Hasil kali titik dan Hasil kali silang
Misalkan u dan v adalah dua vector taknol diruang-2 dan ruang-3 dan anggaplah vector-vektor ini telah dilokasikan sehingga titik awalnya berimpit. Yang kita artikan dengan sudut diantara u dan v adalah sudut θ yang ditentukan oleh u dan v yang memenuhi 0 θ π (Gambar 3.3.1)
(Gambar 3.3.1)
Definisi 1. Jika u dan v adalah vector-vektor diruang-2 atau ruang-3 dan θ adalah sudut diantara u dan v maka hasil kali titik (dot product) atau hasil kali dalam Euclidis (Euclidean inner product) u . v didefinisikan oleh
Definisi 1. Jika u dan v adalah vector-vektor diruang-2 atau ruang-3 dan θ adalah sudut diantara u dan v maka hasil kali titik (dot product) atau hasil kali dalam Euclidis (Euclidean inner product) u . v didefinisikan oleh
Contoh 1 Hitunglah hasil kali titik untuk pasangan vektor berikut .
(a) u = (0,0,3) dan v = (2,0, 2) yang membuat sudut antara keduanya 45 °.
(b) u = (0, 2, -1) dan v = (-1,1, 2) yang membuat sudut antara keduanya 90 °.Solusi:
au= 0+0+9 = 3 (b) u= 0+4+1 = 5 v= 4+0+4 = 8 =22 v= 1+1+4 =6 u.v=3.2 2 cos 45 = 6 2 22=6 u.v= 5 6 cos 90 = 30 . 0 = 0
Contoh 1 Hitunglah hasil kali titik untuk pasangan vektor berikut .
(a) u = (0,0,3) dan v = (2,0, 2) yang membuat sudut antara keduanya 45 °.
(b) u = (0, 2, -1) dan v = (-1,1, 2) yang membuat sudut antara keduanya 90 °.
Solusi:
au= 0+0+9 = 3 (b) u= 0+4+1 = 5
v= 4+0+4 = 8 =22 v= 1+1+4 =6
u.v=3.2 2 cos 45 = 6 2 22=6 u.v= 5 6 cos 90 = 30 . 0 = 0
ada satu rumus yang dapat kita gunakan untuk menghitung rumus yang hanya bergantung pada komponen dari vektor dan tidak ada sudut diantara keduanya.
Teorema 1. Misalkan u=u1,u2,u3 dan v=v1,v2,v3 adalah vector-vektor di ruang-3 maka u v= u1v1+u2v2+u3 v3 Demikian juga jika u=u1,u2 dan v=v1,v2 adalah vector-vektor di ruang-2 maka u v= u1v1+u2v2
Teorema 1.
Misalkan u=u1,u2,u3 dan v=v1,v2,v3 adalah vector-vektor di ruang-3 maka u v= u1v1+u2v2+u3 v3
Demikian juga jika u=u1,u2 dan v=v1,v2 adalah vector-vektor di ruang-2 maka u v= u1v1+u2v2
Bukti: Kita hanya akan membuktikan versi ruang-3 teorema ini. Versi ruang-2 memiliki kesamaan bukti. Mari kita mulai dengan gambar berikut
Misalkan u=u1,u2,u3 dan v=v1,v2,v3 adalah dua vector taknol,jika seperti gambar diatas, θ adalah sudut diantara u dan v maka hokum cosines menghasilkan.
Karena PQ= u-v maka dapat dituliskan
Atau
Dengan mensubtitusikan
dan
Maka akan didapatkan
Jika u=u1,u2 dan v=v1,v2 adalah vector-vektor di ruang-2 maka
u v= u1v1+u2v2
Jika u dan v vector taknol maka rumus diatas dapat kita tulis
Contoh 2 Tentukan sudut antara pasangan vektor berikut.
