GUIA ESTADISTICA
1.- Si x ~ N (0 ,1) determine: a) P(x < 1.2) b) P(x < 1.28) c) P(x < -2.35) d) P(x > -1.65) e) P(x > 1.09) f) P( 2 < x < 2.5) g) P(-1.24 < x < 1.56) 2.- Si x ~ N (0 ,1) determine el valor de “k” tal que: a) P(x < k) = 0.975 b) P(x> k) = 0.025 3.- Si x ~ N (0 ,1) determine el valor de “k”tal que: P(-k < x < k ) = 0.975 4.- Suponga que el consumo mensual de electricidad es una variable aleatoria con distribución Normal. Si el 50% de las familias consume más de 100 kw. y el 20% consume más de 120 kw.; calcule el porcentaje de familias que consume menos de 70 kw. si se sabe que consumen menos de 100kw. 5.- Los ingresos diarios en una de las atracciones de “Fantasilandia”, distribuyen Normal con una media de 1012 dólares y con una desviación estándar de 312 dólares. a) ¿Cuál es la probabilidad de que hoy en la atracción ingrese ingrese más de 1100 dólares?. b) Si en la atracción de Fantasilandia Fantasilandia existe un ingreso de más de 1100 1100 dólares, ¿Cuál es la probabilidad de que el ingreso sea menor a 1300 dólares?. 6.- En una fábrica de autos un ingeniero está diseñando autobuses pequeños. Sabe que la estatura de la población está distribuida Normal con media de 1.70 mt y una desviación de 0.05 mt. ¿Qué altura mínima deberán tener los autobuses para que no más del 1% de las personas golpee su cabeza con la parte superior del autobús?. 7.- Un análisis estadístico de 1000 llamadas telefónicas de larga distancia, hechas desde una gran oficina, indica que la duración de esas llamadas tienen distribución Normal de media 130 segundos.
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a) Si se sabe que el 10% de las llamadas dura más de 3 minutos, calcule la desviación estándar de la distribución. b) Si se consideran 10 llamadas al azar, ¿Cuál es la probabilidad que al menos 2 de ellas dure más de 3 minutos?. 8.- El tiempo necesario para detectar el primer error en la inspección de un libro de cuentas es una variable aleatoria que distribuye Normal con media de 50 minutos y varianza 100 (min) 2. a) Si se inspecciona un libro al azar. ¿Cuál es la probabilidad que pase más de una hora hasta que se detecte el primer error?. b) Si se eligen al azar 10 libros de cuentas, en forma independiente, ¿Cuál es la probabilidad que exactamente en dos de los libros se detecte el primer error antes de 50 minutos?. 9.- Un empleado se traslada diariamente de su casa a su oficina en el centro de la ciudad. En término medio el viaje le toma 24 minutos con una desviación estándar de 38 minutos. Asuma que la distribución de los tiempos es aproximadamente Normal. a) ¿Cuál es la probabilidad que un traslado le tome al menos ½ hora?. b) Calcule la probabilidad que en los próximos 3 traslados, en al menos 1 de ellos se demore más de ½ hora. c) Si la hora de llegada a la oficina es 09:00 AM, y sale de su casa a las 08:30 AM, ¿En qué porcentaje de días llega atrasado?. d) El empleado quiere llegar atrasado a lo más el 5% de los días, ¿A qué hora le recomienda salir de su casa?. 10.- Una industria de artículos para la construcción, compra piedras para utilizarlas en la elaboración de bloques de concreto. Las partidas llegan con piedras de diversos tamaños. Todas mezcladas, por lo que son clasificadas mecánicamente en tres grados: A, B y C. Se han determinado que el tamaño (en cm.) sigue aproximadamente una distribución Normal, con media 13.5 y desviación estándar 1.4. Los grados corresponden a los siguientes tamaños. GRADO
TAMAÑO (diámetro en cm.)
