3. HASIL KALI TITIK; PROYEKSI Pada bagian ini kita perkenalkan semacam perkalian vektor di ruang-2 dan ruang-3. Sifat-sifat ilmu hitung perkalian ini akan ditentukan dan beberapa penerapannya akan diberikan. Misalnya u dan v adalah dua vektor taknol di ruang-2 dan ruang-3,dan anggaplah vektor-vektor ini telah dilokasikan sehingga titik awalnya berimpit. Yang kita artikan dengan sudut di antara u dan v, dengan sudut θ yang ditentukan oleh u ≤ π dan v yang memenuhi 0 ≤ θ ≤
u
θ θ
u
θ
v
u v
v
Definisi : Jika u dan v adalah vektor-vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan θ adalah sudut di antara u dan v, maka hasil kali titik (dot product) atau hasil kali dalam Euclidis (Euclidean
inner product) u • v didefinisikan oleh ?
? = ?
‖? ‖‖? ‖ cos θ jika ? ≠ 0 dan ? ≠ 0 0
jika ? = 0 dan ? = 0
CONTOH 5
z
(0, 2, 2)
θ
0, 0, 1 u
=4
v
x
Dari gambar diatas, diatas, maka sudut di antara antara vektor u = (0, (0, 0, 1) dan vektor v = (0, (0, 2, 2) adalah 45°. Jadi,
14
u v = ‖? ‖‖? ‖ cos θ = ?√ 0 2 + 02 + 12 ?? √ 0 2 + 22 + 22 ? ?
1
√ 2
?=2
Misalkan u = (u1 , u2 , u3) dan v = (v1 , v2 , v3) adalah dua vektor taknol. Jika, seperti pada gambar dibawah, θ adalah sudut di antara u dan v, maka hukum cosinus menghasilkan
? ?? ? ?
z
2
= ‖? ‖2 + ‖? ‖2 − 2‖? ‖‖? ‖ cos?
P(u1, u2,u3)
u
θ
Q(v1, v2, v3)
v
y
x
Karena ?? ? = v – u, maka dapat kita tuliskan kembali sebagai
‖? − ? ‖2 = ‖? ‖2 + ‖? ‖2 − 2‖? ‖‖? ‖ cos? ? ‖? ‖‖? ‖ cos? = = ( ‖? ‖2 + ‖? ‖2 − ‖?
− ? ‖2 )
1
‖? ‖‖? ‖ cos? = (‖? ‖2 + ‖? ‖2 − ‖? − ? ‖2 ) 2
atau
?
? =
1 2
(‖? ‖2 + ‖? ‖2 − ‖?
− ? ‖2 )
Dengan mensubstitusikan
15
‖? ‖2 = ? 12 + ? 22 + ? 32
‖? ‖2 = ? 12 + ? 22 + ? 32
dan
‖? − ? ‖2 = (? 1 − ? 1 )2 + (? 2 − ? 2 )2 + (? 3 − ? 3 )2 Ke dala dalam m rumu rumuss diba dibawa wah h ini ini sehi sehing ngga ga diper diperol oleh eh :
?
?
? =
1 2
? =
1 2
(‖? ‖2 + ‖? ‖2 − ‖?
((? 12 + ? 22 + ? 32 ) + (?
2 1
− ? ‖2 )
+ ? 22 + ? 32 ) − ((? 1 − ? 1 )2 + ( ? 2
− ? 2 )2
+ ( ? 3 − ? 3 )2 )) ?
? =
1 2
((? 12 + ? 22 + ? 32 ) + (?
2 1
+ ? 22 + ? 32 ) − ((? 12 + ? 12 − 2? 1 ? 1 ) + (? 22 + ? 22
− 2? 2 ? 2 ) + (? 32 + ? 32 − 2? 3 ? 3 ))) ?
? =
1 2
(? 12 + ? 22 + ? 32 + ? 12 + ? 22 + ? 32
− ? 12 − ? 12 + 2? 1 ? 1 − ? 22 − ? 22 + 2? 2 ? 2
− ? 32 − ? 32 + 2? 3 ? 3 ) ?
? =
1 2
(? 12
− ? 12 + ? 22 − ? 22 + ? 32 − ? 32 + ? 12 − ? 12 + ? 22 − ? 22 + ? 32 − ? 32 + 2? 1 ? 1 + 2? 2 ? 2 + 2? 3 ? 3 ) ?
? =
1 2
(2? 1 ? 1 + 2? 2 ? 2 + 2? 3 ? 3 )
Maka setelah menyederhanakannya akan kita dapatkan
?
