3.4 HASIL KALI SILANG SILANG
Dalam penerapan vector untuk soal-soal geometri , fisika, dan teknik, kita perlu membentuk vector di rusng 3 yang tegak lurus terhadap dua vector yang diberikan. Dalam bagian ini kita perkenalkan sejenis perkalian perkalian vector yang memungkinkan memungkinkan pembentukan ini. ini. Definisi . Jika u =(u1,u2,u3) dan v =(v1,v2,v3) adalah vector di ruang 3, maka hasil kali silang u x v adalah vector yang didefinisikan oleh : ?3?2) , (?3?2 − ?1?3) ?1?3), (?1?2 − ?2?1) ?2?1) u x v = (?2?3 − ?3?2)
atau dalam notasi determinan uxv=
?2 ?2
?3 ?3
,-
?1 ?3 ?1 , ?1 ?3 ?1
?2 ?2
PERNYATAAN Terdapat pola pada rumus sebelumnya yang berguna untuk di ingat. Jika kita bentuk matriks 2 x 3 ?1 ?2 ?3 ? ? ?1 ?2 ?3 Dimana entri baris pertama adalah komponen factor pertama u dan baris kedua adalah komponen factor kedua v , maka determinan dalam komponen pertama u x v didapatkan dari mencoret kolom kolom pertama matriks tersebut, determinan determinan komponen komponen kedua kita dapatkan dapatkan dengan mencoret mencoret kolom kedua martiks tersebut, sedangkan determinan dalam komponen ketiga kita dapatkan dengan mencoret kolom ketiga dari matriks tersebut. Contoh Carilah u x v dimana u = (1 , 2 , -2) dan v = (3, 0 , 1) Pemecahan 1 2 −2 ? ? 3 0 1 2 −2 1 −2 1 2 uxv=? ?,− ? ?,? ? 0 1 3 1 3 0 = (2, -7 , -6) Walaupun hasil kali titik dari dua vector adalah scalar, namun hasil kali silang dari dua vector adalah vector lainnya. Teorema berikut memberikan hubungan penting di antara hasil kali titik dan hasil kali silang serta juga memperlihatkan bahwa u x v orthogonal baik untuk u maupun v. Teorema 5. Jika u dan v adalah vector di ruang 3, maka
(a). u . (u x v) = 0
(u x v orthogonal ke u)
(b). v . (u x v) = 0
(u x v orthogonal ke v)
(c). ‖? ? ? ‖2= ‖? ‖²‖? ‖² − ( ? .?)²
(Identitas Lagrange)
Pembuktian : (a). u . (u x v) = 0 Misalkan : u = (?1 ,?2 ,? 2,?3 ,? 3) dan v = (?1 ,?2 ,?3) ,? 3) ,? 3) . (?2?3 − ?3?2,?3?1 − ?1?3,?1?2 − ?2?1) ?2?1) u . (u x v) = (?1 ,? 2,?3 = ?1 (?2?3 − ?3?2) ?3?2) + ?2( ?2(?3?1 − ?1?3) ?1?3) + ?3( ?3(?1?2 − ?2?1) ?2?1)
∎
=0 (b) v . (u x v) = 0 Misalkan : ? = (?1 ,?2 ,? 2 ,?3 ,? 3) ? ?? ?? ? = (?1 ,?2 ,? 2 ,?3 ,? 3) ,? 3). (?2?3 − ?3?2,?3?1 − ?1?3,?1?2 − ?2?1) ?2?1) v . (u x v) = (?1 ,?2 ,?3 = ?1(?2?3 − ?3?2) + ?2(?3?1 − ?1?3) + ?3(?1?2 − ?2?1)
∎
=0 (a) (a) kare karena na , ‖? ? ? ‖? = (?2?3 − ?3?2) 2 + (?3?1 − ?1?3)2 + (?1?2 − ?2?1)2 Dan ‖? ‖? ‖? ‖? − (? .? )? ?2² + ?3² ?3²)( ?1² ?1² + ?2² ?2² + ?3² ?3²) − (?1?1 (?1?1 + ?2?2 ?2?2 + ?3?3 ?3?3)) = (? 12 + ?2²
Identitas lagrange dapat dihasilkan dengan “menuliskan hasil kali” ruas kanan serta membuktikan kesamaannya. Contoh : Tinjaulah vector ? = (1 ,2 , −2)? ?? ? = (3 ,0 ,1) Kita telah menampilkan pada contoh sebelumnya bahwa ? ? ? = (2 , −7 , −6) Karena ? . (? ? ? ) = (1)( 2) + (2)( −7) + (−2)( −6) = 0 Dan ? .(? ? ? ) = (3)( 2) + (0)( −7) + (1)( −6) = 0 u x v orthogonal baik untuk u maupun v seperti yang telah di tentukan pada teorema5.
