Dr. Alfonso Huber:
Flexión Compuesta y Columnas Esbeltas
Flexión Compuesta y Columnas Esbeltas Se propon propone e un métod método o para para dimen dimensio sionar nar o compr comproba obarr la capaci capacida dad d porta portante nte de colum columnas nas esbelta esbeltas s de hormigó hormigón n armad armado o basado basado en el cálcul cálculo o de defor deformac macio iones nes de segun segundo do orden orden para para la secció sección n crític crítica. a. Para Para esta esta secció sección n se obtie obtienen nen las las curvas curvas de interacci interacción ón entre la fuerza normal y el momento mediante mediante las ecuacione ecuaciones s de equilibrio equilibrio y limites limites de deformac deformacione iones s específic específicas as en acuerdo acuerdo con la versión versión 2002 del reglamen reglamento to CIRSOC 201. Estas ecuaciones permiten también determinar la resistencia nominal en flexión compuesta de secciones rectangulares de hormigón armado en forma sencilla sin necesidad de tablas.
Flexión Compuesta En Fig.1a se muestra una sección solicitada por una fuerza normal y un momento y ciertos limites (ver Tabla 1) de las deformaciones específicas y la hipótesis simplificada para la distribución de las tensiones. Es conveniente usar valores adimensionales Fig. 1b). Tracción Tracción es positiva y compresión es negativa. A continuación continuación están indicadas las fórmulas adimensionales de equilibrio, que son elementales.
nn = Nn /(bdf'c ) nn = ω -
ω' - 0,85 a/d
ω = As f y /(bdf'c )
mn = Mn /(bd2 f'c )
mns = mn - nn ds /d = 0,85a/d(1 - 0,5a/d) +
ω'.ds /d
Un caso especial es la armadura simétrica que se usa normalmente en columnas que es conven convenie iente ntemen mente te presen presentad tado o por por un diagr diagrama ama de intera interacci cción ón entre entre N -M con los los siguientes tres tramos: 1
Dr. Alfonso Huber:
Flexión Compuesta y Columnas Esbeltas
ω = ω': nn = - 0,85a/d flexo-compresión de gran excentricidad: mn = - nn/2(h/d + nn /0,85) + ω'.ds /d
(nL < nn < 0)
flexo-compresión de pequeña excentricidad: mn = χ(- nL /2(h/d + nL /0,85) + ω'.ds /d ) χ = (h/d + 2ω +nn )/(h/d + 2ω +nL )
(nn <= nL ) (nn <= nL )
flexo-tracción: mn = (ω - nn/2)ds/d
(nn > 0)
La resistencia de diseño es obtenido por medio del factor de reducción φ. para ω = ω': φ = 1,317 + 1,309nn /β1 (n1 > nn > n2 ) φ = 1.317 - 1.111c/d La Fig.2a representa un diagrama de interacción para ω = ω' = 0,15 que es ligeramente conservador respecto a los conocidas soluciones "exactas". Se compone de tres tramos: flexo-tracción, gran y pequeña excentricidad en flexo-compresión basado en las ecuaciones de equilibrio. El valor de la reducción de resistencia φ (Fig.2b) puede expresarse entre los límites de c/d 0,375 y 0,6 por n 1 y n2 . Tabla 1 Limites de a/d y de n Hormigón (MPa)
<=30
35
40
45
0,85
0,81
0,77
0,69
a/d=0,375β1
0,318
0,304
0,289
0,259
a/d=0,545β1
o,463
0,441
0,420
0,376
a/d=0,6β1
0,510
o,486
0,462
0,414
n1
- 0,271
- 0.258
- 0,245
- 0,220
nL
- 0.394
- 0,375
-,0357
- 0,320
n2
- 0,433
- 0.413
- 0.393
- 0.352
0,125
0,124
0,121
0,115
1
- nL /2(1,1 nL/0,85)
+
Inestabilidad de Columnas Las solicitaciones en una sección crítica dependen - a diferencia del análisis ordinario en flexo-compresión - también de la deformación de la columna. El cálculo de las deformaciones de la columna esbelta se realiza con el conocido método del análisis estructural para calcular deformaciones que permite obtener los momentos de segundo orden. Con el momento total se dimensiona la armadura para la sección mas solicitada o se puede determinar la capacidad de carga de una columna. El problema de la inestabilidad de las columnas es reducido a uno de resistencia. Para la zona de grandes excentricidades (n n > nL ) se obtiene resultados conservadores, porque la carga que produce inestabilidad pude ser mayor (ver la curva en Fig. 2a). Se parte de una forma parabólica de la curvatura de segundo orden a la cual se suma la de los momentos de primer orden.
