UNMSM
Geometría
SEMANA 1
RPTA.: B
SEGMENTOS - ÁNGULOS
3. 1.
En una recta se tienen los puntos consecutivos: G, E, O, M y T, siendo EO GE , OM MT , GT 36
En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D, E; siendo: AE AD + BE = 20 y BD = . Calcule 4 BD.
Calcule EO + 2MT.
A) 3 D) 6
A) D)
B) 4 E) 7
2
y “O” es punto medio de
C) 5
RESOLUCIÓN
27 33
B) 39 E) 35
G
E 2a
B
C
D
a
*
E
* *
RPTA.: B
Se tiene los puntos consecutivos A, B, C; tal que: (AB).(AC) = 2(AB2–BC2 ), AC = 6u. Calcule BC. B) 2 u E) 5 u
C) 3 u
RESOLUCIÓN 6
B 6-x
a
M b
T 3b
C
Del dato: 3a = 4b a 4 4k b
3
3k
3a + 4b = 36 3 4k 4 3k 36 12k 12 12k 36 24k 36 36 k ..... ...... ........ ...... ..((I) 24
a=4
A
O
b
De dato AD + BE = 20
A) 1 u D) 4 u
C) 31
36
4ab + a+b = 20 5a = 20
2.
GT .
RESOLUCIÓN
4a A
3
*
x = EO + 2MT x a 2 3b x 4k 6 3k x 4k 18k 18k 22k 22k.... ...... .... .... .... .... ..((II) II) (I) (I) en (II) 36 x 22 33 24 RPTA.: D
X
Dato :
AB x AC = 2(AB2 – BC2) (6 x) x AC = 2(AB+ BC)(AB – BC) 6 x = 2(ABBC) 6 x = 2(62x) 3x = 6 x =2
SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM 4.
Geometría
En una recta se ubican los puntos consecutivos P, Q, R y S, tal que PQ = 2(RS) , QR = 2 y
Piden: BC = x = ?
2 QR 3 RS PQ = . Calcule QS QR RS
A) 4 D) 7
B) 5 E) 8
Reemplazando y ordenando el dato: AB ² BC ² AC ² b AC
C) 6
DIFERENCIA DE CUADRADOS
RESOLUCIÓN
A B B C AB BC AC AC b
2a 2 P
a
Q
R
(AC) (ABBC) = AC(AB+BC b) (ABBC) = (AB + BC b) b = 2BC b BC 2
S
Datos: PQ = 2(RS) = 2a QR = 2 PQ 2 QR 3 RS ......() QR RS
RPTA.: C
6.
Piden: QS = (2 + a) = ? Reemplazando en () 2a 2(2) 3(a) (a) a a a² = 4 + 3a
A) 12 D) 20
a+b
En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C. Si (AB)2 + b(AC) = (AC)2 + (BC)2 ; calcule BC. B) 2b E) 4b
C) b/2
C
Datos: (AB)² + b(AC) = (AC)² + (BC)² SAN MARCOS 2011
X
Z
b B
b Y
C
Datos: X punto medio de AB (AX=XB) Y punto medio de BC (BY = YC) Z punto medio de XY (XZ=ZY) AB BC = 36 ZB = a = ? BY = YC = b XZ = ZY = a + b AX = XB = 2a + b
x
B
A
a
Piden:
RESOLUCIÓN
A
C) 9
2a+b
RPTA.: C
A) b D) b/4
B) 18 E) 8
RESOLUCIÓN
Resolviendo: a=4 QS = 6 5.
Sobre la línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C, luego se ubican los puntos medios X de AB , y de BC y Z de XY . Si: AB – BC = 36, calcule ZB.
Reemplazando : AB BC = 36 (4a + 2b) (2b) = 36
4a = 36 a=9 RPTA.: C
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM 4.
Geometría
En una recta se ubican los puntos consecutivos P, Q, R y S, tal que PQ = 2(RS) , QR = 2 y
Piden: BC = x = ?
2 QR 3 RS PQ = . Calcule QS QR RS
A) 4 D) 7
B) 5 E) 8
Reemplazando y ordenando el dato: AB ² BC ² AC ² b AC
C) 6
DIFERENCIA DE CUADRADOS
RESOLUCIÓN
A B B C AB BC AC AC b
2a 2 P
a
Q
R
(AC) (ABBC) = AC(AB+BC b) (ABBC) = (AB + BC b) b = 2BC b BC 2
S
Datos: PQ = 2(RS) = 2a QR = 2 PQ 2 QR 3 RS ......() QR RS
RPTA.: C
6.
Piden: QS = (2 + a) = ? Reemplazando en () 2a 2(2) 3(a) (a) a a a² = 4 + 3a
A) 12 D) 20
a+b
En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C. Si (AB)2 + b(AC) = (AC)2 + (BC)2 ; calcule BC. B) 2b E) 4b
C) b/2
C
Datos: (AB)² + b(AC) = (AC)² + (BC)² SAN MARCOS 2011
X
Z
b B
b Y
C
Datos: X punto medio de AB (AX=XB) Y punto medio de BC (BY = YC) Z punto medio de XY (XZ=ZY) AB BC = 36 ZB = a = ? BY = YC = b XZ = ZY = a + b AX = XB = 2a + b
x
B
A
a
Piden:
RESOLUCIÓN
A
C) 9
2a+b
RPTA.: C
A) b D) b/4
B) 18 E) 8
RESOLUCIÓN
Resolviendo: a=4 QS = 6 5.
Sobre la línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C, luego se ubican los puntos medios X de AB , y de BC y Z de XY . Si: AB – BC = 36, calcule ZB.
Reemplazando : AB BC = 36 (4a + 2b) (2b) = 36
4a = 36 a=9 RPTA.: C
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM 7.
Geometría 8.
En una recta se ubican los puntos consecutivos P, Q, R y S. Si (QR)(RS) = K(RS – RQ) y PR RS 1 . Calcule PR
Si: 1
OC
PQ PR
A) 2K D) K/2
B) K E) K/4
Sobre una recta se toman los puntos consecutivos O ,A, B y C. Calcule OA,
1 1 , (AB).(AC) = 289 OB OA
A) 11 D) 17
C) K/3
B) 13 E) 19
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN x
P
b
a Q
R a
a-x
x
S
O
b
b-a
C
B
A
b-x
Datos: (QR) (RS) = K (RS RQ).... (I) PR RS 1 .....................(II) PQ PR
1 1 1 OC OB OA
1 1 1 ab 1 (a b).x ab b a x ab x
Piden: PR = x = ?
(AB).(AC) = 289 (a-x).(b-x) = 289
De (I):
ab (a b)x x 2 289
1 RS RQ 1 1 1 K QR RS QR RS K QR RS 1 1 1 ...(III) K a b
ab – ab +x2 = 289 x2 = 289 x = 17
RPTA.: D
De (II) x b 1 x a x (x a)x = x² b(x a) (x a) (x + b) = x² x² + bx ax ab = x²
C) 15
9.
ab = x (ab) 1 1 1 x a b
En una recta se tienen los puntos consecutivos P, Q, R, S; siendo: 1 1 1 1 y PQ.RS = m. QR RS PQ PS Calcule PS.QR A)
m 2 E) 3m
B)
2m
D) m
De (III) 1 1 k x k
C) 2m
RESOLUCIÓN P
Q
R
S
RPTA.: B
a
y
b
x SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría x 10 7,5
Adecuando el dato: 1 1 1 1 QR PS PQ RS 1 1 1 1 y x a b
x 2,5 RPTA.: B
11. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD , tal que: m AOB m BOC luego se traza
x y b a x y a b yx ab
5
3
OM bisectriz del AOC, de tal forma que: m AOM - m COB+m COD = 40º. Calcule m MOB + m COD
ba ba yx ab yx ab yx a b m
A) 30º D) 45º
RPTA.: E
10. En una recta se tienen los puntos consecutivos: A, B, C; siendo AC = 10, luego se ubican los puntos medios: M, N, R y Q de AB,BC,AN y MC respectivamente. Calcule RQ. A) 2,0 D) 3,0
B) 2,5 E) 3,5
A
b 2
M a
a B R
a
b
x
M
a 2
b
C
5 A
3
4 4
D
o
m AOB = 5 m BOC = 3
C
N
a b 2
b
10
a 2b a 10 b a a x b 10 2 2 ba5 3 a b x 10 2 3 5 x 10 2
SAN MARCOS 2011
B
C) 2,8
b 2 Q
C) 40º
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN a
B) 35º E) 60º
AOC OM : bisectriz del (m MOB = ) m AOM m COB + m COD = 40º .............(I) m MOB + m COD = + = ? Reemplazando en (I) 4 3 40º + =
40º RPTA.: C
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
12. Sean dos ángulos cuya suma de sus medidas es 100º y la diferencia de sus complementos es 20º. Calcule la razón de las medidas de dichos ángulos.
RESOLUCIÓN R A
B) 1/3 E) 2/9
B
2
C) 1/4
N
RESOLUCIÓN
Sean los ángulos: a + b = 100º ................. (I) C(a) C(b) = 20º ..............(II) a P iden: ? b En (II) (90º a) (90º b) = 20º b a = 20º En (I) a + b = 100º Resolvemos: a = 40º b = 60º a 40º 2 b 60º 3
OM,ON,OR y OS de los ángulos AOB, BOC, AON y MOC respectivamente. Calcule m ROS . A) 15º D) 22,5º
B) 18,5º E) 25º
C) 20º
2
* 2 + 2 = 90º + = 45º *
x
90 º
2 2 3 x 90º 2 3 x 45º 90º 2 x 22,5º
RPTA.: D
14. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD, DOE, EOF de tal manera que: m AOD=m BOE=m COF y m DOF + m AOD=224º. Calcule la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo COD y el rayo OE , si : m BOC = 52º. A) 52º D) 82º
B) 60º E) 102º
C) 70º
RESOLUCIÓN C
R
B
D x O
A
E F
“OR” es la bisectriz del COD. SAN MARCOS 2011
C
o
RPTA.: A
13. Se tienen los ángulos adyacentes y complementarios AOB y BOC, luego se trazan las bisectrices
S
x
A) 2/3 D) 3/7
M
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría RESOLUCIÓN
*m AOD=m BOE = m COF=++2
B X
*m AOF = 224º 2+2+2 = 224º ++ = 112º .….. (I) *m BOC = 52º
= 52º.…
(II)
(II ) en (I) +52º + = 112º + = 60º x = + = 60º RPTA.: B
15. Si: m AOB = , calcule “x” si el AOB es dividido en partes de medidas
interiores.
iguales
por
“n”
rayos
X
A
O
“n” rayos interiores entonces son “(n+1)” ángulos interiores m AOB = (n+1)= = (n 1)
x = - 3
= x = - 3 n 1
RPTA.: D
16. El suplemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es igual al doble del complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento del complemento del mismo ángulo. Calcule el suplemento del doble de la medida del ángulo.
B x
A) 120º D) 60º
O
n 2 n 1
A
B) 45º E) 75º
RESOLUCIÓN Sea “x” el ángulo
A) /n
n 4 C) n 1 E) n 1 n 2
n 3 B) n D) n 2 n 1
C) 135º
SS
x C x
2C S
x CCx
.......(I)
S(2X) = ? Resolviendo (I) 180º[(180x)(90x)]= 2[90º(180xx)]
180º [90º] = 2[2x 90º] 90º = 2 (2x 90º) 45º = 2x 90º 2x = 135º S(2x) = S(135) = 45º
RPTA.: B
SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
17. Se tiene dos ángulos adyacentes, AOB y BOC, cuya suma de sus medidas es 100º (m AOB< m BOC). Se trazan las
bisectrices ON y OM . Calcule la medida del ángulo BOC si la bisectriz del ángulo NOM determina
“x”. L3
x
con OB un ángulo que mide 20º. B) 40º E) 70º
L 5 // L 6 . Calcule el valor de
y
A) 90º D) 60º
18. Según el gráfico L 1//L 2 y L 3 //L 4
L4
6x
C) 80º
L1
L5 L2
2x L6
RESOLUCIÓN B
N
Q
M C
A
20º
B) 40° E) 20°
C) 10°
20º 40º
A) 25° D) 30°
RESOLUCIÓN L3
x x o
3x
Datos: m AOB + m BOC = 100º -
L5
2x
ON bisectriz del AOB (m NOA = m NOB = )
OM bisectriz del BOC (m BOM = m MOC = + 40º)
Piden: m BOC = 80º + 2 = ?
L2
2x L6
OQ bisectriz del NOM (M NOQ = m QOM = 20º+) m QOB = 20º
L4
6x
Del gráfico (en L5 ) 6x + 3x = 180° x = 20 RPTA.: E
19. Si: L1 //L2 , calcule el valor de “X”. L1
Reemplazando: m AOB + m BOC = 100º 2 + (80º + 2) = 100º 4 = 20º = 5
2 x
L2
m BOC = 80º + 2 = 90º RPTA.: A
L1
A) 150° D) 160°
B) 130° E) 135°
C) 120°
RESOLUCIÓN
SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría L1
m = 2n
m 2 n RPTA.: C
2
x
2
L2
i)
ii)
Propiedad: 4 = 90º 2 = 45º ...............................(I) Por ángulos de lados perpendiculares x + 2 = 180º ....................... (II) De (I) y (II) x = 135° RPTA.: E
20. Si: L1//L2 . Calcule la relación de m y n. L1
bº
aº
mº
nº bº
A) 1 D) 2,5
aº
B) 1,5 E) 3
C) 2
RESOLUCIÓN n
aº
L1
bº
a+bº mº
nº bº n
Si:
aº
L2
a + b + n = 180º
SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
SEMANA 2
c°
TRIÁNGULOS I b°
1.
En la
figura, calcule el valor
2x°
de
“x”
a°
x
x°
2x°
3x°
Propiedad del cuadrilátero: a + b = 2x + 90º .................e a b c 2x 90º
100°
130º = 2x + 90º 2x = 40º
RPTA.: D 2
2
A) 40° D) 60°
3.
B) 45° E) 80°
En el gráfico: ABC es equilátero
c) 50°
y L1 //L2 . Calcule: “x”. B L1
RESOLUCIÓN
De la figura: B
x L2
x°
P
x
A
C
100° A
2
APC: 2 +
A) 100º D) 120º
C
2
2 + 100 = 180° + = 40°
B) 98º E) 110º
RESOLUCIÓN
El
Luego: : + +x = 100°
ABC
es equilátero: B 30°30°
40 +x = 100 x = 60°
- x ° 0 ° 1 8
RPTA.: D
x°
2.
Si: a + b + c = 130º. Calcule “2x”
A
c
2xº
B) 20º C) 30º E) 22º 30´
RESOLUCIÓN
60°
L1
x°
x°
60°
L2 C
(30°) + (180° -x°) = x° 210° = 2x° x° = 105°
b
a A) 10º D) 40º
C) 105º
RPTA.: C
4.
Calcule el valor de “” , si AB= BC y AC=CE=ED.
Si: a + b + c = 130° SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
B
6. E
3 A
B
D
C
A) 10º D) 18º
En la figura adjunta se tiene el triángulo isósceles ABC en el que se inscribe el triángulo equilátero DEF. La relación correcta entre a; b y c es:
B) 15º E) 24º
C) 12º D
RESOLUCIÓN
3
a° A
E
3
A)
4 4
A
c°
AC = CE = ED AB = BC
B
2
2
C
E
b°
D
C)
ACE:
E)
4 180 4 2
C
F
bc 2 a c b 2 ac b 2
B) a-b-c = 0
a
D) a b c 2
RESOLUCIÓN B
10 = 180° = 18° RPTA.: D
5.
En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) se ubica exteriormente y relativo al lado BC el punto D, de modo que AC=AD, mADC=80º y mBCD=15º. Calcule la mBAD. A) 15º D) 45º
B) 20º E) 55º
D A
b° 60°
a°
E 60°
c° ° 0 6
F
C
Como el DEF es cumple:
C) 35º
equilátero
se
60° + b = +a .............. ( 1) +c = 60 + a .............. ( 2)
RESOLUCIÓN B
De (1) a (2) a
AB = BC AC= AD
bc 2 RPTA.: D
D 80°
x
A
15°
20°
65°
C
En el ABC x + 20° = 65° x = 45°
7.
En la figura se cumple: x+ y + z = 360°; siendo x ; y, z; números enteros . Calcule: x+y+z
RPTA.: D SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría RESOLUCIÓN
1) n m
2)
n
m
3)
A) 6 D) 3
B) 5 E) 2
4) 5)
C) 4
n 2 m y = 90º + 2 nm suma x + y = 180 + ...(I) 2 x = 90º +
Dato: m + n = 150º ...........(II) (II) en (I) x + y = 180 +
RESOLUCIÓN
150º 2
x + y = 180 + 75º x + y = 255º
B
RPTA.: D m A m m
n
n
9.
c n
D
En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BF que resulta ser igual al lado AB. Si la mC = 15º. Calcule la mABF.
E
Se cumple: m + n + + = 360° ...... ( 1 ) m +n = + ................ ( 2 )
A) 50º D) 70º
B
En la figura, calcule x + y, si: m + n = 150º
x x
x+15º x+15º
15º C A F ABF : x+x+15º +x+15º = 180º 3x = 150º x = 50º
RPTA.: A
y
x m
A) 150° D) 255°
n
B) 200° E) 270°
10. En la figura AB = BC y AC = AD = DE = EF = FB Calcule la medida del ángulo ABC. A
C) 225°
E
C
A) 15º D) 36º
SAN MARCOS 2011
C) 45º
RESOLUCIÓN
( 2) en (1) 1 + 1 + 2 = 360° x + y +z=4 RPTA.: C
8.
b) 30º E) 60º
D
F
B) 18º E) 20º
B
C) 30º
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría 12. En la figura, calcule “x”:
RESOLUCIÓN Completando ángulos: mBAC = m ACB = 4x mDAC = x
3
A X
3x 3x
3
E
40°
X
C
4x
4x
2x
2x
X
F
D
ACD
A) 8° D) 18°
B
30º 5
5 3
A) 60º D) 70º
B) 40º E) 50º
C) 12°
4 + 4 = 40º +180º + = 55º 3 + 3 = x = 180º 3. 55 + x = 180º x = 15º
11. En la figura mostrada, calcule “x”. X
B) 15° E) 10°
RESOLUCIÓN
: 4x + 4x + x = 180º x = 20º RPTA.: E
RPTA.: B
13. En la figura, calcule: "x", si: =20°. D
B 50°
3
x
C) 80º
E A
RESOLUCIÓN
x
A) 30° D) 45°
Del gráfico: exterior: 8 + x = 8 x = 8( - ) 3 + 30º = 3 - = 10º x = 80º
B) 40° E) 35°
C
C) 50°
RESOLUCIÓN Dato -=20°……….(1) ABC: Propiedad: mB=100°
RPTA.: C
Luego: =80° =40° ……………(2) Ec.(1) + Ec.(2):
2 =30° y =10° x = = 30° + 2(10°) = 50°
RPTA.: C
SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
14. En la figura: a+b = 36. Calcule el mayor valor entero de “x”.
RESOLUCIÓN x + = 180º x =180º -
x
B a
10
A
C
X
2
2
b
8
x
D
A) 20 D) 26
x
B) 21 E) 25
C) 22
x x
2 +2 + = 5 = 180º = 36º x = 180º - 36º = 144º RPTA.: A
RESOLUCIÓN
Dato: a + b = 36 ABC : x < 10 +a .................. ( I) ACD : x < 8 + b .................. ( II) (I) +(II) 2x < 10 +8 +a+b 2x < 54 x < 27 xmax = 26
16. Calcule “x” sabiendo que es entero, AB = AE = CD X C B
RPTA.: D 4º
A
15. En la figura, calcule: “x”.
A) 82º D) 85°
x
D
E
B) 83° E) 86°
C) 84°
RESOLUCIÓN P xº
x
C
x
B
x
x
=
x+4º =
A) 144º D) 160º
B) 150º E) 120º
C) 136º
A
1) 2) 3) 4)
SAN MARCOS 2011
180º-2(x+4º) =
EPD, m AEP ABE isósceles
4º
x+4º E
= x + 4º
m AEB = m ABE = x + 4º m BAE = 180º 2(x + 4º) ....(I) x + 4º < 90º x < 86º ...............................(II) ACD a mayor lado se opone mayor ángulo CUESTIONARIO DESARROLLADO
D
UNMSM 5)
Geometría
180º 2(x+4º) < 4º 84º< x ................................(III) De (II) y (III) 84º < x < 86º x = 85º
RESOLUCIÓN
B
RPTA.: D
P
17. Calcule “y”, sabiendo que “x” es el mínimo valor entero.
H
O
12
4
B
13
A
x+y
C
X
15
D 2x - y
y-x
A
A) 62º D) 92º
B) 82º E) 98º
C) 88º
RESOLUCIÓN
1) 2)
3)
4)
5)
Del gráfico: > 90º (obtuso) AOC: 12 < AC < 16
C
2x y + x + y + y x = 180 2x + y = 180 y = 1802x ......(I) En A: 2xº yº > 0º (no existe ángulo negativo) 2xº > yº ........................(II)
xmax = 27 RPTA.: E
19. En un triángulo ABC, S y R son
puntos que pertenecen a AB y BC respectivamente. Si : AC=AS=RC, mSAR=10° y mRAC=50°. Calcule mSRA.
(I) en (II) 2xº > 180º 2xº 4xº > 180º xº > 45º El mínimo valor entero de “x” es
46º
ACmin= 13; porque: AC² > 4² + 12² ADC: 2 < x < 28
A) 20° D) 25°
x = 46º ......... (III)
B) 30° E) 15°
C) 40°
RESOLUCIÓN
(III) en (I) yº = 180º 2(46º) yº = 88º
Se une S y C SRC isósceles
ASC
equilátero
B
RPTA.: C
S
18. Se tiene un triángulo ABC, se trazan la altura AH y la bisectriz
x
R 50°
interior CP intersectandose en “O” .
Si: AO=4, OC = 12 y CD=15; calcule el máximo valor entero de AD , si AC toma su mínimo valor
10°
entero, además “D” es un punto
A
exterior al triángulo ABC. A) 20 D) 25 SAN MARCOS 2011
B) 21 E) 27
C) 23
20° 50°
x + 50° = 80° x = 30°
60°
C RPTA.: B
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría SEMANA 3
20. Se
tiene un triángulo
ABC, se
ubica el
equilátero punto
exterior y relativo al lado BC. Si: mCBD - m DAC = 30° y mADC=10°. Calule: mCAD. A) 5° D) 18°
B) 10° E) 20°
TRIÁNGULOS II
“D”
1.