A B C
15.0 < X ≤ 16.0 11.5 ≤ X ≤ 15.0 X < 11.5 ó X > 16.0
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Tomando en cuenta el costo de compra y manipulación de las piedras, suponga que la utilidad neta por tonelada es de $50000 para el grado A, $25000 para el grado B y $5000 para el C. Encuentre la utilidad neta esperada de un cargamento de piedras de una tonelada, que llega para ser clasificado. 11.- La probabilidad de que un paciente se recupere de una enfermedad es 0.4. Si se sabe que 100 personas han contraido esta enfermedad, cuál es la probabilidad de que al menos 30 sobrevivan. 12.- El costo de fabricación de un saco de alimento se distribuye aproximadamente normal, con una desviación de $120. De una muestra de 25 sacos producidos se obtiene un costo promedio de fabricación de $1600.Establezca un intervalo de confianza para el costo medio de fabricación del saco, considerando una confianza de un 90 %. 13.- En un estudio sobre el nivel de aprendizaje en empleados de una planta obtenido con un nuevo sistema de trabajo, de un total de 36, se aplicó el sistema a 9 de estos, cuyas evaluaciones entregaron los siguientes puntajes: 150 ; 148.1 ; 149.8 ; 150.4 ; 147.3 ; 150.2 ; 152.5 ; 150.8 ; 153. Haciendo los supuestos que estime necesarios: a.- Construya un intervalo de confianza al 95% para la estimación media del puntaje del nuevo sistema de trabajo. b.- Si se desea estimar el puntaje del nuevo sistema de trabajo, con un error igual al de a.-, pero al 99% de confianza, ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra? 14. - La oficina de bienestar de personal de la empresa “Kypor” ha preparado un informe en base de dos muestras aleatorias de trabajadores de la empresa que laboran en dos de sus plantas. El estudio ha permitido elaborar los siguientes estadígrafos respecto del monto solicitado por préstamos de auxilio: planta A préstamo promedio desv. estándar nº de trabajadores
850 100 12
planta B 700 200 10
La gerencia plantea que el préstamo medio de los trabajadores de la planta A es superior al préstamo medio de los trabajadores de la planta B. Establezca intervalos de confianza al 98% para la media de cada planta concluya a partir de ellos.
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15. - En una clínica veterinaria, se desea conocer el nivel medio de consumo realizado por sus clientes, con una determinada tarjeta de crédito. Ellos están dispuestos a aceptar un error de muestreo máximo de 5 dólares, con una seguridad de 95%. ¿Cuál debería ser el tamaño de la muestra, si se sabe que la desviación estándar σ, es de 15 dólares? 16. - Cierto profesor desea estimar la nota promedio que alcanzarán los alumnos, para lo cual toma un muestra histórica que arroja los siguientes resultados: Notas:2 ; 3 ; 4 ; 1 ; 1.5 ; 2.3 ; 2.7 ; 3 ; 6. Efectúe un intervalo de confianza al 95 y 98% para estimar la nota media del curso. 17.-
En una muestra aleatoria de 250 televidentes de un sector de la ciudad, 190 declararon haber visto un programa sobre la vida de animales. a. Construya un intervalo de confianza del 95% para la proporción verdadera correspondiente. b. Determine el tamaño de muestra mínimo necesario que permita aseverar, con un grado de confianza de cuando menos 99%, que una proporción de la muestra tiene un error máximo de 2%.
18.-
Por razones de almacenamiento y facilidad de manejo, una compañía de mudanzas guarda sus cajas de cartón sin ensamblarlas. Las personas que hacen la mudanza llevan las cajas sin armar al sitio, las ensamblan y las empaquetan. La compañía está interesada en saber qué porcentaje de un tipo especial se malogran, y el tiempo medio de ensamblaje de estas cajas. Para tales efectos, se seleccionaron al azar 32 mudanzas de entre las contratadas por la compañía y en cada mudanza se escogió una de tales cajas. Se obtuvieron los siguientes resultados: El tiempo promedio de ensamblaje fue de 21 seg. y la varianza 4 seg2. Además, de las 32 cajas, 9 se malograron.
a. Encuentre un intervalo de confianza del 99% para el tiempo medio de ensamblaje, para armar este tipo de cajas en todas las mudanzas. b. Construya un intervalo de confianza del 95% para la proporción de cajas que se malogran en las mudanzas que realiza la compañía. c. ¿Qué tamaño de muestra se requiere para estimar la proporción de cajas que se malogran, si se desea mantener la confianza anterior (parte b.) un error de estimación no superior a 0.1?.
