Guía de: Matemática
MATEMÁTICA
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Sistemas de Numeración. Productos Notables Factorización Inecuaciones Matrices Trigonometría Sistema de Ecuaciones Lineales Geometría Analítica
CIENCIAS EMPRESARIALES
0
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ÍNDICE SISTEMA DE NUMERACIÓN ...................................................................................... 3 PROBLEMAS RESUELTOS................................................................................................. 7 EJERCICIOS PROPUESTOS .............................................................................................. 9 PRODUCTOS NOTABLES ....................................................................................... 12 PROBLEMA RESUELTOS ................................................................................................. 14 EJERCICIOS PROPUESTOS ............................................................................................ 16 FACTORIZACION DE POLINOMIOS ......................................................................... 18 EJERCICIOS PROPUESTOS ............................................................................................ 21 INECUACIONES ........................................................................................................ 25 EJERCICIOS PROPUESTOS ............................................................................................ 33 MATRICES ................................................................................................................. 38 EJERCICIOS PROPUESTOS ............................................................................................ 49 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS AGUDOS ..................................... 53 EJERCICIOS RESUELTOS................................................................................................ 55 EJERCICIOS PROPUESTOS ............................................................................................ 57 SISTEMAS DE ECUACIONES ................................................................................... 60 EJERCICIOS PROPUESTOS ..................................................................................... 64 GEOMETRIA ANALITICA .......................................................................................... 66 EJERCICIOS PROPUESTOS ............................................................................................ 74 BIBLIOGRAFÍA ....................................................................................................... 76
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PRESENTACIÓN
La siguiente guía de Matemática tiene por objetivo poner al alcance de los estudiantes del Ciclo Pre Universitario de la Universidad Privada de Tacna, los temas que serán desarrollados, teniendo en cuenta el marco teórico con ejemplos prácticos, problemas explicados y
ejercicios
propuestos. Los Temas que se proponen para este Ciclo Pre Universitario
son:
Numeración, Productos Notables, Factorización, Inecuaciones, Matrices, Trigonometría, Sistema de Ecuaciones Lineales y Geometría Analítica
2
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TEMA 01:
SISTEMA DE NUMERACIÓN
DEFINICION: Es un conjunto de reglas, principios, leyes empleados para expresar y escribir mediante símbolos los numerales. Dado:
abcd (n)
a,b,c, d
Base del sistema, es un número entero positivo mayor que 1.
PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACION:
Base
Sistema
Cifras disponibles
2
Binario
0, 1
3
Ternario
0, 1, 2
4
Cuaternario
0, 1, 2, 3
5
Quinario
0, 1, 2, 3, 4
6
Senario
0, 1, 2, 3, 4, 5
7
Eptal
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
8
Octal
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
9
Notario
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
10
Decimal
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
11
Undecimal
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, (10)
12
Duodecimal
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, (10),(11)
OBSERVACION:Por convención, cuando la cifra es mayor que 9 se utilizan letras para su representación. Así: Cifra 10 Cifra 11 Cifra 12
A B C
CONSIDERACIONES EN EL SISTEMA DE NUMERACION DE BASE “n” 1. Cualquier número puede ser escrito empleando el sistema de numeración considerando que la primer cifra siempre es diferente de cero. 2. Un número de unidades de cualquier orden que coincida con la base del sistema de numeración, origina una unidad del orden inmediato superior. 3. Cualquier cifra escrita inmediatamente a la izquierda de otra representa unidades tantas veces mayores que ésta como unidades tenga la base del sistema de numeración. 3
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4. En cualquier sistema de numeración la cantidad de cifras posibles a utilizar siempre será numéricamente igual a la base. Ejemplo: Base “n” 0, 1, 2, …., n -1 “n” cifras 5. La máxima cifra escrita que se puede escribir en cualquier sistema de numeración
siempre será igual a la base disminuida en una unidad. Ejemplo: Base “n” “ n – 1” Cifra máxima
REPRESENTACION LITERAL DE NUMERALES ; representa un número de 2 cifras del sistema decimal
; numeral de 3 cifras de la base 7
Número capicúa, es aquel numeral que tiene representación simétrica es decir las cifras equidistantes de los extremos son iguales. Ejemplos:
REGLA DE LOS SIGNOS Un número expresado en dos sistemas distintos en igualdad, se notará que aquel miembro que tenga el numeral mayor le corresponderá la base menoryor y viceversa. Numeral Menor
Numeral Mayor
251(7) = 2012(4) Base Mayor
Base Menor
4
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CONVERSIÓN DE SISTEMAS DE NUMERACIÓN
CASO 1:De Base “n” a base 10 Ruffini:
Convertir 1202(3) a base 10 1 3 1
2 3 5
0 15 15
2 45 47
1202(3) = 47
Descomposición Polinómica 1202(3) = 1.33 + 2.32 + 0.3 + 2 1202(3) = 1.27 + 2.9 + 0 + 2 1202(3) = 27 + 18 + 2 1202(3) = 47 En forma General: = a.n3 + b.n2 + c.n + d
CASO 2 :De Base 10 a base “n” Divisiones Sucesivas : Se divide el número dado entre el valor “n” de la base deseada, el cociente resultante se vuelve a dividir entre “n” y así sucesivamente hasta obtener un cociente cuyo valor sea menor que la base. El número de base “n” estará formado por el último cociente y los residuos desde el obtenido en la última división hasta el de la primera. Convertir 421 al sistema quinario
5
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CASO 3: Ruffini:
De Base “n” a base “m” Divisiones sucesivas
Convertir 251(7) a base 4 Ruffini:
251(7) a base 10
Divisiones Sucesivas: 134 a base 4
6
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PROBLEMAS RESUELTOS 1. Hallar un número de tres cifras que cumpla las siguientes condiciones: La Primera cifra es el doble de la tercera. La segunda cifra es el triple de la primera. Dar como respuesta la suma de las cifras del número. Solución: Sea la tercera cifra: a La primera cifra es : 2a La segunda cifra es : 6a Luego, el número es: (2a)(6a)a
Solo resulta cuando
a=1
El número es: 261 Entonces: 2 + 6 + 1 = 9 …Rpta. 2. ¿Cuántos números de la forma: a (a 2) b (6 b) existen en el sistema decimal? Solución:
a (a 2) b (6 b) 2 3 4 5 6 7 8 9 8
6 5 4 3 2 1 0
x
7 =56 números …Rpta.
3. Si
Hallar: a + b
Solución: 7a + b + 12b + a = a.62 + b.6 +0 8a + 13b = 36a + 6b 7b = 28a 1b = 4a Luego : a = 1 y b = 4 Nos piden: a + b = 5
…Rpta.
7
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4. El número 1254(7) tiene “k” cifras en base 3, Hallar k2 Solución: 1254(7) a base 3 Ruffini:
1254(7) a base 10 1
2 7 9
7 1
5 63 68
4 476 480
1254(7) = 480
Divisiones Sucesivas: 480 a base 3
480 = 122210(3) k2
6 cifras = k Hallar :
62 = 36 …Rpta.
5. La diferencia, en base 10, entre el mayor número de tres cifras diferentes de base 6 y el menor número de tres cifras diferentes de base 3 es: Solución: Mayor número de tres cifras diferentes de base 6 : 543(6)
5 6 5
4 30 34
3 204 207
543(6) = 207 Menor número de tres cifras diferentes de base 3: 102(3) 1 3 1
0 2 3 9 3 11
102(3) = 11 Luego:
543(6) - 102(3) = 207 - 11 =196 … Rpta.
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EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Si se cumple que: a)8
(n)
b)6
2. Hallar a + b+ c + x, si a)12
b)13
Calcular (a + b + c + d + e + f + n)
c)5
d)4
=1224(x) c) 14
d)15
3. Si los numerales están correctamente escritos a)5 4.
e)7
b) 6
e)16 ;
;
c)3
Calcular
d)4
e)2
Determine la suma de todos los numerales de la forma:
dar
como respuesta la suma del resultado. a)28
b)23
c)26
d) 24
e)25
5. Indique la veracidad (V) o falsedad (F) de cada una de las siguientes proposiciones y dé como una respuesta la secuencia correcta. I.
Dado el numeral
, entonces la suma de los valores de
“a” es 8 II. El numeral de la forma
es 150(7)
III. Existen 3 numerales de la forma a )FVF
b)FFV
c)VVV
d)FVV
e)VFV
6. ¿Cuántos numerales de tres cifras del sistema decimal no poseen las cifras 3 ni 8 en su escritura? a)294
b)343
c)392
7. Si el numeral
e) 448
e)512
es capicúa; halle el valor de
a+b a)8
b)3
c)4
d)6
e) 5
8.. ¿En qué sistema de numeración se realizó la siguiente operación 75 - 59 = 18? a)15
b)9
c)10
d) 12
e)13
9. ¿Cuál es el nombre del sistema de numeración en el que el número 513 se escribe como 1001?