2
Dr. Alfonso Huber:
Flexión Compuesta y Columnas Esbeltas
f/d = (1/d2) ∫ k.M' dl donde k es la curvatura adimensional k = d/r = χ.ku , con ku = 2f y.d/Es .ds . El coeficiente χ es <= 1 (Fig.2b) y ku es limitado al comienzo de la tensión de fluencia en las armaduras. La Fig.3 muestra una columna ménsula con diferentes cargas y los correspondientes gráficos de curvaturas. La flecha puede expresarse, tomando k = χ ku - k1 - k 2 - k 3 , por: f/d = 2 (5χ + k1 /ku - k2 /ku - 2k3 /ku )(ku /48)(l/d) . Para la relación de las diferentes curvaturas con la máxima curvatura se usa la hipótesis k i /ku = χ.min /mn. Inicialmente debe estimarse estas relaciones y luego corregirlos
en base a los datos obtenidos. Generalmente son suficientes dos iteraciones. El momento nominal reducido se obtiene finalmente sumando los momentos de primer y segundo orden. La resistencia de diseño es obtenido mediante el coeficiente φ. . En el diseño se parte con la resistencia de diseño que se convierte a la resistencia nominal substituyendo nu /φ por nn, lo que lleva a resolver una ecuación de 2 o grado para obtener φ si n1 > nn > n2 . En el Apéndice se muestran algunas aplicaciones prácticas.
3
Dr. Alfonso Huber:
Flexión Compuesta y Columnas Esbeltas
Apéndice Datos: H 20 f'c = 20 MPa acero f y =420 MPa sección de hormigón cuadrada 0,4x0,4 m (Fig. 4a) β1 = 0,85 d = 0,36 m ds = 0,32 m bdf'c = 2880 kN bd2f'c .= 1037 kNm (los datos son válidos para todos los ejemplos) Ejemplo 1: flexión simple, determinar la resistencia de diseño para As =8,04 cm2 (4 mm) A's = 0
φ 16
ω = 8,04. 42/2880 = 0,117
a/d = ω/0,85 = 0,138 mn = 0,117(1 - 0,138/2) = 0,109 Mn = 0,109.1037 = 113,0 kNm φ = 0,9 resistencia de diseño = 0,9.113 = 102 kNm Ejemplo 2: determinar el máximo momento nominal que la sección puede resistir sin armadura de compresión ( φ es todavía 0,9) max. a/d = 0,318 ω = 0,85a/d = 0,270 m n = 0,270(1 - 0,318/2) = 0,227 Mn = 0,227.1037 = 235 kNm Ejemplo 3: determinar el máximo momento nominal de la sección para A s = A's = 8,04 cm2 a/d = 0 (esto resulta del planteo formal; en realidad, el esfuerzo de compresión será compartido por el hormigón y la armadura de compresión)
mn = 0,117.0,32/0,36 =0,104 Mn = 0,104.1037 = 108,0 kNm
4
Dr. Alfonso Huber:
Flexión Compuesta y Columnas Esbeltas
Ejemplo 4: ídem ejemplo 3, pero con A s = 8,04 cm2 y A's = 4,02 cm2 0,85a/d = ω - ω' = 0,059 0,059),0,32/2.0,36 = 0,109
a/d = 0,069 mn = 0,059(1,111/2 - 0,069/2) + (0,117 + Mn = 112,7 kNm
Nota: la armadura de compresión no es efectivo ni necesaria para c/d < 0.375 y para c/d > 0,375 el coeficiente φ castiga en mayor grado la resistencia de diseño
Ejemplo 5: determinar la armadura simétrica en flexo-compresión Nn = - 1000 kN Mn = 265 kNm nn = - 0,347 > nL = - 0,394 mn =0,256 0,256 = 0,347/2(0,4/0,36 - 0,347/0,85) + ω.0,889 resolviendo resulta ω =0,151 y = 10,4 cm2
As = A's
Ejemplo 6: determinar el momento total para la sección media de una columna biarticulada con carga excéntrica (Fig. 4b) N n = - 1000 kN nn = - 0,347 > nL < nL χ =1 pero φ < 0,9 l = 12 m e = 0,06 m M1n = 60 kNm m1n = 0,0579 ku = 4,725.10-3 l/d = 33,3 ku /48.(l/d)2 = 0,109 f/d = (5 + k1 /ku )0,109 con k1 /ku = 0,2 (estimado) f/d = 0,567 mn = 0,0579 +0,347.0,567 = 0,255 nuevo valor k 1 /ku = 0,0579/0,255 = 0,227 f/d = 0,570 mn = 0,256 k1 /ku = 0,226 Mn = 265 kNm; la armadura fue determinado en el Ejemplo 5 anterior . Fig. 2 muestra los diagramas de interacción de m n, nn, Φ y κ .
