Autor: Dr. Gonzalo González Rey, Email:
[email protected] Profesor Principal de Elementos de Máquinas. CUJAE, Facultad de Ingeniería Mecánica. Ciudad de la Habana, Cuba Experto de ISO TC60 y Miembro Académico de AGMA.
Julio 2005
I - GEOMETRÍA BÁSICA PARA EL CÁLCULO DE RESISTENCIA DE LOS ENGRANAJES CILÍNDRICOS . Las transmisiones por engranajes es el grupo de transmisiones mecánicas más difundido e importante desde los inicios de la Revolución Industrial hasta nuestros días. Este mecanismo de tres miembros, en el cual dos elementos engranados son móviles y forman con el elemento fijo pares de rotación o traslación, es empleado en llos os más diversos campos y condiciones de trabajo: desde relojes y equipos de precisión hasta máquinas de grandes dimensiones. Según una encuesta realizada, por los editores de la revista estadounidense Gear Technology en el año 1996, se afirma que: la rueda dentada más pequeña en uso actualmente fue producida en Albuquerque (EUA) para un micromotor de sílicon y tiene un diámetro de cresta de 0,05 0,05 mm 1, en cambio la mayor rueda dentada en explotación esta instalada en el accionamiento final de un agitador en Toronto (Australia) y presenta un diámetro de referencia de 93 m 2.
Rueda cilíndrica con 13 metros de diámetro y dientes helicoidales elaborada por la firma francesa Ferry. Precisión de fabricación ISO 8.
Lo anterior brinda una medida del amplio uso que en la actualidad tienen las transmisiones por engranajes las cuales son capaces de soportar fuerzas circunferenciales comprendidas entre 0,001 N y miles de kN, con posibilidad de trasmitir momentos torsores de hasta miles de kN-m o potencias de hasta decenas de miles de kW en las transmisiones mayores.
1.1- Tipos de Engranajes. De las numerosas formas de clasificar los engranajes, quizás la más empleada sea la que corresponda a la disposición espacial que presentan los ejes geométricos de rotación de las ruedas, pues es muy fácil apreciar el arreglo para el montaje que presentan los árboles que soportan las ruedas dentadas y de esta forma realizar la agrupación de los engranajes para su estudio.
1.1.2- Clasificación de los engranajes según la disposición de los l os ejes en el espacio.
Ejes paralelos. Engranajes de ruedas cilíndricas con dientes rectos. Engranajes de ruedas cilíndricas con dientes helicoidales. Engranajes de ruedas cilíndricas con dientes bihelicoidales. Engranajes de ruedas elípticas. Engranajes de linterna. Engranajes beveloide.
Ejes concurrentes. Engranajes de ruedas cónicas con dientes rectos. Engranajes de ruedas cónicas con dientes tangenciales.
1 Gear Technology Staff, ¨ Addendum. Who’s Got the Biggest Gears?, ¨ Gear Technology, Vol 13, N ° 3, 1996. 2 Gear Technology Staff, ¨ Addendum. Big Gears from Down Under, ¨ Gear Technology, Vol 13, N ° 5, 1996.
1
Engranajes de ruedas cónicas con dientes circulares. Engranajes de ruedas cónicas con dientes cicloidales. Engranajes de ruedas cónicas con dientes evolventes. Engranajes de ruedas cónicas con dientes bihelicoidales. Engranajes de rueda cónica plana y rueda cilíndrica.
Ejes cruzados. Engranajes helicoidales. Engranajes de tornillo sinfín cilíndrico. Engranajes de tornillo sinfín globoidal. Engranajes hipoidales. Engranajes espiroid Engranajes helicón.
1.2- Parámetros geométricos de las ruedas dentadas cilíndricas en engranajes de contacto exterior. exterior. 1.2.1- Planos fundamentales para la geometría del engranaje. t
n
cremallera
Rueda dentada
β
Figura 1.1- Planos geométricos fundamentales. Plano transversal (t): Plano perpendicular a los ejes de rotación de las l as ruedas. Caracteriza dimensiones y parámetros de la rueda. Plano normal (n):
Plano perpendicular a las generatrices (flancos) de los dientes. Caracteriza dimensiones y parámetros de las herramientas de corte.
Plano axial (β):
Plano paralelo a los ejes de rotación de las ruedas. Caracteriza parámetros asociados con el ancho del engranaje.
1.2.2- Parámetros fundamentales de la geometría de las ruedas. Existe un grupo de parámetros geométricos, que una vez conocidos, puede ser realizado el cálculo completo de la geometría de las ruedas dentadas. Ellos son : z : Número de dientes. dientes. m : Módulo normal. β : Ángulo de la hélice en el cilindro de referencia. b : Ancho del diente.
x : Coeficiente de de corrección del diente. α : Ángulo del perfil de la cremallera de referencia. c* : Factor de holgura radial (c / m).
2
ha*: Factor de altura de cabeza (h a /m).
prácticos que h a* = hFP*
Usualmente es aceptado en los cálculos
Para conservar la constancia de la relación de transmisión cinemática en el engranaje los dientes del piñón y la rueda deben tener los perfiles conjugados, es decir que : La normal común a los perfiles en contacto divide a la distancia entre centros en dos segmentos inversamente proporcional a las velocidades angulares de las ruedas. Esta condición de contacto de los dientes entre el piñón y la rueda se observa si ellos engranan correctamente con la cremallera de referencia. Los parámetros del perfil de la cremallera de referencia pueden ser determinados de aquellos perfiles básicos más difundidos y normados. Una de las formas más difundidas de altura y ángulo de flanco de los dientes del perfil de referencia en las cremalleras básicas corresponde a : α = 20 °, ha* = 1 y c* = 0,25, aceptada en la norma japonesa JIS B 1701-72, la norma polaca PN-78/m-88503, la norma soviética GOST 13755-68, la estadounidense AGMA 201.02-68 y la norma internacional ISO 57-74. Otras formas difundidas de perfil de referencia en las cremalleras básicas son presentadas en la tabla 1. Tabla 1.2 - Valores de perfiles de referencia de cremalleras básicas.
α
ha*
c*
20,0° 20,0° 20,0° 20,0° 20,0° 20,0° 20,0° 22,5° 25,0° 14,5°
1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,20 1,00 1,00 1,00
0,25 0,25 0,25 0,25 0,35 0,40 0,50 0,25 0,25 0,157
ρF*
0,250 0,300 0,375 0,400 0,300 0,400 0,300 0,400 0,318 0,470
Norma que acepta --AGMA 201.02-68 JIS B 1701-72 GOST 13755-68 --------AGMA 201.02-68 AGMA 201.02-68
ρF* : factor del radio de curvatura en la zona de transición del pie diente (ρF / m).
Figura 1.2- Perfil de referencia de cremallera básica para herramienta. Es usual adoptar perfiles de referencia iguales para la herramienta y el engranaje, es decir:
α=α p, ha= hfp, ρf = ρap. 1234-
perfil de herramienta, perfil de engranaje, fondo de herramienta, cresta de rueda.
Actualmente en varias de las normas relativas a engranajes, editadas por diferentes países, existe una marcada coincidencia en los valores de módulo recomendados en la primera serie de preferencia. Con mas frecuencia son empleados los módulos recomendados en la norma mm. internacional ISO 54-77 : 1 ; 1,25 ; 1,5 ; 2 ; 2,5 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 16 ; 20 ; 25 mm.
3
1.2.3- Ecuaciones para el cálculo geométrico de las ruedas dentadas. A continuación se exponen las fórmulas principales para el cálculo geométrico de las ruedas dentadas, conociendo sus parámetros fundamentales. En las siguientes fórmulas son empleados los subíndices 1 y 2 para el piñón y la rueda rueda respectivamente. d = m ⋅ z / cos β
Diámetro de referencia: Diámetro de fondo:
⎛ ⎞ d f = d − 2 ⋅ m ⋅ ⎜ ha * + c − x ⎟
Diámetro de cresta:
da1,2 = 2 ⋅ a w − df 2,1 − 2 ⋅ c ⋅ m
Diámetro básico: Altura del diente:
*
⎝
⎠
*
= d ⋅ cos α t h = 0,5 ⋅ (da − df ) = h f + ha db
Altura del pie del diente:
* ⎞ hf = m ⋅ ⎛ ⎜ ha − c − x ⎟
Altura de cabeza del diente:
ha
Paso básico normal:
pb = m⋅ π ⋅ cosα = Wk − Wk−1
*
⎝
⎠
= 0,5 ⋅ (da − d)
Ángulo de la hélice del diente en cualquier cilindro de diámetro d y : d y ⋅ tanβ ⎞ −1 ⎛ ⎜ ⎟ β y = tan ⎜ ⎟ d ⎝ ⎠ Ángulo del perfil de referencia de la cremallera básica en el plano transversal: −1 ⎛ tanα ⎞ ⎟⎟ α t = tan ⎜⎜ cos β ⎝ ⎠ Espesor normal del diente en el cilindro de referencia:
sn
⎛ π ⎞ = m ⋅ ⎜ + 2 ⋅ x ⋅ tanα ⎟ ⎝ 2 ⎠
Longitud de la tangente base (normal común) medida sobre k dientes:
wk
= m ⋅ cos α ⋅ [π ⋅ (k − 0,5 ) + 2 ⋅ x ⋅ tanα + z ⋅ invα t ]
1.2.4- Ecuaciones para el cálculo geométrico del engranaje cilíndrico de ejes paralelos y contacto exterior. Anteriormente fueron brindadas algunas de la fórmulas básicas para el cálculo de la geometría de una rueda, pero al vincularse dos ruedas mediante su engrane surgen otros parámetros
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importantes que permiten valoraciones importantes de su montaje y funcionamiento. A continuación son relacionadas las principales fórmulas para el cálculo geométrico de un engranajes cilíndrico de ejes paralelos y contacto exterior. Razón de engrane: u =
z2 z1
Distancia interaxial:
m ⋅ ( z1 + z 2 ) ⎛ cos α t ⎞ ⎟⎟ = a ⋅ cos α t ⋅ ⎜⎜ 2 ⋅ cos β ⎝ cosα wt ⎠ cos α wt m ⋅ (z 1 + z 2 )
aw = a=
;
2 ⋅ cos β
Ángulo de engranaje en el plano transversal: −1 ⎛ d + d ⎞ α wt = cos ⎜⎜ b1 b2 ⎟⎟ ⎝ 2 ⋅ a w ⎠ −1 ⎛ d1 ⋅ (u + 1) ⋅ cos α t ⎞ = α wt = cos ⎜⎜ ⎝
Corrección sumaria:
xΣ
= x1 + x 2 =
2 ⋅ aw
(invα wt − invα t ) 2 ⋅ tanα
⎟⎟ ⎠
−1 ⎛ a ⋅ cos α t ⎞ ⎟⎟ α wt = cos ⎜⎜ a ⎝ w ⎠
⋅ (z 1 + z 2 )
Donde : invα t = tan(α t ) − α t invα wt = tan(α wt ) − α wt
Coeficiente de recubrimiento transversal: 0 ,5
εα =
⋅ ⎡⎢ ⎣
(d a12 − d b12 ) + (d a 2 2 − d b 2 2 ) ⎤⎥⎦ − a w ⋅ sen α wt
⎛ cos α t ⎞ ⋅ π ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ cos β ⎝ ⎠ be ⋅ sen β Coeficiente de recubrimiento axial: ε β = , donde : be : Ancho de engrane m⋅π (mm). m
Coeficiente de recubrimiento total:
ε γ
= ε α + ε β
1.3- Coeficientes de corrección en los flancos de los dientes de evolvente evo lvente de engranajes cilíndricos. En la práctica existen dos métodos básicos de elaboración de los dientes en las ruedas cilíndricas: el método de copia y el método de generación. Durante el método de copia, el borde cortante o la matriz que forma el diente es una copia exacta de la rueda a fabricar o de cierta parte de ella
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Tallado con fresas de disco y de vástago. Dos métodos convencionales de copia para el tallado de ruedas dentadas.