Teorema 6.
Jika u , v dan w adalah sebarang sebarang vector di ruang ruang 3 dan k adalah
sebarang scalar maka : (a) (b) (c) (d) (e) (f)
? ? ? = −(? ? ? ) ? ? (? + ? ) = ( ? ? ? ) + ( ? ? ? ) (? + ? ) ? ? = (? ? ? ) + ( ? ? ? ) ? (? ? ? ) = (?? )? ? = ? ? (?? ) ? ?? =? ? ? =? ? ?? =?
Pembuktian a) ? ? ? = −(? ? ?) ? ??????? ? = (?1 ,?2 ,? 2 ,?3 ,? 3)??? ? = (?1 ,?2 ,?3) ,?3) ? ? ? = (u2v3 − u3v2,u3v1 − u1v3,u1v2 − u2v1) u2v1) ? ? ? = v2u3 − u2v3,u1v3 − v1u3,v1u2 − u1v2 −(? ? ? ) = ?2?3 ?2?3 − ?2?3,?1?3 − ?1?3,?1?2 − ?1?2
∎
u x v = -(v x u) b) ? ? (? + ? ) = (? ? ? ) + (? ? ? ) Misalkan : ? = (?1 ,?2 ,? 2 ,?3 ,? 3) ? = (?1 , ?2 ,?3 ,? 3) ? = (? 1 ,? 2 ,? 3) , maka ? +? + ? = (?1 , ?2 ,?3) + (? 1 ,? 2 ,? 3) (?1+ ? 1,?2+ ,?2+ ? 2,?3+ ,?3+ ? 3) = (?1+ ?1 ?2 ?3 ? ? (? + ? ) = ? ? ?1+ ? 1 ?2+ ? 2 ?3+ ?3+ ? 3 ?2 ?3 ?1 ?3 ?1 ?2 =? ?,− ? ?,? ? ?2 + ? 2 ?3 + ? 3 ?1 + ? 1 ?3 + ? 3 ?1 + ? 1 ?2 + ? 2 =?2(? 3 + ? 3) − ?3(? 2 + ? 2) ,?3 ,? 3(? 1 + ? 1) − ?1(? 3 + ? 3) ,?1 ,? 1(?2 + ? 2) − ?2(?1+ ?2(?1+ ? 1)
?2?3+ ?2? ?2? 3 − ?3?2 − ?3? ?3? 2 ,?3?1+ ,?3?1+ ?3? ?3? 1 − ?1?3 − ?1? ?1? 3,?1?2 ,?1?2 + = ?2?3+ ?1? ?1? 2 − ?2?1 − ?2? ?2? 1 ? ? ? = ? ? ? = (u2v3 − u3v2,u3v1 − u1v3,u1v2 − u2v1) ? ? ? = u2w3 − u3w2 ,u3w1 − u1w3 ,u1w2 − u2w1 ? ? ? + (? ? ? ) = ?2?3+ ?2?3+ ?2? ?2? 3 − ?3?2 − ?3? ?3? 2 ,?3?1 ,?3?1 + ?3? ?3? 1 − ?1?3 − ?1? ?1? 3,?1?2 ,?1?2 + ?1? ?1? 2 − ?2?1 − ?2? ?2? 1 ? ?( ? (? + ? ) = (? ? ?) ? ) + (? ? ? ) (? + ?) ? ? = (? (? ? ? ) + ( ? ? ? ) Misalkan : ? = (?1 ,?2 ,? 2 ,?3 ,? 3) ? = (?1 , ?2 ,?3 ,? 3) ? = (? 1 ,? 2 ,? 3) ?1+?1 (? + ? )? ? = ? ?1
?2+?2 ?2
∎
?3+?3 ? ?3
?2+?2 ?3+?3 ?1+?1 ?3+?3 ?1 + ?1 ?2 + ? 2 =? ?,− ? ?,? ? ?2 ?3 ?1 ?3 ?1 ?2 = ? 2 + ? 2(? 3) − ?3+?3(? 2),?3+?3(? 1) − ??+?1(? 3),?1 ,? 1 + ?1(? 2) − ?2 + ?2(? ?2(? 1) = ?2? ?2? 3 +?2? +?2? 3 − ?3? ?3? 2 − ?3? ?3? 2 ,?2? ,?2? 1 + ?3? ?3? 1 − ?1? ?1? 3 − ?1? ?1? 3 ,?1? ,?1? 2 + ?1? ?1? 2 − ?2? ?2? 1 − ?2? ?2? 1 ?1 ?2 ?3 ? ?? = ? ? ? 1 ?2 ? 3
