HIPERBOLA
Definisi Hiperbola
Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu harganya tetap. ua titik tertentu itu dosebut !okus hiperbola.
"isalkan# F "isalkan# F dan G adalah titik !okus hiperbolah yang jaraknya $c $ c sedangkan selisih jaraknya terhadap !okus adalah $a $a dimana $c $c % $a $a % & - 'itik &( yaitu titik tengah FG, tengah FG, disebut pusat hiperbola - 'itik ) * -c,&+ c,&+ dan G*c(&+ disebut titik !okus hiperbola - 'itik A 'itik A**-a a(&+ dan B dan B**a(&+ disebut titik pun,ak hiperbola
- aris AB aris AB *sumbu + dan sumbu y adalah sumbu simetri. /umbu x /umbu x(( disebut sumbu nyata /umbu y /umbu y(( di sebut sumbu imajiner - Harga
disebut eksentrisitet hiperbola
Cara Melukis Hiperbola
0. Buatlah Buatlah lingkaran lingkaran yang pusatnya pusatnya di
dan jari-jarinya jari-jarinya
$. Buatlah Buatlah lingkaran lingkaran yang pusatnya pusatnya di
dan jari-jarinya jari-jarinya di
1. Lingkaran Lingkaran *0+ dan *$+ berpotong berpotongan an di 2. Buatlah Buatlah lingkaran lingkaran yang pusatnya pusatnya
( titik
dan jari-jari jari-jari
3. Buatlah Buatlah lingkaran lingkaran yang berpusat berpusat di
di mana
adalah salah satu titik pada hiperbola. hiperbola. ( dimana dimana
dan jari-jarinya jari-jarinya
4. Lin Lingkar gkaran an *2+ *2+ dan *3+ *3+ berpo berpoto ton ngan gan di
( titik titik P*
+ adal adalah ah salah salah satu satu titi titik k pada pada
hiperbola. 5. engan engan mengam mengambil bil beberap beberapaa harga harga
dan
akan akan dipero diperoleh leh bebera beberapa pa titik titik lain lain yang yang
terletak terletak pada pada hiperb hiperbola ola dengan dengan menghu menghubun bungk gkan an titik-t titik-titi itik k le6at le6at sebuah sebuah kur7a kur7a yang yang mulus( terdapat hiperbola yang diminta.
Persamaan Hiperbola
8ika F * 9 c(&+( G*c(&+( dan P * x( y+ terletak pada hiperbola maka#
8adi
"aka dengan mensubtitusi
:arena nilai
dan
( didapatkan
( maka
Jadi persamaan Hiperbola dengan pusat
adalah
Persamaan hiperbola yang pusatnya
dengan sumbu
sejajar dengan sumbu-sumbu
koordinat( maka diperoleh#
Atau
:arena
merupakan pusat hiperbola maka persamaan hiperbola terhadap susunan sumbu
adalah
( jadi persamaan hiperbola terhadap susunan sumbu
Persamaan Hiperbola dengan pusat
Persamaan Parameter Hiperbola
Asymtot Hiperbola
adalah:
adalah
"isalkan persamaan garis asymtot itu y = px * p ; parameter+ terhadap hiperbola
maka
"erupakan koordinat
8ika
dan koordinat
dari titik potongnya.
............................ *0+
'itik potong imajiner( garis tidak memotong hiperbola 8ika
............................ *$+
:edua titik potongnya nyata dan berlainan. apat disimpulkan sebagai berikut# ............................ *1+
"aka garis garis itu(
merupakan garis-garis singgung koordinat. /ehingga
disebut asymtot-
asymtot hiperbola atau garis singgung pada hiperbola
Catatan: Persamaan hiperbola
jika
maka:
atau
disebut hiperbola oorthogonal, yaitu kedua asymtotnya berpotongan tegak lurus
Direktriks dan Eksentrisitet.
Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jarak ke suatu titik
dan suatu garis yang tertentu tetap harganya( yaitu
disebut eksentrisitas
.................... *0+
...................... *$+
Persamaan *0+ dan persamaan *$+
8adi garis
dan garis
;
adalah direktris dengan persamaan berturut-turut adalah#
Garis dan Hiperbola
/eperti halnya pada lingkaran( parabola dan ellips. "aka hiperbola dan garis berkemungkinan # - 'idak saling memotong( syarat ! = & - "emotong di dua titik( syarat ! % & - "enyinggung dengan syarat ! ; &
Persamaan garis singgung Hiperbola
Persamaan garis singgung pada hiperbola
"isalkan persamaan garis singgung
..............*0+
Persamaan hiperbola
..............*$+
ari persamaan *0+ dan persamaan *$+
/yarat menyuinggung adalah "aka#
..................(3
ari persamaan *1+ dan persamaan *0+ didapat#
Adalah persamaan garis singgun dengan koe!isien arah
8ika persamaan hiperbola
arah
*
parameter+ pada hiperbola
( maka garis singgung dengan koe!isien
adalah
Persamaan garis singgung di titik singgung (
Persamaan garis singgung pada hiperbola
8ika persamaan hiperbola
di titik *
adalah#
( maka garis singgung di titik *
adalah#
Sifat utama garis singgung
aris singgung disuatu titik pada hiperbola membagi dua sama besar sudut-sudut antara garis-garis yang menghubungkan titik singgung dengan titik api. Perssamaan garis kutub dari titik '* adalah #
terhadap hiperbola
Hiperbola
tidak memotong sumbu
tetapi memotong sumbu
di titik
dan
Persamaan asymtotnya
sedangkan persamaan garis-garis arhnya
dan
'itik apinya
dan
Hiperbola-hiperbola
dan
pada susunan sumbu disebut
hiperbola seka6an
'empat kedudukan titik-titik tengah talibusur 9talibusur hiperbola
sejajar dengan garis
aris-garis tengah
yang
adalah sutu garis dengan persamaan
dan
disebut garis-garis tengah seka6an(
dan
disebut arah-arah seka6an.
Contoh !oal
0.
terhadap O dan persamaan asimtotnya apinya $&. Penyelesaian#
sedangkan jarak antara kedua titik-titik
"isalkan persamaan hiperbola itu
:arena persamaan asimtotnya
maka
dan karena jarak antara kedua titik-
titik apinya $& maka $, ; $& atau , ; 0&. Pada hiperbola berlaku
8adi
dan
( atau b ; >
Berarti
8adi persamaan bola yang dimaksud adalah
$. 'entukan persamaan garis singgung pada hiperbola
yang sejajar garis
Penyelesaian#
radien garis
adalah
. 8adi persamaan garis singgungnya yaitu #
. Berarti gradien garis singgungnya adalah
1
H"PE#$%&%"DA Hiperboloida Daun Satu
"isalkan pada bidang ?O@ dan @O maisng-masing ditentukan elips dan hiperbola dengan persamaan *ambar 4.2+
*0+
an
*$+
ambar 0. ua pun,ak elips menyinggung hiperbola engan memperhatikan ketentuan-ketentuan seperti yang dilakukan pada kontruksi permukaan elipsoida( gerakan elips se,ara sejajar sepanjang sumbu O. "isalkan letak elips di bidang ; C. "enurut ketentuan tersebut( maka sumbu-sumbu elips baru akan sejajar sumbu-sumbu lama dan pada bidang @O( titik *&(
+ akan terletak di hiperbola *$+
sehingga berlaku
atau
:arena elips di bidang ; C harus sebangun dengan di bidang ?O@ yang setengah sumbu-sumbunya adalah a dan b( maka perbandingan setengah sumbu-sumbu elips di bidang ; C juga harus sama( yaitu a # b. Oleh sebab itu setengah sumbu-sumbu yang lain di bidang ; C ini adalah
8adi di persamaan elips di bidang ; C adalah
*1+
8ika parameter C dari persamaan ; C disubtitusikan ke persamaan *1+ maka didapat persamaan permukaan hiperboloida daun satu
atau
*2+
alam hal khusus jika
( maka permukaan tersebut berupa hiperboloida puter berdaun
satu. Dntuk men,ari persamaan bidang singgung yang terjadi di titik
prosedurnya
dapat kita lakukan seperti halnya pada kasus elipsoida. Hasil yang diperoleh menurut ,ara tersebut adalah
*3+
'ulislah persamaan sebagai bentuk
"aka didapat hubungan
*4+
dan
ari penyajian *2+ dan *4+ dapat disimpulkan bah6a hiperboloida daun satu *2+ dapat dibangun oleh garis-garis hasil interseksi bidang-bidang *4+. dengan demikian dari bentuk *4+ disimpulkan beberapa si!at berikut#
aris-garis dalam satu sistem *4+ tidak memiliki titik persekutuan. "isalkan garis-garis dide!inisikan oleh parameter berbeda
dan
sehingga
dan
dan
"aka diperoleh hubungan
dan
8adi keduanya saling berla6anan tidak memiliki titik persekutuan.