En cambio durante el procedimiento de generación el borde cortante de la herramienta es capaz de crear mediante una rodadura controlada los perfiles de los dientes.
La elaboración de ruedas dentadas con empleo de fresa madre, es un de los método de generación más difundidos para el tallado de ruedas dentadas.
En un amplio rango de fabricación de ruedas dentadas cilíndricas el método de generación supera al método de copia, pues el procedimiento de generación permite de forma muy simple variar una gran cantidad de parámetros de las ruedas dentadas con mayor racionalidad y precisión, además de permitir el tallado de ruedas dentadas con corrección de los flancos de dientes, mediante el conveniente desplazamiento de la herramienta generadora con relación a la posición de referencia que se establece entre la rueda tallada y la recta de módulo en la herramienta empleada.
a) Rueda tallada sin corrección, b) Rueda tallada con corrección negativa, c) Rueda tallada con corrección positiva.
Básicamente la corrección de los dientes, empleando un desplazamiento radial de la herramienta en el engrane para el tallado, permite el mejoramiento de la resistencia del dentado mediante el trazado del perfil activo de los dientes por diferentes partes de la curva de evolvente de la misma circunferencia básica. La fabricación de ruedas con dentado corregido no es más compleja y costosa que las ruedas no corregidas. Se fabrican en la misma máquina herramienta que las empleadas para ruedas dentadas sin corrección, la diferencia en su elaboración consiste en que los semiproductos exigidos se hacen con diferentes diámetros. Por supuesto, que una vez conocidas las expresiones de los epígrafes anteriores, el cálculo técnico de las ruedas con dientes corregidos no presenta dificultades. Relacionada con la corrección en los flancos de los dientes de evolvente de engranajes cilíndricos existen múltiples propuestas en dependencia del efecto deseado en el engranaje. A continuación son expuestas algunas de estas relaciones.
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1.3.1- Influencia de la corrección de los dientes en el engranaje. Eligiendo de modo correspondiente los coeficientes de corrección en los dientes de evolvente puede ser aumentada la capacidad de carga del engranaje y ajustar el montaje de las ruedas engranadas en una distancia interaxial prefijada conservando la relación de transmisión cinemática dada. Con ayuda de las correcciones positivas en la rueda se puede prevenir la interferencia de los dientes engranados y posibilitar el tallado de piñones con número de dientes pequeños sin peligro del socavado de sus bases. En la tabla 2, puede ser observado que : correcciones positivas producen un aumento de la resistencia de los dientes a la fractura y a la picadura, aunque el efecto favorable de mejorar la resistencia del dentado es más significativo en ruedas ruedas con pequeños pequeños números de dientes. Sin embargo el aumento de los coeficientes de corrección pueden conducir a la disminución del espesor del diente cerca del vértice y provocar debilidad a la fractura en su cresta, por tal motivo los valores máximos del coeficiente de corrección se restringen por las condiciones que pueden provocar un tallado puntiagudo de los dientes. Tabla 1.2. - Influencia de la corrección y el ángulo de la cremallera de referencia en la resistencia del engranaje 3. Tipo de engrane
α = 20°, x1=x2=0
Resistencia a la fractura z1 = 9 z2 = 27 z1 = 18 z2 = 54 1,00 1,00
Resistencia a la picadura z1 = 9 z2 = 27 z1 = 18 z2 = 54 1,00 1,00
α = 20°,x1=x2=0,5
2,03
1,26
1,60
1,33
α = 28°, x1=x2=0
1,53
1,12
1,68
1,29
Mediante la corrección puede aumentar la capacidad portante de los engranajes debido a : un aumento del ancho del diente cerca de su base, posibilidad de reducir el número de dientes y aumentar respectivamente el módulo, aumento de los radios de curvatura de las superficies de evolvente, posibilitar el engrane de varios pares dentados dentados cuando uno de ellos ellos pasa por el polo y disminución de la velocidad del deslizamiento. Los parámetros principales para evaluar la corrección del dentado son los coeficientes de corrección, que cuantifican el desplazamiento absoluto de la herramienta Δabs relativo al módulo:
x1
Efecto en la forma de los dientes del número de dientes y el coeficiente de corrección.
=
Δ abs1 m
En el caso del engranaje se define la corrección sumaria como:
y
x2
=
Δ abs 2 m
.
xΣ = x1 + x2
Es considerado un coeficiente de corrección positivo ( x > 0 ) en caso de un alejamiento de la herramienta, en caso contrario se indica un coeficiente de corrección negativo ( x < 0 ).
3 Niemann, G., Maschinenelemente, Berlín 1965
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1.3.2- Relaciones prácticas para aplicar las correcciones.
Correcciones para ruedas ruedas con pequeño número número de dientes, en las cuales se desea evitar el socavado del fondo del diente. x ≥ ha
*
−
z ⋅ sen
2
α
2 ⋅ cos
3
β
Corrección parcial.
≤ 0,5 entonces x1 = xΣ y x2 = 0 Si − 0,5 ≤ x Σ ≤ 0 entonces x1 = 0 y x2 = xΣ 0 ≤ xΣ
Si
Correcciones recomendadas por normativas de algunos países, cuando no existen limitaciones en la distancia interaxial nominal exigida para el montaje.
Según norma alemana:
x1 = x2 = 0,5
Según norma soviética:
61 − 0,00 0 061 ⋅ z x = 0,61
Según norma belga:
x = 0,9 − 0,03 ⋅ z
Correcciones recomendadas para el piñón, cuando existe un valor establecido de corrección sumaria para el engranaje.
Según el instituto alemán FZG : x 1 Según
x1
xΣ = 1
=
xΣ u+1
la ⎛ x 1 + x 2 ⎞ ⎤
⎡ = 0,5 ⋅ x Σ + ⎢ A − ⎜⎜ ⎝ ⎣
2 donde:
+
u −1 u + 1 + 0,4 ⋅ z 2 firma
log u
⎟⎟⎥ ⋅ z ⋅ z ⎞ ⎠ ⎦ log⎛ ⎜⎜ 1 2 ⎟⎟ ⎝ 100 ⎠ A = 0,71 A = 0,61 A = 0,50 A = 0,38 A = 0,23
4 MAAG Gear Company Ltd., MAAG Gear Book, Zurich 1990
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para para para para para
α = 15,0° α = 17,5° α = 20,0° α = 22,5° α = 25,0°
MAAG4:
Corrección proporcional básica.
Si x Σ ≥ 0 entonces Si x Σ < 0
entonces
x1 = x1
xΣ ⋅ z2 z1 + z 2
⎛ z 2 ⎞ ⎟⎟ = x Σ ⋅ ⎜⎜ 1 − ⎝ z 1 + z 2 ⎠
Adicionalmente, existen recomendaciones con empleo de gráficos para una distribución aceptable del coeficiente de corrección. Algunas de ellas son mostradas a continuación.
Límite por aguzado de los dientes
zona recomendada
Límite por socavado de los dientes
z z Orientaciones de la relación x 1 + x 2 para valores de v 1 + v 2 en engranajes con α=20°. 2 2
Socavado del diente.
Gráfico de los valores límites del coeficiente de corrección por aguzado del diente (en función de espesor de cresta) y por socavado del fondo del diente.
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1.4 - Descifrado de los parámetros geométricos fundamentales del dentado de un engranaje cilíndrico de contacto exterior y de ejes paralelos. Las reglas para elaborar los planos de trabajo (de taller) de las ruedas dentadas cilíndricas con perfil de evolvente orientan la identificación de los parámetros geométricos fundamentales del dentado en la representación de las ruedas dentadas y en la tabla de parámetros que acompaña el plano. Módulo Número de dientes Ángulo de inclinación de la hélice Sentido de dirección de la hélice Coeficiente de corrección Clase de precisión Cremallera básica normalizada Datos para el control de la posición de los flancos opuestos Diámetro de referencia Número de Rueda conjugada dientes Código del plano
m 1
z
β x s h z2
Fig. - Parámetros fundamentales identificados en el plano de taller de una rueda dentada.
Durante la representación de las ruedas dentadas en los planos de trabajo se requiere especificar: - El diámetro de la circunferencia de cresta (da). - El ancho del dentado (b) - Dimensiones del destalonado de la cabeza del diente. - La rugosidad de los flancos del diente. - La profundidad de la corrección longitudinal del diente. De todos estos parámetros, solo el diámetro de cresta da es importante para la geometría de la rueda y el engranaje, el resto de los parámetros tienen un variado nivel de influencia en la resistencia del engranaje. En la tabla de parámetros incluida en el plano de trabajo de las ruedas dentadas cilíndricas es necesario especificar: • El modulo (m). • La cantidad de dientes (z). • El ángulo de inclinación de la hélice en el cilindro de referencia ( β). • Sentido de la dirección de la hélice para el diente helicoidal. • Coeficiente de corrección (x) • Clase precisión y el tipo de conjugación • Diámetro de referencia de rueda conjugada (d). • Número de dientes de la rueda conjugada (z). • Parámetros de la cremallera básica: - ángulo de flanco (presión) ..................( α) - coeficiente de altura de la cabeza ........(ha∗) coeficiente de holgura radial ...............(c *) coeficiente de radio de fondo ……… ( ρf *).
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Datos para el control de los flancos opuestos, según los parámetros seleccionados para el control: a)
Control del espesor del diente a una distancia determinada de la cresta.
Fig. – Fig. – Medición del espesor de un diente con un pie de rey de dentado. Espesor de cuerda …………. (s). (s). Altura de medición de sC. …. (h)
h s
b)
Control de la medida sobre rodillos Fig. – Medición de la distancia entre los rodillos de control con micrómetro. Dimensiones sobre rodillos:(M). Diámetro Diámetro de rodillos rodillos (D).
c) Control de la longitud de la tangente base.
Fig. – Medición de la tangente base. Longitud de la tangente base: WK (W5). Cantidad de dientes en WK : k (5).
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Con excepción de los datos para el control de la posición de los flancos opuestos y el coeficiente del radio de fondo, el resto de los parámetros de la tabla del dentado son fundamentales para el completamiento geométrico de las ruedas y el engranaje y necesarios a determinar durante el descifrado. Por ello un descifrado conveniente de la geometría de un engranaje debe ser capaz de brindarnos información sobre los valores de modulo (m), ángulo de inclinación de la hélice en el cilindro de referencia ( β), ángulo de presión de la cremallera ( α), coeficiente de altura de la cabeza (h a∗), coeficiente de holgura radial (c *) y coeficientes de corrección (x 1 y x2).
