IDEAS BASICAS SOBRE MEDICIÓN
RESUMEN
Palabras clave: Promedio, desviación estándar, distribución estadística, varianza, inferencia, histograma, variable aleatoria.
ABSTRACT
Key words:
Introducción
resultados final de la magnitud deseada, ya que este genera una variación en la
En la realización de todo experimento, la expresión
de
numéricamente,
los
resultados
asociando
se
de
da
forma
concreta valores a las magnitudes medidas. Tales
como:
masa,
volumen,
distancia de cada medición con respecto al promedio total de los datos recolectados, esa variabilidad está ligada a la desviación estándar del análisis de la variable y de allí se deriva la llamada distribución normal.
concentración, etc. Al asignar cualquier valor a una magnitud, se debe tener en cuenta que la medición siempre va a ir acompañada de cierto grado de error o imprecisión, esto se debe tener en cuenta en la elaboración del análisis de los resultados y en las conclusiones.
La distribución normal es la base de la inferencia estadística clásica además que permite
medir
a
la
perfección
la
distribución de las variables aleatorias continuas, en este caso el diámetro de las arvejas [4]. A lo largo de la historia esta distribución ha sido clave en diferentes
El error experimental se puede subdividir en
los
siguientes
tipos:
sistemáticos,
personales, de escala o accidentales, dicha
estudios sobre diferentes poblaciones para hallar datos concretos o realizar inferencias de la variable a investigar.
clasificación depende de la experiencia del medidor, precisión del instrumento, entre muchos otros factores; dicho error afecta de manera considerable el análisis o
Los
histogramas
graficas
que
son
representaciones
permiten
observar
la
frecuencia de las mediciones en ciertos
intervalos de datos (variable aleatoria); a
La frecuencia absoluta de la clase Ci, denotada con ni, es la cantidad
través de estos es como visiblemente
de observaciones que hacen parte
determinamos la distribución estadística
de la i-esima categoría para i=1,…,k
de los datos para el análisis final de la
La frecuencia relativa de la clase C i, denotada con f i, es la proporción
variable estudiada, en el caso de la
de la frecuencia absoluta de la i-
distribución normal, la forma de la gráfica
esima categoría respecto al total
se asemeja a una campana, es decir, es una
de observaciones, esto es,
gráfica totalmente simétrica y no esta sesgada hacia ningún lado; además en el
Para i=1,…,k.
punto donde esta gráfica posee su simetría
La frecuencia absoluta acumulada de la clase Ci, denotada con N i, es
es donde se ubica la media sobre la cual
la cantidad de individuos cuya
nos basamos para realizar el análisis de
modalidad es inferior o igual a la i-
distribución de los datos[2 ].
esima categoría, es decir,
∑
Marco teórico
Tablas de distribución de frecuencias
La frecuencia relativa acumulada de la clase C i, denotada con Fi, es la
En el caso de tener un número grande de
proporción de individuos respecto
datos (más de 30), se puede recurrir a
al total de observaciones cuya
representaciones tabulares para una mejor
modalidad es inferior o igual a la i-
presentación, descripción y análisis.
esima categoría, es decir,
La depuración de la información no es la única utilidad que tiene la exploración de los
datos,
ya
que
también
permite
evidenciar tendencias de los individuos investigados y clasificar tales unidades de acuerdo
a
los
parámetros
de
homogeneidad establecidos, o estudiar la interacción
entre
varias
variables
de
interés. [7]
las frecuencias correspondientes. Una tabla de tales características sirve para presentar de forma ordenada la distribución de los datos.
categoría con k clases se cumplen las
Considere un conjunto de n individuos con
tabla que contiene las categorías junto con
En una distribución de frecuencias de una
Tablas estadísticas
asociado
Se llama distribución de frecuencias a la
una
variable
cuyas
modalidades o valores han sido agrupados en k clases o categorías denotadas con
siguientes propiedades i.
∑
∑
ii.
[5]
C1,C2,…,Ck. Para cada una de las k clases se definen las siguientes magnitudes
Histograma de Frecuencias
iii.