En un triángulo ABC donde m C=30º, AC=12 y AB=10. Calcule m A (m B>90º) A) 7º D) 13º
C) 15°
C) 12º
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN B 60°
B) 8º E) 15º
Se construye
x+30° 30°
AsC: notable
x 60º53º 7º
D
10°
S ° - x 6 0
A
60°
x
B
6
C
10
Como la m BDA = 30° es la mitad de la m ACB = 60°; y como se cumple que: AC = CB , entonces:
53º x
A
x
C
En un triángulo obtusángulo ABC obtuso en B, se traza la ceviana interior BF tal que: m BAC=2m BCA, m FBC=90º, AC=24 y AB =10. Calcule AF.
mCBD = mCDB 40°
30 12
2.
AC = CB = CD x+30° =
RPTA.: A
6 3
= 10°
m CAD = x = 10°
A) 5 D) 6
RPTA.: B
B) 3 E) 2
C) 4
RESOLUCIÓN
FBC: Se traza la mediana BM ABN: Isósceles x = 24 20 = 4
A
24
x
2
F
10
2
10
10
N
10
B
3.
SAN MARCOS 2011
C
RPTA.: C
En un triángulo ABC se traza la mediatriz de AC que intercepta al lado BC en “P”. Calcule el CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
máximo valor entero de AB si BP=8 y PC=12. A) 17 D) 22
B) 19 E) 24
5.
C) 20
ii)
D) 53º
x
A D
3 x
E) 20º
E
RESOLUCIÓN B
P
1 2
x
12
A
C
x
C
RPTA.: B
En un triángulo ABC donde AC=25, se traza BE perpendicular a la bisectriz interna del ángulo A, luego se une el punto medio “M” de BC con “E”, calcule AB si
EM=4 A) 18 D) 17
C
x
C) 50º
8
4.
B
B) 45º
Por mediatriz de AC AP = PC = 12 ABP: existencia x < 20 x = 19 B x
AB = BE y BC =BD A) 30º
RESOLUCIÓN
i)
Calcule “x” en la figura si:
B) 15 E) 21
A
D
3 x
E
i) ii)
ABD EBC .......(L.A.L.) m BAD = m BEC = Por propiedad:
x 180º3x 4x 180º
C) 16
x=45º
RPTA.: B
RESOLUCIÓN
6.
En un triángulo rectángulo ABC donde mB= 90º, mC = 22º 30’,
B
AC=20. Calcule la distancia del punto medio de BC a la hipotenusa.
M
x 4
C
25
A
P
8
10 2 3 5 2 D) 2
A)
Se prolonga BE hasta “P” AEB A E A L AB AP = x BPC: PC = 8 x = 17
5 2 3 5 2 E) 4
B)
C) 5 2
RPTA.: D
SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría D) 48º
RESOLUCIÓN B
RESOLUCIÓN
22º 45º
Se traza BP = BM ABP BMC (L.A.L.)
10
2x
45º H
10
22º 30 M
m A =m C =48º
x A
E) 66º
C
10
B
20
Se traza la mediana BM y la altura BH BHM: notable (45º)
x
2
18º a b 48º
66º
A
M
66º P a
10 2 5 2 2 2 2 2
x C
RPTA.: D RPTA.: D
7.
b
10 2
x
48º
9.
En un triángulo rectángulo ABC recto en B, “F” es el excentro
En un triángulo ABC donde m B=150º, m c =10º y la distancia de “C” a la bisectriz del
relativo al lado AC. Calcule FB si la distancia de “F” a AC es 6.
ángulo “A” es 4. Calcule AB.
A) 4 D) 10
B) 6 E) 2
A) 3 D) 6
C) 8
2
El excentro edidista de los lados
A 10º
60º 1 x 0º
C
10º 150º
2
30º
BPF x=6 2
4
B
B H
T
45º
Se traza la altura AT
45º Q
A
ATC AHC(ALA) AT = CH
x 4x8 2
x 6
RPTA.: C
8.
C) 12
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
x
B) 9 E) 8
2
C 6 F RPTA.: D
En un triángulo ABC donde m A = 48º, se traza la ceviana interior BM tal que: m ABM =18º y AB = MC. Calcule m C. A) 18º
SAN MARCOS 2011
B) 28º
C) 37º CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM 10.
Geometría
En la figura: ABCD es un cuadrado, las distancias de “B” y “C”
a
AF
son
respectivamente.
“b”
y
Calcule distancia de “D” a AF . B
“c”
la
C
RESOLUCIÓN
i)
Se construye PCD BH
PD
2BHD = AC = 2a
BHD : notable
F
x = 30º
C
A
A) D)
b c 4
b 2
D
B)
b c 2
2a
B
C) b c a
E) c
P
2a x D
A
H
RPTA.: E
RESOLUCIÓN
Triángulos rectángulo congruentes. x = b c
12.
En el triángulo rectángulo ABC (m B=90º) donde AB=BC, se ubica el punto interno “P” siendo:
m PAB=m PCA Calcule: m PAC A) 10º D) 20º
y
B) 15º E) 24º
AB=AP.
C) 18º
RESOLUCIÓN RPTA.: C
11.
Se tiene el cuadrilátero ABCD donde AB=BC, BD=AC y m CAD = 90º. Calcule m BDA. A) 37º D) 53º
B) 45º E) 30º
C)60º
AHC notable (30º, 60º) =
30º APC: x + 30º =45º x = 15º RPTA.: B
13. SAN MARCOS 2011
Calcule “x” en la figura. CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría ABP:
B
C x
8
4x + 40º = 180º 4x = 140 x = 35º RPTA.: B
15.
75º A
D
16
A) 30º D) 40º
B) 32º E) 45º
C) 35º
“P” siendo
AP
=
BC
m PAC =15º. Calcule m PCA
RESOLUCIÓN B
En el triángulo rectángulo ABC m B 90º donde AB = BC, se considera interiormente el punto
A) 20º D) 35º
C
B) 25º E) 40º
y
C) 30º
x
RESOLUCIÓN 8
E
8
30 30
x A
75º
B
16
i)
Se traza CH AD CH = 8 ACD: Propiedad x = 30º
ii)
15º
x
C
A
i) RPTA.: A
14.
15
P
15
Se construye AEC: equilátero ABE BEC PAC (L.A.L.) x= 30º RPTA.: C
Calcule “x”. Si: AB=DC B
16.
40º x
2x A
D
A) 40º D) 30º
C
B) 35º E) 25º
C) 32º
A
i) ii)
A) 16
B
B) 17
A
D) 19
B
calcule “BC” si:
AB =13, AE = 3 y AF = FC.
C) 18
RESOLUCIÓN 40º x
En la figura,
F
E
E) 20
P
x
x x
40+x D
x C
Se traza bisectriz: AP Se traza PD ABPD: Inscriptible ABP PDC...............(L.A.L.)
SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
C
UNMSM
Geometría PAF
RESOLUCIÓN B
x
13 x A 3 E
P
F
PF = 2NQ = 2b BQC BQ = 2PF = 4b ABP: “M”: Baricentro MB = 2MN = 2x b=x 24 x= 6 4 RPTA.: A
C
18.
En la figura: AB = BC, m ABC = 40º, m DBA = 20º y m DAB = 10º. Calcule: m ACD. B
0
i) ii) iii)
Se traza OP
40º
BC
D
Por Bisectriz: OE = OP EB = BP = 16 Por mediatriz: OA = OC AEO OPC EA=PC=3 x 16 3 19
x
RPTA.: D
17.
En el triángulo ABC se traza la ceviana BQ que intercepta a la mediana AP en su punto medio “N” , luego se ubica el punto medio “E” de BP tal que AE intercepta a BQ en el punto M. Calcule: MN si BQ= 24 A) 6 D) 8
B) 3 E) 5
B) 45º E) 54º
C) 48º
B
20
20
20
D x 30º 2a 10
E a
a 2x
C
RESOLUCIÓN
C) 2
RESOLUCIÓN B 4b
A) 40º D) 50º
A
E
60º 70º A a
x H
a
C
a
M
P N
x
b A
i)
2a 2b
Q
F
C
Se traza PF//BQ
SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría 20.
i)
Se traza la altura BH
ii) iii)
Se construye AED(notable) Propiedad bisectriz AE = AH = a DAC: Isósceles: 2x = 100º x = 50º
iv)
En la figura AB = PC, BF = FC, AE = EP. Calcule “x”. B 2x F
RPTA.: D
19.
x
E
A
C
P
Calcule “” en la figura:
Si: AD = BC
B
6 Q
2 A
C
D
A) 10º D) 18º
B) 12º E) 20º
A) 18º D) 22º
B) 19º E) 24º
C) 20º
C) 15º
RESOLUCIÓN B
5
5
P
A
i) ii)
2
D
C
Se construye APD BDC....(L.A.L.) ABD (Isósceles) 3+3+6=180º 12=180º =15º RPTA.: C
SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría SEMANA 4
RESOLUCIÓN
POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS
B 2x
3 x
21.
F
P
A
x 2x
C
Calcule el número de diagonales medias de un polígono, en donde el número de diagonales es el cuádruple del número de ángulos internos. A) 20 D) 44
C) 35
RESOLUCIÓN
Q
i)
B) 27 E) 55
Dato: NºDiag.= 4(Nº s internos)
Propiedad mediatriz: BQ = QC y AQ = QP ABQ PQC (L.L.L.)
Piden: NºDiag.Medias=
n(n 1) 2
?
Reemplazando en el dato: n n 3 4 n
m QCP =m ABQ=2x ABC:5x = 90º 90 18º x 5
2
n 3 8 n 11 11 11 1 D.M. = 55
RPTA.: A
2
RPTA.: E
22.
Se tienen los polígonos regulares ABCDE y ABPQRSTU, ambos en un mismo semiplano respecto a AB , Calcule: m UAE . A) 72º D) 24º
B) 45º E) 27º
C) 20º
RESOLUCIÓN A
B
e x U
P
E
C D
T
Q
S
Externo
SAN MARCOS 2011
R
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM *
e
º
360
n
Geometría
; Piden x=?
42º
x = 69º
RPTA.: D
En el Octógono:
e
º
360 8
45º
24.
En el Pentágono
72º e x 360 5
regular de “n” lados. Calcule “n”.
º x 72º
45
A) 5 lados C) 6 lados E) 9 lados
x=27º RPTA.: E
23.
9 es un número de diagonales que se pueden trazar desde 5 vértices consecutivos de un polígono B)7 lados D) 8 lados
Un icoságono regular ABC… y un pentadecágono regular ABMN…
RESOLUCIÓN
están
Piden: Nº lados =n=?
ubicados
en
distintos
semiplanos respecto Calcule: m MCB A) 72º D) 69º
B) 36º E) 60º
AB
a
C) 24º
Dato: Nº Diag. Trazados Desde 5 vértices =9 *
“k”
RESOLUCIÓN
vértices
= nk
15 LADOS N
*
M
k 1k 2
consecutivos
2
En un polígono de “n” lados.
Reemplazando: 5 15 2 9 n(5) 2
x
e2 e1 B
A
Recordando: Nº Diag. Trazados desde
n=6 RPTA.: C
x
25. C
Calcule la suma de las medidas de los ángulos internos de un Polígono Regular ABCDE…, de “n”
lados; si AC 20 LADOS
*
Piden: x=?
*
e
360
*
e
360
1
20
2
15
A) 540º D) 1080º
CE B) 720º E) 1260º
C) 900º
18º 24º
e e 42º e BMC 2x e e 180º 1
2
1
SAN MARCOS 2011
2
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría * Para 1 i 100º 1 e 80º
RESOLUCIÓN D e C
* Para 4 i 100 4e 320º * Para 5 i 5e 400º (Esto es imposible)
e
a
a
E e
e
a
Por que: Se 360º A lo máximo Solo se pueden conseguir ángulos.
B a
“n” lados
A
RPTA.: B
27.
Calcule el perímetro de un octógono equiángulo ABCDEFGH, AB=EF= 2 2 ; HG 2 , AH 3, DE 1 y GF=8.
Dato: AC CE Piden: S 180º n 2 ? i
*
ABC CDE ..............(L.A.L.) m BCA m DCE 360º e 2 n En c : 4 90º 360º 2 45º n n 8 S 180º 8 2 1080º
A) 16+6 2 C) 16+8 2 E) 18+8 2
B) 18+6 2 D) 8 2 10
RESOLUCIÓN Q
2
6
B
A e
RPTA.: D
100º
P
E
2
2 2
1
e 2
e G
F
8
2
S
Pide: Perímetro octógono=? *
Calculando: e
360
80º
- e 100º
100º 80º
Piden: máx. Nº si=100º
360 8
n
45º
- Se determinan 4 triángulos notables de 45º y un rectángulo.
80º
SAN MARCOS 2011
D 1
e
100º
100º
3
H
C) 5
RESOLUCIÓN 80º
e
3 2
2 2
e
B) 4 E) 7
R
e
3
En un decágono convexo, calcule el máximo número de ángulos internos de medida 100º. A) 3 D) 6
3
C
e
i
26.
4
PQ=RS=6 RD=3 y CD= 3
PS=QR=11
2
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría 29.
BC=6 Perímetro= 18 +8 2 RPTA.: E
28.
La suma de las medidas de cinco ángulos internos de un polígono convexo es 760º.Calcule la suma de las medidas de los ángulos externos correspondientes a los vértices restantes. A) 190º D) 220º
B) 200º E) 230º
A)
C) 210º
5 1
1
C)
4
1 3
E)1
2
e3
i3
i2
1
B)
RESOLUCIÓN
e
1
D)
RESOLUCIÓN e2
En un polígono regular cuyo semiperímetro es p, el número que expresa su perímetro es el igual al número de diagonales. Además la medida del ángulo interior es p veces la medida del ángulo exterior. ¿Cuánto mide el lado del polígono regular?
i 4 e4
i1
en
i5
in
i 6 e5
nLADOS
e6
*
* *
Datos: semiperímetro: “p”=
Dato: i1 i2 ...i5 760º Piden: e e ...en ? Se sabe: e e ...en 360º...(I) 6
7
1
Sea “n” es Nº lados.
* 2p=Nº Diagonales=
2
2
* m i p p e Piden: x=?
. . .
Reemplazando en los datos: n(n 3) ...(I) 2p
. . .
i5 en 180º 760 e1 e2 ...e5 180º(5) e1 e2 ...e5 140º
2
360º º n 2 ...(II) P n n n 2 2p...(III) n n 3 (I) =(III) n 2 180
Reemplazando en (I) 140º + e e ...en 360º
e
6
2
7
e ...en 220º
7
RPTA.: D
SAN MARCOS 2011
2
n(n 3)
i1 e1 180º i2 e2 180º
6
nx
n 4 Reemplazando:”p” en (III)
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría RESOLUCIÓN
1 x n 2 2 nx 2 2
Q
RPTA.: D
30.
B
Si un polígono de n lados tuviera (n-3) lados, tendría (n+3) diagonales menos. ¿Qué polígono es? A) Triángulo C) Pentágono E) Octógono
R P H N
B) Cuadrilátero D) Hexágono
10 8
2
-(n+3)
*
Reemplazando el Nº lados en el 2do polígono n n 3 n 3 n 3 3 n 3 NºDiag 2 2 Resolviendo:
2
RPTA.: D
31.
*
n 3n 2n 6 n 9n 18 4n 24 n 6 (Hexágono) 2
Por el vértice B de un triángulo ABC, se traza una recta exterior. Calcule la distancia del punto medio de la mediana BM a la recta, sabiendo que las distancias de los vértices A y C a dicha recta miden 8 y 12 respectivamente. A)2 D)5
SAN MARCOS 2011
B) 10 E) 7
C) 3
C
M
Dato: AH=8 CQ=12 Piden: NR =x=P
Piden: “n” (¿Qué polígono es?) Dato: Para: “n” lados
n n 3
a
a
A
RESOLUCIÓN
Nº Diagonales. =
12
En el trapecio AHQC: Trazamos la base media MP 8 12 MP 10
2
MPB (Base media) 10 x 2 x=5 RPTA.: D
32.
Las distancias de los vértices A y B de un triángulo ABC a una recta que pasa por su baricentro miden 3 y 4 respectivamente; calcule la distancia del vértice C a dicha recta. La recta intercepta a AB y BC . A)7 D) 8
B)5 E)1
C) 3
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN B
a
B
C
m N
4
P
m
H Q
G R
S
x
E
Q
F
P
3
A
2x
y
G
D
x A
Dato: AH=3 BQ=4
M
50
C
Dato: AD=50 Piden: 2EF+GD 2(x)+y=? ACG(Base media) AG=2X AD=2x+y 2x+y=50
“G” Baricentro
*
BG=2GM = 2m Piden: CP=x En el trapecio AHPC (trazamos la 3 x base media: MR ...(I)
*
RPTA.: D
2
*
En el BQG(NS=2); MR =NS=2 En un trapecio ABCD BC//AD , las bisectrices interiores de los ángulos A y B se interceptan en P y las bisectrices interiores de los ángulos C y D se interceptan en Q. Calcule la longitud del segmento PQ si AB=6 , BC=4, CD=8, AD=10
34.
Luego: En (I) 3 x 2 2
x=1 RPTA.: E
33.
En un trapecio ABCD, BC // AD, P y Q son puntos medios de AB y CD ; AC PQ = E , PQ BD F . La prolongación de CF intercepta a AD en G, BC=a, AD=50, calcule 2EF+GD.
A) 1
B)
D) 2
E)
C)
50
a
5 100
a
3
B)
50
C) 0
2 3 2
RESOLUCIÓN B
A)
1
a
4
C
C
3
P Q
6
D) 50
E) 40 A
8
m m M 10
4
N
4
Dato: AB=6 BC=4 SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
D
UNMSM
Geometría
CD=8 AD=10 Piden: PQ=x=? *
*
ABN (Isósceles) AM=6 y ND=4
*
*
MCD (Isósceles) MD=8MN=4 44 BCNM: x
*
MND (Isósceles) ND=NC=2,5 CD 5 CHD: CH < 5 CH = 4 (53,37º) 53º = 2
RPTA.: D
36.
2
x=0 RPTA.: C
En un trapecio ABCD, BC//AD y se ubica el punto medio M de B, tal que m MDA m MDC y se traza CH AD . Si BC 1 , AD 4 y CH toma su máximo valor entero, calcule m MDA .
35.
A) 37º D)
B) 53º
C)
En un triángulo ABC; AB=5 y BC=30; Calcule la distancia del punto medio de AC hacia la bisectriz del ángulo ABC; si m ABC 106º . A) 10 D) 4
B
º
87
º
2
º
53 53
5
E) 30º
2
30
H
M
A
x
N
24
RESOLUCIÓN B
1
C)6
RESOLUCIÓN
4
º
53
B)8 E) 12
Q
C L
M
4
N
Dato: BC=30 AB=5 m ABC 106º Piden: MN=x=?
5
*
A
4
H
D
Dato: BC=1 AD=4 “CH” es máximo entero
Piden: m MDA *
* *
Trazamos: AH
L CQ L ABH y CBQ (37º, 53º) AH 4 y CQ =24
Trapecio: AHCQ (propiedad) 24 4 10 x 2 RPTA.: A
Trazamos la base media 14 2, 5 CD = 5 MN 2
SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM 37.
Geometría
Calcule la medida del ángulo que forman las diagonales de un trapecio isósceles; si una diagonales el doble de la base media. A) 60º D) 53º
B) 45º E) 37º
Datos: :Trapecio Isósceles 106 6º m AMD 10 AC BD 5 Pide:(Longitud de media) = x ab x ?
C) 30º
RESOLUCIÓN a
B
*
x x a+b
(a+b)
a
D
b
A
Dato: Ac BD
2
Trazamos CM//BD BCMD (Paralelogramo) DM=a; CM=5 106 6º m ACM 10 ACM(a b 8) ab x 4 x 2
RPTA.: B
K
39.
a b 2
Pide: x=? *
base
2
C
(a+b)
la
Trazamos: CK //BD
BCKD (Paralelogramo) DK a;CK a b m ACK x
En un cuadrado ABCD, de lado 6, en CD y AD se ubican los puntos M y N, respectivamente, tal que CM=MD. Si la m MBN 45º . Calcule MN. A) 3 D) 3
2
B)4 E) 5
C) 4
2
ACK (Equilátero) x = 60º
RPTA.: A
38.
Calcule la longitud de la base media de un trapecio isósceles, si las diagonales forman 106º y tienen por longitud 5m c/u. A) 3 D) 8
B) 4 E) 5
C) 6
RESOLUCIÓN B
a
C
M
106º 5
106º 5
A MARCOS 2011 SAN
5
b
D
a
M
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN b B
º
6
º 5 4
2
B
C
53
C
Q
2
3
º
37
6
2
M
A
*
* *
N
2
4
3 D
A
D
a
Dato: AB=BC=6 CM=MD=3 m MBN 45º
Dato: BC=b AD=a m ACB 2m ADB 2
Piden: MN=x=?
Piden: AC=x=?
53º 53º BCM(notable) 2 37º m ABN
*
2
37º 37º ABN 2 AN=2 ND=4 MND (37º, 53º) x=5
Construimos el rectángulo ABQD m AQ AQB m AD ADB ACQ (Isósceles) CQ=AC=x Luego: BQ = AD b+x=a x=a-b RPTA.: D
RPTA.: E
40.
Un trapecio rectángulo ABCD, es recto en A y B. Si: S i: ,AD a y m BCA= CA= 2 m ADB ,AD BC =b. Calcule AC.
ab
A) a+b
B)
D) a-b
E) 2a+b
SAN MARCOS 2011
2
C) 2a-b
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría 42.
SEMANA 5
Del gráfico, Calcule x.
