UNIVERSIDAD DE LA COSTA - CUC DPTO DE INGENIERÍA CIVIL Y AMBIENTAL PROGRAMA DE INGENIERÍA CIVIL
COMPORTAMIENTO DE PROBETAS SOMETIDAS A FLEXIÓN Jessica Lara1, Luis Carvajal1, Juan Céspedes1, Luis Fernández1. Profesor: ING. Yamith Cantillo. Grupo GD. 20 - 04 – 2018 Laboratorio de Resistencia de Materiales, Universidad de la Costa, Barranquilla.
RESUMEN En el siguiente informe se presentarán los resultados obtenidos en el ensayo de flexión con probetas metálicas, además de una regla de madera, simplemente apoyadas, sometidas a una carga puntual centrada. Para esto, se usó una máquina de ensayos a flexión, calibrador, deformímetro y las probetas necesarias para la correcta realización del estudio. Se tomaron las medidas de las probetas antes de ser sometidas a flexión, además de los datos de deformación arrojados por el deformímetro durante el ensayo. Se hizo uso de los modelos matemáticos para calcular el Máximo Esfuerzo Flector, el Módulo de Elasticidad, el Radio de Curvatura, y la Deformación Unitaria. Se realizará la gráfica esfuerzodeformación para facilitar la interpretación de los resultados. Se compararán los resultados obtenidos, para sacar múltiples conclusiones.
Palabras clave: flexión, deformación, esfuerzo, radio de curvatura.
ABSTRACT In the following report, the results obtained in the test of bending with metal test tubes will be presented, in addition to a wooden rule, simply supported, subjected to a focused point load. For this, a bending test machine, calibrator, deformimeter and the specimens necessary for the correct performance of the study were used. The measurements of the test pieces were taken before being subjected to bending, in addition to the deformation data thrown by the deformimeter during the test. The mathematical models were used to calculate the Maximum Flector Effort, the Elasticity Module, the Curvature Radius, and the Unitary Deformation. The stress-strain graph will be made to facilitate the interpretation of the results. The results obtained will be compared to draw multiple conclusions.
Keywords : bending, deformation, effort, radius of curvature.
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Introducción Un elemento está sometido a flexión cuando éste está apoyado en su(s) extremo(s) y sobre él actúa una fuerza transversal a su eje longitudinal, oc asionando una deformación de dicho eje en una línea curva, lo que se conoce como curva de flexión. También se puede decir que, debido a la flexión, se generan esfuerzos de compresión a un lado del eje neutro y de tracción al otro lado. Además de lo anterior, se inducen en el elemento esfuerzos cortantes y momentos flectores que varían a lo largo de su longitud. Son muchos los elementos que vemos trabajando a flexión en la vida cotidiana. Ejemplos claros son: las vigas, las losas de los edificios, una simple banca de un parque, etc. Este ensayo consiste en colocar cargas perpendiculares al eje longitudinal de un elemento prismático (en nuestro caso: probeta de acero, bronce, cobre, hierr o y una regla de madera) simplemente apoyado, para así calcular esfuerzos, deflexiones y demás propiedades de los materiales sometidos a tal acto.
Fundamento teórico Para analizar los resultados obtenidos en el ensayo, es necesario conocer los conceptos relacionados con esta experiencia, es por esto por lo que se hará un breve recuento de toda la teoría que abarca el tema. El esfuerzo se define como la distribución de una fuerza sobre una superficie, es la razón de fuerza sobre área de la sección transversal o perpendicular a la carga. Sus unidades son N/m2 (pascales en el SI) y lb/plg 2 en sistema inglés. La deformación, por su parte, simplemente es la forma que adopta el elemento cuando sobre el actúa una fuerza. Esta puede ser elástica cuando recupera su forma inicial una vez se haya retirado la carga y los átomos que constituyen el material vuelven a su posición inicial; y es plástica cuando permanece deformada, aunque se le haya retirado la carga, los átomos no pueden recuperar sus posiciones iniciales. Estos comport amientos se analizarán más a fondo con la gráfica esfuerzo vs deformación. Para tener más idea sobre lo que abarca en sí este informe definiremos ciertos términos tales como:
Módulo de elasticidad: Es una constante elástica que caracteriza los materiales y depende de la constitución de este. Se define como el esfuerzo necesario para producir una deformación unitaria, la cual mide la rigidez de un material. Empíricamente se conoce al calcular la pendiente de la parte elástica del diagrama esfuerzo – deformación.
