Ciencias Básicas Centro Regional Soacha 8&(>>$-$DD ? !"#D@"#$4
ASIGNATURA NRC DOCENTE
GUIA DE APRENDIZAJE / GUIA DE ABORATORIO GUIA No! " PRACTICA No! ESTADIGRA#OS DE POSICI$N% DISPERCI$N & #OR'A ASPECTOS GENERAES
Estadígrafos de posición y dispersión Después de haber ordenado y descrito de scrito un conjunto de datos, aún el análisis resulta todavía un tanto incompleto; es necesario entonces resumir la información y facilitar así su análisis e interpretación utilizando ciertos indicadores. estos indicadores también se les conoce como !"#D$%&'(" o )!D$D" D! &!"*)!+, los cuales permiten hallar un valor numérico, el mismo ue representa a toda la población o muestra en estudio. -as medidas de resumen más importantes se clasican en tres /rupos0 1. Medidas de tendencia central: )edia, mediana, mediana, moda. moda. !stas medidas medidas ya las hemos hemos estudiado en una /uía anterior, razón por la cual en esta ocasión nos ocuparemos de los si/uientes dos /rupos. 2. Medidas de posición: Deciles, cuartiles, percentiles 3. Medidas de dispersión: Desviación standard, varianza, y coeciente de variación.
Medidas de posición relativa -lam -lamad ados os tamb tambié ién n 4*+# 4*+#$$-!" !",, son son aue auell llos os valor valores es de las las varia variabl bles es ue ue divid dividen en una una distribución de frecuencias o serie de números en 5, 16 ó 166 partes i/uales, tomando la denominación de 7*&#$-!", D!4$-!" ó 8!&4!+#$-!". Determinan la dispersión alrededor de la mediana. •
cuartil rtiles es so son n los los tres valo valorres de la vari variab able le ue divid ividen en a ()artiles* -os cua un conjunto de datos ordenados de menor a mayor en cuatro partes i/uales. 9 Q1 :, 9 Q2 : 9 Q : y 9 Q4 : determinan los valores valores correspondientes al 2<, al 6<, al =< y al 166< de los datos. 7 2 coincide con la mediana y 7 5 con el total de los datos. 3
Datos no a/rupados0 *na vez ordenados los datos, el cálculo de los cuartiles se hace por medio de la si/uiente fórmula0 Donde k 1, 2, 3, 4. y + representa el total de los datos o la muestra con la ue se está trabajando. =
Q3
=
N k
4 para datos par
Qk
=
( N + 1) k
4 para datos impar
Ejemplo 1.
Dado el si/uiente conjunto de datos 9$mpar:, hallar los cuartiles. 2, , 3, A, =, 5, B -o primero es ordenar los datos de menor a mayor 2, 3, 5, , A, =, B, entonces al aplicar la formula Qk =
( N + 1) k 4
tenemos0 Q1 =
(7 + 1) 1 4
=2,
Q2 =
(7 + 1) 2 4
= 4,
(7 + 1) 3
Q3 =
4
=6.
-os números obtenidos representan la posición del dato ue corresponde al cuartil.
Ejemplo 2.
Dado el si/uiente conjunto de datos 9par:, hallar los cuartiles 25, 26, 26, 25, 25,27, 28, 28, 27, 28, 29, 30, 28, 28
-o primero es ordenar los datos de menor a mayor 2, 2, 2, 2A, 2A, +,% +,, 2C, 2C, 2C,
2C, +-% +., 36 entonces al aplicar la formula Q1
=
14 (1) 4
=
3.5 ,
Qk =
Q2 =
N k 4
tenemos0
(14) 2 4
=7,
Q3
=
(14) 3 4
=
10.5
4uando el cálculo no corresponde con la posición eacta de un número, como en este caso, para el cuartil 1 y 3 entonces se usa interpolación lineal. 8ara ello se aplica la si/uiente fórmula0
Qk = es el cuartil que se busca , Donde !ntonces0
Q1
=
14 (1) 4
Q1 = 3 + Q3
=
=
3.5 ,
Li
=
es el lim ite inf erior ,
L f
=
es el lim ite sup erior .
uiere decir ue el cuartil uno está en la posición 3 y 5, esto es0
1( 4 − 3) = 3.25 . 4
(14) 3 4
Q3 = 28 +
=
10.5 ,
3(29 − 28) 4
el
cuartil
tres
está
en
la
posición
= 28.75 .