CIRCUNFERENCIA I 41.
x
En la figura, calcule m AB ; si 145 5º . m CDE 14 B C
40º
D
A) 25º D) 40º
o E
B) 20º E) 15º
RESOLUCIÓN
A
A) 70º D) 140º
C) 30º
C x
B) 145º E) 90º
B
C) 72,5
180-2x 2x
RESOLUCIÓN
40º
C 70º
D 145º
A
Como CDE 14 145 5º m CME CME 290 290º ....( inscrito)
m CDE 70º m COE 70º ..... ....( m AB 14 140 0º .......(
43. central) inscrito) RPTA.: D
Como: m BCA x m AB 2x Por ángulo interior CD 180º 2x 2x Por teorema de los recuadros: 180º 2x 2x 40º 40º
M
o
E
D
A
B
x=25º
2
RPTA.: A
Según el gráfico, mBM mBN . Calcule : B
A) 120º B) 150º
N
C) 90º
M
D) 130º E) 180º
SAN MARCOS 2011
A
C
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
B
C
a
a
45º
B
N
M
90º d
b
A
C
A
Por
c
Sea m MB mBN a mMA b, mAC c, mCN d
prop. del ex inscrito: m ACB 45º m AB menor =90º m AB mayor =360º-90º=270º m AB mayor - m AB menor =180º RPTA.: C
Del gráfico 2 a d...(I) .....( Por interior bca
interior)
45.
Según el gráfico, calcular ABCD es un paralelogramo. B
2
x, si
C
b c a...(II)
2
Sumando (I) y (II): 2 2 a d b c a 2 2 360º 180º
A
D x
RPTA.: E
44.
Según el gráfico, calcule la diferencia entre las medidas del mayor y menor AB.
A) 120º D) 90º
B) 60º E) 80º
C) 70º
RESOLUCIÓN 2x
x
B
C x
B
x A A
A) 90º D) 270º
SAN MARCOS 2011
B) 45º E) 135º
x
x
D
E
x
C) 180º
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
En el gráfico: BCE 2x BAE x como ABCD es un paralelogramo m c x Luego: BDC BDC es equilátero. x = 60º
47.
Según el gráfico, A, B y T son puntos de tangencia. Calcule “x”.
x
RPTA.: B
46.
En
trapecio ABCD BC//AD inscrito en una circunferencia , su altura mide H. Calcule la longitud de la base media del trapecio, si: 180 0º . mBC mAD 18 A) D)
un
H
B)
3
H
2
E)
3
H
3
120º
T
A
A) 60º D) 37º
C) H
2
B
B) 30º E) 53º
RESOLUCIÓN
H
C
2
x
RESOLUCIÓN B
H-a
C) 45º
C P
90º
H
H
120º
90º M
A
º 5 4
45º a
a
º
º 2º
2
D
H
A
Como BC//AD Trapecio ABCD (Isósceles)
*
Por dato BC AD 18 180 0º AB CD =180º AB CD 90º m CAD m BDA 45º
*
Del gráfico, la base media es: a H H a H
º
T
N
B
En el MNP : 60º...(I) En el ATB , por propiedad m T 90º x 90º ...(II) Reemplazando (I) en (II) x = 30 RPTA.: B
2
RPTA.: D
SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM 48.
Geometría
En el gráfico, calcule AE=2(BC) y m CD 20º C
A) 130º
x,
x
si
49.
En
el
gráfico:
mTB mT B mCD, CD, m
AT 7 y T es BC 1
punto de tangencia “m”. Calcule
D
m TEO .
E
B) 120º
30º
T
C) 110º
B
B C
D) 150º E) 160º
A
o
E A
RESOLUCIÓN
o
A) 60º D) 80º
x D
B) 30º E) 40º
C) 50º
RESOLUCIÓN
C
E
a
x 50º
T
B
B a A
a
D
4 0 º o
a
k
C
7k
E
Dato: Sea BC a ; AE = 2a AO OE a En la semi circunferencia: el ABE es rectángulo BO a mCDE CDE 180º 180º Como: m CD 20º DE 160º Luego: BC BO OE a entonces los arcos son iguales. BC BO OE CDE 36 360 0º 180 BC BO BO OE OE 60º BCD BC CD 60º 20º 80º m BED 40º x = 130º RPTA.: A
SAN MARCOS 2011
30º
50º 120º 60º
A
H
o
D
Como:
mAT 7 mAT 7k; mBC k mBC 1 OHE OH E: m EOH EOH = 60º.. 0º.... ..(1 (1)) En el gráfico: k CD 60º 7k TB 120º ..(2) TB CD 60º (2)(1) 6k TB
k 10º TB CD 50º m TOE 50º x = 40º......(
6k + 0 = 60º
OTE) RPTA.: E
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM 50.
Geometría
Según el gráfico; calcule mBT , si ABCD es un paralelogramo (D es punto de tangencia). A) 60º
T
B
51.
Del gráfico, Calcule la m BAP, Siendo T y P son puntos de tangencia, TB = 4 y r = 5 T
C
B) 70º C) 140º D) 120º
A
70º
D
B
A
r
E) 35º P
RESOLUCIÓN B
T
A) 37º D) 60º
C 70º
B) 53º E) 45º
RESOLUCIÓN T
40º A
70º
D
m AB mTD ........ Propiedad m ADT = 70º En el paralelogramo ABCD: m BAD + m ADC = 180º mTDC = 40º
Luego: m TD = 80º Pero: m BDT = 140º ...(ángulo inscrito) m BT = 140º 80º = 60º RPTA.: A
SAN MARCOS 2011
B
70º 5 o
C) 30º
5
5 4 H
x
3 P
Como P y T son puntos de tangencia, entonces: OP PA y OT TA, además: OT OP r 5 (dato) En el PHO (notable); m OP OPH 53º m BP BPA 37º x = 53º .....( PBA) RPTA.: B
CUESTIONARIO DESARROLLADO
A
UNMSM 52.
Geometría
Calcule x, si AB=BC =DE=FE y m ABC 120º .
53.
C
Del gráfico, P y T son puntos de tangencia, además R=3r. Calcule m PT .
D B
T x
o
r
E
P
F
A) 60º D) 120º
A
A) 60º D) 30º
R
B) 70º E) 50º
B) 105º E) 90º
C) 100º
C) 40º RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN C
T
r
o
D
r
60º o B
60º
x
120º
x
x
E
30º P
F
A
2r
Como: ABC 120º BOC BOA 60º Los triángulos BOC y AOB son equiláteros luego, ODEF es un rombo, donde m DEF m DOF x DF x 120ºx ...........( exterior) x
A
Del gráfico, como TA = R = 3r AO = 2r Luego, m TOP 120º m TP 120 º RPTA.: D
54.
Según el gráfico, mTC mBC, si AB BC
calcule
C T
2
3x = 120º x= 40º
B
RPTA.: C A
A) 120º D) 100º
SAN MARCOS 2011
B) 150º E) 90º
C) 180º
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
RESOLUCIÓN 2
T
2
2
B
RPTA.: D
A
por dato m ST 2a luego, O1 TO (notable) m T O1O2 =53º a = 53º PS = 4
C
56.
En la semi circunferencia el m TBC es recto El ATC es isósceles. AT TC =2x luego, en el gráfico TC BC 2 2 2 =180º 90º =180º
Según el gráfico; AB = 1, BC = CD = 2, además B, C y T son puntos de tangencia. Calcule “x”.
T
x
RPTA.: C
55.
En la figura, mST 2mQT. Calcule PS, si T,Q y S son puntos de tangencia.
A
B C D
A) 5 B) 3
3 S
Q
C) 2,5 D) 4
2
T
A) 30º
B) 37º
D) 60º
E)
C) 53º
º
53
2
RESOLUCIÓN
E) 6 P
T
RESOLUCIÓN
3
x 4
S
3 O1 3 Q 2 53º 53º a 3 4 2a T
P
Sea m QT a
SAN MARCOS 2011
A 1 B
O2
2
x
2
C
2
D
Sea m ATC mTC 2 Como T y C son puntos de tangencia AT AC 3 m ACT también B y T son puntos de tangencia BD =TD=4 CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
ATD(notable) m ADT 37º ; + x = 90º ...(I) 2 2x 37º .........( exterior) 2 x 37º...(II)
Entonces
RPTA.: D
58.
En la figura, calcule ; si T, Q y P son puntos de tangencia y CB=2(BT)=4(AQ).
De (I) (II): 2x=53º 53º x 2
T B
RPTA.: E
57.
C
Si “O” es el centro del cuadrado
P
ABCD y PA =AD=8. Calcule AM. B
C
D)
B)
8
E)
3
C)
3
º
8
3
C
4 H
4 D
x
8
P a a A
ABC (notable)
53º ..........( 2
inscrito) RPTA.: B
59.
Se tiene el triángulo ABC inscrito en una circunferencia, en el arco BC se ubica el punto P, tal que AP BC , luego se traza PH perpendicular a AC en H. Calcule la m EHP si la m ABC 70º y AP BC = E .
3
SAN MARCOS 2011
C
m BAQ 127º m QP 53º
4
37º
Sea AQ=a BT=2a y BC=4a Luego
Como ABCD es cuadrado el lado del cuadrado =8 AH=HD=4 Como “O” es centro OH=4 37º Luego: m OPH = 2 PA 3x 8 = 3x
A
B 2a
o
C) 37º
4a
2
B
P
2a
3
Q
x
2
E) 45º
2
T
RESOLUCIÓN
M
º
53
RESOLUCIÓN
D
4
A
B)
37
D)
A
A) 6
A) 53º
O
M
P
Q
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM A) 53º D) 20º
Geometría
B) 35º E) 30º
C) 10º
60.
En
la
F
º º
D
P
E Q
A
D x
x A
x
C
B
20º
A)
ab
B)
2
C
H
C) b a E)
* * *
En AHB: m HAB 20º Se traza AQ que pasa por D. Por proa. AEDH es inscriptible
*
m DHE m EAD x Por proa. m EPD m HCD
mAB 2 m BPA
y
E
B
2
mED a
mBCD b . Calcule “x”.
RESOLUCIÓN
70º
figura
D)
ba 2
ab
2
2
ba
2
2
RESOLUCIÓN a
c
E
F
D
Luego BPD(isósceles) BE ED ABD (isósceles)
ac G
2
A
x=20º
x
RPTA.: D
B
*
Sea: FE c m FAD
*
b
C
ac .......( inscrito) 2
menor: mFG a c luego ac por pro. ex -inscrito: En la
2
*
SAN MARCOS 2011
En la
mayor: T. cuerdas
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
c mBC .............( interior) 2 a c c BC BC a 2 2
SEMANA 6
CIRCUNFERENCIA
61.
m CD b a
x
En un triángulo rectángulo cuyos ángulos agudos miden 37° y 53°. Calcule la relación entre las medidas inradio y el circunradio. A) 2/5 D) 3/5
ba 2
RPTA.: B
B) 1/5 E) 2/7
C)3/10
RESOLUCIÓN B
3k
4k
r
A
53º
37º 5K
C
R
r = Inradio R: Circunradio ABC: Teorema de Poncelet. 3k + 4k = 5k + 2r
Luego:
2r = 2k
AC = 2R= 5k 1
………... 1 …………
2
2 :
2r 2k 2R 5k r 2 R 5 RPTA.: A
62.
En un triángulo rectángulo las medidas del inradio y el circunradio están en la relación de 1 a 3. Calcule la longitud del inradio si el perímetro del triángulo es 42. A) 2 D) 3
SAN MARCOS 2011
2 2
B) 2 E) 6
C) 3
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
RESOLUCIÓN
a
RESOLUCIÓN
r
Dato: BN NE 16 x y 16 ….. 1 BC = AD x + r = 3r + y x – y = 2r ………….. 2
c
1
b = 2R
en 2 :
16 = 2r x = 8
R
RPTA.: D
r Inradio R = Circunradio
64. 1
Dato: a + b + c = 42 ………. R = 3r ………..
2
: Teorema de Poncelet. a + c = b + 2r ………. 3
3
en 1 : b + 2r + b = 42
A) D)
2R + 2r +2R = 42 2
En un rectángulo ABCD se traza la bisectriz del ángulo B, interceptando en “E” a AD . Calcule la longitud del radio de la circunferencia inscrita en el cuadrilátero BEDC, si ésta determina el punto “N” en BE y BN – NE = 16. B
x
r
45º 45º x
r
2r
A
E y
A) 16 D) 8
SAN MARCOS 2011
B) 12 E) 4
r
a
r b
x
D
a + 2r = b + 2R …………....
BCDH:Teorema de Pithot.
1
b + 2x = 2R + a……………... 2 1
2r
D
R
H
2r
C
AHB: Teorema de Poncelet.
A
2R
a
C
Ny
b+x
B
RPTA.: C
63.
B) 2R 3r C) R r E) 2(R r )
2r 2R r
R
RESOLUCIÓN
2R + r = 21….... 4 : 2(3r) +r = 21 r=3
4 en
En un paralelogramo ABCD se traza la altura BH (H en AD ). Si la longitud del inradio del triángulo ABH es igual a r y el cuadrilátero HBCD es circunscriptible a una circunferencia de radio cuya longitud es R, calcule HD.
+ 2 : a + b +2x + 2r = 4R + a + b 2x = 2(2R-r) x = 2R-r RPTA.: D
C) 10
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM 65.
Geometría
En una circunferencia de centro “O” se ubican los puntos A, B y C
RESOLUCIÓN
de modo que AC es diámetro y mAB 90 º. En AB y en la
4k T
prolongación de BO se ubica los puntos P y S respectivamente. Siendo m
3k
A) 30º D) 37º
B) 45º E) 20º
x
o
A
C) 60º
c x
B
H
6k
RESOLUCIÓN B
Sea:
x
“O”
circunferencia. OT
P x
A
C
o
centro
de
la
TC …..propiedad.
OTCH: Inscriptible m TCO x
OTC (37º, 53º) x = 37º
RPTA.: B S
66.
67.
Se traza BC m ABC 90º Luego SPBC : Inscriptible m SBC x BOC ( 45º, 45º) x = 45º RPTA.: B
Desde el punto C exterior a la circunferencia de diámetro AB se traza la tangente CT (T en el arco AB) y CH AB (H en AB ) siendo 6 TC 4 AB , calcule la m THA . A) 53º D) 60º
SAN MARCOS 2011
B) 37º E) 45º
C) 30º
En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) de incentro “I”, AI = 1 e IC = 3 2 . Se traza la perpendicular CH a la prolongación de AI; calcule la longitud del inradio del triángulo rectángulo AHC. A) 3 D) 2
B) 5 E) 1
C)4
RESOLUCIÓN B
H 3
I 45º
A
1
135º 5
r
3
3 2
CUESTIONARIO DESARROLLADO
C
UNMSM
Geometría
AIC :
69.
m AIC 135º ………(Propiedad) Luego: m HIC 45º IH HC 3
AHC: Teorema de Poncelet 4 + 3 = 5 + 2r r=1
A) 8u D) 16u
RPTA.: E
68.
B) 1,5 E) 3
r1
r1 a
N
B r r P
r
A
5 M 5-a
b
Q
m-x m
r1
r1 b
Dato: a + b = 8 ................(1) Teorema de Poncelet: a + b = 2r1 a b 2r 2 a b 2 r1 r a + b = r1 r ...................(2)
x
r
r1 b
b
b
r1 a
a
RESOLUCIÓN M x r +
(1) en (2) r1 + r = 8 RPTA.: D
m-x C
Del Dato: AC = EC a + b = 3 ...........................(1) b m 5 a m x x 5 a b ............(2) (2) en (1): x 5 3 x=2
C) 4u
r1
C) 2
a Da
B) 12u E) 6u
RESOLUCIÓN
La circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo ABC recto en B, (BC AB), es tangente en N a AB y en P a BC . Exteriormente se construye el trapezoide BCED en el cuál la circunferencia inscrita es tangente en M a BD y en Q a BC . Calcule PQ si ED = 5, AC = CE y DM + AN = 3. A) 1 D) 2,5
La suma de las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo es igual a 8u. Calcule la suma de las longitudes de su inradio y de su exradio relativo a la hipotenusa.
70.
Los catetos de un triángulo rectángulo miden 10 cm y 24 cm. Calcule la distancia del incentro al circuncentro. A)
41 cm
C) 51 cm
B) 65 cm D)
35
cm
E) 3 5 cm RPTA.: C
SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
RESOLUCIÓN
Como:AM = MC (M: punto medio)
B
4
10 6 A
I
4
13
H
b n x b m .............. 1
x
4=r 6
24
7
O
+ 2 : 2x+m+n 12 m n
C
13
x=6
I Incentro O Circuncentro
RPTA.: C
72.
ABC: Teorema de Poncelet. 10 + 24 =26 +2r r = 4 IHO: Pitágoras: x2 42 72 16 49 x 65
De la figura calcule UN-CP; Si QT = 3 y el perímetro de la región UNC es igual al de la región QUCP (T Punto de tangencia).
Q
RPTA.: B
71.
T
En un triángulo ABC se traza la mediana BM. Las circunferencias inscritas en los triángulos ABM y BMC determinan los puntos de tangencia P y Q sobre BM . Calcule PQ si BC – AB = 12. A) 10 D) 4
B) 8 E) 3
P
C) 6
B) 6 C) 9 E) 2
Q 3 3
a+x
r
P x
n Q A
Dato:
n
BC
x+b
–
m b Mb
m
r P r
C
AB = 12
x + m – n =12 x + m = 12 +n ...................
SAN MARCOS 2011
T aU a n r r c
N
m
Piden: UN CP n 2r Dato: a + r + m + n = 6 + 4r +2a
a+x+m - (a + n)=12
N
RESOLUCIÓN
B a
U
C
A) 3 D) 5
RESOLUCIÓN a
2
1
m + n = 6 + 3r + a……………..
Teorema de Poncelet:
1
3 r 2r m 3 a n 2r
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría A) 2 cm D) 5 cm
a + n = r + m …………………….. 2 1
+ 2 :
B
En un rectángulo ABCD en BC se ubica el punto P de modo que la m APD 90º siendo AB = 10, calcule la suma de las longitudes de los inradios de los triángulos ABP, APD y PCD. B) 5 E) 20
a
P
A
10
A
r2
10
75.
D
a+b
ABP, PCD, APD: Teorema de Poncelet.
3
P
A) 10º D) 18º +
En una circunferencia se ubica los puntos A, B, C y D de modo que AC BD P y AC BD. Si el inradio del triángulo BPC mide AP 3 cm 1 cm, y mAB 2mAD, calcule BP.
SAN MARCOS 2011
c
En un triángulo ABC, la mediatriz de AC intersecta a AC Y BC en M y N respectivamente; luego se traza la altura AH (H en BN ). Si y AB NC m ABC 70º . Calcule m HMN . B) 20º E) 12º
C) 15º
RESOLUCIÓN B 70º
H N
RPTA.: C
74.
b
RPTA.: D
n
10 + a = m + 2r1 ….. 1 10 + b = n + 2r3 …… 2 m n a b 2r2 … 3 20 2(r1 r2 r3 ) r1 r2 r3 10
2
90
ACB: Isósceles BC = 3 +b BPC: Poncelet x b 3 b 2(1) x=5
r3
m
1
D
C
r1
b+3
2
C) 10
b
x
RESOLUCIÓN B
90º
4
RPTA.: A
A) 2,5 D) 15
C) 4 cm
RESOLUCIÓN
a 2n m 6 4r a m 2 n 2r 6 n 2r 3 73.
B) 3 cm E) 8 cm
x x x
A
M
ANHM: Inscriptible m HAN x …. (propiedad) BAN: Isósceles (AB=AN)
2x = 40º
C
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
x = 20º
RESOLUCIÓN RPTA.: B
76.
B
C
En un cuadrado ABCD de centro “O”. en la región exterior relativa
al lado AB se ubica el punto Q de modo que la m AQB 90º; luego se traza OP AQ . Siendo OP 2 BQ , calcule la m BOQ
A) 30º D) 26,5º
B) 15º E) 18,5º
C) 16º
RESOLUCIÓN Q
B
a
RPTA.: B
78.
En un triángulo rectángulo ABC recto en B, T es el punto de contacto entre la BC y circunferencia inscrita. P es el punto medio del arco BC de la circunferencia circunscrita. La medida del ángulo PTC es:
x
a a
P
T
o
x
a
A
AQBO: Inscriptible
A) 30 D) 63,5
D
C) 60
B P T
37º 18,5º 2
I I
RPTA.: E A
77.
B) 45 E) 71,5
RESOLUCIÓN
Se traza BT PO Luego: BTO APO BT 2a; PA a BQA:
x
D
2
2a
Dato: Perímetro=20 Teorema Pithot BC + AD = AB + CD = 10 BC AD Base media = 5
C
2a
A
x
x
C
Una circunferencia se encuentra inscrita en un trapecio ABCD cuyo perímetro es 20 m. Calcule la longitud de la base media de dicho trapecio. A) 2,5 D) 10
B) 5 E) 12
C) 7,5
SAN MARCOS 2011
Se traza IT BC y m APC 90º ITPC: inscriptible m PIC x (Propiedad) Luego: m AIC 135º x = 45º RPTA.: B CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría RPTA.: D
79.
Calcule “x” en el gráfico
80. x°
6°
57°
A) 15° D) 60°
En un triángulo ABC mBAC= 60 y BC = 6u. Calcule la distancia del incentro al excentro relativo a BC .
6°
27°
B) 84° E) 75°
A) 3 u
B) 6 u
D) 2 3 u
E) 4 3
C) 4 u u
C) 63° RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN B 84º
A
B
T x
6º 57º
H
6º C 33º 27º 30º
E x /2 120
I x /2
30º 60º 30º
A
x 3 2
60º
x /2
M
x /2
C
IBE y ICE (rectángulos): IBE: Se traza BM (mediana)
33º D 84º
BM
=
x 2
ICE: Se traza CM ....(mediana)
E
SAN MARCOS 2011
m
BMC:
Se traza BH AC AH=HC Luego: Se construye AEC: Isósceles m DCE 30º m HEC m AEH 33º Luego: DBCE: Inscriptible m BDC 33º m CDE 84º
DTC : x 33º 27º …(Prop. x = 60º
x 2
“M” es circuncentro de BEC
33º 33º
CM =
x 36 2
x
12 3 4 3 3 RPTA.: E
exterior)
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
SEMANA 7
PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA
81.
En
la
figura
82.
calcule
En
la
BF
si:
z,
B
F
45º
45º
L1
B) 5
6x
z-1
C) 6
D
L2
D) 7 y+5 E) 8
z+1
L3
A
1) Dato: x.y x y
x y
C
E
C) 8 2
B) 7 2 E) 12 2
1) Corolario de Thales:
(I)
2) Teorema de Thales 6x z 1 ... y 5 z 1
RESOLUCIÓN
Resolviendo:
1 , y =-1... 2
A) 6 2 D) 9 2
RESOLUCIÓN
x
calcule
AE 3 , CD=6 EC 2
x si: x.y x y , L1 //L2 // L3 y A) 4
figura,
AE BD ... EC CD
(I)
2) Reemplazando los datos en (I): 3 BD BD 9 ..... (II) 2 6
(II)
3)
3) (I)en (II)
6 1/2 z 1 1 5 z 1
BDF (notable) BF BD 2 ... 4) (II) en (III) BF 9 2
(III)
RPTA.: D
4 z 1 3 z 1
4z 4 3z 3 z=7
83.
