Hormigón Armado I

Hormigón Armado

Capítulo 1 – Introducción 1 Preámbulo El hormigón es un material semejante a la piedra que se obtiene mediante la mezcla cuidadosamente proporcionada (dosificada) de agua, cemento, arena, grava y otros agregados. Esta mezcla que en estado fresco es moldeable es vertida en moldajes, lo que son removidos una vez que el hormigón endurece obteniéndose las formas y dimensiones deseadas. El cuerpo material del hormigón lo conforman los áridos (arena y grava). El cemento actúa como pegamento entre estas partículas y conformar una masa sólida. El agua es utilizada para activar las reacciones químicas en el cemento que lo convierten en el pegamento que une los áridos, además de darle la trabajabilidad necesaria para poder llenar los moldajes y rodear las barras de acero de refuerzo en forma adecuada, previo al endurecimiento. Los factores que hacen del hormigón un material tan atractivo en la construcción son por ejemplo:    

La facilidad que presenta en estado plástico, para depositarse en moldajes que permiten obtener cualquier forma estructural o arquitectónica deseada. Su alta resistencia la fuego y al clima. La mayor parte de los materiales que lo constituyen, exceptuando el cemento y los aditivos, son de fácil disposición en obra y de bajo costo. Su alta resistencia a compresión, similar al de las piedras naturales, lo hace apropiado para ser utilizado en elementos sometidos a este tipo de cargas (columnas y arcos)

Si embargo, una de sus mayores desventajas corresponde, al igual que en el caso de las piedras naturales, a su fragilidad y baja resistencia a la tracción, del orden de un 10% a un 20% de la presentada en compresión. Para contrarrestar esta desventaja y poder utilizar el hormigón en elementos que experimentan tensión, tales como vigas o losas, en el siglo XIX se comenzó a utilizar barras de acero embebidas en el hormigón, de tal manera, ellas suplirían la falta de de resistencia a tracción, pues, como es sabido, el acero presenta una alta resistencia a la tracción. Además gracias al comportamiento propio de las barras de hormigón, cuya curva carga-deformación presenta una meseta de fluencia, fue posible proporciónale ductilidad al los elementos de hormigón evitando las fallas frágiles y repentinas. La combinación resultante de elementos de hormigón reforzados con barras de acero (armaduras) es conocida como Hormigón Armado. Armado. La confluencia de todas las ventajas del hormigón (Trabajabilidad, resistencia a al compresión, fuego y ambiente, bajo costo, etc.) y el acero (Resistencia a la tracción y ductilidad), permiten un uso casi ilimitado de este material, el cual aún continua revelando nuevas ventajas.

-1Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

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2 Requerimientos Requerimient os y Fundamentos del Diseño Para que una estructura cumpla con los propósitos para que fue construida debe cumplir con una serie de requerimientos de seguridad y servicio. La condición mínima de seguridad de una estructura, será siempre y a todo evento, evitar el colapso, mientras que sus condicione de servicio podría incluir el limitar las deformaciones, que el posible agrietamiento se reduzca a limites tolerables, las vibraciones se minimicen etc.

2.1 Requerimiento de Seguridad: Si la resistencia de una estructura, construida tal como se diseño, pudiera predecirse con toda exactitud, y las cargas aplicadas sobre dicha estructura, así como los esfuerzos generados por dichas cargas sobre los elementos se conocieran con precisión, la seguridad de la edificación podría garantizarse proporcionando una capacidad resistente a los elementos ligeramente superior a las solicitadas por las cargas. Sin embargo, existen diversas fuentes de incertidumbre en el análisis, diseño y construcción de la estructura que no permiten contar con dicha exactitud, lo que exige del ingeniero un diseño que proporcione márgenes de seguridad adecuados. Sólo por enumerar algunas de las fuentes de incertidumbre:   

 



La magnitud de las cargas reales pueden diferir de las supuestas. La distribución y punto de aplicación de las cargas reales pueden diferir de las supuestas. Las suposiciones y simplificaciones propias del análisis pueden alterar el resultado final de los esfuerzos calculados (momento, corte, axial) y diferir de los que efectivamente actúan sobre la estructura. El comportamiento estructural real puede diferir del supuesto, debido a limitaciones del conocimiento actual. Pueden existir imperfecciones en la construcción (dimensiones reales de los elementos pueden diferir de aquellas especificadas, los refuerzos pueden no estar en la posición definida, existencia nidos) La resistencia real de los materiales puede diferir de la supuesta.

Por otro lado existen elementos estructurales que cumplen un rol más importante en relación a otros elementos de la estructura, y la falla de estos elementos podría involucrar un daño mayor de la estructura e incluso el colapso de parte o la totalidad de ella. A dichos elementos se le deberán proporcionar márgenes de seguridad mayores que a otros elementos secundarios fáciles de reemplazar. Así mismo, existen tipos de fallas más indeseables que otras. Por ejemplo, siempre se preferirá una falla lenta por sobre a una repentina, pues esta permitirá tomar medidas paliativas que eviten el colapso, o en el peor de los casos un tiempo suficiente para la evacuación. A modo de resumen es posible decir que la seguridad estructural queda definida por las solicitaciones máximas que pueden actuar sobre una estructura y las resistencias mínimas que le han sido proporcionada a la estructura. La evaluación de la seguridad quedará establecida bajo los criterios de resistencia (el sistema debe poseer la integridad estructural para asegurar que el daño producido por una carga sea limitado y no provoque el colapso), estabilidad -2Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

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(Incluye los efectos de segundo orden relativos a las grandes deformaciones) y de ductilidad (capacidad de la estructura de deformarse por sobre el rango elástico sin pérdidas significativas de su capacidad resistente). La seguridad estructural puede estimarse en forma estadística a partir de la distribución de densidad de probabilidad de las solicitaciones (f(Q)) y de las resistencias (f(S)). La probabilidad de ocurrencia de un cierto nivel de solicitaciones (Q) se define a partir del conocimiento de sobre las cargas que pueden actuar sobre la estructura, así como del método de análisis utilizado. La probabilidad de obtención de un cierto nivel de resistencia (S) puede obtenerse en base al conocimiento y certeza de las dimensiones, proporciones, calidad de los materiales y control de calidad en la construcción. La probabilidad de falla de la estructura puede calcularse como la probabilidad que un cierto nivel de solicitaciones exceda la resistencia proporcionada. f (Q ) > f (S ) f (S ) − f (Q ) < 0

En la figura todo el tramo de la función de densidad de probabilidades f(M=S-Q) a la derecha de cero corresponde a la “zona segura”, mientras que el área achurada corresponde a la “zona de riesgo” -3Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

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Después de esta breve explicación queda claro que establecer márgenes de seguridad adecuados para cada estructura no es tarea fácil, sin embargo, las asociaciones de ingenieros, centros de estudios e instituciones gubernamentales han establecido códigos que dan orientaciones propios a la realidad cada país. En Chile contamos con el “Código de Diseño de Hormigón Armado” editado por la Cámara Chilena de la Construcción y el Instituto del Cemento y Hormigón basado en el código ACI-318 (EE.UU.), el cual se revisa y actualiza periódicamente.

2.2 Requerimiento de Servicio: Se refieren a la respuesta estructural de ante cargas o condiciones que puedan causar daño estético, deterioro de los materiales, impedimento de uso, temor, etc. En general, son condiciones que no significan un riesgo inmediato para la seguridad de los usuarios. Entre estos requerimiento se consideran la deflexiones, el agrietamiento y las vibraciones, por mencionar algunas. Además las estructuras de Hormigón Armado debe considerar requerimientos económicos y constructivos como cualquier obra.

2.3 Fundamentos de Diseño: La característica particular más importante de cualquier elemento estructural es su resistencia real, la cual debe ser lo suficientemente elevada para resistir con algún margen de reserva todas las cargas previsibles que puedan actuar sobre aquel elemento durante la vida útil de la estructura, sin que presente falla o algún otro tipo de inconveniente. Bajo esta premisa es posible realizar el diseño de los elementos de hormigón armado (establecer dimensiones y cantidad de refuerzo) de un elemento estructural en base a dos métodos. El primer método y más antiguo corresponde al conocido como “Diseño bajo cargas de servicio” o “Tensiones Admisibles” Este método propone diseñar los elementos de tal manera que los esfuerzos sobre las barras de acero y el hormigón resultantes de las cargas normales de servicio aplicadas sobre el elemento en cuestión, estén dentro de unos limites especificados. Estos límites, son conocidos como esfuerzos admisibles, y corresponde a una fracción de los esfuerzos de falla de los materiales (falla por compresión del hormigón y fluencia del acero). Si se considera que el comportamiento del hormigón puede considerarse elástico para esfuerzos de compresión menores al 50% de su resistencia a compresión, y el acero también presenta un comportamiento elástico hasta prácticamente su esfuerzo de fluencia, es posible diseñar los elementos en base a métodos elásticos (resistencia de materiales), siempre y cuando los esfuerzos permanezcan bajo estos limites. En la practica los limite utilizados como tensiones admisibles corresponde a un 50% de la resistencia a la compresión del hormigón y un 50% de la tensión de fluencia del acero. En este método las cargas son tratadas de la misma forma sin considerar su variabilidad individual o grado de incertidumbre, asimismo, los esfuerzos se calculan en base a métodos elásticos, cuando en realidad en realidad la resistencia de un elemento depende del comportamiento en el rango inelástico cercano a la falla. Por estas razones no es posible evaluar de forma explicita el margen de seguridad del diseño. Este método de diseño está prácticamente en desuso y los códigos de diseño ya no lo incluyen. -4Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

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Un nuevo método y ampliamente utilizado en la actualidad corresponde al conocido como “Diseño por resistencia o rotura” , también conocido como “Factores de carga y resistencia”. En este caso los elementos se diseñan suponiendo estados de carga considerablemente mayorales a los que se esperan que se produzcan en condiciones de servicio en la estructura, de manera de llevarlas a la falla. Para elementos de hormigón armado bajo condiciones cercanas al colapso, uno o ambos materiales estarán trabajando en el rango no lineal inelástico, consecuentemente la resistencia nominal del elemento deberá calcularse en base al comportamiento inelástico de los elementos que al conforman. Un elemento diseñado en rotura debe demostrar un comportamiento satisfactorio bajo las cargas normales de servicio. Por ejemplo, las deformaciones deben estar limitadas dentro de rangos admisibles, lo mismo ocurrirá con la fisuración. Estas condiciones siempre deberán ser verificadas adicionalmente. Bajo este método de diseño es posible asignar diferentes factores de mayoración a las distintas cargas en función de su importancia y grado de incertidumbre, también es posible aplicar factores de reducción a las resistencias en base al grado de incertidumbre con que se determinan (estado del arte y el conocimiento), tipo de falla o grado de seguridad que se le desee proporcionar. Debido a estas diferencia en el grado de realismo y confiabilidad este método de diseño rápidamente ha desplazado al método bajo cargas de servicio y los códigos actualmente existentes así lo reflejan. Básicamente el método de rotura propone diseñar los elementos con una resistencia nominal (Rn) que sea superior a la Carga Ultima de Diseño (U), la cual se obtiene partir de una adecuada combinación de las cargas aplicadas sobre el elemento, mayoradas mediante factores que identifican su grado de importancia e incertidumbre. Adicionalmente incorpora un factor de reducción (φ ) a la resistencia nominal que representa la inexactitud asociados al cálculo de la capacidad resistente del elemento. φ R n

≥ U

2.3.1 Factores de cargas y combinaciones Los factores de carga tiene como propósito dar la seguridad adecuada contra un aumento de las cargas de servicio más allá de las especificadas en el diseño, de manera que sea sumamente improbable la falla. Además ayudan a que las deformaciones bajo cargas de servicio no sean excesivas. Los factores de carga son distintos para diversos tipos de carga debido a que, por ejemplo, es menos probable que una carga permanente (ej. peso propio) se exceda a la utilizada en el diseño, no así con sobrecargas de uso (ej. tráfico), las que pueden depender de factores externos no consideradas en el diseño. Estos factores no consideran la gravedad de la falla o importancia del elemento.


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Las combinaciones de carga exigidas por el código son: U = 1.4 ·(D + F )

U = 1.2 ·(D + F + T ) + 1.6 ·(L + H ) + 0 .5 ·(Lr ) U = 1.2 ·(D + F + T ) + 1.6 ·(L + H ) + 0 .5 ·(S ) U = 1.2 ·(D + F + T ) + 1.6 ·(L + H ) + 0 .5 ·(R ) U = 1.2 ·D + 1.6 ·Lr + 1.0 ·L U = 1.2 ·D + 1.6 ·S + 1.0 ·L U = 1.2 ·D + 1.6 ·R + 1.0 ·L U = 1.2 ·D + 1.6 ·Lr + 0 .8 ·W U = 1.2 ·D + 1.6 ·S + 0 .8 ·W U = 1.2 ·D + 1.6 ·R + 0 .8 ·W U = 1.2 ·D + 1.6 ·W + 1.0 ·L + 0 .5 ·Lr U = 1.2 ·D + 1.6 ·W + 1.0 ·L + 0 .5 ·S U = 1.2 ·D + 1.6 ·W + 1.0 ·L + 0 .5 ·R U = 1.2 ·D + 1.0 ·E + 1.0 ·L + 0 .2 ·S U = 0 .9 ·D + 1.6 ·W + 1.6 ·H U = 0 .9 ·D + 1.0 ·E + 1.6 ·H

Dónde: D F T L H Lr S R W E

= Cargas permanentes = Cargas o presiones debidas a fluidos de densidad y altura conocida = Efectos acumulados de la temperatura, fluencia lenta, retracción, asentamientos diferenciales y del hormigón de retracción compensada. = Sobrecargas = Cargas o presiones debidas al suelo, agua del suelo u otro material. = Sobrecargas de techumbre = Sobrecargas de nieve = Cargas por lluvia = Cargas de viento = Carga sísmica

Ver excepciones y comentarios en Código ACI 318-2002, Pto 9.2.

2.3.2 Factores de reducciones de resistencia Los factores de reducción de resistencia se toman en cuenta para considerar las inexactitudes en los cálculos y fluctuaciones en las resistencias del material, mano de obra y dimensiones. Este factor φ dependerán del grado de importancia del elemento, la cantidad de variable que inciden en la determinación de las resistencias, gravedad o daño implícito en la falla, etc. así por ejemplo una viga tiene un valor φ v mayor que una columna φ c , pues se espera que la falla de la viga sea por flexión y debido a la fluencia del acero. Este tipo de falla es dúctil y muy fácil de predecir y reparar. En cambio, las columnas pueden presentar una falla por corte o compresión, la cual es mucho más frágil. Además por lo general la falla de una columna podría significar el desplome de una buena parte de la estructura y su reparación no es fácil. -6Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

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Los factores de reducción de resistencia prescritos por el código son: Secciones controladas por tracción : Secciones controladas por Flexión:

φ = 0 .90 φ = 0 .90

Secciones controladas por compresión con zunchos: Secciones controladas por compresión con otros elementos armados:

φ = 0 .70 φ = 0 .65

Corte y torsión: Aplastamiento en el hormigón:

φ = 0 .75 φ = 0 .65

Ver otros requerimientos, condiciones paras sismos y comentarios en Código ACI 318-2002, Pto 9.3.


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3 Materiales En esta sección se presentarán en forma breve algunas de las características mecánicas más importantes del hormigón y el acero de refuerzo.

3.1 Hormigón 3.1.1 Curva Esfuerzo-Deformación del Hormigón: Las curvas de comportamiento del hormigón se obtiene de ensayos a compresión uniaxial de probetas cúbicas o cilíndricas (H/D = 2). En la figura se muestra las curvas carga-deformación de una serie de probetas cilíndricas cargadas uniaxialmente a baja velocidad durante 2 o 3 minutos hasta la falla.

En las figuras se puede apreciar que: 

Las curvas se comportan linealmente hasta aproximadamente la mitad de su resistencia a compresión, para efectos prácticos por lo general se consideran lineales hasta 0 .4 ·f C max .



La resistencia máxima f C max ocurre a un nivel de deformaciones unitarias relativamente constante del orden de 0.002.



El hormigón presenta un apreciable resistencia residual posterior a alcanzar su máximo.



Las curvas de los hormigones de mayor resistencia tiene un máximo más marcado, para luego descender bruscamente.

A partir de estos ensayo algunos investigadores han aventurado expresiones analíticas que puedan representar el comportamiento del hormigón. Una de las más aceptadas y utilizadas -8Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

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corresponde a la propuesta por Hognestad. El propone una curva compuesta por una primera rama ascendente parabólica de segundo grado hasta alcanzar el máximo y luego un rama descendente lineal. La extensión de la rama descendente depende del limite de deformación útil supuesta para el hormigón. La relación entre f c ' ' = f C max y la resistencia cilíndrica característica f c ' , depende de la forma del espécimen ensayado.

3.1.2 Resistencia: La resistencia del hormigón queda definida según los ensayos establecidos en las normas chilenas NCh 170. La norma clasifica a los hormigones en grados, en función de su resistencia a la compresión o respecto a su resistencia a la flexotracción. a. Compresión:

Esta resistencia se determina por medio de ensayos uniaxiales a probetas cúbicas de 200 mm de arista, la cual es convertida mediante factores de transformación a valores compatibles con los que se obtendrían en ensayos con probetas cilíndricas, los que se indican en la misma NCH 170. Estos ensayos se realizan en hormigones con una edad de 28 días. Como resultado de estos ensayos se obtiene f c ' , resistencia cilíndrica característica a compresión especificada a 28 días, la cual satisface ciertos niveles de confiabilidad que minimicen la frecuencia de resistencias bajo dicho valor.


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Los hormigones quedan clasificados en función de este parámetro de la siguiente forma:

Grado

Clasificación de Hormigones según NCh170 Resistencia Especificada Resistencia Característica (P. Cúbica) (P. Cilíndrica utilizada en diseño)

f c [Kg/cm2] 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

H5 H10 H15 H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

f c ' [Kg/cm2] 40 80 120 160 200 250 300 350 400 450

b. Flexotracción:

Esta resistencia se determina por medio de ensayos a flexión de probetas de sección cuadrada. La resistencia a la tracción medida de esta forma se conoce como módulo de ruptura f r y se obtiene a partir de las ecuaciones de de resistencia de materiales para la flexión: M Z Dónde Z es el módulo resistente de la sección: f r =

Z =

AT ⎛ __ __ ⎞ ·⎜ y 1 + y 2 ⎟ 2 ⎝ ⎠

El código (9.5.2.3) propone las siguientes expresiones para calcular el módulo de ruptura: f r = 0 .7 f c '

en unidades de MPa

f r = 2 .21 f c '

en unidades de Kg/cm 2


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forma:

Los hormigones quedan clasificados en función de este parámetro de la siguiente Clasificación de Hormigones según NCh170 Grado Resistencia Especificada

f t [Kg/cm2] 30 35 40 45 50 55 60

HF3.0 HF3.5 HF4.0 HF4.5 HF5.0 HF5.5 HF6.0 c. Tracción Directa:

Usualmente no se especifican ensayos de tracción directa por las dificultades practicas que conllevan. No obstante se acepta que la resistencia a tracción directa del hormigón es: f t = 0 .5 f c '

en unidades de MPa

f t = 1.6 f c '


d. Hendimiento:

Este ensayo conocido como “Ensayo brasilero” se propone como un forma alternativa de determinación de la resistencia a la tracción. En el, un cilindro se carga en la dirección de su diámetro hasta que el hormigón falla por tracción a lo largo de su diámetro. La teoría de elasticidad permite deducir que la resistencia tracción f t corresponde a: f t =

Donde: P h d

2 ·P π ·h ·d

: Carga de ruptura : Longitud del cilindro : Diámetro del cilindro

Comúnmente f t = 0 .50 ·f r ~ 0 .75 ·f r . Dado que la resistencia a tracción del hormigón es baja (menor al 20% de la resistencia a compresión) es normal que no se considere en el cálculo de resistencia a flexión de secciones de hormigón armado, cuando es necesario considerarla, se supone que el comportamiento es lineal hasta la rotura por tracción, con el mismo módulo de elasticidad que en compresión. No obstante, la resistencia a tracción del hormigón es sumamente importante en fenómenos asociados a la resistencia al corte, adherencia y anclaje. -11Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

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3.1.3 Módulo de Elasticidad Para efectos de diseño, usualmente se usa el módulo de elasticidad secante medido entre 0 y 0 .5 ·f C max . El módulo de elasticidad del hormigón E c en términos de la resistencia característica f c ' y el peso unitario del hormigón w c , queda definido por el código como: E c = w 1c .5 ·0 .043 f c '

en unidades de MPa

Para hormigones de peso normal w c entre 1500 Kg/m3 y 2500 Kg/m3 la relación anterior adopta la forma: en unidades de MPa E c = 4700 f c ' E c = 14860 f c '


Estas expresiones entregan valores que pueden estar hasta un 30% bajo los valores reales del módulo de elasticidad del hormigón, lo cual, debe ser especialmente considerado en el caso de la determinación de la respuesta estructural ante solicitaciones sísmicas. Para una determinación más exacta del Módulo de Young del hormigón se puede revisar el documento ASTM C469-94, “Test Method for Static Modulus of Elasticity and Poisson’s Ratio of Concrete in Compression”.

3.1.4 Coeficiente de Poisson Usualmente el coeficiente de Poisson del hormigón varía entre 0.15 y 0.2, sin embargo, experimentalmente se han registrado valores de 0.10 y 0.30. a altos niveles de esfuerzo axial, la aparición de grietas paralelas a la dirección de esfuerzos incrementan notablemente las deformaciones transversales. Normalmente la falla por compresión axialtrae asociado un aumento de volumen del espécimen. 3.1.5 Confinamiento: Resultados experimentales han demostrado que la existencia de una presión de confinamiento modifica la respuesta carga deformación de cilindros de hormigón ensayados a compresión tal comos e muestra en la figura: En los hormigones sin confinamiento, cuando los esfuerzos axiales se acercan a la resistencia de compresión, aparecen grandes deformaciones transversales producidas por la propagación de microfisuras paralelas a la dirección de carga. Esto causa inestabilidad y finalmente la falla del hormigón. Estas deformaciones -12Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

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laterales son restringidas ante la presencia de presiones laterales de confinamiento, lo que permite que el hormigón alcance mayores niveles de resistencia y deformación. Los análisis experimentales han permitido establecer que la resistencia a compresión f cc ' cuando existe un presión lateral de confinamiento f l es: f cc ' = f c '+4 .1·f l

Sin embargo en la realidad no es posible aplicar una presión de confinamiento activa, como la impuesta en los ensayos que se comentan, en cambio, solo es posible proporcional confinamiento mediante presiones pasivas, esto es, en respuesta a las deformaciones generadas. Considere el caso más simple de confinamiento pasivo: un tubo de acero rodeando un espécimen de hormigón en compresión uniaxial. A medida que se aplica carga, el tubo no tendrá efecto en la respuesta hasta que el hormigón se expanda lateralmente debido al efecto Poisson. Sin embargo, los coeficientes de Poisson del acero y el hormigón son muy similares en la primera etapa, ν s = 0 .25 y ν c = 0 .17 respectivamente. A medida que aumenta el esfuerzo de compresión, el hormigón comienza a agrietarse (f c = 0 .45 ·f c ') , se expande lateralmente, resultando en un incremento aparente del efecto Poisson, hasta llegar a un módulo de Poisson de aproximadamente ν c = 0 .5 cuando f c ≈ f c ' . El confinamiento pasivo que aporta el tubo de acero no es efectivo hasta ese p unto, en que el hormigón está totalmente agrietado y muy cerca de su capacidad de compresión. Por esta razón, el confinamiento pasivo no incrementa notablemente la resistencia a compresión, en cambio, al restringir la expansión lateral, incrementa el valor que puede alcanzar la máxima deformación útil. En la practica no se utilizan comúnmente tubos de acero para proporcionar confinamiento, lo usual es utilizar armadura transversal el forma de espirales (zunchos) o estribos. La armadura longitudinal distribuida también aporta al confinamiento aunque en menor medida. a. Confinamiento por zunchos

Los zunchos son aros circulares de acero que rodean el elemento estructural al cual se le desea proporcionar confinamiento, por ejemplo columnas. Estos aros envuelven a la armadura longitudinal y el hormigón y creando un núcleo confinado, lo que permite proporcionar mayor ductilidad a las columnas. Suponiendo que los zunchos están suficientemente próximos entre si para aplicar una presión casi uniforme en el cilindro o a lo menos a nivel de cada zuncho, es posible calcular la presión de confinamiento a partir de la tensión sobre cada aro de acero. -13Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

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Considerando el diagrama de cuerpo libre de medio aro. La presión lateral en el hormigón f l alcanza su máximo cuando el refuerzo llega a la fluencia f y . Si D es el diámetro del aro, s es el paso entre zunchos y As el área de la sección del aro de refuerzo, por condiciones de equilibrio estático se tiene: f y ·As

2 ·f y ·As = D ·s ·f l f l =

D

2 ·f y ·As

f l

D ·s

f y ·As

Por lo tanto, la resistencia a compresión del hormigón confinado por zunchos será: f cc ' = f c '+8 .2 ·

f y ·As D ·s

En las regiones sin zuncho el elemento sufrirá desprendimientos de hormigón.

b. Confinamiento por estribos

Los estribos son aros rectangulares de acero que cumplen la misma función que los zunchos y son ampliamente utiliza dos en elementos de sección prismática, sin embargo, no son tan efectivos como los zunchos, pues en zonas alejadas de las esquinas estos elementos se deforman por flexión, perdiéndose el efecto de confinamiento.


