INECUACIONES RACIONALES
RELACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES
AXIOMA DE ORDEN: ORDEN: En el conjunto de los números reales: a) Si a es cualquier número real, se cumple exactamente una de las tres posibilidades posibil idades : Ley de Tricotomía. a < b; a = b; b; a > b b) La suma de dos números reales positivos es un número real positivo. c) El producto de dos números reales positivos es un número real positivo.
RELACIONES MAYOR, MENOR, MAYOR IGUAL y MENOR IGUAL
a) b) c) d)
a < b si y sólo si a > b si y solo sí a b si y sólo si a b si y sólo si
b – a es un un número número positivo. a - b es un número positivo. a < b o a = b a > b o a = b
PROPIEDADES DE LA RELACION “MENOS O IGUAL” ( )
tiene las siguientes propiedades: propiedades: 1 ; 3 3 b) Propiedad antisimétrica: 1 2 2 no es menor e igual a 1 ; 3 3 no es menor e igual a 2 2 c) Propiedad transitiva 4 6 y 6 10 4 10 Por cumplir “ “ estas 3 propiedades, propiedades, se dice que es de orden total en R. R.
La relación a)
Propiedad Reflexiva: 1
PROPIEDADES DE LAS RELACIONES DE DESIGUALDAD EN R 1. Si a < b y b < c , entonces a < c 2. Si a < b , entonces a + c < b + c 3. Si a + c < b + c , entonces a < b 4. Si a < b y c < d , entonces a + c < b + d 5. Si a < b y c > 0 , entonces ac < bc 6. Si a < b y c < 0 , entonces ac > bc 7. Si 0 < a < b y 0 < c < d , entonces ac < bd 8. Si ac < bc y c > 0 , entonces a < b 9. Si ac < bc y c < 0 , entonces a > b 10. Si a < b , entonces -a > -b 11. Si 0 < a < b , entonces 1/a > 1/b
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Definición: Las desigualdades de tipo : ax2 + bx + c > 0 ; ax2 + bx + c 0 ax2 + bx + c < 0 ; ax2 + bx + c 0 se denominan desigualdades de segundo grado o cuadráticas. Ejemplos: x2 + x – 6 > 0 ; 2x2 – 5x – 3 < 0 5x2 – 8x + 3 0 ; 2x2 + 4x + 5 0 Resolución de Inecuaciones de Segundo Grado Sea el polinomio de segundo grado: ax 2 + bx + c Se verifica que “a” sea positivo, si a es negativo se cambia el signo a todos los términos de la desigualdad. Ejemplo: Resolver -2x2 + 5x 5x + 3 < 0 cambiando cambiando el signo 2x2 – 5x – 3 > 0 Se calcula el discriminante para ver el tipo de raíces : = (-5)2 – 4(2) (-3) = 49 Se calculan las raíces factorizando por aspa simple o por fórmula general : 2x2 – 5x – 3 = (2x + 1) (x - 3) = 0 x = -1/2 ; x = 3 A estos estos valores valores se se les les conoce conoce como como “punto “puntoss críticos críticos”. ”. Se ubican los puntos críticos en la recta numérica para analizar los signos del trinomio : P = 2x2 – 5x – 3
+
+
CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN LINEAL Es el conjunto formado por las s oluciones particulares de dicha inecuación . Si una inecuación no tiene solución particular, su conjunto solución se define como el conjunto vacio. vacio. Existen propiedades propiedades de las relaciones de desigualdad muy usadas en la solución solución de inecuaciones. A continuación anotamos sólo las las propiedades propiedades de la relación relación “menor” “menor” ( < ), siendo siendo las mismas o muy similares las de las otras relaciones. Para obtener el intervalo al que pertenece la incógnita de tal manera que verifique la desigualdad propuesta será suficiente despejar la incógnita aplicando los teoremas de desigualdades Ejemplo: Resolver : 4x + 13 > x + 22 Resolución : 4x + 13 > x + 22 4x – x > 22 - 13 3x > 9 x > 3 C.S. = <3; +∞> -∞
3
+∞
-
3
-
Como P > 0 entonces la respuesta es la Zona positiva. Se escribe escribe el intervalo intervalo solución: solución: x <-, -1/2> <3, >
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Se resuelven teniendo en cuenta las propiedades: 1. a < b b > 0 y -b < a < b 2.
a
b
b
0 y -b
3.
a
< b
y
b < 0
4
a
> b
a > b ó a < -b
5.
a
6.
a
b b
y
a
b
b < 0
a
a
ó a
a
-b R
b
+
PROBLEMAS DE INECUACIONES
1
1. Resolver: 2(x - 3) + 3(x - 2) > 4(x - 1) .Indicando el menor valor entero que adopta “x”. a) 1 b) 8 c) 7 d) 10 e) 9 x
2.
