solución se ubicará sobre la recta o hacia el lado derecho de las mismas; y en la tercera restricción, la solución se ubicará sobre la recta o hacia el lado izquierdo. Se orma una región actible que excluye al origen.

4)

Se graca la unción objetivo, para ello se da un valor cualquiera al costo. Por ejemplo, demos al costo un valor de 600 y graquemos la ecuación 600 = 2X1 + 3X2.Tracemos una paralela a esta recta hasta alcanzar el extremo izquierdo de la RF, éste será la solución óptima. En el ejemplo, la solución óptima corresponde a los valores X 1 = 250, X2 =100 y Costo = 800.

En este problema se tiene dos variables de excedente o de superávit y una de holgura. Transormemos al modelo anterior en la orma estándar restando una variable de excedente a la primera y segunda restricción y sumando una variable de holgura a la tercera restricción. Recordemos que las variables de excedente aquí las representaré con la letra E y las de holgura con la H, depende del autor que símbolo utilicen para representar esta variables.

MinC= s.a

2X1+

3X2+

OE1+

OE2+

X1+

X2 -

E1 =

350

-

H2 =

125

2X1+ X2+ H3 = X1,X2,E1,E2,H3 ≥ 0

600

X1

38


OH3



PRIMER BIMESTRE

Remplazando los valores de X1 y X 2 en las tres ecuaciones anteriores encontramos que E 1=0; E2 =125 y H3 = 0 signica que se están produciendo 125 unidades más que lo mínimo establecido en la segunda restricción; y, el valor de H 3 = 0, signica que se ha utilizado todo el tiempo disponible establecido en la tercera restricción.

ACTIVIDADES RECOMENDADAS

Es hora de trabajar con la inormación que consta en el texto básico. Le invito a resolver el ejercicio que a continuación le plateamos tomando como estrategia de trabajo la revisión del capítulo 7 del texto básico.

Ejercicio 3.1 Es hora de trabajar con la inormación que consta el texto básico. Le invito a resolver el ejercicio que a continuación le planteamos tomando como estrategia de trabajo la revisión del capitulo 7 del texto básico. a.

Considere el problema de programación lineal siguiente: Max 3A + 3B s.a. 2A + 4B ≤ 12 6A + 4B ≤ 24 A,B ≥ 0

b.



Encuentre la solución óptima mediante el procedimiento de solución gráca.



Si la unción objetivo se cambia a 2A + 6B, ¿Cuál será la solución óptima?



¿Cuántos puntos extremos hay? ¿Cuáles son los valores de A y B en cada punto?

Considere el programa lineal siguiente: Max 1A + 2B s.a 1A ≤5 1B ≤ 4 2A + 2B = 2 A, B ≥ 0 

Muestre la region actible.



¿Cuáles son los puntos extremos de la región actible?



Encuentre la solución óptima utilizando el procedimiento gráco.



39


c.

PRIMER BIMESTRE

Identicar la región actible para el siguiente conjunto de restricciones i.

2X1 - 1X2 ≤ 0 -1X1 + 1.5X2 ≤ 200 X1,X2 ≥ 0

ii.

1X1 + 2X2 ≤ 6 5X1 + 3X2 ≤ 15 X1,X2 ≥ 0

Autoevaluación 3


LEA CADA UNA DE LAS SIGUIENTES ASEVERACIONES, EMITA SU CRITERIO DE VERDADERO O FALSO DENTRO DEL PARÉNTESIS RESPETIVO. 1.