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19.- El gerente de crédito de una gran tienda comercial desea realizar una estimación del nivel de endeudamiento de los clientes que han adquirido artículos en los departamentos de vestuario y hogar, como así mismo el porcentaje de clientes que se encuentran atrasados en el pago de sus cuotas. El estudio consideró las sucursales de La Florida y Maipú con dos muestras independientes, cada una de ellas de tamaño 500 y cuyos resultados se muestran en el siguiente cuadro resumen: Deuda Total Desviación Estándar Número de clientes impagos
Sucursal La Florida 42.5 millones de $ $ 19500 90
Sucursal Maipú 36 millones de $ $ 12400 105
a. Considerando una confiabilidad del 90%, estime la diferencia de la deuda media entre ambas sucursales. Comente. b. Mediante un intervalo del 95% de confianza, estime la diferencia de proporción de clientes impagos entre ambas sucursales. Comente. c.Si esta información se toma como base para un estudio futuro y más detallado que permita estimar la diferencia de la deuda media entre ambas sucursales, de tal manera de considerar muestras iguales con una confiabilidad del 95% y un error en la estimación no superior a $1700. ¿Cuántos clientes deberían ser considerados como mínimo para el futuro estudio?. 20.- Con el propósito de decidir donde poner más énfasis en una campaña de Publicidad, el Departamento de Investigación de Mercado de una fábrica de automóviles, encuestó a una muestra aleatoria de 200 familias de la comuna A y 100 de la comuna B, obteniendo: Número de familias con auto Ingreso promedio Desviación Estándar muestral
Comuna A 150 $ 130000 $ 10000
Comuna B 80 $ 150000 $ 15000
a. Construya un intervalo del 90% de confianza para la diferencia de proporción de familias que poseen auto entre las comunas A y B. ¿Existe una mayor proporción de familias con auto en la B en relación a la comuna A?. b. Determine un intervalo del 95% de confianza para la diferencia de ingresos medios de las familias entre las comunas A y B. ¿Existe un mayor ingreso medio de las familias de la comuna A que los de la comuna B?. c. Se encontró que el intervalo para la diferencia de proporciones de familias que poseen automóviles entre la comuna A y B está dado [pA-pB]=[-0.10; 0.08]. ¿Con qué confianza lo anterior por es verdadero?.
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FORMULARIO E ( x) =
∑ x
∫
P[ X = xi ]
i
E ( x) = x f ( x) dx
i
E ( x 2 ) =
∑ x
2 i
∫
P[ X = x i ]
E ( x 2 ) = x 2 f ( x ) dx
i
Var ( x ) = E ( x ) − [ E ( x) ]
2
2
Si X distribuye Normal x ~ ( µ ; σ 2 ) : Z =
Z =
σ
P x − Z
α
n
(1− ) 2
( n −1; 1−
P pˆ − Z
(1−
α 2
)
(1−
n
α 2
)
α 2
)
n
= 1 − α
n
=1 − α
α
n
( n −1; 1− ) 2
n
Var ( x ) =
σ 2
S
≤ µ ≤ x + t
pˆ (1 − pˆ )
distribuye Normal (0 ;1)
σ