1
x
2
Resolver:
indicando el intervalo solución. b) x [1; +> c) x [-1; 1] e) x
d) x R x
Resolver:
6
3
a) x [7; + > 3.
1
2
x
3
6
x
5
3 7
Indicando el intervalo no solución.
c) <-1; 1> d) <-; 4> e) N.A. 4. Resolver:(x + 1)(x + 2)(x + 3) x3 + 6x 6x2 + 10x + 12 a) x 10 b) x 4 c) x 6 d) x 6 e) x 1 x 2 3 x 35 0 2 8 5. Al resolver el sistema: 1 2 35 x 3 x 1 8 2 Se pide dar la suma de todos los números enteros que lo satisfagan. c) 6 d) 8 a) 2 b) 4 e) 10
3x 2 - 12x - 15 0 el CS es : [a, b] 2 - x + 4x - 3 0
[c,
d].
Calcular el valor de: E = 2a + b – 3c + d d) 1 e) 8 a) –5 b) –3 c) 0 7. Hallar el menor de l os números “M” que cumple la siguiente condición: x R, 4x – x 2 – 12 M Respuesta: Respuest a: -8.
PROBLEMAS PROBLEMAS RESUELTOS RESUELTOS DE INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO AB SOLUTO 8. Resol Resolver ver 9.Re 9.Reso solv lver er
2x – 3
< 7
5x – 1
Respue Respuesta sta::
2,5
R: ,2 U 4 / 5, = R - 2, 4 / 5 Respuesta: x <-2; 8>
10.Resolver:|x - 3| < 5 11. Resolver: |2x - 1| >
3
x
2
Respuesta: x <-; 1> U <2; + > - 8;
2
3 Respuesta: x 14. Resuelve 3|2 - x| - 15 ≥ 0 Respuesta: x ∈ (-∞ , - 3] ∪ [7 , ∞) 15. Resuelve |x - 1| ≤ 5x – 2 Resp: x ∈[1/2 , ∞)∩[1/4 ,∞)=[1/2 , ∞) 16. Resuelve Resuelve 4 + |x| |x| ≥ 3x Resp: x ∈ (-∞ , 1] (-∞ , 2] = (-∞ , 2] 17. Resolver |x + 1| ≥ |1 - 2x| Respuesta: x ∈ [0 , 2]
13.Resolver: |x - 5| > |2x + 3|
5
a) <4; + > b) <1; 4>
6. Al resolver el sistema:
12.Resolver: | 2x - 3 | < 1
Respuesta: x [2/5;2/3]
18. Resuelve Respuesta: x ∈ (- 3 , - 2) ∪ (-2 , -7/5) 19. Resuelve la siguiente inecuación: |x2 - 1| < 3 - 3 < x 2 - 1 < 3 Resolvemos las dos inecuaciones por separado: a) x2 - 1 > -3 ⇔ ⇒ x2 + 2 > 0 x > ± √ -2 -2 La inecuación no se puede factorizar, así que estudiamos el signo en todo R = (-∞ , ∞): damos un valor cualquiera en este intervalo, por ejemplo x = 0 ⇒ x2 + 2 = 2 > 0
(- ∞, ∞) + El conjunto de soluciones es: (-∞ , ∞) ⇔ x2 - 4 < 0 2 ⇔ x - 4 = 0 x = ± √ 4 = ± 2 Factorizamos Factorizamos la inecuación: (x - 2)(x + 2) < 0 Estudiamos el signo en los intervalos: (-∞ , -2) , (-2 , 2) , (2 , ∞) • (-∞ , -2): x = - 3 ⇒ (x - 2)(x + 2) = (-3 - 2)(-3 + 2) > 0 ⇒ • (-2 , 2): x = 0 (x - 2)(x + 2) = (- 2)(2) < 0 • (2 , ∞): x = 3 ⇒ (x - 2)(x + 2) = (3 - 2)(3 + 2) > 0
b) x2 - 1 < 3
(- ∞, - 2) +
(- 2 , 2) -
(2 , ∞) +
El conjunto de soluciones es: (-2 , 2) La solución será el conjunto de valores de x que cumplan ambas inecuaciones, es decir, será la intersección de los dos conjuntos. S = (-∞ , ∞) ∩ (-2 , 2) = (-2 , 2) 20. Resuelve |x2 - 9| ≥ 7 Resp: x (-∞ , - 4] [-√ 2 , √ 2] 2] [4 , ∞)