Modelo matemáticos. Son representaciones de un problema donde el objetivo y todas las condiciones de restricciones se describen por medio de expresiones matemáticas. 2. Programa lineal. Es un conjunto de restricciones que requiere que todas las variables serán no negativas. 3. Región actible. Son soluciones que satisace todas las restricciones de orma simultanea. 4. Función objetivo. Expresión que dene la cantidad que se maximizará o minimizará en un modelo de programación lineal. 5. Inactibilidad. Signica que ninguna solución al problema de programación lineal satisace todas las restricciones, incluidas las restricciones de no negatividad 6. Restricción. Ecuación o desigualdad que descarta ciertas combinaciones de variables de decisión como solución actible 7. En la relación matemática siguiente -1A + 2B ≤ 70, es un modelo de programación lineal aceptable. 8. En la relación matemática siguiente 2A – 2B = 50, es un modelo de programación lineal inaceptable. 9. Ilimitada. Situaciones en la cual el valor de la solución puede ser innitamente grande para un problema de programación lineal de maximización o innitamente pequeño para un problema de minimización. 10. Variables de Holgura. Variable añadida en el lado izquierdo de una restricción de menor o igual para convertir la restricción en una igualdad

40



(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)


PRIMER BIMESTRE

Unidad 4

APLICACIÓN DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL Espero que la unidad anterior haya sido de su agrado, ahora vamos a revisar más aplicaciones y usted podrá identicar en qué áreas se puede trabajar y /o aplicar como herramienta de ayuda la programación lineal, siga adelante que estamos a punto de culminar el primer bimestre.

En el capitulo 9 del texto se trata este tema, les invito a revisar los contenidos del mismo. De esto revisaremos 4 aplicaciones pero dejo en ustedes la revisión de las demás áreas.

4. APLICACIONES La programación lineal ha demostrado ser uno de los enoques cuantitativos más exitosos para la toma de decisiones; sus aplicaciones abarcan casi todas las industrias. Estas aplicaciones incluyen programación de la producción, selección de medios de comunicación, planeación nancieras, elaboración del presupuesto de capital, transportación, diseño de sistema de distribución, mezcla de productos, procesos de empleo y mezcla. Para tener una mejor idea de esto, revisaremos cuatro áreas. Iniciemos.

4.1. EN LA MERCADOTECNIA Las aplicaciones de la programación lineal en mercadotecnia son numerosas. En esta sección se estudian las aplicaciones en la sección de medios de comunicación y en la investigación de mercados. La programación lineal nos servirá para determinar la maximización en el alcance de la recuencia y la calidad de la exposición. Selección de Medios de comunicación.

Las aplicaciones de medios de comunicación por medio de la programación lineal están diseñadas para ayudar a los gerentes de mercadotecnia a asignar un presupuesto de publicidad jo a varios medios de publicidad .En estas aplicaciones, el objetivo es maximizar el alcance, la recuencia y la calidad de la exposición. Las restricciones sobre la asignación permisible por lo general surgen durante la consideración de las políticas de la empresa, los requisitos contractuales y la disponibilidad de los medios. Investigación de mercados. Una organización realiza estudios de mercado para enterarse de algunas características, actitudes y preerencias de los consumidores. Las rmas de investigación de mercados que se especializan en proporcionar esta inormación con recuencia hacen la investigación real para las organizaciones de los clientes. Los servicios típicos que orecen este tipo de empresas incluyen el diseño de estudios, la realización de encuestas de mercado, el análisis de los datos recabados y la entrega de inormes donde se resumen los hallazgos y se incluyen recomendaciones para el cliente. En el ejemplo del texto básico, capitulo 9, literal 9,1, se distinguen los elementos del modelo matemático de la siguiente manera: Función Objetivo: Max la calidad de la exposición Restricciones:

Las políticas de la empresa Requerimientos contractuales Disponibilidad de medios de comunicación



41


PRIMER BIMESTRE

Ahora van a seguir la resolución del ejercicio de acuerdo a la metodología revisada en el capitulo anterior de programación lineal con el método gráco si tiene dos variables de decisión ó más. Para el ejercicio en revisión, denimos las variables de decisión para el mismo son DTV : cantidad de veces que se usa la televisión diurna ETV : cantidad de veces que se usa la televisión vespertina DN : cantidad de veces que se usa el periódico diario SN : cantidad de veces que se usa el periódico dominical R : cantidad de veces que se usa la radio Los datos sobre calidad de la exposición de la tabla 4 muestran que cada anuncio de TV matutina (DTV) se calica con una exposición de 65 unidades. Por tanto, un plan de publicidad con anuncios proporcionará un total de 65DTV unidades de calidad de la exposición. Siguiendo con los datos de la tabla 9.1, encontramos que la TV (ETV) se estimo en 90 unidades de calidad de la exposición; el periódico (DN) en 40 unidades de calidad de exposición; el suplemento dominical (SN) en 60 unidades de calidad de la exposición, y la radio (R) se estimó en 20 unidades de calidad de la exposición.