≤ µ ≤ x + Z
S
P x − t
E ( x ) = µ
~ N (0 ;1)
σ / n
σ
Var ( x ) = σ 2
E ( x) = µ x − µ
X − µ
≤ p ≤ pˆ + Z
pˆ (1 − pˆ ) α
(1− ) 2
n
= 1 − α
σ 12 σ 22 P ( µ 1 − µ 2 ) : ( x1 − x 2 ) ± Z α + = 1 − α 1− n n 1 2 2 P ( µ 1 − µ 2 ) : ( x1 − x 2 ) ± t ( n +n 1
2
− 2 ,1−
α 2
)
( n1 − 1 )S 12 + ( n2 − 1 )S 22
1
n1 + n 2 − 2
n1
+
1
= 1 − α
n2
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Z obs =
x − µ
σ
~ N (0;1)
n 2 n ∑ xi x − µ 1 n 2 i =1 2 ~ t (n − 1) donde S = t obs = xi − ∑ S n − 1 i =1 n n
Z obs =
pˆ − p
~ N (0; 1)
p (1 − p)
W obs =
(n − 1) S 2
σ
2
~ X (n − 1)
2
n
Z =
( x1 − x 2 ) − ( µ 1 − µ 2 ) 2 1
σ
n1
T =
+
2 2
σ
S p
n1
S 22 σ 22
~ F (n1 − 1, n2 − 1)
n2
( x1 − x 2 ) − ( µ 1 − µ 2 ) 1
F =
~ N (0 , 1)
S 12 σ 12
+
1
~ t ( n1 + n2 − 2)
2 p
donde S =
( n1 − 1) S 12 + ( n 2 − 1) S 22 n1 + n2 − 2
n2
2
2
S 12 S 22 S 12 S 22 + + ( x1 − x 2 ) − ( µ 1 − µ 2 ) n n n n2 1 2 1 T = ~ t ( υ ) donde υ = − 2 ó υ = 2 2 2 2 2 2 2 2 S 1 S 2 S 1 S 2 S 12 S 22 + n1 n2 n1 + n 2 n1 + n 2 n1 + 1
Bajo H 0 : p1 − p 2 = δ ⇒ Z =
n2 + 1
( pˆ 1 − pˆ 2 ) − ( p1 − p 2 ) p1 (1 − p1 ) n1
+
p 2 (1 − p 2 )
n1 −1
n2 −1
~ N (0,1)
n2
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pˆ 1 − pˆ 2
Bajo H 0 : p1 = p 2 ⇒ Z =
1
p 0 (1 − p 0 )
d − µ d ~ t ( n − 1) S d n k
2 obs
X
=
∑ i =1
1
n 2
+
n1
~ N (0 ,1) donde p 0 =
X 1 + X 2 n1 + n 2
d i = Valor Iniciali − Valor Finali
(oi − ei ) 2 ei
I
2
2 obs
X
~ X (k − p − 1)
=
J
∑∑
(oij − eij ) 2 eij
i =1 j =1
~ X 2 ([ I − 1][ J − 1])
n
∑ x y
i
− n ⋅ x ⋅ y
2 i
2 − n ⋅ x
i
ˆ 0 = y − β ˆ 1 ⋅ x β
ˆ 1 = β
i =1 n
∑ x i =1
H 0 : β 1 = 0 v / s H 1 : β 1 ≠ 0 ⇒ T obs =
ˆ i − t Pr( β
n − 2 ;1−
α 2
)
ˆ i ) ≤ β i ≤ β ˆ i + t V ( β
FV Reg Err Total
ˆ i β
( n − 2 ;1−
gl 1 n-2 n-1
≈ t
ˆ i ) V ( β
α 2
)
n − 2 ;1−
α 2
)
ˆ i ) ) = 1 − α V ( β
SC Scr Sce Sct
CM Cmr Cme
∑ ( yˆ − y ) Sce = ∑ ( y − y ˆ ) Sct = ∑ ( y − y )
F FOBS
2
Scr =
i
i
2
i
2
i
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P ( Z ≤ z ) = Z
.00
.01
.02
-3.5 -3.4 -3.3 -3.2 -3.1 -3.0
0.0002 0.0003 0.0005 0.0007 0.0010 0.0013
0.0002 0.0003 0.0005 0.0007 0.0009 0.0013
0.0002 0.0003 0.0005 0.0006 0.0009 0.0013
-2.9 -2.8 -2.7 -2.6 -2.5 -2.4 -2.3 -2.2 -2.1 -2.0
0.0019 0.0026 0.0035 0.0047 0.0062 0.0082 0.0107 0.0139 0.0179 0.0228
0.0018 0.0025 0.0034 0.0045 0.0060 0.0080 0.0104 0.0136 0.0174 0.0222
-1.9 -1.8 -1.7 -1.6 -1.5 -1.4 -1.3 -1.2 -1.1 -1.0
0.0287 0.0359 0.0446 0.0548 0.0668 0.0808 0.0968 0.1151 0.1357 0.1587
-0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 -0.0
0.1841 0.2119 0.2420 0.2743 0.3085 0.3446 0.3821 0.4207 0.4602 0.5000
TABLA NORMAL z 1 exp( −t 2 / 2) dt 2π − ∞
.03
∫
.04
.05
.06
.07
.08
.09
0.0002 0.0003 0.0004 0.0006 0.0009 0.0012
0.0002 0.0003 0.0004 0.0006 0.0008 0.0012
0.0002 0.0003 0.0004 0.0006 0.0008 0.0011
0.0002 0.0003 0.0004 0.0006 0.0008 0.0011