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Curvatura: Varía a lo largo del eje de la viga. Mide la rapidez con la que la curva abandona la tangente en ese punto, en pocas palabras, es una medida del cambio que sufre la dirección del vector tangente a una curva cuando nos movemos a lo largo de ésta.
Deflexión: Es la distancia vertical medida desde un punto sobre el eje longitudinal antes de deformado hasta la posición que estaría ese punto sobre el eje ya deformado a causa de fuerzas externas.
Momento flector : Es un giro que se produce dentro de un elemento por acción de fuerzas externas. Se calcula como el producto de la fuerza por la distancia desde el punto de aplicación de dicha fuerza hasta donde queremos conocer el giro.
Esfuerzos flectores: Son producidos por fuerzas internas en la sección transversal del elemento a lado y lado del eje neutro. Son generadas por momentos flectores. Dependiendo del sentido de flexión se formarán esfuerzo a compresión a un lado del eje neutro y tracción en el otro.
Desarrollo experimental Los materiales que se necesitaron para llevar a cabo esta experiencia fueron: una máquina de ensayo de tensión, equipo universal de medición (hidráulica de presión), calibrador, deformímetro y las probetas metálicas necesarias para la correcta realización del ensayo (cobre, bronce, aluminio y acero). El proceso que se siguió fue el siguiente: 1. Se midieron las dimensiones de cada probeta, sección transversal, longitud inicial y el diámetro. 2. Se colocaron, una a una, las probetas en la máquina de ensayo y se verificó que estuviesen simplemente apoyadas. 3. Se colocó el deformímetro en la máquina de ensayo, y se revisó que el dial indicara cero. 4. Se procedió a colocar las cargas en el dispositivo. Para diferentes cargas se tomará el respectivo dato de deformación. Téngase en cuenta que este procedimiento se realizó con cada una de las probetas.
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Cálculos y análisis de resultados
CARGA APLICADA (k N)
DEFORMACIÓN POR MATERIAL REGLAS PROBETAS MADERA ACERO
ACERO ALUMINIO BRONCE COBRE*
2,5
31
8,5
6
21
14
7
7,5
110
28
18
60
42
21
12,5
189
48,1
31
100
71
35
17,5
267
68
44
139
100
49
w 0.3 m Ay
∑ = 0 = (0. 5) 3(0.3) = 0 0. 3 = 0.5 = 5 ∑ = 0 + = 0 = 35 = 25
0.2m By
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Corte #1
( ≤ ≤ .)
M1 V1 Ay x
∑ =2 0 5 () = 0 = () ∑ = 0 2 1 = 0 1 = 5
corte #2
(. ≤ ≤ .) w
0.3 m
∑ = 0 + ( 0.3) () = 0 2 + () (0.3) 5 () = 0 + 35 () (0.3) = 0 = 0.3 35 () ∑ = 0 2 = 0 2 = 2 2 = 5
M1 (x - 0.3m)
V1
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Carga unitaria
1N
0.25m Ay
∑ = 0 (0. 1(0. 5) 1(0. 2 5) = 0 = 0.525) = 0.5 ∑ = 0 1 + = 0 1 + 0.5 = 0 = 0.5
0.25m By
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Corte #1
( ≤ ≤ .)
M1 V1 Ay x
∑ = 0 () = 0 = 0.5() ∑ = 0 1 = 0 1 = 0.5 corte #2
(. ≤ ≤ .) 1N
0.25m
∑ = 0 + 1( 0.25) () = 0 + 0.5() 0.25 = 0 = 0.5 +0.25 ∑ = 0 1 2 = 0 2 = 0.5 1 2 = 0.5
M1 (x - 0.25m)
V1
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∙ = ∫ [()∙()] .