TABLA 4: ALTERNATIVAS DE LOS MEDIOS DE PUBILICIDAD PARA RELAX – AND – ENJOY LAKE DEVELOPMENT CORPORATION

Número de clientes potenciales alcanzados

Costo por anuncio ($)

Veces máximas disponibles por mes*

Unidades de calidad de la exposición

1000

1500

15

65

2000

3000

10

90

1500

400

25

40

Suplemento dominical del periódico (1/2 plana a color)

2500

1000

4

60

Radio, noticiero de las 8:00am o delas 5:00pm(30s),estación KNOP

300

100

30

20

Medios

1.

Television matutina estación WKLA

(1min)

2.

Televisión vespertina estación WKLA

(30s),

3.

Periodico (plana completa)

4. 5.

*El numero máximo de veces que el medio esta disponible es ya sea el numero máximo de veces que ocurre el medio de publicidad ( por ejemplo, cuatro domingos por mes) o el numero máximo de veces que BP&J recomienda usar ese medio Fuente. Métodos Cuantitativos para los negocios. Sweeney & Camm. Ediciones Gestión 2011.pág.:359.

42




PRIMER BIMESTRE

Con el objetivo de maximizar las unidades de calidad de la exposición para el plan general de selección de medios, la unción objetivo se vuelve: MAX 65DTV+ 90ETV+ 40DN + 60SN+ 20R Calidad de la exposición Ahora ormulamos las restricciones para el modelo a par tir de la inormación proporcionada DTV

≤ 15 ETV

≤ 10 DN SN

1500DTV+ DTV+

3000ETV+

400DN+

1000SN+

3000ETV

1000DTV+

2000ETV+

Disponibilidad

≤4

de los medios

R

≤ 30

100R

≤30,000 Presupuesto

ETV

1500DTV+

≤ 25

≥10

Televisión

≤18,000 Restricciones 1500DN+ 2500SN+

300R

≥50,000 Clientes alcanzados

DTV, ETV, DN, SN, R ≥ 0 De acuerdo al modelo diseñado el problema tiene 5 variables de decisión y nueve restricciones. Para determinar la solución del problema, se interpreta los resultados que arroja el programa, para esto, revisar lo que está en el texto base de esta unidad, literal 9.1.Ademas les propongo que desarrollen el ejercicio sobre investigación de mercados que está en el mismo capitulo.

4.2. APLICACIÓN FINACIERA En nanzas, la programación lineal se aplica a situaciones problemáticas que involucran la elaboración de presupuestos de capital, decisiones de hacer o comprar, asignación de valores, selección de portaolios, planeación nanciera y mucho más. Tal como dice el autor, las aplicaciones nancieras se las utiliza en situaciones que implican presupuestos de capital. Así como el tema anterior, el éxito o racaso de la resolución está en que el modelo matemático sea el que intérprete de una orma ecaz el hecho real, tanto en la unción objetivo como en las variables de decisión y sus restricciones. Ahora analizaremos la solución del ejercicio del literal 9.2 – capitulo 9 del texto básico

La unción objetivo es: Maximizar el rendimiento esperado ó minimizar el riesgo, para el ejercicio en mención la F.O. es: Maximizar el rendimiento proyectado sujeto a restricciones impuestas por el presupuesto y la administración.

Las restricciones son: Los lineamentos de inversión impuestos por la empresa, los benecios obtenidos en la conversión de bonos.

Las variables de decisión: Se las determina de la tabla de oportunidades de inversión para la empresa.



