GUIA DE EJERCICIOS CANTIDADES FÍSICAS Y VECTORES 1.- Expresar en unidades del Sistema Internacional: a) 6,5 Km/h
b) 2 g/min
c) 5 mm3 h
d) 10 g cm/min
e) 20 cm2/g
f) 10 mm3/cm2
g) 0,5 mg/cm3
h) 20 ton/min
i) 30 cm 3 g/h
j) 0,4 km2/gr
Sol.:
a) 1,8 m/s g) 0,5 kg/m3
b) 3,3 * 10-5 Kg/s h) 333,3 kg/s
c) 1,8 * 10-5 m3s d) 1,67 * 10-6 kg m/s -12 3 i) 8,3 * 10 m kg/s j) 0,4 * 109 m2/kg
e) 2 m2/kg
f) 10-4 m
2.- A, B y C son tres cantidades cantidades físicas cuyas unidades de medida son respectivamente: respectivamente: kg m/s ; kg m 2 y kg s/m. s/m. Determinar la unidad de de medida de las siguientes cantidades físicas: físicas: a)
A/B
Sol.:
a)
b) (ms)-1
ABC
c)
b) kg3 m2
C2 / A
c) kg s3 / m3
d) d) kg s2
BC / A e) s / kg m5
e)
C / B2
f)
C/A
f) s2 / m2
3. Una cinta transportadora de material en una industria, mueve 40 kg/m con una rapidez de 0,5 m/s. ¿Cuántos kilogramos de material transportará durante media hora? Sol.:
4.
En un depósito que tiene una capacidad de 3 m 3 se vierten dos líquidos A y B, el primero de ellos tiene una densidad 0,80 g/cm 3 y el otro tiene una densidad de 0,90 g/cm 3. Si la densidad del líquido líquido 3 3 que resulta es de 0,88 g/cm . ¿Cuántos m de cada líquido se vertieron en el depósito? Sol.:
5.
VA = 0,6 m3 ; VB = 2,4 m3
La densidad del agua es 1 g/cm 3. ¿Qué valor tiene en kg/m3? Sol.:
6.
3,6 * 104 kg
ρagua = 103 kg/m3
Una hoja de papel papel tamaño carta carta mide 21,7 cm x 27,8 cm. El gramaje gramaje del papel indica indica 75 g/m 2. Calcule la masa en kilogramos de una resma de este papel (500 hojas). Sol.:
M = 2,26 kg
lluvioso cayeron 8 mm de agua. Calcule la cantidad de agua agua caída en 7. Se afirma que durante un día lluvioso litros y kilogramos en una cancha rectangular de 150 x 70 m. Sol.:
V = 8,4 * 104 lt
;
M = 8,4 * 104 kg
1
VECTORES Y CINEMATICA.
Ejemplo 1 Dados los siguientes vectores: Determinar: a) ( 4b
−
b) c) d) e) f)
i)
a
a
ˆ ˆ +k 2 iˆ +3 j
;
ii ) a
c
=−
b −
− 3b + 2
b
ˆ 4 iˆ − 3 j
=
iii)
ˆ 3 k
+
y
c
ˆ j
=−
ˆ 4 k
+
.
iv)
( a −2 b ) •3 c
3c )× 2b
−
El ángulo que que forma el el vector a con cada uno de los ejes coordenados. La proyección de c en la dirección y sentido de b 3 a . Un vector unitario en la dirección y sentido de c +a El ángulo entre los vectores: 3b y −2c Un vector perpendicular al plano que forman c y a +b −
Solución: Solución:
a)
i)
ˆ = −6 iˆ + 6 j ˆ ˆ + (1−3) k ˆ − 2 k a −b = (−2 −4) iˆ + [3 −(−3)] j a
b
−
(− 6) 2
=
62
+
2) 2
(
+−
=
76
8,7
=
ii) ˆ ) −3 ( 4 iˆ −3 j ˆ + 2 ( − j ˆ) =( − ˆ +k ˆ +3 k ˆ +4 k 2 iˆ +3 j 2 −12 ) iˆ +(3 +9 a −3 b + 2 c = ( −
a
3b
−
2c
+
ˆ 14 iˆ + 10 j
= −
iii) ˆ −8 iˆ +6 j ˆ) • ( −3 j ˆ ) =(− ˆ ˆ +k ˆ −6 k ˆ +12 k ˆ −5 k = (− 2 iˆ +3 j 10 iˆ +9 j
( a −2 b ) •3 c =
(−10 )( 0)
+
(9)( −3)
+
(−5)(12 )
87
=−
iv) ˆ) − 3(− j ˆ) = 16 iˆ − 9 j ˆ +3 k ˆ +4 k ˆ 4(4 iˆ −3 j
2b
=
(4 b
3c )
−
iˆ
ˆ j
ˆ k
16
9
0
2b
×
= −
8
b)
3c )
−
=
−(4 b −3 c ) = −16 iˆ +9 jˆ
ˆ ˆ +6 k 8 iˆ − 6 j
−
⇒
( 4b
Ángulos que forma
a
6
−
=
54 iˆ
ˆ 96 j
+
ˆ 24 k
+
6
con los ejes coordenados 2
VECTORES Y CINEMATICA.
Ejemplo 1 Dados los siguientes vectores: Determinar: a) ( 4b
−
b) c) d) e) f)
i)
a
a
ˆ ˆ +k 2 iˆ +3 j
;
ii ) a
c
=−
b −
− 3b + 2
b
ˆ 4 iˆ − 3 j
=
iii)
ˆ 3 k
+
y
c
ˆ j
=−
ˆ 4 k
+
.
iv)
( a −2 b ) •3 c
3c )× 2b
−
El ángulo que que forma el el vector a con cada uno de los ejes coordenados. La proyección de c en la dirección y sentido de b 3 a . Un vector unitario en la dirección y sentido de c +a El ángulo entre los vectores: 3b y −2c Un vector perpendicular al plano que forman c y a +b −
Solución: Solución:
a)
i)
ˆ = −6 iˆ + 6 j ˆ ˆ + (1−3) k ˆ − 2 k a −b = (−2 −4) iˆ + [3 −(−3)] j a
b
−
(− 6) 2
=
62
+
2) 2
(
+−
=
76
8,7
=
ii) ˆ ) −3 ( 4 iˆ −3 j ˆ + 2 ( − j ˆ) =( − ˆ +k ˆ +3 k ˆ +4 k 2 iˆ +3 j 2 −12 ) iˆ +(3 +9 a −3 b + 2 c = ( −
a
3b
−
2c
+
ˆ 14 iˆ + 10 j
= −
iii) ˆ −8 iˆ +6 j ˆ) • ( −3 j ˆ ) =(− ˆ ˆ +k ˆ −6 k ˆ +12 k ˆ −5 k = (− 2 iˆ +3 j 10 iˆ +9 j
( a −2 b ) •3 c =
(−10 )( 0)
+
(9)( −3)
+
(−5)(12 )
87
=−
iv) ˆ) − 3(− j ˆ) = 16 iˆ − 9 j ˆ +3 k ˆ +4 k ˆ 4(4 iˆ −3 j
2b
=
(4 b
3c )
−
iˆ
ˆ j
ˆ k
16
9
0
2b
×
= −
8
b)
3c )
−
=
−(4 b −3 c ) = −16 iˆ +9 jˆ
ˆ ˆ +6 k 8 iˆ − 6 j
−
⇒
( 4b
Ángulos que forma
a
6
−
=
54 iˆ
ˆ 96 j
+
ˆ 24 k
+
6
con los ejes coordenados 2
c)
Con el el eje X :
cos cos α =
Con el el eje Y :
cos cos β =
Con el eje Z :
cos cos γ =
Proyección de proy
b
d)
3a
−
=
a a y
=
3
=
1
=
c •(b −3a )
2
12 ) 2
(
c +a c +a
(
33
2 c)
• −
=
3b
c
(a
×
b)
+
=
3a
−
.