. ∙ = ∫ 25 () 0.5() + ∫. 25 () 0.5() . + ∫. 0.3() 35 ()0.5 +0.25
2 Diagrama de Fuerzas Cortantes
1Diagrama de Momento
Con la carga #1 (2.5N)
. . . ∙ = ∫ 0.5() + ∫. 0.5() +∫. 0.751.5() 0.5 +0.25 −
∙ = 6.5 × 10
Con la carga #2 (7.5N)
. . . ∙ = ∫ 3 0.5() + ∫.3 0.5() + ∫. 2.254.5() 0.5 +0.25
∙ = 0.0196
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Con la carga #3 (12.5N)
. . . ∙ = ∫ 5 0.5() + ∫.5 0.5() + ∫. 3.757.5() 0.5 +0.25
∙ = 0.0325
Con la carga #4 (17.5N)
. . . ∙ = ∫ 7 0.5() + ∫.7 0.5() + ∫. 5.2510.5() 0.5 +0.25
∙ = 0.0455
Espesor = 0.63 cm = 6.3 ×10 −m
Regla madera
Ancho = 3.15 cm = 0.0315 m − ×10 m) = ×12ℎ = (0.0315)(6.3 12 − = 6.563× 10 Acero plano
Espesor = 0.3 cm = 3 ×10 −m Ancho = 2.4 cm = 0.024 m − = ×12ℎ = (0.024 )(312 × 10 m) = 5.4 × 10− Bronce, aluminio, acero y cobre:
D = 0.7 cm = 7.0× 10− = 2 = 3.5 × 10− (3.5 × 10−) = 4 = = 1.17858× 10−4
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= ∙
Módulo de elasticidad regla de madera
carga de 2.5 KN
− 6.5×10 = (6.563×10−)(7.874×10−) = 12.576 carga de 7.5 KN
0.0195 = (6.563×10− )(3.794×10−) = 10.63 carga de 12.5 KN
= (6.563×10−0.0325 )(4.8006×10 −) = 10.31 carga de 17.5 KN
= (6.563×10−0.0455 )(6.7818×10 −) = 10.22 Módulo de elasticidad regla de acero carga de 2.5 KN
− 6.5×10 = (5.4×10−)(7.874×10−) = 557.52 carga de 7.5 KN
= (5.4×10−0.0195 )(3.794×10−) = 507.74 carga de 12.5 KN
= (5.4×10−0.0325 )(4.8006×10 −) = 492.91
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carga de 17.5 KN
= (5.4×10−0.0455 )(6.7818×10 −) = 487.32 Módulo de elasticidad de metales por carga en GPA Material Bronce Aluminio Acero Cobre
Carga 2.5 N
Carga 7.5 N
Carga 12.5 N
Carga 17.5N
154.91 103.39 361.87 310.18
155.04 108.56 361.87 310.18
152.90 108.56 350.20 310.18
151.98 109.34 345.42 310.18
= ∙
Esfuerzo
Madera Carga de 2.5
×) = 1.43 MPA = (..)∙(. × Carga de 7.5
−) ( 0.9)∙ (3.15 ×10 = 6.563×10− = 4.31 MPA Carga de 12.5
×) = 7.19 MPA = (..)∙(. × Carga de 17.5
×) = 10.07 MPA = (..)∙(. × Regla de acero Carga de 2.5
×) = 8.33 MPA = (.)∙(. .× Carga de 7.5
×) = 25.0MPA = (.)∙(. .×
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Carga de 12.5
×) = 41.6MPA = (.)∙(. .× Carga de 17.5
×) = 58.3MPA = (.)∙(. .× Bronce, aluminio, cobre y acero. Carga de 2.5
×) = 8.90 MPA = (..)∙(. × Carga de 7.5
−) (0. 9 )∙ (3.5× 10 = 1.1786×10− = 26.72 MPA Carga de 12.5
×) = 44.54 MPA = (..)∙(. × Carga de 17.5
×) = 62.36 MPA = (..)∙(. ×
= ∙
Deformación de elasticidad de Curvatura
Regla de madera Carga de 2.5
0.3 = (12.57×10 )(6.563×10 −) = 0.0363− Carga de 7.5
0.9 = (10.63×10 )(6.563×10 −) = 0.0363− Carga de 12.5
1.5 = (10.31×10 )(6.563×10 −) = 0.0363−
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Carga de 17.5
2.1 = (10.22×10 )(6.563×10 −) = 0.0363− Regla de acero Carga de 2.5
0.3 = (557.52×10 )(5.4×10−) = 9.96× 10− − Carga de 7.5
0.9 = (507.74×10 )(5.4×10−) = 0.0328 − Carga de 12.5
1.5 = (492.91×10 )(5.4×10−) = 0.0563 − Carga de 17.5
2.1 = (487.32×10 )(5.4×10−) = 0.0798 − Bronce Carga de 2.5
0.3 = (154.91×10 )(1.17858×10−) = 0.0164 − Carga de 7.5
0.9 = (155.09×10 )(1.17858×10−) = 0.0492 − Carga de 12.5
1.5 = (152.90×10 )(1.17858×10−) = 0.0832 − Carga de 17.5
2.1 = (151.98×10 )(1.17858×10−) = 0.117 −
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Aluminio Carga de 2.5
0.3 = (103.39×10 )(1.1786×10−) = 0.0246 − Carga de 7.5
0.9 = (108.56×10 )(1.1786×10−) = 0.0703 − Carga de 12.5
