1 LISTA #3 -
EMC403
GABARITO 1) Um sistema sistema de primeira ordem, G( s) =
k sT + 1
, foi excitado com uma entrada degrau de amplitude 2,
fornecendo o gráfico da resposta do sistema dado a seguir. Calcule o ganho e a constante de tempo do sistema, T . 10 9 8 7 6
a d í a 5 S
4 3 2 1 0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2 Tempo (seg)
. onde k é SOLUÇÃO: o ganho k é calculado através de v f = k A é o ganho do sistema e A é a amplitude do degrau. Para a constante de tempo, basta observar no gráfico o valor do tempo onde a apmplitude é igual a 0.63v f.
Logo: k=10/2=5 e y(T)=6.3. No gráfico T=0.2. Daí:
G( s ) =
5 s 0.2 + 1
2) Dados dois dois sistemas sistemas representados por suas suas funções de transferência: transferência: G1 ( s) =
20 s + 20
e
G2 ( s) =
100 s + 25s + 100 2
Verifique se as afirmações a seguir são corretas ou não. Justifique a sua resposta. a) O sistema dado por G1(s) tem para uma entrada degrau unitário um valor final igual a 20 Solução: Incorreto. O valor final será igual a 1. b) O segundo sistema tem dois pólos reais
Solução: Correto. Os pólos são iguais a –20 e –5. c) O segundo sistema é equivalente ao sistema de primeira primeira ordem dado por
G ( s) =
1 s + 1
5 . s + 5 Devemos lembrar que estamos propondo uma aproximação onde a relação entre o pólo dominante e o segundo pólo é de 4 vezes
Solução: Incorreto. O sistema equivalente deve ter pólo em –5, isto é: G( s ) =
d) O primeiro sistema é instável Solução: Incorreto. O sistema é estável pois tem um pólo (-20), no semi-plano esquerdo estrito.
2 e) O sistema que entra mais rápido em regime é o sistema 2. Solução: Incorreto. É o sistema 1, pois tem pólo dominante mais distante do eixo imaginário, o que implica em entrar em regime mais rápido que o sistema 2 que tem pólo dominante em –5. 3) Para cada uma das funções de transferência a seguir, classifique os sistemas considerando a resposta ao degrau unitário. Encontre também as especificações de desempenho (t p, M p, ts e tr ) para os sistemas. Solução: Devemos analisar o valor dos pólos ou do fator de amortecimento para prever o tipo de resposta do sistema. Sobre os valores das especificações devemos utilizar as fórmulas dadas a seguir. As fórmulas dadas a seguir só podem ser utilizadas em sistemas subamortecidos.
Para sistemas criticamente amortecidos e superamortecidos o sobressinal é nulo, o tempo de subida corresponde ao intervalo de tempo entre 10% e 90% do valor final e o tempo de acomodação corresponde ao tempo onde a amplitude da resposta vale 0.98vf. SISTEMAS SUBAMORTECIDOS: πζ
Max. Sobressinal e o tempo de pico: Mp
Tempo de subida (rise time) t r
=
π −
=
e
a cos
1−ζ
ζ
w d
2
tp
=
π w d
Tempo de acomodação t s
=
4
ζwn
SISTEMAS SUPERAMORTECIDOS E CRITICAMENTE AMORTECIDOS: o cálculo do tempo de subida e do tempo de acomodação deve ser numérico, a partir da resposta do sistema. Não há fórmula pronta. Por exemplo: −15t − 15e −15t t podemos dar valores para t e determinar No ítem (c) dado a seguir y( t ) = 1( t ) − e y(t). Quando este for igual a 0.98vf (onde vf=1), teremos o valor do tempo de acomodação. A tabela dada a seguir ilustra este fato. É obvio que este tipo de exercício não é cobrado na prova, mas esta é a solução mais correta. T y
0 0.01 0.03 0.04 0.08 0.10 0.14 0.18 0.2 0 0.01 0.07 0.12 0.34 0.44 0.62 0.75 0.8
0.25 0.88
0.26 0.28 0.3 0.38 0.39 0.4 0.9 0.92 0.94 0.97 0.98 0.982
Observando a tabela, determina-se de modo aproximado que: ts=0.39 e tr=0.26-0.035=0.225. Este mesmo raciocínio para cálculo de ts e tr foi aplicado no item (b). a) G ( s) =
400 s 2 + 12 s + 400
b) G ( s ) =
900 s 2 + 90 s + 900
Pólos em p1= -6 +19.07i e p2= -6 -19.07i (Sistema Subamortecido)
Pólos em p1=-78.5 e p2= -11.4 (Sistema Supermortecido)
tp=0,1647s e Mp=0.366 tr=0.0986s ts=0.667s
Não tem sobressinal tr=0.19s ts= 0.35s
3 c) G ( s) =
225 ; 2 s + 30 s + 225
c) G ( s) =
625 s 2 + 625
Pólos em p1=p2=-15 (Sistema Criticamente Amortecido)
Pólos em p1=25i e p2=-25i (Sistema Oscilatório Puro)
Não tem sobressinal tr=0.225 ts=0.39
Não tem sobressinal tr= não tem. ts= não tem.
