ESTUDIO DEL MOVIMIENTO PERIODICO EN UN SISTEMA MASA RESORTE
Universidad del Cauca Facultad de Ingeniería civil Popayán Cauca
Resumen: Este laboratorio se hace con el propósito de estudiar el comportamiento de un sistema masa resorte y analizar este tipo de comportamiento en la ingeniería. Contiene los procedimientos procedimientos para la determinación de la constante de elasticidad de resortes por el método estático, dinámico y de asociación de resortes, a la vez el análisis y comparación de los resultados obtenidos con los que se plantean teóricamente Palabras claves. Resorte, oscilación, periodo, elongación, constante de elasticidad, constante de equivalencia, amplitud.
1. FUNDAMENTO TEORICO El movimiento oscilatorio es un movimiento periódico en el que un cuerpo pasa repetidamente repetidamente por una posición, en intervalos iguales de tiempo, con las mismas características de movimiento. Una oscilación corresponde a un movimiento de vaivén hacia uno y otro lado de una posición de equilibrio central. El movimiento oscilatorio se caracteriza por diversas magnitudes: La amplitud es el máximo desplazamiento del objeto oscilante con respecto a su posición de equilibrio. Una oscilación completa hacia adelante y hacia atrás, que devuelve el sistema a su estado original, se denomina un ciclo. El periodo T es el tiempo que se emplea para describir un ciclo completo y la frecuencia f de la oscilación es el número de ciclos por unidad de tiempo. El periodo y la frecuencia se relacionan por f=1/T. Recibe el nombre de oscilador, una masa unida de un resorte elástico; si mediante la acción de una fuerza, se separa la masa de la posición de equilibrio inicial,
llevándola a la posición X, es decir, se produce un alargamiento del resorte y este a su vez es totalmente elástico, se verificará la ley de Hooke, que dice que: “la deformación es proporcional a la causa que la produce”, y se expresa mediante la ecuación:
El signo negativo se debe a que el resorte al ser elástico, produce una fuerza igual y de sentido contrario a la que ha producido su deformación. El periodo está dado por la siguiente ecuación:
√ √
La masa efectiva del resorte en un sistema masaresorte ideal es independiente de si la dirección del sistema es horizontal, vertical u oblicua, permaneciendo siempre como 1/3 de la masa del resorte. Por lo anterior el periodo queda expresado de la siguiente forma:
Los resortes se pueden configurar en sistemas de serie o paralelo. El sistema de resortes en serie que es el que se va a estudiar en este caso se da cuando se dispone de resortes que están uno a continuación del otro. Para determinar su constante elástica equivalente (keq) se hace de la siguiente manera
∑
2. DATOS Y RESULTADOS A continuación se muestran los datos obtenidos en laboratorio por cada uno de los métodos y los respectivos cálculos.
Fig 2. Gráfica de Fuerza vs elongación Se encuentra la mejor línea recta de ajuste para la gráfica y su respectiva ecuación, que es la siguiente:
2.1 Método estático N° Masa m Observación (Kg) 1 0,20003
Peso F (N) 1,96
Elongación X (m) 0,011
2
0,30003
2,94
0,020
3
0,40003
3,92
0,028
4
0,50003
4,90
0,032
5
0,60003
5,88
0,045
6
0,70003
6,86
0,053
7 0,80003 7,84 0,060 Fig 1. Datos obtenidos experimentalmente
Fig 3. Ajuste de la representación gráfica de Fuerza Vs Elongación. La anterior gráfica tiene como pendiente 118,28N/m que es considerada la constante de elasticidad real (teórica) para el resorte. Despejando K de la ecuación que representa la ley de Hooke (1), se determina el valor de la constante para cada par de datos obtenidos experimentalmente.
Peso F(N) 1,96
Elongación X (m) 0,011
2,94
0,020
147,00
3,92
0,028
140,00
4,90
0,032
153,13
5,88
0,045
130,67
6,86
0,053
129,43
7,84
0,060
130,67
K (N/m) 178,18
Fig 4. Determinación del valor de las constantes a partir de datos experimentales Se halla el promedio de los valores de K: K promedio =
Fig 6. Gráfica de T cuadrado vs masa total
También se halla el error relativo de K con la siguiente formula:
| ̅ | ̅ y
Donde
Así
2.2 Método dinámico
1,00003
Tiempo (10 oscilaciones) s 5,82
Periodo T (1 oscilación) s 0,582
0,339
0,90003
5,42
0,542
0,294
0,80003
5,02
0,502
0,252
0,70003
4,91
0,491
0,241
0,60003
4,53
0,453
0,205
Masa total (Kg)
0,50003 4,41 0,441 0,194 Fig 5. Datos obtenidos experimentalmente por el método dinámico
Fig 7. Gráfica ajustada de T cuadrado vs masa total Elevando al cuadrado a ambos lados de la ecuación (2) se obtiene:
Al despejar K la ecuación queda así:
Ecuación con la que se puede hallar la constante real (teórica) del resorte.