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Basados en resultados experimentales, Blume et Al. han propuesto expresiones para calcular la resistencia del hormigón confinado por estribos. En esta expresión, la contribución del los estribos se considera igual a la mitad de la contribución de los zunchos. Para estribos donde la longitud del lado largo es h, se tiene: f cc ' = f c '+4 .1·

f y ·As h ·s

No obstante, se ha demostrado que para estribos con ganchos intermedios las propiedades de confinamiento son tan buenas como la des los zunchos.

3.1.6 Influencia de la velocidad de carga y cargas cíclicas Resultados experimentales han demostrado que el hormigón aumenta su resistencia y rigidez a altas velocidades de aplicación de carga durante el ensayo. Esta propied ad es especialmente importante al evaluar la respuesta de estructuras bajo la acción de cargas dinámicas, tales como sismos, impactos, etc. Por ejemplo, un ensayo a una velocidad de deformación de 0.01/seg, presenta un incremento de resistencia de aproximadamente un 17% y un aumento de su rigidez cercana al 10%. Por otro lado, ciclos repetidos de carga de alta intensidad producen claros ciclos de histéresis en la respuesta carga-defo rmación. Empíricamente se ha demostrado que la envolvente de estos ciclos de histéresis es casi idéntica a la respuesta monotónica, por lo que no se requiere modificar las curvas esfuerzo-deformación al evaluar la resistencia a la flexión de elementos sometidos a acciones sísmica.


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Envolvente Historia Carga-Desplazamiento Segunda Serie 15000

10000

5000 Muro M6A

] g k [

a g r a -50 C

Muro M6B

0 -40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

-5000

-10000

-15000

Desplazamiento [mm]

3.1.7 Hormigones en Chile En chile existe todo un protocolo de dosificación de hormigones de forma de obtener las resistencias requeridas por el ingeniero que diseña la obra, clasificados según los grados especificados por la norma. En general se utiliza la clasificación especificada por la resistencia cilíndrica característica a compresión especificada a 28 días, f c ' . El hormigón puede ser preparado en obra o bien proporcionada por empresas especializadas en el ramo, que garantizan dosificación y calidad adecuadas a los requerimientos de cada obra.


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3.2 Acero 3.2.1 Curva Esfuerzo-Deformación del Acero: Las propiedades de ductilidad del hormigón armado son proporcionadas por la capacidad del acero de refuerzo de deformarse dentro del rango inelástico, sin sufrir degradación significativa, aún a altos niveles de deformaciones. En la figura mostrada a continuación se muestra la curva esfuerzo deformación típica del acero de refuerzo para hormigón armado. En esta curva se distinguen las siguientes zona: 

Rango elástico, con un módulo de elasticidad (pendiente) E s = 2 .1 × 10 6 Kg / cm 2 , hasta alcanzar su punto de fluencia f y .



Meseta de fluencia. La extensión de esta zona depende de la resistencia del acero. Aceros de alto contenido de carbono y alta resistencia, presentan por lo general una meseta más reducida.



Zona de endurecimiento por deformación, hasta alcanzar su carga máxima f u . Esta se explica por la disminución en el área de la sección de la barra acero por efecto Poisson. Esta zona presenta un módulo de elasticidad menor E sh .



Perdida de resistencia y falla a un nivel de carga menor al máximo registrado previamente. f s

f u f y

ε y

ε sh

ε u

ε s

Algunos aceros presentan un comportamiento particular, por ejemplo, en algunos casos, la meseta de fluencia no existe, comenzando el endurecimiento por deformación inmediatamente después de la fluencia. Dado que el punto de fluencia no queda bien definido, se debe adoptar -24Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

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algún criterio para especificar una resistencia nominal a la fluencia. Este comportamiento es típico de los aceros de alta resistencia, y no es el más adecuado para fines de diseño sísmico.

3.2.2 Resistencia: a. Fluencia

Se conoce como resistencia de fluencia f y , el nivel de esfuerzos a la cual una barra de acero fluye, esto es se deforma significativamente con un leve incremento de carga. La resistencia de fluencia especificada para los acero ( f y ), por lo general corresponden a un valor mínimo, siendo la resistencia real superior en la mayoría de los casos. b. Rotura:

Se conoce como resistencia de rotura f u , el nivel de esfuerzos a la cual una barra de acero se corta. Por lo general, se establece como requerimiento, la existencia de un valor mínimo de alargamiento en fluencia antes de la rotura, a fin de asegurar capacidad de deformación en los elementos de hormigón armado (ductilidad). Mediante un proceso de pre-estiramiento es posible llevar el punto de fluencia f y hasta la carga de ruptura f u , sin embargo, este tipo de tratamientos genera aceros de baja ductilidad disponible.

3.2.3 Módulo de Elasticidad El módulo de elasticidad del acero queda definido por el código como: E s = 200000

MPa

E s = 2 .1 × 10 6

Kg/cm2

Por lo general los fabricantes de acero están en condiciones de garantizar dicho valor gracias a los estrictos controles de calidad aplicados en la fabricación.

3.2.4 Influencia de la velocidad de carga y cargas cíclicas Para cargas aplicadas a latas velocidades, se ha demostrado empíricamente que el módulo de elasticidad E s y el punto de fluencia f y , se incrementan hasta en un 15%. Bajo cargas cíclicas en el rango inelástico el acero se comporta en forma no lineal a niveles menores de deformación inicial de fluencia, tal como se muestra en la figura. Este fenómenos se conoce como Efecto Bauschinger.


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3.2.5 Aceros en Chile Las barras de acero para refuerzo de hormigón armado se fabrican en Chile de acuerdo a la Norma NCh204, lisas y con resaltes, en las calidades: A 44-28 H A 63-42 H En esta notación, la “A” indica que es acero; el primer numero la tensión de rotura; el segundo numero la tensión de fluencia; y finalmente la “H” su utilización como acero de refuerzo para hormigón armado. Por ejemplo una acero A 44-28 H, tendrá una resistencia a la rotura de 4400 Kg/cm2 y una tensión de fluencia de 2800 Kg/cm 2. Las barras con resalte, poseen protuberancias en su superficie, destinadas a aumentar la adherencia entre el refuerzo y el hormigón. Estas barras están disponibles en los diámetros de 8, 10, 12, 16, 18, 22, 25, 28, 32 y 36 mm Las barras lisas están disponibles solo en diámetros de 6mm.


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Hormigón Armado

Número de barras [mm] 6 8 10 12 16 18 22 25 28 32 36

1

2

3

4

0.28 0.57 0.85 1.13 0.50 1.01 1.51 2.01 0.79 1.57 2.36 3.14 1.13 2.26 3.39 4.52 2.01 4.02 6.03 8.04 2.55 5.09 7.64 10.18 3.80 7.60 11.40 15.20 4.91 9.82 14.73 19.64 6.16 12.32 18.47 24.63 8.04 16.09 24.13 32.17 10.18 20.36 30.54 40.72

5

6

7

8

9

1.42 2.52 3.93 5.66 10.06 12.73 19.01 24.55 30.79 40.22 50.90

1.70 3.02 4.71 6.79 12.07 15.27 22.81 29.45 36.95 48.26 61.07

1.98 3.52 5.50 7.92 14.08 17.82 26.61 34.36 43.11 56.30 71.25

2.26 4.02 6.28 9.05 16.09 20.36 30.41 39.27 49.26 64.34 81.43

10

11

12

2.55 2.83 3.11 3.40 4.53 5.03 5.53 6.04 7.07 7.85 8.64 9.42 10.18 11.31 12.44 13.57 18.10 20.11 22.12 24.13 22.91 25.45 28.00 30.54 34.21 38.01 41.81 45.61 44.18 49.09 54.00 58.91 55.42 61.58 67.74 73.90 72.39 80.43 88.47 96.52 91.61 101.79 111.97 122.15

Espaciamiento de barras por metro [mm] 6 8 10 12 16 18 22 25 28 32 36

6

8

10

4.72 3.54 2.83 8.38 6.29 5.03 13.08 9.81 7.85 18.85 14.14 11.31 33.52 25.14 20.11 42.42 31.81 25.45 63.35 47.51 38.01 81.82 61.36 49.09 102.63 76.98 61.58 134.05 100.54 80.43 169.65 127.24 101.79

12

14

15

16

18

20

22

24

25

2.36 4.19 6.54 9.43 16.76 21.21 31.68 40.91 51.32 67.03 84.83

2.02 3.59 5.61 8.08 14.36 18.18 27.15 35.06 43.99 57.45 72.71

1.89 3.35 5.23 7.54 13.41 16.97 25.34 32.73 41.05 53.62 67.86

1.77 3.14 4.91 7.07 12.57 15.91 23.76 30.68 38.49 50.27 63.62

1.57 2.79 4.36 6.28 11.17 14.14 21.12 27.27 34.21 44.68 56.55

1.42 2.52 3.93 5.66 10.06 12.73 19.01 24.55 30.79 40.22 50.90

1.29 2.29 3.57 5.14 9.14 11.57 17.28 22.31 27.99 36.56 46.27

1.18 2.10 3.27 4.71 8.38 10.60 15.84 20.45 25.66 33.51 42.41

1.13 2.01 3.14 4.52 8.04 10.18 15.20 19.64 24.63 32.17 40.72


Hormigón Armado

4 Lecturas Recomendadas   

Nilson, Arthur Park, R & Pauly, ) ICH

“Diseño de estructuras de concreto” Cap. 1 “Estructuras de concreto reforzado” Cap. 1 y 2 “Código de Diseño de Hormigón Armado” Cap. 8 y 9.1. a 9.4.


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Capítulo 2 – Carga Axial 5 Elementos Sometidos a Compresión Pura En elementos que soportan principalmente compresión axial, por ejemplo, columnas cortas, resulta muy económico hacer que el hormigón resista la mayor parte de la carga. No obstante siempre es recomendable incluir en dichos elemento acero de refuerzo por varias razones. En primer lugar, rara vez existen elementos que estén sometido a carga axial pura durante toda su vida útil, por lo que es conveniente incluir armaduras que resistan las posibles tensiones generadas por la ocurrencia de flexión. Por otro lado, si el acero con mucha mayor resistencia que el hormigón toma parte de la carga de compresión, es posible reducir la sección transversal de la columna, cuanto mayor sea la cantidad de acero. El caso extremo sería reemplazar la columna de hormigón armado por una de acero.

5.1 Comportamiento Elástico Para esfuerzo inferiores a 0 .5 ·f c ' , el hormigón parece tener un comportamiento prácticamente elástico, es decir, los esfuerzos y las deformaciones unitarias se mantienen proporcionales. Este rango se extiende en el hormigón hasta deformaciones unitarias del orden de 0.0005, mientras que para el acero el rango elástico se extiendo a deformaciones de hasta 0.002. Debido a que el hormigón y el acero actúan en forma solidaria, las deformaciones unitarias a compresión de ambos materiales será la misma: ε c

= ε s

f c

=

f s

E c E s A partir de lo cual es posible establecer una relación de esfuerzos entre el acero y el hormigón: f s =

Donde n = E s

E c

E s E c

·f c = n ·f c

es conocida como razón modular.

Entonces si un elemento está sometido a una carga P de compresión, esta carga se distribuirá sobre los materiales de la siguiente manera: P = Ac ·f c + As ·f s = Ac ·f c + As ·n ·f c = f c (Ac + n ·As )

El término (Ac + n ·As ) puede interpretarse como el área de una sección transversal ficticia de hormigón, llamada área transformada, la cual cuando está sometida al esfuerzo particular del concreto da la misma carga axial P que la sección real de hormigón y acero. Esto puede verse en las figuras (a)y (b). En ellas las tres barras de acero a lo largo de cada una de las caras son reemplazadas con áreas adicionales de hormigón ficticias, iguales a (n ·As ) , -33Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

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situadas a la misma distancia del eje de la sección que las barras. Dado que las barras han sido reemplazadas por hormigón, parte del área de hormigón es utilizada para rellenar el espacio dejado por los refuerzos, por lo tanto el solo se requeriría adicionar (n − 1)As , al área bruta de hormigón Ag , tal como se muestra en (c). Por lo tanto la ecuación de equilibrio de la sección queda de la siguiente forma: P = f c Ag + (n − 1)·As

5.2 Comportamiento Inelástico Las relaciones expuestas anteriormente sólo son válidas para el rango elástico (ε < 0 .0005 ) , pues en este rango los módulos de elasticidad de ambos materiales permanecen constantes. Sobre este nivel de deformaciones, primero el modulo de elasticidad del hormigón comienza a decaer y además una vez que se supera el nivel de deformaciones unitarias ε < 0 .002 el acero comienza a fluir, momento en que deja de aumentar f s y adopta un valor fijo f y ; más adelante o incluso coincidiendo con la fluencia del aceros el hormigón alcanza su punto de falla por aplastamiento. Por lo tanto en el rango inelástico es necesario realizar un análisis punto a punto determinando la magnitud de f c para el hormigón y f s para el acero, para cada valor de ε . Luego la ecuación de equilibrio corresponderá a: P = Ac ·f c + As ·f s

Donde f c y f s son funciones de ε . Si esto lo escribimos de la siguiente manera. -34Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

Hormigón Armado

P = f c ⎛ ⎜ Ac +

⎝

E s

·As ⎞⎟ = f c (Ac + n ·As ) ⎠

E c

Tenemos que, antes de la fluencia del acero, E s puede mantener se relativamente constante mientras E c es función de ε , por consiguiente n = E s también será función de ε . E c Entonces a medida que aumenta la deformación, el hormigón pierde rigidez, esto es E c va disminuyendo, por lo tanto n = E s va creciendo. Esto significa, que a medida que aumentan E c las deformaciones en el rango inelástico, la carga se va redistribuyendo, aumentando cada vez más la participación del acero en la resistencia del elemento. La falla de elemento ocurrirá cuando el hormigón alcance su resistencia a la compresión f c ' y en acero alcance su tensión de fluencia f y . En este punto la ecuación de equilibrio adopta la forma: P = 0 .85 ·Ac ·f c '+ As ·f y

La aparición del factor 0.85 aplicado al hormigón será revisado con más detalle en capítulos futuros.

6 Elementos Sometidos a Tracción Pura Ya se ha visto que la resistencia a la tracción del hormigón es apenas una pequeña fracción de su resistencia a la compresión, de esto se concluye que el hormigón no está bien condicionado para ser utilizado en elementos sometidos a tensión, no obstante, existen situaciones en que el hormigón armado puede estar sometido a tracción, principalmente en elementos de unión en arco o estructuras similares. Tales elementos por lo general están compuestos un arreglo de barras embebidas en el hormigón muy similar a los elementos en compresión. Cuando las fuerzas de tensión se mantiene en niveles suficientemente bajos de manera que los esfuerzos en el hormigón no alcancen su resistencia a la tracción, tanto el acero como el hormigón se comportan elásticamente. En esta situación, todas las expresiones derivadas para el comportamiento elástico en compresión son válidas. En particular la expresión de equilibrio en la sección, la cual se expresa: P = f ct (Ac + n ·As )

Donde f ct corresponde al esfuerzo en tensión del hormigón. Sin embargo, al aumentar la carga, el hormigón alcanza su resistencia a la tracción para un esfuerzo y deformación unitaria del orden de un 10% de lo que puede alcanzar en compresión y mucho antes que el acero alcance su estado de fluencia. En este estado el hormigón se agrieta a través de toda su sección transversal, cuando esto ocurre el hormigón deja de resistir -35Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

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tracción, pues evidentemente ninguna fuerza puede trasmitirse a través del espacio de aire dejado por la grieta. Por lo tanto a partir de este instante es el acero quien resiste toda la carga. Entonces, en este estado la ecuación anteriormente expuesta adopta la forma: P = f s ·As

Ecuación que se mantiene hasta que el acero alcanza su fluencia, lo que es considerado como Punto de falla, pues el incremento de las deformaciones ante pequeños aumento de carga son excesivos. La resistencia máxima útil del elemento en tracción queda entonces definida por la fluencia del acero, lo que esta representado en la siguiente ecuación: P n = f y ·As

Para mantener un margen de seguridad adecuado, la fuerza permitida en un elemento en tracción para cargas de servicio normales deben estar en el orden de 0 .5 ·P n . Ahora bien, pese a que una vez fisurada la sección el hormigón no aporta resistencia al elemento, esta continúa cumpliendo sus funciones de protección contra el fuego y las corrosión del acero. Existen situaciones en las cuales el hormigón armado que se utiliza en tracción no admite la presencia de grietas, por ejemplo: estanques circulares. En estos casos se debe garantizar la impermeabilidad de la estructura, por lo que debe evitarse que la tensión circular causada por la presión del fluido sobre las paredes ocasione grietas. En estos casos se suele diseñar basados en las ecuaciones elásticas definidas para niveles de esfuerzo establecidos por debajo de la resistencia a tracción f ct , o bien se establecen límites de ancho de grieta para condiciones de servicio.


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7 Lecturas Recomendadas 

Nilson, Arthur

“Diseño de estructuras de concreto”

Cap. 1.9. y Problemas


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Capítulo 3 – Flexión 8 Preámbulo e Hipótesis de Diseño En este capítulo se tratará el comportamiento, análisis y diseño de elementos sometidos a flexión, por ejemplo vigas. Se verá en detalle la distribución de esfuerzos internos generados en una sección debido a un momento flector, los tipos de falla que se pueden presentar, la determinación de resistencia de dichos elementos, diseño y recomendaciones. Las hipótesis fundamentales utilizadas en el análisis son las siguientes: 



 

Los esfuerzos internos, normales y tangenciales, en cualquier sección del elemento están en equilibrio con los efectos de las cargas externas aplicadas (Momento, corte, carga axial). La deformación unitaria experimentada por las barras de acero embebidas en el hormigón es la misma que se registra en el hormigón circundante. Dicho de otra forma, existe una adherencia perfecta entre el hormigón y las barras de refuerzo. No existe deslizamiento. Las secciones transversales planas antes de la aplicación de carga, permanece planas bajo la acción de las cargas. Debido a que la resistencia a tracción de hormigón es apenas una pequeña fracción de la resistencia a compresión, el concreto de la parte de la sección sometida a tracción por lo general se encontrará fisurado. Aunque para elementos bien diseñados dichas fisuras son apenas visibles, estas no permiten que el hormigón trasmita carga. De acuerdo con esto, en general, se supone que el hormigón no resiste tracción.


Hormigón Armado

9 Vigas Rectangulares Simplemente Armadas Las vigas de hormigón simple son ineficientes como elementos sometidos a flexión, pues su resistencia a tracción en flexión es muy baja frente a su capacidad resistente en compresión por flexión. En consecuencia estas vigas fallan en el lado sometido a tracción a cargas muy bajas, antes de que se desarrolle la resistencia completa del hormigón en la cara a compresión. Por esta razón se colocan barras de acero como refuerzo en el lado sometido a tracción, tan cerca como sea posible del extremo de la fibra sometida a tracción, sólo cuidándose de conservar un cierto recubrimiento de hormigón a modo de protección contra la corrosión y el fuego.

a. Comportamiento A modo de ejemplo ilustrativo considere la siguiente viga simplemente apoyada de sección rectangular sometida a un par de cargas puntuales, tal como se muestra en la figura.

A

A

(+)

M(x)

Q(x)

(+) (-)

Las cargas sobre dicha viga se incrementan paulatinamente desde cero hasta alcanzar su punto de falla. Bajo estos supuestos se pueden distinguir claramente los siguientes estados de comportamiento diferentes:




Hormigón Armado Rango elástico. Sección no fisurada

Para cargas bajas, por debajo del módulo de rotura del hormigón (f r ) , toda la sección de hormigón actúa resistiendo los esfuerzos de tracción y compresión generados por el momento flector a ambos lados del eje neutro. En esta etapa, las deformaciones son pequeñas y los esfuerzos son proporcionales a ellas (rango elástico). La distribución de deformaciones y esfuerzos se ilustra en la siguiente figura: f c

εc

h εs

As

f s εct

f ct

En este caso, el análisis de la sección se basa en la teoría elástica, muy similar a lo realizado en el estudio de secciones sometidas a carga axial, presentado en el capítulo 2. Se define una sección transformada, donde el área aportada por las barras de acero es reemplazada por un área equivalente de hormigón, determinada por la razón modular, n = (E s E c ) .

y h

Eje Neutro

h As

(n-1)·As

Entonces, si la sección esta sometida a un momento flector M, los esfuerzos máximos generados sobre el hormigón quedan determinados por las ecuaciones: f c =

M ·y I

f ct =

M ·( h − y ) I


Hormigón Armado

Los esfuerzos sobre el acero se determinan mediante: M ·(d − y ) f s = n · I

Donde I corresponde a la momento de inercia de la sección transformada respecto al eje neutro, e y corresponde a la posición del eje neutro de la sección transformada respecto a la fibra extrema a compresión (tal como se realiza para encontrar el centroide de una sección plana). En este caso:

(b ·h )·h 2 + (n − 1)·As ·d y = (b ·h ) + (n − 1)·As b ·h 3 I = + (b ·h )(· h 2 − y )2 + (n − 1)·As ·(d − y )2 12

Por lo tanto el momento máximo que es capaz de resistir el una viga de hormigón armado antes de agrietarse corresponde a: M gr =



f r ·I

(h − y )

Rango elástico. Sección fisurada

Cuando se aumenta la carga y se supera el módulo de rotura del hormigón en la cara traccionada se desarrollan grietas, las que se propagan rápidamente acercándose al eje neutro, el que a su vez también se desplaza debido a la perdida de área efectiva de hormigón que resiste la tensión. Es evidente que el hormigón esta imposibilitado de trasmitir carga a través del tramo fisurado. En vigas bien diseñadas la amplitud de las grietas por lo general son tan pequeñas, que no es posible detectarlas a simple vista y no revisten un perjuicio desde el punto de vista de la protección de las barras contra el fuego y la corrosión. Si la carga aplicada es moderada y genera esfuerzos sobre el concreto menores a 0.5·f c’, los materiales permanecerán en el rango elástico, esto es, los esfuerzos serán proporcionales a las deformaciones unitarias. La situación antes descrita, ocurre por lo general para estructuras bajo condiciones normales de servicio. Para simplificar el análisis se supone que las grietas alcanzan el eje neutro y que se cumplen la hipótesis de que las secciones planas antes de la aplicación carga permanecen planas durante la aplicación de carga.


Hormigón Armado

f c

εc

h εs

As

f s

Para calcular los esfuerzo internos en el material sometido a un momento flector M, es posible aplicar una metodología similar a la aplicada con anterioridad a secciones no fisuradas en que los materiales permanecen dentro del rango elástico utilizando la sección transformada, pero considerando sólo el área transformada de acero actuando en tracción, pues el hormigón al encontrarse agrietado ya no resiste tensiones. La sección transformada corresponderá entonces a la que se muestra en la siguiente figura:

kd h

d

Eje Neutro

h As

n·As

La ubicación de eje neutro queda determinada a través del factor “kd” que representa una fracción de la altura efectiva d. Dado que la sección se encuentra en equilibrio con las cargas externas se debe comprobar que la resultante de compresión es igual a la resultante de tracción; y además los momentos generados por estas resultantes son iguales al momento externo M aplicado.

f c kd d f s


Hormigón Armado

Suponiendo que la distribución de esfuerzos de compresión es triangular tal como se indica en la figura, es posible definir la siguiente ecuación: C = T

f c ·kd



2

·b = f s ·As

Por compatibilidad geométrica: ε s

d − kd ·ε c kd E s

=

n =

E c

·

f c = E c ·ε c f s = E s ·ε s = E s ·

d − kd d − kd d − kd ·ε c = n ·E c · ·ε c = n ·f c kd kd kd

Por lo tanto: f c ·kd 2

·b = f s ·As

f c ·kd 2

d − kd ·f c ·As kd

·b = n

Reordenando, es posible obtener la siguiente ecuación para kd : b ·(kd )2 + n ·As ·(kd ) − n ·As ·d = 0 2

Por otro lado las ecuaciones de momento corresponde a: f c ·kd

(



M =

(



M = f s ·As · d − kd 3

M = C · d − kd 3 M = T · d − kd 3

2

(

)

·b · d − kd 3

(

A partir de estas ecuaciones es posible determinar los esfuerzos máximos a los que está sometido el hormigón: f c =

2 ·M kd · d − kd ·b 3

(

)


Hormigón Armado

Mientras que los esfuerzos registrados por el refuerzo de acero son: f s =

M As · d − kd 3

(

)

Finalmente el máxima flexión que puede desarrollar esta sección, antes de perder sus propiedades elásticas correspondería al caso en que f c = 0 .5 ·f c ' , esto es: M el =



f c '

(

)

·b ·kd · d − kd 3

4

Rango inelástico. Sección fisurada

Si se continúa aumentando la carga, los esfuerzos dejan de ser proporcionales a las deformaciones, pues el hormigón entra en la zona inelástica de la curva. Por lo tanto, si bien se puede seguir considerando la hipótesis de que las secciones planas antes de la aplicación de carga permanecen planas durante la aplicación de carga, la distribución de esfuerzos a compresión no será lineal, sino que adoptará la forma de la curva esfuerzo deformación del hormigón. εc

f c

h As

εs

f s

El estudio del comportamiento del hormigón armado en esta fase es sumamente importante, pues es bajo esta situación donde se produce la falla de los elementos. Luego, conociendo el comportamiento del hormigón fisurado dentro del rango inelástico es posible obtener predicciones adecuadas para la capacidad última de la estructura, condición de diseño de nuestras estructuras, proporcionando los márgenes de seguridad correspondientes. Sin embargo, existe el problema en la determinación de la forma que adopta la distribución de esfuerzos en el tramo comprimido, pues no existe una expresión analítica que permita determinarla con exactitud, y las aproximaciones realizadas, son demasiado elaboradas como para aplicarlas en diseño. Lo que si se ha logrado determinar con relativa precisión, son parámetros geométricos (α y β ) que permitan determinar la ubicación del eje neutro (c) y la resultante de compresión (C). -44Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

Hormigón Armado

f c β ·c

C = α ·f c ·b ·c

c d

f s

T = As ·f s

Aplicando condiciones de equilibrio similares al caso anterior: C = T

α ·f c ·b ·c = f s ·As



M = C ·(d − β ·c )



M = α ·f c ·b ·c ·(d − β ·c )

M = T ·(d − β ·c )



M = f s ·As ·(d − β ·c )

Luego: c =

f s ·As α ·f c ·b ·

Entonces:

⎛

M = f s ·As ·(d − β ·c ) = f s ·As ·⎜⎜ d − β ·

⎝

⎛

M = f s ·As ·⎜⎜ d −

⎝

f s ·As ⎞

⎟

α ·f c ·b · ⎠⎟

β f s ·As ⎞

·

⎟

α f c ·b · ⎠⎟

Experimentalmente se ha logrado determinar que en estados cercanos a la falla del hormigón por aplastamiento (f c ≈ f c ') , los parámetros α y β adoptan los siguientes valores:


Hormigón Armado

⎧0 .72 ⎪ ⎛ f '−275 ⎞ ⎪ α = ⎨0 .72 − ⎜ c ⎟·0 .04 68 75 . ⎝ ⎠ ⎪ ⎪0 .56 ⎩

si f c ' ≤ 275 [Kg / cm 2 ]

⎧0 .425 ⎪ ⎛ f '−275 ⎞ ⎪ β = ⎨0 .425 − ⎜⎜ c ⎟⎟·0 .025 68 75 . ⎝ ⎠ ⎪ ⎪0 .325 ⎩

si f c ' ≤ 275 [Kg / cm 2 ]

si 275 ≤ f c ' ≤ 550 [Kg / cm 2 ] si f c ' ≥ 550 [Kg / cm 2 ]


Luego la ecuación de momento adopta la forma:

⎛ f ·A ⎞ M = f s ·As ·⎜⎜ d − 0 .59 · s s ⎟⎟ f c '·b · ⎠ ⎝ b. Tipos de Falla: Suponga un elementos sometido a flexión pura. Si a este elemento se le lleva hasta su capacidad máxima, los esfuerzos internos aumentarán paulatinamente hasta que alguno de los elementos alcance su resistencia máxima, en ese instante el elemento dejara de resistir carga, las deformaciones aumentaran ostensiblemente y el grado de agrietamiento será notorio, presentándose de esta forma la falla. Esta falla podría producirse por dos razones, la primera correspondería al caso en que el hormigón alcance su resistencia máxima a compresión (f c ' ) , la otra alternativa es que el acero de refuerzo alcance la fluencia f y ) . 

