GUÍA DIDÁCTICA
UNIDAD
13
Longitudes Lo ngitudes y áreas 1
O S E
CONTENIDO
1 Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2 Su Suge gerrenc encias ias di didác dáctic ticas as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3 Actividades de ref refuerzo uerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
*Esta programación podrás encontrarla también en el CD Programación.
Programación de aula Unidad
13
Longitudes y áreas
Para finalizar con la geometría plana y una vez conocidos todos los elementos y figuras del plano, se estudian los conceptos de longitud y superficie, y se aprenden métodos y fórmulas para calcularlos. Es muy importante identificar los conceptos de perímetro y área con la medida del borde y del interior de la figura, respectivamente, y usar de forma adecuada sus unidades de medida. Se debe conseguir que los alumnos utilicen correctamente el teorema de P itágoras para calcular la hipotenusa o algún cateto de cualquier triángulo rectángulo, y reconocer situaciones que requieran de su uso para calcular distancias, así como resolverlas. Por ello es importante que dominen los contenidos referidos a la resolución de ecuaciones También es importante establecer la utilidad de las fórmulas para calcular el área de las figuras planas sencillas, puesto que agilizan dicho cálculo y permiten hallar el área de otras figuras más complejas que se obtienen mediante composición o descomposición de aquellas.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
OBJETIVOS
1.1
1.2
1.
Emplear el teorema de Pitágoras y las fórmulas adecuadas para obtener distancias, perímetros o áreas de figuras planas.
1.3
1.4
1.5
2.
Resolver problemas geométricos relacionados con la vida cotidiana en los que intervengan longitudes, perímetros y áreas, utilizando los procedimientos y estrategias adecuados.
2.1
Calcular de la forma más sencilla y rápida el perímetro de las figuras planas. Estimar y calcular medidas indirectas utilizando el teorema de Pitágoras. Reconocer triángulos rectángulos utilizando el teorema de Pitágoras. Utilizar las fórmulas y procedimientos adecuados para el cálculo directo del área de las figuras planas más elementales. Reconocer, dibujar y describir las figuras planas como resultado de la composición de otras más sencillas.
COMPETENCIAS BÁSICAS
• Lingüística • Matemática • Interacción con el mundo físico • Social y ciudadana • Cultural y artística • Tratamiento de la información y competencia digital • Aprender a aprender
Aplicar las fórmulas del cálculo de distancias, perímetros y áreas de figuras planas elementales para resolver problemas relacionados con el entorno.
CONTENIDOS • Perímetro y área de una figura plana • Teorema de Pitágoras • Cálculo de medidas indirectas • Identificación de triángulos rectángulos • Área del rectángulo y del cuadrado • Área del paralelogramo y del triángulo • Área del trapecio • Área de polígonos regulares • Triangulación de un polígono
2
Unidad 13
Longitudes y áreas
• Área de un polígono irregular • Longitud de una circunferencia • Longitud de un arco de circunferencia • Área del círculo • Área de una corona circular • Área de un sector circular • Cálculo de áreas por composición • Cálculo de áreas por descomposición
Programación de aula
ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1.
Conocimientos previos
Para el correcto cálculo de longitudes y áreas de figuras planas es necesario que los alumnos dominen las unidades de longitud y superficie del Sistema Métrico Decimal, en especial lo referente al cambio de unidades. El cálculo de medidas indirectas a través del teorema de Pitágoras implica que los alumnos recuerden la resolución de ecuaciones y el cálculo de raíces cuadradas. 2.
Previsión de dificultades
La principal dificultad la vamos a encontrar en la comprensión y aplicación del teorema de Pitágoras. De entrada, a los alumnos les cuesta distinguir los catetos de la hipotenusa en un triángulo rectángulo, así como asimilar que el teorema relaciona una variable de longitud (los lados del triángulo rectángulo) con una variable de superficie (la superficie de los cuadrados que tienen por lado los lados del triángulo rectángulo en cuestión). 3.
Vinculación con otras áreas
Como en todas las unidades de geometría, los contenidos de esta unidad están íntimamente relacionados con los de Educación Plástica y Visual. También encontraremos relación con las ciencias sociales, al ser Pitágoras uno de los matemáticos más destacados de la cultura griega. 4.
Esquema general de la unidad
El estudio de la geometría plana se completa en este nivel con el cálculo del perímetro de los polígonos, la longitud de la circunferencia y el área de todas las figuras planas. Comienza la unidad con el significado y definición de perímetro de un polígono y las unidades de medida con que se expresa. Y continúa con el cálculo de longitudes, introduciendo el teorema de Pitágoras como un método para obtener medidas indirectas. En concreto, se aplica al cálculo de la distancia entre dos puntos que junto con otro forman un triángulo rectángulo. Finalizadas las medidas de longitud se define el concepto LONGITUDES Y ÁREAS de área, determinando el metro cuadrado como unidad de medida de superficie. Área de una Perímetro de Seguidamente, mediante ejemplos sencillos, se muessuperficie figuras planas tran las fórmulas que permiten calcular el área de los polígonos, agrupados en ocasiones por la relación entre sus áreas: rectángulo y cuadrado, paralelogramo y triánTeorema de Área de Área del círculo y gulo, trapecio, polígonos regulares e irregulares, círcuPitágoras polígonos figuras circulares lo y figuras circulares. Termina con el cálculo del área de figuras planas que se obtienen por composición o descomposición de las Cálculo de áreas por composición y descomposición anteriores. 5.
