Grafik fungsi rasional

Aljabar Elementer

© 2014

Grafik Fungsi Rasional

1. Fungsi Rasional Linier 𝑎

Definisi: Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat di bentuk 𝑏 ; 𝑏 ≠ 0; 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍. Sedangkan fungsi rasional linier adalah fungsi yang memetakan setiap bilangan riil x pada fungsi yang dirumuskan dengan

f :x



y  f ( x) 

ax  b q ; dimana x  px  q p

Untuk melukis grafik fungsi rasional linier diperlukan langkah-langkah sebagai berikut: a) Titik potong dengan sumbu x y0  ax  b  0

x

b a

 b  Koordinat titik potong adalah   ,0   a  b) Titik potong dengan sumbu y b x0  y q  b Koordinat titik potong adalah  0,   q c) Asimtot Datar Asimtot adalah garis lurus yang makin didekati oleh grafik fungsi bahkan sampai berhimpit dengan grafik tersebut untuk nilai x atau y tak hingga tetapi tidak sampai memotong garis tersebut. Untuk beberapa kasus, asimtot mungkin dipotong oleh grafik pada x atau y berhingga, tetapi akan berhimpit untuk x atau y tak hingga.

x   maka y  lim

x 

d) Asimtot Tegak

Swaditya Rizki, M.Sc.

ax  b a  px  q p

Aljabar Elementer

© 2014

y   maka px  q  0  px  q  0 x

q p

e) Titik bantu pada sumbu x

x

-n

…

0

n

…

y

Contoh 1: Lukislah grafik fungsi y 

2x  5 x 1

Penyelesaian: Langkah-langkah melukis grafik fungsi rasional adalah sbb: 1. Titik potong pada sumbu x 𝑏

𝑦 = 0 → 𝑥 = −𝑎 = −

−5 2

5

5

=2

2

,0

2. Titik potong pada sumbu y −5

x=0→ 𝑦 = −1 = 5

0,5

3. Asimtot datar 𝑎

2

x→ ∞ maka y=𝑝 = 1 = 2 4. Asimtot tegak 𝑞

y=∞ maka x=− 𝑝 = −

−1 1

=1

5. Titik Bantu x

-3

-2

-1

2

3

4

y

2,75

3

3,5

-1

0,5

1

Swaditya Rizki, M.Sc.

Aljabar Elementer

© 2014

(0,5)

Asimtot datar y =2 (5/2,0)

Asimtot tegak x =1

2. Fungsi Rasional dengan Bentuk f :x



y  f ( x) 

ax  b ; dimana a, p, dan px 2  qx  r  0; px  qx  r 2

ax  b bukan faktor dari px 2  qx  r

Untuk melukis grafik fungsi rasional dengan bentuk di atas diperlukan langkah-langkah sebagai berikut: a) Titik potong dengan sumbu x y0  ax  b  0

x

b a

 b  Koordinat titik potongadalah   ,0   a  b) Titik potong dengan sumbu y b x0  y r  b Koordinat titik potongadalah  0,   r c) Asimtot Datar x   maka y  lim

x

Swaditya Rizki, M.Sc.

ax  b 0  0 px  qx  r p 2

Aljabar Elementer

© 2014

d) Asimtot Tegak

y   maka px 2  qx  r  0 px 2  qx  r  0  Asimtot tegak diperoleh dari faktor px 2  qx  r  0 e) Nilai Ekstrim Nilai ekstrim y diperoleh jika x riil. Agar nilai x riil maka

D0 y

ax  b px  qx  r 2

ypx 2  yqx  yr  ax  b ypx 2  ( yq  a) x  ( yr  b)  0 karena syarat D  0 maka ( yq  a) 2  4. yp.( yr  b)  0 f) Titik bantu pada sumbu x

x

-n

…

0

…

n

y

Contoh 2: Lukislah grafik fungsi y 

x 1 2x  x  1 2

Penyelesaian: Langkah-langkah melukis grafik fungsi rasional adalah sbb: 1. Titik potong pada sumbu x 𝑏

𝑦 = 0 → 𝑥 = −𝑎 = −

−1 1

=1

1,0

2. Titik potong pada sumbu y 𝑏

−1

x=0→ 𝑦 = 𝑟 = −1 = 1

0,1

3. Asimtot datar 𝑎

0

x→ ∞ maka y=𝑝 = 2 = 0 4. Asimtot tegak y=∞ maka px 2  qx  0 2x2  x 1  0 (2 x  1)( x  1)  0 x Swaditya Rizki, M.Sc.