(a) a = (9, -2) b= (4,18)
(b) u = (3, -1,6) v = (4, 2,0)
Solusi:a a= 85 b= 340 a .b=94+ -218=0 Maka besar sudutnya Cos θ= 085340=0 => θ=90o
b u= 46 v= 20 u .v=34+ -12+ 60=10 Maka besar sudutnya Cos θ= 104620=0,3296 => θ=70,75o
Contoh 2 Tentukan sudut antara pasangan vektor berikut.
(a) a = (9, -2) b= (4,18)
(b) u = (3, -1,6) v = (4, 2,0)
Solusi:
a a= 85
b= 340
a .b=94+ -218=0
Maka besar sudutnya Cos θ= 085340=0 => θ=90o
b u= 46
v= 20
u .v=34+ -12+ 60=10
Maka besar sudutnya Cos θ= 104620=0,3296 => θ=70,75o
Teorema 2. Dua vector tak nol u dan v adalah tegak lurus jika dan hanya jika u . v = 0.
Kita telah melihat dua vektor yang hasil kali titiknya adalah nol dan dalam kasus kedua kita lihat bahwa sudut antara mereka adalah 90 ° dan sehingga dua vektor tersebut selalu tegak lurus. Vektor tegak lurus disebut orthogonal . Teorema berikut akan tepat untukmemeriksaini.
Teorema 2.
Dua vector tak nol u dan v adalah tegak lurus jika dan hanya jika u . v = 0.
Pertama anggaplah bahwa u dan v adalah orthogonal. Ini berarti bahwa sudut antara mereka adalah 90 ° dan dari definisi hasil kali titik yang kita dapat,
u . v = uvcos (90)
=uv(0)
=0
karenau.v=0.
Selanjutnya u . v = 0, maka dari definisi hasil kali titik diperoleh,
0 = u . v = u v cosθ cosθ = 0 θ = 90 °
sehingga u dan v dua vektor yang ortogonal.
Perhatikan bahwa kita menggunakan fakta bahwa dua vektor bukan nol, karenanya cosθ = 0.
Berikut adalah beberapa sifat tentang hasil kali titik.
Teorema 3 Misalkan u, v, dan w adalah tiga vektor yang semuanya dalam ruang-2 atau dalam ruang-3 dan c adalah skalar.(a) v . v = v 2 =>v=(v .v)1/2
(b) u . v = v . u(c) u . (w + v) = (u . w) + (u . v)
(d) c . (u . v) = (cu) . v = u. (cv)
(e) v . v> 0 jika v 0
(f) v . v = 0 jika dan hanya jika v = 0
Teorema 3
Misalkan u, v, dan w adalah tiga vektor yang semuanya dalam ruang-2 atau dalam ruang-3 dan c adalah skalar.
(a) v . v = v 2 =>v=(v .v)1/2
(b) u . v = v . u
(c) u . (w + v) = (u . w) + (u . v)
(d) c . (u . v) = (cu) . v = u. (cv)
(e) v . v> 0 jika v 0
(f) v . v = 0 jika dan hanya jika v = 0
Contoh 3 Diberikan u = (5, -2), v = (0,7) dan w = (4,10) berikut hitunglah.
(A) u . u dan u2
(B) u . w
(C) (-2u) . v dan u . (-2v)
Solusi:au .u=55+ -2-2= 25+4=29 u2 = 52+-22 =29 Jadi u .u= u2
Contoh 3 Diberikan u = (5, -2), v = (0,7) dan w = (4,10) berikut hitunglah.