Temporalización
Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en 12 sesiones: 1.ª Introducción. Perímetro y área de una figura plana. 2.ª Medidas indirectas. Teorema de Pitágoras. 3.ª Área del rectángulo, del cuadrado, del paralelogramo y del triángulo. 4.ª Área del rombo y del trapecio. 5.ª Área de polígonos regulares. 6.ª Triangulación. Área de polígonos irregulares. 7.ª Longitud de figuras circulares. 8.ª Área de figuras circulares. 9.ª Cálculo de áreas por composición y descomposición. 10.ª y 11.ª Actividades de repaso y consolidación. 12.ª Trabajo en competencias mediante la doble página final de la unidad. En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.
Longitudes y áreas
Unidad 13
3
Programación de aula
CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística La comprensión del texto de los diferentes epígrafes es básica para adquirir las destrezas que se persiguen, por lo que esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad. En particular, la sección “Pon a prueba tus competencias” y, en general, los problemas con enunciado contextualizado desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en la subcompetenciacomunicación escrita.
Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, trabajando de forma más detallada las subcompetencias resolución de problemas y uso de elementos y herramientas matemáticos.
Competencia para la interacción con el mundo físico En las sugerencias didácticas se detalla cómo poder desarrollar la subcompetenciaconocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico.
Competencia social y ciudadana La situación de los descubrimientos matemáticos que aparecen en la unidad permite trabajar el indicador conocer y comprender la realidad histórica y social del mundo y su carácter evolutivo de la subcompetencia desarrollo personal y social.
Competencia cultural y artística El diseño de sombreros con formas geométricas que aparece en las páginas de “Pon a prueba tus competencias” permite desarrollar la subcompetencia expresión artística.
Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas.
Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las secciones de “Autoevaluación” y “Aprende a pensar”, se puede trabajar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de construcción del conocimiento. Asimismo, los problemas de cálculo de áreas por composición y descomposición facilitan trabajar de una forma más concreta el descriptor relacionar la información e integrarla con los conocimientos previos y la propia experiencia.
Otras competencias de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno un ejercicio reflexivo y crítico. En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunas actividades de reflexión y debate.
4
Unidad 13
Longitudes y áreas
Programación de aula
TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDAD A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad, en concreto, sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.
COMPETENCIA
SUBCOMPETENCIA
DESCRIPTOR
DESEMPEÑO
1. nivel de concreción
2.º nivel de concreción
3. nivel de concreción
4.º nivel de concreción
er
er
– Muestra interés por la lectura. Adquirir el hábito de la lectura y aprender a disfrutar con ella considerándola fuente de placer y conocimiento.
Lingüística
Comunicación escrita.
Leer, buscar, recopilar, procesar y sintetizar la información contenida en un texto para contribuir al desarrollo del pensamiento crítico.
Pon a prueba tus competencias: Interpreta y concluye – Extrae información matemática de un texto y la aplica con diferentes fines.
Desarrolla tus competencias Problemas Pon a prueba tus competencias: Interpreta y concluye
Utilizar las matemáticas para el estudio y comprensión de situaciones cotidianas.
– Cálculo de áreas y longitudes en un contexto cotidiano.
Seleccionar las técnicas adecuadas para calcular resultados, y representar e interpretar la realidad mediante medidas matemáticas.
– Construcción de figuras geométricas
Uso de elementos y herramientas matemáticos.
Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos (distintos tipos de números, medidas, símbolos, elementos geométricos, etc.) en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana.
– Aplica las fórmulas del cálculo de áreas.
Interacción con el mundo físico
Conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico.
Conocer y valorar la aportación del desarrollo de la ciencia y la tecnología a la sociedad.
– Valora y aprecia el descubrimiento del teorema de Pitágoras.
Social y ciudadana
Desarrollo personal y social.
Conocer y comprender la realidad histórica y social del mundo y su carácter evolutivo.
– Sitúa a Pitágoras en su época.
Expresión artística.
Realizar representaciones artísticas de forma individual y cooperativa.
Resolución de problemas.
Matemática
Cultural y artística
Tratamiento de la información y competencia digital
Obtención, transformación y comunicación de la información.
En toda la unidad
En toda la unidad Pon a prueba tus competencias: Interpreta y concluye
En toda la unidad
Epígrafe 2 – Diseña figuras geométricas.
Pon a prueba tus competencias: Imagina y construye – Busca en diferentes páginas de internet para complementar la información.
Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.
