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Presentación
Las Guías de Aprendizaje para estudiantes de Administración Pública de la Universidad de Chile, han sido elaboradas para apoyar el proceso enseñanza - aprendizaje de las cátedras de Matemática, que forma parte de los contenidos de formación general de la malla curricular de la carrera. En el caso de Matemática I se han escogidos los cinco ejes temáticos siguientes:
Elementos de Lógica Proposicional, Introducción a la Teoría de Conjuntos, Funciones, Sucesiones y Series e Introducción a las Matrices.
En cada Guía de Aprendizaje, se presenta un resumen de los conceptos fundamentales, las propiedades centrales de cada eje temático, un conjunto de ejercicios resueltos resueltos y propuestos para poner en práctica los conocimientos adquiridos durante la clase lectiva, además se entrega una bibliografía para complementar y profundizar el aprendizaje.
La primera Unidad contempla los Capítulos de Lógica Proposicional y Teoría de Conjuntos
MATEMÁTICA I: ELEMENTOS DE LÓGICA PROPOSICIONAL
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I.
CAPÍTULO 1: LÓGICA PROPOSICIONAL
Proposiciones, conectivos lógicos y tablas de verdad. Proposiciones equivalentes. Algebra de proposiciones. Tautologías, contradicción, contingencia. Forma negada, recíproca, inversa y contrarecíproca de una proposición condicional. Demostraciones de Tautologías Cuantificadores: existencial y universal y negación de éstos
Objetivos generales
Reconocer proposiciones y conectivos lógicos con sus respectivas tablas de verdad. Utilizar el algebra de proposiciones para simplificar fórmulas lógicas. Verificar proposiciones que corresponden a tautologías, contradicción o contingencia. A partir de una proposición condicional, encontrar su forma negada, recíproca, recíproca, inversa y contrarecíproca. Demostrar tautologías simples usando algunos métodos de demostración Determinar el valor de verdad de funciones proposicionales que involucran cuantificadores
MATEMÁTICA I: ELEMENTOS DE LÓGICA PROPOSICIONAL
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1.
Elementos de Lógica Proposicional
Introducción
La lógica matemática es una disciplina que trata sobre métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en Matemática para demostrar teoremas; en Ciencias de la Computación para verificar si son o no correctos los programas; en las Ciencias Física y Naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las Ciencias Sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa el razonamiento lógico en forma constante para múltiples actividades. En este Capítulo presentaremos, de manera no completamente formal, los aspectos principales de la lógica de proposiciones. Su estudio permite pensar con mayor corrección de la que se está acostumbrado. Para ello, es necesario reconocer algunos aspectos fundamentales de su desarrollo, tal como:
El uso de un lenguaje preciso, libre de ambigüedades. La elaboración de argumentaciones coherentes que permitan obtener decisiones respaldadas. La determinación de criterios que permitan fijar el peso de una evidencia en una argumentación específica. La adquisición de conocimientos para determinar lo verdadero (la verdad como consenso). La objetividad como una actitud de vida.
MATEMÁTICA I: ELEMENTOS DE LÓGICA PROPOSICIONAL
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1.1
Las Proposiciones
En el lenguaje cotidiano existen muchos tipos de oraciones, por ejemplo las que describen un hecho, las opiniones, las ordenes y las preguntas. La lógica proposicional estudia sólo el primer tipo de oración es decir, la que describe hechos. Entendemos por proposición una expresión acerca de la cual tiene sentido preguntarse si es verdadera o falsa, es decir es una oración que puede ser verdadera o puede ser falsa, pero nunca ambas . Veamos algunos ejemplos. Ejemplos:
Los países subdesarrollados tienen baja cobertura en educación superior.
2+5 = 6
Hoy es martes y hace frío
Estas oraciones constituyen proposiciones, pero la pregunta ¿Qué hora es? o la orden ¡ haz tu tarea!, no son proposiciones.
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1.2
Tablas de Verdad
Para evitar ambigüedades definiremos el uso de los símbolos de lógica, a través del uso de Tablas de Verdad, que establecen todas las posibles combinaciones de valores de verdad (V “verdadero” y F “falso”) de las proposiciones que constituyen las expresiones que se definen o se analizan.
1.3
Los Conectivos.
