DETERMINACIÓN DE UN PLANO Se determina por: a) Tres punt puntos os no coli olinea neales. les. (Postulado del plano.) B C
A
b) Una recta y un punto exterior a ella. C A B
c)
Dos rectas secantes.
L1
L2 L1
d) Dos rectas paralelas. L1 // L2
A L2
POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS I. DE DOS PLANOS: a) Paralelos: No se intersecan . P // Q
b) Secantes: Se intersecan en una recta.
B
P Q = AB
A
II. DE RECTA Y PLANO: a) Paralelos: No se intersecan.
L1
L1 // P L1
b) Secantes: Se intersecan en un punto, A
llamado “pie de la recta en el plano”.
L1
P =
{A}
c) Recta contenida en el plano: Cuando la recta tiene todos sus puntos contenidos en el plano. A B L1 P L1
III. DE DOS RECTAS: a) Paralelas : Son coplanarias y no se intersecan. L1 // L2
L1
L2
L1 b) Secantes : Se intersecan en un punto. L1 L2 = {A}
A
c) Cruzadas: No se intersecan y no están contenidas en un mismo plano. La distancia mínima entre ellas, es la longitud del segmento perpendicular común.
L1 d L2
L2
TEOREMA DE THALES Tres o más planos paralelos, determinan en dos rectas secantes a ellos, segmentos proporcionales. L1 A B C
L2
Si
P // Q // R
AB
A’B’
A’ B’ C’
BC
=
B’C’
RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO Si la recta L es secante al plano P y perpendicular por lo menos a dos rectas secantes contenidas en el plano P, entonces: L P
L
O
PROYECCIONES A
De un punto sobre un plano: Es el pie del segmento perpendicular al plano, trazado desde dicho punto De una recta sobre un plano: Es el conjunto de las proyecciones de todos los puntos de la recta sobre dicho plano
A’
A B L 1
A’
B’
ÁNGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO: Es el que determina la recta con su proyección sobre ese plano.
L
es la medida del ángulo entre la recta L y el plano P
O
es la medida del menor ángulo que forma L con cualquier recta contenida en P , que pasa por O.
ÁNGULO ENTRE RECTAS QUE SE CRUZAN El ángulo entre dos rectas que se cruzan es aquel formado por una de ellas y cualquier paralela a la otra.
L1 O
L3 L2
es el ángulo con que se cruzan L1 y L2. Por O se trazó L3 // L2 y luego se midió .
TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES Si por el pie de una perpendicular a un plano trazamos otra perpendicular a una recta contenida en el plano, todo segmento que una el punto de intersección de estas dos últimas con un punto cualquiera de la perpendicular al plano, será perpendicular a la recta contenida en el plano.
R O
L1
90º H
L2
L1 OH
P
HR
L2
L2
VERDADERO (V) O FALSO (F)
1. 2. 3. 4.
Dos rectas determinan un plano. Tres puntos determinan un plano. Una recta y un punto, determinan un plano. Dos rectas que no se intersecan son paralelas.
5. Dos rectas paralelas a una tercera, son paralelas entre sí. 6. Dos rectas paralelas al mismo plano, son paralelas entre sí. 7. Dos rectas perpendiculares al mismo plano, son paralelas entre sí. 8. Dos planos paralelos a una misma recta, son paralelos entre sí.
9. Dos planos paralelos a un tercer plano, son paralelos entre sí. 10. Dos planos perpendiculares a un tercero, son paralelos entre sí. 11. Toda recta paralela a uno de dos planos paralelos, es paralela al otro. 12. Toda recta perpendicular a uno de dos planos paralelos, es perpendicular al otro plano. 13. Si dos planos son perpendiculares, toda recta contenida en uno de dichos planos es perpendicular al otro plano. 14. Si dos planos son paralelos, toda recta contenida en uno de dichos planos es paralela al otro plano. 15. Si una recta es perpendicular a un plano, será perpendicular a todas las rectas contenidas en dicho plano. 16. Si una recta es paralela a un plano, será paralela a todas las rectas contenidas en dicho plano.
17. Dos rectas perpendiculares a una tercera recta, son paralelas entre sí. 18. Dos planos perpendiculares a una misma recta, son paralelos entre sí. 19. Si una recta r es paralela a otra recta x contenida en un plano P, entonces r // P. 20. Si una recta r es perpendicular a otra x, contenida en un plano P, entonces r es perpendicular a P. 21. Toda recta perpendicular a dos rectas contenidas en un mismo plano, es perpendicular a dicho plano.
22. Por un punto de una recta, solo se puede trazar una recta perpendicular a la primera. 23. Por un punto exterior a una recta, solo se puede trazar una recta perpendicular a la primera. 24. Por un punto exterior a una recta, solo se puede trazar una recta paralela a la primera. 25. Por un punto exterior a un plano, solo se puede trazar una recta paralela a dicho plano. 26.Por un punto exterior a un plano, solo se puede trazar una recta perpendicular a dicho plano. 27.Por un punto exterior a un plano, solo se puede trazar otro plano paralelo al primero.
PROBLEMA. m , n y r , son tres cruzadas, contenidas en planos paralelos. ¿Cuántas rectas x , que sean secantes a las tres anteriores, existen? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Infinitas
PROBLEMA. Por el vértice A, de un triángulo equilátero ABC, se traza AF perpendicular al plano que lo contiene. Si BC = 2 cm y AF = 1 cm, calcular la medida del ángulo de cruce entre las rectas AB y FC. A) 75o
B) 63,5o
C) 71,5o
D) 72,5o
E) 66,5o
