GEOMETRIA I BIM. TRILCE PRIMARIA
LOCUTORIO REN@TRIX CEL :992444616
GEOMETRÍA
Pág Pá g.
å Introducción Introduc ción ................. ............................................ ............................................. .................... ..107 Cartes iano: Par ordenado ordena do ....................... ............................... ........109 å Plano Cartesiano:
å Ampliación y reducción de polígonos .................. ........................ ......113 å Figuras simétricas simétr icas ................. ............................................ ..................................... .......... 115 geométricas ............... ........................ ................ .......119 å Rotación de figuras geométricas
å La recta: rectas paralelas paralela s ........................ .......................................... .................. 121 secan tes............................................ ........................................ ............. 125 å Rectas secantes.................
å
Construyendo un croquis .......... ..................... ..................... .............. .... 129
COLEGIO TRILCE
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GEOMETRÍA
Pág Pá g.
å Introducción Introduc ción ................. ............................................ ............................................. .................... ..107 Cartes iano: Par ordenado ordena do ....................... ............................... ........109 å Plano Cartesiano:
å Ampliación y reducción de polígonos .................. ........................ ......113 å Figuras simétricas simétr icas ................. ............................................ ..................................... .......... 115 geométricas ............... ........................ ................ .......119 å Rotación de figuras geométricas
å La recta: rectas paralelas paralela s ........................ .......................................... .................. 121 secan tes............................................ ........................................ ............. 125 å Rectas secantes.................
å
Construyendo un croquis .......... ..................... ..................... .............. .... 129
COLEGIO TRILCE
Página 2
GEOMETRÍA
La Geometría egipcia se supera en Grecia. La fama de los egipcios en lo que respecta a sus conocimientos geométricos rebasó sus fronteras; los estudiosos de las civilizaciones de aquel entonces se vieron atraídos hacia el escenario mismo de las pirámides y templos, y los inquietos griegos que visitaron Egipto aprendieron toda su ciencia y la llevaron a su país, a esa Grecia de filósofos, artistas y matemáticos. Era inevitable que la Geometría intuitiva, utilitaria de los egipcios, tuviese que sufrir cambios profundos en ese ambiente en el que se buscaba "el saber por el saber mismo". Pronto los filósofos griegos no se sintieron satisfechos por sólo aprender Geometría egipcia, si no que se dedicaron a estudiar las propiedades de las figuras geométricas, las relaciones que entre esas propiedades existían. Se basaban en verdades nuevas ya demostradas para volver a demostrar nuevas verdades, enriqueciendo y superando en mucho a la Geometría que aprendieron de los egipcios. Aquí algunos ejemplos de ilusiones i lusiones ópticas.
R
S
T
U
Los segmentos RS y TU no parecen paralelos ... ¡Pero lo son!
La circunferencia se ve deformada por el triángulo. M
N
El arco AM parece menor que el arco BN por el trazo de su cuerda.
A
COLEGIO TRILCE
B
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GEOMETRÍA
SIMBOLOGÍA GEOMÉTRICA SÍMBOLO
SIGNIFICADO
AB
Recta que pasa por los puntos A y B.
AB
Segmento que tiene como puntos extremos a A y B.
OA
Rayo cuyo punto de origen es O y pasa por A.
AB // CD
Recta AB es paralela a la recta CD.
AB CD
Recta AB es perpendicular a la recta CD. Ángulo ABC, vértice en B.
MN
Arco MN.
m(AB)
Medida del segmento AB.
m AOB
Medida del ángulo AOB.
î ACTIVIDADES: 1.
Enseñar el uso de la regla, escuadras, transportador y compás.
2.
Elaborar con material de papel origami diseños a base de papel cuadrado.
3.
Exponer en lugares visibles del aula los trabajos realizados.
COLEGIO TRILCE
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GEOMETRÍA
Un plano cartesiano es aquel que está determinado por dos rectas numéricas que se intersecan perpendicularmente. Observamos: • Cuatro partes. • Cada parte recibe el nombre de cuadrante. • Los números naturales se presentan en el I cuadrante. Ejemplo:
Representación de un Par Ordenado. Para representar un par ordenado (x,y) en el plano cartesiano, la primera componente corresponde al eje "x" y la segunda componente al eje "y".
¡AHORA, HAZLO TÚ! 1.
Observa el ejemplo y representa los siguientes pares ordenados: A(2;5), B(0;10), C(5;0), D(9;3) y 11 10
B(0;10)
9 8 7 6
A(2;5)
5 4
D(9;3)
3 2 1 0
COLEGIO TRILCE
x
C(5;0) 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11
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GEOMETRÍA
2.
Representa los siguientes conjuntos de pares ordenados en tu cuaderno y luego construye los polígonos correspondientes uniendo los puntos. Observa el ejemplo; en él cada punto representa un vértice.. a.
A(2;5), B(9;3), C(8;10)
b.
D(2;2), E(10;0), F(4;5), G(9;4)
c.
H(0;4), I(6;1), J(9;4), K(6;7)
d.
J(9;7), K(1;7), L(9;3) y 12 11 C(8;10)
10 9 8 7 6 5 A(2;5)
4 3
B(9;3)
2 1
x
0
3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
En los siguientes casos construye la poligonal. a.
P(1;1), Q(2;3), R(4;1), S(5;6), T(7;2), U(9;7)
b.
V(0;0), W(4;6), X(7;4), Y(10;4)
c.
A(1;2), B(2;4), C(3;2), D(4;3), E(5;2), F(6;4), G(7;2), H(10;2)
d.
M(0;1), N(3;7), O(6;4), P(9;3) y 8 7
U S
6 5 4
Q
3 2
T
1 0
COLEGIO TRILCE
R
P 1
2
3
4
x 5
6
7
8
9 10 11 12
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GEOMETRÍA
4. DESAFÍO Los movimientos que realizamos en el plano cartesiano se asemejan a los movimientos que realizamos en un laberinto. Ahora entra a cada laberinto y encuentra la salida.
E
S
E
S
COLEGIO TRILCE
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GEOMETRÍA
Observación: *
Para ampliar un polígono, los elementos de cada par ordenado se multiplican por números diferentes de cero (0).
*
Para reducir polígonos los pares ordenados se dividen entre 2; 3; 4; etc.
¡AHORA, HAZLO TÚ! 1.