? = ? 1 ? 1 + ? 2 ? 2 + ? 3 ? 3
Jika u = (u1 , u2) dan v = (v1 , v2) adalah dua vektor di ruang-2, maka rumus yang bersesuaian adalah
?
? = ? 1 ? 1 + ? 2 ? 2
16
Jika u dan v adalah vektor taknol, maka rumus di atas dapat kita tulis
?
? = ‖? ‖‖? ‖ cos? cos? =
?
?
‖? ‖‖? ‖
CONTOH 6 Tinjau Tinjaulah lah vektorvektor-vekt vektor or beriku berikutt
u = (2, −1,1)danv = (1,1,2) carilahu v dan tentukanlah sudut ? diantara u dan v. pemecahan
u v = ? 1 ? 1 + ? 2 ? 2 + ? 3 ? 3 = ( 2)(1) + ( −1)(1) + ( 1)(2) = 3 untuk untuk vektor vektor yang diberi diberikan kan kita kita dapat dapat‖u‖ =
cos? =
u v
‖u‖‖v‖
=
‖v‖ = √ 6 , sehingga 3 (√ 6)( 6 6 )(√ 6) )
=
1 2
Jadi? = 60° CONTOH 7 Cari Carila lah h sudu sudutt dian dianta tara ra diag diagona onall kubus kubus dan dan sala salah h satu satu sisi sisiny nya. a. Misalkan Misalkan k adalah adalah panjang panjang sisi dan perkenalkanla perkenalkanlah h system system koordinat koordinat yang dipe diperl rlih ihat atkan kan pada pada gamba gambarr diba dibawa wah h ini: ini:
x (0, (0, 0, k)
?2
(k, k, k) d
?3 ?1 (k,0,0) z
(0, k, 0)
y 17
?,0,0), ? 2 = ( 0 , ? , 0) 0), ? ? ? ? 3 = ( 0,0, 0,0, ? ),maka Jika Jika kita kita misa misalk lkan an ? 1 = ( ?,0,0) maka vektor vektor d = (k, (k, k, k) = ? 1 + ? 2 + ?
?1 d = ?
1 1 ? 1 +
?
3
adalah diagonal diagonal kubus tersebut. tersebut.
1 2 ? 2 +
?
( ? )(? )(? ) + ( 0)(? )(? ) + ( 0)(? )(? ) = ?
13? ? 3 =
2
Sudut ? diantara d dan sisi u1, memenuhi
cos? =
?1 d
‖? 1 ‖‖d‖
=
? = cos cos1 ?
1
?2 (?)(√ 3? 3 ? 2) ?
√ 3
=
1
√ 3
≈ 54°44 ′
Teorema berikut ini memperlihatkan bagaimana hasil kali titik dapat digunakan untuk mendapatkan informasi mengenai sudut diantara dua vektor; teorema ini juga menghasilkan hubungan penting di antara norma dan hasil kali titik. Teorema 2
Misalkan u dan v adalah vektor di ruang-2 atau ruang-3. ?
a. v • v = ‖? ‖? ; yakni, ‖? ‖ = (? ?)? b. Jika u dan v adalah vektor-vektor taknol dan θ adalah sudut di antara kedua vektor tersebut, maka θ la lancip jika dan hanya jika u • v > 0 θ tu tumpul jika dan hanya jika u • v< 0 θ = π/2 jika dan hanya jika u • v = 0
Bukti : a. Karenasudutθdiantara v dan v adalah 0, makadapatdiperoleh : v • v = ‖? ‖‖? ‖ cos?
cos 0 =‖? ‖2 cos = ‖? ‖?
18
v • v = ‖? ‖2 , maka ? ?
‖? ‖ = (? ?)
b. Karena‖? ‖ > 0, ‖? ‖ > 0, dan dan u • v= v= ‖? ‖‖? ‖ cos? , maka maka u • v memp mempuny unyai ai
os ? . Karena ? memenuhi 0 ≤ ? tandasama tandasama seperti seperti c os
≤ ? , maka sudut ? lancip
jika dan hanya jika cos ? > 0 ; dan? tumpul jika dan hanya jika cos ? < 0 ; serta ?