PROBLEMAS RESUELTOS DE INECUACIONES RACIONALES 5. Resolver: 2(x - 3) + 3(x - 2) > 4(x - 1) .Indicando el menor valor entero que adopta “x”. a) 1 b) 8 c) 7 d) 10 e) 9 Solución: Reduciendo obtenemos 2x-6+3x-6 > 4x-4 5x-12 > 4x-4 x > 8 C.S = <8; + > El menor es 9 x
6. Resolver: a) x [7; +> d) x R
1
x
2
1
6
3
indicando el intervalo solución. b) x [1; +> c) x [-1; 1] e) x 3 x 3 2 x 2 6 Solución: Reduciendo obtenemos 6 5x+1 36 5x 35 x 7 C.S = [ 7; + > x
7.
Resolver:
2 3
x
6 5
x
3 7
5
Indicando el intervalo no solución.
a) <4; +> b) <1; 4> c) <-1; 1> d) <-; 4> e) N.A. Solución: Reduciendo obtenemos 35x+70+21x+126+15x+45 5 71x +241 525 71x 284 x 4 C.S.= <-; 4 ] El intervalo no solución : es <4; +> 8. Resolver:(x + 1)(x + 2)(x + 3) x3 + 6x 6x2 + 10x + 12 a) x 10 b) x 4 c) x 6 d) x 6 e) x 2 Solución: Obtenemos: Obtenemos: (x +3x+2)(x+3) x3 + 6x 6x2 + 10x + 12 3 2 x +6x +11x+6 x3 + 6x 6x2 + 10x + 12 x 6
1 x 2 3 x 35 0 2 8 5. Al resolver el sistema: 1 2 35 x 3 x 1 8 2 Se pide dar la suma de todos los números enteros que lo satisfagan. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 Solución: Multiplicamos por 8 a ambas i necuaciones necuaciones entonces 4x2 – 24x+35 > 0 (1) 4x2 – 24x+35 < 8 (2)
2
Completando cuadrados 4x2 –24x+35=(2x-6) -1 2 2 Reemplazamos en (1) y (2) 0<(2x-6) -1<8 1<(2x-6) <9 1<2x-6<3 V -3<2x-6<-1 7 9 3 5
3x 2 - 12x - 15 0 el CS es : [a, b] 2 - x + 4x - 3 0
[c,
d].
Calcular el valor de: E = 2a + b – 3c + d a) –5 b) –3 c) 0 d) 1 e) 8 Solución: Dividimos a la primera inecuación inecuación entre 3 y multiplicamos a la segunda por -1 tenemos x2 – 4x – 5 0 (1) x2 – 4x + 3 0 (2) Completando cuadrados en ambas ecuaciones tenemos (x-2) 2 -9 0 2 (x-2) -1 0 Entonces 1 (x-2) 2 9 1 x-2 3 V -3 x-2 -1 3 x 5 V -1 x 1 Entonces C.S.=[-1;1] U [3;5] Comparando a=-1,b=1, c=3 y d=5 E=2(-1)+1-3(3)+5 E= -5 7. Hallar el menor de l os números “M” que cumple la siguiente condición: x R, 4x – x 2 – 12 M Solución: 4x – x2 + 12 M. multiplicando a todos los términos de desigualdad por por (-1) se tiene: x2 – 4x + 12 -M x2 – 4x + (M + 12) 0 como se verifica x R y el primer coeficiente es positivo (1 > 0), entonces el discriminante debe ser menor o igual a cero. Luego tenemos: = 16 – 4(M + 12) 0 16 – 4M – 48 0-32 4M 4M -32 M -8 Graficando:
-
+8
Del gráfico, el menor valor de M es -8.
