Curso de Ingeniería Económica
UNIVERSIDAD CATÓLICA DE SANTA MARÍA
Guía de Prácticas de Ingeniería Económica Análisis de la Tasa Interna de Retorno OBJETIVOS
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Establecer el significado de la tasa de rendimiento. Calcular la tasa de retorno mediante una ecuación de valor presente o valor anual. Establecer por qu es necesario un an!lisis incremental para comparar alternativas con el mtodo T". #reparar la tabulación del flu$o de efectivo incremental para dos alternativas. Interpretar el significado de la T" sobre la inversión inicial incremental. incremental. Seleccionar la me$or entre dos alternativas utili%ando un an!lisis de la T" con base en el valor presente.
"EC&"SOS
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#apel Calculadora #i%arra Computador. 'u(a de #r!cticas.
)&"*CI+, )E -* #"CTIC*
•
)os sesiones /0 1oras2.
3*"CO TE+"ICO
1. TASA INTERNA DE RETORNO
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Curso de Ingeniería Económica -a tasa Interna "etorno4 TI"4 es uno de los (ndices que m!s aceptación tiene dentro del p5blico porque est! midiendo la rentabilidad de una inversión4 que es una caracter(stica propia del pro6ecto. 3atem!ticamente viene a ser la tasa a la cual el V#, se 1ace igual a cero. Este (ndice e7ige el m!7imo de cuidado en su aplicación pues en ocasiones puede dar un resultado distinto al obtenido con el V#,4 cuando esto ocurre es porque el (ndice TI" no se 1a aplicado correctamente 6 en tales circunstancias ser! necesario utili%ar otra tcnica para calcular la TI" puesto que los resultados obtenidos con ste 5ltimo (ndice deben ser consecuencias con el V#,. 1.1 Características de la TIR
a. Es una caracter(stica propia del pro6ecto por tanto no var(a aunque cambien los due8os del pro6ecto. b. 3ide la rentabilidad de los dineros que permanecen invertidos en el pro6ecto c. ,o toma en cuenta lo que pueda ocurrir con los dineros que va devolviendo el pro6ecto. El procedimiento que se use para calcular la TI" var(a dependiendo del n5mero de alternativas a anali%ar 6 de la forma como se encuentren distribuidos los ingresos 6 los egresos a lo largo del 1ori%onte de planeación9 veamos algunos casos: a. Cuando ingresos y egresos tienen una duración indefinida
E$emplo &na persona desea construir un puente sobre un r(o que atraviesa la finca de su propiedad4 l calcula que su costo puede ser de ;< millón 6 los ingresos mensuales que obtendr(a por concepto de pea$es son del orden de ;=>.>>>. Suponiendo que la duración del puente viene a ser indefinida. Cu!l ser(a la rentabilidad que le generar(a tal inversión? Solución: 30000
0
30000
1
2 …………………
∞
100000
Como se trata de 1allar la tasa i a la cual el V#, @ > se tendr!: VPN
1000000 +
= −
30000 i
=
0
)e donde se obtiene que i es el =A efectiva mensual. *claramos que i debe ser efectivo mensual desde que los ingresos de ;=>.>>> son mensuales. E$emplo
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Curso de Ingeniería Económica Si en el e$emplo anterior se sabe que el gobierno tiene pro6ectado construir una nueva carretera con su respectivo puente a lo sumo en un pla%o m!7imo de a8os4 lo cual 1ar(a obsoleto el puente ob$eto de ste pro6ecto. Cu!l ser(a la rentabilidad de la inversión ba$o estas nuevas circunstancias? Solución: En estas condiciones4 el n5mero m!7imo de ingresos es de ;=>.>>> 6 en los a8os 1abr! 0 ingresos4 por tanto: 30000
0
1
30000
30000
2 …………………72
100000
V#, @ D <>>>>>> =>>>> /#F*4 i4 02 "eempla%ando dividiendo por =>.>>> se tiene: VPN =
−
33333 . +
1 − (1 + i )
72
−
=
i
0
Como puede apreciarse4 el tratar de despe$ar i de esta ecuación es bastante complicado por lo que se aconse$a usar una computadora o utili%ar el mtodo manual de ensa6o 6 error 1asta encontrar dos valores de i4 no mu6 ale$ados4 que 1agan que la función sea una ve% positiva 6 otra negativa para efectuar una interpolación as(: Si escogemos para i @ =A 6 1acemos el c!lculo correspondiente se tendr!: −
33333 . +
1 − (1 + 0.03) 0.03
72
−
396824 .