"elalui satu titik di permukaan( ada satu garis lurus untuk masing-masing sistem tersebut. Pandang persamaan garis *4+ melalui titik
dan
( maka
8ika harga disubtitusikan dari satukrpada yang lain( didapat titik memenuhi persamaan hiperboloida. 8adi hanya satu garis yang melalui titik tersebut.
/etiap garis lurus yang dibangun dari *4+ memotong semua garis lurus yang lain. Pilih satu garis lurus
dan
dan yang lain
dan
"aka satu dengan yang lain saling bergantung( sebab bentuk persamaan yang didapat adalah
dan
Hiperboloida Daun Dua
"isalkan pada bidang
dan
masing-masing ditentukan elips dan hiperbola dengan
persamaan *ambar $+
*5+
dan
*>+
ambar $# Hiperboloida daun dua 8ika elips digerakkan sejajar sepanjang sumbu
( maka dengan menggunakan prosedur
seperti pada hiperboloida daun satu( dibidang ; C diperoleh elips
*F+
8ika parameter dari persamaan ; C disubtitusikan ke persamaan *F+( maka didapat persamaan permukaan hiperboloida daun dua
alam hal
( maka permukaan yang didapat berupa permukaan hiperboloida putar daun
dua. Adapun bidang singgung di titik
pada permukaan( persamaannya diberikan oleh
bentuk #
Contoh !oal'
0. iketahui persamaan hiperboloida berdaun satu # 'entukan persamaan garis 9 garis pelukis yang melalui titik P *2( -1( $+ Penyelesaian# Persamaan susunan garis dari hiperboloida berdaun satu
adalah #
dan
:arena titik P*2(-1($+ dilalui oleh garis pelukis( maka P memenuhi persamaan susunan garis di atas.
Ini berarti #
8adi(
dan
Persamaan garis pelukis yang melalui P adalah #
dan
/etelah disederhanakan diperoleh #
dan
$. 'entukan nilai m agar bidang
memotong hiperboloida berdaun dua
dalam bentuk elips. Penyelesaian# :arena /ubtitusi
( maka kedalam persamaan hiperboloida berdaun dua( sehingga
atau
Persamaan ini merupakan persamaan ellips( maka syaratnya adalah 0.
atau
$.
8adi
atau
agar
bidang
atau
memotong
bentuk ellips( maka harus dipenuhi itulis lengkap
hiperboloida
berdaun
dua
/OAL-/OAL
0. 'entukan persamaan hiperbola yang !okus * 2( &+ dan titik-titik ujung * $( &+. $. /ebuah hiperbola mempunyai persamaan
'entukan
pusat( titik ujung( titik !okus dan gambar gra!ik hiperbola tersebut. 1. 'entukan persamaan hiperbola yang titik 9 titik apinya terletak pada sumbu ( simetris terhadap O dan melalui titik " *-3( 1+ dan eksentrisitas numeriknya
2. Agar garis
menyingung hiperbola
( maka tentukan nilai p G
3. 'entukan persamaan garis singgung pada hiperbola
yang tegak
lurus
garis 2 1y 9 5 ; & 4. 'entukan persamaan hiperbola yang jarak pun,ak 9 pun,aknya $4 dan titik 9 titik apinya )0 *-F( 1+ dan )$ *$0( 1+ 5. 'entukan persamaan bidang singgung hiperboloida 2 04y > ; 0 yang sejajar dengan bidang 9 $y $ 05 & >. 'entukan persamaan garis pelukis dari hiperboloida y - ; 0 yang melalui titik ' *0( &( &+ F.
0&. /uatu hiperboloida putaran berdaun satu dengan persamaan
dipotong
oleh bidang dengan persamaan y ; 1( maka tentukan persamaan perpotongannyaG
DA)A# P*!)A+A
Bro6n dan "anson( 0F35. "he #lements $% Analytical Geometry. /' "artinJs Press( Ke6 @ork. :usno( $&&F. Geometri &ancang Bangun. Dni7ersitas 8ember( 8ember. /ukirman( 0FF20FF3. Geometri Analitik Bidang dan &uang . Dni7ersitas 'erbuka( 8akarta.
