Ingenieria Economica Tarquin 6 Edicion

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" INGENIERIA INGENIERIA " ECONOMICA ECONOMICA /

Leland Leland Blank, Blank, P. E. American University Emiratos Árabes Árabes Unidos American University of of Sharjah, Sharjah, Emiratos Unidos yy Texas A&M A&M University University

Anthony Anthony Tarquin, Tarquin, P. E. University Paso University ofTexas ofTexas at El Paso

Traducción: Traducción:

Javier Javier Enríquez Enríquez Brito Brito Investigación de Operaciones Mtro. en Investigación Operaciones Universidad Nacional Autónoma Autónoma de México México Universidad Nacional

Revisión técnica: técnica: Revisión

Filiberto Filiberto González González Hernández Hernández Departamento de Ingeniería Ingeniería Industrial Industrial Departamento Instituto Tecnológico Estudios Superiores Instituto Tecnológico yy de Estudios Superiores de Monterrey, Monterrey, CEM CEM

MÉXICO· BOGOTÁ· BOGOTÁ· BUENOS BUENOS AIRES· AIRES· CARACAS· CARACAS· GUATEMALA· GUATEMALA· LISBOA MÉXICO· LISBOA MADRID • NUEVA NUEVA YORK YORK • SAN SAN JUAN SANTIAGO MADRID JUAN • SANTIAGO AUCKLAND • LONDRES LONDRES • MILÁN MILÁN • MONTREAL· MONTREAL· NUEVA DELHI DELHI AUCKLAND NUEVA SAN FRANCISCO FRANCISCO • SINGAPUR SINGAPUR • ST. LOUIS LOUIS • SIDNEY SIDNEY • TORONTO TORONTO SAN

•

Director Higher Higher Education: Education: Miguel Miguel Ángel Ángel Toledo Toledo Castellanos Castellanos Director Director editorial: editorial: Ricardo Ricardo A. del Bosque Bosque Alayón Alayón Director sponsor: Pablo Pablo Eduardo Eduardo Roig Roig V ázquez ázquez Editor sponsor: Editor Editora de desarrollo: desarrollo: Diana Diana Karen Karen Montaño Montaño González González Editora Supervisor de producción: producción: Zeferino Zeferino García García García García Supervisor

Ingeniería económica económica Ingeniería Sexta edición edición Sexta Prohibida la reproducción reproducción total total o parcial esta obra, obra, Prohibida parcial de esta por cualquier medio, medio, sin la autorización autorización escrita escrita del editor. editor. por cualquier

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McGraw-Hill McGraw-Hill Interamericana Interamericana

DERECHOS RESERVADOS 2006 respecto respecto a la sexta sexta edición edición en español español por DERECHOS RESERVADOS © 2006 por McGRAW-HILL/INTERAMERlCANA EDITORES, S. A. DE C. V. McGRAW-lllLLIINTERAMERICANAEDITORES, DE A Subsidiary ofThe McGraw-Hill Companies, Inc. Subsidiary ofThe McGraw-Hill Companies, [ne. Edificio Punta Santa Fe Edificio Punta Santa Fe Prolongación Paseo Paseo de la Reforma 1015, Torre Prolongación Reforma 1015, Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Piso Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegación Delegación Álvaro Álvaro Obregón Obregón C.P. 01376, C.P. 01376, México, México, D. F. Miembro Miembro de la Cámara Cámara Nacional Nacional de la Industria Industria Editorial Editorial Mexicana, Mexicana, Reg. Reg. Núm. Núm. 736 736

ISBN ISBN 970-10-5608-6 970-10-5608-6 (ISBN (ISBN 970-10-3948-3 970-10-3948-3 edición edición anterior) anterior) ISBN -10: 970-10-5608-6 ISBN-lO: 970-10-5608-6 ISBN-13: ISBN-13: 978-970-10-5608-0 978-970-10-5608-0 Traducido Traducido de la la sexta sexta edición edición de: ENGINEERING ENGINEERING ECONOMY ECONOMY Copyright Copyright © MMV MMV by by The The McGraw-Hill McGraw-Hill Companies, Companies, Inc. Inc. All All rights rights reserved. reserved. Previous editions © 1976, 1983, 1989, 1998, and 2002. Previous editions 1976, 1983, 1989, 1998, and 2002. ISBN: ISBN: 0-07-320382-3 0-07-320382-3

6789012345 6789012345

09875432106 09875432106

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The McGraw'HiII Componies

,.,: ~

Este libro libro está dedicado dedicado a nuestras constante nuestras madres madres por por su constante motivación para tener todos los aspectos aspectos de nuestra tener éxito éxito en todos de nuestra vida.

CONTENIDO CONTENIDO~'/

-

Prefacio

Capítulo Capítulo 1

xvii

Así Así COMIENZA COMIENZA TODO TODO Fundamentos Fundamentos de ingeniería ingeniería económica 1.1 1.2 1.2 l.3 1.3 l.4 1.4 1.5 l.6 1.6 1.7 l.8 1.8 l.9 1.9 l.l0 1.10 l.l1 1.11 l.12 1.12

Capítulo Capítulo 2

¿Por qué qué es importante importante la ¿Por la ingeniería ingeniería económica económica para para los los ingenieros ingenieros (y otros otros profesionales)? profesionales)? Papel de la ingeniería ingeniería económica Papel económica en en la la toma toma de de decisiones decisiones Realización estudio de ingeniería ingeniería económica económica Realización de un estudio Tasa tasa de rendimiento rendimiento Tasa de interés interés y tasa Equivalencia Equivalencia Interés Interés simple simple y compuesto compuesto Terminología Terminología y símbolos símbolos Introducción por computadora computadora Introducción a las las soluciones soluciones por Tasa de rendimiento rendimiento Tasa mínima mínima atractiva atractiva de Flujos estimación yy diagramación diagramación Flujos de efectivo: efectivo: estimación Regla del del 72: estimaciones estimaciones del para duplicar Regla del tiempo tiempo y tasa tasa de interés interés para duplicar una una cantidad de dinero dinero cantidad Aplicación de la hoja hoja de Aplicación de cálculo: cálculo: interés interés simple simple yy compuesto compuesto yy estimaciones estimaciones de flujos variables flujos de efectivo efectivo variables Ejemplos adicionales adicionales Ejemplos Resumen Resumen del del capítulo capítulo Problemas Problemas Problemas FI Problemas de de repaso repaso FI Ejercicio ampliado ampliado Efectos Ejercicio Efectos del del interés interés compuesto compuesto Estudio de de caso caso Descripción Estudio Descripción de las las alternativas alternativas para para la fabricación fabricación de revestimientos revestimientos para para refrigerador refrigerador

Factores: cómo el tiempo afectan al dinero tiempo y el interés interés afectan dinero 2.1 2.1 2.2 2.2 2.3 2.4 2.4 2.5 2.6 2.6 2.7 2.8 2.8 2.9

Factores PlF) Factores de pago pago único único (F/P (FIP y PIF) capital en en series uniformes Factores Factores de valor valor presente presente y de recuperación recuperación de capital series uniformes (P/A AlP) (PIA y AlP) Derivación fondo de amortización amortización y el factor factor de cantidad cantidad Derivación del del factor factor de fondo compuesta uniforme (A/F F/A) compuesta serie serie uniforme (A/F y F/A) Interpolación en tablas tablas de Interpolación de interés interés Factores de gradiente aritmético (P/G AlG) Factores gradiente aritmético (PIG y AlG) Factores gradiente geométrico geométrico Factores para para series series gradiente Cálculo de tasas interés desconocidas desconocidas Cálculo tasas de de interés Cálculo de años años desconocidos desconocidos Cálculo del del número número de Aplicación cálculo-análisis de sensibilidad básico Aplicación de las hojas hojas de cálculo-análisis sensibilidad básico Ejemplo Ejemplo adicional adicional Resumen Resumen del del capítulo capítulo Problemas Problemas

4 6 7

10 12 16 18 24 24 27 28 32 32 36 36 37 41 43 43 44 44

47 47 47 47 48

50 52 52 58

62 62 65 67 73 77 77 80 81 82 84 84

xx

CONTENIDO CONTENIDO

Problemas de repaso repaso FI Problemas Estudio de caso caso ¿Qué i,Qué diferencia diferencia pueden pueden hacer hacer los años Estudio interés compuesto? compuesto? y el interés

Capítulo 3 Capítulo

Combinación de factores factores Combinación 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Capítulo 4 Capítulo

Tasas de interés interés nominales nominales y efectivas efectivas Tasas de 4.1 4.1 4.2 4.2 4.3 4.4 4.4 4.5 4.6 4.6 4.7 4.7 4.8 4.8 4.9 4.9

-

Capítulo Capítulo 5

Cálculos para series uniformes diferidas Cálculos para series uniformes que son diferidas Cálculos que involucran involucran series series uniformes uniformes y cantidades cantidades únicas únicas colocadas colocadas Cálculos aleatoriamente aleatoriamente Cálculos para gradiente diferido diferido Cálculos para gradiente Gradientes aritméticos aritméticos diferidos diferidos decrecientes decrecientes Gradientes Aplicación de las hojas hojas de cálculo: cálculo: uso de funciones funciones diferentes diferentes Aplicación Ejemplo adicional adicional Ejemplo Resumen del del capítulo capítulo Resumen Problemas Problemas Problemas de repaso FI Problemas repaso FI Ejercicio ampliado ampliado Preservación de tierra Ejercicio Preservación tierra para para uso público público

Fórmulas para interés nominal efectiva Fórmulas para las tasas tasas de interés nominal y efectiva Tasas de interés Tasas interés efectivas efectivas anuales anuales Tasas interés efectivas cualquier periodo Tasas de interés efectivas para para cualquier periodo Relaciones de equivalencia: equivalencia: comparación Relaciones comparación entre entre la duración duración del periodo periodo de pago capitalización (PP (PP versus pago y del periodo periodo de capitalización versus PC) PC) Relaciones Relaciones de equivalencia: equivalencia: pagos pagos únicos únicos con con PP PP :2: ~ PC Relaciones Relaciones de equivalencia: equivalencia: series series con con PP PP :2: ~ PC Relaciones Relaciones de equivalencia: equivalencia: pagos pagos únicos únicos y series series con con PP < PC PC Tasa Tasa de interés interés efectiva efectiva para para capitalización capitalización continua continua Tasas Tasas de interés interés que que varían varían con con el tiempo tiempo Resumen Resumen del del capítulo capítulo Problemas Problemas Problemas Problemas de de repaso repaso FI FI Estudio Estudio de de caso caso Financiamiento Financiamiento de de vivienda vivienda

90 93

94 96 101 106 111 111 114 117 118 119 125 127

128 128 130 134 140 144 145 147 153 155 157 159 160 165 168

HERRAMIENTAS HERRAMIENTAS PARA EVALUACiÓN EVALUACiÓN DE ALTERNATIVAS ALTERNATIVAS Análisis Análisis del del valor valor presente presente 5.1 5.2 5.2

174 174 176

5.3 5.3 5.4 5.4 5.5 5.5 5.6 5.6 5.7 5.7

Formulación Formulación de de alternativas alternativas mutuamente mutuamente excluyente excluyentess Análisis Análisis de valor valor presente presente de de alternativas alternativas con con vidas vidas iguales iguales Análisis Análisis de de valor valor presente presente de de alternativas alternativas con con vida vida diferente diferente Análisis Análisis de de valor valor futuro futuro Cálculo Cálculo y análisis análisis del del costo costo capitalizado capitalizado Análisis Análisis del del periodo periodo de de recuperación recuperación Costo Costo de de ciclo ciclo de de vida vida

5.8 5.8 5.9 5.9

Valor Valor presente presente de de bonos bonos Aplicaciones Aplicaciones de de la la hoja hoja de de cálculo: cálculo: análisis análisis de de VP VP yy periodo periodo de de recuperación recuperación

201 204 204

178

180 183 185 192 192 196 196

CONTENIDO CONTENIDO

Resumen del Resumen del capítulo capítulo Problemas Problemas Problemas de repaso FI FI Problemas de repaso Evaluación retiro del Seguro Ejercicio Ejercicio ampliado ampliado Evaluación de las estimaciones estimaciones de retiro Seguro ~ci~ ~ci~

Estudio recuperación de un programa programa Estudio de de caso caso Programa Programa de evaluación evaluación de recuperación de excusados muy baja baja descarga excusados (retretes) (retretes) de muy descarga

Capítulo Capítulo 6

valor anual Análisis del valor anual 6.1 6.2 6.3 6.4

Ventajas y aplicaciones valor anual Ventajas aplicaciones del análisis análisis del valor anual Cálculo valores del VA Cálculo de la recuperación recuperación de capital capital y de valores Alternativas de evaluación mediante el análisis valor anual Alternativas evaluación mediante análisis del valor anual permanente VA (valor (valor anual) anual) de una inversión inversión permanente Resumen del Resumen del capítulo capítulo Problemas Problemas Problemas de repaso FI FI Problemas de repaso Estudio caso Ambiente Ambiente cambiante valor anual Estudio de de caso cambiante de un análisis análisis de valor anual

Capítulo Capítulo 7

tasa de rendimiento: alternativa Análisis de de tasa de rendimiento: alternativa única 7.1 7.2 7.3 7.3 7.4 7.5 7.6 7.6

Capítulo Capítulo 8

Interpretación valor de una tasa tasa de rendimiento rendimiento Interpretación del valor Cálculos tasa de rendimiento rendimiento utilizando utilizando una ecuación ecuación de VP o VA Cálculos de la tasa Precauciones método TR Precauciones cuando cuando se usa el método Valores Valores múltiples múltiples de la tasa tasa de rendimiento rendimiento múltiples Tasa de rendimiento rendimiento compuesta: valores i* múltiples compuesta: eliminación eliminación de valores Tasa rendimiento de una una inversión bonos Tasa de rendimiento inversión en bonos Resumen del Resumen del capítulo capítulo Problemas Problemas repaso FI FI Problemas de Problemas de repaso Ejercicio pobre clasificación Ejercicio ampliado ampliado 1: El costo costo de una pobre clasificación crediticia crediticia mejor vender vender un negocio? negocio? Ejercicio Ejercicio ampliado ampliado 2: ¿Cuándo ¿Cuándo es mejor Estudio tasas de rendimiento rendimiento múltiples múltiples Estudio de de caso caso Bob Bob aprende aprende acerca acerca de tasas

tasa de rendimiento: alternativas múltiples Análisis de de tasa de rendimiento: alternativas múltiples 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7

¿Por necesario el análisis ¿Por qué es necesario análisis incremental? incremental? Cálculo flujo de efectivo para análisis Cálculo del flujo efectivo incremental incremental para análisis con TR Interpretación tasa de rendimiento rendimiento Interpretación de la tasa sobre sobre la inversión inversión adicional adicional Evaluación tasa de rendimiento rendimiento utilizando utilizando VP: incremental incremental y de punto punto Evaluación de la tasa de equilibrio equilibrio Evaluación Evaluación de la tasa tasa de rendimiento rendimiento utilizando utilizando VA Análisis TR de múltiples múltiples alternativas mutuamente excluyentes Análisis alternativas mutuamente excluyente s todos en uno Aplicación de hoja hoja de cálculo: Aplicación cálculo: análisis análisis VP, VA y TR, TR, todos Resumen del capítulo Resumen capítulo Problemas Problemas Problemas de repaso FI Problemas de repaso FI

xi

210 210 218 2W 2W

221

224 226 228 231 237 240 240 240 240 244 245

248 250 253 259 260 260 266 273 275 276 282 282

284 284 285

288 290 291 294 295 304

305 3ll 3ll 313 314 320

xii

CONTENIDO CONTENIDO

Capítulo Capítulo 9

Ejercicio ampliado Análisis de TR TR incremental incremental cuando Ejercicio ampliado Análisis cuando son son inciertas inciertas las estimadas de alternativas las vidas vidas estimadas de las las alternativas

321

Estudio de de caso Tantas opciones. opciones. ¿Puede padre un un recién recién Estudio caso 1 Tantas ¿Puede ayudar ayudar a su padre graduado graduado en ingeniería? ingeniería?

322

Estudio de de caso Estudio caso 2 tasas tasas de interés interés

324

beneficio/costo y economía público Análisis beneficio/costo economía del sector sector público 9.1 9.1 9.2 9.2 9.3 9.3 9.4 9.4

Proyectos del del sector público Proyectos sector público Análisis beneficio/costo beneficio/costo de un solo proyecto Análisis solo proyecto Selección alternativas mediante mediante el análisis B/C incremental incremental Selección de alternativas análisis B/C Análisis alternativas múltiples excluyente s Análisis B/C B/C incremental incremental de de alternativas múltiples mutuamente mutuamente excluyentes Resumen del del capítulo Resumen capítulo Problemas Problemas Problemas de de repaso repaso FI FI Problemas Ejercicio ampliado Costos para proporcionar proporcionar un un servicio Ejercicio ampliado Costos para servicio de camión camión bomberos contra incendios de bomberos contra incendios Estudio de de caso Estudio caso Alumbrado Alumbrado de carreteras carreteras

Capítulo 10 Capítulo

de decisiones: decisiones: método, TMAR y atributos atributos múltiples Toma de método, TMAR múltiples 10.1 10.1 10.2 10.2 10.3 10.3 10.4 10.4 10.5 10.5 10.6 10.6 10.7 10.7

10.8 10.8

_

Capítulo Capítulo 11

Comparación de alternativas alternativas mutuamente mutuamente excluyentes diferentes métodos métodos Comparación de excluyente s con con diferentes de evaluación de evaluación TMAR en relación relación al costo del capital TMAR costo del capital Mezcla deuda-capital deuda-capital propio propio y costo costo promedio promedio ponderado ponderado del del capital Mezcla capital Determinación del del costo del capital deuda Determinación costo del capital de deuda Determinación del del costo patrimonial (o social) TMAR Determinación costo del del capital capital patrimonial social) y de la TMAR Efecto de de la mezcla mezcla deuda-capital deuda-capital propio riesgo de inversión Efecto propio sobre sobre el riesgo de inversión Análisis de múltiples: identificación Análisis de atributos atributos múltiples: identificación e importancia importancia de de cada cada atributo atributo Medida de evaluación para atributos múltiples Medida evaluación para atributos múltiples Resumen del del capítulo Resumen capítulo Problemas Problemas Ejercicio ampliado Énfasis en lo correcto correcto Ejercicio ampliado Énfasis Estudio de de caso deuda o patrimonial? patrimonial? Estudio caso ¿Qué ¿Qué elegir: elegir: financiamiento financiamiento de deuda

TOMA PROYECTOS REALES TOMA DE DECISIONES DECISIONES EN PROYECTOS Decisiones de reemplazo conservación reemplazo y conservación Decisiones de 11.1 11.2 11.2 11.3 11.3 11.4 11.4 11.5 11.5

e

Análisis de VP VP cuando Análisis cuando están están presentes presentes múltiples múltiples

Fundamentos análisis de reemplazo Fundamentos del del análisis reemplazo Vida útil útil económica Vida económica Realización de reemplazo Realización de un análisis análisis de de reemplazo Consideraciones adicionales adicionales en un análisis análisis de de reemplazo Consideraciones reemplazo Análisis de reemplazo reemplazo durante periodo de Análisis durante un periodo de estudio estudio específico específico Resumen del del capítulo Resumen capítulo Problemas Problemas Problemas de de repaso repaso FI FI Problemas

326 326 328 334 334 339 342 349 349 357 358 360 360

(

362 362 364 367 371 373 376 379 382 382 387 390 391 400 401

406 408 411 418 424 425 432 432 440 440

•

(

CONTENIDO CONTENIDO

Ejercicio ampliado ampliado económica bajo condiciones cambiantes cambiantes Ejercicio Vida útil útil económica bajo condiciones Estudio de de caso caso Análisis Análisis de reemplazo equipo minero minero Estudio reemplazo para para equipo

Capítulo 12 12 Capítulo

Selección de proyectos proyectos independientes limitaciones Selección independientes con limitaciones presupuesta les presupuestales 12.1 12.2 12.3 12.4

Capítulo Capítulo 13 13

Análisis del punto punto de equilibrio equilibrio 13.1 13.2 13 .2 13.3 13 .3

-

Capítulo 14 14 Capítulo

Capítulo Capítulo 15 15

Panorama general general del racionamiento racionamiento de capital capital entre entre proyectos Panorama proyectos Racionamiento del capital capital utilizando utilizando el análisis análisis VP para Racionamiento para proyectos proyectos vida igual igual con vida Racionamiento de capital capital utilizando análisis VP para Racionamiento utilizando el análisis para proyectos proyectos de vida vida diferente diferente Formulación de problemas elaboración del presupuesto gastos Formulación problemas en la elaboración presupuesto de gastos capital utilizando lineal de capital utilizando programación programación lineal Resumen del del capítulo capítulo Resumen Problemas Problemas Estudio de de caso caso Educación Educación en ingeniería ingeniería para toda la vida vida Estudio para toda ambiente web en un ambiente web

Análisis de punto punto de equilibrio equilibrio para Análisis para un un proyecto proyecto único único Análisis de punto equilibrio entre entre dos alternativas alternativas Análisis punto de equilibrio Aplicación en hoja cálculo: uso SOLVER de Excel Excel para análisis Aplicación hoja de cálculo: uso de SOLVER para el análisis del punto punto de equilibrio equilibrio Resumen del del capítulo capítulo Resumen Problemas Problemas Estudio de de caso caso Costos Costos del proceso agua en una Estudio proceso de tratamiento tratamiento de agua una planta planta

xiii

441 442 442

444 446 446

448 451

455 459 459 460 460 463

466 468 475 480 480 484 484 484 484 490 490

REDONDEANDO EL ESTUDIO ESTUDIO REDONDEANDO Efectos de la inflación inflación Efectos 14.1 14.1 14.2 14.3 14.4

Comprensión del impacto impacto de la inflación inflación Comprensión Cálculos de valor valor presente ajustado por inflación Cálculos presente ajustado por inflación Cálculos de valor valor futuro futuro ajustados ajustados por por la inflación inflación Cálculos Cálculos de recuperación recuperación del capital capital ajustados ajustados por inflación Cálculos por inflación Resumen del del capítulo capítulo Resumen Problemas Problemas Problemas de de repaso repaso FI FI Problemas Ejercicio ampliado ampliado Inversiones de ingreso ingreso fijo contra las fuerzas fuerzas Ejercicio Inversiones fijo contra inflación de la inflación

Estimación de costos y asignación asignación de costos indirectos indirectos Estimación 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6

Comprensión de cómo cómo se logra logra la estimación estimación de costos costos Comprensión Índices de costos costos Índices Relaciones de estimación estimación de costo: costo: ecuaciones ecuaciones costo-capacidad costo-capacidad Relaciones Relaciones de estimación estimación de costos: costos: método método de factor factor Relaciones Tasa de costos costos indirectos indirectos tradicionales tradicionales y asignación asignación Tasa Costeo basado basado en actividades actividades (CBA) (CBA) para para costos costos indirectos indirectos Costeo

496 498 501 507 512 513 514 519 519

522 522 524 528 532 534 536 540 540

xiv

CONTENIDO

Resumen del capítulo Problemas Problemas de repaso FI Estudio de caso Estimaciones de costo total para optimizar dosis de coagulantes Estudio de caso Comparación de costo indirecto de una unidad de esterilización de equipo médico

545 546 556 556 559

(

Capítulo 16

Métodos de depreciación 16.1 16.2 16.3 16.4

Terminología de depreciación Depreciación en línea recta (LR) Depreciación de saldo decreciente (SD) y de saldo doble decreciente Sistema modificado acelerado de recuperación de costos (SMARC)

16.5 16.6

Determinación del periodo de recuperación del SMARC Métodos de agotamiento Resumen del capítulo Problemas Problemas de repaso FI Depreciación de la suma de dígitos anuales (SDA) Cambio entre métodos de depreciación Determinación de tasas SMARC Problemas del apéndice

16A.1 16A.2 16A.3

Capítulo 17

Análisis económico después de impuestos 17.1

Terminología para el impuesto sobre la renta y su relación con corporaciones (e individuos)

17.2 17.3

Flujo de efectivo antes y después de impuestos Efectos de los diferentes métodos de depreciación y periodos de recuperación sobre los impuestos Recobro de depreciación y ganancias (pérdidas) de capital: para corporaciones Evaluacióndespués de impuestos de VP, VA Y TR

17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9

Aplicaciones en hoja de cálculo: análisis TR incremental después de impuestos Análisis de reemplazo después de impuestos Análisis del valor agregado después de impuestos Análisis de proyectos internacionales después de impuestos Resumen del capítulo Problemas Estudio de caso Evaluación por deuda y capital propio

Capítulo 18

562

602 604 609 612 616 622 628 631 636 640 642 643

después de impuestos del financiamiento

Análisis de sensibilidad formalizado y decisiones de valor esperado 18.1 18.2 18.3 18.4

564 567 569 574 578 579 582 584 589 590 591 597 600

Determinación de la sensibilidad para variación de parámetros Análisis de sensibilidad formalizado utilizando tres estimaciones Variabilidad económica y el valor esperado Cálculos de valor esperado para alternativas

656

660 662 670 672 673

Materi Tac

CONTENIDO CONTENIDO

18.5

Capítulo 19

Más sobre variaciones y toma de decisiones bajo riesgo 19.1 19.2 19.3 19.4 19.5

Apéndice Apéndice A

A.5 A.5 A.6 A.6

Introducción al uso Excel Introducción uso de Excel Organización (distribución) (distribución) de la hoja cálculo Organización hoja de cálculo Funciones de Excel Excel importantes importantes para ingeniería económica económica Funciones para la ingeniería SOLVER: herramienta de Excel Excel para análisis de equilibrio equilibrio y del tipo SOLVER: una herramienta para análisis "¿qué "¿qué si ...... ?" Lista de las funciones funciones financieras financieras de Excel Excel Lista Mensajes de error error Mensajes

básicos de los los informes de contabilidad contabilidad Elementos básicos las razones financieras y de las B.l B.l B.2 B.2 B.3

Materiales referencia Materiales de referencia Tablas Tablas de factores factores de interés compuesto compuesto interés Índice Índice

Interpretación de certidumbre, certidumbre, riesgo incertidumbre Interpretación riesgo e incertidumbre Elementos importantes importantes para toma de decisiones decisiones bajo Elementos para la toma bajo riesgo riesgo Muestras aleatorias aleatorias Muestras Valor esperado y desviación desviación estándar estándar Valor esperado Muestreo de Monte Monte CarIo Carlo y análisis análisis mediante simulación Muestreo mediante simulación Ejemplos adicionales adicionales Ejemplos Resumen del del capítulo capítulo Resumen Problemas Problemas Ejercicio ampliado ampliado Uso simulación y el GNA GNA de Excel Excel para análisis Ejercicio Uso de simulación para análisis de sensibilidad sensibilidad

Uso de hoja de cálculo cálculo y del programa programa Excel© Excel©de Microsoft Uso de Microsoft A.l A.l A.2 A.3 A.4

Apéndice Apéndice B

Evaluación de alternativas alternativas por árbol de decisión decisión Evaluación por etapas etapas utilizando utilizando un árbol Resumen del del capítulo capítulo Resumen Problemas Problemas Ejercicio ampliado ampliado Análisis de alternativas alternativas desde diferentes ángulos ángulos Ejercicio Análisis desde diferentes Estudio de de caso caso Análisis Análisis de sensibilidad sensibilidad en proyectos sector público: Estudio proyectos del sector público: planes suministro de agua agua planes de suministro

773 775 775 805 805

general El balance balance general Estado de resultados resultados y estado estado del costo costo de lo vendido vendido Estado Razones financieras financieras Razones Problemas Problemas

xv

676 681 681 690 690 691

696 696 698 702 709 714 714 720 720 730 730 735 735 740 740

742 742 742 742 747 747 749 759 759 760 763

764 764 764 766 766 767 772 772

PREFACIO J:: PREFACIO El propósito propósito principal principal de este principios y aplieste libro libro es presentar presentar en forma forma clara clara los principios aplicaciones una gran caciones del análisis análisis económico, económico, a través través de una gran diversidad diversidad de ejemplos ejemplos orientaorientados a la ingeniería, ingeniería, con con el apoyo apoyo de ejercicios ejercicios al final final de cada cada capítulo capítulo y opciones opciones de aprendizaje basadas en herramientas aprendizaje basadas herramientas electrónicas. electrónicas. A lo largo largo de todas todas las ediciones ediciones de este este título, presentar el material título, nuestro nuestro objetivo objetivo ha sido sido presentar material de la manera manera más más clara clara y concisa, concisa, sin sacrificar presacrificar el alcance alcance o la comprensión comprensión del lector. lector. En la sección sección que que sigue sigue a este este prefacio para facio se describe describe la secuencia secuencia de los temas temas y la flexibilidad flexibilidad con con que que se cuenta cuenta para seleccionar posibilitar el alcance seleccionar los capítulos, capítulos, a fin de posibilitar alcance de objetivos objetivos en otros otros cursos. cursos.

NIVEL NIVEL ACADÉMICO ACADÉMICO Y USO USO DE DE TEXTO TEXTO El mejor puede dar texto es para para enseñar mejor uso uso que que se le puede dar al texto enseñar o aprender aprender en una una carrera carrera universitaria y como como libro libro de referencia referencia para llevar a cabo cabo los cálculos cálculos básicos análisis universitaria para llevar básicos del análisis ingeniería económica. económica. El libro libro es adecuado adecuado para curso de un semestre semestre o un trimestre trimestre de ingeniería para un curso de análisis proyectos o análisis análisis económico económico de ingeniería, ingeniería, análisis análisis de proyectos análisis de costos costos en ingeniería. Además, Además, en en virtud éste se adapta ingeniería. virtud de la estructura estructura conductista conductista del del libro, libro, éste adapta perfectamente a las necesidades pretendan conocer por perfectamente necesidades de lps los lectores lectores que que pretendan conocer el material material por primera vez de forma forma independiente independiente y para para aquellos aquellos que sencillamente desean desean hacer hacer un primera vez que sencillamente repaso. Los Los estudiantes estudiantes deberían deberían contar contar con con un nivel nivel de conocimientos conocimientos de por por lo menos menos repaso. segundo segundo o tercer tercer semestre semestre de universidad universidad con con la finalidad finalidad de que que aprecien aprecien mejor mejor el contexto de ingeniería ingeniería que rodea rodea a los problemas. problemas. No No se requieren requieren conocimientos conocimientos previos previos contexto cálculo para para comprender comprender las operaciones operaciones que que se llevan llevan a cabo, cabo, aunque aunque el material material de cálculo será más significativo por lo tanto, significativo y, por tanto, el aprendizaje aprendizaje resultará resultará más más fácil fácil y ameno ameno si se está está familiarizado familiarizado con con la la terminología terminología de la ingeniería. ingeniería. Sin Sin embargo, embargo, el enfoque enfoque estructurado permite al practicante practicante que estructurado en el diseño diseño del texto texto permite que no conoce conoce los fundamentos fundamentos de la economía utilizar el texto para aprender, economía y la ingeniería ingeniería utilizar texto para aprender, comprender comprender y aplicar aplicar correctamente principios y técnicas para una correctamente los principios técnicas para una adecuada adecuada toma toma de decisiones. decisiones.

LO NUEVO NUEVO EN EN ESTA ESTA EDICIÓN EDICIÓN Para Para la sexta sexta edición edición se han han conservado conservado el diseño diseño y estructura estructura básicos básicos de las ediciones ediciones anteriores. anteriores. Sin embargo, embargo, hay hay cambios cambios considerables. considerables. Entre Entre los más más significativos significativos se encuentran encuentran los siguientes: siguientes: Más problemas al final nuevos. Más de 80% 80% de los problemas final de cada cada capítulo capítulo se revisaron revisaron o son son nuevos. Se actualizaron basan en el tiempo, impuesactualizaron los materiales materiales que que se basan tiempo, como como las tasas tasas de impuestos y los índices índices de costo. costo. Es más más visible visible la dimensión dimensión internacional internacional del del libro. libro. esta edición, edición, muchos muchos de los Problemas Problemas de Repaso Repaso de Fundamentos Fundamentos de Ingeniería Ingeniería En esta (FI) son nuevos. nuevos.

ESTRUCTURA ESTRUCTURA DE DE LA OBRA OBRA Y OPCIONES OPCIONES DE ESTUDIO ESTUDIO DE DE LOS LOS CAPÍTULOS CAPÍTULOS El texto por módulos, permite organizar texto se redactó redactó por módulos, lo cual cual permite organizar los temas temas de diversas diversas formas, formas, según según los diferentes diferentes objetivos, objetivos, estructuras estructuras y límites límites de tiempo tiempo en los cursos. cursos. Hay Hay un

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xviii xviii

PREFACIO PREFACIO

total de 19 capítulos capítulos repartidos repartidos en cuatro cuatro niveles. niveles. Como Como lo indica indica el diagrama diagrama de flujo flujo total de la página página siguiente, siguiente, algunos algunos capítulos capítulos se estudian estudian en orden orden secuencial; secuencial; sin embargo, embargo, el diseño por módulos permite una diseño por módulos permite una gran gran flexibilidad flexibilidad en la elección elección y orden orden de los temas. temas. La gráfica gráfica de estudio estudio progresiva capítulos -después -después diagrama de flujoflujoLa progresiva de los capítulos del diagrama muestra muestra algunas algunas de las opciones opciones para para abordar abordar capítulos, capítulos, antes antes de lo que que indica indica el orden orden numérico. Por Por ejemplo, ejemplo, si el curso curso incluye incluye el análisis análisis después después de impuestos impuestos en la primera numérico. primera parte del parte del semestre semestre o trimestre, trimestre, el capítulo capítulo 16 y las primeras primeras secciones secciones del del capítulo capítulo 17 se pueden pueden examinar examinar en cualquier cualquier momento momento después después del capítulo capítulo 6 sin el peligro peligro de omitir omitir información fundamental. fundamental. Hay Hay entradas entradas principales principales y alternativas alternativas para mayoría de información para la mayoría las categorías categorías de inflación, inflación, estimación, estimación, impuestos impuestos y riesgo. riesgo. Las Las entradas entradas alternativas alternativas se indican indican por por medio medio de una una flecha flecha punteada punteada sobre sobre la gráfica. gráfica. material del nivel nivel uno uno hace hace hincapié hincapié en las habilidades habilidades de cálculo básicas; así, El material cálculo básicas; estos capítulos capítulos constituyen constituyen un requisito requisito previo previo para para los capítulos capítulos restantes restantes de la obra. obra. estos Los Los capítulos capítulos del nivel nivel dos dos están están consagrados consagrados principalmente principalmente a las técnicas técnicas analíticas analíticas más más comunes comunes para para comparar comparar alternativas. alternativas. Aunque Aunque es recomendable recomendable cubrir cubrir todos todos los capítulos 5 capítulos de este este nivel, nivel, sólo sólo se hace hace referencia referencia amplia amplia a los dos primeros primeros -capítulos -capítulos y 66- en el resto resto de la obra. obra. Los Los tres tres capítulos capítulos del nivel nivel tres muestran muestran la forma forma de aplicar aplicar las las técnicas técnicas del del nivel nivel dos dos para para evaluar evaluar activos activos actualmente actualmente en uso uso o alternativas alternativas independientes; independientes; mientras mientras que que los capítulos capítulos del del nivel nivel cuatro cuatro resaltan resaltan las consecuencias consecuencias de los impuestos, impuestos, de la toma estimación de toma de decisiones decisiones y de otros otros conceptos conceptos en la estimación costos, costos, el costeo costeo basado basado en actividades, actividades, el análisis análisis de sensibilidad sensibilidad y el riesgo, riesgo, de acuerdo acuerdo con con el tratamiento tratamiento que que se les da utilizando utilizando la simulación simulación Monte Monte CarIo. Carlo.

Organización final de capítulo Cada Organización de los capítulos capítulos y de los ejercicios ejercicios de final capítulo Cada capítulo capítulo incluye incluye un objetivo objetivo general general y una una serie serie gradual gradual de objetivos objetivos de aprendizaje, aprendizaje, seguida seguida por por el material material de estudio. estudio. Los Los encabezados encabezados de sección sección corresponden corresponden a cada cada objetivo objetivo de aprendizaje; aprendizaje; por por ejemplo, ejemplo, la sección sección 5.1 contiene contiene el material material perteneciente perteneciente al primer primer objetivo del capítulo. capítulo. Cada Cada sección sección incluye incluye uno uno o más más ejemplos ejemplos ilustrativos ilustrativos resueltos resueltos a objetivo mano, bien, por mano, o bien, por ambas ambas técnicas, técnicas, a mano mano y por por computadora. computadora. Los ejemplos ejemplos se separan separan del material material del texto texto e incluyen incluyen comentarios comentarios referentes referentes a la solución, solución, así como como enlaces enlaces pertinentes a otros otros temas temas del libro. libro. Los Los resúmenes resúmenes al final final de cada cada capítulo capítulo fusionan fusionan de pertinentes manera nítida nítida los conceptos conceptos y temas temas principales principales cubiertos cubiertos con con el propósito propósito de reforzar reforzar manera el aprendizaje aprendizaje del estudiante estudiante antes antes de abordar abordar los ejercicios ejercicios de fin de capítulo. capítulo. Los Los problemas problemas no resueltos resueltos de fin de capítulo capítulo se agrupan agrupan y se clasifican clasifican según según el mismo mismo orden orden general general de las secciones secciones del capítulo. capítulo. Este Este enfoque enfoque brinda brinda la oportunidad oportunidad de aplicar aplicar el material material por por sección sección o programar programar la resolución resolución del problema problema cuando cuando se haya haya concluido concluido el estudio estudio del capítulo. capítulo. Los Los apéndices apéndices A y B tienen tienen información información complementaria: complementaria: una una introducción introducción elemenelemental a las hojas hojas de cálculo cálculo (Microsoft (Microsoft Excel) Excel) para para lectores lectores que que no se encuentran encuentran familiafamiliarizados rizados con ellas;'los ellas.los conceptos conceptos básicos básicos de la contabilidad contabilidad y de los informes informes corporativos, corporativos, y las respuestas respuestas finales finales a los problemas problemas selectos selectos ordenados ordenados por por capítulo. capítulo. Las Las tablas tablas de factores factores de interés interés se localizan localizan al final final de la obra obra para para que que resulten resulten de fácil fácil acceso. acceso. Por Por último, último, los forros forros internos internos permiten permiten una una consulta consulta rápida rápida de la notación notación de factores, factores, fórmulas fórmulas y diagramas diagramas de flujo, flujo, además además de una una guía guía del formato formato de las funciones funciones de la hoja hoja de cálculo cálculo más más comúnmente comúnmente utilizadas. utilizadas. En la contraportada contraportada aparece aparece un glosario glosario de términos términos comunes comunes y símbolos símbolos empleados empleados en la ingeniería ingeniería económica. económica.

N 1

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xix

PREFACIO

Estructura por niveles

Capítulo 1 Fundamentos de ingeniería económica

Capítulo 2 Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dinero

NIVEL UNO

Capítulo 3 Combinación

de factores

Capítulo 4 Tasas de interés nominales y efectivas

I Capítulo 7 Análisis de tasa de rendimiento: alternativa única

Capítulo 5

Capítulo 6

Análisis del valor presente

Análisis del valor anual

Capítulo 9

Capítulo 8 Análisis de tasa de rendimiento: alternativas múltiples

NIVEL DOS

Análisis beneficio! costo y economía del sector público

I

I Capítulo 10 Toma de decisiones: método, TMAR y atributos múltiples

I

I NIVEL TRES

NIVEL CUATRO

J

l

Capítulo 12

Capítulo 11 Decisiones de reemplazo y conservación

Capítulo 13

Selección de proyectos independientes con limitaciones presupuestales

Análisis del punto de equilibrio

I

I

I

I

Capítulo 14

Capítulo 15

Capítulo 16

Capítulo 18

Efectos de la inflación

Estimación de costos y asignación de costos indirectos

Métodos de depreciación

I $o

Capítulo 17 Análisis económico después de impuestos

Análisis de sensibilidad formalizado y decisiones de valor esperado

Capítulo 19 Más sobre variaciones y toma de decisiones bajo riesgo

xx

PREFACIO

OPCIONES DE ESTUDIO DE LOS CAPÍTULOS

Ro Jol Jol Na Ct Se Le Jo: Jo

Los temas pueden estudiarse en el punto señalado o en cualquier punto de ahí en adelante (las entradas alternativas se indican con el símbolo -+ - - -) Progresión numérica a través de los capítulos 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Estimación de costos

Inflación

Análisis de sensibilidad adicional y riesgo

Fundamentos Factores Más factores i efectiva Valor presente Valor anual

o W

Ki

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7. Tasa de rendimi ento 8. Más TR 9. Beneficio/costo

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Impuestos y depreciación

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Elecciones Remplazo Presupuesto de capital Punto de equilib rio

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Inflación

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Depreciación Después de impuestos

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Análisis de sensibilidad

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Riesgo y simulación

1

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AGRADECIMIENTOS Hay mucha gente que labora en universidades, en la industria y la práctica independiente que colaboró en la elaboración de esta obra. Estamos agradecidos con cada uno de ellos por sus contribuciones y el privilegio que nos brindaron de trabajar con ellos. Algunas de estas personas son las siguientes: Roza Abubaker, American University of Sharjah Robyn Adams, 12th Man Foundation, Texas A&M University Jeffrey Adler, Mindbox, Inc., y originalmente de Rensselaer Polytechnic Institute Richard H. Bernhard, North Carolina State University Stanley F. Bullington, Mississippi State University Peter Chan, CSA Engineering, Inc.

Tamb anteri p

mejor en la: Estan

PREFACIO PREFACIO

Ronald Ronald T. Cutwright, Cutwright, Florida Florida A&M A&M University University John F. Dacquisto, Dacquisto, Gonzaga Gonzaga University University John John John Yancey Yancey Easley, Easley, Mississippi Mississippi State State University University New Mexico Nader Nader D. Ebrahimi, Ebrahimi, University University of of New Mexico Charles Charles Edmonson, Edmonson, University University of of Dayton, Dayton, Ohio Ohio Sebastian of Michigan Sebastian Fixson, Fixson, University University of Michigan Louis Louis Gennaro, Gennaro, Rochester Rochester Institute Institute of of Technology Technology Joseph Joseph Hartman, Hartman, Lehigh Lehigh University University John John Hunsucker, Hunsucker, University University of of Houston Houston Cengiz University, Turkey Cengiz Kahraman, Kahraman, Istanbul Istanbul Technical Technical University, Turkey Walter E. LeFevre, Walter LeFevre, University University of of Arkansas Arkansas Kim Kim LaScola LaScola Needy, Needy, University University of of Pittsburgh Pittsburgh Robert Robert Lundquist, Lundquist, Ohio Ohio State State University University Gerald T. Machulak, Machulak, Arizona Arizona State State University University Gerald Wisconsin, Platteville Mike Mike Momot, Momot, University University of ofWisconsin, Platteville James S. Noble, University of of Missouri-Columbia Missouri-Columbia James Noble, University Richard Richard Patterson, Patterson, University University of of Florida Florida Antonio Antonio Pertence, Pertence, Jr. Jr.,, Faculdade Faculdade de Sabara, Sabara, Minas Minas Gerais, Gerais, Brazil Brazil William William R. R. Peterson, Peterson, Old Old Dorninion Dorninion University University Stephen M. Robinson, Robinson, University University of of Wisconsin-Madison Wisconsin-Madison Stephen David David Salladay, Salladay, San San Jose Jose State State University University Mathew Sanders, Sanders, Kettering Kettering University University Mathew Sastri, formerly formerly ofTexas ofTexas A&M A&M University University Tep Sastri, Michael J. J. Schwandt, Schwandt, Tennessee Tennessee Technological Technological University University Michael Frank Sheppard, Sheppard, III, I1I, The The Trust Trust for Public Public Land Land Frank Sallie Sheppard, Sheppard, American American University University of of Sharjah Sharjah Sallie Don Srnith, Srnith, Texas Texas A&M A&M University University Don Alan Stewart, Stewart, Accenture Accenture LLP LLP Alan Mathias Mathias Sutton, Sutton, Purdue Purdue University University Ghassan Tarakji, Tarakji, San San Francisco Francisco State State University University Ghassan Ciriaco Valdez-Flores, Valdez-Flores, Sielken Sielken and and Associates Associates Consulting Consulting Ciriaco Richard West, Sanders and and West West Richard West, CPA, CPA, Sanders También deseamos deseamos agradecerle agradecerle a Jack Jack Beltrán Beltrán por por su precisión precisión al revisar revisar ésta ésta y las También anteriores ediciones. ediciones. Su trabajo trabajo ayudará ayudará a que que este este libro libro sea sea un éxito. éxito. anteriores Por último, último, serán serán bien bien recibidos recibidos los los comentarios comentarios y las sugerencias sugerencias del del lector lector para para Por mejorar tanto tanto el contenido contenido del libro libro como como el Centro Centro de Aprendizaje Línea. Contáctenos Contáctenos mejorar Aprendizaje en Línea. direcciones [email protected], [email protected], [email protected] [email protected]. en las direcciones [email protected] y [email protected]. Estaremos atentos atentos a sus opiniones. opiniones. Estaremos Lee Lee Blank Blank Tony Tarquin Tarquin

xxi

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RECORRIDO GUIADO GUIADO EJEMPLOS DEL CAPíTULO Los lectores EJEMPLOS Y EJERCICIOS EJERCICIOSDEL lectores de este libro cuentan cuentan con diversas diversas maneras maneras de reforzar problemas del final final del capítulo, problemas que se reforzar los conceptos conceptos que han aprendido. aprendido. Los problemas capítulo, los problemas presentan a lo largo del capítulo, problemas ampliados, prácticos y los problemas problemas de presentan capítulo, los problemas ampliados, los casos casos prácticos repaso de FI (Fundamentos Ingeniería) ofrecen (Fundamentos de Ingeniería) ofrecen al lector lector la oportunidad oportunidad de aprender aprender el análisis análisis económico en gran variedad variedad de formas. formas. Los diversos diversos ejercicios ejercicios implican implican formas sencillas sencillas de trabajo, trabajo, económico problemas de repaso repaso de un solo paso y la necesidad necesidad de responder responder ampliamente ampliamente a preguntas preguntas complejas complejas problemas aplican a la realidad realidad mundial. ejemplos que aparecen aparecen en el capítulo capítulo también también son una forma forma útil que aplican mundial. Los ejemplos reforzar los conceptos conceptos aprendidos. aprendidos. para reforzar

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Ttpos de deproyectos TillOS proyectos 5.1 5.1

PROBLEMAS DE FIN DE CAPíTULO CAPíTULO PROBLEMAS Como en las ediciones ediciones anteriores, anteriores, cada cada capítulo capítulo Como contiene muchos muchos ejercicios ejercicios para para trabajo trabajo en casa casa que contiene representativos de la realidad realidad mundial. mundial. El 80% son representativos ejercicios que aparecen aparecen al final final del capítulo capítulo de los ejercicios revisados o son nuevos nuevos para para esta esta edición. edición. han sido revisados

¿Quéquicrcdccirsen'icioaller/Uuil'o? ¿Quéquicrcdccirsen'icioallemmivo?

Al evaluar proyectos con elmé\(xlodel el método del valor 5.2 Alcvaluarproyccloscon

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5.3 ~~i~n~~Scyn~~~~~~e~~l~~~~~~b~~~~ti~~ 5.3

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PROBLEMAS DE DE REPASO PROBLEMAS REPASO FI

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AMPLIADOS EJERCICIOS AMPLIADOS Los ejercicios ejercicios ampliados ampliados han sido Los diseñados para para requerir análisis de diseñados requerir un análisis cálculo con énfasis énfasis general general en hoja de cálculo análisis de sensibilidad. sensibilidad. un análisis

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PROBLEMAS DE REPASO REPASO DE EXAMEN EXAMEN PROBLEMAS FUNDAMENTOS DE INGENIERíA INGENIERíA (FI) DE FUNDAMENTOS problemas de repaso repaso de examen examen abarcan abarcan los Los problemas mismos temas temas que el examen examen FI y están están escritos escritos en mismos mismo formato formato de opción opción múltiple múltiple que se emplea emplea el mismo examen. Todos estos estos problemas son nuevos nuevos en el examen. problemas son para edición. para esta edición.

CASOS PRÁCTICOS Todos Todos los los casos casos prácticos prácticos representan representan tratamientos tratamientos y ejercicios ejercicios profundos profundos del del mundo mundo real real que que cubren cubren un amplio amplio espectro espectro del del análisis análisis económico económico y de la profesión profesión de la la ingeniería. ingeniería.

ESTUDIO DE DE CASO CASO ESTUDIO fo1NANCIAMI ENTO DE DE VIVIENDA. VIVIEN DA FlNANQAMIENTO Introducd6n

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HOJAS DE CÁLCULO CÁLCULO USO DE HOJAS integra hojas hojas de cálculo cálculo y le muestra fáciles que El texto integra muestra lo fáciles resolver virtualmente virtualmente cualquier cualquier tipo de son de usar usar al resolver problema relacionado relacionado con el análisis análisis de Ingeniería Ingeniería y lo problema importantes que pueden pueden ser para para alterar alterar estimados estimados y así importantes lograr un mejor mejor entendimiento entendimiento de la sensibilidad sensibilidad y de las lograr consecuencias económicas económicas de las incertidumbres incertidumbres inherentes inherentes consecuencias pronósticos. Al comenzar comenzar el Capítulo Capítulo 1, Blank Blank Y en todos los pronósticos. Tarquin ilustran ilustran sus comentarios comentarios de las hojas de cálculo cálculo de Tarquin Microsoft ExceFM* . Microsoft Cuando una celda, construida construida en Excel Excel puede puede emplearse emplearse Cuando resolver un problema problema al margen margen de la página página aparece aparece un para resolver banderas a cUadros cuadros ícono de un par de banderas

etiquetado fII etiquetado Sol-R SoI·R

Sol-R (de solución solución rápida). Sol-R ....,'_ ... ..........""'lot<"".o.-LoC1)ll'..,,"' ..... ....,;u,lC_""'~.p••••.• El ícono de trueno trueno Sol-E, indica indica que se ha desaE~(Z:=.r~~::.~~'":;=:-..-==!~ rrollado una hoja de cálculo cálculo más compleja compleja para así resolver resolver rrollado ~~rr=-:f.::::.=~~:.:¡::: el problema. problema. Esta hoja de cálculo cálculo incluye incluye datos y diversas diversas funciones y quizá un gráfico gráfico en Excel Excel que ilustre ilustre la respuesta respuesta funciones análisis de sensibilidad sensibilidad de la solución solución para cambiar cambiar los datos. datos. y el análisis ejemplos, el de Sol-R Sol-R y el de Sol-E, los autores autores Para ambos ejemplos, incluido celdas que indican indican con claridad claridad el funcionamiento funcionamiento han incluido necesario para obtener obtener el valor en la celda celda específica. específica. El ícono Sol-E Sol-E necesario también se usa a lo largo de los capítulos capítulos para resaltar resaltar algunas algunas también descripciones acerca acerca del mejor mejor uso de la computadora computadora en cuanto cuanto al descripciones tema de Ingeniería Ingeniería Económica Económica que se está tratando. tratando. terna d......... .,.,......, .... d.''''''

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Los ejemplos largo del ejemplos que se encuentran encuentran a lo largo capítulo son relevantes todas las disciplinas disciplinas capítulo relevantes para para todas de la Ingeniería Ingeniería que utilicen utilicen este este texto: Industrial, Industrial, Civil, Petroquímica y Eléctrica; Civil, Ambiental, Ambiental, Petroquímica Eléctrica; así como para los programas programas de administración como administración y tecnología tecnología de la Ingeniería. Ingeniería.

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REFERENCIAS CRUZADAS CRUZADAS REFERENCIAS Blank y Tarquin refuerzan Blank refuerzan los conceptos de ingeniería ingeniería que se conceptos presentan a lo largo del libro al presentan hacerlos accesibles accesibles desde desde otras hacerlos secciones del mismo. mismo. Los íconos íconos secciones referencia cruzada cruzada que de referencia aparecen en los márgenes márgenes refieren refieren aparecen al lector lector a distintos distintos números números de sección, ejemplos ejemplos en particular, particular, sección, capítulos enteros enteros que contienen contienen o capítulos información más fundamental fundamental información presenta antes) antes) o avanzada avanzada (se presenta presenta después) después) que resulta resulta (se presenta relevante para para el párrafo párrafo que está está relevante junto Ícono. junto al ícono.

CAPíTULO 88 AnUisis Análisis de ~c lasa tasa de rendimiento: rendimiento: alternativas alternativas múltiples múltiples CAPfTULO

Utilice recursos recursos manuales manuales por computadora computadora para encontrar encontrar Aif __A' TR ¡nlema Interna Utilice o por para ó,it A. la TR ;!-,. distingue de los los valores valores il . A la distingue de

para las las series. series. La La colocación colocación de tl A (delta) (delta) antes antes de de para de TR para para il i~ee ¡l il.. de TR

Puesto que que la TR TR incremental incremental requiere comparación comparación entre servicios servicios iguales, iguales. en Puesto requiere entre formulación de la ecuación ecuación VP VP debe debe utilizarse utilizarse el MCM MCM de de las las vidas. vidas. A A causa causa del del la formulación de requisito de reinversión reinversión para el análisis análisis VP VP relacionado relacionado con activos activos de de vida vida diferendiferenrequ isito de para con te, la serie serie incremental incremental del flujo flujo de de efectivo efectivo puede implicar implicar diversos cambios de te, del puede diversos cambios de signo. indicando indicando valores múltiples múltiples de deAi*. Aunque es es incorrecto. incorrecto. tal indicació indicación n puepuesigno, valores 6.i *. Aunque tal de ignorarse ignorarse en en la practica practica real. real. El El enfoque enfoque correcto correcto es es establecer establecer tasa de de reinversión reinversión de la tasa seguir eell eenfoque de la sección sección 7.5, 7.5, lo lo cual cual sig significa que se se detennina determina tasa de de ce y seguir nfoque de nifica que la tasa rendimiento compuesta única di') I:li') para para la serie serie incremental incremental del flujo flujo de de eefectivo. rendimiento compuesta única del fectivo. Estos tres tres e elementos requeridos (serie incremental incremental del l flujo flujo de de efectivo, efectivo, MCM lementos requeridos (serie de M CM y Estos raíces múltiples) múltiples) son las las principales principales razones para para que que con con frecuencia frecuencia el método método de de son razones el raíces TR se se aplique aplique incorrectamente incorrectamente en los los análisis análisis de de ingeniería ingeniería económica de alternatialtematiTR en económica de vas múltiples. múltiples. Como se se expresó expresó antes, antes, siempre siempre es es posible posible y, por por lo general, general, aconseaconseComo vas jable, se indican indican múltiples múltiples tasas, tasas, utilizar utilizar un un aanálisis VPo VA VA para para IIna jable, ccuando uando se nálisis VPo Ima TMAR establecida, lugar del del mé método TR. eenn lugar todo TR. establecida, El procedimiento completo (manual o en hoja de cálculo) para análisis de TR TR El procedimie nto completo (manual en hoja de cálculo) pam análisis de íncremental de dos dos alternativas alternativas es e ell ssiguiente: incremental de es iguiente: 1. 1.

2. 2. 3. 3. 4. 4.

5. S.

Ordene las las a alternativas por monto monto de de la la inversión inversión costo inic inicial, empezando Ordene lte rnativas por o costo ial , empezando con la más más baja, baja, llamada llamadaA. A. La La alternativa alternativa con la la inve inversión inicial más más alta alta está está con con rsió n inicial en la la columna columna rotulada B B en en la tabla tabla 8.1. 8.1. rotulada en Desarrolle las series series de deele l flujo flujo de de efectivo efectivo y las las de de flujo flujo de de efectivo efectivo incrementales incrememales Desarrolle las utilizando MCMM de de los los años, años, suponiendo suponiendo la re reinversión las alternativas. alternativas. utilizando eell MC la inve rsión eenn las Dibuje un un diagrama diagrama de flujo flujo de de efectivo efectivo incremental, incremental, si es es necesario. necesario. de si Dibuje Cuente de cambios cambios de signo signo en en la la serie serie del del fluj flujoo de de efectivo efectivo increCue nte eell número número de de incremental para para de determinar si hay hay presentes presentes tasas de de rendimiento rendimiento múltiples. De ser ser tasas múltiples. De mental terminar si necesario, utilice e ell criterio criterio de de Norstrom Norstrom sobre series series de de flujo flujo de de e efectivo acuutilice sobre fectivo acunecesario, mulativas incrementales para detenninar determinar si existe existe una una sola sola raíz raíz positiva. positiva. mulativas incre mentales para si Formule la ecuación ecuación de VP para para los los flujos flujos de de efectivo efectivo increme íncrementales Fonnule la de VP ntales eenn la la forforma de de la la ecuación ecuación [7 .IJ y Y determine utilizando ensayo error, manual ma [7.1) detennine .6i:_ dit.A utilizando ensayo y error, manual o A mediante funciones de cálculo. mediante funciones de hoja hoja de de cálculo.

ATRACTIVO ATRACTIVO INTERNACIONAL INTERNACIONAL

Las dimensiones dimensiones internacionales internacionales de este este libro libro son más aparentes aparentes a lo largo largo de la sexta sexta edición. edición. Se incluyen incluyen nuevos nuevos ejemplos ejemplos y secciones secciones de depreciación depreciación corporativa corporativa yy fiscalización, fiscalización, así así como como de formas formas internacionales internacionales de contratos, contratos, tales tales como como el método la método BOT BOT de la subcontratación. subcontratación. El El impacto impacto de la hiperinflación ciclos hiperinflación y de los ciclos deflacionarios deflacionarios se comentan comentan desde desde una una perspectiva perspectiva internacional. internacional.

--.

17.9 17.9

ANÁLISIS ANÁLISIS DE PROYECTOS INTERNACIONALES INTERNACIONALES DESPUÉS DESPUÉS DE IMPUESTOS IMPUESTOS

Algunas Algunas preguntas preguntas fundamentales fundamentaJes que que deben deben responderse responderse antes antes de de realizar real izar un un análisis análisis después de impuestos impuestos con con base base corporativa corporativa para para especificaciones especificaciones internacionales. internacionales. después de son de las las tolerancias tolerancias para para deducir deducir impuestos impuestos -cdepreciacion. --deprecinción. gastos gaslos de de son acerca acerca de negocios, efectiva del de activos activos de de capitalcapitaJ- yy la la tasa tasaefectivn del impuesto impuesto necesaria necesaria negocios. evaluación evaluación de para IG( T~). Como Como se se dijo dijo en en el el capítulo cap(lUlo 16, 16. la la parn la la ecuación ecuación [17-6). [17-6] , impuestos impuestos = IG(T~}. mayoría de los los gobiernos gobiernos reconocen reconocen que que utilizan utilizan los los métodos métodos de de línea línea recta recta (LR) (LR) yy mayorla de del del saldo saJdo decreciente decreciente (SO) (SO) para para hacer hacer la la depreciación, depreciación, con con algunas algunas variantes variantes para para determinar de impuestos. impuestos. Los Los gastos gastos deducibles deducibles determinar la la tolerancia tolerancia para para la la deducción deducción anual anual de varían de un un país país aa otro. otro. Como Como ejemplo, ejemplo, aa continuación continuación se se resumen resumen algunos. algunos. varían mucho mucho de

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Canadá Canadá Depreciación: Depreciaci611: es es deducible deducible yy normalmente nonnalmente se se basa basa en en cálculos cálculos del del SO, SD. aunque aunque puede puede usarse usarse el el de de LR. LR. Se Se aplica aplica una una convención convención equivalente equivalente aa la la del dcl medio medio año La tolerancia tolerancia del del deducible deducible anual anual de de año en en el e l primer primcr año año de de la la posesión. posesión. La impuestos Al igual igual que que en en impuestos se se denomina denomina tolerancia tolerancia de de costo costo del del capital capital (TCC). (TCC). Al el el sistema sistema estadounidense, estadounidense, las las tasas tasas de de recuperación recuperación están están estandarízadas, estandarizadas, de de modo no refleja refleja necesariamente necesariamente lala vida vida útil útil del de l modo que que la la cantidad cantidad por por depreciar depreciar no activo. activo.

MATERIALES MATERIALES DE DE APOYO APOYO Esta Esta obra obra cuenta cuenta con con interesantes interesantes complementos complementos que que fortalecen fortalecen los los procesos procesos de de enseñanza-aprendizaje, enseñanza-aprendizaje, así así como como la la evaluación evaluación de de éstos. éstos. Mismos Mismos que que se otorgan otorgan a profesores profesores que que adoptan adoptan este este texto texto para para sus sus cursos. cursos. Para Para obtener obtener más más información conocer la la política política de de entrega entrega de de estos estos materiales, materiales, contacte contacte a su representante representante McGraw-Hill McGraw-Hill o envíe envíe información yy conocer un correo correo electrónico electrónico a [email protected] [email protected]

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INGENIERIA INGENIERIA ECONÓMICA ECONOMICA ./

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Así COMIENZA TODO

Capítulo 1 Fundamentos de ingeniería económica Capítulo 2 Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dinero Capítulo 3 Combinación de factores Capítulo 4 Tasas de interés nominales y efectivas

tituys valor

NIVEL DOS Herramientas para evaluación de alternativas

NIVEL TRES Toma de decisiones en proyectos reales

NIVEL CUATRO Redondeo del estudio

Capítulo 5 Análisis del valor presente

Capítulo 11 Decisiones de reemplazo y conservación

Capítulo 14 Efectos de la inflación

Capítulo 6 Análisis del valor anual Capítulo 7 Análisis de tasa de rendimiento: alternativa única Capítulo 8 Análisis de tasa de rendimiento: alternativas múltiples Capítulo 9 Análisis beneficio/costo y economía del sector público Capítulo 10 Toma de decisiones: método, TMAR y atributos múltiples

Capítulo 12 Selección de proyectos independientes con limitaciones presupuestales Capítulo 13 Análisis del punto de equilibrio

Capítulo 15 Estimación de costos y asignación de costos indirectos Capítulo 16 Métodos de depreciación Capítulo 17 Análisis económico después de impuestos Capítulo 18 Análisis de sensibilidad formalizado y decisiones con valor esperado Capítulo 19 Más sobre variaciones y toma de decisiones bajo riesgo

E dos E estos atrás cuatr funci

En la ingeniería ecofundamentos de la En estos estos cuatro capítulos se se presentan los fundamentos nómica nómica.. Al concluir concluir el primer primer nivel, el lector lector comprenderá comprenderá y abordará probleproblemas mas que incluyen los conceptos conceptos de valor valor del del dinero dinero en el tiempo, tiempo, flujos de efectivo efectivo en diferentes diferentes momentos momentos con diferentes diferentes cantidades cantidades y equivalencia equivalencia a diferentes tasas técnicas que se tasas de interés. Las Lastécnicas se dominen dominen en esta esta sección constituyen la la base base para para que un un ingeniero ingeniero en cualquier cualquier disciplina disciplina tome tome en cuenta el valor económico económico en casi casi cualquier cualquier entorno entorno de proyectos. En En este nivel se se exponen y aplican los ocho factores comúnmente comúnmente utilizados en en todos todos los cálculos de la la ingeniería económica. Las Las combinaciones combinaciones de estos factores permiten permiten desplazar los valores monetarios monetarios hacia hacia delante delante y hacia hacia atrás atrás en en el tiempo tiempo y a diferentes diferentes tasas tasas de interés. Asimismo, después de estos cuatro capítulos, el lector lector se se sentirá cómodo cómodo trabajando trabajando con muchas de las las funciones de la la hoja de cálculo de Excel Excel para para resolver problemas.

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Fundamentos Fundamentos de ingeniería ingeniería económica económica de La La necesidad de la la ingeniería económica económica se se encuentra motivada motivada principalmenprincipalmente por por el trabajo trabajo que llevan a cabo los ingenieros ingenieros al al analizar, analizar, sintetizar sintetizar y obteobtener conclusiones en proyectos la proyectos de cualquier cualquier envergadura. En En otras palabras, la ingeniería económica económica es es un un punto punto medular medular en la la toma de de decisiones. decisiones. Tales Tales decisiones implican los elementos elementos básicos de flujos de de efectivo, efectivo, tiempo tiempo y tasas tasas de de interés. Este Este capítulo capítulo explica los conceptos conceptos fundamentales fundamentales y la la terminoloterminología gía necesarios para que un un ingeniero ingeniero combine combine esos esos tres elementos elementos esenciales y formule formule técnicas matemáticamente matemáticamente correctas para resolver problemas problemas que lo llevarán a tomar tomar mejores decisiones. En En el presente capítulo capítulo se se incluyen muchos de los términos términos comunes que se se utilizan en la la toma de decisiones decisiones económicas, micas, los cuales cuales se se emplearán en capítulos subsecuentes de la la obra. Los Los iconos al margen sirven para remitir remitir al al lector lector a información información más más elemental elemental y adicional adicional que aparece antes o después en el libro. Los Los estudios estudios de caso caso incluidos incluidos después de los problemas problemas de final de capítulo tulo se se concentran en en el desarrollo desarrollo de alternativas en la la ingeniería económica. económica.

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OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Objetivo general: comprender

los conceptos fundamentales

de la ingeniería económica.

Este capítulo ayudará al lector a: Preguntas

I

1. Conocer el tipo de preguntas que la ingeniería económica puede responder.

Toma de decisiones

I I

2. Determinar el papel que desempeña la ingeniería económica en el proceso de toma de decisiones.

Enfoque del estudio

Tasa de interés

Equivalencia

, ~

Interés simple y compuesto

3. Identificar los elementos necesarios para llevar a cabo con éxito un estudio de ingeniería económica.

4. Realizar cálculos sobre tasas de interés y tasas de retorno.

5. Entender el significado de la equivalencia en términos económicos.

6. Calcular el interés simple y el interés compuesto para uno o más periodos de interés.

Símbolos

I

Funciones de la hoja de cálculo

7. Identificar y aplicar la terminología y simbología en la ingeniería económica.

8. Identificar las funciones de la hoja de cálculo de Excel©que se emplean comúnmente para resolver problemas de ingeniería económica.

9. Comprender el significado y aplicar el concepto de tasa mínima

Tasa mínima atractiva

atractiva de rendimiento (TMAR).

de rendimiento

Flujos de efectivo

I

Tiempo de duplicación

Hojas de cálculo

10. Entender el concepto de flujos de efectivo, su estimación y representación gráfica. 11. Aplicar la regla del 72 para estimar una tasa de interés compuesto o el número de años para que se duplique una cantidad en valor presente.

I

12. Crear una hoja de cálculo que incluya el interés simple y el interés compuesto, incorporando el análisis de sensibilidad.

6

CAPÍTULO

1

Fundamentos

de ingeniería económica

1.1

¿POR QUÉ ES IMPORTANTE LA INGENIERíA ECONÓMICA PARA LOS INGENIEROS (y otros profesionales)? Las decisiones que toman ingenieros, gerentes, presidentes de corporaciones e individuos, por lo general son el resultado de elegir una alternativa sobre otra. A menudo las decisiones reflejan la elección fundamentada de una persona sobre cómo invertir mejor fondos, también llamados capital. Con frecuencia el monto del capital está restringido, así como el efectivo disponible de una persona a menudo se encuentra limitado. La decisión sobre cómo invertir capital indudablemente cambiará el futuro, con esperanza de mejorar; es decir, que se le agregará valor. Los ingenieros desempeñan un papel esencial en las decisiones que tienen que ver con la inversión de capital, basadas en sus esfuerzos de análisis, síntesis y diseño. Los factores que se toman en cuenta en la toma de decisiones constituyen una combinación tanto de factores económicos como no económicos. Otros factores pueden ser de naturaleza intangible, como la conveniencia, la buena voluntad, la amistad y otros. Fundamentalmente la ingeniería económica implica formular, estimar y evaluar los resultados económicos cuando existan alternativas disponibles para llevar a cabo un propósito definido. Otra forma de definir la ingeniería económica consiste en describirla como un conjunto de técnicas matemáticas que simplifican las comparaciones económicas. Para numerosas corporaciones, en especial las más grandes, muchos de sus proyectos y servicios tienen alcance internacional: pueden desarrollarse en un país para aplicarse en otro, el personal y las plantas ubicadas en diversos sitios de todo el mundo separan en forma rutinaria el diseño del producto de su manufactura, así como de los consumidores que lo adquieren. Los enfoques que se presentan aquí se implantan sin dificultad tanto en empresas multinacionales como dentro de un país o localidad únicos. El uso correcto de las técnicas de ingeniería económica tiene una importancia especial porque virtualmente cualquier proyecto -local, nacional o internacional- afectará los costos y/o los ingresos. Algunas de las preguntas típicas que puede suscitar el material de este libro se plantean a continuación.

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Actividades de la ingeniería

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¿Debería incorporarse una nueva técnica de financiamiento en la fabricación de cojinetes para frenos de automóvil? Si un sistema de visión computarizada sustituye al inspector en lo que se refiere a llevar a cabo pruebas de calidad en una línea de ensamble de automóviles, ¿disminuirán los costos de operación en un periodo de cinco años? ¿Puede una decisión económicamente adecuada mejorar el centro de producción de material estructural con agentes reforzadores de una fábrica de aviones con el objetivo de reducir costos 20%? ¿Debería construirse un paso a desnivel debajo de una vía rápida en una ciudad de 25000 habitantes, o debería ampliarse la vía rápida a lo largo de la ciudad? ¿Se conseguirá la tasa de retorno requerida si instalamos la nueva tecnología del mercado en nuestra línea de fabricación del láser médico?

Proyectos del sector público y agencias gubernamentales

•

¿Cuánto dinero debe recaudarse con el nuevo impuesto en la ciudad para mejorar el sistema de distribución de electricidad?

1.2

Lag lo h tonu renc una del.

SECCIÓN 1.2 1.2 Papel Papel de la ingeniería ingeniería económica económica en en la toma decisiones SECCIÓN toma de decisiones

• • •

7

¿En este punto punto los beneficios beneficios superan superan a los costos costos en la construcción construcción de un puente sobre sobre un canal canal intracostero? intracostero? puente ¿Es efectivo para el Estado nueva efectivo para Estado compartir compartir el costo costo de la construcción construcción de una nueva contratista? ruta de peaje peaje con un contratista? ¿Debería universidad estatal privada para para que ésta ¿Debería la universidad estatal contratar contratar a una institución institución privada imparta cursos cursos universitarios debería impartirlos impartirlos el personal imparta universitarios propedéuticos propedéuticos o debería personal docente universidad? docente de la propia propia universidad?

Individuos Individuos

• •

¿Debo pagar el saldo de mi tarjeta tarjeta de crédito prestado? ¿Debo pagar crédito con dinero dinero prestado? ¿Qué representan representan mis estudios universitarios en mi carrera profesional en térestudios universitarios carrera profesional minos financieros? financieros? minos ¿Constituyen buen negocio negocio las deducciones ¿Constituyen un buen deducciones federales federales del impuesto impuesto sobre sobre la renta para para la hipoteca hipoteca de mi casa pagos de la hipoteca? hipoteca? casa o debería debería agilizar agilizar los pagos ¿Qué tasa de retorno retorno obtuvimos nuestra inversión obtuvimos en nuestra inversión en acciones? acciones? ¿Debería comprar comprar o financiar financiar mi próximo automóvil, o conservar conservar el que tengo ¿Debería próximo automóvil, tengo continuar pagando crédito? ahora y continuar pagando el crédito?

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EJEMPLO EJEMPLO

1 .1

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Dos una compañía mecánico y una una empresa Dos ingenieros ingenieros directivos directivos de una compañía de diseño diseño mecánico empresa de análisis análisis estructural menudo laboran virtud de que estructural a menudo laboran conjuntamente. conjuntamente. Han Han decidido decidido que, que, en en virtud que con con frecuencia realizan viajes viajes comerciales juntos por por la región, región, deberían posibifrecuencia realizan comerciales juntos deberían considerar considerar la posibilidad de comprar comprar un avión avión del del cual cual sean sean copropietarias copropietarias las dos dos compañías. compañías. ¿Cuáles ¿Cuáles son son lidad algunas preguntas de naturaleza naturaleza económica responder algunas de las las preguntas económica que que los los ingenieros ingenieros deberían deberían responder al evaluar poseer un avión realizando viajes viajes evaluar las las alternativas alternativas de 1. 1. poseer avión en en común común o 2. continuar continuar realizando en aviones aviones comerciales? comerciales? Solución Solución

Algunas preguntas (y lo que requiere para para responderlas) responderlas) para Algunas preguntas que se requiere para cada cada alternativa alternativa son son las las siguientes: siguientes: ¿Cuánto necesitan estimaciones ¿Cuánto costará costará el avión avión cada cada año? año? (Se (Se necesitan estimaciones de de costos.) costos.) ¿Cuánto requiere un plan plan de financiamiento.) ¿Cuánto costará costará el avión? avión? (Se (Se requiere financiarniento.) ¿Reportan ventajas los los impuestos? necesita información ¿Reportan ventajas impuestos? (Se (Se necesita información sobre sobre la ley ley fiscal fiscal y las las tasas tasas de de impuestos.) impuestos.) ¿En basa la elección una alternativa? requiere un criterio ¿En qué qué se basa elección de de una alternativa? (Se (Se requiere criterio de selección.) selección.) ¿Qué tasa de retorno? (Se necesitan ecuaciones.) ¿Qué se espera espera de la tasa de retorno? (Se necesitan ecuaciones.) ¿Qué sucederá sucederá si llegamos llegamos a volar que calculamos calculamos hoy? (Se re¿Qué volar más más o menos menos de lo que hoy? (Se requiere un análisis quiere un análisis de de sensibilidad.) sensibilidad.)

1.2 1.2

PAPEL DE LA INGENIERíA INGENIERíA ECONÓMICA ECONÓMICA EN LA TOMA TOMA DE DECISIONES DECISIONES

La gente toma decisiones; matemáticas u otras herramientas herramientas decisiones; ni las computadoras, computadoras, las matemáticas ingeniería económica económica ayudan ayudan a la gente a lo hacen. Las técnicas técnicas y modelos modelos de la ingeniería tomar decisiones. marco de refedecisiones. Como las decisiones decisiones influyen influyen en lo que se hará, el marco rencia temporal básicamente elfuturo. temporal de la ingeniería ingeniería económica económica es básicamente elfuturo. Por lo tanto, en un análisis de ingeniería constituyen las mejores estimaciones ingeniería económica económica los números constituyen estimaciones de lo que se espera que ocurrirá. Dichas estimaciones menudo implican estimaciones a menudo implican los tres

SiS1;

8

CAPÍTULO 1 Fundamentos Fundamentos de ingeniería ingeniería económica económica CAPÍTULO

elementos esenciales esenciales ya mencionados: mencionados: flujos de efectivo, efectivo, su tiempo tiempo de ocurrencia ocurrencia y elementos estiman a futuro y serán de alguna alguna manera manera diferentes diferentes las tasas de interés, los cuales se estiman realmente ocurra, ocurra, principalmente principalmente como consecuencia consecuencia de las circunstancias circunstancias de lo que realmente cambiantes y no planeadas planeadas de los eventos. En otras palabras, la naturaleza naturaleza estocástica estocástica cambiantes estimaciones probablemente probablemente hará que el valor valor observado observado para para el futuro difiera difiera de las estimaciones estimación actual. de la estimación Por lo general, general, el análisis análisis de sensibilidad sensibilidad se lleva lleva a cabo durante durante el estudio estudio de Por ingeniería económica, económica, para para determinar determinar cómo podría podría cambiar cambiar la decisión decisión de acuerdo acuerdo ingeniería estimaciones variables, variables, en especial especial aquellas aquellas que podrían podrían variar variar de manera manera sigcon estimaciones nificativa. Por ejemplo, ejemplo, un ingeniero ingeniero que espera espera que los costos costos iniciales iniciales de desarrodesarronificativa. programa computacional computacional varíen ±20%, de un costo estimado estimado de $250 000 llo de algún programa (dólares), podría podría llevar llevar a cabo el análisis análisis económico económico para para estimaciones estimaciones iniciales iniciales de (dólares), costos de $200 000, $250 000 y $300 000. Otras estimaciones estimaciones inciertas inciertas referentes referentes costos proyecto pueden pueden "sondearse" "sondearse" aplicando aplicando un análisis análisis de sensibilidad. sensibilidad. (El análisis análisis al proyecto sensibilidad es fácil de llevar llevar a cabo utilizando utilizando hojas de cálculo cálculo electrónicas. de sensibilidad electrónicas. Las presentaciones tabulares tabulares y gráficas gráficas hacen hacen posible posible el análisis análisis sencillamente sencillamente campresentaciones biando los valores valores estimados. estimados. A lo largo de la obra obra y en los sitios web de apoyo apoyo biando aprovechamos las ventajas ventajas que proporciona proporciona el poder poder de las hojas de cálculo.) cálculo.) aprovechamos ingeniería económica económica se aplica, asimismo, asimismo, para para analizar analizar los resultados resultados del La ingeniería pasado. observados se evalúan evalúan para para determinar determinar si los resultados resultados satisfisatisfipasado. Los datos observados cieron el criterio criterio especificado, especificado, como, por ejemplo, ejemplo, la tasa de retorno retorno requerida. requerida. Por cieron ejemplo, supongamos supongamos que hace cinco años una compañía compañía de ingeniería ingeniería estadouniestadouniejemplo, dedicada al diseño diseño inició inició un servicio detallado de chasis chasis para para autoautodense dedicada servicio de diseño detallado móvil en Asia. Ahora Ahora el presidente presidente de la compañía compañía desea desea saber saber si el rendimiento rendimiento real móvil inversión ha superado superado el 15% anual. sobre la inversión Existe un procedimiento procedimiento importante importante para para abordar abordar la cuestión cuestión del desarrollo desarrollo y Existe elección de alternativas. alternativas. Los pasos pasos de este enfoque, enfoque, comúnmente comúnmente denominado denominado enfoelección solución de problemas decisiones, son los siguientes. siguientes. proceso de toma de decisiones, que de solución problemas o proceso

1. 2. 3.

Comprensión del problema problema y definición definición del objetivo. objetivo. Comprensión Recopilación de información información relevante. relevante. Recopilación Definición de posibles soluciones alternativas alternativas y realización realización de estimaestimaDefinición posibles soluciones ciones realistas. realistas. ciones Identificación de criterios criterios para para la toma toma de decisiones decisiones empleando empleando uno o 4. Identificación atributos. más atributos. Evaluación de cada alternativa alternativa aplicando aplicando un análisis análisis de sensibilidad sensibilidad 5. Evaluación para reforzar reforzar la evaluación. evaluación. para Elección de la mejor mejor alternativa. alternativa. 6. Elección Implantar la solución. solución. 7. Implantar Vigilar los resultados. resultados. 8. Vigilar

ingeniería económica económica desempeña desempeña el papel principal principal en todos los pasos pasos y es funLa ingeniería damental en los pasos pasos 2 a 6. Los pasos pasos 2 y 3 establecen establecen las alternativas alternativas y permiten permiten damental hacer las estimaciones estimaciones para para cada una de ellas. El paso 4 requiere requiere que el analista analista hacer identifique los atributos atributos para para la elección elección alternativa. alternativa. Este determina la etapa etapa identifique Este paso determina para la aplicación aplicación de la técnica. técnica. El paso 5 utiliza utiliza modelos modelos de ingeniería ingeniería económica económica para para completar completar la evaluación evaluación y realizar realizar cualquier cualquier análisis análisis de sensibilidad sensibilidad sobre el para decisión (paso 6). cual se base una decisión

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económica en la toma de decisiones SECCIÓN 1.2 Papel de la ingeniería ingeniería económica

EJEMPLO EJEMPLO

1.2

Reconsidere las preguntas planteadas a los ingenieros en el ejemplo anterior, relativas a la ingeniería económica económica contricopropiedad del avión. Indique algunas formas en las que la ingeniería buye a la toma de decisiones entre dos alternativas. Solución Solución (transportación Supongamos que el objetivo es el mismo en el caso de cada ingeniero (transportación disponible y confiable que minimice el costo total). Aplique los pasos anteriores. ingeniería económica económica permite identificar identificar lo Pasos 2 yy 3: El esquema de un estudio de ingeniería que debería estimarse o recopilarse. Para la alternativa 1 (la compra del avión), se estima financiamiento y la tasa de interés, los costos anuales de el costo de compra, el método de financiamiento operación, el posible incremento en los ingresos por ventas anuales y las deducciones del renta. Para la alternativa 2 (el vuelo comercial) se estiman los costos de impuesto sobre la renta. transportación comercial, la cantidad de viajes, los ingresos anuales por ventas y otros transportación datos relevantes. relevantes. numéricamente denominado Paso 4: El criterio de selección es un atributo evaluado numéricamente medida de valor. Algunas medidas de valor son:

Valor presente presente (VP) (VA) Valor anual (VA) beneficio/costo (B/C) Razón beneficio/costo

Valor futuro (VF) recuperación Periodo de recuperación Tasa de retorno (TR) Valor económico agregado capitalizado (CC) Costo capitalizado

Al determinar una medida de valor, se considera el hecho de que el dinero de hoy tendrá un valor diferente en el futuro; es decir, que se toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo. Existen muchos atributos no económicos (sociales, ambientales, legales, políticos, personales, por nombrar sólo unos cuantos). Este ambiente de múltiples atributos puede personales, resultados económieconómidar como resultado el hecho de que se tenga menos confianza en los resultados exactamente la razón por la cual quien toma las cos del paso 6. Sin embargo, ésta es exactamente información adecuada para todos los factores -económicos -económicos y no decisiones debe tener información económicosinformada. En el caso que nos ocupa, el análisis económicos- para hacer una elección informada. copropiedad del avión (alternativa (alternativa 1); pero económico puede favorecer la alternativa de la copropiedad consecuencia de factores no económicos, uno o ambos ingenieros quizás elijan la como consecuencia alternativa 2. Pasos 5 yy 6: Los cálculos reales, el análisis de sensibilidad y la elección de alternativas se llevan a cabo en este punto.

concepto de valor valor del dinero en el tiempo tiempo se mencionó mencionó anteriormente. anteriormente. A El concepto menudo se dice que dinero llama dinero. De hecho, la afirmación afirmación es cierta, cierta, porque porque menudo decidimos invertir invertir dinero, dinero, intrínsecamente intrínsecamente esperamos esperamos tener tener más dinero dinero en el si hoy decidimos persona o empresa empresa solicita solicita un crédito crédito hoy, mañana deberá más que futuro. Si una persona mañana deberá capital del préstamo préstamo original. original. Este hecho hecho también también se explica explica por medio medio del valor valor el capital tiempo. del dinero en el tiempo. La variación variación de la cantidad cantidad del dinero dinero en un un periodo periodo de tiempo tiempo dado dado recireciLa nombre de valor valor de dinero dinero en el tiempo; tiempo; éste éste es el concepto concepto más imporbe el nombre más importante de la ingeniería ingeniería económica. económica. tante

9

10

CAPÍTULO 1

1.3

Fundamentos de ingeniería económica

REALIZACiÓN DE UN ESTUDIO DE INGENIERíA ECONÓMICA

A lo largo de este libro, los términos ingeniería económica,

Desci decisi darle cuant A , Bl . altern

perspectiva general del estudio de ingeniería económica. Dicho enfoque se esquematiza en la figura 1.1 para dos alternativas. En la figura 1.1 se describen los pasos del proceso de toma de decisiones.

verba cluye

análisis de ingeniería económica, toma de decisiones económicas, estudio de asignación de capital, análisis económico y otros semejantes se consideran sinónimos. Existe un enfoque general, denominado enfoque de estudio de ingeniería económica, que ofrece una

Pasos del proceso de toma de decisiones Paso 1

Problema identificado; Alternativa

1

objetivo definido

durante algún periodo de tiempo

0

Descripción e información

1/

Flojo. do"'OOti'M

~

Mejoramiento del equipo antiguo

1.'''7

Descripción e información

Flujl

Alternativa 2

lA

Equipo nuevo

Paso 3

anual inten la rer

el no] ració:

/

Paso 2

1

0,",00'

/

Anál

Flujos de efectivo durante algún periodo de tiempo

Estimaciones do o ingresos • Estrategias de financiamiento • Leyes tributarias

recib alterr blecí riacir sensi

1/

derar alten

/

Paso 4 Paso 5

Análisis mOdi,"~ un modelo de ingeniería económica /

Alternativa evaluada

1

•

<;c

v,,~

do!dinero o, o, tiempo • Tasa de interés • Medida de valor

Análisis mediante un modelo de ingeniería económica 1/ /

• Cálculo de la medida de valor

Alternativa 2 evaluada

Elecl una, plo, elige sobn aplic corm

alter la fo comi Atributos no económicos

Paso 6

Figura 1.1 Enfoque de estudio de ingeniería económica.

una]

por considerar

O O O O O O

o Implementación de la alternativa 1

O O O O O

sas a decii la rn o cu aplic anál sirve

SECCIÓN SECCIÓN 1.3

Realización Realización de un estudio estudio de ingeniería ingeniería económica económica

Descripción de las alternativas alternativas El resultado resultado del paso paso 1 del proceso proceso de toma toma de Descripción decisiones consiste consiste en un entendimiento entendimiento básico básico de lo que requiere requiere el problema problema para para decisiones darle solución. solución. Al principio principio llegan llegan a presentarse presentarse diversas diversas alternativas; alternativas; pero sólo unas cuantas serán viables viables y evaluadas evaluadas realmente. realmente. Si se han identificado identificado las alternativas alternativas cuantas D, aunque A, B Y e para para el análisis, análisis, cuando cuando el método método D, aunque no se le reconoce reconoce como como una alternativa, es el más atractivo, atractivo, seguramente seguramente se tomará tomará la decisión decisión equivocada. equivocada. alternativa, Las alternativas alternativas son opciones opciones independientes independientes que implican implican una una descripción descripción mejores estimaciones estimaciones de parámetros, parámetros, tales como como el costo inicial inicial (inverbal y las mejores cluyendo precio precio de compra, compra, desarrollo, desarrollo, instalación), instalación), vida útil, ingresos ingresos y egresos egresos cluyendo anuales anuales estimados, estimados, valor valor de salvamento salvamento (valor (valor de reventa reventa o canje), canje), una tasa de interés (tasa (tasa de rendimiento) rendimiento) y posiblemente posiblemente inflación inflación y efectos efectos del impuesto impuesto sobre la renta. Por lo general, general, las estimaciones estimaciones de los gastos gastos anuales anuales se agrupan agrupan y reciben reciben el nombre nombre de costos costos anuales anuales de operación operación (CAO) o costos costos de mantenimiento mantenimiento y operación ración (CMO).

Flujos de efectivo Flujos efectivo Las entradas entradas (ingresos) (ingresos) y salidas salidas (costos) (costos) estimadas estimadas de dinero dinero reciben el nombre nombre de flujos de efectivo. efectivo. Dichas Dichas estimaciones estimaciones se realizan realizan para para cada cada reciben alternativa (paso 3). Sin estimaciones estimaciones del flujo de efectivo efectivo durante durante un periodo periodo estaalternativa blecido resulta resulta imposible imposible llevar llevar a cabo un estudio estudio de ingeniería ingeniería económica. económica. La vablecido riación riación esperada esperada de los flujos de efectivo efectivo indica indica una necesidad necesidad real de un análisis análisis de sensibilidad sensibilidad en el paso 5. Análisis mediante un modelo modelo de ingeniería ingeniería económica económica Los cálculos cálculos que consiconsiAnálisis mediante dinero en el tiempo tiempo se realizan realizan sobre los flujos de efectivo efectivo de cada cada deran el valor valor del dinero alternativa alternativa para para obtener obtener la medida medida de valor.

Elección valores de la medida Elección de alternativa alternativa Se comparan comparan los valores medida de valor valor y se elige una alternativa. alternativa. Esto es el resultado resultado del análisis análisis de ingeniería ingeniería económica. económica. Por Por ejemplo, el resultado resultado de un análisis análisis de tasa de rendimiento rendimiento puede puede ser el siguiente: siguiente: se elige la alternativa alternativa 1, donde donde se estima estima una tasa de rendimiento rendimiento de 18.4% anual, sobre la alternativa alternativa 2, cuya cuya tasa de rendimiento rendimiento anual esperada esperada es de 10%. Se puede puede aplicar aplicar una combinación combinación de criterios criterios económicos económicos utilizando utilizando la medida medida de valor, así como los factores factores no económicos económicos e intangibles, intangibles, para para facilitar facilitar la elección elección de una alternativa. alternativa. Si sólo se define define una alternativa alternativa viable, viable, hay una segunda segunda alternativa alternativa presente presente en la forma de alternativa alternativa de no hacer hacer algo. Es una alternativa alternativa llamada llamada también también dejar dejar como está o statu quo. qua. Se puede puede elegir elegir no hacer hacer algo si ninguna ninguna alternativa alternativa posee posee medida de valor valor favorable. favorable. una medida Estemos o no conscientes, conscientes, a diario empleamos empleamos criterios criterios para para elegir elegir entre entre diverEstemos sas alternativas. alternativas. Por ejemplo, ejemplo, cuando cuando nos dirigimos dirigimos a la universidad universidad en automóvil, automóvil, decidimos decidimos tomar tomar la mejor mejor ruta. Pero, ¿cómo ¿cómo definimos definimos lo mejor? ¿La mejor mejor ruta es la más segura, segura, la más corta, corta, la más rápida, rápida, la más barata, barata, la que tiene mejor mejor paisaje, paisaje, o cuál? Es obvio obvio que, dependiendo dependiendo del criterio criterio o combinación combinación de criterios criterios que se aplique para para identificar identificar la mejor, cada cada vez podría podría elegirse elegirse una ruta diferente. diferente. En el financieras análisis económico, económico, las unidades financie ras (dólares (dólares u otra moneda) moneda) generalmente generalmente sirven de base tangible Por consiguiente, tangible para para realizar realizar la evaluación. evaluación. Por consiguiente, cuando cuando exis-

11

G---

12

CAPÍTULO CAPÍTULO 1

Fundamentos económica Fundamentos de de ingeniería ingeniería económica

ten diversas diversas formas de conseguir conseguir un objetivo objetivo establecido, establecido, se elegirá elegirá la alternativa alternativa con el costo menor o la utilidad utilidad neta neta global costo global global menor global mayor. después de impuestos proyecto de evaluaUn análisis análisis después impuestos se lleva lleva a cabo durante durante el proyecto evaluación, por lo general general con efectos efectos significativos significativos sólo sobre sobre la depreciación depreciación de activos activos y los impuestos impuestos sobre sobre la renta consideren. Los impuestos impuestos establecidos establecidos por renta que se consideren. los gobiernos locales, estatales, normalmente adquieren gobiernos locales, estatales, federales federales e internacionales internacionales normalmente adquieren la forma de un impuesto sobre la renta por ingresos, un impuesto al valor forma impuesto sobre renta ingresos, impuesto valor agregado agregado (IVA), impuestos impuestos de importación, importación, impuestos impuestos sobre sobre la venta, impuestos impuestos prediales prediales y otros. Los impuestos impuestos influyen influyen sobre sobre las estimaciones estimaciones de los flujos de efectivo efectivo de las otros. alternativas; alternativas; tienden tienden a mejorar mejorar las estimaciones estimaciones del flujo de efectivo efectivo en cuanto cuanto a costos, mismo tiempo costos, ahorros ahorros en gastos y depreciación depreciación de activos, activos, y al mismo tiempo reducen las estimaciones utilidad neta después estimaciones del flujo de efectivo efectivo del ingreso ingreso y de la utilidad después de impuestos. Pospondremos los detalles del análisis después de impuestos hasta que se puestos. Pospondremos detalles análisis después impuestos hasta hayan estudiado las herramientas fundamentales de la ingeniería ingeniería econóeconóhayan estudiado herramientas y técnicas técnicas fundamentales mica. Hasta entonces, consideraremos consideraremos que todas alternativas tienen Hasta entonces, todas las alternativas tienen el mismo mismo impuesto tributarias en vigor. (Si es necesario necesario estudiar impuesto gravado gravado por las leyes tributarias estudiar antes los efectos recomienda revisar revisar los capítulos efectos de los impuestos, impuestos, se recomienda capítulos 16 y 17 después después capítulos 6, 8 u 11.) de los capítulos Ahora fundamentos de la ingeniería económica que se apliAhora volvamos vol vamos a algunos algunos fundamentos ingeniería económica can en la práctica práctica diaria toma individual diaria de la ingeniería, ingeniería, así como como en la toma individual de decisiones.

1.4 1.4 TASA DE INTERÉS Y TASA DE RENDIMIENTO RENDIMIENTO

Tasa interés Tasa de interés de préstamo de un préstamo

El interés manifestación del valor valor del dinero tiempo. Desde perspecinterés es la manifestación dinero en el tiempo. Desde una perspectiva de cálculo, cálculo, el interés interés es la diferencia diferencia entre entre una cantidad cantidad final de dinero dinero y la cantidad original. nula o negativa, negativa, no hay interés. cantidad original. Si la diferencia diferencia es nula interés. Existen Existen dos variantes del interés: pagado y el interés paga cuanvariantes interés: el interés interés pagado interés ganado. ganado. El interés interés se paga cuando una una persona persona u organización organización pide pide dinero prestado (obtiene préstamo) y paga paga dinero prestado (obtiene un préstamo) una persona persona u organización una cantidad cantidad mayor. El interés interés se gana cuando cuando una organización ahorra, ahorra, invierte presta dinero recibe una una cantidad muestra que los invierte o presta dinero y recibe cantidad mayor. En seguida seguida se muestra cálculos y los valores numéricos para ambas variantes esencia, los mismos, cálculos valores numéricos para ambas variantes son, en esencia, mismos, aunque aunque las interpretaciones interpretaciones difieren. difieren. paga por por fondos que se piden piden prestados prestados (préstamo) El interés interés que se paga (préstamo) se determidetermimediante la relación relación na mediante Interés Interés

Prestatario Prestatario

Banco

= cantidad cantidad que se debe ahora ahora =

cantidad original original cantidad

•

• S

al

cr la in

s a.

[1.1]

Cuando el interés unidad de tiempo tiempo específica específica se expresa expresa Cuando interés pagado pagado con respecto respecto a una unidad como porcentaje suma original original (principal), (principal), el resultado como porcentaje de la suma resultado recibe recibe el nombre nombre de interés. tasa de interés. m "r·Tasa t eres ' (0.71) por unidad unidad de tiempo tiempo x 100 dee 'In interés (%) = interés interés acumulado acumulado por 100% /0 = -10 asa d

un aí Por 1, tan s< de UI

[1.2]

suma original original suma

La unidad interés. Por ahora, ahora, el unidad de tiempo tiempo de la tasa tasa recibe recibe el nombre nombre de periodo periodo de interés. periodo interés más comúnmente comúnmente utilizado tasa de interés interés es de periodo de interés utilizado para fijar una tasa

b

e e rr

SECCIÓN 1.4 SECCIÓN

interés y tasa tasa de rendimiento rendimiento Tasa de interés Tasa

posible considerar considerar periodos periodos de tiempo cortos, como como 1% mensual. mensual. un año. Es posible tiempo más cortos, siempre debería debería incluirse incluirse el periodo periodo de interés interés de la tasa de interés. interés. Si Por lo tanto, siempre ejemplo, 8.5%, se dará por supuesto supuesto un periodo periodo de interés interés tan sólo se fija la tasa, por ejemplo, de un año.

EJEMPLO EJEMPLO

1.3 1.3

..

Un empleado empleado de LaserKinetics.com LaserKinetics.com solicita solicita un un préstamo préstamo de $10 $10 000 000 elide ell de mayo mayo y debe debe Un pagar un total total de $10 $10 700 700 exactamente exactamente un año año después. después. Determine interés y la tasa tasa de pagar Determine el interés de interés pagada. pagada. interés Solución Solución Aquí el problema problema se analiza analiza desde desde la perspectiva perspectiva del prestatario prestatario en virtud virtud de que que los $10 $10 700 700 Aquí pagan un préstamo. préstamo. Aplique Aplique la ecuación ecuación [1.1] [1.1] para para calcular calcular el interés interés pagado. pagan pagado. Interés == $10 $10 700 700 - $10 $10 000 000 == $700 $700 Interés La ecuación ecuación [l.2] [l.2] nos nos permite permite establecer establecer la tasa tasa de interés interés pagada pagada durante durante un año. año. La Tasa porcentual porcentual de interés interés == Tasa

EJEMPLO EJEMPLO

1.4

$700 x 100% 100% == 7% anual $700 7% anual $10 000 000 $10

'

Stereophonics, Inc., Inc., tiene tiene planes planes de solicitar solicitar un préstamo préstamo bancario bancario de $20 $20 000 000 durante durante un Stereophonics, año al 9% 9% de interés interés para para adquirir adquirir un un equipo equipo nuevo nuevo de grabación. grabación. a) Calcule Calcule el interés interés y la año cantidad total total debida debida después después de un año. año. b) Construya Construya una una gráfica gráfica de barras barras que que muestre muestre cantidad las cantidades cantidades original original y total total debida debida después después de un año, utilizadas utilizadas para para calcular calcular la tasa tasa de las un año, interés del del préstamo préstamo del del 9% anual. anual. interés Solución Solución Calcule el interés interés total total causado causado resolviendo resolviendo la la ecuación ecuación [1.2] [l.2] para para el interés interés causado. causado. a) Calcule Interés $20 000(0.09) == $1 800 800 Interés == $20000(0.09) La cantidad cantidad total total a pagar pagar es la suma suma del del principal principal y el interés. interés. La Total a pagar pagar == $20000 $20 000 + $1800 $1 800 == $21800 $21 800 Total

e

b)

La figura figura l.2 l.2 muestra muestra los los valores valores utilizados utilizados en la ecuación ecuación [1.2]: [l.2]: interés interés de $1 800, 800, La principal original original del del préstamo préstamo de $20 $20 000, 000, y periodo periodo de interés interés de un año. año. principal

Comentario Comentario Observe que que en el inciso inciso a), la cantidad cantidad total total a pagar también se calcula calcula de la siguiente siguiente Observe pagar también manera: manera: Adeudo total total == principal(l principal(1 + tasa tasa de interés) interés) == $20 $20 000(l.09) 000(l.09) = == $21 800 800 Adeudo

e

13

ír~~~~~~~~~----------------------===="--------------------------------------------------------------_ 14

CAPÍTULO 1 Fundamentos económica CAPÍTULO Fundamentos de ingeniería ingeniería económica

•

$

800 $21 800

$2000~ $2000~

________ LJ ---]

-- P

Interés

b

=$1800

S

--f- ----

Cantidad original del préstamo

Tasa de interés $1800 $1800 $20 000 100% $20 000 X 100% = 9% anual

Ahora

1 año después

11

II

b

El El periodo

de interés es un año

Figura Figura 1.2 Valores utilizados para calcular calcular la tasa de interés del 9% anual (ejemplo lA). lA).

calc

Este método método se usará futuras para Este usará posteriormente posteriormente para para determinar determinar las las cantidades cantidades futuras para periodos periodos tiempo mayores de tiempo mayores dentro dentro de de un un periodo periodo de de interés. interés.

en é inte

(pOI

Tasa de de rendimiento rendimiento Tasa

Desde la perspectiva ahorrador, un prestamista, prestamista, o un inversionista, inversionista, el Desde perspectiva de un ahorrador, interés ganado ganado es la cantidad cantidad final menos cantidad inicial, inicial, o principal. principal. interés menos la cantidad

de la inversión

Interés generado generado = = cantidad cantidad total cantidad original original Interés total actual - cantidad

[1.3] [1.3]

interés generado durante un periodo específico de tiempo expresa como como porEl interés generado durante periodo específico tiempo se expresa centaje de la cantidad denomina tasa de rendimiento centaje cantidad original original y se denomina rendimiento (TR). Ahorrador Ahorrador

Banco Banco

'1'asa de d e ren diímíento (%) (01 vo ) rendimiento Tasa

==

interés acumulado acumulado interés por unidad unidad de tiempo tiempo Xx 100% por 1('001 , '/0 cantidad original original cantidad

[1.4] [1.4]

unidad de tiempo interés, La unidad tiempo para para la tasa tasa de retorno retorno recibe recibe el nombre nombre de periodo periodo de interés, mismo nombre cuando se ve desde desde la perspectiva el mismo nombre que cuando perspectiva del prestatario. prestatario. De nueva nueva cuenta, el periodo común es de un año. cuenta, periodo más común diversas industrias inversión En diversas industrias y escenarios, escenarios, el término término rendimiento rendimiento sobre sobre la inversión (RSI) se emplea emplea como como sinónimo sinónimo de TR, en particular cuando se asignan asignan grandes (RSI) particular cuando grandes capital a programas fondos de capital programas orientados orientados a la ingeniería. ingeniería. Aunque los valores ecuaciones [1.2] y [l.4] [l.4] son los mismos, Aunque valores numéricos numéricos de las ecuaciones mismos, término tasa de interés interés pagada adecuado para el término pagada es más adecuado para la perspectiva perspectiva del prestataprestatadesde la perspectiva inversionista. rio, y tasa de retorno retorno ganada ganada es mejor mejor desde perspectiva del inversionista.

eco inic disr el rr ene las más mvt que Uni con bon que clm

sól< vist la t. la 1

inci del por

SECCIÓN 1.4 Tasa de interés yy tasa de rendimiento rendimiento

EJEMPLO EJEMPLO

a) b)

1.5

e

cantidad depositada depositada hace un año si ahora se tienen $1 000 a una tasa de Calcule la cantidad interés del 5% anual. Determine la cantidad por intereses ganados durante este periodo.

Solución Solución a) acumulada es la suma del depósito original yy del interés ganado. Si a) La cantidad total acumulada

X es el depósito original,

=original + original (tasa de interés) Total acumulado = $1 000 ==X X + X(0.05) X(0.05)

X(l + 0.05) == 1.05X ==X(1

El depósito original es X = 1 000 = $952.38 X 1.05

b)

Aplique la ecuación [1.3] para determinar determinar el interés ganado. Interés = $1000 $1000 - 952.38 = $47.62

En los ejemplos ejemplos 1.3 a 1.5 el periodo periodo de interés interés era de un año, y los intereses intereses se calcularon periodo. Cuando periodo de interés interés calcularon al final de un periodo. Cuando se considera considera más de un periodo (por ejemplo, intereses que se pagarán pagarán después ejemplo, si quisiéramos quisiéramos calcular calcular los intereses después de 3 años ejemplo 1.4), es necesario definir si la naturaleza acumulación de los en el ejemplo necesario definir naturaleza de la acumulación intereses periodo al siguiente simple o compuesta. compuesta. intereses de un periodo siguiente es simple Una consideración para cualquier ingeniería Una consideración económica económica adicional adicional para cualquier estudio estudio de ingeniería económica varios comentarios comentarios imprescindibles imprescindibles en esta etapa económica es la inflación. inflación. Hay varios etapa inicial sobre inflación: en primer primer lugar, ésta representa una una inicial sobre los fundamentos fundamentos de la inflación: ésta representa disminución valor de una una moneda moneda determinada. comprará disminución del valor determinada. Es decir, $1 de hoy no comprará el mismo mismo número número de manzanas manzanas (o de otras cosas) hace 20 años. El cambio cambio cosas) que $1 de hace en el valor de la moneda moneda afecta afecta las tasas de interés interés del mercado. mercado. En palabras palabras sencillas, sencillas, interés bancario bancario reflejan reflejan dos cosas: la llamada llamada tasa tasa real de rendimiento rendimiento las tasas de interés inflación esperada. rendimiento posibilita más la tasa de inflación esperada. La tasa real de rendimiento posibilita que el inversionista compre más de lo que hubiera podido comprar comprar antes de invertir. Es común que las inversiones inversiones más seguras como los bonos bonos del gobierno gobierno de los Estados Estados seguras (tales como Unidos) Unidos) tengan tengan un 3 o un 4% de tasa real de rendimiento rendimiento incluida incluida en sus tasas conjuntas Entonces, una tasa de interés conjuntas de interés. interés. Entonces, interés de, digamos, digamos, 9% anual anual de un Estados Unidos Unidos significa bono del gobierno gobierno de los Estados significa que los inversionistas inversionistas esperan esperan inflación esté dentro dentro de un rango entre 5 y 6% anual. Así, queda queda que la tasa de inflación rango de entre claro que la inflación inflación ocasiona ocasiona que las tasas de interés interés se eleven. eleven. Desde el punto punto de vista vista de quien recibe un préstamo, préstamo, la tasa tasa de inflación Desde quien recibe inflación tan sólo es otra tasa implícita otra parte, parte, desde desde el punto punto de implícita en la tasa real de interés. interés. Por otra ahorrador o inversionista inversionista en una cuenta cuenta de interés interés fijo, la inflación inflación reduce vista del ahorrador la tasa real de rendimiento rendimiento sobre inversión. La inflación inflación significa costo y sobre la inversión. significa que el costo ganancia estimados estimados de un flujo flujo de efectivo efectivo aumentan aumentan con el tiempo. tiempo. Este Este la ganancia incremento se debe al valor cambiante cambiante del dinero que la inflación inflación fuerza fuerza en la moneda moneda incremento hace que el poder poder adquisitivo una unidad unidad monetaria monetaria (un dólar, de un país, lo que hace adquisitivo de una respecto a su valor valor en una época por ejemplo) ejemplo) sea menor menor respecto época anterior. El efecto efecto de la

15

~~~~~~~~----------------~--~~--===..-=-=======--••••----••----------------------------------------16

CAPÍTULO CAPÍTULO 1 Fundamentos Fundamentos de ingeniería ingeniería económica económica

inflación menos hoy inflación inflación se observa observa en en que que la moneda moneda compra compra menos hoy que que antes. antes. La La inflación contribuye ocurra lo siguiente: contribuye a que que ocurra siguiente: • • • • •

La La reducción reducción del del poder poder de de compra. compra. El El incremento incremento en en el IPC IPC (índice (índice de de precios precios al consumidor). consumidor). El El incremento incremento en en el costo costo del del equipo equipo y su mantenimiento. mantenimiento. El contraEl incremento incremento en en el costo costo de de los los profesionales profesionales asalariados asalariados y empleados empleados contratados tados por por horas. horas. La las inverinverLa reducción reducción en en la la tasa tasa de de retomo retorno real real sobre sobre los los ahorros ahorros personales personales y las siones corporativas. corporativas. siones

En otras otras palabras, palabras, la inflación inflación puede contribuir materialmente materialmente a modificar modificar el En puede contribuir el análianálieconómico individual individual y empresarial. empresarial. sis económico Por lo general, general, los los estudios estudios de ingeniería ingeniería económica económica suponen suponen que que la la inflación Por inflación afecta por igual a todos todos los los valores valores estimados. estimados. De De acuerdo acuerdo con con esta esta postura, postura, una afecta por igual una tasa tasa interés o una una tasa tasa de retorno del del 8% 8% anual anual se aplicaría aplicaría a lo largo largo del del análisis análisis sin de interés de retomo sin tomar en cuenta cuenta una una tasa tasa de de inflación inflación adicional. adicional. No No obstante, obstante, si la inflación inflación se tomar se tomara en en cuenta cuenta de de manera manera explícita, explícita, y si ésta ésta estuviera estuviera reduciendo reduciendo el valor tomara valor del del dinero en en un un promedio promedio de, de, por por ejemplo, ejemplo, 4% 4% anual, anual, sería sería necesario necesario llevar llevar a cabo dinero cabo el el análisis económico económico aplicando aplicando una una tasa tasa de interés interés total total del del 12.32% 12.32% anual. anual. (Las (Las relacioanálisis relaciones importantes importantes se deducen deducen en en el capítulo capítulo 14.) 14.) Por Por otra otra parte, parte, si la TR TR establecida establecida nes sobre una una inversión inversión es 8% 8% con con la la inflación inflación incluida, incluida, la misma misma tasa tasa de de inflación inflación de sobre de 4% anual anual daría daría como resultado una una tasa tasa de de retomo retorno real real de de sólo sólo el 3.85% 3.85% anual. 4% como resultado anual.

sum Por vale

I

Así, de$ case son

intei desj

lar 1

1.5

EQUIVALENCIA EQUIVALENCIA

Los otra. Los términos términos equivalentes equivalentes se utilizan utilizan muy muy a menudo menudo para para pasar pasar de de una una escala escala a otra. Algunas Algunas equivalencias equivalencias comunes comunes o conversiones conversiones son son las las siguientes: siguientes:

l.O{ afin equ se v

Longitud: 100 100 centímetros centímetros = = 1 metro metro 1000 metros metros = = 1 kilómetro kilómetro 1000 Longitud: 3 pies 39.370 metro 12 pulgadas pulgadas = = 1 pie pie pies = = 1 yarda yarda 39.370 pulgadas pulgadas = 1 metro

Presión: Presión: 1 1 atmósfera atmósfera = = 11 newton/metro newton/metro" 2 1 atmósfera kilopascal atmósfera = = 103 pascales pascales = = 1 kilopascal Muchas medidas medidas equivalentes equivalentes son son una una combinación combinación de dos dos o más más escalas. escalas. Por Por ejemplo, Muchas ejemplo, kilómetros por por hora hora (kph) (kph) equivalen equivalen a 68 millas millas por por hora hora (mph), (mph), o a 1.133 1.133 110 kilómetros hora = =60 60 millas por minuto, minuto, con con base base en en que que 1 milla milla = = 1.6093 1.6093 kilómetros kilómetros y en en que que 1 hora millas por minutos. dos horas horas minutos. Puede Puede concluirse, concluirse, además, además, que que conducir conducir a 68 mph mph durante durante dos equivale un millas. Se equivale a viajar viajar aproximadamente aproximadamente un total total de de 220 220 kilómetros kilómetros o 136 136 millas. Se combinaron tiempo expresado millas y combinaron tres tres escalas escalas -el -el tiempo expresado en en horas, horas, la distancia distancia en en millas también para adicional también en en kilómetroskilómetrospara elaborar elaborar enunciados enunciados equivalentes. equivalentes. Un Un uso uso adicional de estas equivalencias entre dos dos de estas equivalencias consiste consiste en en calcular calcular el tiempo tiempo en en horas horas de de manejo manejo entre ciudades medio del en millas millas ciudades por por medio del empleo empleo de de dos dos mapas, mapas, uno uno que que indique indique la distancia distancia en y otro se usó usó la la otro que que la exprese exprese en en kilómetros. kilómetros. Obsérvese Obsérvese que que durante durante estos estos análisis análisis se relación cambiara, relación fundamental fundamental de de que que 1 milla milla = 1.6093 1.6093 kilómetros. kilómetros. Si esta esta relación relación cambiara, entonces entonces las las demás demás equivalencias equivalencias serían serían erróneas. erróneas. Cuando juntos, el valor de inteinteCuando se consideran consideran juntos, valor del del dinero dinero en en el tiempo tiempo y la la tasa tasa de rés que dos dos rés permiten permiten formular formular el concepto concepto de de equivalencia equivalencia económica, económica, que que implica implica que

y

Laj dife

• A

\!

g

o

SECCIÓN 1.5 SECCIÓN

Equivalencia Equivalencia

Figura Figura 1.3

Tasa de de interés interés de 6% 6% anual anual Tasa $94.34 $94.34

I

$5.66 $5.66

I

$6.00 $6.00

$100.00 $100.00

I

$6.00 $6.00

.

f) O 1) O

O

$106.00 $106.00 [) I

I

I

Hace Hace un año año

Ahora Ahora

Un Un año año después después

diferentes de dinero dinero en diferentes diferentes tiempos tiempos tienen tienen el mismo sumas diferentes mismo valor valor económico. económico. interés es de 6% anual, $100 hoy (tiempo Por ejemplo, ejemplo, si la tasa de interés (tiempo presente) presente) equiequidespués. valen a $106 un año después. Cantidad acumulada acumulada = = 100 + 100(0.06) 100(0.06) = = 100(1 + 0.06) Cantidad 0.06) = = $106 amigo nos ofreciera ofreciera un regalo regalo con un valor valor de $100 el día de hoyo hoyo uno Así, si un amigo después, no habría habría diferencia diferencia entre una oferta de $106 un año después, oferta y otra. En cualquier cualquier tendríamos $106 después después de un año. Sin embargo, embargo, las dos sumas de dinero caso tendríamos dinero equivalentes entre entre sí cuando cuando la tasa de interés interés es de 6% anual. Si la tasa son equivalentes tasa de interés fuera superior superior o inferior, inferior, $100 el día de hoy no equivaldrían $106 un año interés equivaldrían a $106 después. Además de la equivalencia equivalencia futura, se puede puede aplicar aplicar la misma Además misma lógica lógica para para calcucalcuequivalencia para para años anteriores. anteriores. Un total de $100 $100 ahora $100/ lar la equivalencia ahora equivale equivale a $100/ = $94.34 $94.34 hace un año a una tasa de interés interés de 6% anual. De estos 1.06 = estos ejemplos ejemplos se afirma lo siguiente: siguiente: $94.34 $94.34 el año pasado, pasado, $100 ahora afirma ahora y $106 un año después después son equivalentes a una tasa de interés interés de 6% anual. La equivalencia equivalencia de estas cantidades equivalentes cantidades verifica calculando calculando las dos tasas de interés interés para para periodos periodos de interés se verifica interés de un año. $6 ~ x 100% = -= 6% anual anual

$100

y

$5.66 -- - x 100% = = 6% anual anual $94.34 $94.34 figura 1.3 indica indica la cantidad cantidad de intereses intereses necesaria necesaria cada cada año para La figura para que estas tres diferentes sumas sean equivalentes equivalentes al 6% anual. diferentes EJEMPLO EJEMPLO

1.6

17

" c,

AC-Delco fabrica fabrica baterías baterías automotrices automotrices para para los los concesionarios concesionarios de General AC-Delco General Motors Motors a tratradistribuidores particulares. particulares. En general, las las baterías baterías se almacenan vés de distribuidores En general, almacenan un un año, año, y se agreagre5% anual anual al costo costo para para cubrir cubrir el cargo cargo del del manejo manejo de ga un 5% de inventario inventario para para el el dueño dueño del del contrato de distribución. distribución. Supongamos Supongamos que que usted usted es dueño dueño de contrato de las las instalaciones instalaciones de de Delco Delco ubicadas en el centro centro de la ciudad. ciudad. Realice Realice los cálculos cálculos necesarios necesarios con ubicadas con una una tasa tasa de de interés interés 5% anual anual para para demostrar demostrar cuáles cuáles de las siguientes siguientes declaraciones, declaraciones, referentes de 5% referentes a los los costos costos baterías, son son verdaderas verdaderas o falsas falsas. . de las baterías,

Equivalencia de de tres tres Equivalencia cantidades a una una tasa tasa de de cantidades interés de interés de 6% 6% anual. anual.

í,..-

18

CAPÍTULO 1 Fundamentos Fundamentos de ingeniería ingeniería económica

a) b) e) d) el)

e)

La cantidad cantidad de $98 hoy equivale a un costo de $105.60 un año después. equivale a $205 ahora. El costo de $200 de una batería para camión hace un año equivale equivale a $39.90 un año después. Un costo de $38 ahora equivale equivalente a $2887.14 $2887.14 hace un año. Un costo de $3 000 ahora es equivalente El cargo por manejo de inventario acumulado en un año sobre una inversión en baterías con un valor de $2 000 es de $100.

Solución Solución $105.60; por lo tanto, la declaración a) Suma total acumulada = 98(1.05) = $102.90 if= $105.60; declaración esfalsa. Otra forma de resolver este problema esfalsa. problema es la siguiente: el costo original es de 105.60/1.05 = $100.57 if= $98. 205.00/1.05 = $195.24 if= $200; por lo tanto, esfalsa. esfalsa. b) El costo anterior es de 205.00/1.05 e) El costo dentro de 1 año será de $38(1.05) = $39.90; verdadera. verdadera. d) El costo actual es de 2 887.1 887.14(1.05) el) 4(1.05) = $3 031.50 if= $3 000; falsa. falsa . e) El cargo es de 5% de interés anual, o 2000(0.05) 2000(0.05) = $100; verdadera. verdadera.

*

*

se m

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*

*

1.6 1.6

INTERÉS SIMPLE SIMPLE Y COMPUESTO COMPUESTO INTERÉS

Los términos términos interés, interés, periodo interés y tasa de interés interés (sección (sección 1.4) 1.4) son son útiles en Los periodo de interés útiles en cálculo de de sumas sumas de de dinero dinero equivalentes equivalentes para para un de interés en el pasado el cálculo un periodo periodo de interés en pasado periodo de de interés interés en en el futuro futuro. . Sin Sin embargo, embargo, para de un de interés, y un periodo para más más de un periodo periodo de interés, los términos términos interés interés simple interés compuesto se tornan importantes. los simple e interés compuesto se toman importantes. El interés interés simple se calcula calcula utilizando utilizando exclusivamente exclusivamente el principal El simple se principal e ignorando ignorando cualquier interés interés generado en los de interés simple cualquier generado en los periodos periodos de interés precedentes. precedentes. El El interés interés simple total durante durante varios siguiente manera: total varios periodos periodos se calcula calcula de de la la siguiente manera:

Interés = (principal)(número de periodos)(tasa de interés) Interés = (principal)(número

[1.5] [1.5]

donde la tasa tasa de de interés se expresa expresa en en forma forma decimal. decimal. donde interés se

Ene rés.

los Tan rés

Ir EJEMPLO EJEMPLO

1.7 1. 7

* ~'

•

Pacific Telephone Credit Union otorgó un préstamo a un miembro del personal de ingeniería para que éste adquiriera un avión a escala dirigido por un radio controlador. El $1 000 por tres años con un interés simple de 5% anual. ¿Cuánto préstamo asciende a $1 debe pagar el ingeniero al final de los tres años? Tabule los resultados. Solución Solución El interés para cada uno de los tres años es:

Interés anual = 1 000(0.05) = $50 El interés total de los tres años de acuerdo con la ecuación [1.5] es: Interés total

== 1 000(3)(0.05) == $150

El monto adeudado después de tres años es: Adeudo total = $1 000 + 150 = = $1000 = $1 150

•

SECCIÓN 1.6 Interés simple y compuesto

El interés acumulado de $50 en el primer año y el interés acumulado de $50 en el segundo año no generan intereses. El interés que se adeuda cada año se calcula exclusivamente sobre el principal de $1 000. Los detalles de los pagos del préstamo se tabulan en la tabla 1.1 desde el punto de vista del prestatario. El tiempo cero representa el presente, es decir, cuando se otorga el préstamo. No se hacen pagos sino hasta que concluya el tercer año. El monto que se adeuda cada año se incrementa uniformemente $50, en virtud de que el interés simple se calcula sólo sobre el principal del préstamo.

1.1

TABLA

Cálculos de interés simple

(1)

(2)

(3)

Cantidad obtenida en préstamo

Final del año O 1 2 3

Interés

(5)

(4)

Adeudo

Suma pagada

$1000 $50 50 50

$1050 1100 1 150

$

O O 1 150

En el caso del interés compuesto, el interés generado durante cada periodo de interés se calcula sobre el principal más el monto total del interés acumulado en todos los periodos anteriores. Así, el interés compuesto es un interés sobre el interés. También refleja el efecto del valor del dinero en el tiempo sobre el interés. El interés para un periodo ahora se calcula de la siguiente manera:

= (principal

Interés

EJEMPLO

1.8

+ todos los intereses acumulados)(tasa de interés) [1.6] .

Un ingeniero solicita a la cooperativa de crédito de la empresa un préstamo de $1 000 con un interés anual compuesto de 5%. Calcule el adeudo total después de tres años. Elabore una gráfica y compare los resultados de este ejemplo y del anterior. Solución El interés y el adeudo total de cada año se calcula por separado mediante la ecuación [1.6]. Interés del primer Adeudo total después del primer Interés del segundo Adeudo total después del segundo Interés del tercer Adeudo total después del tercer

año: año: año: año: año: año:

$1 000(0.05) = $50.00 $1000 + 50.00 = $1050.00 $1050(0.05) = $52.50 $1050 + 52.50 = $1102.50 $1 102.50(0.05) = $55.13 $1 102.50 + 55.13 = $1 157.63

19

20

CAPÍTULO

TABLA

1

Fundamentos

de ingeniería económica

o

1.2 Cálculos del interés compuesto (ejemplo 1.8)

U (1 ) Final

del año

(2)

(3)

Cantidad obtenida en préstamo

(4)

Interés

(5) Suma pagada

Adeudo

$

O

$1000

1 2 3

$50.00 52.50 55.13

$1050.00 1 102.50 1 157.63

1 157.63

Los detalles aparecen en la tabla 1.2. El plan de pagos es el mismo que el del ejemplo del interés simple: el pago único es el principal más los intereses acumulados al final de los tres años. La figura 1.4 muestra el adeudo al final de cada uno de los tres años. En el caso del interés compuesto, se reconoce la diferencia debida al valor del dinero en el tiempo. Aquí se paga un interés adicional de $1157.63 - $1 150 = $7.63 en comparación con el interés simple durante el periodo de 3 años.

o '" N

S S •..... •..... "" "",......... o

o o o '" '"o •.....

-

",""""" •.....

""

r-

Estí

r-r-:

w

s - Interés S C

S C

S C

simple C - Interés compuesto

""'" ""'"

tri

o '" N

o

""'"

""'"

C 2

'"""

o

""'"

S C 3

Final del año

Figura 1.4 Comparación

de los cálculos del interés simple y el interés compuesto

va\( con vak val< sí e

•

<') ......

o o

plo Ela

o

.--.-""

ti

O O

$

(ejemplos

1.7 y 1.8).

SECCIÓN 1.6 Interés simple y compuesto

Comentario Comentario

incrementa cada año. Si se contiLa diferencia entre el interés simple y el compuesto se incrementa núan haciendo cálculos para más años, 10, por ejemplo, ejemplo, la diferencia diferencia es de $128.90; $128.90; después de 20 años el interés compuesto compuesto es de $653.30 más que el interés simple. Si $7.63 no parece una diferencia significativa significativa en sólo 3 años, recordemos recordemos que la cantidad inicial es $1 000. Si estos mismos cálculos se hacen para una cantidad inicial de se tendrá $100 000 o $1 $1 000 000, hay que multiplicar multiplicar la diferencia diferencia por 100 o por 1 000, Y Yse compuesto es de vital impordinero real. Esto indica que el poder del cálculo del interés compuesto tancia en todos los análisis de tipo económico. económico.

Otra forma después de 3 años en el ejemOtra forma más breve breve de calcular calcular el adeudo adeudo total después ejemplo 1.8 consiste consiste en combinar combinar los cálculos cálculos en lugar lugar de llevarlos llevados a cabo año por año. El adeudo por año es el siguiente: adeudo total por siguiente: Año 1: 1: Año 2: Año 3:

= $1 050.00 050.00 $1 000(1.05)1 = $1 000(1.05)2 = = $1 102.50 $1000(1.05)2 000(1.05)3 = = $1 157.63 $1 000(1.05)3

calcula directamente; directamente; no se requiere ExpreEl total del año 3 se calcula requiere del total del año 2. Expresado de una manera manera general, general, el cálculo cálculo tendría tendría la siguiente siguiente forma: Adeudo total después después de cierta cierta cantidad cantidad de años = = Adeudo principal(l interés)"Úmero de míos principal(l + tasa de interés)"ÚmerocteaJios relación fundamental fundamental se utilizará utilizará repetidas repetidas veces en los capítulos capítulos posteriores. Esta relación posteriores. Para demostrar demostrar que los diferentes diferentes planes equiPara planes de pago pago de préstamos préstamos pueden pueden ser equivalentes, aunque aunque difieran difieran sustancialmente sustancialmente en cuanto cuanto a monto monto de un año a otro, otro, se valentes, combinan los conceptos conceptos de tasa de interés, interés, interés interés simple, simple, interés interés compuesto compuesto y equicombinan valencia. Esto Esto también también muestra muestra que existen existen varias formas de tomar tomar en cuenta cuenta el valencia. valor del dinero dinero en el tiempo. siguiente ejemplo ejemplo ilustra ilustra la idea idea de equivalencia equivalencia en valor tiempo. El siguiente diferentes planes planes de pago sí con diferentes pago del préstamo. préstamo.

EJEMPLO EJEMPLO

a)

1.9 1 .9

¡e

~

Demuestre el concepto de equivalencia equivalencia con los diferentes planes de pago de préstaDemuestre reembolsa un préstamo mos descritos en seguida. En cada plan se reembolsa préstamo de $5 000 en 5 años al 8% de interés anual. 1: Interés Interés simple; simple; pago pago del total total al final. • Plan Plan 1: final. No hay pago de intereses ni del principal hasta el fInal final del año 5. Los intereses se generan cada año exclusivamente sobre el principal. Plan 2: Interés Interés compuesto; compuesto; pago total al final. final. No hay pago de intereses ni pago del total • Plan del principal hasta el final del año 5. Los intereses se generan cada año sobre el acumulados. total del principal y todos los intereses acumulados.

21

I¡¡-

22

CAPÍTULO 1 Fundamentos de ingeniería económica

• Plan 3: Pago anual del interés simple; reembolso del principal al final. Los intereses acumulados se pagan cada año y todo el principal se reembolsa al final del año 5. • Plan 4: Pago anual del interés compuesto y de parte del principal. Los intereses generados y una quinta parte del principal ($1 000) se reembolsa cada año. El saldo vigente del préstamo se reduce cada año, de manera que el interés de cada año disminuye. • Plan 5: Pagos anuales iguales del interés compuesto y del principal. Se hacen pagos iguales cada año; una parte se destina al reembolso del principal y el resto cubre los intereses generados. Como el saldo del préstamo disminuye a un ritmo menor que en el plan 4, como consecuencia de los pagos iguales de fin de año, el interés disminuye, aunque a un ritmo más lento. b)

d Po

Hacer algún comentario sobre la equivalencia de cada plan a18% de interés simple o compuesto, según convenga.

Solución a) La tabla 1.3 muestra el interés, la cantidad del pago, el adeudo total al final de cada año y el monto total pagado durante el periodo de cinco años (totales de la columna 4).

TABLA

1.3

Diferentes planes de pago de $5 000 durante 5 años con un interés anual del 8%

(1 )

(2)

Final del año

Interés a pagar por el año

(3) Adeudo total al final del año

(4) Pago de fin de año

(5)

Adeudo total después del pago

Plan 1: Interés simple; pago total al final

O 1 2 3 4 5 Totales

$400.00 400.00 400.00 400.00 400.00

$5400.00 5800.00 6200.00 6600.00 7000.00

$5000.00 5400.00 5800.00 6200.00 6600.00

Lo

$5000.00 5400.00 5832.00 6298.56 6802.44

O so

$7000.00 $7000.00

Plan 2: Interés compuesto; pago del total al final

O 1

2 3 4 5 Totales

$400.00 432.00 466.56 503.88 544.20

$5400.00 5832.00 6298.56 6802.44 7346.64

$7346.64 $7346.64

re

SECCIÓN 1.6 Interés simple y compuesto

TABLA TABLA

1.3

(1 )

Final

año del año

(Continuación) (Continuación) (2) (2) Interés Interés pagar a pagar por el año año por

(3) (3) Adeudo Adeudo total al total final del del año año final

(4) Pago de Pago de fin de de año año

(5) (5) Adeudo Adeudo total total después después

Plan 3: Pago Pago anual anual del del interés interés simple; simple; reembolso reembolso del del principal Plan principal al al final final O O $400.00 1 $400.00 $5 400.00 $400.00 400.00 2 400.00 5 400.00 400.00 3 400.00 5 400.00 400.00 5 400.00 5400.00 400.00 4 400.00 5 400.00 5 400.00 5 400.00 $7 000.00 $7000.00 Totales Plan 4: Pago Pago anual anual del del interés interés compuesto compuesto y de parte del principal Plan parte del principal O O $400.00 1 $5400.00 $1400.00 $5400.00 $1400.00 320.00 2 4320.00 1320.00 4320.00 1320.00 3240.00 3 3240.00 240.00 1240.00 1240.00 2160.00 1 160.00 4 2160.00 160.00 1080.00 1080.00 5 80.00 1080.00 1080.00 Totales $6200.00 $6200.00 Plan 5: Pagos Pagos anuales anuales iguales iguales del del interés interés compuesto compuesto yy del del principal Plan principal O O $5400.00 $1252.28 11 $400.00 $5400.00 $1252.28 4479.54 1252.28 4479.54 1252.28 2 331.82 3485.43 1252.28 258.18 3485.43 3 1252.28 2411.80 4 2411.80 1252.28 1252.28 178.65 1252.28 92.76 1252.28 1252.28 5 1252.28 $6261.41 $6261.41 Totales

del pago pago

$5000.00 $5000.00 5 000.00 5 000.00 5 000.00 5 000.00

$5000.00 $5000.00 4000.00 4000.00 3000.00 3000.00 2000.00 2000.00 1000.00 1000.00

$5000.00 $5000.00 4147.72 4147.72 3227.25 3227.25 2233.15 2233.15 1 159.52 1159.52

Los intereses (columna 2) se determinan de la siguiente manera: Plan 1 Plan Plan 2 Plan Plan 3 Plan Plan 4 Plan Plan 5 Plan

original)(0.08) Interés simple = (principal original)(0.08) Interés compuesto = = (adeudo total del año anterior)(0.08) anterior)(0.08) = (principal original)(0.08) original)(0.08) Interés simple = anterior)(0.08) Interés compuesto = (adeudo total del año anterior)(0.08) anterior)(0.08) Interés compuesto = (adeudo total del año anterior)(0.08)

Observe que los montos de los pagos anuales son diferentes en cada esquema de reembolreembolso y que los pagos totales en la mayoría de los planes son diferentes; aunque cada plan de exactamente 5 años. La diferencia diferencia en los pagos totales puede explicarreembolso requiere exactamente se 1. por el valor del dinero en el tiempo, 2. por el interés simple o compuesto, y 3. por el reembolso parcial del principal antes del año 5.

23

24

Fundamentos de ingeniería ingeniería económica económica CAPÍTULO 1 Fundamentos

b)

La tabla l.3 1.3 muestra que los $5000 $5000 en el tiempo cero equivalen a cada una de las siguientes cantidades: cantidades:

Plan 1 $7 000 al final del año 5 al 8% de interés simple. simple. Plan 2 $7 346.64 al final del año 5 al 8% de interés compuesto. Plan 3 $4000 $4000 anuales durante 4 años y $5 400 al final del año 5 al 8% de interés simple. Plan 4 Pagos decrecientes del interés y parciales del principal en los años 1 ($ ($11 400) a 5 ($1 ($1 080) al 8% de interés compuesto. Plan 5 $1252.28 $1252.28 anuales por 5 años a18% de interés compuesto. compuesto.

ejem aplic ingei

De 11 símb

Un estudio de ingeniería económica económica emplea el plan 5, el interés es compuesto y la cantidad que se paga es constante en cada periodo. Esta cantidad cubre el interés generado y un monto parcial del reembolso del principal.

1.7 1.7

TERMINOLOGíA TERMINOLOGíA Y SíMBOLOS SíMBOLOS

ecuaciones y procedimientos procedimientos de la ingeniería ingeniería económica económica emplean emplean los siguiensiguienLas ecuaciones términos y símbolos. símbolos. Incluyen Incluyen unidades muestra. tes términos unidades de muestra.

P= presente o tiemP = valor valor o cantidad cantidad de dinero dinero en un momento momento denotado denotado como como presente También P recibe recibe el nombre presente (VP), valor presente po O. O. También nombre de valor valor presente valor presente neto (VPN), efectivo descontado (VPN), flujo de efectivo descontado (FED) (FED) y costo costo capitalizado capitalizado (CC); (CC); unidades monetarias monetarias unidades F= recibe el nombre nombre = valor valor o cantidad cantidad de dinero dinero en un tiempo tiempo futuro. F también también recibe de valor unidades monetarias valor futuro (VF); unidades monetarias periodo. A= = serie de cantidades cantidades de dinero dinero consecutivas, consecutivas, iguales iguales y del final del periodo. denomina valor uniforme equivalenA también también se denomina valor anual (VA) y valor valor anual uniforme equivalenunidades monetarias te (VAUE);unidades (VAUE);unidades monetarias monetarias por año, unidades monetarias por mes mes n= número de periodos periodos de interés; = número interés; años, meses, días i= periodo; porcentaje porcentaje anual, porcentaje = tasa tasa de interés interés o tasa de retorno retorno por periodo; anual, porcentaje mensual; mensual; por ciento ciento diario diario t= expresado en periodos; periodos; años, = tiempo tiempo expresado años, meses, meses, días presentan una sola vez en el tiempo: Los símbolos símbolos P y F indican indican valores valores que se presentan tiempo: A tiene el mismo periodo de interés número especímismo valor valor una vez en cada cada periodo interés durante durante un número específico de periodos. periodos. Debe valor presente presente P representa representa una sola Debe quedar quedar claro claro que el valor suma algún momento momento anterior suma de dinero dinero en algún anterior a un valor valor futuro F, o antes de que se presente por primera primera vez un monto presente monto equivalente equivalente de la serie A. Es importante notar que el símbolo representa una cantidad uniforimportante notar símbolo A siempre siempre representa cantidad uniformisma cantidad cantidad cada cada periodo), extiende a través través de periome (es decir, la misma periodo), la cual se extiende periointerés consecutivos. consecutivos. Ambas Ambas condiciones condiciones deben deben darse antes de que la serie dos de interés pueda quedar representada representada por A. pueda quedar supuesto que la tasa tasa de interés interés i corresponde tasa de interés interés Se da por por supuesto corresponde a una tasa compuesto, a menos menos que específicamente específicamente se indique indique que se trata de una tasa tasa de compuesto, interés simple. simple. La tasa i se expresa expresa como porcentaje porcentaje por periodo interés; por interés periodo de interés;

•

A re

esto

E

SECCIÓN l.7

Terminología y símbolos Terminología

ejemplo, 12% anual. Amenos A menos que se indique indique lo contrario, contrario, se supondrá supondrá que la tasa se ejemplo, durante los n años o periodos periodos de interés. interés. En los cálculos cálculos que se realizan realizan en aplica durante ingeniería económica económica siempre siempre se utiliza utiliza el equivalente equivalente decimal decimal de i.i. ingeniería económica incluyen el elemento de tiempo t.t. Todos los problemas de la ingeniería económica restantes (P, F, A, n, i), 0, cada cada problema problema incluirá incluirá por lo menos menos cuatro cuatro De los cinco restantes estimados o se conocen. símbolos, P, F, A, n e i,i, cuando menos tres de los cuales están estimados EJEMPLO EJEMPLO

O 11.1 .10

~". ".

universidad trabaja en Boeing Aerospace. Tiene planes de soliUna recién graduada de la universidad abora para adquirir un automóvil. Decide que reembolsará reembolsará citar un préstamo de $10 000 ahora Identifique los símbolos todo el principal más 8% de intereses anuales después de 5 años. Identifique ingeniería económica económica necesarios necesarios para resolver resolver el problema, así como los valores que de ingeniería tienen para el adeudo total después de 5 años. Solución Solución En este caso, están involucradas involucradas P y F, ya que todas las cantidades son pagos únicos, así como ii y n. El tiempo está expresado en años.

en-

P = $10 000 P=

8'%

ii = 8'% anual

= 5 años n=

F=? F=?

F. Se desconoce la cantidad futura F. ffi-

nte

C); bre do. en-

EJEMPLO EJEMPLO

1 .11 .11

..

Suponga que obtiene un préstamo préstamo de $2 000 ahora al 7% anual durante 10 años, y debe Determine los símbolos que se requieren para reembolsarlo en pagos anuales iguales. Determine problema y sus valores. resolver el problema Solución Solución El tiempo se expresa en años.

= $2 $2000 P = 000 A = ? anuales durante 5 años ii = 7% anual n = 10 años

taje

:A eCÍ-

sola e se orrioerie erés a de por

ejemplos 1.10 y 1.11, el valor valor P es una entrada entrada para para el prestatario, prestatario, y F o En los ejemplos A representan representan un desembolso desembolso para para él. También También es correcto correcto invertir invertir la función función de símbolos. estos símbolos. EJEMPLO EJEMPLO

1 .1 2

~. "

.

El 1 de julio ElIde julio de 2002, su nuevo empleador, Ford Motor Company, deposita $5 000 en su bancaria como parte de su bono de empleo. La cuenta paga un interés del 5% cuenta bancaria

25

26

CAPÍTULO 1 Fundamentos Fundamentos de ingeniería económica económica

anual. Usted espera retirar una cantidad anual igual durante los siguientes 10 años. Identifique los símbolos y sus valores. Solución Solución

El tiempo se expresa en años. P = $5000 $5000 = ?7 anuales i = 5% anual n = 10 años

A

1.8 EJEMPLO EJEMPLO

1.13 1.1 3

.

"

Las Usted planea hacer un depósito único de $5000 $5000 ahora en una cuenta de inversión que $1 000 a fin de año durante 5 años, paga el 6% anual, y desea retirar una cantidad igual de $1 comenzando comenzando el siguiente año. Al final del sexto año, usted piensa cerrar la cuenta retirando el saldo. Defina los símbolos de ingeniería ingeniería económica económica que implica el problema. Solución Solución

El tiempo se expresa en años. P = $5 000 A = $1 $1 000 anuales durante 5 años F = ?7 al final del año 6 = 6% anual i = n = 5 años para la serie A y 6 para el valor F

EJEMPLO EJEMPLO

1 .14 .14

com

men celd det dise larg lo y

ben mer dea incl se p unj

A

El año pasado la abuela de Jane ofreció depositar suficiente dinero en una cuenta de aho$1000 000 este año para ayudar a Jane con los gastos de la universidad. a) rros que generará $1 Identifique los símbolos, y b) calcule la cantidad que se depositó hace exactamente exactamente un año Identifique retorno es de 6% anual. para ganar $1 000 de intereses ahora, si la tasa de retomo

cálc

nan inte port nic2

Solución Solución a) El tiempo se expresa en años. P = =7? i = 6% anual n = 1 año F = P + interés

$1000 = ?7 + $1000 b)

men

Remitiéndose a las ecuaciones [1.3] y [l.4], [l.4], sea F = = monto total hoy y P = = cantidad Remitiéndose original. Sabemos que F - P = $1 $1 000 es el interés acumulado. acumulado. Ahora se determina P para Jane y su abuela. F = P + P(tasa P(tasa de interés)

ante

mic

computadora SECCIÓN 1.8 Introducción Introducción a las soluciones por computadora

Los $1 000 de interés pueden expresarse expresarse de la siguiente manera: P(tasa de interés)] - P Interés = F - P = [P + P(tasa = P(tasa P(tasa de interés) $1000 $1000 == P(0.06) P(0.06)

P = 1000 P 1 000 = $16 666.67 0.06

1.8 1.8

INTRODUCCiÓN INTRODUCCiÓN A LAS SOLUCIONES SOLUCIONES POR COMPUTADORA COMPUTADORA

Las funciones una hoja hoja de cálculo computadora llegan reducir considerablefunciones en una cálculo de computadora llegan a reducir considerablemente el trabajo mano o por por calculadora trabajo a mano calculadora de los cálculos cálculos equivalentes equivalentes del interés interés compuesto términos P, F, A, A, i Yn. Y n. El poder poder de la hoja hoja de cálculo compuesto y los términos cálculo electrónica electrónica a menudo permite introducir una función predefinida de la hoja hoja de cálculo menudo permite introducir función predefinida cálculo en una celda y obtener respuesta final. Se puede puede utilizar utilizar cualquier obtener de inmediato inmediato la respuesta cualquier sistema sistema cálculo: uno disponible, disponible, como como Microsoft cualquier sistema sistema de hoja de cálculo: Microsoft Excel©, Excel©, o cualquier diseñado diseñado especialmente especialmente con funciones funciones y operadores operadores financieros financieros incorporados. incorporados. A lo largo de esta obra utilizaremos Excel uso. obra utilizaremos Excel por su disponibilidad disponibilidad y facilidad facilidad de uso. apéndice A constituye constituye un sencillo sencillo manual sobre el empleo empleo de hojas cálcuEl apéndice manual sobre hojas de cálcuExcel, donde donde las funciones funciones que se utilizan ingeniería económica económica se descridescrilo y Excel, utilizan en la ingeniería detalladamente, con explicaciones explicaciones de todos los parámetros (denominados arguarguben detalladamente, parámetros (denominados mentos) ubicados paréntesis después ubicados entre entre paréntesis después del identificador identificador de función función.. La función función de ayuda proporciona información también ayuda en línea línea de Excel Excel proporciona información similar. El apéndice apéndice A también incluye una sección sección sobre composición composición de hojas cálculo, que resulta cuando incluye hojas de cálculo, resulta útil cuando se presenta trabajo, presenta un informe informe de análisis análisis económico económico a alguien: alguien: un compañero compañero de trabajo, jefe o un profesor. un jefe profesor. Un total de seis funciones Excel pueden pueden llevar funciones de Excel llevar a cabo la mayoría mayoría de los cálculos básicos básicos de la ingeniería ingeniería económica. económica. Sin embargo, embargo, tales funciones funciones no elimielimicálculos necesidad de conocer conocer las funciones funciones del valor dinero en el tiempo nan la necesidad valor del dinero tiempo y del compuesto. Las funciones funciones constituyen constituyen herramientas herramientas complementarias complementarias iminterés compuesto. portantes; relaciones, supuestos técportantes; aunque aunque no sustituyen sustituyen el conocimiento conocimiento de las relaciones, supuestos y técnicas de la ingeniería ingeniería económica. económica. En conformidad Yn según conformidad con los símbolos símbolos P, F, A, i Yn según se definieron definieron en la sección sección funciones de Excel Excel más utilizadas análisis de ingeniería ingeniería econóeconóanterior, las funciones utilizadas en un análisis formulan de la siguiente siguiente manera: mica se formulan manera: calcular el valor VP(i%,n,A,F) Para calcular valor presente presente P: VP(i% ,n,A,F) calcular el valor VF(i%,n,A,P) Para calcular valor futuro F: VF(i%,n,A,P) calcular el valor igual A: PMT(i%n,P,F) PMT(i%n,P,F) Para calcular valor periódico periódico igual calcular el número NPER(i%,A,P,F) Para calcular número de periodos periodos n: NPER(i%,A,P,F) calcular la tasa de interés interés compuesto compuesto i: TASA(n,A,P,F) TASA(n,A,P,F) Para calcular calcular la tasa de interés interés compuesto compuesto i: TIR(primera_celda:última_celda) TIR(primera_celda:última_celda) Para calcular calcular el valor valor presente cualquier serie: VPN(i%, Para calcular presente P de cualquier VPN(i%, segunda celda.última celda) + primera_celda segunda3elda:última_celda) primera_celda

27

28

Fundamentos de ingeniería ingeniería económica económica CAPÍTULO 11 Fundamentos CAPÍTULO

~ Sol-R Sol-R

§l l!l Sol-E Sol-E

Si alguno de los parámetros parámetros no se relaciona relaciona con un problema problema específico, específico, se le puede puede omitir y se le supondrá supondrá un valor de cero. Si el parámetro parámetro omitido omitido es uno anterior, se debe introducir introducir una coma. Las últimas últimas dos funciones funciones requieren requieren que se introduzca introduzca una serie de números números en celdas celdas contiguas contiguas de la hoja hoja de cálculo; cálculo; no obstante, obstante, las primeras S5 se pueden pueden emplear emplear sin datos de apoyo. En todos los casos, casos, la función función primeras debe ir precedida precedida por un signo de igual igual (=) en la celda celda donde donde aparecerá aparecerá la respuesta. respuesta. Cada una de estas funciones funciones se explicará explicará y ejemplificará ejemplificará en la parte parte del texto Cada donde resulte más útil. Sin embargo, para obtener una idea de la manera donde resulte embargo, para obtener idea manera en que funcionan, el lector puede remitirse a los ejemplos 1.10 y 1.11. En el ejemplo funcionan, lector puede remitirse ejemplos ejemplo 1.10, se desconoce desconoce el valor valor futuro F, como como lo indica indica F = = ? que aparece aparece en la solución. solución. En el siguiente utilizar el valor valor del dinero para siguiente capítulo capítulo aprenderemos aprenderemos a utilizar dinero en el tiempo tiempo para calcular F, dados P, i Yn. Para determinar F en este ejemplo utilizando una hoja calcular dados Y n. Para determinar ejemplo utilizando una hoja de cálculo, tan sólo se introduce en cualquier celda la función VF precedida cálculo, introduce cualquier celda función precedida por por un signo de igual. El formato formato es el siguiente: siguiente: VF(Tasa, nper.iva) o VF(8%,5,,10000). VF(Tasa, nper"va) VF(8%,S,,10000). La coma coma se introduce introduce en virtud figura 1.Sa 1.5a es una virtud de que no hay valor valor para para A. La figura una imagen de pantalla de la hoja de cálculo de Excel en la función VF que se incorpora imagen pantalla cálculo Excel función VF incorpora a la celda celda B2. La respuesta $-14,693.28 aparece respuesta de $-14,693.28 aparece en la pantalla. pantalla. La respuesta respuesta está está en color color rojo en la pantalla real de Excel para indicar una cantidad negativa pantalla Excel para indicar una cantidad negativa desde desde la perspectiva del prestatario, cual se reembolsará después de 5S perspectiva prestatario, con la cual reembolsará el préstamo préstamo después años. La función función VF aparece aparece en la barra de fórmulas en la parte superior barra fórmulas parte superior de la hoja hoja de cálculo. hemos añadido añadido una una etiqueta celda para para mostrar mostrar el formato formato cálculo. Además, Además, hemos etiqueta de celda de la función función VF. busca el valor valor del monto monto anual anual uniforme uniforme A y se conocen conocen los En el ejemplo ejemplo 1.11 se busca valores de P, i Y n. Determine A utilizando la función PAGO(i%,n,P); en este Y Determine utilizando función PAGO(i%,n,P); este caso, caso, valores PAG0(7%,1O,2000). La figura 1.5b muestra el resultado en la celda C4. El formato PAGO(7%,1O,2000). figura l.Sb muestra resultado celda formato de la función función VF aparece aparece en la barra barra de fórmulas fórmulas junto junto con con la etiqueta etiqueta de la celda. celda. Como estas funciones son rápidas y fáciles de usar, las veremos Como funciones rápidas fáciles veremos con detalle detalle en diversos diversos ejemplos ejemplos a lo largo largo del texto. texto. Cuando Cuando sólo sólo una una función función proporciona proporciona la respuesta, aparece icono especial especial con dos banderas: banderas: Sol-R Sol-R (solución (solución rápida). rápida). En respuesta, aparece un icono los capítulos iniciales del nivel 1 se muestran las funciones generales y capítulos iniciales nivel muestran funciones generales específicas específicas de la hoja de cálculo. En los capítulos siguientes, hoja cálculo. capítulos siguientes, el icono icono Sol-R Sol-R aparece aparece al margen margen indica la función hoja de cálculo cálculo en la solución solución del ejemplo. ejemplo. y se indica función de la hoja Cuando utiliza el poder poder de la computadora computadora para para resolver resolver problemas problemas más más Cuando se utiliza complejos que que incluyen incluyen varias varias funciones funciones y quizá quizá un un diagrama diagrama (gráfica) (gráfica) de Excel, Excel, al complejos margen aparece aparece un icono icono con con un relámpago relámpago con con la leyenda leyenda Sol-E. Sol-E. Estas Estas hojas hojas de margen cálculo son mucho mucho más más complejas complejas y contienen contienen más más información información y cálculos, cálculos, en parparcálculo ticular cuando se realiza un análisis de sensibilidad. La solución por computadora ticular cuando realiza un análisis sensibilidad. La solución por computadora para para un ejemplo ejemplo siempre siempre aparece aparece después después de la solución solución a mano. mano. Como Como se menciomencionó antes, la función de la hoja de cálculo no representa un sustituto antes, función la hoja cálculo representa un sustituto de la la comprencomprensión y aplicación aplicación adecuadas adecuadas de las las relaciones relaciones de de la la ingeniería ingeniería económica. económica. Por Por lo lo tanto, las soluciones a mano y por computadora se complementan entre sí. tanto, soluciones mano por computadora se complementan entre

otr: inv.

ciói ori¡ razi ele: razi

1.9 1.9

TASA TASA MíNIMA MíNIMA ATRACTIVA ATRACTIVA DE DE RENDIMIENTO RENDIMIENTO

Para Para que que una una inversión inversión sea sea rentable, rentable, el inversionista inversionista (una (una corporación corporación o individuo) individuo) espera espera recibir recibir una una cantidad cantidad de dinero dinero mayor mayor de la la que que originalmente originalmente invirtió. invirtió. En En

rior mír rete con

SECCIÓN

1.9

29

Tasa mínima atractiva de rendimiento

Figura 1.5

e e a

Funciones de la hoja de . cálculo de Excel para a) el ejemplo 1.1O Y b) el ejemplo 1.11.

n

a e n

).

a a á a 5 a o

a)

o n

la n

b)

fa 0-

nlo

otras palabras, debe ser posible obtener una tasa de retorno o rendimiento sobre la inversión atractivos. En esta explicación se utilizará la definición de TR de la ecuación [2.4], es decir, la cantidad obtenida como ganancia dividida entre la cantidad original. En ingeniería, las alternativas se evalúan con base en un pronóstico de una TR razonable. Por consiguiente, se debe establecer una tasa razonable para la fase de elección de criterios en un estudio de ingeniería económica (figura 1.1). La tasa razonable recibe el nombre de tasa mínima atractiva de retorno (TMAR) y es superior a la tasa que ofrece un banco o alguna inversión segura que implique un riesgo mínimo. La figura 1.6 muestra las relaciones entre diferentes valores de la tasa de retorno. En Estados Unidos, la tasa actual de los bonos del tesoro a veces se utiliza como tasa segura de referencia.

Cap.

io

30

Figura 1.6 1.6 Figura Magnitud de de la la TMAR TMAR Magnitud con respecto respecto a otros otros con valores de de tasas tasas de de valores rendimiento. rendimiento.

CAPÍTULO CAPÍTULO 1

Fundamentos Fundamentos de de ingeniería ingeniería económica económica

Tasa Tasa de de rendimiento, rendimiento, porcentaje porcentaje

Tasa Tasa de de rendimiento rendimiento esperada esperada de de una una nueva nueva propuesta propuesta

cosn a cal nio

j

hace aune

Rango Rango para para la tasa tasa de de rendimiento rendimiento en en propuestas propuestas aceptadas, aceptadas, en en caso caso de de que que otras otras propuestas propuestas fueran fueran rechazadas rechazadas por por alguna alguna razón razón

Todas las las propuestas propuestas Todas deben deben ofrecer ofrecer al menos menos ---\+-- -__o+0-TMAR a fin de de que que la TMAR sean consideradas sean consideradas

TMAR TMAR

Tasa de rendimiento una Tasa rendimiento en una "inversión segura" segura" "inversión

TMAR también también recibe recibe el nombre nombre de tasa base para para proyectos; proyectos; es decir, que La TMAR para que se considere considere viable viable desde desde el punto punto de vista financiero, financiero, la TR esperada esperada debe para igualo superior superior a la TMAR TMAR o tasa base. Observe Observe que la TMAR TMAR no es una tasa ser igualo calcule como una TR. La TMAR TMAR es establecida establecida por dirección dirección (financiera) (financiera) y que se calcule utiliza como criterio criterio para valorar valorar la TR de una alternativa, alternativa, en el momento momento de se utiliza tomar decisiones decisiones de aceptación aceptación o rechazo. rechazo. tomar Para comprender comprender fundamentalmente fundamentalmente cómo cómo se fija y aplica aplica un valor valor para para la Para TMAR, debemos debemos volver volver al término término capital capital que se presentó presentó en la sección sección 1.1. La TMAR, palabra capital capital también también recibe recibe el nombre nombre de fondos capital y de inversión inversión de palabra fondos de capital capital. En general general el obtener obtener capital capital siempre siempre cuesta cuesta dinero dinero en la forma de interés. capital. interés, establecido establecido en la forma de tasa de porcentaje, porcentaje, recibe recibe el nombre nombre de costo El interés, ejemplo, si usted desea comprar comprar un nuevo equipo equipo de sonido, pero del capital. Por ejemplo, cuenta con suficiente suficiente dinero (capital), (capital), podría podría obtener obtener un préstamo préstamo de una socieno cuenta crédito con alguna alguna tasa de interés, digamos, digamos, del 9% anual, y pagar pagar en efectidad de crédito comerciante. O quizás utilice utilice su recién adquirida adquirida taIjeta tarjeta de crédito crédito y vo ahora al comerciante. mensualmente. Esta elección elección probablemente probablemente le costará costará por lo menos pagar el saldo mensualmente. podría utilizar utilizar los fondos de su cuenta cuenta de ahorros, ahorros, que obtiene obtiene 18% anual. O bien, podría rendimiento de 5% anual, y pagar en efectivo. efectivo. Las tasas de 9,18 9,18 yY5% constituyen un rendimiento 5% constituyen estimaciones del costo del capital para incrementar incrementar el capital y adquirir adquirir el sistema sistema sus estimaciones diferentes métodos métodos de financiamiento. financiamiento. Asimismo, Asimismo, las corporaciones corporaciones calculan calculan el por diferentes

Del resu com fonc pror

tar ( del ( nece

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rimi lacir nier

que sufi dem em¡: espf pro) flecJ fonc tierr capi

SECCIÓN 1.9 SECCIÓN

Tasa mínima mínima atractiva Tasa atractiva de rendimiento rendimiento

costo del capital proveniente de diferentes obtener los fondos fondos y llevar llevar capital proveniente diferentes fuentes fuentes para para obtener proyectos de ingeniería ingeniería y de otros tipos. a cabo proyectos En general, financiamiento de patrimopatrimogeneral, el capital capital se obtiene obtiene de dos formas: por por financiamiento proyectos, se acostumbra acostumbra nio y por financiamiento financiamiento de deuda. Para Para la mayoría mayoría de los proyectos, este tema tema con detalle, detalle, hacer una combinación combinación de ambos. El capítulo capítulo 10 analiza analiza este haremos una breve breve descripción descripción de él. aunque aquí haremos Financiamiento de patrimonio. patrimonio. La corporación corporación utiliza utiliza sus propios Financiamiento propios fondos fondos de efectivo a mano, ventas de existencias existencias o utilidades utilidades acumuladas. acumuladas. Un indiviefectivo individuo puede inversiones. En el ejemplo ejemplo puede utilizar utilizar su propio propio efectivo, efectivo, ahorros ahorros o inversiones. anterior, ahorros con e15% e15% consticonstianterior, la utilización utilización del dinero de la cuenta cuenta de ahorros tuye un financiamiento financiamiento de patrimonio. patrimonio. Financiamiento préstamos de fuentes fuentes exFinanciamiento de deuda. deuda. La corporación corporación obtiene obtiene préstamos ternas y reembolsa acuerdo con un programa programa reembolsa el principal principal y los intereses intereses de acuerdo semejante al de los planes planes de la tabla tabla 1.3. Las fuentes semejante fuentes del capital capital que se adeuda bonos, préstamos, fondos comunes comunes de capital capital adeuda pueden pueden ser bonos, préstamos, hipotecas, hipotecas, fondos riesgoso y muchos muchos más. Asimismo, Asimismo, los individuos riesgoso individuos pueden pueden utilizar utilizar fuentes fuentes de préstamos, crédito préstamos, tal como la tarjeta tarjeta de crédito crédito y las sociedades sociedades de crédito descritas descritas en el ejemplo ejemplo del equipo equipo de sonido. sonido.

ue

be sa )y

De la combinación patrimonio combinación del financiamiento financiamiento de deuda deuda y el financiamiento financiamiento de patrimonio resulta un costo promedio equipo de sonido promedio ponderado ponderado del capital capital (CPPC). (CPPC). Si el equipo sonido se compra compra con 40% del dinero dinero de la tarjeta tarjeta de crédito crédito al 18% anual, y el 60% de los fondos de la cuenta costo cuenta de ahorros, ahorros, que obtienen obtienen un crecimiento crecimiento de 5% anual, el costo promedio ponderado ponderado del capital capital es 0.4(18) 0.6(5) = = 10.2% anual. promedio 0.4(18) + 0.6(5) como criterio criterio para para acepacepPara una corporación, corporación, la TMAR establecida establecida utilizada utilizada como tar o rechazar costo promedio promedio ponderado ponderado rechazar una alternativa alternativa siempre siempre será superior superior al costo del capital fondos de capital capital capital con el que la corporación corporación debe cargar cargar para para obtener obtener los fondos necesarios. necesarios. Por lo tanto, la desigualdad desigualdad TIR TIR ~ ~ TMAR TMAR > costo del capital capital

[1.7]

de la La de

satisfacerse para para un proyecto aceptado. Algunas Algunas excepciones excepciones serían serían los requedebe satisfacerse proyecto aceptado. requerimientos protección ambiental, legisrimientos por la regulación regulación gubernamental gubernamental (seguridad, (seguridad, protección ambiental, legisde alto riesgo y muy lucrativas, etc. Los proyectos de ingelación, etc.), empresas empresas riesgo lucrativas, proyectos niería de valor agregado por lo común cumplen la ecuación [1.7]. valor agregado común cumplen ecuación frecuente que haya haya muchas alternativas de las que se espera Es frecuente muchas alternativas espera tengan tengan una una TIR TIR exceda la TMAR, TMAR, como se aprecia aprecia en la figura figura 1.6, pero que exceda pero podría podría no haber haber capital capital suficiente riesgo del proyecto proyecto es suficiente para para emprender emprender todas, o quizá quizá se estime estime que el riesgo demasiado proyectos nuevos nuevos que se demasiado alto para para efectuar efectuar la inversión. inversión. Por tanto, los proyectos emprenden rendimiento emprenden generalmente generalmente son aquellos aquellos que tienen tienen al menos menos una una tasa de rendimiento esperada destinan fondos. fondos. Un esperada tan alta como como la de otra alternativa alternativa a la que aún no se destinan proyecto nuevo de este tipo sería como TIR representada representada por por la proyecto como la propuesta propuesta con TIR flecha superior. Por ejemplo, Yque no pueden pueden asignarse asignarse ejemplo, suponga suponga que la TMAR TMAR = = 12% Yque para la propuesta propuesta 1 con TIR = = 13% debido debido a la carencia carencia de capital. fondos para capital. Al mismo mismo propuesta 2 tiene una TIR = = 14.5% YYcuenta tiempo, la propuesta cuenta con fondos fondos procedentes procedentes del disponible. Como Como la propuesta propuesta 1 no se acepta acepta debido debido a la falta capital disponible. falta de capital, capital, su

31

32

CAPÍTULO 1 Fundamentos Fundamentos de ingeniería ingeniería económica económica CAPÍTULO

TIR estimada de 13% se conoce costo de oportunidad; oportunidad; es decir, decir, se deja deja TIR estimada conoce como como el costo pasar la oportunidad oportunidad de obtener obtener un rendimiento rendimiento adicional adicional de 13%. pasar

1.10 1.10

FLUJOS DE EFECTIVO: EFECTIVO: ESTIMACiÓN ESTIMACiÓN Y DIAGRAMACIÓN DIAGRAMACIÓN

En la sección efectivo como como las entradas entradas y salidas salidas de sección 1.3 se describieron describieron los flujos de efectivo dinero. Estos flujos pueden valores observados. observados. Cada Cada individuo individuo o pueden ser estimaciones estimaciones o valores empresa ingresos (entradas)-; (entradas)-; y empresa cuenta cuenta con entradas entradas de efectivo efectivo -rendimientos -rendimientos e ingresos desembolsos (salidas)-. Estas Estas entradas entradas y desemboldesemboldesembolsos de efectivo efectivo -gastos -gastos y costos costos (salidas)-. sos constituyen representa las entradas entradas de constituyen los flujos de efectivo; efectivo; con un signo más representa efectivo efectivo. Los flujos de efectivo efectivo efectivo y con un signo menos representa representa las salidas salidas de efectivo. ocurren como un mes o un año. ocurren durante durante periodos periodos específicos, específicos, tales tales como De todos los elementos estudio de ingeniería ingeniería económica económica (figura (figura elementos del enfoque enfoque de estudio estimación de flujos de efectivo efectivo es probablemente 1.1), la estimación probablemente la más difícil difícil e inexacta. inexacta. Las estimaciones estimaciones relativas relativas a un estimaciones de flujos de efectivo efectivo son sólo eso: estimaciones futuro incierto. libro orientan orientan en el proceso proceso incierto. Una Una vez estimadas, estimadas, las técnicas técnicas de este libro de toma probada con el tiempo tiempo de la estitoma de decisiones. decisiones. Sin embargo, embargo, la exactitud exactitud probada mación alternativa claramente claramente determina determina la mación de entradas entradas y salidas salidas de efectivo efectivo de una alternativa calidad calidad del análisis análisis económico económico y su conclusión. conclusión. pueden constar constar de los siguientes siguientes elemenelemenLas entradas entradas de efectivo, efectivo, o ingresos, ingresos, pueden tos, dependiendo propuesta y de la clase clase de negocio negocio dependiendo de la naturaleza naturaleza de la actividad actividad propuesta que se emprendá. emprendá. Ejemplos Ejemplos de entradas entradas de efectivo efectivo (estimación) (estimación) Ingresos provenientes de una una alternativa). alternativa). Ingresos (por lo general general incrementales incrementales provenientes Reducciones (atribuibles a una una alternativa). alternativa). Reducciones en los costos costos de operación operación (atribuibles Valor de salvamento salvamento de activos. Recepción Recepción del principal principal de un préstamo. préstamo. Ahorros Ahorros en impuesto impuesto sobre la renta. Ingresos acciones y bonos. bonos. Ingresos provenientes provenientes de la venta de acciones Ahorros instalaciones. Ahorros en costos costos de construcción construcción e instalaciones. Ahorros capital corporativo. corporativo. Ahorros o rendimiento rendimiento de los fondos fondos de capital Las salidas estar constituidas constituidas por por los siguientes salidas de efectivo, efectivo, o desembolsos, desembolsos, pueden pueden estar siguientes elementos, naturaleza de la actividad actividad y del tipo elementos, dependiendo, dependiendo, de nueva nueva cuenta, cuenta, de la naturaleza de negocio. negocio. Ejemplos Ejemplos de salidas salidas de efectivo efectivo (estimación) (estimación) Costo Costo de adquisición adquisición de activos. activos. Costos de diseño de ingeniería. ingeniería. Costos Costos Costos de operación operación (anual e incremental). incremental). Costos remodelación. Costos de mantenimiento mantenimiento periódico periódico y de remodelación. Pagos del interés interés y del principal principal de un préstamo. Pagos préstamo. Costo de actualización (esperados o no esperados). Costo actualización (esperados esperados). Impuestos sobre la renta. Impuestos Gasto de fondos de capital capital corporativos. corporativos. Gasto

Lai en d nier tacii ciar

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esta ció~ dos, estii

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SECCIÓN 1.10 SECCIÓN

eja

de 00

so stiala encio

Flujos de efectivo: efectivo: estimación estimación y diagramación diagramación Flujos

información necesaria llevar a cabo las estimaciones estimaciones puede estar disponible La información necesaria para para llevar puede estar disponible departamentos tales como como contabilidad, contabilidad, finanzas, finanzas, mercadotecnia, ingeen departamentos mercadotecnia, ventas, ventas, ingeniería, diseño, diseño, manufactura, servicios de campo campo y servicios servicios compucompumanufactura, producción, producción, servicios tacionales. exactitud de las estimaciones estimaciones depende depende en gran medida experientacionales. La exactitud medida de la experienestimación con situaciones situaciones similares. similares. Generalmente Generalmente cia de la persona persona que realiza realiza la estimación efectúan estimaciones estimaciones puntuales; obtiene la estimación estimación de un vase efectúan puntuales; es decir, que se obtiene elemento económico económico de una alternativa. alternativa. Si se adopta adopta un enfoque enfoque lor único para para cada cada elemento estadístico para estudio de la ingeniería ingeniería económica, económica, puede estimaestadístico para el estudio puede realizarse realizarse una estimación de rango rango o estimación estimación de distribución. distribución. Aunque cálculos son más complicacomplicación Aunque sus cálculos estadístico ofrece ofrece resultados completos cuando cuando se espera espera que las dos, un estudio estudio estadístico resultados más completos estimaciones clave varíen ampliamente. En gran parte estimaciones clave varíen ampliamente. parte de este libro utilizaremos utilizaremos estimaciones capítulos estudiaremos estudiaremos la toma decisiones timaciones puntuales. puntuales. En los últimos últimos capítulos toma de decisiones bajo riesgo. Una vez que se llevan llevan a cabo las estimaciones estimaciones de entradas entradas y salidas salidas de efectivo, efectivo, determinar el flujo de efectivo efectivo neto. es posible posible determinar Flujo de efectivo neto == ingresos ingresos - desembolsos desembolsos Flujo = entradas entradas de efectivo - salidas salidas de efectivo ==

[1.8]

efectivo normalmente lugar en puntos Puesto que los flujos de efectivo normalmente tienen tienen lugar puntos variables variables del tiempo dentro dentro de un periodo interés, se adopta supuesto que simplifica simplifica el periodo de interés, adopta un supuesto análisis. análisis. La convención convención de final implica la suposición suposición de que todos La final de periodo periodo implica todos los ocurren al final de un interés. Si varios ingreun periodo periodo de interés. varios ingreflujos de efectivo ocurren desembolsos se llevan llevan a cabo cabo dentro dentro de un periodo de interés interés determidetermiun periodo sos y desembolsos nado, supuesto que el flujo flujo de efectivo neto neto ocurre ocurre al final del por supuesto nado, se da por periodo interés. periodo de interés.

tes ipo

embargo, debe quedar quedar claro claro que aunque aunque las cantidades cantidades F o A convención se Sin embargo, A por convención localizan al final del periodo interés, el final del periodo periodo no necesariamente localizan periodo de interés, necesariamente es el 31 de diciembre. diciembre. En el ejemplo ejemplo 1.12, el depósito depósito se hizo el1 el1 de julio 31 julio de 2002, y los retiros se harían el 1 de julio cada uno de los siguientes siguientes 10 años. años. Así, harían elide julio de cada Así, fin de perioperiodel periodo de interés, interés, no no fin del año año calendario. calendario. do significa significa fin fin del periodo de fin del diagrama de flujo efectivo constituye constituye una herramienta importante en El diagrama flujo de efectivo herramienta muy importante un análisis análisis económico, económico, en particular cuando la serie del flujo de efectivo efectivo es complecompleparticular cuando ja. gráfica de los flujos de efectivo efectivo trazados sobre ja. Se trata trata de una representación representación gráfica trazados sobre una escala escala de tiempo. diagrama incluye incluye los datos conocidos, conocidos, los datos estimados estimados tiempo. El diagrama y la información información que se necesita. diagrama de flujo de necesita. Es decir, que una vez que el diagrama efectivo se encuentra encuentra completo, completo, otra persona debería ser capaz capaz de abordar abordar el proefectivo persona debería blema blema a partir partir del mismo. mismo. diagrama de flujo t = = O es el presente, presente, y t = = 1 es el final del El tiempo tiempo del diagrama periodo supondremos que los periodos expresan en años. La escala escala periodo 1. Por ahora, supondremos periodos se expresan figura 1.7 abarca abarca 5 años. Ya que la convención convención de final de año ubica de tiempo tiempo de la figura ubica efectivo al final de cada cada año, año, el "1" indica indica el final del año 1. los flujos de efectivo

33

34

CAPÍTULO 1 Fundamentos Fundamentos de ingeniería ingeniería económica económica CAPÍTULO

Figura 1.7 Escala típica de tiempo de flujo de efectivo durante 5 años años..

Año Año 1

Año Año 5

~

~

oo

2

3

I

I

4

5

•

Tiempo

Aunque diagrama de flujo de Aunque no es necesario necesario trazar trazar una escala escala exacta exacta en el diagrama efectivo, diagrama claro claro efectivo, probablemente probablemente se evitarán evitarán muchos muchos errores errores si se elabora elabora un diagrama para para aproximar aproximar la escala escala del tiempo tiempo y de las magnitudes magnitudes relativas relativas de los flujos de efectivo. efectivo. La dirección flechas del diagrama resulta importante. importante. dirección de las flechas diagrama de flujo de efectivo efectivo resulta Una flecha flecha vertical vertical que apunta apunta hacia hacia arriba arriba indica indica un flujo de efectivo Una efectivo positivo. positivo. Por Por el contrario, efectivo negativo. negativo. contrario, una flecha flecha que apunta apunta hacia hacia abajo indica indica un flujo de efectivo figura 1.8 ilustra ilustra un ingreso ingreso (entrada (entrada de efectivo) efectivo) al final del año 1 y desembolLa figura desembolsos iguales iguales (salidas (salidas de efectivo) efectivo) al final de los años 2 y 3. Antes signo en él, es Antes de dibujar dibujar un diagrama diagrama de flujo de efectivo efectivo y colocar colocar un signo necesario una persona persona necesario determinar determinar la perspectiva perspectiva o punto punto de vista. Como Como ejemplo, ejemplo, si una obtiene préstamo de $2500 $2500 para para comprar comprar en efectivo efectivo una Harley-Davidson obtiene un préstamo Harley-Davidson usausada de $2 000 y utiliza pueden adoptarse adoptarse utiliza el resto para para pagar pagar un trabajo trabajo de pintura, pintura, pueden diferentes perspectivas. perspectivas. Las perspectivas, perspectivas, los signos signos del flujo de efectivo diferentes efectivo y las cantidades son las siguientes. siguientes. tidades

Perspectiva Perspectiva

Flujo de de efectivo, efectivo, $

Sociedad Sociedad de crédito crédito La La persona persona como como prestatario prestatario La La persona persona como como comprador comprador de la motocicleta, motocicleta, y como como cliente del del servicio servicio cliente de pintura pintura Distribuidor Distribuidor de motocicletas motocicletas usadas usadas Propietario del Propietario del taller taller de pintura pintura

--2500 2500 +2500

--2000 2000

-500 +2000 +500 +500

+

Figu ra 1.8 Figura Ejemplo de flujos de efectivo positivo y negativo.

'"o '" ·u>

~~~------1-------~--------+----------~~------~-------1--------+----------~ Tiempo "t:l

~ ~

""o

ll

2

fi

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e

SECCIÓN 1.10 1.10 SECCIÓN

EJEMPLO EJEMPLO

1.15 1.15

35

efectivo: estimación estimación y diagramación Flujos Flujos de efectivo: diagramación

.~

Reconsidere el ejemplo ejemplo 1.10, 1.10, donde donde se solicita solicita un préstamo $10 000 000 al 8% anual Reconsidere préstamo P = $10 anual y se pretende determinar determinar F después después de de 5 años. Construya el el diagrama flujo de efectivo. pretende años. Construya diagrama de de flujo de efectivo. Solución Solución figura 1.9 muestra muestra el diagrama diagrama de flujo de efectivo el punto La figura de flujo efectivo desde desde el punto de de vista vista del del prestaprestatario. La suma actual actual P constituye constituye una entrada de préstamo en en el una entrada de efectivo efectivo del del principal principal del del préstamo tario. La suma O, y la cantidad cantidad futura futura F es la salida salida de efectivo efectivo correspondiente correspondiente al pago año O, pago de de la la deuda deuda al final del del año año 5. La La tasa de interés interés debe el diagrama. final tasa de debe indicarse indicarse en en el diagrama.

+

"" ""

i=8% i=8%

P=$lOOOO P = $10000

·í~~~-------;---------+---------r---------r--------+---------~-------~-------+--------4-------~~------~--~----+-------~~------­ .~ tl

{l ~ o

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2

3

4

5

..¡¡., ¡¡.,

F=? F=? Figura 1.9 Figura Diagrama de flujo flujo de efectivo efectivo (ejemplo 1.15). Diagrama (ejemplo 1.15).

EJEMPLO EJEMPLO

11.16 .16

:

Cada año año Exxon-Mobil Exxon-Mobil gasta gasta cantidades cantidades de dinero importantes sistemas mecánicos de Cada de dinero importantes en sistemas mecánicos de seguridad en sus operaciones operaciones alrededor alrededor del del mundo. Carla Ramos, ingeniera industrial seguridad mundo. Carla Ramos, ingeniera industrial para las las operaciones operaciones que que se llevan llevan a cabo cabo en en México Central, programa para México y América América Central, programa gastos gastos millón de dólares dólares ahora ahora yen y en cada cada uno siguientes cuatro cuatro años, años, exclusivamente exclusivamente de un millón uno de de los los siguientes para el mejoramiento mejoramiento de válvulas válvulas de alivio de presión Construya el diagrama para de alivio presión industriales. industriales. Construya diagrama flujo de efectivo efectivo para para determinar determinar el valor equivalente de de dichos dichos gastos gastos al final final del del año año de flujo valor equivalente 4, utilizando utilizando un costo costo del del capital capital estimado estimado para fondos seguros seguros al 12% 12% anual. anual. para fondos Solución Solución La figura figura 1.10 1.10 muestra muestra la serie serie de de flujos flujos de efectivo efectivo negativos (gastos) duranLa negativos y uniformes uniformes (gastos) duranperiodos, así así como como el valor desconocido de (flujo de efectivo positivo equivalente) de efectivo positivo equivalente) te 5 periodos, valor desconocido de F (flujo exactamente mismo momento momento que quinto gasto. exacta. mente en el mismo que el quinto gasto. Como Como los los gastos gastos comienzan comienzan a

i = 12% 12% i=

F =? F=?

¡ ¡ ¡ ¡ '1 ~:-----i-t-¡-¡-41-AñO

-1

O

2

~-----

A = $1 $1 000000 000000

Figura 1.10 Figura 1.10 Diagrama de flujo flujo de de efectivo efectivo (ejemplo 1.16). Diagrama (ejemplo 1.16).

3

Año

Año Año

36

CAPÍTULO

1

Fundamentos

de ingeniería económica

hacerse de inmediato, el primer millón de dólares aparece en el tiempo cero, no en el tiempo 1. Por lo tanto, el último flujo de efectivo negativo aparece al final del cuarto año, cuando también se presenta F. Para que este diagrama se asemeje al de la figura 1.9, con cinco años completos en la escala del tiempo, se agrega el año -1 antes del año O para completar el diagrama con 5 años completos. Esta adición demuestra que el año O es el punto que representa el final del periodo del año -1.

Un padre desea depositar una cantidad única desconocida en una oportunidad de inversión 2 años después de hoy, suficiente como para retirar $4 000 anuales que destinará para pagar la universidad durante 5 años comenzando dentro de 3 años. Si se estima que la tasa de rendimiento es de 15.5% anual, construya el diagrama de flujo de efectivo. Solución La figura 1.11 muestra los flujos de efectivo desde la perspectiva del padre. El valor presente P es una salida de efectivo dentro de 2 años por determinar (P = ?). Note que este valor presente no ocurre en el tiempo t = O, sino en un periodo anterior al primer valor A de $4 000, que constituye la entrada de efectivo del padre.

A = $4000

i = 15~%

I

'l

o

Por 14.l 14.: tien pan se e

el d val<

1 1 1 1-13

5

4

6

7

Año

p=?

Por reqi La

Figura 1.11 Diagrama

de flujo de efectivo (ejemplo

1.17).

Ejemplos adicionales 1.19 y 1.20.

lOC plo sirr

1.11

REGLA DEL 72: ESTIMACIONES DEL TIEMPO Y TASA DE INTERÉS PARA DUPLICAR UNA CANTIDAD DE DINERO

A veces resulta útil calcular el número de años n o la tasa de retorno i que se requiere para duplicar una cantidad de flujo de efectivo única. Para calcular ion, dado uno de los valores, se puede aplicar la regla del 72 para tasas de interés compuesto. Los cálculos son sencillos. El tiempo que se requiere para que una única cantidad inicial se duplique con un interés compuesto es aproximadamente igual a 72 dividido entre la tasa de retorno expresada como porcentaje.

. d0=-72 n estima l

[1.9]

1.1

El EXI

em

ans inu del

SECCIÓN

TABLA

1.4

1.12

Aplicación

de la hoja de cálculo: interés simple y compuesto

Estimacipnes de tiempos para duplicación aplicando la regla "de17/zy" el tiempo real con cálculos de interés compuesto" Tiempo para duplicación

Tasa de retorno, % anual 1 2 5 10 20 40

37

,

(años)

Estimación por la regla del 72

Años reales

72 36 14.4

70 35.3 14.3

7.2 3.6 1.8

7.5 3.9 2.0

Por ejemplo, una cantidad actual tardaría en duplicarse aproximadamente 72/5 = 14.4 años a una tasa de interés del 5% anual. (El tiempo real que se requiere es de 14.3 años, como se demostrará en el capítulo 2.) En la tabla 1.4 se comparan los tiempos estimados a partir de la regla del 72 con los tiempos reales que se requieren para llevar a cabo la duplicación a diferentes tasas compuestas. Como puede verse, se obtienen buenas estimaciones. Por otra parte, la tasa compuesta i, expresada en porcentaje, necesaria para que el dinero se duplique en un periodo específico n se calcula dividiendo 72 entre el valor conocido de n. .

l

. d 72 estima a =n

[1.10]

Por ejemplo, para duplicar cierta cantidad de dinero en un periodo de 12 años, se requeriría una tasa de retorno compuesta de aproximadamente 72/12 = 6% anual. La respuesta exacta es 5.946% anual. Si la tasa de interés es simple, se puede utilizar de forma análoga una regla del 100. En tal caso, las respuestas que se obtienen siempre serán exactas. Como ejemplo, el dinero se duplica exactamente en 12 años al 100/12 = 8.33% de interés simple; o bien, se duplica exactamente en 100/5 = 20 años a15% de interés simple.

1.12

APLICACiÓN DE LA HOJA DE CÁLCULO: INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO Y ESTIMACIONES DE FLUJOS DE EFECTIVO VARIABLES

El ejemplo siguiente demuestra la forma en que se aplica la hoja de cálculo de Excel para obtener valores futuros equivalentes. Un elemento clave consiste en el empleo de relaciones matemáticas desarrolladas en las celdas para llevar a cabo un análisis de sensibilidad con estimaciones variables de flujo de efectivo y de tasas de interés. Responder estas preguntas básicas con cálculos hechos a mano consumen demasiado tiempo; la hoja de cálculo facilita el trabajo.

1!l Sol·E

38

CAPÍTULO 1 Fundamentos Fundamentos de ingeniería ingeniería económica económica

EJEMPLO EJEMPLO

~ ~

1.18 1 .18

~.

Una empresa de arquitectura ubicada en Japón pidió a un grupo de ingeniería ingeniería de progracomputadora en Estados Unidos, que infunda la capacidad sensora del SIG (sismas de computadora tema de información geográfica) vía satélite a los programas de vigilancia vigilancia de estructuras altas, con el fin de detectar movimientos movimientos horizontales con una intensidad intensidad superior superior a podría resultar resultar muy beneficioso beneficioso para advertir advertir la esperada. Este programa de cómputo podría contra movimientos telúricos serios en las áreas propensas a temblores en Japón y Estados Unidos. Se estima que la inclusión incrementa los ingresos inclusión de datos exactos del SIG incrementa anuales sobre los ingresos actuales del sistema en $200 000 por cada uno de los siguientes perspectivas del proyecto abar2 años, y $300 000 por cada uno de los años 3 y 4. Las perspectivas can apenas 4 años debido a los rápidos avances mundiales en los programas de software para vigilancia de edificios. Elabore las hojas de cálculo para responder responder las siguientes preguntas. a)

b)

e)

Determine el valor futuro equivalente equivalente en el año 4 de los flujos de efectivo incrementados con una tasa de retorno de 8% anual. Proporcione Proporcione respuestas tanto para el interés simple como para el interés compuesto. instrucciones del inciso a) Repita las instrucciones a) si las estimaciones estimaciones del flujo de efectivo en los años 3 y 4 se incrementan incrementan de $300 000 a $600 000. El gerente de finanzas de la compañía compañía estadounidense estadounidense desea contemplar contemplar los efectos de una inflación de 4% anual en el análisis del inciso a). Como se señaló en la sección 1.4, la inflación reduce la tasa de rendimiento rendimiento real. Para una tasa de rendimiento rendimiento del 4% anual reduce el rendimiento a 3.85% anual. 8%, una tasa de inflación compuesta de de4%

Solución por por computadora computadora Solución l.12a-e muestran las soluciones. Las tres hojas de cálculo contienen la misma Las figuras 1.12a-e información; pero los valores de las celdas se han alterado según lo requiera requiera la pregunta. (En realidad, todas las preguntas planteadas planteadas aquí se pueden contestar en una sola hoja de cálculo simplemente cambiando cantidades. Las tres hojas de cálculo se muestran muestran exclusivamente con fines explicativos.) explicativos.) referencia las celdas, no los Las funciones de Excel se construyen tomando como referencia valores mismos, de tal manera que el análisis de sensibilidad necesidad sensibilidad se lleve a cabo sin necesidad variable de modificar la función. Este enfoque enfoque considera el valor en una celda como una variable global para la hoja de cálculo. cálculo. Por ejemplo, en todas las funciones, la tasa del 8% (de global interés simple o compuesto) en la celda B4 se designará con B4, no con 8%. Por consiconsiguiente, un cambio en la tasa sólo requiere una modificación en la entrada de la celda B4, no en cada relación y función de la hoja de cálculo donde se utilice el 8%. Las relaciones relaciones clave de Excel se especifican en las etiquetas de las celdas.

a)

8% de interés interés simple. simple. Las respuestas aparecen en las columnas C y D de la figura 1.12a. l.12a. El interés simple ganado cada año (columna C) incorpora la ecuación [1.15] un año a la vez, en la relación de interés, utilizando exclusivamente exclusivamente las cantidades cantidades de (FA) ($200,000 o $300,000) para determinar determinar el interés flujo de efectivo al fin de año (FA) para el próximo año. Dicho interés se suma al interés de todos los años anteriores. En unidades de $1,000, etiqueta de la celda) Año 2: C13 = = B12*B4 == $200(0.08) == $16 (véase la etiqueta Año 3: C14 = = C13 + B13*B4 == $16 + 200(0.08) ==$32

SECCIÓN 1.12 SECCIÓN

Aplicación cálculo: interés simple y compuesto compuesto Aplicación de la hoja hoja de cálculo: interés simple

39

---+---'-=-c~-;-~-----·'-~--~-~----'-----!----+-----ll

TasaderendilTiento. 8.00%

___ ~.

I-__ --.;:ln:::te",ré:;s.::::sim~le::...,..-:--.--+ __ ...::;ln::::te::::ré::..s c::::;om::::J::pu:::;:e;::sto.::.-,.....,,..-l. _ _.•.•._ ._..__.__ ~._ : Flujo.de efectivo.

Flujode efectivo.

..... Einal del año. ...__. ...1~t~r~~9
o

..t .... __ .._.... __..

1

$ 200,000

__~_L_ .._ .L2ÓÓ,ÓÓr:i: ..

3

··4····· Total

16 17

300,000

$

o •••••

18 19 20 21

_

••••

.... J.... . .._...

$

i $

200,000

$

748,000

.I.::•.~j§.:r:iQQ.•·Lj~.~41§,Q@_ $

32,000

$

104,000

. ... ._.__.

.1...

... ?OQ,OOO

-AJ§,Qº.of===T===:

...... ,?~ .~...,.~.ªQ..

··$········3"oiJ"";óúo·· ···$-,·_·······_-···-sífoó"o-··!i"'-"1'-:1"04jioó'" $1,000,000

_j

1,109.222

!

~---~----~"

14 4 ~

Ready

E

----~

F

G

b) DetermineF con las columnas de~--.-------~-flujo de efectivo.incrementadas : -----.--,..------... -~ ..------·-1---·--__ o,!

8.00%

Interéssimple III-::-J······c

, ,.,............. l··············································· l············································ f ..Eluio.d~efectivo Interés~nado. FA equivalente _. durante el año. acumulado.

~ 11~;;+---i:--1~$

Interéscomouesto Interés ganado. durante el año.

FI~jo.~eefectivo. l································· l··········· ,1 FA equivalente I-----t--HI acumulado.

I

200,000 $ $ 200,000 $ $ 200,000 200~OOO:-l~$:~~_--;-=-:1-;c6"",-;O;O=":O'=0+-~$_---c-471'=6"',0;:00ó-l-'$=--_--_---=-f6='"]"~cÓ:-=O-+~~$-=-==4-=-1'"=6-c:.0'=00=-1-------·-==+--Xi. $600.000 -$ 32.000 $ 1.048.000 $ 33.280 $ 1.049.280

1,1-7=+_~-:-----it-:$~6~0~0'=.00::.;0:+:$:----:'::.;80;.c.0~0~0+=-$_1:..:..7:..:2:.::8.:.::,0.:.;00=+$:----:'~83;;.:..9::;.,4;;:2_r:$_.:.:1 ..:..:73:;:3.!.:,2:.::22=-1. ~ $1.600.000 $ 128.000 ¡ $ 133.2221

40

ingeniería económica económica CAPÍTULO 1 Fundamentos Fundamentos de ingeniería

Interéssimple Flujode efectivo

Interéscompuesto Flujode efectivo

$ 407,700-$723,100 1,050,050

-$ $ $

Figura 1.12 1,12 Figura incluyendo un análisis de sensibilidad sensibilidad (ejemplo U8a-e). U8a-e). Solución en hoja de cálculo incluyendo

Año 4:

=

b)

c)

=

etiqueta de la C15 = C14 + B14*B4 = $32 + 300(0.08) = $56 (véase la etiqueta celda)

e Recordemos que un signo = debe preceder preceder a cada relación relación o función de la hoja de SUM(C12:C15), la cual presenta cálculo. La celda C16 contiene la función SUM(CI2:C15), presenta el interés encuentra en simple total de $104,000 durante los cuatro años. El valor futuro se encuentra incluye la cantidad acumulada acumulada de todos los D15, y es de F = $1,104,000, el cual incluye flujos de efectivo y todos los intereses simples. En unidades de $1,000, las funciones ejemplo son: del ejemplo Año 2: Año 4:

D13 = SUM(B13:C13) SUM(B13:C13) + D12 = ($200 + 16) + 200 = $416 Dl5 = SUM(B15:CI5) SUM(BI5:CI5) + D14 = = ($300 + 56) + 748 = = $1104 $1104 Dl5 =

8% interés compuesto. compuesto. Consulte las columnas colurunas E yyF F de la figura 1.12a. 1.I2a. La estruc8% de interés

tura de la hoja de cálculo es la misma, salvo por el hecho de que gue la ecuación [1.6] se encuentra incorporada incorporada en los valores del interés compuesto compuesto de la columna columna E; de esta encuentra manera, el interés se añade al interés ganado. El interés de 8% se basa en un flujo de finál del año. año anterior. En unidades efectivo acumulado al final uniaades de $1,000,

C

la

Z~

EJE

•

IJ

U

ai

A

EJEMPLOS ADICIONALES ADICIONALES

Interés del año 2: El3 2: El3 = = F12*B4 = = $200(0.08) = = $16 =$416 Flujo de efectivo acumulado: Fl3 Fl3 = = B13 + E13 + F12 = = $200 + 16 + 200 = Interés del año 4:

F14*B4 = = $749.28(0.08) = = $59.942 E15 == F14*B.4 (véase la etiqueta de la celda)

Flujo de efectivo acumulado: F15 = == B15 Bl5 + E15 + F14 Fl4 = $300 + 59.942 + 749.280 = = $1 $1,109.222 = ,109.222

b)

e)

El valor futuro equivalente equivalente se encuentra en la celda F15, donde F F= = $1,109,222 $1,109,222 aparece en la pantalla. Los flujos de efectivo equivalen a $1,104,000 a una tasa de interés simple de 8%, y a $1,109,222 a una tasa de interés compuesto de 8%. Si se utiliza una tasa de interés compuesto, el valor de F se incrementa por $5,222. Observe que no es posible utilizar la función VF en este caso, en virtud de que los valores de A no son los mismos durante los 4 años. En los siguientes capítulos aprenderemos cómo utilizar todas las funciones básicas de forma más versátil. inicializar la hoja de cálculo con las dos Consulte la figura 1.12b. Con el objetivo de inicializar estimaciones estimaciones de flujo de efectivo efectivo incrementadas, incrementadas, se reemplazan reemplazan los valores de $300,000 en B14 y B15 con $600,000. Todas las relaciones con la hoja de cálculo son idénticas; los nuevos valores del flujo de efectivo acumulado y de interés aparecen inmediatamente. Los valores equivalentes de F para el cuarto año se han incre8% (D15 y P15, PIS, respectivamentado para las tasas de interés simple y compuesto al a18% mente). La figura 1.12c es idéntica a la hoja de cálculo de la figura 1.12a, salvo por el hecho de que la celda B4 ahora contiene una tasa de 3.85%. El valor correspondiente correspondiente de F para el interés compuesto en FIS F15 ha disminuido a $1,051,247 de $1,109,222 $1,109,222 al 8%. Esto representa un efecto de la inflación de $57,975 en sólo 4 años. No sorprende que los gobiernos, empresas, ingenieros e individuos se preocupen preocupen cuando la inflación se eleva y la moneda vale menos con el paso del tiempo.

Comentario Comentario

Cuando se trabaja con una hoja de cálculo de Excel, es posible desplegar desplegar en pantalla todas las entradas y funciones oprimiendo simultáneamente que puede localisimultáneamente y <'>, ,que <->. Además, quizá resulte zarse en la parte superior izquierda del teclado en la tecla <->. necesario ampliar algunas columnas para que aparezca todo el contenido contenido de las funciones.

EJEMPLOS ADICIONALES ADICIONALES EJEMPLO

1.19

~

DIAGRAMAS DIAGRAMAS DE FLUJO FLUJO DE DE EFECTIVO EFECTIVO Una empresa dedicada al alquiler de equipo gastó $2 500 en una nueva compresora compresora de $2500 aire hace 7 años. El ingreso anual por concepto del alquiler de la compresora compresora fue de $750. Además, los $100 gastados en mantenimiento mantenimiento durante el primer año aumentaron $25 cada

41

~-------------------------------------------------------------------------------------------------~-----------42

CAPÍTULO

1

Fundamentos

de ingeniería económica

año. La empresa tiene planes de vender la compresora al final del año siguiente en $150. Construya el diagrama de flujo desde la perspectiva de la empresa. Solución Denote ahora como el tiempo t = O. Los ingresos y costos para los años -7 a 1 (próximo año) aparecen en la siguiente tabla con los cálculos de flujo de efectivo neto efectuados mediante la ecuación [1.8]. Los flujos de efectivo neto (1 negativo y 8 positivos) aparecen en el diagrama de la figura 1.13.

Final

del año

Ingresos

-7 -6 -5

O

$

750 750 750 750 750 750 750 750 + 150

-4 -3 -2 -1

O 1

Costos

Flujo de efectivo neto

$2500 100 125 150 175 200 225 250 275

$-2500 650 625 600 575 550 525 500 625

$625

S

L

Sl S€

-

RE~

Lai

-7 -6

-5

-4

-3

-2

-1

o

1 Año

eval estu vale

dad

rés ~ P = $2500

el p

Figura 1.13 Diagrama de flujo de efectivo (ejemplo

1.19).

tabl: larg pue

EJEMPLO

1.20

DIAGRAMAS DE FLUJO DE EFECTIVO Claudia desea depositar una cantidad P de dinero ahora, de tal manera que pueda retirar una cantidad anual igual a A 1 = $2 000 anuales durante los primeros 5 años, empezando un año después del depósito, y desea retirar una cantidad anual diferente de A2 = $3 000 los siguientes 3 años. ¿Cómo se vería el diagrama de flujo de efectivo si i = 8.5% anual?

RESUMEN DEL CAPÍTULO RESUMEN DEL CAPÍTULO

Solución Solución La figura figura 1.14 1.14 muestra los diagramas diagramas de de flujo flujo de efectivo. efectivo. El El flujo flujo de efectivo efectivo negativo La muestra los negativo de salida P se presenta ahora. El El primer (flujo de efectivo efectivo positivo de entrada) entrada) para salida presenta ahora. primer retiro retiro (flujo positivo de para la serie A ll ocurre ocurre al final final del año año 1, YA ocurre en los los años años 6 a 8. serie YA22 ocurre A22 = $3000 $3000

=

Al $2000 Al = $2000

o O

t 1

2

3

4

5

6

7

8 Año

i=8.5% i=8.5%

p=? p=?

Figura Figura 1.14 Diagrama de flujo de efectivo con dos diferentes series A (ejemplo 1.20).

RESUMEN DEL CAPíTULO CAPíTULO RESUMEN ingeniería económica económica es la aplicación aplicación de factores factores económicos económicos y criterios criterios para La ingeniería para la evaluación de alternativas, alternativas, tomando cuenta el valor dinero en el tiempo. evaluación tomando en cuenta valor del dinero tiempo. El estudio de ingeniería ingeniería económica económica implica implica el cálculo cálculo de una medida específica de estudio medida específica valor económico económico de flujos de efectivo efectivo estimados estimados durante durante un periodo periodo determinado. determinado. concepto de equivalencia equivalencia permite entender en términos económicos la igualigualEl concepto permite entender términos económicos diferentes sumas sumas de dinero dinero en tiempos distintos. La diferencia diferencia entre entre intedad de diferentes tiempos distintos. rés simple simple (basado (basado exclusivamente exclusivamente en el principal) interés compuesto compuesto (basado (basado en principal) e interés el principal interés sobre sobre el interés) interés) se describió describió por medio fórmulas, principal y en el interés medio de fórmulas, gráficas. Este poder cálculo compuesto compuesto se nota tablas y gráficas. poder de cálculo nota particularmente particularmente a lo como en el caso del efecto efecto de la inflación inflación aquí exlargo de periodos periodos prolongados, prolongados, como puesto. TMAR constituye constituye una tasa de rendimiento como tasa La TMAR rendimiento razonable razonable establecida establecida como base para determinar si una alternativa alternativa es económicamente económicamente viable. TMAR siemsiempara determinar viable. La TMAR pre es superior superior al rendimiento inversión segura. segura. rendimiento de una inversión Asimismo, también aprendimos aprendimos lo siguiente siguiente respecto efectivo: Asimismo, también respecto de los flujos de efectivo: dificultades relativas estimación. Las dificultades relativas a su estimación. diferencia entre entre el valor estimado y el valor La diferencia valor estimado valor real. convención de final de año para efectivo. La convención para la ubicación ubicación de flujos de efectivo. cálculo del flujo de efectivo efectivo neto. El cálculo diferentes perspectivas determinar el signo del flujo de efectivo. efectivo. Las diferentes perspectivas para para determinar construcción de un diagrama diagrama de flujo efectivo. efectivo. La construcción

43

44

CAPÍTULO 1

Fundamentos de ingeniería económica

PROBLEMAS Conceptos básicos 1.1

¿Qué significa el término valor del dinero en el tiempo?

1.2

Mencione tres factores intangibles.

1.3

a) ¿Qué quiere decir criterio de evaluación? b) ¿Cuál es el criterio de evaluación principal que se usa en el análisis económico?

1.4

Analice la importancia de identificar las alternativas en el proceso de la ingeniería económica.

1.6

¿Cuál es la diferencia entre el interés simple y el compuesto?

1.8

1.12

Liste tres criterios de evaluación, además del económico, para seleccionar el mejor restaurante.

1.5

1.7

1.11

¿Qué significa tasa mínima aceptable de rendimiento?

1.13

1.10

Si las utilidades por cada acción de Ford Motor Company se incrementaron de 22 a 29 centavos en el trimestre entre abril y junio en comparación con el trimestre anterior, ¿cuál fue la tasa de incremento en las utilidades de dicho trimestre?

La compañía US Filter celebró un contrato, para una planta pequeña que desala agua, con el que espera obtener una tasa de rendimiento de 28% sobre su inversión. Si la empresa invirtió $8 millones en equipo durante el primer año, ¿cuál fue el monto de la utilidad en dicho año? Una compañía constructora que cotiza al público reportó que acababa de pagar un préstamo recibido un año antes. Si la cantidad total de dinero que pagó la empresa fue de $1.6 millones y la tasa de interés sobre el préstamo fue de 10% anual, ¿cuánto dinero recibió en préstamo la compañía un año antes?

1.15

Una compañía química que comienza a operar se fijó la meta de obtener una tasa de rendimiento de al menos 35% anual sobre su inversión. Si la empresa adquirió $50 millones como capital de riesgo, ¿cuánto debe percibir en el primer año?

¿Cuál es la diferencia entre financiamiento con deuda y con capital propio? Dé un ejemplo de cada uno.

La compañía Trucking Giant Yellow Corp. acordó comprar a la empresa rival Roadway en $966 millones a fin de reducir los costos denominados indirectos de oficina, por ejemplo los costos por nómina y seguros que tienen un monto de $45 millones al año. Si los ahorros fueran los que se planearon, ¿cuál sería la tasa de rendimiento de la inversión?

Cierta empresa de ingeniería que diseña construcciones terminó el proyecto de un dueto por el que obtuvo una utilidad de $2.3 millones en un año. Si la cantidad de dinero que invirtió la compañía fue de $6 millones, ¿cuál fue la tasa de rendimiento de la inversión?

1.14

Tasa de interés y tasa de rendimiento 1.9

Una compañía que ofrece una gran variedad de servicios recibió un préstamo de $2 millones para adquirir equipo nuevo y pagó el monto principal del crédito más $275 000 de intereses después de un año. ¿Cuál fue la tasa de interés del préstamo?

1.1l

1.11

Inti

1.21

1.2

1.2

1.2

Equivalencia 1.16

Con una tasa de interés de 8% por año, ¿a cuánto equivalen $10 000 de hoy, a) dentro de un año, y b) hace un año?

1.17

Una empresa mediana de consultoría en ingeniería trata de decidir si debe reemplazar su mobiliario de oficina ahora o esperar un

1.2

PROBLEMAS PROBLEMAS

año para hacerlo. Si espera espera un año, se piensa piensa que el costo $16000. costo será de $16 000. Con una tasa de interés interés de 10% por año, ¿cuál ¿cuál sería sería el costo costo equivalente equivalente hoy?

1.25

Es frecuente reciban frecuente que que las empresas empresas reciban préstamos que préstamos de dinero dinero con con acuerdos acuerdos que requieren pagos pagos periódicos periódicos exclusivamente exclusivamente requieren por concepto después paconcepto de interés, interés, para para después gar el monto una monto principal principal del préstamo préstamo en una sola exhibición. como éste, exhibición. Con un arreglo arreglo como una producuna compañía compañía que que manufactura manufactura productos químicos químicos para para control control de olores olores obtuvo obtuvo $400 000 a pagar pagar durante durante tres años al 10% de interés ¿Cuál es la diinterés compuesto compuesto anual. ¿Cuál ferencia pagada entre entre ferencia en la cantidad cantidad total pagada dicho acuerdo (identificado como plan dicho acuerdo (identificado como plan 1) yY el plan 2, con el cual la compañía compañía no paga paga intereses préstamo y lo intereses mientras mientras adeude adeude el préstamo paga paga después después en una sola exhibición? exhibición?

1.26

Cierta empresa empresa que manufactura manufactura a granel Cierta granel mezcladores en línea línea planea planea solicitar mezcladores solicitar un préstamo de $1.75 millones millones para para actualizar préstamo actualizar producción. Si obtiene obtiene el dinero una línea de producción. dinero ahora, puede tasa de 7.5% 7.5% puede hacerlo hacerlo con una una tasa de interés cinco años. Si interés simple simple anual por cinco lo obtiene tasa de interés interés obtiene el año próximo, próximo, la tasa será de 8% de interés interés compuesto compuesto anual, pero sólo será por cuatro años. a) ¿Cuánto ¿Cuánto interés (total) pagará pagará en cada cada escenario, escenario, y b) ¿la empresa ahora o empresa debe tomar tomar el préstamo préstamo ahora dentro dentro de un año? Suponga Suponga que la cantidad cantidad total cuando el total que se adeude adeude se pagará pagará cuando préstamo préstamo venza, venza, en cualquier cualquier caso.

¿Con qué tasa de interés interés son equivalentes equivalentes 1.18 ¿Con una inversión inversión de $40 000 hace hace un año y otra de $50 000 hoy? equivalen $100000 $100 000 1.19 ¿¿Con Con qué tasa de interés equivalen de ahora ahora a $80 000 de hace un año?

Interés Interés simple simple e interés interés compuesto compuesto 1.20

1.21

Ciertos certificados certificados de depósito depósito acumulan acumulan Ciertos interés simple simple de 10% anual. anual. Si una un interés compañía compañía invierte invierte ahora $240 000 en dichos certificados certificados para para la adquisición adquisición dentro dentro de tres años de una máquina máquina nueva, ¿cuánto ¿cuánto tendrá periodo de tendrá la empresa empresa al final de ese periodo tiempo? tiempo? banco local ofrece pagar pagar un interés interés Un banco local ofrece compuesto compuesto de 7% anual sobre las cuentas cuentas de ahorro ahorro nuevas. nuevas. Un banco banco electrónico electrónico ofrece ofrece 7.5% de interés interés simple simple anual por un certificado de depósito depósito a cinco años. ¿Cuál ¿Cuál certificado oferta atractiva para oferta resulta resulta más atractiva para una empresa presa que desea desea invertir invertir ahora ahora $1 000 000 para la expansión expansión dentro dentro de cinco cinco años de una planta? planta?

1.22 Badger Badger Pump Pump Company Company invirtió invirtió $500 000 hace cinco años en una nueva nueva línea línea de proproductos que ahora ahora reditúa reditúa $1000000. $1000000. ¿Qué tasa de rendimiento rendimiento percibió percibió la empresa empresa sobase de a) interés bre la base interés simple, y b) interés interés compuesto? compuesto?

Símbolos y hojas hojas de cálculo Símbolos cálculo

1.27

Defina los símbolos símbolos que se involucran involucran si una Defina compañía quiere saber saber compañía de construcción construcción quiere cuánto dentro de tres cuánto dinero dinero puede puede gastar gastar dentro años en lugar de gastar $50 000 para adquirir adquirir un camión camión nuevo nuevo hoy, cuando cuando la tasa es de interés compuesto compuesto anual. 15% de interés

1.28

Diga siguienDiga la finalidad finalidad de cada una una de las siguienfunciones disponibles disponibles en Excel. tes funciones Excel.

1.23 ¿Cuánto ¿Cuánto tiempo tiempo tomará tomará para para que una inversión se duplique duplique con 5% por año, con a) interés simple, interés compuesto. simple, y b) interés compuesto. 1.24 Una Una empresa empresa que manufactura manufactura oxidantes oxidantes termales termales regenerativos regenerativos hizo una inversión inversión reditúa $1 300000. 300000. hace diez años que ahora reditúa ¿De cuánto cuánto fue la inversión inversión inicial inicial con una tasa de 15% anual de a) interés interés simple, simple, y b) interés interés compuesto? compuesto?

45

a) b) c) d)

FV(i%,n,A,P) FV(i%,n,A,P)

IRR(firsccell:lasccell) IRR(firsccell:last_cell) PMT(i%,n,P,F) PMT(i%,n,P,F) PV(i%,n,A,F) PV(i%,n,A,F)

46

1.29

1.30

1.31

CAPÍTULO

1

Fundamentos

de ingeniería económica

¿Cuáles son los valores de los símbolos de ingeniería económica P, F, A, i Y n, en las funciones de Excel siguientes? Use a? para el símbolo por determinar. a) FV(7%,1O, 2000, 9 000) b) PMT(11 %,20, 14000) c) PV(8%,15, 1000,800)

1.35

Escriba el símbolo de ingeniería económica correspondiente a cada una de las funciones de Excel siguientes. a) PV b) PMT c) NPER d) IRR e) FV

1.36

¿En qué circunstancias puede quedar en blanco cierto parámetro que no se aplica en una función disponible en Excel? ¿Cuándo debe colocarse una coma en su lugar?

TMAR y costo de capital 1.32

1.33

1.34

Clasifique como segura o riesgosa cada una de las inversiones siguientes. a) Negocio de restaurante nuevo b) Cuenta de ahorros en un banco c) Certificado de depósito d) Bono del gobierno e) Idea de un pariente para hacerse rico rápido. Clasifique cada uno de los financiamientos que siguen como capital propio o con deuda. a) Dinero de ahorros b) Dinero de un certificado de depósito c) Dinero de un familiar que es socio del negocio d) Préstamo bancario e) Tarjeta de crédito Ordene de mayor a menor las siguientes tasas de rendimiento o interés: bono del gobierno, bono corporativo, tarjeta de crédito, préstamo bancario para negocio nuevo, interés sobre cuenta de cheques.

Califique de mayor a menor las tasas de interés que siguen: costo de capital, tasa de rendimiento aceptable sobre una inversión riesgosa, tasa mínima aceptable de rendimiento, tasa de rendimiento sobre una inversión segura, interés sobre una cuenta de cheques, interés sobre una cuenta de ahorros. Cinco proyectos diferentes tienen tasas de rendimiento calculadas de 8, 11, 12.4, 14 Y 19% por año. Una ingeniera quiere saber cuáles proyectos aceptar sobre la base de la tasa de rendimiento. Ella sabe gracias al departamento de finanzas que por lo general se usan fondos de la compañía, lo cual tiene un costo de capital de 18% por año, para financiar el 25% del capital de todos los proyectos. Después se le comunicó que el dinero obtenido por préstamos cuesta actualmente 10% por año. Si la TMAR se establece exactamente con el costo promedio ponderado del capital, ¿cuáles proyectos debieran aceptarse?

Duj

1.41

1.4:

PR

1.4~

1.4~

Flujos de efectivo 1.37

¿Qué significa la convención del final del periodo?

1.38

Identifique los siguientes flujos de entrada o salida de efectivo para Daimler-Chrysler: impuesto sobre la renta, interés sobre un préstamo, valor de rescate, reembolsos a los distribuidores, ingresos por ventas, servicios de contabilidad, reducciones de costo.

1.39

Construya un diagrama de flujo para los siguientes flujos de efectivo: flujo de salida de $10 000 en el tiempo cero, flujo de salida de $3 000 anual entre los años 1 y 3, y flujo de entrada de $9 000 entre los años 4 y 8 con una tasa de interés de 10% anual y un monto futuro desconocido en el año 8.

-

Construya un diagrama de flujo para encontrar el valor presente de un flujo de salida futuro de $40 000 en el año 5, con una tasa de interés de 15% anual.

En áre: ció¡

1.40

1.4'

1.4:

EJI

EF

47

EJERCICIO EJERCICIO AMPLIADO AMPLIADO

Duplicación del valor valor Duplicación

1.43

para calcular calcular el tiempo tiempo 1.41 Use la regla regla del 72 para que tomaría tomaría para para que una inversión inversión inicial inicial de $10 000 creciera creciera a $20 000, con una tasa de interés interés compuesto compuesto de 8% anual. anual.

Utilice Utilice la regla regla del 72 para estimar estimar la tasa necesitaría para que $5 000 de interés que se necesitaría convirtieran en $10 000 en cuatro cuatro años. se convirtieran

1.44

Si usted usted tiene ahora ahora $62 500 en su cuenta cuenta ahorros para para el retiro retiro y quiere quiere jubilarse de ahorros jubilarse cuando en ésta ésta haya $2 000 000, calcule calcule la cuando rendimiento que debe ganar la cuenta tasa de rendimiento cuenta para retirarse dentro de 20 años sin agregar agregar para retirarse dinero a la cuenta. más dinero

Calcule el tiempo tiempo que que se requiere requiere (de 1.42 Calcule acuerdo con la regla regla del 72) para para que el acuerdo dinero se cuadruplique cuadruplique con una una tasa tasa de dinero interés compuesto compuesto de 9% anual. interés

PROBLEMAS DE REPASO FI FI PROBLEMAS ejemplo de factor factor intangible intangible es 1.45 Un ejemplo a) Impuestos Impuestos materiales b) Costo de materiales Moral e) Moral Renta á) Renta tiempo que tomaría tomaría que el dinero dinero se 1.46 El tiempo duplicara con una tasa de interés interés simple simple de duplicara 5% anual es muy cercano cercano a a) 10 años b) 12 años e) 15 15 años á) 20 años

1.47

interés compuesto compuesto de 10% Con una tasa de interés anual, $10 $10 000 000 de hace hace un año ahora anual, año ahora equivalen a equivalen $8264 a) $8264 $9091 b) $9091 e) $11 000 á) $12 100

Una inversión inversión de $10 000 de hace nueve nueve 1.48 Una acumuló $20 000 de ahora. La tasa de años acumuló

compuesto ganada ganada sobre la inversión inversión interés compuesto está próxima a está muy próxima a) 6% b) 8% e) 10% á) 12%

1.49

mayor parte parte de los estudios estudios de ingeEn la mayor niería económica, económica, la mejor mejor alternativa alternativa es niería aquella que aquella mayor tiempo tiempo a) Durará Durará el mayor implantar b) Es más fácil de implantar Cuesta menos menos e) Cuesta correcta políticamente políticamente á) Es más correcta

1.50

El costo de la colegiatura en cierta universidad pública fue de $160 por hora-crédito hora-crédito hace pública cinco años. El costo actual (cinco años exactos después) es de $235. La tasa anual de increencuentra muy próxima próxima a mento se encuentra a) b) e) á)

4% 6%

8% 10%

AMPLIADO EJERCICIO AMPLIADO EFECTOS DEL DEL INTERÉS INTERÉS COMPUESTO COMPUESTO EFECTOS esfuerzo por mantenerse mantenerse dentro dentro de las normas normas de emisión emisión de ruidos ruidos en el En un esfuerzo procesos, National National Semiconductors Semiconductors necesita necesita utilizar utilizar instrumentos instrumentos de mediárea de procesos, compañía tiene tiene planes planes de comprar comprar nuevos nuevos sistemas sistemas portátiles portátiles al ción de ruidos. La compañía

~ ~ ser-s Sol·E

48

CAPÍTULO Fundamentos de ingeniería ingeniería económica CAPÍTULO 1 Fundamentos económica

costo costo de $9 000 cada cada uno. National estima que el costo final del próximo próximo año a un costo National estima $500 anuales anuales durante durante 3 años, después después de los cuales cuales los de mantenimiento mantenimiento será de $500 sistemas sistemas se desecharán desecharán a un costo costo de $2 000. 000.

Preguntas Preguntas 1.

2. 3. 4.

Construya el diagrama diagrama de flujo de efectivo. efectivo. Calcule Calcule el valor equivalente F desdesConstruya valor equivalente pués cálculos a mano, compuesto pués de 4 años, mediante mediante cálculos mano, para para una una tasa de interés interés compuesto de 8% anual. Determine cálculo. Determine el valor valor de F en la pregunta pregunta 1 utilizando utilizando una hoja hoja de cálculo. Determine costos de mantenimiento $300, $500 $500 y Determine el valor valor de F si los costos mantenimiento son de $300, $1000, cada uno de los 3 años. años. ¿Cuánto ¿Cuánto ha cambiado cambiado el valor $1 000, en cada valor de F? F? Calcule el valor dólares que se necesiCalcule valor de F F en la pregunta pregunta 1 en términos términos de los dólares necesitarán futuro con un ajuste ajuste de inflación incrementa la tarán en el futuro inflación del 4% anual. Esto incrementa tasa de interés interés del 8% a 12.32% anual.

ESTUDIO DE CASO DESCRIPCIÓN DE LA FABRICACIÓN DESCRIPCIÓN DE LAS LAS ALTERNATIVAS ALTERNATIVAS PARA PARA LA FABRICACIÓN DE REVESTIMIENTOS DE REVESTIMIENTOS PARA PARA REFRIGERADOR REFRIGERADOR Planteamiento del problema Planteamiento problema Las fábricas fábricas grandes de refrigeradores como Whirlpool, Las grandes de refrigeradores como Whirlpool, General Electric, subcontratar General Electric, Frigidaire Frigidaire y otras otras pueden pueden subcontratar de sus sus revestimientos de plástico el moldeo moldeo de revestimientos de plástico y tableros tableros de las las principales empresas subconsubconde puerta. puerta. Una Una de principales empresas tratistas nacionales Innovations Plastics. Se espera espera tratistas nacionales es Innovations Plastics. Se que aproximadamente aproximadamente años el mejoramiento de que en 2 años mejoramiento de mollas propiedades propiedades mecánicas mecánicas permita permita que que el plástico plástico moldeado soporte soporte cargas cargas verticales cada vez deado verticales y horizontales horizontales cada vez mayores, lo cual cual reduciría reduciría significativamente significativamente la necemayores, necesidad de las bisagras en alguna alguna estantería. estantería. Sin Sin sidad bisagras metálicas metálicas en embargo, para ingresar al mercado equipo embargo, para ingresar mercado se requerirá requerirá equipo moldeo de mejor calidad. El presidente de de la comcomde moldeo mejor calidad. El presidente pañía desea desea una sobre si Innovations pañía una recomendación recomendación sobre Innovations debería pensar ofrecer la nueva debería pensar en ofrecer nueva tecnología tecnología a los los prinprincipales fabricantes, fabricantes, así así como como una estimación de de la cipales una estimación la ininversión de capital capital necesaria entrar al mercado versión necesaria para para entrar mercado temtempranamente. pranamente. Usted como ingeniero Usted trabaja trabaja como ingeniero para para Innovations. Innovations. En En esta etapa, etapa, no se espera usted lleve cabo un anáanáesta espera que que usted lleve a cabo lisis económico económico de de ingeniería completo, en en virtud de lisis ingeniería completo, virtud de

que no hay suficiente información disponible. Se le que hay suficiente información disponible. le pide pide que formule alternativas que formule alternativas razonables, razonables, que que determine determine los los datos datos y estimaciones estimaciones necesarios necesarios para para cada cada alternativa alternativa y establezca (económicos y no establezca los los criterios criterios (económicos no económicos) económicos) que final. que deben deben aplicarse aplicarse para para tomar tomar la decisión decisión final.

Información Información Alguna en este este momento siAlguna información información útil útil en momento es la la siguiente: guiente: espera que que la equipo continúen continúen • Se espera la tecnología tecnología y el equipo vigentes aproximadamente 10 años años antes antes de que que se vigentes aproximadamente desarrollen nuevos desarrollen nuevos métodos. métodos. inflación y los impuestos impuestos sobre sobre la renta • La La inflación renta no no se tomarán en en cuenta cuenta en en el análisis. análisis. tomarán esperados sobre sobre el capital capital de de inin• Los Los rendimientos rendimientos esperados versión utilizados para para los los últimos versión utilizados últimos tres tres proyectos proyectos tecnológicos fueron las las tasas interés compuesto compuesto tecnológicos fueron tasas de de interés del 15,5 15,5 Y 18%. 18%. La de 5% 5% fue fue el criterio criterio para del La tasa tasa de para mejorar de seguridad seguridad para empleados en en mejorar un sistema sistema de para empleados un existente de de preparación de químicos. químicos. un proceso proceso existente preparación de

-

ESTUDIO DE DE CASO CASO ESTUDIO

• Un patrimonio supesupeUn financiamiento financiamiento de capital capital de patrimonio rior rior a los los $5 millones millones resulta resulta imposible. imposible. La La canticantidad dad del del financiamiento fmanciamiento de deuda deuda y su costo costo se desdesconocen. conocen. • Los Los costos costos anuales anuales de operación operación han han promediado promediado del costo costo inicial inicial del del equipo equipo principal. principal. un 8% del • El incremento incremento de los costos costos anuales anuales de capacitación capacitación los requerimientos requerimientos de salario salario para para el manejo manejo de y los los nuevos nuevos plásticos plásticos y del del nuevo nuevo equipo equipo de operaoperación pueden pueden variar variar de $800 $800 000 000 a $1.2 $1.2 millones millones de ción dólares. dólares. Hay Hay dos dos fábricas fábricas trabajando trabajando en la nueva nueva generación generación de equipos. equipos. Estas Estas dos dos opciones opciones se designan designan como como las alalternativas ternativas A y B.

Ejercicios Ejercicios del estudio estudio de caso caso 1. Aplique Aplique los los primeros primeros cuatro cuatro pasos pasos del del proceso proceso de toma de decisiones decisiones para describir en líneas líneas generageneratoma para describir les las alternativas alternativas e identifique identifique los los cálculos cálculos de nana-

turaleza económica que requerirán para para elaborar elaborar turaleza económica que se requerirán un análisis análisis de ingeniería económica económica para para el presipreside ingeniería dente. dente. 2. Identifique los factores factores y criterios criterios no no económicos económicos Identifique los que deben considerarse considerarse en en el momento momento de de elegir elegir alalque deben ternativa. ternativa. 3. Durante la investigación investigación que que lleva lleva a cabo cabo con con resresDurante la pecto la alternativa alternativa B con con el el fabricante, fabricante, usted usted se pecto a la entera de que que esta esta compañía compañía ya ya ha diseñado el proproentera de ha diseñado totipo una máquina máquina de de moldeo moldeo que que ha ha vendido vendido a totipo de una una compañía en en Alemania Alemania por por $3 millones millones (de (de dódóuna compañía lares). En En su investigación, investigación, usted usted descubre, descubre, además, además, lares). que la la empresa empresa alemana alemana no no aprovecha aprovecha toda toda la la capacapaque cidad cidad del del equipo equipo para para fabricar fabricar revestimiento revestimientoss plásplásticos. La La compañía compañía quiere quiere vender vender tiempo tiempo de uso uso del del ticos. equipo a Innovations, Innovations, para para que que ésta ésta fabrique fabrique sus sus proproequipo pios revestimientos revestimientos y los los distribuya distribuya en en Estados Estados UniUnipios dos. Esto Esto podría podría facilitar facilitar una una entrada entrada temprana en dos. temprana en mercado de Estados Estados Unidos. Unidos. Considere Considere ésta ésta como como el mercado la alternativa alternativa C y formule formule las las estimaciones estimaciones necesanecesarias rias para para evaluar evaluar C al mismo mismo tiempo tiempo que que las las alteralternativas nativas A A y B. B.

