Informe de Controladores PID

Prof.: Mendoza Trujillo, Trujillo, Elmer

Controladores Controladores PID Universidad Nacional del Callao

INTRODUCCIÓN El control automático desempeña un papel importante en los procesos de manufactura manufactura,, industriales industriales,, navales, navales, aeroespaciales aeroespaciales,, robótica, robótica, económicos, económicos, biológicos, etc. Como el control automático va ligado a, prácticamente, todas las ingenierías (eléctrica, electrónica, mecánica, sistemas, industrial, química, etc.), este docume documento nto a sido desarr desarrolla ollado do sin prefer preferenc encia ia acia acia alguna alguna discipl disciplina ina determinada, de tal manera que permita al lector construir un controlador !"# con el funcionamiento del sistema, allará el modelo matemático del mismo por métodos e$perimentales. Con la a%uda del soft&are '*+ allará el *ugar de las aíces del sistema, el cual le dará información importante sobre la dinámica del mismo. El conocimiento del funcionamiento del sistema -unto con el análisis de la función de transferencia de lao abie abiert rto o % del del *uga *ugarr de las las aíc aíces es dará darán n las las base bases s nece necesa sari rias as para para seleccionar el controlador, el cual se construirá con elementos igualmente de fácil consecución en el mercado local % de mu% ba-o costo.

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FUNDAMENTO TEORICO Estructura del PID Consideremos un lao de control de una entrada % una salida (/"/0) de un grado de libertad1

*os *os miem miembr bros os de la fami famili lia a de cont contro rola lado dore res s !"#, !"#, incl inclu% u%en en tres tres acci accion ones es11 prop propor orci cion onal al (!), (!), inte integr gral al (") (") % deri deriva vati tiva va (#). (#). Esto Estos s cont contro rola lado dore res s son son los los denominados !, ", !", !# % !"#. 

P: acción de control control proporcional, proporcional, da una salida del controlador que es proporcional al error, es decir1 u(t) 2 3!.e(t),que descripta desde su función transferencia queda1

#onde 3p es una ganancia proporcional a-ustable. 4n controlador proporcional puede controlar cualquier planta estable, pero posee desempeño limitado % error en régimen permanente (off5set). 

una salid salida a del del contr controla olado dorr que que es I: ac acci ción ón de cont contro roll inte integr gral al:: da una propo proporc rcion ional al al error error acumu acumula lado, do, lo que que implic implica a que que es un modo modo de controlar lento.

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*a señal de control u(t) tiene un valor diferente de cero cuando la señal de error e(t) es cero. !or lo que se conclu%e que dada una referencia constante, o perturbaciones, el error en régimen permanente es cero.



PI: acción de control proporcional-integral, se define mediante1

#onde i se denomina tiempo integral % es quien a-usta la acción integral. *a función de transferencia resulta1

Con un control proporcional, es necesario que e$ista error para tener una acción de control distinta de cero. Con acción integral, un error pequeño positivo siempre nos dará una acción de control creciente, % si fuera negativa la señal de control será decreciente. Este raonamiento sencillo nos muestra que el error en régimen permanente será siempre cero. 'ucos controladores industriales tienen solo acción !". /e puede demostrar que un control !" es adecuado para todos los procesos donde la dinámica es esencialmente de primer orden. *o que puede demostrarse en forma sencilla, por e-emplo, mediante un ensa%o al escalón.



PD: acción de control proporcional-derivativa, se define mediante1

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#onde d es una constante de denominada tiempo derivativo. Esta acción tiene carácter de previsión, lo que ace más rápida la acción de control, aunque tiene la desventa-a importante que amplifica las señales de ruido % puede provocar saturación en el actuador. *a acción de control derivativa nunca se utilia por s6 sola, debido a que solo es efica durante per6odos transitorios. *a función transferencia de un controlador !# resulta1

Cuando una acción de control derivativa se agrega a un controlador proporcional, permite obtener un controlador de alta sensibilidad, es decir que responde a la velocidad del cambio del error % produce una corrección significativa antes de que la magnitud del error se vuelva demasiado grande. unque el control derivativo no afecta en forma directa al error ea estado estacionario, añade amortiguamiento al sistema %, por tanto, permite un valor más grande que la ganancia 3, lo cual provoca una me-ora en la precisión en estado estable.