proy
c
c /( b −3 a )
=
12 244
= 0,77
a
+
3 b y −2 c
2 c cos
−
ϕ
90
⇒ −
ˆ j
0
−
4
2
0
4
1
=
306
68
cos
ϕ
⇒
128 ϕ =
,6 º
c y a +b
ˆ k
iˆ
γ = 74,5º
ˆ = −0,35 iˆ + 0,35 jˆ + 0,87 k
Un vector perpendicular perpendicular al plano plano que forman
⇒
⇒
244
=
ˆ −2 iˆ + 2 jˆ + 5 k
=
β = 36,7 º
ˆ) • (10 iˆ − j ) =12 12 ˆ ⇒ (− jˆ +4 k
+ −
122 122 ,3º
⇒
14
b
=
α
14
a
b −3a
10
⇒
14
a
a z
2
en la dirección y sentido de
Angulo entre los vectores 3b
f)
− =
Un vector unitario en la dirección y sentido de ˆ = u
e)
c /( b −3a )
c
a x
4 iˆ
= −
ˆ 8 j
+
2 k
+
EJERCICIOS PROPUESTOS 8. Dados los vectores
a , b y c de igual módulo, que se ilustran en la figura, represente adecuadamente
los siguientes vectores: a)
a +b −c
45º
b
c
3
b)
−2a +b −c
c)
−
d)
2b
(c
a
b)
−
a
+
c
−
9. A partir de los vectores de la figura, establezca el resultado de las operaciones indicadas en función de los vectores restantes de la misma f igura:
a)
a +b +c
b) c)
g −d
d)
d + a +b + f
e)
e − g
a
c +e − f
c e
a
ˆ 2 iˆ − 3 j
=
b) α = 64,23º ; ˆ ˆ ˆ 0,79 i −0,23 j − 0,57 k =
11. Dados los vectores a)
b) c)
ˆ ; b 4 k
+
f
ˆ y c ˆ− 4 j 3 k
iˆ
=− +
ˆ ˆ −6 k 3 iˆ − 5 j
=
Verificar que: a +b ≤ a + b y que: a −b ≥ a − b Calcular el ángulo que forma el vector a +3c con los ejes X e Y. Calcular el ángulo entre los vectores c y a +b Calcular la proyección de a en la dirección de 2c . Calcular un vector unitario perpendicular al plano que forman b y 3 a Sol.:
ˆ u
g
d
10. Dados los vectores: a) b) c) d) e)
b
a y b
β = 135,35º
c)
φ = 123,5º
d)
e)
de la figura, en que el módulo de a es 10. Calcular: Y a
a +b
30º
El ángulo que forma b con el eje X. b
proya/2c = - 0,358
X
–5
a
b
−
-8
ˆ a 1 8 ,8 6 º b) φ = 238º a) a + c) b Sol.: b = 3,66 iˆ − 3 j Un automovilista viaja 15 Km hacia el sur, desde allí otros 15 km hacia el este y finalmente 10 km hacia el norte. Determine:
12.
− =
a)
La distancia a la que queda finalmente del origen. b) El ángulo que forma el vector posición final con la dirección este-oeste. Sol.:
a) d = 15,8 km
b) φ = 341,6º
13. Un avión que va volando hacia el este con una rapidez de 800 km/h, respecto a tierra, ingresa a una zona en la que el viento sopla en dirección noroeste con una rapidez de 200 km/h. Calcular la velocidad con que vuela el avión respecto a tierra. Sol.:
v = 673,6 km/h / 12,1º al norte del este
4
14. Una lancha atraviesa un ancho río manteniendo con su timón una dirección perpendicular a la dirección de movimiento de las aguas. Si respecto de la orilla se mueve con una rapidez de 20 km/h formando respecto a ella un ángulo de 37º, calcular la rapidez con que se mueve el agua del río y la rapidez de la lancha Sol
vagua = 16 km/h ; vlancha = 12 km/h
15. Un avión que está despegando, lo hace con una velocidad cuya dirección forma un ángulo de 37º con la pista, si su sombra a mediodía se mueve con una rapidez de 300 km/h, calcular la rapidez con que se está elevando el avión. Sol.:
v = 375 km/h
16. Dos caballos tiran de cuerdas atadas a un carro que desliza sobre rieles, la fuerza ejercida por cada uno de ellos tiene el mismo valor de 100 unidades de fuerza, si las cuerdas forman un ángulo de 30º cada una respecto de los rieles, calcular el valor de la fuerza que actúa sobre el carro. Sol.:
173,2 u de fuerza
17. Un automóvil se mueve a lo largo de una rotonda circunferencial de 100 m de radio, como se ilustra, si recorre desde el punto A al B una longitud equivalente a las tres cuartas partes de la circunferencia, determine:
Y a) Los vectores posición inicial y final respecto del Sistema de coordenadas dado.
b)
A
X
El vector desplazamiento, en módulo, dirección y sentido. B
Sol.: d
1 4 1 ,2
=
a) m
;
r A
100 iˆ m ;
=−
r B =−100 jˆ m
ˆ m ; d = 100 iˆ − 100 j
b)
θ = -45º = 315º
18. Un vehículo pasa por el punto A de la trayectoria que se muestra, en el instante inicial t A = 0 s, luego, por C en tC = 10 s y finalmente por E en el instante t E = 35 s. Calcular:
Y (m) 20
A
B
E
-20
a) El desplazamiento y la velocidad media entre los puntos: A-C y entre C-E. b) La rapidez media en todo el recorrido.
∆r AC
=−40 jˆ m ;
∆r CE
D
60
C
X (m)
-20
a) Sol.: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ =60 i +20 j m ; v AC =−4 j m / s ; vCE =2,4i +0,8 j m / s b) v =4,
19. Un vehículo se mueve rectilíneamente de acuerdo con la ecuación itinerario: x = -15 t + 25 en que x está en metros y t en segundos. De acuerdo con esta ecuación, determine:
5
a) La velocidad del móvil. b) La posición inicial respecto del origen. Sol.:
a)
v
15 iˆ m / s
b) x
= −
25 iˆ m
=
20. Un ciclista proyecta viajar de Santiago a Valparaíso con una rapidez media de 20 km/h, esto es, emplear 6 horas. Recorre los primeros 40 km con una rapidez de 25 km/h, descansa 30 minutos y continúa los siguientes 25 km demorando 1 hora, descansa otros 15 minutos y recorre los siguientes 36 km a 18 km/h. Determinar: a) ¿Con que rapidez deberá recorrer la última etapa para cumplir lo proyectado? b)Represente gráficamente el movimiento en un sistema posición-tiempo. Sol.:
v = 29,23 km/h
21. A partir del gráfico posición-tiempo que se muestra en la figura, en el que se representan los movimientos de dos vehículos A y B. Calcule: A
x (cm) 100
45
B 0
a) b) c)
20
40
60
120
t (s)
A y B entre 0 y 20 segundos. Las posiciones, respecto del origen, de A y B a los 35 segundos. El primer instante en que B alcanza a A. Las ecuaciones itinerario de
d) El segundo instante en que ambos vehículos se cruzan. e) La rapidez media y la velocidad media de cada vehículo entre 0 y 120 segundos. 11 t ; x B =5 t a) x A =45 + b) xA = 77,08 cm ; x B = 100 cm c) t = 11 s Sol.: 12
d) t =
48,5 s
22. Un camión que viaja al sur con rapidez constante de 80 km/h, pasa por Santiago a las 8:00 h. Un automóvil que también viaja hacia el sur, pasa por Santiago a las 9:00 h con una rapidez de 95 km/h. Suponiendo que todo el camino es rectilíneo y que la rapidez de cada móvil es constante. Determinar: a) b) c) d)
La ecuación itinerario de cada vehículo. La hora a la que el automóvil da alcance al camión. La distancia respecto de Santiago a la que el automóvil alcanzó al camión. Un gráfico posición-tiempo que ilustre el movimiento de cada vehículo.