1.4.1- Parámetros a medir. medir. Con el objetivo de realizar los cálculos ingenieriles que permiten obtener la geometría fundamental del dentado de las ruedas de un engranaje cilíndrico de contacto exterior y ejes paralelos, es necesario que sean obtenidos los siguientes parámetros: z1, z2 : Número de dientes dientes de las ruedas. Se debe tener especial cuidado al realizar el conteo de la cantidad de dientes en las ruedas del par engranado analizado, es recomendable realizar alguna marca con tiza que ayude en este procedimiento. da1, da2 : Diámetros de cresta de las ruedas. Esta medición debe ser realizada con un pie de rey de dimensiones dimensiones adecuadas y que permita permita medir la distancia entre la cresta de dientes opuestos diametralmente. La medida siempre será más precisa en ruedas con número par de dientes. También es prácticamente aplicable en ruedas con cantidad impar de dientes, siempre mejor mientras mayor sea el número de dientes. b1, b2 : Ancho de los dientes de las ruedas. El ancho de los dientes será medido en el plano axial de las ruedas (plano que contiene a los ejes de rotación de las ruedas). Puede ser empleado un pie de rey, aunque puede ser suficiente una regla con graduaciones en milímetros. Wk 1,Wk 2: Longitud de la tangente base medida en las ruedas en ¨k¨ dientes. La medida de este parámetro de control es realizada a través de varios dientes y está dada por la distancia entre dos planos paralelos, que tocan en dos flancos opuestos de los dientes, de forma tal que las caras de medición del instrumento (pie de rey o micrómetro) estén en contacto con los flancos de los dientes en la tangente a la circunferencia básica. Esta medida debe ser realizada en un plano normal a los flancos de los dientes. Con el objetivo de realizar una buena medición de la longitud de la tangente base es requerido que los dientes controlados estén perfectamente limpios. k 1, k 2 : Número de dientes donde se mide la longitud de la tangente base en las ruedas. Generalmente el número de dientes donde debe ser medida la tangente base puede ser calculado por fórmulas y gráficos en dependencia de la geometría del engranaje la cual es desconocida en el momento del descifrado se desconoce. En estos casos, es prácticamente aceptable, una medición de la longitud base cuando ambas caras de medición del instrumento son tangente a los flancos de los dientes y el contacto se realice a la misma altura en los los dientes (aproximadamente (aproximadamente a la mitad mitad de altura). Puede servir de orientación los valores dados en la siguiente tabla, obtenidos durante repetidas prácticas de laboratorios del Departamento de Mecánica Aplicada del ISPJAE y corroborada con las recomendaciones brindadas en el Manual de Engranaje de la firma MAAG3.
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Tabla .- Orientaciones del número k de dientes para medir la longitud de la tangente base Wk ,
β: Ángulo de la hélice 0° 20° 40°
k 1 ó k 2 : Número de dientes donde se mide la longitud de la tangente base en las ruedas. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 z1, z2 : Número de dientes de las ruedas. 11 18 28 36 44 55 65 75 85 95 100 110 18 28 36 44 55 65 75 85 95 100 110 120 10 16 24 30 42 48 55 65 75 85 95 100 16 24 30 42 48 55 65 75 85 95 100 110 6 9 14 18 24 28 32 36 42 46 50 54 9 14 18 24 28 32 36 42 46 50 54 60
h1, h2 : Altura de los dientes en las ruedas. Esta medición puede ser realizada con un pie de rey que tenga extensión de profundidad, debe tenerse especial cuidado en realizar la medición desde la cresta del diente hasta su fondo, en un punto lo más cercano a la base del diente. aw
: Distancia interaxial. Es la distancia entre los centros de rotación de las ruedas y es un valor que debe ser determinado con relativa precisión. Generalmente en los reductores de velocidad y cajas de velocidades la distancia interaxial de las ruedas dentadas engranadas coinciden con números de preferencia establecidos, por lo que puede ser de ayuda el conocimiento de estos valores al determinar el valor de la distancia interaxial nominal. Esta magnitud puede ser medida tomando como referencia los centros de ejes de los árboles que soportan la ruedas, o preferiblemente como la suma de los radios de los agujeros de alojamiento de los rodamientos y el espesor de separación entre ellos.
β : Angulo de inclinación de la hélice en el cilindro de referencia. Este parámetro de las ruedas del engranaje es quizás de los más difíciles de precisar, cuando no se está en presencia de ruedas con dientes rectos (β = 0°) o cundo no se dispone del equipo requerido para el control de la inclinación de la hélice de los dientes. Estos equipos son generalmente de elevados precios en el mercado internacional y solo se justifica su adquisición en centros donde el intenso empleo del comprobador de hélice permita reponer en un plazo de tiempo aceptable la inversión realizada. La mayoría de los comprobadores de hélice basan su fundamento en un trazador patrón que permite un movimiento combinado de traslación y rotación controlado.
Esquema de un comprobador de hélice con guía y disco intercambiable. Siendo: 1- Trazador deslizante para inspección de la hélice. 2- Disco guía con ranura a un ángulo βb. 3- Corredera guía. 4- Disco del circulo básico db.
Cuando no se disponen de comprobadores de hélices o equipos auxiliares para medir el ángulo de inclinación del diente en el cilindro de referencia, es necesario recurrir a procedimientos de medición menos precisos, pero también más simples como el conocido y denominado: huella de
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contacto de la cresta . Con este fin, la cresta de los dientes de las ruedas son untadas ligeramente con aceite (tinta sería preferible), de forma tal que permita dejar una clara huella al hacer rodar la rueda en línea recta sobre una superficie limpia, lisa y blanca. En esta huella es posible medir con cierta precisión el ángulo de inclinación de la hélice del diente en la cresta βa . huellas de las crestas
recta de guía
Fig. – – Huellas marcadas en una superficie plana por crestas de dientes untados con aceite, al hacer rodar la rueda en línea recta.
El ángulo de inclinación de la hélice en el cilindro de referencia puede ser calculado como: ⎛ m. z. tan( βa ) ⎞ ⎟⎟ β = sen −1 ⎜⎜ d ⎝ ⎠ a 1.4.2 Cálculos ingenieriles Tomando como referencias los valores previamente obtenidos, es posible determinar con suficiente precisión práctica los parámetros del dentado de las ruedas engranadas, en dependencia de la exactitud con que fueron obtenidos los datos iniciales. m : módulo normal.
El módulo es un parámetro de las ruedas y del engranaje necesario para definir las dimensiones de la cremallera básica de referencia y las dimensiones de las ruedas y dientes. Es una dimensión normalizada en el sistema métrico por ISO 54-77 y por normas editadas en países cuyos Comités Técnicos de Normalización han optado por el sistema ¨ módulo¨, pero que tiene su similar en el sistema ¨ diametral pitch¨ normado por AGMA 120.01. Generalmente, un estudio de la procedencia de la máquina donde es empleado el engranaje nos puede brindar información para definir el sistema geométrico del engranaje a descifrar. Tabla . – Conversiones de los l os valores de módulo m y diametral pitch P. m (mm) 1 1,058 1,25 1,270 1,411 1,5 1,587 1,814 2 2,116 2,5 2,540 3 3,175 4 P (pulg) 25,40 24 20,32 20 18 16,93 16 14 12,70 12 10,16 10 8,466 8 6,350 m (mm) 4,233 5 5,08 6 6,350 8 8,466 10 10,16 12 12,7 16 16,93 20 25,40 P (pulg) 6 5,080 5 4,233 4 3,175 3 2,540 2,5 2,116 2 1,587 1,5 1,277 1
Nota: valores en negritas son preferidos.
El módulo, o su semejante diametral pitch convertido a módulo, puede ser determinado haciendo haci endo engranar varias herramientas de corte con las ruedas dentadas, aquella con la cual exista un engrane perfecto tendrá el mismo módulo que el empleado para el tallado de las ruedas. Este procedimiento, aunque simple, tiene la limitante de requerir un juego completo de herramientas para dar respuesta a todas las soluciones, por ello es muchas veces necesario aplicar un método basado en la resta de las longitudes de las tangentes bases en número de dientes consecutivos. El procedimiento toma en consideración que la diferencia antes mencionada coincide con el paso básico del engranaje y su solución matemática es bastante sencilla.
Un análisis de la geometría básica del engranaje en el plano normal permite conocer que:
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W k = ( k − 1).p b + s b Wk −1 = ( k − 2 ).p b + s b
wk
(mm) (mm)
− w k −1 = ( k − 1) ⋅ p b + s b − ( k − 2 ) ⋅ p b − s b
Así :
= Wk − Wk −1 = m ⋅ π ⋅ cos α (mm) m = ( W k − Wk −1 ) / ( π ⋅ cos α ) (mm)
pb
En la fórmula para evaluar el módulo, el valor del ángulo de flanco ( α) debe de ser supuesto. Como el módulo es una magnitud normalizada, prácticamente es posible definir su valor suponiendo α = 20°, pues aunque el ángulo de flanco asumido inicialmente no sea correcto, debido al valor discreto y significativamente diferentes entre los módulos de las series de normalización, debe ser desigual en varios grados el ángulo de presión para que se incurra en un error al evaluar inicialmente el módulo. α : Ángulo de flanco.
Una de las vías posibles para determinar el ángulo de flanco del perfil de la cremallera básica de referencia del engranaje es comparando la suma de las longitudes teóricas de las tangentes bases de ambas ruedas (Wt1k y Wt2k ) con el resultado de la suma de las longitudes de la tangente base medidas en las ruedas (W1 k y W2k ). ). El anterior procedimiento se realiza para diferentes valores de α y en aquel valor que las sumas de las tangentes presente más similitud corresponderá al valor de α más apropiado al ángulo de flanco del perfil de la cremallera básica de referencia empleado en el engranaje a descifrar. La aplicación de la fórmula 6 tiene como ventaja que no requiere del conocimiento de las correcciones del perfil de los dientes de las ruedas, solo es necesario evaluar el ángulo de engranaje en el plano transversal αtw. A continuación es expuesta la deducción matemática que demuestra lo antes expresado:
= m ⋅ cos α ⋅ [ π ⋅ ( k 1 − 0,5 ) + 2 ⋅ x 1 ⋅ tanα + z1 ⋅ invα t ] Wt 2 k = m ⋅ cos α ⋅ [ π ⋅ ( k 2 − 0,5 ) + 2 ⋅ x 2 ⋅ tanα + z 2 ⋅ invα t ] ΣWt k = Wt 1k + Wt 2 k ΣWt k = m ⋅ cos α ⋅ [ π ⋅ ( k 1 + k 2 − 1) + 2 ⋅ tanα ⋅ ( x 1 + x 2 ) + ( z1 + z 2 ) ⋅ invα t ] Wt 1k
Conociendo que el termino 2 ⋅ tan α ⋅ ( x 1 + x 2 ) = ( z 1 + z 2 ) ⋅ inv α tw − ( z 1 + z 2 ) ⋅ inv α t tendremos que la suma de las longitudes teóricas de las tangentes base es igual a:
ΣWt k = Wt 1k + Wt 2 k = m ⋅ cos α ⋅ [ π ⋅ ( k 1 + k 2 − 1) + ( z 1 + z 2 ) ⋅ inv α tw ] (mm) Siendo:
⎛ tanα ⎞ α t = tan −1 ⎜ ⎟ , ⎝ cos β ⎠
a=
m ⋅ ( z1 + z2 ) (mm) , 2 ⋅ cos β
⎛ a ⋅ cos α t ⎞ α tw = cos−1⎜ ⎟ ⎝ a w ⎠
En la siguiente tabla se presenta un caso en que el ángulo de presión α = 20° es el correspondiente al del engranaje en proceso por observarse una coincidencia prácticamente exacta entre la suma de las longitudes teóricas de las tangentes bases de ambas ruedas (ΣWtk =Wt1k +Wt2k ) con la suma de las longitudes de la tangente base medidas en las ruedas (ΣWtk =Wt1k +Wt2k ).