9
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a)Octonario
b)senario
10. Si se cumple que : a)6
b)3
c)quinario
d)nonario
e)heptanario
= c)4
d)8
e)5
d)7
e)8
11. Hallar el valor de “a” ,si: 231(5) = 123(a) a)9
b)5
c)11
12. ¿Cómo se representa 234(x) en base (x-1)? a)269(x-1)
b)279(x-1)
c)299(x-1)
13. Se cumple que: a)1
e)369(x-1)
(6)
b)2
c) 3
14. Si se cumple que: a)4
d)379(x-1)
d)4
e)5
d)8
e)6
Hallar “a + b” b)5
c) 7
15. Si el siguiente numeral:
, es capicúa. Hallar el valor
máximo de : a+b+c+d a )13
b)10
c)12
c)11
d)9
16. Un número aumentado en el triple de su cifra de decenas resulta 93. Hallar la suma de sus cifras. a)11
b)7
c) 9
d)6
e)8
17. La suma de las cifras de un número es 14 y si al número se suma 36, las cifras se invierten. Dar como respuesta la diferencia de las cifras de dicho número de 2 cifras. a)3
b) 4
c)5
d)2
e)1
18. En el sistema de numeración de base 14, encuentre el número de dos cifras que resulta duplicado cuando se escribe con las cifras en orden inverso. a)94
b) 65
c)49
d)52
e)36
19. Como se expresa en el sistema de base (n+2) el número 148(n) a)124(n+2) b)134(n+2)
c)114(n+2)
10
d)104(n+2)
e)112(n+2)
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20. Si 1331(x+1) = 1000(6) a) 4
Hallar “x”
b)5
c)6
21. Si:
d)7
e)8
d)6
e)10
Hallar “a + b”
a)4
b)8
c)2
22. Si se cumple que a) 18
=
Hallar el valor de a + b + c + d
b)13
23. Hallar
c)16
d)19
e)20
c)10
d)11
e) 12
c)29
d)28
e)27
c)7
d)9
e)11
, si:
a)8
b)9
24. Hallar a + b + n , a) 31
si : 121(n) =
;
b)30
25. Hallar “a” en: a)4
1330(a) =
(6)
b) 5
26.Determine la suma de todos los numerales de la forma:
dar
como respuesta la suma del resultado. a)28
b)23
c)26
d) 24
e)25
d)9
e)11
27. Hallar a + b si el siguiente numeral es capicúa: a)8
b)10
c)12
28. Calcular “a + b” si: 7 numerales
a)5
b)6
c)7
29. Se cumple que a)7
= b) 8
30. Se tiene que a) 6
= b)8
d)8
e)3
d)5
e)4
d)12
e)10
Halle el valor de a + b + c c)6 Halle el valor de axb c)5
11
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TEMA 02 :
PRODUCTOS NOTABLES
Los productos notables, también denominada identidades algebraicas, son un conjunto de fórmulas que permiten calcular los productos sin necesidad de aplicar los criterios generales de la multiplicación algebraica. PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES: 01. CUADRADO DE UN BINOMIO O TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:
a b a 2 2ab b 2 2
a b a 2 2ab b 2 2
02. IDENTIDADES DE LEGENDRE:
a b a b 2 a 2 b 2 2
2
a b a b 4ab 2
2
03. CUBO DE UN BINOMIO:
a b a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 3
a 3 b 3 3ab(a b). a b a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 3
a 3 b 3 3ab(a b). 04. SUMA POR DIFERENCIA O DIFERENCIA DE CUADRADOS:
a b a b a 2 b 2 05. PRODUCTO DE BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN:
06. PRODUCTO DE BINOMIOS CON IGUAL VARIABLE:
ax n b cx n d acx 2n ad bcx n bd 07. SUMA DE CUBOS:
a b a 2 ab b 2 a 3 b 3
12
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DIFERENCIA DE CUBOS:
a b a 2 ab b 2 a 3 b 3 08. CUADRADO DE UN TRINOMIO:
a b c a 2 b 2 c 2 2ab ac bc 2
09. CUBO DE UN TRINOMIO:
10. IDENTIDADES TRINÓMICAS O DE ARGAND:
11. IDENTIDAD DE LAGRANGE
12. IDENTIDADES AUXILIARES: 3 3 3 1) a b b c c a 3 a b b c c a
2) a b cab ac bc a ba cb c
13. IDENTIDADES CONDICIONALES: Si : a b c 0, se cump le que :
1) a 3 b 3 c 3 3abc 2) a 2 b 2 c 2 2(ab ac bc) 2 3) a 2 b 2 c 2 2 a 4 b 4 c 4 4) a 2 b 2 c 2
2
4 a 2b 2 a 2c 2 b 2c 2
5) a 4 b 4 c 4 2 a 2b 2 a 2c 2 b 2c 2
6) ab ac bc 2 ab2 ac 2 bc 2 13
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PROBLEMA RESUELTOS 1. Reducir: a) 2x – 16
b) 3x + 16
c) 2x2+16
d) 2x2+32
e) N.A.
d) 44
e) 32
Solución: Desarrollando cada uno de los binomios:
Reduciendo términos semejantes:
2. Si: x + y = 6 a) 3
Rpta: d
xy = 2, hallar: x2+y2 b) 4
c) 42
Solución:
Rpta: e
3. Efectuar: a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
Solución: Desarrollando lo que está dentro de la raíz cuadrada:
Rpta: b
14
e) 6
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4. Efectuar: a) abc
b) 2abc
c) 0
d) 3abc
e) a
Solución: Aplicando:
Rpta: b
5. Si: a + b = 4 a) 20
ab = 2, hallar: a3 + b3 b) 35
c) 40
d) 28
E) 50
Solución: Aplicando:
Rpta:
15
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EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Reducir: E 8 (x y)(x y)(x2 y2 )(x4 y 4 ) y8 A)x. B) y C) x8 D) y8 2. Si: a + b = 5 ; ab = 3 A) 125 B) 123
Calcular el valor de C) 81
a+b = 6 ; a2+b2 = 30
3. Si: A) 36
B) 52
Calcular el valor de:
a3 + b3 D)80.
E) 28
E
C) 38
4. Si: a+b+c = 0 , Calcular: M
a2 b2 b a D)54.
E) (2y)1/2
E) 27
(a b c)2 (a b c)2 (b c a)2 a2 b2 c2 D) 10
E) 1
5. Efectuar: E=(x - y)2- (y - z)2 +(z - w)2 - (w - x)2 + 2(x - z)(y - w) A) x2 B) y2 C) 2xy D) w2
E)0.
A) 3
6. Si:
p
B)4.
C) 8
5 m 7 . Determinar: M
A) 22
B) 146
5m3 7p 2 7p 1 5m1
C) 50
D)38.
7. Si: a+b+c = 0 ,Calcular el valor de “B”: B A) 1
B) -1
C) 2
a a b b c c b c a c a b D) -2
E) 15
E)-3.
8. Si se sabe que: x + x -1 = 2Calcular el valor de: M = x + x2 + x3 + x -3 + x -2 + x -1 A) 14 9. Reducir: A ) 25
B) 12
C) 10
a3 b3 5 2
E) 20
y calcular el valor de E=(a+b)6
ab(a b) 2 B) 26
C) 24
10. Si x + y + z = 0, el valor de A)81
D)6.
B)-81
D) 28
M=
E)27. es:
C)49
D)-49
E)27
11.. Si se sabe que a + b + c = 3, a3 +b3 + c3 = 30 y abc = 4 El valor de: S = A)1/4 12.Simplificar:
A) 1 13. Si x2+ 5x -
es:
B)4
C)1/2
D)2
E)1
( a b) 2 (b c) 2 (c a ) 2 (b c)(c a) (c a)(a b) (a b)(b c)
B) a b c =0
D) abc
C) 0
Calcular x(x+1)(x+4)(x+5) - 4 16
E)3.
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A)1
B) 3
C)5
14. Si:
D)7 Entonces el valor de:
A)81
B) 64
C) 27
15. Si:
E)9 es:
D) 18
E) 9
D) 64
E) 128
es igual a:
A)16
B) 30
C) 32
16. Teniendo en cuenta que:x + y + z = 3;
Hallar el valor de: A)-27
xy + xz + yz =6;
xyz = 9
P = (x + y –z)(y + z – x)(z+ x –y)
B)27
C)-25
D)40
E)25
17. Si (a+b+c+d)2 = 4(a+b)(c+d)Calcular el valor de: A)1
B)2
C)
18. Si: x y z 0 Reducir: M A)1.
B) 2
19. Simplificar: R A)2.
D) 3
3
3
3
(2x y z) (x 2y z) (x y 2z) 3xyz C) 3 D) 9
E)
E) 1/3
(a b)(a3 b3 ) (a b)(a3 b3 ) a4 b 4 C) 4ab
B) ab
D) 4
E) 2ab
20. Si: a b c 2 Calcular: E 3 (1 a)3 (1 b)3 (1 c)3 3abc A) 2 B) 1 C)1/2. D) 0
E) –2
m2 n2 m 3n 3n 1 1 4 Calcular: F mn 2m m 4n m n m n A) 2 B) 3 C) 4 D)-2.
21. Si:
m–n = n–p = 2. Halla el valor de: P A)1
A) 2 – 1
6
C)2 – 1
B)2
23. Reduce: M
m n 2 n p2 m p2
B) 2
A)
a b 5 2
;.
D)2 – ½
E)4
D) 1
E)3-1.
D) 2
E)3/2.
D) 3
E) 5
x y3 y z 3 z x 3 9x y y z z x C) –3
12 1. 24. Si m 2 1 2 . Halle: m 2 6 m 3m A) ½ B) 4 C) 4 / 6
25. Si:
E) -3Si:
b 7 a
B)1.
Calcular:
M
C)
8
a b
5 1
17
8
b a
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TEMA 03
FACTORIZACION DE POLINOMIOS
: 1. DEFINICION: Factorizar es el proceso que consiste en transformar una expresión algebraica racional y entera en un producto indicado de factores primos en el campo R. 2. FACTOR.- El factor de una expresión es aquél que la divide exactamente. Ejemplo: *a.b.c= x
a , b y c son factores de x
* y(y+1)=y2+y yy (y+1) son factores de y2+y.
Factor primo.- Es aquel que no se puede descomponer en otros factores (diferentes de uno). Ejemplo: (5) (7), donde 5 y 7 son factores primos.
2. POLINOMIO PRIMO. – Es un polinomio de grado diferente de cero divisible sólo entre sí y entre cualquier constante. Por ejemplo: x2+1 es un polinomio de segundo grado divisible sólo entre sí mismo. Si en una multiplicación indicada, uno de los factores tiene las características de un polinomio cero, dicho factor se denomina factor primo. PROPIEDADES Solamente se pueden factorizar las expresiones compuestas (no primas). El máximo número de factores primos que puede tener una expresión estará dado por su grado. Las expresiones de primer grado, llamadas también expresiones lineales, necesariamente son primos.