PID: acción de control proporcional-integral-derivativa, esta acción combinada re7ne las venta-as de cada una de las tres acciones de control individuales. *a ecuación de un controlador con esta acción combinada se obtiene mediante1

8 su función transferencia resulta1

Métodos clásicos de ajuste de Ziegler and Nichols

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En esta sección veremos dos métodos de a-uste de las ganancias de un controlador !"#, el 'étodo de 0scilación o 'étodo de espuesta en 9recuencia % el 'étodo +asado en la Curva eacción o 'étodo de espuesta al Escalón. El primero se basa en un lao de control sólo con ganancia proporcional % de acuerdo a la ganancia utiliada para que el sistema empiece a oscilar % al período de esas oscilaciones, podemos establecer las ganancias del controlador !"#. El otro método se resume en ensa%ar al sistema a lao abierto con un escalón unitario, se calculan algunos parámetros, como la má$ima pendiente de la curva % el retardo, % con ellos establecemos las ganancias del controlador !"#. Estos métodos fueron propuestos por :iegler % ;icols (:5;) en <=>?, quienes se basaron en la práctica para desarrollarlos.

!"!" Método de #scilación

Este procedimiento es valido solo para plantas estables a lao abierto % se lleva a cabo siguiendo los siguientes pasos1 <. 4tiliando sólo control proporcional, comenando con un valor de ganancia pequeño, incrementar la ganancia asta que el lao comience a oscilar. ;otar que se requieren oscilaciones lineales % que estas deben ser observadas en la salida del controlador. ?. egistrar la ganancia critica del controlador 3p 2 3c % el periodo de oscilación de la salida del controlador, !c. (en el diagrama de ;%quist, corresponde a que 3c@( -&) crua el punto (<, A) cuando 3p 2 3c).

B. -ustar los parámetros del controlador seg7n la abla <1

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abla <1 !arámetros de a-uste (método de oscilación) #ica tabla fue obtenida por :iegler % ;icols quienes buscaban una respuesta al escalón de ba-o amortiguamiento para plantas que puedan describirse satisfactoriamente por un modelo de la forma1

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E-emplo <. Considerar el modelo de una planta dado por1

#eterminar los parámetros de un controlador !"# utiliando el método de oscilación de :5;. 0btener un gráfico de la respuesta a una entrada escalón unitario % a una perturbación de entrada escalón unitario.

!rimero debemos calcular la ganancia crítica 3c % la frecuencia crítica 9c. #icos valores deben satisfacer

#e donde obtenemos 3c2 % Dc 2 pB. El periodo crítico es entonces !c 2 ?&c 2B.FB. 4tiliando la tabla obtenemos los siguientes valores1

3p 2 A.F G 3c 2 >.H i 2 A.I G !c 2 <.I

#e esta forma la función transferencia a lao abierto resulta1

"mplementando dico sistema en /"'4*";3, con una entrada escalón unitario aplicada en el instante t 2 A % una perturbación de entrada escalón unitario en el instante t 2

Como se puede apreciar en el gráfico, el control allado provoca un sobrevalor significativo, lo que es inaceptable en algunos casos. /in embargo el método de :5 ; nos a

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!roporcionado un punto de partida para una sintonía más fina. En este caso, si utiliamos el valor d 2 < el desempeño me-ora. /in embargo, el incremento de acción derivativa puede traer inconvenientes si estuviéramos en presencia de un ruido significativo en el sistema, % es recomendable verificar que el aumento de acción derivativa no amplifique ruido e$cesivamente.

!"! Método $asado en la %urva &eacción 'ucas plantas, pueden ser descriptas satisfactoriamente por el modelo1

4na versión cuantitativa lineal de este modelo puede ser obtenida mediante un e$perimento a lao abierto, utiliando el siguiente procedimiento1

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<. Con la planta a lao abierto, llevar a la planta a un punto de operación normal. #igamos que la salida de la planta se estabilia en %(t) 2 %A para una entrada constante u(t) 2 uA. ?. En el instante inicial tA, aplicar un cambio en la entrada escalón, desde uA a u< (esto debería ser en un rango de
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El modelo obtenido puede ser utiliado para varios métodos de a-uste de controladores !"#. 4no de estos también fue propuesto por :iegler % ;icols. El ob-etivo de diseño es alcanar un amortiguamiento tal que e$ista una relación de >1< para el primer % segundo pico de la respuesta a una referencia escalón. *os parámetros sugeridos por :5; son los que se muestran en la abla ?.