Falla por Compresión:

Cuando a un elemento de hormigón armado se le ha proporcionado cantidades elevadas de acero, es posible que el hormigón alcance su capacidad máxima antes de que el acero logre entrar en fluencia. En tal caso la profundidad del eje neutro (c) aumenta considerablemente, lo que provoca un aumento de la resultante de compresión, a fin de equipara la resultante de tracción. La resistencia a flexión del elemento se alcanza cuando los esfuerzos sobre el hormigón alcanza el valor f c = f c ' lo que ocurre por lo general para una deformación de la fibra exterior del hormigón en compresión del orden de 0.003 cm/cm (deformación última ε u = 3 0 00 ). Este tipo de falla es frágil y repentina, no existiendo ninguna advertencia que permita prever la falla, debido a que las grietas generadas en la zona de tracción son pequeñas, debido al bajo esfuerzo sobre el acero. -46Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

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En la falla por compresión, por definición f s < f y . Aplicando las relaciones de compatibilidad geométrica: f s = E s ·ε s = E s ·

d − c ·ε c c

Luego el momento máximo que puede resistir el elemento en flexión (Momento último) es:

⎛ f ·A ⎞ M u = f s ·As ·⎜⎜ d − 0 .59 · s s ⎟⎟ f c '·b · ⎠ ⎝ Donde f s se determina en función de la deformación última del hormigón: f s = E s ·



d − c d − c ·ε u = E s · ·0 .003 c c

Falla por Fluencia

Si el área de acero proporcionada a la sección es baja, el refuerzo alcanzará tempranamente su límite de fluencia, antes que el hormigón alcance su resistencia; en tal caso la resultante de tracción permanecerá constantes T = As ·f y ) . Bajo estas condiciones un ligero aumento de carga provocará elongaciones significativas en el acero, aumentando el nivel de agrietamiento y, en consecuencia, disminuyendo la profundidad del eje neutro, pero con un aumento de los esfuerzos sobre el hormigón. Finalmente la resistencia al flexión del elemento se alcanzará cuando el hormigón presente deformaciones unitarias del orden de 0.003, provocándose el aplastamiento del hormigón. Este tipo de falla es dúctil y va anunciada por una gran cantidad de grietas de espesor significativo en la zona de tracción, lo que aporta un margen de seguridad frente al colapso. En este caso, se cumple f s = f y , por lo tanto el momento máximo que puede resistir el elemento en flexión (Momento último) es: f y ·As ⎞ ⎛ ⎟⎟ M u = f y ·As ·⎜⎜ d − 0 .59 · f c '·b · ⎠ ⎝

Ahora bien, podría darse el caso en que la cantidad de acero de refuerzo sea tan reducida que, antes que el hormigón falle por aplastamiento, el acero se corte, pues ha alcanzado su resistencia última. Obviamente este tipo de falla es absolutamente indeseable, pues ocurre en forma súbita, por lo que se debe evitar a toda costa.


Hormigón Armado 

Falla Balanceada

Finalmente, existe una cantidad específica de acero para la cual el hormigón alcanza su deformación última al mismo tiempo que el refuerzo entra en fluencia, este tipo de falla se conoce como “Falla Balanceada”. En tal caso:

= 0 .003 y

ε c

f s = f y = E s ·ε s ·

A partir de las ecuaciones de compatibilidad geométrica es posible determinar : ε s

=

ε c

d − c b c b

f y E s 0 .003

·

d − c b

=

c b

·

Luego, la profundidad del eje neutro en una falla balanceada corresponderá a: c b =

0 .003 ·E s

·d

(f + 0 .003 ·E ) y

s

Considerando que se debe cumplir el equilibrio en la sección: C = T α ·f c ·b ·c = f s ·As

As = As bd

=

α ·f c ·b ·c

f s α ·f c ·c

f s ·d As

como cuantía de acero ( ρ ) , es posible calcular la cuantía de bd acero para la cual se presenta una falla balanceada: Si se define la razón

ρ b

=

ρ b

=

α ·f c '·c b

f y ·d α ·f c '

f y

0 .003 ·E s

(f + 0 .003 ·E ) y

s


Hormigón Armado

En tan caso la resistencia a flexión del elemento sería: f y ·As ⎞ ⎛ ⎟⎟ M u = f y ·As ·⎜⎜ d − 0 .59 · f b '· · c ⎝ ⎠ f y · ρ b ·b ·d ⎞ ⎛ ⎟⎟ M u = f y · ρ b ·b ·d ·⎜⎜ d − 0 .59 · f c '·b · ⎠ ⎝

⎛

M u = f y · ρ b ·b ·d 2 ·⎜⎜1 − 0 .59 ·ρ b ·

⎝

f y ⎞

⎟

f c ' ⎠⎟

Sin embargo, este tipo de falla es un caso muy especial y por lo general ρ ≠ ρ b , así que la cuantía balanceada sólo se utiliza como una herramienta para determinar a priori el tipo de falla que presentará un elementos sometido a flexión. ρ > ρ b

Falla por compresión

ρ < ρ b

Falla por fluencia

c. Diseño 

Distribución rectangular equivalente de esfuerzos

Como ya se ha explicado, para analizar el comportamiento de un elemento de hormigón armado sometido a cargas de flexión, no es necesario conocer con toda exactitud la forma como se distribuyen los esfuerzos de compresión, sino que basta con definir el valor de la resultante de compresión y su ubicación, lo que se realiza mediante los parámetros empíricos α y β . Se puede pensar, entonces, que es posible reemplazar la distribución de compresiones real, por una ficticia de geometría mucho más simple que cumpla con la condición de entregar una misma resultante de compresión que aplicada en el mismo punto que la real bajo condiciones de falla. Por ejemplo una distribución rectangular. La distribución rectangular equivalente propuesta es la indicada en la figura precedente. La magnitud de los esfuerzos esta definida por el valor γ ·f c ' , aplicada sobre una profundidad “a” correspondiente a una fracción de la profundidad del eje neutro (a = β 1 ·c ) .


Hormigón Armado

γ ·f c '

f’ β ·c

d

2

a = β 1 ·c

C = α ·f c '·b ·c

c

β ·c = a

C = γ ·f c '·b ·a

c d

f s

f s

T = A s ·f s

T = As ·f s

Para que satisfaga la primera condición impuesta sobre la ubicación resultante de compresión se debe cumplir: β ·c = a

2

β ·c = β 1

β 1 ·c

2

= 2 β

La segunda condición se refiere a la magnitud de la resultante: C real = C equivalent e α ·f c '·b ·c = γ ·f c '·b ·a α ·c = γ ·a

c a

c β 1 ·c

γ

= α · = α ·

γ

=

α β 1

=

α

2 β


Hormigón Armado

Si aplicamos los resultados experimentales obtenidos para α y β , podemos demostrar que: γ

= 0 .85

β 1

si f c ' ≤ 275 [Kg / cm 2 ]

⎧0 .85 ⎪ ⎛ f '−275 ⎞ ⎪ = ⎨0 .85 − ⎜ c ⎟·0 .05 68 75 . ⎝ ⎠ ⎪ ⎪0 .65 ⎩


Nótese que el valor de γ = 0 .85 es independiente de la resistencia del hormigón f c ' y viene a explicar la ecuación establecida para la falla a compresión de un elemento cometido a carga axial. De esta forma la el momento que es capaz de resistir un elemento a flexión queda determinado por el siguiente modelo: 0 .85 ·f c ' a 2

a = β 1 ·c

C = 0 .85 ·f c '·b ·a

c d

f s

T = As ·f s

Aplicando equilibrio de fuerzas en la sección: T = C As ·f s = 0 .85 ·f c '·b ·a a =

As ·f s 0 .85 ·f c '·b


Hormigón Armado

Aplicando equilibrio de momentos en la sección:

(

M = T · d − a 2

(

M = As ·f s · d − a 2

⎛ ⎜ ⎝

M = As ·f s ·⎜ d −

1 ⎛ As ·f s ⎞ ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ 2 ⎝ 0 .85 ·f c '·b ⎠ ⎠

Si suponemos que es deseable una falla dúctil y paulatina del elemente se debería imponer condiciones que garanticen una fluencia temprana del acero, de tal manera que la resistencia nominal de la sección corresponderá a:

⎛ ⎜ ⎝

M n = As ·f y ·⎜ d −

1 ⎛ As ·f y ⎞ ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ . · '· 2 ⎝ 0 85 f c b ⎠ ⎠⎟

Finalmente, para un diseño adecuado se debería asegurar que: M u ≤ φ ·M n

⎛ ⎜ ⎝

M u ≤ φ ·As ·f y ·⎜ d −

1 ⎛ As ·f y ⎞ ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ 2 ⎝ 0 .85 ·f c '·b ⎠ ⎠⎟

Con un factor de reducción de resistencia φ definido por el código. 

Cuantía máxima

Con anterioridad se ha mencionado que una falla por compresión en un elemento sometido a flexión, es repentina y no da ninguna señal de alerta, en cambio si el elemento falla por fluencia del acero, lo hará de forma gradual, mostrando grandes grietas y deflexiones, lo que permitirá tomar las mediadas necesarias que eviten el colapso. A esto se suma, la existencia de una reserva de resistencia debida al endurecimiento por deformación del acero que sigue a la meseta de fluencia, lo que no se ha tenido en cuenta al momento de calcular M n. Estas razones son suficientes, como para exigir que si existe falla en un elemento a flexión esta sea por fluencia del acero. Y no por aplastamiento de la cabeza de compresión del hormigón. Este tipo de falla se logra imponiendo que la cuantía de acero sea menor que la cuantía balanceada. En la práctica los códigos establecen como cuantía máxima un 75% de la cuantía balanceada, a fin de garantizar la falla por fluencia del acero, esto es: ρ max

= 0 .75 ·ρ b -52Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

Hormigón Armado

Donde: ρ b



=

α ·f c '

f y

0 .003 ·E s

(f + 0 .003 ·E ) y

s

Cuantía mínima

Por otro lado, se hace necesario imponer un límite inferior a la cuantía de refuerzo sometido a tracción , pues una baja cuantía de refuerzo podría provocar modos de falla indeseables. Por ejemplo, supongamos que a una viga se le proporciona una cantidad de refuerzo tal, que su momento resistente (M n) es menor que el momento de agrietamiento calculado según las ecuaciones establecidas para una sección no fisurada. Si se llega a superar el momento de agrietamiento, una vez que se forme la primera grieta, el acero no será capaz de resistir la carga y se cortará, provocando un falla repentina. De esta manera se ha llegado a establecer que la cuantía de refuerzo debe ser tal que a lo menos cubra esta demanda de resistencia y evite la falla frágil. M n ≥ M cr

⎛ ⎜ ⎝

As ·f y ·⎜ d −

· 1 ⎛ As ·f y ⎞ ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ≥ f r I 2 ⎝ 0 .85 ·f c '·b ⎠ ⎠⎟ (h − y )

bh 3 ⎛ 1 ⎛ As ·f y ⎞ ⎞ f r · 12 ⎟⎟ ⎟ ≥ As ·f y ·⎜ d − ⎜⎜ ⎜ ⎟ h ⎝ 2 ⎝ 0 .85 ·f c '·b ⎠ ⎠ 2

Suponiendo que en condiciones normales, por lo general, h = 1.1·d

d −

y

1 ⎛ As ·f y ⎞ ⎜ ⎟ = 0 .95 ·d 2 ⎜⎝ 0 .85 ·f c '·b ⎠⎟

Entonces:

⎛ 1 ⎛ As ·f y ⎞ ⎞ f r ·bh 2 ⎟⎟ ⎟ ≥ As ·f y ·⎜ d − ⎜⎜ ⎜ ⎟ 6 ⎝ 2 ⎝ 0 .85 ·f c '·b ⎠ ⎠ f r ·b ·(1.1·d )

2

As ·f y ·0 .95 d ≥

6


Hormigón Armado

f As ≥ 0 .21· r ·b ·d f y As b ·d

≥ 0 .21·

f r f y

Aplicando valores típicos de f r , es posible establecer la cuantía mínima de refuerzo exigida:



f c '

ρ min

=

ρ min

= 0 .79

4 ·f y

≥

1.4 f y f c '

f y

≥

En unidades de MPa

14 f y

En unidades de Kg/cm 2

Espaciamiento

Siempre es necesario mantener una distancia mínima entre barras de refuerzo, a fin de garantizar el correcto llenado de los moldajes con el hormigón fresco y evitar la generación de nidos. El código (ACI 7.6) exige un espaciamiento entre barras de a lo menos una vez el diámetro de la barra, pero nunca menor que 25 mm. e ≥ d b ≥ 25 mm 

Recubrimiento:

Para dar al acero una adecuada protección contra el fuego y la corrosión el código ACI-318 recomienda en su sección 7.7 un recubrimiento mínimo (r min) de hormigón para las barras. Este recubrimiento se mide desde el borde exterior de la barra más externa, que por lo general corresponde a los estribos o zunchos.

r r


Hormigón Armado Recubrimiento mínimo (rmin) [mm]

Hormigón colocado contra el suelo y permanentemente expuesto a él Hormigón expuesto al suelo o al aire libre Barras Φ18 a Φ56 Barras Φ16 y menores Hormigón No expuesto al suelo ni al aire libre Losas, muros y viguetas Barras Φ44 a Φ56 Barras Φ36 y menores Hormigón No expuesto al suelo ni al aire libre Vigas y columnas Armadura principal, amarras, estribos y zunchos Hormigón No expuesto al suelo ni al aire libre Cáscaras y placas plegadas Barras Φ18 y mayores Barras Φ16 y menores

70 50 40 40 20 40

20 15


Hormigón Armado

10 Vigas Rectangulares Doblemente Armadas Pueden existir situaciones en las cuales se hace necesario proporcionar armadura en ambas caras de la viga. Este es el caso, por ejemplo, de las vigas que por razones arquitectónicas son de poca altura, donde la resistencia a flexión obtenida utilizando la cuantía máxima de acero es insuficiente. Es posible entonces elevar el momento resistente colocando acero a compresión que cubra el déficit de altura (sección transformada). Otra justificación para el uso de acero en la cara de compresión corresponde al aumento de ductilidad que se proporciona al elemento estructural. Si hay acero a compresión, la profundidad del eje neutro disminuye, pues la fuerza interna de compresión se distribuye entre el acero y el hormigón, en consecuencia la falla de la cabeza de compresión se retrasa y por ende la curvatura última aumenta. También se utiliza acero a compresión para disminuir las deflexiones en las vigas bajo cargas de servicio. El acero a compresión reduce las deflexiones a largo plazo y reduce las curvaturas debido a la retracción del hormigón. Finalmente, la principal razón por la cual resulta recomendable utilizar vigas doblemente reforzadas corresponde a la posibilidad de que las cargas a las que esta sometido el elemento estructural se inviertan, cambiando el signo del momento flector, convirtiendo la cara comprimida en traccionada y viceversa. Ahora bien, en la evaluación de resistencia a la flexión de una sección, siempre es más conservador ignorar la presencia de acero a compresión, sin embargo, en ocasiones es necesario afinar el cálculo, por lo que se ha decido incluir esta sección. Considere la siguiente sección de una viga de hormigón armado utilizando la nomenclatura indicada: 0.85·f c’

εc

As’

d’

εs’

As’·f s’

d As

εs

As·f s

b En estado último se puede presentar las siguientes situaciones:


Hormigón Armado

a. Acero a tracción y compresión en fluencia (f s = f s ' = f y ) Si la cuantía de acero en tracción es menor o igual a la cuantía balanceada es posible calcular la resistencia de una viga doblemente reforzada omitiendo la armadura en compresión, pues la resistencia será controlada por la fluencia del acero en tensión y en general el brazo del momento resistente se verá afectado por el refuerzo en compresión muy poco. En cambio si la cuantía de acero es mayor que la balanceada, es necesario realizar un análisis más profundo. Considere la sección previamente mostrada, pero ahora desglosada: 0.85·f c’ a

0.85·f c’

As’·f y

As’·f y

=

+

d-d’

As·f y

(As-As’)·f y

As’·f y (1)

(2)

El momento resistente total corresponderá a la superposición de (1) y (2) M n = M n 1 + M n 2 M n 1 = As '·f y ·(d − d ')

⎛ ⎝

M n 2 = (As − As ')·f y ·⎜ d −

a ⎞ ⎟ 2 ⎠

⎛ ⎝

Esto es:

M n = As '·f y ·(d − d ' ) + (As − As ')·f y ·⎜ d −

Dónde:

a =

a ⎞ ⎟ 2 ⎠

(As − As ')·f y 0 .85 ·f c '·b

Se puede demostrar que la cuantía balaceada de un sección doblemente armada es: ρ b

= ρ b + ρ '

Dónde ρ b corresponde a la cuantía balanceada de la sección simplemente armada y A ' . ρ ' = s bd -57Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

Hormigón Armado

Finalmente es aconsejable para garantizar una falla dúctil que la cuantía total ρ MAX de la sección no supere el siguiente limite superior: ρ MAX

= 0 .75 ρ b + ρ '

b. Acero a tracción en fluencia, acero en compresión por debajo de la fluencia (f s = f y ; f s ' < f y ) Este caso se puede presentar en vigas anchas de poca altura, vigas con recubrimiento de hormigón sobre el acero a compresión mayor que lo habitual o vigas con cantidades relativamente pequeñas de refuerzo a tensión. Se hace necesario entonces desarrollar un análisis más general, válido para el caso en que la armadura de compresión no fluya y determinar la cuantía de acero a tensión mínima para la cual el acero a compresión comienza a fluir. Imponiendo que ε s ' = ε y , por compatibilidad geométrica (semejanza de triángulos) se puede encontrar la profundidad del eje neutro: ε c c = d ' ε c − ε y

c =

ε c ε c − ε y

⋅ d '

Aplicando la condición de equilibrio de fuerzas: 0 .85 ·f c '·a ·b + As '·f y = As ·f y 0 .85 ·f c '· β 1 ·c ·b + As '·f y = As ·f y

Despejando As se tiene: As =

0 .85 ·f c ' f y

·β 1 ·c ·b + As '

Reemplazando c: As =

0 .85 ·f c ' f y

· β 1 ·

ε c ε c − ε y

⋅ d '·b + As '

Al expresar la ecuación anterior en términos de cuantía (para vigas rectangulares): ρ cy

f ' d ' = 0 .85 · β 1 · c ⋅ · f y

ε c

d ε c − ε y

+ ρ '


Hormigón Armado

Donde ρ cy es la cuantía mínima de acero a tensión para que el acero a compresión comience a fluir y en la condición última (falla) ε c = 0 .003 y ε y = f y E . Por otro lado si la cuantía de acero a tensión es menor que el mínimo anteriormente definido ρ cy , el acero a compresión no logrará alcanzar la tensión de fluencia, pues la profundidad del eje neutro será muy baja. En tal caso es necesario determinar la cuantía balanceada de acero a tracción de manera de garantizar una falla dúctil, esto es, que ε s = ε y cuando ε c = ε u Del diagrama de deformaciones: c =

ε c ε c − ε s '

⋅ d '

c =

y

ε s '⋅d + ε y ⋅ d ' ε y

+ ε s '

Igualando ambas expresiones se tiene ε c ε c − ε s '

⋅ d ' =

ε s '⋅d + ε y ⋅ d ' ε y

+ ε s '

⎛ ε c ε y ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ε c − ε s ' ε y + ε s ' ⎟ ⋅ d ' = ⎝ ⎠

ε s '⋅d ε y

+ ε s '

⎛ ε c (ε y + ε s ') − ε y (ε c − ε s ' ) ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ d ' = ε s '⋅d ( ) − ' ε ε c s ⎝ ⎠ ⎛ ε c ε y + ε c ε s '−ε y ε c + ε y ε s ' ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ d ' = ε s '⋅d ( ' ) ε ε − c s ⎝ ⎠ ε s ' = ε c − (ε c + ε y ) ⋅

ε s ' = ε u −

d ' ⋅ (ε u + ε y ) d

Por otro lado:

f s ' = E s ·ε s '

Luego:

f s ' = E s ·⎜ ε u −

⎛ ⎝

d ' d

d ' ⋅ (ε u + ε y ) ⎞⎟ ≤ f y d ⎠


Hormigón Armado

Aplicando la condición de equilibrio de fuerzas: 0 .85 ·f c '· β 1 ·c ·b + As '·f s ' = As ·f y

Reemplazando el valor de c y despejando la cuantía de acero a tensión se obtiene: ρ b

= ρ b + ρ '⋅

f s ' f y

donde ρ b es la cuantía de acero a tensión para la cual el acero a tensión comienza a fluir. El cumplimiento de estas condiciones ( ρ < ρ b y ρ < ρ cy ), indican que, si bien, el acero a tensión está fluyendo, el acero a compresión aún no alcanza su límite de fluencia. Finalmente, si: f s ' = ε u ·E s ·

c − d ' c

Es posible obtener la profundidad del eje neutro (c) de la ecuación cuadrática que se obtiene al aplicar la condición de equilibrio de fuerzas: 0 .85 ·f c '· β 1 ·c ·b + As '·ε u ·E s ·

c − d ' = As ·f y c

De esta forma la resistencia de la viga queda determinada por:

⎛ ⎝

M n = 0 .85 ·f c '·a ·b ·⎜ d −

a ⎞ ⎟ + As '·f s '·(d − d ') 2 ⎠

Donde a = β 1 ·c

c. Acero a tracción por debajo de la fluencia, acero en compresión en fluencia (f s < f y ; f s ' = f y ) En forma análoga se puede demostrar que si ρ > ρ b y ρ > ρ cy , el acero a tensión no fluye pero el acero a compresión si fluye. Sin embargo, esta situación conduce a una falla frágil, pues el acero a tracción no alcanza su fluencia y la falla se provoca por un aplastamiento prematuro del hormigón, colapso que es brusco, repentino y obviamente indeseable.