3. METODOS DE FACTORIZACION: METODO DE FACTOR COMUN Factor común monomio.- Es el monomio que está contenido en todos los términos del polinomio considerado. El factor común se extrae de cada término, elevado a su menor exponente. A.
Ejemplo (1):Factorizar
x 5 y 3 xy 2 . xy2( x4y + 1)
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Factor común polinomio.- Cuando existe un polinomio contenido en todos los términos del polinomio considerado. Ejemplo (2):Factorizar x(a 1) (a 1). Solución:Extraemos el factor común (a-1) x(a 1) (a 1) (a 1)( x 1)
Factor común por agrupación de términos.- Se agrupan los términos de 2 en 2, de 3 en 3, etc. considerando alguna característica común.
4 4 4 4 Ejemplo (3):Factorizar x a x y z a z y Solución: Agrupando en la forma indicada: x4(a y) z4(a y) (a y)(x4 z4)
B. METODO DE LAS IDENTIDADES
En este caso utilizaremos los productos notables. DIFERENCIA DE CUADRADOS: A2 B 2 ( A B)( A B) Ejemplo (4):Factorizar
( x 1) 2 ( y 1) 2 Solución:
( x 1) ( y 1)( x 1) ( y 1)
( x y 2)( x y) DIFERENCIA DE CUBOS: A3 B 3 ( A B)( A2 AB B 2 )
Ejemplo:
27n 3 8 (3n) 3 (2) 3 27n 3 8 (3n 2)(9n 2 6n 4)
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SUMA DE CUBOS:
A3 B 3 ( A B)( A2 AB B 2 ) Ejemplo:
8n 6 1 (2n 2 ) 3 (1) 3 8n 6 1 (2n 2 1)(4n 4 2n 2 1) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO A2 2 AB B 2 ( A B) 2
Ejemplo:
9 x 4 6 x 2 1 (3x 2 ) 2 2(3x 2 )(1) (1) 2 9 x 4 6 x 2 1 (3x 2 1) 2
C. METODO DEL ASPA
Método del aspa simple.- Se utiliza para factorizar trinomios de la forma.
ax 2 m bx m y n cy 2 n .
Ejemplo (5): Factorizar a2 b2 3a 3b 2ab 28 Solución: (a b)2 3(a b) 28 (a b 7)(a b 4) a b 7 a b - 4
Método del aspa doble.- Se utiliza para factorizar polinomio de la forma:
2 Bxy 2 Dx Ey F Ax Cy Ejemplo (6): Factorizar
x 2 3 xy 4 y 2 7 x 8 y 12
x
4y
4
x
-y
3
Los factores son: (x+4y+4)(x-y +3)
20
Guía de: Matemática
Caso particular. – Se emplea para factorizar polinomios de la forma: Ax 4 n + Bx 3 n +Cx 2 n +Dx n +E.
Ejemplo (7): Factorizarx 4 +7x 3 +17x 2 +26x+12.
D. DIVISORES BINOMICOS.- Se utiliza para factorizar polinomios de cualquier grado siempre que tenga por lo menos un factor de primer grado. Regla: Se calcula los valores de las variables que anulen al polinomio para obtener factores binomios (ceros del polinomio). Ejemplo, si se anula para: * x = 3, entonces (x - 3) es factor * x= - ¼, entonces (4x + 1) es factor
Se divide por Ruffini al polinomio entre el factor o factores binomios obtenidos, paraobtener el factor que falta.mayor grado. Ejemplo:
x3 x 6 , posibles ceros: ................................................... 7 x5 2 x 4 3 , posibles ceros: .................................................. Ejemplo (8):Factorizar: x3 3x 4 Solución: Posibles “ceros”: 1, 2, 4 . Se anula para x 1 (x-1) es factor. El otro factor se obtiene al dividir por Ruffinientre(x-1)
2
La expresión factorizada es: (x 1)(x x 4) .
21
Guía de: Matemática
EJERCICIOS PROPUESTOS 1. ¿Cuántos factores de primer grado tiene el polinomio: x2y+ xy2 + x2 + y2 + 2xy + x + y a)1
b)2
c)3
d)0
2. Hallar la suma de los coeficientes de un
e)4
factor en la siguiente expresión
E=(x+3) (x+2)(x+1)+(x+2)(x+1)+(x+1) a)0
b)1
c)2
3.Cuántos factores cuadráticos tiene: a)2
b)3
d)4
e)6
(x+1)(x+2)(x-2)(x+5)-13
c)4
d)5
e)6
4. Calcular el término independiente de uno de los factores de: (x+1)(x-3)(x+4)(x-6) +38 a)2
b)-5
c)3
d)9
e)1
5. Si: x2+3x- 2 =0, calcular el valor de; x(x+1)(x+2)(x+3) - 2 2 a)2
b)7
c)0
d)6
e) 73
6. Hallar la suma de los coeficientes de los factores de: (x2+7x-3)2-2(x2+7x)-29 a)5
b)6
c)7
d) 8
e) 10
7. Señalar un factor de: 15x2+14xy+3y2+41x+23y+14 a)(3x-y+7) d)(5x+3y+2)
b)(3x-2y+7) e)(5x-3y-7)
c)(3x+y+2)
8. Sumar los coeficientes de un factor de 10x2+11xy-6y2-x-11y-3 a)1
b)2
c)4
d)5
e)6
9. La expresión E=(x-3)(x-2)(x-1)x-3, al ser descompuesta en dos factores cuadráticos, ¿Cuál de ellos posee menos valor, para cualquier valor de x? a) x2-3x-1
b) x2+3x-1
c) x2+3x+1
d) x2-3x+1
e)x2+3x+3
10. ¿Cuántos factores binómicos tiene: x5 – x4 – 13x3 + 13x2 + 36x -36 a)5
b)4
c)3
d)2
11. Factorizar a tres factores: a + b – a3 + ab2 + a2b – b3 e indicar uno de los factores.
22
e)1
Guía de: Matemática
a)a+b+2
b)a-b+2
12. Factoriza el polinomio
c)a+b-2
d)a-b-1
e)a+b+1
P(a) = a5 – 8a3 + 6a2 + 7a – 6; y señala uno de sus
factores primos a)a+1
b)a+2
c)3a-1
e)2a- 3
xn+2 + xn + x3 + x – x2 - 1
13. Uno de los factores del polinomio a)xn +x + 1
d)4a+1
b)xn + x -1
c)xn-x+1
d)xn – x- 1
e)xn + 1
14. Hallar la suma de factores primos mónicos de : P(x) = x2(x - 6)(x -1) - (x2 - 31x + 30) a)6x-5 16.Al factorizar a)7x2+5y2
b) 4x-7
b) 8x2-5y2
c)15x2-9y2
e)5x-3
d)7x2+3y2
e)5x2-7y2
(x + y)(x + z) – (y + w)(z + w) es:
b)x-z
c)y-w
19. Señale el factor primo de mayor grado que posee: a)x+2
d)3x+1
15x4 – 29x2y2 – 14y4, hallar la suma de los factores primos.
18. Un factor del polinomio: a)x+w
c)4x-8
b)x2+2
c)x2+4
d)w-z
e)x-w
P(x) = x4 – x3 – 2x – 4 d)x2+5
e)x2 +1
20. Factorizar M(x) = x5 + x + 1, la suma de los coeficientes de uno de los factores es: a)3
b)5
c)4
21. Al factorizar: x3 – 8x2 + 17x – 10
d)2
e)6
la suma de los términos independientes de los
factores primos es: a)8 22. Al Factorizar
b)-5
c)7
d)-8
e)10
P(x,y) = 6x2 +3xy –3y2 +19x +13y + 10
La suma de los coeficientes de uno de los factores es. a)5
b)6
c)9
d)4
e)3
23. El número de factores primos que posee: P(x,y,z)= 36x6y3 - 25x4y5 + 4x2y7 a)3
b)5
c) 6
d)4 23
e)2
Guía de: Matemática
24. Factorice
P(a) = (a + 1)(a - 2)(a + 3)(a - 4) + 21 y halle la suma de los
términos lineales de todos sus factores primos. a)-5a
b)-3a
c) -2a
d)-4a
e)a
d) a-1
e) a+b
25. Calcular un factor de: a2 + 2a + ab + b + 1 a) a+b+1
b) b+1
c)b-1
26. Factorizar: m2-4p2+4mm+4n2 y calcular la suma de los factores primos obtenidos a)2m + 4n
b)m+ n + 2p
c)m+n
d) 2m+n
e)m+2n
d) 42
e)0
27. Calcular la suma de coeficientes de un factor primo: S(m;n) = 7m4+29m2n4 – 36n8 a) 48
b) -1
c)35
33. Si
es un polinomio factorizable, entonces un factor
primo es: a) 3x-1
b) x+5
d) x2+1
c)2x-4
e) x2+x-3
34. Hallar la suma de los factores primos del polinomio:
P( x) 4 x 4 13x3 15x 2 50 x 22 a) 5x² - x + 9
b) 5x² + x – 9
d) 3x² - x + 9
e) 3x² + x – 9
x7 + x5 + 1
35. Factorizar la siguiente expresión
c) 3x²+ x + 9
dando el valor numérico
para x = 1, en uno de los factores. a)3
b)4
c)5
d)6
e)7
37. Señale Ud. el término de mayor grado de un factor primo del polinomio P(x) = x7 – 2x5 + 3x4 – 3x2 + 3x + 1 a)x2
b)x3
c)x4
d)x5
24
e)x6
Guía de: Matemática
INECUACIONES
TEMA 04 : 1. LEY DE TRICOTOMÍA EN R
Dados dos números reales a y b, ellos verifican una y sólo una de las siguientes relaciones: a=b; 2.
a>b;
a
a b R a = b; a > b ; a < b
DESIGUALDAD Se llama desigualdad a la relación entre dos números reales de diferente valor. Si: a b a > b a < b
3. CLASES DE DESIGUALDADES: A. DESIGUALDAD ABSOLUTA Es aquella que se verifica para todos los valores reales que se dan a sus variables. x² + 10 > 0
a² + b² + 9 >0
B. DESIGUALDAD RELATIVA Llamada inecuación, se verifica sólo para un cierto
conjunto solución de sus
incógnitas. 3x – 4 > 2
x² -3x + 1 < 0
4. RECTA REAL Es una recta geométrica donde a cada uno de sus puntos se le hace corresponder uno y sólo un número real. NÚMERO POSITIVO: Es aquel conjunto de números mayores que cero. Si: x > 0 “x es positivo”. NÚMERO NEGATIVO: es aquel conjunto de números menores que cero. Si: x < 0 “x es negativo.