15
Tabla – Evaluaciones de diferentes ΣWtk =Wt1k +Wt2k y ΣWtk =Wt1k +Wt2k para estimar el valor de ángulo de presión α en un engranaje en proceso de descifrado. Rueda 1: Rueda 2
Datos Iniciales: Número de dientes z 1 = 17 Longitud de tangente base w 3 = 39,90 mm
Número de dientes z 2 = 52 Longitud de tangente base w 5 = 71,68 mm Engranaje m = 5 mm β = 11° aw = 180 mm Ángulo de presión propuesto α 14,5° 22,5° 20 Ángulo de engranaje αtw 19,25° 23,74° 25,91° 0,01324 0,02546 0,03357 inv αtw 110,87 111,57 112,28 =Wt1k +Wt2 +Wt2k ΣWtk =Wt1 111,58 ΣWtk =Wt1k +Wt2k
28° 30,85° 0,05887 115,02
x1 , x2 : Coeficientes de corrección.
Conociendo la interrelación geométrica entre la longitud de la tangente base y el coeficiente de corrección puede ser obtenido el valor del coeficiente de corrección de los dientes para cada una de las ruedas engranadas. 1 ⎡ Wk 1 ⎤ x1 = ⋅⎢ − π ⋅ ( k 1 − 0,5 ) − z 1 ⋅ invα t ⎥ 2 ⋅ tanα ⎣ m ⋅ cos α ⎦ 1 ⎡ Wk 2 ⎤ x2 = ⋅⎢ − π ⋅ ( k 2 − 0,5 ) − z 2 ⋅ invα t ⎥ 2 ⋅ tanα ⎣ m ⋅ cos α ⎦ Una forma de corroborar estos resultados es comparando la suma de x 1 y x2 con el valor de corrección sumaria del engranaje x Σ, si los valores son prácticamente aceptables el descifrado de los parámetros geométricos ha sido satisfactorio, en caso contrario convendría revisar los cálculos, las mediciones realizadas o el valor de ángulo de flanco ( α) aceptado . inv α tw − inv α t x Σ = x1 + x 2 = ⋅ ( z1 + z 2 ) 2 ⋅ tan α La validez de estos resultado están en dependencia de la calidad de los datos iniciales obtenidos mediante mediciones en el dentado de las ruedas. c* : Coeficiente de holgura radial.
El valor del coeficiente de holgura radial de la cremallera básica del engranaje usualmente coincide con el existente entre las ruedas engranadas, si los dientes en las dos ruedas presentan la misma altura. La deducción de este valor puede ser obtenido mediante el empleo de las siguientes fórmulas.
c*1 = [ a w − 0,5 ⋅ ( da1 + da 2 ) + h 2 ] / m
c*2 = [a w − 0,5 ⋅ ( da1 + da2 ) + h1 ] / m
16
En caso de disponerse de los calibres requeridos y la posición del dentado engranado permite que la magnitud de la holgura radial pueda ser medida, simplemente puede ser calculado el coeficiente de holgura radial como:
c*1,2 = c1,2 / m
ha* : Coeficiente de altura de la cabeza.
Conociendo los parámetros geométricos anteriormente explicados pueden ser deducidas las fórmulas para determinar los valores de los coeficientes de altura de la cabeza. Generalmente estos valores son iguales para los dientes del piñón y de la rueda, por supuesto que diferencias en estos valores pueden ser atribuidas a imprecisiones en las mediciones o al empleo de dientes con alturas diferentes, debido a un recortado arbitrario de sus crestas en la elaboración de los semiproductos.
d1,2 = m.z1,2 / cos β
(mm)
da 2 − 2 ⋅ a w + d 1 + x1 2⋅ m da − 2 ⋅ a w + d 2 + x2 h *a 2 = 1 2⋅m
h *a1 =
Conclusiones. El procedimiento presentado puede ser organizado mediante el empleo de las siguientes tablas. Tabla 1- Datos iniciales para la obtención de los parámetros del dentado. Parámetros Pa rámetros Unidades Distancia interaxial mm Ancho de diente diente mm Número de dientes dientes Altura Altura de diente diente mm Diámetro de cresta cresta mm Longitud Longitud de tangente base mm Número de dientes dientes de medición Longitud Longitud de tangente base mm Número de dientes dientes de medición mm Angulo Angulo de la hélice en cresta ° Tabla 2- Organización de los cálculos Parámetro unidad mm m mm mm
β
° °
Definir β
αt
°
a
mm
αtw ΣWtk ΣWk
mm mm
Definir más cercano x1 x2 x1 + x2 xΣ Definir más cercano c* ha*
°
rueda 1 2 e 1 2 e e e e e e
-
1 2 e e
-
1 2 1 2
α=14,5°
Símbolo aw b z h da Wk k Wk-1 k-1 k-1
Piñón
Rueda
βa α=17,5°
17
α=20,0°
α=22,5°
α=25,0°
α=
°
1,5 – GEOMETRÍA INTERNA DEL ENGRANAJE CILÍNDRICO. La geometría interna tiene como fronteras los diámetros externos y de fondo del dentado, ella define el tipo de rueda dentada con respecto al perfil de los flancos de los dientes. El conocimiento de la geometría interna de los engranajes permite una valoración del grado de conjugación de los flancos activos de los dientes que tributan en gran medida a la eficiencia y efectividad de la transmisión. La precisión del perfil del diente es de suma importancia, ya que de ello dependerá que no existan choques o contactos bruscos entre las ruedas del engranaje. A los efectos de evitar la arbitrariedad en la construcción del perfil del diente se han establecido curvas sencillas de ejecutar técnicamente. Si bien se plantea que con las curvas cicloidales se obtienen perfiles más exactos, de menores rozamientos, desgaste y choques de los dientes, estas ventajas pueden existir únicamente cuando la distancia entre los centros de los engranajes se mantiene rigurosamente. Con la curva de evolvente el perfil que se obtiene es simple y fácil de ejecutar, no exigiendo la necesidad de mantener la distancia entre ejes invariable para que el engrane se realice en buenas condiciones. En general, la forma más difundida de los flancos de los dientes en los engranajes cilíndricos de ejes paralelos son los perfiles simétricos con curvas de evolvente. En la práctica otros perfiles pueden ser empleados con menos frecuencia como los dientes con perfiles asimétricos, perfiles cicloidales y perfiles redondos 5, 6 . La preferencia por el perfil de evolvente se establece por la normalización de las herramientas de corte con flancos rectos para la generación de los dientes de las ruedas de engranajes y por la posibilidad que ofrece de tallar ruedas con corrección del perfil de los dientes mediante el desplazamiento radial relativo entre la herramienta de generación y el semiproducto de la rueda dentada. El mencionado desplazamiento permite utilizar un perfil de trabajo de los dientes en función de la necesidad de variar unas u otras características del engranaje. Sobre la curva evolvente que forma el flanco de un diente de engranaje existe amplia información. Prácticamente en todos los textos que tratan la geometría y cinemática de los engranajes evolventes se describen las características de esta curva. Sin embargo, la curva que define la zona de redondeo del pie del diente, cuando éste es fabricado por generación, es mucho menos tratada en la literatura especializada, el nombre que comúnmente recibe esta curva es trocoide. La mayoría de los autores, cuando tratan la generación del flanco del diente mediante una modelación matemática, sustituyen la trocoide por un arco de circunferencia para simplificar los análisis, dado que en estudios del contacto de los flancos activos, ciertamente esta curva no tiene gran influencia en el engranaje. La influencia más significativa de esta simplificación se produce cuando se realizan los cálculos de resistencia en el fondo del diente y no se considera la verdadera geometría del diente. Varios sistemas CAD han introducido como opciones el diseño de engranajes, pero con sin considerar la curva de la trocoide en el fondo del diente. En la actualidad, son conocidas diferentes formas de modelar una rueda dentada, con mayor o menor precisión del flanco del diente, pero llama la atención la poca información práctica y aplicable para reproducir el proceso que se publica en la literatura especializada sobre el particular 7, 8, 9. Esta situación ha demostrando que la modelación de las ruedas dentadas es un 5 Dobrovolski, V,; Elementos de Máquinas, Editorial MIR, Moscú, 1980. 6 Baránov, G.; Curso de la Teoría de Mecanismos y Máquinas, Editorial MIR, Moscú, 1979.
7
Johana Lucía Prieto; Modelamiento geométrico de engranajes cilíndricos corregidos con tecnología CAD/CAM. Memorias del Congreso Nacional de Ingeniería Mecánica. Universidad Nacional de Colombia, sede Bogotá. Diciembre 2001 8 Dr. Luis Orlando Cotaquispe Cevallos. Modelación geométrica de engranajes en Sistemas CAD. Revista de la Facultad de Ciencias e Ingeniería de la Pontificia Universidad Católica, Lima. Perú. Noviembre 2004.
18
recurso puesto a buen resguardo por los estudiosos del tema, debido a lo estratégico que resulta poder disponer de este recurso para el desarrollo de engranajes con geometría óptima que permita máxima capacidad de carga con mínimo volumen y características convenientes de explotación. Algunas normas de engranajes 10 ya plantean realizar el cálculo de resistencia por flexión mediante la modelación y análisis por el Método de los Elementos Finitos, para lo cual se necesita el modelo geométrico del diente. Si este modelo geométrico no es preciso tampoco serán precisos los resultados que se obtengan con el análisis. En el presente trabajo, ha sido elaborado un procedimiento práctico para permitir la aplicación del Método de los Elementos Finitos en un engranaje cilíndrico mediante la generación de ruedas cilíndricas con dientes rectos y haciendo empleo de las formulaciones paramétricas de la curva de la trocoide presentadas por Henriot en 1999 11. En las siguientes siguientes figuras se muestran las bases del trazado del perfil del diente, el origen de coordenadas de los pares (x,y) correspondientes al lugar geométrico de localización de los puntos de las curva de evolvente y la curva de trocoide que perfilaran el flanco del diente.
Fig. En la superior una representación de las dimensiones y perfil de la cremallera de referencia (básica) de los dientes (perfil acabado). En la de abajo un esquema del vinculo entre el borde superior de la herramienta y el corte del fondo del diente.
9 Wang Lixin; Solid model generation of involute cylindrical gears. Gear Technology •Septembre-Octuber 2003 10 ISO 6336-3: Calculation of load capacity of spur and helical gears- Part 3: Tooth bending strength. 1996. 11 Henriot, Georges; Traité Théorique et Practique des engranajes. Edit. DUNOD, Paris 1999
19
Fig. A la izquierda un esquema base del trazado del perfil del diente con la variable ¨r¨ para la curva de evolvente y la variable φ en la curva de trocoide. A la derecha se muestra la ubicación de los puntos extremos de las curvas que componen el flanco activo del diente. El perfil del diente se realiza considerando el trazado de 3 partes, según se refiere a continuación. Primer trazado. Corresponde con la cresta del diente (trazado entre puntos 1 y 2), y sus coordenadas límites se definen en función del diámetro de cresta de la rueda. Punto 1: 0, da
( 2) Punto 2: (da ⋅ senγ , da ⋅ cos γ ) 2 2 a
Siendo: α a = cos −1 (
a
d bn 0,5 ⋅ π + 2 ⋅ x ⋅ tan α + invα − invα a ) y γ a = da z v
Segundo trazado. Corresponde con la parte del perfil del diente que contiene un perfil de curva de evolvente (trazado entre puntos 2 y 3), y sus coordenadas límites se definen en función de la geometría externa de la rueda y el flanco recto del borde cortante de la herramienta de generación. El trazado de la curva de evolvente se realiza evaluando las fórmulas con diferentes valores en disminución consecutiva del diámetro ¨d¨ entre el valor del diámetro de cresta y el punto 3 correspondiente al momento del corte de la curva de evolvente por la interferencia sobre ella de la herramienta de corte.