4) Um termômetro exige 1 minuto para indicar 98% da resposta final a um degrau. Assumindo que o termômetro é um sistema de primeira ordem, ache a sua constante de tempo.
Solução: Assumindo degrau unitário e lembrando que y( t ) = v f ( 1( t ) − e
−
t T )
basta utilizar a informação dada no exercício e substituir na fórmula, ou seja: t =60seg
para y(t)=0.98v f . Na equação:
0.98v f = v f ( 1 − e
⇒
− 60 T
−
60 T )
⇒ −0.02 = −e
−
60 T
⇒ ln( −0.02 ) = ln( −e
−
60 T )
⇒
= ln( 0.02 ) ⇒ T = 15 ,33 seg
5) Qual a resposta de um sistema cuja função de transferência é dada abaixo, quando sujeito a uma entrada na forma de uma rampa e admitindo-se condição inicial igual a 2. Qual o valor final da saída do sistema? G ( s) =
s s + 3
.
Solução: Neste exercício temos que calcular a resposta do sistema para uma entrada e para a condição inicial. Quando determina-se a FT (G(s)), as condições iniciais são nulas. Assim, para resolvermos o exercício devemos determinar a eq. diferencial que deu origem a G(s) e depois aplicar novamente Laplace, incluindo a condição inicial dada. G( s ) =
Y ( s ) U ( s )
=
s s + 3
⇒ Y ( s )[ s + 3] = sU ( s ) ⇒ Y ( s ) s + 3Y ( s ) = sU ( s ) ⇒
dy( t ) dt
+ 3 y( t ) =
Aplicando Laplace sobre a eq diferencial : sY ( s ) − y( 0 ) + 3Y ( s ) = sU ( s ) − u( 0 ) u( 0 ) = 0 (entrada rampa é nula em t = 0) e y(0) = 2. Daí : Y ( s ) s + 3Y ( s ) = sU ( s ) + y( 0 )
du( t ) dt
⇒
4
Substituindo os valores de y(0) e U(s), vem que: 2 s + 1 s( s + 3 ) s 2 A( s + 3 ) + Bs ( A + B ) s + 3 A A B ⇒ Y ( s ) = ⇒ Y ( s ) = Desenvolvendo em frações parciais : Y ( s ) = + s s + 3 s( s + 3 ) s( s + 3 ) A + B = 2 ⇒ B = 2 − A ⇒ B = 2 − 1 = 5 3 3 Comparando os numeradore s : 3 A = 1 ⇒ A = 13 11 5 1 1 5 t Logo : Y ( s ) = o que anti - transformando (usar a tabela) resulta em : y( t ) = 1( t ) + e −3 + 3 s 3 s + 3 3 3 Y ( s )[ s + 3] = sU ( s ) + y( 0 ) ⇒ Y ( s )[ s + 3] = s
1
+ 2 ⇒ Y ( s ) =
6) Dado um circuito composto por uma fonte de tensão em série com um capacitor e um resistor, pede-se: (a) Assumindo que a entrada é a tensão e a saída é a corrente, obtenha o modelo do sistema e a sua função de transferência.
