Informe Vectorial

ELECTRICIDAD  Y ELECTRONICA

CALCULO CALCUL O VECTORIAL investigación

NOMBRE: Paulo Javier eguel Troncoso CARRERA: CARRERA: Ingenier!a en Auto"ati#ación $ Control In%ustrial AI&NAT'RA: Calculo A(lica%o II ECCION: )*+, PRO-EOR: Mariana Lav!n Rosas -EC.A:*/0120*13,

Introduccion Princi(ios %e la 4or"ulación %el "o%elo "ate"5tico %e los ca"(os electro"agn6ticos+ e (resenta un resu"en %e las ecuaciones %el c5lculo vectorial necesarias (ara el %esarrollo %el "o%elo "ate"5tico %el co"(orta"iento %e los 4enó"enos electro"agn6ticos tanto en con%iciones est5ticas co"o %in5"icas7 as!  co"o los %i4erentes siste"as %e coor%ena%as usa%os (ara el %esarrollo %e los %i4erentes (ro8le"as %e electro"agnetis"o+ El c5lculo vectorial es una 9erra"ienta 4un%a"ental (ara el "o%ela%o %e ca"(os electro"agn6ticos7 los cuales en su 4or"a "5s general se re(resentan (or vectores7 %e8i%o a su naturale#a %e 4uer#as+ De a9! ue las o(eraciones 85sicas entre vectores sean co"unes en el an5lisis electro"agn6tico+ ;Me gustar!a sa8er có"o creo Dios este "un%o+ No "e interesa este o auel 4enó"eno+ El es(ectro %e este o auel ele"ento+ Lo ue uiero conocer son sus (ensa"ientos7 el resto son %etalles< Al8ert Einstein ;Las o8servaciones sie"(re involucran una teor!a< E%=in .u88le  To"a%o %e ;La Aventura %el 'niverso<+ Ti"ot9$ -erris PP+ 3)1 El Cielo %e Einstein

Objetivo -unciones vectoriales El alu"no utili#ara e inter(retara las variaciones %e una 4uncion vectorial %e varia8le vectorial $ las a(licara (ara resolver (ro8le"as >sicos $ geo"etricosa en el siste"a %e re4erencia "as conveniente+ El alu"no co"(ren%era la relacion entre los resulta%os %e la %ivergencia la rotacion 7 el gra%iente $ el la(laciona %e un vca"(o vectorial $ sus inter(retaciones >sicas

El calculo vectorial o analisis vectorial es un ca"(o %e las "ate"aticas re4eri%as al analisis real "ultivaria8le %e vectores en %os o "as %oi"ensiones7 Es un en4oue %e la geo"etria %i4erencial co"o con?unto %e 4or"ulas $ tecnicas (ara solucionar

Consi%era"os los ca"(os vectoriales ue asocian un vector a ca%a (unto en el es(acio+ Por e?e"(lo7 la te"(eratura %e una (iscina es un ca"(o escalar7 a ca%a (unto asocia"o(s un valor escalar %e te"(eratura+ El @u?o %el agua en la "is"a (iscina es un ca"(o vectorial a ca%a (unto asocia"os un vector %e veloci%a% Cuatro o(eraciones osn i"(ortantes en el calculo vectorial : •

Gradiente:  Mi%e la tasa $ la %ireccion %el ca"8io %e un ca"(o escalar7 el gra%iente %e un ca"(o escalar es un ca"(o vectorial

Interpretacion de un gradiente De 4or"a geo"6trica el gra%iente es un vector ue se encuentra nor"al a una su(er>cie o curva en el es(acio a la cual se le esta estu%ian%o7 en un (unto cualuiera7 ll5"ese 7$7 7$7#7 tie"(o7 te"(eratura7 etc6tera+ Algunos e?e"(los son: 0

