MEDICIÓN DE LA DIMENSIÓN FRACTAL RESUMEN:
La medida de la dimensión fractal, es una herramienta que permite determinar qué tan inmerso se encuentra un objeto en el espacio geométrico que lo rodea. Por medio del cómo presente estudio se busca comprender el fenómeno de los básicas fractalesde y aprender obtener la dimensión fractal a partir de mediciones objetos cotidianos y fácilmente reproducibles como bolas de papel y esferas de acero. Eso sí, no es el caso menospreciar la gran utilidad de esta ayuda matemática y física que permite dimensionar el mayor productor de fractales como es la naturaleza, con sus costas, bosques, asentamientos humanos, poblaciones, entre otros.
DIMENSIÓN FRACTAL: Medida del irregularidad de una estructura. [3] HOMOTECIA: Al extraer una parte de un fractal está partes es igual al srcinal pero en menor escala. [3] TOPOLOGÍA: Dimensión de un espacio correspondiente al número de coordenadas ortogonales.[3] CAOS Y FRACTALES: Son primos matemáticos, ambos se aferran a la estructura de la irregularidad. [3] LAGUNARIDAD: Medida de la distribución de los espacios vacíos en una estructura geométrica. [1]
1. INTRODUCCIÓN El termino fractal se introdujo por primera vez por el matemático Benoít Mandelbrot en 1975 y se deriva del latín fractus que significado quebrado o fracturado. En una figura geométrica que puede ser espacial o plana formada por componentes infinitos y su principal característica es que su apariencia posee detalles de similitud en cualquier escala de observación. El objetivo principal fue encontrar una geometría para poder describir lo irregular, evitar la deducción como herramienta y conocer un cálculo matemático que pudiera llegar a la aproximación de longitud de estas figuras que cuentan con infinidad de vértices. Por medio de una práctica experimental se desea comprender que es un fractal, cuales características tiene de reconocimiento y cómo es posible medirlo utilizando una figura regular,
como bolas de acero (como se muestra en la Figura 1) y una figura irregular, bolas de papel (Figura 2).
Figura 1: Bolas de Acero
Donde D representa el diámetro, k el grado de lagunaridad, m la masa y d la dimensión fractal. Para la práctica se tomarán medidas a 2 grupos de objetos (esferas de acero y bolas de papel) lo que permitirá obtener de una gráfica Función Exponencial de la masa en función del diámetro la ecuación de la manera:
= Ecuación 2.
Figura 2: Bolas de Papel
2. DETERMINACIÓN PRÁCTICA DE LA DIMENSIÓN FRACTAL EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL PARA ESFERAS DE ACERO Y BOLAS DE PAPEL [2] La dimensión fractal (d ) de un objeto es un número que indica cuan densamente es ocupado el espacio geométrico en que se encuentra el objeto. Para la práctica, los objetos se analizaron en el espacio tridimensional, donde se determinará la densidad fractal para esferas de
acero y “bolas” de papel. Éstas últimas en particular permitirán comprender el paso de objetos ubicados en una dimensión 2 (el plano) a uno de dimensión 3 aproximadamente (el espacio). En el proceso de la determinación de la dimensión fractal, será necesario medir diámetros y pesos para las
esferas y “bolas” de papel con el fin de aplicar la relación:
= Ecuación 1.
Lo que se espera, es obtener una densidad fractal muy cercana a 3 para las esferas de acero con una lagunaridad baja. Y para las bolas de papel, dimensión fractal entre 2 y 3, y con lagunaridad relativamente alta ya que éstas no son densas en su totalidad. A partir de lade medición del diámetro en los tres ejes cinco esferas de acero con pesos que aumentan consecutivamente.
3. MATERIALES
1 pliego de papel periódico Calibrador Tijeras Regla de 1 mt Regla de 30 cms 5 esferas de acero Balanza digital
A continuación en la figura 3 y 4, se visualiza los implementos de medición utilizados en la práctica:
obtener 6 cortes (Figura 5). Para cada uno de los cortes, incluyendo el pliego, hacer bolas lo más esféricas posibles y tomar la medida promedio de sus diámetros (para todo el grupo). Las mediciones se hacen primero con las bolas de papel seco y posteriormente humedecido para lograr mejor compactación, luego se recolectan los datos en la siguiente tabla (Tabla 2). Figura 3: Instrumentos de medición
Figura 4: Balanza Digital
4. DATOS Y METODOLOGÍA
Figura 5: División del pliego de papel periódico en 6 cortes
Dimensión fractal de esferas de acero: Medir diámetros variando entre ejes ortogonales y obtener un promedio para 5 diferentes esferas metálicas y a la vez tomar cada uno de sus respectivos pesos.