Hormigón Armado

11 Vigas T En la mayoría de los edificios estructurados en hormigón armado, el hormigonado de las vigas se hace en conjunto con las losas. De esta forma, una parte de la losa va actuar en conjunto con la parte superior de la viga para resistir la compresión longitudinal, conformando una sección tipo T en vez de una rectangular. Según el código ACI-318 en su art. 8.10, se establece que el ancho efectivo de la losa usada como ala de las vigas T (b) no debe exceder ¼ de la luz de la viga. Además el ancho sobresaliente efectivo del ala a cada lado del alma no debe exceder: a) 8 veces el espesor de la losa (hf ) b) la mitad de la distancia libre al siguiente alma. Para vigas que tengan losa a un solo lado, el ancho sobresaliente efectivo del ala a cada lado del alma no debe exceder: a) 1/12 de la luz de la viga b) 6 veces el espesor de la losa (hf ). c) La mitad de la distancia libre al siguiente alma. Para vigas T aisladas, en las cuales el ala se utiliza únicamente con el propósito de proporcionar un área adicional de compresión, el espesor del ala (h f ) no debe ser menor que la mitad del ancho del alma (b w) y el ancho total del ala (b) no debe exceder 4 veces el del alma (bw).

b

b hf

bw

bw

Si se estudia del comportamiento de las vigas T, es posible darse cuenta que según la ubicación del eje neutro deben hacerse dos análisis. En el primer caso, el eje neutro puede ubicarse en el ala. Si suponemos que la falla esta controlada por la fluencia del acero, entonces el comportamiento de la viga podría modelarse tal como una viga rectangular de ancho igual al ancho colaborante de las alas, esto es:

⎛ ⎜ ⎝

M n = As ·f y ·⎜ d −

1 ⎛ As ·f y ⎞ ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ 2 ⎝ 0 .85 ·f c '·b ⎠ ⎠⎟


Hormigón Armado

Caso 1: EJE NEUTRO EN EL ALA (c < h f )

b c

hf

Eje neutro

d

bw El segundo caso corresponde a aquel en que el eje neutro se encuentra por debajo del ala, esto es, c > h f., en tal caso corresponde ver dos situaciones. Si la altura del bloque de compresión (a) resulta ser menor que el espesor del ala, el analisis es similar al realizado anteriormente, es decir, si: a =

As ·f s < h f 0 .85 ·f c '·b

Entonces:

⎛ ⎜ ⎝

M n = As ·f y ·⎜ d −

1 ⎛ As ·f y ⎞ ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ 0 .85 ·f c '·b ⎠⎟ ⎠⎟

En caso contrario se debe proceder de la siguiente manera. Si consideramos que existe una falla dominada por la fluencia, conviene dividir adecuadamente la cabeza de compresión de la viga en una sección correspondiente a las alas (1) y otra al alma (2), tal como se indica en la figura: Caso 2: EJE NEUTRO EN EL ALMA (c > h f )

b hf

1

1 2

d

a

c Eje neutro

bw -62Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

Hormigón Armado

De igual manera, el área de acero a tensión se divide en dos parte: As = As + (As − Asf )

donde Asf representa el área de acero, que al estar sometida a un esfuerzo f y , equilibra a la fuerza de compresión longitudinal de la porción sobresaliente de las alas (1), y (As − Asf ) representa el área de acero, que al estar sometida a un esfuerzo f y , equilibra a la fuerza de compresión longitudinal de la porción del alma (2). Por condiciones de equilibrio de fuerzas sabemos que: para las alas

Asf ·f y = 0 .85 ·f c '·h f ·(b − b w )

para el alma

(As − Asf )·f y = 0 .85 ·f c '·a ·b w

De la ecuación para las alas es posible despejar el valor de Asf : Asf = 0 .85 ·

f c ' f y

·h f ·( b − b w ) .

Y el momento resistente aportado por esta porción es:

⎛ ⎝

M n 1 = Asf ⋅ f y ⋅ ⎜ d −

h f ⎞ ⎟ 2 ⎠

Por otro lado de la ecuación del alma es posible despeja el valor de la altura de la cabeza de compresión a : a =

(As − Asf )·f y 0 .85 ·f c '·b w

Por lo tanto el momento resistente aportado por esta porción es:

⎛ ⎝

M n 1 = (As − Asf ) ⋅ f y ⋅ ⎜ d −

a ⎞ ⎟ 2 ⎠

Por lo tanto el momento resistente nominal total queda:

⎛ ⎝

M n = M n 1 + M n 2 = Asf ·f y ·⎜ d −

h f ⎞

⎛ a ⎞ ⎟ + (As − Asf ) ⋅ f y ⋅ ⎜ d − ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠


Hormigón Armado

Finalmente, conviene mencionar que, si bien, la gran superficie de hormigón en compresión proporcionada por las alas logra desarrollar la fluencia, no esta demás precisar una forma de determinar el limite superior de armadura a fin de garantizar la fluencia. Del diagrama de deformaciones unitarias se obtiene:

ε u c = d ε u + ε y Según la condición de equilibrio de fuerzas horizontales: 0 .85 ·f c '·a ·b w + 0 .85 ·f c '·h f ·(b − b w ) = As ·f y

Reordenando: As = 0 .85 ·

f c ' f y

f ' ·a ·b w + 0 .85 · c ·h f ·(b − b w ) f y

Expresado en forma de cuantía: ρ wb

f ' a ·b f ' h ·(b − b w ) = 0 .85 · c · w + 0 .85 · c · f f y b w ·d f y b w ·d

ρ wb

f ' a f ' h ·(b − b w ) = 0 .85 · c · + 0 .85 · c · f f y d f y b w ·d

ρ wb

= ρ b + ρ f

Donde: : :

ρ wb ρ b ρ f

=

cuantía balanceada de acero para vigas T cuantía balanceada de acero para vigas rectangulares :

0 .85 ·f c '·(b − b w ) ⋅ h f f y ⋅ b w ⋅ d

Se puede demostrar que es adecuado establecer como limite superior: ρ w Max

= 0 .75 ·( ρ b + ρ f )

Respecto a la cuantía mínima se aplican las mismas restricción que a las vigas rectangulares.


Hormigón Armado

12 Referencias y Recomendaciones del Código ACI 318-02. 12.1 Límites de deformaciones Tal como se mencionó en capítulos previos, un buen diseño de vigas debe respetar los requisitos de seguridad y serviciabilidad. Con respecto a la serviciabilidad, el código ACI art.9.5 propone alturas o espesores mínimos (h) para vigas que no soporten o estén ligadas a elementos susceptibles de ser dañados por las deformaciones.

Si se calculan las deformaciones, aquellas que ocurran inmediatamente por la aplicación de la carga, deberán calcularse mediante métodos tradicionales para las deformaciones elásticas, considerando el efecto del agrietamiento y de las armaduras en la rigidez, esto es, considerando el momento de inercia efectivo (I e), el cual puede calcularse según: -65Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

Hormigón Armado 3 ⎡ ⎛ M cr ⎞ 3 ⎤ ⎛ M cr ⎞ ⎟⎟ ·I g + ⎢1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥·I cr I e = ⎜⎜ ⎢⎣ ⎝ M a ⎠ ⎥⎦ ⎝ M a ⎠

Dónde: M cr =

f r ·I g y t

: momento de fisuración : momento máximo del elemento : momento de inercia de la sección bruta

M a I g

: momento de inercia de la sección fisurada : profundidad del centroide de la sección bruta : módulo e rotura del hormigón

I cr y t f r

Las deformaciones a largo plazo, resultantes de la fluencia lenta y retracción del hormigón se calculan multiplicando la deformación inmediata por el factor: λ =

ξ

1 + 50 ρ '

Dónde ρ '

: ⎧2 .0 ⎪1.4 ⎪ ξ = ⎨ ⎪1.2 ⎪⎩1.0

cuantía a compresión en la mitad de la luz o apoyo de un voladizo ≥ 5 años 12 meses 6 meses 3 meses

Todas estas deformaciones no deben exceder lo valores establecidos en la siguiente tabla:


Hormigón Armado

12.2 Prescripciones de Diseño Según ACI 318-02 Tal como se ha indicado en secciones previas, la resistencia nominal a flexión de un elemento de hormigón armado se alcanza cuando la fibra externa en compresión alcanza el limite de deformaciones asumido de 0.003. La ultima versión del código ACI contiene algunas innovaciones. En principio las secciones de los elementos sometidos a flexión se diferencian en tres tipos en función de las deformaciones unitarias netas del acero más traccionado ε t :

εu = 0.003 c dt

εt Armadura más cercana a la superficie en tracción


Hormigón Armado 

Secciones controladas por compresión: Esto ocurre cuando la deformación

unitaria neta de tracción en el refuerzo de acero más traccionado es igual o menor que el límite de deformación unitaria controlada por compresión cuando el hormigón en compresión alcanza su límite de deformación supuesto de 0.003. El límite de deformación unitaria controlada por compresión es la deformación unitaria neta de tracción de la armadura en condiciones de deformación unitaria balanceada (deformación de fluencia)), es decir, ε t ≤ ε y cuando ε u = 0 .003 . En tal caso, se esperará que el tipo de falla sea frágil, sin un claro aviso de falla inminente. Entonces es recomendable usar:  φ =

0.7 elementos con zunchos φ = 0.65 elementos con estribos

Para armaduras grado 420 se permite fijar el límite de deformaciones unitarias controladas por compresión en 0.002 

Secciones controladas por tracción: Esto ocurre cuando la deformación unitaria

neta de tracción en el refuerzo de acero más traccionado es igual o mayor a 0.005, justo cuando el hormigón en compresión alcanza su límite de deformación unitaria asumido de 0.003, es decir, ε t ≥ 0 .005 cuando ε u = 0 .003 , entonces se esperará que la falla se presente forma dúctil, con grandes deformaciones y agrietamiento que permita predecir el colapso. En tal caso es recomendable usar  φ =



0.9

Secciones no controladas ni por tracción ni compresión: Este caso se refiere a si 0 .005 ≤ ε t ≤ ε y cuando ε u = 0 .003 En estos casos el factor φ se debe

interpolar linealmente , tomando como extremos los dos casos anteriores. φ =

0 .2 ⋅ (ε t − ε y )

+ 0 .7

(0 .005 − ε ) 0 .25 ⋅ (ε − ε ) + 0 .65 φ = (0 .005 − ε )

elementos con zunchos

y

t

y

elementos con estribos

y

Para efectos de diseño, el código propone que para elementos en flexión la deformación neta de tracción debe ser mayor a 0.004 ( ε t ≥ 0 .004 ) . Esta limitación tiene por objetivo restringir en forma indirecta la cuantía máxima de acero de refuerzo( ρ < 0 .75 ·ρ b ). La cuantía mínima de acero corresponde a la ya indicada anteriormente: ρ min

=

f c ' 4 ·f y

≥

1.4 f y

En unidades de MPa


Hormigón Armado


Nilson, Arthur Park, R & Pauly, ICH

“Diseño de estructuras de concreto” Cap. 3 “Estructuras de concreto reforzado” Cap. 3 y 4 “Código de Diseño de Hormigón Armado” Cap. 10.


Hormigón Armado

Capítulo 4 – Longitud de Desarrollo, Empalmes y Anclajes 14 Preámbulo Los ingenieros más antiguos recuerdan el tiempo en que se al elaborar elementos de hormigón armado se utilizaban barras de acero lisas. En aquel entonces se requerían disposiciones y detalles especiales en las armadura, a fin de evitar el deslizamiento de la barra dentro del hormigón, pues la adherencia era proporcionada únicamente por la unión química y la fricción entre el hormigón y el acero, ambas de resistencia muy baja. Era común entonces ver ganchos en los bordes, tales como lo que se muestran en la figura y que las vigas fueran analizadas como arcos atirantados, en que las barras de acero están sometidas a una fuerza de tracción constante T = M max , donde jd corresponde al brazo del jd momento interno generado por la resultante de compresión y tracción.

Afortunadamente las innovaciones introducidas en la producción de las barras de acero de refuerzo han logrado desarrollar una nueva generación de barras estriadas, las cuales logran una mejor adherencias de entre el acero y el hormigón gracias al efecto de trabazón que se logra debido a las rugosidades incorporadas a su superficie. Esto permite que la tensión sobre las barras se distribuya a lo largo de toda su longitud, en forma proporcional a la distribución de momentos y brazo jd, en cada punto. Esto ha traído consigo un uso más eficiente de las barras, reducción de deformaciones y generación de grietas y un incremento en las condiciones de seguridad.


Hormigón Armado

15 Esfuerzos de Adherencia Para hacer un análisis simple del comportamiento de los esfuerzos de adherencia generados sobre las carras de acero, considere un pequeño tramo de viga de longitud dx, tal como se indica en la figura (a). En el se puede observar que por el lado izquierdo se registran esfuerzo de compresión sobre el hormigón y de tracción sobre el acero cuyas resultantes son C y T, respectivamente. Mientras que por el lado derecho existen esfuerzos de compresión y tracción levemente distintos, por lo tanto sus resultantes diferirán de las registradas al lado izquierdo, por lo que adoptan el valor C + dC y T + dT , respectivamente. Ahora bien si se calcula el momento generado por estas resultantes a cada lado se obtiene que, por la izquierda: M izq = T · jd

Mientras que por la derecha: M der = (T + dT )· jd = T · jd + dT · jd

Luego si:

M der = M izq + dM

Entonces:

dM = dT · jd

Por otra parte en la figura (b) se puede observar el segmento de acero embebido en el tramo de hormigón de la figura (a), donde u representa a los esfuerzos de adherencia por unidad de superficie en el tramo dx. Aplicando equilibrio sobre el conjunto de barras de acero del tramo se tiene que: T + u ·∑ O ·dx = T + dT

Donde ∑ O corresponde al perímetro total de las barras, entonces: u =

dT dM = ∑ O ·dx jd ·∑ O ·dx

Dado que: dM = V dx


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Se llega a: u =

V jd ·∑ O

La ecuación anterior corresponde a la “ecuación de una sección elástica fisurada” para los esfuerzos de adherencia a flexión e indica que el esfuerzo de adherencia unitario (u ) es proporcional al corte (V ) en cada sección, es decir, es proporcional a la tasa de cambio del momento (dM dx ) . El anterior análisis sólo considera al refuerzo sometido a tracción por flexión. En el caso de que el refuerzo se encuentre comprimido se ha logrado demostrar que los esfuerzos de adherencia a flexión son muy bajos. Como es de suponer el comportamiento real del hormigón armado no es tan perfecto como el indicado en el anterior modelo. En realidad el hormigón deja de resistir tensión únicamente en el punto donde se genera la grieta. En este lugar la tensiones máxima (T = M jd ) , entre las grietas, donde el hormigón esta intacto, este sigue resistiendo cantidades moderadas de tensión, resistencia que transmite a las barras a través de la adherencia, lo que en consecuencia reduce la tracción sobre el acero. Por otro lado, se ha logrado determinar que en los puntos adyacentes a las grietas, se generan grandes tensiones en la interfase hormigón armadura, lo que inevitablemente provoca un deslizamiento local de la armadura.

Finalmente cabe mencionar que en barras de acero sometidas a tensión es posible que ocurran dos tipos de falla por adherencia. La primera es aquella llamada falla por desprendimiento directo , la cual por lo general se presenta en vigas con barras de pequeño diámetro con recubrimientos y espaciamientos adecuados, pero que sin embargo falla debido a que los esfuerzos de adherencia generados por las estrías fracturan el hormigón inmediatamente adyacente a estas con el subsecuente deslizamiento de las barras, sin que el hormigón adyacente presente daño alguno.


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El otro tipo de falla es conocido como falla por fracturamiento . Este se manifiesta cuando el espaciamiento o recubrimiento es insuficiente para resistir la tensión lateral en el hormigón. En tal caso, se observan grietas paralelas a las barras. Este tipo de falla es el más común. En ambos casos (cuando se sobrepasa la resistencia de adherencia o la fractura se extiende a todo lo largo de la barra) se presenta una falla repentina y completa, vale decir, el colapso total de la viga. Luego resulta de vital importancia determinar la longitud de la barra necesaria para que la adherencia pueda resistir la tracción a la cual esta sometida y definir las condiciones de espaciamiento y recubrimiento de tal manera de evitar el fracturamiento.

16 Longitud de desarrollo La longitud de empotramiento de una barra necesaria para desarrollar toda la resistencia de adherencia o fracturamiento requerida debido a la tracción de la barra es conocida como longitud de desarrollo (l d ) . Es decir, corresponde a la longitud extra que debe estar embebida un barra de acero mas allá del punto donde deja de ser necesaria para proporcionar la resistencia a flexión. Si un barra se extiende un distancia l > l d , mas allá del punto donde es requerida por el diseño a flexión, se puede garantizar que la falla que se presentará será por flexión o corte, pero no lo hará por adherencia. Los factores más importantes que afectan la longitud de desarrollo son:

• • • •

Resistencia a la tracción del acero (f r ) Recubrimiento Espaciamiento Cuantía de refuerzo transversal (Estribos)

Además de otros tales como la ubicación vertical de las armaduras dentro del elemento de hormigón armado el uso de epóxicos para recubrir las barras, etc. Las disposiciones para la longitud de desarrollo de vigas en tensión establecidas por el Código ACI-318/2002 están contenidas en el capítulo 12.2. y estas se pueden resumir de la siguiente forma:

l d

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 9 f y α · β ·γ ·λ ⎟ · =⎜ · ⎟·d b ≥ 300 mm 10 ⎛ ⎞ c + K ' f c tr ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜ ⎜ d ⎝ b ⎠ ⎠ ⎝

Donde los factores que se incluyen en esta formula se especifican en la siguiente tabla: Tensión de fluencia especificada del acero. f c ' Resistencia característica a compresión del hormigón. f y

[MPa] [MPa] -73Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

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α

Si se hormigona más de 300 mm de hormigón fresco bajo la longitud de desarrollo En otros casos Barras revestidas con epóxico con recubrimientos menores a 3 d b o espaciamiento menor que 6 d b Todas las demás barras revestidas con epóxico Armadura no recubierta con epóxico φ 18 o menores φ 22 o mayores Si se usa hormigón con agregado liviano

1.3

Factor de ubicación del acero

1.0 1.5 β

Factor de revestimiento epóxico 1.2 1.0

γ

0.8 1.0

Factor por tamaño de armadura

1.3 λ

Factor por hormigón de agregado liviano

0 .56 ·

f c ' f ct

> 1.0

1.0 c

Menor valor entre el recubrimiento y la mitad del espaciamiento medidos desde los centros de la barra

K tr

Índice de Armadura Transversal

Atr

f yt

s n f ct

d b

Área total de toda la armadura transversal espaciada un distancia s y que cruza un potencial plano de falla. Tensión de fluencia especificada de la armadura transversal (estribos). Espaciamiento máximo de la armadura transversal dentro de l d medida desde los centros Numero de barras ancladas a lo largo del plano de falla. Resistencia a la tracción por hendimiento del hormigón con agregado liviano Diámetro de las barras de acero

[mm]

Cuando se conoce f ct Si no se usa hormigón con agregado liviano

(

Min r ; e 2 Atr ·f yt 10 ·s ·n

[mm2]

[MPa]

[mm]

[MPa] [mm]


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Además se incluyen las siguientes condiciones adicionales

⎛ c + K tr ⎞ ⎟⎟ < 2 .5 d ⎝ b ⎠

1.0 < ⎜⎜

1.0 < α ·β < 1.7

y

El código, considerando la tipología tradicional de los elementos de hormigón armado y la experiencia práctica en ingeniería, también propone versiones simplificadas de la expresión para l d .

17 Ganchos Existen situaciones en las cuales no es posible proporcionar a las barras la longitud necesaria para desarrollar su adherencia, por ejemplo, por que el elemento es discontinuo. En estos casos se hace necesario doblar las barras y crear ganchos (en general de 90º o 180º) que proporcionen el anclaje necesario que compense la falta de la longitud de desarrollo. Las dimensiones y radios de doblado de estos ganchos están contenidas en el punto 7.1 del código ACI-318. Los ganchos ahí definidos son conocidos como ganchos estándar y su geometría puede observarse en la figura -75Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

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Las barras con gancho se resisten a ser extraídas debido a la acción conjunta de la adherencia a lo largo del tramo recto de de la barra y el anclaje provisto por el gancho. En general, con este tipo de detallamiento de las barras el tipo de falla observado corresponde a un fracturamiento del hormigón en el plano del gancho, el que se produce por las tensiones generadas en el hormigón debido al gancho. Estudios experimentales ha permitido establecer que estas tensiones se ven influidas por el diámetro de las barras y el radio de doblado, mientras que la resistencia al fracturamiento depende del recubrimiento de las barras. Dado que el código considera el aporte de la adherencia en el tramo recto y el anclaje del gancho, es necesario especificar longitudes de desarrollo para el tramo recto de la barra anterior al gancho. Esta longitud queda definida por el término l dh , el cual queda definido en el punto 12.5.2 y 12.5.3 del código. l dh

= 0 .24 · β ·λ ·

β =

⎧1.2 ⎨ ⎩1.0

λ =

⎧1.3 ⎨ ⎩1.0

f y f c '

·d b > 8 ·d b > 150 mm

Con: con recubrimie tno epóxico sin recubrimie tno epóxico hormigón con agregado liviano hormigón normal

f y

: Tensión de fluencia del acero en [MPa]

f c '

: Resistencia característica del hormigón en [MPa] : diámetro de las barras en [mm]

d b

Ahora bien estas longitudes de desarrollo pueden corregirse mediante factores de reducción bajo las siguientes condiciones: Condición

Factor de reducción

Barras ø36 y menores con recubrimiento lateral ≥ 60 mm 0.7 Ganchos de 90º con recubrimiento sobre el gancho ≥ 50 mm 0.7 Barras ø36 y menores con gancho de 90º confinados por amarras o estribos perpendiculares o paralelos a barra con 0.8 espaciamiento en l dh menor que 3 d b Barras ø36 y menores con gancho de 180º confinados por amarras o estribos perpendiculares a barra con espaciamiento 0.8 en l dh menor que 3 d b Cuando no se necesita específicamente anclaje o longitud de A s Requeida desarrollo para f y, y se dispone de mayor cuantía de refuerzo As Proporcion ado que la requerida.


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18 Traslapes Como ya es sabido, las barras de refuerzo están comúnmente disponibles en longitudes de 6 m o 12 m, por lo cual en muchas ocasiones es necesario empalmar barras a fin de cubrir longitudes mayores. Esto se realiza por lo general (ø36 y menores) mediante el traslapo de las barras en el caso de las barras en tensión, y mediante uniones de tope en barras que van a estar sometidas solo a esfuerzos de compresión. Las barras traslapadas por lo general son atadas mediante alambres, con la única finalidad de mantenerla en su posición durante el hormigonado. Este traslapo se deben hacer siempre en secciones alejadas de los puntos de máximo esfuerzo (momento o tensión) y en forma escalonada (a lo menos 60 cm). Las barras mayores a ø36 sometidas a tensión no se deben traslapar. Antes de presentar los requisitos especificados por el código, conviene realizar algunos comentarios generales respecto al comportamiento de los empalmes:

•

Un empalme de refuerzo nunca reproducirá el comportamiento de una barra continua.

•

El objetivo de las especificaciones contenidas en el código, es lograr una falla dúctil por fluencia del refuerzo antes que una falla en la conexión. Las fallas en los empalmes son repentinas y peligrosas.

•

Los traslapos fallan debido a la separación del hormigón alo largo de las barras. Si se utilizan estribos o algún otro tipo de armadura de confinamiento, se reduce la posibilidad de ocurrencia de esta falla, por lo que se requiere de una menor longitud de traslape.

El código clasifica los empalmes a tracción en dos tipo según cumpla dos condiciones: Empalme clase A:

La cuantía de acero proporcionada en el empale es el doble de la necesaria en la sección; y además, menos de la mitad del acero de refuerzo se empalma en cualquier punto dentro de la longitud de traslape.

Empalme clase B

Todos aquellos que no cumplan con al menos una de las 2 condiciones preestablecidas.

Porcentaje de As empalmada dentro de la longitud de traslape

As proporcion ado

50 %

100%

≥ 2

Clase A

Clase B

< 2

Clase B

Clase B

As requerido


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Entonces para cada tipo de empalme la longitud de traslape será: Traslape Clase A: Traslape Clase B:

= 1.0 ·l d ≥ 300 mm l traslape = 1.3 ·l d ≥ 300 mm l traslape

Donde l d corresponde a la longitud de desarrollo, omitiendo la modificación por exceso de armadura. En el caso de empalmes a compresión el código recomienda utilizas longitudes de traslape:

= 0 .07 ·f y ·d b ≥ 300 mm l traslape = (0 .13 ·f y − 24 )·d b ≥ 300 mm l traslape

para f y ≤ 420 MPa para f y > 420 MPa

Si se utilizan hormigones con f c ' < 20 MPa , entonces la longitud de traslape debe multiplicarse pos 1.33. Cuando se traslapan barras de diferente diámetro, la longitud de traslape debe ser mayor que la longitud de desarrollo de la barra mayor o la longitud de traslape de la barra menor. Se permite traslapar barras ø56 o ø44 con barras ø36 y menores.


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19 Recomendaciones especiales según ACI 318 – 2002


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Las longitudes de desarrollo, ganchos y detalles de las armaduras transversales (estribos) se revisaran en capítulos posteriores junto al comportamiento frente a esfuerzos de corte.


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20 Lecturas Recomendadas  

Nilson, Arthur ICH

“Diseño de estructuras de concreto” Cap. 5 “Código de Diseño de Hormigón Armado” Cap. 12.


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Capítulo 5 – Corte 21 Preámbulo El análisis del comportamiento de elementos de hormigón armado frente a solicitaciones de corte es complicado, hasta el momento no ha sido posible desarrollar una teoría basada en la Mecánica Estructural, que represente de manera satisfactoria este fenómeno y sea lo suficientemente simple como para implementarla en diseño. Por esta razón, el desarrollo que se expondrá a continuación descansa fuertemente en resultados experimentales, que han permitido una comprensión satisfactoria del mecanismo resistente al esfuerzo de corte en elementos de hormigón armado. El tipo de falla asociada al corte en elementos sin refuerzo transversal es bastante súbita y frágil. Las vigas que fallan de esta forma presentan grietas diagonales, antes de que el acero logra alcanzar las tensiones de fluencia. Para evitar el colapso del elemento es de suma importancia diseñar adecuadamente la viga, proporcionándole refuerzos tipo estribos o zunchos para que controlen la generación de grietas diagonales y evite la falla prematura de la viga por corte antes de que se desarrolle su capacidad última a flexión. Es importante hacer notar que la falla de elementos de hormigón armado asociada al corte no corresponde exactamente a una superación por parte de los esfuerzos de cizalle de la resistencia del material, en general los esfuerzos de cizalle están muy por debajo de la resistencia de corte directo del hormigón. Sino más bien, corresponde a un fenómeno asociado a las tensiones principales generadas por la combinación de las esfuerzos de corte y tensiones por flexión, es por eso que resulta más adecuado hablas de Falla por Tensión Diagonal.