0

Consi%ere una 9a8itación en la cual la te"(eratura se %e>ne a trav6s %e un ca"(o escalar7 %e tal "anera ue en cualuier (unto 7 la te"(eratura es + Asu"ire"os ue la te"(eratura no varia con res(ecto al tie"(o+ ien%o esto as!7 (ara ca%a (unto %e la 9a8itación7 el gra%iente en ese (unto nos %ar5 la %irección en la cual se calienta "5s r5(i%o+ La "agnitu% %el gra%iente nos %ir5 cu5n r5(i%o se calienta en esa %irección+ Consi%ere una "ontaa en la cual su altura en el (unto 7$ se %e>ne co"o .7 $+ El gra%iente %e H en ese (unto estar5 en la %irección (ara la ue 9a$ un "a$or gra%o %e inclinación+ La "agnitu% %el gra%iente nos "ostrar5 cu5n e"(ina%a se encuentra la (en%iente+

Propiedades El gra%iente veri>ca ue: 0 0 0 0 0

Es ortogonal a las su(er>cies euiescalares7 %e>ni%as (or Fcte+ A(unta en la %irección en ue la %eriva%a %ireccional es "5i"a+ u "ó%ulo es igual a esta %eriva%a %ireccional "5i"a+ e anula en los (untos estacionarios "ai"os7 "ini"os $ (untos %e silla+ El ca"(o 4or"a%o (or el gra%iente en ca%a (unto es sie"(re irrotacional7 →

∇ × ( ∇φ ) = 0

esto es7

Gradiente de un campo vectoria En un es(acio eucl!%eo7 el conce(to %e gra%iente ta"8i6n (ue%e eten%erse al caso %e un ca"(o vectorial7 sien%o el gra%iente %e un tensor ue %a el %i4erencial %el ca"(o al reali#ar un %es(la#a"iento → d  F 

→   =  F         

Este tensor (o%r5 re(resentarse (or una "atri# //7 ue en coor%ena%as cartesianas est5 4or"a%a (or las tres %eriva%as (arciales %e las tres co"(onentes %el ca"(o vectorial+

Ejempo Da%a la 4unción f  x  7y 7 z  F * x  G / y * H sin z  su vector gra%iente es:

Apicaciones El &ra%iente (osee innu"era8les a(licaciones en ingenieria $ 4!sica7 es(ecial"ente en electro"agnetis"o $ "ec5nica %e @ui%os+ En (articular7 eisten "uc9os ca"(os vectoriales ue (ue%e escri8irse co"o el gra%iente %e un (otencial escalar+ 'no %e ellos es el ca"(o electrost5tico7 ue %eriva %el (otencial el6ctrico

 To%o ca"(o ue (ue%a escri8irse co"o el gra%iente %e un ca"(o escalar7 se %eno"ina potencial7 conservativo o irrotacional + As!7 una 4uer#a conservativa %eriva %e la energ!a (otencial co"o

Los gra%ientes ta"8i6n a(arecen en los (rocesos %e %i4usión ue veri>can la le$ %e -ic o la le$ %e -ourier (ara la te"(eratura+ As!7 (or e?e"(lo7 el @u?o %e calor en un "aterial es inversa"ente (ro(orcional al gra%iente %e te"(eraturas

 sien%o k  la con%uctivi%a% t6r"ica •

Rotor o rotaciona: Mi%e la ten%encia %e un ca"(o vectorial a rotar alre%e%or %e un (unto7 el rotor %e un ca"(o vectorial es otro ca"(o vectorial+

Mate"5tica"ente7 esta i%ea se e(resa co"o el l!"ite %e la circulación %el ca"(o vectorial7 cuan%o la curva so8re la ue se integra se re%uce a un (unto:

Au!7 S es el 5rea %e la su(er>cie a(o$a%a en la curva C7 ue se re%uce a un (unto+ El resulta%o %e este l!"ite no es el rotacional co"(leto ue es un vector7 sino solo su co"(onente segKn la %irección nor"al a  S $ orienta%a segKn la regla %e la "ano %erec9a+ Para o8tener el rotacional co"(leto %e8er5n calcularse tres l!"ites7 consi%eran%o tres curvas situa%as en (lanos (er(en%iculares+ Aunue el ue el rotacional %e un ca"(o alre%e%or %e un (unto sea %istinto %e cero no i"(lica ue las l!neas %e ca"(o giren alre%e%or %e ese (unto $ lo encierren+ Por e?e"(lo7 el ca"(o %e veloci%a%es %e un @ui%o ue circula (or una tu8er!a conoci%o co"o (er>l %e Poiseville (osee un rotacional no nulo en to%as (artes7 salvo el e?e central7 (ese a ue la corriente @u$e en l!nea recta:

La i%ea es ue si coloca"os una rue%a %e (aletas in>nita"ente (euea en el interior %el ca"(o vectorial7 esta rue%a girar57 aunue el ca"(o tenga sie"(re la "is"a %irección7 %e8i%o a la %i4erente "agnitu% %el ca"(o a un la%o $ a otro %e la rue%a+ -uente escalar $ vectorial Al ca"(o vectorial7 7 ue se o8tiene calculan%o el rotacional %e un ca"(o en ca%a (unto7

se conoce co"o las 4uentes vectoriales %e sien%o las 4uentes escalares las ue se o8tienen "e%iante la %ivergencia+  'n ca"(o cu$o rotacional es nulo en to%os los (untos %el es(acio se %eno"ina irrotacional o se %ice ue carece %e 4uentes vectoriales+ Y si est5 %e>ni%o so8re un %o"inio si"(le"ente coneo entonces %ic9o ca"(o (ue%e e(resarse co"o el gra%iente %e una 4unción escalar:

E!presion en cordenadas cartesianas Partien%o %e la %e>nición "e%iante un l!"ite7 (ue%e %e"ostrarse ue la e(resión7 en coor%ena%as cartesianas7 %el rotacional es

ue se (ue%e e(resar %e 4or"a "5s concisa con a$u%a %el o(era%or na8la co"o un (ro%ucto vectorial7 calcula8le "e%iante un %eter"inante:

En la notación %e Einstein7 con el s!"8olo %e Levi0Civita se escri8e co"o:

Ejempos: 0

0

0

0

•

En un torna%o los vientos est5n rotan%o so8re el o?o7 $ un ca"(o vectorial ue "uestra las veloci%a%es %el viento ten%r!a un rotacional %i4erente %e cero en el o?o7 $ (osi8le"ente en otras (artes+ En un ca"(o vectorial ue %escri8a las veloci%a%es lineales %e ca%a (arte in%ivi%ual %e un %isco ue rota7 el rotacional ten%r5 un valor constante en to%as las (artes %el %isco+ i una auto(ista 4uera %escrita con un ca"(o vectorial7 $ los carriles tuvieran %iversos l!"ites %e veloci%a%7 el rotacional en las 4ronteras entre los carriles ser!a %i4erente %e cero+ La le$ %e -ara%a$ %e la in%ucción $ la le$ %e A"(re0Ma=ell7 %os %e las ecuaciones %e Ma=ell7 se (ue%en e(resar "u$ si"(le"ente usan%o el rotacional+ La (ri"era in%ica ue el rotacional %e un ca"(o el6ctrico es igual a la tasa %e variación %e la %ensi%a% %el @u?o "agn6tico7 con signo o(uesto %e8i%o a la Le$ %e Len# la segun%a in%ica ue el rotacional %e un ca"(o "agn6tico es igual a la su"a %e la %ensi%a% %e corrientes $ la %eriva%a te"(oral %e la %ensi%a% %e @u?o el6ctrico+

"ivergencia: Mi%e la ten%encia %e un ca"(o vectorial a originarse o converge 9acia ciaertos (untos7 la %ivergencia %e un ca"(o vectorial es un ca"(o escalar

Este otro o(era%or7 tiene co"o argu"ento a una 4unción vectorial $ (ro%uce co"o resulta%o7 a una 4unción escalar+ Me%iante la siguiente e(resión7 se in%ica la %ivergencia %e la 4unción vectorial E →