En la red Desarrolla tus competencias – Visita la página librosvivos.net
Actividades 20, 34 y 45, organiza tus ideas, autoevaluación Aprender a aprender
Construcción del conocimiento.
Relacionar información e integrarla con los conocimientos previos y con la propia experiencia.
– Calcula áreas por composición y descomposición.
Actividad 72
Longitudes y áreas
Unidad 13
5
Programación de aula
EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos permiten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores: • Educación para la igualdad: actividad 74. • Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar laeducación para la convivencia y la educación en comunicación.
ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD En este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y permiten trabajar la diversidad del alumnado. • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.
MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores
• Cuaderno de Matemáticas básicas. – Unidad 5. Polígonos y círculos. Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso s o c i f á r g o i l b i B
• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 1.° de ESO. SM
– Unidad 5. Geometría. • Cuadernos de matemáticas. 1.° de ESO: N.° 5: “Geometría”. – Unidad I: Elementos geométricos del plano. – Unidad II: Polígonos. • Cuaderno de Matemáticas para la vida. 1.° de ESO. – Los mil y un centros del triángulo.
Otros SM t e n r e t n I
NELSEN, R.: Demostraciones sin palabras. Granada, Proyecto Sur, 2001. www.smconectados.com www.librosvivos.net
Página en la que aparecen varios puzles pitagóricos que permiten realizar una demostración visual del teorema: Otros
www.e-sm.net/1esomatprd25
Unidad interactiva de perímetros y áreas: www.e-sm.net/1esomatprd26 s e s l i o a r r t e O t a m
6
Unidad 13
Película Donald en el país de las matemágicas. El comienzo de esta película se sitúa en la época de Pitágoras y describe brevemente las aportaciones matemáticas que hicieron los pitagóricos. El programa GeoGebra es muy útil para realizar construcciones que demuestran el teorema de Pitágoras.
Longitudes y áreas
Sugerencias didácticas Entrada Para que los alumnos tengan clara la idea de lo que es un patrón, podríamos llevar al aula revistas de patrones, dividir la clase en cuatro grupos y distribuir a cada uno de ellos una de las láminas que aparecen en las revistas con los diferentes patrones. Les pediríamos que seleccionasen uno de los modelos de la revista y que, con las indicaciones que en ella aparezcan, marcasen en la “maraña” de patrones el correspondiente a su modelo elegido. Una vez que lo tuvieran marcado, trasladarían, a escala, el patrón en un folio y les pediríamos que reconocieran en él figuras planas.
Desarrolla tus competencias 1.
Los alumnos deberán interpretar la figura del patrón de la falda, indicando a qué parte del cuerpo pertenece cada una de las medidas que en ella se indican.
2.
Una vez que los alumnos hayan realizado sus patrones, los agruparemos juntando a aquellos que hayan diseñado el patrón de la misma prenda para que los comparen entre sí y decidan cuál sería el adecuado.
3.
4.
Esta actividad ayudará a que los alumnos enriquezcan su vocabulario y les pediremos que, además de estos conceptos, busquen todos aquellos que aparecen en el texto, y de los cuales no conozcan su significado. Esta última actividad puede servirnos para poner de manifiesto la necesidad de tener un patrón de medidas para poder comparar.
1. Perímetro y área de una figura plana • Conviene que los alumnos obtengan el perímetro de algunos objetos mediante medida directa para que comprendan el significado de la palabra perímetro. • También es interesante que les propongamos actividades con polígonos regulares e irregulares. Ellos encontrarán la forma de simplificar el cálculo del perímetro utilizando la multiplicación en lugar de la suma en el caso de las figuras regulares. • Se pueden utilizar geoplanos o poliminós para que comprendan no solo el significado del área, sino también la importancia de la unidad de medida utilizada: no es lo mismo tomar como unidad un cuadrito o uno de los triángulos rectángulos en que se puede dividir. Así comprobarán que la superficie es la misma, pero la medida varía dependiendo de la unidad elegida. • Con esos mismos materiales se puede estudiar cómo figuras que encierran superficies distintas tienen la misma área o cómo figuras de igual perímetro encierran superficies diferentes. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
1 a 3 y 46
Medio
4, 47 y 48
Alto
86
2. Medidas indirectas: teorema de Pitágoras • Es interesante que los alumnos realicen la comprobación gráfica del teorema de Pitágoras, dibujando y midiendo, recortando o con el ordenador, utilizando alguna de las páginas que hay en internet. Es más fácil recordar las fórmulas si se hace alguna práctica que contribuya a su comprensión. • Por otro lado, se deben realizar muchos ejercicios para utilizar la fórmula correctamente: En el cálculo de la hipotenusa no suelen tener dificultades, solo algún problema al despejarla de la igualdad final y en particular cuando no toma un valor entero; por ejemplo: a2 = 30. • En el caso en que se utilice para calcular la medida de un cateto, se plantean problemas al despejar. Es importante hacerles razonar las relaciones de la fórmula: si aparece, por ejemplo, c2 + 16 = 25, explicarles que hay que encontrar un valor para c2 que sumado a 16 dé 25, y que ellos deduzcan cómo se obtiene. • Se debe insistir en que los alumnos realicen dibujos que representen las situaciones planteadas en los problemas, que busquen en ellos triángulos rectángulos y que anoten los datos y lo que deben calcular. • Proponer actividades variadas con un grado de dificultad cada vez mayor. Así se animarán a enfrentarse a los problemas y a aprender el mecanismo de resolución. • Como contenido de ampliación puede considerarse la clasificación de triángulos en acutángulos, rectángulos y obtusángulos a partir del teorema de Pitágoras. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
6 a 8, 49, 50, 74 y 77
Medio
9, 10 y 51 a 54
Alto
55, 56 y 87
Podemos aprovechar este epígrafe para que los alumnos busquen en la red información sobre la vida y obras de Pitágoras, situándolo en el siglo que vivió. Para completar esta información podemos ponerles el fragmento de la película Donald en el país de las matemáticas en el que se narra la historia de los pitagóricos. Además, para que vean la importancia que ha tenido Pitágoras, podemos pedirles que hagan una encuesta, en su barrio o en su comunidad de vecinos, preguntando por nombres de matemáticos. Una vez realizadas las encuestas contabilizaremos las veces que ha salido Pitágoras en ellas y nos quedaremos asombrados.