+
PROBLEMAS PROBLEMAS RESUELTOS RESUELTOS DE INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO AB SOLUTO 8. Reso Resolve lverr
2x – 3
< 7
Solución: Como 7 > 0 se tiene: 2x – 3 < 7 -7 < 2x - 3 < 7
9.Re 9.Reso solv lver er
-7 +3 < 2x -3 +3 < 7 +3 -4 < 2x < 10 -2 < x < 5 S = x / x R , -2 < x < 5 =
5x – 1
2,5
De donde: x
3
5x -1 3 ó 5x -1 -3 5x 4 ó 5x -2 x 4/5 ó x -2 S = x / x R , x -2 ó x 4/5 = ,2 U 4 / 5, = R - 2,4 / 5
10. Resolver:|x - 3| < 5 Solución: Como: 5 > 0; 0; solo consideramos: -5 < x - 3< 5 sumando 3 a toda la desigualdad: -5 + 3 < x - 3 + 3 < 5 + 3 -2 < x < 8 x <-2; 8>
Solución: Resolviendo: Resolviendo:
x
2 x
2
- x 2x - 1 x 2
> 0 y 2
Graficando: -
2 5
- 8;
2 3
14. Resuelve 3|2 - x| - 15 ≥ 0
Solución 5x – 1 3
11. Resolver: |2x - 1| >
13.Resolver: |x - 5| > |2x + 3| Solución: Por el teorema de la i necuación es equivalente a: (x - 5)2 > (2x + 3) 2 (x - 5)2 - (2x + 3)2 > 0 Diferencia de cuadrados: [(x- 5) + (2x + 3)][(x - 5) - (2x + 3)] > 0 [3x - 2][-x - 8] > 0 Multiplicando por (-1) al segundo factor: (3x - 2)(x + 8) < 0
2 3
+
x [2/5;2/3]
1 12.Resolver: | 2 x - 3 | < 1
Solución: Entonces tenemos: |2x - 3| > 1 2x - 3 > 1 U 2x - 3 < -1 Uniendo: x <-; 1> U <2; + >
3|2 - x| ≥ 15 |2 - x| ≥ 5 2-x≤-5 ó 2-x≥5 ⇔ 2 - x ≤ - 5 ⇔ - x ≤ - 5 - 2 - x ≤ - 7 x ≥ 7 ⇔ 2 - x ≥ 5 ⇔ - x ≥ 5 - 2 - x ≥ 3 x ≤ - 3 La solución será el conjunto de valores de x que cumplan la primera desigualdad ó la segunda. x ∈ (-∞ , - 3] ∪ [7 , ∞)
15. Resuelve |x - 1| ≤ 5x - 2
- (5x - 2) ≤ x - 1 ≤ 5x - 2 - 5x + 2 ≤ x - 1 ≤ 5x - 2 ⇔ a) - 5x + 2 ≤ x - 1 ⇔ 2 + 1 ≤ x + 5x 3 ≤ 6x ⇔ 1/2 ≤ x ⇔ b) x - 1 ≤ 5x - 2 ⇔ - 1 + 2 ≤ 5x - x 1 ≤ 4x ⇔ 1/4 ≤ x La solución será el conjunto de valores de x que cumplan a) y b), por tanto, es la intersección de los intervalos. x ∈ [1/2 , ∞) ∩ [1/4 , ∞) = [1/2 , ∞)
16. Resuelve Resuelve 4 + |x| |x| ≥ 3x
|x| ≥ 3x - 4 x ≤ - (3x - 4) ó x ≥ 3x - 4 ⇔ ⇔ x ≤ - (3x - 4) x ≤ - 3x + 4 4x ≤ 4 ⇔ x ≤ 1 x ≥ 3x - 4 ⇔ - 2x ≥ - 4 ⇔ 2x ≤ 4 ⇔ x ≤ 2 La solución será el conjunto de valores de x que cumplan la primera desigualdad ó la segunda. x ∈ (-∞ , 1] (-∞ , 2] = (-∞ , 2]
17. Resolver |x + 1| ≥ |1 - 2x| (|x + 1|)2 ≥ (|1 - 2x|)2 x2 + 2x + 1 ≥ 1 - 4x + 4x 2 Tenemos: ⇔ 3x = 0 x=0
(x + 1)2 ≥ (1 - 2x)2 0 ≥ 3x2 - 6x
0 ≥ 3x(x - 2)
⇔ x-2=0 x=2 • (-∞ , 0): x = - 1 ⇒ 3x = - 3 < 0 ⇒ x - 2 = - 1 - 2 < 0 • (0, 2): x = 1 3x = 3 > 0 x-2=1-2<0 ⇒ ⇒ ⇒ • (2, ∞): x = 3 ⇒ 3x = 9 > 0 x-2=3-2>0 También se puede hacer estudiando el signo del numerador numerador y del denominador y después del cociente entre ambos.