Es un despliegue grafico bidimensional que
positivo. La función de densidad de
utiliza rectángulos. Las bases de los
probabilidad de una variable aleatoria
rectángulos se colocan en el eje horizontal
normal con media µ y varianza σ está dada
y corresponden, en cierta forma, a las
por:
2
clases de la variable en estudio. En el otro eje se muestran las frecuencias asociadas con cada clase. El criterio para calcular la
√ ⁄
altura de cada rectángulo es mantener la
En la práctica, a menudo se tiene una
proporcionalidad entre la frecuencia de
muestra de alguna población y se debe
cada intervalo y el área del mismo [5]
utilizar para decidir si la distribución de la población se aproxima a la normal. Si la
Distribución Normal
muestra es razonablemente grande, su
La distribución normal (distribución de
histograma
Gauss) es la distribución más utilizada en
muestras grandes de poblaciones normales
estadística. Constituye un buen modelo
tienen histogramas que se parecen a la
para muchas, aunque no para todas las
función de densidad normal: con un pico
poblaciones
en el centro, y decrecientes más o menos a
continuas.
La
distribución
normal es continua. La media de una variable aleatoria normal puede tener cualquier valor y la varianza cualquier valor La curva de cualquier distribución continua de probabilidad está constituida de tal modo que el área bajo la curva, limitada por los dos puntos x=x i y x=x2 es igual a la probabilidad de que la variable aleatoria X asuma un valor entre x=x 1 y x=x2.
∫ La dificultad que se encuentra en resolver las integrales de las funciones de densidad normal hace necesaria la tabulación de las aéreas de la curva normal para una referencia rápida, consignadas en tablas calculadas para dicho fin, es posible trasformar
todas las observaciones de
cualquier variable aleatoria normal X en un nuevo conjunto de observaciones de una variable aleatoria normal Z, con media cero y varianza 1. Denominada distribución normal estándar [6].
es
buena
indicación.
Las
cada lado.
Aéreas Bajo la curva Normal Incertidumbres experimentales En el proceso de medición los valores máximos y mínimos expresarían el rango de los datos, una información más útil es decir en que rango están la mayoría de datos. A tal rango se le llama desviación estándar de la distribución alrededor del
valor medio y se calcula promediando las diferencias al cuadrado entre cada uno de los datos y el valor medio calculado.
̅ Las mediciones individuales son realizadas con un aparato que tiene su propia incertidumbre.
Por
lo
tanto,
en
un
conjunto de mediciones se tiene dos causas de incertidumbre: de escala y estadística. La incertidumbre total se calcula
El resultado se reporta como
̅
[1]
Resultados Ver tabla de datos en anexo 1 Promedio =6,64 Desviación Estándar = 0,9723
HISTOGRAMA N min max
200 3,5 8,66
rango 5,16 K= 8,64 i= 0,59694436
Tabla 1 Datos para realizar histograma
Error = desviación estándar de la medida/ raíz (N) + error instrumenta
√ D (mm)= (media +- error) (mm)
D (mm)= 6,64 +/- 0,07 mm
DIAMETRO 3 3,6 4,2 4,8 5,4 6 6,6 7,2 7,8 8,4
Xi 3,6 4,2 4,8 5,4 6 6,6 7,2 7,8 8,4 9
Tabla 2 Frecuencias
Ni 3,3 3,9 4,5 5,1 5,7 6,3 6,9 7,5 8,1 8,7
1 3 6 18 14 40 63 37 14 4
Número de arvejas por díametro 70
63
60 50
A I C N40 E U C30 E R F
40
18
20 10
1
3
3.3
3.9
37
14
14
6
4
0 4.5
5.1
5.7
6.3
6.9
7.5
8.1
8.7
DIAMETRO mm Laboratorio de fundamentos de mecánica Universidad Nacional de Colombia 2013
Distribución normal estándar Calculo de la probabilidad del diámetro de arveja de 8,7mm
()
¿Con ayuda de esta distribución que han dibujado, se puede encontrar la probabilidad que el diámetro de una arveja se encuentre en el intervalo de [5.8mm, 6.3mm]?