Sol.:
a) xC = 80 t ; xA = -95 + 95 t
b) t = 14 h 20 min
c) x = 506,6 Km
6
23. En una planta embotelladora, una cinta transportadora avanza con una rapidez constante de 2 m/s, las botellas distan 20 cm entre sí en la cinta. Si se considera que en t 0 = 0 (s) se envasa la primera botella. a) ¿Cuántas botellas se envasan en una hora? b) Si se deseara envasar, durante el mismo lapso, 50001 botellas. ¿Cuál debiera ser la rapidez de la cinta? Sol.:
a) 36000 botellas
b) v = 277,78 cm/s
24. Una piscina que tiene 20 m de largo, 10 m de ancho y 2 m de profundidad se está llenando de agua mediante una manguera. Si el nivel del agua está subiendo con una rapidez constante de 1 mm/s. a) ¿Cuantos litros de agua por segundo están saliendo de la manguera? b) En cuanto tiempo se llena la piscina? Sol.:
a) 200 lt/s
b) 33 min 20 s
25. En una cancha de ski los esquiadores suben la montaña por un andarivel que demora 15 minutos en recorrer 1500 m por una vía inclinada en 30º sobre la horizontal. a) ¿Cuál será la rapidez de ascenso vertical, en km/h? b) ¿Cuál es la rapidez de traslado horizontal, en km/h? Sol.:
a) vx = 6 km/h
b) vy = 30 km/h
EJEMPLO 2 Dos trenes A y B viajan por la misma vía férrea en sentidos contrarios, A lo hace con una rapidez de 20 m/s y B lo hace a 15 m/s. Cuando se encuentran a una distancia de 200 m entre sí, los maquinistas se ven uno al otro y aplican los frenos, A retarda a razón de 1,2 m/s 2 y B a 1,8 m/s2. Determinar: a) Si los trenes chocan o no. b) Si chocan, calcule la distancia que alcanzó a recorrer cada tren desde que aplicó los frenos, si no chocan, calcule la distancia final entre ellos. c) En un gráfico posición-tiempo y en otro velocidad-tiempo, el movimiento de cada tren. Solución a) Para establecer si los trenes chocan o no es preciso plantear las ecuaciones itinerario del movimiento de cada tren, debido a que ellas relacionan posición y tiempo y podemos establecer si existe algún instante en que ambos trenes tengan la misma posición. Asociando el eje X a la trayectoria de los trenes representamos los vectores velocidad y aceleración como se ilustra: v A
v B A
7
0
a A
a B
200 m
Consideremos el origen en el punto 0 lugar en que A aplica los frenos y comienza a retardar, tenemos entonces: x0A = 0 m v0A = 20 m/s a A = 1,2 m/s2 x0B = 200 m v0B = 15 m/s a B = 1,8 m/s2 x = 20 t – ½ 1,2 t 2
Por lo tanto:
x B = 200 – 15 t + ½ 1,8 t 2
y
A
Para determinar si chocan o no, es preciso igualar las posiciones de ambos trenes y si existe una solución real para el tiempo t, significa que tal posición existe y por lo tanto chocan, veamos: x A = x B
⇒
20 t - 0,6 t 2 = 200 - 15 t + 0,9 t 2
⇒
3 t 2 – 70 t + 400 = 0
Resolviendo esta ecuación resultan dos soluciones reales para el tiempo: t 1 = 10 (s)
y
t 2 = 13,3 (s)
Luego, los trenes chocan. De estos valores, el primero es el que se considera como lo veremos a partir del gráfico posición-tiempo. b)
Distancia recorrida por A:
d A = x A = 20 . 10 - 0,6 . 100 = 140 (m)
Distancia recorrida por B:
d B = d - x A = 200 – 140 = 60 (m) X (m)
c)
Gráfico posición-tiempo:
200 166,6
0
B
10
13
A 33,3
t (s)
V ( m/s) 20
B
d) Gráfico velocidad-tiempo
t (s) 10 -15
A
EJERCICIOS PROPUESTOS 26. Un tren parte del reposo y se mueve rectilíneamente con aceleración constante. En un punto de su recorrido lleva una rapidez de 9 m/s y 48 m más adelante, una rapidez de 15 m/s. Calcular:
8
a) b) c) d)
El módulo de la aceleración El tiempo requerido para recorrer los 48 m. El tiempo que emplea el tren en alcanzar la rapidez de 9 m/s. La distancia recorrida desde que partió hasta que alcanzó la rapidez de 9 m/s
Sol.: a) a = 1,5 m/2 b) t = 4 s
c) t´ = 6 s
d) d = 27 m
27. Un móvil que lleva una rapidez de 8 m/s la aumenta uniformemente en un camino recto, de forma que recorre 640 metros en 40 segundos. Calcular: a) b) c) Sol.:
La aceleración. La rapidez final. El módulo de la velocidad media durante los 40 segundos. a) a = 0,4 m2
b) v = 24 m/s
c)
v
1 6 =
m/s
28. La ecuación itinerario del movimiento de un cuerpo es: x = 12 t - 3 t 2 con x en metros y t en segundos. Determinar: a) b) Sol.:
El(los) instante(s) en los que el cuerpo pasa por el origen. El instante en que la partícula se detiene. a) t = 0 s ;
t´= 4 s
b) t´´ = 2 s V (m/s)
29. El gráfico de la figura ilustra el movimiento de dos vehículos P y Q, a partir de él, determine: a) b)
c) d)
P
La aceleración de cada uno. La distancia recorrida por cada uno hasta los 30 segundos. La ecuación itinerario de cada uno, si en t 0 = 0 (s), ambos están pasando por el origen. El instante en que P da alcance a Q.
Sol.: a) aP = 5/3 m/s2 ; aQ = 0,5 m/s2
Q
50
30
10
0
b) dP = 750 m ; dQ = 825 m
15
c) xP = (5/6) t2 ; xQ = 20t + (1/4) t2
30
45
60
t (s)
30. A partir del gráfico posición-tiempo que se muestra en la figura, en el que se representan los movimientos de dos vehículos A y B que se mueven a lo largo del eje X, determine: X (m) a) b) c)
d)
La velocidad de A. La velocidad de B. Las ecuaciones itinerario de ambos en el intervalo 0 – 40 segundos. El instante y posición en que A y B se cruzan.
A 600 400
B
200
0
30
60
90
120
t (s)
9
Sol.:
a) v A
3,3 m / s iˆ b) v B =− 6,67 iˆ m / s
=
c) xA = 200 + (10/3) t ; xB = 600 – (20/3) t
d) t =
40 s
31.
Un pesado camión se encuentra descendiendo por un camino con una rapidez de 10 m/s, en un momento determinado, se cortan sus frenos y experimenta una aceleración constante de tal forma que en 20 segundos alcanza una rapidez de 30 m/s. En ese momento, el chofer encuentra un camino en subida el que comienza a transitar hasta detenerse luego de recorrer por él, 500 metros. Al respecto, determine: a) b) c) d)
Sol.:
La aceleración con la que desciende. La aceleración con la que asciende. El lapso que demora en detenerse desde que comienza la subida. Represente en un gráfico velocidad-tiempo, el movimiento del camión desde que se cortan los frenos hasta que se detiene. a) a = 1 m/s2
b) a = 0,9 m/s2
c) Δt = 33,3 s
32. La ecuación itinerario del movimiento de un cuerpo que se mueve según el eje X, está determinada por: x = - t2 - 100 + 30 t A partir de ella determine: a)
b) c) d) e) f)
en que x está medido en metros y t en segundos.
La posición y velocidad inicial del cuerpo y su aceleración. Las posiciones y velocidad en los instantes t 1 = 10 s y t2 = 20 s. El(los) instante(s) en que pasa por el origen. La(s) velocidad(es) al pasar por el origen. Instante y posición en que se detiene. Gráfico posición-tiempo y velocidad-tiempo del movimiento. Sol.:
a)
x0
100 iˆ (m) ; v0
=−
x10 =100 iˆ ( m ) ; x 20 =100 iˆ ( m) t2 = 26,2 (s)
d) v1
2 30 iˆ (m / s) ; a =−2 iˆ (m / s )
=
b)
c) t1 = 3,8 (s)
22 ,4 iˆ (m / s ) ; v 2
=
=−
22 ,4 iˆ (m / s)
e) t = 15 (s) ; x = 125 (m)
LANZAMIENTO VERTICAL Y CAIDA LIBRE.
En estos ejercicios aproxime el valor de la aceleración de gravedad a 10 m/s 2 y suponga que se efectúan en el vacío, es decir, sin oposición del medio en el que se mueve el objeto..
33. Desde un puente a 80 metros de altura sobre el nivel del agua, se deja caer una piedra, despreciando toda resistencia del aire, determine:
10
a) b) c)
El tiempo que demora en llegar al agua. La rapidez con que llega al agua. La rapidez cuando había descendido 15 metros.
Sol.: a) t = 4 (s)
b) v = 40 m/s
c) v = 17,32 m/s
34. Un cohete asciende verticalmente con una aceleración constante de 10 m/s 2. Después de transcurridos 20 segundos, los motores se apagan y el cohete continúa ascendiendo como partícula libre para posteriormente caer. Calcular: a) b) c) d)
La rapidez que alcanzó al apagarse los motores. La altura máxima alcanzada respecto al suelo. El tiempo que demora el viaje desde que despegó, partiendo del reposo, hasta que llegó a la superficie de la Tierra. Haga un bosquejo del gráfico posición-tiempo de todo el movimiento.
Sol: a) v = 200 m/s
b) H = 4000 m
c) t = 68,3 (s)
35. Desde una torre a 120 m de altura, se arroja un objeto verticalmente hacia abajo con una determinada rapidez inicial de tal forma que demora 2 segundos en llegar al suelo. Calcular: a) b)
c)
La rapidez inicial con que se arrojó. La rapidez con que llega al suelo. La distancia que ha descendido hasta alcanzar la velocidad v = −60 jˆ (m/s)
Sol.: a) v0 = 50 m/s
b) v =70 m/s
c) Ha descendido 55 m
36. Una piedra se deja caer desde lo alto de un acantilado. Dos segundos después se arroja hacia abajo, desde el mismo punto, otra piedra con una rapidez inicial de 30 m/s, de tal forma que ambas llegan al suelo simultáneamente. Calcular la altura del acantilado desde donde cayeron las piedras. Sol.:
H = 80 m
37. Un niño se encuentra en la terraza de su departamento a 30 m sobre el suelo y desde allí lanza verticalmente hacia arriba un objeto de tal forma que éste demora 4 segundos en llegar al suelo, al respecto determine: a) b) c) d) e)
La rapidez inicial con que lanzó el objeto hacia arriba. La altura máxima que alcanza respecto del punto de lanzamiento. La posición y velocidad en el instante t = 3,5 s. El instante y rapidez al pasar en descenso, por un punto a 5 m sobre el balcón. Gráficos posición-tiempo y velocidad-tiempo de todo este movimiento.
11
Sol.:
a) v0 = 12,5 m
b) hmáx = 7,8 m
c)
ˆ (m) ; v =−22 ,5 j ˆ (m) y =12 ,5 j
d) t1 = 2 (s) ;
v = 7,5 m/s
MOVIMIENTO PARABOLICO. EJEMPLO 3 Un niño da un puntapié a una pelota inicialmente en reposo y en el suelo, se encuentra frente a dos muros de 3 metros de altura cada uno, paralelos y distantes 10 metros entre sí. La pelota, una vez en movimiento, pasa en forma rasante por ambos muros, por el primero en ascenso y por el segundo en descenso. Si demora 4 segundos en pasar por ambos muros, calcule: a) b) c) d)
El módulo de la velocidad inicial del lanzamiento. El ángulo que forma la velocidad inicial con la horizontal. La distancia horizontal desde el punto de lanzamiento al primer muro. El tiempo que tarda la pelota desde que inicia el movimiento hasta que llega al suelo.