= −
Si escogemos para i @ 0A 6 volvemos 1a 1acer los c!lculos 1allaremos que la función toma el valor de G.H=. *1ora tenemos los dos valores que nos propon(amos buscar procederemos a interpolar9 para ello4 disponemos el traba$o4 1aciendo el siguiente raciocinio /que posteriormente lo $ustificaremos2. Con el =A tenemos un valor negativo de D=.G0G 6 con el 0A tenemos un valor positivo de G.H>=. * qu tasa la función tomar! el valor de cero? Tomando tres decimales
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Curso de Ingeniería Económica
3 −3968. X 0 2 4651. -a relación que se8ala con corc1etes entre los n5meros de la i%quierda debe ser la misma que se se8ala con los corc1etes del lado de la derec1a9 por lo tanto podemos establecer las 3− 2 3 − x
=
−
3.968 − 4.651 − 3.968 − 0
siguientes relaciones con las diferencias:
*l despe$ar K de sta ecuación se tiene: K @ 0.HGA efectiva mensual. El resultado e7acto usando una computadora es i @ 0.G<<=A efectiva mensual. Observación: el resultado obtenido mediante la interpolación no es e7acto4 pero si se quiere una ma6or apro7imación se puede 1acer interpolación con un intervalo m!s peque8o /entre m!s peque8o sea el intervalo la apro7imación es ma6or4 pero para fines pr!cticos un intervalo de un punto porcentual es suficiente2. . Cuando ocurre !arios ingresos y !arios egresos "ero en for#a entre!erada entonces "uede ocurrir $ue e%istan !arias tasas.
En este caso se vuelve un problema puramente matem!tico 6 la regla de los signos de )escartes /m!s adelante enunciaremos2 nos permite determinar el n5mero m!7imo de ra(ces que tiene un polinomio de la forma: *>Kn *
En donde n es entero 6 *>4 *<4 *04 *=4 LLLL.*n4 son constante. Si los trminos de un polinomio est!n ordenados de acuerdo con valores creciente o decreciente de la potencia de una variable4 se dice que ocurre una variación de signos4 cuando difieren los signos de dos trminos consecutivos4 por e$emplo: =KHD 0KG D K= <0K0 K D @ >
Esto implica que 1a6 tres cambios de signo 6 la ecuación tendr! un m!7imo de = ra(ces positivas pero podr(an ser menos de = 6 si tenemos:
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Curso de Ingeniería Económica /<i2 G =/<i2= D /<i20 0/<i2 D @ > Entonces 1abr! como m!7imo 0 ra(ces positivas. &. RE'(A DE (OS SI'NOS DE DESCARTES
El n5mero de ra(ces positivas de una ecuación en forma de polinomio con e7ponentes enteros4 es igual o menor al n5mero de variaciones de los signos en el polinomio. )e acuerdo a lo anterior4 si todos los ingresos figuran de primero 6 luego aparecen todos los egresos /que es bastante usual en un pro6ecto2 solo 1abr! una sola ra(% positiva puesto que solo 1a6 un cambio de signo. E)e#"lo 8000
Calcular la V#, del siguiente flu$o de ca$a:
3000 400
0
1
2
3
4
1000 2000
-a ecuación de valor del V#, ser!: V#,@ D<>>>D0>>>/<i2 D< G>>/<i2D0 D =>>>/<i2D= >>>/<i2DG@ > Cuando se traba$a sin computador4 se facilita muc1o la locali%ación de la ra(% si elaboramos una tabla que relacione el V#, con la tasa i 6 luego se constru6e la gr!fica. V#, I
H.0=> <>A
<.G =>A