(A) u . u dan u2
(B) u . w
(C) (-2u) . v dan u . (-2v)
Solusi:
au .u=55+ -2-2= 25+4=29
u2 = 52+-22 =29
Jadi u .u= u2
bu .w=54+ -210= 0 Jadi, u dan w adalah orthogonal.c-2u=-10,4 -2v=0,-14 -2u. v=-10.0+4.7=28 u .-2v=5.0+-2.-14= 28
bu .w=54+ -210= 0
Jadi, u dan w adalah orthogonal.
c-2u=-10,4 -2v=0,-14
-2u. v=-10.0+4.7=28
u .-2v=5.0+-2.-14= 28
Kita sekarang perlu melihat sebuah aplikasi yang sangat penting dari hasil kali titik. Mari kita misalkan u dan a adalah dua vektor dalam ruang-2 atau ruang-3 dan kita anggap bahwa keduanya sedemikian rupa sehingga titik awal mereka adalah sama. Apa yang kita ingin lakukan adalah "menguraikan" vektor u menjadi dua komponen. Satu, yang akan kita tunjukkan v1 akan sejajar dengan vektor yang lain,
dinotasikan v2, akan ortogonal dengan a. Lihat gambar di bawah ini untuk melihat beberapa contoh.
Dari bentuk ini kita dapat melihat bagaimana untuk benar-benar membangun dua potong dekomposisi kita.
Vektor v 1 paralel maka vektor yang dimulai pada titik awal u dan bera
di mana garis tegak lurus memotong a. Mencari v2 sebenarnya sangat sederhana asalkan kita pertama
memiliki v 1. Dari gambar kita dapat melihat bahwa kita mempunyai
v1+v2=u => v2=u-v1
Vektor paralel v1, disebut proyeksi ortogonal dari u pada a dan dilambangkan dengan projau. Perhatikan bahwa kadang-kadang projau disebut komponen vektor u sepanjang a. Vektor ortogonal v2 disebut komponen vektor orthogonal u pada a.
Teorema 4. Misalkan u dan 0 keduanya vektor dalam ruang-2 atau ruang-3dan komponen vektor u ortogonal pada a diberikan oleh, = u- u .aa2 aTeorema berikut memberikan kita formula untuk menghitung kedua vektor.
Teorema 4. Misalkan u dan 0 keduanya vektor dalam ruang-2 atau ruang-3
dan komponen vektor u ortogonal pada a diberikan oleh,
= u- u .aa2 a
Misalkan dan karena w1 sejajar a maka kita harus mengalikan scalar a sehingga dapat ditulis w1 = k a
Dengan mengambil hasil kali titik dari kedua sisi dengan a maka diperoleh
Namun w2 . a = 0 karena w2 tegaklurus pada a sehingga menghasilkan
Karena proja u = w1 = k a kita peroleh
Contoh 4 Hitunglah proyeksi ortogonal dari u pada a dan komponen vektor u
ortogonal untuk untuk masing-masing berikut.
(A) u = (-3,1) a = (7, 2)
(B) u = (4,0, -1) a = (3,1, -5)
Solusi:au .a= -19 a2=53 projau = -1953( 7, 2 )= -13353, 3853u - projau = (-3 , 1 ) - -13353, 3853=-2653, -3853bu .a= 17 a2=35 projau = 1735( 3, 1,-5 )= 5135, 1735,-177u - projau = ( 4,0,-1 ) - 5135, 1735,-177=8935, -1735,107
Contoh 4 Hitunglah proyeksi ortogonal dari u pada a dan komponen vektor u
ortogonal untuk untuk masing-masing berikut.
(A) u = (-3,1) a = (7, 2)
(B) u = (4,0, -1) a = (3,1, -5)
Solusi:
au .a= -19 a2=53
projau = -1953( 7, 2 )= -13353, 3853
u - projau = (-3 , 1 ) - -13353, 3853=-2653, -3853
bu .a= 17 a2=35
projau = 1735( 3, 1,-5 )= 5135, 1735,-177
u - projau = ( 4,0,-1 ) - 5135, 1735,-177=8935, -1735,107
proyeksi ortogonal u (vektor kedua yang terdaftar) pada (vektor yang subscript).
contoh cepat menggambarkan ini.