Completa las siguientes tablas y luego amplía o reduce el polígono según sea el caso, grafica en tu cuaderno. a.
b.
y
y
G
7
7 S'
6
T'
6
5
5
4
4 S
3
T
2 R 1
2
COLEGIO TRILCE
4
G'
x 5
6
7
8
E
2
U' U
3
H'
3
R'
1 0
H
8
8
9
1 0
E' 1
2
3
F
F' 4
5
x 6
7
8
9 10
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GEOMETRÍA
c.
d.
e.
f.
g.
h.
COLEGIO TRILCE
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GEOMETRÍA
EJE DE SIMETRÍA: Es la línea que divide exactamente una figura en dos partes iguales. Se dice que dos figuras son simétricas, cuando sus puntos están a la misma distancia del eje de simetría. •
Ejemplo 1:
•
Ejemplo 2: (Usando tu compás) Completa la figura sabiendo que es simétrica respecto al eje de simetría.
COLEGIO TRILCE
Página 10
GEOMETRÍA
¡AHORA, HAZLO TÚ! 1.
Completa cada figura sabiendo que es simétrica respecto al eje de simetría.
COLEGIO TRILCE
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GEOMETRÍA
2.
Usando papel lustre: a. Recorta:
b.
•
cuadrados de distintos tamaños
•
rectángulos
•
rombos
• •
romboides otros cuadriláteros como los siguientes:
Imagina, para cada figura, si es posible dividirla en dos partes exactamente iguales haciéndoles un doblez. Anota tus predicciones y luego compruébalas efectuando los dobleces. Por ejemplo:
1er paso
2do paso
Conclusión: Al coincidir los bordes, el doblez representa un eje de simetría.
Marca la línea que se formó al hacer el doblez y escribe su nombre: eje de simetría. c.
Toma cada una de las figuras recortadas y determina , por medio de dobleces todos sus ejes de simetría. ¿Cuántos ejes de simetría tiene un cuadrado? ¿Cómo pueden verificar experimentalmente que no tiene otros ejes de simetría? ¿Cuántos ejes de simetría tiene un rectángulo?
COLEGIO TRILCE
Página 12
GEOMETRÍA
d.
Clasifica los cuadriláteros en aquellos que tienen ejes de simetría y aquellos que no los
tienen. Registra la información dibujándola en una tabla como la siguiente:
Eje de simetría
Cuadriláteros
4 2 1 0
COLEGIO TRILCE
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GEOMETRÍA
USO DEL TRANSPORTADOR Para rotar una figura primero debemos determinar: 1. El vértice de la figura como centro de rotación. 2. Un ángulo de rotación. Ejemplo: Rotar el segmento AB, con centro en "A", en un ángulo de 45º y luego, en uno de 90º. AB : segmento rotante A : centro de rotación 45º y 90º : medida de ángulo de rotación AB' y AB" : segmentos rotados
La figura rotada conserva su forma y su tamaño.
¡AHORA, HAZLO TÚ!
COLEGIO TRILCE
Página 14
GEOMETRÍA 3.
Rota el triángulo PQR en un ángulo de
180º. Centro "P".
4.
90º. Centro "M".
6. 5.
Rota el rectángulo ABCD en un ángulo de
Rota el polígono MNOP en un ángulo de
Rota el triángulo UVW en un ángulo de
30º, cuyo centro es "U".
45º, cuyo centro es "A".
7.
Rota el cuadrado HIJK en un ángulo de
45º. Centro de rotación: el punto "H".
COLEGIO TRILCE
Página 15
GEOMETRÍA
La Recta CONCEPTO: _________________________ ________________________________________ ___________________________ _______________ ___
RECTAS PARALELAS. (Uso del compás) Son rectas que no tienen ningún punto en común.
Notación:
B A
AB D
CD =
AB // CD Lectura: recta AB es paralela a CD
C
CONSTRUCCIÓN: •
Paso 1: Traza un segmento AB de 2 cm. A
•
B
Paso 2: Con la punta de metal en "A" y la punta del lápiz en "B" traza una circunferencia.
•
Paso 4: Finalmente, con la punta de metal en el punto medio "M" de , traza una tercera circunferencia y une con un segmento los puntos de intersección de ésta con las otras dos circunferencias. C
A
B
A
•
D M
B
Paso 3: Ahora, con la punta de metal en "B" y la del lápiz en "A" traza otra circunferencia.
A
COLEGIO TRILCE
E F A B // C D ; A B // E F; C D // E F luego:
B
Página 16
GEOMETRÍA
y
B
E
A
D C
F
-x
x
K
L G
N
H
M J
I
-y
COLEGIO TRILCE
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GEOMETRÍA
5. DESAFÍO En hojas de papel blanco, usando una regla y una escuadra, traza rectas paralelas en distintos sentidos como las siguientes: Formando cuadrados
Formando rombos
Usando estas rectas como base, busca maneras de formar cuadrados y describe el procedimiento usado, enumerando cada paso realizado. Previa a la descripción se realiza una "lluvia de ideas" con palabras y verbos que pueden ayudar a la descripción.
COLEGIO TRILCE
Página 18
GEOMETRÍA
Las rectas SECANTES son aquellas que tienen un punto en común. Ejemplo: A D
O
Rectas
: AB y CD
Punto común : O C
B Se denota
: AB
CD = {O}
Rectas perpendiculares (construcción): •
Paso 1: Traza un segmento RS de 2cm.
•
R
S
Paso 2: R
Con la punta de metal en "R" y la del lápiz en "S" traza una circunferencia.
•
Paso 3: Ahora con la punta de metal en "S" y la del lápiz en "R" traza otra circunferencia.
•
S
R
P
Paso 4: Finalmente, une con un segmento los puntos de intersección de las circunferencias.
S
R
S
Luego:
COLEGIO TRILCE
Página 19
GEOMETRÍA
¡AHORA, HAZLO TÚ! 1.
Construye y denota una recta perpendicular a , donde:
2.
Construye y denota una recta perpendicular a , donde:
3.
Construye y denota una recta perpendicular a , donde:
4.
Nombra (denota) todas las rectas que se observan en los siguientes trazos:
a.
b.
Rpta.: AB; ________________________
c.
HJ; Rpta.: ________________________
d.
Rpta.: ______________
COLEGIO TRILCE
Rpta.: ______________
Página 20
GEOMETRÍA
e.
f.
Rpta.: ______________ g.
Rpta.: ______________ h.
Rpta.: ______________ 2.
Rpta.: ______________
Observa cada par de rectas y escribe si son secantes o paralelas. Luego denótalas.
a.
b.
paralelas: AB // CD
COLEGIO TRILCE
secantes: PQ
AB = {O}
Página 21
GEOMETRÍA
c.
d.
e.
f.
g.