=A
DG> >A
D< >A
D<<0 <<>A
RE(ACION ENTRE E( *+N , (A TIR
Esto nos indica que la ra(% est! entre el H>A 6 el >A cu6o valor m!s e7acto se puede 1allar por interpolación entre estos dos valores 6 al 1acer los c!lculos se obtiene una tasa del H.A4 pero una interpolación en un intervalo tan grande no garanti%a una respuesta
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Curso de Ingeniería Económica confiable4 por tal motivo debe 1acerse una segunda interpolación escogiendo un intervalo m!s peque8o4 por e$emplo4 si interpolamos entre H.HA 6 el HA se obtiene una respuesta del H.HGA. Si los ingresos 6 los egresos figuran entreverados pueden ser e7ista una TI" m5ltiple puesto que 1abr(a varios cambios de signos en los coeficientes de la ecuación4 sin embargo4 1acemos nfasis en que no es obligatorio que e7istan varias tasas4 tal como ocurre en el siguiente e$emplo. E)e#"lo 8000
Calcular la TI" del siguiente flu$o de ca$a
3000 400
0
1
2
3
4
1000 2000
V#,@ D<>>>G>>/<i2 D>>/<i2D0 =>>>/<i2 D= >>>/<i2 DG@ > El polinomio anterior tiene = cambios de signo 6 por tanto podr(a tener como m!7imo = ra(ces positivas4 sin embargo solo tiene una ra(% tal como se puede apreciar de la tabla. V#, I
HG0 <>A
00< =>A
G H>A
<<0 >A
D00 >A
DH0 <<>A
RE(ACION ENTRE E( *+N , (A TIR
)e la gr!fica se observa que la tasa debe estar entre el >A 6 el >A 6 por interpolación entre estas dos tasas que i@ G.HA4 para ma6or apro7imación se puede 1acer una
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Curso de Ingeniería Económica segunda interpolación tal como se 1i%o en el e$emplo anterior 6 obtendr(amos una tasa del G.GA. -. TASA INTERNA DE RETORNO INCREENTA( /TIRI0
#ara calcular una TI" es necesario que e7istan ingresos 6 egresos. Ma6 ocasiones en que debe tomarse una decisión entre pro6ectos mutuamente e7clu6entes4 en los cuales no se conocen ingresos o si se llegan a conocer son m(nimos4 entonces se $ustifica decidir por una alternativa con una inversión ma6or si el e7ceso de inversión comparado con la disminución de gastos produce una rentabilidad superior a la tasa del inversionista. El c!lculo debe 1acerse siguiendo en orden los pasos que a continuación se indican: <. 0. =. G.
Coloque las alternativas en orden ascendente de inversión Saque las diferencias de flu$o de ca$a entre la alternativa menor 6 la siguiente Calcule la TI" de las diferencias Compare esta TI" con otra tasa de referencia por e$emplo con la T3*"4 la TIO o cualquier otra4 si la TI" es ma6or se escoge la alternativa m!s costosa4 si es menor4 se escoge la alternativa m!s barata. H. -a me$or de sta alternativa se compara con la siguiente alternativa . "epita los pasos 0D=DGDH 1asta que todas las alternativas 1a6an sido tomados en cuenta. Observación: #uesto que ste proceso implica sacar diferencias de egresos entre alternativas4 stas deben tener la misma duración o al menos se debe usar un 1ori%onte de planeación igual al m(nimo com5n m5ltiplo de la duración de la alternativas que se van a comparar. E)e#"lo
