Makalah
Geometri Analitik
"PERSAMAAN GARIS SINGGUNG HIPERBOLA VERTIKAL DI PUSAT (o,0) DAN (h,k)"
Disusun oleh :
Arif munandar
Rahmat Yulianto
Rizka Indayani
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF. DR. HAMKA
2014
Hiperbola Vertikal Pusat Di (0,0) dan (h,k)
Pengertian hiperbola
Hiperbola adalah tempat kedudukan titik – tiitk yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap.
Komponen Hiperbola
Sumbu simetri
Titik pusat
Titik puncak
Titik fokus
Lactus rectum
Sumbu mayor
Sumbu minor
Asimtot hiperbola
Garis direktris
Persamaan hiperbola vertikal dengan pusat (0,0) dan (h,k)
Persamaan hiperbola vertikal
Pusat (0,0)
Pusat (h,k)
Persamaan hiperbola
y2a2-x2b2=1
(y-k)2a2-(x-h)2b2=1
Sumbu mayor
(0,±a)
(h,k±a)
Sumbu minor
(±b,0)
(h±b,k)
Focus
(0,±c)
(h,k±c)
Eksentrisitas
e=ca
e=ca
Persamaan direktris
y=±ae atau y=±a2c
y=k±ae atau y=k±a2c
Panjang sumbu mayor
2a
2a
Panjang sumbu minor
2b
2b
Lactus rectum
LR=2b2a
LR=2b2a
Panjang asimtot
y=±axb
y-k=±ab(x-h)
PGS titik
yy1a2-xx1b2
y-k(y1-k)a2-x-h(x1-h)b2
Persamaan garis singgung Hiperbola vertikal yang berpusat di (0,0) dan (h,k)
Pusat (0,0) pusat (h,k)
Pusat (0,0) pusat (h,k)
Persamaan garis singgung hiperbola vertikal pusat di (0,0)
Persamaan hiperbola vertical y2a2-x2b2=1
y2a2-x2b2=1 dikalikan a2b2
b2y2-a2x2=a2b2……………(i)
Persamaan umum garis yang melalui titik
y-y1=m(x-x1)
y-y1=mx-x1
y=mx-x1+y1
y=mx-mx1+y1………(ii)
Substitusi persamaan i dan ii
b2y2-a2x2=a2b2
b2(mx-mx1+y1)2-a2x2=a2b2
b2(m2x2-2m2x1x+m2x12+2my1x-2my1x1+y12)-a2x2=a2b2
b2m2x2-2b2m2x1x+b2m2x12+2b2my1x-2b2my1x1+b2y12-a2x2-a2b2=0
b2m2x2-a2x2-2b2m2x1x+2b2my1x+b2m2x12-2b2my1x1+b2y12-a2b2=0
(b2m2-a2)x2-(2b2m2x1-2b2my1)x+b2m2x12-2b2my1x1+b2y12-a2b2=0
a b c
Pergunakan kuadrat sempurna untuk mencari nilai m
x1=x2
x1+x2=-ba
2x1=--(2b2m2x1-2b2my1)(b2m2-a2)
2b2m2x1-2a2x1=2b2m2x1-2b2my1 ×-12
a2x1=b2my1
m=a2x1b2y1
Persamaan Umum Garis melalui titik
y-y1=mx-x1
y-y1=a2x1b2y1x-x1 dikali b2y1
b2y1y-b2y12=a2x1x-a2x12
b2y1y-a2x1x=b2y12-a2x12
b2y1y-a2x1x=a2b2 dikali 1a2b2
y1ya2-x1xb2=1 persamaan garis singgung hiperbola vertikal
b2y1y-a2x1x-a2b2=0
persamaan umum hiperbola vertikal di titik 0,0 adalah b2y1y-a2x1x-a2b2=0
Persamaan garis singgung Hiperbola vertikal yang berpusat di (h,k)
Translasikan dari persamaan garis singgung hiperbola vertikal di titik (0,0)
PGS Hiperbola vertikal di titik (0,0) y1ya2-x1xb2=1
PGS Hiperbola vertikal di titik (h,k) (y1-k)(y-k)a2-(x1-h)(x-h)b2=1
(y1-k)(y-k)a2-(x1-h)(x-h)b2=1 dikali a2b2
b2y2-2b2ky+b2k2-a2x2+2a2hx-a2b2=0
persamaan garis singgung hiperbola vertikal di titik h,k adalah
b2y2-2b2ky+b2k2-a2x2+2a2hx-a2b2=0
Latihan
Tentukan persamaan garis singgung hiperbola jika diketahui
x2-4y2+12=0 yang melalui titik (2,2)
Jawab