En la figura, calcule AB, si: BD=4 y DC = 5 A
A) 6
B) 8 RPTA.: D
C) 9 D) 12 E) 15
SAN MARCOS 2011
B
D
C
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
A
B
45º
45º45º45º
C
x
a
y A
B
D 9
4
C
5
D
3
3) Teorema de Pitágoras en ABC y2 x2 92 ... 4) (I) en (II) 2 5 2 4 x x 81
c 3 ... (interna) a 2 c 5x ...(externa) a x
(I)
(I) (II)
3) Igualando 3 5x ..División armónica
2 x 3x 10 2x x 10
(II)
RPTA.: D
9 x2 81 16 x2 144 x 12
85.
En la figura, calcule CF, si: el triángulo ABC es equilátero, BD=3, AD=5, BE=4. B
RPTA.: D D
84.
F
x
1) Dato: AD = 3, DC = 3 y DC = 2 2) Teorema de bisectriz
1) Dato: BD = 4, DC = 5 2) Teorema de bisectriz
x 4 5 y x ... y 5 4
C ( 5+x )
2
En la figura, calcule CF, si: AD=3 y DC=2.
E
A
B
C
A) 8 D) 12
45º45º45º
F
B) 9 E) 15
C) 10
RESOLUCIÓN D
A
A) 5 D) 10
C
B) 6 E) 12
B 3 D
F
C) 8
5 A
4 E 4
8
C (8+x)
x
F
1) Dato: BD = 3, AD = 5 SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
AB = 8 2) Dato: ABC es equilátero AB = AC = BC = 8 3) Dato: BE = 4 EC = 4 4) Teorema de Menelao 5 4 x 3 4 8 x
5) ABD
x
x2 400 x = 20
RPTA.: D
87.
En un cuadrilátero convexo ABCD, el ángulo externo D mide la mitad del ángulo interior B y la diagonal BD biseca al ángulo ABC. Calcule BD, si AB = 25 y BC = 16. A) 12 D) 20
B) 15 E) 36
A
F
A) 5 D) 6,5
A
C
D
C) 18
B
25
Calcule AF en la figura, Si: BD = 5 y DF= 4. B
RESOLUCIÓN
x
x 12 RPTA.: D
86.
16
25
5x 24 3x
BDC
B
C
x
C) 6
RESOLUCIÓN
16
B) 5,5 E) 8
5
A
D
D x
mABC 1) Dato: mCDF 2 2) Si: mCDF mABC 2 3) BD es bisectriz mABD mCBD 4) ABD mBDF mA mABD mBDC mCDF mA mABD mBDC mA
C
4
2
F
1) Dato: BD = 5, DF = 4 2) Ángulo inscrito
mCBF mCAF 3) ABC
mCF 2
ADF (caso AAA)
x 9
4
x
x2 36 x=6 RPTA.: C
88.
SAN MARCOS 2011
En un triángulo ABC la base AC mide 30 cm. y la altura BH mide CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
15 cm. Calcule la longitud del lado del cuadrado inscrito en dicho triángulo y que tiene un lado contenido en AC A) 15 cm. C) 10 cm. E) 13 cm.
A) 14,5 cm. B) 16,2 cm.
B) 12 cm. D) 8 cm.
C) 12,5 cm.
E) 19,2 cm.
RESOLUCIÓN
D 15
x
E
x
B
A
y
x
x
G
N C
B 15-x
F
M
C
z
B
1) Dato: BH= 15, AC =30 2) ABC DBE 15 15 x
N 27-y
18-x
30
C
36
1) Dato: AB =18 BM = 18 – x AC =27 NC = 27 – y BC =36, MN//AC 2) Dato: Perímetro (AMN) = Perímetro (MNCB) x y z 18 x z 27 y 36 2x 2y 81 ... (I)
30 x 1 15 x 2 x
x = 30 -2x 3x = 30
x = 10
3) Corolario de Thales
RPTA.: C
89.
M
D) 18,2 cm.
RESOLUCIÓN
A
A
x y 18 27 x y 2 3 2y 3x ...
En la figura, MN es paralela a BC , AB = 18 cm, AC = 27 cm y BC = 36 cm. Calcule AM para que el perímetro del triángulo AMN sea igual al perímetro del trapecio MNCB.
(II)
4) (II) en (I) 2x 3x 81 x 16,2 RPTA.: B
SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM 90.
Geometría
En la figura, calcule EC, si: BD = 12 y DE = 15 A) 20
91.
A
En la figura, calcule AB, si ABCD es cuadrado, BF = 3 y FE = 2.
F
B
B) 22
B) 12
C) 24
C) 13
D) 25
P
A) 10
B
D
E
E
C
D) 15
C
A
E) 27
E) 18
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
D
P
A
B
45º 45º 45º
3
F
2
E
C
x
c a
F
12
B 12 24
D
15
x E (15+x)
C
1) Dato: BD = 2 , DE = 15 2) Construir el ABF ABD BF = BD = 12 AF = AD = a 3) Teorema ADC
90º
90º
de
bisectriz
a 15 ... c x
A 90º
en
1) Dato: BF = 3, FE = 2 2) Dato: ABCD es cuadrado
mAB mAD mCD (I)
3) Ángulo Inscrito:
90º 45º 2 90º m APD 45º 2 90º m DPC 45º 2
(II)
5) Igualando (I) y (II)
15 24 x 15 x x 25 RPTA.: D
360º 90º 4
m BPA
4) Teorema de bisectriz en FAC
a 24 ... c 15 x
D
4) BPC : División Armónica 3 5x
2
x
x 10 ... 5) Nos piden AB
SAN MARCOS 2011
(I)
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
= 3 + 2 + x....... 6)(I) en (II) = 3 +2 + 10 15
(II)
93.
En la figura, calcule CF. Si: AE= 4 y EC= 2
En un triángulo rectángulo ABC recto en B, AB=6, BC=8, se trazan: la mediana BM y la bisectriz interior AD D BC que se intersectan en P. La prolongación de CP intersecta a AB en E; calcule AE. A) 3 D)
B) 4
15 4
E)
C)
15 4 RPTA.: D
RPTA.: D
92.
x
B
A
11 4
E
A) 6 D) 12
17 4
F
C
B) 8 E) 16
C) 10
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
B d b
A
5
a
x E
P
3
A
5
6-x B
c
M
D 8
5
AM = MC =5 5) Teorema de Ceva x 5 3 6 x 5 5
3x 30 5x 8x 30 SAN MARCOS 2011
F
C
x
2 (6+x)
1) Dato: AE = 4 , EC = 2 2) Teorema de Ceva
C
ab (2) = dc (4) …
1) Dato: AB = 6, BC = 8 2) ABC (37º y 53º) AC = 10 3) Teorema de bisectriz en ABC
6 BD 10 8 BD BD 3 DC 5 4) Dato: BM es mediana
4
E
3) Teorema de Menelao ab x= dc (6+x)…
(I) (II)
4) Dividiendo(I) y (II)
2 4 ... Div. Armónica x 6x 4x 12 2x
x= 6 RPTA.: A
94.
En un triángulo rectángulo ABC recto en B cuyo circunradio mide R, el inradio mide r, R=5r, siendo “I” el incentro, se traza BI cuya
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría RESOLUCIÓN
prolongación intersecta a AC en D. Calcule
BI ID
A) 1,2 D) 1,8
B
B) 1,5 E) 2,1
C) 1,6
C
6
F 3
RESOLUCIÓN
x
B
A
D
E
45º45º
Por semejanza
I
x AE ..(I) 3 AD x ED ..(II) FED BAD 6 AD AEF ADC
r o
A
C
D
R
R
2R
1) Dato: R=5r … 2) Teorema del Incentro BI AB BC …
ID
AC
(I)
(I) y (II)
x x AE ED 3 6 AD 1 1 x 1 3 6 2 1 x 1 6 6 x 3 x= 2
(II)
3) Teorema de Poncelet AB+BC=AC+2r = 12r (III) (III) en (II)
BI 6 1,2 ID 5
RPTA.: A
95.
Calcule x en la figura.
RPTA.: B
96. 6 3 x
A) 5 D) 2
SAN MARCOS 2011
B) 2 E) 1
C) 3
En un cuadrilátero ABCD circunscrito a una circunferencia, los lados AD y BC son tangentes a la circunferencia en M y N respectivamente, MN intersecta a AC en P, si PC = 10, NC = 8 y AM = 4; calcule AP. A) 3 D) 6
B) 4 E) 8
C) 5
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN D
4
A
x
M
E
12
6 F
P
6-x
N
8
4) NCE es isósceles NC EC 8 5) APM EPC Caso AAA
x 4
x 6
x
x
x
x2 6 x12 x x2 72 18x x2 x=4 RPTA.: B
10 8
98.
8x = 40
En un triángulo ABC se inscribe un rombo BFDE, F en AB, D en AC y E en BC . Calcule la longitud del lado de dicho rombo, si: AB = 6 y BC = 12 B) 4 E) 10
12
18x = 72
RPTA.: C
SAN MARCOS 2011
3) AFD DEC Caso AAA
mMN 2
x=5
A) 3 D) 9
C
FD//BC DE//AB
1) Dato:PC = 10, AM = 4, NC = 8 CE//AD ángulos 2) Trazar alternos internos m MEC 3) Ángulo Seminscrito
mAMN mBNM
D
1) Dato: AB= 6, BC=12 2) Dato BFDE es rombo BF = FD = DE = BE = x
C
8
A
1 2 - x
x
x
1 0
E
97.
x
x
B
B
Las medidas de los lados de un triángulo son tres números pares consecutivos además el mayor interno mide el doble de la medida del menor ángulo interno. Calcule la medida del menor lado. A) 4 D) 7
B) 5 E) 8
C) 6
C) 8
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
RESOLUCIÓN B
E
x= 10
x
x+4
RPTA.: D
x+4
2 x
x+2
A
C
(2x+2)
1) Prolongar CA hasta E tal que AE = AB = x 2) BE = BC = x + 4 3) ABC BAE
100. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, la prolongación de la altura BH intersecta a la bisectriz exterior del ángulo C en el punto P. Calcule BP, Si: AB = 4, BC = 3 y AC = 5 A) 3 D) 6
x 4 x 2 x 1 x 4 x2 8x 16 2x2 2x 0 x2 6x 16 x 8 x 2 0
B) 4 E) 8
C) 5 T
RESOLUCIÓN x
90
B
4
x-8=0
x=8 RPTA.: E
99.
3 5x 2 x
4) (II) en (I)
A
5
En la figura, calcule ET, si: DP=3 y PE = 2, D, E y F son puntos de tangencia.
3
C
H
x
90
B
D
A
P
F
A) 5 D) 10
P
E
C
B) 6 E) 12
T
C) 8
1) Propiedad A, F, C y T es una cuaterna armónica. 2) B-AFCT es un haz armónico 3) Dato DP= 3; PE =2, ET =x…
SAN MARCOS 2011
5
90
RESOLUCIÓN
DP DT … PE ET
1) Las prolongaciones de AB y PC se intersectan enT. 2) m BPC m BTC 90º 3) PBT es isósceles BP BT x 4) ATC BCP Caso AAA
(I)
4
x
3
x
5x= 12+3x 2x=12
x= 6 RPTA.: D
(II)
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
SEMANA 8
E) 39 m
RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS
RESOLUCIÓN
101. En el rectángulo ABCD donde
M
BC = 2AB = 8, calcule “x” si “O”
es el centro del arco ED.
8
O1
B
C
10
8 H
O2
N
M
x
MN = x A
E
A) 2,6 D) 3,2
B) 2,8 E) 1,2
x 2 O1H HO2 5 MHO1 :
D
O
MH
C) 3,0
2
x 2 2 2 8 5 x 2 39
RESOLUCIÓN
8
B 4
2 M
x
2 A
*
2
C
(8-x) 8
o
x
D
RPTA.: D
103. En un triángulo acutángulo ABC la proyección de AB sobre BC mide la cuarta parte de BC. Calcule BC 2 2 si: AC AB 8 A) 2 D) 16
MAO : x 22 22 8 x2 x 3, 2
A) 2 13 m C) 2 15 m SAN MARCOS 2011
B) 6 m D) 2 39m
C) 8
RESOLUCIÓN B x 4 x
RPTA.: D
102. Se tienen 2 circunferencias secantes y congruentes de radio cuya medida es 8 m y la distancia entre sus centros es 10 m. Calcule la medida de la cuerda común.
B) 4 E) 6
*
A
C Por Euclides: ( < 90º)
AC 2 AB 2 x2 2x
x 4
x2 AC AB x 2 2
2
2
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
x2 8 x4 2
B) 2 3 E) 5
A) 7 D) 2 7
RPTA.: B
C) 3
RESOLUCIÓN
104. En el gráfico, calcule HR, si: BQ 1 y QC =2
C
B
2 x
Q
x
A A
H
A)
C
R
6 2 6 D) 6
6
B)
6 3 6 D) 12 C)
*
106. En el triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la altura BH y la mediatriz de BH que intersecta 2 2 a BC en P. Calcule AP HP si AB = 4
1
Q 2
*
ACB: 2x 2 4 7 RPTA.: A
B
*
4
B
O
x 7
RESOLUCIÓN
A
3
H
H x
A) 16 D) 12
C
R
BHC (Thales): 1 x RC 2x 2 RC HQC : 22 3x 2x 6 4 x x2 6 3
B) 4 E) 32
C) 8
RESOLUCIÓN B 4
P
A
C
H
Sea: x AP HP 2
RPTA.: C
2
ABP:
42 HP AP 2 2 16 AP HP 2
105. En una circunferencia de diámetro AB y centro “O”, se traza la
cuerda
AC
y
CH
Calcule la distancia de “O” a
AB . AC si
2
x =16 RPTA.: D
AH = 3 y HB = 4.
SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
107. En el rectángulo ABCD de perímetro 20, se traza CE perpendicular a BD siendo ACCE 5 . Calcule BD. A) 2 15 D) 4 5
B) 9 E) 2
* *
C) 3 10 10
RESOLUCIÓN
b
B
Se traza CP //BD Por paralelogramo BCPD: BC DP 2 mACP mAOD 90º ACP: x2 AE ED x2 4 9 x 6 RPTA.: D
C
109. En el cuadrilátero ABCD donde las x
a
diagonales se cortan en “O”, calcule OP si “P” es el punto
a
medio de DC , AB= 6 2, BC = 6, CD = 8 y AD = 10.
E
A
D
b
2a 2b 20 a b 10 a b2 102 a2 b2 2ab 100
*
B 6
RPTA.: C
108. En el trapecio ABCD donde las diagonales se intersectan perpendicularmente BC//AD , se traza la altura CE siendo AE = 4, ED = 7 y BC = 2. Calcule CE. B) 3 2 E) 5
2 O
A
4
SAN MARCOS 2011
P
C
8 D
Se cumple: 2
62 102 6 2 82 m DOC 90º DC 8 DOC: x 4 2 2 RPTA.: C
110. En el triángulo rectángulo ABC recto en B, se trazan: la altura BH y la bisectriz interior AS que se
X
E
O
10
*
C
6
x
C) 2 6
RESOLUCIÓN
2
A
*
B
C) 4
RESOLUCIÓN
x2 2 BD.CE 100 x2 2(5) 100 x 90 3 10
A) 2 3 D) 6
B) 3 2 E) 4 2
A) 5 D) 6
7
D
2
P CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
intercectan en “P”. Calcule BP si
AS. PS = 36
B) 3 3 E) 3
A) 3 2 D) 4 2
*
Proyección de la mediana: ABC
a2 b2 2 AC EO x 4 AC 2 AC 2
C) 6
x=4
RPTA.: D
RESOLUCIÓN B
A
112. Calcule la medida de la altura de un trapecio si las bases miden 6 y 8, las diagonales miden 13 y 15.
x
S
x P
A) 10 D) 12
C
H
13
PS x2 AS 2 AS PS 36 x2 18 2 2 x3 2 RPTA.: A
111. En un romboide ABCD se cumple: BC2 AB2 4 AC . Calcule la longitud de la proyección de BD sobre AC B) 2 E) 1,5
C) 2,5
a
B
C F
O x
b E A
EO OF
SAN MARCOS 2011
x 2
a
1 5
x A
*
* *
D 6
8
E
Se traza CE//BD: Paralelogramo: BCED:BC=DE=6, CE = BD = 15 ACE (Herón):
13 15 14 42 21 2 2 2 x 2121 13 21 14 21 15 14
p
x= 12
RPTA.: D
113. En un romboide ABCD se trazan las bisectrices de loa ángulos A y B, que se intersectan en “G”.
RESOLUCIÓN
*
15
2
A) 1 D) 4
C
PS 2
ABS: BS AS HS
*
6
B
BP BS x;PM MS
C) 11,5
RESOLUCIÓN
BPS: (Isósceles)
*
B) 11 E) 10,5
b
Calcule GD si AB =10 y BC = 14 A) 2 17 D) 4 5
B) 6 2 E) 2 21
GC = 12 , C) 2 19
D
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
RESOLUCIÓN B
RESOLUCIÓN
14
C
*
x
10
P
2 / x
P
D
4
2 / x
10
10
A
ABP (Isósceles):
*
BG GP, AB AP 10 *
37/2
10
M G
C
3 7 / 2
1 2
10
A
10
B
Trapecio BCDP: (GM mediana):
Q
D
10
Auxiliar
x 10 10 2
x=2
RPTA.: B
14 4 9 2 GCD (la mediana):
GM *
115. En el trapecio escaleno ABCD se cumple: BC//AD
AC 2 CD2 m .
102 x 12 2 9 2 2
Calcule el producto de las longitudes de las bases.
2
2
x = 2 17 RPTA.: A
D)
114. En el cuadrado ABCD AB = 10 Calcule BP, P: punto de tangencia.
B)
m 4
C)
m 3
RESOLUCIÓN
C
B
m 2 m E) 6
A) m
B
C
P
D
A
A) 1 D)
B) 2
5 3
AD BC 2
E)
5 4
C) 3
A
*
D
Teorema de Euler: AD2 BC2 AB2 CD2 2
AC BD 4 AD 2 BC 2
AD SAN MARCOS 2011
2
2
BC AB CD 2
2
2
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM AC 2 BD2 AD
2
Geometría 2
BC 2AD BC
2AD BC 2m m AD BC
117. En el gráfico, calcule la medida del lado del cuadrado ABCD si
m 2
CE = CF, EH = 6, FQ = 4 y “A” es
el centro del arco BD
RPTA.: B
116. En
B
C
el
cuadrilátero ABCD m ABC m ADC 90º , las
E
diagonales se intersecan en “O”.
F
Calcule BD si AO = 3, OC = 7 y m
B) 2 11 E) 2 14
C) 4 3 A
A) 10 D) 2 6
RESOLUCIÓN B
D
Q
H
C) 2 13
B) 9 E) 9
RESOLUCIÓN
A
3 60º o
B
2M
x E
C
P
N
C
4 F x
x
6
D
*
x
Teorema de Euler: 2
2
2
2
2
2
A
2
AB BC CD AD AC BD 4 MN 2
2
2
AC
+
AC = AC
102
102 = 102 x2 4 3
2
2
BD 4
3
2
2 3x RPTA.: D
SAN MARCOS 2011
4
H
Q D
*
EP FQ 4 ...(por simetría)
*
EHA: x 6 42 x 2 13 2
2
RPTA.: D
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
118. En la figura: ABCD es un cuadrado, AP = 3 y PQ = 2. Calcule QD.
B
E C P F
C
B
Q
A
P
D
Q
A
A) 21 D) 4 21
D
A) 2 D) 3
B) 1,5 E) 1
C) 2,5
RESOLUCIÓN B
6
2
A
7
A
3
7
D
T 2
APQ: AQ 2 3 2
*
2
2
2
APT: 2 7 3 PT
2
QT 3 5 PT *
F
12
*
AED (Menelao): y6 z 6 212 z z4 AEQ (Steward):
*
Q
142 4 x2 12 82 16 12 416
x 2 21
2 7 2
RPTA.: B
120. En el triángulo acutángulo ABC de incentro “I”, excentro “ E” relativo
7 9 2x2 14
x=1
RPTA.: E
119. En el romboide ABCD, BE=3EC=9, EF = 3FD = 6, EP = EF. Calcule EQ.
SAN MARCOS 2011
z
6 9 y8 y 12
2
2
D
BPE APD :
AQT (T. Mediana):
7 32 2x2
2
*
AQ 7 *
x
7
C
6
y Q
3
E 3
P
C P
9
RESOLUCIÓN B
C) 3 21
B) 2 21 E) 5 21
a BC , el inradio mide 2 y el exradio relativo a BC mide 6. 2 2 Calcule IE BC A) 8 D) 16
B) 12 E) 4
C) 14
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría SEMANA 9
RESOLUCIÓN B
RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
E
mm
6
H
I
2 n
2
*
AB = 9 m, AM = MO = 4m; calcule BO:
Q
n
C
En el trapecio IPEQ 62 4 2 OH
*
“O” se ubican los puntos A y B; luego se ubica “M” en AB tal que:
6
2
121. En una circunferencia de centro
O
P
A) 4m D) 7 m
BI
2
2
2
2
2
BE EC IC BC IE
IE + IE = BC IE2 BC2 16 2
2
2
C) 6 m
RESOLUCIÓN
2
IBEC: (Teorema de Euler): 2
B) 5 m E) 8 m
4 2
4 ) ( r -
4
M 4
2
A
2
IE 4 4
B
N
5
r
O r
RPTA.: D
Q
Datos: AM = MO = 4 AB = 9 MB = 5 * *
Piden: BO = r Prolongamos: MO MN r 4 Teorema de las Cuerdas: 4 5 r 4 r 4 Resolviendo: r = 6 RPTA.: C
122. Por lo vértices B y C de un rectángulo ABCD se traza una circunferencia tangente a AD que intersecta a BA en “M”; calcule “BC”, si BM = 99 m y AM = 1m
A) 10 m D) 25 m
SAN MARCOS 2011
B) 15 m E) 100 m
C) 20 m
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría BN = 1 OM = 4 AM = 5
RESOLUCIÓN B
C
*
x
99
Piden: MN = x Prolongamos el arco AB y BO Teorema de las Secantes: 5 x 7 1 x
99
RPTA.: E Q M 1 A
124. En un trapecio isósceles ABCD; calcule AC si: AB = CD = 4m; BC= 5 m y AD = 4 5 m .
1
N
D
Datos: BM = 99; AM = 1 *
A) 4 m D) 6 m
Piden: BC = x Se observa: CQ = BM = 99 QD = AM = 1
RESOLUCIÓN
4
el punto “M” en la prolongación de “MN”
OB = 3 m y MB = 1 m. A) 1 m D) 2,8 m
B) 2 m E) 1, 4 m
si:
*
C) 3 m
RESOLUCIÓN
4
x
D
4 5
Piden: AC = x
OB tal que AM intercepta al arco calcule
C
Datos: AB = CD = 4; BC 5 ; AD 4 5
123. Dado un cuadrante AOB; se ubica “N”;
x
A
RPTA.: C
en
5
B
Teorema de la tangente: AN2 ND2 1001 AN ND 10 BC x 20
AB
C) 3 5 m
B) 8m E) 5 m
Por Por
isósceles AC = BD = x ABCD es inscriptible
Teorema de Ptolomeo: x x 4 4 5 4 5
x=6 RPTA.: D
A 3 Q
3
O
125. Dadas 2 circunferencias tangentes
5
N
exteriores en “E”; se traza una
x
3
B
1
M
recta tangente a una de ellas en “D” que intercepta a circunferencia en “B”
la otra y “A”;
B AD ; la recta tangente común interior intercepta a BD en “C”; Datos: OB = 3 OA =3 SAN MARCOS 2011
Calcule “DC” si:
1 1 1 DB DA 5 CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM A) 2,5 D) 15
Geometría
B) 5 E) 5
RESOLUCIÓN
C) 10
E
RESOLUCIÓN
x B
b A
B
a x C
C 4
D
6 O
6
4
A
E
D
Dato: AC = 12; BD = 8 Dato:
*
1 1 1 a b 5 *
Piden: DC = x Teorema de Tangente: CE2 ACBC Reemplazando: x 2 b x a x
Piden: EB = x ABCD: paralelogramo AO OC 6 BO OD 4 Teorema de las Cuerdas: x 4 4 6 6 x=5 RPTA.: E
127. En un triángulo ABC; se traza la BH H AC ;BC AC; altura
Ordenando:
1 1 1 a b x
BC AH 8m2 .