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Del análisis realizado por mecánica de materiales se sabe que en vigas elásticas y homogéneas las tensiones provocadas por flexión y corte pueden ser calculadas mediante las ecuaciones de Navier y Jouraski respectivamente f =

M ⋅ y I

v =

V ⋅ S I ⋅ b

Donde f

: Esfuerzo de flexión actuando a una distancia “y” medida desde el eje neutro.

M

: Momento flector externo en la sección.

I

: Momento de inercia de la sección c/r al eje neutro.

V

: Fuerza de corte externa.

S

: Momento estático c/r al eje neutro de una porción de la sección transversal ubicada entre una línea que pasa por el punto en cuestión, paralela al eje neutro, y la cara más cercana de la viga (superior o inferior)

b

: Ancho de la viga en determinado punto.

Además, si se le aísla un tramo infinitesimal de longitud “dx” , es posible definir la siguiente distribución de esfuerzos

Flexión

h

Corte

M f

h

v dx

dx

Si se considera un elemento infinitesimal cuadrado ubicado dentro del elemento se puede observar que las caras estarán sometidos a una combinación de esfuerzos flectores y cortantes, tal como se indica en la figura. Es posible combinar los seis esfuerzos que actúan sobre el elemento de manera de formar un par de esfuerzos inclinados a compresión (t 2), y un par de esfuerzos inclinados a tensión (t 1) ortogonales entre si. -88Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

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v

v

f

f v

t2

t1

= α

v

t1 t2

Estos esfuerzos reciben el nombre de “esfuerzos principales” cuyo módulo esta dado por: f t = ± 2

f 2 + v 2 4

Y su ángulo de inclinación queda definido por:

tan(2 α ) =

2 v f

Nótese que en caso de que el elemento de volumen se encuentre sobre eje neutro f = 0, luego: t = ±v

y

α = 45 º

Como las magnitudes particulares de los esfuerzos “v” y “f” varían con la localización de la sección y la distancia del eje neutro, se observa que los esfuerzos principales “t” también varían en cuanto a dirección y magnitud tal como se indica en la figura expuesta a continuación, donde se indican las trayectorias de los esfuerzos principales de tracción y de compresión.

Del análisis anterior se puede concluir que los esfuerzos de tensión (que causan agrietamiento en vigas de hormigón) no solo provienen de los esfuerzos horizontales de flexión pura, sino que existen esfuerzos de tensión con varias inclinaciones provenientes de la combinación de cortante y flexión. De esta forma se concluye que los esfuerzos de tensión inclinados (llamados también esfuerzos de tensión diagonal) deben siempre ser considerados para el correcto diseño de elementos de hormigón armado, y cada vez que estos superen el módulo de rotura del hormigón (t 1 > f r ) se estará en presencia de un grieta por tensión diagonal.


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22 Vigas sin refuerzo transversal Consideremos una viga de hormigón armado, a la cual se aumenta la carga gradualmente. En primera instancia se formarán grietas de tensión donde los esfuerzos de tensión son máximos, por lo general, en las fibras extremas en las zonas de máximo momento flector. Si la viga esta bien diseñada, el acero de refuerzo proporcionará la resistencia requerida contra la tensión por flexión, pudiendo soportar la viga mayores cargas. Al seguir aumentando la carga, se comenzarán a generar esfuerzos significativos de tensión diagonal debido al aumento de los esfuerzos internos de flexión y corte en las zonas no fisuradas. En las zonas de máximo esfuerzo cortante, ubicadas usualmente cerca de los apoyos, las tensiones diagonales alcanzarán más tempranamente la resistencia a tracción del hormigón propiciando la generación de grietas perpendiculares a las tensiones diagonales (grietas diagonales).

De acuerdo con la configuración, las condiciones de a poyo y la distribución de carga, una sección determinada de viga puede estar bajo el efecto combinado de momento y corte. Por lo general se da que un momento flector muy pequeño suele coincidir con un corte bastante grande, o al revés, un momento flector muy grande coincide con un corte pequeño. En el primer caso, zonas de corte grandes y momentos flectores pequeños, se generan muy pocas grietas por flexión antes de la formación de la primera grieta diagonal (figura a). El esfuerzo cortante promedio antes de la formación de grietas es: v =

V b ⋅ d

Mientras que las tensiones por flexión es posible considerarlas f = 0, luego f t = ± 2

f 2 + v 2 = ±v 4

tan(2 α ) =

y

2 v → ∞ ⇒ α = 45 º f


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Lo que explica la presencia de grietas diagonales de cortante en el alma. De diversos ensayos experimentales se determinó que en zonas de V grande y M pequeño las primeras grietas de tensión diagonal se generaban para un esfuerzo cortante promedio igual a la resistencia tracción directa, esto es: v cr = 0 .3 ⋅ f c '

En unidades de MPa.

v cr = 0 .95 ⋅ f c '

En unidades de Kg/cm 2.

Luego la primera grieta se formara para una fuerza de corte

( ) = (0 .95 ⋅ f ' )·b ·d

V cr = 0 .3 ⋅ f c ' ·b ·d

En unidades de MPa.

v cr


c

En el segundo caso, zonas de corte pequeño y momentos flectores grandes, aparecen primeramente una serie de grietas a flexión, sin embargo estas se encuentran bien controladas en su ancho, longitud y distribución debido al acero de refuerzo a flexión. Cuando el esfuerzo de tensión diagonal, en la parte superior de una grieta a flexión, excede la resistencia a tensión del concreto, la grieta comienza a inclinarse diagonalmente y continúa abriéndose y alargándose (figura b). No se ha encontrado un método basado en la mecánica de sólidos para calcular el nivel de tensiones que desencadena este fenómeno, pero en base a resultado empíricos se han llegado a determinar que esto ocurre cuando: 1 ⋅ f c ' 7 v cr = 0 .45 ⋅ f c ' v cr =

En unidades de MPa. En unidades de Kg/cm 2.

Luego la grieta de flexión comenzaría a inclinarse y convertirse en una grieta de cortante y flexión para una fuerza de corte

⎛ 1 ⋅ ⎞ f c ' ⎟·b ·d ⎝ 7 ⎠ V cr = (0 .45 ⋅ f c ' )·b ·d V cr = ⎜

En unidades de MPa. En unidades de Kg/cm 2.

De las ecuaciones presentadas anteriormente puede deducirse que ante la presencia de grandes momentos flectores, la fuerza cortante necesaria para generar grietas de diagonales puede reducirse hasta casi la mitad de la fuerza registrada para el caso de momentos flectores muy pequeños. Por lo tanto es posible afirmar que la resistencia a tensión diagonal de un elemento de hormigón armado depende en gran medida de la relación entre el corte y el momento. A partir de esta hipótesis y gracias a un gran numero de ensayos se ha logrado establecer una relación que describa la resistencia de corte del hormigón sin refuerzo transversal, la cual ha sido incluida en el capítulo 11.3.2.1 del código ACI 318: -91Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

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⎛ 1 V ·d ⎞ 1 V cr = ⎜⎜ · f c ' + ·120 ·ρ w · u ⎟⎟·b ·d ≤ 0 .3 ⋅ f c '·b ·d 7 M u ⎠ ⎝ 7

En unidades de MPa.

⎛ V ·d ⎞ V cr = ⎜⎜ 0 .5 · f c ' + 175 ·ρ w · u ⎟⎟·b ·d ≤ 0 .93 ⋅ f c '·b ·d M


⎝

Dónde

u

V u ·d M u

⎠

≤1

Esta expresión depende de la resistencia a tracción del hormigón, la cuantía de acero a longitudinal en tensión ( ρ w ) y la relación entre los momentos flectores y fuerzas de corte solicitantes en la viga (V u ·d M u ) . Considere una porción de viga cargada arbitrariamente, donde se ha formado una grieta de tensión diagonal:

En ella es posible apreciar las fuerzas de los diferentes mecanismos resistentes transversales:

V iy

: Resistencia al corte del hormigón no agrietado (Cabeza de compresión). : Resistencia al corte debido al efecto de trabazón de los agregados

V d

: Resistencia al corte de la armadura longitudinal por efecto “tarugo” o “dovela”

V cz

Se debe hacer notar que a mediada que crece la grieta el efecto de trabazón de los agregados va disminuyendo (V iy → 0 ) , y algo similar ocurre con el efecto tarugo, pues el acero fluye, se dobla y el recubrimiento se desprende (V d → 0 ) , de esta forma el mecanismo resistente ve cada vez más ligado a la resistencia al corte del hormigón no agrietado (V c → V cz ) y puesto que la resistencia a agrietarse ha quedado definida anteriormente como V cr , la resistencia la corte de una viga sin refuerzo transversal queda definida por la expresión: -92Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

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⎛ 1 V ·d ⎞ 1 V c = ⎜⎜ · f c ' + ·120 ·ρ w · u ⎟⎟·b ·d ≤ 0 .3 ⋅ f c '·b ·d 7 M u ⎠ ⎝ 7

En unidades de MPa.

Donde de alguna manera están contenidos los efectos asociados a la resistencia al corte del hormigón no agrietado (V cz ) , la resistencia al corte debido al efecto de trabazón de los agregados V iy ) y la resistencia al corte de la armadura longitudinal por efecto tarugo (V d ) .

22.1 Efecto de la carga axial En las sección anterior se estudiaron vigas sometidas solamente a esfuerzos de corte y flexión. Por diversas razones, las vigas de hormigón armado podrían estar sometidas también a cargas axiales (tracción o compresión) que actúan en forma simultanea con el corte y la flexión 1. El principal efecto de la carga axial es modificar la carga que produce el agrietamiento por tensión diagonal. Anteriormente se demostró que el agrietamiento por tensión diagonal ocurre cuando el esfuerzo principal de tensión (generado por la combinación de flexión y corte) supera el módulo de rotura del hormigón. Es lógico, entonces, pensar que la introducción de carga longitudinal modificará la magnitud y dirección de los esfuerzos principales y, por ende, puede alterar de forma significativa el valor de la carga última de agrietamiento diagonal. La compresión aumentara la resistencia del elemento (tenderá a mantener cerrada la grieta) mientras que la tracción irá en desmedro de la resistencia (propiciará la apertura temprana de la grieta). Para elementos sometidos a flexión, corte y además carga axial es posible modificar la expresión propuesta para V c , en base al análisis expuesto a continuación. Suponga una sección de viga de hormigón armado sometida solo a cargas de Momento y Corte.

h

C M

V

V

d

jd

T=As·fs

Por equilibrio de momentos se debería cumplir:

As ·f s · jd = M

Luego la tensión sobre el acero sería:

f s =

M As · jd

1

ATENCION: No se hace referencia al caso de hormigón pretensado. Para este tipo de elementos existe una teoría y base empírica propia que difiere a la que se expondrá a continuación.


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Suponga, ahora, una sección de viga de hormigón armado sometida solo a cargas Axial (Aplicada en el eje), Momento y Corte.

N

h/2

C M V

V

jd

d

h/2 T=As·fs

Por equilibrio de momentos se debería cumplir:

As ·f s · jd + N ·( jd − d + h 2 ) = M

Luego la tensión sobre el acero sería:

f s =

M − N ·( jd − d + h 2 ) As · jd

Si se sabe que usualmente j ≈ 7 8 , entonces:

f s =

M − N ·( h 2 − d 8 ) As · jd

Esta última expresión es muy similar a la obtenida para una viga sin carga axial, salvo que en (4 h − d ) lugar de utilizar el termino M en el numerador, se utiliza el término M − N · . 8 Basado en este análisis el código ACI 318 (11.3.2.2), recomienda utilizar la misma expresión propuesta anteriormente:

⎛ 1 V ·d ⎞ 1 V c = ⎜⎜ · f c ' + ·120 ·ρ w · u ⎟⎟·b ·d ≤ 0 .3 ⋅ f c '·b ·d 7 M u ⎠ ⎝ 7

En unidades de MPa.

Pero corregida por: M m = M u − N u ·

Sin limitar que

(4 h − d ) 8

V u ·d sea menor que 1, pero asegurando que: M u

N V c ≤ 0 .3 ⋅ f c '·b ·d · 1 + 0 .3 u Ag

Donde el término

N u Ag

En unidades de MPa

debe estar en unidades de MPa


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(4 h − d )

Ahora bien, si

M m = M u − N u ·

se debe utilizar la expresión

N V c = 0 .3 ⋅ f c '·b ·d · 1 + 0 .3 u Ag

8

< 0

Alternativamente el código propone una expresión más simple (ACI 11.3.1.2)

⎛ N ⎞ ⋅ b ·d ·⎜⎜1 + u ⎟⎟ 6 ⎝ 14 ·Ag ⎠ ⎛ N u ⎞ ⎟ V c = 0 .53 · f c ' ⋅ b ·d ·⎜1 + ⎜ 140 ·Ag ⎟ ⎝ ⎠ V c =

f c '

En unidades de MPa En unidades de Kg/cm 2

El análisis y ecuaciones antes expuestas solo son válidas para cargas axiales de compresión. En el caso de cargas de tracción el código propone calcular el aporte a la resistencia del hormigón no agrietado mediante:

⎛ N ⎞ ⋅ b ·d ·⎜⎜1 + 0 .3 · u ⎟⎟ 6 Ag ⎠ ⎝ ⎛ N u ⎞ ⎟ V c = 0 .53 · f c ' ⋅ b ·d ·⎜1 + ⎜ 35 ·Ag ⎟ ⎝ ⎠ V c =

f c '

En unidades de MPa En unidades de Kg/cm 2

Donde N u < 0 , para cargas de tracción.


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23 Vigas con refuerzo al corte Un adecuado diseño siempre exige privilegiar la ocurrencia de fallas dúctiles, que permitan prever el inminente colapso de la estructura, por sobre fallas súbitas y explosivas, que no proporcionen un margen de seguridad ante el colapso. Este último tipo de falla (frágil) es característico de elementos estructurales que han alcanzado su capacidad máxima de corte en forma prematura, antes de presentar una falla por flexión (fluencia del acero longitudinal). En consecuencia si el hormigón y la armadura longitudinal no logra proporcionar la resistencia necesaria de manera que se presente una falla por flexión antes que la falla por tensión diagonal, es necesario reforzar el alma de la viga mediante armadura transversal (estribos) que suplan el déficit de resistencia. Este refuerzo se suministra principalmente a través de estribos verticales, espaciados a intervalos variables o constantes a lo largo del eje de la viga, según se requiera. La nomenclatura utilizada por lo general es del tipo: E φ 8@20cm ; lo que se significa que se deben dispones estribos de 8 mm de diámetro espaciados 20 cm entre si. horquilla 135º

135º

135º

135º

90º

6 db

6 db

6 db

6 db

6 db estribo sísmico

db

gancho sísmico

estribo sísmico

lazo simple

horquillas

lazo doble (2 pz)

Se ha llegado a determinar que ante la inexistencia de grietas diagonales, la presencia de los estribos no altera de forma alguna el comportamiento mecánico de una viga. Una vez que aparecen las grietas diagonales, los estribos aportan al resistencia al corte de los elementos de hormigón armado de 4 maneras distintas:

•

Las barras de los estribos que atraviesan la grieta, resisten en tracción parte de la fuerza cortante.

•

Los estribos restringen el crecimiento de las grietas y su penetración en la zona comprimida del hormigón. Esto conserva una mayor área de hormigón no fisurado para resistir la acción combinada de esfuerzos de compresión y cortante.

•

Los estribos restringen el ensanchamiento de las grietas, aumentando los mecanismo de resistencia por trabazón de los agregados.

•

Los estribos restringen el fracturamiento del hormigón a lo largo del refuerzo longitudinal y proveen soporte a las mismas, lo que mejora el mecanismo de resistencia por efecto tarugo de la armadura longitudinal -96Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

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Considerando lo anterior, resulta obvio que la falla ocurrirá cuando el acero de la armadura transversal entre en fluencia, pues además de agotarse la resistencia de los estribos, se producirá un ensanchamiento de las grietas. El comportamiento mecánico de las vigas con posterioridad a la formación de las grietas diagonales no es un fenómeno simple de analizar, pues depende en gran medida de la configuración particular de cada grieta, proceso que es absolutamente aleatorio. Luego, el diseño implementado para el corte esta basado fuertemente en resultados empíricos y la experiencia de diseños exitosos. A continuación considere un tramo de viga agrietado diagonalmente y reforzado con estribos verticales, tal como el mostrado en la figura:

En el se indican las fuerzas que aportan la resistencia necesaria para evitar el colapso por corte de la viga: : Resistencia al corte del hormigón no agrietado (Cabeza de compresión). : Resistencia al corte debido al efecto de trabazón de los agregados V i : Resistencia al corte de la armadura longitudinal por efecto “tarugo” o “dovela” V d Av ·f v : Resistencia al corte de cada una de las barras de refuerzo transversal que atraviesan la grieta diagonal V cz

Av correspondería al área transversal de los dos brazos de cada estribo que atraviesan la grieta, y f v sería la tensión en el acero de los estribos. Entonces si n estribos cruzan la grieta el aporte total del refuerzo transversal sería V s = n ·Av ·f v .

Entonces la resistencia al corte de una sección armada con estribos verticales será: V n = V cz + V i + V d + V s

Puesto que el refuerzo transversal no afecta la resistencia al corte de una viga no agrietada, la magnitud de la fuerza cortante que genera el agrietamiento por tensión diagonal es el mismo que el de una viga sin armadura transversal, es decir:


Hormigón Armado

⎛ 1 V ·d ⎞ 1 V cz = V c = ⎜⎜ · f c ' + ·120 ·ρ w · u ⎟⎟·b ·d ≤ 0 .3 ⋅ f c '·b ·d 7 M u ⎠ ⎝ 7

En unidades de MPa.

O en alguna de sus formas corregidas por carga axial. Por otro lado, a causa del ensanchamiento de las grietas los términos asociados a la trabazón de los agregados (V i ) y efecto tarugo (V d ) pierden importancia, por lo tanto, la resistencia nominal al corte de una sección armada con estribos verticales será: V n = V c + V s

Dónde V c corresponde a aporte a la resistencia del hormigón que se calcula según lo indicado en el punto 2 de este capítulo; y V s corresponde al aporte a la resistencia de los estribos, que en condición de fluencia es: V s = n ·Av ·f y

Ahora bien, si la grieta diagonal se supone con ángulo aproximado de 45º, es posible afirmar que la proyección horizontal de la grieta es igual a la altura efectiva de la viga (d). por lo tanto en numero de estribos que cruzaran a la grieta queda determinado por la razón entre la altura efectiva de la viga y espaciamiento de los estribos (n = d s ) , luego: V s =

Av ⋅ f y ⋅ d s

24 Disposiciones de diseño para refuerzo al corte El código de diseño ACI-318/2002 propone una serie de disposiciones que rigen el diseño al corte. Como es tradicional, la ecuación básica de diseño es de la forma: V u ≤ φ ·V n

Donde: φ = 0 .75

V n = V c + V s V u

: Factor de reducción de resistencia al corte (ACI 9.3.2.3) : Resistencia nominal al corte : Fuerza última de corte mayorado -98Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

Hormigón Armado

Luego: V u ≤ φ ·(V c + V s ) V u ≤ φ ·V c + φ ·

Av ⋅ f y ⋅ d s

Si se sabe que el aporte a la resistencia del hormigón (V c ) puede ser calculado de la siguiente forma:

•

En el caso de que exista sólo corte y flexión:

⎛ 1 V ·d ⎞ 1 V c = ⎜⎜ · f c ' + ·120 ·ρ w · u ⎟⎟·b ·d ≤ 0 .3 ⋅ f c '·b ·d 7 M u ⎠ ⎝ 7 V u ·d

Dónde

M u

En unidades de MPa.

≤1

O bien en forma simplificada: V c =

•

f c ' 6

·b ·d

En unidades de MPa.

En el caso de que exista corte, flexión y compresión:

Se debe utilizar la ecuación anterior pero corregida por: M m = M u − N u ·

Sin limitar que

(4 h − d ) 8

V u ·d sea menor que 1, pero asegurando que: M u

N V c ≤ 0 .3 ⋅ f c '·b ·d · 1 + 0 .3 u Ag

En unidades de MPa


⎛ N ⎞ ⋅ b ·d ·⎜⎜1 + u ⎟⎟ 6 ⎝ 14 ·Ag ⎠ f c '

En unidades de MPa


Hormigón Armado

•

En el caso de que exista corte, flexión y tracción:

V c =

⎛ N ⎞ ⋅ b ·d ·⎜⎜1 + 0 .3 · u ⎟⎟ 6 Ag ⎠ ⎝ f c '

En unidades de MPa

Donde N u < 0 , para cargas de tracción. En diseño la práctica tradicional es, una vez calculado V c , mediante cualquiera de las formas anteriores, escoger algún tipo de barra para elaborar los estribos (en general φ 6 , φ 8 o φ 10 ) y calcular el espaciamiento requerido para cumplir con la ecuación: V u ≤ φ ·(V c + V s )

Esto es V u ≤ φ ·V c + φ · V u − φ ·V c ≤ φ ·

s ≤

Av ⋅ f y ⋅ d s Av ⋅ f y ⋅ d s

φ ·Av ⋅ f y ⋅ d

V u − φ ·V c

Dónde se exige que f y ≤ 420 MPa , o bien f y ≤ 560 MPa si se utilizan mallas electrosoldadas. El código también impone limitaciones al espaciamiento entre estribos, lo que puede ser resumido de la siguiente forma:

⎧ d 2 s ≤ ⎨ 600 mm ⎩

si V s <

1 ⋅ f c ' ⋅ b ⋅ d 3

⎧ d 4 s ≤ ⎨ ⎩300 mm

si V s ≥

1 ⋅ f c ' ⋅ b ⋅ d 3

Es conveniente destacar, que la práctica chilena recomienda usar espaciamientos máximos de 200mm Por otro lado el código exige una cantidad mínima de refuerzo de corte, a fin de proporcionar ductilidad al elemento y evitar las fallas repentinas: Av min = 0 .0625 f ' c ·

b ·s b ·s ≥ 0 .35 · f y f y

En unidades de MPa


Hormigón Armado

Expresado en forma de espaciamiento s ≤

Av ·f y 0 .0625 ·b · f ' c

≤

Av ·f y 0 .35 ·b

En unidades de MPa y mm

1 ⋅ φ ⋅ V c ≤ V u , en caso contrario no es necesario. 2 En la practica chilena la armadura mínima es E φ 8@20cm.

Esto se de cumplir siempre que

Finalmente el código hace una última especificación referida a la resistencia máxima del acero transversal, que busca evitar fallas por compresión diagonal, debido al exceso de armadura. V s ≤

2 ⋅ f c ' ⋅ b ⋅ d 3

En unidades de MPa

25 Consideraciones especiales para vigas altas Existe un gran número de elementos estructurales tipo viga cuya altura en relación a su luz libre es considerable, en este tipo de elementos la hipótesis usual de que las secciones planas antes de la flexión, permanecen iguales después de esta no se cumple, lo cual ha sido corroborado mediante experimentos y análisis por medio de elementos finitos. De hecho, como consecuencia de los altos esfuerzos cortantes, se presenta un alabeo significativo de la sección transversal y por lo tanto , los esfuerzos de flexión no se distribuyen linealmente ni siquiera en el intervalo elástico. Este es el caso de elementos tales como vigas son: vigas de acoplamiento de muros, segmentos horizontales en muros con ab erturas, vigas de fundación, etc. No obstante, a partir de ensayos experimentales se ha demostrado que la resistencia a flexión puede predecirse con suficiente precisión utilizando los mismos métodos empleados para vigas de dimensiones normales. Sin embargo, la resistencia a la tensión diagonal puede ser del orden de 2 o 3 veces mayor que la determinada por medio de las ecuaciones de diseño para vigas normales. Como ya se ha mencionado anteriormente, el mecanismo resistente al corte de la vigas esta asociado a la transferencia directa en la zona de compresión, trabazón de los agregados, efecto tarugo de la armadura longitudinal y la tensión directa del acero transversal. Sin embargo para vigas de gran altura, un aparte significativa de la carga se transfiere en forma directa como compresión desde el punto de aplicación de la carga a los apoyos a través de los puntales diagonales que se generan entre las grietas, el cual se equilibra con la tensión del refuerzo principal que actúa como tirante, tal como se indica en la figura, lo que en consecuencia exige un detallamiento especial en los bordes, por lo general ganchos.


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Por otro lado, es usual distribuir barras en toda la altura de la viga (armadura de repartición). Si además se considera que a causa de la orientación de los esfuerzos principales en vigas altas, el agrietamiento diagonal generalmente tendrá ángulos mayores a 45º, el rol que cumple la armadura de repartición horizontal se vuelve fundamental, tanto o más importante que los estribos verticales actuando en realidad como una malla, en que las barra longitudinales además de resistir por efecto tarugo lo hace en tensión directa.

S

S El código define como vigas altas aquellos elementos en los cuales su altura efectiva se mayor a un cuarto de su luz libre (l n ≤ 4 d ) , o bien, en el caso que se aplique una carga puntual a una distancia menor al doble de su altura desde el apoyo y que estén cargadas en una de sus caras y apoyadas en la otra de manera de formar puntales de compresión. La normativa exige que la vigas altas sean diseñadas considerando análisis no lineal. Alternativamente, la última versión del código incluye en su apéndice A un método de análisis basado en el modelo puntal tensor, sobre el cual se hablará más adelante. Según el código ACI 318-2002 se deben tomar en cuenta las siguientes disposiciones para el cálculo de la resistencia al corte de vigas altas: 5 ⋅ f c ' ⋅ b w ⋅ d 6

•

Resistencia nominal:

V n ≤

•

Armadura transversal de corte:

Av ≥ 0 .0025 ·b ·s

•

Espaciamiento de armadura transversal:

s ≤ d ≤ 30 cm 5

•

Armadura longitudinal de corte:

Avh ≥ 0 .0015 ·b ·s 2

•

Espaciamiento de armadura longitudinal de corte:

s 2 ≤ d ≤ 30 cm 5


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26 Modelo Puntal-Tensor Como ya se ha mencionado anteriormente en vigas altas, el mecanismo resistente al corte esta asociado al traspaso de una parte significativa de la carga en forma de compresión directa desde el punto de aplicación de la carga a los apoyos a través de los puntales diagonales que se generan entre las grietas, el cual se equilibra con la tensión del refuerzo principal que actúa como tirante, tal como se indica en la figura. Basados en esto la última versión del código ha incluido un apéndice donde se expone una metodología de diseño basada en este principio, conocido como Modelo Puntal Tensor. En este modelo las cargas concentradas están sostenidas por dos puntales de compresión que van desde el punto de aplicación de la carga al apoyo. El empuje hacia fuera en la parte inferior de los puntales es equilibrado por un tensor adecuadamente anclado. La zona de intersección entre dos puntales o entre un puntal y un tensor, se conoce como nudo. El modelo puede fallar entonces por tres razones:

• • •

Aplastamiento del hormigón de en los puntales. Aplastamiento del hormigón en los nudos. Fluencia del acero del tensor.