⎛ d int erf ⋅ senγ , d int erf ⋅ cos γ ⎞ int erf int erf ⎟ 2 2 ⎝ ⎠
Punto 3: ⎜ Siendo:
2
2
⎛ d ⎞ ⎛ m ⋅ z v ⋅ senα (ha * − x ) ⋅ m ⎞ d int erf = 2 ⋅ ⎜ bn ⎟ + ⎜ − ⎟ senα ⎠ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ d 0,5 ⋅ π + 2 ⋅ x ⋅ tan α α int erf = cos −1 ( bn ) y γ int erf = + invα − invα int erf d int erf
z v
20
Tercer trazado. Corresponde con la parte del perfil del diente que contiene un perfil de curva de trocoide y el fondo del espacio entre dientes (trazado entre puntos 3 y 4). Las coordenadas límites se definen en función la geometría externa de la rueda y parámetros de la herramienta de corte incluyendo el extremos cortante de la cresta y el radio superior de redondeado. El trazado de esta zona se realiza evaluando desde φ = 0 hasta el valor de φ que produzca un par de coordenadas por encima del punto punto 3. Desde la coordenada coordenada correspondiente a φ = 0 se traza una curva con el radio de fondo hasta el punto 4.
df ⋅ sen(180 / z ), df ⋅ cos(180 / z ) ⎞ Punto 4: ⎛ ⎜ v v ⎟
⎝ 2
2
⎠
Es conocido que en la actividad de la ingeniería avanzada y los estudios asociados a investigaciones científicas se requiere a menudo del empleo de algoritmos de cálculo, los cuales serán más eficiente en la medida que se conozcan los orígenes de dichos algoritmos. Los grafos bicromáticos son una herramienta eficaz para la elaboración de algoritmos que brindan respuesta a complejos problemas de la más diversa naturaleza. Estos grafos están definidos por puntos llamados vértices y líneas llamadas aristas. La denominación de bicromáticos viene dada porque en su confección generalmente se usan dos colores. Un modelo matemático puede representarse por un grafo bicromático donde los vértices que representan las relaciones y los vértices que representan las variables tengan respectivamente colores diferentes. El grafo estará bien conformado cuando no existan vértices de un mismo color unidos 12. Esta técnica ha sido descrita por Martínez (1997), profesor de la Facultad de Ingeniería Mecánica de la CUJAE 13. El método de grafos bicromaticos será empleado para definir el modelo matemático de la geometría del perfil del diente, el modelo del problema de simulación asociado con la obtención del perfil evolvente del diente en coordenadas cartesianas y el procedimiento de cálculo Relaciones del modelo matemático de la geometría del perfil del diente en zona de curva de evolvente en coordenadas cartesianas. 2 R1: zv ⋅ cos β b ⋅ cos β − z = 0 R2:
d ⋅ cos β − m ⋅ z = 0
d bn − m ⋅ z v ⋅ cos α = 0 −1 R4: β b − sen (sen β ⋅ cos α ) = 0 R5: d yn − m ⋅ z v + d − d y = 0 R3:
⎛ d bn ⎞ ⎟=0 ⎟ ⎝ d yn ⎠ 0,5 ⋅ π + 2 ⋅ x ⋅ tan α − invα + invα yn = 0 R7: γ yn − z v R8: Coord x − 0,5 ⋅ d y ⋅ senγ yn = 0 R6: cos(α yn ) − ⎜⎜
R9: Coord y − 0,5 ⋅ d y ⋅ cos γ yn = 0 Cantidad de relaciones R = 9 Cantidad de variables: V = 15 Conjunto de variables:V={z v, z, β b, β, d, m, d bn, α, dyn, dy, αyn, γyn, x, Coord x, Coord y} Grados de libertad del modelo: L = V – R = 6 12
Harari P. Teoría de grafos, ediciones Madrid, 1973.
13 Martínez Escanaverino, J., y otros, ¨ Algorítmica del Diseño Mecánico ¨, Ingeniería Mecánica, Vol. 0, N
21
°1, 1997
dy
d
R5
Coord
dyn m d bn
R6
R9
R3
αyn
zv
R8
α R4
Coord x
γyn
R2
β
β b R7
z R1
x
Fig. Modelo matemático en grafo bicromático de la geometría del perfil del diente en zona de curva de evolvente en coordenadas cartesianas.
22
d
dyn
R5
R1
Coord y
R6 R3
R9
zv
d bn
β b
αyn
γyn R7
R2 R4
Coord x
R8
Fig. Modelo matemático de la solución al problema asociado con la obtención del perfil evolvente del diente en coordenadas cartesianas.
23
d
dyn
R5
R1
Coord y
R6 R3
R9
zv
d bn
β b
αyn
γyn R7
R2 R4
Coord x
R8
Fig. Modelo matemático de la solución al problema asociado con la obtención del perfil evolvente del diente en coordenadas cartesianas.
23
Organización del algoritmo de simulación (problema) para evaluar las coordenadas cartesianas de los puntos que conforman el lugar geométrico de la curva de evolvente en el flanco de los dientes. Cantidad de relaciones R = 9 Cantidad de variables: V = 15 Conjunto de variables de entrada /datos): E = {z, β, m, α, x, d y} Conjunto de variables a calcular: VC = {z v, β b, d, d bn, dyn, αyn, γyn, Coord x, Coord y} Variable de simulación (entrada) = d y Conjunto de variables de salida /respuesta): S = {Coord x, Coord y }
= sen −1 (sen β ⋅ cos α ) z R1: z v = cos β b 2 ⋅ cos β R4: β b
d bn = m ⋅ z v ⋅ cos α m ⋅ z = d R2: cos β R5: d yn = m ⋅ z v − d + d y ⎛ ⎞ −1 ⎜ d bn ⎟ R6: α yn = cos ⎜ ⎟ ⎝ d yn ⎠ R3:
Organización del algoritmo de simulación (problema) para evaluar las coordenadas cartesianas de los puntos que conforman el lugar geométrico de la curva de evolvente en el flanco de los dientes. Cantidad de relaciones R = 9 Cantidad de variables: V = 15 Conjunto de variables de entrada /datos): E = {z, β, m, α, x, d y} Conjunto de variables a calcular: VC = {z v, β b, d, d bn, dyn, αyn, γyn, Coord x, Coord y} Variable de simulación (entrada) = d y Conjunto de variables de salida /respuesta): S = {Coord x, Coord y }
= sen −1 (sen β ⋅ cos α ) z z = R1: v cos β b 2 ⋅ cos β R4: β b
d bn = m ⋅ z v ⋅ cos α m ⋅ z = d R2: cos β R5: d yn = m ⋅ z v − d + d y ⎛ ⎞ −1 ⎜ d bn ⎟ R6: α yn = cos ⎜ ⎟ ⎝ d yn ⎠ 0,5 ⋅ π + 2 ⋅ x ⋅ tan α = + invα − invα yn γ R7: yn z v R3:
R8: Coord x = 0,5 ⋅ d y ⋅ senγ yn R9: Coord y
= 0,5 ⋅ d y ⋅ cos γ yn
Relaciones del modelo matemático de la geometría del perfil del diente en zona de curva de trocoide en coordenadas cartesianas. R1: zv ⋅ cos β b
2
⋅ cos β − z = 0 −1 R2: β b − sen (sen β ⋅ cos α ) = 0 ρ f * ⋅m
π
⋅ m − (ha * +c *) ⋅ m ⋅ tan α − ρ f * ⋅m ⋅ tan α − − E 4 cos α R4: (ha * + c *) ⋅ m − ρ f * − x ⋅ m − H = 0 R3:
(0,5 ⋅ m ⋅ z v − H ) ⋅ senφ − (0,5 ⋅ m ⋅ z v ⋅ φ + E ) ⋅ cosφ − xT = 0 R6: (0,5 ⋅ m ⋅ z v ⋅ φ + E ) ⋅ senφ + (0,5 ⋅ m ⋅ z v − H ) ⋅ cos φ − yT = 0 R5:
24
R7:
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ * ⎢ (0,5 ⋅ z v ⋅ m ⋅ φ + E ) + H ⋅ tan φ ⎥ ρ f ⋅ m xT − x M − ⎢ ⋅ ⎥=0 2 H z m E ( ) φ φ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ 0 , 5 tan ⎢ v ⎛ (0,5 ⋅ z v ⋅ m ⋅ φ + E ) + H ⋅ tan φ ⎞ ⎥ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ − 1 ⎢ H z m φ E φ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ( ) 0 , 5 tan ⎢⎣ v ⎝ ⎠ ⎥⎦ R8:
yT − y M −
yT − y M +
ρ * f ⋅ m
⎛ (0,5 ⋅ z v ⋅ m ⋅ φ + E ) + H ⋅ tan φ ⎞ ⎟⎟ 1 − ⎜⎜ 0 , 5 tan ( ) φ φ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ H z m E v ⎝ ⎠ ρ * f ⋅ m
2
⎛ (0,5 ⋅ z v ⋅ m ⋅ φ + E ) + H ⋅ tan φ ⎞ ⎟⎟ 1 − ⎜⎜ 0 , 5 tan ( ) φ φ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ H z m E v ⎝ ⎠
2
⎛ π ⎞
⎛ π ⎞
⎛ π ⎞
⎛ π ⎞
= 0 ; si
(0,5 ⋅ zv ⋅ m ⋅ φ + E ) + H ⋅ tan φ ≥0 H − (0,5 ⋅ z v ⋅ m ⋅ φ + E ) ⋅ tan φ
= 0 ; si
(0,5 ⋅ zv ⋅ m ⋅ φ + E ) + H ⋅ tan φ <0 H − (0,5 ⋅ zv ⋅ m ⋅ φ + E ) ⋅ tan φ
⎟⎟ + y M ⋅ sen⎜⎜ ⎟⎟ − x(φ ) = 0 R9: x M ⋅ cos⎜⎜ ⎝ z v ⎠ ⎝ z v ⎠ R10: y M ⋅ cos⎜⎜ ⎟⎟ − x M ⋅ sen⎜⎜ ⎟⎟ − y (φ ) = 0 ⎝ z v ⎠ ⎝ z v ⎠ Cantidad de relaciones R =10 Cantidad de variables: V = 19 Conjunto de variables: V = {z v, z, β b, β, m, α, x, h a*,c*, ρf *, *, E, H, x T, yT, φ, xM, yT, x(φ), y(φ)} Grados de libertad del modelo: L = V – R = 9
25
R5
xT E
R6 H
R7 ρf *
xM R8
yT
R4 c*
R9
x yM
x
ha*
m zv β b
R1 R10
R3
R2
z
y
β
α
Fig. Modelo matemático en grafo bicromático de la geometría del perfil del diente en zona de curva de trocoide en coordenadas cartesianas.
26
xT R4
R5
H
R7
R6
xM
yT
zv
R9 R1
yM β b
x E
R8
R R3
R10
Fig. Modelo matemático de la solución al problema asociado con la obtención del perfil trocoide del diente en coordenadas cartesianas.
27
xT R4
R5
H
R7
R6
xM
yT
zv
R9 R1
yM β b
x E
R8
R R3
R10
Fig. Modelo matemático de la solución al problema asociado con la obtención del perfil trocoide del diente en coordenadas cartesianas.
