IDEAL PRIMA DAN IDEAL MAKSIMAL
MAKALAH Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Struktur Aljabar 2 yang dibina oleh Ibu Indriati
Oleh : 1. Guruh Refornando
(160312604929) (160312604929)
2. Hesti Suryaningrum
(160312604806) (160312604806)
3. Nur Hadi Irawan
(160312604882) (160312604882)
4. Suci Dinda Maulidah
(160312604847) (160312604847)
5. Syahrul Khoironi
(160312601915) (160312601915)
6. Syarif Al Haramain
(160312604921) (160312604921)
UNIVERSITAS NEGERI MALANG FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA Maret 2018
2.1
Definisi Ideal Prima
Ideal prima A dari suatu komutativ ring R adalah ideal s ejati dari R sedemikian sehingga
, ∈ dan ∈ mengakibatkan ∈ ∈ Dalam Bahasa Matematis, definisi ini dapat ditulis sebagai berikut Misal R adalah ring komutativ dan , ∈ Jika ∈ maka ∈ ∈ Contoh Soal 1. Tunjukkan bahwa <3> = adalah ideal prima dari
!
Jawab : Langkah 1 : Menunjukkan bahwa <3> adalah ideal dari Z
I deal Test a. Menunjukkan <3> tidak kosong
∃3 = 1.3 ∈< 3 >∋ < 3 > ≠ ∅
b. Menunjukkan < 3 > ⊆ Ambil sebarang ∈ < 3 > karena ∈ < 3 > maka x dapat dinyatakan dengan 3 dengan ∈ . Karena ∈ dan adalah ring, didapatkan bahwa = 3 ∈ .
< 3 >⊆ c. Menunjukkan − ∈ < 3 >, ∀, ∈< 3 > Ambil sebarang , ∈ < 3 >. Karena , ∈ < 3 > maka x,y dapat dinyatakan dengan = 3 = 3, , ∈ .
Didapatkan
− = 3 − 3 Karena , , 3 ∈ dan Z adalah ring didapatkan
− = ( − )3
Karena , ∈ dan Z adalah ring didapatkan bahwa − ∈ < 3 >
d. Menunjukkan ∈< 3 > ∈< 3 > , ∀ ∈< 3 >, ∈ Ambil sebarang ∈ < 3 > ∈ . Karena ∈ < 3 > dan ∈ didapatkan
= 3, ∈ Karena , , 3 ∈ dan adalah ring komutativ didapatkan
= 3 Karena ∈ < 3 > dan < 3 > ⊆ didapatkan bahwa ∈
Karena , ∈ dan Z adalah ring komutativ diketahui bahwa = ∈ < 3 >
Sesuai Ideal Test, didapatkan bahwa < > ideal dari Z
Langkah 2 : Menunjukkan bahwa <3> adalah ideal prima dari Z a. Menunjukkan bahwa <3> ideal sejati dari Z
∃1 ∈ , 1 ∉ < 3 > ∋ < 3 > ≠ b. Menunjukkan <3> adalah ideal prima dari Z [sesuai definisi] Ambil sebarang x = ∈ < 3 >. Karena = ∈< 3 >, dapat dinyatakan dengan = = 3, ∃ ∈ . Dari bentuk tersebut dapat dilihat bahwa
= 3 = 1.3 ∈< 3 >.
Sesuai definisi ideal prima, <3> adalah ideal prima dari Z [Terbukti]
Perhatikan bahwa :
adalah ideal prima dari Z jika dan hanya jika n adalah bilangan prima. () Andaikan bahwa adalah ideal prima dari Z dan n bukan bilangan prima, karena n bukan bilangan prima didapatkan bahwa = , < , < , tetapi ∉< > ∉ .
Terjadi kontradiksi, maka n bilangan prima.
() Misal n adalah bilangan prima dan ∈ < >. Karena ∈ < >, didapatkan
= , ∃ ∈ Dari pernyataan tersebut, diperoleh dua kemungkinan yaitu n|a atau n|b, sedemikian sehingga
∈ < > ∈ < >.