Del dato: x = 5 RPTA.: B
126. En un paralelogramo ABCD, la circunferencia circunscrita al triángulo ACD intercepta en “E” a
Calcule AB. A) 4 m B) 2 2 m C) 6 m D) 8 m E) 2 m RESOLUCIÓN
la prolongación de DB ; calcule EB si: AC = 12 m y BD = 8m. A) 6 D) 2
B) 4 E) 5
B
x 2
C) 3
x
N
a
x 2 A
m
H
C a
Datos: BC = AC = a; am=8 Piden: AB = x
SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM *
Geometría
Trazamos: La altura CN NA =
BN
determinadas en circunferencias por: AD.
=
x 2
A) 1 D) 4
NHCB Inscriptible
Teorema de las Secantes: x x am 8 2 x=4
B) 2 E) 5
C) 3
RESOLUCIÓN A B
x
RPTA.: A
m
y
128. Dado un hexágono regular ABCDEF inscrito en una circunferencia; se ubica el punto
D
C
“P” en el arco AB; calcule: “PE” si
Datos: AB y CD: Rectas tangentes
A) 1 m D) 6 m
Piden:
PC = 5 m y PA = 1 m. B) 2 m E) 3 m
C) 4 m * *
RESOLUCIÓN B C P
x y
Propiedad: AB = CD Teorema de la Tangente AB2 AD x m
CD2 AD y m
a
Igualando: x = y a
A
D
a F
E
Piden: PE = x Se observa: AC = CE = AE = a APCE (Inscrito) Teorema Ptolomeo: PE (a) = PC (a) + PA (a) PE = 5 + 1 =6
x 1 y RPTA.: A
130. En
Dato: ABCDEF: Hexágono regular PC = 5; PA = 1 *
las
un
cuadrado
ABCD
(AB = 20 m), con centro en “A” y
radio AB se traza el arco BD que intercepta a la circunferencia inscrita en el cuadrado en: M y N; calcule “MP” si “P” es el punto de intersección de la circunferencia inscrita con AM . A) 5 m D) 20 m
B) 10 m E) 25 m
C) 15 m
RPTA.: D
129. Se tienen dos circunferencias exteriores, se trazan las rectas tangentes comunes exteriores AB y CD, A y C en una misma circunferencia; calcule la razón entre las longitudes de las cuerdas
SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría FM = a
RESOLUCIÓN B
C
*
M
* x
P
N
xa 3 RPTA.: B
A
10
Q
10
D
132. Exterior A un cuadrado ABCD de centro “O” se construye el triángulo rectángulo AEB (recto en
Dato: AB = 20 *
Piden: CE = x Se observa: FC = FN = x OC = OA = x 2 : (Teorema de Pitágoras) AF x 3 Teorema de las Cuerdas: x x a x 3
Piden: MP Se observa: AQ = QD = 10 AB = AM = AD = 20 Teorema de la Tangente: AQ2 AM AP
“E”);calcule “EO”si:AE + EB = 6m.
A) 4 m B) 3 m D) 6 2 m E) 3 2 m
C) 6 m
RESOLUCIÓN
10 2 20 AP AP 5
E
Luego: PM = 15 m RPTA.: C
131. En un cuadrante BOD se inscribe el cuadrado OFCE; " C " BD ; en la prolongación de DO se ubica el
a 2
B
a
a
punto “A” tal que AO = OD ; AF
O
intercepta al arco BD en M; si:
a
FM= a; calcule “ CE”.
B) a 3 E) a 7
A) a D) a 5
A
C) a 2
C
a D
Datos: ABCD: Cuadrado de centro “O”
m BEA 90º AE EB 6 m
RESOLUCIÓN B
M a
N
x
C
F
x 3 x
A
x 2
Datos: AO = OD SAN MARCOS 2011
O
*
x
x
x 2 E
D
*
Piden: EO Propiedad: AO = OC = OB = OD = a AB = a 2 BE AO Inscriptible. Teorema Ptolomeo EO a 2 AE a EB a CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
2 EO AE EB 6
RESOLUCIÓN
EO 3 2 m
B
RPTA.: E
133. Se tienen dos circunferencias exteriores, se trazan las rectas tangentes comunes interiores AB y CD; A y C en una misma circunferencia; BC intercepta a las circunferencias en M y N BMC ; calcule MB si: CN=2 m. A) 1 m D) 0,5 m
B) 2 m E) 1 ,5 m
D
A
*
x a
C
G
F
a
C
Piden: BE = ? Teorema de las secantes: a b a 10 6 ………………………(I) a b a x 4 4 …………………(II) (I) = (II) 10 6 x 4 4
15 x 4 x 11 RPTA.: E
2 N
Datos: AB y CD son rectas tangentes. CN = 2 m * *
a
Datos: B, D, G, F y E: puntos cíclicos. AD = 6;DB = EC = 4; AG=FC = a
D
B
4 b
A
M
E
6
C) 4 m
RESOLUCIÓN
x
4
Piden: MB = x Propiedad: AB = CD Teorema de la Tangente: AB2 a 2 a
135. En una semicircunferencia de diámetro AB se ubican los puntos D y C, D AC ; AC DB E . Calcule EC, DE = 6 m, EB = 9m y AB = 17 m. A) 6 m D) 5,4 m
B) 9 m E) 3, 6 m
C) 4,8 m
CD2 a x a Igualando: x = 2 RPTA.: B
134. En el triángulo ABC, se ubican los puntos D, E, F y G en AB,BC,AC y AF respectivamente; calcule BE; AD = 6 m, DB = EC = 4 m y AG = FC (B, D, G, F y E son puntos cíclicos) A) 4 m D) 14 m SAN MARCOS 2011
B) 6 m E) 11 m
C) 10 m
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría 2a2 188
RESOLUCIÓN
a6 *
D C x
6
12 x 6 18 8
E
8
Teorema de la Secante: 2a x a 18 8
10
9
x = 12 RPTA.: E
A
17
B
* *
Datos: AB : Diámetro; DE = 6; EB = 9 AB = 17 Piden: EC = x ADB AD = 8 ADE AE = 10
Teorema de las Cuerdas: x 10 6 9 x 5, 4
137. En un triángulo ABC se traza una circunferencia tangente a AB y BC en M y N respectivamente, dicha circunferencia intercecta a AC y AP en P y Q respectivamente; calcule AM si: NC = 4 m, PC = 1m y AQ = 5 m. A) 5 m D) 9 m
RPTA.: D
B) 9 m E) 12 m
B
a
8
M
Q
a
P
1
Piden: AM = x C
10
Teorema de la Tangente:
SAN MARCOS 2011
5
D
Datos: EC = 8; CD = 10, EA = AM = a Piden: MB = x *
4
Datos: NC = 4, PC = 1 y AQ = 5
B
a E
N
x
A
x A
M
C) 10 m
RESOLUCIÓN
C) 8 m
RESOLUCIÓN
136. Desde un punto exterior “E” a una circunferencia se trazan las rectas secantes EAB y ECD; CD es la cuerda tangente en “M” a AB ; calcule MB , si: EC 8m , CD = 10 m y EA = AM. A) 8 m D) 11 m
B) 6 m E) 10 m
Teorema de la Tangente: 42 a 1 1 a = 15 Teorema de la Tangente: x2 5 a 5 CUESTIONARIO DESARROLLADO
C
UNMSM
Geometría
x2 5 15 5 x 10
D) 8
E) 16 m
RESOLUCIÓN
RPTA.: E
B
138. Desde un punto exterior “E” a una circunferencia se trazan la recta tangente EA y la recta secante EBC; el punto medio “M” de
a m A
BC
determina en una cuerda de dicha circunferencia segmentos de longitudes 3 m y 4 m. Calcule EA si B y M trisecan a EC . A) 4 m D) 7 m
B) 5 m E) 8 m
B
4 a
Datos: DM = 2; ME = 3
Q
* *
Piden: AD = x =? Teorema de las Cuerdas: mn 2 3 6 …………………..…….(I)
*
Teorema de la Tangente: a2 x 5 x …………………….…….(II)
*
Teorema de Stewart: ABC (Isósceles)
M 3
3
C
P
a
M
E
*
E
2 n
A
x
D
a
C) 6 m
RESOLUCIÓN
x
x 22 a2 mn …………………(III)
a C
Datos: NQ = 3; MP = 4 EB = BM = MC = a Piden: EA = x Teorema de las Cuerdas: a a 3 4 Teorema de la Tangente: x 2 3a a 12 x=6
Reemplazando: (I y II) en (III) x 22 x 5 x 6 Resolviendo: x = 10 RPTA.: A
140. Calcule la distancia entre el incentro y el circuncentro de una triángulo, si las longitudes del inradio y circunradio son: 2 m y 6 m respectivamente.
RPTA.: C
139. Desde un punto “A” exterior a una circunferencia, se trazan las rectas tangentes AB y AC , también se traza la recta secante ADE; BC DE M . Calcule: AD; DM = 2 m y ME = 3 m A) 10 m SAN MARCOS 2011
B) 5 m
C) 21 m CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría SEMANA 10
POLÍGONOS REGULARES
B) 2 3 m D) 4 m
A) 2 m C) 3 2 m E) 3 m
141. En una circunferencia se traza una cuerda de medida 6 que sub tiene un arco de 120º. Calcule la longitud de la cuerda que subtiene un arco de 60º.
RESOLUCIÓN
A) 2 D) 4
B
S
n Q
R
RESOLUCIÓN
r
I
R
x
120º
O
R - x
R
A
m
C
A
B
6
m
D P
* * *
C) 2
B) 3 E) 2 2
Datos: I: Incentro O: Circuncentro R = 2; R = 6 Piden: IO = x =? Teorema de las Cuerdas: x R R x mn …………………(I) Propiedad: IP = AP = m BIQN APS
n r mn 2Rr ……………..(II) 2R m Reemplazando (II) en (I) x R R 2r
x2 3 RPTA.: B
x C
Del dato, como: AB = 120º AB L3
AB 6 R 3 R 2 análogamente, CD 60º CD L 6
CD x R x 2 RPTA.: C
142. En una circunferencia de diámetro AB se traza la cuerda CD paralela a dicho diámetro, si CD R 3 . Calcule m ABC , si AB= 2R A) 10º D) 8º
SAN MARCOS 2011
60º
B) 15º E) 36º
C) 18º
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría 144. Calcule el menor ángulo que forman las diagonales del cuadrilátero ABCD inscrito en una circunferencia, si: AB y CD son lados del triángulo equilátero y el pentágono regular.
RESOLUCIÓN
R 3
C
D
2x x
A
B
A) 84º D) 76º *
D
A
RPTA.: B
143. De un punto D exterior a una circunferencia se trazan las secantes DCB y DEA, siendo AE diámetro. Calcule m BDA , si:
AB R y BC R 2 ,
*
siendo “R”
radio de dicha circunferencia. A) 10º D) 20º
B) 12º E) 15º
C) 24º
A
* *
L3
= 72º y AB L3 AB = 120º Por proposición: AD CB x 2 Además, DC
2 x + 72º + 120º = 360º x = 84 RPTA.: A
45º 60º
C x
30º O
E
Del gráfico: AB R L6 m BOA 60º
BC R 2 L 4 m BOC 90º m COE 30º m BCO 45º x = 15º
SAN MARCOS 2011
B
Como DC L5
R 2
R
C
AD + CB + DC + AB = 360º
RESOLUCIÓN B
L5 x
Como AB 2R y CD R 3 CD L 3 CD = 120º Del gráfico: AC + CD +DB = 180º 2 x + 120º +2 x = 180º x = 15º
*
C) 78º
RESOLUCIÓN
Sea m ABC x Por inscrito: AC = 2 x y como AB // CD AC = DB = 2 x
*
B) 86º E) 88º
RPTA.: E
D
145. El perímetro de un hexágono regular es 12 . Calcule el perímetro del hexágono determinado al unir en forma consecutiva los puntos medios de los lados del primer hexágono. A) 12 3
B) 8 3
C) 4 3 E) 3 3
D) 6 3
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM RESOLUCIÓN A 1 C B
Geometría RESOLUCIÓN B
1
1 120º
C
1 8
8
1
1 1
1 1
4
8
6
F
1
Del dato: 2p 12 L6 2 AB AC 1
Además: i del hexágono = 120º BC 3 2p del nuevo hexágono = 6 3
D
30º
1 1
60º
x
A
E
Recordar: i hexágono = 120º y m ACD BFE 90º m BFA 30º AG 4 y m CDA 60º m CAD 30º x 2
RPTA.: D
RPTA.: E
146. En un hexágono regular ABCDEF cuyo lado mide 8 , calcule la distancia del punto de intersección de las diagonales AD y FB a la diagonal AC.
147. Interiormente en un pentágono regular ABCDE, se construye un triángulo equilátero APB. Calcule m APE
A) 1 D) 3
B) 3 E) 2
A) 76º D) 37º
C) 3
B) 84º E) 92º
C) 66º
RESOLUCIÓN D
E
C
P
x x
108º 48º 60º A
Del gráfico: 2x + 48º = 180º x = 66º
B
RPTA.: C
SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
148. En un triángulo ABC se traza la ceviana BQ, tal que BC 5 1 ; los ángulos BAC,
A) 3 2 3
ABQ y CBQ miden 49º, 23º y 72º respectivamente. Calcule BQ.
E) 3 2 3
A) 1 C) 2 2
RESOLUCIÓN
E)
C) 3
B) 2 D) 2 3
3 2 3 2 3 D) 2 3 2 B)
3
RESOLUCIÓN B
C 45º
23º 72º
5 1
A
x
A
Q
Del gráfico: m BQC 72º m BCQ 36º BCQ isósceles
QC 5 1
36º
5 1
C
1)
60º F
Ángulo inscrito m AB 45º m AB 90º AB L 4 2
mBC 15º mBC 30º BC L12 2
2)
R 5 1 , donde 2 5 1
x
5 1 5 1 2 x=2
3) 4) RPTA.: B
149. En una circunferencia se ubican los puntos A, B y C. Calcule la distancia de C a AB , si los ángulos BAC y ACB miden 15º y 45º respectivamente y AB 6 .
SAN MARCOS 2011
B
90º
x L10 R
6
72º
49º
x
15º
AB L 4 R 2 6 R= 3 BC L12 BC R 2 3 BC 3 2 3 ………………………. I BC x 3 ……………………………… II 2 I en II x
3 2 3 2 RPTA.: D
150. En una circunferencia de radio R = 4, su ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Calcule AC, si: AB R 3 ; BD R 2 y CD = R.
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
A) 4 2- 3 C) 2 3
151. En un triángulo acutángulo ABC, se trazan las alturas AQ y CH. Calcule HQ, si m ABC = 75 ° y AC = 2.
B) 4 2 D) 4
E) 4 2 3 RESOLUCIÓN B
R 3
C
R 2 H 120º
A) 2 3
B) 2 3
C) 3
D) 2 3
E) 2 2 R
30º 60º
RESOLUCIÓN A
D
O H O
A
* *
Del dato: AB R 3 AB L3 m
x
75º B
C
AOB 120
BD R 2 BD L 4 m BOD 90 Luego: COD equilátero m COD 60 m BOC 30 m AOC 150 Del gráfico: AM MC Apt. del dodecágono
15º Q
R 2 3 2 2 3 2 AC 4 2 3
Del gráfico: el cuadrilátero AHQC es inscriptible. Y como AQC es recto AC es diámetro radio = 1 Además: m BCH 15 m HQ = 30
x L12 R 2 3
x 2 3
AH
RPTA.: E
RPTA.: A
152. En un ABCDEFG,
heptágono regular se cumple que
1 1 1 , AD CE 5
calcule
perímetro del heptágono.
1 5 1 D) 25 A)
SAN MARCOS 2011
B) 5
C) 25
E) 10
CUESTIONARIO DESARROLLADO
el
UNMSM
Geometría
RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN
C
7
B
D
C
B
m n
m
R
n
A
R
O
M
a
E
N A
Sea: AD n,CE m y 7 x Del gráfico: m ABC= m CDE AC = CE = m m ABCD= m AGFE AD = AE = n Por Teorema de Ptolomeo AE CD AC DE AD CE n x m x n m
R 3 6 R 6 E) 3 B)
m
MOG 90
Además: AD 4 R 2
2a R 2 R 2 a 2 Por Teorema de las Cuerdas: MN NF = a a a2 MN NF
R2 MN NF ……………………(1) 2
RPTA.: B
R 2 6 R 6 D) 6
F
m AM = m AG = 45º
nm mn 1 1 1 1 (del dato) x m n 5 x=5
153. Un cuadrado ABCD se encuentra inscrito en una circunferencia de radio R. Se traza una recta secante que biseca: al arco AB en M, a la cuerda AD en N e intersecta al arco AD en F. Calcule FN.
D
Sea: AN ND a Del gráfico:
x
A)
a G
F
G
a
En
MON: 2
R 2 MN2 R2 a2 R2 R2 2
MN
R 6 ………………………….(2) 2
(2) en (1):
C) 6
R2 R 6 .NF 2 2 R 6 NF 6 RPTA.: D
SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
154. En un triángulo ABC se tiene que m BAC 18º; m BCA 45º y
RESOLUCIÓN
BC 5 1 . Calcule AB.
B 4
A) 2 2 C) 5 1 E) 3
B) 2 D) 2
n
A
C
3
RESOLUCIÓN B
90º
36º
x A
45º
18º
Por
C
RPTA.: B
O
inscrito:
m BC = 36º y m AB = 90º
* *
Por dato: AB L 4 m AB 90 AC L3 mABC 120 BC 120 90 30 BC L12 n = 12
R 5 1 y 2 AB L 4 R 2 R Por dato: BC 5 1 5 1 2 BC L10
R=2 AB 2 2
156. Calcule la longitud de la bisectriz interior BD de un triángulo ABC recto en B, si BC 2 2 y AB = BD. A) 2 2
B) 2
D) 4 2
E)
C) 2
2 2
RESOLUCIÓN RPTA.: A
155. En una circunferencia se inscribe el triángulo obtusángulo ABC (obtuso en B); tal que AB L4 , AC L3 y BC Ln ; si n,L 3 y L 4 es la longitud de los lados de los polígonos regulares de n, 3 y 4
A
45 45 x
D
R
x B
45º 45º
2 2
lados. Calcule “n”. x
A) 10 D) 7
B) 12 E) 3
C) 4 Del gráfico: 22,5 Además: BC AP8
SAN MARCOS 2011
R 2 2 2
CUESTIONARIO DESARROLLADO
C
UNMSM
Geometría
*
R 2 2 2 R 2 2 2 2x L8 R 2 2
2x 2 2 2 2 2 x 2
2 2
158. Según el gráfico, calcule m NB A
N
R
RPTA.: B
157. Calcule la longitud del lado de un pentágono regular, cuya diagonal mide 5 1 . A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
O
M
A) 54° D) 45°
C) 3
B
B) 36° E) 60°
C) 30°
RESOLUCIÓN A
RESOLUCIÓN
N
P
5
72º
1
B
72º
R
x
P
x
x
R 2
36º A
36º
36º
5 1
C
O
*
E
* *
x L10
x
x=2
R 5 1 2 5 1 5 1 2
BM MO En
R 2
AOM:
R 5 2 R AP 5 1 2 AM
*
RPTA.: B
B
Sea AO = R
D
Se prolonga AB hasta “P” tal que AP AC 5 1 BCP isósceles: BC CP x
*
M
PAN isosceles R AP AN 5 1 2 AN L10 m AN =36° m NB =54° RPTA.: A
SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
159. En una misma circunferencia se inscriben un pentágono regular, un hexágono regular y un decágono regular, cuyos lados miden L5 , L 6 y L10 respectivamente. Calcule L5 Si: L26 L210 100 A) 10 D) 40
B) 20 E) 50
RESOLUCIÓN R
B
L5
C
E
54º
R
C) 25
x
54º
R
R 72º
54º A
R L5
D
RESOLUCIÓN
Se construye el paralelogramo ABED Del grafico: CE = L 5
A
L5
L6 B
C
L10
Propiedad: x
Por propiedad. L25 L26 L210 L25 100 L5 10
Donde:
160. Calcular la longitud del segmento cuyos extremos son los puntos medios de las diagonales de un trapecio isósceles ABCD. Si: AB = BC = CD = 10 2 5 y m BAD = 54°
D)
5 2
SAN MARCOS 2011
R L5 R L5 2
2
R 10 2 5 10 2 5 10 2 5 2 2 L5 2 5 x 5
L5 RPTA.: A
A) 2 5 C) 5
AD R L5
RPTA.: C
B) 3 5 E)
5 3
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
SEMANA 11
RESOLUCIÓN
ÁREAS I
161. En un triángulo rectángulo BAC recto en A, el ángulo B mide 75° y la distancia de A a la hipotenusa mide 6 2 cm. Calcule el área de la región ABC. A) 100 cm2 C) 84 cm2 E) 72cm2
A 45º 45º 21
r
B) 36 cm2 D) 144cm2
B
75º
4k
C
7k 35 K 5 ……………………………………...
