HISTORIA DE LA REGLA DE TRES
Los inicios de la regla de cálculo son bastante confusos. Todavía a principios del siglo XX se barajaban tres o cuatro nombres como inventores. Tras muchas controversias, la opinión de los historiadores es que fue inventada entre 1620 y 1630, pocos años después del descubrimiento por John Napier del concepto y propiedades de los logaritmos naturales en 1614, y una vez que se realizó su conversión a la base decimal por Henry Briggs en 1617. Edmund Gunter fue el primero que expuso los logaritmos en una escala lineal. Esta era la famosa línea de Gunter, dada a conocer en su libro Canon triangulorum, que publicó en Londres en 1620. Y hacia 1621 William Oughtred – el el gran matemático inglés de la época y amigo de Napier, al igual que lo eran Briggs y Gunter – , yuxtapuso las escalas de dos líneas de Gunter, ideando así la regla de cálculo actual, tanto en su versión lineal como circular. Pero Oughtred era un profesor de matemáticas riguroso, que pretendía que sus alumnos aprendiesen a razonar y conociesen a fondo la disciplina, no que se distrajeran con la utilización de artilugios mecánicos, de modo que durante mucho tiempo reservó el ingenio para su propio uso, sin darle publicidad. Pero uno de sus discípulos, Richard Delamain, tuvo conocimiento del hecho y fue el primero en publicar información relativa a una regla circular hacia h acia 1630, atribuyéndose el invento, de lo que derivaron enconadas disputas sobre su prioridad con Oughtred, quien pasó a otro de sus alumnos, William Forster, sus notas sobre el particular, escritas en latín, para que las diese a conocer. Forster las tradujo al inglés y en 1632 apareció la obra titulada The circles of proportion and the horizontal instrument, incluyendo al final de la misma una Apologeticall epistle en la que Oughtred respondía a los ataques de Delamain, al tiempo que le criticaba. Todos estos instrumentos matemáticos se utilizaron preferentemente en tareas prácticas de cubicaje y aforo de mercancías, tanto por los comerciantes en maderas, cereales, vino, aceite, etc., como por los funcionarios de aduanas y fielatos encargados de cobrar cánones por ellas. También encontraron aplicación en la navegación marítima, aunque casi exclusivamente en Inglaterra, donde no sólo se realizaron las invenciones más importantes con ellas relacionadas, sino que además existían bastantes artesanos capaces de fabricar instrumentos de cierta precisión (como los Allen, los Brown o Henry Sutton), que trabajaban en estrecho contacto con los inventores y realizaban los prototipos y las sucesivas copias. Las peculiaridades del sistema de medidas inglés puede que tuviesen bastante que ver en esta falta de difusión. Hay que esperar a los principios del siglo XIX para que la regla de cálculo empiece a ser ampliamente conocida en Francia, y luego en Alemania, y a los comienzos del XX para que se convirtiese en instrumento de uso profesional y estudiantil muy generalizado. En lo que a la concepción de los aparatos se refiere, la actividad creadora fue incesante en los tres siglos y medio de vigencia que tuvieron. Muchas de las ideas y propuestas no pasaron de la teoría o de la construcción de un prototipo, pero hubo algunas que lograron una cierta implantación. Las primeras reglas de composición integrada, similares a las actuales, fueron fabricadas por Seth Partridge en 1658.
La idea del hilo como parte integrante de estos instrumentos nomográficos, probablemente fue expresada por primera vez por Newton en 1675, aunque el cursor como tal fue desarrollado por John Robertson en 1775. Thomas Everard incorporó una escala inversa en 1683. Su regla tuvo bastante difusión, como también la tuvo otro modelo para carpintería desarrollado por Henry Coggeshall en 1677. Ambos instrumentos eran de madera, pero bastante toscos y poco precisos Regla de tres
La regla de tres o regla de tres simple es una forma de resolver problemas de proporcionalidad entre tres o más valores conocidos y una incógnita. En ella se establece una relación de linealidad (proporcionalidad) entre los valores involucrados. Regla de tres es la operación de hallar el cuarto término de una proporción conociendo los 12 3
otros tres.