(- ∞ , 0)
(0 , 2)
(2, ∞)
3x
-
+
+
x - 2
-
-
+
3x(x - 2)
+
-
+
El conjunto de soluciones es: [0 , 2] Incluimos los valores valores x = 0 y x = 2 , puesto que la desigualdad requiere que el producto sea menor o igual que 0.
18. Resuelve la siguiente inecuación:
5x
• (-∞ , - 2):
⇔ +7=0 x = - 7/5 ⇔ x+2=0 x=-2 ⇒ x=-3 5x + 7 = - 15 + 7 < 0 ⇒ x +2 = - 3 + 2< 0
• (-2 , -7/5):
x = -3/2
5x + 7 = 5(-3/2) 5(-3/2) + 7 < 0 x + 2 = -3/2 + 2 > 0 • (-7/5, ∞): x = 0 ⇒ 5x + 7 = 7 > 0 ⇒ x+2=2>0 También se puede hacer estudiando el signo del numerador numerador y del denominador y después del cociente entre ambos. ⇒
⇒
(- ∞ , - 2)
(-2 , -7/5)
(-7/5, ∞)
5x + 7
-
-
+
x+2
-
+
+
+
-
+
Para que el cociente sea negativo:
x ∈ (-2 , -7/5)
⇔ - 3x - 9 = 0 - 3x = 9 ⇔ x = - 3 ⇔ x+2=0 x=-2 • (-∞ , - 3): x = -4 ⇒ - 3x - 9 = - 3(-4) - 9 > 0 ⇒ x + 2 = - 4 + 2< 0 • (- 3 , - 2): x = - 5/2 ⇒ - 3x - 9 = - 3(-5/2) - 9 < 0 ⇒ x + 2 = - 5/2 + 2 < 0 • (- 2, ∞): x = 0 ⇒ - 3x - 9 = - 9< 0 ⇒ x+2=2>0 También se puede hacer estudiando el signo del numerador numerador y del denominador y después del cociente entre ambos.
(- ∞ , - 3)
(-3 , -2)
(-2, ∞)
- 3x - 9
+
-
-
x + 2
-
-
+
-
+
-
Para que el cociente sea positivo: x ∈ (- 3 , - 2) La solución será el conjunto de valores de x que cumplan la desigualdad a) ó la desigualdad b) , es decir, la unión de sus soluciones.