Como resulta natural, se preferirá la ocurrencia de una falla por fluencia del acero por sobre una falla por aplastamiento (ductilidad), luego la viga se deberá dimensionar de forma adecuada para alcanzar este propósito. En la práctica el diseño por este método consiste en definir una configuración de puntales y tensores compatible y verificar la resistencia a la compresión en los puntales, la resistencia a la compresión en los nudos y la resistencia a la tracción en s el tensor, cada uno por separado. Basados en la práctica habitual y resultados experimentales, el código establece como restricción para la geometría y formas de calcular la resistencia de cada miembro. Dado que este método de diseño no es incorporado con toda propiedad al código no se profundizará más en él. Para mayor información ir al Apéndice A del código ACI 318-2002 y a los capítulos 4.8 y 4.9.c. del libro “Diseño de Estructuras de Concreto” de Nilson.


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27 Detallamiento de Armaduras


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Hormigón Armado


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Existen también detallamientos especiales para el caso sísmico, los que son presentados a continuación:


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28 Lecturas Recomendadas  

Nilson, Arthur ICH

“Diseño de estructuras de concreto” Cap. 4 “Código de Diseño de Hormigón Armado” Cap. 11.


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Capítulo 6 – Flexocompresión 29 Preámbulo Las columnas son elementos estructurales verticales diseñados para resistir principalmente las cargas gravitacional, por lo cual que trabaja generalmente en compresión, sin embargo, también actúan sobre ellas cargas laterales, tales como solicitaciones de viento o sismo lo que provoca momentos flectores en ella. Es necesario entonces diseñar estos elementos de tal forma que sean capaces de resistir la acción conjunta de los esfuerzo de compresión y flexión simultáneamente (flexocompresión). Es posible identificar tres tipos de columnas según su distribución de sus armaduras longitudinales y transversales, estas son:

• • •

Columnas rectangulares con barras longitudinales y estribos. Columnas circulares con barras longitudinales y zunchos espirales. Columnas con refuerzos longitudinales consistentes en perfiles de acero.

Se recomienda que la cuantía total de armadura longitudinal en una columna ( ρ g ), no sea inferior a 0.01, pues de esta forma se garantiza que la resistencia necesaria para los momentos flectores no tenidos en cuenta en el análisis estructural y reducir los efectos de fluencia lenta y retracción del hormigón bajo compresión sostenida; por otro lado también se recomienda no superar la cuantía 0.08, pues además de ser antieconómicas, pueden provocar excesiva congestión de armaduras. 0 .01 ≤ ρ g =

Ast Ag

≤ 0 .08

donde: Ast : Área total de acero longitudinal Ag : Área bruta de hormigón.

Por otro lado, es posible clasificar las columnas según su esbeltez λ . -110Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

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λ =

K ·l K ·l = Ι r A

En el caso de columnas cortas la resistencia depende de la calidad de los materiales y la geometría de la sección transversal. En columnas esbeltas además de los factores anteriores se debe tomar en consideración reducciones de resistencia debido a inestabilidad lateral (pandeo) Para marcos arriostrados contra el desplazamiento lateral, si λ ≤ 34 − 12 M 1 M 2 es posible considerar la columna como corta Para marcos no arriostrados contra el desplazamiento lateral, si λ ≤ 22 es posible considerar la columna como corta Estudios del ACI y el ASCE han demostrado que alrededor de un 90% de las columnas arriostradas y un 40% de las no arriostradas pueden ser consideradas y por ende diseñadas como columnas cortas. Por esta razón, se analizara en profundad el comportamiento de este tipo de elementos estructurales y sólo a modo de breve reseña nos referiremos a las columnas esbeltas, dejando en manos del estudiante la responsabilidad de estudiar y conocer el comportamiento de estas últimas.

30 Columnas cortas bajo cargas centradas en su eje El comportamiento de elementos cortos cargados axialmente se estudio en capítulo 2 de esta asignatura, se retomará este tema a fin de repasar y profundizar en otros aspectos. Como se mencionó previamente, para el caso de cargas bajas es común que los materiales permanezcan dentro de su rango elástico. Bajo dichas condiciones es posible analizar el elemento de hormigón armado, aplicando los conocimientos básicos de mecánica de sólidos y verificar el comportamiento de las secciones mediante el análisis de una sección transformadas, considerando f s = n ⋅ f c , donde n = E S E C .


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En esta condición la compresión es absorbida por la columna bajo la siguiente forma: P = f c Ag + (n − 1)·Ast

Bajo la situación de carga última (ε c = 0 .003 ) , la resistencia de la columna queda determinada por la acción conjunta del hormigón y el acero que ya ha alcanzado la fluencia para dicho nivel de deformaciones.

P Hormigó

0.85f c’·(Ag – Ast)

Se ha determinado experimentalmente que la resistencia del hormigón en una columna cargada axialmente es 0 .85 ·f c ' . Luego, la resistencia nominal en compresión será:

Acero

Ast·f y ε

P n = 0 .85 ·f c '· Ag − Ast ) + Ast ·f y

Y como ya es sabido, el diseño buscara cumplir con: P u ≤ φ ·P n

El código ACI 318-2002 indica que: φ = 0 .65 : φ = 0 .70 :

columnas con estribos columnas con zunchos espirales

El valor de φ = 0 .70 para columnas con zunchos es mayor, pues experimentalmente se ha comprobado que los zunchos proveen mayor confinamiento y por consiguiente mayor capacidad de desarrollar ductilidad. Además los valores de φ  son menores que los valores para flexión en vigas ( φ = 0 .90 ), pues este tipo de falla es dominado en general por la fluencia del acero (falla por tensión); además, estructuralmente las columnas tienen mayor importancia que las vigas desde el punto de vista del colapso. Si una viga colapsa, esta falla sólo afectará una región limitada de la estructura, mientras que la falla en una columna puede comprometer la seguridad global del sistema.


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El código establece además un límite superior en la capacidad de carga axial de una columna para reflejar excentricidades accidentales no considerados en el análisis estructural φ P n max

= 0 .85 ⋅ φ ⋅ (0 .85 ⋅ f c '⋅(Ag − Ast ) + f y ⋅ Ast )

Elementos con zunchos φ = 0 .70

φ P n max

= 0 .80 ⋅ φ ⋅ 0 .85 ⋅ f c '⋅ Ag − Ast ) + f y ⋅ Ast )

Elementos con estribos φ = 0 .65

30.1 Armadura de Refuerzo El código incluye algunas recomendaciones respecto a la disposición de armaduras en una columna (ACI 10.9.). Se exige un mínimo de barras longitudinales según el tipo de columna: Columnas rectangulares o circulare rodeadas por estribos:

4 barras

Columnas triangulares rodeadas por estribos:

3 barras

Columnas circulare rodeadas por zunchos:

6 barras

Además en columnas rectangulares las barras longitudinales no deben estar espaciadas más de 15 cm. En lo que respecta a armadura transversal, esta cumple una triple función.

• • •

Ayudar a resistir los esfuerzos de corte solicitantes. Lograr que las barras longitudinales mantengan su posición durante el hormigonado. Evitar el pandeo de barras longitudinales esbeltas sometidas a altos esfuerzos

En el caso de zunchos el código exige una cuantía volumétrica mínima: ρ s

Donde

⎛ A ⎞ f ' = 0 .45 ·⎜⎜ g − 1 ⎟⎟· c ⎝ Ac ⎠ f y

Volumen de aceros transversa l Volumen del núcleo de hormigón Ag = área bruta de hormigón

ρ s

=

Ac = área del núcleo de de hormigón rodeado por los zunchos

Además, el código (ACI 7.10.4) recomienda utilizar para los zunchos diámetros de barras φ 10 o superiores con un espaciamiento entres espiras s mayor o igual que 25 mm y menor o igual de 80 mm (25 mm ≤ s ≤ 80 mm ) .


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En el caso de estribos, el código (ACI 7.10.5) recomienda utilizar barras de diámetros: φ 10 o superiores para amarrar barras longitudinales de diámetro menor o igual a φ 32 φ 12 o superiores para amarrar barras longitudinales de diámetro mayor o igual a φ 36

El espaciamiento debe cumplir siempre con:

⎧48 ·d b estribo ⎪ . s ≤ ⎨16 ·d b long ⎪menor dimensión de la columna ⎩ Un detallamiento deficiente de las armaduras transversales de una columna confinada con estribos puede redundar en una falla por pandeo del acero longitudinal entre estribos. Si las armaduras son adecuadas la falla se generará por aplastamiento del hormigón del núcleo, pero a mayores niveles de deformación (mayor ductilidad).


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31 Columnas cortas bajo cargas excéntricas 31.1 Flexión uniaxial Resulta raro encontrar en estructuras reales elementos verticales sometidos únicamente a compresión, por lo general las columnas además de estar cargadas en la línea de su eje, deben resistir cargas laterales debido a los efectos , por ejemplo, propio de los sismos o el viento, pues han sido construidas en forma monolítica con el resto de la estructura, lo que generan esfuerzos de flexión. Este momento flector es por lo general representado a través de un excentricidad de M la carga vertical., esto es, conocidos P u y M u , e = u . P u

Pu Mu e

Pu

=

e

Pu

Si la carga de compresión es muy alta con respecto al momento, la excentricidad resultante es pequeña, y en este caso, por lo general se presenta una falla por aplastamiento del hormigón y fluencia del acero a compresión. Por el contrario, si la carga de compresión es muy pequeña con respecto al momento, la excentricidad resultante es grande, generando esfuerzos de tensión que pueden llegar a alcanzar la fluencia, con la consiguiente falla por fluencia del acero a tensión. Es deseable entonces que este tipo de elementos estructurales cumplan en forma satisfactoria los requerimientos asociados a la compresión y la flexión simultáneamente, esto es: P u < φ ·P n M u < φ ·M n


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Como una primera aproximación al estudio de este fenómeno considere un columna rectangular, con armadura concentrada en las caras y dispuesta en forma simétrica 2.

d

Pn

b

d’ AS’

AS h/2

h/2 e

c

εs DIAGRAMA DE DEFORM. UNITARIAS

εs’

εu

Pn

f s

β1 c DIAGRAMA DE ESFUERZOS INTERNOS

0.85f c’ f s’

2

Debido a la alta recurrencia de movimientos sísmicos en Chile, se recomienda armar las columnas en forma simétrica a fin de responde en forma similar en ambos sentidos frente a cargas reversibles. -116Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

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A partir del diagrama de esfuerzos internos podemos obtener las siguientes ecuaciones para la resistencia : Por equilibrio entre fuerzas: P n = 0 .85 ·f c '·β 1 ·c ·b + As '·f s '− As ·f s

Por equilibrio de momentos con respecto al centroide:

⎛ h β 1 ·c ⎞ ⎛ h ⎞ ⎛ h ⎞ − ⎟ + As '·f s '·⎜ − d ' ⎟ + As ·f s ·⎜ d − ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠

M n = P n ·e = 0 .85 ·f c '· β 1 ·c ·b ·⎜

Para una excentricidad dada (e = M u P u ) , es posible resolver las ecuaciones antes presentadas, expresando f s y f s ' en términos de la profundidad del eje neutro (c) mediante compatibilidad de deformaciones bajo la situación de deformación última del hormigón (ε u = 0 .003 ) .

ε s ε s '

ε u

= ε u ·

d − c c

→

f s = ε u ·

d − c ·E s ≤ f y c

ε s ' = ε u ·

c − d ' c

→

f s ' = ε u ·

c − d ' ·E s ≤ f y c

ε s

d’

β 1 ·c = a ≤ h

c d Con esto en las ecuaciones P n = 0 .85 ·f c '· β 1 ·c ·b + As '·ε u ·

c − d ' d − c ·E s − As ·ε u · ·E s c c

⎛ h β 1 ·c ⎞ c − d ' d − c ⎛ h ⎞ ⎛ h ⎞ ·E s ·⎜ − d ' ⎟ + As ·ε u · ·E s ·⎜ d − ⎟ − ⎟ + As '·ε u · c c ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠

M n = P n ·e = 0 .85 ·f c '· β 1 ·c ·b ·⎜

Las únicas incógnitas, dado e, A s y As’, serían c y P n , pudiéndose resolver el sistema de manera de satisfacer simultáneamente ambas ecuaciones. Sin embargo, esto en la práctica resulta muy complejo algebraicamente, más aún si se exige que a < h , f s < f y y f s ' < f y . -117Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

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Lo que se realiza realmente es, variando el valor de c, obtener una serie de valores para P n y M n , de manera de obtener, para diferentes excentricidades (0 ≤ M n P n ≤ ∞ ) , las resistencias nominales a compresión y flexión de la columna. Esto definirá una zona segura diseño dentro de la cual deberían encontrarse todas las combinaciones P u − M u , tal que el elemento estructural no falle, esto es, P u < φ ·P n y M u < φ ·M n simultáneamente. La figura resultante de esta operación es conocida como diagrama de interacción. P

e 1 =

M 1

Zona de Falla M u > M n

P 1 e 2 =

M 2

P u > P n P 2

Zona Segura

e1< e2< e3

M n − P n

M u < M n P u < P n

e 3 =

M 3

P 3

M

• Falla balanceada Tal como se ha hecho en capítulos anteriores, en este caso también es posible definir la falla balanceada de un elemento sometido a flexocompresión, esto es la situación de carga bajo la cual el acero en tensión fluye en el mismo instante en que el hormigón alcanza su deformación última. ε y ε s '

ε u ε s

= ε y

ε s ' = ε u ·

d’

c − d ' c

→

f s = f y

→

f s = ε u ·

c − d ' ·E s ≤ f y c

c = c b

cb d -118Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

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Por compatibilidad de deformaciones:

ε u

c b

=

ε y

→

d − c b

c b =

ε u ε u + ε y

·d

Si además, se asume que el acero en compresión también está en fluencia 3 (f s ' = f y ) , es posible calcular la compresión y momento balanceado: P b = 0 .85 ·f c '·β 1 ·c b ·b + As '·f y − As ·f y

⎛ h β 1 ·c ⎞ ⎛ h ⎞ ⎛ h ⎞ − ⎟ + As '·f y ·⎜ − d ' ⎟ + As ·f y ·⎜ d − ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠

M b = 0 .85 ·f c '· β 1 ·c b ·b ·⎜

Y en consecuencia la excentricidad balanceada corresponderá a e b =

M b P b

A diferencia de las vigas, en las columnas no es posible limitar el diseño de tal manera que el acero alcance la fluencia antes que el hormigón alcance su deformación última, lo que se hace entonces es establecer requerimientos de seguridad especiales y diferentes para columnas que fallen por fluencia del acero en tensión frente a aquellas cuya falla sea atribuida a la compresión del hormigón.

• Falla por tensión Si, para una situación de carga determinada e > e b , eso significará que la resistencia nominal a compresión P n < P b . En dicha situación c < c b , luego ε s > ε y , entonces f s = f y . Se estará entonces en presencia de una falla dominada por tensión.

• Falla por compresión Si, para una situación de carga determinada e < e b , eso significará que la resistencia nominal a compresión P n > P b . En dicha situación c > c b , luego ε s < ε y , entonces f s < f y . Se estará entonces en presencia de una falla dominada por compresión. 3

Si para la determinación de P b y Mb se asumió que el acero a compresión fluye, se debe verificar que ε s '·≥ ε y en caso contrario, se debe utilizar f s ' = ε s '·E s < f y -119Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

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• Diagrama de interacción Como se mencionó anteriormente una forma de representar de manera resumida el comportamiento de una columna es mediante la utilización de diagramas de interacción, tal como el que se muestra en la siguiente figura:

P e = 0

e 1

Falla por Compresión (e1
(M b ; P b ) e b

Falla por e 2 Tensión (eb
M El punto asociado a la falla balanceada (M b ; P b ) , define la excentricidad balanceada e b. Todos aquellos puntos de la curva ubicados por sobre dicha línea, tendrán una excentricidad eeb y presentarán una falla dominada por la fluencia del acero previo a la falla por aplastamiento del hormigón (Falla por Tensión). Dado que se conoce la curva asociada a las resistencias nominales sólo resta minorarlas de forma adecuada mediante los factores φ definidos por el código los cuales varían dependiendo del tipo de falla. En el caso de columnas rectangulares con armadura simétrica, confinadas por estribos con f y ≤ 4200 kg / cm 2 , el código establece en su punto 9.3.2 lo siguiente:

•

Falla por Tensión

(0 .005 < ε t )

φ = 0.9

•

Falla Combinada

(0 .002 < ε t < 0 .005 )

φ = 1.067 − 0.83·ε t

•

Falla por Compresión

(ε t < 0 .002 )

φ = 0.65


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Alternativamente también se permite (ACI Apéndice B) determinar φ a partir del valor de P n , siempre y cuando se cumpla con:

•

Armadura longitudinal simétrica

•

Confinadas por estribos

•

f y ≤ 4200 kg / cm 2

•

d − d ' ≥ 0 .7 h

Y estableciendo como límite superior P n max = 0 .80 ·P 0 . En tal caso, si se define P * = 0 .1·Ag ·f c ' 0 .9 , entonces:

•

Falla por Tensión

(P < P * )

φ = 0 .90

•

Falla Combinada

(P *

φ = 0 .90 − ⎜⎜

•

Falla por Compresión

(P b < P n )

n

⎛ 0 .90 − 0 .65 ⎞ * ⎟⎟·(P − P n ) * P − P b ⎠ ⎝

< P n < P b )

φ = 0 .65

Finalmente el diagrama de interacción reducido adoptará la siguiente forma:

P Falla por Compresión (e1
P 0

φ ·P n max

= φ ·0 .8 ·P 0

(M b ; P b ) φ = 0 . 65

e b

Falla por Tensión (eb
φ = φ ( P n )

M 0

M

φ = 0 . 9


Hormigón Armado

• Ejemplo Verificar si la columna indicada en la figura es capaz de resistir las siguientes condiciones de carga: Combo 1 Combo 2 Combo 3

40 cm

Mu [Kg-m]

Pu [Kg]

14.3 10.6 5.6

50.3 25.1 114.6

Hormigón:

H-25

Acero:

A63-42H

Recubrimiento

2.5 cm

Armadura longitudinal:

8 φ18

Armadura transversal:

E φ 8 @ 20

40 cm

Desarrollo: 1. Datos:

kg/cm2

Hormigón:

f c’ =

200

Acero:

f y’ =

4200 kg/cm 2

Es = 2.1x106 kg/cm2 Geometría

h = 40

cm

d = 37.5 cm d’ = 2.5 cm b = 40 Armadura por cara

cm

3 φ18

As = 7.64 cm2 As’ = 7.64 cm 2


Hormigón Armado 2.

Diagrama de Interacción:

Para dibujar el diagrama de interacción de esta columna es necesario obtener a lo menos seis de sus puntos. a) b) c) d) e) f)

(M b ; P b ) (M 0 ;0 ) (0 ; P 0 ) (0 ;T 0 ) (M 1 ; P 1 ) (M 2 ; P 2 )

Falla balanceada Falla por flexión pura Falla por compresión pura Falla por tracción pura Falla a compresión Falla a tensión

(M b ; P b ) :

a) Falla balanceada

Para el caso de falla balanceada se sabe que:

= 0 .003 f s = f y = 4200 kg / cm 2

ε u

Entonces c b =

ε u ε u + ε y

·d =

ε u ε u +

·d =

f y E s

0 .003 ·37 .5 = 22 .5 cm 4200 0 .003 + 2 .1x 10 6

Además: ε u

c b

=

ε s '

c b − d '

→

ε s ' = ε u

c b − d ' c b

22 .5 − 2 .5 = 0 .0027 22 .5

= 0 .003

f s ' = E s ·ε s ' = 2 .1x 10 6 ⋅ 0 .0027 = 5600 > f y

Por lo tanto se puede asegurar que el acero en compresión alcanzó la fluencia, en tal caso: P b = 0 .85 ·f c '·β 1 ·c b ·b + As '·f y − As ·f y P b = 0 .85 ⋅ 200 ⋅ 0 .85 ⋅ 22 .5 ⋅ 40 + 7 .64 ⋅ 4200 − 7 .64 ⋅ 4200 = 130050 Kg


Hormigón Armado


M b = 0 .85 ·f c '· β 1 ·c b ·b ·⎜

0 .85 ·22 .5 ⎞ ⎛ ⎟ 2 ⎝ ⎠ +7 .64 ⋅ 4200 ·(20 − 2 .5 ) + 7 .64 ⋅ 4200 ·(37 .5 − 20 ) = 24804 .8 Kg ·m

M b = 0 .85 ⋅ 200 ⋅ 0 .85 ⋅ 22 .5 ⋅ 40 ⋅ ⎜ 20 −

De esta forma la falla balanceada queda definida por: M b = 24 .8

T ·m

P b = 130

T

e b = 19 .08

cm

(M 0 ;0 ) :

b) Falla por flexión pura

Para el caso de falla por flexión pura, la falla es dominada por tensión. Se sabe entonces que:

= 0 .003 f s = f y = 4200 kg / cm 2 c − d ' c − 2 .5 c − 2 .5 f s ' = E s ·ε s ' = E s ·ε u = 2 .1x 10 6 ⋅ 0 .003 ⋅ = 6300 ⋅

ε u

c

c

c

Además por definición: P n = 0 .85 ·f c '·β 1 ·c ·b + As '·f s '− As ·f y = 0

Luego, es posible despejar el valor de c: 0 .85 ·f c '·β 1 ·c ·b + As '·f s '− As ·f y = 0 0 .85 ⋅ 200 ⋅ 0 .85 ⋅ c ⋅ 40 + 7 .64 ·6300 ⋅

5780 ⋅ c + 48132 ⋅

c − 2 .5 − 7 .64 ⋅ 4200 = 0 c

c − 2 .5 − 32088 = 0 c

5780 ⋅ c 2 + 48132 ⋅ (c − 2 .5 ) − 32088 ·c = 0 5780 ⋅ c 2 − 16044 ·c − 120330 = 0 c = 6 .157 cm


Hormigón Armado

f s ' = 6300 ⋅

c − 2 .5 = 3741 .9 Kg / cm 2 c

Reemplazando c y f s’ en la expresión de M n :

⎛ h β 1 ·c ⎞ ⎛ h ⎞ ⎛ h ⎞ − ⎟ + As '·f s '·⎜ − d ' ⎟ + As ·f y ·⎜ d − ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠

M n = 0 .85 ·f c '· β 1 ·c ·b ·⎜

0 .85 ⋅ 6 .157 ⎞ ⎛ ⎟ 2 ⎝ ⎠ +7 .64 ⋅ 3741.9 ⋅ (20 − 2 .5 ) + 7 .64 ⋅ 4200 ⋅ (37 .5 − 20 )

M n = 0 .85 ⋅ 200 ⋅ 0 .85 ⋅ 6 .157 ⋅ 40 ⋅ ⎜ 20 −

M n = M 0 = 16804 .6 Kg ·m

De esta forma la falla por flexión pura queda definida por: M 0 = 16 .8

T ·m

P n = 0 e = ∞

T

c) Falla por compresión pura

(0 ; P 0 ) :

Para el caso de falla por compresión pura la resistencia corresponde al caso de columnas sometidas a compresión uniaxial sobre su eje, esto es P 0 = 0 .85 ·f c '· Ag − Ast ) + Ast ·f y P 0 = 0 .85 ⋅ 200 ⋅ (40 ⋅ 40 − 20 .36 ) + 20 .36 ⋅ 4200 = 354050 Kg

De esta forma la falla por compresión pura queda definida por: M n = 0 P 0 = 354 e = 0

T ·m T

d) Falla por tracción pura

(0 ;T 0 ) :

Para el caso de falla por tracción pura la resistencia corresponde al caso de columnas sometidas a tensión axial. En este caso quien resiste la tracción es el acero de refuerzo longitudinal, esto es T 0 = − Ast ·f y T 0 = −20 .36 ⋅ 4200 = −85512 Kg


Hormigón Armado

De esta forma la falla por compresión pura queda definida por: M n = 0 T 0 = −85 .5 e = 0

T ·m T

(M 1 ; P 1 ) :

e) Falla a compresión

En este caso se analizará lo que ocurre para una compresión P 1 , tal que P b < P 1 < P 0 . Para la columna que se está analizando 130 T < P 1 < 354 T

Por ejemplo escogeremos P 1 = 200 T En este caso se sabe que el acero a compresión está fluyendo, pues para la condición balanceada ya había alcanzado la fluencia (f s ' = f y ) . Sin embargo, el acero a tracción por definición no debería fluir aún (f s < f y ) .

f s = E s ·ε s = E s ·ε u

d − c 37 .5 − c 37 .5 − c = 2 .1x 10 6 ⋅ 0 .003 ⋅ = 6300 ⋅ c c c

Si la resistencia a compresión debe cumplir con: P 1 = 0 .85 ·f c '·β 1 ·c ·b + As '·f y − As ·f s = 200000