43


PRIMER BIMESTRE

Ejemplo: ¿Qué recomendación de portaolio, es decir inversiones y montos, se deben hacer para los $100,000 disponibles? Dado el objetivo de maximizar el rendimiento proyectado sujeto a las restricciones impuestas por el presupuesto y la generación, podemos responder a esta pregunta al ormular y resolver un modelo de programación lineal del problema. La solución proporcionará recomendaciones de la inversión para la gerencia de Welte Mutual Funds

Sea: A = dólares invertidos en Atlantic Oil P = dólares invertidos en Pacic Oil M = dólares invertidos en Midwest Steel H = dólares invertidos en Huber Steel G = dólares invertidos en bonos del gobierno

Utilizando las tasas de rendimiento proyectadas mostradas en la tabla 5, escribimos la unción objetivo para maximizar el rendimiento total para el portaolio como: Tabla 5: OPORTUNIDADES DE INVERSION PARA WELTE MUTUAL FUNDS

Inversion

Tasa de rendimiento proyectada (%)

Atlantic Oil Pacic Oil Midwest Steel Huber Steel Bonos del gobierno

7.3 10.3 6.4 7.5 4.5

Fuente. Métodos Cuantitativos para los negocios. Sweeney & Camm. Ediciones Gestión 2011.pág.:365.

El modelo matemático quedo como sigue: Función Objetivo: 0.073A + 0.103P + 0.064M + 0.075H + 0.045G La restricción que especica la inversión de los $ 100.000 disponibles es A + P + M + G = 100.000 Disponibilidad de inversión Los requisitos de que ni la industria petrolera ni la industria siderúrgica deben recibir más de $50,000 son: A + P ≤ 50.000 M + H ≤ 50.000

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Máximo para industria petrolera Máximo para industria siderúrgica



PRIMER BIMESTRE

El requisito de que los bonos del gobierno deben constituir por lo menos 25% de la inversiones en la industria siderúrgica se expresa como G ≥ 0.25 (M + H)

o -0.25M - 0.25H + G ≥ 0

Máximo para bonos del gobierno

Por último la restricción de que Pacic Oil no puede tener más de 60% de la inversión total en la industria petrolera es: P ≤ 0.60(A + P) o -0.6A + 0.4P ≤ 0 Restricción de Pacic Oil Al añadir las restricciones de no negatividad, se obtiene el modelo de programación lineal completo para el problema de inversión de Welte Mutual Funds:

Max 0.073A+ s.a

0.103P+

A+

P+

A+

P

0.064M+ M+

0.075H+ H+

0.045G G

=100,000 Fondos disponibles ≤50,000 Máximo petrolera

M+

-0.25M-

H

de la industria

≤50,000 Máximo de la industria siderúrgica

0.25H+

≥0 Mínimo para bonos del gobierno G

-0.6A+ A, P, M, H, G ≥ 0

0.4 P

≤ 0 Restricción de Pacic Oil

Resumen: Tenemos 5 variables de decisión y cinco restricciones.

4.3. PROBLEMAS DE MEZCLA En algunas áreas es necesario realizar mezclas para obtener un producto nal, los problemas de mezcla surgen siempre que un administrador debe decidir cómo mezclar dos o más recursos para producir uno o más productos. En estas ocasiones se tiene uno o más ingredientes esenciales que deben mezclarse en productos nales que contendrán porcentajes especícos de cada uno. Los problemas de mezcla ocurren con recuencia en la industria del petróleo (por ejemplo, la mezcla de petróleo crudo para producir gasolinas de dierentes octanajes), la industria química (por ejemplo, la mezcla de productos químicos para producir ertilizantes y herbicidas) y la industria alimenticia (por ejemplo, la mezcla de ingredientes para producir bebidas rerescantes y sopas. Para el transcurso de este tema, desarrollaremos el ejercicio propuesto en la sección 9.4 del texto básico (pag.388) Ejemplo: La compañía petrolera Grand Strand produce gasolina regular y premium para estaciones de servicios independientes en el sureste de Estados Unidos. La renería de Grand Strand ábrica los productos de gasolina al mezclar tres componentes de petróleo. Las gasolinas se venden a dierentes precios, y los componentes de petróleo tienen distintos costos. La empresa quiere determinar cómo mezclar o combinar los tres componentes en los dos productos de gasolina y maximizar las utilidades.