3. Área del rectángulo y del cuadrado • En lugar de darles la fórmula para calcular el área del rectángulo, se les pueden proponer ejercicios en los que tengan que hallar el área de rectángulos de distintas medidas contando cuadritos como en el epígrafe anterior. A partir de los resultados, ellos deducirán una forma rápida para obtener esa área. Longitudes y áreas
Unidad 13
7
Sugerencias didácticas
• La fórmula del área del cuadrado se puede obtener de la misma forma o como se indica en el epígrafe, teniendo en cuenta que es un rectángulo con todos los lados iguales. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
12, 57 a, 58 a, 73 y 75
Medio
13 a 15, 79 y 81
Alto
85 y 88
4. Área del paralelogramo y del triángulo • Siempre es interesante intentar que los alumnos deduzcan las fórmulas mediante métodos sencillos. En este caso se puede utilizar el ejemplo del epígrafe pidiéndoles que dibujen el paralelogramo y recorten el triángulo rectángulo de la izquierda para que al colocarlo a la derecha comprueben que se forma un rectángulo de igual base y altura que el paralelogramo inicial. • Otra opción es que el profesor prepare la actividad y, mediante transparencias, realice él mismo ese proceso. También sería interesante preparar una animación con GeoGebra. • De igual forma (realizado por los alumnos o con las transparencias) se puede actuar con el triángulo demostrando que su área es la mitad de la del paralelogramo, y con el rombo indicando que su área es la mitad del paralelogramo que tiene por dimensiones las diagonales del rombo. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
17, 57 b y 58 b
Medio
18, 19, 59, 61 a y 80
Alto
63 b y 64 a
5. Área del trapecio • De nuevo se puede recortar y pegar para obtener una figura de área conocida. En este caso, siguiendo las instrucciones del epígrafe y colocando de forma consecutiva e invertida un trapecio, se obtiene un paralelogramo que tiene la misma altura que el trapecio y cuya base es la suma de las dos bases del trapecio. • Es más interesante si la actividad la realizan los alumnos, pero también es un buen recurso la utilización de transparencias, puesto que el proceso es seguido por todos de una forma más constructiva que si se observa el dibu jo del libro o en la pizarra. ACTIVIDADES POR NIVEL
8
Básico
22
Medio
23 y 61 b
Alto
63 a
Unidad 13
Longitudes y áreas
6. Área de polígonos regulares • Es conveniente e interesante que los alumnos observen que las fórmulas surgen por un proceso de construcción de figuras de área conocida. • En los polígonos regulares resulta algo complicado obtener la fórmula, por eso lo mejor es centrarnos en el hexágono regular (es el más sencillo de dibujar) y realizar la triangulación del mismo desde su centro. Una vez ob tenida el área de cada triángulo, basta sumar el área de todos y hacer ver a los alumnos que el resultado está relacionado con el perímetro del polígono. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
25 y 26
Medio
62
7. Área de polígonos irregulares • En los polígonos irregulares se puede insistir en la triangulación, pero no siempre es posible conocer la base y la altura de los triángulos obtenidos. Por eso se les puede orientar para que intenten descomponer la figura en otras más sencillas de medidas conocidas para calcular el área de cada una de ellas. ACTIVIDADES POR NIVEL Medio
27, 60 y 82
Alto
28 y 65
8. Longitudes de figuras circulares • Muchos alumnos ya conocen (y presumen de ello) la fórmula para hallar la longitud de una circunferencia. Por eso hay que insistir, sobre todo, en que la comprendan. Si es posible, sería conveniente realizar experiencias como las que se proponen en el epígrafe del libro, para que mediante la toma de distintas mediciones comprueben de un modo experimental que en cualquier c ircunferencia, la relación entre la longitud y el diámetro es algo mayor que 3. Para ello llevaremos al aula botes de refrescos, platillos de los que se lanzan, etc. Llevaremos además lana de colores para repartir entre los alumnos y que así puedan medir el contorno de todos estos objetos. • También hay que hacer mucho hincapié para que sepan utilizar la fórmula tanto si se tiene la longitud del radio como si se tiene la del diámetro. • Hay que insistir en que el valor de π es aproximado: tomamos 3,14, pero en ningún caso se trata de un valor exacto, ya que π tiene una cantidad ilimitada de cifras decimales. • La longitud del arco de un sector circular se puede trabajar como aplicación de la fórmula anterior utilizando una proporción con los grados del sector. • Cuando se trata de calcular la longitud del arco de un sector circular correspondiente a un cuarto de círculo o a un semicírculo, basta con dividir la longitud de la circunferencia de igual radio por 4 o por 2, respectivamente.