? = jika dan hanya jika cos ? = 0 2
CONTOH 8 Jika u = (1, -2, 3), v = (-3, 4, 2), dan w = (3, 6, 3), maka
u v = ? 1 ? 1 + ? 2 ? 2 + ? 3 ? 3 = ( 1)(−3) + ( −2)(4) + ( 3)(2) =
−5
v w = ? 1 ? 1 + ? 2 ? 2 + ? 3 ? 3 = ( −3)(3) + ( 4)(6) + ( 2)(3) = 21 )(3) + ( −2)(6 )(6) + (3)(3) u w = ? 1 ? 1 + ? 2 ? 2 + ? 3 ? 3 = ( 1)(3 (3)(3) = 0 maka u dan v membentuk sudut tumpul karena u v < 0 , v dan w membentuk sudut lancip karena 0 < v w < ? , u dan w tega tegak k luru luruss satu satu sama sama lai lain n kare karena nau w = 0 Vektor tegaklurus disebut juga vektor ortogonal. ortogonal. Pada teorema di atas, dua vektor taknol adalah tegaklurus jika dan hanya jika hasil kali titiknya adalah nol. Jika kita sepakat menganggap u dan v agar tegaklurus maka salah satu atau kedua vektor ini haruslah 0, karenanya kita dapat menyatakan tanpa kecuali bahwa baik vektor u maupun v akan ortogonal jika dan hanya jika u • v = 0.Unt 0.Untuk uk mene meneta tapka pkan n bahwa bahwa u dan v adala adalah h vect vector or orth orthog ogon onal al maka maka kita kita dapat dapat menu menuli lisk skan an u⊥ Ç
CONTOH 9 Tunjukka Tunjukkanla nlah h bahwa bahwa di ruangruang-2 2 vektor vektor n taknol taknol = (? , ? )tega tegakl klur urus us terh terhad adap ap garis? ? + ?? + ? = 0. Misalkan ? 1 (? 1 , ? 1 ) dan? 2 (? 2 , ? 2 )adalah titik nyata pada sebu sebuah ah garis garis sehi sehingg nggaa denga dengan n demi demiki kian an
? ? 1 + ? ? 1 + ? = 0 ? ? 2 + ? ? 2 + ? = 0
19
Kare Karena na vekto vektorr ?? 1 ? 2 = (?
1
− ? 2 , ? 1 − ? 2 ) dige digera rakk kkan an sepa sepanj njan ang g gari gariss itu, itu, maka maka kita kita
hanya ingin menunjukkan bahwa n dan ?? 1 ? 2 adal adalah ah tega tegakl klur urus us.. Namun amun pada pada pengurangan persamaan berikut kita peroleh :
(? ? 1 + ? ? 1 + ? ) − (? ? 2 + ? ? 2 + ?) = 0 ? (? 1 − ? 2 ) + ? (? 1 − ? 2 ) + ( ? ? (? 1
− ? ) = 0
− ? 2 ) + ? (? 1 − ? 2 ) = 0
Yang dapat dapat dinyatak dinyatakan an dalam dalam bentuk bentuk
(? , ? ) ∙ (? 1
− ? 2, ? 1 − ? 2) = 0
atau
? ∙ ?? 1 ? 2 = 0 Sehingga Sehingga dengan dengan demiki demikian an n dan?? 1 ? 2 akan tegakl tegakluru urus. s. Teorema 3 Jika u, v dan wadalah vektor-vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan k adalah skalar, maka a) b) c) d)
u•v=v•u u • (v + w) w) = u • v + u • w (u • v) = ( k u) u) • v = u • (k v) v) k (u v • v > 0 jika v ≠ 0 dan v • v = 0 jika v = 0
Bukti : a. u • v = v • u u•v = (? 1 , ? 2 , ? 3 ) • (? 1 , ? 2 , ? 3 ) = (? 1 ? 1 + ? 2 ? 2 + ? 3 ? 3 ) = (? 1 ? 1 + ? 2 ? 2 + ? 3 ? 3 ) [komutatif bil.riil] = (? 1 , ? 2 , ? 3 )•(? 1 , ? 2 , ? 3 ) =v•u
20
b. u • (v (v + w) = u • v + u • w
u • (v + w) = (? 1 , ? 2 , ? 3 ) (? + ? ) = ?? 1 (? + ? ) , ? 2 (? + ? ) , ? 3 (? + ? ) ? = (? 1 ? + ? 1 ? , ? 2 ? + ? 2 ? , ? 3 ? + ? 3 ? ) = (? 1 ? , ? 2 ? , ? 3 ? ) + (? 1 ? , ? 2 ? , ? 3 ? ) = (? 1 , ? 2 , ? 3 )? + (? 1 , ? 2 , ? 3 )? =?
? +?