Solución:
a) Con la información del tiempo empleado y la distancia entre los muros, es posible obtener la componente horizontal de la velocidad del movimiento parabólico, el valor es: v x = d / ∆ t = 10 / 4 = 2,5 m/s
⇒
v0x = v0 cos θ = 2,5 m/s
Las componentes verticales de los vectores velocidad al pasar cada muro tienen el mismo valor, no obstante que en el primero de ellos está dirigida hacia arriba y en el segundo está dirigida hacia abajo. Aplicando la ec.: v´ entre ambos muros en que v´ y = - v´ 0y y = v´ 0y - g t v´ 0y – g t
Resulta:
reemplazando: -v´ 0y =
v´ oy = g t / 2 ⇒ v´ 0y = 40/2 = 20 m/s
Para calcular entonces la componente vertical de la velocidad inicial a partir de este valor y de la altura del muro, aplicamos la ecuación: v y2 = v0y2 – 2g ( y – y0 ), en que v y = 20 m/s. Por lo tanto: 400 = voy2 – 20 ( 3 – 0 ) ⇒ v0y = 21,44 m/s
12
El vector velocidad inicial será entonces: 21,44 m/s. v 0 = 2,5 iˆ + 21 ,44 jˆ
ˆ v0 = vox iˆ + voy j
m/s
⇒
en que v0x = 2,5 m/s y v0y =
v o = 21 ,58 m / s
b) Angulo que forma la velocidad inicial respecto de la horizontal. tg θ =
21,44 2,5
= 8,56
⇒
θ = 83 ,3º
c) Calcularemos el tiempo que demora la pelota en llegar al primer muro con: v y = voy – g t
Luego: 20 = 21,44 - 10 t ⇒ hasta el primer muro.
t = 0,14 (s) Ahora calculamos la distancia horizontal recorrida
d = v0x t = 2,5 . 0,14 = 0,35 m d) Cálculo del tiempo total empleado, para ello aplicamos: y = y0 + v0y t – ½ g t 2 en que las posiciones inicial y final, según la vertical, son 0: 0 = 0 + 21,44 t – 5 t 2 ⇒ t = 4,3 (s)
PROBLEMAS PROPUESTOS 38. Un golfista da un golpe a la pelota, inicialmente en reposo y en el suelo. Recorre una distancia horizontal de 150 metros demorando en todo su recorrido, hasta llegar al suelo, 10 segundos. Con esta información, calcule: a) b) c) d)
El módulo de la velocidad inicial de la pelota. El ángulo, respecto del suelo, con que salió despedida. La altura máxima que alcanzó. La velocidad con que llegó al suelo. Sol.:
v
1 5 =
ˆ 5 0 j iˆ −
a)
v0 =52 ,2 (m / s)
b)
θ = 73,3º
c)
Hmáx = 125
m
d)
(m / s )
39. Un arquero lanza su flecha en dirección horizontal estando a una altura de 45 m sobre el suelo. Si la rapidez inicial del lanzamiento es de 100 m/s. Calcular: a) El tiempo que demora la flecha en llegar al suelo. b) El alcance horizontal de la flecha. c) El módulo de la velocidad de la flecha al encontrarse a 10 m de altura. Sol.:
a) t = 3 s
b) d = 300 m
c) v = 103,45 m/s
13
40. El techo de un casa presenta una inclinación de 30º sobre la horizontal, si en una lluvia el agua desliza por ese techo como partícula libre recorriendo una longitud de 5,625 m en un tiempo de 1,5 segundos partiendo del reposo y luego cae libremente desde una altura de 10 m. Calcular: a) La rapidez con la que abandona el techo. b) El tiempo que demora el agua en llegar al suelo desde que abandona el techo. c) La distancia horizontal que recorre desde que sale del techo hasta llegar al suelo. Sol.:
a) v = 7,5 m/s
b) t = 0,22 s
c) d = 1,43 m
41. Un motociclista pretende batir un record saltando en moto por sobre una cierta cantidad de automóviles en reposo. Para ello, dispone de una rampa de 40 m de longitud inclinada en 30º la que recorre saliendo de ella a 30 m/s (108 km/h). Considerando que los autos ubicados en el suelo tienen una altura de 1,5 m y se disponen, desde el término de la rampa, distanciados cada 2 m. Calcular: a) El número de autos que logra saltar. b) La distancia horizontal que recorre hasta tocar el suelo. Sol.:
a) Nº = 51 autos
b) d = 103,92 m
42. Ana y Paz se encuentran en las terrazas de sus respectivos departamentos ubicados en edificios vecinos uno enfrente del otro a 30 metros entre sí. Ana, que está a 30 m de altura lanza un pequeño objeto en dirección horizontal a Paz que está a 10 m de altura de tal forma que ésta lo recibe sin esfuerzo. Calcular: a) El tiempo que tarda el objeto desde que se lanza hasta ser recibido por Paz. b) La rapidez con la que Ana lanzó el objeto horizontalmente. c) La velocidad con que llegó el objeto a manos de Paz. Sol.:
a) t = 2 s
b) v = 15 m/s
c)
v
15 =
ˆ (m / s) iˆ − 20 j
43. Un futbolista ejecuta un tiro libre (inicialmente la pelota está en reposo y en el suelo) a 20 metros del arco. La pelota asciende y al descender pasa rozando el horizontal del arco cuya altura es de 2,4 m. Si la pelota demoró 1,6 segundos desde que se lanzó hasta pasar por el arco, si se descarta todo roce con el aire y efecto de la pelota(chanfle), determine: a) El módulo de la velocidad inicial y la dirección (ángulo) con relación al suelo. b) El tiempo que emplea en llegar al suelo la pelota si continuara libremente su trayectoria. c) La altura máxima alcanzada.
44.
a) v = 15,7 m/s ; θ = 37,2º b) t = 1,9 s c) Hmax = 4,51 m Sol.: Desde 45 metros de altura sobre el suelo se dispara horizontalmente un objeto que cae al suelo a una distancia de180 metros medidos horizontalmente desde el pie del punto de lanzamiento, determine:
a) b) c) d) Sol.:
El tiempo empleado desde su lanzamiento hasta “casi” tocar el suelo. La rapidez con que fue disparado el objeto. La velocidad del objeto al llegar al suelo. El módulo de la velocidad cuando se encuentra a 25 metros del suelo. a) t = 3 s
b) v0 = 60 m/s
c) v = 67,1 m/s ; θ = 26,6º bajo la horizontal
d) v = 63,2 m
14
45. Una persona, en la calle, se encuentra a 32 metros de un edificio. Lanza una pelota hacia él de tal forma que ésta ingresa por la ventana de un departamento que se encuentra a 12,8 metros de altura, en dirección horizontal. Con esta información, determine: a) El tiempo que demora la pelota hasta llegar a la ventana. b) La velocidad inicial con que se lanzó, en módulo y dirección respecto del suelo. Sol.:
a) t = 1,6 s
b) v0 = 25,6 m/s ; θ = 38,7º
MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL 46. Un disco de 3 m de diámetro gira a 120 r.p.m. (rev/min). Calcular: a) Su período. b) Su frecuencia. c) Rapidez angular. d) Rapidez tangencial de un punto en el borde. e) Aceleración centrípeta de un punto en el borde. Sol.:
a) T = 0,5 s
b) f = 2 Hz
c) ω = 12,56 rad/s
d) v = 18,84 m/s
e) acp = 236,6 m/s2
47. La figura muestra dos cuerpos en que uno de ellos está sobre una superficie horizontal atado a una cuerda que pasa por una polea de 5 cm de radio. Otra polea de 20 cm de radio gira junto con la primera y tiene enrollada una cuerda de la que está suspendido otro cuerpo. Si el cuerpo sobre la superficie se mueve con una rapidez constante de 5 m/s. ¿Con que rapidez se mueve el otro cuerpo?
Sol.:
v = 20 cm/s
48. Un punto en el borde de una rueda de 50 cm de radio gira con una frecuencia de 300 r.p.m. Calcular: a) La rapidez angular y tangencial del punto. b) El ángulo que describe su radio vector durante 0,1 segundos. c) La aceleración centrípeta del punto. Sol.:
a) ω = 31,4 rad/s ; v = 15,7 m/s
b) θ = π rad = 180º
c) acp = 493 m/s2
49. El radio de la Tierra es aproximadamente 6370 Km, considerando el período de rotación de 24 horas, calcular: a) La rapidez angular del planeta. b) La rapidez tangencial de un punto en la línea ecuatorial en m/s y Km/h. Sol.:
a) ω = 7,27 * 10-5 (rad/s)
b) v = 463,1 m/s = 1667,2 km/h
50. Dos discos A y B giran pegados borde con borde, A es de 50 cm de radio gira a 500 r.p.m, si B es de 8 cm de radio. Calcular:
15
a) La frecuencia y el período de cada disco. b) La rapidez angular y la rapidez tangencial en el borde de cada uno. c) La aceleración centrípeta de un punto en el borde de cada uno. Sol.:
a) f A = 8,33 vueltas/s ; f B = 52,1 vueltas/s ; TA = 0,12 s ; T B = 0,019 s b) ωA = 52,3 rad/s ; ωB = 327 rad/s ; vA = 26,15 m/s ; v B = 26,15 m/s c) acpA = 1367,7 m/s2 ; acpB = 8554 m/s2
51. Un ciclista está viajando a 20 m/s y el radio de sus ruedas es de 40 cm, calcular: a) La rapidez angular de las ruedas. b)
El tiempo que demorarán las ruedas en girar 10 vueltas. c) La rapidez tangencial de un piñón de 5 cm que gira con la rueda trasera. d) La rapidez angular de los pedales si están sobre un disco de 10 cm de radio y ellos tienen 15 cm de radio si están conectados con el piñón mediante una cadena (no hay resbalamiento) e) La frecuencia con que giran los pedales.