Sugerencias didácticas
ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
29 a 32, 66 y 76
Medio
33 y 67
Alto
48 y 84
9. Área de figuras circulares • Aunque algunos alumnos conocen también la fórmula para hallar el área del círculo, la mayoría suele confundirla con la de la longitud de la circunferencia. Para que las asocien correctamente sería práctico que identificasen las unidades que resultan en cada caso: 2 ⋅ π ⋅ r dará unidades de longitud, y π ⋅ r 2 dará unidades de superficie.
Organiza tus ideas Para ayudarles en la elaboración del esquema de la unidad se les puede pedir que: 1. Distingan dos conceptos: longitud y área. 2. Agrupen en el concepto de longitud los epígrafes de la unidad relacionados con él y añadan un ejemplo de cada uno de ellos. 3. Definan el concepto de área y sus unidades de medida, y después, dibujen cada una de las figuras planas que aparecen en la unidad y a su lado escriban la fórmula que permite obtener su área y un ejemplo.
Actividades de ampliación
• Para obtener el área de la corona circular pueden calcular y colorear el área del círculo mayor. Después, señalar con otro color o con rayas o puntos la zona que hay que quitarle para que solo quede la corona. Observarán que es el área del círculo más pequeño y entonces se escribe la fórmula.
Con estas actividades desarrollamos las competencias de aprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades.
• Para el sector circular hay que partir de que el círculo tiene 360° y, desde este hecho, realizar una proporción.
Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias para resolver los problemas, dado que estos no son guiados ni se ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo que puede resultarles muy estimulante, aunque al comienzo les asuste un poco.
ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
36, 37, 69 y 70
Medio
38, 71, 78 y 83
Alto
89
10. Cálculo de áreas por composición • Para calcular el área de figuras planas no elementales, se dividirá la figura en figuras de las que se conozca la fórmula del área, para posteriormente calcular el área de cada una de estas figuras y dar el área de la figura original como la suma de estas áreas. El problema que puede surgir aquí es que los alumnos dividan la figura de formas distintas, pero comprobarán que el resultado final es el mismo. ACTIVIDADES POR NIVEL Medio
40, 41, 72 a, b, c y d
11. Cálculo de áreas por descomposición • A menudo, la figura de la que tenemos que calcular el área proviene de una figura conocida a la que se le han quitado figuras conocidas y calcular el área resulta muy rápido como resta de áreas de figuras conocidas. • Conviene realizar el ejercicio resuelto 42 descomponiendo la figura en un triángulo y tres rectángulos, y que ellos vean que es más corto el procedimiento aplicado en el libro. ACTIVIDADES POR NIVEL
72.
Básico
43
Medio
44, 72 e y f
Para realizar esta actividad podríamos dibujar cada una de las figuras en la pizarra y pedir que salgan voluntariamente alumnos a la pizarra para resolverlas y que vayan contando a sus compañeros cómo lo van haciendo.