COLEGIO TRILCE
h.
Página 22
GEOMETRÍA
(Uso de escuadras y compás) 1.
Dibuja el CROQUIS del lugar donde vives. a. Ubica tu casa, el camino, casas vecinas, tu escuela y lugares importantes. b. Presenta tu CROQUIS a un grupo de compañeros y compañeras, comparen e intenten incorporar a cada CROQUIS la ubicación de las casas de cada uno de los integrantes del grupo.
2.
Trabajando en parejas, inventar un cuento que ocurre en una ciudad, de manera que para la comprensión de la historia sea necesario elaborar o presentar el CROQUIS de la misma. casa
COLEGIO TRILCE
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GEOMETRIA II BIM. TRILCE PRIMARIA
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GEOMETRÍA
Pág .
å
Segmentos .................................................................101
å
Ángulos ......................................................................107
å
Bisectriz de un ángulo................................................ 113
å
Ángulos complementarios y suplementarios Problemas ..................................................................117
å
Triángulos: existencia y construcción........................123
å
Clasificación de triángulos .........................................127
å
Propiedades de los ángulos ......................................131
å
Cuadriláteros ..................................................... 135
COLEGIO TRILCE
Página 2
GEOMETRÍA
Recordar: Los segmentos son porciones de rectas. Ellos se encuentran en LÍNEAS POLIGONALES y POLÍGONOS. Ejemplo:
Observación: Si dos segmentos tienen igual medida, se dice que son congruentes, y se denota por: "" Ejemplo:
COLEGIO TRILCE
Página 3
GEOMETRÍA
AHORA, HAZLO TÚ 1. Mide cada segmento con ayuda de una regla graduada y luego completa.
m(AB) = ______
m(OP) = ______
m(LM)
m(BC) = ______
m(QR) = ______
m(NO) = ______
m(CD) = ______
m(FG) = ______
m(PQ)
m(DE) = ______
m(GH) = ______
m(RN) = ______
m(KL)
= ______
m(HI)
= ______
m(MJ) = ______
m(JK)
= ______
COLEGIO TRILCE
Página 4
= ______
= ______
GEOMETRÍA
2. Dibuja en tu cuaderno un polígono de cuatro lados donde se observen cuatro segmentos congruentes. Denótalos. 3. Dibuja en tu cuaderno tres segmentos consecutivos sobre una misma línea (colineales), que sean congruentes. Denótalos. 4. Dibuja en tu cuaderno un triángulo donde se observen dos segmentos congruentes. Denótalos. ¿Cuál es el nombre que recibe este triángulo? 5. Traza cuatro segmentos consecutivos en tu cuaderno, colineales congruentes. Denótalos. 6. Observa los datos que se dan en cada figura, luego plantea una ecuación y calcula lo que se pide. a. En la figura:
c. Si "M" es punto medio del segmento AB, halla "x".
b. En la figura:
d. En la figura "M" es punto medio de . Calcula el valor de "x".
Recuerda traer siempre: regla, compás y transportador en las clases de geometría.
COLEGIO TRILCE
Página 5
GEOMETRÍA
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO Es una recta perpendicular (90º) que divide a un segmento en dos partes iguales.
Luego: m(AB) = 10 cm. * m(AO) = m(OB) = 5 cm
PQ recta mediatriz de AB.
AHORA, HAZLO TÚ 1. Traza la mediatriz de los siguientes segmentos. (Usa el compás). a.
b.
c.
d.
COLEGIO TRILCE
Página 6
GEOMETRÍA
2. Traza la mediatriz de cada uno de los lados de los siguientes polígonos. Usa compás.
3. Para cada segmento dado, traza la mediatriz y marca el punto medio de dicho segmento. (Usa compás).
COLEGIO TRILCE
Página 7
GEOMETRÍA
Definición: Es la unión de dos rayos con un origen común llamado vértice. Observación: Dos rectas secantes dividen el plano en cuatro regiones angulares.
Colorea cada región angular de un color diferente.
Luego:
¿Sabes cómo medir los ángulos? Paso 1: Coloca el transportador de manera que el centro coincida con el vértice del ángulo y uno de los lados del ángulo pase por "O°".
Paso 2: Después observa en el transportador el número por el que pasa el otro lado del ángulo. Así habrás encontrado la medida del ángulo.
COLEGIO TRILCE
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GEOMETRÍA
AHORA, HAZLO TÚ 1.
Colorea los lados de los ángulos de azul y los vértices, de rojo.
2. Con ayuda de un transportador mide los siguientes ángulos y luego completa:
COLEGIO TRILCE
Página 9
GEOMETRÍA
3. Prolonga los lados de los ángulos y luego haya sus medidas.
4. Mide los siguientes ángulos y luego completa:
COLEGIO TRILCE
Página 10
GEOMETRÍA
5. Nombra todos los ángulos que observas en las siguientes figuras:
a.
b.
P
COLEGIO TRILCE
Página 11
GEOMETRÍA
6. Mide con el transportador (lo más exactamente posible) los siguientes ángulos:
a.
b.
c.
d.
COLEGIO TRILCE
Página 12
GEOMETRÍA
Si tenemos el ángulo ABC, trazamos el rayo que divide en partes iguales al ABC, entonces este rayo recibe el nombre de BISECTRIZ.
Tenemos: m ABX m XBC Se lee: "Medida del ángulo ABX es congruente a la medida del ángulo XBC". Construcción de la bisectriz
Paso I
Paso II
Paso III
AHORA, HAZLO TÚ 1. Usa el compás para trazar la bisectriz de cada uno de los siguientes ángulos: a.
COLEGIO TRILCE
b.
Página 13
GEOMETRÍA
c.
d.
e.
f.
2. En los siguientes casos, determina el valor de "xº":
a.
COLEGIO TRILCE
b.
Página 14
GEOMETRÍA
c.
d.
e.
f.
COLEGIO TRILCE
Página 15
GEOMETRÍA
TAREA DOMICILIARIA
OM: Bisectriz de AOB. ON: Bisectriz de MOB. OP: Bisectriz de NOB AOB = 120º, hallar POB = _______
1. 2. Traza la bisectriz de los ángulos mostrados en la siguiente figura: Usa regla y compás.
COLEGIO TRILCE
Página 16
GEOMETRÍA
A. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS: Es aquel par de ángulos cuyas medidas suman 90º. A
O
* Como 60º y 30º suman 90º, se les llama ángulos complementarios.
B
* Luego se deduce que el complemento de 60º es 30º (90º - 60º) y viceversa.
