Hidrologia Aplicada UNALM (Abel Mejia)

Programa de Docencia Virtual en Recursos Hídricos

Curso Virtual Hidrología Aplicada HIDROAP Dr. J. Abel Mejía Marcacusco TEMARIO Temas a desarrollar en el curso: 1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9:

Introducción Hidrometeorología Cuenca Hidrográfica Recopilación y Análisis de Datos Hidrológicos Precipitación Evaporación y Evapotranspiración Intercepción, Retención Superficial e Infiltración Escorrentía Superficial Análisis de Máximas Avenidas

METODOLOGÍA Las clases son por la Plataforma del PRODOVIRH y deben ingresar al curso con su usuario correspondiente; los Temas deben ser estudiados de acuerdo a la semana que esta indicada, en caso de no haber podido ingresar la semana que correspondía, puede tener acceso a la misma en cualquier fecha y horario, ver el video correspondiente y hacer una breve presentación y comentario en el espacio del Foro, las fechas establecidas para la sala de chat están indicadas en el cuadro inferior, en esta puede entablar conversaciones con el docente para despejar dudas acerca del tema tratado cada semana.

PROGRAMA Para mayor comodidad del participante, para en el curso Hidrología Aplicada “HIDROAP” en cuanto a los horarios, hemos propuesto el ingreso al Chat todos los días hábiles en un horario a elegir previa coordinación con la Secretaria se comunicará al Docente para poder entablar una conversación, usted solo tiene que solicitarlo mediante un correo a partir de la fecha y adicionalmente el horario establecido del Curso que se indica a continuación: Horario A Elegir Por El Participante WEB: http://prodovirh.lamolina.edu.pe/cursos E-mail: [email protected], [email protected], [email protected] Teléfono Central: (511) 3495647 / 3495669 anexo 310 (Srta. Diana Laveriano) Telefax: (511) 3499991 Celular: 993881578

Hidrología Aplicada

CAPITULO 1:

Capítulo 1: Introducción

INTRODUCCION

1.1. GENERALIDADES

El constante aumento de la población, lleva consigo un continuo aumento en la demanda de alimentos, de ahí, que las fuentes productoras de estos tengan que incrementarse en número y en sus rendimientos y siendo el agua, elemento indispensable en la producción de ellos, ya sea en forma directa o indirecta, es preocupación universal, disponer de agua en cantidad y calidad suficiente para satisfacer las necesidades, sean estas de tipo agrícola, pecuario, poblacional, generación de energía, industrial y otros. En el caso específico del Perú, según estudios realizados en 1992 por la Dirección General de Aguas y Suelos, a nivel de la costa existen 876,000 ha aptas para ser incorporadas a la agricultura y la limitación principal es el recurso agua; en la Sierra, el uso actual ha sobrepasado al uso potencial en 156,000 ha; en la región de la Selva, se encuentra el mayor potencial de tierras agrícolas con 4´611,000 ha. A pesar de que el agua es un elemento abundante en el globo terrestre, éste se encuentra mal distribuida, tanto regional como estacionalmente; lo que hace necesario la construcción de obras hidráulicas para el aprovechamiento. La disponibilidad de

este recurso es muy irregular a lo largo del territorio peruano, presentándose en los ríos regímenes de descargas muy variables. En la región Costa, el cultivo se realiza en su totalidad bajo el sistema de riego y las tierras son de mayor fertilidad; esta es la región más importante por la densidad económica de sus cultivos y por el mayor desarrollo tecnológico en el sistema de riego, pero su principal restricción es el recurso agua. En la Sierra, sólo el 30% de la superficie total agrícola es regada y el resto se cultiva al secano; por lo tanto, el desarrollo de la actividad agrícola está sujeta principalmente a las precipitaciones que se presentan estacionalmente. En la región Selva el 5% de la superficie agrícola explotada se cultiva bajo riego y el 95% se cultiva al secano. Lo anterior se debe a la mala distribución geográfica y temporal de las disponibilidades hídricas y considerando que las precipitaciones se presentan en épocas del año diferentes a las de las necesidades de los cultivos, se infiere la necesidad de seguir desarrollando métodos y sistemas que nos permitan aprovechar íntegramente las disponibilidades hídricas del país, mediante la planificación y construcción de obras de infraestructura hidráulica. 1.2. VISION HISTORICA DE LA HIDROLOGIA

Biswas (1972), en un tratamiento conciso de la historia de la hidrología, describe las prácticas de manejo del agua hechas por los egipcios en el Oriente Medio y por los chinos a lo largo de la ribera del Hwang Ho, donde existen evidencias arqueológicas de estructuras hidráulicas para irrigación. La presa, sobre el río Nilo, fue construido hace cerca de 4000 A.C. y posteriormente el canal de conducción entre Cairo y Suez.

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Fueron los filósofos griegos (1400 A.C.) quienes iniciaron, de manera seria, el estudio de las escorrentías de aguas superficiales, tratando de conocer el origen de los ríos, sus conclusiones fueron satisfactorias, de las cuales nos legaron en forma casi exacta el ciclo hidrológico. Los romanos, en la persona de Marco Vitruvios (15 A.C.) nos dieron también una versión del ciclo hidrológico incluyendo la infiltración del agua al subsuelo. Durante el renacimiento fue perceptible un cambio gradual de los conceptos puramente filosóficos de la hidrología a las observaciones científicas, ya que estas se incrementaron notablemente, como ejemplo podemos mencionar a Bernardo Palissy (1509 – 1589), filósofo Francés y a Leonardo da Vinci (1452 – 1519), quienes perfeccionaron el conocimiento del ciclo hidrológico, especialmente sobre la infiltración del agua de lluvia y su retorno a la superficie a través de manantiales. Se puede considerar que la hidrología nació en el siglo XVII cuando dos científicos franceses, Pierre Perrault (1608 – 1680) y Edmé Mariotte (1620 – 1682), determinaron la fuente de abastecimiento de los ríos. Perrault midió la precipitación en un punto arriba de Borgoña y estimó la escorrentia del río Sena en los años 1668, 1669 y 1670 y encontró que el promedio anual era de 520 mm, posteriormente determinó la escorrentia de la cuenca y concluyó que ascendía a una sexta parte del agua precipitado, deduciendo que “La lluvia era la fuente de abastecimiento de las corrientes superficiales”. Mariotte, midió la cantidad de agua de lluvia que se infiltra, concluyendo que el agua infiltrada abastecía a los manantiales; usando el método del flotador, estimó el gasto del río Sena en París en 94,4 m3/s o 2,97x109 m3/año, cantidad que era menor que la sexta parte de la precipitación promedio anual de la cuenca que abastecía la corriente, comprobando así las conclusiones de Perrault. Varios años después Edmund Halley (1656 – 1742) famoso astrónomo británico miembro de la Real Sociedad de Londres, publicó estudios de evaporación del mar mediterráneo, afirmando que estaban en función de los volúmenes que llegaban al mar por las diferentes corrientes. Durante el Siglo XVIII florecieron estudios experimentales de hidráulica, como el piezómetro de Bernoulli, el tubo de Pitot, el teorema de Bernoulli y la fórmula de Chezy (1769). Todos estos adelantos contribuyeron al desarrollo de los estudios hidrológicos sobre bases cuantitativas. En éste período fue publicado el libro “Treatasi on Rivers and Torrents” que incluyó datos cuantitativos sobre escurrimiento pluvial y corrigió algunos conceptos hidrológicos erróneos. El Siglo XIX fue la época grande de la hidrología experimental, en esa época se pueden ver muchas contribuciones significativas, muchas de ellas a la hidrología de las aguas subterráneas. Los conocimientos geológicos fueron por primera vez aplicados a los problemas hidrológicos por William Surith; En el campo de las aguas superficiales, la hidrometría sufrió grandes avances incluyendo el desarrollo de muchas fórmulas e instrumentos de medición. En este periodo aparecieron la ley de flujo en medios porosos de Darcy, la fórmula de pozos de Dupuit-Thiem y la ecuación de capilaridad de Hagen-Poiseuille. En hidrología superficial, muchas fórmulas de flujo e instrumentos de medición fueron desarrollados. Humphreys y Abbot (1861) reportaron la medición de la descarga del río Mississipi en 1888; la fórmula de Manning fue introducida en 1889 y el correntómetro fue inventado por Price en 1885. Durante este período el gobierno de los Estados Unidos fundó las agencias hidrológicas siguientes: U.S. Army Corps of Engineers (1802), the Geological Survey (1879), the Weather Bureau (1891), y the Mississipi River Commission (1893). Los primeros 30 años del Siglo XX, según Chow (1964), el empirismo se hizo más evidente, ya que cientos de fórmulas empíricas fueron propuestas y la selección de sus coeficientes y parámetros se basó principalmente sobre conceptos y experiencias, lo que fue poco satisfactorio, motivando el incremento en la investigación hidrológica, para -2-



lo cual se crearon numerosas sociedades como: Bureau of Reclamation (1902), the Forest Service (1906), the U.S. Army Engineers Waterways Experimental Station (1928), entre otros. De 1930 a 1950 se aplicaron análisis racionales a las bases empíricas para resolver problemas hidrológicos. En este período se incrementó notablemente el establecimiento de numerosos laboratorios de hidráulica e hidrología en todo el mundo. En este período, llamado de periodo de racionalización (Chow, 1964), se dieron pasos importantes en el avance de la hidrología con el desarrollo de programas de investigación, cuyos resultados se mencionan a continuación: teoría del hidrograma unitario (Sherman, 1932), teoría de la infiltración (Horton, 1933) y ecuación hidráulica de pozos (Theis, 1935). En 1958 Gumbel, propuso el uso de distribución de valores extremos para el análisis de frecuencias de datos hidrológicos y las diferentes agencias hicieron contribuciones significativas en el desarrollo de la teoría hidrológica. En la actualidad son utilizados instrumentos sofisticados y computadoras de alta velocidad para medir entre otros, los delicados fenómenos de la hidrología y para resolver complicadas ecuaciones matemáticas de la teoría hidrológica.

1.3. DEFINICION Y DOMINIO DE LA HIDROLOGIA

Desde el punto de vista etimológico la Hidrología es el estudio del agua. Para definir la hidrología se han propuesto numerosos enunciados de los cuales, a continuación se mencionan los que a juicio personal son los más importantes a conocer: En el año de 1961 Merrian y Webster describen a la hidrología como “La ciencia que estudia las propiedades, distribución y circulación del agua, sobre la superficie de la tierra, en el suelo, bajo las rocas y en la atmósfera, en lo que se refiere a la evaporación y precipitación”. En 1959 El Federal Council for Science and Technology for Scientific Hydrology recomendó la siguiente definición: “Hidrología es la ciencia que trata del agua en la tierra, su ocurrencia, su circulación y distribución, sus propiedades físicas y químicas y su relación con el medio ambiente incluyendo los seres vivientes”. Según Wisler y Brater: “La hidrología es la ciencia que trata con los procesos que gobiernan el vaciado y aprovisionamiento de los depósitos de agua en áreas sobre la tierra”. En esta última definición se incluye el transporte de agua a través del aire, sobre la superficie de la tierra y a través de los estratos terrestres o sea, es la ciencia que estudia las “diferentes fases del ciclo hidrológico”. Por último se puede definir la hidrología como “La ciencia que estudia las aguas que pueden ser aprovechables en forma superficial, así como en forma subterránea, siempre que sea una profundidad económicamente aprovechable”. De las diferentes definiciones, se infiere que la Hidrología no es una ciencia completamente pura, que tiene una relación muy estrecha con otras ciencias como meteorología, geología, ecología, oceanografía y otros, que sus aplicaciones son muy numerosas y para enfatizar la importancia que tiene en este aspecto, se usa el término “Hidrología Aplicada”. Se observa que la hidrología trata de establecer leyes entre la causa y el fenómeno, es decir conociendo el fenómeno (precipitación, evaporación, escorrentía, etc.) trata de establecer las causas que las originan, con la finalidad de determinar las medidas necesarias para su control, además, trata de establecer leyes -3-



entre causa y efecto lo que es sumamente difícil, ya que un fenómeno meteorológico para presentarse necesita de la ocurrencia de varias causas; por ejemplo se pueden predecir caudales o lluvias futuras, pero no se pueden predecir cuando ocurrirán esos fenómenos y solo se pueden dar ciertas probabilidades de ocurrencia.

1.4. LA HIDROLOGIA EN LA INGENIERIA Desde el punto de vista de la ingeniería, la Hidrología incluye los métodos para determinar el caudal como elemento de diseño de las obras que tienen relación con el uso y protección del agua, tales como represas, canales, abastecimiento, drenaje, calidad del agua, manejo de cuencas, etc. El análisis hidrológico es fundamental para el planeamiento, diseño y operación de los sistemas hidráulicos por lo que el ingeniero debe buscar respuestas a las siguientes preguntas: -

¿Cuál es el caudal máximo probable en el lugar propuesto para la construcción de una presa? ¿Como varía la producción de agua en una cuenca de estación a estación y de año a año? ¿Cual es la relación entre la escorrentía superficial y flujo de agua subterráneo en una cuenca? Al analizar los caudales mínimos, ¿cual será el caudal esperado con un nivel de persistencia del 90 %? Dado la variación natural de un curso de agua, ¿cual será la capacidad del embalse apropiado? ¿Que equipos de medición y modelos de computadora serán necesarios para predecir los caudales en tiempo real?

Para responder estas y otras interrogantes, el ingeniero desarrolla metodologías basadas en análisis y mediciones que permiten cuantificar cierta fase o fases del ciclo hidrológico como precipitación, escorrentía, infiltración, etc. Generalmente el ingeniero está interesado en determinar los caudales o volúmenes de agua, incluyendo su variabilidad espacial, temporal, estacional, anual o regional. Los caudales son comúnmente expresados en m3/s y el volumen en m3 o en unidades de lámina de agua (mm, cm) como un intento de representar una lámina de agua uniforme sobre el área de la cuenca.

1.5. ASPECTOS CLIMATICOS E HIDROGRAFICOS DEL PERU

Aspectos Generales El Perú, se sitúa entre los paralelos 0°01’48” y 18°20’50.8” de latitud Sur y los meridianos 68°9’27” y 81°19’34.5” de longitud Oeste cuya superficie total incluyendo islas y la parte peruana del Lago Titicaca es de 1’285,216 km2, dividido en las regiones de Costa, Sierra y Selva, por la presencia de la cordillera de los Andes. La Costa es la parte comprendida entre el Océano Pacífico y el flanco occidental de los Andes (2,000 msnm aproximadamente) y abarca 2l 10.61% (136,361 km2) de la superficie del país; constituye una franja árida, con un ancho máximo de 160 km en Sechura y un mínimo de 5 km en Arequipa. La Sierra está comprendida entre los 2,000 msnm del flanco occidental y los 2,000 msnm del flanco oriental de la cordillera de los Andes y ocupa el 30.5% (391,991 km2) de la superficie del país. La Selva es la región que va desde los 2,000 msnm en el flanco oriental de la cordillera de los Andes hasta el llano amazónico

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y se extiende hasta las fronteras con el Ecuador, Colombia, Brasil y Bolivia; ocupa el 58.89% (756,864 km2) de la superficie del país. Aspectos Climáticos: Según la Enciclopedia “Gran Geografía del Perú”, (1985), por su localización geográfica, dentro de la zona intertropical, al Perú le corresponde un clima cálido, húmedo y lluvioso. Sin embargo, la presencia de la cordillera andina, que tiene una dirección más o menos meridiana; la circulación anticiclónica del Pacífico Sur y la existencia de la Corriente Peruana, de aguas frías, han modificado las condiciones climáticas y dado origen a una variedad que va desde el tropical, cálido y húmedo, de la costa norte (Tumbes) y la amazonía, hasta el glaciar, frío y seco, de las punas y altas cordilleras, pasando por el árido de la costa central y pisos inferiores andinos de la vertiente occidental y el templado, en los pisos intermedios y valles interandinos. Los factores climáticos que intervienen en el clima del Perú son la latitud, que deja sentir sus efectos sólo en la región oriental o amazónica y en la costa norte del Perú; la altitud, factor determinado por la cordillera andina, relieve intertropical con una altura media de 4.000 msnm, que constituye importante barrera climática al impedir la libre circulación atmosférica y el contacto de las masas de aire del anticiclón del Pacífico Sur y aquéllas que vienen de la actividad intertropical del Amazonas. Ambas masas de aire, al chocar con las altas cumbres andinas, se condensan y precipitan. Las esporádicas masas de aire que pueden sobrepasar los andes por algunos pasos interandinos no están aún bastante estudiadas, salvo en la zona central andina, motivo por el cual, su significación climática sobre todo en la costa sur, no puede todavía establecerse en forma precisa. La Corriente Peruana o Corriente de Humbolt, de aguas frías, que se desplaza de sur a norte en el Pacífico peruano, desde la frontera con Chile hasta la altura de La Libertad y Lambayeque, constituye, igualmente, una anomalía en el mar peruano, que por su latitud debería tener características de los mares tropicales. En la costa norte, la Corriente del Niño, de aguas cálidas, origina perturbaciones climáticas cuando se desplaza hacia el sur llegando hasta Tumbes y Piura y en ocasiones excepcionales, cuando grandes volúmenes de aguas tropicales penetran al mar peruano, originan el Fenómeno del Niño, causando anomalías climáticas que llegan hasta la costa central y otras regiones alejadas. Las masas de aire del anticiclón del Pacífico Sur, que giran alrededor del centro de alta presión que lo forma, llegan hasta el territorio peruano, convirtiéndose en neblinas. Las mas bajas, al ser enfriadas por la influencia de la Corriente Peruana se precipitan esporádicamente en forma de lloviznas o garúas que tienen poca intensidad y duración. Aquellas que por su altitud no sufren acción de la corriente, se condensan y pueden ser la causa de muchas de las precipitaciones sobre el flanco occidental andino. El anticiclón del Atlántico Sur, con sus masas de aire de gran humedad, de acuerdo a su posición, también es una fuente de suministro de masas de aire marítimo hacia el continente que penetran por la depresión transversal amazónica y originan precipitaciones a lo largo de su recorrido y sobre todo en los flancos orientales del relieve andino. La convergencia intertropical localizada normalmente al norte de la línea ecuatorial, migra hacia el sur en ciertas condiciones, provocando abundantes lluvias en la costa norte del Perú. A esto debemos agregar la posible influencia de la Corriente del Niño y la comprobada acción del Fenómeno del Niño, con sus aguas cálidas, que crean con facilidad una actividad convectiva, con las consiguientes precipitaciones que en algunos años como los de 1925 y sobre todo de 1983, alcanzaron gran intensidad. -5-



Aspectos Hidrográficos El territorio del Perú tiene un frente oceánico con un litoral de aproximadamente 3.080 km. de longitud, y hacia el cual drenan sus aguas 53 ríos y quebradas principales, que constituyen la vertiente del Pacífico, con una extensión de 278,892 km2, o sea 21.7 % del área total del país. Alto porcentaje de su territorio, forma parte de la cuenca hidrográfica del Amazonas cuyas aguas se vierten finalmente en el océano Atlántico y drenan un área de 957,486 km2, o sea el 74.5 % de la superficie del país. El conjunto de ríos que tienen como colector continental el río Amazonas, forman el sistema hidrográfico del Amazonas, cuya cuenca es la de mayor extensión superficial del planeta. Al Sureste del territorio, existe una cuenca endorreica o cuenca interior, sin salida al mar. Es la cuenca del lago Titicaca, sobre los 3,809 msnm, gran colector de ríos de alta montaña, que representan 48,838 km2, o sea el 3.8% de la superficie del país. El Titicaca tiene un efluente, el río Desaguadero, que conduce un pequeño volumen de sus aguas hasta las lagunas de Poopo en territorio de Bolivia. Los ríos pertenecientes a cada una de las cuencas antes mencionadas tienen características diferentes en lo que respecta a volumen de sus aguas; régimen; pendiente de sus lechos; navegabilidad, etc. De manera general, los de la vertiente del Pacífico son de corto recorrido y fuerte pendiente, con gran variación en el volumen de sus aguas que en época de estiaje, muchos de ellos llegan inclusive a secarse; con excepción del río Tumbes que es navegable en pequeñas embarcaciones y en un corto trecho de su curso bajo. Los ríos del sistema hidrográfico del Amazonas, son en cambio de largo recorrido y en conjunto presentan un perfil longitudinal de pendiente muy baja y al ingresar en la selva baja, permiten el tráfico de embarcaciones cuyo tonelaje puede llegar incluso hasta 10,000, cuando navegan por el Amazonas. Los ríos de la cuenca del Titicaca, son de corto recorrido con pendientes suaves y variaciones de caudal importantes, de acuerdo a la intensidad de las precipitaciones durante la estación lluviosa que llegan inclusive a producir inundaciones en la meseta del Collao.

1.6. EL CICLO HIDROLOGICO

De todo lo anterior se deduce que la hidrología se puede considerar como un examen o evaluación científica del continuo ciclo del agua, llamado también Ciclo Hidrológico que puede ser definido como “la interminable circulación que siguen las partículas de agua en cualquiera de sus tres estados. La circulación se efectúa en forma natural y durante la misma, el agua sufre transformaciones físicas, que en nada alteran su cantidad”. El ciclo hidrológico se lleva a cabo en tres estratos del sistema terrestre: la atmósfera, o sea la capa gaseosa que envuelve al globo terráqueo, la litosfera que corresponde a la porción sólida de la superficie del globo y la hidrosfera, formada por los cuerpos de agua que cubren parte de la superficie terrestre. A ciencia cierta no se sabe donde se inicia el Ciclo Hidrológico, pero se considera que por ocupar los mares y océanos el 70 % de la superficie del planeta, es ahí donde se inicia el ciclo, ya que la evaporación proveniente de ellos es mucho más alta que la proveniente de la tierra y de algunas partes de la atmósfera. El vapor de agua producto de la evaporación, se condensa en la atmósfera formando nubes, las que al reunir ciertas condiciones precipitan llegando a la tierra o a los océanos. Parte del agua de precipitación puede ser interceptada por las plantas, -6-



escurrir sobre la superficie de los suelos ó infiltrarse al subsuelo; gran parte del agua interceptada, de la transpirada por las plantas y de la que escurre superficialmente, vuelve a la atmósfera al evaporarse. El agua infiltrada puede percolar a zonas profundas, almacenándose en acuíferos subterráneos, las cuales pueden aflorar como manantiales, agregándose a corrientes superficiales y llegar a los mares y océanos para ser evaporada cerrando así el ciclo del agua o ciclo hidrológico. Por lo tanto, se puede observar que en el ciclo hidrológico intervienen procesos complicados de evaporación, transpiración, infiltración, percolación, afloramiento, almacenamiento y escorrentía.

Cuadro N° 1.1: Distribución del Agua en el Planeta Fuente Océanos Agua Subterránea: - Dulce - Salada Humedad del suelo Hielo Polar Hielo no Polar y Nieve Lagos: - Dulce - Salada Pantanos Ríos Agua Biológica Agua Atmosférica Agua Total Agua Dulce

Area (106 km2) 361.3 134.8 134.8 82.0 16.0 0.3 1.2 0.8 2.7 148.8 510.0 510.0 510.0 148.8

Volumen Porcentaje de Porcentaje de (km3) Agua Total Agua Dulce 1,338,000,000 96.5 10,530,000 0.76 30.1 12,870,000 0.93 16,500 0.0012 0.05 24,023,500 1.7 68.6 340,600 0.025 1.0 91,000 0.007 0.26 85,400 0.006 11,470 0.0008 0.03 2,120 0.0002 0.006 1,120 0.0001 0.003 12,900 0.001 0.04 1,385,984,610 100 35,029,210 2.5 100

Fuente: World Water Balance and Water Resources of the Earth, UNESCO, 1978

Cuadro N° 1.2: Balance Global Anual del Agua Fuente Área Precipitación

Unidades km2 km3/año mm/año Evaporación km3/año mm/año Escorrentía hacia los océanos Ríos km3/año Agua Subterránea km3/año Escorrentía Total km3/año mm/año

Oceáno 361,300,000 458,000 1,270 505,000 1,400

Tierra 148,800,000 119,000 800 72,000 484 44,700 2,200 47,000 316

Fuente: World Water Balance and Water Resources of the Earth, UNESCO, 1978

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1.7. EL SISTEMA HIDROLOGICO Los fenómenos hidrológicos son extremamente complejos, por lo que nunca serán conocidos completamente. Sin embargo a falta de una concepción perfecta, pueden ser representados de forma simplificada mediante el concepto de sistema que es considerado como un conjunto de partes que interactúan como un todo. El ciclo hidrológico puede considerarse como un sistema con componentes que serían: precipitación, evaporación, escorrentía y los otros componentes del ciclo. Estos componentes pueden ser agrupados a su vez en subsistemas y para analizar todo el sistema, los subsistemas pueden ser tratados por separado y los resultados combinados de acuerdo a las interacciones entre ellos. En la Figura 1.3, se representa al ciclo hidrológico global como un sistema. Las líneas punteadas dividen el sistema total en tres subsistemas: el sistema de agua atmosférica, que contiene los procesos de precipitación, evaporación, intercepción y transpiración; el sistema de agua superficial que contiene los procesos de escorrentía superficial, flujo sobre el suelo, flujo subsuperficial y subterráneo (hacia los cauces y a los océanos); y el sistema de agua subsuperficial, que contiene los procesos de infiltración, percolación profunda, flujo subsuperficial y flujo subterráneo.

Evaporación Evaporación

Precipitación

+ Intercepción

+

Agua Atmosférica

Σ +

+

Transpiración

Agua Superficial

Flujo sobre el suelo

Escorrentía superficial

Escorrentía a cauces y mares

+ Infiltración

Flujo subsuperficial

+

Σ

+

Agua Subterránea Percolación profunda

Flujo subterráneo

Figura 1.3: Representación del Sistema Hidrológico Global Mediante un Diagrama de Bloques

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ENTRADA

OPERADOR

SALIDA

I(t)

Ω(t)

Q(t)

Figura 1.4: Representación esquemática de la operación del sistema

En la mayoría de los problemas prácticos, solo son considerados algunos de los procesos hidrológicos al mismo tiempo, así como se toma en cuenta solo una pequeña porción de la superficie terrestre. En la hidrología moderna se usa un concepto más restringido de sistema que el ciclo hidrológico global, se trata del volumen de control, similar a lo que se usa en mecánica de los fluidos, para aplicar los principios básicos de conservación de masa, cantidad de movimiento y energía.

Por lo tanto, podemos definir a un sistema hidrológico como una estructura o volumen limitado en el espacio, al cual entran variables como agua y otras entradas, opera internamente sobre ellas, y produce variables de salida, que pueden ser de la misma naturaleza que las de entrada, pero de diferente magnitud. Un medio de trabajo ingresa al sistema, interactúa con la estructura y otros medios, y abandonan el sistema como salida. Procesos físicos, químicos y biológicos operan sobre los medios de trabajo dentro del sistema; los medios de trabajo más comúnmente incluidos en el análisis hidrológico son el agua, aire y energía calórica. Debido a las dimensiones y complejidad de los procesos hidrológicos, la aplicación de las leyes físicas producen sólo aproximaciones en los resultados. La mayoría de los procesos son además, de naturaleza aleatoria, por lo tanto, el análisis estadístico juega un papel importante en el estudio hidrológico del sistema. Precipitación I(t)

Cuenca Caudal Q(t)

Figura 1.5: La Cuenca como Sistema Hidrológico

La Figura 1.5 representa el proceso lluviaescorrentía correspondiente a una tormenta sobre una cuenca desde el punto de vista de un sistema hidrológico. El proceso de entrada I(t) es la precipitación, distribuida en el espacio sobre el plano superior; el caudal Q(t) es el proceso de salida, concentrado en el punto de salida de la cuenca, y es el resultado de aplicar la función de transferencia Ω(t) del sistema a la entrada I(t). También podrían considerarse como salidas a la evaporación y al flujo subsuperficial, sin embargo, estos procesos son muy pequeños comparados con el caudal que ocurre durante la tormenta. La estructura del sistema viene a ser el conjunto de líneas de flujo sobre o a través del suelo, incluyendo todas las corrientes tributarias que eventualmente se transforman en caudal de salida.

1.8. MODELO HIDROLÓGICO El objetivo de análisis de sistemas hidrológicos es estudiar la operación del sistema y predecir su salida. Un modelo del sistema hidrológico es una aproximación del sistema real, sus entradas y salidas son variables hidrológicas mensurables, y su estructura, un conjunto de ecuaciones o funciones de transferencia que transforman las variables de entrada en variables de salida. Una de las primeras clasificaciones agrupa - 10 -



a los modelos hidrológicos en dos categorías: Modelos Físicos y Modelos Matemáticos. Los primeros representan el sistema sobre una escala reducida, tal como los modelos hidráulicos; los segundos representan el sistema en forma matemática, mediante una serie de funciones que relacionan las variables de salida con las variables de entrada. La mayoría de los procesos hidrológicos son aleatorios y su magnitud varía con el tiempo y con el espacio, por lo que el desarrollo de un modelo con esas características es una tarea muy difícil y requiere de una simplificación, despreciando algunas fuentes de variación. Los modelos matemáticos, a su vez, pueden ser determinísticos o estocásticos. El modelo determinístico no considera la aleatoriedad, es decir que una entrada al sistema siempre produce la misma salida y se usa cuando las variaciones de la salida son pequeñas como en el caso de los pronósticos, modelo de hidrograma unitario, etc. Un modelo estocástico produce salidas, por lo menos, parcialmente aleatorias y se usa cuando las variaciones de la salida son mayores, como en las predicciones. Desde un punto de vista general, los problemas hidrológicos pueden ser encuadrados dentro de tres categorías: Valores medios: (para planeamiento de recursos hídricos, definición de políticas generales). Incluye la definición de valores medios anuales, mensuales y estacionales de precipitación, caudal, evaporación, etc. Son valores medios sobre grandes áreas geográficas, en general heterogéneas del punto de vista climático, geológico y topográfico. Valores extremos: (especificaciones para obras hidráulicas). Se requieren valores máximos o mínimos de precipitación, caudal, etc., los cuales, junto con criterios económicos, permiten determinar las dimensiones de aliviaderos, alturas de presas, capacidad de bombas, alturas de puentes, volúmenes de embalses, obras de irrigación, plantas de tratamiento, etc. Valores temporales: (para operación de sistemas hídricos). En ciertos casos como en la operación de estructuras hidráulicas y en previsiones en tiempo real, se necesita del registro histórico de la respuesta de un sistema hidrológico a una excitación o impulso dado.

1.9. EL BALANCE HÍDRICO I = Entrada (Precipitación)

A

O = Salida (Caudal) Figura 1.6: Modelo de Balance Hídrico Simple

Dado que la cantidad de agua disponible en la tierra es finito e invariable, el sistema hidrológico global puede ser considerado cerrado, no obstante sean comunes los sistemas abiertos. Según Viessman, Knapp, Lewis y Harbaugh (1977), la cuenca hidrográfica es un área definida topográficamente, drenada por un curso de agua o un sistema conectado de cursos de agua de tal forma que todo el caudal sea descargada a través de una única salida. Para ilustrar la aplicación del balance hídrico en una cuenca hidrográfica, consideremos el sistema muy simple y muy restringido de la Figura 1.6.

Este sistema está constituido de una superficie plana inclinada, completamente impermeable, confinada en sus cuatro lados con una salida en el punto A. Si una entrada de lluvia es aplicada al sistema, una salida, designada como flujo superficial, se desarrollará en A. El balance de agua en este sistema puede ser representado por la siguiente ecuación hidrológica:

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I −O =


dS dt

(1.1)

donde I es la entrada por unidad de tiempo, O la salida por unidad de tiempo y dS/dt la variación del almacenamiento dentro del sistema por unidad de tiempo. Existe la necesidad de que una altura mínima sea acumulada en la superficie para que haya escorrentía superficial pero, a medida en que la intensidad de lluvia aumenta, la altura de agua retenida sobre la superficie aumenta. Una vez cesado la lluvia, el agua retenido sobre la superficie continuará fluyendo hasta dejar el sistema como caudal remanente. En este ejemplo toda la precipitación será eventualmente transformada en caudal, siempre que sean despreciadas las pérdidas por evaporación durante la entrada. En la realidad, el balance hídrico en una cuenca hidrográfica no es tan simple como el modelo presentado; diversas pérdidas ocurren durante el proceso. Así como la evaporación que tiene lugar desde el momento en que se inicia la precipitación; luego que llega al suelo, el agua precipitada, comienza a ser almacenada; como la superficie del suelo no es plana como en el modelo, ya que existen depresiones en el terreno, el agua allí acumulada, eventualmente será evaporada o se infiltrará en el suelo; no obstante alcanza los cursos de agua o se transforma en escorrentía, el agua continua sufriendo el proceso de evaporación, y que deben, por lo tanto ser consideradas.

P Ss Es

Ts Rg Tg

Eg

R

I G2

G1 Sg

Estrato impermeable Figura 1.7: Diagrama Esquemático del Balance Hídrico en una Cuenca

Otro proceso que ocurre, desde el momento en que la precipitación toca el suelo, es el de la infiltración ya que ningún suelo es impermeable y existen siempre pérdidas por infiltración; cuando el agua penetra en el suelo, sigue diversos caminos, quedando almacenada temporalmente en el suelo, y luego percolando hacia capas profundas, conformando el agua subterránea o moviéndose lateralmente, como flujo subterráneo, pudiendo aflorar nuevamente o fluir para otra cuenca. Considerando todos estos procesos, de una forma general, el balance hídrico en una cuenca hidrográfica puede ser visualizado en la Figura 1.7 y representado por las siguientes ecuaciones matemáticas:

a) Balance Hídrico en la superficie

P − R + R g − E s − Ts − I = S s

(1.2)

b) Balance Hídrico debajo de la superficie

I + G1 − G 2 − R g − E g − T g = S g

(1.3)

- 12 -



c) Balance Hídrico en la cuenca hidrográfica (suma de las ecuaciones 1.2 y 1.3)

P − R − (E s + E g ) − (Ts + T g ) − (G 2 − G1 ) = (S s + S g )

(1.4)

En las ecuaciones anteriores, los subíndices “s” y “g” significan el origen del vector, sobre o debajo de la superficie del suelo, respectivamente. P = precipitación T = transpiración G = flujo subterráneo S = almacenamiento

E = evaporación R = escorrentía superficial I = infiltración

Ejemplo 1.1: Para un mes dado, un lago de 1.5 km2 tiene una entrada de 0.5 m3/s, una salida de 0.3 m3/s y un incremento de almacenamiento total de 0.1 km2-m. Un pluviómetro cercana al lago registró una precipitación total de 50 mm para el mes. Asumiendo que la infiltración es insignificante, determinar las pérdidas por evaporación, sobre el lago. Solución: La ecuación del balance hídrico, puede plantearse de la siguiente manera:

E {

evaporacion

= {I − O { + entrada

salida

(0.5 m /s)(1 km I= 3

O=

2

(0.3 m /s)(1 km 3

2

P {

precipitacion

−

Δ S {

almacenamiento

/ 10 6 m 2 )(3600 s/h )(24 h/dia )(30 dias/mes)(1 mes) = 0.864 m = 864 mm 1.5 km 2 / 10 6 m 2 )(3600 s/h )(24 h/dia )(30 dias/mes)(1 mes) = 0.5184 m = 518.4 mm 1.5 km 2

P = 50 mm

ΔS =

(0.1 km

− m) = 0.0667 m = 66.7 mm 1.5 km 2 2

E = 864 − 518.4 + 50 − 66.7 = 328.9 mm Ejemplo 1.2: Para un año dado, una cuenca con un área de 2500 km2 recibe 130 cm de precipitación. El caudal promedio medido a la salida de la cuenca fue de 30 m3/s. Estimar la cantidad de pérdida de agua debido al efecto combinado de evaporación, transpiración e infiltración. ¿Calcular la escorrentía superficial en cm?. ¿Cual es el coeficiente de escorrentía?. Solución:

- 13 -



La ecuación de balance hídrico para la cuenca se puede escribir de la siguiente manera:

+

ET {

evapotranspiracion

G {

=

P {

precipitacion

flujo subterraneo

−

R {

escorrentia sup erfcial

−

Δ S {

almacenamiento

asumiendo que los niveles de agua son los mismos para t = 0 y t = 1, entonces ΔS = 0

R=

(30 m /s)(86400 s/dia )(365 dias/año)(100 cm/m) = 37.9 cm (2500 km )(1000 m/km) 3

2

2

(escorrentía superficial)

Las pérdidas por evaporación, transpiración e infiltración es:

ET + G = 130 cm − 37.9 cm = 92.1 cm el coeficiente de escorrentía es:

R 37.9 cm = = 0.29 P 130 cm

1.10. BIBLIOGRAFÍA (1) (2) (3) (4) (5) (6)

(7) (8) (9) (10) (11) (12)

BEDIENT P. B.; HUBER W. C. – Hydrology and Floodplain Analysis, USA, Addison-Wesley Publishing Company, 1992 CHOW VEN TE – Hand book of Applied Hydrology, New York, McGraw-Hill Book Company, 1964 CHOW VEN TE; MAIDMENT D. R.; MAYS L. W. – Applied Hydrology, McGrawHill Book Company, 1988 GARCÉS, L. N. - Hidrología, Sao Paulo, Ed. Edgard Blücher. 1967 HERAS, R. - Manual de Hidrología: los recursos hidráulicos, Madrid, Centro de Estudios Hidrográficos, 1949 v. 3 INSTITUTO NACIONAL DE RECURSOS NATURALES (INRENA) – DIRECCION GENERAL DE AGUAS Y SUELOS (DGAS) – Estudio de Reconocimiento del Uso del Recursos Hídrico por los Diferentes Sectores Productivos en el Perú, INR-42DGAS, Lima – Perú, 1996 LINSLEY Jr., R. K.; KOHLER, M. A. & PAULHUS, J. L. H. – Applied Hydrology, New York, McGraw-Hill Book Company, 1949 LINSLEY Jr., R. K.; KOHLER, M. A. & PAULHUS, J. L. H. – Hydrology for Engineers, New York, McGraw-Hill Book Company, 1958 NEMEC, J. – Engineering Hydrology, London, McGraw-Hill Book Company, 1972 SECRETARIA DE RECURSOS HIDRÁULICOS, Elementos de escurrimiento superficial – Memorando Técnico N° 330, México D. F., 1974 VIESSMAN Jr., W.; HARBAUGH, T.E. & KNAPP, J. W. – Introduction to Hydrology, New York, Intext Educational, 1972. VILELA S. M.; MATTOS A. – Hidrologia Aplicada, Sao Paulo, McGraw-Hill do Brasil, 1975

- 14 -


CAPITULO 2:

2.1.

Capítulo 2: Hidrometeorología

HIDROMETEOROLOGIA

GENERALIDADES La ciencia meteorológica, que estudia la atmósfera, es una disciplina que trata de establecer la relación existente entre los parámetros del ciclo hidrológico en base al análisis físico y matemático riguroso, mientras que la hidrometeorología es considerado como parte fundamental de la hidrología, que liga el conocimiento fundamental del meteorólogo con las necesidades del hidrólogo. De los diversos procesos meteorológicos que ocurren continuamente en la atmósfera, los más importantes para la hidrología son los de precipitación y evaporación, en las cuales la atmósfera interactúa con el agua superficial. La mayor parte del agua que se precipita sobre la superficie terrestre proviene de la humedad que se evapora en los océanos y que es transportada por la circulación atmosférica a lo largo de grandes distancias. Las dos fuerzas básicas para la circulación atmosférica resultan de la rotación de la Tierra y de la transferencia de energía calórica entre el ecuador y los polos.

2.2.

LA ATMÓSFERA La atmósfera está formada por una capa aproximada de 100 km de espesor sobre la tierra. Su estructura promedio está mostrada en la Figura 2.1, donde se puede notar que la presión y la densidad del aire decrecen rápida y continuamente con el incremento de la altitud; la temperatura varía de una forma irregular y característica, cuyo perfil define las diferentes capas de la atmósfera. Después de un decremento general de la temperatura a través de la troposfera, el incremento de la temperatura desde los 20 km hasta los 50 km de altitud es causado por la capa de ozono, que absorbe la radiación solar de onda corta, liberando algo de energía en forma de calor.

2.2.1. La presión atmosférica y la densidad

La presión atmosférica, es el peso de la columna de aire por unidad de área considerado desde el nivel de medición hasta el tope de la atmósfera. Más específicamente, la presión puede ser considerado como la fuerza hacia abajo, resultante de la acción de la gravedad sobre la masa de aire que queda sobre una unidad de área horizontal. A nivel del mar, la presión atmosférica promedio es de 1 bar (105 N/m2 o Pascales), equivalente a 760 mm de mercurio. La densidad del aire seco (ρd) puede ser obtenida de la expresión: ρ d =

pd , donde Rd es la constante Rd T

específica del gas (para aire seco Rd = 287 J/kg °K) y T la temperatura absoluta (°K). A nivel del mar, la temperatura promedio es T = 288 °K y así ρd = 1.2 Kg/m3 = 1.2x10-3 g/cm3. 2.2.2. Composición Química La atmósfera, capa gaseosa que envuelve la tierra, está constituida por una mezcla compleja de gases que varía en función del tiempo, de la localización geográfica, de la altitud y de las estaciones del año. De una manera simple se puede considerar el aire

- 15 -



natural como constituido por tres partes principales: por el aire seco, por el vapor de agua y por las partículas sólidas en suspensión. El aire seco está constituido por una mezcla mecánica de gases permanentes, en la cual el nitrógeno y el oxígeno son los componentes principales, ocupando cerca del 99% de un volumen de aire seco, (Tabla 2.1); seguida, en proporciones menores de argón y dióxido de carbono y en proporciones ínfimas el neón, helio, criptón, hidrógeno, xenón, ozono, radón y otros. El aire seco tiene una composición química muy consistente a través de la atmósfera hasta los 80 km de altitud que corresponde a la mesopausa; resaltándose la capa de ozono que filtra la radiación solar. Altitud (km)

Presión (mb) 10-4

Densidad (g/cm3)

100

10-9

10-3

Termósfera

90 10-2

80 70

Mesopausa 10-7

10-1

TEMPERATURA

60

Mesósfera

50

10-6

1

Estratopausa

40

10-5

10

Ozonósfera

30

Estratósfera

20

10-4

102

Tropopausa

10 0 -100

10-3

103 -90

-80

-70

Everest 8882 m

Tropósfera -60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

Figura 2.1: Estructura Aproximada de la Atmósfera (SHAW, E.M. 1983) El vapor de agua, debido a la evaporación de los océanos, ríos, lagos, suelos y plantas, está constantemente presente en cantidades que varían de casi cero en regiones desérticas, donde la evaporación es mínima, a cantidades máximas, de cerca de 4%, en regiones de bosques tropicales. Además de esos gases que forman el aire húmedo (aire seco + vapor) existe en la atmósfera un conjunto enorme de partículas sólidas en suspensión, las cuales reciben el nombre de aerosoles. Son provenientes del suelo, sales de origen orgánica e inorgánica, explosiones volcánicas, combustión de gas, carbón y petróleo, y de la quema de meteoros en la atmósfera. Las partículas de origen inorgánica son de gran interés para la hidrología, pues ellas son los responsables de la condensación del vapor y consecuentemente de la formación de las nubes. Los gases contaminantes están limitados a áreas cercanas a las industrias, que pueden tener efecto considerable en las condiciones de clima local. Trazas de isótopos radioactivos, producto de la fusión nuclear, también contaminan la atmósfera, particularmente el de - 16 -



las explosiones nucleares; sin embargo no existen evidencias que los isótopos causen disturbios en el clima, su presencia es útil en el trazo del movimiento del agua dentro del ciclo hidrológico. Tabla 2.1: Constituyentes Principales del Aire Nitrógeno

Oxígeno

Argón

75.51

23.15

1.28

% (por masa)

2.3.

Dióxido de Carbono, etc. 0.06

CIRCULACION GENERAL DE LA ATMOSFERA Y VIENTOS Para el hidrólogo, la troposfera es la capa más importante porque contiene casi el 75 % del peso de la atmósfera y virtualmente toda su humedad. El meteorólogo, en cambio, está cada vez más interesado en la estratosfera y mesosfera, ya que en estas capas tienen origen algunas de los disturbios que afectan la troposfera y la superficie de la tierra. La altitud de la tropopausa, frontera entre la troposfera y la estratosfera, varía desde los 8 km en los polos hasta los 16 km en el Ecuador y en promedio 11 km como se muestra en la Figura 2.1. En promedio, la temperatura desde la superficie terrestre hasta la tropopausa decrece a una razón de 6.5 °C/Km. La troposfera se caracteriza por constantes movimientos del aire tanto en el sentido horizontal (viento) como vertical (corriente de aire). Presenta un sistema dinámico vigoroso, con una cierta correlación entre viento y presión en lo que respecta a la distribución sobre el globo. La circulación general es definida como la distribución general media de los vientos sobre la superficie del globo. A través de cartas isobáricas anuales, se han delimitado sobre el globo zonas o fajas de ocurrencia de altas y bajas presiones y, entre estas, la predominancia del viento en determinadas direcciones y sentidos. La Figura 2.2, muestra el esquema de vientos predominantes y zonas de altas y bajas presiones. a) Faja Ecuatorial de Bajas Presiones Esa faja se localiza un poco al norte del Ecuador geográfico. Predominan vientos débiles y variables, donde convergen los alisios en superficie y divergen los contraalisios en altitud. Hay continuos movimientos verticales ascendentes, gran humedad del aire, con muchas nubes y altas precipitaciones. Generalmente son encontradas las más altas temperaturas de la tierra. b) Faja Subtropical de Altas Presiones 60°

B A

30°

A

B A B

B

0°

A

30° 60°

Figura 2.2: Distribución de Presiones y Vientos Sobre el Planeta

Los centros de presión están alrededor de la latitud 30°. Hay predominancia de vientos débiles y movimientos verticales descendentes. El aire es casi siempre seco, con pocas nubes y poca precipitación. En esta zona están localizados los mayores desiertos de la tierra. Esta faja es muchas veces invadida por masas de aire polar y tropical, modificando las condiciones de tiempo por determinados periodos. Los cinturones de altas presiones son rotos sobre los continentes debido a la diferencia de calentamiento entre tierra y mares, con la consecuente formación de bajas térmicas. - 17 -



c) Faja Polar de Bajas Presiones Los centros de baja presión están localizados a una latitud de 60° aproximadamente. El clima es muy variable, con grandes tempestades motivados por intensos movimientos verticales ascendentes. En el Hemisferio Norte están localizados, en esa faja, grandes masas heladas. En determinadas regiones, dentro de esa faja, hay condiciones propicias para la formación de las masas de aire debido a su uniformidad. d) Zona Polar de Altas Presiones El aire en esa región se presenta muy seco y hay poca precipitación. Hay movimientos verticales descendentes y la temperatura es muy baja. Representa casi siempre el origen de las masas de aire polar que se desplazan en dirección al Ecuador. Entre las fajas citadas la predominancia de los vientos en superficie es mostrada en la Figura 2.2; como se observa, los vientos siempre divergen de los centros de alta presión y convergen para los centros de baja presión. En altitud, se observa, en la zona intertropical, predominancia de los vientos del este; entre la faja subtropical de altas presiones y la de bajas polares los fuertes vientos del oeste; y en los polos los vientos son débiles y del este. N

90° 60° 30° 0°

O

0°

Celda Tropical

E

30° 60° 90°

Celda de Latitud Media Celda Polar

S

Frente Polar

Figura 2.3: Modelo de Circulación Meridional Según Rossby

De acuerdo al análisis efectuado, se ve que los flujos atmosféricos, en media, son de carácter zonal (a lo largo de los círculos de latitud), principalmente en altitud, sufriendo la acción de la fuerza de Coriolis en superficie. Sin embargo, si los flujos fueran puramente zonales no existiría intercambio y mezcla de masa de aire en el sentido meridional. Además de eso, el déficit de energía de las altas latitudes causaría el enfriamiento continuo de esas regiones y el exceso de energía en las regiones tropicales provocaría su supercalentamiento. Para mantener el balance de energía entre todas las latitudes es necesario que exista un mecanismo de redistribución del calor sobre el globo.

Entre los mecanismos que explican esa redistribución de energía el más aceptado es el de la circulación meridional cuyo modelo presentado por Bergeron en 1928 fue modificado por Rossby en 1947 y mostrado en la Figura 2.3. En ese modelo se montan celdas de circulación, existiendo, además de los movimientos meridionales, movimientos verticales ascendentes y descendentes en las regiones de predominancia de bajas y de altas presiones respectivamente. Aparece también el frente polar que se forma en altas latitudes y se desplaza para las bajas latitudes. Cuando una masa de aire caliente se encuentra con una de aire frío, en lugar de simplemente mezclarse aparece una superficie de discontinuidad definida entre ellas, llamada frente. El aire frío al ser más pesado, se extiende debajo del aire caliente. Si el aire frío avanza hacia el aire caliente, el borde de la masa de aire frío en un frente frío con una pendiente casi vertical. Si el aire caliente avanza hacia el aire frío, el borde es - 18 -



un frente caliente, con una pendiente baja y aire caliente fluye hacia arriba y por encima del aire frío.

Aire frío

Aire frío

Aire frío

Frente

Frente frío

Aire caliente

a) Frente Superficial Estacionario b) Formación de Onda Frontal Aire frío

c) Desarrollo del Ciclón y Onda

Aire frío Frente caliente

Frente caliente Aire caliente

Aire caliente

Aire frío Frente ocluído

Frente frío

Frente caliente

Frente caliente

Aire caliente

Frente frío

Aire caliente

d) Avance Rápido del Frente Frío e) Eliminación del Sector Cálido

Frente Aire caliente

f) Disipación del Ciclón

Figura 2.4: Vista en Planta del Ciclo de Vida de un Ciclón Frontal en el Hemisferio Norte Un ciclón es una región de baja presión alrededor de la cual el aire fluye en sentido antihorario en el hemisferio norte, o en sentido horario en el hemisferio sur. Los ciclones tropicales se forman en las bajas latitudes y pueden convertirse en huracanes o tifones. Los ciclones extratropicales se forman cuando dos masas de aire, una caliente y otra fría, fluyen inicialmente en direcciones opuestas adyacentes la una a la otra, empiezan a interactuar y a girar en un movimiento circular, creando simultáneamente un frente caliente y un frente frío en una zona de baja presión (Figura 2.4). Un anticiclón es una región de alta presión alrededor de la cual el aire fluye en el sentido horario en el hemisferio norte y sentido antihorario en el hemisferio sur. Cuando dos masas de aire se elevan a través del movimiento atmosférico, su vapor de agua se puede condensar y producir precipitación. 2.4.

HUMEDAD ATMOSFERICA La cantidad de vapor de agua en la atmósfera es muy pequeña comparada con las cantidades de otros gases presentes, pero el es excesivamente importante y es el gran responsable por las condiciones de tiempo reinantes. La precipitación es derivada de esa agua atmosférica y además el contenido de la humedad del aire es también un factor significante en los procesos de evaporación. Así, es necesario para el hidrólogo estar familiarizado con los métodos de evaluación del contenido de vapor en la atmósfera y conocer los efectos termodinámicos de la humedad atmosférica. En meteorología las presiones consideradas son relativamente pequeñas, pudiendo por lo tanto el aire seco ser considerado como un gas ideal. La misma consideración puede ser hecha con respecto al vapor de agua, con excepción de pequeños intervalos de presión y temperatura próximos al punto de condensación. Esas consideraciones son importantes, debido a que las evoluciones termodinámicas del aire seco y del vapor de agua pueden ser tratadas como el de los gases ideales.

- 19 -



Los principales índices de humedad utilizados son la presión parcial del vapor, la humedad absoluta, la humedad específica, la razón de mezcla, la humedad relativa y la temperatura del punto de rocío. 2.4.1. Presión de Vapor Según la ley de Dalton, en una mezcla de gases, cada gas ejerce una presión parcial independientemente de los otros gases. La presión parcial ejercida por el vapor de agua es llamada presión de vapor y viene a ser una medida del contenido de vapor de agua o humedad del aire. Si todo el vapor de agua en un recipiente cerrado de aire húmedo con una presión total inicial p fuese removido, la presión final pd correspondiente al aire seco sería menor que p. La diferencia entre la presión del aire húmedo y la del aire seco, pm – pd , resultante de la remoción del vapor de agua es la presión de vapor (e) y es normalmente expresada en milibares.

p m = ρ m Rm T p d = ρ d Rd T e = p − p d = ρ v Rv T

(presión total o de aire húmedo)

(2.1)

(presión de aire seco)

(2.2)

(presión de vapor)

(2.3)

ρm = ρd + ρv = densidad del aire húmedo (g/cm3) Rm = constante de los gases para el aire húmedo

ρd = densidad del aire seco (g/cm3)

Rd = 287 J/kg °K = constante de los gases para el aire seco ρv = densidad del vapor de agua (g/cm3) T = temperatura absoluta (°K) Rv = Rd/0,622 = constante de los gases para el vapor de agua; siendo 0.622 la relación entre el peso molecular del vapor de agua y el peso molecular promedio del aire seco. Combinando las ecuaciones (2.2) y (2.3) y usando las definiciones anteriores, se obtiene:

⎡ ⎛ ρ ⎞⎤ p m = ⎢ ρ d + ⎜ v ⎟⎥ R d T ⎝ 0.622 ⎠⎦ ⎣

(2.4)

2.4.2. Saturación

Se dice que el aire está saturado cuando, para una temperatura dada, contiene la máxima cantidad de vapor de agua, siendo la correspondiente presión de vapor llamada como presión de saturación del vapor es. A esta presión, la razón de evaporación y condensación son iguales. La relación entre la presión de saturación del vapor y la temperatura del aire está mostrada en la Figura 2.5, cuya ecuación aproximada es:

8 kPa 6 4

es

2

e

C Tr

0 -20

-10

0 10 20 Temperatura °C

T 30

Figura 2.5: Presión de Saturación del Vapor en Función de la Temperatura

40

⎛ 17.27T ⎞ e s = 611 exp⎜ ⎟ ⎝ 237.3 + T ⎠

(2.5a)

siendo es en pascales (Pa = N/m2) y T en grados centígrados (°C) - 20 -



Otra ecuación alternativa para la estimación de la presión de saturación del vapor, dada por Bedient & Huber (1992), es:

4278.6 ⎞ ⎛ e s = 2.7489 × 10 8 exp⎜ − ⎟ ⎝ T + 242.79 ⎠

(2.5b)

2.4.3. Punto de Rocío Es la temperatura, Tr, al cual una masa de aire no saturado llega a saturarse al enfriarse, a una presión constante. Si la temperatura del aire T baja a Tr , la presión de vapor correspondiente, e, representa la cantidad de vapor de agua en el aire; Figura 2.5. 2.4.4. Déficit de Saturación Es la diferencia entre la presión de vapor de saturación a la temperatura de aire, T, y la presión de vapor actual representado por la presión de vapor de saturación a la temperatura de punto de rocío, Tr. El déficit de saturación, (es – e), representa la cantidad de vapor de agua adicional que el aire puede contener a la temperatura, T, antes de llegar a saturarse. 2.4.5. Humedad Relativa Es la relación, en porcentaje, entre la cantidad de humedad actual en el aire y la cantidad necesaria para saturar el aire a una temperatura dada:

HR =

e × 100 es

(2.6)

2.4.6. Humedad Absoluta Es expresada generalmente como la masa de vapor de agua por unidad de volumen de aire a una temperatura dada y es equivalente a la densidad del vapor de agua:

ρv =

masa de vapor de agua (g) m v = V volumen de aire (m 3 )

(2.7a)

2.4.7. Densidad del Aire Húmedo Usando la Ley de Dalton y asumiendo que la atmósfera está compuesta solo de aire y vapor de agua, se tiene:

ρm =

( p m − e ) + 0.622e RT

=

pm RT

⎛ ⎛ e ⎞ e ⎞ ⎜⎜1 − 0.378 ⎟⎟ = ρ d ⎜⎜1 − 0.378 ⎟⎟ p p m ⎠ m ⎠ ⎝ ⎝

(2.7b)

esta ecuación muestra que el aire húmedo es más ligero que el aire seco para la misma presión y temperatura.

- 21 -



2.4.8. Humedad Específica Relaciona la masa de vapor de agua en gramos y la masa del aire húmedo en kilogramos. Según Chow, Maidment y Mays (1988), la humedad específica puede ser calculada a partir de la siguiente ecuación:

qv =

mv ρ ρv e 0.622e = v = ≅ ≅ 0.622 (m v + m d ) ρ m ρ v + ρ d ( p m − 0.378e ) pm

(2.8)

Combinando las ecuaciones (2.1) y (2.8), se obtiene la relación entre las constantes de gas para aire húmedo y aire seco:

R m = Rd (1 + 0.608q v ) = 287(1 + 0.608q v ) J/kg.K

(2.9)

2.4.9. Vapor de Agua en una Columna Atmosférica Estática Dos leyes gobiernan las propiedades del vapor de agua en una columna estática, la ley del gas ideal, ecuación (2.1) y la ley de presión hidrostática, ecuación (2.10):

dp = −ρ m g dz

(2.10)

La variación de la temperatura del aire con la altitud es descrita por:

dT = −α dz

(2.11)

siendo α la razón de decremento de la temperatura. Como se ve en la Figura 2.6, la variación lineal de la temperatura combinada con las dos leyes físicas dan una variación no lineal de la presión, de la densidad y de la humedad específica con la altitud. Combinando la ley del gas ideal y la ley de presión hidrostática se obtiene:

dp ⎛ − g =⎜ P ⎜⎝ R m T

⎞ ⎟⎟dz ⎠

(2.12)

substituyendo la variación de la temperatura en esta ecuación se obtiene:

dp g dT = p αRm T

(2.13)

Integrando ambos lados de la ecuación (2.13) entre dos niveles 1 y 2 de la atmósfera, se obtiene:

⎛T ⎞ ⎛p ⎞ g ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ = ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ p1 ⎠ αR m ⎝ T1 ⎠

⎛T p 2 = p1 ⎜⎜ 2 ⎝ T1

(2.13)

g

⎞ αRm ⎟⎟ ⎠

(2.14)

- 22 -



y de la ecuación de variación de temperatura se obtiene:

T2 = T1 − α (z 2 − z 1 )

(2.15) Columna

Elevación

z

z 2

z2

⎛T ⎞ p 2 = p 1 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ T1 ⎠

z2

g αR

T2 = T1 − α (z 2 − z 1 ) dz

α

ρg z1

1 1

1 p1

p2

Presión p

A

z1 T1

T2

Temp. T

Figura 2.6: Variación de la Presión y Temperatura en una columna atmosférica

2.4.10. Agua Precipitable Es la cantidad total de vapor de agua en una columna de aire expresada como una lámina de agua líquida en milímetros sobre el área de la base de la columna. El agua precipitable da un estimado de la cantidad máxima de lluvia bajo la asunción irreal de condensación total. Considerando un elemento de altura dz de una columna de aire de sección transversal A; la masa de aire en el elemento es: ρmAdz y la masa de agua contenida en el aire es: qvρmAdz. La masa total de agua precipitable en la columna entre las elevaciones z1 y z2 es: z2

m p = ∫ q v ρ m Adz z1

(2.16)

Esta integral es calculada usando intervalos de altura Δz, para cada incremento de masa de agua precipitable:

Δm p = q v ρ m AΔz

(2.17)

donde q v y ρ m son los valores promedios de la humedad específica y densidad del aire en el intervalo. La masa total de agua precipitable está dada por la suma de los incremento de masa.