Sol.: a) ω = 50 rad/s
b) t = 1,256 s
c) v = 2,5 m/s
d) ω´= 16,67 rad/s
junto
e) f´= 2,65 vueltas/s
DINAMICA-TRABAJO Y ENERGIA DINAMICA EJEMPLO 1 Una persona de 80 kg, se encuentra en el interior de un ascensor de pie sobre una balanza. Suponiendo que ésta mide el peso de la persona en Newton, calcule aproximando el valor de g a 10 m/s 2 , el valor que mide la balanza en los casos en que el ascensor: a) Está en reposo. b) Sube con aceleración constante de 2 m/s2. c) Sube con rapidez constante de 4 m/s. d) Baja con aceleración constante de 2 m/s2. e) Baja con rapidez constante de 4 m/s. f) Desciende en caída libre. Solución: En todo problema de dinámica es aconsejable hacer un diagrama de cuerpo libre en el que se representen todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo analizado. N
: Fuerza normal que ejerce sobre la persona, la superficie sobre la que se apoya (balanza). Su dirección es perpendicular a la superficie
Y N
16
y con sentido hacia arriba. P : Peso de la persona, su dirección es vertical y hacia el centro de la Tierra aproximadamente.
g
P
Luego la resultante será: F R
=
Sube
F R
ma jˆ
=
⇒
=
N
+
Si referimos los vectores al eje Y (fig.), entonces:
P
( N − P ) jˆ
a) En reposo, F R 800 N. b)
F R
con =
0
=
(Principio de Inercia) luego N – P = 0 entonces: N = mg y la balanza marca
aceleración
constante,
F R
ma
=
(Principio
de
Masa)
luego:
( N − P ) jˆ
N = mg + ma entonces la balanza marca: 960 N.
c) Con rapidez constante de 4 m/s,
F R
(Principio de Inercia), por lo tanto N - P = 0 y la
0
=
balanza marca 800 N d)
Baja con F R
=
aceleración
ma (− jˆ)
=
constante,
( N − P ) jˆ
d) Con rapidez constante de 4 m/s, F R
(Principio de Masa), por ⇒ N = mg - ma y la balanza marca 640 N F R
0
=
ma
=
lo
tanto:
(Principio de Inercia), por lo tanto N - P = 0 y la
balanza marca 800 N. e) Si desciende en caída libre, entonces F R = mg ( − ˆj ) por lo tanto N - P = - mg y N = 0, la
balanza marca 0 N
EJEMPLO 2 Un cuerpo de 5 kg se desliza sobre una superficie horizontal tirado por una cuerda que forma un ángulo de 37º sobre ella, el coeficiente de roce cinético entre las superficies es µ k = 0,3. Calcular el módulo de la tensión de la cuerda en los siguientes casos: a) Si el cuerpo se mueve con rapidez constante. b) Si el cuerpo se mueve con aceleración constante de 2 m/s2
17
Solución: a) Consideremos un diagrama en el que se ilustren todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Luego, las referimos a un sistema de coordenadas en el plano XY en que arbitrariamente hacemos coincidir uno de los ejes con la dirección en la que el cuerpo acelera. Y ˆ T =T cos 37 º iˆ +T sen 37 º j
N
N = N jˆ
T
37º f r
=
f r (−iˆ)
X
f r m g
P = P ( −ˆ j)
La fuerza neta, total o
resultante sobre el cuerpo, está dada por el vector:
F N =T + N + f r + P
Expresando esta suma en sus componentes rectangulares: F N = ( T cos 37 º − f r ) iˆ + ( T sen 37 º + N − P ) ˆj = 0
Luego: T cos 37º - f r = 0 y T sen 37º + N - P = 0 Reemplazamos y luego despejamos T, con lo que: T =
µ k P cos 37 º + µ sen 37 º
⇒
Puesto que
v
es constante.
Considerando que f r = µ k N.
T = 15 ,3 N
b) De acuerdo con el segundo Principio de I. Newton,
F N
=
m a iˆ .
Por lo tanto:
F N = ( T cos 37 º − f r ) iˆ + ( T sen 37 º + N − P ) jˆ = m a iˆ
en que: f r = µ k N
⇒ T cos 37º - µ k N
= m a y T sen 37º + N - P = 0 Reemplazando N y despejando T:
Resulta:
T = 25,5 N
EJERCICIOS PROPUESTOS 52. Una persona empuja un mueble de 30 kg sobre una superficie. Calcule el valor de la fuerza que aplica la persona en cada uno de los siguientes casos:
a) La superficie es horizontal, el roce es despreciable y la dirección de la fuerza aplicada es horizontal de tal forma que el mueble acelera a 0,5 m/s 2. b) La superficie es horizontal, el coeficiente de roce cinético entre las superficies es µ persona aplica una fuerza horizontal tal que el mueble se mueve con rapidez constante.
k
= 0,3 y la
18
c) La superficie es horizontal, el coeficiente de roce cinético es µ k = 0,3 y la persona aplica una fuerza en una dirección que forma un ángulo de 20º sobre la horizontal tal que el mueble se mueve con aceleración constante de 0,5 m/s 2. d) La superficie está inclinada en 37º sobre la horizontal, el roce es despreciable y la persona aplica la fuerza paralelamente al plano inclinado para que a scienda con una aceleración de 0,2 m/s 2. e) La superficie está inclinada en 37º sobre la horizontal, el coeficiente de roce cinético es µ k = 0,3 y la persona aplica la fuerza paralelamente al plano inclinado para que descienda con rapidez constante. Sol.: a) 15 N
b) 90 N
c) 100,7 N
d) 186 N
e) 108 N
53. Sobre una superficie horizontal se encuentran tres cuerpos A, B y C en contacto, el roce entre las superficies es despreciable y sus masas son: m A = 2 kg, mB = 4 kg y mC = 6 kg. Sobre A se aplica una fuerza horizontal de 10 N. Calcular:
a) La aceleración del conjunto b) El módulo de la fuerza resultante sobre cada uno. c) La fuerza que ejerce B sobre C. Sol.:
a) a = 5/6 m/s2
A
B
C
F
b) Sobre A: 5/3 N ; Sobre B: 10/3 N ; Sobre C: 5 N
c) 70,6 N
e) 21,2 N
54. Una cuerda puede resistir una tensión máxima de 30 N antes de cortarse. Con ella, se suspende un cuerpo cuya masa es de 2 kg. ¿Cuál deberá ser el máximo valor de la aceleración que puede experimentar el cuerpo antes de que la cuerda se corte? Sol.: amáx = 5 m/s2
55. Un cuerpo de 5 kg se encuentra sobre la superficie de un plano inclinado en 37º sobre la horizontal, los coeficientes de roce estático y cinético entre las superficies son respectivamente µ e = 0,5 y µ k = 0,2. Sobre el cuerpo se aplica una fuerza horizontal F, calcule el valor que debe tener esta fuerza para que el cuerpo: a) Se encuentre en reposo a punto de descender. b) Ascienda con rapidez constante de 2 m/s. c) Descienda con rapidez constante de 2 m/s. d) Ascienda con aceleración constante de 2 m/s 2. e) Descienda con aceleración constante de 0,5 m/s 2 Sol.:
a) F = 9,1 N
b) F = 55,9 N
c) F = 23,9 N
F
37º d) F = 70,6 N
e) F = 21,2 N
56. Considere dos cuerpos A y B de masas mA = 1 kg y mB = 2 kg que se encuentran unidos mediante una cuerda ligera e inextensible. El coeficiente de roce entre las superficies que deslizan es µ k = 0,3 y la aceleración en los tres casos mostrados es de 2 m/s 2. Si la polea es de masa despreciable y gira sin roce, calcular para cada caso: F
F A
F B B
A
37º
A
B
37º
19
(1)
(2)
(3)
a) El valor de la fuerza F si en ( 1 ) y ( 2 ), B asciende. b) El valor de la tensión en la cuerda en cada situación. Sol.: a) F1 = 29 N ; F2 = 31,2 N ; F3 = 15,3 N
b) T1 = 24 N ; T 2 = 10,4 N ; T3 = 5 N
57. La figura muestra tres cuerpos A, B y C unidos mediante cuerdas una de las cuales pasa por una polea, como ilustra la figura, las masas de los cuerpos son: m A = 0,5 kg, mB = 1,0 kg y mC = 2,0 kg. Las cuerdas son inextensibles y de masa despreciable, al igual que la polea la cual gira sin roce. Calcular: a) La aceleración del sistema. b) La tensión en cada cuerda 1 y 2. c) La masa que se debe agregar a B para que este cuerpo descienda con una aceleración de 0,2 m/s 2.