x (- 3 , - 2) (-2 , -7/5) -7/5)
+
19. Resuelve la siguiente i necuación: |x2 - 1| < 3 2
- 3 < x - 1 < 3 Resolvemos Resolvemos las dos inecuaciones por separado: a) x2 - 1 > -3 ⇔ ⇒ x2 + 2 > 0 x > ± √ -2 -2 La inecuación no se puede factorizar, así que estudiamos el signo en todo R = (-∞ , ∞): damos un valor cualquiera en este intervalo, por ejemplo x = 0 ⇒ x2 + 2 = 2 > 0
(- ∞, ∞) + El conjunto de soluciones es: (-∞ , ∞) ⇔ x2 - 4 < 0 2 ⇔ x - 4 = 0 x = ± √ 4 = ± 2 Factorizamos Factorizamos la inecuación: (x - 2)(x + 2) < 0 Estudiamos el signo en los intervalos: (-∞ , -2) , (-2 , 2) , (2 , ∞) • (-∞ , -2): x = - 3 ⇒ (x - 2)(x + 2) = (-3 - 2)(-3 2)(-3 + 2) > 0 ⇒ • (-2 , 2): x = 0 (x - 2)(x + 2) = (- 2)(2) < 0 • (2 , ∞): x = 3 (x - 2)(x + 2) = (3 - 2)(3 + 2) > 0 ⇒
b) x2 - 1 < 3
(- ∞, - 2) +
(- 2 , 2) -
(2 , ∞) +
El conjunto de soluciones es: (-2 , 2) La solución será el conjunto de valores de x que cumplan ambas inecuaciones, es decir, será la intersección de los dos conjuntos. S = (-∞ , ∞) ∩ (-2 , 2) = (-2 , 2)
20. Resuelve la siguiente i necuación: necuación: |x2 - 9| ≥ 7 2 a) x - 9 ≤ - 7 b) x2 - 9 ≥ 7 ó ó a) x2 - 2 ≤ 0 b) x2 - 16 ≥ 0 2 a) x - 2 ≤ 0 2
⇔ x - 2 = 0 x = ± √ 2 Factorizamos Factorizamos la inecuación: (x - √2)(x + √2) ≤ 0 Estudiamos el signo en los intervalos: (-∞ , -√2) , (-√2 , √2) , (√2 , ∞) • (-∞ , -√2): x = - 2 ⇒ (x - √ 2)(x 2)(x + √ 2) 2) = (- 2 - √ 2)(2)(- 2 + √ 2) 2) > 0 • (-√2 , √2): x = 0 ⇒ (x - √ 2)(x 2)(x + √2) = (- √2)(√2) < 0 • (√2 , ∞): x = 2 ⇒ (x - √ 2)(x 2)(x + √ 2) 2) = (2 - √ 2)(2 2)(2 + √ 2) 2) > 0
(- ∞, - √2)
(- √2 , √2)
(√2 , ∞)
-
El conjunto de soluciones es:
b) x2 - 16 ≥ 0
+ [-√2 , √2]
x2 - 16 = 0 x2 = 16 x=±4 ⇔ ⇔ Factorizamos Factorizamos la inecuación: (x - 4)(x + 4) ≥ 0 Estudiamos el signo en los intervalos: (-∞ , - 4) , (- 4 , 4) , (4 , ∞) • (-∞ , - 4): x = - 5 ⇒ (x - 4)(x + 4) = (- 5 - 4)(- 5 + 4) > 0 • (- 4 , 4): x = 0 (x - 4)(x + 4) 4) = (- 4)(4) < 0 ⇒ • (4, ∞): x = 5 ⇒ (x - 4)(x + 4) = (5 - 4)(5 4)(5 + 4) > 0
(- ∞, - 4) +
(- 4 , 4) -
(4 , ∞) +
El conjunto de soluciones es: (-∞ , - 4] ∪ [4 , ∞) La solución será el conjunto de valores de x que cumplan la desigualdad a)ó la desigualdad b) , es decir, la unión de s us soluciones. x ∈ (-∞ , - 4] ∪ [-√ 2 , √ 2] 2] ∪ [4 , ∞)
21. Resuelve la siguiente inecuación: |x2 - 9| ≥ 7 ó a) x2 - 9 ≤ - 7 b) x2 - 9 ≥ 7 2 ó a) x - 2 ≤ 0 b) x2 - 16 ≥ 0 2 a) x - 2 ≤ 0