AHORA, HAZLO TÚ 1. Calcula el complemento de: •20º = _________ •50º = _________ •60º = _________
• • •
0º = _________ 90º = _________ 80º = _________
2. Si el complemento de un ángulo es 20º, ¿cuál es el ángulo? 3. La medida de un ángulo es 30º. Calcula el doble de su complemento. 4. Calcula "A + B". A = Complemento de 50º. B = Complemento de 60º. 5. Si al complemento de un ángulo se le aumenta 30º, resulta igual al doble del ángulo. Halla dicho ángulo. 6. La diferencia entre el complemento de un ángulo y el mismo ángulo es 50º. Halla dicho ángulo. 7. Calcula "A + B - C". A = Complemento de 20º. B = Complemento de 50º. C = Complemento de 30º. COLEGIO TRILCE
Página 17
GEOMETRÍA
B. ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS Es aquel par de ángulos cuyas medidas suman 180º. C A
B O
* *
Como 120º y 60º suman 180º, se les llaman ángulos suplementarios. Se deduce que el suplemento de 120º es 60º y viceversa. AHORA, HAZLO TÚ
1. Halla el suplemento de: •180º = _________ •120º = _________ •90º = _________
• • •
150º = _________ 80º = _________ 0º = _________
2. Si el suplemento de un ángulo es 100º, ¿cuánto mide el ángulo? 3. Halla "A - B". A = Suplemento de 80º. B = Suplemento de 150º. 4. Si al suplemento de un ángulo se le resta el mismo ángulo, el resultado es 80º. Halla dicho ángulo. 5. El suplemento de un ángulo es igual al doble del mismo ángulo. Halla dicho ángulo. 6. Halla "M + N - R". M = Suplemento de 60º. N = Suplemento de 100º. R = Suplemento de 120º.
COLEGIO TRILCE
Página 18
GEOMETRÍA
PROBLEMAS SOBRE ÁNGULOS 1. Indica el tipo de ángulo en: •
20º
____________________________
•
40º
____________________________
•
90º
____________________________
•
100º
____________________________
•
120º
____________________________
•
150º
____________________________
•
180º
____________________________
2. Calcula el complemento de:
3.
•
20º = _______
•
60º = _______
•
0º = _______
•
70º = _______
•
80º = _______
•
90º = _______
Calcula el suplemento de: •
100º = _______
•
120º = _______
•
130º = _______
•
90º = _______
•
80º = _______
•
110º = _______
4. Indica con una (V) si es verdadero; y con una (F), si es falso, en los siguientes enunciados: •
30º y 60º son complementarios ...............................................(
)
•
100º y 80º son suplementarios ................................................(
)
•
40º; 30º y 20º son complementarios ........................................(
)
• •
100º; 50º y 30º son suplementarios .........................................( 100º y -10º son complementarios ............................................(
) )
COLEGIO TRILCE
Página 19
GEOMETRÍA
5.
El complemento de un ángulo es 60º. ¿Cuánto mide el ángulo?
6. El suplemento de un ángulo es 100º. ¿Cuánto mide el ángulo?
7. Calcula "A + B". A = suplemento de 100º. B = complemento de 50º.
8. Si al complemento de un ángulo se le resta 30º el resultado es el mismo ángulo. Halla dicho ángulo.
9. El complemento de "x" más el suplemento de "x" es 150º. Calcula "x".
COLEGIO TRILCE
Página 20
GEOMETRÍA
10. El complemento de "x" es el doble de "x", halla "x".
11. Calcula el complemento del suplemento de: a. 120º
b. 100º
c. 150º
d. 130º
e. 170º
f.
COLEGIO TRILCE
110º
Página 21
GEOMETRÍA
12. Calcula el complemento del suplemento del suplemento del complemento de 80º.
13. Calcula el suplemento del complemento de 20º más el suplemento del suplemento de 100º.
14. El suplemento de "" menos el complemento de "" es igual al ángulo menos su suplemento. Halla el ángulo.
COLEGIO TRILCE
Página 22
GEOMETRÍA
Si tenemos los siguientes segmentos:
Construimos el triángulo:
2 cm 2 cm
2 cm
2 cm
3 cm 3 cm
Observa que: •
2-2<3<2+2 0<3<4
•
3-2<2<3+2 1<2<5
Propiedad fundamental En todo triángulo se cumple que la medida de uno de sus lados es mayor que la diferencia de los otros dos, pero menor que la suma de esos lados.
AHORA, HAZLO TÚ 1. A continuación se proporciona tres segmentos para cada caso. Verifica aplicando la propiedad si es posible la construcción del triángulo. Si es así constrúyelo. a.
Propiedad
Construcción de la figura
5 cm 5 cm 3 cm
COLEGIO TRILCE
Página 23
GEOMETRÍA
b.
Propiedad
Construcción de la figura
Propiedad
Construcción de la figura
Propiedad
Construcción de la figura
Propiedad
Construcción de la figura
5 cm 3 cm 3 cm
c.
2 cm
2 cm
6 cm
d. 2 cm 7 cm
5 cm
e. 4 cm 4 cm
1 cm
COLEGIO TRILCE
Página 24
GEOMETRÍA
2. Determina cuál es el ángulo mayor y cuál es el lado más largo en cada triángulo. Luego completa las oraciones.
*
En todo triángulo: A la medida del ángulo mayor se opone la medida del lado _______________.
*
En todo triángulo: A la medida del ángulo menor se opone la medida del lado _______________.
COLEGIO TRILCE
Página 25
GEOMETRÍA
TAREA DOMICILIARIA
1. Los siguientes triángulos no necesariamente están correctamente dibujados, pero los datos que se dan son confiables; de acuerdo a esto halla lo que se pide en cada caso: a. El lado mayor _______________
b. El lado menor _______________
c. El lado intermedio en tamaño _____________
COLEGIO TRILCE
Página 26
GEOMETRÍA
Clasificación de triángulos Según la medida de sus lados
1. Clasifica cada triángulo como rectángulo, obtusángulo o acutángulo. Además determina si es equilátero, isósceles o escaleno. Usa regla y transportador para una mejor precisión. a.
a
b.
a a
Equilátero c.
a
d.
a
b Isósceles
b
a c
Escaleno
Según la medida de sus ángulos
Rectángulo
Obtusángulo
2. Dibuja el triángulo indicado, de ser posible; si no, explica en el cuaderno, por qué sucede esto. a. Rectángulo e isósceles
b. Escaleno y rectángulo
c. Escaleno y obtusángulo
d. Acutángulo e isósceles
e. Acutángulo y equilátero
f. Rectángulo y equilátero
Acutángulo
COLEGIO TRILCE
Página 27
GEOMETRÍA
3. En todo triángulo rectángulo se cumple el importante teorema de PITÁGORAS.
CATETO 1
HIPOTENUSA
(HIPOTENUSA)2 = (CATETO 1)2 + (CATETO 2)2
CATETO 2
Ejemplo: Por Teorema de Pitágoras: 5 cm
4 cm
52 = 4 2 + 3 2
3 cm
Ahora con ayuda de una regla, toma la medida de cada lado del triángulo, anota el resultado y comprueba el teorema de Pitágoras en cada caso: (Prueba los resultados con una calculadora) A
AB = ____cm
Por Pitágoras:
BC = ____cm AC = ____cm
a.