!l cuartil uno es 3.2. el cuartil dos es 2C y el cuartil tres es 2C.=.
Datos a/rupados0
16
y
11,
esto
es0
!n primer lu/ar buscamos la clase donde se encuentra
N k , k = 1, 2, 3, 4. , 4
en
la tabla de las frecuencias acumuladas. 8ara calcular los cuartiles se hace uso de la si/uiente fórmula0 N k Qk = Li +
4
− F i −1
* ai
f i
i es el límite inferior de la clase o intervalo donde se encuentra el cuartil. N es el número de mediciones. #i0 es la frecuencia acumulada del intervalo ue contiene al cuartil. #i es la frecuencia del intervalo. ai es la amplitud de la clase o el intervalo. Ejemplo 3.
4alcular los cualtiles de la distribución de la si/uiente tabla0 F i
f i
[ 50,
60)
C
C
[ 60,
70)
16
1C
[ 70,
80)
1A
35
[ 80,
90)
15
5C
[ 90,
100)
16
C
[100,
110 )
A3
[110,
120)
2
A
A
o
Pri1er c)artil N k 4
=
65 *1 4
=
N k Qk = Li +
o
4
16.25
− F i −1
f i
Seg)n2o c)artil
* ai = 60 +
16.25 − 8 10
*10 = 68.25
N k 4
=
65 * 2 4
= 32.5
N k 4
Qk = Li +
o
f i
* ai = 70 +
32.5 − 18 16
*10 = 79.0625
Tercer c)artil N k 4
=
65 * 3 4
= 48.75
N k Qk = Li +
•
− F i −1
4
− F i −1
f i
* ai = 90 +
48.75 − 48 10
*10 = 90.75
Deciles 9Di:* -os deciles son los nueve valores ue dividen la serie de datos en diez partes i/uales. !stos dan valores correspondientes al 16<, al 26<... y al B6< de los datos. !- D coincide con la mediana. N k Dk = Li + 10
•
− F i −1
f i
* ai
98i:0 -os percentiles son los BB valores ue dividen la serie Percentiles de datos en 166 partes i/uales. -os percentiles dan los valores correspondientes al 1<, al 2<... y al BB< de los datos. !l 8 6 coincide con la mediana. N k
− F i −1 100 P k = Li + * ai f i
Medidas de dispersión "on auellas ue permiten reconocer ue tan dispersos están los datos alrededor de un punto central, es decir, indican ue tanto se desvían las observaciones alrededor de la media. a. Des3iaci4n 1e2ia* es la desviación respecto a la media, o dicho de otra manera es la diferencia entre el valor de la variable estadística y la media aritmética, esto es0 Di = xi − x , lo cual se puede reemplazar por la si/uiente fórmula0 •
Datos no /rupados0 n
∑ xi − x Di = •
i =1
n
Datos /rupados n
∑ xi − x • f i Di =
i =1
n
b. 5arian6a 7 σ 2 80 !s el promedio de la suma de las desviaciones al cuadrado con respecto a la media. "irve para comparar dos o más distribuciones. "e obtiene de la si/uiente manera0 •
Datos no a/rupados. n
∑ ( xi − x) σ
•
2
=
i =1
2
, donde
x
es la media del conjunto de datos.
N
Datos a/rupados n
∑ ( xi − x) 2 σ
=
2
f i
i =1
N
c. Des3iaci4n stan2ar2 9 σ 2 :0 !s i/ual a la raíz cuadrada de la varianza y permite el promedio aritmético de Euctuación de los datos respecto a la media. "u fórmula es0 S =
2 σ
d. Coe9ciente 2e 3ariaci4n: !l coeciente de variación es la relación entre la desviación típica de una muestra y su media. "e epresa mediante la si/uiente fórmula0 C .V
=
S x
!l coeciente de variación se suele epresar en porcentajes0 C .V =
S x
* 100
PROCEDI'EINTO
E:ercicios 1. -a si/uiente información corresponde al consumo mensual en combustible destinado a la calefacción, el consumo esta epresado en miles de pesos, en una muestra aleatoria de ho/ares de un barrio de "antia/o, durante los meses de invierno0 4onsumo 9F +G de miles: casos 5HA 1= AHC 2A CH 16 15 16 H 12 B 12I 15 11 a. J7ué consumo ueda bajo el 2< de los consumosK b. J7ué consumo ueda sobre el 6< de los consumosK
c. $nterpretar los resultados del literal ayb 2. -a si/uiente distribución corresponde a la recaudación de impuestos de 56 contribuyentes. 9&ecaudación de impuestos en miles de pesos:. $ntervalo i ni 6I =6 A6 2 =6I B6 C6 1 B6 I 116 166 C 116 H 136 126 3 136 I 16 156 12 a. J4uál es la recaudación correspondiente a cuartil 1K $nterprétela. b. J4uál es la correspondiente al $nterprétela.