Pon a prueba tus competencias IMAGINA Y CONSTRUYE: PATRONES DE CABEZA
Aprovecharemos esta actividad para fomentar la lectura entre nuestros alumnos. Seguro que muchos de ellos tienen el libro de Harry Potter y la piedra filosofal y podemos pedirles que lleven varios ejemplares a clase y leer en voz alta el pasaje de la primera cena en Hogwarts. Para realizar las actividades es preciso que dibujen en una cartulina negra todas las piezas, empleando para ello tiza blanca. Antes de realizar el montaje del sombrero, nos detendremos en el sector circular y calcularemos su área. INTERPRETA Y CONSTRUYE: LA PARCELA
Para realizar esta actividad indicaremos a los alumnos que realicen una tabla con dos filas y dos columnas. Les diremos que lean atentamente cada uno de los anuncios y que anoten en las celdas los datos correspondientes a cada uno de ellos. A continuación, en la misma celda calcularán el precio del metro cuadrado de cada terreno. De este modo organizarán y ordenarán toda la información y podrán contestar con facilidad a las actividades. OBSERVA Y CALCULA: EL TEOREMA DE PICK
Para realizar esta actividad sería conveniente llevar al aula una plantilla de geoplano donde habremos dibujado previamente el primer polígono. De esta manera podrán marcar sin problemas los nudos sobre ella. Una vez que hayan comprobado que el área es de 28 cm2, podemos pedirles que recorten la figura de tal manera que puedan construir un rectángulo de 7 cuadrados de ancho por 4 de largo. Para calcular el área de los tres polígonos que aparecen en la actividad, en primer lugar los dibujarán en el geoplano que les hayamos entregado y a continuación aplicarán el teorema de Pick. Longitudes y áreas
Unidad 13
9
Actividades de refuerzo Unidad
13 Longitudes
y áreas
ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Es importante que los alumnos comprendan la diferencia entre perímetro y área, y utilicen correctamente sus unidades de medida. Además deben aprender el teorema de Pitágoras y calcular uno de los lados de un triángulo rectángulo a partir de los otros dos. También deben conocer y aplicar adecuadamente las fórmulas que permiten obtener el área de los polígonos y del círculo. • Proponer actividades para comprobar que conocen el significado de perímetro y de área. Por ejemplo: colorear la superficie de las figuras, pintar de rojo el perímetro o unir mediante flechas esas palabras con distintas unidades de medida. • Utilizar el teorema de Pitágoras para comprobar si un triángulo es rectángulo. • Realizar muchos ejercicios de aplicación del teorema de Pitágoras para que aprendan el mecanismo que permite obtener un cateto, conocidos el otro y la hipotenusa. • Permitirles utilizar el esquema de la unidad hasta que aprendan las fórmulas del cálculo del área de figuras planas. • Plantear problemas sencillos que tengan relación con la vida cotidiana. • Insistir en que realicen dibujos y anoten lo conocido y lo desconocido.
ACTIVIDAD DE GRUPO Mide y calcula tu entorno Puede ser una actividad a realizar dentro o fuera del aula, pero siempre es más motivador salir, al menos al patio. En caso de que no sea factible la salida, utilizar los elementos que proporciona el aula para realizarla. En todos los centros suele haber un campo de deportes donde se puede practicar fútbol, baloncesto, balonmano… El más interesante por la variedad de figuras planas que presenta es el de baloncesto, pero cada grupo se puede encargar de uno distinto, y así trabajarán más cómodos. El objetivo es que calculen el perímetro y el área de toda s las figuras planas que se encuentran pintadas en el suelo. Para ello: • Organizar a los alumnos en grupos de tres o cuatro personas. • Cada grupo llevará una cinta métrica, un cuaderno y un lapicero. • Dibujarán en el cuaderno el contorno, las zonas, los círculos… y cualquier otra figura plana que encuentren, anotando en ella las medidas necesarias para el posterior cálculo de áreas y perímetros. • Después, en clase, harán todos los cálculos y expondrán el trabajo al resto de compañeros, explicándoles qué tipo de polígonos y figuras circulares han encontrado, qué medidas tienen, cuáles necesitan para calcular el perímetro y cómo lo han hecho, qué otras han necesitado hallar para obtener el área y cómo las han averiguado…
SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1.
3.
140 mm
m d 8 , 1 3 dm
15 cm
45 cm
9,6 dm
9,42 dm
1120 mm
cm
dm
dm
mm
2
2
2
cm 2.
a) 5 cm
dm
Triángulo
Pentágono
Cuadrado
Rectángulo
2
2
1
Trapecio
1
2
6
Rombo
2
0
9
STOP
3 dm
dm
2
mm
b) 12 dm
En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.
10
Unidad 13
Longitudes y áreas
Más recursos en tu carpeta
ACTIVIDADES de REFUERZO Unidad 1.
13
Longitudes y áreas
Dibuja el perímetro en rojo y la superficie en azul, y completa la siguiente tabla: 140
1,8 dm
FIGURA
mm
STOP
3 dm
3 dm
15 cm
Perímetro Unidad de medida del perímetro Unidad de medida de la superficie
2.
Marca con una cruz la respuesta correcta. a) Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 y 4 cm, la hipotenusa mide:
5 cm
8 cm
6 cm
b) Si la hipotenusa mide 13 dm, y un cateto, 5 dm, el otro cateto mide:
10 cm 3.
16 dm
12 dm
En el siguiente crucigrama debes escribir un dígito en cada cuadro de manera que en horizontal y vertical aparezca el área de las figuras que hay dibujadas en cada fila y en cada columna.