⇔ x2 - 2 = 0 x = ± √ 2 Factorizamos Factorizamos la inecuación: (x - √2)(x + √2) ≤ 0 Estudiamos el signo en los intervalos: (-∞ , -√2) , (-√2 , √2) , (√2 , ∞) • (-∞ , -√2): x = - 2 ⇒ (x - √ 2)(x 2)(x + √ 2) 2) = (- 2 - √ 2)(2)(- 2 + √ 2) 2) > 0 • (-√2 , √2): x = 0 ⇒ (x - √ 2)(x 2)(x + √ 2) 2) = (- √ 2)( 2)(√ 2) 2) < 0 • (√2 , ∞): x = 2 ⇒ (x - √2)(x + √2) = (2 - √2)(2 + √2) > 0
(- ∞, - √2) +
(- √2 , √2) -
El conjunto de soluciones es:
b) x2 - 16 ≥ 0
(√2 , ∞) +
[-√2 , √2]
⇔ ⇔ x2 - 16 = 0 x2 = 16 x=±4 Factorizamos Factorizamos la inecuación: (x - 4)(x + 4) ≥ 0 Estudiamos el signo en los intervalos: (-∞ , - 4) , (- 4 , 4) , (4 , ∞) • (-∞ , - 4): x = - 5 ⇒ (x - 4)(x + 4) = (- 5 - 4)(- 5 + 4) > 0 ⇒ • (- 4 , 4): x = 0 (x - 4)(x + 4) 4) = (- 4)(4) < 0 • (4, ∞): x = 5 ⇒ (x - 4)(x + 4) = (5 - 4)(5 4)(5 + 4) > 0
(- ∞, - 4) +
(- 4 , 4) -
(4 , ∞) +
El conjunto de soluciones es: (-∞ , - 4] ∪ [4 , ∞) La solución será el conjunto de valores de x que cumplan la desigualdad a)ó la desigualdad b) , es decir, la unión de s us soluciones. x ∈ (-∞ , - 4] ∪ [-√ 2 , √ 2] 2] ∪ [4 , ∞) 22. Resuelve la siguiente i necuación: necuación: |x2 - 9| ≥ 7 2 ó a) x - 9 ≤ - 7 b) x2 - 9 ≥ 7 2 ó a) x - 2 ≤ 0 b) x2 - 16 ≥ 0
a) x2 - 2 ≤ 0
⇔ x2 - 2 = 0 x = ± √ 2 Factorizamos Factorizamos la inecuación: (x - √2)(x + √2) ≤ 0 Estudiamos el signo en los intervalos: (-∞ , -√2) , (-√2 , √2) , (√2 , ∞) • (-∞ , -√2): x = - 2 ⇒ (x - √ 2)(x 2)(x + √ 2) 2) = (- 2 - √ 2)(2)(- 2 + √ 2) 2) > 0 • (-√2 , √2): x = 0 ⇒ (x - √ 2)(x 2)(x + √ 2) 2) = (- √ 2)( 2)(√ 2) 2) < 0 • (√2 , ∞): x = 2 ⇒ (x - √ 2)(x 2)(x + √ 2) 2) = (2 - √ 2)(2 2)(2 + √ 2) 2) > 0
(- ∞, - √2) +
(- √2 , √2) -
El conjunto de soluciones es:
b) x2 - 16 ≥ 0
(√2 , ∞) +
[-√2 , √2]
⇔ ⇔ x2 - 16 = 0 x2 = 16 x=±4 Factorizamos Factorizamos la inecuación: (x - 4)(x + 4) ≥ 0 Estudiamos el signo en los intervalos: (-∞ , - 4) , (- 4 , 4) , (4 , ∞) • (-∞ , - 4): x = - 5 ⇒ (x - 4)(x + 4) = (- 5 - 4)(- 5 + 4) > 0 • (- 4 , 4): x = 0 (x - 4)(x + 4) 4) = (- 4)(4) < 0 ⇒ • (4, ∞): x = 5 ⇒ (x - 4)(x + 4) = (5 - 4)(5 + 4) > 0
(- ∞, - 4) +
(- 4 , 4) -
(4 , ∞) +
El conjunto de soluciones es: (-∞ , - 4] ∪ [4 , ∞) La solución será el conjunto de valores de x que cumplan la desigualdad a)ó la desigualdad b) , es decir, la unión de sus soluciones. x ∈ (-∞ , - 4] ∪ [-√ 2 , √ 2] 2] ∪ [4 , ∞)
23. Resuelve la siguiente i necuación:
Resuelve la siguiente inecuación: 1 ≤ |x| ≤ 4 Resolvemos las dos inecuaciones por separado: ⇔ ⇔ • |x| ≥ 1 x ≤ -1 ó x ≥ 1 x ∈ (-∞ , -1] ∪ [1 , + ∞) ⇔ ⇔ • |x| ≤ 4 - 4 ≤ x ≤ 4 x ∈ [-4 , 4] La solución será el conjunto de valores de x que cumplan ambas desigualdades, es decir, será la intersección de los intervalos. S = [-4 , -1] ∪ [1 , 4]