)adas las alternativas *4 B 6 C4 seleccionar la me$or suponiendo que la T3*" @ 0>A. * D <>>.>>> D <>.>>> D <0.>>> D >>
Costo C*O a8o < C*O a8o 0 C*O a8o =
B D <0>.>>> D <0.>>> D 0.>>> D 0.>>>
C D <0H.>>> D 0.>>> D <.>>> >
*qu( debemos aplicar rigurosamente la convención de de$ar los ingresos como positivos 6 los egresos como negativos. #rimero comparamos * con B 6 sacamos las diferencias. * D <>>.>>> D <>.>>> D <0.>>> D >>
Costo C*O a8o < C*O a8o 0 C*O a8o =
B D <0>.>>> D <0.>>> D 0.>>> D 0.>>> 10000
0
1
2
3
C D 0>.>>> D 0.>>> <>.>>> <0.>>>
12000
4
2000 20000
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Curso de Ingeniería Económica
*1ora planteamos la ecuación del V#, pero por tratarse de la parte del incremento de la inversión recibe el nombre de valor presente neto incremental que representaremos por V#,I. V#,I @ D0>.>>> D 0.>>> /<i2 D< <>.>>>/<i2D0 <0.>>>/<i2D= @ > N si se calcula la TI" de sta ecuación se encuentra que i @ >A lo cual implica que el e7ceso de inversión4 en este caso ;0>.>>>4 est! ganando una tasa del >A que no es atractiva4 en consecuencia4 es me$or la alternativa *. Si a1ora comparamos a * con C4 tenemos: Costo C*O a8o < C*O a8o 0 C*O a8o =
* D <>>.>>> D <>.>>> D <0.>>> D >>
B D <0H.>>> D 0.>>> D <.>>> >
C D 0H.>>> .>>> <<.>>> >>
V#,I @ D0H.>>> .>>> /<i2 D< <<.>>>/<i2D0 >>/<i2D= @ >
#ara 1allar la TI"I interpolamos
14 − 6871. X 0 12 + 87691. )e donde se obtiene que K @ <=.HHA4 lo cual significa que el e7ceso de inversión queda colocado al <=.HHA que es inferior a la T3*" establecida en el 0>A4 por lo tanto se conclu6e que la *lternativa C no es aconse$able 6 debemos de$ar como definitiva la *lternativa *. E)e#"lo
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Curso de Ingeniería Económica
&na industria puede adquirir una m!quina a un costo de ; millones4 tendr! una vida 5til de H a8os 6 pr!cticamente no tendr! valor de salvamento4 la m!quina ser! depreciada totalmente en = a8os por partes iguales4 el estudio de mercados indica que los ingresos del primer a8o ser!n apro7imadamente de ;= millones 6 aumentar!n todos los a8os un =>A4 por otra parte se estima que el costo de producción del primer a8o ser! de ;>>.>>> 6 cada a8o aumentar! en ;0>>.>>>. Suponiendo una tasa impositiva del =A determinar la rentabilidad del pro6ecto con un 1ori%onte de planeación de H a8os. Solución: #rimero buscamos la base para el c!lculo de los impuestos as(: Base @ Ingreso D Costo D )epreciación )espus calculamos el impuesto 6 el flu$o de ca$a: Impuesto @ >.= 7 Base lu$o ,eto de Ca$a @ Ingreso D Costos D Impuesto #er. > < 0 = G H
Ingreso D>>>>>> =>>>>>> =>>>>> H>>>>> H<>>> H=>>
Costos > >>>>> <>>>>>> <0>>>>> >>>> <>>>>>
)epreciación > 0>>>>>> 0>>>>>> 0>>>>>> D D
Base > 0>>>>> >>>>> <>>>> H<<>>> =>>
Impuesto > >>> =G0>>> <>>> <0H> 0GHG
,C D>>>>>> 0<0G>>> 0HH>>> => =0<G0> G=0>=G
Si 1acemos el V#, @ > entonces podemos 1allar la TI" V#, @ .>>>.>>> 0.<0G.>>>/<i2 D< 0.HH.>>>/<i2D0 =.>/<i2D= =.0<.G0> /<i2DG G.=0>.=G /<i2DH @ > al resolver esta ecuación por interpolación se obtiene: i @ =.HA que viene a ser la rentabilidad del pro6ecto.