- 23 -



Tabla 2.2: Propiedades Físicas del Agua Peso Temperatura

Específico

°C

γ

Densidad ρ

3

(kN/m )

Módulo de

Viscosidad

Viscosidad

Tensión

Presión de

Elasticidad (*)

Dinámica

Cinemática

Superficial

Vapor

μ x 10

ν x 10

E x 10 3

(Kg/m )

-6

2

(kN/m )

-3

2

(N-s/m )

-6

2

(m /s)

σ

e

(N/m)

(kN/m )

2

0.0

9.805

999.80

1.98

1.781

1.785

0.0765

0.61

5.0

9.807

1000.00

2.05

1.518

1.519

0.0749

0.87

10.0

9.804

999.70

2.10

1.307

1.306

0.0742

1.23

15.0

9.798

999.10

2.15

1.139

1.139

0.0735

1.70

20.0

9.789

998.20

2.17

1.002

1.003

0.0728

2.34

25.0

9.777

997.00

2.22

0.890

0.893

0.0720

3.17

30.0

9.764

995.70

2.25

0.798

0.800

0.0712

4.24

40.0

9.730

992.20

2.28

0.653

0.658

0.0696

7.38

50.0

9.698

988.00

2.29

0.547

0.553

0.0679

12.33

60.0

9.642

983.20

2.28

0.466

0.474

0.0662

19.92

70.0

9.589

977.80

2.25

0.404

0.413

0.0644

31.16

80.0

9.530

971.80

2.20

0.354

0.364

0.0626

47.34

90.0

9.466

965.30

2.14

0.315

0.326

0.0608

70.10

100.0

9.399

958.40

2.07

0.282

0.294

0.0589

101.33

g = 9.807 m/s

2

(*) a la presión atmosférica

Ejemplo 2.1 En una estación climatológica, la presión del aire es medida como 100 kPa, la temperatura del aire como 20 °C y la temperatura de bulbo húmedo o temperatura de punto de rocío como 16 °C. Calcular la presión de vapor, la humedad relativa y la densidad del aire correspondiente. Solución: La presión de vapor de saturación para 20 °C esta dada por la ecuación:

⎛ 17.27T ⎞ ⎛ 17.27 × 20 ⎞ es = 611exp⎜ ⎟ = 611exp⎜ ⎟ = 2339 Pa ⎝ 237.3 + T ⎠ ⎝ 237.3 + 20 ⎠ La presión de vapor actual es calculada mediante el mismo método, remplazando la temperatura del punto de rocío, Tr = 16 °C:

⎛ 17.27Tr e = 611exp⎜⎜ ⎝ 237.3 + Tr

⎞ ⎛ 17.27 × 16 ⎞ ⎟⎟ = 611exp⎜ ⎟ = 1819 Pa ⎝ 237.3 + 16 ⎠ ⎠

La humedad relativa es: H R =

e 1819 = = 0.78 = 78% es 2339

La humedad específica está dada por:

- 24 -


q v = 0.622


e ⎛ 1819 ⎞ = 0.622⎜ = 0.0113 kg de agua/kg de aire humedo 3 ⎟ pm ⎝ 100 × 10 ⎠

La densidad del aire es calculada de la ecuación de gas ideal con T = (20+273) = 293 °K y R m = 287(1 + 0.608q v ) = 287(1 + 0.608 × 0.0113) = 289 J/kg.K :

ρm =

pm 100 × 10 3 = = 1.18 kg/m 3 Rm T 289 × 293

Ejemplo 2.2 a) Usando la ley de gas ideal ( P = ρRT ) , encontrar la densidad del aire seco a 25 °C con una presión de 950 mb. La constante del gas R tiene el valor de 2.87x106 cm2/s2.°K (2.87x103 mb.cm3/g.°K) para aire seco, cuando la presión es en mb. b) Encontrar la densidad del aire húmedo a la misma presión y temperatura si la humedad relativa es 65%.

Solución: Se sabe que:

1 mb = 100 Pa = 100

Kg - m N , además: 1 N = 1 2 m s2

a) reordenando la ecuación:

(950 mb)⎛⎜100

ρd =

N ⎞ ⎟ m2 ⎠

pd ⎝ = = 1.11 Kg/m3 2 Rd T ⎛ ⎞ cm ⎜⎜ 2.87 × 106 2 ⎟⎟(298.16 °K )(mb ) s ° K ⎝ ⎠

b) La densidad del aire húmedo puede ser encontrado usando la siguiente ecuación:

ρm =

( p m − e ) + 0.622e RT

=

pm RT

⎛ ⎛ e ⎞ e ⎞ ⎜⎜1 − 0.378 ⎟⎟ = ρ d ⎜⎜1 − 0.378 ⎟⎟ p p m ⎠ m ⎠ ⎝ ⎝

como se conoce la humedad relativa se puede encontrar e dado que es puede ser obtenido de la tabla de propiedades físicas del agua (es = 31.72 mb para T = 25 °C), por lo tanto:

H = 100

e es

65 = 100

e es

e = 20.62 mb

reemplazando en la ecuación, finalmente se tiene:

⎛

ρ m = ρ d ⎜⎜1 − 0.378 ⎝

e pm

⎞ ⎛ Kg ⎞⎛ 20.62 mb ⎞ Kg ⎟⎟ = ⎜1.11 3 ⎟⎜1 − 0.378 ⎟ = 1.10 3 950 mb ⎠ m ⎠⎝ m ⎠ ⎝

- 25 -



Ejemplo 2.3

En una estación climatológica, la presión del aire fue medido en 101.1 kPa (1011 mb), la temperatura del aire fue de 22 °C (295 °K) y la temperatura del punto de rocío de 18 °C. Calcular la densidad de aire correspondiente, presión de vapor, humedad relativa y humedad específica. Solución: a) Presión de vapor actual

4278.6 ⎞ 4278.6 ⎞ ⎛ ⎛ 8 e = 2.7489 × 108 exp⎜ − ⎟ = 2.7489 × 10 exp⎜ − ⎟ = 20.60 mb ⎝ T + 242.79 ⎠ ⎝ 18 + 242.79 ⎠ b)

Presión de vapor de saturación

4278.6 ⎞ 4278.6 ⎞ ⎛ ⎛ 8 e = 2.7489 × 108 exp⎜ − ⎟ = 2.7489 × 10 exp⎜ − ⎟ = 26.40 mb ⎝ T + 242.79 ⎠ ⎝ 22 + 242.79 ⎠ c) Humedad Relativa

H = 100

20.60 e = 100 = 78% es 26.40

d) Humedad Específica

q=

0.622e 0.622 × 20.6 Kg de agua = = 0.0128 (P − 0.378e ) (1011 − 0.378 × 20.6) Kg de aire humedo

e) Densidad del aire

⎛ e ⎞ ⎜⎜1 − 0.378 ⎟ p m ⎟⎠ ⎝

ρm =

pm RT

ρm =

1011 20.60 ⎞ mb.g.°K g Kg ⎛ = 1.2 × 10 − 3 = 1 .2 3 ⎟ ⎜1 − 0.378 3 3 3 1011 ⎠ mb.cm .° K cm m 2.87 × 10 (295) ⎝

Ejemplo 2.4 Calcular el agua precipitable en una columna de aire saturado de 10 km de altura sobre un 1 m2 de superficie de suelo. La presión sobre el suelo es de 101.3 kPa y la temperatura de 30 °C con una razón de caída de temperatura de 6.5 °C/km. Solución: Los resultados de cálculo están resumidos en la Tabla N° 2.2. El incremento de la altitud es tomado como Δz = 2 km = 2000 m. Para el primer incremento, a z1 = 0 m, T1 = 30 °C = (30+273)°K = 303 °K; a z2 = 2000 m con α = 6,5 °C/km = 0.0065 °C/m: - 26 -



T2 = T1 − α ( z2 − z1 ) = 30 − 0.0065(2000 − 0 ) = 17 °C = (17 + 273)° K = 290 °K (columna 3 de la Tabla 2.3)

Tabla 2.3: Cálculo del Agua Precipitable en una Columna de Aire Saturado 1 z (km) 0 2 4 6 8 10

2 T (°C) 30 17 4 -9 -22 -35

3 T (°K) 303 290 277 264 251 238

4 p (kPa) 101.3 80.4 63.2 49.1 37.6 28.5

5 ρa (kg/m3) 1.16 0.97 0.79 0.65 0.52 0.42

6 e (kPa) 4.24 1.94 0.81 0.31 0.10 0.03

7 8 9 qv qv ρm (kg/kg) (kg/kg) (kg/m3) 0.0261 0.0150 0.0205 1.07 0.0080 0.0115 0.88 0.0039 0.0060 0.72 0.0017 0.0028 0.59 0.0007 0.0012 0.47

10 Δm (kg) 43.7 20.2 8.6 3.3 1.1

11 % de masa 57 26 11 4 2

La constante del gas Rm, puede ser tomado como 287 J/kg.K en este ejemplo porque su variación con la humedad específica es pequeña [ R m = R d (1 + 0.608q v ) = 287(1 + 0.608 × q v ) ]. La presión del aire a 2000 m es calculada mediante la ecuación (2.14) con:

⎛T p 2 = p1 ⎜⎜ 2 ⎝ T1

g

⎞ αRm ⎛ 290 ⎞ ⎟⎟ = 101.3⎜ ⎟ ⎝ 303 ⎠ ⎠

9.81 g = = 5.26 como: αRm 0.0065 × 287

5, 26

= 80.4 kPa (columna 4)

La densidad del aire en la superficie y para las diferentes elevaciones es calculada a partir de la ecuación (2.1), (columna 5)

ρm =

pm 101.3 × 10 3 = = 1.16 kg/m 3 287 × 303 Rm T

La presión de vapor de saturación en la superficie del suelo y para las diferentes altitudes se calcula a partir de la ecuación (2.5), (columna 6)

⎛ 17.27T ⎞ ⎛ 17.27 × 30 ⎞ es = 611exp⎜ ⎟ = 611exp⎜ ⎟ = 4244 Pa = 4.24 kPa ⎝ 237.3 + T ⎠ ⎝ 237.3 + 30 ⎠ La humedad específica en la superficie y para las diferentes elevaciones se calcula a partir e la ecuación (2.8), (columna 7)

qv = 0.622

e ⎛ 4.24 ⎞ = 0,622⎜ ⎟ = 0.026 kg de agua/kg de aire humedo p ⎝ 101.3 ⎠

La masa de agua precipitable es calculada mediante la ecuación (2.17), (columna 10):

Δm = q v ρ m AΔz = 0.0205 × 1.07 × 1 × 2000 = 43.7 kg

- 27 -



sumando todos los incrementos de masa de la columna 10, se obtiene la masa total de agua precipitable (mp = 77 kg), equivalente a m p =

mp

ρw A

=

77 = 0.077 m = 77 mm 1000 × 1

de lámina de agua. La columna 11 es el porcentaje de masa de agua en cada intervalo y puede notarse que más del 50% del agua precipitable está localizada en los primeros 2 km, para este ejemplo.

2.5.

PROCESOS DE TRANSPORTE El transporte de energía, momentum y masa en la atmósfera se realizan a través de los procesos fundamentales de conducción, convección y radiación. La radiación es importante porque es por ese proceso que la energía solar activa el ciclo hidrológico. A pesar de ser el sol la fuente de toda la energía que mantiene el movimiento de la atmósfera, las propiedades físicas de la superficie terrestre desempeñan un papel importante en la conversión de la radiación en calor sensible y en la redistribución de la energía entre la atmósfera y las substancias superficiales, pues la energía emitida por el sol es en forma de radiación de ondas cortas que es muy poco absorbida por la atmósfera. La atmósfera es calentada en las capas inferiores gracias a la emisión de la superficie terrestre que es hecha en ondas largas y la redistribución de energía en la atmósfera se procesa principalmente por conducción y convección. Los fenómenos de conducción y convección en la atmósfera se procesan de la siguiente forma: el aire es calentado por conducción, o sea, un flujo de energía calorífica a través de la materia por medio de actividad molecular interna sin, obviamente, ningún movimiento de la materia. La energía emitida por la tierra es absorbida principalmente por el vapor de agua y por el dióxido del carbono; los otros gases, en contacto con ellos, son calentados por conducción. Una vez que el aire calentado decrece en densidad, el aire que está en contacto con la superficie y es calentado por conducción tiende a tornarse más leve. De otro lado, la superficie terrestre no es homogénea y hace con que el aire sea calentada de forma desigual, dando como resultado la aparición de capas de aire con diferentes densidades; surgen entonces fuerzas ascendentes que elevan el aire caliente, menos denso, a través del aire vecino más frío y más denso. El aire caliente en ascensión se expande, ya que, a medida en que se eleva, encuentra presiones atmosféricas menores y, como consecuencia de eso, se enfría. Cuando el aire en ascensión y expansión perdió bastante calor de forma tal que su densidad es igualada al del medio ambiente, su elevación cesa. El aire caliente, al elevarse, es substituido por el aire frío de las vecindades. Todo el proceso es conocido como convección, que es el transporte de calor por movimiento de la materia.

2.6.

RADIACION SOLAR La radiación solar es la fuente de energía que ocasiona la ocurrencia del ciclo hidrológico, responsable del movimiento atmosférico terrestre, y principal fuente energética del planeta. La radiación solar llega a las capas superiores de la atmósfera a una tasa de 2 cal/cm2/min, magnitud denominada constante solar, cuando la superficie se considera normal a la radiación incidente y a una distancia igual a una distancia media entre el sol y la tierra. Una parte de la radiación incidente es dispersada y absorbida por la atmósfera y la tierra; otra es reflejada por las nubes y la tierra. La proporción de radiación reflejada (por nubes o tierra) en relación con la radiación incidente se denomina albedo. Tanto el albedo como la absorción varían considerablemente con la altitud solar, el tipo de nube, - 28 -



el tipo de superficie terrestre, la humedad, etc. Las nubes pueden reflejar entre el 20% y 80% de la radiación incidente; la tierra, entre el 10% y 30%; y los océanos entre 6% y 8%. El albedo medio para la superficie terrestre el de 14%. Los valores dados reflejan valores medios solamente. La mayor parte de la superficie terrestre no está perpendicular a los rayos incidentes; aún más, a medida que aumenta en ángulo de inclinación, disminuye la intensidad de la radiación. Por lo tanto a mayor latitud, menor intensidad de la radiación solar. La desigual incidencia de la energía solar sobre las diferentes regiones del planeta constituye uno de los principales factores que determina la circulación general de la atmósfera terrestre, y por lo tanto el clima. Esta diferencia también se presenta a lo largo del año para una misma localidad, ocasionando variaciones en el clima, no sólo en relación con la latitud, sino también con el tiempo (estaciones climáticas). La radiación solar se mide mediante equipos denominados actinómetros o radiómetros. La duración de la radiación directa se mide con un heliofanógrafo.

2.7.

TEMPERATURA La temperatura es considerado como el factor determinante y decisivo de las diversas etapas del ciclo hidrológico y principalmente en el estudio de la evaporación. El efecto de los diversos procesos de intercambio de calor en el sistema Tierra-Atmósfera conduce a una distribución de temperatura según la dirección vertical, o sea, un decremento de la temperatura con la altitud de 6,5 °C/km en la troposfera y condiciones aproximadamente isotérmicas en la estratosfera. La tasa de variación de la temperatura con la altitud es denominada gradiente vertical de temperatura. El estudio de la gradiente vertical de temperatura es de gran interés, ya que a través de el se puede aquilatar la estabilidad o inestabilidad de la atmósfera. La estabilidad atmosférica es determinada a través de gradientes de temperatura teóricos íntimamente ligados a los procesos de evolución del aire, tales como:

2.7.1. Gradiente Vertical de Temperatura

(a) Gradiente de Temperatura de la Adiabática Seca Un proceso termodinámico en el cual no existe intercambio de calor entre el sistema que trabaja y su medio ambiente es denominado proceso adiabático. Cuando una parte de aire en un determinado nivel es forzada para un nivel más bajo, la presión más alta del nivel inferior actúa para disminuir su volumen. El trabajo de compresión es convertido en energía calorífica y se manifiesta por un aumento de temperatura. Ese calentamiento del aire por compresión abiabática es denominado como calentamiento dinámico. En realidad el proceso no es estrictamente adiabático, ya que ocurre siempre una transferencia de calor entre la parte y el medio ambiente, sin embargo por ser el aire un pobre conductor del calor, el proceso es considerado adiabático. Inversamente, una parte de aire que es llevada para un nivel más alta queda sujeta a presiones externas más bajas y se expande. La parte en ascenso realiza un trabajo y la energía interna de la parte ascendente, que necesariamente disminuye con la elevación. El efriamiento del aire adiabáticamente por expansión es llamado enfriamiento dinámico. La temperatura de una partícula de aire no saturado elevada adiabáticamente decrece a una razón de 1 °C por cada 100 m. Esta tasa de disminución de la temperatura con la altitud es conocida como la gradiente de temperatura de la adiabática seca.

- 29 -



(b) Gradiente de la Temperatura de la Adiabática Saturada Cuando una parte de aire saturado con vapor de agua es elevada adiabáticamente, se expande y enfría dinámicamente. El enfriamiento del vapor de agua en el aire causa condensación y resulta en la liberación de calor latente de vaporización. Ese calor sirve para reducir la tasa de enfriamiento de la parte ascendente. Por esta razón, el gradiente de temperatura de la adiabática staurada es menor que el de la adiabática seca. Para que el proceso sea realmente adiabático es necesario que el producto de la condensación permanezca en el sistema a lo largo de su ascensión, o sea, no ocurra precipitación. El gradiente de temperatura de la adiabática saturada es de 0,54 °C por 100 m en las capas bajas de la atmósfera y tiende para la de la adiabática seca en grandes altitudes, ya que la cantidad de vapor de agua presente en grandes altitudes es muy pequeña. (c) Gradiente de Temperatura Pseudo-Adiabático Si en un movimiento ascendente de una porción de aire saturado hubiera precipitación, la temperatura del aire sufrirá un enfriamiento pseudo-adiabático. El proceso no es estrictamente adiabático porque alguna energía es retirada del sistema por la precipitación. Los gradientes de temperatura no se diferencian mucho del gradiente de temperatura adiabático seco y en muchos casos pueden ser considerados iguales. Sin embargo, el proceso pseudo-adiabático es irreversible, toda vez que el producto de la condensación no permanece retenido en el sistema. 2.7.2. Distribución Geográfica de la Temperatura En general, la temperatura tiende a ser máxima en las bajas latitudes y disminuye en dirección a los polos. Sin embargo, esa tendencia es bastante distorsionada por la influencia de la distribución de tierras y mares, de la topografía y de la vegetación. En el interior de los continentes, las temperaturas son más altas en verano y más bajas en invierno que en las regiones costeras a la misma latitud. La temperatura decrece con la altitud haciendo con que en las regiones más elevadas la temperatura sea más baja. El intervalo de variación de la temperatura en áreas de bosques es menor que en áreas estériles. Sobre las ciudades las temperaturas son más elevadas que en las regiones vecinas. 2.7.3. Variación de la temperatura con el Tiempo La variación diaria de la temperatura es producida por la fluctuación diaria de la radiación solar incidente. La temperatura comienza a elevarse con la salida del sol y alcanza su máximo 1 a 3 horas después de que el sol haya alcanzado su altitud máxima. Las temperaturas mínimas ocurren normalmente en las madrugadas. Durante la noche, cuando la radiación solar está ausente, la temperatura es afectada solamente por el enfriamiento radiante. Consecuentemente, la curva típica de temperatura diurna no es simétrica y es afectado por el estado del cielo. En días nubosos, la temperatura máxima es menor por causa de la reducción de insolación. Por otro lado, la mínima es mayor porque las nubes reducen la pérdida por radiación.

2.8.

VIENTOS El viento, que es el aire en movimiento, se origina por las diferencias de presión y temperatura y es un factor muy importante en el ciclo hidrológico porque influye en el transporte de calor y humedad, evaporación y evapotranspiración, alimentación de las precipitaciones, etc. Desde el punto de vista práctico, es necesario conocer la - 30 -



intensidad y dirección del viento para el adecuado diseño de obras civiles de gran altura, tales como torres, ubicación de industrias contaminantes; como fuente de energía eólica, etc. Las características fundamentales del viento son: dirección, velocidad o intensidad y perfil de distribución de velocidades. La dirección del viento es la dirección de donde proviene la masa de aire; se expresa en términos de los 16 puntos de la rosa de vientos distribuidos en los 4 cuadrantes N-S-EO, para los vientos de superficie. En el caso de los vientos de altura, la dirección se expresa en grados a partir del Norte en el sentido de las agujas del reloj. La dirección se determina mediante una veleta, diseñada de tal forma que la flecha indica la procedencia. La velocidad del viento se expresa en m/s, km/h o nudos, y se mide mediante los anemómetros. Los anemómetros pueden ser de copas, hélice o de tubo a presión. A pesar de que no se ha estandarizado la altura de medición, se puede medir el viento a 2 y 10 m de altura, valor que se utiliza en los estudios de evaporación. Para el flujo del aire sobre la superficie del suelo o agua se aplica el perfil logarítmico de velocidad (Priestley, 1959), dada por:

u 1 ⎛ z = ln⎜ u * k ⎜⎝ z 0

⎞ ⎟⎟ ⎠

(2.18)

donde u* es la velocidad de corte dada por: u * =

τo (τo es el esfuerzo cortante en el ρ

fondo y ρ la densidad del aire), k = 0.4 es la constante de Von Karman y zo es la altura de la rugosidad de la superficie, dada por la siguiente tabla:

Tabla 2.4: Valores Aproximados de Alturas de Rugosidad Superficie Hielo, Fango Agua Pasto (hasta 10 cm de altura) Pasto (10 – 50 cm de altura) Vegetación (1 – 2 m de altura) Vegetación (10 – 15 m de altura)

Altura de Rugosidad (cm) 0.001 0.01 – 0.06 0.1 – 2.0 2–5 20 40 – 50

Diferenciando la ecuación (2.18), se obtiene la ecuación (2.19) que representa la gradiente y puede usarse para determinar los campos de flujos de momentum laminares y turbulentos a diferentes elevaciones:

du u * = dz kz

(2.19)

- 31 -



Ejemplo 2.5 Se ha medido una velocidad de viento de 3 m/s a una altura de 2 m por encima de un campo con pasto (zo = 1 cm). Determinar el perfil de velocidades y calcule las tasas de campo de flujo de momentum laminar y turbulento a 20 cm y el campo de flujo de momentum turbulento a 2 m de elevación. Para el aire: ρ = 1.20 kg/m3, ν = 1.51x10-5 m2/s, Km = 1.5 m2/s (difusividad de momentum). Solución: La velocidad de corte se calcula con la ecuación (2.18) usando la velocidad conocida de u = 3 m/s en z = 2 m:

3 1 ⎛ 2 ⎞ = ln⎜ ⎟ ; resolviendo: u* = 0.226 m/s. u* 0.4 ⎝ 0.01 ⎠

El perfil de velocidades se calcula sustituyendo valores de z en: El gradiente de velocidad en z = 0,2 m es:

1 ⎛ z ⎞ u ln⎜ = ⎟ 0.226 0.4 ⎝ 0.01 ⎠

du u * 0.226 = = = 2.83 s -1 dz kz 0.4 × 0.2

El campo de momentum laminar está dado por la ley de viscosidad de Newton:

τ = ρν

du = 1.20 × 1.5 × 10 −5 × 2.83 = 5.1 × 10 −5 N/m 2 dz

El campo de flujo de momentum turbulento está dado por:

τ t = ρK m

du = 1.20 × 1.5 × 2.83 = 5.1 N/m 2 dz

El gradiente de velocidad en z = 2 m es:

du u* 0.226 = = = 0.28 s -1 dz kz 0.4 × 2

El campo de momentum laminar está dado por la ley de viscosidad de Newton:

τ = ρν

du = 1,20 × 1,5 × 10 −5 × 0,28 = 5 × 10 −6 N/m 2 dz

El campo de flujo de momentum turbulento está dado por:

τ t = ρK m

du = 1,20 × 1,5 × 0,28 = 0,51 N/m 2 dz

Se puede notar que la relación de los campos de flujo de momentum convectivo en 0,2 y 2 m es 5,1/0,51 = 10; el campo de flujo de momentum (o esfuerzo cortante) es inversamente proporcional a la elevación en un perfil logarítmico de velocidad. Por consiguiente, el campo de flujo de momentum es más grande cerca de la superficie del suelo y disminuye a medida que se incrementa la elevación. Se deja como ejercicio para el estudiante dibujar el perfil de distribución de velocidades del presente ejemplo.

- 32 -


2.9.


BIBLIOGRAFIA

(1) (2) (3)

BEDIENT P. B.; HUBER W. C. – Hydrology and Floodplain Analysis, USA, Addison-Wesley Publishing Company, 1992 CHOW VEN TE – Hand book of Applied Hydrology, New York, McGraw-Hill Book Company, 1964 CHOW VEN TE; MAIDMENT D. R.; MAYS L. W. – Applied Hydrology, McGrawHill Book Company, 1988

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- 33 -


CAPITULO 3: 3.1.

Capítulo 3: La Cuenca Hidrográfica

LA CUENCA HIDROGRAFICA

GENERALIDADES Entre la regiones hidrológicas de importancia práctica para los hidrólogos se destaca la cuenca hidrográfica o cuenca de drenaje, por la simplicidad que ofrecen en la aplicación del balance hídrico. Según Viessman, Harbaugh, Knapp (1977), la cuenca hidrográfica es toda el área drenada por un curso de agua ó por un sistema de cursos de agua, cuyas aguas concurren a un punto de salida; en otras palabras se puede decir que cuenca de drenaje, es el área que contribuye a la escorrentía y que proporciona todo o parte del flujo del cauce principal y sus tributarios. Las características físicas y funcionales de una cuenca hidrográfica pueden ser definidas como los diversos factores que determinan la naturaleza de la descarga de un curso de agua. El conocimiento de esas características es muy importante por las siguientes razones: a) para establecer comparaciones entre cuencas hidrográficas, b) para interpretar de forma clara los fenómenos pasados, c) para efectuar previsiones de descarga de un río. Estos factores, que determinan la naturaleza de descarga de los ríos, pueden ser agrupados en factores que dependen de las características físicas y de uso de la cuenca hidrográfica o factores fisiográficos y factores que dependen del clima, factores climáticos.

3.2. 3.2.1.

CARACTERISTICAS FÍSICAS DE LA CUENCA Límite de la Cuenca Toda cuenca está limitada por una línea formada por los puntos de mayor nivel topográfico, llamada divisoria , que divide las precipitaciones que caen en cuencas vecinas y que encamina la escorrentía superficial resultante para uno u otro sistema fluvial. La divisoria sigue una línea rígida alrededor de la cuenca, atravesando el curso de agua solamente en el punto de salida y uniendo los puntos de cota máxima entre cuencas, lo que no impide que en el interior de una cuenca existan picos aislados con cotas superiores a algunos puntos de la divisoria. El flujo de agua en una cuenca está compuesto del agua que alcanza los cauces luego de haber escurrido superficialmente, así como del agua que llega a los cauces después de haber recorrido caminos subsuperficiales y subterráneos. La superficie de una cuenca están delimitados por dos tipos de divisorias de agua: un divisor topográfico o superficial y un divisor freático o subterráneo. El divisor topográfico, está condicionado por la topografía y define el área del cual proviene el agua superficial de la cuenca. La divisoria de aguas subterráneas es, en general, determinado por la estructura geológica del terreno, siendo muchas veces influenciado por la topografía. La divisoria freática establece, por lo tanto, los límites de los depósitos de agua subterránea de donde proviene el flujo base de la cuenca y difícilmente coinciden con el divisor topográfico. Debido a la dificultad de determinarse con exactitud la divisoria freática, dado que no es fijo, mudando de posición con las fluctuaciones de la napa, se acostumbra considerar que el área de la cuenca de drenaje es aquella determinada por el divisor topográfico. De este modo, el agua de precipitación que alcanza la superficie de una cuenca de drenaje, infiltrándose y escurriendo subterráneamente, cuando atraviesa el divisor topográfico de la cuenca constituye una fuga de agua de la cuenca donde ocurrió la precipitación. - 45 -



- 46 -


3.2.2.


Área de la Cuenca El área de la cuenca o área de drenaje es el área plana (proyección horizontal) comprendido dentro del límite o divisoria de aguas. El área de la cuenca es el elemento básico para el cálculo de las otras características físicas y es determinado, normalmente, con planímetro y expresado en km2 o hectáreas. Es importante mencionar que cuencas hidrográficas con el mismo área pueden tener comportamientos hidrológicos completamente distintos en función de los otros factores que intervienen.

3.2.3.

Forma de la Cuenca La forma superficial de una cuenca hidrográfica es importante debido a que influye en el valor del tiempo de concentración, definido como el tiempo necesario para que toda la cuenca contribuya al flujo en la sección en estudio, a partir del inicio de la lluvia o, en otras palabras, tiempo que tarda el agua, desde los límites de la cuenca, para llegar a la salida de la misma. En general las cuencas hidrográficas de grandes ríos presentan la forma de una pera, pero las cuencas pequeñas varían mucho de forma, dependiendo de su estructura geológica. Existen varios índices utilizados para determinar la forma de las cuencas, buscando relacionarlas con formas geométricas conocidas; así el coeficiente de compacidad la relaciona con un círculo y el factor de forma con un rectángulo. a) Coeficiente de Compacidad Conocida también como el índice de Gravelius (Kc) es la relación entre el perímetro de la cuenca (P en km) y la circunferencia de un círculo de área igual a la de la cuenca (A en km2): A = π R 2

Kc =

P 2π R

= 0,28

P A

⇒ R=

A

π (3.1)

Este coeficiente es un número adimensional que varía con la forma de la cuenca, independientemente de su tamaño; cuanto más irregular es la cuenca, mayor será el coeficiente de compacidad. Un coeficiente mínimo igual a la unidad correspondería a una cuenca circular. Si los otros factores fueran iguales, la tendencia para mayores caudales, en la cuenca, será más acentuada cuando el coeficiente sea más próximo a la unidad. b) Factor de Forma El factor de forma (Kf) es la relación entre el ancho medio y la longitud axial de la cuenca. La longitud axial de la cuenca (L) se mide siguiendo el curso del agua más largo desde la desembocadura hasta la cabecera más distante en la cuenca. El ancho medio ( L ) se obtiene dividiendo el área de la cuenca por la longitud de la cuenca.

A L L A Kf = = = 2 L L L

(3.2)

- 47 -



El factor de forma constituye otro índice indicativo de la mayor o menor tendencia de avenidas en una cuenca. Una cuenca con un factor de forma bajo está menos sujeta a inundaciones que otra del mismo tamaño pero con mayor factor de forma. Esto se debe al hecho de que en una cuenca estrecha y larga, con factor de forma bajo, hay menos posibilidad de ocurrencia de lluvias intensas cubriendo simultáneamente toda su extensión; y también la contribución de los tributarios alcanza el curso de agua principal en varios puntos a lo largo del mismo, alejándose, por lo tanto, de la condición ideal de la cuenca circular donde la concentración de todo el flujo de la cuenca se da en un solo punto. 3.2.4.

Sistema de Drenaje El sistema de drenaje de una cuenca está constituido por el cauce principal y sus tributarios; el estudio de sus ramificaciones y el desarrollo del sistema es importante, pues indica la mayor o la menor velocidad con que el agua deja la cuenca hidrográfica. a) Tipos de Corrientes Una manera comúnmente usada para clasificar los cursos de agua es tomar como base la permanencia del flujo con lo que se determina tres tipos: (1) Perennes, que contienen agua durante todo el tiempo, la napa freática mantiene una alimentación continua y no desciende nunca por debajo del nivel de agua en el cauce, aún en épocas de sequía muy severas. (2) Intermitentes, en general, escurren durante las estaciones lluviosas y secan durante el período de estiaje. Durante las estaciones lluviosas, transportan la escorrentía superficial y el agua subterránea, dado que el nivel freático se mantiene por encima del nivel del lecho del cauce, lo que no sucede en la época de estiaje, cuando el nivel freático se encuentra por debajo del nivel del lecho del río. (3) Efímeros, que existen apenas durante o inmediatamente después de los períodos de precipitación y solo transportan escorrentía superficial. La napa freática se encuentra siempre en un nivel inferior al del lecho fluvial, no existiendo por lo tanto la posibilidad de flujo subterráneo hacia el cauce. b) Orden de Corrientes El orden de los ríos es una clasificación que refleja el grado de ramificación o bifurcación dentro de una cuenca. Utilizando el mapa de la cuenca bien detallado en el cual estén incluidos todos los canales perennes, intermitentes o efímeros y siguiendo el criterio introducido por Horton, los ríos son clasificados de la forma como es presentada en la Figura 3.1:

1 1

1

1

2 1

2 3 2

1

1 4

2

3 2 2

Figura 3.1: Orden de Corrientes

4

Son consideradas de primer orden las corrientes formadoras, o sea, los pequeños canales que no tienen tributarios; cuando dos canales de primer orden se unen es formado un canal de segundo orden; la unión de dos ríos de segundo orden da lugar a la formación de un río de tercer orden y, así, sucesivamente: dos ríos de orden n dan lugar a un río de orden n+1. De este modo, el orden del río principal muestra la magnitud de la ramificación en la cuenca.

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c) Densidad de Drenaje Una buena indicación del grado de desarrollo de un sistema de drenaje está dado por el índice llamado densidad de drenaje Dd. Este índice está expresado por la relación entre la longitud total, (L), de los cursos de agua (sean estas efímeras, intermitentes o perennes) de una cuenca y el área total (A).

Dd =

L A

(3.3)

La densidad de drenaje varía inversamente con la longitud de las corrientes y, por lo tanto, da una indicación de la eficiencia de drenaje de la cuenca. A pesar de la existencia de poca información sobre densidad de drenaje, se puede afirmar que este índice varía de 0,5 km/km2, para cuencas con drenaje pobre y de 3,5 a más, para cuencas bien drenadas. 3.2.5.

Características de Relieve El relieve de una cuenca hidrográfica tiene gran influencia sobre los factores meteorológicos e hidrológicos, pues la velocidad de la escorrentía superficial es determinada por la pendiente de la cuenca, mientras que la temperatura, la precipitación, la evaporación etc. son funciones de la altitud de la cuenca. Es muy importante, por lo tanto, la determinación de las curvas características del relieve de una cuenca hidrográfica. a) Pendiente de la Cuenca La pendiente de la cuenca controla en buena parte la velocidad con que se da la escorrentía superficial, afectando por lo tanto el tiempo que lleva el agua de la lluvia para concentrarse en los lechos fluviales que constituyen la red de drenaje de las cuencas. La magnitud de los picos de avenida y la mayor o menor oportunidad de infiltración y susceptibilidad de erosión de los suelos dependen de la rapidez con que ocurre la escorrentía sobre los suelos de la cuenca. Tabla 3.1: Distribución de Pendientes en la Cuenca del Río Lorichuco - La Libertad Area: 66.7 km2

Cuadrículas: 1km2

1 2 3 4 5 6 7 8 Pendiente Area % del Area Frecuencia Frecuencia Frec. Relat. Pendiente (4)x(7) (m/m) (km2) Total Absoluta Relativa (%) Acumul. (%) Media (%) 0.00 - 0.10 10.9 16.4 13 17.3 17.3 0.05 0.65 0.10 - 0.20 12.8 19.2 16 21.3 38.7 0.15 2.40 0.20 - 0.30 17.1 25.7 19 25.3 64.0 0.25 4.75 0.30 - 0.40 10.0 15.0 11 14.7 78.7 0.35 3.85 0.40 - 0.50 8.8 13.2 9 12.0 90.7 0.45 4.05 0.50 - 0.60 3.9 5.9 5 6.7 97.3 0.55 2.75 0.60 - 0.70 1.5 2.3 1 1.3 98.7 0.65 0.65 0.70 - 0.80 1.5 2.3 1 1.3 100.0 0.75 0.75 Total 66.7 100.0 75 19.85 Declividad Media: 19.85/75 = 0.265 m/m

Entre los métodos que pueden ser usados en la determinación de los valores representativos de la pendiente de la cuenca, el más completo es el de las cuadrículas asociadas a un vector. Este método consiste en determinar la distribución porcentual de las pendientes de las cuadrículas por medio de un - 49 -



muestreo estadístico de las pendientes normales a las curvas de nivel en un gran número de puntos en la cuenca. Esos puntos deben ser localizados en un mapa topográfico de la cuenca por medio de un cuadriculado que se traza sobre el mismo.

Figura 3.2: Curva de Distribución de Pendientes en la Cuenca Lorichuco

Declividad (m/m)

1.00

0.10

0.01 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Frecuencia Relativa Acumulada (%)

b) Elevación Media de la Cuenca La variación de la altitud y la elevación media de una cuenca son, también, importantes por la influencia que ejercen sobre la precipitación, sobre las pérdidas de agua por evaporación y transpiración y, consecuentemente, sobre el caudal medio. Variaciones grandes de altitud conllevan diferencias significativas en la precipitación y la temperatura media, la cual, a su vez, causan variaciones en la evapotranspiración. La elevación media es determinada por medio de un rectángulo de área equivalente a la limitada por la curva hipsométrica (Figura 3.3) y los ejes coordenados; la altura del rectángulo es la elevación media. Otro método es mediante la utilización de la siguiente ecuación:

E=

∑ ea A

(3.4)

donde: E es la elevación media, e la elevación media entre dos curvas de nivel consecutivas, a el área entre las curvas de nivel y A el área total de la cuenca. c) Curva Hipsométrica Es la representación gráfica del relieve medio de una cuenca. Representa el estudio de la variación de la elevación de las diferentes superficies de la cuenca con referencia al nivel medio del mar. Esta variación puede ser indicada por medio de un gráfico que nuestra el porcentaje del área de drenaje que existe por encima o por debajo de las diferentes elevaciones o cotas. La curva hipsométrica puede ser determinada por el método de las cuadrículas descrito anteriormente o planimetrándose las áreas entre las curvas de nivel. La Tabla 3.2, muestra los pasos utilizados para el cálculo de la curva hipsométrica de una cuenca hidrográfica. - 50 -



Tabla N° 3.2: Distribución Altimétrica de Áreas de la Cuenca Lorichuco – La Libertad 1 Cotas (msnm) 2375 - 2400 2400 - 2500 2500 - 2600 2600 - 2700 2700 - 2800 2800 - 2900 2900 - 3000 3000 - 3100 3100 - 3200 3200 - 3300 3300 - 3400 3400 - 3500 3500 - 3600 3600 - 3700 3700 - 3800 3800 - 3900 3900 - 4000 4000 - 4100 4100 - 4200 4200 - 4250 Total

2 3 4 5 6 7 8 Cota media Area Sumatoria % del total % acum. Cota (2)x(3) (msnm) (km2) (km2) por encima (msnm) 100.0 2375.0 2387.5 0.5 0.5 0.7 99.3 2400.0 1096.1 2450.0 1.3 1.7 1.9 97.4 2500.0 3080.6 2550.0 1.4 3.1 2.1 95.4 2600.0 3529.5 2650.0 1.4 4.5 2.1 93.3 2700.0 3633.4 2750.0 1.8 6.3 2.7 90.6 2800.0 4944.5 2850.0 2.5 8.7 3.7 86.9 2900.0 6987.9 2950.0 2.4 11.1 3.6 83.3 3000.0 7070.9 3050.0 3.7 14.9 5.6 77.7 3100.0 11402.4 3150.0 6.7 21.6 10.1 67.6 3200.0 21163.0 3250.0 10.0 31.6 15.0 52.7 3300.0 32428.5 3350.0 12.2 43.8 18.3 34.4 3400.0 40890.9 3450.0 6.6 50.4 9.9 24.5 3500.0 22809.0 3550.0 5.9 56.2 8.8 15.7 3600.0 20793.7 3650.0 3.3 59.5 5.0 10.7 3700.0 12105.6 3750.0 2.1 61.6 3.1 7.6 3800.0 7767.0 3850.0 1.2 62.9 1.9 5.8 3900.0 4760.9 3950.0 1.6 64.4 2.4 3.4 4000.0 6224.8 4050.0 1.6 66.0 2.4 1.0 4100.0 6403.5 4150.0 0.5 66.5 0.7 0.3 4200.0 2052.6 4225.0 0.2 66.7 0.3 0.0 4250.0 785.0 66.7 219929.7

Altitud Media: 219929.7/66.7 = 3297 msnm.

Figura 3.3: Curva Hipsométrica de la Cuenca Lorichuco 4300 4100 3900

Altitud (msnm)

3700 3500 3300 3100 2900 2700 2500 2300 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Porcentaje de área que queda sobre la altitud (%)

- 51 -



d) Pendiente del Cauce Principal El agua de lluvia se concentra en los lechos fluviales después de escurrir superficial y subterráneamente por la superficie de la cuenca en dirección a la desembocadura o salida. La pendiente del curso de agua influye en los valores de descarga de un río de forma significativa, pues la velocidad con que la contribución de la cabecera alcanza la salida depende de la pendiente de los canales fluviales. Así, cuanto mayor la pendiente, mayor será la velocidad de flujo y más pronunciados y estrechos los hidrogramas de avenidas.

Figura 3.4: Perfil Longitudinal del Río Lorichuco 4100 3900

Cota (msnm)

3700

Declividad Media

3500

= 0.082 m/m

3300 3100 2900 2700 2500 2300 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Longitud del Cauce Principal (km)

Cota (msnm)

S1 S2 S3

Perfil Longitudinal Distancia (km)

Figura 3.5: Perfil Longitudinal del Río

La pendiente de un curso de agua, entre dos puntos, se obtiene dividiéndose la diferencia total de elevación del lecho por la longitud horizontal del curso de agua entre esos dos puntos. La Figura 3.5, representa el perfil longitudinal de un curso de agua y tres diferentes pendientes: S1 que representa la pendiente entre la desembocadura y la naciente del río; S2, valor más representativo, que es la pendiente de la línea que se traza de tal modo que el área entre la línea y el perfil del curso de agua por debajo y encima de la línea sean iguales. Existe otra pendiente, conocida como la pendiente equivalente, S3; este índice da una idea sobre el tiempo de recorrido del agua a lo largo del perfil longitudinal y se calcula dividiéndose el perfil en tramos y aplicando la siguiente relación:

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⎛ ⎜ ∑ Li S3 = ⎜ Li ⎜ ∑ ⎜ Si ⎝


⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

2

(3.5)

siendo Li y Si la longitud y la pendiente de cada tramo respectivamente. e) Rectángulo Equivalente Fue introducido por hidrólogos franceses con la intención de comparar mejor la influencia de las características de la cuenca sobre la escorrentía superficial. Consiste de un rectángulo de área igual a la de la cuenca de lado mayor y menor “L” y “l” respectivamente con curvas de nivel paralelas al lado menor, respetándose la hipsometría natural de la cuenca. Para el cálculo de los lados del rectángulo, se aplican las ecuaciones (3.6) y (3.7), obtenidas en base al área y al perímetro del rectángulo y el coeficiente de compacidad dada por la ecuación (3.1):

2( L + l ) =

P = 2( L + l )

A = L. l

Kc A 0,28

2 ⎡ ⎛ 1,12 ⎞ ⎤ Kc A ⎢ 1+ 1− ⎜ L= ⎟ ⎥ 1,12 ⎢ Kc ⎠ ⎥ ⎝ ⎣ ⎦

(3.6)

2 ⎡ ⎛ 1,12 ⎞ ⎤ Kc A ⎢ l= 1− 1− ⎜ ⎟ ⎥ K 1,12 ⎢ ⎝ c ⎠ ⎥⎦ ⎣

(3.7)

0

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

4000 msnm

3700 msnm

3600 msnm

3500 msnm

3400 msnm

3300 msnm

3200 msnm

3100 msnm

3000 msnm

2900 msnm

2800 msnm

2600 msnm 1

2700 msnm

2375 msnm

2400 msnm

Lado Menor: l = 3.39 km

Figura 3.6: Rectángulo Equivalente de la Cuenca Lorichuco

19

Lado Mayor: L = 19.65 km

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3.2.6.


Cuenca Representativa y Cuenca Experimental Se define cuenca representativa, como la cuenca con cierto tipo ecológico bien determinado y localizadas en regiones donde el ciclo hidrológico no esté muy perturbado por el hombre . En esas cuencas debe ser instalado un número razonable de estaciones meteorológicas, hidrométricas y de observaciones de las aguas subterráneas, necesarias para el estudio de las diferentes fases del ciclo hidrológico y además deben ser tomadas precauciones especiales para prohibir alguna intervención humana que altere significativamente el comportamiento hidrológico de la misma. Cuenca experimental es definida como aquella en la cual se pueden modificar a voluntad las condiciones naturales, como por ejemplo la cobertura vegetal o el suelo, mediante procedimientos de control de la erosión y donde sean estudiados los efectos de esas modificaciones sobre el ciclo hidrológico.

3.2.7.

Tipo de Suelos En cualquier cuenca hidrográfica, las características de la escorrentía superficial son muy influenciadas por el tipo de suelo predominante, por causa de las diferentes capacidades de infiltración, debido al tamaño o dimensiones de sus partículas, su estructura y porosidad. Los suelos arcillosos sufren un proceso de contracción/expansión con la variación del tenor de humedad, lo que afecta su capacidad de infiltración. Los mapas geológicos dan una buena indicación del tipo de suelo existente en una cuenca, en función de la formación geológica local.

3.2.8.

Uso y Ocupación del Suelo Uno de los factores más importantes que afecta la escorrentía en la cuenca es el tipo de uso y ocupación del suelo. Al analizarse un cierto evento o al querer usar una serie histórica de datos de caudales, es imprescindible conocer si el uso del suelo en la cuenca se mantiene constante y en caso que haya variado, el modo como ha evolucionado.

3.3.

FACTORES CLIMÁTICOS a) Tipo o Forma de Precipitación El tipo o forma de precipitación tiene gran importancia sobre la variación del caudal de un río. Por ejemplo una precipitación en forma de lluvia con intensidad y magnitud suficiente para influenciar en la escorrentía es sentida casi inmediatamente, mientras que una precipitación en forma de nieve, sin alcanzar la temperatura de fusión no será sentida. b) Intensidad de Lluvia Cuando la intensidad de lluvia excede la tasa de infiltración del suelo, ocurre escorrentía superficial debido a la precipitación excedente. Cuanto mayor sea la intensidad de lluvia mayor será el caudal del curso de agua. Se puede concluir que después de sobrepasada la capacidad de infiltración, la escorrentía superficial crecerá rápidamente con el aumento de la intensidad de lluvia. Sin embargo, el aumento del caudal del río no es proporcional al incremento del exceso de lluvia por causa del efecto de retardo resultante del proceso de acumulación.

- 54 -



c) Duración de la Precipitación Precipitaciones con duración por debajo del tiempo de concentración de la cuenca, independientemente de la intensidad, tendrán prácticamente el mismo período de escorrentía superficial, mientras que para lluvias más largas, el periodo de escorrentía será mayor. Otro efecto de la duración de la precipitación es que la capacidad de infiltración decrece durante la lluvia. d) Distribución de la Precipitación en una Cuenca La distribución uniforme de la precipitación, sobre una cuenca, sucede raramente. Para pequeñas cuencas, los caudales picos ocurren para lluvias de gran intensidad que cubren pequeñas áreas, mientras que para cuencas grandes, los caudales picos ocurren para lluvias de baja intensidad, pero que cubren áreas muy extensas. Por ejemplo, en las Figuras 3.7a y 3.7b, se presentan las curvas de la misma altura pluviométrica (isoyetas) de dos lluvias. Asumiendo que las alturas totales de lluvia sean prácticamente iguales, los hidrogramas resultantes pueden ser muy diferentes. En el caso de la Figura 3.7a, pudo haber ocurrido poco o ninguna escorrentía superficial, dependiendo de la capacidad de infiltración del suelo. Para el caso de la Figura 3.7b, probablemente en el tramo inferior, la capacidad de infiltración fue grandemente excedida.

A = 100 km2 Pm = 70 mm

100 mm

40 mm

80 mm

60 mm

60 mm

80 mm

40 mm

A = 100 km2 Pm = 70 mm

Figura 3.7a

100 mm

Figura 3.7b

Para medir este factor, se define el coeficiente de distribución, CD, como el cociente entre la precipitación máxima en cada punto y la precipitación media en la cuenca. Cuanto mayor fuera CD, mayor será la escorrentía superficial máxima. e) Dirección de Desplazamiento de la Lluvia La dirección con que la lluvia se desplaza a través de la cuenca en relación al sentido de flujo del sistema de drenaje, tiene gran influencia sobre el caudal pico resultante y sobre la duración de la escorrentía superficial. Si consideramos que las intensidades de las lluvias 1, 2 y 3, de la Figura 3.8, son iguales; los hidrogramas resultantes, producto de las lluvias, en el punto de control (estación de aforos) serán muy diferentes. Lluvia 1 Lluvia 3

Lluvia 2 Salida

Figura 3.8

Para el caso de la lluvia 1, la escorrentía superficial de la parte más alta de la cuenca, alcanza los cursos de agua más alejadas del punto de control y escurre en dirección a la salida durante algún tiempo. Cuando el agua de la parte más alta de la cuenca alcanza el punto de control, ocurrirá una acumulación grande de agua en la salida, que producirá un caudal pico muy alto y un periodo de escorrentía superficial más corto que en las otras circunstancias. - 55 -



El hidrograma, debido a la lluvia 2, que alcanza primero el punto de control y se dirige hacia aguas arriba, tendrá efecto opuesto. En ese caso, la escorrentía superficial de la parte baja de la cuenca habrá escurrido a través del punto de control, antes que alguna escorrentía superficial de las partes altas hayan alcanzado el lecho del río. De esa situación resultará un caudal pico menor y un período de escorrentía mayor que al anterior. El hidrograma debido a la lluvia 3, producirá un caudal pico cuya magnitud y duración estarían comprendidos entre los valores resultantes de los dos casos anteriormente descritos. f) Precipitación Anterior y Humedad del Suelo El tenor de humedad de las capas superficiales del suelo tiene influencia en la capacidad de infiltración y también en la determinación de la posibilidad, o no, del incremento de agua en el suelo. Cuando la humedad del suelo es alta, la capacidad de infiltración es baja y la cuenca de drenaje es susceptible a inundaciones. De otro lado, cuando el tenor de humedad del suelo alcanza la capacidad retentiva del suelo, el agua de infiltración llegará hasta la napa freática. O sea una lluvia que cae poco después de otra anterior, puede causar un caudal pico considerable, mientras que la misma lluvia precipitando luego de un período seco, no producirá caudales de consideración. Un área de selva virgen que posee una capa espesa de residuos de hojas, ramas y hierbas, puede soportar una precipitación tan alta, sin que ocurra escorrentía superficial; esa misma área, en caso de que fuera talada y transformada en centro poblado, puede compactarse por el tráfico de personas y animales y por la misma lluvia, resultando una escorrentía superficial capaz de provocar una avenida. Por otro lado, un campo abierto que sea substituida por un cultivo de cobertura vegetal densa, puede dar al suelo una mayor capacidad de infiltración y así reducir la escorrentía superficial. 3.4.

IMPACTOS CAUSADOS POR LA CONSTRUCCIÓN DE OBRAS HIDRÁULICAS La construcción de obras hidráulicas genera alteraciones físicas dentro de la cuenca. Por ejemplo la construcción de una presa en un río, con la formación de un embalse, produce impactos y efectos tanto en lo que se refiere a los aspectos climáticos como hidrológicos, como se verá a continuación:

3.4.1.

Impacto Climático A nivel de macroescala, el efecto aislado de un embalse en el clima regional puede ser despreciable, debido a que los principales componentes climáticos regionales y sus variaciones estacionales y anuales son determinados por el movimiento general de la circulación atmosférica. A nivel microclimático local, los efectos quedan restringidos a las áreas limítrofes del embalse, provocando pequeñas alteraciones en algunas variables climatológicas como la temperatura, humedad relativa, pluviosidad, viento y la nubosidad.

a) Temperatura De acuerdo con los resultados obtenidos para los embalses de Jupiá-Ilha Solteira Brasil (Tarifa, J. R.-1981), la temperatura parece ser el elemento climático a sufrir mayores modificaciones por la acción del embalse, principalmente sus extremos,

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cuyos valores tienden a ser achatados, o sea, ocurre una pequeña disminución en la amplitud térmica diaria, mensual y anual. b) Humedad Relativa Análisis referentes a la variación de la humedad relativa en la microregión del embalse de Itaipu (Brasil), (Tarifa, J. R.-1981), mostró que los valores medios diarios, con máximas por las mañanas (95%) y mínimas en las tardes (65%), medidos en el periodo anterior a la formación del embalse, fueron ligeramente superiores a los valores obtenidos después de la formación del embalse. Esto es debido al aumento de la superficie líquida para evaporación, que resulta en el aumento de la humedad de la capa límite del aire en contacto con la lámina de agua del embalse y del efecto del viento. Se espera que en el área circundante al embalse se presente un aumento del número de días con rocío que favorece la incubación y multiplicación de enfermedades y plagas para los cultivos y animales de la región. c) Pluviosidad Resultados, de diferentes estudios muestran que no hubo alteración en los valores totales de lluvia anual, luego de la formación del embalse. Sin embargo, en los períodos secos y fríos, parece haber ocurrido un ligero incremento en los valores medios de lluvia; este hecho puede ser explicado por la posibilidad de formación de neblinas, en las mañanas frías y aumento de la humedad que resultan en precipitaciones en forma de garúas. d) Viento El cambio de la rugosidad de la superficie a ser inundada, provocará alteraciones en el perfil vertical de los vientos. Con la disminución de la rugosidad la tendencia será el aumento de la velocidad del viento. Por otro lado se presenta alteraciones en el balance de radiación solar y por la acción de los vientos débiles, inducir un mecanismo de brisa. Es conocido que, alrededor de un gran lago, el viento sopla en dirección de la tierra durante el día (brisa de lago) y hacia el lago durante la noche (brisa terrestre). Cuando comienza a soplar la brisa del lago, la temperatura cae, la humedad aumenta y la brisa avanza sobre la tierra como si fuera una frente fría. Según Yoshino (1975), entre el área controlada por la brisa de lago y las áreas adyacentes libres de ese efecto, la diferencia térmica puede llegar hasta 4°C. El efecto relevante de esta situación es la posible formación de ondas en el lago, además de la presencia de una variación térmica no confortable para la población ribereña. e) Nubosidad Las neblinas, producto de la evaporación, son más intensas durante el invierno, cuando el aire más frío de la tierra se desplaza sobre la superficie líquida más caliente. La humedad proveniente del agua, por evaporación, juntándose al aire frío, se satura provocando condensación. Estas neblinas se concentran en las partes más bajas (valles) y, lógicamente el sector más propenso será aquel que se sitúa en el sentido predominante del viento. A Nivel Microclimático, Las modificaciones en el microclima ocurrirán, básicamente, por un lado, en la propia área a ser inundada, y por otro lado, en las márgenes del embalse. Así habrá una transformación de un microclima de los campos de cultivo o de formaciones herbáceas y el medio acuático del área a ser inundada. En las márgenes, debido a la oscilación del nivel de agua, como consecuencia de la - 57 -



operación del embalse, aparecerá una faja “pelada” sin vegetación, por tratarse de un área alternadamente húmeda y seca que evita el desarrollo de algún tipo de vegetación. Además de estas alteraciones, conviene mencionar el aumento de la superficie líquida evaporante y por consiguiente mayor pérdida por evaporación. Deberán ocurrir, también, alteraciones en los intercambios de radiación solar entre la superficie de campos y cultivos (albedo entre 20 y 25%) y la superficie líquida (albedo entre 5 y 6%). Con relación a la presión, las posibles alteraciones ocurrirán en función del calentamiento diferencial tierra/agua. Durante el día, el calentamiento sobre la tierra es mayor que la del agua, dando lugar, a un flujo de aire superior de la tierra hacia el lago. Durante ese período, la presión del aire, próxima a la superficie del agua se eleva, mientras que, sobre la tierra, disminuye. 3.4.2.

Efectos Hidrológicos La construcción de una presa es, normalmente, el responsable por las modificaciones profundas en las características hidrológicas del curso de agua, tanto en lo que se refiere al régimen de flujo como del transporte de sedimentos. a) Alteraciones en el Régimen del Flujo La construcción de una presa altera substancialmente el régimen de flujo hacia aguas arriba, pues transforma un determinado tramo del río, con aguas corrientes, en un lago artificial. Como consecuencia, la formación del embalse provoca modificaciones en el nivel freático, en los alrededores del lago, siendo estas modificaciones más o menos significativas, de acuerdo con la variación del nivel de agua en el embalse, a lo largo del tiempo. Esto puede causar problemas en la estabilidad de los taludes periódicamente inmersos, en las fundaciones de las edificaciones cercanas al embalse, en los pozos de abastecimiento de agua, en las áreas agrícolas ribereñas y en la vegetación natural remanente. Además, como consecuencia de la formación del embalse, ocurrirá, en los períodos húmedos, un aumento de caudales afluentes. Esto es debido a la disminución del tiempo de concentración de la cuenca, dado la reducción de distancias que el agua tiene que recorrer y debido al aumento de la superficie líquida en el cual el agua precipitada es transformada, instantáneamente, en contribución. En los períodos secos, habrá una disminución de los caudales, debido a la mayor pérdida por evaporación. Con la acumulación de los volúmenes afluentes en el embalse, para atender las demandas, los excedentes del período lluvioso liberados hacia aguas abajo, sufrirán una amortiguación y los del período de estiaje, un incremento. En la mayoría de los años, ese efecto será sensible y, solo en años extremamente lluviosos o secos, el efecto podrá ser nulo o negativo. Otra alteración en el régimen hacia aguas abajo deberá ocurrir durante la fase de llenado del embalse cuando, durante un cierto tiempo, es liberada un caudal mínimo o nulo hacia aguas abajo. b) Alteraciones en el Régimen de Transporte de Sedimentos La construcción de una presa, crea condiciones para que una gran cantidad de material sólido, transportado por el río, sea depositado a aguas arriba y, por lo tanto, disminuye la cantidad de material transportado para aguas abajo. Como consecuencia de este fenómeno, se tiene la pérdida de la fertilidad de tierras ribereñas hacia aguas abajo que, durante las pequeñas avenidas eran inundadas y, por consiguiente, beneficiadas con la deposición de material orgánico.

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La oscilación del nivel de agua en el embalse, en función de su operación, puede provocar desmoronamientos de sus márgenes, lo que puede causar un aumento en la colmatación del embalse y, por lo tanto, una disminución en su vida útil. Los procesos erosivos aguas abajo de la presa dependen, básicamente, de las propiedades físicas de los materiales que constituyen el lecho del río y de los caudales descargados y de su poder erosivo que, teniendo en cuenta la disminución del material sólido en suspensión, tiende a aumentar. De este modo, es posible la ocurrencia de erosión en los bancos de arena, playas naturales y en el propio fondo del lecho del río, a lo largo de un tramo aguas abajo de la presa. Ejemplo 3.1 Sean las cuencas hidrográficas A, B y C indicadas en las Figuras, que poseen un único curso de agua de longitud L = 20 m.