?
c. k (u (u • v) = ( k u) u) • v = u • (k v) v)
k(u•v) = k((? 1 , ? 2 , ? 3 )• (? 1 , ? 2 , ? 3 )) = k((? 1 ? 1 + ? 2 ? 2 + ? 3 ? 3 )) = (k(? 1 ? 1 ) + k(? 2 ? 2 ) + k(? 3 ? 3 )) = ((k ? 1 )? 1 + (k ? 2 )? 2 + (k ? 3 )? 3 ) [asosiatif bil.rill] u)•v = (k u)•v
= (? 1 (k ? 1 ) + ? 2 (k ? 2 ) + ? 3 (k ? 3 )) [komutatif bil.riil] v) = u•(k v)
d. v • v > 0 jika v ≠ 0 dan v • v = 0 jika v = 0
Karena v≠ 0 berakibat ‖? ‖= ? ?
2 1
Karena v = 0 berakibat ‖? ‖= ? ?
+ ? 22 + ? 23 > 0, sehingga v.v = ‖? ‖2 > 0 2 1
+ ? 22 + ? 23 =
√ 0 2 +02 + 02 = 0, sehingga v•v
= ‖? ‖2 = 0 Jika u dan a ditempatkan sedemikian rupa maka titik awalnya akan menempati titik Q, kita dapat menguraikan vektor u sebagai berikut.
w2
Q
u
w1
a
Q
u
u
w2
a
w1
w1
w2
Q
a
21
Turunkanlah garis tegaklurus dari atas u ke garis yang melalui a, dan bentuklah vektor w1 dari Q ke alas garis yang tegaklurus tersebut. Bentuk selanjutnya akan menjadi w2 = u – w1
Sebagaimana ditunjukkan pada gambar di atas, vektor w1 sejajar dengan a, vektor w2 tegaklurus dengan a, dan w1 + w2 = w1 + (u – w1) = u
Vektor w1 tersebut kita namakan proyeksi ortogonal u pada a atau kadangkadang kita namakan komponen namakan komponen vektor u sepanjang a. Hal ini kita nyatakan dengan proyau Vektor w2 kita namakan komponen vektor u yang ortogonal terhadap a. Karena w2 = u – w1 maka vektor ini dapat kita tulis sebagai w2 = u – proy proyau
Teorema 4 Jika u dan aadalah vektor-vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan jika a ≠ 0, maka
proy? ? = ?
? ?
‖? ‖?
? (komponen vektor u sepanjang a)
? ?
− proy? ? = ? − ‖? ‖? ? (komponen vektor u yang ortogonal terhadap a)
Bukti :
Misalkan w1 = proyau dan w2 = u – proy proyau. Dengan menggunakanhasil kali titik, maka diperoleh
22
?
? = ( ? ? + ? = ??
? +?
) ?
?
?
?
Karena w1 sejajar dengan a,maka kita harus mengalikan skalar a, sehingga kita dapat menuliskan dalam bentuk w1 = k a. u = w1 + w2 = k a + w2
Dengan mengambil hasil kali titik dari kedua sisi dengan a maupun dengan menggunakan teorema 2 dan 3 akan menghasilkan
?
? = ( ? ? + ? 2 ) ? = ?
‖? ‖2 + ? 2 ?
Namun ? 2 ? = 0 karena w2 tegaklurus kepada a, sehingga persamaan di atas menjadi
? =
?
?
‖? ‖2
Karena proyau = w1 = k a, kita dapatkan
proy? ? =
?
?
‖? ‖?
?
Sedangka Sedangkan n kompon komponen en vektor vektor u yang orthogo orthogonal nal dengan dengan a atau atau w 2 u = w1 + w2,w2 = u – w1 w2 = u – proy proyau
karena proy ? ? =
? ?
‖? ‖?
? maka w2 = u – proy proyau = u −
? ?
‖? ‖?
?
23
CONTOH 10 Misalkan Misalkan u = (2, -1, 3) dan a = (4, -1, -1, 2). Carilah komponen komponen vektor u sepanjang a dan kompone komponen n vektor vektor u yang ortho orthogona gonall ke a.
)(4) + ( −1)(−1) + ( 3)(2 )(2) = 15 u a = ? 1 a1 + ? 2 a2 + ? 3 a3 = ( 2)(4
‖a‖2 = 4 2 + −12 + 22 = 21 Jadi, komponenvektor komponenvektor u sepanjan sepanjang g a adalah
proya u =
u a 15 20 (4, −1,2) 2a = 1,2) = ? , ‖a‖ 21 7
5 10
− , ? 7 7
Dan kompon komponen en vektor vektor u yang yang orth orthogon ogonal al dengan dengan a adalah adalah
u − proya u = u −
u a 20 2a = ( 2, −1,3) − ? , ‖a‖ 7
5 10
6
2 11
7 7
7
7 7
− , ? = ? − , − , ?