* C T I V I ) * ) E S ) E - * # " C T I C * .< &n documento cuesta ;>> >>>6 produce un inters trimestral de ;<0 >>> durante 0 a8os4 al final de ste tiempo el documento puede ser vendido en ;>>>>>. Mallar la rentabilidad efectiva trimestral que generar! ste pro6ecto de inversión. .0 &n pro6ecto necesita una inversión inicial de ;= millones 6 generar! ingresos mensuales de ;=>> >>> durante 0 a8os4 al final de ste tiempo 1abr! que pagar a los empleados por concepto de prestaciones sociales la suma de ;0 millones. PCu!l es la TI" que genera ste pro6ecto? .= BC utili%a un pol(mero termopl!stico para me$orar la apariencia de ciertos paneles "V. El costo inicial de un proceso fue de ;<0 >>>4 con costos anuales de ;G >>> e ingresos por ; >>>. Se logró un valor de salvamento de ;== >>> cuando el proceso fue descontinuado despus de a8os. PQu tasa de rendimiento obtuvo la compa8(a sobre el proceso? .G &na ingeniera mec!nica con esp(ritu empresarial inició un negocio de trituración de llantas para tomar venta$a de una le6 estatal que castiga el desec1o de todas las 56
Curso de Ingeniería Económica llantas en los rellenos sanitarios. El costo del triturador fue de ;00> >>>. Ella gastó ;>> para obtener una planta de G> volts para el sitio 6 otros ; >>> en la preparación del lugar. 3ediante contratos con los vendedores de llantas4 ella pagó ;>.0 por llanta 6 mane$ó un promedio de <0> >>> llantas por a8o durante H a8os. -os costos de operación anuales por mano de obra4 energ(a4 reparaciones4 etctera4 ascendieron a ;<.>H por llanta. Ella tambin vendió parte de los desec1os de llantas a los instaladores de fosas spticas para usarlas en los campos de drenado. Esta empresa ganó ;<H>>> netos anuales. -uego de H a8os4 ella vendió el equipo en ;0 >>>. PQu tasa de rendimiento anual obtuvo ella en su negocio? .H Tec1street.com es un peque8o negocio dedicado al dise8o de p!ginas de Internet que ofrece servicios para dos tipos principales de p!ginas Reb: sitios informativos 6 sitios de comercio electrónico. &n paquete requiere un pago anticipado de ;GH >>> 6 pagos mensuales de <.0 centavos por cada acceso. &na nueva compa8(a de programas de dise8o asistido por computadora /C*)2 est! considerando el paquete. -a compa8(a espera tener al menos H >>> accesos por mes4 6 espera que el 4 Pqu tasa de rendimiento obtendr! la compa8(a de programas C*) si cancela el sitio de Internet despus de 0 a8os? . &na compa8(a de cromado de metales est! considerando cuatro diferentes mtodos para la recuperación de metales pesados que se generan como subproductos que se encuentran en un !rea de desperdicio l(quido. se 1an estimado los costos de inversión e ingresos asociados con cada mtodo. Todos los mtodos tienen una vida de <> a8os. -a T3*" es de <0A anual. a2 Si los mtodos son independientes4 6a que pueden implementarse en diferentes plantas4 Pcu!les son aceptables? b2 Si los mtodos son mutuamente e7clu6entes4 determine cu!l mtodo deber! seleccionarse4 utili%ando una evaluación de TI".