B
C
Por Pitágoras: E
D
DE = ____cm DF = ____cm
b.
F
COLEGIO TRILCE
EF = ____cm
Página 28
GEOMETRÍA
Por Pitágoras: G
GH = ____cm HI = ____cm GI = ____cm
c.
I
H
4. Halla la medida de los ángulos internos de cada triángulo, anota los resultados en la figura y luego completa la oración. a.
b.
d.
*
c.
e.
En todo triángulo: la suma de los ángulos internos es igual a _____________.
5. ¿Puede existir un triángulo rectángulo equilátero? ¿Por qué? __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 6. ¿Puede existir un triángulo rectángulo isósceles? ¿Cuánto medirán sus ángulos iguales? __________________________________________________________________ __________________________________________________________________
COLEGIO TRILCE
Página 29
GEOMETRÍA
7. Halla "k".
8. Halla "m".
9. Halla "r".
10. Halla "x".
COLEGIO TRILCE
Página 30
GEOMETRÍA
Suplementarios
Complementarios
Opuestos por el vértice 130º 50º
15º 120º
xº
xº
xº
xº = 180º - 120º = 60º
xº = 90º - 15º = 75º
Ángulos internos
xº
xº = 130º; y = 50º
Ángulos externos
xº + yº + zº = 180º
yº
yº
º
xº = º + º
xº
º
zº
AHORA, HAZLO TÚ 1. Halla el valor de "x" en la figura. Aplica las propiedades de los ángulos. a.
b.
xº
60º
xº
xº = ____
c.
xº = ____
d.
xº
xº xº
xº = ____
COLEGIO TRILCE
xº
4xº 3xº
5xº
xº = ____
Página 31
GEOMETRÍA
e.
f. 50º
xº
xº
110º
xº = ____
xº = ____
g.
h.
xº
50º
40º
2xº
30º
xº = ____
2.
xº = ____
Halla el valor de "x" en la figura. Aplica las propiedades de los ángulos. a.
b.
c.
xº
60º 20º
50º
xº
xº
xº = ____
d.
30º
45º
xº = ____
xº = ____
e.
f.
40º 100º
xº 60º 53º 60º
xº xº
xº = ____
COLEGIO TRILCE
xº = ____
xº = ____
Página 32
GEOMETRÍA
3. Halla el valor de "x" en la figura. Aplica las propiedades de los ángulos. d. 110º
xº xº
115º
xº = ____
a.
xº = ____
b.
340º
300º
xº
c.
xº
xº = ____
xº
60º
d.
xº = ____
xº
50º
60º
70º
xº
e.
xº = ____
COLEGIO TRILCE
f.
xº = ____
Página 33
GEOMETRÍA
TAREA DOMICILIARIA
1. Halla "x".
2. Halla "".
3. Halla "m".
4. Halla "k+ r".
COLEGIO TRILCE
Página 34
GEOMETRÍA
¿Qué es un cuadrilátero? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ Elementos: - Vértices - Lados - Diagonales - Perímetro
: ____________________ : ____________________ : ____________________ : ____________________
Nota: No olvides trazar de color rojo las diagonales.
AHORA, HAZLO TÚ 1. En los siguientes gráficos, indica sus elementos.
- Vértices
: ______________
- Vértices
: ______________
- Vértices
: ______________
- Lados
: ______________
- Lados
: ______________
- Lados
: ______________
- Diagonales : ______________
- Diagonales : ______________
- Diagonales : ______________
- Perímetro : ______________
- Perímetro : ______________
- Perímetro : ______________
COLEGIO TRILCE
Página 35
GEOMETRÍA
2. Indica el nombre de cada figura mostrada: a.
b.
c.
3. Dibuja un cuadrado cuyo lado mida 4 cm. 4. Dibuja un rectángulo cuyos lados midan 3 cm y 4 cm, respectivamente. 5. Dibuja un cuadrado cuyo perímetro sea 12 cm. 6. Dibuja un cuadrado y mide con tu transportador los ángulos formados por sus diagonales. 7. Dibuja un cuadrado y mide con tu transportador el ángulo formado por una diagonal y uno de sus lados.
COLEGIO TRILCE
Página 36
GEOMETRÍA
CLASIFICACIÓN: Paralelogramos a)
b) lados opuestos rectángulo cuadrado c)
d)
romboide
rombo
Tienen dos pares de lados paralelos.
Trapecios e)
f)
Tienen un par de lados opuestos y paralelos.
Trapezoides g)
No tienen ningún par de lados paralelos.
COLEGIO TRILCE
Página 37
GEOMETRÍA
AHORA, HAZLO TÚ 1. Observa cada una de las figuras del recuadro anterior (clasificación) y luego señala a cada vértice con una letra mayúscula (usa las iniciales de tu nombre si prefieres), a continuación determina los lados que son paralelos y sus diagonales. Denota sus elementos. Ejemplo: J
C
Nombre : cuadrado Lados paralelos : JC // PA y JP // CA Diagonales : PC y JA P
A
2. Mide cada uno de los ángulos internos de los cuadriláteros dados y luego completa la oración.
a.
b.
c.
d.
En todo cuadrilátero la suma de los ángulos internos es igual a ____________.
COLEGIO TRILCE
Página 38
GEOMETRÍA
3. ¿Qué diferencia encuentras entre un paralelogramo y un trapecio? _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ 4. Si un trapecio tuviera dos ángulos internos de 90º, ¿qué nombre le pondrías? Ilustra tu respuesta. _________________________________________________________________ _________________________________________________________________
COLEGIO TRILCE
Página 39
GEOMETRIA III BIM. TRILCE PRIMARIA
LOCUTORIO REN@TRIX CEL :992444616
GEOMETRÍA
Pág .