1.5 = (108.56×10 )(1.1786×10−) = 0.117 − Carga de 17.5
2.1 = (109.34×10 )(1.1786×10−) = 0.162 − Acero Carga de 2.5
0.3 = (361.87×10 )(1.17858×10−) = 7.0 3× 10− − Carga de 7.5
0.9 = (361.87×10 )(1.17858×10−) = 0.0211 − Carga de 12.5
1.5 = (350.29×10 )(1.17858×10−) = 0.0363 − Carga de 17.5
2.1 = (345.42×10 )(1.17858×10−) = 0.0513 −
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Cobre Carga de 2.5
0.3 = (310.18×10 )(1.17858×10−) = 8.2 06 ×10−− Carga de 7.5
0.9 = (310.18×10 )(1.17858×10−) = 0.0246 − Carga de 12.5
1.5 = (310.18×10 )(1.17858×10−) = 0.0410 − Carga de 17.5
2.1 = (310.18×10 )(1.17858×10−) = 0.0574 − Radio de curvatura en metros
= 1 Material madera Acero plano Acero bronce Aluminio Cobre
Carga 2.5 2.754 100.40 142.24 6.09 40.65 121.86
Carga 7.5 7.75 3.048 47.39 20.32 14.22 40.65
Carga 12.5 4.52 17.76 27.54 12.01 8.54 27.54
Carga 17.5 3.19 12.53 19.41 8.54 6.17 19.41
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Deformación unitaria
= Material Madera Acero plano Acero Bronce Aluminio Cobre
Carga 2.5
1.13×10−− 1.49×10− 2.45×10− 5.74×10− 8.60×10− 2.86×10
Carga 7.5
4.05×10−− 4.92×10− 7.38×10− 1.72×10− 2.46×10− 8.61×10
Carga 12.5
6.97×10−− 8.43×10− 1.27×10− 2.91×10− 4.10×10− 1.43×10
Carga 17.5
9.85×10−− 1.19×10− 1.80×10− 4.10×10− 5.70.×10− 2.01×10
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Conclusiones Con la realización de este trabajo se analizó el comportamiento de las probetas metálicas (cobre, aluminio, acero, bronce), al igual que el de las reglas de madera y acero ante cargas de flexión y se califican como satisfactorios los resultados obtenidos puesto que se cumplieron a cabalidad los objetivos planteados al inicio de la experiencia. Se pudo tener un conocimiento más amplio en lo que respecta a la forma en que responden ciertos materiales al someterse a flexión, esto es de vital importancia debido a que son estos materiales con los cuales se trabajarán más adelante a la hora de diseñar estructuras. Se pudo entender que, en una viga sometida a flexión, la tensión es directamente proporcional a la distancia y desde el eje neutro y al momento flector M, tal y como se deduce de la ecuación:
También al comparar el comportamiento de los metales, con el de la madera, se pudo observar que la madera sufre mayor deformación con menor esfuerzo, es decir el material que más se deforma para un mismo peso.
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Según lo observado en la experiencia, concluimos que la curvatura de las probetas a flexión se dará de manera en que el lado en el que está siendo aplicada la fuerza quedará comprimido, y el lado opuesto, quedará tensionado.
Se puede apreciar que el módulo de elasticidad es equivalente a la pendiente de la primera porción de la curva esfuerzo-deformación de cada material. También se pudo observar que la deflexión depende directamente de la longitud del elemento simplemente apoyado en los extremos, entre menor sea la longitud de esta probeta, menor será la deflexión.
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Bibliografía
Shakelford, J.F.; “Intoducción a la ciencia de materiales para ingenieros”, Pearson Prentice Hall, 2005. Ahumada, José Luis; “Caracterización de Materiales de uso en Ingeniería”, Educosta, 2009. William D. Callister, Jr.; “Introducción a la ciencia e ingeniería de los materiales”, Reverté, 1995.
Anexos