Solução: montando o circuito RC e tendo como entrada u(t) e saída i(t), vem através das leis das malhas e pela relação entre corrente e tensão no capacitor e no resistor que: v R ( t ) + vC ( t ) = u( t ) com v R ( t ) = Ri( t ) e Derivando a equação das malhas :
d v R ( t ) dt
+
Substituindo o valor de v R ( t ) e da derivada d Ri( t )
+
1
G(s) =
I(s)
d u( t )
=
⇒ R
d i( t )
+
1
d vC ( t ) dt d vC ( t ) dt d u( t )
=
d vC ( t )
dt d u( t ) dt
vem :
i(t) = (eq. diferencial). dt C dt dt C dt Para determinar G(s) basta aplicar a Transf. de Laplace sobre a eq. diferencial, com condições iniciais nulas U(s)
i(t) =
i(t) = C
sC sRC + 1
CIRCUITO ELÉTRICO: R i(t) VR u(t)
C VC
. entrada: tensão u(t) saída: corrente i(t)
5 (b) Qual a constante de tempo e o ganho do sistema? Solução: é igual a RC. (c) Obtenha a resposta da corrente no sistema se a tensão varia na forma de um degrau unitário.
Solução: temos G(s) e u(t). Deve-se aplicar I(s)=G(s).U(s) e voltar para o tempo, obtendo i(t). G(s) =
I(s) U(s)
⇒ I ( s ) =
=
sC sRC + 1
C
⇒ I ( s ) =
⇒ I ( s ) =
sRC + 1
Anti - transformando : i(t) =
sC sRC + 1
U(s) ⇒ I ( s ) =
C RC ( s + 1 ) RC
1 R
e
−
⇒ I ( s ) =
1
sC
sRC + 1 s
⇒
1 R( s + 1
) RC
t
RC
(d) Qual é o valor da corrente quando o tempo tende a infinito?
Solução: o valor final da corrente é zero. (e) Dado que a corrente alcança 50% da resposta final a uma rampa na tensão em 0,1 segundos, ache a constante de tempo do circuito.
Solução: No caso da entrada rampa, teremos G(s) =
I(s) U(s)
⇒ I ( s ) =
=
sC sRC + 1
1
C
sRC + 1 s
⇒ I ( s ) =
⇒ I ( s ) =
sC sRC + 1
U(s) ⇒ I ( s ) =
C RC ( s + 1 ) s RC
sC
1
sRC + 1 s 2
⇒ I ( s ) =
⇒
1 R( s + 1
) s RC
Expandindo em frações parciais e anti - transformando, vem : i(t) = C ( 1( t ) − e
t
−
RC )
Utilizando a informação que i(t) = 0.5vf para t = 0.1seg, e vf = C, vem : −
0.1
−
0.1
−
0.1
0.5C = C ( 1( t ) − e ⇒ 0.5 = ( 1 − e ⇒ −0.5 = −e ⇒ ln( 0.5 ) = ln( e 0.1 0.1 ⇒− = ln( 0.5 ) ⇒ RC = − ⇒ T = RC = 0.1443 seg RC ln( 0.5 ) RC )
RC )
RC
−
0.1
RC )
(f) Dada que a resistência elétrica é igual a 5000Ω, calcule a capacitância do circuito.