0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0008 0.0011
0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0007 0.0010
0.0002 0.0002 0.0003 0.0005 0.0007 0.0010
0.0018 0.0024 0.0033 0.0044 0.0059 0.0078 0.0102 0.0132 0.0170 0.0217
0.0017 0.0023 0.0032 0.0043 0.0057 0.0075 0.0099 0.0129 0.0166 0.0212
0.0016 0.0023 0.0031 0.0041 0.0055 0.0073 0.0096 0.0125 0.0162 0.0207
0.0016 0.0022 0.0030 0.0040 0.0054 0.0071 0.0094 0.0122 0.0158 0.0202
0.0015 0.0021 0.0029 0.0039 0.0052 0.0069 0.0091 0.0119 0.0154 0.0197
0.0015 0.0021 0.0028 0.0038 0.0051 0.0068 0.0089 0.0116 0.0150 0.0192
0.0014 0.0020 0.0027 0.0037 0.0049 0.0066 0.0087 0.0113 0.0146 0.0188
0.0014 0.0019 0.0026 0.0036 0.0048 0.0064 0.0084 0.0110 0.0143 0.0183
0.0281 0.0351 0.0436 0.0537 0.0655 0.0793 0.0951 0.1131 0.1335 0.1562
0.0274 0.0344 0.0427 0.0526 0.0643 0.0778 0.0934 0.1112 0.1314 0.1539
0.0268 0.0336 0.0418 0.0516 0.0630 0.0764 0.0918 0.1093 0.1292 0.1515
0.0262 0.0329 0.0409 0.0505 0.0618 0.0749 0.0901 0.1075 0.1271 0.1492
0.0256 0.0322 0.0401 0.0495 0.0606 0.0735 0.0885 0.1056 0.1251 0.1469
0.0250 0.0314 0.0392 0.0485 0.0594 0.0721 0.0869 0.1038 0.1230 0.1446
0.0244 0.0307 0.0384 0.0475 0.0582 0.0708 0.0853 0.1020 0.1210 0.1423
0.0239 0.0301 0.0375 0.0465 0.0571 0.0694 0.0838 0.1003 0.1190 0.1401
0.0233 0.0294 0.0367 0.0455 0.0559 0.0681 0.0823 0.0985 0.1170 0.1379
0.1814 0.2090 0.2389 0.2709 0.3050 0.3409 0.3783 0.4168 0.4562 0.4960
0.1788 0.2061 0.2358 0.2676 0.3015 0.3372 0.3745 0.4129 0.4522 0.4920
0.1762 0.2033 0.2327 0.2643 0.2981 0.3336 0.3707 0.4090 0.4483 0.4880
0.1736 0.2005 0.2297 0.2611 0.2946 0.3300 0.3669 0.4052 0.4443 0.4840
0.1711 0.1977 0.2266 0.2578 0.2912 0.3264 0.3632 0.4013 0.4404 0.4801
0.1685 0.1949 0.2236 0.2546 0.2877 0.3228 0.3594 0.3974 0.4364 0.4761
0.1660 0.1922 0.2206 0.2514 0.2843 0.3192 0.3557 0.3936 0.4325 0.4721
0.1635 0.1894 0.2177 0.2483 0.2810 0.3156 0.3520 0.3897 0.4286 0.4681
0.1611 0.1867 0.2148 0.2451 0.2776 0.3121 0.3483 0.3859 0.4247 0.4641
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Z
.00
.01
.02
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554 0.6915 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159
0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591 0.6950 0.7291 0.7611 0.7910 0.8186
0.5080 0.5478 0.5871 0.6255 0.6628 0.6985 0.7324 0.7642 0.7939 0.8212
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713
0.8438 0.8665 0.8869 0.9049 0.9207 0.9345 0.9463 0.9564 0.9649 0.9719
2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 0.9981
3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
0.9987 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998
.03
.04
.05
.06
.07
.08
.09
0.5120 0.5517 0.5910 0.6293 0.6664 0.7019 0.7357 0.7673 0.7967 0.8238