P (5, 8≤x≤6, 3)
() ()
La probabilidad calculada del rango entre 5.8 y 6.3 donde se espera se encuentra la
RESPUESTA: la probabilidad que la arveja tenga un diámetro entre [5.8mm, 6.3mm] es de
media de la medida de las arvejas, arrojo una probabilidad de 0.1683, esto debido a la naturaleza de la distribución. Al estimar la probabilidad que las arvejas presenten medidas menores a 8.7, se observó una probabilidad (cercana a 1),
Análisis de resultados
que nos indica un área bajo la curva que
El diámetro promedio de la arveja se ve afectado por valores extremos ya que los datos se encuentran dispersos y por ende la exactitud y la precisión de la medida disminuye lo cual nos podemos dar cuenta en el momento de calcular la desviación estándar. también
El error debido al operador influye en los resultados de la
abarca la materia de los datos, donde también se infiere que encontrar una media mayor a 8.7 es muy pequeña (0.017)
Conclusiones El diámetro promedio de una arveja es de 6,64 +/- 0,07mm
medición ya que por la imperfección de sus
A través de los diferentes instrumentos de
sentidos así como por la habilidad que
medición utilizados en física experimental,
posee para efectuar las medidas generan
se logró efectuar un proceso de medición
una la disminución de la exactitud. Esto se
con un alto grado de precisión y exactitud
hace evidente ya que dos integrantes del
independientemente
grupo se encargaron de la toma de las
propagados.
de
los
errores
medidas, tanto el uno como el otro no tienen la misma percepción de la medida.
Al realizar un manejo estadístico de los datos obtenidos de las mediciones, se logró
Según los datos obtenidos se refleja que la
organizar de una manera adecuada, clara y
la
concisa dicha información y se concluye
distribución
normal
presenta
un
comportamiento leptocúrtico ya que la
que
distribución es
herramienta de visualización de datos
más apuntada de lo
normal. La
el
histograma
es
una
buena
acumulados.
diferencia
entre
la
curva
normal
Para finalizar se calculó y se concluyó que
estándar y la gráfica suavizada que se
la probabilidad de que una arveja tenga un
obtuvo de los datos recolectados, se
diámetro entre [5,8mm, 6,3] es de 0.1683.
observa ya que un proceso de medición se acerca a la distribución normal entre menos datos atípicos se tomen, en nuestro caso
experimental
cantidad
de
se
medidas
realizaron
una
considerables
referentes a arvejas muy pequeñas y otras fuera del rango promedio.
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA [1] Cristancho, Fernando. Fundamentos de Física experimental y mecánica . Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias. Departamento de Física. Bogotá. 2008. p 32-35. [2] Levine, et al. Estadística básica en administración: conceptos y aplicaciones. México. Prentice Hall. 1996. pp. 47
[3] López Kleine, Liliana. Bioestadística . Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias. Departamento de Estadística. Bogotá. 2012. p 20-22. [4]Mendoza, Bautista. Probabilidad y Estadística. Universidad Nacional de Colombia. Creative Commons BY-NC-ND. 2002.
[5] Navidi, William. Estadística para ingenieros y científicos . Ed. Mc Graw Hill. México. 2006. p 25-30 [6] Nieves, A. Domínguez Federico. Probabilidad y estadística para ingeniería. Un enfoque moderno. Ed. Mc Graw Hill. México. 2010. p 105 .
[7] Walpole, R. Myers, R. Probabilidad y estadística . Ed. Mc Graw Hill. 4 Edición. México. 1992. Pp. 143-147.
Anexos Datos recolectados, cálculo de promedio y cálculo de desviación estándar Anexo 1
No.