27
Organización del algoritmo de simulación para evaluar las coordenadas cartesianas de los puntos que conforman el lugar geométrico de la curva de trocoide en el fondo de los dientes. Cantidad de relaciones R =10 Cantidad de variables: V = 19 Conjunto de variables de entrada /datos): E = {z, β, m, α, x, h a*,c*, ρf *} *} Conjunto de variables a calcular: VC = {z v, β b, E, H, x T, yT, xM, yT, x(φ), y(φ)} Variable de simulación (entrada) = φ Conjunto de variables de salida /respuesta): S = {x (φ), y(φ)} R3:
E =
π
4
⋅ m − (ha * +c *) ⋅ m ⋅ tan α − ρ f * ⋅m ⋅ tan α −
ρ f * ⋅m
cos α
R4: H = (ha * + c *) ⋅ m − ρ f * − x ⋅ m R2: β b
= sen −1 (sen β ⋅ cosα )
R1: z v =
z
cos β b 2 ⋅ cos β R5: xT = −(0,5 ⋅ m ⋅ z v ⋅ φ + E ) ⋅ cosφ + (0,5 ⋅ m ⋅ z v − H ) ⋅ senφ R6: yT = (0,5 ⋅ m ⋅ z v ⋅ φ + E ) ⋅ senφ + (0,5 ⋅ m ⋅ z v − H ) ⋅ cos φ ⎡ ⎢ ⎢ (0,5 ⋅ z v ⋅ m ⋅ φ + E ) + H ⋅ tan φ R7: x M = xT − ⎢ ⋅ H z m E − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ( ) 0 , 5 tan φ φ ⎢
⎛ (0 5
⎤ ⎥ * ⎥ ρ f ⋅ m ⎥ 2 φ E ) H tan φ ⎞ ⎥
Organización del algoritmo de simulación para evaluar las coordenadas cartesianas de los puntos que conforman el lugar geométrico de la curva de trocoide en el fondo de los dientes. Cantidad de relaciones R =10 Cantidad de variables: V = 19 Conjunto de variables de entrada /datos): E = {z, β, m, α, x, h a*,c*, ρf *} *} Conjunto de variables a calcular: VC = {z v, β b, E, H, x T, yT, xM, yT, x(φ), y(φ)} Variable de simulación (entrada) = φ Conjunto de variables de salida /respuesta): S = {x (φ), y(φ)} R3: E =
π
4
⋅ m − (ha * +c *) ⋅ m ⋅ tan α − ρ f * ⋅m ⋅ tan α −
ρ f * ⋅m
cos α
R4: H = (ha * + c *) ⋅ m − ρ f * − x ⋅ m R2: β b
= sen −1 (sen β ⋅ cosα )
R1: z v
=
z
cos β b 2 ⋅ cos β R5: xT = −(0,5 ⋅ m ⋅ z v ⋅ φ + E ) ⋅ cosφ + (0,5 ⋅ m ⋅ z v − H ) ⋅ senφ R6: yT = (0,5 ⋅ m ⋅ z v ⋅ φ + E ) ⋅ senφ + (0,5 ⋅ m ⋅ z v − H ) ⋅ cos φ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ * ⎢ (0,5 ⋅ z v ⋅ m ⋅ φ + E ) + H ⋅ tan φ ⎥ ρ f ⋅ m R7: x M = xT − ⎢ ⋅ ⎥ 2 H z m E − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ( ) 0 , 5 tan φ φ ⎢ v ⎛ (0,5 ⋅ z v ⋅ m ⋅ φ + E ) + H ⋅ tan φ ⎞ ⎥ ⎟⎟ ⎥ 1 − ⎜⎜ ⎢ H z m E + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ( ) 0 , 5 tan φ φ ⎢⎣ v ⎝ ⎠ ⎥⎦ R8:
y M = yT −
y M = yT +
ρ * f ⋅ m
⎛ (0,5 ⋅ z v ⋅ m ⋅ φ + E ) + H ⋅ tan φ ⎞ ⎟⎟ 1 − ⎜⎜ ( ) H z m φ E φ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ 0 , 5 tan v ⎝ ⎠
2
ρ * f ⋅ m
⎛ (0,5 ⋅ z v ⋅ m ⋅ φ + E ) + H ⋅ tan φ ⎞ ⎟⎟ 1 − ⎜⎜ H z m E ( ) φ φ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ 0 , 5 tan v ⎝ ⎠
2
⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ = x M ⋅ cos⎜⎜ ⎟⎟ + y M ⋅ sen⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ z v ⎠ ⎝ z v ⎠ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ R10: y (φ ) = − x M ⋅ sen⎜⎜ ⎟⎟ + y M ⋅ cos⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ z v ⎠ ⎝ z v ⎠ R9: x(φ )
28
; si
(0,5 ⋅ zv ⋅ m ⋅ φ + E ) + H ⋅ tan φ ≥0 H − (0,5 ⋅ z v ⋅ m ⋅ φ + E ) ⋅ tan φ
; si
(0,5 ⋅ zv ⋅ m ⋅ φ + E ) + H ⋅ tan φ <0 H − (0,5 ⋅ z v ⋅ m ⋅ φ + E ) ⋅ tan φ
29
PROBLEMA 1 Determine que tipo de corrección en ángulo requiere un engranaje cilíndrico de dientes helicoidales, en el caso de tres distancias de montajes entre los centros de las ruedas Caso a) aw = 150,26mm Caso b) aw = 143,38mm Caso c) aw = 145,97mm De las ruedas se conoce: Número de dientes del piñón: z 1 = 17 Número de dientes de la rueda z 2 = 30 Módulo m = 6 Ángulo de inclinación de los dientes a la circunferencia de referencia β = 15º SOLUCIÓN. La fabricación de ruedas con dentado corregido no es más compleja y costosa que las ruedas no corregidas. Se fabrican en la misma máquina herramienta que las empleadas para ruedas dentadas sin corrección, la diferencia en su elaboración consiste en que los semiproductos exigidos se hacen con diferentes diámetros. Es particularmente interesante, en el procedimiento de fabricación de ruedas dentadas por el método de generación, la posibilidad de permitir el tallado de ruedas dentadas con corrección de los flancos de dientes, mediante el conveniente desplazamiento de la herramienta generadora con relación a la posición de referencia que se establece entre la rueda tallada y la recta de módulo en la herramienta empleada. Los parámetros principales para evaluar la corrección del dentado son los coeficientes de corrección, que cuantifican el desplazamiento absoluto de la herramienta Δabs con relación al módulo m: x1
=
Δ abs1 m
y
x2
=
Δ abs 2 m
.
Fig. – Diferentes posiciones de la línea de módulo y la circunferencia de referencia al finalizar el tallado por generación: a) Rueda tallada sin corrección, b) Rueda tallada con corrección negativa, c) Rueda tallada con corrección positiva. En el caso del engranaje se define la corrección sumaria como: xΣ = x1 + x2 Para el engranaje (dos ruedas en engrane), es considerada una corrección positiva en ángulo cuando la corrección sumaria es mayor que cero ( x Σ > 0) y en caso de una corrección sumaria menor que cero ( x Σ < 0) se define que es una corrección negativa en ángulo. Para una corrección sumaria nula (x Σ = 0) pueden ocurrir dos condiciones, una de ellas es el caso de ruedas sin corrección ( x 1 = x 2 = 0 ) y el otro caso definido para una corrección en altura de los dientes ( x 1 = − x 2 ). Es importante distinguir que en las correcciones en ángulo las magnitudes de la distancia de montaje entre ejes de las ruedas y el propio ángulo de engranaje son 30
diferentes a las que presentaría el engranaje de ruedas con dientes sin corrección. En caso de no existir corrección en ángulo las mencionadas magnitudes se mantienen iguales. Conociendo lo antes expuesto, para el problema dado, la solución es simple. Así solo se necesita comparar las distancias entre centros de los 3 casos en referencia normal con la distancia de montaje que se requiere para definirle tipo de corrección que requiere cada caso. Con los datos que se dispone, para un engranaje sin corrección en ángulo la distancia entre centros debe ser:
a=
m ⋅ (z1 + z 2 ) 6 ⋅ (17 + 30) = = 145,97 mm 2 ⋅ cos β 2 ⋅ cos15 o
Respuesta: Así se tiene que: Caso a) aw = 150,26mm > a = 145,97mm Requiere un engranaje con corrección positiva en ángulo. Caso b) aw = 143,38mm < a = 145,97mm Requiere un engranaje con corrección negativa en ángulo Caso c) aw = 145,97mm = a = 145,97mm Admite corrección en altura de los dientes o un engranaje con ruedas dentadas sin corrección
PROBLEMA 2 Se requiere realizar una propuesta de un engranaje cilíndrico de dientes rectos con contacto exterior que garantice una distancia interaxial de 108 mm y una razón de transmisión cinemática exacta de 1,88. Para el tallado de las ruedas solo se dispone de máquinas fresadoras que no permiten elaborar dientes con corrección pero con posibilidades de emplear fresas de disco con módulos normalizados según ISO 54-77. ¿Será posible más de una variante geométrica en la cual no ocurra el socavado del pie de los dientes durante su tallado? Recomienda alguna solución. SOLUCIÓN. Aunque existen diversos métodos de elaboración de las ruedas dentadas, la mayoría de ellos pueden ser agrupados en el Método de Copia o en el Método de Generación. En particular, para el problema se refiere el método de copia con un tallado en máquina fresadora con empleo de una fresa de módulo que elabora el espacio entre dientes de la rueda como una copia fiel del perfil cortante de la herramienta (ver siguiente figura)
31
Fig. Elaboración de una rueda dentada por el método de copia. El método de tallado con fresa de disco no permite la elaboración de ruedas dentadas con dientes corregidos en su flanco, pues la corrección implicaría una modificación modificación de la forma del perfil del diente y por consiguiente se necesitaría una herramienta con el perfil cortante previamente modificado. En cambio, a favor del tallado con fresa de modulo se puede mencionar la flexibilidad de procedimiento de tallado y el menor costo de adquisición de las máquinas herramientas necesarias para fabricar las ruedas con arranque de virutas, lo que ha promovido la disponibilidad de estas máquinas en los talleres mecánicos con un amplio margen de posibilidades de trabajos de maquinado. Este método tiene como deficiencia su poca productividad, la necesidad de una gran cantidad de herramientas de corte y su inexactitud, pues generalmente se tallan ruedas con igual módulo pero diferentes números de dientes con una fresa. Realmente, incluso para fabricar ruedas dentadas con modulo idéntico se exige una herramienta distinta para cada numero concreto de dientes. Esto se debe a que los huecos interdentales de dos ruedas de un mismo modulo, pero con diferente número de dientes, son también diferentes. Comúnmente, se exigen ruedas de diferentes módulos y número de dientes, por lo que la cantidad de fresas de módulo necesarias crecería desmesuradamente. Generalmente en la fabricación de ruedas con el método de copiado por fresa de modulo se recurre a cierta inexactitud y se admite tallar con una misma fresa de modulo no solo la rueda para el cual coincide su espacio interdental (en dependencia del número de dientes y ángulo de presión del flanco), sino además ruedas con un número de dientes cercanos a este. Frecuentemente, se usa un juego de 8 fresas para cada modulo, correspondiendo la fresa 1 para tallar ruedas con un número de dientes z = 12 y 13; la fresa 2 para los números de dientes z = 14, 15 y 16; la fresa 3 para z = 17 …20, la fresa 4 para z = 21 …26; la fresa 5 para z = 26 … 34, la fresa 6 para z = 35 ..54; la fresa 7 para z = 55 … 134 y la fresa 8 para z = 135 y más (incluyendo cremalleras). En ocasiones, para lograr mayor precisión, se emplean juegos de fresas de modulo compuestos por 15 o 28 fresas. Las fresas de módulos están normalizadas, y por esto permiten tallar solo ruedas sin corrección de su flanco. En el problema que se presenta se declara que los módulos de las fresas responden con la norma ISO 54-77, de manera que se disponen de los siguientes datos: Módulos recomendados en la norma internacional ISO 54-77 : 1 ; 1,25 ; 1,5 ; 2 ; 2,5 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 16 ; 20 ; 25 mm . Geometría de la herramienta de cremallera de referencia: ángulo de flanco α = 20 ° , factor de altura de la cabeza del diente ha* = 1 y factor de holgura radial c* = 0,25. Por otro lado, el socavado del pie de los dientes, también conocido como penetración del perfil de cabeza de la herramienta de corte o interferencia de tallado, es un fenómeno que puede presentarse en la generación de engranajes de perfil de evolvente con números de dientes 32
reducidos. El resultado, es un diente debilitado en su base, y por tanto con menor capacidad de transmisión desde el punto de vista de la resistencia a la flexión.