21.67 km

Area = 400 km2 40 km L 20 km

L

L

10 km

20 km

5 km

(A)

(B)

(C)

30 km

Considerando que las características funcionales que dependen del clima son idénticas y que todas poseen las mismas características de uso, pendiente y altitud. En base a las características físicas estudiadas, verificar cual de las cuencas presenta mayor posibilidad de presentar caudales picos. Solución: AA = AB = AC = 400 km2 DA = DB = DC = L/A = 20/400 = 1/20 = 0.05

Área: Densidad de Drenaje:

Coeficiente de Compacidad: K c = 0.28 Cuenca A: Cuenca B: Cuenca C: Factor de Forma:

Kf = Cuenca A: Cuenca B: Cuenca C:

P A

Kc = 1.12 Kc = 1.40 Kc = 1.25

A L2 Kf = 1.0 Kf = 1.0 Kf = 1.0

Como solo los coeficientes de compacidad difieren para las tres cuencas, se puede decir que cuanto menor sea el valor de Kc, mayor será la potencialidad de producción de caudales picos. A pesar de que en la cuenca A el agua del tramo inferior “llega - 59 -



más rápido” al lecho del río que en el caso de la cuenca B, la contribución de la parte alta alcanzará la sección de control luego del escurrimiento de la parte inferior. La cuenca C representa un caso intermedio entre las cuencas A y B. Si consideramos ahora que los cursos de agua llegan al límite superior de la cuenca, tenemos que: LA = 40 km, LB = 20 km y LC = 30 km. Para esta condición los factores de forma y densidades de drenaje pasan a ser: Factor de Forma: Cuenca A: Cuenca B: Cuenca C:

Kf =

A L2

Kf = 0.25 Kf = 1.00 Kf = 0.44

Densidad de Drenaje: D = Cuenca A: Cuenca B: Cuenca C:

L A

DA = 1.00 DB = 0.50 DC = 0.75

En este caso ocurren dos alteraciones que presentan tendencias diferentes: Por un lado, cuanto mayor sea el factor de forma será mayor el potencial de caudales, por otro lado, cuanto mayor la densidad de drenaje, más rápido alcanza el agua el lecho del río, o sea, los efectos parecen antagónicos. En este caso, el mayor caudal pico dependerá del análisis conjunto de otras características, tales como: intensidad de lluvia, pendiente y coeficiente de escorrentía, pendiente del curso de agua, etc. Ejemplo 3.2 Toda la zona comprendida entre las cotas 3500 y 3600 de la cuenca Lorichuco (66.7 km2), cuya curva hipsométrica se muestra en la Figura 3.3, va a ser inundada como consecuencia de la construcción de una represa. ¿Cual es la extensión de terreno inundado?. Solución: De acuerdo a la curva hipsométrica, el porcentaje de área comprendida entre las cotas 3500 y 3600 es aproximadamente el 5%. Por lo tanto el área inundada será el 5% del área de la cuenca que es igual a 3.34 km2.

3.5.

BIBLIOGRAFÍA

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BARROS, M.C.V. y ANTONIO, D.V. Estudo das Características Físicas e

Hidrológicas da Bacia do Rio Piranga até Ponte Nova, Estado de Minas Gerais Rio de Janeiro. D.N.A.E.E, 1967 (2) (3) (4)


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GARCÉS, L. N. - Hidrología, Sao Paulo, Ed. Edgard Blücher. 1967 HERAS, R. - Manual de Hidrología: los recursos hidráulicos, Madrid, Centro de Estudios Hidrográficos, 1949 v. 3 LINSLEY Jr., R. K.; KOHLER, M. A. & PAULHUS, J. L. H. – Hydrology for Engineers, New York, McGraw-Hill Book Company, 1958

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- 60 -



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MEJIA M., J.A. Notas del Curso de Hidrología, Universidad Nacional Agraria La

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MOLINA G., M. Hidrología, Universidad Nacional Agraria La Molina, PUBLIDRAT, Publicación N° 12, Lima, 1975. RODRIGUEZ T., F., Elementos de Escurrimiento Superficial, Secretaría de Recursos Hidráulicos, Memorandum Técnico N° 330, Mexico, 1974 TARIFA, J.R. Efeitos de Implantacao do Lago de Itaipú no Clima do Sudoeste do Paraná. Sao paulo, 1981. VIESSMAN Jr., W.; HARBAUGH, T.E. & KNAPP, J. W. – Introduction to Hydrology, New York, Intext Educational, 1972. VILELA S. M.; MATTOS A. – Hidrologia Aplicada, Sao Paulo, McGraw-Hill do Brasil, 1975

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Capítulo 4: Recopilación y Análisis de Datos Hidrológicos

CAPITULO 4: RECOPILACIÓN Y ANÁLISIS DE DATOS HIDROLÓGICOS

4.1.

4.1.1.

REDES HIDROMÉTRICAS CONVENCIONALES

Generalidades Los datos hidrometeorológicos son colectados primordialmente como información básica para el desarrollo y gestión de los recursos hídricos de una región. Son usados también para fines operacionales como previsión de inundaciones y sequías, operación de embalses y centrales hidroeléctricas y finalmente para investigación. Una red hidrométrica es un conjunto de instrumentos o estaciones de medición de una o más variables hidrológicas, distribuido en una cuenca con el objeto de cuantificarlos adecuadamente y observar sus variaciones temporales y espaciales. Normalmente, las estaciones de medición son operados por una persona denominado observador, encargada de mantener los instrumentos en correcto estado de funcionamiento y de efectuar las lecturas necesarias, haciendo las anotaciones respectivas. Es de gran importancia que los diversos tipos de redes sean instalados como proyectos integrados, pero en la práctica casi siempre las redes son operadas por diversas entidades, siendo necesarias una buena cooperación en su desarrollo y exploración. La diversidad de características regionales en términos de topografía, uso del suelo, acceso, infraestructura y problemas hídricos, hace impracticable establecer normas universalmente satisfactorias para el proyecto de redes hidrometeorológicas. El objetivo final es siempre la implantación de una red óptima global, pero en los países en desarrollo, la preocupación inmediata debe ser el planeamiento de redes de densidad mínima aceptable. Una red mínima es aquella que evitará incurrir en serios errores o deficiencias en la gestión de los recursos hídricos, en una escala compatible con el desarrollo económico de la región. En la planificación de redes hidrometeorológicas, la localización de las estaciones de medición debe ser definida de tal forma que los datos recolectados sean útiles también en el desarrollo de relaciones entre los factores hidrológicos y los parámetros físicos más significativos, tales como declividad, altitud, morfología, geología, uso del suelo, área, etc.

4.1.2.

Redes Óptimas Una red óptima es aquella en la cual, por simple interpolación de los valores medidos en las diferentes estaciones, es posible determinar con precisión suficiente, para fines prácticos, los elementos hidrometeorológicos básicos en cualquier punto de la región. Es claro que, del punto de vista económico, el número de estaciones debe ser lo menos posible por lo que se acostumbra, entonces, dividir las estaciones en tres tipos. Estaciones principales, estaciones ordinarias y estaciones especiales. Las estaciones principales, estaciones base o permanentes, son aquellas que suministran los fundamentos, para estudios estadísticos, y por eso deben operar continuamente y por tiempo indefinido. Se estima que para obtener valores medios - 62 -



confiables de caudal en regiones húmedas, son necesarias series de datos de 30 a 40 años y, en áreas con variabilidad acentuada de la precipitación de 70 a 80 años. Las estaciones ordinarias o secundarias deben ser operadas durante un número limitado de años. Su duración será apenas lo suficiente para establecer una buena correlación entre ella y las estaciones base o las características físicas del terreno. En caso de estaciones hidrométricas, cuando estas se sitúan en afluentes del curso principal, las correlaciones entre estaciones serán menos significativas en caso de estar localizadas en el mismo río. Desplazándose una estación secundaria después de haber sido definida la correlación, puede ser cubierta una gran área, con una red densa apoyado en las estaciones principales, que son operadas continuamente. Las estaciones especiales atienden proyectos o fines específicos como observación de niveles máximos solamente, o estudios de niveles mínimos, etc. En general ellas no suministran datos adecuados para el análisis estadístico, razón por la cual su establecimiento debe ser analizado con sentido crítico, especialmente antes de contar con una red mínima satisfactoria. 4.1.3.

Red Mínima Alcanzar el estado de una red óptima requiere de tiempo y trabajo permanente. El primer paso es construir una red mínima que atienda a las necesidades inmediatas del desarrollo económico de la región. Es importante implantar la red con la mayor rapidez posible, y una vez implantada, los esfuerzos deben ser encaminados para su optimización, instalando sucesivamente estaciones secundarias que suministrarán datos para estudios de variabilidad espacial y temporal de las variables hidrometeorológicas locales para futuras obras hidráulicas que son de interés para esas instalaciones. Debido a la baja densidad de una red mínima, es fundamental que los datos de todas las estaciones sean confiables. Es obvio que una red mínima en la cual 50% de sus estaciones es abandonado o irregularmente operado, tiene su densidad reducida a la mitad y no es más considerado como una red mínima. Las estaciones existentes deben ser utilizadas como núcleo para la estructuración de red mínima. Si su localización no es considerada adecuada, se debe implantar una nueva estación en las proximidades, visando definir una correlación y para eso debe ser operada durante 10 años. Si la correlación es satisfactoria, la estación antigua puede ser desactivado, en caso contrario, debe ser analizado el abandono de la estación antigua, especialmente si sus datos son considerados poco representativos o poco confiables. Este es un proceso que lleva mucho tiempo y es por eso que su proseguimiento es crítico, por cuanto los registros hidrológicos deben anteceder en muchos años a la necesidad inmediata. La falta de esa información, mientras tanto, puede atrasar proyectos de implantación urgente, o conducir a errores graves en el proyecto de obras hidráulicas y en la gestión de recursos hídricos.

4.1.4.

Densidad Mínima de las Redes Cada observación o dato medido en la estación se toma como representativo de una área dada. Una medición de precipitación en un pluviómetro, por ejemplo, es útil únicamente en la medida en que representa la lluvia real en la región circundante, y aún no siendo representativa, ella puede ser usada como índice.

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Una medición de descargas en un río representa no solo el caudal de la cuenca particular de drenaje, sino también de las cuencas vecinas, bajo ciertas restricciones. Existe un límite para esa representatividad espacial, y el número de factores que deben ser tomados en cuenta es muy grande y complejo, imposibilitando la definición de un único criterio que indique la densidad mínima adecuada para una región. Entre los factores a ser considerados se citan las condiciones fisiográficas e hidrológicas, especialmente las variaciones espaciales de los regímenes fluviales, hidrológicos y la hidrografía. Debido al hecho de que la mayor parte de las estaciones exigen los cuidados de un observador, la distribución de la población es también un factor a ser analizado. La Organización Meteorológica Mundial aconseja las densidades mínimas para redes pluviométricas e hidrométricas constantes de las tablas 4.1. y 4.2. Tabla N° 4.1: Densidades Mínimas para Redes Pluviométricas Tipo de Región

Regiones planas en zonas templadas y tropicales Regiones montañosas en zonas templadas y tropicales Islas montañosas con precipitaciones irregulares y red de drenaje densa Regiones áridas y polares

Area en km2 por estación Densidad Mínima Densidad mínima tolerada en Normal condiciones difíciles 600 – 900 900 – 3000 100 – 250

250 – 1000

25 1500 – 1000

Tabla N° 4.2: Densidades Mínimas para Redes Hidrométricas Tipo de Región

Regiones planas en zonas templadas y tropicales Regiones montañosas en zonas templadas y tropicales Islas montañosas con precipitaciones irregulares y red de drenaje densa Regiones áridas y polares

4.1.5.

Area en km2 por estación Densidad Mínima Densidad mínima tolerada en Normal condiciones difíciles 1000 – 2500 3000 – 10000 300 – 1000

1000 – 1500

140 – 300 5000 – 20000

Costos El costo anual de operación de redes hidrométricas varía de acuerdo con la frecuencia de las visitas, la composición de los equipos, equipo usado y medios de transportes utilizados. A su vez esos factores dependen del tamaño de la región, del número de estaciones, de las condiciones de acceso y de la cantidad y calidad de los datos a ser colectados. En la tabla 4.3 se presentan costos de operación de redes, en algunos países de América Latina, (Basso, 1979).

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Tabla 4.3: Costos de Operación de Redes en Países de América Latina País

Costo anual (US$) 27,700 8.100 2,300 3,990 3,050 2,170 1,780

Brasil: Cuenca Amazónica Brasil:Cuenca de Tocantins Colombia Costa Rica Chile Nicaragua Panamá

4.2. 4.2.1.

ADQUISICIÓN DE DATOS EN TIEMPO REAL Telemetría La gestión de recursos hídricos adquiere cada vez más importancia en la medida que aumenta el uso y degradación de las aguas y la exploración de las cuencas hidrográficas. Una correcta evaluación de los recursos hídricos exige un elevado número de puntos de muestreos, y una concentración rápida de la información. La solución de este problema en cuencas extensas exige la automatización de las redes y su interés es el control efectivo inmediato de la cuenca, justifica el uso de le telemetría. Telemetría es la realización de mediciones a distancia, a través de sondas automáticas que, en la mayor parte de los casos, sustituye el observador. Su gran ventaja es la velocidad de concentración de los datos, permitiendo el seguimiento de la evolución de los fenómenos en tiempo real. El concepto de telemetría es mejor caracterizado como un sistema (Gauenberg,1967), que como una técnica o un dispositivo. El incluye el medio en que se realiza la conversión del parámetro medido en señal eléctrico, el método de transmisión y recepción de la señal y el método de conversión de esta señal en forma utilizable. En otras palabras, un sistema de telemetría está compuesto de un subsistema de medición, un subsistema de telecomunicación y un subsistema de procesamiento (Figura 4.1). El sistema telemétrico contrasta con los métodos tradicionales en el uso intensivo e inmediato que hace de la electrónica (especialmente micro computadoras y micro procesadores). La figura 4.1 ilustra también el esquema convencional, donde transcurren largos períodos de tiempo entre la adquisición de información y su aplicación en la solución de problemas reales. En la mayoría de los casos, los diversos sistemas de telemetría se diferencian entre sí solo en cuanto a los aspectos de telecomunicación. Medición

Cálculo

Almacenamiento

Análisis

Difusión

Uso

Esquema de un Sistema Tradicional Utilización Fenómeno Físico

Subsistema de Medición

Subsistema de Transmisión

Subsistema de Procesamiento

Difusión Archivo

Figura N° 4.1: Esquema de un Sistema Telemétrico

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4.2.2.


Sistemas de Transmisión Se utilizan básicamente cuatro tipos: por línea telefónica, por radiocomunicación, por dispersión meteórica y por satélite. La transmisión de datos por línea telefónica, consiste en la interconexión de estaciones hidrométricas al centro de procesamiento a través de una comunicación interurbana (Figura 4.2). Esta modalidad de transcripción permite que las estaciones hidrométricas sean totalmente automáticas, dispensando la necesidad de intervención humana, permitiendo que los datos sean recibidos en tiempo real, con la ventaja de que las estaciones sean interrogables, esto es, se pueden obtener datos a cualquier instante, bastando para eso una comunicación para la estación. Básicamente, en este proceso las señales mecánicas provenientes de los sensores son transformados en señales eléctricas que por medio de una interfase son introducidas en la línea telefónica, después de un discado automático. Esa señal cuando es recibido en la estación central, es codificado, filtrado y almacenado en la memoria magnética. Funcionando por medio de programas introducidos en microcomputador, la estación central interroga automáticamente, en horarios predeterminados a las estaciones remotas y permite también interrogaciones siempre que se considere necesario, fuera de los horarios preestablecidos. El sistema de adquisición de datos vía telefónica, depende de la calidad de los servicios telefónicos prestados en la región, el que en general, no representa problema mayor debido al intensivo mejoramiento reciente del sistema de telecomunicación. Naturalmente, algunas regiones del país (Amazonía) que aún no cuentan con esos servicios de forma amplia y confiable, tendrá limitada la aplicación de esta metodología. En la forma más simple, el sistema de radio comunicación consta de un instrumento de radio en un lugar remoto, conectado a uno o más sensores, y de una estación piloto situada en la central de procesamiento. La radio transmite los datos, en forma temporizada o bajo el comando de la estación piloto. Tales sistemas operan generalmente en HF (high frecuency), VHF (Very high frecuency), UHF (Ultra high frecuency) on SHF (Super high frecuency).

4.3. 4.3.1.

USO DE SATÉLITES EN HIDROLOGÍA Generalidades De manera simple, se podría decir que los satélites cumplen tres funciones básicas: ellos pueden “ver”, “oír” y “hablar”. En términos más técnicos, ellos pueden usar varios tipos de sensores para vigilar las condiciones de la atmósfera terrestre, pueden recibir los datos que les son enviados de otros sensores y pueden transmitir toda esa información a los usuarios en tierra. Se aplica con mucha frecuencia el término de sensores remotos para referirse a esas técnicas.

4.3.2.

Tipos de Satélites Operativos Disponibles Se clasifican en dos grupos según sus órbitas: polares y geoestacionarios.

- 66 -



Los satélites de órbita polar recorren la órbita en aproximadamente en 105 minutos y cada vez cruzan el ecuador en 25° de longitud más al oeste que en la órbita precedente, a una altitud que varía entre 800 y 900 km. De esta forma, una parte determinada de la superficie terrestre puede ser monitoreada no menos de dos veces cada 24 horas: una trayectoria N-S y otra de S-N. En las latitudes altas, en general es posible observar un lugar más de dos veces en 24 horas, debido a la superposición de las imágenes y la proximidad de las órbitas. Su fuente de energía son celdas solares, y requieren de baterías para funcionar en los períodos de 1/3 de órbita en que el satélite entra en la sombra de la tierra; como solo transmiten cuando pasan sobre la estación receptora, requieren también grabadoras para almacenar información. Los satélites de órbita polar pertenecen a las series TIROS-N (USA) o METEOR-2 (URSS). Los satélites TIROS se lanzan en grupos de 2, con órbitas con ángulo recto, sincrónicas con el sur, esto es, cruzan el ecuador a la misma hora en cada órbita, para que la iluminación en cada foto sea la misma. Su vida útil es de dos años y están dotados de 4 conjunto de instrumentos básicos: uno proporciona imágenes visuales en infrarrojo de la capa de nubes de la superficie terrestre; otro efectúa sondajes atmosféricos; otro vigila la actividad solar y el cuarto concentra datos y localiza plataformas de colecta de datos o estaciones telemétricas. Los datos son transmitidos a tierra por tres emisoras directas distintas. Los satélites geoestacionarios completan una órbita en exactamente 24 horas, girando a la misma velocidad de rotación de la tierra, para lo cual es necesaria una altitud de cerca de 36000 km. Por su altura reciben la luz del sol durante el 99% del tiempo en cada órbita, razón por la cual no requieren casi baterías y grabadoras a bordo. Los satélites geoestacionarios proporcionan imágenes tanto visuales como en infrarrojo con intervalos de 30 minutos, que pueden ser reducidos a 3 minutos, disminuyendo el campo de visión. Los últimos lanzados pueden efectuar sondajes de temperatura y humedad en la atmósfera. Poseen también sensores para medir la actividad solar y el campo magnético terrestre. Los señales, transmitidos en forma digital, permiten generar imágenes con hasta 1024 tonalidades de color (comparadas con las 16 que el ojo humano puede distinguir), razón por la cual la reconstrucción de las imágenes requiere la interpretación por computador. Muchos otros tipos de satélites científicos son usados como el NIMBUS para la investigación atmosférica y previsión del tiempo, el LANDSAT, para la investigación de recursos Naturales y el SEASAT para estudiar la conformación de la superficie de los océanos, olas y vientos superficiales. 4.3.3.

Evaluación de la Precipitación Normalmente, las imágenes en rango visual y no infrarrojo proporcionan información substancial sobre las nubes, pero no indican directamente las zonas de precipitación. Se usan dos criterios, uno para una evaluación de rutina y otro cuando se trata de situaciones extremas, como es el caso de precipitaciones extremas causadas por el fenómeno del niño. En el primer caso se correlacionan datos de nubes (tipo y cantidad), con las mediciones efectuadas en los pluviómetros, en general para periodos de 12 horas; establecida la correlación, constituye una herramienta de predicción. En el segundo - 67 -



caso se analiza la relación entre el brillo de las imágenes y la precipitación. Uno de los métodos más satisfactorios se basa en la determinación de las temperaturas del tope de las nubes, a partir de las imágenes realzadas en infrarrojo y en el uso de esa información conjuntamente con detalles de desarrollo de las nubes, según el principio de que cuanto más alto (más frío) es el tope de las nubes más intensas serán las precipitaciones. 4.3.4.

Plataforma de Colecta de Datos Además de captar imágenes del sistema Tierra-Atmósfera, los satélites permiten ligar estaciones automáticas, instalaciones en áreas remotas de difícil acceso o oceánicas, y la estación receptora que diseminará los datos a los usuarios. Los tres juntos constituyen el Sistema de Colecta de Datos hidrometeorológicos cuyo nombre se da a una estación telemétrica que opera con satélites. El sistema propicia la obtención de datos hidrológicos en tiempo real, necesarios para la toma de decisiones en la operación de embalses y para uso de modelos lluvia-descarga. La Plataforma de Colecta de Datos, está compuesta por sensores de parámetros ambientales, transmisor, antena y fuente de alimentación eléctrica. Las plataformas pueden ser temporizadas, cuando transmiten información al satélite dentro de un horario programado. Interrogables si transmiten solo cuando son activadas por una fuente externa. De acceso aleatorio si transmiten cuando el parámetro sobrepasa en valor o gradiente determinado. Un aspecto importante a considerar en cualquier aplicación es la precisión con que se desea medir un determinado parámetro. En el caso de la precipitación, se usa el pluviógrafo de cuba basculante donde a cada 0.1 mm de lluvia el sensor cierra el contacto y la precipitación total es obtenida contando el número de veces que ese contacto es accionado. Para el nivel de agua, se usa el linnígrafo de flotador, donde el movimiento vertical de la bolla es transmitido mediante un cable de acero para un disco que lo convierte en un número binario asociado a la cota del flotador.

4.4.

DIFUSIÓN DE LA INFORMACIÓN HIDROLÓGICA En el Perú, diferentes instituciones como el Instituto Nacional de Recursos Naturales (INRENA), a través de la Dirección General de Aguas y Suelos (DGAS); el Servicio Nacional de Meteorología e Hidrología (SENAMHI) y otros son los órganos responsables de la elaboración, coordinación, orientación y control de los programas de utilización múltiple de los recursos hídricos del país. Por ello cabe a estas instituciones planear, orientar y coordinar el sistema de colecta y elaboración de informaciones de los recursos hídricos y mantener el registro de datos e informaciones hidrológicas, promoviendo su difusión e intercambio.

Además de estas instituciones, muchas otras entidades mantienen en operación redes de estaciones hidrológicas como: Instituto Nacional de Desarrollo (INADE) a través de los proyectos especiales, empresas de generación de electricidad como EGENOR, empresas mineras como SOUTHERN, Yanacoha, Buenaventura, entre otros.

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4.5. 4.5.1.


ANALISIS DE INFORMACION HIDROLÓGICA Generalidades Antes de iniciar cualquier análisis o utilizar los datos observados en las estaciones pluviométricas, hay necesidad de realizar ciertas verificaciones de los valores de precipitación. Los datos hidrológicos en general, están constituidos por una larga secuencia de observaciones de alguna fase del ciclo hidrológico obtenidas para un determinado lugar. No obstante que un registro largo sea lo deseable, se debe reconocer que cuanto más largo es el período de registro, mayor será la posibilidad de error. Una serie generada en esas condiciones, si los errores o cambios fueran apreciables, es inconsistente, o carece de homogeneidad. (Searcy y Hardison, 1963).

4.5.2.

Detección de Errores La inconsistencia y homogeneidad de registros hidrológicos, representa uno de los aspectos más importantes del estudio en la hidrología contemporánea. Los medios ambientes hidrológicos son afectados grandemente por factores hechos por el hombre tales como construcción de estructuras hidráulicas (presas, bocatomas, etc.), obras de drenaje, entre otros o por cambios inesperados naturales y procesos lentos tales como incendios, derrumbamientos, tala progresiva de árboles, etc., las que producen inconsistencia en la toma de la información. Así se tiene que series de usos de agua urbana presentan saltos y tendencias creadas por el incremento o decremento de la población. Inconsistencia es sinónimo de error sistemático y se presenta como saltos y tendencias, y no homogeneidad es definido como los cambios de los datos vírgenes con el tiempo debido a la acción del hombre o causas naturales como: a) Movimiento de las estaciones en una distancia horizontal, b) movimiento en una distancia vertical, c) cambios en el medio ambiente de una estación. El tratamiento a datos hidrológicos se refiere a la identificación, cuantificación y corrección de estas series donde existen errores sistemáticos.

4.5.3.

Análisis de Consistencia de Datos Para verificar ese tipo de inconsistencia, se usa el método de la curva de doble masa, basado en el hecho de que un gráfico de una cantidad acumulada ploteada contra otra cantidad acumulada durante el mismo período, debe ser una línea recta siempre que las cantidades sean proporcionales; la inclinación de la recta representa la constante de proporcionalidad. Una alteración en la pendiente de la recta, indicará que ocurrió un cambio en la constante de proporcionalidad entre las dos variables o que tal vez la proporcionalidad no es constante en todos los niveles de acumulación. En el caso hidrológico, si se usa para comparación de una estación dudosa un patrón constituido por las medias de varias estaciones de la región, las inconsistencias ocurridas en una única estación serán minimizadas. Para las lluvias, si los cambios de pendiente en las rectas no son debidas a factores meteorológicos, el método puede ser usado para ajustar o homogenizar la serie con coeficientes extraídos del gráfico de doble masa. El procedimiento se inicia con la selección de varias estaciones en la región, próximos a aquel que va a ser ajustado. Se acumulan a continuación los totales - 69 -



anuales de cada estación, según se indica en la Tabla N° 4.4 del ejemplo 4.1 y luego se calculan la media aritmética de los totales precipitados en cada año en todas las estaciones y se acumula esa media. Un primer gráfico de estos valores promedios acumulados versus los valores acumulados anuales de cada estación va a permitir definir la estación índice y luego el gráfico de los valores acumulados entre la estación índice y los valores acumulados de las estaciones restantes permitirá visualizar con mayor claridad los quiebres que se presentan en los diagramas de doble masa. En el diagrama de doble masa de la Figura 4.3, se puede observar que el gráfico correspondiente a la estación La Oroya presenta un quiebre bastante fuerte en el alineamiento de los puntos a partir de 1990 que es corroborada con la observación de la serie histórica (Figura 4.4), donde se define claramente dos periodos bien diferenciados entre sus parámetros estadísticos (media y desviación estándar). 4.6.

ANALISIS DE SALTOS Los saltos son formas determinísticas transitorias que permiten a una serie hidrológica periódica o no periódica pasar desde un estado a otro, como respuesta a cambios hechos por el hombre debido al continuo desarrollo de los recursos hídricos en la cuenca o a cambios naturales continuos que pueden ocurrir. Los saltos se presentan principalmente en los parámetros, media y desviación estándar.

4.6.1.

Procedimiento de Análisis Debido a la complejidad del análisis para detectar los cambios en datos hidrológicos, se recomienda al siguiente procedimiento: -

4.6.2.

Identificación Evaluación y/o cuantificación Corrección y/o eliminación

Identificación del Salto La identificación del salto tiene por objeto detectar la presencia del mismo y evaluar las causas que pueden haber ocasionado sea esta por la intervención del hombre o por fenómenos naturales. El procedimiento de identificación del salto es la siguiente: a) Información de Campo Permite conocer el estado real de las condiciones de operación y mantenimiento de las estaciones hidrológicas, cambio de operarios, traslado de estaciones, regulación de los ríos, derivaciones construidos, estado de explotación de la cuenca; básicamente va a permitir formularse una primera idea de los posibles cambios que están afectando a la información disponible y también conocer el tiempo durante el cual ha ocurrido dichos cambios. b) Análisis de las Series Hidrológicas Consiste en analizar visualmente la distribución temporal de toda la información disponible, combinando con los criterios obtenidos del campo, para detectar la regularidad o irregularidad de los mismos. Una serie hidrológica es el gráfico de una variable hidrológica (precipitación, descargas, etc.), en el eje de las ordenadas y el tiempo cronológico respectivo (anuales, mensuales, semanales o diarios) en el eje de las abscisas. - 70 -


• • • •


Cuando se dispone de una sola serie (un solo registro), éste puede dividirse en varios períodos y compatibilizar con la información de campo obtenida. Cuando se tiene estaciones varias de comparan sus series respectivos y se observa cual período, varía notablemente con respecto a los demás disponibles, realizando en este caso análisis de series múltiples. Cuando se dispone en el área de estudio de datos de precipitación y descarga, entonces se comparan sus series correspondientes, los cuales deben ser similares porque la descarga es efecto de la precipitación que sería la causa. Se debe mantener en lo posible el período más largo y más reciente como el más confiable, quedando a criterio de la decisión técnica de acuerdo a la experiencia en el área.

c) Análisis de Doble Masa El análisis de doble masa denominado también de “dobles acumulaciones”, es una herramienta muy conocida y utilizada en la detección de inconsistencias de datos hidrológicos múltiples, cuando se dispone de 2 o más series de datos, en lo que respecta a errores que pueden haberse producido durante la obtención de los mismos.

4.6.3.

•

Realizar el análisis de doble masa entre los datos de la misma causa o del mismo efecto, por decir precipitación versus precipitación o descargas versus descargas, registradas en estaciones vecinas o en su defecto en cuencas de similar comportamiento hidrológico.

•

Si se presenta el mismo quiebre en todas los gráficos de doble masa, significa que la causa que ocasiona el salto es un fenómeno natural, para lo cual se debe completar dicho análisis con información de cuencas vecinas.

•

Realizar el análisis de doble masa entre variables de causa y efecto (precipitación versus descarga) siempre en cuando que el caudal registrado en una estación dependa de las precipitaciones que ocurren en la parte alta.

Identificación del Salto Se realiza mediante un análisis estadístico, o sea mediante un proceso de inferencia para las medias y desviación estándar, de ambos períodos; mediante las pruebas T y F respectivamente.

1 X1 = n1

1 X2 = n2

∑X i =1

i

;

;

⎡ 1 n S2 = ⎢ (X i − X 2 )2 ⎤⎥ ∑ ⎣ n2 − 1 i =1 ⎦

n

∑X i =1

i

1/ 2

⎡ 1 n (X i − X 1 )2 ⎤⎥ S1 = ⎢ ∑ ⎣ n1 − 1 i =1 ⎦

n

(4.1a)

1/ 2

(4.1b)

Xi

=

información de análisis

X1, X 2 S1 , S 2 n1 , n2

=

medias del período 1 y 2 respectivamente.

=

desviación estándar del período 1 y 2 respectivamente.

= =

tamaño del período 1 y 2 respectivamente. tamaño de muestra = n1 + n2

n

- 71 -


a)


Consistencia en la Media (Prueba de medias) H. p.: μ1 = μ 2

•

(media poblacional)

H.a.: μ1 ≠ μ 2

α = 0.05

•

Cálculo de las desviaciones estándar de promedios y ponderada

⎛1 1 ⎞ S d = S p ⎜⎜ + ⎟⎟ ⎝ n1 n2 ⎠

1/ 2

⎡ (n − 1)S12 + (n2 − 1)S 22 ⎤ Sp = ⎢ 1 ⎥ n1 + n 2 − 2 ⎣ ⎦

1/ 2

(4.3)

Sd = desviación estándar de los promedios Sp = desviación estándar ponderada

donde: •

(4.2)

Realización de la prueba “T”

Tc =

(X

1

− X 2 ) − (μ1 − μ 2 ) Sd

(4.4)

donde: μ1 − μ 2 = 0 (por hipótesis); Tc es (tabular) se calcula con: •

el estadístico T calculado. El valor Tt

α = 0.05 y G.L. = n1 + n 2 − 2

Conclusión

Si Tc < Tt (95%)

X1 = X 2

(estadísticamente)

Si Tc > Tt (95%)

X1 ≠ X 2

(estadísticamente)

b)

Consistencia en la Desviación Estándar (Prueba de variancias)

•

Cálculo de las variancias de ambos períodos S12 y S 22

•

Prueba estadística “F”

Hp : σ 12 = σ 22 Ha : σ 12 ≠ σ 22

α = 0.05

•

Cálculo de “Fc”

Fc =

S12 / σ 12 S12 = S 22 / σ 22 S 22

Si S12 > S 22

(4.5a)

Fc =

S 22 S12

Si S 22 > S12

(4.5b)

- 72 -


•

Hallar el valor de Ft en las tablas con:

α G.L.N. G.L.D. Fc Ft

= = = = =

0.05 n1-1 (grados de libertad del numerador) n2-1 (grados de libertad del denominador) valor de F calculado valor de F tabular

•

Criterios de decisión

Si

Fc < Ft (95%) Fc > Ft (95%)

Si 4.6.4.


S1 = S 2

(estadísticamente)

S1 ≠ S 2

Corrección de la información A pesar que el número de años de registro en que la estación fue operada en las condiciones iniciales sea mayor que en las actuales, es más aconsejable corregir los datos del primer periodo, o sea, dejando inalterados los datos más recientes; porque en cualquier momento se puede hacer una inspección y conocer el estado de operación y conservación del mismo. Una vez hechas estas verificaciones y correcciones, los datos están expeditos para ser procesados. La primera etapa del procesamiento, en general, es el cálculo de las medias, la selección de valores máximos y mínimos observados, el cálculo de la desviación estándar y el coeficiente de variación, tanto para valores diarios, mensuales o anuales como se muestran en la Tabla N° 4.6. y el Gráfico 4.5 que corresponde a la información corregida con la cual, posteriormente, se pueden hacer análisis estadísticos, algunos de ellos serán abordadas en los siguientes acápites. En los casos en que los parámetros media y desviación estándar resultan ser estadísticamente iguales la información original no se corrige por ser consistente con 95% de probabilidades, aún cuando en el doble masa se observa pequeños quiebres.

⎡X − X1⎤ X 't = ⎢ t ⎥S2 + X 2 ⎣ S1 ⎦

para corregir al primer período.

(4.6a)

⎡X − X 2 ⎤ X 't = ⎢ t ⎥ S1 + X 1 ⎣ S2 ⎦

para corregir el segundo período

(4.6b)

en ambos casos:

X’t Xt

= valor corregido de la información = valor a ser corregido

Ejemplo 4.1 a) Con la información de precipitación total anual de las estaciones Quiulla, Casaracra, La Cima y La Oroya, mostrados en la Tabla 4.4, elaborar el diagrama de doble masa. b) Para la información de precipitación de la estación la Oroya, Tabla 4.5, realizar el análisis de salto, siguiendo el procedimiento descrito en el texto. - 73 -



Solución: a)

Tabla N° 4.4: Analisis de Doble Masa de Datos de Precipitación

Valores de Precipitación Anual

Valores de Precipitación Anual Acumulado

Año Quiulla

Casaracra

La Cima

La Oroya

Promedio

Quiulla

Casaracra

La Cima

La Oroya

1985

675,4

637,7

452,0

889,8

663,7

675,4

637,7

452,0

889,8

1986

673,6

736,5

558,5

1076,0

1424,9

1349,0

1374,2

1010,5

1965,7

1987

542,3

590,0

500,8

1083,7

2104,1

1891,3

1964,2

1511,3

3049,5

1988

651,3

588,3

606,7

1002,5

2816,3

2542,6

2552,5

2118,0

4052,0

1989

598,8

700,6

607,8

635,7

3452,0

3141,4

3253,1

2725,8

4687,6

1990

459,1

639,9

714,8

713,6

4083,8

3600,5

3893,0

3440,6

5401,2

1991

602,1

729,6

722,0

507,8

4724,2

4202,6

4622,6

4162,6

5909,0

1992

802,8

845,2

868,8

485,2

5474,7

5005,4

5467,8

5031,4

6394,2

1993

637,8

976,5

742,3

668,5

6231,0

5643,2

6444,3

5773,7

7062,7

1994

618,3

886,8

584,0

568,2

6895,3

6261,5

7331,1

6357,7

7630,9

1995

719,0

816,5

716,4

502,8

7583,9

6980,5

8147,6

7074,1

8133,7

1996

511,1

663,9

646,3

349,4

8126,6

7491,6

8811,5

7720,4

8483,1

1997

565,4

712,6

688,2

514,9

8746,9

8057,0

9524,1

8408,6

8998,0

1998

750,3

914,8

947,1

407,9

9501,9

8807,3

10438,9

9355,7

9405,9

1999

507,6

469,1

645,3

687,6

10079,3

9314,9

10908,0

10001,0

10093,5

Figura 4.2: Diagrama Doble Masa Referido al Promedio

Precipitación Anual Acumulada (mm)

12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 0

2000

4000

6000

8000

10000

Promedio de Precipitación Anual Acumulada (mm) Quiulla

Casaracra

La Cima

La Oroya

Precipitación Anual Acumulada (mm)

Figura 4.3: Diagrama de Doble Masa referido a la Estación Indice 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 0

2000

4000

6000

8000

10000

Precipitación Anual Acumulada- Estación Quiulla (mm) Casaracra

La Cima

La Oroya

- 74 -



b) Análisis de Consistencia de Datos de Precipitación Tabla N° 4.5: PRECIPITACION TOTAL MENSUAL (m.m) - ESTACION: LA OROYA DEPARTAMENTO: LATITUD: Año 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 MAX. MED. MIN. D.EST

JUNIN 11°31'

Ene.

Feb.

149,7 179,4 185,6 198,9 94,5 162,0 50,2 45,6 79,4 88,1 106,2 52,9 75,6 95,7 112,9 198,9 111,8 45,6 51,2

133,4 193,0 126,6 139,9 89,3 38,6 49,5 43,9 72,9 100,8 96,7 68,2 104 70,3 125,6 193,0 96,9 38,6 42,1

Mar. 106,1 192,1 85,1 96,4 88,7 33,5 99,8 31,1 83,5 64,6 62,8 51,3 45,5 48,6 90,2 192,1 78,6 31,1 39,8

PROVINCIA YAULI LONGITUD: 75°54' Abr. 66,0 153,3 25,9 107,5 43,3 33,5 29,1 25,9 34,6 80,1 48,3 52,6 26,6 28,9 61,8 153,3 54,5 25,9 36,0

May.

Jun.

17,6 35,3 37,2 12,4 6,9 33,0 27,1 18,9 10,7 19,8 7,1 8,6 8 7,3 10,7 37,2 17,4 6,9 10,9

36,7 0,6 22,7 0,0 4,2 31,9 29,0 30,8 32,6 1,6 0 0 0,7 0,5 3,7 36,7 13,0 0,0 15,2

Fuente: SENAMHI

DISTRITO: ALTITUD:

Jul. 13,4 25,4 50,2 2,2 1,5 11,9 2,4 7,9 13,3 0 10,5 0 1,5 0,0 18,4 50,2 10,6 0,0 13,4

Ago.

Set.

Oct.

8,0 57,2 29,4 0,0 39,1 39,2 0,0 8,7 17,3 8,4 2,8 5,4 26,2 0,0 4,9 57,2 16,4 0,0 17,7

50,9 72,3 55,8 45,2 41,4 45,4 69,9 52,5 35,1 34,3 19,6 9,8 62,6 2,0 42,6 72,3 42,6 2,0 20,3

47,2 51,7 78,2 102,1 55,1 116,0 48,8 64,1 79,4 42,6 30,2 26,7 44 47,5 44,1 116,0 58,5 26,7 25,3

LA OROYA 3.160 msnm Nov.

Dic.

86,7 40,9 192,4 133,1 116,4 99,7 52,9 89,3 125,6 38,2 41,9 35,7 48,8 57,8 82,8 192,4 82,8 35,7 44,8

Tot.

174,1 74,7 194,6 164,9 55,3 68,9 49,1 66,6 84,1 89,7 76,7 38,2 71,4 49,3 89,8 194,6 89,8 38,2 48,3

889,8 1076,0 1083,7 1002,5 635,7 713,6 507,8 485,2 668,5 568,2 502,8 349,4 514,9 407,9 687,6 1083,7 706,9 349,4 249,2

Tc = Tt =

5,05 1,97

Fc = Ft =

3,50 1,43

En negrita: Información completada o generada

Figura 4.4: Serie Histórica de Precipitación - Estación: La Oroya 200,0

Precipitación (mm)

175,0 150,0 125,0 100,0 75,0 50,0 25,0 1999

1992

1985

0,0

Tiempo (años)

ANALISIS DEL SALTO PRUEBA DE MEDIAS:

1er. Periodo: 2do. Periodo: alfa = 0,05

Como Tc > Tt, existe salto en la Media PRUEBA DE VARIANCIAS: Como S1 > S2:

N1 = N2 = G.L =

61 119 178

P1 = P2 = Sp =

79,5 44,1 44,541

S1 = S2 = Sd =

61,4 32,8 7,01

alfa =

0,05

G.L.N

60

G.L.D

118

Como Fc > Ft, se concluye que existe salto en la Variancia - 75 -



Tabla N° 4.6: PRECIPITACION TOTAL MENSUAL CORREGIDA - ESTACION: LA OROYA DEPARTAMENTO: PROVINCIA : DISTRITO : Año Ene. Feb. 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 MAX. MED. MIN. D.EST

81,6 97,4 100,8 107,9 52,1 88,2 50,2 45,6 79,4 88,1 106,2 52,9 75,6 95,7 112,9 112,9 82,3 45,6 22,7

72,9 104,8 69,2 76,4 49,3 38,6 49,5 43,9 72,9 100,8 96,7 68,2 104 70,3 125,6 125,6 76,2 38,6 25,5

JUNIN YAULI LA OROYA Mar. Abr. 58,3 104,3 47,0 53,1 49,0 33,5 99,8 31,1 83,5 64,6 62,8 51,3 45,5 48,6 90,2 104,3 61,5 31,1 22,8

36,8 83,5 15,4 59,0 24,7 33,5 29,1 25,9 34,6 80,1 48,3 52,6 26,6 28,9 61,8 83,5 42,7 15,4 20,7

May. 11,0 20,4 21,5 8,2 5,2 33,0 27,1 18,9 10,7 19,8 7,1 8,6 8 7,3 10,7 33,0 14,5 5,2 8,4

Jun.

Jul.

21,2 1,9 13,7 1,6 3,8 31,9 29,0 30,8 32,6 1,6 0 0 0,7 0,5 3,7 32,6 11,5 0,0 13,5

8,7 15,2 28,4 2,8 2,4 11,9 2,4 7,9 13,3 0 10,5 0 1,5 0,0 18,4 28,4 8,2 0,0 8,2

Ago. 5,8 32,2 17,3 1,6 22,5 39,2 0,0 8,7 17,3 8,4 2,8 5,4 26,2 0,0 4,9 39,2 12,8 0,0 12,4

LATITUD : LONGITUD : ALTITUD : Set. Oct. Nov. 28,8 40,2 31,4 25,7 23,7 45,4 69,9 52,5 35,1 34,3 19,6 9,8 62,6 2,0 34,4 69,9 34,4 2,0 18,2

26,8 29,2 43,4 56,1 31,0 116,0 48,8 64,1 79,4 42,6 30,2 26,7 44 47,5 44,1 116,0 48,7 26,7 23,7

47,9 23,4 104,4 72,7 63,8 99,7 52,9 89,3 125,6 38,2 41,9 35,7 48,8 57,8 64,4 125,6 64,4 23,4 28,9

11°31' 75°54' 3.160 Dic.

msnm Tot.

94,6 41,5 105,6 89,7 31,1 68,9 49,1 66,6 84,1 89,7 76,7 38,2 71,4 49,3 68,3 105,6 68,3 31,1 22,5

494,4 594,0 598,1 554,7 358,6 639,8 507,8 485,2 668,5 568,2 502,8 349,4 514,9 407,9 639,4 668,5 526,8 349,4 99,3

Figura 4.5: Serie Histórica de Precipitación Corregida - Estación: La Oroya 200,0

150,0 125,0 100,0 75,0 50,0 25,0 1999

1992

0,0 1985

Precipitación (mm)

175,0

Tiempo (años)

- 76 -


4.7.


COMPLETACION DE DATOS DE HIDROLÓGICOS El producto final de una estación de medición de lluvias o descargas debe ser una serie de valores diarios (o con intervalos diferentes) a lo largo de los años. Esto posibilitará la aplicación a esos datos de análisis estadísticos, a fin de extraer lo máximo de información de ellas y extender geográficamente o extrapolar temporalmente la información. Muchas estaciones de precipitación o descargas tienen períodos faltantes en sus registros, debido a la ausencia del observador o a fallas instrumentales. A menudo es necesario estimar algunos de estos valores faltantes para lo cual existen muchas formas de suplir estas deficiencias y el grado de aceptación de uno de estos métodos va a depender de la cantidad de observaciones faltantes en el registro de datos. Entre estos métodos podemos mencionar los siguientes: • • • •

4.7.1.

Completación de datos mediante un promedio de datos existentes. Completación de datos mediante el método de razones normales. Completación de datos por correlación entre dos estaciones. Completación de datos mediante métodos numéricos (generación aleatoria).

Completación de Datos mediante un Promedio Simple Si dentro del registro de datos faltan menos del 5% de información estos se pueden completar con un simple promedio de todos los datos existentes o la semisuma de los datos del año anterior y del siguiente.

4.7.2.

Completación de Datos mediante el Método de Razones Normales Puede haber, en los registros de los datos, días o intervalos grandes sin información, por imposibilidad del operador o falla del instrumento registrador. En ese caso, la serie de datos de que se dispone en una estación X, de los cuales se conoce la media en un determinado número de años, presenta vacíos que debe ser rellenada. Un procedimiento simple de completación parte de la premisa de que la precipitación PX en la estación X, sea proporcional a las estaciones vecinas A, B y C en un mismo periodo, que serán llamadas PA, PB, PC. Se acepta que el coeficiente de proporcionalidad sea la relación entre la media MX y las medias MA, MB, y MC en el mismo periodo de tiempo; esto es, que las precipitaciones sean directamente proporcionales a sus medias. Se adopta, entonces, como valor del dato faltante PX, la media entre los tres valores calculados a partir de A, B y C:

⎞ M M 1⎛M PX = ⎜⎜ X PA + X PB + X PC ⎟⎟ 3⎝ MA MB MC ⎠

(4.7)

Este método se base en el empleo de tres estaciones cercanas a la estación problema y que sirven de estaciones índices. Cuando la precipitación normal anual de cualesquiera de las tres estaciones índices difiere más del 10% de la estación problema se emplea la ecuación (4.7). Donde P es la precipitación en la estación indicada (X, A, B, C) y M es la precipitación media anual. Este método es adaptable a regiones con grandes variaciones en la precipitación debido a la orografía.

- 77 -



Ejemplo 4.2: Se desea determinar la precipitación en la estación X del año 1972 en el que dejó de funcionar. Teniendo los siguientes datos en las estaciones A, B y C.

Estación A B C X

Precipitación 1972 412 mm. 517 mm. 389 mm. ?

Precipitación promedio de 30 años 399 mm. 530 mm. 400 mm. 290 mm.

Solución:

PX = 4.7.3.

290 ⎛ 412 517 389 ⎞ + + ⎜ ⎟ = 288.1 mm. 3 ⎝ 399 500 400 ⎠

Completación de Datos mediante Regresión Simple Antes de ver la forma como se completan los datos mediante correlación y regresión es importante indicar que en todos los casos las estaciones, a ser correlacionadas, deben tener similitud en su ubicación (altitud, latitud, longitud, distancia a la divisoria) y estén cercanos. Entre los principales modelos de regresión usados en hidrología, podemos mencionar: Regresión lineal simple: Regresión logarítmica:

Y = a + bX Y = a + b ln(X )

Regresión Potencial: Regresión exponencial:

Y = aX b Y = a exp(bX )

forma linealizada: ln(Y ) = ln(a ) + b ln( X ) forma linealizada: ln(Y ) = ln(a ) + bX

Todas estas ecuaciones pueden se analizadas como modelos de regresión lineal simple, usando su forma linealizada. a) Regresión Lineal Simple Posiblemente el modelo más común usado en hidrología está basado en la asunción lineal entre dos variables. El objetivo de este análisis es establecer una relación lineal entre la variable independiente “X” y la variable dependiente “Y”: Y = α + βX. En este modelo α y β representan valores reales, sin embargo será necesario preguntarnos que valores de α y β son los más representativos para el modelo. Un criterio intuitivo nos conduce a que α y β deben tener valores que minimice la desviación ei entre los ∧

valores observados Y y los valores predecidos Y , siendo los estimadores de α y β a y b respectivamente.

∑ ⎛⎜⎝ Y − Y ⎞⎟⎠ = ∑ e = ∑ ⎛⎜⎝ Y − α − βX ⎞⎟⎠ = ∑ (Y − a − bX ) ∧

∧

∧

(4.8)

- 78 -


La


∑e ≅ 0

puede ser positivo ó negativo, por lo que este criterio no es del todo

conveniente ya que en la ecuación: Y = a + bX, la pasa por dos puntos. La

∑ e será

∑ e será igual a cero si la recta

también cero cuando la recta sobreestima un

punto en la misma proporción que subestima el otro punto y de ese modo se tienen una infinidad de líneas que hagan e ≅ 0.

∑

Por las consideraciones mencionadas se opta por minimizar la suma del cuadrado de las desviaciones: 2

∧ 2 ⎛ ⎞ M = ∑ e = ∑ ⎜ Y − Y ⎟ = ∑ (Y − a − bX ) ⎝ ⎠ 2

(4.9)

Esta suma puede minimizarse para a y b, derivando parcialmente M respecto de a y b e igualando a cero.

∂M 2 = −2∑ (Y − a − bX ) = 0 ∂a ∂M 2 = −2∑ X (Y − a − bX ) = 0 ∂a La solución de estas ecuaciones normales para a y b es:

b=

a=

n∑ XY − ∑ X ∑ Y n∑ X 2 − (∑ X )

2

=

∑ (X − X )(Y − Y ) ∑ (X − X )

(4.10)

2

∑ Y − b∑ X = ∑ X ²∑ Y − ∑ X ∑ XY n n∑ X ² − (∑ X ) 2

= Y −bX

(4.11)

La línea Y = a + bX es comúnmente conocida como la línea de regresión de Y en X. El procedimiento de determinación de a y b se conoce como regresión simple.

b) Evaluación de la Regresión La segunda pregunta que pregunta puede formularse es si pueden los datos ser descritos adecuadamente por la línea de regresión. Naturalmente la respuesta a esta pregunta depende de lo que se entienda adecuadamente. Una aproximación puede ser cuantificando el valor de la suma de cuadrados de la variable dependiente ya que ello representa su variabilidad, y cuyo procedimiento se presenta a continuación: ∧

∧

∧

∧

Haciendo: Y = Y + Y − Y + Y − Y lo que es igual a Y − Y = (Y − Y ) − (Y − Y ) ; elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación y sumando para todas las observaciones resulta: ∧

∧

∧

∑ (Y − Y ) 2 = ∑ (Y − Y ) 2 − 2∑ (Y − Y )(Y − Y ) + ∑ (Y − Y ) 2

(4.12) - 79 -



∧

Y = a + bX

como:

a = Y − bX

y

∧

Y − Y = b( X − X )

se obtiene:

∧

− 2∑ (Y − Y )(Y − Y ) = −2b∑ (Y − Y )( X − X ) De la ecuación deducida para "b" por mínimos cuadrados, ecuación (4.10), se tiene que:

∑ (Y − Y )( X − X ) = b∑ ( X − X )

2

por lo tanto

− 2∑ (Y − Y )(Y − Y ) = −2b 2 ∑ ( X − X ) 2 = −2∑ [b( X − X )] = −2∑ (Y − Y ) 2 ∧

∧

2

Entonces la ecuación de la suma de cuadrados podemos escribir como: ∧

∑ (Y − Y )

∧

= ∑ (Y − Y ) 2 − ∑ (Y − Y ) 2

2

(4.13)

reordenando términos resulta: ∧

∧

∑ (Y − Y ) =∑ (Y − Y ) + ∑ (Y − Y ) 2

si:

∑ (Y − Y ) =∑ Y 2

∑Y

2

2

2

− nY

2

2

tenemos

∧

∧

= nY + ∑ (Y − Y ) 2 + ∑ (Y − Y ) 2 2

∑Y

la suma de cuadrados total,

2

(4.14)

, tiene tres componentes.

1. nY 2 , suma de cuadrados de la media. ∧

2.

∑ (Y − Y )

2

= ∑ e 2 , suma de cuadrados de las desviaciones de la regresión o la

suma de cuadrados residual. ∧

3.

∑ (Y − Y ) 2 , la suma de cuadrados de la regresión.

La relación entre la suma de cuadrados total respecto a la media es denotada por R2: ∧

R = 2

∑ (Y − Y ) 2

∑ (Y − Y ) 2

R =b 2

2

S X2 S Y2

=b

2

∑ ( X − X )(Y − Y ) = [∑ ( X − X )(Y − Y )] =b ∑ (Y − Y ) ∑ ( X − X ) ∑ (Y − Y ) 2

2

∑ (X − X ) ∑ (Y − X )

2

2

2

(4.15a)

2

[n∑ XY − ∑ X ∑ Y ] = [n∑ X − (∑ X ) ][n∑ Y − (∑ Y ) ] 2

2

2

2

2

(4.15b)

- 80 -


R=b

R=

S XY = S X SY R SX SY SXY


SX SY

donde

∑ ( X − X )(Y − Y ) [∑ (X − X ) (Y − Y ) ] 2

2 1/ 2

=

0 ≤ R2 ≤1

[n∑ X

n∑ XY − ∑ X ∑ Y

2

− (∑ X )

] [n∑ Y

2 1/ 2

2

− (∑ Y )

]

2 1/ 2

(4.16)

= coeficiente de correlación = desviación estándar de X = desviación estándar de Y = desviación estándar de X e Y

Para completar información es importante contar al menos con una estación cercana a la estación problema, además deben tener similitud en cuanto a los registros y estén ubicados en la misma cuenca o en su defecto en cuencas con parámetros geomorfológicos similares. La estación cercana (B) deberá abarcar necesariamente período de registro mayores que la estación problema (A); de ese modo se puede establecer una ecuación de regresión entre los datos de períodos comunes y completar los datos que faltan en A. Es importante para el empleo de este método que el valor del coeficiente de correlación (ρ = R) entre A y B sea alto por ejemplo r ≥ 0.7. El ejemplo 4.5 (Tabla N° 4.7 y Figura 4.6) ilustra el procedimiento de completación de datos mediante cuatro modelos de regresión.

4.7.4.

Completación de Datos mediante Generación Aleatoria En este caso el dato faltante será completado mediante el siguiente modelo lineal

Pi = P + σˆξ

(4.17)

donde ξ es un número aleatorio con distribución normal, lognormal, gamma, etc. a) Generación de números Aleatorios con distribución uniforme Para generar números aleatorios se puede usar un método práctico llamado de congruencia multiplicativa propuesto por Lehmer (1951), la relación de recurrencia es:

X i = (aX i −1 + b ) módulo C

(4.18)

donde: C es un número entero grande para evitar ciclicidad. a y b son números enteros primos entre sí comprendidos entre 0 y C-1 Xi-1 es un número escogido al azar para iniciar los cálculos Xi viene a ser el resto de la división de (aXi-1 + b) entre C Ejemplo 4.3: Si a = 7; b = 13; C = 43; X0 = 20 (asumidas). Generar 6 números aleatorios comprendidos entre 0 y 1.

- 81 -



Solución: módulo C Xi = (a Xi-1 + b) X1 = (7 x 20 + 13) módulo 43 = 24 X2 = (7 x 24 + 13) módulo 43 = 9 X3 = (7 x 9 + 13) módulo 43 = 33 X4 = (7 x 33 + 13) módulo 43 = 29 X5 = (7 x 29 + 13) módulo 43 = 1 X6 = (7 x 1 + 13) módulo 43 = 28 . . Xn = (a Xn-1 + b) módulo C El número aleatorio es el resto de dividir (a Xi-1 + b) entre el módulo C. Por lo tanto los 6 números aleatorios comprendidos entre 0 y 1 serán: 0 ≤

Xi ≤1 C

24 9 33 29 1 28 X n , , , , , .... C 43 43 43 43 43 43 0.558, 0.209, 0.767, 0.674, 0.023, 0.651

b) Generación de números aleatorios con distribución normal Según Box Muller, los números aleatorios con distribución normal, con media igual a 0 y desviación estándar igual a 1, pueden ser generados con cualquiera de las siguientes ecuaciones:

ξ i = (− 2 ln X i )1 / 2 cos(2πX i +1 )

(4.19a)

ξ i = (− 2 ln X i )1 / 2 sen (2πX i +1 )

(4.19b)

del ejemplo anterior: ξ1 = (-2 Ln 0.558)1/2 Cos (2π x 0.209) = 0.275 ξ2 = (-2 Ln 0.209)1/2 Cos (2π x 0.767) = 0.189 ξ3 = (-2 Ln 0.767)1/2 Cos (2π x 0.684) = -0.335 ξ4 = (-2 Ln 0.674)1/2 Cos (2π x 0.023) = 0.879 ξ5 = (-2 Ln 0.023)1/2 Cos (2π x 0.65) = 1.600 Para la completación de datos, mediante generación de números aleatorios con distribución normal, se debe probar por Chi-cuadrado o Kolmogorov si los datos Hidrológicos se ajustan a esa distribución. Si así fuere se toma cualquier número aleatorio normal generado para completar el dato faltante en base al modelo propuesto: Pi = P + σˆξ Ejemplo 4.4:

Si

P = 92.9 mm.,

σˆ = 42.1 mm. , determinar el dato faltante mediante el método

de generación aleatoria con distribución normal.

- 82 -



Solución:

Pi = P + σˆξ ⇒ Pi = 92.9 + (42.1)(− 0.335) = 78.8 mm

Información completada

c) Generación de números aleatorios con distribución Log-Normal El procedimiento a seguir es el siguiente: • •

Generar números aleatorios (Y) con distribución normal con media μ y desviación estándar σ. Transformar a: X = eμ + σY; donde Y tiene distribución normal con media μ y desviación estándar σ y X tiene distribución Log-Normal.

d) Generación de números aleatorios con distribución Gamma Para generar números aleatorios con distribución Gamma: f (t ) =

Y γ −1e − t , se sigue Γ(γ )

el siguiente procedimiento: a) Generar números aleatorios con distribución normal ξ : N(0,1) b) Calcular el número aleatorio con distribución Gamma o Pearson Tipo III con la siguiente ecuación:

⎡ 1 ξ ⎤ + t = γ ⎢1 − ⎥ ⎣⎢ 9γ 3 γ ⎥⎦

3

(4.20)

donde γ es el parámetro de la función Gamma. Ejemplo 4.5: Completar la información de la Tabla 4.7, usando los modelos de regresión lineal simple, logarítmica, potencial y exponencial.