49

2 o o 1-

cómo Factores: cómo interés el tiempo tiempo y el interés afectan al dinero dinero afectan En el capítulo capítulo anterior anterior aprendimos aprendimos los conceptos conceptos básicos de la la ingeniería En su papel en la la toma de decisiones. El El flujo de efectivo efectivo resulta resulta económica y su fundamental económico. Los Los flujos de efectivo ocurren en fundamental en todo todo estudio económico. configuraciones y cantidades: cantidades: valores únicos aislados, series que muchas configuraciones son uniformes y series series que aumentan o disminuyen en cantidades o porcenson tajes constantes. El El presente capítulo realiza realiza deducciones deducciones para todos todos los factores utilizados comúnmente la ingeniería económica, que toman en cuencomúnmente en la ta el valor del dinero dinero en el tiempo. tiempo. La La aplicación de los factores se se ilustra mediante mediante el empleo empleo de sus sus formas Se incluyen las matemáticas y de un formato formato de notación estándar. Se las funciofunciones de las cálculo,, para trabajar trabajar de manera rápida con las las series nes las hojas de cálculo series de flujo de efectivo efectivo y para desarrollar análisis análisis de sensibilidad. sensibilidad . El El estudio estud io de caso caso se se enfoca en los impactos significativos significativos que el interés compuesto compuesto y el tiempo tiempo tienen sobre el valor y la la cantidad cantidad del de l dinero. dinero .

-

-

-

-

-

-

«« u u

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Objetivo general: deducir y usar los factores de ingeniería económica para explicar el valor del dinero en el tiempo.

Este capítulo ayudará al lector a: Factores FIP Y PIF

Factores PIA y A/P

I

1. Deducir y utilizar los factores de cantidad compuesta y de valor presente para pago único.

~

2. Deducir y aplicar los factores de valor presente y recuperación de capital de serie uniforme.

I

3. Deducir y emplear los factores de cantidad compuesta y fondo de amortización de serie uniforme.

I Factores FIA y A/F

I

4. Interpolación lineal para calcular el valor de un factor.

Interpole valores de factores

Factores PIG y A/G

I Gradiente

geométrico

Calcule;

,

~

,

5. Deducir y usar los factores del valor presente de gradiente aritmético y de serie uniforme.

6. Deducir y aplicar las fórmulas de gradiente geométrico.

7. Determinar la tasa de interés (tasa de retorno) de una secuencia de flujos de efectivo.

Calcule n

I

8. Determinar el número de años requeridos para lograr la equivalencia en una secuencia de flujos de efectivo.

Hojas de cálculo

I

9. Desarrollar una hoja de cálculo para realizar análisis de sensibilidad básico mediante las funciones de la hoja de cálculo.

52

CAPÍTULO CAPÍTULO 2

2.1

Factores: tiempo y el interés interés afectan afectan al dinero dinero Factores: cómo cómo el tiempo

FACTORES FACTORES DE PAGO PAGO ÚNICO ÚNICO (F/P (F/P Y P/F)

P=c

El El factor factor fundamental fundamental en en la ingeniería ingeniería económica económica es el que que determina determina la la cantidad cantidad de dinero periodos), a partir partir de de un valor único único dinero F que que se acumula acumula después después de de n años años (o periodos), un valor presente P con con interés una vez vez por por año por periodo). periodo). Recuerde presente interés compuesto compuesto una año (o por Recuerde que que el interés interés pagado pagado sobre interés compuesto compuesto se refiere refiere al interés sobre el interés. interés. Por Por consiguiente, consiguiente, si una cantidad P se se invierte invierte en en algún algún momento la cantidad cantidad de de dinero dinero F¡ que que se se una cantidad momento t = O, O, la habrá acumulado en en un año a partir del momento momento de de la la inversión inversión a una tasa de de habrá acumulado un año partir del una tasa interés de de i por anual será: será: interés por ciento ciento anual

o

F¡ =P+Pi =P+Pi

= P(1 P(1 + i) donde la la tasa tasa de de interés interés se expresa expresa en en forma forma decimal. decimal. Al final del del segundo segundo año, año, la donde Al final cantidad de de dinero dinero acumulada acumulada F la cantidad cantidad acumulada acumulada después después del del año año 1, más más cantidad F22 es la interés desde desde el final final del del año año 1, hasta final del del año año 2 sobre sobre la la cantidad cantidad total total F¡. el interés hasta el final F2=F¡+F¡i F2=F¡+F¡i

= P(1 P(1 + i) + P(1 P(1 + i)i

[2.1]

Ésta es la la lógica lógica que que se utiliza en el capítulo interés compuesto, compuesto, de de manera Ésta utiliza en capítulo 1 para para el interés manera específica en los los ejemplos ejemplos 1.8 y 1.18. 1.18. La La cantidad cantidad F se expresa expresa como: como: específica F22 se F22 = = P(l P(l + i + i + i22)) = P(1 + 2i + p) = P(1 i2) i)2 = P(l P(1 + i)2 En forma forma similar, similar, la la cantidad cantidad de de dinero dinero acumulada acumulada al final final del del año la En año 3, si se utiliza utiliza la ecuación [2.1], [2.1], será: será: ecuación

FigL Diag

La¡ únü cam fluj utili reci

clu SieJ mie cue el n

tor

F3 = F22 + F F3 = F22ii

es ( las

Al sustituir sustituir P(1 ii por simplificar, se obtiene obtiene Al P(1 + i)2 por F22 y simplificar, F3 i)3 F3 = P(1 P(1 + i)3 De acuerdo acuerdo con con los los valores valores anteriores, anteriores, por inducción matemática matemática es evidente evidente que que la la De por inducción fórmula puede generalizarse para años de de la siguiente manera: manera: fórmula puede generalizarse para n años la siguiente F=P(1 +it F=P(l +it

[2.2]

El factor factor (1 + ir se denominafactor denominafactor cantidad compuesta compuesta de pago único (FCCPU); (FCCPU); El de cantidad pago único pero general se se hace éste como como el factor Éste es el factor factor de pero en general hace referencia referencia a éste factor FIP. FIP. Éste de conversión que, que, cuando cuando se multiplica cantidad futura futura F de de una conversión multiplica por por P, produce produce la cantidad una inversión inicial inicial P después de de n años, años, a la la tasa tasa de de interés interés i. i. El El diagrama diagrama de de flujo flujo de de inversión P después efectivo se se muestra muestra en en la figura figura 2.1a. efectivo Invierta la situación situación para calcular el valor valor P para cantidad dada dada F que que ocuocuInvierta para calcular para una una cantidad rre en el futuro. futuro. Tan Tan sólo sólo resuelva la ecuación ecuación [2.2] [2.2] para periodos en resuelva la para P. rre n periodos 1-]] P- , -- 1 P-

ir

(l+i)" (1 +

-

'

[2.3]

yP rad per

SECCIÓN 2.1

Factores de pago único (F/P y P/F)

53

p=?

P = dado

i

o

= dado

n-2

2

i

n-l

o

n

= dado

2

n-2

F=?

n-l

n

F = dado b)

a)

Figura 2.1 Diagrama de flujo de efectivo para factores de pago único: a) determine

F y b) determine P.

La expresión entre corchetes se conoce como el factor de valor presente de pago único (FVPPU), o elfactor PIF. Tal expresión determina el valor presente P de una cantidad futura dada F, después de n años a una tasa de interés i. El diagrama de flujo de efectivo se muestra en la figura 2.1b. Observe que los dos factores derivados aquí son para pago único; es decir, se utilizan para encontrar la cantidad presente o futura cuando se tiene sólo un pago o recibo. Se ha adoptado una notación estándar para todos los factores. La notación incluye dos símbolos de flujo de efectivo, la tasa de interés y el número de periodos. Siempre está en la forma general (X/Y,i,n). La literal X representa lo que se busca; mientras que la literal Y representa lo que está dado. Por ejemplo, FIP significa encuentre F cuando P está dado. La i es la tasa de interés en porcentaje, y n representa el número de periodos implicados. En consecuencia, (FIP,6%,20) representa el factor que encuentra la cantidad futura F acumulada en 20 periodos si la tasa de interés es de 6% por periodo. La P está dada. La notación están dar, más simple de usar que las fórmulas y los nombres de los factores, se utilizará de aquí en adelante. La tabla 2.1 resume la notación estándar y las ecuaciones para los factores FIP y PIF. Esta información también está incluida dentro de los forros. Para simplificar los cálculos rutinarios de la ingeniería económica se han elaborado las tablas de valores del factor para tasas de interés desde 0.25 hasta 50%, y periodos del tiempo van desde 1 hasta grandes valores de n, dependiendo del valor i. TABLA

2.1

Factores F/P y P/F: notación y ecuaciones

Factor Notación

Nombre

(FIP,i,n)

Cantidad compuesta pago único Valor presente pago único

(P/F,i,n)

Encontrar /dado

Ecuación en notación estándar

Ecuación con fórmula de factor

Funciones de Excel

F/P

F = P(F/P,i,n)

F= P(l + i)"

FV(i%,n"P)

P/F

P = F(P/F,i,n)

P

= F[I/(l

+ i)"]

PV(i%,n"F)

54

CAPÍTULO CAPÍTULO 2

Factores: tiempo y el interés interés afectan afectan al dinero dinero Factores: cómo cómo el tiempo

Estas final del del libro, están ordenadas ordenadas de de acuerdo acuerdo con con facfacEstas tablas, tablas, que que se encuentran encuentran al final libro, están tores número de periodos n de de manera manera descendescentores a lo largo largo de la parte parte superior superior y con con el número de periodos dente discreto en en el el encabezado de cada cada tabla tabla enfatiza enfatiza el el dente a la izquierda. izquierda. La La palabra palabra discreto encabezado de que la convención convención de de final final de de periodo periodo y que que el el interés interés es comque dichas dichas tablas tablas utilizan utilizan la compuesto de interés. interés. Para Para un un factor, factor, tasa tasa de de interés interés y tiempo tiempo dados, dados, puesto una una vez vez cada cada periodo periodo de el valor la intersección intersección del del nombre nombre del del factor valor correcto correcto del del factor factor se encuentra encuentra en en la factor y n. Por /F,5 %, 10) encuentra en en la la columna /F de de la la tabla tabla Por ejemplo, ejemplo, el valor valor del del factor factor (P (P/F,5 1O) se encuentra columna P P/F 10 Este valor determina aplicando aplicando la la ecuación ecuación [2.3]. 10 en en el periodo periodo 10: 10: 0.6139. 0.6139. Este valor se se determina [2.3]. 1 (P/F,5%,1O) -(P/F,5%,1O) = =-(1 . (1 + 1 (1.05)10 (1.05)10

ir

1 1.6289 1.6289

= _1_ = 0.6139 =--=0.6139 Para la solución solución por computadora, el se calcula Para por computadora, el valor valor F se calcula con con la la función función VF VF usando usando el el formato formato Sol-R

VF(i%,n"P) VF(i%,n"P) Un signo signo = = debe debe preceder preceder a la se ingrese. Un la función función cuando cuando se ingrese. La La cantidad cantidad P se determidetermina utilizando utilizando la función función VP VP con el formato na con el formato VP(i%,n"F) VP(i%,I1"F) Estas funciones funciones se incluyen incluyen en ayuda en en Estas en la la tabla tabla 2.1. Consulte Consulte el apéndice apéndice A o la ayuda línea de Excel Excel para para mayor mayor información funciones VF línea información acerca acerca de de las las funciones VF y VP. Los Los ejemejemplos 2.1 2.1 y 2.2 ilustran ilustran soluciones soluciones con funciones. plos con computadora computadora para para ambas ambas funciones. EJEMPLO EJEMPLO

2.1 .

0<, 'i";"

ingeniero industrial industrial recibió recibió un bono $12 000 Un ingeniero bono de $12 000 que que desea desea invertir invertir ahora. ahora. Quiere Quiere calcular calcular el valor equivalente equivalente después después de 24 valor 24 años, años, cuando cuando planea planea usar usar todo todo el el dinero dinero resultante resultante como como enganche o pago pago inicial inicial de de una Suponga una enganche una casa casa de de vacaciones vacaciones en en una una isla. isla. Suponga una tasa tasa de retorno retorno anual para para cada cada uno uno de los puede pagar de 8% anual los 24 24 años. años. a) Determine Determine la la cantidad cantidad que que puede pagar inicialmente, usando usando tanto tanto la inicialmente, la notación notación estándar estándar como como la la fórmula fórmula de factor. factor. b) Use Use una una computadora para para encontrar encontrar la cantidad computadora cantidad antes antes mencionada. mencionada. a) Solución Solución a mano mano a) Los símbolos símbolos y sus valores valores son son Los P= $12 $12000 P= 000

F=? F=?

i = 8% anual anual

n = 24 24 años años

diagrama de flujo flujo de efectivo el mismo El diagrama efectivo es el mismo que que el de de la figura figura 2.1a. 2.1a. Notación estándar: estándar: Determine Determine F usando usando el factor factor FIP FIP para para 8% y 24 24 años. años. La La tabla tabla 13 Notación proporciona el valor valor del del factor. proporciona factor. F = P(Flp,i,n) 000(FIP,8%,24) P(Flp,i,n) = 12 000(FIP,8%,24) 12000(6.3412) = 12000(6.3412) $76094.40 = $76094.40

•

SECCIÓN 2.1

Factores de pago único (F/P P/F) (F/P y P/F)

55

Fórmula Fórmula de factor: factor: Aplique la ecuación [2.2] para calcular el valor futuro F: F = P(l P(1 + i)" = 12000(1 12000(1 + 0.08)24 0.08)24 = 12000(6.341181) 12000(6.341181) = $76094.17 $76094.17

La ligera diferencia diferencia en las respuestas se debe al error de redondeo introducido por los tabulados. Una interpretación valores de factor tabulados. interpretación equivalente equivalente de este resultado es que los $12000 $12000 actuales equivaldrán a $76094 $76094 después de 24 años de crecer al 8% por año, anualmente compuesto. b) Solución Solución por por computadora computadora Para encontrar encontrar el valor futuro use la función VF que tiene el formato VF(i%,n,A,P). VF(i%,n,A,P). La hoja de cálculo se desplegará desplegará como la que se muestra en la figura 1.Sa, I.Sa, excepto que la entrada de celda es VF(8%,24,,12 000). El valor F desplegado por Excel aparece como ($76,094.17) en rojo para indicar un flujo de efectivo de salida. La función VF realiza el Y presenta la respuesta en la pantalla. cálculo F = P(1 P(l + i)" = = 12,000(1 + 0.08)24 0.08)24Ypresenta

EJEMPLO EJEMPLO

Sol-R Sol-R

2.2

Hewlett-Packard Hewlett-Packard realizó un estudio que indica que $SO $SO 000 en la reducción de manteniprocesamiento, fue el resultado del miento este año (es decir, año cero), en una línea de procesamiento, mejoramiento mejoramiento de la tecnología de fabricación de circuitos integrados (CI), (el), con base en diseños que cambian rápidamente. a) b) b)

c)

Hewlett-Packard considera considera que este tipo de ahorro vale un 20% anual, encuentre encuentre Si Hewlett-Packard equivalente de este resultado después de S años. el valor equivalente mantenimiento ocurre ahora, calcule su valor equivalente equivalente Si el ahorro de $SO 000 en mantenimiento 3 años antes con un interés de 20% anual. Desarrolle una hoja de cálculo para responder los dos incisos anteriores a tasas compuestas de 20 y S% anuales. De manera adicional, elabore una gráfica de barras en Excel que indique los valores equivalentes, equivalentes, en los tres diferentes momentos, para ambos valores de la tasa de rendimiento.

Solución Solución a) El diagrama de flujo de efectivo aparece como en la figura 2.1a. 2.1a. Los símbolos y sus valores son

P = $SO 000

F=? F=?

i= = 20% anual

n= = S años

determinar F después de S años. Utilice el factor FIP para determinar

P(Flp,i,n) = F == P(Flp,i,n) = $SO,000(FIP,20%,S) $SO,000(FIP,20%,S) = SO,000(2.4883) = SO,000(2.4883) = $124,41S.00 = $124,41S.00

b)

La función VF(20%,5"SOOOO) VF(20%,S"SOOOO)proporciona 2.2a, proporciona la misma respuesta. Véase la figura 2.2a, celda C4. En este caso, el diagrama de flujo de efectivo aparece como en la figura 2.1b, con F ubicado en el tiempo t = O OYel Yel valor P colocado 3 años antes en t = -3. -3. Los símbolos y sus valores son P=? P=?

F= $SO,OOO F= $SO,OOO

ii = 20% anual

= 3 años n=

Sol-R Sol-R

56

CAPÍTULO CAPÍTULO 2

Factores: cómo tiempo y el interés Factores: cómo el tiempo interés afectan afectan al dinero dinero

($124,41600):

($28.935.19)'

L_

=FV(20%,5,,50000)

___

7

,_ =PV(20%,3,,50000)

_

a)

G

H

---_._-_._----

!

I~~-------~'Exam~~0----~~::bd~~~~=:~~~I1===~-=-=-=-=-=t=-~-=-=-=-=-=-== Determine P and \: at varyi!!9llates

=PV(C5,3"

End 01 eadE uivalence al i =1 ___ 2 F'.~~~~~_"_9!'__

p

20% i 5% 28.93~-$43.1~

-50000)

=PV(D5,3,,-50000)

----i--- ----------+------+---- --_-_~--~:._--g~!i~~Ü~9_s:::n:~~[.ººº:n~[@.. 1

----¿3 4 --5-F.after5

'

---------~:+--!_.

I ----+---

-----------------.i!------ti

ear.

: $124,416'

=FV(C5,5,0,

$63814

-50000)

b)

Figura Figura 2.2 2.2 de cálculo cálculo Q-solv Q-solv para ejemplo 2.2a y b; b) hoja de cálculo cálculo completa completa con con gráfica gráfica de de barras, ejemplo 2.2. a) Hoja Hoja de para el ejemplo hoja de barras, ejemplo 2.2.

•

SECCIÓN 2.1

(F/P y P/F) Factores de pago único (F/P P/F)

57

Use el factor P/F PIF para determinar P tres años antes. P= = F(P/F,i,n) F(PIF,i,n)

= $50,000(PlF,20%,3) $50,000(P/F,20%,3) =

50,000(0.5787) = $28,935.00 = 50,000(0.5787) equivalente es que $28,935 de hace tres años es lo mismo que $50,000 Un enunciado equivalente considerando una tasa en la actualidad, que crecerá a $124,415 dentro de cinco años, considerando compuesto anual de 20% por cada año. de interés compuesto VP(i%,n,A,F) y omita el valor A. La figura 2.2a muestra el resultado de Use la función VP(i%,n,A,F) ingresar VP(20%,3,,50000) VP(20%,3 ,,50000) en la celda F4, que es lo mismo que utilizar el factor PlF. PIF. Solución por por computadora computadora Solución e) La figura 2.2b es una solución completa en hoja de cálculo con una tabla de valores y una gráfica de barras. Se emplean dos columnas para efectuar cálculos primero con comparar los valores F y P. P. La 20 y 5%, de modo que sea posible tener la gráfica para comparar muestra los valores valores F usando la función VF con el formato VF(i%,5,0, VF(i%,5,0, fila 14 muestra -50,000), donde los valores i se toman de las celdas C5 y D5. El valor futuro F = -50,000), C14 es el mismo (considerando (considerando el redondeo) que el calculado calculado $124,416 en la celda Cl4 resultado sea un número líneas arriba. El signo menos para 50,000 asegura que el resultado gráfica. positivo en la gráfica. . encontrar los valores P en la fila 6. Por ejemplo, el La función VP se utiliza para encontrar -3 se determina en la celda C6 utilizando utilizando la función valor presente a 20% en el año -3 VP. El resultado P = $28,935 es el mismo que el obtenido previamente previamente al usar el VP. diferencia que generan, sobre PIF. La gráfica muestra visualmente la notable diferencia factor P/F. el periodo de 8 años, tasas de 20 y de 5%.

EJEMPLO EJEMPLO

2.3 2.3

""

.

consultor independiente independiente en ingeniería examinó algunos registros y encontró que el Un consultor costo de los suministros de oficina varía como se muestra en la gráfica circular de la equivalente en el año 10 sólo de las figura 2.3. Si el ingeniero quiere conocer el valor equivalente cantidades mayores, ¿cuál será éste a una tasa de interés de 5% anual? Año O Año

$600

Año 3 Año Año41----~------------Añ~-~o5 Año4'---~------------A~ñ--05

Figura 2.3 Gráfica circular circular de costos, costos, ejemplo ejemplo 2.3. Gráfica

Sol-R Sol-R

~ ~ Sol-E Sol-E

I 58

CAPÍTULO 2

Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dinero

F¡'

i=5%

O

2

1

3

$300

4

5

6

7

8

9

I

10

1

$400

$600

FiS Dia

Figura 2.4 Diagrama

p=

para un valor futuro en el año 10, ejemplo 2.3.

val

su Solución

S'

Dibuje el diagrama de flujo de efectivo para los valores $600, $300 y $400 desde la perspectiva del ingeniero (figura 2.4). Use factores FlP para encontrar F en el año 10. F = 600(F/P,5%,1 O) + 300(F/P,5%,8) + 400(F/P,5%,5)

ha:

= 600(1.6289) + 300(1.4775) + 400(1.2763) = $1931.11

El problema también puede resolverse encontrando el valor presente en el año O de los costos $300 y $400 con los factores P/F, y luego determinando el valor futuro del total en el año 10. P = 600 + 300(P/F,5%,2) + 400(P/F,5%,5) = 600 + 300(0.9070) + 400(0.7835)

= $1 185.50 F

= 1 185.50(F/P,5%,10) = 1185.50(1.6289) = $1 931.06

Comentario

Debe ser evidente que existen diversas maneras de enfrentar el problema, puesto que puede utilizarse cualquier año para encontrar el total equivalente de los costos antes de encontrar el valor futuro en el año 10. Como ejercicio, resuelva el problema usando el año 5 para el total equivalente y luego determine la cantidad total en el año 10. Todas las respuestas deberán ser iguales, salvo por cierto error de redondeo.

2.2

FACTORES DE VALOR PRESENTE Y DE RECUPERACiÓN DE CAPITAL EN SERIES UNIFORMES (P/A Y AlP)

El valor presente P equivalente de una serie uniforme A de flujo de efectivo al final del periodo se muestra en la figura 2.Sa. Puede determinarse una expresión para el

Pa

pO [2.

YS pn

SECCIÓN 2.2 2.2 SECCIÓN

Factores de valor capital Factores valor presente presente yy de recuperación recuperación de capital

59

P = dado dado

p=? P=?

dado i = dado

dado i = dado

o O

22

n-2 n-2

n-l

o O

nn

nn-2 - 2

22

(

1 1 1 1

( }

A = = dado dado

1 1

A = =? ? b) b)

a)

Figura 2.5 Figura Diagramas de de flujo flujo de de efectivo efectivo para determinar a) P de una serie uniforme Diagramas para determinar una serie uniforme y b) A para para un un valor valor presente. presente.

valor presente considerando cada cada valor como un valor calculando presente considerando valor de A como valor futuro F, calculando factor P/F PIF para luego sumar sumar los resultados: su valor valor presente presente con el factor para luego resultados:

[ 1] [ 1] [ 1] [ 1 ] [ 1]

P=A -- - + +A -- +A -- - + +···+A +A -- P = A [1] A [1] + A [1] ··· + A [1] + A [1] (1+ +i)' iY (1+ +0 (1+ +i)3 i)3 (1+ +ir-' i)"-I (1+ +ir i)" (1 (1 i) 2 2 (1 (1 (1

términos entre entre corchetes corchetes representan factores P/F PIF durante durante los años 1 Los términos representan los factores hasta n, respectivamente. factoriza A, respectivamente. Si se factoriza

1 +_1_]

1 1 1 P = A[ 1 _l_ + _l_+ _l_+ ... + P=A ...+ +---1] [ --+---+--+ (1+ +i)' i)I (1+ +i)2 (1 (1+ +i)3 (1+ +iY-' i)"-I (1+ +ir i)" (1 (1 (1 (1

[2.4]

simplificar la ecuación ecuación [2.4] y obtener obtener el factor factor PIA, esta ecuación ecuación P/A, multiplique multiplique esta Para simplificar por el factor factor (P/F,i (PIF,i%,l), 1/(1 + i). Esto da como como resultado ecuación %, l), el cual es 1/(1 resultado la ecuación Luego reste ecuación [2.4] de la ecuación ecuación [2.5] [2.5] que se presenta presenta más abajo. Luego reste la ecuación simplifique para obtener la expresión expresión para cuando i -:f:. O (ecuación (ecuación [2.6]). Esta Esta y simplifique para obtener para P cuando progresión progresión es como sigue.

*"

[1

1 1

11 11] ]

P [1 1 1 1+ ... + (1 i)" + +i == A (1 (1+ +i) i)22 + + (1 (1+ +i) i)33 + + (1 (1+ +i) i)44 + +...+ (1+ +O" + (1 (1+ +ir+' i)"+I

[2.5]

--"<- + (1+l¡)"+I ]

:i)" ] l~

i P = A[ (l

+:r' -(1: i)' ]

l] (1 +__ i) "

p=~ [_l -i

(l+i)l!-l] P = A "'---'-[ n(l + i)"

n-l n- l

nn

1 l lf 1l

)

[2.6] [2.6]

CAPÍTULO

60

2

Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dinero

El término entre corchetes en la ecuación [2.6] es el factor de conversión referido como factor de valor presente de serie uniforme (FVPSU). Se trata del factor PIA utilizado para calcular el valor P equivalente en el año Opara una serie uniforme de final de periodo de valores A, que empiezan al final del periodo 1 y se extienden durante n periodos. El diagrama de flujo de efectivo es la figura 2.5a. Para invertir la situación, se conoce el valor presente P y se busca la cantidad equivalente A de serie uniforme (figura 2.5b). El primer valor A ocurre al final del periodo 1, es decir, un periodo después de que P ocurre. Despeje A de la ecuación [2.6] para llegar a i(1+i)'.'] A = P -'---'[ (1+ i)" - 1

[2.7]

El término entre corchetes se denominafactor de recuperación del capital (FRC), o factor AlP. Con él se calcula el valor anual uniforme equivalente A durante n años de una P dada en el año 0, cuando la tasa de interés es i.

Estas fórmulas se derivan con el valor presente P y la primera cantidad anual uniforme A, con un año (o un periodo) de diferencia. Es decir, el valor presente P siempre debe localizarse un periodo antes de la primera A. Los factores y su uso para encontrar P y A se resumen en la tabla 2.2, y en los forros interiores. Las notaciones estándar para estos dos factores son (PIA, i%, n) y (Al?, i%, n). Las tablas 1 a 29 al final del libro incluyen los valores de los factores. Como por ejemplo, si i = 15 % y n = 25 años, el valor del factor PlA que registra en la tabla 19 es (PIA,15%,25) = 6.4641. Esto encontrará el valor presente equivalente a 15% anual, para cualquier cantidad A que ocurra de manera uniforme desde el año 1 hasta el 25. Cuando la relación entre corchetes en la ecuación [2.6] se utiliza para calcular el factor PIA, el resultado es el mismo a excepción de ciertos errores de redondeo. (P/A 15% 25)= (1 + i)" -1 = (1.15)25 -1 = 31.91895 =6.46415 " i(1 + i)" 0.15(1.15)25 4.93784

TABLA

2.2

Factores PIA y AIP: notación y ecuaciones

Factor

Encontrar

Notación

Nombre

/dado

(P/A,i,n)

Series uniformes de valor presente

PIA

(AlP,i,n)

Recuperación de capital

AlP

Fórmula del factor (1+ ir -1 i(1+i)"

Ecuación en notación estándar

P

= A(PIA,i,n)

PV(i%,n,,A)

A

= P(AlP,i,n)

PMT(i%,n"P)

i(l +i)" (l+i)" -1

Funciones de Excel

Le

al'

tal

añ

D< va

L2

po te.

•

r Factores de valor valor presente presente y de recuperación recuperación de capital capital Factores

SECCIÓN 2.2 SECCIÓN

61 61

funciones de hoja de cálculo cálculo son capaces capaces de calcular calcular los valores valores P y A en vez de Las funciones aplicar los factores factores PIA y AlP. A/P. La función función VP VP que usamos en la sección sección anterior anterior aplicar calcula el valor P para una A dada a lo largo de n años, y un valor valor F en el también calcula formato, que se presenta presenta en la sección sección 1.8, es año n, si se da éste. El formato,

Sol-R

VP(;%,n,A,F) VP(i%,n,A,F)

manera similar, el valor valor A se determina determina utilizando utilizando la función función PAGO PAGO para un De manera Oy aparte, si está dada. El formato formato es valor P dado en el año O y una F aparte, PAGO(i%,n,p,F) PAGO(i%,n,p,F)

función PAGO PAGO se demostró demostró en la sección sección 1.18 (figura (figura 1.5b) Y y se usa en ejemplos ejemplos La función posteriores. La tabla 2.2 incluye incluye funciones funciones VP VP y PAGO PAGO para para P y A, respectivamenrespectivamenposteriores. ejemplo 2.4 demuestra demuestra la función función VP. te. El ejemplo

EJEMPLO EJEMPLO

2.4

"~'.

¿Cuánto debería destinarse destinarse para para pagar ahora por por $600 garantizados cada año dudu¿Cuánto dinero dinero debería pagar ahora $600 garantizados cada año rante 16% anual? anual? rante 9 años, años, comenzando comenzando el próximo próximo año, año, a una una tasa tasa de rendimiento rendimiento de 16% Solución Solución El efectivo (figura El diagrama diagrama de de flujo flujo de de efectivo (figura 2.6) 2.6) se ajusta ajusta al factor factor PIA. PIA. El El valor valor presente presente es: P= 600(PlA,16%,9) = 600(PlA,16%,9)

== 600(4.6065) 600(4.6065) = = $2 $2 763.90 763.90

La ingresada en una una celda celda de de una una hoja hoja de de cálculo cálculo desplegará desplegará la La función función VP(16%,9,600) VP(16%,9,600) ingresada respuesta $2 763.93. 763.93. respuesta P = $2

oo

22

3

A A

== $600 $600

44

55

6

77

8

Sol-R Sol-R

9

=

i = 16% 16%

p=? p=?

Figura Figura 2.6 2.6 Diagrama Diagrama para para encontrar encontrar P P usando usando el el factor factor PlA, PtA , ejemplo ejemplo 2.4. 2.4.

Comentario Comentario Otro Otro método método de de solución solución consiste consiste en en utilizar utilizar los los factores factores PIF PIF para para cada cada uno uno de de los los nueve nueve pagos pagos y agregar agregar los los valores valores presentes presentes resultantes, resultantes, para para obtener obtener la la respuesta respuesta correcta. correcta. Otra Otra forma forma es es calcular calcular el el valor valor futuro futuro F de de los los pagos pagos de de $600 $600 y luego luego encontrar encontrar el el valor valor presenpresente te del del valor valor F. Existen Existen diversas diversas formas formas de de resolver resolver un un problema problema de de ingeniería ingeniería económica. económica. Aquí Aquí sólo sólo se se presentan presentan los los métodos métodos más más directos. directos.

s

62 62

CAPÍTULO CAPÍTULO 2

2.3

Factores: Factores: cómo cómo el tiempo tiempo y el interés interés afectan afectan al dinero dinero

DERIVACiÓN DERIVACiÓN DEL FACTOR FACTOR DE FONDO FONDO DE AMORTIZACiÓN AMORTIZACiÓN Y EL FACTOR FACTOR DE CANTIDAD CANTIDAD COMPUESTA COMPUESTA SERIE UNIFORME UNIFORME (AlF (AlF y y F/ F/ A) A)

La forma más simple A /F consiste simple de derivar derivar el factor factor A/F consiste en sustituirlo sustituido en aquellos aquellos ya desarrollados. Por Por lo tanto, si P de la ecuación ecuación [2.3] se sustituye sustituye en la ecuación ecuación [2.7] desarrollados. resulta resulta la siguiente siguiente fórmula:

A= = F [ (l

11

+ i)" i)"

][ ][ i(l i(l + i)" ] (1 (1 + i)" i)" _ - 1

A F[. __ (l+i)"-1 (1+i)"-1

= l_·- ] A=F[-_i-_]

[2.8] (2.8]

La expresión expresión entre corchetes corchetes de la ecuación ecuación [2.8] es el factor factor de fondo de amortizaamortización o A/F, el cual determina valor anual determina la serie de valor anual uniforme uniforme que sería equivalente equivalente a un valor valor futuro determinado determinado F, lo cual se muestra muestra gráficamente gráficamente en la figura figura 2.7a. 2.7a.

La serie serie uniforme uniforme A se inicia inicia al final final del periodo periodo 1 y continúa continúa a lo largo largo del del La periodo de periodo de la F dada. dada.

uso cam

Elf

La ecuación ecuación [2.8] puede puede reordenarse reordenarse para para encontrar encontrar F para para una serie A dada en los periodos periodos 11 a n (figura (figura 2.7b). 2.7b). i)Il_1] (1 + i)"-I] F = = AA [(1+ -'----'--F i

[2.9] [2.9]

término entre corchetes corchetes se denomina denomina elÍactor esfactor de cantidad cantidad compuesta, compuesta, serie uniEl término forme (FCCSU), forme (FCCSU), o factor factor F/A. F/A. Cuando Cuando se multiplica multiplica por la cantidad cantidad anual uniforuniforme A dada, produce produce el valor valor futuro de la serie uniforme. uniforme. Es importante importante recordar recordar que la cantidad cantidad futura futura F ocurre ocurre durante durante el mismo mismo periodo periodo que la última última A. notación estándar estándar sigue sigue la misma misma forma forma que la de los otros factores. factores. Éstas La notación son (F/A,i,n) (F/A,i,n) y (A/F,i,n). La tabla tabla 2.3 resume resume las notaciones notaciones y las ecuaciones, ecuaciones, que también también se encuentran encuentran en los forros interiores interiores de este libro. Las tablas tablas 1 a 29 incluincluA/F. yen valores valores de los factores factores F/A y A/F. F=? F=?

F F== dada dada ii = = dada dada

ii = dada dada

O o

I

1

ll

r 2

n-2 n-2

n-l n-l

n

O o

I

A =? =? a)

Figura Figura 2.7 Diagramas Diagramas de flujo flujo de de efectivo efectivo para para a) determinar determinar A dada dada F, y b) determinar determinar F dada dada A.

1

r

2

n-2 n-2

( )

11 1 A

= = dada dada b)

n-l n-l

n

Est¡ en 1; la fr nati na 1 Laj

PA< Ppl

Si} entr ejen

•

SECCIÓN 2.3

TABLA

2.3

Derivación del factor de fondo de amortización

63

Factores F/A y A/F: notación y ecuaciones

Factor Notación Nombre

Encontrar /dado

(F/A,i,n)

Cantidad compuesta serie uniforme

F/A

(A/F,i,n)

Fondo de amortización

A/F

Fórmula del factor (1+i)"-l

(1+ i)" -1

Ecuación en notación estándar

Funciones de Excel

F

= A(F/A,i,n)

VF(i%,n,,A)

A

= F(A/F,i,n)

PAGO(i%,n"F)

Los factores de series uniformes se determinan simbólicamente mediante el uso de una forma de factor abreviada. Por ejemplo, F/A (F/P)(P/A), donde la cancelación de la P es correcta. Usando las fórmulas de factor se obtiene

=

-1]=

(F/A i n)=[(l+i)If][(l+iY ,, i(l + ir El factor AlF en la ecuación se resta la i.

(l+iY

-1 i

[2.8] también puede derivarse a partir del factor AlP si (AlF,i,n) = (AlP,i,n) - i

Esta relación se verifica de manera empírica en cualquier tabla del factor de interés en la parte final del texto, o matemáticamente si se simplifica la ecuación para derivar la fórmula del factor AlF. Esta relación se emplea más adelante para comparar alternativas con el método del valor anual. Para la solución por computadora, la función VF de la hoja de cálculo determina F para una serie A dada durante n años. El formato es VF(i%,Il,A,P) La P puede omitirse cuando no se da por separado algún valor presente. La función PAGO determina el valor A para n años, dado F en el año n y posiblemente un valor P por separado en el año O. El formato es

PAGO(i%,Il,P'F) Si P se omite, se debe ingresar la coma para que la computadora sepa que la última entrada es un valor F. Tales funciones se incluyen en la tabla 2.3. Los siguientes dos ejemplos incluyen las funciones VF y PAGO. EJEMPLO

2.5

;¡

Formasa Plastics tiene grandes plantas de fabricación en Texas y Hong Kong. Su presidente quiere saber el valor futuro equivalente de una inversión de capital de $1 millón cada año durante 8 años, empezando un año a partir de ahora. El capital de Formasa gana a una tasa del 14% anual.

Sol-R

64

CAPÍTULO

Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dinero

2

Solución El diagrama de flujo de efectivo (figura 2.8) muestra los pagos anuales que inician al final del año 1 y terminan en el año en que se desea calcular el valor futuro. Los flujos de efectivo se indican en unidades de $1 000. El valor F en 8 años es F

=

=

1 000(FIA,14%,8)

= $13

1 000(13.2328)

232.80

El valor futuro real será $13 232 800. La función es VF(14%,8,1000000).

~ Sol-R

F=? i = 14%

o

2

3

4

5

6

7

8

A=$IOOO

2.

Figura 2.8 Diagrama

EJEMPLO

para calcular F en una serie uniforme, ejemplo 2.5.

2.6

o

.

¿Cuánto dinero necesita depositar Carol cada año, empezando un año a partir de ahora, a 51/2% por año, para que pueda acumular $6 000 en siete años?

Solución El diagrama de flujo de efectivo desde la perspectiva factorAlF. A

de Carol (figura 2.9a) se ajusta al

= $6 000(AlF,5.5%,7) = 6 000(0.12096) = $725.76

por año

El valor del factor AlF de 0.12096 se calculó utilizando la fórmula del factor de la ecuación [2.8]. De manera alternativa, use la función PAGO como se muestra en la figura 2.9b para obtener A = $725.79 por año.

Sol-R

F

= $6000

tal 1m en de va ya en di:

eo be

do

las i

O

2

= 5~%

3

1, 4

5

6

7

S A=? a)

Figura 2.9 a) Diagrama de flujo de efectivo y b) función PAGO para calcular A, ejemplo 2.6.

va

SECCIÓN 2.4 SECCIÓN 2.4

Interpolación en tablas tablas de de interés interés Interpolación

Figura Figura 2.9 (Continuaci6n)

2.4

. INTERPOLACiÓN INTERÉS INTERPOLACIÓN EN TABLAS DE INTERÉS

Cuando no se las Cuando es necesario necesario localizar localizar el valor valor de de un un factor factor ion ion que que no se encuentra encuentra en en las tablas una de utilizando tablas de interés, interés, el valor valor deseado deseado puede puede obtenerse obtenerse en en una de dos dos formas: formas: 1. utilizando las fórmulas 2.3, o bien, bien, 2. interpolando interpolando linealmente linealmente fórmulas derivadas derivadas de de las las secciones secciones 2.1 a 2.3, entre más fácil más rápido rápido emplear las fórmulas entre los valores valores tabulados. tabulados. En En general, general, es más fácil y más emplear las fórmulas de una ya las las tiene tiene preprogramadas. preprogramadas. Además, Además, el el una calculadora calculadora u hoja hoja de cálculo cálculo que que ya valor lineal no no es valor correcto, valor obtenido obtenido a través través de la interpolación interpolación lineal es exactamente exactamente el valor correcto, ya que interpolación resulta resulta suficiente que las ecuaciones ecuaciones son son no lineales. lineales. Sin Sin embargo, embargo, la la interpolación suficiente mayoría de los los casos casos siempre siempre y cuando cuando los de ion ion no estén muy muy en la mayoría los valores valores de no estén distantes entre entre sí. distantes El primer lineal consiste los factores factores primer paso paso en en la la interpolación interpolación lineal consiste en en establecer establecer los conocidos (valores (valores 1 1y desconocidos, como como se muestra en la Se escriescriconocidos y 2) Ydesconocidos, muestra en la tabla tabla 2.4. 2.4. Se be despeja para para e, de de la la siguiente manera: be entonces entonces una una ecuación ecuación de razones razones y se despeja siguiente manera: a

b

e d

o

a cc=-d =- d b

[2.10] [2.10]

donde los números números que que se muestran muestran en en donde a, b, e y d representan representan las las diferencias diferencias entre entre los las tablas resta del valor tablas de interés. interés. El El valor valor de e de la la ecuación ecuación [2.10] [2.10] se suma suma o se resta del valor 1, dependiendo dependiendo de si el valor valor del del factor factor está está aumentando aumentando o disminuyendo, 1, disminuyendo, respectirespectivamente. procedimiento recién recién descrito. descrito. vamente. Los Los siguientes siguientes ejemplos ejemplos ilustran ilustran el procedimiento TABLA TABLA

2.4 2.4

Arreglo interpolación lineal lineal Arreglo para para la ínterpolacíón Factor Factor

;o on n

~[

b ~[

tabulado tabulado

valor 1 valor

deseado deseado

no listado listado no

tabulado tabulado

valor 2 valor

65 65

66

CAPÍTULO 2

EJEMPLO EJEMPLO

Factores: Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dinero

2.7

-:

'

Determine el valor del factor AlP AlP para una tasa de interés de 73% Determine 7.3% y n de 10 años, es decir, (AlP,73%, 10), (AlP,7.3%,1O). Solución Solución Los valores del factor AlP AlP para tasas de interés de 7 y 8% Yn Yn = 10 se indican en las tablas 12 y 13, respectivamente, 13, respectivamente.

b

l: L a

J!j

0'14238 ~ ] 0.14238

77% % 73% 7.3%

X

d

0,14903 0.14903

8%

desconocida X es el valor deseado del factor, La variable desconocida factor. De acuerdo con la ecuación [2,10], [2.10],

(73

-7 )(0.14903 e = (7.3 -7 )(0, 14903 -_ 0.14238) 8-7 8-7

2.~

Un enl can

lad cos na:

== 0.3 (0.00665) ==0,00199 0.00199

1 Puesto que el valor del factor está aumentando conforme conforme la tasa de interés se incrementa incrementa agregarse al valor del factor de 7%, de 7 a 8%, el valor de e debe agregarse 7%. Así, X = 0,14238 0.14238 + 0,00199 0.00199 = 0.14437 Comentario Comentario considera una buena práctica verificar lo razonable Se considera razonable de la respuesta respuesta final comprobando comprobando que X se encuentre entre entre los valores de los factores conocidos en las proporciones proporciones correccorrecaproximadamente. En este caso, ya que 0.14437 es menor que 05 tas aproximadamente. 0.5 de la distancia entre 0.14238 y 0.14903, la respuesta parece razonable. razonable. Si se aplica la ecuación [2.7], el valor exacto del factor es 0.144358.

fin. nal sur

gra cio mil un< vie ese sol am la e elc

EJEMPLO EJEMPLO

2.8 2.8

tive aps

~.

Determine Determine el valor del factor (PIF,4%,48). (P/F,4%,48). Solución Solución

[ 48%

X X

50

0.1407

2J :J

De acuerdo con la tabla 9 para un interés del 4%, los valores del factor PIF P/F para 45 y 50 años se calcula de la siguiente siguiente manera:

l: L

45 a [45

b

0.1712 0.1712

e

Según la ecuación [2.10],

:!:.(d) = (0.1712-0.1407) = 0.0183 e= = !!:.(d) = 48-45 48-45 (0,1712-0.1407) = 0,0183 50 - 45 b 50-45

d

SECCIÓN 2.5

A/ G) Factores de gradiente aritmético (P/G (P/G y A/G)

67

Puesto que el valor del factor disminuye conforme conforme n aumenta, e se resta del valor del factor para n = 45. x = 0.1712 - 0.0183 = 0.1529

Comentario Comentario realizar interpolaciones Aunque es posible realizar interpolaciones lineales por dos vías, es mucho más sencillo y más preciso utilizar la fórmula del factor o una función de hoja de cálculo.

2.5 2.5

FACTORES ARITMÉTICO (P/G AlG) FACTORES DE GRADIENTE GRADIENTE ARITMÉTICO (P/G y y AlG)

Un gradiente aritmético es una serie efectivo que aumenta aumenta o disminuye disminuye gradiente aritmético serie de flujos flujos de efectivo en una cantidad cantidad constante. constante. Es decir, el flujo de efectivo, efectivo, ya sea ingreso ingreso o desembolso, desembolso, cambia por la misma cantidad aritmética aritmética cada cada periodo. cantidad del aumento aumento o de cambia misma cantidad periodo. La cantidad disminución es el gradiente. ejemplo, si un ingeniero ingeniero industrial industrial predice la disminución gradiente. Por ejemplo, predice que el aumentará en $ 500 anuales anuales hasta costo del mantenimiento mantenimiento de un robot robot aumentará hasta que la máquimáquina se desecha, desecha, hay una serie gradiente gradiente relacionada cantidad del gradiente gradiente es $500. relacionada y la cantidad fórmulas desarrolladas desarrolladas anteriormente anteriormente para cantidades de Las fórmulas para una serie A tienen tienen cantidades igual valor. En el caso de un gradiente, gradiente, el flujo de efectivo efectivo de cada cada fifinal de año de igual nal de año es diferente, diferente, de manera derivar nuevas fórmulas. Primero Primero manera que es preciso preciso derivar nuevas fórmulas. suponga que el flujo flujo de efectivo efectivo al final final del año 1 no forma forma parte serie del suponga parte de la serie gradiente, sino que es una cantidad cantidad base. Esto Esto es conveniente conveniente porque aplicagradiente, porque en las aplicaciones reales cantidad base general es mayor aumento o la disciones reales la cantidad base en general mayor o menor menor que el aumento minución gradiente. Por ejemplo, ejemplo, si una persona compra un automóvil automóvil usado minución del gradiente. persona compra usado con una garantía garantía de un año, se podría esperar que durante durante el primer operación tupodría esperar primer año de operación viera que pagar gasolina y el seguro. Suponga Suponga que dicho dicho costo costo es $1 500; pagar tan sólo la gasolina cantidad base. Después Después del primer es decir, $1 500 es la cantidad primer año, la persona persona tendría tendría que solventar el costo costo de las reparaciones, esperaría que tales costos costos solventar reparaciones, y razonablemente razonablemente se esperaría aumentaran cada cada año. Si se estima estima que los costos costos totales aumentarán en $50 cada cada año, aumentaran totales aumentarán cantidad al segundo segundo año sería $1 550, al tercero, sucesivamente hasta la cantidad tercero, $1 600, y así sucesivamente hasta cuando el costo costo total diagrama de flujo de efecefecel año n, cuando total sería $1 550 + (n - 1)50. El diagrama tivo para operación se muestra figura 2.10. Observe Observe que el gradiente gradiente ($50) para esta operación muestra en la figura aparece por primera entre los años 11yy 2, Yla cantidad base igual al gradiente. gradiente. aparece primera vez entre Yla cantidad base no es igual símbolo G para gradientes se define define como: El símbolo para los gradientes como: = cambio cambio aritmético aritmético constante constante en en la magnitud de los los ingresos ingresos o desembolsos desembolsos G= magnitud de de un siguiente; G puede ser positivo de un periodo periodo al siguiente; puede ser positivo o negativo. negativo.

o

I

¡

.1 1 2

3

j---lf

4

n- 1

n

1------+----1

$1500 $1600 $1650 $1650 $1500 $1 500 +(n - 2)50 2)50 $1 $1500 +(n 500 +(n - 1)50 1)50 +(n

Figura 2.10 2.10 Figura Diagrama de de una serie Diagrama una serie gradiente aritmético aritmético con con gradiente una cantidad base de una cantidad base de 500 Y un gradiente de de $1 500 un gradiente $50. $50.

68

CAPÍTULO

Figura 2.11

O

2

Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dinero

2

3

4

n- 1

5

n

fw

Serie gradiente aritmético convencional sin la cantidad base.

el

pn fw

G 2G 3G 4G

su de

(n - 2)G (n - I)G

El flujo de efectivo en el año n (CFn) se calcula como CF

:::

l1

base + (n -

cantidad

Si se ignora la cantidad base, se puede construir un diagrama de flujo de efectivo generalizado de gradiente aritmético (creciente), como se muestra en la figura 2.11. Observe que el gradiente empieza entre los años 1 y 2. A éste se le denomina gradiente

Fa

convencional.

Al Una compañía de ropa deportiva ha iniciado un programa para registrar su logo. Espera obtener ingresos de $80 000 por derechos el próximo año por la venta de su logo. Se espera que los ingresos por derechos se incrementen de manera uniforme hasta un nivel de $200 000 en 9 años. Determine el gradiente aritmético y construya el diagrama de flujo de efectivo. Solución La cantidad base es $80 000 y el aumento total de ingresos es Aumento en 9 años = 200 000 - 80 000 = 120 000

Le

Gradiente = aumento

se ce

n-l 120 000 = --= $15000

~ por ano

9-1

ot

El diagrama de flujo de efectivo se muestra en la figura 2.12. G = $15000

$200000 $185000 $170000

L,

$155000 $140000

(si 2. 2. en

$125000 $110000 $95000 $80000

1

t

O

2

3

4

Figura 2.12 Diagrama para la serie gradiente,

ejemplo 2.9.

5

6

7

8

9

Año

o

SECCIÓN SECCIÓN 2.5

Factores Factores de gradiente gradiente aritmético aritmético (P/G y A/G) A/G)

En el presente derivan tres factores presente texto se derivan factores para para los gradientes gradientes aritméticos: aritméticos: el factor PIG AlG para PIG para para el valor valor presente, presente, el factor factor AlG para serie anual y el factor factor FIG FIG para para el valor valor valor futuro. Existen Existen varias varias formas para para derivarlos. derivarlos. Aquí Aquí se usa el factor factor de valor presente presente con pago pago único (PIF,i,n); (PIF,i,n); aunque aunque se llega llega al mismo mismo resultado resultado utilizando utilizando los factores FIA o PIA. factores FIP, FIP, FIA PIA. En la figura 2.11 2.11 el valor valor presente presente en el año O sólo del gradiente gradiente es igual igual a la suma de los valores presentes de los pagos valores presentes pagos individuales, individuales, donde donde cada cada valor valor se consiconsicomo una cantidad cantidad futura. futura. dera como P == G(P/F,i,2) . G(P/F,i,2) + +2G(P/F,i,3) 2G(P/F,i,3) + +3G(P/F,i,4) 3G(P/F,i,4) + +..... +[(n - 2)G](P/F,i,n 1) + [en --1)G](P/F,i,n) l)G](P/F,i,n) 2)G](P/F,i,n --1)

Factorice aplique la fórmula PIF: Factorice G Y Yaplique fórmula PIF: n-1 1 3 n-2 n-1 ] P=G --+--+---+ + n-2 +--P =G - +-2- + - - + ..... .+ +-[ (1 (1 + +i)2 (1 + +i)3 i)3 (1 (1 + +i)4 i)4 (1 + +i)n-II (1 (1 + + i)2 (1 (1

ir-

ir

[2.11] [2.11]

multiplicar ambos ambos lados de la ecuación ecuación [2.11] [2.11] por (1 (1 + i) i)l1 se obtiene: obtiene: Al multiplicar

Reste la ecuación ecuación [2.11] [2.11] de la ecuación ecuación [2.12] [2.12] Y simplifique simplifique

. [1 1

1ir- +- +-1ir-]

. = G [1---+--+ lP - + --1 + ... lP=G ...+ + 1 (1 (1 (1 + +i)l i)! (1 (1 + +i)2 i)2 (1 + +

11

1] +--(1 (1 +

[[n](1(1 ++niri)" ]

-G -G ---- -

[2.13] [2.13]

La expresión expresión entre corchetes corchetes que se encuentra encuentra a la izquierda izquierda es la misma misma que la que presenta en la ecuación ecuación [2.4], donde donde se derivó el factor PIA. PIA. Sustituya Sustituya la forma se presenta cerrada cerrada del factor factor PIA PIA de la ecuación ecuación [2.6] [2.6] en la ecuación ecuación [2.13] [2.13] y despeje despeje P para para obtener obtener una relación relación simplificada. simplificada.

_11_]

ir -

_'_1 _] ir

P_ G 1 G[[ (1 (1+ i(l + i)" i)/1 - (1 (1+ if . - i i(l

[2.14]

La ecuación ecuación [2.14] es la relación relación general general para para convertir convertir un gradiente gradiente aritmético aritmético G (sin incluir incluir la cantidad cantidad base) para para n años en un valor valor presente presente en el año O. O.La figura La figura 2.13a se convierte en el flujo de efectivo equivalente que se indica en la figura 2.13a convierte efectivo equivalente indica figura 2.13b. factor de valor presente de gradiente factor PIG, 2.13b. El factor valor presente gradiente aritmético, aritmético, o factor PIG, se expresa expresa en dos formas formas distintas: distintas:

n)

irr ir

n_]ir

= !![(1 + i --1l ___ _ n_ ] P/G i n) = [ (1 + (P/G (1+ i)" , , i i(1 + (1

o

(P/G i n) n)== (1+i (1+i)")" -in -in-1 - 1 (P/G ,, i22(1(1 +

ir

[2.15] [2.15]

69

70

CAPÍTULO

2

Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dinero

Figura 2.13 Diagrama de conversión de un gradiente aritmético a un valor presente.

t

p=? i=d~a 0I----+ __ 2+----13_-+4

__

H__ n_-+-l---ln

O

-.

pOI

del

_-+ __21-1--t~--+~---jf

fl-_n_-+-l----1n

de!

fun

cel efe

G 2G 3G (n - 2)G

mu la r

(n - l)G

a)

b)

Recuerde: el gradiente empieza en el año 2 y P está ubicado en el año O. La ecuación [2.14], expresada como una relación de ingeniería económica, tiene la siguiente forma: P

= G(P/G,i,n)

[2.16]

La serie anual uniforme equivalente (valor A) de un gradiente aritmético G se calcula multiplicando el valor presente de la ecuación [2.16] por la expresión del factor (A/P,i,n). En forma de notación estándar, el equivalente de la cancelación algebraica de P se utiliza para obtener el factor (A/G,i,n).

la t que

• •

A = G(P/G,i,n)(A/P,i,n)

•

= G(A/G, i,n) A_G[(l+i)"-l __ n_][ i i(l + i)" (1 + i)" =

G[1:.n i (1 +

Las arit

i(1+i)" ] (1 + i)" -1

]

[2.17]

i)n -1

La expresión entre corchetes en la ecuación [2.17] se denomina elfactor de gradiente aritmético de una serie uniforme y se identifica por (A/G,i,n). Este factor convierte la figura 2.14a en la figura 2.14b. Figura 2.14 Diagrama de conversión de una serie gradiente aritmético a una serie anual uniforme equivalente.

A =?

,Jj

i = dado

O

2

3

4

n - 1

n

-

O

2

3

4

n - 1

n

De

don gra

•

1

11 r

s

G 2G 3G (n - 2)G

(n - l)G

e

(J

SECCIÓN 2.5

Factores de gradiente aritmético (P/G (P/G y A/G) A /G)

Los factores factores PIG y AlG interior de la A1G Y las relaciones relaciones se resumen resumen en el forro interior portada. Los valores factores se tabulan columnas situadas situadas más a la portada. valores de los factores tabulan en las dos columnas derecha en las tablas factores 1 a 29, al final de este libro. derecha tablas de factores No existe existe una función función directa directa de celda celda individual individual en una hoja hoja de cálculo cálculo para para determinar P o A con un gradiente gradiente aritmético. aritmético. Utilice función VNP determinar Utilice la función VNP para para P, y la después de que todos los flujos de efectivo efectivo se ingresen ingresen en las función PAGO para para A, después celdas. (El uso de las funciones para este tipo de series funciones VNP y PAGO para series de flujo de efectivo se analizan analizan en el capítulo capítulo 3.) efectivo Se puede puede derivar factor FIG (factor gradiente aritmético, aritmético, valor valor futuro) futuro) al derivar un factor (factor gradiente multiplicar FIP. El factor resultante, (FIG,i,n), entre multiplicar los factores factores PIG y FIP. factor resultante, entre corchetes, corchetes, y relación de ingeniería ingeniería económica económica son la relación

valor presente presente total total P T para El valor gradiente debe considerar considerar por separado para una serie gradiente por separado base y el gradiente. gradiente. En consecuencia, consecuencia, para efectivo que impliimplila base para series de flujo de efectivo gradientes convencionales: convencionales: quen gradientes • • •

La cantidad uniforme que empieza cantidad base base es la cantidad cantidad A de serie uniforme empieza en el año 1 y se extiende hasta el año n. Su valor valor presente presente se simboliza PAextiende hasta simboliza con PAPara un gradiente gradiente debe agregarse Para gradiente creciente, creciente, la cantidad cantidad gradiente agregarse a la cantidad cantidad de la serie uniforme. uniforme. El valor valor presente presente es P c. Para un gradiente restarse de la cantiPara gradiente decreciente, decreciente, la cantidad cantidad gradiente gradiente debe restarse cantidad de la serie uniforme. uniforme. El valor valor presente presente es -P c. -Pc.

Las ecuaciones ecuaciones generales para calcular valor presente presente total total P T de los gradientes generales para calcular el valor gradientes aritméticos convencionales convencionales son aritméticos PT=P: PT=P. - r¿ 1 1 +P c

PT=P YY PT=P -PG A A -Pe

[2.18]

De manera totales equivalentes manera similar, las series anuales anuales totales equivalentes son [2.19] cantidad base cantidad anual equivalente equivalente de la serie base anual y Ac Ac es la cantidad donde AA es la cantidad gradiente. gradiente. EJEMPLO EJEMPLO

2.10

emplear recursos fiscales ya destinados Tres condados adyacentes en Florida acordaron emplear condado. En una junta para remodelar remodelar los puentes mantenidos por el condado. junta reciente, los ingenieestimaron que, al final del próximo año, se depositará depositará un total de ros de los condados estimaron $500000 en una cuenta para la reparación de los viejos puentes de seguridad dudosa que $500000 se encuentran en los tres condados. Además, estiman que los depósitos aumentarán en $100000 por año durante 9 años a partir de ese momento, y luego cesarán. Determine las $100000 equivalentes de a) valor presente presente y de b) serie anual, si los fondos del condado cantidades equivalentes ganan intereses a una tasa del 5% anual.

71

Sol-R

72

CAPÍTULO 2

Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dinero Factores:

o o

2

3

$600 $600

$700 $700

4

5

$800 $800

$900 $900

6

7

8

9

10

$500 $500

$1000 00 $1000 $ $11 1100

$1200 $1200

$1300 $1300

$1400 $1400

Figura Figura 2.15 2.15 Serie Serie de de flujos flujos de de efectivo efectivo con con un gradiente gradiente aritmético aritmético convencional convencional (en (en 2.10. unidades de unidades de $1000), $1000), ejemplo ejemplo 2.10.

s

Solución Solución a) El diagrama diagrama de flujo de efectivo desde la perspectiva a) perspectiva del condado se muestra muestra en la figura 2.15. Se deben realizar realizar dos cálculos y luego se tiene que sumar: el primero presente del para el valor presente de la cantidad base PAoAo y el segundo para el valor presente presente total P T ocurre en el año O, lo cual se indica mediante gradiente gradiente P G' El valor presente la partición del diagrama de flujo de efectivo de la figura 2.16. En unidades de $1 000, el valor presente, a partir de la ecuación [2.18] es

%,10) PTT = 500(PIA,5 P 500(PlA,5%,1O)

+ 100(PIG,5%, 100(PIG,5%,1O)1O)

= 500(7.7217) + 100(31.652) = $7 026.05 b)

($7026050) ($7026050)

También aquí es necesario considerar ya la cantidad base. considerar por separado al gradiente ya AT se encuentra La serie anual total AT encuentra usando la ecuación [2.19] [2.19).. ATT== A

500 + 100(AlG,5%,1O) = 500 + 100(4.0991) 100(AlG,5%,1O)

Eje]

($909910) = $909.91 por año ($909910) y 10. y Ar AT ocurre desde el año 1 hasta el año 10.

Comentario Comentario Recuerde: Recuerde: los factores PIG PIG y AlG AlG determinan el valor presente presente y la serie anual sólo del gradiente. Cualquier Cualquier otro flujo de efectivo debe considerarse considerarse por separado. multiplicarse Si el valor presente presente ya está calculado [como en el inciso a)], a)), PTT puede multiplicarse AlP apropiado para obtener ATA T. por el factor AlP

AT AT

2.6 Ese cost

med forn síml

= PrCAlP,5%, 1O) = = PrCAlP,5%,10) = 7026.05(0.12950) 7 026.05(0.12950) = $909.87

El redondeo explica la diferencia diferencia de $40.

($909870) ($909870)

Laf tricc

SECCIÓN 2.6 SECCIÓN

PGf PGf: :~= ~= $100

PA = : = $500

$100

trr11 12

Factores para para series series gradiente gradiente geométrico geométrico Factores

~ ~

910

+

11

$lOO $100

Base Base

910 910

Gradiente Gradieote $900 $900

2

3

$600 $600

$700 $700

4

5

6

8

7

9

10

$500 $500

$800 $800

$900 $1000 $900

$1 000 $1 100 $

$1 100

Figura 2.16 2.16 Figura

1200 $1200

$1300 $1300

$1400 $1400

Diagrama de flujo de de efectivo efectivo con con partición partición (en (en unidades unidades de de $1000), $1000), ejemplo ejemplo 2.10. 2.10. Diagrama de flujo

Ejemplo adicional adicional 2.16. Ejemplo 2.6 2.6

FACTORES PARA SERIES FACTORES GRADIENTE GEOMÉTRICO GEOMÉTRICO GRADIENTE

común que las series series de flujo de efectivo, efectivo, tales como los costos costos de operación, operación, los Es común construcción y los ingresos, ingresos, aumenten aumenten o disminuyan disminuyan de un periodo periodo a otro costos de construcción mediante un porcentaje constante, por ejemplo, ejemplo, 5% anual. Esta Esta tasa de cambio unimediante porcentaje constante, cambio unidefine una serie gradiente efectivo. Además Además de los forme define gradiente geométrico geométrico de flujos de efectivo. utilizados hasta hasta el momento, momento, ahora ahora se necesita necesita el término término símbolos i y n utilizados

mediante la cual gg = = tasa de cambio cambio constante, constante, en forma forma decimal, decimal, mediante cantidades aumentan aumentan o disminuyen periodo al siguiente siguiente las cantidades disminuyen de un periodo figura 2.17 presenta presenta diagramas diagramas de flujo de efectivo efectivo para para series gradiente gradiente geomégeoméLa figura uniformes de aumento aumento o disminución. disminución. La serie empieza empieza en el año 1 a trico con tasas uniformes

73

74

CAPÍTULO CAPÍTULO 2

Factores: Factores: cómo cómo el tiempo tiempo y el interés interés afectan afectan al dinero dinero

pg = ?•

El

dada i = dada dada g == dada

oo

2

i = dada dada gg dada dada

==

4

3

oo

n

,

22 3 3 4

(

'----Al

!-A-(l - -1 -/f-A-(l

L- -

AI(l +g)

-

AI(l _ g? g)3 - AJ(1

........

AI(l+ gf AI(1 +

:j ':-J n

4

....

:7/

g? -'"

Jl

--

)" ),, - J1 g

En

cu pe

AI(l _ g)2 .", " A,(l-g?

""

'// '// A,(1 - g) AI(lg) '/

AI(l + g)" -

A, Al

l

b)

a)

Figura 2.17 Figura 2.17 Diagrama de de flujo flujo de de efectivo efectivo de de una una serie serie gradiente gradiente geométrico geométrico a) a) creciente creciente y b) b) decreciente decreciente y valor valor presente presente Pe' p •. Diagrama

una cantidad A" la cual no se considera cantidad inicial Al, considera una cantidad cantidad base, base, como en el gradiente gradiente aritmético. para determinar determinar el valor valor presente Pg para serie aritmético. La relación relación para presente total total Pg para toda toda la serie de flujo puede derivarse cada flujo de efectivo figura flujo de efectivo efectivo puede derivarse al multiplicar multiplicar cada efectivo en la figura 2.17 a por por el factor factor PlF: i)/l. 2.17a PIF: 1/(1 + iy.

Es mi fUI

sal

P = =~+ A,(l+g) A,(1+g)2 ... + A A,(l+g)"-' _A_I _ + A I (I+g) + A I (1+g)2 + ... I (1+g)"-1 g (1+i)1 (1+i)1 (1+i)3 (1 + ir i)" (1+ i)l (1+ i)l (1+ i)3 (1+

= A [_1_ [_1_+~+ (1+ g)22 + ... ... + (1+g)"-I] (1+ g)"-l] = + ~ + (l+g) 11 11+ + i (1 + i)2 (1 + i)3 (1 + i)" (1+ (1+ i)3 (1+ ir

[2.20]

r __ 1_]

P (1 + g _ 1) _ A[(I+g)" A [ (1+ g p(l+g_I) __1_] g 11+ +i - 11 (1 + i)"+1 +i (1+ ir+l 11+

despeja Pg Pg y se simplifica. simplifica. Se despeja

g)/I) l-(~)/lJ

[

g:t= i g;t

[2.21]

¡-g z-g

término entre corchetes corchetes en la ecuación ecuación [2.21] es el factor de valor presente presente de la El término gradiente geométrico geométrico para valores de g que no son iguales a la tasa de interés serie gradiente notación estándar estándar usada es (PlA,g,i,n). (P/A,g,i,n). Cuando Cuando g == i, sustituya sustituya ii por g en la i. La notación ecuación ecuación [2.20] para obtener obtener 1 1 1 1 ) Pg = Al ( (1+ i) + (1 + i) + (1 + i) + ... + (1 + i)

A.

un

multiplican ambos lados por (1 (1 + g)/(1 g)/(l + i), se resta la ecuación ecuación [2.20] del resulresulSe multiplican factoriza Pg Pg y se obtiene: tado, se factoriza

1+ ( Pg = Al 1.1+i ~ = Al [ .1+i

re¡ lo

•

SECCIÓN 2.6

Factores para series gradiente geométrico

El término término 1/(1 + i) aparece aparece n veces, de modo que

P=~ P=~ g

[2.22]

(1 + i) (1

En resumen, resumen, la relación relación de ingeniería ingeniería económica económica y las fórmulas fórmulas de factor factor para para calcular P P,g en el periodo periodo t = = O para para una serie gradiente gradiente geométrico geométrico que inicia inicia en el cular periodo aumenta por una tasa constante periodo, son periodo 1 en la cantidad cantidad A 11 Y Yaumenta constante de g cada periodo,

r,y =A¡(PIA,g,i,n) =A¡(P/A,g,i,n) P

(PIA.g,i,II)=- =. (PIA.g,i,l/)

ii+g +g

n 1+i l+i

[2.23]

g:;é: s= ii [2.24]

gg =. =- i

posible derivar derivar factores factores para para los valores valores equivalentes equivalentes de A y F; sin embargo, embargo, es Es posible determinar la cantidad cantidad Pgy luego luego multiplicarla multiplicarla por los factores factores AlP AlP o FIP. FIP. más fácil determinar Como con las series de gradiente gradiente aritmético, aritmético, en las hojas de cálculo cálculo no existen existen Como funciones directas directas para para las series gradiente gradiente geométrico. geométrico. Una Una vez que se han ingreingrefunciones efectivo, P y A se determinan determinan usando usando las funciones funciones VPN VPN y PAGO, sado los flujos de efectivo, respectivamente. Sin embargo, embargo, siempre siempre es una opción opción desarrollar desarrollar en la hoja de cálcurespectivamente. función que utilice utilice la ecuación ecuación del factor factor para para determinar determinar un valor valor de P, F o lo una función ejemplo 2.11 se demuestra demuestra este enfoque enfoque para para encontrar encontrar el valor valor presente presente de A. En el ejemplo gradiente geométrico geométrico con las ecuaciones ecuaciones [2.24]. una serie gradiente EJEMPLO

. t'<

2.11

lnc., desarrollaron desarrollaron una Los ingenieros del SeaWorld, una división de Busch Gardens, lnc., modificación innovación en un deporte acuático existente para hacerlo más excitante. La modificación $8 000 y se espera que dure 6 años con un valor de salvamento de $1 $1 300 para cuesta sólo $8000 mantenimiento sea de $1 700 el primer el mecanismo solenoide. Se espera que el costo de mantenimiento 11% anual en lo sucesivo. Determine el valor presente equivalente de año, y que aumente 11 modificación y del costo de mantenimiento, mantenimiento, tanto a mano como con computadora. La la modificación tasa de interés es de 8% anual. Solución a mano mano Solución

El diagrama de flujo de efectivo (figura 2.18) muestra el valor de salvamento como un negativos. Con la ecuación [2.24] y g '" 7: flujo de efectivo positivo y todos los costos como negativos. r, La PTT total es i calcule Pg.

= -8 000- Pgg +1300(P/F,8%,6) + 1300(P/F,8%,6) PTT =-8000-P = -8 -8 000-1 000-1 700[1 700[1-(1.1111.08)6]+ 13 OOO(P/F OOO(P/F 8% 6) = - (1 .1111.08)6]+ 13 0.08-0.11 0.08-0.11

'

= -8 -8 000-1 000-1 700(5.9559)+819.26 700(5.9559)+819.26 = = $$-17 = - 17 305.85

,

[2.25]

75

76

CAPÍTULO CAPÍTULO 2

Figura Figura 2.18 2.18 Diagrama Diagrama de flujo flujo de efectivo efectivo de un gradiente gradiente geométrico, geométrico, ejemplo ejemplo 2.11. 2.11.

Factores: Factores: cómo cómo el tiempo tiempo y y el interés interés afectan afectan al dinero dinero

~ PT =?

.E

t

d

P g =?•

i=8% i=8% = 11 % = 11%

$1300 $130.0. ... 6

g g

2

l __ - T__

$170.0. $1700

4

3

d u d e. p

5

n

15 -

$1700(l.li")$170.0.(1.1

té

$1 70.0.(1.11)2 ..... ..•.. $1700(1.11)2 $80.0.0. $8000

rr

..••. .....

..•.. $$170.0.(1.11)3"'" I 700(1.11)3 ..... '"

a si

-,

"-

$170.0.(1.11)4 $1700(1 .11)4 "-

""-

,'.

$170.0.(1.11)5 $1 700(1.11)5

"1

~ ~ Sol· E Sol·E

Figura Figura 2.19 2.19 Hoja Hoja de cálculo cálculo para determinar para determinar el valor valor presente presente de un gradiente gradiente geométrico geométrico con con g= %, ejemplo = 1111%, ejemplo 2.11 2.11..

I

Solución por por computadora computadora La figura figura 2.19 2.19 presenta presenta una una hoja hoja de cálculo cálculo con con el valor valor presente presente total total en en la celda celda B13. Bl3. La La La función función usada usada para para determinar determinar PTr== $-17,305.89 $-17,305.89 se detalla detalla en la etiqueta etiqueta de la celda. celda. Se Se trata trata de la la ecuación ecuación [2.25] [2.25] reescrita. reescrita. Puesto Puesto que que es compleja, compleja, las celdas celdas de las las columnas columnas C y D también tres elementos P"/", los también contienen contienen los los tres elementos de P"f, los cuales cuales se resumen resumen en D13 D13 para para llegar llegar al mismo mismo resultado. resultado.

e .. iL 2

o

E

F. F

G

.. ... .... .................-..... - •....-.... - ...........-.-.. ................• - - ..-.-.-....................-.... ···.. ·-·-··-·-····1········ ...... ··>-···········--UI

1II""'43# l---·---------·---+----+ Cate o Cateqorv 1 Estimates Estimates PIA.n.i.n PWvalues ..Fir§tsgst -$8,999 111 ......... : $?'OOO I ·· · · · ··········· ········ 6~. ..J,.,.E::)(PEl~tEl9IifEl,D\lElªr? .. =PV(B11 B7 o. -B8)l!1 alva e value . .. . . . .......... "$1366 8 Salvaqe value $1,300. $819.22 ' " .?:M~lltEmancecost(1styearL . -$1.70.0 I. til Jy1,g¡Jñ.t§Dance cost (1 st yearL ______ -HLO. º _,5.95595 _295595 -1-19125.11 0.11.?"-'-.1'--1~--l__.1-º :1y1!'llnt~()?tgrªcJIEl~t,gO(o.P!lrYElaL 11% 1OIy1!l.int ~()stgracJiEl~t,gO(~P!'ryElar . . . ....... ....... 11 % 11 ~est rate,-"!o.p..ElLi'El_ar ªJ?_~.__. 11 IntElIest rate, %.P..ElI.J'.El!l.r.._..___L ___..ª."& . __ __

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13 Jotal present worth rr1Totalpresentworth 14 14 5 15

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-$17 r=t-$17,305.8911

i .

SECCIÓN SECCIÓN 2.7

2.7 2.7

Cálculo Cálculo de tasas tasas de interés interés desconocidas desconocidas

77

CÁLCULO CÁLCULO DE TASAS DE INTERÉS DESCONOCIDAS DESCONOCIDAS

En algunos dinero depositado algunos casos se conocen conocen la cantidad cantidad de dinero depositado y la cantidad cantidad de dinero recibido recibido luego luego de un número número especificado especificado de años, pero se desconoce desconoce la tasa de interés o la tasa de rendimiento. involucrados una cantidad única, rendimiento. Cuando Cuando hay involucrados cantidad única, una serie uniforme, pueuniforme, o un gradiente gradiente convencional convencional uniforme, uniforme, la tasa desconocida desconocida puedeterminarse para para i por una solución solución directa directa de la ecuación ecuación del valor del dinero de determinarse dinero embargo, cuando cuando hay pagos pagos no uniformes uniformes o muchos muchos factores, factores, el en el tiempo. Sin embargo, problema debe resolverse resolverse empleando empleando un método método de ensayo ensayo y error error o un método método problema numérico. Los problemas problemas más complicados complicados se estudiarán estudiarán en el capítulo capítulo 7. numérico. fórmulas de pago pago único pueden pueden reordenarse reordenarse con facilidad facilidad y expresarse expresarse en Las fórmulas términos de i, pero para para las ecuaciones ecuaciones de serie uniforme gradientes, comúncomúntérminos uniforme y de gradientes, resolver para valor del factor determinar la tasa de interés mente es necesario necesario resolver para el valor factor y determinar interés partir de las tablas de factores factores de interés. interés. Ambas Ambas situaciones situaciones se ilustran ilustran en los a partir siguientes ejemplos. ejemplos. siguientes

EJEMPLO EJEMPLO

2.1 2

Laurel puede puede hacer hacer una una inversión inversión de negocios negocios que que requiere requiere un gasto gasto de $3 000 ahora ahora Si Laurel con el objetivo objetivo de recibir recibir $5 000 dentro dentro de cinco cinco años, años, ¿cuál ¿cuál sería sería la tasa tasa de rendimiento rendimiento con sobre la inversión? inversión? Si Laurel Laurel puede puede recibir recibir 7% 7% anual anual de intereses intereses de un certificado certificado de sobre de depósito, ¿qué inversión debe debe realizarse? realizarse? depósito, ¿qué inversión Solución Solución Como sólo sólo hay hay fórmulas fórmulas de pago pago único único en este este problema, problema, la puede determinarse determinarse directadirectaComo la i puede mente a partir partir del del factor factor PIF. P/F. mente 11 P= i n) = = F(PIF F(P/F,i,n) = F_ F_ __ , , (1 (1+i)" +

1 1 = 5 000000- -5 33000 000 =

ir

(1 +i) +i) (1

5

1 0.600 = = (1 (1+ i)5 i= ( i=

1

)0.22 )0.

0.6

(10.76%) -1=0.1076 (10.76%) -1=0.1076

Alternativamente, la tasa tasa de de interés interés puede puede encontrarse encontrarse estableciendo estableciendo la relación relación PIF en Alternativamente, en notación estándar, estándar, resolviendo resolviendo para para el valor valor del del factor factor e interpolando interpolando en las las tablas. tablas. notación P== F(PIF,i,n) F(P/F,i,n) P

$3000 = = 5 000(PIF,i,5) 000(P/F,i,5) $3000 = 3000 3000 == 0.60 PIF i 5) = (P/F

,,

5000 5000

De acuerdo acuerdo con con las las tablas tablas de interés, interés, un factor factor PIF de 0.6000 para para n = 5 se encuentra encuentra entre De entre 11%. Interpolando entre entre estos estos dos dos valores, valores, se obtiene obtiene i = = 10.76%. 10.76%. 10 y 11 %. Interpolando

Cap. Cap. 7

78

CAPÍTULO 2 CAPÍTULO

Factores: cómo Factores: cómo el tiempo tiempo y el interés interés afectan afectan al dinero dinero

Puesto que que 10.76% 10.76% es Puesto es mayor mayor que que el 7% 7% disponible disponible en en certificados certificados de de depósito, depósito, LauLaurel debería realizar realizar la inversión rel debería inversión de de negocios. negocios. Como Como se recibirá recibirá la la mayor mayor tasa tasa de rendirendimiento en la inversión inversión del miento del negocio, negocio, es probable probable que que Laurel Laurel seleccione seleccione esta esta opción opción en en lugar lugar los certificados certificados de depósito. especificó el grado grado de riesgo riesgo asociado asociado de los depósito. No No obstante, obstante, no se especificó con la inversión inversión financiera. financiera. En con En efecto, efecto, el riesgo riesgo constituye constituye un parámetro parámetro importante importante y con con frecuencia conduce conduce a la frecuencia la elección elección de de la la inversión inversión con con la la menor menor tasa tasa de rendimiento. rendimiento. A A menos que que se especifique especifique lo contrario, menos contrario, en en los los problemas problemas en en este este texto texto se considerará considerará igual igual riesgo para para todas riesgo todas las alternativas. alternativas.

~ ~ Sol-E Sol·E

función TIR de la hoja La función hoja de cálculo cálculo es una de las más útiles útiles de todas las dispodisponibles. TIR significa significa tasa interna interna de rendimiento (internal rate ofreturn), rendimiento (internal ofreturn), que es un tema de interés interés en sí mismo, tema mismo, analizado analizado con detalle detalle en el capítulo capítulo 7. Sin embargo, embargo, incluso en la etapa etapa inicial inicial del análisis incluso análisis de la ingeniería ingeniería económica, económica, la función función TIR puede utilizarse utilizarse con beneficio puede beneficio para para determinar determinar la tasa de interés interés (o tasa de rendirendimiento), para para cualquier cualquier serie serie de flujos de efectivo efectivo que se ingrese ingrese en una serie de miento), una serie celdas contiguas contiguas de la hoja de cálculo, celdas cálculo, ya sea en forma forma vertical vertical u horizontal. horizontal. Es muy importante que cualesquiera cualesquiera años (periodos) (periodos) con flujo de efectivo importante efectivo cero cero tengan tengan una una entrada de 'O' en la celda. celda. Una suficiente, ya que entrada Una celda celda que se deja deja en blanco blanco no es suficiente, función TIR desplegaría desplegaría un valor formato básico la función valor incorrecto incorrecto de i. El formato básico es TIR(firsCccll:lasCccll) TIR(tirsCccll:lasCccll) FirsCcell y lasCcell last cell son las referencias FirsCcell referencias de las celdas celdas para para el inicio inicio y final de la serie efectivo. El ejemplo de flujos de efectivo. ejemplo 2.13 ilustra ilustra la función función TIR. también muy útil, es una alternativa TASA, también alternativa a TIR. TASA es una una función función de una celda que despliega despliega la tasa de interés celda interés compuesto compuesto (o tasa tasa de rendimiento) rendimiento) sólo cuancuanefectivo anuales, do los flujos de efectivo anuales, es decir, los valores valores A, son los mismos. mismos. Se pueden pueden ingresar valores valores presente presente y futuro formato es ingresar futuro diferentes diferentes del valor valor A. El formato TASA(number -ycars,A,P,F) TASA(number-ycars,A,P,F) incluye la cantidad El valor F no incluye cantidad A que ocurre ocurre en el año n. No es necesario necesario ingresar ingresar cada flujo de efectivo efectivo dentro cada dentro de las celdas celdas de la hoja hoja de cálculo cálculo para para usar usar TASA, de función debería modo que esta función debería utilizarse utilizarse siempre siempre que exista exista una una serie uniforme uniform! durante n años con valores valores establecidos ejemplo 2.13 ilustra durante establecidos asociados asociados P y/o F. El ejemplo ilustra la función TASA. función

EJEMPLO EJEMPLO

2.13 2.13

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o 1 q e b ti

.;:: Professional Engineers, Engineers, Inc., $500 por Professional Inc., requiere requiere colocar colocar $500 por año año en en la cuenta cuenta de de un fondo fondo de de amortización para para cubrir cubrir cualquier campo. amortización cualquier reparación reparación mayor mayor inesperada inesperada en el el equipo equipo de de campo. En un caso, caso, $500 $500 se depositaron depositaron a 15 años $10 000 años y cubrieron cubrieron un un costo costo de reparación reparación de $10 000 año 15. ¿Qué ¿Qué tasa tasa de en el año de rendimiento rendimiento ofreció ofreció esta esta práctica práctica a la la compañía? compañía? Resuelva Resuelva a mano y con con la ayuda ayuda de mano de una una computadora. computadora.

ej U dI

el

SECCIÓN 2.7 SECCIÓN 2.7

79

Cálculo de de tasas de interés interés desconocidas desconocidas Cálculo tasas de

Solución a mano mano Solución El diagrama diagrama de flujo flujo de de efectivo efectivo se muestra en la figura figura 2.20. 2.20. Cualquiera Cualquiera de de los los factores, factores, muestra en AlF AlF o F/A, puede puede utilizarse. utilizarse. Si se utiliza utiliza AlF: AlF: A= = F(AlF,i,n) F(AlF,i,n) 500 = 10 000(AlF,i,15) 000(AlF,i,15) 500 (AlF,i,15) = 0.0500 0.0500 (AlF,i,15) Según las tablas interés 8 y 9, bajo columna AlF AlF para años, el valor 0.0500 se para 15 años, valor 0.0500 Según tablas de interés bajo la columna encuentra entre entre 3 y 4%. interpolación, i = 3.98% 3.98% (que (que se considera considera un bajo bajo rendimienrendimienencuentra 4%. Por Por interpolación, to para de ingeniería). ingeniería). para un proyecto proyecto de

F=$LOOOO F=$LOOOO i =? =?

oo

2

3

4

5

6

7

8

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11 11

12

13

14 15

A = $500 $500

Figura 2.20 Figura 2.20 Diagrama determinar la tasa de rendimiento, Diagrama para determinar rendimiento, ejemplo 2.13.

Solución por por computadora computadora Solución Consulte diagrama de flujo flujo de efectivo efectivo (figura (figura 2.20), completa la hoja de Consulte el diagrama 2.20), mientras mientras completa hoja de cálculo (figura (figura 2.21). aplicar una solución de de una sola celda celda usando función cálculo 2.21). Se puede puede aplicar una solución una sola usando la función TASA, ya que A = = $-500 $-500 ocurre ocurre cada cada año año y el valor valor F = = $10,000 $10,000 se presenta TASA, ya que presenta en el último último año de de la serie. serie. La La celda celda A3 contiene la función función TASA(15,-500" TASA(l5,-500" 10000), y la respuesta año A3 contiene 10000), la respuesta que se despliega despliega es 3.98%. 3.98%. El El signo signo menos en 500 500 indica indica el depósito depósito anual. anual. Es necesaria la necesaria la que menos en coma adicional adicional para indicar que que ningún está presente. función es rápida, coma para indicar ningún valor valor P está presente. Esta Esta función rápida, pero pero sólo permite limitada sensibilidad sensibilidad en el análisis; análisis; todos los valores que camcamsólo permite una una limitada todos los valores A tienen tienen que biar por cantidad. La función TIR TIR es mucho del biar por la misma misma cantidad. La función mucho mejor mejor para para responder responder preguntas preguntas del tipo "¿y qué qué pasa si ..... 1" ?" tipo "¿y pasa si. Para función TIR TIR y obtener obtener la misma ingrese el valor Para aplicar aplicar la función misma respuesta, respuesta, ingrese valor O en una una celda (para (para el año año O), O), seguido seguido de -500 -500 para años y 9,500 9,500 (de (de 10,000 10,000 - 500) 500) en en el año año 15. para 14 años celda La figura 2.21 contiene estos en las las celdas celdas D2 función La figura 2.21 contiene estos números números en D2 a D17. D17. Ingrese Ingrese la función TIR(D2:DI7) en cualquier cualquier celda celda sobre sobre la la hoja cálculo. Se despliega despliega la respuesta TIR(D2 :DI7) en hoja de cálculo. respuesta i = 3.98% en la celda celda E3. aconsejable ingresar ingresar el número de años años O hasta (15, en este este 3.98% E3 . Es Es aconsejable número de hasta n (15, ejemplo) en en la columna columna inmediatamente inmediatamente a la izquierda izquierda de de las las entradas entradas de de flujo flujo de de efectivo. efectivo. ejemplo) La función TIR TIR no necesita estos números, que la actividad actividad de de ingresar ingresar el flujo flujo La función necesita estos números, pero pero hace hace que efectivo sea sea más sencilla y más exacta. Ahora cambiar cualquier cualquier flujo flujo de de de efectivo más sencilla más exacta. Ahora se puede puede cambiar efectivo, y se desplegará desplegará de de inmediato inmediato una TIR. efectivo, una nueva nueva tasa tasa vía vía TIR.

Sol-R Sol-R

~

~Sol-E Sol-E

80

CAPÍTULO 2 CAPÍTULO

Factores: cómo cómo el tiempo tiempo y el interés interés afectan afectan al dinero dinero Factores:

•

2.~

s Figura Figura 2.21 Solución 2.13. Solución con con hoja hoja de cálculo cálculo para para tasa tasa de rendimiento rendimiento usando usando las las funciones funciones TASA TASA Y Y TIR, TIR, ejemplo ejemplo 2.13.

2.8

CÁLCULO CÁLCULO DEL NÚMERO NÚMERO DE AÑOS AÑOS DESCONOCIDOS DESCONOCIDOS

Para rendimiento estaPara que una serie de flujos de efectivo efectivo proporcione proporcione una tasa tasa de rendimiento blecida, (periodos) requerequeblecida, algunas algunas veces es necesario necesario determinar determinar el número número de años (periodos) ridos. Otras veces dinero estarán estarán veces se desea desea saber cuándo cuándo determinadas determinadas cantidades cantidades de dinero disponibles a partir partir de una inversión inversión propuesta. propuesta. En ambos ambos casos, casos, la incógnita disponibles incógnita es n. Para sección anteantePara encontrar encontrar esta variable variable se utilizan utilizan técnicas técnicas similares similares a las de la sección rior. Algunos manipulación de Algunos problemas problemas se resuelven resuelven directamente directamente para para n con una manipulación las fórmulas calcula usando usando fórmulas de pago único y de serie uniforme. uniforme. En otros casos, casos, n se calcula interpolación interpolación en las tablas de interés, interés, como se verá más adelante. adelante. La función rápidamente el función NPER NPER de la hoja de cálculo cálculo es útil para para encontrar encontrar rápidamente número formato es número de años (periodos) (periodos) n para para valores valores dados de A, P y/o F. El formato Sol-R Sol-R

NPER(i%,A,P,F) NPER(i%,A,P,F)

involucrado el valor futuro F, éste se omite; no obstante, obstante, deben Si no está involucrado deben ingresarse ingresarse presente P y una cantidad cantidad uniforme uniforme A. La entrada entrada A puede un valor presente puede ser cero cero sólo cuando cuando se conocen conocen cantidades cantidades únicas únicas P y F, como como en el ejemplo ejemplo siguiente. siguiente. Al menos una de las entradas para obtener obtener una una entradas debe tener tener un signo opuesto opuesto a las otras para respuesta de NPER. respuesta

Se cáh ría erre ger res

•

SECCIÓN 2.9 SECCIÓN 2.9

EJEMPLO EJEMPLO

2.14

Aplicación de las las hojas hojas de de cálculo-análisis cálculo-análisis de de ~ensibilidad ~ensibilidad básico básico Aplicación

81 81

.

¿Cuánto tiempo tomará tomará duplicar duplicar $1 000 000 si la la tasa tasa de interés interés es del del 5% anual? ¿Cuánto tiempo 5% anual?

Solución Solución valor n se determina determina ya ya sea mediante el factor FIP o el factor factor PIF. PIF. Utilizando factor El valor sea mediante factor FIP Utilizando el factor PIF, PIF, P = F(PlF,i,n) F(PIF,i,n)

1 000 000 = 2 000(PIF,5%,n) 000(PIF,5%,n) (PIF,5%,n) 0.500 (PIF,5%,n) = = 0.500

Según la tabla tabla de de interés, interés, en valor 0.500 años. Por Por Según la en 5% el valor 0.500 se encuentra encuentra entre entre 14 y 15 años. interpolación, n = 14.2 14.2 años. interpolación, años. Use Use la la función función NPER(5%,0,-1000,2000) NPER(5%,0,-1000,2000) para para desplegar desplegar un un valor 14.21 años. de 14.21 años. valor n de

2.9

Sol-R Sol·R

APLICACiÓN DE LAS HOJAS APLICACiÓN HOJAS DE CÁLCULO-ANÁLISIS CÁLCULO-ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD SENSIBILIDAD BÁSICO BÁSICO

cálculos de ingeniería económica con las funciones funciones de la hoja Se han realizado realizado cálculos ingeniería económica hoja de cálculo VP, VF, PAGO, TIR Y YNPER sección 1.8. La mayocálculo NPER que se presentaron presentaron en la sección mayoría de las funciones funciones toman toman sólo una celda celda individual individual de la hoja hoja de cálculo cálculo para para encontrar la respuesta. ejemplo siguiente siguiente ilustra cómo resolver encontrar respuesta. El ejemplo ilustra cómo resolver un problema problema ligeramente implica análisis geramente más complejo, complejo, que implica análisis de sensibilidad; sensibilidad; es decir, ayuda ayuda a responder preguntas preguntas del tipo "¿y qué pasa pasa si ... ?" responder si...?"

EJEMPLO EJEMPLO

2.15

Un ingeniero ingeniero y un médico médico se asociaron para para desarrollar desarrollar una una importante importante mejora mejora en en cirugía cirugía Un se asociaron laparoscópica para para operaciones operaciones de de la vesícula vesÍCula biliar. biliar. Formaron Formaron una una pequeña pequeña compañía compañía laparoscópica para manejar manejar los los aspectos aspectos financieros de su asociación. asociación. La La compañía ya ha invertido para financieros de compañía ya ha invertido $500 000 en en el proyecto proyecto este este año año (t = O) O) Y espera espera gastar gastar $500 000 anualmente anualmente durante durante los los $500 000 $500 000 siguientes 4 años, Desarrolle una siguientes años, y posiblemente posiblemente durante durante más más años. años. Desarrolle una hoja hoja de de cálculo cálculo que que le le ayude a responder responder las las siguientes preguntas: ayude siguientes preguntas: a)

b)

Suponga que se gastan gastan $500 000 sólo durante 4 años años adicionales. adicionales. Si la la compañía Suponga que $500000 sólo durante compañía vende en millones los los derechos derechos para para usar la nueva nueva tecnología tecnología al final del año vende en $5 millones usar la final del año 5, ¿cuál es la anticipada? ¿cuál la tasa tasa de rendimiento rendimiento anticipada? El ingeniero ingeniero y el médico médico estiman estiman que que necesitarán necesitarán $500 000 por por año año durante durante más más de de 4 El $500000 años ¿Cuántos años, finalizar su trabajo años adicionales. adicionales. ¿Cuántos años, a partir partir de de ahora, ahora, tienen tienen para para finalizar trabajo de de desarrollo desarrollo y recibir recibir los los $5 millones millones por por derechos derechos de de patente patente para para obtener obtener al menos menos 10% por año? año? Suponga que los los $500 000 por por año año se gastan gastan a lo lo largo largo del del año año inmeinme10% por Suponga que $500 000 diatamente diatamente anterior anterior a la la recepción recepción de de los los $5 millones. millones.

Solución por computadora computadora Solución por La figura figura 2.22 2.22 presenta presenta la la hoja hoja de cálculo, cálculo, con con todos todos los los valores valores financieros financieros en en unidades La unidades de solución. de $1 000. 000. La La función función TIR TIR se emplea emplea a lo largo largo de de toda toda la la solución.

~ ~ ~ ~ Sol·E Sol-E

82

CAPÍTULO 2 CAPÍTULO

Factores: cómo cómo el tiempo tiempo y el interés interés afectan afectan al dinero dinero Factores:

La función función TIR(B6:Bll) TIR(B6:Bll) en la celda celda B15 BI5 despliega despliega ii = 24.07%. 24.07%. Advierta Advierta que que existe existe La en flujo de efectivo efectivo de $-500 $-500 en el año año O. El enunciado enunciado equivalente equivalente es: gastar gastar $500000 $500000 un flujo ahora y $500 $500 000 000 cada cada año año durante durante 4 años años más más equivale equivale a recibir recibir $5 millones millones al final final ahora del año año 5, cuando cuando la tasa tasa de interés interés es de 24.07% 24.07% anual. anual. del Encuentre tasa de rendimiento rendimiento para para un número número creciente creciente de años años en en que que se gasten gasten Encuentre la tasa los $500. $500. Las columnas C y D de la figura figura 2.22 2.22 presentan presentan los resultados resultados de las funfunlos Las columnas ciones TIR TIR con con el flujo efectivo de $5,000 $5,000 en diferentes diferentes años. años. Las Las celdas celdas C15 CI5 y ciones flujo de efectivo D15 muestran muestran rendimientos rendimientos sobre sobre lados lados opuestos opuestos de 10%. 10%. En En consecuencia, consecuencia, los $5 D15 millones deben deben recibirse recibirse en en algún algún momento momento previo previo al final final del del año año 7 para para lograr lograr más más millones rendimiento que que el 8.93% 8.93% que que se muestra celda D15 D15. . El ingeniero ingeniero y el médico médico rendimiento muestra en la celda tienen menos menos de 6 años años para completar su trabajo trabajo de desarrollo. desarrollo. tienen para completar

a)

b)

D

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-----+--;p:O-a-:rt-;(-:a):----l---------:p:O-a-':rt-;(:-:b)----+-----{ Findi Fndn suchIhali > 10% I ¡Gel$5 million inyr 5 Gel$5 million in r 6 Gel$5 million inyr 7 i$ (500 l (500) ................................ , '.$: ··('5"0'0,')1 $. ..(500)$ ·(500)$ ···(500)'

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$ $

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$

·-----''------;1-$-__

z.,__

(500) $ (500) $ (500) $ 5,000

$ $

24.07%

=IRR(B6:Bll)

(500) $ (500) $ (500) $

(500) (500) (500)

(500) $ 5,000 $

(500) (500)

14.80%

=IRR(C6:CI2)

Figura 2.22 2.22 Figura Solución con con hoja de cálculo cálculo que que incluye incluye análisis análisis de de sensibilidad, sensibilidad, ejemplo ejemplo 2.15. 2.15. Solución hoja de

EJEMPLO ADICIONAL EJEMPLO ADICIONAL EJEMPLO EJEMPLO

2.16 2.16

;.-

CÁLCULO DE P, F Y A CÁLCULODEP,FY Explique por qué no pueden factores de serie serie uniforme calcular P o F diExplique por qué pueden utilizarse utilizarse factores uniforme para para calcular rectamente para para cualquiera cualquiera de los flujos flujos de efectivo efectivo mostrados mostrados en en la figura figura 2.23. 2.23. rectamente

83 83

EJEMPLO EJEMPLO ADICIONAL ADICIONAL

$100 $100

$100 $100

$100 $100

$100 $100

t -t-t-t t t t t--+-I 22

44

33

55

p=? P=? a) a)

A A

$550 ==$550

-tt t t-t t t

1--1

Oo

22

33

44

F=? F=? b) $1300 $1300 $1200 $1200 A

o O

2

PG=

s

$1100 $1 100

000 == $1 000

4

3

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e)

01-----1

o

$150

$150

2

31

t t-11

$100

t

3

F=? F=?

Figura Figura 2.23 2.23 Diagramas Diagramas de de flujo flujo de de efectivo, efectivo, ejemplo ejemplo 2.16. 2.16.

Solución Solución a) El El factor factor PIA PIA no no puede puede utilizarse utilizarse para para calcular calcular P, P, ya ya que que el el recibo recibo de de $100 $100 anualmenanualmena) te te no no ocurre ocurre todos todos los los años años desde desde el el año año 11 hasta hasta el el año año 5. 5. b) b) Puesto Puesto que que no no hay hay A A == $550 $550 en en el el año año 5, 5, no no puede puede utilizarse utilizarse el el factor factor FlA FlA.. La La relación relación 550(FIA,i,4) daría daría como como resultado resultado el el valor valor futuro futuro en en el el año año 4, 4, no no en en el el año año 5. 5. FF == 550(FIA,i,4) e) El El primer primer valor valor del del gradiente gradiente G G= = $100 $100 ocurre ocurre en en el el año año 3. 3. El El uso uso de de la la relación relación PPGG = = e) 100(P/G,i%,4) 100(P/G,i%,4) permitirá permitirá calcular calcular PPGG en en el el año año 1, 1, no no en en el el año año O. O. (No (No se se incluye incluye aquí aquí elel valor valor presente presente de de la la cantidad cantidad base base de de $1 $1 000.) 000.) el) Los Los valores valores de de los los recibos recibos son son desiguales; desiguales; por por lo lo tanto, tanto, la la relación relación FF ==A(FIA,i,3) A(FlA,i,3) no no el) se se puede puede utilizar utilizar para para calcular calcular F. F.

-----~~~---------------------------~------------------------------------------------~---------84

CAPÍTULO

2

Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dinero

2 RESUMEN DEL CAPíTULO En este capítulo las fórmulas y los factores derivados y aplicados se utilizaron para realizar cálculos de equivalencia para flujos de efectivo presentes, futuros, anuales y de gradiente. La capacidad para usar estas fórmulas y su notación estándar, tanto de forma manual como con hojas de cálculo, es crucial para completar un estudio de ingeniería económica. Al utilizar estas fórmulas y funciones de las hojas de cálculo, resulta posible convertir flujos de efectivo individuales en flujos de efectivo uniformes, gradientes en valores presentes y mucho más. Asimismo, es posible resolver para tasa de rendimiento i o tiempo n. Una cabal comprensión de cómo manipular flujos de efectivo usando el material de este capítulo le ayudará a enfrentar problemas financieros en su desempeño profesional, así como en la vida cotidiana.

2

PROBLEMAS Uso de las tablas de interés '111

2.4 Petroleum Products, Inc. es una compañía de ductos que proporciona derivados del petróleo a mayoristas del norte de los Estados Unidos y Canadá. La empresa estudia la compra de medidores de flujo de inserción de turbina que permitan vigilar mejor la integridad de los ductos. Si estos medidores impidieran una interrupción grave (gracias a la detección temprana de pérdida de producto) valuada en $600 000 dentro de cuatro años, ¿cuánto podría actualmente desembolsar la compañía con una tasa de interés de 12% anual?

2.1 Encuentre el valor numérico correcto de los factores siguientes, a partir de las tablas de interés: 1. (F/P,8%,25) 2. (P/A,3%,8) 3. (P/G,9%,20) 4. (FlA,15%,18) 5.

(AlP,30%,15)

Determinación de F, P Y A 2.2

La U.S. Border Patrol analiza la compra de un helicóptero nuevo para la vigilancia aérea de la frontera de Nuevo México y Texas con la República mexicana. Hace cuatro años se adquirió un helicóptero similar con un costo de $140 000. Con una tasa de interés de 7% anual, ¿cuál sería el valor equivalente actual de dicho monto?

2.3 Pressure Systems, Inc. fabrica transductores de nivel líquido de gran exactitud. Investiga si debe actualizar cierto equipo ahora o hacerlo después. Si el costo hoyes de $200000, ¿cuál será la cantidad equivalente dentro de tres años con una tasa de interés de 10% anual?

2.5

Sensotech, Inc., fabricante de sistemas de microelectrónica, supone que puede reducir en un 10% que sus productos sean retirados del mercado si compra software nuevo para detectar las partes defectuosas. El costo de dicho software es de $225000. a) ¿Cuánto tendría que ahorrar la compañía anualmente durante cuatro años para recuperar su inversión, si usa una tasa mínima aceptable de rendimiento de 15% anual? b) ¿Cuál fue el costo por año de los retiros del mercado antes de que se hubiera comprado el software si la compañía recuperó su inversión exactamente en cuatro años debido a la reducción del 10%?

2

2

2.]

2.l

PROBLEMAS PROBLEMAS

2.6

2.7

La empresa Mechanical Products Products empresa Thompson Thompson Mechanical planea reservar reservar $150 000 hoy para para tal vez planea reemplazar reemplazar sus grandes grandes motores motores sincrónicos sincrónicos pulido una vez que sea necesario. necesario. Si el de pulido reemplazo reemplazo no fuera necesario necesario durante durante siete años, años, ¿cuánto ¿cuánto tendría tendría la compañía compañía en la inversión inversión que reservó reservó si logra logra una tasa de rendimiento rendimiento de 18% anual? anual? La empresa empresa fabricante fabricante de carros carros Renault Renault firmó un contrato contrato de $75 millones millones conABB conABB de Zurich, Zurich, Suiza, para para automatizar automatizar las líneas de montaje montaje del chasis, los talleres talleres de ensamensamblado blado de la carrocería carrocería y los sistemas sistemas de control de línea. Si ABB recibirá pago dentro recibirá el pago dentro de dos años (cuando (cuando los sistemas sistemas queden queden listos), listos), ¿cuál ¿cuál es el valor valor actual actual del contrato contrato con un interés interés de 18% anual? anual?

2.8

Atlas Long-Haul Long-Haul Transportation Transportation analiza analiza la instalación instalación de registradores registradores de temperatura temperatura camiones frigoríficos frigorífico s Valutemp en todos sus camiones a fin de vigilar vigilar las temperaturas temperaturas mientras mientras éstos circulan. circulan. Si los sistemas sistemas disminuirán disminuirán reclamaciones por seguros seguros en $100 000 las reclamaciones dentro dentro de dos años, años, ¿cuánto ¿cuánto debe debe estar estar dispuesta dispuesta a pagar pagar ahora ahora la compañía compañía si usa una tasa de interés interés de 12% anual?

2.9

GE Marine Marine Systems Systems planea planea suministrar suministrar a un armador japonés turbinas aerodearmador japonés turbinas de gas aeroderivadoras rivadoras para para impulsar impulsar los destructores destructores de tipo 11 DD, de la Fuerza Japonesa de Auto11DD, defensa. defensa. El comprador comprador puede puede pagar pagar ahora ahora el importe importe total de $1 700 000 estipulado estipulado en el contrato, o una cantidad equivalente dentro de un año (cuando se necesitarán las turbinas). Con una tasa de interés de 18% anual, ¿cuál es la cantidad cantidad futura equivalente? equivalente?

2.10

¿Para ¿Para Coming, Coming, lnc., lnc., cuál es hoy el valor valor de un costo futuro de $162 000 dentro costo futuro dentro de seis años con una tasa de interés interés de 12% anual? anual?

2.11

¿Cuánto podría gastar ¿Cuánto podría gastar hoy en equipo equipo nuevo nuevo Cryogenics, Cryogenics, lnc., lnc., fabricante fabricante de sistemas sistemas de almacenamiento de energía almacenamiento energía basados basados en superconductores superconductores magnéticos, magnéticos, en lugar lugar de

85

dedicar $125000 $125000 dentro dentro de cinco cinco años si la dedicar rendimiento de la compañía compañía es de tasa de rendimiento 14% anual? anual? 2.12

V-Tek Systems Systems es un fabricante fabricante de compaccompactadores tadores verticales, verticales, y analiza analiza sus requerirequerimientos de flujo de efectivo para los próximos cinco años. reemplazar años. La compañía compañía espera espera reemplazar máquinas equipo de computamáquinas de oficina oficina y equipo computación en varios momentos momentos durante durante los cinco años del periodo periodo de planeación. planeación. EspecíficaEspecíficamente, mente, la empresa empresa espera espera gastar gastar $900 000 dentro dentro de dos años, $8 000 dentro dentro de tres, y $5 000 dentro de cinco. ¿Cuál es el valor presente de los gastos planeado planeado con una tasa de interés interés de 10% anual? anual?

2.13

Un sensor sensor de proximidad proximidad fijo al extremo extremo de un endoscopio endoscopio podría podría reducir reducir los riesgos durante la cirugía cirugía de ojos, porque porque alertaría alertaría a durante los médicos médicos de la localización localización del tejido tejido crítico de la retina. retina. Si con el uso de esta esta crítico tecnología tecnología cierto oftalmólogo oftalmólogo espera evitar demandas por $1.25 y $0.5 millones millones dentro demandas de dos y cinco años, respectivamente, ¿cuánto podría desembolsar desembolsar hoy si sus diversos costos por las demandas demandas sólo fueran el 10% del monto total de cada una de ellas? Use una interés de 8% anual. tasa de interés

2.14

El costo costo actual actual del seguro seguro por por adeudos adeudos para para cierta empresa empresa de consultoría consultoría es de $65 000. cierta Si se espera espera que el costo del seguro seguro se incremente mente 4% cada año, ¿cuál será el costo dentro de cinco años?

2.15

American American Gas Products Products produce produce un aparato aparato llamado Can-Emitor Can-Emitor que vacía vacía el contenido contenido llamado de las latas viejas de aerosol aerosol en dos o tres segundos. segundos. Esto evita evita tener tener que eliminarlas eliminarlas como peligrosos. Si cierta como desechos desechos peligrosos. cierta compacompaahorrar $75000 $75000 al año ñía de pinturas pinturas puede puede ahorrar costos de eliminación eliminación de desechos, desechos, en sus costos ¿cuánto ¿cuánto podría podría gastar gastar ahora ahora en el CanCanEmitor, si quiere quiere recuperar recuperar su inversión inversión en Emitor, tres años, con una tasa de interés interés de 20% anual? anual?

86

2.16

2.17

CAPÍTULO

2

Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dinero

Atlantic Metals and Plastic usa aleaciones de níquel-cromo para manufacturar conductores resistentes al calor. La compañía estudia un proceso nuevo de impresión templada para reducir sus costos. Si el proceso nuevo costaría hoy $1 800 000, ¿cuánto debe ahorrarse cada año para recuperar la inversión en seis años, con una tasa de interés de 12% anual?

línea suscriptora digital de alta velocidad (DSL), de $458 a $360 anual por línea consumidora. Un ISP particular, que tiene 20000 clientes, planea trasladar 90% de los ahorros a su clientela. ¿Cuál es el valor total futuro de estos ahorros durante un horizonte de cinco años con una tasa de interés de 8% anual? 2.21

El alga verde Chlamydomonas reinhardtii puede producir hidrógeno si se le priva de azufre por un periodo de hasta dos días. Una compañía pequeña necesita comprar equipo que cuesta $3 400 000 para comercializar el proceso. Si la empresa espera tener una tasa de rendimiento de 20% anual y recuperar su inversión en ocho años, ¿cuál debe ser el valor neto del hidrógeno que se produzca cada año?

A fin de mejorar la detección de grietas en sus aviones, la Fuerza Aérea de los Estados Unidos combinó procedimientos de inspección ultrasónica con calentamiento por láser para identificar agrietamiento s debidos al debilitamiento. La detección a tiempo de éstos podría reducir los costos de reparación hasta en $200 000 por año. ¿Cuál es el valor presente de estos ahorros en un periodo de cinco años, con una tasa de interés de 10% anual?

V2

2.:

2.;

GI

2.:

"I¡,

I

2.18

2.19

2.20

¿Cuánto dinero podría pedir prestado RTT Environmental Services para financiar un proyecto de rehabilitación de sitios, si espera ingresos de $280 000 anualmente durante un periodo de limpieza de cinco años? Se supone que los gastos asociados al proyecto sean de $90 000 por año. Use una tasa de interés de 10% anual. Western Playland and Aquatics Park gasta $75000 cada año en servicios de consultoría por la inspección de viajes. Una tecnología basada en elementos actuadores nuevos permite que los ingenieros simulen movimientos complejos en cualquier dirección controlados por computadora. ¿Cuánto podría permitirse gastar hoy el parque en la tecnología nueva si ya no fueran necesarios los servicios de consultoría anuales? Suponga que el parque usa una tasa de interés de 15% anual, y desea recuperar su inversión dentro de cinco años. Por medio de un acuerdo con Internet Service Providers (ISPs) Association, la empresa SBC Communications redujo el precio que ISPs cobra por revender su servicio de

2.22

2.23

2.24

Una recién egresada de ingeniería aprobó el examen de FI y recibió un aumento (al comienzo del primer año) de $2 000. Con una tasa de interés de 8% anual, ¿cuál es el valor presente de los $2 000 cada año, si espera ejercer su carrera profesional durante 35 años? Southwestern Moving and Storage quiere tener dinero suficiente para comprar un tractocamión nuevo dentro de tres años. Si la unidad costará $250 000, ¿cuánto debe reservar cada año la compañía si la cuenta rinde 9% al año? Vision Technologies, Inc. es una compañía pequeña que usa tecnología de banda ancha para desarrollar dispositivos capaces de detectar objetos (inclusive personas) dentro de los edificios, tras las paredes o bajo el piso. La empresa espera gastar $100 000 al año en mano de obra y $125 000 anuales en suministros, antes de que pueda comercializarse un producto. Con una tasa de interés de 15% anual, ¿cuál es la cantidad futura equivalente total de los gastos de la compañía al final de tres años?

2.~

2.2

2.:

2.3

PROBLEMAS PROBLEMAS

producen diez barriles diarios) producen menos menos de diez barriles diarios) disminuyan de acuerdo acuerdo con un gradiente gradiente disminuyan aritmético de $50 000 por ingrearitmético por año. Estos Estos ingreanuales se espera espera sean de $280 $280 000 (es sos anuales decir, al final final del año 1), y la compañía compañía decir, espera que la vida útil de los pozos espera pozos sea de cinco años. a) ¿Cuál ¿Cuál es el monto cinco monto del flujo efectivo en el año 3, y b) b) ¿cuál es el valor de efectivo valor equivalente en los años 1 a anual uniforme uniforme equivalente ingreso que generan generan los pozos, 5 del ingreso pozos, con una tasa de interés interés de 12% anual? anual?

Valores de factores factores 2.25

Determine siguienDetermine el valor valor numérico numérico de los siguientes factores factores utilizando b) utilizando a) interpolación interpolación y b) fórmula apropiada apropiada la fórmula 1. (P/F,18%,33) (P/F,18%,33) 2. (AlG,12%,54) (NG,12%,54)

2.26

Calcule el valor siguientes Calcule valor numérico numérico de los siguientes factores utilizando interpolación y b) la factores utilizando a) interpolación fórmula apropiada apropiada fórmula 1. (F/A,19%,20) (F/A,19%,20) 1. 2. (P/A,26%,15) (P/A,26%,15)

2.32 2.32

ingreso por concepto concepto del reciclado El ingreso reciclado de cartón en Fort Fort Bliss Bliss se ha estado estado elevando elevando a cartón una tasa constante constante de $1 000 en cada cada uno de los tres últimos últimos años. Si el de este año espera sea de (es decir, al final del año 1) se espera $4000, y la tendencia incremento conticonti$4000, tendencia de incremento núa ¿cuál será el ingreso ingreso núa hasta hasta el año 5, a) ¿cuál dentro de tres años (es decir, al final del año dentro b) ¿cuál es el valor ingre3), y b) valor presente presente del ingredurante el periodo cinco años, con una so durante periodo de cinco tasa de interés interés de 10% anual? anual?

2.33

Amazon estudia la adquisición adquisición de un sisAmazon estudia tema cómputo avanzado avanzado para cubicar las tema de cómputo para cubicar dimensiones de un libro libro (medir (medir su altualtudimensiones ra, longitud longitud y ancho ancho de modo modo que se use el tamaño adecuado de caja caja para enviarlo). tamaño adecuado para enviarlo). Esto ahorrará material, cartón y mano Esto ahorrará material, cartón mano de ahorros serán obra. Si en el primer primer año los ahorros $160 000 en el segundo, segundo, y de $150 000 y de $160 las cantidades cantidades se incrementan anualmente incrementan anualmente $10 000 durante durante ocho años, ¿cuál es el en $10000 valor sistema, con una valor presente presente del sistema, una tasa de interés anual? interés de 15% anual?

2.34

West Coast Coast Marine estudia la sustiMarine & RV estudia tución controladores de cable cable colgancolgantución de los controladores tes de sus grúas grúas más poderosas poderosas por por nuevos nuevos controladores portátiles controladores portátiles de teclado. teclado. La La compañía espera espera tener ahorros de $14 000 compañía tener ahorros en sus costos costos del primer primer año, y esta cantiincrementará anualmente anualmente $1 500 500 dad se incrementará durante cada cada uno de los cuatro cuatro años pródurante ximos. interés de 12% por ximos. Con una tasa tasa de interés por equivalente de año, ¿cuál es el valor valor anual equivalente ahorros? los ahorros?

Gradiente aritmético aritmético Gradiente 2.27

Una secuencia de flujo de efectivo efectivo inicia inicia en Una secuencia aumenta en $1 000 cada el año 1 en $3 000 y aumenta calcule el valor año hasta hasta el año 10. a) calcule valor del gradiente G, b) determine determine la cantidad cantidad de flugradiente jo efectivo en el año 8 y c) encuentre encuentre el jo de efectivo valor gradiente. valor de n para para el gradiente.

2.28

Cisco Systems Systems espera espera ventas descriCisco ventas que se describen en la secuencia secuencia de flujo de efectivo efectivo dada por 5k), en la que k está expresada expresada por (6 000 + 5k), en años y el flujo de efectivo en millones. Determine a) el valor del gradiente G, b) b) el monto de flujo de efectivo en el año 6 y c) el valor gradiente si el flujo de efectivo efectivo de n para para el gradiente termina termina en el año 12.

2.29

Para la secuencia secuencia de flujo de efectivo efectivo que 1,expresada comienza en el año 1, expresada por la relación 900 - 100k, donde krepresenta krepresenta los años 1 a 5, b) a) determine el valor del gradiente G, y b) calcule el flujo de efectivo en el año 5.

2.30

Omega Instruments Instruments presupuestó $300 000 Omega presupuestó $300 anuales a fin de pagar ciertas partes anuales pagar ciertas partes de cerámica durante los cinco cinco próximos mica durante próximos años. Si la compañía espera espera que el costo costo de las partes compañía partes incremente de manera se incremente manera uniforme uniforme de acuergradiente aritmético aritmético de $10 000 do con un gradiente por ¿cuál se espera espera que sea su costo por año, ¿cuál costo en el año 1 si la tasa de interés es de 10% anual?

2.31

Chevron- Texaco espera espera que los ingresos ingresos Chevron-Texaco provenientes provenientes de pozos stripper stripper (aquellos que

87

88

2.35

2.36

'1:

CAPÍTULO

del flujo neto de efectivo de la compañía, con una tasa de interés de 16% por año.

10

1

O $200

2

3

4

200 + G

200 + 2G

200 + 3G

Una compañía farmacéutica importante pronostica que en los años por venir podría verse involucrada en litigios relacionados con los efectos colaterales que se perciben en uno de sus medicamentos antidepresivos. A fin de preparar fondos destinados especialmente para esto, la empresa quiere tener dinero disponible dentro de seis años, que hoy tiene un valor presente de $50 000 000. La compañía espera reservar $6 000 000 el primer año e incrementar esta cifra de manera uniforme en cada uno de los cinco años siguientes. Si la empresa espera obtener 12% anual sobre el dinero que reserve, ¿cuánto debe incrementar cada año la cantidad reservada a fin de alcanzar su objetivo? Un fabricante de refacciones automotrices que comienza sus operaciones espera gastar $1 000 000 el primer año por concepto de publicidad, con cantidades que disminuyen $100000 cada año. Se espera que el ingreso sea de $4 000 000 el primer año y que aumente $500 000 anualmente. Determine el valor anual equivalente en los años 1 a 5

2.4

Gradiente geométrico 2.39

Suponga que le pidieran preparar una tabla de valores de los factores (como la que se encuentra al final del libro ) para calcular el valor presente de una serie de gradiente geométrico. Determine los tres primeros valores (es decir, para n = 1,2 Y3) para una tasa de interés de 10% anual, y una tasa de incremento de g de 4% anual.

2.40

Una ingeniera química que planea su jubilación depositará 10% de su salario cada año en un fondo accionario de alta tecnología. Si este año su salario es de $60 000 (es decir, al final del año 1) y espera que se incremente 4% cada año, ¿cuál será el valor presente del fondo después de 15 años si rinde 4% anual?

2.41

Se sabe que el esfuerzo que se requiere para mantener un microscopio electrónico de barrido se incrementa en un porcentaje fijo eada año. Una compañía de mantenimiento de equipos de alta tecnología ofrece sus servicios por una cuota de $25 000 para el primer año (es decir, al final del año 1), con incrementos de 6% anual a partir de entonces. Si una empresa de biotecnología desea celebrar un contrato de tres años para aprovechar las ventajas de ciertas exenciones fiscales temporales, ¿cuánto debe estar dispuesta a pagar si usa una tasa de interés de 15% anual?

Para el flujo de efectivo que se muestra a continuación, determine el valor de G que hará que el valor futuro en el año 4 sea igual a $6000 a una tasa de interés de 15% anual.

Flujo de efectivo

2.38

Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dinero

Ford Motor Company puede reducir en 80% el costo requerido por instalar instrumentos para recabar datos en los vehículos de prueba por medio de usar transductores de potencia de giroscopio desarrollados por MTS. a) Si se espera que el costo en este año (es decir, al final del año 1) sea de $2 000, ¿cuál fue el costo el año anterior a la instalación de los transductores? b) Si se espera que los costos se incrementen por año $250 durante los cuatro años siguientes (es decir, hasta el año 5), ¿cuál es el valor anual equivalente de los costos (años 1 a 5) con una tasa de interés de 18% anual?

Año

2.37

2

2.42

Hughes Cable Systems planea ofrecer a sus empleados un paquete de mejoras salariales cuya componente principal es la participación en las utilidades. Específicamente, la compañía reservaría 1% de las ventas totales para los bonos de fin de año de todos sus trabajadores. Se espera que las ventas sean de $5 000 000 el primer año y de $6 000 000 el segundo, con incrementos de 20% durante cada uno de los cinco años siguientes. Con una tasa de interés de 10% por año, ¿cuál es el valor anual equivalente en los años 1 a 5 del paquete de bonos?

2.4,

2.4:

2.41

2.4'

2.41

PROBLEMAS PROBLEMAS

2.43

2.44

2.45

2.46

Determine cuánto habría en una una Determine cuánto dinero dinero habría cuenta comenzó con con un cuenta de ahorros ahorros que que comenzó depósito de $2 000 en el año 1, y cantidades cantidades depósito posteriores que se incrementaban incrementaban 10% cada cada posteriores año. Use Use una una tasa de interés interés de 15% anual y periodo de siete siete años. un periodo encontró que el valor futuro en el año 10 Se encontró valor futuro de una serie gradiente gradiente geométrica geométrica de flujos de efectivo efectivo era de $80 000. Si la tasa de interés fue de 15% por por año, y de 9% la tasa tasa interés anual de incremento, monto del incremento, ¿cuál ¿cuál fue el monto efectivo en el año 11?? flujo de efectivo

Thomasville Furniture Furniture lndustries Industries ofrece Thomasville ofrece varios tipos tipos de telas telas de alto rendimiento rendimiento varios capaces resistir productos capaces de resistir productos químicos químicos tan dañinos dañinos como como el cloro. cloro. Cierta Cierta compañía compañía manufacturera del oeste medio de los Estados manufacturera Unidos que usa la tela tela en varios varios de sus Unidos que usa productos reportó reportó que el valor presente presente de productos sus compras material durante compras de este este material durante un periodo de cinco años había sido de $900 000. Si se sabe que los costos se incrementaron incrementaron en forma geométrica geométrica 5% por año durante durante ese periodo, y que la empresa periodo, empresa usa una tasa de interés de 15% anual para sus inversiones, inversiones, ¿cuál fue el costo de la tela en el año 2? Encuentre el valor valor presente presente de una una serie de Encuentre inversiones que comenzaron comenzaron con $1000 inversiones $1000 en el año 1 con incrementos incrementos anuales anuales de 10% durante durante 20 años. Suponga Suponga que la tasa de interés es de 10% anual. interés

Una empresa norte de 2.47 Una empresa de consultoría consultoría del norte California California quiere quiere comenzar comenzar a ahorrar ahorrar dinero para reemplazar reemplazar sus servidores servidores de red. Si invierte increinvierte $3 000 al final del año 1 e incrementa la cantidad menta cantidad invertida invertida 5% cada cada año, ¿cuánto habrá en la cuenta ¿cuánto habrá cuenta dentro dentro de cuatro cuatro años si percibe percibe intereses tasa de 8% intereses a una tasa anual? anual? 2.48

Una fabrica monitores Una compañía compañía que que fabrica monitores de sulfuro hidrógeno purgables purgables planea planea sulfuro de hidrógeno realizar depósitos de dinero dinero de manera realizar depósitos manera que cada ¿De cada uno sea 5% mayor mayor al anterior. anterior. ¿De cuánto cuánto debe ser el primer primer depósito depósito que haga haga

89

(al final del año 1) si éstos se extienden extienden hasta el año 10 y el cuarto cuarto de ellos es de $1 250? Emplee Emplee una una tasa de interés interés de 10% anual. Tasa de interés interés yy tasa tasa de rendimiento rendimiento 2.49

¿¿Qué Qué tasa tasa de interés interés compuesto compuesto anual anual es equivalente interés simple equivalente a 12% de interés simple anual, durante un periodo periodo de 15 años? durante años?

2.50 2.50

Una empresa ingeniería que Una empresa de consultoría consultoría en ingeniería cotiza bolsa paga paga un bono bono a cada cotiza en la bolsa cada ingeniero al final del año con base base en la ingeniero utilidad periodo. utilidad que se obtiene obtiene durante durante ese periodo. Si la inversión inversión inicial de la compañía compañía fue de $1 200 000, ¿qué tasa de rendimiento rendimiento ha ¿qué tasa obtenido sobre su inversión si el bono de cada ingeniero ingeniero ha sido de $3 000 por cada cada uno de los 10 últimos años? Suponga Suponga que la empresa empresa monetario tiene seis ingenieros ingenieros y que el bono monetario representa 5% de la utilidad utilidad de la compañía. representa compañía.

2.51

Danson !ron Inc. fabrica cojinetes Danson Iron Works, lnc. fabrica cojinetes esféricos para bombas bombas que operan operan esféricos angulares angulares para en ambientes hostiles. Si la compañía ambientes hostiles. compañía invirtió $2 400 400 000 en un proceso proceso que dejó invirtió utilidades de $760 utilidades $760 000 000 anuales anuales durante durante cinco rendimiento tuvo cinco años, ¿qué ¿qué tasa de rendimiento la compañía compañía sobre su inversión? inversión?

2.52

Una inversión inversión de $600 incrementó a Una $600 000 se incrementó $1 000 000 000 en un periodo periodo de cinco cinco años. ¿¿Cuál Cuál fue la tasa tasa de rendimiento rendimiento sobre sobre la inversión? inversión?

2.53

Una compañía compañía pequeña pequeña que se especializa Una especializa en recubrimientos recubrimientos en polvo polvo expandió expandió su edificio horno nuevo nuevo que tiene edificio y compró compró un horno el tamaño tamaño suficiente para tratar tratar carrocerías suficiente para carrocerías automóvil. El edificio edificio y horno costaron de automóvil. horno costaron $125 000, pero un negocio negocio nuevo de rodillos rodillos calientes ha incrementado su ingreso calientes incrementado ingreso anual en $520 000. Si los gastos de operación $520 gastos operación de gas, materiales, materiales, mano mano de obra, etc., tienen tienen un importe de $470000 por año, ¿qué importe $470000 por ¿qué tasa de rendimiento rendimiento se obtendrá inverobtendrá sobre sobre la inversión si en el cálculo cálculo sólo se incluye incluye los flujos de efectivo efectivo que que tienen tienen lugar lugar durante durante los cuatro siguientes? cuatro años siguientes?

90

2.54

2.55

CAPÍTULO 2

Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dinero

El plan de negocios para una compañía que inicia, dedicada a la fabricación de detectores portátiles de gases múltiples tiene flujos anuales de efectivo equivalentes a $400 000 para los cinco primeros años. Si el flujo de efectivo en el año 1 fue de $320 000 y el incremento posterior fue de $50 000 por año, ¿qué tasa de interés se usó para el cálculo? Una compañía nueva que fabrica arrancadores suaves de voltaje medio gastó $85 000 para construir un sitio web nuevo. El ingreso neto fue de $60 000 el primer año, con un incremento de $15 000 anuales. ¿Qué tasa de rendimiento tuvo la compañía en sus primeros cinco años?

2.58

Una ingeniera que invirtió muy bien planea jubilarse ahora porque tiene $2 000 000 en su cuenta de ahorro para el retiro. ¿En cuánto tiempo podrá retirar $100 000 anuales (el año 1 comienza a partir de ahora) si su cuenta gana intereses a una tasa de 4% anual?

2.59

Una compañía que manufactura sensores de viento ultrasónicos invirtió $1 500 000 hace dos años para adquirir parte de la propiedad de una compañía innovadora fabricante de chips. ¿Cuánto tomará (a partir de la inversión inicial) para que su participación en dicha empresa genere un valor de $3 000 000 si ésta crece a una tasa de 20% anual?

2.60

Número de años 2.56

,~ !~

2.57

Una empresa productora de válvulas de control de plástico tiene un fondo de $500 000 para reemplazo de equipo. Si la compañía gasta $75 000 por año en equipo nuevo, ¿cuántos años tomará reducir el fondo a menos de $75 000 con una tasa de interés de 10% anual? La empresa A&E estudia la compra por medio de un arrendamiento de largo plazo del edificio que ocupa actualmente, ya que el propietario del inmueble lo puso a la venta súbitamente. El edificio se ofrece a un precio de $170000. Como el arrendamiento de este año ya se pagó, el siguiente pago anual de $30 000 no se realizará sino hasta el término de este año. Debido a que la empresa A&E ha sido un buen inquilino, el propietario ofreció venderle el edificio en $160 000. Si la compañía lo compra sin enganche, ¿cuánto tiempo pasará antes de que recupere su inversión con una tasa de interés de 12% anual?

Un ingeniero mecánico planea jubilarse cuando tenga $1 600 000 en su cuenta de corretaje. Si comenzó con $100 000 en la cuenta, ¿cuánto tiempo pasará (a partir del momento en que comenzó) antes de que pueda jubilarse si la cuenta tiene una tasa de rendimiento de 18% anual?

2.61

¿Cuántos años tomará para que un depósito uniforme anual de tamaño A acumule 10 veces el monto de un solo depósito, si la tasa de rendimiento es de 10% por año?

2.62

¿Cuántos años se requieren para que una inversión de $10 000 en el año 1 con incremento s de 10% anual tengan un valor presente de $1 000 000 con una tasa de interés de 7% anual?

2.63

Una compañía constructora cuenta con la opción, en algún momento entre el día de hoy

2.6t

2.67

Se dijo a una persona que cierta secuencia de flujo de efectivo había comenzado con $3 000 en el año 1 con incrementos de $2 000 cada año. ¿Cuántos años son necesarios para que el valor anual equivalente de la secuencia sea de $12 000, con una tasa de interés de 10% anual? 2.68

PROBLEMAS DE REPASO FI 2.64

2.6:

Y los próximos cuatro años, de comprar una excavadora en $61 000. Si la empresa planea

PROBLEMAS

adquirir la máquina dentro de cuatro años, la cantidad equivalente presente que la compañía pagaría por ella estaría muy cerca de a) $41230 b) $46710 e) $48320 ti) Más de $49 000 2.65

El costo de la colegiatura en cierta universidad pública fue de $160 por hora-crédito hace cinco años. El costo hoy (exactamente cinco años después) es de $235. La tasa de incremento anual es la más cercana a a) 4% b) 6% e) 8% ti) 10%

2.66

El valor presente de un gradiente geométrico que se incrementa es de $23632. La tasa de interés es de 6% por año, y 4% la tasa de cambio anual. Si el monto del flujo de efectivo en el año 1 es de $3 000, el gradiente finaliza en el año a) 7 b) 9 e) 11 ti) 12

2.67

2.68

El ganador de una lotería megamillonaria obtuvo el premio mayor de $175 000000 y contó con la opción de recibir pagos de $7 000 000 anuales durante 25 años comenzando por el año 1 hoy, o tomar ahora $109 355000. ¿Con qué tasa de interés son equivalentes las dos opciones? a) 4% b) 5% e) 6% ti) 7% Un fabricante de válvulas de desagüe para sanitarios quiere tener disponibles $2 800 000 dentro de diez años, de modo que pueda iniciar una línea nueva de productos. Si la compañía planea depositar dinero cada año, con el inicio hoy del año 1, ¿cuánto tendrá que depositar cada vez con un interés

DE REPASO FI

91

de 6% anual a fin de disponer de $2 800 000 inmediatamente después de hacer el último depósito? a) Menos de $182 000 b) $182500 e) $191 300 ti) Más de $210 000 2.69

RubbermaidPlasticsCorp. invirtió$10 000 000 en equipo de manufactura para producir cestos pequeños para basura. Si la compañía usa una tasa de interés de 15% anual, ¿cuánto dinero tendría que ganar cada año si quisiera recuperar su inversión en siete años? a) $2403600 b) $3530800 e) $3941 800 ti) Más de $4 000 000

2.70

Un ingeniero deposita $8000 el año 1,$85 900 el año 2, y cada año las cantidades se incrementan en $500, hasta el año 10. Con una tasa de interés de 10% anual, el valor presente está muy cerca de a) $60600 b) $98300 e) $157200 ti) $173400

2.71

La cantidad de dinero que podría gastarse dentro de siete años, en lugar de gastar $50 000 ahora, con una tasa de interés de 18% por año, es la más cercana a a) $15700 b) $159300 e) $199300 ti) $259100

2.72

Un depósito de $10 000 dentro de 20 años, con una tasa de interés de 10% anual, tiene un valor presente muy próximo a a) $1 720 b) $1680 e) $1590 ti) $1490

2.73

El ingreso por ventas de un aditivo para gasolina limpiador de inyectores ha sido en promedio de $100 000 por año. Con una tasa

92

2.74

'~¡:I

2.75

2.76

2.77

CAPÍTULO

2

Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dinero

de interés de 18% anual, el valor futuro del ingreso en los años 1 a 5 está muy cerca de a) $496100 b) $652200 e) $715420 d) Más de $720 000

2.78

Los costos químicos asociados a un incinerador de gas con chimenea compres ora (para control de olores) han estado decreciendo de manera uniforme durante cinco años gracias a los aumentos en su eficiencia. Si el costo en el año 1 fue de $100 000 y disminuyó $5 000 por año hasta el quinto, el valor presente de los costos con 10% anual está muy cerca de a) Menos de $350 000 b) $402200 e) $515400 d) Más de $520 000

Un ingeniero civil deposita $10 000 por año en una cuenta para el retiro que tiene una tasa de rendimiento de 12% anual. La cantidad de dinero en la cuenta al término de 25 años está muy cerca de a) $670500 b) $902800 e) $1 180900 d) $1333300

2.79

El valor futuro (en el año 8) de $10 000 en el año 3, $10 000 en el año 5 y $10 000 en el año 8, con una tasa de interés de 12% anual, es muy cercano a a) $32100 b) $39300 e) $41670 d) $46200

2.80

Los costos de mantenimiento para un oxidante térmico regenerativo se han incrementado de manera uniforme durante cinco años. Si el costo en el año 1 fue de $8 000 y aumentó anualmente $900 hasta el quinto año, el valor presente de los costos con una tasa de interés de 10% anual está muy próximo a a) $31670 b) $33520 e) $34140 d) Más de $36 000

2.81

Una inversión de $100 000 generó un ingreso anual de $20000 durante 10 años. La tasa de rendimiento de la inversión es la más cercana a a) 15% b) 18% e) 21% d) 25%

2.82

Una compañía constructora invirtió $60 000 en una excavadora nueva. Si se espera que el ingreso proveniente del arrendamiento

El valor futuro en el año 10 de una inversión presente de $20 000, con una tasa de interés de 12% anual, es muy cercano a a) $62120 b) $67560 e) $71900 d) $81030 Una compañía manufacturera obtiene un préstamo de $100000 con la promesa de saldarlo en pagos anuales iguales durante un periodo de cinco años. Con una tasa de interés de 12% anual, cada pago estará cerca de a) $23620 b) $27740 e) $29700 d) $31 800 Simpson Electronics quiere tener $100 000 disponibles dentro de tres años para reemplazar una línea de producción. La cantidad de dinero que tendría que depositar cada año con una tasa de interés de 12% anual sería muy cercana a a) $22580 b) $23380

e) $29640 d)

Más de $30 000

-

ESTUDIO ESTUDIO DE DE CASO CASO

temporal temporal de la máquina máquina sea de $15 000 por tiempo que se requiere año, el periodo periodo de tiempo requiere para recuperar recuperar la inversión para inversión con una tasa de interés interés de 18% anual está está muy cerca cerca de

a) b)

e) d)

93

5 años 8 años 11 11 años 13 años

ESTUDIO ESTUDIO DE CASO CASO ¿QUÉ DIFERENCIA PUEDEN HACER HACER LOS LOS AÑos ¿QUÉ DIFERENCIA PUEDEN AÑos EL INTERÉS INTERÉS COMPUESTO? COMPUESTO? y EL

Dos situaciones mundo real situaciones del mundo real 1. La compra historia rerecompra de la isla isla de Manhattan. Manhattan. La La historia porta que la isla de Manhattan, Manhattan, en Nueva Nueva York, fue porta que la isla York, fue comprada por el equivalente comprada por equivalente de de $24 $24 en el año año 1626. 1626. En reconoció el 375 aniversario de En el año año 2001, 2001, se reconoció 375 aniversario la compra Manhattan. compra de Manhattan. El programa programa de opción Un 2. El opción de de compra compra de acciones. acciones. Un joven graduado una joven graduado de de la la escuela escuela de ingeniería ingeniería de una universidad de California una universidad California ingresó ingresó a trabajar trabajar en en una compañía por compañía a la edad edad de 22 años años y colocó colocó $50 $50 por mes mes en en la opción opción de compra compra de acciones. acciones. Dejó Dejó la la compañía compañía luego luego de 60 meses meses completos completos de empleo, empleo, a los 27 años, años, y no vendió vendió sus sus acciones. acciones. El El ingenieingenievalor de las acciones acciones hasta hasta que que ro no preguntó preguntó el valor tuvo tuvo 57 años, años, unos unos 30 30 años años después. después.

Ejercicios para estudio de caso Ejercicios para el estudio Acerca de la compra compra de la isla isla de Manhattan: Manhattan: Acerca

1. Las público se evalúan Las inversiones inversiones del del sector sector público evalúan al 6% anual. anual. Suponga Suponga que que Nueva invertido 6% Nueva York York ha ha invertido los los $24 $24 a una una tasa tasa conservadora conservadora del del 6%. 6%. Determine Determine el valor la isla Manhattan en valor de la compra compra de de la isla de Manhattan en el año año 2001 2001 al a) 6% 6% anual anual de interés interés simple simple y b) 6% anual anual de interés interés compuesto. compuesto. Observe Observe la diferencia diferencia significativa que que tiene tiene la composición a 6% 6% duranduransignificativa la composición periodo de de tiempo te un periodo tiempo largo largo (en (en este este caso, caso, 375 375 años). años). 2. ¿Cuál Nueva York York ¿Cuál es la cantidad cantidad equivalente equivalente que que Nueva habría habría tenido tenido que que desembolsar desembolsar en en 1626 1626 y cada cada año año

desde para igualar desde entonces, entonces, para igualar exactamente exactamente la canticantidad en en la parte anterior, al 6% 6% anual anual compuesto compuesto dad parte 1. anterior, anualmente? anualmente? Acerca programa de compra Acerca del programa compra de acciones: acciones: 1. Construya efectivo para para las Construya el diagrama diagrama de flujo flujo de efectivo edades edades desde desde 22 22 hasta hasta 57. 57. 2. El El ingeniero ingeniero ha ha aprendido aprendido que que durante durante los 30 años años de intervención, intervención, las las acciones acciones ganaron ganaron a una una tasa tasa de 1.25% por mes. $50 por por 1.25% por mes. Determine Determine el valor valor de los $50 mes mes cuando cuando el ingeniero ingeniero dejó dejó la compañía compañía luego luego de un total total de 60 compras. compras. 3. Determine Determine el valor valor de las las acciones acciones de la compañía compañía que tiene el ingeniero nueva cuenque tiene ingeniero a sus sus 57 años. años. De De nueva cuenobserve la diferencia ta, observe diferencia significativa significativa que que 30 30 años años han generado un 15% tasa compuesta. han generado a un 15% anual anual de de tasa compuesta. 4. Suponga Suponga que que el ingeniero ingeniero no deja deja los los fondos fondos inverinvertidos en acciones tidos acciones a los los 27 años años de edad. edad. Ahora Ahora determine termine la cantidad cantidad que que habría habría tenido tenido que que depositar depositar cada año, cada año, a partir partir de los 50 50 años años de edad, edad, para para hahacerlo cerlo equivalente equivalente al valor valor a la edad edad de 57, 57, calculado calculado en el punto punto 3. 3. anterior. anterior. Suponga Suponga que que los los 7 años años de depósito depósito obtienen obtienen un retorno retorno de 15% 15% anual. anual. Finalmente, compare compare la cantidad cantidad total total de dinero dinero de5. Finalmente, positado durante los los 5 años, años, cuando cuando el ingeniero ingeniero positado durante estaba en en sus sus veinte, veinte, con con la cantidad cantidad total total que que haestaba habría bría tenido tenido que que depositar depositar durante durante los 7 años años en en sus sus cincuenta, para tener tener la cantidad igual yyequivalencincuenta, para cantidad igual equivalente a los los 57 años, años, como como se determinó determinó en en el punto punto 3. anterior. anterior.

Combinación Combinación de factores

o o. --1 '((i :!

::J r-

,-~

« u u

La La mayoría de las las series series de flujo de efectivo efectivo estimadas no se se ajustan exactamente a las las series series para las las cuales fueron desarrolladas desarrolladas las las ecuaciones y los factores del capítulo combinar las capítulo 2. Por lo tanto, tanto, es es necesario combinar las ecuaciones. ecuaciones. Para Para una una secuencia de flujos de efectivo efectivo dada, en general, hay muchas formas correctas de determinar determinar el valor presente equivalente equivalente P, P, el valor futuro futuro F o el valor anual A. En este capítulo capítulo se se explica cómo combinar combinar los factores de ingeingeniería económica para afrontar afrontar situaciones más más complejas complejas que involucren series funciones de las ries uniformes uniformes diferidas diferidas y series series gradiente. gradiente. Las Lasfunciones las hojas de cálculo se se utilizan para acelerar los cálculos.

o

OBJETIVOS APRENDIZAJE OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Objetivo general: general: realizar realizar cálculos a mano mano y por por computadora computadora que que combinen Objetivo combinen varios varios factores factores ingeniería económica. económica. de ingeniería

Este a: Este capítulo capítulo ayudará al lector lector a:

II --~--......j Serie Serie diferida diferida

1. inar P, 1. Determ Determinar P, F o A de una una serie uniforme uniforme que empieza en un momento diferente al periodo momento diferente periodo 1. 1.

Series diferidas Series diferidas

2. cantidades únicas colocadas al azar y canti2. Calcular P, P, F o A de cantidades dades de serie uniforme. uniforme.

y cantidades cantidades únicas

Gradientes Gradientes diferidos diferidos

3. cá lculos de equivalencia equivalencia para flujos flujos de efectivo efectivo que 3. Efectuar cálculos invo lucren gradientes gradientes geométricos geométricos o aritméticos aritméticos diferidos. diferidos. involucren

Gradientes Gradientes decrecientes decrecientes

4. equivalencia para flujos de efectivo efectivo que impli4. Hacer cálculos de equivalencia impliquen gradientes gradientes aritméticos aritméticos decrecientes. decrecientes.

----Hojas Hojas de de cálculo cálculo

II

5. Demostrar Demostrar diferentes 5. diferentes funciones funciones de la hoja de cálculo cálcu lo y comparar comparar las soluciones a mano y por por computadora computadora. . las

96

CAPÍTULO CAPÍTULO 3

3.1

Combinación Combinación de factores factores

CÁLCULOS CÁLCULOS PARA PARA SERIES UNIFORMES UNIFORMES QUE QUE SON SON DIFERIDAS DIFERIDAS

Cuando Cuando una serie uniforme uniforme se inicia inicia en un momento momento diferente diferente del final del periodo periodo 1, se dice que se trata de una serie diferida. diferida. En este caso, pueden pueden utilizarse utilizarse diversos diversos métodos para encontrar encontrar el valor valor presente presente equivalente equivalente P. Por ejemplo, ejemplo, P de la serie serie métodos para uniforme uniforme que se muestra muestra en la figura 3.1 podría podría determinarse determinarse por cualquiera cualquiera de los siguientes siguientes métodos: métodos: Utilice PIF para Utilice el factor factor PIF para encontrar encontrar el valor valor presente presente de cada desembolso desembolso en el año O O y súmelos. súmelos. Aplique el factor factor FIP para determinar determinar el valor valor futuro de cada desembolso desembolso en el Aplique FIP para súmelos y luego calcule el valor valor presente presente del total mediante mediante P = = F(PI año 13, súmelos luego calcule F(PI F,i,13) . F,i,13).

• •

Emplee A(FIA,i,lO) Y Emplee el factor factor FIA para para encontrar encontrar la cantidad cantidad futura futura F = = A(FIA,i,10) y luego luego calcule F(P/F,i,13). calcule el valor valor presente presente mediante mediante P == F(P/F,i,13). Use el factor calcular el "valor factor PIA para para calcular "valor presente" presente" (que estará estará situado situado en el año 3, 3, no en el año O) y luego luego encuentre encuentre el valor valor presente presente en el año O O mediante mediante el factor factor (PIF,i,3). (PIF,i,3). (El valor valor presente presente se encierra encierra entre entre comillas comillas sólo aquí para para representar valor presente representar el valor presente como como está determinado determinado por el factor factor PIA en el año para diferenciarlo diferenciarlo del valor valor presente presente en el año O.) 3 y para

Por lo común calcular el valor común el último último método método se utiliza utiliza para para calcular valor presente presente de una serie uniforme uniforme que no empieza empieza al final del periodo periodo 1. 1. Para la figura figura 3.1, el "valor "valor presenpresente" obtenido obtenido mediante mediante el factor factor PIA estaría estaría situado situado en el año 3, lo cual se muestra muestra como P3 en la figura 3.2. Observe Observe que un valor valor P siempre siempre está situado situado 1 año o periodo antes de la primera periodo primera cantidad cantidad anual. ¿Por qué? Porque Porque el factor factor PIA se obtuobtuvo con P en el periodo periodo de tiempo tiempo O O y A empezando empezando al final del periodo periodo 1. 1. El error error ubicación inademás común común que se comete comete al trabajar trabajar problemas problemas de este tipo es la ubicación inadecuada cuada de P. Por consiguiente, consiguiente, es muy importante importante recordar recordar que:

Cuando PIA, el valor Cuando se utiliza utiliza el factor factor PIA, valor presente presente siempre siempre está situado situado un un periodo periodo antes antes de la primera primera cantidad cantidad de la serie serie uniforme. uniforme.

en se] FI.

01 el ( la:

ve] es da

1.

2. 3. 4. 5.

Figura Fig ura 3.1

o O

2

3

Serie uniforme uniforme diferida. diferida. Serie

I

I

I

4

5

6

7

8

9

10

11 11

12

13

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

Año Año

•

A A = = $50 $50

P3 =?

Figura 3.2 Figu ra 3. 2 Localización del valor valor Local izac ión del presente para para la serie serie presente uniforme diferida diferida de de la uniforme figura 3.l. 3.1. figura

O O

2

3

4

5

6

77

88

A A = = $50 $50

9

10

11 11

12

13

ES1

Año Año

~-~---------~

----------------------------------SECCIÓN 3.1 SECCIÓN

Figura 3.3 Figura 3.3

F=? F=?

o o

2

3

4

5

6

97

Cálculos para para series series uniformes uniformes que Cálculos que son son diferidas diferidas

7

8

9

10

11 11

12 13 10

A

Año Año n

= = $50 $50

Para determinar derivado determinar un valor valor futuro, o valor valor F, recuerde recuerde que el factor factor F/A derivado en la sección cantidad de la sección 2.3 sitúa el valor valor F en el mismo mismo periodo periodo que la última última cantidad serie uniforme. cuando se utiliza utiliza uniforme. La figura figura 3.3 muestra muestra la ubicación ubicación del valor valor futuro futuro cuando para el flujo de efectivo efectivo de la figura figura 3.1. F/A para El valor futuro última futuro siempre siempre está situado situado en el mismo periodo periodo que la última cantidad cantidad de la serie uniforme uniforme al utilizar utilizar el factor factor F/A. F/A.

También factores P/A P/ A También es importante importante recordar recordar que el número número de periodos periodos n en los factores o F/A es igual al número ayuda renumerar renumerar número de flujos de la serie uniforme. uniforme. En general general ayuda el diagrama muestra diagrama de flujo de efectivo efectivo para evitar evitar errores errores en el conteo. conteo. La figura figura 3.3 muestra la figura figura 3.1 numerada numerada de nuevo nuevo para determinar determinar n = = 10. Como se expresó expresó anteriormente, anteriormente, muchos muchos métodos métodos pueden pueden utilizarse utilizarse para Como para resolresolproblemas que tiene una serie uniforme uniforme diferida. diferida. Sin embargo, embargo, en general, ver los problemas general, conveniente emplear emplear los factores factores de la serie uniforme uniforme que factores es más conveniente factores de canticantievitar errores errores es conveniente conveniente seguir seguir algunos algunos pasos pasos específicos: dad única. Para evitar específicos: diagrama de los flujos de efectivo efectivo positivo positivo y negativo. negativo. 1. Trace un diagrama Ubique el valor valor presente presente o el valor futuro de cada cada serie en el diagrama diagrama de flujo 2. Ubique efectivo. de efectivo. Determine n para para cada serie volviendo volviendo a numerar numerar el diagrama diagrama de flujo de efec3. Determine efectivo. diagrama de flujo de efectivo efectivo que represente represente el flujo de efectivo 4. Trace otro diagrama efectivo equivalente deseado. deseado. equivalente Determine y resuelva resuelva las ecuaciones. ecuaciones. 5. Determine ilustran a continuación. continuación. Estos pasos se ilustran

Un grupo grupo de tecnología tecnología en ingeniería ingeniería acaba acaba de comprar comprar un nuevo nuevo programa programa de diseño Un diseño asistido por por computadora computadora (CAD) (CAD) con con $5 000 000 de pago pago inicial, inicial, y pagos pagos anuales anuales de asistido de $500 $500 por por año durante durante 6 años años empezando empezando 3 años años a partir partir de la fecha fecha de la compra. compra. ¿Cuál año ¿Cuál es el valor valor presente de los los pagos pagos si la tasa tasa de interés interés es de 8% anual? anual? presente Solución Solución diagrama de flujo flujo de efectivo efectivo se muestra muestra en la figura figura 3.4. 3.4. El El símbolo El diagrama símbolo P PAA se utiliza utiliza en en todo este este capítulo capítulo para para simbolizar simbolizar el valor valor presente una serie serie anual anual uniforme uniforme A, y P~ P~ todo presente de una

Ubicación de de FF y Ubicación renumeración de de n para para renumeración serie uniforme uniforme diferida diferida la serie de de la figura figura 3.1. 3.1.

CAPÍTULO CAPÍTULO 3

98

Combinación Combinación de factores factores

i = = 8% 8% anual anual

una VPl entr

p~ p~ = =??

2

Año n

A

Del Fw

= = $500 $500 cálc func si e¡

P Po= $5000 o=$5000

Figura 3.4 Diagrama 3.1. Diagrama de flujo flujo de efectivo efectivo con con colocación colocación de valores valores P, ejemplo ejemplo 3.1.

s

representa Asimismo, P PTreprerepresenta el valor valor presente presente en un momento momento diferente diferente del del periodo periodo O. Asimismo, T representa la ubicación ubicación correcta correcta de de P~ P~ senta el valor valor total total presente presente en el tiempo tiempo O. También También se indican indican la y la nueva diagrama para obtener n. Observe P~ está ubicado ubicado en en el año año nueva numeración numeración del del diagrama para obtener Observe que que P~está año 3. Además, Además, n = 6, no 8, para para el factor Primero se debe debe encontrar 2, no en el año factor P/A. Primero encontrar el el valor de P~ P~ de la serie serie diferida. diferida. valor

p;. = $500(P/A ,8%,6) P~= $500(P/A,8%,6) Puesto en el el año año O: Puesto que que P~ P~ está está ubicado ubicado en el año año 2, es necesario necesario encontrar encontrar PAA en

Des,

celd guie

•

PA = (P/F,8 %,2) = P~ P~(P/F,8%,2)

El valor Po en en el año año O. valor presente presente total total se determina determina sumando sumando P PAA y el pago pago inicial inicial Po PT = PO+P PT=PO+P A A = = 5 000 000 + 500(PlA,8%,6)(P/F,8%,2) 500(P/A,8%,6)(P/F,8%,2)

= 5 000 000 + 500(4.6229)(0.8573) 500(4.6229)(0.8573) = $6981.60 $6981.60

o III

~

fli ~

Sol-R Sol-R

Cuanto más compleja compleja se vuelva vuelva la serie de flujo de efectivo, efectivo, más útiles Cuanto útiles resultan resultan funciones de la hoja de cálculo. cálculo. Cuando Cuando la serie uniforme uniforme A está las funciones está diferida, diferida, la función encuentra el valor valor función VPN se usa para determinar determinar P, y con la función función PAGO se encuentra equivalenteA. La función función VPN, VPN, al igual que la función función VP, determina equivalenteA. determina los valores valores P; aunque misma forma forma que la aunque VPN puede puede manipular manipular directamente directamente de las celdas, celdas, en la misma función TIR, cualquier Ingrese los flujos flujos de función cualquier combinación combinación de flujos de efectivo. efectivo. Ingrese efectivo ingresar 'O' efectivo netos en celdas celdas contiguas contiguas (columnas (columnas o filas), asegurándose asegurándose de ingresar para para todos los flujos de efectivo efectivo cero. Use el formato formato VPN(i%,second_cell:lasCcell) ñrstcell + firsCceH VPN(i%,second_cell:lasCcell)

listada por por separado First_cell contiene First_cell contiene el flujo de efectivo efectivo para para el año O y debe ser listada separado para valor del dinero dinero en el para que VPN la tome tome en consideración consideración correctamente correctamente para para el valor tiempo. El flujo de efectivo efectivo en el año O Opuede O. puede ser O. tiempo.

aí

M af

SECCIÓN 3.1

Cálculos para series uniformes que son diferidas

99

El camino durante n años, años, para para camino más sencillo sencillo para para encontrar encontrar una A equivalente equivalente durante una serie diferida, toma de la función función diferida, es con la función función PAGO, donde donde el valor valor P se toma VPN anterior. El formato anterioridad, pero pero la formato es el mismo mismo que se aprendió aprendió con anterioridad, entrada entrada para para P es una referencia referencia de celda, no un número. número. PAGO(i%,Il,cclL PAGO(i%,Il,cclL with_P,F) with_P,F) manera alternativa, alternativa, se utiliza utiliza la misma misma técnica técnica cuando cuando se haya haya obtenido obtenido un valor De manera valor F F usando usando la función función VF. Ahora Ahora la última última entrada entrada en PAGO es "cell_with_F". "cell_with_F". Es muy afortunado una hoja hoja de afortunado que cualquier cualquier parámetro parámetro en una función función de una cálculo posible escribir cálculo pueda, pueda, en sí mismo, mismo, ser una función. En consecuencia, consecuencia, es posible escribir la función PAGO en una celda celda individual individual al insertar insertar la función función VPN función VF, función VPN (y la función si es necesario). necesario). El formato formato es

Sol-R Sol-R

PAGO(i%,Il,VPN(i%,second_cell:lasCcell)+firsCceH,F) PAGO(i%,Il,VPN(i%,second_ceU:lasCcell)+fjrsCceU,F) Desde celdas o una una Desde luego, la respuesta respuesta para para A es la misma misma para para la operación operación de dos celdas celda aplican en el sicelda individual, individual, en la función función insertada. insertada. Estas tres funciones funciones se aplican guiente guiente ejemplo. ejemplo. EJEMPLO EJEMPLO

3.2

.

La recalibración recalibración de dispositivos sensibles de medición cuesta $8000 $8 000 al año. Si la máquirecalibrará durante 6 años, iniciando 3 años después de la compra, calcule la serie na se recalibrará equivalente de 8 años al 16% anual. Demuestre las soluciones a mano y con uniforme equivalente computadora. Solución a mano mano Solución Las figuras 3.5a y b muestran el flujo de efectivo original y el diagrama deseado equivalente. Para convertir la serie diferida de $8 000 en una serie uniforme equivalente equivalente durante todos los periodos, primero convierta la serie uniforme en una cantidad de valor presente presente presentarán ambos o de valor futuro. Luego utilice el factor AlP AlP o el factor AlF. AlF. AquÍ Aquí se presentarán métodos.

Método del valor diferida en el Método valor presente. presente. (Véase la figura 3.5a.) Calcule P~ P~ para la serie diferida año 2 y PTen PTen el año O. O. P~ = 8 000(P/A,16%,6) P~= 000(P/A,16%,6)

PT== P~ (P/F,16%,2) = 8 000(PlA,16%,6)(P/F,16%,2) P~(P/F,16%,2) 000(P/A,16%,6)(P/F,16%,2)

= 8000(3.6847)(0.7432) 8 000(3.6847)(0.7432) = $21 $21 907.75

equivalente A' A' para determinarse ahora vía el factor AlP. para 8 años puede determinarse AlP. La serie equivalente A' = Pr
Método Método del valor valor futuro. futuro. (Véase la figura 3.5a.) Primero calcule el valor futuro F en el año 8. F

= = 8 000(FlA,16%,6) 000(F/A,16%,6) = = $71 $71 820

Sol-R

100

CAPÍTULO

3

Combinación

de factores

3.: PT= ?

O

F=?

P~ =?

,t

1

i= 16% anual

Cu cas 4

3

5

678

012345678

-1 ~II t ~ II A' =?

A = $8000 a)

ser qm es: nec

na

b)

• G

H

:Flujo de efectivo

o: $ 1 '...$

2!

$

3: 4: sl 6i 7

$ $ $ $ $

. ···l;; .·. (8,000)! (8,000)1 (8,000) j (8,000) i (8,000)!

__Jª,Q-ºQJL______________

_

e)

Figura 3.5 Diagramas determinar

de flujo de efectivo a) original y b) equivalente; P y A, ejemplo 3.2.

e) funciones de hoja de cálculo para

El factor NF se usa ahora para obtener A' durante los 8 años. A' = F(NF,16%,8)

Sol-R

= $5 043.20

Solución por computadora (Véase la figura 3.5c.) Ingrese el flujo de efectivo en B3 y hasta BU con entradas de 'O' en las primeras tres celdas. Ingrese VPN(16%,B4:Bll)+B3 en la celda D5 para desplegar la P de $21,906.87. Existen dos formas de obtener la A equivalente a lo largo de 8 años. Desde luego, sólo necesita ingresarse una de estas funciones PAGO. O ingresa la función PAGO haciendo referencia directa al valor VPN (véase la etiqueta de la celda para E/F5), o inserta la función VPN dentro de la función PAGO (véase la etiqueta de la celda para E/F8 o la barra de fórmula).

SECCIÓN 3.2

3.2

Cálculos que involucran series uniformes y cantidades únicas

CÁLCULOS QUE INVOLUCRAN SERIES UNIFORMES Y CANTIDADES ÚNICAS COLOCADAS ALEATORIAMENTE

Cuando el flujo de efectivo incluye tanto una serie uniforme como cantidades únicas colocadas aleatoriamente, los procedimientos de la sección 3.1 se aplican a la serie uniforme y las fórmulas de cantidad única se aplican a los flujos de efectivo que se realizan de una vez. Tal procedimiento, ilustrado en los ejemplos 3.3 y 3.4, es sólo una combinación de los anteriores. Para soluciones con hoja de cálculo, es necesario ingresar los flujos de efectivo netos antes de usar la función VPN o alguna otra. EJEMPLO

3.3

'

Una compañía de ingeniería en Wyoming que posee 50 hectáreas de tierra de alto valor ha decidido arrendar los derechos sobre los minerales en su propiedad a una empresa minera. Su objetivo principal es obtener un ingreso de inversión de largo plazo para financiar proyectos venideros a 6 y 16 años a partir del momento actual. La compañía propone a la empresa minera que ésta pague $20 000 anualmente durante 20 años empezando dentro de un año, más $10 000 dentro de seis años y $15 000 dentro de 16 años. Si la empresa minera desea liquidar su arrendamiento de inmediato, ¿cuánto debería pagar ahora si la inversión podría generar 16% anual? Solución El diagrama de flujo de efectivo se muestra en la figura 3.6 desde la perspectiva de propietario. Encuentre el valor presente de la serie uniforme de 20 años y agréguelo al valor presente de las dos cantidades únicas. P == 20 000(PlA,16%,20)

+ 10 000(PIF,16%,6)

+ 15 000(PIF,16%,16)

== $124075

Observe que la serie uniforme de $20000 empieza al final del año 1, de manera que el factor PIA determina el valor presente en el año O. $15000 $10000

t

A == $20000

1

( })

o

2

1

3

4

5

6

7

15

16

17

18

19

i == 16% anual

p==?

Figura 3.6 Diagrama

que incluye una serie uniforme y cantidades

únicas, ejemplo 3.3.

20

Año

101

102

CAPÍTULO 3

Combinación de factores

Cuando usted calcula el valor A para series de flujo de efectivo que incluyen cantidades únicas colocadas aleatoriamente y series uniformes, primero convierta todo a un valor presente o a un valor futuro. Luego obtenga el valor A al multiplicar Po F por el factor apropiado A/P o A/F. El ejemplo 3.4 ilustra este procedimiento.

EJEMPLO

3.4

<

Suponga estimaciones similares de flujo de efectivo a los proyectados en el ejemplo anterior (ejemplo 3.3) para la compañía de ingeniería que planea arrendar sus derechos sobre el mineral. Sin embargo, mueva el año de inicio por la serie de $20 000 por año dos años hacia adelante para empezar en el año 3. Ahora continuará hasta el año 22. Utilice las relaciones de ingeniería económica a mano y por computadora para determinar los cinco valores equivalentes listados a continuación a 16% anual. 1. 2. 3. 4. 5.

Valor presente total P T en el año O Valor futuro F en el año 22 Serie anual a lo largo de los 22 años completos Serie anual durante los primeros 10 años Serie anual durante los últimos 12 años

Solución a mano La figura 3.7 presenta los flujos de efectivo con los valores equivalentes P y F indicados en los años correctos para los factores P/A, P/F YF/A. 1.

Primero determine el valor presente de la serie en el año 2. Entonces el valor presente total PT es la suma de los tres valores P: el monto del valor presente de la serie movido hacia atrás a t = O con el factor PlF, y los valores P en t = O para las dos cantidades individuales en los años 6 y 16.

$15000 $10000

1

t o

2

3

4

5

$20000

13

20

n

( )

o

2

34567

15

16

17

18

19

20

21 22

p~ =? i = 16% anual

Figura 3.7 Diagrama de la figura 3.6 con la serie A diferida 2 años hacia adelante, ejemplo 3.4.

F= ?

Año

5

SECCIÓN SECCIÓN 3.2 3.2

Cálculos uniformes y cantidades únicas Cálculos que que involucran involucran series series uniformes cantidades únicas

P'A= 20 000(P/A,16%,20) 000(PIA,16%,20) P'A = 20 P~(P/F,16%,2) + 10 000(PlF,16%,6) PTT==P~(PlF,16%,2) 000(PlF,16%,6) + 15 000(P/F,16%,16) 000(PIF,16%,16)

= 20 000(P/A,16%,20)(P/F,16% ,2) + 10 000(P/F,16%,6) 20 OOO(PIA, 16%,20)(PlF, 16%,2) 000(PlF,16%,6) + 15 000(P/F,16%,16) 000(PIF,16%,16) = $93 $93 625 625

2.

[3.1] [3.1]

Para calcular F en el año año 22, 22, a partir flujos de efectivo efectivo originales originales (figura (figura 3.7), 3.7), Para calcular partir de los flujos encuentre para la serie valores F para para las encuentre F para serie de de 20 20 años años y agregue agregue los valores las dos dos cantidades cantidades individuales. Asegúrese de determinar determinar cuidadosamente cuidadosamente los valores cantipara las cantiindividuales. Asegúrese de valores n para para la cantidad para dades dades individuales: individuales: n = = 22 22 - 6 = = 16 para cantidad de $10 $10 000 000 y n = = 22 - 16 = = 6 para cantidad de $15 $15 000. 000. la cantidad

F = 20 , 16) + 15 000(FlP,16%,6) 20 000(F/A,16%,20) 000(FIA,16%,20) + 10 000(F/P,16% 000(FIP,16%,16) 000(F/P,16%,6)

[3.2]

= = $2451626 $2451626 3.

Multiplique valor presente por el Multiplique la cantidad cantidad de valor presente PTT = $93 $93 625 625 del del punto punto 1. anterior anterior por factor AlP para para 22 años, para determinar una serie de 22 años, factor AlP años, para determinar una serie equivalente equivalente A de años, la cual cual se refiere refiere aquí aquí como como A 1-22. 1-22. _22 = A I1-22 = PÁAlP,16%,22) PrCAlP,16%,22) = = 93 625(0.16635) 625(0.16635) = = $15 $15 575 575

4.

Una alternativa para determinar la serie serie de 22 años años emplea emplea el valor F del del Una manera manera alternativa para determinar valor F Adpunto 2. anterior. punto anterior. En En este este caso, caso, el cálculo cálculo es A 1-22 = F(AlF,16%,22) F(AlF,16%,22) = $15 $15 575. 575. Advierta primero se determina valor total total equivalente vierta que, que, en ambos ambos métodos, métodos, primero determina el valor equivalente P o F, F, luego se AlP o AlF AlF para para 22 años. y luego se aplican aplican los los factores factores AlP años. Éste, punto 5. siguiente, los Éste, y el punto siguiente, son son casos casos especiales especiales que que ocurren ocurren con con frecuencia frecuencia en en los estudios serie equivalente para un un diferente estudios de de ingeniería ingeniería económica. económica. La La serie equivalente A se calcula calcula para diferente número de años por los número años del del cubierto cubierto por los flujos flujos de efectivo efectivo originales. originales. Esto Esto ocurre ocurre cuando cuando para el análisis de estudio planeación definipm·a análisis se establecenperiodos establecenperiodos estudio u horizontes horizontes de planeación definidos. periodos de estudio.) dos. (Más (Más adelante adelante se examinan examinan con con mayor mayor detalle detalle los los periodos estudio.) Para Para determinar la serie serie equivalente equivalente A para años 1 a 10 exclusivamente exclusivamente (sea (sea Al_lO),se para los años Al_lO)' se determinar debe AlP para para n = 10. Este transformará los debe usar usar el valor valor PTT con con el factor factor AlP Este cálculo cálculo transformará los flujos 3.7 en Al_lO, mostrada en flujos de de efectivo efectivo originales originales en en la figura figura 3.7 en la serie serie equivalente equivalente Al_lO'mostrada en figura 3.8a. 3.8a. la figura Al_lO= PrCAlP,16%,1O) = = 93625(0.20690) 93625(0.20690) = $19 $19 371 371 Al_lo =PÁAlP,16%,10) =

5.

[3.3] [3.3]

[3.4] [3.4]

Para la serie serie equivalente equivalente de 12 años, años, para los años años del 11 11 al 22 22 (sea (sea A 11-22), debe Para para los \1 -22) , se se debe usar el valor valor F con con el factor factor AlF años. Esto Esto transforma figura 3.7 3.7 en en la usar AlF para para 12 años. transforma la figura \1-22 de la figura serie serie de de 12 años años A 11-22 figura 3.8b. 3.8b.

451626(0.03241) = A 11-22 = F(AlF,16%,12) F(AlF,16%,12) = = 2 451626(0.03241) = $79 $79 457 457 II _22 =

[3.5] [3.5]

Advierta enorme diferencia diferencia de más de $60 $60 000 000 en en las las cantidades cantidades anuales anuales equivaequivaAdvierta la enorme más de lentes que ocurren, ocurren, cuando cuando se permite permite que que el valor $93 625 625 sea sea compuescompueslentes que valor presente presente de $93 to al 16% 16% anual anual durante durante los los primeros años. Ésta Ésta es otra otra demostración demostración del del valor del primeros 10 años. valor del dinero en el tiempo. dinero tiempo.

103 103

104

CAPÍTULO

3

Combinación

de factores

}

1

2

3

4

5

6

7

8

10

9

11

21

22

20

21 22

i=16% Pr= $93 625 a)

Al

f-I

--j---Jf

1-22

=?

r }

O

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

i= 16% F=$2451626 b)

Figura 3.8 Los flujos de efectivo de la figura 3.7 convertidos 1 a 10 y b) años 11 a 22.

a series uniformes

equivalentes

para a) años

R E

§l Sol-E

Solución por computadora La figura 3.9 es la imagen de una hoja de cálculo con las respuestas a las cinco preguntas. La serie de $20,000 y las dos cantidades individuales se ingresaron en columnas separadas, B y C. También se ingresaron todos los valores cero del flujo de efectivo, de modo que las funciones trabajarin correctamente. Éste es un excelente ejemplo que demuestra la versatilidad de las funciones VPN, VF y PAGO. Al prepararse para el análisis de sensibilidad, las funciones se desarrollan utilizando el formato de referencia de celdas o variables globales, como se indica en las etiquetas de las celdas, lo cual significa que virtualmente cualquier número -la tasa de interés, cualquier flujo de efectivo estimado en la serie o en las cantidades individuales, y el tiempo oportuno dentro del marco de 22 añospuede cambiarse, y las nuevas respuestas se desplegarán inmediatamente. Se trata de la estructura general de la hoja de cálculo utilizada para realizar un análisis de ingeniería económica, con análisis de sensibilidad sobre los estimados.

1. Las cantidades de valor presente para la serie y las cantidades individuales se determinan en las celdas E6 y ElO, respectivamente, utilizando la función VPN. La suma de éstas en E14 es P¡ = $93,622, lo cual corresponde al valor de la ecuación [3.1].

2,

3.

4.

SECCIÓN 3.2

Cálculos que involucran

series uniformes y cantidades únicas

• Resultado de las funciones Valor resente de las series

_._-

ValOr

=

$88.122

=

$5.500

presente

individual 10.000 TValOr

presente total:

$

93.622

$

2.451.621

$

15.574

2. Tolal valor futuro

=

3. Series anuale~ 15.000

(22 años)

=

$

= PAGO(D 1,22, - E14)

=PAGO(DI,IO,-EI4)

Figura 3.9 Hoja de cálculo donde se usa el formato de referencia

a celdas, ejemplo 3.4.

La función VF en la celda E18 utiliza el valor P en E14 (precedido por un signo menos) para determinar F 22 años más tarde. Esto es significativamente más sencillo que usar la ecuación [3.2], la cual determina los tres valores F por separado y los suma para obtener F = $2,451,626. Desde luego, cualquier método resulta correcto. 3. Para encontrar la serie A de $15,574 a 22 años, comenzando en el año 1, la función PAGO en E2l hace referencia al valor P en la celda E14. Ést~ es, en efecto, el mismo procedimiento utilizado en la ecuación [3.3] para obtener AI_22. Para los entusiastas de las hojas de cálculo, es posible directamente encontrar el valor de la serie A para 22 años en la celda E21, usando la función PAGO con funciones VPN insertadas. El formato a la referencia de celdas sería: PAGO(Dl,22,(VPN(Dl,B6:B27)+B5+VPN(Dl,C6:C27)+C5)). 4. y 5. Es muy sencillo determinar una serie uniforme equivalente a 10 largo de cualquier número de periodos mediante el empleo de una hoja de cálculo, siempre y cuando la serie inicie un periodo después de donde se ubique el valor P, o termine en 2.

105

106

CAPÍTULO 3

Combinación de factores Combinación

declaraciones son ciertas el mismo periodo en donde se ubica el valor F. Estas dos declaraciones para las series consideradas consideradas en esta sección: la primera serie de 10 años hace referenP en la celda E14, y la última serie de 12 años puede insertarse en el valor F F de cia a P Al_lO y AAII-II12- 12 en la celda E18. Los resultados en E24 y E27 son los mismos que para Al_lO ecuaciones [3.4] y [3.5], respectivamente. las ecuaciones respectivamente. Comentario Comentario

Recuerde que siempre estará presente cierto error de redondeo cuando se comparen los resultados obtenidos a mano y por computadora. computadora. Durante Durante los cálculos, las funciones de la hoja de cálculo llevan más lugares decimales que las tablas. Además, se debe ser muy cuidadoso cuando se construyan las funciones en la hoja de cálculo. Es fácil errar un valor, como los de P o F en las funciones PAGO y VF, o un signo menos entre las entradas. Siempre verifique con cuidado las entradas de la función, antes de presionar presionar .

•

G d

UI

$1 gi gJ

el S

G es 4 ce p, e

Ejemplo adicional 3.10. Ejemplo adicional

3.3 3.3

o H

CÁLCULOS PARA PARA GRADIENTE GRADIENTE DIFERIDO DIFERIDO CÁLCULOS

En la sección sección 2.5 se derivó derivó la relación = G(PIG,i,n) G(PIG,i,n) para calcular el valor relación P = para calcular valor presente presente gradiente aritmético. aritmético. El factor factor PIG en la ecuación ecuación [2.15] se derivó derivó para de la serie gradiente para un valor Oempezando gradiente entre entre los periodos valor presente presente en el año O empezando el gradiente periodos 1 y 2. El valor gradiente aritmético aritmético siempre siempre estará estará ubicado valor presente presente de un gradiente ubicado dos periodos antes de que empiece. periodos antes que el gradiente gradiente empiece. Remítase figura 2.13 para diagramas de flujo de efectivo. efectivo. Remítase a la figura para recordar recordar los diagramas = G(A/G,i,n) G(AlG,i,n) también derivó en la sección sección 2.5 2.5.. El factor factor AlG La relación relación A = también se derivó A/G en desarrolla la transformación equivalencia de un gradiente gradiente sólo la ecuación ecuación [2.17] desarrolla transformación de equivalencia dentro de una serie serie A, desde desde los años 1 hasta indicó en la figura dentro hasta n, como se indicó figura 2.14. Recuerde cuando existe existe una cantidad base, ésta y el gradiente gradiente aritmético aritmético deben deben Recuerde que, cuando una cantidad base, ésta tratarse separado. Luego sumar los valores equivalentes P o A para tratarse por por separado. Luego se pueden pueden sumar valores equivalentes para obtener el valor equivalente, PTT, , y la serie anual total, ATT, , de acuerdo acuerdo obtener valor presente presente total equivalente, ecuaciones [2.18] y [2.19] [2.19].. con las ecuaciones Una serie gradiente gradiente convencional convencional empieza empieza entre entre los periodos periodos 1 y 2 de una secuencia de flujo de efectivo. efectivo. Un gradiente gradiente que inicia inicia en algún otro momento cuencia momento se denomina gradiente diferido. El valor factores PIG y AlG gradiente denomina gradiente diferido. valor n en los factores A/G para para un gradiente diferido determina mediante escala de tiempo. diferido se determina mediante la renumeración renumeración de la escala tiempo. El periodo periodo donde aparece etiqueta como como periodo donde aparece por por primera primera vez el gradiente gradiente se etiqueta periodo 2. El valor valor n para factor se determina determina por cuando ocurre ocurre el para el factor por medio medio del periodo periodo renumerado, renumerado, cuando último aumento de gradiente. gradiente. último aumento Fraccionar efectivo en la serie gradiente gradiente aritmético aritmético y el resto Fraccionar la serie de flujo de efectivo resto efectivo puede claro cuál cuál debería debería ser el valor de los flujos de efectivo puede hacer hacer muy claro valor n del gradiente. El ejemplo ejemplo 3.5 ilustra ilustra dicho fraccionamiento. fraccionamiento. gradiente.

o h

o f--

Figl Fluj<

Cálculos para gradiente diferido

SECCIÓN 3.3

EJEMPLO

3.5

Gerri, 'un ingeniero de Fujitsu, Inc., estimó el costo promedio de inspección de una línea de ensamble robotizada para 8 años. Los costos promedio se establecieron en $100 por unidad completada para los primeros 4 años; pero han aumentado consistentemente en $50 por unidad para cada uno de los últimos 4 años. Gerri planea analizar el aumento del gradiente mediante el uso del factor P/G. ¿Dónde está ubicado el valor presente para el gradiente? ¿Cuál es la relación general utilizada para calcular el valor presente total en el año O? Solución Gerri construyó el diagrama de flujo de efectivo de la figura 3.lOa, donde se muestra la cantidad base A = $100 y el gradiente aritmético G = $50, comenzando entre los periodos 4 y 5. En las figuras 3.lOb y e se fraccionan estas dos series. El gradiente del año 2 se colocó en el año 5 de toda la secuencia en la figura 3.lOc. Es claro que n = 5 para el factor P/G. La flecha de Pa = ? está ubicada de manera correcta en el gradiente del año O, que es el año 3 en la serie de flujos de efectivo.

o I

3

2

t

t

A = $100

t

4

5

6

7

8

L--.]. ---l---l--- -¡ $150

G

Año

$200

= $50

$250

$300

a)

O

2

3

4

t

t

t

5

6

7

8

t

t

t

t

5

6

7

8

Año

I

t

A

= $100 b)

re= ? O

2

3

4

O

3

4

5

Año Gradiente 11

$100 G = $50 e)

Figura 3.10 Flujo de efectivo fraccionado,

a) = b)

+ e), ejemplo 3.5.

$150 $200

107

108

CAPÍTULO

3

Combinación

de factores

La relación general para PT se tomó de la ecuación [2.18]. La serie uniforme A = $100 ocurre para los 8 años completos, y el valor presente del gradiente G = $50 aparece en el año 3. PT= PA + P G = 100(PlA,i,8) + 50(P/G,i,5)(P/F,i,3)

Los valores de los factores PIG YA/G para los gradientes diferidos en la figura 3.11 se muestran debajo de cada diagrama. Determine los factores y compare las respuestas con tales valores. Es importante observar que el factor A/G no puede utilizarse para encontrar un valor A equivalente en los periodos 1 hasta n para flujos de efectivo que involucran un gradiente diferido. Considere el diagrama de flujo de efectivo de la figura 3.llb. Para hallar la serie anual equivalente durante los años 1 hasta 10, sólo para la serie gradiente, es necesario encontrar primero el valor presente del gradiente en el año 5, retornar este valor presente al año O y luego anualizar el valor presente para 10 años con el factor A/P. Si se aplica directamente el factor gradiente de serie anual (A/G,i,5), el gradiente se convierte en una serie anual equivalente sólo durante los años 6 hasta 10. Recuerde: Para encontrar la serie equivalente A de un gradiente diferido, a lo largo de todos los periodos, primero encuentre el valor presente del gradiente en el momento actual 0, y luego aplique el factor (A/p'i,n).

Figura 3.11

O

Determinación de valores G y n usados en los factores para gradientes diferidos.

2

4

3

5 4

3 $30

$30

$30

$40

7

6

$50

8

5

$60

G = $10 n=7 (PIG, 6%, 7) = 15.4497 (A/G, 6%, 7) = 2.7676

6

$70

$80

Año

9 7

Gradiente n

$90

a)

O

2

3

4

$10

$10

$10

5

6

7 2

$10

8 3

9 4

10

5 Gradienten

$50 $65

G = $15 n=5 (PIG, 6%, 5) = 7.9345 (A/G, 6%, 5) = 1.8836

$80 $95 $110 b)

Año

•

SECCIÓN 3.3

EJEMPLO

Cálculos para gradiente diferido

3.6

Establezca las relaciones de ingeniería económica para calcular la serie anual equivalente, en los años 1 a 7, para el flujo de efectivo estimado en la figura 3.12.

o

$50

2

3

$50

$50

5

4

7

6

Figura 3.12 Diagrama de un gradiente diferido, ejemplo 3.6.

$70 $90 $110 $130

e o O

Solución La cantidad base de la serie anual es AB = $50 para los 7 años (figura 3.13). Encuentre el valor presente Pc en el año 2 del gradiente de $20 que inicia en el año real 4. El año del gradiente es n = 5. Pc = 20(P/G,i,5)

o n

Retorne el valor presente del gradiente hacia el real año O. Po

= Pc(P/F,i,2) = 20(P/G,i,5)(P/F,i,2)

Anualice el valor presente del gradiente desde el año O hasta el año 7 para obtener Ac. Ac = PoCA/P,i,7)

Po= ?

o

Po =?

1

2

3

O ----

$50

A = ?

4

1

---$50

AB = $50

2 ----

----

5

6

3

4 ----

7

Año

5 Gradiente n ----

$50 $70 $90 G= $20

$110 $130

Figura 3.13 Diagrama usado para determinar A para un gradiente diferido, ejemplo 3.6.

109

110

CAPÍTULO

3

Finalmente,

Combinación

de factores

sume la cantidad base al gradiente de la serie anual.

+ 50

A = 20(PlG,i,5)(PlF,i,2)(AlP,i,7)

Sol-R

(P/A,g,i,n) factor

Para una hoja de cálculo, ingrese el flujo de efectivo en las celdas B3 a B9, y use una función VPN insertada en PAGO. La función de celda individual es PAGO(i%,7,VPN(i%,B3:B9».

Si la secuencia del flujo de efectivo implica un gradiente geométrico y el gradiente empieza en un momento diferente del tiempo entre los periodos 1 y 2, se trata de un gradiente diferido. P g se sitúa en una forma similar a la P G arriba, y la ecuación [2.24] es la fórmula del factor.

EJEMPLO

3.7

Ingenieros químicos en una planta de Coleman Industries en el medio oeste han determinado que una pequeña cantidad de un aditivo quimico, recientemente adquirido, aumentará la repelencia del agua de las tiendas de campaña Coleman en 20%. El gerente de la planta ha negociado la compra del aditivo en un contrato a 5 años a $7 000 por año, iniciando dentro de un año. Él espera que el precio anual aumente en 12% por año desde entonces y durante los siguientes 8 años. De manera adicional, se realiza ahora una inversión inicial de $35 000 para preparar un sitio adecuado para que el proveedor entregue el aditivo. Use i = 15% para determinar el valor presente total equivalente de todos estos flujos de efectivo.

PT= ?

i = 15% anual

P8 =?.

2

O

3 4 O

5

6

7

8

1

2

3

4

____ Lj $7000

$7t)

9

¡¡ 5

10 11 12 13 6

7

8

9

Año Gradiente geométrico n

1j

$35000

$17 331 12% de incremento anual

·1

Figura 3.14 Diagrama

de flujo de efectivo que incluye un gradiente

geométrico

con g

=

12%, ejemplo 3.7.

J

U

SECCIÓN SECCIÓN 3.4 3.4

Gradientes Gradientes aritméticos aritméticos diferidos diferidos decrecientes decrecientes

111 111

Solución Solución La figura figura 3.14 3.14 presenta los flujos flujos de efectivo. efectivo. El valor valor presente presente total total P; encuentra La presenta los PT se encuentra utilizando para determinar presente utilizando g = = 0.12 0.12 e i = = 0.15. 0.15. La La ecuación ecuación [2.24] [2.24] sirve sirve para determinar el valor valor presente Pg para para toda usando Pg toda la serie serie geométrica geométrica en en el año año real real 4, el cual cual se mueve mueve al año año O usando

(P/F,15%,4). (P/F,15%,4). P; 000 + A(P/A,15%,4) A(P/A,l5%,4) + A¡(P/A,12%,15%,9)(P/F, A¡(P/A,12%,15%,9)(P/F, 15%,4) PT = 35 000 000 + 7000(2.8550)+[7 7000(2.8550)+[7 000 1-(1.12/1.15)9 1-(1.12/1.15)9 ](0.5718) ](0.5718) = 35 000 000 0.15-0.12 0.15-0.12

= = 35 000 000 + 19985 19985 + 28 247 247 = $83 $83 232 232

s

Advierta que que n = 4 en el factor factor (P/A,15%,4), (P/A,15%,4), puesto puesto que que $7000 $7000 en el año año 5 es la cantidad cantidad Advierta inicial inicial A¡ en la ecuación ecuación [2.23]. [2.23]. Para Para la solución solución por por computadora, computadora, ingrese ingrese los los flujos flujos de efectivo efectivo de de la figura figura 3.14. 3.14. Si se usan usan las celdas celdas B 1 a B 14, la función función para para encontrar encontrar P = $83 $83 230 230 es VPN(15%,B2:B14)+B1 VPN(15%,B2:B14)+B1

Sol-R Sol-R

camino más más rápido rápido para ingresar la serie serie geométrica geométrica consiste consiste en ingresar ingresar $7 840 840 para El camino para ingresar para el por 1.12, año año 6 (dentro (dentro de la celda celda B7) B7) y establecer establecer cada cada celda celda sucesiva sucesiva multiplicándola multiplicándola por 1.12, para incorporar para incorporar el aumento aumento del del 12%. 12%.

3.4 3.4

GRADIENTES GRADIENTES ARITMÉTICOS ARITMÉTICOS DIFERIDOS DIFERIDOS DECRECIENTES DECRECIENTES

El empleo para los gradientes empleo de los factores factores de gradiente gradiente aritmético aritmético es el mismo mismo para gradientes que crecen para los que decrecen, último caso se cumplen crecen y para decrecen, excepto excepto que en este último cumplen las siguientes siguientes aseveraciones: aseveraciones: -Pey-Ae -Pey-Ae

1. La cantidad base es igual a la cantidad cantidad base cantidad mayor mayor en la serie gradiente, gradiente, es decir, la cantidad periodo 11 de la serie. cantidad en el periodo 2. La cantidad cantidad gradiente gradiente se resta de la cantidad cantidad base base en lugar lugar de sumarse. sumarse. 3. Los términos G(P/G,i,n) o --G(AlG,i,n) G(AlG,i,n) se utilizan términos --G(P/G,i,n) utilizan en los cálculos cálculos y en las ecuaciones para P AT> respectivamente. ecuaciones [2.18] y [2.19] para P¡T Y YAro respectivamente. gradiente aún tendrá lugar dos periodos gradiente El valor presente presente del gradiente periodos antes de que el gradiente empiece, y el valor valor equivalente equivalente A empezará empezará en el periodo gradiente y empiece, periodo 1 de la serie gradiente continuará hasta hasta el periodo continuará periodo n. fracciona una serie gradiente gradiente decreciente decreciente con G = = $-100, $-100, que La figura 3.15 fracciona diferida un año hacia hacia adelante. adelante. P ocurre en el año real 1, YP rr es la suma suma de los está diferida Pee ocurre componentes. tres componentes. Pr= $800(P/F,i,l) + 800(P/A,i,5)(P/F,i,1) 800(P/A,i,5)(P/F,i,1) -100(P/G,i,5)(P/F,i,1) -100(P/G,i,5)(P/F,i,1) P r = $800(P/F,i,l)

112

CAPÍTULO

3

Combinación

de factores

$800 - - - - - - - - -$800- - - - - $700 $600 $500

--l $400

o

2

o

2

3

3 4

t5

4 5

Gradienten

6

Año

a)

A8

= $800

G = $100

$800

$400 $200 $300 $100

o

2

3

4

6 Año

5

O

l'

PA =?

2

3

4

5

6 Año

PG= ? b)

e)

Figura 3.15 Flujo de efectivo fraccionado

de un gradiente aritmético

EJEMPLO

diferido, a) = b) + e).

3.8

Suponga que usted está planeando invertir dinero al 7% anual, como se muestra en el gradiente creciente de la figura 3.16. Más aún, usted espera efectuar retiros de acuerdo con el gradiente decreciente que se indica. Determine el valor presente neto y la serie anual equivalente para toda la secuencia de flujo de efectivo e interprete los resultados. Solución Para la secuencia de inversión, G es $500, la cantidad base es $2000 y n = 5. Para la secuencia de retiros hasta el año 10, G es $-1 000, la cantidad base es $5000 y n = 5.

SECCIÓN 3.4

Gradientes aritméticos diferidos decrecientes

$5000 $4000 $3000 $2000

=?

$1000

o

2

1

. lP

4

3

6

5

P2 =?

G=

$2000 $2500 $3000 $3500

7

8

9

10

t t t 11

12

Año

?

!

i = 7% anual

$4000

Figura 3.16 Series de inversión y de retiro, ejemplo 3.8.

Existe una serie anual de 2 años con A = $1 000 en los años 11 y 12. Para la serie de inversión, P, = valor presente de los depósitos = 2 000(P/A,7%,5) + 500(P/G,7%,5)

= 2 000(4.1002) + 500(7.6467) = $12 023.75

Para la serie de retiros, sea P IV la representación del valor presente de la cantidad base de retiro y la serie gradiente en los años 6 a 10 (P 2)' más el valor presente de los retiros en los años 11 y 12 (P3). Entonces, P\v=P2+P3 = PG(P/F,7%,5) + P3 = [5 000(P/A,7%,5) - 1 000(P/G,7%,5)](PlF,7%,5)

+ 1 000(P/A,7%,2)(P/F,7%,10) = [5 000(4.1002) -1000(7.6467)](0.7130)

= $9165.12

+ 919.00

+ 1 000(1.8080)(0.5083)

= $10 084.12

Puesto que P¡ es, de hecho, un flujo de efectivo negativo y PIV es positivo, el valor presente neto es P = PIV

-

P¡ =

10 084.12 - 12023.75

=

$-1 939.63

El valor A puede calcularse utilizando el factor (A/P,7%,12). A = P(A/P, 7%,12) = $-244.20

La interpretación de estos resultados es la siguiente: en equivalencia de valor presente, usted invertirá $1 939.63 más de lo que espera retirar. Esto es equivalente a un ahorro anual de $244.20 por año, durante el periodo de 12 años.

113

114 114

CAPÍTULO CAPÍTULO 3

3.5 3.5

Combinación Combinación de factores factores

APLICACiÓN DE LAS LAS HOJAS HOJAS DE CÁLCULO: CÁLCULO: APLICACiÓN FUNCIONES DIFERENTES DIFERENTES USO DE FUNCIONES

m m Sol-EE Sol-

EJEMPLO EJEMPLO

El ejemplo ejemplo que sigue a continuación continuación compara compara una solución obtenida una solución obtenida por por compucomputadora flujos de efectivo efectivo son dos series tadora con una solución solución obtenida obtenida a mano. Los flujos uniformes diferidas, diferidas, para para las cuales cuales se busca uniformes busca el valor valor presente presente total. En efecto, efecto, sólo empleará un conjunto conjunto de relaciones relaciones para solución a mano, se empleará para la solución mano, o un conjunto conjunto de funciones para encontrar encontrar Pro aunque el ejemplo ejemplo funciones para para la solución solución por computadora, computadora, para Pr, aunque ilustra los diferentes diferentes procedimientos procedimientos y el trabajo ilustra trabajo que implica implica cada cada uno de ellos. La solución por computadora computadora es más rápida; rápida; no obstante solución obstante la solución solución a mano mano ayuda ayuda a comprender cómo cómo se toma toma en consideración consideración el valor valor del dinero comprender dinero en el tiempo tiempo con los factores de ingeniería ingeniería económica. económica. factores

3.9

,' Determine el valor valor presente presente total total PTT en el 15% anual Determine el periodo periodo O O al 15% anual para para las las dos dos series series uniformes dos procedimientos: procedimientos: mediante mediante computadora computadora uniformes diferidas diferidas de la figura figura 3.17. 3.17. Utilice Utilice dos con diferentes mano usando tres factores factores diferentes. con diferentes funciones, funciones, y a mano usando tres diferentes. = 15% 15% anual ii = anual

O o

2

I

I

3

4

5

t =t t Al Al

6

7

8

I

I

I

= $1 000 000

¡¡¡¡1 9

10 10

11 11

12 12

13 13

=

A22 = $1 500 $1500

Figura 3.17 3.17 Figura Serie uniforme uniforme usada usada para para calcular calcular valor valor presente 3.9. Serie presente por por diversos diversos métodos, métodos, ejemplo ejemplo 3.9. Solución por por computadora computadora Solución

En 3.18 se encuentra las funciones funciones VPN VPN y VP. En la figura figura 3.18 encuentra PTT usando usando las Función VPN. más sencilla para determinar determinar PTT = $3,370. VPN. Ésta Ésta es, con con mucho, mucho, la forma forma más sencilla para $3,370. Los ingresan en en celdas, celdas, y la la función función VPN VPN se desarrolla desarrolla Los diagramas diagramas de flujo flujo de efectivo efectivo se ingresan con con el formato formato VPN(i%,second_cell:last_cell)+first_cell VPN(i%,second_cell:last_cell)+firsccell Sol-R Sol-R

o

VPN(Bl ,B6:BI8)+B5 VPN(Bl,B6:BI8)+B5

valor i = 15% 15% está está en la celda celda BI. B 1. Con Con los los parámetros parámetros VPN VPN en en la forma forma de de referencia referencia de de El valor celdas, cualquier cualquier valor valor puede puede cambiarse, cambiarse, y el despliega de inmediato. inmediato. celdas, el nuevo nuevo valor valor PTT se despliega Además, Además, si se requieren requieren más más de 13 años, años, tan sólo agregue tan sólo agregue los los flujos flujos de de efectivo efectivo al final final de de la columna de manera manera acorde. acorde. Recuerde: Recuerde: la función función VPN columna B y aumente aumente la entrada entrada B 18 de VPN requiere cálculo que que representan representan un un flujo flujo de efectivo efectivo requiere que que todas todas las celdas celdas de la hoja hoja de cálculo tengan periodos que que tienen tienen un flujo flujo de efectivo efectivo con con tengan una una entrada, entrada, incluyendo incluyendo aquellos aquellos periodos valor cero. Si se dejan dejan celdas celdas en blanco blanco se genera genera una una respuesta respuesta errónea. errónea. valor VP: Las Las entradas entradas de la columna columna C en Función VP: en la la figura figura 3.18 3.18 incluyen incluyen funciones funciones VP VP que que determinan de efectivo efectivo por por separado. en C19 C19 determinan P en el periodo periodo O O para para cada cada flujo flujo de separado. Se Se suman suman en

SECCIÓN SECCIÓN 3.5

Aplicación hojas de cálculo: cálculo: uso uso de funciones funciones diferentes diferentes Aplicación de las hojas

o

Valor presente

1m", .m

·

···

·

¡."'.........................................................

.1.

E

F

115 115

G

para

......Ia,fu~cié>r1t>1F'y

3,370

=NPV(BI,B6:BI8)+B5

---4""'2""6-1.-----------+----+-----+------11 371 322 .~~------~~~_~----~2~80~1-----244 3,370

--------·1--·---_·_··_+_·····_····_·····

-+-----

---t----,

=SUM(C5:CI8)

Figura 3.18 3.18 Figura Determinación del valor presente total usando las funciones VPN y VP de la hoja de cálculo, ejemplo 3.9. Determinación

utilizando la función función SUMo Este Este método método toma toma más más tiempo tiempo de teclado, teclado, pero pero ofrece ofrece el valor valor utilizando para cada cada flujo flujo de efectivo, efectivo, si estas estas cantidades cantidades son necesarias. necesarias. Asimismo, Asimismo, la función función VP VP P para requiere que efectúe la entrada entrada de cada cada valor valor cero cero en el flujo' flujo' de efectivo. efectivo. no requiere que se efectúe Función VF: VF: No No resulta resulta eficiente eficiente determinar determinar PrT usando usando la función función VF, pues pues el formato formato Función contrario de la la función función VPN, VPN, no permite permite ingresar ingresar de manera manera directa directa las las referencias referencias VF, al contrario celdas. Cada Cada flujo flujo de efectivo efectivo primero primero debe debe llevarse llevarse al último último periodo periodo usando usando el formaformade celdas. to general general VF(15%,yearsJemaining"cash_flow), VF(15%,yearsJemaining"cash_flow), donde se suman suman usando usando la función función SUMo donde Esta función función SUM SUM luego luego se regresa regresa al periodo periodo O vía vía la función función VP(15%,13"SUM). VP(15%,13"SUM). En Esta En este caso, caso, tanto tanto la función función VPN VPN como como la función función VP, y de manera especial la primera, primera, manera especial este ofrecen un uso uso mucho mucho más más eficiente capacidades de las hojas de cálculo cálculo que que la ofrecen eficiente de las capacidades las hojas función VF. VE función Solución a mano mano Solución Existen numerosas numerosas formas formas de encontrar encontrar Prr.. Las Las dos más más simples simples probablemente probablemente sean sean los los Existen métodos del valor valor presente del valor valor futuro. Para un tercer tercer método, método, utilice utilice el año año 7 como como métodos presente y del futuro. Para punto de anclaje. anclaje. A éste éste se le conoce conoce como como el método método del del año año intermedio. intermedio. punto

s

116

CAPÍTULO

3

Combinación

de factores

Método del valor presente: Véase la figura 3.l9a. P T se encuentra utilizando, primero, los factores P/A para la serie uniforme, seguido del uso de los factores P/F para obtener el valor presente en el año O. PT=PA¡+PA2 PA¡ = ~¡

(PlF,15%,2) = A¡(P/A, 15%,3)(P/F,15%,2)

PT= ?

M

t

PA2 =?

PÁ¡ =?

PAI =? O

PÁ2 =? 3

2

Al

4

=

5

6

7

8

9

10

11

12

13

$1 000 A2

= $1

500

a) Método del valor presente

El el:

O

6

2

Al

=

7

8

$1 000 A2 = $1 500 b) Método del valor futuro

EJE~ FÁ¡ =? O

1

2

3

4

~

~

5

PÁ2 =?

PA2 =? 6

7

8

9

11

10

12

13

-

A¡ = $1000 A2

=

$1500

e) Método del año intermedio

Figura 3.19

FI

Cálculo del valor presente de la figura 3.17 mediante tres métodos, ejemplo 3.9.

el

EJEMPLO ADICIONAL

= 1 000(2.2832)(0.7561) = $1726

= A2(PlA,15%,5)(PlF,15%,8)

PA2 = P~2 (PIF,15%,8)

=

1 500(3.3522)(0.3269)

= $1644 Pr = 1726 + 1 644 = $3 370

Método del valor futuro: Véase la figura 3.19b. Utilice los factores FIA, FIP Y PIF. Pr= (FA! + FA2)(PIF,15%,13) FA! = F~! (FIP, 15%,8) = A!(FIA,15%,3)(FIP,15%,8) = 1 000(3.4725)(3.0590) FA2 = AzCFIA,15%,5)

= $10 622

= $10 113

= 1 500(6.7424)

= 20 735(0.1625)

Pr= (FA! + FA2)(PIF,15%,13)

= $3369

Método del año intermedio: Véase la figura 3.19c. Encuentre el valor equivalente de ambas series en el año 7 y luego utilice el factor PIF.

El valor PA2 se calcula como un valor presente; aunque, para encontrar el valor total Pr en el año O, debe tratarse como un valor F. En consecuencia, FA! = P,..! (FIP,15%,2)

=A¡(FIA,15%,3)(F/P,15%,2)

= 1 000(3.4725)(1.3225) PA2 =P~2 (PIF,15%,I)

= $4 592

=AzCPIA,15%,5)(PIF,15%,1)

= 1 500(3.3522)(0.8696)

= $4 373

Pr= (FA¡ + PA2)(P/F,15%,7) = 8 965(0.3759)

= $3 370

EJEMPLO ADICIONAL

EJEMPLO

3.10

VALOR PRESENTE MEDIANTE COMBINACIÓN

DE FACTORES Calcule el valor presente total de la siguiente serie de flujos de efectivo al i = 18% auual. Año Flujo de efectivo.

$

O

1

2

3

4

5

6

+460

+460

+460

+460

+460

+460

+460

7

-5000

117

118

CAPÍTULO 3 CAPÍTULO

Combinación de factores factores Combinación

Solución Solución El diagrama diagrama de flujo flujo de efectivo efectivo se presenta figura 3.20. 3.20. Como Como el ingreso ingreso en el año año O O El presenta en la figura igual a la serie serie A de los los años años 1 a 6, el factor factor PIA se puede puede utilizar utilizar para año 6 o para es igual para el año para el El problema resuelve en dos dos formas. formas. 7. El problema se resuelve

• p

e

Uso de de PIA El ingreso ingreso Po en el año año O O se suma suma al valor valor presente las cantidades cantidades PIA y n = 6: El presente de las Uso restantes, pues pues el factor factor PIA para colocará PAA en en el año año O. restantes, para n = 6 colocará PT=PO+PA-P PT=PO+PA-P F F 460 + 460(PlA,18%,6) 000(PlF,18%,7) = 460 460(P/A ,18%,6) - 5 000(PIF,18%,7) $499.40 = $499.40 Uso dePIA dePIA y n = 7: 7: Al Al usar usar el factor factor PIA para "valor presente" en el año año para n = 7, el "valor presente" se ubica ubica en Uso -1, , no no en en el año año O, ya ya que que P está está un periodo antes que que la primera necesario que que el -1 periodo antes primera A. Es necesario valor PA mueva un un año año hacia hacia adelante adelante con con el factor factor FIP. valor A se mueva P = 460(P/A,18%,7)(FlP,18%,I) 460(PIA,18%,7)(FIP,18%,l) - 5 000(PIF,18%,7) 000(PIF,18%,7) -5

= $499.38 $499.38 = A

s o o

2

= $460 $460 =

3

4

5

6

7

Año

i=18% i = 18% F== $5000 $5000 F

Figura 3.20 3.20 Figura Diagrama de de flujo flujo de de efectivo, efectivo, ejemplo 3.10. Diagrama ejemplo 3.10.

RESUMEN DEL CAPíTULO CAPíTULO RESUMEN capítulo 2 se derivaron derivaron las ecuaciones ecuaciones para calcular los valores valores presente, En el capítulo para calcular presente, futuespecíficas de flujo de efectivo. efectivo. En este capítulo capítulo se demostró demostró ro o anual de series específicas ecuaciones se aplican aplican a series de flujo de efectivo efectivo diferentes diferentes de aquellas aquellas que tales ecuaciones para obtuvieron las relaciones relaciones básicas. básicas. Por ejemplo, ejemplo, cuando cuando una serie para las que se obtuvieron uniforme no comienza comienza en el periodo factor PIA uniforme periodo 1, de todos modos modos se usa el factor PIA para para encontrar el valor valor presente valor de P se localiza localiza un periodo encontrar presente de la serie, sólo que el valor periodo valor de A, y no en el tiempo tiempo cero. Para Para gradientes gradientes geométricos geométricos y antes del primer primer valor aritméticos, el valor valor P está está dos periodos adelante del lugar lugar en que se inicia inicia el aritméticos, periodos adelante gradiente. Con esta información información es posible posible despejar despejar cualquier cualquier símbolo símbolo -P, -P, A Fgradiente. A o Fpara cualquier cualquier secuencia secuencia de flujo de efectivo efectivo concebible. concebible. experimentado algunas algunas de las fortalezas fortalezas de las funciones funciones de las hojas de Se han experimentado cálculo para determinar valores valores de P, F YA, una vez que el flujo de efectivo efectivo estimaestimacálculo para determinar ingresa en las celdas celdas de la hoja hoja de cálculo. cálculo. do se ingresa

3

119

PROBLEMAS

PROBLEMAS Cálculos de valor presente 3.1

3.2

Debido a que e143% de todas las fatalidades que ocurren en las autopistas se deben a cambios de carril no intencionados que efectúan los conductores distraídos, Ford Motor Company y Volvo lanzaron un programa para desarrollar tecnologías para impedir los accidentes ocasionados por conductores somnolientos. Un dispositivo que cuesta $260 detecta las marcas de los carriles y hace sonar una alarma cuando un automóvil pasa de uno a otro. Si estos dispositivos se instalaran en 100000 autos nuevos por año, comenzando dentro de tres años, ¿cuál sería el valor presente de su costo durante un periodo de diez años, con una tasa de interés de 10% anual? Un plan para obtener fondos en beneficio de las escuelas de Texas involucra un impuesto sobre la riqueza que podría recabar $56 para cada estudiante de cierto distrito escolar. Si hay 50000 estudiantes en el distrito, y el flujo de efectivo comienza dentro de dos años, ¿cuál es el valor presente del plan para gravar la riqueza durante un horizonte de planeación de cinco años, con una tasa de interés de 8% anual?

que los costos de producción disminuyan $100000 por año en cada uno de los próximos tres, y $200 000 anuales en los siguientes dos. ¿Cuál es el valor presente neto del ahorro en los costos si la empresa usa una tasa de interés de 15% anual sobre dichas inversiones? 3.5

Toyco Watercraft y un proveedor de refacciones tienen un contrato que involucra compras por $150 000 anuales, la primera compra se haría hoy y le seguirían otras similares durante los próximos cinco años. Determine el valor presente del contrato, con una tasa de interés de 10% anual.

3.6

Calcule el valor presente neto en el año O, de la serie de pagos siguiente. Suponga que i = 10% anual.

Año

Desembolso. $

Año

O

O 3500 3500 3500 5000 5000

6 7 8 9 10

1 2

3 4

5

Desembolso. $ 5000 5000 5000 5000 5000

Cálculos de valor anual

3.3

La empresa Amalgamated Iron and Steel compró una máquina nueva para doblar trabes grandes tipo 1 por medio de un pistón. La compañía espera doblar 80 trabes a $2 000 por unidad, durante cada uno de los primeros tres años, después de lo cual la empresa espera doblar 100 trabes por año a $2 500 por unidad hasta el año 8. Si la tasa mínima atractiva de rendimiento es de 18% anual, ¿cuál es el valor presente del ingreso esperado?

3.7

La utilidad bruta (porcentaje de ingreso que queda después de restar el costo de los bienes vendidos) de Cisco fue de 70.1 % del ingreso total para un periodo de cuatro años. Si el ingreso total fue de $5.4 mil millones durante los dos primeros años, y de $6.1 mil millones en los dos últimos años, ¿cuál fue el valor anual equivalente de la utilidad bruta durante dicho periodo de cuatro años, con una tasa de interés de 20% anual?

3.4

Rubbermaid Plastics planea adquirir un robot lineal para empujar partes hacia una máquina de moldeo por inyección. Debido a la velocidad del robot, la compañía espera

3.8

Las utilidades por las ventas de BKM Systems se muestran a continuación. Calcule el valor anual equivalente (años del 1 a 7), con una tasa de interés anual de 10%.

120

Año Año

CAPÍTULO CAPÍTULO 3

Desembolso, $ Desembolso,

Año Año

4000 4000 4000 4000 4000 4000

4 5 6 7

oo 1 2 3

3.9

3.10 ~!

~I

,

'1 1

Combinación Combinación de factores factores

Desembolso, Desembolso, $

5000 5000 5000 5000 5000 5000 5000 5000

Un ingeniero ingeniero metalúrgico metalúrgico decide decide reservar reservar cierta cierta cantidad cantidad de dinero dinero para para la educación educación universitaria de su hija recién nacida. Estima universitaria Estima que sus necesidades necesidades serán de $20 000 en los cumpleaños 20. Si cumpleaños números números 17, 18, 19 Y Y20. planea planea hacer hacer depósitos depósitos uniformes uniformes que comenzarán menzarán dentro dentro de tres años y continúa continúa así hasta hasta el año 16, ¿cuál debe ser el monto monto de cada depósito depósito si la cuenta cuenta gana un interés interés de 8% anual? anual?

Ingreso, Ingreso, $/Año Año

Egreso, Egreso, $/Año Año

O o

10000 10 000 800 800 900 900

2000 2000 200 200 300 300

3.11

Se espera una espera que el costo costo de operación operación de una caldera de polvo polvo de carbón, carbón, tipo ciclón, caldera ciclón, sea de $80000 $80000 por año. Si el vapor que se produzca sólo será necesario cinco años a necesario durante durante cinco partir de hoy (es decir, durante los años 1 a 5), ¿cuál equivalente en estos estos ¿cuál es el valor valor anual equivalente años del costo una tasa costo de operación, operación, con una de interés interés de 10% anual? anual?

3.15

ingeniero eléctrico eléctrico y empresario empresario hizo a Un ingeniero una instalación una instalación hidráulica hidráulica importante importante una propuesta propuesta que promete promete reducir reducir en al menos 15% cada año, durante los próximos próximos cinco años, el importe de la energía que esta compañía utiliza, por medio medio de la instalación instalación de protectores La protectores de descargas descargas patentados. patentados. La propuesta establece que el ingeniero obtendrá propuesta obtendrá $5 000 ahora y pagos anuales equivalentes equivalentes a 75% de los ahorros de energía logre energía que se logre con los dispositivos. Si se supone que los ahorros serán los mismos decir, mismos cada año (es decir, 15 %) Y que el importe importe de la energía energía de la instalación ¿cuál instalación es de $1 millón millón por por año, ¿cuál sería la cantidad equivalente cantidad anual uniforme uniforme equivalente (en los años 1 a 5) de los pagos para el ingeingepagos para niero? Suponga utiliza una Suponga que la instalación instalación utiliza interés de 6% anual. tasa de interés

¿¿Cuánto Cuánto dinero tendría tendría usted que pagar pagar cada año, en ocho pagos iguales, si comienza comienza dentro de dos años, para para saldar saldar un préstamo préstamo de $20 000 otorgado por un familiar, si la otorgado hoy por tasa de interés interés fuera de 8% anual? anual?

jubilación ingeniero industrial industrial planea planea su jubilación 3.12 Un ingeniero temprana temprana dentro dentro de 25 años. Él considera considera que puede puede reservar reservar cómodamente cómodamente $10 000 partir de hoy. Si planea planea comenzar comenzar cada año a partir retirar dinero dinero un año después después de que haga haga a retirar último depósito depósito (es decir, en el año 26), su último cantidad uniforme uniforme podría podría retirar retirar cada ¿qué cantidad año durante durante 30 años, si la cuenta cuenta obtiene obtiene una tasa de interés interés de 8% anual? 3.13

3.14

Calcule Calcule el valor valor anual en los años 1 a 10 de la siguiente serie de ingresos ingresos y egresos, si la tasa de interés interés es de 10% anual.

Año Año

1-6 7-10 7-10

antes de que se disponga sitios redisponga de gas en sitios motos. La empresa estima que el cambio a gas comenzaría ahorraría comenzaría dentro dentro de dos años y ahorraría $15000 interés de $15000 por año. año. Con una tasa de interés determine el valor por año equiva8% anual, determine equivalente (años 11aa 10) de los ahorros proyectados.

Una Una compañía compañía de instalaciones instalaciones rurales rurales proporciona proporciona energía energía a estaciones estaciones de bombeo bombeo medio de generadores generadores que usan usan diesel. por medio Surgió una alternativa alternativa con la que la instainstaSurgió lación podría usar gas natural para mover los generadores, generadores, pero pero pasarán pasarán algunos algunos años años

3.16

La Comisión planea acComisión Nacional Nacional de Agua Agua planea tualizar sistema SCADA controlar tualizar su sistema SCADA para para controlar tanto las bombas de pozo y de refuerzo, como el equipo equipo desinfectante, desinfectante, de modo modo que todo pueda La pripueda controlarse controlarse desde un solo sitio. La mera fase reducirá los costos de mano de obra y viajes en $28 000 por año. La segunda segunda fase reducirá adicioreducirá los costos costos en otros $20000 $20000 adicionales al año. Si los ahorros de la fase 11ocurren ocurren en los años O, 3, Y los de la fase II en O, 1,2 1,2 Y Y3, Ylos los años 4 a 10, ¿cuál anual equiequi¿cuál es el valor valor anual valente valente del sistema sistema actualizado actualizado en los años 1 a 10, con una tasa de interés anual? interés de 8% anual?

3.1

Cál

3.1

3.11

3.21

Pag

3.2J

121

PROBLEMAS

3.17

Un ingeniero mecánico recién egresado de la maestría planea comenzar su propia empresa de calefacción y aire acondicionado comercial. Podría comprar por sólo $600 al año un paquete para diseñar páginas web a fin de distribuir información. Si su negocio tiene éxito, comprará un paquete más elaborado de comercio electrónico que cuesta $4000 por año. Si el ingeniero compra hoy la página menos costosa (con pagos al principio de año), y adquiere el paquete de comercio electrónico dentro de un año (también con pagos al inicio de año), ¿cuál es el valor anual equivalente de los costos del sitio web para un periodo de cinco años (años 1 a 5), con una tasa de interés de 12% anual?

3.22

o

Año

Ingreso, $

Egreso, $

O 1-5 6-8 9-14

O 6000 6000 8000

9000 6000 3000 5000

Use el diagrama de flujo de efectivo que se muestra abajo para calcular la cantidad de dinero en el año 5, equivalente a todos los flujos de efectivo que se muestran, si la tasa de interés es de 12% anual. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 Año

$1000 $2000

Cálculos de valor futuro I

3.18

Las cuentas de ahorro para toda la vida, conocidas como LSA, permitirían que la gente invirtiera dinero después de impuestos sin que se gravara ninguna de las ganancias. Si un ingeniero invierte $10 000 ahora y $10 000 por cada uno de los 20 próximos años, ¿cuánto habría en la cuenta inmediatamente después de hacer el último depósito, si la cuenta crece 15% por año?

3.19

¿Cuánto dinero se depositó anualmente, durante cinco años, si una cuenta tiene hoy un valor de $100 000 y el último depósito se hizo hace diez años? Suponga que el interés que ganó la cuenta fue de 7% anual.

3.20

Calcule el valor futuro (en el año 11) de los ingresos y egresos siguientes, si la tasa de interés es de 8% anual. Año

Ingreso, $

Egreso, $

o

12000 800 900

3000 200 200

1-6 7-11

Pagos aleatorios y series uniformes 3.21

¿Cuál es el valor equivalente en el año 5 de la siguiente serie de ingresos y egresos, si la tasa de interés es de 12% anual?

3.23

Si gasta $10 000 ahora y $25 000 dentro de tres años, una compañía de recubrirnientos metálicos puede incrementar su ingreso en el periodo que va de los años 4 a 10. Con una tasa de interés de 12% anual, ¿qué ingreso adicional por año se necesitaría en los años 4 a 10 a fin de recuperar la inversión?

3.24

Sierra Electric Company estudia la compra de un rancho en las colinas para su posible uso futuro como granja de molino de viento. La propietaria del rancho de 500 acres lo vendería a $3 000 por acre si la compañía lo saldara en dos pagos: uno ahora y otro del doble al primero dentro de tres años. Si la tasa de interés de la transacción es de 8% anual, ¿cuál es el monto del primer pago?

3.25

Hace 20 y 21 años se hicieron dos depósitos iguales, los cuales permitirían que un jubilado retirara $10 000 ahora y $10 000 anualmente durante otros 14 años. Si la cuenta gana un interés de 10% anual, ¿de cuánto fue cada depósito?

3.26

Una compañía de concreto y materiales de construcción trata de que la parte para el fondo de retiro de sus empleados aportada por la empresa cumpla con la norma HB-301. La compañía ya ha depositado $20 000 en

122

CAPÍTULO

3

Combinación

de factores

cada uno de los últimos cinco años. ¿Cuánto debe depositar ahora a fin de que el fondo tenga $350 000 dentro de tres años, si crece a una tasa de 15% anual? 3.27

3.30

Encuentre el valor de la incógnita x de modo que los flujos de efectivo positivos sean equivalentes con exactitud a los negativos, si la tasa de interés es de 14% anual. $700

$700

Calcule el valor de x en el diagrama inferior, el cual haría que el valor presente equivalente del flujo de efectivo fuera igual a $15 000 si la tasa de interés fuera de 15% anual.

Gr

3.2

P = $15000

o

234567

Año

x $1000

+

o

1 2

4

3

5

6

7

8

10 11

9

3.31

$800

$800

Año

$950

3.28 ,

~I 1

"

111

Al tratar de obtener un préstamo quirografario de un banco local se pidió a un contratista que proporcionara una estimación general de sus gastos anuales. Un componente de los gastos se muestra en el diagrama de flujo de efectivo de la parte inferior. Convierta las cantidades que se indica en un monto uniforme anual de los años 1 a 8, con el uso de una tasa de interés de 12% por año.

o

2

3

4

5

6

7

8

Año

O 1 2 3 4

3.32

Año

O 1 2 3

t t

$1000

x

$2000

12 Año

Obtenga la cantidad de dinero en el año 3 que equivale a los flujos de efectivo siguientes, si la tasa de interés es de 16% anual. Cantidad,

$

900 900 900 900 3000

Año 5 6 7 8

Cantidad,

$

3000 -1500 500 500

Calcule el valor anual (años 1 a 7) de la siguiente serie de egresos. Suponga que i = 12% anual. Egreso, $ 5000 3500 3500 3500

Año 4 5 6 7

3.3

3.3~

Egreso, $ 5000 5000 5000 5000

$3000

3.33

$5000

3.29

Determine el valor en el año 8 equivalente a los flujos de efectivo que se muestran abajo. Utilice una tasa de interés de 12% anual. Año

F=?

O

o

2

3

Año

$1500 $2500

$2500

1 2 3 4 5

Determine el valor de x de los flujos de efectivo que se muestran abajo, de modo que el valor total equivalente en el año 8 sea de $20 000 con el uso de una tasa de interés de 15% anual. Flujo de efectivo, $ 2000 2000 x x x x

Año

Flujo de efectivo, $

6 7 8 9 10 11

x x x 1000 1000 1000

3.37

123

PROBLEMAS

Gradientes aritméticos diferidos 3.34

3.35

3.36

3.37

La ciudad de San Antonio estudia varias opciones para el abastecimiento de agua como parte de su plan a 50 años, el cual incluye la desalación. Se espera que un acuífero confinado produzca agua sin sal que generaría ingresos de $4.1 millones anuales durante cuatro años, después de lo cual la producción menor haría que el ingreso disminuyera $50 000 cada año. Si el acuífero se agota por completo dentro de 25 años, ¿cuál es el valor presente de la opción de desalar, con una tasa de interés de 6% anual? Exxon-Mobil planea vender cierto número de pozos productores. Se espera que éstos .generen 100000 barriles de petróleo anuales durante ocho años más, con un precio de venta de $28 por barril en los dos años siguientes, con un incremento de $1 por barril hasta el año 8. ¿Cuánto debe estar dispuesta a pagar hoy por los pozos una refinería independiente, si la tasa de interés es de 12% anual? Burlington Northern estudia la eliminación de un cruce ferroviario mediante la construcción de dos pasos elevados de doble carril. El ferrocarril subcontrata el mantenimiento de sus puentes de cruce por $11 500 por año; sin embargo, si se comienza dentro de cuatro años, se espera que los costos se incrementen en $1 000 anuales durante el futuro previsible (es decir, $12 500 dentro de cuatro años, $13 500 dentro de cinco, etc.). La construcción del paso elevado costaría hoy $1.4 millones, pero eliminaría el 100% de las colisiones entre autos y trenes, que tienen un costo promedio de $250 000 por año. Si el ferrocarril usa un periodo de estudio de 10 años, determine si debe construirse el paso elevado. Levi Strauss contrató con la compañía independiente U.S. Garment Corporation algunos de sus pantalones deslavados. Si el costo de operación por máquina de esta

última empresa es de $22 000 en los años 1 y 2, Y después se incrementa en $1 000 anuales hasta el año 5, ¿cuál es el costo uniforme equivalente por máquina (años 1 a 5), con una tasa de interés de 12% anual? 3.38

Los ingresos y egresos (en miles) de Herman Trucking Company se muestran abajo. Calcule el valor futuro en el año 7, con una tasa de 10% de interés anual.

Año

Flujo de efectivo, $

Año

Flujo de efectivo, $

O 1 2 3

-10 000 4000 3000 4000

4 5 6 7

5000 -1000 7000 8000

3.39

Peyton Packing tiene un horno de jamón con el flujo de costo que se muestra en la parte inferior. Si la tasa de interés es de 15% por año, determine el valor anual (en los años 1 a 7) de los costos. Año

O 1 2 3

Costo,

4000 4000 3000 2000

$

Año

4 5 6 7

Costo,

$

6000 8000 10 000 12000

3.40

Una compañía que comienza, dedicada a la venta de cera de colores pulidora para autos, recibe un préstamo de $40 000 con una tasa de interés de 10% anual, y desea reembolsarlo en un periodo de cinco años con pagos anuales tales que del tercero al quinto sean de $200 000 más que los dos primeros. Determine el monto de estos dos primeros pagos.

3.41

Para el flujo de efectivo que se muestra a continuación, encuentre el valor de x que hace que el valor presente en el año O sea igual a $11 000, con una tasa de interés de 12% anual.

124

Año O 1 2 3 4

CAPÍTULO

Flujo de efectivo, $

Año

200 300 400 x 600

5 6 7 8 9

3

Combinación

de factores

Flujo de efectivo, $ 700 800 900 1000 1100

3.45

3.46

Gradientes geométricos diferidos 3.42

3.43

3.44

En un esfuerzo para compensar la tendencia decreciente en la compra de líneas terrestres, SBC y Bell South (propietarios de Singular Wireless LLC) entablaron una guerra con Vodaphone para adquirir AT &T Wireless. Los $11 iniciales por acción subieron a $13 por el paquete de 2.73 mil millones de acciones de AT &T Wireless. Si cerrar la compra tomó exactamente un año (es decir, al final del año 1), ¿cuál sería hoy el valor presente (tiempo O) de la adquisición por las utilidades de $5.3 mil millones en el año 2, con incrementos de 9% anual hasta el año 11? Suponga que SBC y Bell South usan una tasa de rendimiento de 15% anual. Un alumno exitoso planea hacer una contribución a la comunidad de la universidad de la que se graduó. El donativo es para otorgarlo durante un periodo de cinco años y comienza hoy, con un total de seis pagos. Dará ayuda durante 20 años a cinco estudiantes de ingeniería al año, con la primera beca por entregarse inmediatamente (un total de 21 becas). El costo de la colegiatura es de $4 000 por año y se espera que permanezca así durante tres años más. Después de dicho tiempo (es decir, al final del año 4) se espera que la colegiatura aumente 8% anual. Si la escuela puede invertir el dinero y ganar interés a una tasa de 10% anual, ¿de cuánto deben ser los donativos? Calcule el valor presente (año O) de un arrendamiento que requiere hoy un pago de $20 000, y cantidades que se incrementan anualmente 5% hasta el año 10. Utilice una tasa de 14% de interés anual.