Fig. – Esquema del tallado por generación. En este caso, ruedas con número pequeño de dientes, muestran el efecto del socavado en fondo del diente en proceso de generación. Para evitar el socavado en ruedas con un pequeño número de dientes se hace uso de las correcciones positivas (desplazamiento de alejamiento de las herramientas de generación con relación al semiproducto). En el caso de ruedas donde no puedan ser aplicadas las correcciones, tal y como el presentado en el problema, el socavado se evita garantizando un número de dientes mayor que el mínimo para la ocurrencia de la interferencia en el pie del diente. Calculando el número de dientes mínimo para evitar el socavado: Considerando: Ruedas de diente recto ⇒ β = 0 Sin coeficiente de corrección ⇒ x = 0 Ángulo de presión ⇒ α = 20º Factor de altura del diente ⇒ ha* = 1
2 ⋅ h a * − x )⋅ cos 3 β 2 ⋅ (1 − 0) ⋅ cos 3 0 = z≥ =17,097 sen 2 α sen 2 20 o
Se establece que las ruedas tendrán un número de dientes mayor o igual que z = 17 de manera que no ocurra el socavado en los dientes. Un completamiento de la geometría del engranaje necesita la definición del número de dientes y módulo de las ruedas conjugadas, y además una precisión de la distancia entre centros de montaje, que ante exigencia de una razón de transmisión exacta hacen del problema algo más que una simple selección de parámetros geométricos. En este sentido, se hace necesario un análisis de la interrelación de los parámetros esenciales de la geometría del engranaje. Para un engranaje con una suma de las correcciones igual a cero ( x 1 + x 2 = 0 ), que puede cumplirse en los casos de x 1 = x 2 = 0 (ruedas normales) o x 1 = − x 2 (corrección en altura de los dientes), se cumple que:
aw = a =
m ⋅ (z1 + z 2 ) 2 ⋅ cos β
La anterior fórmula permite buscar la combinación necesario que garantice las condiciones de una distancia interaxial dada y una razón de transmisión cinemática exacta (u = z 2 / z1) con interrelación del número de dientes, modulo y ángulo de inclinación de los dientes.
33
Resultados para diferentes módulos y a w = 108mm, β = 0, u = 1,88 m 1 1,25 1,5 2 2,5 3 4
según ISO 54-77
z1 =
2⋅a m ⋅ (1 + u )
75
60
141 112,8 A R Nota: A = aceptable , B = rechazado z2 Nota
5
50
37,5
30
25
18,7
15
94 A
R
56,4 R
47 A
R
28,2 R
Respuesta: Son al menos aceptables 3 variantes geométricas, identificadas en la anterior tabla, que garantizan una razón de transmisión exacta de u = 1,88 y una distancia entre ejes de ruedas de aw = 108mm, β = 0.
PROBLEMA 3 Se conocen, de una transmisión por engranaje de ruedas cilíndricas con contacto exterior y ejes paralelos, los siguientes datos de su geometría: Número de dientes del piñón: z 1 = 13 Número de dientes de la rueda z 2 = 33 Módulo m = 5 Ángulo de inclinación de los dientes a la circunferencia de referencia β = 10º Parámetros de la herramienta de generación: • ángulo de flanco α = 20° • factor de altura de la cabeza del diente ha* = 1 • factor de holgura radial c* = 0,25. a) Se requiere calcular el coeficiente de corrección mínimo necesario para evitar el socavado de las bases de los dientes del piñón. b) Calcular la distancia interaxial conociendo que la rueda de 33 dientes será tallada sin corrección y en el piñón será elaborado con la corrección establecida en el anterior inciso. SOLUCIÓN. La respuesta al primer inciso es de fácil determinación una vez conocida la fórmula para evaluar el coeficiente de corrección mínimo para evitar el socavado del fondo del diente. Calculando el coeficiente de corrección mínimo para evitar socavado del fondo del diente: Considerando: Ángulo de la hélice del diente ⇒ β = 10º Número de dientes ⇒ z = 13 Ángulo de presión ⇒ α = 20º Factor de altura del diente ⇒ ha* = 1
z ⋅ sen 2 α x ≥ ha − 2 ⋅ cos 3 β 13 ⋅ sen 2 20 = 0 , 20 x =1− 2 ⋅ cos 3 10 *
o
o
Respuesta de inciso a) x1 ≥ 0,20
34
Evaluar la distancia entre centros de montaje con los coeficientes de corrección definidos para las ruedas dentadas requiere cálculos adicionales que serán declarados paso a paso en la siguiente tabla.
Calculando la distancia interaxial para valores de coeficientes de corrección dados. Considerando los siguiente datos de partida: Ángulo de la hélice del diente ⇒ β = 10º Número de dientes ⇒ z = 13 Ángulo de presión ⇒ α = 20º Factor de altura del diente ⇒ ha* = 1 Coeficiente de corrección en piñón ⇒ x1 = 0,2 Coeficiente de corrección en rueda ⇒ x2 = 0 Distancia interaxial normal (sin corrección) Corrección en ángulo. Ángulo de engranaje en plano transversal sin corrección. Involuta del ángulo de engranaje en plano transversal con corrección
m ⋅ (z1 + z 2 ) 5 ⋅ (13 + 33) = = 116,77 mm 2 ⋅ cos β 2 ⋅ cos10 x Σ = x 1 + x 2 = 0,2 + 0 = 0,2 ⎛ tan 20 ⎞ ⎛ tan α ⎞ ⎟⎟ = 20,28 ⎟⎟ = tan −1⎜⎜ α t = tan −1⎜⎜ cos β cos 10 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 ⋅ x Σ ⋅ tan α invα wt = invα t + z1 + z 2 2 ⋅ 0,2 ⋅ tan 20 invα wt = inv20,28 + 13 + 33 invα wt = 0,01872 invα wt = tan α wt − α wt αwt 20º 0,01490 22º 0,02005 21,5º 0,01806 21,55º 0,01880 21,52º 0,01872 a=
o
o
o
o
o
o
Determinación del ángulo de engranaje en plano transversal con corrección mediante evaluaciones y aproximaciones sucesivas por tanteo del propio ángulo.
Ángulo de engranaje en plano transversal con corrección. Cálculo de la distancia interaxial con corrección en ángulo conocida.
αwt = 21,52 a w = a⋅
cos α t
cos α wt cos 20,28 = 117,74 mm a w = 116,77 ⋅ cos 21,52 Respuesta de inciso b) aw = 117, 74 mm o
o
PROBLEMA 4 Calcule los parámetros geométricos fundamentales de las ruedas en un engranaje cilíndrico de dientes helicoidales con contacto exterior y ejes paralelos (módulo, número de dientes, ángulo de inclinación de la hélice de los dientes y coeficientes de corrección). Se conocen, los siguientes datos de su geometría: Número de dientes del piñón: z 1 = 18 Número de dientes de la rueda z 2 = 54 Distancia interaxial de montaje = 152.0
35
Parámetros de la herramienta de generación: • ángulo de flanco α = 20° • factor de altura de la cabeza del diente ha* = 1 • factor de holgura radial c* = 0,25. Realice los cálculos para un primer caso (solución A) sin efectuar corrección en ángulo en el engranaje (xΣ = 0), y posteriormente realizar los cálculos necesarios para un segundo caso (solución B) con corrección en ángulo positiva (x Σ > 0). SOLUCIÓN. En el caso de la solución A, correspondiente a un engranaje cilíndrico de dientes helicoidales con contacto exterior y ejes paralelos sin corrección de los flancos de los dientes de las ruedas, se garantizará la correcta interrelación de los parámetros geométricos del engranaje con una conveniente orientación de los valores del módulo ( m) y el ángulo de inclinación de la generatriz de los dientes ( β). Caso B. Calculando los parámetros geométricos fundamentales del engranaje cilíndrico Considerando: Número de dientes en piñón ⇒ z1 = 18 Número de dientes en rueda ⇒ z2 = 54 Distancia interaxial ⇒ aw = 152mm (se considera a = a w en caso de sin corrección)
2⋅aw 2 ⋅ 152 = = 4,22 Evaluando un módulo tentativo z1 + z 2 18 + 54 Normalizando módulo según ISO 54-77 m = 4 (Redondeado por defecto) defecto) Calculando el ángulo de inclinación de la −1 ⎡ m ⋅ (z 1 + z 2 ) ⎤ −1 ⎡ 4 ⋅ (18 + 54 ) ⎤ β = = cos cos generatriz de los dientes. ⎢⎣ 2 ⋅ a ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⋅ 152 ⎥⎦ β = 18,76 m≈
o
Respuesta para caso Solución A = Módulo del engranaje engranaje m = 4 Número de dientes en piñón ⇒ z1 = 18 Número de dientes en rueda ⇒ z2 = 54 Ángulo de la hélice del diente = 18,76º Coeficiente de corrección en piñón ⇒ x1 = 0 Coeficiente de corrección en rueda ⇒ x2 = 0
En el caso de la solución B, correspondiente a un engranaje cilíndrico de dientes helicoidales con contacto exterior y ejes paralelos con corrección de los flancos de los dientes de las ruedas, se garantizará la correcta interrelación de los parámetros geométricos del engranaje con una adecuada corrección de los flancos y el establecimiento de los valores del módulo ( m) y el ángulo de inclinación de la generatriz de los dientes ( β ). ). Un análisis del anterior engranaje permite redefinir un ángulo de hélice menor, con el objetivo de disminuir la generación de las cargas axiales en el contacto, y aceptar el módulo como valor satisfactorio. Para la solución que se brindará se empleara un engranaje con ángulo de inclinación de la generatriz de los dientes de β = 12º .
36
Caso B. Calculando los parámetros geométricos fundamentales del engranaje cilíndrico Considerando: Número de dientes en piñón ⇒ z1 = 18 Número de dientes en rueda ⇒ z2 = 54 Módulo del engranaje ⇒m = 4 Ángulo de la hélice del diente ⇒ β = 12º Distancia interaxial ⇒ aw = 152mm Ángulo de presión ⇒ α = 20º Factor de altura del diente ⇒ ha* = 1 Factor de holgura radial ⇒ c* = 0,25. m ⋅ (z1 + z 2 ) 4 ⋅ (18 + 54) a= = = 147,22 mm Distancia interaxial normal (sin corrección) 2 ⋅ cos β 2 ⋅ cos12 Ángulo de engranaje en plano transversal sin ⎛ tan 20 ⎞ ⎛ tan α ⎞ ⎟⎟ = 20,41 ⎟⎟ = tan −1 ⎜⎜ α t = tan −1 ⎜⎜ corrección. ⎝ cos β ⎠ ⎝ cos12 ⎠ o
o
o
o
Ángulo de engranaje en plano transversal con corrección.