8 cm
8 dm 53 cm 11 dm
13 cm
13 dm
17 dm 12 cm 9 cm 16 cm e l b a i p o c o t o f
19 cm
a n i g á P
22 cm
Longitudes y áreas
Unidad 13
11
Actividades de ampliación Unidad
13 Longitudes
y áreas
ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Como estos alumnos utilizan correctamente el teorema de Pitágoras, lo que deben conseguir es aplicarlo a la resolución de actividades y problemas en los que sea necesario calcular una distancia como paso intermedio para obtener la solución. Y puesto que también conocen y aplican las fórmulas del cálculo de áreas de figuras planas, han de avanzar en este sentido y ser capaces de obtener el área de figuras circulares y de otras que son el resultado de la composición y descomposición de figuras más sencillas. • Mostrar el teorema de Pitágoras como un método para calcular medidas indirectas necesarias en la resolución de problemas. • Proponer problemas relacionados con la vida cotidiana insistiendo en que hagan un esbozo de la situación y anoten los elementos conocidos y desconocidos, así como las fórmulas que los relacionan. • Animarles en la búsqueda de distintas formas de descomposición de una figura para calcular su área. • Utilizar el arte y la naturaleza como elementos geométricos susceptibles de ser medidos. • Realizar alguna actividad fuera del aula, como, por ejemplo, un paseo por los alrededores del centro, para buscar la geometría en la calle.
ACTIVIDAD DE GRUPO Logotipos
Se trata de que los alumnos observen cómo las matemáticas están en cualquier rincón. En este caso estudiaremos la geometría a nuestro alrededor. Se propone a los alumnos que busquen en la prensa algunos de los logotipos de las marcas de coches para estudiar su diseño geométrico. • Organizamos a los alumnos en grupos de tres o cuatro personas. • Cada grupo debe tener varios logotipos. Si no han encontrado ninguno, se lo podemos facilitar nosotros. • Deben descomponer los logotipos en figuras planas más sencillas y clasificarlas; después deben calcular las dimensiones de sus lados para seguidamente proponerles calcular el perímetro y el área de cada uno de ellos. • En el último logotipo aparecen tres sectores circulares iguales. ¿Cuál es el área de cada uno de ellos?
NISSAN
Se puede complicar el ejercicio si les pedimos que nos digan si algún logotipo se ha conseguido por medio de simetrías o giros de alguna misma figura. Además se les puede animar a que diseñen su propio logotipo utilizando figuras planas.
SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1.
El lado del rombo mide 15 cm. Su perímetro, 60 cm.
6.
Asuelo
= 2,25 m2,
Aducha =
0,5762 m2
Quedan libres 1,68 m2 aproximadamente. 2.
a) ATriángulo = 240 cm
3.
41,52 cm
AHexágono =
2
2
b) ACírculo = 127,41 cm ACuadrado =
72 cm
La baldosa cuadrada ocupa mayor superficie. 4.
5.
Si la circunferencia es exterior, r = 5,40 cm. Si la circunferencia es interior, r = 4,56 cm. a) 70,32 cm2
b) 156,78 cm2
2
2
7.
314 , ⋅ 32 314 , ⋅ 42 314 , ⋅ 52 6 ⋅ 8 2 + − − = 24 cm 2 2 2 2
8.
24 ⋅ 18 − (24 ⋅ 2,8 + 18 ⋅ 2,2 − 2,2 ⋅ 2,8 + 3,14 ⋅ 1,252) = = 326,45 m2
9.
El área aumenta en 25 cm 2 más 10 veces la longitud del lado inicial.
En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.
12
Unidad 13
Longitudes y áreas
Más recursos en tu carpeta
ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN Unidad
13
Longitudes y áreas
1.
Halla el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 24 y 18 centímetros.
2.
Calcula el área de: a) Un triángulo isósceles sabiendo que sus lados iguales miden 26 centímetros, y el lado desigual, 20 centímetros. b) Un círculo circunscrito en un cuadrado de 9 centímetros de lado.
3.
La forma de una baldosa es un hexágono regular de 4 centímetros de lado, y la de otra, un cuadrado de 12 centímetros de diagonal. ¿Cuál de las dos ocupa mayor superficie?
4.
Por la dificultad de esta actividad, podrían organizarse en parejas. En un círculo de 5 centímetros de radio se dibuja un sector circular cuyo ángulo central es de 60°. ¿Con qué radio habría que dibujar una circunferencia concéntrica con la anterior para que la corona circular que determinen tenga el mismo área que el sector circular anterior?
5.
Calcula el área de las siguientes figuras mediante composición o descomposición en otras más sencillas: a)
4 cm
b) m
c
2 1
9 cm 18 cm
6.
El suelo de un baño tiene forma cuadrada de 1,50 m de lado. Se va a instalar una ducha con forma de sector circular de 85 centímetros de radio y cuyo ángulo central es de 90°. ¿Qué superficie del baño queda libre para colocar el resto de los sanitarios?
7.
El triángulo inscrito de la circunferencia es rectángulo, y las regiones sombreadas reciben el nombre de lúnulas de Arquímedes. Calcula el área total de la superficie sombreada.
8 cm 6 cm
10 cm
8.