3.47

Determine el valor presente de una máquina que tiene un costo inicial de $29 000, con vida útil de 10 años y un costo de operación anual de $13 000 durante los cuatro primeros años, con incrementos de 4% de entonces en adelante. Emplee una tasa de interés de 10% anual. A-l Box Company planea arrendar un sistema de cómputo que costará (con servicio) $15000 en el año 1, $16 500 en el año 2, y cantidades que se incrementan 10% cada año de ahí en adelante. Suponga que los pagos del arrendamiento deben hacerse al principio del año y que se planea un plazo de cinco años. ¿Cuál es el valor presente (año O) si la compañía usa una tasa mínima atractiva de rendimiento de 16% anual? Dakota Hi-C Steel firmó un contrato que le generará ingresos de $210 000 hoy, $222 600 en el año 1, y cantidades que se incrementan 8% anual hasta el año 5. Calcule el valor futuro del contrato, con una tasa de interés de 8% anual.

3

A

3.

3.:

Gradientes decrecientes diferidos 3.48

Encuentre el valor presente (en el momento O) de los costos del proceso de cromado que aparecen en el siguiente diagrama de flujo. Suponga que i = 12% anual. p=?

• Pf

o

2

3

4

5

Año

3.:

1000 1200 1400 1600 1800 $2000

3.49

Calcule el valor presente (año O) de los flujos de efectivo siguientes, con i = 12% anual.

Año

Cantidad, $

O

5000 1000 900 800

1-5 6 7

Año 8 9 10 11

Cantidad, $ 700 600 500 400

3.5

PROBLEMAS

3.50

Para la tabla de flujo de efectivo que se muestra, calcule el valor uniforme anual equivalente en los periodos 1 a 10, si la tasa de interés es de 10% por año.

Año

Cantidad, $

o

2000 2000 2000 2000 2000 2500

1 2 3 4 5

3.51

3.52

Año 6 7 8

9 10

micos resistentes a la temperatura. Determine el valor presente (en el año O) de los costos que se muestran en el diagrama inferior, con el empleo de una tasa de 15% de interés anual.

Cantidad, $

o

2400 2300 2200 2100 2000

Prudential Realty tiene una cuenta en fideicomiso de uno de sus clientes administrativos propietarios, la cual en el presente contiene $20000. ¿Cuánto tiempo tomará agotar la cuenta si el cliente retira $5 000 ahora, $4 500 dentro de un año y cantidades que disminuyen de ahí en adelante $500 cada año, si la cuenta gana un interés de 8% anual?

125

DE REPASO FI

2

4

3

5

Año

1000 1200 1400 1600 $2000

3.53

1800

Calcule el valor futuro en el año 10, con i = 10% anual, para el flujo de efectivo que se muestra a continuación. F=?

o

El costo de los espaciadores de metal líquido que se usan alrededor de los cilindros de combustible en los reactores de reproducción ha estado disminuyendo debido a la disponibilidad de mejores materiales cerá-

2

3

4

5

6

7

8

9 10

Año

4000 4200 4400 4600 4800 $5000

PROBLEMAS DE REPASO FI 3.54

El valor anual en el periodo que va de los años 4 a 8 de una cantidad x de dinero que se recibirá dentro de dos años es de $4 000. Con una tasa de interés de 10% anual, el valor de x se acerca mucho a a) Menos de $12 000 b) $12531 e) $12885 el) Más de $13000

3.55

La lotería Powerball de estados múltiples, con premio de $182 millones, fue ganada por un solo individuo que había comprado cinco boletos a $1 cada uno. La persona tuvo dos ofrecimientos: recibir 26 pagos

de $7 millones cada uno, el primero ahora y el resto al final de cada uno de los 25 años siguientes; o recibir un solo pago ahora, que sería equivalente a los 26 pagos de $7 millones cada uno. Si el estado usa una tasa de interés de 4% por año, el monto del pago en una sola exhibición estaría muy cerca de a) Menos de $109 000 000 b) $109355000 e) $116355000 el) Más de $117 000 000 3.56

La asistencia a El Paso Livestock Show & Rodeo ha venido en declive durante los cinco

126

CAPÍTULO

3

Combinación

de factores

últimos años. En el 2000, la asistencia fue de 25 880, Y en 2004 fue de 13 500 (una disminución de 15% anual). Si el precio promedio del boleto fue de $10 por persona durante dicho periodo de tiempo, ¿por cuál de las ecuaciones siguientes está representado el valor presente del ingreso en 1999 (es decir, 1999 es el tiempo O)para los años 2000 a 2004, con una tasa de interés de 8% anual? a) P = 250 880 {l - [(1 + 0.15)5/(1 + 0.08)5]}/ (0.08 - 0.15) = $1 322 123 b) P = 250 880 {1 - [(1 - 0.15)4/(1 + 0.08)4]}/ (0.08 + 0.15) = $672 260 e) P = 250 880 {1 - [(1 + 0.15)4/(1 + 0.08)4]}/ (0.08 - 0.15) = $1 023 489 d) P = 250 880 {1 - [(1 - 0.15)5/(1 + 0.08)5]}/(0.08 + 0.15) = $761390 •

¡!., I

'

¡

3.57

.111

3.58

3.59

Una compañía que manufactura monitores de sulfuro de hidrógeno planea hacer depósitos de modo que cada uno sea 5% más grande que el precedente. ¿Qué tan grande debe ser el primer depósito (al final del año 1), si todos se extienden del año 10 y el cuarto de ellos es de $1 250? Use una tasa de interés de 10% anual. a) $1312.50 b) $1 190.48 e) $1133.79 el) $1 079.80 Si se recibe un préstamo de $10 000 ahora, al 10% de interés anual, el balance al final del año 2 después de hacer pagos de $3 000 en el año 1 y $3 000 en el año 2, estará muy cerca de a) Menos de $5 000 b) $5800 e) $6100 el) Más de $7 000 El depósito anual que se necesita en el periodo que va de los años 1 a 5 para proporcionar un retiro anual de $1 000 durante 20 años, iniciando dentro de seis años, con una tasa de 10% de interés anual, está más cerca de

a) $1395 b) $1457 e) $1685 el)

3.60

3.61

3.62

3.63

EJE

Más de $1 700

El costo anual de mantenimiento de cierta máquina es de $1 000 durante los cinco primeros años, y $2 000 para los cinco años siguientes. Con una tasa de interés de 10% por año, el valor anual en los años 1 a 10 del costo de mantenimiento es el más cercano a a) $1255 b) $1302 e) $1383 d) $1426 Si dentro de diez años una compañía quiere tener $100 000 en un fondo de contingencias, la cantidad que debe depositar cada año entre los años 6 y 9, con una tasa de interés de 10% anual, está muy cerca de a) $19588 b) $20614 e) $21547 el) $22389 Si una persona comienza a ahorrar dinero por depositar $1 000 ahora y después incrementa su monto en $500 cada año hasta el año 10, la cantidad que habrá en la cuenta en este año, con una tasa de interés del 10% anual, está muy cerca de a) $21663 b) $35687 e) $43872 el) $56186 Si hoy se deposita una suma de $5 000, dentro de dos años otra de $7 000, y $2 000 cada año entre los años 6 y 10, la cantidad en este último con una tasa de interés de 10% anual, será la más cercana a a) Menos de $40 000 b) $40185 e) $42200 el) $43565

PRl

EIF naci no r gara rroll pro) fidei

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J

• •

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1. 1 2.

r

~ e l. r 1:

EJERCICIO AMPLIADO AMPLIADO EJERCICIO

EJERCICIO AMPLIADO AMPLIADO EJERCICIO PRESERVACIÓN DE DE TIERRA TIERRA PARA PARA USO USO PÚBLICO PÚBLICO PRESERVACIÓN El Fideicomiso Fideicomiso para para Terrenos Terrenos Públicos Públicos (Trust (Trust for Public Public Land) Land) es una organización organización nacional que compra compra y supervisa supervisa el mejoramiento mejoramiento de grandes grandes extensiones extensiones de terrenacional agencias gubernamentales gubernamentales en todos los niveles. niveles. Su misión misión consiste consiste en no para para las agencias garantizar la preservación preservación de los recursos recursos naturales, naturales, mientras mientras proporciona proporciona el desagarantizar necesario, aunque aunque mínimo, mínimo, para para el uso recreativo recreativo por el público. público. Todos los rrollo necesario, proyectos del fideicomiso fideicomiso son evaluados evaluados al 7% anual, y los fondos de reserva reserva del proyectos fideicomiso fideicomiso ganan ganan 7% al año. Un estado problemas de agua subterráestado del sur de Estados Estados Unidos, Unidos, con añejos añejos problemas subterránea, ha solicitado solicitado al fideicomiso fideicomiso encargarse encargarse de la compra compra de 10 000 acres de tierra tierra recarga acuífera acuífera y del desarrollo desarrollo de tres parques parques con diferentes diferentes tipos de uso en el de recarga serán adquiridos adquiridos paulatinamente paulatinamente durante durante los siguientes siguientes 5 terreno. Los 10 000 acres serán años con $4 millones millones gastados gastados inmediatamente inmediatamente en las compras. compras. Se espera espera que las cantidades cantidades de compra compra total anual disminuyan disminuyan 25% cada cada año hasta hasta el quinto quinto año y luego cesen para para este proyecto proyecto específico. específico. ciudad con 1.5 millones millones de habitantes habitantes inmediatamente inmediatamente al sureste sureste de este Una ciudad terreno depende por completo de este manto acuífero. Sus ciudadanos adquirieron una emisión de bonos bonos el año pasado gobierno de la ciudad ciudad ahora ahora tiene disponibles disponibles emisión pasado y el gobierno tierra. La tasa de interés del bono es un 7% anual efectivo. $3 millones para la compra de tierra. ingenieros civiles civiles que laboran laboran en la planeación planeación del parque parque intentan intentan comcomLos ingenieros pletar desarrollo durante durante un periodo periodo de 3 años, que inicia inicia en el año 4, cuando cuando pletar todo el desarrollo cantidad invertida invertida sea de $550 000. Se espera espera que los aumentos aumentos en los costos costos de la cantidad construcción sean de $100 000 cada cada año hasta hasta el año 6. construcción En una junta reciente, se tomaron tomaron los siguientes siguientes acuerdos: acuerdos: junta reciente,

•

Comprar ahora el incremento incremento inicial inicial del terreno. terreno. Utilizar Utilizar los fondos de la emiComprar sión de bonos bonos para para apoyar apoyar esta compra. compra. Tomar Tomar la cantidad cantidad restante restante de las reservas del fideicomiso. fideicomiso. Elevar Elevar los fondos restantes restantes del proyecto proyecto durante durante los siguientes siguientes 2 años en canticantianuales iguales. iguales. dades anuales Evaluar una alternativa alternativa de financiamiento financiamiento (sugerida (sugerida informalmente informalmente por un inEvaluar dividuo junta), en la cual el fideicomiso dividuo en la junta), fideicomiso proporcione proporcione todos los fondos, fondos, excepto excepto los $3 millones millones disponibles disponibles ahora, hasta hasta que el desarrollo desarrollo de los parinicio en el año 4. ques dé inicio

Preguntas Preguntas Utilice cálculos mano o por computadora computadora para para encontrar encontrar lo siguiente: siguiente: Utilice cálculos a mano cada uno de los 2 años, ¿cuál es la cantidad cantidad anual equivalente equivalente necesaria necesaria 1. Para cada para suministrar suministrar los fondos restantes restantes del proyecto? proyecto? para fideicomiso acordó acordó apoyar apoyar todos los costos, costos, excepto excepto los $3 millones 2. Si el fideicomiso millones procedentes de los bonos bonos ahora ahora disponibles, disponibles, determine determine la cantidad cantidad anual equivaequivacedentes aumentarse en los años 4 a 6, para para suministrar suministrar todos todos los fondos lente que debe aumentarse restantes del proyecto. proyecto. Suponga Suponga que el fideicomiso fideicomiso no cargará, cargará, ni al estado estado ni a restantes la ciudad, adicional al 7% sobre los fondos prestados. prestados. ciudad, ningún ningún interés interés adicional

127

4 o o

Tasas Tasas de de interés interés nominales nominales y efectivas efectivas En En todas las las relaciones de la la ingeniería económica hasta hasta ahora desarrolladas, la tasa tasa de interés ha ha sido un un valor constante anual. En En un alto porcentaje porcentaje de los la proyectos tasa de proyectos evaluados en la la práctica por ingenieros ingenieros profesionales, la la tasa interés compuesto diferentes a compuesto se se calcula calcula con mayor frecuencia para periodos periodos diferentes un son frecuentes. De un año; los periodos periodos semestrales, semestrales, trimestrales trimestrales y mensuales son hecho, en algunas evaluaciones de proyectos proyectos llegan a presentarse cálculos de interés compuesto compuesto semanal semanal y diario. Asimismo, en nuestras vidas personales, muchos de nuestros movimientos todo tipo tipo (hipomovimientos financieros -préstamos -préstamos de todo para vivienda vivienda,, tarjetas de crédito, crédito, automóviles, automóviles, muebles), cuentas de tecas para cheques y de ahorro, inversiones, planes de acciones, etcétera-, etcétera-, poseen tasas sas de interés compuesto compuesto para periodos periodos menores de un año. Este Este hecho requiere la de interés nominales y la introducción introducción de dos términos términos nuevos: tasas tasas de interés nominales

efectivas. efectivas.

t-

« u u

En tasas de inteinteEn este capítulo se se explicará y se se mostrará cómo aplicar las las tasas rés anto en rés nominal y efectiva ttanto en la la práctica de la la ingeniería como en situaciones de la efectila vida diaria. El El diagrama de flujo relacionado con la la tasa tasa de interés efectiva, ra va, localizado en el apéndice para para este capítulo, constituye constituye una referencia pa para las así como para las las secciones las secciones sobre las las tasas tasas nominales y efectivas, así relacionadas con el cálculo continuo capítulo también también se se continuo del interés. En En este capítulo llevan ivalencia de frecuencias de capitalización cap italización en comllevan a cabo cálculos de equ equivalencia b inación con frecuencias de flujo de efectivo binación efectivo.. El io de caso El estud estudio caso incluye una una evaluación de diferentes diferentes planes de financiamiento miento para para la la compra de una una vivienda.

e

-

-

-

-

-

-

OBJETIVOS APRENDIZAJE OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Objetivo general: general: Efectuar Efectuar cálculos de de naturaleza naturaleza económica económica de interés y flujos Objetivo de tasa tasa de de interés flujos de de efectivo efectivo para para periodos periodos de de capitalización capitalización diferentes diferentes a un año. año.

Este Este capítulo capítulo ayudará al lector lector a:

--------_ ....•II Nominal Nominal y efectiva efectiva

1. Comprender fórmu las de las yefecComprender las las fórmulas las tasas de interés interés nomina nominall yefectiva.

de interés interés efectiva efectiva anual anual Tasa de

2. icar la fórmu la de la tasa de interés anual anua l efectiva. efectiva. 2. Deducir Deducir y apl aplicar la fórmula

3. Ca Calcular tasa de interés efectiva periodo. efectiva para cualquier cua lqu ier periodo. 3. lcu lar la tasa

de interés interés /efectiva efectiva Tasa de

Comparación entre entre PP y PC Comparación

4. Determinar Determinar e ell método método correcto 4. correcto para realizar cálculos cálcu los de equivaequivadiferentes periodos periodos de pago pago y de capitalización. lencia para diferentes cap italización.

Pagos únicos: PP ~ PC Pagos

5. Hacer cálcu cálculos periodos de pago pago iguales o 5. los de equivalencia equivalencia para periodos periodo de capitalización mayores que el periodo capitalización cuando cuando sólo se se presencantidades únicas. tan cantidades

Serie: PP ~ PC Serie:

I

6. Efectuar cálculos de equivalencia equivalencia cuando cuando se se presenta una serie gradiente o uniforme uniforme para periodos periodos de pago pago iguales o mayores gradiente periodo de capitalización. que el periodo cap italización. Realizar cálculos de equivalencia periodos de pago pago menomeno7. Realizar equivalencia para periodos

Único y en serie: serie: PP < < PC Único

res que el el periodo periodo de capitalización. res capitalización. utilizar 8. Calcular y uti lizar la tasa de interés efectiva efectiva para la capitalización capitalización

Capitalización continua continua Capitalización

continua. continua.

----Tasas variables variables

II

Considerar tasas de interés que varían con el tiempo 9. Considerar tiempo cuando cuando se se cálculos llevan a cabo cá lculos de equivalencia. equ iva lencia .

130

CAPÍTULO 4 CAPÍTULO

4.1

Tasas de interés nominales nominales y y efectivas efectivas Tasas de interés

FÓRMULAS FÓRMULAS PARA LAS TASAS DE INTERÉS INTERÉS NOMINAL NOMINAL Y EFECTIVA EFECTIVA

Ob: sici

En aprendimos que que la diferencia diferencia fundamental fundamental entre entre el interés interés simple simple y En el capítulo capítulo 1 aprendimos el interés interés compuesto compuesto consiste consiste en que que el interés interés compuesto compuesto incluye incluye el interés interés sobre sobre el interés periodo anterior, interés ganado ganado en el periodo anterior, mientras mientras que que el interés interés simple simple no no lo incluye. incluye. Aquí Aquí analizaremos analizaremos las tasas de interés interés nominal nominal yy efectiva, efectiva, que que implican implican la misma misma relación relación básica. básica. En En este este caso caso la diferencia diferencia estriba estriba en en que que los los conceptos conceptos de de nominal nominal y de de efectivo efectivo se deben deben aplicar aplicar cuando cuando se calcula calcula el el interés interés compuesto compuesto más más de de una una vez tasa de % mensual, vez al año. año. Por Por ejemplo, ejemplo, si una una tasa de interés interés es de de 1 1% mensual, deben deben tomarse tomarse en en cuenta cuenta los los términos términos nominal nominal y efectivo efectivo para para las las tasas tasas de de interés. interés. Comprender emplear correctamente Comprender y emplear correctamente las las tasas tasas de de interés interés efectivas efectivas es imporimportante para la práctica práctica de personales. Los tante para de la ingeniería ingeniería y de las las finanzas finanzas personales. Los proyectos proyectos de de ingeniería, ingeniería, según según se estudiaron estudiaron en en el capítulo capítulo 1, se financian financian a través través de de deuda deuda y de propio. Los de capital capital propio. Los intereses intereses por por préstamos, préstamos, hipotecas, hipotecas, bonos bonos y acciones acciones se babasan periodos más san en en tasas tasas de interés interés compuesto compuesto para para periodos más frecuentes frecuentes que que un un año. año. Un Un estudio estudio de de ingeniería ingeniería económica económica debe debe tomar tomar en en cuenta cuenta esos esos efectos. efectos. En En nuestras nuestras finanzas nuestros desembolsos finanzas personales, personales, administramos administramos la mayoría mayoría de de nuestros desembolsos e ingresos ingresos de periodos distintos los de efectivo efectivo para para periodos distintos a un un año. año. De De nuevo, nuevo, se presenta presenta el efecto efecto de de los cálculos un año. cálculos de de interés interés compuesto compuesto para para periodos periodos más más frecuentes frecuentes que que un año. Primero Primero analicemos una tasa de de interés interés nominal. nominal. analicemos una tasa

La

tasa con efe: non mis cias

La tasa de interés considera la interés nominal, nominal, r, es una una tasa tasa de interés interés que no considera capitalización de intereses. intereses. Por Por definición, definición, capitalización r == tasa por periodo periodo X número periodos tasa de interés interés por número de periodos

[4.1]

Una para cualquier periodo: 1 año, Una tasa tasa nominal nominal r puede puede fijarse fijarse para cualquier periodo: año, 6 meses, meses, 1 trimestrimestre, 1 mes, mes, 1 semana, semana, 1 día, día, etcétera. etcétera. La La ecuación ecuación [4.1] [4.1] se aplica aplica para para calcular calcular el tre, valor equivalente de periodo menor ejemplo, la tasa valor equivalente de r para para cualquier cualquier periodo menor o mayor. mayor. Por Por ejemplo, tasa nominal de de r = == 1.5% 1.5% mensual mensual es la misma misma que que cada cada una una de de las las siguientes siguientes tasas: nominal tasas: == 1.5% 1.5% mensual mensual x 24 meses meses r= = periodo de 2 años == 36% 36% por por un un periodo años

(mayor (mayor que que 1 mes) mes) tiem

== 1.5% 1.5% mensual mensual x 12 meses meses = == 18% 18% anual anual

=

(mayor (mayor que que 1 mes) mes)

== 1.5% 1.5% mensual mensual x 6 meses meses = = = 9% 9% por por medio medio año año

(mayor (mayor que que 1 mes) mes)

= 1.5% 1.5% mensual mensual x 3 meses meses = = = 4.5% 4.5% trimestral trimestral

(mayor (mayor que que 1 mes) mes)

= 1.5% 1.5% mensual mensual x 1 mes mes = 1.5% mensual mensual = 1.5%

(igual (igual a 1 mes) mes)

= 1.5% 1.5% mensual mensual x 0.231 0.231 mes mes = = = 0.346% 0.346% semanal semanal

(menor (menor que que 1 mes) mes)

po ni calc nom

Por cálc Esto tiem

------------------------------------------------------------------------------------~ SECCIÓN SECCIÓN 4.1

Fórmulas para para las tasas tasas de interés nominal y efectiva Fórmulas interés nominal efectiva

Observe ninguna de estas tasas nominales nominales menciona menciona la frecuencia Observe que ninguna frecuencia de la compocomposición. Todas ellas tienen tienen la forma: "r% por periodo periodo de tiempo tiempo t". t". Ahora consideremos tasa de interés Ahora consideremos una tasa interés efectiva. efectiva.

La tasa real real aplicable un periodo periodo de tiempo tiempo La tasa de interés interés efectiva efectiva es la tasa aplicable a un establecido. La La tasa interés efectiva efectiva toma cuenta la acumulación acumulación del tasa de interés toma en cuenta establecido. interés durante durante el periodo correspondiente. Por periodo de la tasa tasa nominal nominal correspondiente. Por lo geneinterés ral, se expresa tasa anual pero se puede puede utilizar utilizar cualquier ral, expresa como tasa anual efectiva efectiva ia' ia' pero cualquier periodo como base. base. periodo La frecuencia frecuencia de capitalización capitalización de la tasa efectiva efectiva se incluye incluye en el enunciado enunciado de la tasa nominal. frecuencia de capitalización capitalización no se menciona explícitamente, se nominal. Si la frecuencia menciona explícitamente, considera misma que el periodo periodo de r, tasas nominal nominal y considera que es la misma r, en cuyo caso caso las tasas efectiva poseen el mismo mismo valor. Los siguientes efectiva poseen siguientes enunciados enunciados corresponden corresponden a tasas nominales; sin embargo, valores de las tasas de interés nominales; embargo, los valores interés efectivas efectivas no serán serán los mismos durante periodos, como mismos durante todos los periodos, como consecuencia consecuencia de las diferentes diferentes frecuen frecuen-capitalización. cias de capitalización. mensualmente 4% anual, compuesto compuesto mensualmente

(composición (composición más frecuente frecuente que el periodo periodo establecido) establecido)

12 % anual, compuesto trimestralmente compuesto trimestralmente

(composición (composición más frecuente que establecido) el periodo periodo establecido)

compuesto diariamente diariamente 9% anual, compuesto

(composición más frecuente frecuente que (composición establecido) el periodo periodo establecido)

cuatrimestral, compuesto compuesto mensualmente 3% cuatrimestral, mensualmente

(composición más frecuente que (composición establecido) el periodo periodo establecido)

semestral, compuesto compuesto semanalmente semanalmente 6% semestral,

(composición más frecuente frecuente que (composición establecido) el periodo periodo establecido)

compuesto diariamente diariamente 3% trimestral, trimestral, compuesto

(composición más frecuente que (composición establecido) el periodo periodo establecido)

Observe que estas tasas hacen frecuencia de capitalización. capitalización. Todas Observe hacen mención mención de la frecuencia tienen compuesto m-mente". corresperiodo de tiempo tiempo t,t, compuesto m-mente". La m correstienen la forma: "r% por periodo ponde semana, o alguna alguna otra otra unidad fórmula para ponde a un mes, trimestre, trimestre, semana, unidad de tiempo. tiempo. La fórmula para calcular el valor interés efectiva efectiva para cualquier enunciado enunciado de tasa calcular valor de la tasa tasa de interés para cualquier tasa nominal efectiva, se estudia estudia en la siguiente siguiente sección. sección. nominal o efectiva, Para tomar cuenta debidamente debidamente el valor dinero en el tiempo, Para tomar en cuenta valor del dinero tiempo, todas todas fórmulas de interés, interés, factores, factores, valores valores tabulados tabulados y relaciones relaciones de hoja hoja de las fórmulas cálculo deben deben incluir incluir la tasa interés efectiva. efectiva. cálculo tasa de interés determinar la tasa interés efectiva efectiva antes de realizar Por lo tanto, es primordial primordial determinar tasa de interés realizar los cálculos del valor dinero en el tiempo tiempo para estudio de ingeniería ingeniería económica. económica. cálculos valor del dinero para un estudio especialmente cierto cierto cuando cuando se presentan efectivo en intervalos intervalos de Esto es especialmente presentan flujos de efectivo tiempo distintos distintos de un año. tiempo

131 131

132

CAPÍTULO CAPÍTULO 4

Tasas de interés nominales nominales y efectivas efectivas Tasas de interés

Las siglas RPA se utilizan utilizan en muchas situaciones Las siglas TPA y RPA en muchas situaciones financieras financieras individuales individuales en tasas de La tasa tasa porcentual porcentual anual en lugar lugar de de las las tasas de interés interés nominal nominal y efectiva. efectiva. La anual (TPA) (TPA) es que la de interés anual (RPA) (RPA) es la la misma misma que la tasa tasa de interés nominal, nominal, y el rendimiento rendimiento porcentual porcentual anual se utiliza en lugar de tasa de Las definiciones se utiliza en lugar de la la tasa de interés interés efectiva. efectiva. Las definiciones e interpretaciones interpretaciones para estos términos. de las mismas mismas para de este este capítulo capítulo son son las estos términos. base de hay dos unidades de tiempo asoSobre Sobre la la base de estas estas descripciones, descripciones, siempre siempre hay dos unidades de tiempo asoun enunciado relativo a una una tasa tasa de interés. ciadas ciadas con con un enunciado relativo de interés.

,

Periodo de de tiempo, periodo en Ésta es Periodo tiempo, es es el periodo en el que que se se expresa expresa el interés. interés. Ésta es la la t del del enunciado r% por por periodo periodo de tiempo t; por por ejemplo, ejemplo, 11% % mensual. mensual. La La enunciado de r% de tiempo unidad de tiempo de un un año por mucho más común, unidad de tiempo año es por mucho la la más común, de de ahí ahí que que se se suponga no se especifica unidad. suponga así así cuando cuando no especifica otra otra unidad. Periodo de capitalización capitalización o composición composición (pe), unidad de tiempo tiempo más más corta Periodo (PC), es la la unidad corta la que paga o gana gana interés, interés, el cual por el término término durante durante la que se paga cual se identifica identifica por capitalización en el enunciado enunciado de la tasa, ejemplo 8% 8% capitalización (o composición*) composición*) en tasa, por por ejemplo anual compuesto mensualmente. mensualmente. Si no no se especifica, anual compuesto especifica, entonces entonces se supone supone que que es año. de 1 año. Frecuencia de composición, número de veces que la capitalización Frecuencia composición, es el número de veces que la capitalización m ocurre ocurre dentro tiempo t.t. Si los periodos periodos de pe y de dentro del del periodo periodo de de tiempo Si los de capitalización capitalización PC de tiempo t son mismos, la la frecuencia por ejemplo tiempo son los los mismos, frecuencia de de capitalización capitalización es es 1, por ejemplo 1% mensual mensual compuesto mensualmente. 1% compuesto mensualmente.

c.hr

i 'd~:

tasa de mensualmente. Tiene Tiene un un periodo periodo de Considere Considere la la tasa de 8% 8% anual, anual, capitalizable capitalizable mensualmente. de tiempo t de un periodo periodo de pe de mes, y una una frecuencia tiempo de 1 año, año, un de capitalización capitalización PC de 1 mes, frecuencia de de m de veces por por año. Una tasa tasa de por año, de 12 veces año. Una de 6% por año, capitalizable capitalizable en en forma forma semanal, semanal, tiene tiene t= = 1 año, pe = = 1 semana, = 52, base en por año. año, PC semana, y m = 52, con con base en el estándar estándar de de 52 52 semanas semanas por año. En capítulos todas las tasas de interés tenían tenían valores valores de un En capítulos anteriores, anteriores, todas las tasas de interés de t y m de de un año. Esto significa las tasas tasas eran nominales, en virtud de año. Esto significa que que las eran tasas tasas efectivas efectivas y nominales, en virtud de que que se se utilizaba la la misma misma unidad unidad de un año. tasa efectiva utilizaba de un año. Se Se acostumbra acostumbra expresar expresar la la tasa efectiva sobre sobre la misma base base de tiempo que periodo de La tasa tasa efectiva la misma de tiempo que el periodo de composición. composición. La efectiva corresponcorrespondiente por d--etermina mediante fórmula diente por PC PC se d--etermina mediante la la fórmula

r% por por periodo tiempo t r% periodo de de tiempo r -. .,, = = ni períodos composicion por ni m periodos de composicion por t

[4.2] [4.2]

=

=

Tasa por !le PC = Tasa efectiva efectiva por =.

Como mensualmente; así, Como ejemplo, ejemplo, suponga suponga que que r = 9% 9% anual, anual, compuesto compuesto mensualmente; así, m = 12. La ecuación aplica para para obtener tasa efectiva menLa ecuación [4.2] [4.2] se se aplica obtener la la tasa efectiva de 9%/12 9%/12 = 0.75% 0.75% mensual, con un un periodo periodo de mensual. Es Es importante importante observar sual, con de composición composición mensual. observar que que el camcambio del periodo fundamental no altera periodo de bio del periodo fundamental t no altera el periodo de composición, composición, que que en en este este caso caso es un un mes. mes.

* Las Las expresiones capitalizable o compuesto compuesto se usan en forma indistinta en expresiones capitalizable se usan forma indistinta en español. español. NT. EJEMPLO EJEMPLO

4.1 4.1

. listan las las diferentes tasas de préstamo bancario bancario para para tres tres proyectos proyectos A continuación continuación se listan diferentes tasas de préstamo distintos equipo de electricidad. Determine cada inciso distintos de de equipo de generación generación de electricidad. Determine en cada inciso la la tasa tasa efectiefectiva considerando considerando el periodo periodo de de composición. composición. va

A ex

SECCIÓN 4.1

a) b) e)

Fórmulas para las tasas de interés nominal y efectiva

133

9% anual, compuesto trimestralmente. 9% anual, compuesto mensualmente. 4.5% por 6 meses, compuesto semanalmente.

Solución Aplique la ecuación [4.2] para calcular la tasa efectiva por PC para diferentes frecuencias de composición. La gráfica adjunta indica la distribución de la tasa de interés en el tiempo.

Periodo de composición

m

Tasa efectiva por PC

Trimestre

4

2.25%

,.."Io

nominal por t

a)

9% anual

b)

9% anual

Mes

12

0.75%

e)

4.5% por 6 meses

Semana

26

0.173%

Distribución a lo largo del periodo t

2.25%

2.25%

2.25%

2.25%

2

3

4

A veces no es evidente si la tasa establecida es nominal o efectiva. Básicamente existen tres formas de expresar las tasas de interés, como lo indica la tabla 4.1. La TABLA

4.1

Diversas formas de expresar las tasas de interés nominal y efectiva

Formato del enunciado de la tasa Tasa de interés nominal establecida, periodo de composición establecido Tasa efectiva establecida

Tasa de interés establecida; no se establece el periodo de composición

Ejemplos

del enunciado 8% anual compuesto trimestralmente Tasa efectiva de 8.243% anual con periodo de composición trimestral 8% anual o 2% trimestral

¿Qué se dice de la tasa efectiva? Se determina la tasa efectiva La tasa efectiva se utiliza directamente La tasa es efectiva sólo para el periodo establecido, la tasa efectiva debe calcularse para otros periodos

134 134

CAPÍTULO 4 CAPÍTULO

interés nominales nominales y efectivas efectivas Tasas de interés

columna de la derecha derecha contiene contiene el enunciado enunciado relativo relativo a la tasa de interés interés efectiva. efectiva. columna Para el primer primer formato, formato, no hay enunciado enunciado para para las tasas nominal nominal o efectiva; efectiva; aunque aunque Para periodo de composición composición éstá está definido. definido. Debe Debe calcularse calcularse la tasa efectiva efectiva (lo cual el periodo analiza en las siguientes siguientes secciones). secciones). En el segundo segundo formato, formato, la tasa establecida establecida se se analiza identifica como efectiva efectiva (también (también se le denomina denomina RPA), así que la tasa se utiliza utiliza identifica directamente en los cálculos. directamente cálculos. tercer formato, formato, no se identifica identifica la frecuencia frecuencia de composición; composición; por ejemejemEn el tercer dicha tasa es efectiva efectiva exclusivamente exclusivamente durante durante el periodo plo, 8% anual. En tal caso, dicha periodo composición) de un año. Para cualquier cualquier otro periodo, periodo, debe calcularse calcularse la tasa (de composición) efectiva. efectiva.

4.2 4.2

EFECTIVAS ANUALES ANUALES TASAS DE INTERÉS EFECTIVAS

sección sólo se estudiarán estudiarán las tasas de interés interés efectivas efectivas anuales. anuales. Por lo En esta sección tanto, el periodo periodo fundamental fundamental t será de un año, y el periodo periodo de composición composición puede puede tanto, cualquier periodo periodo menor menor a un año. Por ejemplo, ejemplo, una tasa nominal nominal de 6% anual anual ser cualquier compuesta trimestralmente trimestralmente equivale equivale a una tasa efectiva efectiva de 6.136% 6.136% anual. Hasta Hasta compuesta empleadas en la industria industria y los negocios. negocios. Las literales literales ahora éstas son las tasas más empleadas utilizadas para para representar representar las tasas de interés interés nominal nominal y efectiva efectiva son las siguientes: siguientes: utilizadas

Cons nes 1 anuú

= tasa de interés interés nominal nominal anual r=

número de periodos periodos de capitalización capitalización o composición composición por año m == número = tasa de interés interés efectiva efectiva por periodo periodo de composición composición (PC) = = r/m r/m i=

Así, quier

i, = = tasa de interés interés efectiva efectiva anual ia

COID¡

\ ,

Como se señaló señaló antes, el análisis análisis de las tasas de interés interés nominal nominal y efectiva efectiva es Como análogo al del interés interés simple simple y compuesto. compuesto. Como en el caso del interés interés compuesto, compuesto, análogo efectiva en cualquier cualquier punto punto del año incluye incluye (capitaliza) (capitaliza) la tasa de una tasa de interés interés efectiva interés de todos los periodos periodos de composición composición previos previos del año. Por lo tanto, la deducdeducinterés fórmula para la tasa de interés interés efectiva efectiva es semejante semejante a la lógica lógica que se ción de una fórmula establecer la relación = P(1 + iy. i)". sigue para establecer relación del valor futuro F = valor futuro F al final de 1 año es el principal intereses acumulaacumulaEl valor principal P más los intereses P(i) durante durante el año. Puesto Puesto que el interés interés se puede puede capitalizar capitalizar varias veces dudos P(i) reemplaza i con la tasa anual efectiva efectiva ia•• Ahora Ahora escribamos escribamos la fórmufórmurante el año, se reemplaza la para para F al final de 1 año. año.

cono efect.

Ader antes

Esta, de tie

[4.3]

indica la figura 4.1, la tasa i por PC debe capitalizarse capitalizarse durante durante todos los m Como lo indica periodos obtener el efecto efecto total de la capitalización capitalización al final del año. Esto signisigniperiodos para para obtener también se representa representa de la siguiente siguiente manera: fica que F también F= = P(1 + i)m i)m

[4.4]

Jac est al]

SECCIÓN SECCIÓN 4.2 4.2

Tasas Tasas de interés interés efectivas efectivas anuales anuales

P(l P(l +

om == P(l

Fig ura 4.1 Figura Cálculo Cálculo del del valor valor futuro futuro a una una tasa tasa i, capitalizada capitalizada m veces veces en un año. año.

+ ia))

om-I

P(l + 0", - 1

P(l -2 P(l + 0", i)'"-2 P(l + i)3 i)3

Cantidades Cantidades en valor valor futuro futuro

P(l P(l + i)2 P(l + i) i)

P

I 2

3

'fr fr

7./

Tasa efectiva efectiva i por I Tasa por

- ---L-- --'--- -.L--

m-2 Periodo de capitalización capitalización Periodo

m-l

---'

periodo de capitalIzaCión capitalización penado de

m

Considere el valor valor F para valor presente Igualando estas dos expresioexpresioConsidere para un valor presente P de $1. Igualando nes para sustituyendo P por $1, se obtiene obtiene la fórmula fórmula para interés para F y sustituyendo para la tasa de interés anual efectiva efectiva i". i{l. anual 1 + i, (1 + i)1II 1 fa = (1 i, (1 (1 + i)1II -- 1 1 ia

= =

[4.5]

ecuación [4.5] [4.5] sirve para calcular la tasa de interés interés anual efectiva efectiva para Así, la ecuación para calcular para cualquier número de periodos composición cuando cuando i es la tasa para quier número periodos de composición para un periodo periodo de composición. composición. efectiva ia i, Y Y la frecuencia frecuencia de composición composición m tienen tienen valores valores Si la tasa anual efectiva conocidos, la ecuación ecuación [4.5] [4.5] se resuelve resuelve para determina la tasa de interés interés conocidos, para i y se determina efectiva por composición. efectiva por periodo periodo de composición. [4.6] [4.6]

Además, es posible determinar la tasa anual anual nominal definición de i nominal r utilizando utilizando la definición Además, posible determinar r/m. antes dada, es decir, i = rlm. r% anual anual r%

= (i% porPCjínúm, PCs por año) = = (i)(m) = porPC)(núm. de PCs por año)

[4.7J

expresión es la misma misma que la ecuación ecuación [4.1], donde donde PC representa Esta expresión representa el periodo periodo tiempo. de tiempo. EJEMPLO

4.2

135 135

_~_

Jacki obtuvo obtuvo una nueva tarjeta tarjeta de crédito crédito con con un nacional (MBNA), (MBNA), con con una tasa Jacki una nueva un banco banco nacional una tasa establecida de 18% 18% anual anual y un composición mensual. mensual. Para Para un saldo de $1 000 000 establecida un periodo periodo de composición un saldo del año, año, calcule calcule la tasa tasa anual anual efectiva efectiva y el adeudo adeudo total total al banco MBNA desdesal principio principio del banco MBNA

136

CAPÍTULO 4

Tasas de interés nominales yefectivas yefectivas

pués de un año, tomando en cuenta el hecho de que no se efectúa ningún pago durante el año. Solución Solución Hay 12 periodos de composición composición por año. Por lo tanto, m = = 12 e i == 18%/12 == 1.5% mensual. Si el saldo de $1 000 no se reduce durante el año, se aplica la ecuación [4.5] y enseguida la ecuación [4.3] para obtener la información enseguida información necesaria necesaria para Jacki.

ia = 0.015)12-- 1 = 0.19562 ía =(1(1 + 0.015)12 =1.19562 - 1 ==0.19562 F

== $1 000(1.19562) 000(1.19562) ::: ::::$1 $1 195.62

Jacki pagará utilización del dinero pagará 19.562%, o $195.62 más los $1 000 del saldo, por la utilización del banco durante el año.

En la tabla capitalizada durante durante diferentes diferentes tabla 4.2 se utiliza utiliza la tasa tasa de 18% anual, capitalizada periodos (anuales a semanales), semanales), para determinar las tasas interés anuales anuales efectiefectiperiodos (anuales para determinar tasas de interés vas durante durante estos periodos composición diversos. diversos. En cada cada caso, la tasa periodos de composición tasa del perioperiocomposición i se aplica aplica m veces durante el año. Mediante ecuación [4.5], la do de composición veces durante Mediante la ecuación tabla efectiva para frecuentabla 4.3 resume resume la tasa anual efectiva para tasas tasas nominales nominales utilizadas utilizadas con frecuencálculos se utiliza semanas y 365 días por cia. En los cálculos utiliza un total de 52 semanas por año. En la sección 4.8 se analizan analizan los valores columna correspondiente composición sección valores de la columna correspondiente a la composición continua. continua. Cuando se aplica aplica la ecuación ecuación [4.5] el resultado entero. Cuando resultado normalmente normalmente no es un entero. Por consiguiente, consiguiente, un factor factor de ingeniería económica no puede obtenerse directadirectaingeniería económica puede obtenerse mente factores de interés. alternativas para determinar mente de las tablas tablas de factores interés. Existen Existen tres alternativas para determinar el valor valor del factor.

• • •

lleva a cabo una lineal entre entre dos tasas tabuladas (según se Se lleva una interpolación interpolación lineal tabuladas (según indica sección 2.4). indica en la sección fórmula del factor factor sustituyendo sustituyendo i por Se utiliza utiliza la fórmula por ia•• crea una cálculo utilizando funciones, según según lo Se crea una hoja hoja de cálculo utilizando ia o i = r/m en las funciones, requiera función de la hoja cálculo. requiera la función hoja de cálculo.

En los ejemplos ejemplos resueltos emplea el segundo segundo método resueltos a mano mano se emplea método y el último último en las soluciones por computadora. soluciones por computadora.

"~,i'~f:I "'IiIIT1JV1,:!!'II[' "11I1:1;11I"'. Joshua trabaja para Watson Bio, una compañía compañía de ingeniería ingeniería genética de I&D. Él acaba de recibir un bono de $10 000 y desea invertir el dinero para los cinco años siguientes. Joshua vio un Ad en el sitio web de MBNAAmerica MBNAAmerica Bank Bank sobre las tasas de interés de los certificados certificados de depósito (véase figura 4-2). Él piensa piensa invertir invertir los $10 000 en un CD considera invertir todo a 5 años para la preservación preservación de su capital. En forma alternativa, considera efectiva anual en acciones para los dos años siguientes, en los que estima ganar una tasa efectiva de 10%. Una vez que haya obtenido este rendimiento rendimiento mayor por adelantado, entonces se

4.2

9%

2

4

12

52

Semestral

Trimestral

Mensual

Semanal

0.34615%

1.5%

4.5%

18%

Tasa por periodo de capitalización,

Anual

Frecuencia de capitalización por año, m

i

m

3

2

en cada uno~

4.5%

4.5%

2

9%

4

4.5%

WPDJlro11]U

~O.34615%

4.5%

9%

18%

Distribución de i durante los periodos de capitalización del año

r = 18% anual con frecuencia de capitalización

Cálculo de tasas de interés anuales efectivas aplicando la ecuación [4.5]

Periodo de capitalización

TABLA

=

=

18.81%

18%

(1.0034615)52 - 1 = 19.684%

(1.015)12 - 1 = 19.562%

(1.045)4 - 1 = 19.252%

(1.09)2-1

(1.18)1-1

Tasa anual efectiva, i.

S'

'J>

(;'

po

e

po ;:l

'J>

po

~.

~ o

(1)_ 'J> (1)

e> ...,

(1)

o-

'J>

po

'J>

~

iv

.¡:,

Z

O

o o >-<

t:d

CIl

138

CAPÍTULO

TABLA

'1

4.3

Tasas de interés nominales y efectivas

Tasas de interés anuales efectivas para ciertas tasas nominales

Tasa nominal r%

Semianual (m = 2)

0.25 0.50 1.00 1.50

0.250 0.501 1.003 1.506 2.010 3.023 4.040 5.063 6.090 7.123 8.160 9.203 10.250 12.360 15.563 18.810 21.000 26.563 32.250 44.000 56.250

2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 18 20 25 30 40 50

4

Trimestral (m = 4) 0.250 0.501 1.004 1.508 2.015 3.034 4.060 5.095 6.136 7.186 8.243 9.308 10.381 12.551 15.865 19.252 21.551 27.443 33.547 46.410 60.181

Mensual (m = 12)

Semanal (m = 52)

Diaria (m = 365)

0.250 0.501 1.005 1.510 2.018 3.042 4.074 5.116 6.168 7.229 8.300 9.381 10.471 12.683 16.076 19.562 21.939 28.073 34.489 48.213 63.209

0.250 0.501 1.005 1.511 2.020 3.044 4.079 5.124 6.180 7.246 8.322 9.409 10.506 12.734 16.158 19.684 22.093 28.325 34.869 48.954 64.479

0.250 0.501 1.005 1.511 2.020 3.045 4.081 5.126 6.180 7.247 8.328 9.417 10.516 12.745 16.177 19.714 22.132 28.390 34.968 49.150 64.816

Continua (m

=

00;

er

-

1)

0.250 0.501 1.005 1.511 2.020 3.046 4.081 5.127 6.184 7.251 8.329 9.417 10.517 12.750 16.183 19.722 22.140 28.403 34.986 49.182 64.872

volvería más conservador y colocaría la cantidad total en un CD para los tres años finales. Se pide que el lector ayude a Joshua con lo siguiente: a)

b)

Determine el periodo de capitalización para los CD a 3 y 5 años, ya que esta información no se incluye en el sitio web. Obténgalo tan exacto como sea posible al PRA redondeado a dos decimales. Determine la cantidad total que tendrá después de cinco años para las dos opciones que analiza.

Solución a) Se menciona la tasa de interés anual pero no el periodo de capitalización o la frecuencia. Sustituya diferentes valores de m en la ecuación [4-5] para obtener el valor t, correspondiente (use la ecuación [4-12] para capitalización continua), compárela con la tasa PRA que se menciona en el sitio web (véase figura 4-2). De los resultados que se aprecian más abajo y con un redondeo a dos decimales para las tasas PRA estimadas, al parecer el banco aplica una capitalización mensual a sus tasas de interés actualmente establecidas.

SECCIÓN 4.2

Tasas de interés efectivas anuales

139

~ •• :e••• I

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Balance

Término a 36 meses mínimo de apertura:

Enviar un formato Cuentas CD MBNA Depósito mínimo de apertura: Términos (meses)

9 12 18 24 30 36 48

6a<9 a < 12 a < 18 a < 24 a < 30 a < 36 a < 48 a < 60 60

$10000

Abra una cuenta: de cuenta

nueva,

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Tasa de interés actual

Porcentaje de rendimiento anual (PRA)

1.74% 1.89% 2.38% 2.72% 2.86% 3.20% 3.40%

1.75% 1.90% 2.40%

3.83% 4.36%

3.90% 4.45%

Kit

Imprimir el formato de cuenta nueva (formato PDF) llame a MBNA al 1-800-900-6693 (mencione el código HA04U) Usuarios TTY. llamar al 1-800-215-4549 llamadas por cobrar, marque el (302) 457-0719

2.75% 2.90% 3.25% 3.45%

'" Los PRA del CD para los términos que aparecen arriba son válidos para el periodo entre 06/07/04 y 06/13/04, Y suponen que el interés permanece en la cuenta hasta su madurez. El balance mínimo de apertura es de $10 000 para todos los términos que se muestran arriba. Los retiros y tarifas pueden reducir las ganancias de la cuenta. Podría imponerse una penalización por un retiro temprano del capital principal del CD.

Figura 4.2 Ad en Internet que muestra las tasas de interés de certificados de depósito. El Ad que se ilustra es una muestra similar a otro que apareció el 11 de junio de 2004 en el sitio web de MBNA America Bank en la dirección www.mbna.corn. Las tasas que aparecen no son las actuales.)

Para un La tasa término de de interés inversión de: 3 años

5 años

3.40%

4.36%

Si la frecuencia de capitalización m establecida es:

La tasa efectiva anual t; o PRA estimada. es:

El periodo más probable de capitalización usado por el banco es:

4 trimestres 12 meses 52 semanas

3.444 3.453 3.457

Mensual

4 trimestres 12 meses 52 semanas Continuo

4.432 4.448 4.455 4.456

Mensual

140

CAPÍTULO CAPÍTULO 4

b)

Tasas Tasas de interés interés nominales nominales y efectivas efectivas

Opción Opción 1: CD CD a 5 años. años. Use Use la tasa tasa PRA PRA de 4.45% 4.45% (véase (véase figura figura 4-2) 4-2) en el factor factor FIP o en la función función FV de Excel. Excel. FIP F

= $10 $10 000(FIP,4.45%,5) 000(FIP,4.45%,5) = = 10 000(1.2432) 000(1.2432) = = $12 $12 432 432 =

Opción Opción 2: 2 años años en acciones acciones yy después después 3 años años en un CD. Ésta Ésta es una una opción opción de mayor incierto. Use mayor riesgo, riesgo, ya que que el rendimiento rendimiento sobre sobre las acciones acciones es incierto. Use 10% 10% anual anual para las para las acciones, acciones, que que es la tasa tasa efectiva efectiva anual anual estimada, estimada, seguida seguida por por 3 años años con con la tasa anual anual efectiva efectiva del del CD CD a 36 meses meses de 3.45% 3.45% (es improbable improbable que que la tasa tasa del del CD tasa CD permanezca permanezca en este este nivel nivel por por más más de dos dos años, años, pero pero ésta ésta es la mejor mejor estimación estimación disponible disponible ahora). ahora). $10 000(FIP,1O%,2)(FIP,3.45%,3) 000(FIP,10%,2)(FIP,3.45%,3) F = $10 10000(1.21)(1.1071) $13 396 396 = 10000(1.21)(1.1071) = $13 estima que que la segunda segunda opción opción gane gane $964 $964 más más durante durante los los cinco cinco años. años. Se estima

Comentario Comentario Las Las tasas tasas de de interés interés y los los periodos periodos de capitalización capitalización que que se usan usan en este este ejemplo ejemplo sólo sólo son son representativos; cambian cambian con con frecuencia frecuencia y varian varían de una una institución institución a otra. otra. Revise Revise el sitio sitio representativos; web de cualquier cualquier institución institución financiera financiera que que ofrezca ofrezca servicios servicios bancarios bancarios por por Internet Internet para para web que que aprenda aprenda más más acerca acerca de las las tasas tasas actuales. actuales.

Todas las situaciones situaciones económicas económicas analizadas analizadas en esta sección implican implican tasas efecnominales y flujos de efectivo efectivo anuales. anuales. Cuando Cuando los flujos de efectivo efectivo no son tivas y nominales anuales, anuales, es necesario necesario descartar descartar el supuesto supuesto anual del enunciado enunciado de la tasa de interés: interés: "r% anual con frecuencia frecuencia de composición composición m-mente". m-mente". Se trata del tema tema de la siguiente guiente sección. sección.

4.3 4.3

TASAS DE INTERÉS EFECTIVAS EFECTIVAS PARA CUALQUIER CUALQUIER PERIODO PERIODO

Ya se presentaron presentaron los conceptos conceptos de tasas de interés interés anual efectiva efectiva y nominal. nominal. Ahora, Ahora, además además del periodo periodo de composición composición (PC), es necesario necesario considerar considerar la frecuencia frecuencia de los pagos pagos o ingresos; ingresos; es decir, el periodo periodo de transacción transacción de flujo de efectivo. efectivo. Por sencillez, periodo de pago pago (PP). Es importante sencillez, éste recibe recibe el nombre nombre de periodo importante distinguir distinguir entre entre el periodo periodo de composición composición y el periodo periodo de pago, ya que muchas muchas veces veces no coinciden. coinciden. Por ejemplo, ejemplo, si una compañía compañía deposita deposita dinero dinero cada mes en una una cuenta cuenta que da rendimientos rendimientos con una tasa de interés interés nominal nominal de 14% anual, con un periodo periodo de composición composición semestral, semestral, el periodo periodo de pago es de un mes, mientras mientras que el perioperiodo de composición composición es de 6 meses (figura (figura 4.3). 4.3). Asimismo, Asimismo, si una persona persona deposita deposita

dine perii

que utili: anus tasa

done

En h efect la ob cuale que s tes 2

•

Vi: tes ab:

ev,

gel vei me inf

SECCIÓN 4.3 SECCIÓN 4.3

r

= nominal 14% anual; semestralmente = nominal al 14% anual; compuesto compuesto semestralmente

r----:r----::-

pc PC 6 meses meses

II

O O

I1

22

3 3

4 4

r----::-

l

•

------1 I

pc-------+j PC meses 6 meses

I

5567 6

Figura 4.3 Figura 4.3

7

88

9 9

lO lO

11 11

12 12

Meses Meses

¡ -t-¡+---+¡¡ ---f-¡-t----I-¡¡-+¡ -+--+ ¡ ¡-+¡ -+-¡ -

1---+--1---1---+--1---1---+--1---1---+--1---1-----

-l PP PP 11-l mes I1 mes

cuenta de ahorros ahorros con un interés interés compuesto compuesto trimestral, dinero cada año en una cuenta trimestral, el periodo de pago es de un año, mientras mientras que el periodo composición es de 3 meses. periodo periodo de composición meses. Para evaluar aquellos aquellos flujos de efectivo efectivo que se presentan frecuencia Para evaluar presentan con mayor mayor frecuencia decir, PP < 1 año, año, en las fórmulas fórmulas de la ingeniería ingeniería económica económica debe debe que la anual, es decir, utilizarse la tasa de interés interés efectiva efectiva durante durante el PP. La fórmula fórmula de la tasa de interés interés utilizarse efectiva se generaliza generaliza fácilmente fácilmente para para cualquier cualquier tasa sustituyendo la anual efectiva tasa nominal, nominal, sustituyendo interés del periodo periodo por r/m en la ecuación ecuación [4.5]. tasa de interés

=

efectivu e (1 (1 + + r/m)1II 1 i efectivo r/11l)11I - 1

[4.8]

donde,

r == tasa de interés por periodo periodo de pago pago (PP) interés nominal nominal por :::número composición por m= número de periodos periodos de composición por periodo periodo de pago pago (pe por por PP) expresión general general utiliza literal i para interés En lugar de iaa,, esta expresión utiliza la literal para representar representar el interés efectivo. Este hecho coincide coincide con los diferentes diferentes usos que se le dan a i en el resto efectivo. resto de Gracias a la ecuación ecuación [4.8] [4.8],, es posible anual o la obra. Gracias posible tomar tomar una tasa nominal nominal (r% anual cualquier otro periodo) periodo) y convertirla convertirla en una tasa efectiva efectiva i para cualquier periodo cualquier para cualquier periodo defina como base, el más común común de los cuales cuales es el periodo siguienque se defina periodo PP. PP. Los siguienejemplos ilustran ilustran cómo hacerlo. tes 2 ejemplos hacerlo.

4.4

Visteon, una una compañía compañía que que salió salió de la Ford abastece de Visteon, Ford Motor Motor Company, Company, abastece de partes partes importanimportanautomóvil a los los fabricantes fabricantes de de automóviles automóviles alrededor alrededor del tes de automóvil del mundo, mundo, y constituye constituye el abastecedor más más importante importante de la Ford. Ford. Un comité de que abastecedor Un ingeniero ingeniero pertenece pertenece al contité de Visteon Visteon que evalúa propuestas incorporar maquinaria maquinaria de medición coordenadas, de la evalúa propuestas para para incorporar medición de coordenadas, la nueva nueva generación, a la fabricación fabricación automática automática de de partes alta precisión. Tres propuestas generación, partes de alta precisión. Tres propuestas de venta incluyen incluyen las tasas tasas de interés interés que que aparecen aparecen a continuación. continuación. Visteon seventa Visteon hará hará pagos pagos semestrales exclusivamente. exclusivamente. El ingeniero ingeniero se se encuentra encuentra confundido mestrales confundido respecto respecto de de las las tasas tasas de de interés efectivas efectivas (su valor valor anual anual y durante durante el interés el periodo periodo de de pago pago de de 6 meses). meses). Propuesta núm. núm. 1: 9% anual, anual, compuesto compuesto trimestralmente Propuesta trimestralmente Propuesta núm. núm. 2: 3% 3% trimestral, trimestral, compuesto compuesto trimestralmente Propuesta trimestralmente Propuesta núm. núm. 3: 8.8 8.8% anual, compuesto Propuesta % anual, compuesto mensualmente mensualmente

Diagrama flujo de Diagrama de flujo efectivo efectivo de de un año año para para un pago (PP) (PP) un periodo periodo de pago mensual periodo de de mensual yy un periodo composición (PC) composición (PC) semestral.

semestral.

If - - - - - - - t -

EJEMPLO EJEMPLO

141 141

Tasas Tasas de de interés interés efectivas efectivas para para cualquier cualquier periodo periodo

"'"

142

CAPÍTULO

a)

b)

e)

4

Tasas de interés nominales y efectivas

Determine la tasa efectiva de cada propuesta si se harán pagos semestrales, y construya diagramas de flujo de efectivo semejantes a los de la figura 4.3 para las tasas de las diferentes propuestas. ¿Cuáles son las tasas anuales efectivas? Éstas formarán parte de la elección de la propuesta final. ¿Qué propuesta incluye la tasa anual efectiva más baja?

Solución a) Fije el periodo de pago (PP) a 6 meses, convierta la tasa nominal r% a una tasa semestral y, luego, determine m. Por último, aplique la ecuación [4.8] para calcular la tasa de interés semestral efectiva i. Para la propuesta 1, los cálculos correctos son los siguientes:

Figl Diag

PP = 6 meses

r = 9% anual = 4.5% durante 6 meses m = 2 trimestres

i% efectiva durante 6 meses

durante 6 meses

= (1 + 0.~45)2

-1

e)

= 1.0455 -1 = 4.55%

COI ~,. I

,I b)

La tabla 4.4 (sección de la izquierda) resume las tasas semestrales efectivas de las tres propuestas. La figura 4.4a representa el diagrama de flujo de efectivo de las propuestas I y 2, los pagos semestrales (PP = 6 meses) y el periodo de composición trimestral (PC = 1 trimestre). La figura 4.4b es la misma para el periodo de composición mensual (propuesta 3). Para la tasa anual efectiva, el periodo básico en la ecuación [4.8] es de un año. Éste es igual a PP = 1 año. Para la propuesta 1, r

= 9%

anual

i% efectiva anual

m

= 4 trimestres

= (1 + 0.~9

J

-1

Las Pa m=

es 6 por. par¡ cuai

por año

= 1.0931-1 = 9.31 %

La sección de la derecha de la tabla 4.4 presenta un resumen de las tasas anuales efectivas.

TABLA

4.4

Tasas de interés efectivas anuales y semestrales para las tres propuestas (ejemplo 4.4) Tasas semestrales

Propuesta

Tasas anuales

Nominal durante 6 meses, r

PC por Pp, m

Ecuación [4.8], ; efectiva

4.5% 6.0% 4.4%

2 2 6

4.55% 6.09% 4.48%

Nominal poraño,r

PC por año, m

Ecuación [4.8], ; efectiva

4 4 12

9.31% 12.55% 9.16%

b)

#1 #2 #3

9% 12% 8.8%

SECCIÓN SECCIÓN 4.3 4.3

143 143

Tasas para cualquier periodo Tasas de interés interés efectivas efectivas para cualquier periodo

ITTTTiTiTTITI ~PC=lmes~

I 1 trimestre II 1 trimestre II 1 trimestre II II~PC~PC~PC~PC=l 1 trimestre I ~PC~PC~PC~PC=1 1 trimestre 1 trimestre

2234

JJ

1 trimestre

1 trimestre

3

4

1, 1,131 2 41,1,171,1,110 3 4 5

6

7

8

9

I 11

10 IIJI

12 12

~PP--------~-------PP------~ ~PP-------+~------PP------~

~

pp----+-----pp-----+I 6 meses

6 meses

~~~~'---6-!~'-e-s---~

6 meses

Composición trimestral a) Composición trimestral

6 meses

b) Composición Composición mensual b)

Figura 4.4 Figura 4.4 Diagrama muestra el PC y el PP PP para para a) las propuestas propuestas 1 1 y2; y 2; b) la propuesta propuesta 3 (ejemplo Diagrama de flujo flujo de de efectivo efectivo que que muestra peyel (ejemplo 4.4).

e)

La propuesta propuesta 3 incluye tasa anual menor de 9.16%, una La incluye la tasa anual efectiva efectiva menor 9.16%, que que equivale equivale a una tasa semestral efectiva efectiva de 4.48%. 4.48%. tasa semestral

Comentario Comentario Las tasas efectivas propuesta 2 sólo pueden encontrar encontrar directamente tabla 4.3 Las tasas efectivas de la propuesta sólo se pueden directamente en en la tabla 4.3.. Para tasa semestral tasa nominal nominal de bajo Para determinar determinar la tasa semestral efectiva, efectiva, localice localice la línea línea de la tasa de 6% 6% bajo In = 2, que representa el número número de trimestres durante meses. La La tasa tasa semestral que representa de trimestres durante 6 meses. semestral efectiva efectiva es 6.09%. Asimismo, en nominal de 12%, trimestres por por año; 6.09%. Asimismo, en el caso caso de la tasa tasa nominal 12%, hay hay In = 4 trimestres año; Aunque la tabla tabla 4.3 por lo que tasa anual por que la tasa anual efectiva efectiva i = 12.551 12.551 %. %. Aunque 4.3 se diseñó diseñó originalmente originalmente para anuales nominales, adecuada para otros periodos siempre y para tasas tasas anuales nominales, es adecuada para otros periodos de tasa tasa nominal, nominal, siempre cuando se incluya incluya el valor apropiado de In In en en los encabezados de columna. columna. los encabezados cuando valor apropiado

EJEMPLO

4.5

Una compañía punto-com invertir dinero dinero en un nuevo fondo de capital capital riesgoso, Una compañía punto-com planea planea invertir nuevo fondo riesgoso, que actualmente actualmente reembolsa 18% anual anual con con un periodo composición diario. diario. ¿Cuál ¿Cuál es el que reembolsa 18% periodo de composición valor interés efectiva efectiva a) anual anual y b) b) semestral? semestral? valor de la tasa tasa de interés Solución Solución la ecuación ecuación [4.8], [4.8], con con r = 0.18 0.18 y In In = 365. 365. a) Aplique Aplique la 018)365 018)365 i%efectivaanual= 1+-' -1=19.716% i%efectivaanual= -1=19.716% ( 1+-' 365 b)

En este este caso, caso, r = 0.09 0.09 cada cada 6 meses m = 182 días. días. En meses y In 009)182 009)182 i% efectiva efectiva cada cada 6 meses = 1+ -1 = = 9.415% 9.415% ¡% meses = '-1 ( -'182

__r-----------------------------------------------------------------------------------------------------144

CAPÍTULO 4

4.4 4.4

..---

Tasas de interés nominales y efectivas

RELACIONES DE EQUIVALENCIA: EQUIVALENCIA: COMPARACiÓN COMPARACiÓN RELACIONES DURACiÓN DEL PERIODO PERIODO DE PAGO PAGO ENTRE LA DURACiÓN PERIODO DE CAPITALIZACiÓN CAPITALIZACiÓN (PP VERSUS PC) Y DEL PERIODO

En los cálculos cálculos de equivalencia equivalencia con porcentajes porcentajes altos, la frecuencia frecuencia de los flujos de efectivo no es igual igual a la frecuencia frecuencia de la capitalización capitalización de los intereses. intereses. Por ejemejemefectivo efectivo pueden pueden ser mensuales, mensuales, mientras capitalización plo, los flujos de efectivo mientras que la capitalización puede ser anual, trimestral trimestral o más frecuente. frecuente. Considere Considere los depósitos depósitos realizados realizados en puede cuenta de ahorros ahorros cada mes, cuyos rendimientos rendimientos tienen un periodo periodo de capitalicapitaliuna cuenta zación trimestral. trimestral. La duración duración del PC es de un trimestre, trimestre, mientras mientras que la duración duración zación llevar a cabo correctamente correctamente los cálculos cálculos de equivalencia, equivalencia, del PP es de un mes. Para llevar resulta esencial que se utilice utilice el mismo mismo periodo periodo para para el periodo periodo de capitalización capitalización y resulta esencial periodo de pago, y que en consecuencia consecuencia la tasa de interés interés se ajuste. el periodo siguientes tres secciones secciones describen describen los procedimientos procedimientos para para determinar determinar los Las siguientes valores correctos correctos de i y n, para para los factores factores de la ingeniería ingeniería económica económica y las soluciosoluciovalores cálculo. Primero Primero se compara compara la duración duración del PP Y y la duración nes en hoja de cálculo. duración del PC; después se identifica identifica la serie de flujos de efectivo efectivo con pagos únicos únicos (P y F) F) o con después contiene las referencias diferentes secciones. secciones. una serie (A, G o g). La tabla 4.5 contiene referencias a las diferentes Cuando solamente solamente existen existen pagos únicos, únicos, no hay periodo periodo de pago PP definido definido en sí Cuando efectivo. La duración duración del PP, por lo tanto, queda queda definida definida por por el por los flujos de efectivo. periodo t del enunciado enunciado de la tasa de interés. interés. Si la tasa es de 8% 8% semestral, semestral, comperiodo puesto trimestralmente, trimestralmente, el PP es semestral, semestral, el PC es trimestral, trimestral, y PP > PC. puesto Observe que las referencias referencias a las diferentes diferentes secciones secciones de la tabla 4.5 son las Observe mismas cuando PP = PC y cuando cuando PP > PC. pe. Las ecuaciones ecuaciones para para determinar determinar los mismas cuando valores de i y n son las mismas. mismas. Además, Además, la técnica cuenta el valor valor del valores técnica que toma en cuenta dinero en el tiempo tiempo es la misma, misma, en virtud virtud de que sólo cuando cuando se presentan presentan flujos de dinero efectivo se determina determina el efecto efecto de la tasa de interés. interés. Por ejemplo, ejemplo, suponga suponga que los efectivo flujos de efectivo efectivo ocurren ocurren cada 6 meses (PP semestral), semestral), y que el interés interés tiene un periodo de capitalización trimestral (PC trimestral). Después de 3 meses no hay periodo capitalización trimestral trimestral). Después meses flujo de efectivo efectivo ni es necesario necesario determinar determinar el efecto efecto de la composición composición trimestral. trimestral. embargo, en el mes 6 es necesario necesario considerar considerar los intereses intereses acumulados acumulados durante durante Sin embargo, los dos periodos periodos de composición composición trimestrales trimestrales anteriores. anteriores.

4.

CL igi m~

de 1m no ac( MI

cic rel

Po efe me me val sin qw qw ció pOI

fac Mt nO!

TABLA TABLA

4.5 Referencias a las diferentes secciones relativas a los de equivalencia basados en la comparación entre cálculos ele el periodo de pago y el periodo de capitalización

Duración Duración del periodo periodo del

Cantidades únicas únicas Cantidades exclusivamente) (P y F exclusivamente)

Serie uniforme uniforme o serie serie Serie gradiente (A, G o g) gradiente

PP=PC PP=PC

Sección 4.5

Sección 4.6

PP>PC PP>PC

Sección 4.5

Sección 4.6

PP
Sección 4.7

Sección 4.7

fór el t me n SI

Ell la t

SECCIÓN SECCIÓN 4.5 4.5

4.5 4.5

e n n I-

n

Relaciones únicos con con PP PP;:: PC Relaciones de equivalencia: equivalencia: pagos pagos únicos ;:::P C

RELACIONES DE EQUIVALENCIA: EQUIVALENCIA: PAGOS ÚNICOS ÚNICOS RELACIONES CON CON PP ~ PC

Cuando único, hay dos formas formas Cuando se trata exclusivamente exclusivamente de flujos de efectivo efectivo de pago pago único, igualmente FIP. El método método 1 es igualmente correctas correctas de determinar determinar i y n para para los factores factores PIF P/F y F/P. más fácil de aplicar, porque tablas de interés parte posterior posterior porque las tablas interés que aparecen aparecen en la parte del libro por lo común quizá requiera requiera cálcucálcucomún ofrecen ofrecen el valor valor del factor. El método método 2 quizá los mediante efectiva que resulta resulta mediante la fórmula fórmula para para el factor, ya que la tasa de interés interés efectiva no constituye cualquier método método es constituye un entero. En el caso de las hojas de cálculo, cálculo, cualquier aceptable; sin embargo, embargo, por lo general general el método método 1 es más fácil. aceptable;

a, y

Método 1: Se determina determina la tasa de interés interés efectiva efectiva durante durante el periodo Método 1: periodo de composicomposición pe, y se iguala iguala n al número número de periodos periodos de composición composición entre entre P y F. Las relaciones para para calcular calcular P y F relaciones F son: P

= F(pIF, F(P/F, i% efectiva efectiva por por PC, número número total total de periodos periodos n) =

[4.9] [4.9]

F

= = P(FIP, P(F/P, i% efectiva efectiva por por PC, número número total total de periodos periodos n)

[4.10] [4.10]

n

s. sí el

te

ejemplo, suponga suponga que la tasa establecida establecida de la tarjeta Por ejemplo, tarjeta de crédito crédito es una una tasa tasa efectiva efectiva de 15% anual, compuesto compuesto mensualmente. mensualmente. En este caso, PC es igual igual a un mes. Para calcula la tasa Para calcular calcular P o F a lo largo de un periodo periodo de dos años, se calcula mensual mensual efectiva efectiva de 15%/12 15%/12 = = 1.25% Y el total de meses meses de 2(12) = 24. Así, los 2(12) = valores 1.25% y 24 se utilizan para el cálculo cálculo de los factores factores P/F valores utilizan para PIF y F/P. FIP. puede utilizar utilizar cualquier cualquier periodo periodo para para determinar determinar la tasa de interés Se puede interés efectiva; efectiva; embargo, el PC constituye constituye el mejor mejor fundamento. fundamento. El valor valor del PC es mejor mejor porsin embargo, porinterés efectiva efectiva tiene el mismo valor numérico que sólo a lo largo del PC una tasa de interés mismo valor numérico nominal durante durante el mismo mismo periodo periodo del PC, lo cual cual se estudió que la tasa nominal estudió en la secsecy en la tabla tabla 4.1. Esto significa significa que la tasa de interés interés efectiva efectiva durante durante el PC ción 4.1 yen general es un número número entero. Entonces, Entonces, es posible posible utilizar utilizar las tablas por lo general tablas de los factores que aparecen aparecen en la parte posterior posterior de este libro. factores Método determina la tasa de interés interés efectiva efectiva para para el periodo Método 2: Se determina periodo t de la tasa nominal, nominal, y sea n igual al número número total de periodos periodos utilizando utilizando el mismo mismo periodo. periodo. Las fórmulas de P y F son las mismas mismas que las de las ecuaciones ecuaciones [4.9] yY [4.10], salvo que fórmulas término i% efectiva efectiva por sustituye por la tasa de interés. el término por t se sustituye interés. tarjeta de crédito crédito de 15% anual anual compuesto En el caso de una tasa de tarjeta compuesto mensualmensualperiodo tes t es 1 año. La tasa de interés interés efectiva efectiva durante durante un año y los valores mente, el periodo valores n son:

0~~5r

i%efeCtiVaanual i% efectiva anual = (l (1 + 0~~5r -1 -1 = 16.076% n = 2 años factor PIF P/F es el mismo mismo por ambos métodos: (P/F,1.25%,24) = 0.7422, El factor métodos: (PIF,1.25%,24) 0.7422, utilizando utilizando (P/F,16.076%,2) 0.7422 aplicando aplicando la fórmula fórmula del factor la tabla 5; y (PIF,16.076%,2) = 0.7422 factor P/F. PIF.

145

146

CAPÍTULO 4 CAPÍTULO

EJEMPLO EJEMPLO

nominales y efectivas efectivas Tasas de interés interés nominales Tasas

:< .

4.6

ingeniero que que trabaja trabaja como como consultor consultor privado privado realizó realizó depósitos depósitos en una una cuenta cuenta espeespeUn ingeniero cial, cial, para para cubrir cubrir gastos gastos de viaje viaje no reembolsados. reembolsados. La figura figura 4.5 muestra muestra el diagrama diagrama de efectivo. Calcule Calcule cuánto cuánto hay hay en la cuenta cuenta después después de 10 años años a una tasa de interés interés flflujo ujo de efectivo. una tasa 12% anual, anual, compuesto compuesto semestralmente. semestralmente. de 12% Solución Solución Sólo interesan interesan los F. Ambos ejemplifican para para calcular calcular F en el Sólo los valores valores de P y F. Ambos métodos métodos se ejemplifican año 10. 10. año

Método 1: Utilice para expresar tasa efectiva por Método Utilice el PC PC semestral semestral para expresar la tasa efectiva semestral semestral de 6% 6% por periodos semestrales por cada cada meses. Hay Hay n = (2)(número cada periodo periodo de 6 meses. (2)(número de años) años) periodos semestrales por cada flujo de de efectivo. efectivo. Utilizando factores de la tabla observa que que el flujo Utilizando los valores valores de los factores tabla 11, se observa valor futuro, por medio de de la ecuación ecuación [4.10], [4.10], es valor futuro, por l"!ledio F F== 1 000(F/P,6%,20) 000(F/P,6%,20) + 3 000(F/P,6%,12) 000(FlP,6%,12) + 1 500(F/P,6%,8) 500(F/P,6%,8) 000(2.0122) + 1500(1.5938) 1500(1.5938) = l1 000(3.2071) 000(3.2071) + 3 000(2.0122) = $11 634 634 Método Método 2: tral. tral.

Exprese efectiva anual anual con con base en un composición semessemesExprese la tasa tasa efectiva base en un periodo periodo de de composición

y

4.~

i% efectiva efectiva anual anual = =(1 + 0.~2 0.;2)2 -1 -1 = = 12.36% i% 12.36% El de n es es el número número real real de de años. años. Utilice Utilice la la fórmula fórmula del del factor factor (F/P,i,n) (F/P,i,n) = =(1.1236)" (1.1236)" El valor valor de Y Y la la ecuación ecuación [4.10] [4.10] para para obtener obtener la la misma misma respuesta respuesta que que con con el el método método l.l.

000(F/P,12.36%, 10) + + 33 OOO(F/P, 000(FlP,12.36%,6) + 1 500(FlP,12.36%,4) 500(F/P,12.36%,4) F = 1 000(F/P,12.36%,10) 12.36%,6) + = 1 000(3.2071) 000(3.2071)

+ 3 000(2.0122) 000(2.0122) + 1 500(1.5938) 500(1.5938)

Cm

el I salx tam

los se r

= $11 $11 634 634

trin trirr F=? F=?

oo

22

33

44

55

6

77

88

9

10

All

pue

$1000 $ 1000 $1500 $1500 $3000 $3000

Figura Figura 4.5 4.5 Diagrama de de flujo flujo de de efectivo efectivo (ejemplo (ejemplo 4.6). 4.6). Diagrama

hoj: res]

tivo de 1 mis

SECCIÓN SECCIÓN 4.6 4.6

Relaciones equivalencia: series con PP PP?: PC de equivalencia: series con ?: PC Relaciones de

Comentario Comentario Para de i y n deducida deducida de de la la tasa tasa Para flujos flujos de efectivo efectivo de pago pago único, único, cualquier cualquier combinación combinación de nominal tenga como como base base el mismisnominal establecida establecida se utiliza utiliza en los los factores, factores, siempre siempre y cuando cuando tenga mo periodo de capitalización mensual, la la tabla tabla 4.6 mo periodo. periodo. Si se emplea emplea 12% 12% anual, anual, con con periodo capitalización mensual, 4.6 presenta varias varias combinaciones combinaciones aceptables aceptables de i y n. Existen Existen otras presenta otras combinaciones combinaciones correctas, correctas, tales tales como como la tasa tasa efectiva efectiva semanal semanal para para i con con semanas semanas para para n. TABLA TABLA

4.6 4.6

4.6 4.6

Diversos valores de ¡y í y IIIl para ecuaciones = 12% 12% anual. de pago único utilizando r = compuesto mensualmente

Tasa de de interés interés efectiva; efectiva;

Unidades Unidades para para n

1% mensual mensual 3.03% trimestral trimestral 3.03% 6.15% 6.15% semestral semestral 12.68% 12.68% anual anual 26.97% 26.97% por por 2 años años

Meses Meses Trimestres Trimestres Periodos Periodos semestrales semestrales Años Años Periodos años Periodos de 2 años

RELACIONES DE EQUIVALENCIA: EQUIVALENCIA: RELACIONES CON PP ~ PC SERIES CON

Cuando se incluyen incluyen series gradiente gradiente o uniformes uniformes en la sucesión sucesión de flujo de efectivo, Cuando efectivo, procedimiento es esencialmente esencialmente el mismo el procedimiento mismo que el del método método 2 antes expuesto, expuesto, ahora PP queda queda definido definido por la frecuencia frecuencia de los flujos de efectivo. salvo que ahora efectivo. Esto también establece establece la unidad unidad de tiempo tiempo de la tasa de interés interés efectiva. también efectiva. Por Por ejemplo, ejemplo, si efectivo son trimestrales, trimestrales, el PP es de un trimestre trimestre y, por los flujos de efectivo por consiguiente, consiguiente, necesita una tasa de interés interés efectiva efectiva trimestral. trimestral. El valor se necesita valor n es el número número total de trimestres. Si PP es igual a un trimestre, trimestre, 5 años se traducen traducen en un valor trimestres. valor de n de 20 trimestres. Esto constituye constituye una aplicación aplicación directa directa de la siguiente siguiente directriz trimestres. directriz general: general: Cuando los flujos flujos de efectivo implican una una serie serie (por Cuando efectivo implican (por ejemplo, ejemplo, A, G, g) g) Yel Y el periodo de pago pago es igualo igualo mayor mayor que que el periodo periodo de capitalización, capitalización, periodo

• •

calcula la tasa tasa de interés interés efectiva efectiva i por por periodo periodo de pago. Se calcula pago. determina n como como el número número total total de periodos periodos de de pago. pago. Se determina

llevar a cabo cálculos cálculos de equivalencia equivalencia para para series, series, sólo estos estos valores Al llevar valores de i y n se pueden utilizar utilizar en las tablas de interés, interés, las fórmulas fórmulas de factores pueden factores y las funciones funciones de cálculo. En otras palabras, palabras, no hay otras combinaciones combinaciones que proporcionen hoja de cálculo. proporcionen respuestas correctas, correctas, como como en el caso de los flujos de efectivo respuestas efectivo de pago pago único. único. muestra la formulación formulación correcta correcta de diversas diversas series La tabla 4.7 muestra series de flujo de efecefecinterés. Observe Observe que n siempre siempre es igual igual al número tivo y tasas de interés. número total de periodos periodos efectiva que se expresa de pago y que i es una tasa de interés interés efectiva expresa de acuerdo acuerdo con el periodo que n. mismo periodo

147

148

CAPÍTULO

TABLA

4

4.7

Tasas de interés nominales y efectivas

Ejemplos de valores de n e í. donde PP

o PP > PC

Serie de flujo de efectivo

Tasa de interés

Qué encontrar; qué está dado

$500 semestralmente durante 5 años

16% anual, compuesto mensualmente 24% anual, compuesto semestralmente 5% trimestral

Encontrar P, dado A

P = 500(P/A,8%,1O)

Encontrar F, dado A

F = 75(F/A,2%,36)

Encontrar F, dado A Encontrar P, dado G

F = 180(F/A,5%,60)

Encontrar A, dado P

A = 5 000(AlP,3.03%,24)

$75 mensualmente durante 3 años

$180 trimestralmente durante 15 años Incremento de $25 mensualmente durante 4 años $5 000 trimestralmente durante 6 años

EJEMPLO

= PC

1% mensual

1% mensual

Notación estándar

P = 25 (P/G,1 %,48)

4.7 Un ingeniero de control de calidad pagó $500 semestrales en los pasados 7 años por el contrato de mantenimiento del software de una LAN. ¿Cuál es la cantidad equivalente después del último pago, si estos fondos se obtienen de un consorcio que ha estado reembolsando 20% de intereses anuales con composición trimestral? Solución La figura 4.6 muestra el diagrama de flujo de efectivo. El periodo de pago (6 meses) es más largo que el periodo de capitalización (trimestre); es decir, PP > pc. Si aplicamos la directriz, es necesario determinar una tasa de interés efectiva semestral. Aplique la ecuación [4.8] con r = 0.10 por cada periodo de 6 meses y m = 2 trimestres por cada periodo semestral.

i% efectiva por 6 meses

y

= (1 + O.~O

-1

= 10.25%

La tasa de interés efectiva semestral también se obtiene de la tabla 4.3 utilizando un valor r de 10% y m = 2 para llegar a i = 10.25%. El valor i = 10.25% parece razonable, ya que esperamos que la tasa de interés efectiva sea ligeramente superior a la tasa de interés nominal de 10%, por cada periodo de 6 meses. El número total de periodos de pagos semestrales es n = 2(7) = 14. La relación para

Fes: F = A(F/A,10.25%,14) = 500(28.4891) = $14 244.50

•

SECCIÓN 4.6 4.6 SECCIÓN

149 149

Relaciones de equivalencia: equivalencia: series series con con PP PP :::: ::::PC PC Relaciones

t 1111111111111¡ F=? F=?

i = 20% 20% anual, anual, compuesto compuesto trimestralmente trimestralmente

o o I

1

2

3

4

5

6

7 Años Años

A = $500 $500

Figura 4.6 4.6 Figura Diagrama de depósitos depósitos semestrales semestrales utilizado utilizado para para determinar determinar el valor valor de F (ejemplo (ejemplo 4.7). Diagrama 4.7).

'EJEMPLO

4.8

Suponga que que usted usted planea planea adquirir adquirir un automóvil automóvil y obtiene obtiene un préstamo préstamo de $12 500 500 al 9% 9% Suponga de $12 anual, anual, compuesto compuesto mensualmente. mensualmente. Los Los pagos pagos deben deben efectuarse efectuarse mensualmente mensualmente durante durante 4 años. años. Determine Determine el pago pago mensual. mensual. Compare Compare las las soluciones soluciones manual manual y por por computadora. computadora.

Precio de de compra compra Precio

$12,500 $12,500

48 48

Número de de pagos pagos Número l--ii~+---------------I---------1······--·········-·········-··

.

9%

Tasa de interés

+-------------Ir=-~~~~=;\ Pagos mensuales

.

$311.06

~~-------------------~/1------~------4~1

_____ .__. .

.._..__. ..._.. ..._._. ..._..

Figura 4.7 4.7 Figura Hoja de cálculo cálculo para para el ejemplo ejemplo 4.8. 4.8. Hoja

.I = PA GO(B

3/ 12,B 2, - B 1)

••••

CAPÍTULO 4 Tasas Tasas de interés nominales y efectivas

150 150

fII Sol-R

Solución Solución A; los valores de PP PPyy PC son de un mes. mes. Utilice los pasos para Se busca una serie mensual A; PP == PC en el caso de una serie uniforme. La tasa de interés efectiva mensual es de 9%/12 = 0.75%, Y Yel = 48. = el número de pagos es (4 años)(12 meses por año) = Introduzca PAGO(9%/12,48,-12,500) PAGO(9%tI2,48,-12,500) en cualquier celda para que aparezca $311.06 en la pantalla. PAGO en la celda La figura 4.7 muestra una hoja de cálculo completa con la función PAGO B5 de acuerdo con el formato de referencia a celdas. Este pago mensual de $311.06 equivale a la siguiente solución a mano, empleando la notación convencional y las tablas de factores.. factores = $12 500(A/P,0.75 500(AtP,0.75%,48) = 12500(0.02489) 12500(0.02489) = = $311.13 A= % ,48) = Comentario Comentario Es incorrecto usar la tasa anual efectiva de i = 9.381 % Y n = 4 años, para calcular el valor mensual A, ya sea que la solución se obtenga a mano o por computadora. El periodo de pago, la tasa de interés efectiva y el número de pagos deben expresarse sobre la misma mes. base de tiempo, que en este caso es de un mes.

EJEMPLO EJEMPLO

4.9

' El Scott and White Health Plan (SWHP) compró un sistema robotizado robotizado de prescripción prescripción de recetas médicas, para atender con mayor rapidez y exactitud al paciente, con medicación medicación estable en forma de píldoras. salud, píldoras . Los pacientes tienen problemas crónicos de sal ud, como diabetes, tiroides y presión alta. Suponga que el sistema de alto volumen tiene un costo de $3 millones de instalación y un costo estimado de $200 000 anuales para materiales, operación, ración, personal y mantenimiento. La vida esperada es de 10 años. Un ingeniero biomédico del SWHP desea calcular el total de ingresos que se requieren semestral requieren por cada periodo semestral para recuperar recuperar la inversión, los intereses y los costos anuales. Determine Determine este valor semestral A a mano y por computadora, computadora, si los fondos están evaluados evaluados a 8% anual utilizando utilizando dos diferentes diferentes periodos periodos de composición: 1. 2.

8% anual, compuesto semestralmente. semestralmente. 8% anual, compuesto compu~sto mensualmente. mensualmente. j

Solución Solución

t

La figura 4.8 muestra el diagrama diagrama de flujo de efectivo. Durante Durante los 20 periodos periodos semestrapresentan cada dos periodos (un periodo periodo sí y otro no); se busca la les, los costos anuales se presentan serie de recuperación recuperación de capital para cada periodo periodo de 6 meses. Este esquema esquema vuelve algo engorrosa engorrosa la solución solución a mano si se utiliza utiliza el factor PtF, P/F, en lugar del factor PtA, P/A, para determinar determinar PP en el caso de los 10 costos anuales de $200 000. Se recomienda recomienda la solución solución por por computadora computadora en tales casos.

o

Solución Solución a mano mano (tasa (tasa 1): A continuación continuación se resumen resumen los pasos para calcular calcular el valor

semestral semestral A: PP == PC a 6 meses; se calcula calcula la tasa de interés interés efectiva efectiva por cada periodo periodo semestral. semestral.

SECCIÓN 4.6

Relaciones

de equivalencia:

series con PP ~ PC

A cada 6 meses = ?

o

J .t tJ

8

10

2

4

5

= 8%,

compuesto

3

J JJ 7

8

9

Figura 4.8

,J

14

6

6 meses 10

Años

$200 000 anuales i¡

semestralmente

i2 = 8%, compuesto mensualmente

P

= $3 millones

Tasa de interés efectiva semestral i = 8%/2 = 4% por 6 meses, con un periodo de composición semestral. Número de periodos semestrales

n

= 2(10) = 20.

Se calcula P, utilizando el factor PIF para n = 2, 4, ..., 20 periodos ya que los costos son anuales, no semestrales. Después se utiliza el factor AIP a lo largo de los 20 periodos para determinar el valor semestral de A.

P=3000000+20000{~4 = 3 000000 A

= $4 332

(PIF,4%,k]

+ 200 000(6.6620) = $4 332 400

400(AIP,4%,20)

= $318778

Conclusión: se requiere un ingreso de $318 778 cada 6 meses para cubrir los costos y un interés de 8% anual, con periodo de composición semestral. Solución a mano (tasa 2): El PP es semestral; en cambio, el PC ahora es mensual; por lo tanto, PP > PC. Para calcular la tasa semestral efectiva, la tasa de interés efectiva, ecuación [4.8], se aplica con r 4% y m 6 meses por cada periodo semestral.

=

=

6

Tasa efectiva semestral i = (1 + 0.~4 ) -1

P=3000000+20000{t

= 4.067%

(PIF,4.067%,k)]

= 3 000 000 + 200 000(6.6204) A = $4 324 080(A/P,4.067%,20)

= $4 324 080 = $320 064

151

Diagrama de flujos de efecti vo con dos diferentes periodos de capi talización (ejemplo 4.9).

152 152

CAPÍTULO 4 CAPÍTULO

Tasas de de interés interés nominales efectivas Tasas nominales y efectivas

4.7 Ahora se requieren requieren $320 286 más más cada meses para para cubrir Ahora $320 064, 064, es decir, decir, $1 286 cada 6 meses cubrir la capitalizacapitalización más frecuente de 8% 8% de de interés interés anual. anual. Observe Observe que que todos los factores factores ?IF PIF y AIP todos los Al? ción más frecuente deben 4.067%. Este Este método, método, por por lo general, deben calcularse calcularse con con las las fórmulas fórmulas de los los factores factores al 4.067%. general, implica más cálculos y es más susceptible al error error que que la solución de cálculo. cálculo. solución en hoja hoja de implica más cálculos más susceptible Solución con 2): La La figura 4.9 muestra muestra una una solución Solución con computadora computadora (tasas (tasas 1 yy 2): figura 4.9 solución general general del del problema con tasas. (Varios renglones en problema con ambas ambas tasas. (Varios renglones en el fondo fondo de de la hoja hoja de de cálculo cálculo no se se pantalla. Éstos Éstos siguen patrón del meses perciben en la pantalla. perciben siguen el patrón del flujo flujo de de efectivo efectivo de de $200 $200 000, 000, 6 meses sí y 6 no, no, hasta hasta la celda B32.) Las Las funciones E8 son para la celda B32.) funciones en C8 C8 y E8 son expresiones expresiones generales generales para tasa de por cada PP expresado meses. Esto Esto permite permite llevar tasa de interés interés efectiva efectiva por cada PP expresado en meses. llevar a cabo cabo cierto cierto Pe. Observe análisis para diferentes PP y PC. análisis de de sensibilidad sensibilidad para diferentes valores valores de PP Observe la función función en C7 C7 y E7 para las tasa de interés Dicha técnica técnica funciona para determinar para determinar m para las fórmulas fórmulas de la la tasa interés efectiva. efectiva. Dicha funciona bien para para las hojas de una vez vez que valores de PP y PC PC en bien las hojas de cálculo cálculo una que se introducen introducen los los valores de PP en la unidad del pe. unidad de tiempo tiempo del PC. Cada periodo de 6 meses meses se incluye incluye en los Cada periodo los flujos flujos de efectivo, efectivo, incluyendo incluyendo las las entradas entradas con VPN y PAGO con $0; $0; de manera manera que que las las funciones funciones VPN PAGO funcionan funcionan correctamente. correctamente. Los Los valores valores finales de deAA en D14 ($318,784) y F14 F14 ($320,069) ($320,069) son son los mismos (salvo por D14 ($318,784) mismos (salvo por el redondeo) redondeo) finales que que los los anteriores. anteriores.

Si ti com sigu inter el ps

bre 1 emp milh

sa pr dose ocur impl talm

ses e

1

depó

zacü

plo, ; dan" se trs

dimil ante¡ A. E: segúi mi en capit dos ..

• 318.784 200,000 200,000 Sheet2

S

Figura 4.9 Figura 4.9 Solución hoja de para la periodos de 4.9). Solución en en hoja de cálculo cálculo para la serie serie semestral semestral A con con diferentes diferentes periodos de composición composición (ejemplo (ejemplo 4.9).

SECCIÓN SECCIÓN 4.7 4.7

4.7 4.7

Relaciones pagos únicos únicos y series Relaciones de equivalencia: equivalencia: pagos series con con PP PP < PC PC

RELACIONES RELACIONES DE EQUIVALENCIA: EQUIVALENCIA: PAGOS PAGOS ÚNICOS ÚNICOS y y SERIES CON CON PP < PC

Si una persona persona deposita ahorros con un interés deposita dinero dinero cada mes en una cuenta cuenta de ahorros interés compuesto trimestral, trimestral, ¿ganan ¿ganan intereses intereses todos los depósitos depósitos mensualmente mensualmente antes del compuesto siguiente periodo composición trimestral? trimestral? Si un banco cobra a una persona siguiente periodo de composición banco le cobra persona intereses pagos de la tarjeta persona hace intereses el día 15 del mes en sus pagos tarjeta de crédito, crédito, y si la persona el pago pago completo primero, ¿reduce completo el día primero, ¿reduce la institución institución financiera financiera los intereses intereses sobase de un pago pago anticipado? bre la base anticipado? La respuesta respuesta común común es no. no. Sin embargo, embargo, si una empresa grande hiciera hiciera pagos pagos mensuales para cubrir préstamo bancario bancario de $10 empresa grande mensuales para cubrir un préstamo millones, millones, con un interés interés compuesto compuesto trimestral, trimestral, el ejecutivo ejecutivo de finanzas finanzas de la empreempresa probablemente probablemente insistiría banco redujera insistiría en que el banco redujera la cantidad cantidad de intereses, intereses, basánbasánanticipado. Éstos Éstos constituyen constituyen ejemplos ejemplos de PP < Pe. pc. El momento momento de dose en el pago pago anticipado. ocurrencia puntos de capitalización ocurrencia de las transacciones transacciones de flujo de efectivo efectivo entre puntos capitalización implica pregunta de cómo manejar implica la pregunta manejar la capitalización capitalización interperiódica. interperiódica. FundamenFundamentalmente políticas: los flujos de efectivo periodos no ganan interetalmente existen existen dos políticas: efectivo entre entre periodos no ganan intereganan un interés ses o ganan ses interés compuesto. compuesto. En el caso de una política política de no intereses intereses interperiódicos, interperiódicos, se considera considera que los depósitos (flujos (flujos de efectivo efectivo negativos) al final del periodo capitalidepósitos negativos) se realizan realizan al final del periodo de capitalización; asimismo, retiros se hacen hacen al principio. principio. Como zación; asimismo, se considera considera que los retiros Como ejemejemmensuales se traslatraslaplo, si se tiene un interés interés compuesto compuesto trimestral, trimestral, los depósitos depósitos mensuales dan al final del trimestre retiros trimestre (no se obtienen obtienen intereses intereses interperiódicos), interperiódicos), y todos los retiros se trasladan principio (no se pagan pagan intereses trimestre). Tal proceprocetrasladan al principio intereses durante durante todo el trimestre). dimiento puede alterar dimiento puede alterar significativamente significativamente la distribución distribución de los flujos de efectivo, efectivo, aplique la tasa de interés interés efectiva determinar P, F o antes de que se aplique efectiva trimestral trimestral para para determinar A. efecto, a los flujos de efectivo efectivo a una situación situación donde donde PP = = PC, A . Esto lleva, en efecto, según se analizó procedianalizó en las secciones secciones 4.5 y 4.6. El ejemplo ejemplo 4.10 4.10 ilustra ilustra este procedimiento económico de que, dentro dentro de un marco marco temporal miento y el hecho hecho económico temporal de un periodo periodo de capitalización, ventaja en intereses pagos anticipacapitalización, no hay ninguna ninguna ventaja intereses si se efectúan efectúan pagos anticipasupuesto, quizá quizá se presenten factores no económicos. dos. Por supuesto, presenten factores económicos.

EJEMPLO

4.1 O

~.

Rob una Rob es el ingeniero ingeniero de coordinación coordinación de obra obra en Aleoa Aleoa Alurninum, Aluminum, donde donde se encuentra encuentra una mina renovación, en la cua! ha instalado nuevo equipo mina en renovación, cual un contratista contratista local local ha instalado un nuevo equipo de refinarefinamiento miento de materiales. materiales. Rob Rob desarrolló desarrolló el diagrama diagrama de flujo flujo de efectivo efectivo de la figura figura 4. lOa lOa en unidades de $1 000 perspectiva del proyecto. proyecto. El pagos al unidades de 000 desde desde la perspectiva El diagrama diagrama incluye incluye los los pagos contratista para el año por las contratista que que Rob Rob autorizó autorizó para año en en curso curso y los los anticipos anticipos aprobados aprobados por las oficioficinas centrales Aleoa. Rob tasa de interés proyectos de campo nas centrales de Aleoa. Rob sabe sabe que que la tasa interés sobre sobre proyectos campo de equipo como éstos éstos es de 12% 12% anual, anual, compuesto compuesto trimestralmente, trimestralmente, y que que Aleoa Aleoa no va a equipo como no va insistir en la capitalización capitalización interperiódica interperiódica de los los intereses. intereses. ¿Se ¿Se encontrarán encontrarán o no las finanfinaninsistir no las zas del proyecto Rob en números "rojos" a! al final final del del año? año? ¿Por ¿Por cuánto? cuánto? zas proyecto de Rob números "rojos" Solución Solución

Sin periodos, la figura Oh refleja refleja el traslado Sin considerar considerar algún algún interés interés entre entre periodos, figura 4.1 4. JOb traslado de los flujos flujos de efectivo. trimestres requiere una tasa efectivo. El El valor valor futuro futuro después después de 4 trimestres requiere F a una tasa de interés interés efecefec-

153 153

154

CAPÍTULO 4

Tasas de interés nominales y efectivas

~I tar tiv

Ingresos de las oficinas centrales $120 $90

Cu O

tru int

Año O

3

2

4

5

$75

6

7

12

Mes

$100

$150

4.1

Pagos al contratista $200 a) F=? $165

t

$90 O

O .tUl

3

2 2

3

4

5

7

6

9

10

11

12.

Mes

$50

t

\~!!

8

Trimestre

Si ( dm de] los cor ma fon

$150

1

$175 $200

Elj

F=?

util

b)

Figura 4.10 Flujos de efectivo a) actuales y b) trasladados sin interés entre periodos (ejemplo 4.10).

(en $1 000) para los periodos de capitalización

trimestral

tiva trimestral de 12%/4 = 3%. La figura 4.lOb muestra todos los flujos de efectivo negativos (pagos al contratista) trasladados al final del trimestre respectivo, y todos los flujos de efectivo positivos (ingresos de las oficinas centrales) trasladados al principio del trimestre respectivo. Calcule el valor de F al 3%. F = 1 000[-150(FIP,3%,4)

- 200(FIP,3%,3) + (-175 + 90)(FIP,3%,2)

Lae

do l =

+ 165(FIP,3%,1) - 50]

1:

= $-357 592 Rob puede concluir que las finanzas del proyecto en la obra se encontrarán rojos por alrededor de $357 600 al final del año.

en números

Si PP < PC y se obtienen intereses por composición entre periodos, los flujos de efectivo no se trasladan; así, los valores equivalentes P, F oA se determinan utilizando la tasa de interés efectiva por periodo de pago. Las relaciones de la ingeniería económica se determinan de la misma forma que en las acciones anteriores para PP

Por tasa,

a.

SECCIÓN SECCIÓN 4.8 4.8

Tasa Tasa de interés interés efectiva efectiva para para capitalización capitalización continua continua

~ PC. PC.

La La fórmula fórmula de de la tasa tasa de de interés interés efectiva efectiva tendrá tendrá un un valor valor m menor menor que que 1, ya ya que que tan parte fraccionaria un PP. Por tan sólo sólo hay hay una una parte fraccionaria del del PC PC en en un Por ejemplo, ejemplo, los los flujos flujos de efecefectivo la composición un trimestre. tivo semanales semanales y la composición trimestral trimestral requieren requieren que que m = = 1/13 1/13 de de un trimestre. Cuando Cuando la tasa tasa de de interés interés nominal nominal es de de 12% 12% anual, anual, con con periodo periodo de de composición composición trimestral trimestre, con trimestral (el (el mismo mismo que que 3% 3% cada cada trimestre, con composición composición trimestral), trimestral), la tasa tasa de de interés interés efectiva efectiva por por cada cada PP PP es efectiva semanal semanal = = (1.03)111 (1.03)1113= 0.228% 0.228% semanal semanal i% efectiva 3- 1 =

4.8 4.8

TASA DE INTERÉS EFECTIVA EFECTIVA PARA CAPITALIZACiÓN CAPITALIZACiÓN CONTINUA CONTINUA

Si dejamos vez, los dejamos que que la capitalización capitalización se presente presente con con más más frecuencia frecuencia cada cada vez, los perioperiodos dos de de capitalización capitalización se van van acortando. acortando. Entonces, Entonces, el valor valor de de m, es decir, decir, el número número de periodo de pago, de periodos periodos de de composición composición por por periodo pago, aumenta. aumenta. Esta Esta situación situación ocurre ocurre en en los negocios los negocios con con una una gran gran cantidad cantidad de de flujos flujos de de efectivo efectivo diarios; diarios; así, así, es adecuado adecuado considerar intereses con considerar intereses con periodos periodos de de capitalización capitalización continua. continua. Conforme Conforme m se aproxiaproxima ma al infinito, infinito, la la tasa tasa de interés interés efectiva, efectiva, ecuación ecuación [4.8], [4.8], debe debe expresarse expresarse de de otra otra forma. logaritmo natural. forma. Primero Primero recordemos recordemos la definición definición de de la base base del dellogaritmo natural. lím(l + 1:.)h .!..)h == e == 2.71828 2.71828 + lím(l

'H~

h

h -.~

[4.11] [4.11]

límite de de la ecuación [4.8] conforme conforme m se aproxima aproxima al infinito infinito se determina determina El límite la ecuación utilizando r/m utilizando r/m = = l/h, l/h, de de la cual cual se deduce deduce m = = hr. hr.

~)m _

lím i = = lím(1 lím(l + ~)m -11 lím

m~oooo m~

m

m~oooo m~

= lím(1 lím(l + + = h ...•~ IH ~

.!..)hr -1 -1 = lím[(l + + 1:.), .!..)h]r, ]r--11 1:.)"r = lím[(1 'H~ h h IH~

[4.12]

r

i=e -1

tasa de interés La La ecuación ecuación [4.12] [4.12] se aplica aplica para para calcular calcular la tasa interés efectiva efectiva continua, continua, cuancuanlos periodos periodos para para i y r son son los los mismos. mismos. Como Como ejemplo, ejemplo, si la tasa tasa anual anual nominal nominal r do los = 15% 15% anual, anual, la la tasa tasa de de interés interés efectiva efectiva continua continua anual anual es = i% = = eeOO.l515 - 1 == 16.183% 16.183% Por conveniencia, conveniencia, la la tabla tabla 4.3 4.3 incluye incluye tasas tasas de de interés interés efectivas efectivas continuas continuas para para las las Por tasas nominales listadas. tasas nominales listadas.

EJEMPLO EJEMPLO

a)

4.11

;i",!!ti

Calcule las las tasas tasas de interés interés anual anual y efectiva efectiva mensual, mensual, para para una una tasa tasa de interés interés del del Calcule 18% anual con composición composición continua. continua. 18% anual con

155 155

156 156

CAPÍTULO 4 CAPÍTULO

b)

Tasas de interés interés nominales efectivas Tasas nominales yy efectivas

Un inversionista inversionista necesita necesita un rendimiento efectivo de, por menos, el 15%. 15%. ¿Cuál ¿Cuál es Un rendimiento efectivo por lo menos, tasa nominal nominal anual anual mínima mínima aceptable aceptable para composición continua? continua? la tasa para la composición

Solución Solución La tasa tasa mensual mensual nominal nominal es r = = 18%/12 18%/12 = 1.5%; 1.5%; es decir, decir, 0.015 0.015 mensual. mensual. De De acuerdo acuerdo a) La con la ecuación ecuación [4.12], [4.12], la tasa tasa mensual mensual efectiva efectiva es con i% mensual mensual = eerr - 1 = i%

I5 eO.O eO.O

b)

18 18

eO.

-

ta,

nH He

= 19.72% 19.72% 1=

Resuelva la ecuación ecuación [4.12] [4.12] para considerando el logaritmo logaritmo natural. natural. Resuelva para r considerando

4.'

e' - 1 = 0.15 0.15 e'

La de

1.15 ee'r = 1.15 In e' er = In 1.15 1.15

s

ca (ts irn lo:

nu

1 = 1.511 1.511 %

Asimismo, la tasa tasa anual anual efectiva, efectiva, utilizando utilizando rr = 0.18 0.18 anual, anual, es Asimismo, i% anual anual = = ee'r -- 1 == i%

CC

na

13.976% r% = = 13.976% Por lo tanto, tanto, una tasa de 13.976% 13.976% anual, anual, con con periodo composición continua, continua, genegenePor una tasa periodo de composición rará 15% efectivo efectivo de rendimiento anual. rará 15% rendimiento anual. Comentario Comentario

4.12 4.12

COI

pm

La fórmula fórmula general general para calcular la tasa tasa nominal, nominal, dada dada la tasa tasa efectiva efectiva continua continua i,i, es La para calcular In(l + i). tn(l

EJEMPLO EJEMPLO

tas inr

r =

.

ea,

los do: al, prc de Est

Las ingenieras ingenieras Marci Marci y Suzanne Suzanne invierten invierten $5 000 000 durante durante 10 años años al 10% 10% anual. anual. Calcule Calcule Las el valor para ambas, valor futuro futuro para ambas, si Marci Marci recibe recibe intereses intereses anuales anuales compuestos, compuestos, y y Suzanne, Suzanne, intereses continuós. intereses continuós.

COI bOl

Solución Solución Marci: El valor futuro futuro para para un periodo composición anual anual es Marci: El valor periodo de composición

tan cial

F=P(FIP,lO%,lO) 000(2.5937) = $12 $12 969 969 F = P(FIP,lO%,lO) = 5 000(2.5937) Suzanne: Utilizando Utilizando la ecuación [4.12], primero encuentra la tasa tasa efectiva efectiva i anual, anual, para Suzanne: ecuación [4.12], primero se encuentra para usarla en el factor usada factor FIP. FIP. lO IO i% efectiva efectiva = é eO 10.517% i% - 1 = 10.517%

COli

esn ble

dife

P(FIP,10.517%,1O) = 5000(2.7183) 5000(2.7183) = = $13 $13 591 F = P(FIP,10.517%,1O) La composición composición continua continua genera genera $622 $622 de incremento incremento en en ganancias. ganancias. Por Por comparación, comparación, la La composición diaria diaria genera genera una una tasa tasa efectiva efectiva de 10.516% 10.516% (F (F = $13590), $13 590), apenas apenas un poco composición poco menor que que el 10.517% 10.517% de la composición continua. menor composición continua.

algunas actividades actividades de negocios, negocios, los flujos flujos de efectivo efectivo se presentan durante En algunas presentan durante el día. Ejemplos Ejemplos de costos costos son los costos costos de energía energía yagua, yagua, costos costos de inventario inventario y

Par, apli PIF

SECCIÓN 4.9 4.9 SECCIÓN

Tasas de interés interés que que varían varían con con el tiempo tiempo Tasas

modelo realista realista para para estas actividades actividades consiste consiste en increcostos de mano de obra. Un modelo mentar la frecuencia frecuencia de los flujos de efectivo efectivo para para que se tornen continuos. En tales mentar tomen continuos. casos, análisis económico económico puede puede llevarse llevarse a cabo para para un flujo de efectivo efectivo continuo continuo casos, el análisis (también denominado flujo continuo de fondos) para la composición composición continua continua de (también denominado flujo continuo fondos) y para intereses estudiada. Entonces, Entonces, es necesario necesario derivar derivar expresiones expresiones diversas diversas para para intereses antes estudiada. factores. De hecho, las diferencias diferencias económicas económicas para para los flujos de efectivo efectivo conticontilos factores. relativos al flujo de efectivo efectivo discreto discreto y a los supuestos supuestos de composición composición discrediscrenuos, relativos normalmente no son muy grandes. grandes. En consecuencia, consecuencia, muchos muchos estudios estudios de ingeta, normalmente niería económica económica no exigen exigen al analista analista que utilice utilice estas formas formas matemáticas matemáticas para para niería llevar a cabo la evaluación evaluación apropiada apropiada de un proyecto proyecto y tomar decisión. llevar tomar una decisión. 4.9 4.9

QUE VARíAN VARíAN CON CON EL TIEMPO TIEMPO TASAS DE INTERÉS QUE

interés reales reales para para una corporación corporación varían varían año con año, dependiendo dependiendo Las tasas de interés estado financiero financiero de la empresa, empresa, de su sector sector en el mercado, mercado, de las econollÚas economías del estado nacional e internacional, internacional, de las fuerzas de inflación inflación y de muchos muchos otros factores. factores. Las nacional préstamo pueden pueden incrementarse incrementarse de un año a otro. Las hipotecas hipotecas de bienes bienes tasas de préstamo inmuebles financiadas financiadas mediante mediante un interés interés de tipo HTA (hipoteca (hipoteca de tasa ajustable) ajustable) inmuebles constituyen un buen ejemplo. ejemplo. La tasa de hipoteca hipoteca se ajusta ajusta ligeramente ligeramente cada cada año constituyen refleje la antigüedad antigüedad del préstamo, préstamo, el costo actual actual del dinero de la hipotehipotepara que refleje etcétera. Un ejemplo ejemplo de tasas de interés interés que se incrementan incrementan con el tiempo tiempo son ca, etcétera. bonos protegidos protegidos contra contra la inflación, inflación, emitidos emitidos por el gobierno gobierno de Estados Estados Unilos bonos agencias. La tasa de dividendos dividendos que paga paga el bono bono permanece permanece constante constante dos y otras agencias. periodo de vida; sin embargo, embargo, a la cantidad cantidad global global que se debe al a lo largo de su periodo propietario del bono cuando cuando alcanza alcanza su madurez madurez se le aplica aplica un un ajuste ajuste ascendente, ascendente, propietario acuerdo con el índice índice de inflación inflación del índice de precios consumidor (IPC). (lPC). de acuerdo precios al consumidor significa que la tasa anual de rendimiento rendimiento se incrementará incrementará cada cada año de acuerdo acuerdo Esto significa inflación observada. observada. (En los capítulos capítulos 5 y 14, respectivamente, respectivamente, se repasan repasan los con la inflación bonos y la inflación.) inflación.) bonos Cuando los valores valores de P, F YA se calculan calculan utilizando utilizando una tasa de interés interés consCuando promedio, durante durante la vida de un proyecto, proyecto, las alzas y bajas bajas de i son despredespretante o promedio, variación de i es grande, grande, los valores valores equivalentes equivalentes variarán variarán de manera manera ciables. Si la variación considerable de aquellos aquellos que se calculan calculan mediante mediante la tasa constante. constante. Aunque Aunque un considerable estudio de ingeniería ingeniería económica económica puede puede ajustar ajustar matemáticamente matemáticamente los valores valores variavariaestudio cálculos resultan resultan más complicados. complicados. bles de i,i, los cálculos definir el valor valor de P para para los valores valores del flujo de efectivo efectivo futuro (F (Fr) Para definir t ) con diferentes valores valores de i (it) (ir) para para cada año t, supondremos supondremos una composición composición anual. Sea diferentes interés efectiva efectiva anual para para el año t (t = = años 1 a n) itir == tasa de interés determinar el valor valor presente, presente, se calcula calcula P P para para cada cada valor F Fr't, utilizando utilizando la itir que Para determinar aplique y sumando sumando los resultados. resultados. De acuerdo acuerdo con la notación notación estándar estándar y el factor factor aplique PIF, = F/PIF,i¡, F/P/F,i¡, 1) + FiPIF,i¡,1)(PIF,i FiP/F,i¡,1)(P/F,i2,l) 2 ,l) + ... ... P=

+ F,,(PIF,i¡,l)(PIF,i F,,(P/F,i¡,l)(P/F,i2,1)· .. (PIF'/",l) (P/F'/",l) 2 ,1)· ..

[4.13]

157

158

CAPÍTULO

4

Tasas de interés nominales y efectivas

Cuando sólo están involucradas cantidades únicas, es decir, una P y una F en el año final n, el último término de la ecuación [4.13] es la expresión del valor presente del flujo de efectivo futuro. P

= FII(PIF,i¡,1)(PIF,iz,1)

[4.14]

••,. (PIF,ill,1)

Si se requiere la serie uniforme equivalente A durante todos los n años, primero se calcula P con cualquiera de las dos últimas ecuaciones; enseguida se sustituye el símbolo A por cada símbolo F; Ya que el valor equivalente P se determinó numéricamente utilizando las tasas variables, esta nueva ecuación sólo tendrá una incógnita, A. El siguiente ejemplo ilustra tal procedimiento. EJEMPLO

4.13

.l~ CE, lnc. arrienda equipo pesado para perforación de túneles. Las utilidades netas del equipo para cada uno de los últimos 4 años han ido disminuyendo, como lo indica la siguiente tabla. Ésta, además, incluye las tasas de rendimiento anuales sobre el capital invertido. La tasa de rendimiento se ha ido incrementando. Determine el valor presente P y la serie uniforme equivalente A de la serie de utilidades netas. Tome en cuenta la variación anual de las tasas de rendimiento.

1

2

3

4

$70000

$70000

$35000

$25000

7%

7%

9%

10%

Año Utilidad neta Tasa anual

~ S $ v

anu:

Enc Solución La figura 4.1 J muestra los flujos de efectivo, las tasas de cada año y los valores equivalentes de P y A. La ecuación [4.13] se utiliza para calcular P. Ya que para los años 1 y 2 el $70000

$35000 $25 000

inch

Este A. E usar dete cuer

RES

~

o l

i=7%)

3

2

.,

Or-----~------~------+-----~---

4

2

7%

9% -1

i=9% i= 10%

p=?

7%

3

4

10% -1

-1

Corr dos , nom tiva inter

$172816

Figura 4.11 Valores equivalentes de P y A para tasas de interés variables (ejemplo 4.13).

m es comj

RESUMEN RESUMEN DEL DEL CAPÍTULO CAPÍTULO

rendimiento neto neto es $70 $70 000 000 y la tasa tasa anual anual es 7%, factor PIA se aplica rendimiento 7%, el el factor aplica exclusivamente exclusivamente para estos estos dos años. años. para [70(PIA,7%,2) + 35(PIF,7%,2)(PIF,9%,1) 35(PIF,7%,2)(PIF,9%,l) P = [70(PIA,7%,2) 25(PIF,7%,2)(PIF,9%,1)(PIF, 10%,1)](1000) 10%,1)](1 000) + 25(PIF,7%,2)(PIF,9%,1)(PIF, [70(1.8080) + 35(0.8013) 35(0.8013) + 25(0.7284)](1000) 25(0.7284)](1 000) = [70(1.8080) =$172816 = $172816 Para determinar determinar una una serie serie anual anual equivalente, equivalente, se sustituye sustituye el símbolo A por Para el símbolo por los los valores valores de utilidad neta neta en la parte parte derecha derecha de la ecuación ecuación [4.15], [4.15], que $172 816 P = $172 816 Y se utilidad que se iguala iguala a P despeja A. Esta Esta ecuación ecuación toma toma en cuenta cuenta los los valores figura 4.11 despeja valores variables variables iide de cada cada año. año. La La figura 4.11 muestra la transformación transformación del diagrama diagrama de de flujo flujo de efectivo. muestra efectivo. $172 816 816 = A[(1.8080) A[(1.8080) + (0.8013) (0.8013) + (0.7284)] (0.7284)] = A[3.3377] $172 A[3.3377] 777 anuales anuales A = $51 777 Comentario Comentario utiliza el promedio promedio de las cuatro cuatro tasas tasas anuales, Si se utiliza anuales, es decir, decir, 8.25%, 8.25%, el resultado resultado es A == $52 467. 467. Esto Esto representa representa $690 $690 de presupuesto presupuesto sobreestimado sobreestimado anual sobre la cantidad $52 anual sobre cantidad equiequivalente requerida. requerida. valente

Cuando hay un flujo de efectivo efectivo en el año O y las tasas tasas de interés interés varían Cuando varían anualmente, debe incluirse incluirse dicho flujo de efectivo anualmente, efectivo cuando cuando se determina determina el valor de P. cálculo de la serie uniforme uniforme equivalente equivalente A durante durante todos los años, hay que En el cálculo O,ya importante considerar considerar este flujo de efectivo efectivo inicial = O. incluir el año O, ya que es importante inicial en t = O. inserción del factor factor de valor (PIF, io, para Esto se logra con la inserción valor para para (PIF, io, O)en O) en la relación relación para siempre es 1.00. También También es correcto correcto encontrar encontrar el valor A. Este factor de valor siempre valor A usando una relación relación de valor valor futuro para para F en el año n. En este caso, el valor usando valor A se determina con el empleo empleo del factor FIP, FIP, y el flujo de efectivo efectivo en el año n se toma determina toma en cuenta con la inclusión inclusión del factor (FI (FIPi cuenta Pio, O) = 1.00. o, O)

RESUMEN DEL CAPíTULO CAPíTULO RESUMEN Como muchas muchas situaciones situaciones reales reales implican implican frecuencias frecuencias de flujo de efectivo efectivo y perioComo periocapitalización distintos distintos a un año, es necesario dos de capitalización necesario utilizar utilizar las tasas tasas de interés interés nominal y efectiva. efectiva. Cuando Cuando una tasa nominal nominal r se establece, establece, la tasa efecnominal tasa de interés interés efecperiodo de pago se determina determina aplicando aplicando la ecuación ecuación de la tasa de tiva por cada periodo interés efectiva. efectiva. interés /It /It

efectiva = 1 1+ :~ i efectiva :~ ((

)

- 11

periodos de composición composición (PC) por m es el número número de periodos por periodo periodo de pago pago (PP). Si la composición de los intereses intereses se torna torna cada cada vez más frecuente, frecuente, la duración duración de un PC composición

159 159

160

CAPÍTULO 4 CAPÍTULO

interés nominales nominales y y efectivas efectivas Tasas de interés

aproxima a cero, cero, lo cual da como como resultado resultado una composición composición continua, continua, y la tasa se aproxima interés efectiva efectiva i es igual a ee'r -- 1. de interés ingeniería económica económica requieren el uso de una tasa Todos los factores factores de la ingeniería interés efectiva. Los valores valores de i y n colocados colocados en un factor factor dependen dependen del tipo de de interés efectivo. Si sólo hay cantidades cantidades únicas únicas (P y F), F), existen existen diversas diversas serie de flujo de efectivo. llevar a cabo cálculos cálculos de equivalencia equivalencia utilizando utilizando los factores. factores. Sin embarembarformas de llevar cuando los flujos de efectivo efectivo en serie (A, G Y g) se encuentran presentes, sólo go, cuando encuentran presentes, cierta combinación de la tasa de interés interés efectiva efectiva i y del número número de periodos periodos n es cierta combinación correcta para para los factores. factores. Esto requiere requiere que las duraciones duraciones relativas relativas de PP y pe PC se correcta consideren conforme conforme i y n se hayan hayan determinado. interés y los periodos consideren determinado. La tasa de interés periodos deben tener tener la misma misma unidad unidad de tiempo, tiempo, con la finalidad finalidad de que los factores factores de pago pago deben tomen en cuenta cuenta correctamente correctamente el valor del dinero dinero en el tiempo. tomen periodo de interés) interés) a otro, las tasas de interés interés variarán. variarán. Para Para llevar llevar De un año (o periodo cálculos de equivalencia equivalencia con exactitud exactitud para para P y A, cuando cuando las tasas varían varían a cabo cálculos significativamente, debe utilizarse utilizarse la tasa de interés interés que se aplica, no una tasa proprosignificativamente, medio o constante. constante. Los procedimientos procedimientos y factores, factores, ya sea que se efectúen efectúen a mano mano o medio por computadora, computadora, son los mismos mismos que los de las tasas de interés interés constantes; constantes; sin embargo, embargo, se incrementa incrementa el número número de cálculos. cálculos.

4.H

4.11

4.1:

4.1~

4.1~ 4.1:

4.lt

PROBLEMAS PROBLEMAS Tasas nominal nominal y efectiva efectiva Tasas 4.1

Identifique el periodo periodo de capitalización capitalización para Identifique intereses establecidos establecidos que siguen: a) 1% los intereses mensual; b) 2.5% trimestral, y c) 9.3% anual, compuestos semestralmente. semestralmente. compuestos

Identifique el periodo periodo de capitalización capitalización para 4.2 Identifique intereses que siguen: siguen: a) 7% nominal nominal los intereses compuesto trimestralmente; trimestralmente; b) 6.8% anual, compuesto compuesto mensualmente, mensualmente, y efectivo anual, compuesto efectivo trimestral, trimestral, compuesto compuesto sec) 3.4% efectivo manalmente. manalmente. 4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

Determine el número número de veces que el interés Determine capitalizaría en 1 año para los siguientes siguientes se capitalizaría 2% intereses establecidos: a) 1% mensual; b) 2% trimestral, y c) 8% anual, compuestos compuestos setrimestral, mestralmente. mestralmente. Para una tasa de interés interés de 10% anual comPara trimestralmente, determine determine el número puesta trimestralmente, capitalizaría el interés: a) por de veces que se capitalizaría trimestre, b) por año y c) en tres años. trimestre,

4.9

Para una tasa de interés de 0.50% trimestral, trimestral, Para determine la tasa de interés interés nominal nominal para: determine a) en un semestre, b) anual y c) en dos años. Para una tasa de interés capiPara interés de 12% anual capitalizable cada cada 2 meses, meses, determine talizable determine la tasa de interés nominal nominal para: a) 4 meses, interés meses, b) 6 meses y c) 2 años. Para una tasa de interés interés de 10% por año, Para compuesto trimestralmente, trimestralmente, calcule calcule la tasa compuesto nominal por: a) 6 meses y b) 2 años. nominal Identifique las tasas de interés interés establecidas establecidas Identifique nominales o efectivas: a) 1.3% mencomo nominales semanal, compuesto compuesto semanalsemanalsual; b) 1% semanal, mente; c) 15% nominal nominal anual, anual, compuesto compuesto mente; mensualmente;d) 1.5%efectivopor mensualmente; d) 1.5% efectivo por mes, compuesto diariamente, y e) 15% anual, compuessemestralmente. to semestralmente. ¿Qué tasa de interés interés efectiva efectiva por 6 meses meses es ¿Qué equivalente a 14% anual, anual, compuesto compuesto semessemesequivalente tralmente? tralmente?

Peri capi

4.1í

4.18

4.19

4.20

PROBLEMAS PROBLEMAS

4.10 Una tasa tasa de compues4.10 Una de interés interés de de 16% 16% anual, anual, compuestrimestralmente, ¿a tasa anual to trimestralmente, ¿a qué qué tasa anual de de ininterés efectivo terés efectivo equivale? equivale? 4.11 4.11

¿Qué tasa interés nominal año equivaequiva¿Qué tasa de interés nominal por por año le a 16% 16% anual, anual, compuesto compuesto semestralmente? semestralmente?

4.12 tasa de 4.12 ¿Cuál ¿Cuál es es la la tasa de interés interés efectivo efectivo anual anual que que equivale anual, compuesto equivale a 18% 18% efectivo efectivo anual, compuesto semestralmente? semestralmente? 4.13 4.13

¿¿Qué Qué periodo periodo de capitalización capitalización se asocia asocia con con efectiva de 18% 18% y 18.81 18.81 % % las tasas tasas nominal nominal y efectiva anual, respectivamente? anual, respectivamente?

4.14 Una tasa tasa de de 11% % mensual, mensual, ¿a 4.14 Una de interés interés de ¿a qué qué tasa efectiva por dos meses equivale? tasa efectiva por dos meses equivale? 4.15 Un interés men4.15 Un interés de de 12% 12% anual anual compuesto compuesto mensualmente, tasas nominal nominal y efecsualmente, ¿a ¿a cuáles cuáles tasas efectiva por por 6 meses meses equivale? tiva equivale? 4.16 a) Una Una tasa tasa de por periodo periodo de interés interés de 6.8% 6.8% por semestral, compuesto compuesto semanalmente, semanalmente, ¿a semestral, ¿a qué tasa de qué tasa de interés interés semanal semanal es es equivaequivalente? lente? ¿La tasa semanal es es nominal efectiva? b) ¿La tasa semanal nominal o efectiva? Suponga por semestre. Suponga 26 26 semanas semanas por semestre. Periodos de pago y de composición composición o Periodos capitalización capitalización

4.17 4.17

Se realizan depósitos por semana Se realizan depósitos de $100 $100 por semana en una una cuenta paga un un interés cuenta de de ahorros ahorros que que paga interés de trimestralmente. de 6% 6% anual, anual, compuesto compuesto trimestralmente. Identifique periodos de pago y capitaliIdentifique los los periodos de pago capitalización. zación.

4.18 4.18

Cierto banco nacional nacional anuncia Cierto banco anuncia capitalizacapitalización trimestral para ción trimestral para las las cuentas cuentas de de cheques cheques de negocios. ¿Cuáles periodos de pago y cade negocios. ¿Cuáles periodos de pago capitalización asocian con con los los depósitos depósitos pitalización se asocian diarios diarios de de las las entradas? entradas?

4.19 para 3 años, años, con 4.19 Determine Determine el factor factor FIP FIP para con una tasa tasa de una de interés interés de de 8% 8% anual anual compuesto compuesto semestralmente. semestralmente. 4.20 4.20

Calcule PIG para para 5 años, una Calcule el factor factor PIG años, con con una tasa de tasa de interés interés efectivo efectivo de de 6% 6% anual, anual, comcompuesta semestralmente. puesta semestralmente.

161 161

Equivalencias para series Equivalencias para series y cantidades cantidades únicas únicas 4.21 4.21

Un Un compañía compañía que que se se especializa especializa en en el desadesarrollo de software software para seguridad en línea, línea, rrollo de para seguridad quiere tener disponibles $85 $85 millones quiere tener disponibles millones para para dentro pagar dividendos dentro de de 3 años años pagar dividendos accionaaccionarios. ¿Cuánto reservar ahora en rios. ¿Cuánto dinero dinero debe debe reservar una una tasa tasa de una cuenta cuenta que que gana gana una de interés interés de de 8% trimestralmente? 8% anual, anual, compuesto compuesto trimestralmente?

4.22 pruebas con bombas nunu4.22 Debido Debido a que que las las pruebas con bombas cleares Departacleares se se detuvieron detuvieron en en 1992, 1992, el Departamento de Unidos ha ha mento de Energía Energía de de los los Estados Estados Unidos estado un proyecto proyecto de estado desarrollando desarrollando un de láser láser que permitirá a los que permitirá los ingenieros ingenieros simular simular en en el laboratorio una reacción reacción laboratorio las las condiciones condiciones de de una termonuclear. Como termonuclear. Como los los costos costos se dispararon dispararon en un comité en exceso, exceso, un comité de de congresistas congresistas ememprendió una prendió una investigación investigación y descubrió descubrió que que el costo por el desarrollo procosto estimado estimado por desarrollo del del proyecto se incrementó una tasa promedio de de yecto incrementó a una tasa promedio 3% un periodo periodo de 3% mensual mensual durante durante un de 5 años. años. Si la la estimación estimación del del costo costo originalmente originalmente fue fue de mil millones de $2.7 $2.7 mil millones hace hace 5 años, años, ¿cuál ¿cuál es el que se espera el costo costo que espera hoy? hoy? 4.23 una suma tasa de 4.23 Hoy, Hoy, una suma de de $5 000 000 con con tasa de interés interés de de 8% 8% anual anual compuesto compuesto semestralmente, semestralmente, ¿a ¿a cuánto hace 8 años? años? cuánto dinero dinero equivalía equivalía hace 4.24 un esfuerzo por garantizar seguridad 4.24 En En un esfuerzo por garantizar la seguridad de usuarios de teléfonos celulares, de los los usuarios de teléfonos celulares, la CoComisión Federal Federal de de misión de Comunicaciones Comunicaciones de los los Estados Unidos (FCC) exige exige que que los aparatos aparatos Estados Unidos (FCC) tengan de radiación específica tengan un un número número de radiación específica absorbida watts por por kilogramo kilogramo absorbida (REA) (REA) de de 1.6 watts (W/kg) tejido, o menos. menos. Una Una compañía (W/kg) de de tejido, compañía nueva de teléfonos celulares considera considera que que nueva de teléfonos celulares publicidad a su cantidad cantidad favorable favorable si hace hace publicidad de 1.2 REA, ventas en $1.2 REA, incrementará incrementará sus sus ventas $1.2 millones dentro tres meses, meses, cuando millones dentro de de tres cuando salsalgan venta sus una tasa tasa de gan a la la venta sus equipos. equipos. Con Con una de interés interés de de 20% 20% anual, anual, compuesto compuesto trimestraltrimestralmente, ¿cuál es la cantidad cantidad máxima máxima que que ahora mente, ¿cuál debe publicidad, con debe gastar gastar la la compañía compañía en en publicidad, con el mantenerse en el fin fin de de mantenerse en equilibrio? equilibrio? 4.25 por Radio Frecuencia 4.25 La La Identificación Identificación por Radio Frecuencia (IDRF) tecnología que usa para para que (IDRF) es la la tecnología que se usa que

162

CAPÍTULO

4

Tasas de interés nominales y efectivas

los conductores crucen rápido las casetas de cobro, y también con la que los rancheros rastrean el ganado de la granja al tenedor. Wal-Mart espera comenzar a usarla para dar seguimiento a los productos dentro de sus tiendas. Si los productos con etiquetas de IDRF dan lugar a un mejor control de los inventarias, la compañía ahorraría $1.3 millones mensuales a partir de tres meses después de hoy, ¿cuánto podría desembolsar la empresa para implantar la tecnología, con una tasa de interés de 12% anual, compuesto mensualmente, si desea recuperar su inversión en 21h años? 4.26

.tUll

~~:\ 4.27

4.28

El misil Patriot, desarrollado por Lockheed Martin para el ejército estadounidense, se diseñó para derribar aeronaves y a otros misiles. El costo original del Patriot Avanzado con Capacidad-3, estaba planeado para costar $3.9 mil millones, pero debido al tiempo adicional requerido para crear el código de computación y a las pruebas fallidas ocasionadas por vientos fuertes en la instalación de White Sands Missile Range, el costo real fue mucho más elevado. Si el tiempo total de desarrollo del proyecto fue de 10 años y los costos aumentaron a una tasa de 0.5% mensual, ¿a cuánto ascendió el costo final? Es común que las tarjetas de video basadas en el procesador GTS GeForce de Nvidia cuesten $250, pero esta compañía lanzó una versión ligera del chip que cuesta $150. Si cierto fabricante de juegos de video compraba 3 000 chips por trimestre, ¿cuál fue el valor presente de los ahorros asociados con el chip más barato, durante un periodo de 2 años con una tasa de interés de 16% anual, compuesto trimestralmente? A fines del primer trimestre del año 2000, una huelga de 40 días en Boeing dio como resultado una reducción en 50 entregas de aviones jet. Con un costo de 20 millones por avión ¿cuál fue el costo equivalente a

final del año de la huelga (por ejemplo del último trimestre) con una tasa de interés de 18% anual compuesto mensualmente? 4.29

La división de productos ópticos de Panasonic planea una expansión de su edificio que tendrá un costo de $3.5 millones, para fabricar su poderosa cámara digital Lumix DMC. Si la compañía usa para todas las inversiones nuevas una tasa de interés de 20% anual, compuesto trimestralmente, ¿cuál es la cantidad uniforme por trimestre que debe obtener para recuperar su inversión en 3 años?

4.3

4.30

Thermal Systems, compañía que se especializa en el control de olores, deposita hoy $10 000, $25 000 al final del sexto mes, y $30 000 al final del noveno mes. Calcule el valor futuro (al final del año 1) de los depósitos, con una tasa de interés de 16% anual, compuesto trimestralmente.

4.31

Lotus Development tiene un plan de renta de software denominado SmartSuite, disponible en web. Puede disponerse de cierto número de programas a $2.99 por 48 horas. Si una compañía constructora usa el servicio 48 horas en promedio por semana, ¿cuál es el valor presente de los costos por rentar durante 10 meses con una tasa de 1% de interés mensual, compuesto semanalmente? (Suponga 4 semanas por mes.)

4.3

4.32

Northwest Iron and Steel analiza si incursiona en el comercio electrónico. Un paquete modesto de esta modalidad se encuentra disponible por $20 000. Si la compañía desea recuperar el costo en 2 años, ¿cuál es la cantidad equivalente del ingreso nuevo que debe obtenerse cada 6 meses, si la tasa de interés es de 3% trimestral?

4.31

4.33

Metropolitan Water Utilities compró una superficie acuática del distrito de riego Elephant Butte, con un costo de $100 000 por mes, para los meses de febrero a septiembre. En lugar de hacer un pago mensual, la

4.3~

163

PROBLEMAS PROBLEMAS

empresa hará un solo pago pago de $800 000 al empresa hará final del año (es decir, al final de diciembre) diciembre) por el agua utilizada. El retraso retraso del pago pago por agua utilizada. representa en esencia parte representa esencia un subsidio subsidio de parte de la empresa una empresa al distrito distrito de riego. Con una mensual, ¿cuál tasa de interés interés de 0.25% 0.25% mensual, ¿cuál es el monto monto del subsidio? subsidio? 4.34

4.35

4.36

4.37

Scott Manufacturing analiza analiza conScott Specialty Specialty Manufacturing solidar todos sus servicios electrónicos con solidar todos servicios electrónicos una compañía. compañía. Si compra compra un teléfono teléfono digital compañía podría de AT&T AT &T Wireless Wireless la compañía podría comprar, por $6.99 al mes, servicios servicios inalámbriinalámbricos de correo correo electrónico electrónico y fax. Por $14.99 $14.99 mensuales obtendría ilimitado a la mensuales obtendría acceso acceso ilimitado web y funciones persofunciones de organización organización de personal. Para contratación de 2 Para un periodo periodo de contratación años, valor presente presente de la difedifeaños, ¿cuál ¿cuál es el valor una tasa de rencia entre entre los servicios, servicios, con una 12% men12% de interés interés anual anual compuesto compuesto mensualmente? sualmente? Magnetek Instrument Instrument and Controls, Magnetek Controls, fabricante de sensores bricante sensores de nivel líquido, líquido, espera espera que las ventas ventas de uno de sus modelos modelos se incrementen 20% cada cada 6 meses, durante el incrementen meses, durante espera que las ventas futuro previsible. previsible. Si se espera para dentro de 6 meses para dentro meses sean de $150 000, determine el valor semestral equivalente equivalente de determine valor semestral durante un periodo las ventas ventas durante periodo de 5 años, con una tasa de 14% de interés compuesto interés anual compuesto semestralmente. semestralmente. Metalfab Metalfab Pump Pump and Filter Filter proyecta proyecta que el costo de las partes acero para ciertas costo partes de acero para ciertas válvulas aumente $2 cada cada 3 meses. válvulas aumente meses. Si se espera que el costo costo para espera para el primer primer trimestre trimestre valor presente sea de $80, ¿cuál es el valor presente de los costos para costos para un periodo periodo de 3 años, con una una tasa de 3% de interés interés trimestral? trimestral? Fieldsaver Technologies, fabricante fabricante de equiFieldsaver Technologies, po de precisión laboratorio, obtuvo obtuvo un precisión para para laboratorio, préstamo préstamo de $2 millones millones para renovar renovar una instalaciones de pruebas. de sus instalaciones pruebas. El préstamo préstamo años mediante se reembolsó reembolsó en 2 años mediante pagos pagos trimestrales aumentaban $50 000 en trimestrales que aumentaban

cada cada ocasión. ocasión. Con una tasa de interés interés de 3% trimestral, ¿cuál fue el monto trimestral, monto del pago del primer trimestre? primer trimestre? 4.38

4.39

Para efectivo que se muestran Para los flujos de efectivo muestran a continuación, valor presente presente continuación, determine determine el valor O), usando usando una tasa de 18% de in(tiempo (tiempo O), mensualmente. terés anual, anual, compuesto compuesto mensualmente. Mes

Flujo de de efectivo, efectivo, $/mes $/mes

O o 1-12 13-28

1000 1000 2000 2000 3000 3000

presentan los flujos de A continuación continuación se presentan efectivo (en miles) asociados con el sistema de aprendizaje Touch, de Fisher Price. Calcule la serie uniforme trimestral, en los trimestres O a 8, que sería equivalente equivalente a los flujos de efectivo mostrados, con una una tasa tasa de interés efectivo mostrados, interés compuesto trimestralmente. de 16% anual, compuesto trimestralmente. Trimestre Trimestre

Flujo de de efectivo, efectivo, $/trimestre $/trimestre

1 2-3 5-8 5-8

1000 1000 2000 2000 3000 3000

Equivalencia cuando PP PC Equivalencia cuando PP < pe 4.40

deposita $300 $300 por Un ingeniero ingeniero deposita por mes en una cuenta de ahorros ahorros con una tasa cuenta tasa de interés interés de 6% anual, compuesto semestralmente. ¿¿CuánCuánto habrá en la cuenta al final de 15 años? habrá cuenta Suponga que no hay ningún interSuponga ningún periodo periodo intermedio de capitalización. medio capitalización.

4.41

En el tiempo ingeniero depositó depositó tiempo t == O, O, un ingeniero $10000 una cuenta paga un interés interés $10000 en una cuenta que paga compuesto semianualmente. semianualmente. del 8% anual compuesto 11 Y 23 Si retiras retiras $1 000 en los meses meses 2, 11 ¿cuál es el valor cuenta al final ¿cuál valor total total de la cuenta años? Considere Considere que no hay composide 3 años? composición alguna alguna entre entre los periodos. periodos.

4.42 4.42

Para Para las transacciones transacciones que se muestran muestran a continuación, calcule calcule la cantidad cantidad de dinero dinero continuación, cuenta al final del año 3, si la tasa de en la cuenta interés compuesto semessemesinterés es de 8% anual, compuesto

164

CAPÍTULO 4

Tasas de interés nominales y efectivas

tralmente. Suponga que no existe periodo intermedio de capitalización. Final del trimestre

Monto del depósito, $/trimestre

1 2-4 7 11

4.43

• 1U,,¡

\~!! II

900 700 1000

4.48

Debido a la crónica falta de agua en Santa Fe, los campos deportivos deben usar césped artificialo plantas del desierto. Si el valor del agua que se ahorra cada mes es de $6 000, ¿cuánto podría gastar en pasto artificial un des arrollador privado si desea recuperar su inversión en 5 años, con una tasa de interés de 18% anual, capitalizable de modo continuo?

4.49

Una compañía de Taiwán tuvo que declararse en bancarrota debido a la eliminación paulatina en todo el país de éter metil-butil terciario (EMBT). Si la empresa se reorganiza e invierte $50 millones en una instalación nueva para producir etanol, ¿cuánto dinero debe obtener cada mes si desea recuperar su inversión en tres años, con una tasa de interés de 2% mensual capitalizable continuamente?

Importe del retiro, $/trimestre

2600 1000

La Policía Estatal y de Seguridad Pública de Nuevo México posee un helicóptero con el que brinda transporte y apoyo logístico a los funcionarios estatales de alto nivel. La tarifa de $495 por hora cubre los gastos de operación y el salario del piloto. Si el gobernador usa la nave un promedio de dos días al mes durante 6 horas por día, ¿cuál es el valor futuro equivalente de los costos por un año, con una tasa de interés de 6% anual compuesto trimestralmente? (Dé a los costos el tratamiento de depósitos.)

4.50

A fin de contar con $85 000 dentro de cuatro años para reemplazar equipo, una empresa constructora planea reservar el dinero ahora en bonos respaldados por el gobierno. Si éstos dan un interés de 6% anual, capitalizable en forma continua, ¿cuánto dinero debe invertir la compañía?

4.51

¿Cuánto tiempo le tomará a una inversión única duplicar su valor, con una tasa de 1.5% de interés mensual, capitalizable continuamente?

4.52

¿Qué tasa efectiva de interés mensual, compuesto de manera continua, se requerirá para que un depósito único triplique su valor en 5 años?

Composición continua 4.44

¿Qué tasa efectiva de interés anual, con eapitalización continua, equivale a una tasa nominal de 13% por año?

4.45

¿Cuál es la tasa efectiva de interés por 6 meses que es igual a otra nominal de 2% mensual, compuesto continuamente?

4.46

¿Qué tasa nominal trimestral equivale a una tasa efectiva de 12.7% anual, compuesto de manera continua?

4.47

Problemas de corrosión y defectos de manufactura hicieron que fallara un dueto de gasolina con soldaduras longitudinales ubicado entre El Paso y Phoenix. Por ello, se redujo la presión a un 80% del valor considerado por el diseño. Si la presión reducida originó que se distribuyera $100 000 menos de producto al mes, ¿cuál será el valor del ingreso perdido después de un periodo de 2 años, con una tasa de interés de 15% anual, compuesto continuamente?

4.

• PI

4.

4.:

4.~

Tasas de interés variables 4.53

4.54

¿Cuánto dinero podría desembolsar hoy un fabricante de abrasivos de estrato fluido, en vez de gastar $150 000 en el quinto año, si la tasa de interés es de 10% en los años 1 a 3, y 12% en los años 4 y S? ¿Cuál es el valor futuro en el año 8 de una suma presente de $50 000, si la tasa de interés es 10% anual en los años 1 a 4, y 1% en los años 5 a 8?

4.1

PROBLEMAS

4.55

Para los flujos de efectivo que se muestran a continuación, determine a) el valor futuro en el año 5, y b) el valor equivalente A para los años Oa 5. Año

Flujo de efectivo, $/año

Tasa de interés por año, %

O 1-4 5

5000 6000 9000

12 12 20

4.56

165

DE REPASO FI

Para la serie de flujo de efectivo que se encuentra en seguida, calcule el valor equivalente A en los años 1 a 5. Año

Flujo de efectivo, $/año

Tasa de interés por año, %

O 1-3 4-5

O 5000 7000

10 12

PROBLEMAS DE REPASO FI 4.57

4.58

Una tasa de interés efectivo de 14% mensual, compuesto en forma semanal, es: a) Una tasa efectiva anual b) Una tasa efectiva mensual e) Una tasa nominal anual d) Una tasa nominal mensual Una tasa de 2% mensual es la misma que: 24% por año, compuesto mensualmente b) 24% nominal anual, compuesto mensualmente e) 24% efectivo por año, compuesto mensualmente d) Tanto a) como b)

a)

4.59

Una tasa de interés de 12% anual, compuesto mensualmente, está muy cerca de: a) 12.08% anual b) 12.28% anual e) 12.48% anual d) 12.68% anual

4.60

Una tasa de 1.5% mensual, compuesto continuamente, está muy cerca de: a) 1.51 % trimestral b) 4.5% trimestral e) 4.6% trimestral d) 9% semestral

4.61

Una tasa de interés de 2% trimestral, es la misma que: a) 2% nominal trimestral b) 6% nominal anual, compuesto trimestralmente e) 2% efectivo, cada 4 meses d) 2% efectivo, cada 3 meses

4.62

Una tasa de interés expresada como 12% efectivo anual, compuesto mensualmente, es igual a: a) 12% anual b) 1% mensual e) 12.68% anual d) Cualquiera de las anteriores

4.63

Una tasa de interés de 20% anual, compuesto continuamente, está muy cerca de la tasa de interés siguiente: a) 22% simple anual b) 21 % anual, compuesto trimestralmente e) 21 % anual, compuesto mensualmente d) 22% anual, compuesto semestralmente

4.64

Para una tasa de interés de 1% trimestral, compuesto continuamente, la tasa de interés semestral efectiva es la más cercana a: a) Menos de 2.0% b)

2.02%

166

CAPÍTULO

4

Tasas de interés nominales y efectivas

e) 2.20% d) Más de 2.25% 4.65

4.66

•• ,,1

~(:~ ~'\I

4.67

La única vez que se cambia la cantidad y el tiempo de los flujos de efectivo originales en los problemas que involucran una serie uniforme es cuando: a) El periodo de pago es más largo que el periodo de capitalización b) El periodo de pago es igual al periodo de capitalización e) El periodo de pago es más corto que el periodo de capitalización d) En cualquiera de los casos anteriores, en función de cómo se calcule la tasa de interés efectiva Exotic Faucets and Sinks, Ltd., garantiza que su nuevo grifo de sensor infrarrojo ahorrará, en cualquier hogar que tenga dos o más niños, al menos $30 por mes en costos de agua, a partir de 1 mes después de que se instale. Si el grifo tiene una garantía total de 5 años, la cantidad mínima que una farnilia debería gastar ahora por adquirirlo, con una tasa de 6% de interés anual, compuesto mensualmente, es de: a) $149 b) $1552 e) $1 787 d) $1890 La lotería de estados múltiples Powerball, que ofrece un premio de $182 millones, fue ganada por un solo individuo que compró cinco boletos de $1 cada uno. A esta persona se le ofrecieron dos opciones: recibir 26 pagos de $7 millones cada uno, el primero de los cuales ocurriría ahora y el resto al final de cada uno de los 25 años siguientes; o recibir un pago en una sola exhibición ahora que sería equivalente a los 26 pagos de $7 millones cada uno. Si el estado usa una tasa de interés de 4% anual, la cantidad del pago único estaría muy cerca de: a) Menos de $109 000 000 b) $109355000

e) $116355000 d) Más de 117000000 4.68

4.69

4.70

Las utilidades que se paga a los accionistas con derechos de explotación minera tienden a disminuir con el tiempo conforme los recursos se agotan. En un caso particular, la tenedora de acciones recibió un cheque por $18 000 seis meses después a la firma del arrendamiento. Ella continuó recibiendo cheques con intervalos de 6 meses, pero la cantidad disminuía en $2 000 a cada vez. Con una tasa de interés de 6% anual, compuesto semestralmente, el valor uniforme equivalente semestral de los pagos por utilidades para los 4 primeros años, está representado por: a) A = 18000 - 2 000(AIG,3%,8) b) A = 18000 - 2 000(AIG,6%,4) e) A = 18 000(AIP,3%,8) - 2 000 d) A = 18000 + 2000(AIG,3%,8) Se espera que el costo de acrecentar la eapacidad de producción en cierta instalación de manufactura se incremente 7% al año durante el siguiente periodo de 5 años. Si el costo al final del año 1 es de $39 000 y la tasa de interés es de 10% anual, el valor presente de los costos hasta el final del periodo de 5 años está determinado por: a) P = 39 OOO{1 - [(1 + 0.07)6/(1 + 0.1O)6])1(0.10 - 0.07) b) P = 39 OOO{1 - [(1 + 0.07)51(1 + 0.10)5] }1(0.1O+ 0.07) e) P = 39 OOO{1 - [(1 + 0.07)4/(1 + 0.10)4] }1(0.1O- 0.07) d) P = 39 OOO{1 - [(1 + 0.07)51(1+ 0.10)5]}1(0.1O- 0.07) El administrador de una planta desea conocer el valor presente de los costos de mantenimiento para cierta línea de montaje. Un ingeniero industrial que diseñó el sistema estima que los costos de mantenimiento que pueden esperarse serán de cero para los tres primeros años, $2 000 en el año 4, $2 500 en el año 5, y que las cantidades se incre-

4.7

4.7~

PROBLEMAS PROBLEMAS DE DE REPASO REPASO FI

mentarán mentarán $500 cada cada año hasta hasta el año 10. Con una tasa de interés interés de 8% anual, comcompuesto semestralmente, semestralmente, el valor de n por usar en la ecuación ecuación P/G P/G para para este problema problema es: a) 7 b) 8 e) 10 d)

4.71

4.72

debe ser la tasa de interés interés que sea exactamente misma establecida establecida en el protamente la misma blema blema e) debe ser una tasa efectiva efectiva de interés interés que se exprese exprese en un periodo periodo de 1 año interés efectiva efectiva que d) debe ser la tasa de interés se exprese exprese en el periodo periodo de tiempo tiempo igual tiempo en el que ocurre ocurre el primer primer al tiempo cambio cambio igual a G

b)

14

Una compañía compañía de relaciones relaciones públicas públicas concontratada incretratada por la ciudad ciudad de El Paso para para incrementar el turismo turismo hacia hacia la Ciudad Ciudad del Sol mentar propuso propuso que ésta construyera construyera la única única monmontaña rusa que viajara viajara a través de dos países países diferentes. diferentes. La idea es construir construir la vía a lo largo del Río Grande y tener una parte en los Estados Unidos Unidos y la otra en México. México. El apaEstados rato se construiría construiría de modo que los carros carros pudieran partir partir de cualquier cualquier lado de la fronfronpudieran pasajeros bajarían bajarían en el mismo mismo tera, pero los pasajeros punto en que subieron. Una vez que la atracción sea funcional, proyecta que el ingrefuncional, se proyecta so por turismo turismo sea inicialmente inicialmente de $1 millón (es decir, en el momento momento O), O), $1.05 millones millones después del primer primer mes, $1.1025 $1.1025 millomillodespués después del segundo, segundo, y que las cantidacantidanes después des se incrementen incrementen 5% cada mes durante durante el primer interés de 12% primer año. Con una tasa de interés anual, compuesto compuesto mensualmente, mensualmente, el valor presente (tiempo (tiempo O) O)del ingreso por el turisturispresente del ingreso generado por montaña rusa está muy mo generado por la montaña cerca cerca de: $15.59 millones millones a) $15.59 b) $16.59 $16.59 millones millones e) $17.59 $17.59 millones millones d) Más de $18 millones millones En los problemas problemas que involucran involucran un gradiente diente aritmético aritmético G, en los que el periodo periodo de pago es mayor mayor que el periodo periodo de interés, interés, la tasa por usar en las ecuaciones: ecuaciones: a) puede puede ser cualquier cualquier tasa efectiva, efectiva, mientras las unidades unidades de tiempo tiempo de i y n sean mismas las mismas

167

4.73 Un ingeniero ingeniero que analizaba analizaba los datos datos de costo descubrió descubrió que la información información para para los tres primeros perdido. Sin emprimeros años se había había perdido. bargo, él sabía sabía que el costo en el año 4 era de $1 250, Y que se incrementaba incrementaba 5% por año de ahí en adelante. adelante. Si se aplicara aplicara la mismisma tendencia tendencia a los tres primeros primeros años, el costo en el año 1 estaría estaría muy cerca cerca de: a) $1235.70 $1235.70 b) $1 191.66 e) $1 133.79 d) $1079.80 $1079.80 4.74 Encon Encon .Environmental Environmental Testing necesita necesita com4.74 prar dentro de dos años equipo equipo por $40 000. Con una tasa de interés interés de 20% anual, compuesto puesto trimestralmente, trimestralmente, el valor valor uniforme uniforme trimestral trimestral del equipo equipo (trimestres (trimestres 1 a 8), es muy cercano cercano a: a) $3958 $3958 b) $4041 $4041 e) $4189 $4189 d) Más de $4 200

4.75

Border Border Steel invirtió invirtió $800 000 en una uni uni-dad cortadora cortadora nueva. Con una tasa de interés de 12% anual, compuesto compuesto trimestralmente, trimestralmente, el ingreso ingreso por trimestre trimestre que se requiere requiere para para recuperar recuperar la inversión inversión en 3 años es de: a) $69610 $69610 b) $75880 $75880 e) $80370 $80370 d) $83550 $83550

168 168

CAPÍTULO CAPÍTULO 44

Tasas Tasas de de interés interés nominales nominales yy efectivas efectivas

ESTUDIO DE CASO CASO ESTUDIO FINANCIAMIENTO FINANCIAMIENTO DE DE VIVIENDA VIVIENDA

Introducción Introducción Cuando un individuo una pareja pareja deciden deciden comprar comprar una una Cuando individuo o una vivienda, una una de de las las cuestiones cuestiones más más importantes importantes es es el el vivienda, financiamiento. Existen diversos diversos métodos métodos de de financiafinanciafinanciamiento. Existen miento para para la la compra compra de de una una propiedad propiedad residencial, residencial, miento cada uno de los cuales tiene tiene ciertas ciertas ventajas, ventajas, las las cuales cuales cada uno los cuales permiten elegir uno de de los los métodos métodos bajo bajo cierto cierto conjunconjunpermiten elegir uno La elección elección de de uno uno de de los los métométoto de de circunstancias. circunstancias. La dos de acuerdo acuerdo con dos con determinado determinado grupo grupo de de condiciones condiciones constituye tema de de este este caso. caso. Se Se describen describen tres tres méméconstituye el tema todos de financiarniento financiamiento con con detalle. detalle. Se Se evalúan evalúan los los plaplatodos nes B; se le pide pide al lector lector que que evalúe el plan plan C y nes A y B; evalúe el que lleve a cabo un análisis análisis adicional. que lleve cabo un adicional. El criterio criterio aplicado El aplicado en este este caso caso es el el siguiente: siguiente: elielija el plan plan de financiamiento tenga un un saldo mayor ja financiamiento que que tenga saldo mayor final de un un periodo de 10 años. años. Por al final periodo de Por lo tanto, tanto, calcule calcule el valor de cada cada plan plan y elija tenga el mamavalor futuro futuro de elija el que que tenga yor valor futuro. yor valor futuro. Plan Plan Descripción Descripción

•

•

Análisis Análisis de de planes planes de de financiamiento financiamiento Plan Plan A: Tasa Tasa fija fija a 30 30 años años El El monto monto de de dinero dinero que que se se requiere requiere por por adelantado adelantado es es de: (5% de $150 000) $7500 a) Pago a) Pago del del enganche enganche (5% de $150 000) $7500

b) e) d) e) j) j) g)

A

B

C

Tasa Tasa de interés interés fija fija a 30 30 años años de 10% 10% anual pago de enganche anual y 5% 5% de de pago enganche Tasa hipoteca (TAH), Tasa ajustable ajustable de de hipoteca (TAH), 9% 9% en los los primeros primeros 3 años, años, 9'/2% 91/2% en el año 4, 10'/4% 101/4% en los años años 5 a 10 año (supuesto), (supuesto), 5% de enganche enganche Tasa Tasa fija fija a 15 años años al 9'/2% 91/2% de de interés interés anual, anual, 5% 5% de enganche enganche

Nuevos Nuevos gastos gastos por por el el préstamo: préstamo: cuota cuota de de origen origen de de 1%, 1%, cuota cuota de de avalúo avalúo de de $300, $300, cuota cuota de de investigainvestigación ción de de $200, $200, honorarios honorarios del del abogado abogado de de $200, $200, cuocuota ta de de procesamiento procesamiento de de $350, $350, cuotas cuotas de de depósito depósito de de $150 $150 yy $300 $300 de de otros otros gastos. gastos. Cualquier Cualquier monto monto que que no no se se gaste gaste en en el el pago pago del del enenganche ganche o en en los los pagos pagos mensuales mensuales ganará ganará intereses intereses libres 1/4% mensual. libres de de impuestos impuestos al al'//fo mensual.

h)

Cuota de de origen de $142 $142 500) 500) Cuota origen (1 % de Avalúo Avalúo Investigación Investigación Honorarios del abogado abogado Honorarios del Réditos Réditos Depósito Depósito Otros gastos gastos (registro, (registro, informe informe de Otros crédito, etc.) etc.) crédito,

Total Total

1425 1425 300 300 200 200 200 200 350 350 150 150 300

---300 $10 425 $10425

La cantidad del préstamo $142500. El pago pago menmenLa cantidad préstamo es $142500. sual equivalente equivalente (principal (principal + intereses) intereses) se determina determina al sual 10%/12 mensual 30(12) = = 360 360 meses. meses. 10%/12 mensual por por 30(12) 500(AlP,10%/12 360) 360) A = 142 500(NP,10%112 $1250.56 = $1250.56

Información Información adicional: adicional: • El precio precio de la casa casa es de $150 $150 000. 000. • La casa casa se venderá venderá en 10 años años en $170 $170 000 000 (ingreso (ingreso neto neto después después de deducir deducir los los gastos gastos de venta). venta). impuestos y el seguro seguro (I&S) (I&S) ascienden ascienden a $300 $300 • Los impuestos mensuales. mensuales. • Cantidad Cantidad disponible: disponible: máximo máximo de $40000 $40 000 para para el enganche, enganche, $1 600 600 mensuales, mensuales, incluyendo incluyendo impuesimpuestos y seguro. seguro.

Cuando los impuestos impuestos y el seguro seguro se suman suman al pago pago de Cuando intereses y capital, capital, el monto monto del del pago pago mensual mensual total total intereses PAGOAes PAGOAes PAGOAA= = 1 250.56 250.56 + 300 300 PAGO = $1550.56 $1550.56 =

1

~ 5

Ahora se determina determina el valor valor futuro futuro del plan plan A sumando sumando Ahora tres montos montos en valor valor futuro: futuro: los fondos fondos que que no se utiliutilitres

d

s

ESTUDIO DE DE CASO CASO ESTUDIO

169 169

zaron para el pago del enganche enganche y demás demás gastos gastos iniciainiciazaron para el pago del les ), así como para los pagos mensuales (F2A)' y les (FIA ), así como para pagos mensuales (F2A)' 1A incremento del del valor valor de la casa casa (F3A)' Puesto que que el el incremento (F3A ) . Puesto dinero que que no se gasta gasta gana gana intereses intereses a la tasa tasa de 11//70 dinero /4% mensual, en 10 años años el primer valor futuro futuro será será mensual, primer valor

La suma suma mensual mensual de pago intereses y principal La pago de intereses principal durante los los primeros años se basa en 9% 9% anual anual dududurante primeros 3 años basa en rante rante 30 años. años.

FIA1A = (40000 (40000 - 10 425)(F/P,0.25%, 425)(F/P,0.25%, 120)

total mensual mensual durante durante los los primeros años es El pago pago total primeros 3 años

$39 907.13 907.13 = $39

PAGO = $1 146.58 146.58 + 300 300 = = $1 446.58 446.58 PAGOs B =

El dinero pagos mensuadinero dispolÚble disponible que que no no se gasta gasta en pagos mensuales es de $49.44 $49.44 = $1 600 600 - 1 550.56. 550.56. Su valor valor futuro futuro les después después de 10 años años es 49.44(FlA,0.25%,120) = $6 $6 908.81 908.81 F2A 2A = 49.44(F/A,0.25%,120)

El dinero neto disponible dinero neto disponible de la venta venta de de la casa casa es la diferencia precio de venta diferencia entre entre el precio venta neto neto y el saldo saldo del del préstamo. El préstamo es igual igual a préstamo. El saldo saldo del préstamo Saldo préstamo = 10%/12120) Saldo del del préstamo = 142 142 500(FlP, 500(F/P,IO%/12 120) - 1 250.56(F/A,10%/12120) 250.56(F/A,10%/12120)

= 385 385 753.40 = 753.40 = $129 $129 582.48 582.48 =

= = 170000 170000 -

129582.48 129582.48

Al final final del del año año 3, la tasa tasa de interés interés cambia cambia a 911//2% 2% anual. préstamo anual. Esta Esta nueva nueva tasa tasa se aplica aplica al saldo saldo del préstamo en dicho dicho tiempo: tiempo: Saldo del del préstamo Saldo préstamo final del del año año 3 = = 142 500(F/P,0.75%,36) 500(F/P,0.75%,36) al final 146.58(F/A,0.75%,36) - 1 146.58(F/A,0.75%,36) = = $139 $139 297.08 297.08

mensual de intereses intereses y principal durante el año año El pago pago mensual principal durante ahora es 4 ahora

256 170.92 170.92 256

Como el ingreso ingreso neto neto de de la venta venta de la casa casa es de de Como $170000, $170000, F 3A 3A

A= 500(AlP,9%/12 360) 360) = = $1146.58 $1146.58 = 142 500(AlP,9%/12

= = $40 $40 417.52 417.52

valor futuro futuro total total del del plan plan A es El valor

39907.13 908.81 + 40 40 417.52 417.52 = 39 907.13 + 6 908.81 $87 233.46 233.46 = $87

A = 139 297.08(AlP,9.5%112,324) 297.08(AlP,9.5%/12,324) = $1195.67 $1 195.67

El pago pago total total mensual mensual durante durante el año año 4 es PAGOB = 1195.67 1195.67 + 300 300 = $1495.67 $1495.67 PAGOs

Al Al final final del del año año 4, la tasa tasa de interés interés cambia cambia de nuevo; nuevo; 1 esta por el resto / 4 % anual, esta vez vez a 10 101/4% anual, y y se estabiliza estabiliza por resto del periodo de 10 años. del préstamo préstamo al final periodo años. El El saldo saldo del final del del año año 4 es Saldo del del préstamo préstamo al final final Saldo del año año 4 = 139 297.08(F/P,9.5%/12,12) 297.08(F/P,9.5%/12,12) del 195.67(F/A,9.5%/l2,12) - 11 195.67(F/A,9.5%112,12)

Plan Tasa ajustable ajustable de hipoteca hipoteca Plan B: Tasa a 30 30 años años La tasa tasa ajustable ajustable de de hipoteca hipoteca está está sujeta sujeta a algún algún índice índice La como el índice índice de bonos del tesoro tesoro de Estados Estados Unidos. Unidos. como bonos del En para los En este este caso, caso, se supone supone que que la tasa tasa es de 9% 9% para los 1 1 primeros 3 años, primeros años, 91 año 4, y 10 10114% en los los años años / //10 / 4 % en en el año 2 % en 10. Puesto Puesto que que esta esta opción también requiere 5% 5 a 10. opción también requiere un 5% de enganche, por adelantado enganche, el dinero dinero por adelantado que que se necesita necesita será rtúsmo que plan A, es decir, será el mismo que el del del plan decir, $10 $10 425. 425.

= $138132.42 $138132.42 = nuevo monto monto del del pago mensual de intereses prinEl nuevo pago mensual intereses y principales cipal·es A = 138 132.42(Alp,10.25%/12 132.42(Alp,10.25%/l2 312) 312) = $1269.22 $1269.22 El nuevo nuevo pago total mensual mensual durante durante los los años años 5 a lOes lOes El pago total PAGOB PAGOs

= 1 269.22 269.22 + 300 300 = = $1 569.22 569.22 =

==

Al

El saldo saldo del del préstamo préstamo al al final final de de los los 10 10 años años es: es: El Saldo del del préstamo préstamo Saldo después 138 132.42(FlP, después de de 10 años años = 138 132.42(FlP, 10.25%/12,72) 10.25%/12,72) 269.22(F/A,10.25%/12,72) - 1 269.22(FIA,10.25%/12,72) $129 296.16 296.16 = $129 El valor valor futuro futuro del del plan plan B B ahora ahora se se determina determina utilizanEl utilizando los los mismos mismos tres tres valores valores futuros. futuros. El El valor valor futuro futuro del del do dinero que que no no se se ha ha gastado gastado en en el pago pago del del enganche enganche es es dinero el mismo mismo que que el del del plan plan A. A. el

El monto monto total total que que queda queda de de la la venta venta de de la la casa casa es es El F3B 129296.16 = $40 170000 - 129296.16 $40 703.84 703 .84 3B = 170000

El valor valor futuro futuro total total del del plan plan B es es El F B = F 1B + F 2B + F 3B = $91 673.72

Ejercicios Ejercicios para para el estudio estudio de caso 1. Evalúe Evalúe el plan plan C yy elija elija el el mejor mejor método método de de finanfinanciamiento. ciamiento.

(40 000 - 10 425)(FIP,0.25%,120) 425)(F/P,0.25%,120) F1B1B = (40000 $39 907.13 907 .13 = $39 El valor valor futuro futuro del del dinero dinero que que no no se se gastó gastó en pagos pagos menmenEl suales es es más más complejo complejo que que en en el caso caso del del plan plan A. suales (1 600 -1 - 1 446.58)(FlA,0.25%,36) F2B 446.58)(FIA,0.25%,36) 2B== (1600 (F/P,0.25%,84) + (1 600 600 - 1 495.67) 495.67) x (FIP,0.25%,84) (F/A,0.25%,12)(F/P,0.25%,72) x (FIA,0.25%,12)(FIP,0.25%,72) + (l (1 600 600 - 1 569.22)(FlA,0.25%,72) 569.22)(FIA,0.25%,72)

=7118.61 + 1519.31 =7118.61 1519.31 +2424.83 +2424.83 = $11 062.75 062.75

2. 2. ¿Cuál ¿Cuál es la la cantidad cantidad total total de de intereses intereses pagados pagados en en el el plan plan A A durante durante el periodo periodo de de 10 años? años? 3. ¿Cuál ¿Cuál es el monto monto total total de de intereses intereses pagados pagados en en el el plan plan B durante durante el año año 4? 4? 4. 4. ¿Cuál ¿Cuál es la cantidad cantidad máxima máxima de de dinero dinero disponible disponible para del enganche en el plan para efectuar efectuar el pago pago del enganche en plan A, A, si $40000 total disponible? $40 000 es es la cantidad cantidad total disponible? S. por cada 5. ¿Cuánto ¿Cuánto se incrementa incrementa el pago pago en en el planA plan A por cada en la la tasa tasa de 11% % de de incremento incremento en de interés? interés? desea reducir reducir la tasa 6. Si usted usted desea tasa de de interés interés de 10% 10% a 9% en el plan ¿cuánto más enganche habría 9% plan A, ¿cuánto más de enganche habría que pagar? que pagar?

[ Apo

APÉNDICE APÉNDICE DEL CAPíTULO CAPíTULO 4: CÁLCULO CÁLCULO DE UNA UNA TASA DE INTERÉS INTERÉS EFECTIVA EFECTIVA

Inicie Identifiq ue el periodo Identifique periodo de pago, pago, (PP) (¿con (PP) (¿con qué frecuencia frecuencia se presentan presentan los flujos flujos de efectivo?) efectivo?)

Identifique el periodo de capitalización (PC)

¿PC más corto >--------- No ----------------, corto o igual que >---------No ----------------, eIPP? elPP?

Sí

t+ ¿Es nornina nomina la tasa tasa de interés interés dada? dada?

corto Más corto

No; es tasa efectiva efectiva ------, --------,

Sí

Suponga Suponga que no se pagan sobre pagan intereses intereses sobre pagos pagos efectuados efectuados dentro dentro de un PC

¿Es el periodo periodo de la tasa más corto, corto, el mismo mismo o más largo largo que el periodo periodo de la tasa de °nterés .nterés efectiva efectiva qu se busca? busca?

Se considera considera que que los flujos flujos de efectivos efectivos negativos negativos (pagos) (pagos) se presentan al final del presentan PC

Más largo

El mismo mismo Multiplique Multiplique la tasa de interés interés dada para determinar determinar una dada nueva interés nueva tasa de interés nominal, r, con un periodo periodo nominal, igual al periodo periodo de la tasa tasa va que se busca de interés interés efecti efectiva busca

La tasa dada dada nominal, r, r, es nominal, con un periodo periodo igual al periodo periodo de la tasa de interés interés efectiva efectiva que se busca busca

Divida para Divida la tasa tasa dada dada para calcular nueva tasa tasa calcular una nueva de interés interés nominal, nominal, r, r, con un periodo igual igual al periodo periodo periodo de la tasa de interés interés efectiva efectiva que se busca busca

Se considera considera que los flujos de efectivo efectivo flujos positivos positivos (retiros) (retiros) ocurren ocurren al principio principio del PC Utilice la tasa dada en los factores de interés compuesto

¿Composición ¿Composición continua? continua? No Determine Determine el número número de periodos periodos de capitalización, capitalización, m, por el periodo interés periodo del del interés efectivo efectivo que se busca busca

Aportación Aportación del doctor doctor Mathias Mathias Sutton Sutton de la Universidad Universidad de Purdue. Purdue.

Pare

Se

NIVELDOS LDOS

pr< tie

HERRAMIENTAS PARA EVALUACiÓN EVALUACiÓN HERRAMIENTAS DE ALTERNATIVAS ALTERNATIVAS NIVEL NIVEL UNO UNO Así comienza comienza Así todo todo

NIVEL DOS Herramientas >. . para evaluaci
Capítulo 1 Capítulo Fundamentos Fundamentos de ingeniería ingeniería de económica económica

Capítulo 5 Capítulo Análisis Análisis del del valor valor presente presente

Capítulo Capítulo 2 Factores: Factores: cómo cómo el tiempo tiempo y el interés interés afectan afectan al dinero dinero Capítulo Capítulo 3 Combinación Combinación de de factores factores Capítulo Capítulo 4 Tasas Tasas de de interés interés nominales nominales efectivas y efectivas

Capítulo Capítulo 6 Análisis del valor Análisis del valor anual anual Capítulo 7 Capítulo Análisis de tasa tasa Análisis de de rendimiento: rendimiento: de alternativa única única alternativa

Capítulo Capítulo 8 Análisis de de tasa tasa Análisis de de rendimiento: rendimiento: alternativas alternativas múltiples múltiples Capítulo 9 Capítulo Análisis Análisis beneficio/costo beneficio/ costo y economía economía del del sector público público sector Capítulo 10 10 Capítulo Toma Toma de de decisiones: decisiones: método, TMAR y método, atributos atributos múltiples múltiples

NIVEL NIVEL TRES Toma Toma de de decisiones decisiones en en proyectos proyectos reales reales

NIVEL CUATRO NIVEL CUATRO Redondeo Redondeo del del estudio estudio

Capítulo Capítulo 11 Decisiones Decisiones de de reemplazo reemplazo y conservación conservación

Capítulo 14 Capítulo 14 Efectos Efectos de de la inflación inflación

Capítulo 12 Capítulo 12 Selección de de Selección proyectos proyectos independientes independientes limitaciones con limitaciones presupuestales presupuestales Capítulo 13 13 Capítulo Análisis del Análisis punto de de punto equilibrio equilibrio

Capítulo Capítulo 15 15 Estimación de Estimación de costos y costos asignación de asignación de costos indirectos costos indirectos Capítulo 16 16 Capítulo Métodos de Métodos de depreciación depreciación Capítulo 17 17 Capítulo Análisis económico económico después de de después impuestos impuestos Capítulo 18 18 Capítulo Análisis de de Análisis sensibilidad sensibilidad formalizado y formalizado decisiones con con decisiones valor esperado esperado valor Capítulo 19 19 Capítulo sobre Más sobre variaciones y toma toma variaciones de decisiones decisiones de bajo riesgo riesgo bajo

to~ vid dif ecc

pal últi

ev:

MI

sel,

Se formula más alternativas alternativas de de ingeniería ingeniería para para resolver resolver un problema problema o formula una o más proporcionar resultados proporcionar resultados específicos. específicos. En ingeniería ingeniería económica económica cada cada alternativa alternativa tiene de flujo flujo de resos y/o y/o costiene estimados estimados de de efectivo efectivo para para la inversión inversión inicial, inicial, ing ingresos costos un valor valor al final final de tos periódicos periódicos (por (por lo general general anuales) anuales) y posiblemente posiblemente de su vida este nivel vida estimada. estimada. En los capítulos capítulos de de este nivel se desarrollan desarrollan cuatro cuatro métodos métodos diferentes más alternativas diferentes en los que que pueden pueden evaluarse evaluarse más alternativas desde desde un enfoque enfoque económico, factores y fórmulas fórmulas aprendidas económico, usando usando factores aprendidas en el nivel nivel uno. uno. En la práctica es típico típico que que el método práctica profesional, profesional, método de de evaluación evaluación y los parámetros parámetros necesarios necesarios para para el estudio estudio de de la economía economía no no sean sean específicos. específicos. El último último capítulo capítulo de de este este nivel nivel comienza comienza con con una una selección selección del del mejor mejor método método de de evaluación para para el estudio. estudio. Continúa Continúa tratando tratando la pregunta pregunta fundamental de qué qué evaluad'ón fundamental de MARR factores no MARR usar usar y el dilema dilema histórico histórico de de cómo cómo considerar considerar factores no económicos económicos al seleccionar seleccionar una una alternativa. alternativa. Nota importante: importante: Si Si se considera el análisis análisis de la depreciación depreciación y/o Nota y/o el impuesto junto métodos de evaluación de los capítulos 5 al 9, impuesto junto con los métodos de preferencia y/o 17 preferencia deben deben cubrirse los capítulos 16 16 y/o 17 después del cacapítulo pítulo 6. 6.

'"

r

=

5 o o 11-

valor Análisis del valor presente presente cantidad futura de dinero dinero convertida convertida a su su valor equivalente equivalente ahora tiene Una cantidad Una tiene un monto de valor presente (VP) (VP)siempre el flujo flujo de efectivo efectivo real, monto siempre menor que el real, debido a que para para cualquier cualquier tasa tasa de interés mayor que cero, todos todos los factores bido PIF un valor presente menor que 1.0. Por Por tal razón, razón, con frecuencia se PIF tienen un se hace referencia a cálculos de valor presente con la la denominación denominación de flujo hace flujo de efectivo descontado descontado (FEO). (FEO). En En forma similar, similar, la la tasa tasa de interés utilizada en la efectivo la elaboración de los los cálculos se se conoce como tasa tasa de descuento. Otros térmielaboración términos utilizados a menudo menudo para para hacer referencia a los cálculos de valor presente nos son valor presente (VP) (VP)y (VPN). Hasta Hasta este punto, punto, los cálcuson y valor presente neto (VPN). cálcu los de valor presente se se han han realizado para para un un proyecto proyecto o alternativa únicos. En En los se consideran las las técnicas para para comparar comparar dos o más más alternativas este capítulo, se mutuamente excluyentes, utilizando utilizando el método método del valor presente presente.. mutuamente Se cubren en este capítulo capítulo varias varias extensiones al al análisis análisis del valor presente Se -valor futuro, costo cap capitalizado, periodo de recuperación, costos del ciclo -valor ital izado, periodo análisis de bonos-; bonos-; todos todos emplean el el valor presente para analizar de vida y análisis alternativas. Paraentender un análisis económ económico, capítulo empiePara entender cómo organizar un ico, este capítulo empieza con una una descripción descripción de proyectos proyectos independientes independientes y mutuamente mutuamente excluyenza ex cluyenasí como de alternativas de ingresos y de servicio servicio.. tes, así El estudio estudio de caso caso examina el periodo periodo de recuperación y la la sensibilidad sensibilidad El un proyecto proyecto del sector público público.. para un

c

-

-

-

-

«« u u

OBJETIVOS APRENDIZAJE OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Objetivo excluyentes con base base en el valor valor presente presente y Objetivo general: general: comparar comparar alternativas alternativas mutuamente mutuamente excluyentes aplicar presente. aplicar las extensiones extensiones del método método del valor valor presente. Este a: Este capítulo capítulo ayudará al lector lector a:

Formular Formular alternativas alternativas

I

1. excluyentes e indepen1. Identificar Identificar los proyectos proyectos mutuamente mutuamente excluyentes independientes, definir las alternativas de servicio y de ingresos. dientes, y definir las alternativas

VP de de alternativas alternativas con vidas vidas iguales iguales

alternativas con vidas iguales usando el la mejor mejor de las las alternativas 2. Elegir la

VP VP de de alternativas alternativas vidas vidas diferentes diferentes

3. alternativas con vidas diferentes diferentes 3. Seleccionar Seleccionar la mejor mejor de las las alternativas

Análisis de VF VF

---;---

análisis de valor presente.

utilizando utilizando el análisis de valor valor presente. presente.

II

Costo Costo capitalizado capitalizado (Ce¡ (CC)

4. alternativa usando el análisis de valor valor futuro. 4. Escoger la la mejor mejor alternativa futuro. alternativa utilizando cálculo de costo 5. Seleccionar Seleccionar la mejor mejor alternativa utilizando el cálculo 5. capitalizado. capitalizado.

Periodo Periodo de de recuperación recuperación

6. Determinar = 0% Determinar el periodo periodo de recuperación recuperación utilizando utilizando ii = i> 0% y señalar las las deficiencias e i> deficiencias del análisis del de l tiempo tiempo de recuperación. . recuperación

Costo de de ciclo de de vida (CCV) (CCV) Costo

---:;--....,j II II VP VP de de bonos bonos

I Hoja de de cálculo cálculo

------

7. Realizar Realizar un análisis del costo de ciclo de vida para las las fases fases de 7. adquisición y de operaciones (sistema). adquisición operaciones de una alternativa alternativa (sistema). Calcular el valor presente de un bono bono de inversión inversión.. valor presente 8. Calcular 9. Desarro Desarrollar utilicen el análisis 9. llar hojas de cálculo que utilicen aná lisis VP VP y sus sus extensiones, incluyendo incluyendo el periodo periodo de recuperación. recuperación. extensiones,

176 176

CAPÍTULO 5 CAPÍTULO

5.1

Análisis Análisis del valor valor presente presente

FORMULACiÓN DE ALTERNATIVAS MUTUAMENTE FORMULACiÓN ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUYENTES EXCLUYENTES

La sección sección 1.3 explica explica que la evaluación evaluación económica económica de una alternativa alternativa requiere requiere un efectivo estimado estimado durante durante un periodo específico y un criterio criterio flujo de efectivo periodo de tiempo tiempo específico para elegir la mejor alternativa. Las alternativas alternativas se desarrollan desarrollan a partir para elegir mejor alternativa. partir de propuespropuestas para establecido. Esta sucesión se describe figura 5.1; para lograr lograr un propósito propósito establecido. Esta sucesión describe en la figura algunos proyectos económica y tecnológicamente viables, mientras algunos proyectos son económica tecnológicamente viables, mientras que otros otros no. Una definen los proyectos formular alternativas. alternativas. Una vez que se definen proyectos viables, viables, es posible posible formular Por ejemplo, suponga que la empresa ejemplo, suponga empresa Med-supply.com, Med-supply.com, una abastecedora abastecedora de matematerial médico médico por por Internet, Internet, quiere quiere desafiar desafiar a su competencia competencia mediante mediante la disminución disminución significativa del tiempo significativa tiempo entre entre la orden orden de pedido pedido y la entrega entrega en el hospital hospital o clíniclínica. Se han propuesto propuesto tres proyectos: proyectos: estrechar estrechar la red de trabajo trabajo con UPS y FedEx FedEx para para lograr lograr un tiempo tiempo de entrega entrega más corto; asociarse asociarse con casas casas locales locales de abasteciabastecimiento miento médico médico en las principales principales ciudades, ciudades, para para entregar entregar en el mismo mismo día; o desarrollar semejante a un fax tridimensional rrollar una una especie especie de máquina máquina semejante tridimensional para para envío envío de artículos solamente las artículos de tamaño tamaño físico no mayor mayor al de la máquina. máquina. Sin embargo, embargo, solamente dos primeras primeras propuestas propuestas de proyecto proyecto son tecnológica tecnológica y económicamente económicamente viables viables y factibles factibles de evaluar evaluar al momento. momento. La descripción descripción anterior anterior trata trata correctamente correctamente las propuestas propuestas de proyecto proyecto como como precursores precursores de alternativas alternativas económicas. económicas. Para Para ayudar ayudar a formular formular alternativas, alternativas, se categoriza cada proyecto como uno de los siguientes: siguientes: categoriza proyecto como

•

Mutuamente excluyente, Sólo uno de los losproyectos Mutuamente exclpyente. proyectos viables puede puede seleccionarse seleccionarse mediante económico. Cada proyecto alternativa. mediante un análisis económico. proyecto viable es una alternativa. Independiente. Independiente. Más de un proyecto proyecto viable viable puede puede seleccionarse seleccionarse a través través de un análisis análisis económico. económico. (Pudieran (Pudieran existir existir proyectos dependientes que requieran proyectos dependientes requieran un proyecto específico por seleccionar antes que otro, otro, y un proyecto continproyecto específico por seleccionar proyecto de contingencia donde donde un proyecto sustituiría por otro.) gencia proyecto se sustituiría por otro.)

La opción entiende como como una alternativa cuancuanopción de no hacer hacer (NH) regularmente regularmente se entiende una alternativa evaluación; y si se requiere elija una do se realiza realiza la evaluación; requiere que se elija una de las alternativas alternativas definidas, considera una opción opción (esto (esto llega llega a ocurrir ocurrir cuando cuando una función definidas, no se considera una función obligatoria se instala instala por seguridad, por otro propósito). selección de una obligatoria por seguridad, por ley u otro propósito). La selección alternativa de "no "no hacer" enfoque actual, actual, y no se alternativa hacer" se refiere refiere a que se mantiene mantiene el enfoque inicia costo nuevo, ingreso o ahorro ahorro se genera genera por dicha alteralterinicia algo nuevo; nuevo; ningún ningún costo nuevo, ingreso por dicha nativa nativa NH. selección de una alternativa alternativa mutuamente excluyente sucede, sucede, por ejemplo, ejemplo, La selección mutuamente excluyente cuando un ingeniero ingeniero debe escoger escoger el mejor diesel de entre entre varios cuando mejor motor motor de diesel varios modelos. modelos. alternativas mutuamente excluyentes son, por lo tanto, Las alternativas mutuamente excluyentes tanto, las mismas mismas que los proyectos cada una se evalúa, evalúa, y se elige elige la mejor alternativa. Las alternativas alternativas yectos viables; viables; cada mejor alternativa. mutuamente excluyentes compiten compiten entre sí durante la evaluación. evaluación. Todas las técnicas mutuamente excluyentes sí durante técnicas análisis del capítulo capítulo 9 se desarrollan desarrollan a partir comparación. En este capítulo capítulo de análisis partir de su comparación. analiza el valor considera económicamente económicamente aceptable aceptable una se analiza valor presente. presente. Si no se considera una alternativa excluyente, es posible alternativas y aceptar aceptar nativa mutuamente mutuamente excluyente, posible rechazar rechazar todas todas las alternativas eliminación) la alternativa alternativa de no hacer opción se indica indica en la figura figura 5.1). (por eliminación) hacer (esta opción

Fig Ava

SECCIÓN 5.1

Formulación

de alternativas

mutuamente

excluyente s

Propuesta de proyecto

00

No viable NH

í---------------------' I Alternativas I

:

Categorías

Total

I

1 Mutuamente excluyente

m

2

+

NH o

NH

NH 1

Independiente

2 1,2

NH (No hacer) L __

-t---t---t----t--Tipo de alternativa • Ingreso • Servicio

¡ Análisis económico y selección de alternativa

Figura 5.1 Avance de proyectos a alternativas

para análisis económico.

177

178

CAPÍTULO CAPÍTULO 5

Análisis del valor valor presente presente Análisis

Los independientes no compiten compiten entre entre sí durante durante la evaluación, evaluación, pues Los proyectos proyectos independientes pues cada proyecto evalúa por separado, y así la comparación comparación es entre un proyecto cada proyecto se evalúa por separado, proyecto a la vez y la alternativa proyectos independientes, alternativa de no hacer. Si existen existen m proyectos independientes, se selecseleccionarán cero, uno, dos o más. Entonces, Entonces, si cada cada proyecto incluye o se omite ornite del cionarán proyecto se incluye mutuamente excluyentes. grupo grupo seleccionado, seleccionado, existe existe un total de 2 alternativas alternativas mutuamente excluyentes. Este número incluye NH (no hacer) hacer) como número incluye la alternativa alternativa NH como se indica indica en la figura figura 5.1. 5.1. Por ejemplo, tiene tres modelos modelos de motor motor de diesel (A, B y C) puede puede ejemplo, si un ingeniero ingeniero tiene seleccionar NH, A, B, C, AB, AB , seleccionar cualquier cualquier cantidad cantidad de ellos: son 233 = 8 alternativas: alternativas: NH, restriccioAC, BC, ABC. Comúnmente Comúnmente en las aplicaciones aplicaciones de la vida real existen existen restricciopresupuestal que eliminaría muchas de las 2m alternativas. nes, como un límite límite presupuestal eliminaría muchas alternativas. El análisis proyectos independientes independientes sin límites presupuestales se examina análisis de proyectos límites presupuestales examina en este capítulo hasta el capítulo trata los proyectos proyectos independientes capítulo y hasta capítulo 9; el capítulo capítulo 12 trata independientes con límite presupuestal, el cual se conoce problema de presupuesto presupuesto de capital. límite presupuestal, conoce como como problema capital. Por último, último, es importante reconocer la naturaleza naturaleza o tipo de alternativas, alternativas, antes Por importante reconocer de comenzar comenzar una evaluación. evaluación. El flujo de efectivo efectivo determina determina si las alternativas alternativas tiebase en el ingreso nen su base ingreso o en el servicio. servicio. Todas las alternativas alternativas evaluadas evaluadas en un estudio particular ingeniería económica económica deberán deberán ser del mismo estudio particular de ingeniería mismo tipo.

ti:

se

111

Cap. 12

01 in: IUl

•

•

ingreso. Cada alternativa alternativa genera genera costo (o desembolso) desembolso) e ingreso De ingreso. ingreso (o entrada), estimados posibles ahorros. Los ingresos estimados en elflujo elflujo de efectivo efectivo y posibles ingresos dependepenseleccionó. Estas alternativas usualmente incluyen den de la alternativa alternativa que se seleccionó. Estas alternativas usualmente incluyen nuevos sistemas, requiera capital para genuevos sistemas, productos productos y aquello aquello que requiera capital de inversión inversión para nerar ingresos ingresos y/o ahorros. nuevo para para incrementar nerar ahorros. La adquisición adquisición de equipo equipo nuevo incrementar la productividad alternativa de ingreso. ingreso. productividad y las ventas ventas es una una alternativa solamente costos De servicio. servicio. Cada alternativa alternativa tiene solamente costos estimados estimados en elflujo elflujo de efectivo. seleccioefectivo. Los ingresos ingresos o ahorros ahorros no son dependientes dependientes de la alternativa alternativa selecciomanera que estos flujos de efectivo nada, de manera efectivo se considerarán considerarán iguales, iguales, como como en el caso de las iniciativas público (gobierno), iniciativas del sector sector público (gobierno), (examinadas (examinadas en el capítulo 9), que se administrarán administrarán por legal o por seguridad. por mandato mandato legal por mejoras mejoras a la seguridad. Con frecuencia justifica un mejoramiento, mejoramiento, aunque frecuencia se justifica aunque los ingresos ingresos o ahorros ahorros anticipados estimables; en este caso la evaluación evaluación se basa ticipados no sean estimables; basa sólo en los estimados de costo. estimados

La pauta selección de la alternativa alternativa desarrollada desarrollada en la siguiente siguiente sección sección está está pauta para para la selección diseñada para ambos tipos de alternativas. alternativas. diseñada para ambos

5.2 5.2

ANÁLISIS DE VALOR VALOR PRESENTE ALTERNATIVAS ANÁLISIS PRESENTE DE ALTERNATIVAS CON VIDAS IGUALES CON VIDAS IGUALES

El análisis análisis de valor ahora llamaremos llamaremos VP, VP, se calcula calcula a partir valor presente, presente, que ahora partir de la tasa mínima atractiva de rendimiento cada alternativa. alternativa. El método mínima atractiva rendimiento para para cada método de valor valor presente presente es muy popular popular debido transforman en dólares dólares debido a que los gastos gastos o los ingresos ingresos se transforman equivalentes equivalentes de ahora. ahora. Es decir, todos los flujos de efectivo efectivo futuros futuros asociados asociados con una alternativa presentes. En esta una alternativa se convierten convierten en dólares dólares presentes. esta forma, es muy fácil percibir ventaja económica cibir la ventaja económica de una alternativa alternativa sobre sobre otra. usando el método método de valor valor La comparación comparación de alternativas alternativas con vidas iguales iguales usando presente directa. Si se utilizan alternativas en capacidades capacidades idénpresente es bastante bastante directa. utilizan ambas alternativas idén-

ci<

Si

Es ten ex:

las res

•

SECCIÓN 5.2

Análisis de valor presente de alternativas con vidas iguales

ticas para el mismo periodo de tiempo, éstas reciben el nombre de alternativas de servicio igual. Cuando las alternativas mutuamente excluyentes implican sólo desembolsos (servicio) o ingresos y desembolsos (ganancia), se aplican las siguientes guías para seleccionar una alternativa. Una alternativa. Calcule el VP a partir de la TMAR. Si VP ~ O,se alcanza o se excede la tasa mínima atractiva de rendimiento y la alternativa es financieramente viable. Dos o más alternativas. Determine el VP de cada alternativa usando la TMAR. Seleccione aquella con el valor VP que sea mayor en términos numéricos, es decir, menos negativo o más positivo, indicando un VP menor en costos de flujos de efectivo o un VP mayor de flujos de efectivo netos de entradas menos desembolsos. Observe que la guía para seleccionar una alternativa con el menor costo o el mayor ingreso utiliza el criterio de mayor en términos numéricos. Éste no es el valor absoluto de la cantidad de VP pues el signo cuenta. La selección mostrada a continuación aplica correctamente la directriz para los valores listados de VP.

VP1

$-1 500 -500 +2500 +2500

VP2

Alternativa seleccionada

$-500 +1000 -500 +1500

2 2 1 1

Si los proyectos son independientes, la directriz para la selección es la siguiente: Para uno o más proyectos independientes, VP ~ Ocalculado con la TMAR.

elija todos los proyectos con

Esto compara cada proyecto con la alternativa de no hacer. Los proyectos deberán tener flujos de efectivo positivos y negativos, para obtener un valor de VP que exceda cero; deben ser proyectos de ingresos. Un análisis de VP requiere una TMAR para utilizarse como el valor i en todas las relaciones de VP. Las bases determinadas para establecer una TMAR realista se resumieron en el capítulo 1 y se detallan en el capítulo 10. \ EJEMPLO

5.1

7

\

I

Realice una comparación del valor presente de las máquinas de igual servicio, para las cuales a continuación se muestran los costos, si la TMAR es de 10% anual. Se espera que los ingresos para las tres alternativas sean iguales.

179

180

CAPÍTULO CAPÍTULO 5

Análisis del valor valor presente presente Análisis

• Costo Costo inicial, inicial, $ Costo Costo anual anual de operación, operación, $ Valor de Valor de salvamento, salvamento, $ Vida, años Vida, años

Por Por energía energía eléctrica eléctrica

Por Por gas

-2500 -2500 -900 200 5

-3500 -3500 -700 350 350 5

Por Por energía energía solar solar

-6000 -6000 -50 -50 lOO 100 5

El

di ig to la

pE re

Solución Solución Éstas son los valores valores de un costo Éstas son alternativas alternativas de de servicio; servicio; los de salvamento salvamento se consideran consideran un costo neganega(Si el costo retirar un un activo tivo, de manera manera que precederá un un signo tivo, de que les les precederá signo +. (Si costo de de retirar activo es monetario, monetario, estimado del costo costo de de retiro signo -.) -.) El cada máquina calcula a El VP VP para para cada máquina se calcula el estimado retiro tendrá tendrá un un signo i = 10% para n = 5 años. Utilice subíndices E, G YS. YS. 10% para años. Utilice subíndices E,

VPEE = -2500 10%,5) = $-5 788 VP -2500 - 900(P/A,1O%,5) 900(P/A,10%,5) + 200(P/F, 200(P/F,1O%,5) 788 VPc VPc

= $-5 936 == -3500 -3500 -700(P/A,1O%,5) -700(P/A,1O%,5) + 350(P/F,1O%,5) 350(P/F,1O%,5) = 936

VPs = = -6 -6 000 VPs 000 - 50(P/A,10%,5) 50(P/A,10%,5) + 100(P/F,1O%,5) 100(P/F,1O%,5)

127 == $-6 $-6127

Se seleccionará máquina de ya que VP de sus costos seleccionará entonces entonces la máquina de energía energía eléctrica, eléctrica, ya que el VP de sus costos es el más bajo, bajo, y posee posee el VP mayor en términos términos numéricos. numéricos. más VP mayor

5.3 5.3

ANÁLISIS DE VALOR VALOR PRESENTE ALTERNATIVAS ANÁLISIS PRESENTE DE ALTERNATIVAS CON VIDA DIFERENTE CON VIDA DIFERENTE

Cuando método de valor utiliza para para comparar mutuaCuando el método valor presente presente se utiliza comparar las alternativas alternativas mutuamente excluyentes poseen vidas diferentes, procedimiento de la secmente excluyente s que poseen diferentes, se sigue el procedimiento ción anterior anterior con una excepción: excepción: mismo número número de El VP de las alternativas alternativas deberá deberá compararse compararse sobre sobre el mismo años. necesario, ya que la comparación valor presente presente implica Esto es necesario, comparación del valor implica calcular calcular el valor presente presente equivalente para flujos de efectivo Una valor equivalente para efectivo futuros futuros en cada cada alternativa. alternativa. Una comparación justa puede puede realizarse realizarse sólo cuando valores de VP representan representan coscomparación justa cuando los valores tos (e ingresos) ingresos) asociados asociados con igual igual servicio. servicio. Al no comparar comparar igual igual servicio servicio siempre siempre favorecerá vida más corta econófavorecerá la alternativa alternativa de vida corta (para costos), costos), aun si no es la más econóperiodos más breves breves de costos. requerimiento de mica, ya que se involucran involucran periodos costos. El requerimiento igual servicio servicio puede satisfacerse por cualquiera cualquiera de los siguientes siguientes dos enfoques: enfoques: igual puede satisfacerse • •

Compare periodo de tiempo tiempo igual mínimo común Compare las alternativas alternativas durante durante un periodo igual al mínimo común múltiplo (MCM) de sus vidas. múltiplo Compare usando un periodo periodo de estudio Compare las alternativas alternativas usando estudio de n cantidad cantidad de años, necesariamente tome en consideración consideración las vidas útiles alternatique no necesariamente útiles de las alternativas; a este método conoce como el enfoque enfoque del horizonte horizonte de planeación. método se le conoce planeación.

C<

se iní qu VI iní es UI esi

du qu tO(

de es:

co: uti da ne: la de

•

SECCIÓN SECCIÓN 5.3

Análisis vida diferente diferente Análisis de valor valor presente presente de alternativas alternativas de vida

En cualquier partir de la TMAR, TMAR, y la cualquier caso, el VP de cada alternativa alternativa se calcula calcula a partir directriz para para realizar realizar la selección selección será la misma misma que la de las alternativas alternativas con vida directriz enfoque del MCM MCM automáticamente automáticamente hace que los flujos de efectivo igual. El enfoque efectivo para para alternativas se extiendan extiendan para para el mismo mismo periodo periodo de tiempo. tiempo. Por todas las alternativas Por ejemplo, ejemplo, alternativas con vidas esperadas esperadas de dos y tres años se comparan comparan durante las alternativas durante un periodo de tiempo tiempo de seis años. Tal procedimiento procedimiento requiere requiere que las suposiciones suposiciones se periodo realicen respecto respecto de los ciclos de vida subsecuentes subsecuentes de las alternativas. alternativas. realicen Las vida diferente diferente son Las suposiciones suposiciones del análisis análisis de VP VP con con alternativas alternativas de vida son las siguientes: siguientes: 1. El servicio para el MCM MCM de servicio ofrecido ofrecido por por las alternativas alternativas será será necesario necesario para años años o más. más. 2. La ciclo de de vida vida del del La alternativa alternativa seleccionada seleccionada se repetirá repetirá durante durante cada cada ciclo MCM MCM exactamente exactamente en la misma misma forma. forma. Los estimados estimados del flujo flujo de efectivo efectivo serán serán los mismos mismos en en cada 3. Los cada ciclo de de vida. vida.

Como se demostrará válida sólo cuando cuando demostrará en el capítulo capítulo 14, la tercera tercera suposición suposición es válida se espera índice de espera que los flujos de efectivo efectivo varíen varíen exactamente exactamente de acuerdo acuerdo con el índice inflación (o deflación), tiempo del MCM. MCM. Si se espera espera inflación deflación), el cual se aplica aplica al periodo periodo de tiempo que los flujos de efectivo análisis de efectivo varíen varíen por cualquier cualquier otro índice, índice, entonces entonces el análisis VP deberá considere la deberá conducirse conducirse utilizando utilizando un valor constante constante en dólares, dólares, que considere inflación necesario si no inflación (véase (véase el capítulo capítulo 14). Un análisis análisis de periodo periodo de estudio estudio es necesario es realizable alternativas. realizable la primera primera suposición suposición acerca de la cantidad cantidad de tiempo tiempo de las alternativas. Un análisis salvamento análisis de valor valor presente presente sobre el MCM MCM requiere requiere que el valor valor de salvamento estimado se incluya cada ciclo de vida. estimado incluya en cada Para la aproximación tiempo, aproximación por periodo periodo de estudio, estudio, se elige un horizonte horizonte de tiempo, durante realiza un análisis efectivo durante el cual se realiza análisis económico, económico, y sólo aquellos aquellos flujos de efectivo que ocurran análisis; se ignoran ignoran ocurran en ese periodo periodo de tiempo tiempo se consideran consideran relevantes relevantes al análisis; todos los flujos de efectivo Deberá consiconsiefectivo ocurridos ocurridos más allá del periodo periodo de estudio. estudio. Deberá derarse horizonte de tiempo tiempo derarse un valor de mercado mercado estimado estimado al final de este periodo. periodo. El horizonte escogido metas de negocio negocio a escogido deberá deberá ser relativamente relativamente corto, en especial especial cuando cuando las metas corto plazo menudo se plazo son muy importantes. importantes. El enfoque enfoque del periodo periodo de estudio estudio a menudo utiliza alternativas utiliza en el análisis análisis de reemplazo; reemplazo; también también es útil cuando cuando el MCM MCM de las alternativas da como resultado resultado un periodo periodo de evaluación evaluación irreal, irreal, por ejemplo, ejemplo, 5 y 9 años. El ejemplo aproximacioejemplo 5.2 incluye incluye evaluaciones evaluaciones basadas basadas en el MCM MCM y en las aproximaciones del periodo ilustra el uso de periodo de estudio; estudio; también también el ejemplo ejemplo 5.12 de la sección sección 5.9 ilustra la hoja de cálculo periodo cálculo en análisis análisis de VP para para ambos, de vidas diferentes diferentes y de periodo de estudio. EJEMPLO EJEMPLO

5.2

~.'

marcha una una nueva nueva A un ingeniero ingeniero de proyectos proyectos de EnvironCare EnvironCare se le asigna asigna poner poner en en marcha oficina en una una ciudad ciudad donde donde ha ha sido sido finiquitado finiquitado él contrato contrato a seis seis años años para oficina para tomar tomar y anaanalizar disponibles, cada cada lizar lecturas lecturas de niveles niveles de de ozono. ozono. Dos Dos opciones opciones de arrendamiento arrendamiento están están disponibles, una con con un costo costo inicial, inicial, costo costo anual anual de de arrendamiento arrendamiento y un estimado estimado de una de depósitos depósitos de rendimiento rendimiento mostrados mostrados a continuación. continuación.

181 181

182 182

CAPÍTULO CAPÍTULO 5

Análisis del del valor valor presente presente Análisis

Ubicación A Ubicación

Costo inicial, inicial, $ Costo Costo anual arrendamiento, $ por Costo anual de de arrendamiento, por año año

Rendimiento de de déposito, déposito, $ Rendimiento

-15000 -15000

-18000 -18000

-3500 -3500

-3100 -3100

1000

2000 2000

6

9

Término arrendamiento, años años Término de arrendamiento, a) a)

b)

e)

Ubicación B Ubicación

Determine qué qué opción opción de de arrendamiento deberá seleccionarse con base base en en la compacompaDetermine arrendamiento deberá seleccionarse con ración 15% anual. anual. ración del del valor valor presente, presente, si la la TMAR TMAR es de de 15% EnvironCare tiene tiene una una práctica práctica estandarizada para todos todos sus proyectos EnvironCare estandarizada de de evaluación evaluación para sus proyectos de un un periodo periodo de 5 años. utiliza el periodo periodo de de estudio estudio de de 5 años años. Si se utiliza años y no se espera espera que varíe varíe el rendimiento de depósito, depósito, ¿qué ubicación debería debería seleccionarse? que el rendimiento ¿qué ubicación seleccionarse? ¿Qué ubicación deberá deberá seleccionarse durante un periodo periodo de estudio ¿Qué ubicación seleccionarse durante estudio de seis seis años años si el rendimiento de depósito depósito en la ubicación ubicación B se estima que será 000 después después de 6 rendimiento estima que será de de $6 $6 000 años? años?

Solución Solución a) Puesto que que los los arrendamientos arrendamientos poseen diferentes términos términos (vidas), a) Puesto poseen diferentes (vidas), compárelos compárelos sobre sobre años. Para ciclos de el MCM MCM de de 18 18 años. Para ciclos de vida vida posteriores posteriores al primero, primero, el el costo costo inicial inicial se repetirá en en el año año OO del del nuevo que es el último último año del ciclo ciclo anterior. anterior. Éstos Éstos repetirá nuevo ciclo, ciclo, que año del serán los años años 6 y 12 para la ubicación para el B. El El diagrama diagrama de de flujo de serán los 12 para ubicación A, y el el año año 9 para flujo de efectivo se muestra figura 5.2; 5.2; se calculará calculará el VP 15% sobre sobre 18 18 años. años. VP al 15% efectivo muestra en la figura VP -15000 -15 -15 000(P/F,15 000(P/F,15%,6) 000(PIF,15%,6) VPAA = =-15000 %,6) + 1 000(P/F,15%,6)

-15 + 1 000(P/F,15%,18) -15 000(P/F,15%,12) 000(PIF,15%,12) + 1 000(P/F,15%,12) OOO(PIF,15%,12)+ 000(PIF,15%,18) -3500(P/A,15%,18) -3500(PIA,15%,18) =

036 $-45 036

VPBs = -18000 %,9) + 2 000(P/F,15%,9) VP -18000 -18 -18 000(P/F,15 000(P/F,15%,9) OOO(PIF,15%,9)

+ 2 000(PlF,15% ,18) - 3 100(P/A,15%,18) 000(PlF,15%,18) 100(PIA,15%,18) = $-41 384

b)

Se ubicación B, ya ya que que el costo costo es menor menor en términos términos de VP; VP; es decir, decir, el VP VPBs Se elige elige la ubicación numéricos, que es mayor, mayor, en términos términos numéricos, que el VP VPA.A. Para años ningún ciclo repetido será necesario. análisis Para un periodo periodo de de estudio estudio de de 5 años ningún ciclo repetido será necesario. El El análisis de VPes VPes de

S.' VPAA = -15000 ,5) + 1 000(P/F,1 5%,5) = $-26 236 VP -15000 - 3 500(P/A,15% 500(P/A,15%,5) 000(PIF,15%,5) VPBs = -18000 + 2 000(P/F,15%,5) VP -18000 - 3 100(P/A, 100(P/A, 15%,5) 15%,5)+ 000(PIF,15%,5) = $-27,397 e)

La La ubicación ubicación A A es ahora ahora la la mejor mejor opción. opción. Para un un periodo periodo de de estudio de 6 años, rendimiento del del depósito depósito para para B será Para estudio de años, el rendimiento será de $6000 $6000 en en el año año 6. 6.

VP 15000 - 3 500(PIA,15%,6) 500(P/A,15%,6) + 1 000(P/F,15%,6) VPAA== --15000 000(P/F,15%,6) = $-27813 $-27813 VPBs = -18000 VP -18000 - 3 100(P/A,15%,6) 100(P/A,15%,6) + 6 000(P/F,15%,6) 000(P/F,15%,6) = $-27 138 138

El

de

el • po

eSI vas

SECCIÓN 5.4 5.4 SECCIÓN

$1000 $1000 2

$1000 $1000

$1000 $1000

6

16

12

t

17 18

tt

$3500 $3500

$15000 $15000

$15000 $15000

Análisis Análisis de de valor valor futuro futuro

$15 000 000 Ubicación Ubicación A

$2000 $2000

2

16

9

t $18000 $18000

$2000 $2000

1718 1718

$3 100 $3100

$18000 $18000 UbicaciónB UbicaciónB

Figura 5.2 Diagrama de flujo flujo de efectivo efectivo para para alternativas Diagrama alternativas con con vidas vidas diferentes, diferentes, ejemplo ejemplo 5.2a). ubicación B ahora ahora tiene tiene una ventaja económica, La ubicación una pequeña pequeña ventaja económica, y muy muy probablemente probablemente se considerarán factores factores no económicos económicos para considerarán para tomar tomar la la decisión. decisión. Comentarios Comentarios inciso a) y la figura figura 5.2, 5.2, el rendimiento cada arrendamiento arrendamiento se En el inciso rendimiento de de depósito depósito para para cada recupera después de cada cada ciclo ciclo de vida, recupera después vida, es decir, decir, en en los los años años 6, 12 Y y 18 para para A, y 9 y 18 para B. En el inciso inciso c), e), el incremento será de $2 000 para incremento del del rendimiento rendimiento de depósito depósito será 000 a $6 000 000 año después), después), cambiando cambiando la ubicación seleccionada de (un año ubicación seleccionada de A a B. B. El ingeniero ingeniero de de proyecproyecdeberá reexaminar reexaminar dichos dichos estimados estimados antes tos deberá antes de tomar tomar una una decisión decisión final. final.

5.4 5.4

ANÁLISIS DE VALOR VALOR FUTURO FUTURO ANÁLISIS

valor futuro (VF) de una alternativa El valor alternativa puede puede determinarse determinarse directamente directamente del flujo efectivo mediante establecimiento del valor de efectivo mediante el establecimiento valor futuro, o al multiplicar multiplicar el VP por por factor FIP, FIP, a partir partir de la TMAR TMAR establecida. establecida. Por extensión del el factor Por lo tanto, es una una extensión análisis del valor presente. presente. El valor factor FIP FIP depende depende del periodo análisis valor n en el factor periodo de tiemtiemutiliza para determinar determinar el VP, el valor estudio po que se utiliza valor del MCM MCM o un periodo periodo de estudio específico. El análisis análisis de una alternativa, alternatiespecífico. alternativa, o la comparación comparación de dos o más alternatiusando el valor valor futuro futuro es especialmente especialmente aplicable aplicable a decisiones vas, usando decisiones con grandes grandes capitales de inversión, inversión, cuando cuando el objetivo lafutura prospeprospecapitales objetivo principal principal es maximizar maximizar lafutura accionistas de una corporación. corporación. ridad de los accionistas

183

CAPÍTULO 5 CAPÍTULO

184 184

Análisis del del valor valor presente presente Análisis

El análisis de valor valor futuro utiliza frecuentemente si el activo El análisis de futuro se se utiliza frecuentemente activo (llámese (llámese equiequipo, corporación, edificio, etcétera) se vende o cambia algún tiempo después de po, corporación, edificio, etcétera) vende cambia algún tiempo después de haber sido puestos en marcha o adquiridos, pero antes de que que se alcance alcance su vida haber sido puestos en marcha adquiridos, pero antes de su vida esperada. Un Un VF VF en un año intermedio estimará valor de de la la alternativa alternativa al momenmomenesperada. en un año intermedio estimará el valor to de venta o desecho. Suponga que un empresario planea comprar una compañía to de venta desecho. Suponga que un empresario planea comprar una compañía y espera venderla años. El El análisis VF es el mejor mejor método método para para ayudar tomar espera venderla en en 3 años. análisis de de VF ayudar a tomar la decisión de de venderla conservarla, como como lo 5.3. Otra la decisión venderla o conservarla, lo ilustra ilustra el ejemplo ejemplo 5.3. Otra aplicaaplicación excelente para el análisis es en en proyectos que producirán final ción excelente para el análisis de de VF VF es proyectos que producirán hasta hasta el final del periodo de inversión. alternativas como como instalaciones de generación eléctridel periodo de inversión. Las Las alternativas instalaciones de generación eléctrica, carreteras otras similares similares pueden analizarse utilizando ca, carreteras de peaje, peaje, hoteles hoteles y otras pueden analizarse utilizando el VF VF de compromisos compromisos de de inversión hechos durante de inversión hechos durante la la construcción. construcción. Una futuro, las directrices para seleccionar son son Una vez vez que que se determina determina el valor valor futuro, las directrices para seleccionar las mismas que con con el análisis análisis VP; ;;::O O significa significa que que se logrará excederá la las mismas que VP; VF VF :2: logrará o se excederá la TMAR (una alternativa). alternativas mutuamente TMAR (una alternativa). Para Para dos dos (o más) más) alternativas mutuamente excluyentes, excluyentes, seleccione aquella seleccione aquella con con el el mayor mayor VF VF en en términos términos numéricos. numéricos.

F

I

v EJEMPLO EJEMPLO

5.3

;~: \;(

Una Una corporación corporación británica británica de de distribución distribución de alimentos alimentos adquirió adquirió una una cadena cadena canadiense canadiense de comida por por $75 $75 millones (de dólares) dólares) hace años. Hubo de negocios negocios de de comida millones (de hace tres tres años. Hubo una una pérdida pérdida neta $10 millones final del año en que fueron propietarios. flujo de efectineta de de $10 millones al final del primer primer año que fueron propietarios. El flujo de efectivo con un aritmético de $+5 millones vo neto neto se incrementó incrementó con un gradiente gradiente aritmético de $+5 millones por por año año comenzando comenzando el segundo segundo año, este patrón futuro próximo. significa año, y se espera espera que que continúe continúe este patrón en el futuro próximo. Esto Esto significa que equilibrar el flujo flujo de efectivo efectivo neto; financiamiento de que se logró logró equilibrar neto; debido debido al pesado pesado financiamiento de deuda deuda utilizado comprar la cadena canadiense, canadiense, la directores espera utilizado para para comprar la cadena la junta junta internacional internacional de directores espera una una TMAR TMAR del del 25% 25% anual anual por por cualquier cualquier venta. venta.

a)

b)

s

Se le han corporación británica $159.5 millones Se han ofrecido ofrecido a la corporación británica $159.5 millones de dólares dólares por por una una compañía francesa francesa que sucursal en Canadá. compañía que desea desea adquirir adquirir una una sucursal Canadá. Empleando Empleando el análisis análisis de de VF VF determine determine si se alcanzará alcanzará la TMAR TMAR a este este precio precio de de venta. venta. siendo propietaria Si la la corporación corporación británica británica continúa continúa siendo propietaria de la cadena, cadena, ¿qué ¿qué precio precio de de venta deberá final de los venta deberá obtener obtener al final los 5 años años de tener tener el título título de propiedad propiedad para para lograr lograr la la TMAR? TMAR?

Solución Establezca Establezca el valor valor futuro futuro en en el año año 3 (VF (VF33)) con con una una i = = 25% 25% anual anual y un un precio precio de de oferta $159.5 millones. flujo de efectivo oferta de $159.5 millones. La La figura figura 5.3a representa representa el el diagrama diagrama de de flujo de efectivo en unidades dólares. en unidades de de millones millones de de dólares.

a)

VF -75(F/P,25%,3) -1O(F/P,25%,2) - 5(F/P,25%,1) 5(F/P,25%,1) + 159.5 159.5 VF33 = -75(F/P,25 %,3) -1O(F/P,25%,2)

= -168.36 159.5 = = $-8.86 = -168.36 + 159.5 $- 8.86 millones millones b)

No, $159.5 millones. No, la la TMAR TMAR de de 25% 25% no no se logrará, logrará, si se acepta acepta la la oferta oferta de de $159.5 millones. Determine Determine el valor valor futuro futuro dentro dentro de de 5 años años con con un un 25% 25% anual. anual. La La figura figura 5.3b reprerepresenta el diagrama factores A/G senta diagrama de de flujo flujo de efectivo. efectivo. Los Los factores A/G y F/A se aplican aplican al gradiente gradiente aritmético. aritmético.

e s di

ni

5.5

El cc útil s puen esta ( nes f 1

La ec

Si el

SECCIÓN 5.5 SECCIÓN 5.5

Cálculo Cálculo y análisis análisis del del costo costo capitalizado capitalizado

VF=? VF=?

$159.5 $159.5

i=25% i= 25%

i 2!: 25%? i2!:25%?

oo

2

185 185

3

oo

2

3

$75 $75

$75 $75

b)

a)

Figura Figura 5.3 5.3 Diagramas de para el ejemplo Diagramas de flujo flujo de de efectivo efectivo para ejemplo 5.3 5.3.. a) ¿Se ¿Se logró logró la TMAR TMAR = 25%? 25%? b) ¿Cuál ¿Cuál será será el VF en Las cantidades unidades de millones de VF en el año año 5? 5? Las cantidades se se encuentran encuentran en en unidades de millones de dólares. dólares.

VF55 = -75(F/ P,25%,5) - I1O(F/A,25%,5) O(F/A,25%,5) + 5(A/G,25%,5)(F/A,25% VF -75(F/P,25%,5) 5(A/G,25%,5)(F/A,25%,5),5) = $-246.81 millones $-246.81 millones

La menos, $246.81 millones para para lograr la TMAR. TMAR. Esto La oferta oferta deberá deberá ser ser de, al menos, $246.81 millones lograr la Esto es aproximadamente 3.3 veces el precio precio de compra parte aproximadamente 3.3 veces compra sólo sólo 5 años años antes, antes, en en gran gran parte basado en requerimiento de la TMAR de 25 %. basado en el requerimiento TMAR de 25%. Comentario Comentario Si la regla [1.9] se aplica precio de regla del del 72 en la ecuación ecuación [1.9] aplica al 25% 25% anual, anual, el precio de venta venta deberá deberá duplicarse no toma toma en consideración duplicarse aproximadamente aproximadamente cada cada 72/25% 72/25% = 2.9 2.9 años, años, lo cual cual no consideración ningún flujo positivo o negativo negativo anual propiedad. ningún flujo de efectivo efectivo positivo anual neto neto durante durante los los años años de propiedad.

5.5 5.5

CÁLCULO ANÁLISIS DEL COSTO CÁLCULO Y ANÁLISIS COSTO CAPITALIZADO CAPITALIZADO

El costo capitalizado refiere al valor valor presente presente de una alternativa capitalizado (CC) se refiere alternativa cuya cuya vida para siempre. Algunos proyectos proyectos de obras públicas tales como útil se supone supone durará durará para siempre. Algunos obras públicas puentes, diques, sistemas irrigación y vías de ferrocarril ferrocarril se encuentran encuentran dentro dentro de puentes, diques, sistemas de irrigación esta categoría. Además, los fondos permanentes de universidades universidades o de organizaciocategoría. Además, fondos permanentes organizacioutilizando métodos métodos de costo nes filantrópicas filantrópicas se evalúan evalúan utilizando costo capitalizado. capitalizado. La fórmula para calcular A(PIA,i,n), donde fórmula para calcular el ce CC se deriva deriva del factor factor P = = A(PIA,i,n), donde n = = oo. oo. La ecuación para P utilizando utilizando el factor PIA es: ecuación para factor PIA P=A[(l+i)" P = A [ (1+i)" --1]1] i(l + i)" i)" i(1

denominador se dividen dividen entre entre (1 (l + i)" i)" . Si el numerador numerador y el denominador

Regla del Regla del 72 72

186

CAPÍTULO CAPÍTULO 5

Análisis del valor Análisis valor presente presente

4. Si n se aproxima entre corchetes aproxima a 00, el término término entre corchetes se convierte convierte en Vi, Vi, y el símbolo símbolo CC reemplaza reemplaza VP y P.

5.

CC=~ CC=~ lt

El; de rec de sin

00,

[5.1]

Si A es el valor valor anual (VA) determinado determinado a través través de cálculos cálculos de equivalencia equivalencia de flujo de efectivo efectivo durante durante n número número de años, el valor valor del CC es

CC= CC= VA VA i

[5.2] [5.2]

La validez validez de la ecuación ecuación [5.1] se ejemplifica ejemplifica al considerar considerar el valor valor del dinero dinero rendimiento del 20% anual, con compuesto compuesto anualen el tiempo. Si $10 000 tienen un rendimiento mente, la cantidad cantidad máxima máxima de dinero dinero que se puede puede retirar retirar al final de cada cada año por mente, por siempre será de $2 000 o sea el interés interés acumulado acumulado cada cada año. Esto permite permite que los siempre $10 000 originales originales ganen ganen interés interés para para que otros $2000 $2 000 se acumulen acumulen el próximo próximo cada periodo año. Matemáticamente, Matemáticamente, la cantidad cantidad A de dinero dinero generado generado cada periodo de interés interés consecutivo para para un número número infinito infinito de periodos consecutivo periodos es A = Pi = CC(i) CC(i)

[5.3]

El cálculo cálculo de costo costo capitalizado capitalizado en la ecuación ecuación [5.1] es la ecuación ecuación [5.3] que despeja P y asigna asigna el nuevo nuevo nombre nombre de CC. Cc. despeja Para público con una vida Para una alternativa alternativa del sector sector público vida larga o infinita, infinita, el valor valor A determinado determinado por la ecuación ecuación [5.3] se utiliza utiliza cuando cuando el índice índice beneficio/costo beneficio/costo (B/C) es la base para proyectos base de comparación comparación para proyectos públicos; públicos; este método método se examina examina en el capítulo capítulo 9. efectivo (costos o ingresos) ingresos) en el cálculo cálculo de costo costo capitalizado capitalizado casi El flujo de efectivo siempre siempre será de dos tipos: recurrente, recurrente, también también llamado llamado periódico, periódico, y no recurrente. El costo costo anual de operación operación de $50 000 y el costo costo estimado estimado de reprocesamiento reprocesamiento de $40000 $40000 cada cada 12 años son ejemplos ejemplos de flujo de efectivo efectivo recurrente. recurrente. Casos Casos de flujo efectivo no recurrente recurrente son la cantidad cantidad inicial inicial de inversión inversión en el año O Oy de efectivo y los estimados únicos únicos de flujo de efectivo efectivo en el futuro, por ejemplo, ejemplo, $500000 derechos $500000 en derechos mados patente dentro dentro de 2 años. El siguiente siguiente procedimiento procedimiento ayuda ayuda a calcular calcular el CC en de patente número infinito infinito de secuencias secuencias de flujo de efectivo. efectivo. un número 1. Elabore Elabore un diagrama diagrama de flujo de efectivo efectivo mostrando mostrando los flujos no recurrentes recurrentes 1. y, al menos, menos, dos ciclos ciclos de todos los flujos de efectivo efectivo recurrentes recurrentes (pe(una vez) y, riódicos). riódicos). Encuentre el valor valor presente presente de todas las cantidades cantidades no recurrentes. 2. Encuentre recurrentes. Éste será su valor Cc. valor de Ce. Calcule el valor uniforme equivalente equivalente (valor (valor A) a través través de un ciclo de vida 3. Calcule valor anual uniforme cantidades recurrentes. recurrentes. Éste es el mismo mismo valor valor en todos todos los ciclos ciclos de de todas las cantidades

•

SECCIÓN 5.5

4. 5.

Cálculo y análisis del costo capitalizado capitalizado

187 187

vida vida subsecuentes, subsecuentes, como como se explica explica en el capítulo capítulo 6. Hay que agregarlo agregarlo a todas las cantidades uniformes que tienen hasta el infinito, resultado cantidades uniformes tienen lugar lugar del año 1 1hasta infinito, y el resultado es el valor valor anual uniforme uniforme equivalente equivalente total (VA). Di vida el VA obtenido paso 3 entre para obtener valor Divida obtenido en el paso entre la tasa de interés interés i para obtener el valor ec. De esta manera aplicará la ecuación ecuación [5.2]. Ce. manera se aplicará Agregue los valores pasos 2 y 4. Agregue valores ce ee obtenidos obtenidos en los pasos

Elaborar Elaborar el diagrama diagrama de flujo de efectivo efectivo (paso 1) es más importante importante en los cálculos cálculos de ce puesto que ayuda ee que en cualquier cualquier otro lugar, puesto ayuda a separar separar las cantidades cantidades no recurrentes de las recurrentes. recurrentes. En el paso paso 5 ya se han obtenido valores presentes presentes recurrentes obtenido los valores de todos los flujos de efectivo efectivo componentes; componentes; el total del costo costo capitalizado capitalizado será simplemente simplemente la suma suma de ellos. EJEMPLO EJEMPLO

5.4

El distrito de avalúo de la propiedad para el condado de Marin acaba de instalar instalar equipo registrar los valores residenciales de mercado y calcular calcular sus imnuevo de cómputo para registrar puestos. El gerente quiere conocer conocer el costo total equivalente equivalente de todos los costos futuros jueces de condado adquieran este sistema de software. software. Si el nuevo sistema cuando los tres jueces utilizara por un tiempo indefinido, encuentre se utilizara encuentre el valor equivalente equivalente a) actual y b) por cada año de aquí en adelante. El sistema tiene un costo de instalación instalación de $150 000 y un costo adicional de $50 000 después de 10 años. El costo del contrato de mantenimiento mantenimiento es de $5000 $5 000 por los primeros 4 años, y $8 000 después de éstos. Además se espera que haya un costo de actualización actualización recurrente de $15 000 cada 13 uponga que i = 55% % anual para los fondos del condado. recurrente 13 años. S Suponga Solución Solución a)

Se aplica el procedimiento procedimiento anterior de cinco pasos. 1. Elabore un diagrama de flujo de efectivo para dos ciclos (figura 5.4). 2. Encuentre Encuentre el valor presente de los costos no recurrentes de $150000 $150000 ahora, y $50000 $50000 en el año 10, con i = 5%. Designe este costo capitalizado capitalizado como CC¡. CCj•

= -150 -150 000 - 50 000(PlF,5%,1O) 000(PlF,5%,1O) = = $-180 $-180 695 CC¡ = 3. Convierta recurrente de $15000 Convierta el costo recurrente $15000 cada 13 13 años a un valor anualA¡ anual A¡ para los primeros 13 13 años. A¡ = -15 -15 000(AlF,5%,13) 000(AlF,5%,13) = $-847 $-847

El mismo valor, A¡ Al = = $-847, $-847, se aplica también a todos los demás periodos de 13 13 años. capitalizado para las series de dos mantenimientos mantenimientos anuales se determina 4. El costo capitalizado considere una serie de $-5 $-5 000 a partir de ahora y hasta el en dos formas: 1. considere infinito y calcule el valor presente presente de -$8 -$8 000 - ($-5 ($-5 000) == $-3 $-3 000 del año 5 en presente de adelante; o 2. encuentre encuentre el CC de $-5 $-5 000 para 4 años y el valor presente $-8 000 del año 5 al infinito. Si utiliza el primer método, método, el costo anual (A2)) $-8 siempre será de $-5000. $-5000. El costo capitalizado capitalizado CC22 de $-3000 $-3000 del año 5 al infiniencuentra usando la ecuación [5.1] [5 .1] por el factor PIF. PIF. to se encuentra

s

188

CAPÍTULO

5

Análisis del valor presente

ti

i = 5% anual

o

2

4

6

10

8

n e 12

14

fTí

$5000

t

I

$8000

t

$15000

$15000

$50000

$150000

Figura 5.4 Flujo de efectivo para dos ciclos de costos recurrentes ejemplo 5.4.

CC2 = -3000 0.05

y todas las cantidades

(P/F,5%,4)

Las dos series de costo anual se convertirán CC = Al +~ 3

S. El costo capitalizado

i

no recurrentes,

= $-49362 al costo capitalizado

= -847+(-5000) 0.05

CC3•

=$-116940

total CCT se obtiene al sumar los tres valores Cc.

CCT= -180 695 - 49362 - 116940 = $-346 997 b)

La ecuación [5.3] determina el valor de A para siempre. A = Pi

= CCT(i) = $346

997(0.05)

= $17

350

Por lo tanto, la interpretación correcta es que los oficiales del condado de Marin han comprometido el equivalente de $17350 para siempre al operar y dar mantenimiento al software de evaluación de propiedades. Comentario El valor CC2 se calcula utilizando n = 4 en el factor PIF debido a que el valor presente del costo anual de $3 000 se calcula en el año 4, siempre que P sea un periodo adelante del primer A. Resuelva de nuevo el problema utilizando el segundo método sugerido para el cálculo de CC2•

Para comparar dos o más alternativas con base en el costo capitalizado, utilice el procedimiento anterior para determinar el CCT para cada alternativa. Ya que el costo capitalizado representa el valor presente total de financiamiento y mantenimiento dada una alternativa de vida infinita, las alternativas se compararán automá-

n p rí el n d

SECCIÓN SECCIÓN 5.5 5.5

Cálculo Cálculo y análisis análisis del del costo costo capitalizado capitalizado

ticamente ticamente para para el mismo mismo número número de años (es decir, infinito). infinito). La alternativa alternativa con el menor costo capitalizado capitalizado representará representará la más económica. económica. Esta Esta evaluación evaluación se ilustra menor ilustra en el ejemplo ejemplo 5.5. De la misma misma manera manera que en el análisis análisis de valor presente, presente, tan sólo son las diferencias rencias en el flujo de efectivo efectivo entre entre las alternativas alternativas las que deberán deberán considerarse considerarse para debepara objetivos objetivos de comparación. comparación. Por lo tanto, cuando cuando sea posible, posible, los cálculos cálculos deberían simplificarse comunes simplificarse eliminando eliminando los elementos elementos del flujo de efectivo efectivo que sean comunes en ambas ambas alternativas. alternativas. Por Por otro lado, si los valores valores reales reales del costo costo capitalizado capitalizado se necesitan utilizarse el flujo necesitan para para reflejar reflejar las obligaciones obligaciones financieras financieras reales, reales, deberá deberá utilizarse efectivo real. de efectivo

EJEMPLO

5.5

:.~

Se encuentran cruce un un encuentran bajo bajo consideración consideración dos dos ubicaciones ubicaciones para para construir construir un puente puente que que cruce río en Nueva conecta una circuiNueva York. York. El sitio sitio norte, norte, que que conecta una carretera carretera principal principal estatal estatal con con un circuialrededor de la ciudad, ciudad, y aliviará aliviará mucho mucho el tráfico tráfico vehicular vehicular local; local; las desto interestatal interestatal alrededor las desventajas local duduventajas de este este sitio sitio son son que que el puente puente agilizaría agilizaría poco poco la congestión congestión de tráfico tráfico local rante otra rante las horas horas de mayor mayor afluencia, afluencia, y que que éste éste tendría tendría que que extenderse extenderse de una una colina colina a otra para Por lo para abarcar abarcar la parte parte más más ancha ancha del río, río, las vías vías del del tren tren y las las carreteras carreteras río río abajo. abajo. Por tanto, tendría tendría que que ser ser un puente puente suspendido. suspendido. E! El sitio sitio sur sur requerirá requerirá un trayecto trayecto mucho mucho más tanto, más corto, construccorto, permitiendo permitiendo así así la la construcción construcción de un puente puente apuntalado, apuntalado, pero pero requeriría requeriría construcción ción de nuevos nuevos caminos. caminos. E! manEl puente puente suspendido suspendido costará costará 50 millones millones de dólares dólares con con costos costos de inspección inspección y mantenimiento renovarse tenimiento anuales anuales de $35 $35 000. 000. Además, Además, la cubierta cubierta de concreto concreto tendrá tendrá que que renovarse puente apuntalado caminos cada cada 10 10 años años con con un costo costo de $100 000. Se espera espera que que el puente apuntalado y los los caminos cercanos 000. cercanos tendrán tendrán un costo costo de $25 $25 millones millones y un costo costo de mantenimiento mantenimiento anual anual de $20 000. El puente limpiarpuente tendrá tendrá que que pintarse pintarse cada cada 3 años años a un costo costo de $40 000. 000. También También deberá deberá limpiarse con del derederecon chorro chorro de arena arena cada cada 10 años años a un costo costo de $190 000. 000. El costo costo de compra compra del cho millones cho de paso paso se espera espera que que sea sea de $2 millones millones para para el puente puente suspendido suspendido y de $15 $15 millones para si la para el puente puente apuntalado. apuntalado. Compare Compare las las alternativas alternativas con con base base en el costo costo capitalizado capitalizado si tasa de interés interés es de 6% 6% anual. anual. tasa Solución Solución

Elabore Elabore los los diagramas diagramas de flujo flujo de efectivo efectivo durante durante dos dos ciclos ciclos (20 años). años). El puente suspendido El costo costo capitalizado capitalizado del del puente suspendido (CCs)será: (CCs)será: CC¡ = costo costo capitalizado capitalizado del costo costo inicial inicial = --50.0 50.0 - 2.0 = $-52.0 millones millones

El costo 000, y el costo del recurecucosto de operación operación recurrente recurrente es Al Al = = $-35 $-35000, costo anual anual equivalente equivalente del brimiento es brimiento ~ ~ ==

CC22 CC

-100 -lOO 000(A/F,6%,1O) 000(A/F,6%,IO) = $-7 $-7 587 587

= costo costo capitalizado capitalizado de costos costos recun'entes recurrentes = = Al Al ~ ~~ ~ = lt

+ (-7 587) =$-709 783 = -35000 -35000+(-7587) =$-709783 0.06 0.06

189 189

190 190

CAPÍTULO 5 Análisis del valor presente

capitalizado total es El costo capitalizado CCs = cC¡ CC¡ + CC2 = $-52.71 millones CCs capitalizado del puente apuntalado (CC Tr):): Costo capitalizado = -25.0 + (-15.0)=$-40.0 (-15.0) = $-40.0 millones CC, =-25.0

A, =$-20000 =$-20000

~ = costo anual de pintura = = -40 -40 000(AlF,6%,3) 000(A/F,6%,3) = = $ -12 -12564 ~ = 564

~~ = costo anual del chorro de arena = -190 -190 000(AlF,6%,1O) 000(A/F,6%,1O) = $-14 $-14 415 415 $-46979 =$-782983 CC == A, A, +A2 +A3 == $-46979 $-782983 2 i 0.06 CC rr = CC, + CC22 = $ -40.78 millones capitalizado es menor. Conclusión: Se debe construir el puente apuntalado ya que el costo capitalizado

.11I11_[

alternativa de vida finita finita (por ejemplo, ejemplo, 5 años) se compara compara con una de vida vida Si la alternativa infinita, se pueden costos capitalizados capitalizados en la evaluación. evaluación. muy larga o infinita, pueden utilizar utilizar los costos Para determinar determinar dicho costo costo para alternativa de vida finita, calcule calcule el valor Para para la alternativa valor equivalente A para un ciclo de vida y divida valente divida por la tasa de interés interés (ecuación (ecuación [5.1]). Este Este procedimiento ilustra en el siguiente siguiente ejemplo. ejemplo. procedimiento se ilustra

l'

\ ~'Iq

~~~¡ ¡:

\:11:

EJEMPLO

5.6

,'lh subcontratista electrónica de la fuerza aérea, necesita adquirir inmeAPSco, un sub contratista grande de electrónica diatamente 10 10 máquinas de soldar, con un calibre preparado especialmente especialmente para ensamdiatamente blar componentes en circuitos impresos. Se necesitarán más máquinas en el futuro. El continuación dos alternativas simplificaingeniero encargado de la producción producción señala a continuación 15% anual. das y viables. La TMAR de la compañía es de 15% Alternativa contratista proveerá por $8 millones el número Alternativa LP (a largo plazo). Un contratista 20), ahora y en el futuro, por el tiempo necesario de máquinas (hasta un máximo de 20), que APSco las necesite. Los derechos anuales del contrato son un total de $25 $25 000 sin costo anual adicional por máquina. En el contrato no existe tiempo límite ni los incrementarán. costos se incrementarán. Alternativa $275 000 Alternativa CP (a corto plazo). plazo) . APSco compra sus propias máquinas por $275 cada una y gasta un estimado de $12 000 por máquina de costo anual de operación (COA). La vida útil de un sistema de soldar es 5 años.

s

Realice una evaluación de costo capitalizado a mano yy por computadora. Una vez que se evaluación utilice una hoja de cálculo para análisis de sensibilidad sensibilidad y determicomplete la evaluación comprarse ahora y que aún ne el número máximo de máquinas de soldar que pueden comprarse capitalizado menor que la alternativa alternativa a largo plazo. tengan un costo capitalizado

1 SECCIÓN 5.5 SECCIÓN

191

Cálculo y análisis análisis del del costo costo capitalizado capitalizado Cálculo

Solución Solución a mano mano Para la alternativa determine el CC CC del del COA COA utilizando ecuación [5.1], [5.1], con con CC CC = = Para alternativa LP, determine utilizando la ecuación A/i. Sume Sume esta esta cantidad cantidad a los los derechos derechos iniciales iniciales del del contrato, contrato, la cual cual es ya un costo costo capitacapitalizado, lizado, una una cantidad cantidad en valor valor presente. presente.