La regla de tres más conocida es la regla de tres simple directa, si bien resulta muy práctico conocer la regla de tres simple inversa y la regla de tres compuesta, pues son de sencillo manejo y pueden utilizarse para la resolución de problemas cotidianos de manera efectiva. Regla de tres simple
En la regla de tres simple, se establece la relación de proporcionalidad entre dos valores conocidos A y B, y conociendo un tercer valor X, calculamos un cuarto valor. Y,4
La relación de proporcionalidad puede ser directa o inversa, será directa cuando a un mayor valor de A habrá un mayor valor de B, y será inversa, cuando se dé que, a un mayor valor de A corresponda un menor valor de B, veamos cada uno de esos casos.
Regla de tres simple directa
La regla de tres simple directa se fundamenta en una relación de proporcionalidad, la regla de tres establece una relación de proporcionalidad, por lo que rápidamente se observa que:
Donde k es la constante de proporcionalidad, para que esta proporcionalidad se cumpla tenemos que a un aumento de A le corresponde un aumento de B en la misma proporción. Que podemos representar:
y diremos que: A es a B directamente, como X es a Y, siendo Y igual al producto de B por X dividido entre A. Imaginemos que se nos plantea lo siguiente:
Si necesito 8 litros de pintura para pintar 2 habitaciones, ¿cuántos litros necesito para pintar 5 habitaciones?
Este problema se interpreta de la siguiente manera: la relación es directa, dado que, a mayor número de habitaciones hará falta más pintura, y lo representamos así:
Regla de tres simple inversa
En la regla de tres simple inversa,5 en la relación entre los valores se cumple que:
donde e es un producto constante, para que esta constante se conserve, tendremos que un aumento de A, necesitara una disminución de B, para que su producto permanezca constante, si representamos la regla de tres simple inversa, tendremos:
y diremos que: A es a B inversamente, como X es a Y, siendo Y igual al producto de A por B dividido por X. Si por ejemplo tenemos el problema:
Si 8 trabajadores construyen un muro en 15 horas, ¿cuánto tardarán 5 trabajadores en levantar el mismo muro?
Si se observa con atención el sentido del enunciado, resulta evidente que cuantos más obreros trabajen, menos horas necesitarán para levantar el mismo muro (suponiendo que todos trabajen al mismo ritmo).
El total de horas de trabajo necesarias para levantar el muro son 120 horas, que pueden ser aportadas por un solo trabajador que emplee 120 horas, 2 trabajadores en 60 horas, 3 trabajadores lo haran en 40 horas, etc. En todos los casos el numero total de horas permanece constante. Tenemos por tanto una relación de proporcionalidad inversa , y deberemos aplicar una regla de tres simple inversa, tenemos:
EJEMPLOS DE REGLA DE TRES
1. Si 2 litros de gasolina cuestan $18.20, ¿Cuánto litros se pueden comprar con $50.00? 2 → 18.20 X → 50
X = (50 x 2) / 18.20 = 5.49 lts.
2. Un automóvil recorre 30 km en un cuarto de hora, ¿Cuántos kilómetros recorrerá en una hora y media? 30 → .25 X → 1.5
X = (30 x 1.5)/.25 = 180 Km 3. Una taza de agua eleva su temperatura en .5 °C al estar 45 minutos al sol, ¿Cuántos grados se elevará después de 2 horas? .5 → 45 X → 120
X = (120 x .5) / 45 = 1.33°C
Regla de tres compuesta En ocasiones el problema planteado involucra más de tres cantidades conocidas, además de la desconocida.6 Observemos el siguiente ejemplo:
Si 12 trabajadores construyen un muro de 100 metros en 15 horas, ¿cuántos trabajadores se necesitarán para levantar un muro de 75 metros en 26 horas?
En el problema planteado aparecen dos relaciones de proporcionalidad al mismo tiempo. Además, para completar el ejemplo, se ha incluido una relación inversa y otra directa. En efecto, si un muro de 100 metros lo construyen 12 trabajadores, es evidente que para construir un muro de 75 metros se necesitarán menos trabajadores. Cuanto más pequeño es el muro, menos número de obreros precisamos: se trata de una relación de proporcionalidad directa . Por otro lado, si disponemos de 15 horas para que trabajen 12 obreros, es evidente que disponiendo de 26 horas necesitaremos menos obreros. Al aumentar una cantidad, disminuye la otra: se trata de una relación de proporcionalidad inversa . El problema se enunciaría así:
100 metros son a 15 horas y 12 trabajadores como 75 metros son a 26 horas e Y trabajadores.
