PROGRAMA
EGRESADOS
Guía: Sistema tridimensional
a c i t á m e t a M
Ejercicios PSU
1.
En un sistema de ejes tridimensional, el punto (3, 5, 8) corresponde a un lugar en el espacio de A) B) C) D) E)
2.
cota 3, abscisa 5, ordenada 8. cota 3, ordenada 5, abscisa 8. ordenada 3, cota 5, abscisa 8. abscisa 3, ordenada 5, cota 8. abscisa 3, cota 5, ordenada 8.
tiene coordenadas (5, 0, 0), entonces R tiene tiene coordenadas En el cubo de la gura, P tiene A) B) C) D) E)
z
(0, 5, 0) (0, 0, 5) (5, 0, 5) (5, 5, 0) ninguna de las coordenadas anteriores.
R Q
y
P x
3. 1 V 5 1 A 2 3 M E 4 3 0 G E C I U G
En la gura se muestra un cubo de arista 3 con tres de sus vértices en los ejes coordenados y uno en el origen. Si la cara lateral derecha está dividida en tres franjas congruentes, entonces las coordenadas del punto P son son A) B) C) D) E)
(0, – 3, – 2) (3, – 2, 0) (0, 3, – 1) (0, – 2, 3) (0, 3, – 2)
z y
x
P
Cpech 1
Matemática 4.
Un punto P en el espacio cumple con que su cota es tres unidades mayor que la ordenada y la abscisa es la mitad de la cota. El punto P podría ser A) B) C)
5.
(– 1, 1, – 2) (– 2, 2, – 1) (2, – 2, 1)
D) E)
(– 1, 1, 2) (1, – 1, 2)
En la gura se muestra un paralelepípedo recto con tres de sus aristas en los ejes coordenados. Si A y B son los puntos medios de dos de las aristas y el vértice P tiene coordenadas (4, – 6, – 10), entonces las coordenadas del punto A son A) B) C) D) E)
z
(4, 0, – 5) (0, – 3, – 10) (4, – 3, 0) (2, – 6, – 5) (0, – 6, – 5)
y
B A x
6.
P
En la gura se muestra un cubo de arista 1. Si el vértice T está en el eje Y , el vértice R está en el origen y el vértice S está en el eje X , ¿cuáles son las coordenadas del vértice P ? z
A) B) C) D) E)
(– 1, 1, 0) (0, – 1, – 1) (– 1, – 1, 0) (0, – 1, 1) (– 1, 0, 1)
P S y
R
T
x
7.
En la gura, A, B, C, D, E, F, G y H son los vértices de un paralelepípedo, de manera que los vértices B, D y E están en los ejes coordenados y el vértice A está en el origen. Si P es el punto medio de FH y las coordenadas del vértice G son (6, 10, 4), ¿cuáles son las coordenadas del z
punto P? A) B) C) D) E)
(3, 10, 4) (6, 5, 4) (3, 5, 4) (6, 5, 2) (3, 5, 2)
E F B x
2
Cpech
A
H
P G C
D
y
Guía 8.
Al punto P (a, b, c ) en el espacio se le realiza una simetría con respecto al eje Y , obteniéndose el punto Q. Si al punto Q se le realiza una simetría con respecto al eje Z , resulta el punto A) B) C) D) E)
9.
(– a, – b, c ) (a, – b, – c ) (– a, b, c ) (a, – b, c ) (– a, b, – c )
Sea el triángulo PQR en el espacio, cuyos vértices son P (a, 0, 0), Q(0, a, 0) y R (0, 0, b). Si a es un número positivo y 0 < b < a, entonces un valor posible para el ángulo PRQ es I) II) III)
50° 60° 70°
Es (son) verdadera(s)
10.
A)
solo III.
B) C) D)
solo I y II. solo II y III. I, II y III.
E)
ninguna de ellas.
Una de las aristas de un cubo tiene vértices (4, 2, 10) y (4, 5, 10) en un sistema de ejes tridimensional. El área del cubo es A) B) C) D) E)
11.
9 27 36 54 384
En el cubo de la gura, R tiene coordenadas (0, 0, 11), entonces el área del cubo es A) B) C) D)
726 132 121 22
E)
ninguno de los valores anteriores.
z R
Q
y
P x
Cpech
3
Matemática 12.
Una de las aristas de un cubo tiene vértices (1, 3, 7) y (1, 7, 7) en un sistema de ejes tridimensional. ¿Cuál es el volumen de este cubo? A) B) C) D) E)
13.
12 21 64 343 Faltan datos para determinarlo.
En la gura, el triángulo PQR tiene vértices P (6, 0, 0), Q(0, 6, 0) y R (0, 0, 6). ¿Cuál es el área del triángulo PQR ? A)
18�3
B)
18�2
C)
6�3
D)
6�2
E)
z R
Q
Ninguno de los valores anteriores.
y
P x
14.
(
Sean los puntos P – a,
)
– a , a y Q(– a, a, a). Si PQ es una de las aristas de un cubo, entonces 3
el área total de dicho cubo es
15.