Luego, es posible despejar el valor de c: 0 .85 ·f c '·β 1 ·c ·b + As '·f y − As ·f s = 200000 0 .85 ⋅ 200 ⋅ 0 .85 ⋅ c ⋅ 40 + 7 .64 ⋅ 4200 − 7 .64 ⋅ 6300 ⋅ 5780 ⋅ c + 32088 − 48132 ⋅

37 .5 − c = 200000 c

37 .5 − c = 200000 c

5780 ⋅ c 2 + 32088 ⋅ c − 48132 ⋅ (37 .5 − c ) = 200000 ⋅ c 5780 ⋅ c 2 − 119780 ⋅ c − 1804950 = 0 c = 30 .847 cm


Hormigón Armado

f s = 6300 ⋅

37 .5 − c = 1117 .76 Kg / cm 2 c

Reemplazando c y f s en la expresión de M n :

⎛ h β 1 ·c ⎞ ⎛ h ⎞ ⎛ h ⎞ − ⎟ + As '·f y ·⎜ − d ' ⎟ + As ·f s ·⎜ d − ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠

M 1 = 0 .85 ·f c '· β 1 ·c ·b ·⎜

⎛ ⎝

M 1 = 0 .85 ⋅ 200 ⋅ 0 .85 ⋅ 30 .847 ⋅ 40 ⋅ ⎜ 20 −

0 .85 ⋅ 30 .847 ⎞ ⎟ 2 ⎠

+7 .64 ⋅ 4200 ⋅ (20 − 2 .5 ) + 7 .64 ⋅ 1117 .76 ⋅ (37 .5 − 20 ) M 1 = 19394 Kg ·m

De esta forma la falla por compresión queda definida por: M 1 = 19 .4 P 1 = 200 e 1 = 9 .70

T ·m T cm

Es posible obtener un mayor numero de puntos utilizando la misma metodología, lo que redundará en un diagrama de interacción que represente con mayor exactitud el comportamiento de la columna en el tramo de falla por compresión f) Falla a tensión

(M 2 ; P 2 ) :

En este caso se analizará lo que ocurre para una compresión P 2 , tal que 0 < P 2 < P b . Para la columna que se está analizando 0 < P 2 < 130 T

Por ejemplo escogeremos P 2 = 70 T . En este caso se sabe, por definición, que el acero a tracción debe fluir f s = f y ) , pero no es posible asegurar que el acero a compresión está fluyendo. De forma preliminar, se puede suponer que el acero en compresión fluye (f s ' = f y ) y luego verificar esta hipótesis Si la resistencia a compresión debe cumplir con: P 2 = 0 .85 ·f c '·β 1 ·c ·b + As '·f y − As ·f y = 70000


Hormigón Armado

Es posible despejar el valor de c: 0 .85 ·f c '·β 1 ·c ·b + As '·f y − As ·f y = 70000 0 .85 ⋅ 200 ⋅ 0 .85 ⋅ c ⋅ 40 + 7 .64 ⋅ 4200 − 7 .64 ⋅ 4200 = 70000 5780 ⋅ c = 70000

c = 12 .11 cm f s ' = E s ·ε s ' = E s ·ε u

c − d ' 12 .11 − 2 .5 = 6300 ⋅ = 4999 > f y c 12 .11

Verificándose la hipótesis sobre la fluencia del refuerzo en compresión. Reemplazando c en la expresión de M n :


M 2 = 0 .85 ·f c '· β 1 ·c ·b ·⎜

0 .85 ⋅ 12 .11 ⎞ ⎛ ⎟ 2 ⎝ ⎠ +7 .64 ⋅ 4200 ⋅ (20 − 2 .5 ) + 7 .64 ⋅ 4200 ⋅ (37 .5 − 20 )

M 2 = 0 .85 ⋅ 200 ⋅ 0 .85 ⋅ 12 .11 ⋅ 40 ⋅ ⎜ 20 −

M 2 = 21627 Kg ·m

De esta forma la falla por tensión queda definida por: M 2 = 21.6 T ·m P 2 = 70 T e 2 = 30 .86 cm

Es posible obtener un mayor numero de puntos utilizando la misma metodología, lo que redundará en un diagrama de interacción que represente con mayor exactitud el comportamiento de la columna en el tramo de falla por tensión.


Hormigón Armado

Resumiendo los puntos obtenidos son: Tipo de Falla

Mn

Pn

e

[T·m]

[T]

[cm]

0.0

-85.5

0.00

Flexión Pura

16.8

0.0

∞

Tensión

21.6

70.0

30.86

Balanceada

24.8

130.0

19.08

Compresión

19.4

200.0

9.70

0.0

354.0

0.00

Tracción pura

Compresión Pura

Dibujando el diagrama de interacción:

Diagrama de Interacción 400 0; 354

350

Mn;Pn

300 250 200

] T [

19.4; 200

150 24.8; 130

n 100

P

21.6; 70 50 0

16.8; 0 0

5

10

15

20

25

30

-50 -100

0; -85.5

-150

Mn [T·m]

Desde el punto de vista del diseño, este diagrama representa la resistencia nominal de la columna. Esta debe ser minorada por los factores de reducción de la resistencia dados por el código ACI 318/2002 y además cumplir con las condiciones de máxima resistencia a la compresión, vale decir, dado que la armadura longitudinal es simétrica, la columna se encuentra confinada por estribos, f y ≤ 4200 kg / cm 2 y d − d ' 37 .5 − 2 .5 = = .875 ≥ 0 .7 , entonces: h 40

•

Para la falla por compresión (P b < P n ) usar φ = 0 .65


Hormigón Armado

•

⎛ 0 .1·Ag ·f c ' ⎞ = 35 .6 T usar 0 .9 ⎠⎟ ⎝

Para la falla por tensión (P n < P b ) pero P n > ⎜

⎛ 0 .90 − 0 .65 ⎞ * ⎟⎟·(P − P n ) * − P P b ⎠ ⎝

φ = 0 .90 − ⎜⎜

•

Para la falla por tensión, cuando

⎛ 0.1· A g · f c ' ⎞ <⎜ ⎟ = 35.6 T usar φ = 0.90 0.9 ⎠ ⎝

P n

Además se debe establecer como límite superior Tipo de Falla

Mn

Pn

[T·m]

[T]

φ P n max

= φ 0.80· P 0 = 0.65·0.80·354 = 184 T .

φ

φ M n

φ P n

[T·m]

[T]

0.0

-85.5

0.90

0.0

-77.0

Flexión Pura

16.8

0.0

0.90

15.1

0.0

Tensión

21.6

70.0

0.81

17.5

56.7

Balanceada

24.8

130.0

0.65

16.12

84.5

Compresión

19.4

200.0

0.65

12.61

130

0.0

354.0

0.65

0.0

230.1

Tracción pura

Compresión Pura

Por lo tanto el diagrama de interacción reducida queda de la siguiente forma

Diagrama de Interacción Reducido 400

D. Interacción 350

D. Inteacción Reducido Límite Superior

300

Mu-Pu

250 200

] T [

150 Combo 3

n 100

P

Combo 1

50 Combo2 0 0

5

10

15

20

25

30

-50 -100 -150

Mn [T·m]

Es posible observar que todas las combinaciones de carga última están dentro de la “zona de seguridad”, por lo que se puede asegurar que la columna es capaz de resistir estas cargas. -130Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

Hormigón Armado

• Diagrama de interacción Con refuerzo distribuido Para el caso de excentricidades pequeñas y con el fin de proporcionar un adecuado confinamiento al hormigón del núcleo, es práctica frecuente distribuir la armadura longitudinal en todo el perímetro de la columna. En estos casos el procedimiento para calcular el diagrama de interacción es muy similar. Sólo se debe tener en cuenta la compatibilidad de deformaciones entre barras que en este caso se ubicaran a diferentes distancias del eje neutro, por lo tanto, su deformación unitaria variará y por consiguiente también sus tensiones, es más, en las barras más cercanas al eje neutro en muchos casos estas no alcanzarán la tensión de fluencia.

• Detallamiento de armaduras Armadura longitudinal:

Las disposiciones establecidas por el código para las armaduras longitudinales de columnas son muy similares a las establecidas para barras en compresión de vigas (ACI 12.16). Esto es:

•

La cuantía de armadura longitudinal ρ , debe cumplir con 0 .01 ≤ ρ g ≤ 0 .06 (ACI 21.4).

•

Los traslapes se permiten solo dentro de la mitad central de la columna.

•

Longitud de traslape (en unidades de MPa):

•

l traslape

= 0.07 · f y ·d b ≥ 300 mm Para hormigón H-25 y mayores

l traslape

= 0.09· f y ·d b ≥ 300 mm Para hormigón H-20 y menores

Cuando se tralapan barras de diferente diámetro, la longitud de traslape debe ser mayor que la longitud de desarrollo de la barra de mayor diámetro o la longitud de traslape de la barra de menor diámetro

Pero también se establecen algunos requerimientos especiales (ACI 12.17):

•

Cuando la columna se encuentra traccionada y la carga axial genera tensiones sobre las barras f s ≤ 0 .5 ·f y , los traslapes de tracción deben ser clase B ( l traslape = 1.3 ·l d ), si más de la mitad de las barras se traslapan en cualquier sección, en caso contrario pueden ser clase A ( l traslape = 1.0 ·l d )

•

Cuando la columna se encuentra traccionada y la carga axial genera tensiones sobre las barras f s ≥ 0 .5 ·f y , los traslapes de tracción deben ser clase B ( l traslape = 1.3 ·l d ). -131Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

Hormigón Armado Armadura transversal:

El diseño de columnas para resistir los esfuerzos de corte (tensiones diagonales) tiene la misma metodología que el diseño al corte de vigas bajas. Es decir, la resistencia nominal al corte es provista por el hormigón (considerando el efecto de la carga axial) y el acero de refuerzo (estribos o zunchos). V u ≤ φ ·(V c + V s ) V u ≤ φ ·V c + φ ·

Av ⋅ f y ⋅ d s

Como ya se sabe las fórmulas empíricas de diseño son las siguientes: Columna en compresión:

⎛ 1 V ·d ⎞ 1 V c = ⎜⎜ · f c ' + ·120 ·ρ w · u ⎟⎟·b ·d ≤ 0 .3 ⋅ f c '·b ·d 7 M m ⎠ ⎝ 7 M m = M u − N u ·

Dónde

En unidades de MPa.

(4 h − d ) 8


⎛ N ⎞ ⋅ b ·d ·⎜⎜1 + u ⎟⎟ 6 ⎝ 14 ·Ag ⎠

En unidades de MPa

⎛ N ⎞ ⋅ b ·d ·⎜⎜1 + 0 .3 · u ⎟⎟ 6 Ag ⎠ ⎝

En unidades de MPa

f c '

Columna en tracción: V c =

f c '

Donde N u < 0 , para cargas de tracción. O bien en forma simplificada: V c = 0


Hormigón Armado

Además se exige que las armaduras transversales cumplan con 21.4.4 y 21.4.5. para el caso sísmico, esto es:


Hormigón Armado


Hormigón Armado


Hormigón Armado


Hormigón Armado

31.2 Flexión biaxial El método descrito anteriormente es adecuado para el análisis y diseño de columnas rectangulares que presentan compresión y flexión en torno a solo uno de sus ejes principales, sin embargo, existe un buen numero de columnas que presentan flexión en ambos ejes simultáneamente, esto es, la carga de compresión presenta un excentricidad en dirección x e y según se observa en la figura. El caso (a) mostrado en la figura corresponde a un columna sometida a flexocompresión en torno a su eje Y-Y, y su comportamiento queda representado en el grafico (d) por la curva M ny v/s Pn (a la derecha), para las diferentes excentricidades e x. El caso (b) mostrado en la figura corresponde a un columna sometida a flexocompresión en torno a su eje X-X, y su comportamiento queda representado en el grafico (d) por la curva M nx v/s Pn(a la izquierda), para las diferentes excentricidades e y. El caso (c) correspondería a una combinación de ambas situaciones y debería quedar representado por una curva definida entre ambos planos., esta tendría asociada una excentricidad ex y ey, donde el ángulo λ la desviación de la excentricidad respecto al eje Y queda claramente representado en el diagrama de interacción:

⎛ e x ⎞ ⎛ M ⎞ ⎟ = Arctg ⎜ ny ⎟ ⎜ M ⎟ ⎜ e y ⎟ ⎝ nx ⎠ ⎝ ⎠

λ = Arctg ⎜

Ahora bien, esta carga de compresión aplicada con excentricidades e x y ey, deberán ser resistidas por la sección de la columna, originándose sobre ella una cabeza de compresión, representada por la sección achurada de la figura (c). Esta sección achurada esta limitada por los bordes de la sección y un eje neutro ubicado a una profundidad c, con un ángulo θ de desviación respecto al eje Y-Y, esta cabeza de compresión debería satisfacer las condiciones de equilibrio de fuerzas y momentos simultáneamente. El problema radica en que el ángulo θ , no tiene por que ser perpendicular a λ , agregando una nueva variable a nuestras expresiones para Pn y Mn. Entonces si deseáramos hacer extensiva la metodología aplicada para una columna sometida a flexocompresión simple, ya no bastaría hacer un “barrido” para diferentes valores de la profundidad del eje neutro c, sino que para cada uno de esos c, se debería hacer un segundo “barrido” para diferentes valores de “ θ ”, a fin de obtener una nube de puntos, que definirán una superficie tridimensional de falla. Evidentemente este método resulta excesivamente complejo, más aún si no se dispone de herramientas computacionales. Es por ello que diferentes investigadores han propuestos modelos alternativos aproximados que permiten una verificación de la resistencia biaxial de una columna de manera menos compleja. -137Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

Hormigón Armado

• Método de la superposición Una primera tentación para un ingeniero de poca experiencia sería analizar cada dirección por separado. Esto es definir una armadura en función de la carga P u aplicada con una única excentricidad ex y luego repetir el proceso aplicando la carga con una excentricidad e y y finalmente sumar las armaduras requeridas en ambas direcciones. Pero resultados experimentales han demostrado que esta metodología puede redundar en resistencia bastante menores que las supuestas, lo que conduciría en errores por el lado de la INSEGURIDAD. Esto hace que no sea recomendable la aplicación de este método. No obstante esto, existen códigos de diseño que permiten el uso de esté método pero con modificaciones y restricciones (Ver código Venezolano. Ver investigaciones de F. Morán).

• Método del contorno de carga Otro investigador que ha hecho grandes aportes en esta línea es Boris Bresler, el ha propuesto un método, conocido como contorno de carga, que busca establecer una ecuación que defina la curva Mnx – Mny para un nivel de carga de compresión determinado (Ver figura pagina anterior. Plano con P n constante ). La forma general de estas curvas puede aproximarse mediante la ecuación α ⎛ M ⎞ ⎛ M nx ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜ ny ⎟ ⎜ M ny 0 ⎟ ⎝ M nx 0 ⎠ ⎝ ⎠ 1

α 2

=1

Donde α 1 , α 2

: parámetros que depende de las dimensiones de la columna, materiales cuantía y disposición de las barras de refuerzo

M nx = P n ·e y M ny = P n ·e x M nx 0 = M nx : para flexión solo en dirección x, esto es M ny = 0 → e x = 0 M ny 0 = M ny : para flexión solo en dirección y, esto es M nx = 0 → e y = 0

Para efectos prácticos Bresler recomienda utilizar α 1 = α 2 = 1.15 ~ 1.55 , para columnas rectangulares, siendo los valores más bajos los más conservadores. Entonces en si se tiene una columna sometida a flexión biaxial se debería cumplir que: α

α

M ⎞ ⎛ M ux ⎞ ⎛ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜ uy ⎟ ≤ 1 ⎝ φ M nx 0 ⎠ ⎜⎝ φ M ny 0 ⎠⎟


Hormigón Armado

Donde:

α = 1.15 ~ 1.55

M ux = P u ·e y M uy = P u ·e x φ M nx 0 = resistencia a flexocompresión cuando M ny

= 0 → e x = 0 .

φ M ny 0 = resistencia a flexocompresión cuando M nx

= 0 → e y = 0

• Método de la carga inversa Otro método bastante simple desarrollado por Bresler corresponde el método conocido como “Método de la carga inversa”. Este método se basa en la construcción de un gráfico para cada columna, en que se represente la resistencia a compresión de la columna P n en función de las diferentes excentricidades, esto M es e x = ny y e y = M nx , definiéndose de esta forma una superficie de falla para la P n P n columna, tal como se muestra en la figura (a). Ahora bien, también es posible dibujar una M superficie equivalente a partir de 1 versus e x = ny y e y = M nx , tal como se indica P n P n P n en la figura (b). Cualquier punto ubicado por sobre esta curva cóncava, representará una compresión mediante 1 y estará en la zona de seguridad. Por lo tanto, si se logra definir un P u plano por sobre esta superficie cóncava, se obtiene una superficie de falla aproximada, que define una zona de seguridad más conservadora y por lo tanto, cualquier punto ubicado por sobre este plano, también estará por sobre la superficie de falla real.


Hormigón Armado

Esta superficie de falla aproximada puede definirse entonces mediante la ecuación: 1 P n aprox

=

1 1 1 + − P nx 0 P ny 0 P 0

Por lo tanto, para asegurar la resistencia de la columna bajo flexión biaxial, se debe cumplir: 1 1 1 1 1 ≥ = + − P u φ P n aprox φ P nx 0 φ P ny 0 φ P 0

Y siempre se deberá cumplir φ ·0 .8 ·P 0 ≥ φ ·P n aprox ≥ 0 .1·φ ·P 0 . donde φ P nx 0

=

φ P ny 0

=

φ M nx 0

e y φ M ny 0

e x

= resistencia a flexocompresión cuando M ny = 0 → e x = 0 .

= resistencia a flexocompresión cuando M nx = 0 → e y = 0 .

φ P 0 = resistencia a compresión axial (e x

= e y = 0 )


Hormigón Armado

• Ejemplo: Verificar la siguiente columna rectangular a flexocompresión biaxial por el método de Contorno de Carga y Carga Inversa. 40 cm

X

20 cm

ey = 20 cm ex = 50 cm

Y 2 φ 32

P=40 T

2 φ 32

Desarrollo: 1. Datos:

Hormigón: Acero:

f c’ = f y’ = Es =

250 4200 2.1x106

Geometría

h = 40 cm b = 20 cm

Armadura por cara

2 φ 32 As = 16.09 cm 2 As’ = 16.09 cm 2

kg/cm2 kg/cm2 kg/cm2

2. Método del contorno de carga:

Considerando la compresión última a la que esta sometida la columna y sus excentricidades es posible calcular los momentos M ux y M uy : P u = 40 T M ux = P u ⋅ e y = 40 ⋅ 0 .2 = 8 Tm M uy = P u ⋅ e x = 40 ⋅ 0 .5 = 20 Tm


Hormigón Armado

•

Determinación de M nx0

En primer término se determinará la falla balanceada a fin de definir el modo de falla de la columna y los factores de minoración φ adecuados: Y 40 cm

X

20 cm ey

2 φ 32

P=40 T

2 φ 32


= 0 .003 f s = f y = 4200 kg / cm 2

ε u

Entonces c b =

ε u ε u + ε y

·d =

ε u ε u +

·d =

f y E s

0 .003 ·17 .5 = 10 .5 cm 4200 0 .003 + 2 .1x 10 6


ε s ' = ε u

c b − d ' c b

= 0 .003 ⋅

10 .5 − 2 .5 = 0 .0023 10 .5

f s ' = E s ·ε s ' = 2 .1x 10 6 ⋅ 0 .0023 = 4830 > f y

Se puede asegurar entonces que el acero en compresión alcanzó la fluencia, luego: P b = 0 .85 ·f c '·β 1 ·c b ·b + As '·f y − As ·f y P b = 0 .85 ⋅ 250 ⋅ 0 .85 ⋅ 10 .5 ⋅ 40 = 75862 Kg


Hormigón Armado

Por otro lado el límite inferior definido por: φ ·P *

= 0 .1·Ag ·f c ' = 20000 Kg .

Entonces dado que 20 T = φ ·P * < P u < φ ·P b = 49 .3 T (si consideramos el caso más desfavorable φ = 0 .65 ) , se debe calcular el factor de minoración φ mediante la ecuación:

⎛ 0 .90 − 0 .65 ⎞ * ⎟⎟·(P − P n ) * P − P b ⎠ ⎝

φ = 0 .90 − ⎜⎜

⎛ 0 .25 ⎞ ⎜ ⎟·⎛ 20 − 40 ⎞ φ = 0 .90 − ⎜ ⎜ φ ⎠⎟ ⎜ 20 − 75 .8 ⎟⎟ ⎝ 0 .9 ⎝ 0 .9 ⎠ Despejando: φ = 0 .76 Entonces para nuestra carga última, por equilibrio de fuerzas, suponiendo f s ' = f y : P u = φ ⋅ P n P u = φ ⋅ (0 .85 ·f c '·β 1 ·c ·b + As '·f y − As ·f y ) 40000 = 0 .76 ⋅ (0 .85 ·250 ·0 .85 ·c ·40 ) c = 7 .28 cm

Por lo tanto

ε s ' = ε u

c − d ' 7 .28 − 2 .5 = 0 .003 = 0 .002 c 7 .28

f s ' = E s ·ε s ' = 2 .1x 10 6 ⋅ 0 .002 = 4166 ≈ f y

Lo que satisface la hipótesis inicial.


Hormigón Armado

Finalmente la resistencia a flexión sería:


M nx 0 = 0 .85 ·f c '· β 1 ·c ·b ·⎜

0 .85 ⋅ 7 .28 ⎞ ⎛ ⎟ 2 ⎝ ⎠ +16 .09 ⋅ 4200 ⋅ (10 − 2 .5 ) + 16 .09 ⋅ 4200 ⋅ (17 .5 − 10 )

M nx 0 = 0 .85 ⋅ 250 ⋅ 0 .85 ⋅ 7 .28 ⋅ 40 ⋅ ⎜10 −

M nx 0 = 13 .769 Tm φ ⋅ M nx 0

De tal forma que:

•

= 0 .76 ⋅ 13 .769 = 10 .46 Tm

Determinación de M ny0

En primer término se determinará la falla balanceada a fin de definir el modo de falla de la columna y los factores de minoración φ adecuados: 40 cm P=40 T

X

20 cm

ex

Y 2 φ 32

2 φ 32


= 0 .003 f s = f y = 4200 kg / cm 2

ε u

Entonces c b =

ε u ε u + ε y

·d =

ε u ε u +

·d =

f y E s

0 .003 ·37 .5 = 22 .5 cm 0 .003 + 4200 2 .1x 10 6


Hormigón Armado


ε s ' = ε u

c b − d ' c b

= 0 .003 ⋅

22 .5 − 2 .5 = 0 .0027 22 .5

f s ' = E s ·ε s ' = 2 .1x 10 6 ⋅ 0 .0027 = 5600 > f y

Se puede asegurar entonces que el acero en compresión alcanzó la fluencia, luego: P b = 0 .85 ·f c '·β 1 ·c b ·b + As '·f y − As ·f y P b = 0 .85 ⋅ 250 ⋅ 0 .85 ⋅ 22 .5 ⋅ 20 = 81281 Kg

Por otro lado el límite inferior definido por: φ ·P *

= 0 .1·Ag ·f c ' = 20000 Kg .

Entonces dado que 20 T = φ ·P * < P u < φ ·P b = 52 .8 T (si consideramos el caso más desfavorable φ = 0 .65 ) , se debe calcular el factor de minoración φ mediante la ecuación:

⎛ 0 .90 − 0 .65 ⎞ * ⎟⎟·(P − P n ) * P − P b ⎠ ⎝

φ = 0 .90 − ⎜⎜

⎛ ⎞ 0 .25 ⎜ ⎟·⎛ 20 − 40 ⎞ φ = 0 .90 − ⎜ ⎜ φ ⎠⎟ ⎜ 20 − 81.3 ⎟⎟ ⎝ 0 .9 ⎝ 0 .9 ⎠ Despejando: φ = 0 .78 Entonces para nuestra carga última, por equilibrio de fuerzas, suponiendo f s ' = f y : P u = φ ⋅ P n P u = φ ⋅ (0 .85 ·f c '·β 1 ·c ·b + As '·f y − As ·f y ) 40000 = 0 .78 ⋅ (0 .85 ·250 ·0 .85 ·c ·20 ) c = 14 .20 cm


Hormigón Armado

Por lo tanto

ε s ' = ε u

c − d ' 14 .2 − 2 .5 = 0 .003 = 0 .0025 c 14 .2

f s ' = E s ·ε s ' = 2 .1x 10 6 ⋅ 0 .0025 = 5190 > f y

Lo que satisface la hipótesis inicial. Finalmente la resistencia a flexión sería:


M ny 0 = 0 .85 ·f c '· β 1 ·c ·b ·⎜

0 .85 ⋅ 14 .2 ⎞ ⎛ ⎟ 2 ⎝ ⎠ +16 .09 ⋅ 4200 ⋅ (20 − 2 .5 ) + 16 .09 ⋅ 4200 ⋅ (37 .5 − 20 )

M ny 0 = 0 .85 ⋅ 250 ⋅ 0 .85 ⋅ 14 .2 ⋅ 20 ⋅ ⎜ 20 −

M ny 0 = 30 .816 Tm

De tal forma que:

•

φ ⋅ M ny 0

= 0 .78 ⋅ 30 .816 = 24 .036 Tm

Aplicación del método:

Finalmente corresponde evaluar la fórmula establecida por el método de contorno de carga: α

α M ⎞ ⎛ M ux ⎞ ⎛ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜ uy ⎟ ≤ 1 ⎝ φ M nx 0 ⎠ ⎜⎝ φ M ny 0 ⎠⎟

con M ux = 8 Tm M uy = 20 Tm φ ⋅ M nx 0

= 10 .46 Tm

φ ⋅ M nx 0

= 24 .04 Tm

α = 1.15 ~ 1.55


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Siendo conservador:

⎛ 8 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 10 .46 ⎠

1.15

20 ⎞ + ⎛ ⎜ ⎟ ⎝ 24 .04 ⎠

1.15

= 0 .737 + 0 .809 = 1.544 > 1

Siendo poco conservador: 1.55

⎛ 8 ⎞ ⎜ ⎟ 10 46 . ⎝ ⎠ •

1.55

⎛ 20 ⎞ +⎜ ⎟ 24 04 . ⎝ ⎠

= 0 .660 + 0 .752 = 1.411 > 1

Conclusión:

De acuerdo al Método de contorno de carga la sección no resiste la flexocompresión biaxial. 3. Método de la carga inversa:

A partir de los datos calculados anteriormente es muy sencillo aplicar el método de la carga inversa: φ ⋅ P nx 0

=

φ ⋅ P ny 0

=

φ ⋅ M nx 0

e y φ ⋅ M ny 0

e x

=

10 .46 = 52 .3 T 0 .2

=

24 .04 = 48 .1 T 0 .5

φ ⋅ P 0

= φ ⋅ 0 .85 ⋅ f c '⋅ Ag − Ast ) + Ast ⋅ f y )

φ ⋅ P 0

= 0 .65 ⋅ (0 .85 ⋅ 250 ⋅ (40 ⋅ 20 − 2 ⋅ 16 .09 ) + 2 ⋅ 16 .09 ⋅ 4200 ) = 193 .9 T

Aplicando el método, la sección resiste la flexocompresión, si se cumple 1 1 ≥ P u φ P n aprox

Entonces: 1 1 1 1 1 1 1 = + − = + − = 0 .0347 φ P n aprox φ P nx 0 φ P ny 0 φ P 0 52 .3 48 .1 193 .9


Hormigón Armado

1 1 = = 0 .025 P u 40

Luego: 1 1 = 0 .025 < 0 .0347 = φ P n aprox P u

Por lo tanto, de acuerdo al Método de la carga inversa la sección no resiste la flexocompresión biaxial.