! M#DI'I%(%I#NE) DE *#) E)+EM() DE %#N&#* PID En los sistemas de control básicos vistos asta aora, si la entrada de referencia es un escalón, debido a la presencia del término derivativo en la acción de control, la variable manipulada u(t) contendrá una función impulso (una delta). En un controlador !"# real, en lugar del término derivativo #s emplearemos1

#onde elegida tal que

denominada constante de tiempo derivativa, normalmente es Cuanto más pequeña es

me-or es la

apro$imación entre el término Kderivativo filtradoK de la ecuación anterior % el KderivativoK ds, es decir son iguales en el limite1

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Con la inclusión de un polo evitamos utiliar acciones de control grandes en respuesta a errores de control de alta frecuencia, tales como errores inducidos por cambios de setpoint (referencia) o mediciones de ruido. El argumento clásico por el cual se elige es, además de asegurar un controlador propio, para atenuar ruido de alta frecuencia. Casi todos los controladores industriales !"# definen a como una fracción fi-a de d, en lugar de tomarlo como un parámetro independiente de diseño. nalicemos nuevamente el E-emplo <, pero tomando aora como función transferencia del controlador !"# a1

!or lo que la función transferencia a lao abierta resulta ser la siguiente

Con el mismo desarrollo anteriormente e$plicado obtenemos los mismos parámetros del !"# aplicando el método de oscilación de :5;. omando a la función transferencia a lao abierto resulta1

!. ()I/N(%I0N DE P#*#) *a asignación de polos es un método de diseño de controladores cuando queremos que el desempeño del sistema a lao cerrado cumpla con determinadas especificaciones de diseño. En esta sección veremos en detalle de que se trata % veremos también como podemos a-ustar un controlador !"# utiliando asignación de polos.

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Consideremos el lao nominal de la 9igura < con las siguientes funciones transferencias1

Con !(s), *(s), +A(s) % A(s) polinomios de grados np, nl, n 5 < % n respectivamente (asumimos que el modelo nominal de la planta es estrictamente propio).Consideremos que el polinomio a lao cerrado deseado está dado por lc. *a pregunta que surge es1 L#ado un lc arbitrario, e$istirá una función C(s) propia tal que a lao cerrado resulte que lc sea el polinomio característicoM !ara contestar esta pregunta, veamos primero que pasa con un e-emplo para ilustrar me-or la idea1

E-emplo ? (signación de polos). /ea el modelo nominal de una planta dada % un controlador de la forma1

!odemos ver que lc 2 A(s)*(s) N +A(s)!(s) 2 (s? N Bs N ?)(l
!odemos verificar que la matri anterior es no5singular, por lo que el sistema tendrá solución 7nica1 l< 2 <, lA 2 A, p< 2 < % pA 2 <. sí el polinomio característico es alcanado para un controlador dado por la siguiente función transferencia1

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En el e-emplo anterior vimos como la asignación de polos a lao cerrado depende de la no5singularidad de una matri particular. Como la idea es generaliar el resultado anterior, primero necesitaremos algunos resultados matemáticos.

eore1a " 2eore1a de )3lvester4! Consideremos los polinomios

Ounto con la matri1

/e dice que (s) % +(s) son coprimos, es decir que no tienen factores en com7n o raíces, si % solo si det('e) P A Con este resultado podemos aora generaliar lo visto en el E-emplo ?, para mostrar que la asignación de polos es generalmente posible, cuando se cumplen algunos requerimientos mínimos.

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*e1a " 2(signación de Polos )I)#4! Consideremos un lao de realimentación de un grado de libertad con un controlador C(s) % un modelo nominal @A(s) dado por (?A). /uponiendo que A(s) % +A(s) son coprimos % que sus grados son n % n 5 <, respectivamente. /ea lc un polinomio arbitrario de grado nc 2 ?n 5 <. Entonces e$isten polinomios !(s) % *(s), con grados np 2 nl 2 n 5 < tal que1

;ota <. El lema anterior establece ba-o que condiciones e$iste solución para el problema de asignación de polos, asumiendo un controlador bipropio. Cuando se requiere un controlador estrictamente propio, el grado de !(s) % *(s) debería ser np 2 n 5 < % nl 2 n, respectivamente. #e esta forma, para poder estar en condiciones de elegir un polinomio a lao cerrado lc(s) arbitrario, su grado debería ser igual a ?n. ;ota ?. ;o están permitidas las cancelaciones del estilo polo5cero inestables. Cualquier cancelación entre el controlador % la planta aparecerá como factor en A(s)*(s) % también en +A(s)!(s). !ara que la condición del lema < pueda ser satisfeca, el mismo factor deberá aparecer en lc(s), pero el polinomio característico a lao cerrado se debe elegir estable, por lo que ese factor com7n deberá ser estable. /ólo de esta forma, el lao cerrado nominal es garantía de ser internamente estable, es decir, las cuatro funciones de sensibilidad serán estables. En esta sección, veremos una forma más moderna que las anteriores para a-ustar un controlador !"#, basándonos en técnicas de asignación de polos. #urante esta sección consideraremos un lao de control de un grado de libertad con controladores !" de la siguiente forma

% la forma del controlador !"#

Q..(R) !ara referencias futuras notamos la siguiente representación alternativa de un controlador !"#1

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*e1a ! Cualquier controlador de la forma1 Q..(S)

Es idéntico al controlador !"# de (?=) con los siguientes valores de los parámetros1

#emostración. #esarrollando en fracciones simples (R) % comparándola con (S) se obtienen dicos coeficientes. /i asumimos que la planta puede ser (por lo menos, apro$imadamente) modelada por un modelo de segundo orden, entonces podemos utiliar asignación de polos para sintoniar un controlador !"#.