å
Áreas de regiones cuadrangulares..............................87
å
Circunferencia: elementos, clases...............................91
å
Longitud de una circunferencia ...................................95
å
Área de una región circular..........................................97
å
Poliedros: Desarrollo y área de un cubo ...................101
å
Área de un prisma......................................................103
å
Área de una pirámide ........................................ 105
COLEGIO TRILCE
Página 2
GEOMETRÍA
1. Cuadrado
A Área A = L2
2. Rectángulo
A Área A = b.h
3. Romboide
A Área A = b.h
COLEGIO TRILCE
Página 3
GEOMETRÍA
EJERCICIOS 1.
a.
Calcular el área de la región sombreada.
B
b.
C
3 cm
2 cm
A
A
5 cm
B
D
3 cm
A
A
D
A = ____________
A = ____________
D
c.
5 cm
B
3 cm
A
C
d.
B 4 cm
A
D
A = ____________
COLEGIO TRILCE
C
A
3 cm
E
C
6 cm
A
F
5 cm
A = ____________
Página 4
GEOMETRÍA
e.
2 cm
f.
3 cm
2 cm 3 cm
2 cm
5 cm
9 cm
A 4 cm 4 cm
A = ____________
g.
A = ____________
h.
8 cm B
2 cm
4 cm
B
C
C
6 cm
A
8 cm 2 cm
A
D A
A = ____________
COLEGIO TRILCE
D 6 cm
A = ____________
Página 5
GEOMETRÍA
i.
j. B
6 cm
D
C
4 cm B
4 cm
A
C
3 cm
6 cm
D
A = ____________
COLEGIO TRILCE
A
E
F
A = ____________
Página 6
9 cm
GEOMETRÍA
CONCEPTO ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ Elementos: - Centro : _________________ - Radio : _________________ - Cuerda : _________________ - Arco : _________________ - Diámetro : _________________ - Recta tangente : _________________ - Recta secante : _________________ - Punto de tangencia : _________________
AHORA , HAZLO TÚ 1. Indicar los elementos de los siguientes gráficos.
a.
b.
Cuerda : _______ Arco : _______
COLEGIO TRILCE
Centro : _______ Radio : _______
Página 7
GEOMETRÍA
c.
Recta tangente Recta secante
d.
: _______ : _______
e.
Recta secante Cuerdas
Centro : _______ Diámetro : _______
f.
: _______ : _______
Recta tangente : __________ Recta secante : __________ Cuerda : __________
2. ¿Cuántas rectas tangentes se le puede trazar a la circunferencia por el punto "P" y "Q"? Trazar e indicar con una letra mayúscula los puntos de tangencia. ¿Qué observas?
a.
b. Observo que: _________ ___________________________ _______________________ _______________________ ______ ___________
COLEGIO TRILCE
Página 8
GEOMETRÍA
3. En el gráfico:
a.
b.
m(PB) = _______ m(QB) = _______
m(MN) = _______ m(MR) = _______
4. Calcular el valor de "x":
a.
b.
x = _____________ x = _____________ c.
x = _____________
COLEGIO TRILCE
Página 9
GEOMETRÍA
5. Completa la oración: Los segmentos trazados desde un mismo punto exterior a 2 puntos de tangencia son __________________ ( ). 6. ¡Ahora, a divertirte! Con ayuda de un compás realiza las siguientes construcciones. Anota sus nombres. (Construye cada par de circunferencias en una cara). a.
b.
circunferencias secantes
circunferencias concéntricas
c.
circunferencias tangentes
7. Realiza las siguientes construcciones con ayuda de un compás. a.
c.
COLEGIO TRILCE
b.
d.
Página 10
GEOMETRÍA
Consideramos la siguiente circunferencia de centro "O" y radio "R". Recordar D = 2R D : diámetro R : radio
• Centro : O • Longitud : R del radio • Longitud de : L la circunferencia
R O
L = 2 R
AHORA HAZLO TU 1. Construye en tu cuaderno una circunferencia de: a. b. c. d. e.
2 cm de radio y halla su longitud. 3 cm de radio y halla su longitud. 4 cm de radio y halla su longitud. 10 cm de diámetro y halla su longitud. 12 cm de diámetro y halla su longitud.
2. En las siguientes figuras calcula la longitud de la circunferencia de acuerdo a los datos proporcionados. a.
b.
7 cm O
L = _____________
COLEGIO TRILCE
O
16 cm
L = _____________
Página 11
GEOMETRÍA
c.
d.
15 cm
O
O
4,5 cm
L = _____________
5,5 cm
e.
L = _____________
17 cm
f.
2,5 cm
O
O 4,5 cm
COLEGIO TRILCE
L1 = _____________
L1 = _____________
L2 = _____________
L2 = _____________
Página 12
GEOMETRÍA
1. ÁREA Recordar D = 2R D : diámetro R : radio
• Centro: O • Longitud del radio: R • A Área
R O
A = R 2
AHORA HAZLO TU 1. Calcular el área del círculo y la longitud de su circunferencia, según se pida: a.
b. 3 cm O
L = ________ A = ________
c.
12 cm
A = ________
d. 5 cm O
L = ________
6 cm O
A = ________
e.
L = ________ A = ________
f. L = ________
O 8 cm
COLEGIO TRILCE
L = ________ O
A = ________
4 cm O
L = ________ A = ________
Página 13
GEOMETRÍA
g.
h. A = ________
R
L = 8
O
A = ________
R
L = 10
O
R = ________ i.
R = ________ j.
A = ________
A = 9
L = 6
L = ________
R = ________
R = ________
k.
l. A = 16
A = 25
L = ________
L = ________
R = ________
R = ________
2. Calcular el área de la región sombreada. a.
b.
A = ____________
COLEGIO TRILCE
A = ____________
Página 14
GEOMETRÍA
c.
d.
2 cm
8 cm
A = ____________
A = ____________
e.
2 cm
2 cm
A = ____________
COLEGIO TRILCE
Página 15
GEOMETRÍA
HEXAEDRO O CUBO Es un poliedro regular ya que tiene 6 caras iguales.