- 83 -



Solución: Completación de datos de precipitación mediante el método de regresión: Cuadro N° 4.7: Registro de Información para dos Estaciones

Año 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999

Precipitación (mm) Estación A Estación B (X) (Y) 45,0 47,0 51,1 52,0 53,0 54,5 54,0 59,0 56,0 63,0 63,0 72,0 70,1 82,0 74,2 80,0 48,0 50,3 60,0 62,4 90,2 70,1 40,3 60,5 56,7 -

Regresión Lineal

Completación de datos faltantes Regresión Regresión Regresión Logarítmica Potencial Exponencial

103,9 78,3 40,4 66,1 61,3

96,8 78,0 36,6 67,0 62,1

90,0 Precipitación Y (mm)

90,0 y = 1,2735x - 10,931 R2 = 0,9554

80,0 70,0 60,0 50,0 40,0 40,0

50,0

60,0

70,0

80,0

80,0

y = 74,786Ln(x) - 239,84 R2 = 0,9545

70,0 60,0 50,0 40,0 40,0

Precipitación X (m m )

70,0

80,0

90,0 Precipitación Y (mm)

y = 0,5209x 1,18 R2 = 0,9604

70,0 60,0 50,0 40,0 40,0

60,0

Figura 4.6d: Regresión Exponencial

90,0 80,0

50,0


Figura 4.6c: Regresión Potencial

Precipitación Y (mm)

117,9 78,9 43,5 65,1 60,3

Figura 4.6b: Regresión Logarítm ica

Figura 4.6a: Regresión Lineal Sim ple

Precipitación Y (mm)

105,7 78,5 40,8 66,0 61,1

50,0

60,0

70,0


80,0

80,0

y = 19,41e0,02x R2 = 0,9509

70,0 60,0 50,0 40,0 40,0

50,0

60,0

70,0

80,0


- 84 -


4.8.


BIBLIOGRAFÍA

(1) (2)

(3) (4)

CHOW VEN TE – Hand book of Applied Hydrology, New York, McGraw-Hill Book Company, 1964 CHOW VEN TE; MAIDMENT D. R.; MAYS L. W. – Applied Hydrology, McGrawHill Book Company, 1988

CLARKE R. T. - Mathematical Models in Hydrology, Food and Agriculture Organization of the United Nations – Rome, 973 DE PIEROLA CANALES., J. N. - Notas del Curso de Hidrología, Universidad Nacional Agraria La Molina; Lima, 1979, 1980, 1981, 1982.

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GARCÉS, L. N. - Hidrología, Sao Paulo, Ed. Edgard Blücher. 1967

(6)

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(7) (8) (9) (10)

Lima, 1985

(11)


(12)


(13)

- 85 -


Capítulo 5: Precipitación

CAPITULO 5:

5.1.

PRECIPITACIÓN

GENERALIDADES La precipitación está constituida por toda el agua, que de una u otra forma, es depositada en la superficie terrestre, por la condensación del vapor de agua contenido en el aire atmosférico. La precipitación puede ser en forma líquida (lluvia, rocío), o en forma sólida (nieve, granizo). La forma más común, y la que mayor interés tiene en la ingeniería, es la lluvia que viene a ser la causa de los más importantes fenómenos hidrológicos y su cuantificación correcta es uno de los desafíos que el hidrólogo o el ingeniero enfrentan. La precipitación es una variable hidrológica que manifiesta más claramente su carácter aleatorio, variando drásticamente en el tiempo (variación temporal) y en el espacio (variación espacial). Es común que, en un determinado período de tiempo, mientras que en una zona ocurre una lluvia, en otra zona próxima no hay precipitación ninguna. Justamente ésta característica típica de la precipitación es la que introduce ciertas dificultades en su evaluación correcta. La unidad de medición es el milímetro de lluvia, definido como la cantidad de precipitación correspondiente a un volumen de 1 litro por metro cuadrado de superficie, conocido como la lámina de agua o altura de lluvia depositada sobre esa superficie. Desde el punto de vista de ingeniería, son necesarios tres parámetros para definir completamente una precipitación: su duración, su intensidad y su frecuencia. La duración, D, de una precipitación es el tiempo transcurrido entre el inicio y fin de la lluvia, expresada en horas o minutos. La intensidad, I, está dada por la cantidad total de lluvia o lámina de agua, dividida por la duración. Conceptualmente, la intensidad, se define como la cantidad de lluvia por unidad de tiempo y puede variar de un instante para otro dentro de una misma lluvia. la intensidad se mide en mm/h o mm/min. Tratándose de un fenómeno aleatorio, la probabilidad de ocurrencia de una lluvia con una intensidad dada define su frecuencia, F. Se llama período de recurrencia o de retorno (T) el período, en años, en que, en media, una determinada lluvia es igualada o superada. Como ejemplo, si a lo largo de 100 años de medición de lluvia, la mayor registrada fue de 80 mm/h y ocurrió 10 veces, se puede decir que esa precipitación tiene un período de retorno de 10 años, o que su frecuencia es 0.1 (1 vez en 10 años = 1/10), siendo: F =

5.2.

1 . T

MECANISMOS DE FORMACIÓN DE LAS PRECIPITACIONES La condición básica para la ocurrencia de precipitaciones es la presencia de vapor de agua en la atmósfera. El aire húmedo, se eleva hasta alcanzar capas más frías de la atmósfera, se enfría y puede llegar al punto de saturación, transformando el vapor de agua (gas) en pequeñas gotas líquidas esparcidas en el aire libre en forma de aerosol, constituyendo las nubes. En este estado, los diámetros de las gotas (que pueden ser líquidas o sólidas) varían de 0.01 a 0.03 mm. La formación de las lluvias está íntimamente ligada al aumento de volumen de las gotas de las nubes, que de otro modo continuarían fluctuando en el aire gracias a las turbulencias atmosféricas. El proceso de crecimiento es posibilitado por la absorción de una gota por otra, por choque entre ellas (colisiones directas), o por la condensación del vapor de agua sobre las propias gotas, facilitada por la presencia de núcleos de - 86 -



condensación (cristales de hielo, partículas de cloruro de sodio, polvo, residuos, etc.) que normalmente fluctúan en el aire. Con el aumento de volumen las gotas comienzan a caer, acelerando el proceso de crecimiento por los choques mutuos, hasta alcanzar los diámetros normales de las gotas de lluvia, entre 0.5 y 2.0 mm. Los volúmenes de las gotas de lluvia son de 105 a 106 veces mayores que las gotas componentes de las nubes y mismo así, la condensación de todo el agua de la nube solo generaría lluvias imperceptibles. Es necesario admitir, entonces, una constante alimentación del vapor de agua de fuera de la nube, por corrientes de aire ascendentes que conducen aire caliente y húmedo y rehacen constantemente la nube mientras dura la precipitación. 5.3.

TIPOS DE PRECIPITACIÓN Según la causa de la elevación del aire húmedo para iniciar el proceso de condensación, tres son los tipos de precipitaciones que pueden ocurrir, cada una con características propias.

5.3.1.

Precipitaciones Convectivas Cuando la atmósfera está calma, el aire vecina al suelo es calentado por la radiación solar reflejada y emitida por la superficie terrestre. Ese aire, menos denso que el aire circundante, se eleva en forma de células de convección, enfriándose adiabáticamente hasta alcanzar el nivel de condensación, generando nubes del tipo cúmulos-nimbus que originan lluvias muy intensas, de duración cortas y abarcando áreas reducidas. Son precipitaciones características de las zonas ecuatoriales donde, por debilidad de los vientos el movimiento del aire es esencialmente vertical. En las zonas templadas, ocurren durante los períodos cálidos, en forma de tormentas de verano, localizadas y violentas.

5.3.2.

Precipitaciones Orográficas Cuando los vientos cargados de humedad, soplando normalmente del océano hacia el continente, encuentran una barrera montañosa, las masas de aire húmedo se elevan para transponer el obstáculo, resultando en un enfriamiento que puede alimentar la formación de nubes y desencadenar precipitaciones. En el caso del Perú, están localizadas en la vertiente oriental de la cordillera de los andes, dando lugar a áreas secas o semiáridas en la vertiente occidental, debido a que la humedad, proveniente de la amazonía, fue descargada antes de atravesar la cordillera.

5.3.3.

Precipitaciones Frontales o Ciclónicas El aire en contacto con la superficie terrestre, estando en reposo, adopta las características térmicas y de humedad de la superficie, constituyendo masas de aire, que pueden ser frías o calientes, secos o húmedos (normalmente una masa fría es seca y una masa caliente es húmeda). Debida a diferencias de presión y a otras causas relacionadas con la circulación global atmosférica, esas masas de aire pueden comenzar a desplazarse, recorriendo grandes distancias. En su recorrido (del polo hacia el ecuador, por ejemplo), encuentran otras masas que pueden tener características diferentes, que entran en choque, creándose una superficie de contacto que puede ser imaginada como un plano inclinado que parte del suelo y se eleva en la atmósfera. Es una frente meteorológica (movimiento ciclónico), como el representado en los mapas sinópticos de previsión del tiempo. En ese encuentro, las masas calientes y húmedas (más ligeras) son proyectadas para encima, enfriándose - 87 -



y produciendo precipitaciones del tipo frontal, generalmente importantes y prolongadas. Naturalmente, con frecuencia una lluvia real puede tener una o varias de las causas mencionadas, y una perturbación ciclónica puede ser el origen de una precipitación orográfica y acentuar las lluvias de tipo convectiva.

5.4.

MEDICIÓN DE LA PRECIPITACIÓN Se refiere a la determinación de la cantidad (o lámina) de agua precipitada sobre la superficie del terreno. Esa medición no puede ser hecha sobre todo el área de interés, sino en algunos previamente escogidos, donde se instalan pluviómetros o pluviógrafos. Se debe resaltar, entonces, el carácter puntual de las mediciones de precipitación.

5.4.1.

Pluviómetros Un pluviómetro es un recipiente colector de lluvia que almacena el agua en un depósito interno, captada a través de una boca horizontal de área estandarizada de 200 cm2 o 400 cm2 por la Organización Meteorológica Mundial (OMM), organismo de las Naciones Unidas que trata de la estandarización mundial de las mediciones y observaciones meteorológicas, entre otras cosas. La altura de lluvia se determinará vertiendo el agua almacenada en el pluviómetro, en una probeta graduada en milímetros y décimos de milímetro, colocada sobre una superficie horizontal. La cantidad de lluvia que entra en el aparato depende de la exposición al viento, de la altura del instrumento y de la altura de los objetos vecinos al pluviómetro. El efecto del viento altera las trayectorias del aire en el espacio vecino al pluviómetro y causa turbulencia en los bordes del aparato, produciendo errores en los valores de la lluvia medida. La distancia mínima de los obstáculos próximos (edificios, árboles, cerros, etc.) debe ser igual a cuatro veces la altura del obstáculo, debiendo el local de instalación estar protegido del impacto directo del viento. Cuando eso no ocurre, se usan protecciones (flexibles o rígidas) alrededor del instrumento para reducir las perturbaciones aerodinámicas. la altura de la boca del pluviómetro sobre el suelo debe ser de 1.50 m, sin embargo, el lugar ideal para instalación sería exactamente al nivel del suelo, que es donde interesa medir el valor de la lluvia. Los pluviómetros así instalados deben poseer una reja protectora especial para reducir los efectos de los goteos de agua de la región circundante a la boca del aparato. En la operación del instrumento se deben eliminar o minimizar las siguientes fuentes de error: - pérdidas por evaporación del agua contenido en el colector - conteo incorrecto del número de probetas resultantes, en el caso de lluvias grandes - agua derramada durante la transferencia del colector a la probeta - graduación de la probeta que no corresponde al área de la boca del pluviómetro - lectura defectuosa de la escala de la probeta - anotación incorrecta en el cuaderno del observador El pluviómetro es un aparato totalizador, que marca la altura de lluvia total acumulada en un período de tiempo dado. Su lectura es hecha normalmente una vez por día (a las 09:00 h), generándose con ello series de valores diarios de precipitación.

- 88 -


5.4.2.


Pluviógrafos Cuando es necesaria información más detallada de la precipitación, como su distribución temporal, o la variación de las intensidades, se usa el pluviógrafo, instrumento que registra esos valores, generalmente en un gráfico con coordenadas apropiadas. Existen en uso tres tipos básicos de pluviógrafos: de flotador, de cuba basculante y de masa. a) Pluviógrafo de flotador O bolla (tipo Helmann) almacena el agua de lluvia en un pequeño depósito que posee un flotador ligada a una pluma que escribe sobre un gráfico enrrollado sobre un tambor que gira impulsado por un reloj. Cuando llueve, el agua dentro del depósito hace subir verticalmente el flotador (y la pluma), hasta una altura de lluvia calculada en 10 mm. En ese instante, un sifón descarga automática e instantáneamente el depósito, volviendo la pluma a la posición cero, para iniciar otra subida. El trazo producido es continuo, pero volviendo a cero por cada 10 mm de lluvia. b) Pluviógrafo con sistema de cuba basculante utiliza como sensor una pequeña cuba con dos compartimientos de 0.5 mm de capacidad, que reciben la lluvia alternadamente. Cuando se llena uno de ellos, el propio peso hace bascular la cuba, vaciándolo y emitiendo un impulso eléctrico que puede ser aprovechado para accionar un registrador en gráfico de papel, en cinta perforada, en cinta magnética o cualquier sistema de almacenamiento disponible, como memorias de estado sólido. El registro es discreto, en grados de 0.5 o 0.1 mm y representa la ventaja de que el sistema de registro no necesita estar localizado en el mismo punto que el sensor, siendo, por lo tanto, ideal para telemedición o telemetría, ya que la señal generada puede ser transmitido a distancia. c) El pluviógrafo de masa es una balanza que acumula el agua en un pequeño depósito que, al aumentar de peso, desciende y mueve un brazo y una pluma que escribe sobre un papel graduado enrrollado sobre un tambor que gira mediante un sistema de relojería. El depósito descarga automáticamente al alcanzar 10 mm, gracias a un sifón interno.

5.4.3.

Cuantificación de la Lluvia con Radar El radar permite efectuar observaciones del movimiento local de los núcleos de precipitación, y ciertos tipos de radar posibilitan estimar la cantidad de lluvia, basada en la existencia de correlación entre la intensidad de la precipitación y la señal reflejada por las gotas de lluvia. Sin embargo, las estimaciones hechas independientemente por radar y por pluviómetros, obedecen a filosofías diferentes por lo que, al utilizar los datos de radar para fines hidrológicos, se debe interpretarlos adecuadamente. Esencialmente, el radar estima una media de las intensidades de lluvia en el volumen abarcado por la señal, mientras que el pluviómetro cuantifica la precipitación sobre una pequeña superficie horizontal, casi al ras del suelo (lluvia puntual). Varios factores contribuyen para que una misma lluvia, observada por radar y por pluviómetros, presenten diferencias en el valor que varían en función de la distancia que la lluvia esté del radar. El volumen iluminado por la señal está a alturas cada vez mayores sobre la superficie en función de la curvatura terrestre y sus dimensiones aumentan con - 89 -



aquella distancia, en virtud de la divergencia de la señal de radiación emitido por el radar. Para fines hidrometeorológicos, el alcance efectivo del radar varía entre 40 a 200 km y se define como la distancia máxima a la cual la correlación entre las intensidades del eco del radar y la precipitación, permanece válida. Las ecuaciones utilizadas en el cálculo son de la forma:

P=

P

(5.1)

es la potencia media (en watts) recibida en una serie de impulsos es la potencia de pico transmitida (en watts) es el área de la antena (en m2) es la longitud de onda (en m) es el alcance (en m) índice de refracción del agua (= 0,9313 para h = 10 cm y 10° de temperatura) es la reflectividad, definida como: Z = 200 I1,6 la intensidad de lluvia en mm/h

P A h R α Z I 5.5.

Pπ 4 AhZα 8 R 2 λ4

VARIACIÓN GEOGRÁFICA DE LA PRECIPITACIÓN Como ya fue mencionado, una característica de la precipitación es su extrema variabilidad espacial, existiendo entonces gradientes pluviométricos tanto en el sentido altitudinal como superficial. Una forma de visualizar esa variación, son por ejemplo, los mapas de isoyetas, construidas con las precipitaciones medias a lo largo de un período, de todas las estaciones disponibles en la región.

Figura 5.1: Variación de la Precipitación con la Altitud

Precipitación (mm)

1100 1000 2.8197

P = 7E-08H

900

2

R = 0.9608

800 700 600 500 400 2900

3000

3100

3200

3300

3400

3500

3600

3700

3800

3900

Altitud (msnm)

5.5.1.

Variación Altitudinal Las observaciones indican que, en general, la pluviosidad aumenta con la altitud hasta alcanzar un máximo, a partir del cual decrece; eso permite elaborar perfiles pluviométricos de grandes cuencas o áreas extensas. Cuando se estudian áreas o cuencas con relieve accidentado, esa característica no puede ser ignorada en las estimaciones de los volúmenes de precipitación. Se acepta que la altitud a partir de - 90 -



la cual comienza a decrecer la precipitación, corresponde, de manera general, a la altura de la base de las nubes en aquella región, cuando de trata de territorios continentales; la situación se puede invertir en el caso de islas de alguna extensión territorial. 5.5.2.

Variación de la Precipitación con el Área La precipitación no es homogénea en una extensión dada, presentándose en forma de celdas más intensas que migran siguiendo la dirección de los vientos. Imaginando una red fija de pluviómetros que muestrean las lluvias que pasan sobre ellos, se puede trazar curvas como las de la Figura 5.2 (OMM, 1970) deducidas para el territorio de las Estados Unidos. Según estas curvas, si es medida una lluvia puntual de 50 mm con 1 h de duración, para estimar la media en un área de 250 km2 en torno del pluviómetro, se debe multiplicar la lluvia puntual por 0.72 aproximadamente. Figura 5.2: Variación de la Precipitación con el Area

% de Lluvia Puntual

100 90 80 70 60 50 0

100

200

300

400

500

600

700

800

Area (Km2) 6 horas

1 hora

30 minutos

DISTRIBUCIÓN TEMPORAL DE LA PRECIPITACIÓN Las variaciones temporales de precipitación son extremamente importantes en el proceso de transformación de la lluvia en descarga, particularmente en las áreas urbanas. Un diagrama de barras representando el desarrollo temporal de una lluvia se conoce como el hietograma. Figura 5.3: Hietograma de una Precipitación 35 30 Precipitación (mm)

5.6.

3 horas

25 20 15 10 5 0 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50 Tiempo (min)

- 91 -



En el hietograma se visualiza fácilmente la variación temporal de una precipitación, ya que, desde el inicio del proceso lluvioso, el volumen precipitado se distribuye de diversas maneras. Una parte es interceptada por la vegetación, que una vez mojada comienza a gotear sobre la superficie del suelo, donde se pierde otra parte. El agua que alcanza la superficie toma varios caminos; una parte queda almacenada en las depresiones y se puede evaporar; otra parte infiltra y, encontrando estratos impermeables próximos a la superficie, escurre más o menos paralelamente a ella hasta aflorar. Otra parte puede infiltrar más profundamente hasta la napa freática donde fluirá lentamente, y la parte que no consigue infiltrar escurrirá como una capa fina en la superficie del suelo, hasta alcanzar los lechos y canales fluviales constituyendo la escorrentía superficial.

5.7.

PRECIPITACIÓN MEDIA SOBRE UN ÁREA Los datos medidos en los pluviómetros son puntuales, y, como ya fue mencionado, representan apenas la lluvia de una reducida área en torno del pluviómetro (desde 2.6 km2 según Portland Cement Association, hasta 26 km2 según Linsley et al, 1967). Para calcular la precipitación media en una superficie cualquiera, es necesario utilizar las observaciones dentro de esa superficie y sus vecindades. Se acepta que la precipitación media es la lámina de agua de altura uniforme sobre toda el área considerada, haciendo referencia a un período de tiempo dado, como un día, mes, año. Esto es solo una abstracción, debido a que la lluvia real obedece a distribuciones espaciales mucho más complejas y variables, inclusive, temporalmente. La única forma de conocer esa distribución real sería instalando un número muy grande de pluviómetros en el área, cosa que sería inviable económica y operacionalmente. Se trabaja, entonces, con muestras reducidas cuya información debe ser aprovechada al máximo, ponderando sus valores, o sea dando pesos diferentes a cada una de ellas en el cálculo de la media.

5.7.1.

Método Aritmético Consiste en promediar los valores de precipitación registrados en las estaciones existentes dentro de la cuenca. Este método da resultados satisfactorios si las estaciones se encuentran uniformemente distribuidos y sus mediciones individuales no varían de manera considerable de la media.

5.7.2.

Método de los Polígonos de Thiessen Si se tiene en cuenta que algunos de los pluviómetros son más representativos que otros para un área determinado, dentro de la cuenca, pueden asignársele pesos relativos para el cálculo del promedio del área. El método de Thiessen establece que en cualquier punto de la cuenca la lluvia es igual a la que se registra en el pluviómetro más cercano, cuya influencia abarca hasta la mitad de la distancia a la siguiente estación en cualquier dirección. Los pesos relativos de cada pluviómetro se determinan de las correspondientes áreas de influencia de una red de polígonos de Thiessen, cuyas fronteras están formadas por los bisectrices perpendiculares a las líneas que unen pluviómetros adyacentes. Si existen "n" pluviómetros, la precipitación media puede calcularse con la ecuación (5.2). En la ecuación (5.2), Ai es el área de influencia de cada estación dentro de la cuenca y Pi la precipitación registrada en cada estación. El método de Thiessen generalmente es más exacto que el método de la media aritmética, pero es rígido, debido a que se tiene que construir una nueva red de polígonos cada vez que haya - 92 -



un cambio en la red pluviométrica, tal como ocurre cuando falta información en alguno de ellos. Además el método de Thiessen no toma en cuenta los efectos orográficos de la lluvia que se presentan debido a los cambios de altitud.

n

P=

∑AP i

i =1 n

(5.2)

∑A

i

i =1

5.7.3.

i

Método de la Isoyetas No es puramente mecánico como las anteriores, y depende del criterio del hidrólogo, permitiendo introducir en el trazado del mapa todo el conocimiento que se tiene de la región, incluyendo la topografía, régimen de los vientos, etc. El procedimiento consiste en trazar líneas de igual precipitación mediante la interpolación entre los valores puntuales en cada estación. Después de escribir los totales de lluvia en cada estación, se unen estas con líneas rectas sobre las cuales se interpolan linealmente, los valores de lluvia para los cuales se pretenden trazar las isoyetas. Con esos puntos se procede al trazado de las isolíneas, como si fuesen curvas de nivel. Como norma general, las isoyetas deben seguir, aproximadamente, las curvas de nivel, nunca contándolas en ángulo recto. Para el cálculo de la precipitación media, se determina el área delimitada por dos isoyetas, que se usa como elemento de ponderación.

P=

∑P A ∑A i

i

(5.3)

i

siendo Pi la media entre las dos isoyetas que delimitan el área Ai. El método de las Isoyetas es flexible y el conocimiento de los patrones de tormenta puede influir en la gráfica de las mismas, pero es necesaria una red de estaciones más o menos densa para construir correctamente el mapa de isoyetas de una lluvia compleja. 5.7.4.

Método Angular Del punto de vista hidrológico, para la formación de ondas de avenida, son más importantes las lluvias que precipitan en las proximidades del centro de gravedad de la cuenca. Este método fue concebido para atender a esa conveniencia, ponderando las alturas de lluvia medidas en los pluviómetros con un ángulo proporcional a la proximidad del punto al centro de gravedad de la cuenca. Se parte de la determinación de los ejes mayor y menor de la cuenca, uniéndose la salida de la cuenca (punto a) con el punto más lejano del curso principal (punto a’) como se indica en la Figura 5.4. Por el centro de gravedad de la cuenca se traza una paralela a la line aa’, obteniéndose el eje mayor AA’. Perpendicular a éste, en el centro de gravedad, se traza el eje menor BB’. Los ángulos respectivos de cada estación pluviométrica se construyen tomando como vértice la estación y uniéndolo con el extremo más alejado de cada eje (Figura 5.4). De esta forma, la precipitación media es calculada por la siguiente ecuación:

- 93 -


P=

∑ Pα ∑α i


i

(5.4)

i

Se verifica que el valor máximo posible de α es 90°, cuando el pluviómetro está localizado en el centro de gravedad de la cuenca. B E A´

α

B

CG

a´

A C

a B´ Figura 5.4: Aplicación del Método Angular

5.7.5.

Método Isoporcentual Permite también incluir los efectos orográficos. Se calcula la relación entre la lluvia total del evento analizado y la precipitación total anual media del área en estudio, para cada punto incluido en el estudio de dicha área: γ =

lluvia en la estacion lluvia media anual regional

(en %). Dibujando un mapa de estas isolíneas (isoporcentuales), se puede calcular la precipitación media en la cuenca por un procedimiento similar al de las isoyetas, planimetrando las áreas entre isolíneas y multiplicando el valor medio de γ en cada franja, por la precipitación total anual regional:

P=

∑P A ∑A i

i

(5.5)

i

donde Pi = γ i × precipitación total anual . 5.7.6.

Método de Thiessen Asociada a Técnicas de Montecarlo La aplicación del método de Thiessen no es recomendable cuando el área de la cuenca es grande y el número de pluviómetros involucrados es elevado. Diskin (1969) presentó una alternativa utilizando la computadora que más tarde fue mejorada por Shih y Hamrick (1975). La técnica de cálculo de los coeficientes de Thiessen por simulación se basa en la generación de pares ordenados de números pseudo-aleatorios con distribución uniforme dentro de un rectángulo que contenga al área en estudio. Cada uno de estos pares constituye un punto generado, obteniéndose los coeficientes Thiessen, sin necesidad de trazo de los polígonos, por el porcentaje, respectivamente al total de puntos generados pertenecientes a la región en estudio, del número de estos

- 94 -



puntos que se encuentran más cerca de una estación que de las restantes. El algoritmo del método se puede describir de la siguiente manera: 1) Construir un rectángulo envolvente de la región en estudio 2) Generar puntos pseudo-aleatorios en el rectángulo definido 3) Verificar si el punto generado pertenece a la región, en caso contrario volver al paso 2 4) Calcular las distancias del punto generado (Xg,Yg) para las diferentes estaciones de la región 5) Atribuir el punto a la estación que le está más próxima 6) Volver al paso 2 hasta que el número suficiente de puntos haya sido generado, dependiendo del tamaño de la región y del número de estaciones 7) Al final del proceso, el coeficiente de Thiessen de una estación dada es el cociente entre el número de puntos que le fue atribuido y el número total de puntos pertenecientes a la región.

Ejemplo 5.1: Una cuenca de 200 Km2 tiene un sistema de siete estaciones pluviométricas dispuestos de acuerdo a la figura. Usando la información de precipitación proporcionada en la tabla adjunta, determinar la precipitación media sobre la cuenca usando: a) promedio aritmético, b) el método de polígonos de Thiessen y c) el método de Isoyetas. A

Estación A B C D E F G

F

B D

G

Precipitación (mm) 130 170 230 150 140 120 90

C E

Solución: a) Promedio Aritmético Para el promedio aritmético, solamente se consideran las estaciones que se encuentran dentro de la cuenca o sea las estaciones B y D. Por lo tanto la precipitación media para este caso es: P =

170 + 150 = 160.0 mm 2

b) Método de los Polígonos de Thiessen Para aplicar el método de Thiessen el primer paso consiste en unir todas las estaciones con líneas rectas resultando un sistema de triángulos como se muestra en la figura en líneas suspendidas. A continuación se trazan las bisectrices en los lados del triángulo cuyas intersecciones definen los vértices de los polígonos que se - 95 -



forman alrededor de cada estación. El área de cada polígono dentro de los límites de la cuenca es calculado con el planímetro u otro método y se multiplica por el respectivo valor de precipitación y se procede al cálculo de la precipitación media de la cuenca, tal como se muestra en la siguiente tabla: A

Pi (mm) Ai (Km2) PixAi 130 24 3120 170 34 5780 230 12 2760 150 100 15000 140 9 1260 120 11 1320 90 10 900 Sumatoria 200 30140 Precipitación Media = 30140/200 = 150.7 mm

Estación A B C D E F G

F

B D

G C E

c) Método de la Isoyetas: Para aplicar el método de las Isoyetas, se ubican en el mapa las estaciones con sus respectivos valores de precipitación, luego por interpolación se obtienen puntos de igual precipitación y al unirlas se obtienen las líneas isoyetas tal como se muestra en el gráfico. El procedimiento para el cálculo de la precipitación media de la cuenca se describe detalladamente en la siguiente tabla: ♦A (130) 140 160

180

♦F (120)

♦B (170) ♦D (150)

120 100

200

♦C (230)

5.8.

Isoyeta Ai (Km2) PixAi 110 25 2750 130 60 7800 150 30 4500 170 45 7650 190 32 6080 200 8 1600 Sumatoria 200 30380 Precipitación Media = 30380/200 = 151.9 mm

♦G (90) ♦E (140)

ANALISIS DE FRECUENCIAS DE VALORES ANUALES DE PRECIPITACION En ingeniería, no siempre interesa construir una obra que sea capaz de soportar el paso de cualquier caudal a ocurrir. Normalmente, se puede correr el riesgo, después de tomar en cuenta consideraciones de orden económico, de que cualquier estructura puede fallar durante su vida útil, siendo necesario, entonces, conocer ese riesgo. Para eso se analizan estadísticamente las observaciones realizadas en las estaciones hidrometeorológicas, verificándose con que frecuencia ellas adquieren una magnitud dada. Luego se pueden evaluar las probabilidades teóricas de ocurrencia de las mismas. - 96 -



Los datos observados pueden ser considerados en su totalidad, lo que constituye una serie total, o apenas los superiores a un cierto límite, teniéndose una serie parcial, o todavía, solo el máximo de cada año, obteniéndose una serie anual. Las series son ordenadas en orden decreciente, asignándole a cada valor un número de orden m, que varía de 1 a N, siendo N el tamaño de la muestra (número de años de observación); la frecuencia con que es igualado o superado un evento de orden m es:

m N m P= N +1

P=

Fórmula de California

(5.6)

Fórmula de Weibull

(5.7)

Considerando P como la probabilidad de ocurrencia del evento, y siendo el período de retorno (o período de recurrencia) el intervalo medio de años en que puede ocurrir o ser superado un evento dado, se tiene que:

T=

1 P

(5.8)

Para períodos de recurrencia menores de N, el valor de P puede dar una buena aproximación de la probabilidad de ocurrencia, pero para los valores menos frecuentes en el período o sea valores de precipitación mayores que los observados dentro de los N años, es conveniente adoptar otro procedimiento. La distribución de frecuencias debe ser ajustada a una ley de probabilidades teórica de modo a posibilitar un cálculo más adecuado de la probabilidad, minimizando los errores de muestreo. Uno de los más importantes resultados da la teoría de probabilidades es la teoría del Límite Central, según el cual, satisfechas ciertas condiciones, la suma de variables aleatorias obedecen aproximadamente a una distribución normal. Como el valor total anual de precipitaciones es formado por la suma de los totales diarios, es natural que se tente ajustar a la ley de Gauss al conjunto de datos observados. La ley de Gauss tiene la siguiente función de densidad: −

f (X ) =

e

( X −μ )2 2σ 2

para: -∝ < X < ∝

σ 2π

(5.9)

que es una función continua y simétrica con respecto a μ por tanto el coeficiente de asimetría es cero. Si una variable aleatoria X tiene distribución normal con media μ y variancia σ² y además Y = a + bX, la distribución Y también es normal con media μY = a + bμ y variancia σ Y2 = b²σ² . La distribución normal en términos de la variable aleatoria estándar Z =

( X − μ ) , tiene como función de densidad: σ

Z2

f (Z ) =

1 −2 e 2π

para: -∞ < Z < ∞

(5.10)

y función de distribución acumulada:

- 97 -



F ( Z ) = P( Z ≤ Z 0 ) = ∫

Z

−∞

t2

1 −2 e dt 2π

(5.11)

Una característica fundamental de la distribución normal estándar es que: μ = 0 y σ² = 1. De la misma forma, el 68.27% de valores se encuentran en el rango (μ ± σ), el 95.45% (μ ± 2σ) y el 99.73% dentro del rango ((μ ± 3σ). Ejemplo 5.2: Se asume que los datos de caudales del río Pancoy se distribuyen normalmente con media igual a 15 m3/s y una variancia igual a 25. Determinar la probabilidad de encontrar valores de caudales comprendidos entre 15.6 m3/s y 20.4 m3/s, si se asume que los datos siguen una distribución normal. Solución: −

P (15.6 ≤ X ≤ 20.4) = ∫

20.4

15.6

f ( X )dx = ∫

20.4

15.6

( X −15 ) 2 2× 25

e dX 5 2π

Como la integración de la ecuación es complicada, es necesario transformar a su forma estándar.

Z1 =

(Q1 − Q ) = 15.6 − 15 = 0.12 SQ

5

y

Z2 =

(Q2 − Q ) = 20.4 − 15 = 1.08 SQ

5

Entonces: P(0.12 ≤ Z ≤ 1.08) = P(Z ≤ 1.08) – P(Z ≤ 0.12) De la tabla de distribución normal estándar P(0.12 ≤ Z ≤ 1.08) = 0.8599-0.5478 = 0.3121. Por lo tanto: P(15.6 ≤ Q ≤ 20.4) = P(0.12 ≤ Z ≤ 1.08) = 0.3121 Es común representar el ajuste de la ley de Gauss o Normal en forma gráfica, utilizando papel de probabilidad normal, que relaciona el total de precipitación anual (P) con su respectivo período de retorno T. Para trazar la recta en el papel de probabilidad se debe tener en cuenta que:

P( X ≥ X + σ ) = 15.87%

y

P ( X ≥ X − σ ) = 84.13%

El ajuste de los datos a la distribución Normal puede ser verificada por medio de la prueba χ2, que consiste en el cálculo de una cierta función del cuadrado de las diferencias entre frecuencias observadas y frecuencias teóricas esperadas. Si el ajuste es satisfactorio, el valor de esa función debe ser pequeño en comparación con los valores tabulados. La técnica de aplicación de este procedimiento se verá en los acápites siguientes.

- 98 -


5.9. 5.9.1.


ANALISIS DE LLUVIAS INTENSAS Variación de la Intensidad con la Duración La Figura 5.5 representa el aspecto del gráfico producido por un pluviógrafo diario de masa, durante la ocurrencia de una lluvia intensa (tormenta). La interpretación del gráfico consiste en la extracción de los datos pluviométricos adecuados a una necesidad particular, con el grado de detalle apropiado. El gráfico proporciona, por ejemplo, intensidad de lluvia (altura/duración) para cualquier duración. En la situación mostrada en la Figura 5.6, la precipitación ΔP registrada entre las 16:40 y las 17:00 horas (duración de 20 minutos) fue de 0.4 mm; entre las 17:00 y las 17:20 (duración de 20 minutos), ΔP fue de 3.2 mm, por lo tanto, ocho veces mayor, para la misma duración. Esto demuestra la alta variabilidad de la intensidad de la lluvia dentro del mismo evento.

I (mm/h)

T (min)

Figura 5.5: Curva Intensidad Duración de Lluvia

Extendiendo el análisis a toda la precipitación, se puede posicionar la duración de 20 minutos en todos los puntos posibles dentro de la lluvia y escoger la mayor altura ΔP correspondiente a esos 20 minutos de duración, para entonces calcular la intensidad respectiva: Imax = ΔP/20. Si aplicamos el mismo raciocinio para otras duraciones, como: 5, 10, 15, 30, 40, 50, 60, 80, 100, 120 min, e incluyendo todas las lluvias ocurridas en un lugar dado, se obtiene un conjunto de puntos relacionando intensidad máxima y duración, dando origen a una curva donde la intensidad media de las lluvias disminuye a medida que aumenta la duración.

Las ecuaciones que representan las curvas de intensidad-duración tiene, en general, dos formas:

i=

a b+t

para: 5 ≤ t ≤ 120 min

(5.12a)

i=

a tn

para: t > 120 min

(5.12b)

donde a, b y n son parámetros característicos de cada región, que pueden ser determinados estadísticamente. En el primer caso, 5 ≤ t ≤ 120 min, se puede establecer fácilmente la ecuación adoptando el siguiente esquema de linealización:

1 b 1 = + t i a a

(5.13)

La ecuación anterior puede ser representada por la ecuación de una recta, considerando: Y = 1/i, c = b/a, d = 1/a

- 99 -



Y = c + dX

(5.14)

Para el caso en que t > 120 min, la ecuación (5.12b) puede ser linealizada mediante una transformación logarítmica:

log i = log a − n log t

(5.15)

haciendo Y = log i, c = log a y X = -log t, se tiene:

Y = c + dX 5.9.2.

(5.16)

Relaciones entre la Intensidad, Duración y Frecuencia Para considerar la variación de la intensidad con la frecuencia, se fija, cada vez, una duración determinada. Analizando los pluviogramas de una estación pluviométrica, se puede escoger el máximo de cada año, para cada duración t, organizando una tabla de una serie anual, constituida por n valores máximos susceptible de ser tratada estadísticamente para determinar las frecuencias de ocurrencia. Diversos métodos pueden ser usados, siendo el más común el de Ven Te Chow-Gumbel que permite calcular el valor de la lluvia para un período de retorno dado, según la siguiente ecuación:

X = X + KS donde: X

X K S

(5.17) es la precipitación para un determinado período de retorno T es la media de X es un factor de frecuencia es la desviación estándar de los datos

El factor de frecuencia K depende del período de retorno y se puede encontrar a partir de la siguiente ecuación:

K =−

T=

⎡ ⎛ T ⎞⎤ ⎫ 6⎧ ⎟⎥ ⎬ ⎨0.5772 + ln ⎢ln⎜ π ⎩ ⎣ ⎝ T − 1 ⎠⎦ ⎭

1 ⎧ ⎡ ⎛ πK ⎞⎤ ⎫ 1 − exp⎨− exp ⎢− ⎜ 0.5772 + ⎟ ⎬ 6 ⎠⎥⎦ ⎭ ⎣ ⎝ ⎩

(5.18)

(5.19)

Cuando la variable es igual a la media, se tiene que K = 0 y T = 2.33 años, que corresponde al período de retorno de la media de la distribución. Cada serie es analizada y calculada las intensidades máximas probables para varios períodos de retorno y los resultados pueden ser organizados en tablas. El ploteo de estos valores origina una familia de curvas que relaciona la Intensidad, Duración y Frecuencia, válidas para el lugar donde fueron medidos los datos. La obtención de los datos de intensidad para duraciones cortas requiere la existencia de pluviógrafos con resolución temporal alta. Dado que en la mayoría de las estaciones solo existe pluviómetro, proporcionando solo valores totales diarios de lluvia. Para este caso existe el método de la curva patrón de tormenta o diagrama - 100 -



masa adimensional, obtenida de la estación pluviográfica, y que permite desagregar las lluvias diarias de estaciones donde solo se cuenta con pluviómetro. De otro lado, el procesamiento manual de los datos para definir las curvas Intensidad-Duración-Frecuencia representa un trabajo mecánico muy grande, que afortunadamente puede ser facilitada con el uso de la computadora para los cálculos y manipulación de la información, o digitalizadores para efectuar la interpretación de los pluviogramas, transformando la información gráfica directamente en información digital. Grandes avances vienen ocurriendo en el área de instrumentación, y actualmente ya se trabajan en sistemas de recolección de datos de precipitación, por ejemplo, que almacenan directamente la información en cintas magnéticas o disquetes compatibles para lectura por microcomputadoras que procesan automáticamente los datos.

- 101 -



Ejemplo 5.3: Análisis de Tormentas Figura 5.6: Pluviograma característico de una lluvia intensa 10

Altura de lluvia (mm)

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

Tiempo (horas)

Cuadro N° 5.1: Cuadro de Análisis de Tormentas del Pluviograma Hora

tiempo (h)

11:00 a 11:40 11.40 a 12:10 12:10 a 13:40 13:40 a 14:10 14:10 a 14:50 14:50 a 16:10 16:10 a 16:40 16:40 a 17:00 17:00 a 18:30 18:30 a 19:20 19:20 a 21:00

lluvia (mm)

0,67 0,50 1,50 0,50 0,67 1,33 0,50 0,33 1,50 0,83 1,67

0,0 1,4 6,6 4,0 7,6 5,8 0,0 0,4 15,0 1,2 0,0

tiempo acum. 0,00 0,67 1,17 2,67 3,17 3,83 5,17 5,67 6,00 7,50 8,33 10,00

lluvia acum. 0,0 0,0 1,4 8,0 12,0 19,6 25,4 25,4 25,8 40,8 42,0 42,0

Intensidad (mm/h) 0,00 2,80 4,40 8,00 11,40 4,35 0,00 1,20 10,00 1,44 0,00

tiempo adimen. 0,00 0,07 0,12 0,27 0,32 0,38 0,52 0,57 0,60 0,75 0,83 1,00

lluvia adimen. 0,00 0,00 0,03 0,19 0,29 0,47 0,60 0,60 0,61 0,97 1,00 1,00

Figura 5.7: Histograma de Precipitación

11,40

12,00 Intensidad (mm/h)

10,00

10,00 8,00

8,00 6,00

4,40

4,00

4,35

2,80 1,44

1,20

2,00 0,00

0,00

0,00

0,00 0,67

1,17

2,67

3,17

3,83

5,17

5,67

6,00

7,50

8,33

10,00

Tiempo (horas)

- 102 -



Figura 5.8: Diagrama Masa de la Tormenta 45,0 Precipitación (mm)

40,0 35,0 30,0 25,0 20,0 15,0 10,0 5,0 0,0 0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

10,0

0,8

0,9

1,0

Tiempo (horas)

P/Pt

Figura 5.9: Curva Patrón de Tormenta 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

T/Tt

Figura 5.10: Curva de Intensidad-Duración 12 Intensidad (mm/h)

Cuadro N° 5.2: Intensidad para diferentes duraciones Duración Intensidad (min) (mm/h) 10 11,4 20 11,4 30 11,4 40 11,4 60 10,9 90 10,6 120 10,5 180 9,4 240 8,1 300 7,4

11 10 9 8 7 6 0

50

100

150

200

250

300

Duración (m in)

- 103 -



Cuadro N° 5.3: Relación entre Frecuencia, Duración e Intensidad de Tormentas (registro de intensidades máximas (mm/h) para 31 años - Estación San Juan) orden frecuencia Duración (min) m m/N 10 30 60 120 1

0,031

116

82

53

36

2

0,063

113

82

40

26

3

0,094

112

63

36

22

4

0,125

108

59

32

21

5

0,156

104

56

32

21

6

0,188

104

56

31

20

7

0,219

102

53

30

20

8

0,250

101

53

30

19

9

0,281

99

50

29

18

10

0,313

98

50

29

18

11

0,344

98

50

29

18

12

0,375

97

50

28

18

13

0,406

97

46

28

17

14

0,438

96

45

27

17

15

0,469

95

43

27

16

16

0,500

92

42

26

16

17

0,531

90

42

26

16

18

0,563

89

42

26

15

19

0,594

86

41

26

15

20

0,625

85

41

25

15

21

0,656

83

41

25

15

22

0,688

83

40

23

15

23

0,719

81

40

22

14

24

0,750

78

38

21

14

25

0,781

76

36

21

13

26

0,813

76

33

20

12

27

0,844

70

32

19

11

28

0,875

65

31

18

10

29

0,906

64

30

18

10

30

0,938

58

29

17

9

31

0,969

53

24

16

9

Figura 5.11: Curvas: Intensidad-Duración-Frecuencia

Intensidad (mm/h)

120 100 80 60 40 20 0 0

20

40

60

80

100

120

140

Duración (min) F = 3.1%

F = 25.0%

F = 50.0%

F = 75.0%

F = 96.9%

- 104 -


5.10. 5.10.1.


PRECIPITACION MAXIMA PROBABLE (PMP) Generalidades La PMP se define como la máxima altura de lluvia de una duración dada, meteorológicamente posible para una cuenca, en determinada época del año. Se conoce también como “precipitación máxima posible”, teniendo en cuenta que es la máxima precipitación físicamente posible sobre el área, basada en los datos meteorológicos existentes. Los conocimientos actuales sobre el mecanismo de las tormentas o lluvias intensas no permiten la determinación precisa de la PMP; el grado de precisión depende esencialmente de la cantidad y calidad de los datos disponibles, siendo deseables series históricas de 50 años de datos meteorológicos según la Organización Meteorológica Mundial (WMO, 1973). El procedimiento que vamos a describir se aplica en regiones de latitudes medias y básicamente consiste en la maximización de la humedad atmosférica, complementada eventualmente con la transposición de las tormentas, cuando sea necesario.

5.10.2.

Procedimiento de Cálculo El procedimiento para la evaluación de la PMP puede ser hecho en varias etapas, resumidas de la siguiente manera: a) Selección de los eventos máximos Se seleccionan las mayores precipitaciones registradas en la región, relacionando los valores máximos de lluvia para cada duración. La media en la cuenca puede ser calculada a través de cualquiera de los métodos ya mencionandos anteriormente. b) Maximización de las precipitaciones Son los ajustes que son efectuados para evaluar el total que hubiera ocurrido en condiciones meteorológicas críticas, posibles de ocurrencia en la región en la misma época del año. En general, se admite que el volumen precipitado en una lluvia cualquiera, es directamente proporcional a la humedad atmosférica. Así, ese ajuste antes mencionado consiste simplemente en el producto de la altura de precipitación por la relación entre la máxima humedad atmosférica observada en la región, para aquella época del año, y la registrada en la ocasión de la lluvia analizada. En ausencia de datos (provenientes de radio sondaje) relativos a la humedad en las capas más altas de la atmósfera, se acostumbra utilizar el punto de rocío en la superficie como valor representativo, ya que, considerándose la atmósfera saturada y pseudo-adiabática, la cantidad de humedad es una función única de la altitud del terreno y del punto de rocío en la superficie. Como punto de rocío representativo de las condiciones reinantes por ocasión de la precipitación, se toma el mínimo valor observado durante el período de 12 horas de máxima precipitación. El valor del punto de rocío, para fines de maximización, es el mayor valor histórico persistente por 12 horas, en la región, basados en los registros de 50 años. Los valores de punto de rocío son generalmente reducidos pseudoadiabáticamente al nivel de 1000 milibares. - 105 -



El ajuste puede ser efectuado con base en la relación del volumen de agua precipitable (en mm) contenido entre el nivel del terreno y el correspondiente a una presión de 200 mb, para los dos puntos de rocío determinados. Así, si fuera observada una lluvia de 100 mm en 24 horas sobre una zona cuya altitud es de 300 m.s.n.m, cuando el punto de rocío fuera 22 °C y el máximo valor de este pueda alcanzar 25 °C, el coeficiente de ajuste será dado por la relación (de acuerdo con la Figura 5.12):

C=

Volumen del agua precipitable a 25°C 75.2 mm = = 1.3 Volumen de agua precipitable a 22 °C 57.7 mm

Eso significa que si la precipitación hubiese ocurrido en condiciones críticas, hubiera llegado a 100x1.3 = 130 mm, que es la Precipitación Máxima Probable. c) Transposición de Eventos Frecuentemente las precipitaciones analizadas no ocurren exactamente sobre la región de interés y hay necesidad de estudiar los efectos de desplazamiento del fenómeno hasta la cuenca hidrográfica. Naturalmente, la transposición solo es viable entre regiones homogéneas del punto de vista meteorológico, y comprende, en general, cuatro formas de ajuste: • • •

•

Maximización de la precipitación en la forma descrita, en la propia región de ocurrencia; Consideración de la variación de la cantidad de humedad disponible, indicada por la variación del punto de rocío máximo persistente por 12 horas, entre la región original de ocurrencia y la zona estudiada. Ajuste por diferencia de altitud entre las dos cuencas, a través de un coeficiente que es la relación entre el volumen de agua precipitable entre el nivel del terreno en estudio y 200 mb para el máximo punto de rocío, y el volumen disponible en la región de ocurrencia original, para el mismo punto de rocío. Ajuste por configuración de las isoyetas, en lo que respecta a su orientación general en la cuenca. En general, una rotación de hasta 20 °C es permitida en el sentido de obtener un mayor volumen de lluvia sobre el área de drenaje.

d) Definición de la PMP para el Área Estudiada El análisis detallado en el parágrafo b) se repite para lluvias de diferentes duraciones, maximizadas y transpuestas, según el caso. Colocando todas las lluvias en un mismo gráfico, se puede trazar una envolvente que proporcionará los valores máximos de la altura media de lluvia sobre el área considerada. La PMP así obtenida, o por métodos análogos, se aproxima del límite físico que se busca definir para la precipitación sobre una cuenca hidrográfica. La confiabilidad de los resultados depende, por un lado, de los datos básicos y por otro, del conocimiento de las características meteorológicas de la región. e) Determinación de curvas Altura-Área-Duración para la región El análisis detallado del acápite b) se repite para lluvias de diferentes duraciones, maximizadas y transpuestas. Los resultados de todas las lluvias se grafican y se traza la envolvente que proporcionará los valores máximos de la altura media de lluvia sobre el área considerado. - 106 -



- 107 -


5.11.


BIBLIOGRAFÍA (1) (2) (3)

(4) (5) (6) (7) (8)

(9) (10)


CLARKE R. T. - Mathematical Models in Hydrology, Food and Agriculture Organization of the United Nations – Rome, 973 DE PIEROLA CANALES., J. N. - Notas del Curso de Hidrología, Universidad Nacional Agraria La Molina; Lima, 1979, 1980, 1981, 1982. GARCÉS, L. N. - Hidrología, Sao Paulo, Ed. Edgard Blücher. 1967 LINSLEY Jr., R. K.; KOHLER, M. A. & PAULHUS, J. L. H. – Applied Hydrology, New York, McGraw-Hill Book Company, 1949 LINSLEY Jr., R. K.; KOHLER, M. A. & PAULHUS, J. L. H. – Hydrology for Engineers, New York, McGraw-Hill Book Company, 1958 MEJIA M., J.A. Notas del Curso de Hidrología, Universidad Nacional Agraria La


(11)


(12)


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RADOJICIC MILENA - Statistical Methods Applied in Hydrology, Belgrade – Yugoeslavia, 1983 RODRIGUEZ T., F., Elementos de Escurrimiento Superficial, Secretaría de Recursos Hidráulicos, Memorandum Técnico N° 330, Mexico, 1974

(14) (15) (16)


- 108 -


CAPÍTULO 6:

6.1.

Capítulo 6: Evaporación y Evapotranspiración

EVAPORACIÓN Y EVAPOTRANSPIRACIÓN

INTRODUCCIÓN El conocimiento de la pérdida de agua de una superficie natural es de suma importancia en los diferentes campos del conocimiento científico, especialmente en las aplicaciones de la meteorología y la hidrología a las diversas actividades humanas. A los meteorólogos interesa el estudio del fenómeno, ya que ello condiciona la energía de la atmósfera y altera las características de las masas de aire en ella existentes. Los hidrólogos están interesados en conocer la pérdida de agua en cauces, canales, reservorios, así como la cantidad de agua a ser adicionada por riego a los cultivos; los ingenieros forestales se interesan por el secado de las superficies de la madera; los patólogos, por el secado de la superficie de las plantas, para verificar la expansión de ciertas enfermedades; los ingenieros agrícolas y agrónomos, por la pérdida de agua de la superficie del suelo, cuando son utilizados por diferentes cultivos; los botánicos y fisiólogos están interesados en la pérdida de agua de las plantas en relación a su crecimiento; además de ellos, médicos, geógrafos, climatólogos, ingenieros, están interesados en conocer la tasa por el cual el agua deja una determinada superficie bajo la forma de vapor para incorporarse a la atmósfera. En este capítulo se trata de dar nociones básicas sobre el proceso de evaporación y transpiración, presentar los principales métodos de estimación y describir los principales aparatos usados para la medida de esta variable hidrológica en estudio.

6.2.

CONCEPTOS GENERALES

Evaporación: Es el proceso por el cual se transfiere agua del suelo y de las masas líquidas para la atmósfera. Esa transferencia natural se interpreta fácilmente por la teoría cinética de la materia. En los sólidos y líquidos predominan las fuerzas de atracción entre las moléculas del cuerpo; en los sólidos, cada partícula tiene oscilaciones en torno a una posición media casi permanente; en los líquidos, la energía cinética media de las partículas es mayor que en los sólidos, sin haber escape de ellas para fuera de ellas. En los gases, con el aumento de energía cinética, las partículas se liberan y fluyen libremente. El cambio de estado sólido o líquido para el gaseoso requiere, por lo tanto, un consumo de energía llamada calor de vaporización; en el fenómeno inverso, ocurre liberación de energía. Simultáneamente con el escape de las partículas de agua hacia la atmósfera, se da el fenómeno contrario: partículas de agua en la fase gaseosa, chocan con la superficie de separación y son absorbidas por el cuerpo evaporante. La evaporación se procesa hasta alcanzar el estado de equilibrio, que corresponde a la saturación del aire en contacto con el agua: el número de moléculas que escapan (evaporan) es igual al número de moléculas que son absorbidas (condensan), en el mismo intervalo de tiempo. Las condiciones básicas para la ocurrencia del mecanismo son: - 109 -



a) Existencia de una fuente de energía (radiación solar), calor sensible de la atmósfera o de la superficie evaporante. En general, la radiación solar es la principal fuente para la evaporación. Para evaporar 1 g de agua son requeridas 540 calorías a 100 °C y 600 calorías a 0 °C. b) Una gradiente de concentración de vapor, esto es, una diferencia entre la presión de saturación del vapor a la temperatura de la superficie evaporante y la presión del vapor de aire. Transpiración: Es la pérdida de agua hacia la atmósfera en forma de vapor, resultante de las acciones físicas y fisiológicas de las plantas. La tasa de transpiración es función de los estomas, de la profundidad radicular y del tipo de vegetación, además de los factores que afectan la evaporación. Evapotranspiración: Es la pérdida de agua resultante de la evaporación del suelo y la transpiración de las plantas. Evapotranspiración Potencial: Es la pérdida del agua por evapotranspiración en un terreno extenso con vegetación verde, baja, en pleno desarrollo, cubriendo totalmente el suelo, de altura uniforme y sin sufrir deficiencia de humedad, (humedad del suelo cercana a la capacidad de campo). Evapotranspiración Real o Actual: Conocida también como uso consuntivo, es la pérdida de agua por evaporación y transpiración, en las condiciones atmosféricas y de humedad del suelo, actuales reinantes.

6.3.

FACTORES QUE AFECTAN LA EVAPORACIÓN Como la evaporación (y la evapotranspiración) es un intercambio de agua entre dos cuerpos, una fuente (superficie evaporante) y un receptor (atmósfera), la tasa de evaporación, esto es, la rapidez con que el fenómeno se procesa, depende de las características de esos medios. Entre los factores relativos a la atmósfera pueden ser mencionados la humedad del aire, la temperatura, el viento, y entre los relativos a la superficie evaporante, el tipo de suelo y la radiación solar, esta última haciendo sentir su efecto a través del calentamiento de la superficie. a) Temperatura y Humedad el aire Como se sabe, la temperatura y la humedad del aire acondicionan la presión de vapor del mismo, actuando por lo tanto como factores ligados a la gradiente de vapor entre la superficie y el aire vecino. La elevación de la temperatura aumenta el valor de la presión de saturación del vapor de agua, permitiendo que mayores cantidades de vapor de agua puedan estar presentes en el mismo volumen de aire, para el estado de saturación. La Tabla 6.1 muestra, por ejemplo, que para cada 10°C la presión de saturación se torna aproximadamente el doble. - 110 -



Tabla 6.1: Presión de Saturación del Vapor de Agua (Pinto Et Al, 1976) T (°C) Po (atm)

0 0.0062

5 0.0089

10 0.0125

15 0.0174

20 0.0238

25 0.0322

30 0.0431

35 0.0572

40 0.0750

b) Viento El viento actúa mecánicamente en el fenómeno, renovando el aire en contacto con las masas de agua o con la vegetación, alejando del lugar las masas de aire que ya tienen un grado de humedad elevado. En la capa en contacto con la superficie el movimiento del vapor es por difusión molecular mientras que por encima de esa capa límite superficial, el responsable es el movimiento turbulento del aire (difusión turbulenta). c) Tipo de Suelo En suelos arenosos saturados, la evaporación puede ser igual a la evaporación de superficies libres de agua; en suelos arcillosos puede reducirse al 75% de ese valor. La capacidad del suelo para transferir agua de la napa freática hasta la superficie, vía capilaridad controlará la tasa real de evaporación. La existencia de vegetación en la superficie reduce la evaporación, pero en compensación introduce la transpiración. d) Radiación Solar La cantidad de energía solar que alcanza la tierra, por unidad de superficie, calculada en el límite (tope) de la atmósfera es de aproximadamente a 2 cal/min.cm2 (1.39 kw/m2) es denominada constante solar. De eso solo entre 0.1 y 0.2 kw/m2 alcanzan la superficie del suelo; sin embargo, es suficiente para evaporar una lámina de agua entre 1.30 y 2.60 m de altura. Otras variables como la presión atmosférica, salinidad del agua, textura del suelo, etc. afectan en menor grado el fenómeno de la evaporación.

6.4.

MEDICIÓN DE LA EVAPORACIÓN La evaporación se mide en milímetros (mm), como la altura de una lámina evaporada por unidad de área. La intensidad de la evaporación, o tasa de evaporación, es la velocidad con que ocurre el fenómeno y se mide en mm/h, mm/día, etc. Los instrumentos de medición, generalmente llamados como evaporímetros, pueden ser divididos en dos grupos: los que usan algún tipo de superficie evaporante (porcelana porosa, papel del filtro) y los que miden directamente el descenso de la superficie libre. Entre los primeros los más comunes son los evaporímetros (o atmómetros) Livingstone y del tipo Piché, ambos colocados dentro de la caseta termométrica de la estación meteorológica; mide la evaporación en mililitro (ml) o en milímetros de agua evaporada (mm), a partir de una superficie porosa mantenida permanentemente humedecida por el agua. Los del segundo grupo son los más usados, y son los de mayor aplicación en los problemas hidrológicos; son los llamados tanques de evaporación de los cuales el más conocido es el tanque clase A, idealizado por el U.S Weather Bureau, o tanque OMM (Organización Meteorológica Mundial) y el tanque GGI-3000, usado en la URSS, colocados en la superficie del suelo de una estación Meteorológica; eventualmente son usados tanques flotantes en lagos o reservorios. - 111 -



El tanque clase A es instalado sobre una base de madera, permitiendo que la base del aparato quede 15 cm por encima del suelo. Tiene 1219 mm (48 pulgadas) de diámetro y 254 mm (10 pulgadas) de altura. A través de un micrómetro apoyado en un cilindro tranquilizador , se mide el descenso de la lámina de agua dentro del tanque; debido a que el instrumento está expuesto a la lluvia es necesario medir la lámina de agua precipitada para verificar el valor del descenso del nivel debido únicamente a la evaporación. Para efectos de análisis, también es medida la velocidad del viento a través de anemógrafos instalados a 0.60 y 10.0 m de altura. Algunos cuidados se deben tener en cuenta en la operación del tanque, para evitar pérdidas de agua por presencia de aves o animales domésticos que puedan beber el agua, o crecimiento de algas que alteran la tasa de evaporación.