recaudación Decil =K
c.
J4uál es la recaudación correspondiente al 8ercentil AK $nterprétela.
d. 7ué tipo de apuntamiento presentan los datos y ué tipo de simetría 9asimetría: 3. "e dispone de la si/uiente información sobre el consumo de un producto envasado en latas. "e encuestó a un /rupo de 26 familias y se interro/ó0 Jcuántas unidades de este producto, mensualmente consume su /rupo familiarK 6 2 2 5 5 1 3 2 1 2 2 6 1 6 1 3 3 a. 4alcule los si/uientes estadí/rafos0 )edia ritmética, Larianza y Desviación estándar y coeciente de variación. Ma/a una $nterpretación de ellos. 5. 4on los si/uientes datos calcular la media aritmética, el cuartil 3, el decil y el percentil 3. 2 33 2= 26 15 21 33 2B 2 1= 31 1C 1A 2B 33 22 23 1= 21 2A 13 26 2= 3= 2A 1B 2 25 2 26 2 2B 33 1= 22 2 31 2= 21 15 25 = 23 1 21 25 1C 2 23 25 5. Los siguientes datos son mediciones de la resistencia a la ruptura (en onzas) de una muestra de 60 hilos de c áñamo: 32.5 15.2 35.4 21.3 28.4 26.9 34.6 29.3 24.5 31.0 21.2 28.3 27.1 25.0 32.7 29.5 30.2 23.9 23.0 26.4 27.3 33.7 29.4 21.9 29.3 17.3 29.0 36.8 29.2
25.4 34.1 27.5 29.6 22.2 22.7 31.3 33.2 37.0 28.3 36.9
24.6 28.9 24.8 28.1 25.4 34.5 23.6 38.4 24.0
a: !laborar la tabla de frecuencias con los datos a/rupados en intervalos. b: &epresentar /rácamente con un histo/rama de frecuencias. c: Mallar las medidas de Dispersión d: Decir si la /raca es simétrica y asimétrica. e: 7ué tipo de apuntamiento tiene 6. Dadas las siguientes notas de Estadí stica correspondientes a 30 alumnos: 5.3 4.5 7.5
6.5 3.5 6.5
6 4 1
5 7 6
7.5 6.5 9.5
8 5 4
7 7 6
6.5 4.5 7.5
6 5 7
4.5 5.5 7.5
a) Calcula la Distribución de frecuencias b) Determina el porcentaje de suspendidos (notas menores a 6) c) Calcular el porcentaje de alumnos con nota entre 5 y 7.0 ambos inclusive. d) ¿Qué nota mí n ima hay que sacar para superar al 90% de los alumnos?
=. -a si/uiente tabla muestra las horas de trabajo transcurridas hasta ue un trabajador sufre un accidente de trabajo, investi/ación realizada a una muestra de 2= accidentes de trabajo. #iempo 9horas: +G de casos 6H2 A 2H5 11 5HA AHC 2 C H 16 3 #otal 2= a. 4alcular la desviación media del número de horas. b. Mallar el coeciente de variación del número de horas. C. !labore un mapa conceptual donde se resuman y relacionen las formulas de estos dos /rupos de estadí/rafos.
23.5 20.6 29.5 21.8 37.5 33.5 29.6 26.8 28.7 34.8 18.6
Criterios 2e E3al)aci4n!
4laridad y apropiación del tema.
$nte/ración de conceptos.
$nterpretación de la información obtenida
Re;erencias Bi
!stadística y 8robabilidad para $n/enieros !ditorial 8earson !ducation. "eta edición.
Direcciones electr4nicas >e
=
!stadística y probabilidad http0NNOOO.eumed.netNlibrosN266=aN2 3BN5b.htm •