Sebuah rumus untuk panjang komponen vektor u sepanjang a dapat kita peroleh dengan menuliskan
‖proy? ? ‖
=?
=?
? ?
‖? ‖? ? ?
‖? ‖?
=
|? ? |
‖? ‖?
? ? ? ?
? ‖? ‖
(karena
‖? ‖
(karena ‖? ‖? > 0)
‖? ‖?
adalah sebuah skalar)
menghasilkan
‖proy? ? ‖ =
|?
?|
‖? ‖
Jika θ menyatakan sudut antara u dan a, maka ?
? = ‖? ‖‖? ‖ cos θ, sehingga
dengan demikian rumus di atas dapat juga kita tuliskan menjadi ‖proy? ? ‖ =
‖? ‖|cos θ| 24
CONTOH 11 Carila Carilah h rumus rumus untuk untuk jarak jarak D dianta diantara ra titik titik P? (x? , y? )dan gari gariss ? ? + ? ? + ? = 0. Misalkan? (? 1 , ? 1 )adal adalah ah seba sebara rang ng titi titik k pada pada gari gariss dan dan posi posisi si vekt vektor or
? = ( ? , ? ) Sehin Sehingg ggaa denga dengan n demi demiki kian an titi titik k awal awalny nyaa terl terlet etak ak di Q ? = ( ? , ? )
y
? (? 1 , D
P? (x? , y? ) D
? ? + ?? + ? = 0 x
Dengan Dengan mengguna menggunakan kan kebija kebijakan kan contoh contoh 9, 9, vektor vektor n akan akan tegakl tegakluru uruss dengan dengan garis ? ? + ?? + ? = 0 . Sebagaim Sebagaimana ana ditunj ditunjukk ukkan an dalam dalam gambar gambar terseb tersebut, ut, jarak jarak D akan akan sama sama denga dengan n panj panjan ang g proy proyek eksi si orto ortogon gonal al ?? ? 0 pada n, maka kita peroleh
‖proya u‖ =
|u a |
? = ‖proyn ?? ? 0 ‖ =
‖a‖ |?? ? 0 n |
‖n‖
Tetapi
?? ? 0 = (?
0
− ? 1, ? 0 − ? 1)
?? ? 0 n = ? (?
0
− ? 1 ) + ?(? 0 − ? 1 )
‖n‖ = ? ? 2 + ? 2 25
Sehingga Sehingga dengan dengan demiki demikian an
? = ‖proyn ???? 0 ‖ =
|?? ? 0? n |
‖n‖
=
|? (? 0 − ? 1 ) + ? (? 0 − ? 1 )|
√ ? 2 + ? 2
Karena Karena titik titik ? (? 1 , ? 1 ) terletak pada garis ? ? + ?? + ? = 0, maka maka koordin koordinasi asinya nya akan akan memenuhi memenuhi persamaan persamaan garis, garis, sehingga sehingga
? ? 1 + ? ? 1 + ? = 0 atau
? = −? ? 1
− ? ?1
Dengan Dengan mensubt mensubtitu itusik sikan an ekspre ekspresik sikee dalam dalam rumus rumus D maka maka mengha menghasil silkan kan rumus rumus
? = ‖proyn ???? 0 ‖ =
? =
? =
|?? ? 0? n |
‖n‖ |? ? 0
=
|? (? 0 − ? 1 ) + ? (? 0 − ? 1 )|
√ ? 2 + ? 2
− ? ? 1 + ? ? 0 − ? ? 1 | √ ? 2 + ? 2
|? ? 0 + ? ? 0 + ( −? ? 1 − ? ? 1 )|
√ ? 2 + ? 2 ? =
|? ? 0 + ? ? 0 + ? |
√ ? 2 + ? 2
Jadi, rumus untuk menghitung jarak antara titik dan garis adalah
? =
|? ? 0 + ? ? 0 + ? |
√ ? 2 + ? 2
4? Sebagai gambaran, gambaran, jarak D dari dari titik titik (1, −2)kegaris 3? + 4?
? =
|? ? 0 + ? ? 0 + ? |
√ ? 2 + ? 2
=
|3(1) + 4(−2) − 6|
√ 3 2 + 42
=
− 6 = 0 adalah |−11| 2 √ 25 5
=
11 5
26