Un jardín rectangular de 24 metros de largo por 18 de ancho está cruzado por dos caminos perpendiculares. El camino más largo mide 2,8 metros de ancho, y el corto, 2,2. Además, en una de las esquinas hay una fuente circular de 2,5 metros de diámetro. ¿Cuál es la superficie útil que queda en el jardín para plantar césped?
9.
¿Cuánto aumenta el área de un cuadrado si prolongamos cada uno de sus lados 5 centímetros?
e l b a i p o c o t o f a n i g á P
Longitudes y áreas
Unidad 13
13
PROPUESTA de EVALUACIÓN Unidad
13
Longitudes y áreas
APELLIDOS:
NOMBRE:
FECHA:
1.
CURSO:
GRUPO:
Halla el perímetro de cada una de las siguientes figuras. a) Un rombo de 9 centímetros de lado. b) Un decágono regular de 2,5 centímetros de lado. c) Un triángulo isósceles cuyo lado desigual mide 8 centímetros, y cada uno de sus lados iguales, 10 centímetros.
2.
Calcula el valor de x en los siguientes triángulos rectángulos. a)
b)
3 cm 3 cm
13 cm
5 cm
x x
3.
Calcula la diagonal del rectángulo, d , y el lado del cuadrado, l. a)
b) 8 cm
d
8 cm
l
15 cm
4.
l
Calcula el área de las siguientes figuras. a) Triángulo isósceles de altura 5 centímetros y lado desigual 120 milímetros. b) Heptágono regular de lado 2 centímetros y apotema 3 centímetros. c) Trapecio rectángulo de bases 80 y 50 metros, respectivamente, y altura 4 decámetros. d) Círculo de diámetro 6 decímetros.
5.
Halla el área de las siguientes figuras circulares. a) Una corona circular formada por dos circunferencias concéntricas de 6 y 10 centímetros de radio. b) Un sector circular determinado por un ángulo de 150° en un círculo de 8 centímetros de diámetro.
6.
Tres hermanos han comprado una finca con forma rectangular de la que conocen su ancho, 200 metros, y la distancia del camino que forma la diagonal, 250 metros. Si la dividen en partes iguales, ¿cuántos metros cuadrados le corresponden a cada uno?
7.
Calcula el área de estas figuras. a)
e l b a i p o c o t o f
3,4 dm 2 cm 7,2 dm 4 cm
a n i g á P
14
b)
5,4 dm
Unidad 13
Longitudes y áreas
Propuesta de evaluación
Longitudes y áreas
13
Unidad
SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1.
a) P rombo = 4 ⋅ 9 = 36 cm b) P decágono = 10 ⋅ 2,5 = 25 cm c) P triángulo = 8 + 2 ⋅ 10 = 28 cm
2.
a) x 2 = 32 + 32 = 18 2
b) 13
3.
4.
= x
a) d 2
=
82
b) 82
=
l2
2
2
5
+
+
+
152
l2
x
⇒
2
=
289
=
82
⇒
x 2 = 18
⇒
2
13
⇒
2l2
=
−
x = 4,25 cm
⇒ 2
5
144
=
⇒
x = 12 cm
d = 17 cm ⇒
l2
=
32
⇒
l
=
5,66 cm
a) Expresamos previamente todas las medidas en centímetros, base = 12 cm.
A
=
b) A =
b⋅h
2 p⋅a
2
=
12 ⋅ 5 2
=
n⋅l ⋅a
=
30 cm2
=
2
7⋅ 2⋅ 3 2
=
21cm2
c) Expresamos previamente todas las medidas en decámetros, bases = 8 y 5 dam, respectivamente.
A
5.
=
B+b
⋅
2
d) A
=π⋅
r 2
a) A
= π⋅
(R 2
b) A
=
π⋅
h=
= π⋅
32
r 2 ) =
−
r 2 ⋅ n°
360°
8+5 2 ⋅ 4 = 26 dam 2
=
=
28,26 dm2
π⋅
π⋅
6. 250 m
(102
−
42 ⋅ 150° 360°
62 ) = =
π⋅
64 = 200,96 cm2
2093 , cm2
⇒
2502 = h2 + 2002
⇒
h2 = 2502 − 2002 = 22 500
⇒
h = 150 Atotal = b ⋅ h = 200 ⋅ 150 = 30 000 m2
200 m
30 000 : 3 = 10 000 m2 A cada hermano le corresponden 10 000 m 2.
7.
a) Podemos descomponer la figura en dos triángulos de área conocida.
A
=
7,2 ⋅ 3,4 2
+
5,4 ⋅ 3,4 2
=
2142 , dm2
b) Podemos descomponer la figura como la suma de las áreas de dos semicírculos de 6 y 4 cm de radio, y luego
restar el área de un semicírculo de 2 cm de radio. 2
A
=
314 , ⋅6 2
+
314 , ⋅4 2
2
2
−
314 , ⋅2 2
=
e l b a i p o c o t o f
2
75,36 cm
a n i g á P
Longitudes y áreas
Unidad 13
15