Con la ecuación (8) se hallan los valores de la constante de elasticidad para los datos experimentales de de la Fig 5. Estos resultados se ilustran a continuación
K 116,459 120,856 125,333
Según esta ecuación al representar T cuadrado frente a m se obtendrá una recta de pendiente y ordenada en el origen
.
Como la ordenada en el origen de la gráfica vale , podemos calcular el valor de la masa efectiva del resorte (llamando b a la ordenada en el origen) de la forma siguiente:
Al despejar mef queda:
114,673 115,552 101,755 Fig 8. Determinación de constantes por el método dinámico El promedio para estos valores de K es 115,771 Al resolver la ecuación (6) en la que
y
̅
se obtiene que
Al promediar los valores de la constante de elasticidad por los procedimientos estáticos y dinámicos se obtiene:
La masa efectiva del resorte se puede calcular si se escribe la ecuación que relaciona T cuadrado y m total (Fig 7) añadiendo a la masa del cuerpo la masa efectiva del resorte, mef:
Ahora hallaremos la mef con el valor de las constantes teóricas. Promedio K teóricos= 128,014
Se puede apreciar que la masa efectiva hallada con el valor teórico fue menor que la obtenida experimentalmente. La diferencia es de 0.002kg, es decir 2g 2.3 Asociación de resortes para comportamiento dinámico (en serie)
ver
el
Debido a que en el procedimiento del método estático se trabajó con un resorte y se halló su constante K, para este procedimiento se necesitó hallar la elongación de otro resorte que se sometió a los mismos pesos, obteniéndose los siguientes resultados:
1,96
Elongación X (m) 0,013
2,94
0,021
140,00
3,92
0,027
145,19
4,90
0,030
163,33
5,88
0,043
136,74
6,86
0,051
134,51
Peso F(N)
K (N/m) 150,77
7,84 0,058 135,17 Fig 9. Determinación de K por el método estático, para estudio de resortes en serie. Promedio constante= 143,67(N/m)
√
La constante para nuestro sistema equivalente es:
Y el Periodo Masa total Tiempo 1 Tiempo 2 Tiempo 3 (Kg) (s) (s) (s) 1.00004 7,91 7,95 7,98 Fig 10. Tiempos de oscilación para la masa fija. Promedio tiempo=7,95seg Periodo=0,795seg
3. ANÁLISIS DE RESULTADOS
Para hallar la constante equivalente de rigidez del sistema de resortes se partió de: Los dos resortes están sometidos a la misma fuerza
Despejando las deformaciones
La deformación equivalente las deformaciones y
es igual a la suma de
La relación entre el esfuerzo y la deformación, denominada módulo de elasticidad, así como el límite de elasticidad, están determinados por la estructura molecular del material, es por ello que cada resorte tiene su propia K. La distancia entre las moléculas de un material no sometido a esfuerzo depende de un equilibrio entre las fuerzas moleculares de atracción y repulsión. Cuando se aplica una fuerza externa que crea una tensión en el interior del material, las distancias moleculares cambian y el material se deforma. Si las moléculas están firmemente unidas entre sí, la deformación no será muy grande incluso con un esfuerzo elevado. En cambio, si las moléculas están poco unidas, una tensión relativamente pequeña causará una deformación grande. Por debajo del límite de elasticidad, cuando se deja de aplicar la fuerza, las moléculas vuelven a su posición de equilibrio y el material elástico recupera su forma original. Más allá del límite de elasticidad (que no fue sobrepasado en el experimento), la fuerza aplicada separa tanto las moléculas que no pueden volver a su posición de partida, y el material queda permanentemente
deformado o se rompe, por esta razón los resortes a prueba no cambiaron su estructura. El método de hallar K a partir del proceso estático resulto ser eficiente pues el error hallado tan solo fue del 3% esto indica que por este método los errores tanto personales como de otros factores fueron mínimos , solo se requirió tomar la elongación ,y quizá allí estuvo el factor determinante del error pues la percepción visual no concuerda muchas veces con la verdadera, Por otra parte hallar K mediante el método dinámico significo obtener una medida con error relativo del 15 % , los datos para para hallar la constante por este método estuvieron más propensos a ser inciertos pues al tomar e tiempo de las 10 oscilaciones y calcular las constantes, estas no fueron tan precisas, Al hallar la constante k de un resorte por el método dinámico se observa que la gráfica al prolongarla no pasa por el origen. Esto es debido a que no se considera como oscilante la masa del propio muelle, que también oscila, y en la fórmula sólo se considera la masa que se cuelga.
4. RESPUESTA A PREGUNTAS
Dé un ejemplo de un fenómeno en el cual la resonancia juega un papel importante en su vida profesional justifique su ejemplo. (Cite la bibliografía).