todo
Costo inicial2 3
*alor de sal!a#ento2 3
Ingreso anual2 3
*
D >>
< >>>
G >>>
B
D < >>>
0 >>>
H >>>
C
D 0H >>>
D H>>
>>>
)
D =H >>>
D >>
>>>
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Curso de Ingeniería Económica
EJE"CICIOS #"O#&ESTOS
.1
.2
.3
.4
.5
.6
#ara llevar a cabo un pro6ecto4 es necesario invertir 1o6 ;G>> >>> 6 ;>> >>> al final de 0 a8os. Si al final de H a8os el pro6ecto devuelve ;G millones4 PCu!l es la tasa que gana la inversión? &na m!quina puede ser adquirida en ;< millón4 se estima que producir! a1orros en los costos de producción de ;0>> >>> anuales. Si su vida 5til es de <> a8os 6 su salvamento se considera despreciable4 PCu!l es la TIR que resulta de sta adquisición? &n empleado recibe un ingreso e7tra de ;0>>>. Con ste dinero puede comprar un ta7i que tiene las siguientes caracter(sticas desde el punto de vista económico: precio ;=>>>9 cuota inicial ;0>>>9 financiación cuotas anuales fi$as de ;>> durante = meses9 ingresos anuales de ;0 0>> para el primer mes que se van incrementando todos los meses en un 0>A4 el valor de los costos anuales para el primer mes son de ;< H>> 6 se van incrementando todos los a8os en un 0>A9 vida 5til =9 valor de salvamento ;H>. PCu!l es la TIR? &na persona planea radicarse en el e7terior dentro de = a8os. *ctualmente tiene a1orrados ;0>>> los cuales puede invertir en una entidad financiera que como m(nimo recibe ;0>>> 6 paga el =HA anual en depósitos a trmino fi$o a un a8o4 tambin podr! adquirir un local con una cuota inicial de ;<>>>4 ;H>> a = meses 6 ;H>> a meses4 l podr(a arrendar el local inmediatamente en la suma de ;=>> pagaderos por mes anticipado por los pró7imo 0 a8os 6 en ;G>> durante el tercer a8o. *l final de los = a8os estima que podr! vender el local en ;=>>>4 PQu alternativa debe decidir suponiendo que todo e7cedente de dinero ser! reinvertido inmediatamente al < .HA efectiva mensual? En el dise8o de una instalación nueva consideran las alternativas mutuamente e7clu6entes que se muestran en la tabla4 suponga que su T3*" es de
Dise4o &
Dise4o -
Inversión
0>>>
<>>>
0=H>>
Ingresos anuales
HH>>
==>>
G>>
Valor de mercado
>
>
H>>
Vida 5til
<>
H
<>
-a OI- CO3#*,N desea instalar un equipo de anticontaminación en una refiner(a nueva para cumplir con las normas gubernamentales sobre el aire limpio. Se est!n considerando cuatro alternativas de dise8o4 las cuales tendr!n inversiones de capital 6 gastos anuales de operación que se ven en la siguiente tabla4 si se supone una vida 5til de <> a8os para cada dise8o4 ning5n valor residual 6 una T3"* de <>A anual4 determine que dise8o se deber! seleccionar con base al mtodo TI"I*.
Inversión
Dise4o 1
Dise4o &
Dise4o -
Dise4o 5
>>>>>
>>>>
<0G>>>>
<>>>>>
'astos *nuales
58
Curso de Ingeniería Económica Energ(a
>>>
>>>
<0>>>>
<0>>>
3ano de obra
G>>>>
GH>>>
H>>>
H>>>>
3antenimiento
>>>>
>>>>>
G0>>>>
=>>>>
Impuestos
<0>>>
>>
0H>>>
0>>>
C&ESTIO,*"IO .< PQu diferencia 1a6 entre la tasa de descuento de un pro6ecto 6 la TI" de un pro6ecto? .0 P#or qu los ordenamientos de me$or a peor alternativas que se 1acen con la TI" /de ma6or a menor TI"2 a veces no coinciden con el ordenamiento de las mismas alternativas con el V#, /de ma6or a menor V#,2? .= P#or qu se prefiere utili%ar el V#, 6 no la TI" o BFC para escoger ordenar D pro6ectos?
"EE"E,CI*S BIB-IO'"IC*S
[ ]1 C1an S. #arU4 Ingenier(a Económica Contempor!neaW4 Ed. *ddison Xesle64 <. [ ]2 BlanU D TarUin Ingenier(a EconómicaW4 Ed. 3c 'raR Mill4 0>>=.
) O C & 3 E , T O S * ) J & , T OS
,inguno
59