Figura 6.1: Evaporímetro de Piche

Figura 6.2: Tanque de Evaporación Clase A

- 112 -



El tanque OMM de 20 m2 es un instrumento patrón recomendado por la Organización Meteorológica Mundial que se instala enterrado, de forma semejante al modelo Colorado, usado antiguamente en los EEUU. La evaporación medida en un evaporímetro no es exactamente igual a la evaporación real, dado que las condiciones en que es medida son diferentes; por eso, se usan coeficientes para transformar esa medición en una estimación de la evaporación real. En el caso del tanque clase A, el coeficiente varía de 0.7 a 0.8 y para tanques flotantes de 0.7 a 0.82. En una investigación realizada en la amazonía (Mateus y Duarte, 1981) observaron que el tanque OMM de 20 m2 dio valores medios diarios de evaporación potencial inferiores a los obtenidos en tanque clase A; se estimó la relación en 0.82 entre las lecturas del tanque OMM y el tanque clase A. Los evaporímetros tipo Piché no han dado resultados confiables, debido quizás a dificultades de operación, generando variaciones difíciles de ser cuantificadas. La relación entre las evaporaciones anuales proporcionadas por tanques y por evaporímetros de ese tipo varía entre 0.45 y 0.65. 18.00 m 2.70

2.00

9

7 8

2.50

3.00 4.00 7.10

2

2.90

2.00

2.20

3.25

4

6.00

1

m

1.0

3 2.00

12.00

8.50

5

6

3.00

1 Punto de referencia 2 Protección termométrica 3 Tanque evaporímetro Clase A con pluviómetro y anemómetro a nivel del tanque 4 Tanque evaporímetro Clase A con registrador 5 Pluviómetro 6 Pluviógrafo 7 Anemógrafo 8 Tanque de evaporación de 20 m2 9 Heliógrafo

2.25

Figura 6.3: Estación de Evaporación Experimental (Mateus y Duarte, 1981)

6.5.

FÓRMULA GENERAL DE LA EVAPORACIÓN La intensidad de evaporación es función directa de la diferencia entre la presión de saturación del vapor de agua en la atmósfera y la presión real del vapor de agua; según la Ley de Dalton:

E = C (es − ea )

(6.1)

donde: E es la intensidad de evaporación, C una constante que depende de otros factores que afectan la evaporación; es la presión de saturación del vapor de agua a la temperatura del agua y ea la presión de vapor de agua presente en el aire atmosférico. La constante C es normalmente relacionada con la velocidad del viento u (m/s) medida a 2 m de altura sobre la superficie evaporante, calculándose entonces ea también a esa altura. Las ecuaciones adoptan la siguiente forma:

- 113 -



E = 0.131u (es − ea )

(EEUU)

(6.2)

E = 1.13(1 + 0.72u )(es − ea )

(URSS)

(6.3)

En general, C puede ser determinado por análisis de correlación múltiple.

6.6.

EVAPORACIÓN A PARTIR DE SUPERFICIES LIBRES DE AGUA El problema puede ser abordado estableciendo el balance energético completo en un determinado intervalo de tiempo. El método toma en cuenta las cantidades de energía que entran y salen del sistema, comparadas con las cantidades de energía almacenada en ella. La precisión de la estimación de la evaporación depende en gran parte de la confiabilidad y precisión de los datos básicos. En buenas condiciones se puede esperar errores entre el 10 y 20%.

6.6.1.

Método del Balance de Energía

Qv

Qe

Qr

Qs

Qb

Qh

Qv

Figura 6.4: Esquema de un Balance de Energía en un Lago

El balance energético al nivel del suelo difiere de aquel considerado en la superficie del agua, pues este último es un problema termodinámico que puede ser resuelto aplicando las leyes físicas adecuadas. El balance de energía al nivel de un lago o reservorio puede ser expresado mediante la siguiente ecuación (Viessman et al., 1977):

Qo = Q s − Q r + Q a − Q ar + Q v − Q b − Q e − Q h − Q w Qo Qs Qr Qa Qar Qv Qb Qe Qh Qw

(6.4)

: variación de la energía almacenada en la masa de agua : radiación solar de onda corta incidente en la superficie de agua : radiación solar reflejada (Qr = αQs ; donde α es conocido como albedo) : radiación de onda larga proveniente de la atmósfera : radiación de onda larga (infrarroja) reflejada por la masa de agua : energía calorífica de advección en la masa de agua (afluente y efluente) : radiación de onda larga emitida por el agua : energía consumida por la evaporación : energía transmitida por conducción a la atmósfera como calor sensible : energía calorífica de advección del agua evaporada

Todos los términos de la ecuación (6.4) están en cal/cm2.día. Para hacer posible la determinación de la evaporación con la ecuación (6.4) se usan las siguientes relaciones: - 114 -


B=


⎛ T − Ta ⎞ Qh P ⎛ To − Ta ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = γ ⎜⎜ o ⎟⎟ = 0.66 − Qe 1000 ⎝ e s − e a ⎠ e e a ⎠ ⎝ s

B P To Ta es ea γ

(6.5)

: conocida como la relación de Bowen : presión atmosférica (mb) : temperatura de la superficie del agua (°C) : temperatura del aire (°C) : presión de saturación del vapor a la temperatura To (mb) : presión de vapor del aire (mb) : constante psicrométrica = 0.66P/1000

Qw =

c p Q e (Te − Tb ) lv

(6.6)

: calor específico del agua (cal/gr.°C) : temperatura del agua evaporada (°C) : temperatura arbitraria de base (normalmente 0 °C) : calor latente de vaporización (cal/gr)

cp Te Tb lv

Introduciendo las ecuaciones (6.5) y (6.6) en la ecuación (6.4) y despejando Qe se tiene:

Qe =

Q s − Q r + Q a − Q ar − Q b − Qo + Q v cp (Te − Tb ) 1+ B + lv

(6.7)

Para determinar la lámina de agua evaporada por unidad de tiempo, se emplea la siguiente ecuación:

E=

Qe ρl v

(6.8)

: evaporación (cm3/cm2.día) : masa específica o densidad del agua (gr/cm3)

E ρ

Por lo tanto la ecuación del balance energético se transforma en:

E=

Q s − Q r + Q a − Q ar − Q b − Qo + Q v ρl v (1 + B ) + c p ρ (Te − Tb )

(6.9)

La ecuación (6.8) puede escribirse de forma más simplificada, considerando despreciables algunos valores de radiación o energía, como: Qa = Qar = Qw = 0

E=

(Q s − Q r − Q b ) − Qo + Q v Q n − Qo + Q v = ρl v (1 + B ) ρl v (1 + B )

(6.10)

- 115 -



Si solo se considera la radiación neta (Qn = Qs – Qr – Qb) como toda la tasa de radiación absorbida por la evaporación, la ecuación (6.8) se simplifica en::

E=

Qn ρl v

(6.11)

En la aplicación de este método, la precisión exigida para todas las variables no es la misma; por ejemplo, errores del 2% en la medición de la radiación incidente de onda larga pueden introducir errores del 15% en la evaluación de la evaporación mensual, mientras que errores de 10% en la medición de la radiación solar reflejada puede causar apenas errores entre 1 y 5% en la evaporación. Actualmente se encuentra altamente desarrollada la tecnología de medición de los diversos tipos de radiación, a través de radiómetros selectivos de precisión. Ejemplo 6.1: Utilizando el método de balance de energía, calcule la tasa de evaporación desde una superficie libre de agua, si la radiación neta es de 200 W/m2 y la temperatura del aire es 25 °C, suponiendo que no existen campos de flujo de calor sensible o de calor del suelo. Solución: El calor latente de vaporización puede obtenerse a partir de la tabla 6.2, para la temperatura de 25 °C: l v = 583.2 cal/g =

583.2 = 2442.2 J/g = 2442.2 × 10 3 J/kg . La 0.2388

densidad del agua a 25 °C es 997 kg/m3; reemplazando en la ecuación (6.11) resulta:

E=

6.6.2.

Qn 200 = = 8.21 × 10 −8 m/s = 8.21 × 10 −8 × 1000 × 86400 = 7.10 mm/día 3 ρl v 2442.2 × 10 × 997

Método del Balance de Masa o Método Aerodinámico Otro método disponible es el método aerodinámico (basado en la difusión del vapor), que requiere de mediciones cuidadosas de los movimientos de los flujos atmosféricos. Utiliza la ecuación de transporte turbulento, ecuación que, en ciertos casos, usando condiciones de contorno adecuados, puede ser bastante simplificada.

E = f (u )(e s − e a ) = (a + bu )(e s − e a ) E f(u) u es ea a, b

(6.12)

: evaporación del lago en mm/día : función de la velocidad horizontal del viento : velocidad media del viento (m/s) : presión de vapor a la superficie del agua (mb) : presión de vapor del aire a una altura fija sobre la superficie (mb) : constantes empíricas

Diversas ecuaciones empíricas fueron desarrollados bajo este método, siendo los más comunes los siguientes:

- 116 -



⎡ W⎤ E = C ⎢1 + ⎥(e s − e a ) ⎣ 10 ⎦

Meyer: E es ea C W

(6.13)

: evaporación en pulgadas/día : presión de saturación del aire en la superficie en pulgadas de mercurio : presión de vapor de aire en pulgadas de mercurio : coeficiente igual a 0.5 para pequeños lagos y 0.36 para grandes lagos : velocidad media diaria del viento a 25 pies de altura en millas/hora

Lago Hefner:

E = 0.012u 2 (e s − e 2 )

(6.14)

Lago Mead:

E = 0.0118u 2 (e s − e 2 )

(6.15)

E es e2 u2

: evaporación en (cm/día) : presión de saturación del vapor en la superficie (mb) : presión de vapor de aire en (mb) a 2 m de altura. : velocidad de viento en (m/s) a 2 m de altura

E=

Chow Ven Te:

E es ea ρa u2 k ρ P z0 z2

0.622k 2 ρ a u 2 ⎡ ⎛z Pρ ⎢ln⎜⎜ 2 ⎣ ⎝ z0

⎞⎤ ⎟⎟⎥ ⎠⎦

2

(es − ea )

(6.16)

: evaporación (m/s) : presión de saturación del aire en la superficie (mb; Pa) : presión de vapor de aire (mb; Pa) : densidad del aire (kg/m3) : velocidad de viento en (m/s) a 2 m de altura : constante de Von Karman = 0.4 : densidad del agua (kg/m3) : presión del aire (mb; Pa) : altura de rugosidad (m) : altura donde se efectúan las mediciones (2 metros) (Tabla 2.4)

Ejemplo 6.2: Calcule la tasa de evaporación de una superficie libre de agua utilizando el método del balance de masa con una temperatura de 25 °C, con humedad relativa del 40%, una presión del aire de 101.3 kPa y una velocidad de viento de 3 m/s, todas medidas a una altura de 2 m por encima de la superficie de agua. Suponer una altura de rugosidad de 0.03 cm. Solución: Reemplazando los datos en la ecuación (6.16), se tiene:

E=

0.622k 2 ρ a u 2 ⎡ ⎛z Pρ ⎢ln⎜⎜ 2 ⎣ ⎝ z0

⎞⎤ ⎟⎟⎥ ⎠⎦

(es − ea ) = 2

0.622 × 0.4 2 × 1.19 × 3 ⎡ ⎛ 2 ⎞⎤ 101.3 × 10 3 × 997 ⎢ln⎜ ⎟⎥ ⎣ ⎝ 0.0003 ⎠⎦

2

(es − ea )

- 117 -


(


)

E = 4.54 × 10 −11 m/Pa.s (e s − ea ) = 4.54 × 10 −11 (3167 − 1267 ) = 8.62 × 10 −8 m/s = 7.45 mm/dia es = 3167 Pa, es obtenida de tablas para 25 °C, luego:

ea = HR × e s = 0.40 × 3167 = 1267 Pa

6.6.3.

Método Combinado Si los niveles 1 y 2 se toman en la superficie de evaporación y en la corriente de aire por encima de ésta, respectivamente, puede demostrarse que la tasa de evaporación (En) que se calcula de la tasa de radiación neta (método del balance de energía) y la tasa de evaporación que se establece utilizando los métodos de balance de masa o aerodinámico (Ea) se combinan para dar un valor estimado ponderado de evaporación (E) por:

E=

γ Δ En + Ea Δ +γ Δ +γ

(6.17)

Δ : gradiente de la curva de presión de saturación del vapor a la temperatura T del aire γ : constante psicrométrica: γ =

0.66 P ; para P = 1000 mb: γ = 0.66 (mb/°C) 1000

El factor Δ es función de la temperatura del aire y puede obtenerse a partir de cualquiera de la siguientes ecuaciones:

Δ=

4.098e s

(237.3 + T )2

Δ = (0.00815T + 0.8912 )

7

(mb/°C , Pa/°C)

(6.18)

(mb/°C)

(6.19)

donde T es la temperatura del aire en °C y debe ser > -25°C.

El método combinado es apropiado para ser usado en áreas pequeñas y con información detallada. La información requerida incluye la radiación neta, la temperatura del aire, la humedad, la velocidad del viento y la presión del aire. Cuando parte de esta información no está disponible, deben utilizarse las ecuaciones de evaporación más simples que requieren menos variables. En el caso de evaporación sobre áreas grandes, las consideraciones del balance de energía dominan la tasa de evaporación. Para tales casos Priestley y Taylor (1972) determinaron que la tasa de evaporación dominada por el balance de masa es aproximadamente al 30% de la tasa basada en el balance de energía; por lo tanto la ecuación (6.17) queda de la siguiente manera:

E =α

Δ Δ E n ≅ 1.3 En Δ +γ Δ +γ

(6.20)

Otros investigadores han confirmado la validez de esta aproximación, variando levemente el valor de α de un lugar a otro.

- 118 -



La información del tanque de evaporación provee la mejor indicación de evaporación en superficies de aguas abiertas cercanas. Los valores observados de evaporación en tanque se multiplican por un factor de tanque que varía entre 0.7 y 0.8 para convertirlos en valores equivalentes de evaporación de agua en superficies libres. Tabla 6.2: Propiedades Físicas del Agua en Sistema de Unidades Internacionales Temp. (°C)

Densidad (g/cm3)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 50 60 70 80 90 100

0.9998 0.9999 0.9997 0.9991 0.9982 0.9971 0.9956 0.9940 0.9922 0.9880 0.9832 0.9777 0.9718 0.9653 0.9584

Calor de vaporización (cal/g) 597.3 594.5 591.7 588.9 586.0 583.2 580.4 577.6 574.7 569.0 563.2 557.4 551.4 545.3 539.1

Viscosidad Absoluta Cinemática (cp) (cs) 1.790 1.790 1.520 1.520 1.310 1.310 1.140 1.140 1.000 1.000 0.890 0.893 0.798 0.801 0.719 0.723 0.653 0.658 0.547 0.554 0.466 0.474 0.404 0.413 0.355 0.365 0.315 0.326 0.282 0.294

Presión de vapor 2 (mm Hg) (mb) (g/cm ) 4.58 6.54 9.20 12.78 17.53 23.76 31.83 42.18 55.34 92.56 149.46 233.79 355.28 525.89 760.00

6.11 8.72 12.27 17.04 23.37 31.67 42.43 56.24 73.78 123.40 199.26 311.69 473.67 701.13 1013.25

6.23 8.89 12.51 17.38 23.83 32.30 43.27 57.34 75.23 125.83 203.19 317.84 483.01 714.95 1033.23

Fuente: Linsley, R.K. et al (1982) Hydrology for Engineers

Ejemplo 6.3: Aplicar el método combinado para calcular la tasa de evaporación desde una superficie libre de agua sujeta a una radiación neta de 200 W/m2, una temperatura de 25 °C, una humedad relativa del 40% y una velocidad de viento de 3 m/s, todas registradas a una altura de 2 m, y a una presión atmosférica de 101.3 kPa. Solución: Del ejemplo 6.1 la tasa de evaporación correspondiente a una radiación neta de 200 W/m2 es 7.10 mm/día y del ejemplo 6.2 el método aerodinámico arroja 7.45 mm/día para la temperatura del aire, humedad y condiciones de viento dadas.

γ= Δ=

0.66 P 0.66 × 101.3 × 10 3 = = 66.86 Pa/ °C 1000 1000 4.098e s

(237.3 + T )

2

=

4.098 × 3.167

(237.3 + 25)2

= 188.7 Pa/ °C

(es es obtenido de la tabla 6.2)

Luego la tasa de evaporación por el método combinado será:

E=

γ Δ 188.7 66.86 En + Ea = × 7.10 + × 7.45 = 7.2 mm/día Δ +γ Δ +γ 188.7 + 66.86 188.7 + 66.86

Aplicando el método de Priestley-Taylor, la evaporación será:

- 119 -


E =α

6.6.4.


Δ Δ 188.7 E n ≅ 1.3 E n = 1.3 × × 7.10 = 6.8 mm/día Δ +γ Δ +γ 188.7 + 66.86

Método del Balance Hídrico El balance hídrico ha sido mencionado también como método para determinar la evaporación en reservorios y lagos. Es un procedimiento simple, pero raramente produce resultados confiables, dado la dificultad de evaluación de las variables como transpiración, infiltración y flujo subterráneo, cuyo desconocimiento puede introducir errores graves en la evaluación de la evaporación.

E {

evaporacion

6.7.

=

P {

−

precipitacion

Q {

+

escorrentia

G {

−

flujosubterraneo

Δ S {

(6.21)

almacenamiento

REDUCCIÓN Y CONTROL DE LA EVAPORACIÓN Muchas experiencias han sido efectuadas para desarrollar métodos de reducción de la evaporación del agua en reservorios y lagos, especialmente en regiones áridas o semi aridas. Capa grasosa

Figura 6.5: Reducción de la Evaporación

El método más común es el uso de substancias grasosas que se dispersan sobre la superficie de agua; esas substancias no deben causar perjuicio a la vida humana, fauna y flora, además de ser de bajo costo y mantenimiento.

Las substancias más apropiadas son ciertos compuestos polares que, en contacto con el agua, orientan sus moléculas con la parte hidrófila atraída por el agua y la parte hidrófoba para el aire, formando una película monomolecular que reduce grandemente la evaporación. Los compuestos más adecuados encontrados hasta ahora son los alcoholes y ácidos carboxílicos como Hexadecanol (C16H33OH) y Octadecanol (C18H37OH) y los ácidos Hexadecanoico o ácido palmítico (C15H31COOH) y Octadecanoico o ácido esteárico (C17H35COOH). La eficiencia de este proceso ha sido hasta el 40% en pequeñas superficies líquidas. El mayor inconveniente que presenta es la poca durabilidad de la capa, que fácilmente se quibra con los vientos, obligando a aplicaciones frecuentes que encarecen la operación. Estudios hechos en lagos (Villela, 1975) indicaron que, bajo ciertas circunstancias, es posible de obtener una reducción de hasta 50% en la evaporación: Tabla 6.3: Reducción de la Evaporación Nombre del Lago Umberumberka Reservoir Corella Lake Oklahoma Agricultural Experimental Station Lliu-Lliu (Chile)

Superficie (ha) 113 260 3 20

Reducción de la evaporación (%) 50 45 25 43

Entre otros procesos probados, algunos han ofrecido resultados interesantes, como el uso de coberturas sólidas en la superficie de agua. Barros et al. (1981) consiguieron - 120 -



una reducción de 39% en la evaporación en tanques de 2 m de diámetro y 1.1 m de profundidad enterrados en el suelo, en una experiencia realizada en Alagoas (Brasil), mediante el uso de planchas de tecnopor fragmentadas en pedazos de 10x20 cm. En la misma ocasión, el uso de parafina derretida solo redujo en 9% la evaporación, mientras que el uso de plantas acuáticas aumentó en 4%. El uso de barreras de árboles como rompe vientos, reduce la tasa de evaporación debido a que limita la velocidad del viento. La generación de turbulencia en el fondo de los depósitos de agua ayuda a deshacer la estratificación térmica, bajando la temperatura de la superficie y reduciendo la evaporación. Por último, el almacenamiento subterráneo eliminaría todos los problemas, dependiendo de las investigaciones geológicas que permitan identificar zonas suficientemente permeables, confinados, que puedan ser usados como reservorios.

6.8.

EVAPORACIÓN A PARTIR DEL SUELO Las superficies líquidas permanentes cubren, en general, parte muy pequeña de las cuencas hidrográficas, de tal forma que la evaporación de los suelos y la transpiración de las plantas son los factores que condicionan verdaderamente la evapotranspiración de una cuenca. Salvo los suelos particularmente porosos o con fisuras, la evaporación solo ocurre a partir de la superficie húmeda del suelo y de una reducida capa próxima a ella. La evaporación tiende a disminuir la humedad de esa capa y provoca un movimiento ascendente del agua almacenada en las capas subyacentes, para reaprovisionar la superficie y alimentar la evaporación. En ausencia de esa realimentación y en ausencia de lluvias, la humedad decrece progresivamente en las capas superficiales que, finalmente, secan totalmente; en ese momento se detiene la evaporación, sin embargo queda en el suelo humedad remanente (de 2 a 5% en volumen), llamada humedad higroscópica, que no puede ser extraída por evaporación. Además de los factores determinantes de la tasa de evaporación de la superficie de agua (tensión de vapor de saturación, tensión de vapor de aire), aparece ahora también la diferencia entre la tensión de vapor en la superficie de agua contenida en el suelo y la tensión de vapor del aire contenido en los poros del suelo. Otros factores controlan el proceso, como la concentración de sales minerales en el agua, o fenómeno de “adsorción” de agua por los granos, la presión osmótica debida a presencia de sales, la tensión superficial y el fenómeno de ascenso capilar. a) Fórmula de Turc Innumerables mediciones de evaporación han sido efectuados en diversos tipos de suelo, sujetos a climas extremamente variables y con diferentes condiciones de humedad, y conduciendo a fórmulas como la de Turc, del Centro Nacional de Investigaciones Agronómicas de Francia, y que proporciona la evaporación de suelos desnudos normales, sujeta a la humedad producida por la lluvia, para períodos de 10 días.

E=

P+a ⎛P+a⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ L ⎠

2

(6.22)

- 121 -



E : evaporación correspondiente a 10 días (mm) P : Precipitación correspondiente a 10 días (mm) a : cantidad de agua susceptible de ser evaporada en 10 días seguida a las precipitaciones; varía de 10 mm (suelo húmedo) hasta 1 mm (suelo seco) L : factor helio-térmico dado por:

L=

(

1 T + 2 Rg 16

)

(6.23)

T : temperatura media del aire (°C) Rg : radiación solar global en el período considerado (cal/cm2) 6.9.

6.9.1.

DETERMINACION DE LA EVAPOTRANSPIRACION

Instrumentos de Medición

Balanza

Superficie del suelo

Caja lisimétrica

Figura 6.6: Esquema de un Lisímetro

E = P − D + ΔR

Prácticamente el único instrumento usado en la medición de la evapotranspiración real es el lisímetro. Está constituido por un depósito enterrado, abierto en la parte superior y conteniendo el suelo que se quiere estudiar, en condiciones no perturbadas. La muestra del suelo recibe las precipitaciones del lugar, que son medidas en un pluviómetro; el suelo contenido en el lisímetro es drenado por el fondo, midiéndose la cantidad de agua. La evapotranspiración E del suelo durante un cierto período, puede ser determinada si son conocidas la precipitación P, la cantidad de agua drenada D y la variación de la cantidad de agua ΔR acumulada en el suelo dentro del lisímetro, según la ecuación: (6.24)

El valor de ΔR, en ciertos instrumentos, es obtenido por pesaje, a través de una balanza registradora en la cual está montada la caja lisimétrica; también pueden ser hechas medidas de humedad del suelo a diferentes profundidades, y si el período en que se procesan las determinaciones es suficientemente grande, ΔR puede ser despreciable comparado con E. Dado que los métodos directos (lisímetros) de determinación de la evapotranspiración son bastante costosos, se usan métodos indirectos, basados en fórmulas empíricas que incorporan los diversos parámetros que controlan el proceso. De los diversos métodos existentes serán citados solo algunos, basados ya sea en el balance de energía, balance aerodinámico, o combinando los dos criterios.

- 122 -


6.9.2.


Fórmula de Penman (1961) Dentro de los métodos llamados de combinados, el más usado es el de Penman, que combina las ecuaciones aerodinámica y energética. Penman derivó una ecuación que elimina la necesidad de medidas en las superficies, posibilitando así el cálculo de la evapotranspiración potencial usando datos meteorológicos comunes a las estaciones de medida (Beltrame et al., 1981). El uso del método combinado viene siendo usado más ampliamente en los últimos años debido a la disponibilidad de esos datos, a las facilidades de cálculo y acceso de los usuarios al computador. El método de Penman utiliza dos ecuaciones, la primera estimando el poder evaporante del aire, Ea (cm/día):

E a = (0.013 + 0.0001u 2 )(e s − e a )

(6.25)

donde: es ea u2

: presión de saturación del vapor a la temperatura media del aire (mb). : presión de vapor del aire (mb). : velocidad del viento (km/día), medido a 2 metros sobre el suelo

La siguiente ecuación determina la energía disponible para la evaporación y calentamiento del aire, H (cm/día):

H=

Q n Q s − Q r − Q b Q s (1 − α ) − Q b = = ρl v ρl v ρl v

(6.26)

donde: Qn Qs Qr Qb α ρ lv

radiación neta absorbida por el cuerpo de agua (cal/cm2/día) radiación solar de onda corta incidente (cal/cm2/día) radiación de onda corta reflejada (cal/cm2/día) (Qr = αQs) radiación de onda larga que retorna a la atmósfera (cal/cm2/día) albedo (en muchos casos se asume: α ≅ 0.05) densidad del agua (g/cm3) calor latente de vaporización (cal/g) (en promedio es igual a 590)

: : : : : : :

La radiación de onda larga que retorna a la atmósfera (Qb) y la radiación solar de onda corta incidente (Qs), pueden ser calculadas por las siguientes ecuaciones:

(

)

n⎞ ⎛ Q b = θT 4 0.56 − 0.08 e a ⎜ 0.1 + 0.9 ⎟ N⎠ ⎝

(6.27)

n⎞ ⎛ Q s = Ra ⎜ 0.18 + 0.55 ⎟ N⎠ ⎝

(6.28)

Ra n/N T θ

: : : :

radiación extraterrestre, en (cal/cm2/día) duración relativa del brillo solar temperatura media del aire (°K) constante de Stefan-Boltzman (1.17x10-7 cal/cm2/°K4/día) - 123 -



Por lo tanto la ecuación (6.26) se transforma en:

(

)

n⎞ ⎛ Q s (1 − α ) − θT 4 0.56 − 0.08 e a ⎜ 0.1 + 0.9 ⎟ N⎠ ⎝ H= ρl v

(6.29)

La energía disponible H, es distribuida entre la evaporación y el calentamiento del aire, siendo la parte correspondiente a evaporación en mm/día:

⎛Δ ⎞ ⎜⎜ H + E a ⎟⎟ γ ⎠ Eo = ⎝ Δ +1

(6.30)

γ

donde: Δ γ

: gradiente de la curva de presión de saturación del vapor a la temperatura media del aire en (mb/°C). : constante psicrométrica (0.485 mmHg/°C = 0.66 mb/°C)

Mejía, (2001) a partir de datos presentados por Thomas D. & Luna B., (1978), propone que la relación Δ/γ, se puede estimar en función de los datos de temperatura en °C,a partir de:

Δ

γ

= 0.0027T 2 + 0.0152T + 0.7309

(6.31)

Diversos estudios citados por Beltrame (1981), demuestran que, a pesar de que la ecuación de Penman funciona para períodos cortos (1 día), las estimaciones de radiación se comportan mejor para períodos semanales y mensuales; algunos investigadores inclusive afirman que el método combinado no proporciona buenos resultados para estimaciones diarias e indican intervalos de tiempo superiores a cinco días para que se obtengan buenas estimaciones. Eso porque, para períodos cortos de tiempo, es necesario disponer de estimaciones realistas de la radiación, ya que la precisión de la estimación de la evapotranspiración potencial por el método combinado depende básicamente de este factor.

Ejemplo 6.4: Con los siguientes datos, calcular la evapotranspiración potencial, aplicando la fórmula de Penman: Radiación solar incidente Qs: Duración del brillo solar n/N: Temperatura media del aire: Velocidad de viento u2 : Presión de vapor : Albedo α:

690 cal/cm2/día 78% 21 °C (294 °C) 120 km/día 15 mb 0.15

- 124 -



Solución:

(

)

n⎞ ⎛ Q s (1 − α ) − θT 4 0.56 − 0.08 e a ⎜ 0.1 + 0.9 ⎟ N⎠ ⎝ H= ρl v H=

(

)

690(1 − 0.15) − 1.17 × 10 −7 × 294 4 0.56 − 0.08 15 (0.1 + 0.9 × 0.78) = 0.70 cm/día 1 × 590

E a = (0.013 + 0.0001u 2 )(e s − e a ) = (0.013 + 0.0001 × 120)(25 − 15) = 0.32 cm/día Δ

= 0.0027T 2 + 0.0152T + 0.7309 = 0.0027 × 212 + 0.0152 × 21 + 0.7309 = 2.24

γ

⎛Δ ⎞ ⎜⎜ H + E a ⎟⎟ γ ⎠ = (2.24 × 0.70 + 0.32 ) = 0.58 cm/día Eo = ⎝ Δ 2.24 + 1 +1

γ

6.9.3.

Fórmula de Van Bavel (1966) Para calcular el poder evaporante del aire Ea, en el método de Penman, Van Bavel derivó una expresión basado en la teoría de transporte turbulento del vapor de agua entre la cobertura vegetal y la atmósfera:

Ea =

Ea es ea ρa u2 Ta z0 z2

u2 3.64 Ta ⎡ ⎛ z 2 ⎢ln⎜⎜ ⎣ ⎝ z0

⎞⎤ ⎟⎟⎥ ⎠⎦

2

(e s − ea )

(6.32)

: poder evaporante del aire (cm/s) : presión de saturación del vapor a la temperatura media del aire (mb). : presión de vapor del aire (mb). : densidad del aire (kg/m3) : velocidad de viento en (m/s) a 2 m de altura : temperatura en °K : altura de rugosidad (m) : altura donde se efectúan las mediciones (2 metros)

Ejemplo 6.5: Con los siguientes datos, calcular la evapotranspiración potencial, aplicando la fórmula de Van Bavel: Radiación solar incidente Qs: Radiación reflejada (onda larga) Qb: Temperatura media del aire: Velocidad de viento u2 : Presión de vapor atmosférica : Presión de saturación de vapor (a 23°C):

590 cal/cm2/día 100 cal/cm2/día 23 °C (296 °C) 95 km/día 18 mb 26 mb - 125 -



Albedo α: Altura de rugosidad (zo): Altura donde se efectúan las mediciones z2:

0.25 1.5 cm 2 m = 200 cm

Solución:

Q n Q s − Q r − Q b Q s (1 − α ) − Q b 590(1 − 0.25) − 100 = = = = 0.58 cm/día ρl v ρl v ρl v 1 × 590

H=

Ea =

Δ

γ

u2 3.64 Ta ⎡ ⎛ z 2 ⎢ln⎜⎜ ⎣ ⎝ z0

⎞⎤ ⎟⎟⎥ ⎠⎦

2

(e s − ea ) = 3.64

95

296 ⎡ ⎛ 200 ⎞⎤ 2 ⎢ln⎜ 1.5 ⎟⎥ ⎠⎦ ⎣ ⎝

(26 − 18) = 0.39 cm/día

= 0.0027T 2 + 0.0152T + 0.7309 = 0.0027 × 23 2 + 0.0152 × 23 + 0.7309 = 2.51

⎛Δ ⎞ ⎜⎜ H + E a ⎟⎟ γ ⎠ = (2.51 × 0.58 + 0.39 ) = 0.53 cm/día Eo = ⎝ Δ 2.51 + 1 +1

γ

6.9.4.

Fórmula de Thornthwaite En el método de Thornthwaite, el autor caracteriza la evapotranspiración potencial por un único factor, la temperatura media diaria, además de la duración del día.

⎡10T ⎤ E o = 1.6⎢ ⎣ I ⎥⎦

a

a = 0.000000675I 3 − 0.0000771I 2 + 0.0179 I + 0.49 ⎛T ⎞ I = ∑⎜ ⎟ 1 ⎝ 5 ⎠ 12

Eo T I

(6.33)

(5.34)

1.5

(6.35)

: evapotranspiración potencial (cm/mes) : temperatura media mensual (°C) : índice térmico anual que es la suma de los 12 índices térmicos mensuales

La ecuación (6.33) se refiere a un mes ficticio de 30 días y duración de insolación de 12 horas por día; por eso debe ser corregida por un factor que depende de la latitud y de la época del año, introduciendo, por lo tanto, la duración real del día. El factor es dado en la Tabla 6.4:

- 126 -



Tabla 6.4: Factor de corrección por duración del día en la fórmula de Thornthwaite Lat 15°N 10°N 5°N 0° 5°S 10°S 15°S 20°S 22°S 23°S 24°S 25°S 26°S 27°S 28°S 29°S 30°S 31°S 32°S 33°S 34°S 35°S 36°S 37°S

6.9.5.

Ene 0.97 1.00 1.02 1.04 1.06 1.08 1.12 1.14 1.14 1.15 1.16 1.17 1.17 1.18 1.19 1.19 1.20 1.20 1.21 1.22 1.22 1.23 1.24 1.25

Feb 0.91 0.91 0.93 0.94 0.95 0.97 0.98 1.00 1.00 1.00 1.01 1.01 1.01 1.02 1.02 1.03 1.03 1.03 1.03 1.04 1.04 1.04 1.04 1.05

Mar 1.03 1.03 1.03 1.04 1.04 1.05 1.05 1.05 1.05 1.05 1.05 1.05 1.05 1.05 1.06 1.06 1.06 1.06 1.06 1.06 1.06 1.06 1.06 1.06

Abr 1.04 1.03 1.02 1.01 1.00 0.99 0.98 0.97 0.97 0.97 0.96 0.96 0.96 0.96 0.95 0.95 0.95 0.95 0.95 0.94 0.94 0.94 0.94 0.94

May 1.11 1.08 1.06 1.04 1.02 1.01 0.98 0.96 0.95 0.95 0.94 0.94 0.94 0.93 0.93 0.92 0.92 0.91 0.01 0.90 0.89 0.89 0.88 0.88

Jun 1.08 1.05 1.03 1.01 0.99 0.96 0.94 0.91 0.90 0.89 0.89 0.88 0.87 0.87 0.86 0.86 0.85 0.84 0.84 0.83 0.82 0.82 0.81 0.80

Jul 1.12 1.08 1.06 1.04 1.02 1.00 0.97 0.95 0.94 0.94 0.93 0.93 0.92 0.92 0.91 0.90 0.90 0.89 0.89 0.88 0.87 0.87 0.86 0.86

Ago 1.08 1.07 1.05 1.04 1.03 1.01 1.00 0.99 0.99 0.98 0.98 0.98 0.98 0.97 0.97 0.96 0.96 0.96 0.95 0.95 0.94 0.94 0.94 0.93

Set 1.02 1.02 1.01 1.01 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

Oct 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.09 1.10 1.10 1.10 1.11 1.11 1.12 1.12 1.12 1.12 1.13 1.13 1.13 1.13 1.14

Nov 0.95 0.98 0.99 1.01 1.03 1.05 1.07 1.09 1.10 1.10 1.11 1.11 1.11 1.12 1.13 1.13 1.14 1.14 1.15 1.16 1.16 1.17 1.17 1.18

Dic 0.97 0.99 1.02 1.04 1.06 1.10 1.12 1.15 1.16 1.17 1.17 1.18 1.18 1.19 1.20 1.20 1.21 1.22 1.23 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27

Fórmula de Blaney y Criddle El método de Blaney y Criddle, como el de Thornthwaite, utiliza la temperatura media mensual y un factor ligado a la longitud del día. Parte de la siguiente ecuación:

E o = (8.12 + 0.457T )i

(6.36)

E r = K (8.12 + 0.457T )i

(6.37)

T i

: temperatura media mensual (°C) : % mensual de las horas de luz solar anual, obtenida de tablas en función De la latitud del lugar (Tabla 6.6). : evapotranspiración potencial (mm/mes) : Evapotranspiración real o uso consuntivo (mm/mes) : coeficiente de cultivo

Eo Er K

Tabla 6.5: Coeficiente de cultivo K para el Método de Blaney y Criddle Cultivo Algodón Arroz Papa Cereales Frijol Maíz Pastos Cítricos Zanahoria Tomate hortalizas

Período de crecimiento (meses) 7 3-4 3 3 3 4 3 4 -

Coeficientes de evapotranspiración (k) 0.60 1.00 0.65 0.75 0.60 0.75 0.75 0.50 0.60 0.70 0.60 - 127 -



Tabla 6.6: Duración de la insolación diaria para el día 15 de cada mes Lat 0° 5°S 10°S 12°S 14°S 16°S 18°S 20°S 22°S 24°S 26°S 28°S 30°S

Ene 12.1 12.3 12.6 12.7 12.8 13.0 13.1 13.2 13.4 13.5 13.6 13.7 13.9

Feb 12.1 12.3 12.4 12.5 12.8 12.7 12.7 12.8 12.8 12.9 12.9 13.0 13.1

Mar 12.1 12.1 12.1 12.2 12.2 12.2 12.2 12.2 12.2 12.8 12.8 12.3 12.3

Abr 12.1 12.0 11.9 11.8 11.8 11.7 11.7 11.6 11.8 11.5 11.5 11.4 11.4

May 12.1 11.9 11.7 11.8 11.5 11.4 11.8 11.2 11.1 10.9 10.8 10.7 10.3

Jun 12.1 11.8 11.5 11.4 11.8 11.2 11.1 10.9 10.8 10.7 10.5 10.4 10.2

Jul 12.1 11.8 11.6 11.5 11.4 11.2 11.1 11.0 10.9 10.8 10.7 10.6 10.4

Ago 12.1 11.9 11.8 11.7 11.6 11.6 11.5 11.4 11.8 11.2 11.2 11.1 11.0

Set 12.1 12.0 12.0 12.0 12.0 12.0 12.0 12.0 12.0 11.9 11.9 11.9 11.9

Oct 12.1 12.2 12.3 12.4 12.4 12.4 12.5 12.5 12.6 12.6 12.7 12.8 12.6

Nov 12.1 12.3 12.6 12.7 12.8 12.9 13.0 13.2 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6

Dic 12.1 12.4 12.7 12.8 12.9 13.1 13.2 13.3 13.5 13.6 13.8 13.8 14.1

Ejemplo 6.6: Calcular el uso consuntivo mensual, mediante el método de Blaney-Criddle, de un área de cultivo irrigada de 8.09 km2 en una región donde la latitud media es 16 °S, considerando la información siguiente: Tabla 6.7: Distribución de cultivos y sus respectivos coeficientes Cultivo Alfalfa

Area cultivada 35%

Sorgo Cereales

30% 35%

Coeficiente de cultivo 0.70 0.85 0.70 0.70 0.75

Período vegetativo Agosto a Octubre Noviembre a Marzo Abril a Mayo Diciembre a Febrero Octubre a Diciembre

Solución: En primer lugar calculamos el coeficiente de uso consuntivo ponderado mensual para todo el año: Tabla 6.8: Cálculo de los coeficientes de cultivo ponderados Mes Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Set. Oct. Nov. Dic.

Alfalfa (35%) K 0.35K 0.85 0.300 0.85 0.300 0.85 0.300 0.70 0.245 0.70 0.245 0.70 0.245 0.70 0.245 0.70 0.245 0.85 0.300 0.85 0.300

Sorgo (30%) K 0.30K 0.70 0.210 0.70 0.210 0.70 0.210

Cereales (35%) K 0.35K 0.75 0.263 0.75 0.263 0.75 0.263

Suma 0.510 0.510 0.300 0.245 0.245 0.254 0.254 0.508 0.563 0.773

A continuación se muestra el cálculo del uso consuntivo, conociéndose los valores de temperatura y precipitación media mensual en la región:

- 128 -



Tabla 6.9: Determinación del Uso Consuntivo de los Cultivos 1 Mes

2 (dato) Temperat. (°C)

3 (tabla) % horas de sol a 16° S (i)

4 Eo Ecuación (6.36)

5 K Ponderado

6 = 4x5 Er = K.Eo (mm)

7 (dato) Precipitación (mm)

8=6-7 Demanda neta (mm)

Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Set. Oct. Nov. Dic. Total

24.2 23.3 20.4 18.1 17.9 15.2 10.8 12.1 16.9 20.5 24.6 28.2

8.94 8.73 8.39 8.05 7.84 7.70 7.70 7.98 8.25 8.53 8.87 9.01

171.48 163.93 146.36 131.90 127.80 116.05 100.57 108.90 130.76 149.15 171.78 189.27 1707.94

0.510 0.510 0.300 0.245 0.245 0.254 0.254 0.508 0.563 0.773

87.45 83.60 43.91 32.32 31.31 27.66 33.21 75.77 96.71 146.30 658.25

52.1 39.4 6.4 80.0 36.8 1.3 3.8 4.6 6.4 90.2 102.1 26.7 449.80

35.35 44.20 37.51 23.06 26.81 119.60 208.45

El porcentaje de horas de sol anual para cada mes se obtiene de la relación entre el número de horas de sol correspondiente a cada mes y la suma de horas de sol de todos los meses correspondiente a esa latitud, obtenida de la Tabla 6.6. En los resultados de la tabla anterior el valor de 208.45 mm, sumatoria de la última columna, representa la cantidad de agua total que deberá ser proporcionada a la plantación para compensar las pérdidas por infiltración , fuga y evaporación en los canales, percolación profunda en el suelo agrícola y agua de retorno a la salida de las parcelas. El dimensionamiento del canal de aducción puede ser hecho a partir del mes crítico (Diciembre), considerando que las pérdidas mencionadas es del 20%:

Q= 6.9.6.

119.60 × 10−3 × 8.09 × 106 = 0.361 m3 /s = 361 l/s 31 × 86400

Fórmula de Hargreaves El cálculo de La Evapotranspiración Potencial mediante las fórmulas de G. H. Hargreaves, se hacen en base a la radiación solar equivalente y en base a la temperatura:

ETP = 0.0075 × RSM × TMF

RSM = 0.075 × RMM × S 0.5

en base a la Radiación solar

(6 . 3 8 ) (6 . 3 9 )

donde: ETP RSM RMM Ra

: : : :

DM

:

Evapotranspiración Potencial en (mm/mes) Radiación solar equivalente en (mm/mes) Radiación extraterrestre equivalente en (mm/mes): RMM = Ra × DM Radiación extraterrestre equivalente en mm/día. Se obtiene de acuerdo a la latitud del lugar (Manual 24 FAO) Número de días del mes - 129 -



n × 100 N

S

:

Porcentaje de horas de sol: S =

n N TMF

: : :

Horas de sol promedio del lugar Horas de sol posible según la Latitud (Manual 24 FAO) Temperatura media mensual en °F

ETP = MF × TMF × CH × CE

en base a la Temperatura

(6 . 4 0 )

donde: ETP MF TMF CH

HR CE

Evapotranspiración Potencial (mm/mes) Factor mensual de Latitud (Manual 24 FAO) Temperatura media mensual en °F Factor de Corrección para la humedad relativa:

: : : :

CH = 0.166(100 − HR )

0.5

si HR > 64% CH = 1 si HR < 64% Humedad Relativa media mensual (%) Factor de corrección para la altitud del lugar:

: :

CE = 1.0 + 0.04

E donde E = altitud (m.s.n.m.) 2000

Tabla 6.10: Radiación Extraterrestre Ra Expresada en Equivalente de Evaporación (mm/día) Lat 0° 2°S 4°S 6°S 8°S 10°S 12°S 14°S 16°S 18°S 20°S 22°S 24°S 26°S 28°S 30°S 32°S 34°S 36°S 38°S 40°S

Ene 15.0 15.3 15.5 15.8 16.1 16.4 16.6 16.7 16.9 17.1 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.8 17.8 17.9 17.9 17.9

Feb 15.2 15.7 15.8 16.0 16.1 16.3 16.3 16.4 16.4 16.5 16.5 16.5 16.5 16.4 16.4 16.4 16.2 16.1 16.0 15.8 15.7

Mar 15.7 15.7 15.6 15.6 15.5 15.5 15.4 15.3 15.2 15.1 15.0 14.8 14.6 14.4 14.3 14.0 13.8 13.5 13.2 12.8 12.5

Abr 15.3 15.1 14.9 14.7 14.4 14.2 14.0 13.7 13.5 13.2 13.0 12.6 12.3 12.0 11.6 11.3 10.9 10.5 10.1 9.6 9.2

May 14.4 14.1 13.8 13.4 13.1 12.8 12.5 12.1 11.7 11.4 11.0 10.6 10.2 9.7 9.3 8.9 8.5 8.0 7.5 7.1 6.6

Jun 13.9 13.5 13.2 12.8 12.4 12.0 11.6 11.2 10.8 10.4 10.0 9.6 9.1 8.7 8.2 7.8 7.3 6.8 6.3 5.8 5.3

Jul 14.1 13.7 13.4 13.1 12.7 12.4 12.0 11.6 11.2 10.8 10.4 10.0 9.5 9.1 8.6 8.1 7.7 7.2 6.8 6.3 5.9

Ago 14.8 14.5 14.3 14.0 13.7 13.5 13.2 12.9 12.6 12.3 12.0 11.6 11.2 10.9 10.4 10.1 9.6 9.2 8.8 8.3 7.9

Set 15.3 15.2 15.1 15.0 14.9 14.8 14.7 14.5 14.3 14.1 13.9 13.7 13.4 13.2 13.0 12.7 12.4 12.0 11.7 11.4 11.0

Oct 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 15.8 15.8 15.8 15.8 15.8 15.7 15.6 15.5 15.4 15.3 15.1 14.9 14.6 14.4 14.2

Nov 15.1 15.3 15.5 15.8 16.0 16.2 16.4 16.5 16.7 16.8 17.0 17.0 17.1 17.2 17.2 17.3 17.2 17.1 17.0 17.0 16.9

Dic 14.8 15.1 15.4 15.7 16.0 16.2 16.5 16.6 16.8 17.1 17.4 17.5 17.7 17.8 17.9 18.1 18.1 18.2 18.2 18.3 18.3

Nov 860 920 965 985 960 950

Dic 840 930 990 1030 1045 1040

Tabla 6.11: Radiación Extraterrestre Ra Expresada en (cal/cm2/día) Lat 0° 10°S 20°S 30°S 40°S 50°S

Ene 855 930 985 1015 1020 1000

Feb 885 930 940 930 895 835

Mar 895 885 855 800 715 620

Abr 870 810 740 640 525 400

May 820 730 630 505 375 240

Jun 790 685 570 445 305 175

Jul 795 705 595 465 335 200

Ago 840 770 680 575 450 315

Set 880 845 790 725 630 505

Oct 885 900 900 870 810 735

- 130 -



Tabla 6.12: Factor de Evapotranspiración Potencial (MF) en mm/mes Lat 1°S 2°S 3°S 4°S 5°S 6°S 7°S 8°S 9°S 10°S 11°S 12°S 13°S 14°S 15°S 16°S 17°S 18°S 19°S

Ene 2.788 2.371 2.353 2.385 2.416 2.447 2.478 2.508 2.538 2.567 2.596 2.625 2.652 2.680 2.707 2.734 2.760 2.785 2.811

Feb 2.117 2.136 2.154 2.172 2.189 2.205 2.221 2.237 2.251 2.266 2.279 2.292 2.305 2.317 2.328 2.339 2.349 2.359 2.368

Mar 2.197 2.182 2.167 2.151 2.134 2.117 2.099 2.081 2.062 2.043 2.023 2.002 1.981 1.959 2.937 1.914 1.891 1.867 1.843

Abr 2.172. 2.108 2.079 2.050 2.020 1.980 1.959 1.927 1.896 1.864 1.832 1.799 1.767 1.733 1.700 1.666 1.632 2.598 1.564

May 2.137 2.108 2.079 2.050 2.020 1.980 1.959 1.927 1.896 1.864 1.832 1.799 1.767 1.733 1.700 1.666 1.632 2.598 1.564

Jun 1.990 1.956 1.922 1.888 1.854 1.820 1.785 1.750 1.715 1.679 1.644 1.608 1.572 1.536 1.500 1.464 1.427 1.391 1.354

Jul 2.091 2.050 2.026 1.995 1.960 1.976 1.893 1.858 1.824 1.789 1.754 1.719 1.684 1.648 1.612 1.576 1.540 1.504 1.467

Ago 2.216 2.194 2.172 2.150 2.126 2.103 2.078 2.054 2.028 2.003 1.976 1.950 1.922 1.895 1.867 1.838 1.809 1.780 1.750

Set 2.256 2.251 2.246 2.240 2.234 2.226 2.218 2.210 2.201 2.191 2.180 2.169 2.157 2.144 2.131 2.117 2.103 2.088 2.072

Oct 2.358 2.372 2.386 2.398 2.411 2.422 2.433 2.443 2.453 2.462 2.470 2.477 2.484 2.490 2.496 2.500 2.504 2.508 2.510

Nov 2.254 2.263 2.290 2.318 2.345 2.371 2.397 2.423 2.448 2.473 2.497 2.520 2.543 2.566 2.588 2.610 2.631 2.651 2.671

Dic 2.265 2.301 2.337 2.372 2.407 2.442 2.476 2.510 2.544 2.577 2.610 2.643 2.675 2.706 2.738 2.769 2.799 2.830 2.859

Ejemplo 6.7: El siguiente ejemplo muestra el procedimiento de cálculo de la evapotranspiración potencial mensual, aplicando el método de Hargreaves, para la microcuenca Muylo ubicada en el Departamento de Junin, Provincia de Tarma, sobre una latitud de 11.5 °S.

Tabla 6.13: Cálculo de la Evapotranspiración Potencial para la Microcuenca Muylo Método de Hargreaves - en Base a la Radiación MES

DM

T

TMF

Ra

N

dias

°C

°F

Ene

31

7.0

44.6

16.6

12.8

Feb

28

7.0

44.6

16.3

Mar

31

6.9

44.4

Abr

30

6.6

43.9

May

31

5.9

42.6

n

S

RMM

RSM

ETP

%

mm/mes

mm/mes

mm/mes

6.4

50.0

514.6

272.9

91.3

12.5

6.3

50.0

456.4

242.0

81.0

15.4

12.2

6.1

50.0

477.4

253.2

84.3

14.0

11.8

7.1

60.0

420.0

244.0

80.3

12.5

11.5

8.1

70.0

387.5

243.2

77.7

mm/dia horas/dia horas/dia

Jun

30

5.2

41.4

11.6

11.3

7.9

70.0

348.0

218.4

67.7

Jul

31

4.8

40.6

12.0

11.4

8.0

70.0

372.0

233.4

71.1

Ago

31

5.5

41.9

13.2

11.7

8.2

70.0

409.2

256.8

80.7

Set

30

6.2

43.2

14.7

12.0

8.4

70.0

441.0

276.7

89.6

Oct

31

7.1

44.8

15.8

12.4

7.4

60.0

489.8

284.5

95.6

Nov

30

7.4

45.3

16.4

12.7

7.6

60.0

492.0

285.8

97.2

Dic

31

7.6

45.7

16.5

13.9

7.0

50.0

511.5

271.3

92.9

TOTAL

365

5319.4

3082.2

1009.4

MEDIA

30.4

443.3

256.9

84.1

6.4

43.6

14.6

12.2

7.4

60.8

- 131 -



Tabla 6.14: Cálculo de la Evapotranspiración Potencial para la Microcuenca Muylo Método de Hargreaves - en Base a la Temperatura

MES

DM

T

TMF

HR

dias

°C

°F

%

CH

CE

factor:HR factor: E

MF

ETP

ETP

ETP

mm/mes

mm/mes

mm/mes

mm/mes

Temperat. Radiación Promedio

Ene

31

7.0

44.6

79.5

0.75

1.07

2.625

94.5

91.3

92.9

Feb

28

7.0

44.6

81.5

0.71

1.07

2.292

78.3

81.0

79.7

Mar

31

6.9

44.4

83.4

0.68

1.07

2.350

75.8

84.3

80.1

Abr

30

6.6

43.9

77.9

0.78

1.07

2.002

73.6

80.3

76.9

May

31

5.9

42.6

75.8

0.82

1.07

1.799

67.2

77.7

72.5

Jun

30

5.2

41.4

76.3

0.81

1.07

1.608

57.7

67.7

62.7

Jul

31

4.8

40.6

75.1

0.83

1.07

1.719

62.1

71.1

66.6

Ago

31

5.5

41.9

76.3

0.81

1.07

1.950

70.9

80.7

75.8

Set

30

6.2

43.2

73.8

0.85

1.07

2.169

85.4

89.6

87.5

Oct

31

7.1

44.8

70.6

0.90

1.07

2.477

107.2

95.6

101.4

Nov

30

7.4

45.3

68.1

0.94

1.07

2.520

114.9

97.2

106.0

Dic

31

7.6

45.7

75.1

0.83

1.07

2.643

107.3

92.9

100.1

TOTAL

365

994.9

1,009.4

1,002.2

MEDIA

30.4

82.9

84.1

83.5

6.4

43.6

76.1

0.8

1.1

2.2

F ig u ra 6 .7 : E v a p o tra n s p ira c ió n P o te n c ia l M e d ia M e n s u a l (m m ) M ic ro c u e n c a : M u y lo 120.0 110.0

ETP (mm)

100.0 90.0 80.0 70.0 60.0 50.0 E ne

F eb

M ar

A br

M ay

J un

J ul

A go

S et

Oct

N ov

D ic

M es P rom edio

6.9.7.

E n bas e a la R adiac ión

E n B as e a la T em peratura

Fórmula de Turc El método de Turc usa también datos de radiación e insolación, para calcular la evapotranspiración potencial mensual o cada 10 días en mm. - 132 -


E = 0.40(I g + 50)


T T + 15

(6.41)

h⎞ ⎛ I g = I ga ⎜ 0.18 + 0.62 ⎟ H⎠ ⎝

(6.42)

donde: Ig Iga h H T

: radiación global del mes : radiación teórica : duración de la insolación efectiva en el mes : duración de la insolación teórica en el mes : temperatura media mensual en °C

Se pueden encontrar variantes de la ecuación (6.41), deducidas para varias gamas de variación de la humedad relativa mensual (Remenieras, 1971) 6.9.8.

Resumen de las Fórmulas de Evapotranspiración El cálculo de la evapotranspiración potencial es motivo de permanente investigación, en la búsqueda de métodos más exactos, y aprovechamiento del volumen de información cada vez mayor y obtenidos con equipos cada vez más sofisticados. En los textos de hidrología y manuales de irrigación se mencionan métodos como los de Hargreaves, Meyer, Kuzmin, Christiansen, Van Bavel, Papadakis, Grassi, JensenHaise y Stephens Stewart.

Tabla 6.15: Resumen de Métodos para el Cálculo de la Evapotranspiración (Schultz, 1973) NOMBRE Ecuaciones que usan temepratura del aire: Lowry-Jhonson Thorntwaite Blaney-Cridle -

Temperatura en la época de crecimiento Temperatura Temperatura, brillo solar, coeficiente de cultivo

Ecuaciones que usan temperatura del aire y radiación solar: Jensen-Haise Turc Grassi Stephens-Stewart Makkink

Temperatura, radiación solar Temperatura, radiación solar Temperatura, radiación solar, coeficiente de cultivo Temperatura, radiación solar Temperatura, radiación solar

-

Ecuaciones que usan temperatura del aire y humedad: Blaney-Morin Hamon Hargreaves Papadakis Ecuaciones combinadas: Penman Christiansen

-

-

-

Van Bavel

DATOS NECESARIOS

Temperatura, insolación, humedad relativa, coeficiente de cultivo Temperatura, humedad absoluta, insolación Temperatura, humedad relativa, insolación, coeficiente de cultivo Temperatura, presión de saturación del aire a temperaturas máximas y mínimas Temperatura, radiación solar, viento y humedad Temperatura, radiación solar, viento y humedad relativa, insolación, altitud y coeficiente de cultivo Temperatura, radiación solar, viento y humedad

- 133 -


6.10.




(4)


(5) (6)

GARCÉS, L. N. - Hidrología, Sao Paulo, Ed. Edgard Blücher. 1967 LINSLEY Jr., R. K.; KOHLER, M. A. & PAULHUS, J. L. H. – Applied Hydrology, New York, McGraw-Hill Book Company, 1949 LINSLEY Jr., R. K.; KOHLER, M. A. & PAULHUS, J. L. H. – Hydrology for Engineers, New York, McGraw-Hill Book Company, 1958 MEJIA M., J.A. Notas del Curso de Hidrología, Universidad Nacional Agraria La

(7)

(8) (9)

Molina; Lima, 1984, 1985. MOLINA G., M. Hidrología, Universidad Nacional Agraria La Molina, PUBLIDRAT, Publicación N° 12, Lima, 1975.

(10) (11)


(12)


(13)

THOMAS DUNNE & LUNA B. LEOPOLD – Water in Environmental Planning; W. H. Freeman and Company – San Francisco USA, 1978

- 134 -


Capítulo 7: Intercepción, Retención Superficial e Infiltración

CAPITULO 7:

7.1.

INTERCEPCION, RETENCION SUPERFICIAL E INFILTRACION

INTRODUCCIÓN

Intercepción

P r e c i p i t a c i ó n

Retención superficial Infiltración

Evaporación y transpiración

Escorrentía Superficial Figura N° 7.1: Distribución del agua de lluvia

7.2.

Del volumen de agua que precipita, solo una parte alcanza la superficie terrestre, dado que una parte es interceptada por la cobertura vegetal de la cuenca, tal como se ve en la Figura 7.1. Además de eso, en la misma figura se puede visualizar claramente que el volumen de agua que escurre por los ríos en forma de escorrentía superficial, representa solo una fracción del agua precipitada, del cual fueron extraídas partes bastante importantes denominadas generalmente de pérdidas, ya que representan masas de agua de difícil utilización directa. Habiendo sido abordada en el Capítulo 6 la evaluación de las pérdidas por evaporación y transpiración, se complementa el cuadro con un análisis rápido de la intercepción y de la retención superficial, y con el estudio de la capacidad de infiltración de los suelos.