La resonancia desempeña un rol muy importante en el campo de la ingeniería civil, ya que este es un fenómeno que causa grandes daños a corto y largo plazo; esto depende de las fuerzas a las que sea sometida la estructura, la resistencia de la misma, su edad, el tipo de ondas que intervengan en tal cuerpo, y demás agentes participantes.
Un campo importante de este aspecto es el siguiente: Vibración en estructuras complejas:
Las estructuras que poseen masa y elasticidad son capaces de vibrar. Estas vibraciones Todas pueden ser excitadas por fuentes tales como motores, compresores, vientos, terremotos, etc. Si la frecuencia de estas fuentes de vibración coincide con una de sus frecuencias naturales de vibración, la estructura entra en resonancia y su amplitud de vibración puede alcanzar magnitudes lo suficientemente grandes para dañar o incluso
destruirla. Para evitar la resonancia es necesario conocer las frecuencias naturales de vibración de los diferentes modos de vibración de la estructura como también el espectro de frecuencias de las fuentes de vibración con las que la estructura puede entrar en contacto. Los parámetros más importantes en la vibración de un edificio, como en cualquier estructura, son: las frecuencias naturales , las formas de los modos y el amortiguamiento . Las frecuencias naturales de un edificio son las frecuencias de sus oscilaciones libres. Cuando la frecuencia de la fuente externa coincide con una de las frecuencias naturales, la estructura (o una parte de la estructura) toma la forma del modo en que éste oscila libremente en esa frecuencia. La mayoría de los terremotos son el resultado del movimiento rápido a lo largo del plano de fallas dentro de la corteza terrestre. Este movimiento súbito de la falla libera una gran cantidad de energía que viaja a través de la tierra en la forma de ondas sísmicas. Las ondas sísmicas viajan grandes distancias antes de perder la mayor parte de su energía. Efecto de un terremoto sobre un edificio.
En algún momento después de su generación, estas ondas sísmicas alcanzan la superficie de la tierra y la ponen en movimiento. A este movimiento lo conocemos comúnmente con el nombre de terremoto. Cuando el terremoto llega a la fundación del edificio provoca su movimiento y, luego, se transfiere al resto del edificio de una manera muy compleja. Estos movimientos generan fuerzas que pueden ocasionar mucho daño. El movimiento de la tierra en el sitio que se encuentra un edificio es muy complicado. No es una onda armónica simple sino una superposición de muchas ondas de frecuencias y amplitudes diferentes. Las características de un terremoto que tienen gran importancia para los edificios son: su duración, su amplitud (de desplazamiento, de velocidad y de aceleración) y su espectro de frecuencia. El movimiento de respuesta del edificio al terremoto es también muy complejo. Comienza a vibrar (régimen transitorio) en una manera compleja, en la misma mezcla de frecuencia que tiene el terremoto. Después de un período muy corto, el movimiento se centra alrededor de una las frecuencias naturales de vibración del edificio.
5. CONCLUSIONES
Por qué la masa efectiva del sistema vibrante es igual a un tercio de la masa del resorte.
La masa efectiva del resorte en un sistema masaresorte ideal es independiente de si la dirección del sistema es horizontal, vertical u oblicua, permaneciendo siempre como 1/3 de la masa del resorte. Esto puede ser demostrado del siguiente modo:
Llamemos m a la masa del muelle y M a la masa suspensa del resorte. delgado del resorte que se encuentre a una distancia y del extremo fijo del resorte. Su longitud será dy; su masa, dm; y su velocidad, u.
Este laboratorio permitió conocer como se ve afectado un resorte cuando es sometido a determinada carga de masa y a la vez verificar como varía su constante de elasticidad a razón de la fuerza aplicada y la elongación resultante de la misma (Ley de Hooke). La constante de elasticidad de un resorte varía de acuerdo al método que se use para su determinación, ya sea el método estático, dinámico o en asociación de resortes.
Tomemos un segmento infin itesimalmente
Donde L es la longitud del resorte. Ahora consideremos la energía cinética total del resorte:
Los errores a causa de percepción visual o de reacción influyeron en la obtención de los datos, estos errores se vieron reflejados en la obtención de la constante K que tuvo gran variabilidad, aunque no impidieron que se pudiera estudiar el comportamiento de los sistemas masa resorte. REFERENCIAS
Ec=∫ ∫ ∫
LÓPEZ, L.B. Temas de física. E.U. de I.T. de obras públicas (UPM). Editorial Club Universitario. Pág. 47, 48, 49,50.
Pero la velocidad de cada posición del resorte es directamente proporcional a su Longitud
KANE, J.W; STERNHEIM, M.M. Física. Editorial Reverté. Segunda edición. Pág. 203
u: v = y: L
∴
http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/re cursos/r92185.PDF
Luego
∫ ∫ ∫ *+( ) dy=
=
=
Si comparamos con la fórmula original de la energía podemos concluir que, efectivamente, la masa efectiva del muelle en este caso es: mef =
www.tecnoedu.com/Download/010Vibracionesstru cturasompleasdoc