∇ • E  la "is"a (ue%e %e>nirse utili#an%o el conce(to %e @u?o7 %e la siguiente "anera7

la e(resión anterior7 (ue%e tra%ucirse en (ala8ras %e la siguiente 4or"a: En un %eter"ina%o (unto7 la 4unción %ivergencia %e 7 es igual al li"ite7 %el @u?o %e ue atraviesa a la su(er>cie cerra%a 1 %e a%entro 9acia a4uera7 %ivi%i%o (or el volu"en  volu"en encerra%o (or la su(er>cie 1 $ ue contiene al (unto consi%era%o7 cuan%o  tien%e a cero+

Ejempo: Co"o e?e"(lo consi%ere"os el ca"(o vectorial constitui%o (or la veloci%a% %el agua ue se %es(la#a en un canal $ a una su(er>cie cerra%a 1 i"aginaria ue se encuentre entera"ente %e8a?o %el agua+ En con%iciones nor"ales7 tanta agua entrara en la región encerra%a (or 17 co"o tanta sal%r57 esto signi>ca ue no 9a$ @u?o neto saliente %e la región encerra%a (or 17 esto signi>ca ta"8i6n si las con%iciones se "antienen (ara el li"ite7 ue la %ivergencia %e la veloci%a% es cero+ i eistiese en el e?e"(lo anterior7 una 4uente %e agua %entro %e la región encerra%a (or 17 el @u?o neto saliente %e la veloci%a% seria (ositivo $ en consecuencia7 la

17 se encontrara un su"i%ero7 el @u?o neto saliente %e la veloci%a% seria negativo $ consecuente"ente7 la %ivergencia seria ta"8i6n negativa+

Lapaciano: Relaciona el ;(ro"e%io<%e una (ro(ie%a% en un (unto %el es(acio con o(tra "agnitu%7 es un o(era%or %i4erencial %e segun%o or%en+ La "a$oria %e los resulta%os analiticos se entien%en "as 4acil"ente usan%o la "auinaria %e la geo"etria %i4erencial %e la cual el calculo vectorial 4or"a un su8con?unto+ •

La %ivergencia %el gra%iente %e una 4unción escalar se lla"a La(laciano+ En coor%ena%as rectangulares:

Es un o(era%or %i4erencial el!(tico %e segun%o or%en7 %enota%o co"o 7 relaciona%o con ciertos (ro8le"as %e "ini"i#ación %e ciertas "agnitu%es so8re un cierto %o"inio+ E(resa%o en coor%ena%as cartesianas es igual a la su"a %e to%as segun%as %eriva%as (arciales no  mixtas %e(en%ientes %e una varia8le La(laciano en varias coor%ena%as Co"(ara%o al La(laciano en coor%ena%as rectangular:

Coor%ena%as (olares cil!n%ricas

En coor%ena%as (olares es46ricas

las

Ejempo: Consi%ere"os (or e?e"(lo el t!(ico circuito LRC %e la >gura

%on%e la in%uctancia L7 la resistencia R $ la ca(aci%a% %e con%ensa%or C se consi%eran constantes+ e tiene entonces ue la carga t ue circula (or el circuito est5 %a%a (or la ecuación

$ %a%o ue la intensi%a% It es la %eriva%a %e la carga7 6sta (ue%e calcularse (or la ecuación

o euivalente"ente con la ecuación %i4erencial

en el caso en ue  t sea una 4unción %eriva8le+

Concusi#n El rotacional %e un ca"(o vectorial tiene su (rinci(al inter(retación 4!sica co"o la circulación ue (resenta el @ui%o alre%e%or %e un (unto %a%o Para un ca"(o vectorial en el (lano7 la %ivergencia "i%e la ra#ón %e e(ansión %el 5rea7 si la %iv -  F1 se %ice ue el @ui%o es inco"(rensi8le+