0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700 0.7054 0.7389 0.7703 0.7995 0.8264
0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736 0.7088 0.7422 0.7734 0.8023 0.8289
0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772 0.7123 0.7454 0.7764 0.8051 0.8315
0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808 0.7157 0.7486 0.7794 0.8078 0.8340
0.5319 0.5714 0.6103 0.6480 0.6844 0.7190 0.7517 0.7823 0.8106 0.8365
0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879 0.7224 0.7549 0.7852 0.8133 0.8389
0.8461 0.8686 0.8888 0.9066 0.9222 0.9357 0.9474 0.9573 0.9656 0.9726
0.8485 0.8708 0.8907 0.9082 0.9236 0.9370 0.9484 0.9582 0.9664 0.9732
0.8508 0.8729 0.8925 0.9099 0.9251 0.9382 0.9495 0.9591 0.9671 0.9738
0.8531 0.8749 0.8944 0.9115 0.9265 0.9394 0.9505 0.9599 0.9678 0.9744
0.8554 0.8770 0.8962 0.9131 0.9279 0.9406 0.9515 0.9608 0.9686 0.9750
0.8577 0.8790 0.8980 0.9147 0.9292 0.9418 0.9525 0.9616 0.9693 0.9756
0.8599 0.8810 0.8997 0.9162 0.9306 0.9429 0.9535 0.9625 0.9699 0.9761
0.8621 0.8830 0.9015 0.9177 0.9319 0.9441 0.9545 0.9633 0.9706 0.9767
0.9778 0.9826 0.9864 0.9896 0.9920 0.9940 0.9955 0.9966 0.9975 0.9982
0.9783 0.9830 0.9868 0.9898 0.9922 0.9941 0.9956 0.9967 0.9976 0.9982
0.9788 0.9834 0.9871 0.9901 0.9925 0.9943 0.9957 0.9968 0.9977 0.9983
0.9793 0.9838 0.9875 0.9904 0.9927 0.9945 0.9959 0.9969 0.9977 0.9984
0.9798 0.9842 0.9878 0.9906 0.9929 0.9946 0.9960 0.9970 0.9978 0.9984
0.9803 0.9846 0.9881 0.9909 0.9931 0.9948 0.9961 0.9971 0.9979 0.9985
0.9808 0.9850 0.9884 0.9911 0.9932 0.9949 0.9962 0.9972 0.9979 0.9985
0.9812 0.9854 0.9887 0.9913 0.9934 0.9951 0.9963 0.9973 0.9980 0.9986
0.9817 0.9857 0.9890 0.9916 0.9936 0.9952 0.9964 0.9974 0.9981 0.9986
0.9987 0.9991 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998
0.9987 0.9991 0.9994 0.9995 0.9997 0.9998
0.9988 0.9991 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998
0.9988 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998
0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998
0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998
0.9989 0.9992 0.9995 0.9996 0.9997 0.9998
0.9990 0.9993 0.9995 0.9996 0.9997 0.9998
0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998
10
GUIA ESTADISTICA
TABLA t DE STUDENT CON ν ν GRADOS DE LIBERTAD υ + 1 υ + 1 − 2 1 t 2 2 t 1 + dt = p υ ∫−∞ υ υπ Γ 2 Γ
P (t (υ ) ≤ t ) =
P 0.75
0.90
0.95
1 2 3 4 5
1.0000 0.8165 0.7649 0.7407 0.7267
3.0777 1.8856 1.6377 1.5332 1.4759
6.3138 2.9200 2.3534 2.1318 2.0150
12.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706
31.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649
63.6574 9.9248 5.8409 4.6041 4.0322
6 7 8 9 10
0.7176 0.7111 0.7064 0.7027 0.6998
1.4398 1.4149 1.3968 1.3830 1.3722
1.9432 1.8946 1.8595 1.8331 1.8125