CC CCLP CC de los derechos derechos del del contrato contrato + CC CC de COA COA LP = CC = -8 -8 millones millones -2500010.15 -2500010.15 = $-8 $-8 166667 166667

Para Para la alternativa alternativa CP, calcule calcule primero primero la cantidad cantidad anual anual equivalente equivalente para para el costo costo de compra de 5 años, compra durante durante una una vida vida de años, y sume sume el valor valor del del COA COA para para las 10 máquinas. máquinas. DesDespués pués determine determine el CC CC total total utilizando utilizando la ecuación ecuación [5.2]. [5.2]. VACJ> por compra VAcp = = VA VApor compra + COA COA = -2.75 -2.75 millones(A/p,15%,5) millones(A/p,15%,5) - 120000 120000 = = $-940 $-940 380 380 =

940 38010.15 CC CCcp 380/0.15 = $-6 $-6 269 269 200 200 cp = --940 La La alternativa alternativa CP CP tiene tiene un menor menor costo costo capitalizado capitalizado de aproximadamente aproximadamente $1.9 $1.9 millones millones de valor valor presente presente en dólares. dólares. Solución Solución por por computadora computadora La La figura figura 5.5 muestra muestra la solución solución para para 10 máquinas máquinas en en la columna columna B. La La celda celda B8 B8 utiliza utiliza misma relación relación que que la solución solución a mano. mano. La La celda celda Bl5 utiliza la función función PAGO PAGO para para la misma B15 utiliza

§l ~ Sol-E Sol-E

._. __

_._

_ _

_-_ ..,._.1--·..·

__ ·_ ····l--· ·-L_=...:.;:.;.,::..=..J

Figura Figura 5.5 5.5 Solución Solución de la comparación comparación del del costo costo capitalizado capitalizado en en hoja hoja de cálculo, cálculo, ejemplo ejemplo 5.6. 5.6.

192

CAPÍTULO S Análisis del valor presente presente

s(

determinar determinar la cantidad anual equivalente equivalente A por la compra de 10 máquinas, a la que se encontrar el CC total de la agrega el CAO. La celda B16 utiliza la ecuación [5.2] para encontrar alternativa alternativa CP. CP. Como se esperaba, se elige la alternativa alternativa CP. CP. (Compare CC CCcpcalculado cp calculado a mano con el calculado por computadora computadora y note que el error por redondeo cuando se usan los factores de interés tabulados se incrementa incrementa para valores grandes de P). El tipo de análisis de sensibilidad sensibilidad solicitado en este caso es fácil de realizar realizar una vez generalmendesarrollada desarrollada la hoja de cálculo. La función PAGO en la celda BIS se expresa generalmente en términos de la ceda B12, el número de máquinas compradas. Las columnas C y D repiten la evaluación evaluación para 13 13 y 14 máquinas. Por lo tanto, 13 13 es el número máximo de alternativa CP que sea menor que máquinas que pueden comprarse y tener un CC para la alternativa comparar los valores CC LP. Esta conclusión conclusión se obtiene fácilmente al comparar la del contrato LP. totales en las filas 8 y 16. (Nota: no es necesario duplicar la columna B en C y D para 16. (Nota: realizar realizar este análisis de sensibilidad. sensibilidad. Al cambiar cambiar la entrada en la celda B 12 hacia arriba de duplicación para visualizar 10 proveerá la misma información. Se muestra aquí la duplicación visualizar todos los resultados en la hoja de cálculo.)

5.6 5.6

ANÁLISIS DEL PERIODO ANÁLISIS PERIODO DE RECUPERACiÓN RECUPERACiÓN

El análisis recuperación (también reposición) es otra extenanálisis de recuperación (también llamado llamado análisis análisis de reposición) extensión del método método del valor valor presente. presente. La recuperación recuperación puede puede tomar tomar dos formas: una una para análisis de recuperación recuperación descontado) descontado) y otra para para para i > 0% (también (también llamado llamado análisis i= Existe un vínculo vínculo lógico recuperación y el del punto punto de = 0%. Existe lógico entre entre el análisis análisis de recuperación equilibrio, utiliza en varios varios capítulos equilibrio, el cual cual se utiliza capítulos y se detalla detalla en el capítulo capítulo 13. periodo de recuperación recuperación np np es el tiempo tiempo estimado, El periodo estimado, generalmente generalmente en años, que tomará tomará para para que los ingresos ingresos estimados beneficios económicos recupeestimados y otros beneficios económicos recuperen la inversión rendimiento establecida. valor np np generalinversión inicial inicial yy una tasa de rendimiento establecida. El valor generalmente recordar lo siguiente: mente no es un entero; entero; es importante importante recordar siguiente: El periodo recuperación np nunca nunca debería debería utilizarse utilizarse como como la medida medida periodo de recuperación primaria de valor para para seleccionar primaria seleccionar una alternativa. alternativa. En su lugar, se deterdeterminaría para ofrecer inicial o información información complementaria minaría para ofrecer depuración depuración inicial complementaria junto con un análisis usando el valor valor presente presente u otro método. junto análisis realizado realizado usando método. periodo de recuperación deberá calcularse calcularse utilizando El periodo recuperación deberá utilizando un rendimiento rendimiento requerido requerido que sea mayor mayor al 0%. Sin embargo, práctica, el periodo periodo de recuperación recuperación a embargo, en la práctica, menudo requerimiento de no rendimiento rendimiento (i = para depumenudo se determina determina con un requerimiento = 0%), para rar inicialmente proyecto y determinar mayor consideración. inicialmente el proyecto determinar si garantiza garantiza mayor consideración. Para encontrar periodo de recuperación recuperación descontado una tasa establecida Para encontrar el periodo descontado a una establecida de i > 0%, calcule np que cumplan calcule los años np cumplan correctamente correctamente la siguiente siguiente expresión. expresión.

o=-P+

Flujo de efectivo neto

(PIF,i,t) (PIF,i,t)

[5.4]

La cantidad inversión inicial inicial o primer primer costo, FEN es el flujo de efectivo cantidad P es la inversión costo, y FEN efectivo neto estimado por cada por la ecuación FEN = estimado por cada año t como como se determina determina por ecuación [1.8]; FEN = ingreingre-

u!

D

to

de

ti! in

ql m

ar el ta ut

es cc de pe ur

Pa di!

pu pn

yer

SECCIÓN SECCIÓN 5.6

Análisis periodo de recuperación Análisis del periodo recuperación

193 193

sos - desembolsos. desembolsos. Si se espera espera que los valores valores FEN sean iguales iguales cada cada año, se utilizará PIA, en cuyo utilizará el factor factor P/A, cuyo caso la relación relación es 00== --PP + FEN(P/A,i,n FEN(PIA,i,n p) p )

[5.5]

Después rendimienDespués de np años, el flujo de efectivo efectivo habrá habrá recobrado recobrado la inversión inversión y un rendimiento de i%. Si, en realidad, realidad, el activo activo o la alternativa alternativa se utilizan utilizan para para más de np años, puede darse mayor rendimiento; pero si la vida útil es menor darse un mayor rendimiento; pero menor que np años, no habrá habrá tiempo tiempo suficiente suficiente para recuperar recuperar la inversión inversión inicial inicial ni el rendimiento rendimiento de i%. Es muy importante flujos de efectivo importante notar notar que en el análisis análisis de recuperación recuperación todos los flujos efectivo neto que ocurran ocurran después después de np "» años años se despreciarán. despreciarán. Puesto Puesto que esto es significativasignificativamente mente diferente diferente del enfoque enfoque del VP (o valor valor anual, o tasa de rendimiento, rendimiento, como se analiza analiza más adelante), adelante), donde donde todos los flujos de efectivo efectivo de la vida vida útil entera entera se incluyen cluyen en el análisis análisis económico, económico, el análisis análisis de recuperación recuperación puede puede inclinarse inclinarse injusinjustamente a la alternati alternati va seleccionada. seleccionada. Por lo tanto, el análisis de recuperación recuperación se deberá deberá utilizar solamente para depuración utilizar solamente para depuración o como como técnica técnica complementaria. complementaria. Cuando utiliza i > 0%, el valor Cuando se utiliza valor np ofrece ofrece un sentido sentido de riesgo riesgo si la alternativa alternativa está comprometida. ejemplo, si una compañía producir un artículo comprometida. Por ejemplo, compañía planea planea producir artículo bajo contrato contrato por sólo 3 años y el periodo periodo de recuperación recuperación del equipo equipo se estima estima que será de 6 años, la compañía compañía no deberá deberá garantizar garantizar el contrato; contrato; aunque aunque en tal situación, situación, el periodo únicamente información periodo de recuperación recuperación de 3 años es únicamente información complementaria, complementaria, no un buen sustituto para análisis económico económico completo. completo. buen sustituto para un análisis El análisis análisis de recuperación recuperación sin rendimiento rendimiento (o recuperación recuperación simple) simple) determina determina np a i = 0%. propo0%. Este Este valor valor np sirve tan sólo como un indicador indicador inicial inicial de que la proposición sición es una alternativa alternativa viable viable y que merece merece una evaluación evaluación económica económica completa. completa. Utilice i == 0% en la ecuación ecuación [5.4] y encuentre encuentre np' np' Utilice l=np t=np

O=-P+ O=-P+ ¿FENt

[5.6]

1=1 '.=1

Para efectivo neto uniforme, Para una serie de flujo de efectivo uniforme, la ecuación ecuación [5.6] se resuelve resuelve directamente para np' directamente para np' P

FEN

[5.7]

Como proyectos proproComo ejemplo ejemplo del uso de np como una depuración depuración inicial inicial de proyectos puestos considere presidente corporativo puestos considere el caso de un presidente corporativo quien quien insiste insiste en que cada cada proyecto deberá proyecto deberá recobrar recobrar la inversión inversión en 3 años o menos. menos. Por lo tanto, ningún ningún proyecto propuesto propuesto con un np > 3 representará representará una alternativa. alternativa. incorrecto usar usar un un periodo recuperación sin rendimiento para realiEs incorrecto periodo de recuperación rendimiento para zar una una selección final de alternativas alternativas debido debido a que: zar

1. Ignora valor del Ignora cualquier cualquier rendimiento rendimiento requerido, requerido, ya que se omite el valor dinero dinero en el tiempo. tiempo.

Proyectos Proyectos y y alternativas alternativas

194 194

CAPÍTULO 5 CAPÍTULO

valor presente presente Análisis del valor Análisis

2. Ignora Ignora todos todos los flujos flujos de efectivo efectivo netos netos posteriores posteriores al tiempo tiempo nnpp'' incluincluyendo el flujo flujo de efectivo efectivo positivo positivo que que pudiera pudiera contribuir contribuir al rendimiento rendimiento yendo inversión. de la inversión. resultado, la alternativa alternativa seleccionada seleccionada sería diferente diferente de la elegida elegida mediante mediante Como resultado, análisis económico económico con base en los cálculos cálculos VP (o VA). VA). Este hecho se demuestra demuestra un análisis adelante en el ejemplo ejemplo 5.8. más adelante

EJEMPLO EJEMPLO

Solución Solución flujo de efectivo efectivo neto neto por cada año El pago a) El El flujo por cada año es de de $3 millones. millones. El pago único único de de $3 millomillones (lIámelo (llámelo VC VC por por valor cancelación) podría podría recibirse recibirse en cualquier momento nes valor de cancelación) cualquier momento dentro años del periodo del del contrato. contrato. La La ecuación ecuación [5.5] entonces se se ajusta dentro de los los 10 años del periodo [5.5] entonces ajusta para Ve. para incluir incluir el el Ve. 0= -p VC(P/F,i,n) 0= -P + FEN(P/A,i,n) FEN(PlA,i,n) + VC(P/F,i,n) En En unidades unidades de de $1000000, $1000000, 0= (P/A, 15%,n) + 3(P/F, 15%, n) 0= -18 -18 + 33(PlA, 3(PlF,15%, El 15% es 15.3 años. la años, El periodo periodo de de recuperación recuperación de 15% es np np = 15.3 años. Durante Durante el periodo periodo de de 10 años, el contrato contrato no no tendrá tendrá ningún ningún rendimiento rendimiento requerido. requerido. Si Halliburton Halliburton no no requiere requiere absolutamente absolutamente ningún ningún rendimiento rendimiento en en su su inversión inversión de de $18 $18 Si millones, millones, la la ecuación ecuación [5.6] [5.6] da da como como resultado resultado np = 5 años, años, como como sigue sigue (en (en millones millones de de dólares): dólares): 0= -18 + 5(3) + 3 0=-18+5(3)+3 Existe Existe una una diferencia diferencia significativa significativa en en np para para 15% 15% y 0%. 0% . Al Al 15% 15% este este contrato contrato debedebería ría estar estar vigente vigente por por 15.3 15.3 años, años, mientras mientras que que el periodo periodo de de recuperación recuperación sin sin rendirendimiento miento requiere requiere sólo sólo de de 5 años. años. Un Un tiempo tiempo más más largo largo se se requerirá requerirá siempre siempre para para i > 0% 0% por por la la obvia obvia razón razón de de que que se se considera considera el el valor valor del del dinero dinero en en el tiempo. tiempo. Utilice Utilice un un NPER(15%,3,-18,3) NPER(15%,3,-18,3) para para mostrar mostrar un un periodo periodo de de 15.3 15.3 años. años. Cambie Cambie la la tasa tasa de de 15% 15% aO% a 0% para para exponer exponer un un periodo periodo de de recuperación recuperación sin sin rendimiento rendimiento de de 55 años. años.

Sol-R Sol-R

d n

5.7

La jjunta directores de Halliburton Halliburton International International acaba acaba de autorizar autorizar 18 millones millones de dódóLa unta de directores lares para para un contrato contrato de diseño diseño de ingeniería ingeniería para para construcción construcción alrededor alrededor del del mundo. mundo. Se lares espera que que los servicios servicios generen generen un nuevo nuevo flujo flujo de efectivo efectivo neto neto anual anual de $3 millones. millones. El El espera contrato posee posee una cláusula de recuperación recuperación potencialmente potencialmente lucrativa lucrativa para para Halliburton Halliburton de contrato una cláusula $3 millones, millones, en cualquier cualquier momento momento que que se cancele cancele el contrato contrato por por cualquiera cualquiera de las las partes partes durante el periodo periodo del del contrato años. a) Si i = 15%, 15%, calcule calcule el periodo periodo de recuperarecuperadurante contrato de 10 años. ción. b) Determine periodo de recuperación recuperación sin sin rendimiento rendimiento y compárelo compárelo con con la resresción. Determine el periodo Éste será inicial para para determinar junta tomó puesta para para i = 15%. puesta 15%. Éste será un registro registro inicial determinar si la junta tomó una una decisión económicamente acertada. acertada. decisión económicamente

b) b)

p n

Comentario Comentario El El cálculo cálculo de de la la recuperación recuperación determina determina el el número número de de años años requerido requerido para para recobrar recobrar los los dólares dólares invertidos. invertidos. Sin Sin embargo, embargo, desde desde los los puntos puntos de de vista vista del del análisis análisis de de ingeniería ingeniería ecoeconómica nómica yy del del valor valor del del dinero dinero en en el tiempo, tiempo, el el análisis análisis de de recuperación recuperación sin sin rendimiento rendimiento no no es es un un método método confiable confiable para para elegir elegir la la alternativa alternativa adecuada. adecuada.

I

SECCIÓN SECCIÓN 5.6 S.6

Análisis del del periodo periodo de de recuperación recuperación Análisis

evalúan dos o más alternativas alternativas utilizando Si se evalúan utilizando los periodos periodos de recuperación recuperación para indicar indicar que una una es mejor mejor que la(s) otra(s), otra(s), la segunda desventaja del análisis análisis de para segunda desventaja recuperación (que pasa pasa por por alto el flujo de efectivo efectivo después después de np) quizá lleve a una una recuperación quizá lleve decisión económicamente incorrecta. Cuando se desprecia decisión económicamente incorrecta. Cuando desprecia el flujo de efectivo efectivo ocurrido después después de np' es posible posible favorecer vida corta, rrido favorecer los activos activos de vida corta, aun cuando cuando los activos de vida más larga larga producen casos, el análiactivos producen un rendimiento rendimiento mayor. mayor. En tales casos, análisis de VP (o VA) deberá método de selección. deberá ser siempre siempre el principal principal método selección. La comparacomparaactivos de vida corta corta y de vida larga larga del ejemplo ilustra el empleo ción entre entre los activos ejemplo 5.8 ilustra empleo incorrecto del análisis recuperación. incorrecto análisis de recuperación.

EJEMPLO EJEMPLO

5.8

. .

Dos piezas equivalentes equivalentes de equipo de inspección consideran para Dos piezas de un un equipo inspección de calidad calidad se consideran para su compra máquina 2 sea versátil y suficientemente compra en en Square Square D Electric. Electric. Se espera espera que que la máquina sea versátil suficientemente avanzada para máquina 1. ingreso neto neto mayor mayor que que la la máquina avanzada para proveer proveer un ingreso

Costo Costo inicial, inicial, $ FEN anual, anual, $ FEN

Máquina Máquina 1

Máquina Máquina 2

12000 3000 3000

8000 8000 1 000 (años (años 1 a 5) S) 3000 3000 (años (años 6 a 14) 14) 14 14

Vida Vida máxima, máxima, años años

7

El IS% anual anual y un paquete econóEl gerente gerente de de calidad calidad utilizó utilizó un un rendimiento rendimiento de de 15% paquete de análisis análisis económico [S.4] y [5.5] [S.S] para software utilizó utilizó las las ecuaciones ecuaciones [5.4] para mico para para computadora computadora personal. personal. El El software periodo de recuperación recuperación menor menor de 6.57 años a recomendar la la máquina máquina 1 ya ya que que tiene tiene un periodo recomendar 6.S7 años una IS%. Los una ii = 15%. Los cálculos cálculos se resumen resumen a continuación. continuación.

Máquina np = 6.57 años, que que es menor menor que que una una vida vida de de 7 años. Máquina 1: np 6.S7 años, años.

Ecuación utilizada: Ecuación utilizada:

0 = -12 0= -12 000 + 3 000(P/A,15%,n 000(P/A,15%,np) p )

Máquina 2: np np = 9.S2 9.52 años, años, que que es menor menor que que una una vida vida de de 14 Máquina 14 años. años.

Ecuación utilizada: utilizada: Ecuación

0= 0= -8 -8 000 + 11 000(P/A,15%,5) OOO(P/A,IS%,S) OOO(P/A, 15%,n IS%,np p - 5)(P/F, S)(P/F, 15%,5) lS%,S) + 3 OOO(PlA,

Recomendación: Seleccione la máquina Recomendación: Seleccione la máquina 1. l.

Ahora utilice utilice un un análisis análisis de de VP VP de 15% comparar las máquinas máquinas yy exponga cualquier Ahora lS% para para comparar exponga cualquier diferencia diferencia en la la recomendación. recomendación. Solución Solución Para cada cada máquina, máquina, considere considere el flujo flujo de de efectivo efectivo neto neto para para todos todos los los años años durante durante la la vida vida Para años. (máxima) estimada. estimada. Compárelos Compárelos con con el MCM MCM de de 14 (máxima) 14 años. VP, -12000 -12 - 12 000(P/F,15%,7) 000(P/F,lS%,7) OOO(P/A, IS%,14) = $663 $663 VP t = -12000 + 3 000(P/A,15%,14) VP -8 000 + 1 OOO(P/A, 15%,5) IS%,S) + 3 OOO(P/A, 15%,9)(P/F, IS%,9)(P/F,IS%,S) 15%,5) VP22== -8000

= $2470 $2470

195 195

196

CAPÍTULO 5 CAPÍTULO

Análisis del presente Análisis del valor valor presente

$3000 anual $3000 anual

ir!!!! lit T T

Máquina 11 Máqu;oo

Flujo de de efectivo efectivo que que se despreció Flujo se despreció con el análisis análisis de de recuperación recuperación con

111' " = 6.57 6.57 ",

Flujos de de efectivo efectivo que que se Flujos se despreciaron despreciaron debido debido al análisis análisis de recuperación recuperación

$12000 $12000 $3000 anual $3000 anual

+l---Uli

f----t---t--------+---r----t---+-+---+

10

T T

s

Máquina 2 Máquina

np 111'

II II

12

13

14

= 9.52 9.52

$8000 $8000

Figura Figura 5.6 Ilustración de recuperación recuperación y los los flujos flujos de de efectivo efectivo neto neto Ilustración de los los periodos periodos de que que se despreciaron, despreciaron, ejemplo ejemplo 5.8. 5.8.

Se puesto que que su VPes VP es numéricamente numéricamente mayor mayor que que el de la máquimáquiSe seleccionó seleccionó la máquina máquina 2 puesto na 1 al 15%. opuesto al de de la la decisión decisión tomada tomada con con el el periodo periodo de recuperecupe15%. Este Este resultado resultado es opuesto ración. VP toma toma en en cuenta cuenta el el incremento incremento del del flujo flujo de efectivo efectivo para para la la máquimáquiración. El análisis análisis de de VP na 2 en los últimos años. Como Como se observa en la figura figura 5.6 5.6 (para (para un ciclo ciclo de de vida vida de de cada últimos años. observa en cada máquina), recuperación desprecia desprecia todas las cantidades cantidades del del flujo flujo de de efectivo efectivo máquina), el análisis análisis de recuperación todas las que pudieran pudieran ocurrir ocurrir después que después del del tiempo tiempo de recuperación recuperación que que se ha alcanzado. alcanzado.

1 r

e

s e e q 1

F e e h n

le

e le

re

Comentario Comentario

Éste del por por qué qué el análisis análisis de recuperación recuperación es mejor mejor para para utilizarse utilizarse en en Éste es un buen buen ejemplo ejemplo del depuración inicial inicial yyen en evaluación depuración evaluación complementaria complementaria de riesgo. riesgo. A menudo, menudo, quizás quizás una una alteralternativa corta evaluada evaluada por por un análisis análisis de de recuperación recuperación pareciera pareciera más más atractiva, atractiva, nativa de vida vida más más corta cuando mayor vida vida posee posee flujos más tarde tarde en cuando una una alternativa alternativa de mayor flujos de efectivo efectivo estimados estimados más en su vida más atractiva vida que que la vuelvan vuelvan más atractiva económicamente. económicamente.

5.7

COSTO DE CICLO DE VIDA VIDA

(CCV) es otra extensión extensión del análisis análisis de valor El costo de ciclo de vida (CCV) valor presente. presente. El valor presente presente a una una TMAR valor TMAR establecida establecida se utiliza utiliza para para evaluar evaluar una una o varias varias alternaalternamétodo CCV, como tivas. El método como su nombre nombre indica, indica, comúnmente comúnmente se aplica aplica a las alternaalternacostos estimados tivas con costos estimados durante durante el periodo periodo completo completo de vida del sistema. sistema. Esto quiere decir que se estiman estiman los costos costos desde desde la etapa etapa inicial (necesita quiere inicial del proyecto proyecto (necesita evaluación) hasta hasta la etapa etapa final (etapa eliminación y desecho). aplicaciones evaluación) (etapa de eliminación desecho). Las aplicaciones

fa lil

SECCIÓN SECCIÓN 5.7

Costo Costo de ciclo ciclo de vida

típicas para para CCV son edificios edificios (construcciones (construcciones nuevas nuevas o adquisiciones), adquisiciones), nuevas nuevas líneas de productos, manufactura, aeronaves productos, plantas plantas de manufactura, aeronaves comerciales, comerciales, modelos modelos automovilísticos movilísticos modernos, modernos, sistemas sistemas de defensa defensa y otras por el estilo. Un análisis posibles ingresos) análisis de VP con todos los costos costos (y posibles ingresos) definibles definibles estimaestimaconsiderarían un análisis análisis CCv. CCv. Sin embargo, embargo, la amplia amplia definición definición del término término dos se considerarían CCV del periodo periodo de vida del sistema sistema requiere requiere estimaciones estimaciones de costo que generalgeneralmente se realizan realizan con un análisis análisis regular regular de VP. VP. También También para para proyectos proyectos grandes grandes de vida larga, los estimados exactos. Ello implica estimados a mayor mayor plazo plazo son menos menos exactos. implica que el análisis del costo costo de ciclo ciclo de vida no es necesario necesario en la mayoría mayoría de los análisis análisis de alternativas. porcentaje sustancial nativas. El CCVefectivamente CCVefectivamente se aplica aplica más cuando cuando un porcentaje sustancial de los costos durante periodo periodo de vida de un sistema, relativo a una inversión costos totales totales durante inversión inicial, inicial, serán serán los costos costos de operación operación yy mantenimiento mantenimiento (aquellos (aquellos posteriores posteriores a la compra, compra, como son trabajo, energía, mantenimiento mantenimiento y materiales). materiales). Por ejemplo, ejemplo, si Exxon-Mobil Exxon-Mobil está evaluando compra de un equipo evaluando la compra equipo para para una planta planta grande grande de procesamiento procesamiento químico químico por 150000 150000 dólares dólares con una vida de 5 años y un costo costo anual de $15000 $15000 (o 10% de costo inicial), justificado. inicial), el uso del análisis análisis CCV probablemente probablemente no estaría estaría justificado. Por otro lado, suponga suponga que General General Motors Motors considera considera los costos costos de diseño, diseño, construcconstrucmercadotecnia y entrega entrega de un modelo modelo nuevo automóvil. Si se estima estima que el ción, mercadotecnia nuevo de automóvil. costo costo total para para poner poner en marcha marcha este proyecto proyecto sea de $125 millones millones (sobre (sobre 3 años) y se espera espera que los costos costos totales totales anuales anuales sean de 20% de dicha dicha cantidad cantidad para para construir, construir, hacer hacer el mercadeo mercadeo y dar el servicio servicio a los automóviles automóviles por los próximos próximos 15 15 años (periodo riodo de vida estimada estimada del modelo), modelo), entonces entonces la lógica lógica del análisis análisis CCV ayudará ayudará a los ingenieros ingenieros de GM a entender entender el perfil perfil de los costos costos y sus consecuencias consecuencias económieconómitérminos de VP. (Por supuesto, supuesto, también también se calcularán calcularán los equivalentes equivalentes de vacas en términos valor anual.) La mayoría mayoría de las instituciones instituciones de defensa defensa y aviación aviación lor futuro y de valor requieren requieren del CCV donde donde al enfoque enfoque se le denomina denomina diseño de costo. El CCV generalmente ralmente no se aplica aplica a proyectos proyectos del sector sector público, público, debido debido a que los beneficios beneficios y costos costos para para la ciudadanía ciudadanía son difíciles difíciles de estimar estimar con mucha mucha exactitud. exactitud. El análisis análisis beneficio/costo beneficio/costo se aplicará aplicará mejor mejor en este caso, y se examinará examinará en el capítulo capítulo 9. Para entender entender cómo cómo funciona funciona el análisis análisis de CCV, primero primero se deben deben entender entender las fases y etapas sistema. Están etapas de la ingeniería ingeniería o desarrollo desarrollo del sistema. Están disponibles disponibles muchos muchos libros y manuales sistemas. Con frecuencia, manuales sobre desarrollo desarrollo y análisis análisis de sistemas. frecuencia, los estiestimados de CCV se clasifican para las principales clasifican en un formato formato simplificado simplificado para principales fases adquisición y operación, operación, y sus respectivas respectivas etapas. etapas. de adquisición Fase de adquisición: adquisición: Todas las actividades actividades anteriores anteriores a la entrega entrega de productos productos y servicios. servicios.

• Etapa Etapa de definición definición de requerimientos: requerimientos: Incluye Incluye la determinación determinación de las necesidades del usuario/cliente, usuario/cliente, su valoración valoración en relación relación con el sistema sistema anticesidades cipado, cipado, y la preparación preparación de la documentación documentación de los requerimientos requerimientos del sistema. sistema. • Etapa Etapa del diseño diseño preliminar: preliminar: Incluye Incluye estudio estudio de viabilidad, viabilidad, planes planes concepconceptuales etapa temprana, temprana, y decisiones decisiones de continuar continuar o no continuar. continuar. tuales y de etapa • Etapa Etapa de diseño diseño detallado: detallado: Incluye Incluye planes planes detallados detallados de recursos recursos como como capital, factor pital, factor humano, humano, instalaciones, instalaciones, sistemas sistemas de información, información, mercadeo, mercadeo, etcétera; habrá habrá adquisición adquisición de activos activos si se justifican económicamente. etcétera; justifican económicamente.

197 197

198

CAPÍTULO 5 CAPÍTULO

Análisis del valor presente Análisis del valor presente

operaciones: Todas las actividades actividades en funcionamiento, funcionamiento, los productos productos y Fase de operaciones: servicios están disponibles. disponibles. servicios Etapa de construcción construcción e implementación: compras, construcción construcción e • Etapa implementación: Incluye Incluye compras, implementación de los componentes componentes del sistema; sistema; pruebas; implementación pruebas; preparación, preparación, etcétera. generar productos servicios. Etapa de uso: Empleo sistema para • Etapa Empleo del sistema para generar productos y servicios. Etapa de eliminación eliminación y desecho: desecho: Cubre Cubre el tiempo clara al • Etapa tiempo de transición transición clara nuevo sistema; sistema; eliminación/reciclaje eliminación/reciclaje del viejo sistema. nuevo viejo sistema.

EJEMPLO EJEMPLO

55.9 .9

'

década de 1860 1860 General En la década General Milis Milis Inc. Inc. y Pilisbury PilIsbury Inc, Inc. se iniciaron iniciaron en en el el negocio negocio de de la la harina las ciudades ciudades gemelas Se Paul, harina en las gemelas de de Minneapolis Minneapolis y Sto Paul, Minnesota. Minnesota. En En el periodo periodo 200020002001 General General Mills MilIs adquirió acciones 2001 adquirió Pillsbury Pillsbury por por una una cantidad cantidad compuesta compuesta de de efectivo efectivo y acciones con valor valor de más más de 10 mil fue desacon mil millones millones de de dólares, dólares. El El compromiso compromiso de de General General Mills Milis fue desarrollar la línea línea de alimentos alimentos saludables saludables de rrollar de Pilisbury Pillsbury para para conocer conocer las las necesidades necesidades del del conconsumidor, especialmente especialmente en los los mercados preparada instantánea, satissumidor, mercados de de comida comida preparada instantánea, buscando buscando satisfacer los cambiantes cambiantes hábitos alimenticios y las facer hábitos alimenticios las necesidades necesidades de nutrición nutrición de la la gente gente que que trabaja y estudia estudia y no no tiene tiene tiempo tiempo ni interés interés en preparar preparar alimentos, alimentos. Ingenieros Ingenieros en en alimenalimentrabaja tos, preparadores preparadores de de alimentos seguridad de alimentos tos, alimentos y expertos expertos en seguridad alimentos realizaron realizaron muchos muchos estimados de costo costo conforme las haestimados conforme determinaron determinaron las las necesidades necesidades de los los consumidores consumidores y las habilidades combinadas combinadas de segura y con los bilidades de la compañía compañía para para producir producir de de forma forma segura con tecnología tecnología los nuevos productos productos alimenticios. alimenticios, En sólo se tomaron tomaron en cuenta nuevos En este este punto punto sólo cuenta estimaciones estimaciones de de costo, ningún ningún ingreso ingreso o ganancia, costo, ganancia. Suponga que que el estimado en un estudio Suponga estimado del del costo costo mayor mayor se realizó realizó con con base base en estudio de de 6 meses meses acerca de 2 nuevos nuevos productos productos que acerca que pueden pueden tener tener un periodo periodo de vida vida de 10 años años para para la compacompañía, Se Se omitieron omitieron de la ñía. la estimación estimación algunos algunos elementos elementos de de costo costo (por (por ejemplo, ejemplo, materia materia prima, prima, distribución del del producto producto y eliminación), 18% distribución eliminación). Utilice Utilice el el análisis análisis CCV CCV con con una una TMAR TMAR de de 18% industria para para determinar determinar el (El tiempo en la industria el grado grado de compromiso compromiso en en dólares dólares del del yp, VP. (El tiempo se inindica en años-producto. años-producto. Como son para signo dica Como los los estimados estimados son para costos, costos, no se precederán precederán por por un signo menos.) menos.) Estudio de los los hábitos hábitos del consumidor Estudio consumidor (año (año O) Elaboración preliminar preliminar del Elaboración del producto producto alimenticio alimenticio (año (año 1) Diseño preliminar del equipo/planta (año 1) Diseño preliminar del equipo/planta (año Diseños detallados detallados de producto Diseños producto y prueba de mercadeo mercadeo (años 1,2) prueba (años 1,2) Diseño detallado detallado de de equipo/planta (año 2) Diseño equipo/planta (año

$0,5 millón $0.5 millón 0,9 0.9 millón millón 0,5 0.5 millón millón

Adquisición de equipo equipo (años (años 1 y 2) Adquisición Mejoramiento de equipo equipo actual (año 2) Mejoramiento actual (año Nuevo equipo equipo adquirido adquirido (años (años 4 y 8) Nuevo

$2,0 millones anuales $2.0 millones anuales 1.75 millones 1.75 millones 2,0 (año 4) + 10% 2.0 millones millones (año por subsiguiente por compra compra subsiguiente 200000 (año 3) + 200000 (año 4% subsiguiente 4% anual anual subsiguiente

Costo anual anual de operación operación del (COA) (años (años 3-10) 3-10) Costo del equipo equipo (COA)

1,5 millones anuales 1.5 millones anuales 1,0 millón 1.0 millón

SECCIÓN 5.7

Mercadeo, año 2 años 3-10

Costo de ciclo de vida

$8.0 millones 5.0 millones (año 3) y -0.2 -0.2 millones

subsiguientes anuales subsiguientes año 5 solamente

3.0 millones extras

Recursos humanos, 100 empleados nuevos para 2 000 horas por año (años 3-10)

$20 por hora (año 3) + 5% anual

Solución Solución

El análisis de CCV se puede complicar complicar rápidamente rápidamente debido al número de elementos implicados. Calcule el VP por fase y etapa, y después sume todos los valores VP. VP. Los valores dólares.. están en unidades de millones de dólares Fase adquisición: Fase de adquisición:

Definición de requerimientos: requerimientos: estudio de consumidores VP= VP = $0.5 Diseño preliminar: producto y equipo VP= 1.4(P/F,18%,I) = $1.187 VP= 1.4(P/F,18%,I) Diseño detallado: producto y prueba de mercadeo y equipo VP = 1.5(P/A,18%,2) 1.5(P/A,18%,2) + 1.0(P/F,18%,2) 1.0(P/F,18%,2) = $3.067 Fase operaciones: Fase de operaciones: Construcción e implementación: implementación: equipo y COA Construcción

VP = 2.0(PIA,18%,2) 2.0(PIA,18%,2)++ 1.75(PIF,18%,2) 1.75(PIF,18%,2)++ 2.0(P/F,18%,4) 2.0(PIF,18%,4) + 2.2(P/F,18%,8) 2.2(P/F,18%,8) 11 (1.04)8 (1.04)8] ] (PIF,18%,2) = $6.512 1.18 (PIF,18%,2) [ 0.14 0.14

+ 0.2[

Uso: mercadeo mercadeo VP = = 8.0(P/F,18%,2) 8.0(PlF,18%,2) + [5.0(P/A,18%,8) 0.2(P/G,18%,8)](P/F,18%,2) [5 .0(P/A,18%,8) - 0.2(P/G,18%,8)](P/F,18%,2) 3.0(P/F,18%,5) + 3.0(P/F,18%,5) = $20.144 Uso: recursos humanos: (lOO (100 empleados)(2 empleados)(2 000 hr/año)($20/hr) hr/año)($20/hr) = $4.0 millones en el año 3 11 (1.05y] (1.05J] (PIF,18%,2) =$13.412 1.18 (PIF,18%,2) =$13.412 0.13

VP=4.0 VP=4.0[[

El CCV del compromiso compromiso total en este momento es la suma de todos los VP. VP = $44.822 (efectivamente (efectivamente $45 millones) comprometido de Como punto de interés, sobre 10 años a 18% anual, el valor futuro comprometido MilIs, hasta aquí, es VF = VP(F/P, 18%,10) = $234.6 millones. General Mills,

199 199

200

CAPÍTULO 5

Análisis del valor presente

y/o d

espec %

concr

truca

5.8 o

e

o

>

> .~

":g :;

"O E

E :l

:l

u

u

'" ;>

'" ;>

u u

entid: tantes

u u

I--

Fase de adquisición

I~ -1

Fase de operación

~I I

Unm emisi pital "pagé

I~_ I

Fase de adquisición

+

~I

Fase de ~ operación

valor mún, $100 de bo el tiei veces semer establ

b)

a)

Figura 5.7 Envolventes

de CCV para costos comprometidos

y reales: a) diseño 1, b) diseño mejorado 2.

El CCV total para un sistema se establece o se asegura en una etapa temprana. No es frecuente tener de 75 a 85% del periodo de vida completo de CCV comprometido durante las etapas de diseño detallado y preliminares. Como se indica en la figura 5.7a, el CCV real u observado (curva inferior AB) rastreará el CCV comprometido a través del periodo de vida (a menos que algún error importante de diseño incremente el CCV total del diseño #1 sobre el punto B). El potencial para reducir significativamente el CCV total ocurre principalmente durante las primeras etapas. Un diseño y un equipo más eficientes pueden reponer la envolvente del diseño #2 de la figura 5.7b. Ahora la curva del CCV comprometido AEC se encuentra debajo de AB en todos los puntos, así como la curva CCV real AFC. Ésta será la envolvente inferior #2 que se busca. El área sombreada representa la reducción en el CCV real. Aunque una envolvente de CCV efectiva pudiera establecerse al inicio de la fase de adquisición, es frecuente que las medidas costo-ahorro que no fueron planeadas se introduzcan durante las fases de adquisición o al principio de la fase de operación. Estos ahorros aparentes pudieran incrementar el CCV total, como se ilustra en la curva AFD. Dicho estilo de costo de ahorros como un propósito determinado, impuesto frecuentemente por un manejo al principio de la etapa de diseño

E

cacior damei

emitei hasta] tados segun dos Vi mopa de Est con el dos po atrae 2 del bo convie vencin

SECCIÓN 5.8 SECCIÓN

presente de bonos bonos Valor presente

construcción, puede puede incrementar incrementar sustancialmente sustancialmente los costos costos más tarde, en y/o de construcción, especial en la porción porción posterior posterior a la venta venta en la etapa etapa de uso. Por ejemplo, ejemplo, el uso de especial concreto y acero de menor menor resistencia resistencia muchas muchas veces ha sido la causa causa de fallas esconcreto tructurales, incrementando incrementando de esta manera manera el CCV del periodo periodo global. tructurales, 5.8 5.8

VALOR PRESENTE PRESENTE DE BONOS BONOS VALOR

método probado probado a través tiempo para para incrementar capital consiste Un método través del tiempo incrementar el capital consiste en la emisión de un "pagaré", "pagaré", que es un financiamiento financiamiento por por medio medio de deuda, deuda, no de caemisión pital patrimonial, según se analizó analizó en el capítulo capítulo 1. Una Una forma forma muy común común de pital patrimonial, según "pagaré" es un bono bono (pagaré (pagaré a largo largo plazo plazo emitido emitido por por una corporación corporación o una "pagaré" entidad gubernamental, gubernamental, el prestatario, prestatario, para para el financiamiento financiamiento de proyectos proyectos imporimporentidad tantes). El prestatario prestatario recibe recibe ahora ahora dinero dinero representado representado por por la promesa promesa de pagar pagar el tantes). valor nominal nominal V del bono bono en una fecha fecha de vencimiento vencimiento establecida. establecida. Por Por lo covalor bonos se emiten emiten en la forma forma de cantidades cantidades de valor valor nominal nominal de $100, $100, mún, los bonos $1000, $5 000 o $10 000. El interés interés del bono bono J, I, también también denominado denominado dividendo dividendo $1000, bono, se paga paga periódicamente periódicamente entre entre el tiempo tiempo en que se obtiene obtiene el préstamo préstamo y de bono, tiempo en que se reembolsa reembolsa el valor valor nominal. nominal. El interés interés del bono bono se paga paga ce el tiempo veces al año. Los periodos periodos de pago normalmente son trimestrales trimestrales o veces pago esperados esperados normalmente semestrales. El monto monto de los intereses intereses se determina determina mediante mediante la tasa tasa de interés interés semestrales. establecida, llamada llamada tasa de cupón cupón de bono bono b. establecida, (valor llominal)(tasa llomillal)(tasa de cupón cupón de bono) bOllO) J1 == (valor número de periodos periodos de pago pago anuales anuales número Vb J= Vb 1=e

[5.8] [5.8]

Existen diversas diversas clasificaciones clasificaciones de bonos. bonos. La tabla tabla 5.1 contiene contiene cuatro cuatro clasificlasifiExisten caciones generales generales de acuerdo acuerdo con su entidad entidad emisora, emisora, algunas algunas características características funcaciones damentales y nombres objetivo de ejemplo. ejemplo. Por ejemplo, ejemplo, los bonos bonos del tesoro se damentales nombres u objetivo emiten en diferentes diferentes cantidades cantidades monetarias monetarias (desde (desde $1000), $1000), con diferentes diferentes periodos periodos emiten fecha de vencimiento vencimiento (letras hasta hasta un año; pagarés pagarés de dos a 10 años). En Eshasta la fecha Unidos, los bonos bonos del tesoro tesoro se consideran consideran una compra compra de bonos bonos sumamente sumamente tados Unidos, puesto que los respalda respalda la plena confianza y crédito crédito del gobierno segura, puesto plena confianza gobierno de EstaEstainversión segura, segura, indicada indicada en la figura figura 1.6 como nivel mínimínidos Unidos. La tasa de inversión establecer una TMAR, TMAR, es la tasa de cupón cupón sobre un valor valor o título del tesoro tesoro mo para establecer Estados Unidos. Unidos. En un segundo segundo ejemplo, ejemplo, las empresas empresas emiten emiten bonos bonos de deuda de Estados propósito de incrementar incrementar el capital, capital, aunque aunque éstos no se encuentran respaldacon el propósito encuentran respaldaninguna forma forma particular particular de garantía garantía colateral. colateral. La reputación reputación de la empresa empresa dos por ninguna compradores de bonos, empresa puede puede hacer hacer que la tasa de interés atrae a los compradores bonos, y la empresa interés para atraer atraer a más compradores. compradores. A menudo, menudo, los bonos bonos de deuda deuda se del bono flote flote para convierten en acciones acciones comunes comunes de la empresa empresa a una tasa fija, antes de la fecha fecha de convierten vencimiento. vencimiento.

201

202

CAPÍTULO

TABLA

5.1

Clasificación

5

Análisis del valor presente

y características de los bonos P

Clasificación

Emitidos por

Características

Ejemplos

Valores del Tesoro

Gobierno federal

Respaldo del gobierno ....-deEstados Unidos

Letras (:S: 1 año) Pagarés (2-10 años) Bonos (10-30 años)

Exención fiscal federal Emitidos frente a impuestos recaudados

Obligación general Ingreso Cupón cero Venta

Municipales

Hipotecarios

Gobiernos locales

Empresa

Empresa

De deuda

EJEMPLO

5.1 O

Respaldados por activos específicos o hipoteca Tasa baja/riesgo bajo en la primera hipoteca Juicio hipotecario, de no pagarse

Primera hipoteca Segunda hipoteca Escritura fiduciaria sobre equipo

Convertibles No respaldados por garantías colaterales, Subordinados Rendimiento alto o sí, en cambio, por la reputación de la empresa de desecho La tasa de bono puede flotar Tasas de interés superiores y riesgos mayores

~"

Procter and Gamble lnc. emitió 5 000 000 de dólares en bonos de deuda a 10 años con un valor individual de $5 000. Cada bono paga intereses trimestrales al 6%. a) Determine la cantidad que un comprador recibirá cada tres meses y después de 10 años. b) Suponga que un bono se compra en el momento en que tiene un descuento de 2%, es decir, un valor de $4900. ¿Cuáles son los intereses trimestrales y el monto final pagado a la fecha de vencimiento? Solución a) Aplique la ecuación [5.8] para calcular los intereses trimestrales. 1= (5 000)(0.06)

= $75

4

b)

El valor nominal de $5 000 se reembolsa después de 10 años. La compra del bono con un descuento proveniente del valor nominal no altera el interés ni los reembolsos finales. Por lo tanto, se conservan los $75 trimestrales y los $5 000 después de 10 años.

d d h

P

1 2, 3,

4,

A

•

SECCIÓN SECCIÓN 5.8

Valor Valor presente presente de bonos bonos

203

El cálculo cálculo de VP de un bono constituye constituye una ampliación ampliación del análisis análisis del valor presente. presente. Cuando Cuando una empresa empresa o agencia agencia gubernamental gubernamental ofrece ofrece bonos, bonos, los compracompradores potenciales pueden determinar potenciales pueden determinar cuánto cuánto estarían estarían dispuestos dispuestos a pagar pagar en términos términos de VP por un bono a una denominación denominación fija. La cantidad cantidad pagada pagada en el momento momento de la compra bono. Los compra establece establece la tasa de rendimiento rendimiento para el resto resto de la vida del bono. pasos pasos para para el cálculo cálculo del VP de un bono son los siguientes: siguientes: 1. Determine Determine 1, 1, el interés interés por periodo periodo de pago, utilizando utilizando la ecuación ecuación [5.8]. 2. Elabore Elabore el diagrama diagrama de flujo de efectivo efectivo de los pagos pagos de interés interés y el reembolso reembolso valor nominal. nominal. del valor 3. Establezca Establezca la TMAR TMAR o tasa de rendimiento rendimiento requerida. requerida. 4. Calcule Calcule el VP de los pagos de intereses intereses del bono bono y el valor nominal nominal a i == TMAR. TMAR. (Si el periodo periodo de pago de intereses intereses del bono bono no es igual al periodo periodo de capitalizacapitalizaTMAR, es decir, PP -:j:. PC, se aplica primero primero la ecuación ecuación [4.8] para para deción de la TMAR, terminar terminar la tasa efectiva efectiva por periodo periodo de pago. Utilice Utilice dicha dicha tasa y los principios principios de la sección relación PP ~ PC para sección 4.6 para para la relación para completar completar los cálculos cálculos del VP.)

Aplique el siguiente siguiente procedimiento: procedimiento: Aplique

VP ~ precio precio de compra compra del bono; si se alcanza alcanza o se supera supera el valor valor de la TMAR, TMAR, se compra compra el bono. VP < precio precio de compra compra del bono; si no se alcanza alcanza el valor valor de la TMAR, TMAR, no se compra compra el bono.

EJEMPLO EJEMPLO

.~-.,

5.11 5.11

Calcule Calcule el precio precio de compra compra que que usted usted estaría estaría dispuesto dispuesto a pagar pagar ahora ahora por por un bono bono a 10 años 4.5%, con la TMAR años de $5 000 000 al 4.5%, con intereses intereses que que se pagan pagan cada cada 6 meses. meses. Suponga Suponga que que la TMAR es de 8% anual compuesta trimestralmente. anual con con capitalización capitalización compuesta trimestralmente. Solución Solución Primero, determine determine el interés semestral. Primero, interés semestral.

= 5 000(0.045)/2 000(0.045)/2 11 =

= $112.50 $112.50 cada cada seis seis meses meses =

valor presente presente de todos todos los pagos pagos del del bono bono que que usted usted recibe recibe (figura (figura 5.8) 5.8) se determina determina de El valor dos formas. formas. dos

1.

Tasa efectiva semestral. Aplique Aplique el enfoque enfoque de la sección sección 4.6. 4.6. El periodo periodo de flujo flujo de Tasa efectiva semestral. efectivo es PP PP = = 6 meses, meses, y el periodo periodo de capitalización capitalización es de PC PC = = 3 meses; meses; PP PP > PC. PC. efectivo Calcule la tasa tasa de efectivo efectivo semestral; semestral; después después aplique aplique los factores factores PIA PIA y PIF PIF a los papaCalcule gos de intereses intereses y un ingreso ingreso de $5000 $5 000 en el año año 10. La La TMAR TMAR semestral semestral nominal nominal es gos = 8%/2 8%/2 = = 4%. 4%. De De m = = 2 trimestres trimestres durante durante 6 meses, meses, la ecuación ecuación [4.8] [4.8] da el siguiente siguiente r= resultado: resultado: ¡efectiva = = ¡efectiva

0.~4)2 4.04% durante durante 6 meses meses (1(1+ 0.~4 y-1-1 == 4.04%

Tasa Tasa ¡efectiva r efectiva

204

CAPÍTULO

5

Análisis del valor presente

d d

$5000

i

= 8%

anual, capitalización

a. ti

trimestral

1

$112.50

el

a Año

o

2

3

4

5

17

18

19

20

Periodo de 6 meses

1< rr

ti

e, l¡ e,

vp= ?

u Figura 5.8

.

Flujo de efectivo para el valor presente de un bono, ejemplo 5.11.

rr d

El VP del bono se determina para n = 2(10) = 20 periodos semestrales. VP = $112.50(P/A,4.04%,20) + 5 000(PlF,4.04%,20) = $3 788

2.

Tasa nominal trimestral. Se calcula por separado el VP de cada rendimiento de intereses del bono semestral de $112.50 el año O, con un factor P/F, y se suma el VP de los $5 000 en el año 10. La TMAR nominal trimestral es de 8%/4 = 2%. El número total de periodos es n = 4(10) = 40 trimestres, el doble de los que aparecen en la figura 5.8, en virtud de que los pagos son semestrales, mientras que la TMAR se capitaliza cada trimestre. VP = 112.50(P/F,2%,2) + 112.50(P/F,2%,4) + ... + 112.50(P/F,2%,40)

+ 5 000(P/F,2%,40)

= $3 788 Sol-R

Si el precio que se solicita es superior a $3 788 por el bono, que constituye un descuento de más del 24%, usted no adoptará la TMAR. La función VP (4.04%,20,112.50,5 000) de la hoja de cálculo muestra un VP de $3 788.

5.9

APLICACIONES DE LA HOJA DE CÁLCULO: ANÁLISIS DE VP y PERIODO DE RECUPERACiÓN

El ejemplo 5.12 muestra cómo elabomr una hoja de cálculo para el análisis VP, en el caso de alternativas de vida diferente y de un periodo de estudio específico. El ejemplo 5.13 demuestra la técnica y las deficiencias del análisis del periodo de recuperación para i > 0%. Para este segundo ejemplo, se muestran las soluciones a mano y por computadora. Algunas directrices generales resultan de utilidad para la organización de hojas de cálculo en cualquier análisis de VP. El MCM de las alternativas dicta el número

I

SECCIÓN 5.9 5.9 SECCIÓN

Aplicaciones de la hoja cálculo: análisis análisis de VP VP y periodo Aplicaciones hoja de cálculo: periodo de recuperación recuperación

de entradas para los valores entradas de renglón renglón para valores de inversión inversión inicial inicial y de salvamento/mercasalvamento/mercado, sobre la base base del supuesto recompra que requiere requiere el análisis supuesto de recompra análisis de VP. Algunas Algunas alternativas alternativas tendrán tendrán como como fundamento fundamento los servicios servicios (exclusivamente (exclusivamente flujos de efectivo de costos); mientras que otras se basarán basarán en los ingresos costos); mientras ingresos (flujos (flujos de efectivo efectivo de costos separadas costos y entradas). entradas). Se colocan colocan los flujos de efectivo efectivo anuales anuales en columnas columnas separadas a partir partir de las cantidades reduce la carga cantidades de inversión inversión y salvamento. salvamento. Esto Esto reduce carga de cálcucálculos numéricos numéricos realizada realizada antes de introducir introducir un valor valor de flujo de efectivo. efectivo. Se determinan los valores valores VP para para todas las columnas pertinentes para para una alternaminan columnas que sean pertinentes alternasuman para obtener el VP final. tiva y se suman para obtener cálculo pueden saturarse con mucha obstante, la coloLas hojas hojas de cálculo pueden saturarse mucha rapidez. rapidez. No obstante, cación de funciones funciones VPN encabezado de cada cada columna columna de flujo de efectivo, efectivo, y cación VPN en el encabezado inserción de una tabla de resumen independiente, permite sobresalgan los la inserción resumen independiente, permite que sobresalgan componentes y valores valores VP totales. totales. Finalmente Finalmente se coloca coloca el valor valor de la TMAR TMAR en componentes rendiuna celda celda independiente independiente de tal manera manera que el análisis análisis de sensibilidad sensibilidad sobre sobre el rendimiento pueda llevarse miento requerido requerido pueda llevarse a cabo con facilidad. facilidad. El ejemplo ejemplo 5.12 ilustra ilustra estas directrices. directrices.

Southeastern planes de abrir una nueva nueva mina empresa contemSoutheastern Cement Cement tiene tiene planes abrir una mina de roca. roca. La La empresa contempla dos planes para para la transportación pla dos planes transportación de la materia materia prima prima de la cantera cantera a la planta. planta. El plan plan A requiere requiere la compra para mover compra de dos dos máquinas máquinas para mover la tierra tierra y la construcción construcción de un área área de descarga planta. El plan B implica un sistema descarga en en la planta. El plan implica la construcción construcción de un sistema de transporte transporte de la plan. a) Determine, cantera planta. La cantera a la planta. La tabla tabla 5.2 contiene contiene los costos costos detallados detallados de cada cada plan. Determine, mediante un análisis de VP VP basado cálculo, qué qué plan debería elegirse elegirse si el mediante un análisis basado en la hoja hoja de cálculo, plan debería Después de apenas probledinero dinero se incrementa incrementa 15% 15% anual. anual. b) Después apenas 6 años años de operaciones, operaciones, un problema provocó el paro paro de de actividades mina ma ambiental ambiental de importancia importancia provocó actividades de Southeastern Southeastern en en la mina de roca. un periodo periodo de estudio para establecer roca. Utilice Utilice un estudio de 6 años años para establecer el mejor mejor plan plan (A (A o B) B) desde un punto punto de vista vista económico. económico. El valor mercado de cada cada máquina máquina para para mover mover la desde valor de mercado tierra tierra después después de 6 años años es $20000, $20 000, y el valor valor comercial comercial del sistema sistema transportador transportador desdesárea de puede recuperarse pués de 6 años pués años es sólo sólo $25 $25 000. 000. El área de descarga descarga puede recuperarse con con $2000.

Plan A para Máquina Máquina para mover mover la tierra tierra Costo Costo inicial, inicial, $ Costo Costo anual anual de operación, operación, $ Valor Valor de salvamento, salvamento, $ Vida, Vida, años años

--45000 --45000 -6000 -6000 5000 5000 8

Plan B

Área Área de de descarga descarga

Sistema Sistema transportador transportador

--28000 28000 -300 -300 2000 2000 12

-175000 -175000 --2500 2500 10000 10000 24

205

206

CAPÍTULO 5 CAPÍTULO

Análisis del del valor valor presente presente Análisis

Solución Solución a)

b) b)

La en La evaluación evaluación debe debe llevarse llevarse a cabo cabo a lo largo largo del del MCM MCM de 24 años. años. La La reinversión reinversión en las el área deslas dos dos máquinas máquinas removedoras removedoras de tierras tierras ocurrirá ocurrirá en los los años años 8 y 16, Y Yel área de descarga deberá deberá reconstruirse reconstruirse el año año 12. En el caso caso del plan plan B no hay necesidad necesidad de de ningún carga no hay ningún tipo los plaplatipo de reinversión. reinversión. Primero Primero construya construya los los diagramas diagramas de flujo flujo de efectivo efectivo para para los nes hoja de de nes A y B durante durante 24 24 años años con con la finalidad finalidad de comprender comprender mejor mejor el análisis análisis en en hoja cálculo F incluyen las inversiones, cálculo (figura (figura 5.9). 5.9). Las Las columnas columnas B, D Y YF incluyen todas todas las inversiones, reinversiones reinversiones y valores flujos de de valores de salvamento. salvamento. (No olvide olvide introducir introducir ceros ceros en todas todas las celdas celdas sin sin flujos efectivo; de otra otra manera, manera, lafunción lafunción VPN VPN dará dará un valor valor incorrecto incorrecto de VP.) Éstas Éstas coefectivo; corresponden rresponden a alternativas alternativas basadas basadas en servicios; servicios; de esta esta manera, manera, las las columnas columnas C, E y G muestran las estimaciones estimaciones de los los costos costos anuales anuales de operación operación (COA), (COA), señalados señalados como muestran como FE FE anual. anual. Las Las funciones funciones VPN VPN ofrecen ofrecen los montos montos del del VP VP en las celdas celdas del del renglón renglón 8, las cuales cuales están están sumadas sumadas por por la alternativa alternativa en las celdas celdas H19 H19 y H22. H22. Conclusión: es Conclusión: Se Se elige elige el plan plan B como como consecuencia consecuencia de que que el VP VP de los costos costos es menor. menor. Ambas el Ambas alternativas alternativas concluyen concluyen repentinamente repentinamente después después de 6 años, años, y se calculan calculan el valor Para llevar VP de de valor actual actual de mercado mercado o el valor valor comercial. comercial. Para llevar a cabo cabo el análisis análisis de VP un periodo estudio truncado figura 5.10 formaperiodo de estudio truncado abruptamente, abruptamente, la figura 5.10 incluye incluye el mismo mismo formato que imque la figura figura donde donde aparece aparece el análisis análisis de los 24 años, años, excepto excepto por por dos dos cambios cambios importantes. valores de mercado comerportantes. Las Las celdas celdas del renglón renglón 16 ahora ahora incluyen incluyen los los valores mercado y comercial, cial, y se eliminaron eliminaron todos todos los valores valores después después del del 16. En En el caso caso de las las nuevas nuevas funciones flujos de efectivo, renglón funciones VPN VPN para para los los 6 años años de flujos efectivo, véase véase las etiquetas etiquetas del del renglón 9. Las los Las celdas celdas D20 D20 y D21 D21 corresponden corresponden a los valores valores VP VP determinados determinados sumando sumando los valores valores VP VP adecuados adecuados en el renglón renglón 9. Conclusión: después Conclusión: Debería Debería haberse haberse elegido elegido el plan plan A, de saberse saberse que que concluiría concluiría después de 6 años años en la etapa etapa de diseño diseño de la mina mina de roca. roca.

Comentario Comentario La solución toda la La solución en en hoja hoja de cálculo cálculo para para el inciso inciso b se obtuvo obtuvo copiando copiando inicialmente inicialmente toda hoja cambios hoja de cálculo cálculo del del inciso inciso a en la hoja hoja 2 del del libro libro de trabajo trabajo de Excel. Excel. Después Después los los cambios mencionados emplea mencionados arriba arriba se llevaron llevaron a cabo cabo en la copia. copia. Existe Existe otro otro método método en el que que se emplea la misma misma hoja hoja de cálculo cálculo para para generar generar las las nuevas nuevas funciones funciones VPN, VPN, según según lo indican indican las las etiquetas figura 5.9, de etiquetas de celda celda de la figura 5.9, y en la hoja hoja de cálculo cálculo de la figura figura 5.9 5.9 después después de insertar· es más más insertar un nuevo nuevo renglón renglón 16 para para los los flujos flujos de efectivo efectivo del del año año 6. Este Este enfoque enfoque es rápido y menos menos formal formal que que el método método que que aquí aquí demostramos. demostramos. Sólo Sólo existe existe un peligro peligro real rápido real al al aplicar aplicar el enfoque enfoque de una una sola sola hoja hoja de cálculo cálculo para para resolver resolver este este problema problema (o cualquier cualquier análisis de análisis de sensibilidad). sensibilidad). La La hoja hoja de cálculo cálculo modificada modificada ahora ahora resuelve resuelve otro otro problema; problema; de manera flujos manera que que las las funciones funciones muestran muestran otras otras respuestas respuestas. . Por Por ejemplo, ejemplo, cuando cuando los los flujos de efectivo años, deben antiguas efectivo se truncan truncan a un periodo periodo de estudio estudio de 6 años, deben cambiarse cambiarse las las antiguas funciones funciones VPN VPN del del renglón renglón 8; o las nuevas nuevas funciones funciones VPN VPN deben deben sumarse sumarse en el renglón renglón 9. Sin Sin embargo, embargo, ahora ahora las las funciones funciones VNA VNA del del antiguo antiguo análisis análisis de VP VP a 24 24 años años muestran muestran respuestas incorrectas, incorrectas, o tal tal vez vez un mensaje mensaje de error error de Excel. Esto introduce introduce posibilidaposibilidarespuestas Excel. Esto des de error error en en la toma toma de decisiones. decisiones. Para Para obtener obtener resultados resultados correctos correctos y exactos exactos es des es necenecesario tomarse tomarse tiempo tiempo para para copiar copiar la primera primera hoja hoja en en una una nueva nueva hoja hoja de trabajo trabajo y efectuar sario efectuar los cambios cambios en la copia. copia. Guarde Guarde ambas ambas soluciones soluciones después después de indicar indicar lo que que cada cada hoja los hoja debe analizar analizar según según su diseño. diseño. Esto Esto proporciona proporciona un historial historial de lo que que se cambió cambió durante debe durante análisis de sensibilidad. sensibilidad. el análisis

SE

SECCIÓN SECCIÓN 5.9 5.9

Aplicaciones periodo de recuperación Aplicaciones de la hoja hoja de cálculo: cálculo: análisis análisis de VP VP y periodo recuperación

9 10 11 12

VP durante 24 años

Figura Figura 5.9 Solución la hoja Solución en la hoja de cálculo cálculo que que aplica aplica el análisis análisis de de VP, con con alternativas alternativas de vidas vidas diferentes, diferentes, ejemplo ejemplo S.12a. 5.12a.

207

208

CAPÍTULO 5 CAPÍTULO

l. ~

Análisis del valor valor presente presente Análisis

I!lIlilIt3 !!100m _ lSl 25.J

X Microsoft Microsoft EHcel EHcel -. Example 5_ 5.12 X 12

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Plan Plan B Transporte Transporte Inversión FE FEanual Inversión anual

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Figura 5.10 5.10 Figura Solución en hoja hoja de cálculo cálculo para para un periodo periodo de estudio estudio de 6 años, años, que que aplica aplica el el análisis análisis de VP, VP, ejemplo ejemplo 5.l2b. 5.12b. Solución

EJEMPLO

5.13

... Biothermics ha aceptado fIrmar firmar un contrato contrato para para la adquisición adquisición de un software software desarrollado desarrollado Biothermics ha aceptado Australia para para la ingeniería ingeniería de seguridad, seguridad, el cual cual se está está introduciendo introduciendo en Norteamérica. Norteamérica. en Australia costo inicial inicial de los derechos derechos de licencia licencia es de $60 $60 000 000 con con cuotas cuotas anuales anuales por por derechos derechos de El costo 800 el primer primer año, los cuales cuales se incrementan incrementan $100 $100 cada cada año en lo sucesivo sucesivo y y hasta hasta que que el $1 800 acuerdo autorizado autorizado se venda venda a la otra otra parte parte interesada interesada o se dé por por concluido. concluido. Biothermics Biothermics acuerdo debe debe respetar respetar el acuerdo, acuerdo, por por lo menos menos 2 años. años. Determine Determine mediante mediante un análisis análisis en hoja hoja de cálculo cálculo y a mano mano el periodo periodo de recuperación recuperación (en años) años) con con i = = 8% 8% para para los dos casos: casos:

a) b)

venden los los derechos derechos de software por $90000 $90 000 en algún algún momento momento después después del Se venden software por año 2. año licencia no se vende vende para para el tiempo tiempo determinado determinado en en el inciso inciso a) el precio precio Si la licencia venta se incrementará incrementará a $120 $120 000 futuro. . de venta 000 en el futuro

Solución a mano mano Solución De acuerdo acuerdo con con la ecuación [5.4],, es necesario que VP VP = = OO en el periodo periodo de reposireposia) De ecuación [5.4] necesario que ción ción np "» al 8%. 8%. Formule Formule la ecuación ecuación de VP VP para años, y determine determine el número número de para n ~ 3 años, años que el VP VP cruza cruza el valor valor cero. cero. años a los que

SECCIÓN SECCIÓN 5.9

209

Aplicaciones análisis de VP VP y periodo periodo de de recuperación recuperación Aplicaciones de la hoja hoja de cálculo: cálculo: análisis

0= -60 000 - 1 800(PlA,8%,n) 800(PlA,8%,n) - 100(P/G,8%,n) 100(PlG,8%,n) + 90 000(PlF,8%,n) 000(PlF,8%,n) 0= -60 11., n,

años años

3

4

5

ValorVP ValorVP

$6562 $6562

$-274 $-274

$-6672 $-6672

La recuperación Por interpolación interpolación lineal, lineal, nnl'p== 3.96 años. años . recuperación de 8% ocurre ocurre entre entre 3 y 4 años. años. Por Si la licencia licencia no se vende precio se eleva eleva a $120 000. La ecuación vende antes antes de 4 años, años, el el precio La ecuación del VP VP para para cuatro cuatro o más más años años y el VP VP de n n. son son del

b)

0= 0= -60 -60 000 - 1 800(P/A,8%,n) 800(P/A,8%,n) - 100(P/G,8%,n) 100(P/G,8%,n) + 120 000(P/F,8%,n) 000(P/F,8%,n) años años

5

6

7

Valor Valor VP VP

$13 748

$6247 $6247

$-755 $-755

n, /1.,

La recuperación Por interpolación, interpolación, n11.1'= años. recuperación del del 8% ocurre ocurre entre entre los años años 6 yy 7. Por p= 6.90 años. Solución por . por computadora computadora figura 5.11 5.11 muestra muestra una una hoja hoja de cálculo cálculo que a) y b) La figura que lista lista los los costos costos por por derechos derechos de software esperado (columnas (columnas C yy E). E). Las Las funfunsoftware (columna (columna B), B), así así como como el precio precio de venta venta esperado que el periodo de ciones de $90,000) muestran ciones VPN VPN de la columna columna D (precio (precio de venta venta de muestran que periodo de

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Microsoft Excel - Example 5.13

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Tasa de interés

·_··r-·····..·

Costo de Precio, .................•..• si se t1 VP, si se Precio, si se! VP, si se "'C'-' 1········..·_····_ _ _ - .. vende i:)steaño vende este año vende este año, vende este año

la licencia

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.$(1,800)\----

2 $ (1,900) -3 -'$(2,000) $ --4 --$ (2:1 06) $-..-; $-(2,200) $-$(2,300) ¡

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6,562 --I ($274) ~!OOO :11- $~2-::-C1--=,7=77=-1 (6,672) $ 120,000. $ 13,7 46 ······$126,000 ¡-$:::--~6~,2:-4:-::-7-j

~-=T-_--=== .

$12ü.óoo

Figura 5.11 Figura Determinación del periodo de recuperación con hoja de cálculo, Determinación cálculo, ejemplos ejemplos S.13a S.l3a y b.

-L-$":---l.(.;....75;..;;5-"-\)

210 210

CAPÍTULO 5 CAPÍTULO

Análisis del del valor valor presente presente Análisis

años, mientras mientras que que los los resultados resultados del del VPN VPN de la recuperación se encuentra encuentra entre entre 3 y 4 años, recuperación columna $120,000) indican columna F (precio (precio de venta venta de $120,000) indican un cambio cambio de de positivo positi va a negativo negativo en en VP VP años. Las Las funciones funciones VPN VPN reflejan reflejan las las relaciones relaciones que que aparecen aparecen en en la la solución entre 6 y 7 años. entre solución a mano, salvo salvo el hecho hecho de de que que el el gradiente gradiente del del costo costo de de $100 ha incorporado incorporado a los los costos costos mano, $100 se ha de la la columna columna B. B. de Si se requieren requieren valores valores de recuperación recuperación más más exactos, exactos, interpole interpole entre entre los los resultados resultados de de VP en en la hoja hoja de de cálculo. cálculo. Los Los valores valores serán serán los los mismos mismos que que los los de de la solución solución a mano, mano, a VP saber, 3.96 3.96 y 6.90 6.90 años. años. saber,

RESUMEN RESUMEN DEL CAPíTULO CAPíTULO método del valor valor presente presente para para comparar comparar alternativas alternativas implica implica la conversión conversión de toEl método dos los flujos flujos de efectivo efectivo a dólares dólares actuales actuales a la TMAR. elige la alternativa alternativa con el TMAR. Se elige mayor valor valor VPnumérico. VPnumérico. Cuando Cuando las alternativas alternativas poseen poseen vidas diferentes, diferentes, la compamayor comparación debe debe llevarse llevarse a cabo para para periodos periodos de servicio iguales. Esto Esto se efectúa ración servicio iguales. efectúa medianmediancualquier MCM MCM de las vidas vidas o de un periodo periodo específico te la comparación comparación sobre sobre cualquier específico de estudio. enfoques permiten permiten comparar comparar alternativas requiestudio. Los dos enfoques alternativas de acuerdo acuerdo con el requisito de servicios periodo de estudio, cualquier valor valor servicios iguales. iguales. Cuando Cuando se emplea emplea un periodo estudio, cualquier restante restante en una alternativa alternativa se reconoce reconoce a través través del valor valor de mercado mercado futuro futuro esperado. esperado. análisis del costo costo de ciclo de vida vida constituye constituye una una extensión El análisis extensión del análisis análisis del relativamente largas largas y con un alto porcentaje porcentaje de sus cosVP en sistemas sistemas con vidas relativamente tos de vida en la forma forma de gastos gastos de operación. operación. Si la vida de las alternativas alternativas se considera infinita, el costo método de comparación. valor CC considera infinita, costo capitalizado capitalizado es el método comparación. El valor calcula con la relación A/i, en virtud virtud de que el factor factor PIA PIA se reduce reduce a 1/i en el se calcula relación A/i, límite = oo. límite de n = El análisis análisis de recuperación recuperación permite permite calcular calcular el número número de años que se requieren requieren para para recuperar recuperar la inversión inversión inicial inicial más una una tasa de rendimiento rendimiento (TMAR) (TMAR) estableciestablecida. Se trata trata de una técnica técnica de análisis análisis complementaria complementaria aplicada aplicada principalmente principalmente en la depuración depuración inicial inicial de proyectos proyectos propuestos, propuestos, antes de efectuar efectuar una evaluación evaluación comcompleta medio del VP o de algún otro método. pleta por por medio método. La técnica técnica tiene tiene sus desventajas, desventajas, en especial = 0% se especial en el caso caso del análisis análisis de recuperación recuperación sin rendimiento, rendimiento, donde donde i = emplea emplea como como la TMAR. TMAR. Finalmente sobre bonos. El análisis Finalmente aprendimos aprendimos sobre análisis del valor valor presente presente permite permite determinar terminar si la TMAR TMAR se obtendrá obtendrá a lo largo largo de la vida vida de un bono, bono, dados dados valores valores específicos específicos del valor valor nominal, nominal, el periodo periodo y la tasa de interés interés del bono. bono.

e PROBLEMAS PROBLEMAS Tipos Tipos de proyectos proyectos 5.1

¿Qué quiere quiere decir decir servicio servicio alternativo? alternativo?

5.2

Al evaluar evaluar proyectos proyectos con el método método del valor presente, seleccionar presente, ¿cómo se sabe cuál(es) cuál(es) seleccionar

si son: a) independientes independientes y b) mutuamente mutuamente excluyentes? excluyentes? 5.3

Lea siLea el enunciado enunciado de los los problemas problemas siguientes guientes y determine determine si los flujos de efectivo efectivo definen servicios: definen un ingreso ingreso o proyecto proyecto de servicios:

PROBLEMAS PROBLEMAS

incluye incluye ambos ambos tipos tipos de de soporte soporte en en la la caja caja del del producto producto para para que que el el comprador comprador descarte descarte la la que que no no necesita necesita.... El El costo costo de de los los dos dos soportes soportes con con tornillos tornillos yy otras otras refacciones refacciones es de de $3.50. $3.50. Si Si el el marco marco de de la la pantalla pantalla de de la la chimenea chimenea se se rediseñara, rediseñara, podría podría utilizarse utilizarse un un soporte soporte universal universal único único cuya cuya fabricación fabricación costaría costaría $1.20. $1.20. Sin Sin embargo, embargo, las herramienherramientas nuevas nuevas costarían costarían $6 000. 000. Además, Además, las las bajas bajas en el inventario inventario significarían significarían $8 000 000 más. más. Si Si la la empresa empresa vende vende 1 200 200 chimeneas chimeneas por por año, ¿debería ¿debería conservar conservar los soportes soportes anteriores teriores o cambiar cambiar a los nuevos, nuevos, si se supone supone que que emplea emplea una una tasa tasa de interés interés de 15% anual anual y desea desea recuperar recuperar su inversión inversión en 5 años? años? Use Use el método método del valor valor presente. presente.

a) problema problema 2.12, 2.12, b) b) problema problema 2.31, 2.31, c) c) proproa) blema 2.51, 2.51 , d) d) problema problema 3.6, 3.6, e) e) problema problema blema 3.10, y f)f) problema problema 3.14. 3.14. 3.10,

5.4 Una Una ciudad ciudad que que crece crece con con rapidez rapidez se se ha ha 5.4 consagrado a conservar conservar la la integridad integridad del del veveconsagrado cindario. Sin Sin embargo, embargo, a los residentes residentes les les cindario. preocupa el tránsito tránsito y la la velocidad velocidad cada cada vez vez preocupa más intensos intensos en una una calle calle que que cruza cruza la la ciuciumás El administrador administrador de ésta ésta ha propuesto propuesto dad. El cinco opciones opciones independientes independientes para para dismidismicinco nuir el tránsito: tránsito: nuir l. Letrero Letrero de Alto Alto en la esquina esquina A. 1. Letrero de Alto Alto en la esquina esquina B. 2. Letrero Colocar un tope tope de baja baja altura altura en en el 3. Colocar punto C. punto 4. Situar un tope de baja altura en el punto D. 5. Cuesta reductora de velocidad velocidad en el Cuesta reductora punto E. punto

5.9

Pueden Pueden emplearse emplearse dos métodos métodos para para proproducir ducir anclajes anclajes de expansión. expansión. El método método A cuesta cuesta $80 000 000 iniciales iniciales y tendría tendría un valor valor de rescate rescate de $15 000 000 después después de 3 años, mientras sería de mientras que que su costo costo de operación operación sería $30 000 por año. El método B tendría $30000 tendría un costo inicial de $120 000, la operación costaría costaría $8 000 por por año, y el valor valor de rescate rescate después sería de $40 000. pués de sus 3 años de vida vida sería interés de 12% anual, anual, ¿cuál Con una una tasa de interés método sobre la base método debe usarse, usarse, sobre base del anávalor presente? presente? lisis de su valor

5.10

embotellada en En 2004, las ventas ventas de agua embotellada Estados Unidos Unidos fueron fueron por 16.3 galones galones los Estados persona. Una botella botella de Evian Evian Natural Natural por persona. Spring Water cuesta cuesta 401t. 40\t. Una instalación instalación Spring municipal de agua agua proporciona proporciona agua agua del municipal grifo con un costo de $2.10 por cada 1 000 promedio una persona persona bebe galones. Si en promedio botellas de agua al día, o usa 5 galones galones dos botellas obtiene dicha cantidad cantidad del grifo, diarios si obtiene ¿cuáles son los valores valores presentes presentes de tomar ¿cuáles embotellada o del grifo por persona persona agua embotellada durante 1 año? Utilice Utilice una tasa de interés durante compuesto mensualmente, mensualmente, y de 6% anual, compuesto 30 días por mes.

Entre las alternativas alternativas finales finales no puede puede haber haber Entre ninguna de las combinaciones ninguna combinaciones siguientes: siguientes: • Cuesta incluya uno o dos topes. Cuesta que incluya • Dos topes • Dos signos Alto signos de Alto Use las cinco opciones opciones independientes independientes y las restricciones para determinar número restricciones determinar a) el número total de alternativas posibles mutuamente alternativas posibles mutuamente excluyentes, excIuyentes, y b) las alternativas alternativas aceptables aceptables que son mutuamente mutuamente excluyentes. excluyentes. 5.5

¿Qué quiere decir el término servicio servicio igual?

5.6

¿Cuáles ¿Cuáles son los dos enfoques enfoques que pueden pueden utilizarse utilizarse para satisfacer satisfacer el requerimiento requerimiento de servicio servicio igual?

5.7

Defina Defina el término término costo capitalizado capitalizado y dé un ejemplo ejemplo realista realista de algo que podría podría analizarse con el empleo empleo de dicha técnica.

Comparación Comparación de alternativas. alternativas. Vidas iguales iguales 5.8 Lemon Hearth Products Products manufactura manufactura pantallas para para chimenea chimenea con puertas de vidrio que tienen dos dos tipos de soportes para montar el marco: uno en en forma forma de de "L" "L" que se usa para vamente para aberturas aberturas de de chimeneas chimeneas relati relativamente pequeñas, pequeñas, y otro otro en en forma forma de de "U" "U" que se emplea emplea para para todas todas las las demás. demás. La La compañía compañía

211 211

5.11 Un paquete paquete de software software creado por Navarro Navarro & Associates Associates puede usarse para para analizar analizar y diseñar torres de punta plana plana con tres tres lados,

212

CAPÍTULO CAPÍTULO 5

Análisis presente valor presente Análisis del valor

así como torres torres de cuatro cuatro lados lados que se sostienen solas. solas. Una licencia licencia de usuario único tienen usuario único costaría costaría $4 000 por año, mientras mientras que un sitio con licencia único de licencia tiene un costo costo único $15 000. Una compañía compañía consultora consultora de ingeniería geniería estructural estructural intenta intenta decidir decidir entre entre dos alternativas: la primera comprar ahora alternativas: primera es comprar ahora posterioruna licencia licencia de usuario usuario único único y posteriormente una para para cada mente una cada año durante durante los 4 siguientes siguientes (lo cual daría daría 5 años de servicio); servicio); la segunda segunda consiste consiste en comprar comprar ahora ahora un licencia. Determine Determine cuál estrategia estrategia sitio con licencia. debería debería adoptarse adoptarse con una tasa de 12% de interés periodo de planeación planeación interés anual, para un periodo de 5 años, por medio medio del método método del valor valor presente evaluarlas. presente para evaluarlas. 5.12

5.14 En la producción producción de un polímero polímero que reduce reduce las pérdidas pérdidas por fricción fricción en las máquinas, máquinas, pueden usarse procesos: el proceso proceso K pueden usarse dos procesos: tendría tendría un costo costo inicial inicial de $160 $160 000 y su operación costaría costaría $7 000 por trimestre, operación por trimestre, mientras su valor de rescate mientras rescate sería de $40 000 después proceso L tendespués de 2 años de vida. El proceso dría dría un costo costo inicial inicial de $210 $210 000, otro de operación trimestre, y un valor operación de $5 000 por trimestre, de rescate rescate de $26 000 al terminar terminar su vida de 4 años proceso debe años.. ¿Cuál ¿Cuál proceso debe elegirse elegirse con el criterio valor presente, presente, con una tasa de criterio del valor interés de 8% anual, interés anual, compuesto compuesto trimestraltrimestralmente? mente? 5.15

manufactura transductores transductores Una empresa empresa que manufactura de presión presión amplificada trata de decidir amplificada trata decidir entre las alternativas muestran alternativas de máquina máquina que se muestran a continuación. continuación. Compárelas Compárelas sobre la base de sus valores valores presentes presentes netos, con el empleo empleo interés de 15% anual. de una tasa de interés Velocidad Velocidad Velocidad Velocidad variable dual variable dual

Costo inicial, inicial, $ Costo Costo Costo de operación operación anual, anual, $/año $/año Reparación Reparación mayor mayor en el año año 3, $ Reparación Reparación mayor mayor en el año 4, $ Valor de rescate, rescate, $ Vida, Vida, años años

-250000 -250000 -231000 -231000

-224000 -224000 -235000 -235000 -26000 -26000

-140000 -140000 50000

10000

6

6

Comparación Comparación de alternativas alternativas durante durante diferentes periodos diferentes periodos 5.13

La NASA NASA estudia para usarestudia dos materiales materiales para vehículo espacial. ¿Cuál de los silos en un vehículo guientes costos costos debería debería seleccionarse seleccionarse sobre sobre guientes base de una comparación comparación de su valor valor prela base preinterés de 10% anual? sente, con una tasa de interés Material JX Material Material KZ KZ Material

-205000 Costo inicial, inicial, $ Costo -205000 Costo de mantenimiento, mantenimiento, $/año $/año -29000 -29000 Costo rescate, $ 2000 Valor de rescate, Vida, años años 2 Vida,

--235000 235000 -27000 -27000 20000 4

5.16

Se estudia para producir producir estudia entre dos métodos métodos para estuche de un monitor monitor portátil el estuche portátil de fotoionización ionización fabricado fabricado con material material peligroso. peligroso. Uno plástico y Uno de los estuches estuches sería sería de plástico y requeriría requeriría una inversión inversión inicial inicial de $75 000, tendría un costo costo de operación operación anual anual de y tendría $27 000, sin valor rescate después valor de rescate después de dos años. Un estuche estuche de aluminio aluminio requeriría requeriría una inversión de $125 000, con costos inversión costos anuales anuales de $12 000 y parte parte del equipo puede venequipo puede derse derse en $30 000 después después de 3 años de vida. Con una tasa de interés interés de 10% anual, ¿cuál estuche estuche debe usarse sobre la base del análisis de su valor valor presente? presente? El administrador administrador de ciertas ciertas instalaciones instalaciones de alta presentó a la GAO alta tecnología tecnología presentó GAO tres tres planes diferentes diferentes para operar infraestructura para operar infraestructura de producción producción de armas pequeñas. pequeñas. El plan A involucraría involucraría contratos contratos de 1 año renovarenovapagos de $1 000 000 al comienzo bles, con pagos comienzo cada año. El plan B sería un contrato contrato de de cada 2 años y requeriría requeriría cuatro pagos de $600 000 efectuaría cada uno, de los que el primero primero se efectuaría intervalos de 6 meses .... ahora y los otros tres a intervalos consiste en un contrato contrato de 3 años El plan C consiste implica un pago de $1 $1 500 000 millones millones e implica ahora y otro de $500 000 dentro de dos años. supone que GAO podría renovar cualSi se supone podría renovar quiera de los planes mismas condicondiquiera planes en las mismas ciones de quererlo quererlo así, ¿cuál ¿cuál de ellos ellos es ciones mejor, criterio del análisis análisis del valor valor mejor, según el criterio

o 5.

5.

5

PROBLEMAS PROBLEMAS

presente, con una tasa de interés de 6% anual, compuesto compuesto semestralmente? semestralmente?

taría a otras otras empresas empresas mineras mineras siempre taría siempre que produzfuera posible, actividad que se espera produzingresos de $12 000 por por año. Si la tasa tasa ca ingresos $12 000 rendimiento mínima mínima atractiva atractiva de la comde rendimiento pañía es de 15% anual, anual, ¿debería comprarse pañía ¿debería comprarse arrendarse la pala pala mecánica, mecánica, de acuerdo acuerdo o arrendarse análisis del valor valor futuro? futuro? con el análisis

Comparación Comparación del valor futuro futuro 5.17

5.18

5.19

Una Una estación estación de muestreo muestreo ubicada ubicada en un lugar remoto remoto puede puede obtener obtener energía energía ya sea de celdas celdas solares solares o de una una línea línea eléctrica eléctrica convencional convencional si es que ésta se lleva lleva al sitio. La instalación instalación de celdas celdas solares solares costaría costaría $12 600 y tendrían tendrían una vida útil de 4 años sin valor de rescate. Se espera espera que los costos anuales anuales por inspección, inspección, limpieza, limpieza, etc., sean de $1 400. La instalación instalación de una línea eléceléctrica nueva nueva costaría costaría $1 $111 000 y se espera espera que los costos costos de la energía energía sean de $800 por año. año. Como el proyecto proyecto de muestreo muestreo termiterminará en 4 años, se considera considera que el valor valor de rescate rescate de la línea línea es de cero. Con una tasa interés de 10% anual, ¿cuál alternativa alternativa de interés debe seleccionarse, seleccionarse, con el criterio criterio del análisis del valor valor futuro? futuro? El Departamento Departamento de Energía Energía propone propone nuevas reglas que ordenan ordenan un incremento incremento para para 2005 de 20% en la eficiencia eficiencia de lavadoras lavadoras de ropa, y de 35% para para 2008. Se espera espera que el aumento de 20% agregue agregue $100 al precio actual de una lavadora, lavadora, mientras que el de 35% sumará $240 al precio. Si el costo de la energía energía es de $80 por año con el 20% de incremento incremento en la eficiencia, eficiencia, y de $65 anuales anuales con 35% de aumento aumento en la misma, misma, ¿cuál ¿cuál de estos dos estándares resulta resulta más económico económico según el _ estándares análisis análisis del valor valor futuro, con una tasa de interés de 10% anual? Suponga Suponga una vida de 15 15 años para para todos los modelos modelos de lavadora. lavadora. Una Una compañía compañía minera minera pequeña pequeña explota explota carbón carbón a cielo abierto abierto y trata de decidir decidir si debería debería comprar comprar o arrendar arrendar una pala pala mecámecánica nueva. nueva. Si la compra, compra, costaría costaría $150 000 y se espera espera que tenga tenga un valor de rescate rescate de $65000 $65000 dentro dentro de 6 años. Como Como alternatialternativa, la compañía compañía podría podría arrendar arrendar la pala pala por por $30 000 por año, pero el pago del arrendaarrendamiento miento tendría tendría que hacerse hacerse al comienzo comienzo de cada año. Si la máquina máquina se adquiriera adquiriera se ren-

213 213

5.20

cierta operación operación de manufactura manufactura pueden pueden En cierta usarse tres tipos de barrenos barrenos para para perforar. perforar. usarse barato es uno de acero El más barato acero inoxidable inoxidable velocidad (HSS), pero pero tiene tiene una vida de alta velocidad corta que uno de óxido óxido de oro u otro de más corta nitrito de titanio. titanio. La compra compra de los barrenos barrenos nitrito costaría $3 500 y bajo bajo las condiciones condiciones HSS costaría usarían durarían durarían tres meses. meses. El en que se usarían costo de operación operación de dichos dichos aditamentos aditamentos costo sería por mes. Los barrenos barrenos de sería de $2 000 por óxido de oro costarían costarían $6 500 y durarían durarían 6 óxido meses, con un costo costo de operación operación de $1 500 meses, mensuales. nitrito de titanio mensuales. Los de nitrito titanio tendrían tendrían un costo de $7 000 y durarían 6 meses, con un costo por por operarlos operarlos de $1 200. Con Con una una tasa costo anual, compuesto compuesto mende interés interés de 12% anual, sualmente, ¿qué ¿qué tipo sualmente, tipo de barreno barreno debiera debiera usarse, según valor futuro? usarse, según el análisis análisis del valor futuro?

5.21

compañía El Paso Paso Electric E1ectric estudia estudia dos La compañía alternativas para para satisfacer regulaciones alternativas satisfacer las regulaciones estatales relacionadas relacionadas con el control control de la estatales contaminación en una una de sus estaciones estaciones gecontaminación neradoras. Dicha Dicha estación estación se localiza localiza en los neradoras. suburbios ciudad, a corta corta distancia distancia de suburbios de la ciudad, Ciudad Juárez, México. México. La estación produCiudad Juárez, estación produce actualmente VOC y óxidos actualmente exceso exceso de VOC óxidos de nitrógeno. cumplir nitrógeno. Hay dos propuestas propuestas para para cumplir las regulaciones: el plan plan A involucra involucra el las regulaciones: reemplazo de quemadores quemadores y el cambio cambio de gareemplazo sóleo a gas natural. natural. El costo costo inicial inicial de dicha dicha opción sería de $300 000, con $900 000 adiopción cionales combustible. cionales por por año en costos costos de combustible. plan B implica implica llevar llevar a México México lírieas de El plan fabrican gas para para muchos muchos de los sitios que fabrican ladrillos patios traseros y que utilizan utilizan ladrillos en los patios madera, llantas y otros materiales de desecho como combustible combustible para para sus hornos. hornos. La idea idea como plan B es que si se reduce reduce la que sustenta sustenta al plan

214

CAPÍTULO

5

Análisis del valor presente

contaminación por partículas responsable del esmog en El Paso, habría un beneficio más grande para los ciudadanos de los Estados Unidos, que el que se lograría con el plan A. El costo inicial del plan B sería de $1 200000 por instalar las líneas. Adicionalmente, la compañía eléctrica subsidiaría el costo del gas para los fabricantes de ladrillos por un total de $200 000 al año. El monitoreo extra del aire asociado con este plan tendría un costo adicional de $150000 por año. Para un periodo de duración del proyecto de 10 años y sin ningún valor de rescate para ambos planes, ¿cuál debería seleccionarse con el criterio del análisis del valor futuro, con una tasa de interés de 12% anual? Costos capitalizados I1

5.22

5.23

5.24

5.25

el estadio cada 5 años costaría $75 000. Si la ciudad espera dar mantenimiento a la instalación en forma indefinida, ¿cuál sería su costo capitalizado, con un interés de 8% anual? 5.26

5.27

Si una persona quisiera poder retirar $80 000 por año durante el resto de su vida, empezando dentro de 30 años, ¿cuánto tendría que tener en su cuenta para la jubilación (que percibe un interés de 8% anual) en a) el año 29, y b) el año O?

5.28

¿Cuál es el costo capitalizado (valor absoluto) de la diferencia entre los dos planes siguientes, con una tasa de interés de 10% anual? El plan A requiere un gasto de $50 000 cada 5 años para siempre (se comienza en el año 5). El plan B necesita un gasto de $100 000 cada 10 años para siempre (empieza en el año 10).

5.29

¿Cuál es el costo capitalizado de gastos por $3 000 000 ahora, $50000 en los meses 1 a 12, $100000 en los meses 13 a 25, y $50 000 en los meses 26 al infinito, si la tasa de interés es de 12% por año compuesto mensualmente?

5.30

Compare las alternativas siguientes sobre la base de su costo capitalizado, con una tasa de 10% de interés anual.

Pintar el puente Golden Gate tiene un costo de $400 000. Si dicha estructura se pintara hoy y cada 2 años de ahí en adelante, ¿cuál sería el costo capitalizado de los trabajos de pintura con una tasa de 6% de interés anual? El costo de ampliar cierta carretera en el Parque Nacional de Yellowstone es de $1.7 millones. Se espera que el costo de volverla a pavimentar y ejecutar otros trabajos de mantenimiento sea de $350 000 cada 3 años. ¿Cuál es el costo capitalizado de la carretera, con una tasa de interés de 6% anual? Determine el costo capitalizado de un gasto de $200 000 en el tiempo O, $25 000 en los años 2 a 5, y $400 000 anuales del año 6 en adelante. Use una tasa de interés de 12% anual. Una ciudad que intenta atraer a un equipo profesional de futbol planea construir un estadio nuevo, lo cual cuesta $250 millones. Se espera que los gastos de mantenimiento anuales asciendan a $800 000 por año. El pasto artificial tendría que sustituirse cada 10 años, con un costo de $950 000. Pintar

Cierta alternativa de manufactura tiene un costo inicial de $82 000, un costo de mantenimiento de $9 000 anuales y valor de rescate de $15 000 al final de su cuarto año de vida. ¿Cuál es su costo capitalizado, con una tasa de interés de 12% anual?

Costo inicial, $ Costo de operación anual, $/año Ingresos anuales, $/año Valor de rescate, $ Vida, años

5

5

5

e e

Pienso con base en petróleo

Pienso con base inorgánica

-250000

-110000

-130000 400000

-65000 270000

=

50000 6

20000 4

~

v v A

PROBLEMAS

5.31

Una alumna de la Universidad Estatal de Ohio quisiera establecer un fondo de donativos que concediera becas a mujeres estudiantes de ingeniería, por un total de $100 000 anuales para siempre. Las primeras becas se entregarían ahora y continuarían cada año. ¿Cuánto debe donar la alumna ahora, si se espera que el fondo gane un interés de 8% anual?

5.32· Un distrito municipal grande en infraestructura (MUD) analiza dos conductos de gran tamaño; el primero involucra la construcción de un dueto de acero que cuesta $225 millones, el cual cada 40 años necesitaría se le reemplazaran algunas partes, lo que costaría $50 millones. Se espera que el bombeo y otras operaciones tengan un costo de $10 millones por año. Una alternativa es construir un canal de flujo por gravedad que cuesta $350 millones más costos de operación y mantenimiento de $500 000 por año. Si es de esperar que ambos conductos duren para siempre, ¿cuál debe construirse, con una tasa de interés de 10% anual? 5.33

E

~

miento en el tiempo más corto no necesariamente es la de mayor atractivo económico. 5.36

Determine el periodo de recuperación de un activo cuyo costo inicial es de $40 000, con valor de rescate de $8 000 en cualquier momento de los primeros 10 años después de adquirido, y que genera ingresos de $6 000 por año. El rendimiento que se requiere es de 8% anual.

5.37

Accusoft Systems ofrece a los propietarios de negocios un paquete de software que mantiene los registros de muchas funciones contables a partir de las facturas de las ventas mediante transacciones bancarias. La licencia para el sitio cuesta $22 000 por concepto de instalación, e involucra una tarifa de $2 000 por trimestre. Si cierta empresa pequeña podría ahorrar $3 500 cada trimestre con la seguridad de manejar sus libros en casa, ¿cuánto tiempo tomará para que la empresa recupere su inversión con una tasa de interés de 4% trimestral?

5.38

Darnell Enterprises construyó un anexo a su edificio que tuvo un costo de $70 000. Se espera que otros gastos anuales asciendan a $1 850, pero los ingresos adicionales serán de $14 000 por año. ¿Cuánto tiempo pasará antes de que la empresa recupere su inversión, con una tasa de interés de 10% anual?

5.39

Un proceso nuevo para manufacturar niveles de láser tendrá un costo inicial de $35 000, con costos anuales de $17 000. Se espera que los ingresos adicionales asociados al nuevo proceso sean de $22 000 por año. ¿Cuál es el periodo de recuperación con a) i = 0%, Yb) i = 10%, anuales?

5.40

Cierta empresa multinacional de consultoría en ingeniería que desea proporcionar alojamiento en hoteles de lujo a ciertos clientes estudia la compra de un conjunto de tres recámaras en la parte alta del estado de Montana, lo cual costaría $250 000. Las propiedades en dicha zona están aumentando su valor

Compare las alternativas que se muestran en la parte inferior, sobre la base de sus costos capitalizados, con el empleo de una tasa de interés de 12% anual, compuesto trimestralmente. Alternativa

Costo inicial, $ Costo semestral, $/6 meses Valor de salvamento, Vida, años

Alterna- Alternativa tiva F

G

-200000 -300000 -900000 40000 10000 30000 $

50000 2

70000 4

100000

Análisis de recuperación 5.34

¿Qué quiere decir recuperación sin rendimiento O recuperación simple?

5.35

Explique por qué la alternativa que recupera su inversión inicial con cierta tasa de rendi-

215

216

CAPÍTULO

5

Análisis del valor presente

con rapidez debido a que la ansiedad de la gente por alejarse de los desarrollos urbanos eleva los precios. Si la empresa gastara en promedio $500 al mes para las instalaciones y la inversión se incrementara con una tasa de 2% mensual, ¿cuánto tiempo pasará antes de que se pueda vender la propiedad en $100 000 más lo invertido en ella? 5.41

Un fabricante de marcos para ventana busca maneras de mejorar sus ingresos a partir de ventanas deslizantes con aislamiento triple que se venden sobre todo en la parte norte de los Estados Unidos. La alternativa A es un incremento en el marketing a través de radio y televisión, con la que gastaría un total de $300 000 ahora, y se espera un incremento en los ingresos de $60 000 por año. La alternativa B requiere la misma inversión para mejoras en el proceso de manufactura de la planta, lo que mejoraría las propiedades de retención de temperatura de los sellos que rodean cada panel de vidrio. Con esta opción los nuevos ingresos comenzarían a fluir con lentitud, pues se estiman $110 000 en el primer año, con un crecimiento de $15 000 por año conforme el producto gana reputación entre los constructores. La TMAR es de 8% anual y el periodo máximo de evaluación es de 10 años para cualquier alternativa. Use tanto el análisis de recuperación como el del valor presente, con el 8% (para 10 años), a fin de seleccionar la alternativa más económica. Mencione la razón o razones de cualquier diferencia entre los dos análisis para la alternativa seleccionada.

Costos del ciclo de vida 5.42

El Pentágono pidió a un contratista de alta tecnología que estime el costo del ciclo de vida (CCV) de un vehículo de apoyo de uso ligero. Su lista de conceptos incluía las siguientes categorías generales de costo: investigación y desarrollo (I&D), inversión no recurrente (INR), inversión recurrente

(IR), mantenimiento preventivo y correctivo (mant.), uso de equipo (eq.) y eliminación (elim.). Los costos (en millones) para el ciclo de vida de 20 años son los que se indican a continuación. Calcule el CCV con una tasa de interés de 7% anual.

Es! Dis Dis COi

Pru

D~

Año

O 1 2 3 4 5 6-10 11 Y más 18-20

5.43

I&D

INR

5.5 3.5 2.5 0.5

1.1

IR

Mant.

Eq.

Elim.

Irnj Ha

Cal ACI

5.2 10.5 10.5

1.3 3.1 4.2 6.5 2.2

0.6 1.4 1.6 2.7 3.5

1.5 3.6 5.3 7.8 8.5

S.2.7

Un ingeniero que manufactura software en una corporación aerospacial muy grande tiene la responsabilidad sobre un proyecto para diseñar, construir, probar e implantar AREMSS, una nueva generación de un sistema automático para programar mantenimientos rutinarios y expeditos. Los reportes de la terminación de cada servicio serán capturados por el personal de campo para que después el sistema los llene y archive. La aplicación inicial será en las aeronaves de la Fuerza Aérea que abastecen combustible en vuelo. Se espera que el sistema se utilice durante mucho tiempo para la programación de otras labores de mantenimiento de aviones, y una vez que se implante por completo tendrán que hacerse mejoras, pero se espera que funcione para programar en todo el mundo hasta 15 000 naves diferentes. El ingeniero, quien debe hacer la semana próxima una presentación de las mejores estimaciones de los costos durante un periodo de vida de 20 años, ha decidido emplear el enfoque del costo del ciclo de vida para calcularlos. Use la información que sigue para determinar el CCV del sistema de programación AREMSS, con el 6% anual.

S.

217

PROBLEMAS

Costo en el año ($, millones) Categoría

de costo

2

3

4

ayude a seleccionar proyectos durante los próximos 10 años. Se ha utilizado el enfoque del costo del ciclo de vida para clasificar los costos en desarrollo, programación, operación y apoyo para cada alternativa. Hay tres opciones en análisis identificadas como A (sistema sobre medida), B (sistema adaptado) y C (sistema actual). A continuación se presenta el resumen de costos. Use el enfoque del costo del ciclo de vida para identificar la mejor alternativa, con el 8% anual.

5 6 Y más 10 18

Estudio de campo 0.5 2.1 1.2 0.5 Diseño del sistema Diseño del software 0.6 0.9 Compras de hardware 5.1 Pruebas Beta 0.1 0.2 Desarrollo del manual del usuario 0.1 0.1 0.2 0.2 Implantación 1.3 0.7 del sistema 0.4 6.0 2.9 Hardware de campo Capacitación de instructores 0.3 2.5 2.5 Actualizaciones del software

0.06

0.7 0.6

3.0 3.7

Costo

5.44

5.45

El ejército de Estados Unidos recibió dos propuestas para un proyecto de diseño de barracas para los soldados de las unidades de infantería en entrenamiento. La propuesta A involucra un diseño muy básico y la construcción de paredes, ventanas, puertas y otros elementos de tipo estandarizado. Con esta opción, los costos de calefacción, aire acondicionado y mantenimiento serían mayores, y los de reemplazo lo serían más pronto que los de la propuesta B. El costo inicial de la alternativa A sería de $750 000, el de calefacción y aire acondicionado sería en promedio de $6 000 mensuales, y los de mantenimiento promediarían $2 000 al mes. Se requerirían remodelaciones pequeñas en los años 5,10 y 15 con un costo de $150000 en cada ocasión, a fin de que las instalaciones permanezcan funcionales durante 20 años. No tendrán valor de rescate. La propuesta B incluye diseño sobre medida y los costos iniciales de construcción serían de $1 100 000, los de calefacción y aire acondicionado de $3 000 por mes, y los de mantenimiento, de $1000 mensuales. No habría valor de rescate al final de la vida de 20 años. ¿Cuál propuesta debe aceptarse según el criterio del análisis del costo del ciclo de vida, si la tasa de interés es de 0.5% mensual? Un municipio de tamaño mediano planea desarrollar un sistema de software que lo

Alternativa A

Componente Desarrollo

Programación

Operación Apoyo B

Desarrollo Programación

Operación Apoyo

e

Operación

Costo

$250 000 ahora, $150000 en los años la4 $45 000 ahora, $35 000 en los años 1y 2 $50 000 en los años 1 a 10 $30 000 en los años 1a 5 $10 000 ahora $45 000 en el año O, $30 000 en los años 1a3 $80 000 en los años 1 a 10 $40 000 en los años 1 a 10 $175000 en los años 1 a 10

Bonos 5.46

Un bono hipotecario con valor nominal de $10 000 tiene una tasa de interés de 6% anual que se paga en forma trimestral. ¿Cuáles son el monto y la frecuencia de los pagos del interés?

5.47

¿Cuál es el valor nominal de un bono municipal que tiene una tasa de interés de 4% anual, con el pago de intereses por $800 semestralmente?

218 218

CAPÍTULO 5 CAPÍTULO

5.48 5.48

¿Cuál es la tasa tasa de interés interés de un bono bono de ¿Cuál $20 000 000 que que tiene tiene pagos pagos de de los los intereses intereses $20 500 semestrales semestrales y una una fecha fecha de venvende $1 500 cimiento de 20 años? años? cimiento

5.49 5.49

¿Cuál es el valor valor presente presente de un bono bono de ¿Cuál 000 cuyo cuyo interés interés es de 10% anual, anual, papa$50 000 gadero en forma forma trimestral? trimestral? El bono bono vence vence gadero tasa de interés interés en el mercado mercado en 20 años. La tasa anual, compuesto compuesto trimestraltrimestrales de 10% anual, mente. mente.

5.50

valor presente presente tiene un bono municipal municipal ¿Qué valor tasa de interés interés de 4% de $50 000, con una tasa semestrales? El bono vence anual, con pagos semestrales? interés en el mercado mercado en 15 años y la tasa de interés compuesta trimestralmente. trimestralmente. es de 8% anual, compuesta

5.51

General Electric Electric emitió certifiGeneral emitió 100 bonos bonos certificados hace valor nominal nominal de cados hace tres años con valor $5 000 cada cada uno e intereses intereses de 8% anual pagaderos en forma forma semestral. pagaderos semestral. Los bonos bonos tienen fecha de vencimiento tienen una fecha vencimiento de 20 años a partir partir de la fecha fecha en que se emitieron. emitieron. Si la tasa de interés interés en el mercado mercado es de 10% anual, compuesta anual, compuesta semestralmente, semestralmente, ¿cuál ¿cuál sería el valor bono para valor presente presente de un bono para un inversionista que quisiera quisiera comprarlo comprarlo hoy? inversionista

Análisis del del valor valor presente presente Análisis

las escuelas escuelas existentes existentes y construir construir otras otras nuenuevas. vas. Los Los bonos bonos pagarán pagarán intereses intereses semessemestrales trales a razón razón de 7% anual anual y vencerán vencerán en 30 años. Las Las comisiones comisiones bursátiles bursátiles asociadas asociadas con la venta venta de los bonos bonos serán serán de $1 millón. millón. Si la tasa tasa de interés interés en el mercado mercado se eleva eleva a 8% anual, anual, compuesta compuesta semestralmente, semestralmente, antes antes de que que se emitan emitan los los bonos, bonos, ¿cuál ¿cuál tendría tendría que ser el valor valor nominal nominal de los bonos bonos para para el distrito distrito escolar escolar con el fin de obtener obtener $200 $200 millones millones netos? netos? 5.53 5.53

distrito escolar escolar Charles Charles ton Independent Independent 5.52 El distrito necesita necesita recabar recabar $200 millones millones para para limpiar limpiar

Un ingeniero ingeniero que planea planea su jubilación jubilación pienpiensa que las tasas de interés interés en el mercado mercado disdisminuirán minuirán antes de su retiro, por por tanto, planea planea invertir invertir en bonos bonos corporativos: corporativos: piensa piensa adadquirir quirir uno de $50 000 que que genera genera intereses intereses a razón razón de 12% anual, pagaderos pagaderos trimestraltrimestralmente mente y con fecha de vencimiento vencimiento para para dentro de 20 años. ¿Por cuánto cuánto debería debería estar a) ¿Por estar dispuesto dispuesto a vender dentro de 55 años, si la vender el bono bono dentro tasa de interés interés en el mercado mercado es de 8% anual compuesto compuesto trimestralmente? trimestralmente? anual b) Si invirtiera intereses que recibiera, invirtiera los intereses recibiera, interés de 12% anual, con una tasa de interés anual, compuesto trimestralmente, trimestralmente, ¿cuánto compuesto ¿cuánto tendría (en total) inmediatamente inmediatamente destendría después de vender vender el bono pués bono dentro dentro de 5 años?

5.

5.

L

ci al

C C

v. PROBLEMAS PROBLEMAS DE REPASO FI FI

V

5.54 Para las alternativas alternativas mutuamente mutuamente excluyenexc1uyentes que se muestran muestran a continuación, continuación, deterdetermine cuál(es) cuál(es) deberían deberían seleccionarse. seleccionarse. Alternativa Alternativa

presente, $ Valor presente,

A B B C D D

-25000 -25000 -12000 -12000 10000 15000

SóloAA Sólo Sólo D SóloAy B c) SóloAy eyD d) Sólo C a) b)

5.55

El valor presente presente de $50 000 ahora, $10 000 por año en los años 1 a 15, y $20 $20000 000 anuales en los años 16 16 al infinito, infinito, con 10% anual, está muy cerca de:

5

5

PROBLEMAS DE DE REPASO REPASO FI FI PROBLEMAS

a) a) b) b) e) d) d)

Menos de $169 000 a) Menos b) $169580 $169580 b) e) $173940 $173940 e) $195 730 d) $195730

5.56 Cierta Cierta donadora donadora desea desea comenzar comenzar un fondo fondo 5.56 para su alma alma mater mater a fin de recabar recabar dinero dinero para para becas becas con con un monto monto de $40 000 anuaanuapara para comenzar comenzar en el año 5 y continuar continuar les, para forma indefinida. indefinida. Si la universidad universidad gana gana en forma anual sobre sobre el fondo, fondo, la cantidad cantidad que que 10% anual ella debe debe donar donar es muy muy cercana cercana a: ella a) $225470 $225470 a) $248360 b) $248360 $273200 e) $273200 $293820 d) $293820 5.57

anual, la canCon una tasa de interés de 10% 10%anual, tidad que debe depositar en su cuenta cuenta para para debe depositar el retiro retiro en los años O a 9 (es decir, 10 depósitos) para que usted pueda pueda retirar retirar $50 000 pósitos) para siempre, comenzara a hacerlo hacerlo por año para siempre, y comenzara dentro de 30 años, está muy cerca de: dentro cerca a) $4239 $4239 b) $4662 $4662 e) $4974 $4974 d) $547 $54711

Los problemas problemas 5.58 a 5.60 se basan basan en las estimaestimaciones ciones siguientes. siguientes. El costo costo del dinero dinero es de 10% 10% anual. Máquina X

Costo Costo inicial, inicial, $ Costo Costo anual anual, , $/año $/año Valor Valor de rescate, rescate, $ Vida, Vida, años años

-66000 -66000 --10 10 000 000 10 000 10000 6

Máquina Y

-46000 -46000 -15000 -15000 24000 3

5.58 El valor presente máquina X es muy presente de la máquina cercano cercano a: a) $-65270 $-65270 b) $-87840 $-87840 e) $-103910 $-103 910 d) $-114310 $-114310 5.59

Si se comparan comparan las máquinas máquinas con base en su valor presente, presente, el de la máquina máquina Y es el más parecido parecido a: a:

219 219

$-65270 $-65270 $-97840 $-97 840 $-103910 $-103910 $-114310 $-114310

5.60 5.60 El costo costo capitalizado capitalizado de la la máquina máquina X está está muy muy cerca cerca de: a) $-103910 $-103910 b) b) $-114310 $-114310 $-235990 e) $-235990 d) d) $-238580 $-238580 5.61 5.61

El costo costo para para dar mantenimiento mantenimiento a un momonumento numento en Washington, Washington, D.C. se expresa expresa en desembolsos desembolsos periódicos periódicos de $10 000 cada cada 5 años. Si el primero primero de ellos ellos ocurre ocurre ahora, ahora, el costo costo capitalizado capitalizado del mantenimiento mantenimiento con una tasa tasa de interés interés de 10% anual, anual, es de: a) $-16380 $-16380 b) $-26380 $-26380 e) $-29360 $-29360 $-41050 d) $-41050

5.62 5.62

Las alternativas alternativas que se muestran muestran abajo se compararán de acuerdo con el criterio compararán acuerdo criterio de sus costos capitalizados. capitalizados. Con un interés del 10% 10% anual compuesto continuamente, la ecuaanual compuesto continuamente, ecuación que representa capitalizado de representa el costo capitalizado . la alternativa alternativa A es:

Costo Costo inicial, inicial, $ Costo Costo anual anual, , $/año $/año Valor de rescate, rescate, $ Valor Vida, Vida, años años

Alternativa Alternativa A

Alternativa Alternativa B

-50000 -50000 -10000 -10000 13000 13 000 3

-90000 -90000 -4000 -4000 15000 6

PWAA = =-50000-10000(P/A, PW -50000-10000(P/A, 10.52%,6) 000(P/F,1O.52%,3) - 37 000(P/F ,IO.52%,3) PWA = =-50000-10000(P/A, b) PW -50000-10000(P/A, 10.52%,3) 13 000(P/F,IO.52%,3) 000(P/F,1O.52%,3) + 13 PWAA == [-50 [-50000(A/P, 10.52%,3) e) PW OOO(A/P, 10.52%,3) -10000++ 13 13OOO(AlF,IO.52%,3)]/O.1052 Ooo(AIF, 10.52%,3)]/0.1052 -10000 PWAA = = [-50000(A [-50 000(A/P,10%,3) -10 000 ++ d) PW /P,IO%,3)-10000 13 000(A/F,10%,3)] OOO(A/F,10%,3)]/0.10 13 /0.10

a)

corporativo tiene un valor nominal 5.63 Un bono corporativo de $10 000, una tasa de interés de 6% anual pagadero semestralmente, semestralmente, y una fecha de pagadero

220

CAPÍTULO CAPÍTULO 5

Análisis presente Análisis del valor valor presente

vencimiento partir de hoy. Si vencimiento de 20 años a partir persona compra una persona compra el bono en $9 000 cuando la tasa de interés mercado es de 8% interés en el mercado anual, compuesta monto compuesta semestralmente, semestralmente, el monto y frecuencia pagos de los intereses frecuencia de los pagos intereses que recibiría persona está muy cerca recibiría la persona cerca de: a) $270 $270 cada cada 6 meses meses b) b) $300 cada cada 6 meses meses cada 6 meses meses e) $360 cada d) $400 $400 cada cada 6 meses meses d) 5.64

11''1

el!

Un bono municipal que se emitió emitió hace hace 3 bono municipal nominal de $5 000 y una años tiene un valor nominal tasa de interés interés de 4% anual anual pagaderos tasa pagaderos semestralmente. El bono tiene una fecha fecha de semestralmente. vencimiento lafecha vencimiento de 20 años a partir partir de la fecha interés en el en que se emitió. Si la tasa de interés mercado es de 8% anual, compuesta compuesta semesmercado tralmente, el valor valor de n que debe usarse tralmente, usarse en ecuación PIA PIA para calcular el valor valor prela ecuación para calcular presente del bono bono es de:

j.

a) 34 b) 40 c) e) 68 d) d) 80

5.65

bono de $10 000 tiene una tasa de interés Un bono de 6% anual, pagadera pagadera trimestralmente. trimestralmente. El bono vence bono vence dentro dentro de 15 años. Con una tasa tasa de interés interés de 8% anual compuesto compuesto trimestrimestralmente, ¿por cuál ecuación ecuación de las siguiensiguientralmente, está representado tes está representado el valor valor presente presente del documento? documento? PW = = 150(PIA,1.5%,60) 150(PIA,1.5%,60) + 10 000 a) PW b)

e) d)

(PIF,1.5%,60) (PIF,1.5%,60) PW = 150(PIA,2%,60) + 10 000 PW = 150(PIA,2%,60) (PIF,2%,60) (PIF,2%,60) PW = = 600(PIA,8%,15) 600(PIA,8%,15) + 10 10000 PW 000 (PIF,8%,15) (PIF ,8%,15) PW = = 600(PIA,2%,60) 600(PIA,2%,60) + 10 000 PW (PIF,2%,60) (PIF,2%,60)

'.''''~

EJERCICIO AMPLIADO EJERCICIO AMPLIADO EVALUACIÓN DE DE LAS LAS ESTIMACIONES ESTIMACIONES DE DE RETIRO RETIRO EVALUACIÓN DEL SEGURO SEGURO SOCIAL SOCIAL DEL Charles, un ingeniero ingeniero en jefe laborado 18 años desde desde su graduación graduación de la Charles, jefe que ha laborado universidad, correo un informe informe de la administración administración del Seguro Seguro universidad, recibió recibió ayer por correo establecía que si él continúa continúa percibiendo intereses con la misma Social, que establecía percibiendo intereses misma tasa, el Seguro Social Social le proporcionará siguientes beneficios Seguro proporcionará los siguientes beneficios de retiro mensuales: mensuales:

• • •

Retiro normal completo de $1 500 mensuales mensuales Retiro normal a la edad de 66 con beneficio beneficio completo comenzando a la edad indicada. indicada. comenzando Retiro anticipado anticipado a la edad de 62 con beneficio beneficio reducido reducido en 25% comenzando comenzando Retiro a los 62 años de edad. Retiro prolongado incremento del beneficio comenzanRetiro prolongado a los 70 con incremento beneficio de un 30% comenzanaños. do a los 70 años.

Charles nunca nunca pensó mucho en la seguridad seguridad social; generalmente generalmente creía creía en ésta como como Charles pensó mucho deducción mensual mensual de su salario, salario, la cual le ayudaría ayudaría a pagar pagar los beneficios beneficios del una deducción Seguro Social Social en el retiro retiro de sus padres. embargo, ahora ahora ha optado optado por llevar llevar a Seguro padres. Sin embargo, análisis. Charles Charles decidió decidió ignorar siguientes consecuencias consecuencias con el tiemcabo un análisis. ignorar las siguientes po: impuestos impuestos sobre sobre la renta, incrementos en el costo de la vida e inflación. inflación. Tamrenta, incrementos supuso que los beneficios cada bién supuso beneficios de retiro retiro se recibirían recibirían en su totalidad totalidad al final de cada

af

m

ju si

1.

2.

E

ta

e

ni

3. 4.

ESTUDIO DE DE CASO CASO ESTUDIO

221

capitalización durante durante el año. Utilice Utilice una tasa de rendirendiaño; es decir, que no hay capitalización miento esperada esperada sobre la inversión inversión de 8% anual y considere considere una muerte muerte estimada estimada miento justo después de cumplir cumplir 85 años. Emplee Emplee una hoja hoja de cálculo cálculo para para llevar llevar a cabo el justo después siguiente procedimiento para Charles: siguiente procedimiento para Charles:

1.

2.

Calcule el valor valor futuro total de cada cada escenario beneficios hasta hasta la edad edad de 85 Calcule escenario de beneficios años. Elabore una gráfica gráfica de valor valor futuro acumulado acumulado anual de cada escenario escenario de bebeElabore neficios hasta hasta la edad de 85 años. neficios

informe también también mencionó Charles moría moría este año, su esposa esposa recibiría recibiría toEl informe mencionó que si Charles talmente el beneficio beneficio del retiro retiro con $1 600 mensuales mensuales durante durante el resto resto de su vida. Si talmente Charles y su esposa esposa tienen tienen 40 años ahora, determine determine lo siguiente siguiente respecto respecto de los bebeCharles neficios de la esposa esposa si ella comienza a recibirlos recibirlos a la edad edad de 66 y vive hasta hasta los 85: neficios ella comienza

3. 4.

presente ahora. Valor presente futuro para para su esposa esposa después después de los 85 años. Valor futuro

-~

-~ ESTUDIO DE CASO CASO ESTUDIO PROGRAMA DE DE EVALUACIÓN EVALUACIÓN DE DE RECUPERACIÓN RECUPERACIÓN DE DE UN UN PROGRAMA PROGRAMA DE DE PROGRAMA EXCUSADOS (RETRETES) (RETRETES) DE DE MUY MUY BAJA BAJA DESCARGA DESCARGA EXCUSADOS Introducción Introducción En muchas muchas ciudades ciudades del del suroeste suroeste de Estados Estados Unidos, Unidos, En ha extraído extraído el agua agua de los los mantos mantos acuíferos acuíferos subtesubtese ha rráneos con con mayor mayor rapidez rapidez de lo que que se recupera. recupera. El rráneos agotamiento concomitante concomitante de los suministros suministros de agua agua agotamiento subterránea ha ha forzado algunas de estas ciudades ciudades a subterránea forzado a algunas de estas tomar acciones que van van desde desde políticas políticas de precios precios restomar acciones que restrictivas hasta hasta medidas medidas de conservación conservación obligatorias obligatorias en trictivas establecimientos residenciales, residenciales, comerciales comerciales e industriaindustriaestablecimientos mediados de la década década de 1990, 1990, la ciudad ciudad ememles. A mediados prendió un proyecto proyecto para para motivar motivar la instalación instalación de exexprendió cusados con con muy muy baja baja descarga descarga de agua agua en las casas casas cusados existentes. Para Para evaluar evaluar la efectividad efectividad del del costo costo de este este existentes. programa, se llevó llevó a cabo cabo un un análisis análisis económico. económico. programa,

Antecedentes Antecedentes La esencia esencia del del programa programa de reemplazo reemplazo de excusados excusados La incluye un un descuento descuento del del 75% 75% en en el costo costo de los los acceacceincluye sorios (hasta (hasta $100 $100 dólares dólares por por unidad), unidad), a condición condición de sorios

que el excusado excusado no utilice utilice más más de 1.6 galones galones por por desque descarga. No hay límite límite para para la cantidad cantidad de excusados excusados recarga. No hay reemplazados por por individuos individuos o por por establecimientos establecimientos coemplazados comerciales. merciales.

Procedimiento Procedimiento Para evaluar evaluar el ahorro ahorro de agua agua logrado, logrado, si hubiera hubiera alPara alguno, durante durante el programa, programa, Ios registros mensuales mensuales de guno, los registros de uso de agua agua se monitorearán monitorearán en 325 325 participantes, participantes, los uso los cuales representan una muestra muestra de un tamaño tamaño aproxicuales representan una aproximado de 13%. 13%. Los Los datos datos de consumo consumo de agua agua obtenimado obtenidos abarcan abarcan 12 meses meses después después de dos meses antes antes y 12 meses de la la instalación de los los excusados excusados con con muy muy baja baja descarga. descarga. Si instalación Si casa cambió cambió de propietario propietario durante durante el periodo periodo de la casa de evaevaluación, no se incluirá incluirá en en los los registros registros de la muestra. muestra. luación, Puesto que que el consumo consumo de agua agua se incrementa incrementa dramátidramátiPuesto camente durante durante los meses meses calurosos calurosos del del verano verano debicamente debiriego del del césped, césped, el uso uso del del agua agua como como refresdo al riego refrescante, el lavado lavado de autos, autos, etcétera, etcétera, sólo sólo los meses meses de cante, de

222

CAPÍTULO 5 CAPÍTULO

Análisis del del valor valor presente presente Análisis

invierno de diciembre, diciembre, enero enero y febrero febrero se incluirán incluirán en invierno evaluación del del consumo consumo de agua, agua, antes antes y después después de la evaluación instalación de los los excusados. excusados. Antes Antes de llevar llevar a cabo cabo la instalación cualquier cálculo, cálculo, todos todos los registros registros de usuarios usuarios que que cualquier gastan un volumen agua elevado elevado (generalmente (generalmente en gastan volumen de agua negocios), cuyo cuyo consumo consumo mensual mensual promedio promedio exceda exceda los los negocios), CCF (1 (l CCF CCF = = 100 100 pies pies cúbicos cúbicos = = 748 748 galones) galones) se 50 CCF eliminarán. Además, Además, también también se eliminarán eliminarán aquellos aquellos eliminarán. cuyo promedio promedio mensual mensual sea sea de 2 CCF CCF o menos menos (antes (antes o cuyo después de la instalación), instalación), ya que que se cree cree que que ese ese bajo bajo después gasto de agua agua es una una condición condición anormal, anormal, como como en el gasto caso de una una casa casa en venta que estuvo estuvo desocupada desocupada duducaso venta que rante una una parte parte del del periodo periodo de estudio. estudio. Los Los 268 268 regisregisrante tros que que quedaron quedaron después después del del procedimiento procedimiento de depudeputros ración se utilizarán utilizarán para para cuantificar cuantificar la efectividad efectividad del del ración programa. programa.

Resultados Resultados Consumo de agua agua Consumo encontró que que el consumo consumo mensual mensual antes antes y después Se encontró después instalación de los los excusados excusados de muy muy baja descarde la instalación baja descarfue de 11.2 y 9.1 CCF, CCF, respectivamente, respectivamente, para para un proproga fue medio de reducción reducción de 18.8%. 18.8%. Cuando Cuando sólo sólo se incluyeincluyemedio ron los los meses meses de enero enero y febrero, febrero, antes antes y después después de ron los cálculos, cálculos, los los valores valores respectivos respectivos fueron fueron de 11.0 y los CCF, lo cual cual dio dio como como resultado resultado un ahorro ahorro de agua agua 8.7 CCF, 20.9%. de 20.9%.

Análisis económico económico Análisis La tabla tabla que que se muestra muestra a continuación continuación ilustra ilustra algunos algunos La los totales totales durante durante los primeros primeros 21 meses meses del del proprode los grama. grama. Resumen del del programa programa Resumen Número de participantes participantes Número Número de excusados excusados reemplazados reemplazados Número Número de personas personas Número Costo promedio del excusado excusado Costo promedio del Descuento promedio promedio Descuento

2466 2466 4096 4096 7981 7981 $115.83 $115.83 $76.12 $76.12

Los resultados resultados de la sección sección anterior anterior indican indican un ahorro ahorro Los mensual de agua agua de 2.1 2.1 CCF. CCF. En el caso caso del del participanparticipanmensual promedio del programa, programa, el periodo recuperación te promedio periodo de recuperación np, en años, años, sin considerar considerar el interés interés se calcula calcula con con la np, ecuación [5.7]. [5.7]. ecuación

(costo neto costo de instalación) instalación) (costo neto de de los los excusados excusados + costo ahorros ahorros anuales anuales netos netos por por cargos cargos de de agua agua y drenaje drenaje

=~------------------------------------~ =--------------------------------------~

n PP

El bloque bloque de tarifa tarifa mínima mínima por por cargo cargo de de agua agua es de $0.76 $0.62 $0.76 por por CCF. CCF. La La sobretasa sobretasa por por desagüe desagüe es de de $0.62 por $50 por por CCF. CCF. Aplique Aplique estos estos valores valores y un un costo costo de de $50 por instalación será: instalación y el periodo periodo de de recuperación recuperación será:

(115 .83 -76.12)+ 50 == ----'------------''----_..:...(1_15_._83_-_7_6_.1.....:2),-+_5_0_

nn pp

(2.1 (2.1 CCF/mes x 12 meses) meses) x (0.76 0.62)/CCF (0.76 + 0.62)/CCF == 2.6 2.6 años años

Excusados Excusados más más económicos económicos o costos costos de instalación instalación más más bajos bajos reducirán reducirán el periodo periodo de de recuperación, recuperación, mientras mientras que que al al considerar considerar el valor valor del del dinero dinero en en el tiempo tiempo se alargará alargará el el periodo periodo de de recuperación. recuperación. Desde Desde el punto punto de de vista vista de de la la utilidad utilidad que que genera genera el el suministro de suministro de agua, agua, el costo costo del del programa programa deberá deberá comcompararse pararse con con el costo costo marginal marginal de la la entrega entrega de de agua agua y el tratamiento es. El marginal c se tratamiento de de aguas aguas residual residuales. El costo costo marginal representará representará como: como: costo costo del del descuento descuento c = ---------------------- ------------------- - volumen de volumen de agua agua no entregada entregada volumen de agua residual no + volumen agua residual no tratada tratada En En teoría, teoría, la la reducción reducción en en el el consumo consumo de agua agua ocurrirá ocurrirá durante durante un periodo periodo indefinido, indefinido, puesto puesto que que el el reemplareemplazo nunca nunca se llevará llevará a cabo modelo de de menor menor cabo con con un modelo eficacia. Sin embargo, supoeficacia. Sin embargo, en en el el peor peor de de los los casos, casos, se supone que sólo que el excusado excusado tendrá tendrá una una vida vida productiva productiva de de sólo 5 años, años, después después de de los los cuales cuales se presentarían -presentarían fugas fugas de agua agua que que no se repararían. repararían. El El costo costo para para la la ciudad ciudad por por el agua sería: agua no no entregada entregada o el el agua agua residual residual no tratada tratada sería: $76.12 $76.12 c = ------------------------------------------------------(2.1 + 2.1 CCF CCF/mes)(12 /mes)(12 meses)(5 meses)(5 años) años) $0.302 $0.40 $0.302 $0.40 --o CCF CCF 1 000 000 galones galones Por sólo si la Por lo tanto, tanto, sólo la unidad unidad puede puede hacer hacer entrega entrega de de agua agua yy dar $0.40 dar tratamiento tratamiento al agua agua desechada desechada por por menos menos de de $0.40 cada cada 1 000 000 galones, galones, el el programa programa de de reemplazo reemplazo de excuexcusados se consideraría sados consideraría económicamente económicamente atractivo. atractivo. Para Para la la ciudad, sólo los sin ciudad, tan tan sólo los costos costos de de operación, operación, es es decir, decir, sin tomar capital, por tomar en cuenta cuenta el el gasto gasto del del capital, por el agua agua y los los

ESTUDIO DE DE CASO CASO ESTUDIO

servicios de aguas aguas residuales residuales que que no se gastaron gastaron fueron fueron servicios alrededor de $1.10 $1.10 por por cada cada 1 000 000 galones, galones, que que supesupede alrededor 000 galones. galones. considerablemente los $0.40 $0.40 porcada porcada 1 000 ran considerablemente Así, programa de reemplazo reemplazo de excusados excusados claramenclaramenAsí, el programa muy efectivo efectivo en lo que que se refiere refiere a los costos. costos. te resultó resultó muy

Ejercicios para para el estudio estudio de caso caso Ejercicios Para una una tasa interés de 8% y una vida para para los 1. Para tasa de interés una vida excusados de 5 años, años, ¿cuál ¿cuál sería sería el periodo excusados periodo de recurecuperación peración de los participantes? participantes? ¿Es el periodo 2. ¿Es periodo de recuperación recuperación de los participantes participantes más sensible a la tasa tasa de interés interés que que se utiliza utiliza o a la más sensible vida del excusado? excusado? vida del

223

¿Cuál sería sería el costo costo para para la ciudad ciudad si se aplicara aplicara una una 3. ¿Cuál tasa de interés interés de 6% anual anual con con una vida útil útil de 5 tasa una vida años de los excusados? excusados? Compare Compare el costo costo en $/CCF $/CCF años 000 galones galones con con los costos costos determinados determinados a una una y $/1 000 tasa de 0%. 0%. tasa 4. Desde punto de vista Desde el punto vista de la ciudad, ciudad, ¿el ¿el éxito éxito del programa es sensible: sensible: a) al porcentaje porcentaje del descuendescuenprograma costo del excusado?; excusado?; b) a la tasas tasas de interés, interés, to en el costo aplican tasas tasas del del 4 al 15%; 15%; e) a la vida vida del exexsi se aplican cusado, si se consideran consideran vidas vidas de 2 a 20 20 años? años? cusado, S. Qué Qué otros otros factores factores podrían podrían ser ser importantes importantes para: 5. para: ciudad al evaluar evaluar si el a) los participantes participantes y b) la ciudad programa constituye un éxito. éxito. programa constituye

6 o o

«« u u

Análisis del valor valor anual Con este capítulo capítulo ampliamos ampliamos nuestro repertorio repertorio de herramientas herramientas para la comparación de alternativas. En el capítulo capítulo anterior anterior estudiamos estudiamos el método método del VP. VP. Aquí Aquí analizaremos el método método del valor valor anual equivalente equivalente o VA. Por lo común, el análisis análisis del VA se se considera el más recomendable recomendable en virtud virtud de que el valor valor VA es fácil de calcular; la la mayoría de la la gente gente comprende comprende el concepto concepto de medida dida del valor -VA -VA en unidades monetarias monetarias anualesanuales- y los supuestos de este método método son esencialmente esencialmente los mismos que los del método método del VP. VP. Al valor valor anual también también se se le asignan otros nombres. Algunos Algunos de ellos son valor anual equivalente equivalente (VAE),costo (VA E), costo anual equivalente equivalente (CAE),equivalente (CAE), equivalente anual (EA) (EA) y valor valor anual uniforme uniforme equivalente equivalente (VAUE). (VAUE). La La cantidad cantidad del valor anual equivalente equivalente resultante es la la misma, independientemente independientemente del nombre nombre que se se le dé. dé. La La alternativa alternativa que se se elija con el método método del VA siempre será será la la misma que la elegida con el método cualquier otro método método para la alternativa elegida método del VP VP y con cualquier la evaluación de alternativas, siempre y cuando los métodos la métodos se se apliquen apliquen correctamente. En el estudio se observa que las hechas al al llevarse a estudio de caso, caso, se las estimaciones estimaciones hechas cabo el análisis análisis del VA son son sustancialmente distintas distintas después de la la instalación equipo. Las Lashojas análisis de sensibilidad sensibilidad y el análisis análisis de valor del equipo. hojas de cálculo, el análisis se combinan para para evaluar la la situación. anual se

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE APRENDIZAJE OBJETIVOS Objetivo general: general: Llevar Llevar aa cabo cabo cálculos cálculos del del valor valor anual anual yy comparar comparar alternativas alternativas mediante mediante Objetivo el método método del del valor valor anual. anual. el Este Este capítulo capítulo ayudará ayudará al al lector lector a: a: Un ciclo ciclo de de vida vida Un

II

1. Demostrar Demostrar que que el VA VA necesita necesita calcularse calcularse exclusivamente exclusivamente durante durante un ciclo ciclo de de vida. vida.

VA Cálculo del del VA Cálculo

I

2. recuperación de de capital capital (RC)y (RC) y el VA aplicando aplicando dos dos 2. Calcular Calcular la recuperación métodos. métodos.

--~-Elección de de alternativas alternativas Elección

3. Elegir Elegir la mejor mejor alternativa alternativa sobre sobre la base de de un análisis del del VA.

VA mediante el VA mediante

VA de de una inversión VA inversión permanente permanente

4. Determinar Determinar el VA de una inversión inversión permanente. permanente.

226

CAPÍTULO 6

6.1

Análisis del valor anual

VENTAJAS Y APLICACIONES DEL VALOR ANUAL

•

DEL ANÁLISIS

En muchos estudios de ingeniería económica, el método del VA es el más recomendable cuando se le compara con el VP, el VF y la tasa de rendimiento (siguientes dos capítulos). Ya que el VA es el valor anual uniforme equivalente de todos los ingresos y desembolsos, estimados durante el ciclo de vida del proyecto o alternativa, cualquier persona familiarizada con pagos anuales, es decir, unidades monetarias anuales, puede entender con facilidad el concepto de VA. El VA, que posee la misma interpretación económica que el valor A utilizado hasta ahora, es el equivalente de los valores VP y VF en la TMAR para n años. Los tres valores se pueden calcular fácilmente, uno a partir del otro, por medio de la fórmula: VA

= VP(A/P,i,n) = VF(A/F;i,n)

[6.1]

El valor n en los factores representa el número de años para la comparación de alternativas de servicio igual. Éste es el MCM del periodo de estudio establecido del análisis del VP o VF. Cuando todas las estimaciones del flujo de efectivo se convierten a un VA, este valor se aplica a cada año del ciclo de vida y para cada ciclo de vida adicional. De hecho, una ventaja de interpretación y de cálculo radica en que

I

El VA debe calcularse exclusivamente para un ciclo de vida. Por lo tanto, no es necesario emplear el MCM de las vidas, como en el caso de los análisis del VP y del VF.

Supuesto del método del VP

Por lo tanto, el cálculo del VA durante el ciclo de vida de una alternativa determina el VA para todos los ciclos de vida futuros. Como en el caso del método del VP, existen tres supuestos fundamentales del método del VA que deben entenderse.

I

Secc.5.3

t

Cuando las alternativas que se comparan tienen vidas diferentes, se establecen los siguientes supuestos en el método del VA: 1. 2. 3.

Los servicios proporcionados son necesarios al menos durante el MCM de las alternativas de vida. La alternativa elegida se repetirá para los ciclos de vida subsiguientes exactamente de la misma forma que para el primer ciclo de vida. Todos los flujos de efectivo tendrán los mismos valores calculados en cada ciclo de vida.

En la práctica, ningún supuesto es necesariamente correcto. Si en una evaluación particular los primeros dos supuestos no son razonables, se debe establecer un periodo de estudio para el análisis. Obsérvese que para la suposición 1, el periodo de tiempo puede ser el futuro indefinido (para siempre). En la tercera suposición, se espera que todos los flujos de efectivo cambien exactamente con la tasa de inflación (o deflación). Si ésta no fuera una suposición razonable, deben hacerse estimaciones nuevas de los flujos de efectivo para cada ciclo de vida y nuevamente usarse un periodo de estudio. En la sección 6.3 se discute un análisis del VA para un periodo de estudio específico.

SECCIÓN 6.1

EJEMPLO

6.1

Ventajas y aplicaciones

227

del análisis del valor anual

'

En el ejemplo 5.2, relativo a las diferentes opciones de arrendamiento de una oficina, se llevó a cabo un análisis de VP durante 18 años, el MCM de 6 y 9 años. Consideremos sólo la localidad A, cuyo ciclo de vida es de 6 años. El diagrama de la figura 6.1 muestra los flujos de efectivo de los tres ciclos de vida (costo inicial, $15000; costos anuales, $3 500; devolución del depósito, $1 000). Demuestre la equivalencia al i = 15% del VP durante tres ciclos de vida y del VA durante un ciclo. En el ejemplo anterior, el valor presente calculado para la localidad A fue de VP = $-45 036. VP=S45036

1ft---------L

I

o

I

I

I

I

I I I I I I

.. :

3 ciclos de vida

I I I I

I

I

I

I

23456791011

I

I

I

I

I

I

I

12

13

14

15

16

17

18

$1000

o

1

2

3

4

5

6 Ciclo de vida 1 ;=15%

$1000

$3500

2

O

3

4

5

6

$15000

Ciclo de vida 2

SI 000

$3500 O

2

3

4

5

6

$15000

Ciclo de vida 3

$3500

$15000 O

2

4

5

6

7

j

9

10

11

Valores VP y VA para tres ciclos de vida (ejemplo 6.1).

13

j j VA=S7349

Figura 6.1

12

14

15

16

17

18

19

20 co ntinúa

228

CAPÍTULO CAPÍTULO 6

Análisis Análisis del del valor valor anual anual

Solución Solución Se calcula uniforme equivalente para todos de efectivo Se calcula el valor valor anual anual uniforme equivalente para todos los los flujos flujos de efectivo en el primer ciclo primer ciclo de vida. vida. 000(AlP,15%,6) + 1 000(AlF,15%,6) 000(AlF,15%,6) - 3500 $-7349 VA = -15 000(AlP,15%,6) 3500 = $-7349

Cuando Cuando se lleva lleva a cabo cabo el mismo mismo cálculo cálculo sobre sobre cada cada ciclo ciclo de vida, vida, el VA es de $-7 349. 349. Después para 18 años: Después se aplica aplica la ecuación ecuación [6.1] [6.1] al VP VP para años: VA = -45 036(AlP,15% 036(AlP,15%,18) $-7349 ,18) = $-7349

El un ciclo basado en iguales. El VA de un ciclo de vida vida y el VP VP basado en 18 18 años años son son iguales. Comentario Comentario Si se aplica primero se determina aplica la relación relación de equivalencia equivalencia entre entre el VF VF y el VA, primero determina el VF VF a partir del VP durante el MCM; MCM; luego luego se calcula calcula el VA (hay (hay pequeños errores de redondeo). partir del VP durante pequeños errores redondeo).

n (1 p e

VF VF = = VP(F/P,15%,18) VP(FlP,15%,18)

= = -45036(12.3755) ==$-557343 $-557 343 VA = ,18) = = VF(AlF,15% VF(AlF, 15%,18) = -557343(0.01319) = = $-7351 $-7351

1

a

El valor para llevar valor anual no sólo constituye constituye un excelente excelente método método para llevar a cabo estudios de ingeniería cualquier caso donde ingeniería económica, económica, sino que también también se utiliza utiliza en cualquier donde sea factible beneficio/costo). El método factible aplicar aplicar un análisis análisis de VP (de VF y de beneficio/costo). método del VA es particularmente particularmente útil en cierta reemplazo de cierta clase clase de estudios: estudios: estudios estudios de reemplazo activos retención para para minimizar minimizar costos activos y de tiempos tiempos de retención costos anuales anuales globales globales (ambos (ambos examinados punto de equilibrio examinados en el capítulo capítulo 11), estudios estudios de punto equilibrio y decisiones decisiones de fabri fabri-car o comprar relacionados con costos comprar (capítulo (capítulo 13), así como en todos los estudios estudios relacionados costos de fabricación producción, en los que la medida medida costo/unidad rendimiento/unifabricación o producción, costo/unidad o rendimiento/unidad constituye constituye el foco de atención. atención. Si se toman renta, algunas toman en cuenta cuenta los impuestos impuestos sobre sobre la renta, algunas grandes grandes empresas empresas e instituciones utilizan un enfoque instituciones financieras financieras utilizan enfoque ligeramente ligeramente distinto distinto del método método del VA, conocido término valor agregado, o EVA™. (El símbolo conocido con el término valor económico económico agregado, símbolo EVA constituye constituye una marca marca registrada registrada vigente vigente de Stern Stewart Stewart y Compañía.) Compañía.) Esta Esta técnica potencial de crecimiento técnica se centra centra en el potencial crecimiento de capital capital que una alternativa alternativa ofrece ofrece a una corporación. resultantes del EVA son el equivalente corporación. Los valores valores resultantes equivalente de un análisis análisis del VA de flujos de efectivo efectivo después después de impuestos. impuestos.

6.2 6.2

CÁLCULO CÁLCULO DE LA RECUPERACiÓN RECUPERACiÓN DE CAPITAL CAPITAL VALORES DEL VA VA Y DE VALORES

Una alternativa alternativa debería debería tener tener las siguientes siguientes estimaciones estimaciones de flujos de efectivo: efectivo: Inversión inicial P. P. Representa Representa el costo costo inicial inicial total de todos todos los activos activos y serviInversión inicial cios necesarios necesarios para empezar partes de estas inversioempezar la alternativa. alternativa. Cuando Cuando partes inversiovarios años, su valor valor presente presente constituye nes se llevan llevan a cabo durante durante varios constituye una inversión inicial equivalente. equivalente. Esta Esta cantidad cantidad se denota denota con P. inversión inicial

r r

e

"e r

5

t

SECCIÓN SECCIÓN 6.2 6.2

Cálculo recuperación de capital valores del Cálculo de de la recuperación capital y de valores del VA

Valor de salvamento valor terminal terminal estimado salvamento S. S. Es el valor estimado de los activos activos al final de su valor de cero si no se anticipa anticipa ningún salvamenvida útil. S tiene un valor ningún valor valor de salvamento; SS es negativo tendrá un costo negativo si la disposición disposición de los activos activos tendrá costo monetario. monetario. En periodos vida útil, S es el valor valor comercial periodos de estudio estudio más cortos cortos que la vida comercial estimaestimado o valor valor comercial comercial al final del periodo periodo de estudio. estudio. Cantidad anual A. Es la cantidad para alterCantidad anual cantidad anual equivalente equivalente (costos (costos exclusivos exclusivos para nativas entradas para para alternativas nativas de servicio; servicio; costos costos y entradas alternativas de ingresos). ingresos). A menumenuoperación anual (COA); (COA); así que la estimación estimación es, de do se trata de un costo de operación equivalente A. hecho, un valor equivalente

alternativa está conformado conformado por elementos: la El valor anual (VA) para una alternativa por dos elementos: recuperación del capital capital para la inversión inversión inicial inicial P a una interés establecida establecida recuperación una tasa de interés general la TMAR) TMAR) y la cantidad cantidad anual equivalente equivalente A. Las siglas siglas RC se emem(por lo general indicar el elemento elemento relativo capital. En forma forma de plean para indicar relativo a la recuperación recuperación del capital. ecuación, se tiene que ecuación, VA=-RC-A VA=-RC-A

[6.2]

como A son negativos negativos en virtud costos. La cantidad cantidad Tanto RC como virtud de que representan representan costos. determina a partir partir de los costos costos periódicos anual total A se determina periódicos uniformes uniformes (y posibleposiblemente ingresos) ingresos) y cantidades cantidades no periódicas. factores P/A y P/F P/F pueden mente periódicas. Los factores pueden ser necesarios para obtener, obtener, primero, primero, una cantidad cantidad presente después, el factor factor A/P necesarios presente y, después, AlP convierte esta cantidad cantidad en el valor valor A de la ecuación ecuación [6.2]. (Si la alternativa alternativa tiene que convierte proyecto de ingresos, ingresos, habrá estimaciones positivas positivas de flujos de efectivo efectivo ver con un proyecto habrá estimaciones cálculos del valor valor de A.) A.) en los cálculos recuperación de una cantidad cantidad de capital capital P comprometida comprometida para activo, La recuperación para un activo, valor del capital capital en el tiempo constituye un más el valor tiempo a una una tasa de interés interés particular, particular, constituye principio fundamental fundamental del análisis análisis económico. económico. La recuperación principio recuperación de capital capital es el anual equivalente equivalente de la posesión posesión del activo costo anual activo más el rendimiento rendimiento sobre la inver- . factor AlP A/P se utiliza utiliza para costo anual equivalente. equivalente. Si sión inicial. El factor para convertir convertir P a un costo valor de salvamento salvamento positivo positivo anticipado anticipado S al final de la vida útil del activo, hay un valor valor anual equivalente equivalente se elimina elimina mediante factor A/F costo su valor mediante el factor AlF Esto Esto reduce reduce el costo equivalente de posesión posesión del activo. Así, la RC igual a: anual equivalente Re es igual

Re = = -[P(A/P,i,n) -[P(A/P,i,n) - S(AIF,i,n)] S(AIF,i,n)] RC

[6.3]

cálculo de RC y VA se ilustra ilustra en el ejemplo ejemplo 6.2. El cálculo

EJEMPLO EJEMPLO

6.2

~:.: ..

Lockheed Martin Martin está está incrementando incrementando la fuerza fuerza de empuje adicional adicional del del motor principal de Lockheed de empuje motor principal cohetes, con con la finalidad finalidad de obtener obtener más contratos de lanzamiento lanzamiento de satélites satélites con con sus cohetes, más contratos empresas europeas europeas interesadas interesadas en inaugurar globales de de comunicaciocomunicacioempresas inaugurar nuevos nuevos mercados mercados globales nes. Se espera espera que que un equipo equipo de de rastreo rastreo colocado colocado en en tierra inversión de $13 $13 nes. tierra requiera requiera una una inversión millones, de los cuales cuales $8 millones millones se comprometen comprometen ahora, ahora, y los $5 millones millones, los restantes restantes $5 millones se gastan al final final del año año 1 del proyecto. proyecto. Se espera que que los de operación operación anuales anuales para gastan Se espera los gastos gastos de para

229

230

CAPÍTULO

6

Análisis del valor anual

el sistema comiencen a efectuarse el primer año y continúen a $0.9 millones anuales. La vida útil del rastreador es de 8 años, con un valor de salvamento de $0.5 millones. Calcule el VA para el sistema, si la TMAR actual de la corporación es de 12% anual. Solución Los flujos de efectivo (figura 6.2a) para el sistema de rastreo deben convertirse en una serie de flujos de efectivo de VA equivalente durante 8 años (figura 6.2b). (Las cantidades se expresan en unidades de $1 millón.) Los COA son de A = $-0.9 anuales, y la recuperación del capital se calcula mediante la ecuación [6.3]. El valor presente P el año O de las dos inversiones separadas de $8 y $5 se determina antes de multiplicar por el factor AlP. RC = -{[8.0 + 5.0(PlF,12%,I)](A/P,12%,8) = -{[12.46](0.2013)

n

p e

f 1

-0.5(AlF,12%,8)}

- 0.040}

:E q

= $-2.47

11

La interpretación correcta de este resultado es de gran importancia para Lockheed Martin, lo cual significa que en cada uno de los 8 años, el rendimiento total equivalente del rastreador debe ser de, por lo menos, $2470000 para recuperar justo la inversión del valor presente inicial más el rendimiento requerido del 12% anual. Esto no incluye el COA de $0.9 millones cada año. Como esta cantidad, RC = $-2.47 millones, es un costo anual equivalente, según lo indica el signo menos, el VA total se determina con la ecuación [6.2]. VA =

-

2.47 - 0.9

= $-3.37

n

millones anuales

p

Éste es el VA para todos los ciclos de vida futuros de 8 años, siempre y cuando los costos se eleven a la misma tasa de interés que la inflación; asimismo, se espera que los mismos costos y servicios se apliquen en cada uno de los ciclos de vida subsiguientes.

$0.5

o

2

1

3

4

5

6

e

d e 1

(

o

7 8

--

1

2

345

Ir----r--ll ~

$0.9

678

l l l ~l

VA=

n

a

e

s

?

s a

~ $5.0 $8.0 a)

b)

Figura 6.2 a) Diagrama

equivalente

de flujo de efectivo de los costos del rastreador (en unidades de $1 millón; ejemplo 6.2).

de satélite; b) conversión

a un VA

:E

r

e

SECCIÓN 6.3 SECCIÓN

Alternativas de evaluación evaluación mediante mediante el análisis análisis del valor valor anual anual Alternativas

Existe una segunda segunda forma, también correcta, para determinar la RC. CualquieCualquieExiste también correcta, para determinar ra de los métodos ofrece el mismo sección 2.3 se estableció estableció la métodos ofrece mismo resultado. resultado. En la sección relación entre los factores factores A/P siguiente manera: manera: relación entre AlP y A/F AlF de la siguiente (AlF,i,n) (A/F,i,n) = = (AlP,i,n) (A/P,i,n) - i

Ambos factores factores se encuentran encuentran presentes ecuación [6.3] de Re. Re. Si se sustituye sustituye Ambos presentes en la ecuación factor A/F, obtiene: el factor AlF, se obtiene:

231

I

Secc.2.3

t Factores Factores A/PyA/F A/PyA/F

RC = -{P(AlP,i,n) -{P(A/P,i,n) - S[(AlP,i,n) S[(A/P,i,n) - i]} i]} = = -[(P -[(P - S)(AlP,i,n) S)(A/P,i,n) + S(i)] S(i)]

[6.4]

lógica fundamental fundamental detrás detrás de esta fórmula. fórmula. Restar Restar S de la inversión inversión inicial inicial Hay una lógica aplicar el factor factor A/P, implica que se recuperará recuperará el valor valor de salvamento. salvamento. P antes de aplicar AlP, implica Esto reduce costo anual de propiedad embargo, el hecho Esto reduce la RC, el costo propiedad del activo. Sin embargo, hecho de queda compensado compensado cargando cargando el que S no se recupere recupere hasta hasta el año n de la posesión posesión queda interés anual S(i) S(i) a la RC. Re. interés ejemplo 6.2, la aplicación aplicación de esta segunda segunda técnica técnica para calcular la RC da En el ejemplo para calcular como resultado resultado el mismo mismo valor. como

RC = -{[8.0 -{ [8.0 + 5.0(P/F,12%,1) 5.0(P/F,12%,1) - 0.5](AlP,12%,8) 0.5](A/P,12%,8) + 0.5(0.12)} 0.5(0.12)}

= -{ -{ [12.46 =

0.5](0.2013) + 0.06} 0.5](0.2013)

= $-2.47 $-2.47 =

A pesar cualquier fórmula fórmula de RC da como como resultado resultado la misma misma cantidad, cantidad, es pesar de que cualquier mejor aplicar aplicar consistentemente consistentemente el mismo mismo método. método. En esta obra obra emplearemos emplearemos el mejor primer método (ecuación (ecuación [6.3]). primer método Para obtener obtener la solución solución por computadora, computadora, se emplea emplea la función Para función PAGO para para determinar exclusivamente la RC en una sola celda celda de la hoja hoja de cálculo. cálculo. La funfundeterminar exclusivamente general PAGO(i%,n,P,F) PAGO(i%,n,P,F) se vuelve vuelve a escribir escribir usando inversión inicial, inicial, como como ción general usando la inversión P y -S, -S, para valor de salvamento. salvamento. El formato formato es el siguiente: siguiente: para el valor PAGO(i%,n,P,-S) PAGO(i%,Il,P,-S) Sol-R Sol-R

Como Como ejemplo, ejemplo, determine determine el valor valor de la RC en el caso del ejemplo ejemplo 6.2 exclusivaexclusivamente. Como Como la inversión inversión inicial inicial se distribuye distribuye a lo largo de 2 años ($8 millones millones el año O Oyy $5 millones millones el año 1), la función función VP se inserta inserta en PAGO para determinar el para determinar equivalente P para O.La función completa completa para cantidad RC excluexclucosto equivalente para el año O. La función para la cantidad sivamente (en unidades PAGO(l2%,8,8+VP(l2%,1,-5),-O.5), sivamente unidades de $1 millón) es PAGO(l2%,8,8+VP(l2%, 1,-5),-0.5), donde insertado la función función VP indicada indicada con itálicas. itálicas. La respuesta, $-2.47 millones, millones, se ha insertado respuesta, $-2.47 aparecerá en la celda celda de la hoja cálculo. aparecerá hoja de cálculo. 6.3 6.3

ALTERNATIVAS EVALUACiÓN MEDIANTE MEDIANTE EL ANÁLISIS ALTERNATIVAS DE EVALUACiÓN ANÁLISIS DEL VALOR VALOR ANUAL ANUAL

El método método del valor valor anual por lo común común es la técnica técnica de evaluación evaluación más sencilla sencilla de llevar posee el menor llevar a cabo cabo cuando cuando se especifica especifica la TMAR. TMAR. La alternativa alternativa elegida elegida posee menor costo costo anual equivalente equivalente (alternativas (alternativas de servicio) servicio) o el mayor mayor ingreso ingreso equivalente equivalente

I

232

CAPÍTULO CAPÍTULO 6

Análisis Análisis del del valor valor anual anual

(alternativas ingresos). Esto implica implica que las directrices directrices de elección elección son las mis(alternativas de ingresos). mas que en el caso del método salvo que se emplea emplea el VA. método del VP, salvo Para alternativas exclusivas, calcule usando la TMAR. Para alternativas mutuamente mutuamente exclusivas, calcule el VA usando TMAR. Una alternativa: VA 2:: TMAR se alcanza alcanza o se rebasa. rebasa. 2: 0, la TMAR Una alternativa: mínimo o el ingreso ingreso máximo Dos o más más alternativas: alternativas: se elige el costo mínimo máximo reflejados en el valor (numéricamente más más grande). grande). reflejados valor VA (numéricamente resulta aceptable para una alternativa, Si en la sección sección 6.1 un supuesto supuesto no resulta aceptable para alternativa, se debe aplicar periodo de estudio. Después las estimaciones aplicar un análisis análisis de periodo estudio. Después estimaciones de flujos de efectivo periodo de estudio Este efectivo a lo largo del periodo estudio se convierten convierten en cantidades cantidades de VA. Este hecho ejemplo 6.4. hecho se ilustrará ilustrará más tarde tarde en el ejemplo EJEMPLO EJEMPLO

6.3

':"

f

PizzaRush, que que se encuentra encuentra ubicada ubicada en en el área área general general de de Los Los Ángeles, Ángeles, le le va va bastante A PizzaRush, bastante bien en en la competencia competencia que que tiene tiene que que ver ver con con ofrecer ofrecer un servicio de entrega entrega rápida. rápida. MuMubien servicio de chos chos estudiantes estudiantes de de las las universidades universidades del del área área trabajan trabajan de de tiempo tiempo parcial parcial entregando entregando órdeórdenes solicitadas por la la red red en en PizzaRush.com. PizzaRush.com. El El dueño, dueño, un ingeniero ingeniero graduado graduado en en sistemas nes solicitadas por sistemas y programas programas de computación computación en en la la Universidad Universidad del del Sur de California, California, tiene tiene planes de Sur de planes de comprar sistemas portátiles con el objetivo comprar e instalar instalar cinco cinco sistemas portátiles para para automóvil automóvil con objetivo de de incrementar incrementar la entrega. Los sistemas ofrecen un vínculo la velocidad velocidad y la la precisión precisión de de entrega. Los sistemas ofrecen un vínculo entre entre el programa programa de colocación colocación de de la la orden orden en en la red red y el sistema On-Star©(para (para las las direcciones direcciones generadas generadas de sistema On-Star? por para cualquier cualquier domicilio domicilio en en el área área de de Los Los Ángeles). Ángeles). El El resultado resultado que que se espera por satélite satélite para espera consiste en en lograr lograr un un servicio más rápido rápido y amable amable para para el el cliente, cliente, además además de de mayores mayores consiste servicio más rendimientos para PizzaRush. PizzaRush. rendimientos para Cada sistema sistema tiene tiene un un costo costo de 4 600 dólares, con con una una vida útil de 5 años años y se estima estima Cada 600 dólares, vida útil un salvamento de $300. El El costo sistemas es de un valor valor de salvamento de $300. costo total total de de operación operación de de todos todos los los sistemas de $650 para el primer primer año, año, los los cuales cuales se incrementan en $50 anuales en en lo sucesivo. La TMAR TMAR $650 para incrementan en $50 anuales sucesivo. La de 10%. Lleve a cabo cabo una una evaluación evaluación del del valor valor anual anual para para responder responder las las siguientes prees de 10%. Lleve siguientes preguntas del del dueño. dueño. Obtenga Obtenga la solución mano y por por computadora, computadora, como como se indica. indica. guntas solución a mano a) a) b) b)

e)

¿De cuánto necesario para ¿De cuánto es el ingreso ingreso nuevo nuevo anual anual necesario para recuperar recuperar la inversión, inversión, con con una una TMAR de de 10% anual? Obtenga Obtenga dicho dicho valor valor tanto tanto a mano mano como como con con computadora. computadora. TMAR 10% anual? El propietario propietario estima estima conservadoramente conservadoramente un un incremento incremento en los los ingresos ingresos de de $1 200 200 anuales para para los los cinco cinco sistemas. viable financieramente proyecto desde desde el punpunanuales sistemas. ¿Es ¿Es viable financieramente el proyecto de vista vista de de la la TMAR? TMAR? Resuelva Resuelva el problema problema a mano mano y por por computadora. computadora. to de Con base base en en la respuesta respuesta del del inciso inciso b), b) , use use la la computadora computadora para para determinar determinar cuál cuál es es el Con ingreso nuevo Rush para proyecto se justifique ingreso nuevo que que debe debe tener tener Pizza Pizza Rush para que que el proyecto justifique en en el aspecaspecto económico. costos de económico. Los Los costos de operación operación continúan continúan tal como como se estimaron. estimaron.

Solución mano Solución a mano a) y b) Los Los valores valores de de RC RC y VA responderán responderán estas estas dos dos preguntas. La figura el preguntas. La figura 6.3 6.3 muestra muestra el flujo de efectivo para los los cinco para calcular flujo de efectivo para cinco sistemas. sistemas. Aplique Aplique la ecuación ecuación [6.3] [6.3] para calcular la recurecuperación de de capital peración capital al 10%. 10%. RC 5(4 600)(A/P,IO%,5) 600)(A/P, 10%,5) - 5(300)(AlF,10%,5) 5(300)(A/F, 10%,5) RC ==5(4 = $5822 $5822 La viabilidad financiera sin calcular La viabilidad financiera puede puede determinarse determinarse sin calcular el el VA. Los Los $1 200 200 de nuevos nuevos ingresos son sustancialmente sustancialmente inferiores 822, que ingresos son inferiores a la la RC RC de $5 822, que aún aún no no incluye incluye los los costos costos

SECCIÓN 6.3

Alternativas

de evaluación

Figura 6.3

$1500

t

$1200

O

2

3

4

233

mediante el análisis del valor anual

Diagrama de flujo de efectivo para calcular VA (ejemplo 6.3).

5

$650 $700 $750 $800 $850 $23000

anuales. En efecto, la compra no está justificada económicamente. No obstante, para completar el análisis, hay que determinar el VA. Los costos anuales de operación e ingresos forman una serie con gradiente aritmético con una base de $55.0 el año 1, Y una reducción de $5.0 anuales durante 5 años. La fórmula del VA es: VA::: -recuperación del capital + ingreso neto equivalente :::-5822

+ 55.0 - 5.o(A/G,1O%,5)

::: $-5 362 Éste es el monto neto equivalente del año 5 para-recuperar la inversión y los costos de operación estimados al 1.0% anual de rendimientos. Así se demuestra, de nuevo, que definitivamente la alternativa no es viable desde un punto de vista financiero a la TMAR ::: 10%. Observe que los $1 2.0.0 anuales adicionales de ingresos estimados, compensados por los costos de operación, redujeron el monto anual requerido de $5 822 a $5 362. Solución por computadora La hoja de cálculo (figura 6.4) muestra los flujos de efectivo para la inversión, los costos de operación y el ingreso anual en columnas diferentes. Las funciones tienen un formato variable global para que el análisis de sensibilidad se lleve a cabo con mayor rapidez. a) y b) El valor de la recuperación del capital de $5,822 aparece en la celda B7, que se determina por medio de una función PAGO con una función incorporada VPN. Las celdas C7 y D7 también utilizan la función PAGO para determinar el equivalente anual de los costos e ingresos, de nuevo con una función VPN incorporada. La celda Fll presenta la respuesta final de VA = $-5,362, que es la suma de los tres componentes de VA en la fila 7. e) Para calcular el ingreso (columna D) necesario para justificar el proyecto, debe aparecer el valor de VA ::: $.0 en la celda Fll. Otras estimaciones conservan el mismo valor. Como todos los ingresos anuales de la columna D reciben su valor de la celda B4, hay que cambiar la entrada en B4 hasta que en Fll aparezca '$.0' lo cual ocurre en $6,562. (Estas cantidades no aparecen en las celdas B4 y Fll de la figura 6.4.) El dueño de PizzaRush tendría que incrementar el valor estimado del ingreso adicional, para el nuevo sistema, de $1,2.0.0 a $6,562 anuales para obtener rendimientos de 1.0%. Se trata de un incremento sustancial.

~

Sol-E

234 234

CAPÍTULO 6 CAPÍTULO

Análisis del del valor anual Análisis valor anual

Figura 6.4 Figura 6.4 Solución en [ejemplo 6.3 Solución en hoja hoja de de cálculo cálculo [ejemplo 6.3 a) y b)]. b)].

EJEMPLO EJEMPLO

6.4

: En el ejemplo ejemplo 5.12, el análisis análisis del del VP VP se llevó llevó a cabo cabo a) a) sobre MCM de 24 años años y b) En sobre el MCM sobre un planes para Southeastern Cement, sobre un periodo periodo de de estudio estudio de de 6 años. años. Compare Compare los los dos dos planes para Southeastern Cement, La TMAR TMAR es de de 15%. Resuelva Resuelva bajo las las mismas mismas condiciones condiciones aplicando aplicando el método método de de VA. La bajo por computadora. computadora. a mano mano y por Solución mano Solución a mano a) Aun Aun cuando cuando los los dos dos elementos elementos que que componen componen el el plan plan A, las las máquinas máquinas para para movimovimiento los adaptadores adaptadores de de descarga, descarga, tienen tienen diferentes diferentes vidas, vidas, el el análisis análisis de miento de de tierras tierras y los VA se lleva solo ciclo lleva a cabo cabo para para un un solo ciclo de de vida vida de de cada cada componente. componente. Cada Cada VA se encuentra encuentra formado formado por por la RC RC más más el el costo costo de de operación operación anual. anual. Apliquemos Apliquemos la la ecuaecuación para determinar determinar el monto monto de de Re. Re. ción [6.3] para VAAA = = RCmáquinas RCmáquinas + RCadaptadOr RCadaptador + COAmáquinas COAmáquinas + COAadaptador COAadaptador

== ==$-19 $-19 328 RCadaptadOr = -28 000(AlP,15%,12) + 2 000(AlF,15%,12) 000(AlF,15%,12) = = $-5096 $-5096 RCadaptador = -28 000(AlP,15%,12) RCmáquinas OOO(AlP,15%,8) 15%,8) + 10 000(AlF,15%,8) 000(AlF,15%,8) RCmáquinas -90 -90 OOO(AlP,

COA $-12 000 - 300 = $-12 $-12 300 COAAA total total = $-12

SECCIÓN SECCIÓN 6.3

235 235

Alternativas Alternativas de evaluación evaluación mediante mediante el análisis análisis del del valor valor anual anual

El VA total total para para cada cada plan plan es: VAA = -19 300 = $-36 $-36 724 724 -19 328 328 - 5096 5096 - 12 300 VAB = RC"ansp RCtran,portador COA,ran,porlador VAs ortador + COAtransp ortador -175 000(A/p,15 000(Alp,15%,24) 000(AlF,15%,24) $-29 646 646 = -175 %,24) + 10 000(A/F,15 %,24) - 22500 500 = $-29

b)

Elijaa el plan plan B, B, la misma misma decisión decisión que que la del del análisis análisis VP. Elij En con n = 6 en En el caso caso del del periodo periodo de estudio, estudio, efectúe efectúe el mismo mismo análisis análisis con en todos todos los los factores, factores, después después de actualizar actualizar los los valores valores de salvamento salvamento con con los valores valores residuales. residuales. RCmáquinas = -90 -90 000(A/P,15%,6) 000(AlP,15%,6) + 40 000(A/F, 000(AlF,15%,6) = $-19 $-19 212 212 RCmáquinas = 15%,6) = RCtransportador = 15%,6) + 2 OOO(A/F, 15%,6) = RCtran,portador = -28 -28 OOO(A/P, 000(AlP,15%,6) 000(AlF,15%,6) = $-7 $-7 170 170 VAAA = -19 38 682 -19 212 212 -7 -7 l70 l70 - 12300 12300 = $$-38 682

sportador + COAtransportador VAs VAB== RCtran RCtran,portador COAtransportador = -l75 %,6) - 2500 2500 -l75 000(A/P,15%,6) 000(AlP,15%,6) + 25 000(A/F,15 000(AlF,15%,6) $-45 886 886 = $-45

Ahora, Ahora, elija elija el plan plan A porque porque su VA de costos costos es menor. menor. Comentario Comentario Existe Existe una una relación relación fundamental fundamental entre entre los los valores valores VPy VPy VA del inciso inciso a). a). Como Como lo indica indica la ecuación tiene el VP ecuación [6.1] [6.1],, si se tiene VP de cierto cierto plan, plan, el VA se determina determina calculando calculando VA = VP(A/ VP(AI P,i,n); o si se tiene P,i,n); tiene VA, entonces entonces VP VP = VA(P/A,i,n). VA(P/A,i,n). Para Para obtener obtener el valor valor correcto, correcto, debe debe que el VP utilizarse utilizarse el MCM MCM en todos todos los los valores valores de n, en en virtud virtud de que el método método de evaluación evaluación VP una comparadebe debe aplicarse aplicarse durante durante un un periodo periodo igual igual en cada cada alternativa, alternativa, para para asegurar asegurar una comparación de servicio servicio igual. igual. Los Los valores valores VP, tomando tomando en en cuenta cuenta el redondeo, redondeo, son son los los mismos mismos ción que que los los determinados determinados en en el ejemplo ejemplo 5.12, 5.12, figura figura 5.9.

VP (PIA ,15%,24) = $-236 VP A = VAAA(PIA,15%,24) $-236 275 275 VPBs = VABB(PIA,15%,24) $-190 736 VP (PIA ,15%,24) = $190736 Solución por por computadora Solución computadora a) Véase Véase la figura figura 6.5a. Ésta Ésta cuenta cuenta exactamente exactamente con con el mismo mismo formato formato que que el que que se empleó empleó en en el caso caso de la evaluación evaluación de VP VP sobre sobre el MCM MCM de 24 años años (figura (figura 5.9), 5.9), para un ciclo de vida, y que salvo flujos de efectivo para salvo que que aquí aquí aparecen aparecen los flujos que las las funciofunciones funciones " PA nes VPN VPN localizadas localizadas en en los encabezados encabezados de cada cada columna columna ahora ahora son son funciones" PAGO GO"" con lafunción lafuncián VPN incorporada. Las Las etiquetas etiquetas de las las celdas celdas indican indican dos dos de las las funciofunciones PAGO, PAGO, donde donde el signo signo menos menos al principio principio garantiza garantiza que que el resultado costo nes resultado es un costo parte inferior en el VA (valor (valor anual) anual) total total de cada cada plan plan (celdas (celdas H19 H19 y H22). H22). (La (La parte inferior de la hoja de cálculo cálculo no aparece. aparece. El El plan plan B continúa continúa toda toda su vida vida con con el valor valor de salvamento salvamento hoja $10,000 $10,000 en en el año año 24, 24, y el costo costo anual anual de $2,500 $2,500 continúa continúa hasta hasta el año año 24.) 24.) Los valores RC Los valores RC y VA (valor (valor anual) anual) obtenidos obtenidos aquí aquí son son los los mismos mismos que que los los que que arrojó la solución solución a mano. mano. Se Se elige elige el plan plan B. arrojó

b)

PlanA: PlanA:

RCmáquinas= $-19,328 RCmáquin as= $-19,328 VAAA = $-36,725 $-36,725

Plan Plan B:

RC,ran,portador= $-27,146 RCtransportador= $-27,146

(en (en B8) B8) (en H19) H19) (en (en F8) F8)

RCadaptador= 5,097(en D8) RCadaptador=$$-5,097(en D8) VABB = $29,646 (en (en H22) $-29,646 H22)

En En la figura figura 6.5b, las las vidas vidas se reducen reducen para para el periodo periodo de estudio estudio de 6 años. años. Los Los valores valores residuales residuales estimados estimados el año año 6 se introducen introducen (16 (16 celdas celdas del del renglón) renglón) y se eHeli-

~ ~ Sol-E Sol-E

236

CAPÍTULO 6 CAPÍTULO

Figura 6.5 6.5 Figura Solución en en hoja boja de Solución cálculo donde donde se utiliza cálculo utiliza una comparación comparación del del VA una (valor anual) anual) de dos dos (valor alternativas: a) un ciclo ciclo alternativas: vida; b) un periodo periodo de de vida; estudio de 6 años años estudio (ejemplo 6.4). 6.4). (ejemplo

X Microsoft

Análisis del del valor valor anual anual Análisis

1Ir;:;¡ El

Exce!

d

I

J

t a)

a e e

Listo Listo

X

MI CfOSOft

Excel

~

\

Rm El

I

b)

LiSIo Listo

minan todas todas las las cantidades cantidades COA COA más más allá allá de 6 años. años. Cuando Cuando el valor n en minan el valor en cada cada funfunción PAGO PAGO se ajusta ajusta de 24 años años a 6 en cada cada caso, caso, aparecen ción de 8, 12 o 24 aparecen nuevos nuevos valores valores RC, las celdas celdas D20 D20 y D21 exhiben exhiben los los nuevos nuevos valores valores VA. Ahora RC, y las Ahora se elige elige el el plan plan A, A, ya que que éste éste incluye incluye un VA de costos menor. menor. Este Este resultado resultado es el mismo ya de costos mismo que que el el que que se obtiene en el análisis análisis VP VP de la figura figura 5.10 5.10 para para el ejemplo ejemplo 5.12b. obtiene 5.12b.

SECCIÓN 6.4 SECCIÓN 6.4

VA (valor (valor anual) anual) de una una inversión inversión permanente permanente

Si los proyectos proyectos son independientes, independientes, se calcula calcula el valor valor de VA(valor VA (valor anual) anual) usanusando la TMAR. satisfacen la relación TMAR. Todos los proyectos proyectos que satisfacen relación VA 2:: 2:: O son aceptables. aceptables. 6.4 6.4

VA (VALOR ANUAL) UNA INVERSiÓN INVERSiÓN PERMANENTE PERMANENTE VA (VALOR ANUAL) DE UNA

En esta sección sección se estudia estudia el valor anual equivalente equivalente del costo costo capitalizado. capitalizado. La valor anual evaluación de proyectos sector público, como control control de inundaciones, inundaciones, canales canales evaluación proyectos del sector público, como riego, puentes escala, exigen exigen la comparación comparación de alternaalternade riego, puentes y otros proyectos proyectos a gran escala, tivas con vidas vidas de tal duración duración que podrían podrían considerarse considerarse infinitas infinitas en términos términos del análisis económico. económico. En este tipo de análisis, análisis, el valor análisis valor anual de la inversión inversión inicial inicial constituye el interés anual perpetuo sobre la inversión = constituye interés anual perpetuo ganado ganado sobre inversión inicial, inicial, es decir, A = Pi, la ecuación ecuación 5.3; sin embargo, embargo, el valor valor A también también es el monto monto de la recuperación recuperación de capital. (Esta misma fórmula se utilizará capital. (Esta misma fórmula utilizará nuevamente nuevamente cuando cuando se estudien estudien las razones razones beneficio/costo.) beneficio/costo.) Los flujos efectivo periódicos flujos de efectivo periódicos a intervalos intervalos regulares regulares o irregulares irregulares se manemanejan exactamente como jan exactamente como en los cálculos cálculos convencionales convencionales del VA; se convierten convierten a cantidades anuales uniformes equivalentes A para tidades anuales uniformes equivalentes para un ciclo. Esta Esta operación operación los anualiza anualiza automáticamente subsiguiente, según según se estudió estudió en la secautomáticamente para para cada cada ciclo de vida subsiguiente, ción 6.1.. Se suman suman los valores Re para ción 6.1 valores de A a la cantidad cantidad Re para determinar determinar el VA total, como ecuación [6.2]. como en la ecuación EJEMPLO EJEMPLO

6.5

"[' '7"J"

La propuestas para La Oficina Oficina de de Reciclaje Reciclaje de Estados Estados Unidos Unidos considera considera tres tres propuestas para incrementar incrementar la la capacidad capacidad del del canal canal de de desagüe desagüe principal, principal, en en una una región región agrícola agrícola de Nebraska. Nebraska. La La propropuesta sedimento y la puesta A A requiere requiere el dragado dragado del del canal, canal, con con el propósito propósito de remover remover el sedimento la maleza maleza acumulada acumulada durante durante los los años años anteriores anteriores de la operación. operación. La La capacidad capacidad del del canal canal tendrá tendrá que que mantenerse mantenerse en el futuro futuro cerca cerca del del flujo flujo máximo máximo para para el que que fue fue diseñado, diseñado, como como consecuencia consecuencia del del incremento incremento de la la demanda demanda de agua. agua. La La Oficina Oficina tiene tiene planes planes de comprar comprar equipo $650 000. Se espera equipo de dragado dragado y accesorios accesorios con con un un valor valor de de $650 000. Se espera que que el equipo equipo tenga tenga una salvamento de $17 000. Se estima una vida vida de 10 años años con con un valor valor de de salvamento de $17 000. Se estima que que los los costos costos anuales serán de un $50 000. anuales de operación operación serán un total total de de $50 000. Para Para controlar controlar la la maleza maleza en en el el canal canal y las Se las orillas, orillas, se rociarán rociarán herbicidas herbicidas que que no dañan dañan el medio medio durante durante la temporada temporada de de riego. riego. Se espera $120 000. espera que que el programa programa de control control de de maleza maleza tenga tenga un un costo costo anual anual de $120 000. La La propuesta propuesta B consiste consiste en en recubrir recubrir el canal canal con con concreto, concreto, lo cual cual tendrá tendrá un un costo costo inicial $4 millones. millones. Se Se supone supone que será permanente, inicial de $4 que el el recubrimiento recubrimiento será permanente, aunque aunque habrá habrá necesidad necesidad de de un un mantenimiento mantenimiento mínimo mínimo cada cada año año a un un costo costo de de $5 000. 000. Además, Además, se harán harán reparaciones recubrimiento cada $30 000. reparaciones del del recubrimiento cada 5 años años a un costo costo de de $30 000. La La propuesta propuesta C consiste consiste en en instalar instalar una una nueva nueva tubería tubería por por una una ruta ruta distinta. distinta. Los Los cálcucálculos son son los siguientes: un costo $6 millones; los los siguientes: costo inicial inicial de de $6 millones; $3 000 000 de de mantenimiento mantenimiento anual anual para el derecho derecho de paso paso y una una vida vida de de 50 50 años. años. para Compare sobre la Compare las las alternativas alternativas sobre la base base del del valor valor anual, anual, utilizando utilizando una una tasa tasa de de interés interés de de 5% 5% anual. anual. Solución Solución Ya que permanente, se calcula que se trata trata de de una una inversión inversión para para un proyecto proyecto permanente, calcula el VA para para un un ciclo ciclo de todos todos los los costos costos recurrentes. recurrentes. Para Para las las propuestas propuestas A y C, C, los los valores valores de RC RC se

237

238 238

CAPÍTULO 6 Análisis del valor anual

determinan con nA nc= 50, propuesdeterminan con la ecuación [6.3], [6.3],con nA = 10 10 Y Ync= 50, respectivamente. respectivamente. Para la propuesta B, RC es sencillamente sencillamente igual a P(i). P(i).

Propuesta A Propuesta RC del equipo de dragado: -650 -650 000(AlP,5%,IO) 000(AlP,5%,1O) + 17 17 000(AlF,5%,IO) 000(AlF,5%,1O) Costo anual del dragado Costo anual del control de maleza Propuesta B Propuesta -4000000(0.05) RC de la inversión inicial: -4000000(0.05) Costo de mantenimiento mantenimiento anual Costo de reparación del recubrimiento: recubrimiento: -30 -30000 (AIF,5%,5) 000 (AIF,5%,5) Propuesta e Propuesta RC de la tubería: -6 -6 000 000 000(AlP,5%,50) 000(AlP,5%,50) Costo de mantenimiento mantenimiento anual:

s

$ -82824 -82824 -50000 -50000 -120000 -120000 $ -252824 -252824 $ -200000 -200000 -5000 -5000 -5429 -5429 -210 429 $ -328680 -328680 -3000 -3000 $ -331680 -331680

Se elige la propuesta propuesta B como resultado de que su VA VA de costos es el menor. Comentario Comentario reparación del recubrimiento recubrimiento en la propuespropuesObserve el uso del factor AlP AlP para el costo de reparación reparación AlF en lugar del factor AlP, AlP, en vista de que el costo de reparación ta B. Se aplica el factor AlF del recubrimiento recubrimiento empieza el año 5, no el año O, y continúa continúa indefinidamente indefinidamente a intervalos intervalos de 5 años. 000, Si la vida de 50 años de la propuesta C se considera considera infinita, RC = P(i) P(i) = $-300 000, 680 para n = 50. 50. Ésta es una diferencia diferencia económica económica pequeña. La forma en lugar de $-328 680 en que se consideren desde el punto de vista económico económico las vidas prolongadas prolongadas de 40 años o más constituye constituye una cuestión de práctica local. local.

Una ingeniera de Becker Consulting recibe un bono de $10 000. 000. Si hace un depósito depósito ahora a una tasa de interés de 8% anual, ¿cuántos años debe acumularse el dinero antes de $2 000 anuales por siempre? Utilice Utilice una computadora computadora para determidetermique ella pueda retirar $2 nar la respuesta. Solución Solución por por computadora computadora calcular La figura 6.6 muestra el diagrama de flujo de efectivo. El primer paso consiste en calcular el monto total, P,,, que debe acumularse hasta el año n, n, exactamente exactamente un año antes del $2 000. 000. Es decir, primer retiro de la serie perpetua anual A = $2

Ufi fIi Sol-R

P =~ ~ = 2 000 000 = $25 $25 000 000 i 0.8 "n 0.8

Utilícese la función NPER en una celda para determinar determinar cuándo el depósito inicial de Utilícese $10,000 se convertirá convertirá en $25,000 $25,000 (figura 6.7, 6.7, celda B4). B4). La respuesta respuesta es 11.91 11.91años. años. Si la $10,000

SECCIÓN 6.4

239

VA VA (valor anual) de una inversión inversión permanente permanente

$2000

o

1 1 +1-00

2 n-In = ? 01-_+-_2+----iI-_n--!-_1 _n,=I-?_t-_+-_-t----! ~--+---~--~ ~--~---1r---+---~--~--~J~(---t---;--~.~oo

$10 $10 000

= ?. p n =?

Figura Figura 6.6 6.6 Diagrama para determinar para un un retiro retiro perpetuo perpetuo (ejemplo Diagrama para determinar n para (ejemplo 6.6). 6.6).

ingeniera deja el dinero en la cuenta cuenta 12 años y si cada año gana un 8% de intereses, asegura por siempre los $2,000 anuales. La figura 6.7 también muestra una solución más general en hoja de cálculo en las celdas B7 a B 11. propósito de recibir 11. La celda B 10 determina la suma acumulada acumulada con el propósito cualquier cualquier cantidad (celda B9) siempre al 8% (celda B7), y B 11 11 incluye la función NPER formulada formulada en formato de referencia a celdas, para cualquier cualquier tasa de interés, depósito y cantidad acumulada.

~

~SolE Sol-E _ i5'

B

e

i-------~-------------t_-_r___;

=NPER(8%"-1 0000,25000)

---- ... -... -.-.--.-.--. .. -.... -... -.... -..... --..... -..--..... -..--..•...• ----V---.---.- ... -...-j-------.-.----.·--·+····-·······················-·-1 .. .-..-.-.-.-. .-.... -.-...1--......;.....;...;.;;-4-.-.-------.- ..--.-+----.- ..-.-----. -+··-·-··-·-·····-·--·--·-----·1

._ _._._-----_._--_. __._---_._-_.

8% $10,000 $2,000 __.__ ._-------_.1/--.-.$25,00

- =B91B7 - -

+..-

-+ - --..-- ..-.-:

Listo

Figura Figura 6.7 Dos soluciones hoja de para determinar valor de Dos soluciones en en hoja de cálculo cálculo para determinar el valor de n aplicando aplicando la función función NPER (ejemplo (ejemplo 6.6). 6.6).

240 240

CAPÍTULO CAPÍTULO 6

Análisis del valor anual Análisis del valor anual

RESUMEN DEL CAPíTULO CAPíTULO RESUMEN

El método método del valor valor anual para para comparar menudo se prefiere prefiere sobre comparar alternativas alternativas a menudo sobre el método presente, ya que la comparación método del valor valor presente, comparación del VA tiene que ver con un solo ciclo ciclo de vida. Ésta Ésta es una ventaja ventaja diferente diferente cuando cuando se comparan comparan alternativas alternativas de vida distintas. para el primer primer ciclo para el segundo, distintas. El VA para ciclo de vida es el VA para segundo, tercero tercero y todos los ciclos ciclos de vida sucesivos, sucesivos, bajo ciertos ciertos supuestos. supuestos. Cuando Cuando se especifica especifica un periodo relaciona con dicho periodo de estudio, estudio, el cálculo cálculo del VA se relaciona dicho periodo, periodo, independienindependientemente de las vidas de las alternativas. alternativas. Como Como en el caso del método temente método del valor valor presente, el valor valor que queda periodo de estudio presente, queda de una alternativa alternativa al final del periodo estudio se reconoce calculando un valor valor comercial. comercial. reconoce calculando En el caso de las alternativas perpetuidad, el costo alternativas de vida a perpetuidad, costo inicial inicial se anualiza anualiza multiplicando trata de alternativas multiplicando sencillamente sencillamente P por i. Si se trata alternativas de vida finita, finita, el VA a través vida es igual al valor valor anual anual equivalente perpetuo. través de un ciclo ciclo de vida equivalente perpetuo.

PROBLEMAS PROBLEMAS 6.1

Suponga que una alternativa alternativa tiene 3 años Suponga calculó su valor de vida y que usted usted calculó valor anual durante este ciclo ciclo de vida. Si se le pidiera durante pidiera que proporcionara proporcionara el valor valor anual de la mispara un periodo periodo de estudio ma alternativa alternativa para estudio valor anual de 4 años, años, la estimación estimación del valor anual calculado para la alternativa vida de 3 calculado para alternativa con vida años, ¿sería válida para el periodo periodo de estudio de 4 años? ¿Sí ¿Sí o no? ¿Por ¿Por qué?

6.2 La máquina A tiene una vida de 3 años sin valor de rescate y suponga que el servicio que proporciona sería de solo 5 años. La alternatiproporciona máquina y va A implica volver a comprar la máquina conservarla durante 2 años únicamente. únicamente. ¿¿Cuál Cuál tendría que ser su valor de rescate después de 2 años para que su valor anual fuera el mismo con el ciclo de vida de 3 años y una tasa de interés de 10% anual? Año Año O o 1 2 3 4 5

Alternativa A, $ Alternativa -10 000 000 -7000 -7000 -7000 -7000 -7000

Alternativa B, Alternativa B, $ -20000 - 5000 -5000 -5000 -5000 -5000 -5000 -5000

Comparación de alternativas alternativas Comparación

6.3

Una empresa de consultoría consultoría en ingeniería ingeniería Una empresa estudia para sus diestudia dos modelos modelos de SUV para rectivos. El de la marca marca General rectivos. General Motors Motors tendrá un costo inicial de $26 000, tendrá costo inicial 000, uno de operación rescate operación de $2 000, 000, y un valor valor de rescate de $12 000 después de 3 años. Por otra parte, después el fabricado por Ford tendría un costo inicial fabricado tendría inicial de $29 000, uno de operación operación de $1 200, reventa de $15 000 una vez Y un valor de reventa transcurridos transcurridos 3 años. Con una tasa de interés interés de 15% anual, ¿cuál ¿cuál modelo modelo debe comprar comprar la compañía? compañía? Haga Haga un análisis análisis del valor valor anual.

6.4

Para Para desalojar desalojar los sedimentos sedimentos del agua, agua, una compañía compañía textil textil grande grande trata trata de decidir decidir cuál proceso proceso debe usar después debe usar después de la operaoperación de secado. secado. A continuación continuación se muestra muestra el costo costo asociado asociado con los sistemas sistemas de cencentrifugación banda compresora. trifugación y banda compresora. ComCompárelas sobre base de sus valores valores anuapárelas sobre la base anuales con el empleo empleo de una tasa de 10% por año.

PROBLEMAS PROBLEMAS

Costo Costo inicial inicial, , $ Costo Costo de operación operación anual, anual, $/año $/año Reparación Reparación mayor mayor en el año año 2, $ Valor de rescate, Valor rescate, $ Vida, Vida, años años

6.5

6.6

Centrífuga Centrífuga

Banda compresora compresora

-250000 -250000 -31000 -31000

--170000 170000 -35000 -35000

presión presión del agua agua alrededor alrededor del molde molde y de los productos productos químicos químicos involucrados involucrados en el proceso. proceso. El costo costo inicial inicial de la maquinaria quinaria para para el molde molde flotante flotante sólo es de $25 000, pero debido debido a la novedad novedad del propronostica que los costos costos de perceso, se pronostica sonal sonal y rechazo rechazo del producto producto sean mayores mayores que los del proceso proceso convencional. convencional. La comcompañía supone pañía supone que los costos costos de operación operación serán de $45 000 000 mensuales mensuales durante durante los serán primeros primeros 8 meses, meses, y que después después dismidisminuirán nuirán en $10 000 por mes de entonces entonces en adelante. adelante. Con este este plan no habría habría valor valor de rescate. rescate. Con una tasa de interés interés del 12% anual, mensual, ¿cuál anual, con capitalización capitalización mensual, ¿cuál proceso proceso debe debe seleccionar seleccionar la empresa empresa de acuerdo acuerdo con el análisis análisis del valor valor anual, para para un periodo periodo de estudio estudio de 3 años?

-26000 -26000 40000 40000 6

10000 10000 4

Un ingeniero ingeniero químico químico estudia estudia dos calibres calibres de tubería tubería para para transportar transportar productos productos destilados tilados de una refinería refinería al tanque tanque de una granja. granja. La compra compra de un tubo tubo delgado delgado costaría costaría menos (incluyendo (incluyendo las válvulas válvulas y otros accesorios) accesorios) pero tendría tendría una elevada elevada pérdida pérdida por fricción y, y, por lo tanto, un mayor mayor costo costo de bombeo. bombeo. Una Una tubería tubería con estas características costaría costaría $1.7 millones millones una vez racterísticas instalada instalada y tendría tendría un costo costo de operación operación de $12 000 por mes. Otra de mayor mayor diámediámetro costaría costaría $2.1 millones millones ya instalada, instalada, pero su costo costo de operación operación sería únicamente únicamente de $8000 $8000 por mes. ¿Qué calibre calibre de tubo es más económico, económico, con una tasa de interés interés de 1% mensual, mensual, según según el análisis análisis del valor valor anual? Suponga Suponga que el valor valor de rescate rescate es el 10% del costo costo inicial inicial para cada cada tubo al final del periodo periodo de 10 años del proyecto. proyecto. Polymer Molding, Inc. lnc. estudia Polymer Molding, estudia dos proceprocesos para para manufacturar manufacturar drenes de tormentas. tormentas. El plan A involucra involucra el moldeo moldeo por inyección inyección convencional, convencional, lo cual costaría costaría $2 millones millones porque requiere requiere elaborar elaborar un molde molde de acero. porque Se espera espera que el costo costo de la inspección, inspección, mantenimiento y limpieza del molde mantenimiento limpieza molde sea de $5 000 por mes. Como se espera que el costo de los materiales materiales para el plan A sea el mismo mismo para el B, este costo costo no se incluirá incluirá en la que para comparación. El valor de rescate para el plan comparación. estima que será de 10% del costo costo iniA se estima involucra el uso de un proceso cial. El plan B involucra innovador que se conoce conoce como compuestos compuestos innovador virtuales de ingeniería ingeniería en el que se usa un virtuales molde flotante, flotante, el cual utiliza utiliza un sistema sistema de molde operación que ajusta constantemente operación que ajusta constantemente la

241

6.7

Un ingeniero ingeniero industrial industrial analiza analiza la compra compra de dos robots para una compañía manucompañía que manufactura fibra óptica. El robot robot X tendría tendría un factura costo inicial costo inicial de $85 000, 000, otro anual de manmantenimiento tenimiento y operación operación (M&O) de $30 000, y un valor valor de rescate rescate de $40 000. El robot robot Y tendría tendría un costo inicial inicial de $97 000, costos de M&O M&O de $27 000 por año, y un valor valor de rescate rescate de $48 000. ¿Cuál ¿Cuál debiera debiera seleccioselecciocomparar su valor anual nar sobre la base de comparar con una tasa de interés interés de 12% anual? anual? Use un periodo periodo de estudio estudio de 3 años.

6.8

La medición medición precisa precisa del flujo de aire requiere quiere tubos rectos rectos sin obstrucciones obstrucciones para para un mínimo mínimo de 10 diámetros diámetros flujo arriba arriba y 5 diámetros diámetros flujo abajo del dispositivo dispositivo de mePara una aplicación aplicación en particular, particular, las dición. Para restricciones físicas físicas comprometen comprometen la distridistrirestricciones bución de los tubos, por lo que el ingeniero ingeniero bución planea instalar instalar los aparatos aparatos medidores medidores en un planea codo, aunque aunque sabe que las mediciones mediciones serán codo, precisas, pero suficientemente suficientemente buemenos precisas, control del proceso. proceso. El anterior anterior nas para para el control resulta aceptable aceptable sólo por es el plan A, que resulta años, después después de lo cual estará estará disponible disponible 2 años, sistema de medición medición de flujo más exacexacotro sistema mismos costos costos que el plan A, to y con los mismos

242

CAPÍTULO

6

Análisis del valor anual

cuyo costo inicial es de $25 000, con un importe por mantenimiento anual estimado en $4 000. El plan B involucra la instalación de una sonda sumergible de flujo de aire hecha de acero inoxidable y que puede instalarse dentro de un tubo con un transmisor localizado en un compartimiento a prueba de agua en la barandilla. El costo de este sistema es de $88 000, pero gracias a su exactitud no tendrá que reemplazarse en al menos 6 años. Se estima que su costo de mantenimiento sea de $1 400 anual. Ninguno de los sistemas tendrá valor de rescate. Con una tasa de interés de 12% anual, ¿cuál debe seleccionarse, con el criterio de comparar su valor anual? 6.9

Un ingeniero mecánico analiza dos tipos de sensores de presión para una línea de vapor de baja presión. ¿Cuál debe seleccionarse, con base en la comparación del valor anual, con una tasa de interés de 12% por año? Los costos se muestran a continuación. Tipo X Costo inicial, $ Costo de mantenimiento, $/año Valor de rescate, $ Vida, años

6.10

-7650 -1200

o 2

tendría un costo inicial de $160 000, otro de operación de $7 000 mensuales, y un valor de rescate de $40 000 después de 2 años de vida. El proceso L tendría un costo inicial de $210 000, otro de operación de $5 000 por mes, y un valor de rescate de $26 000 después de 4 años de vida. ¿Cuál proceso debe seleccionarse, de acuerdo con el análisis de valor anual, con un interés de 12% por año, compuesto mensualmente? 6.12

Proyecto Q Costo inicial, $ Costo anual, $/año

Tipo Y

Valor de rescate, $ Vida, años

-12900 -900

6.13

2000 4

Las máquinas cuyos datos se muestran en la parte inferior se analizan para mejorar un proceso automático de envoltura de caramelos. Determine cuál debe seleccionarse, según el criterio del valor anual, con el empleo de una tasa de interés de 15% por año.

Costo Costo Valor Vida,

inicial, $ anual, $/año de rescate, $ años

Máquina C

Máquina D

-40000 -10 000 12000 3

-65000 -12000 25000 6

Para producir un polímero pueden usarse dos procesos que reducen las pérdidas por fricción en las máquinas. El proceso K

-42000 -6000

o 2

Costo Costo Valor Vida,

Proyecto R -80000 -7000 en el año 1, con incremento de $1 000 por año 4000 4

Un ingeniero ambiental estudia tres métodos para eliminar un sedimento químico que no es peligroso: aplicación de tierra, incineración por capas fluidas, y un contrato para que la eliminación sea llevada a cabo por un particular. Determine cuál tiene el menor costo según el criterio de comparar su valor anual, con el 12% por año. Los detalles de cada método se muestran a continuación. Aplicación de tierra

6.14 6.11

Dos proyectos mutuamente excluyente s tienen los flujos de efectivo estimados que se indica a continuación. Utilice un análisis de valor anual para determinar cuál debe seleccionarse, con una tasa de interés de 10% anual.

inicial, $ anual, $/año de rescate, $ años

-110000 -95000 15000 3

Incineración -800000 -60000 250000 6

Contrato O -190000 O 2

El departamento de carreteras estatales trata de decidir si debe colocar baches en una sección pequeña de un camino local o repavimentarlo. Si se usa el método del

In

6.

6

6

PROBLEMAS PROBLEMAS

bacheo, se se requerirían requerirían aproximadamente aproximadamente bacheo, 300 metros metros cúbicos cúbicos de de material, material, con con un un costo costo 300 de $700 $700 por por metro metro cúbico cúbico (en (en el el sitio). sitio). AdeAdede más, al al mismo mismo tiempo tiempo tendrían tendrían que que mejomejomás, rarse las las cunetas cunetas aa un un costo costo de $24 $24 000. Estas Estas rarse mejoras durarían durarían al menos menos 22 años años yy después después mejoras tendrían que que volverse volverse aa hacer. hacer. El El costo costo anual anual tendrían mantenimiento preventivo preventivo en en la la carretera carretera del mantenimiento bacheada sería sería de $5000. $5000. La La alternativa alternativa es bacheada que el Estado Estado repavimente repavimente el camino, camino, con con que costo de $850 $850 000. Esta Esta superficie superficie duraría duraría un costo años si se le da da mantenimiento, mantenimiento, menos 10 años al menos que costaría costaría $2 000 000 por por año, y comienza comienza lo que dentro de 3 años. Cualquiera Cualquiera que que sea sea la alteralterdentro nativa seleccionada, seleccionada, el camino camino se reconsreconsnativa truiría por por completo completo dentro dentro de 10 años. Con Con truiría una una tasa tasa de interés interés de 8% anual, anual, ¿cuál ¿cuál alternativa debe debe seleccionar seleccionar el Estado, Estado, según según el nativa análisis del valor valor anual? anual? análisis Inversiones permanentes permanentes y proyectos proyectos Inversiones 6.15

¿Cuánto debe depositar usted en su cuenta ¿Cuánto debe depositar usted cuenta ahorros para para el retiro retiro si comienza comienza hoy y de ahorros continúa haciéndolo haciéndolo anualmente anualmente hasta hasta el continúa noveno año (es decir, 10 depósitos), noveno depósitos), si desea desea tener la capacidad capacidad de retirar retirar $80 000 por año para siempre, hacerlo dentro para siempre, y empieza empieza a hacerlo dentro de 30 años? Suponga Suponga que la cuenta cuenta gana un interés interés de 10% anual.

6.16

¿Cuál es la diferencia diferencia en el valor anual entre una inversión inversión de $100 000 anuales anuales durante durante 100 años, y una inversión inversión de $100000 $100 000 anuales para siempre, siempre, con una tasa de interés interés de 10% por año?

6.17

Una agente de bolsa afirma que puede ganar manera consistente consistente con el dinero 15% de manera de un inversionista. inversionista. Si ella invierte invierte $20 000 ahora, $40 000 dentro de dos años y $10 000 anuales hasta el año 11, comienza a hacer 11, Y Ycomienza esto cuatro años después de hoy, ¿cuánto ¿cuánto dinero podría podría retirar retirar el cliente cada año y para siempre, siempre, si si se se inicia dentro de 12 12 años, la agente de bolsa logra lo que dijo y la cuenta gana 6% 6% anual anual del del año año 12 12 en adelante? adelante? Ignore los impuestos. impuestos.

243 243

6.18 6.18 Determine Determine el el valor valor anual equivalente equivalente perpetuo perpetuo (en (en los los años años 1 al al infinito) infInito) de de una una inversión inversión de de $50 $50 000 000 en en el el tiempo tiempo Oy Oy $50 $50 000 000 anuales anuales de de entonces entonces en en adelante adelante (para (para siempre), siempre), con con una una tasa tasa de de interés interés de de 10% 10% por por año. año. 6.19 6.19 El El flujo flujo de de efectivo efectivo asociado asociado con con el el arreglo arreglo y mantenimiento mantenimiento de un un monumento monumento ubicado ubicado en en Washington, Washington, D.C., D.C., es de de $100 $100 000 000 ahora ahora y $50 $50 000 000 cada cada 5 años años para para siempre. siempre. DeterDetermine mine su valor valor anual anual equivalente equivalente perpetuo perpetuo (en (en los los años años 1 al infinito) infinito) con con una una tasa tasa de interés interés de 8% anual. anual. 6.20 6.20 El El costo costo asociado asociado con con el mantenimiento mantenimiento de caminos caminos rurales rurales sigue sigue un patrón patrón predecible: predecible: por por lo general general no existen existen costos costos durante durante los tres primeros primeros años, años, pero pero de ahí ahí en adelante adelante se requiere requiere un mantenimiento mantenimiento que que incluincluye pintar, pintar, control control de malezas, malezas, sustituciones sustituciones pequeñas, pequeñas, reparación reparación de cunetas, cunetas, etc. Para Para cierta cierta sección sección de una una autopista autopista se proyecta proyecta estos costos 000 en el año 3, que estos costos sean de $6 000 $7 000 en el 4, y cantidades cantidades que se increincrementan durante la vida esmentan $1 000 por por año durante perada dicha vía. Suponga Suponga perada de 30 años de dicha carretera simique es reemplazada reemplazada con una carretera equivalente perlar, ¿cuál es su valor valor anual equivalente petuo (en los años 1 al infinito) infinito) con una tasa petuo interés de 8% por año? de interés

6.21

filántropo que trabaja trabaja para establecer establecer un Un filántropo permanente quiere quiere depositar depositar dinero fondo permanente comenzando ahora y haciendo haciendo 10 cada año, comenzando depósitos más (es decir, 11 11 depósitos), depósitos), de depósitos disponible para inmodo que haya dinero disponible vestigaciones relacionadas relacionadas con la colonicolonivestigaciones planetaria. Si el monto del primer primer zación planetaria. depósito es de $1 $1 000 000, y cada uno de depósito sucesivos es mayor mayor en $100 000 al anlos sucesivos ¿cuánto habría habría disponible disponible para siemterior, ¿cuánto partir del año 11, 11, si el fondo percibe pre a partir una tasa de interés de 10% anual?

6.22 Para la secuencia secuencia de flujo flujo de de efectivo efectivo que que 6.22 se muestra muestra aa continuación continuación (en (en miles miles de de dólares), determine la cantidad de dinero dólares), determine cantidad de dinero que puede retirarse retirarse cada cada año año durante durante un que

244

CAPÍTULO

6

Análisis del valor anual

periodo infinito de tiempo, si el primer retiro se hará en el año 10 Y la tasa de interés es de 12% anual. Año Monto del depósito, $

6.23

anual. b) Si las opciones son independientes, determine cuáles son económicamente aceptables (todos los valores de dinero están en millones).

0123456 100 90 80 70 60 50 40

Una compañía que manufactura interruptores magnéticos de membrana investiga tres opciones de producción, las cuales tienen los flujos de efectivo que se muestran más abajo. a) Determine cuál opción es preferible con una tasa de interés de 15%

En la

empresa Costo inicial, $ Costo anual, $/año Ingreso anual, $/año Valor de rescate, $ Vida, años

-30 -5 14 7 10

Licencia -2 -0.2 1.5

Contrato O

-2 2.5 5

PROBLEMAS DE REPASO FI nida. El donador planea dar dinero ahora y para cada uno de los 2 años siguientes. Si el monto de cada donación es exactamente la misma, la cantidad que debe donarse cada año con i = 8% anual, es muy cercana a: a) $190820 b) $122280 e) $127460 d) $132040

Nota: La convención de signos que se emplea en el examen de FI puede ser contraria a la que aquí se utiliza. Es decir, que en el examen de FI, los costos pueden ser positivos y los ingresos negativos. 6.24

Para las alternativas mutuamente excluyentes que se muestran a continuación, determine cuál o cuáles deben seleccionarse. Alternativa

Valor anual, $/año

A B C D

-25000 -12000 10000 15000

6.27

¿Cuánto debe depositar cada año una persona en su cuenta de ahorros para el retiro, durante 10 años e iniciando ahora (es decir, años O a 9), si desea poder retirar $50 000 anuales para siempre, y empieza a hacer esto dentro de 30 años? Suponga que la cuenta gana un interés de 10% anual. a) $4239 b) $4662 e) $4974 d) $5471

6.28

Suponga que un graduado de ingeniería económica está agradecido y comienza un fondo en UTEP con la donación hoy de $100 000. Las condiciones del donativo son que se darán becas por un total de $10 000 anuales a estudiantes de ingeniería económica, a partir de ahora para continuar hasta el año 5. Después de eso (es decir, año 6), las becas se darán por una cantidad igual al interés que se genere sobre la inversión. Si la inversión

Sólo A Sólo D e) SóloAy B d) Sólo C y D

a) b)

6.25

6.26

El valor anual (en los años 1 al infinito) de $50 000 de hoy, $10 000 anuales en los años 1 al 15, y $20000 anuales en los años 16 al infinito, al 10% anual, está muy cerca de: a) Menos de $16 900 b) $16958 e) $17 394 d) $19573 Un alumno de West Virginia University desea comenzar un fondo que proporcione dinero para becas de $40 000 anuales, para comenzar en el año 5 y continuar en forma indefi-

Le de

le Cc Cc Va Vi

6.

ESTUDIO DE CASO

percibe una tasa efectiva de 10% anual, compuesto continuamente, ¿cuánto dinero para becas estará disponible del año 6 en adelante? a) $7380 b) $8389 c) $10 000 d) $11 611

o

b) -200 000(A/P,10%,5) - 60 000 + 20 OOO(A/F, 10%,5) c) -200 000(A/P,5%,1O) - 60 000 + 20000(A/F,5%,10) d) -200 000(A/P,10.25%,5) - 60 000 + 20000(A/F,1O.25%,5)

6.30

Los problemas 6.29 a 6.31 se basan en los flujos de efectivo siguientes, con una tasa de interés de 10% anual, compuesto semestralmente. Alternativa

y el la a

I'-

Costo Costo Valor Vida,

inicial, $ anual, $/año de rescate, $ años

X Alternativa

-200000 -60000 20000 5

El valor anual de servicio perpetuo para la alternativa X se denota con: a) -200000(0.1025) - 60 000 + 20000(0.1025) b) -200 000(A/P,10%,5) - 60 000 + 20000(A/F,1O%,5)

Y

c) -200000(0.10) - 60 000 + 20 000(0.10) d) -200 000(A/P,1O.25%,5) - 60 000 +

-800000 -10 000 150000

20000(A/F,1O.25%,5)

00

6.31 6.29

Al comparar las alternativas por medio del método del valor anual, el de la alternativa X está representado por: a) -200000(0.1025) - 60 000 + 20 000(0.1025)

El valor anual de la alternativa Y es el más cercano a: a) $-50000 b) $-76625 c) $-90000 d) $-92 000

ESTUDIO DE CASO

o

AMBIENTE CAMBIANTE DE UN ANÁLISIS DE VALOR ANUAL

o

Harry, el propietario de una distribuidora de baterías para

a

automóvil en Atlanta, Georgia, llevó a cabo un análisis económico hace 3 años, cuando decidió colocar protectores contra sobrevoltajes a sus principales equipos de pruebas. En seguida se resumen los cálculos empleados y el análisis de valor anual a una TMAR = 15%. Se compararon los protectores de dos diferentes fabricantes.

e e n

245

Costo de instalación Costo anual de mantenimiento Valor de salvamento Ahorros en reparación de equipo Vida útil, años

PowrUp

Lloyd's

$-26000

$-36000

-800 2000

-300 3000

25000 6

35000 10

La hoja de cálculo de la figura 6.8 es la que Harry empleó para tomar su decisión. La elección clara fue Lloyd's como consecuencia de que su VA fue considerablemente más grande. Se instalaron los protectores de Lloyd's. Durante una revisión rápida el año pasado (año 3 de la operación), se hizo evidente que los costos de mantenimiento y los ahorros en reparaciones no siguieron (ni seguirán) las estimaciones de hace 3 años. De hecho, el costo del contrato de mantenimiento (que incluye una inspección trimestral) se elevará de $300 a $1 200 anuales el próximo año y, después, se incrementará 10% anual los siguientes 10 años. Asimismo, los ahorros por reparaciones de los últimos 3 años fueron de $35 000, $32 000 y $28 000, según los mejores cálculos que Harry pudo hacer. Él cree que los ahorros

246

CAPÍTULO 6 CAPÍTULO

Análisis del valor valor anual anual Análisis

_[jX

G

11

IHI

r

LT~~--I 3 4 5

TMAR=

7

Año

6

L10 d's en versi n y valOlMantenimiento Ahorros ~ reparaciones de salvamento anual reparaciones ó

Jjvalores

e salvamento v~ $ _

anual

(6,64~::'_

(800): $

25,000

10 O $ (26,000)' $ 11 1 $ $ 12 2 $ $ 13 --3 -$-~

$ (80Q) $ (800L$ 800 $

2[,000 ~,OOO 25,000

14 15 16 17 18 19

(800); $ (800¡!$ (800)' $

25,000 25,000 25,000

20

4 5 6 7 8 9 10

$ $

$2,000!

$ $

t

$

(7,025)1 $

~.. (36,000) $

(300)1 $

$

$ $ $ $

$ (300)' $ (300) $ 300 $

$ $ $ ~ $ $ $

$ $ $ $ $ $ $

(300), $ (300)! $ (300) $ _(ª,-OO)$_ (300) $ (300) $ (300) $_

_L I

AA de PowrU de P owrU $ 17,558 $_17,558

35,000

AA de Lloyd' $ 27,675 27 ,675 35,000 35,00q 35,000 35,000 35,000 35,900 35,OOº_ 35,OOQ 35,000 35,oog

-1 T

Hoja 1 LisIO

Figura Figura 6,8 6.8 Análisis (estudio de de caso caso del del capítulo capítulo 6). Análisis de VA de dos dos propuestas propuestas de protectores protectores contra contra sobrevoltaje sobrevoltaje (estudio

disminuirán Por disminuirán $2 $2 000 000 anuales anuales de ahora ahora en adelante. adelante. Por último, último, estos estos protectores protectores de 3 años años de antigüedad antigüedad no valen nada en el mercado valen nada mercado en este este momento, momento, así así que que el valor de salvamento valor salvamento en 7 años años es cero, cero, no $3 000. 000.