E-emplo B. 4na planta tiene un modelo nominal dado por1

/intoniar un controlador !"# para que a lao cerrado alcance la dinámica dominada por1 s? N >s N =

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esolvemos primero el problema de asignación de polos, donde

El factor (sN>)? a sido agregado para asegurar que la asignación de polos tenga solución, es decir que el grado de lc(s) debe ser >. ;otar que este factor genera modos (polos) que son más rápidos que los originados por el polinomio deseado. #e esta forma, la dinámica dominante será la de los polos más lentos. esolviendo la ecuación de asignación de polos, resulta que

de donde1 3p 2 I.FTH 3i 2 H 3d 2 A.=BH U# 2 A.<<. 4na importante observación es que la solución de este problema tiene la estructura de un controlador !"# para el modelo dado @A(s). !ara un modelo de ma%or orden, el controlador resultante no será, en general, un controlador !"#.

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RESUMEN 

#esde una perspectiva moderna, un controlador !"# es simplemente un controlador de asta segundo orden, conteniendo un integrador.



#escubrimientos empíricos demuestran que la estructura del !"# por lo general tiene la suficiente fle$ibilidad como para alcanar e$celentes resultados en mucas aplicaciones.



El término básico es el término proporcional, P, que genera una actuación de control correctivo proporcional al error.



El término integral, I, genera una corrección proporcional a la integral del error. Esto nos asegura que si aplicamos un esfuero de control suficiente, el error de seguimiento se reduce a cero.





El término derivativo, D, genera una acción de control proporcional al cambio de rango del error. Esto tiende a tener un efecto estabiliante pero por lo general genera actuaciones de control grandes.

Los diferentes métodos de sintonización de los parámetros de un controlador PID, van de acuerdo a la estructura que se utilice del mismo. Cabe recordar, que sólo se mencionó una estructura, dada en la ecuación (!", # que los métodos que se estudiaron se realizaron de acuerdo a dic$a estructura. %n caso de tener otra $abrá que analizar el método equivalente.

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ANEXO En este ane$o mostramos brevemente ciertos términos básicos que vamos a utiliar en la ma%or parte de este traba-o1



)e5al de salida: es la variable que se desea controlar (posición, velocidad, presión, temperatura, etc.). ambién se denomina varia6le controlada.



)e5al de re7erencia: es el valor que se desea que alcance la señal de salida.



Error: es la diferencia entre la señal de referencia % la señal de salida real.



)e5al de control: es la señal que produce el controlador para modificar la variable controlada de tal forma que se disminu%a, o elimine, el error.



)e5al análoga: es una señal continua en el tiempo.



)e5al digital: es una señal que solo toma valores de < % A. El !C solo envía %o recibe señales digitales.



%onversor análogo8digital: es un dispositivo que convierte una señal analógica en una señal digital (< % A).



%onversor digital8análogo: es un dispositivo que convierte una señal digital en una señal analógica (corriente o volta-e).

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


Planta: es el elemento físico que se desea controlar. !lanta puede ser1 un motor, un orno, un sistema de disparo, un sistema de navegación, un tanque de combustible, etc.



Proceso: operación que conduce a un resultado determinado.



)iste1a: consiste en un con-unto de elementos que act7an coordinadamente para realiar un ob-etivo determinado.



Pertur6ación: es una señal que tiende a afectar la salida del sistema, desviándola del valor deseado.



)ensor: es un dispositivo que convierte el valor de una magnitud física (presión, flu-o, temperatura, etc.) en una señal eléctrica codificada %a sea en forma analógica o digital. ambién es llamado transductor! *os sensores, o transductores, analógicos envían, por lo regular, señales normaliadas de A a I voltios, A a a ?A m.



)iste1a de control en la9o cerrado: es aquel en el cual continuamente se está monitoreando la señal de salida para compararla con la señal de referencia % calcular la señal de error, la cual a su ve es aplicada al controlador para generar la señal de control % tratar de llevar la señal de salida al valor deseado. ambién es llamado control reali1entado!



)iste1a de control en la9o a6ierto: en estos sistemas de control la señal de salida no es monitoreada para generar una señal de control.

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BIBLIOGRAFÍA Libros& 

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Pá'inas de Internet&  http://www.monografias.com/controladores  http://es.wikipedia.org/wiki/PID  http://amtce.com.mx/config.

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