1
Teorema de Poncelet:
6 2
Q K 35
15
C
24 2
Propiedad
3k
Propiedad de la Bisectriz:
A
H
28 I
RESOLUCIÓN
B
P
(75º; 75º)
BC AH 4 AC 24 2 24 2 6 2 A BAC 2
21 28 35 2r r 7 ………………………………………. 4K r …………………… A CIQ 2
2 3
Remplazando 1 y 2 en: 3
A
144cm2
CJQ
7 20 2
70cm2 RPTA.: D
RPTA.: D
162. Los catetos AB y AC de un triángulo rectángulo ABC recto en A, miden 21cm y 28cm. Se trazan las bisectrices CP y AQ, las cuales se cortan en el punto I. Calcule el área de la región CIQ. A) 20cm2 C) 45 cm2 E) 75 cm2
SAN MARCOS 2011
B) 30 cm2 D) 70cm2
163. El triángulo ABC tiene como lados AB = 20cm, AC = 6 5 cm y BC = 10cm. Se traza la altura CE y por E se traza EM perpendicular a AC . Calcule el área de la región EMC. A) 10 cm2 C) 8 cm2 E) 6,2 cm2
B) 5,5 cm2 D) 7,2 cm2
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN B
C 53º
a 6
M
10
6
4K
2a 53/2
4 a
A
37º 37º
5
53/2
37º E 20
12
8
5K B
Teorema de Euclides: 2
2
10 20 AE 12 CE 6
6 5
2
H
3K O
3
53º
2 20 AE A
53º
37º 5/2
P
5/2
C
AEC:
5a 6 5 A
A
EMC
EMC
6 5 5
a
2a a 2 6 5 5
APO: 53;37
a2 2
7,2 cm
164. Se da un triángulo isósceles ABC (AB = BC), en donde AC = 5m y la altura AH mide 4m. Calcule el área de la región BOH siendo “O”
53;37
15 20 8 6 7 …………………………………….. 1 K 24 3K 4K A OHB 6K2 …………… 2 2 5K
la intersección de las alturas AH y BP B) 7 m2 D) 49/96 m2
15 8 BPC:
2
RPTA.: D
A) 25/6 m2 C) 7/8 m2 E) 14m2
OP
Reemplazando: 1 a 2 :
A
OHB
7 6 24
2
49 2 m 96 RPTA.: D
165. En un triángulo ABC recto en B, se traza la bisectriz interior AP y en AC se ubica el punto Q, de modo que mAPQ = 45°. Calcule el área de la región QPC, si (BP)(PC)=20 u2. A) 5 u2 C) 12,5 u2 E) 20 u2
SAN MARCOS 2011
B) 10 u2 D) 15 u2
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría 2C HM 20 AC BH 10 AC BH 10 2 Área (ABC)= 2 2 ÁreaABC 5 2
RESOLUCIÓN B
a P
90º
45º 45
RPTA.: A
b
a
167. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior CD y en el triángulo DBC se traza la ceviana BM, de modo que m CBM = m BAC. Si el área de la región MBC es 5 cm2 y AC = 2(BC), calcule el área de la región BMA.
45
A
C
H b
Q
Dato: a b = 20 Se Traza: PH PH = PB a bisectriz)
QC (Propiedad de la
A) 5 cm2 C) 15 cm2 E) 25 cm2
QPC:Isósceles PC = QC = b
A
PQC
ab 2
RESOLUCIÓN
20 2
10 2
B
D
166. En un triángulo ABC se traza la mediana BM, de modo que m BMA = 45°. Calcule el área de la región ABC, si BC2 – AB2 =20 u2 A) 5 u2 C) 10 u2 E) 15 u2
2K
A
S
a
2S
5
M
10
2a
Propiedad de la Bisectriz: AD = 2(BD) BMC ADC :
B) 7,5 u2 D) 12,5 u2
a2 2S 10 2a 2 20 25 10
S=5
A
5
RESOLUCIÓN B 45 a
C
AMB
35
35
15cm2
2
RPTA.: C
45º b
H
M
b
c
Dato: a2 c2 20 …………………….. I Teorema de la proyección de la mediana a2 c2 2 AC HM ………………………. . II II
K
RPTA.: B
A
B) 10 cm2 D) 20 cm2
168. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC), se inscribe un cuadrado el cual tiene un lado contenido en la base AC del triángulo; calcule el área de la región ABC si el baricentro de este es el centro del
= I
SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
C
UNMSM
Geometría
cuadrado y la base del triángulo mide 6m.
RESOLUCIÓN B
m2
A) 16 C) 8 3 m2 E) 18m2
m2
B) 14 D) 9m2
6
4
C
L
P
RESOLUCIÓN B
a
A N
2a R
S
Q
4
a G
D
2
S 2a
a
A
M
6m
H
C
T
Propiedad del Baricentro:
2GH BG
BR
RG GH a
PL
A
BPC 2; AQD
DLC ASD QD 2 y AS 4 2 4 4 2 2 RPTA.: A
NBS ABC : 6 2a a 1 3a a 6 3a 6 3 1 A ABC 2 2
9m2 RPTA.: D
169. Se tiene un cuadrado ABCD; en la región interior se ubica un punto P tal que mBPC = 90º; y en la prolongación de BP se ubica al punto Q tal que m PQD = 90º. Si BP = 4u y PC = 6u, calcule el área de la región AQD.
A) 4 u2 C) 2 13 u2 E) 15 u2
SAN MARCOS 2011
170. Se tiene un triángulo rectángulo ABC recto en B. La mediatriz de BC es tangente a la circunferencia inscrita cuyo centro es 0; calcule el área de la región AOC si AB = 6u A) 20 u2
B) 8 2 u2
C) 6 3 u2 E) 10 u2
D)
5 6 u2
B) 8 u2 D) 6 u2
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría AC CN
RESOLUCIÓN
x y
1 RPTA.: C
B
172. En un cuadrilátero convexo ABCD, se toma el punto medio M de la diagonal AC. Calcule el área de la región MBD sabiendo que las áreas de los triángulos ABD y BDC miden 50m2 y 30m2
r T r
8
r
r
M
O
6
2 r r
r
37
A
N
10
37
2
2 C
A) 10 m2 C) 8 m2 E) 20 m2
37º 2 Propiedad de la Mediatriz BM = MC = 2r OTC: Auxiliar
RESOLUCIÓN C
4r 8 r 2
A
AOC
B) 9 m2 D) 15 m2
A
B
10 R 2
10 2 2
x
10 2
A + M x
RPTA.: E
AB y “N” en la prolongación de AC . MN y BC se
A
puntos “M” en
regiones MBP y PCN tienen igual
B) 1/4 E) 1/5
D
Piden: A AM = MC
interceptan en “P” tal que las
A) 1/2 D) 1/6
y
y+B
171. En un triángulo ABC, se ubican los
área y AM = MB. Calcule:
B
AC CN
C) 1
A A
ABM AMD
A A
BMD
x y
BMC DMCD
Datos: A ABD 50 2 x 2 y A B A BDC 30 A B Restando: 20 2 x y x + y = 10
RESOLUCIÓN B
RPTA.: A S
M
Z
P Z S
A
x
Se Traza: BN
A
MBN
A
AMN
Luego: AABC A BCN SAN MARCOS 2011
C
y
N
173. En un triángulo ABC se traza la altura BH y en el triángulo BHC se traza la bisectriz interior BD. Siendo 3 (AD) = 4 (DC), HD = 4u y BC = 12u; calcule el área de la región ABD. A) 8 2 C) 32 2 E) 40 2
B) 16 2 D) 24 2
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría 174. En la figura, m AB = m BC , encuentre la razón entre las área de las regiones AGO y OFE.
RESOLUCIÓN B
A) 2/3 B) 2 3 / 3 C) 4/3 D) 3/5
12 S
3s
4s
4
E)
A
H
4
C
D
4K
3/ 6
3K
RESOLUCIÓN
Se Traza: DS BC HD= DS = 4 (Propiedad de la bisectriz)
B
Del Dato:
3 AD
G
4 DC
A A
45 45 O
A r
4S 3S BDC 12 4 3S 2 S 8 A
3
E
2
AB = 4K DC = 3K
F
2 r = D
ABD
ABD
4S
AGO:
2
2
r 4 8
2
32
RPTA.: C
A A
2
AGO
r
2 2 3
OFE
2 3 3
2 RPTA.: B
175. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, en AC se ubica el punto “P” y en el interior de la región PBC el punto “D”. Siendo
mABP = mPCD, BC = PC y BP = PD = 4cm; calcule el área de la región BPD. A) 4 3 cm2 C) 2 3 cm2 E) 8 cm2
SAN MARCOS 2011
B) 4 cm2 D) 8 3 cm2
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría 62 r a
RESOLUCIÓN
9 0
A
P
ABO
9 0
18 2
RPTA.: A
4
m PCD m DCB PD BD 4 BPD: Equilátero 423 A BPD 4 3 cm2 4
C
177. En la figura, AC = CD, mCBD = 2m BDA y el área de la región triangular BCD es 82, calcule el área de la región sombreada. A) 42 B) 72 C) 32
RPTA.: A
D) 52
176. En la figura, CO = 6 . Calcule al área de la región sombreada.
E) 62
A) 18 2 B) 9
36 2
D
BECP : Isósceles
r a 2
4
4
A
r a
B
RESOLUCIÓN
2
C
C) 13,5 2 D) 21
b B
2
30º
2
23º
E) 27 I 2 a
RESOLUCIÓN D
a 30º
30º A
r B
a
a
r
A
ab 20
ii)
A
C
6
A
i)
O
BCD
BCA
20 1 2 2
8
ab sen53 2
D
ab sen30 2 5 2 RPTA.: D
OCD:
SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría RESOLUCIÓN
178. En la figura 3 (RQ) = 2 (PR) = AP y RC = BC. Calcular la relación de áreas de las regiones APQ y QRC.
B a 2s
P
2b
2a Q
4s
b
3s
C
A
A) 1/2 D) 1/4
B) 1 E) 2
C) 1/3
i) ii)
RESOLUCIÓN
A A A
APQ AQB AQC
2A 2A 3S
PBQ AQC
B 3 K
Dato:
P 3s
6 K Z=s
R 2K
3s
2s
Q
A
i)
3K
PB RP 3K (Propiedad de la Bisectriz)
ii)
A A
RPC QRC
3S 2S
También:
A APC 2 A PBC Z 5S 2 3S Z S A APQ S 1 A QRC 2S 2
9 s 45 S 5 A PBQ 2S 2 5 2 5 10 cm2
C
RPTA.: B
180. En un triángulo ABC: AB = 2 (BC)=10 cm. Se traza la bisectriz interior BP y la perpendicular AQ a BP (Q en la prolongación de BP). Calcule el área de la región ABC, si PQ = 2 cm. A) 12 cm2 C) 24 cm2 E) 32 cm2
B) 18 cm2 D) 30 cm2
RESOLUCIÓN
RPTA.: C
179. En un triángulo ABC en AB y BC 10
se ubican los puntos “P” y “Q”
5 4
respectivamente de modo que AP = 2(PB) y BQ = 2(QC). Calcule el área de la región PBQ, si el área de la región ABC es 45cm2.
P
A
B) 10 cm2 D) 20 cm2
53º 3
5
Q 4
R
4
37º T
i) SAN MARCOS 2011
C
2
8
A) 5 cm2 C) 15 cm2 E) 25 cm2
B
Se construye ABT : (Isósceles) CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
ii)
Geometría
AQ = QT AT Se traza CE CR = 3 (Teorema de los puntos medios) CRT: (37º; 53º) QR = 4 y AQ =8
A
ABC
A
ABC
1 A 2 ABT 1 16 6 2 2
24 cm2
SEMANA 12
ÁREAS II
181. En el romboide ABCD donde m A 30º , se construyen exteriormente los cuadrados BCMR y DCPQ. Calcule el área de la región triangular CMP si el área de la región ABCD es Sm2
S 2 m2 2 C) S 3 m2 S E) 3 m2 2
S 2 m 2 D) 3S 3 m2
A) RPTA.: C
B)
RESOLUCIÓN M
R
b x
b
B
150° 30°
a
A
30°
S
a
P
a
2
b
D Q
AREA ABCD S a b sen 30 ABD 2 2 2 a b S Area MCP x sen1500 2 2
Area
sen 30º RPTA.: B
SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
182. En que relación se encuentran las áreas de las regiones cuadradas ABCD y DRQP mostradas en la figura: C
B M
R
30º
A
P
D
A) 2 : 3 C) 3 :1 E) 5:1
183. En un trapezoide de área Sm2 se unen los puntos medios de 3 lados consecutivos, luego los puntos medios de los lados del triángulo formado y así sucesivamente los puntos medios del nuevo triángulo hasta el infinito. Calcule la suma de las áreas de las figuras formadas al unir los puntos medios.
S 2 m 2 3S 2 E) m 4
A) Sm2
Q
B) 2:1 D) 3:1
D)
B)
2S 2 m 3
C)
S 2 m 3
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
T 1
C
B
MH=a 3
45º
M
45º 30º
R
T 2
P
45º
H
2a a 60º 45º
45º
A
a
Del dato A TOTAL = S
45º
D
Q
MHD 600 :
AMQ AQ
AREA T3
45 :
a 3 a
2
Luego
AD
a 6
AREA ABCD AREADRPQ
a 2 a 2 a 6 a 2
2 2
a2 6 a2 2
a 6 3 1
RPTA.: D SAN MARCOS 2011
S 42
. .
AQ a 6 a 2
S 4 S 4 4 S 43
AREA T1 AREA T2
DH a, MH Q 3
S 4 S 4
S S S ......... x 42 43 44 1 S S S ....... x 4 4 42 43 x
S 4
x 4
x
S 3
x RPTA.: C
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
184. Las bases de un trapecio RUSO están unidas por un segmento MN (N en RO ) US//RO , US= 10 m, RO= 20 m y NO = 12 m Calcule MS si MS > UM y las áreas de las regiones parciales están en la relación de 1 A 2 A) 2 m D) 8 m
B) 4 m E) 10 m
185. En la figura, calcule el área de la región triangular CAD si: AI 3 , CD 4 y ZI 2m siendo 3 y 4 lados del triángulo equilátero y cuadrado inscritos en la circunferencia, “Z” es el centro. D A
C) 6 m
RESOLUCIÓN
C
M
10
I
Z
(10 - x) S x
R
8
h
2k
k
N 20
12
0
Por áreas:
10 x 8 h 2 K x 12 2K h 2 36 2x x 12 24 3 x x 8
2 18 x 2
x 12 2
A) 2 2
3 m2
B) 2 2
3 m3
C) 2 2
3 m3
D) 2 2
2 m2
E) 2 2
3 m2
RESOLUCIÓN 3 0 º A 45º
RPTA.: D 2
90º
x
2
C
2
2
Z
I
Por arcos
AI
3
CD
4
Luego:
DI SAN MARCOS 2011
D
360º 1200 3 360º 900 CD 4 AI
900 AD 300 y AC 600 CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría h 8
Por tanto
RPTA.: A
60º
AC
AB
AD
30
R 2
3
0
2 x
R
12
3
2 3
2
187. En el cuadrante OA OB , OA = 1m. Calcule el área de la región sombreada. A
45º : HC 2
2
AD
2 2
AHC
6
2 2 2 3 RPTA.: C
186. En el cuadrilátero MAON donde m
MAO
m
OMN
AO 6m AM 2m y MO MN . Calcule el área de la región triangular NAO. A) 24m2 D) 18m2
B) 22m2 E) 12m2
C) 20m2
RESOLUCIÓN 6
A
O
O
3 3 2 m 2 5 3 6 C) m 2 6 3 10 E) m 2
5 3 4 m 2 5 3 8 D) m 2
A)
A
B
B)
RESOLUCIÓN
2
M
90º,
30º C
h
60º 30º
Q
6
2
P
MP *
6h 2
6
8 24 2
h 2 6 SAN MARCOS 2011
M H 1
MPN (ALA)
A0 6, PN AM 2
AREASOM A SOM
P
N
MA0
*
x
O
30º 30º 30º
3
30º
1515 45º
2
DHB 600 ,30º :BH 1,OH
B
3
PBM (Isósceles): PH HM 2 3 OP OQ 2 2 2 3 2 3 2 2 3 1 Por relación de áreas:
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría RESOLUCIÓN
22 3 OBC AREA 3 4 3 Área COH 2 OC OH Area COH Area QOP OQ OP 3 2 3 2 2 3 2 3 8 x 2 5 3 8 x 2
C 3a P
53º 2
M
ASOM ASOM
A SOM
R
B) 340 330 m C) 350 340 m D) 360 350 m E) 370 360 m
SAN MARCOS 2011
S
D
Area SEGRS
AreaSEGRB
R2
R2 53º R2
4 R 2
4 ASOM
A) 330 320 m
37º
N
ASOM
P
D
B
2a
4a
C
N
53º
53º
6a
37º 2
188. En la figura “M” es centro, CP = PM ND = 2 MN y el radio mide 60m. Calcule el área de la región sombreada.
M
90º
R 3a
A
RPTA.: D
A
R
R2 2
R2 2
sen53º 360º 2 530 R 2 R 2 4
3600
2 5
37 R2 2 R 360 10 370 360 RPTA.: E
B
189. Se
tiene
congruentes
2
circunferencias
de
radios
“R”
y
secantes en los puntos C y D (Los centros de las circunferencias son A y B) de tal manera que el centro de una circunferencia pertenece a la otra circunferencia; la recta tangente en “A” intercepta a la otra circunferencia en “P” y luego PC intercepta a AD en Q. Calcule
el área del segmento circular QAC.
R2 2 A) 2 R2 2 C) 6 R2 3 E) 2
R2 2 B) 4 D) R2 3
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
RESOLUCIÓN 30º
RESOLUCIÓN
C A
60º
R
15
60º
60 30º
ASOM ASOM ASOM
F
D 45º
A sec torCBQ A CBQ R 2 R2 4 2 R2 2 4
190. En la figura mostrada, “O” es centro. Calcule el área de la región sombreada. B
A
F
D
E
3
R2 E) 2 3
SAN MARCOS 2011
3 3
2 + = 90º ASOM ASector A OC A R 2 R2 ASOM 4 2 2 R ASOM 1 2 2
AOC
RPTA.: A
OA
el punto M y se traza una perpendicular a OA que intercepta a AB y AB en los puntos N y P respectivamente. Calcule el área de la región triangular mixtilínea ANP si MN = NP.
1
“O” y radio 2 m se ubica en
C
o
R2 A) 1 2 2
191. En un cuadrante AOB de centro
R
C) R
D
O
Q
P
R
R
B
RPTA.: B
2
C
2
R 15
2
45º
60º
30º
A
B
A) R2 B) 2 2
3 3
B)
R2 D) 2 2
2 3
C) D) E)
109 32 m 180 25 53 32 m 90 25 32 m 6 25 2 30 m 9 7 58 32 m 101 25
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
RESOLUCIÓN
192. Calcule el área de la región sombreada si: AB = BC = CD y el radio mide 20 m (“O” es centro de la circunferencia).
A 45º a 2 M
a 45º
P
a
D
P
N
C 2-a 2 45º O
B
2
B
M
N
O
A
OMP: 22 2a 2 a a 2
2
37º
6 5
Q
53 11 m 18 53 B) 11 m 18 53 3 m C) 18 53 D) 4 m 18 53 A)
8 5
M
4 5 P
10 5 53º
O
ARe g.
Somb.
ASECTOR AOP
A
530 6 8 1 ARegión. 2 360º 5 5 2 Somb. 53 32 ASOM 90 25 2
MOP
A
AMN
E)
4 4 1 5 5 2
18
5 m
RESOLUCIÓN S
RPTA.: B
P
D
2a a C
M S
H 45º a a B 45º a a O 2a
37º 2
0 2
20
N
A
Q
SAN MARCOS 2011
OHD (Pitágoras) 2 2 20 a2 3a a 2 CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
Luego:
37º 45º 90º 2 53 2
C
45º M
D B z
45º
45º Q
2S 2
45º
53 2 36
53 4 18
y
A
E
RPTA.: D
193. En el octágono regular ABCDEFGH inscrito es una circunferencia de radio 2 m. Calcule el área de la región cuadrangular que se obtiene al unir los puntos medios de AB , BC , EF y FE . A) 2 2
2 m
B) 2 1
2 m
C) 2 2
2 m
D) 4
45º
G
194. En la figura, calcule Sx, si: S1 8m2 , S2 18m2 y EF = FL E
B
S1
CE EG
BF = Diámetro = 2R = 2 (2) = 4 Trapecio CEFB:
ABC: QM Área = y.z
21
2
L
F
A
4
R 2
2 2
2 2 4 2 2 2 AC 2 2 2 Z 2 2 2 2 2 2 2 2
D
A) 10m2 C) 17m2 E) 36m2
Radio = 2 m
CE BF 2
C
S2 Sx
2 m
AG
P45º
RPTA.: B
RESOLUCIÓN
F
H
2 m
E) 4 1
y
N 45º
45º
B) 12m2 D) 26m2
RESOLUCIÓN
Area BCL
a b a 2
Área
AEDF =
a b a 2
S1 S2 M … I AD
EF 2
Sx M ………………… II
Igualando I
= II
S1 S2 M Sx M S1 S2 Sx 8 + 18 = 36 = S
Sx
x
SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
b
B
E
S1
M
Sx A
a
F
b
a
C
S2
a
BT TG
AreaGBF
D
igual):
2k t 7k 2 t
x
196. Calcule el área de la región sombreada si: AB =BC y R = 6 m.
195. Calcule el área de la región
AD BD
BE EC
AF FC
4 RPTA.: A
RPTA.: E
sombreada si:
70
28
BTO y GBF (
x 28
AreaGBF
4b 10 b
A Total
a
2K 5K
AreaGBF
L
a
2a 5a
4,
B
120º
AG = GF y el área de la región triangular ABC es 70m2
R
B
A) 4m2 A
2
B) 5m
C) 6m2
A) 6 3 3
D) 7m2 E) 8m2 A
G
C
F
RESOLUCIÓN
D
x
c 8
5k
C) 6 2 3
E) 12
t
4b
G
3 m
2S
SOM
E
5a
4b
m
AREG.
t
AREG.
