Universidad de Chile Facultad acultad de Ciencias Ciencias Físicas Físicas y Matemáticas Matemáticas Departamen Departamento to de Ingeniería Ingeniería y Matemática Matemática
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
CONTROL 4 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EDOS NO LINEALES ESCALARES
Integran Integrantes: tes:
Deborah Caceres Caceres Matias Olivares Profes Profesore ores: s: Cristó Cristóbal bal Bertog Bertoglio lio Italo Cipriano Cipriano Gino Montecinos Héctor Olivero Axel Osses Fecha de entrega: 13 de Mayo, 2017 Santiago, Chile
Introducción
1.
1
Introducción
Los métodos o análisis numéricos son procedimientos mediante los cuales se obtiene de manera aproximada la solución a ciertos problemas, realizando calculos aritméticos y lógicos. Existen muchos métodos, estos comparten una característica en común, y es que el procedimiento consiste en una lista finita de instrucciones que especifican una secuencia de operaciones algorimicas que emiten soluciones aproximadas o bien algo que decir del problema. Estos métodos cobran una especial importancia con la llegada de los ordenadores, debido a que estos son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, operando con numeros binarios y operaciones matemáticas simples. Siendo así los métodos numéricos una de las principales herramientas para la ciencia e investigación. El siguiente trabajo consiste en la resolución de una ecuacion diferencial ordinaria, esta será vista de manera analítica, para que posteriormente se haga uso de distintos métodos numericos vistos para problemas no-lineales mediante Matlab (entorno de cálculo técnico de altas prestaciones para cálculo numérico y visualización), lo cual nos permitirá dar una respuesta a la problematica que se nos plantea. El problema en cuestión se trata de la modelación y simulación de la respuesta dinámica de una célula cardiaca, donde la ecuación a resolver es el modelo bi-estable dado por el siguiente problema de Cauchy para u(t):
u = c 1 u(u − α)(1 − u) + f, u(0) = u 0
(1.1)
con c 1 , α ≥ 0, u0 , f ∈ R parámetros del modelo.
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2.
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2.1.
Pregunta 1
Implemente el método de Euler progresivo para solucionar numéricamente el problema. Para f = 0, c1 = 0.175, α = 0.1, 0 ≤ t ≤ 800, y usando un paso de discretización de h = 1.0, resuelva numéricamente el problema de Cauchy para diferentes valores de u 0 : u 0 = −1, 0, α/2, (α + 1)/2, 1, 2 y grafíquelos en una misma figura. ¿Para cada condición inicial, hacia dónde tiende la solución cuando el tiempo incrementa?
Figura 2.1: Gráfico u(t) v/s t.(Euler Progresivo con diferentes condiciones iniciales) Podemos ver en la Figura 2.1 que para cada condición inicial la solución del problema tiende a diferentes puntos, los cuales veremos de forma ordenada en la siguiente Tabla: Tabla 2.1: Tendencia de la solución cuando el tiempo incrementa Condición inicial 1 0.1 < 0.1 > 0.1
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Solución de la edo 1 0.1 converge a 0 converge a 1
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Podemos notar que para los términos 1 y 0.1 la EDO se anula, por lo cual la solución da una función constante en u(t)=1 y u(t) = 0.1 respectivamente. Y además que para los términos < 0.1 la curva tiende a 0, > 0.1 la curva tiende a 1. En este caso cabe destacar que el parámetro de α juega un rol muy importante en este problema, debido a que la condición inicial depende de éste, donde notamos que a un aumento de α las curvas comienzan a destabilizarse. Por otra parte tenemos h = 0.1 como valor de discretización, el cual afecta la exactitud para la variación de los α.
2.2.