Contoh 5 Diberikan u = (4, -5) dan a = (1, -1) hitunglah,projauprojuasolusiau.a=41+ -5-1=9 a2=(1)2+ -1= 2 projau = 92 1,-1= 92,-92ba.u= u.a=9 a2=(4)2+ -5= 41 projua= 941 4,-5= 3641,--4541
Contoh 5 Diberikan u = (4, -5) dan a = (1, -1) hitunglah,
projau
projua
solusi
au.a=41+ -5-1=9
a2=(1)2+ -1= 2
projau = 92 1,-1= 92,-92
ba.u= u.a=9
a2=(4)2+ -5= 41
projua= 941 4,-5= 3641,--4541
Sekarang hasil vektor kedua bahwa kita akan melihat bagian ini. Namun sebelum kita melakukan itu kita perlu memperkenalkan ide dari vektor satuan standar atau
standar dasar vektor untuk ruang-3. Vektor ini didefinisikan sebagai berikut
i = (1,0,0) j = (0,1,0) k = (0,0,1)
Masing-masing memiliki besaran 1 dan begitu juga vektor unit. Juga mencatat bahwa masing-masing terletak di sepanjang
sumbu koordinat ruang-3 dan menunjuk ke arah yang positif seperti yang ditunjukkan di bawah ini.
Perhatikan bahwa vektor diruang – 3 dapat dituliskan
u=u1,u2,u3
=u1,0,0+0,u2,0+ 0,0,u3
=u1,1,0,0+ u2,0,1,0+u3 0,0,1
=u1 ,i+u2,j+u3k
Definisi 2 Jika u dan v adalah dua vektor dalam ruang-3 maka hasil kali silang, dinotasikan dengan u x v dan didefinisikan dalam salah satu dari tiga cara. notasi vektordeterminan 2 x 2u x v = ijku1u2u3v1v2v3 determinan 3 x 3
Definisi 2 Jika u dan v adalah dua vektor dalam ruang-3 maka hasil kali silang, dinotasikan dengan u x v dan didefinisikan dalam salah satu dari tiga cara.
notasi vektor
determinan 2 x 2
u x v = ijku1u2u3v1v2v3 determinan 3 x 3
Contoh 6 Hitung u × v untuk u = (4, -9,1) dan v = (3, -2,7).
Solusi
u x v=ijk4-913-27ij4-93-2 = -63i+3j-8k-28j+2i+27k =-61i-25j+19k Jadi u x v = (-61, -25, 19 )
Contoh 6 Hitung u × v untuk u = (4, -9,1) dan v = (3, -2,7).
Solusi
u x v=ijk4-913-27ij4-93-2
= -63i+3j-8k-28j+2i+27k
=-61i-25j+19k
Jadi u x v = (-61, -25, 19 )
Berikut ini adalah daftar teorema sifat utama dari hasil kali silang.
Teorema 5 Misalkan u, v, dan w adalah vektor dalam ruang-3 dan c adalah skalar maka
(a) u × v = - (v × u)
(b) u × (w v) = (u × v) (u × w)
(c) (u v) × w = (u × w) (v × w)
(d) c (u × v) = (cu) x v = u × (c v)
(e) u × 0 = 0 x u = 0
(f) u × u = 0
Teorema 5 Misalkan u, v, dan w adalah vektor dalam ruang-3 dan c adalah skalar maka
(a) u × v = - (v × u)
(b) u × (w v) = (u × v) (u × w)
(c) (u v) × w = (u × w) (v × w)
(d) c (u × v) = (cu) x v = u × (c v)
(e) u × 0 = 0 x u = 0
(f) u × u = 0
Ada juga cukup beberapa sifat yang berhubungan hasil kali titik dan hasil kali silang. Berikut ini adalah teorema yang memberikan sifat-sifat
Teorema 6 Misalkan u, v, dan w adalah vektor dalam ruang-3 maka,
(a) u . (u × v) = 0
(b) v . (u × v) = 0
(c) u x v 2= u 2 v 2- (u-v)2 ini disebut identitas Lagrange's
(d) u × (v × w) = (u . w) v - (u . v) w
(e) (u × v) × w = (u . w) v - (v . w) u
Teorema 6 Misalkan u, v, dan w adalah vektor dalam ruang-3 maka,
(a) u . (u × v) = 0
(b) v . (u × v) = 0
(c) u x v 2= u 2 v 2- (u-v)2 ini disebut identitas Lagrange's
(d) u × (v × w) = (u . w) v - (u . v) w
(e) (u × v) × w = (u . w) v - (v . w) u
Vektor u dan v dalam ruang-3 maka u × v hasil kali silangnya adalah ortogonal antara u dan v. Gambar dibawah menunjukkan ide ini.