Tabla 1: Peso y promedios del d iámetro de las esferas de acero
Dimensión fractal bolas de papel: Tomar 1 pliego de papel. Para uno de ellos dividirlo de mitad en mitad hasta
Tabla 2: Peso y promedios del diámetro de las bolas de papel.
Ahora, con los datos de las tablas 1 y 2, se evalúa la función exponencial tanto de los diámetros como de los pesos; prosiguiendo al gráfico del peso en función del diámetro, por medio de una interpolación potencial de los datos obtenidos en el laboratorio, se logran obtener curvas y parámetros que representan el proceso.
base en dichas ecuaciones se puede deducir la dimensión fractal d de los objetos evaluados, observando el valor del exponente que acompaña la curva, el cual sería equivalente a 1/ d . Así mismo, se tiene que la lagunaridad k es la contante que acompaña a la variable x . Los valores de d y k se anexan en la tabla 3 para cada grupo de objetos. Figura 6: Gráfica función potencial diámetro en función del peso para las esferas de acero.
Tabla 3: Dimensión fractal. Lagunaridad.
Figura 7: Gráfica función potencial Peso en función del diámetro para las bolas de papel seco. Ecuación de la recta anexa.
.
Figura 8: Gráfica función potencial Peso en función del diámetro para las bolas de papel húmedo.
De la tabla 3 se observa como una buena compactación es fundamental en las bolas de papel, pues evidentemente en las bolas húmedas el valor de la dimensión fractal es más aproximado al valor de la dimensión del espacio 3D. Así mismo con la lagunaridad ( k ), que se puede asemejar al porcentaje de error presente en la práctica, el cual, mientras más bajo sea, más denso y homogéneo es el objeto y mejor inmersión en el espacio tridimensional en el que se encuentra.
6. CONCLUSIONES
Ecuación de la recta anexa.
5. ANÁLISIS Y RESULTADOS Gracias a las gráficas 6, 7 y 8 elaboradas en el software EXCEL, es posible determinar la ecuación exponencial que representa la tendencia de los datos. Ahora, con
Se determinó que a mayor densidad de un objeto en el espacio 3D, la dimensión fractal se aproxima a 3 y su lagunaridad disminuye. Se comprendió el uso de la dimensión fractal como herramienta para determinar qué tan denso es el entorno
natural y urbano en el que vivimos. (Bosques, asentamientos, poblaciones, etc) Se dio un error en la dimensión fractal de la esfero de acero, el cual se dio probablemente debido a la incertidumbre de los instrumentos de medida y al error en las mediciones. Se puede observar que en cada uno de los casos se obtuvo un error relativo mayor al 98%, por lo cual se puede decir que cada una de las
aproximaciones son acertadas y se cumplió el régimen con el cual se debía realizar el experimento. Se observa que las esferas de papel tienen una alta incertidumbre (desviación en la medida) comparadas con las esferas de acero, esto se puede haber dado por la irregularidad de las bolas de papel y en la gran diferencia que se da en cada uno de los diámetros tomados.
7. BIBLIOGRAFÍA [1] La medida de la segregación residencial urbana: análisis multiescala mediante índices de lagunaridad. Severino Escolano Utrilla. Departamento de Geografía y Ordenación del Territorio. Universidad de Zaragoza C/ Pedro Cerbuna, 12. 50009 Zaragoza. España http://geofocus.rediris.es/2007/Articulo11_2007.pdf [2] Medición de la dimensión, fratal. Biofísica y laboratorio. Germán E. Hernández [3] RAMIREZ, Nestor D. ¿Dimensión desconocida?. Símbolo. 3: 7-22, junio de 2004. [4] ACEFF, flor de Maria. Fractales. Pro Mathematica. 14 (27-28): 121-134, 2000.
