LICEO DE APLICACIÓN DPTO. DE MATEMATICA PROF.: XIMENA CASTRO
TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO
PERTENECE A:
CURSO: 4°
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Aprendizaje Esperado: Resuelven problemas en diferentes ámbitos, aplicando teorema del Seno y/o Coseno. Indicaciones Metodológicas: a)
Teorema del seno:
a b c sin sin sin
1. Aplica para cualquier triángulo. 2. Permite resolver un triángulo cuando conocemos dos ángulos y un lado. 3. Permite resolver un triángulo cuando conocemos dos lados y el ángulo opuesto a él.
a 2 b 2 c 2 2bc cos b) Teorema del Coseno:
b 2 a 2 c 2 2ac cos c 2 a 2 b 2 2ab cos
1. Aplica para cualquier triángulo. 2. Permite resolver un triángulo cuando conocemos los 3 lados. 3. Permite resolver un triángulo cuando conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos 4. Permite resolver un triángulo cuando conocemos dos lados y el ángulo que forman. EJERCICIOS PROPUESTOS 1) En los siguientes ejercicios: a, b, y c son las medidas de los lados de un triángulo, mientras que a, b, g son las medidas de los ángulos opuestos a esos lados, respectivamente. Resuelve el triángulo en cada caso: a) a = 10 cm. b) a = 7 m. c) c = 10 cm. d) a = 12 cm.
b= 12 cm. b = 6 m. = 40º b = 16 cm
= 35º c = 4 m. = 70º = 43º
2) La sombra que proyecta un árbol de 3,4 m. sobre el piso horizontal mide 4,3 m. ¿Cuál es la medida del ángulo que hace la horizontal con la línea que une los dos puntos extremos, de la sombra y del árbol? 3) Las diagonales de un paralelogramo miden 5 y 6 cm., respectivamente y se cortan bajo un ángulo de 50º. Hallar el perímetro del paralelogramo. 4) Dos piedras se encuentran a la orilla de una playa a una distancia uno de otro de 1.8 Km. en los puntos A y B, y se encuentra una bolla situada en un punto C. Si la piedra A mide un ángulo CAB igual a 79.3° y el que está en B mide un ángulo CBA igual a 43.6°, ¿a qué distancia está la bolla de la costa? 5) Un avión sale de un aeropuerto y se eleva manteniendo un ángulo constante de 10º hasta que logra una altura de 6 km. Determina a qué distancia horizontal del aeropuerto se encuentra en ese momento. 6) Un carpintero debe hacer una mesa triangular de tal forma que un lado mida 2m., otro 1.5 m. y el ángulo opuesto al primer lado debe ser 40º. ¿Lo conseguirá?. 7) Los flancos de un triángulo forman un ángulo de 80º con la base. Si el triángulo tiene 30 centímetros de base, calcula la longitud de sus lados.
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8) Desde lo alto de un globo se observa un pueblo A con un ángulo de 50º, y otro B, situado al otro lado y en línea recta, con un ángulo de 60º. Sabiendo que el globo se encuentra a una distancia de 6 kilómetros del pueblo A y a 4 del pueblo B, calcula la distancia entre los pueblos A y B.
9) Dos personas caminan por un sendero, pero en un punto se bifurca formando un ángulo de 38º y cada uno va por su lado, uno camina a 3 km. por hora y el otro a 3.5 km. por hora, ¿a qué distancia se encuentran al cabo de media hora?. 10) 4) Tres amigos se sitúan en un campo de fútbol. Entre Alberto y Berto hay 25 metros, y entre Berto y Camilo, 12 metros. El ángulo formado en la esquina de Camilo es de 20º. Calcula la distancia entre Alberto y Camilo.
11) Desde los puntos A y B de una misma orilla de un río y separados entre si 12 m., se observan el pie P y la copa C de un pino, situado en la orilla opuesta. Calcular la altura del pino, sabiendo que los ángulos miden PAB=42º, PBA=37º y PAC=50º 12) Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8 metros del suelo y observa el edificio de enfrente de la siguiente manera: la parte superior, con un ángulo de elevación de 35º y la parte inferior, con un ángulo de depresión de 43º. Determina la altura del edificio de enfrente. 13) En la figura plana adjunta, M es el punto medio entre A y B. Se conoce BC= 2 metros y los ángulos = 30° y = 45°. Calcula AC.
14) Una nave que vuela a altura constante, es observada desde un punto A con un ángulo de elevación de 30°, y al mismo tiempo, a 10 km en línea recta, es observada desde otro punto B con un ángulo de elevación de 45°. Determinar las distancias desde la nave a los puntos A y B. 15) Si en un triángulo ABC, a = 25, b = 39 y c = 40, encontrar las longitudes de tc , ta , tb . 16) Dos barcos A y B salen a las 12:00 hrs desde un mismo punto alejándose uno del otro de
2 . Si los barcos se desplazan en línea recta a 6 km/hr y 4 km/hr respectivamente, 3 ¿a qué distancia está uno del otro a las 16:00 hrs.?
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17) Dos lados adyacentes de un paralelogramo se cortan en un ángulo de 36º y tienen longitudes de 3 y 8 cm. Determina la longitud de la diagonal menor. 18) El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36 m.
19) Dos trenes parten simultáneamente de una estación en dirección tal que forman un ángulo de 35º. Uno va a 15 km/hr y el otro a 25 km/hr. Determina a qué distancia se encuentran separados después de dos horas de viaje. 20) Dos carreteras rectas se cruzan en un punto P formando un ángulo de 42°. En un punto R de una de las carreteras hay un edificio que está a 368 metros de P, y en un punto S de la otra carretera, hay un edificio que está a 426 metros de P. Determina la distancia entre R y S.
21) Según los datos de la figura, determine la distancia entre los vértices A y B.( utilice un decimal sin aproximar).
80
22) Un hombre de 5 pies 9 pulgadas de altura se para en un andén que se inclina hacia abajo con un ángulo constante. Un poste vertical de luz situado directamente detrás de él proyecta una sombra de 18 pies de largo. El ángulo de depresión desde la mayor altura del hombre, hasta la punta de su sobra es de 31° encuentre el ángulo , como se muestra en la figura, formado por el andén y la horizontal.
35°
sombra