Pregunta 2
Para u0 = 2α, encuentre el mayor valor de h que permite que la solución se mantenga acotada, y grafique conjuntamente las curvas obtenidas para el valor de h obtenido y h = 1.0. ¿Cómo se compara este valor con el que se obtiene del mismo problema pero despreciando los términos cuadráticos y cúbicos en u ? Primero implementamos el método de Euler progresivo, sin despreciar los valores cuadráticos y cúbicos enu de lo cual se obtiene el siguiente gráfico:
Figura 2.2: Gráfico u(t) v/s t.(Euler Progresivo para diferentes h) En la Figura 2.2 podemos notar que para el h = 1.0 la solución de la EDO converge a 1, en cambio tenemos que si h = 24.4 un máximo tal que u(t) se mantenga acotado, la solución de la EDO no convergera a un número, pero aún así dicha solución esta acotada. Además probando valores en Matlab notamos que para h >24.4 la solción diverge. CONTROL 4
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Luego despreciando los términos cuadráticos y cúbicos en u, queda la ecuación de la siguiente forma:
u (t) = −αuc1 + f
(2.1)
Figura 2.3: Gráfico u(t) v/s t.(Euler Progresivo) Ahora en la Figura 2.3 podemos notar que al no tener términos cuadráticos ni cúbicos, al tomar h = 1.0 y h = 24.4 un máximo tal que u(t) se mantenga acotado, sus graficos son similares y tienden a un mismo valor, por lo cual podriamos decir que independiente del h que tomemos la gráfica será similar. Lo anterior es debido a que nuestra ecuación pasa a ser una EDO lineal y por lo tanto el método pasa a ser más exacto, debido a que su error es minimo en comparación con la otra EDO, teniendo una solución fácil de calcular. En cambio para la EDO con los términos cuadráticos y cúbicos no se tiene una solución explicita, variando drastricamente la grafica al variar los valores de h , aumentando asi su error al tener un mayor h .
2.3.
Pregunta 3
Usando u0 = 2α, para cada valor de h = 2k , k = −5,..., 0,..., 3, calcule el error global de la solución dado por e(h) = m´ax |uref (tn − un )|, tn = hn ≤ 800, n = 0, 1,...
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(2.2)
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con u ref la solución calculada con el mismo metodo con h = 2 10. Grafique la curva h v/s e(h). Luego, a partir de esta curva, determine empíricamentet el orden del método. Indicación: el orden p satisface e(h) ≈ C h p , para h suficientemente pequeño, con C una constante independiente de h . Por lo tanto podemos estimar empíricamente p de la siguiente forma: −
(2h)/e(h) = C 2 p h p /Ch p = 2 p =⇒ p = log(e(2h)/e(h)) = log(2)
(2.3)
para valores de h suficientemente pequeños
Figura 2.4: Gráfico h v/s e(h).(Euler Progresivo) En la Figura 2.4 podemos notar que h es proporcional a su e(h): error , por ende si h aumenta e(h) tambien lo hace. Tomamos un h de referencia 2 10 cuya gráfica se ajusta bastante a nuestra curva original. Esto nos muestra gráficamente que mientras mayor sea el valor que adquiere nuestra variable h mayor sera nuestro margen de error, por ende el método es menos preciso, ya que, los intervalos son más grandes difiriendo así con la curva de referencia. −
Dado que utilizamos el método de Euler progresivo, el cual es de primer orden, pudimos obtener los siguiente valores de p p = [1.0028 − 1.0017 − 1.0007 − 1.0003 − 1.0000 − 1.0003 − 1.0000 − 0.9998 − 1.0000] (2.4) CONTROL 4
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El promedio de estos nos da un valor aproximado de p = 1. Esto nos muestra que nuestro método de euler progesivo tiende al valor 1 mientras menor sea el valor adquirido por nuestra variable h , si modificamos esta variable nuestra curva se aleja del valor promedio mostrando así un mayor margen de error.
2.4.
Pregunta 4
Implemente el método de Euler modificado para solucionar numéricamente el problema de Cauchy con u 0 = 2α. Grafique conjuntamente las soluciones de ambos métodos numéricos en figuras separadas para cada h = 2k , k = 0,..., 5. En los siguentes gráficos tendremos la comparación de los métodos de Euler progresivo y modificado para diferentes valores de h.
Figura 2.5: Gráfico u(t) v/s t, con h = 1 (Euler Progresivo y Modificado) En la Figura 2.5 y 2.6 podemos notar que la curva del método de Euler progresivo y modificado son similares, dado que h = 1 y 2 los cuales son valores mínimos del intervalo, generando una casi nula variación entre las curvas de los métodos.
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Figura 2.6: Gráfico u(t) v/s t, con h = 2 (Euler Progresivo y Modificado)
Figura 2.7: Gráfico u(t) v/s t, con h = 4 (Euler Progresivo y Modificado)
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Figura 2.8: Gráfico u(t) v/s t, con h = 8 (Euler Progresivo y Modificado) Luego en la Figura 2.7 con h =4 se aprecia que las curvas los métodos comienzan a diferenciarse, apreciando que la solución del euler progresivo tiende un mayor valor que el modificado. Esto ya se hace notorio en la Figura 2.8 con un h=8 .