1  x  1 2

Jadi, asimtot tegak pada 1

𝑥 = 2 dan 𝑥 = −1

Aljabar Elementer

© 2014

5. Nilai ekstrim x 1 2x  x 1 2 2 yx  yx  y  x  1 y

x 1 2x  x 1 2 2x  x 1  x 1

untuk y  1  1 

2

2

x0

2 yx 2  ( y  1) x  ( y  1)  0 D0

(0,1)

9 y 2  10 y  1  0

x 1 2x  x  1 2 2x  x  1  9x  9

(9 y  1)( y  1)  0 y  1/ 9  y  1

x 2  4x  4  0 ( x  2)( x  2)  0

untuk y  1/9  1/9 

( y  1)  4(2 y )( y  1)  0 2

2

x2

(2, 1 ) 9

6. Titik Bantu x

-2

-1,5

-1/2

1/4

3/4

2

3

y

-3/5

-5/4

3/2

6/5

-2/7

1/9

1/10

Titik minimum 1 0

1

Titik maksimum

At=-1

Swaditya Rizki, M.Sc.

At=1/2

Aljabar Elementer

© 2014

3. Fungsi Rasional dengan bentuk

f :x



y  f ( x) 

ax 2  bx  c ; dimana a, p, dan px 2  qx  r  0; px 2  qx  r

Untuk melukis grafik fungsi rasional dengan bentuk di atas diperlukan langkah-langkah sebagai berikut: a) Titik potong dengan sumbu x y0  ax 2  bx  c  0

Nilai x didapat dari faktor ax 2  bx  c  0 Koordinat titik potongadalah x1 ,0 dan ( x 2 ,0) b) Titik potong dengan sumbu y c x0  y r  c Koordinat titik potongadalah  0,   r c) Asimtot Datar

ax 2  bx  c a  x  px 2  qx  r p

x   maka y  lim d) Asimtot Tegak

y   maka px 2  q  r  0 px 2  qx  r  0  Asimtot tegak diperoleh dari faktor px 2  qx  r  0 e) Nilai Ekstrim Nilai ekstrim y diperoleh jika x riil. Agar nilai x riil maka D0 y

ax 2  bx  c px 2  qx  r

ypx 2  yqx  yr  ax 2  bx  c ( yp  a ) x 2  ( yq  b) x  ( yr  c)  0 karena syarat D  0 maka ( yq  b) 2  4.( yp  a ).( yr  c)  0 f) Titik bantu pada sumbu x x

-n

y

Swaditya Rizki, M.Sc.

…

0

…

n

Aljabar Elementer

© 2014

Latihan: 1. Lukislah grafik fungsi rasional y 

Swaditya Rizki, M.Sc.

x4 x2

Aljabar Elementer

2. Lukislah grafik fungsi rasional y 

Swaditya Rizki, M.Sc.

© 2014

3x  1 3 x

Aljabar Elementer

© 2014

3. Tentukan persamaan fungsi rasional jika diketahui asimtot tegak x = 1, asimtot datar y = 0, dan titik potong pada sumbu y (0,-2).

4. Tentukan persamaan fungsi rasional jika diketahui asimtot datar y = 3, asimtot tegak x = -2, titik potong pada sumbu y (0, -1) dan melalui titik (1,0).

Swaditya Rizki, M.Sc.

Aljabar Elementer

5. Lukislah grafik fungsi rasional y 

Swaditya Rizki, M.Sc.

© 2014

x 1 2x  x  1 2

Aljabar Elementer

x2  x  2 6. Lukislah grafik fungsi rasional y  2 x  x2

Swaditya Rizki, M.Sc.

© 2014

Aljabar Elementer

Catatan:

Swaditya Rizki, M.Sc.

© 2014