A)
16 2 a 9
D)
8a2
B)
8 2 a 3
E)
32a2
C)
32 2 a 3
En la gura, las coordenadas de los vértices del triángulo ABC son A(2, 0, 0), B(0, 2, 0) y C (0, 0, 5). z
La altura del triángulo ABC que cae sobre el lado AB mide A)
2�6
B)
5
C)
3�3
D)
�29 �31
E)
C
B A x
4
Cpech
y
Guía 16.
En la gura, PBCN y PBAM son rectángulos tales que los puntos M B y N están en los ejes coordenados y P está en el origen. Si las coordenadas de los puntos A y C son (4, 3, 0) y (0, 3, 5), respectivamente, ¿cuál(es) de las siguientes armaciones es(son) verdadera(s)? ,
I)
AC = �41
II)
NB = �34
III)
PA
A) B)
Solo I Solo III
C) D) E)
Solo I y II Solo II y III I, II y III
≅
z
C
N
BC
P M
y
B A
x
17.
¿Cuál(es) de los siguientes puntos en el espacio se encuentra(n) a una distancia mayor que 4 del punto (– 2, 0, 1)?
18.
I) II) III)
(1, – 1, 2) (0, 2, – 2) (2, 1, 0)
A) B)
Solo I Solo II
C) D)
Solo II y III I, II y III
E)
Ninguna de ellas.
En la gura, se muestran siete cubos en el espacio con sus caras coincidentes y sus aristas en los ejes coordenados. Si las aristas de los cubos miden una unidad, ¿cuántas unidades de distancia hay entre el punto P y el punto Q? z
A) B) C) D) E)
�17 �19 �22 �24 �26
Q
P
y
x
Cpech
5
Matemática 19.
¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta de ecuación (– 5, 8, 3) + t (– 2, – 1, 4), con t en los números reales? •
A) B) C) D) E)
20.
(1, 22, 5) (– 4, 15, 1) (7, 4, 27) (– 9, 12, 11) (– 1, 10, – 5)
Si t varía en los reales, entonces la ecuación vectorial de una recta en el espacio que pasa por
los puntos (1, 0, 2) y (– 2, – 1, 1) es A) B) C) D) E)
21.
22.
(1, 0, 2) + t (– 2, – 1, 1) (– 2, – 1, 1) + t (– 1, – 1, 3) (1, 0, 2) + t (– 3, – 1, – 1) (– 2, – 1, 1) + t (3, 1, – 1) (– 2, – 1, 1) + t (1, 0, 2) •
•
•
•
•
Si la recta L en el espacio pasa por los puntos (– 4, 1, 3) y (1, – 5, 0), ¿cuál es la ecuación continua de la recta L? A)
x + 4 – y + 1 – z + 3 = = 5 6 3
B)
– x + 4 y – 1 – z + 3 = = 3 4 3
C)
x – 4 y – 1 z – 3 = = 5 6 3
D)
– x – 4 y – 1 z + 3 = = 3 4 3
E)
– x – 4 y + 1 z + 3 = = 5 6 3
Si la ecuación continua de una recta en el espacio es – x – 3 =
real, entonces su ecuación vectorial es A) B) C) D) E)
6
Cpech
(3, – 1, 0) + t (1, 2, 3) (3, – 1, 0) + t (– 1, – 2, 3) (3, 1, 0) + t (– 1, 2, 3) (– 3, – 1, 0) + t (1, – 2, – 3) (– 3, 1, 0) + t (– 1, 2, – 3) •
•
•
•
•
y – 1 – z = , y t es un número 2 3
Guía
23.
Sea L:
x + 1 – y = = z – 1 una recta en el espacio. Si el punto (4, 1, – 3) pertenece a L, b a
entonces el valor numérico de (a + b) es
24.
A)
–4
B)
– 3 2
C)
–1
D)
1 5
E)
4
Sea el triángulo de vértices P (a, 0, 0), Q(0, a, 0) y R (0, 0, b) en el espacio. Se puede determinar la medida del ángulo RQP si:
(1) (2)
∠
PRQ = 80° ∠ QPR = 50°
A) B) C) D) E)
(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.
25.
Sean los puntos P (1, m, – n) y Q(0, n, m) en el espacio. Se puede determinar la longitud del segmento PQ si:
(1) (2)
m + n = 6 m2 + n2 = 22
A) B) C) D) E)
(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.
Cpech
7
Matemática
Tabla de corrección
Ítem
Alternativa
Habilidad
1
Comprensión
2
Comprensión
3
Comprensión
4
Comprensión
5
Comprensión
6
Comprensión
7
ASE
8
Comprensión
9
ASE
10
ASE
11
Aplicación
12
Aplicación
13
Aplicación
14
Aplicación
15
Aplicación
16
ASE
17
ASE
18
Aplicación
19
ASE
20
Aplicación
21
Aplicación
22
ASE
23
Aplicación
24
ASE
25
ASE
Registro de propiedad intelectual de Cpech. Prohibida su reproducción total o parcial.
8
Cpech