A. B. Desarrollo
Todo hexaedro: * Tiene 6 caras * Tiene 8 vértices * Tiene 12 aristas
COLEGIO TRILCE
Página 16
GEOMETRÍA
ÁREA DE UN CUBO Hallar el área de un cubo equivale a hallar el área de una de sus caras y luego multiplicarla por 6. Es decir:
A = 6.a 2 , donde a = arista AHORA HAZLO TÚ
1. ¿Cuál será el área de un cubo de 2 cm de arista? ¿Y de 3 cm de arista? Construye un gráfico para cada área. Usa una regla. 2. Una de las caras de un cubo tiene 36 cm2 de área, ¿cuál será su área total? Construye una gráfica y anota en ella los datos. 3. El área total de un cubo es 600 cm2. ¿cuál será el área de una de sus caras? ¿Y cuál será la longitud de su arista? Anota los datos en una gráfica. 4. El área total de un hexaedro es 216 m2, ¿cuál será la longitud de su arista? ¿Y cuál el área de una de sus caras? Anota los datos en una gráfica. 5. Un recipiente de agua de forma cúbica tiene 3 m de arista. ¿Cuál será el área del recipiente?
COLEGIO TRILCE
Página 17
GEOMETRÍA
Área de un prisma ÁREA DE UN PRISMA
b
a
At = AL + 2B At = área total. AL = área lateral (a × b). B = área de la base (triángulo). •
Ejemplo: Hallar el área del prisma triangular de la figura.
COLEGIO TRILCE
Página 18
GEOMETRÍA
AHORA HAZLO TÚ
1. Un prisma rectangular tiene las siguientes medidas: AL = (
)(
)+(
AB = (
)(
)=
)(
)+(
)(
)+(
)(
)
10 cm
8 cm
AT = 20 cm
Calcular el área lateral, el área de la base y el área total. 2. La base de un prisma recto es un rectángulo de 24 cm de largo, si el ancho de la base es los 3/4 de su largo y su altura, 1/3 del ancho. ¿Cuánto mide su área total? Anota los datos en un gráfico. 3. El área total de un prisma rectangular es 108 cm2. Si el área de la base mide 12 cm2. ¿Cuánto mide su área lateral? Anota los datos en un gráfico.
COLEGIO TRILCE
Página 19
GEOMETRÍA
AL =
p + ap 2
p = perímetro de la base ap = apotema de la pirámide
At = AL + B At = área total AL = área lateral B = área de la base
Para recordar: El área de la base dependerá del tipo de polígono que sea la base.
AHORA HAZLO TÚ
1. La base de una pirámide es un cuadrado de 6 cm de lado. Si su apotema mide 10 cm. Hallar su área total. Ilustra tu respuesta usando una regla. 2. Hallar el área total de una pirámide regular de 12 cm de apotema y 100 cm2 de base cuadrada. Ilustra tu respuesta. 3. Calcular el área lateral de una pirámide de: (20 2) cm de apotema y base cuadrada de (14 2) cm de lado. Ilustra tu respuesta.
4. La base de una pirámide tiene 6 lados. ¿Cuántos vértices tiene la pirámide? ¿Y cuántas aristas? Ilustra tu respuesta.
COLEGIO TRILCE
Página 20
GEOMETRÍA
5. Calcular el área lateral y total de las siguientes pirámide regulares. 10 cm 12 cm
4 cm
5 cm
6. La base de una pirámide tiene 12 lados. ¿Cuántos vértices tiene la pirámide? ¿Y cuántas aristas? Ilustra tu respuesta. (Sugerencia: puedes usar tu compás para diseñar la base de la pirámide) 7. Hallar el área de una pirámide regular de 10 cm de apotema, si tiene como base un pentágono regular de 6 cm de lado. Ilustra tu respuesta. 8. Responder si son verdaderas "V" o falsas "F" las siguientes proposiciones: a. b. c. d.
La base de un prisma siempre es un cuadrado. La base de una pirámide regular siempre es un cuadrado. Las caras laterales de un prisma recto son rectángulos. Las caras de una pirámide son triángulos equiláteros.
( ( ( (
) ) ) )
9. Completar las siguientes proposiciones: a. b. c. d. e.
Un prisma hexagonal tiene ______ caras y ______ aristas. Una pirámide hexagonal tiene ______ aristas y ______ caras laterales. Las caras _________ de una pirámide son triángulos _____________. Una pirámide octogonal tiene ______ aristas más que una pirámide hexagonal. Una pirámide que está formada por 6 caras laterales tiene como base un ____________.
10. Dibuja en tu cuaderno una pirámide cuadrangular y otra hexagonal cuya arista de base sea 3 cm y 4 cm respectivamente. 11. Dibuja en tu cuaderno un prisma pentagonal y otro cuadrangular cuya arista de base sea 4 cm y 5 cm respectivamente.
COLEGIO TRILCE
Página 21
GEOMETRIA IV BIM. TRILCE PRIMARIA
LOCUTORIO REN@TRIX CEL :992444616
GEOMETRÍA
Pág Pá g.
å La esfera: esfera : área y volumen volum en ....................... ........................................... .................... 79 å El cilindro: área y volumen............... ........................ ................. ................ ........... ...81 å El cono: área y volumen ............... ........................ ................. ................ .............. ......85 å Volumen de poliedros: poliedros: cubo, prisma y pirámide .........89 å Problemas de volumen de cuerpos redondos............. redondos.............91 áreas de cuerpos geométricos geométricos............. .............93 å Problemas de áreas
å
Problemas de volumen de cuerpos geométricos.. 95
COLEGIO TRILCE
Página 2
GEOMETRÍA
Área y volumen
g
r r
A = 4 r 2 r
r
V = 4 r 3 3
eje de rotación donde: g
r = radio = generatriz
Nota: Considerar = 3,14 aproximadamente
AHORA HAZLO TU Plantea los siguientes problemas y luego halla el resultado de lo que se te pide. 1.
Hallar el área de una superficie superficie esférica esférica cuyo diámetro es 8 cm.
2.
La longitud longitud de la circunferencia circunferencia máxima máxima de una esfera mide 18 cm. Hallar el volumen de la esfera. Anota los datos en una gráfica.
3.
Hallar el volumen volumen de una esfera esfera de 20 cm de diámetro. Anota los datos en una una gráfica.
COLEGIO TRILCE
Página 3
GEOMETRÍA
4.
Visto desde arriba, indica indica qué cuerpo cuerpo geométrico se aprecia. aprecia. Escribe el nombre correspondiente:
5.
En la siguiente malla de puntos, puntos, dibuja un cilindro, un cono y una esfera. Al lado del cilindro dibuja un prisma hexagonal y al lado del cono una pirámide hexagonal. Señala sus elementos.
COLEGIO TRILCE
Página 4
GEOMETRÍA
Área y volumen
h = altura h
g
r = radio de la base
g
g = generatriz eje de rotación
V = r2h
A = 2r(r + g)
AHORA, HAZLO TÚ
1.
Hallar el área del cilindro de revolución de 12 cm de diámetro y 20 cm de altura. Ilustra tu respuesta, (considera: = 3,14)
2.