Ejercicios para para el estudio estudio de caso caso Ejercicios 1. Trace Trace una una gráfica gráfica de los los costos costos de mantenimiento mantenimiento recién calculados calculados y las las proyecciones proyecciones de los los ahorros ahorros recién reparaciones, suponiendo suponiendo que que los protectores duen reparaciones, protectores durarán otros otros 7 años. años. rarán

Con estos nuevos cálculos, 2. Con estos nuevos cálculos, ¿cuál ¿cuál es el nuevo nuevo valor valor del para los los protectores Lloyd's? Utilice Utilice los los del VA para protectores Lloyd's? cálculos del cálculos del costo costo inicial inicial anterior anterior y de de los los costos costos de mantenimiento para los los primeros primeros 3 años. años. Si estos estos mantenimiento para cálculos hubieran efectuado efectuado hace hace 3 años, años, ¿aún cálculos se hubieran ¿aún sería elección más más económica? sería Lloyd's Lloyd's la elección económica? 3. ¿¿Cómo Cómo ha ha cambiado cambiado el monto monto de la recuperación recuperación del capital para para los los protectores Lloyd's de acueracuerdel capital protectores de Lloyd's do con con estos estos nuevos nuevos cálculos? cálculos?

7 o o 11-

«« u u

de de tasa de Análisis de rendimiento: alternativa alternativa rendimiento: ,, . uruca unlca Aunque la medida medida de valor económico económico citada más más frecuentemente Aunque la frecuentemente para un proyecto o alternativa alternativa es la la tasa de rendimiento rendimiento (TR), (TR), su proyecto su significado significado se malinterpreta con facilidad, facilidad, y los métodos métodos para determinarla malinterpreta determinarla muchas veces se se incorrecta.. En En este capítulo, capítulo, los procedim procedimientos interpreaplican de forma incorrecta ientos se se interprecorrectamente y se el cálculo d dee la la TR tan correctamente se explica el TR de una serie de flujo flujo de efectivo con base en las las ecuaciones de VP VP y VA. La TR efectivo VA. La TR se se conoce con muchos tasa interna de rendimiento rendimiento (TIR), (TIR), retorno retorno sobre la la inversión otros nombres: tasa (RSI)e rentabilidad (IR), (IR),sólo mencionar algunos. La La determina(RSI) e índice de rentabilidad sólo por mencionar determinala TR TR se se consigue utilizando utilizando un un proceso de ensayo y error o, de forma ción de la más rápida, mediante mediante funciones en una una hoja de cálculo. más cálculo . En algunos casos, casos, más más de un un valor de TR TR puede puede satisfacer la la ecuación de En VP o VA. VA. En En el el presente capítulo se se describe describe cómo reconocer reconocer esta posibilidad, VP esta posibilidad, así como un enfoque enfoque para encontrar encontrar los valores múltiples. múltiples. De manera alternaasí alternaposible obtener obtener un un solo valor de TR TR empleando empleando una tasa tiva, es es posible tasa de reinversión se establezca establezca de manera independiente independiente a los flujos de efectivo que se efectivo del proyecto. se considera una una alternativa alternativa.. En En el siguiente Aquí sólo se siguiente capítulo capítulo se se aplican principios en en el el caso caso de alternativas múltiples. múltiples. Por último, último, aquí se los mismos principios se analiza la la tasa tasa de rendimiento rendimiento para para una una inversión en bonos. analiza El estudio estudio de caso caso se se enfoca sobre series series de flujo de efectivo efectivo que tienen El tienen múltiples tasas tasas de rendimiento rendimiento. . múltiples

e

-

-

-

-

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Objetivo general: entender el significado de la tasa de rendimiento TR para una alternativa.

(TR) y realizar los cálculos de

Este capítulo ayudará al lector a: ____

D_e_fi_n_ic_iól"'n_d_e_T_R

~

2. Calcular la tasa de retorno mediante una ecuación de valor presente o valor anual.

TR utilizando VP y VA

3. Comprender las dificultades de usar el método de TR, en relación con los métodos de VP y VA.

Precauciones acerca de la TR

TR múltiples

TR compuesta

TR de bonos

1. Establecer el significado de la tasa de rendimiento.

I I

4. Determinar el máximo número posible de valores de TR para una serie de flujos de efectivo específica.

I

6. Calcular las tasas de interés nominal y efectiva para una inversión de bonos.

5. Calcular la tasa de rendimiento compuesta utilizando una tasa de reinversión determinada.

250 250

CAPÍTULO 7 CAPÍTULO

7.1

Análisis alternativa única Análisis de tasa tasa de rendimiento: rendimiento: alternativa única

INTERPRETACiÓN DEL VALOR UNA TASA INTERPRETACiÓN VALOR DE UNA RENDIMIENTO DE RENDIMIENTO

Desde la perspectiva dinero en préstamo, Desde perspectiva de una persona persona que ha recibido recibido un dinero préstamo, la tasa interés se aplica aplica al saldo manera que la cantidad cantidad prestada de interés saldo no pagado, pagado, de manera prestada y el interés último pago Desde la interés total se pagan pagan en su totalidad totalidad con el último pago del préstamo. préstamo. Desde perspectiva quien otorga otorga el préstamo, existe un saldo recuperado en cada cada perspectiva de quien préstamo, existe saldo no recuperado periodo tiempo. La tasa tasa de interés sobre este saldo no recupeperiodo de tiempo. interés es el rendimiento rendimiento sobre recuperado, de manera manera que la cantidad cantidad total prestada interés se recuperan forma prestada y el interés recuperan en forma exacta con el último rendimiento define define ambas ambas situaciones. situaciones. exacta último pago. La tasa de rendimiento tasa pagada sobre el saldo saldo no pagado Tasa de rendimiento rendimiento (TR) es la tasa pagada sobre pagado del dinero obtenido obtenido en préstamo, ganada sobre sobre el saldo saldo no recuperapréstamo, o la tasa tasa ganada recuperadinero inversión, de forma forma que el pago entrada final iguala iguala el saldo saldo do de una una inversión, pago o entrada exactamente a cero cero con el interés interés considerado. considerado. exactamente rendimiento está expresada expresada como como un porcentaje ejemLa tasa tasa de rendimiento porcentaje por periodo, periodo, por ejemplo, i = 10% anual. Ésta Ésta se expresa expresa como como un porcentaje considera el porcentaje positivo; positivo; no se considera hecho de que el interés interés pagado sobre un préstamo hecho pagado sobre préstamo sea en realidad realidad una tasa de rendirendimiento desde la perspectiva miento negativa negativa desde perspectiva del prestatario. prestatario. El valor valor numérico numérico de i puede puede oscilar en un rango rango entre entre -100% infinito, es decir, -100% -100% < i < oo. oo. En oscilar -100% hasta hasta el infinito, términos inversión, un rendimiento rendimiento de i = --100% significa que se ha perdido términos de una inversión, 100% significa perdido la cantidad cantidad completa. completa. definición anterior anterior no establece establece que la tasa sobre la canLa definición tasa de rendimiento rendimiento sea sobre tidad inicial inicial de la inversión, inversión, sino más bien sobre el saldo no recuperado, recuperado, el cual bien sobre varía con cada cada periodo siguiente ejemplo ejemplo ilustra ilustra tal diferencia. diferencia. periodo de tiempo. tiempo. El siguiente

EJEMPLO

7.1

<

0~

El Wells Fargo Fargo prestó ingeniero recién graduado $1 000 000 a i = 10% 10% anual anual duranduranEl banco banco Wells prestó a un un ingeniero recién graduado años para comprar equipo equipo de oficina. oficina. Desde Desde la perspectiva del banco te 4 años para comprar perspectiva del banco (el prestamista), prestamista), espera que que la inversión inversión en este este joven ingeniero produzca flujo de efectivo efectivo neto neto se espera joven ingeniero produzca un un flujo equivalente de $315.47 $315.47 por cada uno años. equivalente por cada uno de los los 4 años.

=

A OOO(A/P, 10%,4) A = $1 OOO(A/P,lO%,4)

= $315.47 $315.47 =

Esto representa 10% anual anual sobre sobre el saldo saldo no Esto representa una una tasa tasa de rendimiento rendimiento de 10% no recuperado recuperado por por el banco. Determine la cantidad cantidad de la inversión inversión no cada uno los cuatro cuatro banco. Determine no recuperada recuperada por por cada uno de los años utilizando utilizando a) la tasa tasa de rendimiento sobre el saldo saldo no no recuperado recuperado (la (la base correcta) yy años rendimiento sobre base correcta) tasa de rendimiento sobre la inversión inversión inicial inicial de $ 1 000. 000. c) Explique Explique por qué toda b) la tasa rendimiento sobre por qué toda la inversión inicial de $1 000 000 no con el pago final del del inciso inciso b). b). inversión inicial no se recupera recupera con pago final Solución Solución La tabla saldo no recuperado final de cada cada año año en la columna 6, 6, a) La tabla 7.1 presenta presenta el saldo recuperado al final la columna utilizando tasa de 10% 10% sobre sobre el saldo recuperado a principios del año. año. Después Después utilizando la tasa saldo no recuperado principios del años, se se recupera inversión total 000 y el saldo saldo en la columna columna 6 es es exacexacde 4 años, recupera la inversión total de $1 000 tamente cero. tamente cero.

SECCIÓN 7.1

b)

Interpretación

del valor de una tasa de rendimiento

251

La tabla 7.2 muestra el saldo no recuperado si el rendimiento de 10% se calcula siempre sobre la inversión inicial de $1 000. la columna 6 en el año 4 muestra la cantidad no recuperada restante de $138.12, porque en los 4 años solamente se recuperan $861.88 (columna 5).

TABLA

7.1 Saldos no recuperados utilizando una tasa de rendimiento de 10% sobre el saldo no recuperado

(1)

Año

(2) Saldo inicial no recuperado

(3)

=

0.10 x (2)

e

=

(4) - (3)

Flujo de efectivo

Cantidad recuperada

$100.00 78.45 54.75 28.68

$-1 000.00 +315.47 +315.47 +315.47 +315.47

$215.47 237.02 260.72 286.79

$-1 000.00 -784.53 -547.51 -286.79

$261.88

TABLA

(5)

Interés sobre saldo no recuperado

O 1 2 3 4

(4)

(6)

=

(2) + (5)

Saldo final no recuperado $-1000.00 -784.53 -547.51 -286.79

O

$1 000.00

7.2 Saldos no recuperados utilizando un rendimiento de 10% sobre la cantidad inicial

(1)

Año

(2) Saldo inicial no recuperado

(3)

=

0.10 x (2)

Interés sobre cantidad inicial

O 1 2 3 4

$-1000.00 -784.53 -569.06 -353.59

$100

lOa 100 100 $400

c)

(4)

Flujo de efectivo $-1000.00 +315.47 +315.47 +315.47 +315.47

(5)

=

(4) - (3)

(6)

=

(2) + (5)

Cantidad recuperada

Saldo final no recuperado

$215.47 215.47 215.47 215.47

$-1000.00 -784.53 -569.06 -353.59 -138.12

$861.88

Si se calcula un rendimiento de 10% cada año sobre la cantidad inicial de $1 000, debe obtenerse un total de $400 de interés. No obstante, si se utiliza un rendimiento de 10% sobre el saldo no recuperado sólo se obtienen $261.88 de interés. Hay más flujo de efectivo anual disponible para reducir el préstamo restante cuando la tasa se aplica al saldo no recuperado, como en el inciso a) y en la tabla 7.1. Por su parte, la figura 7.1 ilustra la interpretación correcta de la tasa de rendiruiento de la tabla 7.1. Cada año el pago de $315.47 representa 10% de interés sobre el saldo no recuperado en la columna 2 más la cantidad recuperada en la columna 5.

252

CAPÍTULO

7

Análisis de tasa de rendimiento:

alternativa única

j

Saldo de préstamo de $1 000

......l}

$100.00 --

1000.00

,... -"

$215.47 ______

784.53

•• _......

Interés Reducción en el saldo del préstamo

F e

$78.45

b

$237.02

u

e

I

""6

:

6

Z;

'" '~ e,

547.51

I

"O

o

"O

-a

en

I

-1

_____ l J_$~~0~7:~

-¡)

j

286.79

I I I I I I

o

I I I I I I

I I I I I I

2

3

$28.68

Año Saldo del préstamo de $0

Figura 7.1 Gráfica de saldos no recuperados tabla 7.1.

E

$286.79

y tasa de rendimiento

E 1< n

de 10% anual sobre una cantidad de $1 000,

A causa de que la tasa de rendimiento es la tasa de interés sobre el saldo no recuperado, los cálculos en la tabla 7.1 para el inciso a) presentan una interpretación correcta de una tasa de rendimiento de 10%. Claramente, una tasa de interés aplicada sólo al principal representa una tasa mayor que la establecida. En la práctica, la llamada sobretasa de interés, a menudo se basa sólo en el principal, como en el inciso b). A esto en ocasiones se le refiere como el problema delfinanciamiento a plazos.

si e: d,

le o 01

s( di

Elfinanciamiento a plazos se percibe en diversas formas en las finanzas cotidianas. Un ejemplo popular es un "programa sin intereses" ofrecido por las tiendas departamentales sobre las ventas de aparatos electrodomésticos, equipo de audio y video, muebles y otros bienes de consumo. Son posibles muchas variaciones, pero, en la mayoría de los casos, si la compra no se paga por completo en el momento en que termina la promoción, usualmente 6 meses o un año después, los cargos financieros se calculan desde lafecha original de compra. Más aún, la letra pequeña del contrato puede estipular que el comprador utilice una tarjeta de crédito expedida por la tienda departamental, la cual con frecuencia tiene una tasa de interés mayor que la de una tarjeta de crédito regular; por ejemplo, 24% anual en comparación con un 18% anual. En todos estos tipos de programas, el tema común es un mayor interés pagado por el consumidor a lo largo del tiempo. Por lo general, la definición correcta de i como interés sobre el saldo no pagado no se aplica directamente; i se ha manipulado con frecuencia en desventaja financiera del comprador.

u: 01

el

D 7.

ql

01

la ce

SECCIÓN 7.2 7.2 SECCIÓN

7.2 7.2

Cálculos de la tasa de rendimiento ecuación de de VP Cálculos tasa de rendimiento utilizando utilizando una una ecuación VP o VA

253

CÁLCULOS DE LA TASA DE RENDIMIENTO RENDIMIENTO UTILIZANDO UTILIZANDO CÁLCULOS UNA ECUACiÓN ECUACiÓN DE VP O VA UNA

Para determinar la tasa de rendimiento efectivo se utiliza Para determinar rendimiento en una serie de flujo de efectivo utiliza la ecuación TR con relaciones costos o desemdesemecuación relaciones de VP o VA. El valor valor presente presente de los costos bolsos R. En forma bolsos VP D se iguala iguala al valor valor presente presente de los ingresos ingresos o recaudación recaudación VP R' forma equivalente, ambos ambos pueden igualarse a cero. Es decir, se resuelve equivalente, pueden restarse restarse e igualarse resuelve para para i usando usando VP/) :: VPR

o = -Vl)¡¡ + VPg

[7.1]

El enfoque enfoque de valor forma para valor anual utiliza utiliza los valores valores VA en la misma misma forma para resolver resolver i.i. VAl) :: VAR

[7.2] El valor ecuaciones numéricas correctas se llama llama i*. i", Es valor de i que hace hace que estas ecuaciones numéricas sean correctas Para determinar determinar si la serie de flujo de efectivo efectivo de la alterla raíz de la relación relación TR. Para nativa compare i* con la TMAR TMAR establecida. establecida. nativa es viable, viable, compare i':' ~~ TMAR, TMAR, acepte acepte la alternativa alternativa como como económicamente económicamente viable. Si i* viable. TMAR, la alternativa alternativa no es económicamente económicamente viable. Si i* < TMAR, viable.

tías

y

En el capítulo capítulo 2 el método calcular la tasa de rendimiento sobre una invermétodo para para calcular rendimiento sobre invercuando sólo se consideraba consideraba un factor factor de ingeniería ingeniería económica. económica. En sión se ilustró ilustró cuando sección, una ecuación ecuación de valor constituye la base calcular la tasa esta sección, valor presente presente constituye base para para calcular cuando hay diversos diversos factores factores implicados. implicados. Recuerde Recuerde que la base de rendimiento rendimiento cuando base para para los cálculos equivalencia, en los términos términos VP, VF cálculos de la ingeniería ingeniería económica económica es la equivalencia, establecida. En los cálculos cálculos de la tasa de rendimiento, o VA para para una i ~ 0% establecida. rendimiento, el objetivo consiste consiste en encontrar encontrar la tasa de interés interés i* a la cual los flujos de efectivo efectivo objetivo equivalentes. Los cálculos cálculos realizados contrarios a los cálculos cálculos realizarealizason equivalentes. realizados aquí son contrarios capítulos anteriores, anteriores, donde donde se conocía conocía la tasa de interés. interés. Por ejemplo, ejemplo, si dos en capítulos usted deposita $1 $1000 ahora y le prometen dentro de tres años y usted deposita 000 ahora prometen un pago de $500 dentro dentro de cinco cinco años, la relación otro de $1 500 dentro relación de la tasa de rendimiento rendimiento utilizando utilizando factor VP es: el factor 500(PIF,i* ,3) + 1 500 (P/F,i* (PIF,i* ,5) ,5) 1 000 = 500(P/F,i*

[7.3]

Debe calcularse el valor i';' para lograr que la igualdad igualdad esté correcta correcta (véase (véase figura figura Debe calcularse valor de i':' para lograr $1000 al lado derecho derecho de la ecuación ecuación [7.3], se tiene 7.2). Si se trasladan trasladan $1 000 alIado tiene 500(P/F,i*,3) + 1 500(P/F,i*,5) 500(P/F,i*,5) 00=-1000 = -1000 + 500(P/F,i*,3)

or ón se

[7.4]

forma general general de la ecuación ecuación [7.1] [7.1].. La ecuación ecuación se resuelve que es la forma resuelve para para i y se obtiene i* = = 16.9% a mano, ensayo y error error o empleando empleando la computadora computadora con obtiene mano, usando usando ensayo funciones de la hoja cálculo. La tasa de rendimiento siempre será mayor las funciones hoja de cálculo. rendimiento siempre mayor que cantidad total de los ingresos ingresos es mayor cantidad total de los desemdesemcero si la cantidad mayor que la cantidad

Relaciones Relaciones VP VP y V A

254

CAPÍTULO 7 CAPÍTULO

Análisis de tasa tasa de rendimiento: alternativa única Análisis rendimiento: alternativa única

Figura 7.2 Figura

$1500

1.

Flujo de efectivo efectivo para Flujo para el cual debe debe calcularse calcularse un cual valor de valor de i.

$500

oo

2

3

4

5

=? i =?

2. 3.

$1000

bolsos, cuando bolsos, cuando se considera considera el valor valor del dinero dinero en el tiempo. tiempo. Utilizando Utilizando i* = = 16.9%, construye una gráfica gráfica similar similar a la figura figura 7.1. Se mostrará mostrará que los saldos se construye saldos no recurecuperados cada recuperan exactamente perados cada año, empezando empezando con $-1 $-1 000 en el año 1, se recuperan exactamente por los ingresos ingresos de $500 $500 y $1 500 en los años 3 y 5. Debería ser evidente evidente que las relaciones relaciones de la tasa tasa de rendimiento rendimiento son tan sólo Debería una reordenación ecuación de valor valor presente. supiera que la reordenación de una ecuación presente. Es decir, si se supiera interés anterior anterior era de 16.9%, y se utiliza utiliza para encontrar el valor valor presente tasa de interés para encontrar presente de dentro de tres años y de $1 500 dentro dentro de cinco cinco años, la relación $500 dentro relación VP sería:

= 500(PIF,16.9%,3) 500(PIF,16.9%,3) 500(PIF,16.9%,5) = $1000 $1000 VP = + 1 500(PIF,16.9%,5) = Esto ilustra ilustra que las ecuaciones ecuaciones del valor valor presente Esto presente y de la tasa de rendimiento rendimiento se plantean diferencias son lo que está plantean exactamente exactamente de la misma misma forma. Las únicas únicas diferencias dado y lo que se busca. busca. formas para determinar i* una vez que se ha establecido establecido la relación relación VP: Hay dos formas para determinar solución manual manual a través través del método método de ensayo ensayo y error, y la solución solución por compucompula solución tadora usando usando la hoja cálculo. La segunda aunque la primera ayuda tadora hoja de cálculo. segunda es más rápida rápida aunque primera ayuda entender la manera funcionan los cálculos cálculos TR. Ambos Ambos métodos métodos aquí aquí y en el a entender manera en que funcionan ejemplo 7.2 se resumen. resumen. ejemplo

E sé

el i* C( Cé

ta

E rr

g CI

utilizando ensayo ensayo y error error manual manual El procedimiento general de emplear emplear una i* utilizando procedimiento general ecuación ecuación basada basada en VP es el siguiente: siguiente: Trace un diagrama diagrama de flujo de efectivo. efectivo. 1. Trace Formule la ecuación ecuación de la tasa de rendimiento rendimiento en la forma forma de la ecuación ecuación [7.1]. 2. Formule Seleccione valores valores de i mediante mediante ensayo ensayo y error error hasta equilibrada la 3. Seleccione hasta que esté equilibrada ecuación. ecuación. método de ensayo ensayo y error error para para determinar determinar i*, es conveniente conveniente que en el Al utilizar utilizar el método paso acerque bastante correcta en el primer ensayo. Si se combicombipaso 3 se acerque bastante a la respuesta respuesta correcta primer ensayo. nan los flujos de efectivo, efectivo, de tal manera ingreso y los desembolsos desembolsos pueden manera que el ingreso pueden representarse por un solo interés representarse solo factor factor como PIF PIF o PIA, PIA, es posible posible buscar buscar la tasa de interés (en las tablas) para n años. El problema, problema, tablas) correspondiente correspondiente al valor valor de ese factor factor para entonces, entonces, es combinar combinar los flujos de efectivo efectivo en el formato formato de uno solo de los factorealiza con el siguiente procedimiento: res, lo cual se realiza siguiente procedimiento:

d

e e 1 2

3 4 5

SECCIÓN 7.2 7.2 SECCIÓN

%, cunte ólo e la de

Convierta todos los desembolsos desembolsos en cantidades cantidades ya sea únicas únicas (P o F) o cantidacantida1. Convierta uniformes (A), al ignorarse ignorarse el valor valor del dinero dinero en el tiempo. tiempo. Por Por ejemplo, ejemplo, si des uniformes desea convertir convertir un valor valor A en un valor valor F, simplemente simplemente multiplique multiplique por A el se desea número de años n. El esquema esquema elegido elegido para movimiento de los flujos de número para el movimiento efectivo debería debería ser aquel que minimiza minimiza el error error causado causado por ignorar ignorar el valor efectivo valor dinero en el tiempo. tiempo. Es decir, si la mayoría mayoría de los flujos de efectivo efectivo son una del dinero A y sólo una pequeña pequeña cantidad convertir en una A en lugar lugar de cantidad es F, la F se debe convertir hacerlo al revés. hacerlo Convierta todos los ingresos ingresos en valores valores únicos únicos o uniformes. uniformes. 2. Convierta Después de haber haber combinado combinado los desembolsos desembolsos y los ingresos, ingresos, de manera manera que se 3. Después aplique el formato formato P/F, P/F, P/A o A/F, deben utilizar utilizar las tablas de interés interés para aplique A/F, se deben para encontrar la tasa de interés interés aproximada aproximada a la cual se satisface satisface el valor valor P/F, P/F, P/A P/A o encontrar A/F. obtenida es una buena buena cifra aproximada aproximada para ensayo. A/F. La tasa obtenida para el primer primer ensayo. importante reconocer reconocer que la tasa de rendimiento rendimiento obtenida obtenida en esta forma forma es tan Es importante estimación de la tasa tasa de rendimiento rendimiento real, ya que ignora ignora el valor valor del dinero dinero sólo una estimación tiempo. El procedimiento ilustra en el ejemplo ejemplo 7.2. 7.2. en el tiempo. procedimiento se ilustra computadora camino más rápido rápido para para determinar determinar un valor valor de i* por por i* por por computadora El camino computadora, cuando cuando existe existe una serie de flujos de efectivo efectivo iguales iguales (serie computadora, (serie A), es aplifunción TASA. Se trata de una poderosa función de una celda, celda, donde donde es acepcar la función poderosa función tener un valor valor P separado en el año O Oy valor F formato es table tener P separado y un valor F en el año n. El formato

se está VP: pu-

uda nel

255

Cálculos de la tasa tasa de rendimiento rendimiento utilizando utilizando una una ecuación ecuación de VP VP o VA Cálculos

TASA(n,A,P,F) TASA(Il,A,P,F)

Sol-R

valor F no incluye incluye la cantidad cantidad de la serie A. El valor Cuando los flujos de efectivo Cuando efectivo varían varían de un año a otro (de un periodo periodo a otro), la mejor forma forma de encontrar encontrar i* es ingresar ingresar los flujos de efectivo efectivo netos en celdas celdas conticontimejor (incluyendo cualesquiera cualesquiera cantidades cantidades $0) y aplicar aplicar la función función TIR en cualquier cualquier guas (incluyendo celda. El formato formato es celda.

una

TIR(primera_celda:última_celda,estimado) TIR(primcra_celda:úl tima_celda, estimado ) donde "estimado" es el valor valor i en que la computadora computadora inicia inicia la búsqueda búsqueda de i*. donde "estimado" procedimiento con base base en VP para para el análisis análisis de sensibilidad sensibilidad y una estimaestimaEl procedimiento gráfica del valor valor i* (o múltiples múltiples valores valores de i*, como como se discute discute más adelante) adelante) es ción gráfica indica a continuación: continuación: como se indica

1. 2. 3.

cto-

4. 5.

Elabore un diagrama diagrama de flujo de efectivo. efectivo. Elabore Formule la relación relación TR en la forma forma de la ecuación ecuación [7.1]. [7.1]. Formule Ingrese a la hoja hoja de cálculo cálculo los valores valores del flujo de efectivo efectivo en celdas celdas conconIngrese tiguas. Desarrolle la función función TIR para para desplegar desplegar i*. Desarrolle función VNA para para desarrollar desarrollar una gráfica gráfica de VP contra contra valores valores de i. De Use la función este modo, aprecia gráficamente gráficamente el valor valor de i* para para el cual VP = O. O. este modo, se aprecia

m

~ Sol-E Sol-E

256

EJEMPLO EJEMPLO

CAPÍTULO CAPÍTULO 7

Análisis tasa de rendimiento: rendimiento: alternativa alternativa única única Análisis de tasa

,~~ , ,~;-

7.2

El ingeniero ingeniero en sistemas sistemas de calefacción, calefacción, ventilación ventilación y aire aire acondicionado acondicionado de una una compacompañía que que construye construye uno uno de los edificios edificios más más altos altos del mundo mundo (el Centro Centro Financiero Financiero de ñía Shanghai, ha solicitado Shanghai, en en la República República Popular Popular China) China) ha solicitado que que se gasten gasten ahora ahora $500 000 durante durante la construcción construcción en software software y hardware hardware para para mejorar mejorar la eficiencia eficiencia de los sistemas sistemas control ambiental. ambiental. Con Con esto esto se espera espera ahorrar ahorrar $10 000 anuales anuales durante durante 10 años años en de control costos de energía energía y $700 000 al final final de 10 años años en costos costos de renovación renovación de equipo. equipo. EnEncostos cuentre rendimiento a mano cuentre la tasa tasa de rendimiento mano y por por computadora. computadora. Solución a mano mano Solución Use Use el procedimiento procedimiento de ensayo ensayo y error error con con base base en una una ecuación ecuación VP.

1. 2.

La La figura figura 7.3 7.3 muestra muestra el diagrama diagrama de flujo flujo de efectivo. efectivo. Utilice el formato formato de la ecuación ecuación [7.1] para ecuación TR. TR. Utilice para la ecuación

-500 000 + 10 OOO(P/A,i':"lO) 000(P/A,i';'10) + 700 OOO(PIF,i*, 000(P/F,i*,10) 00== -500 10) 3.

[7.5]

Utilice Utilice el procedimiento procedimiento de estimación estimación con con la finalidad finalidad de determinar determinar la i para para el primer ingreso se considerará manera primer ensayo. ensayo. Todo Todo el ingreso considerará como como una una sola sola F en el año, año, de manera que PIF. Se eligió PIF porque que pueda pueda utilizarse utilizarse el factor factor P/F. eligió el el factor factor P/F porque la mayoría mayoría del del flujo flujo de efectivo efectivo ($700000) ($700000) ya se ajusta ajusta a este este factor factor y se minimizan minimizan los errores errores creados creados por ignorar el valor por ignorar valor del dinero dinero restante restante en el tiempo. tiempo. Tan Tan sólo sólo para para la primera primera estimaestimación P= ción de i, defina defina P = $500 000, n = = 10 Y FF = = 10(10000) 10(10000) + 700000 700000 = = 800 000. Ahora Ahora establece que que se establece 500000 500000

(PIF,i,10) (P/F,i,lO)

800 OOO(P/F,i,lO) 800000(PIF,i,1O) 0.625

La La i aproximada aproximada está está entre entre 4% 4% y 5%. 5%. Utilice Utilice 5% 5% como como el primer primer ensayo ensayo pues pues esta esta tasa tasa aproximada para el factor PIF es menor aproximada para factor P/F menor que que el valor valor verdadero verdadero cuando cuando se considera considera el valor valor del del dinero dinero en el tiempo. tiempo. En i = 5%, 5%, la ecuación ecuación TR TR es

$700000 $700000

i= =??

I

$10 000 000 $10

o o

2

3

4

$500000 $500000

Figura Figura 7.3 7.3 Diagrama Diagrama de de flujo flujo de efectivo, efectivo, ejemplo ejemplo 7.2. 7.2.

5

6

7

8

9

10

SECCIÓN 7.2 7.2 SECCIÓN

257

Cálculos de la tasa de rendimiento ecuación de de VP Cálculos tasa de rendimiento utilizando utilizando una una ecuación VP o VA

0= %,10) + 700 %,1O) 0= -500 -500 000 000 + 10 000(P/A,5 000(P/A,5%,1O) 700 000(P/F,5 000(P/F,5%,1O) 0< 0< $6 $6 946 946 El resultado resultado es positivo, positivo, lo cual rendimiento es mayor mayor que = 6% cual indica indica que que el rendimiento que 5%. 5%. Ensaye Ensaye ii= 6%.. 0= ,10) + 700 0= -500000 -500000 + 10 000(P/A,6% 000(P/A,6%,10) 700 000(P/F,6%,10) 000(P/F,6%,10) O> O> $-35 $-35 519 519 Puesto que tasa de muy alta, Puesto que la tasa de interés interés de 6% 6% es muy alta, interpole interpole linealmente linealmente entre entre 5% 5% y 6%. 6%. 5.00 + i* = 5.00

946 - O (1.0) 6 946 (1.0) 6946 6946 - (-35 (-35 519) 519)

= 5.00 5.00 + 0.16 0.16 = 5.16% 5.16%

5] el

ra jo

s ara

Solución por por computadora computadora Solución Ingrese La entrada Ingrese los los flujos flujos de efectivo efectivo de la figura figura 7.3 7.3 en en la función función TASA. TASA. La entrada TASA(lO, TASA(10, 10,000, 500,000, 700,000) la fun10,000, --500,000, 700,000) despliega despliega i* = 5.16%. 5.16%. Es igualmente igualmente correcto correcto emplear emplear la función TIR. TIR. La La figura figura 7.4, 7.4, columna colurnnaB,B, muestra flujos de de efectivo efectivo y la función función TIR(B2:B12) TIR(B2:B12) ción muestra los flujos para obtener para obtener i*.

Sol-R Sol-R

Figura Figura 7-4 7-4 Solución hoja de para i* y gráfica valores VP VP contra Solución en hoja de cálculo cálculo para gráfica de de valores contra i, ejemplo ejemplo 7.2. 7.2. _ (fJ

a el

A Año

o .

1__ 2

B

H

Cantidad -$500000 $10,000 __420% $10,000 440%

--------3--------- ---$10:000 4.60%4

$10,000

4.80%

'*'- ----

$60,000 ',-,---------$60,000 -,':. ---------

+-~~------

$40,000 +----.A.~ $40,000 $20,000 +----='-;a-----$20,000 +----=.,~..-............- - - -

$O+--------~~-$O+---------=,~--­

~------.~-"'--< -~

-$20,000 -$20,000 ~-----$40 ,000 ,000 +----.--.----r--.--~ -$40 +----.---.----,---.---~ 3.8% 4.2% 4.6% 5.0% 5.4% 5.8%

Ready

+--

x

258

CAPÍTULO 7 CAPÍTULO

m ~

Sol-E Sol-E

Análisis alternativa única única Análisis de de tasa tasa de rendimiento: rendimiento: alternativa

Para un análisis análisis más anterior procedimiento computadora. del anterior procedimiento por por computadora. Para más profundo, profundo, use use la la i* del efectivo y la TR son son las que las solu1,2. El diagrama diagrama de flujo flujo de de efectivo la relación relación TR las mismas mismas que las de la solución a mano. ción mano. La figura figura 7.4 7.4 muestra flujos de efectivo 3. La muestra los los flujos efectivo netos netos en la columna columna B. La función función TIR en la celda celda B14 5.16%. 4. La TIR en B14 despliega despliega i* = 5.16%. Con el propósito i*, la columna D despliega la columna despliega VP VP para para difedife5. Con propósito de de observar observar gráficamente gráficamente i*, rentes valores valores de i (columna (columna C). C). La función VNA rentes La función VNA se usa usa repetidamente repetidamente para para calcular calcular VP para en Excel contra i.i. La i* es ligeramente VP para la la gráfica gráfica de dispersión dispersión xy xy en Excel de VP VP contra La i* ligeramente menor que 5.2%. menor que 5.2%. Como se indica en la etiqueta etiqueta de en las funciones VNA. Como indica en de la celda celda D12, D 12, los los signos signos $ se insertan insertan en las funciones VNA. Esto proporciona proporciona referencias cual permite función VNA sea Esto referencias absolutas absolutas de celdas, celdas, lo cual permite que que la la función VNA sea correctamente "corrida" de (arrastrada con con el ratón). correctamente "corrida" de una una celda celda a otra otra (arrastrada ratón).

m ~

Sol-E

misma manera calcula utilizando ecuación VP, también De la misma manera que i* se calcula utilizando una una ecuación también puede puede determinarse de manera equivalente empleando empleando una determinarse manera equivalente una relación relación VA. Este Este método método se prefiere cuando cuando hay flujos flujos de efectivo efectivo anuales anuales uniformes solución a prefiere uniformes implicados. implicados. La solución mano es la misma misma que la del procedimiento procedimiento para para una una relación relación con base base en VP, execuación [7.2]. cepto que se utiliza utiliza la ecuación procedimiento para solución por computadora es exactamente exactamente el mismo El procedimiento para la solución por computadora mismo bosquejado líneas líneas antes utilizando función TIR. De manera interna, TIR TIR que el bosquejado utilizando la función manera interna, calcula la función función VNA diferentes valores obtiene VNA calcula VNA para para diferentes valores de i hasta hasta que se obtiene VNA = O. existe forma forma equivalente equivalente para para utilizar función PAGO, ya que ésta requiere (No existe utilizar la función requiere un calcular un valor valor fijo de i para para calcular valor A.) EJEMPLO EJEMPLO

7.3

: "

Utilice cálculos cálculos de con el propósito encontrar la flujos Utilice de VA con propósito de encontrar la tasa tasa de de rendimiento rendimiento para para los los flujos efectivo del ejemplo 7.2. 7.2. de efectivo del ejemplo Solución Solución 1. La La figura figura 7.3 7.3 muestra flujo de 1. muestra el diagrama diagrama de de flujo de efectivo. efectivo. Las relaciones formulan con con la ecuación [7.2]. [7.2]. 2. Las relaciones VA para para desembolsos desembolsos e ingresos ingresos se formulan la ecuación

•

VA OOO(A/P,i,IO) VADo =-500 = -500 OOO(A/P,i,lO) VARR = 10000 10000 + 700 700 OOO(A/F,i,lO) OOO(A/F,i,10) 0= -500 -500 OOO(A/P,i*,lO) OOO(A/P,i*,lO) +10 000 + 700 700 OOO(A/F,i*,lO) 0= +10 000 OOO(A/F,i*, lO)

3.

La solución solución de ensayo y error error genera los siguientes siguientes resultados: La de ensayo genera los resultados: En 5%, 0<$900 O < $900 En i = 5%, En 6%, O > $-4 $-4 826 826 En i = 6%, Por interpolación, 5.16%, igual Por interpolación, i* = 5.16%, igual que que antes. antes.

r

SECCIÓN SECCIÓN 7.3

Precauciones cuando usa el método método TR TR Precauciones cuando se usa

En conclusión, conclusión, para determinar i* a mano, elija VP, VA, o cualquier cualquier otra ecuaecuapara determinar mano, elija ción de equivalencia. mejor acostumbrarse utilizar uno solo de los equivalencia. En general, general, es mejor acostumbrarse a utilizar métodos con la finalidad métodos finalidad de evitar evitar errores. errores.

7.3 7.3

PRECAUCIONES PRECAUCIONES CUANDO CUANDO SE USA USA EL MÉTODO MÉTODO TR

El método tasa de rendimiento, rendimiento, por lo general, general, se utiliza utiliza en contextos método de tasa contextos de ingenieingeniería y negocios negocios para para evaluar proyecto, como se analiza para seevaluar un proyecto, analiza en este capítulo, capítulo, y para leccionar alternativa entre leccionar una alternativa entre dos o más, como como se explica explica en el siguiente siguiente capítulo. capítulo.

Cuando técnica de la TR resultará en Cuando se aplica aplica correctamente, correctamente, la técnica TR siempre siempre resultará una buena buena decisión, hecho, la misma misma que con un análisis VA una decisión, de hecho, análisis VP o VA (o VF). VF). Sin embargo, embargo, existen existen algunas algunas suposiciones suposiciones y dificultades dificultades con el análisis análisis de TR que deben mundo deben considerarse considerarse cuando cuando se calcula calcula i* y al interpretar interpretar su significado significado en el mundo real para para un proyecto proyecto específico. resumen que se ofrece específico. El resumen ofrece a continuación continuación se aplica aplica para para soluciones soluciones a mano y por computadora. computadora. •

•

•

•

Múltiples secuencia del flujo de efectivo efectivo neto Múltiples valores valores de i*. Dependiendo Dependiendo de la secuencia de desembolsos pueden existir una raíz real para para la ecuación desembolsos e ingresos, ingresos, pueden existir más de una ecuación TR, lo cual resulta resulta en más de un valor valor i*. Tal dificultad dificultad se examina examina en la siguiente guiente sección. sección. Reinversión a la tasa i*. Los métodos métodos VP y VA suponen Reinversión suponen que cualquier cualquier inversión positiva positiva neta (es decir, flujos de efectivo positivos netos netos una una vez que se efectivo positivos considera valor del dinero tiempo) se reinvierte reinvierte a la TMAR. TMAR. Pero Pero el considera el valor dinero en el tiempo) método TR supone reinversión a la tasa i*. Cuando método supone reinversión Cuando i* no está cerca cerca de la TMAR TMAR (por ejemplo, mayor que la TMAR), trata de ejemplo, cuando cuando i* es sustancialmente sustancialmente mayor TMAR), se trata una buena buena base base para para la una suposición suposición irreal. En tales casos, casos, el valor valor i* no es una toma de decisiones. Aunque con mayor mayor contenido toma decisiones. Aunque contenido computacional computacional que VP o VA a la TMAR, procedimiento para para emplear método TR y obtener TMAR, existe existe un procedimiento emplear el método obtener aun valor único único de i* positiva y este método método se un valor i*.. El concepto concepto de inversión inversión neta positiva analizan analizan en la sección sección 7.5. Dificultad computacional comprensión. En especial Dificultad computacional contra contra comprensión. especial cuando cuando se obtiene obtiene por ensayo mano, para para uno o múltiples valores de i*, una solución solución por ensayo y error error a mano, múltiples valores rápidamente se vuelven vuelven muy complicados. complicados. La solución los cálculos cálculos rápidamente solución con hoja de cálculo existen funciones cálculo es más sencilla; sencilla; sin embargo, embargo, no existen funciones en las hojas de cálcucálculo que ofrezcan mismo nivel nivel de comprensión para el aprendizaje aprendizaje como ofrezcan el mismo comprensión para como el que proporcionan las soluciones mano de las relaciones relaciones VP y VA. proporcionan soluciones a mano Procedimiento especial para Procedimiento especial para múltiples múltiples alternativas. alternativas. Utilizar Utilizar correctamente correctamente el método TR, para para elegir mutuamente excluyentes, método elegir entre entre dos o más alternativas alternativas mutuamente excluyentes, requiere un procedimiento procedimiento de análisis requiere análisis significativamente significativamente diferente diferente del que se usó en VP y VA. En el capítulo capítulo 8 se explica explica tal procedimiento. procedimiento.

En conclusión, conclusión, desde desde una estudio de ingeniería ingeniería económica, económica, los una perspectiva perspectiva de estudio métodos de valor anual o valor TMAR establecida establecida deberían deberían usarse métodos valor anual valor presente presente a una TMAR usarse

259

260

CAPÍTULO

7

Análisis de tasa de rendimiento:

alternativa única

en vez del método TR. Sin embargo, existe cierta ventaja con el método TR, pues los valores de tasa de rendimiento se citan muy frecuentemente. Y es fácil comparar el rendimiento de un proyecto propuesto con el de un proyecto en marcha.

de pc sa

Cuando se trabaja con dos o más opciones, y cuando es importante conocer el valor exacto de i*, un buen enfoque es determinar VP o VA a la TMAR, y luego realizar un seguimiento con la i';' específica para la alternativa elegida.

ti, cc sil

Como ilustración, si un proyecto se evalúa a la TMAR = 15% y tiene VP < 0, no hay necesidad de calcular i* ya que i* < 15%. No obstante, si VP > 0, calcule la i* exacta y repórtela junto con la conclusión de que el proyecto está financieramente justificado.

m

pr

o So

7.4

VALORES MÚLTIPLES DE LA TASA DE RENDIMIENTO

En la sección 7.2 se determinó una tasa de rendimiento i* única. En las series de flujo de efectivo presentadas hasta ahora, los signos algebraicos en los flujos de efectivo netos sólo cambian una vez, generalmente de menos en el año a más en algún momento durante la serie, lo cual se conoce como serie de flujo efectivo convencional (o simple). Sin embargo, para muchas series, los flujos de efectivo netos cambian entre positivo y negativo de un año al siguiente, de manera que existe más de un cambio de signo. A tal serie se le llama no convencional (no simple). Como se muestra en los ejemplos de la tabla 7.3, cada serie de signos positivos o negativos puede tener una longitud de uno o más. Cuando hay más de un cambio del signo en el flujo de efectivo neto, es posible que haya valores múltiples de i* en el rango de menos 100% a más infinito. Existen dos pruebas que se realizan en secuencia sobre las series no convencionales, para determinar si existen sólo uno o múltiples valores de i* que sean números reales. La primera prueba es la regla de los signos (de Descartes), la cual establece que el número total de raíces reales siempre es menor o igual al número de cambios de signos en la serie. Dicha regla se deriva del hecho

°

TABLA

.

7.3

Ejemplos de flujos de efectivo netos convencionales y no convencionales para un proyecto de 6 años Signos del flujo de efectivo neto

Tipo de serie O Convencional Convencional Convencional No convencional No convencional No convencional

+ +

1

2

3

4

5

6

+

+

+ +

+ +

+ + +

+ +

+ + + +

+ + + +

+ +

+ +

+

Número de cambios de signo 1 1 1 2 2 3

~

p<

•

SECCIÓN SECCIÓN 7.4 7.4

es ar

ola r-

Valores múltiples múltiples de la tasa tasa de rendimiento Valores de rendimiento

de que la relación relación definida para encontrar definida por las ecuaciones ecuaciones [7.1] o [7.2] para encontrar i* es un polinomio grado n. (Es posible imaginarios o el infinito infinito también polinomio de grado posible que valores valores imaginarios también satisfagan ecuación.) satisfagan la ecuación.) segunda y más discriminante discriminante prueba existe un valor La segunda prueba determina determina si existe valor real posipositivo de i*. Ésta Ésta es la prueba efectivo acumulado, acumulado, también prueba del signo signo del flujo flujo de efectivo también conocida conocida como como criterio criterio de Norstrom. Norstrom. En ella se establece establece que sólo un cambio cambio de signo en la serie de flujos de efectivo efectivo acumulados acumulados que comienzan comienzan negativamente, negativamente, signo indica positiva para para la relación relación polinomial. polinomial. Para indica que existe existe una raíz positiva Para efectuar efectuar esta prueba, determine prueba, determine la serie

ay i*

S, hasta el periodo periodo SI = = flujos de efectivo efectivo acumulados acumulados hasta

t

te

Observe Y cuente los cambios signo en la serie So, So, SI'OO', S1' ... ' Sn' S/1. Sólo si Observe el signo de So Ycuente cambios de signo So < O Yel signo único número número real positivo positivo i* O Yel signo cambia cambia una vez en la serie, existe existe un único i*.. Con los resultados resultados de estas dos pruebas, pruebas, la relación relación TR se resuelve resuelve o para para un valor único único i * o para múltiples múltiples valores valores de i*, usando usando ensayo mano, o por valor ensayo y error error a mano, computadora recomiencomputadora con la función función TIR que incorpora incorpora la opción opción "estimado" "estimado". . Se recomienutiliza una hoja hoja de da el desarrollo desarrollo de la gráfica gráfica VP contra contra i, en especial especial cuando cuando se utiliza cálculo. pruebas y la solución mano como cálculo. El ejemplo ejemplo 7.4 ilustra ilustra las pruebas solución para para i* i",, tanto a mano como por computadora. computadora.

EJEMPLO EJEMPLO

o

7.4

$'..;.

El grupo prueba de Honda Honda Motor Motor Corp. realiza trabajos trabajos bajo bajo grupo de de ingeniería ingeniería de diseño diseño y prueba Corp. realiza contrato para fabricantes mundo. Durante Durante los últimos tres tres contrato para fabricantes de automóviles automóviles a lo largo largo del del mundo. los últimos años, neto por por pagos pagos de contrato han variado variado ampliamente, años, los flujos flujos de de efectivo efectivo neto contrato han ampliamente, como como se muestra abajo, principalmente debido para muestra abajo, principalmente debido a la incapacidad incapacidad de los grandes grandes fabricantes fabricantes para pagar las tarifas tarifas de pagar de los los contratos. contratos. Año Año Flujo de Flujo de efectivo efectivo ($1 000) a) b)

e)

oo +2000 +2000

--500 500

2

3

-8100 -8100

+6800 +6800

Determine el número número máximo valores r:' pueda satisfacer relación TR. Determine máximo de de valores i" que que pueda satisfacer la relación TR. Escriba relación TR base en VP y aproxime valore es) i* graficando graficando VP VP Escriba la relación TR con con base en VP aproxime el (los) (los) valor(es) mano y por por computadora. contra contra ii,, a mano computadora. Calcule valores i* con más exactitud usando la función hoja de cálculo. Calcule los valores con más exactitud usando función TIR TIR de la hoja cálculo.

Solución a mano mano Solución a) La tabla 7.4 muestra los flujos Puesto que La tabla 7.4 muestra flujos de de efectivo efectivo anuales anuales y acumulados. acumulados. Puesto que existen existen dos regla de los dos cambios cambios de de signo signo en la secuencia secuencia del del flujo flujo de de efectivo, efectivo, la regla los signos signos indica máximo de valores reales reales i*. La La secuencia indica un máximo de dos dos valores secuencia del del flujo flujo de de efectivo efectivo acumuacumunúmero positivo positivo So = +2 000, lo cual lado lado empieza empieza con con un número cual indica indica que que no sólo sólo existe existe una raíz positiva. positiva. La La conclusión pueden encontrar hasta dos dos valores valores i* una raíz conclusión es que que se pueden encontrar hasta F..

261

262

CAPÍTULO 7

TABLA

Análisis de tasa de rendimiento: alternativa única

Secuencias del flujo de efectivo y del flujo de efectivo acumulado, ejemplo 7.4

7-4

Año

Flujo de efectivo ($1 000)

Número de secuencia

Flujo de efectivo acumulado ($1 000)

O 1 2 3

+2000 -500 -8100 +6800

So SI S2 S3

+2000 +1500 -6600 +200

La relación VP es:

b)

VP= 2 000 - 500(P/F,i,1) - 8 100(P/F,i,2) + 6 800(P/F,i,3) Elija valores de i para encontrar los dos valores i*, y grafique VP contra i. Los valores VP se muestran a continuación y se grafican en la figura 7.5 para valores i de O, 5, 10,20,30,40 Y50%. Se obtiene la característica forma parabólica para un polinomio de segundo grado, con VP cruzando el eje i en aproximadamente i'\ = 8 e i'~ = 41%. ,~.I

!

~I

i%

o

5

10

20

30

40

50

VP($1000)

+200

+51.44

-39.55

-106.13

-82.01

-11.85

+81.85

100 75 50 25 Oo o

....•

i%

O


2S

::: e,

20

50

30

-25 -50 -,75 -100

- - - Segmentos lineales --

Ajuste suavizado

-125 Figura 7.5 Valor presente de los flujos de efectivo a diversas tasas de interés, ejemplo 7.4.

SECCIÓN 7.4

Valores múltiples de la tasa de rendimiento

Solución por computadora a) Observe la figura 7.6. La función VNA se utiliza en la columna D para determinar el valor VP a distintos valores i (columna C), como se indica con la etiqueta de la celda. La gráfica de dispersión xy de Excel presenta VP contra i. Los valores i* cruzan la línea VP = O aproximadamente en 8% y 40%. b) La fila 19 en la figura 7.6 contiene los valores TR (incluso un valornegativo) ingresados como "estimado" dentro de la función TIR, para encontrar la raíz i* del polinomio que es más cercano al valor "estimado". La fila 21 incluye los dos valores resultantes i*: i'lj = 7.47% e i~ = 41.35%. Si "estimado" se omite de la función TIR, la entrada TIR(B4:B7) determinará sólo el primer valor, 7.47%. Como verificación sobre los dos valores i*, se puede establecer la función VNA para encontrar VP a los dos valores i*. Tanto VNA(7.47%,B5:B7)+B4 como VNA(41.35%,B5:B7)+B4 desplegarán aproximadamente $0.00.

$250.00 $200.00 $150.00

g.

;i

$100.00 $50.00

1\ \ \

$0.00 -$50.00

/

\.

-$100.00

-,

.:

/

./

-$150.00 0%

10% 20% 30% 40% 50% 60% Valor i

+_;2::.;:O:..;.;%~¡--..::30%

Figura 7.6 Hoja de cálculo que muestra la gráfica de VP contra i y múltiples valores de i*, ejemplo 7.4.

263

~Sol-E

264

EJEMPLO

CAPÍTULO

7.5

7

Análisis de tasa de rendimiento:

alternativa única

~.~;: Dos estudiantes de ingeniería iniciaron un negocio de desarrollo de software durante su último año en la universidad. Ahora han podido obtener la licencia, para los siguientes 10 años, de un paquete de modelado en tercera dimensión, a través del programa Small Business Partners de IBM. La tabla 7.5 muestra los flujos de efectivo netos estimados desarrollados por IBM desde la perspectiva del pequeño negocio. Los valores negativos en los años 1,2 Y 4 reflejan grandes costos de mercadeo. Determine el número de valores i*; estímelos gráficamente y por medio de la función TIR de una hoja de cálculo.

7.5

TABLA

Serie de flujo de efectivo neto y de flujo de efectivo acumulado, ejemplo 7.5. Flujo de efectivo, $100

Flujo de efectivo, $100

Año

Neto

Acumulado

Año

Neto

Acumulado

1

-2000 -2000 +2500 -500 +600

-2000 -4000 -1500 -2000 -1400

6

+500 +400 +300 +200 +100

-900 -500 -200 O +100

2 3 4 5

7

8 9 10

i~~ I

Solución por computadora La regla de los signos indica una serie de flujo de efectivo neto no convencional hasta con tres raíces. La serie de flujo de efectivo neto acumulado inicia negativamente y tiene sólo un cambio de signo en el año 10, lo cual señala que es posible encontrar sólo una raíz positiva. (Los valores cero en la serie de flujo de efectivo acumulado se ignoran cuando se aplica el criterio de Norstrom.) Se emplea una relación TR con base en VP para calcular i", 0=-2

OOO(P/F,i,1) - 2 000(P/F,i,2) + ... + 100(P/F,i,1O)

El VP del lado derecho se calcula para diferentes valores de i y se grafica sobre la hoja de cálculo (figura 7.7). El único valor i* = 0.77% se obtiene usando la función TIR con los mismos valores "estimado" para i utilizados en la gráfica de VP contra i. Comentario Una vez que la hoja de cálculo queda establecida como en la figura 7.7, los flujos de efectivo pueden "rnodificarse ligeramente" para realizar análisis de sensibilidad sobre el (los) valore(s) i*. Por ejemplo, si el flujo de efectivo en el año 10 se cambia sólo ligeramente desde $+ 100 a $-100, los resultados desplegados cambian a través de la hoja de cálculo a i* = -0.84%. Además, este simple cambio en el flujo de efectivo altera sustancialmente la secuencia de flujo de efectivo acumulado. Ahora SIO = $-100, como se confirma observando la tabla 7.5. Ahora no existe cambio de signo en la secuencia de flujo de efectivo acumulado, de modo que no se puede encontrar una única raíz positiva. Esto se verifica con el valor i* = -0.84%. Si se alteran otros flujos de efectivo, las dos pruebas que hemos aprendido deberían aplicarse para determinar si ahora existen raíces múltiples. Esto significa que los análisis de sensibilidad basados en las hojas de cálculo deben realizarse cuidadosamente cuando se aplica el método TR, ya que no todos los valores i* pueden determinarse mediante ligeras modificaciones a los flujos de efectivo en la pantalla.

P' SI

u rr

el Cl

E ú:

te

el di

st n:

el

SECCIÓN 7.4

Valores múltiples de la tasa de rendimiento

265

$200

<.

$0

~ 12 ~

-$200

"<,

e>

-$400

<,

-$600 .~

-$800 -$1,000 0%

2%

4%

6%

8%

10%

Valori

Figura 7.7 Solución en hoja de cálculo para calcular i*, ejemplo 7.5.

En muchos casos algunos de los valores múltiples de i* parecerán ridículos porque son o muy grandes o muy pequeños (negativos). Por ejemplo, para una secuencia con tres cambios de signo, los valores de 10, 150 Y 750 son difíciles de utilizar en el momento de tomar decisiones prácticas. (En efecto, una ventaja de los métodos VP y VA para el análisis de alternativas estriba en que las tasas irreales no entran en el análisis.) Al determinar qué valor de i* elegir como el valor de la TR, es común despreciar los valores negativos y grandes, o simplemente no calcularlos. En realidad, el enfoque correcto es determinar la tasa de rendimiento compuesta única, como se describe en la siguiente sección. Si se utiliza un sistema de hoja de cálculo estándar, tal como Excel, éste determinará normalmente una raíz de número real, a menos que se hayan ingresado en secuencia diferentes cantidades de TR "estimado". Este valor i* determinado de Excel es, en general, una raíz valuada en forma realista, porque la i* que resuelve la relación VP está determinada por el método de ensayo y error incorporado a la hoja de cálculo. Este método empieza con un valor predefinido, de ordinario 10%, o con el valor "estimado" suministrado por el usuario, como se ilustra en el ejemplo anterior.

s

266

CAPÍTULO 7 CAPÍTULO

7.5 7.5

Análisis de tasa tasa de rendimiento: rendimiento: alternativa alternativa única Análisis única

TASA DE RENDIMIENTO RENDIMIENTO COMPUESTA: COMPUESTA: ELIMINACiÓN ELIMINACiÓN TASA VALORES i* MÚLTIPLES MÚLTIPLES DE VALORES

rendimiento calculadas calculadas hasta hasta ahora ahora son tasas Las tasas de rendimiento tasas que equilibran equilibran exactaexactamente los flujos de efectivo efectivo positivos positivos y negativos, negativos, considerando considerando el valor mente valor del dinero dinero tiempo. Cualquier Cualquier método método que tome tome en consideración consideración el valor en el tiempo. valor del dinero dinero en el tiempo es útil para para calcular calcular dicha dicha tasa de equilibrio, equilibrio, como como VP, VA o VF. La tasa de tiempo interés obtenida obtenida a partir partir de tales cálculos cálculos se conoce conoce como como tasa interna rendimieninterés interna de rendimien(TIR). Expresada Expresada en forma simple, simple, la tasa interna to (TIR). interna de rendimiento rendimiento es la tasa de rendimiento del saldo no recuperado recuperado de una inversión, inversión, como rendimiento como antes se definió. definió. Los permanecen sin recuperar recuperar están están aún dentro fondos que permanecen dentro de la inversión, inversión, de ahí el nombre de tasa interna interna de rendimiento. rendimiento. Los términos términos generales, nombre generales, tasa de rendimienrendimieninterés, implican implican en general general la tasa interna interna de rendimiento. to y tasa de interés, rendimiento. Las tasas de interés citadas citadas o calculadas calculadas en capítulos capítulos previos previos eran eran todas interés todas tasas internas. internas. concepto de saldo no recuperado recuperado adquiere adquiere importancia importancia cuando El concepto cuando se generan generan arrojan) flujos de efectivo efectivo netos positivos (se arrojan) positivos antes del final de un proyecto. proyecto. Un efectivo neto positivo, positivo, una vez generado, generado, se libera flujo de efectivo libera como como fondo fondo externo externo al proyecto, considera más en el cálculo cálculo de la tasa interna proyecto, y no se considera interna de rendimiento. rendimiento. efectivo netos positivos positivos pueden ocasionar una secuencia Tales flujos de efectivo pueden ocasionar secuencia de flujo de efectivo no convencional convencional y valores valores múltiples múltiples de i*. Sin embargo, efectivo embargo, existe existe un método método para considerar considerar explícitamente explícitamente estos fondos, fondos, como como se plantea plantea más adelante. Adiciopara adelante. Adicionalmente, se elimina elimina el dilema dilema de raíces raíces múltiples múltiples de i*. nalmente, comprender que el procedimiento procedimiento detallado más adelante se usa para Es importante comprender Determinar la tasa tasa de rendimiento rendimiento para para el flujo flujo de efectivo Determinar efectivo estimado estimado cuancuanexisten múltiples múltiples valores valores i* indicados indicados por por las reglas do existen reglas de los signos signos tanto tanto del flujo de efectivo como del flujo de efectivo acumulado, acumulado, y que que los flujos flujos positivos netos del proyecto proyecto ganarán ganarán a una de efectivo positivos una tasa tasa establecida establecida que que diferente de cualquier cualquier valor valor i* múltiple. múltiple. es diferente ejemplo, suponga suponga que una serie de flujo de efectivo efectivo tiene Por ejemplo, tiene dos valores valores i* que equiequilibran la ecuación ecuación de TR (10% Y y 60% anual) y cualquier cualquier efectivo libran efectivo liberado liberado por por el proyecto es invertido invertido por por la compañía compañía a una una tasa tasa de rendimiento rendimiento de 25% anual. yecto anual. El procedimiento siguiente siguiente encontrará encontrará una sola tasa de rendimiento rendimiento para serie de fluprocedimiento para la serie jo efectivo. No obstante, obstante, si se sabe que el efectivo efectivo liberado jo de efectivo. liberado ganará ganará exactamente exactamente formula el mismo mismo enunciado enunciado usando 60%. 10%, la única única tasa es 10%. Se formula usando la tasa tasa de 60%. Como antes, si no es necesaria necesaria la tasa de rendimiento rendimiento exacta Como exacta para para el flujo de efectivo estimado estimado de un proyecto, proyecto, resulta resulta mucho mucho más simple, efectivo simple, e igualmente igualmente correccorrecto, utilizar utilizar un análisis análisis VP o VA VA a la TMAR TMAR para para determinar determinar si el proyecto proyecto es finanfinancieramente viable. viable. Ésta Ésta es la manera manera normal normal de operación operación en un estudio cieramente estudio de ingenieingenieeconómica. ría económica. Considere los cálculos cálculos de tasa interna interna de rendimiento rendimiento para Considere para los siguientes siguientes flujos efectivo: se invierten invierten $10 000 en t = O, O,se reciben $8000 $8 000 en el año 2, y se reciben de efectivo: se reciben reciben $9000 en el año 5. La ecuación ecuación VP que determina determina i* es: $9000 0= --10 000(P/F,i,2) + 9 000(P/F,i,5) 000(P/F,i,5) 0= 10 000 + 8 000(P/F,i,2) 16.815% i* = 16.815%

ex¡ uti tud

En sU(

rer lib ble tas

qw de do ve] en rer rei cie 1m pai

Es sal

pu

El qu er

SECCIÓN SECCIÓN 7.5 7.5

Tasa múltiples Tasa de de rendimiento rendimiento compuesta: compuesta: eliminación eliminación de valores valores i* múltiples

Si se utiliza utiliza esta tasa para para los saldos recuperados, la inversión recuperará saldos no recuperados, inversión se recuperará exactamente procedimiento para para verificar verificar esto es idéntico exactamente al final del año 5. El procedimiento idéntico al utilizado en la tabla tabla 7. 1, que describe para eliminar utilizado 7.1, describe cómo cómo funciona funciona TR para eliminar con exactiexactitud el saldo saldo no recuperado efectivo final. recuperado con el flujo de efectivo Saldo no recuperado inmediatamente antes de recibir 000: Saldo recuperado al final del año 2 inmediatamente recibir $8 000: 000(F/P,16.815%,2) --10 10 000(F/P,16.815%,2)

s 1

e

= --10 = $-13 $-13 646 = 10 000(1 + 0.16815)2 =

inmediatamente después después de recibir Saldo no recuperado recuperado al final del año 2 inmediatamente recibir $8 000: = $ --55 646 --13 13 646 + 8 000 =

Saldo no recuperado inmediatamente antes de recibir Saldo recuperado al final del año 5 inmediatamente recibir $9 000: -5 646(F/P,16.815%,3) 646(FlP,16.815%,3) = $$-9000 -5 9000

inmediatamente después después de recibir Saldo no recuperado recuperado al final del año 5 inmediatamente recibir $9 000: $-99 000 + 9 000 = $0 $e o

a o s e ¡-

o1 ll-

te o.

de c-

cálculo no se consideran consideran los $8000 $8000 disponibles disponibles después después del año 2. ¿Qué ¿Qué En este cálculo sucede si se consideran consideran los fondos fondos liberados liberados de un proyecto calcular la tasa sucede proyecto al calcular tasa de rendimiento global de éste? éste? Después Después de todo, fondos rendimiento global todo, algo debe hacerse hacerse con los fondos liberados. Una posibilidad suponer que el dinero dinero se reinvierte alguna tasa estaliberados. posibilidad es suponer reinvierte a alguna tasa establecida. supone que los fondos fondos excedentes excedentes de un proyecto ganan a la blecida. El método método TR supone proyecto ganan tasa i*, pero quizá no sea una tasa cotidiana. Otro enfoenfopero ésta quizá tasa realista realista en la práctica práctica cotidiana. consiste en suponer suponer tan sólo que las reinversiones ocurren a la TMAR. TMAR. Además que consiste reinversiones ocurren Además cuenta de todo el dinero dinero liberado liberado durante durante el periodo de dar cuenta periodo del proyecto proyecto y reinvertireinvertido a una tasa realista, realista, el enfoque enfoque analizado analizado a continuación continuación tiene la ventaja ventaja de conconvertir una serie de flujo de efectivo efectivo no convencional convencional (con valores múltiples de i*) vertir valores múltiples convencional con una raíz, considerarse como como la tasa en una serie convencional raíz, que puede puede considerarse tasa de rendimiento decisión sobre sobre un proyecto. rendimiento para para tomar tomar una decisión proyecto. ganancias utilizada liberados se llama llama la tasa de La tasa de ganancias utilizada para para los fondos fondos liberados reinversión, externa de rendimiento rendimiento y se simboliza simboliza por c. Dicha establereinversión, o tasa externa Dicha tasa, establecida por fuera fuera del flujo de efectivo efectivo estimado estimado (externa (externa al proyecto) está evaevacida proyecto) que se está luando, depende depende de la tasa disponible en el mercado inversiones. Si una comcomluando, tasa disponible mercado para para inversiones. pañía obteniendo, por ejemplo, ejemplo, 8% en sus inversiones inversiones diarias, diarias, entonces entonces ce == 8%. pañía está obteniendo, común fijar ce igual igual a la TMAR. TMAR. Ahora, interés que Es práctica práctica común Ahora, la única única tasa de interés satisface la ecuación llama la tasa de rendimiento satisface ecuación de la tasa de rendimiento rendimiento se llama rendimiento compuesta simboliza por i'i'.. Por definición: puesta (TRC) y se simboliza Por definición: rendimiento compuesta compuesta i' es la tasa La tasa de rendimiento tasa de rendimiento rendimiento única única para para un proyecto supone que los flujos de efectivo netos positivos, proyecto que supone positivos, que reprerepresentan dinero dinero no requerido inmediatamente por sentan requerido inmediatamente por el proyecto, proyecto, se reinvierten reinvierten tasa de reinversión reinversión c. a la tasa compuesto se utiliza describir dicha dicha tasa de rendimiento El término término compuesto utiliza aquí para para describir rendimiento porporésta se obtiene obtiene utilizando interés, a saber, la tasa que ésta utilizando otra tasa de interés, tasa ce de reinversión. reinversión. Si igual a cualquier cualquier otro de los valores entonces la tasa compuesta compuesta i' ce resulta resulta ser igual valores i*, entonces

267

268

CAPÍTULO CAPÍTULO 7

Análisis Análisis de de tasa tasa de de rendimiento: rendimiento: alternativa alternativa única única

será será igual igual a ese ese valor valor de i*. i*. La La TRC TRC se conoce conoce también también como como rendimiento rendimiento sobre sobre el el capital capital invertido invertido (RCI). (RCI). Una Una vez vez que que se determina determina la i'i' única, única, se compara compara con con la TMAR TMAR para para decidir decidir sobre sobre la viabilidad viabilidad financiera financiera del proyecto, proyecto, como como se explicó explicó en sección 7.2. la sección El procedimiento procedimiento correcto correcto para para determinar determinar i'i' se denomina denomina procedimiento procedimiento de de inversión inversión neta. neta. La técnica técnica permite permite encontrar encontrar el valor valor futuro futuro de la cantidad cantidad de inverinversión neta neta en un año al futuro. futuro. Calcule Calcule el valor valor F+ de la inversión inversión neta neta del proyecto proyecto en el año t a partir partir de Ft_"t_ l , utilizando utilizando el factor factor FIP FIP para para un año a la tasa tasa de reinversión reinversión c, si la inversión inversión neta neta anterior anterior Ftt_,_ , es positiva positiva (dinero (dinero extra extra generado generado por por el proyecproyecto), o a la tasa TRC TRC i' si Fi.; F t_ l es negativa negativa (el proyecto proyecto utilizó utilizó todos todos los fondos fondos dispodisponibles). nibles). Matemáticamente, Matemáticamente, para para cada cada año t establezca establezca la relación relación [7.6] [7.6]

donde t = donde = 1,2, 1,2, ... ...,, n n = = total de años en el proyecto proyecto C,t = = flujo de efectivo efectivo neto en el año t C

Fi Se fo

{c

O (inversión (inversión positiva si F;-, > O positiva neta) neta) (inversión negativa i' si F;-, < OO (inversión negativa neta) neta)

= {c i=

Defina la relación relación de inversión inversión neta (FIl = = O) Defina neta para para el año n igual.a iguala cero cero (F O) y resuelva resuelva para i'. i', El valor valor i' obtenido obtenido es único establecida c. para único para para una una tasa tasa de reinversión reinversión establecida desarrollo desde desde F, serie de flujo de efectivo siguiente, que El desarrollo F, hasta hasta F3 F3 para para la serie efectivo siguiente, grafica en la figura figura 7.8a, se ilustra = TMAR = se grafica ilustra para para una una tasa tasa de reinversión reinversión de ec = TMAR = 15%. II

Flujo de efectivo, efectivo, $

Año Año

oo

50 -200 50 100 100

1 2 3

inversión neta para el año tt = = OO es: La inversión

F¿ = = $50 Fo

E

lo

A dt

ec e~ re

1.

2.

3.

positiva, de manera manera que rinde ce = = 15% durante durante el primer primer año. Mediante Mediante la que es positiva, ecuación ecuación [7.6], [7.6], F, es

= 50(1 + 0.15) - 200 == $$-142.50 F, = 142.50 resultado se muestra muestra en la figura 7.8b. Puesto Puesto que la inversión inversión neta del proyecproyecEste resultado negativa, el valor F¡ F, obtiene obtiene un interés interés a la tasa compuesta compuesta i' durante durante el to ahora es negativa, consiguiente, para para el año 2, año 2. Por consiguiente,

ta ql

= F¡ F, (1 (1 + i') + C2 = = -142.50(1 -142.50(1 + i') + 50 F2 =

pl

m

SECCIÓN SECCIÓN 7.5 7.5

Tasa Tasa de de rendimiento rendimiento compuesta: compuesta: eliminación eliminación de de valores valores j':' i* múltiples múltiples

100 100 50 50

50 50

oO

2

100 100

100 lOO

50 50

3

oO

2

269 269

100 lOO

50 50

3

oO

2

3

oO

2

142.50(1 i') 142.50(1 + i')

142.50 142.50

[142.50(1 + i') [142.50(1 -50](1 - 50] (1 + i')

n

200 200 a)

b)

el)

e)

Figura 7.8 Figura Serie efectivo para forma original; Serie de de flujo flujo de de efectivo para la cual cual se se calcula calcula la tasa tasa de de rendimiento rendimiento i' i' compuesta: compuesta: a) a) forma original; b) el el año año 1, e) el año año 2 yy d) forma equivalente equivalente en en b) forma el) el año año 3.

determinarse (figura Puesto que F22 será negativo para todos El valor valor i' debe determinarse (figura 77.8c). .8c). Puesto negativo para O, utilice utilice i' para para establecer establecer F F33 como se muestra muestra en la figura figura 7.8d. 7.8d. los i' > O, F33 = = Fil Fi1 + i') + C3 F

= [-142.50(1 [-142.50(1 + i') + 50](1 + i') + 100 =

3

[7.7]

Al definir definir la ecuación ecuación [7.7] igual igual a cero y resolviendo resolviendo para para i', resultará resultará la única única tasa rendimiento compuesta compuesta i'. i', Los valores valores resultantes resultantes son 3.13% 3.13% y -168%, -168%, ya que la de rendimiento ecuación [7.7] es una relación relación cuadrática cuadrática (potencia (potencia 2 para para i'). El valor valor de i' = = 3.13 % ecuación correcta en el rango rango de -100% -100% a oo ., El procedimiento procedimiento para para encontrar encontrar i' se es la i* correcta resume resume de la siguiente siguiente manera: manera: Elabore un diagrama diagrama de flujo de efectivo efectivo de la serie de flujo de efectivo efectivo neto 1. Elabore original. original. Desarrolle la serie de inversiones inversiones netas utilizando utilizando la ecuación ecuación [7.6] y el valor valor c. 2. Desarrolle El resultado resultado es la expresión expresión FII en términos términos de i'. i', Defina FII == O OYencuentre valor i' que satisface satisface la ecuación. ecuación. 3. Defina y encuentre el valor Vienen a colación colación diversos diversos comentarios. comentarios. Si la tasa de reinversión reinversión e es igual al valor de la tasa interna interna de rendimiento rendimiento i* i* (o sólo a uno de los valores valores de i* cuando cuando múltiples), la i' que se calcula calcula será exactamente exactamente la misma misma que i* i*,, es decir, e == i* i* hay múltiples), i', Cuanto Cuanto más cercano cercano el valor de e esté de i*, menor menor será la diferencia diferencia entre las == i'. compuesta e interna. Como se mencionó mencionó anteriormente, anteriormente, es razonable razonable suponer suponer tasas compuesta TMAR, si todos los fondos provisto provisto por el proyecto proyecto pueden obtenerlos obtenerlos de que e == TMAR, manera realista realista el rendimiento rendimiento de la TMAR. TMAR. manera continuación se resumen resumen las relaciones relaciones entre e, i' e i*; i*; asimismo, asimismo, en el ejemA continuación plo 7.6 se demuestran demuestran las relaciones. relaciones.

270

CAPÍTULO 7 CAPÍTULO

Análisis tasa de rendimiento: alternativa única Análisis de tasa rendimiento: alternativa única

Relación entre entre Relación tasa de reinversión reinversión e e j* i*

Relación entre entre Relación TeR j* TeR j' e i*

r

e= = i* e < i* e> i* e>

i' = i* i'i' < i* i' > i*

Recuerde: El procedimiento completo de inversión inversión neta se utiliza cuando se indiRecuerde: procedimiento completo utiliza cuando valores múltiples múltiples de i*, los cuales cuales se presentan cuando una serie no convenconvenquen valores presentan cuando cional de flujo de efectivo efectivo no tiene tiene una raíz positiva, como lo determina determina el criterio criterio cional positiva, como Además, ninguno aplica si el de Norstrom. Norstrom. Además, ninguno de los pasos en este procedimiento procedimiento se aplica método de valor valor presente valor anual se utiliza evaluar un proyecto método presente o de valor utiliza para para evaluar proyecto a la TMAR. TMAR. inversión neta también aplica cuando cuando está El procedimiento procedimiento de inversión también se aplica está presente presente una interna de rendimiento (i*);); pero la tasa tasa de reinversión establecida Ce) (c) es signisignitasa interna rendimiento (i* reinversión establecida ficativamente diferente diferente de i*. Para Para esta situación situación continúan continúan siendo siendo correctas correctas las ficativamente mismas relaciones entre e, c, i* e i' establecidas establecidas líneas líneas arriba. mismas relaciones entre

EJEMPLO EJEMPLO

7.6

Calcule la tasa tasa de rendimiento compuesta para grupo de ingeniería ingeniería de Honda Honda Motor Motor Calcule rendimiento compuesta para el grupo Corp. del del ejemplo ejemplo 7.4, 7.4, si la tasa tasa de reinversión 7.47% y b) la TMAR TMAR corporativa Corp. reinversión es a) 7.47% corporativa de 20%. Los Los múltiples valores de i* están están determinados determinados en en la figura figura 7.6. 7.6. 20%. múltiples valores Solución Solución inversión neta determinar i' i' para = 7.47%. 7.47%. a) Utilice Utilice el procedimiento procedimiento de inversión neta para para determinar para e = La figura figura 7.9 7.9 muestra muestra el flujo flujo de de efectivo efectivo original. original. 1. La La primera expresión del del proyecto inversión neta $+2 000. 000. Como Como Fo> Fo> 2. La primera expresión proyecto de inversión neta es F¿ Fo = $+2 7.47% escribir F¡ F, por ecuación [7 [7.6]. O, utilice utilice e = 7.47 % para para escribir por la ecuación .6] .

Figura 7.9 Flujo de efectivo original (en miles), ejemplo 7.6.

$6800

$2000

Año Año

oo

1 $500 $500

2

$8100 100 $8

3

SECCIÓN 7.5 SECCIÓN

Tasa de rendimiento rendimiento compuesta: compuesta: eliminación eliminación de valores valores i* múltiples múltiples Tasa

Figura 7.10 7.10 Figura Flujo de de efectivo efectivo Flujo equivalente (en (en equivalente miles) de de la figura figura miles) 7.9 con con reinversión reinversión 7.9 en e = = 7.47%. 7.47%. en

$6800 $6800

Año Año

o

2

3

$6327.39 $6327.39

F, 000(1.0747) -500 -500 = $1 649.40 649.40 F¡ = 2 000(1.0747) Puesto que F¡ > O, O, use use e = 7.47% 7.47% para para calcular calcular F Puesto que F22• • 649.40(1.0747) - 8100 8100 = $-6 $-6 327.39 327.39 F22 = 1 649.40(1.0747) La figura figura 7.10 7.10 muestra muestra el flujo flujo de efectivo efectivo equivalente equivalente en este este momento. momento. Puesto Puesto La que F utilice ii'' para para expresar expresar F3. que F22 < O, utilice

F3 =-6 =-6 327.39(1 327.39(1 + i/) i') + 6 800 800 3. Defina Defina F3 = =O OY resuelva para para i' directamente. directamente. 3. Y resuelva -6327.39(1 800 = O -6 327.39(1 + i') + 6 800

i' = 1 + ¡'

6800 1.0747 6800 = 1.0747 6327.39 6327.39

7.47% i'i' = 7.47% La TRC TRC es 7.47%, 7.47%, que que es lo mismo mismo que que e, la tasa tasa de reinversión reinversión y el valor valor i~ q La determinado ejemplo 7.4, 7.4, figura figura 7.6. 7.6. Observe Observe que que 41.35%, 41.35%, que que es el segunsegundeterminado en en el ejemplo valor i*, ya'llo ya-no equilibra equilibra la ecuación ecuación de tasa de rendimiento. rendimiento. El resultado resultado del del do valor de la tasa valor futuro futuro equivalente equivalente para para el flujo flujo de efectivo efectivo en la figura figura 7.10, 7.10, si i' fuera fuera valor 41.35%, es: 41.35%, 6 327.39(F/P,41.35%,I) 327.39(F/P,41.35%,I) = $8 943.77"* 943.77"#- $6800 $6 800 b) b)

Para TMAR TMAR = e = 20%, 20%, la serie serie de inversión inversión neta neta es: Para

r, 000 Fo = +2 000

(F¿» O, use use e) (Fo>

F¡ = 2 000(1.20) 000(1.20) - 500 500 = $1 900 900

(F¡ (F, > O, use use e)

900(1.20) - 8 100 100 = $-5 $-5 820 820 F22 = 1L900(1.20)

(F (F22 < O, use use i/) i')

F3 = -5 -5 820(1 820(1 + i/) i') + 6 800 800

271

272

CAPÍTULO

7

Análisis de tasa de rendimiento:

alternativa única

Defina F3 = O Y resuelva para i' directamente: 1 + i' =

6800 5820

= 1.1684

i' = 16.84%

La TRC es i' = 16.84% a una tasa de reinversión mento marcado de i' = 7.47% con e = 7.47%.

de 20%, que representa

un incre-

Advierta que como ir; < TMAR = 20%, el proyecto no está justificado financieramente. Esto se verifica mediante el cálculo de VP = $-106 al 20% para los flujos de efectivo originales.

7.7

EJEMPLO

..

Determine la tasa de rendimiento compuesta para el flujo de efectivo de la tabla 7.6 si la tasa de reinversión es la TMAR de 15% anual. ¿Se justifica el proyecto? Solución Una revisión de la tabla 7.6 indica que los flujos de efectivo no convencionales tienen dos cambios de signo y que la secuencia de flujo de efectivo acumulado no comienza con un valor negativo. Existe un máximo de dos valores i*. Para encontrar el único valor de i', desarrolle la serie de inversión neta desde F¿ hasta FIO usando la ecuación [7.6] y e = 15%. Fo=O (F¡ > O, use e)

F¡ = 200 F2

= 200(1.15)

+ 100

= $330

(F2 > O, use e) (F3 > O, use e)

F3 = 330(1.15) + 50 = $429.50 F4

= 429.50(1.15)

F, = -1306.08(1

TABLA

7.6

- 1 800

306.08

(F4 < O, usar i')

Secuencias de flujo de efectivo y de flujo de efectivo acumulado, ejemplo 7.7 Flujo de efectivo,

Año

= $-1

+ i') + 600

Neto

O

O

1 2 3 4 5

200 100 50 -1800 600

$

Acumulado

O +200 +300 +350 -1450 -850

Flujo de efectivo, $ Año

Neto

Acumulado

6 7 8 9 10

500 400 300 200 100

-350 +50 +350 +550 +650

(

r r

SECCIÓN SECCIÓN 7.6 7.6

Tasa Tasa de rendimiento rendimiento de una una inversión inversión en en bonos bonos

Puesto Puesto que que no se sabe sabe si F5 es mayor mayor o menor menor que que cero, cero, en en todas todas las expresiones expresiones restantes restantes use use i'. i', F6 500 = = [-l [-l 306.08(1 306.08(1 + i') + 600](1 600](1 + i') + 500 500 F6 = F55(1 (1 + i') + 500 F7 400 F 7 = F66(1 (1 + i') + 400

F F 7(1 + i') + 300 Fag = F7(1 300 F9 = F F8g(1 (1 + i') + 200 200 FIO FJO

= F9(l (1 + i') + 100

Para Para calcular calcular i', i', la expresión expresión FlO FJO = = O se resuelve resuelve por por ensayo ensayo y error. error. La La solución solución determina determina justificado. Para que que i' i' = = 2l.24%. 21.24%. Como Como i' i' > TMAR, TMAR, el proyecto proyecto está está justificado. Para trabajar trabajar más más con con este este ejercicio y con con el procedimiento procedimiento de inversión inversión neta, neta, revise revise el estudio estudio de caso caso en en este este capítulo. capítulo. ejercicio Comentario Comentario Las Las dos dos tasas tasas que que satisfacen satisfacen la ecuación ecuación TR TR son son i~ = 28.71 28.71 % e i~ = 48.25%. 48.25%. Si se vuelve vuelve a trabajar trabajar este este problema problema a cualquier cualquier tasa tasa de reinversión, reinversión, el valor valor i' será será el mismo mismo que que estas estas tasas de reinversión; reinversión; es decir, tasas decir, si e = 28.71 28.71 %, entonces entonces i' = 28.71 28.71 %.

n

Existe una función Existe función de hoja hoja de cálculo cálculo llamada llamada TIRM TIRM (TIR modificada), modificada), la cual determina determina una tasa de interés interés única, cuando cuando se ingresa ingresa una tasa de reinversión reinversión e para para flujos de efectivo efectivo positivos. positivos. Sin embargo, embargo, la función función no realiza realiza el procediprocedimiento miento de inversión inversión neta para para la serie de flujo de efectivo efectivo no convencional convencional que se analiza analiza aquí, más bien bien requiere requiere que se proporcione proporcione una tasa financiera financiera para para los utilizados como como inversión inversión inicial. inicial. Entonces, Entonces, las fórmulas fórmulas para para los cálculos cálculos fondos utilizados TIRM y TRC TRC no son las mismas. mismas. La TIRM TIRM no producirá producirá exactamente exactamente la misma de TIRM misma respuesta resulten ser las mismas respuesta que la ecuación ecuación [7.6], a menos que todas las tasas resulten mismas valor sea una de las raíces relación de TR. y este valor raíces de la relación

7.6 TASA DE RENDIMIENTO RENDIMIENTO DE UNA UNA INVERSiÓN INVERSiÓN EN BONOS BONOS capítulo 5 el lector lector aprendió aprendió la terminología bonos y cómo cómo calcular calcular el En el capítulo terminología de los bonos inversión en bonos. bonos. La serie de flujo de efectivo efectivo para para una inversión inversión en VP de una inversión bonos bonos es convencional convencional y tiene una única única i*, la cual se determina determina mejor mejor al resolver resolver rendimiento basada una ecuación ecuación de tasa de rendimiento basada en VP de la forma forma de la ecuación ecuación [7.1]. Los ejemplos procedimiento. ejemplos 7.8 y 7.9 ilustran ilustran el procedimiento.