INTERCEPCION El volumen de precipitación que es retenido o almacenada por la vegetación, y eventualmente perdido por evaporación, constituye la intercepción. En el estudio de lluvias intensas (tormentas) su valor es normalmente despreciado, pero, dependiendo del tipo de cobertura vegetal y de las características de la precipitación, su influencia en el balance hídrico se puede tornar significativa. Linsley et al (1949) menciona que, bajo ciertas circunstancias, las pérdidas por intercepción pueden alcanzar el 25% de la lluvia total anual. Cuando se inicia la lluvia, el agua moja la superficie de las hojas de las plantas y se almacena en las cavidades de las mismas, gastando una cierta cantidad que queda adherida a la enorme superficie foliar de un bosque, por ejemplo. Si continúa lloviendo, la capacidad de intercepción es sobrepasada, y toda el agua que llega a las hojas y ramas escurre; simultáneamente, se procesa una pérdida continua por evaporación a partir de las hojas húmedas. En presencia de viento, este proceso puede ser acelerado, aumentando las pérdidas por intercepción. La Figura 7.2 ilustra la distribución general de las pérdidas por intercepción, mostrando el porcentaje total de la precipitación interceptada por los árboles. La mayor parte de las pérdidas ocurre en el inicio de la precipitación y la tasa de intercepción decrece rápidamente y se aproxima a cero. - 135 -



% de intercepción

Figura N° 7.2: Porcentaje de lluvia interceptada por los árboles 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Precipitación (mm)

La intercepción total puede ser estimado por (Viessman et al, 1972):

Li = Si + KEt

(7.1)

donde: Li : volumen del agua interceptada (mm) Si : intercepción retenida por le follaje contra las fuerzas del viento y la gravedad (varía de 0.25 a 1 mm) K : relación entre la superficie foliar y la proyección horizontal del follaje Et : tasa de evaporación en el tiempo t El valor de Li varía de acuerdo el tamaño de la planta y el desarrollo de las hojas, la intensidad de la lluvia y la velocidad del viento. Las hojas de los árboles retienen lluvia de diferentes maneras; algunas bajo la forma de película delgada, otras en gotas, etc. Así de acuerdo con las especies vegetales, Horton (1919) determinó una ecuación de la forma:

L = a + bP n

(7.2)

que da valores de intercepción I en pulgadas para una precipitación P (pulgadas), con los valores de a, b y n dados en la Tabla N° 7.1.

Tabla N° 7.1: Valores de a, b y n de la ecuación de Horton (h = altura de la planta)

-

Cobertura vegetal Plantaciones de manzano Bosques de castaño Bosques de roble Bosques de sauce Bosques de pinos Bosques de árboles grandes y robustos Plantaciones de papa, hortalizas, frijol, y otras similares Trébol y grama Forrajes y alfalfa Centeno y cereales de granos pequeños Algodón Maíz

a

b

0.04 0.06 0.05 0.02 0.05 0.04 0.02h 0.005h 0.01h 0.005h 0.15h 0.005h

0.18 0.15 0.18 0.40 0.20 0.18 0.15h 0.18h 0.10h 0.05h 0.10h 0.005h

n 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.5 0.5 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0

- 136 -


7.3.


RETENCION SUPERFICIAL

La precipitación que alcanza la superficie del suelo puede infiltrar, escurrir por la superficie o quedar retenida en las numerosas depresiones del terreno, de las cuales solo puede salir por evaporación o infiltración. La naturaleza de las depresiones, así como su tamaño, es una función de la estructura natural del suelo y del uso de la tierra. Según Linsley et al (1949), el volumen de agua almacenado en las depresiones puede ser calculada con la siguiente ecuación:

(

V = S d 1 − e − kP donde:

P (mm)

V Sd P k

)

(7.3) : volumen almacenado en el tiempo t : capacidad máxima de almacenamiento en las depresiones : lluvia efectiva (el total menos evaporación, intercepción e infiltración) : constante igual a 1/Sd

Inicio de escorrentía superficial

Pérdidas iniciales (intercepción + retención superficial)

t (min) Figura N° 7.3: Pérdidas Iniciales

Vol. (mm)

El valor de Sd puede ser obtenido de mediciones directas en áreas experimentales, permitiendo determinar V y sus variaciones a lo largo del tiempo. Una hipótesis válida sobre esa variación, sería la suposición de que el almacenamiento o retención superficial debe estar completamente lleno (esto es, todas las depresiones llenas de agua), para que se inicie la escorrentía superficial; esto equivale a aceptar que el volumen total de almacenamiento de depresiones debe ser retirado de la precipitación en los primeros intervalos de la misma (Figura 7.3), conjuntamente con las pérdidas por intercepción, concentradas también en los instantes iniciales de la lluvia.

Almac. (cm/h) sin lluvia antecedente

con lluvia antecedente

Pendiente (%)

Figura 7.4: Influencia de la Pendiente en la Pérdidas

Tiempo (min)

Figura 7.5: Variación Temporal del Almacenamiento en Depresiones

- 137 -



Algunos valores de almacenamiento superficial son citados por Viessman et al (1977) para suelos arenosos (5.1 mm), arcillosos (2.5 mm) y suelos francos (3.8 mm). En áreas urbanas, han sido usados valores de 6.35 mm en áreas permeables y 1.6 mm para superficies impermeables. Los mismos investigadores presentan el gráfico de la Figura 7.4 donde se puede observar el alto grado de correlación existente entre el volumen de almacenamiento en depresiones y la pendiente del terreno. Esto es natural, debido a que una depresión presenta su máximo volumen cuando se coloca horizontalmente. La Figura 7.5 da una idea de la rapidez de variación del almacenamiento superficial con el tiempo, según la ocurrencia o no de lluvias antecedentes, que es una medida indicativa del índice de humedad de la superficie del suelo. En casos prácticos es más común englobar las pérdidas por intercepción y por almacenamiento en depresiones en un único término, llamado pérdidas iniciales, restando directamente de la precipitación total en los instantes iniciales. El valor de esas pérdidas depende del tipo de cobertura del suelo de la cuenca y del estado de humedad inicial del suelo.

7.4.

AGUA SUBSUPERFICIAL

El agua subsuperficial es aquella que fluye por debajo de la superficie del suelo. En este acápite se describen solamente los procesos de flujo subsuperficial relacionados con la hidrología de agua superficial, mientras que el estudio del flujo de agua subterránea se desarrolla en otros textos como la hidrología y/o hidráulica subterránea.

7.4.1.

Flujo No Saturado Tres procesos importantes son la infiltración de agua superficial en el suelo para convertirse en humedad del suelo, el flujo subsuperficial o flujo no saturado a través del suelo, y el flujo de agua subterránea o flujo saturado a través de los estratos de suelo o roca. A continuación se definen algunos conceptos importantes: Medio Poroso, son los estratos de suelo o roca que permiten el flujo de agua. Flujo no saturado y saturado es cuando el medio poroso todavía tiene algunos de sus vacíos ocupados por aire y es saturado cuando los vacíos están llenos de agua. Nivel freático, es la superficie donde el agua se encuentra a presión atmosférica en un medio saturado. Es importante indicar que por debajo del nivel freático, el medio poroso se encuentra saturado y a presiones superiores a la atmosférica y por encima del nivel freático, las fuerzas capilares pueden saturar el medio poroso a lo largo de una corta distancia en la franja capilar, por encima de la cual el medio poroso se encuentra usualmente no saturado excepto después de una lluvia, cuando la infiltración desde la superficie del suelo puede producir temporalmente condiciones de saturación. Las salidas de agua subsuperficial y agua subterránea ocurren cuando el agua subsuperficial emerge para convertirse en flujo superficial en una corriente o manantial. La humedad del suelo se extrae por evapotranspiración a medida que el suelo se seca.

- 138 -


7.4.2.


Porosidad

Considerando una sección transversal a través de un suelo no saturado tal como se muestra en la Figura 7.6, una porción de la sección transversal está ocupada por partículas sólidas y las restantes por vacíos, entonces la porosidad η se define como:

aire

agua

suelo

η=

Figura N° 7.6: Sección Transversal de un Medio Poroso No Saturado

Volumen de vacíos volumen de agua

(7.4)

El rango de η para suelos es aproximadamente 0.25 < η< 0.75, y su valor depende de la textura del suelo.

7.4.3.

Contenido de Humedad del Suelo Una parte de los vacíos es ocupada por agua y el resto por aire; el volumen ocupado por agua se mide utilizando el contenido de humedad del suelo θ que se define como:

θ=

volumen de agua volumen total

;

0≤θ≤η

(7.5)

el contenido de humedad del suelo es igual a la porosidad cuando el suelo se encuentra saturado.

7.4.4.

Ecuación de continuidad

Z

dx

dy dz

X

Y

Figura N° 7.7: Volumen de Control de un Medio Poroso No Saturado

En la Figura 7.7 se muestra un volumen de control que contiene suelo no saturado. El volumen es dx.dy.dz, y el volumen de agua contenido en el volumen de control es θ.dx.dy.dz. En este análisis los flujos horizontales se suponen iguales a cero y solamente se considerará la componente vertical z del campo de flujo; positivo el flujo hacia arriba y negativo el flujo hacia abajo.

Aplicando el teorema de transporte de Reynolds, donde la propiedad extensiva es la masa de agua en el suelo, se tiene la forma integral de la ecuación de continuidad o de conservación de masa:

- 139 -



r r d ρ d ∀ + ρ V ∫ ∫s. ∫c. .dA = 0 dt ∫∫ V . c.

(7.6)

donde ρ es la densidad del agua. El primer término en la ecuación (7.6) es la tasa de cambio temporal de la masa de agua almacenada dentro del volumen de control, la cual está dada por:

∂θ d d ρd∀ = ( ρθdxdydz ) = ρdxdydz ∫ ∫ ∫ dt v. c. dt ∂t

(7.7)

donde se supone que la densidad es constante y la derivada parcial es suficiente porque las dimensiones espaciales del volumen de control son fijas. El segundo término en (7.6) es la salida neta de agua a través de a superficie de control. Así, como se muestra en a figura 7.7, el flujo volumétrico de entrada de la parte inferior del volumen de control es q.dx.dy y el flujo de salida en la parte superior es [q+(∂q/∂z)dz] dx dy, lo cual significa que el flujo neto de salida es:

r r

⎛

∂q

⎞

∂q

∫ ∫ ρV .dA = ρ ⎜⎝ q + ∂z dz ⎟⎠dxdy − ρqdxdy = ρdxdydz ∂z

(7.8)

s. c.

Sustituyendo (7.7) y (7.8) en (7.6) y dividiendo por ρdxdydz se obtiene

∂θ ∂q + =0 ∂t ∂z

(7.9)

Esta es la ecuación de continuidad para flujo unidimensional no saturado no permanente en un medio poroso. Esta ecuación es aplicable a flujos localizados a poca profundidad por debajo de la superficie del suelo. A una profundidad mayor, tal como en los acuíferos profundos, pueden ocurrir cambios en la densidad del agua y en la porosidad como resultado de cambios en la presión del fluido, y éstos deben tenerse en cuenta en el desarrollo de la ecuación de continuidad.

7.4.5.

Ecuación de momentum El flujo de agua en un medio poroso está gobernada por la ecuación de Darcy. Esta ecuación relaciona el campo de flujo con la tasa de pérdida de carga por unidad de longitud del medio poroso.

q = −K

∂h ∂z

(7.10)

Esta ley se aplica a una sección transversal del medio poroso Para flujo saturado no confinado, las dos únicas fuerzas involucradas en el problema son la gravedad y la fricción, pero para flujo no saturado, la fuerza de succión, que une el agua con las partículas de suelo a través de la tensión superficial, también debe incluirse. El medio poroso está compuesto por una matriz de partículas tal como se muestra en la figura 7.6. Cuando los espacios vacíos están parcialmente llenos de agua, ésta es atraída a la superficie de las partículas a través de fuerzas electrostáticas entre los enlaces polares de las moléculas de agua y dichas superficies. Esta adhesión - 140 -



superficial extiende el agua alrededor de las superficies de las partículas y deja el aire en el centro de los vacíos. A medida que se añade más agua al medio poroso, el aire sale hacia arriba y el área de la superficie libre disminuye dentro del medio hasta que este se satura y deja de haber superficies libres dentro de los vacíos y, por consiguiente, no existe fuerza de succión del suelo. El efecto de la succión del suelo puede verse si una columna de suelo seco se coloca verticalmente con su parte inferior dentro de un tanque de agua, entonces la humedad se elevará dentro del suelo seco hasta una altura por encima de la superficie del agua a la cual la succión del suelo y la fuerza gravitacional son exactamente iguales. Esta altura varía desde unos pocos milímetros para arena gruesa hasta varios metros para suelo arcilloso.

ψ (mm)

K (mm/s)

θ Figura N° 7.8: Variación de la altura de succión ψ y de la conductividad hidráulica K con el contenido de humedad θ

La carga h de agua se mide en dimensiones de altura, pero también puede entenderse como la energía por unidad de peso del fluido. En un medio poroso no saturado, la parte de la energía total del fluido debida a las fuerzas de succión del suelo se conoce como la carga de succión Ψ. Del análisis previo, es evidente que la carga de succión variará con el contenido de humedad del medio, tal como se ilustra en la figura 7.8, la cual muestra que la carga de succión y la conductividad hidráulica pueden fluctuar en varios órdenes de magnitud a medida que el contenido de humedad cambia. La carga total h es la suma de las cargas de succión y de gravedad.

h=Ψ+z

(7.11)

No se incluye un término para la carga de velocidad del flujo, debido a que la velocidad es tan pequeña que su carga es despreciable. Sustituyendo h en (7.10)

q = −K

∂ (Ψ + z ) ⎛ dΨ∂θ ⎞ ⎛ ∂θ ⎞ + K⎟ = −⎜ K + K ⎟ = −⎜ D ∂z ⎝ dθ ∂z ⎠ ⎝ ∂z ⎠

(7.12)

donde D es la difusividad del agua en el suelo K(dΨ/dθ), la cual tiene dimensiones de [L²/T]. Sustituyendo este resultado en la ecuación de continuidad (7.9) se obtiene:

∂θ ∂ ⎛ ∂θ ⎞ = ⎜D + K⎟ ∂t ∂z ⎝ ∂z ⎠

(7.13)

la cual es una forma unidimensional de la ecuación de Richards, que es la que rige el flujo no saturado no permanente en un medio poroso, presentada por primera vez por Richards (1931).

- 141 -


7.5. 7.5.1.


INFILTRACIÓN Generalidades La infiltración es el proceso mediante el cual el agua penetra desde la superficie del suelo hacia el suelo. Muchos factores influyen en la tasa de infiltración, incluyendo la condición de la superficie del suelo y su cobertura vegetal, las propiedades del suelo, tales como la porosidad y la conductividad hidráulica, y el contenido de humedad presente en el suelo. Estratos de suelos con propiedades físicas diferentes pueden superponerse unos sobre otros formando horizontes; por ejemplo, un suelo limoso con una conductividad hidráulica relativamente alta puede estar superpuesto sobre una zona de arcilla de baja conductividad. Los suelos también presentan una gran variabilidad espacial aún dentro de pequeñas áreas. Como resultado de estas grandes variaciones espaciales y de las variaciones temporales de las propiedades del suelo que ocurren a media que cambia el contenido de humedad de éste, la infiltración es un proceso muy complejo que puede describirse mediante ecuaciones matemáticas solamente en forma aproximada. El agua penetra en el suelo debido a la influencia combinada de las fuerzas de gravedad y capilares, ambas actuando en el sentido vertical para causar el movimiento descendente de las aguas, o percolación, con la capilaridad retirando lateralmente agua de los poros mayores (alimentadores) para los poros de menores dimensiones, que son los más numerosos. Continuando el proceso, los espacios capilares son llenados y con la percolación a mayores profundidades, las fuerzas gravitacionales encuentran una resistencia creciente por la reducción y extensión de los canales de flujo, o por la presencia de barreras impermeables de roca y arcilla. Simultáneamente puede ocurrir un aumento de la resistencia a la entrada de agua dentro del suelo debido al efecto sellador que resulta de la acción mecánica de las gotas de lluvia que desagregan por impacto a las partículas de la superficie, obstruyendo los canales superficiales con esas partículas más finas; el resultado es una rápida reducción de la capacidad de infiltración en los estados iniciales hasta el fin de la lluvia. Dependiendo de la intensidad de la infiltración, el agua puede ser absorbido totalmente por el suelo o puede acumularse y escurrir superficialmente. En general, la tasa de infiltración depende de muchos factores, como intensidad y tipo de precipitación, condiciones de la superficie del suelo, densidad, tipo y estado de desarrollo de la vegetación, temperatura y composición química del agua, propiedades físicas del suelo (porosidad, tamaño de los poros, contenido de humedad), etc. Se llama Velocidad de Infiltración a la velocidad de flujo de agua a través de un suelo saturado, calculada como el volumen de agua que atraviesa la unidad de área del material del suelo por unidad de tiempo (m/día). El Coeficiente de Permeabilidad de un suelo es la velocidad de filtración del agua en el suelo saturado, con pérdida de carga unitaria; por lo tanto, las unidades son las mismas (m/día).

7.5.2.

Parámetros que Controlan la Infiltración a) Características Físicas del Suelo La tasa de entrada del agua no solo depende de la porosidad del suelo sino del tamaño de los poros. Según la ley de Hagen-Poiseuille de flujo capilar, el flujo en - 142 -



tubos capilares es directamente proporcional a la cuarta potencia del diámetro del capilar. Por eso, la distribución granulométrica, es un índice apropiado de la capacidad de infiltración de los suelos y a través de ella se pueden inferir no solo diámetros más significativos sino el grado de uniformidad del tamaño de las partículas. b) Cobertura Vegetal La entrada de agua en el suelo es afectada por la naturaleza, tipo y cantidad de la cobertura vegetal. La vegetación absorbe la energía de impacto de las gotas de lluvia, que de otra forma causarían desagregación de granos superficiales reduciendo sensiblemente la porosidad en una fina capa impidiendo la entrada de agua en el suelo. En general, la presencia de vegetación dificulta y retarda es escurrimiento, dando más tiempo al agua para infiltrarse, pero también retira agua del suelo por evapotranspiración. c) Actividad Humana y Animal En lugares de tráfico de vehículos o animales, la superficie es compactada y se torna prácticamente impermeable. d) Macroestructura del Suelo Algunos fenómenos naturales pueden aumentar la capacidad de infiltración del suelo, como las excavaciones de insectos o animales mayores, la descomposición de las raíces de los vegetales, la acción de heladas y el calentamiento del sol.

7.5.3.

Movimiento del Agua en el Suelo En los casos en los cuales la tasa de entrada de agua en el suelo no es factor limitante, la infiltración es gobernada por el desplazamiento del agua dentro del suelo en el sentido vertical. La distribución del agua en el suelo origina cuatro zonas de humedad: zona de saturación, zona de transmisión, zona húmeda y el frente húmedo: 0 P r o f u n d i d a d

Contenido de humedad Zona de saturación

Zona de transmisión

Zona de transición

Zona húmeda Frente húmedo

Figura N° 7.9: Zonas de Humedad durante la Infiltración

a) zona de saturación y transición: que queda cerca de la superficie donde los espacios porosos se encuentran llenos de agua. b) zona de transmisión de flujo no saturado donde el contenido de humedad es más o menos uniforme. Varios autores encontraron una saturación entre 60 y 80% del volumen poroso en esta zona, llamada también de aireación. El movimiento de agua es debido exclusivamente a la acción de la gravedad, cuando el humedecimiento ha penetrado suficientemente en el suelo. En esas condiciones, en un suelo uniforme, la tasa de infiltración habrá alcanzado un valor constante;

- 143 -



c) zona húmeda: donde la humedad decrece con la profundidad y es la zona que une el frente húmedo a la zona de transmisión. La zona termina bruscamente en el frente húmedo y el contenido de humedad de la zona aumenta en la medida que avanza la infiltración. d) frente húmedo: es una línea de demarcación en la cual el suelo muda de húmedo a seco. El cambio de contenido de la humedad con la profundidad es tan grande que da la apariencia de una discontinuidad entre el suelo húmedo y el suelo seco. Dependiendo de la magnitud de infiltración y de las propiedades físicas del suelo, el frente húmedo puede penetrar en el suelo desde unos pocos centímetros hasta varios metros (Hillel, 1980). Los procesos anteriores son válidos cuando el frente húmedo se encuentra razonablemente distante del nivel freático, cuando el ascenso capilar no manifiesta sus efectos sensiblemente. 7.5.4.

Evaluación de la capacidad de infiltración Por causa de la complejidad del fenómeno de infiltración y por la diversidad de factores que afectan el proceso, las mediciones de infiltración no pueden ser hechas en laboratorio y deben ser efectuadas directamente en el campo. Dos métodos son los más comunes: el análisis de hidrogramas de escorrentía producido en cuencas o parcelas experimentales, y el uso de infiltrómetros, en los cuales es aplicada artificialmente el agua en el suelo. a) Análisis de Hidrogramas de Escorrentía El método tiene la ventaja de usar datos de campo, conduciendo a resultados cuantitativos de la cuenca en estudio. Conociéndose la precipitación y la escorrentía superficial de una cuenca se puede calcular, por diferencia, la capacidad de infiltración de la misma, si bien el valor calculado engloba también la intercepción y el almacenamiento en depresiones; ese hecho, sin embargo, no afecta la solución de los problemas prácticos, pues normalmente la meta será conocer la escorrentía superficial resultante de una cierta precipitación, conocida la capacidad de infiltración. En cuencas grandes, la separación del hidrograma en sus componentes es difícil de ser efectuada con precisión y el análisis, es frecuentemente, complicada por las variaciones en la distribución de la lluvia (temporal y espacial) y por los efectos de almacenamiento; en esos casos, solo valores medios de infiltración pueden ser obtenidos.

b) Uso de Infiltrómetros Los infiltrómetros pueden ser de dos tipos: de inundación (cilindros infiltrómetros) y aspersión (o simuladores de lluvia); en ambos casos se requiere una pequeña área de terreno para efectuar las pruebas, permitiendo medir cantidades de agua aplicado al suelo y posibilitando el cálculo simple del volumen infiltrado. Las desventajas de los simuladores de lluvia son la representatividad limitada del área de ensayo, la imposibilidad de reproducir el efecto del impacto de las gotas de lluvia y los efectos de las condiciones de frontera en la prueba. Por causa de las condiciones mas o menos artificiales en que son conducidos los ensayos, los resultados de los infiltrómetros deben ser tomados como cualitativos - 144 -



hasta ser confirmados por el análisis de hidrogramas. Los datos son muy valiosos, en la medida que permiten la comparación del comportamiento de diferentes tipos de suelo, vegetación y estado inicial de humedad. Los cilindros infiltrómetros están constituidos normalmente por dos tubos o cilindros huecos concéntricos que se clavan en el suelo a profundidades de hasta 1.0 m; los tubos tienen diámetros de 25 cm aproximadamente (el interno) y 35 cm el externo.

≅ 1 cm

0.25 a 1.0 m

Figura N° 7.10: Disposición de los Cilindros Infiltrómetros

Se aplica agua en el espacio interno con una probeta graduada, manteniendo una carga constante sobre el suelo; durante el proceso son hechas lecturas del nivel de agua en la probeta a intervalos sucesivos de tiempo para determinar los volúmenes y la tasa de infiltración. El cilindro exterior mantiene el flujo confinado, para evitar la dispersión lateral que no ocurre en condiciones de lluvia natural. El nivel de agua se mantiene igual tanto en el cilindro externo como en el cilindro interno, pero las mediciones (de volumen y tiempo) son hechas solo en este último.

En general, este tipo de infiltrómetro produce valores de infiltración alrededor de dos veces mayores que los obtenidos con aspersores, debido probablemente a la ausencia del efecto del impacto de las gotas de lluvia.

Ejemplo 7.1: Los resultados de una prueba de un cilindro infiltrómetro simple, constituido de un tubo de 35 cm de diámetro y 50 cm de largo, fueron: Tiempo (min) Volumen de agua (cm3)

2 250

6 500

14 655

Se pide determinar la curva de variación de la capacidad de infiltración. Solución: Se calcula el volumen aplicado en cada intervalo de tiempo y, dividiendo por el área del cilindro y por el tiempo, se tendrá la tasa de infiltración: De 0 a 2 min:

De 2 a 6 min:

ΔV = AΔt

250 = 0.13 cm/min = 78 mm/h 352 ×2 π 4 ΔV (500 − 250) = = 0.07 cm/min = 42 mm/h 352 AΔt × (6 − 2) π 4

- 145 -



(665 − 500) = 0.02 cm/min = 12 mm/h 352 × (14 − 6) π 4

ΔV = AΔt

De 6 a 14 min:

Esos datos permiten construir el gráfico de la siguiente figura, donde se puede comprobar una variación con tendencia logarítmica, con una reducción mas o menos rápida en el inicio del proceso, y una disminución de la capacidad de infiltración asintótica a un valor mínimo muy bajo.

Infiltración (mm/h)

Variación de la Capacidad de Infiltración 100 80 60 40 20 0 0

5

10

15

Tiempo (min)

Entre los infiltrómetros de aspersión, dos modelos son los más usados: el llamado tipo F, que utiliza una parcela de 1.8x3.7 m y el tipo FA, que emplea solo un área de 30x76 cm. Los dos tipos poseen dos filas de boquillas especiales montados a ambos lados de la parcela; las boquillas son los mismos, pero en el tipo FA utiliza una presión menor. La salida de agua se verifica para arriba y levemente inclinada para dentro del infiltrómetro, procurando cubrir el área con una lluvia artificial uniforme dentro del infiltrómetro y en los alrededores. La intensidad de la lluvia es controlada por el número de boquillas usados, pero el valor real es determinado colocando una cobertura plástica sobre el infiltrómetro y midiendo la escorrentía producida; la prueba en si se inicia cuando la cobertura plástica es retirada, continuándose la aplicación del agua y midiéndose la escorrentía hasta que la descarga producida se mantenga aproximadamente constante (Figura 7.11). En ese punto se corta bruscamente la lluvia y se continúan las mediciones de caudal hasta que no haya más escorrentía.

Q (mm/h)

lluvia

Curva de recesión QC

Una vez que la escorrentía llega a ser nulo, se abre de nuevo las boquillas hasta que el caudal quede nuevamente constante, punto en el cual son cerrados, midiéndose la escorrentía hasta que esta se anule; esta última porción de la prueba podría ser llamada de "analítica", en contraste con la primera que sería de "prueba".

Qr

El análisis de los resultados se basa en la ecuación: T (min)

Figua N° 7.11: Prueba de Infiltación de Aspersión

M f = P − R − H S − Ad

(7.14)

- 146 -


donde: Mf P R HS Ad


: lámina de agua infiltrada (mm) : lámina precipitada (mm) : lámina total escurrida (mm) : lámina de agua almacenada en el suelo (mm) : lámina almacenada en las depresiones (mm)

La ecuación se aplica en cualquier instante de la prueba, siendo P y R medidos y HS y Ad calculados. La lámina de agua almacenado en el suelo, HS, se determina a partir de la curva de recesión del escurrimiento. El escurrimiento durante la recesión, representando la descarga del almacenamiento en las depresiones, es igual a HS multiplicada por el área de la prueba, descontando, es claro, la infiltración que ocurre en ese periodo. La tasa de infiltración durante ese periodo puede ser estimada por la ecuación:

Ir =

IC Qr QC

donde: Ir IC QC Qr 7.5.5.

(7.15)

: tasa de infiltración durante la recesión (mm/h) : tasa de infiltración al final de la lluvia (mm/h) : caudal al final de la lluvia (mm/h) : caudal medida en cualquier instante durante la recesión (mm/h).

Variación Temporal de la Tasa de Infiltración La tasa de infiltración f, que se expresa en centímetros por hora, es la tasa a la cual el agua entra al suelo en la superficie. Si el agua se encharca en la superficie, la infiltración ocurre a la tasa de infiltración potencial. Si la tasa de suministro de agua en la superficie, por ejemplo por lluvia, es menor que la tasa de infiltración potencial, entonces la tasa de infiltración real también será menor que la tasa potencial. La mayor parte de las ecuaciones de infiltración describen la tasa potencial. La infiltración acumulada F es la profundidad acumulada de agua infiltrada dentro de un período dado y es igual a la integral de la tasa de infiltración en ese período: t

F (t ) = ∫ f (τ )dτ 0

(7.16)

donde τ es una variable auxiliar de tiempo en la integración. A la inversa, la tasa de infiltración es la derivada temporal de la infiltración acumulada:

f (t ) =

7.5.6.

dF (t ) dt

(7.17)

Ecuación de Horton Una de las primeras ecuaciones de infiltración fue desarrollada por Horton (19331939), quien observó que la infiltración empieza en alguna tasa f0 y decrece exponencialmente hasta que alcanza una tasa constante fc (véase la figura 7.12):

- 147 -



f (t ) = f c + ( f 0 − f c )e − kt

(7.18)

donde k es la constante de decaimiento que tiene dimensiones de [T-1]. Eagleson (1970) y Raudkivi (1979) demostraron que la ecuación de Horton puede derivarse de la ecuación de Richards (7.13) al suponer que K y D son constantes independientes del contenido de humedad del suelo. Bajo estas condiciones la ecuación (7.13) se reduce a:

∂ ²θ ∂θ =D ∂z ² ∂t

(7.19)

la cual es la forma estándar de una ecuación de difusión que puede resolverse para calcular el contenido de humedad θ como función del tiempo y la profundidad. La ecuación de Horton se encuentra al calcular la tasa de difusión de humedad D(∂θ/∂z) en la superficie del suelo.

f0

k1

f0 f = dF/dt

k2 f

F

f, F

(k1 > k2)

fc

fc

t

t

a) Variación del parámetro k

b) Tasa de infiltración e infiltración acumulada

Figura N° 7.12: Infiltración Mediante la Ecuación de Horton

Ejemplo 7.2: La capacidad de infiltración inicial fo de una cuenca es estimado en 3.75 cm/h, la constante k de 0.35 h-1 y la capacidad de infiltración de equilibrio fc en 0.5 cm/h. Usando la ecuación de Horton determinar a) los valores de la infiltración f a 10 minutos, 30 minutos, 1 hora, 2 horas y 6 horas y b) la lámina de agua total infiltrada durante el período de 6 horas.

Solución:

f (t ) = f c + ( f 0 − f c )e − kt = 0.5 + (3.75 − 0.5)e −0.35t = 0.5 + 3.25e −0.35t A partir de la ecuación determinamos la infiltración para los tiempos indicados: t (h) f (cm/h)

0.00 3.750

0.17 3.566

0.50 3.228

1.00 2.790

2.00 2.114

6.00 0.898

- 148 -



4.0

Infiltración (cm/h)

3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

Tiempo (h)

La infiltración acumulada durante el período de 6 horas es igual al área debajo de la curva de infiltración, la misma que puede ser encontrada por integración:

F = ∫ (0.5 + 3.25e 6

6

− 0.35t

0

7.5.7.

⎤ )dt = ⎡⎢0.5t − 30..25 e − 0.35t ⎥ = 11.15 cm 35 ⎣ ⎦0

Ecuación de Philip Philip (1957-1969) resolvió la ecuación de Richards bajo unas condiciones menos restrictivas suponiendo que K y D podían variar con el contenido de humedad θ. Philip empleó la transformación de Boltzmann B(θ) = zt-1/2 para convertir la ecuación (7.13) en una ecuación diferencial ordinaria para B, y resolvió esta ecuación mediante una serie infinita que describe la infiltración acumulada F(t), que se aproximaba por: F(t) = St1/2 + Kt

(7.20)

Donde S es un parámetro denominado adsorción, el cual es una función del potencial de succión del suelo, y K es la conductividad hidráulica. Por diferenciación se obtiene la tasa de infiltración:

f (t ) =

1 −1/ 2 St +K 2

(7.21)

A medida que t tiende a ∞, f(t) tiende a K. Los dos términos de la ecuación de Philip representan los efectos de la carga de succión del suelo y de la carga gravitacional, respectivamente. Para una columna de suelo horizontal, la succión del suelo es la única fuerza que mueve el agua hacia la columna, y la ecuación de Philip se reduce a F(t) = St1/2. Ejemplo 7.3: Un pequeño tubo con sección transversal de 40 cm² de área se llena con material del suelo y se coloca horizontalmente. El extremo abierto del tubo se satura y después de 15 minutos, 100 cm3 de agua se han infiltrado dentro de éste. Si la conductividad hidráulica del suelo saturado es 0.4 cm/h, determine cuánta infiltración hubiera

- 149 -



ocurrido en 30 minutos si la columna de suelo se hubiera colocado verticalmente con su superficie superior saturada. Solución: La profundidad de infiltración acumulada en la columna horizontal es F = 100 cm3/40 cm² = 2.5 cm. Para la infiltración horizontal, la infiltración acumulada es función de la succión del suelo únicamente, luego después de t = 15 min = 0.25 h, se tiene: F(t) = St1/2 2.5 = S(0.25)1/2 S = 5 cm.h-1/2 Para la infiltración en una columna vertical, ecuación (7.20), se usa K = 0.4 cm/h, con t = 30 min ó 0.5 h; luego se tiene: F(t) = St1/2 + Kt = 5 (0.5)1/2 + 0.40(0.5) = 3.74 cm.

7.5.8.

Método de Green-Ampt En los métodos de Horton y Philip, las ecuaciones de infiltración se desarrollaron de soluciones aproximadas de la ecuación de Richards. Una aproximación alternativa es desarrollar una teoría física más aproximada que tenga una solución analítica exacta. Green y Ampt (1911) propusieron el esquema simplificado para la infiltración que se muestra en la figura 7.13. El frente de humedecimiento es una frontera brusca que divide el suelo con contenido de humedad θi (debajo) del suelo saturado con contenido de humedad η (encima). El frente húmedo ha penetrado hasta una profundidad L durante el tiempo t desde el inicio de la infiltración. El agua se encharca en la superficie hasta una pequeña profundidad h0.

P r o f u n d i d a d

h0

h0

0

Superficie del suelo

Contenido de humedad Zona húmeda (conductividad K)

L

Frente de humedecimiento

θr

θi θe

Agua

L

Suelo húmedo

Frente húmedo

Δθ Suelo seco

η Figura N° 7.13: Modelo de Infiltración de Green-Ampt

a) Ecuación de Continuidad Considerando una columna vertical de suelo de sección transversal horizontal de área unitaria (Figura 7.13) y un volumen de control definido alrededor del suelo mojado entre la superficie y la profundidad L. Si el suelo tenía un contenido de - 150 -



humedad inicial θi a través de toda su longitud, el contenido de humedad se incrementará desde θi hasta η (la porosidad) a medida que el frente de humedecimiento pasa. El contenido de humedad θ es la relación entre el volumen de agua y el volumen total dentro de la superficie de control, luego el incremento de agua almacenada dentro del volumen de control como resultado de la infiltración es L(η-θi) para una sección transversal unitaria. Por definición, esta cantidad es igual a F, la profundidad acumulada de agua infiltrada en el suelo. Luego:

F (t ) = L(η − θ i ) = LΔθ

(7.22)

b) Ecuación de Momentum La ley de Darcy puede expresarse como:

q = −K

∂h ∂z

(7.23)

En este caso el campo de flujo de Darcy q es constante a través de toda la profundidad y es igual a – f, debido a que q es positivo hacia arriba mientras que f es positivo hacia abajo. Si los puntos 1 y 2 se localizan, respectivamente, en la superficie del suelo y justo en el lado seco del frente húmedo (Figura 7.13) puede aproximarse por:

⎡h − h ⎤ f = k⎢ 1 2 ⎥ ⎣ z1 − z2 ⎦

(7.24)

La carga h1 en la superficie del suelo es igual a la profundidad de agua encharcada h0. La carga h2, en el suelo seco por debajo del frente húmedo, es igual a -ψ-L. Luego la ley de Darcy para este sistema se escribe si la profundidad de agua encharcada h0 es muy pequeña comparada con Ψ y L. Esta suposición usualmente es apropiada para problemas de hidrología de aguas superficiales, debido a que se supone que el agua encharcada se vuelve escorrentía superficial. Más adelante se mostrará como tener en cuenta h0 cuando no es despreciable.

⎡ h − (− Ψ − L ) ⎤ ⎡Ψ + L⎤ f = K⎢ 0 ≈ K⎢ ⎥ ⎥ L ⎣ ⎦ ⎣ L ⎦

(7.25)

De (7.22) la profundidad del frente húmedo es L = F/Δθ, y suponiendo h0 = 0, la sustitución en (7.25 da:

⎡ ΨΔθ + F ⎤ f = K⎢ ⎥ F ⎦ ⎣

(7.26)

Como f = dF/dt, la ecuación (7.26) puede expresarse como una ecuación diferencial con una incógnita F:

dF ⎡ ΨΔθ + F ⎤ = K⎢ ⎥ F dt ⎣ ⎦

(7.27)

- 151 -



Ordenando de una forma apropiada para calcular F:

F ⎡ ⎤ ⎢ F + ΨΔθ ⎥ dF = Kdt ⎣ ⎦

(7.28)

separando el lado izquierdo de la ecuación en dos partes, de la siguiente manera:

⎡⎛ F + ΨΔθ ⎢⎜ F + ΨΔθ ⎣⎝

⎞ ⎛ ΨΔθ ⎟−⎜ ⎠ ⎝ F + ΨΔθ

⎞⎤ ⎟⎥ dF = Kdt ⎠⎦

(7.29)

integrando:

∫

F

0

t ΨΔθ ⎞ ⎛ ⎜1 − ⎟dF = ∫0 K dt ⎝ F + ΨΔθ ⎠

(7.30)

se obtiene:

F − ΨΔθ {ln[F + ΨΔθ ] − ln (ΨΔθ )} = Kt

(7.31)

de donde:

F ⎛ F − ΨΔθ ln⎜1 + ⎝ ΨΔθ

⎞ ⎟ = Kt ⎠

(7.32)

La ecuación (7.32) se conoce como la ecuación de Green-Ampt para la infiltración acumulada. Una vez que F haya sido calculada mediante la ecuación (7.32), la tasa de infiltración f puede obtenerse de (7.26) o de la siguiente ecuación:

⎛ ΨΔθ ⎞ f = K⎜ + 1⎟ ⎝ F ⎠

(7.33)

En el caso de que la profundidad de encharcamiento h0 no es despreciable, el valor de Ψ es sustituido por Ψ-h0 en las ecuaciones (7.32) y (7.33). La ecuación (7.32) es una ecuación no lineal en F que puede resolverse mediante tanteos o mediante métodos numéricos de iteración como el de Newton. Ordenando la ecuación (7.32) se tiene:

F ⎞ ⎛ F = Kt + ΨΔθ ln⎜1 + ⎟ ⎝ ΨΔθ ⎠

(7.34)

Dados K, t, Ψ y Δθ, se sustituye una valor de prueba para F en el primer miembro de la ecuación (7.34) para calcular un nuevo valor de F en el miembro izquierdo (un buen valor de prueba es: F = Kt); el valor obtenido en el primer tanteo se sustituye como valor de prueba en el miembro derecho de la ecuación, y así sucesivamente hasta que los valores calculados de F converjan a una constante. El valor final de la infiltración acumulada F se sustituye en la ecuación (7.33) para determinar la correspondiente tasa de infiltración potencial f.

- 152 -



c) Parámetros de Green-Ampt La aplicación del modelo de Green-Ampt requiere estimaciones de la conductividad hidráulica K, de la porosidad η y de la carga de succión de suelo en el frente de humedecimiento Ψ. La variación de la carga de succión y de la conductividad hidráulica con el contenido de humedad θ fue estudiada por Brooks y Corey (1964). Ellos concluyeron, después de probar en el laboratorio muchos suelos, que Ψ puede expresarse como una función logarítmica de una saturación efectiva Sc. Si se denomina como θr el contenido residual de humedad de suelo después de que ha drenado completamente, la saturación efectiva es la relación entre la humedad disponible θ-θr y el máximo contenido de humedad posible η - θr:

Se =

θ −θr η −θr

(7.35)

donde η - θr es la porosidad efectiva θe. La saturación efectiva está contenida en el rango 0 ≤ Se ≤ 1.0 siempre que θr ≤ θ ≤ η. Para la condición inicial, cuando θ = θi, de la ecuación (7.35) resulta: θi - θr = Seθe y el cambio en el contenido de humedad cuando pasa el frente de humedecimiento es: Δθ = η - θi = η - (Seθe+θr); por consiguiente:

Δθ = (1 − Se )θ e

(7.36)

La relación logarítmica puede expresarse mediante la ecuación de Brooks-Corey

⎡Ψ ⎤ Se = ⎢ b ⎥ ⎣Ψ⎦

λ

(7.37)

en la cual Ψb y λ son constantes que se obtienen mediante el secado de suelo por etapas, midiendo los valores de Se y Ψ en cada una de sus etapas y ajustando (7.37) a los resultados encontrados. Bouwer (1966) también estudió la variación de la conductividad hidráulica con el contenido de humedad y concluyó que la conductividad hidráulica efectiva para un flujo no saturado es aproximadamente la mitad del valor correspondiente al flujo saturado. Brakensiek, Engelman y Rawls (1981) presentaron un método para determinar los parámetros de Green-Ampt utilizando la ecuación de Brooks-Corey. Rawls, Brakensiek y Miller (1983) usaron este método para analizar aproximadamente 5000 horizontes de suelo en los Estados Unidos y determinaron valores promedio de los parámetros de Green-Ampt η, θe, Ψ y K para diferentes clases de suelo, tal como se muestra en la Tabla N° 7.2. A medida que el suelo se vuelve más fino cuando pasa de arena a arcilla, la carga de succión del suelo del frente de humedecimiento se incrementa mientras que la conductividad hidráulica decrece. Los parámetros mostrados en la Tabla N° 7.2 deben ser considerados como valores típicos que pueden mostrar un considerable rango de variabilidad en la práctica (American Society of Agricultural Engineers, 1983; Devaurs y Gifford, 1986).

- 153 -



Tabla N° 7.2: Parámetros de infiltración de Green-Ampt para diversas clases de suelos Clase de suelo

Porosidad η

Porosidad Efectiva θe

0.437 0.437 0.453 0.463 0.501 0.398 0.464 0.471 0.430 0.479 0.475

0.417 0.401 0.412 0.434 0.486 0.330 0.309 0.432 0.321 0.423 0.385

Arena Arena franca franco arenoso Franco Franco limoso Franco arcilla arenoso Franco arcillosa Franco limo arcilloso Arcilla arenosa Arcilla limosa Arcilla

Carga de succión del suelo en el frente húmedo Ψ (cm) 4.95 6.13 11.01 8.89 16.68 21.85 20.88 27.30 23.90 29.22 31.63

Conductividad hidráulica K (cm/h) 11.78 2.99 1.09 0.34 0.65 0.15 0.10 0.10 0.06 0.05 0.03

Fuente: Rawls, Brakensick y Miller. 1983.

d) Modelo de Green-Ampt de dos Capas Considérese un suelo con dos capas, tal como se muestra en la Figura 7.14. La capa superior tiene un espesor H1 y unos parámetros K1, Ψ1 y Δθ1 de Green-Ampt, y la capa inferior tiene un espesor H2 y parámetros K2, Ψ2 y Δθ2. El agua se encuentra encharcada en la superficie y el frente de humedecimiento ha penetrado a través de la capa superior a lo largo de una distancia L2 en la capa inferior (L2 < H2). Se requiere que K1 > K2 para que la capa superior permanezca saturada mientras el agua se infiltra en la capa inferior. Utilizando un método similar al descrito previamente para suelos de un solo estrato, puede demostrarse que la tasa de infiltración H1 Capa superior: K1, ψ1, Δθ1 está dada: Capa inferior Frente de humedecimiento K2, ψ2, Δθ2 (K2 < K1)

f =

L2

K1 K 2 (Ψ2 + H 1 + L2 ) H 1 K 2 + L2 K 1 (7.38)

H2

y que la infiltración acumulada está dada por

F = H1Δθ1 + L2 Δθ 2 Figura N° 7.14: Modelo de Green-Ampt De dos Capas

L2

(7.39)

Combinando las ecuaciones (7.38) y (7.39) en una ecuación diferencial para L2 e integrando, se llega a:

⎡ ⎤ Δθ 2 1 [Δθ 2 H1K 2 − Δθ 2 K1 (Ψ2 + H1 )]ln ⎢1 + L2 ⎥ = t + K 2 K1K 2 ⎣ Ψ2 + H1 ⎦

(7.40)

con esta ecuación la infiltración acumulada y la tasa de infiltración pueden determinarse. Este análisis se emplea cuando una capa superior de suelo más permeable se superpone a una capa inferior menos permeable. Las ecuaciones normales de Green-Ampt se utilizan mientras el frente de humedecimiento está en la

- 154 -



capa superior; las ecuaciones (7.38) y (7.39) se utilizan una vez que el frente de humedecimiento entra en la capa inferior. Ejemplo 7.4: Calcule la tasa de infiltración f y la infiltración acumulada F después de una hora de infiltración en un suelo franco limoso que inicialmente tenía una saturación efectiva del 30%. Suponga que el agua se encuentra encharcada en la superficie con una profundidad pequeña pero despreciable. Solución: De la Tabla N° 7.2 para un suelo franco limoso θe = 0.486, Ψ = 16.7 cm y K = 0.65 cm/h. La saturación efectiva inicial es Se = 0.3, luego en la ecuación (7.36):

Δθ = (1 − Se )θ e = (1 − 0.3)(0.486) = 0.340 ΨΔθ = 16.7 × 0.340 = 5.68 cm La infiltración acumulada en t = 1h se calcula empleando el método de las sustituciones sucesivas en la ecuación (7.34). Inicialmente se toma un valor de prueba de F(t) = Kt = 0.65 cm, y luego se calcula:

F ⎛ F = Kt + ΨΔθ 1n⎜1 + ⎝ ΨΔθ

⎛ 0.65 ⎞ ⎞ ⎟ = 1.27 cm ⎟ = 0.65 x1 + 5.68 1n⎜1 + ⎝ 5.68 ⎠ ⎠

Sustituyendo F = 1.27 en el miembro derecho de la ecuación (7.34) se obtiene F = 1.79 cm, y después de un cierto número de iteraciones F converge a un valor constante de 3.17 cm. La tasa de infiltración después de una hora se calcula con la ecuación (7.33):

⎛ 5.68 ⎞ ⎞ ⎛ ΨΔθ + 1⎟ = 1.81 cm/h f = K⎜ + 1⎟ = 0.65⎜ ⎝ 3.17 ⎠ ⎠ ⎝ F 7.5.9.

Tiempo de Encharcamiento Saturado

0 P r o f u n d i d a d

t < tp

Contenido de humedad

t = tp

t > tp

Figura N° 7.15: Perfiles de humedad antes, durante y después del encharcamiento

En las anteriores secciones se presentaron algunos métodos para calcular la tasa de infiltración en el suelo. Todos ellos utilizaron la suposición de que el agua se encharcaba con una profundidad pequeña en la superficie del suelo de tal manera que toda el agua que el suelo puede infiltrar se encuentra disponible en la superficie. Sin embargo, durante una lluvia, el agua se encharcará en la superficie solamente si la intensidad de la lluvia es mayor que la capacidad de infiltración del suelo. El tiempo de encharcamiento tp es el lapso entre el inicio de la lluvia y el momento en que el agua se empieza a encharcar en la superficie del suelo. - 155 -



Si la lluvia empieza en suelo seco, el perfil vertical de humedad en éste puede parecerse al que se muestra en la Figura 7.15. Antes del tiempo de encharcamiento (t < tp), la intensidad de la lluvia es menor que la tasa de infiltración potencial y la superficie del suelo permanece no saturada. El encharcamiento comienza cuando la intensidad de la lluvia excede la tasa potencial de infiltración. En ese momento (t = tp) el suelo en la superficie se satura. A medida que la lluvia continúa (t > tp), la zona saturada se extiende profundamente en el suelo y empieza la escorrentía superficial del agua encharcada. ¿Cómo pueden utilizarse las ecuaciones de infiltración previamente desarrolladas para describir esta situación?. Mein y Larson (1973) presentaron un método para determinar el tiempo de encharcamiento utilizando la infiltración en el suelo descrita por la ecuación de Green-Ampt para una intensidad de lluvia i que comienza en forma instantánea y continúa indefinidamente. Existen tres principios involucrados en el proceso: 1) antes de que se llegue al tiempo de encharcamiento, toda la lluvia se infiltra; 2) la tasa de infiltración potencial f es una función de la infiltración acumulada F; y 3) el encharcamiento ocurre cuando la tasa de infiltración potencial es menor o igual que la intensidad de la lluvia.

f

En la ecuación de Green-Ampt, la tasa de infiltración f y la infiltración acumulada F están relacionadas por:

Infiltración potencial

⎞ ⎛ ΨΔθ f = K⎜ + 1⎟ ⎠ ⎝ F

Precipitación

i

Infiltración actual t Precipitación acumulada

F

Fp = itp

donde K es la conductividad hidráulica del suelo, Ψ es la carga de presión capilar del frente de humedecimiento y Δθ es la diferencia entre los contenidos de humedad del suelo inicial y final. La infiltración acumulada en el tiempo de encharcamiento tp está dada por Fp = itp y la tasa de infiltración por f = i; sustituyendo en la ecuación (7.41):

Infiltración

⎞ ⎛ ΨΔθ i = K⎜ + 1⎟ ⎟ ⎜ it ⎠ ⎝ p 0

t0

tp

KΨΔθ i (i − K )

(7.42)

t

Figura N° 7.16: Determinación del tiempo de encharcamiento para una lluvia constante

tp =

(7.41)

resolviendo se obtiene el tiempo de encharcamiento bajo una intensidad constante de lluvia utilizando la ecuación de infiltración de Green-Ampt.

(7.43)

- 156 -



Para obtener la tasa de infiltración real después del encharcamiento, se construye una curva de infiltración potencial empezando en el tiempo tp de tal manera que la infiltración acumulada y la tasa de infiltración en tp sean iguales a las observadas bajo una lluvia que empieza en el tiempo 0 (véase las líneas punteadas en la Figura 7.16). Sustituyendo t = tp – t0 y F = Fp en la ecuación (7.32) resulta:

Fp ⎛ Fp − ΨΔθ ln⎜⎜1 + ⎝ ΨΔθ

⎞ ⎟⎟ = K (t p − t0 ) ⎠

(7.44)

Para t > tp

F ⎞ ⎛ F − ΨΔθ ln⎜1 + ⎟ = K (t − t0 ) ⎝ ΨΔθ ⎠

(7.45)

y restando (7.44) de (7.45) se tiene:

⎡ ⎛ ΨΔθ + F ⎞ ⎛ ΨΔθ + Fp ⎞⎤ ⎟⎟⎥ = K (t − t p ) F − Fp − ΨΔθ ⎢ln⎜ ⎟ − ln⎜⎜ ΨΔ ΨΔ θ θ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣

(7.46)

simplificando:

⎡ ΨΔθ + F ⎤ F − Fp − ΨΔθ ln ⎢ ⎥ = K (t − t p ) ⎢⎣ ΨΔθ + Fp ⎥⎦

(7.47)

La ecuación (7.47) puede aplicarse para calcular la profundidad de infiltración después del escarchamiento, y luego (7.33) para obtener la tasa de infiltración f.

Ejemplo 7.5: Calcule el tiempo de encharcamiento y la profundidad de agua infiltrada hasta ese momento para un suelo franco limoso con 30% de saturación efectiva inicial, sujeto a intensidades de lluvia de: a) 1 cm/hora y b) 5 cm/hora. Solución: Del Ejemplo 7.4, para un suelo franco limoso: ΨΔθ = 5.68 cm y K = 0.65 cm/h. El tiempo de encharcamiento está dado por (7.43): •

Para i = 1 cm/h

tp =

KΨΔθ 0.65 x5.68 = = 10.5 h i (i − K ) 1.0(1.0 − 0.65)

Fp = it p = 1.0 × 10.5 = 10.5 cm •

Para i = 5 cm/h

- 157 -


tp =


KΨΔθ 0.65 x5.68 = = 0.17 h (10 min) i (i − K ) 5.0(5.0 − 0.65)

Fp = it p = 5.0 × 0.17 = 0.85 cm En ambos casos la tasa de infiltración f es igual a la intensidad de la lluvia i en el momento de encharcamiento.

Ejemplo 7.6: Calcule la infiltración acumulada y la tasa de infiltración después de una hora de lluvia con intensidad de 5 cm/h en un suelo franco limoso con una saturación efectiva inicial del 30%. Solución: Del Ejemplo 7.4: ΨΔθ = 5.68 cm y K = 0.65 cm/h para este suelo, y del Ejemplo 7.4, tp = 0.17 h y Fp = 0.85 cm bajo una intensidad de lluvia de 5 cm/h. Para t = 1.0 h, la profundidad de infiltración está dada por la ecuación (7.47):

⎛ ΨΔθ + F ⎞ ⎟ = K (t − t p ) F − Fp − ΨΔθ ln⎜ ⎜ ΨΔθ + F ⎟ p ⎠ ⎝ ⎛ 5.68 + F ⎞ F − 0.85 − 5.58 ln⎜ ⎟ = 0.65(1.0 − 0.17 ) = 0.54 ⎝ 5.68 + 0.85 ⎠ F se obtiene mediante el método de sustituciones sucesivas del mismo modo que en el Ejemplo 7.4. La solución converge para F = 3.02 cm. La tasa de infiltración correspondiente está dada por la ecuación (7.33):

⎛ ΨΔθ ⎞ ⎛ 5.68 ⎞ f = K⎜ + 1⎟ = 0.65⎜ + 1⎟ = 1.87 cm/h ⎝ F ⎠ ⎝ 3.02 ⎠ Estos resultados pueden compararse con la infiltración acumulada de 3.17 cm que se obtuvo en el Ejemplo 7.4 para una infiltración bajo encharcamiento continuo. Se puede notar que se infiltró menos agua después de una hora bajo una lluvia de 5 cm/h porque el encharcamiento se demoró 10 minutos en ocurrir y la tasa de infiltración durante este período fue menor que su valor potencial.

7.5.10.

Resumen de las Ecuaciones de Infiltración En la Tabla N° 7.3 se resumen las ecuaciones necesarias para calcular varias incógnitas para una lluvia de intensidad constante. Para cada uno de los tres métodos se da un conjunto de ecuaciones basadas en las ecuaciones de infiltración de Green-Ampt, Horton y Philip respectivamente. Las ecuaciones (1) y (2) son los métodos que se utilizan para calcular la infiltración bajo condiciones de encharcamiento. La ecuación (3) da el tiempo de encharcamiento constante de lluvia y la ecuación (4) da el tiempo de origen equivalente t0, con el cual se pueden - 158 -



producir, bajo condiciones de encharcamiento continuo, las mismas tasas de infiltración e infiltración acumulada que las observadas en el tiempo de encharcamiento. Después de que el encharcamiento ha ocurrido las funciones de infiltración pueden calcularse para las ecuaciones de Horton y Philip sustituyendo t – t0 en las ecuaciones (1) y (2). Para la ecuación de Green-Ampt puede aplicarse el método ilustrado en el Ejemplo 7.4. En la ecuación (7.43) bajo el método de GreenAmpt, el tiempo de encharcamiento tp es positivo y finito solamente si i > K; no ocurrirá encharcamiento si la intensidad de lluvia es menor o igual que la conductividad hidráulica del suelo. La Tabla N° 7.3 indica que la misma condición es válida para la ecuación de Philip, mientras que la ecuación de Horton requiere de i > fc para alcanzar el encharcamiento. Si en la ecuación de Horton i > f0 el encharcamiento ocurre inmediatamente y tp = 0. La condición i < K se mantiene para la mayoría de las precipitaciones en suelos muy permeables y para lluvias ligeras en suelos menos permeables. En tales casos, la escorrentía en cauces resulta de flujos subsuperficiales, especialmente desde áreas cercanas al cauce. La determinación de los tiempos de encharcamiento bajo lluvia de intensidad variable puede efectuarse utilizando un método similar al de intensidad constante. La infiltración acumulada se calcula a partir de la lluvia como una función del tiempo. Con la infiltración acumulada puede calcularse una tasa de infiltración potencial mediante las ecuaciones de infiltración de Green-Ampt u otras. Siempre que la intensidad de la lluvia es mayor que la tasa de infiltración potencial, ocurre encharcamiento (Bouwer, 1978; More-Seytoux, 1981). Para los lugares en donde existan estimaciones de una tasa de infiltración constante, pueden usarse estos valores como guía para decidir si el mecanismo primario en la producción de descargas es el flujo superficial o el flujo subsuperficial (Pearse y McKerchar 1979).

- 159 -



Tabla N° 7.3: Ecuaciones para calcular el tiempo de encharcamiento y la infiltración después que éste ocurre Ecuación (1)

(2)

(3)

Variable calculada Tasa de infiltración potencial como una función del tiempo. Infiltración acumulada potencial como una función del tiempo. Tiempo de encharcamiento bajo lluvia de intensidad constante i

Ecuación de Green-Ampt Resolver para F a partir de (2) luego usar (6)

F ⎞ ⎛ F − ΨΔθ ln⎜1 + ⎟ = Kt ⎝ ΨΔθ ⎠ KΨΔθ tp = i(i − k )

Ecuación de Horton

f = f c + ( f 0 − f c )e − kt F = f ct +

tp =

(5)

(6)

Tiempo de origen equivalente para infiltración potencial después de encharcamiento Infiltración acumulada después de encharcamiento Tasa de infiltración después de encharcamiento

⎛ ΨΔθ ⎞⎤ 1⎡ ⎟⎥ t0 = t p − ⎢Fp − ΨΔθ ln⎜1 + ⎟ ⎜ K ⎢⎣ F p ⎠⎥ ⎝ ⎦

f0 − fc 1 − e − kt K

(

f =

)

⎛ f0 − fc ⎞⎤ 1⎡ ⎟⎟⎥ ⎢ f0 − i + fc ln⎜⎜ − iK ⎣ i f c ⎠⎦ ⎝

(i > K) (4)

Ecuación De Philip

1 1/ 2 St + K 2

F = St1 / 2 + Kt tp =

S ²(i − K / 2) 2i (i − K )² (i > K)

(fc < i < f0)

t0 = t p −

1 ⎛ f0 − fc ⎞ ⎟ ln⎜ K ⎜⎝ i − f c ⎟⎠

Sustituir (t-t0) por t en (2) ⎛ ΨΔθ + F ⎞ ⎟ = K(t − t p ) F − Fp − ΨΔθ ln⎜ ⎜ ΨΔθ + F ⎟ p⎠ ⎝ Sustituir (t-t0) por t en (1) ⎛ ΨΔθ ⎞ f = K⎜ + 1⎟ ⎝ F ⎠

t0 = t p −

1 4K ²

(

S ² + 4KFp − S

)

2

Sustituir (t-t0) por t en (2)

Sustituir (t-t0) por t en (1)

- 160 -


7.6.


BIBLIOGRAFÍA

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

BEDIENT P. B.; HUBER W. C. – Hydrology and Floodplain Analysis, USA, Addison-Wesley Publishing Company, 1992 CHOW VEN TE; MAIDMENT D. R.; MAYS L. W. – Applied Hydrology, McGrawHill Book Company, 1988 GARCÉS, L. N. - Hidrología, Sao Paulo, Ed. Edgard Blücher. 1967 LINSLEY Jr., R. K.; KOHLER, M. A. & PAULHUS, J. L. H. – Applied Hydrology, New York, McGraw-Hill Book Company, 1949 HORTON, R.E. An Approach Toward a Physical Interpretation of Infiltration Capacity Soil – Sci. Soc. Am. Proc., Vol. 5, 399-417, 1940 LINSLEY Jr., R. K.; KOHLER, M. A. & PAULHUS, J. L. H. – Hydrology for Engineers, New York, McGraw-Hill Book Company, 1958

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(8) (9)


(10) (11)

THOMAS DUNNE & LUNA B. LEOPOLD – Water in Environmental Planning; W. H. Freeman and Company – San Francisco USA, 1978 VIESSMAN Jr., W.; HARBAUGH, T.E. & KNAPP, J. W. – Introduction to Hydrology, New York, Intext Educational, 1972. VILELA S. M.; MATTOS A. – Hidrología Aplicada, Sao Paulo, McGraw-Hill do Brasil, 1975

- 161 -


Capítulo 8: Escorrentía Superficial

CAPÍTULO 8:

8.1.