Solução: Calcula-se diretamente pelo valor da constante de tempo do item (e). Assim: RC = 0.1443 ⇒ C =
0.1443 = 28 ,85µ F 5000
⇒
6 (g) Qual o ganho do circuito? Solução: Para a entrada rampa, o ganho do circuito é igual ao valor de C , pois vf=k=C . 7) Calcule os pólos, o coeficiente de amortecimento, a freqüência natural, a freqüência amortecida, o ganho e o valor final para uma entrada degrau dos seguintes sistemas: 0.4 s + 1 d2y dy a) 2 + 10 + 25 y = 500u ; b) F ( s ) = ; dt dt s ( s + 0.6) c)
d2y dt 2
+5
dy dt
+ 16 y = 16u ;
Obs: u é uma entrada qualquer. RESPOSTAS: Para obter as respostas indicadas, tomamos o degrau unitário e a fórmula da função de transferência para os itens (a) e (c). No item (b) o sistema não é estável, não podendo ser colocado na forma G( s ) = k s 2
25 s 2 + 10 s + 25
a) G( s ) = 20
Pólos: p1=p2= -5 Coef. de Amort.: ζ = 1 Freq. Natural: ωn = 5 Freq. Amortecida: ωd = 0 Ganho: k=20 Valor Final: vf=20 0.4 s + 1 s ( s + 0.6) Pólos: p1=0 e p2= -0.6 Coef. de Amort.: não tem Freq. Natural: não tem Freq. Amortecida: não tem Ganho: não tem Valor Final: infinito.
b) F ( s) =
c) G( s ) = 2 s
16 + 5 s + 16
Pólos: p1= -2.5 + 3.1i e p2=-2.5 - 3.1i Coef. de Amort.: ζ = 0.625 Freq. Natural: ωn = 4 Freq. Amortecida: ωd = 3.12 Ganho: k=1 Valor Final: vf=1
wn
2
+ 2ζwn s + wn 2
7 8) Para os ítens da questão 7, faça um diagrama do plano complexo e localize os polos de cada um dos ítens, neste plano. Classifique, também, os sistemas quanto ao grau de amortecimento (subamortecido, criticamente amortecido, sobreamortecido, oscilatório puro) e quanto à estabilidade. Para os ítens (a) e (c), faça um esboço do gráfico da resposta ao degrau.
Solução: (a) Criticamente Amortecido e Estável (b) Marginalmente Estável ou Instável (devido ao pólo na origem) (c) Subamortecido e Estável No plano s dado abaixo, foram desenhados todos os pólos e zeros (finitos) dos três sistemas. Pole-zero map 4
3
Pólo de (c) 2
Pólos de (a) 1 s i x A g a m I
0
Zero de (b)
-1
Pólos de (b) -2
Pólo de (c)
-3
-4 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
Real Axis
Esboço da resposta ao degrau unitário Item(a) y(t)
20
Item(c) y(t)
1
tempo
OBS.: Pesquisem como seria o esboço do item (b)!!!
tempo
8 9) O gráfico e a tabela a seguir ilustram uma resposta ao degrau unitário de um sistema de segunda ordem. Determine:
a) O valor de qsi, wn, wd e sigma.
Solução: A partir dos dados e do gráfico e com as fórmulas dadas a seguir podemos calcular todos os parâmetros. O sistema
de 2a ordem será dado por : G ( s )
=
k s 2
wn
2
+ 2ζ w n s +
wn
2
−πζ
Valem as fórmulas : t p
A última Com
=
π w d
( instante
do valor máximo
fórmula pode ser especializ ada para o cálculo de
w d e
Finalmente
ζ
calcula - se w n , pois : w n
:
σ = ζw n
=
de y(t) ) e M p
ζ
:
ζ =
w d
1−ζ
2
Assim, com o valor de tp da tabela dada no enunciado, calcula-se wd: Logo: tp=1seg
wd=π = 3.14 rad/s.