EJEMPLO EJEMPLO

7.8

~~~' x~·~

Allied Allied Materials Materials necesita necesita $3 millones millones en en capital capital de deuda deuda para para materiales materiales compuestos compuestos expandidos. b0l!0s de baja baja denominación expandidos. Está Está ofreciendo ofreciendo bonos denominación a un precio precio de descuento descuento de pagadero semes$800 bono de $1000 $800 para para un bono $1 000 a14% al 4% que que madura madura en en 20 20 años, años, con con interés interés pagadero semestralmente. tralmente. ¿Qué ¿Qué tasas tasas de interés interés nominal nominal y efectiva efectiva anuales, anuales, compuestas compuestas semestralmente, semestralmente, pagará pagará Allied Allied Materials Materials a un inversionista? inversionista?

273 273

274

CAPÍTULO 7 CAPÍTULO

Análisis de rendimiento: alternativa única Análisis de tasa tasa de rendimiento: alternativa única

Solución Solución un comprador recibirá de bonos es el interés interés de bono 11= = $20 El ingreso ingreso que que un comprador recibirá de la compra compra de bonos de bono $20 cada 6 meses valor nominal en 20 ecuación con con base en VP calcular cada meses más más el valor nominal en 20 años. años. La La ecuación base en VP para para calcular la tasa tasa de retomo es de retorno

0= 20(P/A,i*,40) + 1 000(P/F,i*,40) 0= -800 -800 + 20(P/A,i*,40) 000(P/F,i*,40) Resuelva por por computadora mano para para obtener 2.87% semestralResuelva computadora (función (función TIR) TIR) o a mano obtener i* = 2.87% semestralmente. interés nominal anual se calcula calcula al multiplicar multiplicar i* por mente. La La tasa tasa de interés nominal anual por 2. nominal = 2.87%(2) 2.87%(2) = 5.74% i nominal 5.74% anual, anual, compuesta compuesta semestralmente semestralmente Usando ecuación [4.5], [4.5], la tasa anual efectiva efectiva es Usando la ecuación tasa anual

ia = (1.0287)2 (1.0287)2 - 1 = 5.82% 5.82% ia

EJEMPLO EJEMPLO

7.9

. . Gerry es un recién incorporado incorporado a Boeing en California. California. Él Gerry un recién Boeing Aerospace Aerospace en Él tomó tomó un un riesgo riesgo financiero al comprar comprar un bono de una corporación 'diferente que ha incumplido su pago financiero bono de una corporación diferente que incumplido su pago de de bono de pagadero trimestraltrimestralintereses. Él Él pagó pagó $4 240 240 por por un bono intereses. de $10 $10 000 000 al 8% con con interés interés pagadero mente. El El bono bono no no ha ha pagado pagado intereses primeros 3 años mente. intereses durante durante los primeros años después después de de que que Gerry Gerry lo compró. hubiese pagado pagado durante años, y luego compró. Si el interés interés se hubiese durante los los siguientes siguientes 7 años, luego Gerry Gerry fuese capaz capaz de revender 000, ¿qué ¿qué tasa de rendimiento obtenido fuese revender el bono bono por por $11 000, tasa de rendimiento habría habría obtenido sobre la inversión? inversión? Suponga Suponga que que el bono está previsto previsto madurar después de de su años después sobre bono está madurar 18 años compra. Realice análisis mano yy por por computadora. compra. Realice análisis a mano computadora.

Solución Solución a mano mano El interés bono recibido recibido en El interés de bono en los años años del del 4 a 10 fue 1 = (lO 1= (lO 000)(0.08) 000)(0.08) 4

= $200 por = $200 por trimestre trimestre

La tasa tasa de rendimiento efectiva por trimestre puede determinarse resolver la ecuación La de rendimiento efectiva por trimestre puede determinarse al resolver ecuación VP desarrollada sobre sobre una que esta esta base VP desarrollada una base base por por trimestre, trimestre, puesto puesto que base hace hace PP PP = pc. Pe. 0= -4240 -4240 + 200(P/A,i* 12) 0= 200(P/A,i* por por trimestre,28)(P/F,i* trimestre,28)(P/F,i* por por trimestre, trimestre,12)

+ 11 OOO(P/F,i* por por trimestre,40) trimestre,40) La ecuación es correcta correcta para que es una 16.4% La ecuación para i* = 4.1 % por por trimestre, trimestre, que una tasa tasa nominal nominal de 16.4% anual, compuesta compuesta trimestralmente. anual, trimestralmente.

~

~

Sol-E Sol-E

Solución Solución por por computadora computadora La solución se muestra figura 7.11. 7.11. La de cálculo cálculo está está diseñada diseñada para calcular La solución muestra en la figura La hoja hoja de para calcular directamente una de interés interés anual anual de de 16.41 16.41 % en la celda celda El. El. Los ingresos de $200 directamente una tasa tasa de Los ingresos de $200 trimestralmente interés del bono convierten a pagos anuales equivalentes equivalentes de $724.24 $724.24 trimestralmente por por interés bono se convierten pagos anuales

I

F

1 (

I

1

275

RESUMEN DEL CAPÍTULO

VAen determinarse inicialmente usando la función VA en la celda E6. Podría determinarse inicialmente en la hoja de cálculo una tasa trimestral, pero este enfoque requeriría requeriría cuatro veces el número de entradas de $200, en comparación con las seis veces que $724.24 se ingresa aquí. (Una referencia referencia El, E6 YB6. Y B6. Sin embargo, al pulsar pulsar circular puede indicarse por Excel entre las celdas El, desplegaría la solución i* == 16.41 16.41%. La referencia referencia circular se evita si OK se continúa y se desplegaría se ingresan los 40 trimestres de $0 y $200 en la columna B, con los cambios necesarios en encontrar la tasa trimestral.) las relaciones de la columna E, para encontrar trimestral.) II!!Ir¿¡¡Ei

X Micros oft E"cel

Año

o 2 3 4 5 6 7 8 - 9 10

Cantidad

Tasa de rendimiento i'

-$4.240.00 $0.00

Valor nominal del bono

$0.00

Tasa de interés del bono

$0.00

Interés del bono/trimestre

$724.24

VP del interés del bono/año

$10.000 8% $200 $724.24

$724.24 $724.24 $724.24 $724.24 $724.24 $11.724.24

Figura 7.11 Figura Solución en hoja hoja de de cálculo cálculo de de i* para una inversión Solución para una inversión en bonos, bonos, ejemplo ejemplo 7.9. 7.9.

RESUMEN DEL CAPíTULO CAPíTULO RESUMEN rendimiento, o tasa de interés, interés, es un término común entendientendiLa tasa de rendimiento, término de uso muy común embargo, la mayoría gente puede dificultad do casi por todos. Sin embargo, mayoría de la gente puede tener tener gran dificultad calcular correctamente correctamente una secuencias de para calcular una tasa de rendimiento rendimiento i* para para todas las secuencias efectivo. Para algunos algunos tipos de series, series, es posible posibilidad un flujo de efectivo. posible más de una posibilidad

276

CAPÍTULO 7 CAPÍTULO

Análisis alternativa única Análisis de tasa tasa de rendimiento: rendimiento: alternativa única

de TR. El número número máximo máximo de valores valores i* es igual número de cambios igual al número cambios en los signos de la serie de flujo de efectivo Descartes de los signos). Adeefectivo neto (regla (regla de Descartes signos). Adepuede encontrarse una tasa positiva positiva única más, puede encontrarse una única si la serie del flujo de efectivo efectivo neto acumulado negativamente y tiene tiene sólo un cambio acumulado empieza empieza negativamente cambio de signo signo (criterio (criterio de Norstrom). Norstrom). Para todas las series de flujo de efectivo indicación de raíces raíces múltiples, múltiples, Para efectivo con una indicación tiene que tomarse tomarse una decisión tiene decisión sobre sobre si se deben deben calcular calcular las múltiples múltiples tasas interrendimiento compuesta, usando una tasa de reinversión reinversión externanas i* o la tasa de rendimiento compuesta, usando externamente determinada. Dicha general, se define define igual igual a la TMAR. TMAR. Aunque mente determinada. Dicha tasa, por por lo general, Aunque la tasa tasa interna tasa compuesta interna casi siempre siempre es más fácil de calcular, calcular, la tasa compuesta es el enfoque enfoque correcto, ventajas: se eliminan múltiples de rendimienrendimiencorrecto, ya que implica implica dos ventajas: eliminan las tasas múltiples por el proyecto, proyecto, utilizando utilizando to y se consideran consideran los flujos de efectivo efectivo neto liberados liberados por una tasa tasa de reinversión reinversión realista. realista. Sin embargo, múltiples tasas i*, o la una embargo, el cálculo cálculo de múltiples tasa de rendimiento rendimiento compuesta, con frecuencia herramientas computasa compuesta, con frecuencia incluye incluye herramientas computacionales. tacionales. Si no es necesaria necesaria una una TR TR exacta, exacta, se recomienda recomienda ampliamente ampliamente que que se usen usen métodos VP VP o VA con para evaluar justificación económica. los métodos con la TMAR TMAR para evaluar la justificación económica.

PROBLEMAS PROBLEMAS diato en los sitios de construcción. construcción. El costo costo del edificio edificio fue de $100 $100 000 y el contratista contratista acordó vendedor financiar acordó con el vendedor financiar la compra compra durante periodo de 5 años. En el acuerdo durante un periodo acuerdo se estableció mensuales deestableció que los pagos pagos mensuales bían hacerse sobre una amortización a 30 años, pero el saldo adeudado pero adeudado al final del año 5 debería pagarse en una una sola debería pagarse sola exhibición. exhibición. ¿Cuál monto de esta ¿Cuál fue el monto esta suma suma global, global, si la tasa tasa de interés préstamo fue de interés sobre sobre el préstamo 6% anual, compuesto mensualmente? compuesto mensualmente?

Comprensión de la TR TR Comprensión

7.1 ¿Qué rendimiento de ¿Qué significa significa una tasa de rendimiento 100%? 7.2 Un préstamo préstamo de $10 000, amortizado durante 5 años con una tasa de interés interés de 10% anual, requeriría abonos para terminar terminar requeriría abonos de $2 638 para de pagarlo pagarlo cuando cuando el interés se carga al saldo insoluto. Si el interés se carga al capital principal en lugar de al saldo insoluto, ¿cuál sería el balance balance después mismos después de 5 años, si los mismos pagos de $2 638 se hicieran hicieran cada pagos cada año? 7.3

7.4

A-l Loans Loans hace hace préstamos préstamos con el interés A-l interés pagado sobre principal en lugar pagado sobre el capital capital principal lugar de sobre Para un préstamo préstamo sobre el saldo insoluto. insoluto. Para de $10 000 pagadero pagadero a 4 años, al 10% anual, ¿qué pago pago por año se requeriría requeriría para reempara reembolsarlo en 4 años si el interés bolsarlo interés se cargara cargara al a) capital principal y b) saldo insoluto? capital principal insoluto? pequeño contratista Un pequeño contratista industrial industrial compró compró bodegas para para almacenar un edificio edificio de bodegas almacenar equipos y materiales inmemateriales que no necesita necesita de inme-

Determinación de TR TR Determinación de

7.5

¿Qué por mes obtendrá ¿Qué tasa de rendimiento rendimiento por obtendrá periodo de proun emprendedor emprendedor durante durante el periodo yecto de 211h h años, si invirtió yecto invirtió $150000 $150000 en la producción de compresores portátiles de aire producción compresores portátiles de 12 voltios? Sus costos estimados mensuaestimados mensuales son de $27 000, con ingresos ingresos de $33 000 por mes. por

7.6

Se pidió pidió a la empresa empresa Camino Camino Real Landfill Landfill instalara una membrana que instalara membrana de plástico plástico para para

"J

277

PROBLEMAS

impedir que las lec hadas se trasminaran hacia el agua subterránea. El área por cubrir era de 50 000 metros cuadrados y el costo de la membrana instalada fue de $8 por metro cuadrado. Para recuperar la inversión, el propietario del relleno sanitario cargó $10 por cada carga de camioneta, $25 por la de camión de cascajo, y $70 por la de vehículo compactador. Si la distribución mensual fue de 200 camionetas, 50 camiones y 100 vehículos compactadores, ¿cuál será la tasa de rendimiento que el dueño del relleno obtendrá sobre la inversión, si el área por llenar se adecua para 4 años?

7.7 Swagelok Enterprises fabrica accesorios y válvulas en miniatura. Durante un periodo de 5 años, los costos asociados con una línea de producto fueron los siguientes: costo inicial de $30 000 y costos anuales de $18 000. El ingreso anual fue de $27 000, y el equipo usado se vendió en $4 000. ¿Qué tasa de rendimiento obtuvo la compañía por este producto?

7.8 Barron Chemical usa un polímero termoplástico para mejorar la apariencia de ciertos paneles RY. El costo inicial de un proceso fue de $130 000, con costos anuales de $49000 e ingresos de $78 000 en el año 1, con incrementos anuales de $1 000. Se obtuvo un valor de rescate de $23 000 cuando el proceso se descontinuó después de 8 años. ¿Qué tasa de rendimiento tuvo la empresa por este proceso?

7.9 Una egresada de la Universidad de Nuevo México posee un negocio exitoso y quisiera iniciar un fondo por su cuenta para otorgar becas a estudiantes de ingeniería económica. Ella desea que las becas sean de $10 000 por año, y que la primera se otorgara el día de la donación (es decir, en el momento O). Si planea donar $100 000, ¿qué tasa de rendimiento tendría que alcanzar la universidad a fin de poder entregar las becas de $10 000 anuales para siempre?

7.10 La compañía PPG manufactura una amina epóxica que se usa para evitar que el contenido de envases con tereftalato de polietileno (TP) reaccionen con el oxígeno. A continuación se muestra el flujo de efectivo (en millones) asociado con el proceso. Determine la tasa de rendimiento. Año

Costo, $

O 1 2

-10

3 4

5 6

-4 -4 -4

-3 -3 -3

Ingreso, $ 2

3 9 9 9 9

7.11 Una ingeniera mecánica emprendedora comenzó un negocio para cortar llantas en tiras, a fin de aprovechar las ventajas que otorga una ley del Estado de Texas que prohíbe desecharlas completas en los rellenos sanitarios. El costo de la cortadora fue de $220 000 y se gastó $15 000 para conseguir energía de 460 voltios, además de otros $76000 en la preparación del sitio para ubicar la cortadora. Por medio de contratos celebrados con distribuidores de llantas, recibía un pago de $2 por llanta y manejaba un promedio de 12000 de éstas al mes, durante 3 años. Los costos anuales de operación por mano de obra, energía, reparaciones, etc., sumaban un total de $1.05 por llanta. También vendió algunos trozos de llanta a instaladores de fosas sépticas quienes las usan en los campos por drenar. La empresa generó $2 000 netos por mes y después de 3 años, la ingeniera vendió el equipo en $100000. ¿Qué tasa de rendimiento obtuvo a) por mes y b) por año (nominal y efectiva)?

7.12 Una compañía de Internet N a C proyectó los flujos de efectivo (en millones, vea la siguiente página). ¿Cuál es la tasa de rendimiento que obtendría si los flujos ocurrieran de acuerdo a lo planeado?

278

7.13

.~/,

I~~t : al I 7.14

CAPÍTULO

7

Análisis de tasa de rendimiento:

Año

Gasto, $

Ingreso, $

O 1 2 3 4

-40 -40 -43

15

7.15

Techstreet.com es un negocio pequeño de diseño de páginas web que proporciona servicios para dos tipos principales de sitios web: los de tipo folleto y los de comercio electrónico. Un paquete involucra un pago inicial de $90 000, y pagos mensuales de 1.4\t por visita. Una compañía de software para dibujo por computadora está analizando el paquete y calcula que va a tener al menos 6 000 visitas por mes, de las cuales espera que 1.5% terminen en una venta. Si el ingreso promedio por ventas (después de pagar tarifas y otros gastos) es de $150, ¿qué tasa de rendimiento mensual obtendría la compañía de software para dibujo si usara el sitio web durante 2 años?

7.16

Una persona entabló una demanda, ganó el juicio y obtuvo una compensación de $4 800 por mes durante 5 años. El demandante necesita ahora una suma bastante grande de dinero para hacer una inversión y ofreció al defensor de su oponente la oportunidad de pagar $110 000 en una sola exhibición. Si el defensor acepta la oferta y pagaran $110 000 ahora, ¿cuál sería la tasa de rendimiento que obtendría el defensor por la inversión realizada? Suponga que el pago próximo de $4 800 debe hacerse dentro de un mes.

12

-45

17

51

5

-46 -48

6-10

-50

63 80

La Universidad de California en San Diego, estudia un plan para construir una planta de 8 megawatts de cogeneración para satisfacer parte de sus necesidades de energía. Se espera que el costo de la planta sea de $41 millones. Con un costo de $120 por cada megawatt-hora, la universidad consume al año 55 000 de éstos. a) Si la universidad fuera capaz de producir energía a la mitad del costo que paga ahora, ¿qué tasa de rendimiento lograría por su inversión, si la planta de energía durara 30 años? b) Si la universidad vendiera un promedio de 12000 megawatt-hora por año en $90 cada uno, ¿qué tasa de rendimiento obtendría? Una nueva máquina de afeitar de Gillette llamada M3Power emite pulsos que hacen que la piel levante el pelo de modo que puede cortarse con más facilidad. Esto tal vez haga que las navajas duren más debido que habría menos necesidad de rasurar repetidas veces la misma superficie. El sistema M3Power (que incluye las baterías) se vende en $14.99 en ciertas tiendas y un paquete de cuatro navajas cuesta $10.99, mientras que las navajas M3Turbo, más convencionales, cuestan $7.99 en un paquete de cuatro. Si las navajas para el sistema M3Power duran 2 meses, en tanto que las M3Turbo duran sólo 1 mes, ¿qué tasa de rendimiento (nominal y efectiva) se obtendría si una persona comprara el sistema M3Power, a) por mes y b) por año? Suponga que la persona ya tiene una rasuradora M3Turbo pero necesita comprar navajas en el momento O. Use un periodo de proyecto de un año.

alternativa única

7.17

En el Army Research Laboratory, los científicos desarrollaron un mejor proceso de adhesión por difusión que se espera aumente en forma significativa el rendimiento de compuestos híbridos multifuncionales. Los ingenieros de la NASA estiman que los compuestos que se fabrican por medio del nuevo proceso procurarán ahorros en muchos proyectos de exploración espacial. A continuación se muestran los flujos de efectivo para un proyecto. Determine la tasa de rendimiento anual. Año t

Costo ($1 000)

O 1

-210

2-5

Ahorro ($1 000)

-150 100 + 60(t- 2)

7,

7

7

PROBLEMAS

7.18 a

s o o e e

e é a a

Una compañía acerera australiana, ASM International, afirma que puede lograrse un ahorro de 40% del costo de una barra de acero inoxidable para alambre si se reemplazan los hilos fabricados por deposiciones precisas de soldadura. Un fabricante estadounidense de remaches y accesorios para rellenar planea adquirir el equipo, por lo que un ingeniero mecánico de esta empresa preparó las estimaciones de flujo de efectivo siguientes. Determine la tasa de rendimiento (nominal) esperada por trimestre y por año. Trimestre

Costo, $

O

-450000 -50000 -40000 -30000 -20000 -10 000

1

2 3 4 5 6-12

el

279

servirá para financiar a 100 estudiantes con $10 000 para cada uno por año, ¿qué tasa de rendimiento debe lograr el donativo? 7.21

Ahorro, $ 10000 20000 30000 40000 50000 80000

Una fundación filantrópica recibió un donativo de $5 millones por parte de un próspero contratista de la construcción. Se especificó que como premio se entregarían $200 000 durante cada uno de los 5 años a partir de hoy (es decir, 6 premios) a una uni versidad involucrada en la investigación acerca del desarrollo de materiales compuestos en capas. De ahí en adelante, se harían entregas iguales al monto de los intereses generados cada año. Si se espera que el importe de los fondos del año 6 hasta el futuro indefinido sea de $1 000 000 anuales, ¿cuál es la tasa de rendimiento que obtendría la fundación?

Valores TR múltiples 7.19

Il-

de Il-

de

7.20

2)

Se piensa que una aleación de indio-galioarsénico-nitrógeno, desarrollada en Sandia National Laboratory, tiene usos potenciales en la generación de electricidad por medio de celdas solares. Se espera que el material nuevo tenga una vida más larga, y se cree que tendrá una tasa de eficiencia de 40%, lo que representa casi el doble del de las celdas solares convencionales. De usarse las celdas nuevas, la vida útil de un satélite de comunicaciones podría ampliarse de 10 a 15 años. ¿Qué tasa de rendimiento podría obtenerse si una inversión adicional de $950 000 generara ingresos extra de $450000 en el año 11, $500 000 en el 12, y cantidades que crezcan $50 000 por año hasta el año 15? Un donativo permanente a la Universidad de Alabama se destinará para premiar con becas a los estudiantes de ingeniería. Los premios se entregarán 5 años despúés de que se haga la donación global de $10 millones. Si el interés que genere el donativo

7.22

¿Cuál es la diferencia entre una serie de flujo de efectivo convencional y no convencional?

7.23

¿Cuáles flujos de efectivo se asocian con la regla de los signos de Descartes y el criterio de Norstrom?

7.24

De acuerdo con la regla de los signos de Descartes, ¿cuántos valores posibles de i* existen para los flujos de efectivo que tienen los signos indicados a continuación? a) ---+++-+ b) ------+++++ e) ++++------+-+---

7.25

En la página siguiente se muestra el flujo de efectivo (en miles) asociado con un método nuevo para fabricar cortadores de cartón, para un periodo de 2 años. a) Use la regla de los signos de Descartes para determinar el número máximo de valores posibles de la tasa de rendimiento. b) Use el criterio de Norstrom para determinar si sólo existe un valor positivo de la tasa de rendimiento ..

280

CAPÍTULO 7

Trimestre

Egreso, $

Ingreso, $

O

-20 -20 -10 -10 -10 -10 -15 -12 -15

O

1 2 3 4 5 6 7 8

7.26

'J'lIltl

o 1 2 3

o 1 2 3

7.28

7.29

-30000 20000 15000 -2000

Flujo neto de efectivo, $ -17000 20000 -5000 8000

Arc-bot Technologies, fabricante de robots con servomecanismos eléctricos de seis ejes, obtuvo para un departamento de envíos los

Año

Egreso, $

Ahorro, $

O

-33000 -15000 -40000 -20000 -13000

18000 38000 55000 12000

1 2 3 4

Flujo neto de efectivo, $

Un fabricante de fibras de carbono para espuma densa (que se usa en artículos deportivos, compuestos termoplásticos, aspas de molinos de viento, etc.) reportó los flujos de efectivo que se presentan en seguida. a) Determine el número de valores posibles de la tasa de rendimiento, y b) encuentre todos los valores de la tasa de rendimiento entre -50% y 120%. Año

flujos de efectivo que se aprecian a continuación. a) Determine el número posible de los valores de la tasa de rendimiento, b) encuentre todos los valores de i* entre 0% y 100%.

5 10 25 26 20 17 15 2

RKI Instruments manufactura un controlador de ventilación diseñado para vigilar y controlar el monóxido de carbono en estacionamientos cerrados, salas de calderas, túneles, etc. A continuación se presenta el flujo de efectivo neto asociado con una fase de la operación. a) ¿Cuántos valores posibles de tasas de rendimiento hay para esta serie de flujo de efectivo? b) Encuentre todos los valores de la tasa de rendimiento entre 0% y 100%. Año

7.27

Análisis de tasa de rendimiento: alternativa única

O

Hace cinco años, una compañía hizo una inversión de $5 millones en un material nuevo de alta temperatura. El producto no fue bien recibido después de su primer año en el mercado. Sin embargo, cuando se reintrodujo 4 años después, se vendió bien durante un año. El financiamiento para efectuar investigación profunda a fin de di versificar sus aplicaciones costó $15 millones en el año 5. Determine la tasa de rendimiento de estos flujos de efectivo (se muestran en seguida con cifras en miles). Año O 1

Flujo neto de efectivo, $ -5000 4000

2

O

3

O

4 5

20000 -15000

Tasa de rendimiento compuesta 7.30

¿Qué significa el concepto tasa de reinversión?

7.31

Un ingeniero que trabaja para General Electric invirtió su bono anual en acciones de la compañía. Su bono fue de $5 000 durante cada uno de los 6 años pasados (es decir, al final de los años 1 a 6). Al final del año 7, él vendió acciones por $9 000 que usó para remodelar su cocina (ese año no compró acciones). En los años 8 a 10, de nuevo invirtió su bono de $5 000. El ingeniero vendió todas sus acciones remanentes en

7.3

7.3

PROBLEMAS PROBLEMAS

inmediatamente después después de que $50 000, inmediatamente última inversión inversión al final del año 10. hizo la última Determine el número número de valores posibles posibles a) Determine de la tasa de rendimiento de la serie de flujo de efectivo. b) Calcule Calcule la tasa de rendimiento rendimiento efectivo. compuesta. Use una tasa de reinversión reinversión de compuesta. 20% anual.

$

7.32

a al o o se n

a e 5

de efectivo, efectivo, $1 000 000 Flujo de

o O

-65 -65 30 84 -10 -10 -12 -12

1

2 3 44

7.33 Para Para la serie flujo de efectivo serie de flujo efectivo que se 7.33 muestra, muestra, calcule calcule la tasa de rendimiento rendimiento compuesta empleo de una puesta con el empleo una tasa tasa de reinreinversión versión de 14% anual. Año

Flujo de de efectivo, efectivo, $

oO

3000 3000 -2000 -2000 1000 1000 -6000 - 6000 3800 3800

1 2 3 44

r-

es u-

(es del só

7.34 Para el proyecto proyecto del material material de alta tempetempe7.34 Para ratura ratura que se describe describe en el problema problema 7.29, 7.29, determine determine la tasa tasa de rendimiento rendimiento compuesta compuesta si la tasa tasa de reinversión reinversión es de 15% anual. Los flujos flujos de efectivo efectivo (que (que se repiten repiten a conticontinuación), nuación), están están expresados expresados en unidades unidades de $1000. $1000. Año Flujo de de efectivo, efectivo, $ O 1

m-

2

YO

3

ero en

Bonos Bonos 7.35

Un bono bono municipal municipal que emitió emitió hace tres años la ciudad ciudad de Phoenix Phoenix tiene un valor nominal nominal de $25 000 y una tasa de interés interés de 6% que se paga paga semestralmente. semestralmente. Si hay que pagar pagar el bono 25 años después después de que se emitió, emitió, a) ¿cuáles ¿cuáles son la cantidad cantidad y frefrecuencia pagos por intereses cuencia de los pagos intereses del bono, y b) ¿qué usarse en la ¿qué valor valor de n debe debe usarse fórmula PIA para para encontrar presente fórmula PIA encontrar el valor presente de los pagos pagos restantes por intereses restantes por intereses del bono? Suponga que la tasa de interés interés en el bono? Suponga mercado es de 8% anual, compuesto compuesto semesmercado tralmente. tralmente.

7.36 7.36

Un bono bono hipotecario hipotecario de $10 000 con tasa interés de 8% anual que se paga forma de interés paga en forma trimestral se compró trimestral compró en $9 200. El bono bono se guardó hasta hasta que debió debió pagarse, guardó pagarse, es decir, 7 años en total. total. ¿Qué tasa de rendimiento años ¿Qué tasa rendimiento (nominal) meses (nominal) obtuvo obtuvo el comprador comprador por por 3 meses y por por año?

7.37 7.37

Un plan plan para para remodelar remodelar el centro centro de Steubenville, benville, Ohio, Ohio, requirió requirió que la ciudad ciudad emitiera bonos de obligaciones tiera bonos obligaciones generales generales con valor de 5 millones millones para para reemplazar reemplazar la invalor fraestructura. fraestructura. La La tasa tasa de interés interés del bono bono se anual, pagaderos pagaderos en forma forma trifijó en 6% anual, mestral, con con fecha fecha de repago repago futuro futuro del del mestral, capital capital principal principal para para 30 años años después. después. Las tarifas tarifas bursátiles bursátiles por por la transacción transacción fueron fueron total de $100 $100000. ciudad recibió recibió por un total 000. Si la ciudad $4.6 millones millones (antes de pagar pagar las comisiones comisiones mencionadas) mencionadas) generados generados por por la emisión emisión del bono, a) ¿qué ¿qué tasa tasa de interés interés (trimestral) (trimestral) bono, necesitan necesitan los inversionistas inversionistas para para comprar comprar los bonos?, b) b) ¿cuáles ¿cuáles son para para los inversionisinversionisbonos?, tas tas las las tasas tasas de rendimiento rendimiento nominal nominal y efectiva efectiva por por año? año?

compañía que fabrica fabrica discos para para emUna compañía bragues de carros de carreras, tuvo en uno de departamentos los flujos de efectivo efectivo que sus departamentos continuación. Calcule Calcule a) la se presentan presentan a continuación. tasa interna interna de rendimiento, tasa rendimiento, y b) la tasa de rendimiento compuesta, con el uso de una rendimiento compuesta, tasa de reinversión reinversión de 15% anual. Año

4 5

-5000 -5000 4000 4000

O O

OO 20000 20000 -15000 -15000

281

7.38 7.38 Un Un bono bono colateral colateral con con valor valor nominal nominal de de 000 fue comprado comprado por por un inversionista inversionista $5 000 Hay que que pagar pagar el bono bono dentro dentro de en $4 100. Hay 11 años con con una una tasa tasa de interés interés de 44% anual, 11 % anual, que que se paga paga de modo modo semestral. semestral. Si el inverinversionista sionista guardó guardó el el bono bono hasta hasta su vencimienvencimien-

282 282

CAPÍTULO CAPÍTULO 77

Análisis Análisis de de tasa tasa de de rendimiento: rendimiento: alternativa alternativa única única

to, ¿qué ¿qué tasa tasa de rendimiento rendimiento obtuvo obtuvo por por to, periodo semestral? semestral? periodo 7.39 7.39

ingeniero que que planeaba planeaba la educación educación Un ingeniero universitaria de su hijo hijo compró compró un cupón cupón universitaria cero corporativo corporativo (es decir, decir, que que no tiene tiene cero pagos por por intereses) por $9 250. El bono bono pagos intereses) por tiene un valor valor nominal nominal de $50 $50 000 000 y debe debe tiene pagarse en 18 años. Si el bono bono se conserva conserva pagarse hasta su vencimiento, vencimiento, ¿cuál ¿cuál es la tasa tasa de hasta rendimiento que obtendrá obtendrá el ingeniero ingeniero por por rendimiento su inversión? inversión?

miento miento semestral semestral que que logró logró un inversionisinversionista que que compró compró uno uno con con valor valor nominal nominal de $5 000 000 hace hace 4 años años y lo conservó conservó hasta hasta que que se lo solicitaron solicitaron 4 años años más más tarde? tarde? 7.41 7.41

7.40 Hace Hace cuatro hizo una una emisión emisión cuatro años, Texaco Texaco hizo de $5 millones millones de bonos bonos certificados certificados con una anual, que que se paga paga tasa de interés interés de 10% anual, en forma tasas de interés interés en forma semestral. semestral. Las tasas el mercado mercado disminuyeron compañía disminuyeron y la compañía recuperó los bonos bonos (es decir, los pagó pagó en recuperó forma premio forma anticipada) anticipada) con un 10% de premio sobre nominal (pagó millones sobre su valor valor nominal (pagó $5.5 millones retirarlos). ¿Cuál fue la tasa de rendirendipor retirarlos).

Hace Hace cinco cinco años, años, GSI, GSI, una una compañía compañía petrolera trolera de servicios, servicios, emitió emitió bonos bonos a 30 años años con La tasa tasa con valor valor de $10 $10 millones millones al 12%. La de interés interés en el mercado mercado disminuyó disminuyó lo suficiente ficiente para para que que la compañía compañía considerara considerara recuperar recuperar los los bonos. bonos. Si la la empresa empresa los los comprara comprara de nuevo nuevo en $11 millones, millones, a) ¿qué ¿qué tasa tasa de rendimiento rendimiento trimestral trimestral obtendría obtendría sobre sobre el desembolso desembolso de $11 millones, millones, y b) ¿qué ¿qué tasa tasa nominal nominal de rendimiento rendimiento anual anual lograría inversión de $11 millones? lograría sobre sobre la inversión millones? Recomendación: Recomendación: si gasta gasta $11 millones millones ahora, ahora, la compañía compañía no tendría tendría que que pagar pagar los intereses intereses semestrales semestrales del bono bono o pagar pagar el valor cuando venzan valor nominal nominal de éstos éstos cuando venzan dentro de 25 años. dentro

PROBLEMAS PROBLEMAS DE REPASO FI 7.42

Cuando el flujo de efectivo efectivo neto de una alCuando ternativa ternativa cambia cambia de signo signo más de una vez, efectivo es: se dice que el flujo de efectivo a) Convencional Convencional Simple b) Simple c) Extraordinario Extraordinario d) No convencional convencional

7.43

De acuerdo acuerdo con la regla regla de los signos signos de Descartes, Descartes, ¿cuántos ¿cuántos valores valores posibles posibles de la tasa de rendimiento rendimiento existen existen para el flujo de efectivo efectivo que tienen los siguientes siguientes signos?: ++++-----+-+---++ ++++------+-+---++ a) 3 b) 5 c) 6 d) Menos de 3

7.44

compañía manufacturera manufacturera pequeña pequeña obUna compañía $1 millón, lo reembolsó reembolsó tuvo un préstamo de $1

7.

7.

7 por por medio medio de pagos pagos mensuales mensuales de $20 000 durante 2 años más un pago global global único único de durante años. La tasa de inte$1 millón millón al final de 2 años. préstamo fue la más cercana cercana a: a: rés sobre el préstamo mensual a) 0.5% mensual mensual b) 2% mensual c) 2% anual d) 8% anual

7.45

criterio de N Norstrom, De acuerdo con el criterio orstrom, sólo positivo de la tasa de rendihay un valor positivo miento en una serie de flujo flujo de efectivo efectivo miento cuando éste: cuando Comienza como positivo positivo y cambia cambia de a) Comienza signo sólo una vez Empieza como como negativo negativo y cambia cambia de b) Empieza signo sólo una vez acumulado es mayor mayor que cero c) Su total acumulado acumulado es menor menor que cero d) Su total acumulado

7

PROBLEMAS

nisde que

peños tasa surara los 'qué dría

7.46

Una inversión de $60 000 dio origen a un ingreso uniforme de $10 000 anuales durante 10 años. La tasa de rendimiento sobre la inversión fue la más cercana a: a) 10.6% anual b) 14.2% anual c) 16.4% anual d) 18.6% anual

7.47

Para los flujos netos de efectivo que se muestran a continuación, el número máximo de soluciones posibles para la tasa de rendimiento es: a) O b) 1 c) 2 d) 3

y b)

nual nes? nes los el

7.48 000 ode intea a:

sólo nditivo ia de ia de cero cero

7.49

Año

Flujo neto de efectivo,

O 1 2 3 4 5 6

-60000 20000 22000 15000 35000 13 000 -2000

Suponga que a usted le proponen invertir hoy $100000 para recibir $10 000 anuales a partir del año 5 y que eso continuará siempre. Si aceptara la oferta, la tasa de rendimiento sobre la inversión sería de: a) Menos de 10% anual b) 0% anual c) 10% anual d) Más de 10% anual

283

7.50

Hace cinco años un alumno de una universidad pequeña donó $50 000 para establecer un fondo permanente para becas, de las cuales las primeras se entregaron 1 año después de que se donó el dinero. Si la cantidad entregada cada año (es decir, el interés) es de $4 500, la tasa de rendimiento que gana el fondo es lo más cerca a: a) 7.5% anual b) 8.5% anual c) 9% anual d) 10% anual

7.51

Cuando los flujos netos de efectivo son positivos y se generan antes del final de un proyecto y cuando estos flujos de efectivo se reinvierten con una tasa de interés mayor a la tasa interna de retorno, a) la tasa de retorno resultante es igual a la tasa interna de retorno b) la tasa de retorno resultante es menor a la tasa interna de retorno c) la tasa de retorno resultante es igual a la tasa de reinversión de retorno d) la tasa de retorno resultante es mayor a la tasa interna de retorno

7.52

Un bono hipotecario de $10 000 que se devuelve en 20 años paga intereses de $250 cada seis meses. La tasa de interés del bono está muy cerca de: a) 2.5% anual, con pagos trimestrales b) 5.0 % anual, con pagos trimestrales c) 5% anual, con pagos semestrales d) 10% anual, con pagos trimestrales

7.53

Un bono de $10 000 que vence en 20 años con interés de 8% anual pagadero trimestralmente, se emitió hace 4 años. Si el bono se comprara ahora en $10 000 y se conservara hasta su vencimiento, ¿cuál sería para el comprador la tasa efectiva de rendimiento por trimestre? a) 2% b) 2.03% c) 4% d) 8%

$

Un transportista de grandes cantidades de material compró un camión usado en $50 000, cuyo costo de operación fue de $5 000 por rnes, con ingresos promedio de $7 500 mensuales. Después de 2 años, lo vendió en $11 000. La tasa de rendimiento fue la más cercana a: a) 2.6% mensual b) 2.6% anual c) 3.6% mensual d) 3.6% anual

DE REPASO FI

-

-- --

1

--

-----

284 284

CAPÍTULO CAPÍTULO 7

Análisis de tasa tasa de rendimiento: rendimiento: alternativa única alternativa única Análisis

7.54 Una persona bono de persona compra compra en $4 000 un bono $5000 $5 000 con 5% anual, con intereses intereses que se pagan bono tiene tiene una pagan semestralmente. semestralmente. El bono fecha de vencimiento partir de vencimiento de 14 años a partir hoy. La ecuación ecuación para para calcular calcular en cuánto cuánto debe vender vender el bono persona para para dentro bono la persona dentro de 6 años, a fin de obtener una tasa de renrenobtener una dimiento dimiento de 12% anual, compuesto compuesto semessemestralmente, tralmente, es: a) 0 0== --44 000 + 125(P/A,6%,12) 125(P/A,6%,12) + x(P/F,6%,12) x(P/F,6%,12) b) 0 0== -4000 -4000 + 100(P/A,6%,12) 100(P/A,6%,12) + x(P/F,6%,12) x(P/F,6%,12) e) 0 0== -5000 -5000 + 125(P/A,6%,12) 125(P/A,6%,12) + x(P/F,6%,12) x(P/F,6%,12)

d) 0 0== --44 000 + 125(P/A,12%,6) 125(P/A,12%,6) + x(P/F,12%,6) x(P/F,12%,6)

7.55 7.55

Se encuentra venta un bono bono corporativo encuentra a la venta corporativo de $50 000 a pagarse pagarse en 20 años, con una paga en tasa de interés interés de 10% anual anual que se paga forma trimestral. inversionista lo comcomforma trimestral. Si un inversionista hasta su vencimiento, pra y lo conserva conserva hasta vencimiento, la rendimiento será tasa de rendimiento será la más cercana cercana a: a) 10% nominal nominal anual, compuesto trimescompuesto trimestralmente tralmente b) 2.5% por por trimestre trimestre e) Ambos Ambos incisos, incisos, a) y b), son correctos correctos d) 10% efectivo por año efectivo por

en de de de al de es ell cr El

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EJERCICIOS AMPLIADOS AMPLIADOS

EJERCICIO AMPLIADO 1: EL EL COSTO DE UNA UNA POBRE POBRE EJERCICIO AMPLIADO COSTO DE CLASIFICACIÓN CLASIFICACIÓN CREDITICIA CREDITICIA

Cl

Dos personas personas han solicitado préstamos de $5 000, cada una tasa de interés solicitado préstamos cada una, a una interés del 10% anual durante parte del acuerdo préstamo de Charles durante 3 años. Una parte acuerdo de préstamo Charles establece se paga paga a la tasa tasa de 10% compuesto blece que el interés interés " ... ...se compuesto cada cada año sobre sobre el saldo decreciente". que su pago pago anual será de $2 010.57, decreciente". A Charles Charles se le indica indica que 010.57, con vencimiento préstamo. cimiento al final de cada cada año del préstamo. Actualmente, Jeremy tiene una clasificación Actualmente, Jeremy tiene clasificación crediticia crediticia ligeramente ligeramente degradada, degradada, la cual préstamos del banco. banco. Jeremy tiene el cual fue descubierta descubierta por el ejecutivo ejecutivo de préstamos Jeremy tiene hábito pagar tarde sus facturas. banco aprobó préstamo, pero pero una parte parte de hábito de pagar facturas. El banco aprobó el préstamo, su acuerdo se paga paga a una tasa del 10% compuesta acuerdo establece establece que el interés interés " ... ...se compuesta cada cada año sobre sobre la cantidad pago anual cantidad original original del préstamo". préstamo". A Jeremy Jeremy se le dice que su pago será será de $2 166.67 con vencimiento vencimiento al final de cada año.

P

Preguntas Preguntas Responda mano, por por computadora Responda lo siguiente siguiente a mano, computadora o ambos.

1. Desarrolle Desarrolle un cuadro para Charles para Jeremy Jeremy de los saldos cuadro y una gráfica gráfica para Charles y para saldos no recuperados (cantidad total que se debe) justo justo antes de que venza venza cada pago. recuperados (cantidad total cada pago. intereses totales totales pagará pagará Jeremy Jeremy más que Charles durante los 2. ¿Cuánto ¿Cuánto dinero dinero en intereses Charles durante 3 años? años?

EJERCICIO AMPLIADO 2: ¿CUÁNDO MEJOR EJERCICIO AMPLIADO ¿CUÁNDO ES MEJOR VENDER NEGOCIO? VENDER UN UN NEGOCIO? estudios en la escuela escuela de medicina medicina e Imelda completó Luego de que Jeff Jeff terminó terminó sus estudios Imelda completó carrera en ingeniería, ingeniería, la pareja decidió poner sustancial de sus ahorros ahorros su carrera pareja decidió poner una parte parte sustancial

d(

D 1.

2. 3.

4.

ESTUDIO ESTUDIO DE DE CASO CASO

285

en propiedades 000 propiedades para rentarse. Con un fuerte préstamo préstamo bancario bancario y un pago de $120 $120000 de sus propios propios fondos, fondos, fueron fueron capaces capaces de comprar comprar seis casas a una persona persona que salía del negocio negocio de renta renta residencial. residencial. El flujo de efectivo efectivo neto sobre el ingreso ingreso por rentas rentas después después de todos los gastos e impuestos impuestos para para los primeros primeros 4 años fue bueno: $25 000 al final del primer aumentando en $5000 primer año, y aumentando $5000 cada cada año desde desde entonces. entonces. Un amigo amigo de Jeff Jeff lo presentó presentó con un potencial potencial comprador comprador de todas las propiedades propiedades con un estimado estimado de $225000 $225000 de efectivo efectivo neto después después de los 4 años de propiedad. propiedad. Pero ellos no venden, venden, pues quieren quieren permanecer permanecer en el negocio negocio un poco poco más, dado el creciente experimentado hasta creciente flujo de efectivo efectivo neto que han experimentado hasta el momento. momento. Durante Durante el año 5, una crisis económica económica redujo el flujo de efectivo efectivo neto a $35 000. En respuesta, respuesta, se gastaron gastaron $20 000 adicionales adicionales en mejoras mejoras y publicidad publicidad en cada cada uno de los años 6 y 7, pero pero el flujo de efectivo efectivo neto continuó continuó disminuyendo disminuyendo en $10 000 hasta el año 7. Jefftuvo Jefftuvo otra otra oferta oferta para vender en el año 7 por sólo $60 000. por año hasta para vender considerado demasiada demasiada pérdida, pérdida, así que ellos no aprovecharon aprovecharon la oportunioportuniEsto fue considerado dad. últimos 3 años, ellos han gastado gastado $20 000, $20 000 Y y $30 000 cada cada año En los últimos mejoras y costos costos de publicidad, publicidad, aunque aunque el flujo de efectivo efectivo neto del negocio negocio ha en mejoras sido de sólo $15 000, $10 000 y $10 000 cada año. Imelda y Jeff quieren quieren salir del negocio, negocio, pero no tienen tienen ofertas ofertas para para comprar comprar a Imelda cualquier precio tienen la mayor parte de sus ahorros ahorros comprometidos comprometidos en la renta renta cualquier precio y tienen mayor parte propiedades. de propiedades. Preguntas Preguntas Determine la tasa de rendimiento para lo siguiente: siguiente: Determine rendimiento para

1.

2. e a I

3. 4.

primero, si la oferta oferta de compra compra de $225 000 se hubiese hubiese Al final del año 4, primero, aceptado; segundo, segundo, sin la venta. aceptado; Después de 7 años, primero, primero, si la oferta oferta de "sacrificio" "sacrificio" de $60 000 se hubiese hubiese Después aceptado; y, segundo, segundo, sin vender. aceptado; Ahora, después después de 10 años, sin perspectiva perspectiva de venta. venta. Ahora, vendieran y diesen diesen como como caridad, caridad, suponga suponga una infusión infusión de efecefecSi las casas se vendieran para Jeff Jeff e Imelda, Imelda, después después de impuestos, impuestos, al final de este tivo neto de $25 000 para ¿Cuál es la tasa de rendimiento rendimiento durante durante los 10 años de propiedad? propiedad? año. ¿Cuál

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ESTUDIO DE CASO CASO ESTUDIO BOB APRENDE APRENDE ACERCA ACERCA DE DE TASAS TASAS DE DE RENDIMIENTO RENDIMIENTO MÚLTIPLES MÚLTIPLES BOB Antecedentes Antecedentes

tó

Cuando Bob Bob comenzó comenzó un internado internado de verano verano con con YAC, VAC, Cuando una compañía compañía distribuidora distribuidora de electricidad electricidad en una una ciuciuuna dad de la costa costa atlántica atlántica con con aproximadamente aproximadamente 275 275 000 000 dad

habitantes, su sujefe, Kathy, le dio dio un proyecto proyecto en su priprihabitantes, jefe, Kathy, mer día. día. Homeworth, Homeworth, uno uno de los los principales principales clientes clientes mer corporativos, acababa acababa de solicitar solicitar una una tasa tasa más más baja baja por por corporativos, kwh, una una vez vez que que su consumo consumo mínimo mínimo requerido requerido se exexkwh, ceda cada cada mes. mes. Kathy Kathy tiene tiene un reporte reporte interno interno del del DeDeceda

286 286

CAPÍTULO 7 CAPÍTULO

Análisis de de tasa tasa de de rendimiento: rendimiento: alternativa alternativa única única Análisis

partamento de de Relaciones Relaciones con con Clientes Clientes que que especifica especifica partamento los flujos flujos de de efectivo efectivo netos netos para para la la cuenta cuenta Homeworth Homeworth los durante los los últimos últimos 10 10 años. años. durante Año

1993 1993 1994 1994 1995 1995 1996 1996 1997 1997 1998 1998 1999 1999 2000 2000 2001 2001 2002 2002

efectivo ($1 000) 000) Flujo de efectivo

$200 $200 100 100 50 50 -1800 -1 800 600 600 500 500 400 400 300 300 200 200 100 100

reporte también también establece rendiEl reporte establece que que la tasa tasa de rendi50%, pero no se propormiento anual está entre entre 25 y 50%, miento anual está pero no proporciona mayor información. información no no está está lo ciona mayor información. Esta Esta información suficientemente detallada evalúe la sosuficientemente detallada para para que que Kathy Kathy evalúe licitud de la compañia. licitud compañía. Durante Bob y Kathy Durante las las siguientes siguientes horas, horas, Bob Kathy tienen tienen una serie de discusiones, una serie de discusiones, cuanto cuanto Bob Bob trabajaba trabajaba para para responder preguntas de responder las cada cada vez vez más más específicas específicas preguntas Kathy. Kathy. Lo Lo siguiente siguiente es una una versión versión abreviada abreviada de tales tales conversaciones. Kathy conversaciones. Por Por fortuna, fortuna, tanto tanto Bob Bob como como Kathy tomaron tomaron un curso curso de ingenieria ingeniería económica económica durante durante sus estudios estudios universitarios, universitarios, y sus profesores profesores cubrieron cubrieron el método método para para encontrar encontrar una una tasa tasa de rendimiento rendimiento única única para cualquier para cualquier serie serie de flujo flujo de efectivo. efectivo.

equipo cuando Homeworth Homeworth expandió expandió su su cacaequipo in situ, cuando pacidad tupacidad manufacturera manufacturera yy aproximadamente aproximadamente quin quintuplicó plicó el uso uso de de la la energía. energía. 2. 2. Una Una vez vez que que Bob Bob finalizó finalizó su análisis análisis inicial, inicial, Kathy Kathy le le dijo dijo que que ella ella había había olvidado olvidado decirle decirle que que la la tasa tasa de de rendimiento rendimiento ganada ganada externamente, externamente, sobre sobre los los flujos flujos de de efectivo efectivo positivos positivos de de estos estos grandes grandes clientes, clientes, está está colocada colocada en en un un consorcio consorcio de de capital capital de de riesgo riesgo estaestablecido blecido en en Chicago. Chicago. Ha Ha estado estado produciendo produciendo 35% 35% anual anual durante durante la la última última década. década. Ella Ella quería quería saber saber si todavía todavía existía existía tal tal rendimiento rendimiento y si la la cuenta cuenta HomeHomeworth worth era era financieramente financieramente viable viable a una una TMAR TMAR de de 35%. 35%. En respuesta a esta En respuesta esta pregunta, pregunta, Bob Bob desarrolló desarrolló el el procedimiento pasos esbozado procedimiento de cuatro cuatro pasos esbozado líneas líneas abaabajo, mayor cercanía jo, para para estimar estimar con con mayor cercanía la tasa tasa de de renrendimiento dimiento compuesta compuesta i' para para cualquier cualquier tasa tasa de de reinreinversión versión e y dos dos tasas tasas múltiples múltiples i'\ i~ e ii~. ~ . Él planea planea aplicar procedimiento para esta últiaplicar este este procedimiento para responder responder esta última pregunta y mostrar mostrar los los resultados ma pregunta resultados a Kathy. Kathy. raíces i* de la relación Paso 1. Determine Determine las raices relación VP VP para efectivo. para la serie serie de de flujo flujo de efectivo. tasa de reinversión reinversión e dada dada y los Paso 2. Para Para una una tasa valores i* del del paso paso 1, determine determine cuál cuál de dos valores siguientes condiciones condiciones se aplica: aplica: las siguientes

a) b) e)

entonces i' < i'~. i'\. Si e < iitt entonces i~, entonces entonces i' > i~ il. Si e > i~, i~1 < e < i~, entonces entonces i' puede puede ser ser Si i~ menor que que e o mayor mayor que que e, e i~1 i~ < i' < menor

q. i~.

Desarrollo Desarrollo de la situación situación 1. Kathy Kathy le pidió pidió a Bob Bob realizar realizar un estudio estudio preliminar preliminar para para encontrar encontrar la tasa tasa de rendimiento rendimiento correcta. correcta. Ella Ella sólo sólo quería quería un número, número, no un rango, rango, y no dos dos o tres posibles posibles valores. valores. Sin embargo, embargo, ella ella tenía tenía un interés interés pasajero pasajero en conocer conocer inicialmente inicialmente los valores valores de las múltiples múltiples tasas, tasas, si es que que existen, existen, para para determinar determinar si el reporte reporte de las relaciones relaciones con con clientes clientes era correcto correcto o sólo sólo un "disparo "disparo en la oscuridad" oscuridad". . Kathy Kathy le dijo dijo a Bob Bob que que la TMAR TMAR para para la comcompañía pañía es de 15% 15% anual anual para para los grandes grandes clientes. clientes. Ella Ella también también le explicó explicó que el flujo flujo de efectivo efectivo negativo negativo de 1996 fue provocado provocado por por una una actualización actualización del

Suponga un valor valor inicial inicial para para i' i' de acuerdo acuerdo Paso 3. Suponga con el resultado resultado del del paso paso 2. Aplique Aplique el mémécon todo de inversión inversión neta neta para para los periodos periodos 1 a todo Repita este este paso paso hasta hasta que que F" F" esté esté cerca cerca n. Repita o. Si esta esta Fn F" es un pequeño pequeño valor valor positipositide O. suponga otra otra i' que que resultará resultará en un pevo, suponga queño valor valor negativo negativo F", F,,, y viceversa. viceversa. queño Usando los dos resultados resultados Fn F" del del paso paso 3, Paso 4. Usando interpole linealmente linealmente i', i', de tal modo modo que que la interpole F" correspondiente correspondiente sea cercana cercana a cero. cero. DesDesF" luego, el valor valor i'i' final final también también puede puede de luego, obtenerse directamente directamente en el paso paso 3, sin obtenerse interpolación. interpolación.

-

ESTUDIO DE CASO

Finalmente, Kathy le pidió a Bob evaluar nueva3. Finalmente, mente los flujos de efectivo efectivo de Homeworth Homeworth a la TMAR de 35%, pero usando una tasa de reinversión de 45% para determinar determinar si la serie todavía estájusestá justificada.

Ejercicios Ejercicios del del estudio estudio de caso, caso. y 3. Responda las preguntas para Bob empleando 1, 2 Y una hoja de cálculo.

287

4. Si el procedimiento procedimiento de aproximación aproximación de i'i' que desarrolló Bob no está disponible, utilice los datos del flujo de efectivo original para aplicar el procedimiento básico de inversión neta, y responda los ejercicios 2 y 3, donde e es 35 y 45%, respectivamente. respectivamente. 5. A partir de este ejercicio Kathy concluyó que cualquier serie de flujo de efectivo está económicamente justificada justificada para cualquier tasa de reinversión que TMAR. ¿Se trata una conclusión sea mayor que la TMAR correcta? Explique por qué sí o por qué no.

o o 1-

« u u

Análisis de de tasa de de rendimiento: rendimiento: alternativas alternativas múltiples múltiples Este Este capítulo presenta los métodos métodos que se se utilizan para evaluar dos o más más alternativas mediante mediante una con base una comparación comparación de tasa tasa de rendimiento rendimiento (TR) (TR)con base en los métodos métodos de los los capítulos anteriores. La La evaluación mediante mediante la la TR, TR, desarrollada correctamente la efectuada con correctamente,, resultará resultará en la la misma selección que la los análisis VP, VA y VF, análisis del VP,VA VF, aunque el procedimiento procedimiento computacional computacional es es considerablemente derablemente diferente diferente para para las las evaluaciones mediante mediante la la TR. TR. El El primer primer estudio estudio de caso caso involucra opciones opciones múltiples múltiples para un un negocio negocio propiedad propiedad de una una persona durante durante varios años. El El segundo segundo caso caso explora series de flujo imiento y el flujo de efectivo efectivo no convencionales convencionales con múltiples múltiples tasas tasas de rend rendimiento uso del método método VP VP en esta esta situación situación..

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Objetivo general: seleccionar la mejor de las alternativas mutuamente excluyentes con base en el análisis de tasa de rendimiento sobre flujos de efectivo incrementales. Este capítulo ayudará al lector a: 1. Establecer por qué es necesario un análisis incremental para comparar alternativas con el método TR.

¿Por qué análisis incremental?

2. Preparar una tabulación del flujo de efectivo incremental para dos alternativas.

Flujos de efectivo incrementales

ás ase con nsieio ries yel

I

Interpretación

de-

I TR incrementales

mediante

3. Interpretar el significado de la TR sobre la inversión inicial incremental.

4. Seleccionar la mejor entre dos alternativas utilizando análisis de

VP

la TR de equilibrio o incrementales con base en el valor presente. TR incremental

5. Seleccionar la mejor entre dos alternativas utilizando un análisis

mediante VA

de la TR con base en el valor anual 6. Seleccionar la mejor entre múltiples alternativas utilizando un análisis incremental de la TR.

Múltiples alternativas

Hojas de cálculo

J

7. Desarrollar hojas de cálculo que incluyan evaluación de VP,VA y TR para múltiples alternativas de vida diferente.

290

CAPÍTULO 8 CAPÍTULO

8.1

Mutuamente Mutuamente excluyente excluyente

Análisis de de tasa tasa de rendimiento: rendimiento: alternativas múltiples Análisis alternativas múltiples

¿POR QUÉ ANÁLISIS INCREMENTAL? QUÉ ES ES NECESARIO NECESARIO EL ANÁLISIS INCREMENTAL?

Cuando consideran dos o más alternativas mutuamente excluyentes, ingenieCuando se consideran alternativas mutuamente excluyentes, la ingenieidentificar la alternativa mejor econóría económica económica es capaz capaz de identificar alternativa que se considera considera mejor económicamente. demostró, para micamente. Como Como se demostró, para hacerlo hacerlo se utilizan utilizan las técnicas técnicas VP y VA. Ahora se examina examina el procedimiento emplear las técnicas procedimiento para para emplear técnicas de tasa tasa de rendimiento rendimiento con la finalidad finalidad de identificar identificar la mejor. Suponga una compañía utiliza una una TMAR Suponga que una compañía utiliza TMAR de 16% anual, y que la compacompapara inversión ñía tiene $90 000 disponibles disponibles para inversión y que se están evaluando evaluando dos alternatialternatirequiere una inversión tiene una tasa tasa vas (A y B). La alternativa alternativa A requiere inversión de $50000 $50000 y tiene interna it de 35% anual. La alternativa alternativa B requiere interna de rendimiento rendimiento i! requiere $85 000 y tiene tiene una i~ de 29% anual. Por intuición intuición se concluye alternativa es aquella aquella concluye que la mejor mejor alternativa produce la tasa de rendimiento rendimiento más alta, A en este caso. Sin embargo, neceque produce embargo, no necesariamente debe ser así. Aunque sariamente Aunque A tiene tiene el rendimiento rendimiento proyectado proyectado más alto, requiere también una una inversión inversión inicial inicial que es mucho mucho menor menor que el dinero dinero total total dispodispoquiere también nible ($90 000). ¿Qué sucede con el capital nible ¿Qué sucede capital de inversión inversión restante? restante? Por lo general, general, se supone que los fondos sobrante sobrante se invertirán supone invertirán en la TMAR TMAR de la compañía, compañía, como como se planteó en el capítulo capítulo anterior. Utilizando Utilizando dichos dichos supuesto, posible determinar determinar planteó supuesto, es posible las consecuencias consecuencias de las inversiones alternativas. Si se selecciona alternativa A, inversiones alternativas. selecciona la alternativa se invertirán invertirán $50 000 a una una tasa de 35% anual. Los $40000 restantes invertirán $40000 restantes se invertirán a la TMAR TMAR de 16% anual. La tasa de rendimiento rendimiento sobre el capital capital total total disponible, disponible, entonces, será el promedio estos valores. selecciona entonces, promedio ponderado ponderado de estos valores. Por lo tanto, si se selecciona la alternativa alternativa A, global = = 50000 TRA global 50000 (0.35) + 40 000(0.16) 000(0.16) A 90000 90000

26.6% == 26.6%

elige la alternativa alternativa B, se invertirán Si se elige invertirán $85 000 que producen producen 29% anual y los $5 000 restantes restantes generarán generarán 16% anual. Ahora, Ahora, el promedio promedio ponderado ponderado es

TRB global global B

==

85000(0.29) 85000(0.29) + 5 000(0.16) 000(0.16) 90000 90000

28.3% == 28.3%

Estos cálculos muestran aunque la i* para alternativa A es mayor, alternaEstos cálculos muestran que, aunque para la alternativa mayor, la alternapresenta la mejor mejor TR global global para para la inversión inversión total de $90 000. Si se realizara realizara tiva B presenta comparación VP o VA utilizando utilizando la TMAR TMAR i = 16% anual, se debería una comparación debería elegir elegir la alternativa alternativa B. Este simple ilustra un hecho hecho importante importante sobre método de la tasa tasa de Este simple ejemplo ejemplo ilustra sobre el método rendimiento para para comparar rendimiento comparar alternativas: alternativas:

Bajo valores de las TR de los proyectos proyectos no proBajo algunas algunas circunstancias, circunstancias, los valores porcionan el mismo mismo ordenamiento porcionan ordenamiento de alternativas alternativas que los análisis análisis de VP o de VA. Esta Esta situación realiza un análisis situación no ocurre ocurre si se realiza análisis de la TR del flujo de efectivo efectivo incremental incremental (descrito (descrito en la siguiente siguiente sección). sección). Proyectos Proyectos independ ientes independientes

Cuando proyectos independientes, independientes, no es necesario necesario el análisis Cuando se evalúan evalúan proyectos análisis incremental entre proyectos. Cada proyecto se evalúa evalúa por por separado, puede incremental entre los proyectos. Cada proyecto separado, y puede seleccionarse consecuencia, la única única comparación para cada proseleccionarse más de uno. En consecuencia, comparación para cada pro-

8.

E:

al

p: z~

o :M p<

al ar

:M m al

L

el el

SECCIÓN SECCIÓN 8.2 8.2

Cálculo del flujo Cálculo del flujo de de efectivo efectivo incremental incremental para para análisis análisis con con TR TR

291

alternativa de no hacer aceptar o rechazar yecto es con la alternativa hacer nada. La TR se utiliza utiliza para para aceptar rechazar proyecto independiente. independiente. cada proyecto le-

óanta

palisa ne

lla ce-

repo,se

8.2

CÁLCULO DEL FLUJO FLUJO DE EFECTIVO EFECTIVO INCREMENTAL INCREMENTAL CÁLCULO CON TR PARA ANÁLISIS ANÁLISIS CON

necesario preparar tabulación del flujo efectivo incremental incremental entre entre dos Es necesario preparar una tabulación flujo de efectivo alternativas para análisis TR incremental. incremental. Un formato formato estandarizado estandarizado alternativas para preparar preparar un análisis tabulación simplificará simplificará este proceso. encabepara la tabulación proceso. En la tabla tabla 8.1 se muestran muestran los encabecolumna. Si las alternativas alternativas tienen vidas iguales, iguales, la columna columna de año irá de zados de columna. tienen vidas Ohasta alternativas tienen vidas desiguales, desiguales, la columna columna del año irá de O Oal O hasta n. Si las alternativas tienen vidas al MCM (mínimo (mínimo común común múltiplo) MCM múltiplo) de las dos vidas. El uso del MCM MCM es necesario necesario porque el análisis análisis TR incremental incremen tal requiere comparación de servicio servicio igual igual entre entre porque requiere la comparación alternativas. Por lo tanto, todas suposiciones y requerimientos desarrollados con alternativas. todas las suposiciones requerimientos desarrollados antelación se aplican aplican para evaluación de TR incremental. incremental. Cuando Cuando se usa el antelación para cada cada evaluación salvamento y la reinversión cada alternativa alternativa se MCM de las vidas, vidas, el valor de salvamento reinversión en cada muestran en los tiempos apropiados. muestran tiempos apropiados. simplificación, tome convención de que entre entre dos Sólo con propósitos propósitos de simplificación, tome la convención alternativas, la alternativa alternativa con la mayor inversión inicial inicial se considerará considerará como como alteralternativas, mayor inversión nativa B. Entonces, Entonces, para cada año en el cuadro cuadro 8.1, nativa para cada Flujo de efectivo efectivo incremental incremental = Flujo efectivo; - Flujo efectivo;A Flujo Flujo de efectivoB Flujo de efectivo

los

[8.1]

inversión inicial inicial y los flujos de efectivo efectivo anuales anuales para cada alternativa alternativa (con exLa inversión para cada clusión del valor valor de salvamento) salvamento) ocurren ocurren en uno de los dos patrones identificados clusión patrones identificados capítulo 5: en el capítulo Alternativa donde existen existen flujos de efectivo efectivo tanto negativos como Alternativa de ingreso, donde negativos como positivos. positivos. Alternativa de servicio, donde todos los flujos de efectivo efectivo estimados estimados son negaAlternativa servicio, donde tivos.

TABLA TABLA

8.1

Formato para tabulación de un flujo de efectivo incremental Flujo de de efectivo efectivo

ro-

Año

VP

ujo

oo 1

isis ede

Alternativa Alternativa A

Alternativa B Alternativa

(1) (1 )

(2) (2)

Flujo de efectivo efectivo de incremental incremental (3)

= = (2) -

(1)

Ingreso servicio Ingreso y servicio

292

CAPÍTULO 8 Análisis de tasa de rendimiento: alternativas alternativas múltiples

En cualquier ecuación [8.1] se usa para serie de flujos de cualquier caso, la ecuación para determinar determinar la serie efectivo incrementales signo de cada efectivo determinado efectivo incrementales con el signo cada flujo de efectivo determinado cuidadocuidadosamente. Los dos ejemplos ejemplos siguientes siguientes demuestran tabulación del flujo de efectisamente. demuestran la tabulación efectivo incremental servicio con vidas iguales diferenincremental para para alternativas alternativas de servicio iguales y con vidas vidas diferentes. Los siguientes siguientes ejemplos ejemplos analizan analizan alternativas alternativas de ingreso. ingreso.

•

Una compañía considerando la compra de compañía de herramientas herramientas y troqueles en Pittsburg esta considerando una prensa de perforación perforación con un software de lógica difusa para mejorar la precisión precisión y reducir compañía tiene la oportunidad oportunidad de comprar comprar una reducir el desgaste de herramientas. herramientas. La compañía máquina poco usada por $15000 $15000 o una nueva por $21000. Puesto a que la nueva máquina es de un modelo más moderno, se espera que su costo de operación sea de $7 000 anuales, mientras que el de la máquina usada sería de $8 200 anuales. Se estima que cada máquina máquina tendrá una vida de 25 25 años con un valor de salvamento de 5%. Tabule el flujo de efectivo incremental incremental de las dos alternativas. Solución Solución El flujo de efectivo incremental 8.2. Usando la ecuación incremental se presenta presenta tabulado en el cuadro 8.2. [8.1], la resta realizada [8.1], realizada es (nueva - usada), ya que la máquina nueva inicialmente inicialmente costará más. Los valores de salvamento en el año 25 25 se han separado del flujo de efectivo ordinario para lograr mayor claridad. Cuando los desembolsos desembolsos son los mismos para un número de años consecutivos, consecutivos, sólo para soluciones a mimo, se ahorra tiempo haciendo un solo listado de flujo de efectivo, como se ha hecho para los años 1 a 25. 25. Sin embargo, recuerde que se combinaron combinaron diversos años cuando se realizó el análisis. Este enfoque no se puede utilizar utilizar en las hojas de cálculo.

Flujo de de efectivo Flujo efectivo Año Año

Prensa usada usada Prensa

Prensa nueva nueva Prensa

oO 1-25 1-25 25 25

$-15000 $-15000 -8200 -8200 +750 +750 $-219250 $-219250

$-21000 $-21000 -7000 -7000 +1050 +1050 $-194,950

Total

Flujo Flujo de efectivo efectivo de (nueva - usada) usada) (nueva

$-6000 $-6000 +1200 +1200 +300 $+24300 $+24300

Comentario Comentario Cuando se restan restan las columnas del flujo de efectivo, la diferencia diferencia entre los totales de las dos series de flujo de efectivo deben ser iguales al total de la columna columna de flujo de efectivo incremental, incremental, lo cual sólo servirá para verificar verificar las operaciones operaciones de suma y resta al preparar preparar la tabulación. No es una base para elegir una alternativa.

n

g

q

1I

p e

SECCIÓN 8.2

s de adoectiren-

8.2

EJEMPLO

293

Cálculo del flujo de efectivo incremental para análisis con TR

,1,".

Sandersen Meat Processors ha solicitado a sus principales ingenieros de proceso que evalúen dos tipos diferentes de convertidores para la línea de curación de tocino. El de tipo A tiene un costo inicial de $70 000 y una vida de 8 años. El de tipo B tiene un costo inicial de $95000 y una esperanza de vida de 12 años. Se espera que el costo anual de operación para el de tipo A sea $9 000; mientras que para el de tipo B, $7 000. Si los valores de salvamento son $5 000 y $10 000 para los tipos A y B, respectivamente, tabule el flujo de efectivo incremental utilizando su MCM. Solución

El MCM entre 8 y 12 es 24 años. En la tabulación del flujo de efectivo incremental para 24 años (tabla 8.3), observe que los valores de reinversión y de salvamento se muestran en los años 8 y 16 para el de tipo A, y en el año 12 para el de tipo B.

TABLA

8.3 Tabulación del flujo de efectivo incremental; ejemplo 8.2 Flujo de efectivo

Año

Tipo A

Tipo B

O 1-7

$ -70 000 -9000

$ -95000 -7000

$-25000 +2000

-7000

+67000

9-11

-9000 +5000 -9000

12

-9000

13-15

-9000

8

16 17-23 24

s o

Flujo de efectivo incremental (B - A)

ro

ooo

¡

+2000

-7000 -95000 -7000 +10 000 -7000

-83000

-7000

+67000

+2000

ooo ro-9000

+5000 -9000 { -9000 +5000 $-411000

-7000 { -7000 +10 000 $-338000

+2000 +7000 $+73000

El empleo de una hoja de cálculo para obtener flujos de efectivo incrementales requiere una entrada para cada año hasta el MCM de cada alternativa. Por consiguiente, quizá sean necesarias algunas combinaciones de flujos de efectivo antes de que se realice la entrada para cada alternativa. La columna de flujo de efectivo incremental resulta de una aplicación de la ecuación [8.1]. Como ilustración, los primeros 8 de los 24 años en la tabla 8.3 deberían aparecer como se presenta a continuación, cuando se ingresan en una hoja de cálculo. Los valores incrementales

~Sol-E

294

CAPÍTULO

8

Análisis de tasa de rendimiento:

alternativas

múltiples

en la columna D se obtienen usando una relación de sustracción, por ejemplo, C4-B4. Columna A

Columna B

Columna C

Año

Tipo A

Tipo B

O 1

$ -70 000 -9000 -9000 -9000 -9000 -9000 -9000 -9000 -74000

2 3

4 5 6 7 8

$-95000 -7000 -7000 -7000 -7000 -7000 -7000 -7000 -7000

Columna O Incremental

$ -25 000 +2000 +2000 +2000 +2000 +2000 +2000 +2000 +67000

Etc.

8.3

INTERPRETACiÓN DE LA TASA DE RENDIMIENTO SOBRE LA INVERSiÓN ADICIONAL

Los flujos de efectivo incrementales en el año O de las tablas 8.2 y 8.3 reflejan la inversión o costo adicional requerido si se elige la alternativa con el mayor costo inicial. Esto es importante en un análisis de TR incremental con el propósito de determinar la TR ganada sobre los fondos adicionales gastados por la alternativa de la inversión más alta. Si los flujos de efectivo incrementales de la inversión más alta no la justifican, se debe seleccionar la más barata. En el ejemplo 8.1, la nueva prensa de perforación requiere una inversión adicional de $6 000 (tabla 8.2). Si se compra la máquina nueva, habrá "ahorros" anuales de $1 200 durante 25 años, más $300 adicionales en el año 25. La decisión de comprar la máquina usada o la nueva puede tomarse con base en la rentabilidad de invertir los $6 000 adicionales en la nueva máquina. Si el valor equivalente del ahorro es mayor que el valor equivalente de la inversión adicional utilizando la TMAR, dicha inversión debe hacerse (es decir, debe aceptarse la propuesta del costo inicial más alto). Por otra parte, si la inversión adicional no está justificada por el ahorro, debe aceptarse la propuesta con la menor inversión. Es importante reconocer que el razonamiento para tomar la decisión sobre la selección es el mismo que si sólo hubiera una alternativa bajo consideración, siendo esa alternativa la representada por la serie de flujo de efectivo incremental. Cuando se considera de tal forma, es evidente que a menos que dicha inversión produzca una tasa de rendimiento igualo mayor que la TMAR, no debe hacerse la inversión adicional. Como aclaración complementaria de este razonamiento de inversión adicional, considere lo siguiente: la tasa de rendimiento que puede obtenerse a través del flujo de efectivo incremental es una alternativa respecto de invertir a la TMAR. En la sección 8.1 se estableció que se supone que cualquier sobrante de fondos no invertido en la alternativa se ha invertido a la TMAR. La conclusión es clara:

SECCIÓN 8.4 SECCIÓN

295

Evaluación de la tasa tasa de rendimiento rendimiento utilizando Evaluación utilizando VP VP

Si la tasa flujos de efectivo efectivo tasa de rendimiento rendimiento disponible disponible a través través de los flujos alternativa asoincrementales incrementales iguala iguala o excede la TMAR, TMAR, debe elegirse la alternativa ciada con la inversión inversión adicional. adicional. ciada No sólo el rendimiento alcanzar o exceder exceder la rendimiento sobre la inversión inversión adicional adicional debe alcanzar TMAR, rendimiento sobre común a ambas ambas TMAR, sino también también el rendimiento sobre la inversión, inversión, que es común alternativas, antes de iniciar iniciar alternativas, debe alcanzar alcanzar o exceder exceder la TMAR. TMAR. En concordancia, concordancia, antes un análisis rendimienanálisis de TR incremental, incremental, se aconseja aconseja determinar determinar la tasa interna interna de rendimiento i* para una evaluación evaluación para cada cada alternativa. alternativa. (Desde (Desde luego, luego, es mucho mucho más sencillo sencillo en una por computadora computadora que en una realizada realizarse sólo para para realizada a mano.) mano.) Esto puede puede realizarse alternativas tienen flujos flujos de alternativas de ingreso, ingreso, puesto puesto que las alternativas alternativas de servicio servicio sólo tienen efectivo directriz es efectivo de costo (negativos) (negativos) y no puede puede determinarse determinarse ninguna ninguna i*. La directriz como como se presenta presenta a continuación: continuación:

Para interna de rendirendiPara múltiples múltiples alternativas alternativas de ingreso, calcule la tasa tasa interna miento i* para para cada cada alternativa, alternativa, y elimine todas todas las alternativas alternativas que tenTMAR. Compare Compare las alternativas alternativas restantes restantes de manera manera incremental. incremental. gan i':: < TMAR. Como dos alternativas valores i* de 12 Como ilustración, ilustración, si la TMAR TMAR = 15% Y Ydos alternativas tienen tienen valores puede eliminarse eliminarse de consideración consideración posterior. y 21 %, la alternativa alternativa de 12% puede posterior. Con sólo alternativas, es obvio que se elige la segunda. segunda. Si ambas alternativas alternativas tienen dos alternativas, tienen i* < TMAR, ninguna ninguna alternativa alternativa se justifica alternativa de no hacer TMAR, justifica y la alternativa hacer nada nada es econóeconómicamente usualmente vale micamente la mejor. Cuando Cuando son evaluadas evaluadas tres o más alternativas, alternativas, usualmente la pena, cada alternativa para lograr lograr una una pena, aunque aunque no se requiera, requiera, calcular calcular i* para para cada alternativa para apreciación que no alcanzan alcanzan la apreciación preliminar. preliminar. Usando Usando esta opción, opción, las alternativas alternativas que TMAR opción espeespeTMAR pueden pueden eliminarse eliminarse de una evaluación evaluación posterior. posterior. Se trata trata de una opción cialmente función TIR TIR aplicaaplicacialmente útil cuando cuando se realiza realiza el análisis análisis por computadora. computadora. La función da a los flujos de efectivo llega a indicar indicar con rapidez rapidez efectivo estimados estimados de cada cada alternativa alternativa llega las alternativas alternativas inaceptables, inaceptables, como se demostrará demostrará más tarde en la sección sección 8.6. Cuando proyectos independientes, Cuando se evalúan evalúan proyectos independientes, no hay comparación comparación sobre sobre la inversión adicional. adicional. El valor TR se utiliza utiliza para para aceptar aceptar todos todos aquellos aquellos proyectos versión proyectos con i':: 2:: 2::TMAR, TMAR, suponiendo suponiendo que no existe existe limitación presupuestal. Por suponi* limitación presupuestal. Por ejemplo, ejemplo, suponga que TMAR disponibles con TMAR = 10%, y que tres proyectos proyectos independientes independientes están están disponibles valores valores de TR de:

iiit == 12% a

i~ = 9%

ii~ ~= % = 23 23%

ejemplo 8.8 en Se eligen eligen los proyectos proyectos A y C, pero no el B porque porque i*B < TMAR. TMAR. El ejemplo sección 8.7, acerca acerca de las aplicaciones aplicaciones de hoja de cálculo, cálculo, ilustra selección de la sección ilustra la selección los proyectos proyectos independientes independientes usando usando valores valores TR.

a 8.4 8.4 e a e s

EVALUACiÓN DE LA TASA TASA DE RENDIMIENTO RENDIMIENTO UTILIZANDO UTILIZANDO EVALUACiÓN INCREMENTAL y y DE PUNTO PUNTO DE EQUILIBRIO EQUILIBRIO VP: INCREMENTAL

esta sección sección se analiza analiza el enfoque enfoque principal principal para para seleccionar seleccionar alternativas En esta alternativas mutuamutuamente excluyentes excluyentes empleando empleando el método método TR incremental. incremental. Una relación mente relación basada basada en como la ecuación ecuación [7 [7.1] desarrolla para para los flujos de efectivo efectivo incrementales. VP como .1] se desarrolla incrementales.

Sol-R

296

CAPÍTULO 8 CAPÍTULO

Análisis de tasa alternativas múltiples Análisis tasa de rendimiento: rendimiento: alternativas múltiples

Utilice computadora para encontrar Lli~ interna Utilice recursos recursos manuales manuales o por computadora para encontrar Lli~ --A' A' la TR interna para series. La colocación colocación de Ll (delta) (delta) antes de iLA iLA la distingue distingue de los valores para las series. valores de TR para para il e i~. i~. Puesto que la TR incremental incremental requiere comparación entre entre servicios servicios iguales, iguales, en Puesto requiere comparación formulación de la ecuación ecuación VP debe debe utilizarse MCM de las vidas. A causa causa del la formulación utilizarse el MCM requisito análisis VP relacionado activos de vida diferenrequisito de reinversión reinversión para para el análisis relacionado con activos vida diferente, la serie incremental incremental del flujo de efectivo efectivo puede implicar diversos diversos cambios cambios de puede implicar indicando valores indicación puesigno, indicando valores múltiples múltiples de Lli*. Aunque Aunque es incorrecto, incorrecto, tal indicación pueignorarse en la practica enfoque correcto es establecer establecer la tasa de reinversión de ignorarse practica real. El enfoque reinversión seguir el enfoque enfoque de la sección sección 7.5, lo cual significa significa que se determina determina la tasa tasa de ce y seguir rendimiento compuesta única incremental del flujo de efectivo. efectivo. rendimiento compuesta única Lli') para para la serie incremental Estos tres elementos elementos requeridos incremental del flujo de efectivo, efectivo, MCM MCM y Estos requeridos (serie incremental raíces razones para frecuencia el método raíces múltiples) múltiples) son las principales principales razones para que con frecuencia método de aplique incorrectamente incorrectamente en los análisis análisis de ingeniería ingeniería económica económica de alternatialternatiTR se aplique vas múltiples. Como se expresó expresó antes, siempre siempre es posible general, aconseaconsemúltiples. Como posible y, por lo general, jable, cuando se indican indican múltiples análisis VP o VApara jable, cuando múltiples tasas, utilizar utilizar un análisis VA para una TMAR establecida, en lugar establecida, lugar del método método TR. completo (manual (manual o en hoja cálculo) para análisis de TR El procedimiento procedimiento completo hoja de cálculo) para análisis incremental de dos alternativas alternativas es el siguiente: siguiente: incremental

n

Ordene las alternativas alternativas por monto inversión o costo costo inicial, inicial, empezando empezando 1. Ordene monto de la inversión llamada A. La alternativa alternativa con la inversión inversión inicial inicial más alta está está con la más baja, llamada columna rotulada en la columna rotulada B en la tabla tabla 8.1. Desarrolle las series de el flujo de efectivo efectivo y las de flujo de efectivo efectivo incrementales incrementales 2. Desarrolle utilizando el MCM suponiendo la reinversión alternativas. utilizando MCM de los años, suponiendo reinversión en las alternativas. Dibuje un diagrama diagrama de flujo de efectivo efectivo incremental, incremental, si es necesario. 3. Dibuje necesario. 4. Cuente Cuente el número cambios de signo signo en la serie del flujo de efectivo efectivo increincrenúmero de cambios mental determinar si hay presentes mental para para determinar presentes tasas de rendimiento rendimiento múltiples. múltiples. De ser necesario, criterio de Norstrom sobre series series de flujo de efectivo efectivo acunecesario, utilice utilice el criterio Norstrom sobre mulativas incrementales para determinar si existe existe una sola raíz positiva. mulativas incrementales para determinar positiva. ecuación de VP para efectivo incrementales incrementales en la for5. Formule Formule la ecuación para los flujos de efectivo ma de la ecuación ecuación [7.1] y determine determine Lli LliLA ensayo y error, manual LA utilizando utilizando ensayo manual o mediante funciones funciones de hoja cálculo. mediante hoja de cálculo. Elija la mejor alternativa, desde desde el punto económico, del modo 6. Elija mejor alternativa, punto de vista vista económico, modo siguiente: guiente: ~i~ -A < TMAR, TMAR, seleccione la alternativa alternativa A. Si ~iLA -A ~ TMAR, la inversión inversión adicional adicional está justificada; seleccione la alSi ~i~ ~iLA ~ TMAR, justificada; seleccione ternativa ternativa B. incremental es exactamente exactamente igual igual o muy cercana cercana a la TMAR, TMAR, muy Si la i* incremental probablemente consideraciones no económicas económicas para selecprobablemente se usarán usarán consideraciones para hacer hacer la selec"mejor" alternativa. ción de la "mejor" alternativa. ensayo y error error para calcular la tasa de rendimiento, En el paso paso 5, si se utiliza utiliza ensayo para calcular rendimiento, puede ahorrarse tiempo forma de rango, lugar de Lli~ _AA en forma rango, en lugar puede ahorrarse tiempo si se deja el valor valor de Lli:_ aproximarlo a un valor interpolación lineal, lineal, siempre siempre y cuando cuando aproximarlo valor puntual puntual utilizando utilizando la interpolación

no ha pa

Se raí ilu ci< ne raí uti Er

•

SECCIÓN 8.4

a es en el n-

de eón de o.

do

de la tasa de rendimiento

utilizando VP

no se necesite un valor individual de TR. Por ejemplo, si TMAR es 15% anual y se ha establecido que Lli~_A está en el rango 15 a 20%, no es necesario un valor exacto para aceptar B, puesto que ya se sabe que Lli~ -A ~ TMAR. Normalmente la función TIR en una hoja de cálculo determinará un valor Lli*. Se pueden ingresar múltiples valores de ensayo, con el propósito de encontrar las raíces rmltiples en el rango -100% a x para una serie no convencional, como se ilustró en los ejemplos 7.4 y 7.5. Si éste no es el caso, para ser correcto, la indicación de las raíces múltiples en el paso 4 requiere que el procedimiento de inversión neta, ecuación [7.6], se aplique en el paso 5 para hacer Lli' = Lli*. Si una de tales raíces múltiples es la misma que la tasa de reinversión esperada e, esta raíz puede utilizarse como el valor de TR y el procedimiento de inversión neta no es necesario. En este caso sólo Lli' = Si", como se concluyó al final de la sección 7.5.

EJEMPLO

stá

Evaluación

8.3

..~..lf

En 2000, Bell Atlantic y GTE se fusionaron para formar una gigantesca corporación de telecomunicaciones denominada Verizon Communications. Como se esperaba, algunas incompatibilidades de equipo tuvieron que rectificarse, especialmente para los servicios de larga distancia e internacional inalámbrica y de video. Un equipo tiene dos proveedores: una firma (A) estadounidense y una firma (B) asiática. Se necesitaron aproximadamente 3 000 unidades de este equipo. Se proporcionaron estimaciones para los vendedores A y B por cada unidad.

es s. Costo inicial, $ Desembolsos anuales, $ Valor de salvamento, $ Vida, años

reser u-

A

B

-8000 -3500 O 10

-13 000 -1600 2000 5

orlo si-

TABLA

Tabulación del t1ujo'de efectivo incremental para el ejemplo 8.3

Año

Flujo de efectivo A (1)

O 1-5

$-8000 -3500

5 6-10 10

-3500

al-

uy ec-

8.4

$--43000

Flujo de efectivo B (2)

Flujo de efectivo incremental (3) = (2) - (1)

$-13 000 -1600 { +2000 -13 000 -1600 +2000

$-5000 +1900

$-38000

$+5000

-11 000 +1900 +2000

297

.

-

¡ -----------------

298 298

----

CAPÍTULO 8 Análisis de tasa de rendimiento: alternativas alternativas múltiples

Determine anual. Muestre Muestre las soluDetermine qué vendedor debe seleccionarse seleccionarse si la TMAR es 15% 15%anual. ciones obtenidas a mano y por computadora. computadora. Solución Solución a mano mano

Éstas son alternativas de servicio, puesto que todos los flujos de efectivo son costos. procedimiento antes descrito para estimar L'l.i~_A' Utilice el procedimiento L'l.i~'_A. 1. 2. 3. 4.

5.

Las alternativas A y B están correctamente correctamente ordenadas con la alternativa alternativa del costo (2) . inicial más alto en la columna (2). Los flujos de efectivo para el MCM de 10 años se tabularon en la tabla 8.4. El diagrama de flujo de efectivo incremental se muestra muestra en la figura 8.1. En la serie del flujo de efectivo incremental incremental hay tres cambios de signo que indican hasta tres raíces. En la serie incremental incremental acumulada, que empieza negativamente negativamente en So = $-5000 $-5000 y continúa hasta SIO = $+5000, también hay tres cambios de signo, que indican que no existe una raíz positiva. La ecuación de tasa de rendimiento basada basada en el VP de los flujos de efectivo incrementales es: 900 (P/A,L'l.i,lO) (P/A,L'l.i, 10)-11 000(P/F,L'l.i,5) + 2 000(P/F,L'l.i,10) - 11 000(P/F,L'l.i,5) OOO(P/F,L'l.i,lO) 00=-5000 = -5000 + 1 900

6.

[8.2] [8.2]

reinversión es igual al L'l.iLA Suponga que la tasa de reinversión L'l.iLA resultante resultante (o L'l.i* L'l.i* para usar un símbolo abreviado). La solución de la ecuación [8 .2] para la primera raíz descubierta descubierta [8.2] resulta una )i* )i* entre 12 12 y 15%. Mediante interpolación interpolación L'l.i* L'l.i* = 12.65%. resulta rendimiento de 12.65% sobre la inversión adicional es menor Puesto que la tasa de rendimiento vendedor A de menor costo. La inverque la TMAR de 15%, 15%, debe seleccionarse seleccionarse el vendedor sión adicional de $5000 económicamente justificada justificada por los estimados estimados del $5000 no está económicamente costo anual más bajo y de salvamento más alto.

Comentario Comentario

En el paso 4, se indica la presencia i*. El análisis anterior encuentra encuentra presencia hasta de tres valores i*. una de las raíces en 12.65%. Cuando se establece que la TR es 12.65%, se supone que cualquier reinvierte a e = 12.65%. esta suposición cualquier inversión inversión neta neta positiva positiva se reinvierte 12.65%. Si esta suposición no fuera razonable, debe aplicarse el procedimiento de la inversión neta y usarse una estimación L'l.i' para compararlo compararlo con la de la tasa de reinversión reinversión e para encontrar encontrar un valor diferente Si' TMAR TMAR== 15%. 15%. Las otras dos raíces son números positivos y negativos muy grandes, como las que la función TIR de Excel indica. De modo que éstas no son útiles para el análisis.

Figura 8.1 8.1

$2000 $2000

Diagrama de flujos Diagrama flujos de efecti vo incrementales, efectivo iricrementales, ejemplo ejemplo 8.3. 8.3.

tt

$1900 $1900

oo

2

3

4

5

$5000 $5000

$11 $11 000 000

6

7

8

9

10 !O

SECCIÓN 8.4 8.4 SECCIÓN

299

Evaluación de la tasa tasa de rendimiento rendimiento utilizando utilizando VP Evaluación VP

Il!il§l t3

X M,crosoft Excel - Example 8.3

D o

2 3 4 5 6 7

n

e

F

G G

H

Flujo de efectivo Año Año

o

11

I

E

15%

TMAR=

{ .

2 3 4 5 ............... _El___ 7

Sheetl

Vendedor A

Vendedor B

incremental incremental

1.--.-......-....._..._+._........... ... ...... 1.... .........._ .1

$ .. _l?,ººO).' ..~. .. ( 1},ºººlL ~.. _. (?,ººº),_. __. . . ..... _... .....; . . _. _......._.__ . +._ .. _........ ..... ¡

.. ... _..... _.+jl

$ (3 ,500) : $ (1,600) ¡ $ 1,900 $ (3.500) (1.600): $ $ (3.500): $_--,(-,-,1.c:..60o..::0-'-)¡c-$'--_---'-'-.:....:...:=--t._. .__ t [ __. .__.. HI $ -(3.5oü)!$ (1 .600) 1__ 1.9~0::::.0 -I---r--:--::---=--:-:-1--+----¡...-------L11 $ (}.500)! $ (12.6 $__ l§.1 OO)'-!:_,_""""'--_L-=_C,lO_-_B_lO-I_+- __ --t-_. __-H1 $ ..... ( 3 . 5 00 )Lt Jl.f3 _$____..3 (3.500)' $ (1.600) $ 1.900

,_~º_º_+-----------

Sheet2

5neet3 5heet3

Sheet4

SheetS Sheet5

5neet6

Sheet7

SheetB

1

Ready Ready

Figura 8.2 Figura rendimiento incremental, incremental, ejemplo 8.3. Solución en hoja de cálculo para encontrar la tasa de rendimiento

Solución por por computadora computadora Solución Los pasos pasos 1 a 4 son son los los mismos mismos que que en el proceso proceso anterior. anterior. Los

5.

6.

La figura 8.2 8.2 incluye incluye el el flujo flujo de efectivo efectivo neto neto incremental incremental de la tabla tabla 8.4 8.4 calculado calculado en La figura la columna columna D. D. La La celda celda Dl5 D15 despliega despliega el valor valor t1i* Lli* de 12.65% 12.65% utilizando utilizando la función función TIR. TIR. Puesto que que la tasa tasa de rendimiento rendimiento sobre sobre la inversión inversión adicional adicional es menor menor que que la Puesto la TMAR TMAR 15%, debe debe seleccionarse seleccionarse al vendedor vendedor A con con menor menor costo. costo. de 15%,

Comentario Comentario Una vez vez que que se ha optado optado por por la hoja hoja de cálculo, cálculo, pueden pueden realizarse realizarse una una gran gran variedad variedad de Una análisis. Por Por ejemplo, ejemplo, la celda celda D 17 utiliza utiliza la función VPN para para verificar verificar que que el valor función VPN valor análisis. presente sea sea cero con la t1i* Lli* calculada. calculada. La La celda celda D18 D18 es el VP VP a la TMAR TMAR = = 15%, 15%, el cual cual presente cero con negativo, indicando aun en otra otra forma, forma, que que la inversión inversión adicional adicional no rinde rinde la TMAR. es negativo, indicando así, aun TMAR. Desde luego, luego, cualquier cualquier flujo flujo de efectivo efectivo estimado estimado y la TMAR TMAR pueden pueden cambiarse cambiarse para Desde para determinar lo que que ocurre ocurre a t1i*. Lli*. Una Una gráfica gráfica de VP VP contra Lli* puede puede ser ser fácilmente fácilmente agregacontra t1i* agregadeterminar insertan dos columnas más, similares a aquellas aquellas de las figuras figuras 7.6 7.6 y 7.7. 7.7. da, si se insertan dos columnas más, similares

m

~ S ol-EE Sol·

300

CAPÍTULO 8

Análisis de tasa de rendimiento: alternativas múltiples

La tasa de rendimiento determinada para la serie de flujo de efectivo incremental puede interpretarse como la tasa de rendimiento de equilibrio. Si el flujo de efectivo incremental TR (~i*) es mayor que la TMAR, se elige la alternativa de mayor inversión. Por ejemplo, si la gráfica de VP contra i* para los flujos de efectivo incremen tales en la tabla 8.4 (y la hoja de cálculo de la figura 8.2) se bosqueja para diversas tasas de interés, se obtiene la gráfica mostrada en la figura 8.3. En ella se muestra la ~i* de equiplibrio en 12.65%. Las conclusiones son que Para TMAR < 12.65%, está justificada la inversión adicional para B. Para TMAR > 12.65%, lo opuesto es cierto; la inversión adicional en B no debe efectuarse, y se elige al vendedor A. Si TMAR es exactamente 12.65%, las alternativas son igualmente atractivas.

• • •

La figura 8.4, que es una gráfica de equilibrio de VP contra i para los flujos de efectivo (no incrementales) de cada alternativa en el ejemplo 8.3, proporciona los mismos resultados. Como todos los flujos de efectivo netos son negativos (alternativas de servicio), los valores de VP son negativos. Ahora, se llega a las mismas conclusiones usando la siguiente lógica: Si TMAR < 12.65%, seleccione B pues el VP de los flujos de efectivo de costo es menor (numéricamente mayor). Si TMAR > 12.65%, seleccione A pues ahora su VP de costo es menor.

•

Figura 8.3 Gráfica del valor presente de flujos de efectivo incrementales para el ejemplo 8.3 a diversos valores Si.

!'J.i de equilibrio es 12.65%

1800 1600

-+01-----

Para TMAR en este rango, -----t*"l--en elija

Para TMAR este rango, __ seleccione A

1400 1200 Y7

'"

]

1 000

"a

800

.S o > ".g

600

e

~ u <2l

"

400

'" o .;;>

200

"

-e

¡¡::

" e,

o

-e

:>

6 -200 -400 -600 Vendedor B -800

VendedorA

El to na

•

SECCIÓN 8.4

Evaluación

de la tasa de rendimiento

10

""V>

o >

-25000

E

-26000

'"t>

-27000

301

utilizando VP

Tasa de interés, %

Figura

11

Gráfica de equilibrio de los flujos de efectivo (no incrementales) del ejemplo 8.3.

12

13

14

15

16

.~

2

o

.~

~ <1.) <1.) "O V>

-28000

o .;;' -29000 ¡¡:: <1.) "O

e, -30000

e s

>

Si TMAR es exactamente 12.65%, cualquier alternativa es igualmente atractiva. o

El siguiente ejemplo ilustra la evaluación de TR incremental y la tasa de rendimiento de equilibrio en gráficas para alternativas de ingreso. En el capítulo 13 se examina más a fondo el análisis de punto de equilibrio.

EJEMPLO

8.4

..."'

El Bank of America emplea una TMAR de 30% sobre alternativas para sus propios negocios que se consideran riesgosos, es decir, la respuesta del público al servicio que no se ha establecido bien por pruebas de mercadeo. Dos sistemas de software alternativos y los planes de mercadeo/entrega han sido desarrollados conjuntamente por ingenieros de software y el departamento de mercadeo. Éstos se utilizarán en un nuevo banco en línea y en servicios de préstamo a pasajeros en cruceros y en barcos militares en aguas internacionales. Para cada sistema, las estimaciones de inicio, ingreso neto anual y valor de salvamento (es decir, valor de venta a otra corporación financiera) se suman líneas abajo. a) b)

Realice el análisis de TR incremental por computadora. Desarrolle la gráfica VP contra i para cada alternativa y la incremental. nativa, si existe alguna, debe seleccionarse?

Inversión inicial, $1 000 Ingreso anual neto estimado,

$1000 Valor de salvamento, $1000 Vida competitiva estimada, años

Sistema

Sistema

A

B

-12000

-18000

5000 2500

7000 3000

8

8

¿Cuál alter-

m Sol-E

8.4

302

CAPÍTULO alternativas múltiples múltiples CAPÍTULO 8 Análisis Análisis de tasa tasa de rendimiento: rendimiento: alternativas

Solución por por computadora computadora Solución a) Remítase usa en en las las celdas celdas B 13 YE13 YE13 para para despledespleRemítase a la figura figura 8.5a. 8.5a. La La función función TIR TIR se usa como una una herramienta herramienta de investigagar gar i* para para cada cada alternativa. alternativa. Se Se usan usan los los valores valores i* como investigación alternativas exceden exceden la la TMAR. TMAR. Si ninguna ción preliminar, preliminar, sólo sólo para para determinar determinar qué qué alternativas ninguna hace, la alternativa alternativa NH NH se indica indica automáticamente. automáticamente. En 30%; se lo hace, En ambos ambos casos, casos, i* > 30%; columretienen efectivo incrementales incrementales (columna (columna G = columretienen ambas. ambas. Se Se calculan calculan los los flujos flujos de efectivo naEfunción TIRresulta en Di* Di* = 29.41 29.41 %. Este Este valor valores ligeramenna E- columna columna B), y la función TIR resulta en es ligerameninferior a la TMAR; elige la alternativa alternativa A te inferior TMAR; se elige A como corno la mejor mejor elección elección económica. económica. La figura figura 8.5b 8.5b contiene contiene gráficas gráficas de de VP VP contra contra i para series de b) La para las las tres tres series de flujo flujo de de efectivo efectivo curva inferior inferior (análisis (análisis incremental) incremental) indica indica entre entre las las tasas tasas de interés interés de 25 y 42%. 42%. La La curva TR de equilibrio equilibrio en 29.41 29.41 %, que que es donde donde se cruzan cruzan las las curvas curvas VP VP de de las las dos dos la TR la misma; misma; con con TMAR TMAR = 30%, 30%, seleccione seleccione alternativas. alternativas. La La conclusión, conclusión, nuevamente, nuevamente, es la en la celda celda D5 D5 de de la la figura figura 8.5a) 8.5a) es ligeraligerala alternativa alternativa A pues pues su valor valor VP VP ($2,930 ($2,930 en mente mente mayor mayor que que la de B ($2,841 ($2,841 en F5). F5).

Comentario Comentario Con análisis, tanto tanto el el de de VP VP como como el el de de TR TR Con este este formato formato de hoja hoja de cálculo, cálculo, ambos ambos análisis, incremental, para demostrar demostrar la la conclusión conclusión del del anáanáincremental, se han han mejorado mejorado con con respaldo respaldo gráfico gráfico para lisis lisis de ingeniería ingeniería económica. económica.

Il!!lIri.l Ej x

'..: Mlelosoll Exeel

e a)

" ú ¡*

1,

39.31%,

l.

=VPN($Cll,$B$4:$B$ll)+$B$3

=-__

r

1. '1

a

= Ready

Figura Figura 8.5 Solución de TR TR incremental, incremental, b) b) gráficas gráficas de de VP VP Solución en hoja hoja de cálculo cálculo para para comparar comparar dos dos alternativas: alternativas: a) análisis análisis de contra i, ejemplo ejemplo 8.4. 8.4. contra

s r ( r

SECCIÓN 8.4

303

Evaluación de la tasa de rendimiento utilizando VP

$7,000 $6,000 $5,000 $4,000

o o o

b)

$3.000

'"eL

$2.000

5

$1,000

ro

>

.* para A: 39.31 %

¡

>

,..

$. $(1.000) $(2.000) $(3.000)

+--l---l----'-i-,---I--+--+--+----+----+----1 0.24

0.26

0.28

0.3\

~ l-tt-vP

•

I_Chartl

Sheetl

Sheet2

Sheet3

0.32

0.34

0.36

0.38

Tasa de interés,

i%

de A -+-VP de B....",.VP de

Incrl

0.4

0.42

0.44

Sheel:4

Figura 8.5 (Continuación.)

La figura 8.5b ofrece una excelente oportunidad para saber por qué el método de TR puede resultar en la selección de la alternativa errónea, cuando sólo se usan valores i* para elegir entre dos alternativas. A esto se le llama a veces el problema de inconsistencia de ordenación del método TR. La inconsistencia ocurre cuando la TMAR se establece menor que la tasa de equilibrio entre las dos alternativas de ingreso. Ya que la TMAR se establece con base en condiciones de la economía y el mercado, la TMAR se establece de manera externa a cualquier evaluación particular de alternativas. En la figura 8.5b, la tasa de equilibrio es 29.41 %, Y la TMAR es 30%. Si la TMAR se establecera más abajo que la de equilibrio, digamos a 26%, el análisis de TR incremental resulta en seleccionar correctamente B, puesto que f>.i* = 29.41 %, la cual excede a 26%. Pero si sólo se utilizaran valores i*, el sistema A sería erróneamente elegido, ya que su i* = 39.31 %. Este error ocurre porque el método de tasa de rendimiento supone reinversión al valor TR de la alternativa (39.31 %), mientras que los análisis VP y VA usan la TMAR como la tasa de reinversión. La conclusión es simple: Si se emplea el método TR para evaluar dos o más alternativas, use los flujos de efectivo incremental y ai* para tomar la decisión entre alternativas.

304

CAPÍTULO CAPÍTULO 8

8.5 8.5

m m Sol· sei-sE

Análisis Análisis de tasa tasa de rendimiento: rendimiento: alternativas alternativas múltiples múltiples

EVALUACiÓN DE LA TASA DE RENDIMIENTO RENDIMIENTO EVALUACiÓN UTILIZANDO UTILIZANDO VA

La comparación de de alternativas con el método método TR, TR, realizado realizado de de manera manera correcta, correcta, La comparación alternativas con siempre conduce conduce a la la misma misma decisión decisión que que un un análisis análisis VP VP o VA, independientemente independientemente siempre de de si TR TR se determina determina con con una una ecuación ecuación basada basada en en VP VP o en en VA VA Sin Sin embargo, embargo, para para la técnica técnica basada basada en en VA, existen existen dos dos formas formas equivalentes equivalentes para para realizar realizar la evaluación: evaluación: usando los los flujos efectivo incrementales incrementales sobre sobre el MCM MCM de de vidas vidas alternativas, alternativas, tal tal flujos de efectivo usando como se hace hace para para la la relación relación con con base base en en VP VP (sección (sección anterior), anterior), o encontrando encontrando el como para los los flujos efectivo reales de de cada cada alternativa, alternati va, y estableciendo estableciendo la la diferendiferenVA para flujos de efectivo cia de de los los dos dos igual igual a cero para hallar hallar el el valor valor !1i*. !1i*. Desde Desde luego, luego, no no existe existe diferencia diferencia cia cero para entre entre los los dos dos enfoques enfoques si las las vidas vidas alternativas alternativas son son iguales. iguales. Ambos Ambos métodos métodos se resuresumen aquÍaquí, men Como flujos de Como el método método de de TR TR requiere requiere la comparación comparación de de servicio servicio igual, igual, los flujos efectivo MCM de las vidas. efectivo incrementales incrementales deben deben evaluarse evaluarse sobre el MCM vidas. Cuando Cuando se reresuelve a mano mano para para !1i*, !1i*, quizá quizá no no haya haya ventaja ventaja computacional computacional real real para para usar usar VA, suelve como se descubrió descubrió en en el capítulo capítulo 6. Se Se usa usa el mismo mismo procedimiento procedimiento de de seis seis pasos pasos de de como la sección sección previa (para cálculos cálculos con con base base en en VP), VP), excepto excepto que que en en el paso paso 5 se desadesala previa (para rrolla rrolla la relación relación con con base base en en VA. VA. Para por computadora, Para la comparación comparación por computadora, con con vidas vidas iguales iguales o diferentes, diferentes, los los flujos flujos de efectivo efectivo incrementales incrementales deben deben calcularse calcularse sobre sobre el MCM MCM de de las las dos dos vidas vidas alternaalternade tivas. Luego se aplica aplica la función función TIR TIR para para encontrar encontrar !1i*, Si", que que es la misma misma técnica técnica tivas. Luego desarrollada en en la sección sección anterior anterior y usada usada en hoja de de cálculo cálculo de de la figura figura 82. 8-2. desarrollada en la hoja

Usar la función función TIR de estaforma funciones estaforma es la manera manera correcta correcta de emplear emplear las funciones de hoja Excel para para comparar hoja de cálculo cálculo de Excel comparar alternativas alternativas con el método método TRTR El El segundo segundo método, método, basado basado en en VA, toma toma ventaja ventaja de de la suposición suposición de de la técnica técnica VA de para cada primero y todos de que que el valor valor VA equivalente equivalente es el mismo mismo para cada año año del del primero todos los los ciclos ciclos de de vida vida sucesivos. sucesivos. Ya sea sea que que las las vidas vidas sean sean iguales iguales o diferentes, diferentes, establezestablezca para los flujos flujos de efectivo para cada alternativa, la ca la relación relación VA VA para efectivo para alternativa, conforme conforme la relación relación siguiente siguiente y resuelva resuelva para para i*. i". [8-3] [8-3] V AY ciclos de vida VA Yciclos vida

8.

La La ecuación ecuación [8.3] [8.3] se aplica aplica solamente solamente a soluciones soluciones obtenidas obtenidas a mano, mano, no no en en soluciosoluciones nes por por computadora. computadora. Para equivalentes están base de Para ambos ambos métodos, métodos, todos todos los los valores valores equivalentes están sobre sobre la base de VA, de de manera manera que que la i* que que resulta resulta de de la ecuación ecuación [8-3] es la misma misma que que la !1i* !1i* enconencontrada usando trada usando el primer primer enfoque. enfoque. El El ejemplo ejemplo 8.5 8.5 ilustra ilustra el análisis análisis TR TR usando usando relarelaciones ciones con con base base en en VA, para para vidas vidas diferentes. diferentes. al EJEMPLO EJEMPLO

8.5

:.l,v ,,~t

Compare las alternativas de los vendedores vendedores A y B para para Verizon Verizon Communications Communications en el Compare las alternativas ejemplo 8.3, 8.3, empleando empleando un método método TR TR incremental incremental basado basado en en VA y la misma misma TMAR TMAR de ejemplo 15% anual. anual. 15%

Sé

si la SE

el re

SECCIÓN 8.6

Análisis TR de múltiples alternativas mutuamente mutuamente exc1uyentes excluyentes

Solución Solución

cta, ente ala ión: , tal o el renncia esusde reVA, s de esaujos manica 8.2. nes

Por referencia, la relación TR basada en VP, VP, ecuación [8.2], para el flujo de efectivo efectivo incremental del ejemplo 8.3 muestra que el vendedor A deberá elegirse pues ~i* ~i* = 12.65%. equivalente. Escriba un relaPara la relación VA, VA, existen dos enfoques de solución equivalente. ción basada en VA VA sobre la serie de flujo de efectivo incremental sobre el MCM de 10 años, o escriba la ecuación [8.3] para las dos series de flujo de efectivo real durante un ciclo de vida de cada alternativa. Para el método incremental, la ecuación VAes VA es 0=-5 000(AlP,~i,10) 000(AlP,~i,10) -11 -11 OOO(P/F,~i,5)(AlP,~i,lO) OOO(P/F,~i,5)(AlP,~i,lO) + 2 OOO(AlF,~i,lO) 0=-5 OOO(AlF,~i,lO) + 1 900

Es fácil ingresar los flujos de efectivo incrementales incrementales en una hoja de cálculo, como en la figura 8.2, columna D, y usar la función TIR(D4:D14) TIR(D4:DI4) para desplegar desplegar ~i* ~i* = 12.65%. utilizando las vidas Para el segundo método, la TR se encuentra encuentra con la ecuación [8.3] utilizando respectivas de 10 años para A y 5 años para B. VA VAAA =.-8 = -8 OOO(AlP,i,lO) - 3500 3500 VA 600 VABB = -13 -13 000(AlP,i,5) 000(AlP,i,5) + 2 000(AlF,i,5) 000(AlF,i,5) - 1 1600

VABB - VA VAAA• Ahora desarrolle O = VA

0= 900 0= -13 -13 000(AlP,i,5) 000(AlP,i,5) + 2 000(AlF,i,5) 000(AlF,i,5) + 8 OOO(AlP,i,lO) + 1 1900 La solución nuevamente produce un valor interpolado interpolado de i* = 12.65%. Comentario Comentario

ica dos leze la 8.3] cioVA, onela-

Es muy importante recordar que se debe usar el mínimo común múltiplo de las vidas importante recordar flujos de efectivo incrementales se realiza un análisis TR incremental cuando sobre los flujos VA. usando una ecuación basada en VA.

8.6 8.6

ANÁLISIS TR DE MÚLTIPLES ALTERNATIVAS ANÁLISIS ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUYENTES EXCLUYENTES MUTUAMENTE

sección considera considera la elección elección entre entre alternativas alternativas múltiples Esta sección múltiples que son mutuamente mutuamente excluyentes, utilizando utilizando el método método TR TR incremental. aceptación de una alternativa excluyentes, incremental. La aceptación una alternativa automáticamente excluye excluye la aceptación aceptación de cualquier cualquier otra. El análisis análisis está basado automáticamente basado relaciones VP (o VA) VA) para para flujos de efectivo efectivo incrementales entre dos alternaalternasobre relaciones incrementales entre tivas ti vas a la vez. Cuando se aplica aplica el método método de la TR Cuando TR incremental, incremental, toda toda la inversión inversión debe rendir rendir TMAR. Cuando Cuando los valores valores i* de varias alternativas exceden exceden la TMAR, al menos a la TMAR. varias alternativas TMAR, requiere la evaluación evaluación de la TR TR incremental. incremental. (Para (Para alternativas alternativas de ingreso, se requiere ingreso, si ni siquiera una i* ~ TMAR, TMAR, se selecciona selecciona la alternativa alternativa de no hacer siquiera hacer nada.) nada.) Para Para todas todas alternativas (ingreso (ingreso o servicio), servicio), la inversión las alternativas inversión incremental incremental debe justificarse justificarse por por separado. Si el rendimiento rendimiento sobre la inversión inversión adicional adicional iguala excede la TMAR, separado. iguala o excede TMAR, entonces debe hacerse hacerse la inversión inversión adicional adicional con el propósito entonces propósito de maximizar maximizar el rendimiento total del dinero dinero disponible, disponible, como analiza en la sección sección 8.1. rendimiento como se analiza

305

306

CAPÍTULO 8 CAPÍTULO

Análisis alternativas múltiples Análisis de tasa tasa de rendimiento: rendimiento: alternativas múltiples

para el análisis múltiples mutuamente mutuamente excluPor lo tanto, para análisis de TR de alternativas alternativas múltiples excluyentes, se utilizan utilizan los siguientes yentes, siguientes criterios. criterios. Seleccione Seleccione aquella aquella alternativa alternativa que: 1. Exija la mayor inversión, inversión, y 1. justifica la inversión frente a otra alternativa 2. Indique que se sejustifica inversión adicional adicional frente alternativa aceptable. aceptable.

regla importante para aplicar múltiples con el Una regla importante para aplicar cuando cuando se evalúan evalúan alternativas alternativas múltiples método de TR incremental incremental es que una alternativa nunca debe compararse método alternativa nunca compararse con aqueaquella para para la cual cual no se justifica justifica la inversión inversión incremental. incremental. El procedimiento procedimiento de evaluación para múltiples múltiples alternatievaluación de la TR incremental incremental para alternatiresume más adelante. paso 2 se aplica vas de vidas iguales iguales se resume adelante. El paso aplica sólo a alternativas alternativas de ingreso, puesto que la primera primera alternativa ingreso, puesto alternativa se compara compara con NH (no hacer) hacer) cuando cuando se estiman defensor y retador estiman los flujos de efectivo efectivo del ingreso. ingreso. Los términos términos defensor retador son dinámicos en cuanto cuanto a que se refieren, alternativa que actualactualdinámicos refieren, respectivamente, respectivamente, a la alternativa mente selecciona (el defensor) defensor) y a aquella aquella que está retándola aceptación mente se selecciona retándola para para la aceptación una de cada pasos con base base en t..i*. t..i*. En la evaluación evaluación de cada cada pareja, pareja, existe existe una cada una. Los pasos para la solución mano o por computadora para solución a mano computadora son como como sigue:

1.

Sol-R

Ordene las alternativas alternativas desde desde la inversión inversión inicial inicial menor Ordene menor hasta hasta la mayor. mayor. RegisRegistre la estimación estimación de flujos de efectivo efectivo anual para cada alternativa alternativa de vida para cada vida igual. para alternativa para la primera primera alternativa. 2. Sólo para alternativa de ingreso: ingreso: Calcule Calcule i* para alternativa. De hecho, esto hace a NH el defensor, primera alternativa, hecho, defensor, y a la primera alternativa, el retador. Si i* < TMAR, vaya a la siguiente. Repita esto hasta TMAR, elimine elimine la alternativa alternativa y vaya siguiente. Repita hasta que i* :;::: ~ TMAR primera vez, y defina como el defensor. TMAR por primera defina dicha dicha alternativa alternativa como defensor. La siguiente paso 3. (Nota: Aquí Aquí es donde guiente alternativa alternativa es ahora ahora el retador. Vaya al paso donde la solución hoja de cálculo puede ser un rápido rápido asistente. solución por hoja cálculo por computadora computadora puede asistente. Primero para todas las alternativas, usando la función Primero calcule calcule la i* para alternativas, usando función TIR, y selecseleccione como el defensor defensor la primera ~ TMAR. TMAR. Denomínela como el cione primera para para la cual i :;::: Denomínela como defensor vaya al paso paso 3.) defensor y vaya 3. Determine Determine el flujo de efectivo retador y el defensor utiliefectivo incremental incremental entre entre el retador defensor utilizando relación: zando la relación:

Flujo de Flujo efectivo efectivo incremental incremental

flujo de efectivo retador efectivo retador

flujo de efectivo defensor defensor efectivo

Establezca la relación Establezca relación TR. Calcule t..i* para efectivo incremental incremental utilizando utilizando una ecuaecuaCalcule para la serie de flujos de efectivo VA. (VP se utiliza utiliza con mayor mayor frecuencia.) ción basada basada en VP o en VA. frecuencia.) t..i* :~ TMAR, el retador convierte en el defensor defensor y se elimina elimina el defensor defensor 5. Si t..i ;: : TMAR, retador se convierte retador y el defenanterior. Por el contrario, contrario, si t..i* t..i* < TMAR, TMAR, se descarta descarta el retador defensor permanece permanece contra próximo retador. retador. contra el próximo solamente quede quede una alternativa. alternativa. Ésta Ésta es la 6. Repita Repita los pasos pasos 3 a 5 hasta hasta que solamente seleccionada. seleccionada.

4.

Observe Observe que sólo se comparan comparan dos alternativas alternativas a la vez. Es muy importante importante que se comparen probable que se seleccione comparen las alternativas alternativas correctas, correctas, de lo contrario contrario es probable seleccione la alternativa equivocada. equivocada. alternativa

•

SECCIÓN SECCIÓN 8.6 8.6 Análisis AnálisisTR TR de de múltiples múltiples alternativas alternativas mutuamente mutuamenteexcluyentes excluyentes

EJEMPLO EJEMPLO

8.6 8.6

Caterpillar Corporation Corporation quiere quiere construir construir una una instalación instalación para para almacenaje almacenaje de de piezas piezas de de rereCaterpillar puesto cerca cerca de de Phoenix, Phoenix, Arizona. Arizona. Un Un ingeniero ingeniero de de planta planta ha ha identificado identificado cuatro cuatro diferendiferenpuesto tes opciones opciones de de ubicación. ubicación. En En lala tabla tabla 8.5 8.5 se se detallan detallan elel costo costo inicial inicial de de edificación edificación de de tes cimientos yy prefabricación, prefabricación, así así como como las las estimaciones estimaciones de de flujo flujo de de efectivo efectivo neto neto anual. anual. La La cimientos serie de de flujo flujo de de efectivo efectivo neto neto anual anual varía varía debido debido aa diferencias diferencias en en mantenimiento, mantenimiento, costos costos serie de mano mano de de obra, obra, cargos cargos de de transporte, transporte, etcétera. etcétera. Si Si la la TMAR TMAR es es de de 10%, 10%, utilice utilice elel análisis análisis de de TR TR incremental incremental para para seleccionar seleccionar la lamejor mejor ubicación ubicación desde desde el el punto punto de de vista vista económico. económico. de

TABLA TA13LA

8.5 8.5

Estimaciones para para cuatro cuatro ubicaciones ubicaciones posibles posibles de de construcción, construcción, Estimaciones ejemplo 8.6 ejemplo

Costo inicial, inicial, $ Costo Flujo de de efectivo efectivo anual, anual, $$ Flujo Vida, años Vida, años

A A

B B

e

D D

-200000 -200000 +22000 +22000 30 30

-275000 -275000 +35000 +35000 30 30

-190000 -190000 +19500 +19500 30 30

-350000 -350000 +42000 +42000 30 30

Solución Solución Todos los tienen una una vida 30 años aplica el Todos los sitios sitios tienen vida de 30 años y todos todos son alternativas alternativas de ingreso. ingreso. Se Se aplica procedimiento procedimiento bosquejado bosquejado líneas líneas arriba. arriba.

1. 2.

En la tabla tabla 8.6 se ordenan ordenan las alternativas alternativas por por costo costo inicial inicial creciente. creciente. Compare Compare la ubicación ubicación C con con la alternativa alternativa de no hacer hacer nada. nada. La La relación relación TR TR incluye incluye sólo sólo el el factor factor P/A. PlA. 0= .!190 .l190 000 000 + 19 500(PIA,i*,30) 500(PIA,i*,30) 0=

3. 3.

La columna columna 11 de de la tabla tabla 8.6 8.6 presenta presenta el el valor valor del del factor factor calculado calculado (PIA,ili*,30) (PIA,ili*,30) de 9.7436 = 9.63%. 9.7436 y de de ili~ ili~= 9.63%. Puesto Puesto que que 9.63% 9.63% < < 10%, 10%, se se elimina elimina la la ubicación ubicación C. C. Ahora Ahora la la comparación comparación es es A contra contra no no hacer hacer nada, nada, yy la la columna columna 2 muestra muestra que que ilil ilil== 10.49%, 10.49%, lo lo cual cual elimina elimina la la alternativa alternativa de de no no hacer hacer nada; nada; el el defensores defensor es ahora ahora Ay Ay el el retadores retador es B. La La serie serie del del flujo flujo de de efectivo efectivo incremental, incremental, la la columna columna 3, 3, yy ili* ili* para para una una comparación comparación BB aa A A se se deterITÚna determina aa partir partir de: de: 00== -275000 -275000 -- (-200 (-200 000) 000) ++ (35 (35 000 000 -- 22 22 000)(PIA,ili*,30) 000)(PIA,Lli*,30) == -75000 -75000 + + 13 13 000(PIA,ili*,30) 000(PIA,ili*,30)

4. 4.

5.5.

De De acuerdo acuerdo con con las las tablas tablas de de interés, interés, se se debe debe buscar buscar el el factor factor PIA PIA en en la la TMAR, TMAR, que que es es (PIA, (PIA, 10%,30) 10%,30) == 9.4269. 9.4269. Ahora, Ahora, cualquier cualquier valor valor PIA PIA mayor mayor que que 9.4269 9.4269 indica indica que que ili ili** será será inferior inferior al al 10% 10% yy es es inaceptable. inaceptable. El El factor factor PIA PIA es es 5.7692, 5.7692, de de modo modo que que B B es es aceptable. aceptable. Para Para fines fines de de referencia, referencia, ili* ili* == 17.28%. 17.28%. La La alternativa alternativa BB se se justifica justifica incrementalmente incrementalmente (nuevo (nuevo defensor), defensor), eliminando eliminando así así la la alternativa alternativa A. A.

307 307

308

CAPÍTULO

TABLA

8

8.6

Análisis de tasa de rendimiento:

alternativas

múltiples

•

Cálculo de la tasa de rendimiento incremental para cuatro alternativas, ejemplo 8.6

e o

C (1) Costo inicial, $ Flujo de efectivo, $ Alternativas comparadas Costo incremental, $ Flujo de efectivo incremental, (PIA, ói* ,30) Ói*(%) ¿Se justifica el incremento? Alternativa seleccionada

6.

-190000 +19500

$

A

B

(2)

(3)

-200000 +22000

-275000 +35000

D (4)

-350000 +42000

CaNH

AaNH

BaA

DaB

-190000 +19500 9.7436 9.63

-200000 +22000 9.0909 10.49

-75000 +13 000 5.7692 17.28

-75000 +7000 10.7143 8.55

No NH

Sí A

Sí B

No B

Al comparar D con B (pasos 3 y 4) se genera la relación VP; O= -75000 + 7 OOO(PI A,Ói*,30) y un valor PIA de 1O.7143(Ói* = 8.55%). Se elimina la ubicación D y sólo permanece la alternativa B, que se elige.

Comentario Una alternativa siempre debe compararse incrementalmente con una alternativa aceptable y la alternativa de no hacer nada puede resultar la única aceptable. Como C no estuvo justificada en este ejemplo, la ubicación A no fue comparada con C. Por lo tanto, si la comparación de B con A no hubiera indicado que B se justificara incrementalmente, entonces la comparación de D con A habría sido la correcta, en lugar de la de D con B. Para demostrar qué tan importante es aplicar apropiadamente el método de TR, considere lo siguiente. Si inicialmente se calcula la i* de cada alternativa, los resultados por alternativas ordenadas son los siguientes: Ubicación

i*,% Ahora aplique sólo el primer criterio establecido; grande cuya TMAR es de 10%o más. Se selecciona tró antes, ésta es la selección equivocada, ya que encima de la ubicación B no obtendrá la TMAR. De

D

11.56 es decir, se realiza la inversión más la ubicación D. Pero, como se demosla inversión adicional de $75 000 por hecho, ésta obtendrá solamente 8.55%.

Para alternativas de servicio (sólo de costos), el flujo de efectivo incremental es la diferencia de costos entre las dos alternativas. No existe la alternativa de no hacer nada ni tampoco el paso 2 en el procedimiento de solución. Por consiguiente, la alternativa de mayor inversión es el defensor inicial contra la siguiente inversión más baja (el retador). Este procedimiento se ilustra en el ejemplo 8.7, usando una solución de hoja de cálculo para las alternativas de servicio de vidas iguales.

n

a

q d

J

SECCIÓN 8.6

Análisis TR de múltiples alternativas mutuamente

309

excluyentes

Conforme la capa de un derrame de petróleo de un tanque marino se mueve hacia la costa, OCUlTengrandes pérdidas tanto para la vida acuática como para las especies que se alimentan de la línea de playa y los habitantes de tal sitio, como las aves. Los ingenieros ambientalistas y los abogados de varias corporaciones petroleras internacionales (ExxonMobil, BP, Shell y algunos transportistas para productores de la OPEP) han desarrollado un plan para ubicar, estratégicamente a lo largo del mundo, equipo recién desarrollado que es bastante más efectivo que los procedimientos manuales para limpiar los residuos de petróleo crudo del plumaje de las aves. El Club Sierra, Greenpeace y otros grupos ecologistas están a favor de la iniciativa. Las máquinas alternativas de fabricantes en Asia, América, Europa y África están disponibles con los costos estimados en la tabla 8.7. Se espera que los costos anuales estimados sean elevados para asegurar prontitud en cualquier momento. Los representantes de la compañía han acordado usar el promedio de los valores TMAR corporativos, que resulta en TMAR = 13.5%. Utilice computadora y análisis TR incremental para determinar cuál fabricante ofrece la elección económica mejor. Solución por computadora Siga el procedimiento para el análisis TR incremental bosquejado hoja de cálculo de la figura 8.6 contiene la solución completa.

1. 2.

3. 4. 5.

en el ejemplo 8.6. La

Sol-E

Las alternativas ya están ordenadas en orden creciente de los costos iniciales. Éstas son alternativas de servicio, de modo que no hay comparación de 1 a NH. Los valores i* no pueden calcularse. La máquina 2 es el primer retador de la máquina 1; los flujos de efectivo incrementales para la comparación 2 a 1 están en la columna D. La comparación 2 a 1 resulta en t::..i* = 14.57% en la celda D17, al aplicar la función TIR. Este rendimiento excede TMAR defensor (celda D19).

=

13.5%, de modo que la máquina 2 es el nuevo

La comparación continúa para 3 a 2 en la celda E17, donde el rendimiento es muy negativo a t::..i* = -18.77%; la máquina 2 se mantiene como el defensor. Finalmente, la comparación 4 a 2 tiene una TR incremental de 13.60%, lo cual es ligeramente mayor que la TMAR = 13.5%. La conclusión es comprar la máquina 4, pues la inversión adicional está (marginal mente ) justificada.

TABLA

Costo Costo Valor Vida,

8.7

Costos para cuatro alternativas de máquinas, ejemplo 8.7

inicial, $ anual de operación, $ de salvamento, $ años

Máquina

Máquina

Máquina

1

2

3

-5000 -3500 +500 8

--6500

-10 000 -3000 +700 8

-3200 +900 8

m

Máquina

4 -15000 -1400 +1000 8

s

310 310

CAPÍTULO 8 CAPÍTULO

Análisis alternativas múltiples múltiples Análisis de tasa tasa de rendimiento: rendimiento: alternativas

I!I[¡J Ej Rf¡J13

X M,crosoft E"cel E"cel

fl P el

~ 8 Año

Máquina 1 -$5,000 -$3,500 $500

o:

Máquina 2 -$6,500 -$3,200 $900

2 to 1 -$1,500 $300

2

=TIR(D8:D16) .. i' incremental ¿Incremenio justificado? Alternativa seleccionada

Figura Figura 8.6 Solución cálculo para para elegir cuatro alternativas de servicio, ejemplo 8.7. Solución en hoja hoja de cálculo elegir entre entre cuatro alternativas de servicio, ejemplo 8.7.

Comentario Comentario Como mencionó antes, posible generar una gráfica gráfica de de VP VP contra Como se mencionó antes, no es posible generar una contra i para para cada cada alternativa ya que que todos todos los los flujos negativos. Sin embargo, es alternativa de servicio, servicio, ya flujos de efectivo efectivo son son negativos. Sin embargo, para las incrementales en la misma misma forma posible generar generar gráficas gráficas de de VP contra i para posible VP contra las series series incrementales forma =O los valores 1'l.i* que ha realizado realizado previamente. previamente. Las Las curvas VP = que se ha curvas cruzarán cruzarán la línea línea VP 0,, en en los valores Ói* determinados determinados mediante mediante las las funciones funciones TIR. TIR. La de cálculo cálculo no incluye seleccionar la alternativa en en cada cada La hoja hoja de incluye lógica lógica para para seleccionar la mejor mejor alternativa etapa de la solución. Esta característica podría añadirse comparación usando usando el etapa de solución. Esta característica podría añadirse en cada cada comparación operador SI de de Excel, Excel, y las las operaciones operaciones aritméticas aritméticas correctas correctas para cada flujo flujo de de efectivo operador para cada efectivo incremental Si". Esto consume demasiado demasiado tiempo; analisEsto consume tiempo; es más más rápido rápido para para el analisincremental y valores valores 1'l.i*. tomar la decisión requeridas para para cada ta tomar decisión y luego luego desarrollar desarrollar las funciones funciones requeridas cada comparación. comparación.

La selección selección de altenativas altenativas múltiples excluyentes, con vidas múltiples mutuamente mutuamente excluyentes, vidas desiguales, utilizando fli* exige exige que se evalúen evalúen los flujos flujos de efectivo efectivo iguales, utilizando valores valores de fii* incrementales MCM de las dos alternativas incrementales sobre el MCM alternativas que se comparan. comparan. Ésta Ésta es otra otra aplicación principio de comparación hoja de aplicación del principio comparación de igual igual servicio. servicio. La aplicación aplicación de hoja cálculo cálculo en la siguiente siguiente sección sección ilustra ilustra los cálculos. cálculos.

E

n

a f, n e y d

I

SECCIÓN 8.7 SECCIÓN

Aplicación de hoja hoja de cálculo: Aplicación cálculo: análisis análisis VP, VA y TR, TR, todos todos en en uno uno

311

hacer la selección selección siempre siempre es posible posible depender depender del análisis análisis VP o VA de los Para hacer efectivo incrementales incrementales en la TMAR. TMAR. En otras palabras, encuentre /)'i* flujos de efectivo palabras, no encuentre /)'i* comparación pareada; pareada; en vez de ello, encuentre encuentre VP o VA a la TMAR. para cada comparación TMAR. Sin embargo, todavía todavía es necesario necesario realizar realizar la comparación sobre el número embargo, comparación sobre número de años análisis incremental incremental esté correctamente elaborado. MCM para que un análisis correctamente elaborado. 8.7 8.7

APLICACiÓN DE HOJA HOJA DE CÁLCULO: CÁLCULO: APLICACiÓN ANÁLISIS Vp, VA y y TR, TODOS TODOS EN UNO UNO ANÁLISIS

siguiente ejemplo ejemplo de hoja de cálculo cálculo combina combina muchas análisis El siguiente muchas de las técnicas técnicas del análisis económico que se han aprendido aprendido hasta hasta ahora: análisis (interna), análisis económico análisis de TR (interna), análisis de incremen tal, análisis análisis de VP y análisis análisis de VA. Ahora funcioTR incremental, Ahora que se dominan dominan las funcioposible realizar realizar una una amplia amplia variedad evaluaciones para nes TIR, VPN y VP, es posible variedad de evaluaciones para alternativas múltiples múltiples sobre una sola hoja de cálculo. cálculo. Para entender mejor cómo se alternativas Para entender mejor cómo funciones, sus formatos formatos deben deben ser desarrollos desarrollos por el lector, ya que forman y usan las funciones, etiquetas de celdas celdas en este ejemplo. ejemplo. Aquí no hay etiquetas Aquí se incluye incluye una serie de flujo de efectivo no convencional, convencional, para la cual es posible posible encontrar encontrar valores efectivo valores múltiples múltiples de TR, seleccionar tanto de alternativas alternativas mutuamente mutuamente excluyentes excluyentes como como de proyectos y seleccionar proyectos independientes. dependientes.

EJEMPLO

8.8

;:.~

Los teléfonos teléfonos de vuelo vuelo instalados instalados en los asientos asientos de los son Los los pasajeros pasajeros de las las líneas líneas aéreas aéreas son servicio esperado esperado por por muchos muchos clientes. clientes. Delta Delta Airlines sabe que un servicio Airlines sabe que tendrá tendrá que que reemplazar reemplazar 15 000 a 24 000 000 unidades unidades en pocos pocos años años en en sus sus aeronaves de 15000 aeronaves Boeing Boeing 737, 737, 757 757 Y algunos algunos 777. Cuatro Cuatro características características opcionales opcionales de manejo manejo de construyen una sobre 777. de datos, datos, que que se construyen una sobre otra, están están disponibles disponibles por fabricante, pero pero a un costo agregado agregado por otra, por el fabricante, un costo por unidad. unidad. Además Además de de costar más, más, se estima estima que que las opciones opciones de finalidad finalidad superior superior (por (por ejemplo, ejemplo, servicio servicio de costar conexión de video video con con base base en satélite) satélite) tendrán tendrán vidas Iargas, antes antes de que se requiera conexión vidas más más .largas, de que requiera siguiente reemplazo reemplazo por por las nuevas nuevas características características avanzadas avanzadas esperadas esperadas por consuel siguiente por los consumidores. Se espera espera que que las cuatro cuatro opciones opciones aumenten aumenten las las ventas anuales en cantidades cantidades midores. ventas anuales variables. Las Las filas filas 2 a 6 de la hoja hoja de cálculo cálculo en en la figura figura 8.7 incluyen incluyen todos los estimados estimados variables. todos los para las cuatro para cuatro opciones opciones. . a)

o

destivo otra ade

b)

Usando TMAR TMAR = 15%, 15%, realice realice evaluaciones evaluaciones TR, seleccionar el nivel Usando TR, VP VP y VA para para seleccionar nivel opciones que que resulta resulta económicamente económicamente más de opciones más prometedor. prometedor. Si puede los cuatro cuatro que que se consideconsidepuede elegirse elegirse más más de de un nivel nivel de opciones, opciones, considere considere los ran como como proyectos proyectos independientes. independientes. Si en en este este momento consideran limitaciomomento no se consideran limitaciopresupuestarias, ¿cuáles ¿cuáles son son las opciones opciones aceptables aceptables si la TMAR se incrementa nes presupuestarias, TMAR se incrementa a 20% cuando cuando puede puede elegirse elegirse más más de una una opción? opción? 20%

Solución por por computadora computadora Solución hoja de cálculo cálculo (figura (figura 8.7) 8.7) se divide divide en seis secciones: secciones: a) La hoja en seis Sección 1 (filas (filas 1,2): 1,2): valor valor TMAR TMAR y nombres nombres de alternativas D) en alternativas (A hasta hasta D) en orden orden Sección creciente de costo costo inicial. creciente inicial.

s ~

~Sol-E

Sol-E

312 312

CAPÍTULO CAPÍTULO 8

Análisis tasa de rendimiento: rendimiento: alternativas alternativas múltiples múltiples Análisis de tasa

II!!iII'.€j Ei 1!If!J Eí

X Microsoft Idicrosolt E"cel EKcel

_ t:l M

s ~_1

e a

!

~ $3,403 No

$588 I No

$656 $3,557 Si

J~~_Y."'"I''''' ¡

+

+

x

N

¡..... ........1

e

; No

o ----~;--

Ready

Figura Figura 8.7 Análisis en hoja cálculo usando usando los métodos métodos TR, Análisis hoja de cálculo TR, VP VP y VA para para alternativas alternativas de de ingreso ingreso con con vidas vidas diferentes, diferentes, ejemplo ejemplo 8.8. 8.8.

• RE

Sección 2 (filas (filas 3 a 6): estimados Sección estimados de de flujo flujo de de efectivo efectivo neto neto por por unidad unidad para para cada cada alternativa. Éstas son alternativas alternativa. Éstas son alternativas de ingreso ingreso con con vidas vidas diferentes. diferentes. Sección 20): aquí aquí se despliegan despliegan flujos incremental. Sección 3 (filas (filas 7 a 20): flujos de efectivo efectivo real real e incremental. Sección 21, 22): 22): puesto puesto que que todas todas éstas alternativas de de ingreso, ingreso, los los valovaloSección 4 (filas (filas 21, éstas son son alternativas mediante la la función función TIR. TIR. Si una una alternativa alternativa pasa pasa la la prueba prueba res i* se determinan determinan mediante retiene y se agrega una una columna columna a la la derecha derecha de de su flujo flujo de de TMAR TMAR (i* > 15%) 15%) se se retiene se agrega efectivo real, real, para se determine incremental. Se Se insertaron efectivo para que que se determine el el flujo flujo de de efectivo efectivo incremental. insertaron las columnas F y H para para hacer hacer espacio espacio para para las las evaluaciones evaluaciones incrementales. incrementales. La La columnas F pasa la la prueba prueba i*. alternativa alternativa A no pasa Sección 5 (filas (filas 23 a 25): 25): las las funciones funciones TIR TIR despliegan despliegan los los valores valores tli* Lli* en en las las columnas columnas Sección F y H. la comparación de C Caa B toma toma lugar lugar sobre MCM de de 12 años. años. Puesto Puesto que que comparación de sobre el MCM tliLB 19.42% > 15%, 15%, elimine Lli~ _ B = 19.42% elimine B; B; la la alternativa alternativa C es el nuevo nuevo defensor, defensor, y D D es el años resulta resulta en en tlil}_c Llil5_c == siguiente La comparación comparación final final de de D D a C sobre siguiente retador. retador. La sobre 12 años 11.23% modo que que se descarta descarta D. La La alternativa alternativa C es la la elegida. elegida. 11.23% < 15%, 15%, de modo Sección 6 (filas (filas 26 incluyen los sobre la El valor valor VA sobre la Sección 26 a 29): 29): éstas éstas incluyen los análisis análisis VA y VP. El vida de cada cada alternativa con una vida alternativa se calcula calcula usando usando la función función PAGO, PAGO, la la TMAR, TMAR, con una

As me

puc tor

alu

VI alV ve; pei COI

cia qu TI< ést

313 313

RESUMEN DEL CAPÍTULO RESUMEN DEL CAPÍTULO

b)

función VNA VNA insertado. insertado. Además, Además, el valor valor VP VP se determina determina a partir partir del del valor valor VA función para 12 años, años, usando usando la función función VP. Para Para ambas ambas medidas, medidas, la alternativa alternativa C tiene tiene el para el mayor valor valor numérico, numérico, como como se esperaba. esperaba. mayor Conclusión: todos todos los los métodos métodos tienen tienen el mismo mismo resultado, resultado, la elección elección correcta correcta de de la Conclusión: alternativa C. alternativa Puesto que que cada cada opción opción es independiente independiente de las las otras, otras, y que que no no hay hay limitación limitación Puesto presupuestal en este este momento, momento, cada cada valor valor i* en la fila fila 21 de la figura figura 8.7 8.7 se compara compara presupuestal con TMAR TMAR = = 20%. 20%. Es una una comparación comparación de cada cada opción opción con con la alternativa alternativa de de no no con hacer nada. nada. De De las cuatro, las las opciones opciones B y C tienen tienen i* > 20%. 20%. Éstas Éstas son son aceptables; aceptables; hacer las cuatro, las otras dos dos no lo son. son. las otras

Comentario Comentario el inciso inciso a) se han han aplicado aplicado las dos dos pruebas pruebas de signos signos para para raíces raíces múltiples múltiples a la serie serie de En el de flujo de efectivo efectivo incremental, incremental, para para la comparación comparación de C a B B.. La La serie serie en sí misma misma tiene tiene flujo tres cambios cambios de signo, serie de flujo flujo de efectivo efectivo acumulado acumulado comienza comienza negativamente negativamente tres signo, y la serie también implica implica tres tres cambios cambios de signo. signo. Por Por lo tanto, tanto, pueden pueden existir existir hasta hasta tres tres raíces raíces y también reales. La La función función TIR TIR se aplica aplica en la celda celda F23 F23 para para obtener obtener f.i~_ = 19.42% 19.42% sin sin usar usar el reales. t.i~ _B = procedimiento de inversión inversión neta. neta. Dicha Dicha acción acción supone supone que razonable la presunción presunción de procedimiento que es razonable de reinversión al 19.42% 19.42% para para flujos flujos de de efectivo efectivo de inversión neta positiva. positiva. Si la TMAR TMAR = inversión neta reinversión 15%, o algnna alguna otra otra tasa tasa de ganancia, ganancia, fuese fuese más más apropiada, apropiada, tendría tendría que que haberse haberse aplicado aplicado el 15%, procedimiento de inversión inversión neta neta para para determina determina la tasa tasa compuesta, compuesta, que que sería sería diferente diferente de procedimiento de 19.42%. Dependiendo Dependiendo de la tasa tasa de reinversión reinversión elegida, elegida, la alternativa alternativa C puede puede o no estar 19.42%. no estar incrementalmente justificada contra B. Aquí, Aquí, la la suposición suposición que que se hace hace es que que el valor valor de incrementalmente justificada contra f.i* es razonable, razonable, de modo modo que que C está está justificada. justificada. t.i*

RESUMEN DEL CAPíTULO CAPíTULO RESUMEN como los métodos métodos de los valores valores presente, permiten encontrar encontrar la Así como presente, anual y futuro permiten mejor alternativa cálculos de la tasa de rendimiento rendimiento incremental incremental mejor alternativa entre varias, los cálculos pueden usarse usarse para para el mismo mismo propósito. propósito. Al emplear emplear la técnica técnica de la TR es necesario pueden necesario tomar en cuenta cuenta los flujos de efectivo incrementales si se trata trata de seleccionar seleccionar entre tomar efectivo incrementales entre alternativas mutuamente mutuamente excluyentes. excluyentes. Esto no fue necesario necesario para para los métodos métodos del alternativas VP, VA o VF. La evaluación evaluación de la inversión inversión incremental incremental se realiza realiza sólo entre entre dos VP, alternativas a la vez, empezando empezando con la alternativa alternativa de menor menor inversión inversión inicial. inicial. Una alternativas Una eliminada una alternativa, alternativa, ésta no se considera considera más. vez eliminada existen limitaciones limitaciones presupuestarias presupuestarias cuando cuando se evalúan evalúan proyectos proyectos indeSi no existen independientes aplicando aplicando el método método de TR, el valor TR de cada cada proyecto proyecto se compara compara pendientes TMAR. Puede Puede aceptarse aceptarse cualquier cualquier número, número, o ninguno, ninguno, de los proyectos. proyectos. con la TMAR. valores de la tasa de rendimiento tienen un atractivo atractivo natural natural para Los valores rendimiento tienen para la gerengerenfrecuencia, el análisis análisis de TR es más difícil difícil de establecer establecer y completar, completar, cia pero, con frecuencia, análisis VP o VA VA utilizando utilizando una TMAR establecida. Al realizar realizar un análisis análisis que el análisis TMAR establecida. tenerse cuidado cuidado con los flujos de efectivo efectivo incrementales; incrementales; de otra forma TR debe tenerse forma puede dar resultados resultados incorrectos. éste puede incorrectos.

TR TR Múltiple

314

CAPÍTULO 8

Análisis de tasa de rendimiento: alternativas múltiples

PROBLEMAS Comprensión de la TR incremental

8.1 Si la alternativa A tiene una tasa de rendimiento de 10% y laalternativaB otra de 18%, ¿qué nos dice eso acerca de la tasa de rendimiento sobre el incremento entre A y B, si la inversión que se requiere para B es, a) mayor que la requerida para A, y b) más pequeña que la que se pide para A?

8.2 ¿Cuál es la tasa de rendimiento conjunta sobre una inversión de $100 000, que rinde 20% sobre los primeros $30000 y 14% sobre los $70000 restantes?

8.3 ¿Por qué es necesario hacer un análisis in-

I,¡¡iji: ,1 ~ I I

~~ l,

cremen tal cuando se realiza el estudio de la tasa de rendimiento para alternativas de servicio?

8.4 Si todos los flujos de efectivo incrementales son negativos, ¿qué es lo que se sabe sobre la tasa de rendimiento sobre la inversión incremental?

8.5 El flujo de efectivo incremental se calcula como la diferencia: flujo de efectivo, - flujo de efectivo¿ donde B representa la alternativa con la inversión inicial más grande. Si los dos flujos de efectivo se intercambiaran de modo que B representara aquel con la inversión inicial más pequeña, ¿qué alternativa debería seleccionarse si la tasa de rendimiento incremental es de 20% anual, y la TMAR de la compañía es de 15% por año? Explique su respuesta.

8.6 Una empresa procesadora de alimentos estudia dos tipos de analizadores de humedad. La compañía espera que un modelo infrarrojo produzca una tasa de rendimiento de 18% anual. Un modelo más caro basado en microondas arrojaría una tasa de rendimiento de 23% anual. Si la TMAR de la empresa es de 18% anual, ¿podría el lector determinar cuál o cuáles modelo(s) debe(n) comprarse, únicamente con base en la informa-

ción que se da sobre la tasa de rendimiento, si a) cualquiera o ambos analizadores pueden seleccionarse, y b) sólo uno puede seleccionarse? ¿Por qué sí o no?

8.7 Para cada uno de los escenarios siguientes mencione si para seleccionar una alternativa se requiere el análisis de la inversión incremental, y diga por qué sí o no. Suponga que la alternativa Y requiere una inversión inicial más elevada que la alternativa X, y que la TMAR es de 20% anual. a) X tiene una tasa de rendimiento de 28% anual y Y tiene otra de 20% anual b) La tasa de rendimiento de X es de 18% anual y la de Y es de 23% anual e) X tiene una tasa de rendimiento de 16% anual y la de Y es de 19% anual d) X tiene una tasa de rendimiento de 30% anual y Y otra de 26% anual e) La tasa de rendimiento de X es de 21 % anual y la de Y de 22% anual

C C V V

8

(

(e

8

8.8 Una compañía de construcción pequeña ha reservado $100 000 en un fondo hundido para adquirir equipo nuevo. Si se invierten $30000 a 30%, $20000 a 25% y los $50000 restantes a 20% anuales, ¿cuál es la tasa de rendimiento conjunta de los $100 OOO?

8

8.9 Se dispone de un total de $50 000 para invertir en un proyecto para reducir los robos internos en un almacén de aparatos. Se estudian dos alternativas identificadas como Y y Z. Se determinó que la tasa de rendimiento conjunta de los $50000 es de 40%, con 15% como tasa de rendimiento sobre el incremento de $20 000 entre Y y Z. Si Z es la alternativa de costo inicial más elevado, a) ¿cuál es el monto de la inversión requerida para Y, y b) ¿cuál es la tasa de rendimiento sobre Y?

8.10 Prepare una tabulación de flujo de efectivo para las alternativas continuación.

que se muestran a

8

315 315

PROBLEMAS PROBLEMAS

to,si eden cio-

Costo inicial, inicial, $ Costo Costo de de operación operación anual, anual, $ Costo Valor de de rescate, rescate, $ Valor Vida, años años Vida,

8.11 cre-

que llll-

que 28% 18%

A Máquina A

Máquina B Máquina

-15000 -15000 -1600 -1600 3000 3000 3

-25000 -25000 --400 -400 6000 6

Una compañía compañía química química analiza analiza dos proproUna cesos para para fabricar fabricar un polímero polímero catiónicatiónicesos proceso A tendría tendría un costo costo inicial inicial de co. El proceso $100 000 000 y un costo costo de operación operación anual anual $100 $60 000. El proceso proceso B tendría tendría un costo costo de $60 inicial de $165 0000. 0000. Si ambos ambos procesos procesos inicial serían adecuados adecuados durante durante 4 años y la tasa tasa serían rendimiento sobre sobre el incremento incremento entre entre las de rendimiento alternativas es de 25%, 25%, ¿cuál ¿cuál es el monto monto alternativas costo de operación operación para para el proceso proceso B? del costo

16%

Comparación Comparación de la TR TR incremental incremental (dos alternativas) (dos alternativas)

30%

Cuando la tasa de rendimiento sobre el flujo 8.12 Cuando rendimiento sobre efectivo incremental incremental entre de efectivo entre dos alteralternativas es exactamente nativas exactamente igual igual que la TMAR, TMAR, alternativa debería debería elegirse, elegirse, aquella aquella ¿cuál alternativa con la inversión inversión inicial baja? inicial más alta o más baja? ¿Por ¿Por qué?

21%

8.13

cate de $100 $100 000 000 después después de cinco cinco años. El costo inicial inicial del proceso proceso Y sería de $800 $800 000, sus costos costos anuales anuales de $150 $150 000, 000, y después después de cinco cinco años años su valor valor de rescate rescate sería sería de $230000. $230000. a) ¿Cuál ¿Cuál es la tasa tasa de rendimiento rendimiento sobre sobre el incremento incremento de la inversión inversión entre entre las dos? dos? b) ¿Cuál ¿Cuál proceso proceso debería debería seleccionar seleccionar la compañía compañía sobre la base de un análisis de la tasa tasa de rendimiento, rendimiento, si la TMAR TMAR es de 20% 20% anual? anual?

Una firma de consultoría consultoría en ingeniería ingeniería prepretende decidir decidir si debería debería comprar comprar Ford ExExplorers o Toyota Toyota 4Runners directiplorers 4Runners para para los directivos de la compañía. compañía. Los Los modelos modelos en vos consideración costarían costarían 29 000 dólares para consideración espera el Ford y $32 000 para el Toyota. Se espera operación anual del Explorer Explorer que el costo de operación mayor que el de14Runner. de14Runner. sea $200 anuales mayor comercialización después después de Los valores de comercialización estiman en 50% del costo inicial inicial 3 años se estiman para para el Explorer Explorer y 60% para el Toyota. a) ¿Cuál es la tasa de rendimiento rendimiento relativa relativa a la del Ford, Ford, si se selecciona selecciona Toyota? Toyota? b) Si la TMAR TMAR de la firma es de 18% anual, ¿qué marca de vehículo vehículo deberá deberá comprar? comprar? marca

8.14 Una compañía compañía de plásticos plásticos analiza analiza dos procesos cesos de moldeo moldeo por inyección. inyección. El proceso proceso X tendría tendría un costo costo inicial inicial de $600 $600 000, costos anuales de $200 000, y valor de res-

8.15

Una Una empresa empresa que manufactura manufactura transductores transductores de presión amplificados presión amplificados trata trata de decidir decidir entre las máquinas cuyas características máquinas cuyas características se muestran muestran a continuación. continuación. Compárelas Compárelas sobre sobre la base de la tasa de rendimiento determine base rendimiento y determine cuál cuál debe elegirse elegirse si la TMAR TMAR de la empresa empresa es de 15% anual. anual. Velocidad Velocidad Velocidad Velocidad variable variable dual

Costo inicial, inicial, $ Costo Costo de operación operación anual, anual, $/año $/año Costo Reparación mayor año 3, $ Reparación mayor en el año Reparación mayor año 4, $ Reparación mayor en el año Valor de rescate, Valor de rescate, $ Vida, años años Vida,

-250000 -231000 -231000

-39000 -39000 50000 6

-225000 -225000 -235000 -235000 -26000 -26000 10000 10 000 6

administrador de una planta 8.16 El administrador planta procesadora procesadora alimentos enlatados enlatados intenta intenta decidir decidir entre de alimentos máquinas para etiquetar. Determine Determine cuál dos máquinas debería elegir elegir con el criterio criterio de la tasa de debería rendimiento con una TMAR TMAR de 20% anual. rendimiento

Costo inicial, inicial, $ Costo Costo de operación operación anual, anual, Costo $/año $/año Valor de rescate, rescate, $ Valor Vida, años años Vida,

Máquina A

Máquina B

-15000 -15000 -1600 -1600

-25000 -25000 --400 -400

3000 2

4000 4

Una planta planta que recicla recicla desechos desechos sólidos sólidos 8.17 Una considera dos tipos de tambos tambo s de almacealmaceconsidera namiento (vea tabla de la página página siguiente). siguiente). namiento Determine cuál cuál debe debe elegirse elegirse según según el Determine criterio de la tasa de rendimiento. rendimiento. Suponga Suponga' ' criterio TMAR es de 20% anual. que la TMAR

316

CAPÍTULO 8 Análisis Análisis de tasa de rendimiento rendimiento: : alternativas alternativas múltiples múltiples CAPÍTULO

valor valor de rescate rescate de $40 000 una vez transcurridos 5 años, pero se desconocen desconocen los coscurridos operación y mantenimiento. mantenimiento. DeterDetertos de operación alternativa S, mine el monto de éstos para la alternativa obtenga una tasa de rendirendide modo que se obtenga miento incremental incremental de 20% anual. miento

Alternativa Alternativa Alternativa Alternativa Q P Q -18 000 -18000 Costo inicial, $ Costo de operación operación anual, anual, $/año -4000 -4 000 1 000 Valor de rescate, $ 1000 Vida, años 3

8.18

continuación se presenta presenta el flujo de efectiA continuación vo incremental estimado entre las alternativas TMAR es de 20% anual, ¿cuál de J y K. Si la TMAR elegirse con base en la tasa de renellas debe elegirse dimiento? Suponga Suponga que K requiere requiere $90 000 dimiento? adicionales como como inversión inversión inicial. inicial. adicionales Año O O 1-3 4-9 10

8.19

-35000 -35000 -3600 -3600 2700 2700 6

oo 1 2 3

incrementales para las Los flujos de efectivo incrementales alternativas M y N se presentan presentan a continuacontinuaalternativas Determine cuál debería debería elegirse, elegirse, por por ción. Determine medio del análisis análisis de la tasa de rendimiento rendimiento medio VA. La TMAR TMAR es de 12% con base en el VA. alternativa N requiere requiere una inverinveranual y la alternativa inicial mayor. sión inicial

efectivo Flujo de efectivo incremental, $(K - J)

Año

-90000 -90000 +10 000 000 +20000 +20000 +5000 +5000

Una compañía compañía química química estudia estudia dos procesos procesos para aislar DNA. En seguida seguida se presenta para aislar DNA. presenta el flujo de efectivo incremental entre dos alterefectivo incremental nativas, J y S. La compañía compañía utiliza una TMAR TMAR de 50% por por año. La tasa tasa de rendimiento rendimiento sobre el flujo de efectivo efectivo incremental incremental que se muestra muestra es menos menos del 50%, pero la directora directora de la empresa empresa prefiere prefiere el proceso proceso más caro. La directora directora cree cree que que puede puede negociar negociar el costo costo inicial inicial del proceso proceso más caro caro para para reducirlo. ducirlo. ¿En cuánto cuánto tendría tendría que que disminuir disminuir el costo costo inicial inicial de la alternativa alternativa S, la de mayor costo costo inicial, para para que se tuviera tuviera una tasa de rendimiento rendimiento incremental incremental de 50% exacto? exacto? Año

8.21

Flujo de efectivo efectivo incremental, incremental, $(5 $(S - J) J) -900000 -900000 400000 400000 600000 600000 850000 850000

8.20 8.20 La alternativa alternativa R tiene tiene un costo costo inicial inicial de $100000, $100 000, costos costos anuales anuales de de mantenimiento mantenimiento y operación operación de $50 000, y un valor valor de rescate rescate de $20 $20 000 000 después después de 5 años. La La alternatialternativa S tiene tiene un costo costo inicial inicial de $175000 $175000 y un

oO 1-8 9 8.22

Flujo de efectivo efectivo incremental, $(N - M) -22000 -22000 +4000 +4000 +12000 +12000

Determine Determine cuál de las dos máquinas máquinas que se describen continuación debe describen a continuación debe seleccioseleccionarse, con el empleo narse, empleo del análisis análisis de la tasa tasa de rendimiento rendimiento basada basada en el VA, si la TMAR TMAR es de 18% anual. 5emiautomática Automática Semiautomática Automática

Costo Costo inicial, inicial, $ Costo Costo anual, anual, $/año $/año Valor Valor de rescate, rescate, $ Vida, Vida, años años

8.23 8.23

-40000 -40000 -100000 -100000 5000 5000 2

-90000 -90000 -95000 -95000 7000 7000 4

A continuación continuación se presentan presentan los flujos flujos de efectivo efectivo incrementales incrementales para para las alternativas alternativas X y Y. Y. Calcule Calcule la tasa tasa de rendimiento rendimiento increincremental mental por por mes mes y determine determine cuál cuál de ellas ellas debería debería seleccionarse, seleccionarse, por medio medio del análisis análisis de la tasa tasa de rendimiento rendimiento con base base en el VA. La TMAR TMAR es de 24% anual compuesto compuesto menmensualmente, sualmente, y la alternativa alternativa Y requiere requiere la inversión versión inicial inicial más elevada. elevada. Mes Mes

oo 1-23 24 24

Flujo de efectivo efectivo incremental, incremental, $(Y $(Y - X) -62000 -62000 +4000 +4000 +10 000 +10000

8.

317

PROBLEMAS

anscosetervaS, ndi-

8.24

alas nua, por iento 12% ver-

A continuación se muestra el flujo de efectivo incremental entre las alternativas Zl y Z2 (esta última tiene el costo inicial más alto). Use la ecuación de la tasa de rendimiento basada en el VA a fin de calcular la tasa de rendimiento incremental y decidir cuál alternativa debe elegirse si la TMAR es de 17% anual. Sea k = años 1 a 10. Año O 1-10

8.25

8.26

8.27

por medio del análisis de la tasa de rendimiento de la inversión incremental. La tasa de rendimiento de cada incremento de la inversión fue menor que la TMAR. ¿Cuál alternativa debería seleccionarse? Comparación 8.28

Flujo de efectivo incremental, $(Z2 - Z1) -40000 9000 - 500k

Con el fin de tener acceso a un puente colgante permanente se estudian dos diseños de camino. El costo de la construcción del diseño lA sería de $3 millones y el de mantenimiento sería de $100 000 por año. La construcción del diseño lB costaría $3.5 millones y su mantenimiento $40 000 al año. Use la ecuación de la tasa de rendimiento con base en el VA para determinar cuál diseño es preferible. Suponga que n = 10 años y la TMAR de 6% anual. Una compañía manufacturera necesita 3000 metros cuadrados para expandirse, debido a que acaba de ganar un contrato nuevo que dura 3 años. La empresa estudia la compra de un terreno en $50 000 para levantar ahí una estructura metálica temporal, con un costo de $90 por metro cuadrado. Al final de los 3 años la compañía espera poder vender el lote en $55 000 y la edificación en $60000. Otra alternativa de la empresa es arrendar el espacio a $3 por metro cuadrado al mes, pagaderos al principio del año. Utilice una ecuación de tasa de rendimiento basada en el VA a fin de determinar cuál es la alternativa preferible. La TMAR es 28% anual. Con objeto de automatizar una operación de manufactura, se estudia entre cuatro alternativas de servicio mutuamente excluyenteso Fueron calificadas en orden creciente de inversión inicial y después se compararon

B

C D

8.29

múltiples

Una compañía de recubrimiento s metálicos estudia cuatro métodos diferentes para recuperar los subproductos de metales pesados contenidos en los desechos líquidos de un sitio de manufactura. Se han estimado los costos de la inversión y los ingresos asociados con cada método. Todos ellos tienen una vida de 8 años. La TMAR es de 11% anual. a) Si los métodos son independientes porque es posible implantarlos en plantas diferentes, ¿cuáles son aceptables? b) Si los métodos son mutuamente excluyentes, determine cuál debería seleccionarse de acuerdo con la evaluación de la TR.

Método A

entre alternativas

Costo inicial. $

Valor de rescate, $

-30000 -36000 -41000 -53000

+1000 +2000 +500 -2000

Ingreso anual, $/año +4000 +5000 +8000 +10 500

Mountain Pass Canning Company determinó que para una fase de sus operaciones de enlatado puede usar cualquiera de cinco máquinas, cuyos costos se presentan a continuación. Todas tienen una vida de 5 años. Si la tasa de rendimiento mínimo atractiva es 20% anual, determine la máquina que debe elegirse de acuerdo con el análisis de la tasa de rendimiento.

Máquina

Costo inicial, $

Costo de operación anual, $/año

1 2 3 4 5

-31000 -28000 -34500 -48000 -41000

-18000 -19500 -17000 -12000 -15500

318

8.30

CAPÍTULO

alternativas

múltiples

de cada modelo de camión se presentan a continuación. La TMAR del contratista es de 18% anual y se espera que todos los modelos tengan una vida útil de 5 años. a) Determine la capacidad del camión que debe comprarse. b) Si han de adquirirse dos camiones de capacidad diferente, ¿cuál debería ser el tamaño del segundo?

Tamaño base del camión, metros cúbicos 8

Inversión inicial, $

Costo de operación anual, $/año

Valor de rescate, $

Ingreso anual, $/año

-30000 -34000 -38000 --48000 -57000

-14000 -15500 -18000 -21000 -26000

+2000 +2500 +3000 +3500 +4600

+26500 +30000 +33500 +40500 +49000

Un ingeniero de Anode Metals estudia los proyectos que se presentan en seguida, todos los cuales se estima duren indefinidamente. Si la TMAR de la compañía es de 15%

A B

C D E

8.32

Análisis de tasa de rendimiento:

Un contratista independiente que trabaja por su cuenta está por decidir qué capacidad debe tener el modelo de camión para basura que comprará. Él sabe que conforme el piso de su inversión se incrementa, también sube el ingreso neto, pero no está seguro de que se justifique el gasto incremental que se requiere para los camiones más grandes. Los flujos de efectivo asociados con la capacidad

10 15 20 25

8.31

8

anual, determine cuál debería seleccionarse, a) si los proyectos son independientes, y b)

si son mutuamente excluyentes.

Costo inicial, $

Ingreso anual $/año

Tasa de rendimiento de la alternativa, %

-20000 -10 000 -15000 -70000 -50000

+3000 +2000 +2800 +10 000 +6000

15 20 18.7 14.3 12

Se supone que todas las máquinas tendrán una vida de 10 años. ¿Cuál máquina, si hubiera alguna, debe seleccionar la empresa, si su TMAR es de a) 12% anual y b) 20% anual?

Para cierto proceso de producción debe comprarse sólo una de cuatro máquinas diferentes. Un ingeniero efectuó los análisis siguientes para seleccionar la mejor de ellas.

Máquina

Costo inicial, $ Costo anual, $/año Ahorros anuales, $/año TR,% Máquinas comparadas Inversión incremental, $ Flujo de efectivo incremental, TR sobre incremento, %

$/año

1

2

3

4

--44000 -70000 +80000 18.6

-60000 -64 000 +80000 23.4 2a 1 -16000 +6000 35.7

-72 000 -61000 +80000 23.1 3a2 -12000 +3000 21.4

-98000 -58000 +82000 20.8 4a3 -26000 +5000 14.1

8

8

319

PROBLEMAS

a es

8.33

D-

e-

be

Si son mutuamente excluyentes, con una TMAR de 9% anual, ¿cuál debe elegirse? e) Si la TMAR es de 12% anual y las propuestas se excluyen mutuamente, ¿cuál debería ser la elección?

Se estudia entre cuatro alternativas que se describen a continuación. a) Si las propuestas son independientes, ¿cuál debe seleccionarse con una TMAR de 16% anual?

b)

ae-

Alternativa A B

e o 8.34 se, b)

Tasa de rendimiento,

-40000 -75000 -100000 -200000

%

29 15 16 14

E F G

H

Inversión Tasa de de la rendimiento alternativa, $ de la alternativa, -20000 -30000 -50000 -80000

B

e

1 7 10

20 13

12

Tasa de rendimiento incremental en %, sobre el flujo de efectivo incremental, cuando se compara con la alternativa %

E

20 35 25 20

Se comenzó un análisis de la tasa de rendimiento para las alternativas de vida infinita que se presentan en la tabla de la página siguiente. a) Llene los espacios en blanco en la columna de la tasa de rendimiento de la alternativa y en las de la tasa de rendimiento incremental de la tabla.

A

e) ¿Cuál alternativa debe seleccionarse si son mutuamente excluyentes y la TMAR es de 16%? d) ¿Qué alternativa debe elegirse si se excluyen mutuamente y la TMAR es de 11%? e) Seleccione las mejores dos alternativas con una TMAR de 19%.

Se emprendió un análisis de la tasa de rendimiento para las alternativas de vida infinita que se presentan a continuación. a) Llene los espacios en blanco en la columna de la tasa de rendimiento incremental sobre la porción de flujo de efectivo incremental de la tabla. b) ¿De cuánto es el ingreso asociado con cada alternativa?

Alternativa

8.35

Inversión inicial, $

Tasa de rendimiento incremental en %, cuando se compara con la alternativa

F

G

H

11.7 11.7

¿Cuál es la alternativa por elegir si son independientes y la TMAR es de 21 % anual? e) ¿Qué alternativa debe escogerse si se excluyen mutuamente y la TMAR es de 24% anual?

b)

320 320

CAPÍTULO 8 CAPÍTULO

Análisis de tasa tasa de rendimiento: rendimiento: alternativas alternativas múltiples múltiples Análisis

Inversión de Inversión Tasa de rendimiento de la rendimiento Alternativa alternativa, alternativa, $ de de la alternativa, alternativa, % Alternativa E F G

H H

000 --10 10 000 -25000 -25000 -30000 -30000 -60000 -60000

Tasa de rendimiento rendimiento incremental incremental en %, sobre sobre el flujo de de efectivo efectivo incremental, incremental, cuando cuando se compara compara con la alternativa alternativa E

25

F

G

H

20 20

4

4

30

PROBLEMAS DE REPASO FI PROBLEMAS 8.36

alternativa 1 requiere requiere una inversión inversión iniLa alternativa cial de $20 000 y producirá producirá una tasa de renalternativa C, que dimiento de 15% anual. La alternativa requiere inversión de $30 000, 000, generará requiere una inversión generará 20% anual. ¿Cuál enunciados que 20% ¿Cuál de los enunciados siguen es verdadero siguen verdadero respecto respecto a la tasa de rendimiento OOO? rendimiento del incremento incremento de $10 OOO? a) Es más de 20% 20% anual. b) Es 20% 20% exacto exacto anual. e) Está Está entre entre 15y 20% 20% anual. el) d) Es menos menos de 15% anual.

8.37 La tasa de rendimiento rendimiento para para la alternativa alternativa X es de 18% anual, mientras mientras que para para la Y es de 17% anual, y esta última requiere esta última requiere una inversión inicial más elevada. inversión inicial elevada. Si una una empresa tiene una tasa de rendimiento presa tiene tasa rendimiento mínimo mínimo atractiva de 16% por atractiva por año, a) la compañía compañía debe debe seleccionar seleccionar la alternativa X. nativa b) b) la empresa empresa debe debe elegir elegir la alternativa alternativa Y. Y. e) la compañía debe realizar compañía debe realizar un análisis análisis incremental incremental entre entre X y Y, Y, a fin de escoger escoger la mejor alternativa económica. mejor alternativa económica. el) d) la empresa empresa debe optar optar por por no hacer hacer nada. 8.38 8.38 Cuando Cuando se realiza realiza un análisis análisis de la TR TR de proyectos proyectos de servicio servicio mutuamente mutuamente excluexcluyentes, yentes, a) todos todos los proyectos proyectos deben deben compararse compararse con con la la alternativa alternativa de no hacer hacer nada. nada. b) debe debe seleccionarse seleccionarse más más de un proyecto. proyecto.

e) es necesario hacer un análisis análisis de inverinvernecesario hacer sión incremental incremental para para identificar identificar la mejor alternativa. jor alternativa. d) hay que que elegir elegir el proyecto proyecto con la TR inel) cremental elevada. cremental más elevada. 8.39 compararse dos alternativas alternativas que se exex8.39 Al compararse cluyen mutuamente mutuamente por por medio medio del método método cluyen de la TR, TR, si la tasa tasa de rendimiento rendimiento sobre sobre la alternativa alternativa con el costo costo inicial inicial más alto alto es menor que que la de aquella aquella con el costo costo inicial inicial menor más bajo, bajo, tasa de rendimiento rendimiento sobre sobre el increincrea) la tasa mento entre entre las dos es mayor mayor que que la tasa tasa mento de rendimiento rendimiento para para la alternativa alternativa de costo costo inicial inicial más más bajo. bajo. b) la tasa de rendimiento tasa rendimiento sobre sobre el increincremento es menor que la tasa de rendimienmenor rendimiento para para la alternativa alternativa de costo costo inicial inicial más bajo. e) la alternativa alternativa con con costo costo inicial inicial más más eleelevado puede ser la mejor de las dos alvado puede ser mejor ternativas. ternativas. el) d) ninguna ninguna de de las anteriores. anteriores. 8.40 8.40 A continuación continuación se presenta presenta el flujo flujo de efecefectivo incremental incremental entre entre dos alternativas. alternativas. Año Año

Flujo de de efectivo efectivo incremental, incremental, $

oo

-20000 -20000 +3000 +3000 +400 +400

1-10 1-10 10

E j

1 y s n

e n

s

EJERCICIO

0= -20 OOO(AlP,i,lO) + 3000 + 400(P/F,i, 1O) d) 0= -20 000 + 3 OOO(P/A,i,lO) +

La(s) ecuación(es) que puede usarse para obtener un resultado correcto para la tasa de rendimiento incremental es (son): a) 0= -20000 + 3 OOO(AlP,i,lO) + 400(P/F,i,1O) b)

400(AlF,i, 10)

A B

e D E

8.41

Inversión inicial, $ -25000 -35000 -40000 -60000 -75000

9.6 15.1 13.4 25.4 20.2

D

DyE B, D Y E

d) E 8.42

400(P/F,i,1O)

Tasa de rendimiento de la alternativa, %

Si las alternativas son·independientes y la TMAR ~s de 18% anual, la(s) que debe(n) seleccionarse es (son): a) b) e)

e)

Las preguntas 8.41 a 8.43 se basan en la tabla siguiente. Las cinco alternativas están en estudio por medio del método de la tasa de rendimiento.

0=-20000 + 3 000(AlP,i,10) +

Alternativa

321

AMPLIADO

Si las alternativas se excluyen mutuamente y la TMAR es de 15% anual, la que debe elegirse es,

8.43

Tasa de rendimiento incremental, en %, cuando se compara con la alternativa A

e)

E

d)

Ninguna

B

e

D

E

28.9

19.7 1.5

36.7 39.8 49.4

25.5 24.7 28.0 -0.6

Si las alternativas son mutuamente excluyentes y la TMAR es de 25% anual, la alternativa por seleccionar es, a) A b) D e) E d)

Ninguna

a) B b) D

EJERCICIO AMPLIADO ANÁLISIS DE TR INCREMENTAL CUANDO SON INCIERTAS LAS VIDAS ESTIMADAS DE LAS ALTERNATIVAS "Make-to-Specs" es un sistema de software bajo desarrollo en la Corporación ABC y será capaz de traducir versiones digitales de modelos computacionales tridimensionales, que contiene una gran variedad de formas de componentes con superficies maquinadas con alto grado de terminado (ultrasuave). El producto del sistema es el código de máquina numéricamente controlado (NC) para la fabricación de componentes. De manera adicional, "Make-to-Specs" construirá el código para terminado superfino de superficies con control continuo de las máquinas terminadoras. Exis-

322 322

CAPÍTULO CAPÍTULO 8

Análisis Análisis de tasa tasa de rendimiento: rendimiento: alternativas alternativas múltiples múltiples

ten dos computadoras computadoras alternativas alternativas que pueden pueden proporcionar proporcionar la función función de servidor servidor para las interfaces interfaces del software software y la actualización actualización de bases bases de datos para datos compartidas compartidas sobre el piso de manufactura, mientras "Make-to-Specs" operando en modo manufactura, mientras "Make-to-Specs" está está operando paralelo. efectivo paralelo. El costo inicial inicial del servidor servidor y la contribución contribución estimada estimada al flujo de efectivo resumen a continuación. continuación. neto anual se resumen

Costo Costo inicial, inicial, $ Flujo de efectivo efectivo neto, neto, $/año $/año Flujo

Vida, años Vida, años

Servidor Servidor 1

Servidor Servidor 2

$100000 $100000 $35000 $35000

$200000 $200000 $50 más $5 000 000 $50 000 000 el año año 1, más anuales para los los años años 2, anuales para 3 Y 4 (gradiente). (gradiente). $70 para los los años años 5 $70 000 000 máximo máximo para adelante, incluso en adelante, incluso si se reemplaza el servidor. reemplaza servidor. 5u8

304 304

Las vidas estimadas ingeniero estimadas fueron elaboradas elaboradas por dos individuos individuos diferentes: diferentes: un ingeniero de diseño y un gerente esta etapa etapa del gerente de producción. producción. Ellos han solicitado solicitado que, en esta proyecto, vidas estimadas estimadas para para proyecto, todos los análisis análisis se desarrollen desarrollen empleando empleando ambas ambas vidas cada cada sistema. sistema.

Preguntas Preguntas Use análisis responder lo siguiente: análisis por computadora computadora para para responder siguiente:

1. Si la TMAR método VP o TMAR = = 12%, ¿qué servidor servidor debería debería seleccionarse? seleccionarse? Use el método VA para realizar VA para realizar la selección. selección. 2. Emplee TMAR Emplee análisis análisis de TR incremental incremental para para decidir decidir entre los servidores servidores con TMAR = = 12%. 3. Use cualquier sobre la hoja de cualquier método método de análisis análisis económico económico para para desplegar desplegar sobre cálculo el valor de la TR incremental servidor 2 con la vida cálculo incremental entre el servidor vida estimada estimada de 5 años y una vida estimada estimada de 8 años.

ESTUDIO ESTUDIO DE CASO CASO 1 TANTAS OPCIONES. OPCIONES. ¿PUEDE ¿PUEDE AYUDAR AYUDAR A SU PADRE PADRE UN UN RECIÉN RECIÉN TANTAS EN INGENIERÍA?! GRADUADO GRADUADO EN INGENIERÍA?! Antecedentes Antecedentes "No "No sé si venderlo, venderlo, expandirlo, expandirlo, arrendarlo arrendarlo o qué. qué. Pero Pero no creo que podamos creo que podamos seguir seguir haciendo haciendo lo mismo mismo durandurante muchos muchos años años más. más. Lo Lo que que realmente realmente quiero quiero hacer hacer es J1

conservarlo luego venderlo venderlo en en lo conservarlo durante durante 5 años años más más y luego que su esposa esposa Janise, Janise, a su que sea", sea", dijo dijo Elmer Elmer Kettler Kettler a su hijo, Gestory, hijo, John John Kettler, Kettler, y a su nueva nueva nuera, nuera, Suzanne Suzanne Gestory, mientras alrededor de de la mesa. mesa. mientras todos todos estaban estaban reunidos reunidos alrededor Elmer en torno torno Elmer estaba estaba compartiendo compartiendo sus sus pensamientos pensamientos en

consultor, Communications Communications and High Tech Solutions Solutions Engineering, Engineering, Accenture Accenture LLP. Basado en un estudio de Alan C. Stewart, consultor, LLP.

ESTUDIO ESTUDIO DE DE CASO CASO 11

Gulf Coast Coast Wholesale Wholesale Auto Auto Parts, Parts, una una compañía compañía de de aa Gulf la que que había había sido sido propietario propietario yy operado operado durante durante 25 25 años años la en los los suburbios suburbios sureños sureños de de Houston, Houston, Texas. Texas. El El negonegoen cio tenía tenía excelentes excelentes contratos contratos para para suministro suministro de de parparcio tes con con varios varios detallistas detallistas nacionales nacionales que que operaban operaban en en el tes área: NAPA, NAPA, Auto-Zone, Auto-Zone, O'Reilly O'Reilly yy Advance. Advance. De De mamaárea: nera adicional, adicional, Gulf Gulf Coast Coast opera opera una una tienda tienda de de partes partes nera reconstruidas que que abastece abastece aa esos esos mismos mismos detallistas detallistas reconstruidas con componentes componentes automotrices automotrices mayores, mayores, tales tales como como carcarcon buradores, transmisiones transmisiones yy compresores compresores de de aire aire aconaconburadores, dicionado. dicionado. En su casa, casa, después después de de la cena, cena, John John decidió decidió ayudar ayudar En su padre padre con con una una importante importante y difícil difícil decisión: decisión: ¿qué ¿qué a su hacer con con su negocio? negocio? John John obtuvo obtuvo apenas apenas el el año año pasapasahacer do un un grado grado en en ingeniería ingeniería de de una una importante importante universiuniversido dad estatal estatal en en Texas, donde completó completó un un curso curso de de ingeingedad Texas, donde niería económica. económica. Parte Parte de de su trabajo trabajo en niería en Energcon Energcon Industries consiste consiste en en realizar realizar análisis análisis básicos básicos de de tasa tasa Industries de rendimiento rendimiento y de de valor valor presente presente sobre sobre propuestas propuestas de para el aprobechamiento de energía. para aprobechamiento de energía.

Opciones Opciones En unas unas cuantas señor Kettler esbozó cincuantas semanas, semanas, el señor Kettler esbozó cinco opciones, co opciones, incluyendo incluyendo su favorita favorita de vender vender dentro dentro de 5 años. años. John John resumió resumió todos todos los estimados estimados sobre sobre un horizonte a 10 años. horizonte años. Las Las opciones opciones y estimaciones estimaciones se le dieron dieron a Elmer, Elmer, quien quien estuvo estuvo de acuerdo acuerdo con con ellas. ellas. Opción partes reconstruidas. Opción 1: Cesar Cesar la actividad actividad de partes reconstruidas. Detener Detener la operación operación de la tienda tienda de reconstruidos reconstruidos y concentrarse concentrarse en la venta venta de partes partes al por por mayor. mayor. Se espera reconsespera que que la remoción remoción de las las operaciones operaciones de reconstruidos una "casa truidos y el cambio cambio a una "casa de todas todas las partes" partes" costará costará $750 $750 000 000 el primer primer año. año. Los Los ingresos ingresos globales globales caerán caerán a $1 millón millón el primer primer año año con con un aumento aumento espeesperado de 4% rado 4% anual anual desde desde entonces. entonces. Los Los gastos gastos están están proproyectados primer año, yectados en $0.8 $0.8 millones millones el primer año, aumentando aumentando 6% anual anual desde desde entonces. entonces. Opción Opción 2: Contratar Contratar las operaciones operaciones de reconstruidos. reconstruidos. Tener Tener lista lista la tienda tienda de reconstrucción reconstrucción para para que que un contratista contratista se haga haga cargo cargo de las operaciones operaciones costará costará $400 $400 000 000 inmediatamente. inmediatamente. Si los gastos gastos permanecen permanecen iguales iguales durante durante 5 años, años, promediarán promediarán $1.4 $1.4 millones millones por por año, pero pero puede puede esperarse esperarse que que se eleven eleven a $2 millones millones por por año año en el año 6 y de ahí en adelante. adelante. Elmer Elmer piensa piensa

323 323

que que los los ingresos ingresos bajo bajo un un acuerdo acuerdo de de contrato contrato pueden pueden ser ser de de $1.4 $1.4 millones millones el el primer primer año año yy elevarse elevarse 5% 5% al al año año durante durante el el tiempo tiempo de de un un contrato contrato de de 10 años. años. Opción Opción 3: Mantener Mantener todo todo como como está está yy vender vender después después de de 55 años. años. (Opción (Opción favorita favorita de de Elmer.) Elmer.) No No hay hay costo costo ahora, ahora, pero pero la la tendencia tendencia actual actual de de beneficio beneficio neto neto neganegativo tivo probablemente probablemente continuará. continuará. Las Las proyecciones proyecciones son son de de $1.25 $1.25 millones millones anuales anuales para para gastos gastos yy $1.15 $1.15 millones millones anuales anuales en en ingreso. ingreso. Elmer Elmer tuvo tuvo una una valoración valoración el el año año pasado pasado y el reporte reporte indicó indicó que que Gulf Gulf Coast Coast Wholesale Wholesale Auto Auto Parts Parts vale vale un un neto neto de de $2 $2 millones. millones. El El deseo deseo de de Elmer Elmer es es vender vender completamente completamente después después de de 55 años años más más a este un trato este precio, precio, yy hacer hacer un trato en en el el que que el nuevo nuevo propietario propietario pague pague $500 $500 000 000 por por año año al final final del del año año 5 (momento los (momento de de venta) venta) y la la misma misma cantidad cantidad durante durante los siguientes 3 años. años. siguientes Opción tiene un cercaOpción 4: Transacciones. Transacciones. Elmer Elmer tiene un amigo amigo cercano está logranlogranno en en el antiguo antiguo negocio negocio de de autopartes autopartes que que está finaciero), al menos con el do arrasar arrasar (auge (auge finaciero), menos así así lo lo dice, dice, con comercio electrónico. electrónico. Aunque comercio Aunque la posibilidad posibilidad es riesgosa, riesgosa, está exortando exortando a Elmer Elmer a considerar considerar una está una línea línea de partes partes completamente nueva, en el negocio negocio básico completamente nueva, pero pero todavía todavía en básico que él ya conoce. conoce. La transacción le costaría costaría inmediataque La transacción inmediatamente Elmer un estimado estimado de $1 millón. millón. El El horizonte mente a Elmer horizonte años de gastos gastos e ingresos ingresos anuales anuales es considerableconsiderablea 10 años mente mayor que el de su actual actual negocio. Los gastos gastos se mente mayor que negocio. Los estiman en $3 millones millones anuales, anuales, y los ingresos, ingresos, en $3.5 $3.5 estiman millones cada cada año. año. millones Opción 5: Acuerdo arrendamiento. Gulf Gulf Coast Coast popoOpción Acuerdo de arrendamiento. dría arrendarse arrendarse a una compañía clave, clave, permaneciendo permaneciendo dría una compañía Elmer como como propietario compartiendo parte parte de los Elmer propietario y compartiendo gastos para para edificación, edificación, camiones camiones de reparto, reparto, seguros, seguros, gastos etcétera. Los Los primeros primeros estimados estimados para para esta esta opción opción son etcétera. $1.5 millones millones para para tener tener listo listo el negocio negocio ahora, ahora, con con de $1.5 gastos anuales anuales de $500000 $500 000 e ingresos ingresos de $1 millón millón gastos anuales durante durante un contrato contrato de 10 años. años. anuales

Ejercicios del estudio estudio de caso caso Ejercicios Ayude a John John con con el análisis análisis haciendo haciendo lo siguiente: siguiente: Ayude Desarrolle las series series de flujos flujos de efectivo efectivo directos directos e 1. Desarrolle incrementales (en unidades unidades de $1 000) 000) para para las cincinincrementales opciones como como preparación preparación para para un análisis análisis de co opciones TR incremental. incremental. TR

324

CAPÍTULO

8

Análisis de tasa de rendimiento:

2. Discuta la posibilidad de múltiples valores de tasa de rendimiento para las series de flujos de efectivo directos e incrementales. Encuentre cualesquiera tasas múltiples en el rango de O a 100%. 3. Si el padre de John insiste en que él hará 25% anual o más sobre la opción seleccionada durante los siguientes 10 años, ¿qué es lo que hará? Use todos

alternativas

múltiples

4. Prepare gráficas de VP contra i para cada una de las cinco opciones. Estime la tasa de rendimiento de equilibrio entre opciones.

m re

5. ¿Cuál es la mínima cantidad que debe recibirse en cada uno de los años 5 a 8 para la opción 3 (la que Elmer quiere) para que sea económicamente la me-

E

jor? Dada esta cantidad, ¿cuál debe ser el precio de venta, suponiendo el mismo arreglo de pago presentado en la descripción?

los métodos del análisis económico que ha aprendido hasta ahora (VP, VA, TR) de modo que el padre de John pueda comprender la recomendación de una forma u otra.

ESTUDIO DE CASO 2 ANÁLISIS DE VP CUANDO ESTÁN PRESENTES MÚLTIPLES TASAS DE INTERÉS2 Antecedentes

última clase y recuerdan que dijo: "El cálculo de la tasa

Dos estudiantes de ingeniería económica, Jane y Bob, podrían no concordar en cuál herramienta de evaluación debería emplearse para seleccionar uno de los

de rendimiento compuesta con frecuencia involucra a la computación. Si no es necesaria una TR real, se recomienda ampliamente que se utilice el VP o el VA co-

siguientes planes de inversión. Las series de flujo de efectivo son idénticas, excepto por sus signos. Ellos recuerdan que debe establecerse una ecuación de VP o VA para resolver para una tasa de rendimiento. Parece que los dos planes de inversión deberían tener idénticos valores de TR. Quizá los dos planes sean equivalentes y deberían ser aceptables.

rrespondiente aceptabilidad

Año

Plan A

Plan B

O

$+1900 -500 -8000 +6500 +400

$-1900 +500 +8000 -6500 -400

1 2 3

4

Hasta este punto en la clase, el profesor ha analizado los métodos de valor presente y valor anual a una TMAR dada para evaluar las alternativas. Él explicó el método de tasa de rendimiento compuesta durante la 2

Contribución

del doctor Tep Sastri (ex profesor

asociado,

ingeniería

a la TMAR para decidir de un proyecto."

acerca de la

Bob admitió que no está muy claro para él por qué la simplista "VP a la TMAR" se recomienda ampliamente. Bob está inseguro acerca de cómo determinar si una tasa de rendimiento "no es necesaria". Él le dijo a Jane: "puesto que la técnica de TR compuesta siempre genera un único valor TR y cada estudiante tiene una calculadora o una computadora con un programa de hojas de cálculo en ella, ¿a quién le importa el problema computacional? Yo siempre realizo el método TR compuesto". Jane era más precavida y sugirió que un buen análisis comienza con un simple enfoque de sentido común. Ella sugirió que Bob inspeccionara los flujos de efectivo y viera si podía elegir el mejor plan sólo mediante la observación de los flujos de efectivo. Jane también le propuso que entre los dos intentaran cada método que habían aprendido hasta el momento. Ella dijo: "Si experimentamos con ellos, quizá podamos comprender la verdadera razón por la que el industrial,

Universidad

de Texas A&M).

el

ESTUDIO DE DE CASO CASO 2 ESTUDIO

método VP VP (o el VA) correspondiente correspondiente a la TMAR TMAR se método recomienda sobre sobre el método método de tasa tasa de rendimiento rendimiento recomienda compuesta." compuesta."

Ejercicios del estudio estudio de caso caso Ejercicios Considerando su discusión, discusión, las las siguientes siguientes son son algunas algunas Considerando preguntas que que Jane Jane y Bob Bob necesitan necesitan responder. responder. de las preguntas Ayúdelos a desarrollar desarrollar las respuestas. respuestas. Ayúdelos Mediante simple simple inspección inspección de los los dos dos patrones patrones de 1. Mediante flujo de efectivo, efectivo, determine determine cuál cuál es el plan plan preferipreferiflujo otras palabras, alguien está ofreciendo los do. En otras palabras, si alguien está ofreciendo 'dos planes, planes, ¿cuál ¿cuál piensa piensa usted usted que que puede puede obtener obtener 'dos una tasa tasa de rendimiento rendimiento mayor? mayor? una ¿Qué plan plan es la mejor elección si la TMAR TMAR es a) 2. ¿Qué mejor elección 15% anual anual y b) 50% anual? Aquí Aquí se pueden pueden tomar tomar 15% 50% anual? dos enfoques: enfoques: primero, evaluar las las dos dos opciones opciones dos primero, evaluar usando análisis análisis VP VP a la TMAR, TMAR, ignorando ignorando las raíraíusando ces múltiples, múltiples, ya sea sea que que existan existan o no; no; segundo, segundo, dedeces terminar la tasa tasa interna rendimiento de los dos dos terminar interna de rendimiento planes. ¿Las ¿Las dos dos series series de flujo flujo de efectivo efectivo tienen tienen planes. los mismos mismos valores valores de TR? los de TR?

325

Realice un análisis análisis de de TR TR incremental incremental de de los los dos dos 3. Realice planes. ¿Todavía existen múltiples raíces para para la planes. ¿Todavía existen múltiples raíces serie de flujo flujo de efectivo efectivo que que limiten limiten la habilidad serie habilidad de Bob y de Jane Jane para para efectuar efectuar una una elección elección definitidefinitiBob va? Si es así, así, ¿cuáles ¿cuáles son? son? va? 4. Los Los estudiantes estudiantes quieren quieren saber saber si el análisis análisis de TR TR compuesto producirá producirá consistentemente consistentemente una una decisión decisión compuesto lógica y única única conforme conforme cambia cambia el valor valor de la lógica la TMAR. Para Para responder responder a esta esta pregunta, pregunta, averigüe averigüe TMAR. cuál plan plan debería debería aceptarse aceptarse si algún algún flujo flujo de efectiefecticuál periodo (fondos (fondos sobrantes sobrantes del proyecvo de fin de periodo del proyecganan a las las siguientes siguientes tres tres tasas tasas de reinversión. reinversión. to) ganan Las tasas tasas TMAR TMAR también también cambian. cambian. Las La tasa tasa de reinversión reinversión es 15% 15% anual; anual; la TMAR TMAR a) La 15% anual. anual. es 15% La tasa tasa de reinversión reinversión está está a 45% 45% por por año; año; la b) La TMAR está está a 15% por año. TMAR por año. La tasa tasa de reinversión reinversión y la TMAR TMAR son son ambas ambas e) La 50% anual. anual. de 50% Explique a Bob Bob y Jane Jane sus hallazgos hallazgos respecto respecto d) Explique estas tres tres diferentes diferentes combinaciones combinaciones de tasas. tasas. de estas

9 9 o o 11-

«« u u

Análisis beneficio/costo beneficio/costo y economía economía del sector público Los anteriores normalmente Los métodos métodos de evaluación de los capítulos anteriores normalmente se se aplican a las las alternativas del sector sector privado, privado, es es decir, a empresas y negocios negocios lucrativos lucrativos. Los Los consumidores, consumidores, clientes y empleados empleados se se valen de las las altery no lucrativos. nativas disponibles. iza la disponibles. En En este capítulo capítulo se se presenta y anal analiza la naturaleza econóeconómica de las ico . En rop ietarios y usuarios las alternativas alternativas en el sector públ público. En éste los p propietarios (beneficia rios) son los ciudadanos (beneficiarios) ciudadanos de la la entidad entidad gubernamental gubernamental: : ciudad, país, estado, provincia provincia o nación nación.. Los Los organismos organismos del gobierno gobierno proporcionan proporcionan los mecanismos para incrementar incrementar el capital (inversión) y los fondos fondos de operación operación para proyectos, proyectos, a través de impuestos, impuestos, pagos pago~ de derechos, emisiones de bonos y préstamos. Existen cterísticas y evaExisten diferencias diferencias sustanciales entre las las cara características luación económica económica de las las alternativas alternativas en en los sectores público público y privado, privado, según se sociedades entre los público y privase presentó presentó en en la la primera primera sección. sección. Las Lassociedadesentre los sectores sectorespúblico privado cada vez son más más frecuentes, en especial para proyectos proyectos grandes de construcción de infraestructura, como autopistas importantes, importantes, plantas de generación de energ ía, desarrollo energía, desarrollo de recursos recursos hidráulicos hidráulicos y otros similares. La n beneficio/costo C) se inalidad d e La razó razón beneficio/costo (B/ (B/C) se formuló formuló, , en parte, con la la ffinalidad de imprimir ico de la imprimir objetividad objetividad al al análisis económ económico la evaluación del sector sector público, público, lo cual e los intereses políticos Sin embargo, cual reduce el efecto efecto d de políticos y particulares. Sin embargo, siempre hay discrepancias predecibles p redecibles entre los ciudadanos ruciudadanos (individuos (individuos y g grupos) pos) respecto de la la evaluación y definición definición de los beneficios beneficios de una una alternatialternativa va.. En En este capítulo capítulo se se estudian las las distintas distintas modalidades modalidades del análisis B/C y el contrabeneficio inherente de una una alternativa alternativa.. El El análisis análisis B/C puede puede incluir cálcucontrabeneficio los de equivalencia VP, VA o VF. equivalencia basados en los valores VP,VA VF. Si Si se se aplica correctacorrectamente, costo siempre permitirá ism a alternatimente, el método método beneficio/ beneficio/costo permitirá elegir elegir la la m misma alternativa isis VP,VA VP, VA y TR. va que en el caso caso de los anál análisis El io de caso royecto del sector úblico p ara El estud estudio caso tiene tiene que ve verr con un p proyecto sector p público para mejorar e tráfico mejorar el alumbrado alumbrado de vías vías urbanas d de tráfico rápido. rápido.

-

-

-

-

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE OBJETIVOS APRENDIZAJE Objetivo general: general: comprender comprender la economía economía del sector público; realizar realizar una evaluación de proyecto, proyecto, Objetivo comparación de alternativas, alternativas, utilizando utilizando el método método de la razón beneficio/costo. beneficio/costo. así como una comparación

Este capítulo capítulo ayudará al al lector lector a: a: Este

_______

Sector público S_e_c_to_r~pu-·b-l-iC-O-----••

I1

1. Identificar Identificar las las diferencias diferencias fundamentales las alternativas alternativas 1. fundamentales entre las económicas de los sectores público público y privado. privado. económicas la razón razón beneficio/costo beneficio/costo para la la eva evaluación un solo 2. Utilizar la lu ación de un proyecto. proyecto.

B/C para para un solo proyecto proyecto S/C

an

os

Selección de de alternativa alternativa Selección

er-

ó'05

ís, OS

ón 0-

a-

ún aS-

ón

de 0, 0,

ati-

ra

-----

Alternativas múltiples Alternativas múltiples

I

3.. Elegir la la mejor mejor opción opción entre dos alternativas alternativas utilizando utilizando el 3 método de la la razón razón B/C incremental. incremental. método

II

4. Determinar Determinar la la mejor mejor opción opción entre alternativas alternativas múltiples múltiples con el método B/C incremental. incremental. método

328

CAPÍTULO 9

9.1

beneficio/costo yy economía Análisis beneficio/costo economía del sector público

¡;;

PROYECTOS PROYECTOS DEL SECTOR SECTOR PÚBLICO PÚBLICO

Los público son propiedad, los los utilizan utilizan y los Los proyectos proyectos del del sector sector público son propiedad, los financian financian los los ciudadanos nivel en proyectos en ciudadanos de de cualquier cualquier nivel en el el gobierno; gobierno; mientras mientras que que los los proyectos en el secsector privado son propiedad de Los proprotor privado son propiedad de las las corporaciones, corporaciones, asociaciones asociaciones e individuos. individuos. Los ductos de los los proyectos proyectos del los utilizan utilizan consumidores consumidores y ductos y servicios servicios de del sector sector privado privado los clientes de Prácticamente todos ejemplos de los capítulos clientes de manera manera individual. individual. Prácticamente todos los los ejemplos de los capítulos anteriores refieren al sector privado. En En los notables anteriores se refieren sector privado. los capítulos capítulos 5 y 6 se señalan señalan notables excepciones, donde el costo costo capitalizado capitalizado se planteó planteó como una extensión extensión del del análisis excepciones, donde como una análisis VP para alternativas vida larga perpetuas. VP para alternativas de vida larga e inversiones inversiones perpetuas. Los proyectos proyectos del público tienen tienen como principal proveer proveer serviLos del sector sector público como objetivo objetivo principal servicios buscando el bienestar bienestar público público y no no las Las áreas cios a la la ciudadanía ciudadanía buscando las ganancias. ganancias. Las áreas como bienestar económico públicos abarcan una gran como salud, salud, seguridad, seguridad, bienestar económico y servicios servicios públicos abarcan una gran cantidad requieren el Algucantidad de de alternativas alternativas que que requieren el análisis análisis de de la la ingeniería ingeniería económica. económica. Algunos nos ejemplos ejemplos del del sector sector público público son: son: Hospitales y clínicas Hospitales clínicas Parques y centros recreación Parques centros de recreación Servicios: agua, electricidad, electricidad, gas, alcanalcanServicios: tarillado y limpia tarillado limpia Escuelas: secundaria, institutos institutos Escuelas: primaria, primaria, secundaria, comunitarios, universidades universidades comunitarios, Desarrollo económico Desarrollo económico Auditorios Auditorios Campos Campos deportivos deportivos

Transporte: puentes, canales Transporte: carreteras, carreteras, puentes, canales Policía Policía y bomberos bomberos Juzgados y prisiones prisiones Juzgados programas de ayuda Vales de despensa despensa y programas ayuda para sectores protegidos para sectores des protegidos Capacitación Capacitación laboral laboral Albergues Albergues Servicios Servicios de emergencia emergencia Códigos y estándares estándares Códigos

~

Losp ran g indic: blico sectoi públii cuenc del S( cuent nativ: vos y en un

e B

e

1

Existen de Existen diferencias diferencias significativas significativas en en las las características características de las las alternativas alternativas de de los los sectores público y privado. sectores público privado.

1 1

Características Características

Sector Sector público público

Sector privado Sector privado

Pare tiona

Magnitud de Magnitud la inversión inversión

Más grande

Algunas grandes; la mayoría de medianas a pequeñas

de mi

A menudo menudo las para las necesidades del público las alternativas alternativas desarrolladas desarrolladas para las necesidades del servicio servicio público requieren posiblemente distribuidas varequieren grandes grandes inversiones inversiones iniciales, iniciales, posiblemente distribuidas a lo lo largo largo de varios Algunos ejemplos ejemplos de modernas, los rios años. años. Algunos de éstas éstas son son las las carreteras carreteras modernas, los servicios servicios de de transporte público, los transporte público, los aeropuertos aeropuertos y los los sistemas sistemas de control control de de inundaciones. inundaciones. Estimaciones Estimaciones de vida vida

Más larga (30-50 o más años)

Más corta (2-25 años)

Las vidas largas de de los los proyectos frecuentemente promueven del Las vidas largas proyectos públicos públicos frecuentemente promueven el uso uso del método del del costo costo capitalizado, capitalizado, donde donde el infinito infinito se se utiliza los costos costos anuaanuamétodo utiliza para para n, y los les se se calculan calculan con con la la fórmula fórmula A = = P(i). P(i). Al crecer n, especialmente especialmente para de 30 les Al crecer para más más de años, se se reducen las diferencias diferencias con con el valor calculado. Por ejemplo, a una = 7%, 7%, años, reducen las valor A calculado. Por ejemplo, una i = habrá una diferencia muy los 30 y 50 años, años, debido debido a que que (A/P,7%,30) (A/P,7%,30) = = habrá una diferencia muy pequeña pequeña a los 0.08059 Y (A (A/P,7%,50) = 0.07246. 0.07246. 0.08059 /P,7%,50) =

prorr dio a dos s estirr con 1 cios prorr acurr misn

I

El ce

mem

SECCIÓN 9.1 SECCIÓN

Flujo de efectivo efectivo Sin ganancia; estiman costos, Flujo de Sin ganancia; se estiman costos, anual estimado estimado beneficios contrabeneficios anual beneficios y contrabeneficios

Proyectos sector público Proyectos del del sector público

El ingreso ingreso contribuye contribuye a la ganancia; estiman los costos ganancia; se estiman los costos

Los proyectos sector público (también llamados llamados de propiedad geneproyectos del sector público (también propiedad pública) pública) no geneganancias; además, además, poseen costos pagados organismo gubernamental gubernamental ran ganancias; poseen costos pagados por por el organismo indicado y benefician ciudadanía. Sin embargo, embargo, los proyectos proyectos del sector sector púindicado benefician a la ciudadanía. blico generan consecuencias consecuencias indeseables, indeseables, como como lo manifiestan algunos blico a menudo menudo generan manifiestan algunos sectores de la población. dichas consecuencias consecuencias las que originan originan controversia controversia sectores población. Son dichas pública entre los proyectos. análisis económico económico debería debería considerar considerar tales conseconsepública entre proyectos. El análisis cuencias en términos económicos a un grado grado que sea posible análisis cuencias términos económicos posible estimar. (En el análisis sector privado, privado, las consecuencias consecuencias indeseables indeseables con frecuencia frecuencia no se toman del sector toman en cuenta o se consideran consideran como como costos.) costos.) Para análisis económico económico de altercuenta Para realizar realizar un análisis nativas consideran los costos costos (inicial (inicial y anual) anual) los beneficios nativas públicas, públicas, si se consideran beneficios positipositivos y los contrabeneficios contrabeneficios deberán deberán estimarse estimarse con tanta exactitud como como sea posible tanta exactitud posible en unidades unidades monetarias. monetarias. Costos: estimación estimación de gastos construcCostos: gastos para para la entidad entidad gubernamental gubernamental para para la construcoperación y mantenimiento ción, operación mantenimiento del proyecto, proyecto, menos menos cualquier cualquier valor valor de salvamento. vamento. Beneficios: experimentará el propietario, Beneficios: ventajas ventajas que experimentará propietario, el público. público. Contrabeneficios: desventajas Contrabeneficios: desventajas para para el propietario propietario cuando cuando se lleva lleva a cabo cabo el proyecto proyecto bajo consideración. consideración. Los contrabeneficios contrabeneficios pueden pueden consistir consistir en desdesventajas ventajas económicas económicas indirectas indirectas de la alternativa. alternativa. Es importante siguiente: importante anotar anotar lo siguiente: Es difícil estimar estimar y coincidir coincidir en en lo relacionado con el impacto impacto económico económico de Es difícil relacionado con contra beneficios para alternativa del sector sector público. los beneficios beneficios y contrabeneficios para una una alternativa público. Por ejemplo, ejemplo, suponga suponga que se recomienda desviación alrededor alrededor del área congescongesrecomienda una desviación tionada ¿Cuánto beneficiará conductor, en dólares tionada de una población. población. ¿Cuánto beneficiará al conductor, dólares por por minuto minuto de manejo, evitar --mediante desviación- 5 semáforos, semáforos, manejando manejo, poder poder evitar mediante esta desviaciónmanejando a un promedio comparación con la velocidad promedio de velocidad velocidad de 35 millas/hora, millas/hora, en comparación velocidad promepromeactual al pasar dichos semáforos semáforos que es de 20 millas/hora, deteniéndose en dio actual pasar por por dichos millas/hora, y deteniéndose semáforos en promedio segundos en cada cada uno? dos semáforos promedio 45 segundos uno? Las bases bases y normas normas para para la estimación de beneficios beneficios son siempre siempre difíciles difíciles de establecer establecer y verificar. estimación verificar. En relación relación estimados de flujo de efectivo efectivo de los ingresos ingresos del sector sector privado, con los estimados privado, los benefibenefiestimados son mucho difíciles de realizar ciertos cios estimados mucho más difíciles realizar y varían varían más en torno torno a ciertos promedios indefinidos. Asimismo, contrabeneficios de una alternativa que se promedios indefinidos. Asimismo, los contrabeneficios una alternativa acumulan también difíciles de estimar. De hecho, quizás el contrabeneficio contrabeneficio acumulan también resultan resultan difíciles hecho, quizás mismo desconozca en el momento llevar a cabo la evaluación. evaluación. mismo se desconozca momento de llevar Flnanclamíento Finandamiento

Impuestos, pago de de derechos, derechos, Impuestos, pago bonos, fondos de particulares bonos, fondos particulares

Acciones, Acciones, bonos, bonos, préstamos, préstamos, propietarios individuales propietarios individuales

El capital capital utilizado financiar proyectos sector público obtiene principalutilizado para para financiar proyectos del sector público se obtiene principalmente impuestos, bonos derechos. Los impuestos impuestos se recaudan mente de impuestos, bonos y pago pago de derechos. recaudan de los

329

330

CAPÍTULO CAPÍTULO 9

Análisis beneficio/costo beneficio/costo y economía público Análisis economía del del sector sector público

propietarios -los ciudadanos ciudadanos (por ejemplo: ejemplo: impuestos impuestos federales federales a la gasolina gasolina para propietarios -los para carreteras pagados por todos los consumidores también es carreteras son pagados consumidores de gasolina)-. gasolina)-. Éste también el caso del pago pago de derechos, peaje en carreteras. derechos, como como las cuotas cuotas de peaje carreteras. Con frecuencia, frecuencia, se emiten bonos del Tesoro de Estados Unidos, bonos municipales, bonos para para fines emiten bonos Estados Unidos, bonos municipales, bonos especiales, tales como los bonos de utilidad distrital. Los prestamistas de la iniciativa especiales, como bonos utilidad distrital. prestamistas iniciativa privada llegan a patrocinar un financiamiento. También, los filántropos pueden privada llegan patrocinar financiamiento. También, filántropo s pueden ofrecer fondos para museos, parques y áreas verdes verdes a través través de.donaciones. fondos para museos, monumentos, monumentos, parques de.donaciones. Tasa de interés interés

Más baja Más baja

Más base en el costo Más alta alta con con base costo del del capital capital en el mercado mercado

A causa causa de que muchos muchos de los métodos financiamiento para sector métodos de financiamiento para proyectos proyectos del sector público se clasifican público clasifican como como de bajo interés, interés, la tasa de interés interés casi siempre siempre será más baja alternativas del sector sector privado. organismos guberbaja que para para el caso de las alternativas privado. Los organismos namentales están están exentos exentos de los impuestos impuestos que imponen imponen los organismos organismos de más alto namentales proyectos municipales pagar impuestos nivel. Por Por ejemplo, ejemplo, los proyectos municipales no tienen tienen que pagar impuestos estataestatales. (Por el contrario, privadas, así como contrario, las corporaciones corporaciones privadas, como los ciudadanos, ciudadanos, tienen tienen que pagar pagar los impuestos.) préstamos tienen bajos y los apoyos impuestos.) Muchos Muchos préstamos tienen intereses intereses bajos apoyos de programas federales pueden compartir programas federales sin requerimientos requerimientos de reembolso reembolso pueden compartir los costos costos proyecto. Esto del proyecto. Esto da como como resultado resultado tasas de interés interés de14 del 4 aI8%. a18%. Es frecuente frecuente que un organismo gubernamental gubernamental indique indique que todos los proyectos evalúen a una tasa espeorganismo proyectos se evalúen ejemplo, la Oficina Oficina de Administración Administración y Presupuesto Presupuesto de Estados Estados Unidos cífica. Por ejemplo, Unidos inglés) en cierta cierta ocasión ocasión señaló señaló que los proyectos federales (OMB, por sus siglas en inglés) proyectos federales deberían deberían evaluarse evaluarse al 10% (sin ajuste ajuste inflacionario). inflacionario). Como Como cuestión cuestión de estandarizaestandarizadirectrices para interés específica específica rinden debido ción, las directrices para usar usar una tasa de interés rinden beneficios beneficios debido a que las diferentes diferentes instituciones instituciones gubernamentales gubernamentales son capaces capaces de obtener obtener diferentes diferentes tipos de fondos provocar que proyectos proyectos de la misma fondos a diferentes diferentes tasas, lo cual llega llega a provocar misma clase sean rechazados ciudad o condado, condado, pero se acepten acepten en un distrito distrito o muclase rechazados en una ciudad nicipio vecino. vecino. Por consiguiente, tienden a incrementar nicipio consiguiente, las tasas estandarizadas estandarizadas tienden incrementar la consistencia ya debilitar manejo personal personal de las reglas. consistencia de las decisiones decisiones económicas económicas ya debilitar el manejo La determinación para una evaluación público es determinación de la tasa de interés interés para evaluación del sector sector público tan importante importante como como la determinación determinación de la TMAR TMAR en el análisis análisis del sector sector privado. privado. La tasa de interés interés del sector sector público público se denota denota con i; sin embargo, embargo, también también se le denomina distinguirla de la tasa tasa del sector sector privado. términomina con otros nombres nombres para para distinguirla privado. Los térmisocial. nos más comunes comunes son tasa de descuento descuento y tasa de descuento descuento social. Criterios de elección Criterios de alternativas alternativas

Criterios múltiples Criterios múltiples

Principalmente basado Principalmente basado en la tasa tasa de rendimiento rendimiento

Múltiples categorías de usuarios, usuarios, intereses Múltiples categorías intereses económicos económicos y no económicos, económicos, grupos grupos políticos ciudadanos hacen difícil la elección elección de una alternativa alternativa políticos y de ciudadanos hacen que sea más difícil sobre otra en la economía economía del sector sector público. Rara vez es posible elegir una alternatialternatisobre público. Rara posible elegir único fundamento. importante descriva con un criterio criterio como el VP o la TR como como único fundamento. Es importante describir y especificar especificar el criterio criterio y el método método de elección elección antes del análisis. análisis. Esto Esto ayuda ayuda a determinar perspectiva o el punto punto de vista realice la evaluación. determinar la perspectiva vista cuando cuando se realice evaluación. A continuación examina el punto tinuación se examina punto de vista.

[ Co del tari va, pre tor

Al¡ nÚI

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gel a a,

ve, ber

•

SECCIÓN 9. 9.11 Proyectos del sector público

a es a, es a

es.

or ás

rlo

aen

de os

un eos es a-

Ambiente de Ambiente la evaluación evaluación la

Influido por la política política

Principalmente económico Principalmente económico

Con frecuencia públicas y debates proyectos frecuencia se organizan organizan asambleas asambleas públicas debates asociados asociados con proyectos del sector público para para complacer variedad de intereses sector público complacer la variedad intereses de los ciudadanos ciudadanos (propie(propietarios). funcionarios electos electos a menudo contribuyen a la elección elección de la alternatialternatitarios). Los funcionarios menudo contribuyen votantes, urbanistas, urbanistas, ambientalistas otros ejercerán va, especialmente especialmente cuando cuando los votantes, ambientalistas y otros ejercerán presión. El proceso proceso de selección una evaluación presión. selección no es tan "limpio" "limpio" como como en una evaluación del secprivado. tor privado. punto de vista vista del análisis público deberá El punto análisis en el sector sector público deberá determinarse determinarse anbeneficios y contra beneficios, tes de que se efectúen efectúen los cálculos cálculos de costos, costos, beneficios contra beneficios, plantee y se lleve a cabo Existen diversos yy antes antes de que se plantee cabo la evaluación. evaluación. Existen diversos puntos de vista para para cualquier puntos cualquier situación, situación, y las diferentes diferentes perspectivas perspectivas puealterar la clasificación clasificación del flujo de efectivo. efectivo. den alterar Algunos ejemplos perspectiva son los ciudadanos; municipales; el Algunos ejemplos de perspectiva ciudadanos; los impuestos impuestos municipales; número de estudiantes número estudiantes en la escuela escuela del área; la creación creación y conservación conservación de empleos; el potencial potencial de desarrollo particular de una una industria, pleos; desarrollo económico; económico; el interés interés particular industria, del sector banca, de la manufactura manufactura electrónica, muchos otros. En sector agrícola, agrícola, de la banca, electrónica, y muchos general, punto de vista vista del análisis incluya general, el punto análisis deberá deberá definirse definirse tan ampliamente ampliamente que incluya a aquellos costos de un proyecto proyecto y obtendrán beneficios. Una Una aquellos que asumirán asumirán los costos obtendrán sus beneficios. vez establecido, punto de vista vista ayudará beneficios y contraestablecido, el punto ayudará a clasificar clasificar costos, costos, beneficios contrabeneficios de cada beneficios cada alternativa, alternativa, como lo indica indica el ejemplo ejemplo 9.1.

do es a u-

la as. es o. e-

a n-

EJEMPLO EJEMPLO

9.1

.

El Comité de Proyectos para el Incremento Incremento del Capital (CPIC) de la ciudad de Dundee formado por ciudadanos, recomendó recomendó la emisión de bonos por $5 millones para la compra de un terreno para preservar áreas verdes de baja altitud y el hábitat de la vida silvestre al este de la ciudad en rápida expansión, cuya población población es de 62 000 habitantes. habitantes. A la propuesta se le conoce como Iniciativa Iniciativa de Adquisición Adquisición de Greenway. Los urbanizadores urbanizadores se opusieron rápidamente rápidamente a la propuesta propuesta por la reducción del terreno disponible para desarrollo comercial. El ingeniero ingeniero en jefe jefe y el director de desarrollo económico de la ciudad considerando realizaron los siguientes cálculos preliminares preliminares para algunas áreas obvias, considerando las consecuencias consecuencias de la iniciativa en mantenimiento, mantenimiento, parques, desarrollo comercial e inun15 años. La inexactitud inexactitud de dichos cálculos se daciones sobre un horizonte de planeación a 15 hace muy clara en el informe dirigido al ayuntamiento ayuntamiento de la ciudad de Dundee. Tales clasificados aún como costos, beneficios o contrabeneficios. contrabeneficios. Si se cálculos no han sido clasificados lleva a cabo la Iniciativa Iniciativa de Adquisición Adquisición de Greenway, los estimados serán los siguientes. Dimensión económica económica Dimensión

Estimados Estimados

1. Costo anual de $5 millones en bonos durante 15 15 años al 6% de tasa de interés de bono 2. Mantenimiento Mantenimiento anual, seguimiento y administración administración del programa programa

$300000 (años 1-14) $300000 300000 (año 15) $5 300000 $75 000 + 10% anual

331

332

CAPÍTULO 9 CAPÍTULO

Análisis economía del del sector sector público Análisis beneficio/costo beneficio/costo y economía público

3. Presupuesto anual para desarrollo Presupuesto anual para el desarrollo de parques parques anual en en desarrollo desarrollo comercial comercial 4. Pérdida Pérdida anual de impuestos impuestos por 5. Reducción Reducción de por ventas estatales no ventas estatales no realizadas realizadas Ingresos anuales anuales municipales 6. Ingresos municipales provenientes del uso de parques provenientes del uso de parques y eventos deportivos deportivos regionales de eventos regionales proyectos de control control 7. Ahorros Ahorros en proyectos de inundaciones inundaciones de (personal y 8. Daños Daños a la propiedad propiedad (personal ciudad) no de la ciudad) no ocurridos ocurridos por inundaciones por inundaciones

$500000 (años (años 5-10) 5-10) $500000 $2000000 (años 8-10) 8-10) $2000000 (años $275000 + 5% 5% anual anual (años (años 8 en adelante) adelante) $275000 $100000 + 12% 12% anual anual (años (años 6 en adelante) adelante) $100000

de pr tm

El

ca de

$300000 (años (años 3-10) 3-10) $300000 $1400000 (años 10-15) $1400000 (años 10-15) $500000 (años (años 10 y 15) $500000

Pr Pu Pu

Identifique tres diferentes puntos de vista vista para análisis económico económico de de la propuesta Identifique tres diferentes puntos de para el análisis propuesta y clasifique los los cálculos cálculos consecuentemente. consecuentemente. clasifique

Al

Solución Solución Existen aquí aparecen aparecen tres. Los puntos objetivos se idenidenExisten muchas muchas perspectivas; perspectivas; aquí tres. Los puntos de vista vista y objetivos tifican cada cálculo cálculo se clasifica clasifica como como costo, costo, beneficio contrabeneficio. (La (La manera en tifican y cada beneficio o contrabeneficio. manera en que se realizará clasificación variará dependiendo de quién quién lleve lleve a cabo cabo el análisis. análisis. Esta Esta que realizará la clasificación variará dependiendo solución ofrece ofrece sólo sólo una lógica.) solución una respuesta respuesta lógica.) Punto vista 1: habitantes habitantes de la ciudad. ciudad. Objetivo: Objetivo: Maximizar calidad y bienestar de Punto de vista Maximizar la calidad bienestar de ciudadanos, siendo siendo la familia familia y el vecindario fundamentales. los ciudadanos, vecindario las preocupaciones preocupaciones fundamentales. Costos: 1,2,3, 1,2,3, Costos:

Beneficios: Beneficios: 6, 7, 8

Contrabeneficios: 4, 5 Contrabeneficios:

Punto vista 2: presupuesto ciudad. Objetivo: Punto de vista presupuesto para para la ciudad. Objetivo: Asegurarse Asegurarse de que que el presupuesto presupuesto encuentre equilibrado equilibrado y sea sea de de suficiente suficiente magnitud ofrecer servicios servicios a la ciudad ciudad en en se encuentre magnitud para para ofrecer rápido crecimiento. rápido crecimiento. Costos: 1,2,3,5 1,2,3,5 Costos:

Beneficios: Beneficios: 6, 7, 8

Contrabeneficios: 4 Contrabeneficios:

Punto vista 3: desarrollo desarrollo económico. económico. Objetivo: Objetivo: Promover desarrollo econóeconóPunto de vista Promover un un nuevo nuevo desarrollo mico, comercial e industrial industrial para creación y conservación conservación de empleos. empleos. mico, comercial para la creación Costos: 1, 2, 3, 4, 5 Costos:

Beneficios: 6,7,8 Beneficios: 6, 7, 8

Contrabeneficios: ninguno Contrabeneficios: ninguno

La clasificación de de los los estimados estimados 4 (pérdida (pérdida de de desarrollo desarrollo comercial) comercial) y 5 (pérdida (pérdida por La clasificación por reducción de de impuestos impuestos por cambia dependiendo dependiendo de de la perspectiva análisis ecoecoducción por ventas) ventas) cambia perspectiva del del análisis nómico. analista favorece favorece los objetivos del del desarrollo desarrollo económico económico de de la ciudad, ciudad, las las nómico. Si el analista los objetivos pérdidas del desarrollo desarrollo comercial comercial se consideran consideran como como costos costos reales, que se consiconsipérdidas del reales, mientras mientras que deran consecuencias consecuencias indeseables indeseables (contrabeneficios) (contrabeneficios) desde desde los los puntos de vista del presuderan puntos de vista del presupuesto de la ciudadanía. ciudadanía. También, También, todas las pérdidas de impuestos impuestos por puesto y de todas las pérdidas por por reducciones reducciones de por ventas del estado estado se interpretan interpretan como como costo costo real desde la perspectiva del presupuesto del ventas del real desde perspectiva del presupuesto y del desarrollo económico, económico, pero contrabeneficio desde desde la perspectiva del ciudadano. ciudadano. desarrollo pero como como un un contrabeneficio perspectiva del

Comentario Comentario Los contrabeneficios contrabeneficios pueden incluirse o pasarse alto en en un un análisis, análisis, según según se analiza analiza Los pueden incluirse pasarse por por alto sección. Esta Esta decisión decisión puede diferencia importante importante en en la acepen la siguiente siguiente sección. puede marcar marcar una una diferencia la aceptación de una una alternativa alternativa del del sector sector público. tación o rechazo rechazo de público.

El

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p; h.

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*]

p. le *:

SECCIÓN 9.1 SECCIÓN

Proyectos del Proyectos del sector sector público público

Durante varias varias décadas, décadas, los proyectos proyectos grandes grandes del sector sector público sido Durante público han han sido desarrollados en forma forma cada cada vez más frecuente frecuente por socios tanto tanto públicos desarrollados públicos como como privados. sector privado privado y privados. Esta Esta es la tendencia tendencia en parte parte por la mayor mayor eficiencia eficiencia del sector también dichos proyectos. proyectos. también debido debido al alto costo que implica implica diseñar, construir construir y operar operar dichos El financiamiento posible financiamiento total por parte parte de la unidad unidad gubernamental gubernamental podría podría no ser posible medios tradicionales tradicionales de financiamiento financiamiento proveniente proveniente del gobierno con el uso de los medios gobierno -gravámenes, continuación se presentan algunos ejemplos ejemplos -gravámenes, impuestos impuestos y bonos-o bonos-o A continuación presentan algunos proyectos como como los arriba arriba descritos: descritos: de proyectos Proyecto

Algunos propósitos del proyecto proyecto

Puentes Puentes y túneles túneles

Aumento de la velocidad velocidad del tránsito; tránsito; reducir reducir los los congestionamienAumento congestionamientos; tos; mejorar mejorar la seguridad seguridad Incrementar la capacidad capacidad de manejo carga; dar Incrementar manejo de carga; dar apoyo apoyo al desadesarrollo industrial industrial rrollo Aumentar seguridad de los Aumentar la capacidad; capacidad; mejorar mejorar la seguridad los pasajeros; pasajeros; apoapoyar el desarrollo desarrollo yar Desalar agua agua para para consumo consumo humano humano; ; satisfacer satisfacer las Desalar las necesidades necesidades de riego e industriales; industriales; mejorar mejorar el tratamiento tratamiento de las riego las aguas aguas residuales residuales

Puertos y obras obras marinas marinas Puertos Aeropuertos Aeropuertos Recursos hidráulicos hidráulicos Recursos

En dichos negocios costo negocios conjuntos, conjuntos, el sector sector público público (gobierno) (gobierno) es responsable responsable del costo y los servicios vado (corporación) (corporación) servicios para para la ciudadanía, ciudadanía, mientras mientras el socio del sector sector pri privado responsabiliza de varios aspectos aspectos de los proyectos proyectos que se detallan detallan más adelante. se responsabiliza adelante. parte gubernamental gubernamental no puede puede obtener obtener una utilidad, utilidad, pero la(s) corporación(es) La parte corporación(es) involucrada(s) ganancia razonable; por lo general, general, el involucrada(s) sí pueden pueden tener tener una ganancia razonable; de hecho, hecho, por margen diseño, la margen de utilidad utilidad queda queda establecido establecido por escrito escrito en el contrato contrato que rige el diseño, construcción, construcción, operación operación y propiedad propiedad del proyecto. proyecto. Ra sido una tradición que tales proyectos de construcción los diseñe y financie una Ha construcción ya sea por unidad gubernamental, mientras que un contratista realiza la construcción medio de un contrato de un solo pago global (precio (precio alzado alzado * ) u otro de reembolso del costo (precios * ), que especifica el acuerdo acerca del margen de utilidad. En (precios unitarios unitarios*), propietario el riesgo en el éxito dichos casos, el contratista no comparte con el gobierno propietario del proyecto. Cuando se plantea una sociedad entre intereses públicos y privados, es común que el proyecto se contrate con un arreglo denominado construir-operar-transferir construir-aperar-transferir (BOT, por sus siglas en inglés), al que también se llama BOOT porque incluye el término propiedad. ** El proyecto administrado según BOT puede requerir que el contratista contratista se propiedad. financiarniento, y se responsabilice haga responsable en forma parcial o total del diseño y financiamiento, por completo de las actividades de construcción (el elemento constructivo), operación mantenimiento, durante cierto número de años. Después de dicho periodo de (operar), y mantenimiento, gubernamental se convierte en el dueño, una vez que se transfiere el tiempo, la unidad gubernamental título de propiedad (transferencia) sin ningún costo o a uno muy bajo. Este arreglo tiene varias ventajas, entre otras las que se mencionan a continuación: Mejor recursos Mejor eficiencia eficiencia de la empresa empresa privada privada para para la asignación asignación de recursos Capacidad para obtener fondos (préstamos) (préstamos) con base en la historia Capacidad para obtener historia financiera financiera gubernamental y privado privado de los socios gubernamental *En en el trabajo utiliza el término término *En el original,Jixed-price; original,Jixed-price; trabajo cotidiano cotidiano de los los proyectos proyectos gubernamentales gubernamentales se utiliza precio alzado, en los smo caso término cost-plus, cost-plus, que que precio alzado, incluso incluso en los contratos contratos que que se firman firman. . Es Es el mi mismo caso para para el término legalmente equivale equivale a precios unitarios. legalmente precios unitarios. **Own. NT. **OWI!.

333 333

334

CAPÍTULO 9 CAPÍTULO

•

Análisis economía del sector sector público Análisis beneficio/costo beneficio/costo y economía público

sector privado dirige los aspectos aspectos ambientales, ambientales, bursátiles seguridad, en El sector privado dirige bursátiles y de seguridad, general tiene tiene más experiencia experiencia los que por lo general La(s) corporación(es) corporación(es) contratante(s) contratante(s) tienen tienen la capacidad capacidad para obtener un La(s) para obtener rendimiento sobre la inversión inversión durante durante la fase de operación operación rendimiento sobre

•

Muchos de los proyectos alcance internacional internacional y en los países en vías de desarrollo desarrollo Muchos proyectos de alcance utilizan forma de propiedad supuesto, también también tiene tiene desventajas; desventajas; uno utilizan la forma propiedad BOT. Por supuesto, financiarniento comprometido comprometido en el proyecto tal vez de los riesgos es que el monto del financiamiento no cubra cubra el costo costo real de construcción construcción por ser considerablemente considerablemente mayor mayor al estimaestimacorporación privada obtenga una utilidad razonable do. Otro riesgo riesgo es que la corporación privada no obtenga utilidad razonable debido a la escasa escasa utilización infraestructura durante durante la fase de operación. operación. Para debido utilización de la infraestructura prevenir dichos problemas, problemas, el contrato original establece la posibilidad posibilidad de préstamos especiales con garantía garantía por parte gubernamental, así como como subsidios subsidios especiales parte de la unidad unidad gubernamental, especiales. El subsidio subsidio cubre cubre los costos costos más la utilidad (acordada en forma forma contraccontracespeciales. utilidad (acordada tual) si el uso fuera más bajo al nivel especificado. especificado. Dicho Dicho nivel nivel podría podría ser el punto punto equilibrio con el margen acuerdo. de equilibrio margen de utilidad utilidad considerado considerado en el acuerdo. Una BOTIBOOT, es el BOO (construir-poseer-operar), Una variación variación del método método BOTIBOOT, BOO (construir-poseer-operar), en el que la transferencia transferencia de la propiedad propiedad nunca nunca ocurre. ocurre. Esta Esta forma forma de sociedad sociedad entre público y lo privado privado puede puede usarse usarse si el proyecto proyecto tiene tiene una vida vida relativamente relativamente entre lo público corta tecnología utilizada utilizada se volviera volviera obsoleta rápidamente. corta o la tecnología obsoleta rápidamente.

s ri

e:

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P

ANÁLISIS BENEFICIO/COSTO DE UN UN SOLO SOLO PROYECTO PROYECTO ANÁLISIS BENEFICIO/COSTO

(l n

razón beneficio/costo análisis fundamental fundamental para La razón beneficio/costo se considera considera el método método de análisis para proproyectos sector público. análisis B/C se creó para asignar mayor mayor objetividad objetividad a la yectos del sector público. El análisis para asignar economía del sector sector público, como una respuesta Congreso de Estados Estados Unidos Unidos economía público, como respuesta del Congreso aprobó el Acta Acta de Control Control de Inundaciones Inundaciones de 1936. Existen Existen diversas diversas variaciovariacioque aprobó razón B/C; B/C; sin embargo, embargo, el enfoque enfoque fundamental fundamental es el mismo. mismo. Todos los nes de la razón cálculos de costos costos y beneficios beneficios deberán deberán convertirse convertirse a una unidad unidad monetaria monetaria de equiequicálculos valencia común común (VP, VAo VF) aala descuento (tasa (tasa de interés). interés). La razón convalencia la tasa de descuento razón convencional B/C se calcula calcula de la siguiente siguiente manera: vencional manera:

te e

9.2

= VP de beneficios B/C = beneficios VP de costos costos

VA de beneficios beneficios VAde costos VAde costos

=

VF de beneficios beneficios VF de costos costos

(

11 'Y S

[9.1]

equivalencias para valor anual se utilizan Las equivalencias para valor valor presente presente y valor utilizan más que las del valor valor convención de signos para análisis B/C consiste consiste en signos positivos; para el análisis positivos; futuro. La convención costos irán precedidos Cuando se calculan calculan los valores así, los costos precedidos por por un signo signo +. Cuando valores de salvamento, se deducen deducen de los costos. costos. Los contrabeneficios contrabeneficios se consideran consideran de difedifesalvamento, rentes dependiendo del modelo rentes maneras, maneras, dependiendo modelo que se utilice. utilice. comúnmente, los contrabeneficios contrabeneficios se restan colocan Más comúnmente, restan de los beneficios beneficios y se colocan numerador. A continuación continuación se estudian estudian las distintas distintas modalidades. en el numerador. modalidades. directriz de la decisión decisión es simple: simple: La directriz B/C 2:: ~ 1.0, se determina determina que que el proyecto económicamente aceptable aceptable Si B/C proyecto es económicamente para estimados y la tasa tasa de descuento descuento aplicada. aplicada. para los estimados B/C < 1.0, el proyecto económicamente aceptable. aceptable. Si B/C proyecto no es económicamente

r

t

r

e

t.

SECCIÓN SECCIÓN 9.2

Análisis Análisis beneficio/costo beneficio/costo de un solo solo proyecto proyecto

valor B/C es igualo igualo está está muy cerca cerca de 1.0, los factores factores no económicos económicos ayudaayudaSi el valor rán a tomar mejor alternativa. tomar la decisión decisión de la mejor alternativa. La razón B/e B/C convencional, convencional, probablemente probablemente la más ampliamente ampliamente utilizada, utilizada, se calcula de la siguiente siguiente manera: manera: calcula

=

B-CB (beneficios --_c_o_n_tr_a_b_c_n_e_fi_c_io_s,,-) contra beneficios ) = B-CB B/C _(-'.-b_c_n_c_fi_c_io_s_· B/C= = costos costos C

[9.2]

ecuación [9.2], los contrabeneficios contrabeneficios se restan restan de los beneficios beneficios y no se agreagreEn la ecuación variaría de manera manera considerable considerable si los contrabeneficios contrabeneficios gan a los costos. El valor B/C variaría consideraran como como costos. Por ejemplo, ejemplo, si los números números 10,8 10,8 y 8 se utilizan utilizan para para se consideraran representar el VP de beneficios beneficios positivos, positivos, negativos negativos y costos, costos, respectivamente, respectivamente, el representar procedimiento correcto correcto da como como resultado resultado B/C :: (lO - 8)/8 = = 0.25; mientras mientras que la procedimiento inclusión incorrecta incorrecta de los contrabeneficios contrabeneficios en el denominador denominador da como como resultado resultado inclusión = 0.625, que es más del doble del valor valor correcto correcto de B/C de 0.25. B/C = 10/(8 + 8) = Entonces, resulta resulta claro que el método por el cual se manejan manejan los beneficios beneficios afecta afecta la Entonces, método por magnitud de la razón B/C. No obstante, obstante, sin importar importar si los contrabeneficios contrabeneficios se resmagnitud (correctamente) del numerador numerador o se suman suman (incorrectamente) (incorrectamente) a los costos costos en el tan (correctamente) denominador, una razón razón B/C menor menor a 1.0 calculada calculada por el primer primer método, método, siempre siempre denominador, producirá una razón B/C menor menor que 1.0 por el segundo segundo método, método, y viceversa. viceversa. producirá La razón B/e B/C modificada modificada incluye incluye los costos costos de mantenimiento mantenimiento y operación operación numerador y los trata de forma similar similar a los contrabeneficios. contrabeneficios. El de(M&O) en el numerador nominador, entonces, entonces, incluye incluye solamente solamente el costo costo de inversión inversión inicial. inicial. Una Una vez que nominador, cantidades se expresan expresan en términos términos de VP, VA o VF, la razón razón B/C modifimodifitodas las cantidades cada se calcula calcula de la siguiente siguiente manera: cada B/e modificada modificada

= =

(beneficios contrabelleficios costos M&O) M&O) (beneficios - contrabcncficios - costos inversión inicial inversión inicial

[9.3] [9.3]

Como se consideró consideró antes, cualquier cualquier valor valor de salvamento salvamento está está incluido incluido en el denoComo minador como como costo costo negativo. negativo. En efecto, efecto, la razón B/C modificada modificada producirá producirá un minador valor diferente diferente que el que arroja arroja el método método B/C convencional. convencional. Sin embargo, embargo, como valor sucede con los contrabeneficios, contrabeneficios, el procedimiento modificado puede cambiar la sucede procedimiento modificado puede cambiar magnitud de la razón pero decisión de aceptar aceptar o de rechazar rechazar el proyecto. magnitud pero no la decisión proyecto. medida de valor valor expresada expresada como como la diferencia diferencia entre beneficios beneficios y costos, La medida costos, que implica ningún ningún cociente, cociente, se basa basa en la diferencia diferencia entre el VP, el VA o el VF de no implica beneficios y costos, costos, es decir, B - e. C. Si (B - e) C) ~ 0, el proyecto proyecto es aceptable. aceptable. Este Este beneficios método ventaja de eliminar eliminar las discrepancias discrepancias antes observadas, observadas, cuando cuando los método tiene la ventaja contrabeneficios se consideran consideran como como costos, costos, puesto puesto que B representa representa beneficios beneficios contrabeneficios consecuencia, para para los números números 10, 8 y 8 se obtiene obtiene el mismo mismo resultado resultado netos. En consecuencia, importar la forma forma en que se consideren consideren los contrabeneficios. contrabeneficios. sin importar restan los contrabeneficios contrabeneficios de los beneficios: beneficios: Si se restan

C= = (lO (10 - 8) - 8 = =-6 B- e -6

suman los contrabeneficios contrabeneficios a los costos: costos: Si se suman

C= = 10 - (8 + 8) B- e

= -6 =

Antes de calcular calcular la razón razón B/C con cualquier cualquier fórmula, fórmula, se debe debe verificar alterAntes verificar si la alternativa con mayor mayor VA o VP de los costos costos también también produce produce mayores mayores VA VA o VP de nativa

335

336

CAPÍTULO CAPÍTULO 9

Análisis Análisis beneficio/costo beneficio/costo y economía economía del del sector sector público público

los beneficios. beneficios. Es posible posible que una alternativa alternativa con mayores mayores costos costos genere genere menores menores beneficios beneficios que otras alternativas, alternativas, lo cual hace hace innecesario innecesario seguir seguir considerando considerando la alternativa alternativa más costosa. costosa. EJEMPLO EJEMPLO

9.2

La Fundación Fundación Ford Ford está está contemplando contemplando una una asignación asignación de 15 millones millones de dólares dólares en becas becas La a escuelas públicas para escuelas preparatorias preparatorias públicas para desarrollar desarrollar nuevas nuevas formas formas de enseñar enseñar fundamentos fundamentos de ingeniería, ingeniería, que que preparen preparen a los estudiantes estudiantes para para su ingreso ingreso a la universidad. universidad. Las Las becas becas se otorgarán por por un periodo periodo de 10 años años y generarán generarán un ahorro ahorro estimado estimado de $1.5 $1.5 millones millones otorgarán anuales, en salarios salarios de personal personal docente docente y otros otros gastos gastos relacionados relacionados con con los los estudiantes. estudiantes. anuales, La fundación fundación utiliza utiliza una una tasa tasa de rendimiento rendimiento del del 6% anual anual para para las becas becas otorgadas. otorgadas. La Puesto que que el nuevo nuevo programa programa compartirá compartirá fondos fondos con con ciertas ciertas actividades actividades en curso, curso, se Puesto ha estimado estimado que que se destinarán destinarán $200000 $200 000 para para apoyo apoyo de dichas dichas actividades. actividades. Para Para hacer hacer exitoso exitoso el programa, programa, la fundación fundación incurrirá incurrirá en gastos gastos de operación operación anual anual de $500 $500 000 000 de su presupuesto presupuesto regular regular M&O. M&O. Emplee Emplee el método método B/C B/C para para determinar determinar si el programa programa de becas se justifica términos económicos. económicos. becas justifica en términos Solución Solución Utilice el valor valor anual anual como como base base unitaria unitaria equivalente. equivalente. Se Se usan usan los los tres tres modelos modelos B/C B/C para para Utilice evaluar evaluar el programa. programa.

s

VA VA de costo de inversión inversión

$15000 $15000 000(AlP,6%,10) 000(AlP,6%,1O) = $2 038 038 050 050 anuales anuales

VA de beneficio beneficio VA

500000 anuales anuales $1 500000

VA VA de contrabeneficio contrabeneficio

$200 $200 000 000 anuales anuales

VA VA del costo de M&O M&O

$500 $500 000 000 anuales anuales

Utilice la ecuación ecuación [9.2] [9.2] para para el análisis análisis B/C B/C convencional, convencional, donde donde el costo costo de mantenimanteniUtilice miento y operación operación (M&O) (M&O) se coloca coloca en en el denominador denominador como como un costo costo anual. anual. miento B/C = (1500000 (1 500 000 - 200 200 000) 000) B/C (2 038 038 050 050 + 500 500 000) 000)

1300000 = 0.51 0.51 1300000 22538050 538 050

proyecto no se justifica, que: B/C B/C < 1.0. El proyecto justifica, ya que: Mediante Mediante la ecuación ecuación [9.3], [9.3], la razón razón B/C B/C modificada modificada considera considera el costo costo de M&O M&O como como una una disminución disminución de los los beneficios. beneficios.

B/C B/C modificado modificado = (1500000 (1 500000 - 200 200 000 000 - 500 500 000) 000) = 0.39 0.39 2038050 2038050 Como justifica por Como se esperaba, esperaba, el proyecto proyecto tampoco tampoco se justifica por el método método B/C B/C modificado. modificado. Para Para el modelo modelo (B - C), B es el beneficio beneficio neto neto y el costo costo anual anual de M&O M&O se incluye incluye en los costos. costos.

B - C = (1 500000 500000 - 200 200 000) 000) - (2 038 038 050 050 + 500 500 000) 000) = $-1.24 $-1.24 millones millones justifica el programa. Puesto Puesto que que (B - C) < O, no se justifica programa.

SECCIÓN 9.2

Análisis beneficio/costo beneficio/costo de un solo proyecto

337

Aarón es el nuevo ingeniero de proyectos del Departamento Departamento de Transporte de Arizona graduarse en ingeniería (DTA). Después de graduarse ingeniería por la Universidad Universidad Estatal de Arizona, decidió experiencia en el sector público, antes de solicitar solicitar ingreso a alguna maestría. obtener experiencia convencional Con base en las relaciones de valor anual, Aarón realizó el análisis B/C convencional propuestas que aparecen a continuación. continuación. de las dos propuestas Propuesta de vía periférica: Nueva ruta alrededor de una parte de Flagstaff Flagstaff para seguridad y disminuir el tiempo de viaje promedio. mejorar la seguridad Fuente de la propuesta: Oficina Estatal del DTA para análisis de las principales vías públicas. Inversión inicial en valor presente: P = $40 millones. Mantenimiento anual: $1.5 millones. Mantenimiento millones. Beneficios anuales para el público: B = $6.5 millones. años. Vida estimada: 20 año. s. Financiamiento: 50-50 compartidos entre fondos federales y estatales; aplica una Financiamiento: tasa de descuento de 8% requerido federalmente.

Propuesta de mejora: Ampliación de la carretera a través de secciones de Flagstaff Flagstaff congestión de tráfico y mejorar mejorar la seguridad. para aliviar la congestión Fuente de la propuesta; Oficina de distrito local de Flagstaff Flagstaff del DTA. Inversión inicial en valor presente: P = $4 millones. Inversión Mantenimiento anual: $150000. $150000. Mantenimiento $650000. B = $650000. Beneficios anuales para el público: B Vida estimada: 12 años Financiamiento: 100% de los fondos estatales; aplica de manera usual una tasa de Financiamiento: descuento de 4%. convencional con la ecuaAarón utiliza una solución a mano para realizar realizar el análisis B/C convencional [9.2] y con VA VAcalculados calculados a18% anual, para la propuesta propuesta de la vía periférica periférica y con 4% ción [9.2] propuesta de mejora. anual para la propuesta Propuesta de la vía periférica: inversión = $40000 $40000 000(A/P,8%,20) 000(A/P,8%,20) = periférica: VA VA de inversión Propuesta $4074000 anual $4074000 B/C = _ __6_5_0_0 6_5_0_0 _00_0 _00_0__ _ _ = 1.17 (4074000 + 1 500000) 500000) (4074000 Propuesta de mejora: VA $4000 000(Alp,4%,12) 000(Alp,4%,12) = $426200 $426200 anual VA de inversión = $4000 Propuesta 65_0_0_0_0 B/C = ___ 650000 _ _ = = 1.13 1.13 (426200 + 150000) 150000) (426200 Ambas propuestas están económicamente económicamente justificadas, justificadas, ya que B/C > 1.0. a) b)

Realice el mismo análisis por computadora, utilizando utilizando un mínimo de cálculos. descuento para la propuesta La tasa de descuent9 propuesta de mejora no es segura, debido a que el DTA considerando solicitar fondos federales. ¿Es justificable económiestá considerando justificable en términos económicos si la tasa de descuento del 8% también aplica a ésta?

s

CAPÍTULO 9

338 338

Análisis beneficio/costo economía del sector público beneficio/costo y econolIÚa

Solución por por computadora computadora Solución a, Observe la figura 99.1a. .la. Los valores B/C de 1.17 y 1.13 se encuentran en B4 y D4 (en unidades de $1 $1 millón). millón). La función PAGO(i%,n,-P) PAGO(i%,n,-P) más el costo de mantenimiento mantenimiento VA de costos en el denominador. Observe las etiquetas de las celdas. anual calcula el VAde b) La celda F4 utiliza un valor i de 8% en la función PAGO. Por lo tanto, existe una diferencia real en la justificación diferencia justificación de la decisión. A una tasa de 8%, la propuesta propuesta de justificable. mejora ya no es justificable.

a, Sol-R Sol-R

Comentario Comentario 9.1b presenta una solución completa B/C en hoja de cálculo. No hay diferencias diferencias La figura 9.lb conclusiones de la hoja de cálculo de la Sol-R, pero sí se muestran los cálculos de la en las conclusiones propuesta modo, el propuesta y los resultados B/C aparecen con detalle en esta hoja. Del mismo modo, análisis de sensibilidad es fácil de realizar realizar en esta versión ampliada, debido a que se utilizan las funciones de referencia celdas. referencia a celdas.

l!l ~Sol-E Sol-E

1.13

=6.5/(1.5+

PAGO(8%,20,

-40))

=0.65/(0.15+

PAGO(8%,12,

-4))

--------------4----------"--------------+--------1------------+----------------+--------j---------.---t-

------

..- -- -.-.---

+---

+-

--- - ---.-

---. -- ..--

-----+- -

---

1·..··· ..····························+--

Figura Figura 9.1 Hoja de cálculo cálculo para B/e de de dos dos propuestas: Sol-R y b) solución solución ampliada (ejemplo 9.3). 9.3). Hoja para la la razón razón B/C propuestas: a) Sol-R ampliada (ejemplo

9

L

a e a d

SECCIÓN 9.3

339

Selección de alternativas mediante el análisis B/C incremental

. l·'

f••~¡U

E

H

8%

Tasa -de descuento = Proyecto

Me'ora

$4,000,000 $150,000 12

Inversió n inicial Mantenimiento

G

F

anual

..--.----------------

--

- -..--- -. _·_--------·-1--·+--_·,,:::::::··:::::=:+--_········-

.. ..

..$5,574.,ºªª .•.••...•.•......•.•••.•.•••.•.•.•........ l l~,5ºº,Qºº . ..... ····i1"7· Sí

1\1·········································

·f··························

.".............

l·····································

....-----------''----,,--+----_._---_ ..-_ _ =PAGO(C$2,C6,

-C4)+C5

1,"Sí","No")

Figura 9.1 (Continuación)

9.3

SELECCiÓN DE ALTERNATIVAS MEDIANTE EL ANÁLISIS B/C INCREMENTAL

La técnica para comparar dos alternativas mutuamente excluyentes utilizando el análisis beneficio/costo es prácticamente la misma que para el análisis TR incremental examinado en el capítulo 8. La razón B/C incremental (convencional) se determina al utilizar los cálculos de VP, VA o VF, y la alternativa de costo extra se justifica si dicha razón B/C es igualo mayor que 1.0. La regla de elección es la siguiente: Si B/C incremental

Si B/C incremental

- ---.-..

Sí

_._ __.._.__._--_._--+-_._-_ .._._._._._. __..+.._- _-_ _._.._\ =SI(Cll>

+-----.+-.-.---.--

;:::1.0, se elige la alternativa de mayor costo, debido a que el costo adicional es justificable en términos económicos. < 1.0, se elige la alternativa de menor costo.

Para llevar a cabo un análisis B/C incremental correctamente, se requerirá la comparación de cada alternativa sólo con otra alternativa, para la cual el costo incremental ya esté justificado. La misma regla se utilizó previamente en el análisis TR incremental.

.

340

TR incremental

CAPÍTULO

9

Análisis beneficio/costo

y economía del sector público

Existen factores especiales para el análisis B/C, que lo hacen ligeramente diferente del análisis TR. Como ya se mencionó anteriormente, todos los costos llevan un signo positivo en la razón B/C. También, el ordenamiento de las alternativas se realiza sobre la base de los costos totales en el denominador de la razón. Así, si dos alternativas, A y B, poseen inversiones iniciales y vidas iguales, pero B tiene un costo anual equivalente mayor, entonces B deberá justificarse frente a A desde un punto de vista incremental. (Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.) Si esta convención no se sigue correctamente, es posible obtener un valor de costo negativo en el denominador, que puede hacer incorrectamente que B/C < 1 y se rechace una alternativa de mayor costo que sea realmente justificable. Siga los siguientes pasos para realizar de manera correcta el análisis de la razón B/C convencional para dos alternativas. Los valores equivalentes pueden expresarse en términos de VP, VA o VF. 1. Determine los costos equivalentes totales para ambas alternativas.

2. Ordene las alternativas por costo equivalente total, de las más pequeñas a las

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I

mayores. Calcule los costos incrementales (¿lC) para la alternativa de mayor costo. Éste es el denominador en B/C. 3. Determine los beneficios equivalentes totales y cualquier contrabeneficio estimado para ambas alternativas. Calcule los beneficios incrementales (M) para la alternativa de mayor costo. (Es decir, ¿l(B - CB) si se consideran los contrabeneficios.) 4. Calcule la razón B/C incremental utilizando la ecuación [9.2], (B - CB)/C. 5. Utilice la guía para elegir la alternativa de mayor costo si B/C ~ 1.0. Cuando la razón B/C se determina para la alternativa de menor costo, se trata de una comparación con la alternativa de no hacer nada (NH). Si B/C < 1.0, entonces debería elegirse NH y compararse con la segunda alternativa. Si ninguna alternativa posee un valor B/C aceptable, deberá entonces elegirse la alternativa NH. En el análisis para el sector público, la alternativa NH es comúnmente la condición actual.

EJEMPLO

9.4

':~'f

La ciudad de Garden Ridge (Florida) recibió, de dos consultores de arquitectura, diseños para una nueva ala de cuartos para pacientes en el hospital municipal. Uno de los diseños deberá aceptarse para publicarse en la licitación de construcción. Los costos y beneficios son los mismos en la mayoría de las categorías, pero el director de finanzas de la ciudad decidió que los tres cálculos que aparecen a continuación son los que deberán considerarse para determinar qué diseño se recomendará, a lajunta del consejo de la ciudad, la próxima semana, y para presentarse a la ciudadanía en preparación del próximo referéndum relativo a bonos del mes entrante.

SECCIÓN SECCIÓN 9.3

nte difes llevan tivas se Í, si dos tiene un esde un convenvo en el a alterlarazón presar-

as a las mayor io esti) para contra-

ve. ata de tonces terna.En

Selección mediante el análisis B/C incremental incremental Selección de alternativas alternativas mediante análisis B/C

Diseño Diseño A Costo de construcción, construcción, $ Costo Costo Costo de mantenimiento mantenimiento de la construcción, construcción, $/año $/año Costo Costo del uso uso de pacientes, pacientes, $/año $/año

Diseño Diseño B

10 000 000 15 000 000 10000000 15000000 35000 55000 55000 35000 450000 200000 450000 200000

costo del del uso pacientes es un estimado estimado de de la cantidad cantidad pagada pagada por los pacientes sobre El costo uso de pacientes por los pacientes sobre el seguro permitido para para una una habitación hospital. La La tasa tasa de de seguro de de cobertura, cobertura, usualmente usualmente permitido habitación de hospital. descuento es de 5% 5% y la vida del edificio edificio se se estima estima en en 30 30 años. años. descuento vida del a) b)

Aplique B/C convencional para elegir Aplique un análisis análisis de la razón razón B/C convencional para elegir el diseño diseño A o B. Una hospital privado de la la ciudad ciudad vecina vecina Una vez vez que que los los dos dos diseños diseños se se den den a conocer, conocer, el hospital privado de de Forest queja porque diseño A reducirá reducirá los los ingresos ingresos de de su Forest Glen Glen presentará presentará una una queja porque el diseño hospital hospital municipal municipal por por aproximadamente aproximadamente $500 $500 000 000 anuales, anuales, como como consecuencia consecuencia de que de las las cirugías diurnas del del diseño diseño A duplicarán duplicarán sus que algunas algunas de las características características de cirugías diurnas sus servicios. Ridge argumenservicios. Posteriormente, Posteriormente, la asociación asociación de comerciantes comerciantes de Garden Garden Ridge argumenta que ingresos anuales por $400 que el diseño diseño B podría podría reducir reducir sus sus ingresos anuales por $400 000, 000, debido debido a que que se por sus patrocinadores como proeliminará eliminará un lote lote completo completo usado usado por sus patrocinadores como estacionamiento estacionamiento provisional. de la ciudad ciudad indicó indicó que que dichas dichas quejas quejas entrarán entrarán en en la visional. El director director de finanzas finanzas de evaluación de los los respectivos respectivos diseños. diseños. Reelabore Reelabore el análisis análisis evaluación como como contrabeneficios contrabeneficios de B/C para para determinar determinar si la decisión decisión económica económica continuará continuará siendo siendo la misma cuando los misma cuando los B/C contrabeneficios contrabeneficios no se tomen tomen en cuenta. cuenta.

Solución Solución a) Puesto han anualizado, razón B/C B/C Puesto que que la mayoría mayoría de los flujos flujos de de efectivo efectivo se han anualizado, la razón tomarán en cuenta incremental incremental utilizará utilizará valores valores VA. No No se tomarán cuenta estimaciones estimaciones de de contrabecontrabeneficios. procedimiento: neficios. Siga Siga los pasos pasos del siguiente siguiente procedimiento:

1. de los los costos costos de de construcción construcción y mantenimiento. mantenimiento. 1. El VA de los costos costos es la suma suma de VAAA == 10000 500 10000 000(AlP,5%,30) 000(AlP,5%,30) + 35 000 000 = $685 $685500 VAB = = $1 030750 = 15 000 000 000(AlP,5%,30) 000(AlP,5%,30) + 55 000 000 = 030750 2. El diseño manera que diseño B posee posee el mayor mayor VA de de costos, costos, de de manera que será será la alternativa alternativa a justificarse de modo valor del costo justificarse modo incremental. incremental. El valor costo incremental incremental es: l1.C 250 anuales /le = VAB $345 250 anuales B -- VAA A = $345 3. El VA de los beneficios deriva de de los los costos costos del del uso uso de de pacientes, pacientes, ya ya que que éstos beneficios se deriva éstos provienen beneficios para para el análisis análisis B/C B/C no no son los costos costos mismisprovienen del del público. público. Los Los beneficios son los menor costo por uso uso anual mos, sino mos, sino la diferencia diferencia si se elige elige el diseño diseño B. El menor costo por anual es beneficio diseño B. B. beneficio positivo positivo para para el diseño !lB = uso uso;A -- USOB uso, = $450 $450 000 000 - $200 $200 000 000 = $250000 $250000 anuales anuales l1.B La razón razón B/C B/C incremental incremental se se calcula calcula mediante ecuación [9.2]: [9.2]: 4. La mediante la ecuación

B/C = = $250000 B/C $250000 $345250 $345250

== 0.72 0.72

5. La indica que justifican los La razón razón B/C B/C es menor menor que que 1.0, lo cual cual indica que no se justifican los costos costos adiadicionales asociados asociados con con el diseño diseño B. Porlo elige el diseño Por lo tanto, tanto, se elige diseño A para para la la licilicicionales tación tación de construcción. construcción.

341

342 342

CAPÍTULO 9

b)

Análisis beneficio/costo economía del sector público beneficio/costo y ec.onomía

Los cálculos de pérdida de ingreso se consideran como contrabeneficios. contrabeneficios. Puesto que contrabeneficios del diseño B son $100000 $100000 menos que los del diseño A, esta los contrabeneficios diferencia se suma a los $250 000 de beneficios de B para dar un beneficio total de diferencia $350 000. Entonces, 000 B/C == $350 $350000 $345250 $345250

= 1.01 1.01

El diseño B se encuentra ligeramente ligeramente favorecido. favorecido. En tal caso, incluir los contra contrabebeneficios ha revertido la decisión económica anterior. Sin embargo, embargo, esto quizás hará Seguramente en el futuro cercano se la situación más difícil en términos políticos. Seguramente reclamarán nuevos contrabeneficios contrabeneficios por otros grupos con intereses específicos.

qu se pn se] co mt tal

na co iw

1.

Como en el caso de otros otros métodos, análisis B/C comparación Como métodos, el análisis B/C requiere requiere una comparación alternativas de servicios general, la vida útil esperada esperada para de alternativas servicios iguales. Por lo general, para un proyecto del sector sector público larga (25, (25,30 alternaproyecto público es larga 30 o más años), de manera manera que las alternaiguales. Sin embargo, cuando las alternativas alternativas potivas por lo regular regular poseen poseen vidas vidas iguales. embargo, cuando determinar los costos costos y los beneficios seen vidas diferentes, diferentes, el uso de VP para para determinar beneficios equivalentes requiere excelente valentes requiere que se utilice utilice el MCM MCM de las vidas. vidas. Se trata trata de una excelente oportunidad para emplear las equivalencias equivalencias del VA para costos y beneficios, oportunidad para emplear para costos beneficios, si se supone que es razonable aplique el supone razonable que el proyecto proyecto pueda pueda repetirse. repetirse. Por Por lo tanto, aplique análisis basado cuando se comparan comparan alternativas alternativas de análisis basado en VA para para las razones razones B/C B/C cuando vida diferente. diferente. vida

9.4

2. 3. 4.

5.

ANÁLISIS INCREMENTAL DE ALTERNATIVAS ANÁLISIS B/C B/C INCREMENTAL ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUYENTES EXCLUYENTES MÚLTIPLES MUTUAMENTE

El procedimiento fundamental para elegir una de entre entre tres o más alternativas alternativas muprocedimiento fundamental para elegir tuamente excluyentes excluyentes con el análisis análisis B/C incremental esencialmente el mismo tuamente incremental es esencialmente mismo sección anterior. Dicho Dicho procedimiento análique el de la sección procedimiento también también es paralelo paralelo al del análiincremental de la sección sección 8.6. 8.6. La directriz directriz para elegir es la siguiente: siguiente: sis TR incremental para elegir TR incremental

Elija alternativa de mayor costo que que se justifique con un incremental Elija la alternativa mayor costo justifique con un B/C B/C incremental ;:::1.0, 1.0, cuando cuando dicha dicha alternativa alternativa se ha comparado con con otra otra alternativa alternativa jus;::: ha comparado justificada. tificada. Existen dos tipos de estimados estimados de beneficios: estimación de beneficios beneficios directos Existen beneficios: estimación directos y beneficios basados en los estimados de costo por uso. El ejemplo 9.4 ilustra beneficios basados estimados por ejemplo ilustra correctamente el segundo segundo tipo de estimado implicado. Cuando Cuando se calcurrectamente estimado de beneficio beneficio implicado. calculan los beneficios beneficios directos, cada alternativa alternativa deberá deberá calcularse calcularse directos, la razón razón B/C B/C para para cada primero como como un mecanismo inicial que tiene como propósito primero mecanismo de selección selección inicial tiene como propósito eliminar las alternativas inaceptables. Por lo menos una alternativa deberá minar alternativas inaceptables. Por menos una alternativa deberá tener tener un B/C 2:: 1.0 para realizar un análisis B/C incremental. Si todas las alternativas B/C ~ para realizar análisis incremental. todas alternativas son inaceptables, la alternativa alternativa NH se indica indica como como elección. elección. (Éste es el mismo enfoque inaceptables, mismo enfoque

6.

7 E

SECCIÓN 9.4 9.4 SECCIÓN

Análisis B/C B/C incremental alternativas múltiples excluyentes Análisis incremental de alternativas múltiples mutuamente mutuamente excluyentes

para sólo alternativas alternativas de ingresos ingresos en el procedimiento TR de la que el del paso dos para procedimiento TR embargo, el término aplicable a los sección 8.6. Sin embargo, término alternativa alternativa de ingreso no es aplicable proyectos proyectos del sector sector público. público. Como Como en el caso de la sección sección anterior, anterior, donde donde se comparan comparan dos alternativas, alternativas, la selección de múltiples múltiples alternativas alternativas mediante incremental emplea emplea los selección mediante la razón razón B/C incremental costos equivalentes para ordenar menor a equivalentes totales, totales, para ordenar inicialmente inicialmente las alternativas alternativas de menor mayor. Por lo tanto, se realiza pares. También También recuerde recuerde que realiza la comparación comparación entre entre pares. todos los costos términos altercostos se consideran consideran positivos positivos en los cálculos cálculos de B/C. Los términos nativa del defensor retador se utilizan utilizan en este procedimiento, procedimiento, así defensor y alternativa alternativa del retador como en el análisis procedimiento para para el análisis análisis basado basado en el análisis análisis TR. El procedimiento análisis B/C incremental múltiples es el siguiente: incremental de alternativas alternativas múltiples siguiente: 1. Determine Determine el costo total equivalente equivalente para alternativas. (Utilice (Utilice equiequi1. para todas las alternativas. valencias para vidas iguales; iguales; emplee VA para vidas diferentes.) valencias de VA, VP o VF para emplee VApara diferentes.) Ordene las alternativas, alternativas, de menor costo equivalente equivalente total. 2. Ordene menor a mayor, por por costo 3. Determine totales (y cualquier Determine los beneficios beneficios equivalentes equivalentes totales cualquier contrabeneficio contrabeneficio estiestimado) para para cada cada alternativa. alternativa. 4. Estime razón B/C para para la primera primera alEstime únicamente únicamente beneficios beneficios directos: calcule calcule la razón ternativa ternativa según el orden. orden. (Esto hace, en efecto, efecto, la alternativa alternativa NH el defensor, defensor, y la primera alternativa, alternativa, el retador.) elimine al retador, retador, y vaya primera retador.) Si B/C B/C < 1.0, elimine vaya al siguiente retador. Repita Repita esto hasta elimina al defensor, defensor, y la sisiguiente hasta que B/C;:::1.0. B/C;::: 1.0. Se elimina guiente alternativa es ahora ahora el retador. (Para (Para análisis análisis por computadora, determidetermiguiente alternativa por computadora, alternativas inicialmente inicialmente y conserve conserve sólo las aceptables.) aceptables.) ne el B/C para todas las alternativas Calcule los costos costos incrementales incrementales (LlC) y beneficios 5. Calcule beneficios incrementales incrementales (LlB) (LlB) usando usando las relaciones relaciones = costo del retador defensor LlC = retador - costo del defensor LlB

= retador = beneficios beneficios del retador

beneficios del defensor beneficios defensor

[9.4] [9.4]

[9.5] [9.5]

Si se estiman relativos para para cada beneestiman los costos costos de uso relativos cada alternativa alternativa en lugar lugar de beneficios directos, mediante la siguiente directos, LlB LlB se puede puede determinar determinar mediante siguiente relación: relación: LlB retador LlB = = costos costos de uso del defensor defensor - costos costos de uso del retador

6.

Calcule para el primer primer retador retador comparado Calcule el B/C incremental incremen tal para comparado con el defensor. defensor.

B/C = = LlB/LlC LlB/ LlC

7.

[9.6]

[9.7] [9.7]

incremental ;:::1.0 ecuación [9.7], [9.7], el retador convierte en el 1.0 en la ecuación retador se convierte Si el B/C incremental;::: defensor, y se elimina elimina el defensor defensor anterior. Por el contrario, contrario, si el B/C incremental incremental < 1.0, elimine retador, y el defensor permanece frente elimine al retador, defensor permanece frente al siguiente siguiente retador. Repita quede una alternativa, alternativa, la cual cual será la Repita los pasos pasos 5 y 6 hasta hasta que solamente solamente quede elegida. elegida.

En todos los pasos pueden analizarse pasos anteriores, anteriores, los contrabeneficios contrabeneficios incrementales incrementales pueden analizarse reemplazando reemplazando LlB LlB con Ll(E Ll(B - CE), CB), como como en la razón B/C convencional, convencional, ecuación ecuación [9.2].

343

CAPÍTULO 9

344

EJEMPLO

s

Análisis beneficio/costo y economía del sector público

9.5 La Corporación para el Desarrollo Económico (CDE) para la ciudad de Bahía (California) y el condado de Moderna funciona como una organización no lucrativa. Ésta se encuentra en busca de un urbanizador que ubique un gran parque con un lago en la ciudad o en el área del condado. Se otorgarán incentivos económicos. En respuesta a una "convocatoria de propuestas" (CDP) lanzada a los principales constructores de parques acuáticos en el país, se recibieron cuatro propuestas. Mayores y más intrincados canales de agua y un parque de mayores dimensiones atraerán a más clientes; así que en las propuestas se solicitan distintos niveles de incentivos iniciales. Una de estas propuestas será aceptada por la CDE y se recomendará al Consejo de la Ciudad de Bahía y el Consejo de Administración del condado de Moderna. Las directrices aprobadas y los incentivos económicos ofrecen a los candidatos de la industria del entretenimiento recibir hasta $500000 en efectivo como incentivo para el primer año y un 10% de esta cantidad cada año durante 8 años en reducción de impuestos a la propiedad. Todas las propuestas satisfacen los requisitos de estos dos incentivos. Cada propuesta incluye una prestación por la que los residentes de la ciudad o del condado se beneficiarán de las cuotas de entrada rebajadas (uso de las instalaciones) del parque. Esta rebaja en las cuotas tendrá un periodo de vigencia tan prolongado como los incentivos de reducción de impuestos a la propiedad. La CDE ha calculado las cuotas de entrada totales anuales incluyendo el descuento para los residentes locales. Asimismo, la CDE ha estimado los ingresos por impuestos por ventas adicionales que se esperan por los cuatro diseños del parque. Dichos cálculos y los costos del incentivo inicial y la rebaja de impuestos anual del 10% se resumen en la parte superior de la tabla 9.1.

TABLA

9.1 Cálculos de costos y beneficios. y análisis B/C incremental para las cuatro propuestas del parque con lago (ejemplo 9.5)

Incentivo inicial, $ Costo del incentivo en impuestos, $/año Cuotas de entrada para los residentes, $/año Impuestos por ventas adicionales, $/año Periodo de estudio, años VA de costos totales, $ Alternativas comparadas Costos incrementaJes tle, $/año Rebaja en la cuota de entrada, $/año Impuesto por ventas extras, $/año Beneficios incrementales tlB, $/año Razón B/C incremental ¿Se justifica el incremento? Alternativa elegida

Propuesta 1

Propuesta 2

Propuesta 3

Propuesta 4

250000 25000 500000 310 000 8

350000 35000 450000 320000 8

500000 50000 425000 320000 8

800000 80000 250000 340000 8

66867

93614

133735

213 976

2-a-1 26747 50000 10000 60000

3-a-2 40120 25000 O 25000

2.24 Sí 2

0.62 No 2

4-a-2 120360 200000 20000 220000 1.83 Sí 4

SECCIÓN SECCIÓN 9.4 9.4

Análisis B/C incremental incremental de alternativas alternativas múltiples múltiples mutuamente mutuamente excluyentes excluyentes Análisis B/C

Efectúe un análisis Efectúe análisis a mano mano y por por computadora computadora para para llevar llevar a cabo cabo un estudio estudio B/C B/C incremental cremental y determinar determinar qué qué propuesta propuesta de construcción construcción del del parque parque es la mejor mejor desde desde una una perspectiva económica. económica. La La tasa tasa de descuento descuento empleada empleada por CDE es de 7% 7% anual. ¿Pueperspectiva por la CDE anual. ¿Pueden incentivos vigentes den utilizarse utilizarse las las directrices directrices de los los incentivos vigentes para para aceptar aceptar la propuesta propuesta ganadora? ganadora?

Solución a mano mano Solución El punto punto de vista vista que que adoptamos adoptamos para para llevar llevar a cabo cabo el análisis análisis económico económico es el de un un resiresidente dente de la ciudad ciudad o del del condado. condado. Los Los incentivos incentivos de efectivo efectivo del del primer primer año año y los incentiincentivos de reducción reducción de impuestos impuestos anuales anuales representan representan costos costos reales reales para para los los residentes. residentes. Los Los vos beneficios provienen beneficios provienen de dos dos fuentes: fuentes: los los cálculos cálculos de cuotas cuotas de entrada entrada reducidas. reducidas. y los los mingresos gresos incrementados incrementados provenientes provenientes de los impuestos impuestos por por ventas. ventas. Esto Esto beneficiará beneficiará a cada cada ciudadano indirectamente indirectamente a través través del del incremento incremento en la cantidad cantidad de dinero dinero disponible disponible para para ciudadano quienes utilizan utilizan el parque, parque, y mediante mediante los los presupuestos presupuestos de la ciudad ciudad y del del condado, condado, donde donde quienes depositan los los ingresos ingresos de los los impuestos impuestos por por ventas. ventas. Como Como estos estos beneficios beneficios deben deben calcucalcuse depositan larse larse indirectamente indirectamente a partir partir de las las dos dos fuentes, fuentes, los los valores valores B/C B/C de la propuesta propuesta inicial inicial no pueden calcularse para para eliminar eliminar al principio principio cualquier cualquier propuesta. propuesta. Se debe debe llevar llevar a cabo cabo un pueden calcularse análisis análisis B/C B/C incremental incremental para para comparar comparar las las dos dos alternativas alternativas al mismo mismo tiempo. tiempo. La tabla tabla 9.1 incluye incluye los los resultados resultados de la aplicación aplicación del del procedimiento procedimiento anterior. anterior. Los Los La valores beneficios. Ya valores equivalentes equivalentes VA se utilizan utilizan para para las las cantidades cantidades anuales anuales de costos costos y beneficios. que los beneficios deben deben derivarse derivarse indirectamente indirectamente de los los cálculos cálculos de las las cuotas cuotas de entrada entrada que los beneficios y los ingresos ingresos de los impuestos impuestos por por ventas, ventas, el paso paso 4 no no se incluye. incluye. 1. 1.

Para cada cada alternativa, alternativa, el monto monto de recuperación recuperación de capital capital durante durante 8 años años se encuenencuenPara tra tra determinado determinado y sumado sumado al costo costo del del incentivo incentivo de impuestos impuestos anuales anuales a la propiedad. propiedad. Para Para la propuesta propuesta 1,

VA de los impuestos los costos costos totales totales = incentivo incentivo inicial(A/P, inicial(A/P, 7%, 7%, 8) + costo costo de impuestos

= = $250 $250 OOO(A/P, OOO(A/P, 7%, 7%, 8) + 25000 25000 = = $66 $66 867 867 2. 3. 4. 5.

Las alternativas alternativas se ordenan ordenan según según los costos totales totales en VA de la tabla tabla 9.1. 9.1. Las los costos beneficio anual anual de una una alternativa alternativa es el beneficio beneficio incremental incremental de las las cuotas El beneficio cuotas de entrada entrada y las las cantidades cantidades de impuestos impuestos por por ventas. ventas. Éstas Éstas se calculan calculan en el paso paso 5. Este paso paso no se incluye. incluye. Este La La tabla tabla 9.1 9.1 muestra muestra los los costos costos incrementales incrementales o~lculados calculados por por medio medio de la ecuación ecuación [9.4]. [9.4]. En el caso caso de la comparación comparación entre entre 2 y 1,

t1C = $93 $93 614 614 - 66 867 = $26 $26 747 747 l1C

6.

Los beneficios beneficios incrementales incrementales para para una una alternativa alternativa son son la suma suma de las cuotas cuotas de entraentraLos los residentes residentes comparada comparada con con la la suma suma de las las cuotas cuotas de la alternativa alternativa con con los los da de los siguientes costos costos más más bajos, bajos, más más el incremento incremento en ingresos impuestos a las las venvensiguientes ingresos por por impuestos tas por por encima encima de los los correspondientes correspondientes a la alternativa alternativa siguiente siguiente de de menor menor costo. costo. Por Por tas consiguiente, los beneficios beneficios se determinan determinan incrementalmente incrementalmente para para cada cada par par de alteralterconsiguiente, nati vas. vas. Por Por ejemplo, ejemplo, cuando cuando se compara compara la propuesta propuesta 2 con con la propuesta propuesta 1, las cuotas cuotas nati entrada de los los residentes residentes se reducen por $50 $50 000 000 anuales anuales y los los ingresos ingresos en imimde entrada reducen por puestos por por ventas ventas se incrementan incrementan en $10 $10 000. 000. Entonces, Entonces, el beneficio beneficio total total es la suma suma puestos ambos: $60 $60 000 000 por por año. año. de ambos: En el caso caso de la comparación comparación entre entre 2 y 1, la ecuación ecuación [9.7] [9.7] se convierte convierte en: En B/C = $60 $60 000/$26 000/$26 747 747 = = 2.24 2.24 B/C

345

346

CAPÍTULO 9 CAPÍTULO

7.

Análisis economía del del sector sector público Análisis beneficio/costo beneficio/costo y economía público

La alternativa alternativa 2 evidentemente evidentemente está está justificada desde una incremental. La La La justificada desde una perspectiva perspectiva incremental. alternativa 1 se elimina, elimina, y la alternativa alternativa 3 constituye constituye el nuevo nuevo retador retador para para el defendefenalternativa sor sor 2. Este proceso repite para para el caso caso de la comparación comparación entre entre 3 y 2, el cual cual posee una Este proceso se repite posee una razón B/C B/C incrementa! incremental de 0.62, 0.62, como consecuencia de que que los beneficios incrementales razón como consecuencia beneficios incrementales son tanto, se elimina son considerablemente considerablemente menores menores que que el incremento incremento en costos. costos. Por Por lo tanto, elimina la propuesta propuesta 3, y la comparación resultado: comparación entre entre 4 y 2 da como como resultado: B/C = $220 $220 000/$120 000/$120 360 360 = 1.83 1.83 B/C Como B/C B/C > 1.0, 1.0, se conserva conserva la propuesta Como la propuesta 4 es la única única alternaalternapropuesta 4. Como la propuesta Como tiva tiva que que se conserva, conserva, es la elegida. elegida.

La recomendación recomendación para incentivo inicial inicial de $800 $800 000, 000, que que exceexceLa para la propuesta propuesta 4 requiere requiere un un incentivo límite de $500000 $500000 de los límites límites del del incentivo incentivo aprobado. aprobado. La La CDE CDE tendrá tendrá que que solicitar solicitar de el límite al Consejo Consejo de la Ciudad Ciudad y al Consejo del Condado Condado que que haga excepción en en las directridirectria! Consejo del haga una una excepción ces. Si la excepción excepción no se aprueba, aprueba, se acepta acepta la propuesta 2. ces. propuesta 2.

~

~Sol-E Sol-E

Solución por por computadora computadora Solución La figura figura 9.2 9.2 presenta hoja de cálculo cálculo que que incluye incluye los los mismos mismos cálculos cálculos que que los los de la La presenta una una hoja tabla 9.1. Las Las celdas celdas de la fila fila 8 incluyen incluyen la función función PAGO(7%, PAGO(7%, 8,-incentivo 8,-incentivo inicial) inicial) para para tabla 9.1.

inf me va

ha inc se]

lar

qu (el

mi

•

Figura 9.2 Figura Solución en hoja de cálculo para un análisis B/C E/e incremental alternativas mutuamente mutuamente excluyentes. incremental de cuatro alternativas

SECCIÓN 9.4

Análisis B/C incremental de alternativas múltiples mutuamente excluyentes

347

calcular la recuperación del capital para cada alternativa, más el costo tributario anual. Estos VA de los valores del costo total se utilizan para ordenar las alternativas para la comparación incremental. Las etiquetas de las celdas para las filas 10 a 13 detallan las fórmulas de los costos incrementales y los beneficios empleados en el cálculo de la razón B/C incremental (fila 14). Observe la diferencia en las fórmulas de las filas 11 y 12, las cuales permiten determinar los beneficios incrementales de las cuotas de entrada e impuestos por ventas, respectivamente. El orden de la resta entre las columnas en la fila 11 (por ejemplo, = B5 - C5, para la comparación entre 2 y 1) debe ser correcto con la finalidad de que se obtenga el beneficio incremental de las cuotas de entrada. Los operadores condicionales (SI) de la fila 15 aceptan o rechazan al retador sobre la base de la magnitud de B/C. Después de la comparación entre 3 y 2 con B/C = 0.62 en la celda D14, se elimina la alternativa 3. La elección final es la alternativa 4, como en el caso de la solución a mano.

Cuando las vidas de las alternativas son tan largas que se les puede considerar infinitas, los valores equivalentes VP o VA para los costos y beneficios se calculan mediante el costo capitalizado. La ecuación [5.3], A = P(i), permite determinar los valores VA equivalentes en el análisis B/C incremen tal. Si dos o más proyectos independientes se evalúan mediante el análisis B/C y no hay limitaciones presupuestales, no existe necesidad de alguna comparación de tipo incremental. La única comparación es la que se realiza entre cada proyecto por separado y la alternativa de no hacer nada. Los valores B/C del proyecto se calculan, y se aceptan aquellos para los que B/C ~ 1.0. Se trata del mismo procedimiento que se aplicó para elegir entre proyectos independientes mediante el método TR (capítulo 8). Cuando se imponen límites presupuestales, debe aplicarse el procedimiento de presupuestación analizado en el capítulo 12.

EJEMPLO

9.6

El Cuerpo de Ingenieros del Ejército quiere construir un dique sobre un río propenso a las inundaciones. El costo estimado de construcción y el beneficio promedio anual en dólares aparecen a continuación. a) Si se aplica una tasa anual de 6% y la vida del dique se considera infinita para los fines del análisis, elija el mejor lugar con el método B/C. Si ningún sitio es aceptable, más tarde se determinarán otros sitios. b) Si puede elegirse más de un sitio para el dique, ¿cuáles de ellos son adecuados de acuerdo con el método B/C? Sitio

Costo de construcción, millones de $

A B C D E

6 8 3 10 5

F

11

Beneficios anuales, $ 350000 420000 125000 400000 350000 700000

Costo capitalizado

CAPÍTULO 9 Análisis beneficio/costo y economía del sector público

348

•

RI

Solución a)

Los valores VA para la recuperación anual del capital del costo de construcción se obtienen mediante el costo capitalizado A = Pi, como se indica en la primera fila de la tabla 9.2. Ya que los beneficios se calculan directamente, la razón B/C relativa al sitio puede ser útil para llevar a cabo una depuración inicial. Sólo los sitios E y F tienen un valor B/C > 1.0,así que pueden evaluarse desde una perspectiva incremental. La comparación de E con NH se lleva a cabo en virtud de que no se requiere la elección de un sitio. El análisis entre las alternativas mutuamente excluyentes en la parte inferior de la tabla 9.2 se basa en la ecuación [9.7]. II beneficios anuales B/C incremental = -------II costos anuales

b)

El Y

m

ql V

ea

er nc In

hé

El sitio E se elige en vista de que solamente éste se justifica desde una perspectiva incremental. Las propuestas para el sitio del dique ahora son proyectos independientes. La razón B/C relativa al sitio se utiliza para elegir entre ningún sitio y los seis. En la tabla 9.2, B/C > 1.0 exclusivamente para los sitios E y F; éstos son adecuados, los demás no.

d( se eé

d, di

Comentario

e(

En el inciso a), suponga que se agrega el sitio G, cuyo costo de construcción será de $10 millones y el beneficio anual de $700 000. El sitio B/C es aceptable con una razón B/C = 700/600 = 1.17. Ahora, compare de manera incremental G con E; la razón incremental B/C = 350/300 = 1.17, a favor de G. En este caso, el sitio F debe compararse con el G. Ya que los beneficios anuales son los mismos ($700000), la razón B/C es cero y no se justifica la inversión adicional. Por lo tanto, se elige el sitio G.

m A

re ac pl

• TABLA

9.2

P

Aplicación del análisis de la razón B/C incremental para el ejemplo 9.6 (valores en $1 000) C

Costo de recuperación del capital, $ Beneficios anuales, $ B/C del sitio Decisión Comparación II Costo anual, $ II Beneficios anuales, $ II Razón (B/C) ¿Se justifica el incremento? Sitio elegido

180 125 0.69 No

E

A

360 300 350 350 1.17 0.97 Se conserva No Econ NH 300 350 1.17 Sí E

E B

D

F

480 420 0.88 No

600 400 0.67 No

660 700 1.06 Se conserva FconE 360 350 0.97 No E

PROBLEMAS PROBLEMAS

349 349

RESUMEN RESUMEN DEL CAPíTULO CAPíTULO El método método beneficio/costo beneficio/costo se emplea emplea principalmente principalmente en la evaluación evaluación de proyectos proyectos y la selección selección de alternativas alternativas del sector público. Cuando Cuando se comparan comparan alternativas alternativas mutuamente excluyentes, excluyentes, la razón incremental incremental B/C debe ser mayor mayor o igual a 1.0 para mutuamente que se justifique justifique económicamente económicamente el costo total equivalente equivalente incremental. incremental. El VP, VA o VF de los costos iniciales iniciales y los beneficios beneficios estimados estimados pueden pueden utilizarse utilizarse para llevar llevar a cabo un análisis B/C incremental. incremental. Si las vidas de las alternativas alternativas son diferentes, diferentes, deben emplearse emplearse los valores VA, VA, siempre y cuando la suposición suposición de la repetición repetición del proyecto proyecto resulte irrazonable. irrazonable. Para proyectos proyectos independientes, independientes, no es necesario necesario el análisis análisis B/C no resulte incremental. Se seleccionan seleccionan todos los proyectos proyectos con B/C ~1.0, siempre siempre y cuando cuando no incremental. limitación presupuestal. presupuestal. haya limitación La economía economía del sector sector público público es esencialmente esencialmente distinta distinta de la del sector sector privaprivado. En el caso de los proyectos proyectos del sector sector público, público, por lo general general los costos costos iniciales iniciales son altos, la vida esperada esperada es prolongada prolongada (25, 35 o más años) y las fuentes fuentes del capital menudo constituyen capital a menudo constituyen una combinación combinación de impuestos impuestos cobrados cobrados a la ciudaciudadanía, pago de derechos, derechos, emisiones emisiones de bonos bonos y préstamos préstamos de particulares. particulares. Es muy muy difícil para un proyecto proyecto del sector públidifícil realizar realizar cálculos cálculos exactos exactos de los beneficios beneficios para sector público. Las tasas de interés, interés, denominadas denominadas tasas de descuento descuento en el sector sector público, público, son menores menores que las correspondientes correspondientes al financiamiento financiamiento del capital capital de una corporación. corporación. Aunque Aunque la tasa de descuento descuento es tan importante importante como como establecer establecer la TMAR, TMAR, puede puede resultar resultar difícil difícil de definir, ya que diversos diversos organismos organismos gubernamentales gubernamentales pueden pueden tener tener acceso a diferentes diferentes tasas. Las tasas de descuento descuento estandarizadas estandarizadas son establecidas establecidas por ciertas federales. ciertas dependencias dependencias federales.

PROBLEMAS PROBLEMAS Economía Economía del sector sector público público 9.1

9.2

Señale la diferencia diferencia entre las alternativas alternativas del Señale sector público y las del privado sector público privado respecto respecto de las siguientes características: siguientes características: a) Magnitud Magnitud de la inversión inversión b) Vida del proyecto proyecto e) c) Financiamiento Financiamiento d) TMAR TMAR

Especifique Especifique si las siguientes siguientes características características se encuentran encuentran relacionadas relacionadas principalmente principalmente con proyectos proyectos del sector sector público público o del sector privado: privado: a) Ganancias Ganancias b) Impuestos Impuestos c) Contrabeneficios Contrabeneficios d) d) Vida infinita infinita

e) Pago de derechos derechos f) Bonos f) Bonos corporativos corporativos

9.3 Clasifique efectivo como como bebeClasifique cada cada flujo de efectivo neficio, costo. neficio, pérdida pérdida o costo. a) Ingreso generado por Ingreso anual de $500 000 generado almacenamiento de agua el turismo en un almacenamiento dulce. b) $700000 mantenimiento anual papa$700000 de mantenimiento gados gados por por los contenedores contenedores de los barcos a la autoridad puerto. autoridad de un puerto. e) Gasto de $45 millones para la construcconstrucc) Gasto millones para ción de un túnel en una una autopista autopista interestatal. estatal. Eliminación de $1.3 millones d) Eliminación millones por por conconcepto de salarios residentes de salarios para para los residentes un municipio, base en el comercio comercio municipio, con base internacional. internacional.

350

CAPÍTULO 9 CAPÍTULO

e)

f)

9.4

9.5

Análisis beneficio/costo beneficio/costo y economía economía del sector sector público público Análisis

Reducción de $375 $375 000 000 anuales anuales en en las Reducción reparaciones debidas debidas a accidentes accidentes auaureparaciones tomovilísticos, gracias gracias al mejoramiento mejoramiento tomovilísticos, de la iluminación. iluminación. de Pérdida de $700 $700 000 000 anuales anuales en en el ininPérdida greso de de los los agricultores agricultores a causa causa de de la greso compra de de los los derechos derechos de vía compra vía de una una autopista. autopista.

Durante sus sus 20 20 años años de de permanencia en los los Durante permanencia en negocios, Deware Construction Company Company negocios, Deware Construction siempre ha establecido sus sus contratos con un siempre ha establecido contratos con un arreglo a precio precio alzado alzado o por unitaarreglo por precios precios unitarios. . Ahora, ofrecido la la oportunidad oportunidad rios Ahora, se le ha ha ofrecido participar en en un de participar un proyecto proyecto para para proporproporcionar transporte de una autopista cionar transporte por por medio medio de una autopista que atravesaría con bases que atravesaría todo todo un un país, país, con bases internacionales, específicamente específicamente en en un internacionales, un país país africano. Si aceptara, aceptara, la africano. la compañía compañía trabajaría trabajaría como subcontratista subcontratista de una corporación como de una corporación europea más grande y se forma europea más grande se usaría usaría la la forma BOT de de contratación contratación con con el gobierno del BOT gobierno del país país africano. africano. Describa Describa para para el el presidente presidente Deware al menos cuatro de las diferende Deware menos cuatro de las diferencias significativas cias significativas que que son son de de esperar esperar si se se utilizara utilizara la la forma forma BOT BOT en en lugar lugar de de los los momodos más dos más tradicionales tradicionales de de contratación. contratación.

Si una una corporación corporación acepta acepta la la forma forma BOT BOT de de hacer hacer contratos, contratos, a) identifique identifique dos dos riesgos riesgos que que corre, corre, yy b) diga diga cuáles cuáles de de ellos ellos podría podría reducir reducir el el socio socio gubernamental. gubernamental.

Valor B/e B/C del proyecto proyecto 9.6

9.7

Los Los flujos flujos de de efectivo efectivo anuales anuales estimados estimados para para un un proyecto proyecto propuesto propuesto por por el el gobierno gobierno de de una una ciudad, ciudad, son son costos costos de de $450 $450 000 000 por por año, año, beneficios beneficios de de $600 $600 000 000 anuales anuales yy pérdidas pérdidas de de $100 $100 000 000 por por año. año. Determine Determine a) la la razón razón B/C, B/C, yy b) el el valor valor B B - C. C. Utilice Utilice algún algún software software de de hoja hoja de de cálculo cálculo (como (como Excel), Excel), el el análisis análisis del del VP VP yy una una tasa tasa de de descuento descuento de de 5% 5% anual, anual, para para determinar determinar que que el el valor valor B/C B/C es es de de 0.375 0.375 para para las las estiestimaciones siguientes, lo cual hace que el maciones siguientes, lo cual hace que el proproyecto yecto no no sea sea aceptable aceptable con con el el uso uso del del método método beneficio/costo. beneficio/costo.

a) Introduzca Introduzca los los valores valores y ecuaciones ecuaciones en en la hoja hoja de cálculo cálculo de modo modo que que puedan puedan cambiarse cambiarse con con el propósito propósito de de hacer hacer análisis análisis de sensibilidad. sensibilidad.

Costo Costo inicial inicial = = $8 millones millones = Costo Costo anual anual = $800 $800 000 000 anuales anuales = Beneficio Beneficio = $550 $550 000 000 anuales anuales = Pérdidas Pérdidas = $100 $100 000 000 anuales anuales b) Realice el análisis de sensibilidad Realice análisis de sensibilidad sisiguiente cambiando únicamente dos guiente cambiando únicamente dos celceldas Modifique la das de de la la hoja hoja de de cálculo. cálculo. Modifique la tasa de descuento a 3% por tasa de descuento 3% por año año y ajuste ajuste la hasta que la estimación estimación de de costo costo anual anual hasta que B/C = 1.023. 1.023. Esto Esto hace que el proyecto B/C = hace que proyecto sea apenas apenas aceptable, aceptable, de de acuerdo con el sea acuerdo con análisis beneficio/costo. análisis beneficio/costo. 9.8

Se espera que una eliSe espera que una norma norma propuesta propuesta para para eliminar arsénico contenido contenido en en el agua minar el el arsénico agua para para consumo de consumo humano humano tenga tenga un un costo costo anual anual de $200 por se acepta que en en el país $200 por hogar. hogar. Si se acepta que país hay la norma hay 90 90 millones millones de de hogares hogares y que que la norma podría año, ¿cuál podría salvar salvar 12 vidas vidas al año, ¿cuál tendría tendría que que ser ser el valor valor de de una una vida vida humana humana para para que que la la razón razón B/C B/C fuera fuera igual igual a 1.0? LO?

9.9

La La Agencia Agencia de de Protección Protección del del Ambiente Ambiente de de Estados Estados Unidos Unidos determinó determinó que que el el 2.5% 2.5% del del ingreso ingreso medio medio por por familia familia constituye constituye un un monto monto razonable razonable para para pagar pagar el el agua agua potapotable. ble. El El ingreso ingreso medio medio por por familia familia es es de de $30 $30 000 000 anuales. anuales. En En el el caso caso de de una una norma norma que que afecte afecte la la salud salud de de la la gente gente en en el el 11% % de de las las familias, familias, ¿cuál ¿cuál cantidad cantidad en en dólares dólares por por familia familia (para (para dicho dicho 11% % de de las las familias) familias) dedeberían berían ser ser los los beneficios beneficios de de salud salud para para que que la la razón razón B/C B/C sea sea 1.0? 1.0?

9.10 9.10 Use Use una una hoja hoja de de cálculo cálculo para para plantear plantear yy reresolver sol ver el el problema problema 9.9 9.9 yy después después aplique aplique los los cambios siguientes. siguientes. Observe Observe los los incremenincremencambios tos tos yy disminuciones disminuciones en en el el valor valor económico económico requerido requerido de de los los beneficios beneficios por por salud salud para para cada cada cambio. cambio. a) a) El El ingreso ingreso medio medio es es de de $18 $18 000 000 (país (país más más pobre) pobre) yy el el porcentaje porcentaje de de ingreso ingreso por por hogar hogar se se reduce reduce aa 2%. 2%.

PROBLEMAS PROBLEMAS

ingreso medio b) El ingreso medio es de $30 000 y se gasta 2.5 2.5% seguridad del agua, pero gasta % en seguridad pero incide en el 0.5% de hogares. hogares. sólo se incide debe e) ¿En qué porcentaje porcentaje de hogares hogares debe incidirse si se requiere que tanto incidirse requiere que tanto el beneficio por salud como como el ingreso ingreso beneficio por salud OOO?Suponga Suponga que se anual sea de $18 OOO? mantiene la estimación estimación de 2.5 2.5% del mantiene % del ingreso. ingreso.

9.11

9.12

9.13

bomberos de una ciudad ciudad mediana El jefe jefe de bomberos mediana estimado que el costo costo inicial inicial de una ha estimado una calcuestación nueva nueva es de $4 millones. millones. Se calcuadecuación anual son la que los costos de adecuación identificado que de $300 000. También se ha identificado beneficios para ciudadanos son de los beneficios para los ciudadanos $550000 anuales y las pérdidas $550000 pérdidas de $90 000. descuento de 4% por año Use una tasa de descuento para determinar determinar si la estación estación tiene justipara justificación económica, económica, por medio de a) la ficación por medio razón B/C convencional, convencional, y b) la diferencia diferencia razón B-C. B-C. parte de la rehabilitación zona Como parte rehabilitación de la zona central de una ciudad ciudad sureña sureña de los Estados Estados central Unidos, el Departamento Unidos, Departamento de Parques Parques y Recreación planea desarrollar el espacio espacio Recreación planea desarrollar debajo de varios varios pasos elevados a fin de debajo pasos elevados habilitarlos como como canchas canchas de basquetbol, habilitarlos basquetbol, boleibol, golfito golfito y tenis. Se espera espera que el boleibol, inicial sea de $150 $150 000 por mejoras costo inicial mejoras estima en 20 años. Se proyecta cuya vida se estima proyecta costo de mantenimiento que el costo mantenimiento anual sea de departamento espera espera que las $12 000. El departamento instalaciones sean usadas 000 instalaciones sean usadas por por 24 000 personas al año, con un promedio personas promedio de 2 horas una. El valor cada una. valor de la recreación recreación se ha establecido en forma forma conservadora conservadora en $0.50 $0.50 establecido descuento de 3% por hora. Con una tasa tasa de descuento ¿cuál es la razón anual, ¿cuál razón B/C B/C del proyecto? proyecto? requiere que la razón Se requiere razón B/C B/C sea de 1.3 para para proyecto nuevo control de inundacioinundacioun proyecto nuevo de control Mississines a lo largo de las riberas riberas del río Mississiestima el beneficio $600 000 ppi. Si se estima beneficio en $600 anuales y el costo costo total-de anuales total -de mantenimiento mantenimiento inicial en $300 000 por año, ¿cuál es el costo inicial máximo permitido permitido del proyecto? máximo proyecto? La tasa tasa de

351

descuento es de 7% anual y se espera espera una descuento vida años. Resuelva vida del proyecto proyecto de 50 años. Resuelva el problema problema de dos modos: a) a mano, y b) con una hoja cálculo programada hoja de cálculo programada para para efectuar análisis de sensibilidad. sensibilidad. tuar análisis 9.14

Use cálculo desarrollada desarrollada en el Use la hoja hoja de cálculo Problema 9.13 b) para determinar para determinar la razón Problema B/C, si el costo costo inicial inicial fuera fuera en realidad realidad de $3.23 millones y la tasa de descuento $3 .23 millones tasa descuento ahora fuera de 5% anual. fuera

9.15

La razón B/C modificada modificada es de 1.7 para el helipuerto helipuerto de un hospital hospital que pertenece pertenece a una ciudad. Si el costo inicial es de $1 000 000 Y anuales de $150 $150 000, ¿cuál ¿cuál los beneficios beneficios anuales costos de operación operación y es el monto monto de los costos mantenimiento cálculo, mantenimiento que se usaron usaron en el cálculo, aplicó una tasa descuento de 6% si se aplicó tasa de descuento anual? La vida anual? vida estimada estimada es de 30 años.

9.16 9.16

Calcule la razón estimaciones Calcule razón B/C B/C para para las estimaciones del siguiente siguiente flujo de efectivo, efectivo, con una tasa de descuento descuento de 6% anual.

ítem

Flujo de Flujo efectivo efectivo

VP de los VP de los beneficios, beneficios, $ VA de de las las pérdidas, año pérdidas, $ año Costo inicial, inicial, $ Costo Costos de de operación operación y mantenimiento, $/año Costos mantenimiento, $/año Vida del proyecto, años Vida del proyecto, años

3800000 3800000 45000 45000 2200000 2200000 300000 300000 15

9.17

Hemisphere estudia un contrato contrato BOT Hemisphere Corp. estudia para construir construir y operar operar una presa presa grande con infraestructura para generar energía energía elécelécinfraestructura para generar trica, en una nación desarrollo nación en vías de desarrollo espera que el costo del hemisferio hemisferio sur. Se espera inicial de la presa presa sea de $30 millones millones y el de operación y mantenimiento $100 000 operación mantenimiento de $100 anuales. Los beneficios control de anuales. beneficios por por el control inundaciones, desarrollo desarrollo agrícola, turismo, turismo, inundaciones, etcétera, se espera espera sean de $2.8 millones por etcétera, año. Con una tasa de interés de 8% anual, ¿debiera construirse construirse la presa ¿debiera presa con base en la razón B/C convencional? convencional? Se supone que la presa presa será un activo permanente permanente para el país. a) Resuelva Resuelva el problema problema con lápiz y papel.

~-----------------~=======================-=-==-==------------=--------------------------------~--------352

CAPÍTULO CAPÍTULO 9

Análisis beneficio/costo del sector público Análisis beneficio/costo y economía economía del sector público

b) Con una hoja de cálculo encuentre la razón

si el proyecto proyecto debería cabo, todebería llevarse llevarse a cabo, mando en cuenta periodo de estudio mando cuenta un periodo estudio de una tasa tasa de descuento 20 años y una descuento de 6% anual. b) Vuelva Vuelva a trabajar trabajar con el problema problema utilizando utilizando la razón razón B/C B/C modificada. modificada.

B/C, con una sola celqa para el cómputo. celda para cómputo. 9.18 El cuerpo cuerpo de ingenieros ingenieros del ejército ejército estadoestadounidense unidense estudia estudia la factibilidad factibilidad de construir construir una presa presa pequeña pequeña para para control control de inuninundaciones en un arroyo. arroyo. El costo costo inicial inicial del daciones proyecto sería de $2.2 millones, millones, con costos proyecto costos de inspección por $10 000 inspección y adecuación adecuación por anuales. Además, necesitaría una una reconsreconsAdemás, se necesitaría trucción trucción menor menor cada cada 15 años con un costo costo de $65 000. método B/C B/C para para de000. Utilice Utilice el método terminar presa, conterminar si debe construirse construirse la presa, siderando por inundación siderando que el daño por inundación se reduciría por año, duciría de $90 000 del costo costo actual actual por a $10 000. Suponga presa sería perSuponga que la presa manente manente y que la tasa de interés interés es de 12% anual. anmi.l. 9.19 Una Una compañía compañía que que construye construye autopistas autopistas tiene un contrato para hacer hacer en Colorado contrato para Colorado un camino una zona zona escénica camino nuevo nuevo a través través de una escénica y dos caminos rurales. Se espera espera que el costo de la carretera millones, con un carretera sea de $18 millones, estimado de $150 000. 000. También También gasto anual estimado se piensa por piensa que el ingreso ingreso anual adicional adicional por el turismo turismo sea de $900 000 anuales. anuales. Si se espera tenga una una vida coespera que la carretera carretera tenga mercial útil de 20 años, use una hoja de cálculo para determinar determinar si debe construirse, construirse, con una tasa de interés por medio medio interés de 6% anual, por de aplicar el método método a) B - C, b) B/C, e) B/C modificado modificado (además, (además, si el constructor constructor lo solicitara: programe programe la hoja cálculo para solicitara: hoja de cálculo para realizar use el realizar análisis análisis de sensibilidad sensibilidad y use operador para tomar tomar la decisión operador SI de Excel Excel para decisión sobre parte del sobre construir construir o no en cada cada parte del problema). problema). 9.20

La Oficina Estados Unidos Unidos Oficina de Quejas Quejas de Estados considera considera un proyecto proyecto de expansión expansión de los canales de riego en un área desértica. desértica. Se escanales costo inicial pera que el costo inicial del proyecto proyecto sea de millones, con costos costos anuales anuales de man$1.5 millones, mantenimiento de $25 000. a) Si se planea tenimiento planea que ingreso agrícola agrícola sea de $175000 $175000 anuaanuael ingreso realice un análisis análisis B/C determinar les, realice B/C para para determinar

9.21

a) Desarrolle Desarrolle en una una hoja hoja de cálculo, cálculo, y b)

para calcular use lápiz y papel, para calcular la razón B/C para canal debe debe drapara el problema problema 9.20 si el canal garse cada cada 3 años, con un costo de $60 000 y existe pérdida asociada proyecto existe una pérdida asociada con el proyecto de $15 000 anuales. anuales. Comparación de alternativas alternativas Comparación

9.22

Aplique el análisis Aplique análisis B/C incremental incremental con una tasa de interés para determinar tasa interés de 8% anual para determinar cuál alternativa Utilice alternativa debe seleccionarse. seleccionarse. Utilice periodo de estudio un periodo estudio de 20 años y suponga suponga que los costos por daños ocurrirían costos por ocurrirían en el año 6 del periodo periodo de estudio. estudio. Alternativa Alternativa Alternativa Alternativa A B

Costo inicial, Costo inicial, $ Costos anuales Costos anuales de operación y operación mantenimiento, $/año mantenimiento, $/año Costos del daño daño potencial, potencial, $ Costos del

9.23

600000 50000 50000

800000 70000

950000

250000

rutas se encuentran Dos rutas encuentran bajo consideración consideración para la construcción nuevo tramo tramo para construcción de un nuevo carretera interestatal. larga de una una carretera interestatal. La ruta ruta larga mide 25 kilómetros kilómetros y tendría tendría un costo inimide costo inicial de $21 millones. millones. La ruta ruta corta través corta a través de las montañas montañas abarcaría kilómetros con abarcaría 10 kilómetros millones. Los costos un costo costo inicial inicial de $45 millones. costos de mantenimiento mantenimiento se estiman estiman en $40 $40 000 000 anuales ruta larga larga y de anuales en el caso caso de la la ruta $15 000 ruta corta. 000 anuales anuales en el caso caso de la ruta Además, se requerirá requerirá una una reparación mayor Además, reparación mayor repavimentación cada y repavimentación cada 10 años a un costo costo de 10% del costo costo inicial inicial de cada cada ruta. Sin importar la ruta ruta que se elija, elija, se espera espera que el importar volumen de tráfico tráfico sea de 400 400 000 vehícuvolumen 000 vehícugasto de operalos al año. Si se considera considera un gasto opera-

9

353

PROBLEMAS PROBLEMAS

ción por por vehículo vehículo de $0.35 $0.35 por por kilómetro kilómetro y ción estima que que el valor valor del del tiempo tiempo de viaje viaje se estima reducido por por la la ruta ruta corta corta es de $900 $900 000 000 reducido anuales, determine determine qué qué ruta ruta debería debería elegirse elegirse anuales, aplicando un un análisis análisis B/C B/C convencional. convencional. aplicando Suponga una una vida vida infinita infinita para para cada cada ruta, una una Suponga tasa de interés interés de 6% anual anual y el hecho hecho de que tasa construirá uno uno de los caminos. caminos. se construirá 9.24 Un ingeniero ingeniero municipal municipal y un director director de de9.24 sarrollo económico económico de Búfalo Búfalo evalúan evalúan dos sarrollo lugares para para la construcción construcción de una una arena arena lugares deportiva de usos múltiples. múltiples. En la zona zona del deportiva centro, la ciudad ciudad cuenta cuenta con suficiente suficiente tecentro, rreno para para la arena. arena. No obstante, obstante, el terreno terreno rreno para la construcción construcción de un estacionamiento estacionamiento para tendrá un costo costo de $1 millón. millón. La zona zona oeste oeste tendrá encuentra a 30 kilómetros kilómetros del centro centro de se encuentra la ciudad; ciudad; sin embargo, embargo, el terreno terreno será será donado por un constructor constructor que sabe que en este sitio la arena varias veces el arena incrementaría incrementaría varias valor del resto de sus propiedades. propiedades. El terrevalor no de la zona zona del centro centro tendrá tendrá costos costos de construcción adicionales de aproximadaconstrucción adicionales aproximadamente $10 millones, mente millones, como consecuencia consecuencia de las modificaciones modificaciones en el trazo de la infraesinfraestructura, tructura, el estacionamiento estacionamiento y las mejoras mejoras en el drenaje. por su ubicación ubicación cendrenaje. Aunque Aunque por tralizada, habrá mayor mayor concurrencia tralizada, habrá concurrencia a la mayoría de los eventos realizados aquí. Esto mayoría eventos realizados generará generará mayores mayores ingresos ingresos a los vendedovendedores y comerciantes comerciantes locales locales por $350 $350 000 anuales. Además, Además, el asistente asistente promedio promedio no tendría tendría que viajar viajar tan lejos, lo cual rendirá rendirá beneficios anuales beneficios anuales de $400 000. Se espera espera que los demás costos costos e ingresos ingresos sean los mismos mismos en cualquier cualquier sitio. Si la ciudad ciudad utiliza liza una tasa de descuento descuento de 8% anual, anual, ¿dónde ¿dónde debería debería construirse construirse la arena? arena? Debe elegirse elegirse uno de los dos sitios. 9.25

Un país en rápida expansión expansión económica económica contrató la evaluación evaluación de la posible posible construcconstrucción de un puerto puerto nuevo para contenedores, contenedores, a fin de ampliar el actual. La costa occidental es más profunda, profunda, por lo que el costo costo de dragado dragado sería más bajo que el de la oriental. oriental.

Asimismo, Asimismo, en la costa costa occidental occidental se requerequeriría riría dragar dragar sólo sólo cada cada 6 años, años, mientras mientras que que en la la del oriente oriente sería sería necesario necesario hacerlo hacerlo cada cada 4 años. años. El dragado, dragado, cuyo cuyo costo costo se espera espera aumente aumente 10% cada cada vez, no se llevaría llevaría a cabo cabo en el último último año de la vida vida comercial comercial del puerto. puerto. Se estima estima que que las pérdidas pérdidas varíen varíen entre entre el oeste oeste (disminución (disminución del ingreso ingreso por por pesca) pesca) y el este este (pérdidas (pérdidas en pesca pesca y hotehotelería). Las cuotas cuotas para para las embarcaciones embarcaciones por por cada cada 20 pies STD equivalentes equivalentes se espera espera que sean sean más altas en el sitio occidental occidental debido debido a la mayor mayor dificultad dificultad para para manejar manejar las naves naves ocasionada ocasionada por por la presencia presencia de corrientes corrientes oceánicas oceánicas en la zona zona y al mayor mayor costo costo de la mano mano de obra obra en esa esa región región del país. Todas las estimaciones estimaciones que aparecen aparecen a continuacontinuación se resumen excepto el resumen en $1000000, $1000000, excepto ingreso ingreso anual anual y la vida. vida. Use un análisis análisis elaborado en hoja cálculo y una tasa de elaborado hoja de cálculo descuento de 4% anual anual para descuento para determinar determinar si debe construirse alguno alguno de los puertos. debe construirse puertos. No imprescindible que que el país construya es imprescindible país construya alguno de los puertos, opera alguno puertos, toda vez que ya opera uno con éxito.

Costo Costo inicial, inicial, $ Año Año O O Año 1 Año Costo de dragar, dragar, Costo $, Año Año O O M&O M&O anual, anual, $/año $/año Costo Costo del dragado dragado recurrente, $ recurrente, Pérdidas Pérdidas anuales, anuales, $/año $/año Cuotas anuales: anuales: Cuotas número de número embarcaciones embarcaciones de 20 pies pies STD STD a $/contenedor $/contenedor Vida comercial, comercial, Vida años años

Sitio en costa la costa occidental occidental

Sitio en costa la costa oriental oriental

21 O O 5

8 8 12

1.5 1.5 cada 6 años años 2 cada con un 10% 10% de con incremento en incremento cada ocasión ocasión cada 4

0.8 0.8 cada 4 años años 1.2 cada con un 10% 10% de con incremento en incremento cada ocasión ocasión cada 7

millones/año 5 millones/año $2.50 a $2.50 cada uno uno cada

millones/año 8 millones/año $2.50 a $2.50 cada uno uno cada

20

12

354

9.26

9.27

CAPÍTULO

9

Análisis beneficio/costo

y economía del sector público

Una empresa privada de servicios públicos evalúa dos programas de descuento para el ahorro del agua. El programa 1, que se espera que tenga un costo promedio de $60 por vivienda, incluiría un descuento del 75% de los costos de compra e instalación de un excusado de muy bajo flujo. Se planea que con este programa se consiga una reducción de 5% en el consumo general de agua por vivienda durante un periodo de evaluación de 5 años. Esto beneficiaría a la ciudadanía con hasta $1.25 por vivienda al mes. El programa dos incluiría el reemplazo del césped con un material sintético, que se espera que tenga un costo de $500 por vivienda, aunque contribuiría a la reducción del costo estimado de agua en $8 por vivienda mensualmente (en promedio). Si la tasa de descuento es de 0.5%, ¿qué programa debería adoptar esta empresa, si acaso lo hace? Aplique el método B/C.

9.28

Con objeto de proveer energía a un sitio remoto de investigación espacial, se dispone de alternativas solar y convencional. Los costos asociados con cada una de ellas se muestran a continuación. Use el método B/C para determinar cuál debe seleccionarse, con una tasa de descuento de 0.75% mensual, durante un periodo de estudio de 6 años.

9.29

Convencional

Solar

2000000 50000 O

4500000 10000 150000

Costo inicial, $ Costo de M&O, $/mes Valor de rescate, $

Costo inicial, $ Costo, $/año Beneficios, $/año Pérdidas, $/año

El Servicio Forestal de California evalúa dos ubicaciones para un nuevo parque estatal. La ubicación E requeriría una inversión de $3 millones y $50 000 anuales en mantenimiento. La ubicación W requeriría $7 millones para construir el parque, aunque el Servicio Forestal recibirá $25 000 adicionales cada año, por cuotas de uso del parque. El costo de operación de la ubicación W será de $65 000 anuales. El ingreso para los concesionarios del parque será de $500 000 anuales en la ubicación E y de $700 000 anuales en W. Los contrabeneficios relacionados con cada ubicación son de $30 000 anuales para la ubicación E y de $40 000 anuales para la ubicación W. Aplique a) el método B/C y b) el método B/C modificado para determinar qué ubicación, si es que se elige una, debe elegirse, con una tasa de interés de 12% anual. Suponga que indefinidamente se dará mantenimiento al parque.

Ingeniera Judy

Ingeniera Chen

Opción 1 Opción 2

Opción 1 Opción 2

Opción 1 Opción 2

90000 4000 29000 1500

75000 3800 30000 1000

J I

Tres ingenieros elaboraron las estimaciones que se muestran enseguida para dos métodos opcionales con los que se podría implantar tecnología nueva para construcción en un sitio de urbanización pública. Puede seleccionarse cualquiera de las dos opciones o el método actual. Prepare una hoja de cálculo para hacer análisis de sensibilidad B/C y determine si se elige la opción 1, la 2 o la de no hacer nada, por cada ingeniero. Para todos los análisis utilice una vida útil de 5 años y una tasa de descuento de 10% anual.

Ingeniero Bob

50000 3000 20000 500

(

90000 3000 35000 O

60000 6000 30000 5000

70000 3000 35000 1000

(

(

(

T 355

PROBLEMAS

9.33

Alternativas múltiples 9.30

A fin de controlar ligeramente las fumarolas de productos químicos utilizados en la irrigación, emitidos al entorno por una máquina mezcladora, puede usarse alguna de cuatro técnicas nuevas o continuar con el método actual. Los costos y beneficios estimados (en forma de disminuciones del costo por atención a la salud de los empleados) para cada método se presentan a continuación. Suponga que todos los métodos tienen una vida de 10 años, con un valor de rescate igual a 0, y determine cuál de ellos debe elegirse según el método B/C con una TMAR de 15% anual. Técnica 1

Costo instalado, $ AOC, $/año Beneficios, $/año

9.31

9.32

2

3

Utilice una hoja de cálculo para realizar el análisis B/C para las técnicas descritas en el problema 9.30, pero suponga que se trata de proyectos independientes. Los beneficios serían acumulativos si se usara más de una técnica, además del método actual. La Water Service Authority de Dubai estudia cuatro calibres de tubería para una línea de conducción nueva. Los costos por kilómetro ($/km) para cada calibre se dan en la tabla siguiente. Si se supone que todas las tuberías durarán 15 años y la TMAR es de 8% anual, ¿qué calibre debe seleccionarse, con base en el análisis B/C? Se considera al costo de instalación como parte del costo inicial? Calibre de tubería, milímetros

Costo del equipamiento inicial, $/km Costo de instalación, $/km Costo por usar, $/km por año

160

200

Sitio A

Sitio B

Sitio C

50 3 20

90 4 29

200 6 61

Costo inicial, $ Costo anual, $/año Beneficios anuales, $/año Contrabeneficios anuales, $/año

0.5

1.5

2.1

4

15000 19000 25000 33000 10 000 12 000 9 000 11000 15000 20000 19000 22000

140

El gobierno federal considera tres sitios para extracción de minerales en la Reserva Nacional de Vida Silvestre. Los flujos de efectivo (en millones) relacionados con cada sitio se muestran en seguida. Aplique el método B/C para determinar el lugar óptimo, si lo hay, si el periodo de extracción se limita a 5 años y la tasa de interés es de 10% anual.

240

9180 10510 13 180 15850 600

800

1400

1500

6000

5800

5200

4900

9.34

En un país asiático, durante los últimos meses se han propuesto siete diseños diferentes de puentes de cuota y se han elaborado estimaciones para conectar con el continente un complejo hotelero ubicado en una isla.

Ubicación A B C D E F G

Costo de construcción, $ en millones 14

Excedente de las cuotas anuales sobre los gastos, $100 000

9

4.0 6.1 10.8 8.0

12

7.5

6

3.9 9.3

8

22

18

Se ha constituido una sociedad públicaprivada y el banco nacional financiaría con una tasa de 4% anual. Se espera que cada puente tenga una vida útil muy larga. Use el análisis B/C para responder las preguntas que siguen. Resuelva el problema con una hoja de cálculo o con lápiz y papel. a) Si debe seleccionarse un puente, determine cuál es el mejor económicamente. b) Un banco internacional ha ofrecido financiamiento para un máximo de dos

356 356

CAPÍTULO CAPÍTULO 9

Análisis beneficio/costo y economía público Análisis beneficio/costo economía del del sector sector público

puentes adicionales, puentes adicionales, ya que se estima estima que el tránsito y el comercio entre la isla y el continente continente se incrementaría incrementaría en forma forma significativa. significativa. Por economía, economía, determine determine cuáles cuáles son los tres mejores mejores diseños diseños si no existiera presupuesexistiera restricción restricción en el presupuesanálisis. to para para los fines de este análisis. 9.35

alternativas identificadas identificadas como como X, Y Y Y Tres alternativas Z se evaluaron método B/C. evaluaron con el método B/C. La analista Joyce calculó calculó los valores valores B/C B/C en 0.92, 0.92, lista Joyce Y 1.29. Las alternativas alternativas se listan listan en 1.34 Y equivalentes totales creciencrecienorden de costos equivalentes tes. Ella necesidad de Ella no está está segura segura de la necesidad un análisis análisis incremental. incremen tal.

¿¿Qué Qué piensa piensa usted? usted? Si no se requiere requiere un análisis análisis incremental, incremental, ¿por ¿por qué es así?; si se requiere, requiere, ¿qué ¿qué alternativas alternativas deben deben compararse una perspectiva perspectiva incompararse desde desde una cremental? cremental? b) ¿Para proyectos nunca ¿Para qué tipo de proyectos nunca es necesario necesario un análisis análisis incremental? incremental? Si X, Y YY Z representan representan este tipo de proyecproyecpara los tos, ¿qué alternativas alternativas se eligen eligen para valores B/C calculados? calculados? valores B/C

a)

9.36

PRt

9.3~

Las cuatro cuatro alternativas alternativas mutuamente mutuamente excluexcluyentes que aparecen yentes aparecen abajo abajo se comparan comparan con el método método B/C. B/C. ¿Qué ¿Qué alternativa, alternativa, si la hay, debe elegirse? elegirse?

9.3~

Alternativa Alternativa J

K L L M M

B/C incremental B/C incremental cuando cuando se se le compara compara con con la alternativa alternativa

Inversión Inversión inicial inicial (millones (millones de de $)

Razón B/C Razón B/C

J

K

lL

20 20 25 33 45

1.10 0.96 0.96 1.22 1.22 0.89 0.89

0.40 0.40 1.42 1.42 0.72

2.14 0.80 0.80

0.08 0.08

ciudad de Ocean Ocean View (California) (California) eva9.37 La ciudad lúa varias propuestas propuestas relacionadas relacionadas con el desecho de llantas llantas usadas. secho usadas. Todas las propuespropuestas incluyen incluyen el proceso proceso de trituración, trituración, pero cargos del servicio servicio y el manejo los cargos manejo de los desperdicios de la llanta llanta difieren difieren en cada cada desperdicios

Alternativa Alternativa P Q R S

Inversión inicial Inversión (millones de de $) (millones 10 40 40 50 80

M

plan. Se dio inicio inicio a un análisis análisis B/C B/C increincremental, pero el ingeniero llevaba a cabo mental, ingeniero que llevaba estudio se fue recientemente. recientemente. a) Llene Llene los el estudio espacios en la parte tabla corresponcorresponespacios parte de la tabla diente al B/C B/C incremental. incremental. b) b) ¿Qué ¿Qué alternaalternadiente tiva debería debería elegirse? elegirse?

9.41

B/C incremental B/C incremental cuando se se le compara compara cuando con la alternativa alternativa con Razón B/C Razón B/C

p p

1.1 1.1 2.4 2.4 1.4 1.4

2.83 2.83

1.5 1.5

Q Q

2.83 2.83

R R

s

9.4

.....,.....

357

PROBLEMAS PROBLEMAS DE DE REPASO REPASO PI FI

PROBLEMAS PROBLEMAS DE REPASO FI

9.38

Cuando Cuando se lleva lleva a cabo un análisis análisis B/C: Los beneficios beneficios y los costos costos deben deben expresarse presarse en términos términos de sus valores valores presentes. sentes. b) Los beneficios deben exbeneficios y los costos costos deben presarse presarse en términos términos de sus valores valores anuales. anuales. e) Los beneficios beneficios y los costos costos deben deben expresarse presarse en términos términos de sus valores valores futuros. d) Los beneficios beneficios y los costos costos pueden pueden expresarse en términos términos de VP, VA o VF. presarse

a) 0.92 0.92 b) 0.96 e) 1.23 d) 2.00

a)

9.39

En una razón razón B/C convencional, convencional, Los contrabeneficios contrabeneficios y los costos costos de mantenimiento mantenimiento y operación operación se restan restan de los beneficios. beneficios. b) Los contrabeneficios contrabeneficios se restan de los beneficios neficios y los costos costos de mantenimiento mantenimiento y operación operación se suman suman a los costos. costos. e) Los contrabeneficios contrabeneficios y los costos costos de mantenimiento mantenimiento y operación operación se suman suman a los costos. costos. d) Los contrabeneficios contrabeneficios se suman a los costos y los costos costos de mantenimiento mantenimiento y operación operación se restan restan de los beneficios. beneficios.

a)

9.40

9.41

análisis modificado modificado B/C: En el análisis a) Las pérdidas pérdidas y costos costos de M&O se restan restan de los beneficios. beneficios. b) Las pérdidas pérdidas se restan restan de los beneficios beneficios y los costos costos de M&O M&O se suman suman a los costos. costos. e) Las pérdidas pérdidas y costos de M&O M&O se suman a los costos. costos. d) Las pérdidas pérdidas se suman suman a los costos costos y los costos costos de M&O M&O se restan restan de los beneficios. beneficios. Cierta alternativa alternativa tiene los siguientes siguientes flujos Cierta de efectivo: efectivo: beneficios beneficios = = $60 000 anuales, anuales, pérdidas = pérdidas = $17 000 por por año, y costos costos = = $35 000 anuales. anuales. La razón razón B/C es lo más cercano cercano a:

evaluación de tres alternativas alternativas mutuamutua9.42 En la evaluación mente mente excluyentes excluyente s por medio del método método B/C, las alternativas alternativas se ordenaron ordenaron en términos del costo costo total equivalente equivalente creciente creciente (A, By By C, respectivamente), respectivamente), y se obtuvieron obtuvieron los siguientes siguientes resultados resultados para para las razones razones B/C: 1.1,0.9 Y 1.3. Sobre Sobre la base base de estos resulresul1.1,0.9 tados, usted usted debería: debería: Elegir A. a) Elegir b) Elegir Elegir C. Elegir Ay A y C. e) Elegir d) Comparar Comparar A y C desde un punto punto de visincremental. ta incremental.

9.43

Se evalúan evalúan cuatro proyectos proyectos independientes, independientes, con el empleo empleo de razones razones B/C, las cuales cuales son las siguientes: siguientes:

Proyecto Proyecto

A

Razón Razón B/C B/C

0.71

B C B C D D 1.29

1.07

2.03

Con base base en estos resultados, resultados, se debe Rechazar los proyectos proyectos B y C. a) Rechazar b) Seleccionar Seleccionar únicamente únicamente el proyecto proyecto D. e) Rechazar Rechazar solamente solamente el proyecto proyecto A d) Comparar Comparar los proyectos proyectos B, C y D, en

forma forma incremental incremental

9.44

Si dos alternativas alternativas mutuamente mutuamente excluyenexcluyentienen razones razones B/C de 1.5 y 1.4 para para las tes tienen alternativas alternativas de costo inicial menor menor y de costo inicial inicial mayor, respectivamente: respectivamente: a) La razón razón B/C sobre el incremento incremento entre mayor que 1.4. ellas es mayor b) La razón razón B/C sobre el incremento incremento entre encuentra entre entre 1.4 y 1.5 1.5.. ellas se encuentra e) La razón razón B/C sobre el incremento incremento entre menor que 1.4. ellas es menor alternativa de menor menor costo costo es la d) La alternativa mejor.

358

CAPÍTULO CAPÍTULO 9

Análisis beneficio/costo beneficio/costo y economía del sector público sector público Análisis economía del

Adei para hah:

EJERCICIO AMPLIADO EJERCICIO AMPLIADO

COSTOS COSTOS PARA PARA PROPORCIONAR PROPORCIONAR UN UN SERVICIO SERVICIO DE DE CAMIÓN CAMIÓN DE DE BOMBEROS BOMBEROS CONTRA CONTRA INCENDIOS INCENDIOS Durante muchos muchos años, años, la Ciudad Ciudad de Medford Medford ha pagado ciudad vecina vecina Durante pagado a una una ciudad (Brewster) por camión de bomberos cuando lo ha requerido. cargos (Brewster) por el uso de su camión bomberos cuando requerido. Los cargos $1 000 por evento, evento, cuando cuando el camión camión de bomberos de los últimos últimos años han sido de $1000 bomberos envía a un sitio de Medford, Medford, y de $3000 $3000 cada cada vez que el camión camión se activa. activa. sólo se envía No se ha cobrado cobrado ninguna ninguna comisión comisión anual. Con la aprobación aprobación del jefe servicios jefe de servicios municipales de Brewster, Brewster, el nuevo nuevo jefe contratado presentó costo municipales jefe de bomberos bomberos contratado presentó un costo considerablemente considerablemente mayor mayor al jefe jefe de bomberos bomberos de Medford Medford por el uso del camión camión de bomberos: bomberos:

Comisión Comisión fija anual Comisión de envío envío Comisión Comisión Comisión de activación activación

comisiones a 5 años pagadas $30 000 con comisiones pagadas por adelantado (ahora) (ahora) adelantado $3 000 por evento evento evento $8 000 por evento

Deb( contr

buen deSCl

Preg Medford ha diseñado diseñado una alternativa alternativa para comprar un caEl jefe jefe de bomberos bomberos de Medford para comprar mión mión de bomberos bomberos con las siguientes siguientes estimaciones estimaciones de costos costos para para el camión camión y la ampliación de la estación bomberos para para guardarlo: ampliación estación de bomberos guardarlo: Camión: Camión: Costo Costo inicial inicial Vida Costo por envío Costo por envío Costo Costo por activación activación Construcción: Construcción: Costo Costo inicial inicial Vida

Utih

1. 2.

$850000 $850000 15 años $2 000 por evento evento $7 000 por evento evento $500000 $500000 50 años

'

3.

también recopiló recopiló datos de un estudio estudio concluido concluido el año pasado actualiEl jefe jefe también pasado y los actualiestudio incluía incluía el cálculo cálculo de las reducciones seguro y de las zó. El estudio reducciones de la prima prima de seguro pérdidas ciudadanía experimentó experimentó teniendo disposición un pérdidas de propiedad propiedad que la ciudadanía teniendo a su disposición camión de bomberos. ahorros pasados cálculos actuales, actuales, si Medford Medford tucamión bomberos. Los ahorros pasados y los cálculos viera camión para siguientes: viera su propio propio camión para responder responder con mayor mayor rapidez, rapidez, son los siguientes:

(

4. 1

1 ~ (

l Promedio en Promedio pasado el pasado Rebaja en la prima seguro, $/año $/año Rebaja prima de seguro, Disminución pérdida de propiedad, Disminución de la pérdida propiedad, $/año $/año

100000 100000 300000 300000

Cálculo si se Cálculo posee el camión camión posee

200000 200000 400000 400000

1 1

EJERCICIO AMPLIADO AMPLIADO EJERCICIO

Además, el jefe jefe de bomberos bomberos de Medford Medford obtuvo número promedio promedio de eventos Además, obtuvo el número eventos para los 3 últimos últimos años yy determinó determinó el futuro camión de bomberos. bomberos. Cree Cree que para futuro uso del camión habido cierta cierta renuencia llamar al camión camión desde desde Brewster Brewster en el pasado. pasado. ha habido renuencia a llamar

Número Número de envíos envíos por por año año Número Número de de activaciones activaciones por por año año

Promedio en Promedio el pasado pasado

Cálculo si se posee el camión camión posee

10 3

15 5

Debe esquema de costo o comprarse Debe aceptarse aceptarse el nuevo nuevo esquema comprarse un camión. camión. La opción opción de no contar con servicio servicio de camión camión de bomberos aceptable. Medford contar bomberos no es aceptable. Medford tiene tiene una una buena buena puntuación puntuación por por sus bonos; bonos; para para todos los propósitos propósitos se utiliza utiliza una una tasa de descuento de 6% anual. descuento

Preguntas Preguntas Utilice siguiente: Utilice una una hoja hoja de cálculo cálculo para para llevar llevar a cabo cabo lo siguiente: evaluación B/C incremental 1. Efectúe Efectúe una una evaluación incremental para para determinar determinar si Medford Medford debería debería comprar comprar un camión camión de bomberos. bomberos. 2. Varios de los nuevos ciudad están están "furiosos" "furiosos" por nuevos miembros miembros del consejo consejo de la ciudad por la nueva comisión anual y el esquema nueva comisión esquema de costos. costos. Sin embargo, embargo, no desean desean ampliar ampliar la capacidad estación de bomberos capacidad de d~ la estación bomberos o poseer poseer un camión camión de bomberos bomberos que apenas apenas se utilizará utilizará un promedio promedio de 20 veces veces al año. año. Ellos Ellos creen creen que se puede puede convencer convencer a Brewster Brewster para para que reduzca reduzca o elimine elimine la comisión comisión anual anual de $30 000. ¿Cuánto ¿Cuánto debe reducirse reducirse la comisión comisión anual para para que se rechace rechace la alternativa alternativa de la compra compra del camión camión de bomberos? bomberos? 3. Otro miembro miembro del consejo consejo está está dispuesto dispuesto a pagar pagar la comisión comisión anual, aunque aunque desea desea saber saber cuánto cuánto puede puede cambiar cambiar el costo costo de $500 000 de la construcción construcción con la finalidad finalidad de que las alternativas alternativas sean igualmente igualmente atractivas. atractivas. Determine Determine este costo costo inicial inicial para para la construcción. construcción. 4. Finalmente, Finalmente, una propuesta propuesta de acuerdo acuerdo mutuo mutuo ofrecida ofrecida por por el alcalde alcalde de Medford Medford podría podría ser aceptable aceptable a Brewster. Brewster. Reduzca Reduzca la comisión comisión anual anual un 50% y los cargos por por evento evento al mismo mismo monto monto que el jefe jefe de bomberos bomberos de Medford Medford calcula calcula que costará ajuste (si parece costará poseer poseer el camión. camión. Medford Medford posiblemente posiblemente ajuste parece razonarazonable) la suma suma de reducción prima de seguro seguro y los cálculos reducción de la prima cálculos de reducción reducción por por pérdidas pérdidas de propiedad, propiedad, para para hacer hacer el acuerdo acuerdo con Brewster Brewster más atractivo atractivo que el hecho suma (para hecho de poseer poseer el camión. camión. Determine Determine esta esta suma (para los cálculos cálculos de la rebaja rebaja de la prima ¿Parece esta suma suma adecuada adecuada respérdidas de propiedad). propiedad). ¿Parece prima y de las pérdidas pecto anteriores? pecto de los cálculos cálculos anteriores?

359

360

CAPÍTULO

9

Análisis beneficio/costo

y economía del sector público

ESTUDIO DE CASO

n

f,

ALUMBRADO DE CARRETERAS

a

Introducción que un número des-

de accidente se valúa en $4 500. La forma ideal de determinar si la iluminación reduce los accidentes de trá-

proporcionado de accidentes de tráfico en carretera ocurren durante la noche. Existen algunas posibles explicaciones a este fenómeno, una de las cuales podría

fico es a través de estudios antes y después en un tramo de carretera. Sin embargo, esta clase de información no se encuentra disponible fácilmente, por lo que es

ser la escasa visibilidad. En un esfuerzo por determinar si el alumbrado en las carreteras brindaría beneficios económicos al reducir los accidentes nocturnos, se recopilaron datos referentes a las tasas de frecuencia de accidentes en tramos de ciertas carreteras con alumbrado y sin él. El caso que nos ocupa constituye un análisis de parte de esos datos.

necesario emplear otros métodos. Uno de ellos compara las tasas de accidentes de noche con los que ocurren durante el día en carreteras iluminadas y no iluminadas. Si las luces son benéficas, el índice de accidentes nocturnos con respecto a los diurnos será inferior en el tramo iluminado que en el tramo no iluminado. Si existe una diferencia, la menor tasa de accidentes puede traducirse en beneficios comparables con el costo de la iluminación para determinar su viabilidad económica.

Ciertos estudios han demostrado

Antecedentes

El siguiente análisis aplica esta técnica. La Administración Federal de Carreteras (AFC) asigna valores a los accidentes dependiendo de la gravedad del choque. Existen categorías de accidentes, la más

P

d d

n

e e

p

n

E (3

Análisis económico

severa de las cuales es la mortal. El costo de un accidente mortal se calcula en $2.8 millones. El tipo más común de accidente no es mortal ni deja lesionados, y sólo implica daños a la propiedad. El costo de este tipo

A continuación aparecen los resultados de un estudio específico realizado durante un periodo de 5 años. Para ilustrarlo, en este ejemplo se tomará en cuenta exclusivamente la categoría de daños a la propiedad.

E

al

Tasas de accidentes en carreteras

iluminadas y no iluminadas.

No iluminada

al

Iluminada

Tipo de accidente

Día

Noche

Día

Mortal Incapacitante Evidente Posible Daños a la propiedad

3 10 58 90 379

5 6 20 35 199

4 28 207 384 2069

Totales

540

265

2697

Noche 7 22 118 161 839 1147

Fuente: Michael Griffin, "Comparison of the Safety of Lighting Options on Urban Freeways", Public Roads, 58, otoño de 1994, pp. 8-15.

La razón entre los accidentes nocturnos y los diurnos, los cuales incluyen daños a la propiedad en tramos de carreteras no iluminadas e iluminadas, es de

Para cuantificar el beneficio, se aplicará la razón de la tasa de accidentes del tramo no iluminado sobre la tasa del tramo iluminado. Esto arrojará el número de acci-

199/379 = 0.525 Y 839/2 069 = 0.406, respectivamente. Tales resultados indican que la iluminación fue benéfica.

dentes que se evitaron. Por lo tanto, habrían ocurrido (2069)(0.525) = 1 086 accidentes en lugar de 839 si

-

ESTUDIO DE CASO

no hubiera existido iluminación iluminación en la carretera. La diferencia es de 247 accidentes. 500 por accidentes. A un costo de $4 $4500 accidente, esto resulta en un beneficio neto de: B = (247)($4 500) = $1 $1 111 111 500

determinar el costo de la iluminación, iluminación, se suponPara determinar drá que los postes de luz son postes centrales separadistancia de 67 metros entre sí con dos lámpados una distancia ras cada uno, que las lámparas son de 400 watts y que el costo de instalación es de $3 500 por poste. Tomando en cuenta el hecho de que esta información se reunió para 87.8 kilómetros (54.5 millas) de carretera ilumiinstalación de la iluminación iluminación es: nada, el costo de instalación 500( 87.8 ) Costo de instalación = $3 500( 0.067 500(1310.4) = 3 500(1310.4) = $4 586 400 El costo anual de la energía para 1 310 postes es Costo anual de la energía 1310 postes(2 lámparas/poste)(O.4 kilowattl = 1310 lámpara) x (12 horas/día)(365 días/año) ($0.08/kilowatt-hora) x ($0.08/kilowatt-hora) = $367 219 anuales información se recabó durante un periodo de 5 Esta información años. Por lo tanto, el costo anualizado (C) para i = 6% anual es: 400(A/P,6%,5) Costo anual total = $4 586 400(A/P,6%,5) + 367 219 = $1456030 $1 456030 =

361

La razón B/C es: $1 111500 111500 = 0.76 B/C = $1 $1456030 $1456030 Puesto que B/C < 1, justifica exclu1, el alumbrado no se justifica sivamente sobre la base de los daños a la propiedad. Con el objetivo de tomar una determinación final sobre la viabilidad económica del alumbrado es obvio que considerarse los beneficios beneficios asociados con tendrían que considerarse accidentes. las demás categorías de accidentes.

Ejercicios del estudio estudio de caso caso Ejercicios 1. ¿Cuál sería la razón B/C si los postes de luz se endistancia antes contraran separados el doble de la distancia indicada? 2. ¿Cuál es la razón de los accidentes mortales nocturnos con respecto a los diurnos? instalación 3. ¿Cuál sería la razón B/C si el costo de instalación fuera de sólo $2 500 por poste? evitarían en el tramo no ilu4. ¿Cuántos accidentes se evitarían estuviera iluminada? minado de la carretera si ésta estuviera categoría de daños a la propieConsidere sólo la categoría dad. Utilizando exclusivamente categoría de daños a 5. Utilizando exclusivamente la categoría la propiedad, ¿cuál debería ser la razón de los accidentes nocturnos con la carretera iluminada con respecto a los diurnos, con la finalidad de justificar justificar económicamente el alumbrado? económicamente

·

-

.

--

---

--

-----------------------

10 o o ~! \

«« u u

Toma de de decisiones: método, método, TMAR TMAR y atributos atributos múltiples múltiples Este Este capítulo capítulo amplía las las posibilidades posibilidades de un un estudio estudio de ingeniería económica. ya no se fundamentales señalados Aquí ya se especifican algunos de los elementos elementos fundamentales en capítulos anteriores. Como resultado, se se omiten omiten muchos de los aspectos del libro que eran evidentes evidentes en capítulos anteriores; así, así, esto nos permite permite abordar las las situaciones reales reales más más complejas complejas que se se presentan en la la práctica profeprofesional y yen en la la toma de decisiones. En royecto o comparar En los capítulos previos, el método método para para evaluar un un p proyecto comparar alternativas se contexto mismo del se definía, o se se hacía hacía evidente, evidente, a partir partir del contexto problema ier método problema.. Además, cuando se se aplicaba cualqu cualquier método se se daba por por conocida la la TMAR. Finalmente, sólo una una dimensión dimensión o atributo atributo -el -el económicoeconómico- consjuzga r la viabilidad económica tituía la la base para juzgar la viabilidad económica de un proyecto, proyecto, o la la base para ítulo se para elegir elegir entre dos o más más alternativas. alternativas. En En este cap capítulo se analiza analiza la la determideterminación de los tres parámetros: parámetros: método método de evaluación, TMAR y atributos. atributos. Se Se desarrollan y ejemplifican eterminar cada ejemplifican las las directrices directrices y las las técnicas para para d determinar uno de ellos. El El estudio estudio de caso caso analiza analiza la la mejor mejor forma de obtener obtener un un equilibrio equilibrio entre el financiamiento a través de deuda y de capital propio, financiamiento propio, utilizando utilizando un análisis análisis basado en la la TMAR.

e

-

-

-

-

-

M lIIi

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE APRENDIZAJE OBJETIVOS Objetivo general: general: elegir elegir un método método y una TMAR TMAR adecuados adecuados para comparar comparar alternativas alternativas desde desde un Objetivo punto de vista económico, económico, y utilizando utilizando atributos atributos múltiples. múltiples. punto

lector a: a: Este capítulo Este capítu lo ayudará al lector Elección de de un método método Elección

1. Elegir un método método adecuado adecuado para comparar comparar alternativas alternativas 1. mutuamente excluyentes. excluyentes. mutuamente

Costo de capital capital y TMAR TMAR Costo de

Describir el costo del capital y su su relación con la la TMAR, 2. Describir considerando las las razones razones de variación de la la TMAR. considerando

--~--CPPC CPPC

II

deuda. 4. Estimar el costo del capital de deuda.

Costo del del capital capital de de deuda deuda Costo

costo del capital propio propio y explicar explicar cómo se se compara 5. Calcular el costo CPPC y la TMAR TMAR.. éste con el CPPC

Costo del del capital capital propio propio Costo

----------.,j II Mezclas Mezclas O-C altas altas

las empresas con las las mezclas 6. Explicar la relación del riesgo de las deuda-capital propio propio. . deuda-capital 7.. Identificar Identificar y desarrollar desarrollar factores factores de ponderación ponderación para los 7 atributos múltiples múltiples utilizados utilizados en la la elección elección de alternativas. alternativas. atributos

Atributos Atributos múltiples múltiples

Método Método de de atributos atributos ponderados ponderados

Entender la mezcla deuda-capital deuda-capital propio propio y ca calcular 3. Entender lcular el costo promedio ponderado ponderado de capita capitall (CPPC). (CPPC). promedio

I

8. Aplicar Aplicar el método método de atributos atributos ponderados la toma toma de 8. ponderados para la decisiones les. decisiones de atributos atributos múltip múltiples.

CAPÍTULO 10 Toma de decisiones: método, TMAR y atributos múltiples

364

10.1

COMPARACiÓN DE ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUYENTES CON DIFERENTES MÉTODOS DE EVALUACiÓN

En los cinco capítulos anteriores, se analizaron diferentes técnicas de evaluación equivalentes. Cualquier método (VP, VA, VF, TR o B/C) sirve para elegir una alternativa entre varias y obtener la misma respuesta correcta. Sólo se requiere un método para llevar a cabo el análisis de ingeniería económica, ya que cualquier método aplicado correctamente permite elegir la misma alternativa. Además, disponemos de información diversa sobre una alternativa con cada diferente método. La elección de un método y su aplicación correcta llega a resultar confusa. La tabla 10.1 ofrece un método de evaluación recomendable para diferentes situaciones, en caso de que éste no sea especificado en el salón de clases o en la práctica profesional. Los criterios fundamentales para elegir un método son la rapidez y facilidad de llevar a cabo el análisis. A continuación se interpretan las entradas de cada columna. /

Secc. 5.1 ./

t Ingreso o servicio

Periodo de evaluación: La mayoría de las alternativas del sector privado (ingresos y servicios) se comparan a lo largo de sus vidas estimadas iguales o diferentes, o durante un periodo específico. Los proyectos del sector público por lo general se evalúan utilizando la razón B/C y, por lo común tienen vidas largas que pueden considerarse infinitas para fines del cálculo económico.

TABLA

10.1 Método recomendado para comparar alternativas mutuamente . . excluyentes siempre Y.cuando efmétodo hO haya'sido 'preestablecido . ,~

3,

l'

''B'

"' ,,}

~

~

Periodo de evaluación

Tipo de alternativas

Método recomendado

Serie a evaluar

Vidas iguales de alternativas

Ingreso o servicio Sector público

VAoVP

Flujos de efectivo

B/C, basado en VAo VP VA

Flujos de efectivo incrementales Flujos de efectivo

B/C, basado en VA

Flujos de efectivo incrementales Flujos de efectivo actualizados Flujos de efectivo incrementales actualizados Flujos de efectivo

Vidas desiguales de alternativas

Periodo de estudio

Larga a infinita

Ingreso o servicio Sector público Ingreso o servicio Sector público

VAoVP

Ingreso o servicio Sector público

VAoVP

B/C, basado en VAoVP

B/C, basado en VA

Flujos de efectivo incrementales

pec los mé ció

::

SECCIÓN SECCIÓN 10.1

Comparación mutuamente excluyentes Comparación de alternativas alternativas mutuamente excluyentes

365

Tipo de alternativas: alternativas: Las alternativas privado tienen tienen estimaciones alternativas del sector sector privado estimaciones de flujos basadas en ingresos flujos de efectivo efectivo basadas ingresos (incluyen (incluyen ingresos ingresos y estimaciones estimaciones de costos) costos) o basadas en servicios (sólo incluyen estimaciones de basadas servicios (sólo incluyen estimaciones costos). costos) . Para Para alternativas de servicios, las alternativas servicios, se supone supone que la serie de flujo de efectivo efectivo de ingresos es igual igual para para todas todas las alternativas. ingresos alternativas. Método recomendado: Ya sea que un análisis mano o por por compuMétodo recomendado: análisis se lleve a cabo cabo a mano computadora, el método método recomendado recomendado en la tabla tadora, tabla 10.1 permitirá permitirá elegir elegir adecuadaadecuadamente una alternativa rápidamente como posible. mente alternativa de entre entre 2 o más, tan rápidamente como sea posible. Cualquier método se puede puede aplicar para obtener informaCualquier otro método aplicar en lo sucesivo sucesivo para obtener información adicional necesario, verificar verificar la elección. Por ejemplo, vidas adicional y, si es necesario, elección. Por ejemplo, si las vidas diferentes y se necesita aplicar primero son diferentes necesita la tasa de rendimiento, rendimiento, es mejor mejor aplicar primero el método TMAR y luego luego determinar determinar i* de la alternativa alternativa elegida, elegida, utilimétodo VA a la TMAR utilizando fórmula para donde i es la incógnita. incógnita. zando la misma misma fórmula para VA, donde Serie por por evaluar: para una alternativa evaluar: La serie serie estimada estimada de flujos flujos de efectivo efectivo para alternativa y la serie incremental entre 2 alternativas constituyen las únicas 2 opciones para incremental entre alternativas constituyen únicas opciones para la evaluación del valor anual o presente. El análisis mediante hoja de cálculo, evaluación valor anual presente. análisis mediante hoja cálculo, implica que se aplican aplican las funciones VPN o VP (para valor presente) presente) o la implica funciones VPN (para el valor función palabra actualizado actualizado se añade función PAGO (para (para el valor valor anual). La palabra añade como como recordatorio de que un análisis de periodo de estudio requiere que los cálculos recordatorio análisis periodo estudio requiere cálculos de flujos particular de los valores valores de salvamento mercado) flujos de efectivo efectivo (en particular salvamento y de mercado) se vuelvan vuelvan a examinar ya actualizar antes de que se lleve a cabo el análisis. examinar ya actualizar lleve análisis. método de evaluación, procedimiento esUna vez elegido elegido el método evaluación, debe seguirse seguirse un procedimiento pecífico. Estos procedimientos procedimientos fueron temas principales principales de los últimos últimos 5 capítupecífico. Estos fueron los temas capítuelementos importantes importantes del procedimiento cada tabla 10.2 resume resume los elementos procedimiento para para cada los. La tabla método: VP, VA, TR Y Y B/C. B/C. El VF se incluye como extensión extensión del VP. A continuacontinuaincluye como método: indicamos el significado significado de las entradas entradas de la tabla ción indicamos tabla 10.2. Relación de equivalencia: equivalencia: La ecuación ecuación fundamental fundamental para llevar a cabo cualquier Relación para llevar cabo cualquier análisis es una ecuación de VP o de VA. fórmula del costo costo capitalizado capitalizado análisis una ecuación VA. La fórmula ecuación de VP para (CC) es una una ecuación para una una vida a perpetuidad, perpetuidad, y la relación relación de VF probablemente determine a partir equivalente de VP. Además, probablemente se determine partir del valor valor equivalente Además, como se analizó analizó en el capítulo capítulo 6, VA es sencillamente sencillamente VP multiplicado como multiplicado por por el factor AIP correspondiente al MCM factor AIP correspondiente MCM de sus vidas. vidas. duración de una evaluaVidas de las alternativas alternativas yy periodo periodo para para el análisis: análisis: La duración una evaluasiempre será uno de los siguientes siguientes factores: factores: vidas iguales ción (el valor valor n) siempre iguales de alternativas, MCM diferentes, periodo estudio especificado, especificado, o las alternativas, MCM de vidas vidas diferentes, periodo de estudio infinito si las vidas son muy prolongadas. infinito prolongadas. análisis de VP siempre requiere alternativas. El análisis VP siempre requiere el MCM MCM de todas todas las alternativas. Los métodos TR y B/C incrementales requieren B/C incrementales requieren del MCM MCM de las dos métodos de TR alternativas comparadas. comparadas. alternativas El método análisis sobre sobre las respectivas método de VA permite permite un análisis respectivas vidas vidas de las alternativas. alternativas. La única excepción es para alternativas de vida diferendiferenúnica excepción para el método método de TR para para alternativas te utilizando efectivo incrementales. incrementales. Se debe debe utilizando una una relación relación VA parajlujos para flujos de efectivo

II /

Secc.6.1 Secc.6.1

I

t Cómo se relacionan Cómo relacionan VP, VAyVF VAyVF

/

366

10

CAPÍTULO

Toma de decisiones:

método, TMAR y atributos múltiples

utilizar el MCM de dos alternativas comparadas. Esto equivale a utilizar una relación VApara losflujos de efectivo reales sobre las vidas respectivas. Ambos enfoques determinan la tasa incremental de rendimiento Si". Series por evaluar: Se utiliza ya sea la serie de flujo de efectivo estimado o la serie incremental para calcular el valor de VP, el valor de VA y el valor i*, o bien, la razón B/C. TABLA 10.2

Método de evaluación

Características de un análisis económico de alternativas mutuamente excluyentes una vez determinado el método de evaluación

Relación de equivalencia

Vidas de las alternativas

Periodo de estudio para el análisis

Series por evaluar

Tasa de rendimiento; tasa de interés

Directriz de decisión: elección*

VP

Iguales

Vidas

Flujos de efectivo

TMAR

VP

Diferentes

MCM

Flujos de efectivo

TMAR

VP numéricamente mayor VPnuméricamente mayor

VP

Periodo de estudio

Periodo de estudio

TMAR

CC

De grande a infinito

Infinito

Flujos de efectivo actualizados Flujos de efectivo

Valor presente

''''''ft !

,I~I: \

Valor futuro

\1

VF

Lo mismo que para valor presente en vidas iguales, vidas diferentes y periodo de estudio Iguales o diferentes Periodo de estudio

VA Valor anual

Tasa de rendimiento

VA

TMAR

Periodo de estudio

Flujos de efectivo actualizados Flujos de efectivo

TMAR

Flujos de efectivo incrementales Flujos de efectivo incrementales Flujos de efectivo

Calcular !J.i*

Infinito

VPoVA

Igual

Vidas

VPoVA

Diferente

MCM del par

VA

Diferente

Vidas

VPoVA

Periodo de estudio

Periodo de estudio

VA VAoVP

*COSlO equivalente

Flujos de efectivo

De grande a infinito

mínimo

Igualo diferente Igual o diferente De grande a infinita

o ingreso equivalente

máximo.

MCM de pares Vidas Infinito

I

VF numéricamente mayor

Vidas

VA

VP Beneficio/costo

TMAR

VP numéricamente mayor CC numéricamente mayor

TMAR

VAnuméricamente mayor VAnuméricamente mayor VAnuméricamente mayor

Calcular !J.i*

Última!J.i* ~ TMAR Última !J.¡*~

Calcular !J.i*

TMAR Última !J.i* ~

Flujos de efectivo actualizados incrementales

Calcular !J.¡*

TMAR Última!J.i* ~

Flujos de efectivo incrernentales Flujos de efectivo incrementales Flujos de efectivo incrementales

Tasa de descuento Tasa de descuento Tasa de descuento

TMAR

Última /'J3/C ~ 1.0 Última /'J3/C ~ 1.0 Última /'J3/C ~ 1.0

1

E l(

b

SECCIÓN SECCIÓN 10.2 10.2

Tasa de rendimiento TMAR debe establecerse establecerse rendimiento (tasa de interés): interés): El valor valor de la TMAR para también es correcto correcto con la tasa tasa para completar completar el método método VP, VF o VA, VA, lo cual también de descuento público analizadas analizadas por por medio medio de descuento para para las alternativas alternativas del sector sector público la razón B/C. determinación de la tasa incremental incremental B/e. El método método de TR requiere requiere la determinación para dilema de tasas múltiples, múltiples, para elegir elegir una alternativa. alternativa. Aquí Aquí es donde donde surge el dilema si las pruebas necesariamente existe existe una una raíz real pruebas de los signos signos indican indican que no necesariamente única para una serie no convencional. convencional. única para Directriz alternativa se consigue consigue utilizando utilizando la Directriz de decisión: decisión: La elección elección de una alternativa directriz derecha. Siempre elegirse la directriz general general de la última última columna columna de la derecha. Siempre debe elegirse alternativa con el mayor mayor valor valor numérico numérico de Vp, Vp, VF o VA; VA; esto es correcto alternativa correcto en el ingresos y de servicios. métodos de flujo de caso de las alternativas alternativas de ingresos servicios. Los métodos efectivo elección de la alternativa alternativa del efectivo incremental incremental (TR y B/C) requieren requieren la elección mayor justificada, desde una una perspectiva perspectiva incremental, incremental, siempre mayor costo inicial inicial y justificada, siempre cuando ésta se justifique y cuando justifique frente a una alternativa alternativa justificada justificada por por sí misma. misma. Esto significa TMAR, o que la razón razón B/e B/C significa que la i* incremental incremen tal excede excede a la TMAR, incremental incremental es mayor mayor que 1.0.

EJEMPLO EJEMPLO

110.1 0.1

367 367

TMAR en en relación relación al costo costo del del capital capital TMAR

_o~-'

Lea haciendo caso caso omiso omiso del del métométoLea el enunciado enunciado del del problema problema de los los siguientes siguientes ejemplos, ejemplos, haciendo do de evaluación qué método método de de evaluación evaluación probableprobableevaluación utilizado utilizado en en el ejemplo. ejemplo. Determine Determine qué mente entre 2 o más más alternativas: alternativas: a) 8.6, mente sea sea el más más rápido rápido y fácil fácil de aplicar aplicar para para elegir elegir entre 6.5, e) 5.6, 5.6, á) el) 5.12. 5.12. b) 6.5, Solución Solución De métodos deberían deberían aplicarse aplicarse De acuerdo acuerdo con con el contenido contenido de la tabla tabla 10.1, 10.1, los los siguientes siguientes métodos primero. primero. ejemplo 8.6 se refiere refiere a cuatro alternativas de ingresos con El ejemplo cuatro alternativas de ingresos con vidas vidas iguales. iguales. Utilice Utilice VP a la la TMAR TMAR de 10%. 10%. (El método método de el valor valor VA o VP de TR TR incremental incremental se aplicó aplicó en en el el ejemplo.) ejemplo.) ejemplo 6.5 6.5 requiere requiere la elección elección entre entre dos dos alternativas sector público b) El ejemplo alternativas del del sector público con con vidas vidas diferentes, una una de las las cuales cuales es muy muy prolongada. prolongada. La La razón diferentes, razón B/C B/C de de los los valores valores VA es la mejor elección. elección. (Así (Así se resolvió resolvió el problema.) problema.) mejor Como el ejemplo ejemplo 5.6 implica implica dos dos alternativas alternativas de servicios, una e) Como de servicios, una de de las las cuales cuales tiene tiene una vida prolongada, prolongada, se puede puede utilizar utilizar ya sea sea VA o VP. una vida VP Puesto Puesto que que una una vida vida es larga, larga, costo capitalizado, capitalizado, como extensión del del método método VP, es mejor el costo como extensión mejor en en este este caso. caso. (Es (Es el método que se aplicó aplicó en el ejemplo.) ejemplo.) método que el) En En el ejemplo ejemplo 5.12 5.12 se encuentran encuentran presentes presentes vidas á) vidas considerablemente considerablemente diferentes diferentes para para dos alternativas de servicios. servicios. En En este este caso, caso, el el método la elección dos alternativas método VA es la elección adecuada. adecuada. (Se (Se utilizó el método método de VP VP sobre sobre el MCM.) MCM.) utilizó

a)

10.2 TMAR TMAR EN RELACiÓN RELACiÓN AL COSTO COSTO DEL CAPITAL CAPITAL 10.2 TMAR utilizado utilizado en la evaluación evaluación de alternativas El valor valor de la TMAR alternativas constituye constituye uno de parámetros más importantes importantes de un estudio. estudio. En el capítulo los parámetros capítulo 1, la TMAR TMAR se descridescrirespecto a los costos ponderados ponderados de deuda deuda y de capital sección bió con respecto capital propio. propio. Esta Esta sección

Tasas múltiples

Numéricamente mayor

368

CAPÍTULO CAPÍTULO 10

Fundamentos delaTMAR

Costo de oportunidad

Toma Toma de decisiones: decisiones: método, método, TMAR TMAR y atributos atributos múltiples múltiples

y las siguientes siguientes cuatro cuatro explican explican cómo cómo establecer establecer una TMAR bajo condiciones vauna TMAR bajo condiciones riables. riables. Para sentar las bases TMAR realista, inicialmente se calcula calcula por separaPara sentar bases de una TMAR realista, inicialmente por separacosto de cada cada tipo de financiamiento financiamiento de capital capital y, enseguida, enseguida, se pondera do el costo pondera la proporción entre fuentes fuentes de deuda deuda y de capital, capital, para calcular la tasa proporción entre para calcular tasa de interés interés propromedio medio pagada pagada por por el capital capital de inversión. inversión. Este porcentaje porcentaje recibe recibe el nombre nombre de costo de capital. salud financiefinanciecapital. Después Después se fija la TMAR TMAR con respecto respecto a éste. Además, Además, la salud ra de la empresa, empresa, los rendimientos esperados sobre sobre el capital rendimientos esperados capital invertido invertido y muchos muchos otros factores establece. Si no se establece factores se consideran consideran una vez que la TMAR TMAR se establece. establece ninguna, queda establecida establecida por estimaciones de flujos de ninguna, la TMAR TMAR de Jacto queda por las estimaciones efectivo neto del proyecto disponibilidad de los fondos fondos de capital. capital. Es decir, en efectivo proyecto y la disponibilidad realidad TMAR es el costo de oportunidad, cual es la i* del primer realidad la TMAR oportunidad, el cual primer proyecto proyecto rechazado debido a la no disponibilidad disponibilidad de fondos. rechazado debido Antes analizar el costo costo del capital, capital, repasemos fuentes principales Antes de analizar repasemos las dos fuentes principales de capital. capital.

representa el préstamo préstamo que se obtiene obtiene fuera El capital capital de deuda deuda representa fuera de la empresa, empresa, cuyo principal principal se reintegra reintegra a una una tasa tasa de interés interés establecida establecida de acuerdo acuerdo con un calendario incluye la obtención calendario específico. específico. El financiamiento financiamiento de la deuda deuda incluye obtención de un préstamo a través través de bonos, bonos, préstamos préstamos e hipotecas. hipotecas. El prestamista prestamista no participa participa préstamo rendimientos que resultan resultan de la utilización utilización de los fondos fondos de la deuda; deuda; de los rendimientos aunque existe existe el riesgo riesgo de que el prestatario prestatario no cubra cubra parte parte o el total total de los aunque obtenidos en préstamo. préstamo. El saldo pendiente pendiente del financiamiento financiamiento por por deudeufondos obtenidos indica en la sección pasivos del balance balance general general de la empresa. da se indica sección de pasivos empresa. patrimonial es el dinero dinero de la empresa compuesto por por los fondos El capital capital patrimonial empresa compuesto fondos de propietarios y las utilidades utilidades conservadas. conservadas. Los fondos propietarios, los propietarios fondos de los propietarios, además, se clasifican clasifican como como comunes comunes y productos productos de acciones acciones preferentes preferentes o además, capital de los propietarios propietarios para para una empresa empresa privada privada (sin emisión emisión de acciones). acciones). capital utilidades conservadas conservadas son fondos fondos retenidos retenidos anteriormente anteriormente en la empresa empresa Las utilidades para sección para la inversión inversión del capital. capital. El monto monto del capital capital propio propio se indica indica en la sección valores netos del balance balance general general de la empresa. empresa. de valores Para ilustrar ilustrar la relación relación que existe existe entre entre el costo costo del capital capital y la TMAR, TMAR, suponga Para suponga proyecto de un sistema computacional se financiará financiará completamente completamente con la que el proyecto sistema computacional emisión de bonos bonos por por $5000000 emisión $5000000 (100% del financiamiento financiamiento de la deuda), deuda), y consiconsidere que la tasa de dividendos bonos es 8%. Por lo tanto, tanto, el costo capital dividendos de los bonos costo del capital de deuda figura 1O.l. 10.1. Este 8% es el mínimo deuda es 8%, como como lo indica indica la figura mínimo para para la TMAR. TMAR. gerencia puede puede aumentar aumentar esta esta TMAR TMAR en incrementos incrementos que reflejen reflejen su deseo deseo de La gerencia obtener adicionales y su percepción ejemplo, la gerenobtener rendimientos rendimientos adicionales percepción del riesgo. riesgo. Por Por ejemplo, gerencia puede esta área. Supuede añadir añadir una una cantidad cantidad a todas todas las asignaciones asignaciones de capital capital en esta ponga cantidad es de 2%, que incrementa esperado a 10% ponga que esta cantidad incrementa el rendimiento rendimiento esperado (figura 10.1). Asimismo, sufi(figura Asimismo, si el riesgo riesgo relacionado relacionado con la inversión inversión se considera considera suficientemente adicional de cientemente importante importante para para garantizar garantizar la necesidad necesidad de un rendimiento rendimiento adicional 1%, la TMAR TMAR final es de 11 11%. enfoque recomendado El enfoque recomendado no se rige por por la lógica lógica anterior. En cambio, cambio, el costo costo del capital debería establecer establecer la TMAR. determina el capital (8% en este caso), debería TMAR. Luego, Luego, se determina valor i* a partir efectivo netos estimados. De acuerdo acuerdo con este partir de los flujos de efectivo netos estimados.

en

tOI

rie su si

tUl

D

La tOI

qu

pk

ac tal

rer

SECCIÓN SECCIÓN 10.2

TMAR TMAR establecIda establecida

Tt

11% 11 %

tt

TMAR en relación relación al costo costo del capital capital TMAR

Factor de riesgo Factor riesgo adicional adicional

1%

10% 10%

Figura Figura 10.1 Relación fundamental Relación fundamental entre el costo costo del del capital capital entre TMAR utilizada utilizada en en y la TMAR la la práctica. práctica.

Necesidad adicional Necesidad adicional de de un un rendimiento rendimiento esperado esperado

2%

lMAR1,% lMAR1

minima mín ima

8%

Costo Costo del del capital capital

enfoque, suponga suponga que se estima estima que el sistema sistema de computación computación genera genera rendimienenfoque, rendimien11%. %. Ahora Ahora se consideran consideran las necesidades factores de tos del 11 necesidades de rendimientos rendimientos y los factores riesgo adicionales adicionales para para determinar determinar si un 3% por encima de la TMAR TMAR de 8% es riesgo por encima suficiente para para justificar inversión del capital. capital. Después consideraciones, suficiente justificar la inversión Después de estas consideraciones, rechaza el proyecto proyecto la TMAR TMAR efectiva efectiva es ahora ahora 11 11%. %. Éste costo de oporsi se rechaza Éste es el costo tunidad analizado analizado anteriormente anteriormente --la la i* del proyecto establecido la tunidad proyecto rechazado rechazado ha establecido TMAR efectiva efectiva para alternativas de sistemas sistemas de computación computación a 11 11%, 8%-. TMAR para alternativas %, no a 8%-. Establecer la TMAR TMAR en un estudio estudio económico económico no constituye constituye un proceso exacto. Establecer proceso exacto. mezcla de deuda deuda y de capital capital patrimonial cambia con el tiempo entre proyecLa mezcla patrimonial cambia tiempo y entre proyecTMAR no es un valor tos. Asimismo, Asimismo, la TMAR valor fijo establecido establecido en toda toda la empresa, empresa, sino que varía de acuerdo acuerdo con los diferentes ejemdiferentes tipos de proyecto proyecto y oportunidades. oportunidades. Por ejemcorporación puede puede utilizar evaluar la compra compra de plo, una corporación utilizar una TMAR TMAR de 10% para para evaluar activos (equipo, (equipo, automóviles) automóviles) y una TMAR de 20% para inversiones de expansión, expansión, activos una TMAR para inversiones compra de pequeñas empresas. tales como la compra pequeñas empresas. TMAR efectiva efectiva varía como La TMAR varía de un proyecto proyecto a otro y a través través del tiempo tiempo como resultado de factores factores como como los siguientes: siguientes: resultado Riesgo del proyecto. proyecto. Cuando existe existe un riesgo (potencial o real) asociaasociaRiesgo Cuando riesgo mayor mayor (potencial determinados proyectos establecer una TMAR do con determinados proyectos propuestos, propuestos, la tendencia tendencia es establecer TMAR estimula por capital de deuda deuda para más alta, que se estimula por un mayor mayor costo de capital para proyectos proyectos consideran riesgosos. riesgosos. Esto normalmente significa que existe existe cierta que se consideran normalmente significa cierta prepreocupación porque porque el proyecto cumpla con los requerimientos ocupación proyecto no cumpla requerimientos de ingresos ingresos plaplaneados. neados. Oportunidad de inversión. inversión. está decidida decidida a invertir Oportunidad Si la gerencia gerencia está invertir en determidetermiTMAR debe reducirse estimular la inversión, nada área, la TMAR reducirse con el propósito propósito de estimular inversión, esperanza de recuperar con la esperanza recuperar los ingresos ingresos perdidos perdidos en otras áreas. Tal reacción reacción común oportunidad de inversión común a la oportunidad inversión puede puede crear crear gran gran confusión, confusión, cuando cuando las directrices para para proponer directrices proponer una TMAR TMAR se aplican aplican estrictamente. estrictamente. Entonces Entonces la flexiflexi bilidad cobra cobra un papel papel muy importante. bilidad importante. Estructura tributaria. tributaria. impuestos corporativos corporativos aumentan aumentan (como (como resulEstructura Si los impuestos resulmayores utilidades, capital, impuestos etcétera), tado de mayores utilidades, ganancias ganancias de capital, impuestos locales, locales, etcétera), presión para incrementar incrementar la TMAR. aplicación de un análisis análisis después después de hay presión TMAR. La aplicación

369

370

CAPÍTULO CAPÍTULO 10

Toma Toma de decisiones: decisiones: método, método, TMAR TMAR y atributos atributos múltiples múltiples

impuestos ayuda ayuda a eliminar eliminar esta razón para para que exista exista una TMAR fluctuante, fluctuante, en impuestos esta razón virtud virtud de que los gastos gastos que acompañan acompañan al negocio negocio tenderán tenderán a reducir reducir los impuestos puestos y los costos costos después después de impuestos. impuestos. Capital Capital limitado. limitado. Conforme Conforme el capital capital de deuda deuda y el capital capital patrimonial patrimonial se vuelven limitados, limitados, se incrementa incrementa la TMAR. Si la demanda demanda de capital capital limitado limitado vuelven excede llega a fijarse costo de excede la oferta, oferta, la TMAR llega fijarse en un nivel aún más alto. El costo oportunidad oportunidad desempeña desempeña un papel papel importante importante en la determinación determinación de la TMAR utiliza en realidad. realidad. que se utiliza mercado en otras corporaciones. aumenta en otras otras corporaciones. Si la TMAR aumenta otras Tasas del mercado empresas, en especial especial en competidoras, competidoras, una compañía compañía puede puede alterar alterar su TMAR, empresas, elevándola como como respuesta. respuesta. Dichas Dichas variaciones variaciones a menudo menudo se basan basan en cambios elevándola cambios interés sobre préstamos, préstamos, los cuales tienen tienen un impacto impacto directo directo en el en las tasas de interés capital. costo del capital. detalles del análisis análisis después después de impuestos impuestos carecen carecen de interés, interés, pero Si los detalles pero los efectos de los impuestos renta son de importancia, importancia, la TMAR puede puede increefectos impuestos sobre la renta incrementarse incorporando incorporando una tasa de impuestos impuestos efectiva efectiva mediante mediante la fórmula fórmula mentarse Tl\lAR después de impuestos impuestos 1\'1 AR an t es d e Impues .Impues t os = Tl\lAR después 1".'-l. = -------''------''-----------!'-----~--T1\'lAR 1" ,'"i. tasa de impuestos impuestos 11-- tasa efectiva o total, incluyendo incluyendo los impuestos impuestos federales, federales, estatales La tasa de impuestos impuestos efectiva estatales locales, es de 30% a 50% para para la mayoría mayoría de las corporaciones. corporaciones. Si se requiere requiere una y locales, una rendimiento después después de impuestos impuestos de 10% y la tasa efectiva efectiva de impuestos impuestos es tasa de rendimiento para el análisis análisis económico económico antes de impuestos impuestos es de 10%/(1 de 35%, la TMAR para 0.35) == 15.4%. 15.4%.

EJEMPLO EJEMPLO

10.2 10.2'

::v :E

Dos gemelos, gemelos, Carl Carl y Christy, Christy, se graduaron graduaron hace hace ya algunos algunos años años de la universidad. universidad. Desde Dos Desde graduación, Carl, arquitecto, ha ha trabajado trabajado diseñando diseñando viviendas viviendas en Bulte Bulte Homes. su graduación, Carl, un arquitecto, Homes. Christy, una una ingeniera ingeniera civil, civil, labora labora con con Butler Butler Industries Industries en el área área de partes partes estructurales estructurales Christy, análisis. Ambos Ambos residen residen en Richmond, Richmond, Virginia. Virginia. Han Han inaugurado inaugurado una una red red de comercio comercio y análisis. electrónico, a través través de la cual cual los constructores constructores del del área área de Virginia Virginia pueden pueden adquirir adquirir sus electrónico, sus planos de viviendas viviendas y materiales materiales de construcción construcción a precios precios mucho mucho más más bajos. bajos. Carl Carl y Christy planos Christy desean ampliarse ampliarse y convertirse convertirse en una una corporación corporación regional regional de comercio comercio electrónico. electrónico. Fuedesean Fueron al Banco América (BA) (BA) en Richmond Richmond con con la finalidad finalidad de obtener obtener un préstamo préstamo para ron Banco de América para desarrollo de negocios. negocios. Identifique Identifique algunos algunos factores factores que que podrían podrían provocar provocar que que la desarrollo la tasa tasa del del préstamo varíe varíe cuando cuando el BA BA entregue entregue el préstamo. Asimismo, señale señale el impacto impacto sobre préstamo préstamo. Asimismo, sobre la la TMAR establecida establecida en el momento momento en en que que Carl Carl y Christy Christy tomen tomen las decisiones decisiones económicas económicas TMAR para sus sus negocios. negocios. para Solución Solución En todos todos los casos, la dirección dirección de la tasa tasa de préstamo préstamo y la TMAR TMAR serán serán las mismas. mismas. De los casos, De acuerdo con con los cinco factores factores antes antes señalados, señalados, algunas algunas cuestiones cuestiones relativas relativas a la tasa acuerdo los cinco tasa del del préstamo son son las las siguientes: siguientes: préstamo

10.

Lal

ciar de ( tal ( nes den obti de (

par! ciar las j

Los

cla. deu mor se a

SECCIÓN SECCIÓN 10.3 10.3

Mezcla Mezcla deuda-capital deuda-capital propio propio y costo costo promedio promedio ponderado ponderado del del capital capital