1.3.1 La Negación.
Dada una proposición p, se denomina la negación de p, a otra proposición denotada por ~ p, o ¬ p (se leen "no p"), que le asigna el valor de verdad opuesto al de p. Por ejemplo: p:
Pedro estudia algebra p
~ p: Pedro no estudia algebra
~ p
V
F
F
V
No debe confundirse ~p con el contrario de p (la negación de Pedro es rico, no es Pedro es pobre)
1.3.2 La Conjunción.
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Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición p q (se lee "p y q"), cuya Tabla de Verdad es: p
q p
q
V V V V F F F V F F F F
La Tabla que define esta operación, establece que la conjunción es verdadera sólo si lo son las dos proposiciones componentes . En todo otro caso, es falsa. En lenguaje cotidiano este conectivo implica la idea de “ambos”, y también puede aparecer como: pero, aunque, también, más aún, etc.
Ejemplo:
3 es un número impar y 6 es un número par
Vemos que está oración está compuesta de dos proposiciones a las que llamaremos p y q, que son: p:
3 es un número impar.
q:
6 es un número par.
Por ser ambas verdaderas, la conjunción de ellas verdadera. MATEMÁTICA I: ELEMENTOS DE LÓGICA PROPOSICIONAL
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1.3.3 La Disyunción.
Dadas dos proposiciones p y q, la disyunción de las proposiciones p y q es la proposición p q cuya Tabla de Valor de verdad es:
p
q p
q
V V V V F V F V V F F F
La disyunción es utilizada en sentido no excluyente, ya que la verdad de la disyunción se da en el caso de que al menos una de las proposiciones sea verdadera. En el lenguaje cotidiano el uso de este conectivo corresponde al de la expresión y/o. Ejemplos
La proposición Tiro las cosas viejas o que no me sirven , será verdadera, si al menos una de las proposiciones
p:
tiro las cosas viejas,
q:
tiro las cosas que no me sirven
Sea verdadera.
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1.3.4 Implicación o Condicional
Implicación de las proposiciones p y q es la proposición p entonces q) cuya Tabla de Valores de verdad es:
q (si p
p q p q V V V V F F F V V F F V
La proposición p se llama antecedente , y la proposición q se llama consecuente de la implicación o condicional. La Tabla nos muestra que la implicación sólo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Ejemplo:
Un candidato a la presidencia de la República hace la siguiente promesa electoral:
Si resulto electo, entonces los impuestos se reducirán
La implicación está compuesta de las proposiciones p:
resulto electo
q:
los impuestos se reducirán
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Nos interesa conocer la verdad o falsedad de la implicación, en relación a la verdad o falsedad de las proposiciones p y q. El enunciado puede pensarse como un compromiso, condicionado por p, y podemos asociar su verdad al cumplimiento del compromiso. El único caso en que el candidato miente, sería si es elegido presidente y no cumple su compromiso (si p es V y q es F). Es evidente que si p es F, es decir si no resultó electo el candidato, quedo liberado del compromiso y se reduzcan o no los impuestos, la implicación es verdadera (el candidato no mintió)
1.3.5 Doble Implicación o Bicondicional
Doble implicación de las proposiciones p y q es la proposición p q (se lee " p si y sólo si q") cuya Tabla de Valores de verdad es: p q p q V V V V F F F V F F F V
La doble implicación o bicondicional sólo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.
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La doble implicación puede definirse como la conjunción de una implicación y su recíproca. De este modo, la Tabla de Valores de verdad de p q puede obtenerse mediante la tabla de ( p q) (q p), como vemos: p q p q q p (p q) (q p) V V V
V
V
V F F
V
F
F V V
F
F
F F V
V
V
Ejemplo:
Si Enrique ingresó a la Universidad, entonces aprobó el examen de admisión y si Enrique aprobó el examen de admisión entonces, ingresó a la Universidad
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A continuación, se muestra un ejemplo del uso de los conectivos lógicos aplicados en la construcción de una pregunta de Encuesta
Ejemplo 1 La Encuesta de Caracterización Socioeconómica Nacional (CASEN), realizada por MIDEPLAN, permite elaborar diagnósticos de la realidad socioeconómica del país y evaluar los programas sociales. Una de las áreas que aborda, es la caracterización de la población con discapacidad y dependencia del país. La persona con discapacidad, que requiere necesariamente de la ayuda de otra persona para comer, lavarse, peinarse, bañarse es considerada dependiente. Según la Encuesta basta que haga por si sola al menos una de las cuatro actividades, para que se considere que la persona no tiene dependencia. a) En base a la información expuesta, complete la pregunta, usando algún conectivo lógico , donde la persona encuestada responde sí o no, y que mida si no tiene una condición de dependencia. b) Utilizando proposiciones, construya un enunciado (en lenguaje simbólico) de la forma si, entonces , para afirmar la condición de dependencia.