¿Cuál de las siguientes figuras tiene mayor volumen? (considera = 3,14) a.
b.
c. 5m 4m
2 cm 8 cm
V = ________
COLEGIO TRILCE
3m
V = ________
V = ________
Página 5
GEOMETRÍA 3.
De las siguientes figuras, calcular el valor de "h". (Considera: = 3,14)
h h r
r At = 625 cm2 r = 5 cm 4.
At = 108 cm2 r = 3 cm
En cada uno de los siguientes casos, hallar el área lateral del cilindro representado por un rectángulo.
(Considera: = 3,14)
a.
b.
4 cm R = 3 cm
R = 2 cm
5 cm
c.
2,5 cm
R = 2 cm
COLEGIO TRILCE
Página 6
GEOMETRÍA
5.
a.
Halla el volumen y el área de cada uno de los siguientes cilindros. (Considera: = 3,14)
b.
2 cm
8 cm 2 cm
8 cm
COLEGIO TRILCE
Página 7
GEOMETRÍA
Área y volumen
h = altura g
g
h
r = radio de la base g = generatriz
r
A = r(g + r)
eje de rotación
V = 1 r2h 3
AHORA, HAZLO TÚ
1.
Hallar el área de un cono de revolución cuya generatriz mide y cuya base tiene 6 cm de radio. Ilustra tu respuesta. (Considera: = 3,14)
2.
Calcular el volumen del cono de helado que se encuentra sobre una servilleta de papel de 6 cm de lado.
10 cm
6 cm 6 cm
COLEGIO TRILCE
Página 8
GEOMETRÍA 3.
De la siguiente figura extrae los datos necesarios para hallar el volumen del cono. (Considera: = 3,14) CUBO
5 cm
r 4.
Con ayuda de una regla toma la medida de los datos que necesites de la figura para hallar el área del cono. Colorea el área.
= 3,14
r = ________ g = ________ A = ________
COLEGIO TRILCE
Página 9
GEOMETRÍA 5.
Escribe en cada parentésis "V" si es verdadero o "F" si es falso, según sea el caso: •El cono, la esfera y el cilindro tienen superficies curvas.
(
)
•Los elementos de un cilindro son: el radio, la altura
(
)
(
)
(
)
y la generatriz. •El rectángulo es el polígono que genera el cono de revolución. •Una semicircunferencia al rotar genera un cilindro.
COLEGIO TRILCE
Página 10
GEOMETRÍA
V = a3
Volumen del cubo
V = B.h
Volumen del prisma
B.h 3
V = donde:
Volumen de la pirámide
a = arista h = altura B = área de la base
Para recordar: El volumen se expresa en unidades cúbicas. Ejemplo: cm3, m3 , km3, etc.
AHORA, HAZLO TÚ
1.
Hallar el volumen de una pirámide de base cuadrada de 6 cm de lado y 10 cm de altura. Señala los datos en una figura.
2.
Determinar cuál de los tres poliedros tiene mayor volumen.
a)
h = 10 cm
b)
c) 6 cm
4 cm
4 cm
3 cm 4 cm
COLEGIO TRILCE
4 cm
3 cm
Página 11
GEOMETRÍA
3.
Hallar el volumen de un prisma rectangular cuyo largo de su base mide 6 cm y su ancho, la tercera parte del largo; sabiendo además que su altura mide tanto como la suma de su largo y ancho.
4.
Indica la figura que tiene mayor volumen.
h = 8 cm
h = 5 cm 6 cm
4 cm
2 cm 5 cm
5.
3 cm
4 cm
2 cm
Indica la figura que tiene menor volumen.
6 cm
2 cm 4 cm 4 cm
COLEGIO TRILCE
2 cm
3 cm
1 cm 3 cm 6 cm
Página 12
GEOMETRÍA
Resolver:
En las figuras calcular el volumen de cada esfera.
a.
b.
6m
3m
V = __________m3
= __________m3
c.
d.
2m
V = __________m3
1m
V = __________m3
2.
En relación a la pregunta (1), ¿cuál es el volumen de cada uno de los cilindros?
3.
En relación a la pregunta (1), hallar la diferencia entre el volumen del cilindro y su respectiva esfera inscrita en él.
COLEGIO TRILCE
Página 13
GEOMETRÍA
4.
a.
En cada caso calcular el volumen del cono.
CUBO
b.
CUBO
r 3m
r
6 cm
5.
a.
Diga qué volumen está bien calculado.
b.
12 cm
2 cm
3 cm
8 cm V = 35,39 cm3
V = 200,48 cm3
c.
d. 6 cm 12 cm
6 cm V = 452,56 cm3
COLEGIO TRILCE
V = 150,72 cm3
Página 14
GEOMETRÍA
Resolver: 1. De los siguientes gráficos, toma la medida de los datos que necesitas para determinar el área correspondiente. (Usa una regla)
a. A = ____________
b.
A = ____________
COLEGIO TRILCE
Página 15
GEOMETRÍA
b
c. a
a b
a
a a
a
a
a b
a
a
A = ____________
b
d.
r
A = ____________
r
e.
A = ____________
COLEGIO TRILCE
Página 16
GEOMETRÍA
Resolver: 1.
Hallar el volumen de una pirámide de base cuadrada de 4 cm de lado y 9 cm de altura. Señala los datos en una figura.
2.
En un prisma rectangular de 40 cm2 de base, determinar la altura del prisma si se sabe que su volumen es 320 cm 3.
3.
Hallar el volumen de un prisma rectangular cuya arista mayor en la base es 6 cm y la arista menor mide la mitad de la arista mayor (altura del prisma = 1 cm)
4.
Calcular el volumen de un hexaedro de 4,5 cm de arista y luego halla la diferencia de volúmenes en otro cubo de 6,5 cm de arista. ¿Cuál es la relación entre el volumen del primer y el segundo cubo?
5.
Un camión que transporta gas licuado lleva un depósito de forma esférica de 1,5 m de radio. ¿Cuál es el volumen de dicho depósito? ( = 3,14)
6.
En la refinería de petróleo de Conchán se utilizan depósitos de forma cilíndrica para almacenar el petróleo extraído. Uno de ellos tiene 20 m de diámetro, y una altura de 25 m, ¿cuál será su volumen? ( = 3,14)
7.
¿Cuál de los siguientes sólidos tiene menor volumen? ( = 3,14)
a.
b.
c.
12 cm 24 cm
24 cm
12 cm
COLEGIO TRILCE
12 cm
Página 17