La solución al problema es multiplicar 12 por 75 y por 15, y el resultado dividirlo entre el producto de 100 por 26. Por tanto, 13500 entre 2600 resulta 5,19 (lo que por redondeo resultan ser 6 trabajadores ya que 5 trabajadores no serían suficientes). Formalmente el problema se plantea así:
La resolución implica plantear cada regla de tres simple por separado. Por un lado, la primera, que, recordemos, es directa, y se resuelve así:
A continuación planteamos la segunda, que, recordemos, es inversa, y se resuelve así:
A continuación unimos ambas operaciones en una sola, teniendo cuidado de no repetir ningún término (es decir, añadiendo el término C una sola vez):
lo que nos da la solución buscada. El problema se puede plantear con todos los términos que se quiera, sean todas las relaciones directas, todas inversas o mezcladas, como en el caso anterior. Cada regla ha de plantearse con sumo cuidado, teniendo en cuenta si es inversa o directa, y teniendo en cuenta (esto es muy importante) no repetir ningún término al unir cada una de las relaciones simples. EJEMPLO DE REGLA DE TRES COMPUESTO
1. Una estufa de 4 quemadores ha consumido $50.00 de gas al estar encendidos 2 de ellos durante 3 horas. ¿Cuál es el precio del gas consumido si se encienden los 4 quemadores durante el mismo tiempo? 2 quemadores → 3 horas → 50 4 quemadores → 3 horas → X X = (4 x 3 x 50) / (2 x 3) = $100.00 2. 4 autos llevan a 16 personas en un recorrido de 120 km en 90 minutos. ¿Cuántos autos se necesitan para transportar a 58 personas en el mismo recorrido y en el mismo tiempo?
4 autos → 16 personas → 90 minutos X autos → 58 personas → minutos X = (58 x 90 x 4) / (16 x 90) = 20880 / 1440 = 14.5 autos
3. 6 elefantes consumen 345 kilos de heno en una semana, ¿Cuál es el consumo de 8 elefantes en 10 días? 6 elefantes → 345 Kg → 7 días 8 elefantes → X → 10 días X = (8 x 10 x 345) / (6 x 7) = 657.14 Kg
Porcentaje o tanto por ciento En matemáticas, el porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción que tiene el número 100 como denominador. También se le llama comúnmente tanto por ciento, donde por ciento significa «de cada cien unidades». Se usa para definir relaciones entre dos cantidades, de forma que el tanto por ciento de una cantidad, donde tanto es un número, se refiere a la parte proporcional a ese número de unidades de cada cien de esa cantidad. El porcentaje se denota utilizando el símbolo %, que matemáticamente equivale al factor 0,01 y que se debe escribir después del número al que se refiere, dejando un espacio de separación.1 Por ejemplo, «treinta y dos por ciento» se representa mediante 32 % y significa ‘treinta y dos de cada cien’. También puede ser representado:
El signo del porcentaje.
y, operando:
El 32 % de 2000, significa la parte proporcional a 32 unidades de cada 100 de esas 2000, es decir:
640 unidades en total. El porcentaje se usa para comparar una fracción (que indica la relación entre dos cantidades) con otra, expresándolas mediante porcentajes para usar 100 como denominador
común. Por ejemplo, si en un país hay 500 000 enfermos de gripe de un total de 10 millones de personas, y en otro hay 150 000 enfermos de un total de un millón de personas, resulta más claro expresar que en el primer país hay un 5 % de personas con gripe, y en el segundo hay un 15 %, resultando una proporción mayor en el segundo país. El símbolo % es una forma estilizada de los dos ceros. Evolucionó a partir de un símbolo similar sólo que presentaba una línea horizontal en lugar de diagonal (c. 1650), que a su vez proviene de un símbolo que representaba «P cento» (c. 1425). Signos relacionados incluyen ‰ (por mil) y ‱ (por diez mil, también conocido como un punto básico), que indican que un número se divide por mil o diez mil, respectivamente. EJEMPLOS DEL TANTO POR CIENTO
1.
¿Cuál es el 25 % de 480?
Resolución:
En este caso A = 480 y t = 25. Se debe calcular
2.
B.
El 25% de 480 es 120.
Calcular qué tanto por ciento de 320 es 80. Resolución:
Obsérvese que en este caso A = 320,
3.
t =
15
B =
80 y se ha de calcular t .
El 15 % de cierta cantidad es 54. Calcular esa cantidad.
Resolución:
B =
54