Pregunta:
¿Usted puede ………………………………., por sí sólo? Sí No
1
Pregunta incluida en la prueba Solemne , de otoño 2010.
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Solución ¿Usted puede comer o lavarse los dientes o peinarse o bañarse por sí sólo? Si No
b) Sean las siguientes proposiciones p: Usted puede comer por sí sólo . q: Usted puede lavarse los dientes por sí sólo . r : Usted puede peinarse por sí sólo. s: Usted puede bañarse por sí sólo . t: Usted es dependiente .
~ p ^ ~q ^ ~r ^ ~s ==> t
1.3
Tautología, contradicción y contingencia
Al conjunto de proposiciones, conectivos lógicos y símbolos de agrupación lo denominamos fórmula lógica. Por ejemplo: ~ [ ( p
q) ^ (s ^ t) ]
Si al evaluar una fórmula lógica, resulta que todos los valores de verdad resultantes son siempre V, para cualquier combinación de sus
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valores de verdad, decimos que dicha fórmula es una Tautología o Ley lógica.
Ejemplo
Si analizamos la proposición t: p ~ p realizando su tabla de Verdad: p ~ p p ~ p V F
V
F V
V
Vemos que para cualquier combinación de las proposiciones p y su negación ~ p, la proposición t: p ~ p es siempre verdadera. Entonces, la proposición t es una tautología.
Analicemos ahora la fórmula lógica [ ( p q ) p ] q p
q p
q
q
p
[ ( p q ) p] q
V V V
V
V
V F F
F
V
F V V
F
V
F F V
F
V
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En este caso comprobamos también que independientemente de la combinación de valores de verdad de las proposiciones p y q, el resultado de la fórmula lógica es siempre V. Decimos, aquí también, que esta fórmula es una tautología o ley lógica. Si al estudiar una fórmula lógica, a diferencia de los ejemplos anteriores, resulta que para cualquier valor de verdad de las proposiciones intervinientes el resultado de dicha fórmula es siempre falso, decimos que dicha fórmula es una Contradicción. Ejemplo
Analicemos la fórmula lógica p ~ p p
~ p
p
V F
F
F V
F
~ p
Encontramos que la fórmula es siempre falsa, entonces es una Contradicción. Si una proposición no es una tautología ni una contradicción (es decir que contiene al menos un valor V y otro F) es una contingencia.
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1.4
Leyes del álgebra proposicional
Como bien dijimos arriba, aquellas fórmulas lógicas que resultan ser siempre verdaderas no importando la combinación de los valores de verdad de sus componentes, se denominan tautologías o leyes lógicas. En el cálculo proposicional existen algunas tautologías especialmente útiles cuya demostración se reduce a la confección de su correspondiente tabla de verdad.
Idempotencia
Asociativa
Conmutativa
Distributiva
Absorción
De Morgan ~ ( p q) ~ ( p q)
p p q p p p q p
Identidad p F p V
p V p F
Complemento ~ ~ p
~ V
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1.5
Proposiciones lógicamente equivalentes
Dos proposiciones p y q se llaman equivalentes si sus tablas de verdad son idénticas. De ser así se denota: p q Ejemplo
Sea t: p q, recordamos su Tabla de Verdad: p
q p
q
V V V V F F F V V F F V
Ahora bien, si analizamos la proposición r : ~ p q, su Tabla de Verdad resulta: p q ~ p q V V V V F F F V V F F V
Como vemos, luego de realizar las tablas de valor de verdad encontramos que ambas proposiciones tienen el mismo resultado final. Con esto, decimos que ambas proposiciones son MATEMÁTICA I: ELEMENTOS DE LÓGICA PROPOSICIONAL
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lógicamente equivalentes, y en este caso particular lo simbolizamos: ( p
q)
(~ p
q)
Las leyes lógicas, que vimos en la sección 1.4 nos sirven también para simplificar expresiones que contiene proposiciones compuestas. Ejemplo
Utilizando leyes del algebra de proposiciones, simplificar la proposición t: p => [~q => ( p q)]
p [~q ( p q)] p [~~q ( p q)] p [q ( p q)] p q ~ p q
(def. de ) (doble negación) (absorción) (def. de )
1.5.1 Proposiciones condicionales relacionadas: recíproca, inversa y contrapositiva
A partir de p , podemos encontrar otras proposiciones que se resumen a continuación:
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Notación
Interpretación
Ejemplo
Proposición directa
Si p entonces q p implica q q si p p sólo si q
Si llueve, entonces mi jardín se moja
Recíproca
Si q, entonces p
Si mi jardín se moja entonces ha llovido
Inversa
Si no p, entonces Si no llueve, no q entonces mi jardín no se moja
Contrapositiva o contrarecíproca
Si no q, entonces Si mi jardín no se no p moja, entonces no ha llovido
En la siguiente tabla de verdad se puede apreciar que tanto la proposición directa como la recíproca son equivalentes a las contrapositiva como inversa respectivamente.