25
Guía de: Matemática
5. INTERVALO: Es aquel subconjunto de los números reales. El intervalo es un conjunto de valores comprendido entre dos límites (superior e inferior). A. INTERVALO ABIERTO Es un conjunto de números reales, comprendidos entre los extremos (a los extremos, no los considera). Representación
ó ]a;b[
B. INTERVALO CERRADO Es un conjunto de números reales, donde se consideran los valores extremos. Representación 6.
[ a ; b]
OPERACIONES CON INTERVALOS Al ser los intervalos subconjuntos de los números reales, será posible entonces realizar las operaciones entre conjuntos, como: unión, intersección, diferencia y complementación. Ejemplos: Dados Calcular: A B;
AB;
A–B
Solución:
7. PROPIEDADES SOBRE DESIGUALDADES 1. El sentido de una desigualdad no se altera si se suma o resta una misma cantidad a ambos miembros.
Si : x y x n y n Si : x y x n y n 26
Guía de: Matemática
2. Si a los dos miembros de una desigualdad se le multiplica o divide por una misma cantidad positiva, el sentido de la desigualdad no cambia Dado: x>y ; n>0 (n es positiva)
x.n yn x y . n n 3. Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica o divide por una misma cantidad negativa, el sentido de la desigualdad cambia. Dado: x>y; n< 0
(“n” es negativa)
x.n yn x y n n 4.
Si : a b b c a c Si : a b b c a c
5. Se
pueden sumar desigualdades del mismo sentido, teniendo la desigualdad
resultante el mismo sentido.
ab m n
ab m n
am bn
am bn
6. Sólo se podrán restar desigualdades de sentidos contrarios y el sentido de la desigualdad resultante será el del minuendo.
ab m n
ab m n
am bn
am bn
7. Sólo se pondrán multiplicar desigualdades del mismo sentido y con números positivos y el sentido de la desigualdad resultante no varía. Para: a, b, c, d >0
a b x c d axd bxd 27
Guía de: Matemática
8. Sólo se podrán dividir desigualdades de sentidos contrarios y con números positivos y el sentido de la desigualdad resultante será el mismo que el del dividendo. Para: a, b, c, d >0
a b : c d a b c d a 0 axb 0; (b 0) b 9. Si: a 0 axb 0 b 10. Siendo a y b del mismo signo, entonces: Si:
1 1 ab a b
Si:
1 1 ab a b
m n 11.Para: b 1 : si : b b m n
Para: 0 b 1 : si : bm bn m n 12. Si: a b a
ab b 2
13.Para: b 1 : si : bm bn m n 14. Para: b 0 : si : a 2 b b a b 8. INECUACIONES Se llama inecuación a la desigualdad que se verifica sólo para un cierto conjunto solución de sus incógnitas. A. INECUACIONES DE PRIMER GRADO Forma : ax b 0
28
Guía de: Matemática
Resolución:
ax b b b ax 0 b ax b x
b a
Ejemplos:
(4 x)2 3( x 1) 4( x 8)
1. Resolver: Solución: Efectuando:
8 2 x 3x 3 4 x 32 5 x 5 4 x 32 5 x 4 x 32 5 x 27 x 27; 2. Resolver:
2
x5 x8 5 2 3
Solución: Pasando al primer miembro::
x5 x8 0 2 3 42 3x 15 2 x 16 0 6 x 11 0 x 11 0 x 11 : 6
7
B. INECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Forma: ax bx c 0; 2
1. Resolver:
ax 2 bx c 0 x 2 3x 4 0
Solución: Factorizando: ( x+ 4) ( x – 3) >0
29
Guía de: Matemática
Igualando cada factor a cero se obtiene los puntos “críticos”: x = -4,
x = 1,
llevando a una recta real y colocando signos ( +,-,+) de derecha a izquierda. La solución estará dada por la zona positiva ya que tiene el sentido (>).
x ;4 1; 2. Resolver:
x 2 7 x 12 0
Solución: Factorizando: ( x- 4 ) ( x – 3 ) < 0 Se iguala cada factor a cero para obtener los puntos críticos: x = 4, x = 3, los llevamos a una recta real y colocamos de derecha a izquierda ( +, -, +). Tomamos la zona negativa, pues en la inecuación original se tiene el sentido (<).
x 3;4 3. Resolver:
x 2 3x 2 0
Solución: Factorizando: ( x + 2 ) ( x+ 1 ) 0 Puntos críticos: x = -2:
x = -1
Por el sentido ( ) se toma la zona negativa.
x 2;1
C. INECUACIONES EXPONENCIALES LEYES: 1º
Si: b > 1, dada: b x bn x n
2º
Si: 0 < b < 1; dada: b x bn x n
Ejemplos: 1. Resolver:
16 x 1 2 x 12
Solución: Buscando bases iguales:
30
Guía de: Matemática
24( x 1) 2 x 12 , cumple la 1º ley Luego:
4 x 4 x 12 4 x x 12 4 3 x 16 x x
2. Resolver:
16 se mantuvo el sentido 3
16 ; 3
(0,2)
2 x 1 6
x2
(0,4) 18 cumple 2º ley
Solución: Buscando bases iguales:
(0,2)
2 x 1 6
(0,2)
x2 2 18
; cambio de sentido
2x 1 x 2 2 6 18
Multiplicando por 18 ambos miembros:
3(2 x 1) 2( x 2) 6x 3 2x 4 4x 7 x
7 4
7 x ; 4
D. SISTEMA DE INECUACIONES Es aquel conjunto de inecuaciones que se verifican o satisfacen para los mismos conjuntos soluciones de sus incógnitas (valores comunes a todos).
Sistema en función de una sola incógnita
Ejemplo:
Resolver:
31
Guía de: Matemática
Solución: Se procede a resolver cada inecuación por separado y luego se intersectan los resultados. Con la (1): damos MCM = 6, y efectuamos: 18 + x – 3 > 2 ( x + 5 ) – 2 ( 7) De donde: x < 19 Con la (2): damos MCM = 6 y efectuamos 12 + 3 ( x – 5 ) 2 ( x + 4 ) – 6 ( 5 ) De donde: x -19 Intersectando ambos resultados:
x 19;19
32
Guía de: Matemática
EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Hallar el menor número racional “m” que para cualquier valor
satisface la
desigualdad:
a) -2/3
b) -1/3
c) -5/3
d) -7
e) -6
Indicando el mínimo valor entero que la
2. Resolver:
verifique. a) -3
b) -5
c) -7
d) -8
e) -9
3. Hallar un número entero y positivo, sabiendo que la tercera parte del que le precede disminuida en una decena, es mayor que 14, y que la cuarta parte del que le sigue, aumentada en una decena es menor que 29. a) 5
b) 56
d) 62
e) 32
Indique la suma de las soluciones enteras.
4. Resuelva:
a) 3
c) 74
b) 2
c) 7
b)
c)
d) 4
e) 5
5. Resolver: a)
6. Hallar el menor valor de “n” al resolver:
a) 25
b) 22
d)
e)
6n n 3 3 2n 5 5 6 2 4 5 c) 32
d) -35
e) -30
7. Hallar un número de dos cifras, sabiendo que el duplo de las cifras de las decenas restado de la cifra de las unidades, es mayor que 5, y la diferencia entre 14 veces la cifra de las unidades y la cifra de las decenas es menor que 112. a) 17
b) 18
c) 16
d) 27
e) 28
8. Un número disminuido en 5 resulta mayor que su duplo aumentado en 2; disminuido en 10 resulta menor que su duplo disminuido en 1. El número es: a) 8
b) 9
c) 10
33
d) -7
e) -8
Guía de: Matemática
9. El dominio de la función real: a)
es:
b)
c)
d)
e)
c) 2
d) 4
e)
10. Calcula el mínimo valor de: a) 4
b) 0
11.El producto de los valores enteros de “x” que satisfacen la desigualdad:
es: a) 120
b) 100
c) 60
d) 24
e) 12
1 5 5 ; 2x 2 a b
12. Si: 5 x 1 3;2 además se cumple que
Hallar: a + b a) 24
b) 26
c) 30
a) x 2 : 3 ]
b) x 2 : 3 [
c) x 2 : 5 ]
14. Hallar el mayor valor de “M”, x R a) 15
b) 14
b) 18
a) n
d) x 1 : 3 [
d) 18
tiene como conjunto solución: c) 20
d) 22
e) x 2 : 6 ]
M x 2 14 x 33
c) 16
15. La inecuación:
16. Resolver:
e) 28
2x 3 3 x2
13. Resolver:
a) 16
d) 34
e) -16 Hallar b + c.
e) 24
5 6n 7 4n 7 8n 3 2n 25 2
21 47 ; 4 4
b) n
21 47 ; 7 4
c) n
34
31 47 ; 4 4
d) n
22 47 ; 7 4
e) N.A.
Guía de: Matemática
17. El menor número M con la propiedad : a) 6
b) 13
para todo valor real “x”, es:
c) 12
d) 3
e) 11
18. Se sabe que el cuádruplo de un número de monedas que hay dentro de una bolsa es tal, que disminuido en 5, no puede exceder en 31, y que el quíntuplo del mismo número de monedas aumentado en 8, no es menor que 52. ¿Cuál será dicho número? a) 9
19. Resolver:
b) 10
c) 11
e) 15
x 2a 8a 2 2 x a x a x a2
a) x `2a;a a;3a
b) x `2a;a a;2a
d) x `2a;a a;5a
e) N.A.