2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281
3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638
3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693
11 12 13 14 15
0.6974 0.6955 0.6938 0.6924 0.6912
1.3634 1.3562 1.3502 1.3450 1.3406
1.7959 1.7823 1.7709 1.7613 1.7531
2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315
2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025
3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467
16 17 18 19 20
0.6901 0.6892 0.6884 0.6876 0.6870
1.3368 1.3334 1.3304 1.3277 1.3253
1.7459 1.7396 1.7341 1.7291 1.7247
2.1199 2.1098 2.1009 2.0930 2.0860
2.5835 2.5669 2.5524 2.5395 2.5280
2.9208 2.8982 2.8784 2.8609 2.8453
21 22 23 24 25
0.6864 0.6858 0.6853 0.6848 0.6844
1.3232 1.3212 1.3195 1.3178 1.3163
1.7207 1.7171 1.7139 1.7109 1.7081
2.0796 2.0739 2.0687 2.0639 2.0595
2.5177 2.5083 2.4999 2.4922 2.4851
2.8314 2.8188 2.8073 2.7969 2.7874
26 27 28 29 30
0.6840 0.6837 0.6834 0.6830 0.6828
1.3150 1.3137 1.3125 1.3114 1.3104
1.7056 1.7033 1.7011 1.6991 1.6973
2.0555 2.0518 2.0484 2.0452 2.0423
2.4786 2.4727 2.4671 2.4620 2.4573
2.7787 2.7707 2.7633 2.7564 2.7500
31 32 33 34 35
0.6825 0.6822 0.6820 0.6818 0.6816
1.3095 1.3086 1.3077 1.3070 1.3062
1.6955 1.6939 1.6924 1.6909 1.6896
2.0395 2.0369 2.0345 2.0322 2.0301
2.4528 2.4487 2.4448 2.4411 2.4377
2.7440 2.7385 2.7333 2.7284 2.7238
36 37 38 39 40
0.6814 0.6812 0.6810 0.6808 0.6807
1.3055 1.3049 1.3042 1.3036 1.3031
1.6883 1.6871 1.6860 1.6849 1.6839
2.0281 2.0262 2.0244 2.0227 2.0211
2.4345 2.4314 2.4286 2.4258 2.4233
2.7195 2.7154 2.7116 2.7079 2.7045
ν ν
0.975
0.99
0.995
11
GUIA ESTADISTICA
VALORES DE LA DISTRIBUCION χ2 CON ν ν GRADOS DE LIBERTAD 2
P ( χ ν
≤
χ p2 ; ν
)
=
χ p2 ; ν
1 2
ν
2
Γ ( ν
2)
∫0
x
ν
2 −1
e
−x
2
dx
=
p
p ν ν
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
0.005
0.01
0.025
0.010 0.072 0.207 0.412 0.676 0.989 1.344 1.735 2.156 2.603 3.074 3.565 4.075 4.601 5.142 5.697 6.265 6.844 7.434 8.034 8.643 9.260 9.886 10.520 11.160 11.808 12.461 13.121 13.787 14.458 15.134 15.815 16.501 17.192 17.887 18.586 19.289 19.996 20.707
0.020 0.115 0.297 0.554 0.872 1.239 1.646 2.088 2.558 3.053 3.571 4.107 4.660 5.229 5.812 6.408 7.015 7.633 8.260 8.897 9.542 10.196 10.856 11.524 12.198 12.879 13.565 14.257 14.954 15.655 16.362 17.074 17.789 18.509 19.233 19.960 20.691 21.426 22.164
0.001 0.051 0.216 0.484 0.831 1.237 1.690 2.180 2.700 3.247 3.816 4.404 5.009 5.629 6.262 6.908 7.564 8.231 8.907 9.591 10.283 10.982 11.689 12.401 13.120 13.844 14.573 15.308 16.047 16.791 17.539 18.291 19.047 19.806 20.569 21.336 22.106 22.878 23.654 24.433
0.05
0.10
0.25
0.75
0.90
0.95
0.975
0.99
0.995
0.004 0.103 0.352 0.711 1.145 1.635 2.167 2.733 3.325 3.940 4.575 5.226 5.892 6.571 7.261 7.962 8.762 9.390 10.117 10.851 11.591 12.338 13.091 13.848 14.611 15.379 16.151 16.928 17.708 18.493 19.281 20.072 20.867 21.664 22.465 23.269 24.075 24.884 25.695 26.509