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PRIMER BIMESTRE

Los datos disponibles muestran que la gasolina regular se puede vender a $2.90 por gasolina y la Premium a $3.00 por galón. Para el periodo de planeación de la producción actual, Grand Strand puede obtener los tres componentes de petróleo al costo por galón y en las cantidades mostradas en la tabla 6: Tabla 6: Costo y Suministro de Petróleo para el Problema de Mezcla de Grand Strand

Componente de petróleo

Costo/Galón disponible

1 2 3

$2.50 $2.60 $2.84

Máximo

5,000 galones 10,000 galones 10,000 galones


Las especicaciones de producto para las gasolinas y Premium restringen la cantidad de cada componente que se puede usar en cada producto de gasolina. La tabla 7 lista las especicaciones de producto. Los compromisos actuales con los distribuidores requieren que Grand Strand produzca por lo menos 10,000 galones de gasolina regular. Tabla 7 Especicaciones de los productos para el problema de mezcla de Grand strand

Producto

Especifcaciones

Gasolina regular

Máximo 30% del componente 1 Por lo menos 40% del componente 2 Máximo 20% del componente 3

Gasolina premium

Por lo menos 25% del componente 1 Máximo 45% del componente 2 Por lo menos 30% del componente 3


El problema es determinar cuántos galones de cada componente deben usarse en la mezcla de gasolina regular y cuántos en la mezcla de gasolina Premium. La solución de mezcla óptima debe maximizar las utilidades de la empresa, sujetas a las restricciones sobre suministros de petróleo disponible que aparecen en la tabla 6 las especicaciones de producto mostrando en la tabla 7 y los 10,000 requeridos de gasolina regular. El primer paso es denir las variables de decisión en este caso X ij = galones del componente i usado en la gasolina j, donde i = 1,2 o 3 para los componentes 1,2 o 3, y j = r si es regular, o j = p si es Premium

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PRIMER BIMESTRE

Las seis variables son X1r = galones del componente 1 en la gasolina regular X2r = galones del componente 2 en la gasolina regular X3r = galones del componente 3 en la gasolina regular X1p = galones del componente 1 en la gasolina Premium X2p = galones del componente 2 en la gasolina Premium X3p = galones del componente 3 en la gasolina Premium El número total de galones da cada tipo de gasolina producida es la suma del número de galones producidos usando cada uno de los tres componentes de petróleo.

Total de galones producidos Gasolina regular = X1r + X2r + X3r Gasolina Premium = X1p + X2p + X3p Los galones totales de cada componente de petróleo se calculan de un modo similar. Uso total del componente de petróleo Componente 1 = X1r + X1p Componente 2 = X2r + X2p Componente 3 = X3r + X3p Desarrollamos la unción objetivo de la maximización de la contribución a las utilidades al identicar la dierencia entre los ingresos totales de ambas gasolinas y el costo total de los tres componentes entre los ingresos totales de ambas gasolinas y el costo total de los tres componentes de petróleo. Al multiplicar el precio de $2.90 por galón por galones totales de gasolina regular, el precio de $3.00 por galón por los galones totales de gasolina Premium, y la ciras del costo por galón del componente que aparecen en la tabla 6 por los galones totales de cada componente empleado, se obtiene la:

Función objetiva: Max 2.90 (X1r + X2r + X3r) + 3.00(X1p + X2p + X3p) -2.50 (X1r + X1p ) - 2.60(X2r + X2p ) - 2.84(X3r + X3p) Cuando combinamos los términos, la unción objetiva se vuelve Max 0.40X1r + 0.30X2r + 0.06X3r + 0.50X1p + 0.40X2p + 0.16X3p



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G18508.1

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