1
A 2
B Sol.:
a) a = 1,43 m/s2
b) T1 = 17,14 N ; T2 = 11,43 N
C
c) m = 0,58 kg
58. Un cuerpo que pesa 100 N en la Tierra, se suspende verticalmente de un resorte estirándolo 20 cm. En un planeta desconocido el mismo cuerpo estira al mismo resorte 15 cm. Determine: a) El peso del cuerpo en el planeta desconocido. b) La masa del cuerpo. c) La aceleración de gravedad en el planeta desconocido. Sol.: a) P = 75 N
b) M = 10 kg
c) a = 7,5 m/s2
59. Un cuerpo A de 2 kg se encuentra sobre otro B de 3 kg, éste último está sobre una superficie horizontal muy pulida en que el roce es despreciable. Entre A y B las superficies son rugosas existiendo entre ellos un coeficiente de roce estático µ S = 0,4 y un coeficiente de roce cinético µ k = 0,2. Determine el valor máximo que debe tener una fuerza horizontal para que ambos cuerpos se muevan juntos si la fuerza se aplica sobre:
A. b) B.
A B
a)
Sol.:
a) FA = 13,3 N
b) FB = 20 N
60. Una caja de 10 kg se encuentra inmóvil sobre una correa transportadora que la hace ascender con rapidez constante de 2 m/s. La correa es plana y forma con la horizontal un ángulo de 30º. Respecto de esta situación: a) Haga un diagrama de cuerpo libre de la caja, representando todas las fuerzas que actúan sobre ella. b) Calcule el valor o módulo de la fuerza de roce estático que actúa sobre la caja. 37º
20
c) Calcule el valor del coeficiente de roce estático entre la caja y la correa para que ésta no pero esté a punto de hacerlo. Sol.:
b) f re = 60 N
deslice
c) μe = 0,75
61. Un cuerpo A de masa mA = 1,5 kg, está apoyado sobre un plano inclinado en 30º sobre la horizontal, unido a él mediante una cuerda inextensible y de masa despreciable, se encuentra otro cuerpo B de masa mB = 2 kg que está suspendido. El coeficiente de roce cinético entre el cuerpo A y el plano es µ k = 0,2. Determinar el valor de una fuerza F paralela al plano inclinado, para que el sistema:
F
A
30º
B
a) Ascienda con aceleración constante de 0,6 m/s 2 b) Descienda con rapidez constante. Sol.:
a) F = 32,2 N
b) F = 24,9 N
62. Un automóvil de 1500 kg está describiendo una curva horizontal y plana de 200 m de radio moviéndose con una rapidez tangencial constante de 15 m/s. Calcular la fuerza de roce entre los neumáticos y el suelo que permiten al auto describir la curva. Sol.:
f r = 1687,5 N
63. Un pequeño objeto de 0,5 kg se mantiene atado a una cuerda de 2 m de longitud y descansa sobre una superficie horizontal (roce despreciable). Si a este objeto se le hace describir una trayectoria circunferencial manteniendo fijo el otro extremo de la cuerda con un período de 0,5 segundos, calcular: a) La aceleración centrípeta del objeto. b) La tensión de la cuerda. Sol.:
a) acp = 315,5 m/s2
b) T = 157,8 N
ESTATICA EQUILIBRIO DE LA PARTÍCULA EJEMPLO 1 Un cuerpo de masa m (kg) está suspendido de dos cuerdas como lo ilustra la figura, calcular en función de m y de los ángulos que se muestran, la tensión que soporta cada cuerda: 1, 2 y 3.
21
53º
37º
1
2 3
Solución mg Recordando el Principio de Inercia: “Un cuerpo estará en reposo o moviéndose con velocidad constante si la suma de las fuerzas que actúan sobre él es nula”. Hagamos un diagrama de cuerpo libre, en que se muestren las fuerzas que actúan sobre este cuerpo: el peso y la tensión de la cuerda. T 3 + mg = 0
Luego:
Y
Para sumar los vectores, debemos referirlos T 3
a un eje de referencia, Y. T 3 = T 3 jˆ
y
m g =mg ( −ˆ j)
Sumando ambas fuerzas: T 3 + m g = ( T 3 −mg ) (−ˆj ) = 0
Entonces:
m g
T 3 = mg
Para determinar T1 y T2 representamos las fuerzas que actúan en el nudo donde las cuerdas convergen:
Y Sumamos las componentes de los vectores :
∑ F
x
:
T2 cos 37º - T1 cos 53º = 0
∑ F y
:
T2 sen 37º + T1 sen 53º = T3 = mg
T 1
T 2
53º
37º
X
T 3
0,8 T2 - 0,6 T1 = 0 0,6 T2 + 0,8 T1 = mg
⇒
T1 = 0,8 mg (N) ; T2 = 0,6 mg (N)
PROBLEMAS PROPUESTOS 64. El cuerpo de la figura pesa 50 N y se sostiene en equilibrio mediante las cuerdas que se muestran. Calcule el valor de la tensión que ejerce cada una de las tres cuerdas. 60º 2 1
22
Sol.:
T1 = 28,9 N
;
T2 = 57,7 N
65. Un cuerpo cuyo peso es 100 N es sostenido por tres cuerdas, como se ilustra en la figura. Determinar el valor de las tensiones de las tres cuerdas. 53º
1
60º
Sol.:
2
T1 = 60,1 N ; T2 = 41,6 N
66. El cuerpo A de 1,2 kg, se encuentra sobre una superficie como lo ilustran las figuras 1 y 2. Está unido a otro cuerpo B de 0,6 kg mediante una liviana cuerda, inextensible que pasa por una polea y gira sin roce, de masa despreciable que lo mantiene suspendido. Calcular el valor que debe tener el coeficiente de roce estático entre las superficies, para que el sistema esté en equilibrio pero a punto de que B descienda en fig. 1 y ascienda en fig. 2.
A A B
53º
Fig. 1 Sol.:
Fig. 2
μe = 0,5 en ambos casos
67. Dos cuerpo de pesos P y W están suspendidos de las cuerdas que ilustra la figura. Calcular la tensión que resiste cada una de las tres cuerdas.
60º
1
30º
3
2
P Sol.:
T 1 =
3 2
( P +W ) ;
W
P +W T 2 = 2
;
T 3
=
3
+
( P −3W ) 2 4
68. El peso del cuerpo que se encuentra suspendido en la figura es W y las poleas tienen igual radio y son de masa despreciable. Calcular el valor mínimo de la fuerza F con que se debe tirar el extremo libre de la cuerda para equilibrar el cuerpo.
Sol.:
F = W/ 2
W
F
23
69. Un cuerpo se encuentra en reposo sobre una superficie áspera, inicialmente horizontal. Comienza a inclinarse poco a poco y cuando alcanza un valor determinado θ 0, el cuerpo se encuentra a punto de deslizar. Demostrar que el coeficiente de roce estático entre las superficies es igual a: µ e = tg θ 0
70. Sobre la superficie horizontal de la figura se encuentra un cuerpo de 100 N, en reposo. Si el coeficiente de roce estático entre las superficies es µ a él para que esté a punto de moverse?
e
= 0,4 ¿Qué valor mínimo deberá tener la fuerza F, aplicada
F Sol.:
30º
Fmin = 375,2 N
EQUILIBRIO DEL CUERPO RIGIDO. EJEMPLO 2. Una barra de metal está apoyada en una pared vertical por uno de sus extremos y puede rotar libre y verticalmente respecto de él. Su longitud es 6 m y pesa 300 N, se mantiene horizontal mediante un cable fijo a la pared y a 1,5 m del extremo fijo de la barra formando con ella un ángulo de 53º, un cuerpo de 500 N se sostiene de la barra por una cuerda a 0,5 m del mismo extremo. Calcular: a) El valor de la tensión del cable. b) El módulo de la fuerza ejercida por el soporte fijo sobre la barra. c) El ángulo que forma con la barra, la
53º
fuerza ejercida por el soporte. Solución Análogamente al ejemplo anterior hacemos un diagrama de cuerpo libre representando todas las fuerzas que actúan sobre la barra. Y
a) F T θ
53º
S
X
W
P
24
W : Peso de la barra ; P : Peso del cuerpo ; T : Tensión del cable ; F : Fuerza del apoyo L : Longitud de la barra Calculemos ahora los momentos o torques de cada fuerza respecto del extremo fijo S. Se escogió este punto dado que el momento de la fuerza F , desconocida al igual que T ,respecto de este punto es nulo, de esta forma determinamos la tensión. Notamos que cada fuerza se descompone en componentes paralelas y perpendiculares a la barra, las primeras no producen un torque sobre ella, ¿porqué? Debe considerarse que por ser una barra homogénea y de área de sección constante, el peso actúa en su centro.