20. La solución de: a)
d) 12
c) x `2a;3a a;3a
es: b)
c)
d)
e)
21. Resolver:
a)
b)
d)
e)
c)
22. Resolver: a)
b)
d)
e)
c)
23. Resuelve: a)
b)
c)
d)
24. Resolver: Indicar el número de elementos enteros del conjunto solución.
35
e)
Guía de: Matemática
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
b)
c)
d)
e) 9
25. Resolver: a)
e)
26. El cuadrado, de un número aumentado en 6 no excede a 27 veces el mismo número. El mayor número real que satisface tal propiedad es: a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
27. Carlos vendió 100 libros y le quedó más de la mitad de los que tenía al inicio. Luego vende 502 libros y le queda por vender menos de 500 libros. ¿Cuántos libros tenía Pablo al inicio? a) 2005
b) 2002
c) 2007
d) 2001
e) 2003
28. Un carpintero hizo un cierto número de sillas. Vende 49 y le quedan por vender más de la mitad. Hace después 9 sillas y vende 20, quedándole menos de 41 sillas que vender. ¿Cuántas sillas ha hecho sabiendo que inicialmente fabricó un número par de sillas? a) 100
b) 102
29. Resolver: a) x>5
3x 1
30. Resolver la inecuación:
31. Resolver:
15 ;7 13
a) x
d) 109
e) 120
c) x>4
d) x<3
e) x>7
31 x 21 x 61 x 5 b) x<5
a) x ;32
c) 110
b) x ;30
1 x2 3x 5 2 4 c) x ;32
d) x ;13
e) N.A.
2x 5 1 x 5 3 3 x 1 3x 1 2x 1 4 3 2 6
18 ;7 13
b) x
15 ;6 13
c) x
36
16 ;7 e) N.A. 13
d) x
Guía de: Matemática
32. Resolver:
x a)
x 4x 6 x 3x 5 x 1x 2 x 3x 4
5 ; 4
x b)
9 ; 4
x c)
7 ; 4
x d)
3 ; 4
e) N.A.
33. Hallar un número entero y positivo, sabiendo que la tercera parte del que le precede disminuida en una decena, es mayor que 14, y que la cuarta parte del que sigue, aumentada en una decena es menor que 29. a) 70
b) 64
c) 65
d) 74
e) 80
34. ¿Cuál o cuáles son los valores enteros de “x” que satisfacen el sistema?
2 x 5 y 30 x 3 y 22 y 8 a) 2
b) 1
c) 4
d) -4
e) -2
35. Un número entero disminuido en 5 resulta mayor que su duplo aumentado en 2; disminuido en 10 resulta menor que su duplo disminuido en 1. El número es: a) -8
b) 10
c) -10
d) -9
37
e) 8
Guía de: Matemática
MATRICES
TEMA 05 : LA MATRIZ
Es todo arreglo rectangular de elementos del conjunto R o C en filas y columnas. Por ejemplo:
Matriz rectangular 2 x 4
Matriz cuadrada 3 x 3
IDENTIDAD DE MATRICES Dos matrices son idénticas o iguales si se verifica que: a) Tienen igual orden b) Sus elementos correspondientes son iguales. Por ejemplo: verificar la igualdad en:
A=
2
4
5
6
9
3 3x2
4
y
B=
5
22 6
32 15 5
3x2
a) Poseen igual orden 3 x 2 b) Los elementos correspondientes son iguales.
38
Guía de: Matemática
CLASES DE MATRICES
1. Matriz cuadrada ... ... ... nxn 2. Matriz nula
...
3. Matriz diagonal 3
0
A=
-2 0 0 y
0
B=
5
0
5 0
0 0 3,6
4. Matriz escalar
5. Matriz identidad
6. Matriz fila o vector fila A = |2 3|1x2
B = |5 6 -7 10|1x4
39
Guía de: Matemática
7. Matriz columna o vector columna 2 A=
5 B= 6
3 2x1
-7 10 4x1
8. Matriz triangular superior
9. Matriz triangular inferior
10. Transpuesta de una matriz (At)
11. Matriz Simétrica
A = At A es simétrica
40
Guía de: Matemática
12. Matriz Antisimétrica
A = -At
B = -Bt
OPERACIONES CON MATRICES:Se considera solo dos operaciones I.
ADICIÓN DE MATRICES ( A + B) Se tendrá en cuenta para A+ B 01. Deberán ser el mismo orden 02. Se sumaran los elementos de manera correspondiente. De manera General:
a1 b1 c1""
m1 n1 P1 ...
A a2 b2 c2 B m2 n2 P2 ... a3 b3 c3
m3 n3 P3 ...
a1 m1 b1 n1 c1 P1 ... A B a2 m2 b2 n2 c2 P.2 ... a3 m3 b3 n3 c3 P3 ...
41
Guía de: Matemática
Ejemplos: 1. Sean:
2. Sean las matrices:
Luego A + B y A – B son:
PROPIEDADES 01. 02. 03. 04.
A+ B = B+A (A+B) + C = A+ (B+C) K (A+ B) = KA+ KB ; K (K+r) A = KA + rA K ; r
II.MULTIPLICACIÓN DE MATRICES (AXB)
1. Multiplicación de un escalar por una matriz
a1 b1 c1 "" A a 2 b2 c2 Luego a3 b3 c3 a1 (k) b1 (k ) c1 (k )... K.A = a 2 (k) b 2 (k ) c 2 (k )...
a3 (k) b 3 (k ) c 3 (k )... 2. Multiplicación de un vector FILA por vector columna. Solo para elementos de la FILA igual a la cantidad de elementos en la columna
m1 A a1b1c1 y B m2 m3
AxB a1 xm1 a2 xm2 a3 xm3 ....
42
Guía de: Matemática
3. Multiplicación de los matrices se tendrá en cuenta lo siguiente: 1) Solo se define para dos matrices de m x n y n x p
Am x n x Bn x P Cm x p Ejemplos: 1.
Sean las matrices:
2.
Sean las matrices:
La matriz AB será una matriz C de orden 2x1
3.
Sean las matrices:
La matriz C producto de A y B será de orden 2 x 3 de la siguiente forma:
Hallando cada uno de los elementos:
43
Guía de: Matemática
NOTA: La multiplicación de matrices no necesariamente es conmutativa
PROPIEDADES: Si A, B ; C son matrices
01. 02. 03. 04. 05. 06. 07.
AB BA (A+B) C = AC+ BC C(A+B) = CA + CB A( BC) = ( AB) C 0 xA = 0 Si A x B = 0 entonces A=0 y B= 0 Si AB = AC entonces B=C
TRAZA DE UNA MATRIZ Dada una matriz cuadrada, se llama traza a la suma de los elementos de la diagonal principal y se denota por tras así:
Ejemplos: 1. Sea:
2. Sea:
TEOREMA: Sean las matrices cuadradas A y B del mismo orden y I.
Traz(A B) = Traz(A)
II.
Traz( .A) = Traz(A)
III.
Traz(AB) = Traz(BA)
Traz(B)
44
un escalar.
Guía de: Matemática
TRASPUESTA DE UNA MATRIZ Sea A una matriz
se llama traspuesta a la matriz denotada por
definida por
Es decir, dada una matriz A se determina su traspuesta denotada por intercambiando todas las filas por columnas. Ejemplos:
1. Sea
2. Sea
TEOREMA I. II. III.
es un escalar.
IV.
MATRIZ INVERSA Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n, tales que. que B es la matriz inversa de A y se denota asi: matriz inversa de B y se denota asi:
.
Luego:
Ejemplo Si
Sea
Resolviendo.
45
, entonces se dice ; o también se dice que A es
Guía de: Matemática
Entonces: MATRIZ ADJUNTA Dada una matriz cuadrada:
de orden n, donde
, se define como la matriz adjunta de A y se denota por
es el adjunto del elemento a:
Ejemplo 1: Para la matriz:
Luego :
Ejemplo 2:Para la matriz:
MATRIZ ADJUNTA Dada una matriz cuadrada:
de orden n, donde
es el adjunto del elemento
,
se define como la matriz adjunta de A y se denota por
Nótese que los adjuntos de los elementos de la fila j es A son los elementos de la columna j en ADJ(A), o los adjuntos de los elementos de la columna i en A son los elementos de la fila i en ADJ(A), es decir:
46
Guía de: Matemática
Ejemplo 1:Para la matriz:
Luego:
Ejemplo 2: Para la matriz:
hallar su Adjunta.
Solución:
Luego:
MATRIZ INVERSA Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n, tales que: AB = BA = I, entonces se dice que B es la matriz inversa de A y se denota asi: matriz inversa de B y se denota asi: Luego:
Ejemplo 1: Sean las matrices:
47
; o también se dice que A es la
Guía de: Matemática
Ejemplo 2: Si: Solución: Sea:
Resolviendo: Entonces: CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA QUE UNA MATRIZ CUADRADA POSEA INVERSA. Se tiene que para que una matriz singular
exista si y sólo si A es una matriz regular se dice que A no posee inversa o no es inversible.
Ejemplo: Hallar la inversa de la matriz:
entonces A posee inversa, además:
48
; si A es
Guía de: Matemática
EJERCICIOS PROPUESTOS
A
1. Hallar A + B ; si
(a)
14 25 0
5 15 0
yB
10 5 7 9 10 0
14 - 25 0
(b)
16 12 9
6 7 2
c)
- 16 - 12 - 9
1
9
2. Sean las matrices A = - 5 - 1
4
9
7
-7
16 12 9
d)
14 25 0
16 - 12 - 9 - 14 - 25 0
e) N.A.