=
e
1−ζ
(ln Mp ) 2
π 2 + (ln Mp ) 2
2
(sobressin al)
9 Para o cálculo de ζ, devemos primeiro determinar Mp=(vp-vf)/vf com os valores da tabela dados por vp=0.35 e vf=0.245. Assim:
Mp=(0.35-0.245)/0.245 = 0.42 Com este valor e utilizando a fórmula para cálculo de ζ, vem: ζ=0.26. Com o valor de wd e ζ, determina-se wn, que resulta em: wn=3.25 rad/s Finalmente σ=0.845. b) O valor do sobressinal, do instante do sobressinal, do tempo de subida, do tempo de acomodação do sistema. Solução: O sobressinal, o instante do pico ou do sobressinal já foram calculados no item anterior. Utilizando as fórmulas dadas a seguir podemos calcular o tempo de subida e o tempo de acomodação, obtendo-se:
π − a cos( ζ ) π − a cos( 0.26 ) = = 0.58 seg π wd 4 4 4 = = = 4.7 seg t aco mod = σ ζwn 0.26 * 3.25 t subida
=
c) O valor final e o ganho do sistema. Solução: O valor final é obtido na tabela, valendo vf=0.245 (é o valor onde estabiliza a resposta). O ganho k, neste exercício, será o próprio valor final, pois a amplitude do degrau é iguala a 1. Logo k=0.245. d) A função de transferência que representa este processo e o tipo de resposta. Solução: G(s) será dado por: G( s ) = k s 2
wn
2
+ 2ζwn s + wn 2
3.25 2 2.58 = 0.245 2 = s + 2 * 0.26 * 3.25 s + 3.25 2 s 2 + 1.69 s + 10.56
10) Responda com um V se a afirmação abaixo for correta e com um F quando for incorreta (0,25 pontos). Justifique a sua resposta (0,75pontos) a) Um sistema que tenha três pólos reais em 0, –5 e –20 terá um comportamento integrativo, isto é, sua saída será a integral da entrada, sendo considerado não estável Solução: V. O pólo na origem gera uma resposta cujo valor será ao longo do tempo a integral da entrada. Se introduzirmos neste sistema um degrau, sua saída no início terá um comportamento que leva em consideração os 3 pólos (teremos como resposta, um degrau, duas exponenciais e uma rampa). Ao longo do tempo no entanto, a saída será dada pela rampa e o degrau. Assim, ao longo do tempo, a saída irá aumentar segundo um sinal ilimitado, o que caracteriza uma resposta não estável.
10 b) Um sistema que tenha dois pólos complexos com parte real nula é considerado marginalmente amortecido Solução: F. Será marginalmente estável e oscilatório puro. c) O sistema dado por
G ( s ) =
100 ( s + 10 )( s 2
+ s + 1 )
não possui um pólo dominante.
Solução: F. Este sistema possui um pólo em –10 e dois pólos dominantes complexos conjugados (p1,2=-0.5±0.87i). Como a parte real destes pólos é –0.5, logo estes dois pólos complexos estão mais próximos do eixo imaginário, estando o pólo em –10, mais de 5 vezes distante. 100 tem uma resposta ao degrau que estabiliza antes s 2 + 25 s + 100 100 da resposta do sistema dado por G 2 ( s ) = 2 s + s + 100
d) O sistema dado por
G1 ( s ) =
Solução: V. Os pólos de G2(s) (p1,2=-0.5±9.98i) estão mais próximos do eixo imaginário que os pólos de G1(s) (p1=-5 e p2=-20), o que caracteriza uma resposta para G2(s) que estabiliza mais lentamente. Para efeito de comparação coloco a seguir os tempos de acomodação de cada sistema e a conclusão: “Na comparação da resposta de dois sistemas, o sistema que tiver seus pólos dominantes mais próximos do eixo imaginário, terá a resposta mais lenta.” G1(s): ts= 0.84seg
e
G2(s): ts= 7.58seg
e) Um zero na origem tem um caráter integrativo na resposta de um sistema de 1a ordem.
Solução: F. A resposta será a derivada da resposta de um sistema de 1a ordem, conforme cálculo dado a seguir. Resposta ao degrau (U(s) =
1 s
) de : G( s ) =
Y ( s )
=
Ks
U ( s ) sT + 1
⇒ Y ( s ) =
Ks 1 sT + 1 s
⇒ Y ( s ) =
K sT + 1
⇒ y( t ) =
K T
−t
e T
−t
Este valor é a derivada da resposta de um sistema de 1a ordem ao degrau unitário : y(t) = K(1(t) - e T ).
f) O sistema dado por
G ( s ) =
100 ( s + 10 )( s 2
+ s + 1 )
deve ser considerado como um sistema com
uma resposta subamortecida, em função dos pólos dominantes. Solução: V. O sistema terá uma resposta subamortecida, pois os pólos dominantes são complexos.