2 A
AREG.
6 6 3 2 2
62 60º
AREG
2 18 3 6
12 3 3
SOM
2c A
m
RESOLUCIÓN
O a 8
m
D) 12 3 3
B a 2
m
B) 12 2 3
E
C
O
D
F
2b
Por Thales: DF //BC y AB//EF Paralelogramo DBEF: BO = OF ABF ( O6 BASC Media):
SOM
ATO
ASECT.POT 360º
SOM
AB 10 a 5a 2 2 DTB TOG :
O6
SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
B
A
60º 60º
a T
6
3
6
s
A
s
60º
30º
P
S1
G
O
12
2a 30º
B
S2
O S2 T S2 S2
x
C
E
S1 2a
F
D a
C
RPTA.: C RPTA.: D
197. En la figura el área de la región triangular mixtilínea AGE es S1 , el área del sector DOC es S2 y m ED = 2 m AE ; BG = BF = 2 AG. Calcule el área de la región sombreada (O es centro de la circunferencia).
198. En la figura: “O” centro, AM= 2 y m C 30º . Calcule el área de la región sombreada. Q A M
O
30º
A
P
B
C
A) 7 3 3 m G
E
O D
B
F
D) 7 3 3 6 m C
A) 2 S1 S2 B) 4 S1 S2 C) 2 2S1 S2 D) 4 S1 E) 3 S1
S2 S2
RESOLUCIÓN
B) 7 6 m C) 7 5 m 7 m 2
E)
RESOLUCIÓN Q
2 3
A
60º 60º60º 30º
60º
210º
2 3
O
2 M
Por igual altura
Area BG0 Area BGO
2AAGO 2 S1 S2
30º P
B
x 4 S1 S2 2S2 4S1 2S2 2 2S1 S2
SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
C
UNMSM OQA
60 :
Geometría OQ 2
Area ABNH Area ABNH
3
Area ABNH
2
2
AREG. 2 3
210 2 3
3 3 2 4 2
360
SOM
12 2 7 3 3 6
AREG.
7 3 3
SOM
AREG.
RPTA.: D
200. Calcule el área de la corona circular si: AP = a y PC = b (C: pto. de tangencia)
SOM
RPTA.: D
A
199. En el triángulo ABC se traza la mediatriz MN de AC siendo AM MC , N en BC ; luego se traza la altura BH. Calcule el área de la región cuadrangular ABNH, si el área de la región triangular ABC es S.
2S B) 5 3S E) 4
S A) 3 S D) 2
C
3S C) 5
A) C)
B
1
b2
H
N
a2
2
a2
2 a2 b2 a2 D) 9 a2
2
4 a2
2
2
Por Teorema de la tangente
b2 a 2n a b2 a 2n a b2 a2 n 2a
C
M
S 2
AreaBMC
Luego trapecio propiedad:
AreaBON x2 Q
B)
a2 b2
b2
RESOLUCIÓN
O
Se trata la mediana BM
AreaABM
a2
4 b2 a2 E) 9 a2
Q
A
P
O
RESOLUCIÓN
x2
x1 Q Area ABM S 2
BHMN,
por
2
2
AED:
2
R r n 2 b2 a2 n2 n2 2a
AreaHOM
Finalmente: Area ABNH
Por Pitágoras
x1 x2
ACorona
R2
r2
b2 a2 4 a2 R2
2
r2
Circular
SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM ACorona
b2
SEMANA 13
a2
GEOMETRÍA DEL ESPACIO I
4 a2
Circular
m
Geometría
E r O
n
A
a
P
R b
201. Calcule el máximo número de planos que quedan determinados con 4 puntos no coplanares. A) 2 D) 4
B) 3 E) 6
C) 4
RESOLUCIÓN RPTA.: C
Z: Número de planos Z C34 4 3 2 Z 1 2 3 Z 4 RPTA.: D
202. Calcule el máximo número de planos que quedan determinados con 20 puntos y 40 rectas. A) 2 720 D) 2 650
B) 2 820 E) 2 550
C) 2 630
RESOLUCIÓN
20 Puntos C20 3 40 40 Rectos C2 20 Puntos y 40 rectas 20 x40
1 140 780 800 2 720
RPTA.: A
203. De las siguientes proposiciones Indicar verdadero (V) o falso (F) * Tres puntos determinan siempre un plano. * Dos rectas determinan siempre un plano. SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM * *
Geometría
Una recta y un punto exterior a ella. Si una recta es perpendicular a un plano, será perpendicular a todas las rectas contenidas en dicho plano. A) VVVV D) FFVV
B) FFFF E) FVFV
M 2
x 4
C) VVFF
* * *
RPTA.: D
204. En la siguiente figura, la arista del cubo mide 2m. ¿Cuál es la longitud menor para ir de M a D recorriendo la superficie del cubo? M
RPTA.: D
205. En un cubo, la distancia de un vértice al centro de la cara opuesta es 6 m . Calcule la longitud de su arista A) 1m D) 4m
N
B
B) 2m E) 6m
C) 3m
RESOLUCIÓN
A C
a
D
A) 2 2 1 m
B) 2 5 1 m
C) 2 3 m E) 2 6 m
D) 2 5 m
RESOLUCIÓN
6
B O
b
b
1)
Llevando los arcos LMNP y ALPD a un plano se tiene la figura:
SAN MARCOS 2011
D
2
Pitágoras x2 42 22 x 2 5m
P
A
P
A
(F) Porque 3 puntos colineales no determinan un plano. (F) Porque 2 rectas que se cruzan no determinan un plano. (V) Determinación de planos. (V) Por recta perpendicular a un plano.
L
L 2
RESOLUCIÓN
*
N
2b b
a 2 a 2 …………………………………… I 2
2)
Pitágoras ( ABO) 2 a2 b2 6 …………………………… II
3)
I
en
II
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM a
207. En el tetraedro regular mostrado, calcule la medida del ángulo que forman las rectas L1 y L2 .
2
a 2 2
2
Geometría
6
a = 2m RPTA.: B
L2
B) 45°
206. En el cubo mostrado, calcule la medida del ángulo que forman las rectas L1 y L2 .
L1
L1
A) 30°
C) 60° D) 75°
L2
E) 90° RESOLUCIÓN
L1 L2
D
C
A
A) 30° D) 53°
B) 37° E) 60°
C) 45° B
RESOLUCIÓN
L1
H
L2
L3
1) 2)
3) C
Trazar las alturas AHyDH de las caras ABC y DBC. L 2 es perpendicular al plano ADH porque es perpendicular a DHyAH . L 2 es perpendicular a L1 que está contenida en el plano ADH.
90º RPTA.: E
A
1) 2)
Trazar: L 3 // L 2 El Triángulo ABC es equilátero porque sus lados son diagonales del cuadrado. 60º
208. Por un punto exterior a una recta. ¿Cuántas perpendiculares a dicha recta se pueden trazar? A) una B) dos D) infinitas E) cero
C) tres
RPTA.: E
SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría 3)
6cm 3cm 2 L es una recta tangente a la
4)
circunferencia OT L Por teorema de
2)
RESOLUCIÓN
L
radio =
las
3
perpendiculares FT L Luego FT es la distancia de
P
Fa L
H
5)
FOT Pitágoras
F T2 32 42 FT = 5 cm 1) 2) 3)
P es un punto exterior a la recta L. Por P se traza un plano H perpendicular a la recta L. L es perpendicular a todas las rectas contenidas en el plano H. Por P pasan infinitas rectas contenidas en el plano H.
RPTA.: B
210. Calcule la medida de la altura de un tetraedro regular cuya arista mide L.
L 3 2 L D) 6 3
RPTA.: D
209. En una circunferencia de centro
RESOLUCIÓN
h
C) 6 cm
A
T
L
O B
1)
2)
el circuncentro del triángulo ABC L AO 3 L ……………………………………… I AO 3 AOD: Pitágoras
“O”
h2 3)
1)
C
L
4 3 O
L 6 2
L
F
L
C)
D
Por O se levanta una perpendicular OF al plano que contiene a la circunferencia, OF = 4 cm. Calcule la distancia de F a cualquier recta tangente a dicha circunferencia. B) 5 cm E) 8 cm
B)
RESOLUCIÓN
“O” y cuyo diámetro mide 6 cm.
A) 4 cm D) 7 cm
L 3 4 L E) 2 4
A)
I
es
AO2
L2 ………………………………. II
en II
Dato OF = 4 cm
SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM L 3
2
h h
Geometría RESOLUCIÓN
2
L2
H
L 6 3
A
RPTA.: D
B) 20 E) 25
I B
z 8
1)
P
z
C
ABC Teorema de Porcelet 6 + 8 = 10 + 2r r = 2 .................................... I
B
C
O
A
2)
r+z=8 2 +z == z = 6 .. ................ II
3)
Por teorema de las 3 perpendiculares HF BC porque HI plano ABC y IF BC
D
Teorema de la mediana AC2 2 2 2 PA PC 2PO 2 BD2 2 2 2 PB PD 2PO 2 Igualando PA2 PC2 PB2 PD2 152 202 72 x2 x = 24
4) 2
y 5)
I
y2 6)
212. En un triangulo rectángulo ABC recto en B, AB = 6 y BC= 8. Por su incentro I, se levanta la perpendicular IH al plano que contiene dicho triángulo, siendo IH = 3. Calcule HC B) 9 E) 10
7)
HIF Pitágoras 32 r2 ……………………………… III en
III
32 22 ………………..………… IV HFC Pitágoras x2 y2 z2 ……………….……… V
RPTA.: D
SAN MARCOS 2011
F
C) 22
RESOLUCIÓN
A) 8 D) 6
x
6
211. Sea “P” un punto exterior al plano que contiene a un rectángulo ABCD, PA = 15, PC = 20, PB = 7. Calcule PD A) 18 D) 24
y
3
II
y IV en V
x2 32 x=7
22
62 RPTA.: C
C) 7
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
213. En la figura, P, Q y R son paralelos y L1 y L 2 son alabeadas, AB = 3, BC DE = x - 1, EF = x Calcule x. A) 4 D) 9
B) 6 E) 10
planos rectas = 4, + 2.
RESOLUCIÓN
B S
C) 8
k 2
H
C
60 K F
RESOLUCIÓN
L1
A
L2 1)
A P
D
Incógnita Área (AHC) Por teoría Área (AHC)= Área (ABC) cos 60° 1 Área (AHC)= 50cm2 2 2 Area AHC 25cm RPTA.: C
B
E
215. Un folder de dimensiones 4u y 8u se halla abierto según muestra la figura; el ángulo que forman las caras entre si mide 120°. Calcule PQ.
Q
C
F
R
P
Teorema de Thales AB DE BC EF 3 x 1 4 x 2 x = 10
8
4
RPTA.: E
214. El área de la región triangular ABC es 50 cm2 por AC se traza un plano que forma un diedro de 60º con el plano del triángulo. ¿Calcule el área de la proyección de dicha región sobre el plano? A) 10 cm2 C) 25 cm2 E) 40 cm2
SAN MARCOS 2011
8
x
A) 3 7 u C) 5 7 u E) 8 7 u
4
Q
B) 4 7 u D) 6 7 u
B) 20 cm2 D) 30 cm2
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN A
P
8 2 x
8 2
8
4 4
8
C
8
Q
120º
8 O
4 3 A
B
Pitágoras x2 82 4 3 2
x x x
PAQ
Área (BOC)= Área (ABC) cos
2
64 48 112 4 7
8 8 2 RPTA.: B
216. Se tiene un ángulo triedro trirrectángulo de vértice O. Sobre sus aristas se toman las longitudes OA = OB = OC = 8. Calcule la medida del diedro BC. A) Arc cos B) Arc cos C) Arc cos D) Arc cos E) Arc cos
3 4 2 3 3 2 1 3 3 3
cos
8 2 4 3 3
Arc cos
3
cos
3 3 RPTA.: E
217. En la figura, P - ABC es un ángulo triedro trirrectángulo PA = PB = PC = 2m . Calcule el área de la región triangular ABC. A
P
C
B
A) 3 m2 C) 4 3 m2 E) 6 3 m2
SAN MARCOS 2011
2
B) 2 3 m2 D) 4 3 m2
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría RPTA.: D
RESOLUCIÓN
219. Calcule el número de vértices de un poliedro convexo formado por 60 triángulos y 80 cuadriláteros.
A
2 2
2
2 2
2
A) 60 D) 112
C
2
1) Teorema de Euler C +V = A + 2…. I
2) C 60 80
2
Area(ABC)
Area ABC
2 2 3 4 2 3m2
218. Calcule el área de la superficie de un icosaedro regular cuya arista mide 4 3 m . C) 12 m2
B) 9 m2 E) 18 m2
3 60
3) A RPTA.: B
A) 6 m2 D) 15 m2
C) 92
RESOLUCIÓN
2 2 B
B) 88 E) 140
RESOLUCIÓN
4)
C 140 ………………..… II 4 80
A
2 II
III
y
en
250 ……… III
I
140 + V = 250 + 2 V = 112 RPTA.: B
220. En el cubo mostrado, calcule la distancia entre las rectas AB y CD , si = AB = 2 3 cm.
a C
a
a
a
a D A
a: S:
medida de la arista del icosaedro. Área de la superficie del icosaedro regular.
Dato a 2)
B
A) 1 cm D) 4 cm
B) 2 cm E) 5 cm
C) 3 cm
3m a2 3 S 20 4 4
S 5a2 3 S 5
4
3
2
3
S 15m2 SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría SEMANA 14
RESOLUCIÓN
PRISMAS Y PIRÁMIDE
221. Calcule el número de caras de un prisma donde el número de vértices más el número de aristas es 50.
E d H a
x a
A
3
C
a2
A) 10 D) 12
D
3
3
1)
O
RESOLUCIÓN
B
Sea “n” el número de lados de la
base del prisma: C: Números de caras del prima V: Número de vértices A: Número de aristas
ABC Pitágoras 2 a2 2 3
2 a 2 12 a2 2) 3)
6 ……………………………………….
ECD Pitágoras d2 2 3 a2 ……………………….. en II I
d2 d2 4)
12 6 18 …………………………………... ECD OHD a d
I
y
I
II
III
en
Piden:C = n + 2 Dato:V + A = 50 2 n + 3 n = 50 n = 10 C = 10 + 2 = 12 RPTA.: D
III
x 3
Elevando al cuadrado a2 x2 ………………………………... d2 3 5)
C) 30
a
3
a
B) 20 E) 18
IV
IV
222. Calcule el volumen de un prisma hexagonal regular cuyas caras laterales son regiones cuadradas. El área lateral del prisma es 864 m2
A) 2 592 B) 2 590 C) 3 024 D) 2592 E) 2 488
m2 m2 m2 3 m2 2 m2
RESOLUCIÓN
6 x2 18 3 x=1 RPTA.: A
a a
a
a
Piden: V
SAN MARCOS 2011
A' BASE a
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
Dato: AL 864 Perimetro BASE a 864 a =12 2 3 V 6 12 12 4 V 2 592 3
RESOLUCIÓN
O a
n lados
m
A
B
a
RPTA.: D h=a
223. Calcule el área lateral de un prisma regular cuadrangular, si su arista básica mide 2m y su arista lateral 8m.
A) 64m2 C) 16m2 E) 84m2
B) 32m2 D) 128m2
Piden: “n” A T Dato: A L
m an a 2 3
2 n a
RESOLUCIÓN
2
2
2
8
h
8
Piden: AL Perímetro h BASE 8 8 64m2 Dato: AL RPTA.: A
224. Se tiene un prisma cuya altura es congruente con la arista básica. Calcule el número de lados de la base del prisma, si su área total y lateral están en la relación de 3 a 2.
A) 3 D) 6
SAN MARCOS 2011
B) 4 E) 8
3 2
C) 5
2
m a 3 a 2 3a 2m 2a a=2m
m AOB
n=4
90
360º n RPTA.: B
225. Desde un vértice de la base de un prisma regular cuadrangular, se trazan: la diagonal del sólido y la diagonal de la base, las cuales forman 45°. Si el área de la superficie lateral del sólido es 16 2m2 , calcule su volumen.
A) 1m3 C) 2 m3 E) 8 2 m3
B) 2m3 D) 3 m3
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
RESOLUCIÓN
2
a b c
a2 b2 50 AT AT
a 2
2
2
82
c2 2 ab bc ac 82
2
82 50 4 224
2
AT 2
82
2
RPTA.: B
227. Calcule el volumen de un prisma regular octagonal, sabiendo que el área de una de sus caras laterales es 50 y el apotema de su base mide 4.
a 45º
a a
Piden: V
a2 a 2
Dato: AL
16 2
4a a 2
a
a 2
a=2 V 22 2 2
A) 500 D) 800
B) 600 E) 900
C) 700
RESOLUCIÓN
16 2
a 4
3
8 2m
RPTA.: E
a
226. Calcule el área total de un paralelepípedo rectangular cuya diagonal mide 50 y sus dimensiones suman 82.
A) 4 000 C) 4 424 E) 4 864
B) 4 224 D) 4 624
h
Piden: V
8
a 4 2
h
V 16ah …………………………………..(I) Dato: Área de una cara = 50
RESOLUCIÓN
ah =50
En (I) V 16(50) 800 a
RPTA.: D
d c b
Piden: A T 2 ab bc ac ………..(I) Dato: d 50 ……………………………(II) a + b +c = 82………………………..(III)
Elevamos (III)2
SAN MARCOS 2011
228. El desarrollo de la superficie lateral de un prisma regular cuadrangular, es una región cuadrada inscrita en una circunferencia cuyo radio mide 2 . Calcular el volumen del prisma.
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
B) 2
A) 1
C) 2
2
2 D) 2 2
RESOLUCIÓN
E) 4
d2 h
RESOLUCIÓN
a
a a
4a
d1 r
a
Piden: V Dato:
2 2
2
Dato: 2
Piden: V a h ……………………..( I) Dato: r = 2 h=2 1 4a=2 a 2 2 1 2 En (I) V 2 1 V 2 RPTA.: A
229. La base de un prisma recto es una región limitada por un rombo de área 6m2 ; las áreas de las secciones diagonales son iguales a 18m2 y 24m2 . Calcule el volumen del prisma.
A) 20m3 D) 30m3
6
d1 (h) 18 d2 (h) 24
x
d1 d2 h
2
B) 22m3 E) 36m3
C) 25m3
h …………………..(I)
d1 d2 2
Área BASE
2
6
2
d1 d2
12
18 24
12h2 18 24 h=6 En (I) V 6 6 36m3 RPTA.: E
230. Calcule el área lateral de un prisma oblicuo cuya sección recta es un hexágono regular de 24 3 de área. La altura del prisma mide 8 3 y las aristas laterales forman ángulos de 60° con la base.
A) 300 D) 382
B) 384 E) 381
C) 328
RESOLUCIÓN
a (S.R.)
8 3
60º
Piden: AL SAN MARCOS 2011
6b a …………….…(I)
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría 2
Dato: A S.R
6 b 3 4
24 3
b=4
A) 32
B) 32
D) 32
E) 18
3
Notable: a =16 En (I) AL
C) 16
5
RESOLUCIÓN
6 16 4
384 RPTA.: B 2 2
231. Calcule el volumen de un tetraedro regular de arista 6
A) 2 3 D) 2 6
B) 6 E) 5
h
C) 3
2 2 h
RESOLUCIÓN
2 1 2 2 h …………(I) 3 Diagonal: 2h 2 2 2
Piden: V 2 6 h
En (I)
R
V
6
Piden: V
1 3
6
2
3
4
h ….(I)
EN LA BASE: R 3 6 R 2 TEOREMA DE PITÁGORAS: 2 2 h2 6 2 h=2 En (I) 1 6 3 V 2 3 4 V
h=2
V
1 2 2 3 32 3
2
2
2
RPTA.: D
233. Calcule el volumen del sólido cuyos vértices son los centros de las caras de un prisma recto triangular de volumen 120m3
A) 12 m3 B) 6 m3 D) 4 m3 E) 10 m3
C) 5 m3
3 RPTA.: C
232. Calcule el volumen de un octaedro regular de arista 2 2
SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN M
a
a B
C
a 2 A
B
D
2h
a a
M F
C
B 4B E
Bh ………………….(I) 3 Dato: VPRISMA 4B(2h) 120 B h 15
Piden: Vx
En (I) Vx
2
2
15 3
10
RPTA.: E
234. En el interior y exterior de un cubo ABCD – EFGH, se ubican los punto M y N, de modo que: M – ABCD – N es un octaedro regular cuya área de su superficie es 18 3 ; calcule la diferencia de volúmenes del cubo y octaedro regular.
A) 9 3 2 2
B) 6 3
C) 9 3
2
D) 9 3 3 2
E) 4 3
2
2
H
Se observa: AC es diagonal del octaedro y diagonal del cuadrado ABCD. AM = AB = a a2 3 18 3 Dato: 8 4 a=3 Piden: VCUBO VOCTAEDRO 3
3
2
1 2 3 2 3 3 2
27 9 2
9 3
2 RPTA.: C
235. Calcule el número de arista de una pirámide donde la suma del número de caras con el número de vértice es 16.
A) 7 D) 14
B) 21 E) 16
C) 12
RESOLUCIÓN Sea: “n” el número de lados de la
base de la pirámide. Piden: A =2 n ….....…………………(I) Dato: C + V = 16 n +1 + n + 1 = 16 n=7
SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
En (I) A = 14
* RPTA.: D
236. Calcule el volumen de una pirámide regular cuadrangular si su apotema mide 5 y la apotema de la base mide 3
A) 40 D) 60
B) 48 E) 50
*
4A: Ubicados en las caras del tetraedro. 4A: Ubicados en el interior del tetraedro.