Dari teorema 5 kita ketahui bahwa u x v adalah ortoghonal baik untuk u maupun v. Jika u dan v adalah vector-vektor taknol, maka dapat diperlihatkan bahwa arah u x v dapat ditentukan dengan "kaidah tangan kanan". Misalkan θ adalah sudut diantara u dan v dan anggaplah u terrotasi melalui sudut θ sehingga berimpit dengan v. Jika jari-jari tangan kanan dilipat sehingga mengarah rotasi maka ibujari menunjukkan arah u x v.
Anda dapat mempraktekkan aturan ini dengan hasilkali
Contoh 7 Diberikan u = (3, -1, 4) dan v = (2,0,1) berikut hitunglah masing-masing.
(a) u × v dan v × u [Solusi]
(b) u × u [Solusi]
(c) u . (u × v) dan v (u × v) [Solusi]
Solusi: au x v= ijk3-14201 = -i+5j+2k = (-1, 5 , 2 )
Contoh 7 Diberikan u = (3, -1, 4) dan v = (2,0,1) berikut hitunglah masing-masing.
(a) u × v dan v × u [Solusi]
(b) u × u [Solusi]
(c) u . (u × v) dan v (u × v) [Solusi]
Solusi: au x v= ijk3-14201 = -i+5j+2k = (-1, 5 , 2 )
Lanjutanv x u = ijk2013-14 = i-5j-2k = (1,-5,-2)Jadi u x v = v x ubu x u = ijk3-143-14 = (0, 0, 0 )cu .u x v=3-1+ -15+ 42=0 v uxv =2-1+ 05+ 12= 0 Jadi u .u x v= v u x v
Lanjutan
v x u = ijk2013-14 = i-5j-2k = (1,-5,-2)
Jadi u x v = v x u
bu x u = ijk3-143-14 = (0, 0, 0 )
cu .u x v=3-1+ -15+ 42=0
v uxv =2-1+ 05+ 12= 0
Jadi u .u x v= v u x v
Kami akan memberikan satu teorema pada hasil kali silang berkaitan besarnya hasil kali silang ke besaran dari dua vektor hasil kali silang.
Contoh 8 Diberikan u = (1, -1,0) dan v = (0, -2,0) memverifikasi hasil Teorema 7.
Solusi:u x v = ijk1-100-20 = (0, 0, -2 )u=1+1+0 =2v= 0+4+0 = 2u x v= 0+0+4 = 2u . v = 2cosθ= 22 (2)=12 =>θ=45= 2 (2) sin 45 = 2=u x v
Teorema 7 Misalkan u dan v adalah vektor dalam ruang-3 dan θ adalah sudut antara keduanya.
Contoh 8 Diberikan u = (1, -1,0) dan v = (0, -2,0) memverifikasi hasil Teorema 7.
Solusi:
u x v = ijk1-100-20 = (0, 0, -2 )
u=1+1+0 =2
v= 0+4+0 = 2
u x v= 0+0+4 = 2
u . v = 2
cosθ= 22 (2)=12 =>θ=45
= 2 (2) sin 45 = 2=u x v
Teorema 7 Misalkan u dan v adalah vektor dalam ruang-3 dan θ adalah sudut antara keduanya.