ESCORRENTÍA SUPERFICIAL

INTRODUCCIÓN La naturaleza de la escorrentía en una determinada región es una función de las características físicas, hidrológicas, vegetativas y climáticas de la misma. Como es sabido, algunas partes de la precipitación no se manifiestan como escorrentía superficial, siendo desviadas por caminos más o menos largos, dependiendo de la litología y de aspectos como la composición, textura y secuencia de las rocas así como sus discontinuidades. La resistencia a la erosión de los estratos rocosos condiciona la formación de la red de drenaje; las corrientes de agua son clasificadas, desde el punto de vista geológico, como jóvenes, maduras y viejas, siendo las jóvenes las más activas, de flujo rápido, manteniéndose en proceso de erosión continua con el consecuente transporte de sedimentos. Son corrientes maduras aquellas en las cuales la pendiente ya fue reducida a un valor suficiente para que las velocidades de flujo sean solo las adecuadas para transportar el sedimento que entra, no existiendo modificaciones del lecho por la erosión.

8.2.

EL HIDROGRAMA El hidrograma es un gráfico continuo de la variación de la descarga en función del tiempo, en una sección determinada de un curso de agua, obtenido generalmente a partir del registro de un linnígrafo, transformando los niveles de descarga a través de la curva altura-descarga.

8.2.1.

Componentes de Hidrograma

Altura de precipitación por unidad de tiempo

Precipitación sobre la superficie líquida

Racarga del acuífero

Escorrentía superficial Flujo hipodérmico

Retención Infiltración depresiones

Contribución al canal

Flujo subterráneo

Intercepción y evapotranspiración

Tiempo a partir del inicio de la precipitación

La precipitación al caer en la superficie del suelo se distribuye en diferentes partes, algunas de ellas pasando a formar parte de la escorrentía casi inmediatamente y otras permaneciendo estancadas por periodos variables dentro del suelo. La Figura 8.1 da una idea de esa distribución, la cual se refleja claramente en el hidrograma que describe la formación de la onda de avenida correspondiente. En esa figura se identifican los cuatro componentes más importantes de la escorrentía, como son la escorrentía superficial y la subsuperficial, así como el flujo base y la precipitación directa en el cauce, siendo que la importancia relativa de cada parte varía durante la ocurrencia de la propia precipitación y, en general, sin existir superposición en el inicio de cada fase.

Figura N° 8.1: Componentes de la escorentía

Un análisis criterioso del hidrograma total, conforme es obtenido en la estación hidrométrica, permite identificar los elementos constitutivos de la escorrentía - 162 -



ilustrados en la Figura 8.2 La rama ascendente termina en el pico del hidrograma y a partir de allí se inicia la rama de recesión, hasta un punto que marca el fin de la escorrentía superficial y el comienzo de la curva de recesión del acuífero, ya que a partir de allí el curso de agua pasa a ser alimentado por las reservas subterráneas, hasta la ocurrencia de una nueva lluvia. La forma del hidrograma, caracterizada por la altura del pico, o tiempo pico y el tiempo base, depende de la distribución de la precipitación en la cuenca y de las características físicas del área de drenaje. Durante una precipitación, una parte de ella es permanentemente usada para saturar las capas superiores del suelo (infiltración); esa pérdida se suma a la intercepción de las plantas y a los volúmenes almacenados en las depresiones del terreno; cuando esas necesidades son satisfechas, se inicia la escorrentía superficial en forma de una lámina de agua sobre la superficie del suelo, que escurre buscando pequeñas canaletas naturales, los cuales se juntan en torrentes y estos a su vez en riachuelos y ríos, llamándose estas últimas como cursos de agua, dado su carácter permanente. P

• CG

Hietograma

Q pico

Q

• Tretardo

CG hidrograma

fin de la escorreentía superficial Curva de recesión

T base

t

T pico

Figura N° 8.2: Componenetes del Hidrograma

En los ríos perennes, un curso de agua natural transporta una cierta cantidad de caudal base durante el año entero, proveniente de las reservas de agua subterránea de los acuíferos. La descarga debida a la precipitación efectiva, esto es, después de retiras las pérdidas, constituye el hidrograma de escorrentía superficial; la llegada de esa escorrentía al cauce fluvial es el que causa la elevación del hidrograma (inicio de la rama ascendente). En la medida en que la lluvia continúa, partes de la cuenca más distantes de la salida pasan a contribuir a la escorrentía; en consecuencia, la duración de la lluvia determina la porción de la cuenca que participa en la formación del hidrograma y la intensidad de la lluvia en ese periodo determina la magnitud de la descarga máxima. A pesar de haber sido mencionadas cuatro fases de la escorrentía, en la mayoría de los análisis el flujo subsuperficial y la precipitación directa en el canal son tratados conjuntamente con la escorrentía superficial, en lugar de recibir un procesamiento individual; la escorrentía subsuperficial es aquella que ocurre al nivel de la capa radicular del suelo, con velocidad inferior a la del flujo superficial y mayor que el del flujo subterráneo; alcanza los cauces fluviales con relativa rapidez, razón por la cual se engloba a la esorrentía superficial, como fue mencionado.

- 163 -



El flujo base es formado por el agua que percola hasta alcanzar el almacenamiento subterráneo y más tarde sale en forma de flujo base. El hidrograma de flujo subterráneo puede o no sufrir incremento durante la ocurrencia de un evento lluvioso; los volúmenes de agua almacenados durante una determinada lluvia son normalmente liberados al largo de periodos muy extensos (días para pequeñas cuencas y meses o años para cuencas grandes). La esorrentía superficial propiamente dicha está constituido por el agua que escurre sobre la superficie del suelo hasta alcanzar los cauces naturales. En las grandes tormentas, es una parte proporcionalmente más importante entre los componenetes del hidrograma.

Lluvia de intensidad constante

A

Q Punto de inflexión

B

t Figura N° 8.3: Hidrograma de equilibrio

Si la precipitación se mantiene con intensidad constante durante un tiempo suficientemente largo, se alcanza un estado de equilibrio en las descargas, como la curva A de la Figura 8.3. El instante en el cual eso ocurre indica el momento en el cual toda la cuenca pasa a contribuir para la escorrentía en la sección de salida; de allí en adelante la entrada (lluvia) iguala la salida (caudal). Sin embargo esa condición de equilibrio es rara vez alcanzada en la naturaleza; lo que normalmente ocurre es la situación representada por la curva B de la misma figura, donde la lluvia termina antes de ser alcanzado ese punto, iniciándose el descenso del hidrograma luego después del fin de la precipitación, dando caudal a las aguas acumuladas en la cuenca.

En la mayor parte de los estudios hidrológicos es necesario un análisis del hidrograma para descomponerlo en sus fases más importantes; en la generalidad de los casos, mientras tanto, una simple separación de la escorrentía superficial y base es suficiente, usando técnicas existentes que serán abordadas más adelante. 8.2.2.

La Curva de Recesión La mayor parte de la técnicas de separación de los flujos se basan en el análisis de las curvas de recesión del hidrograma. Si no existe otras entradas al acuífero y si todo el flujo subterráneo pasa por la sección de control en la estación hidrométrica, la descarga subterránea puede ser dada por una ecuación de agotamiento de la forma siguiente (Viessman et al., 1977):

qt = qo K t donde:

(8.1) q0 qt K

: caudal inicial dado : caudal en el instante t : constante de recesión a ser determinada (K < 1)

Las unidades empleadas son días en cuencas grandes y horas o minutos en pequeñas cuencas; el ploteo de la ecuación (8.1) produce una línea recta en papel semilogarítmico, colocando el tiempo en la escala lineal.

- 164 -



En casi todas las cuencas la curva de recesión es estable, ya que depende solo de la geología del subsuelo, pero puede variar estacionalmente en ciertas circunstancias. Un método simple basado en datos de hidrogramas observados, permite determinar gráficamente el valor de K (U.S. Soil Conservation Service). qt

Q

Línea de 45°

K 1

Curva de recesión

Intervalo de tiempo

q0

t

Figura N° 8.4: Determinación de la Constante de Recesión

A partir de los datos observados, se plotea el hidrograma para obtener los valores de las descargas en el inicio y fin de intervalos de tiempo predeterminados ( q0 en el inicio y qt en el fin); se seleccionan varios intervalos de tiempo y se plotean las correspondientes q0 y qt, como se muestra en la Figura 8.4, cuidando que el intervalo de tiempo sea el mismo para cada conjunto de valores de q. Los puntos representativos de valores altos de q normalmente se alejan para la derecha de la línea de 45°, y los tomados sobre la verdadera curva de recesión se ajustan bien a una línea recta.

Separación del Caudal Base

Q

Log Q

8.2.3.

N días

C A

C

A t

t

Figura N° 8.5: Separación del Caudal Base

Existen varias técnicas de separación del caudal base, cuando no se conoce su valor real. En grandes tormentas, la descarga máxima es poco afectada por el caudal base y por ello, pequeñas imprecisiones en la separación no conlleva errores serios. Un primer método consiste en trazar una línea horizontal a partir del inicio de la escorrentía superficial (punto A de la Figura 8.5), hasta el instante de ocurrencia del - 165 -



pico; de allí hasta el punto C, N días luego del pico, uniendo con líneas rectas; N puede ser estimado con la siguiente fórmula empírica:

N = 0.827 A 0.2

(8.2)

donde N es el tiempo en días y A el área de la cuenca en km2. Otro método, más usado, parte del ploteo del hidrograma, o más precisamente de su curva de recesión, en papel semilogarítmico, con el tiempo en la escala lineal. El punto C, definido como el fin de la escorrentía superficial, es aquel a partir del cual la recesión se torna una línea recta; la línea recta que une A con C corresponde al caudal base del hidrograma. Existen muchos otros métodos para la separación del caudal base, incluyendo el trazo de una línea simple entre los puntos A y C de la figura 8.5. La separación del caudal base es más arte que ciencia, quedando a criterio del hidrólogo el empleo de la metodología más apropiada para su separación y en muchos casos hasta puede despreciable porque representa una pequeña fracción del caudal total, salvo el caso de cuencas grandes donde la contribución del agua subterránea es considerable. 8.2.4.

Parámetros Característicos del Hidrograma a) Tiempo base Es definido como el tiempo transcurrido entre el inicio de la curva de concentración (rama ascendente) hasta el final de la escorrentía superficial. Haciendo referencia a la Figura 8.2, el tiempo base puede ser expresado como la suma del tiempo de duración de la lluvia efectiva (Ts) y el tiempo de concentración de la cuenca (Tc):

Tb = Ts + Tc

(8.3)

b) Tiempo de retardo Es un elemento indispensable para posicionar temporalmente el hidrograma con relación a la lluvia que lo generó; se define como la diferencia, en tiempo, entre el centroide del hietograma de lluvia efectiva y el centroide del hidrograma de escorrentía superfical. A veces son usados otros criterios, sustituyendo el centroide por el pico del hidrograma, de más fácil identificación. Se han hecho muchos intentos para describir objetivamente el tiempo de retardo, siendo la más conocida el estudio realizado por Snyder (Viessman et al., 1977), complementado por Eagleson e Horner. Snyder usó datos de cuencas de la región de las montañas Apalaches y dedujo la siguiente ecuación para el tiempo de retardo de la cuenca:

Tr =

C (L × La )0.3 1.33

donde: Tr L La C

(8.4)

: tiempo de retardo de la cuenca, en horas, definido como el intervalo entre el centroide del hietograma y el pico del hidrograma : longitud del curso principal, hasta la divisoria (Km) : longitud del curso principal desde la salida hasta un punto cercana al centroide de la cuenca : coeficiente que depende de las características de la cuenca (varía entre 1.8 y 2.2 según Snyder) - 166 -



Linsley, propone la siguiente relación introduciendo la pendiente del cauce principal (S) en la ecuación de Snyder:

Tr =

C 1.33 S

(L × La )0.3

(8.5)

c) Tiempo de concentración Es otro parámetro importante, en el análisis del hidrograma. Puede ser expresado como el tiempo transcurrido entre el fin de la lluvia efectiva y el fin de la escorrentía superficial. A falta de esa información puede usarse fórmulas empíricas como la de Kirpich en base a la longitud de cauce principal L (pies) y su pendiente S (pie/pie):

⎛ L ⎞ Tc = 0.0078⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ S⎠

8.3.

8.3.1.

0.77

(minutos)

(8.6)

RELACIONES ELEMENTALES ENTRE LLUVIA Y DESCARGA

Operadores Lluvia-Descarga La disponibilidad de datos observados actualmente presenta un claro desequilibrio entre la información hidrométrica y la pluviométrica a favor de esta última, esto es, en la mayoría de los casos es más abundante y confiable la información sobre lluvias, lo que han llevado a los investigadores a desarrollar métodos que, a partir de las precipitaciones, permitan reconstruir las descargas resultantes. Las herramientas que posibilitan esa transformación de lluvia en descarga pueden ser denominadas de operadores precipitación-descarga, existiendo en la hidrología actual una bien surtida de esos operadores, variando desde correlaciones simples, hasta sofisticados mecanismos analíticos y conceptuales que describen las diferentes partes del ciclo hidrológico, pasando por el principio del hidrograma unitario que es uno de los pilares de la hidrología analítica, e incluyendo las variables tipo modelos de simulación que se encuentran disponibles para los hidrólogos.

8.3.2.

Correlaciones Simples El enfoque más común de ser imaginado es el ploteo de pares de valores precipitación-descarga, relativos a un periodo determinado, para estimar la línea de regresión que permita deducir descargas a partir de precipitaciones. Naturalmente, este abordaje simplista envuelve errores de evaluación relativamente importantes, donde la dispersión de los puntos indica la diversidad de factores envueltos en el proceso, que no están siendo incluidos. Por estas razones, ese tipo de relación debe ser usado con reserva, y solo en estudios de planeamiento global. La inclusión de otros parámetros puede mejorar sensiblemente el grado de correlación, introduciendo el análisis de correlación múltiple. El parámetro que mayor influencia tiene es la humedad del suelo, evaluada a través de algún índice como el de precipitaciones antecedentes (IPA).

- 167 -


8.3.3.


Indice de Precipitaciones Antecedentes Algunos índices de humedad del suelo se refieren al flujo subterráneo y a la evaporación en la cuenca, valores a veces difíciles de ser obtenidos; por eso el índice de precipitaciones antecedentes han recibido mayor aceptación, ya que las mediciones de lluvias son más comunes en cualquier región. Una forma típica de expresar ese índice, en mm, puede ser:

IPA = AP0 + BP1 + CP2

(8.7)

donde: P0, P1 y P2 : precipitación anual en el presente año y en los dos años antecedentes A, B y C : coeficientes determinados por análisis de regresión (A+B+C=1) Para lluvias individuales, Kohler y Linsley (Viessman et al., 1977) indicaron una relación de la forma:

IPA = b1 P1 + b2 P2 + b3 P3 + ... + bt Pt

(8.8)

donde los subíndices de P se refieren a la precipitación que ocurrió tantos días antes del evento en cuestión, y las constantes b (menores que 1) son funciones de t: b = K t , donde K es la constante de recesión que varía normalmente entre 0.85 y 0.98. Muchas otras aproximaciones fueron hechas en este sentido, pero debe ser resaltado que, por tratarse de relaciones empíricas, se aplican a áreas donde los datos fueron tomados, y su utilización en otras áreas no es recomendable sin un análisis de las condiciones físicas de esas regiones, comparadas con aquellas que originaron los parámetros y coeficientes. Para eliminar esas restricciones oriundas de las relaciones empíricas, se ha recurrido al desarrollo de métodos conceptuales independientes de las particularidades de cada región o cuenca, apoyados en la descripción analítica de la manera como una cuenca cualquiera actúa sobre la lluvia para transformarla en descarga.

8.4. 8.4.1.

INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS LINEALES Conceptos Básicos En los capítulos previos fue introducida la noción de sistema para hacer referencia a la cuenca hidrográfica como ejemplo de un sistema natural que recibe como entrada precipitaciones y genera, como salida, descargas. La cuenca, por lo tanto, recibe una cantidad de agua muy grande relativamente concentrada en el tiempo y la entrega redistribuida en un periodo mayor y, en consecuencia, a tasas menores; esa propiedad de la cuenca de transformar hietogramas en hidrogramas esconde la esencia de la hidrología, pues es la formulación analítica de esa capacidad lo que la ciencia hidrológica persigue para, conocida las precipitaciones en una región, determinar las descargas correspondientes y proyectar, a partir de allí, las estructuras destinadas al aprovechamiento y control de esos recursos. En el intento de saber como trabaja el mundo físico para que esa transformación ocurra, es obligatoria la formulación de hipótesis y teorías que pretenden representar, de manera artificial, el comportamiento del sistema natural; una representación así es

- 168 -



llamada de modelo del sistema real, pudiendo ser el modelo físico, analógico o matemático. P

Q

Lluvia

Descarga

Cuenca Hidrográfica

t

t

Figura N° 8.6: Acción de la Cuenca sobre la Lluvia para Generar Descargas

Un modelo físico representa el sistema por intermedio de un prototipo en escala menor (modelo reducido). Los modelos analógicos de valen de la analogía entre las ecuaciones que rigen el comportamiento de diferentes fenómenos, como la corriente eléctrica, por ejemplo, y el flujo fluvial. Los modelos matemáticos o digitales representan la naturaleza del sistema a través de ecuaciones matemáticas; usan, normalmente, computadoras digitales para la solución de los sistemas de ecuaciones diferenciales y el procesamiento de un volumen relativamente grande de informaciones numéricas resultantes. Así como las cuencas representan características comunes, lo que permite una clasificación, el abordaje del punto de vista de los sistemas también posibilita la identificación de diversos tipos. 8.4.2.

Clasificación de los Sistemas Hidrológicos Existen diversos criterios para efectuar la clasificación, según el aspecto abordado; en el presente texto serán mencionados solo tres que son los de mayor interés. a) Sistemas variables o invariables en el tiempo: La distinción física reside solo en el hecho de que los parámetros del sistema varían o no en el tiempo. Si el sistema es solicitado por una entrada X(t) y produce una salida Y(t), para que el sistema sea invariable en el tiempo una entrada X(t+δ) debe producir una salida Y(t+δ). b) Sistemas lineales y no lineales: Un sistema es lineal cuando en el se cumple el principio de la superposición, que puede ser descrito de la siguiente manera: si una entrada X1(t) produce una salida Y1(t) y X2(t) produce Y2(t), entonces: X1(t) + X2(t) produce una salida Y1(t) + Y2(t). c) Sistemas concentrados y distribuidos: Cuando los parámetros y variables del sistema varían solo en función del tiempo y no del espacio, el sistema es concentrado; en caso contrario es distribuido. El raciocinio puede ser extendido a los modelos, aplicándose a estos la misma denominación que al sistema que representan. El modelo puede estar, a su vez, constituido por una ecuación diferencial que relaciona la entrada con la salida. De una forma genérica, puede ser una ecuación de la forma:

d nY d n −1Y dY An + An −1 n −1 + ... + A1 + A0 = X (t ) n dt dt dt

(8.9)

- 169 -



En un modelo lineal los coeficientes A deben ser independientes de X e Y y ninguna de las derivadas puede tener grado mayor que 1. En un modelo invariable en el tiempo, los coeficientes no pueden ser funciones del tiempo. 8.4.3.

La Cuenca como un Sistema Lineal Invariable en el Tiempo A pesar de que la mayoría de los sistemas naturales son no lineales, algunos de ellos pueden ser descritos razonablemente bien a través de aproximaciones lineales. En sistemas que son claramente no lineales, partes de él pueden ser tratadas como lineales, como es el caso de la cuenca hidrográfica, donde se pueden circunscribir las no linealidades a la determinación de la lluvia efectiva, por ejemplo, y tratar la transformación lluvia-descarga linealmente. El análisis matemático de los sistemas lineales es de gran importancia en la hidrología, y en ella se basan técnicas de gran aplicación como el hidrograma unitario y el tránsito o propagación de descargas de avenida.

P(t)

Q(t)

P(τ)u(t-τ) P(τ)

τ

dτ

t

τ

t

Figura N° 8.7: Respuesta a un Impulso Unitario

Para conocer la respuesta del sistema, vamos a imaginar una entrada extremadamente rápida, en la forma de un impulso unitario, como se indica en la figura 8.7; ese impulso unitario puede ser definido como de magnitud unitaria y de una duración muy corta que tiende a cero. La respuesta a este estímulo resume toda la acción del sistema sobre la entrada para generar la salida, y es una característica propia de él, que puede ser representada analíticamente por u(t-τ) si el impulso de entrada ocurrió en el instante τ.

Esa respuesta a un impulso unitario es llamada de hidrograma unitario instantáneo o elemental (HUI) o, aún, función núcleo del sistema; por la naturaleza de su definición, se verifica que:

∫

∞

0

u (t )dt = 1

(8.10)

Es importante notar que el conocimiento de esa función permite desvendar completamente el mecanismo de operación de la cuenca en el proceso de transformación lluvia-descarga, dentro de la hipótesis de comportamiento lineal del sistema. Si consideramos ahora una entrada al sistema no de duración infinitesimal ni unitaria, sino de una lluvia uniforme (espacial y temporalmente) sobre la cuenca, la respuesta del sistema esta vez, aplicándose el principio de superposición, será el hidrograma mostrado en la figura 8.8 que puede ser representado como el producto: P(τ).u(t-τ) donde u(t-τ) es la función núcleo del sistema y P(τ) la precipitación aplicada al sistema; el hidrograma de salida es construido, entonces, por la multiplicación de las ordenadas de la función núcleo por la entrada al sistema, generando una respuesta que es el HUI ampliado P unidades y manteniendo la misma duración (principio de superposición). Nótese que la hipótesis hecha sobre la precipitación establece una lluvia uniforme espacial y temporalmente, condición esta raramente alcanzada en la naturaleza. Para tratar casos reales se aplica reiteradamente el principio de la superposición a través del esquema mostrado en la figura 8.9, en un proceso llamado de convolución, en el cual una entrada P(τ) a un sistema lineal invariable - 170 -



en el tiempo, produce una salida Q(t) a través de una función núcleo u(t-τ); la formulación analítica de ese proceso puede ser expresada como a través de la integral de convolución siguiente: t

Q(t ) = ∫ P (τ )u (t − τ )dτ

(8.11)

0

τ

τ

P(τ)

Entrada: precipitación τ

Precipitación sobre la cuenca P(τ)

dτ Función núcleo u(t-τ)

Q(t)

u(t-τ)

Hidrograma resultante P(τ).u(t-τ)

t-τ Salida: hidrograma resultante t

Q(t ) = ∫ P(τ )u (t − τ )dτ 0

t

t

Figura N° 8.8: Respuesta de la Cuenca a una lluvia real

8.5.

t

Figura N° 8.9: Proceso de Convolución

EL HIDROGRAMA UNITARIO (HU)

8.5.1.

Generalidades En la práctica, este concepto es más útil, debido a que las variables hidrológicas son normalmente conocidas en forma discreta y no continua, con intervalos de tiempo que varían según las características del sistema. Se define el Hidrograma Unitario como aquella escorrentía superficial ficticio proveniente de una precipitación unitaria uniforme sobre la cuenca; resulta, por lo tanto, una escorrentía superficial de volumen unitario. Tres hipótesis fundamentan el procedimiento, característico de sistemas lineales:

τ=1 h=1

•

h=1+1 Q

HU (2,1)

•

HU (1,1)

• t

Figura N° 8.10: Hipótesis Básica del HU

En una cuenca, el tiempo de duración de la escorrentía superficial es constante para lluvias de igual duración (figura 8.10) Proporcionalidad de las descargas: dos lluvias de la misma duración producen hidrogramas cuyas ordenadas son proporcionales a los volúmenes totales escurridos. La distribución temporal de la escorrentía superficial no depende de las precipitaciones anteriores (sistema sin memoria).

- 171 -



La teoría del hidrograma unitario fue presentado por Sherman en 1932 y hasta ahora es prácticamente la principal herramienta de la hidrología aplicada. Desde que el HU hace referencia a una lluvia de altura unitaria h y a un tiempo de duración de esa lluvia t, se acostumbra representar como HU(h,t), donde los parámetros h y t se refieren a la lluvia que lo generó. La altura de lluvia usada convencionalmente como unitaria es 1 cm (10 mm), a pesar que en ciertos casos de cuencas urbanas muy pequeñas ese valor puede ser de 1 mm; mientras el valor de la duración t, depende principalmente del tamaño de la cuenca. Los mejores resultados se consiguen para un t en torno de la cuarta parte del tiempo de retardo de la cuenca. 8.5.2.

Determinación del Hidrograma Unitario La primera definición a ser hecha se refiere a los parámetros h y t del HU, que deben ser seleccionados en función de las características de la cuenca. Se distinguen dos casos diferentes en la determinación del HU: el primer caso es cuando existen datos observados de eventos ocurridos (lluvias y descargas resultantes) en el pasado, y la segunda situación, cuando no existen esos datos, caso en el cual se establece un hidrograma sintético. El procedimiento seguido en el primer caso, puede resumirse en los siguientes pasos: a) Selección de los datos de eventos observados. Se busca, en el archivo histórico de la estación, eventos causados por lluvias de duración entre 1/3 y 1/5 del tiempo de concentración de la cuenca; las lluvias deben ser lo más homogéneas posibles espacial y temporalmente. h2

Q

Q

P h1

h3

te Escorrentía directa

t

te

Flujo base o subterráneo t

t

Figura N° 8.11: Volumen de Escorrentía Directa

Figura N° 8.12: Determinación de la Duración de la lluvia Efectiva

b) Cálculo de la precipitación media (o volumen) sobre la cuenca, por cualquiera de los métodos conocidos. c) Separación de la escorrentía superficial del flujo subterráneo (caudal base). Dado que la mayoría de los problemas de dimensionamiento de estructuras de control recae en las descargas máximas de la escorrentía superficial; la técnica de separación ya fue descrita anteriormente. d) Cálculo del volumen de escorrentía directa. Este volumen está dado por el área debajo de la curva del hidrograma (figura 8.11), pudiendo ser determinada con planímetro o por métodos más simples como la división del área en pequeños trapecios.

- 172 -



e) Determinación de la altura de lluvia efectiva, he, y su duración te. La altura está dada por: he =

volumen de escorrentia directa . La duración de esa lluvia efectiva area de la cuenca

puede ser encontrada por tanteos como se muestra en la figura 8.12, cortando el hietograma de la lluvia total a una altura tal que la parte superior desaparece, en sus diversos segmentos, el valor de he; de allí resulta la duración te de la lluvia efectiva, el segundo parámetro del HU. f)

Determinación de las ordenadas del HU. Para eso, se subdivide el hidrograma de escorrentía directa en intervalos iguales de tiempo te, el tiempo unitario hallado en la etapa anterior. Las ordenadas del hidrograma unitario será dada por:

qi =

Qi × (10 mm) , siendo Qi es la ordenada del hidrograma de escorrentía he

directa. g) El análisis anterior se repite para diversos eventos aislados, satisfaciendo las condiciones fijadas antes, para la misma cuenca; todos los eventos deberían producir el mismo HU, ya que es característica particular y única de la cuenca, pero las aproximaciones consideradas hacen con que se observen diferencias en los hidrogramas unitarios definidos. A partir de ellos se calcula el HU medio, a través de métodos como la media aritmética entre las ordenadas, alineamiento de los picos, fusión de eventos, etc. Finalmente se debe verificar que el volumen del hidrograma unitario debe ser igual al área de la cuenca multiplicada por 10 mm. Dado que las hipótesis básicas del HU relacionadas con la homogeneidad espacial y temporal de la lluvia son difíciles de cumplir, el autor del método restringe su aplicación a cuencas de hasta 600 km2. Ejemplo 8.1: Determinar el HU para una cuenca cuyo hidrograma observado se muestra en la figura 8.13; siendo la precipitación media de la cuenca P = 61.5 mm y la duración de la lluvia D = 6 horas. Solución: Para determinar las ordenadas del HU se sigue el siguiente procedimiento: a) La separación del caudal base fue hecha trazando una línea horizontal del inicio de la subida de los caudales hasta el pico y luego una línea recta hasta el final del hidrograma (Figura 8.13): b) A partir de la figura 8.13, se procede a establecer la tabla 8.1, hasta la columna 6 c) Para determinar las ordenadas del HU (columna 7 de la tabla 8.1), se calcula en primer lugar el volumen de escorrentía directa: VE = (356.7 m3/s)x(6x3600 s) = 7703640 m3 d) Se calcula el volumen precipitado en la cuenca: VP = PxA = (61.5x103 m)x(500x106 m2) = 30750000 m3 e) Se calcula el coeficiente de escorrentía: C = VE/VP = 0.25 f)

Se calcula la altura de lluvia efectiva: he = VE/A = 15.4 mm - 173 -



g) Se calcula las ordenadas del HU: QHU = Qdirecto(10/15.4) h) Finalmente se presenta el gráfico del Hidrograma Unitario: HU(1cm, 6h) en la (Figura 8.14) Figura N° 8.13: Hidrograma Observado 70.0 60.0

Q (m3/s)

50.0 40.0 30.0 20.0 10.0 0.0 0

6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

66

72

78

84

90

96 102 108 114

t (horas) Escorrentía total

Flujo base o subterráneo

Tabla N° 8.1: Procedimiento de Cálculo del Hidrograma Unitario día

hora

(1)

(2)

t acumulado (horas) (3)

1

0 6 12 18 0 6 12 18 0 6 12 18 0 6 12 18 0 6 12 18

0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114

2

3

4

5

Q total (m3/s) (4) 11.1 17.2 28.0 42.0 57.0 64.5 53.0 48.6 44.4 35.5 29.9 27.8 26.2 23.2 20.5 19.2 18.3 17.5 16.8 16.2

Q base (m3/s) (5) 11.1 11.1 11.1 11.1 11.1 11.1 11.5 11.8 12.2 12.6 12.9 13.3 13.7 14.0 14.4 14.7 15.1 15.5 15.8 16.2 TOTAL

Q directo (m3/s) (6) 0.0 6.1 16.9 30.9 45.9 53.4 41.5 36.8 32.2 22.9 17.0 14.5 12.6 9.2 6.1 4.5 3.2 2.0 1.0 0.0

Q (HU) (m3/s) (7) 0.0 4.0 11.0 20.1 29.8 34.7 27.0 23.9 20.9 14.9 11.0 9.4 8.1 6.0 4.0 2.9 2.1 1.3 0.6 0.0

356.7

- 174 -



Figura N° 8.14: Hidrograma Unitario: HU(1cm,6h) 40.0 35.0

Q (m3/s)

30.0 25.0 20.0 15.0 10.0 5.0 0.0 0

6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

66

72

78

84

90

96

102 108 114

t (horas)

8.5.3.

Aplicaciones del Hidrograma Unitario

El hidrograma unitario es quizás el principal operador precipitación-descarga de la hidrología básica y sus aplicaciones son innumerables. Reconociendo la cuenca como un sistema lineal y por lo tanto obedeciendo al principio de la superposición, se puede efectuar la convolución con cada intervalo de precipitación y luego sumar los resultados parciales para reconstituir el hidrograma resultante, como se visualiza en la figura 8.15, donde queda evidente el mecanismo de formación del hidrograma.

Precipitación P1

P2

Q

P3

P4

HU (1,1) Hidrograma total

Q

q 0

1

2

3

4

5

6

t

Hidrograma Unitario

0

1

2

3

4

qP3

qP2

qP1

5

6

7

8

9

10

t

Figura N° 8.15: Aplicación Práctica de la Convolución

- 175 -



Ejemplo 8.2: Con el Hidrograma Unitario del ejemplo 8.1, determinar el hidrograma de escorrentía para la siguiente lluvia efectiva distribuida de la siguiente forma: De 0 a 6 horas (35 mm), de 6 a 12 horas (5 mm), de 12 a 18 horas (0 mm), de 18 a 24 horas (0 mm) y de 24 a 30 horas (40 mm). Solución:

El proceso de convolución aplicado, se muestra en la Tabla N° 8.2 y el hidrograma resultante en la Figura 8.16:

Tabla N° 8.2: Aplicación Práctica de la teoría de Convolución t (horas)

Q(HU) (m3/s) 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120 126 132 138 144

(35/10)xQ (m3/s) 0.0 4.0 11.0 20.1 29.8 34.7 27.0 23.9 20.9 14.9 11.0 9.4 8.1 6.0 4.0 2.9 2.1 1.3 0.6 0.0

0.0 13.9 38.4 70.2 104.3 121.3 94.4 83.5 73.2 52.1 38.6 33.0 28.5 20.9 13.9 10.1 7.3 4.6 2.2 0.0

(5/10)xQ (m3/s) 0.0 2.0 5.5 10.0 14.9 17.3 13.5 11.9 10.5 7.4 5.5 4.7 4.1 3.0 2.0 1.4 1.0 0.7 0.3 0.0

(40/10)xQ (m3/s)

0.0 15.8 43.9 80.2 119.2 138.6 107.8 95.5 83.6 59.6 44.1 37.7 32.6 23.8 15.9 11.6 8.3 5.3 2.5 0.0

Q total (m3/s) 0.0 13.9 40.4 75.7 114.3 136.2 127.5 140.9 165.3 181.7 184.7 146.3 128.7 108.6 76.5 56.2 46.4 38.2 26.7 16.2 11.6 8.3 5.3 2.5 0.0

- 176 -



Figura N° 8.16: Hidrograma Resultante de la Teoría de la Convolución 200.0 180.0 160.0

Q (m3/s)

140.0 120.0 100.0 80.0 60.0 40.0 20.0 0.0 0

6

12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120 126 132 138 144

t (horas) Escorrentía total

8.5.4.

Q (35 mm)

Q (5 mm)

Q (40 mm)

Hidrograma Unitario para Diferentes Duraciones (Curva S) Los hidrogramas unitarios desarrollados con la metodología descrita representan la escorrentía superficial resultante de una lluvia unitaria ocurrida durante un intervalo de tiempo especificado. Si la lluvia del proyecto disponible es de una duración diferente (o está discretizada en intervalos de tiempo diferentes), se requiere definir un HU adecuado, esto es, causado por una lluvia de la duración que interesa.

Q

HU (1,D) HU (1,2D)

t

D

Figura N° 8.17: Obtención del HU por Retardo

El método del “retardo” es una posibilidad (figura 8.17); si existe un HU de 1 hora (causado por una lluvia de 1 hora), es posible hallar el HU resultante de una lluvia unitaria de 2 horas ploteando dos hidrogramas unitarios de 1 hora desfazados en 1 hora y extrayendo la media aritmética de las ordenadas. Así, los 10 mm de lluvia iniciales contenidos en la duración original de una hora, se ha dispersado a lo largo de dos horas.

Otras combinaciones son posibles, componiéndose hidrogramas unitarios de la misma duración; sin embargo, no es posible componer hidrogramas debidos a lluvias de duraciones diferentes. En estos casos, se recurre al uso de un hidrograma unitario denominado Curva S que es un hidrograma unitario causado por una lluvia unitaria de duración infinita. - 177 -



Precipitación Q

Q

A

Curva S para D horas de duración

Curva S (A-B)

Qequilibrio

B

(A-B)D/t

t

Figura N° 8.18: Definición de la Curva S

t

t

Figura N° 8.19: Aplicación de la Curva S

En la figura 8.18 se observa una manera práctica de efectuar el trazado de la Curva S a partir de un hidrograma unitario conocido. Basta acumular progresivamente las ordenadas del HU original para obtener las respectivas ordenadas de la Curva S. La gran utilidad de la Curva S es que ella permite el cálculo de hidrogramas unitarios para cualquier duración; para eso se desplaza la Curva S un intervalo t, igual a la duración del HU deseado; las coordenadas de ese HU buscado son calculadas por la diferencia entre las dos curvas S, corregidas por la relación D/t , conforme se indica en la figura 8.19. Vale la pena resaltar que D es la duración de la lluvia que originó la Curva S. Es posible calcular la descarga de equilibrio a través de la relación:

Qeq =

hA , donde h es la altura de la lluvia unitaria (10 mm), A el área de la cuenca y te

te la duración de la lluvia efectiva (lo que da el número de desplazamientos necesarios del HU para completar la Curva S.

Ejemplo 8.3: Con la misma información del ejemplo 8.1, determinar la curva S y el HU para 12 horas de duración: Solución: El procedimiento de solución, se muestra en forma detallada en la tabla 8.3 y las figuras 8.20, 8.21 y 8.22.

- 178 -



Tabla N° 8.3: Procedimiento de Cálculo de la Curva S t (s) 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114

Q (HU) (m3/s) 0.0 4.0 11.0 20.1 29.8 34.7 27.0 23.9 20.9 14.9 11.0 9.4 8.1 6.0 4.0 2.9 2.1 1.3 0.6 0.0

Coordenadas del Hidrograma Unitario desfazada sucesivamente en 6 horas (m3/s)

0.0 4.0 11.0 20.1 29.8 34.7 27.0 23.9 20.9 14.9 11.0 9.4 8.1 6.0 4.0 2.9 2.1 1.3 0.6

0.0 4.0 11.0 20.1 29.8 34.7 27.0 23.9 20.9 14.9 11.0 9.4 8.1 6.0 4.0 2.9 2.1 1.3

0.0 4.0 11.0 20.1 29.8 34.7 27.0 23.9 20.9 14.9 11.0 9.4 8.1 6.0 4.0 2.9 2.1

0.0 4.0 11.0 20.1 29.8 34.7 27.0 23.9 20.9 14.9 11.0 9.4 8.1 6.0 4.0 2.9

0.0 4.0 11.0 20.1 29.8 34.7 27.0 23.9 20.9 14.9 11.0 9.4 8.1 6.0 4.0

0.0 4.0 11.0 20.1 29.8 34.7 27.0 23.9 20.9 14.9 11.0 9.4 8.1 6.0

0.0 4.0 11.0 20.1 29.8 34.7 27.0 23.9 20.9 14.9 11.0 9.4 8.1

0.0 4.0 11.0 20.1 29.8 34.7 27.0 23.9 20.9 14.9 11.0 9.4

0.0 4.0 11.0 20.1 29.8 34.7 27.0 23.9 20.9 14.9 11.0

0.0 4.0 11.0 20.1 29.8 34.7 27.0 23.9 20.9 14.9

0.0 4.0 11.0 20.1 29.8 34.7 27.0 23.9 20.9

0.0 4.0 11.0 20.1 29.8 34.7 27.0 23.9

0.0 4.0 11.0 20.1 29.8 34.7 27.0

0.0 4.0 11.0 20.1 29.8 34.7

0.0 4.0 11.0 20.1 29.8

Curva S

0.0 4.0 11.0 20.1

0.0 4.0 11.0

0.0 4.0

0.0 4.0 14.9 35.0 64.8 99.4 126.4 150.3 171.2 186.1 197.1 206.5 214.6 220.6 224.6 227.5 229.5 230.9 231.5 0.0 231.5

- 179 -



Figura N° 8.20: Curva S Resultante 250.0

Q (m3/s)

200.0 150.0 100.0 50.0 0.0 0

6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

66

72

78

84

90

96 102 108 114

t (horas)

Figura N° 8.21: Desplazamiento de la Curva S para Determinar el HU de 12 horas 250.0

Q (m3/s)

200.0 150.0 100.0 50.0 0.0 0

6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

66

72

78

84

90

96

102 108 114

t (horas) Curva S sin desfazar

Curva S desfazada en 12 horas

Figura N° 8.22: Hidrograma Unitario para 12 horas: HU (10mm, 12h) 35.0 30.0

Q (m3/s)

25.0 20.0 15.0 10.0 5.0 0.0 0

6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

66

72

78

84

90

96 102 108 114 120

t (horas)

- 180 -


8.5.5.


Hidrograma Unitario Sintético

Como es sabido, el hidrograma unitario es un operador Lluvia-descarga que permite calcular la descarga del proyecto resultante de una lluvia crítica. La determinación directa del HU de una cuenca requiere de la existencia de datos observados de lluvia y caudal, lo que ya limita bastante su uso generalizado; a falta de ellos, se puede recurrir al uso de los hidrogramas unitarios sintéticos. Las bases teóricas del HU imponen ciertas limitaciones en cuanto a la extensión de la cuenca donde puede ser usado. En cuencas con áreas grandes se puede hacer la subdivisión de la cuenca en sub-cuencas, integrando posteriormente los resultados parciales a través de propagación en los tramos de enlace. Tal procedimiento será viable únicamente donde existe abundante información hidrometeorológica para eso. En pequeñas cuencas agrícolas, por ejemplo, esa información difícilmente se encuentra disponible y por eso es necesario el uso de técnicas de síntesis, siendo el método del Soil Conservation Service un buen ejemplo de esas técnicas. Hidrogramas unitarios adimensionales también hacen parte de estas técnicas hidrológicas para determinar caudales del proyecto o de máximas avenidas. Existen tres tipos de hidrogramas sintéticos: 1) aquellos que relacionan las características del hidrograma (caudal pico, caudal base, etc.) con las características de la cuenca (Snyder, 1938; Gray, 1961), 2) aquellos basados en hidrogramas unitarios adimensionales (Soil Conservation Service, 1972), y 3) aquellos basados en modelos de almacenamiento en la cuenca (Clark, 1943).

a) Hidrograma Unitario Sintético de Snyder Snyder llevó a cabo un estudio en la región de los Montes Apalaches, en cuencas que varían entre 30 y 30000 Km2, habiendo encontrado relaciones empíricas para las características más resaltantes del hidrograma unitario estándar. A partir de las relaciones, pueden calcularse cinco características del hidrograma unitario requerido para una precipitación efectiva con una duración determinada: • • • •

Caudal pico por unidad de área: qpR Tiempo de retardo o tiempo pico: tpR (tiempo medido desde el centroide del hietograma de lluvia efectiva al pico del hidrograma resultante) Tiempo base del hidrograma: tp Los anchos W (en unidades de tiempo) del hidrograma unitario al 50 y 75% del caudal pico.

Utilizando estas características puede dibujarse el hidrograma unitario requerido. Las variable se ilustran en la siguiente figura 8.23. Snyder definió el hidrograma unitario estándar como aquel cuya duración de lluvia tr está relacionada con el retardo de la cuenca tp por:

t p = 5.5tr

(8.12)

- 181 -



tR

tr

tp

qp

qpR

tpR

W75 W50 T a) Hidrograma unitario estándar (tp = 5.5tr)

tb

T

a) Hidrograma unitario requerido (tpR ≠ 5.5tR)

Figura N° 8.23: Hidrograma Unitario de Snyder Para este caso, Snyder encontró las siguientes relaciones: •

tiempo de retardo de la cuenca:

t p = C1Ct (LLc )

0.3

(8.13)

donde: tp L Lc

: tiempo de retardo (horas) : longitud del cauce principal en (km) desde la salida hasta la divisoria : distancia desde la salida de la cuenca hasta el punto del cauce más cercano al centroide de la cuenca en (Km). : igual a 0.75 ( 1 en sistema inglés) : coeficiente obtenido en base a cuencas instrumentadas en la misma región.

C1 Ct •

Caudal pico por unidad de área del HU (m3/s.km2 ):

qp = C2 Cp

C2C p tp

(8.14)

: igual a 2.75 (640 en el sistema inglés) : coeficiente obtenido en base a cuencas instrumentadas en la misma región.

Para calcular Ct y Cp de una cuenca instrumentada, los valores de L y Lc son medidos en el mapa de la cuenca. A partir de un hidrograma unitario deducido se obtienen los valores de su duración efectiva tR en horas, su tiempo de retardo en la cuenca tpR en horas y su caudal pico por unidad de área qpR, en (m3/s.Km.cm). Si tpR = 5.5tR, entonces tR = tr, tpR = tp y qpR = qp y Ct y Cp se calculan utilizando las ecuaciones anteriormente descritas. Si tpR es muy diferente de 5.5tR, el tiempo de retardo estándar es:

t p = t pR +

tr − t R 4

(8.15) - 182 -



Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (8.12) y (8.15) se obtienen tt y tp. Luego se calculan los valores de Ct y Cp de (8.13) y (8.14) con qpR = qp y tpR = tp. Los coeficientes Ct y Cp obtenidos de cuencas con estaciones de medida pueden utilizarse en las ecuaciones anteriores para deducir el hidrograma unitario sintético requerido para la cuenca sin información. •

La relación entre qp y el caudal pico por unidad de área qpR del hidrograma unitario requerido es:

q pR = •

q pt p t pR

(8.16)

El tiempo base tb del hidrograma unitario puede determinarse utilizando el hecho de que el área bajo el hidrograma unitario es equivalente a una escorrentía directa de 1 cm. Suponiendo una forma triangular para el hidrograma unitario, el tiempo base puede estimarse por:

tb =

C3 q pR

(8.17)

donde C3 = 5.56 (1290 en sistema inglés) •

El ancho en horas de un hidrograma unitario para un caudal igual a cierto porcentaje del caudal pico qpR está dado por:

W = CW q −pR1.08

(8.18)

donde CW = 1.22 (440 en sistema inglés) para un ancho del 75% y 2.14 (770 en sistema inglés) para un ancho del 50%. Usualmente un tercio de este ancho se distribuye antes del momento en que ocurre el pico del hidrograma unitario y dos tercios después de dicho pico.

Ejemplo 8.4 a) En el mapa de una cuenca de 3500 Km2 se han medido L = 150 Km, Lc = 75 Km. A partir del hidrograma unitario deducido para la cuenca se determina lo siguiente: tR = 12 h, tpR = 34 h y caudal pico = 157.5 m3/s.cm. Determinar los coeficientes Ct y Cp para el hidrograma unitario sintético de la cuenca. b) Con los valores de los coeficientes calculados anteriormente, calcular el hidrograma unitario sintético de 6 horas de duración para una subcuenca de 2500 Km2 con L = 100 Km y Lc = 50 Km. Esta subcuenca pertenece a la cuenca anterior.

Solución: a) De la información proporcionada, 5.5tR = 66 horas, lo cual es bastante diferente de tpR (34 h). La ecuación (8.15) da: - 183 -


t p = t pR +


tr − t R t − 12 = 34 + r 4 4

resolviendo simultáneamente con la ecuación (8.13) se obtiene tr = 5.9 h y tp = 32.5 h. Luego se calcula Ct:

t p = C1C t (LLc )

0.3

= 32.5 = 0.75C t (150 × 75)

0.3

de donde:

Ct = 2.65

El caudal pico por unidad de área es qpR = 157.3/3500 = 0.045 m3/s.km2.cm. El coeficiente Cp se calcula mediante la ecuación (8.14) con qp = qpR y tp = tpR:

q pR =

C2C p t pR

= 0.045 =

2.75C p

entonces:

34.0

Cp = 0.56

b) Los valores de Ct = 2.65 y Cp = 0.56, determinados en la pregunta anterior pueden ser utilizados, luego:

t p = C1C t (LLc )

0.3

= 0.75 × 2.65(100 × 50)

0.3

= 25.5 h

de: t p = 5.5tr se encuentra que tr = 25.5/5.5 = 4.64 h. Para un hidrograma de 6 h TR = 6 h y la ecuación:

t pR = t p −

qp =

tr − tR 4.64 − 6 = 25.5 − = 25.8 h . 4 4

C2C p

q pR =

tp q pt p t pR

=

2.75 × 0.56 = 0.0604 m 3 /s.km 2 .cm 25.5

=

0.0604 × 25.5 = 0.0597 m 3 /s.km 2 .cm 25.8

El caudal pico es 0.0597x2500 = 149.2 m3/s.cm. Los anchos del hidrograma se calculan a continuación:

W = CW q −pR1.08 = 1.22 x0.0597 −1.08 = 25.6 h

al 75% del pico

W = CW q −pR1.08 = 2.14 x0.0597 −1.08 = 44.9 h

al 50% del pico

El tiempo base tb = 5.56/qpR = 5.56/0.0597 = 93 h. Luego se dibuja el hidrograma y se verifica para asegurar que representa una profundidad de escorrentía directa de 1 cm. Los valores calculados se muestran en la siguiente figura 8.24:

- 184 -



Precipitación efectiva

q(m3/s.cm) tR 6h

tpR 25.8 h 149.2 m3/s.cm

140

120

111.9 m3/s.cm 100

80

W75 = 25.6 h

74.6 W50 = 44.9 h

60

40

20

28.8 h

20

40

60

80

100

T tb = 93 h

Figura N° 8.24: Hidrograma unitario Sintético para 6 horas

Una innovación adicional en el uso del método de Snyder ha sido la regionalización de los parámetros del hidrograma unitario. Espey, Altman y Graves (1977) desarrollaron un conjunto de ecuaciones generalizadas para la construcción de hidrogramas unitarios de 10 minutos, utilizando un estudio de 41 cuencas entre 0.04 y 40 Km2, aproximadamente, con porcentajes de área impermeable entre 2 y 100%.

Tp = 3.1L0.23 S −0.25 I −0.18Φ1.57

(8.19)

Q p = 31.62 x103 A0.96Tp−1.07

(8.20)

TB = 125.89 x103 AQ p−0.95

(8.21)

W50 = 16.22 x10 3 A 0.93Q p−0.92

(8.22)

W75 = 3.24 x103 A0.79Q p−0.78

(8.23)

L= S=

distancia total (pies) a lo largo del canal principal desde el punto considerado hasta la divisoria de aguas, aguas arriba. pendiente del canal principal (pies/pies) definida por H/0.8L, donde H es el desnivel entre los puntos A y B, siendo A el punto en el fondo del canal a una distancia de 0.2L aguas debajo de la divisoria de aguas y B el punto en el fondo del canal en el punto considerado aguas abajo.

- 185 -


I= Φ= A= Tp = Qp = TB = W50 = W75 =


área impermeable dentro de la cuenca (%), supuesta igual al 5% en el caso de una cuenca no desarrollada. Factor de transporte adimensional que es función del porcentaje de impermeabilidad y de la rugosidad de Manning y varía de 0.60 a 1.30. área de drenaje de la cuenca en millas cuadradas (1 milla ≅ 1.6 km) tiempo de ocurrencia del pico para el hidrograma unitario medido desde el principio de la escorrentía (minutos) caudal pico en el hidrograma unitario (pie3/s.pulg.) tiempo base en el hidrograma unitario (minutos) ancho del hidrograma al 50% de Qp (minutos) ancho del hidrograma al 75% de Qp (minutos)

b) Hidrograma Unitario Adimensional de Soil Conservation Service (SCS) El hidrograma adimensional SCS (Soil Conservation Service) es un hidrograma unitario sintético en el cual el caudal se expresa por la relación del caudal q con respecto al caudal pico qp y el tiempo por la relación del tiempo t con respecto al tiempo de ocurrencia del pico en el hidrograma unitario Tp. Dados el caudal y el tiempo de retardo para la duración de una lluvia efectiva, el hidrograma unitario puede estimarse a partir del hidrograma sintético adimensional para la cuenca dada. La figura 8.25 muestra uno de estos hidrogramas adimensionales, preparado utilizando los hidrogramas unitarios para una variedad de cuencas. Los valores de qp y Tp pueden ser estimados utilizando un modelo simplificado de un hidrograma unitario triangular, en donde el tiempo está dado en horas y el caudal en m3/s.cm.

Figura N° 8.25: Hidrograma unitario adimensional SCS 1.0 0.9 0.8 0.7 q/qp

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

t/Tp

En base a la revisión de un gran número de hidrogramas unitarios, el Soil Conservation Service sugiere que el tiempo de recesión puede aproximarse como 1.67Tp. Como el área bajo el hidrograma unitario debería ser igual a una escorrentía directa de 1 cm, puede demostrarse que:

- 186 -


qp =


CA Tp

(8.24)

donde C = 2.08 y A es el área de drenaje de la cuenca en Km2.

Precipitación efectiva

tp Caudal directo

qp

tr

Tp

1.67Tp tb

Figura N° 8.26: Hidrograma Unitario Triangular

Adicionalmente, un estudio de los hidrogramas unitarios de muchas cuencas rurales indica que el tiempo de retardo tp ≅ 0.6Tc, donde Tc es el tiempo de concentración de la cuenca. Como puede observarse en la figura 8.26 el tiempo de ocurrencia del pico Tp puede expresarse en términos del tiempo de retardo tp y de la duración de la lluvia efectiva tr.

Tp =

tr + tp 2

(8.25)

Ejemplo 8.5 Cosntruir un hidrograma unitario SCS de 10 minutos para una cuenca con un área de 3.0 Km2 y un tiempo de concentración de 1.25 h. Solución:

Duración: Tiempo de retardo:

tr = 10 mm = 0.166 h. tp = 0.6Tc = 0.6x1.25 = 0.75 h.

Tiempo de ocurrencia del pico:

Tp =

tr 0.166 + tp = + 0.75 = 0.833 h 2 2

- 187 -


Caudal pico:


qp =

CA 2.08 x3.0 = = 7.49 m3 /s.cm Tp 0.833

Ahora el hidrograma adimensional SCS puede convertirse a las dimensiones requeridas multiplicando los valores del eje horizontal por Tp y los del eje vertical por qp. Alternativamente, el hidrograma unitario triangular puede graficarse con tb = 2.67Tp = 2.22 h. Se verifica que la profundidad de escorrentía directa es igual a 1 cm.

8.6.

BIBLIOGRAFÍA

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14)

BEDIENT P. B.; HUBER W. C. – Hydrology and Floodplain Analysis, USA, Addison-Wesley Publishing Company, 1992 CHOW VEN TE – Hand book of Applied Hydrology, New York, McGraw-Hill Book Company, 1964 CHOW VEN TE; MAIDMENT D. R.; MAYS L. W. – Applied Hydrology, McGrawHill Book Company, 1988 DE PIEROLA CANALES., J. N. - Notas del Curso de Hidrología, Universidad Nacional Agraria La Molina; Lima, 1979, 1980, 1981, 1982. GARCÉS, L. N. - Hidrología, Sao Paulo, Ed. Edgard Blücher. 1967 LINSLEY Jr., R. K.; KOHLER, M. A. & PAULHUS, J. L. H. – Applied Hydrology, New York, McGraw-Hill Book Company, 1949 LINSLEY Jr., R. K.; KOHLER, M. A. & PAULHUS, J. L. H. – Hydrology for Engineers, New York, McGraw-Hill Book Company, 1958 MEJIA M., J.A. Notas del Curso de Hidrología, Universidad Nacional Agraria La Molina; Lima, 1984, 1985. MOLINA G., M. Hidrología, Universidad Nacional Agraria La Molina, PUBLIDRAT, Publicación N° 12, Lima, 1975. NEMEC, J. – Engineering Hydrology, London, McGraw-Hill Book Company, 1972 RODRIGUEZ T., F., Elementos de Escurrimiento Superficial, Secretaría de Recursos Hidráulicos, Memorandum Técnico N° 330, Mexico, 1974 THOMAS DUNNE & LUNA B. LEOPOLD – Water in Environmental Planning; W. H. Freeman and Company – San Francisco USA, 1978 VIESSMAN Jr., W.; HARBAUGH, T.E. & KNAPP, J. W. – Introduction to Hydrology, New York, Intext Educational, 1972. VILELA S. M.; MATTOS A. – Hidrologia Aplicada, Sao Paulo, McGraw-Hill do Brasil, 1975.

- 188 -


CAPÍTULO 9:

9.1.

Capítulo 9: Análisis de Máximas Avenidas

ANALISIS DE MÁXIMAS AVENIDAS

ASPECTOS GENERALES Para proyectar una obra hidráulica cualquiera es necesario el conocimiento de la magnitud y frecuencia de los caudales (o niveles de agua) que esa obra deberá conducir, contener, almacenar, etc.; el proyecto envuelve dimensionamiento y localización de presas, puentes, diques, canales, conductos forzados, sistemas de drenaje, redes pluviales, estaciones de bombeo, estaciones de tratamiento de agua y desagües, centrales hidroeléctricas y una gran variedad de estructuras relacionadas con estas. El máximo caudal (o nivel) que cualquiera de estas estructuras puede soportar con seguridad es denominada caudal del proyecto. El ingeniero es consciente de que está proyectado una obra que puede ser dañada o más aún destruida, por descargas ocasionales de magnitud variable; la frecuencia con que esos daños ocurren debe ser considerada en la definición del tamaño y resistencia de la obra, su localización y hasta su reconstrucción, si fuera el caso. El problema en el fondo, es económico a través del costo anual de mantenimiento en una estructura dada, comparada con otras soluciones alternativas. La hidrología proporciona gran variedad de métodos basados en diversos principios, dentro de los cuales se deberá escoger el más adecuado de acuerdo a las circunstancias particulares, a la obra a diseñar y dependiendo sobre todo de la disponibilidad de datos hidrometeorológicos apropiados, y las aplicaciones resultantes van a depender del sentido común y de la experiencia del proyectista. El subdimensionamiento o sobredimensionamiento de una obra implica costos excesivos a lo largo del tiempo; por ejemplo una obra para una descarga de 5 años de periodo de retorno, puede ser pequeño, más el costo de reconstruirlo cada 5 años, en promedio resulta extremadamente costoso y un puente en el mismo lugar construido para dejar pasar una descarga de 100 años de periodo de retorno, sería extremadamente cara. Por lo tanto un proyecto intermediario sería la solución ideal, generando los menores costos anuales. Algunas definiciones elementales son necesarias para iniciar el estudio del problema. Entiéndase por avenida como un caudal muy grande de escorrentía superficial que sobrepasan la capacidad de transporte del canal generando la inundación de tierras aledañas. Las inundaciones traen, como es sabido problemas de toda índole en diversas áreas de la actividad humana. Por lo tanto, el objetivo de este texto enfoca al aspecto hidrológico de la determinación de los caudales del proyecto en obras hidráulicas, el que podría ser denominado “pre-determinación de descargas máximas”, ya que se trata del cálculo anticipado (en la fase del proyecto) de un caudal critico que tal vez no haya sucedido o que existe una cierta probabilidad de suceder en el futuro. El termino “Prevención de Inundaciones” se aplica al efecto del fenómeno en la formación de la correspondiente descarga, conllevando un pronóstico de estado futuro de alturas o caudales, asociados al instante de ocurrencia de los mismos, con la finalidad de prevenir los efectos negativos que vengan a suceder. La terminología “Prevención del Tiempo Real” es más apropiada; este problema escapa al objetivo de un curso de hidrología básica y por eso no será tratado aquí; representa un típico problema de hidrología avanzada, donde técnicas hidrológicas son empleadas para calcular anticipadamente la ocurrencia de un evento, a partir del conocimiento del comportamiento del sistema natural y usando como entradas las lluvias o los niveles y caudales en determinados lugares de la cuenca y de la red fluvial. Las técnicas más recientes incluyen el modelamiento matemático, la cual exige el uso de computadoras, -189-



cuando la simulación envuelve grandes áreas y grandes volúmenes de datos (simulación continua) así como cuando se trata de eventos aislados de corta duración.

9.2.

PERÍODO DE RETORNO Y RIESGO Si en un determinado lugar existe una serie de valores observados de 30 años, por ejemplo, el mayor caudal medido en los 30 años tiene la probabilidad de ser igualadas o superadas una vez cada 30 años aproximadamente, según las leyes clásicas de la probabilidad; si las necesidades del proyecto exigen, como se verá mas adelante, por ejemplo un periodo de retorno de 500 años o más, estamos delante de un problema de extrapolación de datos históricos. El periodo de retorno T o periodo de ocurrencia de una inundación (o tiempo de recurrencia) se define, entonces, como el tiempo medio, en años, en que esa inundación es igualada o superada por lo menos una vez.