8 2 B 9 5
y
- 1 13
Entonces A - B; es:
7 7 (a) - 14 - 6
5 3.
(b) 14 6
(c) - 6 - 14
-5 6
4
7 7
7 -7 6
(d) 6
5
14
9 7 (e) 4 - 6
-6 -5
3 6
Sean las matrices: A=
2 4
3
B
y
1
3 2
Hallar “A x B” (a) 13 14
(b) - 13 - 14
(c)
13
(d)
14
- 13 - 14
(e)
9 6 8 2
4. Sean las matrices:
A=
4
3
5
1 9
5 4 1
2
y
B 7 9
3
2 1
2
Hallar “A x B” (a)
45 45 17
(b)
50 38 26
50 38 26 45 45 17
(c)
- 45 - 45 - 17 - 50 - 38 - 26
5. Si
a 3
1
1 c
b
a 1 d
2
d2 29 b = 7d 4 d 21 2
Calcular el valor de 49
(d)
- 50 - 38 - 26 - 45 - 45 - 17
(e) N.A.
Guía de: Matemática
a) 13
b) 12
c) 13
6.. Sean las matrices:
A=
2 -1 3
1
B=
d) 14
e) 15
a 1 c 5
Tal que AB = BA. Calcular a) 1
b) 2
7. Si A =
3
5
-2 1
B=
c) -1
-2
7
4
-1
C=
d) 3
e) -3
11 1 10 5
Resolver la ecuación:
a)
9 11 7 -4
b)
9 12
c)
7 -4
9. Sea la matriz B =
senx
a) ½
9 14
e)
7 -4
- 9 10 7 -4
y
3 -1
c)8
d)12
e)15
c) ¼
d) 1/8
e) 2
si
cosx
Hallar el valor de
6 -4
x-y u-v
b)6
cos x - senx
d)
xy uv 5 3
8. Halle el valor de xyuv si las matrices
a)5
9 11
para b)1/5
10. Dadas las matrices
A=
2
1
-1 3
B=
1
2
-1
3
2
-4
3 y
6
1
C = -1 4
5
2
2
1
Si a) 22 11. Hallar
b) 24
c) 20
para que satisfaga la ecuación:
50
d) 26
e) 30
Guía de: Matemática
1 0
2 0
a b c d
0 0
1
1 4
0 1
0 0
0 0
1
9 2
a) 2
12. Si:
1
1 0 6
=
1 9
8 4
0
b) 4
x
2 0
y 5
e) 7
Calcular:
b) 4
c) 5
5 1 13. Sean las matrices:
d) 6
-3
- 3 -1 0 z a) 3
c) 5
1
0 2 -1 1
6
5
1
d) 6
3
1
A = -3 6 3 y B = -6 -2
0
2 -4 2 Si
5
e) 7
6 8
Hallar la suma de las componentes de la
tercera fila de la matriz X. a) 1
b) 2
14. Si A =
a)
6
1
2
- 4 18
d) 4
e) 5
Hallar la matriz x
3 5
33
c) 3
b)
6 32
c)
- 4 18
7
33
d)
- 4 - 19 1
15. Dado el polinomiof(x) = 3x2 – 5x -2 y además A =
2
8
33
- 4 - 19
e)
6 33 4 18
Hallar f(A)
3 1
Dar como respuesta la suma de sus elementos. a)30
b)32
c)33
16. Calcular la traza de f(A) siendo a) 26
b) 24
d)35 y A=
1
51
A + 2B =
2
3 4
c) 28
17. Dadas las matrices A y B que cumplen:
d) 30
5
e)28
2
0 -3
2A – B =
e) 32
5
- 11
-5
4
Guía de: Matemática
a) 1
b) -1
c) 0
18. Dadas las matrices:
A=
2
y-2
3
x 1
B=
2
d) 2
e) 3
d) 10
e) 12
d) 4
e) 5
4
x3 1
Si A = B. Calcular la suma de los elementos de la Matriz A.
a) 9
b) 6
19.Dadas las matrices:
c) 11 A=
3
-5
1
-2
y B=
2 5 1 3
Calcular la suma de los elementos de la matriz a) 1
b) 2
20. Halle
c) 3
e indique la suma de sus elementos si:
a) -3
b) -4
2
c) -5
-1
21.Si: A = - 1
0 a) 1
4 8 2 y B= 2 -1 1
1 3
b) 2
d) -6
e) 1
d) 4
e) -1
Hallar. Traza(AB)
c) 3
22. Sean las matrices: A=
-2 3 2
-1
B=
- 1 - 31 -2
2
Hallar la traza (AB + BA)
a)10
b)24
c)-12
52
d)-24 e)36
Guía de: Matemática
TEMA 06 :
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS AGUDOS
DEFINICIÓN:Es la razón o cociente que se establece con los lados de un triángulo rectángulo, y con respecto a uno de sus ángulos agudos. ELEMENTOS:
CÁLCULO DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS El valor de las razones trigonométricas de ángulos agudos, se determinan en un triángulo rectángulo, estableciendo la división entre las longitudes de sus lados tomados de dos en dos y con respecto a uno de sus ángulos agudos.
Teorema de Pitágoras:
c2 = a2 + b 2 53
Guía de: Matemática
PROPIEDADES DE RAZONES TRIGONOMETRICAS: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS::
Cos Tg RAZONES TRIGONOMÉTRICAS COMPLEMENTARIAS:
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
IDENTIDADES AUXILIARES:
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN ÁNGULOS NOTABLES
54
Guía de: Matemática
EJERCICIOS RESUELTOS 1. Calcular el cateto de un triángulo recto de 330 m. de perímetro, si la tangente de uno de sus ángulos agudos es 2,4. Solución: *Sea “α” ángulo del triángulo que cumpla con la condición: *Ubicamos “α” en un triángulo recto, cuya relación de catetos guardan la relación de 12 a 5. *La hipotenusa se calcula por Pitágoras
El perímetro del triángulo es: 5k + 12k + 13k = 30k Según los datos:
30k = 330
→
K = 11
*La pregunta es calcular la longitud del cateto menor 5k = 5 x 11 = 55 m….Rpta
2. Calcular un “x” agudo que verifique
Solución: Nótese que en la ecuación intervienen, razones trigonométricas recíprocas, luego los ángulos son iguales:
…
Rpta.
55
Guía de: Matemática
3.
Resolver e indicar el menor valor de “x” que verifique: Solución: *Dada la ecuación
; luego los ángulos deben sumar 90
entonces:
4.
Resolver “x” el menor positivo que verifique:
Solución: *Nótese que el sistema planteado es equivalente a:
*reemplazamos en la primera igualdad:
5.
Calcular: Solución:
F = 3/5… Rpta
56
Guía de: Matemática
EJERCICIOS PROPUESTOS 1. En un triángulo, dos de sus ángulos miden 60 g y
Calcule el tercer ángulo
en grados sexagesimales. a) 99°
b) 111°
c) 122°
d) 133°
e) 144°
2. La suma de dos ángulos es 80g y su diferencia es 18°. Hallar los ángulos en radianes. a)
b)
c)
d)
e)
3. Los números S y C representan la medida del ángulo en grados sexagesimales y centesimales respectivamente. Están relacionados de la siguiente manera. . hallar la medida radial del ángulo. a)
b)
c)
d)
e)
4. Las medidas de un ángulo en el sistema sexagesimal y en el sistema centesimal son: el valor del ángulo en radianes es: a)
b)
c)
5. En un triángulo ABC, recto en C, simplifique: a)a
b)b
d)
e)
E= (tgA + tgB)senA. senB
c)c
d) 1
e)-1
6. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se cumple: E = secB – senA Si tg A = 2senB a)1
b)2
c)3
el valor de
7. Si: a) 27
d) 1/2
e)1/3
es:
b) 41
c) 81/41
d) 9/41
e) 41/9
8. Dado el sistema de ecuaciones:
Hallar: a)
b)
c)
d)
57
e)
Guía de: Matemática
9. Calcular x + y de las relaciones dadas:
Sen(x+2y) = cos(y-x) Tg(2x-y) = ctg20º
a) 80º
b)60º
10. Para que ángulo a)15º
c)20º
se cumple:Cos(60ºb)35º
11. Calcular el valor de:
e)50º
= sen(70º - 3
c)10º
E
a) -7/120
d)20º
e)25º
Sen74º 3Tg16º 8Cos37º 7Cos53º
b) 7/120
12. Si Tg (4 x 8)
d)70º
c) 7/20
d) -7/20
e) 20/7
d) 18
e) 20
3.Ctg 30º Hallar el valor de “x”
a) 15
b) 16
13. Hallar el valor numérico de:
a) 11/19
c) 17
Q
b) 7/11
Sec53º.Ctg 60º Sen37º. Sen60º 1 (Csc2 45º 1)tg 60º Csc60º 3 c) 7/3
d) 13/17
e) 7/13
c)1/2
d)2/3
e)7/3
14. Del gráfico mostrado, halle Ctg
a)3/2 15. Calcular:
b)7/2 M=
sec30º.sec45º + 5(sen53º- sen37º)
a)1
b)2
16. Hallar "x" en: a)7/4
17. Hallar "x" en: a)
1
2xtg45º+
c)4
d)5
e)6
3 tg60º=2xsen30º+ cos260º
b)-7/4
c)11/4
d)-11/4
e)N.A.
xsec260º+xcsc260º=sec230º csc230º b)1/4
c)4/3
58
d)16/3
e)N.A.