Substitusikan persamaan x2-4y2+12=0 terhadap titik (2,2) untuk membuktikan apakah garis tersebut menyinggung hiperbola
x2-4y2+12=0
(2)2-4(2)2+12=0
4-16+12=0
0=0
Persamaan garis singgung
x2-4y2+12=0
x2-4y2=-12 dikali-112
y23-x212=1
y1y3-x1x12=1
2y3-2x12=1 dikali 12
8y-2x=12
4y-x=6
a2=3 a=1,73
b2=12 b=12=3,46
c=12+3=15=3,87
A10;1,73 A2(0; -1,73)
B1-3,46 ;0 B2(3,46 ;0)
F10;3,87 F2(0; -3,87)
Asimtot : y=±abx
y=±1,733.46x
y=0,5x
LR =2b2a
=2.121,73=13,87
direktris =±a2c
=±33,87=0,77
Tentukan persamaan garis singgung hiperbola jika diketahui y-324-x-2212=1 yang melalui titik (8,7)
jawab
PGS hiperbola vertikal
y-324-x-2212=1
y-37-34-x-28-212=1
4y-124-6x-1212=1
y-3-12x-1=1
y-3-12x+1=1
2y-6-x+2=2
2y-x-6=0
Pusat (2,3)
a2=4 a=2
b2=12 b=12=3,46
c=12+4=16=4
A12;5 A2(2; 1)
B1-1,46 ;3 B2(5,46 ;3)
F12,7 F2(2, -1)
Asimtot : y-k=±ab(x-h)
y-3=±23,46(x-2)
y=±0,57x-1,14+3
y=±0,57x+1,86
LR =2b2a
=2.122=12
direktris =k±a2c
d: y=3+44=4
d: y=3-44=2
Tentukan persamaan garis singgung hiperbola jika diketahui 9y2-4x2=36 yang melalui titik (0,2)
Jawab
Substitusikan persamaan 9y2-4x2=36 terhadap titik (0,2) untuk membuktikan apakah garis tersebut menyinggung hiperbola
9y2-4x2=36
922-402=36
36=36
Persamaan garis singgung
9y2-4x2=36
9y2-4x2=36 dikali136
y24-x29=1
y1y4-x1x9=1
2y4-0=1 dikali 12
2y=4
y=2
a2=4 a=2
b2=9 b=3
c=9+4=13=3,6
A10;2 A2(0; -2)
B1-3 ;0 B2(3 ;0)
F10;3,6 F2(0; -3,6)
Asimtot : y=±abx
y=±23x
y=0,6x
LR =2b2a
=2.92=9
direktris =±a2c
=±43,6=1,1
Tentukan persamaan garis singgung hiperbola jika diketahui 4y2-5x2-20=0 yang melalui titik (2,2)
Jawab
Substitusikan persamaan 4y2-5x2-20=0 terhadap titik (4,5) untuk membuktikan apakah garis tersebut menyinggung hiperbola
4y2-5x2-20=0
4(5)2-5(4)2-20=0
100-80-20=0
0=0
Persamaan garis singgung
4y2-5x2-20=0
4y2-5x2=20 dikali120
y25-x24=1
y1y5-x1x4=1
5y5-4x4=1
y-x=1
a2=5 a=2,23
b2=4 b=2
c=5+4=9=3
A10;2,23 A2(0; -2,23)
B1-2 ;0 B2(2 ;0)
F10;3 F2(0; -3)
Asimtot : y=±abx
y=±2,232x
y=±1,11 x
LR =2b2a
=2.42,23=3,58
direktris =±a2c
=±53=1,67
Tentukan persamaan garis singgung hiperbola jika diketahui 3y2-x2+2x-12y-12=0 yang melalui titik (3,-1)
Jawab
Substitusikan persamaan 3y2-x2+2x-12y-12=0 terhadap titik (3,-1) untuk membuktikan apakah garis tersebut menyinggung hiperbola
3y2-x2+2x-12y-12=0
3(-1)2-(3)2+2(3)-12(-1)-12=0
3-9+6+12-12=0
Persamaan garis singgung
3y2-x2+2x-12y-12=0
3y2-12y-x2+2x=12
3y2-4y-x2-2x=12
3y-22-4-[x-12-1]=12
3y-22-12-x-12+1=12
3y-22-x-12=12+12-1
3y-22-x-12=23
y-22233-x-1223=1
y-2-1-2233-x-1(3-1)23=1
-3y+6233-2x-223=1
-9y+1823-2x-223=1
-9y+18-2x+2=23
9y+2x=-3
9y+2x+3=0
Pusat (1,2)
a2=7,67 a=2,76
b2=23 b=4,79
c=23+7,67=5,53
A11;4,76 A2(1; -0,76)
B1-3,79 ;2 B2(5,79;2)
F11;7,53 F2(1; -3,53)
Asimtot : y-k=±ab(x-h)
y-2=±2,764,79(x-1)
y=±0,57x-0,57+2
y=±0,57x+1,43
LR =2b2a=2.232,76=16,67
d:y=k±a2c
d: y=2+7,675,53=3,38
d: y=2-7,675,53=0,62