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Directa
Recíproca
Inversa
Contrapositiva
p
Q
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
F
V
V
V
V
Equivalente
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1.7
Negación de una proposición condicional.
Si negamos la proposición p ~[( p
q
q)] ~[(~ p q)]
p
~q (Doble negación y de Morgan)
Ejemplo
Negar la siguiente proposición
r: Si la contaminación aumenta, entonces existirá restricción vehicular adicional.
Se tiene: p:
la contaminación aumenta
q:
existirá restricción vehicular adicional
~r:
La contaminación aumenta y no existirá restricción vehicular adicional
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1.8
Demostraciones.
Por lo general se utilizan cuatro métodos para demostrar tautologías: tablas de verdad, método algebraico, reducción al absurdo y contraposición. 1.8.1 Tablas de Verdad
Agreguemos aquí un par de ilustraciones del método de Tablas de Verdad que ya hemos utilizado Ejemplo
Demostrar la siguiente tautología
1. Demostración: p V V V V F F F F
q
r V V F F V V F F
p q p r V F V F V F V F
u V V V V V V F F
w V F V F V V V V
uw t V F V F V V F F
~ r t ~r s q F V F V F V F V
s F F F F F V F F
V V V V V V V V
Observe ahora, que para escribir ordenadamente todos los posibles valores de p, q, r respectivamente hemos ido (de izquierda a derecha) de cuatro en cuatro ( VVVV, FFFF,…) ,de dos en dos (VVFFVV…) y de uno en uno (VFVFVF…) y la tabla tendrá = 23 = 8 filas.
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2. Vamos a repetir la tabla anterior, ahora en una disposición más simple (no recomendamos esta versión, sino hasta conocer bien la forma anterior). Demostración:
[( p
V V V V F F F F
V V V V V V F F
q) V V F F V V F F
( p
V F V F V V F F
V V V V F F F F
V F V F V V V V
r ) V F V F V F V F
F F F F F V F F
~ r )]
F V F V F V F V
V V V V V V V V
q V V F F V V F F
1.8.2 Método algebraico.
Demostrar la tautología
(Conmutatividad)
(Doble negación)
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1.8.3 Reducción al absurdo.
La Reducción al Absurdo es uno de los métodos más usados para hacer demostraciones matemáticas. La idea es suponer que la proposición que queremos demostrares falsa, y a partir de esta suposición, usando deducciones matemáticas, llegar a una contradicción o algo absurdo, lo cual implica que nuestra proposición es necesariamente cierta. Ejemplo
1.
Demostrar p q p
Supongamos que p q p es falsa
2. Luego se tiene que p (definición de ) 3. Para que p verdaderas.
q es verdadero y q es falso
q sea verdadero, es necesario que p y q sean
4.
Pero por paso 2. q es falso. Esto es una contradicción
5.
Luego no es posible que p q p sea falsa
6.
En consecuencia p q p debe ser verdadera.
1.8.4 Contraposición.
Si tenemos que demostrar que una proposición p implica una proposición q (es decir, si se da p, se tiene que dar q), a veces es más sencillo demostrar que si no se da q, entonces no puede cumplirse p.
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Esto se conoce como demostración por contraposición . Nótese que " p implica q" y "no q implica no p" son proposiciones equivalentes. Este método se usa poco para probar tautologías, pero se le utiliza con frecuencia en otras áreas de las matemáticas. 1.9
Cuantificadores.