Guía de: Matemática
18. Hallar "x" si:
cos(2x + 10º) . sec(3x - 40º) = 1
a) 10º
b)20º
c)30º
d)40º
e)50º
19. En la figura adjunta, calcular la longitud CD en metros.
a)3(
b)
20. Simplificar:
A
a)senx
c)
d)6(
e)
c)tgx
d)cscx
e)secx
d)cosx
e)senx
Ctg 2 x 1 1 Cscx
b)cosx
21. Reducir: A = (Secx - Cosx) (1+Ctg2x) a)secx
b)cscx
22. Hallar K si la igualdad: a)csc2x
c)tgx
Cosx Senx 1 1 2 Secx Cscx K Tg x
b)sec2x
c)sen2x
d)cos2x
e)ctg2x
23. Hallar M en la siguiente identidad: Sen8x + Cos8 x = M(1 - Sen2x Cos2x)2 – 1 a)5
b)4
24. Simplificar: A a)senx
c)3
d)2
e)1
b)cosx
c)secx
d)cscx
e)1
b) 1
c)
Cosx 1 1 Senx Ctgx
25. Simplificar: a)
d)
e) 0
26. Reducir: a)1
b) Senx
c) Cosx
d) Senx.Cosx e) Secx-Cscx
27. Simplificar: a)Tgx
b) Ctg2x
c) Ctgx d) tg2x 59
e) 1
Guía de: Matemática
TEMA 07:
SISTEMAS DE ECUACIONES
1. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES: Se denomina sistema de ecuaciones lineales al conjunto de ecuaciones de primer grado con dos o más incógnitas de tal modo que se verifiquen simultáneamente para ciertos valores asignados a sus incógnitas. Por ejemplo: 1. Se verifican para: x = 1 , y = 2
2.
El sistema Se verifica para: x = 2, y = 2 , z = 2
2. CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS: 2.1 Sistemas Compatibles o Posibles: Son aquellos que siempre tienen solución ya sea en número limitado o ilimitado, estos sistemas pueden ser: Sistemas Determinados.- Son aquellos donde el número de ecuaciones independientes es igual al número de incógnitas, estos sistemas tienen solución única. Sistemas Indeterminados.- Son aquellos donde el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas, estos sistemas presentan infinitas soluciones. 2.2 Sistemas Incompatibles, Imposibles o Absurdos: Son aquellos que carecen de conjunto solución, o en todo caso su conjunto solución es vacío. 2.3 Sistemas Sobredeterminados.- Son aquellos que presentan mayor número de ecuaciones que de incógnitas; para resolverlos se toman tantas ecuaciones como incógnitas existan, los valores que se obtengan se reemplazan en las ecuaciones restantes si es que la verifican el sistema será compatible de lo contrario será incompatible.
3. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES: 1. Si se suman miembro a miembro las ecuaciones de un sistema, multiplicadas previamente por factores arbitrarios (diferentes de cero) y se sustituye por lo obtenido cualquiera de las ecuaciones del sistema, se obtiene un sistema equivalente.
60
Guía de: Matemática
2. Si en un sistema se resuelve una de las ecuaciones con respecto a una de las incógnitas y el valor obtenido se sustituye en las demás ecuaciones, se obtiene un nuevo sistema equivalente al anterior. 3. Si se multiplican o se dividen miembro a miembro las ecuaciones de un sistema y por la ecuación obtenida se sustituye una de las ecuaciones, se obtiene otro sistema equivalente; siempre que las soluciones de este nuevo sistema no hagan cero simultáneamente los dos miembros de las ecuaciones multiplicadas o dividas. 4. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales están basados en las propiedades de los sistemas equivalentes que acabamos de exponer. En lo que sigue trataremos sólo la resolución de sistemas determinados que contienen tantas ecuaciones como incógnitas. a) Método de Reducción o Método de Gauss: Este método está basado en la primera propiedad mencionada de los sistemas equivalentes. Consiste en sumar o restar miembro a miembro las ecuaciones del sistema, multiplicadas previamente por factores convenientes, de tal manera que se elimine una de las incógnitas. Repitiendo reiteradas veces el proceso se logra eliminar las incógnitas a excepción de una, cuyo valor se halla, y en valor de las otras incógnitas se obtiene sustituyendo en las ecuaciones anteriores los valores encontrados. Ejemplo 1: Resolver: 3x – 2y + 3z = 25 (1) 4x + 3y -2z = -8 (2) x -5y+z=17 (3) Solución Multiplicando (3) por -3 y sumando con (1): (3) x -3 -3x+15y-3z=-51 (1) 3x – 2y + 3z = 25 Sumando 13y = -26 y = -2…. (4) Reemplazando y = - 2 en (1) 3x-2(-2)+3z=25 3x + 3z = 21 x + z = 7 ….. Reemplazando y = -2 en (2) 4x+3(-2)-2=-8 4x -2x = -2 2x –z = -1 ….(6) (5) + (6) 3x = 6 x=2
61
(5)
Guía de: Matemática
Reemplazamos 2(2) -z =-1 z = 5 C.S =
x = 2 en (6): Rpta.
b) Método de las Determinantes o Regla de Cramer Los determinantes permiten analizar y resolver sistemas de ecuaciones con gran número de incógnitas. Aquí vamos a mencionar la reglar de Cramer para un sistemas lineal de a los más de tres incógnitas. Sea el sistema lineal: a1x +b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 Definimos:
La solución del sistema resuelta:
;
;
En General:
Donde: un sistema de “n” ecuaciones con “n” incógnita. (I)
Tiene solución única, si
(II)
Tiene infinitas soluciones, si
(III)
No tiene solución
Si
y algún
62
y cada
Guía de: Matemática
Ejemplo 1: Resolver el sistema: 7x-3y+4z =1 2x+5y-3z =52 5x+4y+2z=41
(1) (2) (3)
Resolviendo por la regla de Cramer
x=
y=
z=
Rpta. 5. ANÁLISIS DE UN SISTEMA LINEAL DE 2 ECUACIONES CON 2 INCOGNITAS: Dado el sistema lineal: Será: i) Compatible determinado (tiene solución única)
Si
ii) Compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones)
Si
iii) Incompatible o inconsistente ( no tiene solución)
Si
63
Guía de: Matemática
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Si x e y son números reales positivos y se tiene que: Hallar el valor de : x + y a)34
b)28
c)24
d)13
e )25
d)5
e)6
2. Determinar el valor de K , para que el sistema
a)2
b) 3
c)4
3x y 11 2 3. Indicar el valor de x, al resolver el sistema: y x 7 2 a)2
b)3
c)4
d)5
e)6
5 x 3 y 41 Tiene como solución (x; y) entonces y2 - x2es: 7 x 2 y 14
4. Si el sistema: a)11
b)22
c)33
d)44
e)55
x y 2m n 5. Determine “x” a partir del siguiente sistema: x y nm m a)mn
b)m+n
c)m–n
d)m/n
e)2m+n
x y 6.Determine el conjunto solución del siguiente sistema 5 3y x 2 a) {(5; -1)}
b) {(-5; 1)}
c) {(-1; 5)}
d) {(2; 1)}
e) {(-5; -1)}
x y z 24 7 16
y 7.Determine el valor de del siguiente sistema: x y z xz x y z
a)6
b)5
c)4
d)3
e)2
x y z 6 8. Luego de resolver el sistema: x y 2z 5 Determine: xyz 2z x y 10 a)4
b)5
c)10
64
d)6
e)12
Guía de: Matemática
9. En el sistema:
Calcular el valor de “n” para que el sistema
sea incompatible. a)2 b)3
c)4
d)1
e)-2
1 1 5 x y 1 1 6 10. Con respecto al siguiente sistema: x Indique lo incorrecto. z 1 1 7 z y a)x>y
b)y>z
c)x>z
d)y/z=4/3
e)xz=1/2
mx 81y 3
11. Hallar “m” para que el sistema mostrado sea incompatible 9x my 1 a)±3
b)±9
c)±27
d)3
e)-27
12. La suma de dos números es 74 y su cociente 9, dando de residuo 4. ¿Cuál es el número menor? a)9
b)8
c)5
d)7 e)6
13. Se tiene S/. 140 en billetes de S/. 5 y S/. 10, si hay 20 billetes en total. ¿Cuántos son de 5 soles? a)15 14. Resolver
a) {(3; 5)}.
b)8
d)13
e)18
+2=
b){(5; -2)}
15. Dado el sistema: a)5/6
c)12
c) {(2; 3)}
d){(5; -1)}
e){(-3; -5)}
para qué valor de “n” el sistema no tiene solución b) - 6/5
c)3/4
d)1/6
e)3/5
16. ¿Qué valores debe tener “a” para que “x” sea igual a “y” en el siguiente sistema?
a)2
b) 3
c)4
17. Resolver el siguiente sistema a)285
b)-285
d)5
e)-2
y dar como respuesta E = xyz c)385
65
d)-385
e)155
Guía de: Matemática
18. Una campesina tiene 36 aves entre pollos, gallinas y patos. La mitad del número de pollos más la tercera parte del número de gallinas es igual a 14. El número de gallinas más el duplo del número de patos es igual al número de pollos. Determinar el número de gallinas. a)20
b)15
c)8
d)14
e)12
19. La media aritmética de 3 números es 3/2. La relación entre el 1ero y el 2do es de 1 a 2 y la relación entre el 2do y 3ro es de 1 a 3. El producto de dichos números es: a)4/3
b)3/2
c)3/5
d)5/3
e)3
20. A una iglesia asisten 399 personas entre hombres, mujeres y niños. Si el número de hombres es el quíntuplo del de mujeres y el de las mujeres es el triple que el de los niños. ¿Cuántos hombres hay? a)367
b)98
c)234
d)298
e)315
21. Una caja contiene 2240 nuevos soles en billetes de 20 y 100 nuevos soles, hay doble números de los primeros que de los segundos billetes. ¿Cuántos hay de cada billete? a)32 y 16
b)24 y 12
c)31 y 15
d)48 y 24
e)30 y 15
22. Dos números están en la relación de 2/3, si se suma 9 a cada uno de ellos, los números obtenidos estarían en la relación de suma de cifras de los números a)9
b)18
¾. Hallar esos números, señalar la
c)16
d)19
e)10
23. La suma de las cifras de un número de tres cifras es 16. La suma de la cifra de las centenas y la de las decenas es el triple de la cifra de las unidades y si al número se le resta 99, las cifras de invierten. Hallar el número. a)826
TEMA 08:
b)475
c)745
d)574
e)N.A
GEOMETRIA ANALITICA
1. POSICION DE UN PUNTO EN EL PLANO: Para determinar la posición de un punto P en un plano, se le asocia un Par Ordenado (x; y) de números reales, que constituyen sus coordenadas respecto de un sistema de ejes cartesianos.