∑M S
:
1,5 T sen 53º – L/2 W – (L – 0,5)P = 0
Considerando que L = 6 m
T = 3041,7 N b) Obtengamos las componentes de: F = F =0 . para un cuerpo rígido ∑
c)
tg θ =
F
F y F x
ˆ F x iˆ + F y j
aplicando la primera condición de equilibrio
∑
Fx : Fx - T cos 53º = 0
⇒ Fx =
∑
Fy : Fy + T sen 53º - W – P = 0
⇒ Fy = - 1633,4 N
=
−1633 ,4
1825
= − 0,8950
⇒
1825 N
θ = − 41,8º
forma con la barra un ángulo de 41,8º y bajo ella
PROBLEMAS PROPUESTOS
71. Una viga de metal tiene 10 m de longitud y 1000 N de peso, está apoyada sobre dos pilotes, distantes 7 m entre sí en que uno de ellos está en uno de sus extremos. Una persona de 800 N se encuentra justo entre los dos pilotes, calcular para esta situación:
a) La fuerza que actúa sobre cada pilote. b) Si la persona camina hacia el extremo sin apoyo, determine hasta donde podrá hacerlo respecto de ese extremo sin que el sistema se desequilibre.
25
Sol.:
a) F1 = 685,7 N y F2 = 1114,3 N
b) x = 2,5 m
72. Un maestro pintor está sobre un andamio de 5 m de largo y 400 N de peso pintando el muro de un edificio a 15 m de altura. Se sostiene suspendido horizontalmente mediante dos cuerdas en los extremos del andamio, si el peso del maestro es 800 N, calcule:
a) La tensión de cada cuerda si el maestro está a 1,5 m de una de ellas. b) La posición del maestro si la tensión de una de las cuerdas es el doble de la otra. Sol.:
a) T1 = 760 N ;
T2 = 440 N
b) A 1,25 m de la más tensa.
73. Un aviso publicitario de 150 N está suspendido mediante una cuerda desde el extremo de una barra horizontal de 3 m de longitud y 50 N de peso. La barra está sostenida por un cable fijo a una pared vertical y a un punto de la barra a 0,5 m del extremo libre, este cable forma con la pared un ángulo de 37º. Calcular:
a) b)
La tensión del cable. La fuerza que el soporte ejerce sobre la barra. Sol.:
a) T = 350 N
b) Fx = 280 N ; Fy = -10,6 N
74. Una escalera tiene una longitud de 3 m y un peso de 200 N, está apoyada sobre una pared vertical lisa (roce despreciable) formando un ángulo de 37º con ella. Calcular: a) La fuerza que ejerce el muro vertical sobre la escala (Normal). b) La fuerza de roce entre la escala y el suelo. Sol.:
a) F = 75 N
b) f r = 75 N
75. La barra rígida de la figura tiene una longitud de 10 m y su peso es de 200 N, está articulada en el punto A. Se mantiene en equilibrio mediante un cable horizontal que la sujeta en un punto a 2 m de su extremo libre, desde ese mismo extremo una cuerda liviana mantiene suspendido un cuerpo de 100 N. El ángulo que forma la barra con el suelo horizontal es de 37º. Calcular:
a)
El valor de la tensión de la cuerda horizontal. b) La fuerza que ejerce el apoyo A sobre la barra. 37º
Sol.:
a) T = 333,3 N
b) F = 448,4 N
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IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO
EJEMPLO 3 Un tenista recibe la pelota, de masa m = 200 g, con una rapidez de 30 m/s (108 km/h) luego de golpearla, la devuelve a 40 km/h (144 km/h). Suponga que el movimiento de la pelota es horizontal y rectilíneo. En estas condiciones, determinar inmediatamente antes y después del golpe con la raqueta: a) Las cantidades de movimiento inicial y final de la pelota. b) El impulso que recibió la pelota al ser devuelta. c) La fuerza media que actuó sobre la pelota si el contacto con la raqueta se estima en un lapso de 0,01 segundos. Solución: a) Debe considerarse aquí que la cantidad de movimiento es una cantidad vectorial, p
=m v
por lo tanto, considerando que inicialmente la pelota se está moviendo en el sentido positivo del eje X (horizontalmente), se expresará como: p0
p
X p 0 = m v0 = 0,2 . 30 iˆ kgm / s = 6 iˆ kgm / s
Análogamente:
p = m v = 0,2 . 40 ( −iˆ) kgm / s = 8 ( −iˆ) kgms
b) El impulso recibido es igual a la variación de la cantidad de movimiento experimentada, por lo tanto:
I = ∆ p = p − p 0 = m ( v − v0 ) = 0,2 * 8 (−iˆ − 6 iˆ
c)
F ∆t = ∆ p
⇒
F =
∆ p ∆t
=
2,8 0,01
( −iˆ) N
kgm / s
⇒
I
=
2,8 (−iˆ)
kgm / s
⇒
F = 280 ( −iˆ) N
EJEMPLO 4 27
Un vagón ferroviario de 15000 kg, abierto transita por una vía horizontal con una rapidez constante de 8 m/s. En un lugar determinado se le deja caer de cierta altura, un objeto de 800 kg que llega al vagón con una rapidez de 4 m/s, luego el vagón continúa su movimiento con el objeto sobre él. Suponga todo roce despreciable. Calcular: a) La cantidad de movimiento del sistema (vagón y objeto) al momento que el objeto llega al vagón b) La rapidez con la que se mueve el vagón con el objeto sobre él. Solución: En la figura se representa ambas situaciones, primero cuando el objeto llega al vagón y después cuando ambos se mueven juntos Y
pobjeto
p vagón
p vagón
+objeto
X Si consideramos un sistema de referencia XY con el eje X en dirección horizontal y en el sentido de la velocidad del vagón, entonces el vector cantidad de movimiento del sistema antes que toque al vagón, será: P sist
antes
= p vagón
+ p objeto
=15000 . 8 iˆ + 800 . 4 ( − jˆ ) =120000
iˆ −3200 jˆ kgm / s
Después de haber caído, la cantidad de movimiento del sistema es: P sist
depués
=
pvagón
+
p objeto
=
(15000
800 ) v iˆ
+
=
15800 v iˆ
kgm / s
El Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento de un Sistema se cumple en ausencia o equilibrio de fuerzas exteriores al sistema, en este caso, la vía horizontal hace que el peso de cada cuerpo quede equilibrado con las fuerzas normales respectivas y dada la ausencia de roce la condición se cumple, por lo tanto: P sist
antes
=
P sist
después
⇒
120000
iˆ
−
3200 j
=
15800 v iˆ
⇒
120000
=
15800 v
Entonces v = 7,6 m/s EJERCICIOS PROPUESTOS 76. Una pelota de 0,4 kg se deja caer desde 5 metros de altura sobre el suelo, luego del rebote alcanza una altura de 3,2 metros. Calcular:
28
a) Las rapideces de la pelota al tocar el suelo e inmediatamente luego de rebotar suponiendo una trayectoria vertical libre de todo roce. b) El impulso que el suelo otorgó a la pelota. c) El valor medio de la fuerza que actuó sobre la pelota si el contacto con el suelo duró un tiempo estimado en 0,1 segundo. Sol.:
a) v1 = 10 m/s ; v 2 = 8 m/s
b) I = 7,2 N s
c) F = 72
N
77. El gráfico de la figura ilustra la variación de la fuerza
F (N)
100
aplicada sobre un cuerpo de 0,2 kg respecto del tiempo, a partir de él determine: a) El impulso que recibió el cuerpo. b) El valor medio de la fuerza ejercida sobre el cuerpo. Sol.:
a) I = 200 N s
b)
0 1 2 3 4 5
t (s)
F = 50 N
78. Dos niños Diego y José, de 60 kg y de 50 kg respectivamente, deslizan sobre sus patines en una calle horizontal. Diego lo hace con una rapidez de 10 m/s de Norte a Sur, en cambio José a 5 m/s de Sur a Norte, al cruzarse, ambos se abrazan manteniéndose así unidos. Suponiendo que todo roce es despreciable, que no se caen y que se comportan como partículas, determinar: a) La cantidad de movimiento de cada niño y la de ambos como sistema, antes de abrazarse. b) La cantidad de movimiento de ambos después de abrazarse. c) La velocidad con que se mueven ambos. Sol.:
P J a) P D = 600 kgm/s al Sur ; kgm/s al Sur.
c)
v
250 kgm/s al Norte ; P S
350 kgm/s al Sur
b) P S
350
3,2 m/s al Sur
79. Un bloque de 2,5 kg se encuentra inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal, mantiene comprimido un resorte de tal forma que al soltarse, impulsa al bloque haciéndolo recorrer una distancia de 4 m. Si el coeficiente de roce entre las superficies es µ k = 0,3. Calcular: a) La rapidez con que el resorte dispara al cuerpo. b) La variación de la cantidad de movimiento experimentada por el cuerpo. c) La fuerza media que el resorte ejerce sobre el cuerpo si el contacto dura 0,5 segundos. Sol.:
a) v = 4,9 m/s
b) ΔP = 12,25 kgm/s
c) F = 24,5 N
80. Un hombre de 79,5 kg está parado en un estanque congelado cercano a un muro (roce nulo), sostiene un cuerpo de 0,5 kg en sus manos. Lanza el cuerpo hacia el muro con una rapidez de
29
10 m/s (en relación con el suelo) y lo atrapa después que éste rebota elásticamente en el muro. Calcular: a) La rapidez a la que se mueve el hombre después de lanzar el cuerpo. b) La rapidez con que se mueve el hombre después de atrapar el cuerpo. Sol.: a) v = 0,063 m/s
b) v´ = 0,125 m/s
81. Una bala de 20 g se dispara horizontalmente contra un bloque de madera de 1 kg que descansa sobre una superficie horizontal en que µ k = 0,25. La bala atraviesa el bloque y sale con una rapidez de 250 m/s. Si el bloque se desplaza 5 metros antes de detenerse. Calcular: a) La rapidez inicial del bloque luego de ser impactado. b) La rapidez inicial de la bala. Sol.:
a) v bloque = 5 m/s
b) v bala = 500 m/s
TRABAJO Y ENERGIA EJEMPLO 5 Un niño asciende 80 m por una colina inclinada en 30º sobre la horizontal, arrastrando un carro de 10 kg mediante una cuerda que mantiene en dirección paralela al plano inclinado con una aceleración de 0,2 m/s2 , el coeficiente de roce cinético entre la superficie del carro y el camino es µ k = 0,4. Calcular el trabajo que realizan las fuerzas : d
a) Normal y Peso del carro. b) Tensión de la cuerda y Roce. c) Neta o trabajo neto sobre el cuerpo.