0.016 0.211 0.584 1.064 1.610 2.204 2.833 3.490 4.168 4.865 5.578 6.304 7.042 7.790 8.547 9.312 10.085 10.865 11.651 12.443 13.240 14.042 14.848 15.659 16.473 17.292 18.114 18.939 19.768 20.599 21.434 22.271 23.110 23.952 24.797 25.643 26.492 27.343 28.196 29.051
0.102 0.575 1.213 1.923 2.675 3.455 4.255 5.071 5.899 6.737 7.584 8.438 9.299 10.165 11.037 11.912 12.792 13.675 14.562 15.452 16.344 17.240 18.137 19.037 19.939 20.843 21.749 22.657 23.567 24.478 25.390 26.304 27.219 28.136 29.054 29.973 30.893 31.815 32.737 33.660
1.323 2.773 4.108 5.385 6.626 7.841 9.037 10.219 11.389 12.549 13.701 14.845 15.984 17.117 18.245 19.369 20.489 21.605 22.718 23.828 24.935 26.039 27.141 28.241 29.339 30.435 31.528 32.620 33.711 34.800 35.887 36.973 38.058 39.141 40.223 41.304 42.383 43.462 44.539 45.616
2.706 4.605 6.251 7.779 9.236 10.645 12.017 13.362 14.684 15.987 17.275 18.549 19.812 21.064 22.307 23.542 24.769 25.989 27.204 28.412 29.615 30.813 32.007 33.196 34.382 35.563 36.741 37.916 39.087 40.256 41.422 42.585 43.745 44.903 46.059 47.212 48.363 49.513 50.660 51.805
3.841 5.991 7.815 9.488 11.071 12.592 14.067 15.507 16.919 18.307 19.675 21.026 22.362 23.685 24.996 26.296 27.587 28.869 30.144 31.410 32.671 33.924 35.172 36.415 37.652 38.885 40.113 41.337 42.557 43.773 44.985 46.194 47.400 48.602 49.802 50.998 52.192 53.384 54.572 55.758
5.024 7.378 9.348 11.143 12.833 14.449 16.013 17.535 19.023 20.483 21.920 23.337 24.736 26.119 27.488 28.845 30.191 31.526 32.852 34.170 35.479 36.781 38.076 39.364 40.646 41.923 43.194 44.461 45.722 46.979 48.232 49.480 50.725 51.966 53.203 54.437 55.668 56.896 58.120 59.342
6.635 9.210 11.345 13.277 15.086 16.812 18.475 20.090 21.666 23.209 24.725 26.217 27.688 29.141 30.578 32.000 33.409 34.805 36.191 37.566 38.932 40.289 41.638 42.980 44.314 45.642 46.963 48.278 49.588 50.892 52.191 53.486 54.776 56.061 57.342 58.619 59.892 61.162 62.428 63.691
7.879 10.597 12.838 14.860 16.750 18.548 20.278 21.955 23.589 25.188 26.757 28.299 29.819 31.319 32.801 34.267 35.718 37.156 38.582 39.997 41.401 42.796 44.181 45.559 46.928 48.290 49.645 50.993 52.336 53.672 55.003 56.328 57.648 58.964 60.275 61.581 62.883 64.181 65.476 66.766
12
GUIA ESTADISTICA
FISHER P=0.95 v2 v1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
161.4462 199.4995 215.7067 224.5833 224.5833 233.9875 236.7669 238.8842 240.5432 241.8819
2
18.5128
19.0000
19.1642
19.2467
19.2963
19.3295
19.3531
19.3709
19.3847
19.3959
3
10.1280
9.5521
9.2766
9.1172
9.0134
8.9407
8.8867
8.8452
8.8123
8.7855
4
7.7086
6.9443
6.5914
6.3882
6.2561
6.1631
6.0942
6.0410
5.9988
5.9644
5
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13