Figura 2.9: Gráfico u(t) v/s t, con h = 16 Euler Progresivo y Modificado)
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Figura 2.10: Gráfico u(t) v/s t, con h = 32 (Euler Progresivo y Modificado) Finalmente en las Figuras 2.9 2.10 ambas curvas se comportan de manera totalmente distinta, así con un valor de h > 16 tendremos ese fenómeno. A lo largo de esos seís gráficos podemos ver una variedad de cambios en sus curvas debido a los valores que toma k para cada h , por otra parte tenemos que ambos métodos presentan una variedad de diferencias, las cuales se pueden apreciar en las diferentes curvas, teniendo una mayor diferenciación a un mayor h. Tenemos por una parte que el método de Euler progresivo cuando h es pequeño el método es más bien estable, pero si h se hace mayor, este se vuelve intestable. En cambio el método de Euler modificado al ser de orden dos es mucho más exacto y estable. Estas diferencias las podemos notar gráficamente ya que los errores del Euler progresivo son mayores que el Euler modificado.
2.5.
Pregunta 5
Encuentre el mayor valor de h que permite que la solución sea estable para el método de Euler modificado. ¿Cómo se compara este valor con el del método de Euler progresivo encontrado anteriormente? El mayor valor de h encontrado el cual permite que la solución sea estable para el método de Euler modificado es h=28.3 . Podemos notar en la Figura 2.11 que para los valores h ≤ 28.3 la solución converge a cero, por lo cual la solución se dice estable, debido a que cuando el tiempo tiende a ∞ para cualquier h ≤ 28.3 la solución converge a cero, en cambio para h > 28.3 la solución CONTROL 4
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diverge a −∞ siendo de esta forma un método de aproximación inestable. Al realizar una comparación entre el método de Euler progresivo y modificado, tenemos para el primero que en un tiempo entre 0y600 la solución estará oscilando entre −0.4y1.2, luego de eso comienza a converger a cero, en cambio el segundo metodo en un tiempo entre 0y100 la solucion oscila entre −0.4y0.75, luego comienza a converger a 0. Podemos ver entonces que el valor de Euler modificado es mayor que el de Euler progresivo, lo cual se debe a que el método de Euler modificado es más estable y puede aproximar de mejor forma la solución, al contrario del método de Euler progresivo, el cual no es tan exacto, y suele tener más errores.
Figura 2.11: Gráfico u(t) v/s t,(Euler Modificado)
2.6.
Pregunta 6
Calcule empíricamente el orden del método de Euler modificado. Dado que utilizamos el método de Euler modificado, el cual es de segundo orden, pudimos obtener los siguiente valores de p p = [1.9995 − 1.9971 − 1.9938 − 1.9875 − 1.9735 − 1.9517]
(2.5)
El promedio de estos nos da un valor aproximado de p = 2. Esto nos muestra que nuestro método de euler modificado tiende al valor 2, por que tiene dos aproximaciones sucesivas siendo más exacta CONTROL 4
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presentando un menor margen de error.
2.7.
Pregunta 7
Determine aproximadamente el valor mínimo de f > 0 tal que u(t) −→ 1 si t −→ ∞ cuando u0 = 0. Elija la precisión del valor de f tal que f /0.0001 ∈ Z .
Figura 2.12: Gráfico u(t) v/s t, (Euler Progresivo y Modificado) Determinamos el valor de f = 0.0005 por que cumple con la condición del enunciado. Por otra parte tomamos un valor muy pequeño de h = 2 10 para que la curva tanto del Euler progresivo como del moficado tomaran igual forma, tendiendo a 1. Por lo que vemos que a medida que nuestro tiempo se va al ∞ la curva de ambos converge a 1 con una mayor precisión. −
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Conclusión
3.
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Conclusión
Luego de trabajar con los métodos de Euler progresivo y modificado podemos concluir que el método de Euler modificado es más estable, presentando una mayor presición aproximando de mejor forma la solución, en cambio el método de Euler progresivo no es tan exacto, teniendo un mayor margen de error. Además es importante recalcar la necesidad de encontrar aproximaciones de ecuaciones diferenciales complejas, por lo cual existe una gran importancia de los métodos numéricos, ya que, a través de estos podemos encontrar las soluciónes a dichas ecuaciones diferenciales, aproximando su solución.
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Referencias
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Referencias [1] Osses. A (2013). Ecuaciones Diferenciales Ordinarias . Departamento de Ingeniería Matemática. Universidad de Chile. Santiago, Chile
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