Ejemplo 7:
columna como Ejemplo 6
N n = - 2000 kN
5
n n = - 0,694 < n2 y
φ
es
Dr. Alfonso Huber:
entonces
Flexión Compuesta y Columnas Esbeltas
φ = 0,65 M1n = 120 kNm
m1n = 0,116
f/d = (5χ + k1 /ku ).0,109
con k1 /ku = 0,3 y χ = 0,8 (estimados) f/d = 0,469 mn = 0,116 + 0,694.0,469 = 0,441 = 0,8(0,394/2(1,111 - 0,394/0,85) + ω.0,889) ω =0,476 nuevos valores: χ = (1,111 + 2.0,476 - 0,694)/(1,111 + 2.0,476 - 0,394) = 0,820 k1 /ku = 0,82.0,116/0,441 = 0,216 f/d = 0,470 mn = 0,442 ω = 0,462 χ =0,818 (satisfactorio) As = A's = 31,8 cm2 (7φ25 mm = 34,4 cm2 ; número máximo por capa para el ancho 0,4 m de la columna). La carga resistente de diseño es N u = 0,65.2000 = 1300 kN
Ejemplo 8: determinar para una columna ménsula con cargas verticales y horizontales la armadura (Fig. 4c); altura 6,0 m e = 0,06 m carga horizontal distribuida sobre la altura w n = 4 kN/m Nn = - 1000 kN M1n = 60 M3n = 72 kNm para la sección crítica en el pie de la columna nn = - 0,347 m1n = 0,058 m3n = 0,069 su suma 0,127 f/d = (5 + k1 /ku - 2k 3 /ku ) 0,109 con k1 /ku = 0,2 y k3 /ku = 0,2 (estimados) f/d = 0,523 m n = 0,127 + 0,347.9,523 = 0,308 nuevos valores: k1 /ku = 0,188 k3 /ku = 0,224 f/d = 0,517 mn = 0,306 una segunda iteración da k 1 /ku =0,190 y k3 /ku = 0,225 que es satisfactorio 0,306 = 0,122 + ω'0,889 ω' = 0,207 y As = A's = 14,2 cm2
Ejemplo 9: determinar la capacidad portante de la columna del Ejemplo 6 para A s = A's = 8,04 cm2 ω = 0,117 k1 /ku =0,2 y χ = 1 (estimados) e/d = 0,167 f/d = 5,2.0,109 = 0,567 m1n = 0,167.nn mn = - nn (0,167 + 0,567) = - 0,734 n n = - nn /2(1,111 + nn /0,85) + ω'.0,889 la solución de la ecuación cuadrática da n n = - 0,295 m1n = 0,049 mn = 0,217 k1 /ku = 0,228 nuevos valores: f/d = 0,570 nn = - 0,294 > nL < n1 confirma χ = 1 mn = 0,217 k1 /ku = 0,226 capacidad portante Nn = - 0,294.2880 = - 847 kN φ = 1,317 - 1.540.0,294 = 0,87 y N u = 0,87.847 = 737 kN
Bibliografía CEB/FIP “Manual of buckling and instability” CEB Bulletin No.123, Dic. 1977 CIRSOC “Proyecto de Reglamento Argentino de Estructuras de Hormigón” 2002 Huber A. “Dimensionamiento y análisis directo de columnas de hormigón armado” XI Jornadas de Ingeniería Estructural, AIE, 1983.
6