2.2
Definisi Ideal Maksimal
Ideal maksimal prima A adalah dari suatu komutativ ring R adalah ideal sejati dari R sedemikian sehingga, jika B adalah ideal dari R dan ⊆ ⊆ maka = = Dalam Bahasa Matematis, definisi ini dapat ditulis sebagai berikut Misal R adalah ring komutativ dan A adalah ideal sejati dari R Jika B adalah ideal dari ⊆ maka = =
Contoh Soal
> adalah ideal maksimal dari ! 1. Tunjukkan bahwa < ̅ > adalah ideal dari Langkah 1: Menunjukkan < 3
I deal Test ̅ > tidak kosong a. Menunjukkan < 3 ̅ = 1. 3 ̅ ∈<3 ̅ >∋< 3 ̅ >≠ ∅ ∃3 b. Menunjukkan < 3 > ⊆
̅ >. Ambil sebarang ∈< 3 ̅ >, didapatkan = 3 ̅ , ∈ Karena ∈ < 3 ̅ ∈ dan adalah ring didapatkan = 3 ̅ ∈ Karena , 3
< 3 > ⊆
̅ >, ∀, ∈ < 3 ̅> c. Menunjukkan − ∈< 3 ̅> Ambil sebarang , ∈ < 3 ̅ >, didapatkan Karena , ∈ < 3 ̅ = 3 ̅ , , ∈ ∈ 3 ̅ − 3 ̅ − = 3 Karena , , 3 ∈ dan adalah ring didapatkan
̅ − = ( − )3 ̅> Karena , ∈ dan adalah ring didapatkan − ∈< 3 ̅ > ∈< 3 ̅ >, ∀ ∈< 3 ̅ >, ∈ d. Menunjukkan ∈< 3 ̅ > dan r ∈ Ambil sebarang ∈ < 3 ̅ > , = 3 ̅ , ∈ Karena ∈ < 3 ̅ = 3 ̅ ∈ dan adalah ring komutativ didapatkan Karena ,,3 ̅ = 3 ̅> Karena , ∈ dan adalah ring didapatkan ∈ < 3 ̅ > dan < 3 ̅ >⊆ didapatkan ∈ Karena ∈ < 3
̅> Karena , ∈ dan adalah ring komutativ didapatkan = ∈ < 3
> ideal dari Sesuai Ideal Test, didapatkan bahwa <
̅ > adalah ideal maksimal dari Langkah 2: Menunjukkan < 3 ̅ >adalah ideal sejati dari a. Menunjukkan bahwa < 3 ̅ ∈ , 1 ̅ ∉< 3 ̅ >∋<3 ̅ >≠ ∃1 b. Menunjukkan bahwa <3> adalah ideal maksimal dari [Sesuai Definisi] Ambil sebarang B ideal dari dan < 3 > ⊆ Perhatikan bahwa setiap ideal dari dapat dinyatakan dalam diagram lattice berikut.
= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20, … … ,31,32,33,34,35} < 2 > = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34} < 3 > = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33} < 4 > = { 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32} < 6 > = {0, 6, 12, 18, 24, 30} < 9 > = {0, 9, 18, 27} < 12 > = {0, 12, 24} < 18 > = {0, 18} < 0 > = {0} Dari daftar di atas tampak bahwa untuk setiap B ideal dari , jika < 3 > subset dari B, maka B = < 3 > atau B = . Jadi <3> adalah ideal maksimal dari
Teorema Misal R adalah komutativ ring dengan unity dan misal A ideal dari R. R/A adalah domain integral jika dan hanya jika A adalah ideal prima
Bukti : () Misal R/A adalah integral domain dan ∈ .
( + )( + ) = + = 0 + Karena R/A adalah integral domain dari A, hanya terdapat dua kemungkinan yaitu
+ = 0 + = atau + = 0 + = , atau yang dapat dinyatakan dengan ∈ atau ∈ . Dengan demikian, sesuai definisi diketahui bahwa adalah ideal prima. () Misal A adalah ideal prima dari R/A. Karena A adalah ideal prima didapatkan
( + )( + ) = + = 0 + = Dengan begitu didapatkan bahwa ∈ . Karena A adalah ideal prima didapatkan bahwa
+ ∈ atau + ∈ atau yang dapat dinyatakan dengan + = 0 + = atau + = 0 + = . Dari pernyataan tersebut, sesuai definsi diketahui bahwa R/A adalah integral domain
Teorema Misal R adalah ring komutativ dengan unity dan misal A adalah ideal dari R. R/A adalah field jika dan hanya jika A adalah ideal maksimal.
Bukti : () Misal R/A adalah field dan B adalah ideal dari R yang memuat dan tidak sama dengan A. Misal ∈ tetapi ∉ . Maka b+A adalah elemen tidak nol dari R/A dan karenanya ∃ +
∋ ( + )( + ) = 1 + , unity dari R/A. Karena ∈ , kita memiliki ∈ . Karena 1 + = ( + )( + ) = + Kita dapatkan 1 − ∈ ⊂ B. Jadi, 1 = 1 − + ∈ . Karena 1 ∈ , maka = . Hal ini menunjukkan bahwa A adalah ideal maksimal. () Misal A adalah ideal maksimal dan misal ∈ tetapi ∉ . Pernyataan tersebut telah cukup dibuktikan dengan menyatakan bawa b+A memilki invers perkalian. Hitung = { + | ∈ , ∈ }. B adalah ideal dari R yang memuat dan tidak sama dengan . Karena adalah ideal maksimal, kita dapatkan = . Karenanya
1 ∈ , 1 = + ′ + = + = ( + )( + ) Karena b+A memiliki invers perkalian maka A adalah ideal maximum.
Perhatikan bahwa :
Setiap ideal maksimal adalah ideal pri ma Andaikan A bukan merupakan ideal prima, berdasarkan teori pertama didapatkan bahwa R/A bukan merupakan integral domain. Pada pembahasan sebelumnya telah diketahui bahwa field adalah integral domain khusus.
Terjadi kontradiksi
Jadi, jika A bukan merupakan ideal prima, R/A bukan merupakan field.
Karena
NB : Semua ideal prima adalah ideal maksimal [Salah] Bukti ∃ < > ideal prima di [] , ∃< , 2 > ideal dari [ ] ∋ < > ⊆ < , 2 > ⊆ [] dan < >≠< , 2 > dan < , 2 > ≠ []