DIAMETRO Xi-
(Xi-
1 2 3 4
6,3 8,44 6,06 7,02
-0,34155 1,79845 -0,58155 0,37845
0,116656403 3,234422402 0,338200403 0,143224402
5 6 7
6,66 7,06 8,6
0,01845 0,41845 1,95845
0,000340402 0,175100402 3,835526402
8 9 10 11
7,82 6,41 8,2 8,2
1,17845 -0,23155 1,55845 1,55845
1,388744403 0,053615403 2,428766402 2,428766402
12 13 14 15
7,37 7,62 7,08 7,32
0,72845 0,97845 0,43845 0,67845
0,530639402 0,957364402 0,192238402 0,460294402
16 17
8,36 7,56
1,71845 0,91845
2,953070402 0,843550402
68 69
8,25 5,94
1,60845 -0,70155
2,587111402 0,492172403
18 19 20 21 22 23
7,34 7 6 6,18 7,72 6,16
0,69845 0,35845 -0,64155 -0,46155 1,07845 -0,48155
0,487832402 0,128486402 0,411586403 0,213028403 1,163054402 0,231890403
70 71 72 73 74 75
6,64 6,96 6,5 8,66 5,6 7
-0,00155 0,31845 -0,14155 2,01845 -1,04155 0,35845
2,4025E-06 0,101410402 0,020036403 4,074140402 1,084826403 0,128486402
24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
7,38 6,3 7,38 6,52 6,64 4,5 4 5,74 7,1 7,06 7 7,12 7,34 7,04 6,76 6,1 6,88 6,3 8 6,4 7,32 6,08 6,12 6,8 7,35
0,73845 -0,34155 0,73845 -0,12155 -0,00155 -2,14155 -2,64155 -0,90155 0,45845 0,41845 0,35845 0,47845 0,69845 0,39845 0,11845 -0,54155 0,23845 -0,34155 1,35845 -0,24155 0,67845 -0,56155 -0,52155 0,15845 0,70845
0,545308402 0,116656403 0,545308402 0,014774403 2,4025E-06 4,586236403 6,977786403 0,812792403 0,210176402 0,175100402 0,128486402 0,228914402 0,487832402 0,158762402 0,014030402 0,293276403 0,056858402 0,116656403 1,845386402 0,058346403 0,460294402 0,315338403 0,272014403 0,025106402 0,501901402
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
5,2 6,94 5 6,78 4,1 4,18 7,38 5,4 6,02 4,7 7,2 5,02 6,28 5,22 6,48 5,5 6,4 5,1 6,74 6,1 7,84 7,42 5,2 7,28 6
-1,44155 0,29845 -1,64155 0,13845 -2,54155 -2,46155 0,73845 -1,24155 -0,62155 -1,94155 0,55845 -1,62155 -0,36155 -1,42155 -0,16155 -1,14155 -0,24155 -1,54155 0,09845 -0,54155 1,19845 0,77845 -1,44155 0,63845 -0,64155
2,078066403 0,089072402 2,694686403 0,019168402 6,459476403 6,059228403 0,545308402 1,541446403 0,386324403 3,769616403 0,311866402 2,629424403 0,130718403 2,020804403 0,026098403 1,303136403 0,058346403 2,376376403 0,009692402 0,293276403 1,436282402 0,605984402 2,078066403 0,407618402 0,411586403
49 50 51 52 53 54
7,9 7,52 6,25 8,32 6,94 7,16
1,25845 0,87845 -0,39155 1,67845 0,29845 0,51845
1,583696403 0,771674402 0,153311403 2,817194402 0,089072402 0,268790402
101 102 103 104 105 106
6,08 7 7,1 5 3,5 7,66
-0,56155 0,35845 0,45845 -1,64155 -3,14155 1,01845
0,315338403 0,128486402 0,210176402 2,694686403 9,869336403 1,037240403
55 56 57 58 59 60
8,28 7,32 7,36 7,16 6,68 7,22
1,63845 0,67845 0,71845 0,51845 0,03845 0,57845
2,684518402 0,460294402 0,516170402 0,268790402 0,001478402 0,334604402
107 108 109 110 111 112
4,44 7,1 7,32 4,72 6,88 6,32