?2 ?3 ?1 ?3 ?1 ?2 = ? ?,− ? ?,? ? ?2 ?3 ?1 ?3 ?1 ?2 = ?2? ?2? 3 − ?3? ?3? 2,?3? 1 − ?1? ?1? 3,?1? ,?1? 2 − ?2? ?2? 1 ?1 ?2 ?3 ??? = ? ? ?1 ?2 ?3 ?2 ?3 ?1 ?3 ?1 ?2 =? ?,− ? ?,? ? ?2 ?3 ?1 ?3 ?1 ?2 = ?2? ?2? 3 − ?3? ?3? 2,?3? ,?3? 1 − ?1? ?1? 3,?1? ,?1? 2 − ?2? ?2? 1 ? ? ? + ? ? ? = ?2? 3 + ?2 ?2? 3 − ?3? ?3? 2 − ?3? ?3? 2,?3? ,?3? 1 + ?3? ?3? 1 − ?1? ?1? 3 − ?1? ?1? 3, ?1? ?1? 2 + ?1? ?1? 2 − ?2? ?2? 1 − ?2? ?2? 1 (u + v) x w = (u x w) + ( v x w) d) ? (? ? ? ) = (?? )? ? = ? ? ?? ?? Misalkan : ? = (?1 ,?2 ,? 2 ,?3 ,? 3)? ?? ? = (?1 , ?2 ,?3 ,? 3)
konstanta. ? ? (? ? ? ) = ? (u2v3 − u3v2,u3v1 − u1v3,u1v2 − u2v1) = ? (?2?3) − ? (?3?2),? (?3?1) − ? (?1?3),? (?1?2) − ?(?2?1) = ??2?3 ??2?3 − ??3?2,??3?1 − ??1?3,??1?2 − ??2?1 ? (? ) = (??1,??2,??3) ??1 ??2 ??3 ?? ? ? = ? ? ?1 ?2 ?3 ??2 ??3 ??1 ??3 ??1 ??2 =? ?,− ? ?,? ? ?2 ?3 ?1 ?3 ?1 ?2 = ??2?3 ??2?3 − ??3?2,??3?1 − ??1?3,??1?2 − ??2?1 ?1 ?2 ?3 ? ? ?? = ? ? ??1 ??2 ??3 ?2 ?3 ?1 ?3 ?1 ?2 =? ?,− ? ,?? ? ??2 ??3 ??1 ??3 ??1 ??2 = ?2??3 ?2??3 − ?3??2,?3??1 − ?1??3,?1??2 − ?2??1 = ??2?3 ??2?3 − ??3?2,??3?1 − ??1?3,??1?2 − ??2?1 ? (? ? ? ) = (?? )? ? = ? ? (?? )
∎
k =
e) ? ? ? = ? ? ? = ? Misalkan : ? = (?1 ,?2 ,? 2 ,?3 ,? 3) ?1 ?2 ? ?0= ? 0 0 =0 0 0 0? ? = ? ?1 ?2 =0
∎
?3 ? 0 0 ? ?3
? ?? =? ? ? =? f) ? ? ? = ? Misalkan : ? = (?1 ,?2 ,? 2 ,?3 ,? 3) ?1 ?2 ?3 ? ?? = ? ? ?1 ?2 ?3
∎
?2 ?3 ?1 ?3 ?1 ?2 =? ?,− ? ?,? ? ?2 ?3 ?1 ?3 ?1 ?2 = ?2?3 ?2?3 − ?3?2,?3?1 − ?1?3,?1?2 − ?2?1 =0 uxu=0
∎
Contoh : Tinjaulah vector-vector i= ( 1,0,0) j=(0,1,0) k=(0,01) masing-masing vector ini mempunyai panjang 1 dan terletak sepanjang sumbu koordinat . Vector tersebut dinamakan vector satuan baku (standart unit vector) di ruang 3. Setiap vector v = (v1 , v2 , v3) di ruang 3 dapat di ungkapkan dengan i, j dan k karenanya karenanya kita dapat dapat menuliskan menuliskan : v=v1(1,0,0)+v2(0,1,0)+v3(0,0,1) v=v1(1,0,0)+v2(0,1,0)+v3(0,0,1) = v1i+v2j+v3k misalnya, (2,-3,4)= (2,-3,4)=2i 2i – 3j + 4k
j (0,0,1) (0,1,0) k i(1,0,0)
dari gambar tersebut kita dapatkan : 00 10 10 ? ? ? = ? ?,− ? ?,? ? 10 00 01 = ( 0, 0 , 1) = k 01 01 00 ? ? ? = ? ?,− ? ?? ? 10 00 01 = (1,0,0) = i 10 00 01 ? ? ?= ? ?? ?? ? 00 1 0 10 = (0,0,1) = j ??