préstamo podría podría incrementarse Riesgo del proyecto: La La tasa tasa del del préstamo incrementarse si la construcción construcción de viviendas se ha ha deprimido, deprimido, lo cual cual disminuye disminuye la necesidad necesidad de conectarse conectarse con con el viviendas e-comercio. e-comercio. Oportunidad podría incrementarse incrementarse si otras Oportunidad de inversión: La La tasa tasa podría otras empresas, empresas, que que ofreofrecen préstamo en otras cen servicios servicios similares, similares, ya han han solicitado solicitado un préstamo otras sucursales sucursales del BA, BA, en país. en la región región o en en el interior interior del del país. Impuestos: Si el estado estado eliminó eliminó recientemente recientemente los los materiales materiales para construcción de para la construcción viviendas de la lista lista de artículos artículos sujetos sujetos a impuestos impuestos por por ventas, ventas, la tasa tasa podría podría bajar bajar viviendas ligeramente. ligeramente. Limitaciones de capital: Suponga Limitaciones Suponga que que el equipo equipo de cómputo cómputo y los los derechos derechos de softposeen Carl propios recursos ware que que poseen Carl y Christy Christy se hayan hayan comprado comprado con con sus sus propios recursos y que que no hay hay préstamos préstamos pendientes. pendientes. Si no hay hay capital capital patrimonial patrimonial adicional adicional para para llevar llevar a no cabo reducirse la tasa cabo esta esta expansión, expansión, debería debería reducirse tasa del préstamo préstamo (capital (capital de deuda) deuda). . Tasas préstamos de mercado: La local del probablemente obtenga Tasas de préstamos La sucursal sucursal local del BA BA probablemente obtenga el dinero para sus préstamos desarrollo de un gran gran consorcio consorcio nacional. aumentadinero para sus préstamos de desarrollo nacional. Si aumentaron las las tasas préstamos de mercado para esta para este este ron tasas de préstamos mercado para esta sucursal sucursal del BA, BA, la tasa tasa para préstamo quizá se incrementará incrementará como como consecuencia consecuencia de que que el dinero dinero se está está volpréstamo quizá volviendo más más escaso. viendo

10.3 10.3 MEZCLA MEZCLA DEUDA-CAPITAL DEUDA-CAPITAL PROPIO PROPIO Y COSTO COSTO PROMEDIO PROMEDIO PONDERADO PONDERADO DEL CAPITAL mezcla deuda-capital deuda-capital propio identifica los porcentajes porcentajes de deuda deuda y finanfinanLa mezcla propio (D-C) identifica ciamiento de capital capital propio corporación. En una compañía compañía con una mezcla mezcla ciamiento propio para para una corporación. de deuda-capital propio de 40-60, proviene de fuentes deuda-capital propio 40-60, 40% de su capital capital proviene fuentes de capicapideuda (bonos, (bonos, préstamos hipotecas) y 60% de fuentes fuentes patrimoniales (acciotal de deuda préstamos e hipotecas) patrimoniales (acciones y utilidades utilidades conservadas). conservadas). mayoría de los proyectos La mayoría proyectos se financian financian con una combinación combinación de capital capital de deuda y patrimonial, patrimonial, que se hace disponible disponible específicamente específicamente para para el proyecto proyecto o se deuda obtiene fondos comunes corporación. El costo promedio ponderado ponderado obtiene de los fondos comunes de una corporación. costo promedio capital (CPPC) (CPPC) de los fondos se calcula calcula mediante mediante las fracciones fracciones relativas, relativas, a de capital partir fuentes de deuda deuda y capital conocen con exactitud, exactitud, tales frac frac-partir de fuentes capital propio. propio. Si se conocen ciones se utilizan utilizan para calcular el eppe; eppe; de otra manera, manera, se utilizan utilizan en la relación relación ciones para calcular fracciones históricas históricas para cada fuente: las fracciones para cada

eppe patrimonial) CPPC = = (fracción (fracción patrimol1ial)(costo patrimonlalucosto de capital capital patrimonial) (fracción de deuda)(costo deuda)(costo de capital capital de deuda) deuda) + (fracción

[10.1] [10.1]

términos de costo se expresan expresan como como porcentajes interés. Los dos términos porcentajes de tasas de interés. En virtud virtud de que prácticamente corporaciones cuentan cuentan con una mezprácticamente todas las corporaciones fuentes de capital, capital, el eppe eppe es un valor valor intermedio intermedio de los costos costos de capital capital de cla de fuentes deuda y patrimonial. conoce la fracción fracción de cada cada tipo de financiamiento financiarniento patrideuda patrimoniaL Si se conoce patrimonial -acciones -acciones comunes, comunes, acciones acciones preferenciales utilidades conservadasconservadas-, , monial preferenciales y utilidades amplía la ecuación ecuación [10.1] [10.1].. se amplía

371

372

CAPÍTULO 10 Toma de decisiones: método, TMAR y atributos múltiples

Figura Figura 10.2 10.2 Forma Forma general general de distintas curvas de costo distintas curvas costo de capital. capital. de

I1 I1

I1

Intervalo I1 Intervalo normal normal de __ _ _: I: operaciones operaciones I I1 I1 I1

oo

1I

1I 11I1

CPPC : CPPC ~mínimo ~mínimo 45% 45%

100% 100%

Capital porcentual deuda (mezcla (mezcla D-C) D-C) Capital porcentual de deuda

CPPC = = (fracción (fracción de acciones acciones comunes)(costo comunes)(costo de capital capital de acciones acciones comunes) comunes) CPPC (fracción de acciones acciones preferenciales)(costo capital de acciones acciones + (fracción preferenciales)(costo de capital preferenciales) preferenciales) (fracción de utilidades conservadas)(costo de capital capital de utilidades + (fracción utilidades conservadas)(costo utilidades conservadas) conservadas) (fracción de deuda)(costo deuda)(costo de capital capital de deuda) deuda) + (fracción [10.2] figura 10.2 indica indica la forma forma usual curvas de costo costo de capital. capital. Si 100% La figura usual de las curvas capital se obtiene obtiene de fuentes fuentes patrimoniales deuda, el CPPC CPPC iguala iguala el cosdel capital patrimoniales o de deuda, to del capital capital de dicha dicha fuente fuente de fondos. Prácticamente Prácticamente siempre siempre hay una mezcla mezcla de fuentes de capital capital implícita implícita en cualquier cualquier programa capitalización. Como Como ilustrailustrafuentes programa de capitalización. figura 10.2 indica indica un CPPC CPPC mínimo cerca de 45% de capital capital de deuda. deuda. La ción, la figura mínimo cerca mayoría empresas operan operan en un intervalo intervalo de mezclas ejemplo, para para mayoría de las empresas mezclas D-C. Por ejemplo, algunas compañías compañías un intervalo intervalo de 30% a 50% de financiamiento financiamiento de deuda deuda puede algunas puede aceptable a los prestamistas, incrementos en riesgo riesgo o en TMAR. TMAR. Sin embarembarser aceptable prestamistas, sin incrementos otra empresa empresa puede considerarse riesgosa riesgosa con apenas apenas 20% de capital capital de deuda. deuda. go, otra puede considerarse Hacen falta conocimientos conocimientos sobre sobre la habilidad gerencia, los proyectos actuales Hacen habilidad de la gerencia, proyectos actuales y la salud económica económica de la industria industria específica, específica, para determinar un intervalo intervalo razopara determinar razonable operaciones de la mezcla mezcla D-C en una compañía compañía específica. específica. nable de operaciones

d n

té e r(

L 1<

[

ii a

1 E

EJEMPLO EJEMPLO

10.3

.t: ,"

Un nuevo programa programa de ingeniería genética en Gentex requerirá $10 millones de capital. financiamiento a El director general de finanzas ha calculado las siguientes cantidades de financiamiento las tasas de interés indicadas:

TI

Y

e

n d

il

·----11r--------------------------------------------------------------------------------------------------SECCIÓN 10.4 10.4 SECCIÓN

Determinación del costo costo del del capital capital de deuda deuda Determinación del

Ventas de acciones Ventas acciones comunes comunes Uso conservadas Uso de utilidades utilidades conservadas Financiamiento de deuda deuda a través través de bonos Financiamiento bonos

•.,.

373

millones a 13.7% 13.7% $5 millones 8.9% $2 millones millones a 8.9% 7.5% $3 millones millones a 7.5 %

Desde siempre, proyectos utilizando utilizando una una mezcla mezcla D-C Desde siempre, Gentex Gentex ha financiado financiado proyectos D-C de de 40% 40% a partir de fuentes de con un un costo patrimoniales con partir de fuentes de deuda deuda con costo de 7.5%, 7.5%, y 60% 60% de fuentes fuentes patrimoniales con un costo valor CPPC histórico con programa de ingeniería costo de 10.0%. 10.0%. Compárese Compárese el valor CPPC histórico con el programa ingeniería actual. actual. Solución Solución Utilice ecuación [10.1] [10.1] para para calcular calcular el CPPC CPPC histórico. Utilice la ecuación histórico. CPPC = 0.6(10) 0.4(7.5) = 9.0% 9.0% CPPC 0.6(10) + 0.4(7.5)

En programa actual, patrimonial está En el programa actual, el financiamiento financiamiento patrimonial está conformado conformado de de 50% 50% de de accioacciones comunes ($5 millones $10 millones), 20% de conservadas y el 30% 30% nes comunes millones de $10 millones), 20% de utilidades utilidades conservadas restante de fuentes programa CPPC más alto restante fuentes de deuda. deuda. Según Según la ecuación ecuación [10.2], [10.2], el programa CPPC es más alto que que el promedio promedio histórico histórico de de 9%. 9%. CPPC parte de parte de utilidades conservadas parte de CPPC = = parte de acciones acciones + parte de utilidades conservadas + parte de deuda deuda

s

= = 0.5(13.7) 0.5(13.7) + 0.2(8.9) 0.2(8.9) + 0.3(7.5) 0.3(7.5) = = 10.88% 10.88%

:~

:I

~,f

CPPC puede calcularse con valores impuestos o después después El valor valor del CPPC puede calcularse valores antes de impuestos impuestos, para costo del capital. capital. El método después de impuestos impuestos es el code impuestos, para el costo método después rrecto, deuda cuenta cuenta con una ventaja diferenrrecto, ya que el financiamiento financiamiento de deuda ventaja tributaria tributaria diferente, según según lo analizaremos analizaremos en la siguiente siguiente sección. sección. Las aproximaciones aproximaciones del costo costo del capital después después de impuestos impuestos se realizan capital impuestos o antes de impuestos realizan con una tasa de interés efectiva efectiva Te ecuación Teen la ecuación Costo después después de impuestos = (costo (costo antes de impuestos)(l impuestos)(l - Te) Costo impuestos =

[l0.3] [l0.3]

impuestos efectiva efectiva es una combinación combinación de las tasas federal, federal, estatal estatal y La tasa de impuestos Te para simplicar los cálculos. cálculos. La ecuación ecuación local. Se han reducido reducido a un solo número número Te para simplicar aproximar el costo costo del capital capital de deuda deuda por separado, separado, o [10.3] puede puede usarse usarse para para aproximar insertado en la ecuación ecuación [10.1] para Cppc. El capítulo capítulo 17 trata detalle el insertado para una tasa Cppe. trata en detalle análisis económico económico de impuestos impuestos y después después de impuestos. impuestos. análisis

10.4 10.4

DETERMINACiÓN DEL COSTO COSTO DEL CAPITAL CAPITAL DE DEUDA DEUDA DETERMINACiÓN

financiamiento de deuda deuda incluye incluye la obtención obtención de créditos, créditos, principalmente El financiamiento principalmente a través Estados Unidos, intereses de bonos través de bonos bonos y préstamos. préstamos. En Estados Unidos, los pagos pagos de intereses bonos y de préstamos deducible s de impuestos impuestos como como un gasto gasto corporativo. préstamos son deducibles corporativo. Esto Esto redureduingresos gravables gravables sobre sobre la cual se calculan calculan los impuestos, impuestos, con el ce la base base de ingresos resultado impuestos. Por lo tanto, costo del capital capital resultado final de que se pagan pagan menos menos impuestos. tanto, el costo deuda se reduce como consecuencia consecuencia de que hay un ahorro impuestos anual anual de deuda reduce como ahorro en impuestos igual al flujo de efectivo efectivo del gasto, multiplicado impuestos efectiva efectiva igual multiplicado por la tasa tasa de impuestos

J'<

374 374

CAPÍTULO 10 Toma Toma de decisiones: decisiones: método, método, TMAR TMAR y atributos atributos múltiples múltiples CAPÍTULO

impuestos se resta del flujo de efectivo efectivo del gasto del capital capital de Te' Este ahorro en impuestos deuda, con el propósito propósito de calcular calcular el costo del capital capital de deuda. En forma de ecuadeuda, ción: ción: Ahorro en impuestos impuestos = = (gastos)(tasa (gastos)(tasa de impuestos impuestos efectiva) efectiva) Ahorro = = gastos gastos (Te) (Te)

= =

Flujo de efectivo Flujo efectivo neto neto = gastos gastos - ahorro ahorro en impuestos impuestos =gastos gastos (1 - Te)

[10.4]

[10.5]

determinar el costo del capital capital de deuda, deuda, se formula formula una ecuación ecuación de la serie de Para determinar efectivo neto basada basada en VP o VA, donde donde i* es la incógnita. calcula i* a flujos de efectivo incógnita. Se calcula mano por ensayo por medio medio de las funciones una hoja hoja de ensayo y error, o por funciones TASA o TIR en una cálculo computacional. computacional. Éste es el costo cálculo costo porcentual porcentual del capital capital de deuda deuda utilizado utilizado en cálculo del CPPC el cálculo CPPC en la ecuación ecuación [10.1].

EJEMPLO EJEMPLO

10.4

2' ':'

<

AT&T capital de de $1000 AT &T generará generará $5 millones millones en en capital de deuda deuda emitiendo emitiendo cinco cinco mil mil bonos bonos de $1 000 a 8% a 10 años. años. Si la la tasa tasa de de impuestos impuestos efectiva efectiva de de la la compañía compañía es es de de 50% 50% y se se descuenta descuenta 2% a) antes de antes de 2% a los los bonos bonos para para que que se vendan vendan rápido, rápido, calcule calcule el el costo costo de de capital capital de de deuda deuda a) impuestos de impuestos impuestos y b) b) después después de impuestos desde desde la la perspectiva perspectiva de de la la compañía. compañía. Obtenga Obtenga las las respuestas respuestas a mano mano y por por computadora. computadora.

Solución aa mano Solución mano a) Los a) Los dividendos dividendos del del bono bono anual anual son son de de $1 000(0.08) 000(0.08) = $80, $80, y el el precio precio de de venta venta desdescontando 2% contando 2% es es de de $980 $980 ahora. ahora. De De acuerdo acuerdo con con la la perspectiva perspectiva de de la la compañía, compañía, deterdetermine mine la la i* i* en en la la ecuación ecuación de de VP: VP: 0= 0= 980 980 - 80(PIA,i*, 80(PIA,i*, 10) 10) - l1 OOO(PIF,i*,10) OOO(PlF,i*, lO) i* = 8.3% i*= 8.3%

s

fII Sol-R Sol-R

b) b)

El El costo costo antes antes de de impuestos impuestos del del capital capital de de deuda deuda es es i* = 8.3%, 8.3%, que que es es ligeramente ligeramente mayor mayor que que la la tasa tasa de de interés interés del del bono bono de de 8%, 8%, como como resultado resultado del del descuento descuento de de 2% 2% en en las las ventas. ventas. Con Con la la posibilidad posibilidad de de reducir reducir los los impuestos impuestos mediante mediante la la deducción deducción de de los los intereses intereses del del bono, bono, la la ecuación ecuación [lOA] [lOA] muestra muestra un un ahorro ahorro en en impuestos impuestos de de $80(0.5) $80(0.5) == $40 $40 anuaanuales. les. El El monto monto de de intereses intereses del del bono bono para para la la ecuación ecuación del del VP VP es es ahora ahora de de $80 $80 -- $40 $40 == $40. $40. Despejando Despejando i* después después de de impuestos impuestos el el costo costo del del capital capital de de deuda deuda se se reduce reduce casi casi aa la la mitad, mitad, 4.25%. 4.25%.

Solución Solución con con computadora computadora La La figura figura 10.3 10.3 representa representa una una hoja hoja de de cálculo cálculo para para el el análisis análisis antes antes de de impuestos impuestos (columna (columna B) B) yy después después de de impuestos impuestos (columna (columna C), C), utilizando utilizando la la función función TIR. TIR. El El flujo flujo de de efectivo efectivo neto neto después después de de impuestos impuestos se se calcula calcula con con la la ecuación ecuación [10.5], [10.5], donde donde T. T. = 0.5 0.5 (véase (véase la la etiqueta etiqueta de de la la celda). celda).

•

SECCIÓN SECCIÓN 10.4 10.4

375

Determinación Determinación del del costo costo del capital capital de deuda deuda

x: ICrosoft E xcel - E xample 1 o X M Microsoñ Excel Example o4

II!!I~ 1'!!II!';iiI El 13

Eile !;.dit Eile ~dit 'iíew !nsert FQI'mat lools Qata !'Lindow !:!elp

B e A B 1 Val01J:l-ºl11 inal del F lujo de efectiv~ ~-=--,V:.:::a::;:lo:.:.r~n-º-minal del bono bono Flujo Flujo de efectivo efectivo Flujo efectivo. 1,000 antes de impuestos impuestosdespués impuestos! 1,000 después de impuestos: 2 $

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13

~: Costo del capital de deuda

Costo del capital de deuda

16

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; --:=:±:===-=:l:--

Sheet6

Ready

Figura Figura 10.3 10.3 Empleo de la función TIR para determinar determinar el costo de capital de deuda antes de impuestos y después de impuestos 10.4), (ejemplo 10.4).

EJEMPLO EJEMPLO

10.5 10.5

:::j1f;

La La compañía compañía Hershey Hershey comprará comprará un un activo activo por por $20 $20 000 000 con con 10 años años de vida. vida. Los Los directodirectores res de la empresa empresa decidieron decidieron pagar pagar $10 $10 000 000 y obtener obtener $10 $10 000 000 en en préstamo préstamo a una una tasa tasa de interés en $600 interés de 6%. 6%. El plan plan de de pagos pagos simplificado simplificado del del préstamo préstamo consiste consiste en $600 de intereses intereses anuales anuales y el pago pago del del total total del del principal principal de $10 $10 000 000 en el año año 10. ¿Cuál ¿Cuál es el costo costo después después de impuestos impuestos del capital capital de deuda deuda si la tasa tasa de impuestos impuestos efectiva efectiva es de de 42%? 42%? Solución Solución El flujo flujo de efectivo efectivo neto neto después después de impuestos impuestos para para los los intereses intereses sobre sobre el préstamo préstamo de $10 000 000 es una una cantidad cantidad anual anual de 600(1600(1- 0.42) 0.42) = $348 $348 de acuerdo acuerdo con con la la ecuación ecuación [10.5]. [10.5]. $10 El reembolso reembolso del del préstamo préstamo es de $10 $10 000 000 el año año 10. El VP VP se utiliza utiliza para para calcular calcular un costo costo de capital capital de deuda deuda de 3.48%. 3.48%. 0= 10 000 000 - 348(P/A,i*, 348(P/A,i*,10)10) - 10 OOO(P/F,i*,lO) OOO(PlF,i*,lO) 0=

~

.r.

376

10 Toma de decisiones: método, TMAR y atributos múltiples CAPÍTULO 10

Comentario Comentario

Observe que 6% de interés anual sobre el préstamo de $10 000 no es el CPPC, ya que 6% exclusivamente sobre los fondos obtenidos en préstamo. préstamo. Tampoco el CPPC es de se paga exclusivamente sólo representa el costo del capital de deuda. 3.48%, puesto que s610

10.5 10.5

plm val lorj año pan

DETERMINACiÓN DEL COSTO COSTO DEL CAPITAL PATRIMONIAL PATRIMONIAL DETERMINACiÓN SOCIAL) Y DE LA TMAR TMAR (O SOCIAL)

patr quie des

capital patrimonial patrimonial generalmente generalmente se obtiene obtiene de las siguientes siguientes fuentes: El capital acciones preferenciales preferenciales Venta de acciones acciones comunes comunes Venta de acciones Uso utilidades conservadas conservadas U so de las utilidades

nea:

cada tipo de financiamiento financiamiento se calcula calcula por separado separado y se incluye incluye en el El costo de cada cálculo del CPPC. CPPC. Aquí resumen de una de las formas formas más cocálculo Aquí presentaremos presentaremos un resumen múnmente aceptadas aceptadas de calcular calcular el costo costo de cada una de las fuentes fuentes de capital. múnmente capital. Existen otros métodos para determinar determinar el costo través de Existen métodos para costo del capital capital patrimonial patrimonial a través las acciones comunes. No hay ahorro ahorro en impuestos capital patrimonial, impuestos para para el capital patrimonial, ya acciones comunes. que los dividendos dividendos pagados pagados a los accionistas accionistas no son deducibles deducibles de impuestos. impuestos. La emisión acciones preferenciales emisión de acciones preferenciales conlleva conlleva el compromiso compromiso de pagar pagar un dividendo dividendo establecido establecido anualmente. anualmente. El costo costo del capital capital es el porcentaje porcentaje establecido establecido de los dividendos, dividendos, por por ejemplo, ejemplo, 10%, o el monto monto de los dividendos dividendos dividido dividido entre entre el precio precio de la acción. acción. Un dividendo dividendo de $20 pagado pagado sobre una una acción acción de $200 consticonstituye un 10% del costo costo de capital capital patrimonial. patrimonial. Las acciones acciones preferenciales preferenciales pueden pueden venderse venderse con un descuento descuento para para agilizar agilizar su venta, venta, en cuyo cuyo caso, caso, los ingresos ingresos reales reales por por venta venta de las acciones acciones deben deben utilizarse utilizarse como como denominador. denominador. Por Por ejemplo, ejemplo, si una una acción acción preferencial preferencial de dividendos dividendos del 10% con un valor valor de $200 $200 se vende, vende, con un descuento descuento de 5%, a cada cada $190 $190 por por acción, acción, hay un costo costo de capital capital patrimonial patrimonial de ($20/$190) 10.53%. ($20/$190) x 100% = = 10.53%. El cálculo cálculo del costo costo del capital capital patrimonial patrimonial para para las acciones acciones comunes comunes es más complicado. complicado. Los Los dividendos dividendos pagados pagados no constituyen constituyen una una verdadera verdadera indicación indicación del costo costo real real de la emisión emisión de bonos bonos en el futuro. futuro . Por Por lo común, común, se utiliza utiliza un avalúo avalúo de la acción acción común común para para calcular calcular el costo. costo. Si Re Re es el costo costo del capital capital patrimonial patrimonial (en forma forma decimal): decimal): Re Re = dividendo dividendo del primer primer año + + tasa tasa de crecimiento crecimiento esperada esperada de los dividendos dividendos precio precio de la acción acción DV R,:::: 11 + g R , == __ DV P . e p

[10.6] [10.6]

La La tasa tasa de crecimiento crecimiento gg es una una estimación estimación del incremento incremento anual anual en el rendimiento rendimiento que que los inversionistas inversionistas reciben. reciben. En En otras otras palabras, palabras, se trata trata de la tasa tasa compuesta compuesta de de crecimiento crecimiento sobre sobre los dividendos dividendos que que la compañía compañía considera considera que que se requiere requiere para para atraer atraer a los los accionistas. accionistas. Por Por ejemplo, ejemplo, suponga suponga que que una una corporación corporación multinacional multinacional

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vale

SECCIÓN 10.5 Determinación Determinación del costo del capital patrimonial (o social) y de la TMAR

377

planea obtener capital capital a través Estados Unidos adquirir una nueplanea obtener través de su filial en Estados Unidos para para adquirir va planta Sudamérica, vendiendo acciones comunes comunes por $2 500 000, con un vaplanta en Sudamérica, vendiendo acciones cada una. Si se tiene dividendo de 5% o de $1 para lor de $20 cada tiene planeado planeado un dividendo para el primer primer anticipa un alza de 4% anual para futuros dividendos, dividendos, el costo costo del capital capital año, y se anticipa para futuros para esta esta emisión emisión de acciones acciones comunes comunes a partir ecuación [10.6] es de 9%. para partir de la ecuación Re

el

= -- 1 =

20

= 0.09 + 0.04 =

Por 10 general, general, el costo costo de las utilidades utilidades retenidas retenidas o conservadas conservadas del capital capital Por lo patrimonial igual al costo costo de las acciones acciones comunes, comunes, ya que son los accionistas accionistas patrimonial es igual quienes obtendrán obtendrán los rendimientos invierten las utilidaquienes rendimientos de los proyectos proyectos en que se invierten utilidaconservadas. des conservadas. Una vez calculado calculado el costo costo del capital capital para fuentes patrimoniales para todas las fuentes patrimoniales planeadas, CPPC se calcula calcula con la ecuación ecuación [10.2]. neadas, el CPPC Un segundo segundo método calcular el costo costo del capital capital de acciones acciones comunes comunes es el método para para calcular modelo defijación defijación de precios activos de capital capital (MPAC). Como Como consecuencia consecuencia de modelo precios de activos fluctuaciones en los precios acciones y de los altos rendimientos las fluctuaciones precios de las acciones rendimientos que exigen algunas algunas acciones acciones de las corporaciones, corporaciones, en comparación comparación con otras, esta técnitécniexigen valuación se aplica aplica con bastante frecuencia. El costo costo del capital capital patrimonial ca de valuación bastante frecuencia. patrimonial proveniente acciones comunes comunes Re. proveniente de acciones Re' utilizando utilizando el MPAC, es:

Re

= rendimiento libre = rendimiento libre de riesgo riesgo = Rf R¡ + fj(R", f3(..Rm -- R¡)

=

+

premio encima del premio por por encima rendimiento libre de riesgo rendimiento libre riesgo

[10.7]

donde 13 = volatilidad acciones de una compañía compañía respecto donde f3 = volatilidad de las acciones respecto de otras acciones en el mercado norma es f3 13 = = 1.0) acciones mercado (la norma Rm = = rendimiento sobre acciones acciones en un portafolio rendimiento sobre portafolio de mercado mercado medido medido índice preestablecido. a través través de un índice preestablecido. El término general, la tasa de referencia referencia de bonos bonos del Tesoro de término R¡ es, por lo general, Estados Unidos, considera una inversión inversión segura. El término (Rmm -- R¡) término (R RI ) Estados Unidos, ya que se considera constituye el premio sobre la tasa segura o libre de riesgo. coeficiente f3 13 constituye premio pagado pagado sobre tasa segura riesgo. El coeficiente indica la forma forma en que se espera espera que las acciones acciones varíen, comparación con un indica varíen, en comparación portafolio elegido de acciones acciones en la misma general de mercado, comúnmente portafolio elegido misma área general mercado, comúnmente índice "500" "500" de acciones acciones de Standard Standard and Poor. Si f3 13 < 1.0, las acciones acciones son el índice menos cuando f3 13 > 1.0, se menos volátiles, volátiles, así que el premio premio resultante resultante puede puede ser menor; menor; cuando esperan mayores incrementa el premio. esperan mayores movimientos movimientos de precios, precios, así que se incrementa premio. títulos de valores valores permite identificar una acción, acción, un bono cualLa palabra palabra títulos permite identificar bono o cualquier otro instrumento instrumento que se utilice desarrollar capital. capital. Para Para entender entender mejor quier utilice para para desarrollar mejor cómo funciona funciona el MPAC, considere considere la figura figura 10.4. Ésta Ésta representa gráficamente la cómo representa gráficamente línea de títulos constituye un ajuste ajuste lineal mediante línea títulos de valores valores del mercado, mercado, la cual constituye mediante un análisis análisis de regresión, indicar el rendimiento esperado para diferentes diferentes valoregresión, para para indicar rendimiento esperado res de f3. 13. Si 13f3 = = O,O, el rendimiento aceptable (sin premio). rendimiento libre libre de riesgo, riesgo, R¡. RI , es aceptable premio). Conforme f3 13 se incrementa, crece la necesidad Conforme incrementa, crece necesidad de un rendimiento rendimiento con premio. premio. Los valores corporaciones valores de beta beta se publican publican periódicamente periódicamente para para la mayoría mayoría de las corporaciones

Inversiones segllras seguras Inversiones

--_±&!

378

CAPÍTULO CAPÍTULO 10

Toma múltiples Toma de de decisiones: decisiones: método, método, TMAR TMAR y atributos atributos múltiples

Línea de títulos

um esa

deu Rm Rm

----------------~'------¡--------------- --- ~=-----,---

Incremento Incremento del premio del premio para más más títulos títulos para de valores valores de riesgo de riesgo

enf nial ana anu mei

nes cia, des

•

Figura 10.4 10.4 Figura Rendimiento esperado Rendimiento esperado sobre sobre la la emisión emisión de acciones acciones comunes comunes utili zando el MPAC MPAC utilizando

Portafolio Portafolio del mercado mercado seleccionado seleccionado

oo

1.0 1.0

emisoras de acciones. acciones. Una vez terminado, costo estimado estimado del capital capital patriemisoras terminado, dicho costo patrimonial acciones comunes comunes puede incorporarse a los cálculos cálculos del CPPC CPPC de la ecuaecuamonial de acciones puede incorporarse ción [10.2].

EJEMPLO EJEMPLO

10.6

d

b e ti

5

El ingeniero ingeniero de de programas de control control de de SafeSoft, SafeSoft, una corporación de de servicios servicios de de la programas de una corporación industria presidente para para desarrollar una nueva nueva tecnología tecnología de industria alimentaria, alimentaria, convenció convenció al presidente desarrollar una programas de para garantizar de carnes prevé programas de computadora computadora para garantizar la seguridad seguridad de carnes y alimentos. alimentos. Se prevé que procesos para para preparar preparar carnes pueden llevarse que los los procesos carnes pueden llevarse a cabo cabo con con mayor mayor seguridad seguridad y rapirapidez utilizando un un programa programa de control dez utilizando control automatizado. automatizado. Una Una emisión emisión de acciones acciones comunes comunes constituye patrimonial se constituye una una posibilidad posibilidad de incrementar incrementar el capital capital si el costo costo del del capital capital patrimonial encuentra debajo debajo de 150/0. 15%. SafeSoft, SafeSoft, que que desde desde siempre siempre ha de 1.7, encuentra ha tenido tenido un valor valor beta beta de premio de sus acciones, aplica MPAC para para determinar aplica el MPAC determinar el premio acciones, en en comparación comparación con con otras otras corporaciones La línea títulos de valores del mercado corporaciones de de programas programas de computadora. computadora. La línea de títulos de valores del mercado indica busca un un premio premio de 50/0 por encima tasa libre riesgo. Si los bonos del indica que que se busca 5% por encima de la tasa libre de de riesgo. los bonos del Tesoro Unidos pagan pagan el 70/0, Tesoro de de Estados Estados Unidos 7%, calcule calcule el costo costo del del capital capital de acciones acciones comunes. comunes. Solución Solución premio del representado por por el término término (R la ecuación El premio del 50/0 5% se se encuentra encuentra representado (R",m -- Rf) de de la ecuación [10.7]. [10.7].

Re = = 4.0 1.7(5.0) Re 4.0 + 1.7(5.0)

= 12.50/0 12.5% =

Como este este costo costo es menor que el 150/0, 15%, SafeSoft SafeSoft debería debería utilizar utilizar alguna alguna mezcla finanComo menor que mezcla de financiamiento con con deuda deuda y con con capital capital propio este nuevo de inversión. inversión. ciamiento propio para para realizar realizar este nuevo proyecto proyecto de

E

P

q e 5

A 11

q e

10. Enl la p

SECCIÓN 10.6 10.6 SECCIÓN

Efecto de la mezcla mezcla deuda-capital deuda-capital propio propio sobre sobre el riesgo Efecto riesgo de de inversión inversión

En teoría, adecuadamente utiliza utiliza teoría, un estudio estudio de ingeniería ingeniería económica económica realizado realizado adecuadamente TMAR igual capital destinado destinado a las alternativas alternativas específicas una TMAR igual al costo del capital específicas en el estudio. combinación de capital capital de estudio. Por supuesto, supuesto, se desconoce desconoce tal detalle. detalle. En una combinación deuda y capital capital propio, propio, el CPPC calculado calculado fija el valor valor mínimo mínimo para deuda para la TMAR. TMAR. El enfoque más razonable razonable consiste consiste en fijar la TMAR TMAR entre entre el costo costo del capital enfoque capital patrimopatrimocorporación. Los riesgos riesgos inherentes inherentes a una alternativa nial y el CPPC de la corporación. alternativa deberían deberían analizarse por separado separado a partir partir de la determinación determinación de la TMAR, TMAR, como señaló analizarse como se señaló concuerda con la directriz directriz que indica indica que la TMAR TMAR no debería antes. Esto concuerda debería increincrementarse arbitrariamente, con el objetivo objetivo de tomar tomar en cuenta cuenta los diferentes mentarse arbitrariamente, diferentes tipos tipos de riesgos relacionados estimaciones de flujos de efectivo efectivo netos. Por riesgos relacionados con las estimaciones Por desgradesgramenudo la TMAR TMAR se fija sobre el CPPC como como resultado resultado de que la gerencia cia, a menudo gerencia no desea tomar tomar en cuenta cuenta el riesgo riesgo de elevar elevar la TMAR. TMAR. desea EJEMPLO EJEMPLO

10.7 10.7

La División División de Productos Productos de de Ingeniería Ingeniería de 4M 4M Corporation Corporation cuenta cuenta con La con dos dos alternativas alternativas mutuamente excluyentes, excluyentes, A y B, B, con con valores valores para para la TR TR de i'Á = 9.2% mutuamente 9.2% e i~ = 5.9%. 5.9%. El escenario de financiamiento financiamiento aún aún no se define, define, pero pero consistirá consistirá en alguno alguno de siguientes: escenario de los los siguientes: plan 1: utilizar utilizar todos todos los fondos patrimoniales, patrimoniales, que que actualmente actualmente generan generan rendimientos los fondos rendimientos de de plan para la empresa; empresa; plan plan 2: 2: utilizar utilizar fondos fondos provenientes provenientes de los los fondos fondos comunes 8% para comunes del del capicapicorporación, que que representan representan el 25% 25% del del capital capital de deuda, deuda, cuyo 14.5%, tal de la corporación, cuyo costo costo es de 14.5%, resto procedería procedería de los los mismos mismos fondos patrimoniales antes antes mencionados. mencionados. El capital y el resto fondos patrimoniales capital de de deuda actualmente actualmente es más más alto alto como como consecuencia consecuencia de que que la compañía compañía no deuda no obtuvo obtuvo todos todos programados sobre sobre acciones acciones comunes comunes para para los los últimos últimos dos sus ingresos, ingresos, programados dos trimestres, trimestres, y los los bancos le han han elevado elevado la tasa tasa de financiamiento financiamiento a 4M. 4M. Tómese Tómese una una decisión bancos decisión de de naturaleza naturaleza económica sobre sobre la base base de la alternativa alternativa A frente frente a B, B, de acuerdo acuerdo con económica con cada cada escenario escenario de financiarniento. . financiamiento

n

Solución Solución capital está está disponible disponible para para una una de las dos alternativas alternativas mutuamente mutuamente excluyentes. El capital excluyentes. En En el el plan 1, con con un un capital capital propio propio al 100%, 100%, el financiamiento financiamiento se conoce conoce específicamente, plan específicamente, así así que el costo costo del del capital capital patrimonial patrimonial es la TMAR, TMAR, es decir, decir, 8%. 8%. Solamente Solamente la que la alternativa alternativa A aceptable; la alternativa alternativa B no no lo es, es, puesto puesto que que su tasa tasa de rendimiento rendimiento calculada calculada de de es aceptable; 5.9% no excede excede la TMAR TMAR. . 5.9% De acuerdo acuerdo con con el plan plan de financiamiento financiamiento 2, con con una una mezcla mezcla D-C De D-C de 25-75, 25-75, CPPC CPPC

= 0.25(14.5) 0.25(14.5) + 0.75(8.0) 0.75(8.0) = = 9.625% 9.625% =

Ahora, ninguna ninguna alternativa alternativa es aceptable aceptable porque los dos dos valores valores de de la Ahora, porque los la TR TR son son menores menores que que TMAR = = CPPC CPPC = = 9.625 9.625%. La alternativa alternativa elegida elegida debería debería ser ser no la TMAR %. La no hacer hacer nada, nada, a menos menos que una una de las las alternativas alternativas tenga tenga que que elegirse elegirse forzosamente, forzosamente, en cuyo cuyo caso caso deben que deben tomarse tomarse cuenta los atributos atributos no económicos. económicos. en cuenta

10.6 10.6

EFECTO DE LA MEZCLA MEZCLA DEUDA-CAPITAL DEUDA-CAPITAL PROPIO PROPIO EFECTO RIESGO DE INVERSiÓN INVERSiÓN SOBRE EL RIESGO

sección 10.3 se presentó presentó el concepto concepto de mezcla mezcla D-C. Conforme Conforme se incrementa En la sección incrementa proporción de capital capital de deuda, deuda, se reduce reduce el costo capital calculado, la proporción costo del capital calculado, como como

379

380

CAPíTULO CAPíTULO 10

Toma de decisiones: método, TMAR TMAR y atributos múltiples Toma de decisiones: método, atributos múltiples

consecuencia ventajas tributarias tributarias del capital consecuencia de las ventajas capital de deuda. Sin embargo, embargo, el apalancamiento ofrecen los mayores mayores porcentajes porcentajes de capital capital de deuda deuda aumenta aumenta los lancamiento que ofrecen riesgos de los proyectos proyectos que la empresa empresa lleva a cabo. Cuando Cuando ya hay grandes grandes deudas, el financiamiento mediante fuentes propio) se financiamiento adicional adicional mediante fuentes de deuda deuda (o de capital capital propio) vuelve más difícil difícil de justificar, empresa se puede colocar en una situación vuelve justificar, y la empresa puede colocar una situación donde partes cada pequeñas de sí misma. misma. Este tipo de empresa donde posea posea partes cada vez más pequeñas empresa a recibe el nombre corporación altamente incapacidad para altamente apalancada. apalancada. La incapacidad para veces recibe nombre de corporación obtener capital capital de operaciones operaciones y de inversión implica una creciente dificultad dificultad obtener inversión implica una creciente compañía y sus proyectos. importante que se dé un equilibrio equilibrio para la compañía proyectos. Por lo tanto, es importante razonable patrimonial, que contribuya razonable entre entre el financiamiento financiamiento con deuda deuda y el patrimonial, contribuya a la salud financiera una corporación. financiera de una corporación. El ejemplo ejemplo 10.8 ilustra ilustra las desventajas desventajas de mezdesequilibradas. clas D-C desequilibradas.

rü pl:

co

bn

pu po un mi

Tres compañías manufactureras tienen las siguientes cantidades de capital de deuda y patrimonial, y mezclas D-C. Suponga que todo el capital patrimonial se encuentra en la forma de aeciones comunes.

Monto Monto del capital

A B C

Deuda ($ en millones) millones)

Capital propio <$ ($ en millones) millones)

Mezcla o-c O-C (%-%) (%-%) Mezcléil

10 20 20 40 40

40 40 20 20 10

20-80 20-80 50-50 50·50 80-20 80-20

Suponga ingreso anual de $15 millones para para cada después de consideSuponga que que el ingreso anual es es de $15 millones cada una una y que, que, después considerar los los intereses sobre la son $14.4, $14.4, $13.4 $13.4 yy $10.0 $10.0 millones, rar intereses sebre la deuda, <:leuda, los los ingresos ~ngresos netos netos son millones, respectivamente. rendimiente sebre las acciones pata cada ca<:la compañía respectivamente. Calcule Calcule el rendimiento sobre las acciones comunes comunes pata compañía y haga las mezclas mezclas D-C. D-C. haga comentarios comentarios sobré sobre el rendimiento rendimiento relativo relativo a las

Solución Solución Divida el ingreso entre el valor (patrimonial) de de las acciones para calcular el rendiDivida ingreso neto neto entre valor (patr1monial) las acciones para calcular rendimiento. de las las acciones En millones de dólares, miento acciones comunes. comunes. En millones de dólares,

= --

-= .

A:

dími 14.4 036 Ren 14.4 imiento - . : 036 .. R en d" ímiento = 40 40

(3670) (36% )

El: B:

. 13.4 067 Ren d"¡miento -= .. R en di miento = =--13.4 = 067 20 20

(67%) (67%)

C:

Ren d"¡miento = 10.0 Rendimiento 10.0 =1.00 -= '100 . 10

(100%) (100%)

Como rendimiento es, mayor para para la compañía Como se esperaba, esperaba, el rendimiento es, hasta hasta ahora, ahora, el mayor compañía C, altamente altamente apalancada, don<:le sólo manos de los los propietarios. propietarios. El El apalancada, donde sólo 20% 20% de de dicha dicha cempañfa compañía está está en en las las manos rendimiento es excelente; excelente; aunque aunque el el riesgo asociado con con la firma es alte alto comparado comparado con con rendimiento es riesgo asociado la firma A, donde, la mezcla mezcla D-C D-C es de ape~as 20% 20% de donde, la de apenas de deuda. deuda.

los de

ma

des

seg

ner de

deuda-capital propio sobre el riesgo de inversión SECCIÓN 10.6 Efecto de la mezcla deuda-capital

El uso de altos porcentajes porcentajes de financiamiento financiamiento de deuda deuda incrementa incrementa mucho mucho el riesgo de los prestamistas prestamistas y de los propietarios propietarios de acciones. acciones. La confianza confianza a largo plazo en la corporación reduce, sin importar plazo corporación se reduce, importar cuán cuán grande grande sea el rendimiento rendimiento a corto plazo plazo sobre las acciones. acciones. grandes mezclas mezclas D-C no incrementa incrementa el rendimiento rendimiento soEl apalancamiento apalancamiento de grandes patrimonial, como se mostró bre el capital capital patrimonial, mostró en ejemplos ejemplos anteriores; anteriores; aunque aunque también también puede obrar propietarios e inversionistas. puede obrar en contra contra de los propietarios inversionistas. Una Una ligera ligera reducción reducción porcentual inversión con porcentual en el valor valor de los activos activos afectará afectará más negativamente negativamente una inversión apalancamiento de deuda, comparada comparada con otra con un pequeño apalancaun alto apalancamiento pequeño apalancamiento. En el ejemplo ejemplo 10.9 se ilustra ilustra esta cuestión. cuestión. miento. EJEMPLO

10.9

:illr'·,

Dos ingenieros invierten $10 000 en distintos proyectos. Marylynn invierte $10000 $10000 en acciones de aerolínea y Carla apalanca los $10 000 comprando una vivienda en $100 000 patrimonial de $10000 $10 000 si hay un para arrendarla. Calcule el valor resultante del capital patrimonial disminución en el valor tanto de las acciones como de la vivienda. Repita el proce5% de dismilJ.ución dimiento para un incremento de 5%. Ignore cualquier consideraciones en dividencualquier tipo de consideraciones dos, ingresos o impuestos. Solución El valor de las acciones de la aerolínea disminuye en 10 000(0.05) = $500, y el valor de la vivienda disminuye en 100000(0.05) 100000(0.05) = $5000, $5000. El resultado es una devolución inferior a los $10 000, si la inversión inversión debe venderse de inmediato.

Pérdida de Marylynn:

~=0.05 ~=0.05

Pérdida de Carla:

5000 5000 = 0.50 10000 10000

10000 10000

(5%) (50%)

apalancamiento de 10 a 1 de Carla le da una disminución de 50% en la posición de El apalancamiento patrimonio patrimonio neto, mientras que Marylinn tiene sólo 5% de pérdida pérdida debido a que no hay apalancamiento. En el caso de un incremento de 5%, ocurre lo contrario: Carla se beneficiaría beneficiaría con 000; mientras que Marylynn apenas obtiene 5% de 50% de rendimiento rendimiento sobre sus $10 $10000; ganancia. El apalancamiento apalancamiento mayor es más riesgoso. Éste ofrece una devolución devolución mucho mucho más para un incremento pérdida mucho más alta alta para incremento en el valor de la inversión inversión y una una pérdida mucho mayor mayor para disminución en el valor de la inversión. una disminución

Los mismos mismos principios principios estudiados estudiados antes para las corporaciones corporaciones son aplicables aplicables a los individuos. individuos. La persona persona que está muy apalancada apalancada tiene deudas grandes en términos términos balances de tarjetas de crédito, préstamos préstamos personales personales e hipotecas hipotecas inmobiliarias. inmobiliarias. A de balances manera manera de ejemplo, ejemplo, suponga suponga que dos ingenieros ingenieros tienen una cantidad cantidad neta de $40 000 después de deducir deducir de su salario anual todos los impuestos impuestos sobre la renta, cuotas de seguridad seguridad social y pólizas pólizas de seguro. Además, suponga suponga que el costo de la deuda (dinero recibido préstamo a través de tarjetas de crédito y préstamos) préstamos) es en promedio promedio recibido en préstamo de 15% por año, y que el capital principal principal actual de la deuda se paga en cantidades cantidades

381

382

CAPÍTULO 10

Toma de decisiones: método, TMAR y atributos múltiples

iguales durante 20 años. Si Jamal tiene una deuda total de $25 000 y Barry debe $100000, el monto restante del pago que les queda puede calcularse como sigue:

Persona

Deuda total, $

Costo de la deuda al 15%, $

Repago de la deuda durante el periodo de 20 años, $

Jamal Barry

25000 100000

3750 15000

1250 5000

Cantidad restante de los $40 000, $ 35000 20000

Jamal tiene disponible 87.5% de su base, mientras que Barry sólo cuenta con 50%.

10.7

ANÁLISIS DE ATRIBUTOS MÚLTIPLES: IDENTIFICACiÓN E IMPORTANCIA DE CADA ATRIBUTO

En el capítulo 1, se describieron el papel y alcance de la ingeniería económica en la toma de decisiones. El proceso de toma de decisiones explicado en dicho capítulo incluía los siete pasos listados en la parte derecha de la figura 10.5. El paso 4 consiste en identificar el atributo o los múltiples atributos sobre los que se basan los criterios de selección. En todas las evaluaciones anteriores del libro, sólo se ha identificado un atributo -el económico-, y se ha utilizado para elegir la mejor alternativa. El criterio ha sido la maximización del valor equivalente de VP, VA, TR o la razón B/C. Como sabemos, la mayoría de las evaluaciones toman o deberían tomar en cuenta múltiples atributos en la toma de decisiones. Éstos son los factores clasificados como no económicos en la parte inferior de la figura 1-1, que describe los principales elementos que integran un estudio de ingeniería económica. Sin embargo, estas dimensiones no económicas tienden a ser intangibles y a menudo difíciles, si no imposibles, de cuantificar directamente con escalas económicas y de otra naturaleza. No obstante, entre los diversos atributos que pueden identificarse, hay algunos Figura 10.5

Considerar atributos múltiples

Énfasis en un atributo 1. Comprender el problema; definir el objetivo. 2. Recopilar información relevante. 3. Definir alternativas; hacer estimaciones.

Expansión del proceso de toma de decisiones para incluir múltiples atributos. 4.1. .¡

4.2. 4.3.

Identificar los atributos para la toma de decisiones . Determinar la importancia relativa (ponderación) de los atributos. Determinar, para cada alternativa, una valoración de cada atributo.

5. Evaluar cada alternativa aplicando una técnica de atributos múltiples. Emplear análisis de sensibilidad para los atributos clave.

4. Identificar los criterios de selección (uno o más atributos).

5. Evaluar cada alternativa; aplicar un análisis de sensibilidad. 6. Elegir la mejor alternativa. 7. Ejecutar la solución y supervisar los resultados.

SECCIÓN 10.7 10.7 SECCIÓN

Análisis de atributos atributos múltiples: múltiples: identificación identificación e importancia importancia de cada cada atributo atributo Análisis

383

fundamentales que deben considerarse considerarse en serio, antes de que se concluya proceso fundamentales concluya el proceso elección de alternativas. alternativas. Esta Esta sección sección y la siguiente siguiente describen describen algunas algunas de las técde elección aceptan atributos atributos múltiples múltiples en un estudio estudio de ingeniería ingeniería económica. económica. nicas que aceptan atributos múltiples múltiples entran entran en el proceso proceso de toma toma de decisiones decisiones en diversos diversos Los atributos estudios. Los proyectos proyectos del sector sector público público constituyen constituyen excelentes excelentes ejemplos ejemplos en la estudios. resolución de problemas problemas de atributos atributos múltiples. múltiples. Por ejemplo, ejemplo, la propuesta propuesta de consresolución para formar formar un lago en un área baja, o de ampliar ampliar la cuenca cuenca de recepreceptruir un dique para normalmente tiene tiene varios propósitos, propósitos, tales como como control control de inundainundación de un río, normalmente obtención de agua potable, usos industriales, industriales, desarrollo desarrollo comercial, comercial, recreación, recreación, ciones, obtención conservación de la naturaleza naturaleza para para beneficio beneficio de peces, peces, plantas posibleconservación plantas y aves, y, posiblemente, otros objetivos objetivos menos evidentes. evidentes. En el proceso proceso de selección selección los atributos atributos mente, múltiples presentan presentan niveles niveles altos de complejidad complejidad considerados considerados importantes importantes en la múltiples elección de una alternativa alternativa para para la ubicación, ubicación, el diseño, diseño, las repercusiones elección repercusiones en el ambiente, etcétera. etcétera. ambiente, columna izquierda izquierda de la figura figura 10.5 amplía amplía los pasos pasos 4 y 5 para para incluir incluir La columna atributos múltiples. múltiples. La discusión discusión que sigue se enfoca enfoca en el paso 4 ampliado, ampliado, y la atributos siguiente sección sección se concentra concentra en la medida medida de evaluación evaluación y la elección elección de alternaalternasiguiente tivas del paso 5. ~,I

atributos Los atributos atributos que se considerarán considerarán en la metodometodo4.1 Identificación Identificación de atributos logía de evaluación evaluación pueden pueden identificarse identificarse y definirse definirse de acuerdo acuerdo con varios varios métodos, métodos, logía algunos mucho mucho mejores mejores que otros, dependiendo dependiendo de la situación situación que rodea rodea al estudio estudio algunos búsqueda de opiniones opiniones de otros individuos individuos además además de la de los analistas analistas mismo. La búsqueda importante; permite permite centrar centrar el estudio estudio en atributos atributos clave. La siguiente siguiente es una lista es importante; incompleta de maneras maneras de identificar identificar los atributos incompleta atributos clave.

• • • • •

Comparación con estudios estudios similares similares que incluyen incluyen atributos atributos múltiples. múltiples. Comparación Opiniones de expertos expertos con una experiencia experiencia importante. importante. Opiniones Sondeos de personas personas (clientes, (clientes, empleados, empleados, gerentes) gerentes) sobre quienes quienes las alternaalternaSondeos tienen impacto. impacto. tivas tienen Pequeños grupos grupos de discusión discusión que apliquen apliquen estrategias estrategias tales como como grupos grupos de Pequeños enfoque, lluvia lluvia de ideas o técnica técnica de grupos grupos nominales. nominales. enfoque, Método Delphi, Delphi, que es un procedimiento procedimiento progresivo progresivo para para generar generar un consenso consenso Método razonable de perspectivas perspectivas y opiniones opiniones distintas. distintas. razonable

Como ejemplo, ejemplo, suponga suponga que Continental Continental Airlines Airlines decidió comprar comprar cinco nuevos nuevos Como Boeing 777 para para vuelos de largo alcance, alcance, principalmente principalmente entre la costa costa occidental occidental Boeing estadounidense y las ciudades ciudades asiáticas, asiáticas, en especial especial Hong Singapur. estadounidense Hong Kong, Tokio y Singapur. Existen aproximadamente aproximadamente 8 000 opciones, opciones, para para cada persoExisten cada avión, entre las que el persoingeniería, compras, compras, mantenimiento mantenimiento y mercadotecnia mercadotecnia de United United debe decidir decidir nal de ingeniería, remitir la orden orden a Boeing. Boeing. Las opciones opciones van desde desde el material material y color color de los antes de remitir interiores del avión hasta hasta los mecanismos mecanismos de enganche enganche utilizados utilizados en el carenado carenado de interiores aviones; y, y, en función, función, desde la máxima máxima tracción tracción de la máquina máquina hasta hasta el diseño los aviones; diseño instrumentos del piloto. estudio de ingeniería ingeniería económica económica basado basado en el VA de los instrumentos piloto. Un estudio equivalente de los ingresos ingresos estimados estimados del pasajero pasajero por viaje determinó determinó que 150 de equivalente opciones ofrecen ofrecen claras claras ventajas. ventajas. Sin embargo, embargo, es necesario necesario considerar considerar otros estas opciones atributos no económicos, económicos, antes de que se especifiquen especifiquen otras opciones opciones más costosas. costosas. atributos

Inl

.~'

U ,1

I~

~

\

384 384

CAPíTULO 10 10 Toma de decisiones: método, TMAR y atributos múltiples CAPíTULO

Si

estudio Delphi Delphi donde donde se tomó en cuenta Se llevó a cabo un estudio cuenta la opinión opinión de 25 indiviindivielecciones de entre las diferentes diferentes opciones duos. Al mismo tiempo, las elecciones opciones para para otra orden reciente, enviada enviada a otra otra aerolínea aerolínea no identificada, reciente, identificada, se compartieron compartieron con el personal personal Continental. De estos dos estudios estudios se determinó determinó que hay 10 atributos de Continental. atributos clave clave para para selección de opciones. opciones. Cuatro Cuatro de los atributos atributos más importantes la selección importantes son:

• • • •

reparación: tiempo tiempo promedio promedio para para reparar Tiempo de reparación: reparar o reemplazar reemplazar en caso de que la opción opción sea o afecte afecte un componente componente crítico crítico de vuelo. Seguridad: tiempo tiempo promedio promedio de falla de los componentes componentes críticos Seguridad: críticos de vuelo. vuelo. Económico: ingreso ingreso extra extra estimado estimado para para la opción opción (fundamentalmente, Económico: (fundamentalmente, éste éste es el atributo realizado). atributo evaluado evaluado por el estudio estudio económico económico realizado). Necesidades miembros de la tripulación: tripulación: cierta Necesidades de los miembros cierta medida medida de la necesidad necesidad y/o beneficios beneficios de la opción juzgan los miembros miembros representativos representativos de la opción según la juzgan tripulación tripulación (pilotos (pilotos y asistentes asistentes de vuelo).

atributo económico económico del ingreso ingreso extra extra puede puede considerarse considerarse una medida El atributo medida indirecta indirecta de satisfacción satisfacción de las necesidades necesidades del cliente, cliente, es decir, una medida medida más cuantitativa cuantitativa resultados del sondeo de opinión/satisfacción opinión/satisfacción del cliente. Por supuesto, existen que los resultados existen muchos otros atributos que pueden utilizarse obstante, la utilizarse y, y, de hecho, se utilizan. No obstante, cuestión radica en que el estudio económico económico puede orientarse cuestión orientarse directamente directamente hacia uno cuantos atributos atributos clave, vitales para para la toma toma de decisiones o unos cuantos decisiones de alternativas. alternativas. Un atributo por rutina rutina es el riesgo. En reareaatributo que individuos individuos y grupos grupos identifican identifican por lidad, el riesgo alguna manera, manera, forma forma parte parte de riesgo no es un atributo atributo aislado, aislado, porque, porque, de alguna todo atributo. cálculos probabilísticos, probabilísticos, etatributo. Las cuestiones cuestiones referentes referentes a la variación, variación, cálculos cétera, toma de decisiones adelante. El análisis análisis cétera, en el proceso proceso de toma decisiones se analizarán analizarán más adelante. de sensibilidad simulación y los árboles árboles de sensibilidad formalizado, formalizado, los valores valores esperados, esperados, la simulación decisión constituyen constituyen algunas algunas de las técnicas técnicas útiles en el manejo decisión manejo del riesgo riesgo inherente inherente atributo. a un atributo.

4.2 Importancia Importancia (pesos) para para los atributos determinación del grado grado de imatributos La determinación portancia atributo i da como como resultado resultado un peso W¡, que se incorpora portancia de cada atributo peso W¡, incorpora en la basa en la opinión opinión medida entre Oy O y 1, se basa medida final de la evaluación. evaluación. El peso, un número número entre experimentada de un individuo individuo o grupo grupo de personas personas familiarizadas experimentada familiarizadas con los atribuatributos, y posiblemente grupo para para determinar determinar los posiblemente con las alternativas. alternativas. Si se utiliza utiliza un grupo pesos, debe haber cada peso. peso. De otra otra forhaber consenso consenso entre los miembros miembros respecto respecto de cada aplicarse alguna alguna técnica técnica para para obtener obtener un valor ma, debe aplicarse valor del peso peso para para cada cada atributo. atributo. tabla 10.3 constituye constituye una disposición disposición tabular tabular de atributos La tabla atributos y alternativas alternativas empleados para para llevar llevar a cabo una evaluación evaluación de atributos atributos múltiples. W¡para pleados múltiples. Los pesos pesos W¡ para cada atributo atributo se introducen introducen a la izquierda. izquierda. El resto resto de la tabla cada tabla se analizará analizará conforme conforme avancemos ampliado de toma toma de decisiones. decisiones. avancemos a través través de los pasos 4 y 5 del proceso proceso ampliado Los pesos normalizan de tal manera manera que su pesos de los atributos, atributos, por lo 10 general, general, se normalizan suma a lo largo de todas las alternativas alternativas es igual a 1.0. Dicha suma Dicha normalización normalización implica implica que la puntuación divida entre entre la suma suma S a lo puntuación de importancia importancia de cada atributo atributo se divida atributos. Expresadas Expresadas en forma forma de ecuación, largo de todos los atributos. ecuación, estas estas dos propiedapropiedapesos para para el atributo atributo i(i 1,2, 1,2, ... ...,, m) son: des de los pesos

= =

ni ni

normalizados: Pesos normalizados:

L W¡=1.0 I,W¡ =1.0 ¡=1 ¡=1

[10.8]

(

d

D

ar p<

ra

p,

m ci la nt E te

o

ta

m 11

te

o

01

tr

dI dI e<

SECCIÓN 10.7 Análisis de atributos múltiples: identificación e importancia de cada atributo

10.3

TABLA

Disposición tabular de atributos y alternativas empleados en la evaluación de atributos múltiples Alternativas

Atributos

j

2

w,

3

W3

m

Wm

=

n

3

W¡

1

Cálculo. W del peso

2

1

Pesos

Valores nominales

puntuación de importancia S [10.9]

puntuación de importancia

j

j

11I

L

i;;:;.1

•

•

puntuación,

Vij

•

de ímportancía I

De los diversos procedimientos desarrollados para asignar pesos a un atributo, un analista probablemente confíe en alguno que sea relativamente simple, tal como la ponderación uniforme, la ordenación por rangos o la ordenación por rangos ponderados. A continuación se explica brevemente cada uno. Ponderación uniforme Aproximadamente todos los atributos se consideran de la misma importancia, o no hay razones para distinguir el atributo de mayor importancia del atributo de menor importancia. Éste es el enfoque por default. Cada peso de la tabla 10.3 será de l/m, de acuerdo con la ecuación [10.9]. Por otra parte, la normalización puede evitarse, en cuyo caso cada peso es igual a 1 y la suma es m. Entonces, la medida de la evaluación final para una alternativa será la suma de todos los atributos. Ordenación por rangos Los m atributos se ubican (ordenan) en orden de importancia creciente, y se asigna una puntuación de 1 al de menor importancia, y m al más importante. De acuerdo con la ecuación [10.9], los pesos se rigen por el patrón l/S, 2/S, ... , m/S. Con este método, es constante la diferencia en pesos entre atributos de importancia creciente. Ordenación por rangos ponderados Los m atributos se colocan de nuevo en orden de importancia creciente. No obstante, ahora es posible la diferenciación entre atributos. Al atributo más importante se le asigna una puntuación, normalmente de 100, y a los demás atributos se les asigna una puntuación con respecto a aquélla de entre 100 y O. Luego, se denota la puntuación de cada atributo con Sj; así, la ecuación [10.9] adquiere la forma: s.

W¡ =-;;¡-l-

Ls. ;=1

[10.10] J

385

386

CAPÍTULO

10

Toma de decisiones:

método, TMAR y atributos múltiples

Se trata de un método muy práctico de determinar los pesos, ya que uno o más atributos llegan a ponderarse marcadamente si su importancia es significativamente mayor que la de los demás; así, la ecuación [10.10] normaliza automáticamente los pesos. Por ejemplo, suponga que los cuatro atributos clave en el ejemplo anterior relacionado con la compra de aviones se ordenan de la siguiente manera: seguridad, tiempo de reparación, necesidades de los miembros de la tripulación y factor económico. Si el tiempo de reparación tiene apenas la mitad de importancia que la seguridad, y los dos últimos atributos tienen la mitad de importancia del tiempo de reparación, las puntuaciones y pesos son los siguientes: Es co Puntuación

Atributo Seguridad Tiempo de reparación Necesidades de los miembros de la tripulación Económico Suma de puntuaciones

y pesos

Pesos

100 50 25

100/200 50/200 25/200

= 0.50 = 0.25 = 0.125

25

25/200

=-0.125

-

200

1.000

jer de an de ev cal die

Se conocen otras técnicas de ponderación de atributos, especialmente para los procesos grupales, como las funciones de utilidad, la comparación por pares y otras. Éstas se tornan sumamente complejas, pero llegan a ofrecer una ventaja que los métodos simples no ofrecen al analista: consistencia de rangos y puntuaciones entre atributos y entre individuos. Si dicha consistencia es importante en el sentido de que si diversos tomadores de decisiones con opiniones variadas sobre la importancia de los atributos se ocupan de un estudio, puede garantizarse una técnica más sofisticada. La literatura sobre el tema abunda. 4.3 Valor de evaluación de cada alternativa por atributo Se trata del paso final antes de calcular la medida de evaluación. A cada alternativa se le asigna un valor de jerarquización Vi) para cada atributo i, que son las entradas de las celdas en la tabla 10.3. Las evaluaciones son valoraciones realizadas por tomadores de decisiones conforme se considera cada atributo. La escala de los valores de jerarquización puede variar, dependiendo de aquello que resulta más fácil de entender para quienes llevan a cabo la valoración. Se puede utilizar una escala de O a 100 para la puntuación relativa a la importancia de los atributos. Sin embargo, la escala más popular es una escala de 4 o 5 gradaciones, relacionadas con la capacidad percibida de una alternativa para ejecutar el intento del atributo, la cual recibe el nombre de escala de Likert y puede incluir descripciones de las gradaciones (por ejemplo, muy pobre, pobre, bueno, muy bueno), o números asignados de entre O y 10, o de -1 a +1, o de -2 a +2. Las dos últimas escalas llegan a provocar un impacto negativo en la medida de evaluación de alternativas poco atractivas. Un ejemplo de escala numérica de O a 10 es el siguiente:

1C

La en sié ne: Vii'

liz co: rm

go qu de

SECCIÓN

Si se evalúa la alternativa como

10.8

Medida de evaluación para atributos múltiples

387

Se le asigna una jerarquización entre los números

Muy pobre Pobre Bueno Muy bueno

0-2 3-5 6-8 7-10

Es preferible contar con una escala de Likert con cuatro opciones (un número par) con la finalidad de no sobrevalorar la tendencia central de una alternativa justa. Si ahora se amplía el ejemplo de la compra del avión para incluir el valor de jerarquización, las celdas se llenan con las evaluaciones asignadas por un tomador de decisiones. La tabla lOA incluye evaluaciones de ejemplo Vi} y los pesos W¡ antes determinados. Al principio habrá una tabla de esta clase para cada tomador de decisiones. Antes de calcular la medida de evaluación final R, es posible que las evaluaciones se combinen de alguna manera, o que se calcule otra R, utilizando cada una de las evaluaciones del tomador de decisiones. A continuación se analiza dicha medida de evaluación.

TABLA

10.4

Esquema completo para cuatro atributos y tres alternativas para la evaluación de atributos múltiples Alternativas

/1

Atributos

Pesos

1

2

3

Seguridad Reparación Necesidades Económico

0.50 0.25 0.125 0.125

6 9 5 5

4 3 6 9

8 1 6 7

•

~¡

10.8

de la tripulación

MEDIDA DE EVALUACiÓN PARA ATRIBUTOS MÚLTIPLES

La necesidad de una medida de evaluación que incluya atributos múltiples se indica en el paso 5 de la figura 10.5. La medida debería ser un número de una sola dimensión que, en efecto, combine las diferentes dimensiones que manejan las puntuaciones de importancia de los atributos W¡ y los valores de evaluación de las alternativas Vi}' El resultado es una fórmula para calcular una medida global susceptible de utilizarse para elegir entre dos o más alternativas. Con frecuencia, el resultado se conoce como método de evaluación y jerarquizacián. Este proceso de reducción elimina mucha de la complejidad de tratar de equilibrar los diferentes atributos; sin embargo, también elimina mucha de la información útil capturada en el proceso de jerarquización de atributos por orden de importancia, y de calificación de la ejecución de cada alternativa frente a cada atributo.

\

388 388

atributos múltiples CAPÍTULO 10 Toma de decisiones: método, TMAR y atributos

Existen medidas aditivas, multiplicativas y exponenciales, pero hasta hasta ahora Existen medidas aditivas, multiplicativas exponenciales, pero ahora la que más se aplica tiene que ver con el modelo modelo aditivo. modelo aditivo usado aplica tiene aditivo. El modelo aditivo más usado es el método método de atributo ponderado. La medida medida de evaluación, Rj atributo ponderado. evaluación, simbolizada simbolizada por R, para cada alternativa}, alternativa}, se define define como como para cada 11 11

Rj Rj

= I, I,n;"ii ~V¡i = j ,.".1.1 J'.".

[10.11] [10.11]

Los números números W¡ son los pesos pesos importantes importantes del atributo, atributo, y Vi} Vi) es la evaluación evaluación del valor del atributo para cada mismo peso peso valor atributo i para cada alternativa}. alternativa}. Si los atributos atributos son del mismo (también ponderados), W¡ (también llamados llamados no ponderados), W¡ = = l/m, l/m, según según se determina determina de acuerdo acuerdo con la ecuación puede sacarse ecuación [10.9]. Lo anterior anterior significa significa que W¡ W¡ puede sacarse de la sumatoria sumatoria en la fórmula utiliza un peso peso igual para todos los atributos, fórmula de Rj" R¡ (Si se utiliza igual de W¡ = = 1.0 para atributos, en lugar valor R, Rj es sencillamente todas las puntuaciones para la lugar de l/m, l/m, el valor sencillamente la suma suma de todas puntuaciones para alternati va.) alternati La directriz directriz de elección elección es la siguiente: siguiente:

Se elige la alternativa mayor valor Esta medida medida supone pesos elige la alternativa con con mayor valor Rj' Rj' Esta supone que que pesos mayor importancia, puntuaciones altas altos altos W¡ implican implican atributos atributos de mayor importancia, y puntuaciones altas V Vi)ij indican un mejor mejor desempeño una alternativa. indican un desempeño de una alternativa. Se aplica para cualquier puntuación, peso peso y valor valor de aplica un análisis análisis de sensibilidad sensibilidad para cualquier puntuación, evaluación evaluación con el objetivo objetivo de determinar determinar la sensibilidad sensibilidad de la decisión decisión a éste. éste.

Un sistema regional interactivo de horarios y envíos para trenes lleva funcionando funcionando varios años en MB+O Railroad. La gerencia y los repartidores repartidores están de acuerdo en que es tiempo software actualizado, y posiblemente posiblemente con nuevo hardware. hardware. de contar con un sistema de software Las discusiones condujeron a tres alternativas:

1. 2. 3.

hardware y el desarrollo de un nuevo software La compra de nuevo hardware software interno personalizado. El alquiler de nuevo hardware contratación de servicios externos de software. hardware y la contratación software. El desarrollo de un nuevo software software utilizando los servicios de un contratista contratista externo, hardware para el nuevo software. software. y la mejora de componentes componentes específicos específicos de hardware

Se han definido seis atributos para la comparación proceso de comparación de alternativas mediante un proceso participan tomadores de decisiones de las áreas de envíos, operaciones Delphi, en el cual participan operaciones ingeniería de trenes. trenes . de campo e ingeniería

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Necesidad de inversión inicial. hardware y software. software. Costo anual de mantenimiento mantenimiento de hardware Tiempo de respuesta respuesta a las "condiciones "condiciones de colisión". colisión". Interfaz Interfaz de usuario para envíos. software del tren. Interfaz de software software con sistemas de envío de otras compañías. Interfaz de sistema de software

puntuaciones de los atributos, determinadas Las puntuaciones determinadas por los tomadores de decisiones, decisiones, ordenación por aparecen en la tabla 10.5, la cual se formó utilizando un procedimiento procedimiento de ordenación ponderado con puntajes entre O rangos ponderado O y 100. 100. Los atributos 2 y 3 se consideran consideran por igual

SECCIÓN SECCIÓN 10.8

Medida para atributos atributos múltiples múltiples Medida de evaluación evaluación para

Una los una puntuación los atributos atributos de mayor mayor importancia, importancia, a los los cuales cuales se les les asigna asigna una puatuación de de roO. 100. Una vez juzgar las vez que que cada cada alternativa alternativa ha sido sido detallada detallada suficientemente, suficientemente, como como para para juzgar las capacicapaciasigaó dades dades a panir partir de las las .especificaciones especificaciones del del sistema, sistema, un un grupo grupo de tres tres individuos individuos asignó evaluaciones nuevamente una (tabla evaluaciones a las las tres tres alternativas, alternativas, utilizando utilizando nuevamente una escala escala de O O a roO 100 (tabla 10.5). 10.5). Como Como ejemplo, ejemplo, en en el caso caso de la la alternativa alternativa 3, los aspectos aspectos económ.icos económicos res)lltaron resultaron excelentes 100 para del excelentes (calificación (calificación de 100 para los los atributos atributos 1 y 2), pero pero la interfaz interfaz de software software del tren unvaación de 10. Utilice tren se considera considera muy muy pobre, pobre, de ahí ahí la la baja baja .p puntuación Utilice estas estas puntuaciones puntuaciones yy evaluaciones evaluaciones para para determinar determinar la la mejor mejor alternativa. alternativa,

TABLA TABLA

10.5 10.5

Atributo, Atributo,

Puntuaciones Puntuaciones ele de atributos atributos y y valores valores ele de evaluación evaluación de las alternativas para para una una evaluación evaluación de atributos atributos múltiples múltiples alternativas (ejemplo (ejemplo 10.10) 10.10)

j

Puntuación de Puntuación importancia

1 '22

50 100

3 4 5

100

6

80 50 70

Total Total

450

TABLA

10.6

Valores Valores de evaluación evaluación (O (O a 100), Vil Alternativa Alternativa Alternativa Alternativa Alternativa 1 2 3 75 60 60 50 100 85 100 100

50 75 100 90 90 100 100 100 100

100 100 20

40 10 75

Resultados del método de atributos ponderados, ejemplo 10.10

R}=W¡V¡} At.,ibuto, Atl"ibuto,

i 1 2 3 4 5 ti6 Totales Totales

Peso Peso W¡ normalizado, W¡ 0.11 0.22 0.22 0.18 0:11 0.16

Alternativa 1 1

Alternativa 2 5.5 16.5 22.0 16.2 11.0 16.0 87.2

Alternativa Alternativa

3 11.0 22.0 4.4 7.2

Ú 12.0

389 389

390

CAPÍTULO CAPÍTULO 10

Toma decisiones: método, método, TMAR TMAR y atributos atributos múltiples múltiples Toma de decisiones:

el método aplicando la ecuación ecuación [10.11] cada columcolummétodo de atributos atributos ponderados ponderados se obtiene obtiene aplicando [10.11] a cada alternativa 1, na. En En el caso caso de la la alternativa

PR

Ele R¡ = 0.11(75) 0.11(75) + 0.22(60) 0.22(60) + ... 0.16(100) = 75.9 75.9 ... + 0.16(100)

10.

Cuando los los totales totales se revisan medida, la mejor Cuando revisan en en el caso caso de la la máxima máxima medida, la alternativa alternativa 2 es la la mejor elección con con R22 = 87.2. 87.2. Debería Debería recomendarse elección recomendarse a la la gerencia gerencia una una consideración consideración más más detadetallada llada de esta esta alternativa. alternativa.

Comentario Comentario Cualquier económica puede puede incorporarse incorporarse en en una una evaluación evaluación de de atributos atributos múltimúltiCualquier medida medida económica ples utilizando este método. Todas Todas las las medidas medidas de de valor valor (VP, VA, TR, TR, B/C) B/C) pueden inples utilizando este método. pueden incluirse; sin sin embargo, embargo, su impacto cluirse; impacto en en la elección elección final final variará variará con con respecto respecto a la la importancia importancia que se dé a los los atributos económicos. que atributos no no económicos.

10.:

10.:

RESUMEN RESUMEN DEL CAPíTULO CAPíTULO método óptimo óptimo para evaluar y comparar comparar alternativas alternativas mutuamente El método para evaluar mutuamente excluyentes excluyentes desde una perspectiva económica normalmente normalmente es el método método VA o VP a la TMAR TMAR perspectiva económica establecida. depende, en parte, parte, de las vidas iguales iguales o diferentes diferentes de las establecida. La elección elección depende, alternativas flujos de efectivo estimados, según resume en la alternativas y del patrón patrón de los flujos efectivo estimados, según se resume tabla público se comparan comparan mejor mejor utilizando utilizando una una ratabla 10.1. Los proyectos proyectos del sector sector público zón B/C, aunque basa en los valores valores VA o VP. aunque la equivalencia equivalencia económica económica aún se basa Una vez que se elige método de evaluación, tabla 10.2 (también impresa en la elige el método evaluación, la tabla (también impresa parte obra con referencias puede utilizarse utilizarse parte posterior posterior de la obra referencias a las diferentes diferentes secciones) secciones) puede para determinar los elementos elementos y directrices aplicarse para para determinar directrices de decisión decisión que deben deben aplicarse para llevar requiere la TR estimada para la alterllevar a cabo adecuadamente adecuadamente el estudio. estudio. Si se requiere estimada para nativa elegida, elegida, es recomendable determinar i* utilizando función TIR nativa recomendable determinar utilizando la función TIR en una una hoja de cálculo, método VA o VP haya haya indicado indicado la mejor mejor alternacálculo, después después de que el método alternativa. interés a la que se establece establece la TMAR depende básicamente La tasa de interés TMAR depende básicamente del capital y de la mezcla entre financiamiento financiamiento de deuday deuday de capital capital propio. propio. costo del capital mezcla entre TMAR debe igualarse igualarse al costo costo promedio capital (CPPC). (CPPC). El riesLa TMAR promedio ponderado ponderado del capital riesrendimientos y otros otros factores factores pueden cuenta después después de concluir concluir go, los rendimientos pueden tomarse tomarse en cuenta análisis VA, VP o TR, elección de la alternativa alternativa final. el análisis TR, y antes de la elección atributos múltiples, incluyen más dimensiones dimensiones económicas económicas que las Si los atributos múltiples, que incluyen estudio, van a tomarse cuenta al tomar alternade un estudio, tomarse en cuenta tomar la decisión decisión respecto respecto de una una alternaprimero deben deben identificarse identificarse los atributos atributos y se debe evaluar evaluar su respectiva tiva, primero respectiva importancia. Luego Luego debe asignarse asignarse una evaluación a cada cada alternativa alternativa portancia. una puntuación puntuación de evaluación atributo. La medida evaluación se determina empleando un modelo para cada atributo. medida de la evaluación determina empleando modelo método de atributos atributos ponderados, calcula mediante como el método ponderados, donde donde la medida medida se calcula mediante la ecuación [10.11]. El máximo máximo valor indica la mejor alternativa. ecuación valor indica mejor alternativa.

10.'

Cap¡ bas can

me

cú~

PROBLEMAS

391

PROBLEMAS Elección del método de evaluación 10.1

Cuando dos o más alternativas se comparan aplicando el método VP, VA o B/C, hay tres circunstancias para las cuales la duración del periodo de evaluación es la misma para todas las alternativas. Mencione esas tres circunstancias.

10.2

¿Para qué métodos de evaluación es obligatorio llevar a cabo un análisis de serie de flujos de efectivo incremental para asegurarse de que se eligió la alternativa correcta?

10.3

Explique lo que se quiere dar a entender con la directriz de decisión para elegir el valor numérico más alto, cuando se elige la mejor alternativa mutuamente excluyente de entre dos o más alternativas.

10.4

Para la situación siguiente, a) determine cuál método de evaluación es probable que sea el más fácil y rápido de aplicar a mano y por computadora, con la finalidad de seleccionar de entre las cinco alternativas, y b) responda las dos preguntas, usando el método de evaluación escogido. Un contratista independiente debe determinar qué tipo de camión comprar. A continuación se presentan tabulados los flujos de efectivo estimados con cada capacidad de vehículo. La TMAR es 18% anual, y se espera que todas las alternativas tengan una vida útil de 8 años. 1) ¿Qué capacidad base de camión debe comprarse? 2) Si se comprarán dos camiones, ¿cuál debe ser la capacidad del segundo?

Capacidad base del camión, metros cúbicos

8 10 15 20 25

Costos de Inversión operación, Valor de inicial, $ AOC, $/año rescate, $

Ingreso anual. $/año

-4000 -5500 -7000 -11 000 -16000

+6500 +10000 +14000 +20500 +26500

-10000 -14000 -18000 -24000 -33000

+2000 +2500 +3000 +3500 +6000

10.5

Lea el problema 9.26 y a) determine cuál método de evaluación es probable que sea el más fácil y rápido de aplicarse a mano y por computadora, para seleccionar entre dos alternativas; b) si el método de evaluación elegido es diferente del que se usó en el capítulo 9, resuelva el problema usando el método de evaluación seleccionado.

10.6

¿Para qué tipo de alternativas debe usarse el método del costo capitalizado para comparar? Dé varios ejemplos de dichos tipos de proyectos.

Trabajando con la TMAR 10.7

Después de 15 años de laborar en la industria aérea, John inició su propia compañía consultora dedicada a usar simulación física y en computadora para analizarlos accidentes en las pistas de aeropuertos comerciales. Estima que su costo promedio de capital es de 8% anual para los proyectos de simulación física, es decir, en los que se reconstruye el accidente con el uso de modelos a escala de aviones, edificios, vehículos, etc. Estableció su TMAR en 12% anual. a) ¿Qué tasa (neta) de rendimiento sobre las inversiones de capital espera para las simulaciones físicas? b) Hace poco se ofreció a John un proyecto internacional que él considera riesgoso porque la información disponible es insuficiente y porque el personal del aeropuerto no parece estar dispuesto a colaborar en la investigación. John piensa que este riesgo equivale en lo económico al menos un 5% agregado sobre su dinero. En esta situación, ¿cuál es la TMAR, con base en lo que el lector aprendió en este capítulo? ¿En la evaluación de esta oportunidad de proyecto, cómo debe considerar John el rendimiento requerido y los factores de riesgo que se perciben?

392

10.8

10.9

CAPÍTULO 10 Toma de decisiones: método, TMAR y atributos múltiples CAPíTULO

Diga si cada cada una de las situaciones situaciones presenDiga presentadas continuación involucra involucra financiafinanciatadas a continuación miento por deuda propio. miento deuda o con capital capital propio. a) bonos por $3 500000 a) Emisión Emisión de bonos 500000 por parte institución que pertenece parte de una institución pertenece a la ciudad. ciudad. b) Oferta Oferta pública inicial (OPI) de $35 mib) pública inicial llones para una llones en acciones acciones comunes comunes para compañía punto como compañía punto como e) tomados de su cuenta retiro c) $25 000 tomados cuenta de retiro para pagar pagar un auto en efectivo. para efectivo. d) patrimoel) Préstamo Préstamo por $25 000 sobre sobre el patrimovivienda. nio del dueño dueño de una vivienda.

Explique manera en que Explique la manera que el costo costo de oportunidad oportunidad fija la TMAR TMAR efectiva efectiva cuando, cuando, debido puede sedebido al capital capital limitado, limitado, sólo puede leccionarse una alternativa entre entre dos o más. leccionarse una alternativa

10.10 El consejo consejo de directores directores de Brasilia Brasilia Group necesario para finantiene menos capital del necesario ciar un proyecto de $6.2 millones en el Medio Oriente. Una vez financiado financiado resultaría resultaría una i* estimada estimada de 18% anual. Para el análisis, antes de impuestos impuestos se aplicó una TMAR TMAR de disponibles en 15%. Con los $2 millones millones disponibles capital propio propio se aprueba proyecto con i* aprueba un proyecto estimada de 16.6%. El presidente estimada presidente del grupo le solicita solicita que estime estime el costo después después de impuestos de la oportunidad puestos oportunidad que se deja pasar. Suponga que usted información Suponga usted recaba recaba la información siguiente preparar su respuesta: siguiente para preparar

Tasa de impuestos impuestos federales federales = = 20% anual Tasa de impuestos impuestos estatales estatales = = 6% anual Ecuación para la tasa conjunta Ecuación para conjunta efectiva efectiva de impuestos = = tasa estatal estatal + (1 (1 - tasa estatal) impuestos tasa estatal) (tasa federal) federal)

(Recomendación: primero una una (Recomendación: desarrolle desarrolle primero figura para la situación figura similar similar a la 1-6 para situación de Brasilia Brasilia Group). Group). 10.11 A continuación presenta la inversión continuación se presenta inversión inicial y los valores valores de TR incremental para incremental para cuatro alternativas mutuamente excluyentes. alternativas mutuamente excluyentes. Seleccione la mejor alternativa si se dispone dispone Seleccione mejor alternativa de un máximo máximo de a) a) $300000, $300000, b) b) $400000, $400000, y e) c) $700 $700 000 en fondo fondo de capital, capital, y la

TMAR TMAR es el costo costo de éste, éste, la cual cual se estiestima en 9% anual. d) el) ¿Cuál ¿Cuál es la TMAR TMAR de para estas alternativas Jacto para alternativas si no se establece otra específica, blece específica, el capital capital disponible disponible es de $400 000 y se aplica aplica el concepto concepto de costo costo de oportunidad? oportunidad? Tasa de de Tasa de de rendimiento, Inversión rendimiento Inversión rendimiento rendimiento, Alternativa inicial, Alternativa inicial, $ incremental, incremental, % % 1 2 3 4

-100000 -100000 8.8 para 1l a DN -250000 -250000 12.5 para 2 a DN -400000 11.3 11.3 para 3 a 2 -400000 --550000 550000 8.1 8.1 para 4 a 3

8.8 12.5 14.0 10.0

10.12 recomienda 10.12 Diga Diga cuál es el enfoque enfoque que se recomienda para establecer establecer la TMAR TMAR cuando cuando además además del costo de capital capital se consideran consideran otros factores, como riesgo de la alternativa, como el riesgo alternativa, impuestos impuestos y fluctuaciones fluctuaciones del mercado. mercado. 10.13 Una Una sociedad sociedad de cuatro cuatro ingenieros ingenieros opera opera un negocio arrendamiento de casas dúplex. negocio de arrendamiento casas dúplex. Hace cinco cinco años compraron compraron un conjunto conjunto de Hace viviendas, con el uso de una TMAR viviendas, TMAR de 14% anual. En aquel momento, momento, el rendimiento rendimiento estimado estimado fue de 15 % anual, pero la inversión inversión se consideraba riesgosa debido consideraba muy riesgosa debido a la deeconomía en el negocio ficiente economía negocio de las rentas tanto en la ciudad tanto ciudad como como en todo el estado. No obstante, compra se realizó realizó con obstante, la compra financiamiento de 100% de capital capital propio, financiamiento propio, con un costo por año. Por costo de 10% por Por fortuna, durante durante los cinco cinco años el rendimiento rendimiento promedió Ahora se presentó promedió 18% anual. Ahora presentó otra oportunidad para más viviendas viviendas oportunidad de compra compra para dúplex, pero para inversión tendría dúplex, para hacer hacer la inversión tendría contratarse un préstamo que contratarse préstamo al 8% anual. economía en los arrendamientos arrendamientos de a) Si la economía propiedades no ha cambiado propiedades cambiado significativasignificativamente, qué tendencia probable que haya haya mente, tendencia es probable ahora, ahora, ¿hacer ¿hacer la TMAR TMAR más elevada, elevada, más misma que antes? baja, o usar la misma antes? ¿Por ¿Por qué? b) recomienda b) ¿Cuál ¿Cuál es la forma forma en que se recomienda considerar negocio de las considerar la economía economía del negocio rentas ahora que se involucra rentas involucra el capital capital por deuda? deuda?

393

PROBLEMAS

Mezcla D-C y CPPC 10.14 Es necesario construir una línea nueva de conducción de agua de alcance nacional y que atravesaría una cordillera. El costo inicial es de $200 millones y el consorcio de compañías asociadas no ha decidido por completo los arreglos de financiamiento de este proyecto conjunto. EL CPPC para proyectos similares ha sido en promedio de 10% anual. a) Se identificaron dos alternativas para financiarlo, la primera requiere una inversión de 60% de fondos propios al 12%, y un préstamo para el balance con tasa de interés de 9% anual. La segunda alternativa necesita sólo 20% de fondos propios y obtener el balance por medio de un préstamo internacional masivo que conllevaría un costo por intereses de 12.5% por año, lo que en parte se debe a la ubicación geográfica de la línea de conducción. ¿Cuál plan de financiamiento tendría el costo promedio más pequeño de capital? b) Si los financieros del consorcio han decidido que el CPPC no exceda 10% que corresponde al promedio histórico de 5 años, ¿cuál es el máximo interés sobre un préstamo que sea aceptable para cada una de las alternativas financieras? 10.15 Una pareja planea la educación universitaria de su hijo. Pueden financiar una parte o el monto total de $100 000 de la colegiatura con sus propios fondos (a través de Education IRA), o recibir en préstamo toda la cantidad o parte de ella. El rendimiento esperado de sus propios fondos es de 8% anual, pero se espera que el préstamo tenga tasas de interés más elevadas conforme se incremente el monto del préstamo. Use una gráfica, generada en una hoja de cálculo, de la curva del CPPC, con las tasas de interés que se estiman para el préstamo y que se indican a continuación, con la fmalidad de determinar la mejor mezcla D-P para la pareja.

Monto del préstamo, $

Tasa de interés estimada, % anual

10000 25000 50000 60000 75000 100000

7.0 7.5 9.0 10.0 12.0 18.0

10.16 Tiffany Baking Co. quiere obtener $50 millones de capital para manufacturar un nuevo producto de consumo. El plan de financiamiento actual está formado por 60% de capital propio y 40% de deuda. Calcule el CPPC para el siguiente escenario de financiamiento. Capital propio: 60% o $35 millones obtenidos mediante ventas de acciones comunes para 40% de dicha cantidad, que pagarían dividendos a una tasa de 5% anual; y 60% restante que se obtendría de utilidades no pagadas que actualmente rinden 9% por año. Capital de deuda: 40% o 15 millones que se obtendrían de dos fuentes: préstamos bancarios por $10 millones contratados al 8% anual y el resto en bonos convertibles a una tasa de interés estimada de 10% anual. 10.17 A continuación se presenta el resumen de mezclas posibles D-P y los costos de capital de deuda y propio, para un proyecto nuevo. Utilice los datos para: a) graficar las curvas para los costos promedio ponderados del capital de deuda y propio, y b) determinar cuál mezcla de capital de deuda y propio ocasionaría el CPPC más bajo. Capital de deuda Plan

Porcentaje 100 70 65 50 35 20

Tasa, % 14.5 13.0 12.0 11.5 9.9 12.4

Capital propio Porcentaje 30 35 50 65 80 100

Tasa, % 7.8 7.8 7.9 9.8 12.5 12.5

1,1

,

I

,1

¡

~

394

CAPÍTULO 10 CAPÍTULO

Toma de decisiones: decisiones: método, método, TMAR TMAR y atributos atributos múltiples múltiples Toma

problema 10.17, utilice utilice una hoja de 10.18 Para el problema cálculo para determinar determinar a) la mezcla cálculo mezcla D-P resulte mejor, y b) calcular calcular la mejor mejor que resulte mezcla D-P si el costo del capital capital de deuda deuda mezcla incrementa 10% por año. se incrementa informe anual para los accionistas, accionistas, 10.19 En su informe una corporación corporación pública pública en la que usted usted posee acciones acciones comunes comunes reportó reportó un CPPC posee durante el año. Durante Durante los tres de 10.7% durante últimos años, sus acciones acciones comunes comunes proúltimos promediaron un rendimiento rendimiento total de 6% anual. mediaron informe también también menciona menciona que los proEl informe proyectos de la corporación corporación se financian financian con yectos capital propio. Calcule el costo costo del 80% de capital propio. Calcule capital de deuda deuda para compañía. ¿Parece ¿Parece capital para la compañía. resultado una tasa razonable razonable para el resultado para fondos recibidos en préstamo? recibidos préstamo? 10.20 Para Para comprender comprender las ventajas ventajas que tiene tiene el capital desde la perspectiva capital de deuda deuda desde perspectiva de los impuestos Estados Unidos, determine los impuestos en Estados Unidos, determine costos promedio costos promedio ponderados ponderados del capital, capital, antes y después después de impuestos, impuestos, si se financia financia entre entre 40% y 60% de un proyecto proyecto con capital capital de deuda deuda contratada contratada a19% al 9% anual. Un estudio estudio reciente reciente indica indica que los fondos fondos corporativos corporativos propios propios perciben perciben 12% por por año y que la tasa tasa efectiva efectiva de impuestos impuestos es de 35% anual. Costo Costo del capital capital de deuda deuda 10.21 Bristol Bristol Myers Myers Squibb, Squibb, compañía compañía farmacéufarmacéutica tica internacional, internacional, está está por por iniciar iniciar un proproyecto yecto nuevo nuevo que requiere requiere $2.5 millones millones de capital capital de deuda. deuda. El plan plan actual actual es vender vender bonos bonos a 20 años que pagarían pagarían 4.2% 4.2% anualanualmente, mente, pagadero pagadero en forma forma trimestral trimestral con con un descuento descuento de 3% sobre sobre el valor valor nominal. nominal. BMS BMS tiene tiene una una tasa tasa efectiva efectiva de impuestos impuestos de 35% anual. anual. Determine Determine a) el valor valor nominominal total total de los bonos bonos requeridos requeridos para para obobtener tener los $2.5 millones, millones, y b) el costo costo efectivo efectivo anual anual del del capital capital de de deuda deuda después después de de impuestos. impuestos. 10.22 10.22 Los Los Sullivan Sullivan planean planean comprar comprar con con fines fines de inversión inversión un un condominio condominio remodelado remodelado en en la la

ciudad ciudad en que viven sus padres. padres. El precio precio de compra compra negociado negociado de $200 000 se financiará ciará con 20% de sus ahorros, ahorros, los cuales cuales ganan ganan en forma forma consistente consistente 6.5% al año después de que se pagan todos los impuestos impuestos sobre la renta importantes. importantes. El 80% se recipréstamo al 9% anual durante durante 15 15 biría en préstamo años, cuyo capital capital se pagaría pagaría en desemboldesembolsos iguales. iguales. Si la tasa efectiva efectiva de impuestos impuestos es de 22% anual, con base base en estos datos exclusivamente, preguntas que exclusivamente, responda responda las preguntas siguen (nota: (nota: la tasa de 9% sobre el préstamo préstamo es antes de impuestos). impuestos). a) ¿Cuál pago anual durante ¿Cuál es el pago durante los 15 años que harán harán los Sullivan présSullivan por el préstamo? tamo? b) ¿Cuál es la diferencia valor presente presente diferencia en valor neto entre entre los $200 $200 000 ahora ahora y el VP del costo mezcla D-P 80-20 80-20 de la costo de la mezcla serie de flujos de efectivo necesarios paefectivo necesarios ra financiar compra? ¿Qué significa significa financiar la compra? este número? número? ¿Cuál es el CPPC CPPC después después de impuestos impuestos e) ¿Cuál para para esta esta adquisición adquisición de los Sullivan? Sullivan? 10.23 10.23 Un ingeniero ingeniero trabaja trabaja en un proyecto proyecto de diseño seño para para una una compañía compañía que fabrica fabrica plástiplásticos, el cual cual tiene tiene un costo costo de capital capital patripatrimonial después después de impuestos impuestos de 6% anual monial para para utilidades utilidades retenidas, retenidas, que pueden pueden utiliutilizarse zarse para para un financiamiento financiamiento patrimonial patrimonial de 100% del proyecto. proyecto. Una Una estrategia estrategia de finanfinanciamiento ciamiento alternativa alternativa consiste consiste en la emisión emisión de bonos bonos a 10 años con con un valor valor de $4 millones, que pagarán pagarán 8% anual anual de intereses intereses llones' trimestralmente. trimestralmente. Si la tasa tasa de impuesto impuesto efecefectiva tiva es de 40%, 40%, ¿qué ¿qué fuente fuente para para los fondos fondos posee posee el mínimo mínimo costo costo de capital? capital? 10.24 10.24 Tri-States Tri-States Gas Processors Processors espera espera conseguir conseguir un préstamo préstamo de $800 $800 000 000 para para mejoras mejoras de ingeniería ingeniería de campo. campo. Es posible posible aplicar aplicar dos métodos: un banco banco o métodos: solicitar solicitar el préstamo préstamo a un la emisión emisión de bonos. bonos. La La compañía compañía pagará pagará la al banco banco un un interés interés efectivo efectivo compuesto compuesto de anual durante durante 8 años. años. El El principal principal sobre sobre 8% anual el el préstamo préstamo se pagará pagará uniformemente uniformemente dudu-

10.:

Cos

10.2

PROBLEMAS PROBLEMAS

después de cada rante los 8 años, y el saldo después acumulará con intereses. intereses. La pago anual se acumulará emisión será de 800 bonos a $1 $1 000 cada emisión interés de 6% anual. uno con un pago de interés método de financiamiento financiamiento resulta resulta a) ¿Qué método barato después después de considerar considerar una más barato impuestos efectiva efectiva de140%? de140%? tasa de impuestos método más barato b) ¿Cuál es el método barato en un análisis antes de impuestos? impuestos? análisis Charity Hospital, Hospital, fundado fundado en 1895 como 10.25 El Charity corporación no lucrativa, lucrativa, no paga paga imuna corporación puesto sobre sobre la renta renta ni tampoco tampoco obtiene obtiene puesto ventajas tributarias tributarias por el pago de intereintereventajas directores ha aprobado aprobado la ses. La junta junta de directores adquisición de equipo equipo para el tratamiento tratamiento adquisición requerirá $10 millones millones del cáncer, lo cual requerirá capital de deuda deuda para complementar $8 en capital para complementar millones en capital capital patrimonial patrimonial actualmenmillones actualmente disponible. disponible. Los $10 millones millones pueden pueden obtenerse préstamo al 7.5% tenerse en préstamo 7.5 % anual medianmedianHospital Corporation. Corporation. Como Como te la Charity Charity Hospital alternativa, alternativa, pueden pueden emitirse emitirse bonos bonos de fideifidei comiso corporación comiso a 30 años a través través de la corporación lucrativa lucrativa del hospital hospital para para pacientes pacientes exterexternos, Charity Charity Outreach, Outreach, lnc. Inc. Se espera espera que los intereses intereses de los bonos bonos sean sean del 9.75% 9.75% anual, anual, los cuales cuales son deducible deducibless de impuesimpuestos. Los bonos bonos se venderán venderán con un descuento descuento del 2.5% 2.5 % por por venta venta rápida. rápida. La tasa de imimpuestos puestos efectiva efectiva de la corporación corporación lucrativa lucrativa del hospital hospital es de 32%. ¿Qué ¿Qué forma forma de financiamiento nanciamiento de deuda deuda es menos menos costosa costosa después después de impuestos? impuestos? Costo Costo de capital capital propio propio 10.26 10.26 Las Las acciones acciones comunes comunes que que emitió emitió Henry Henry Harmon Harmon Builders Builders pagaron pagaron a los accionistas accionistas $0.93 $0.93 por por acción, acción, sobre sobre un precio precio promedio promedio de $18.80 $18.80 el último último año. La compañía compañía espera espera que que la tasa tasa de dividendos dividendos aumente aumente a un máximo La volatilidad volatilidad de las ximo de 1.5% anual. anual. La acciones acciones cuantificada cuantificada en 1.19 es algo mayor mayor que que la de otras otras empresas empresas públicas públicas de la industria dustria de la construcción, construcción, además además de que que otros otros paquetes paquetes accionarios accionarios en este este mercado mercado

395

pagan pagan dividendos dividendos de 4.95% 4.95% por año. Los bonos bonos del Tesoro de Estados Estados Unidos Unidos rinden rinden 4.5%. Determine Determine el costo del capital capital propio propio para la compañía último año, con compañía durante durante el último el uso de: a) el método método del dividendo, dividendo, y b) el CAPM. CAPM. 10.27 Las normas provenientes del normas del gobierno gobierno provenientes Departamento Estados Departamento de Agricultura Agricultura de Estados Unidos exigen que la empresa Unidos (DAEU) (DAEU) exigen empresa Fortune 500 implemente implemente el programa programa de seguridad alimentos HACCP HACCP (Hazards guridad en los alimentos (Hazards Analysis Critical Control Control Points) Points) en sus Analysis and Critical plantas procesamiento de carne carne de res en plantas de procesamiento 21 estados. Para financiar financiar el equipo equipo y parte parte estados. Para de la capacitación personal de este nuevo capacitación del personal programa, Wholesome Chickens Chickens espera espera programa, Wholesome utilizar mezcla D-C D-C del 60%-40% 60%-40% para para utilizar una mezcla financiar una una inversión inversión de recursos recursos de $10 financiar millones para para mejora mejora de equipo, equipo, de ingeingemillones niería y de control control de calidad. calidad. Se sabe sabe que niería el costo del capital capital de deuda deuda después después de impuestos puestos por por los préstamos préstamos es 9.5% 9.5% anual. obstante, para para obtener obtener suficiente suficiente capital capital No obstante, patrimonial se requerirá requerirá la venta venta de acciones acciones patrimonial comunes, así como como el empleo empleo de las utilidautilidacomunes, retenidas de la compañía. compañía. Utilice Utilice la sides retenidas guiente información información para para determinar determinar el guiente CPPC para para la implementación implementación del HACCP. CPPC

Acciones comunes: comunes: 100000 100 000 acciones acciones Acciones Precio anticipado anticipado = $32 $32 por por acción acción Precio Di videndo $1.10 por por acción acción videndo inicial inicial = $1.10 Crecimiento de Crecimiento dividendos por por acción acción = 2% anual anual dividendos Utilidades retenidas: retenidas: el mismo mismo costo costo del caUtilidades pital que que para para las las acciones acciones comunes. comunes. pital 10.28 El año pasado, pasado, una una corporación corporación japonesa japonesa de de 10.28 ingeniería de materiales, materiales, Yamachi Yamachi lnc., Inc., adingeniería quirió algunos algunos bonos bonos del Tesoro Tesoro de Estados Estados quirió Unidos con con rendimiento rendimiento promedio promedio de de 4% 4% Unidos anual. Ahora, Ahora, los los eurobonos eurobonos se compran compran con con rendimiento promedio promedio obtenido obtenido de de 3.9% 3.9% un rendimiento El factor factor de de volatilidad volatilidad de las accioaccioanual. El anual. nes de Yamachi Inc, Inc. durante durante el último último año fue de 1.10 yy se se incrementó incrementó a 1.18 este este año. año.

I

i:¡ I!r ~I

396

CAPÍTULO CAPÍTULO 10

Toma de método, TMAR TMAR y atributos atributos múltiples múltiples Toma de decisiones: decisiones: método,

tante del capital proviene de préspréstante capital de deuda deuda proviene tamos reembolsados reembolsados a una una tasa tasa efectiva tamos efectiva de 10.5% antes de impuestos. impuestos. Si la tasa tasa efectiefectiimpuestos sobre renta es de 35%, va de impuestos sobre la renta determine el costo costo promedio promedio ponderado ponderado del determine capital capital a) antes de impuestos impuestos y b) después después de impuestos. impuestos.

Otras misma industria Otras acciones acciones de la misma industria negociadas para para el público público pagan pagan en propronegociadas medio dividendos dividendos de 5.1 % anual. Determine Determine costo del capital capital propio cada año y el costo propio para para cada explique por qué parece parece haber haber ocurrido explique por ocurrido un aumento aumento o disminución. disminución. 10.29 Un egresado planea comprar egresado de ingeniería ingeniería planea comprar nuevo y aún no decide un auto nuevo decide como saldar saldar los $28 000 del precio precio de adquisición adquisición del SUV que eligió. una cuenta SUV eligió. En una cuenta de ahorros ahorros dispone monto total, total, por por lo que una una dispone del monto opción es pagarlo contado; sin embargo, embargo, opción pagarlo al contado; agotaría casi todos sus ahorros. ahorros. Dichos esto agotaría Dichos capitalizable cada fondos rinden rinden 6% al año, capitalizable cada 6 meses. meses. Desarrolle Desarrolle un análisis análisis antes de imimpuestos para para determinar determinar cuál cuál de los tres puestos planes de financiamiento financiamiento que se mencionan mencionan planes CPPC más bajo. a continuación continuación tiene tiene el CPPC Plan 1: D-P D-P es Usar $14 000 de Plan es 50%-50%. 50%-50%. Usar

~I,~,"

l~., '1

la cuenta préstamo cuenta de ahorros ahorros y obtener obtener un préstamo por $14 000 con una tasa tasa de 7% anual, capor eapitalizable diferencia pitalizable mensualmente. mensualmente. La diferencia entre los pagos pagos y los ahorros ahorros se depositaría depositaría capitalizable semestralmente. semestralmente. al 6% anual, capitalizable Plan 100% de Tomar Plan 2: 100% de fondos fondos propios. propios. Tomar

ahora $28 000 de los ahorros. ahorros. ahora Plan 100% de Contratar un présPlan 3: 100% de deuda. deuda. Contratar prés-

tamo de $28 000 ahora, de una créuna unión unión de créefectiva de 0.75% 0.75% por dito con tasa efectiva por mes, y saldarlo con $581.28 $581.28 mensuales durante 60 saldarlo mensuales durante meses. meses. OILogistics.com cuenta cuenta con un total de 1.53 10.30 OILogistics.com millones acciones comunes comunes en circulacirculamillones de acciones ción a un precio precio de mercado mercado de $28 por por accosto del capital capital patrimonial ción. El costo patrimonial antes impuestos de las acciones acciones comunes comunes es de impuestos acciones constituyen constituyen el de 15% anual. Las acciones fondos de los proyectos 50% de los fondos proyectos para para el capital compañía. El resto capital de la compañía. resto del capital capital lo generan fideicomiso de equipo equipo generan bonos bonos de fideicomiso y préstamos préstamos a corto corto plazo. plazo. Treinta Treinta por por ciento del capital capital de deuda deuda proviene proviene de bonos bonos por 000000 a 15 años al 6% anual con por $5 000000 un valor valor unitario unitario de $10 000. El 70% resres-

H

10.31 Se han identificado proyectos. El capiidentificado tres proyectos. tal se obtendría obtendría 70% de fuentes fuentes de deuda deuda a tasa promedio una tasa promedio de 7.0% anual y 30% de fuentes patrimoniales patrimoniales al 10.34% anual. Iguale la TMAR TMAR al CPPC CPPC y tome la decisión decisión económica, si los proyectos proyectos son a) indepennómica, independientes; mutuamente excluyentes. dientes; b) mutuamente excluyentes. Flujo de de Inversión efectivo Inversión efectivo anual anual Proyecto Proyecto inicial, $ neto $/año neto $/año -25000 -25000 -30000 -30000 --50000 50000

1 l 2

3

6000 6000 9000 9000 15000 15000

Valor de de Vida, rescate, $ años rescate, años 4000 4000 -1000 -1000 20000 20000

4 4 4

10.32 jaulas 10.32 Shadowland, Shadowland, empresa empresa fabricante fabricante de jaulas para aéreos, identificó identificó para mascotas mascotas en viajes viajes aéreos, aunque tienen dos proyectos proyectos que, aunque tienen un riesgo riesgo relativamente espera que introduzintroduzrelativamente alto, se espera compañía en nuevos can a la compañía nuevos mercados. mercados. Utilice solución con hoja cálculo paUtilice la solución hoja de cálculo ra a) seleccionar seleccionar cualquier cualquier combinación combinación = CPPC CPPC después después de proyectos proyectos si la TMAR TMAR = impuestos, y b) determinar determinar si deben deben elede impuestos, girse los mismos factores girse mismos proyectos proyectos si los factores suficientes para de riesgo riesgo son suficientes para requerir requerir 2% adicional por inversión que se adicional por año para para la inversión realizará. realizará.

Proyecto Proyecto

Inversión Inversión inicial, $

Vida salvaje salvaje (W) -250 -250 000 Reptiles -50 000 -50 Reptiles (R)

Flujo de de efectivo efectivo anual anual estimado, después después de de Vida, estimado, impuestos, $/año años impuestos, $/año años 48000 48000 30000 30000

10 5

El financiamiento financiamiento se haría haría con una una mezcla mezcla 60-40 de D-P fondos propios 60-40 D-P con fondos propios que cuescuesfinanciamiento con deuda tan 7.5% anual. El financiamiento deuda

Di

10

397

PROBLEMAS

sería con bonos por $10 000 a 5% por año, pagadero trimestralmente. La tasa de impuestos efectiva es de 30% anual. 10.33 El gobierno federal impone requisitos a la industria en diversas áreas: seguridad en el trabajo, control de contaminación, protección del ambiente, control de ruidos, etcétera. Una opinión de estas regulaciones consiste en que su cumplimiento tiende a reducir la tasa de rendimiento sobre la inversión y/o a incrementar el costo del capital a la corporación. En muchos casos, el impacto económico de estas obligaciones reguladas no puede evaluarse como en las alternativas regulares de ingeniería económica. Aplique sus conocimientos de análisis de ingeniería económica para explicar cómo podría un ingeniero evaluar económicamente alternativas que definen las formas en las que la compañía cumplirá con las normas impuestas.

Diferentes mezclas D-C 10.34 ¿Por qué no es saludable en lo financiero que un individuo mantenga durante mucho tiempo porcentajes grandes de financiamiento con deuda; es decir, que esté apalancado con deuda ? 10.35 La empresa Fairmont Industries basa 100% del financiamiento para sus proyectos en capital propio y tiene una buena oportunidad que requeriría $250 000. El propietario de Fairmont puede suministrar el dinero de inversiones personales que actualmente perciben un promedio de 8.5% por año. Se estima que el flujo de efectivo neto anual del proyecto será de $30 000 durante los 15 años siguientes. De manera alternativa, puede obtenerse un préstamo por el 60% de la cantidad requerida, durante 15 años al 9% anual. Si la TMAR es el CPPC, determine cuál plan es mejor, si alguno lo fuera. Este es un análisis antes de impuestos.

10.36 El señor McKay tiene métodos diferentes con los que puede financiar un proyecto de $600 000 con capital de deuda y propio. Se estima un flujo de efectivo de $90 000 anuales durante 7 años. Plan de financiamiento,

%

Tipo de financiamiento

1

2

3

Deuda Propio

20 80

50 50

60 40

Costo por año, % 10 7.5

10.37 Mosaic Software tiene una oportunidad de invertir $10 000 000 en un nuevo sistema de control remoto de ingeniería, para las plataformas de perforación a mar abierto. El financiamiento total para Mosaic se dividirá entre ventas de acciones comunes ($5 000000) y un préstamo con 8% de tasa de interés anual. La participación de Mosaic del flujo de efectivo neto anual se calcula en $2.0 millones para cada uno de los próximos 6 años. Mosaic está por iniciar el MPAC como su modelo de evaluación de acciones comunes. Un análisis reciente muestra que este modelo posee una puntuación de volatilidad de 1.05 y paga una prima del 5% de dividendos en acciones comunes. Los títulos del Tesoro de Estados Unidos pagan actualmente 4% anual. ¿Resulta económicamente atractivo el riesgo si la TMAR es igual a) al costo del capital patrimonial y b) al CPPC? 10.38 Trace la forma general de las tres curvas de costo de capital (deuda, capital propio y CPPC) utilizando la forma de la figura 10.2. Dibújelas bajo la condición de que una mezcla alta D-C ha estado presente durante algún tiempo para la empresa. Explique con ayuda gráfica y con palabras el movimiento del punto mínimo del CPPC, bajo las mezclas históricas D-C altamente apalan-

~It I

398

CAPÍTULO CAPÍTULO 10

Toma método, TMAR múltiples Toma de decisiones: decisiones: método, TMAR y atributos atributos múltiples

cadas. Sugerencia: Sugerencia: Las mezclas mezclas D-C proprovocan que el costo vocan costo de la deuda deuda se eleve eleve conconsiderablemente. siderablemente. Esto Esto hace más difícil difícil obteobtepatrimoniales; así que el costo ner fondos fondos patrimoniales; costo del patrimonial también también se indel capital capital patrimonial incrementa. crementa. 10.39 En una compra compra apalancada apalancada de una compañía compañía última por lo general por otra, esta esta última general obtiene obtiene dinero en préstamo aporta lo menos menos posidinero préstamo y aporta posible de sus propios propios fondos. Explique algunas Explique algunas circunstancias patrón de compra circunstancias en que un patrón compra como el descrito podría podría poner poner en riesgo económico nómico a la compañía compañía compradora. compradora.

Evaluación Evaluación de atributos atributos múltiples múltiples

",l ~.'" ~I

I

personas presentó presentó las 10.40 Un comité comité de cuatro cuatro personas siguientes siguientes afirmaciones afirmaciones sobre sobre los atributos atributos por utilizarse utilizarse en un método método de atributos ponponderados. Emplee Emplee los enunciados enunciados para deterderados. para determinar minar los pesos pesos normalizados normalizados si las puntuapuntuaciones asignadas asignadas van de O Oaa 10. ciones Atributo Atributo

Comentario Comentario

Flexibilidad 1. Flexibilidad Seguridad 2. Seguridad

El factor factor más importante El más importante 50% tan importante como como el 50% tan importante tiempo operación tiempo de operación La mitad importante que que La mitad de importante flexibilidad la flexibilidad Tan importante importante como como el Tan tiempo operación tiempo de operación doble de importante importante que que El doble seguridad la seguridad

Tiempo de operación operación 3. Tiempo 4. Velocidad Velocidad 5. Tasa Tasa de rendimiento 5. rendimiento

estudia el uso de vehículos excavadores 10.41 Se estudia vehículos excavadores diferentes tipos y capacidades capacidades para de diferentes para usarusarexcavaciones grandes grandes dentro dentro de un los en excavaciones proyecto colocación de ductos. Varios suproyecto de colocación pervisores similares anteriores anteriores pervisores de proyectos proyectos similares identificaron algunos algunos atributos atributos y sus puntos identificaron puntos sobre la importancia importancia de éstos. La de vista vista sobre información sobre esto se presenta enseguiinformación presenta enseguiDetermine el orden orden de calificación calificación ponda. Determine

derada, una escala derada, en una escala de O a 100 Y las ponderaciones normalizadas. normalizadas. ponderaciones Atributo Atributo

Comentario Comentario

carga de 1. Altura Altura de carga camión camión versus versus excavadora excavadora 2. 2. Tipo Tipo de la capa capa superior superior del del suelo suelo suelo 3. Tipo. de suelo subyacente subyacente

Factor vital Factor de importancia importancia vital

4. Duración Duración de de la excavadora excavadora Armonizar la exca5. Armonizar excavación de trincheras vación de trincheras con con la colocación colocación de tubería tubería

Por lo general general sólo sólo 10% del del Por problema problema La mitad de importancia importancia La mitad de respecto a armonizar respecto armonizar la excavación trincheras excavación de trincheras con la colocación colocación de de tubería tubería con 75% 75% de importancia importancia frente frente a las las capas capas superior superior y subyacente subyacente del del suelo suelo Tan Tan importante importante como como el el atributo número uno uno atributo número

Atr

Rer Alt; Baj

Pun dei

Ren,

ec Alta Baje

10.

graduó hace 2 años y tiene planes 10.42 Usted Usted se graduó planes comprar un nuevo nuevo automóvil. automóvil. Ha evaevade comprar costo inicial inicial y los costos costos anuales anuales luado el costo estimados de combustible combustible y mantenimiento mantenimiento estimados diferentes modelos. modelos. Asimismo, Asimismo, ha en tres diferentes evaluado el diseño diseño de cada automóvil automóvil para para evaluado papel que usted usted desempeña desempeña como ingeel papel profesional con edad edad cercana cercana a los 25 niero profesional años. Elabore Elabore una lista lista de algunos algunos factores factores años. adicionales (tangibles (tangibles e intangibles) intangibles) que poadicionales poutilizarse en la versión versión que usted usted elaeladrían utilizarse bore método de atributos atributos ponderados. bore del método ponderados. 10.43 (Nota para para el profesor: profesor: los dos problemas problemas siguientes pueden siguientes pueden plantearse plantearse como un solo labora para ejercicio progresivo). John, quien labora Swatch, decide aplicar el método de atributos ponderados comparar tres sistemas para ponderados para comparar fabricar un extensible extensible para reloj. El viceprefabricar vicepreasistente han evaluado evaluado cada cada uno sidente y su asistente de los tres atributos, en términos términos de la importancia portancia que representa representa para ellos, y John evaluación de O a 100 sobre cada dio una evaluación alternativa para los tres atributos. Las punalternativa puntuaciones de John son las siguientes: tuaciones

Atri

Ren, Alta Baje

399

PROBLEMAS

Alternativa Atributo Rendimiento económico> Alta productividad Bajo ritmo de desecho

TMAR

1

2

3

50 100 100

70 60 40

100 30 50

Utilice los pesos indicados abajo para evaluar las alternativas. ¿Son los mismos resultados para los pesos de las dos personas? ¿Por qué? Puntuación de importancia

Vicepresid~nte

Asistente del vicepresidente

20

100

80 100

80 20

Rendimiento económico> TMAR Alta productividad Bajo ritmo de desecho

10.44 En el problema 10.43 el vicepresidente y su asistente no son consistentes en sus pesos de los tres atributos. Suponga que usted es el consultor al que se le pide que asesore a John. a) ¿Cuáles son algunas de las conclusiones a las que usted puede llegar sobre el método de atributos ponderados como método de selección de alternativas, dadas las puntuaciones de las alternativas y los resultados del problema 1O.43? b) Utilice las nuevas puntuaciones de las alternativas que usted mismo ha hecho para elegir una alternativa. De acuerdo con las mismas puntuaciones del vicepresidente y de su asistente, que aparecen en el problema 10.33, haga comentarios sobre cualesquiera diferencias relativas a la alternativa elegida. e) ¿Qué le indican las nuevas evaluaciones de las alternativas que usted realizó sobre las elecciones basadas en las puntuaciones de importancia del vicepresidente y de su asistente?

10.45 La división de extensibles que se menciona en el problema 10.43 acaba de ser multada con $1 millón por contaminar el ambiente con aguas residuales de baja calidad. Asimismo, John se convirtió en el vicepresidente y ya no hay vicepresidente auxiliar. John siempre ha estado de acuerdo con la importancia de los logros del vicepresidente auxiliar anterior y las calificaciones alternativas que había desarrollado (presentadas ya en el problema 10.43). Si agrega su propia calificación de 80 al nuevo factor de limpieza ambiental, y a las alternativas 1, 2, Y 3 las califica con 80, 50 Y 20, respectivamente, en cuanto a dicho factor, repita la evaluación para seleccionar la mejor alternativa. 10.46 Para el ejemplo 10.10, utilice una ponderación equivalente de 1 para cada atributo con el objetivo de elegir la alternativa. ¿La ponderación de atributos modificó la alternativa elegida? 10.47 La tienda Athlete's Shop ha evaluado dos propuestas de equipo de levantamiento de pesas y de ejercicio. Un análisis de valor presente a una tasa i = 15% de ingresos y costos estimados dio como resultado un VP A = $420500 y un VPB = $392 800. Además de esta medida económica, el gerente de la tienda y el entrenador asignaron independientemente a tres atributos una puntuación de importancia relativa de O a 100. Puntuación de importancia Atributo Economía Durabilidad Flexibilidad Mantenibilidad

Gerente

Entrenador

100 35 20 20

80 10 100 10

Alternativa Atributo Rendimiento económico> Alta productividad Bajo ritmo de desecho

TMAR

1

2

3

30 70 100

40 100 80

100 70 90

Usted ha utilizado los cuatro atributos por separado, para evaluar las dos propuestas de equipo en una escala de 0.0 a 1.0. El atributo económico se evaluó utilizando valores VP.

400

CAPÍTULO

Atributo

Toma de decisiones: método, TMAR y atributos múltiples

Propuesta A

Propuesta B

1.00

0.90 1.00

Economía Durabilidad Flexibilidad Mantenibilidad

0.35 1.00 0.25

¿

10

Elija la propuesta utilizando cada uno de los siguientes métodos: a) Valor presente. b) Evaluaciones ponderadas del gerente. e) Evaluaciones ponderadas del entrenador.

0.90 1.00

j

EJERCICIO AMPLIADO ÉNFASIS EN LO CORRECTO Un servicio esencial que se proporciona a los ciudadanos de una ciudad es la protección policiaca. Los crecientes niveles de criminalidad que incluyen las lesiones a las personas se han documentado en los suburbios cercanos de Belleville, un área histórica altamente poblada al norte de la capital. En la fase 1 del programa, el jefe de la policía ha elaborado y analizado con anticipación cuatro propuestas sobre la manera en que puede llevarse a cabo la supervisión y protección en las zonas residenciales objetivo. Como medida inmediata se dispone de más oficiales de policía con automóvil, bicicleta, a pie o a caballo. Cada alternativa ha sido evaluada por separado para calcular los costos anuales. La colocación de seis nuevos oficiales en bicicleta es evidentemente la opción menos costosa con un costo aproximado de $700 000 anuales. La siguiente mejor propuesta es la asignación de 10 nuevos oficiales a pie con un costo de $925 000 anuales. Las demás alternativas tendrán un costo ligeramente mayor que la opción de considerar policías a pie. Antes de entrar a la fase II, que consiste en un estudio piloto de 3 meses para probar uno o dos de estos enfoques en los vecindarios, se le ha pedido a un comité compuesto por cinco miembros (del personal de la policía y residentes de la ciudad) que ayuden, como representantes de los residentes y oficiales de policía, a determinar y jerarquizar los atributos importantes para ellos en esta decisión. Los cinco atributos aprobados de común acuerdo después de 2 meses de discusión aparecen abajo, seguidos por el ordenamiento de los atributos por cada miembro del comité, empezando por el de mayor importancia (calificación de 1) al de menor importancia (calificación de 5). Miembro del comité Atributo

1

2

3

4

5

Suma

A. Habilidad para acercarse a la ciudadanía B. Costo anual C. Tiempo de respuesta a una llamada o envío D. Número de manzanas (cuadras) en el área de cobertura E. Seguridad de los oficiales

4

5

3

4

5

21

3 2

4 2

1 5

2 1

4 1

14 11

2

3

2

9

Totales

-

5

15

-

3

15

-

4

15

-

5

15

-

3

15

20

-

75

ESTUDIO ESTUDIO DE CASO

401

Preguntas Preguntas 1. Defina pesos que pueden pueden utilizarse utilizarse en el método método de atributos ponderados Defina los pesos atributos ponderados para cada miembros del comité promepara cada atributo. atributo. Los miembros comité están están de acuerdo acuerdo en que el promedio simple cinco puntuaciones puntuaciones de atributos puede considesimple de sus cinco atributos ordenados ordenados puede consideindicador de la importancia tiene para para ellos como rarse un indicador importancia que cada cada atributo atributo tiene grupo. 2. Uno de los miembros recomendó y obtuvo miembros del comité comité recomendó obtuvo la aprobación aprobación del comité, comité, para reducir reducir los atributos para atributos que se tomaron tomaron en cuenta cuenta en la elección elección final, a sólo aquellos listados como número 1 por uno o más miembros miembros del coaquellos que fueron listados como número vuelva a calcular pesos como pidió en la mité. Elija Elija estos estos atributos atributos y vuelva calcular los pesos como se pidió pregunta l. pregunta l. 3. Un analista prevención de delitos analista de prevención delitos del Departamento Departamento de Policía Policía aplicó aplicó el método de atributos ponderados a los atributos pregunta 1. Los método atributos ponderados atributos ordenados ordenados en la pregunta valores presentan abajo. ¿Qué dos opvalores Rj R, obtenidos obtenidos con la ecuación ecuación [10.11] [10.11] se presentan ciones jefe de la policía policía para para su estudio piloto? ciones debería debería elegir elegir el jefe estudio piloto? Alternativa Alternativa

Automóvil Automóvil 62.5

A caballo 35.4

.atiE!!2 ESTUDIO ESTUDIO DE CASO CASO

¿QUÉ ¿QUÉ ELEGIR: ELEGIR: FINANCIAMIENTO FINANCIAMillNTO DE DE DEUDA DEUDA O PATRIMONIAL? PATRIMONIAL? La oportunidad oportunidad Pizza Hut Corporation ha decidido ingresar al negocio de servicio de alimentos y bebidas en tres estados dentro de su sección al sureste de Estados Unidos, con el nombre de Pizza Hut en su Hogar. Para la entrega de alimentos y el personal servicio, se comprarán comprarán alimentos personal de servicio, aproximadamente 200 camionetas con interiores hechos por encargo, todo lo cual tendrá un costo de $1.5 $l.5 millones. Se espera que cada camioneta tenga un uso de 10 años y un valor de salvamento salvamento de $1000. $1 000. viabilidad llevado a cabo el año paUn estudio de viabilidad sado indicó que un riesgo en un negocio de servicio a flujo domicilio podría generar un fIu jo de efectivo neto anual de aproximadamente aproximadamente $300 000 antes de impuestos en los tres estados. Las cuestiones después de impuestos tendrían que tomar en cuenta la tasa efectiva de impuestos de 35% que pagará Pizza Hut. DistriUn ingeniero que trabaja para Pizza Hut's Distribution Division ha laborado con la oficina de finanzas de la corporación, para determinar determinar la mejor forma de

recabar los $l.5 $1.5 millones de capital que se requieren para la compra de las camionetas. Existen dos planes viables de financiamiento. financiamiento.

Opciones de financiamiento financiamiento consiste en el financiamiento financiamiento de deuda para El plan A consiste 50% del capital ($750000), ($750000), con 8% anual con reempréstamo a un interés compuesto durante 10 bolso del préstamo 10 años y pagos uniformes de fin de año. (Se puede hacer la suposición simplificativa simplificativa de que $75000 $75000 del principal se pagan con cada pago anual.) El plan B consiste en el 100% de capital patrimopatrimonial reunido de la venta de acciones comunes de $15 por acción. El gerente de finanzas informó al ingeniero que las acciones están pagando $0.50 por acción en dividendos, y que dicha tasa de dividendos ha estado elevándose a un promedio promedio de 5% anual. Se espera que este patrón de dividendos continúe sobre la base del ambiente financiero actual.

402 402

CAPÍTULO CAPÍTULO 10 10 Toma Toma de de decisiones: decisiones: método, método, TMAR TMAR yy atributos atributos múltiples múltiples

Ejercicios del del estudio estudio de de caso caso Ejercicios 1. ¿Qué ¿Qué valores valores de de la la TMAR TMAR debería debería utilizar utilizar el el ingeinge1. niero para determinar el plan de financiamiento ópniero para determinar el plan de financiamiento óptimo? timo? 2. El El ingeniero ingeniero debe debe hacer hacer recomendaciones recomendaciones sobre sobre el el 2. plau de frnauciamiento al final del día. No sabe cómo plan de financiamiento al final del día. No sabe cómo considerar todos todos los los ángulos ángulos tributarios tributarios para para el el fificonsiderar nanciamiento de deuda en el plan A. Sin embargo, nanciamiento de deuda en el plan A. Sin embargo, cuenta con con un un manual manual que que contiene contiene fórmulas fórmulas para para cuenta el capital patrimonial y para deuda sobre impuestos el capital patrimonial y para deuda sobre impuestos flujos de de efectivo: efectivo: yy flujos Capital patrimonial: patrimonial: no hay ventajas ventajas tributarias tributarias (imCapital puesto sobre sobre la renta). renta). puesto Flujo de efectivo efectivo neto neto después después de impuestos impuestos Flujo = (flujo (flujo de efectivo efectivo neto neto antes antes de impuestos) impuestos) = tasa de impuestos) impuestos) (1 - tasa Capital de deuda: deuda: la ventaja impuestos sobre sobre la Capital ventaja en impuestos renta proviene del pago de intereses sobre préstamos renta proviene pago intereses sobre préstamos

Flujo Flujo de de efectivo efectivo neto neto después después de de impuestos impuestos == flujo flujo de de efectivo efectivo neto neto antes antes de de impuestos impuestos -- principal principal del del préstamo préstamo -- interés interés del del préspréstamo tamo -- impuestos impuestos Impuestos Impuestos == (ingresos (ingresos gravables)(tasa gravables)(tasa tributaria) tributaria) Ingresos Ingresos gravabies gravables == flujo flujo de efectivo efectivo neto neto -- interés interés del del préstamo préstamo El El ingeniero ingeniero decide decide olvidar olvidar cualquier cualquier otra conseconsecuencia cuencia sobre sobre impuestos impuestos y utilizar utilizar esta esta información información para para formular formular una una recomendación. recomendación. ¿Es A o es B el plan plan óptimo? óptimo? 3. Al gerente gerente de área área le agradaría agradaría saber saber cuánto cuánto varía varía el CPPC CPPC para para diferentes diferentes mezclas mezclas D-C, D-C, en especial especial cerca cerca del 15% al 20% 20% a cada cada lado lado del 50% 50% de la opción opción del financiamiento financiamiento de deuda deuda del planA. plau A. Trace Trace la curva curva del del CPPC CPPC y compare compare su forma forma con con la de la figura figura 10.2. 10.2.

NIVELTRES ~LTRES

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TOMA DE DECISIONES TOMA DECISIONES , EN PROYECTOS PROYECTOS REALES REALES

(

I

NIVEL NIVEL UNO UNO

NIVEL NIVEL DOS

NIVEL N IVEL CUATRO CUATRO

Así comienza comienza todo todo

Herramientas Herramientas evaluación para evaluación de alternativas alternativas

Redondeo Redondeo del estudio estudio

Capítulo 1 Capítulo Fundamentos Fundamentos ingeniería de ingeniería económica económica

\ ~;

diem

Capítulo 2 Capítulo Factores: Factores: cómo el tiempo tiempo cómo interés y el interés afectan al afectan dinero dinero

~~ Capítulo 3 Capítulo Combinación Combinación factores de factores Capítulo 4 Capítulo Tasas de Tasas interés interés nominales nominales efectivas y efectivas

Capítulo 5 Capítulo valor Análisis del valor presente presente Capítulo 6 Capítulo valor Análisis del valor anual Capítulo 7 Capítulo Análisis de tasa rendimiento: de rendimiento: alternativa única alternativa

Capítulo 11 Capítulo Decisiones Decisiones reemplazo de reemplazo conservación y conservación Capítulo 12 12 Capítulo Selección de Selección proyectos proyectos independientes independientes limitaciones con limitaciones presupuesta les presupuesta Capítulo 13 13 Capítulo

Capítulo 8 Capítulo Análisis de tasa rendimiento: de rendimiento: alternativas alternativas múltiples múltiples Capítulo 9 Capítulo Análisis beneficio/costo beneficio/costo economía del y economía sector público público sector Capítulo 10 Capítulo Toma de decisiones: decisiones: método, TMAR y método, atributos atributos múltiples múltiples

Análisis del Análisis punto de punto equilibrio equilibrio

Capítulo 14 14 Capítulo Efectos de Efectos la inflación inflación la Capítulo 15 Capítulo Estimación de Estimación costos y asignación de asignación indirectos costos indirectos Capítulo 16 Capítulo Métodos de Métodos depreciación depreciación Capítulo 17 Capítulo Análisis económico económico después de después impuestos impuestos Capítulo 18 Capítulo Análisis de sensibilidad sensibilidad formalizado y formalizado decisiones con decisiones valor esperado esperado valor Capítulo 19 Capítulo Más sobre variaciones y toma toma variaciones decisiones de decisiones riesgo bajo riesgo

técni L ti va r

punt dos f

de la vent: tallac

, F

e

Los Los capítulos en este nivel amplían el uso de los instrumentos instrumentos de evaluación económica a situaciones del mundo mundo real. real. Un Un gran porcentaje porcentaje de las las evaluaciones económicas implican más proyectos. más que la la selección de nuevos activos o proyectos. Probablemente Probablemente la la evaluación más más común realizada realizada es es la la del reemplazo o retención de un activo fijo. El reemplazo aplica los instrumentos tención El análisis de reemplazo instrumentos de evaluación la decisión económica correcta. eva lua ción para tomar tomar la Con frecuencia, la la evaluación involucra la la elección de proyectos proyectos indepenindependientes bajo la quiere de una dientes la restricción de un presupuesto presupuesto limitado. limitado. Esto re requiere técnica especial basada basada en los capítulos anteriores anteriores.. tanto, una alternaLos Los estimados estimados futuros ciertamente ciertamente no son exactos. Por tanto, fijos . El tiva no sería sería seleccionar sólo con base en los estimados estimados fijos. El análisis de punto de equilibrio punto equilibrio respalda el proceso de evaluación de un rango de estimados para P, tamaño P, A, F, F, ion, ion, y opera con variables como nivel de producción, producción, tamaño de la fuerza de trabajo, trabajo, diseño de costos, costo de materia prima y precio de la fuerza venta. Las Las hojas de cálculo aceleran este importante, importante, pero con frecuencia detallado, instrumento tallado, instrumento de análisis.

Nota importante: Si se consideran la la depreciación del activo y los imimNota importante: Si puestos anális;s después después de puestos en un un análisis de impuestos, impuestos, los capítulos 16 y 17 deben estudiarse estudiarse antes antes o junto con estos estos capítulos. Véase deben Véase el prefacio para más opciones. opciones. para

11 11 o o

«« u u

Decisiones de reemplazo reemplazo . ,, y conservaclon conservacion Uno de los análisis análisis de ingeniería económica económica que se se llevan a cabo con mayor un activo o sistema que se se frecuencia es es el de reemplazo o conservación de un encuentre en uso corriente. corriente. Éste Éste difiere difiere de los estudios estudios anteriores en que totodas las fundamental que responde un las alternativas eran eran nuevas. nuevas. La La pregunta pregunta fundamental análisis análisis de reemplazo sobre un un activo o sistema de uso actual es: es: ¿debería ¿debería reemplazarse más adelante? reemplazarse ahora o más adelante? Cuando un un activo se se encuentra en uso y su futuro, tendrá tendrá que reemplazarse en algún mosu función es es necesaria necesaria en el futuro, mento. Por lo tanto, tanto, en realidad un mento. un análisis análisis de reemplazo responde la la pregunpregunta de cuándo, cuándo, no si se se reemplazará reemplazará el activo o sistema. sistema. Por lo común, en un un análisis análisis de reemplazo primero primero se se toma la la decisión decisión económica de conservar o reemplazar ahora. Si Si la la decisión consiste en reemplazar, estudio está plazar, el estudio está completo. completo. Si Si la la decisión consiste en en conservar, conservar, las las estimaciones del costo y la la decisión se se revisarán revisarán anualmente anualmente para para garantizar que la la decisión de conservar todavía sea sea económicamente económicamente correcta. Este Este capítulo capítulo explica cómo llevar a cabo análisis análisis de reemplazo el año inicial y los años subsecuentes. Un Un análisis análisis de reemplazo es es una una aplicación del método método VA de comparación de alternativas de vida diferente, diferente, que se se analizó en en el capítulo capítulo 6. En En un un análisis análisis de reemplazo con un un periodo periodo de estudio estudio sin sin especificar, los valores VA se se determinan determinan con una una técnica de evaluación de costo denominada denominada análisis análisis de de vida útil económica económica (VUE) (VUE).. Cuando se se especifica el periodo periodo de estudio, estudio, el procedimiento difiere de cuando éste no se cedimiento difiere se especifica. En En este capítulo capítulo se se examinan nan tales procedimientos. procedimientos. El El estudio estudio de caso caso se se refiere a un análisis análisis de reemplazo de la la realidad, que implica equipo equipo en en su su lugar adecuado adecuado y un un posible posible reemplazo por por un un equipo equipo mejorado. mejorado.

Si Si la depreciación depreciación de un activo activo y los impuestos impuestos se consideran dentro dentro de un análisis reemplazo después de impuestos, análisis de reemplazo impuestos, los capítulos capítulos 16 16 y 17 deberán deberán analizarse antes junto con este antes o junto este capítulo. capítulo. El análisis análisis de reemplazo después de impuestos impuestos se incluye en la sección 17.7. reemplazo sección 17.7.

(

-

-

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Objetivo general: realizar un estudio de reemplazo para un activo o sistema en uso y uno que podría reemplazarlo.

Este capítulo ayudará al lector a: Fundamentos

I

1. Comprender los fundamentos y los términos de un análisis de reemplazo.

Vida útil económica

2. Determinar la vida útil económica de un activo que disminuya el total del costo anual.

Análisis de reemplazo

3. Realizar un análisis de reemplazo entre un defensor y el mejor retador.

Consideraciones

4. Entender cómo abordar los diversos aspectos que podrían presentarse en un estudio de reemplazo.

adicionales

Periodo de estudio

~

5. Realizar un análisis de reemplazo a lo largo de un número específico de años.

408

CAPÍTULO CAPÍTULO 11 11

11.1

Decisiones de reemplazo reemplazo y conservación Decisiones conservación

FUNDAMENTOS ANÁLISIS DE REEMPLAZO FUNDAMENTOS DEL ANÁLISIS REEMPLAZO

La necesidad de llevar a cabo un análisis de reemplazo surge a partir de diversas fuentes:

Rendimiento disminuido. Debido al deterioro Rendimiento disminuido. Debido deterioro físico, la capacidad capacidad esperada esperada de rendimiento a un nivel niv'el de confiabilidad confiabilidad (estar rendimiento (estar disponible disponible y funcionar funcionar correctamente cuando necesario) o productividad productividad (funcionar nivel rrectamente cuando sea necesario) (funcionar a un nivel dado de calidad presente. Esto Esto por por lo general calidad y cantidad) cantidad) no está está presente, general da como resultado incrementos niveles de desechos resultado incrementos de costo costo de operación, operación, altos niveles desechos y costos reelaboración, pérdida pérdida de ventas, ventas, disminución costos de reelaboración, disminución de calidad calidad y seguridad, como elevados elevados gastos gastos de mantenimiento, ridad, así como mantenimiento. Requisitos alterados. Requisitos alterados. El equipo equipo o sistema sistema existente existente no puede puede cumplir cumplir con los nuevos requisitos requisitos de exactitud, velocidad u otras especificaciones. nuevos exactitud, velocidad especificaciones, A mereemplazar por por completo reforzarlo nudo las opciones opciones son reemplazar completo el equipo, equipo, o reforzarlo mediante ajuste intensificación. mediante ajuste o intensificación, Obsolescencia. Como Como consecuencia consecuencia de la competencia competencia internacional internacional y del ráObsolescencia. pido avance instalados funciopido avance tecnológico, tecnológico, los sistemas sistemas y activos activos actuales actuales instalados funcionan aceptablemente, aceptablemente, aunque aunque con menor menor productividad productividad que el equipo equipo que se fabricará en breve, fabricará breve. La disminución disminución del tiempo tiempo que tardan tardan los productos productos en llegar al mercado mercado con frecuencia frecuencia es la razón razón de los análisis análisis de reemplazo reemplazo llegar anticipado, estudios realizados realizados antes de que se alcance alcance la vida vida útil anticipado, es decir, estudios económica calculada, calculada. económica Los análisis análisis de reemplazo reemplazo emplean emplean terminología terminología nueva nueva que, sin embargo, embargo, se encuenencuenrelacionada con los términos términos utilizados utilizados en capítulos capítulos anteriores. tra estrechamente estrechamente relacionada anteriores,

Defensor y retador retador son las denominaciones para dos alternativas mutuamente Defensor denominaciones para alternativas mutuamente excluyentes. retador es el excluyentes. El defensor defensor es el activo activo actualmente actualmente instalado, instalado, y el retador posible análisis de reemplazo compara estas dos alternatialternatiposible reemplazo, reemplazo. Un análisis reemplazo compara vas, cuando se haya elegido como la mejor opción de vas. El retador retador será el mejor mejor cuando haya elegido mejor opción reemplazo defensor, (Es la misma empleada anterioranteriorreemplazo para para el defensor. misma terminología terminología empleada mente análisis B/C de dos alternativas mente para para la TR incremental incremental y el análisis alternativas nuevas.) nuevas.) valores anuales utilizan como principal medida medida económica Los valores anuales se utilizan como principal económica de comparacomparación entre retador. El término término CAUE uniforme entre el defensor defensor y el retador, CAUE (costo (costo anual uniforme debido a que en la evaluación equivalente) puede utilizar utilizar en vez del VA, debido equivalente) se puede evaluación frecuentemente sólo se incluyen incluyen los costos; costos; se suponen suponen iguales iguales los ingresos ingresos frecuentemente generados por el defensor defensor o el retador, cálculos de equivaequivagenerados retador. Puesto Puesto que los cálculos lencia para el CA UE son exactamente mismos que para para el VA, aplicarelencia para CAUE exactamente los mismos aplicaremos el término cuando término VA. Por Por lo tanto, todos los valores valores serán negativos negativos cuando sólo se incluyan incluyan los costos, costos. Por Por supuesto, valor de salvamento una supuesto, el valor salvamento es una excepción, ingreso de efectivo lleva un signo positivo. excepción, pues constituye constituye un ingreso efectivo y lleva signo positivo, Vida útil útil económica para una alternativa número de años en los Vida económica (VUE) (VUE) para alternativa es el número que se presenta presenta el VA de costo bajo. Los cálculos para costo más bajo, cálculos de equivalencia equivalencia para determinar VUE establecen valor n de la vida vida para para el mejor mejor retador, retador, y determinar la VUE establecen el valor también establecen establecen el costo vida menor menor para para el defensor defensor en un estudio también costo de vida estudio de reemplazo. reemplazo. (La siguiente capítulo explica siguiente sección sección del capítulo explica cómo cómo calcular calcular la VUE a mano mano y por computadora, instalaVUE computadora, de cualquier cualquier activo activo actualmente actualmente instalado o nuevo.) nuevo.)

SECCIÓN SECCIÓN 11.1 11.1

Fundamentos del análisis reemplazo Fundamentos análisis de reemplazo

Costo monto de la inversión por Costo inicial inicial del defensor defensor es el monto inversión inicial inicial P empleado empleado por el defensor. defensor. El valor valor comercial comercial actual actual (VC) es el cálculo cálculo correcto correcto de P aplicado reemplazo. El valor valor justo justo de mercado mercado aplicado al defensor defensor en un análisis análisis de reemplazo. puede obtenerse valuadores profesionales, profesionales, revendedores revendedores o liquidadores puede obtenerse de valuadores liquidadores que conozcan valor de los activos usados. El valor valor de salvamento conozcan el valor activos usados. salvamento calculado principio calculado al final del año 1 se convierte convierte en el valor comercial comercial al principio del siguiente permanezcan correctos siguiente año, siempre siempre y cuando cuando los cálculos cálculos permanezcan correctos con el paso paso de los años. Resulta incorrecto emplear valor Resulta incorrecto emplear lo siguiente siguiente como como valor comercial para el costo valor de intercambio comercial para costo inicial inicial del defensor: defensor: el valor intercambio que no represente justo o el valor valor depreciado tomado represente un valor valor comercial comercial justo depreciado en libros libros tomado de los registros registros contables. mejorarse o incrementarse contables. Si el defensor defensor debe debe mejorarse incrementarse para que sea equivalente retador (en velocidad, velocidad, capacidad, para equivalente al retador capacidad, etcétera), etcétera), este costo para obtener costo se suma suma al ve para obtener el cálculo cálculo del costo costo inicial inicial del defensor. defensor. para la alternativa En el caso de incremento incremento del activo activo para alternativa del defensor, defensor, este activo separado separado y sus cálculos cálculos se incluyen incluyen en los cálculos cálculos del activo activo instainstaactivo lado, para para completar completar la alternativa alternativa del defensor. defensor. Entonces, Entonces, esta alternativa alternativa se compara retador a través través de un análisis reemplazo. compara con el retador análisis de reemplazo. Costo inicial recuperarse (amorinicial del retador retador es la cantidad cantidad de capital capital que deberá deberá recuperarse tizarse) al reemplazar reemplazar al defensor Dicha cantidad tizarse) defensor con un retador. Dicha cantidad es casi siempre valor de siempre igual igual a P, el costo inicial inicial del retador. Ocasionalmente, Ocasionalmente, un valor intercambio manera no real pudiera pudiera ofrecerse intercambio elevado elevado de manera ofrecerse por el defensor defensor al compararlo valor de mercado mercado justo. justo. En tal caso, se reduce reduce el flujo de compararlo con su valor efectivo requerido por el retador, y ello deberá efectivo neto requerido deberá considerarse considerarse en el anácantidad correcta correcta que el retador lisis. La cantidad retador debe recuperar recuperar y utilizar utilizar en el análisis menos la diferencia análisis económico económico es su costo inicial inicial menos diferencia entre entre el valor valor de intercambio valor comercial intercambio (VI) y el valor comercial (VC) del defensor. En forma forma de ecuaecuación sería representa el costo para la compañía sería P - (VI - VC), lo cual cual representa costo real para compañía debido valor debido a que incluye incluye tanto el costo costo de oportunidad oportunidad (por ejemplo, ejemplo, valor comercial comercial del defensor) defensor) como el desembolso desembolso en efectivo efectivo (por ejemplo, ejemplo, costo inicialvalor de intercambio) para adquirir inicial- valor intercambio) para adquirir al retador. Por supuesto, supuesto, cuando los valores valores comerciales mismos, el valor valor P del comerciales y de intercambio intercambio son los mismos, retador emplea en todos los cálculos. cálculos. retador se emplea El costo retador es la inversión necesaria para para adcosto inicial inicial del retador inversión inicial inicial calculada calculada necesaria quirirlo quirirlo e instalarlo. instalarlo. En algunas algunas ocasiones, ocasiones, el analista analista o el gerente gerente buscará buscará incrementar remanente mentar el costo costo inicial inicial con una cantidad cantidad igual igual al capital capital no recuperado recuperado remanente del defensor, registros contables defensor, como como aparece aparece en los registros contables del activo. Esto se observa observa más frecuentemente frecuentemente cuando primeras etapas cuando el defensor defensor funciona funciona bien en sus primeras etapas de vida, pero pero la obsolescencia tecnológica, o alguna razón, obliga obsolescencia tecnológica, alguna otra razón, obliga a considerar considerar un reemplazo. monto de capital recuperado se le denomina reemplazo. A este monto capital no recuperado denomina costo costo no recuperable o hundido, retador, porque porque haría haría hundido, el cual no deberá deberá sumarse sumarse al costo costo inicial inicial del retador, que el retador retador parezca parezca más costoso realmente es. costoso de lo que realmente Los costos costos no recuperables recuperables o hundidos hundidos son pérdidas pérdidas de capital capital que no pueden recobrarse recobrarse en un estudio estudio de reemplazo. reemplazo. Los costos costos no recuperables recuperables o hundidos se manejan manejan correctamente correctamente en la declaración declaración de ingresos ingresos de la hundidos corporación y son deducibles deducibles de impuestos. impuestos. corporación

409

410 410

CAPÍTULO CAPÍTULO 11 11

Decisiones Decisiones de reemplazo reemplazo y conservación conservación

Un análisis análisis de reemplazo reemplazo se lleva a cabo más objetivamente objetivamente si el analista analista toma toma en cuenta punto de vista de un asesor cuenta el punto asesor de la compañía compañía o de la unidad unidad que utiliza utiliza al defensor. Así, la perspectiva perspectiva tomada tomada es que ninguna ninguna alternativa alternativa de uso corriente corriente le pertenece pertenece a la compañía, compañía, y los servicios servicios suministrados suministrados por el defensor defensor podrían podrían comcomprarse prarse ahora ahora con una "inversión" "inversión" igual igual a su costo costo inicial inicial (valor (valor comercial). comercial). Esto es correcto correcto en realidad realidad debido debido a que el valor valor comercial comercial será una oportunidad oportunidad desperdidesperdiciada ciada de ingreso ingreso de efectivo efectivo si se responde responde negativamente negativamente a la pregunta: pregunta: ¿se debe reemplazar ahora? reemplazar ahora? Por lo tanto, el punto punto de vista vista del asesor asesor es una forma forma convenienconveniente de permitir permitir que la evaluación evaluación económica económica se lleve a cabo sin inclinarse inclinarse por alguna alguna alternativa. punto de vista externo. alternativa. A este enfoque enfoque también también se le denomina denomina punto externo. Como Como se mencionó mencionó en la introducción, introducción, un análisis análisis de reemplazo reemplazo es una aplicaaplicación del método método del valor valor anual. Por consiguiente, consiguiente, las suposiciones suposiciones fundamentales fundamentales para VA. Si el horipara un análisis análisis de reemplazo reemplazo se comparan comparan con las del análisis análisis del VA. zonte de planeacián periodo de estudio estudio no planeación es infinito, es decir, si se trata de un periodo específico, las suposiciones suposiciones serán las siguientes: siguientes: específico, servicios suministrados suministrados serán necesarios necesarios durante durante un tiempo tiempo indefinido. indefinido. 1. Los servicios 2. El retador retador es el mejor mejor retador retador disponible disponible ahora ahora y en el futuro para para reemplazar reemplazar al defensor. Cuando Cuando este retador retador reemplaza reemplaza al defensor defensor (ahora (ahora o más adelante), adelante), defensor. repetirá para para ciclos de vida subsecuentes. subsecuentes. esto se repetirá estimados de los costos costos para para cada cada ciclo de vida del retador retador serán los mis3. Los estimados mos.

SI

S

1

E

v p n

$ n

11.

Como Como se esperaba, esperaba, ninguna ninguna de estas suposiciones suposiciones es precisamente precisamente correcta. correcta. Esto se analizó analizó anteriormente anteriormente con el método método VA (y el método método VP). Cuando Cuando el sentido sentido de suposiciones se vuelve vuelve incorrecto, incorrecto, los cálculos cálculos para para las alternativas alternativas deuna o más suposiciones berán actualizarse actualizarse y se llevará llevará a cabo un nuevo nuevo análisis análisis de reemplazo. reemplazo. En la sección sección explica cómo cómo realizar realizar dicho procedimiento procedimiento de reemplazo. Cuando el hori11.3 se explica reemplazo. Cuando zonte de planeación planeación está limitado periodo de estudio zonte limitado a un periodo estudio específico, específico, no son válidas las suposiciones suposiciones antes mencionadas. mencionadas. El procedimiento procedimiento que se indica indica en la sección 11.5 muestra muestra cómo cómo efectuar efectuar el análisis análisis de reemplazo reemplazo en este caso. EJEMPLO EJEMPLO

11.1 11.1

Has acti: em¡; zo o se u den:

,_'5::

y~/

La División una enorme La División Arkansas Arkansas de ADM, ADM, una enorme corporación corporación de productos productos agrícolas, agrícolas, compró compró hace hace 3 años años una una niveladora niveladora de suelo suelo moderna moderna en $120 $120 000, 000, para para preparar preparar el terreno terreno de un sembradío sembradío de arroz. arroz. Cuando Cuando la adquirió adquirió tenía tenía una una vida vida útil útil estimada estimada de 10 años años y un valor valor de salvamento salvamento estimado estimado de $25 000 000 después después de 10 años, años, así así como como un COA COA de $30 $30 000. 000. El está deteriorando valor libros es de $80000. valor actual actual en libros $80000. El El sistema sistema se está deteriorando rápidamente; rápidamente; las las expectativas utilizarla por expectativas son son utilizarla por 3 años años más más y darle darle un valor valor de salvamento salvamento de $10000 $10 000 en la red internacional internacional de equipo equipo agrícola. agrícola. El COA COA se promedia pro media en $30 $30 000. 000. red Un Un modelo modelo mejorado mejorado guiado guiado por por láser láser se cotiza cotiza hoy hoy en $100000 $100000 con con un valor valor de intercambio El precio intercambio de $70 $70 000 000 por por el sistema sistema de uso uso actual. actual. El precio se elevará elevará la próxima próxima semana semana a $110 $110 000 000 cori con un valor valor de intercambio intercambio de $70 $70 000. 000. La La división división de ingenieros ingenieros de ADM calcula guiado por ADM calcula que que el sistema sistema guiado por láser láser tendrá tendrá una una vida vida útil útil de 10 años, años, un valor valor de salvamento salvamento de $20000 $20000 y un COA COA de $20 $20 000. 000. Se realizó realizó hoy hoy una una estimación estimación del del valor valor comercial comercial del sistema sistema de uso uso actual actual en $70 $70 000. 000.

Ala vez estu Cua min: plaz defe

serv con: que del (

SECCIÓN SECCIÓN 11.2 11.2

Vida útil Vida útil económica económica

otro análisis análisis de las las estimaciones, estimaciones, determine determine los los valores correctos que que Si no no se realiza realiza otro valores correctos se incluirán análisis de reemplazo lleva a cabo cabo hoy. incluirán si el análisis reemplazo se lleva

Solución Solución Tome en cuenta cuenta el punto de vista del asesor asesor y emplee emplee las las estimaciones estimaciones más actuales. Tome punto de vista del más actuales. Defensor Defensor

Retador Retador

VC = $70 p = VC $70 000 000 $30000 COA COA = =$30000 S = $10000 $10000 años n = 3 años

p = $100 $100 000 000 COA COA =$20 = $20 000 000 S= S= $20000 $20000 años n = 10 años

El costo costo original original del defensor, defensor, el COA COA y los los cálculos cálculos del del valor de salvamento, salvamento, así así como como el El valor de valor actual para el análisis reemplazo. Sólo Sólo deberán deberán emvalor actual en libros, libros, son son irrelevantes irrelevantes para análisis de reemplazo. emplearse los más actuales. Desde la perspectiva perspectiva del plearse los cálculos cálculos más actuales. Desde del asesor, asesor, los los servicios servicios que que sumisuministre defensor se se pueden obtener a igual costo que que el valor comercial del de nistre el defensor pueden obtener igual costo valor comercial del defensor defensor de $70000. Por Por lo tanto, éste es el costo costo inicial inicial del del defensor defensor para estudio. Los Los otros otros valo$70000. tanto, éste para el estudio. valores aparecen en la tabla. tabla. res aparecen

11.2

VIDA ÚTIL ECONÓMICA VIDA ECONÓMICA

Hasta ahora ahora se ha establecido establecido un valor estimado n de vida de una alternativa alternativa o Hasta valor estimado activo. realidad, inicialmente mejor estimación vida que se activo. En realidad, inicialmente no se conoce conoce la mejor estimación de vida empleará en un análisis análisis económico. económico. Cuando Cuando se lleva lleva a cabo un análisis empleará análisis de reemplareemplaanálisis entre entre alternativas alternativas nuevas, mejor valor valor para debería determinardeterminarzo o un análisis nuevas, el mejor para n debería utilizando las estimaciones estimaciones del costo costo actuaL A la mejor estimación de vida se utilizando mejor estimación vida se le denomina denomina vida útil económica. económica.

La vida útil útil económica número de años mínimos La vida económica (VUE) (VUE) es el número años n en que que son son mínimos los costos costos del valor anual (VA) uniforme equivalente, tomando considevalor anual uniforme equivalente, tomando en consideración estimaciones del costo costo más vigentes, durante durante todos años que que ración las estimaciones más vigentes, todos los años activo pudiera suministrar el servicio. servicio. el activo pudiera suministrar A la VUE también también se le conoce conoce como vida económica económica o vida de costo costo mínimo. mínimo. Una vez que se determina, determina, la VUE debería ser la vida vida estimada estimada del activo activo aplicada aplicada a un VUE debería estudio de ingeniería ingeniería económica, económica, si sólo se consideran consideran los aspectos aspectos económicos. económicos. estudio Cuando han pasado indica que el activo activo debería debería reemplazarse reemplazarse para Cuando pasado n años, la VUE VUE indica para minimizar los costos totales. Para Para llevar llevar a cabo correctamente correctamente un análisis análisis de reemminimizar costos totales. reemplazo, es importante importante que se determine determine la VUE VUE del VUE del retador, retador, así como la VUE defensor, ya que generalmente generalmente sus valores valores n no están defensor, están preestablecidos. preestablecidos. determina calculando calculando el VA total de los costos costos si el activo activo está en La VUE se determina servicio 1 año, 2 años, 3 años, etcétera, etcétera, hasta activo se servicio hasta el último último año en que el activo considere útiL El VA total de costos costos es la suma suma de la recuperación capital (RC), considere recuperación de capital inversión inicial inicial y cualquier cualquier valor salvamento, así como como el VA que es el VA de la inversión valor de salvamento, costo anual de operación operación (COA) (COA) estimado, estimado, es decir: del costo

411

412 412

CAPÍTULO conservación CAPÍTULO 11 11 Decisiones Decisiones de reemplazo reemplazo y conservación

VA total = = -recuperación -recuperación de capitalVA capital- VA del costo costo anual de operación operación = -RC -RC - VA VAde] COA [11.1] = del COA [11.1] La pequeño VA de de los los costos. costos. (Recuerde: (Recuerde: estos estos VA son los La VUE VUE es el valor valor n del del más más pequeño estimados valores VA serán números números negativos. negativos. Por Por estimados de costo, costo, de manera manera que los valores consiguiente, figura 11.1 muestra la forma forma consiguiente, $-200 $-200 es un costo menor menor que $-500.) $-500.) La figura 11.1muestra común elemento del VA total disminuye, disminuye, mientras mientras común del VA de la curva curva del costo. Un elemento que el segundo manera se crea crea la forma segundo elemento elemento aumenta, aumenta, y de esta manera forma cóncava. cóncava. Los dos factores factores del VA se calculan calculan de la siguiente siguiente forma.

Costo disminuido disminuido de la recuperación recuperación de capital. capital. La recuperación recuperación de capital capital Costo es el VA ésta disminuye disminuye con cada cada año de posesión. posesión. La VA de la inversión; inversión; ésta recuperación calcula por por medio medio de la ecuación ecuación [6.3], recuperación de capital capital se calcula [6.3], que se repite ~, que generalmente generalmente disminuye disminuye con el repite aquí. El valor de salvamento salvamento S, tiempo, calculado para para ese año. tiempo, es el valor comercial comercial (VC) calculado Recuperación de capital = -P(Alp,i,n) -P(Alp,i,n) + S(AlF,i,n) Recuperación capital =

ecuación completa completa para para el VA total de los costos La ecuación costos en k años es:

[~:

= -P(AI -peA! P,i,k) P,i,k) + Sk(A/ Sk(Al F, F. i.k)COA¡(PíF.i,j) JA!P, Total VA kk = i.k)- [~: COA¡(P/F.i,j) ]cA/P, i,k) i,k)

11.3] [[ 11.3J Mayores Mayores costos costos

o

Años Vida útil económica

ci ci el V,

ci

c.

[11.2] [11.2]

Incremento del costo costo del VA para Incremento para el COA. COA. Puesto Puesto que las estimaciones estimaciones del generalmente se incrementan COA generalmente incrementan con el paso paso de los años, aumenta aumenta el VA calcular el VA de las series de los años 1,2,3, 1,2,3, ... del COA, del COA. Para calcular COA, determine el valor presente presente de cada determine cada valor valor del COA COA con el factor factor P/F, P/F, y después redistribuya redistribuya este valor después valor P P en los años de posesión, posesión, empleando empleando el AlP factor AlP

Figura 11.1 Figura 11.1 valor anual anual de Curvas de valor Curvas de los elementos elementos de costo costo los que determinan determinan la vida vida que económica. útil económ ica.

El

o

er se fii

cc

fa 11

•

SECCIÓN

donde

11.2 Vida útil económica

413

P = inversión inicial o valor comercial actual Sk= valor de salvamento o valor comercial después de k años COAj = costo anual de operación por año j(j = 1 a k)

El VC actual se emplea para P cuando el activo es el defensor, y los valores comerciales futuros estimados de VC se sustituyen porlos valores S en los años 1,2,3, ... Para determinar la VUE por computadora, la función PAGO (incluyendo funciones de VPN cuando sean necesarias) se emplea repetidas veces para cada año en el cálculo de la recuperación de capital y del VA del COA. La suma de éstos será el VA total para k años de posesión. Los formatos de la función PMT para la recuperación de capital y los componentes del COA para cada año k, son los siguientes: Recuperación de capital para el retador: PAGO(i%,años,p,-VC_en_año_k) Recuperación C_en_año_k)

de capital para el defensor: PAGO(i%,años,actual_

Vc,-V

VA del COA: -PAGO(i%,años,VPN(i%,año_l_COA:año_.k~COA)+O) Cuando se elabora una hoja de cálculo, es recomendable que las funciones PAGO en el año 1 se lleven a cabo empleando el formato de referencias a celdas; después se deberá arrastrar hacia abajo la función a través de cada columna. La columna final que suma los dos resultados PAGO mostrará el VA total. Al ampliarse la tabla con un diagrama de dispersión xy de Excel, las curvas de costo se despliegan con la forma general de la figura 11.1, y se identifica con facilidad la VUE. El ejemplo 11.2 ilustra el cálculo de VUE a mano y por computadora. EJEMPLO

11.2

' -

Un activo del proceso de manufactura con 3 años de uso se considera que deberá reemplazarse antes de tiempo. Su valor comercial actual es de $13000. Sus valores comerciales futuros estimados, así como sus costos anuales de operación para los próximos 5 años, se indican en la tabla 11.1,columnas 2 y 3. ¿Cuál es la vida útil económica del defensor si la tasa de interés es de 10%anual? Resuelva el problema a mano y por computadora.

TABLA

Añoj (1) 1

2 3 4 5

11.1

Cálculo de los datos de la vida útil económica

VCj

COAj

(2)

(3)

$9000 8000 6000 2000 O

$-2500 -2700 -3000 -3500 -4500

Recuperación del capital (4)

VA del COA (5)

$-5300 -3681 -3415 -3670 -3429

$-2500 -2595 -2717 -2886 -3150

VAktotal (6) = (4)

+ (5)

$-7800 -6276 -6132 -6556 -6579

~Sol-E

'';;¡¡::S

414 414

CAPÍTULO CAPÍTULO 11 11

Decisiones Decisiones de reemplazo reemplazo y conservación conservación

Solución a mano mano Solución La ecuación ecuación [11.3] [11.3] se emplea emplea para calcular el VAk total total para 1,2,3 ... ... ,,5. La tabla tabla 11.1, 11.1, La para calcular para k = 1,2,3 5. La columna para el valor 000 (j columna 4, 4, muestra muestra la recuperación recuperación de capital capital para valor comercial comercial actual actual de $13 $13 000 O) más más el 10% 10% de rendimiento. rendimiento. En En la columna columna 5 se muestra muestra el equivalente equivalente del del VA del del = O) COA para años. Por Por ejemplo, ejemplo, los los cálculos cálculos para para k = 3 de de la ecuación ecuación [11.3] [11.3] son: son: COA para k años. total = -P(AlP,i,3) -P(Alp,i,3) 3) - [VP [VP del del COA[,COA COA[,COA2 2 y COA33](Alp'i,3) VA33 total + VC 33(AlF,i, (AlF,i,3) ](AlP,i,3) -13 OOO(Alp, 10%,3) 10%,3) + 6 000(AlF,1O%,3) 000(AlF,1O%,3) 500(PIF,1O%,I) = -13 - [2 500(PIF,1O%,I) 700(PIF, 10%,2) 10%,2) + 3 OOO(PIF, 1O%,3)](AlP, 1O%,3)](AlP, 10%,3) 10%,3) + 2 700(PIF,

= - 3415 --2 2 717 =-3415 717 = $-6132 $-6132 Se realiza realiza un cálculo cálculo similar similar para para cada cada año año del del 1 al 5. El costo costo equivalente equivalente menor menor (VA numéricamente numéricamente mayor) mayor) se presenta presenta en en k = 3. 3. Por Por lo tanto, tanto, la VUE VUE del defensor defensor es n = 3 $-6 132. En años, años, y el VA es $-6 En el análisis análisis de reemplazo, reemplazo, este este VA se comparará comparará con con el mejor mejor retador retador VA determinado determinado mediante mediante un análisis análisis similar similar de VUE. VUE.

~

~Sol·E Sol-E

Solución por por computadora computadora Solución Observe la figura figura 11.2, 11.2, donde donde se muestran muestran la hoja hoja de cálculo cálculo y el diagrama diagrama para este Observe para este ejemplo. para cualquier ejemplo. (Este (Este formato formato es un modelo modelo para cualquier análisis análisis de VUE; VUE; solamente solamente cambie cambie las las estimaciones estimaciones y añada añada filas filas para para más más años.) años.) Los Los contenidos contenidos de las columnas columnas D y E se describen brevemente continuación. Las Las funciones funciones PAGO PAGO aplican aplican los los formatos formatos para describen brevemente a continuación. para el defensor como como antes antes se describió. describió. Las Las etiquetas etiquetas de las las celdas celdas muestran muestran con con detalle defensor detalle el formato referencia a celdas para el año una referenreferenformato de referencia celdas para año 5. 5. Los Los símbolos símbolos $ se incluyen incluyen para para una cia absoluta absoluta de la celda, celda, necesana necesaria cuando cuando la entrada entrada se arrastra arrastra hacia columna. cia hacia la columna. Columna D: La La recuperación recuperación de capital capital es el VA de la inversión inversión de de $13 $13 000 000 (celda (celda B2) B2) en Columna el año para cada año O, O, para cada año año a partir partir del del 1 y hasta hasta el 5 con con un VC VC estimado estimado para para ese ese año. año. Por Por ejemplo, ejemplo, en en números números reales, reales, la función función PAGO PAGO de la referencia referencia a celda celda en en el año año 5 que aparece aparece en la hoja hoja de cálculo cálculo se lee: lee: PAGO(1O%,5,13,000,-O), PAGO(1O%,5,13,000,-O), que da como que que da como resultado resultado $-3,429. $-3,429. Esta Esta serie serie se grafica grafica en la figura figura U.2b, U.2b, donde, donde, en la leyenda, leyenda, se identifica la la recuperación recuperación de capital. capital. identifica

incorporada en Columna Columna E: La La función función VPN VPN incorporada en la función función PAGO PAGO calcula calcula el valor valor presente presente en en el año año O de todos todos los los estimados estimados de COA COA en en el año año k. Después Después se calcula calcula el VA del del CAO CAO durante durante k años. años. Por Por ejemplo, ejemplo, en el año año 5, el PAGO PAGO en en cifras cifras es: PAGO(lO%, PAGO(lO%, 5,VPN(10%,C5:C9)+0). El representa el COA COA del del año año O y es opcional. opcional. La La gráfigráfi5,VPN(1O%,C5:C9)+0). El "O" representa ca ca muestra muestra la la curva curva de de VA del COA COA que que se incrementa incrementa constantemente constantemente debido debido a los los aumentos anuales anuales del del cálculo cálculo del del COA. COA. aumentos Comentario Comentario La curva curva de recuperación recuperación de de capital capital que que aparece aparece en la figura figura 11.2b 11.2b (curva (curva media) media) no es La una forma forma realmente realmente cóncava cóncava a consecuencia consecuencia de los los cambios cambios en en el valor comercial estimaestimauna valor comercial anual. Si se calculó calculó el mismo mismo VC VC para cada año, año, entonces entonces la curva curva sería sería similar similar a la que que do anual. para cada aparece figura 11.1. aparece en en la figura 11.1. Cuando Cuando diversos diversos valores valores anuales anuales totales totales son son aproximadamente aproximadamente iguales, la curva curva será será plana varios periodos. Esto indica indica que que la VUE VUE es relativaiguales, plana durante durante varios periodos. Esto relativamente mente insensible insensible a los los costos. costos.

Fi a) eje

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M,crosoft

Excel - Example

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Excel - Example 11_2

--+-(Recuperació n de capilal)----(VA del COA)

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(S9,OOO)

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($8.000)

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útil econó mica

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Sheet6

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b) Figura 11.2 a) Hoja de cálculo para determinar la vida útil económica (VUE), y b) gráfica del VA total y costo de los componentes,

ejemplo 11.2.

416

CAPÍTULO 11 CAPÍTULO

Decisiones de reemplazo reemplazo y conservación conservación Decisiones

razonable cuestionar cuestionar la diferencia diferencia entre entre el análisis análisis de VUE VUE anterior anterior y el Es razonable análisis de VA VA que se realizó realizó en capítulos capítulos previos. previos. Antes Antes teníamos teníamos una vida estimaestimaanálisis relacionada con otras otras estimaciones: estimaciones: costo inicial inicial en el año 0, posibleposibleda de n años relacionada mente un valor permanecía constante constante o mente valor de salvamento salvamento en el año n y un COA que permanecía variaba cada cada año. Para todos los análisis análisis anteriores, anteriores, el cálculo cálculo de VA que emplea emplea variaba estimados determinó determinó el VA durante durante n años. Esto también también es la vida útil ecodichos estimados nómica cuando cuando se ajusta ajusta n. En todos los casos anteriores, anteriores, no existían existían cálculos cálculos de nómica anuales aplicables aplicables durante durante los años. Por lo tanto, tanto, se concluye concluye lo siguiente: siguiente: VC anuales Cuando la vida vida n esperada esperada se conoce conoce para para el caso caso del retador retador o del defendefenCuando VA se determina determina a lo largo largo de los n años, años, utilizando utilizando el costo costo inicial inicial o sor, su VA valor comercial comercial actual, actual, el valor valor de salvamento salvamento estimado estimado después después de n el valor años y los cálculos cálculos para para COA. COA. Este Este VA es el correcto correcto para para utilizar utilizar en el años análisis de reemplazo. reemplazo. análisis No es difícil difícil calcular calcular las series de valores valores comercial/de comercial/de salvamento salvamento para para un ejemplo, un activo activo con un costo inicial inicial P puede puede activo nuevo o un activo actual. Por ejemplo, perder valor comercial comercial al 20% anual, así que las serie de valores comerciales para para perder valores comerciales 1,2, ...... es P, 0.8P, 0.64P, 0.64P, ...... , respectivamente. respectivamente. (En el capítulo capítulo 15 se ofreofrelos años 0, 1,2, panorama de los enfoques enfoques y técnicas técnicas de estimación estimación de costos.) costos.) Si es razonable razonable ce un panorama predecir las series de VC con un fundamento fundamento anual, se pueden pueden combinar combinar con los predecir cálculos del COA para para producir producir lo que se denomina denomina costos costos marginales marginales para para un cálculos activo. activo. Los costos costos marginales marginales (CM) (CM) son son los cálculos cálculos anuales anuales de los costos costos de proproLos piedad y operación operación de un un activo activo para para ese año. año. piedad Existen 3 elementos elementos para para cada estimado estimado de costo marginal marginal anual: Existen

• • •

Costo de propiedad propiedad (la pérdida pérdida en el valor comercial comercial es la mejor mejor estimación estimación de Costo dicho costo). interés no ganado ganado en el valor comercial comercial al principio principio del año. El interés COA de cada cada año.

determinan los costos costos marginales marginales para para cada cada año, puede puede calcularse calcularse Una vez que se determinan equivalente. La suma de los valores valores anuales anuales de los primeros primeros dos componencomponensu VA equivalente. tes es idéntica idéntica a la cantidad cantidad de la recuperación recuperación de capital. capital. Debería Debería estar estar claro claro ahora ahora que el VA total de los tres elementos elementos del costo costo marginal marginal durante durante k años es el mismo mismo valor que el valor valor anual total, para para k años calculado calculado en la ecuación ecuación [11.3]. Por lo valor siguiente relación: relación: tanto, es la siguiente VA costos marginales marginales = = VA total de costos costos VA de costos

[11.4] [11.4]

Entonces, no es necesario necesario llevar llevar a cabo por separado separado un análisis análisis de costo costo marginal marginal Entonces, detallado, cuando cuando se calculan calculan anualmente anualmente los valores valores comerciales. comerciales. El análisis análisis de detallado, aparece en el ejemplo ejemplo 11 11.2 suficiente siempre siempre y cuando cuando arroje arroje los misVUE que aparece .2 es suficiente valores numéricos. numéricos. Esto se demuestra demuestra en el ejemplo ejemplo 11.3 con los datos del mos valores ejemplo 11.2. ejemplo

SECCIÓN 11.2 SECCIÓN 11.2

417 417

~~:,p

11.3

EJEMPLO

Vida útil Vida útil económica económica

Un ingeniero con 3 años años de de uso uso ingeniero determinó determinó que que un activo activo del del proceso proceso de manufactura manufactura con actualmente tiene un valor valor comercial comercial de $13 $13 000, 000, así así como como los los valores valores estimados estimados de de salsalactualmente tiene vamento/comerciales valores del del COA COA que que se indican indican en la tabla tabla 11.1 (repetidos vamento/comerciales y valores (repetidos en en la figura 11.3, 11.3, columnas columnas B y E). Determine Determine el VA de los costos costos marginales marginales por figura por computadora, computadora, y compárelos serie de de costo costo compárelos con con los los valores valores anuales anuales totales totales de la figura figura 11.2. Emplee Emplee la serie marginal el defensor defensor en en un marginal para para determinar determinar los los valores valores correctos correctos para para n y VA si el activo activo es el análisis reemplazo. análisis de reemplazo.

e

o

n

e a

e s

Solución por por computadora computadora Solución Observe figura 11.3. El primer primer elemento elemento del del costo costo marginal marginal es la pérdida Observe la figura pérdida en en el VC VC anual anual (columna D) es el segundo elemento, elemento, el (columna C). El 10% 10% de interés interés sobre sobre el VC (columna (columna D) el segundo interés no ganado ganado sobre sobre el VC. VC. La suma suma de ellos ellos es la cantidad cantidad de de recuperación interés recuperación de de capital capital anual. Con Con base base en la descripción descripción anterior, anterior, el costo costo marginal marginal para para cada la suma suma de de anual. cada año año es la columnas C, D y E, como como se indica indica en las las etiquetas etiquetas de celda celda en la las columnas la hoja hoja de cálculo. cálculo. La La serie de VA VAde valores de los los costos costos marginales marginales en la columna columna G es idéntica serie de los valores idéntica a la la que que se determinó de la figura figura 11.2a. Los determinó para para el VA total total de costos costos empleando empleando el análisis análisis de VUE VUE de 11.2a. Los valores mismo valores correctos correctos para para un análisis análisis de reemplazo reemplazo son son n = 3 años años y VA = $-6,132; $-6,132; lo mismo que para para el análisis análisis de VUE VUE del del ejemplo ejemplo anterior. anterior. que

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X M,crosoft Excel· Example 11.3

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····-~~:··:l¡;~~~;~~~o ···I~I~i~~~-~i . ·e~~~dol·º~p··~········~···~················ I

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Año 1

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10% $ 13,000 !

$9 000

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-$4 000

-$1,300

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-$2,500

·a· ..··~···g·~··:·6·····a··I:+jY·:A:·m···~··:·er·~:· ¡~·····Z····t··..!.() I¡

-$7,800

.

$7 800

._.~.ª-~Qº.Q_L_=~_l,Qº'O .. _j

.::!9º.0.. _.. _ ..=~.~,~º.ºJ.....=!~!~_QQ._.. $ 6 ,276 $6,000 I -$2,000 -$800 -$3,000 I -$5,800 $6,132 $2,000 i -$4,000 -$600 -$3,500 I ·$8,100 $6,556 $0 -$2,000 -$200 -$4,500 - .--------$6,700 J$6,580)_ ----~ i----~-!-----

1~:"I-··-·············F;;;;;;L=;;;;;;;;¡il-i-

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j

····························t·························..... ¡

.

11.3 Figura 11.3 Cálculo ejemplo 11.3. Cálculo del del VA VA de de las las series series de de costos costos marginales, marginales, ejemplo 11.3.

-----------------------------------------

U

?

418

CAPÍTULO CAPÍTULO 11 11

Decisiones de reemplazo reemplazo y conservación conservación Decisiones

En este momento momento ya es posible posible obtener obtener dos conclusiones conclusiones específicas específicas acerca acerca de utilizan en un análisis reemplazo. Estas basan n y el VA que se utilizan análisis de reemplazo. Estas conclusiones conclusiones se basan en el grado grado para para el que se realizan realizan los estimados valor comercial. estimados anuales anuales del valor comercial. cálculos de valor comercial cada cada año. año. Tales cálculos cálculos se emplean emplean 1. Se realizan realizan cálculos valor comercial para llevar a cabo un análisis análisis de VUE determinar el valor para llevar VUE y para para determinar valor n, con el VA menor de costos. Éstos son la mejor mejor n, así como los valores valores anuales total menor costos. Éstos anuales del análisis de reemplazo. reemplazo. análisis 2. No se realizan cálculos del del valor comercial cada cada año. cálculo realizan cálculos valor comercial año. Aquí Aquí el único único cálculo disponible valor comercial disponible es el valor comercial (valor (valor de salvamento) salvamento) en el año n. Emplee Emplee este valor calcular el VA durante durante n años. Éstos anuales y de valor para para calcular Éstos serán los valores valores anuales valores en caso n que se utilizarán; utilizarán; sin embargo, embargo, quizá quizá no sean los "mejores" "mejores" valores caso equivalente del valor de que no representen representen el mejor mejor VA total equivalente valor de costo.

procedimiento de un análisis reemplazo en la Al completar completar el análisis análisis de VUE, el procedimiento análisis de reemplazo siguiente utilizando los siguientes valores: siguiente sección sección se aplica aplica utilizando siguientes valores: Alternativa del retador retador (R): VAR para para nRR años Alternativa Alternativa del defensor para no años Alternativa defensor (D): VAo para

11.3 ANÁLISIS DE REEMPLAZO 11.3 REALIZACiÓN REALIZACiÓN DE UN UN ANÁLISIS REEMPLAZO Los análisis reemplazo se llevan maneras: sin especificar perioanálisis de reemplazo llevan a cabo de dos maneras: especificar el perioestudio o con un periodo estudio definido. definido. La figura figura 11.4 muestra do de estudio periodo de estudio muestra un panopanorama general para cada procedimiento que se rama general del enfoque enfoque seguido seguido para cada situación. situación. El procedimiento analiza periodo de estudio analiza en esta sección sección se aplica aplica cuando cuando no se especifica especifica el periodo estudio (horizonte de planeación). planeación). Si se identifica identifica un número número específico rizonte específico de años en el análisis análisis de reemplazo, reemplazo, por por ejemplo próximos 5 años, ejemplo durante durante los próximos años, sin considerar considerar una conticontinuación posterior periodo de tiempo tiempo en el análisis nuación posterior a este periodo análisis económico, económico, se aplica aplica el procedimiento de la sección procedimiento sección 11.5. reemplazo determina retador reemplaza reemplaza al defensor. Un análisis análisis de reemplazo determina cuándo cuándo un retador defensor. termina si el retador retador (R) se elige para reemplazar defensor El estudio estudio completo completo se termina elige para reemplazar al defensor (D) en ese momento. momento. No obstante, mantiene el defensor, podría obstante, si se mantiene defensor, el estudio estudio podría extenderse número de años igual extenderse un número igual a la vida del defensor defensor no, después después del cual un retador reemplazará Utilice el valor valor anual y los valores valores de vida vida de R y retador reemplazará al defensor. Utilice VUE, para procedimienD determinados determinados en el análisis análisis de VUE, para aplicarlos aplicarlos en el siguiente siguiente procedimienreemplazo. Lo anterior por el to del análisis análisis de reemplazo. anterior supone supone que los servicios servicios ofrecidos ofrecidos por defensor podrían obtenerse VAo. defensor podrían obtenerse a la cantidad cantidad VAo.

Al

2.

3.

es m cá lI¡

re re de V

reemplazo: Nuevo análisis análisis de reemplazo:

an

mejor alternativa 1. Sobre base del mejor mejor valor valor de VARR o VAo, elija Sobre la base elija la mejor alternativa (R) o la mejor alternativa haya elegido retador, reemplace reemplace al defensor mejor alternativa (D). (D). Cuando Cuando se haya elegido al retador, defensor en ese momento momento y espere retador por nRR años. Entonces Entonces el análisis espere conservar conservar al retador análisis de reemplazo reemplazo estará parte, si eligió planee conestará completo. completo. Por otra parte, eligió al defensor, defensor, planee servarlo hasta no no años. (Se trata trata de la rama rama izquierda .4.) El servarlo hasta izquierda de la figura figura 11 11.4.) próximo año, lleve próximo lleve a cabo los siguientes siguientes pasos.

•

SECCIÓN

11.3

Realización

419

de un análisis de reemplazo

Figura 11.4 Panorama general para ambos enfoques del análisis de reemplazo. Periodo de estudio sin especificar

Periodo de estudio específico

Realizar el análisis deVUE

Desarrollar las opciones sucesivas para D y R empleando V Ao Y V AR

¡

VP o V A para cada opción

I

Elegir la mejor opción

I

Análisis posterior a un año:

2.

3.

En el caso de que no todos los cálculos sean vigentes para ambas alternativas, especialmente el costo inicial, el valor comercial y el COA, proceda con el paso 3. En el caso que sean vigentes y éste es el año nD, reemplace al defensor. Si no es el año no, conserve al defensor un año más y repita este mismo paso. Este paso podría repetirse en varias ocasiones. Si los estimados han cambiado, actualícelos y determine nuevos valores para VAR y VAo, e inicie un nuevo análisis de reemplazo (paso 1).

Si inicialmente se elige al defensor (paso 1), quizá sea necesario actualizar las estimaciones después de un año de conservado (paso 2). Posiblemente ya exista un nuevo mejor retador para compararlo con D. Cualquier cambio significativo en los cálculos del defensor o en la disponibilidad de un nuevo retador indica que deberá llevarse a cabo un nuevo análisis de reemplazo. En la actualidad, un análisis de reemplazo puede llevarse a cabo anualmente para determinar la conveniencia de reemplazar o conservar algún defensor, siempre y cuando esté disponible un retador competitivo. El ejemplo 11.4 que aparece a continuación ilustra la aplicación del análisis de VUE para un retador y un defensor, seguido por la aplicación del procedimiento del análisis de reemplazo. El horizonte de planeación no se especifica en este caso. EJEMPLO

11 .4

.".

Hace dos años, Toshiba Electronics realizó una inversión de $15 millones en una maquinaria nueva de línea de ensamblado. Adquirió aproximadamente 200 unidades a $70 000

420

CAPÍTULO CAPÍTULO 11

Decisiones reemplazo y conservación conservación Decisiones de reemplazo

cada una una y las las ubicó ubicó en en plantas de 10 diferentes diferentes países. El equipo equipo clasifica, clasifica, prueba cada plantas de países. El prueba e inserta ordenadamente ordenadamente los los componentes componentes electrónicos electrónicos en en tableros tableros de circuito circuito impresos impresos con con inserta propósitos específicos. Este Este año año el nuevo nuevo estándar internacional de la industria industria requerirá propósitos específicos. estándar internacional requerirá una adecuación de $16000 $16000 por cada unidad, además del del costo costo esperado esperado de operación. operación. una adecuación por cada unidad, además Debido a estos estos nuevos nuevos estándares, estándares, aunados aunados al rápido rápido cambio cambio tecnológico, tecnológico, un sistema nuenueDebido un sistema desafía la conservación conservación de esta esta maquinaria maquinaria de de 2 años años de uso. ingenieros de vo desafía uso. El El jefe jefe de ingenieros Toshiba EE.UU. EE.UU. se se da cuenta cuenta que que deberá deberá tomarse tomarse en en consideración consideración los los aspectos aspectos económieconómiToshiba cos, por que se cuestiona cuestiona acerca acerca de si el análisis análisis de reemplazo deberá llevarse llevarse a cabo cabo cos, por lo que reemplazo deberá este año año y anualmente anualmente en el futuro, futuro, si es necesario. 10% Y con con las las estimaciones estimaciones este necesario. A una una i = 10% que aparecen aparecen a continuación, realice los los cálculos cálculos para ambos procedimientos, mano y que continuación, realice para ambos procedimientos, a mano por computadora. por computadora. a) a) b) b)

Determine los valores valores anuales anuales y las las vidas vidas útiles económicas necesarias necesarias para Determine útiles económicas para realizar realizar un análisis de reemplazo. un análisis reemplazo. Realice el análisis análisis de reemplazo en este este momento. momento. Realice reemplazo en Retador: Costo Costo inicial: inicial: $50000 $50 000 Retador: Valores comerciales comerciales futuros: futuros: decremento decremento de 20% 20% anual anual Valores Periodo estimado estimado de retención retención: : no más más de 5 años años Periodo Estimados del del COA: COA: $5 000 000 el primer año, con con incrementos incrementos anuales anuales de Estimados primer año, $2 000 de ahí adelante 000 de ahí en adelante Defensor: Valor Valor comercial comercial internacional internacional actual: actual: $15 $15 000 000 Defensor: Valores comerciales comerciales futuros: futuros: decremento decremento de 20% 20% anual anual Valores Periodo estimado estimado de retención: retención: no mayor a 3 años años más más Periodo no mayor Estimados del del COA: COA: $4000 $4000 el el próximo año, con con incrementos incrementos anuales anuales Estimados próximo año, $4 000 de ahí ahí en en adelante, adelante, más más $16000 $16000 por adecuación en en el por la adecuación de $4000 próximo año próximo año

e)

Después de un año, año, es tiempo tiempo de llevar llevar a cabo cabo el análisis análisis de seguimiento. seguimiento. El retador retador Después realiza grandes grandes incursiones incursiones en en el mercado mercado de de equipo equipo de ensamblado ensamblado de componentes componentes realiza electrónicos, especialmente especialmente con con los nuevos estándares estándares internacionales internacionales instaurados. instaurados. electrónicos, los nuevos valor comercial comercial esperado esperado para para el defensor defensor todavía todavía es de $12 $12 000 000 este este año, pero se El valor año, pero espera que que caiga caiga hasta hasta un valor valor casi casi nulo nulo en en el futuro: futuro: $2 $2 000 000 el próximo año en en el espera próximo año mercado mundial mundial y posteriormente Además debe debe tomarse tomarse en en cuenta cuenta que que el equipo equipo mercado posteriormente O. Además obsoleto tiene tiene un costo costo de servicio servicio más más elevado, elevado, por tanto, se estima estima que que el COA COA obsoleto por lo tanto, incrementará el siguiente siguiente año año de $8000 $8000 a $12000, $12000, y en 2 años años hasta hasta $16000. $16000. se incrementará Realice el análisis análisis de seguimiento seguimiento para análisis de reemplazo. reemplazo. Realice para el análisis

Solución a mano mano Solución Los resultados resultados del análisis análisis de VUE, VUE, que que aparecen aparecen en en la la tabla tabla 11.2, 11.2, incluyen incluyen todas todas las las a) Los estimaciones del del VC VC y el COA COA para retador en en el inciso inciso a de la tabla. tabla. Observe Observe que que estimaciones para el retador P = $50000 $50 000 es también también el valor valor comercial comercial en en el año año O. O. El VA total total de costos costos es para para cada año, año, el de de ponerse en servicio servicio el retador para ese número número de años. años. Como Como ejemejemcada ponerse en el retador para ese plo, cuyo monto monto es $-19 $-19 123 se determina determina mediante ecuación [11.3]. [11.3]. plo, el año año k = 4 cuyo mediante la ecuación factor NG aplica en en lugar factores P/F encontrar el VA de las El factor NG se aplica lugar de los factores P/F y NP NP para para encontrar series gradiente gradiente aritmético aritmético en el COA. COA. series total = -50 -50 000(NP,IO%,4) 000(AlP,1O%,4) + 20 20 480(NF, 480(NF, 10%,4) 10%,4) VA44 total 000 + 2 OOO(NG, 10%,4)] 10%,4)] - [5 000 = $-19123 $-19123 =

SECCIÓN

TABLA

11.2

11.3 Realización de un análisis de reemplazo

421

Análisis de vida útil económica (VUE) para los costos de a) retador y b) defensor (ejemplo

11.4)

a) Retador Retador, año k

Valor comercial

COA

VA total si es propietario k años

O

$50000 40000 32000 25600 20480 16384

$-5000 -7000 -9000 -11 000 -13 000

$-20000 -19524 -19245 -19 123 -19126

1 2 3 4 5

VUE

b) Defensor Defensor, año k

Valor comercial

COA

VA total si es conservado k años

O

$15000 12000 9600 7680

$-20000 -8000 -12000

$-24500 -18357 -17307

1 2 3

VUE

Los costos del defensor se analizan de la misma forma en la tabla 11.2b hasta un máximo periodo de conservación de 3 años. Los valores del costo menor VA (numéricamente más grandes) para el análisis de reemplazo son:

= $-19123

Retador:

VAR

Defensor:

VAo = $-17 307

para nR = 4 años para no = 3 años

Si se grafica, la curva del costo de VA total del retador (tabla 11.2a) sería relativamente plana después de dos años; casi no existe diferencia en el valor anual total de los años 4 y 5. Para el defensor, note que los valores del COA varían sustancialmente durante los 3 años; sin embargo, su incremento o decremento no es constante. Los incisos b y e se resuelven a continuación por computadora. Solución por computadora a) La figura 11.5incluye la hoja de cálculo completa y el costo total de VA graficado para el retador y el defensor. (Las tablas se generaron al copiar inicialmente la hoja de cálculo elaborada en la figura 11.2a. Todas las funciones PAGO que se indican en las columnas D y E, así como la función suma en la columna F, son idénticas. El costo inicial, valor comercial y monto del COA varían para este ejemplo.) Algunas funciones esenciales se detallan en las etiquetas de las celdas. El diagrama de dispersión xy muestra el VA total de las curvas de costo. Los valores anuales y de la VUE son los mismos que aparecen en la solución a mano.

m Sol-E

422

CAPÍTULO

11

Decisiones de reemplazo y conservación

G

H

K

o

($27.000)

.-.-.-.-.-'-'-'-r-l

'C ~

($25.000)

t--t--t--t--t--t--HHH

(123.000)

~ 8

($21.000)

t--t--t--t--l-hHHH

~

($19.000)

+-=~t=",,"!=o=~RHIo::::t

:;

(117.000) '--'--'--~'--L--L--LJLJ 1

,~

($27.000)

~

($25.000)

~

($23.000)

8

($21,000)

"O

j i

t-t-t-t-t-t-HHH

sn

~

-,~

- ----1

2

3

4.

5

6 7 Años

"- <,<,

($19,000)

""

~ ¡......

13

9

-,

10

.•.

> (S17,000) 2

Años

. =B23*0.8 Sheetl

F=f-----t---1,----+---t-----+---1C---+-------+--t---_+_ Sheet2

Sheet3

=VUE($B$18,$A24,$B$19,-$B24)

Figura 11.5

r

Vida útil econóntica (VUE) del retador y del defensor empleando una hoja de cálculo, ejemplo 1104. (El formato y funciones de tabulación son los mismos que se muestran en la figura ll.2a.)

"e 1 r (

b)

e)

Puesto que es muy fácil agregar años a un análisis de VUE, los años 5 a 10 se agregan al análisis del retador en las filas 10 a 14 de la hoja de cálculo. Note que la curva de VA total tiene una parte inferior relativamente plana, para después regresar al nivel de costo de VAde vida temprana (alrededor de $-20000) después de algunos años, 10 en este caso. Es una curva de VA clásica generada a partir del constante decremento de los valores comerciales y del constante incremento de los valores del COA. (El empleo de este formato de tabulación y estas funciones se recomienda también para el análisis donde todos los componentes de VA total necesitan mostrarse.) Para aplicar el estudio de reemplazo en este momento, realice sólo el primer paso del procedimiento. Después seleccione al defensor porque tiene el mejor VA de costos ($-17 307) y espere conservado por 3 años más. Prepare un análisis posterior a 1 año para llevar a cabo a partir de ahora. Un año después, la situación ha cambiado significativamente para el equipo Toshiba, que se conservó el último año. Aplique los pasos del análisis posterior a 1 año:

t

I (

e

S

SECCIÓN

11.3

Realización

de un análisis de reemplazo

1. Después de 1 año de conservar al defensor, los estimados del retador todavía son razonables, aunque el valor comercial del defensor y sus estimados del COA son significativamente diferentes. Vaya al paso 3 y realice un nuevo análisis de VUE para el defensor. 2. Los estimados del defensor que se indican en la tabla 11.2b se actualizan a continuación y se calculan nuevos valores anuales con la ecuación [11.3]. Existe ahora un máximo de 2 años más para conservar al defensor, 1 año menos que los tres años determinados el año pasado.

VAtotal si se retiene al defensor por k años más

Año k

Valor comercial

COA

O 1 2

$12000 2000 O

$-12000 -16000

$-23200 -20819

El VA Y los valores n para el nuevo estudio de reemplazo son los siguientes: Retador: sin cambio en VAR Defensor: nuevo VAD

= $-19

123 para nR

= $-20 819 para

nD

= 4 años

= 2 años

más

Ahora elija al retador tomando como base su VA favorable. A continuación, reemplace al defensor en este momento, y no dentro de 2 años. Espere conservar al retador por 4 años o hasta que un mejor retador aparezca en la escena.

A menudo resulta útil conocer el valor comercial mínimo del defensor necesario para que el retador sea atractivo en términos económicos. Si se puede obtener un valor comercial (de intercambio) de al menos dicha cantidad, el retador deberá elegirse inmediatamente desde una perspectiva económica. Éste es un valor de equilibrio entre VAR y VAD, y se le denomina valor de reemplazo (VR). Establezca la relación VAR = VAD con un valor comercial del defensor sustituido por VR, que se desconoce en ese momento. Si se conoce VAR, se podrá determinar el VR. La directriz es la siguiente:

Si el valor de intercambio real excede el valor de reemplazo de equilibrio, el retador es la mejor alternativa y deberá reemplazarse al defensor en este momento. Para el ejemplo 11.4b, el VAR = $-19 123, Y se eligió al defensor. Entonces, el VR debería ser mayor que el valor comercial estimado del defensor de $15000. La ecuación [11.3] se establece para 3 años de conservación del defensor y es igual a $-19 123. -VR(Alp,1O%,3) + 0.83VR(AlF,1O%,3) - [20 OOO(P/F,lO%,l) + 8 000(PlF,1O%,2) + 12 000(PlF,1O%,3)](AlP,1O%,3) = $-19123 VR = $22 341

[11.4]

423

424

CAPÍTULO CAPÍTULO 11 11 Decisiones Decisiones de reemplazo reemplazo y conservación conservación

Sol-R Sol-R

Cualquier Cualquier valor valor comercial comercial de intercambio intercambio por encima encima de esta cantidad cantidad es una indiindicación cación económica económica para para reemplazar reemplazar en ese momento momento con el retador. Si la hoja hoja de cálculo .5 se elaboró elaboró para para el análisis análisis de cálculo que aparece aparece en la figura figura 11 11.5 VUE, SOLVER SOLVER de Excel Excel (que se encuentra encuentra en el menú menú Herramientas) Herramientas) puede puede enconencontrar rápidamente rápidamente el VR. Es importante importante comprender comprender lo que SOLVER SOLVER hace a partir partir de una perspectiva perspectiva de ingeniería ingeniería económica; económica; por lo que deberá deberá aplicarse aplicarse y comprencomprenderse vo" para derse la ecuación ecuación [11.4]. La celda celda F24 en la figura [11.5] es la "celda "celda objeti objetivo" para igualar $-19 $-19 123 (la mejor mejor opción opción del VAR en F8). F8). Se trata de la manera manera en que igualar Excel elabora elabora una hoja hoja de cálculo cálculo equivalente equivalente a la ecuación ecuación [11.4]. SOLVER SOLVER ofrece ofrece Excel celda B19 B 19 con una nueva nueva estimación estimación del valor valor comercial el VR de $22 341 en la celda comercial de $11 438 para el año 3. Al reflexionar en la solución del Ejemplo 11.4 (b), (b), se observa que $11 valor de mercado mercado es de $15 000, cantidad cantidad inferior inferior que el VR = = $22 341. Por tanto, tanto, el valor prefiere al defensor defensor por sobre el retador. Utilice Utilice el apéndice apéndice A o la función función de se prefiere aprender cómo utilizar utilizar SOLVER con eficacia. SOLVER SOLVER ayuda en línea de Excel para aprender emplea más ampliamente ampliamente en el capítulo capítulo 13 13 para para el análisis análisis de punto punto de equilibrio. equilibrio. se emplea 11.4 11.4

CONSIDERACIONES ADICIONALES ADICIONALES EN UN UN ANÁLISIS ANÁLISIS CONSIDERACIONES REEMPLAZO DE REEMPLAZO

algunos aspectos aspectos adicionales adicionales en un análisis análisis de reemplazo reemplazo que es necesario necesario Hay algunos explicar. Tres de estos aspectos aspectos se identifican identifican y analizan analizan en orden. explicar.

• •

decisiones de reemplazo reemplazo para para años futuros futuros en el momento momento del análisis análisis de Las decisiones reemplazo inicial. inicial. reemplazo Costo de oportunidad oportunidad frente a enfoques enfoques de flujos de efectivo efectivo para para la comparacomparaCosto alternativas. ción de alternativas. Anticipación de futuros futuros retadores retadores mejorados. mejorados. Anticipación

mayoría de los casos, cuando cuando la gerencia gerencia inicia inicia un análisis análisis de reemplazo, reemplazo, la En la mayoría pregunta queda queda mejor mejor planteada planteada de la siguiente siguiente manera: manera: ¿Se reemplaza reemplaza ahora, denpregunta dentro de 2 años, etcétera? etcétera? El procedimiento anterior responde, responde, en tro de 1 año, dentro procedimiento anterior efecto, la pregunta siempre y cuando cuando los cálculos varíen conforme conforme efecto, pregunta siempre cálculos para para R y D no varíen transcurre cada año. En otras palabras, momento en que se lleva a cabo, el transcurre palabras, en el momento paso responde la pregunta reemplazo para múltipaso 11 del procedimiento procedimiento responde pregunta referente al reemplazo para múltiples años. Es sólo cuando cuando las estimaciones estimaciones cambian cambian con el tiempo tiempo que la decisión decisión ples años. defensor puede puede invertirse invertirse prematuramente prematuramente a favor entonces mejor mejor de retener retener al defensor favor del entonces retador, es decir, antes de nDD años. retador, iniciales (valores (valores P) para para el retador retador y el defensor defensor se han tomado tomado Los costos iniciales correctamente como la inversión inversión inicial, inicial, en el caso del retador retador R; y el valor valor comercomercorrectamente defensor D. Esto recibe enfoque de costo de cial actual, en el caso del defensor recibe el nombre nombre de enfoque oportunidad, en virtud virtud de que reconoce entrada de fondos fondos igual al valor valor oportunidad, reconoce que una entrada comercial se desprecia desprecia al elegir elegir al defensor. Dicho Dicho enfoque, enfoque, también también llamado llamado enfoenfocomercial convencional, es correcto correcto para cada cada análisis análisis de reemplazo. reemplazo. Un segundo segundo enfoenfoque convencional, denominado enfoque enfoque de flujo reconoce que cuando cuando se elige R, se que, denominado flujo de efectivo, reconoce recibe la entrada entrada de efectivo efectivo del valor valor comercial comercial para para el caso del defensor defensor y, y, en recibe reduce de inmediato inmediato el capital capital necesario necesario para para invertir invertir en el retador. La aplicaaplicaefecto, reduce enfoque de flujo de efectivo efectivo se recomienda recomienda muy poco causa de, por ción del enfoque poco a causa por lo razones: la posible posible violación violación del supuesto supuesto de servicios servicios iguales iguales y el valor menos, dos razones: valor

SECCIÓN SECCIÓN 11.5

Análisis de reemplazo reemplazo durante periodo de Análisis durante un periodo de estudio estudio específico específico

incorrecto capital para Estamos conscientes conscientes de que todas incorrecto de recuperación recuperación de capital para R. Estamos todas las evaluaciones evaluaciones económicas económicas deben deben comparar comparar alternativas alternativas con servicios servicios iguales. iguales. Por Por consiguiente, el enfoque enfoque de flujo de efectivo efectivo funciona solamente cuando cuando las vidas consiguiente, funciona solamente del retador Normalmente éste no es el caso; retador y del defensor defensor son exactamente exactamente iguales. iguales. Normalmente hecho, el análisis análisis de VUE estudio de reemplazo diseñan de hecho, VUE y el procedimiento procedimiento del estudio reemplazo se diseñan propósito de comparar comparar dos alternativas alternativas mutuamente excluyentes y de vidas vidas con el propósito mutuamente excluyentes diferentes, utilizando comparadiferentes, utilizando el método método del valor valor anual. Si esta razón razón relativa relativa a la comparación de servicios servicios iguales iguales no es suficiente, suficiente, considere considere lo que sucede sucede a la cantidad cantidad de recuperación de capital retador cuando valor recuperación capital del retador cuando disminuye disminuye su costo costo inicial inicial por el valor comercial del defensor. defensor. Los términos capital (RC) en la ecuaecuacomercial términos de la recuperación recuperación de capital como resultado ción [11.3] se reducirán, reducirán, lo que dará como resultado un falso valor valor bajo de RC para para cuando se elige. Desde Desde la perspectiva perspectiva ventajosa estudio económico económico el retador, cuando ventajosa del estudio mismo, la decisión para R o D no cambiará; cambiará; sin embargo, cuando cuando se elige e implementa implementa R, el valor resulta confiable. Emplee la inversión valor RC no resulta confiable. La conclusión conclusión es simple: Emplee inversión inicial de R y el ve ve de D como costos costos iniciales iniciales en el análisis análisis de VUE yyen en el análisis análisis de reemplazo. reemplazo . Una premisa premisa fundamental reemplazo se refiere hecho de que .Una fundamental de un análisis análisis de reemplazo refiere al hecho algún retador reemplazará al defensor momento en el futuro, retador reemplazará defensor en cierto cierto momento futuro, siempre siempre que el servicio requiriendo y un retador retador que valga valga la pena pena se encuentre servicio se siga requiriendo encuentre dispodisponible. La expectativa mejorar siempre retadores puede puede estimular retener al expectativa de mejorar siempre los retadores estimular a retener defensor hasta que se estabilicen relacionados con la situación: defensor hasta estabilicen algunos algunos elementos elementos relacionados situación: tecnología, mercado, negociaciones negociaciones por contrato, tecnología, costos, costos, fluctuaciones fluctuaciones en el mercado, contrato, etcéteetcétera. Éste fue el caso del ejemplo relativo al equipo montaje electrónico. ejemplo anterior anterior relativo equipo de montaje electrónico. Un gasto considerable normas cambiaron considerable en equipo equipo cuando cuando las normas cambiaron inmediatamente inmediatamente descompra forzó un análisis análisis de reemplazo cuantiosa pués de la compra reemplazo prematuro prematuro y una pérdida pérdida cuantiosa capital invertido. invertido. El análisis análisis de reemplazo sustituye la disponibilidad disponibilidad del retade capital reemplazo no sustituye retapredecible. Es importante importante comprender comprender las tendencias, tendencias, avances avances y fuerzas compedor predecible. fuerzas competitivas que pueden pueden complementar complementar el resultado resultado económico económico de un buen análisis análisis de reemplazo. Con frecuencia retador con un defensor frecuencia es mejor mejor comparar comparar al retador defensor fortalecido fortalecido en el análisis reemplazo. La añadidura necesarias a un deanálisis de reemplazo. añadidura de las características características necesarias actualmente instalado instalado llega llega a prolongar fensor actualmente prolongar su vida vida útil y su productividad productividad hasta hasta opciones del retador resulten más atractivas. atractivas. que las opciones retador resulten Es posible posible que ocurra ocurra un impacto impacto tributario tributario significativo significativo cuando cuando un defensor defensor se cambia cambia temprano temprano en su vida vida esperada. esperada. Si los impuestos impuestos deben deben tomarse tomarse en cuenta, cuenta, remítase remítase ahora, ahora, o después después de la siguiente siguiente sección, sección, al capítulo capítulo 17 y al análisis análisis de reemplazo después reemplazo después de impuestos impuestos en la sección sección 17.7. 11.5 11.5

ANÁLISIS DE REEMPLAZO REEMPLAZO DURANTE DURANTE UN UN PERIODO PERIODO ANÁLISIS ESTUDIO ESPECíFICO ESPECíFICO DE ESTUDIO

Cuando el periodo análisis de reemplazo limita a un periodo estudio u Cuando periodo del análisis reemplazo se limita periodo de estudio horizonte de planeación ejemplo, la determinación determinación de los horizonte planeación específico, específico, 6 años, por ejemplo, valores VA para defensor normalmente valores para el retador retador y para para la vida vida restante restante del defensor normalmente no se basan en la vida económica. No se toma toma en cuenta cuenta lo que sucede sucede con las alternaalternabasan vida útil económica. después del periodo estudio en el análisis análisis de reemplazo. reemplazo. Por Por consiguiente, consiguiente, tivas después periodo de estudio servicios no se requieren requieren más allá del periodo estudio. De hecho, los servicios periodo de estudio. hecho, un periodo periodo

425

/

Reemplazo Reemplazo después después de impuestos de impuestos

I

Secc. Secc. 17.7

I

426

CAPÍTULO CAPÍTULO 11 11

Decisiones reemplazo y conservación conservación Decisiones de reemplazo

estudio no se ajusta ajusta a los tres supuestos supuestos establecidos establecidos en la sección sección 11.1 fijo de estudio (servicio necesario indefinido, óptima óptima disponibilidad disponibilidad del retador retador ahora (servicio necesario para para un futuro indefinido, y estimaciones estimaciones que serán idénticas idénticas para futuros ciclos ciclos de vida). vida). para futuros Cuando reemplazo durante periodo fijo, resulresulCuando se lleva lleva a cabo un análisis análisis de reemplazo durante un periodo ta esencial esencial que los cálculos cálculos para determinar los valores exactos y se utilipara determinar valores VA sean exactos utilicen en el estudio. particular importancia para el defensor. Si no se estudio. Lo anterior anterior es de particular importancia para cumple cumple con la siguiente siguiente condición, condición, se viola viola la suposición suposición de comparación comparación de serviiguales. cios iguales.

Cuando restante del defensor periodo de esCuando la vida restante defensor es más breve que el periodo partir del final tudio, tudio, el costo de suministrar suministrar los servicios del defensor, a partir restante esperada periodo de estudio, de su vida restante esperada hasta hasta el final del periodo estudio, debe calcularse calcularse con tanta tanta exactitud exactitud como sea posible e incluirse incluirse en el análisis análisis de reemplazo. reemplazo. La rama procedimiento del rama derecha derecha de la figura figura 11.4 muestra muestra una vista vista general general del procedimiento estudio reemplazo para para un periodo periodo de estudio estudio de reemplazo estudio establecido. establecido. 1. Opciones sucesivas yy valores Opciones sucesivas valores VA. VA. Se llevan llevan a cabo todas las formas formas viables viables de utilizar al defensor periodo de estudio. Puede haber utilizar defensor y al retador retador durante durante el periodo estudio. Puede haber una o varias periodo de estudio, varias opciones; opciones; cuanto cuanto más extenso extenso sea el periodo estudio, más complejo complejo se torna utilizan para para formar torna el análisis. análisis. Los valores valores VADo y VA R se utilizan formar la serie de flujo de efectivo para cada efectivo equivalente equivalente para cada opción. opción. 2. Elección Elección de la mejor mejor opción. Se calcula calcula el VP o VA de cada opción opción durante durante el periodo de estudio. periodo estudio. Se elige elige la opción opción con mínimo mínimo costo costo o mayores mayores rendimienrendimientos en caso de que se estimen estimen los ingresos. ingresos. (Como (Como antes, la mejor mejor opción opción tendrá tendrá el mayor numérico para mayor valor valor numérico para VP o VA.) siguientes tres ejemplos ejemplos aplican aplican dicho dicho procedimiento importancia Los siguientes procedimiento e ilustran ilustran la importancia hacer estimaciones estimaciones de costos costos para alternativa del defensor, defensor, cuando cuando su vida vida de hacer para la alternativa restante es menor menor que el periodo restante periodo de estudio. estudio. EJEMPLO EJEMPLO

11.5 11.5

.

Claudia para Lockheed-Martin Claudia trabaja trabaja para Lockheed-Martin (LMCO) (LMCO) en en la división división de mantenimiento mantenimiento de avioaviones. Se prepara prepara para para lo jefe de resulte un nes. 10 que que ella ella y su superior, superior, el jefe de la división, división, esperan esperan que que resulte nuevo contrato para aviones nuevo contrato de defensa defensa a 10 años años con con la Fuerza Fuerza Aérea Aérea de Estados Estados Unidos Unidos para aviones carga C-5A. C-5A. Una Una pieza esencial del del equipo equipo para operaciones de mantenimiento mantenimiento consisconsisde carga pieza esencial para operaciones te en un sistema para la aviación. en un sistema de de diagnóstico diagnóstico de circuitos circuitos con con aplicación aplicación para aviación. El El sistema sistema actual No tiene tiene costos actual se compró compró hace hace 7 años años con con un contrato contrato anterior. anterior. No costos de recuperación recuperación de capital valor comercial capital restantes restantes y los siguientes siguientes cálculos cálculos son son confiables: confiables: valor comercial actual: actual: $70000, $70000, vida vida restante restante de 3 años años más, más, no hay hay valor valor de de salvamento salvamento y el COA COA = = $30 $30 000 000 anuales. anuales. Las Las únicas opciones para sistema consisten consisten en reemplazarlo reemplazarlo o conservarlo conservarlo los los 3 años años comcomúnicas opciones para el sistema pletos pletos que que le le quedan. quedan. Claudia buen sistema Claudia descubrió descubrió que que sólo sólo existe existe un buen sistema retador retador con con las las siguientes siguientes estimaestimaciones de costos: costos: costo costo inicial inicial de $750000, $750000, 10 años años de vida, =O O Y COA COA = = $50000 $50000 ciones vida, S = anuales. anuales.

SECCIÓN SECCIÓN 11.5

e

e

Análisis Análisis de reemplazo reemplazo durante durante un periodo periodo de estudio estudio específico específico

Al darse darse cuenta cuenta de la importancia importancia de las las estimaciones estimaciones exactas exactas de los costos costos de la jefe de la división alternativa alternativa del del defensor, defensor, Claudia Claudia preguntó preguntó al jefe división qué qué sistema sistema representaría representaría una continuación lógica una continuación lógica del del actual actual dentro dentro de 3 años, años, si LMCO LMCO consigue consigue el contrato. contrato. El jefe predijo identificado como jefe predijo que que LMCO LMCO compraría compraría el mismo mismo sistema sistema que que ella ella había había identificado como retador, de que retador, en virtud virtud de que es el mejor mejor en en el mercado. mercado. La La compañía compañía lo conservaría conservaría los los 10 años años completos completos adicionales adicionales para para utilizarlo utilizarlo con con una una extensión extensión del contrato contrato o en en otra otra aplicaaplicación permitiera recuperar capital invertido. ción que que permitiera recuperar los los 3 años años que que quedan quedan de capital invertido. Claudia Claudia interinterpretó que respuesta significaba pretó que la respuesta significaba que que los los últimos últimos 3 años años también también serían serían de recuperación recuperación de capital, otro proyecto capital, aunque aunque en en algún algún otro proyecto distinto distinto de éste. éste. El estimado estimado de Claudia Claudia del del costo 000 costo inicial inicial de este este sistema sistema para para dentro dentro de 3 años años es de $900 $900 000. 000. Además, Además, los los $50 $50000 anuales anuales de COA COA constituyen constituyen la mejor mejor estimación estimación en este este momento. momento. El jefe jefe de la división di visión señaló señaló que que cualquier cualquier estudio estudio tenía tenía que que llevarse llevarse a cabo cabo aplicando aplicando tasa de interés interés del 10%, 10%, según según lo indica indica la Oficina Oficina de Dirección Dirección y Presupuesto Presupuesto de EstaEstala tasa dos Unidos. Unidos. Realice Realice un análisis análisis de reemplazo reemplazo para para el periodo periodo fijo fijo del del contrato contrato de 10 años. años. dos Solución Solución

e a o e

fija el periodo periodo de estudio estudio en en 10 años, años, de manera que el intento intento de establecer establecer suposiciosuposicioSe fija manera que ·nes de análisis análisis de reemplazo reemplazo no se encuentra encuentra presente. presente. Esto Esto implica implica que que las las estimaciones estimaciones 'nes seguimiento del del defensor defensor son son muy muy importantes importantes para para el análisis. análisis. Además, Además, cualquier cualquier de seguimiento análisis para para determinar determinar los valores valores de VUE VUE son son innecesarios innecesarios e incorrectos incorrectos en en virtud virtud de análisis que las vidas vidas alternativas alternativas ya se han han establecido establecido y no hay hay valores valores comerciales comerciales anuales anuales que previstos. El primer primer paso paso del del procedimiento procedimiento del del análisis análisis de reemplazo reemplazo consiste consiste en definir definir previstos. opciones. Como Como el defensor defensor será será reemplazado reemplazado ahora ahora o en en 3 años, años, sólo sólo existen existen dos dos las opciones. opciones: opciones:

1. 2.

a a

Un retador para para 10 años. años. Un retador defensor para para 3 años, años, seguido por un un retador para 7 años. años. Un defensor seguido por retador para

calculan los valores VA para para R y D. D. En el caso caso de la opción opción 1, se utiliza utiliza el retador retador para para Se calculan los valores años. La La ecuación ecuación [11.3] [11.3] se aplica aplica con con los siguientes siguientes cálculos: cálculos: los 10 años. Retador: Retador:

P= = $750 $750 000 000 COA = = $50 000 COA $50000 n= = 10 años años S= =O S = -750 -750 OOO(A/?, OOO(A/p, 10%,10) 10%,10) - 50 000 000 = = $$-172 063 VARR = 172 063

La segunda segunda opción opción incluye incluye estimaciones estimaciones de costos costos más más complejas. complejas. El para el La El VA para sistema actual se calcula calcula durante durante los los primeros primeros 3 años. años. Sumada a este valor se encuentra la sistema actual seguimiento del defensor por recuperación del capital para el seguimiento por los siguientes 7 años. No

cantidad Re se determina durante sus 10 años completos de obstante, en este caso la cantidad vida. (No (No es raro que la recuperación recuperación del del capital capital invertido invertido se mueva mueva entre entre los proyectos, proyectos, raro que en particular en el caso caso del del trabajo trabajo bajo bajo contrato.) contrato.) Refiérase Refiérase a los los elementos elementos de VA, como como en particular en subíndice DA representa defensor actual) VA subíndice DS representa (el subíndice VADA DA representa al defensor actual) y VAos (el subíndice DS representa oA Ds defensor de seguimiento). seguimiento). Los Los diagramas diagramas de flujo flujo de efectivo efectivo finales finales se muestran muestran en en la al defensor figura 11.6. 11.6. figura valor comercial comercial = $70 $70 000 000 COA = $30 $30 000 000 valor COA años S= O n = 3 años S= = [-70000 [-70000 - 30 OOO(P/A, 000(P/A,1O%,3)](A/p, 10%,10) = = $-23 $-23 534 534 VADA 10%,3)](A/?,1O%,l0) oA =

Defensor actual: actual: Defensor

Defensor de seguimiento: seguimiento: P = = $900 $900 000, 000, n = años exclusivamente exclusivamente para para los los cálculos cálculos Defensor = 10 años recuperación de capital, capital, COA COA = $50000 $50000 para los años años 4 a 10, S = O. O. de recuperación para los

427

428

CAPÍTULO

11

o

Decisiones de reemplazo y conservación

2

3

r

4

5

6

7

8

9

•

10 Año

COA = $50000 del periodo >-- Final de estudio

P=$ 750000 a) Retador (opción 1)

o

2

3

4

5

6

7

9

8

11

10

12

13 Año

I

COA= $30000 I I I I I I I

VC = $70 000 ..1

Defensor ~ actual RC 1---

."

= $146

475

Defensor de seguimiento

~

I

I

I

~ RC para otros proyectos

b) Defensor altemati vo (opción 2)

"

Figura 11.6 Diagramas de flujo de efectivo para un análisis de reemplazo (ejemplo 11.5).

con periodo de estudio de 10 años

El RC y el VA para los 10 años son: RCos = -900 OOO(AlP,10%,10) = $-146475 VADs = (-146475 - 50 000) (F/A, 1O%,7)(AlF, 10%,10) = $-116966

[11.5]

El VAo total del defensor es la suma de los dos valores anuales anteriores. Éste es el VA para la opción 2. VAo

= VAoA + VAos = -23534

-116

966

= $-140

500

La opción 2 incluye un costo menor ($-140 500 contra $-172 063). Conserve al defensor ahora y espere la compra del sistema de seguimiento dentro de 3 años.

Comentario El costo de recuperación proyecto por identificarse costo de recuperación del lo cual incrementaría el $-163357. La alternativa

del capital para el defensor de seguimiento lo absorberá algún para los años 11 a 13. Si no se realizara esta suposición, su capital se calcularía durante 7 años, no 10, en la ecuación [11.5], valor de RC a $-184869. Esto eleva el valor anual a VAo = (opción 1) del defensor todavía se elegirá.

SECCIÓN 11.5 11.5 Análisis estudio específico específico SECCIÓN Análisis de reemplazo reemplazo durante durante un periodo periodo de estudio

EJEMPLO

'ililll

11 .6

Hace el aeropuerto un nuevo nuevo carro bomberos. Como Hace 3 años, años, el aeropuerto O'hare O'hare de Chicago Chicago compró compró un carro de de bomberos. Como consecuencia número de vuelos, se requiere requiere de una nueva capacidad consecuencia del del incremento incremento en el número de vuelos, una nueva capacidad en la lucha Ahora se puede puede adquirir bomberos con lucha contra contra los los incendios. incendios. Ahora adquirir otro otro camión camión de de bomberos con la misma un camión puede sustituir misma capacidad capacidad o un camión con con el doble doble de de capacidad capacidad puede sustituir al actual. actual. A concontinuación tinuación aparecen aparecen las las estimaciones. estimaciones. Compare Compare las las opciones opciones al 12% 12% anual anual aplicando aplicando a) un periodo periodo de periodo de de estudio estudio de 12 12 años años y b) un periodo de estudio estudio de de 9 años años. .

El que tiene que se tiene actualidad en la actualidad Costo inicial inicial P, $ Costo COA, COA, $ Valor comercial, comercial, $ Valor Valor Valor de salvamento, salvamento, $ Vida, Vida, años años

Nueva compra compra Nueva

De doble De doble capacidad capacidad

-151000 -151000 (hace (hace 3 años) años) -1500 -1500 70000

-175000 -175000 -1500 -1500

-190000 -190000 --2500 2500

10% deP deP

12% 12% de de P 12 12

10% deP deP

12 12

12 12

Solución Solución

Identifique retención del camión posee actualmente Identifique la opción opción 1 como como retención camión que que se posee actualmente yy el increincremento con con un nuevo de la misma capacidad. Defina opción 2 como como un reemmento nuevo vehículo vehículo de misma capacidad. Defina la opción reemplazo con con el camión camión del del doble doble de capacidad. capacidad. plazo Opción 1 Opción

P,$ P,$ COA, COA, $

S,$ S,$ n, años años a)

Opción 2 Opción

El que tiene que se tiene en la actualidad actualidad

Incremento Incremento

Capacidad Capacidad doble doble

-70000 -70000 -1500 -1500 15 100 15100 9

-175000 -175000 -1500 -1500 21000 12 12

-190000 -190000 -2500 -2500 19000 12 12

En periodo de En el caso caso del del periodo de estudio estudio de de 12 12 años años de la opción opción 1, VAl = (VA del del camión camión que que actualmente actualmente se tiene) del incremento) incremento) tiene) + (VA del OOO(AlP,12%,9) 12%,9)+ 15 100(AlF, 12%,9) 12%,9)-- 1 500] 500] = [-70 OOO(AlP, + 15

[-175 000(Alp,12%,12) + 21 21 000 000 (AlF,12%,12) (AlF,12%,12) -1500] + [-1 75 000(Alp,12%,12) - 1 500]

= = -13 616 616 -

28882

= $-42 498 498 Estos cálculos cálculos suponen suponen que que los servicios servicios equivalentes equivalentes que que proporciona camión de de Estos proporciona el camión bomberos actual comprarse a $-13 616 616 anuales anuales durante durante los años años 10 10 a 12. bomberos actual pueden pueden comprarse 12. VA22 = -190 000(AlP,12%,12) 000(AlP,12%,12) + 19000 (AIF,12%,12) (AlF,12%,12) - 2 500 500

= $-32 386 386 Reemplace ahora ahora con con el camión camión de de bomberos bomberos del del doble doble de de la capacidad capacidad (opción (opción 2) Reemplace pues representa una una ventaja ventaja de $10 pues representa $10 112 112 anuales. anuales.

429

430

CAPÍTULO

b)

11

Decisiones

de reemplazo y conservación

El análisis para un periodo de estudio abreviado de 9 años es idéntico, salvo que n = 9 en cada factor; es decir, se admiten 3 años menos para que el incremento y los camiones del doble de capacidad recuperen la inversión del capital más 12% anual de rendimientos. Los valores de salvamento son los mismos en virtud de que se indican en forma de porcentaje de P todos los años: VAl

= $-46

539

VA2 = $-36 873

La opción 2 se elige nuevamente; no obstante, ahora la ventaja económica es menor. Si el periodo de estudio se abreviara más drásticamente, en algún momento la decisión debería invertirse. Si este ejemplo se resolviera con la ayuda de una computadora, los valores n en las funciones PAGO podrían reducirse para determinar si, y cuándo, la decisión de las opciones 2 a la 1 se invierte.

Si existen varias opciones para el número de años que el defensor puede mantenerse antes de reemplazarlo con el retador, el primer paso del análisis de reemplazo -opciones sucesivas y valores VA- debe incluir todas las opciones viables. Por ejemplo, si el periodo de estudio fuera de 5 años, y el defensor permaneciera en servicio 1, 2 o 3 años, deberían hacerse estimaciones de costos para determinar los valores VA para cada periodo de retención del defensor. En tal caso, hay cuatro opciones; llamémoslas W, X, y YZ. Opción W X Y Z

Defensor retenido

Servicio del retador

3 años 2 1

2 años 3 4 5

O

Los valores VA respectivos para la retención del defensor y el uso del retador definen los flujos de efectivo para cada opción. El ejemplo 11.7 ilustra el procedimiento.

EJEMPLO 11~

/7J

Amoco Canada cuenta con equipo de yacimiento petrolífero que puso en servicio hace 5 años, para el cual se solicita un análisis de reemplazo. Como consecuencia del propósito específico del equipo, se decidió que el equipo actual sirva 2, 3 o 4 años antes de que se le reemplace. El equipo tiene un valor comercial actual de $100 000, que se espera se reduzca en $25 000 cada año. El COA es constante en este momento y se espera que permanezca así: $25 000 anuales. El retador de reemplazo consiste en un contrato a precio fijo, que ofrecerá los mismos servicios a $60 000 anuales por un mínimo de 2 años y un máximo de 5 años. Aplique una TMAR de 12% anual para llevar a cabo un análisis de reemplazo durante un periodo de 6 años y determine en qué momento vender el equipo actual y comprar los servicios contractuales.

SECCIÓN 11.5 Análisis de reemplazo durante un periodo de estudio específico

431

Solución Puesto que el defensor se retendrá 2, 3 o 4 años, existen tres opciones viables (X, Y Y Z). Opción X y

Z

Defensor retenido

Servicio del retador

2 años 3 4

4 años 3 2

Los valores anuales del defensor se identifican mediante los subíndices D2, D3 Y D4 para representar el número de años que se retiene. VAD2 = -100 OOO(AlP, 12%,2) + 50 OOO(AlF, 12%,2) - 25 000 = $-60 585 VAD3 = -100 OOO(AlP, 12%,3) + 25 000(AlF,12%,3)

- 25000 = $-59 226

VAD4= -100 OOO(AlP, 12%,4) - 25 000 = $-57 923 En el caso de todas las opciones, el retador posee un valor anual de VAR = $-60000 La tabla 11.3 muestra los flujos de efectivo y los valores VP para cada opción durante el periodo de estudio de 6 años. Un cálculo muestra del VP para la opción Y sería: VPy

= -59

226(P/A,12%,3)

-60 OOO(F/A, 12%,3)(P/F, 12%,6) = $-244 817

La opción Z tiene el valor de VP del menor costo ($-240 369). Conserve al defensor los 4 años, después reemplácelo. En efecto, se obtendrá la misma respuesta si el valor anual, o el valor futuro, de cada opción se calculan a la TMAR. Comentario Si el periodo de estudio es demasiado amplio, posiblemente debería calcularse la VUE del retador y su valor de VAutilizarse para generar las opciones y la serie de flujo de efectivo. Una opción quizá incluya más de un ciclo de vida del retador para su periodo de VUE. Los

TABLA

11.3

Flujos de efectivo equivalentes y valores de VP para un análisis de reemplazo en un periodo de estudio de 6 años (ejemplo 11.7) Tiempo en servicio (años) Flujos de efectivo de VA para cada opción, $/año

Opción

Defensor

Retador

X Y

2 3 4

4 3 2

Z

1 -60585 -59226 -57923

2

3

4

5

-60585 -59226 -57923

-60000 -59226 -57923

-60000 -60000 -57923

-60000 -60000 -60000

6

Opción Vp, $

-60000 -60000 -60000

-247666 -244817 -240369

432

CAPÍTULO 11 11 Decisiones Decisiones de reemplazo yy conservación conservación

incluirse. Pase lo que pase, cualesquiera cualesquiera años ciclos de vida parciales del retador pueden incluirse. más allá del periodo de estudio deben ignorarse para llevar a cabo el análisis de reemplazo, o se les debe considerar explícitamente explícitamente con la finalidad de garantizar garantizar el hecho de que se mantenga la comparación de servicios iguales, en particular particular si se utiliza el VP para elegir la mejor opción.

11.

11.

RESUMEN RESUMEN DEL CAPíTULO CAPíTULO En un análisis de reemplazo es importante importante comparar comparar al mejor mejor retador retador con con el defenEn un análÍsis de reemplazo defenposee el menor sor. El mejor mejor retador retador (económicamente) (económicamente) es el que posee menor valor valor anual anual (VA) de costos para algún periodo de años. Si se especifican costos para algún periodo especifican la vida vida restante restante esperada esperada del del defensor defensor y la la vida vida estimada estimada del del retador, retador, se determinan determinan los los valores valores VA durante durante estos estos años y procede procede el análisis análisis de de reemplazo. reemplazo. Sin Sin embargo, embargo, si pueden hacerse estimacioestimacioaños pueden hacerse de posenes nes razonables razonables del del valor valor comercial comercial esperado esperado (VC) (VC) y del del COA COA para para cada cada año año de posesión, sión, los los costos costos (marginales) (marginales) año año por por año año permiten permiten determinar determinar al mejor mejor retador. retador. El análisis análisis de de vida vida útil útil económica económica (VUE) (VUE) se elaboró elaboró para para la determinación determinación de de la la El resultado, el menor mejor de servicio mejor cantidad cantidad de años años de servicio del del retador retador y, como como resultado, menor VA total total de de los los costos. costos. Los Los valores valores nRR YVARR que que resultan resultan se utilizan utilizan en en el procedimiento procedimiento del del análisis de reemplazo. reemplazo. En En el caso caso de la VUE VUE del del defensor defensor se puede puede llevar llevar a cabo cabo el análisis de la mismo mismo análisis. análisis. En los los análisis análisis de reemplazo reemplazo donde donde no se especifica especifica ningún ningún periodo periodo de estudio estudio En (horizonte de planificación), planificación), debe debe utilizarse utilizarse el método método del del valor valor anual anual para para compacompa(horizonte rar dos dos alternativas alternativas de de vida diferentes. El El mejor mejor VA determina determina el tiempo tiempo de de retenrar vida diferentes. retención del del defensor defensor antes antes del del reemplazo. reemplazo. ción Cuando se especifica especifica un periodo periodo de de estudio, estudio, en en el caso caso de de un un análisis análisis de de reemreemCuando plazo, es vital vital que las estimaciones estimaciones del del valor valor comercial comercial y el costo costo para para el defensor defensor plazo, que las resulten tan tan exactas exactas como como sea sea posible. Cuando la vida vida restante restante del del defensor defensor sea sea más más resulten posible. Cuando breve que que el periodo periodo de de estudio, estudio, resulta resulta esencial esencial que que el costo costo para para continuar continuar con con el breve servicio se calcule calcule con con especial especial cuidado. cuidado. Todas Todas las las opciones opciones viables viables para para utilizar utilizar al servicio defensor y al retador retador se enumeran enumeran y se determinan determinan sus sus flujos flujos de de efectivo efectivo equivalenequivalendefensor de VA. Para Para cada cada opción, opción, se usa usa el valor valor de de VP VP o VA para para elegir elegir la mejor mejor opción. opción. tes de Tal opción opción determina determina el tiempo tiempo de de retención retención del del defensor defensor antes antes del del reemplazo. reemplazo. Tal

PROBLEMAS PROBLEMAS Fundamentos del reemplazo reemplazo Fundamentos Identifique las las suposiciones suposiciones fundamentales fundamentales 11.1 Identifique que específicamente específicamente hace sobre sobre la alteralterque se hace nativa retadora retadora al realizar realizar un un análisis análisis de reemreemnativa plazo. plazo.

En un análisis análisis de de reemplazo, reemplazo, ¿qué valor 11.2 En ¿qué valor numérico debe debe usarse usarse como como costo costo inicial inicial numérico para el defensor? defensor? ¿Cuál ¿Cuál es el mejor mejor modo modo para de obtener obtener este este valor? valor? de

11

PROBLEMAS PROBLEMAS

11.3 ¿Por punto de ¿Por qué es importante importante solicitar solicitar el punto vista de un consultor para hacer hacer un análisis consultor para análisis de reemplazo? reemplazo? 11.4

Chris está cansada cansada de conducir conducir el usado y anticuado anticuado automóvil automóvil que adquirió hace dos años por $18 000. Estima Estima que ahora su valor es de $8 000. Un vendedor vendedor de carros le propuso el trato siguiente: "Mire, "Mire, le daré $10 000 por Eso representa por este este modelo modelo del año. año. Eso representa $2000 $2 000 más de lo que usted esperaba esperaba obtener obtener y $3 000 más del valor que indica indica el Kelly Blue Book. Nuestro Nuestro precio venta de un precio de venta coche nuevo para usted es de sólo $28 000, lo que significa respecto al significa $6 000 menos respecto precio de lista de $34 000 proporcionado proporcionado por el fabricante. Si considera considera los $3 000 adiciopropongo y la reducción nales del trato que propongo reducción de $6 000 del precio de lista, usted pagaría pagaría $9000 $9000 menos por el carro nuevo. Por lo tanto, le estoy proponiendo un trato muy bueno, con obtendría $2 000 más por su trasto el que obtendría lo que calculaba calculaba ganar. Así pues, viejo que 10 cerremos cerremos el trato ahora, ¿sí?" Si Chris ejecutara reemplazo en este cutara un análisis análisis de reemplazo este momento, ¿cuál sería el costo inicial correcto por a) el defensor, y b) el retador?

Mytesmall Industries compró 11.5 Hace 2 años, Mytesmall Industries compró por $600 000 equipo nuevo para para pruebas pruebas de microelectrónica. momento, espemicroelectrónica. En aquel momento, raba usarlo durante durante 5 años y después después cambiarlo o venderlo rescate de venderlo por su valor de rescate $75 000. La expansión negocios en expansión de los negocios mercados internacionales de nuevo desarrollo empuja empuja la decisión decisión de cambiarlo cambiarlo hoy por una unidad nueva que cuesta cuesta $800 000. 000. Si fuera necesario, el equipo actual podría conservarse por otros dos años, tiempo en el que tendría tendría un valor estimado mercado de $5 000. estimado en el mercado La unidad actual se valúa valúa en $350 000 en el mercado internacional y si se usara mercado internacional usara otros otros ocasionaría costos de mantenimiento 2 años ocasionaría mantenimiento operación (sin incluir incluir costos del operador) operador) y operación Determine los valores de $125 000 anuales. Determine P, n, n, s y COA para este defensor defensor si el anáde P, reemplazo se realizara realizara hoy. lisis de reemplazo

433 433

11.6

Buffett EnterpriEnterpriHace exactamente exactamente 2 años, Buffett sistema nuevo ses instaló por $450 000 un sistema para vigilar y controlar controlar sus líneas de procesos California, con una vida de manufactura manufactura en California, esperada de 5 años. En aquel entonces el valor en el mercado mercado quedó descrito relación descrito por la relación 4, $400000 - 50 OOOk 000k1.IA $400000 , donde k son los años transcurridos desde el momento de la compra. La experiencia experiencia previa con equipo para vigilar el fuego indica indica que sus costos anuales anuales de operación relación 10 000 + 10012. operación siguen la relación 10012. Si a lo largo del tiempo las relaciones relaciones son correctas, valores de P, S Y correctas, determine determine los valores COA para este defensor defensor si se llevara llevara a cabo un análisis de reemplazo: reemplazo: a) ahora, con un periodo de estudio periodo estudio especificado especificado de 3 años, y b) dentro de dos años, sin que se identificara identificara algún periodo periodo de estudio.

11.7

máquina que se compró Una máquina compró hace 1 año por $85 000 tiene un costo de operación operación más alto que el anticipado. anticipado. Cuando Cuando se adquirió adquirió se esperaba máquina se utilizaría utilizaría duran- • esperaba que la máquina mantenite 10 años con un costo anual de mantenimiento de $22 000 y un valor de salvamento salvamento de $10 000. Sin embargo, el último año, el mantenimiento mantenimiento de la máquina máquina le costó a la compañía compañía $35 000, y se espera espera que dicho costo ascienda ascienda a $36 500 este año y que se incremente en $1 500 cada año de ahí en adeincremente lante. El valor de salvamento salvamento se estima estima ahora en $85 000 - $10 OOOk, donde kk es el número de años desde máquina. desde la compra compra de la máquina. Ahora se calcula máquina será útil Ahora calcula que esta máquina máximo de 5 años más. Determine Determine los un máximo para un análisis valores de P, P, V, COA, n y S para de reemplazo reemplazo que se lleve a cabo ahora.

Vida económica económica de servicio servicio

11.8 Halcrow, Halcrow, lnc. lnc. espera espera reemplazar reemplazar un sistema sistema obsoleto instalado actualobsoleto de seguimiento seguimiento instalado actualsistema retador mente en máquinas máquinas CNC. El sistema retador tiene costo inicial tiene un costo inicial de $70 000, otro de operación anual estimado estimado en $20 000, una operación vida útil máxima máxima de 5 años, y un valor valor de rescate cualquier momento rescate de $10 000 en cualquier momento

434 434

CAPÍTULO 11 11 Decisiones Decisiones de de reemplazo reemplazo yy conservación conservación CAPÍTULO

en que que se se sustituya. sustituya. Con una una tasa tasa de de interés interés en de 10% 10% anual, determine determine la vida económica económica de del servicio y el monto monto correspondiente. correspondiente. Redel suelva este problema problema con ayuda de una calsuelva culadora portátil. culadora

relación relación SS = = P(0.85)n, P(0.85)n, en la que nn es el número número de años transcurridos transcurridos después después de la compra. compra. El costo costo de operación operación sería sería de $75 000 el primer primer año y aumentaría aumentaría $10 000 cada año a partir de entonces. entonces. Use = 18% anual. una i = a) Determine Determine la vida económica económica de servicio y el VA VA correspondiente correspondiente de este retadar. tador. b) Se esperaba justificara económiesperaba que se justificara económicamente camente la conservación conservación de la máquina máquina durante durante 6 años, pero no es así ya que la VES en parte (a) es considerablemente considerablemente inferior inferior a 6 años. Determine Determine la reducreducción en el costo inicial inicial que habría habría que negociarse negociarse para hacer que el costo anual equivalente posesión durante equivalente para para una posesión durante 6 años fuera igual en lo numérico a la esVA determinado para la VES timación de VAdeterminado calculada. Suponga calculada. Suponga que todas las demás estimaciones permanecen permanecen sin cambio, cambio, e estimaciones ignore el hecho de que este valor de P más bajo no haría haría aún una una VES recalculada recalculada bajo igual a 6 años. igual

11.9 Utilice una hoja de cálculo para resolver resolver el 11.9 problema 11.8 11.8 y grafique grafique la curva del VA VA problema componentes. a) con el empleo empleo total y sus componentes. estimaciones que se hizo originalmenoriginalmende las estimaciones estimaciones nuevas y más prete, y b) con estimaciones particular con una vida máxima máxima cisas, en particular esperada de 10 años, un COA que se increincreesperada 15% estimación mentaría 15 % al año a partir de la estimación rescate que inicial de $20 000, y un valor de rescate disminuya $1 $1 000 cada año a partir se espera disminuya partir estimación de $10 000 para el primer primer de la estimación año. 11.10 Se espera que un activo con costo inicial de $250000 tenga vida útil máxima de 10 años yY $250000 un valor de mercado que se reduzca $25 000 espera que tenga costo de por año. Se espera tenga un costo •• operación operación anual constante constante de $25 000 anual anual durante sucesivo se indurante 5 años y que en lo sucesivo incremente sustancial en 25% por cremente de manera manera sustancial por año. La tasa de interés es un escaso 4% anual anual, debido Service~ debido a que la compañía, compañía, Public Public Services Corp., Corp., es propiedad propiedad mayoritaria mayoritaria del munimunicipio y se le considera considera empresa empresa semiprivada semiprivada que que goza goza de las tasas tasas de interés interés propias propias de los proyectos proyectos públicos públicos para para obtener obtener préspréstamos. Verifique que que la Vida Económica Económica tamos. a) Verifique de Servicio Servicio VES es de 5 años. años. ¿La ¿La VES es sensible sensible al valor valor cambiante cambiante del mercado mercado y a las estimaciones estimaciones COA? COA? b) El ingeniero ingeniero a cargo cargo de hacer hacer el análisis análisis del reemplazo reemplazo dedeterminó terminó que que este este activo activo debería debería tener tener una una VES de 10 años años cuando cuando se enfrentara enfrentara contra contra cualquier cualquier retador. retador. Si la la serie serie COA COA fuera fuera cocorrecta, rrecta, calcule calcule el valor valor mínimo mínimo de de mercado mercado que que haría haría la VES VES igual igual a 10 años. años. Resuelva Resuelva el problema problema a mano mano o con con hoja hoja de de cálculo. cálculo. 11.11 Una Una trituradora trituradora nueva nueva para para materiales materiales comcompuestos puestos tiene tiene un costo inicial inicial de de P P= = $100 $100 000, yY puede puede usarse usarse durante durante un un máximo máximo de de 66 años. años. Su Su valor valor de de rescate rescate se se estima estima con con la la

11.12 a)

Formule una una hoja de cálculo cálculo general general (en Formule formato de referencia de celdas) formato referencia celdas) que inVA asociado para para cualdique la VES y el VAasociado quier activo retador que tenga una vida vida quier activo retador tenga una útil máxima máxima de 10 años. La La relación relación para para el VAdebe VA debe ser una una fórmula fórmula de celda celda única para calcularlo calcularlo por por cada cada año de la propropara piedad, mediante todas las estimaciones piedad, mediante todas estimaciones que sean sean necesarias. necesarias. que b) Use Use la la hoja hoja de de cálculo cálculo para para encontrar encontrar b) los valores de VES y VA para las estiestilos valores de VES para las maciones de la tabla siguiente. Suponga maciones de la tabla siguiente. Suponga que que ii = = 10% anual. anual.

Año Año

oO 1 22 33 44 55

Valor estimado estimado Valor de mercado. mercado, $ de

80000 80000 60000 60000 50000 50000 40000 40000 30000 30000 20000 20000

COA COA estimado, $ $ estimado.

oO 60000 60000 65000 65000 70000 70000 75000 75000 80000 80000

11.1:

11.1,

Año

o 1 2 3 4 5 6 7

11.1:

Aná

11.11

--------------------------------------------I!"r""' 435

PROBLEMAS

11.13 Un elemento para equipo tiene un costo inicial de $150 000, una vida útil máxima de 7 años, y un valor de rescate descrito por la relación S = 120 000 - 20 OOOk, donde k es el número de años transcurridos desde que se efectuó la compra. El valor de rescate no es menor que cero. La serie de COA se estima por medio de la fórmula COA = 60 000 + 10 OOOk. La tasa de interés es de 15% anual. Determine la vida económica de servicio, a) a mano con cálculos del VA normales, y b) por computadora con estimaciones de costo anual marginal. 11.14 Calcule la vida económica de servicio y el VA correspondiente para una máquina que tiene las siguientes estimaciones de flujo de efectivo. Use una tasa de interés de 14% anual y obtenga la solución a mano. Año

o 1 2 3

4 5 6 7

Valor de rescate, $ 100000 75000 60000 50000 40000 25000 15000 O

Costo de operación, $ -28000 -31000 -34000 -34000 -34000 -45000 -49000

11.15 Use los costos anuales marginales para calcular la vida económica de servicio para el problema 11.14, por medio de una hoja de cálculo. Suponga que los valores de rescate son las mejores estimaciones del valor futuro de mercado. Desarrolle una tabla en Excel de los costos anuales marginales (CM) y el VA del CM durante los 7 años. Análisis de reemplazo 11.16 Durante un periodo de 3 años, Shanna, gerente de proyectos en Sherholme Medical Devices, realizó análisis de reemplazo del equipo que se usa en los laboratorios de diagnóstico para detectar cáncer provocado por microondas. Ella tabuló los valores de VES y VA para cada año.

a) b)

¿Qué decisión debe tomarse cada año? A partir de los datos, describa cuáles cambios tuvieron lugar en defensor y retador durante los 3 años. Vida máxima, años

Años, VES

VA, $/año

Defensor Retador 1

Primer año, 200X 3 3 10 5

-10000 -15000

Defensor Retador 1

Segundo año, 200X + 1 2 1 10 5

-14000 -15000

Defensor Retador 2

Tercer año, 200X + 2 1 1 5 3

-14000 -9000

11.17 Un ingeniero aerospacial consultor en la compañía Aerospatial estimó los montos de VA de un insertador de remaches de acero muy preciso que ya posee la empresa, con base en los registros que ésta tiene para equipo similar. Si se conservara este número de años 1 2 3

4 5

Monto del VA, $/año -62000 -50000 -47000 -53000 -70000

Un retador presenta VES = 2 años y VAc = $-49 000 por año. Si el consultor debe recomendar ahora que se está tomando la decisión sobre reemplazar o conservar, ¿la empresa debe comprar al retador? la TMAR es de 15% anual. 11.18 Si se realizara un análisis de reemplazo y el defensor se seleccionara para conservarlo durante nD años, explique lo que debiera hacerse 1 año después si se identificara un retador nuevo. 11.19 BioHealth, empresa de arrendamiento de sistemas biotecnológicos, estudia la adqui-

436 436

CAPÍTULO 11 CAPÍTULO 11

Decisiones de reemplazo Decisiones reemplazo y conservación conservación

sición de un equipo equipo nuevo nuevo que sustituya sustituya un activo que ya se posee y que se compró compró hace 2 años en $250 000 y que se valuó en el mercado posible actualizarlo mercado en $50000. $50 000. Es posible actualizarlo por $200 000 ahora, lo que lo volvería volvería funfuncional durante durante otros 3 años de arrendamienarrendamiento, después después de lo cual el sistema sistema completo completo podría venderse circuito internacional podría venderse en el circuito internacional en una cifra estimada estimada de $400 000. El retaretador podría podría comprarse comprarse por $300 $300 000, tendría tendría una vida esperada esperada de 10 años y un valor valor de rescate rescate de $50 000. Determine Determine si la empreempresa debe actualizar actualizar o reemplazar, reemplazar, con una TMAR TMAR de 12% anual. anual. Suponga Suponga que las estimaciones de COA son las mismas mismas para estimaciones para alternativas. ambas alternativas. 11.19,uti11.20 Para las estimaciones del problema problema 11.19, utilice un análisis basado en una hoja de cálculo para determinar el costo inicial máximo para la actualización actualización del sistema sistema existente, existente, que haría haría que tanto el defensor defensor como como el retador retador estuvieran estuvieran en equilibrio. equilibrio. Si el sistema sistema actual se va a conservar conservar ¿se trata de una actualizaactualización máxima máxima o mínima? mínima?

11.21 Una compañía compañía maderera maderera que tala pinos finos para para ebanistería, ebanistería, evalúa evalúa si debe conservar conservar el sistema sistema existente existente para para aclarar aclarar o reemplareemplazarlo por uno nuevo. Los costos importantes importantes para para cada cada sistema sistema ya se conocen conocen o se estiman. Use una tasa de interés interés de 10% anual para: a) realizar realizar el análisis análisis del reemplazo, reemplazo, y b) determinar precio mínimo determinar el precio mínimo de revenreventa que es necesario para seleccionar necesario para seleccionar ahoahora al retador retador de reemplazo. reemplazo. ¿Es de esperarse esperarse una una cantidad cantidad razonable razonable por por el sistema sistema existente? existente? Sistema Sistema existente existente Costo hace 7 años, Costo inicial inicial hace años, $ Costo Costo inicial, inicial, $ Vida Vida restante, restante, años años Valor Valor actual actual en el mercado, mercado, $ COA, COA, $ por por año año Valor futuro futuro, , $ Valor

Sistema Sistema nuevo nuevo

-450000 -450000

5 50000 50000 -160000 -160000 O O

-700000 -700000 10 -150000 -150000 50000 50000

11.22 Hace Nuyork Port Hace cinco cinco años, la Nuyork Port Authority Authority compró compró varios varios vehículos vehículos de transporte transporte de contenedores contenedores en $350 $350 000 cada cada uno. El año pasado pasado se llevó llevó a cabo cabo un análisis análisis de reemplazo reemplazo con la decisión decisión de conservar conservar los vehículos embargo, este año vehículos 2 años más. Sin embargo, ha cambiado cambiado la situación, situación, ya que se estiesticada uno de ellos ellos ahora ahora tiene tiene un ma que cada valor mantuvieran en valor de sólo $8 000. Si se mantuvieran servicio, por actualiservicio, el costo costo de $50 000 por actualizarlos haría útiles hasta hasta por por 2 años más. zarlos los haría Se espera espera que el costo costo de operación operación sea de $15,000 el se$10 000 el primer primer año y de $15,000 gundo, sin ningún ningún valor de rescate. rescate. En forma alternativa, la compañía compañía puede comprar alternativa, puede comprar vehículo nuevo nuevo con VES de 7 años, sin un vehículo rescate y un costo anual equivalente equivalente valor de rescate 55540 por año. La TMAR a $$-55540 TMAR es de 10% actualizar los anual. Si el presupuesto presupuesto para para actualizar vehículos existentes existentes está está disponible disponible este este vehículos año, utilice utilice dichas para deterdichas estimaciones estimaciones para minar: a) cuándo cuándo debe debe reemplazar reemplazar la comcompañía vehículos actualizados, actualizados, y b) el valor pañía los vehículos rescate mínimo mínimo futuro futuro de un vehículo vehículo de rescate nuevo nuevo necesario necesario que indique indique cuál compra compra económicas sobre hecha ahora tiene ventajas económicas la actualización. actualización. Annabelle fue a trabajar trabajar este este mes para para Ca11.23 Annabelle terpillar, equipo terpillar, compañía compañía fabricante fabricante de equipo pesado. pesado. Cuando Cuando se le pidió pidió verificar verificar los resultados de un análisis análisis de reemplazo reemplazo que sultados había había concluido concluido a favor favor del retador retador (un elemento metal pesado mento nuevo nuevo de metal pesado que es parte parte del equipo procesamienequipo para para la planta planta de procesamiento de excavadoras), excavadoras), ella estuvo estuvo de acuerdo acuerdo principio porque porque los resultados resultados numéricos numéricos al principio favorecían al retador. favorecían

Vida, Vida, años años VA, $ por año por año

Retador Retador

Defensor Defensor

4 -80000 -80000

6 más más -130000 -130000

Llena pasadas del Llena de dudas sobre decisiones decisiones pasadas mismo tipo, averiguó averiguó y supo que se habían habían mismo realizado realizado cada cada dos años análisis análisis de reemreemplazo en tres ocasiones ocasiones anteriores anteriores para para la plazo

1

437

PROBLEMAS

misma categoría de equipo. La decisión era consistente para reemplazar con el retador de entonces. Durante su análisis, Annabelle concluyó que antes los valores de VES no se había determinado para comparar los montos de VA en los análisis efectuados hacía 6, 4 Y 2 años. Reconstruyó en lo posible los análisis para la vida estimada, VES y VA, según aparecen en la tabla siguiente. Todas las

cantidades de costo están redondeadas y en unidades de $1 000 por año. Determine los dos conjuntos de conclusiones del análisis de reemplazo (es decir, con base en la vida y en la VES) y decida si Annabelle estuvo en lo correcto en su conclusión inicial: de haberse calculado los valores de VES y VA, el patrón de las decisiones de reemplazo habría sido significativamente distinto.

Defensor Análisis realizado hace (años)

Retador

Vida, años

VA, $/año

VES, $/año

VA, $/año

Vida, años

VA, $/año

VES, $/año

5 6 3 6

-140 -130 -140 -130

2 5 3 1

-100 -80 -80 -100

8 5 8 4

-130 -120 -130 -80

7

6 4 2 Ahora

11.24 Herald Richter and Associates compró hace 5 años en $45 000 un graficador de señales de microondas para detectar la corrosión en estructuras de concreto. Para el resto de su vida útil, de hasta 3 años, se espera que tenga los valores en el mercado y los costos de operación anual que se muestran en seguida. Podría negociarse hoy un valor en el mercado calculado en $8 000. Año

Valor en el mercado al final del año, $

COA, $

1 2 3

6000 4000 1000

-50000 -53000 -60000

Un graficador de reemplazo con tecnología digital basada en Internet cuesta $125 000 y tiene un valor de rescate estimado de $10 000 después de su vida de 5 años, y un COA de $31000 por año. Con una tasa de interés de 15% anual, determine cuántos años más debería Richter conservar el

3 8 304

VA, $/año -80 -90 -120 -80

graficador existente. Resuelva el problema: a) a mano, y b) con una hoja de cálculo. 11.25 ¿Qué significa el enfoque del costo de oportunidad en un análisis de reemplazo? 11.26 ¿Por qué se sugiere que no se use el enfoque del flujo de efectivo cuando se realiza un análisis de reemplazo? 11.27 Hace dos años Geo-Sphere Spatial, Inc. (GSSI) compró en $1 500000 un sistema de posicionamiento GPS. El valor de rescate estimado fue de $50 000 después de 9 años. Actualmente, la vida esperada restante es de 7 años, con un COA de $75 000 por año. Una corporación francesa, La Aramis, desarrolló un retador que cuesta $400 000 y tiene una vida estimada en 12 años, un valor de rescate de $35 000 y COA de $50 000 por año. Si la TMAR = 12% anual, use una hoja de cálculo o solucione a mano (como se enseñó) para: a) encontrar el valor mínimo necesario para negociar ahora con la

438

CAPÍTULO11 Decisionesde reemplazo y conservación

finalidad de que el retador tenga ventajas económicas, y b) determinar el número de años para conservar al defensor en el equilibrio justo, aun si la oferta de negociación fuera de $150 000. Suponga que el valor de rescate de $50 000 puede obtenerse para todos los periodos de conservación durante 7 años.

compuestos, durante sus años primeros es más barato de operar y comprar, en $150000. Tiene una vida máxima de 6 años pero después de tres los valores de mercado y COA cambian de modo significativo debido al deterioro previsto del material empleado en su fabricación. Además, después de 4 años de uso, se prevé un costo recurrente de $40 000 por año para inspeccionar y repetir el trabajo con el material compuesto. Los valores de mercado, costo de operación y repetición del trabajo aparecen en la tabla. Basándose en estas estimaciones y con i = 15% anual, diga cuáles son los montos de la VES y VA para defensor y retador, y en cuántos años debe reemplazarse el sistema HBO actual. Resuelva este problema a mano (véanse los problemas 11.29 y 11.31 en los que aparecen más preguntas donde se usan estimaciones).

11.28 Hace tres años, Merey Hospital mejoró en

forma significativa su equipo de terapia hiperbárica a base de oxígeno (HBO) para dar tratamiento avanzado a problemas de heridas, infecciones óseas crónicas y lesiones por radiación. El equipo cuesta $275000 y después puede usarse durante tres años más. Si el sistema HBO se reemplaza hoy, el hospital podría obtener $20 000. Si lo conservara, se calcula los valores de mercado y costos de operación mostrados en la tabla. Un sistema nuevo, hecho de materiales Sistema HBO actual

Año

1 2 3 4 5 6

Valor de mercado, $

10000 6000 2000

COA, $

1

1

Sistema HBO propuesto Valor de mercado, $

-50000 -60000 -70000

11.29 En relación con las estimaciones del pro-

blema 11.29: a) Resuelva el problema con el empleo de una hoja de cálculo. b) Use la herramienta SOLVER de Excel para determinar el costo máximo perrnitido de la repetición del trabajo de los materiales compuestos del retador, en los años 5 y 6, de modo que el monto del VA del retador para 6 años sea exactamente igual al VA del defensor en su VES. Explique el efecto que este costo más bajo

65000 45000 25000 5000 O O

COA, $

Material del trabajo repetido, $

-10 000 -14000 -18000 -22000 -26000 -30000

-40000 -40000

de la repetición de trabajo tiene sobre la conclusión del análisis de reemplazo. Análisis de reemplazo estudio

durante un periodo de

11.30 Piense en dos análisis de reemplazo que se

ejecuten con el uso de los mismos defensores y retadores, así como con los mismos costos estimados. Para el primero no se especifica periodo de estudio; para el segundo se considera uno de 5 años.

1

PROBLEMAS PROBLEMAS

Mencione Mencione la diferencia diferencia en las suposisuposifundamentales de los dos análisis ciones fundamentales de reemplazo. reemplazo. Describa las diferencias diferencias en los proceproceb) Describa dimientos seguidos seguidos al realizar realizar análisis análisis dimientos reemplazo para para las condiciones. condiciones. de reemplazo

a)

11.31 Vuelva Vuelva a consultar consultar la situación situación y estimaestimaproblema 11.28. a) Realice el anáciones del problema lisis lisis de reemplazo reemplazo para para un periodo periodo de estudio fijo de 5 años. b) Si en lugar de la estudio compra del retador retador se ofreciera ofreciera al Mercy Merey compra Hospital un contrato contrato de servicios servicios complecompleHospital para terapia terapia hiperbárica hiperbárica de oxígeno, oxígeno, en tos para $85 000 por año si lo contrata contrata para para 4 o 5 años, o en $100 000 por un contrato de 3 años o menos, ¿qué opción opción o combinación combinación de opciones es la mejor mejor en cuanto cuanto a economía, economía, ciones defensor y el contrato? contrato? entre el defensor trabajo 11.32 Una máquina colocada en su lugar de trab::üo $-200 000 tiene un valor anual equivalente de $-200 para cada año de su vida útil máxima restante de 2 años. Se ha determinado que un reemplazo apropiado tiene valores anuales equivalentes de $-300 225 000 y $275 000 $-300 000, $$-225 $-275 1,2 por año, si se conservara durante 1, 2 o 3 años, respectivamente. ¿Cuándo debe la compañía reemplazar la máquina, máquina, si usa un horizonte de reemplazar planeación de 3 años? Use una tasa de interés de 18% anual.

11.33 Utilice cálculo para Utilice una hoja de cálculo para realizar realizar un análisis análisis de reemplazo reemplazo para para la siguiente siguiente situación: situación: un ingeniero ingeniero estima estima que el valor anual equivalente equivalente de una máquina máquina durandurante la vida útil de 3 años que le resta resta es de $90 000 $-90 000 anuales. anuales. Puede Puede reemplazarreemplazarse ahora o después después de 3 años por una máquina cuyo VA es de $$-90 quina 90 000 por año si conservara durante durante 5 años o menos, menos, y de se conservara $-110 000 anuales anuales si se tuviera tuviera entre 6 y $-110000 8 años. Ejecute el análisis análisis para para determinar determinar los a) Ejecute VA para periodos de estudio para periodos estudio de 5 a 8 duración, con tasa de interés interés años de duración, Seleccione el periodo de 10% anual. Seleccione periodo de

439

estudio con el VA más bajo. bajo. ¿Cuántos ¿Cuántos estudio usan tanto tanto el defensor defensor como como el años se usan retador? retador? ¿Pueden usarse usarse los VP para para seleccionar b) ¿Pueden seleccionar mejor duración duración del periodo periodo de estudio estudio la mejor decidir conservar conservar o reemplazar reemplazar al y decidir defensor? defensor? ¿Por ¿Por qué sí o no? Bakers emplea 11.34 Nabisco Nabisco Bakers emplea personal personal para operar operar el equipo equipo usado usado en la esterilización esterilización de las instalaciones instalaciones de mezcla, mezcla, horneo horneo y empaqueempaquetamiento tamiento en una una planta planta grande grande productora productora de galletas galletas y pastas, pastas, ubicada ubicada en Iowa. El gerente de la planta, quien se dedica dedica a recortar recortar costos sin sacrificar sacrificar calidad calidad y limpieza, limpieza, tiene proyecciones proyecciones de datos datos para para conservar conservar el sistema existente sistema existente hasta hasta su vida vida máxima máxima esperada perada de 5 años. Una Una compañía compañía contratista contratista le ha propuesto sistema de desinfección propuesto un sistema desinfección llave llave en mano mano por por $5 millones millones anuales anuales si Nabisco N abisco firma por un periodo periodo de 4 a 10 años, años, y de $5.5 millones millones por año para para un periodo periodo más corto. a) Con una una TMAR TMAR = 8% anual, anual, lleve lleve a cabo cabo un estudio estudio de reemplazo reemplazo para para el gerente gerente de la planta, planta, con un horizonte horizonte de planeación planeación fijo de 5 años, lapso lapso en el que se prevé prevé el cierre cierre de la planta planta debido al envejecimiento envejecimiento de sus instalainstalabido ciones y a la obsolescencia obsolescencia tecnológica. tecnológica. ciones realizar el análisis, análisis, tenga tenga en cuenAl realizar cuenimportar el número número de años ta que sin importar conserve el sistema desinfecque se conserve sistema de desinfección, se incurrirá incurrirá en un costo costo único único dución, rante el último último año año de la operación operación rante debido al cierre, cierre, por por concepto concepto de perdebido sonal y equipo. equipo. sonal ¿Cuál es el cambio cambio porcentual porcentual en el b) ¿Cuál monto monto del VA en cada cada uno de los 5 años del periodo periodo de estudio? estudio? Si se tomara tomara la decisión sistema de decisión de conservar conservar el sistema desinfección, sería la desventadesinfección, ¿cuál ¿cuál sería desventaja ja económica económica en el monto monto del del VA en comparación comparación con el del mejor mejor perioperioconservación en cuanto cuanto a ecoecodo de conservación nomía? nomía?

440

CAPÍTULO 11 11 CAPÍTULO

Decisiones reemplazo y conservación conservación Decisiones de reemplazo

Estimaciones actuales Estimaciones actuales sistema de de desinfección del sistema desinfección

Años de conservación conservación

o O 1 2 3 4 5

VA, $/año $/año VA,

Gastos de de cierre cierre Gastos Último año año de de conservación, $ conservación,

-2300000 -2300000 -2300000 -2300000 -3000000 -3000000 -3000000 -3000000 -3500000 -3500000

--3000000 3000000 -2500000 -2500000 -2000000 -2000000 000000 -1 000000 -1000000 -1000000 -500000

máquina que se compró compró hace 11.35 Una máquina hace 3 años en $140000 ahora ahora es muy lenta lenta para satisfa$140000 para satisfacer una una demanda demanda creciente. creciente. La máquicer máquimejorarse ahora ahora a un costo costo de na puede puede mejorarse venderse a una empresa pequeña $70 000 o venderse una empresa pequeña máquina actual actual tendrá en $40 000. La máquina tendrá un

costo anual de operación operación de $85 000. Si se costo mejora, actualmenmejora, la máquina máquina que se posee posee actualmente se mantendrá servicio 3 años más y mantendrá en servicio después se reemplazará después reemplazará con una una máquina máquina fabricación de dique será utilizada utilizada en la fabricación versas versas líneas de productos. productos. Esta Esta máquina máquina de reemplazo, servicios a la emreemplazo, que rendirá rendirá servicios presa ahora y por presa ahora por lo menos menos 8 años más, tencosto de $220 $220 000. Su valor drá un costo valor de salvamento vamento será de $50 000 los años 1 a 5; de después de 6 años, y de $10 000 $20 000 después adelante. Ésta tendrá costo de de ahí en adelante. tendrá un costo operación estimado estimado de $65 000 anuales. anuales. La operación empresa le solicita solicita a usted lleve a cabo empresa usted que lleve un análisis análisis económico económico al 20% anual utilizando zando un horizonte horizonte de tiempo tiempo de 5 años. ¿Debería la compañía compañía reemplazar ¿Debería reemplazar la máquimáquina que posee actualmente o debería debería hacerlo posee actualmente hacerlo años? ¿Cuáles ¿Cuáles son los VA? en 3 años?

1

I

I

PROBLEMAS DE REPASO FI PROBLEMAS esperaba que cierto cierto equipo equipo comprado comprado 11.36 Se esperaba $70000 tuviera hace 2 años en $70000 tuviera una vida vida útil de 5 años, con un valor valor de rescate rescate de $5 000. rendimiento fue menor esperado y Su rendimiento menor del esperado se actualizó por $30 000 hace un año. Ahora, creciente demanda demanda obliga obliga a que el equipo equipo la creciente renueve otra vez por $25 000 adicionales, adicionales, se renueve reemplace por costaría o se reemplace por otro nuevo nuevo que costaría sustituyera, el equipo equipo exisexis$85 000. Si se sustituyera, vendería en $6 000. Al realizar tente se vendería realizar un análisis de reemplazo, reemplazo, el costo costo inicial inicial que análisis debe usarse para para la máquina máquina que se posee posee actualidad es: en la actualidad $50000 a) $50000 $15000 b) $15000 e) $7000 $7000 d) $22000 $22000 el) análisis de fabricar/comprar fabricar/comprar durante durante 11.37 En un análisis periodo de estudio estudio de 4 años se adquiere adquiere un periodo subcomponente por contrato. El sishoy un subcomponente por contrato. tema retador retador necesario fabricar el comcomtema necesario para para fabricar

ponente interior de la empresa empresa tiene una ponente al interior vida útil de 6 años, y una vida económica económica servicio de 4 años. El contrato contrato actual actual de servicio puede extenderse hasta puede extenderse hasta por por 2 años más y el número opciones disponibles disponibles para número de opciones para tomar tomar la decisión decisión de fabricar/comprar fabricar/comprar es: a) Ninguna Ninguna b) Una Una e) Dos d) Tres económica de un activo activo es: 11.38 La vida vida útil económica activo aún a) El tiempo tiempo más largo que el activo desempeñará la función función por desempeñará por la cual se compró originalmente. originalmente. le compró generará el menor b) El tiempo tiempo que generará menor valor valor costos. anual de los costos. tiempo que generará generará el menor e) El tiempo menor valor valor presente costos. presente de los costos. d) El tiempo tiempo que se requiere requiere para para que 'su su valor comercial alcance alcance el valor valor comercial valor de salvamento originalmente estimado. estimado. vamento originalmente

EJERCICIO EJERCICIO AMPLIADO AMPLIADO

análisis de reemplazo reemplazo que se llevó llevó a 11.39 En un análisis determinó que el decabo hace un año, se determinó fensor debería debería conservarse conservarse 3 años más. Sin fensor embargo, ahora resulta resulta evidente evidente que algualguembargo, cálculos realizados realizados para nos de los cálculos para este año siguiente estaban estaban equivocados. equivocados. El proy el siguiente procedimiento correcto correcto que debe seguirse seguirse es el cedimiento siguiente: siguiente: Reemplazar ahora el activo activo actual. a) Reemplazar b) Reemplazar Reemplazar el activo actual dentro de 2 determinó el año pasado. años, según se determinó e) Llevar a cabo un nuevo análisis de reemreemplazo utilizando utilizando los nuevos nuevos cálculos. plazo cálculos. d) Llevar Llevar a cabo un nuevo análisis de reemti) reemplazo utilizando utilizando los cálculos cálculos del último plazo último año.

441

11.40 A continuación continuación se presentan 11.40 presentan los VA calculados para decidir entre entre conservar conservar o reempara decidir reemplazar estudio especificado. especificado. plazar sin periodo periodo de estudio Año 1 2

3 4

VA VA por por reemplazar, $/año reemplazar, $/año -25500 -25500 -26900 -27000

VApor VApor conservar, $/año $/año conservar, -27000 -26500 -25000 -25900

El defensor defensor debe debe reemplazarse reemplazarse a) Después Después de 4 años más. años. b) Dentro Dentro de otros 3 años. e) Una vez transcurrido transcurrido un año. d) Ahora. ti)

EJERCICIO AMPLIADO AMPLIADO EJERCICIO VIDA ÚTIL ÚTIL ECONÓMICA CAMBIANTES VIDA ECONÓMICA BAJO BAJO CONDICIONES CONDICIONES CAMBIANTES planta de procesamiento químico Gulf Gulf Coast Coast evalúa evalúa un nuevo sistema de bomLa planta procesamiento químico nuevo sistema bomestratégica desplaza desplaza líquidos altamente corrosivos corrosivos de tanques beo. Una bomba bomba estratégica líquidos altamente tanques especialmente revestidos lanchas intercosteras intercosteras a un muelle carga con instalaciopecialmente revestidos en lanchas muelle de carga instalaciorefinación previa almacenamiento. Debido calidad variable nes de refinación previa yy almacenamiento. Debido a la calidad variable de los químicos natural y a las altas presiones químicos en estado estado natural soporta el armazón armazón de la presiones que soporta bomba y los impulsores, sobre el número impulsores, se mantiene mantiene un registro registro sobre número de horas horas por por año bomba bomba funciona. funciona. Los registros registros de seguridad, seguridad, así como deterioro de los que la bomba como el deterioro componentes de la bomba, consideran puntos críticos de control control del sistema. sistema. componentes bomba, se consideran puntos críticos había planteado, estimaciones de costo Como se había planteado, las estimaciones costo de reconstrucción reconstrucción de mantenimantenimiento y de operación, operación, se incrementaron incrementaron de acuerdo acuerdo con el tiempo acumulado de miento tiempo acumulado operación que alcanza alcanza la marca estimaciones para esta bomba bomba operación marca de 6 000 horas. horas. Las estimaciones para esta siguientes: son las siguientes:

Costo Costo inicial: Costo de reconstrucción: Costo reconstrucción:

Costos de M&O: Costos M&O:

TMAR: TMAR:

$-800000 $-800 000 $-150000 registren las 6 000 $-150000 siempre siempre y cuando cuando se registren Cada reconstrucción costará un 20% más que horas. Cada reconstrucción costará la anterior. Existe Existe una tolerancia tolerancia de 3 reconstrucreconstrucciones como máximo ciones máximo $25 000 para para los años 1 a 4 anuales comenzando comenzando el año siguiente siguiente a la $40 000 anuales primera primera reconstrucción, reconstrucción, más el 15% anual anual a partir partir de entonces entonces 10% anual

442

CAPÍTULO 11 11 Decisiones de reemplazo y conservación conservación

Sobre la base del libro para el número número de libro de registros, registros, las estimaciones estimaciones actuales actuales para horas de funcionamiento funcionamiento anual son las siguientes: siguientes: Año Año 1

2 3 en adelante

Horas por por año

500 1500 1500 2000 2000

Preguntas Preguntas

Determine la vida útil económica económica de la bomba. 1. Determine bomba. 2. El supervisor planta le dijo al nuevo nuevo ingeniero planear supervisor de la planta ingeniero que sólo se debería debería planear bombas por lo general una reconstrucción, reconstrucción, debido debido a que este tipo de bombas general tiene su costo reconstrucción. Determine valor costo mínimo mínimo de vida antes de la segunda segunda reconstrucción. Determine el valor comercial para esta bomba, bomba, que obligará comercial para obligará a la VUE a llegar llegar a 6 años. 3. El supervisor planta también también le indicó supervisor de la planta indicó al ingeniero ingeniero de seguridad seguridad que no deberían planear una reconstrucción reconstrucción después horas de deberían planear después de cumplir cumplir las 6 000 horas operación, porque la bomba bomba será reemplazada reemplazada después operación, porque después de un total de 10 000 horas de funcionamiento. funcionamiento. El ingeniero ingeniero de seguridad seguridad desea desea conocer conocer el COA COA básico del año 1 para para que el equipo equipo tenga tenga una vida vida útil económica económica de 6 años. El ingeniero vigor del ingeniero supone supone ahora ahora que la tasa de crecimiento crecimiento de 15% entrará entrará en vigor año 1 en adelante. valor fundamental adelante. ¿Cómo ¿Cómo se comparará comparará el valor fundamental del COA COA con el costo reconstrucción después horas? costo de reconstrucción después de 6 000 horas?

ESTUDIO ESTUDIO DE CASO CASO

ANÁLISIS ANÁLISIS DE DE REEMPLAZO REEMPLAZO PARA PARA EQUIPO EQUIPO MINERO MINERO Tres Cementos, S. A., comprÓ compró hace 3 años un equipo usado de traslado de materia prima de la mina a los trituradores de roca. Cuando adquirió el equipo, éste tenía Un 10 años, S = un P = = $85 000, n = = lO = $5 000, con una capacidad anual de 180000 180 000 toneladas métricas. Ahora requiere un equipo equipo adicional adicional con capa.cidad se requiere cap~cida¿¡ de 240 000 toneladas métricas anuales. Dicho equipo se puede comprar por P = = $70 000, n = = 10 años, S S= = $8 000. No obstante, un asesor ha señalado que· que la compañía puede construir un equipo de transporte para llevar el material desde la mina. Este equipo tiene un costo $115000 con con-una estimado de $115000 una vida de 15 años y un salvamento despreciable. despreciable. Además cargará valor de salvamento Además cargará compañía re400 000 toneladas métricas anuales. La compañía

quiere algún sistema para trasladar el material al equipo de transporte ubicado en la mina. Se puede utilizar el equipo actual, pero éste tendrá capacidad capacidad de sobra. Si se compra un equipo nuevo de menor capacidad, exis$15000 para el equipo actual. te un valor comercial de $15000 requerirá un desembolEl equipo de menor capacidad requerirá de $40 000 con una estimación estimación de vida n so de capital de'$40 = 12 años yy S = = $3 500. La capacidad capacidad anual es de = tonel~das métricas a lo largo de este corto tra400 000 toneladas mantenimienmo. Los costos mensuales de operación, mantenimiento y seguro promedian promedian $0.01 por tonelada-kilómetro tonelada-kilómetro para los transportadores. transportadores. Se espera que los costos correspondientes al equipo de transporte sean de $0.0075 rrespondientes por tonelada métrica.

ESTUDIO DE DE CASO CASO ESTUDIO

La compañía compañía quiere quiere obtener obtener 12% de esta esta inversión. inversión. La Los registros registros muestran muestran que que el equipo equipo deberá deberá trasladar trasladar Los materia prima prima un promedio promedio de 2.4 kilómetros kilómetros de la la materia cantera al cojinete cojinete de trituración. trituración. El equipo equipo de transtranscantera porte se colocará colocará con con el objetivo objetivo de reducir reducir esta esta distandistanporte cia a 0.75 0.75 kilómetros. kilómetros. cia

Ejercicios del estudio estudio de caso caso Ejercicios pide que que determine determine si el equipo equipo anterior anterior debe debe 1. Se le pide ampliarse con con nuevo nuevo equipo equipo o si el equipo equipo de trastrasampliarse lado deberá considerarse considerarse como reemplazo. reemplazo. Si el lado deberá como reemplazo resulta más más económico, económico, ¿qué ¿qué método método reemplazo resulta transporte de material material deberá deberá utilizarse utilizarse en la la de transporte cantera? cantera? Debido a las las nuevas nuevas normas normas de seguridad, seguridad, el concon2. Debido trol de polvo en la cantera cantera y en el sitio sitio de trituración trituración trol de polvo convertido en un verdadero verdadero problema, imse ha ha convertido problema, e im-

443

plica que que debe debe invertirse invertirse nuevo nuevo capital capital para para mejomejoplica rar el ambiente ambiente de trabajo, trabajo, o de otra otra manera manera se imimrar pondrán multas multas elevadas. elevadas. El presidente presidente de Tres Tres CeCepondrán mentos, S. A., A., obtuvo obtuvo una una cotización cotización inicial inicial del mentos, subcontratista, que que se encargará encargará de toda toda la operaoperasubcontratista, ción de traslado traslado de materia materia prima prima y se evaluará evaluará en ción una cantidad cantidad base base anual anual de $21 000 000 y un costo costo vauna riable de 1 centavo centavo por por tonelada tonelada métrica métrica trasladada. trasladada. riable Los diez diez trabajadores trabajadores de la cantera cantera serán serán reubicados reubicados Los otra área área sin que que haya haya algún algún impacto impacto financiero financiero en otra sobre la estimación estimación de la evaluación. evaluación. ¿Debería ¿Debería tosobre marse en consideración consideración esta esta oferta oferta si la mejor mejor estiestimarse mación es de 380000 380000 toneladas toneladas métricas anuales métricas anuales mación trasladadas por por el subcontratista? subcontratista? Identifique las las trasladadas Identifique suposiciones adicionales adicionales necesarias necesarias para para replantear suposiciones replantear adecuadamente esta nueva pregunta pregunta del del presidente presidente adecuadamente esta nueva compañía. de la compañía.

Selección de de proyectos proyectos Selección independientes independientes

-

limitaciones con limitaciones presupuesta les

-

12 presu puesta les o o 1-

«« u u

En la la mayoría mayoría de las las comparaciones económicas anteriores, las las alternativas fueron mutuamente mutuamente excluyentes: sólo podría elegirse una. una. Si Si los proyectos no son mutuamente mutuamente excluyentes, son son clasificados como independientes independientes entre sí, sí, son tal como se analizó al principio del capítulo 5. Ahora aprenderemos técnicas se al principio 5. aprenderemos para independientes. Es Es posible posible selecp ara seleccionar de entre varios proyectos independientes. cionar cualquier cualquier número de proyectos desde ninguno ninguno (no (no hacer nada) nada) hasta hasta todos los proyectos viables. todos Virtualmente superior sobre la la cantidad de caVirtualmente siempre existe algún límite superior pital disponible disponible para invertir invertir en nuevos proyectos. proyectos. Dicho límite se se considera conforme se evalúa económicamente cada proyecto independiente. La técniconforme se evalúa económicamente cada proyecto independiente. La ca aplicada se denomina método de elaboración de presupuesto de capital, ca se método de elaboración de presupuesto de capital, también conocido como racionamiento de capital, que determina el mejor también conocido racionamiento determina mejor racionamiento económico de la inversión inicial de capital entre los proyectos racionamiento económico la independientes. El El método método de elaboración de presupuesto de capital es es una una independientes. aplicación del método método del valor presente presente.. En el estudio de caso caso se se echa echa un un vistazo a los dilemas de selección de proyectos que tiene una una asociación asociación profesional de ingeniería, que se se esfuerza esfuerza por atender atender las las necesidades de sus sus miembros con un un presupuesto limitado limitado en un mundo tecnológicamente un tecnológicamente cambiante.

e

-

-

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE APRENDIZAJE OBJETIVOS Objetivo general: seleccionar seleccionar entre entre diversos diversos proyectos proyectos independientes independientes cuando cuando hay un límite límite Objetivo general: inversión de de capital. capital. a la inversión

Este capítulo capítulo ayudará al lector lector a: a: Este

I ---,------ I Racionamiento Racionamiento de de capital capital

Proyectos con vidas vidas iguales iguales Proyectos

seleccionar diversos proyectos proyectos VP para se leccionar entre diversos 2. Utilizar el análisis VP independientes con vidas igu iguales. independientes ales. VP para seleccionar seleccionar entre diversos proyectos proyectos 3. Emplear el análisis VP independientes con vidas diferentes. diferentes. independientes

Proyectos con vidas vidas desiguales desiguales Proyectos

Modelo de de programación programación lineal lineal Modelo

i-

razonamiento utilizado utilizado en el racionamiento racionamiento del 1. Explicar el razonamiento proyectos independientes. independientes. capital entre proyectos

I

ell problema problema de presupuesto presupuesto de capital utilizando utilizando 4. Resolver e programación lineal tanto tanto a mano como por por medio medio de programación computadora. computadora.

446

CAPÍTULO CAPÍTULO 12

12.1 12.1

I //

Secc. 5.1 Secc.5.1

I

Jt Mutuamente excluyentes e independientes

Selección proyectos independientes independientes con con limitaciones limitaciones presupuestales presupuestales Selección de proyectos

PANORAMA PANORAMA GENERAL GENERAL DEL RACIONAMIENTO RACIONAMIENTO DE CAPITAL CAPITAL ENTRE PROYECTOS PROYECTOS

El capital recurso escaso escaso para para todas todas las corporaciones; corporaciones; en conseconsecapital de inversión inversión es un recurso cuencia, virtualmente siempre existe una cantidad limitada para distribuirse entre cuencia, virtualmente siempre existe una cantidad limitada para distribuirse entre las oportunidades de inversión que compiten. Cuando una corporación tiene varias oportunidades inversión compiten. Cuando una corporación tiene varias opciones inversión, se debe debe tomar tomar una una decisión decisión de "reopciones para para colocar colocar su capital capital de inversión, "rechazo o aceptación" para cada proyecto. Efectivamente, cada opción indepenchazo aceptación" para cada proyecto. Efectivamente, cada opción es independiente realiza sobre la base base de proyecto proyecto diente de las otras, de manera manera que la evaluación evaluación se realiza por proyecto. La selección de un proyecto no impacta la decisión de selección para proyecto. selección proyecto impacta decisión selección para cualquier otro proyecto. proyecto. Ésta Ésta es la diferencia diferencia fundamental fundamental entre entre las alternativas alternativas cualquier mutuamente excluyentes excluyente s y los proyectos mutuamente proyectos independientes. independientes. El término proyecto sirve para identificar cada opción opción independiente. independiente. Usamos Usamos término proyecto para identificar cada el término conjunto para identificar una colección de proyectos independientes. término conjunto para identificar una colección proyectos independientes. El alternativa mutuamente mutuamente excluyente excluyente continúa cuantérmino alternativa continúa identificando identificando un proyecto proyecto cuando sólo puede elegirse uno entre varios. puede elegirse entre varios. Existen para los proyectos proyectos puramente puramente independientes: independientes: un proproExisten dos excepciones excepciones para yecto contingente es aquel que tiene una condición respecto de su aceptación yecto contingente aquel tiene una condición respecto aceptación o rechazo. Dos ejemplos de proyectos contingentes A y B serían los siguientes: rechazo. ejemplos proyectos contingentes serían siguientes: A no puede aceptarse a menos que se acepte B; y A puede aceptarse en lugar pero puede aceptarse menos acepte puede aceptarse lugar de B, pero ambos no son necesarios. Un proyecto dependiente es aquel que debe aceptarse ambos necesarios. proyecto dependiente aquel aceptarse o rechazarse con base en la decisión acerca de otro(s) proyecto(s). Por ejemplo, B rechazarse decisión acerca otro(s) proyecto(s). ejemplo, debe aceptarse si tanto A como C ~e aceptan. En la práctica, estas condiciones aceptarse como ~e aceptan. práctica, condiciones de complejidad pueden simplificarse mediante la formación de paquetes proyeccomplejidad pueden simplificarse mediante formación paquetes de proyectos relacionados, que sean económicamente evaluados por sí mismos como prorelacionados, económicamente evaluados por mismos como proyectos independientes con los proyectos restantes no condicionados. independientes proyectos restantes condicionados. El problema presupuesto de capital capital tiene tiene las siguientes problema de elaboración elaboración del presupuesto siguientes características: racterísticas:

1. Se identifican proyectos independientes independientes y están están disponibles disponibles las estiestiidentifican diversos diversos proyectos maciones del flujo de efectivo maciones efectivo neto. Cada proyecto proyecto se selecciona selecciona o se rechaza 2. Cada rechaza totalmente; totalmente; es decir, no es posible posible la inversión parcial parcial en un proyecto. inversión proyecto. limitante presupuestal presupuestal establecida 3. Una limitante establecida restringe restringe la cantidad cantidad total total invertida. invertida. Pueexistir varias limitantes limitantes presupuestales solamente durante den existir presupuestales solamente durante el primer primer año o durante varios varios años. Este simboliza mediante durante Este límite límite en la inversión inversión se simboliza mediante b. objetivo es maximizar maximizar el retorno sobre las inversiones alguna 44.. ..El El objetivo retorno sobre inversiones utilizando utilizando alguna medida de valor, usualmente usualmente el valor medida valor VP. naturaleza, en general, general, los proyectos independientes son bastante Por naturaleza, proyectos independientes bastante diferentes diferentes entre sí. Por ejemplo, ejemplo, en el sector sector público, ciudad puede entre público, el gobierno gobierno de una una ciudad puede desarrodesarrodiversos proyectos proyectos para para escoger: escoger: un proyecto de drenaje, llar diversos proyecto'de drenaje, un parque parque citadino, citadino, la ampliación de calles y el mejoramiento sistema de autobuses ampliación mejoramiento del sistema autobuses públicos. públicos. En el sector privado privado puede puede haber haber diversos sector diversos proyectos: prqyectos: una una nueva nueva instalación instalación de bodegas, bodegas, expansión de la base base de productos, productos, la mejora la expansión mejora en el programa programa de calidad, calidad, un nuevo nuevo sistema de información información o la adquisición sistema adquisición de otra otra compañía. compañía. El problema problema típico típico de la

elat ind: nen

tos.

Est diei yec

SECCIÓN SECCIÓN 12.1

Panorama Panorama general general del racionamiento racionamiento de capital capital entre entre proyectos proyectos

447

elaboración presupuesto de capital elaboración del presupuesto capital se ilustra ilustra en la figura 12.1 12.1.. Para Para cada cada proyecto proyecto independiente independiente hay una inversión inversión inicial, inicial, una vida del proyecto proyecto y flujos de efectivo efectivo netos estimados, estimados, que pueden pueden incluir incluir un valor valor de salvamento. salvamento. Se recomienda recomienda el método método de análisis análisis de valor valor presente presente para para seleccionar seleccionar proyecproyectos. El lineamiento de selección Ellinearniento selección es el siguiente: siguiente:

Acepte Acepte proyectos proyectos con los mejores mejores valores valores VP determinados determinados a la TMAR TMAR sobre sobre la vida del proyecto, proyecto, siempre siempre que no se exceda exceda el límite límite de capital capital para invertir. Este lineamiento proyectos indepenlineamiento no es diferente diferente del usado usado en la selección selección para para proyectos independientes dientes de los capítulos capítulos anteriores. anteriores. Entonces, Entonces, cada cada proyecto proyecto se compara compara con el proyecto no hacer hacer nada; es decir, no es necesario necesario el análisis análisis incremental incremental entre proyecproyec-

Figura Figura 12.1

Proyectos Proyectos independientes independientes Inversión Inversión injcial inicial

Características icas Características bás básicas de de de un problema problema de elaboración elaboración de de presupuesto de de capital. capital. presupuesto

Flujos Flujos de de efecti efecti vo neto estimados neto estimados

A.tmJ----

A. B~ -

Límite Límite de jnversión inversión capital de capital Inversión Inversión

r-@

BrED-- T c.

H ItIT3

@ Vjda Vjda (no puede puede (no invertir más invertir más que esto) esto) que

~

Elija de de O O a los 3 proyectos proyectos Elija

., Objetivo: Maxjmizar Maximizar Objetivo: valor VP VP de la selección selección el valor dentro del del límite límite de de capital capital dentro

448

CAPÍTULO CAPÍTULO 12

Selección Selección de proyectos proyectos independientes independientes con con limitaciones limitaciones presupuestales presupuestales

tos. Ahora Ahora la diferencia diferencia principal principal radica radica en que la cantidad cantidad de dinero dinero disponible disponible para invertir invertir está limitada. limitada. Por ende, se requiere requiere un procedimiento procedimiento de solución solución espara pecífico pecífico que incorpore incorpore dicha dicha restricción. restricción. Con anterioridad, entre anterioridad, el análisis análisis VP requirió requirió la suposición suposición de servicio servicio igual igual entre las alternativas. toda alternativas. Tal suposición suposición no es válida válida para para el racionamiento racionamiento de capital, capital, toda vez que no hay ciclo de vida de un proyecto proyecto más allá de su vida estimada. estimada. Sin embargo, la directriz embargo, directriz de la selección selección se basa basa en el VP sobre la vida respectiva respectiva de cada proyecto proyecto independiente. independiente. Esto significa significa que existe existe una suposición suposición implícita implícita de reinversión, que es el siguiente: siguiente: reinversión, Todos los flujos flujos de efectivo efectivo neto positivos positivos de un proyecto proyecto se reinvierten reinvierten a la TMAR TMAR desde desde el momento momento en que se realizan realizan hasta hasta el final del proyecto proyecto con vida más larga. larga. sección 12.3 se se"demuestra esta suposición suposición fundamental fundamental es correcAl final de la sección demuestra que esta correcta, cuando cuando se trata trata el racionamiento racionamiento de capital capital con base para proyectos proyectos con base en VP para diferentes. vidas diferentes. dilema del racionamiento racionamiento de capital capital entre proyectos proyectos independientes independientes tiene Otro dilema tiene relación con la flexibilidad flexibilidad del límite límite b de inversión inversión de capital. capital. El límite límite llega llega a relación deshabilitar marginalmente marginalmente un proyecto proyecto aceptable aceptable que se encuentra encuentra inmediatameninmediatamendeshabilitar te después después de la línea aceptación. Por Por ejemplo, ejemplo, suponga suponga que el proyecto proyecto A tiene tiene línea de aceptación. positivo a la TMAR. Si A provocará provocará que el límite de capital de $5 000 000 un valor VP positivo exceda por sólo $1 000, ¿A debería debería incluirse incluirse en el análisis análisis VP? Por lo general, general, un se exceda límite en la inversión inversión de capital capital es algo flexible, flexible, de manera manera que el proyecto proyecto A debelímite debeincluirse. En los ejemplos ejemplos contenidos contenidos en el capítulo capítulo no se excederán excederán los límites ría incluirse. límites de inversión inversión establecidos. establecidos. Es posible proyectos independientes. Como posible usar un análisis TR para elegir elegir entre proyectos independientes. Como estudió en los capítulos capítulos anteriores, anteriores, la técnica técnica TR quizá quizá no seleccione seleccione los mismos mismos se estudió proyectos que el análisis análisis VP, a menos menos que se desarrolle desarrolle análisis análisis TR incremental incremental proyectos MCM de las vidas. Lo mismo mismo es cierto cierto en el caso del racionamiento racionamiento de sobre el MCM capital. Por lo tanto, se recomienda recomienda el método para el racionamiento racionamiento de capital capital. método VP para capital proyectos independientes. independientes. entre proyectos

12.2 12.2

s

e

s e e

1

r 1

2

RACIONAMIENTO RACIONAMIENTO DEL CAPITAL CAPITAL UTILIZANDO UTILIZANDO EL ANÁLISIS ANÁLISIS VP PARA PROYECTOS PROYECTOS CON CON VIDA VIDA IGUAL IGUAL

Para seleccionar seleccionar entre proyectos proyectos que tienen tienen la misma misma vida esperada y para para no inverPara vida esperada inverlímite b, es necesario necesario formular, principio, todos los conjuntos tir más allá del límite formular, en un principio, conjuntos mutuamente mutuamente excluyentes: excluyentes: un proyecto proyecto a la vez, dos a la vez, etcétera. etcétera. Cada Cada paquete paquete factible debe tener tener una inversión inversión total que no exceda exceda b. Uno de tales paquetes paquetes es el factible proyecto de no hacer hacer nada nada (NHN). El número número total de conjuntos conjuntos para para m proyectos proyecto proyectos calcula usando usando la relación relación 2 El número número aumenta aumenta rápidamente rápidamente con m. Para = se calcula Para m = 4 existen existen 24 = = 16 paquetes, paquetes, y para para m = = 6, 26 = = 64 paquetes. paquetes. Luego Luego se determina determina el VP paquete a la TMAR. TMAR. Se selecciona selecciona el paquete paquete con el mayor mayor VP. de cada paquete 111 211I.•

4

1 r

,

SECCIÓN 12.2

Racionamiento del capital utilizando el análisis VP para proyectos con vida igual

Para ilustrar el desarrollo de los paquetes mutuamente excluyentes, considere estos cuatro proyectos con vidas iguales. Proyecto

Inversión inicial

A B C

$-10000 -5000 -8000 -15000

D

Si el límite de inversión es b = $25 000, de los 16 conjuntos, hay 12 posibles para evaluar. Los paquetes ABD, ACD, BCD Y ABCD tienen inversiones totales que exceden $25 000. Los conjuntos aceptables son:

Proyectos A B C D AB AC

Inversión total inicial $-10 000 -5000 -8000 -15000 -15000 -18000

Proyectos AD BC BD CD ABC No hacer nada

Inversión total inicial $-25000 -13 000 -20000 -23000 -23000

O

El procedimiento para resolver un problema de elaboración del presupuesto de capital utilizando el análisis VP es como sigue: 1. Desarrolle todos los conjuntos mutuamente excluyentes que tengan una inversión inicial total que no exceda el límite de capital b. 2. Sume los flujos de efectivo netos FENjl para todos los proyectos en cada conjunto j y cada año t desde 1 hasta la vida esperada del proyecto nj• Remítase a la inversión inicial para el paquete j en el momento t = O como FENjo• 3. Calcule el valor presente, VPj, para cada paquete a la TMAR. VPj = VP de los flujos de efectivo netos del conjunto - la inversión inicial t

'::::Ilj

VI»j = I,.FENj¡(PIF,i,t)

}'ENjo

[12.1]

I.=J

4.

Seleccione el conjunto con el valor VPj (numéricamente) mayor.

La selección de un valor de paquete VPj máximo significa que este paquete genera un retorno mayor que cualquier otro paquete. Se descarta todo conjunto con VPj < O, ya que éste no produce un retorno de la TMAR.

449

450

12 Selección de proyectos independientes

CAPÍTULO

con limitaciones

SEC

presupuestales

El comité de revisión de proyectos de Microsoft tiene $20 millones para asignar el próximo año al desarrollo de nuevos productos de software. Cualquiera de (o todos) los cinco proyectos en la tabla 12.1 pueden aceptarse. Todas las cantidades están en unidades de $1000. Cada proyecto tiene una vida esperada de 9 años. Seleccione el proyecto si se espera un retorno de 15%.

12.1

TABLA

Cinco proyectos independientes (unidades de $1 000)

de vida igual

Proyecto

Inversión inicial

Flujo de efectivo neto anual

Vida del proyecto, años

A B C D E

$-10 000 -15000 -8000 -6000 -21000

$2870 2930 2680 2540 9500

9 9 9 9 9

Solución Utilice el procedimiento anterior con b = $20 000 para seleccionar un paquete que maximice el valor presente. Recuerde que las unidades representan $1 000. Hay 25 = 32 paquetes posibles. Los ocho paquetes que no requieren inversiones iniciales mayores de $20 000 se identifican en las columnas 2 y 3 de la tabla 12.2. La inversión de $21 000 elimina el proyecto E de todos los paquetes.

Ge se el¡ de

de qu

ha mi

TABLA

12.2

Proyectos incluidos

(2) 1 2 3 4 5' 6 7 8

)

se el

Resumen del análisis de valor presente de proyectos independientes de vicia igual

A B C D A1C AD CD No hacer nada

Inversión inicial, FENjQ

(3) $-10000 -15000 -8000 l. -6'000 -18000 -16000 -14000

Valor

Flujo de efectivo neto anual, FENj (4)

i

$2870 2930 2680 2540 5550 5410 5220

.

O

presente, VPj

(5) $ +3 694

.1

-1019 +4788 +6120 .¡ '+8482 +9814 +10908

~

O

•

SECCIÓN 12.3 Racionamiento de capital utilizando el análisis VP para proyectos de vida diferente

2.

Los flujos de efectivo netos de paquete, columna 4, son la suma de los flujos de efectivo netos del proyecto individual. Utilice la ecuación [12.1] para calcular el valor presente de cada conjunto. Puesto que el FEN anual y las estimaciones de vida son los mismos en un conjunto, VPj se reduce a

3.

VPj = FEN/P/A, 15%,9) - FENjo 4.

La columna 5 de la tabla 12.2 resume los valores VPj con i = 15%. El conjunto 2 no genera el 15%, puesto que VP2 < O.La medida de valor más grande es VP7 = $10 908; por consiguiente, invierta $14 millones en e y D. Esto deja $6 millones sin invertir.

Comentario Este análisis supone que los $6 millones no utilizados en esta inversión inicial producirán la TMAR en alguna otra oportunidad de inversión no especificada. El retorno sobre el conjunto 7 excede el ;15% anual. La tasa real de rendimiento, utilizando la relación O = -14000 + 5 220(P/A,i*,9) es i* = 34.8%, que excede considerablemente la TMAR = 15%.

12.3

RACIONAMIENTO DE CAPITAL UTILIZANDO VP PARA PROYECTOS DE VIDA DIFERENTE

EL ANÁLISIS

Generalmente, los proyectos independientes no tienen la misma vida esperada. Como se estableció en la sección 12.1, el método VP para la solución del problema de elaboración de presupuesto de capital supone que cada proyecto durará el periodo del proyecto con la vida más larga, nL. Adicionalmente, se supone que la reinversión de todos los flujos de efectivo netos positivos es a la TMAR, desde el momento en que ocurren hasta el final del proyecto con vida más larga, es decir, desde el año nj hasta el año nL. Por consiguiente, no es necesario el empleo del mínimo común múltiplo de las vidas y es correcto utilizar la ecuación [12.1], con la finalidad de seleccionar conjuntos de proyectos de vida diferentes mediante el análisis VP con el procedimiento de la selección anterior. (

EJEMPLO

.:t!:

12.2

Para una TMAR = 15% por afto y'b = $20000, seleccione entre los sigui~ntes proyectos,. tT independientes. Resuelva a mano y por computadora. ¡,

Proyecto A B

C D

L

Inversión inicial

Flujo de efectivo neto anual

Vida del proyecto, 'años

$-8000 -15000 -8000 -8000

$3870 2930 2680 2540

6 9 5 4

451

452

CAPÍTULO

12

Selección de proyectos independientes

con limitaciones

SE

presupuestales

Solución a mano Los valores de vida diferente hacen que los flujos de efectivo netos cambien durante la vida del conjunto; no obstante, el procedimiento de selección es el mismo que el anterior. De los 24 = 16 conjuntos, ocho son económicamente factibles. Sus valores VP con la ecuación [l2.J] se resumen en la tabla 12.3. Como ilustración, para el paquete 7: VP7= -16 000 + 5 220(P/A,15%,4) + 2 680(P/F,15%,5) = $235 Seleccione el conjunto 5 (propuestas A y C) para una inversión de $16 000.

TABLA

12.3

Análisis del valor presente para propuestas independientes con vidas diferentes, " ~ejemplo 12.2. . .~

,1,,, 1"''''

¡i¡~~

Conjunto,

j

hl:~'

~sei-e

Proyecto

(1)

(2)

Inversión inicial, FENjo

(3)

Flujos de efectivo netos Año, t

FENjt

(4)

(5)

Valor presente, VPj (6)

1

A

$-8000

1-6

$3870

$+6646

2

B

-15000

1-9

2930

-1019

3

C

-8000

1-5

2680

4

D

-8000

1-4

2540

-748

5

AC

-16000

1-5

6550

+7630

6

3870

6

AD

-16000

1-4

6410

5-6

3870

1-4

5220

5

2680

7

CD

8

No hacer nada

-16000

O

+984

+5898 +235

O

O

Solución por computadora La figura 12.2 presenta una hoja de cálculo con la misma información que la de la tabla 12.3. Es necesario iniciar con el desarrollo de los conjuntos mutuamente excluyentes y los flujos de efectivo netos totales para cada año. El conjunto 5 (proyectos A y C) tiene el mayor VP (celdas de la fila 16). La función VPN se utiliza para determinar VP para cada paquete j sobre su vida respectiva, usando el formato VPN (TMAR,FEN3ño_1 :FEN_año_n)+inversión.

a

1 e f

SECCIÓN SECCIÓN 12.3 12.3

Racionamiento para proyectos proyectos de vida Racionamiento de capital capital utilizando utilizando el análisis análisis VP VP para vida diferente diferente

Iii!J§lEJ I!iII'iiU3

X "lIclOsoft tohcrosoft ExcelExcel . Example Example 12.2 12.2 BIe !;.dit ~iew !nsert f!
~ riiI ~[9.

~l~~ .~

....

\!Iindow

lO:¡h?"

t!elp

1t,~IL

f~

17 19 ~

U~+flM!tl.§1107%·ICZI

ll1l1~ ~ E

18

453

1 - - - r--------i-----~ ____

F

'-------T---------;-- ---.---- ----.------+--- _ -----r =VNA($B$1 ,C7:CI5)+C6 I ___:_ __ =VNA($B$I,H7:HI5)+H6 ~ -------L-----!----l----L---~==--L--- =___==~__ ~

Sheetl • • • 1 Sheet!

~gy

o

•

Sr.eet2 Sheet2

Sheet3

Sheet4

Sheet5 Sheet5

Sheet6 Sheet6

Sheet?

Sheet8

1=_=-~~~~=-"'.=;,

Figura Figura 12_2 12.2 Análisis de de hoja hoja de de cálculo cálculo para para seleccionar seleccionar de de entre entre proyectos independientes con con vida vida diferente, diferente, Análisis proyectos independientes usando el método método VP VP de de racionamiento racionamiento de de capital, capital, ejemplo ejemplo 12.2. 12.2. usando

importante comprender comprender por qué es correcta correcta la solución solución del problema Es importante problema de elaboración de presupuesto presupuesto de capital, capital, mediante mediante la evaluación evaluación VP usando usando la ecuación ecuación boración [12.1]. La siguiente siguiente lógica lógica verifica verifica la suposición suposición de reinversión reinversión a la TMAR TMAR para para [12_1]. efectivo positivos positivos netos, cuando cuando las vidas de los proyectos proyectos son todos los flujos de efectivo diferentes. Remítase Remítase a la figura figura 13_3 13.3 que utiliza utiliza la presentación presentación general condiferentes. general de un conjunto proyectos. Suponga Suponga que cada cada proyecto proyecto tiene los mismos mismos flujos de efecjunto de dos proyectos. cada año. Se utiliza utiliza el factor factor PIA cálculo VP. VP. Defina Defina nLL como como la tivo netos cada PIA para para el cálculo proyecto de vida más larga. Al final del proyecto vida del proyecto proyecto de vida vida más corta, el conjunto tiene un valor valor futuro total de FENj(FIA,TMAR,n) como se ha determinadeterminaconjunto FENj(FIA,TMAR,n) como do para para cada cada proyecto. proyecto. Ahora Ahora se debe suponer suponer una reinversión reinversión a la TMAR TMAR desde desde el hasta el año nLL (un total de nLL - nj años). El supuesto supuesto del rendimiento rendimiento a la año nnj+ j + II hasta TMAR es importante; importante; este enfoque enfoque VP no necesariamente necesariamente selecciona selecciona los proyectos proyectos TMAR correctos si el rendimiento rendimiento no se calcula calcula a la TMAR. TMAR. Los resultados resultados son las dos correctos flechas de valor valor futuro en el año n LL de la figura figura 12.3. Por último, calcular el último, se debe calcular flechas

•

454

CAPÍTULO

12

Selección de proyectos independientes

con limitaciones

presupuestales

Figura 12.3 Flujos de efectivo representativos usados para calcular VP para un conjunto de dos proyectos independientes de vida diferente mediante la ecuación [12.1].

VPB

VlFB

r--------------------------------

t nB

Proyecto B Inversión paraB

=

J t--------------

VFA

A VP

--------Va~;fu~~-----------------

r-

Periodo de reinversión a laTMAR

Proyecto A Inversión para A VP del conjunto

= VP A + VPB

valor VP del conjunto en el año inicial. Éste es el conjunto VP del conjunto = VP A + VPB• En forma general, el valor presente del paquete j es: VPj = FEN/F/A,TMAR,n)(F/P,TMAR,nL

-

n)(P/F,TMAR,nL)

[12.2]

Ahora se sustituye el símbolo i para la TMAR y se utilizan las fórmulas de factor para simplificar. j

VP =FEN J

-1 (1 + i)" j

(l+i)"

L-l

i

J

= FEN[(1 + i)"j -1] J

= FENj

i(l

+ ifj

1 (1 + irL

[12.3]

(P/A,i, n)

Puesto que la expresión entre corchetes de la ecuación [12.3] es el factor (P/ A,i,nj), el cálculo del VPj durante njaños supone reinversión a la TMAR de todos los flujos de efectivo netos positivos hasta completar el proyecto de vida mayor en el año n¿Para demostrarlo numéricamente, considere el paquete j = 7 en el ejemplo 12.2. La evaluación está en la tabla 12.3 y el flujo de efectivo neto se ilustra en la figura

SECCIÓN 12.4

Formulación de problemas en la elaboración del presupuesto de gastos de capital

VF=

1

$5220 VP= $235

$2680

t

~~

-

O

2

3

4

5

$57 111

6

7

8

9

T

$16000

12.4. Al valor futuro de 15% en el año 9, la vida de B, el proyecto con vida más larga de los cuatro, es VF = 5 220(F/A, 15%,4)(F/P, 15%,5) + 2 680(F/P, 15%,4) = $57 111

El valor presente en el momento de la inversión inicial es VP

= -16000

+ 57 111 (P/F,15%,9)

= $235

El valor VP es el mismo que VP7 en la tabla 12.3 y la figura 12.2. Esto demuestra el supuesto de reinversión para flujos de efectivo netos positivos. Si tal suposición no es realista, debe realizarse el análisis VP utilizando el MCM de todas las vidas de las propuestas. Asimismo, la selección de proyectos se logra utilizando el procedimiento de tasa de rendimiento incremental. Una vez que se desarrollan todos los paquetes factibles mutuamente excluyentes, éstos se ordenan por inversión inicial creciente. Determine la tasa de rendimiento incremental sobre el primer paquete relativo al conjunto de no hacer nada y el rendimiento para cada inversión incremental y la secuencia del flujo de efectivo neto incremental en todos los demás conjuntos. Si cualquier conjunto tiene un rendimiento incremental menor que la TMAR, se elimina. El último incremento justificado indica el mejor conjunto. Este enfoque producirá la misma respuesta que el procedimiento de valor presente. Hay diversas formas incorrectas de aplicar el método de la tasa de rendimiento, aunque el procedimiento de análisis incremental de paquetes mutuamente excluyentes asegura un resultado correcto, como en las aplicaciones previas de la tasa de rendimiento incremental. 12.4

FORMULACiÓN DE PROBLEMAS EN LA ELABORACiÓN DEL PRESUPUESTO DE GASTOS DE CAPITAL UTILIZANDO PROGRAMACiÓN 'LINEAL

El problema de elaboración del presupuesto de capital se establece en la forma de un modelo de programación lineal. El problema se formula utilizando un modelo de programación lineal entera (PLE), que simplemente quiere decir que todas las

455

Figura 12.4 Inversión inicial y flujos de efectivo para el paquete 7, proyectos e y D, ejemplo 12.2.

456

CAPÍTULO 12 CAPÍTULO

Selección de proyectos independientes con con limitaciones limitaciones presupuestales Selección proyectos independientes presupuestales

relaciones son lineales lineales y que que la la variable desconocida, x, puede sólo valores relaciones son variable desconocida, puede tomar tomar sólo valores enteros. En En tal caso, las las variables solamente los los valores O o 1, lo cual cual enteros. tal caso, variables pueden pueden tomar tomar solamente valores O hace de éste éste un caso especial especial denominado denominado modelo PLE O O o 1. A continuación continuación se hace de un caso modelo PLE describe el modelo en palabras. describe modelo en palabras. Maximizar: Suma del del VP de los los flujos flujos de de efectivo efectivo netos de proyectos indepenMaximizar: Suma VP de netos de proyectos independientes. dientes. Restricciones: Restricciones:

• •

La restricción de inversión inversión de capital capital es es que que la suma de de las las inversiones inversiones iniciales iniciales La restricción de la suma no debe exceder exceder un límite específico. específico. no debe un límite Cada proyecto se selecciona selecciona o se descarta descarta por completo. Cada proyecto se por completo.

Para la formulación formulación matemática, defina b como como el límite límite de de inversión inversión de de capital, capital, y Para la matemática, defina sea x, = 1 hasta la variable que se busca determinar. Si x, = 1, el sea X k (k = hasta m proyectos) proyectos) la variable que busca determinar. Xk = proyecto se selecciona selecciona completamente; completamente; si x¿ = O, el proyecto se elige. elige. ObserObserproyecto k se Xk = proyecto k no no se ve que el subíndice subíndice k representa cada proyecto independiente, no conjunto muve que representa cada proyecto independiente, no un un conjunto mutuamente excluyente. tuamente excluyente. la suma suma del del VP de los los flujos flujos de de efectivo efectivo netos la formulación formulación de de prograSi la VP de netos es Z, la programación mación matemática matemática es: k;;:;m k=m

¿VPkXk k =Z =Z ¿VPkX

Maximizar: Maximizar:

k=1 k=1 k:=m k:=m

Restricciones: Restricciones:

¿FENkOXk k 5, 5, b ¿FENkOX

[12.4J [12.41

k=1 k=J

para ... , 111 para k == 1, 2, ... de cada cada proyecto se calcula calcula utilizando ecuación [12.1] [12.1] a una TMAR = = i.i. El VP VP kk de proyecto se utilizando la la ecuación una TMAR VP de los los fluj flujos de efectivo efectivo neto del proyecto años VPkk == VP VP de os de neto del proyecto para para nk años ="k

tt =lIk

= ¿FENkt(P/ ¿FENkt(PIF,i,t)-FEN = F,i,t) -koFEN kO

[12.5] [12.5]

tt=1 =1

La solución solución por computadora se logra logra con con un de software software de de programación La por computadora un paquete paquete de programación lineal que que considere considere el modelo modelo PLE. PLE. También También se pueden Excel y su herramienlineal pueden usar usar Excel herramienta de optimización optimización SOLVER SOLVER para desarrollar la seleccionar los los prota de para desarrollar la formulación formulación y seleccionar proyectos, como se se ilustra ilustra en en el el ejemplo ejemplo 12.3. 12.3. yectos, como

EJEMPLo112.3 EJEMP@' 1 2.3 Para ejemplo 12.2, 12.2, a) formule formule el problema de capital capital Para el ejemplo problema de elaboración elaboración del del presupuesto presupuesto de utilizando de programación que se presenta en la ecuación ecuación [12.4], [12.4], e utilizando el modelo modelo de programación matemática matemática que presenta en inserte l-a solución en en el modelo que efectivamente efectivamente éste éste maximiza inserte I·a solución modelo para para verificar verificar que maximiza el valor valor presente. Establezca y resuelva ExceJ. presente. b) Establezca resuelva el problema problema usando usando ExceJ.

S

SECCIÓN 12.4 Formulación de problemas en la elaboración del presupuesto de gastos de capital

Solución a) Defina el subíndice k = 1 hasta 4 para los cuatro proyectos, los cuales se renombran como 1, 2, 3 Y 4. El límite de inversión de capital es b = $20 000 en la ecuación [12.4]. k=4

Maximizar:

LVPkXk

=z

k=1 k=4

Restricciones:

LFENkoxk::;

20 000

k=1

para k

= 1hasta 4

Calcule el VPk para los flujos de efectivo netos estimados utilizando i ecuación [12.5].

y 1

Proyecto k

Flujo de efectivo neto, FENkt

Vida,

Factor,

nk

$3870 2930 2680 2540

6 9 5 4

1 2 3 4

=

15% y la

(P/ A, 15%,nk)

Inversión inicial, FENkO

Proyecto VPk

3.7845 4.7716 3.3522 2.8550

$-8000 -15000 -8000 -8000

$+6646 -1019 +984 -748

Ahora, sustituya los valores VPk en el modelo y coloque las inversiones iniciales en la restricción de presupuesto. Se usan signos positivos para todos los valores en la restricción de inversión de capital. Se tiene la formulación PLE O o 1 completa. Maxirnizar:

6 646x¡ - 1 019x2 + 984x3

Restricciones:

8 OOOx¡+ 15 000x2 + 8 000x3 + 8 000x4 < 20 000 x¡,X2,X3YX4=00

-

748x4 = Z

1

La solución para seleccionar los proyectos 1 y 3 se escribe como: X¡ = 1

b)

I

para un valor VP de $7 630. La figura 12.5 presenta una plantilla de hoja de cálculo desarrollada para seleccionar de entre seis o menos proyectos independientes, con 12 años o menos de flujo de efectivo neto estimado por proyecto. La plantilla de hoja de cálculo se expande en cualquier dirección, de ser necesario. La figura 12.6 muestra los parámetros SOLVER para solucionar este problema para cuatro proyectos y un límite de inversión de $20 000. Las descripciones siguientes y las etiquetas de celda identifican los contenidos de filas y celdas en la figura 12.5, así como su vinculación con los parámetros SOLVER. Filas 4 Y5: Los proyectos se identifican con números para distinguirlos de las letras de columna en la hoja de cálculo. La celda 15es la expresión para Z, la suma de los valores VP para los proyectos. Es la celda que debe maximizar SOLVER (véase la figura 12.6).

~Sol-E

457

458 458

CAPÍTULO CAPÍTULO 12

Selección proyectos independientes presupuestales Selección de de proyectos independientes con con limitaciones limitaciones presupuestales

Figura 12.5 12.5 Figura configurada para resolver un problema elaboración de presupuesto presupuesto de capital, capital, ejemplo 12.3. Hoja de cálculo de Excel configurada problema de elaboración -

-

-

-

Solver Parameters

--

--

ID ll3

Target Cell: S~t T arget Cel!:

Equal Equal To: To:

fID'

• fiax

Changing Cells: 19: G 19

· H5~lbjelct

to the Constraints:==:=:=:=:=:=:=:=:=::

$B$19:$G$19 :$G$l 9 == binary $1$22 <= 20000 20000

Figura 12.6 12.6 Figura Parámetros SOLVER establecidos establecidos para resolver resolver el problema problema de elaboración elaboración de presupuesto presupuesto de capital en el ejemplo 12.3. Parámetros

I

RESUMEN DEL CAPÍTULO CAPÍTULO

Filas 6 a 18: 18: Éstas son las inversiones iniciales y las estimaciones estimaciones de flujo de efectivo neto para cada proyecto. Los valores cero que ocurren después de la vida de un proyecto no necesitan ingresarse; no obstante, sí debe ingresarse ingresarse cualquier cualquier estimación $0 que ocurra durante la vida de un proyecto. Fila 19: 19: La entrada en cada celda es 1 para un proyecto seleccionado seleccionado y O si no se selecciona. Éstas son las celdas cambiantes cambiantes para SOLVER. Puesto que cada entrada debe ser O O o 1, 1, en todas las celdas de la fila 19 de SOLVER se coloca una restricción 12.6. Cuando un problema problema restricción binaria, como se muestra en la figura 12.6. debe resolverse, es mejor iniciar la hoja de cálculo con ceros para todos los maximizar Z. proyectos. SOLVER encontrará encontrará la solución para maximizar encontrar el VP de cada serie de flujo de efectiFila 20: Se usa la función VNA para encontrar vo neto. Las etiquetas de celda, que detallan las funciones VNA, se colocan para cualquier cualquier proyecto con una vida de hasta 12 años a la TMAR ingresada ingresada en Bl. la celda Bl. 21:: La contribución contribución a la función Z ocurre cuando se selecciona un proyecto. No Fila 21 contribución donde la fila 19 tiene una entrada O para un proyecto. se realiza contribución seleccionados. La Fila 22: Esta fila muestra la inversión inicial para los proyectos seleccionados. 122 es la inversión total. Esta celda tiene la limitación limitación presupuestaria presupuestaria cocelda 122 restricción en SOLVER. En este ejemplo, la restricción es 122 122 < = locada por la restricción $20,000.

°

°

resolución del ejemplo, establezca establezca en O O todos Para usar la hoja de cálculo en la resolución los valores de la fila 19, fije los parámetros SOLVER como antes se describió y pulse "Resolver". (Puesto que éste es un modelo lineal, la opción SOLVER "Suel botón "Resolver". directriponga Modelo Lineal" puede marcarse, marcarse, si se desea.) De ser necesario, más directrisolución, efectuar efectuar cambios, etcétera, se encuentran disponices acerca de guardar la solución, bles en el apéndice A, sección A.4, AA, y en la función de ayuda de Excel. 19 Y YD D 19) con Para este problema, la selección son los proyectos 1 y 3 (celdas B 19 realizar un Z = $7,630, la misma que se determinó con anterioridad. Ahora se puede realizar sensibilidad sobre cualquier cualquier estimación estimación efectuada efectuada para los proyectos. análisis de sensibilidad

RESUMEN DEL CAPíTULO CAPíTULO RESUMEN capital de inversión inversión es siempre siempre un recurso escaso y debe debe racionarse racionarse entre diverdiverEl capital recurso escaso proyectos que compiten compiten utilizando criterios específicos, específicos, económicos económicos y no ecosos proyectos utilizando criterios nómicos. La elaboración elaboración del presupuesto presupuesto de capital capital involucra involucra alternativas alternativas propuespropuesnómicos. cada una con una inversión inversión inicial inicial y flujos de efectivo efectivo neto estimados estimados durante durante la tas, cada vida pueden ser iguales iguales o diferentes. diferentes. El problema fundavida del proyecto. proyecto. Las vidas pueden problema fundamental en la elaboración elaboración del presupuesto capital tiene algunas algunas características características mental presupuesto de capital específicas (figura (figura 12.1). específicas • • • •

realiza una selección selección entre proyectos independientes. Se realiza proyectos independientes. Cada proyecto debe seleccionarse seleccionarse o rechazarse rechazarse por completo. completo. Cada proyecto debe objetivo es la maximización maximización del valor valor presente neto. El objetivo presente de los flujos de efectivo efectivo neto. inversión inicial inicial total está limitada limitada a un máximo específico. La inversión máximo específico.

459 459

460

CAPÍTULO 12

Selección de proyectos independientes con limitaciones presupuesta1es

El método del valor presente se utiliza para la evaluación. Para iniciar el procedimiento, formule todos los conjuntos mutuamente excluyentes que no excedan el límite de la inversión, incluyendo el conjunto de no hacer nada. Hay un máximo de 2 conjuntos para m proyectos. Calcule el VP a la TMAR de cada conjunto y elija el conjunto con el mayor valor VP. Se supone la reinversión de los flujos de efectivo positivos netos a la TMAR para todos los proyectos con vidas menores que el proyecto con vida más larga. El problema de elaboración de presupuesto de gastos de capital puede formularse como un problema de programación lineal para seleccionar proyectos directamente con la finalidad de maximizar el VP total. Los conjuntos mutuamente excluyentes no se desarrollan usando este enfoque de solución. Para resolver este problema por computadora, se emplea Excel y SOLVER. 111

1

1

PROBLEMAS Comprensión del racionamiento 12.1

de capital

en la selección de proyectos: el proyecto 1 puede seleccionarse únicamente si también los proyectos 3 y 4 se eligen.

Escriba un párrafo corto en que explique el problema del racionamiento de capital de inversión entre varios proyectos independientes unos de otros.

12.2

Enuncie la suposición de la reinversión sobre flujos de efectivo de proyectos, que se hace para resolver el problema de la elaboración de presupuestos de capital.

12.3

Perfect Manufacturing va a evaluar cuatro proyectos (1, 2, 3 y 4) con fines de inversión. Desarrolle todos los grupos aceptables mutuamente excluyentes con base en la siguiente restricción para seleccionarlos, desarrollada por el departamento de ingeniería de producción:

Proyecto 1 2 3 4

12.4

Desarrolle todos los agrupamientos mutuamente excluyentes que sean aceptables para los cuatro proyectos independientes descritos a continuación, si el límite de inversión es $400 y se aplica la restricción siguiente

F

-250 -150 -75 -235

Selección entre proyectos independientes 12.5

a) Determine cuál de los siguientes pro-

yectos independientes debería elegirse para invertir si están disponibles $325 000 a la TMAR de 10% anual. Para realizar la selección, use el método VP para evaluar las alternativas mutuamente excluyentes.

El proyecto 2 puede seleccionarse sólo si se elige el 3. Los proyectos 1 y 4 no deben seleccionarse juntos; en esencia se duplican.

Inversión inicial, $

Proyecto A B C D E

Inversión inicial, $ -100000 -125000 -120000 -220000 -200000

Flujo de efectivo neto, $/año 50000 24000 75000 39000 82000

Vida, años 8

8 8 8

8

461

PROBLEMAS

b)

12.6

Resuelva el problema 12.5 a) por medio de una hoja de cálculo.

12.7

El departamento de ingeniería de General Tire tiene para este año $900 000 para no más de dos proyectos en mejoría de capital. Con el uso de un análisis de VP basado en una hoja de cálculo y un rendimiento mínimo de 12% anual, conteste lo siguiente: a) ¿Cuáles proyectos son aceptables de los tres descritos abajo? b) ¿Cuál es el flujo de efectivo neto mínimo necesario requerido para seleccionar el grupo que gaste tanto como sea posible, sin violar ni el límite presupuestal o la restricción de dos proyectos máximo?

a

n

Proyecto A B

e 12.8

s 1.

Si los cinco proyectos son alternativas mutuamente excluyentes, realice el análisis de valor presente y seleccione la mejor alternativa.

Inversión inicial

FEN, $/año

Vida, años

Valor de rescate, $

-400000 -200000 -700000

120000 90000 200000

4 4 4

40000 30000 20000

Jesse quiere elegir exactamente dos proyectos independientes de entre cuatro. Cada proyecto tiene una inversión inicial de $300 000 y una vida de 5 años. Se dispone de las estimaciones de FEN para los tres primeros, pero no se ha preparado una estimación detallada para el cuarto. Con el empleo de una TMAR = 9% anual, determine el FEN mínimo para el proyecto número cuatro (Z), lo cual garantiza que formará parte de la pareja que se elija. Proyecto

FEN anual, $/año

w

90000 50000 130000 Al menos 50 000

X Y Z

12.9

Un ingeniero de Clean Water Engineering ha establecido un límite de $80 000 para el capital de inversión para el año próximo, destinado a proyectos que procuren la recuperación mejorada de agua subterránea muy confinada. Seleccione entre cualquiera o todos los proyectos siguientes, con el uso de una TMAR de 10% anual. Encuentre la solución con cálculos hechos a mano, no con Excel.

Proyecto

Inversión inicial, $

FEN, $/año

-250000 -300000 -550000

50000 90000 150000

A B

e

Vida, Valor de años rescate, $ 4 4 4

45000 -10 000 100000

12.10 Desarrolle una hoja de cálculo de Excel para los tres proyectos del problema 12.9. Suponga que el ingeniero desea que el proyecto C sea el único que se seleccione. Considere las opciones viables de proyectos y b = $800 000, determine a) la inversión inicial más grande para C, y b) la TMAR más grande que se permita para garantizar que C resulte seleccionado. 12.11 En Hum Vee Motors hay ocho proyectos disponibles para elegir. Los valores de VP que siguen se determinaron con la TMAR corporativa de 10% anual y están redondeados a $1 000, la cantidad más cercana. Las vidas de los proyectos varían entre 5 y 15 años.

Proyecto 1 2 3 4 5 6 7 8

Inversión inicial, $

Monto del VP al 10%, $

-1500000 -300000 -95000 -400000 -195000 -175000 -100000 -400000

-50000 +35000 -9000 +75000 +125000 -27000 +62000 +110000

~I

i~ "

462

CAPÍTULO 12

Selección de proyectos independientes con limitaciones presupuestales

Los lineamientos para seleccionar proyectos son los siguientes: 1. No se dispone de más de $400000 para inversión de capital. 2. Ningún proyecto con VP negativo puede ser seleccionado. 3. Debe seleccionarse al menos un proyecto, pero no más de tres. 4. Se aplican las restricciones siguientes en la selección de proyectos específicos: • El proyecto 4 puede seleccionarse sólo si el 1 también lo es. • Los proyectos 1 y 2 se duplican; no se deben elegir juntos. • Los proyectos 8 y 4 también se duplican. • El proyecto 7 requiere que el 2 también se elija. a) Identifique los grupos de proyectos viables y seleccione aquellos que se justifiquen mejor económicamente. ¿Cuál es la suposición de inversión para cualquiera de los fondos de capital restantes? b) Si debe invertirse tanto como sea posible de los $400 000, use las mismas restricciones y determine el (los) proyecto(s) a seleccionar. ¿Esta es una segunda opción viable para invertir los $400 OOO?¿Por qué? 12.12 Use el análisis que sigue de cinco proyectos independientes para seleccionar el mejor, si la limitación de capital es: a) $30000, b) $60000, y e) ilimitada. Proyecto S A M E H

Inversión inicial, $

Vida, años

-15000 -25000 -10000 -25000 --40000

6 8 6 4 12

VP a112% anual, $ 8540 12325 3000 10 15350

12.13 El proyecto independiente estimado a continuación fue desarrollado por los directores de ingeniería y finanzas. La TMAR

corporativa es de 15% anual, y el límite en la inversión de capital es de $4 millones. a) Use el método VP y solución manual para seleccionar los mejores proyectos en términos económicos. b) Use el método VP y solución por computadora para seleccionar los mejores proyectos en términos económicos.

Proyecto

Costo del proyecto, en millones de $ -1.5

1 2 3 4

Vida, años 8 10 5 4

-3.0 -1.8 -2.0

FEN, $ por año

Proyecto

Vida, años

1 2 3

-0.9 -2.1 -1.0

6 10 5

FEN estimado, $/año Gradiente después del año 1 Año 1 250000 485000 200000

1:

360000 600000 520000 820000

12.14 Se define el problema que sigue sobre racionamiento de capital. Se van a evaluar tres proyectos con una TMAR de 12.5% anual. No es posible invertir más de $3 millones. a) Use una hoja de cálculo para seleccionar entre los proyectos independientes. b) Use SOLVER para determinar el FEN mínimo del año 1 sólo para el proyecto 3, a fin de tener el mismo VP que el mejor agrupamiento del inciso anterior, si la vida del proyecto 3 puede incrementarse a 10 años para la misma inversión de $1 millón. Todas las estimaciones restantes permanecen sin cambio. Con este FEN y vida incrementados, ¿cuáles son los mejores proyectos para invertir? Inversión, millones de $

In Vi

-5000 +5000 +10%

12.15 Use el método del VP para evaluar cuatro proyectos independientes y seleccione tres de ellos. La TMAR es de 12% anual y existe un límite de $16 000 para el capital de inversión disponible.

F d

1

I

ESTUDIO DE CASO

en

Proyecto Proyecto

1 Inversión, $ Inversión, años Vida, años

ó·

$

2

3

4

-5000 --8000 -9000 -10 000 000 -5000 8000 -9000 5 5 3 4

12.19 Para el problema problema 12.5, use Excel y SOLVER 12.19 Para con la finalidad responder la pregunta pregunta finalidad de: a) responder del primer primer inciso, inciso, y b) seleccionar seleccionar los proyectos si la TMAR yectos TMAR = 12% anual anual y el límite límite de inversión inversión se incrementa incrementa a $500 $500 000.

Estimaciones de de FEN, $ Estimaciones 1 000 500 O 000 500 5 000 000 o O 700 500 5 000 000 1 700 500 O 400 500 O 2 400 500 2 000 000 O 3000 500 17000 500 3800 10 10 500 500 3800

12.20 Utilice SOLVER para 12.20 Utilice SOLVER para resolver resolver el problema problema 12.10.

Resuelva el problema 12.16 Resuelva problema 12.15 por medio medio de hoja de cálculo. cálculo. una hoja

12.22 Emplee programación lineal técnica Emplee programación lineal y una técnica solución basada cálculo para de solución basada en hoja hoja de cálculo para seleccionar proyectos indepenseleccionar entre entre los proyectos independientes vidas desiguales problema dientes de vidas desiguales del problema 12.13.

Año 11 2 3 4 5

estimaciones de FEN FEN del problema 12.17 Con las estimaciones problema demuestre 12.15 para para los proyectos proyectos 3 y 4, demuestre suposición de reinversión cuando se la suposición reinversión cuando resuelve el problema elaborar presupuesresuelve problema de elaborar presupuescapital para cuatro proyectos tos de capital para los cuatro proyectos por por medio del método (recomendación.' medio método del VP (recomendación: consulte la ecuación ecuación [12.2]). [12-2]). consulte

Programación Programación lineal lineal y elaboración elaboración de presupuestos presupuestos de gastos gastos de capital capital 12.18 Formule modelo de programación programación lineal, Formule el modelo lineal, desarrolleuna desarrolle una hoja de cálculo y resuelva el problema de racionamiento capital del ejemblema racionamiento de capital plo 12.1, a) como presentado, y b) con como está presentado, límite de $13 millones el uso de un límite millones para para la inversión. inversión.

te 's

463

SOLVER para encontrar el FEN 12.21 Use SOLVER para encontrar FEN mínimínimo que se requiere requiere para para el proyecto proyecto Z, según detalla Jesse lo detalla Jesse en el problema problema 12.8.

12.23 Resuelva el problema problema de elaborar presu12.23 Resuelva elaborar presupuestos de capital del problema problema 12.14, inciso puestos a), por medio de un modelo modelo de prograprograpor medio mación lineal y Excel. Excel. mación lineal 12.24 Solucione Solucione la elaboración elaboración de presupuestos 12.24 presupuestos de capital presentado capital presentado en el problema problema 12.15, con lineal el uso de un modelo modelo de programación programación lineal y Excel. Excel. datos del problema 12.25 Con los datos problema 12.15 y soluciones de Excel Excel para situaciones con límites límites ciones para situaciones capital que varían entre de presupuesto presupuesto de capital varían entre b= = $5 000 y b = = $25 000, desarrolle desarrolle una valor de Z. gráfica en Excel Excel de b versus versus el valor gráfica

ESTUDIO DE CASO CASO ESTUDIO

1

EDUCACIÓN EN EN INGENIERÍA INGENIERÍA PARA TODA LA LA VIDA EN UN EDUCACIÓN PARA TODA VIDA EN UN AMBIENTE AMBIENTE WEB WEB El informe informe El ingeniería sin fines de lucro, IME es una sociedad de ingeniería con oficinas centrales en Nueva York y oficinas en varios países del mundo. El año pasado se estableció estableció una fuerza de tarea con el encargo de sugerir formas de

mejorar los servicios a los miembros en el área de aprendizaje para toda la vida. Las ventas totales a personas, bibliotecas y negocios de periódicos, periódicos, revistas, libros, monografías, CD y videos técnicos han disminuido en 35% 35% durante los últimos 3 años. IME, lME, como virtualmente todas las corporaciones corporaciones no lucrativas, está reci-

464

CAPÍTULO

12

Selección de proyectos independientes

biendo un impacto negati va por parte del comercio electrónico. El recién publicado informe de la fuerza de tarea contiene las siguientes conclusiones y recomendaciones: Resulta esencial que IME tome rápidas medidas proactivas para iniciar materiales de aprendizaje con base en la web, por sí misma y/o en conjunción con otras organizaciones. De manera general, estos materiales deberán concentrarse en áreas como: Certificación y licenciamiento de profesionales en ingeniería. Temas técnicos de vanguardia. Temas de actualización en el manejo de herramientas para ingenieros expertos. Herramientas básicas para individuos que realizan análisis de ingeniería con entrenamiento o educación inadecuados. Los proyectos deberán iniciar de inmediato y evaluarse durante los próximos tres años, para determinar las futuras direcciones de los materiales de aprendizaje electrónico para IME.

Los proyectos propuestos En la sección de Líneas de Acción del informe se identifican cuatro proyectos, junto con los estimados de costos e ingresos netos efectuados sobre una base de 6 meses. Los resúmenes de los proyectos que se presentan a continuación requieren desarrollo y mercadotecnia de materiales de aprendizaje en línea. Proyecto A, mercados nicho. IME identifica varias áreas técnicas nuevas y ofrece materiales de aprendizaje a los miembros y a quienes no lo son. Se requieren una inversión inicial de $500 000 y una inversión de seguimiento de otros $500000 después de 18 meses. Proyecto B, asociación. IME se une con otras sociedades profesionales para ofrecer materiales en un espectro relativamente amplio. Dicha estrategia de negocios podría brindar una mayor inversión en lo que atañe a materiales de aprendizaje para toda la vida. IME necesita realizar una inversión inicial de $2 millones. Este proyecto requerirá que se lleve a cabo un pequeño proyecto para mejora en la red. Éste es el proyecto C, que sigue a continuación.

Proyecto

e,

con limitaciones

motor de búsqueda

presupuestales

web. Con una inver-

sión de sólo $200 000 dentro de seis meses, 1MB puede ofrecer a sus miembros un motor de búsqueda web para tener acceso a publicaciones actuales de IME. Un contratista externo puede instalar rápidamente esta capacidad en el equipo actual. Este punto de entrada al aprendizaje con base en la web es una medida temporal, que puede aumentar los servicios y los ingresos sólo durante el corto plazo. Este proyecto es necesario si se aspira a llevar a cabo el proyecto B, pero el proyecto C puede instaurarse separadamente

de cualquier otro proyecto.

Proyecto D, mejora del servicio. Este proyecto es un sustituto completo del proyecto B. Se trata de un esfuerzo a largo plazo para mejorar la publicación electrónica y continuar los ofrecimientos de educación de IME. Serán necesarias inversiones de $300 000 ahora, $400 000 en 6 meses y otros $300 000 después de otros 6 meses. El proyecto D es de más lento movimiento, aunque desarrollará una base firme para la mayoría de futuros servicios de aprendizaje

basados en la web de IME.

Los flujos de efectivo neto estimados (en $1 000) en periodos de 6 meses para IME se resumen a continuación. Proyecto Periodo

A

B

e

D

1 2 3 4 5 6

$0 100 200 400 400

$500 500 600 700 800 1000

$0 50 100 150

$100 200 300 300 300 300

o

o o

El Comité de Finanzas ha respondido que no se pueden asignar más de $3.5 millones a estos proyectos. También ha establecido que la cantidad total por proyecto deberá asignarse desde ahora, sin importar en realidad cuándo ocurrirán los flujos de efectivo de las inversiones inicial y de seguimiento. El Comité de Finanzas y un comité directivo revisarán los progresos cada 3 me-

-

W' ESTUDIO DE DE CASO ESTUDIO CASO

para detenninar determinar si deberían deberían continuarse, continuarse, expandirexpandirses para descontinuarse los los proyectos seleccionados. El cacase o descontinuarse proyectos seleccionados. pital de IME, IME, principalmente principalmente en en inversiones de capital capital pital inversiones de propio, rinde rinde un promedio promedio de de 10% 10% semestral semestral durante durante propio, los últimos últimos 5 años. años. No No existe existe deuda arrastrada por los deuda arrastrada por IME IME en este este momento. momento.

Ejercicios del del estudio estudio de caso caso Ejercicios 1. Formule para Formule todas todas las oportunidades oportunidades de inversión inversión para IME IME y los los perfiles perfiles de flujo flujo de efectivo, efectivo, dada dada la ininformación en el reporte reporte de la fuerza fuerza de tarea. formación tarea. recomendar el Comité 2. ¿Qué ¿Qué proyectos proyectos deberí;;¡ debería recomendar Comité de de Finanzas sobre sobre Ulla una base económica? base puramente puramente económica? Finanzas

465

3. El El director IME tiene tiene gran gran interés interés en director ejecutivo ejecutivo de de IME realizar debido a los efectos positirealizar el proyecto proyecto D debido los efectos positivos de percibe sobre tamaño vos de larga larga duración duración que que percibe sobre el tamaño de la membresía del Instituto los futuros futuros serviservide membresÍa del Instituto y los cios miembros nuevos nuevos y actuales. cios ofrecidos ofrecidos a los los miembros actuales. Usando de cálculo cálculo que que detalle detalle los los estimaestimaUsando una una hoja hoja de dos de de flujo flujo de de efectivo efectivo neto del proyecto, deterdos neto del proyecto, determine algunos los cambios puede mine algunos de de los cambios que que el director director puede prollevar para asegurar llevar a cabo cabo para asegurar que que se acepte acepte el proyecto debe colocar colocar restricciones este anáanáyecto D. No No debe restricciones en este lisis; por ejemplo, pueden cambiar las inversiones inversiones lisis; por ejemplo, pueden cambiar las los flujos restriccioy los flujos de de efectivo, efectivo, y eliminarse eliminarse las las restricciones entre los proyectos proyectos que renes entre los que se describen describen en en el reporte de tarea. porte de la fuerza fuerza de de tarea.

Análisis del punto punto equilibrio de equilibrio El análisis análisis de punto punto de equilibrio equilibrio tiene el propósito propósito de determinar determinar el valor de El una variable o un parámetro de un proyecto proyecto o alternativa que iguala dos eleuna ejemplo, el volumen de ventas que igualará ingresos y cosmentos, como por ejemplo, Un estudio equilibrio se se lleva lleva a cabo para para dos alternativas con tos. Un estudio de punto de equilibrio la finalidad determinar cuándo una una alternativa es es igualmente igualmente aceptable; aceptable; la finalidad de determinar defensor en un un estudio de reemplazo, que digamos, el valor de reemplazo del defensor al retador como una una buena opción opción (sección (sección 11.3). 11.3). El El análisis análisis de punto punto iguala al equilibrio casi casi siempre se se aplica en decisiones decisiones de hacer hacer o comprar comprar cuando de equilibrio las corporaciones corporaciones y los negocios deben decidir la fuente de los las decidir respecto de la elementos fabricados, servicios de toda clase, clase, etcétera. elementos Antes hemos aplicado el enfoque enfoque del punto punto de equilibrio equilibrio en el análisis análisis de (sección 5.6) 5.6) y en el análisis análisis de TR TR de punto punto de equilibrio equilibrio de dos reemplazo (sección (sección 8.4). 8.4). La La herramienta de optimización optimización de Excel Excel SOLVER, SOLVER, alternativas (sección se presentó y se se aplicó apenas apenas en el el capítulo 12 para para elegir elegir entre proyecque se una herramienta primordial primordial para para llevar a cabo tos independientes, independientes, constituye una un análisis análisis por computadora computadora de punto punto de equilibrio equilibrio entre dos alternativas. alternativas. un Este capítulo amplía nuestras nuestras perspectivas y comprensión sobre la la forma de Este punto de equilibrio equilibrio. . llevar a cabo un estudio de punto Los estudios de punto punto de equilibrio equilibrio se se valen de estimaciones que se se conLos ciertas; es es decir, si si se se espera espera que los valores estimados varíen sideran ciertas; varíen suficientemente como para para que influyan muy probablemente probablemente en el resultado, se se reretemente análisis de punto de equilibrio equilibrio con diferentes diferentes cálculos cálculos.. Esto Esto nos querirá otro análisis lleva a la la observación de que el análisis análisis de punto punto de equilibrio equilibrio forma parte del lleva más amplio amplio esquema del análisis de sensibilidad. Si se se permite permite que varíe la la más sensibilidad. Si análisis de punto punto de equilibrio, equilibrio, es es necesario adoptar adoptar variable de interés en un análisis análisis de sensibilidad (capítulo 18). 18). Además, si si se se toman en los enfoques del análisis la probabilidad probabilidad y evaluación con riesgo, se se pueden aplicar las las herracuenta la 19) para para complementar complementar la la naturaleza naturaleza estática mientas de simulación (capítulo 19) un estudio estudio de punto punto de equilibrio equilibrio. . de un El estudio de caso caso del capítulo se se concentra en las las medidas de costo y El un contexto contexto del sector público público (municipal) (municipal).. eficiencia en un

u u

o

-

-

OBJETIVOS OBJETIVOS DE APRENDIZAJE APRENDIZAJE Objetivo Objetivo general: general: determinar, determinar, para para una una o más más alternativas, alternativas, el el nivel nivel de de actividad actividad necesario necesario o el valor valor de un parámetro parámetro para para alcanzar alcanzar el el punto punto de de equilibrio. equilibrio. de

Este capítulo capítulo ayudará ayudará al lector lector a: Punto de de equilibrio equilibrio Punto

e

s· n e;

e lo

Dos puntos puntos de de equilibrio equilibrio Dos alternativo alternativo

-._----- II Hojas de de cálculo cálculo Hojas

1. Determinar Determinar el valor valor del del punto punto de de equilibrio equilibrio para un solo proyecto. proyecto . 2. Calcular Calcular el valor valor del del punto punto de de equilibrio equilibrio entre entre dos dos alternativas alternativas y utilizarlo utilizarlo para elegir elegir una alternativa. alternativa .

3. Elaborar Elaborar una hoja de de cálculo cálculo que que aplique aplique la herramienta herramienta SOLVERde SOLVER de Excel a la realización realización de de un análisis de de punto punto de de equilibrio. equilibrio.

468

CAPÍTULO CAPÍTULO 13

13.1 13.1

Análisis del punto punto de equilibrio Análisis equilibrio

ANÁLISIS DE PUNTO ANÁLISIS PUNTO DE EQUILIBRIO EQUILIBRIO PARA UN PROYECTO PROYECTO ÚNICO ÚNICO

Cuando ingeniería económica económica (P, (P, F, F, A, ion) ion) se desconocen desconocen Cuando una de las literales literales de la ingeniería o no se han calculado, puede determinar punto de equilibrio calculado, se puede determinar una cantidad cantidad de punto equilibrio formulando una ecuación para VP o VA e igualándola formulando ecuación de equivalencia equivalencia para igualándola a cero. Hasta Hasta ahora hemos utilizado utilizado esta forma punto de equilibrio. ahora hemos forma de análisis análisis de punto equilibrio. Por ejemplo, ejemplo, despejamos la tasa calculamos el periodo despejamos tasa de rendimiento rendimiento i*, calculamos periodo de recuperación recuperación np y P, F, A o el valor determinamos valores P, determinamos los valores valor de salvamento salvamento S, a los que una serie de estimaciones proporcionan rendimientos rendimientos a una TMAR estimaciones de flujos de efectivo efectivo proporcionan TMAR especíespecífica. Los métodos métodos empleados empleados para el cálculo cálculo de dicha dicha cantidad cantidad son: Solución directa presente (digamos, Solución directa a mano si uno de los factores factores se encuentra encuentra presente (digamos, P/A) P/A) o sólo se calculan calculan cantidades cantidades únicas únicas (por ejemplo, ejemplo, P y F). F). Ensayo y error mano cuando presentes factores múltiples. Ensayo error a mano cuando se encuentran encuentran presentes factores múltiples. Hoja de cálculo por computadora Hoja cálculo por computadora cuando cuando el flujo de efectivo efectivo y otros cálculos cálculos

se introducen introducen en celdas celdas de la hoja hoja de cálculo cálculo y se utilizan utilizan en funciones funciones incorporadas, VP, VF, TASA, TIR, VPN, VPN, PAGO y NPER. NPER. incorporadas, tales como VP, Ahora nos concentraremos determinación de la cantidad punto de equiAhora concentraremos en la determinación cantidad de punto equilibrio para una variable puede puede ser un elemenlibrio para una variable variable de decisión. decisión. Por ejemplo, ejemplo, la variable elemenpara minimizar minimizar costos, producción que se requiere requiere para para to de diseño diseño para costos, o el nivel de producción generar punto de generar ingresos ingresos que excedan excedan los costos costos un 10%. Dicha Dicha cantidad, cantidad, llamada llamada punto equilibrio utilizando fórmulas para los ingresos equilibrio QPE' se determina determina utilizando fórmulas para ingresos y costos costos con valores diferentes variable Q. La magnitud magnitud de Q puede expresarse unidades diferentes de la variable Q puede expresarse en unidades anuales, porcentaje de capacidad, muchas otras dimensiones. anuales, porcentaje capacidad, horas al mes y muchas dimensiones. La figura muestra diferentes formas de una una ecuación figura 13.la) muestra diferentes formas ecuación de ingresos, ingresos, idenidentificada tificada como como R. Por Por lo común, común, se adopta adopta una ecuación ecuación de ingresos ingresos lineal, lineal, aunque aunque generalmente realista. Ésta representar un generalmente una ecuación ecuación no lineal lineal es más realista. Ésta puede puede representar ingreso unitario creciente en la figura la)), o un ingreso unitario creciente con grandes grandes volúmenes volúmenes (curva (curva 11en figura 13. 13.la)), precio unitario unitario decreciente predomina cuando precio decreciente que normalmente normalmente predomina cuando las cantidades cantidades son elevadas elevadas (curva (curva 2) 2).. Los costos, pueden ser lineales normalmente incluyen costos, que pueden lineales o no lineales, lineales, normalmente incluyen dos elementos fijos y variables-, variables- , como lo indica indica la figura elementos --fijos figura 13.lb). 13.lb). Incluyen costos costos como como edificios, edificios, seguros, seguros, gastos gastos generales generales Costos fijos (CF). Incluyen capital de equipo equipo fijos, un nivel mínimo mínimo de mano mano de obra, recuperación recuperación de capital y sistemas sistemas de información. información. Costos variables mano de obra Costos variables (CV). Incluyen Incluyen costos costos tales como la mano obra directa, directa, materiales, costos publicidad y gamateriales, costos indirectos, indirectos, contratistas, contratistas, mercadotecnia, mercadotecnia, publicidad rantías. rantías.

El componente para todos los valores componente de costo costo fijo es en esencia esencia una constante constante para valores de la variable, para un rango amplio parámetros de operación, variable, por lo que no cambia cambia para amplio de parámetros operación, trabajo. Aun sin producción como el nivel de la producción producción o el tamaño de la fuerza de trabajo. producción de unidades, presentan en algún nivel de inicio. Por unidades, los costos costos fijos se presentan Por supuesto, supuesto, situación no puede mucho antes de que la planta deba cerrarse cerrarse con el esta situación puede durar mucho planta deba objetivo objetivo de reducir reducir los costos costos fijos. Los costos costos fijos se reducen reducen mediante mediante equipo equipo mejorado, plantilla laboral, mejorado, sistemas sistemas de información información y la utilización utilización intensiva intensiva de la plantilla laboral,

pa en til bl,

ca

v¡

re

Q el

s o C

SECCIÓN SECCIÓN 13.1

469

Análisis Análisis de punto punto de equilibrio equilibrio para para un proyecto proyecto único único

Figura Figura 13.1 13.1 No No lineal lineal

Relaciones in gresos y Relaciones de ingresos costos costos lineales lineales y no lineales. lineales.

Q unidades unidades anuales anuales Q Relaciones de ingresos: ingresos: ingreso ingreso unitario unitario a) Relaciones 1. creciente creciente y 2. decreciente decreciente 1.

CT

CF+CV CF+CV

CT=CF+CV CT=CF+CV

unidades anuales anuales Q unidades

unidades anuales anuales Q unidades

Relaciones de costo costo lineales lineales b) Relaciones

Relaciones de costo costo no lineales lineales e) Relaciones

paquetes de de beneficios beneficios menos menos costosos, costosos, funciones funciones específicas específicas de de subcontratación, subcontratación, paquetes etcétera. etcétera. Los costos costos variables variables cambian cambian con con el nivel nivel de producción, producción, el tamaño tamaño de de la planplanLos tilla laboral laboral y otros otros parámetros. parámetros. Con Con frecuencia frecuencia es posible posible reducir reducir los los costos costos variavariatilla bles a través través de de diseños diseños de de productos productos perfeccionados, perfeccionados, eficiencia de de fabricación, fabricación, bles eficiencia calidad y seguridad seguridad mejoradas mejoradas y volumen volumen de de ventas ventas más más elevado. elevado. calidad Cuando se suman suman CF CF y CV, CV, forman forman la ecuación ecuación del del costo costo total total CT. La La figura figura Cuando 13.lb) muestra muestra la ecuación ecuación de de CT CT para para los los costos costos variables variables y fijos fijos lineales. lineales. La La figura figura 13.lb) 13.le) muestra muestra una una curva curva general general de de CT CT para para una una CV CV no no lineal lineal donde donde los los costos costos 13.le) variables unitarios unitarios disminuyen disminuyen conforme conforme el nivel nivel de de la cantidad cantidad se incrementa. incrementa. variables Para un valor específico aunque aunque desconocido desconocido de de la la variable variable de de decisión decisión Q, las las Para valor específico relaciones de de ingreso ingreso y costo costo total total se intersecan para para identificar identificar el punto punto de de equilibrio equilibrio relaciones se intersecan QBE (véase figura 13-2). 13-2). Si Q> Q> QBE QBE'' existe existe una una utilidad utilidad previsible; previsible; pero pero si Q Q < QBE' QBE (véase la figura entonces hay una pérdida. pérdida. En En el caso caso de de los los modelos modelos lineales lineales de de R y CV, a mayor mayor entonces hay una cantidad habrá habrá mayores mayores utilidades. utilidades. Las Las utilidades utilidades se calculan calculan de de la siguiente siguiente manera: manera: cantidad

Utilidades = = ingresos ingresos - costo costo total total Utilidades = R - CT CT =

[13.1] [13.1]

las funciones funciones de de ingreso ingreso y costo costo total total son son lineales lineales de de la cantidad cantidad Q, Q, es posible posible Si las obtener una una relación relación para para el punto punto de de equilibrio equilibrio al igualar igualar las las relaciones relaciones para para R y obtener CT, lo que que indica indica una una utilidad utilidad de de cero. cero. CT,

470

CAPÍTULO 13

Figura 13.2

$

Análisis del punto de equilibrio

Efecto sobre el punto de equilibrio cuando se reduce el costo variable unitario.

d

R

CTcon CV reducido

1 p f (

b n I I I I

Utilidades maximizadas

El punto I de equilibrio :. se mueve

e

:

u 1:

Utilidades

I

e

QPE

p

Q unidades por año

I Figura 13.3

$

Puntos de equilibrio y punto de utilidad máxima para un análisis no lineal.

CT

R

1 I I I I

1 I I

:-I I I I I I I I

! 1

I

Intervalo d~ utilidades ----.: I ! I I I I 1 !

Qp

Q unidades anuales

I I I I I I I I

Pérdidas

SECCIÓN 13.1 SECCIÓN

Análisis de punto punto de equilibrio equilibrio para un proyecto único Análisis para un proyecto único

R=CT R=CT rQ rQ

= FC + VC = = FC + vQ vQ =

donde donde

= ingreso ingreso por unidad unidad r= costo variable variable por unidad unidad v = costo Al resolver resolver para la cantidad de equilibrio QBE se obtiene obtiene para cantidad equilibrio QBE

el" O .CI<' Onv=---_BE (r- v) v) _ . - (r-

[13.2] [13.2]

gráfica del punto equilibrio es una herramienta herramienta importante importante en la administración administración La gráfica punto de equilibrio porque es fácil de entender entender y puede puede utilizarse utilizarse en la toma toma de decisiones decisiones y para varias porque para varias análisis. Por ejemplo, ejemplo, si se redujera redujera el costo variable variable por unidad, unidad, la recta recta formas de análisis. tendría una pendiente figura 13-2) y el punto equilibrio CT tendría pendiente más pequeña pequeña (véase la figura punto de equilibrio bajaría. Esto implicaría implicaría una ventaja ventaja porque valor de QBE> QBEbajaría. Esto porque entre más pequeño pequeño sea el valor mayor es la utilidad utilidad para cantidad dada dada de ingreso. ingreso. mayor para una cantidad utilizan modelos modelos no lineales lineales de R o CT, puede haber más de un punto Si se utilizan puede haber punto de equilibrio. La figura figura 13-3 presenta dicha situación situación para equilibrio. La equilibrio. presenta dicha para dos puntos puntos de equilibrio. Q; ubicado entre los dos puntos de equilibrio donde la disutilidad máxima ocurre con Qp tancia entre las relaciones relaciones R y CT es la mayor. tancia entre Por supuesto, supuesto, ninguna ninguna relación relación estática estática -lineal -lineal o nono- de R R y CT es capaz capaz de Por estimar durante durante un periodo extenso de tiempo tiempo los montos montos de ingreso ingreso y costo. Pero el estimar periodo extenso punto equilibrio es una excelente excelente meta para para propósitos propósitos de planeación. planeación. punto de equilibrio

Lufkin Trailer Trailer Corporation Corporation ensambla ensambla 30 remolques remolques cada cada mes mes para camiones de 18 llantas llantas Lufkin para camiones sus instalaciones instalaciones de la costa costa este. este. La La producción ha caído caído a 25 unidades unidades mensuales mensuales producción ha en sus durante los los últimos últimos 5 meses, meses, como como consecuencia consecuencia de la recesión recesión económica económica mundial mundial en los los durante servicios del del transporte. transporte. Se dispone dispone de la siguiente siguiente información: información: servicios Costos fijos fijos Costos Costo variable variable por unidad por unidad Costo Ingreso por unidad por unidad Ingreso a)

b) e)

CF = $750 $750 000 000 mensuales mensuales CF $35 000 000 vv = $35 $75 000 000 r = $75

¿Cómo se compara compara el nivel nivel de producción reducido de 25 unidades unidades mensuales mensuales con con el ¿Cómo producción reducido punto equilibrio actual? actual? punto de equilibrio ¿Cuál es el actual actual nivel nivel de utilidades utilidades mensual mensual para para las instalaciones? instalaciones? ¿Cuál ¿Cuál es la diferencia diferencia entre entre los los ingresos ingresos y el costo costo variable variable por remolque que que es ¿Cuál por remolque necesario equilibrar equilibrar a un un nivel nivel de producción mensual de 15 unidades, unidades, si los los costos costos necesario producción mensual fijos se se mantienen mantienen constantes? constantes? fijos

Solución Solución Use la ecuación ecuación [13.2] [13.2] para determinar el número número de de unidades unidades de equilibrio. equilibrio. Todas Todas a) Use para determinar las cantidades cantidades están están expresadas expresadas en en miles miles de dólares. dólares. las CF CF (r-v) (r-v)

QBE=-":""""QBE=--750 750

=---= ----

(75 - 35) 35) (75 18.75 unidades unidades por mes = 18.75 por mes

471

472 472

CAPÍTULO CAPÍTULO 13

Análisis del punto de Análisis del punto de equilibrio equilibrio

por mee pres

2000 2000

Recta Recta de de ingresos ingresos 1500 1500

En cos

Recta de

so

ecu

V7 1000 "" 1 000

CiÓI

aná

750 750

eú únu

500 500

ea 1

Pue QPE

o o

10

20 15 20 Q, unidades/mes Q, unidades/mes

dist

= 18.75 18.75 = 25 25

con 30

•

Figura 13.4 13.4 Figura Gráfica del del punto de equilibrio, equilibrio, ejemplo ejemplo 13.1. 13.1. Gráfica punto de

b)

La figura figura 13.4 13.4 es una una gráfica gráfica de de las las líneas líneas R y CT. El El valor de equilibrio equilibrio es La valor del punto punto de 18.75 o 19 en unidades enteras de de remolques. El nivel de producción de 25 18.75 unidades enteras remolques. El nivel de producción reducida reducida de unidades encuentra por encima del valor de equilibrio. equilibrio. unidades se encuentra por encima valor de Para calcular calcular las las utilidades en $1 000 000 de Q = 25 unidades unidades mensuales, mensuales, se emplea emplea la Para utilidades en ecuación [13.1]. [13.1]. ecuación Utilidades CT = rQ - (CF (CF + vQ) vQ) Utilidades = R - CT = (r--v)Q-CF v)Q -CF =(r

[13.3] [13.3]

= (75 - 35)25 35)25 - 750 750 =

= $250 $250 = e)

Actualmente hay $250 000 000 mensuales. Actualmente hay una una utilidad utilidad de $250 mensuales. Para determinarla determinarla diferencia diferencia rr- v se emplea emplea la ecuación ecuación [13.3], [13.3], con con una una utilidad utilidad = O, Para = 15 Y CF CF = = $75. $75. En En unidades 000, Q= unidades de $1 000, 0= (r (r - v)(15) 750 0= v)(l5) - 750 r- v= = 750 750 15

= $50 $50 por = por unidad unidad

La dispersión dispersión entre entre r y v debe debe ser ser de de $50 $50 000. 000. Si v se se mantiene $35 000, 000, el ingreso ingreso por por La mantiene en $35 remolque debe incrementarse incrementarse de $75 $75 000 000 a $85 $85 000 000 para alcanzar apenas apenas el equilibrio a remolque debe para alcanzar el equilibrio un = 15 mensuales. mensuales. un nivel nivel de producción producción de Q =

SECCIÓN 13.1 SECCIÓN

En ciertas ciertas circunstancias, circunstancias, el análisis análisis del punto punto de equilibrio equilibrio se realiza realiza sobre sobre una una base base En por unidad unidad y resulta resulta más más significativo. significativo. Aun Aun en ese ese caso, valor de QBE QBEse calcula calcula por por por caso, el valor medio ecuación [13.2], [13.2], pero pero la relación relación CT CT se divide divide entre entre Q para para obtener obtener una una exmedio de la ecuación presión para para el costo costo por por unidad, unidad, también también denominado denominado costo costo promedio unidad Cu. presión promedio por por unidad = CT CT = = (CF (CF + vQ) vQ) = = CF CF + v V Cu =

Q Q

Q Q

Q Q

[13.4] [13.4]

En la cantidad cantidad de de equilibrio equilibrio Q Q == QBE' QBE' el ingreso ingreso por por unidad unidad es exactamente exactamente igual igual al En costo por por unidad. unidad. Si se grafica, grafica, el término término del del CF CF por por unidad unidad que que aparece aparece en en la costo ecuación [13.4] [13.4] adopta adopta la la forma forma de de una hipérbola. ecuación una hipérbola. En el capítulo capítulo 5 se estudió estudió el análisis análisis del del periodo periodo de de recuperación. recuperación. La La recuperarecuperaEn ción es el número número de de años años np necesario necesario para para recuperar recuperar una una inversión inversión inicial. inicial. El ción El análisis de de la recuperación recuperación c~m con tasa tasa de de interés interés igual igual a cero cero sólo sólo se realiza realiza cuando cuando no no análisis existe ningún ningún requerimiento requerimiento para para obtener obtener una una tasa tasa de rendimiento rendimiento mayor mayor a cero, cero, sino sino existe únicamente de la recuperación recuperación de la inversión inversión inicial inicial (como (como ya ya se mencionó, mencionó, la técniúnicamente técnica produce produce mejores mejores resultados resultados como como suplemento suplemento del del análisis análisis del del VP VP con con la TMAR). TMAR). ca Puede determinarse determinarse la cantidad cantidad de de variables variables de de decisión decisión para para periodos periodos de recuperación recuperación Puede distintos, si el análisis análisis de de la recuperación recuperación se complementa complementa con con el del del equilibrio, equilibrio, distintos, como se ilustra ilustra en en el siguiente siguiente ejemplo. ejemplo. como

EJEMPLO EJEMPLO

13.2 13.2

'7?:": J'~i'L

presidente de una una compañía compañía local, local, Online Online Ontime, Ontime, Inc., lnc., espera espera que que un producto producto tenEl presidente tenuna vida vida útil de entre entre 1 y 5 años. años. Desea Desea conocer conocer el número número de unidades equilibrio que que ga una unidades de equilibrio deben venderse venderse anualmente anualmente para para lograr lograr la recuperación recuperación dentro dentro de cada cada uno uno de los periodos periodos deben 1 año, 2 años años y así sucesivamente sucesivamente hasta hasta 5 años. años. Encuentre Encuentre las respuestas respuestas con con soluciones soluciones de laño, mano y por por computadora. computadora. Los Los cálculos cálculos del costo costo y los ingresos ingresos son los siguientes: siguientes: a mano Costos fijos: inversión inicial inicial de $80 $80 000 000 con con $1 000 000 de costo costo de operación operación anual. anual. Costos fijos: inversión Costo variable: por unidad. unidad. Costo variable: $8 por Ingresos: dos dos veces veces el costo costo variable variable para para los primeros primeros 5 años años y 50% 50% de costo costo variavariaIngresos: ble de ahí ahí en adelante. adelante. ble Solución a mano mano Solución Defina X como como el número unidades vendidas vendidas anualmente anualmente para para conseguir conseguir el equilibrio equilibrio y Defina número de unidades nI' como como el periodo recuperación, donde donde np = 1,2,3,4 1,2,3,4 años. Hay Hay dos incógnitas np periodo de recuperación, y 5 años. incógnitas y una ecuación, de manera manera que que es necesario necesario establecer establecer valores de una una variable variable y despejar despejar la una ecuación, valores de otra. Aplique Aplique el siguiente siguiente enfoque: enfoque: establezca establezca el costo costo anual anual y las ecuaciones ecuaciones de ingresos ingresos otra. sin tomar tomar en cuenta cuenta el valor valor del del dinero dinero en el tiempo; tiempo; después después utilice utilice los los valores valores np np para para sin determinar el valor valor de equilibrio de X. determinar de equilibrio Costos fijos fijos Costos

473

Análisis de punto punto de equilibrio equilibrio para para un proyecto proyecto único único Análisis

80000 + 1 000 000 80000 np np

Costo variable variable Costo

8X

Ingresos Ingresos

16X 16X { 4X

años 1 a 5 años año 6 y siguientes siguientes año

Periodo de recuperación

CAPÍTULO 13 Análisis del punto de equilibrio

474

Iguale los ingresos al costo total y despeje X.

lB

El

Ingreso == costo total 16X == 80000 + 1 000 + 8X

[13.5]

e lE

np

x == 10 000 + 125 np

Sustituya los valores 1 a 5 en np y despeje X (figura 13.5). Por ejemplo, una recuperación en 2 años necesita ventas de 5 125 unidades anuales con el objetivo de alcanzar el punto de equilibrio. No se toma en cuenta ningún tipo de interés en esta solución; es decir, i == 0%.

Solución por computadora

~Sol·E

Despeje X de la ecuación 13.4 y mantenga las literales r y v para incluidas en la hoja de cálculo. X == (80 OOO/np + 1 000)

, 1

[13.6]

r-v

La hoja de cálculo de la figura 13.6 incluye la ecuación [13.5] relativa al punto de equilibrio en las celdas C9 a C13, según se detalla en la etiqueta de la celda. La columna C y el diagrama de dispersión xy muestran los resultados. Por ejemplo, una recuperación en 1 año requiere ventas de X == 10 125, mientras que una recuperación de 5 años requiere de sólo 2 125 unidades al año.

13.~

Punto de equilibrio

lao

12000

El ar

... o

c.

'" -e ~

9000

><"

6000 5125

paráJ rés i,

O)

'2

Figura 13.5 Volúmenes de ventas de punto de equilibrio para diferentes periodos de recuperación (ejemplo 13.2).

tro. ' con I punt inve detei

3000

+-+-+-+-+2

3

4

np' años

Recuperación

yor<

5

bles cosn

SECCIÓN SECCIÓN 13.2

475

Análisis alternativas punto de equilibrio equilibrio entre entre dos alternativas Análisis de punto

1i!If,"JE{ 1i!!If,"J El

X M,crosoft '.hcrosoft E.cel Excel

_.

16

_.

. __

. __

._._.

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._ ..•.. _ ..•. -

- - 0__

o 12000