30º
Solución: El ángulo formado por el vector desplazamiento y la fuerza Normal es de 90º, por lo tanto: W N = N d cos 90º = 0 La fuerza normal no realiza trabajo. El ángulo formado por el vector desplazamiento y la fuerza peso es de 120º, por lo tanto: W mg = mg d cos 120º = - 10.10.80. 0,5 = - 4000 J
30
b) Para calcular el trabajo de la tensión, primero debemos calcular el valor que tiene a partir de un diagrama de cuerpo libre y del segundo principio de Newton:
Y X
N
T
Σ Fx :
T - f r – mg sen 30º = m a
Σ Fy :
N - mg cos 30º = 0
f r mg
N
T - µ k mg cos 30º - mg sen 30º = m a ⇒ T = m a + µ k mg cos 30º + mg sen 30º = 86,64
Por lo tanto: W T = T . d . cos 0º = 86,64 . 80 . 1 = 6931,2 J El valor de la fuerza de roce es: f r = µ k mg cos 30º = 34,64 N Luego: W fr = f r d cos 180º = 34,64 . 80 . (-1) = - 2771,2 J b) El trabajo neto o el realizado por la fuerza neta se puede obtener de dos formas: 1. W neto = W T + W peso + W roce + W normal = 6931,2 - 4000 - 2771,2 + 0 = 2. W neto = F neta . d cos 0º = m a d = 10 . 0,2 . 80 . 1 = 160 J
160 J
EJEMPLO 6 El cuerpo de 2 kg de la figura, parte del reposo y desciende por una pista sin roce AB equivalente a un cuarto de circunferencia de radio 20 metros, llega al plano horizontal y se desplaza a lo largo de BC de 9,5 metros, allí, el coeficiente de roce cinético entre las superficies es µ k = 0,4. Finalmente es detenido mediante un resorte que es comprimido en una longitud de 80 cm. Determinar: a) La rapidez con la que llega al plano horizontal. b) La rapidez con la que comienza a comprimir al resorte. c) La constante elástica del resorte.
31
A 20 m
Solución: B C D a) Dado que a lo largo de AB no existe roce, no hay disipación de energía mecánica y por lo tanto la energía mecánica en A tiene el mismo valor que en B. Considerando el nivel de referencia en B: E A = E B ⇒ U A + K A = U B + K B
en que K A = U B = 0 luego: v B =
2 g h A
Reemplazando resulta: vB = 20 m/s b) En el trayecto recto horizontal BC, existe roce, luego hay disipación de energía en forma de calor, por lo tanto, la energía mecánica no se conserva y la diferencia corresponde al trabajo que realiza el roce, por lo que: W frBC = E C - E B Si E B = ( ½) m v B2 y E C = ( ½) m vC 2 entonces reemplazando: µ k mg d BC cos 180º
= ( ½ ) m vC 2 - ( ½ ) m v B2 ⇒ vC = 18 m/s c) Dado que el tramo CD no existe roce, entonces la energía mecánica se conserva, por lo tanto: E D = E C ⇒ U gC + U kC + K C = U gD + U kD + K D Ya que: U gC = U gD (superficie horizontal) ; U kC = 0 (resorte sin comprimir) ; K D = 0 (cuerpo en reposo) Entonces:
2 C
( ½ )m v = ( ½ )k x
2
⇒
k =
m vC x 2
2
=
1012,5 N/m
EJERCICIOS PROPUESTOS 82. Una caja de 500 kg se encuentra sobre un plano inclinado en 37º sobre la horizontal. Mediante un cable paralelo a este plano, se la hace recorrer 20 metros a lo largo de él hacia arriba con rapidez constante de 4 m/s. Si el roce entre las superficies es despreciable, calcular el trabajo realizado por las fuerzas: a) Normal y resultante. b) Peso y tensión del cable. c) La variación de la energía mecánica experimentada. Sol.: a) W N = 0 ; W Neto = 0
b) WPeso = - 6 * 10 4 J ; WT = 6 * 104 J
c) ΔE = 6 * 104 J
32
83. En la figura se muestra un cuerpo de 10 kg que se encuentra sobre la superficie circular de 10 metros de radio, su rapidez de descenso en ese lugar es de 5 m/s, luego recorre 15 sobre una superficie horizontal siendo hasta aquí el roce despreciable. Finalmente asciende por un plano inclinado en 37º sobre la horizontal a lo largo del cual alcanza a recorrer 15 metros antes de detenerse. Calcular:
v = 5 m/s
10 m 37º 15 m
a) La rapidez con la que inicia el ascenso del plano inclinado. b) El coeficiente de roce cinético entre las superficies en el plano inclinado. Sol.:
a) v = 15 m/s
b) μk = 0,19
84. Un carro A, de 5 kg desliza por un camino con roce despreciable pasando por un punto a 10 metros de altura con una rapidez de 2 m/s. Al llegar al nivel más bajo impacta a otro cuerpo B de 10 kg, inicialmente detenido quedando ambos cuerpos adheridos. Determine: a) La rapidez del carro cuando pasa por un punto a 7 metros de altura. b) La rapidez con la que impacta al cuerpo B. c) La rapidez con que ambos cuerpos continúan moviéndose después del impacto.
A 10 m 7m
B Sol.:
a) v = 8 m/s
b) v´= 14,3 m/s
c) v´´ = 4,77 m/s
85. Una bala de masa m = 0,1 kg se mueve con velocidad
v =100 iˆ m / s
. Choca a un bloque de 0,9 kg inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal. La bala se incrusta en el bloque y recorre el tramo rugoso AB de 8 metros de longitud y luego el plano inclinado BC (sin roce) llegando al punto C, a 1,8 metros de altura, con una rapidez de 4 m/s. Determinar: a) La velocidad del conjunto bala-bloque después del choque. b) El coeficiente de roce cinético en el tramo AB.
C M m
A
B
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Sol.:
a)
v =10 iˆ m / s
b) kμ = 0,3
86. El gráfico de la figura representa la variación de la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo a lo largo de un camino horizontal, en función de la distancia recorrida X, al respecto determine:
F (N) a) El trabajo realizado por la fuerza resultante. b) La variación de energía cinética del cuerpo. c) La rapidez que alcanza luego de recorrer los 20 m si tiene 4 kg y partió del reposo. Sol.:
a) Wneto = 1250 J
b) ΔK = 1250 J
100
50
x (m)
c) v = 25 m/s 0
10
20
87. Sobre una superficie horizontal se encuentra en reposo un cuerpo A de 2 kg en contacto con un resorte comprimido en 50 cm y de constante elástica 800 N/m. En un instante determinado, el resorte se suelta impulsando al cuerpo sobre dicha superficie con la que el roce es despreciable, el cuerpo A desliza e impacta a otro cuerpo B de 0,5 kg que se encuentra en reposo, ambos quedan adheridos y continúan juntos. El conjunto asciende por un plano inclinado en 37º, aquí µ k = 0,3. Determinar: a) La rapidez con que se mueven los cuerpos unidos sobre la superficie horizontal. b) La distancia que alcanza a recorrer el conjunto a lo largo del plano inclinado hasta detenerse. 50 cm
A
B 37º
Sol.:
a) v = 8 m/s
b) d = 3,81 m
88. En la montaña rusa de un parque de diversiones, un carro de 300 kg es tirado con un cable accionado por un motor, a lo largo de un plano inclinado en 37º con rapidez constante hasta alcanzar una altura de 50 m sobre el suelo. Desde allí, se abandona partiendo del reposo y comienza a descender por un riel curvo hasta llegar a nivel del suelo. Suponiendo ausencia de todo roce, calcular: a) b) c) d) e) f)
El trabajo que realiza el peso del carro al subir por el plano inclinado. El trabajo que realiza el motor mediante la tensión del cable. La energía mecánica en el punto más alto de su trayectoria. La energía cinética al encontrarse a 10 metros del suelo. La altura a la que su rapidez es de 20 m/s. La rapidez con que llega a nivel del suelo.
Sol.: a) WP = - 1,5 * 105 J b) WT = 1,5 * 105 J c) E = 1,5 * 105 J d) E = 1,5 * 105 J e) H = 30 m f) v = 31,6 m/s
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