⎛ a ⋅ cos α t ⎞ ⎟⎟ α wt = cos −1 ⎜⎜ a w ⎝ ⎠ 147,22 ⋅ cos 20,41 ⎞ α wt = cos −1 ⎛ ⎜ ⎟ = 24,80 152 ⎝ ⎠ invα = tan α − α = tan 20,41 − 20,41 ⋅ π o
o
o
t
Funciones involutas de los ángulos de engranaje.
t
t
180
o
invα t = 0,01587 invα wt = tan α wt − α wt = tan 24,80 − 24,80 ⋅ π o
o
Suma de las correcciones
invα wt = 0,02922 (invα wt − invα t ) x Σ = x1 + x 2 =
xΣ = Distribuyendo los coeficientes de corrección según criterio de FZG.
x1 =
2 ⋅ tanα
(0,02922 − 0,01587) 2 ⋅ tan 20 xΣ u +1
+
o
180
⋅ ( z1 + z 2 )
⋅ (18 + 54) = 1,32
u −1 u + 1 + 0,4 ⋅ z 2
1,32 3 −1 + = 0,41 3 + 1 3 + 1 + 0,4 ⋅ 54 x 2 = x Σ − x 1 = 1,32 − 0,41 = 0,91
x1 =
Respuesta para caso Solución B = Módulo del engranaje m = 4 Número de dientes en piñón ⇒ z1 = 18 Número de dientes en rueda ⇒ z2 = 54 Ángulo de la hélice del diente = 12º Coeficiente de corrección en piñón x1 = 0,41 Coeficiente de corrección en rueda x2 = 0,91
37
o
PROBLEMA 5 Realizar el completeamiento de la geometría de un engranaje de ruedas cilíndricas con contacto exterior y ejes paralelos a partir de los siguientes datos: Número de dientes del piñón: z 1 = 18 Número de dientes de la rueda z 2 = 54 Módulo m = 4 Ángulo de inclinación de los dientes a la circunferencia de referencia β = 12º Ancho de engranaje b w = 66,5mm Parámetros de la herramienta de generación: • ángulo de flanco α = 20° • factor de altura de la cabeza del diente ha* = 1 • factor de holgura radial c* = 0,25. Coeficiente de corrección en piñón x 1 = 0,41 Coeficiente de corrección en rueda x 2 = 0,91 Ángulo de engranaje en plano transversal sin corrección αt = 20,41º Ángulo de engranaje en plano transversal sin corrección αwt = 24,80º
SOLUCIÓN. El completamiento de la geometría será efectuado paso a paso, según se muestra en la siguiente tabla. Cálculo de la geometría de un engranaje de ruedas cilíndricas con contacto exterior y ejes paralelos. Datos de partida: Número de dientes del piñón: z 1 = 18 Número de dientes de la rueda z 2 = 54 Módulo m = 4 Ángulo de inclinación de los dientes a la circunferencia de referencia β = 12º Parámetros de la herramienta de generación: • ángulo de flanco α = 20° • factor de altura de la cabeza del diente ha* = 1 • factor de holgura radial c* = 0,25. Coeficiente de corrección en piñón x 1 = 0,41 Coeficiente de corrección en rueda x 2 = 0,91 Ángulo de engranaje en plano transversal sin corrección αt = 20,41º Ángulo de engranaje en plano transversal sin corrección αwt = 24,80º Diámetro de referencia:
d = m ⋅ z / cos β d 1 = 4 ⋅ 18 / cos12 = 73,6mm d 2 = 4 ⋅ 54 / cos 12 = 220,8mm o
o
Diámetro de fondo:
Diámetro de cresta:
d f = d − 2 ⋅ m ⋅ (h a * + c* − x d f 1 = 73,6 − 2 ⋅ 4 ⋅ (1 + 0,25 − 0,41) = 66,9mm d f 2 = 220,8 − 2 ⋅ 4 ⋅ (1 + 0,25 − 0,91) = 218,1mm da1,2 = 2 ⋅ a w − df 2,1 − 2 ⋅ c* ⋅ m
da1 = 2 ⋅152− 218,1− 2 ⋅ 0,25⋅ 4 = 83,9mm da 2 = 2 ⋅152− 66,9 − 2 ⋅ 0,25⋅ 4 = 235,1mm Diámetro básico:
db
= d ⋅ cos α t
d b1 = 73,6 ⋅ cos 20,41 = 69,0mm
38
d b 2 = 220,8 ⋅ cos 20,41 = 207,0mm Altura del diente:
Coeficiente de recubrimiento transversal
h = 0,5 ⋅ (d a − d f ) h 1 = 0,5 ⋅ (83,9 − 66,9) = 8,5mm h 2 = 0,5 ⋅ (235,1 − 218,1) = 8,5mm ⎡ 0 ,5 ⋅ ⎢ d a 1 2 − d b 1 2 + ⎣ ε =
)
(
α
m
εα =
0 ,5 ⋅
(d a 2 2 − d b 2 2 ) ⎤⎥⎦ − a w ⋅ sen α wt
⎛ cos α t ⋅ π ⋅ ⎜⎜ ⎝ cos β
(83 ,9 2 − 69 2 ) + (235 ,1 2 − 207 2 ) − 152 ⋅ sen ⎛ cos 20 , 41 4 ⋅ π ⋅ ⎜⎜ ⎝ cos 12 o
Coeficiente de recubrimiento axial:
⎞ ⎟⎟ ⎠
o
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
24 ,80
o
= 1,315
Debido a la inexactitud de los montajes y errores de paso en la fabricación de las ruedas, y también a consecuencia del desgaste de los dientes, el coeficiente de recubrimiento transversal puede llegar a ser menor en la práctica, por ello es recomendable garantizar valores de εα ≥ 1,05 …1,1. bw ⋅ senβ 66,5 ⋅ sen 12 εβ = = = 1,1 m⋅π 4⋅π Tomando en consideración errores de fabricación, no siempre el contacto de los dientes puede tener lugar en toda la longitud del diente y por tanto el efecto favorable de los dientes helicoidales no aparece por completo. Para excluir este efecto desfavorable, se prevé el valor de εβ ≥ 1,25. o
Adicionalmente, debe ser considerado incluir en el completamiento geométrico el cálculo de los parámetros de control de los flancos (longitud de la tangente base (normal común) medida sobre k dientes, espesor de dientes y medida sobre rodillos), el desarrollo del plano de las ruedas dentadas y el establecimiento de las tolerancias de dimensiones, forma y posición.
PROBLEMA 6 Tomando como referencia un engranaje de ruedas cilíndricas con dientes rectos, contacto exterior y ejes paralelos representar sobre un segmento de referencia la magnitud de la línea práctica de engranaje y en dimensión proporcional los sectores donde se produce el engranaje de uno y dos pares de dientes sobre la línea práctica que contiene el lugar geométrico de contacto de los dientes. Se dispone de los siguientes datos: Módulo m = 5 Ángulo de flanco de la herramienta generadora α = 20° Coeficiente de recubrimiento ε = 1,247 SOLUCIÓN. El ccoeficiente de recubrimiento es un parámetro adimensional que permite evaluar, desde un punto de vista teórico, la continuidad del movimiento en el engranaje. Se define como la relación entre la línea práctica de engranaje (lab)y el paso transversal medido en la circunferencia circunferencia básica (pb). ( pb). Vea las siguientes figuras.
39
Un desarrollo de la línea práctica de engranaje permitirá dar respuesta a las longitudes de los segmentos correspondientes a las zonas de 1 y 2 pares de dientes engranados en el momento de la transmisión del movimiento.
En la posición 1 inicia entra en engranaje un nuevo par de dientes y estará acompañado por el par que se ubica en la posición 3. El nuevo par en contacto se desplaza desplaza acompañado por el otro par hasta que este sale y el par analizado se ubica en la posición 2. Ahora el par se desplaza solo desde la posición 2 hasta la 3 en que nuevamente entra otro par en la posición 1 y así se repite el ciclo. Por consiguiente, existe una zona central en la línea práctica de engranaje solo hace contacto un par de dientes y es la zona de mayor carga en los pares de dientes, pues ellos solo deben de trasmitir la carga del engranaje sin compañía de otro par de dientes. El anterior análisis permite evaluar las longitudes de los segmentos correspondientes a las zonas de 1 y 2 pares engranados sobre la línea práctica. Así:
40
Cálculos para evaluar % del contacto monopar y bipar sobre la línea práctica de engranaje. Considerando:
Módulo m = 5 Ángulo de flanco de la herramienta generadora α = 20° Coeficiente de recubrimiento ε = 1,247
Paso básico: Longitud de la línea práctica : Longitud de los segmentos con 2 pares engranados
p b = m ⋅ π ⋅ cos α = 5 ⋅ π ⋅ cos 20 = 14,76mm lab = p b ⋅ ε = 14,76 ⋅ 1,247 = 18,40mm 2 ⋅ (ε ⋅ p b − p b ) = 2 ⋅ p b ⋅ (ε − 1) 2 ⋅ p b ⋅ (ε − 1) = 2 ⋅ 12,76 ⋅ (1,247 − 1) = 7,29mm Longitud del segmento con 1 par engranado ε ⋅ p b − 2 ⋅ p b ⋅ (ε − 1) = p b ⋅ (2 − ε) p b ⋅ (2 − ε ) = 14,76 ⋅ (2 − 1,247) = 11,11 % de utilización del contacto monopar en la 11,11 ⋅100% = 60,4% línea práctica de engranaje: 18,40 % de utilización del contacto bipar en la 7,29 ⋅100% = 39,6% línea práctica de engranaje: 18,40 o
PROBLEMA 7 Tomando como referencia un engranaje de ruedas cilíndricas con dientes rectos, contacto exterior y ejes paralelos, calcular la longitud sumaria de contacto (total teórica producto del engranaje de uno y más pares en contacto). Se dispone de los siguientes datos: Coeficiente de recubrimiento ε = 1,247 Ancho de engranaje b w = 50mm SOLUCIÓN. Para engranajes de ruedas cilíndricas con dientes rectos, contacto exterior y ejes paralelos se plantea en ISO 6336-2 que la longitud sumaria de contacto puede ser calculada según la siguiente fórmula:
lΣ =
3 ⋅ b w 3 ⋅ 50 == = 54,48mm 4 − εα 4 − 1,247
Es interesante reconocer que, contrario a lo que pueda pensarse, la longitud sumaria de contacto l Σ no corresponde con el ancho de un par de dientes (caso del contacto monopar) ni dos pares de dientes (caso del contacto bipar) como pudiera pensarse. Este resultado se explica conociendo que la longitud sumaria de contacto es un arreglo matemático que permite considerar como zona de análisis para los esfuerzos de contacto el polo o donde inicia el engrane monopar, pero con una modificación de la longitud efectiva de aplicación de la carga distribuida en el flanco del diente para tomar en cuenta que la carga se distribuye en el plano frontal según los pares de dientes engranados y la rigidez del par en contacto. Un análisis del comportamiento de la relación l Σ / bw en función del coeficiente de recubrimiento permite entender mejor estos resultados. resultados. 1,6 b / 1,4 l a t o 1,2 t l 1 1
1,2
1,4
1,6
coef. recubrimiento
41
1,8
2