-2,20155 0,45845 0,67845 -1,92155 0,23845 -0,32155
4,846822403 0,210176402 0,460294402 3,692354403 0,056858402 0,103394403
61 62 63 64 65 66
7,68 7,02 6,2 7,16 6,5 7,18
1,03845 0,37845 -0,44155 0,51845 -0,14155 0,53845
1,078378402 0,143224402 0,194966403 0,268790402 0,020036403 0,289928402
113 114 115 116 117 118
5,2 7,02 5,1 6,12 6,1 7,34
-1,44155 0,37845 -1,54155 -0,52155 -0,54155 0,69845
2,078066403 0,143224402 2,376376403 0,272014403 0,293276403 0,487832402
67
7,02
0,37845
0,143224402
119
5,6
-1,04155
1,084826403
120 121
6,18 7,08
-0,46155 0,43845
0,213028403 0,192238402
162 163
6,66 7,36
0,01845 0,71845
0,000340402 0,516170402
122 123 124 125 126 127
6 5,8 7,22 6,18 6,96 5,12
-0,64155 -0,84155 0,57845 -0,46155 0,31845 -1,52155
0,411586403 0,708206403 0,334604402 0,213028403 0,101410402 2,315114403
164 165 166 167 168 169
6,28 5,5 7,76 6,7 6,34 7,3
-0,36155 -1,14155 1,11845 0,05845 -0,30155 0,65845
0,130718403 1,303136403 1,250930402 0,003416402 0,090932403 0,433556402
128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152
8,2 5,6 7,42 6,42 6,52 6,54 6,54 7,14 7,8 6 7 7,32 7,32 5,14 6,36 7,62 8,3 8,24 6,72 4,64 6,68 6,88 7 6,66 7,06
1,55845 -1,04155 0,77845 -0,22155 -0,12155 -0,10155 -0,10155 0,49845 1,15845 -0,64155 0,35845 0,67845 0,67845 -1,50155 -0,28155 0,97845 1,65845 1,59845 0,07845 -2,00155 0,03845 0,23845 0,35845 0,01845 0,41845
2,428766402 1,084826403 0,605984402 0,049084403 0,014774403 0,010312403 0,010312403 0,248452402 1,342006402 0,411586403 0,128486402 0,460294402 0,460294402 2,254652403 0,079270403 0,957364402 2,750456402 2,555042402 0,006154402 4,006202403 0,001478402 0,056858402 0,128486402 0,000340402 0,175100402
170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194
7,64 6,72 7,06 7,1 6,7 6,88 5,26 5,4 6,68 5,38 7,6 5,2 5,76 6,3 7,22 7,08 4,72 6,48 6,62 7,24 7,02 5,14 7,04 6,4 6,98
0,99845 0,07845 0,41845 0,45845 0,05845 0,23845 -1,38155 -1,24155 0,03845 -1,26155 0,95845 -1,44155 -0,88155 -0,34155 0,57845 0,43845 -1,92155 -0,16155 -0,02155 0,59845 0,37845 -1,50155 0,39845 -0,24155 0,33845
0,996902402 0,006154402 0,175100402 0,210176402 0,003416402 0,056858402 1,908680403 1,541446403 0,001478402 1,591508403 0,918626402 2,078066403 0,777130403 0,116656403 0,334604402 0,192238402 3,692354403 0,026098403 0,000464403 0,358142402 0,143224402 2,254652403 0,158762402 0,058346403 0,114548402
153 154 155 156 157 158
6,02 6,68 6,96 7,72 6,68 6,8
-0,62155 0,03845 0,31845 1,07845 0,03845 0,15845
0,386324403 0,001478402 0,101410402 1,163054402 0,001478402 0,025106402
195 196 197 198 199 200
6,44 5,62 7,6 6,28 5,16 6,72
-0,20155 -1,02155 0,95845 -0,36155 -1,48155 0,07845
0,040622403 1,043564403 0,918626402 0,130718403 2,194990403 0,006154402
159 160 161
7,98 8,6 6,66
1,33845 1,95845 0,01845
1,791448403 3,835526402 0,000340402
Tabla anexo 1