= ? ? ? = ? ? ?= ?
? ? ?= ? ,? ? ? = ?,? ? ?= ? ? ? ? = −? ,??
= −? , ? ? = −?
Diagram berikut akan akan mempermudah untuk mengingat hasil-hasil hasil-hasil diatas i
k
Dengan melihat diagram tersebut, maka hasil kali silang dua vector yang berurutan dalam arah perputaran jarum jam adalah vector berikutnya, dan hasil kali silang dua vector yang berurutan dan berlawanan arah jarum jam adalah negative dari berikutnya. Hasil kali silang yang dinyatakan secara simbolis dengan dengan bentuk determinan 3 x 3 adalah : ? ? ? ?2 ?3 ?1 ?3 ?1 ?2 ? ? ? = ??1 ?2 ?3 ? = ? ??− ? ??+? ?? ?2 ?3 ?1 ?3 ?1 ?2 ?1 ?2 ?3 Misalnya : Jika u = (1,2,-2) dan v =(3,0,1) maka: ? ? ? ? ? ? = ?1 2 − 2? 3 0 1 = 2?− 7? − 6? Dari teorema 5 kita ketahui bahwa u x v adalah orthogonal baik untuk u maupun v. jika u dan v adalah vector-vector taknol, maka dapat diperlihatkan bahwa arah u x v dapat ditentukan dengan menggunakan aturan tangan kanan. Misalkan ? adalah sudut diantara u dan v , dan anggaplah u terrotasi melalui sudut ? sehingga berimpit dengan v. Jika jari-jari tangan kanan dilikukkan sehingga mengarah rotasi, maka ibu jari menunjukkan arah u x v. Jika u dan v adalah vector-vector taknol di ruang 3 , maka norma uxv mempunyai tafsiran geometric yang berguna. Identitas lagrange , yang diberikan dalam teorema teorema 5 menyatakan menyatakan bahwa : ‖? ? ? ‖2= ‖? ‖²‖? ‖² − ( ? .?)² Jika ? menyatakan sudut diantara u dan v , maka ? ? ? = ‖? ‖‖? ‖ cos? os ? , sehingga dapat kita tuliskan kembali sebagai : ‖? ? ? ‖² = ‖? ‖²‖? ‖² − ‖? ‖²‖? ‖² ???²? = ‖? ‖²‖? ‖²(? − ???? ? ) = ‖? ‖²‖? ‖²??? ²??? ²? ?? ? Jadi , ‖? ? ? ‖ = ‖? ‖ ‖? ‖? ?? Tetapi, ‖? ‖ sin? adalah tinggi jajar genjang yang ditentukan oleh u dan v , jadi luas jajar genjang ini diberikan oleh A = (alas)(tinggi) = , ‖? ? ? ‖ = ‖? ‖ ‖? ‖? ?? ?
Dengan kata lain, norma u x v sama dengan luas jajar genjang yang ditentukan oleh u dan v. u ‖? ‖ sin?
v
Pada mulanya, kita mendefinisikan sebuah vector sebagai sebuah segmen garis yang diarahkan atau panah panah di ruang 2 atau ruang 3, system koordinat dan komponen diperkenalkan kemudian supaya menyederhanakan perhitungan dengan vector. Jadi, sebuah vector mempunyai “keberadaan matematis” tak peduli apakah telah diperkenalkan system coordinatnya. Selanjutnya, komponen komponen vector tidaklah tidaklah ditentukan oleh vector itu sendiri.komponen tersebut bergantung juga dengan system coordinate yang dipilih. Karena kita telah mendefiniisikan hasil kali silang u x v dalam komponen u dan v , dank arena komponen ini bergantung pada system coordinate yang dipilih , maka kelihatanya mungkin bahwa dua vector tetap u dan v dapat mempunyai hasil kali silang yang berbeda dalam system coordinate yang berbeda. Untuk melihat ini, kita perlu mengingat kembali bahwa bahwa : Æ ? ? ? ????? ??? ? ????? ???? ???? ??? ?? ? ????? ??? ?? ? Æ ? ????? ?? ???? ? ? ? ? ????? ?? ????? ?? ?? ??? ??? ℎ ?????? ?????? ???? ???? ?? ????? ? ???? ‖? ? ? ‖ = ‖? ‖ ‖? ‖? ?? Æ ?? ? Sifat-sifat ini hanya bergantung pada panjang serta kedudukan relative u dan v dan bukan bergantung pada system coordinate tangan kanan khusus yang sedang digunakan, maka vector u x v akan tetap tidak berubah jika kita perkenalkan system coordinate tangan kanan yang berbeda. Kenyataan ini dijelaskan dengan menyatakan bahwa definisi u x v bebas coordinate (coordinate (coordinate free).