Dato: 4 4A 18 8A 9 RPTA.: B
C) 36
238. En una pirámide regular triangular, el perímetro de su base es 30 y su altura mide 3 3 ; calcule su volumen.
RESOLUCIÓN
4
A) 15 D) 75
5
B) 45 E) 80
C) 65
RESOLUCIÓN 3
Pide:
62 4 V 3
3 3
V = 48 RPTA.: B
237. Calcule el área total del sólido que resulta al unir los puntos medios de las aristas de un tetraedro regular, sabiendo que el área total del tetraedro es 18.
A) 6 D) 18
B) 9 E) 4,5
C) 3
RESOLUCIÓN
A A
10
Piden: 1 V 10 3 V 75
10
2
3 3 3 4 RPTA.: D
239. Se tiene un foco a 12 m. de altura con respecto al suelo. ¿A qué distancia del suelo se tiene que colocar una plancha rectangular de 8 cm. por 4 cm. para que proyecte una sombra de 288 cm2 ?
A) 8 m D) 5 m
B) 6 m E) 2 m
C) 4 m
4A
Pide: Área sólido= 4 A + 4 A =? SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN V
1
12
32
1m
4
8
M 2
x
288
Vx
26 m
M 3
Piden: x = ? A
32 Propiedad: 288
12 x 2 12
4 12
12 x 12
x=8
2
RPTA.: A
240. En una pirámide de vértice “V” y arista lateral VA se trazan 2 planos paralelos a la base de la pirámide que intersectan a VA en M y N (M en VN ). Calcule el volumen de sólido determinado por los planos en la pirámide, si el volumen de la pirámide es “K” y
VM 1
MN 2
A) 13 k 108
D) 2 k
NA 3
B) 13 k 54 E) k 2
C) 6 k
Dato: 3 Volumen Pirámide= 6 m k Piden: k Vx 26 216 13k Vx 108 RPTA.: A
SEMANA 15
CILINDRO Y CONO
241. Calcule el volumen del cilindro de revolución generado por una región rectangular de diagonal 5 que gira alrededor de su lado mayor, dicho lados se encuentran en la relación de 1 a 2. A) 5 5 3 C) 10 5 3
B) 5 3 D) 5 3
E) 10 2 3
SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
3
2a
5
a
Vol1 3 4 2
Del grafico: a 5
1
4
2
Vol 5 2 5 4
Vol 10 5 3 RPTA.: C
2
3
242. Calcule la relación entre los volúmenes de los cilindros que genera un rectángulo de 3 m y 4m de lados, cuando gira alrededor de cada uno de ellos. 1 2 9 D) 16
A)
3 4 3 E) 2
B)
C)
6 7
Vol2 4 3 2
V1 3 4 3 V2 42 3 4 2
RPTA.: B
243. Calcule el volumen de un cilindro de revolución inscrito en un cubo de arita 3 m. A) 9 m3 C) 27 m3 E)
SAN MARCOS 2011
B) 21 m3 9 D) m3 2
27 m3 2
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría RPTA.: C
RESOLUCIÓN
245. Se inscribe un prisma regular hexagonal en un cilindro; en que relación estarán el radio y la altura del cilindro si su área es veces el área lateral del prisma. 3
A) 1 D) 4
2r
C) 3
RESOLUCIÓN
3
B) 2 E) 5
3 Del gráfico: r ; h= 3 2 2 3 Volcil 3 2 27 m3 Volcil 2
r r
h
2 r
h
RPTA.: E
244. Calcule el volumen de un cilindro de revolución circunscrito a un hexaedro regular de 8 m3 de volumen. A) 5 m3 C) 4 m3 E) 8 m3
*
B) 3 m3 D) 6 m3
RESOLUCIÓN
2 2
2
Dato: At cil Alprisma Atcil AL 2 ABase Atcil 2 rh 2 r2 ALprima 6rh
Reemplazando: 2 rh 2 r2 6rh r=2h r 2 h RPTA.: B
2
*
Volcubo a3 8
a=2 r 2; h = 2
Volcil 2
2
Volcil 4 m3 SAN MARCOS 2011
246. Dado un cilindro de revolución cuya área lateral es numéricamente igual al volumen, si la generatriz mide 3 m; calcule el perímetro del desarrollo de la superficie lateral.
2
A) 6 3 m2 C) 8 4 m2 E) 6 6 m2
B) 6 4 m2 D) 8 6 m2
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
RESOLUCIÓN
3
Dato: AL 24 2 r 3 24 r 4 d=5m RPTA.: B
2 r
248. En
paralelogramo ABCD m A 135 , AB=4m y AD=8m. Calcule el volumen de sólido engendrado por la región paralelográmica cuando gira alrededor de BC.
Dato: AL V 2 r(3) r2 (3) r=2 2p 2 2 r 3 2p 8 6 m2 RPTA.: D
un
A) 56 m3 C) 60 m3 E) 64 m3
247. El área lateral del cilindro de revolución es 24 m2 y la altura mide 3m. Calcule la menor distancia para trasladarse de A a B recorriendo por la superficie del cilindro.
B) 58 m3 D) 62 m3
RESOLUCIÓN 4 A
r
A
B
M 135º
135º
8 4 D
B
A) 4m C) 72 m E) 2 72 m
El desarrollo lateral de cilindro será:
2 r
A d
3
r
r B
SAN MARCOS 2011
45º N
Del gráfico, podemos observar que el volumen pedido es equivalente al volumen del cilindro generado por la región rectangular AMND
B) 5m D) 8m
RESOLUCIÓN
2 2
C
2
V 2 2 8
V 64 m3 RPTA.: E
249. Un cilindro de revolución cuyo radio mide 5m es interceptado por dos planos paralelos de manera que los ejes mayores de las elipses que se forman miden 16m y la generatriz del cilindro oblicuo determinado mide 30m. Calcule el volumen de cilindro oblicuo.
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
A) 625 m3 C) 750 m3 E) 800 m3
B) 500 m3 D) 725 m3 *
Del gráfico: r 2 Volliquido Volci lh2 Vol cubo
2 2 2 23
Volliquido
RESOLUCIÓN
Volliquido 4 8
Del gráfico: los triángulos rectángulos son semejantes:
Volliquido 4,56m3 Sabemos que: 1 m3 1 000 Vollíquido 4 560 RPTA.: A
8 5
5
30
h
11.
30 16
5
Si el área lateral de un cono de revolución es igual a 2 veces el área de su base. Calcule el ángulo que forma la generatriz con la altura.
8 30 75 h 5 h 4
A) 30° C) 37° E) 45°
*
Vol SB h
RESOLUCIÓN
Vol 5 8
75 4
Vol 750 m3
g
RPTA.: C
250. Que cantidad de agua será necesario vertir en un recipiente cilíndrico, si se desea que el nivel del líquido alcance la base superior del cubo de arista 2m interior al cilindro. 3,14 A) 4 560 C) 5 640 E) 4 650
B) 6 540 D) 6450
RESOLUCIÓN
2
h
r 2 r
Piden: Dato: AL 2 ABase
r g 2 r2
g 2r 45 RPTA.: E
12.
El desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución es un sector circular de 60° en el cual se puede inscribir una circunferencia de radio 1. Calcule el volumen del cono. A)
2
SAN MARCOS 2011
B) 60° D) 53°
35 3 m 24
B)
35 3 m 12
2 2 2
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM 35 3 m 4 35 3 E) m 3
C)
Geometría RESOLUCIÓN
35 3 m 6
D)
* *
RESOLUCIÓN
En el desarrollo del cono:
g
*
30º 30º
2
Dato: A T 200 r g= 136 A T rg r2 200 r 2 64 r=8 g = 17 h2 g2 r2 h 15 2 8 15 320 m3 Vol 3 RPTA.: D
1
14.
2 r Del gráfico: g = 3 g 3 60 Luego: r 360º 360º 1 r 2 2 2 1 2 2 2 h g r 3 2 35 h 2 2 1 35 35 2 2 Vol 3 24
3
1 2
RPTA.: A
13.
La superficie total de un cono recto es 200 m2 y el producto de la generatriz y el radio es 136m2 . Calcule el volumen del cono. A) 280 m3 C) 360 m3 E) 240 m3
B) 280 m3 D) 320 m3
h
La altura de un cono de revolución es congruente al radio de la base de un cilindro recto y viceversa. Si el volumen del cono es el doble del volumen del cilindro y la generatriz del cono mide 2 37m. Calcule el área lateral del cilindro. A) 36 m2 C) 64 m2 E) 60 m2
B) 48 m2 D) 42 m2
RESOLUCIÓN
7 3 2
r h
r
h
r
Dato: Vcono 2 Vcil r2h 2 h2 r 3 r = 6h 2
Del gráfico: r2 h2 2 37 h=2 r = 12 AL cil 2 rh 48 m2
RPTA.: B
SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM 15.
Geometría
Se tiene una esfera inscrita en un cono recto tangente a las generatrices en sus puntos medios. Calcule el volumen del cono sabiendo que el radio de la esfera mide 2m. A) 8 m3 C) 16 m3 E) 24 m3
RESOLUCIÓN A
g 2 M
g 2
B) 12 m3 D) 18 m3
C
RESOLUCIÓN
4
10
4
N
r
B
Del gráfico: AMN g 4 10 r r g 80 AL r g 80 m2
ABC
RPTA.: D 2
17.
2 r
Del gráfico: x 30 h6 r 2 3 r 2 3
2 2 3 6 vol
0
El volumen de un cono es 27m 3 y la altura es trisecada por dos planos paralelos a la base. Calcule el volumen del sólido determinado por dichos planos. A) 6 m3 C) 8m3 E) 10m3 RESOLUCIÓN
3 Vol 24 m3
RPTA.: E
16.
B) 7 m3 D) 9m3
Calcule el área de la superficie lateral de un cono de revolución, sabiendo que el segmento de mediatriz de una de sus generatrices limitada por la altura del cono es de 4m y la altura del cono es de 10m. A) 86 m2 C) 40 m2 E) 40 m2
SAN MARCOS 2011
B) 64 m2 D) 80 m2
V2
V1 h h
r
V
2r
h 3 r
Dato: Vol = 27m3 2 3 r 3 h 27 3 2 r h 3 ……………………………..….(I) CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
V V2 V1
VOB MNB a 2 NB R 2 H R a a a R 2 2 a2 H a 2R a 2
2 r 2 h 2
3
r2 h
3
7 2 r h …………………………………..(II) 3 Reemplazando (2) en (1) V 7 m3
RPTA.: B
18.
Se tiene un cono circular recto de altura H y el radio de la base igual a R. Calcule la arista del cubo que se puede inscribir tal que una cara este sobre la base del cono y los vértices opuestos a esta sobre la superficie lateral del cono. A) B) C) D) E)
2 a2 2 RH 2R 2 R a H 2 a a2 2 2R H a 2R H 2
RPTA.: B
19.
RH (R H) 2 RH (2R 2H) 2 RH (R H) RH 2(2R H) RH (2R 2H)
Calcule el volumen del tronco de cilindro circular recto mostrado en la figura, figura, si OA =4m (O: centro) centro) o A 10 6
A) 72 m3 C) 96 m3 E) 90 m3
RESOLUCIÓN V
B) 124 m3 D) 126 m3
RESOLUCIÓN 8 4 M
4 3
a O N
Del gráfico: Los
R
son semejantes:
SAN MARCOS 2011
r
B
*
10 6 8 2 del gráfico : r 2 3 V r2 eje
Eje
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM 2
V 2 3
Geometría
8
SEMANA 16
V 96 m3
ESFERA Y ROTACIONES
RPTA.: C
20.
Calcule el volumen de un tronco de cilíndro de revolución sabiendo que se puede inscribir una esfera y que la generatriz mayor mide 6m y la menor 2 m. A) 6 m3 C) 8 m3 E) 10 m3
B) 7 m3 D) 9 m3
251. Calcule a que distancia del centro de una esfera de radio R (2 (2 5) m se debe seccionar con un plano para que la diferencia de las áreas de los casquetes esféricos determinados sea igual al área de la sección que divide a la esfera en dichos casquetes. A) 0,6m D) 2m
RESOLUCIÓN
B) 0,8m E) 3m
C) 1m
RESOLUCIÓN
A R-x
4 6
B
2r
x
* *
r
r
A
R
O
2 D
r
H
R
c
26 Eje = 4 2 En el trapecio ABCD: Por Pithot: 6 + 2 = 2r + AB AB = 8 – 2r 3 En :r 2 2 3 V 4 2 V 9 m3
=2 5 Dato: R =2 i) ii)
OHA: R2 x2 y2 y2 R2 x2 ……….. 1 A casquete -A casquete = r2 mayor menor
2 R(R x) 2 R R x r 2 4 R x r2 …………………………………. 2 1
RPTA.: D
y
2
: 4 R x r2 R2 x2 x R 5 2 x 5 2 5 2 1 RPTA.: C
SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
252. Calcule el área del círculo limitado por la intersección de una superficie esférica y una superficie cónica, ambas inscritas en un cilindro de revolución cuyo radio de la base es 5 m . A) 2 m2 D) 12 m2
B) 4 m2 C) 8 m2 E) 15 m2 4
RESOLUCIÓN
253. Se tiene una esfera cuyo radio mide 1m, un cilindro de revolución y un cono equilátero circunscritos a esta esfera; calcule la suma de los volúmenes de los tres sólidos. B) 26 m3 C) 13 m3
A) 19 m3 3 6 D) m3 3
3
3
E) 14 m3 3
RESOLUCIÓN
V
30º
R O x P
1 R r
1
Q
60º
H
R
1
S
1
Dato: R 5 VPO
i)
60º
BHS R 3
ii)
R 2R R x 2r r Rx x = 2r –R…………………………………. 1 OPQ: R x2 r2 ………………………………. 2 2
1
en 2 : 2 R2 r2 2r R
Piden: VTotal VCilindro VEsfera VCono 2
3 3
4 2 3 VTotal 1 2 1 3 3 4 4 19 3 5 VTotal 2 3 3 3
RPTA.: A
4R 4 5 5 5
r
4 5 16 Acírculo r2 5 5 RPTA.: E
254. Sean E1 y E2 dos esfera, si el volumen de E2 es el doble del volumen E1 y el radio de E1 3 16 cm . Calcule el volumen de E2. A) 612 cm3 C)412 cm3 E) 552 cm3
SAN MARCOS 2011
512 cm3 3 D) 128 cm3 3
B)
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
RESOLUCIÓN
3
R
16
RPTA.: C
256. Calcule el volumen de una cuña esférica de 30° cuyo radio mide 3 3 m. 4
F1
F
2 Condición: VE1 2 VE1 3 4 3 4 R 2 3 16 3 3 4 128 VE2 2 16 3 3
A) C)
255. Calcule el ángulo en la cúspide de un cono de revolución sabiendo que el área de la esfera inscrita es el área de la base del cono como 4 es a 3. B) 30° E) 80
6
m3
C) 60°
12 D) m3 8
m3
RESOLUCIÓN r3 ………………………… 1 VCuña
270º Datos: 30º 3 R 3 ………………………. 2 4 esferica
2
en 1 3 3 30º 4 3 m
VCuña
270º
esferica
V
257. Calcule el área de un huso esférico de 90° si el radio mide 5cm
r T r
r
E
H
R 3
Condición: AEsfera 4 v2 4 ABasecono R2 3
R r 3 a=r
A) 24 cm2 C) 25 cm2 E) cm2
B) 12,5 cm2 D) 16 cm2
RESOLUCIÓN r2 ………………………… 1 AHuso esferico
90º
Datos: 90º R 5 ………………………….. 2 2
SAN MARCOS 2011
12
RPTA.: B
a
m3
3
RESOLUCIÓN
O
B)
14 E) m3 5
RPTA.: D
A) 15° D) 74°
HVE: VH=3 r 30º 2 60º
en 1 CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
5 90º 2
AHuso
90º
esferico
25 RPTA.: C
258. Se tiene dos esferas concéntricas; se traza un plano secante a la esfera mayor y es tangente a la esfera menor, determinando un círculo de área 16 cm2. Calcule el área del casquete menor determinado en la esfera mayor sabiendo que el radio de la esfera menor es 3 cm. A) 9 cm2 C) 20 cm2 E) 36 cm2
B) 16 cm2 D) 25 cm2
R
i)
r r
R
Esfera inscrita: Área = 4 r2 18 r2
ii)
Esfera circunscrita: Área= 4 r2 4 3r2 * Área= 4 r2 4 3 54 2
RESOLUCIÓN
h
O1
RPTA.: E r=4
3
V
260. Calcule la longitud de la altura de un casquete esférico incluido en una esfera de 4cm de radio, siendo su área la quinta parte del área de la superficie esférica.
R
i)
Área del círculo tangente= r2 16 a la menor r =4
ii)
OO1 V : R = 5 h=R-3=2 h=2 Luego: ACasquete 2 Rh 2 5 2 20
9 ………. 1 2
A) 1 cm C) 1,6 cm E) 2,5 cm
B) 1,5 cm D) 2 cm
RPTA.: C
259. El área de una esfera inscrita en un cubo es 18 cm2; calcule el área de la esfera circunscrita a dicho cubo. A) 18 cm2 C) 36 cm2 E) 54 cm2
B) 27 cm2 D) 45 cm2
RESOLUCIÓN
SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
h
R-x
4 R =
4-h
x
R
Dato:
Dato: ACasquete
1 Área de la esfera 5 1 4R 4 4 2 hR 4 R 2 h 1,6 5 10 10 Acasquete
menor
ACasquete
A) 15° D) 45°
B) 25° E) 60°
C) 30°
RESOLUCIÓN
2 R R x 1 2 R R x 3 3R -3x =R+x 4 x = 2R R x 2 RPTA.: A
263. En una superficie esférica de radio 12cm se tiene una zona esférica y un huso esférico equivalentes y la altura de la zona esférica mide 3cm; calcule el volumen de la cuña esférica.
Dato: Azonaesferica AHusoesférico
A) 248 cm2 C) 278 cm2 E) 300 cm2
2 R h R2 2 R R 2 R 90º 3 60º
262. A que distancia del centro de una esfera de radio R debe trazarse un plano secante para que el área de los casquetes determinados estén en la relación de 1 a 3.
SAN MARCOS 2011
B) R/3 E) R/10
B) 268 cm2 D) 288 cm2
RESOLUCIÓN
Dato: h = 3 Condición: AZonaesférica AHuso esférico
RPTA.: E
A) R/2 D) 2R/3
1 3
mayor
RPTA.: C
261. Se tiene una zona esférica equivalente a un huso esférico incluidos en una superficie esférica de radio R; calcule la medida del ángulo del huso esférico si la altura de la zona es R/3.
C) R/5
2 R h
R2
90º
2
2 R 3
12 45
12
90º
45º
3
VCuña Esférica
270
288 RPTA.: D
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría
264. Una esfera de radio 2 10 cm es seccionado a un mismo lado del círculo máximo por dos planos paralelos, determinando un segmento esférico cuyas bases tienen radios que miden 6cm y 2cm. Calcule el volumen del segmento esférico. 208 cm3 3 236 cm3 3 296 cm3 3
A) C) E)
B) D)
218 cm3 3 272 cm3 3
r2 2
P
R-x
6 r1
Q
O1
R
R 2 10
O
6 6
6 G
6
6
6
6
d 6
A
B
Condición: 1 AHuso AEsfera 3 Esférico
RESOLUCIÓN O2
RESOLUCIÓN
R2
1 4 R 2 120º 90º 3 VEsfera 4 R 3 36 R 3 3 32 120º 2 Área total de la cuña= 3 90º 12 9 21
RPTA.: D 2
OOQ: 2 10 1
2
OO2Q : 2 10
2
2 OO2 OO2 6
h OO2 OO1 4
VSegmento Esférico
62 OO1 OO1 2
h
h 6
2
3r12 3r22
VSegmento Esférico
4
42 3 62 3 22 6
266. Dos planos perpendiculares son tangentes a una esfera y la distancia entre los puntos de tangencia es 3 2 cm. Calcule el volumen de la esfera. A) 16 cm3 C) 25 cm3 E) 36 cm3
B) 21 cm3 D) 28 cm3
272 3 RPTA.: D
265. El área de un huso esférico es igual a la tercera parte del área de la superficie esférica y el volumen de la esfera es 36 m3. Calcule el área de la cuña esférica. A)12 m2 C) 18 m2 E) 25 m2
SAN MARCOS 2011
B) 16 m2 D) 21 m2
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Geometría triangular alrededor hipotenusa AC.
RESOLUCIÓN
2
R
A) 122 cm3 C) 125 cm3 E) 166 cm3
R
de
su
B) 136 cm3 D) 156 cm3
RESOLUCIÓN
R
B
2a G
6 d A
Dato: R 2 3 2 R 3 4 3 VEsfera 3 36 3 RPTA.: E
267. Calcule el volumen del sólido engendrado por una región hexagonal regular de perímetro 36cm y gira alrededor de una recta que contiene a uno de los lados del dicho polígono. A) 962 cm3 C) 925 cm3 E) 936 cm3 i)
B) 972 cm3 D) 928 cm3
i)
ABC
C
BH2 9 4 BH 6 ………………… 1 ii)
13 6 39 ………………………. 2 2 Teorema de Pappus:
Área=
RPTA.: D
d =3 3
62 3 iii) Área del Hexágono= 6 54 3 4 Teorema de Pappus: Volumen: 2 d Área 2 3 3 54 3 972 RPTA.: B
268. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la altura BH, tal que AH = 4 cm y HC = 9 cm. Calcule el volumen del sólido generado al girar 360° la región
SAN MARCOS 2011
Semejanza: d a 6 3a d=2
9
Volumen= 2 239 156
RESOLUCIÓN 2 p = 36 6
H
Reemplazando 1 y 2 :
AGB :
ii)
4
a
269. Por un vértice de un triángulo equilátero pasa una recta exterior formando con un lado del triángulo un ángulo cuya medida es 15°. Calcule el volumen del sólido generado al girar 360° la región triangular alrededor de dicha recta, siendo el perímetro de la región triangular 12cm. A) 12 C) 24 E) 48
2 cm 3 2 cm 3 2 cm 3
B)16 2 cm3 D) 32 2 cm3
CUESTIONARIO DESARROLLADO