66
Guía de: Matemática
2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS (d): Se denomina distancia entre dos puntos A(x1, y1) y B(x2; y2) del plano, a la longitud del segmento de recta que tiene por extremos A y B. Puede calcularse así: = Ejemplo: Calcular la distancia entre A(5; 2) y B(8; 6) x1y1 x2 y2 = = = = = 5 3. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO: Punto medio o punto equidistante de un segmento, es el punto que se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos. El punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. El punto medio es único y equidista de los extremos del segmento. Sean A(x1, y1) y B(x2; y2), entonces:
M=
Ejemplo: Hallar las coordenadas del punto medio del siguiente segmento: A(3 ; 4) y B(9 ; 6) x1y1 x2 y2
M=
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Guía de: Matemática
M= M= 4. ECUACION DE LA RECTA:PENDIENTE DE UNA RECTA (m) Sean A(x1, y1) y B(x2; y2), entonces:
m= Ejemplo: Calcular la pendiente de la recta determinada por los siguientes puntos: A(8 ; 6) y B(14 ; 9) x1 y1 x2 y2
m= m= m= m= A. Ecuación de la recta conociendo un punto de ella y su pendiente (Punto – pendiente) Dados A(x1, y1) y Entonces:
m (pendiente)
Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta si su pendiente es 2 y pasa por el punto (3; -5) x1 y1
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Guía de: Matemática
B. Ecuación de la recta conociendo las coordenadas de dos de sus puntos: Dados A(x1, y1) y B(x2; y2),
m=
Entonces:
Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por (2; 3) y B (7; 10) x1 y1 x2 y2
+3
C. Ecuación de la recta conociendo su pendiente y su ordenada en el Origen: Dados: P(0; b) y m (pendiente) Entonces:
Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que tiene por pendiente es – 1/3 y que corta al eje “y” en el punto (0; 5). m = -1/3
(0; 5) b
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Guía de: Matemática
D. Ecuación de la Recta conociendo sus interceptos con los ejes “x” é “y”: Dados: A (a ; 0) , B(0; b) Entonces:
Ejemplo: Encontrar la ecuación de una recta, sabiendo que su intersección con el eje “x” es 2 y con el eje “y” es 4.
E.Ecuación General de la Recta : Se denomina Ecuación general de la recta a toda expresión de la forma:
A, B, C A, B no son nulos Ejemplo: Transformar la ecuación
a la forma General
2y – 6 = 5x + 5
5x – 2y + 11 = 0Donde: A = 5
B =2
70
C = 11
Guía de: Matemática
F. Rectas Paralelas: Dos rectas cualesquiera L1 y pendiente. Dados:
L2 son paralelas, sí y sólo sí, tienen igual
Entonces:
Ejemplo: Determinar la ecuación de la recta L2 que pasa por el punto A (1; 3) y es paralela a la recta L1 : y = - 4x +2 Como: Para hallar la ecuación de L2 utilizaremos la ecuación Punto Pendiente A (1 ; 3) m2 = -4 x1 y1
G. Rectas Perpendiculares:
Dos rectas cualesquiera L1 y
L2 son perpendiculares, sí y sólo sí, el producto de sus pendientes es igual a -1.
Dados:
Entonces: 71
Guía de: Matemática
Ejemplo: Determinar la ecuación de la recta L2 que pasa por el punto A(-2; 5) y es perpendicular a la recta, que pasa por los puntos B(-1; 6) y C(4; 10). La recta que pasa por los puntos B y C tiene pendiente m 1.
m1 = m1 = m1 = ComoL1⏊ L2
m1. m2 = -1
m2 = -1 m2 = -
Para hallar la ecuación de L2 utilizaremos la ecuación Punto Pendiente, A ( -2; 5 ) m2 = - 5/4 x1y1
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Guía de: Matemática
5. AREAS DE POLIGONOS: Dados A(x1, y1) , B(x2; y2) y C(x3; y3), el área del triángulo estará dado por:
A
=
Nota: Si al calcular el determinante, resultara negativo, se debe tomar su valor absoluto, ya que toda área siempre es positiva.
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Guía de: Matemática
EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Los vértices de un triángulo isósceles MNP son M(2;4), N(5; 1) y P(6,5). Calcular la longitud del lado desigual. a)3 b) c) d)5 e)4 2. En el triángulo ABC de vértices A(6,5), B(3,7) y C(2, -1). Hallar la longitud de la mediana relativa al lado AC. a)
b)
c)
d)
3. Los vértices de un tirángulo isósceles son A(1;5),
e) C(5;9) y B. Hallar las
coordenadas del vértice B sabiendo que se encuentra en el eje de las abscisas y además AB = BC a)(10;7)
b)(10; 0)
c)6; 3)
d)7; 0)
e)1; 0)
4. Qué tipo de triángulo resulta al unir los puntos A(6; 5), B(1;3) y C(5;-7) a)Isósceles
b)Equilátero
c)Escaleno
d)Rectángulo
e)N.A
5. Al aplicar el concepto de pendiente, averiguar cuáles de los conjuntos de puntos siguientes son colineales y por qué? I. J(a;0), K(2a;b) y L(-a;2b) II. M(0;3), N(-1;1) y I(1/2; 4) III. P(-1;4), Q(0;1) y R(2; -5) a)Solo I
b)I y II
c)I; II,III
d)Solo II
e)II y III
2. Un extremo del segmento dirigido es el punto (-8) y su punto medio es 3. Hallar la coordenada del otro extremo. a)12
b) 14
c)8
d)10
e)-7
3. Los vértices de un triángulo A(3,8), B(2, -1) y C(6;-1). Si D(x;y) es el punto medio , calcular la longitud de la mediana a)
b)
c)
d)
e)
4. Una recta de pendiente -2 pasa por el punto P(2;7) y por los puntos A y B. Si la ordenada de A es 3 y la abscisa es 6. ¿Cuál es la abscisa de A y cuál es la ordenada de B. a) A(4;3) y B(6, -1) 2)
b)A(5;3) y B(6; 2)
c)A(6;3) y B(4;1)
d)A(1;3) y B(6; -
5. Una recta pasa por los puntos A(-2;-3), B(4;1). Si un punto de abscisa 10 pertenece a la recta ¿Cuál es su ordenada? 74
Guía de: Matemática
a)(5;10) b(10;3) c((10; -2) d) (10; 5) e)(8; 4) 10. Hallar la ecuación a la cual debe satisfacer cualquier punto P(x;y) que pertenezca a la recta que pasa por los dos puntos A(2;-1) y B(7;3) a)3x -2y +8=0
b)4x -5y -13=0
c)5x – 2y + 3=0
d)4x -3y – 8=0
e)2x –y -5=0
11. Una recta L1, pasa por los puntos A(3;2) y B(-4;-6) y otra recta L2 pasa por el punto C(-7;1) y el punto A cuya ordenada es -6. Hallar la abscisa del punto A sabiendo que L1 es perpendicular a L2. a)(1,5)
b)(3;-6)
c) (1; -6)
d)(-1;-6)
e)(-3; -6)
12. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1; 5) y tiene de pendiente 2. a)y + 2x +1=0
b)y -3x -2=0
c)y +5x – 4=0
d) y – 2x – 3=0 e)y + x -2 =0
13. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es -3 y cuya intersección con eje “y” es -2. a)y + 3x +2 =0
b)y –x + 2 =0
c)y+3x -1 =0
d)y + 3x – 6=0
e)y + 3x + 5 =0
14. Una recta pasa por el punto A(7;8) y es paralela a la recta que pasa por C(-2;2) y D(3;-4). Hallar su ecuación. a)5x –y+24 = 0 b )6x +5y-82 =0 c)6x+3y -4 =0 d)5x+3y – 1 =0 e)x + 3y – 62 =0 15. Determinar la ecuación de la recta L2 que pasa por el punto A(2;5) y es paralela a la recta L1: y = - 2x – 3 a) y = - 2x + 9
b) y = 3x -5
c)y = 2x + 3
d)y = 2x -3
e)y = -2x + 7
16. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son A(3;7), B(2;9), C(-2;3) a)6
b)7
c)5
d)3
e)10
17. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son: H(-8;-2), F(-4;-6) y G(-1;5) a)21
b)27
c)24
d)28
e)25
18. Hallar el área del polígono cuyos vértices son: (1;5), (-2;4), (-3; -1), (2; -3) y (5; 1) a)43
b)40
c)45
d)95
e)80
19. Qué tipo de triángulo resulta al unir los puntos A(-2; -1), B(2; 2) y C(5; -2) a)Isósceles
b)Equilátero
c)Escaleno
d)Rectángulo
e)Obtusángulo
20. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto(5;7) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (2; 3) y (5; -1) a)x+3y-15 =0
b)x+y – 3= 0
c)9x -2y +1=0
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d)6x-12y+9=0
e)3x-4y-43=0
Guía de: Matemática
BIBLIOGRAFÍA
INSTITUTO DE CS. Y HUMANIDADES Algebra y Principios del Análisis Editorial Lumbreras HERNAN HERNANDEZ,
Algebra. Editorial San Marcos
SALVADOR TIMOTEO V.
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RUBIÑOS TORRES, Luis.
Algebra Lima- Editorial Moshera
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Aritmética Lima- Editorial Moshera
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Trigonometría. Editorial San Marcos
NAKAMURA H, Carlos
Trigonometría Editorial Cuzcano
ESPINOZA ANCCASI, Oscar Aritmética Editorial Lumbreras LEHMANN CHARLES. Geometría analítica. Limusa.
76