1.9.1 Funciones proposicionales y conjunto de validez
Sea A un conjunto dado, explícita o implícitamente. Una función proposicional sobre A es una expresión que se denota por p(x) que tiene la propiedad de que p(a) es verdadera o falsa para todo a que está en A. Ejemplo
Sea p(x): x + 2 > 7, así, pues, p(x) es una función lógica sobre IN .
Si p(x) es una función proposicional sobre un conjunto A, entonces el conjunto de elementos a , que tienen la propiedad p(a) es verdadera, se llama conjunto de validez de p(x) Los cuantificadores nos permiten construir proposiciones a partir de funciones proposicionales ya sea particularizando o generalizando.
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a) Cuantificador Universal ( )
Si p(x) es una función proposicional y U un conjunto, entonces se tiene que : para cada x U se cumple la condición p(x). Este hecho lo simbolizaremos por: (∀x U ) p(x), o bien ∀x U : p(x) b) Cuantificador Existencial ( )
Si p(x) es una función proposicional y U un conjunto, entonces se tiene que existe por lo menos un x U , para el cual se cumple la condición p(x). Este hecho lo simbolizamos por: ( x U ) p(x), o bien x U : p(x) Ejemplo
Sea A ={1, 2, 3, 4, 5}.Determine el valor de verdad de cada uno de los siguientes enunciados
a) (∃x A)(x+3 =10) Sol: Es falso porque ningún número de A es una solución de x + 3 = 10 b) (∀x A)(x+3< 10) Sol: Es Verdadero. Cualquier número de A cumple que x + 3< 10
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1.7.3 Negación de proposiciones con cuantificadores Proposición
Negación
Todos cumplen
No todos cumplen, algunos no cumplen
Algunos cumplen
Todos no cumplen, ninguno cumple,
Ejemplos
Escriba la negación de cada proposición
a) Algunos estudiantes están inscritos en los registros electorales Ya que algunos significa al menos uno, la proposición anterior es lo mismo que al menos un estudiante está inscrito en los registros electorales. La negación de esto es: Ningún estudiante está inscrito en los registros electorales . b) Algunos estudiantes no están inscritos en los registros electorales Esta proposición afirma que al menos un estudiante, no está inscrito en los registros electorales. La negación de esto sería: Todos los estudiantes están inscritos en los registros electorales
c) Ningún estudiante está inscrito en los registros electorales Esta proposición afirma que todos los estudiantes no están inscritos, cuya negación sería: Algunos estudiantes están inscritos en los registros electorales MATEMÁTICA I: ELEMENTOS DE LÓGICA PROPOSICIONAL
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Definición
Sea p(x) una función proposicional con extensión A, entonces: ~(∀x A) p(x ) ≡ (∃x A) ~ p(x) ~(∃x A) p(x ) ≡ (∀x A) ~ p(x)
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1. Decida si cada una de las siguientes oraciones es o no una proposición: a) El 7 de Diciembre de 1941 fue Domingo. b) 6+ 5 = 12 c) Tenga un feliz día. d) Caracas es la capital de Venezuela. e)¿Habla Usted inglés? f ) x es mayor que y. g) 18 es un número primo. 2.
Decida si cada una de las siguientes proposiciones es Verdadera o Falsa: a) Todo número entero es número natural. b)
57
c) 6 es un número primo. d) 15 es un múltiplo de 5.
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3.
e) El número 2 es racional Sean p: “Hace frío” y q: “Está lloviendo”. Describir con un enunciado verbal las siguientes aseveraciones: a) ~ p d) q p g) ~ p ~q
4.
b) p ^ q e) p ~q h) p
c) p q f) q ~ p i) ~~q
Sea p :“Él es rico” y sea q: “ Él es feliz”. Escriba en simbólica los siguientes enunciados.
forma
a) Él no es rico ni feliz. b) No ser rico es no ser feliz c) Uno nunca es feliz, si es rico d) Él no es rico, pero feliz. e) Él no puede ser rico y feliz. f) Si él no es feliz, no es rico. g) Ser rico es lo mismo que ser feliz
5.
Determinar el valor de verdad de los siguientes enunciados a)
Si 5 < 3 entonces – 3 < -5
b)
No es verdad que 2 +2 = 4 ó 3 + 5 = 6
c)
Es verdad que 2+2 ≠ 4 y 3 + 3 = 6.
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d) 6.
7.