Costo Anual

Costo mínimo

Costo de las obras

Costo de seguro contra inundaciones

Período de Retorno (años)

Fig. 9.1: Determinación del Período de Retorno

El problema ahora se concentra en la fijación del periodo de retorno a ser usado en una obra, ese valor debería obedecer a criterios económicos, como se sugiere la figura 1. Esta figura representa los costos que un usuario debería enfrentar para pagar los beneficios de un sistema de protección contra inundaciones, por ejemplo. Si existiese un seguro contra inundaciones, el valor de ese seguro sería decreciente con el T usado en proyectos de la obra (cuanto mayor es T mayor protección ofrece la misma), mientras que el costo de la obra en si crece con T. Dado que el usuario deberá asumir con los dos costos, la curva del costo global indicará el periodo de retorno más adecuado para el proyecto de la obra en cuestión (Villela y Mattos, 1975).

Desafortunadamente, en los países en desarrollo no es común la exigencia de ese tipo de seguro, en la mayor parte de los casos. Así, la fijación de T obedece a criterios relacionados con la vida útil de la obra, el tipo de la estructura, la facilidad de reparación en caso de daños y el peligro de pérdida de vidas humanas en caso de falla. La consideración de estos factores y la experiencia acumulada a lo largo del tiempo ha producido tablas como: la 1 que ofrecen indicativos para la definición del T. Existe, aún, otro criterio para escoger el periodo de retorno: la fijación a priori, del riesgo de falla R de la estructura, dentro de la vida útil de la obra. Esto puede ser expresado por la relación:

-190-


T=


1 1/ n 1 − (1 − R )

1⎞ ⎛ R = 1 − ⎜1 − ⎟ ⎝ T⎠

(9.1a)

n

(9.1b)

donde: R es el riesgo permisible, o probabilidad de ocurrencia de la máxima descarga durante los n años de la vida útil de la obra. Esa ecuación se encuentra tabulada en la tabla 9.2: Ejemplo 9.1: Una alcantarilla tiene una vida útil de 10 años. a) Si el riesgo aceptable de que al menos ocurra un evento que exceda la capacidad de la alcantarilla durante su vida útil es del 10%, ¿qué periodo de retorno de diseño debe utilizarse?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que la alcantarilla diseñado para un evento con ese periodo de retorno no sea excedido en su capacidad durante los próximos 50 años?: Solución: a) Aplicando la ecuación (9.1a) para R = 0.1 y n = 10, se obtiene: T = 95 años b) Aplicando la ecuación (9.1b) para T = 95 y n = 50, se obtiene: R = 0.41. La probabilidad de que la capacidad no sea excedida durante este periodo es: 1- 0.41 = 0.59 (59%). Tabla 9.1:

Valores del tiempo de retorno para proyecto de obras

Estructura Caudales de proyecto Vertedor de grandes presas Vertedor de una presa de tierra Vertedor de una presa de concreto Galería de aguas pluviales Bocatomas Pequeñas presas para abastecimiento de agua Puentes en carreteras importantes Puentes en carreteras comunes Lluvias de Proyecto: Pequeños canales sin dique: área rural área urbana Canales grandes sin dique: área rural área urbana Pequeños canales con diques: área rural área urbana Grandes canales con diques: área rural área urbana

T (años) 10000 1000 500 5 a 20 25 a 75 50 a 100 50 a 100 25 5 10 10 25 10 50 50 100

-191-



Tabla 9.2:

Valores de periodo de retorno T asociado al riesgo R

Riesgo (R) 1 0.01 0.10 0.25 0.50 0.75 0.99

10 100 10 4 2 1.30 1.01

Vida útil de la obra (n) en años 25 50 995 2488 4975 95 238 475 35 87 174 15 37 73 7.7 18 37 2.7 5.9 11

100 9950 950 348 145 73 22

200 19900 1899 695 289 144 44

Un análisis de la tabla anterior muestra que si se adopta un riesgo de 10% de que durante los 25 años de vida útil de una cierta presa ocurra una descarga igual o superior a la del proyecto, se debe usar un periodo de retorno de 238 años. Si el periodo de retorno usado fuese de 87 años, por ejemplo, el riesgo de falla de la obra aumenta en 2.5 veces o sea a 25 %. El enfoque discutido anteriormente muestra un análisis puramente estadístico del problema; en la actualidad podrían ser usados tres tipos de métodos para la determinación de la descarga del proyecto de una obra, abarcando las diversas posibilidades que se presentan para enfrentar el problema: • • •

Métodos estadísticos Métodos hidrometeorológicos Otros métodos (fórmulas empíricas, regionalización)

En cada caso la metodología a ser usada dependerá, en gran parte de la disponibilidad de información y de la experiencia del proyectista en el manejo de esta información. A continuación serán analizados los dos primeros métodos con algún detalle, mencionándose apenas tangencialmente los demás, ya que las fórmulas empíricas no son generalmente aceptables por las grandes limitaciones que presentan, y la regionalización es asunto a ser desarrollado en cursos más avanzados.

9.3. 9.3.1.

MÉTODOS ESTADÍSTICOS Generalidades Los métodos estadísticos se apoyan en la existencia de series de datos de caudales en el lugar de interés, las cuales son sometidas a un análisis de frecuencias usando técnicas tradicionales de estudio (se basan por lo tanto en la observación de eventos pasados). Esto implica que la curva de frecuencia definida para un determinado lugar es válida rigurosamente para ese lugar; cuando generalmente la información que se requiere es en un lugar diferente, donde no existen datos medidos; la regionalización de datos permite combinar informaciones de diversos lugares en la cuenca o región, para producir por ejemplo, una curva regional de frecuencias, valida en toda la región y lugares sin información; este recurso entre tanto, está limitado a descargas de hasta 100 años de periodo de retorno (Dalrymple, 1962). Los resultados podrían ser confiables siempre que exista suficientes datos disponibles y no hayan ocurrido modificaciones importantes en el régimen del curso de agua durante el periodo de registro, o después; se acepta entonces, la condición de que el comportamiento del sistema continuará siendo el mismo durante el periodo de cálculo (en el futuro). Los valores de caudales empleados en la determinación de las curvas de frecuencia

-192-



serán valores instantáneos, pero en la mayoría de los casos se trabaja con los máximos medios diarios; de lo que resultan series anuales y series parciales. Dentro de los métodos estadísticos podemos mencionar las siguientes distribuciones de probabilidades más usadas en el análisis de máximas avenidas en hidrología. Distribución Log-Normal de 2 Parámetros Distribución Log-Normal de 3 Parámetros Distribución de Valor Extremo Tipo I o Distribución Gumbel Distribución Log-Gumbel Distribución Pearson Tipo III Distribución Log-Pearson Tipo III 9.3.2.

Series Parciales y Anuales La información hidrológica disponible, en principio en una estación hidrométrica, es una secuencia cronológica de caudales medios diarios. De estos caudales podrían ser escogidos los máximas anuales (una para cada año hidrológico), generando una serie anual. Esto obliga a descartar otros picos elevados que pueden haber ocurrido en el mismo año y permite escoger otros valores en otros años donde nada importante sucedió, desde el punto de vista de inundación. Esa limitación es superada elaborando una lista de todos los eventos ocurridos, en orden decreciente y seleccionando los mayores a un determinado limite que puede ser el menor de las descargas de las máximas anuales, obteniéndose de cierta manera una serie parcial. La dificultad generada con esta última opción es que los eventos así escogidos pueden ser o no independientes; dos eventos muy próximos pueden, en realidad, ser un único evento. Para evitar ese inconveniente, deben ser escogidos eventos separados por un razonable periodo de tiempo. Existe una relación definida entre estos dos tipos de series (Dalrymple, 1962). La Tabla 93 muestra esa relación, en función del periodo de retorno. En términos de periodo de retorno, existe una diferencia en los dos casos; en una serie anual el intervalo de recurrencia es el intervalo medio en el cual un caudal dado ocurrirá como máxima anual. En la serie parcial, el periodo de retorno es el intervalo medio entre avenidas de una determinada magnitud, sin relación alguna con año o cualquier otro periodo de tiempo. Esta distinción se aplica siempre, a pesar de que para las grandes avenidas los dos criterios convergen. Tabla 9.3: Periodos de retorno (en años) Serie Parcial 0.5 1.0 1.45 2.0 5.0 10.0 20.0 50.0 100.0

Serie Anual 1.16 1.58 2.00 2.54 5.52 10.50 20.50 50.50 100.50

-193-


9.3.3.


La Curva de Frecuencias El análisis de frecuencias, a ser discutido, utiliza los mismos principios estadísticos aplicados a otras variables hidrológicas, adaptados a las peculiaridades de los datos de caudales máximos. La técnica en todos los casos consiste en arreglar la serie en orden decreciente y atribuir a cada valor el número de orden m (m varía desde 1 hasta n), siendo n el tamaño de la muestra, esto es, el número de años en el caso de series naturales). A continuación se calcula la frecuencia observada a través de una relación empírica como la de Weibull:

P=

m n +1

;

T=

n +1 m

(9.2)

Existen muchas otras propuestas de fórmulas en la literatura especializada (Viessman et al., 1972)., de esta forma, P es la probabilidad de una determinada descarga a ser igualada o superada cuando el valor de n es suficientemente grande. El tratamiento más común de los datos así preparados, es el ploteo de los pares de puntos P ó T versus Q en un papel con escalas apropiadas. Para propósitos generales, la escala del papel usado no es importante, habiendo sido propuesta una escala (Dalrymple, 1962) que aproxima el gráfico de una recta.

⎛ ⎛ 1 ⎞⎞ Y = − ln⎜⎜ − ln⎜1 − ⎟ ⎟⎟ ⎝ T ⎠⎠ ⎝

(9.3)

Donde: Y es una distancia lineal y T el periodo de retorno; dando valores a T se puede construir un papel probabilístico, en el cual generalmente los periodos de retorno se colocan en las abcisas y las descargas en las ordenadas; esta última escala puede ser transformada en logarítmica, dando origen a otro papel. Es común en nuestro país que la mayor parte de los registros disponibles de descargas no sobrepasen 20 o 25 años, y dado que las necesidades del proyecto requieren periodos de retorno superiores; la tendencia es de usar la curva de frecuencia para efectos de extrapolación, por lo que esto debe ser hecho con mucho criterio; la distancia lineal entre 25 y 250 años parece corta en los gráficos, pero la extrapolación solo puede justificarse cuando se verifica que el fenómeno se ajusta a la ley establecida. Muchos investigadores intentaron establecer las leyes teóricas de probabilidades que se ajustasen mejor a las muestras de n elementos de modo a poder estimar, para cada caudal máximo Q, la probabilidad teórica P de ocurrir o ser sobrepasada. En la práctica es posible efectuar el ajuste de varias distribuciones teóricas a una determinada muestra. Para comparar y concluir cual de ellas, se plotean los valores en el papel respectivo y se escoge la que mejor se aproxima a una línea recta. Existen a disposición del interesado paquetes de programas que efectúan ese trabajo (Silveira et al., 1983), facilitando sensiblemente el análisis, ya que el propio computador diseña el papel adecuado. A continuación serán examinadas con algún detalle, las distribuciones teóricas más usadas para el análisis de máximas avenidas, indicando que no existe un criterio definido para la selección a priori de la distribución más adecuada.

9.3.4.

Distribución Log Normal de Dos Parámetros -194-



Los datos hidrológicos, a veces, tienen una distribución fuertemente asimétrica y en general en esos casos una transformación logarítmica la transforma en una distribución normal. La distribución Log-Normal es de gran utilidad porque abre el amplio campo teórico de aplicación de la distribución Normal. Como ambas distribuciones, Normal y Log-Normal son de dos parámetros, basta calcular la media y la desviación estándar de los caudales y de sus logaritmos, respectivamente. El grado de ajuste de una serie de datos puede, como en los demás casos, ser examinado a través del uso del papel de probabilidades Log-Normal, donde debe resultar una recta. Por el teorema de límite central, tenemos que si X es una variable aleatoria con distribución normal, se puede esperar una variable Y = ln(X), también con distribución normal con media μY y variancia σ 2y . La función de densidad de distribución normal para Y es:

f (Y ) =

1 2π σ y

e

1 2

⎡Y − μ y ⎤ ⎥ ⎢ ⎣⎢ σ y ⎥⎦

2

Para -∞ < Y < ∞

La relación entre f(X) y f(Y) es: f ( X ) = f (Y )

Como Y = ln X , entonces:

f (X ) =

1 2π Xσ y

e

dY dX

dY 1 = , dX X

1 ⎡ ln X − μ y ⎤ − ⎢ ⎥ 2 ⎣⎢ σy ⎥⎦

(9.4a)

X>0

2

X>0

(9.4b)

Densidad de la distribución normal para Y con media μY y variancia σ 2y

f(Y) :

Densidad de la distribución log-normal para X con parámetros μY y σ 2y Y tiene distribución normal, mientras que X tiene distribución Log-normal. Los

f(X) :

parámetros μY y σ 2y pueden ser estimados por Y y SY mediante la transformación Yi = Ln Xi 2

Y =∑

Yi n

y

S Y2 =

∑Y

i

2

− nY ²

n −1

Chow (1954), presentó la siguiente relación para calcular Y y S Y2 sin que sea necesario transformar los datos previamente en sus logaritmos:

Y=

X² 1 ln 2 2 Cv + 1

S Y2 = ln(C v2 + 1)

Cv =

SX X

siendo Cv el coeficiente de variación de los datos originales.

-195-



Brakensiek (1958), propuso las siguientes relaciones para obtener la media y variancia de la distribución Log-normal. Media:

μ X = E( X ) = e

Variancia:

Var ( X ) = μ X2 (e

coeficiente de variación:

Cv = e

coeficiente de asimetría:

g = 3Cv + C v3

[

σ Y2

μy +

σ 2y

1 2 σY 2

− 1)

]

−1

1/ 2

Como f(X) = f(Y)/X ; y siendo f(Y) una distribución normal, se tiene: f ( X ) = donde: Z =

Y − μY

σY

f (Z ) X σY

. Las tablas de distribución normal estándar pueden ser usados

para evaluar la distribución lognormal.

Ejemplo 9.2: Usando la distribución Log-normal, calcule la frecuencia relativa esperada para el siguiente intervalo de clase: Intervalo de Clase

Z

P(Z)

40 - 50

-1.07

0.1423

X = 67.5 m3/s

Frecuencia Relativa Observada (fo) 0.152

Frecuencia Relativa Esperada (fe) ?

Sx = 21.0 m3/s

Solución: La solución esperada para la distribución lognormal esta dada por: fe(X) = (ΔX)P(X)

fe(45) = (ΔX)P(45)

Para evaluar P(45), se requiere estimar μY σY

Cv =

SX 21 = = 0.311 X 67.5

Y=

1 ⎡ X ² ⎤ 1 ⎡ 67.5² ⎤ ln ⎢ = 4.166 ⎥ = ln 2 ⎣⎢ C v2 + 1⎦⎥ 2 ⎢⎣ 0.311² + 1⎥⎦

SY =

ln(C v2 + 1) = ln(0.3112 + 1) = 0.30395

-196-


Ahora: Z =


ln X − μ Y

σY

=

ln 45 − 4.166 = −1.182 ; de la tabla de distribución normal 0.30395

P(Z) = 0.1186

P (45) =

0.1186 P( Z ) = = 0.0087 XS y 45 × 0.30395

fe(45) = 10x0.0087 = 0.087 Por lo tanto la frecuencia relativa esperada de dicho intervalo de clase de acuerdo a la distribución Log-normal es: 0.087. Ejemplo 9.3: Si los datos de caudales picos del ejemplo anterior siguen una distribución lognormal, con media = 67.5 y desviación estándar 21; calcule la magnitud correspondiente a un caudal que ocurre una vez en 100 años. Solución: Sea Qo el caudal que ocurre una vez en 100 años entonces: P(Q ≥ Qo) = 0.01 P(Q < Qo) = 1 – 0.01 = 0.99 P(Q
Distribución Log Normal de Tres Parámetros Esta difiere de la distribución Log-normal de dos parámetros por la introducción de un límite inferior Xo, como: Ln(X – Xo). La función de densidad de X es: 2 1 ⎡ ln( X − X o ) − μ y ⎤ ⎥ σy ⎦⎥

− ⎢ 1 2 f (X ) = e ⎣⎢ ( X − X o ) 2π σ y

Xo μy

σ Y2

= = =

Para X > Xo

(9.5)

parámetro de posición parámetro de escala o media parámetro de forma o variancia

-197-



Los momentos de X pueden obtenerse de los correspondientes momentos de la distribución Log-normal de dos parámetros, debido a que las variables aleatorias difieren solo en el parámetro de posición Xo: X = Xo + H, siendo H = eY X = Variable aleatoria con distribución log-normal de 3 parámetros H = Variable aleatoria con distribución log-normal de 2 parámetros Xo= Parámetro de posición

E( X ) = μ X = X 0 + E(H ) = X 0 + μ H E ( X − μ X ) 2 = σ X2 = σ H2

μ X = E( X ) = X 0 + e

( μY +

1 2 σY ) 2

σ X2 = Var ( X ) = (eσ − 1) e ( 2 μ 2 Y

Y

+σ Y2 )

El coeficiente de asimetría, g, está dado por: g = (e σ Y − 1)(e σ Y + 2) y de forma 2

2

aproximada puede ser: g ≅ 0.52 + 4.85 σ Y2 Ejemplo 9.4: La variable aleatoria X correspondiente a caudales picos, tiene distribución lognormal de tres parámetros con media 20, desviación estándar 6 y coeficiente de asimetría o sesgo 1.5. Determinar el caudal correspondiente a 5 años de período de retorno. Solución: Como g ≅ 0.52 + 4.85 σ Y2 = 1.5 entonces σ Y2 = 0.20 y σY = 0.447 σ2

(2μ

+σ 2 )

Como: σ X2 = (e Y − 1) e Y Y y además σ Y2 = 0.20 y σ X2 = 36 ; reemplazando estos valores en la ecuación se obtiene el valor de: μy = 2.4457 De la ecuación: μ X = E ( X ) = X 0 + e μy = 2.4457, μx = 20 y σ

2 Y

( μY +

1 2 σY ) 2

se obtiene que: Xo = 7.25, puesto que

= 0.20

Para T = 5 años P(Q > Qo) = 1/T = 0.2 F(X) = P(Q ≤ Qo) = 1 - 1/T = 0.80 El valor de Z obtenido de la tabla de distribución normal estándar es: Z = 0.84 y como

Z=

Y − μY

σY

se tiene : Y = μ Y + Zσ Y = 2.4457 + 0.84 × 0.1447 = 2.821 . Finalmente

de la relación X = Xo + eY se tiene que X = 24.05 m3/s

9.3.6.

Distribución de Gumbel y Log Gumbel

-198-



Entre las diversas distribuciones de valores extremos, la Distribución de Gumbel, es la que actualmente tiene mayor utilidad. Los valores extremos en cuestión serian las descargas diarias máximas anuales, ya que cada una es la máxima entre los 365 valores del año. Para aplicar esa ley, se debe tener en cuenta que existen n muestras, cada una constituida de 365 elementos, del universo de la población infinita de la variable aleatoria que es el caudal diario. De acuerdo con la ley de los extremos (Pinto et al., 1976), la ley de distribución de la serie de n términos constituidos por los mayores valores de cada muestra tiende asintóticamente para una ley simple de probabilidades, que es independiente de la que rige la variable aleatoria en las diferentes muestras y en el propio universo de la población infinita. La distribución Gumbel es usado frecuentemente para el estudio de magnitudduración y frecuencias de lluvias (Hershfield 1961) y como la distribución de valores máximos de caudales anuales de un río. GUMBEL (1958), estudió la aplicación para datos de descargas diarias. La función de densidad de probabilidad para la distribución de valores extremos Tipo I o Gumbel es:

f (X ) =

1

α

e

⎡ X −β ± X −β ⎢± −e α ⎢ α ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

para:

-∞ < X < ∞ ; - ∞ < β < ∞ ;

α>0

(9.6)

El signo (+) se aplica para valores mínimos y el signo (-) para valores máximos. En la función de densidad α es el parámetro de escala y β el parámetro de posición. La media, la variancia y el coeficiente de asimetría de la distribución del valor extremo Tipo I son:

E ( X ) = μ = β + 0.577α E ( X ) = μ = β − 0.577α σ 2 = 1.645α 2 g = 1.1396 g = −1.1396

Media: Variancia: Coeficiente de asimetría:

Si se hace la transformación;

Y=

X −β

α

para valores máximos para valores mínimos para ambos para valores máximos para valores mínimos

; la función de densidad será:

±Y f (Y ) = e (±Y − e ) . El signo (+) se emplea para eventos mínimos y el signo (–) para

eventos máximos. La función de distribución acumulada es:

P (Y < Y0 ) = F (Y ) = e − e

−Y

P (Y < Y0 ) = F (Y ) = 1 − e − e F (Y ) min = 1 − F (−Y ) max

Y

para valores máximos

(9.7)

para valores mínimos

(9.8) (9.9)

Los estimadores para los parámetros α y β, por el método de momentos (Lowery y Nash, 1970) son:

-199-


αˆ =


S 1.283

;

βˆ = X − 0.45S

para valores máximos

βˆ = X + 0.45S

para valores mínimos

Por el método de máxima verosimilitud (Lower y Nash, 1970) son:

αˆ =

∑X X−

i

∑e

e −

−

X ⎛ − i ⎜ ∑ e αˆ βˆ = αˆ ln⎜ ⎜ n ⎝

Xi

αˆ

Xi

αˆ

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Desafortunadamente las ecuaciones de máxima verosimilitud para el estimado de los parámetros α y β no tienen solución explícita, por lo que es necesario una solución por métodos numéricos. Según Lower y Nash, el método de momentos da resultados satisfactorios en el cálculo de estos parámetros. Ejemplo 9.5: Si se muestra de datos de caudales picos tiene como media 81 y desviación estándar 23. Determinar el período de retorno T, correspondiente a Q = 91 m3/s, si se asume que los datos siguen una distribución Gumbel. Solución:

αˆ =

S = 17.94 1.283

βˆ = X − 0.45S = 70.65

La variable reducida es: Y =

P (Y ≤ 1.134) = e − e

−Y

= e−e

−1.134

X −β

91 − 70.65 = 1.134 por lo tanto: α 17.94 1 = 0.725 y consecuentemente: T = = 3.64 1 − 0.725 =

La expresión de Y muestra que existe una relación lineal entre él y el valor del caudal X; esa recta puede ser diseñada conociéndose:

∑X X= n

∑ (X − X )

2

y SX =

n −1

.

El eje donde están marcados los valores de Y puede ser graduado en tiempos de retorno a través de la relación T = 1/P y de esta manera, a cada caudal le corresponde un periodo de retorno; conociéndose a este como Papel de Distribución Gumbel. El método de Gumbel es de fácil aplicación y se basa solo en dos parámetros, la media y la desviación estándar, mientras que otros métodos incluyen el coeficiente de asimetría. Cuando la asimetría es grande, se toma X = ln Q y se procede al análisis como en el caso anterior, constituyéndose una distribución Log-Gumbel; el gráfico establecido corresponde a una recta en el papel de probabilidades correspondiente, si el ajuste es adecuado.

-200-


9.3.7.


Distribución Pearson III Karl Pearson (1953), propuso que la distribución de frecuencias puede ser representado por la siguiente función de densidad: t +α

X

f (X ) = e

∫− ∞ β 0 + β1t + β 2t 2 +... dt

(9.10)

La distribución Pearson Tipo III, tiene gran aplicación en hidrología especialmente en el análisis de caudales máximos (picos). Su función de densidad se puede escribir como:

( X − X o ) γ −1 e − ( X − X o ) / β f (X ) = β γ Γ(γ )

(9.11)

para: Xo ≤ X < ∞ -∞ < Xo < ∞ 0<β <∞ 0<γ <∞ Variable reducida : Y =

f (Y ) =

X − X0

β

por lo que:

Y γ −1 e −Y Γ(γ )

(9.12)

P(Y ≤ Y0 ) = F(Y) = ∫

Y

0

Y γ −1 e −Y dY Γ(γ )

(9.13)

El estimado para los parámetros por el método de momentos es:

E(X) = μ = X 0 + βγ

media

E(X − μ) = σ = β γ 2 g= 2

2

2

γ

variancia coeficiente de asimetría o sesgo

Ejemplo 9.6: Si los caudales picos de un cierto río siguen una distribución Pearson Tipo III, con media 60, desviación estándar 18 y coeficiente de asimetría 0.9. Calcular aproximadamente la media y el valor del caudal correspondiente al período de retorno de 10 años.

Solución: Como: g =

2

γ

= 0 .9

entonces γˆ = 4.938

-201-



Como: σ 2 = β 2 γ = 18 2 Como: μ = X 0 + βγ = 60

Como: Y =

X − X0

18 = 8.10 4.938 entonces X 0 = 60 − 8.10 × 4.938 = 20.002 entonces βˆ =

entonces: X = βY + X 0

β

De la condición del problema:

P(Y ≤ Y 0 ) = F(Y) = 1 −

γ −1 −Y Y Y e 1 1 =1− = 0.9 = ∫ dY 0 Γ(γ ) T 10

Debido a la dificultad de resolver la integral se recomienda usar las tablas de distribución acumulada Gamma o en su defecto obtenerla haciendo uso de la Función estadística DISTR.GAMMA.INV de Microsoft EXCEL. A continuación se describe el procedimiento seguido en la obtención de Y mediante EXCEL: Función:

DISTR.GAMMA.INV

Calcula, para una probabilidad dada, el valor de la variable aleatoria siguiendo una distribución gamma acumulativa. Sintaxis:

DISTR.GAMMA.INV(probabilidad;alfa;beta)

Probabilidad : Alfa : Beta :

es la probabilidad asociada con la distribución gamma. es un parámetro de la distribución. es un parámetro de la distribución.

Observaciones: •

Si uno de los argumentos no es numérico, DISTR.GAMMA.INV devuelve el valor de error #¡VALOR!

•

Si el argumento prob < 0 o si probabilidad > 1, DISTR.GAMMA.INV devuelve el valor de error #¡NUM!

•

Si alfa ≤ 0 o si beta ≤ 0, DISTR.GAMMA.INV devuelve el valor de error #¡NUM!

•

Si el argumento beta ≤ 0, DISTR.GAMMA.INV devuelve el valor de error #¡NUM!

•

DISTR.GAMMA.INV utiliza una técnica iterativa para calcular la función. Dado un valor del argumento probabilidad, DISTR.GAMMA.INV reitera hasta obtener un resultado con una exactitud de ±3x10-7. Si DISTR.GAMMA.INV no converge después de 100 iteraciones, devuelve el valor de error #N/A.

•

La ecuación para la distribución gamma es: f ( x, α , β ) =

x

1 x α −1 e β α β Γ(α )

-202-



Aplicación: En nuestro caso específico: probabilidad = 0.9,

α = γ = 4.938, β = 1

DISTR.GAMMA.INV(0.9;4.938;1) que da Y = 7.9132

X = βY + X 0 = 8.1 × 7.9132 + 20.002 = 84.1

Por lo tanto: 9.3.8.

m3 s

Distribución Log Pearson III La transformación puede ser: Z = ln( X ) o Z = ln( X − X 0 ) donde: Z es la variable aleatoria con distribución Pearson III y X la variable aleatoria con distribución LogPearson III. La función de densidad para X y Z y la función de distribución se dan a continuación:

f (X ) =

( LnX − Y0 )γ −1 e − ( LnX − Y0 ) / β β γ Γ(γ )

(9.14)

f (Z ) =

( Z − Z 0 )γ −1 e − ( Z − Z 0 ) / β β γ Γ(γ )

(9.15)

P(Z ≤ Z 0 ) = F(Z) = ∫

Z

(Z − Z 0 )

Zo

Zo β γ

γ −1

e

−

Z −Z0

β

β γ Γ(γ )

(9.16)

= parámetro de posición = parámetro de escala = parámetro de forma

De acuerdo a la distribución Pearson Tipo III: X = βZ + X 0 y en el caso de distribución Log-Pearson Tipo III: X = e Z ó X = X 0 + e Z . La media, variancia y el sesgo para la distribución Log-Pearson Tipo III son:

E(Z) = μ Z = Z 0 + βγ

media

E(Z − μ Z ) 2 = σ Z = β 2 γ 2 g=

variancia

2

γ

coeficiente de asimetría o sesgo

Ejemplo 9.7: Si los caudales picos son variables aleatorias, (X) con distribución Log-Pearson de 3 parámetros tal que Ln(X) tiene media igual a 5, variancia igual a 0.06 y sesgo igual a 0.61. Determinar el caudal correspondiente a un período de retorno de 10 años. Solución:

-203-



2

Como: g =

entonces γˆ = 10.75

= 0.61

γ

0.08 = 0.0863 10.75 entonces Z 0 = 5 − 0.0863 × 10.75 = 4.0723

Como: σ Z = β 2 γ = 0.08

entonces βˆ =

2

Como: μ Z = Z 0 + βγ = 5

γ −1

−

Z (Z − Z 0 ) e 1 1 =1− = 0.9 = ∫ Zo T 10 β γ Γ(γ )

P(Z ≤ Z 0 ) = F(Z) = 1 −

Z −Z0

β

La solución de esta ecuación es bastante complicada por lo que será necesario hacer

la

siguiente

F (Y ) = 0.9 = ∫

Y

o

transformación:

Y=

Z − Z0

β

por

,

lo

que:

Y γ −1 e −Y dY Γ (γ )

Siguiendo el mismo procedimiento que en el ejemplo anterior, se obtiene: Para:

α = γ = 10.75, β = 1

probabilidad = 0.9,

DISTR.GAMMA.INV(0.9;10.75;1) que da Y = 15.1074 Por lo tanto:

Z = βY + Z 0 = 0.0863 × 15.1074 + 4.0723 = 5.376

Finalmente:

X = e Z = e 5.376 = 216.16

m3 s

La distribución Pearson III posee la característica de ser asimétrica y no negativa, lo que lo hace adecuada para describir los caudales máximos; es una distribución de tres parámetros. La media, la desviación estándar y el coeficiente de asimetría, son definidos por las siguientes relaciones:

X=

∑X n

(9.17)

∑ (X − X )

2

SX =

(9.18)

n −1

∑ (X − X ) = 2 S ∑ (X − X )

cX

2

X

n ∑ X 3 − 3n (∑ X )(∑ X 2 ) + 2n (∑ X )

3

3

=

n (n − 1)(n − 2 )S X

3

(9.19)

El METODO DE FOSTER representa una aplicación de la distribución Pearson III, a través de un ajuste del coeficiente de asimetría establecido por Hazen:

⎛ 8.5 ⎞ c 'X = c X ⎜1 + ⎟ n ⎠ ⎝

(9.20)

-204-



donde n es el tamaño de la muestra de caudales máximos diarios. Para la aplicación del método, se calculan los parámetros media, desviación estándar y el coeficiente de asimetría. 9.3.9.

Método de Fuller Es un método de extrapolación de datos históricos basado no en una distribución de frecuencias, pero sí en una regla de probabilidad, que establece la siguiente relación entre

Q y el periodo de retorno T: Q

Q = a + b log T Q

(9.21)

donde Q es el caudal diario más probable con periodo de retorno T; a y b son coeficientes determinados a partir de los datos históricos. Cuando no existen series de datos observados, el autor propone los valores de: a = 1.0 y b = 0.8 obtenidos para un gran número de ríos, y el caudal medio puede encontrarse a través de:

Q = 0.796 A0.8

(9.22)

siendo A el área de la cuenca. De esta forma, el caudal máximo diario Q para un periodo de retorno T en una cuenca de área A se obtiene:

Q = 0.796 A0.8 (1 + 0.8 log T ) 9.4.

(9.23)

USO DE LOS FACTORES DE FRECUENCIA EN EL ANÁLISIS DE MÁXIMAS AVENIDAS El factor de frecuencia es un valor característico de la ley de distribución Log-Normal, que tiene gran significación en el análisis de eventos extremos y es conocido matemáticamente como la variable reducida. Este término fue usado por Ven Te Chow en combinación con la fórmula general para el análisis de frecuencias hidrológicas, siguiente:

Q = Q + KSQ

(9.24)

donde K es el factor de frecuencia, que depende de la ley de ocurrencia del evento hidrológico y es teóricamente idéntico al factor de asimetría de la curva logarítmica. La ecuación del factor de frecuencia (24) fue propuesta por Chow (1951), y se aplica a muchas distribuciones de probabilidad utilizadas en el análisis de frecuencia hidrológica. Para una distribución dada, puede determinarse una relación K – T entre el factor de frecuencia y el periodo de retorno correspondiente. Esta relación puede expresarse en términos matemáticos o mediante una tabla. 9.4.1.

Factor de Frecuencia para la Distribución Normal y Log Normal

-205-



Es el mismo que la variable normal estándar Z definida por la ecuación siguiente:

K =Z =

Q−Q SQ

(9.25)

El valor de Z correspondiente a una probabilidad de excedencia puede calcularse encontrando el valor de una variable intermedia W:

⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ W = ⎢ln⎜ 2 ⎟⎥ ⎣ ⎝ P ⎠⎦

1/ 2

⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎟ W = ⎢ln⎜⎜ 2 ⎟⎥ ⎣ ⎝ (1 − P ) ⎠⎦

(0 < P ≤ 0.5)

(9.26a)

(P > 0.5)

(9.26b)

1/ 2

El valor de Z puede ser obtenida de tablas o calculada con la siguiente ecuación de aproximación:

K = Z =W −

2.515517 + 0.802853W + 0.010328W 2 1 + 1.432788W + 0.189269W 2 + 0.001308W 3

(9.27)

Para la distribución Log-Normal, se usa el mismo procedimiento excepto que éste se aplica a los logaritmos de las variables. 9.4.2.

Factor de Frecuencia para la Distribución Gumbel y Log Gumbel Para la distribución de Valor Extremo Tipo I, Chow (1953) dedujo la siguiente expresión:

K =−

T=

⎡ ⎛ T ⎞⎤ ⎫ 6⎧ ⎟⎥ ⎬ ⎨0.5772 + ln ⎢ln⎜ π ⎩ ⎣ ⎝ T − 1 ⎠⎦ ⎭

1 ⎧ ⎡ ⎛ πK ⎞⎤ ⎫ 1 − exp⎨− exp ⎢− ⎜ 0.5772 + ⎟ ⎬ 6 ⎠⎥⎦ ⎭ ⎣ ⎝ ⎩

(9.22)

(9.29)

Cuando la variable es igual a la media K = 0 y T = 2.33 años, que corresponde al periodo de retorno de la media de la distribución. Para la distribución Log-Gumbel, se usa el mismo procedimiento excepto que éste se aplica a los logaritmos de las variables. 9.4.3.

Factor de Frecuencia para la Distribución Pearson III y Log Pearson III Para la distribución Log-Pearson III, el primer paso es tomar los logaritmos de la información y luego se procede a calcular la media, desviación estándar y el coeficiente de asimetría de los logaritmos de los datos. El factor de frecuencia depende del periodo de retorno T y del coeficiente de asimetría C. Cuando C = 0 el factor de frecuencia K es igual a la variable normal estándar Z y cuando C ≠ 0 el factor de frecuencia se aproxima por Kite (1977) como: -206-



(

)

(

2

)

(

3

)

4

⎛C ⎞ 1 ⎛C ⎞ ⎛C ⎞ ⎛C ⎞ 1⎛C ⎞ K = Z + Z − 1 ⎜ ⎟ + Z 3 − 6Z ⎜ ⎟ − Z 2 − 1 ⎜ ⎟ + Z ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝6⎠ 3 ⎝6⎠ ⎝6⎠ ⎝ 6 ⎠ 3⎝ 6 ⎠ 2

5

(9.30)

Los valores de Z y K para un periodo de retorno dado pueden calcularse a través de las ecuaciones (9.20) y (9.23) o en su defecto obtenerse de las tablas que se presentan al final del texto. 9.5.

LÍMITES DE CONFIANZA PARA LAS DISTRIBUCIONES DE VALORES EXTREMOS Los datos observados, graficados en los papeles de probabilidad correspondientes, muestran una tendencia lineal recta, sin que la línea ajustada se localice exactamente sobre los puntos ploteados. Este hecho muestra que los datos no pueden ser representados con absoluta confianza por la teoría de probabilidades. Por lo tanto la distribución de los datos de probabilidad acumulada pueden ser descritas por los Límites de Confianza, establecidos a ambos lados de la curva de ajuste, quedando entonces la nube de puntos ploteados dentro de estos límites con un cierto grado de probabilidad. Para ello se calcula, en primer lugar, el intervalo de confianza a partir del error estándar de la media y de la desviación estándar multiplicándose por el estadístico “t” de Student escogido en función del número de grados de libertad (ν):

tSQ

(1 + 0.5Z )

2 1/ 2

Intervalo de Confianza:

IC =

Límite de Confianza Inferior:

LCS = Q - IC

(9.32)

Límite de Confianza Superior:

LCI = Q + IC

(9.33)

n

(9.31)

El número de grados de libertad se calcula se calcula restando el número de parámetros (k) al tamaño de la muestra (n): ν = n - k

9.6.

EJEMPLO DE APLICACIÓN DE ANÁLISIS DE MÁXIMAS AVENIDAS Tabla 9.4: Procesamiento de datos de caudales máximos para 28 años de registro Año 1 1970 1971 1972 1973

Q m3/s 2 120.0 151.0 150.0 210.0

Posición m 4

Q m3/s 3 1 2 3 4

261.0 239.0 210.0 196.0

P ≥ Q (%) m/(N+1) 5 3.45 6.90 10.34 13.79

T (años) (N+1)/m 6 29.00 14.50 9.67 7.25

Y=Log Q 7 2.4166 2.3784 2.3222 2.2923

-207-


1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997


182.0 261.0 180.0 150.0 189.0 167.0 111.0 126.0 170.0 104.0 151.0 169.0 137.0 179.0 189.0 153.0 239.0 140.0 158.0 196.0 176.0 163.0 190.0 172.0

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 Media Desv. Est. Cof. Asim.

190.0 189.0 189.0 182.0 180.0 179.0 176.0 172.0 170.0 169.0 167.0 163.0 158.0 153.0 151.0 151.0 150.0 150.0 140.0 137.0 126.0 120.0 111.0 104.0 167.25 34.89 0.6180

17.24 20.69 24.14 27.59 31.03 34.48 37.93 41.38 44.83 48.28 51.72 55.17 58.62 62.07 65.52 68.97 72.41 75.86 79.31 82.76 86.21 89.66 93.10 96.55

5.80 4.83 4.14 3.63 3.22 2.90 2.64 2.42 2.23 2.07 1.93 1.81 1.71 1.61 1.53 1.45 1.38 1.32 1.26 1.21 1.16 1.12 1.07 1.04 Media Des. Est. Cof. Asim.

2.2788 2.2765 2.2765 2.2601 2.2553 2.2529 2.2455 2.2355 2.2304 2.2279 2.2227 2.2122 2.1987 2.1847 2.1790 2.1790 2.1761 2.1761 2.1461 2.1367 2.1004 2.0792 2.0453 2.0170 2.2144 0.0904 -0.1104

Tabla 9.5: Uso de Factores de Frecuencia – Distribución Log-Normal T P K=Z Y Q (m3/s) años estimado antilog(Y) 2 5 10 25 50 75 100 150 200 300 400 500 1000

0.50000 0.20000 0.10000 0.04000 0.02000 0.01333 0.01000 0.00667 0.00500 0.00333 0.00250 0.00200 0.00100

0.0000 0.8415 1.2817 1.7511 2.0542 2.2168 2.3268 2.4752 2.5762 2.7134 2.8074 2.8785 3.0905

2.2144 2.2904 2.3302 2.3726 2.4000 2.4147 2.4247 2.4381 2.4472 2.4596 2.4681 2.4745 2.4937

163.82 195.17 213.90 235.85 251.20 259.85 265.87 274.21 280.04 288.15 293.84 298.22 311.67

Tabla 9.6: Uso de Factores de Frecuencia – Distribución Gumbel T años

P 2 5 10 25 50 75

K 0.50000 0.20000 0.10000 0.04000 0.02000 0.01333

Q (m3/s) -0.1643 0.7195 1.3046 2.0438 2.5923 2.9111

161.52 192.35 212.77 238.56 257.70 268.82

-208-



100 150 200 300 400 500 1000

0.01000 0.00667 0.00500 0.00333 0.00250 0.00200 0.00100

3.1367 3.4541 3.6791 3.9959 4.2205 4.3947 4.9355

276.69 287.77 295.62 306.67 314.51 320.58 339.46

Tabla 9.7: Uso de Factores de Frecuencia – Distribución Log-Pearson III T años

P 2 5 10 25 50 75 100 150 200 300 400 500 1000

K

0.50000 0.20000 0.10000 0.04000 0.02000 0.01333 0.01000 0.00667 0.00500 0.00333 0.00250 0.00200 0.00100

Y estimado 0.0184 0.8463 1.2693 1.7125 1.9945 2.1445 2.2454 2.3809 2.4727 2.5968 2.6814 2.7452 2.9344

Q (m3/s) antilog(Y)

2.2160 2.2909 2.3291 2.3691 2.3946 2.4082 2.4173 2.4296 2.4379 2.4491 2.4567 2.4625 2.4796

164.44 195.37 213.34 233.96 248.10 255.97 261.40 268.88 274.07 281.24 286.23 290.06 301.71

Tabla 9.8: Comparación de los valores de caudales máximos obtenidos Q (m3/s) Q (m3/s) Q (m3/s) T P Q (m3/s) años observado Log-Normal Gumbel Log-Pearson III 2 5 10 25 50 75 100 150 200 300 400 500 1000

0.50000 0.20000 0.10000 0.04000 0.02000 0.01333 0.01000 0.00667 0.00500 0.00333 0.00250 0.00200 0.00100

169.00 189.00 210.00 255.00

163.82 195.17 213.90 235.85 251.20 259.85 265.87 274.21 280.04 288.15 293.84 298.22 311.67

161.52 192.35 212.77 238.56 257.70 268.82 276.69 287.77 295.62 306.67 314.51 320.58 339.46

164.44 195.37 213.34 233.96 248.10 255.97 261.40 268.88 274.07 281.24 286.23 290.06 301.71

Tabla 9.9: Cálculo de los límites de confianza para la distribución Log-Normal (G.L = 28 – 2 = 26; α = 0.05; t26,0.025 = 2.056) T

P

años 2 5 10 25 50 75

(1/T) 0.50000 0.20000 0.10000 0.04000 0.02000 0.01333

K=Z Ec. (8.11) 0.0000 0.8415 1.2817 1.7511 2.0542 2.2168

Y

IC(Y)

LCI(Y)

LCS(Y)

Ec. (8.8) Ec. (8.15) Ec. (8.16) Ec. (8.17) 2.2144 0.0351 2.1792 2.2495 2.2904 0.0409 2.2495 2.3313 2.3302 0.0474 2.2828 2.3776 2.3726 0.0559 2.3167 2.4285 2.4000 0.0619 2.3381 2.4620 2.4147 0.0653 2.3494 2.4800

LCI(Q) 151.09 177.64 191.78 207.36 217.82 223.58

LCS(Q) 177.61 214.43 238.56 268.24 289.71 302.01

-209-


100 150 200 300 400 500 1000

0.01000 0.00667 0.00500 0.00333 0.00250 0.00200 0.00100


2.3268 2.4752 2.5762 2.7134 2.8074 2.8785 3.0905

2.4247 2.4381 2.4472 2.4596 2.4681 2.4745 2.4937

0.0676 0.0708 0.0730 0.0760 0.0781 0.0796 0.0844

2.3570 2.3673 2.3742 2.3836 2.3900 2.3949 2.4093

2.4923 2.5089 2.5202 2.5356 2.5462 2.5542 2.5781

227.54 232.96 236.72 241.90 245.50 248.25 256.62

310.66 322.75 331.28 343.24 351.70 358.25 378.53

Tabla 9.10: Cálculo de los límites de confianza para la distribución Gumbel (G.L = 28 – 2 = 26; α = 0.05; t26,0.025 = 2.056) T años 2 5 10 25 50 75 100 150 200 300 400 500 1000

P (1/T) 0.50000 0.20000 0.10000 0.04000 0.02000 0.01333 0.01000 0.00667 0.00500 0.00333 0.00250 0.00200 0.00100

K Ec. (8.12) -0.1643 0.7195 1.3046 2.0438 2.5923 2.9111 3.1367 3.4541 3.6791 3.9959 4.2205 4.3947 4.9355

Q (m3/s)

IC(Q)

LCI(Q)

LCS(Q)

Ec. (8.8) Ec. (8.15) Ec. (8.16) Ec. (8.17) 161.52 13.65 147.87 175.17 192.35 15.21 177.14 207.56 212.77 18.44 194.32 231.21 238.56 23.83 214.74 262.39 257.70 28.31 229.39 286.00 268.82 31.02 237.80 299.84 276.69 32.98 243.71 309.68 287.77 35.78 251.99 323.55 295.62 37.78 257.83 333.40 306.67 40.63 266.04 347.30 314.51 42.67 271.84 357.18 320.58 44.26 276.33 364.84 339.46 49.22 290.24 388.67

Tabla 9.11: Cálculo de los límites de confianza para la distribución Log-Pearson III (G.L = 28 – 3 = 25; α = 0.05; t25,0.025 = 2.06) T años 2 5 10 25 50 75 100 150 200 300 400 500 1000

P (1/T) 0.50000 0.20000 0.10000 0.04000 0.02000 0.01333 0.01000 0.00667 0.00500 0.00333 0.00250 0.00200 0.00100

K Ec. (8.14) 0.0184 0.8463 1.2693 1.7125 1.9945 2.1445 2.2454 2.3809 2.4727 2.5968 2.6814 2.7452 2.9344

Y

IC(Y)

LCI(Y)

LCS(Y)

Ec. (8.8) Ec. (8.15) Ec. (8.16) Ec. (8.17) 2.2160 0.0352 2.1808 2.2512 2.2909 0.0410 2.2498 2.3319 2.3291 0.0473 2.2818 2.3764 2.3691 0.0553 2.3139 2.4244 2.3946 0.0608 2.3338 2.4555 2.4082 0.0639 2.3443 2.4721 2.4173 0.0660 2.3513 2.4833 2.4296 0.0689 2.3607 2.4985 2.4379 0.0709 2.3670 2.5087 2.4491 0.0736 2.3755 2.5226 2.4567 0.0754 2.3813 2.5321 2.4625 0.0768 2.3856 2.5393 2.4796 0.0811 2.3985 2.5606

LCI(Q) 151.64 177.76 191.34 206.01 215.67 220.94 224.53 229.43 232.80 237.41 240.60 243.02 250.34

LCS(Q) 178.32 214.71 237.88 265.71 285.41 296.56 304.33 315.11 322.65 333.15 340.52 346.20 363.61

-210-



Q (m3/s)

Figura 9.2: Resultados - Distribución Log-Normal 400,0 380,0 360,0 340,0 320,0 300,0 280,0 260,0 240,0 220,0 200,0 180,0 160,0 140,0 120,0 100,0 1

10

Q obs.

100

Q cal.

LCI

1000

LCS

T (años)

Q (m3/s)

Figura 9.3: Resultados - Distribución de Gumbel 420,0 400,0 380,0 360,0 340,0 320,0 300,0 280,0 260,0 240,0 220,0 200,0 180,0 160,0 140,0 120,0 100,0

1

10

Q obs.

100

Q cal.

LCI

1000

LCS

T (años)

Q (m3/s)

Figura 9.4: Resultados - Distribución Log-Pearson III 380,0 360,0 340,0 320,0 300,0 280,0 260,0 240,0 220,0 200,0 180,0 160,0 140,0 120,0 100,0

1

10

Q obs.

100

Q cal.

LCI

1000

LCS

T (años)

-211-



Tabla 9.12: Factores de frecuencia para las distribución Normal T P W K =Z años 1/T Ec. (8.10) Ec. (8.11) 1 2 3 4 5 6 8 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 125 150 175 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 7500 8000 10000

1.00000 0.50000 0.33333 0.25000 0.20000 0.16667 0.12500 0.10000 0.06667 0.05000 0.04000 0.03333 0.02857 0.02500 0.02222 0.02000 0.01818 0.01667 0.01538 0.01429 0.01333 0.01250 0.01176 0.01111 0.01053 0.01000 0.00800 0.00667 0.00571 0.00500 0.00400 0.00333 0.00286 0.00250 0.00222 0.00200 0.00182 0.00167 0.00154 0.00143 0.00133 0.00125 0.00118 0.00111 0.00105 0.00100 0.00067 0.00050 0.00040 0.00033 0.00029 0.00025 0.00022 0.00020 0.00013 0.00013 0.00010

infinito 1.1774 1.4823 1.6651 1.7941 1.8930 2.0393 2.1460 2.3273 2.4477 2.5373 2.6081 2.6666 2.7162 2.7592 2.7971 2.8310 2.8616 2.8894 2.9150 2.9385 2.9604 2.9808 2.9999 3.0179 3.0349 3.1075 3.1656 3.2140 3.2552 3.3231 3.3775 3.4228 3.4616 3.4955 3.5255 3.5524 3.5769 3.5992 3.6197 3.6387 3.6564 3.6729 3.6885 3.7031 3.7169 3.8245 3.8989 3.9558 4.0016 4.0399 4.0728 4.1017 4.1273 4.2244 4.2396 4.2919

infinito 0.0000 0.4303 0.6742 0.8415 0.9674 1.1504 1.2817 1.5014 1.6452 1.7511 1.8343 1.9026 1.9604 2.0103 2.0542 2.0933 2.1285 2.1605 2.1898 2.2168 2.2418 2.2652 2.2870 2.3075 2.3268 2.4093 2.4752 2.5297 2.5762 2.6525 2.7134 2.7641 2.8074 2.8451 2.8785 2.9084 2.9355 2.9603 2.9830 3.0041 3.0236 3.0419 3.0591 3.0753 3.0905 3.2090 3.2908 3.3530 3.4031 3.4450 3.4809 3.5124 3.5402 3.6458 3.6624 3.7191

Tabla 9.13: Factores de frecuencia para la distribución Gumbel T P K años 1/T Ec. (8.12) 1 2 3 4 5 6 8 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 125 150 175 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 7500 8000 10000

1.00000 0.50000 0.33333 0.25000 0.20000 0.16667 0.12500 0.10000 0.06667 0.05000 0.04000 0.03333 0.02857 0.02500 0.02222 0.02000 0.01818 0.01667 0.01538 0.01429 0.01333 0.01250 0.01176 0.01111 0.01053 0.01000 0.00800 0.00667 0.00571 0.00500 0.00400 0.00333 0.00286 0.00250 0.00222 0.00200 0.00182 0.00167 0.00154 0.00143 0.00133 0.00125 0.00118 0.00111 0.00105 0.00100 0.00067 0.00050 0.00040 0.00033 0.00029 0.00025 0.00022 0.00020 0.00013 0.00013 0.00010

infinito -0.1643 0.2538 0.5214 0.7195 0.8770 1.1198 1.3046 1.6347 1.8658 2.0438 2.1887 2.3108 2.4163 2.5093 2.5923 2.6673 2.7358 2.7987 2.8569 2.9111 2.9617 3.0093 3.0541 3.0965 3.1367 3.3115 3.4541 3.5747 3.6791 3.8535 3.9959 4.1163 4.2205 4.3125 4.3947 4.4691 4.5370 4.5994 4.6573 4.7111 4.7614 4.8087 4.8533 4.8955 4.9355 5.2518 5.4762 5.6502 5.7924 5.9126 6.0167 6.1086 6.1907 6.5069 6.5572 6.7312

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Tabla 9.14: Factor de frecuencia K para la Distribución Pearson III Coef. Asimetría (c) -2.6 -2.5 -2.4 -2.3 -2.2 -2.1 -2.0 -1.9 -1.8 -1.7 -1.6 -1.5 -1.4 -1.3 -1.2 -1.1 -1.0 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

2 0.500 0.3469 0.3401 0.3326 0.3242 0.3152 0.3054 0.2949 0.2839 0.2722 0.2600 0.2473 0.2340 0.2204 0.2063 0.1919 0.1771 0.1620 0.1466 0.1309 0.1151 0.0990 0.0828 0.0664 0.0499 0.0333 0.0167 0.0000 -0.0167 -0.0333 -0.0499 -0.0664 -0.0828 -0.0990 -0.1151 -0.1309 -0.1466 -0.1620 -0.1771 -0.1919 -0.2063 -0.2204 -0.2340 -0.2473 -0.2600 -0.2722 -0.2839 -0.2949 -0.3054 -0.3152 -0.3242 -0.3326 -0.3401 -0.3469 -0.3527 -0.3577 -0.3616

5

10 25 50 75 100 200 500 PERIODO DE RETORNO EN AÑOS Y PROBABILIDAD DE EXCEDENCIA 0.200 0.100 0.040 0.020 0.013 0.010 0.005 0.002 0.6901 0.7055 0.7202 0.7342 0.7476 0.7602 0.7721 0.7832 0.7936 0.8032 0.8120 0.8201 0.8273 0.8338 0.8394 0.8442 0.8481 0.8513 0.8536 0.8550 0.8556 0.8553 0.8543 0.8523 0.8495 0.8459 0.8415 0.8362 0.8301 0.8232 0.8155 0.8070 0.7978 0.7878 0.7771 0.7657 0.7536 0.7409 0.7275 0.7135 0.6990 0.6839 0.6683 0.6523 0.6358 0.6190 0.6018 0.5843 0.5667 0.5488 0.5308 0.5128 0.4947 0.4768 0.4589 0.4413

0.7460 0.7716 0.7973 0.8229 0.8484 0.8737 0.8989 0.9237 0.9483 0.9724 0.9962 1.0194 1.0421 1.0643 1.0858 1.1066 1.1268 1.1462 1.1648 1.1826 1.1996 1.2157 1.2308 1.2450 1.2583 1.2705 1.2817 1.2919 1.3011 1.3091 1.3161 1.3221 1.3269 1.3306 1.3332 1.3348 1.3352 1.3346 1.3328 1.3301 1.3262 1.3214 1.3155 1.3087 1.3009 1.2922 1.2826 1.2721 1.2608 1.2488 1.2361 1.2227 1.2087 1.1942 1.1791 1.1637

0.7589 0.7909 0.8242 0.8588 0.8945 0.9312 0.9688 1.0072 1.0462 1.0858 1.1259 1.1663 1.2069 1.2477 1.2886 1.3293 1.3700 1.4104 1.4506 1.4903 1.5296 1.5683 1.6064 1.6438 1.6804 1.7162 1.7511 1.7850 1.8180 1.8499 1.8806 1.9103 1.9387 1.9659 1.9918 2.0164 2.0397 2.0617 2.0822 2.1014 2.1191 2.1355 2.1504 2.1639 2.1760 2.1867 2.1960 2.2039 2.2105 2.2157 2.2196 2.2222 2.2236 2.2238 2.2228 2.2208

0.7594 0.7916 0.8265 0.8638 0.9034 0.9451 0.9887 1.0342 1.0813 1.1299 1.1799 1.2311 1.2833 1.3365 1.3904 1.4450 1.5002 1.5557 1.6115 1.6675 1.7235 1.7794 1.8351 1.8906 1.9456 2.0002 2.0542 2.1075 2.1600 2.2117 2.2625 2.3123 2.3610 2.4085 2.4548 2.4999 2.5437 2.5860 2.6270 2.6665 2.7045 2.7410 2.7759 2.8092 2.8409 2.8710 2.8995 2.9263 2.9515 2.9750 2.9970 3.0173 3.0360 3.0532 3.0688 3.0829

0.7616 0.7924 0.8266 0.8640 0.9045 0.9479 0.9939 1.0424 1.0932 1.1461 1.2009 1.2576 1.3159 1.3756 1.4366 1.4988 1.5619 1.6259 1.6906 1.7558 1.8215 1.8874 1.9535 2.0196 2.0856 2.1514 2.2168 2.2818 2.3462 2.4100 2.4731 2.5353 2.5965 2.6567 2.7159 2.7738 2.8305 2.8859 2.9399 2.9925 3.0435 3.0930 3.1410 3.1873 3.2319 3.2749 3.3162 3.3557 3.3935 3.4295 3.4638 3.4963 3.5271 3.5561 3.5834 3.6091

0.7648 0.7940 0.8271 0.8641 0.9047 0.9486 0.9958 1.0460 1.0989 1.1545 1.2124 1.2726 1.3349 1.3990 1.4647 1.5320 1.6007 1.6705 1.7414 1.8131 1.8855 1.9585 2.0319 2.1055 2.1793 2.2531 2.3268 2.4002 2.4733 2.5458 2.6178 2.6890 2.7595 2.8290 2.8975 2.9650 3.0312 3.0962 3.1599 3.2222 3.2830 3.3423 3.4000 3.4561 3.5105 3.5632 3.6142 3.6634 3.7108 3.7564 3.8001 3.8420 3.8821 3.9204 3.9568 3.9914

0.7807 0.8037 0.8323 0.8662 0.9051 0.9489 0.9972 1.0499 1.1066 1.1672 1.2314 1.2990 1.3697 1.4434 1.5198 1.5987 1.6800 1.7633 1.8485 1.9355 2.0239 2.1137 2.2046 2.2965 2.3892 2.4825 2.5762 2.6703 2.7645 2.8588 2.9528 3.0466 3.1400 3.2329 3.3250 3.4164 3.5069 3.5963 3.6846 3.7718 3.8576 3.9420 4.0249 4.1063 4.1860 4.2641 4.3404 4.4149 4.4876 4.5583 4.6272 4.6940 4.7589 4.8218 4.8826 4.9415

0.8224 0.8331 0.8517 0.8777 0.9109 0.9510 0.9976 1.0505 1.1094 1.1739 1.2439 1.3189 1.3988 1.4832 1.5719 1.6646 1.7610 1.8610 1.9642 2.0704 2.1794 2.2909 2.4047 2.5206 2.6384 2.7577 2.8785 3.0005 3.1235 3.2474 3.3719 3.4968 3.6220 3.7473 3.8726 3.9976 4.1223 4.2464 4.3698 4.4925 4.6141 4.7348 4.8542 4.9723 5.0890 5.2043 5.3179 5.4298 5.5399 5.6482 5.7546 5.8589 5.9613 6.0615 6.1596 6.2556

1000 0.001 0.8716 0.8702 0.8783 0.8958 0.9221 0.9570 1.0001 1.0510 1.1095 1.1752 1.2477 1.3267 1.4120 1.5031 1.5998 1.7019 1.8089 1.9205 2.0366 2.1568 2.2808 2.4084 2.5393 2.6732 2.8099 2.9491 3.0905 3.2340 3.3793 3.5262 3.6744 3.8237 3.9740 4.1250 4.2765 4.4283 4.5802 4.7321 4.8838 5.0350 5.1858 5.3358 5.4850 5.6331 5.7801 5.9259 6.0703 6.2131 6.3544 6.4939 6.6317 6.7675 6.9013 7.0331 7.1628 7.2902

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