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32 Columnas Esbeltas En los últimos años ha proliferado el uso de columnas esbeltas en diferentes estructuras, esto se explica por la aparición y mayor utilización de materiales de alta resistencia, que permite diseños más osados y esbeltos. El diseño de este tipo de elementos estructurales esta regulado por los capítulos 10.11., 10.12. y 10.13 del código ACI318. Como se mencionó anteriormente, las resistencia de las columnas cortas queda determinada por la resistencia de los materiales utilizados y la geometría de las secciones, mientras que en los elementos esbeltos la resistencia se ve fuertemente reducida por efecto de las posibles deflexiones laterales (pandeo) o momentos de segundo orden (efecto P-Delta). Las columnas se clasifican como cortas o esbeltas en función de su factor de esbeltez λ , frente a una esbeltez límite definida en función de sus condiciones de apoyo. Si λ ≤ λ lim la columnas se considera corta, en cambio si Si λ > λ lim la columnas se considera esbelta. La esbeltez se define mediante la ecuación: λ =

K ·L r

En que: r =

Ι A

: radio de giro

K

: Factor de Longitud efectiva

L

: Luz Libre de la columna

En la práctica en ligar de considerarse reducciones de resistencia, lo que se utiliza son factores que amplifican el momento último. Opcionalmente, dado al rápido desarrollo de los métodos computacionales se permite el cálculo directo de los efectos de segundo orden sobre los elementos.


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32.1 Columnas con carga axial concéntrica (Pandeo) En el siglo XVIII Leonhart Euler logró determinar la carga de compresión máxima que es capaz de resistir una columna antes de presentar problemas de inestabilidad por compresión (pandeo). Esta carga crítica de pandeo puede ser evaluada mediante la ecuación:

P c =

Dónde:

π 2 ·E t ·Ι

(K ·L )2

E t :

Módulo de elasticidad tangente. Si el material se encuentra trabajando en su rango elástico, E t corresponde al módulo de Young; en cambio si el material ha superado su limite elástico, E t corresponde a la tangente de la curva f − ε en el punto.

Ι:

Momento de inercia de la sección.

(K ·L ) : Longitud efectiva del elemento Euler logró determinar que una columna rotulada en ambos extremo e imposibilita de desplazarse lateralmente en sus extremos, sometida a la acción de una carga de compresión igual a la carga crítica de pandeo P c , se deflecta adoptando la forma de media curva sinusoide, donde los puntos extremos coinciden con los puntos de inflexión de dicha curva. A la longitud de esta columna, Euler la llama longitud efectiva y el asigna el valor K=1, por lo tanto KL = L . Se puede observar que para una sección determinada el valor de P c , disminuye rápidamente a mediad que KL aumenta, luego una columna será más propensa al pandeo KL en la medida que su esbeltez λ = sea mayor. r

P c

KL = L

P c

Entonces la resistencia de una columna esbelta sometida a carga axial quedará determinada, por un lado, por su carga crítica de pandeo la que a su vez depende de la esbeltez, y en segundo lugar por la resistencia al aplastamiento de la sección , la que depende de la -150Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

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resistencia del hormigón y el acero. El límite que se alcance primero determinara el tipo de falla que se observe:

Pfalla

Pn

Aplastamiento

Pc

Pandeo

λlim

λ

Euler también quiso hacer extensivo este análisis a otro tipo de columnas, cuyas condiciones de apoyo sean diferentes. Al estudiar este fenómeno, se dio cuenta que la deformada de las columnas que han superado la carga crítica de pandeo, siempre adopta la forma de un segmento de sinusoide, luego el caso para el cual el realizó el análisis podría estar contenido o contener cualquiera de las otras situaciones. Por ejemplo, si se considera una columna doblemente el potrada (el caso más restringido para una columna), y se dibuja su deformada es posible observar que en el tramo central de longitud L/2 de la columna deformada esta contenido completamente el caso original. Luego este caso podría contener 2 veces el sistema original.

Por lo tanto si:

K ·L =

Entonces la ecuación P c =

L 2

→

π 2 ·E t ·Ι 2

(K ·L )

K =

1 2

P c

L/4 Puntos de Inflexión

KL = L/2

L/4

P c

sigue siendo válida pero considerando K = 1

2

Otro caso a considerar correspondería a la situación en que además se permitiera que uno de los extremos de la columna pueda desplazarse lateralmente. Bajo esta condición es posible identificar dos casos extremos.


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El primero, corresponde a una columna que tiene restringido el giro en ambos extremos, pero uno de ellos se desplaza. En tal caso: L K ·L = 2 2

→

K = 1

El segundo caso, corresponde a una columna que tiene doblemente rotulada y en que además uno de sus extremos puede desplazarse. En tal caso, la columna solo gira sin curvarse luego : KL = ∞

→

K = ∞

Además, esta situación corresponde a un caso extremo, pues la columna bajo dichas condiciones de apoyo no es estable. P c

Puntos de Inflexión

P c

L/ KL = ∞ KL/2 = L/2

P c

P c

Entonces es posible afirmar que: Si una columna esta restringida a desplazarse lateralmente esta (Columna Arriostradas), se 1 < K < 1 tiene que: 2 Si una columna NO esta restringida a desplazarse lateralmente esta (Columna Arriostradas), se tiene que: 1 < K < ∞

No

Dado que rara vez veremos columnas de hormigón armado perfectamente empotradas o rotuladas, el valor preciso de K se deberá determinar para cada caso y dependerá del grado de -152Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

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restricción al giro que exista en los extremos de una columna, que dependerá de la rigidez de los elementos que lleguen al nudo, y del grado de restricción al desplazamiento lateral de la columna que dependerá de la conformación estructural del resto de la estructura.

32.2 Columnas con carga axial y flexión (P-Delta) Si un elemento tipo columna estuviese sometido solo a momento en sus extremos de magnitud M e , la distribución de momento flector en toda su longitud será constante y de magnitud M 0 ( x ) = M e . Este momento provocaría un deflexión e lo largo de todo el elemento la que puede ser rep resentada mediante una función y 0 ( x ) , tal como se indica en la figura. Si a esta condición se le agrega una carga axial. La fuerza de compresión estaría actuando en forma excéntrica al eje del elemento debido a la deflexión existente, lo que generaría un momento M ( x ) = P ·y 0 ( x ) , que a su vez aumentaría la deflexión y en consecuencia incrementaría aún más el efecto de flexión y deformación de la carga axial sobre el elemento. generándose entonces un modificación en la distribución de momento de la columna. P < P c

M e

M e

y 0

P ·y

M 0 = M e

y 0

y

M 0

M e

M e Columna sólo bajo el efecto de Momento

P < P c Columna bajo el efecto de Momento y Compresión


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Algo muy similar ocurre con una columna sometida a carla lateral y compresión simultáneamente. P < P c y 0

P ·y

F H

F H

M 0

M 0

y 0

y

P < P c Columna sólo bajo el efecto de Carga lateral

Columna bajo el efecto de Carga lateral y Compresión

Se puede demostrar que la deflexión generada en ambos casos es posible calcularla a partir de la deformación lateral generada bajo la situación sin carga axial y 0 y es igual a: 1 y = y 0 · 1 − P P c

Por lo tanto si la máxima deflexión (∆ ) coincide con el punto de máximo momento, entonces: 1 M max = M 0 + P ·∆ = M 0 + P ·∆ 0 · 1 − P P c

Es posible demostrar que la ecuación anterior también es posible escribirla de la forma:

M max

1 + ψ P P c = M 0 · 1 − P P c

donde el factor ψ depende del tipo de carga y por lo general ψ P << 1 , luego es posible P c decir que: -154Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

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M max = M 0 ·

1 1 − P P c

1 424 3

Factor de Amplificac ión de Momento

Dado que P c depende de λ , se tiene que el momento también depende de la esbeltez λ . M

P· ∆ Mo Mo λ

Ahora bien, el efecto aditivo de el momento M 0 , con P ·∆ , no siempre es perfecto, pues como es de suponer no siempre el momento máximo M 0 Max coincide con el P ·∆ Max , por lo tanto la 1 , no es siempre válida. Esto se entien mejor atraves de la P − 1 P c

expresión M max = M 0 · siguiente figura.

P < P c M e

+ M 0 ( x )

= P ·∆

M 0 + P ·∆

M e P < P c


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Para rectificar esta situación se propone la incorporación de un factor C m , al Factor de amplificación de momento, de tal forma que: C m M max = M 0 · 1 − P P c M C m = 0 .6 + 0 .4 1

Donde:

: :

Menor momento en el extremo Mayor momento en el extremo

< 1:

Si se genera curvatura simple

M 1 M 2 0 <

M 1

M 2

0 .4 ≤ C m ≤ 1

M 2

− 1 < M 1 M < 0 :

Si se genera curvatura doble

2

Esta modificación solo es aplicable a columnas arriostradas lateralmente, pues es posible demostrar que para columnas no arriostradas el efecto de P ·∆ , casi siempre es perfectamente aditivo a M 0 , por lo tanto, C m = 1 siempre. P < P c M e

+ M 0 ( x )

= P ·∆

M 0 + P ·∆

M e P < P c


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32.3 Clasificación de Columnas 32.3.1

Cortas o Esbeltas

Para simplificar el análisis de las columnas el código ACI establece límites de esbeltez, bajo los cuales es posible prescindir de este tipo de análisis y considerar las columnas como cortas o robustas. Esto es si λ < λ lim , la columna se considera como columna corta.

•

Para marcos arriostrados contra el desplazamiento lateral: λ lim

= 34 − 12 M M 1

2

Dónde: M 1

: Menor momento registrado en uno de los extremos de la columna

M 2

: Mayor momento registrado en uno de los extremos de la columna

M 1

•

M 2

⎧Positivo =⎨ ⎩Negativo

→ curvatura simple → curvatura doble



− 12 < (M M ) 1

2

Para marcos no arriostrados contra el desplazamiento lateral: λ lim

= 22

K ·L . En columnas rectangulares por lo general r = 0 .3 ·h y en columnas r circulares por lo general r = 0 .25 ·D

Recordar que λ =

32.3.2

Arriostradas o no Arriostradas

A partir de lo expuesto anteriormente resulta evidente la necesidad de establecer algún criterio que diferencia las columnas arriostradas de aquellas que no lo son. El código propone suponer como arriostrado a los elementos de un piso en que los elementos que restringen el desplazamiento lateral (muros de corte) tienen una rigidez suficiente de tal forma que limiten los desplazamientos laterales por debajo del límite en que las columnas pierden resistencia en forma sustancial. El primer criterio propone calcular las variación en los momentos por efecto del análisis de segundo orden respecto a un análisis tradicional, si la variación es menos al 5% se posible diseñar las columnas como cortas.


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El segundo criterio propone la utilización de un índice de estabilidad de cada nivel, que se calcula de la siguiente forma: Q =

Donde:

∑ P · ∆ u

V u

0

Lc

∑ P

: Carga última vertical total sobre el nivel (caso más desfavorable).

V u

: Corte último total sobre el nivel (V u ≠ 0 ) : Desplazamiento lateral relativo del nivel debido solo a los efectos de primer orden (drift) : Longitud de la columna medida des de los centro de los nudos.

u

∆0 Lc

Si Q < 0 .05 , los elementos pueden considerarse arriostrados. Ahora bien, para este análisis se exige que se consideren los efectos de las cargas axiales, las secciones fisuradas y la duración de las cargas. Todo lo cual se incorpora al análisis mediante la modificación de las propiedades geométricas ( Ι ) de las secciones, a fin de considerara el grado de fisuración. Esto se hace de la siguiente manera Vigas

:

Columnas

:

Muros no fisurados

:

Muros fisurados

:

Losas y placas planas

:

Ι = 0 .35 ·Ι g Ι = 0 .70 ·Ι g Ι = 0 .70 ·Ι g Ι = 0 .35 ·Ι g Ι = 0 .25 ·Ι g

Además, si existen cargas laterales sostenidas en el tiempo o para el caso de verificación de estabilidad, los momento de inercia ya calculados deben dividirse por (1 + β d ) , en que β d corresponde a la relación entre la carga lateral sostenida mayorada y la carga lateral mayorada total, aplicada en cada nivel.


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32.4 Factores de Amplificación para Columnas Esbeltas Como ya se mencionó anteriormente el comportamiento de una columna esbelta depende en gran medida de los efectos de segundo orden y en especial de los efectos asociados a las deformaciones laterales que provocan que las cargas axiales acaben siendo aplicadas con cierta excentricidad respecto al eje de la columna. Pues bien considerando esto, se podría decir que por efecto de estos fenómenos la excentricidad de la carga axial no es constante y en consecuencia, a intentar representarla en un diagrama de interacción esta no corresponde a la recta radial que originalmente la representaba, sino que a una curva de pendiente decreciente, pues su excentricidad va aumentando a medida que el momento flector aumenta y en consecuencia aumenta la deformación lateral, tal como se indica en la figura.

32.4.1

P (Mn;Pn)corta e=cte

(Mn;Pn)esbelta e=var

M

Columnas Esbeltas Arriostradas (ACI 10.12.)

Para el caso de columnas arriostradas el momento último debe amplificarse aplicando las siguientes ecuaciones: M c = δ ns ⋅ M u

Dónde: δ ns =

C m P u 1− 0 .75 ·P c

M C m = 0 .6 + 0 .4 · 1

: Factor de amplificación de momento por esbeltez

M 2

0 .4 ≤ C m ≤ 1.0

M 1

: Menor momento registrado en uno de los extremos de la columna

M 2

: Mayor momento registrado en uno de los extremos de la columna


Hormigón Armado

M 1

M 2

⎧Positivo =⎨ ⎩Negativo

→ curvatura simple → curvatura doble



− 1 2 < (M M ) 1

2

A fin de considerar los efectos de pandeo que se presentan, aún cuando no exista flexión, se exige que M 2 min = P u ·(15 + 0 .03 h ) donde 15 y h están en mm. En el caso de que M 2 min > M 2 , M se debe usar C m = 1 , o bien con M 1 min = M 1·⎛ ⎜ 2 min

⎝

⎞ M 2 ⎠⎟

El término 0 .75 ·P c , corresponde a la carga crítica de pandea minorada por un factor 0.75. P c =

π 2 ·E Ι

(K ·L )2

En esta última expresión se debe considerar el efecto del agrietamiento, fluencia lenta y no linealidad del hormigón, con este fin se proponen las siguientes modificaciones a la ecuación tradicional: E Ι =

0 .2 ·E c Ι g + E s Ι se 1 + β d

En que: E c E s Ι g Ι se

β d

: Módulo de elasticidad del hormigón : Módulo de elasticidad del acero de refuerzo : Momento de inercia del área bruta de hormigón : Momento de inercia del acero de refuerzo respecto a eje centroidal. : Razón entre la carga axial permanente y la carga axial total (creep).

Además, en la ecuación para la carga crítica de pandeo aparece el factor K, que por lo general se calcula a partir de los Ábacos de Jackson & Moreland, mediante el siguiente procedimiento. 1) Calcular el grado de restricción en el extremo de la columna debido a las columnas y vigas que llegan a nudo A, mediante la ecuación: EI

ΨA =

∑ ( l ∑ (EI l )

columnas

vigas

2) Calcular el grado de restricción en el otro extremo de la columna (B) debido a las columnas y vigas que llegan a nudo, mediante la ecuación: EI

ΨB =

∑ ( l ∑ (EI l )

columnas

vigas


Hormigón Armado

3) Finalmente se traza traza una recta en el Ábaco que una ΨA con ΨB , y en el punto en que corte el eje K se obtendrá el valor de factor que se está buscando. Notar que para marcos arriostrados 0 .5 ≤ K ≤ 1 .

En forma alternativa se permite calcular K mediante las expresiones de Cranston, donde este factor corresponde al menor valor evaluado a partir de: K = 0 .7 + 0 .05 ·(ΨA + ΨB ) ≤ 1 K = 0 .85 + 0 .05 ·Ψmin ≤ 1


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32.4.2

Columnas Esbeltas No Arriostradas (ACI 10.13.)

Cómo ya se sabe en el caso de las columnas no arriostradas el termino K varía entre 1 e ∞ , mientras que en una columna arriostrada dicho valor se mueve entre 0.5 y 1.0, por lo tanto una columna de igual que no se encuentre arriostrada lateralmente fallará por pandeo a una carga axial mucho menor que una columna de igual sección a la cual se le haya restringido su desplazamiento lateral. En este caso el cálculo de K es muy similar al anterior salvo que se debe utilizar un segundo ábaco en que 1 ≤ K ≤ ∞

En forma alternativa se permite calcular K mediante las expresiones de Furlong:

⎧ 20 − ΨAV ⎪ 20 · 1 + ΨAV si K = ⎨ ⎪0 .9 · 1 + ΨAV si ⎩ Donde

ΨAV =

ΨAV < 2 ΨAV ≥ 2

ΨA + ΨB 2


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Sin embargo en este caso se debe diferenciar entre las cargas que general desplazamiento lateral y aquellas que no. Calcular los momentos flectores que general y amplificar solo aquellos momentos asociados a los desplazamientos laterales, e sto es: M 1 = M ns 1 + δ s ⋅ M s 1 M 2 = M ns 2 + δ s ⋅ M s 2

Salvo en el caso que: l

> r

35 P u f 'c ·Ag

En tal caso se debe amplificar el momento total, asociado a cualquier tipo de carga, es decir: M c = δ s ⋅ (M ns 1 + M s 1 )

El factor de amplificación es posible calcular lo de tres formas: 1) δ s =

1

> 1.0 , donde Q corresponde al índice de estabilidad. Sin embargo, si 1 − Q δ s > 1.5 , es mejor utilizar el método 2). 1

2) δ s = 1−

∑

> 1.0

P u

∑ P

0 .75 ·

c

3) La tercera opción es realizar un análisis elástico de segundo orden mediante algún método adecuado (software), en especial si existen desplazamientos laterales asociados a efectos torsionales del edificio. Además de estas recomendaciones y requerimientos existen otros contenidos en el capítulo 10.13. sobre los cuales no se hará referencia en este curso, pero se deberán tener presenten al momento de diseñar.


Hormigón Armado


Nilson, Arthur ICH Park, R & Pauly,

“Diseño de estructuras de concreto” Cap. 8 y 9 “Código de Diseño de Hormigón Armado” Cap. 10.8. a 10.13. “Estructuras de concreto reforzado” Cap. 5


Hormigón Armado INDICE Capítulo 1 – Introducción ........................................................................................................... 1 1

Preámbulo............................................................................................................................. 1

2

Requerimientos y Fundamentos del Diseño ..................................................................... 2

3

2.1

Requerimiento de Seguridad: ......................................................................................... 2

2.2

Requerimiento de Servicio:............................................................................................. 4

2.3

Fundamentos de Diseño:................................................................................................ 4

2.3.1

Factores de cargas y combinaciones ...................................................................... 5

2.3.2

Factores de reducciones de resistencia .................................................................. 6

Materiales.............................................................................................................................. 8 3.1

3.1.1

Curva Esfuerzo-Deformación del Hormigón: ........................................................... 8

3.1.2

Resistencia: ............................................................................................................. 9

3.1.3

Módulo de Elasticidad............................................................................................ 12

3.1.4

Coeficiente de Poisson.......................................................................................... 12

3.1.5

Confinamiento:....................................................................................................... 12

3.1.6

Influencia de la velocidad de carga y cargas cíclicas ............................................ 15

3.1.7

Hormigones en Chile ............................................................................................. 17

3.2

4

Hormigón ........................................................................................................................ 8

Acero............................................................................................................................. 24

3.2.1

Curva Esfuerzo-Deformación del Acero: ............................................................... 24

3.2.2

Resistencia: ........................................................................................................... 25

3.2.3

Módulo de Elasticidad............................................................................................ 25

3.2.4

Influencia de la velocidad de carga y cargas cíclicas ............................................ 25

3.2.5

Aceros en Chile ..................................................................................................... 26

Lecturas Recomendadas................................................................................................... 32

Capítulo 2 – Carga Axial ........................................................................................................... 33 5

Elementos Sometidos a Compresión Pura...................................................................... 33 5.1

Comportamiento Elástico.............................................................................................. 33

5.2

Comportamiento Inelástico ........................................................................................... 34

6

Elementos Sometidos a Tracción Pura............................................................................ 35

7

Lecturas Recomendadas................................................................................................... 37


Hormigón Armado

Capítulo 3 – Flexión .................................................................................................................. 38 8

Preámbulo e Hipótesis de Diseño .................................................................................... 38

9

Vigas Rectangulares Simplemente Armadas .................................................................. 39 a.

Comportamiento ........................................................................................................... 39

b.

Tipos de Falla: .............................................................................................................. 46

c.

Diseño........................................................................................................................... 49

10

Vigas Rectangulares Doblemente Armadas ................................................................ 56

= f s ' = f y ) ............................................ 57

a.

Acero a tracción y compresión en fluencia f s

b.

Acero a tracción en fluencia, acero en compresión por debajo de la fluencia

(f = f ; f ' < f ) ................................................................................................................. 58 s

c.

y

s

y

Acero a tracción por debajo de la fluencia, acero en compresión en fluencia

(f < f ; f ' = f ) ................................................................................................................. 60 s

y

s

y

11

Vigas T............................................................................................................................. 61

12

Referencias y Recomendaciones del Código ACI 318-02. ......................................... 65

12.1

Límites de deformaciones ......................................................................................... 65

12.2

Prescripciones de Diseño Según ACI 318-02........................................................... 67

13

Lecturas Recomendadas ............................................................................................... 69

Capítulo 4 – Longitud de Desarrollo, Empalmes y Anclajes................................................. 70 14

Preámbulo....................................................................................................................... 70

15

Esfuerzos de Adherencia............................................................................................... 71

16

Longitud de desarrollo................................................................................................... 73

17

Ganchos .......................................................................................................................... 75

18

Traslapes......................................................................................................................... 77

19

Recomendaciones especiales según ACI 318 – 2002 ................................................. 79

20

Lecturas Recomendadas ............................................................................................... 86


Hormigón Armado Capítulo 5 – Corte...................................................................................................................... 87 21

Preámbulo....................................................................................................................... 87

22

Vigas sin refuerzo transversal ...................................................................................... 90

22.1

Efecto de la carga axial ............................................................................................. 93

23

Vigas con refuerzo al corte............................................................................................ 96

24

Disposiciones de diseño para refuerzo al corte.......................................................... 98

25

Consideraciones especiales para vigas altas ........................................................... 101

26

Modelo Puntal-Tensor.................................................................................................. 103

27

Detallamiento de Armaduras....................................................................................... 104

28

Lecturas Recomendadas ............................................................................................. 109

Capítulo 6 – Flexocompresión ............................................................................................... 110 29

Preámbulo..................................................................................................................... 110

30

Columnas cortas bajo cargas centradas en su eje ................................................... 111

30.1

31

Armadura de Refuerzo............................................................................................ 113

Columnas cortas bajo cargas excéntricas................................................................. 115

31.1

Flexión uniaxial........................................................................................................ 115

•

Falla balanceada......................................................................................................... 118

•

Falla por tensión ......................................................................................................... 119

•

Falla por compresión .................................................................................................. 119

•

Diagrama de interacción ............................................................................................. 120

•

Ejemplo....................................................................................................................... 122

•

Diagrama de interacción Con refuerzo distribuido...................................................... 131

•

Detallamiento de armaduras....................................................................................... 131

31.2

Flexión biaxial.......................................................................................................... 137

•

Método de la superposición........................................................................................ 138

•

Método del contorno de carga .................................................................................... 138

•

Método de la carga inversa......................................................................................... 139

•

Ejemplo: ...................................................................................................................... 141


Hormigón Armado I

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