No es verdad que 2+ 7 = 9 si, y solo si, 2 + 1 = 5 implica 5 +5 = 8.
Escriba la negación de cada uno de los enunciados siguientes. De la manera más simple posible. a)
Él es alto, pero galán.
b)
Él no es rico ni feliz.
c)
Si caen los precios de las acciones, aumenta el desempleo.
d)
Él tiene el cabello rubio u ojos azules.
e)
Si aumenta la demanda, esto implica que aumenta la oferta y viceversa
Sean p, q y r proposiciones, tales que: p es V , q es V
, r es F .
Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) p q p q c) 8.
r q
q p
b)
p q p r
d) p r q r
Sean p, q y r proposiciones, tales que: p es V , q es F
, r es V . Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
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a) p q q r p r
9.
10.
b)
p r q r
c) p q r p d) p r q r Construir la tabla de verdad para las siguientes proposiciones compuestas: a)
~ p ~ q
b)
p
c)
p q p q
d)
p q ~ p q
e)
p r q r
Encuentre los valores de verdad de cada proposición. Suponga que p y r son falsas y q es verdadera. a)
~r → q
b)
~r → p
c)
~ p → (q ⋀ r )
d)
(~ p ⋀ ~q) → ( p ⋀ ~r )
e)
p → q
f)
~q → r
g)
q → p
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11.
Para cada proposición directa dada, escriba la reciproca, la inversa, y la contrapositiva en la forma si... entonces. a) Si usted dirige, entonces yo lo seguiré b) La leche contiene calcio c) Cada oveja con su pareja d) Por el humo se sabe dónde está el fuego e) ~q → ~p f) ~p → q
12.
Clasifique las siguientes proposiciones Contradicción o Contingencia.
p p q
e) p q r
Tautología,
b) p q q p
a) p q p q c)
en:
d) p q p q
p r q
13.
Si la proposición [ p q ] [ p (~q r )] es verdadera. Determine el valor de verdad de la proposición p, q y r.(Propuesto en Prueba, semestre otoño 2010).
14.
Se sabe que la proposición [( p q) p] => [(r q) <=> p] es falsa. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) p, q, r
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b) [( p ~q] => (r p)] <=> [~q (r p)] 15.
Simplificar las siguientes proposiciones usando algebra de proposiciones. a) (~q r ) ~r b) ~ [ (~ p => q) ~( p ~q)] c) p [ (q ~p) => ( p ~ q)] d) [( p q) => (~ p q)] ( p =>q)
16.
Determinar el valor de verdad de cada uno de los siguientes enunciados. a) ∀ = x
17.
b) ∃
c) ∀
d) ∃
e) ∃
Negar los enunciados del problema 15. Respuestas Ejercicios de Lógica
1.
a) Es una proposición.
b) Es una proposición.
c) No es una proposición.
d) Es una proposición.
e) No es una proposición. g) Es una proposición
f) No es una proposición
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2.
a) F
3.
a) No hace frío b) hace frío y está lloviendo c) hace frío o está lloviendo d) Está lloviendo si, y sólo sí hace frío e) Si hace frío entonces no está lloviendo f) está lloviendo o no hace frío g) no hace frío y no está lloviendo h) Hace frío es equivalente a que no está lloviendo i) no es verdad que no está lloviendo.
4.
a) ~p ~q
5. 6.
a) V b) F c) F d) F a) Él no es alto o no es galán b) Él es rico o feliz los precios de las acciones y no aumenta el desempleo.
7.
a) V
b) F
c) F
d) V
8.
a) V
b) V
c) V
d) V
9. c)
b) V
c) F
d) V
b) ~p ~q
e) F
c) p=> ~q d) ~p q c) Caen
p
q
p q
p q
p q p q
V V F F
V F V F
V F F F
V V V F
V V V V
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9.
9.
12.
d)
e)
q V F V F
p q
p q
F F V V
p V V F F
V F V V
F V V F
p V V V V F F F F
q V V F F V V F F
r V F V F V F V F
p r
q r
V F V F F F F F
V V V F V V V F
p
a) Contingencia Contingencia
b) Tautología
d) Contradicción
e) Tautología
p q p q F F V F
p r q r V F V V F F F V
c)
13. p, q y r son verdaderas 14.
a ) p b) V
MATEMÁTICA I: ELEMENTOS DE LÓGICA PROPOSICIONAL
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