~~~~~~-~r-------~~------~ ~ 8 .g

.::.:.:c=-===c::...::='F---------"+----+~

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10000

g ---------+--.-::~::_:;:--::-:c+_:;:_::_:cc;,.=-+I

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8000

.. -... ---------... --- -- ....i-:-:---'-':==-='---":';:.::.;-,::-=-C2=.:::::.::.;--::-l"" ~ c...

...................................................................... - , ..........................••.......................... 1 •.~ ..•.,,~

. ..................................... ---

-j---- :: ------- !

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+1 -+ '1

6000

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4000 4000

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2000 2000

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~

1~~-----------+-~---4-4~~~44 ------------+----.~--_r~~~_H xx

o~-- __--____-_ __- -__--~--_

o~--

1

2

3

4

H-i-----+----

Hr---~----~-

5 H------+-----_i_ sH----r-----

n, años años del penodo periodo de de lecuperad recuperadóÓ n

Figura Figura 13.6 13.6 Solución en hoj recuperación (ejemplo (ejemplo 13.2). hojaa de cálculo de los valores del punto de equilibrio equilibrio para diferentes años de recuperación

13.2 13.2

ANÁLISIS ANÁLISIS DE PUNTO PUNTO DE EQUILIBRIO EQUILIBRIO ENTRE DOS DOS ALTERNATIVAS ALTERNATIVAS

El análisis determinación de una variable común o análisis de punto punto de equilibrio equilibrio implica implica la determinación variable común parámetro inteparámetro económico económico entre entre dos alternativas. alternativas. El parámetro parámetro puede puede ser la tasa de interés i, el costo parámecosto inicial inicial P, el costo anual de operación operación (COA) (COA) o cualquier cualquier otro parámehemos llevado análisis de punto punto de equilibrio equilibrio entre alternativas alternativas tro. Ya hemos llevado a cabo un análisis con diversos diversos parámetros. parámetros. Por ejemplo, ejemplo, el valor valor incremental incremental TR (ili*) (Lli*) es la tasa de equilibrio entre entre alternativas. alternativas. Si la TMAR TMAR es menor menor que tú*, tü*, se justifica punto de equilibrio justifica la inversión inversión adicional adicional de la alternativa alternativa con mayor mayor inversión. inversión. En la sección sección 11.3 se determinó determinó el valor valor de reemplazo reemplazo (VR) de un defensor. Si el valor valor comercial comercial es mayor que el VR, la decisión decisión debería debería favorecer favorecer al retador. A menudo variamenudo el análisis análisis del punto punto de equilibrio equilibrio implica implica ingresos ingresos o costos costos variables comunes operación, comunes a ambas ambas alternativas, alternativas, tales como como precio precio unitario, unitario, costo de operación, costo de los materiales concepto materiales y costo de mano de obra. La figura figura 13.7 ilustra ilustra este concepto

TR incremental

s

476

Figura Figura 13.7 Punto de de equilibrio equilibrio entre entre Punto dos dos alternativas alternativas con con ecuaciones ecuaciones de de costos costos lineales. lineales.

CAPÍTULO 13 CAPÍTULO

Análisis del del punto punto de equilibrio equilibrio Análisis

Alt.l CT Alt.l

1 ~1t.2CT

'2 '3 El 8

I I I I I

o

tl tí o U U

:

\Alt.lCF \Alt. 1 CF

i/

va

en m

to dé al

Punto Punto de de equilibrio equilibrio

Se A

Variable común, común, unidades Variable unidades

1.

para dos lineales de para dos alternativas alternativas con con ecuaciones ecuaciones lineales de costo. costo. El El costo costo fijo fijo de de la la alternativa alternativa que el de de la la alternativa alternativa 1. Sin Sin embargo, embargo, la la alternativa alternativa 2 tiene tiene un un costo costo 2 es mayor mayor que variable variable menor, menor, como como lo indica indica su pendiente pendiente de de menor menor valor. valor. La La intersección intersección de de las las líneas ubica el punto punto de líneas de costo costo total total ubica de equilibrio. equilibrio. Por Por lo tanto, tanto, si el número número de de unidades de punto de unidades de la la variable variable común común es mayor mayor que que la la cantidad cantidad del del punto de equilibrio, equilibrio, se se elige ya que menor el costo total. Por un nivel elige la la alternativa alternativa 2, ya que será será menor costo total. Por el contrario, contrario, un nivel anticipado por debajo punto de anticipado de de operación operación por debajo del del punto de equilibrio equilibrio favorece favorece la alternativa alternativa 1. En una gráfica En lugar lugar de de trazar trazar una gráfica de de los los costos costos totales totales de de cada cada alternativa alternativa y de de calcular punto de equilibrio, puede resultar sencillo calcular calcular gráficamente gráficamente el punto equilibrio, puede resultar más más sencillo calcular numéricamente el punto punto de usando expresiones numéricamente de equilibrio equilibrio usando expresiones de de ingeniería ingeniería económica económica para VP prefiere el VA cuando variable se para VP o VA a la TMAR. TMAR. Se Se prefiere cuando las las unidades unidades de de la variable expresan para alternatiexpresan anualmente; anualmente; además, además, los los cálculos cálculos del del VA son son más más sencillos sencillos para alternativas pasos permiten permiten determinar punto de vas con con vidas vidas diferentes. diferentes. Los Los siguientes siguientes pasos determinar el punto de equiequilibrio una alternativa: librio de de la la variable variable común común y la la elección elección de de una alternativa: Defina la variable variable común común y sus sus unidades de dimensión. dimensión. 1. Defina unidades de Aplique un análisis análisis de de VA o VP VP para expresar el costo costo total total de de cada cada alternativa alternativa 2. Aplique para expresar como como función función de de la la variable variable común. común. 3. valor del punto de 3. Iguale Iguale las las dos dos ecuaciones ecuaciones y despeje despeje el valor del punto de equilibrio equilibrio de de la variavariable. ble. 4. Si el nivel punto de nivel anticipado anticipado es inferior inferior al valor valor del del punto de equilibrio, equilibrio, elija elija la la alternaalternativa nivel se tiva con con el costo costo variable variable más más alto alto (pendiente (pendiente de de mayor mayor valor). valor). Si el nivel ubica por por encima punto de variaubica encima del del punto de equilibrio, equilibrio, elija elija la la alternativa alternativa con con el costo costo variable inferior ble inferior (véase (véase la la figura figura 13.7). 13.7).

2.

3

4 EJEMPLO

13.3

. :~

Una pequeña empresa Una pequeña empresa aeroespacial aeroespacial evalúa evalúa dos dos alternativas: alternativas: la compra compra de una una máquina máquina de alimentación una máquina para un proceso proceso de acaalimentación automática automática y y una máquina de de alimentación alimentación manual manual para acabado. La La máquina bado. máquina de alimentación alimentación automática automática tiene tiene un costo costo inicial inicial de de $23 $23 000, 000, un valor valor de salvamento un pronóstico pronóstico de vida salvamento calculado calculado en $4 000 000 y un vida de 10 años. años. Operará Operará la máquimáquitrabajador con con un salario salario de $12 $12 por por hora. La producción que se espera espera es de 8 un trabajador hora. La producción que na un toneladas por hora. toneladas por hora. Se espera espera que que los los costos costos anuales anuales de mantenimiento mantenimiento y operación operación sean sean de $3500. $3 500.

dec tien pun

dec del

SECCIÓN 13.2 13.2 Análisis Análisis de punto punto de equilibrio equilibrio entre entre dos dos alternativas alternativas SECCIÓN

La máquina máquina de alimentación alimentación manual manual alternativa alternativa tiene tiene un costo costo inicial inicial de $8 000, sin sin La valor de salvamento, salvamento, una vida de 5 años años y una una producción producción de 6 toneladas toneladas por por hora. hora. Sin Sin valor una vida embargo, se requerirán requerirán tres tres trabajadores trabajadores con con un salario salario de $8 la hora hora para para cada cada uno. uno. La La embargo, máquina tendrá tendrá un costo costo anual anual de mantenimiento mantenimiento y operación operación de $1500. Se espera espera que que máquina todos los proyectos proyectos generen generen un rendimiento rendimiento de 10% 10% anual. anual. ¿Cuántas ¿Cuántas toneladas toneladas al año año todos deben producirse producirse con con la finalidad finalidad de justificar mayor costo costo de compra compra de la máquina máquina deben justificar el mayor automática? automática? Solución Solución Aplique los los pasos pasos anteriores anteriores para para calcular calcular el punto punto de equilibrio equilibrio entre entre las dos dos alternativas. alternativas. Aplique

va

1. 2.

to las

Sea x el número número de toneladas toneladas al año. año. Sea En el caso caso de la máquina máquina de alimentación alimentación automática, automática, el costo costo variable variable anual anual es: En

11 hora x toneladas CV anual anual = =~ $12 hora toneladas CV - -- - -x --hora 8 toneladas año hora toneladas año = 1.5x 1.5x = CV se expresa expresa en dólares dólares por por año. año. La La fórmula fórmula del VA para para la máquina máquina de alimenalimenEl CV tación automática automática es: tación

de

VAau!o= OOO(AlP,lO%,lO) OOO(AlF,lO%,lO) 3500 -1.5x - 1.5x VA lO) + 4 OOO(AlF,lO%, lO) - 3500 au,o = -23 OOO(AlP,lO%, 1.5x = $-6 992 - 1.5x Asimismo, el costo costo variable variable anual anual y el VA para para la máquina máquina de alimentación alimentación manual manual Asimismo, son: son: hora x toneladas toneladas $8 1 hora CV anual anual = -- - (3 operadores) operadores) ---------CV --------hora toneladas año hora 6 toneladas año =4x =4x VAmanual VAmanu al =

iva

OOO(AI?,10%,5) 10%,5)-- 1 500 - 4x 4x -8 OOO(AI?,

=$-361O-4x = $-3610-4x

3.

ase ia-

Iguale las ecuaciones ecuaciones de dos dos costos costos y despeje despeje x. Iguale

VA VAau!o= manual au'o = VA manual

-6992 - 1.5x 1.5x = -3610 -3610 - 4x 4x -6992 x = 1 353 353 toneladas toneladas al año año

4.

espera que que la producción producción exceda exceda las 1 353 353 toneladas toneladas al año, año, compre compre la máquina máquina Si se espera alimentación automática, automática, ya que que su pendiente pendiente de CV CV es 1.5, 1.5, menor menor que que la penpende alimentación diente del del CV CV de la máquina máquina de alimentación alimentación manual, manual, que que es de 4. diente

enfoque del análisis análisis de punto punto de equilibrio equilibrio comúnmente comúnmente se usa para para tomar tomar El enfoque decisiones entre entre fabricar fabricar o comprar. comprar. Por lo general, general, la alternativa alternativa de comprar comprar no decisiones mayor variable variable respecto respecto a la opción opción de fabricar. En el tiene costo costo fijo y sí un costo mayor punto donde se cruzan cruzan las dos relaciones relaciones de costo costo se encuentra encuentra la cantidad cantidad para para punto decidir entre fabricar fabricar o comprar. Las cantidades cantidades anteriores anteriores indican indican que el artículo artículo decidir fabricarse, no comprarse comprarse a un proveedor proveedor externo. externo. debe fabricarse,

477

CAPÍTULO CAPÍTULO 13

478

EJEMPLO EJEMPLO

Análisis del del punto punto de equilibrio equilibrio Análisis

13.4

Guardián es una una empresa manufacturera nacional nacional dedicada dedicada a los aparatos aparatos domésticos domésticos para para Guardián empresa manufacturera cuidado de la salud. salud. Se enfrenta enfrenta a la disyuntiva disyuntiva de hacer o comprar. comprar. Se Se puede puede instalar instalar un un el cuidado de hacer elevador mecánico mecánico novedoso novedoso en en la cajuela cajuela de un automóvil automóvil para para subir subir y bajar bajar una una silla silla de elevador ruedas. El brazo brazo de de acero acero del del elevador elevador puede puede comprarse comprarse a $0.60 $0.60 por por unidad unidad o construirse construirse ruedas. empresa. Si se fabrica fabrica en la compañia, compañía, se requerirán requerirán dos dos máquinas. máquinas. Se Se calcula calcula que que la en la empresa. máquina A tendrá tendrá un costo costo de $18 $18 000, 000, una una vida vida útil útil de 6 años años y un valor de salvamento salvamento de máquina un valor $2000; la máquina máquina B tendrá tendrá un costo costo de $12000, $12000, una una vida vida útil útil de 4 años años y un valor valor de $2000; salvamento de $-500 $-500 (costo (costo porque lleven). La La máquina máquina A requerirá requerirá una una revisión revisión salvamento porque se la lleven). general después después de 3 años, años, cuyo cuyo costo costo sería sería de $3 000. 000. Se espera espera que que el costo costo anual anual de general operación de la máquina máquina A sea sea de $6 000 anuales anuales y el de la máquina máquina B de $5 000 000 anuales anuales. . operación $6 000 requerirá un total total de cuatro cuatro operadores operadores con con un salario de $12.50 $12.50 por por hora hora cada cada uno para Se requerirá un salario uno para dos máquinas. máquinas. En En una una jornada normal de 8 horas, horas, los operadores operadores y las dos dos máquinas máquinas las dos jornada normal pueden producir producir suficientes suficientes partes partes para para la fabricación fabricación de 1 000 000 unidades. unidades. Aplique Aplique una una pueden TMAR del del 15% 15% anual anual para para determinar determinar lo siguiente. siguiente. TMAR a)

s

b)

Número de unidades unidades por por fabricar fabricar cada cada año para justificar opción de fabricación fabricación en en Número año para justificar la opción empresa. la empresa. máximo de gastos gastos de capital capital justificable para adquirir adquirir la la máquina A, suponiendo suponiendo El máximo justificable para máquina A, que los demás demás cálculos cálculos para para las máquinas máquinas A y B B son son los los que que se han establecido. establecido. La La se han que compañía espera espera producir producir anualmente anualmente 125 000 000 unidades. unidades. compañía

Solución Solución Lleve a cabo cabo los los pasos pasos 1 a 3 antes antes indicados indicados para para determinar determinar el punto punto de equilibrio. equilibrio. a) Lleve Defina x como como el número número de elevadores elevadores fabricados fabricados al año. año. 1. Defina Hay costos costos variables variables para para los los operadores operadores y costos costos fijos fijos para para las las dos dos máquinas máquinas 2. Hay para la opción opción de fabricación. fabricación. para CV anual anual = (costo (costo por por unidad)(unidades unidad)(unidades al año) año) CV =

4 operadores operadores $12.50 (8 horas)x $12.50 horas)x 1000 unidades unidades hora 1000 hora

= O.4x Los costos costos fijos fijos anuales anuales para para las máquinas máquinas A y B son son las cantidades cantidades de VA. Los -18 000(A/P,15%,6) 000(A/P,15%,6) 2000(A/F,15%,6) ,6) VAAA = -18 + 2000(A/F,15% -6000 - 3 OOO(PlF, 15%,3)(A/P, 15%,3)(A/P, 15%,6) 15%,6) -6000 VABB = -12 -12 OOO(A/P, OOO(A/P, 15%,4) 15%,4) - 500(A/F, 500(A/F, 15%,4) 15%,4) - 5000 5 000 costo total total es la suma suma de VAAA, , VAB Cv, El costo By Cv. La igualación igualación de los costos costos anuales anuales de la opción opción de compra compra (0 (0.60x) opción de 3. La de los .60x) y la opción fabricación da da como como resultado: resultado: fabricación -0.60x= = VA VAéA + VAB-CV VAB-CV -0.60x

-18 OOO(A/P,15%,6) 000(A/P,15%,6) 000(A/F,15%,6) 000 = -18 + 2 000(A/F,15%,6) - 6 000 -3 OOO(PlF, 15%,3)(A/p, 15%,3)(A/p, 15%,6) 15%,6) - 12 OOO(A/P, OOO(A/P, 15%,4) 15%,4) -3 -500(A/F,15%,4) - 5000 5 000 - O.4x O.4x -500(A/F,15%,4) -O.2x = = --2020 352.43 352.43 -O.2x

762 unidades unidades al año año --xx = 101 762

[13.7] [13.7]

m se ec

n(

P( ec

SECCIÓN 13 ....22 SECCIÓN

b)

Análisis de punto de equilibrio equilibrio entre entre dos dos alternativas alternativas Análisis de punto de

Debe mínimo de para justificar justificar la Debe elaborarse elaborarse un mínimo de 101 762 762 elevadores elevadores cada cada año año para opción de fabricación fabricación en en la empresa, la cual cual posee costo variable de opción la empresa, posee el menor menor costo variable de 0.40x. Sustituya x por 125000 Y costo inicial por determinar determinar de de la Sustituya por 125000 Y PAPor PAPor el costo inicial por la máquina máquina A (actualmente la ecuación ecuación [13.6]. La solución resultado: P A= A= (actualmente de $18 $18 000) 000) en la [13.6]. La solución da da como como resultado: $35 588. Esto Esto es es aproximadamente aproximadamente el doble doble del costo costo inicial calculado de de $18 $18 000, 000, $35588. inicial calculado puesto la producción producción de 000 unidades unidades al año mayor que que la cantidad puesto que que la de 125 125000 año es es mayor cantidad del del punto de equilibrio equilibrio de de 101 762. 762. punto

Aun cuando cuando los ejemplos ejemplos anteriores anteriores abordan abordan el caso de dos alternativas, alternativas, el misanálisis se puede llevar a cabo para alternativas. Para mo tipo de análisis puede llevar para tres o más alternativas. Para hacerlo, hacerlo, se comparan por pares pares para para determinar respectivos puntos puntos de comparan las alternativas alternativas por determinar sus respectivos equilibrio. una alternativa equilibrio. Los resultados resultados son los intervalos intervalos donde donde una alternativa resulta resulta más ecoeconómica. Por ejemplo, producción es menor menor de 40 unidades unidades ejemplo, en la figura figura 13.8, si la producción elegirse la alternativa alternativa 1. Entre alternativa 2 resulta resulta más por hora, debe elegirse Entre 40 y 60, la alternativa económica; y por encima encima de 60, es preferible económica; preferible la alternativa alternativa 3. Si las ecuaciones relacionadas con el costo costo variable variable no son lineales, ecuaciones relacionadas lineales, el análisis análisis se complica. uniformemente, pueden pueden formucomplica. Si los costos costos se elevan elevan o disminuyen disminuyen uniformemente, expresiones matemáticas determinación directa directa del punto larse las expresiones matemáticas que permiten permiten la determinación punto de equilibrio. equilibrio.

Alternativa Alternativa 1

Alternativa 2 Alternativa

o o '0:: '0: ro ~

;% ~ El

~ o

U

Puntos de Puntos de equilibrio equilibrio

40 60 4ü Producción, unidades/hora unidades/hora Producción,

Figura 13.8 13.8 Figura Puntos de equilibrio equilibrio para alternativas. Puntos de para tres tres alternativas.

479 479

480

CAPÍTULO CAPÍTULO 13

13.3 13.3

Análisis Análisis del punto punto de equilibrio equilibrio

APLICACiÓN CÁLCULO: APLICACiÓN EN HOJA HOJA DE CÁLCULO: USO DE SOLVER DE EXCEL PARA EL ANÁLISIS ANÁLISIS DEL PUNTO PUNTO DE EQUILIBRIO EQUILIBRIO

Esta herramienta de optimización optimización sección se concentra concentra en la utilización utilización de la herramienta Esta sección SOLVER de Excel punto de equilibrio. equilibrio. Hemos Hemos utilizado utilizado Excel para para un análisis análisis básico básico del punto herramienta, con mucho mucho éxito éxito en cuanto antes esta herramienta, cuanto a la rapidez, rapidez, para para obtener obtener la solución (sección (sección 1204 1204 relativa relativa a la formulación formulación del modelo solución modelo de programación programación lineal lineal para para determinar determinar el para elegir elegir entre proyectos proyectos independientes; independientes; y la sección sección 11.3 para valor de reemplazo estudio de reemplazo, reemplazo, que sería sería reemplazo para para un activo defensor defensor en un estudio una aplicación punto de equilibrio). equilibrio). En este este capítulo capítulo aplicación de SOLVER SOLVER para para el análisis análisis de punto incluimos lector no haya haya empleado empleado esta esta incluimos un análisis análisis de SOLVER SOLVER en caso de que el lector contiene más inherramienta sección AA, contiene herramienta en capítulos capítulos anteriores. anteriores. El apéndice apéndice A, sección formación sobre el uso de ésta y sobre el sistema sistema de ayuda formación ayuda de Excel. Excel. SOLVER se localiza localiza en la barra barra Herramientas Herramientas de Excel. SOLVER no se SOLVER Excel. (Si SOLVER encuentra Herraencuentra en la computadora, computadora, haga un clic en "Complementos" "Complementos" en el menú Herramientas herramienta está mientas para para obtener obtener instrucciones instrucciones de instalación.) instalación.) En esencia, esencia, la herramienta está diseñada pasa si?) del punto punto de diseñada para para llevar llevar a cabo un análisis análisis condicional condicional (¿qué (¿qué pasa equilibrio. muestra las verdaderas ventajas del equilibrio. Constituye Constituye una herramienta herramienta que muestra verdaderas ventajas empleo ingeniería económica. económica. La plantilla plantilla empleo de una computadora computadora para para un análisis análisis de ingeniería SOLVER se muestra muestra en la figura 13.9. Dos denominaciones denominaciones principales principales de SOLVER SOLVER objetivo y las celdas celdas de cambio. cambio. son la celda objetivo objetivo. Es la celda celda que fija el objetivo. ejemplo, para Celda objetivo. objetivo. Por ejemplo, para calcular calcular la tasa de rendimiento, hoja de cálculo, cálculo, la rendimiento, se establece establece que VP = = O. En la hoja función celda con la función función VPN. La función VPN se iguala iguala a O. El objetivo objetivo es la celda celda fórmula o función. función. La entrada entrada puede puede celda objetivo objetivo debe contener contener una una fórmula maximizarse, valor específico, específico, como como O. Si se maximizarse, minimizarse minimizarse o asignársele asignársele un valor especifica, el valor debe ser un número, número, no una referencia especifica, referencia a celdas. celdas. En el análisis celda objetivo objetivo normalmente normalmente se iguala iguala al análisis de punto punto de equilibrio, equilibrio, la celda valor igualando los valores valores de VP de dos altervalor de otra celda, por ejemplo, ejemplo, igualando nativas. hoja de cálculo cálculo de la acción acción de igualar igualar nativas. Esto es el equivalente equivalente de la hoja dos ecuaciones punto de equilibrio. equilibrio. ecuaciones en el análisis análisis del punto

",

Figura 13.9 13.9 Figura Plantilla Plantilla de SOLVER SOLVER de Excel Excel utilizada utilizada para para llevar a cabo llevar cabo un análisis análisis de punto punto de equilibrio equilibrio y otro análisis otro tipo tipo de análisis condicional. condicional.

Solver Parameters

111m

•

13.3 Aplicación en hoja de cálculo: uso de SOLVER de Excel SECCIÓN 13.3

481

Celdas de cambio. cambio. Se trata de la celda celda --o o celdasceldas- donde donde SOLVER SOLVER hará los cambios. identifican una o más celcambios. Éstas Éstas son las variables variables de decisión. decisión. Se identifican das que directa directa o indirectamente indirectamente se ven afectadas afectadas por una celda celda objetivo. objetivo. SOLVER valor de esta celda hasta que se encuentra SOLVER cambia cambia el valor celda hasta encuentra una solución solución que dé como resultado resultado la celda celda objetivo, objetivo, como como se especificó. especificó. Si se hace dic clic en "Estimar", pueden cambiarse, "Estimar", aparecerán aparecerán todas las celdas celdas que pueden cambiarse, una vez que se identifica identifica la celda celda objetivo. objetivo. Restricciones. Son los límites Restricciones. límites impuestos impuestos a las celdas celdas objetivo objetivo y de cambio cambio con el propósito propósito de fijar cotas a los valores valores de la celda, celda, mientras mientras SOLVER SOLVER buspara igualar ca una solución solución para igualar el valor valor de la celda celda objetivo. objetivo. EJEMPLO

13.5

,;'

Cheryl es una ingeniera ingeniera de proyectos en la división ANCO de Federal Mogul. Ella busca un reemplazo para una antigua máquina de pruebas para plumas de parabrisas que saldrán a la venta. Uno de sus técnicos localizó dos máquinas equivalentes que esencialmente esencialmente poseen las mismas estimaciones, estimaciones, salvo en lo referente a la vida esperada.

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~Sol·E Sol-E

1!If¡J13 1!!I!f¡Jt3

~ Microsoft X lo!icrosolt Excel E xeel

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13.5 (figura 13.1O) A

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4.68%·-1_---l-=:P~M~T~($~B!.$:.:.1,C=7:..:.,.:-~(N~P::,,:V:J(~$B~$~I~,C::.!I~O~:C:.:I.::.:5)~+~C~

~~~-t~$~97~2~=±~~ $§,§;?'6 =PV($B$I,LCM($B$7,$C$7),-CI8) Sheet3

Sheet4

5heet5

Figura 13.10 13.10 Figura Comparación en hoja de cálculo cálculo de de dos dos alternativas alternativas donde donde se utiliza SOLVER para llevar a cabo cabo un análisis análisis de de punto de Comparación hoja de utiliza SOLVER para llevar punto de equilibrio (ejemplo (ejemplo 13.5). 13.5). equilibrio

482

CAPÍTULO

13

Análisis del punto de equilibrio

Costo Flujo Valor Vida,

Máquina 1

Máquina 2

$-9000 3000 200

$-9000 3000 300

4

6

inicial, $ de efectivo neto, $/año de salvamento, $ años

Cheryl sabe que la máquina 2 es la mejor opción debido a que su vida es más larga. Sin embargo, considera que las características de la alternativa 1 son mucho mejores. Ella decide llevar a cabo un análisis de punto de equilibrio para determinar las modificaciones necesarias en los valores calculados con el propósito de que resulte indiferente desde un punto de vista económico la elección de cualquiera de las máquinas. La TMAR es de 10% en la división ANCa. Utilice la hoja de cálculo de la figura 13.10 y la herramienta SOLVER

B19

~l' ~j'

F E G H 1 2 3 ~!!er~ªtiva____ #1 1 #2 Costo lnic~ _ -$6,564 -$9,0001 ---'Fluj~~~ __eJ~ctivo_~eto/a~ J}'ºQCl__J3)lQOLl S olver P a. emeters V_alo!_~.EJ_~ªIY¡¡_r1!~n.t<.> +__ _ J?OQ .__._.~ªQQL; s!tt TargetCell: ~$19 ~ Vida, años I 4 ,6 -Año I FE real FE real ' , EqualTo: r: !i:J.
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$3,000 $3,000;. p,"$B:2$~4 ==__ ~"",,",=?~_ 2 3000 3000 \l.bjedto the Constraints:~---~~~------;¡:, 3 3000 3000 ~_f-_$!:::3",,2:.::0=-0-+_-:::30=:0:-=0 __ -+---'1

Sheet2

Sheet3

Sheet4

a)

sheetS

Sheet6

Sheet7

Costo inicial para la alternativa

1

Figura 13.11 Uso de SOLVER de Excel para llevar a cabo un análisis de punto de equilibrio de la alternativa 1: a) costo inicial y b) flujo de efectivo neto (ejemplo 13.5).

SECCIÓN SECCIÓN 13.3

483

Aplicación en hoja hoja de cálculo: cálculo: uso uso de de SOLVER Excel Aplicación SOLVER de Excel

_ fY

.

-1.

!

r --, ~ ~

Sheetl

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5heeta

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Enter

b)

Flujo Flujo de de efectivo efectivo neto neto para para la alternativa alternativa 1

Figura 13.11 13.11 Figura (Continuación. ) (Continuación.

para los valores valores del equilibrio para para analizar analizar los del punto punto de de equilibrio para a) el costo costo inicial inicial de de la máquina máquina 1 y b) el flujo flujo de efectivo efectivo neto neto para para la la máquina máquina 1. Solución Solución en computadora computadora La (figura 13.10) 13.10) se elabora elabora en en un formato de referencia La hoja hoja de de cálculo cálculo (figura un formato referencia a celdas, celdas, en preparación equilibrio o de sensibilidad. sensibilidad. Por preparación de cualquier cualquier tipo tipo de de análisis análisis de de punto punto de equilibrio Por ejemplo, las fila 19 utilizan función incorporada incorporada de utilizan una una función de mínimo mínimo cocoejemplo, las funciones funciones VP VP de la la fila mún Con esta esta añadidura, añadidura, SOLVER analizar las mún múltiplo múltiplo MCM(B7,C7). MCM(B7,C7). Con SOLVER se utiliza utiliza para para analizar las vidas estimadas, y los VP serán serán correctos son diferentes. vidas estimadas, los valores valores VP correctos si las las vidas vidas son diferentes. a)

La figura figura 13.lla) 13.l1a) muestra solución de SOLVER para P,. La (BI9) La muestra la la solución de SOLVER para PI. La celda celda objetivo objetivo (B19) es el VP 626. La valor de de VP VP22 = $6 626. La celda celda VP de de la máquina máquina 1 a la TMAR. TMAR. Éste Éste se iguala iguala al valor de (B4) es la variable P,.. El valor del P, = El valor del punto punto de de equilibrio equilibrio es PI de cambio cambio (B4) variable de de decisión decisión PI 564. La en que precio $6 564. La interpretación interpretación consiste consiste en que si la la máquina máquina 1 puede puede adquirirse adquirirse a un precio de $6 564, 564, las son iguales económico, lo cual punto de de vista vista económico, cual de $6 las dos dos alternativas alternativas son iguales desde desde un punto representa necesaria en $9 000 =$2 $2 436. 436. representa una una reducción reducción necesaria en el el costo costo inicial inicial de de $9 000 - 6 564 564 =

---.- -----------T--------

----r--·

484

CAPÍTULO 13 CAPÍTULO

Análisis del del punto punto de equilibrio equilibrio Análisis

1 b)

La La figura figura 13.11b) 13.11b) de nuevo nuevo incluye incluye la celda celda B19 B 19 con con el mismo mismo valor valor de VP VP22 = $6626, $6 626, pero pero ahora ahora la celda celda de cambio cambio (variable (variable de decisión) decisión) es B5, B5, el flujo flujo de efectivo efectivo neto neto para máquina 1. Como Corno los los valores valores FEN FEN en las las celdas celdas B 10 a B 13 se encuentran encuentran para la máquina determinados determinados con con respecto respecto al valor valor en la celda celda B5 B5,, todos todos cambian cambian al valor valor del punto punto de equilibrio equilibrio de $3 769. 769. El valor valor de salvamento salvamento de $200 $200 se suma suma al FEN FEN en la celda celda La interpretación interpretación consiste consiste en que que si la estimación estimación del del flujo flujo de efectivo efectivo neto neto B 13. La anual puede puede elevarse elevarse de $3 000 000 a $3 769, 769, las alternativas alternativas son son económicamente económicamente iguaiguaanual les con con un costo costo inicial inicial de $9 000 000 para para ambas. ambas.

RESUMEN RESUMEN DEL CAPíTULO CAPíTULO El punto punto de equilibrio equilibrio para para una variable variable X en un proyecto proyecto se expresa expresa en términos términos tales como como unidades unidades por año u horas por mes. Con la cantidad cantidad del punto punto de equiliequilibrio QpE' resulta resulta indiferente indiferente si se acepta acepta o se rechaza rechaza el proyecto. proyecto. Utilice Utilice la siguiensiguiente directriz directriz para para la toma toma de una decisión: decisión:

Proyecto Proyecto único único

(véase (véase la figura figura 13.2).

cantidad estimada estimada es mayor mayor que QpE -7 -7 aceptación aceptación del proyecto proyecto La cantidad cantidad estimada estimada es menor menor que QpE -7 -7 rechazo rechazo del proyecto proyecto La cantidad

En el caso de dos o más alternativas, alternativas, determine determine el valor del punto punto de equilibrio equilibrio de la variable variable común común X. X. Utilice Utilice la siguiente siguiente directriz directriz para para elegir elegir una alternativa. alternativa.

Dos alternativas alternativas (véase (véase la figura 13.7). El nivel nivel estimado estimado de X se encuentra encuentra por debajo por debajo del punto de equilibrio equilibrio

-7

elija la alternativa alternativa con el mayor mayor costo elija variable (pendiente (pendiente más grande) grande) variable

El nivel estimado estimado de X se encuentra encuentra por encima por encima del punto punto de equilibrio equilibrio

-7

elija elija la alternativa alternativa con el menor menor costo variable (pendiente (pendiente más pequeña) pequeña) variable

El análisis análisis del punto punto de equilibrio equilibrio entre entre dos alternativas alternativas se lleva lleva a cabo cabo igualanigualando las ecuaciones ecuaciones de VP o de VA, y despejando despejando el parámetro parámetro en cuestión. cuestión. La herraherramienta mienta SOLVER SOLVER resulta resulta muy eficaz eficaz para para llevar llevar a cabo, con rapidez rapidez y precisión, precisión, un análisis análisis del punto punto de equilibrio equilibrio por computadora. computadora.

PROBLEMAS PROBLEMAS Análisis Análisis del punto punto de equilibrio equilibrio para para un un proyecto proyecto

a) Cantidad del punto de equilibrio por año.

costos fijos en Harley Harley Motors Motors son de 13.1 Los costos millón por año. El producto producto principal principal $1 millón tiene un precio precio de venta de $8.50 $8.50 por unidad unidad y un costo variable variable de $4.25. Determine Determine lo que se pide pide a continuación. continuación.

b) Utilidad Utilidad anual si se venden venden 200 000 uni-

dades y también si se vendieran 350 000. Para responder, responder, use tanto una ecuación ecuación como una gráfica gráfica de las relaciones relaciones de ingresos y costo costo total. gresos

PROBLEMAS PROBLEMAS

consideran relaciones relaciones de ingreso ingreso y cos13.2 Si se consideran tos totales lineales como no lineales, lineales, totales tanto tanto lineales mencione combinación de mencione al menos menos una una combinación relaciones fácilrelaciones matemáticas matemáticas para para las que fácilmente existir exactamente exactamente dos mente pudieran pudieran existir puntos de equilibrio. puntos equilibrio.

a

13.3 Un ingeniero metalúrgico estima ingeniero metalúrgico estima que la inversión de capital para recuperar recuperar metales metales versión capital para valiosos (níquel, plata, oro, etcétera) del agua residual producida producida por por una una refinería refinería de residual cobre requeriría $15 millones. millones. El equipo cobre requeriría equipo tendría una una vida vida útil de 10 años sin valor valor de tendría rescate. La cantidad metales que hoy se rescate. cantidad de metales descarga descarga es de 12000 12000 libras por mes. El cosmensual está representado representado to de operación operación mensual por $(4100 por $(4100 000)E 000)EL8L8 , , donde donde E es la eficieneficiencia de la recuperación recuperación de metal metal expresada expresada forma decimal. decimal. Determine eficiencia en forma Determine la eficiencia mínima de recuperación recuperación requerida requerida para para que mínima la compañía compañía alcance alcance el equilibrio, equilibrio, si el precio de venta venta promedio promedio de los metales metales es de $250 por libra. Use una tasa de interés de 11% % mensual. mensual. 13.4 Para Para las estimaciones estimaciones que siguen, siguen, calcule calcule lo que se pide pide a continuación. continuación. a) Cantidad Cantidad de equilibrio equilibrio por mes. (pérdida) por b) Utilidad Utilidad (pérdida) por unidad unidad con niveencima y 10% por les de venta venta 10% por por encima debajo debajo del equilibrio. equilibrio. Grafique el costo costo promedio e) Grafique promedio por por unidad unidad para cantidades cantidades dentro del rango de 25% debajo y 30% arriba arriba del equilibrio. equilibrio. debajo r= = $39.95 $39.95 por unidad unidad v = $24.75 por por unidad unidad CF = = $4 000 000 por año gráfica del costo costo promedio 13.5 Desarrolle Desarrolle una gráfica promedio por unidad unidad versus cantidad de producción versus la cantidad producción para departamento de ensamblado ensamblado de para el departamento aparatos domésticos domésticos de Ace-One, aparatos Ace-One, Inc., cuyo costo costo fijo es de $160 000 por año, y un costo variable resultado variable de $4 por unidad; unidad; use el resultado para responder responder las preguntas preguntas siguientes: para siguientes: a) ¿Con justifica un costo ¿Con qué cantidad cantidad se justifica promedio unidad? promedio de $5 por unidad?

485

b) Si se incrementara el costo fijo a $200 000,

grafique la curva nueva grafique nueva en la misma misma gráfica y estime la cantidad que justificaría estime cantidad justificaría promedio de $6 por por unidad. unidad. un costo costo promedio centro de telemercadeo India da 13.6 Un centro telemercadeo en India atención tarjetahabientes estadounidenses atención a tarjetahabientes estadounidenses e ingleses ingleses y tiene una capacidad capacidad para atender 1 400000 400000 llamadas anuales. El costo fijo del llamadas centro es de $775 000, con $2 de costo vacentro $775 000, riable promedio e ingresos de $3.50 riable promedio ingresos $3.50 por llamada. capacidad que a) Calcule el porcentaje porcentaje de la capacidad cada año para alcanzar el debe tenerse tenerse cada para alcanzar equilibrio. equilibrio. b) El administrador administrador del centro centro espera espera dedicar el equivalente de 500 000 llamadas equivalente llamadas de la capacidad total de las 1 400 000 a capacidad una línea línea nueva nueva de producto. producto. Se espera espera incremente el costo fijo del cenque esto incremente tro a $900 000, cantidad de la que el 50% será asignada nueva de proproasignada a la línea línea nueva ducto. Determine Determine el ingreso promedio ingreso promedio necesario por llamada para que el punto punto necesario llamada para de equilibrio se mantenga en 500 000 equilibrio mantenga llamadas, sólo para el producto nuevo. llamadas, para producto ¿¿Cómo Cómo se compara requecompara este ingreso ingreso requerido con el ingreso ingreso actual actual del centro centro de $3.50 $3.50 por llamada? llamada?

13.7 Durante Durante los dos últimos últimos años, la compañía compañía Homes-US ha experimentado Homes-US experimentado un costo fijo de $850 000 por por año, y un valor valor (r (r - v) de competencia internainterna$1.25 por por unidad. unidad. La competencia cional hacer alcional es tan intensa intensa que obliga obliga a hacer gunos cambios para conservar cambios financieros financieros para conservar en su nivel nivel actual la participación participación en el mermercado. Realice un análisis medio cado. Realice análisis gráfico gráfico por medio de Excel Excel para estimar tendría estimar el efecto efecto que tendría equilibrio si la diferencia diferencia entre el el punto de equilibrio ingreso ingreso y el costo variable variable por unidad unidad se in1yy 15% 15% crementa a una cantidad situada ~ituada entre 1 costos fijos y el inde su valor actual. Si los costos greso por greso por unidad unidad permanecieran permanecieran en sus actuales valores, ¿qué debería actuales valores, debería cambiar cambiar a fin equilibrio dismide hacer hacer que el punto punto de equilibrio nuyera? nuyera?

~I

486

13.8

CAPÍTULO 13

Análisis del punto de equilibrio

(Esta es una continuación del problema 13.7.) Extienda el análisis realizado en el problema 13.7, en el que se estudió un cambio en el costo variable por unidad. El gerente financiero estima que los costos fijos disminuirán a $750 000 si la tasa de producción alcanza el equilibrio en 600 000 unidades o menos. ¿Qué pasaría a los puntos de equilibrio en el rango r - v de 1 y 15% de incremento, según se evaluó con anterioridad?

13.9 Una compañía automotriz investiga si es aconsejable convertir una planta que fabrica carros austeros en otra que manufacture deportivos. El costo inicial para la conversión del equipo sería de $200 millones, con un valor de rescate de 20% en cualquier momento dentro de un periodo de 5 años. El costo por producir un carro sería de $21000, pero se espera que éste tenga un precio de venta de $33 000 (para los distribuidores). La capacidad de producción durante el primer año sería de 4 000 unidades. Con una tasa de interés de 12% anual, ¿en qué cantidad uniforme tendría que incrementarse cada año la producción con la finalidad de que la compañía recuperara su inversión en 3 años? 13.10 Rod, gerente de ingeniería industrial de Zema Corporation, determinó con el método de mínimos cuadrados que el costo total anual de producir una caja de latas de un refresco muy exitoso en ventas está bien descrito por la ecuación cuadrática CT = 0.001Q2 + 3Q + 2, Yque el ingreso es aproximadamente lineal con r = $25 por caja. Rod pide al lector que haga lo siguiente. a) Tabular la función de utilidad entre los valores de Q = 5 000 cajas y Q = 25 000 cajas. Estime la utilidad máxima y la cantidad en que ocurre. b) Encontrar las respuestas para el inciso a) por medio de una gráfica de Excel. e) Determinar una ecuación para Qmáx' en la que debe ocurrir la utilidad máxima, y determinar el monto de la utilidad en

dicho punto para CT y para r identificados por el gerente. 13.11 Un ingeniero civil fue ascendido a gerente de sistemas públicos de ingeniería, donde uno de los productos es una bomba interceptora de emergencia para agua potable. Si la calidad o volumen de agua examinada varía en un porcentaje preestablecido, la bomba cambia en forma automática a las opciones de tratamiento o a las fuentes de agua seleccionadas con anticipación. El proceso de manufactura de la bomba tiene los costos fijo y variable siguientes, para un periodo de 1 año. Costos variables, $/unidad

Costos fijos, $ Administrativos Salarios y prestaciones: 20% de Equipo Espacio, herramientas, etc. Computadoras: 1/3 de

30000 350000 100000

Materiales Mano de obra

2500 200

Mano de obra indirecta Subcontratistas

2000 800

1:

55000 150000

Determine el ingreso mínimo por unidad para alcanzar el equilibrio con el volumen de producción actual de 5 000 unidades por año. b) Si se vendiera a nivel internacional ya grandes corporaciones, sería necesario un aumento en la producción de 3 000 unidades adicionales. Determine el ingreso por unidad que se requiere si se establece una meta de utilidad de $500000 para toda la línea de producto. Suponga que las estimaciones de costo anteriores permanecen sin cambio.

a)

1:

Análisis del punto de equilibrio entre alternativas 13.12 Una compañía que elabora la Sección Amarilla de directorios telefónicos tiene que decidir si debe diseñar los anuncios de sus cli~s o pagar a una empresa de produc-

1

PROBLEMAS PROBLEMAS

ciones que que lo haga. desarrollar los ciones haga. Para Para desarrollar anuncios internamente, la compañía compañía tendría tendría anuncios internamente, que comprar comprar computadoras, computadoras, impresoras impresoras y otros elementos periféricos con un costo elementos periféricos costo de $12000. tendría una una vida útil de $12000. El equipo equipo tendría 3 años, después vendería después de los cuales cuales se vendería en $2 000. El empleado que cree los anunempleado que anuncios recibiría recibiría un pago pago de $45 000 por por año. Además, cada tendría un costo costo Además, cada anuncio anuncio tendría promedio de $8 por concepto preparación promedio concepto de preparación para para ser impreso. impreso. Se pronostica pronostica un total de para los próximos próximos años. De 4 000 000 anuncios anuncios para manera manera alternativa, alternativa, la compañía compañía podría podría concontratar en el exterior exterior el desarrollo desarrollo de un anunanuntratar cada uno sin importar importar la cantidad cantidad cio a $20 cada ordene. La tasa de interés interés actual que ordene. actual es de ¿Cuál es el monto 8% anual. ¿Cuál monto del equilibrio equilibrio alternativa es mejor mejor en lo económico? y qué alternativa económico? empresa de ingeniería arrendar 13.13 Una Una empresa ingeniería puede puede arrendar medición por por $1 000 al mes o un sistema sistema de medición comprar comprar uno en $15 000. El sistema sistema arrenarrendado no tendría tendría ningún ningún costo mantenicosto de mantenimiento miento mensual, mensual, pero pero el del otro sería de $80 al mes. mes. Con una una tasa tasa de interés interés de 0.5% 0.5% mensual, ¿cuántos meses sería necesario el mensual, ¿cuántos meses sería necesario sistema punto sistema a fin de que se alcanzara alcanzara el punto de equilibrio? equilibrio? 13.14 Para corrosivo es posi13.14 Para bombear bombear un líquido líquido corrosivo posible utilizar cuesta utilizar dos bombas. bombas. Una Una de ellas cuesta $800, $800, cuenta cuenta con impulsores impulsores de latón latón y se espera que dure 3 años. Otra con impulsores impulsores espera de acero inoxidable inoxidable cuesta cuesta $1 900 YYduraría duraría 5 años. Después Después de 2 000 horas de operación operación necesaria una una reconstrucción reconstrucción que sería sería necesaria que cuesta para la bomba bomba con impulsores impulsores cuesta $300 para de latón, latón, mientras mientras que para para la otra se requeriría una queriría una reparación reparación mayor mayor después después de 8000 horas, lo que costaría costaría $700. Si el costo 8000 de operación por hora, operación de ambas es de $1 por ¿cuántas horas por año debe usarse ¿cuántas usarse la bomba bomba para que se justifique justifique su compra? más cara cara para compra? Use una una tasa de interés interés de 10% anual.

13.15 Se recibieron recibieron dos propuestas propuestas para para pavipavimentar un estacionamiento mentar estacionamiento comercial. comercial. La propuesta 1 incluye banquetas, carpeta propuesta incluye banquetas, carpeta y

487

pavimento nuevos, nuevos, con un costo pavimento costo inicial inicial de $250000. vida de la super$250000. Se espera espera que la vida superficie del estacionamiento estacionamiento construida construida de este modo sea de 4 años con costos modo costos anuales anuales de $3 000 por por mantenimiento mantenimiento y pintura pintura para para señalamientos. La propuesta los señalamientos. propuesta 2 ofrece pavimento de mucha mucha mejor mejor calidad vimento calidad cuya cuya vida esperada manteesperada es de 8 años. El costo de mantenimiento despreciable gracias gracias al nimiento anual sería despreciable pavimento, pero pero los señalamientos tendrían pavimento, señalamientos tendrían que volverse volverse a pintar cada 2 años, lo que pintar cada tendría un costo de $3 000. Con la propuesta propuesta tendría 2, las marcas marcas no se pintarían pintarían el último último año de la vida vida esperada. esperada. Si la TMAR TMAR de la comcompañía es de 12% anual, ¿cuánto puede pañía ¿cuánto se puede gastar propuesta 2, de gastar inicialmente inicialmente en la propuesta modo que ambas modo ambas se equilibren? equilibren?

13.16 Jeremy evalúa 13.16 Jeremy evalúa los costos costos operacionales operacionales de procesos de fabricación los procesos fabricación de componentes componentes específicos específicos que usa un sistema sistema de seguridad seguridad doméstico inalámbrico. inalámbrico. Los mismos doméstico mismos componentes se producen producen en plantas plantas ubicadas ponentes ubicadas en Nueva Nueva York (NY) y Los Ángeles Ángeles (LA). registros de los 3 últimos últimos años para para NY Los registros reportan un costo reportan costo fijo de $400 $400 000 por año variable de $95 por por unidad unidad en el y un costo costo variable disminuyen anualmente anualmente $3 por año 1, que disminuyen por registros de LA indican indican un costo unidad. Los registros fijo de $750 por año y un costo variable $750 000 por costo variable unidad, con un incremento incremento anual de $50 por por unidad, de $4 por por unidad. unidad. Si dicha tendencia condicha tendencia tinuara, ¿cuántas unidades tinuara, ¿cuántas unidades deben producirse producirse estuen el año 4 para para que los dos procesos procesos estuvieran en equilibrio? una tasa de interés vieran equilibrio? Use una interés de 10% anual. 13.17 Alfred Alfred Home Home Construction Construction estudia estudia la compra de cinco pra cinco contenedores contenedores de escombros escombros transporte para para almacenar y un camión camión de transporte almacenar y transferir los desperdicios producidos por por transferir desperdicios producidos las obras en los sitios de construcción. construcción. Se estima completo tenga: costo costo estima que el equipo equipo completo inicial de $125 000, vida vida de 8 años, valor valor inicial de rescate rescate de $5 000, costo costo de operación operación de $40 por por día y un costo costo anual de mantenimantenimiento de $2 000. En forma miento forma alternativa, alternativa,

488

CAPÍTULO 13 CAPÍTULO

Análisis del punto punto de equilibrio equilibrio Análisis

Alfred puede obtener del municipio municipio los misAlfred puede obtener servicios, según según lo necesite necesite cada cada obra, mos servicios, por un costo inicial inicial de transporte transporte de $125 contenedor por sitio y un cargo adicional adicional por contenedor contenedor de $20 por por día. En un año por contenedor promedio se estima estima que 45 obras necesitarán necesitarán promedio almacenamiento de los desechos. desechos. La tasa almacenamiento mínima atractiva atractiva de rendimiento rendimiento es de 12% mínima esperado por anual. a) Si el uso esperado por año es de ¿cuál opción opción -comprar -comprar o rentarrentar75 días, ¿cuál debería seleccionarse seleccionarse con base base en este anádebería lisis económico? económico? Determine Determine el costo anual esperado de esta decisión. decisión. esperado máquina A tiene un costo fijo de $40 000 13.18 La máquina costo variable variable de $60 por uniunipor año y un costo dad. La B tiene un costo costo fijo desconocido, desconocido, dad. pero curso es posible pero con con el proceso proceso en curso posible producir unidades por mes con un costo producir 200 unidades variable total de $2 000. Si los costos totales totales variable máquinas se equilibran equilibran con una de las dos máquinas producción de 2 000 unidades unidades por tasa de producción costo fijo de la máquina máquina B? año, ¿cuál es el costo estanque para almacenar desechos desechos que 13.19 Un estanque para almacenar localiza cerca cerca de una importante importante planta se localiza planta recibe lodos Iodos diariamente. diariamente. Cuando Cuando se llena, recibe necesario retirar retirar su contenido contenido a un sitio es necesario ubicado a 8.2 kilómetros. kilómetros. Actualmente, Actualmente, el ubicado estanque se encuentra encuentra lleno lleno y el lodo lodo se estanque bombea a un camión camión tanque tanque para transporbombea para transporEste proceso requiere el uso de tarlo lejos. Este proceso requiere bomba portátil cuyo costo costo inicial inicial es de una bomba portátil cuyo vida de 8 años. Por $800 y que tiene una vida compañía paga una tarifa de $100 por día, la compañía paga un contrato contrato individual individual para para que se opere la bomba supervisen aspectos aspectos ambientales ambientales bomba y se supervisen y de seguridad, seguridad, pero camión y su conconpero por el camión ductor deben deben pagarse $200 diarios. ductor pagarse $200 diarios. empresa tiene la opción opción de instalar instalar La empresa bomba y una línea línea de conducción conducción hasta hasta otra bomba algún sitio lejano. Esta Esta bomba bomba tendría tendría un algún $1 600, una vida de 10 años y costo inicial de $1 operación costaría costaría $3 por día. La TMAR TMAR su operación compañía es de 10% anual. de la compañía construcción de la línea línea de concona) Si la construcción ducción costara costara $12 por metro metro y tuviera tuviera ducción

¿cuántos días de una vida vida de 10 años, ¿cuántos bombeo por deben necesitarse necesitarse para bombeo por año deben para construcción de la que se justifique justifique la construcción línea? línea? compañía espera espera bombear bombear una vez b) Si la compañía semana durante durante todo el año, ¿cuánto ¿cuánto a la semana dinero puede gastar durante durante la vida de dinero puede gastar 10 años de la línea de conducción, con la equilibrio? finalidad de que se alcance el equilibrio?

13.

Uso de SOLVER SOLVER para para hacer hacer análisis análisis de equilibrio equilibrio Uso

13.20 Desarrolle una hoja de cálculo con formato de referencia de celdas para las estimaciones estimaciones del referencia problema evaluaron dos problema 13.15, en el que se evaluaron propuestas repavimentar un estacionaestacionapropuestas para para repavimentar miento comercial. Con el empleo de SOLVER, responda las siguientes siguientes preguntas: responda preguntas: a) ¿¿Cuánto Cuánto puede gastar inicialmente la empresa presa en la propuesta propuesta 2, de modo que se equilibren ambas? ambas? (Esta (Esta es la misma misma equilibren pregunta pregunta que se plantea plantea en el probleproblema 13.15.) Suponga que que P2 = = $$-400 000 es el b) Suponga 400 000 costo real de la propuesta P1 = costo propuesta 2, y que PI $-250000 correcto. Use los resultaresulta$250000 es correcto. dos del análisis anterior anterior para determinar dosdel para determinar anuales de la propuesta si los costos anuales propuesta 1 por mantenimiento y pintura por mantenimiento pintura pueden pueden reducirse lo suficiente suficiente para convertirla reducirse para convertirla en una opción opción viable. viable. Una compañía compañía que fabrica fabrica jeans evalúa la 13.21 Una jeans evalúa compra de una una máquina máquina cortadora cortadora autoautocompra mática nueva nueva con características características de lógica lógica mática borrosa. La máquina máquina tendría tendría un costo inicial inicial borrosa. vida de 10 años y ningún ningún de $40 000, una vida valor de rescate. rescate. Se espera espera que el costo costo de valor mantenimiento de la máquina máquina sea de $2 000 mantenimiento requeriría un operador operador cuyo por año y se requeriría costo sería de $30 por hora. Así, se podría podría costo cortar un total de 2 500 yardas yardas de material. material. cortar alternativa es usar usar la mano mano de obra obra de Una alternativa trabajadores, cada cada uno de los cuales cuales seis trabajadores, ganaría $14 por por hora, hora, para para cortar cortar 2 500 ganaría yardas por hora. La TMAR TMAR es de 8% anual. yardas Determine las yardas yardas mínimas mínimas por por año para para Determine

13

1~

PROBLEMAS PROBLEMAS

que se justifique justifique la compra máquina, compra de la máquina, a) a mano, mano, y b) con computadora. computadora.

13.22 una continuación 13.22 (Esta (Esta es una continuación del problema problema Suponga que se trata 13.21.) Suponga trata de una compañía de Norteamérica Norteamérica que decidió pañía decidió llevar llevar algunas algunas de sus operaciones operaciones de corte corte a Asia, cuando cuando las tasas de interés interés comerciales comerciales eran anual) y los salarios salarios asiáticos asiáticos se altas (8% anual) situaban en promedio situaban promedio en $14 por por hora. Hoy, la maquinaria costaría $80 000 y las otras maquinaria costaría estimaciones permanecen cambio, la taestimaciones permanecen sin cambio, sa de interés interés es de 6% anual anual y los los costos costos de mano de obra asiática son en promedio promedio de $25 por hora. hora. Además, Además, suponga suponga que la comcompañía decidió pañía decidió conservar conservar las operaciones operaciones de corte realizadas por por personas, personas, toda toda vez que corte realizadas la línea vestimenta para para la que se efectuó línea de vestimenta efectuó el análisis tenía una tasa de producción producción anual de cerca yardas. Vuelva Vuelva a calcucerca de 300 000 yardas. calcuequilibrio y determine determine lar el nuevo nuevo punto punto de equilibrio si la decisión decisión anterior anterior de conservar conservar cortahumanos sigue válida. dores humanos sigue siendo siendo válida. 13.23 Una Una casa puede casa de 3 años años de antigüedad antigüedad puede comprarse a un excelente precio de $100000. $100000. comprarse Los costos costos de remodelación inmediatos a la remodelación inmediatos adquisición están están estimados estimados en $12 000, los adquisición impuestos en $3 800 por año, año, y las instalaimpuestos instalaciones en $2 500 anuales, anuales, además ciones además de que cada 6 años con un costo costo de debe pintarse pintarse cada actualidad, las casas $1 000. En la actualidad, casas en reventa reventa cuadrado, pero se venden venden a $60 el pie cuadrado, pero este precio estado aumentando aumentando $1.50 precio ha estado $1 .50 por por pie cuadrado al año, tendencia espera cuadrado tendencia que se espera continúe. La casa de 2 500 pies cuadrados cuadrados continúe. puede anuales a partir puede rentarse rentarse en $12 000 anuales partir espera un rendel año en que se vendiera. Se espera dimiento de 8% anual si la inversión inversión se readimiento cuánto tiempo liza. a) Determine Determine cuánto tiempo debe concomprador con la servar y rentar rentar la casa el comprador finalidad de alcanzar alcanzar el equilibrio equilibrio y el precio finalidad precio anticipado en el momento de venta venta anticipado momento del equiaproximar los años librio. b) Use Excel para aproximar equilibrio y el precio estimado. de equilibrio precio de venta venta estimado. 13.24 Bovay estudia alternativas alternativas 13.24 Bovay Medical Medical Labs Labs estudia para laboratorio completo completo u otro para tener tener un laboratorio

489

realizar análisis de diabetes parcial en el cual realizar y azúcar azúcar asociada asociada en la sangre, sangre, en lugar lugar de contratar contratar a un laboratorio laboratorio independiente independiente para que los haga. Las alternativas para alternativas y costos costos asociados asociados son los que siguen: siguen: Laboratorio completo Laboratorio completo propio: si estuviera estuviera equipado por completo, equipado por completo, el costo costo inicial cial sería sería de $50 000, se emplearía emplearía técnico con tiempo parcial parcial y un un técnico con tiempo salario salario anual anual equivalente equivalente de $26 000. 000. productos químicos El costo costo de los productos químicos y suministros se calculan por suministros calculan en $10 por muestra. muestra. Laboratorio equipaLaboratorio parcial parcial propio: propio: el equipamiento parcial parcial tendría tendría un costo costo inicial inicial miento de $35 000, 000, el técnico técnico con con tiempo tiempo parcial tendría tendría un salario anual equiequiparcial salario anual valente de $10 000. El costo costo de los valente análisis por muestra. muestra. análisis sería sería de sólo $3 por Sin embargo, embargo, como como los exámenes exámenes no podrían realizarse realizarse por por completo podrían completo en la empresa, requeriría terminarlos terminarlos exempresa, se requeriría ternamente, lo que tendría tendría un costo de ternamente, $40 por por muestra. muestra. Contratación total: El costo costo promedio Contratación promedio sería de $120 $120 por analizada. sería por muestra muestra analizada. Cualquier equipo equipo de laboratorio laboratorio adquirido adquirido Cualquier tendría TMAR es tendría una una vida vida de 6 años. Si la TMAR anual, determine determine el número de 10% anual, número de muestras analizarse cada cada año para muestras que debe analizarse para laboratorio completo, completo, que se justifique: justifique: a) el laboratorio laboratorio parcial. Grafique las y b) el laboratorio parcial. c) Grafique rectas de costo costo total de las tres opciones opciones y establezca el rango establezca rango de muestras muestras para para las que cada una de ellas costo más bajo. cada ellas tendría tendría el costo d) Si Bovay espera analizar analizar 300 muestras d) Bovay espera muestras por año, ¿cuál ¿cuál de las tres opciones opciones es la mepor año, jor, desde el punto económico? jor, desde punto de vista vista económico? ingeniero en jefe County anaana13.25 El ingeniero jefe Domingo Domingo County liza dos métodos liza métodos para para impermeabilizar impermeabilizar tanques tanques de almacenamiento almacenamiento de agua. Puede Puede aplicarse un impermeabilizante impermeabilizante bituminoso aplicarse bituminoso cuesta $8 000. Si éste se retocara desque cuesta retocara después de 3 años, lo que tendría costo de tendría un costo

490

13 Análisis del punto de equilibrio CAPÍTULO 13

$1 000, su vida se extendería extendería otros 3 años. $1 Como alternativa, podría instalarse instalarse un Como alternativa, podría impermeabilizante plástico con vida útil de impermeabilizante plástico 15 años. Si la tasa de descuento fuera de 4% 15 descuento anual, ¿cuánto ¿cuánto podría podría gastarse gastarse en el imperimpermeabilizante plástico plástico de modo modo que los dos meabilizante métodos se equilibraran? equilibraran? Resuelva Resuelva este problema a) a mano, y b) con computadora. blema computadora. 13.26 Un contratista contratista evalúa evalúa dos alternativas alternativas para mejorar la apariencia externa edificio mejorar apariencia externa de un edificio comercial pequeño que está remodelando. comercial pequeño remodelando. El edificio edificio podría podría pintarse completo con pintarse por completo un costo de $2 800, con lo que se espera espera que mantener mantener su atractivo atractivo durante durante 4 años, tiempo sería necesario tiempo tras el que sería necesario volver volver a pintar. Cada vez que se pintara el edificio, pintara edificio,

el costo se incrementaría incrementaría 20% respecto respecto de Como alternativa, alternativa, el inmueinmuela vez anterior. Como ble puede puede tratarse tratarse ahora ahora con arena lanzada, lanzada, y repetir repetir esto cada cada 10 años, lo cual tendría tendría un costo 40% más alto que la vez anterior. Se espera resta al inmueble espera que la vida que resta inmueble sea de 38 años. La TMAR TMAR es de 10% anual. ¿Cuál ¿Cuál es la máxima máxima cantidad cantidad que puede puede gastarse gastarse ahora ahora en la alternativa alternativa del tratatratamiento alternamiento con arena para para que las dos alternativas alcancen alcancen el equilibrio? equilibrio? Use el análisis análisis compude valor presente presente a) a mano, y b) con computadora, para para responder responder esta pregunta. pregunta. e) Utilice una hoja de cálculo para encontrar el valor de equilibrio equilibrio si el incremento incremento en el costo del tratamiento con arena redujera de 40 a tratamiento arena se redujera cada 10 años. 30%, o incluso incluso a 20%, cada

ESTUDIO DE CASO CASO ESTUDIO COSTOS DEL DEL PROCESO DE TRATAMIENTO TRATAMIENTO DE PLANTA COSTOS PROCESO DE DE AGUA AGUA EN EN UNA UNA PLANTA Introducción Introducción

Procedimiento experimental experimental Procedimiento

El proceso de aeración y recirculación recirculación de fango se ha practicado por muchos años en plantas de tratamiento tratamiento de aguas industriales industriales y municipales. municipales. La aeración se utiliza principalmente principalmente para la eliminación eliminación física de gases o elementos volátiles; volátiles; mientras que la recirculación recirculación de fango puede beneficiar beneficiar la eliminación eliminación de la turbiedad turbiedad del agua y reducir reducir su dureza. Cuando se reconocieron reconocieron por primera primera vez las ventajas del proceso de aeración y de recirculación recirculación de fango en el tratamiento tratamiento de agua, los costos de energía eran eran tan bajos que dichas consideraciones consideraciones rara vez eran de importancia importancia en el diseño y operación operación de una planta planta de tratamiento. Sin embargo, embargo, con el incremento incremento de diez veces el costo de la electricidad, electricidad, que ocurrió ocurrió en algunas localidades, localidades, llegó a ser necesario necesario revisar revisar la efectiefectividad en el costo de todos los procesos procesos de tratamiento tratamiento de agua que consumen consumen grandes grandes cantidades cantidades de energía. Este caso condujo condujo a la planta planta municipal municipal de tratamiento tratamiento de agua para para evaluar evaluar la efectividad efectividad del costo costo de los métodos de preaeración preaeración yy recirculación recirculación del fango.

Este estudio se realizó a 106 metros cúbicos por minuplanta de tratamiento tratamiento de agua, donde bajo to en una planta condiciones normales de operación, el fango de los clarificadores secundarios secundarios regresa regresa al aerador aerador y subsecuenrificadores remueve a los clarificadores clarificadores primarios. La temente se remueve diagrama de flujo de este proceso. figura 13.12 es un diagrama evaluar el efecto efecto de la recirculación recirculación del fango Para evaluar bomba de fango, aunque el proceso proceso de aese apagó la bomba Enseguida, la bomba bomba de fango se enración continuó. Enseguida, cendió de nuevo y la aeración se suspendió. FinalmenFinalmenresultados que te, ambos procesos se suspendieron. Los resultados obtuvieron se promediaron promediaron y compararon compararon con los se obtuvieron obtenidos cuando cuando ambos procesos procesos eran funciovalores obtenidos nales.

Resultados Resultados y análisis análisis Los resultados resultados que se obtuvieron obtuvieron de las cuatro cuatro formas de operación operación mostraron mostraron que la dureza dureza disminuyó disminuyó en 4.7% cuando cuando ambos procesos procesos eran eran funcionales funcionales (por (por 4.7% ejemplo, ejemplo, recirculación recirculación de fango y aeración). aeración). Cuando Cuando

ESTUDIO DE CASO

ais ti-

tior el a

sólo funcionaba la recirculación de fango, la reducción fue de 3.8%. No se obtuvo reducción debida solamente al proceso de aeración, o cuando ninguno de los dos funcionaba. Para la turbiedad, la reducción procesos funcionaba. fue de 28% cuando ambos procesos eran funcionales. ninguLa reducción fue de 18% cuando no se empleó ninguno de los dos procesos. La reducción también fue de 18% cuando se utilizó sólo el proceso de aeración, lo cual significa que la aeración por sí sola no fue de beneficio turbiedad. Sólo con neficio para la reducción reducción de la turbiedad. recirculación de fango, la reducción de la turbiedad fue recirculación únicamente de 6%, lo que significa que la recirculación recirculación como consecuencia consecuencia un increincrede fango en realidad trae Como mento en la turbiedad (la diferencia entre 18 18 y 6%). mento Como los procesos de aeración y recirculación recirculación de fango provocaron provocaron efectos reconocibles en la calidad del agua tratada (unos buenos y otros malos), se investigó la efectividad efectividad del costo de cada proceso de reducción reducción de turbiedad yy dureza. Los cálculos se basan en los siguientes datos: Motor aerador = 40 hp Eficiencia del motor aerador = 90% Eficiencia Motor de recirculación recirculación de fango = 5 hp Eficiencia Eficiencia de la bomba bomba de recirculación recirculación = 90% Costo de electricidad electricidad = =9i/kwh 9~/kwh

7.9i/kg Costo de la cal = 7.9~/kg Cal necesaria = 0.62 mg/L por mg/L de dureza 16.5 #kg e/kg Costo del coagulante == 16.5 Días/mes = 30.5

Como primer paso, se calculan los costos relacionados relacionados con la aeración y recirculación recirculación de fango. En cada caso, independientes de la tasa de flujo. los costos son independientes Costo de la aeración:

40 hp x 0.75 kw/hp x 0.09 $/kwh x 24 h/día -70.90 = $72 por día o 0$2196 +- 0.90 = $2196 por mes Costo de la recirculación recirculación de fango: 5 hp x 0.75 kw/hp x 0.09 $/kwh x 24 h/día -7 0.90 = $9 por día o 275 por mes +Las estimaciones estimaciones aparecen en las columnas 1 y 2 del resumen de costos en la tabla 13.1. Los costos relacionados relacionados con la turbiedad yy la eliminación de dureza están en función de la dosis de la sustancia química química necesaria necesaria yy del índice de flujo de agua. Los siguientes siguientes cálculos cálculos se basan en un flujo de diseño de 53 m3/minuto.

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491

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~~ Canal Canal

Figura Figura 13.12 13.12 Esquema Esquema de de la la planta planta de de tratamiento tratamiento de de agua. agua.

4

2 3

1.0. Alt.

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Recirculación de fango y aeración Sólo aeración Sólo recirculación de fango Ni aeración ni recirculación de fango

Descripción de la alternativa

.-:::.:

2196

2196

Aeración (1)

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Recirculación (2)

Ahorros generados por la suspensión de los procesos de

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Turbiedad (5)

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1380 262

275 2196

~ ~._~ .~ ~ ~ g 8 ~ g:

+622

1849 469

_

-1574 +1089 1849 1107

Costo Ahorros netos extra total (6) = (4) + (5) (7) = (3) - (6)

469 845

Condiciones de operación normales

Dureza (4)

Costo extra por eliminación de

~,... ~----

Ahorros totales (3) = (1) + (2)

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ESTUDIO DE CASO

Como antes se señaló, hubo menor reducción de turclarificador sin aeración que con biedad con el primer clarificador turbiedad extra que alcanzaella (28% frente a 6%). La turbiedad floculadores podría requerir añadir añadir químicos ron los floculadores podría requerir coagulantes. Se supone que, en el peor caso, el añadir coagulantes. estos químicos sería proporcional proporcional a la turbiedad adiciorequeriría 22% más de coagulante. coagulante. nal y, por lo tanto, se requeriría Puesto que el promedio en la dosis antes de suspender costo increincreel proceso de aeración fue de 10 mglL, el costo mental de la sustancia química que se debió al aumento sustancia química mental clarificador sería: en la turbiedad en el efluente clarificador (10 x 0.22)mg/L 0.22)mg/L x 10-6 10-6kg/mg (10 kg/mg x 53 m33/min 33 x l 000 Llm x 0.165 $/kg x 60 min/h xl $27.70/día u $845/mes x 24 h/día = $27.70/día Los costos para otras condiciones de funcionamiento ejemplo, aeración únicamente, (por ejemplo, únicamente, y sin aeración ni recirculación) revelan que el costo adicional por la elirecirculación) minación de la turbiedad sería $469 mensual en cada 13.l. caso, como se muestra en la columna 5 de la tabla 13.1. Los cambios en la dureza afectan los costos de los químicos, como consecuencia consecuencia del efecto efecto directo directo en químicos, la cantidad de la cal necesaria necesaria para la suavización del recirculación de fango, agua. Con la aeración y recirculación fango, la reducción de la dureza en promedio promedio fue de 12.1 mglL (es 4.7%). Sin embargo, con la recircudecir, 258 mglL x 4.7%). exclusivamente, la reducción fue de lación de fango exclusivamente, 9.8 mglL, lo cual dio como resultado una diferencia diferencia mg/L, atribuida a la aeración. El costo costo extra extra de de 2.3 mglL, cal se debió a la suspensión de la aeración; por lo tancal to, fue 10-6 kg/mg 2.3 mg/L x 0.62 mg/L de cal x 10-6 x 53 m3/min /min x 1 000 Llm33 x 0.079 $/kg x 60 min/h x 24 h/día = $8.60/día o $262/mes Cuando se suspendió la recirculación recirculación de fango no hubo clarificador, de mareducción en la dureza a través del clarificador, nera que la cal extra costaría costaría $1 $1 380 mensuales. Los ahorros totales y costos totales relacionados con los cambios en las condiciones de operación de la planta se tabulan en las columnas 3 y 6 de la tabla 13.1, respectivamente, pectivamente, con los ahorros netos que aparecen en la efecto, la condición óptima se represencolumna 7. En efecto,

493

únicamente por recirculación de de fango. ta únicamente por la recirculación fango. Esta condición daría como resultado ahorros netos de $1 089 comparados con los ahorros netos de $622 mensuales, comparados mensuales cuando se suspenden ambos procedimienprocedimientos, y un costo costo neto de $1 $1 574 mensuales únicamente Ya que los con el proceso de aeración funcionando. Ya representan las condiciones condiciones del peor de los cálculos representan modificacasos, los ahorros reales que resulten de la modificación de los procesos de operación de la planta fueron mayores que los señalados. tratamiento de agua En resumen, las prácticas de tratamiento generalmente, como la recirculación recirculación de fanaplicadas generalmente, go y el proceso de aeración pueden afectar de manera significativa la eliminación eliminación de algunos elementos en el significativa clarificador primario. Sin embargo, los costos increclarificador mentados de energía y de químicos garantizan garantizan investigaciones continuas caso por caso, con fundamento en efectividad del costo de tales prácticas. la efectividad

Ejercicios del del estudio estudio de de caso caso Ejercicios 1. ¿¿Cuál electricidad gel. Cuál sería el ahorro mensual en electricidad

2.

3.

4.

5.

6.

7.

nerado a partir de suspender el proceso de aera6lt/kwh? ción, si el costo de la electricidad fuera de 6i/kwh? ¿Un eficiencia del motor aerador ¿Un decremento en la eficiencia haría alternativa seleccionada seleccionada de reharía parecer parecer la alternativa circulación de fango más atractiva, atractiva, menos atracticirculación va o igual que antes? incrementara un 50%, ¿la difeSi el costo de cal se incrementara rencia en el costo entre la mejor alternativa alternativa y la alternativa aumenta, disminuye disminuye o segunda mejor alternativa se mantiene igual? Si la eficiencia de la bomba de recirculación de fandiferencia de ahogo se redujera de 90 a 70%, ¿la diferencia rros netos entre las alternativas 3 y 4 se incremenincrementa, disminuye disminuye o permanece permanece igual? suspendiera la eliminación eliminación de dureza en la Si se suspendiera planta de tratamiento, alternativa sería la más tratamiento, ¿qué alternativa eficaz y a menor costo? electricidad disminuyera disminuyera a 4\tlkwh, Si el costo de la electricidad 4ilkwh, alternativa tendría la mejor efectividad efectividad en el ¿qué alternativa costo? electricidad alcanzarían las siguien¿A qué costo de electricidad tes alternativas el punto de equilibrio: a) alternativas 1 y 2, b) alternativas 1 y 3, c) alternativas 11yy 4?

LCUATRO

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REDONDEO DEL ESTUDIO NIVEL UNO Así comienza todo

NIVEL DOS Herramientas para evaluación de alternativas

NIVEL TRES Toma de decisiones en proyectos reales

NIVEL CUATRO Redond~o' . del estudio l ~

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Capítulo 1 Fundamentos de ingeniería económica

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Capítulo 2 Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dinero Capítulo 3 Combinación de factores Capítulo 4 Tasas de interés nominales y efectivas

Capítulo 5 Análisis del valor presente Capítulo 6 Análisis del valor anual Capítulo 7 Análisis de tasa de rendimiento: alternativa única Capítulo 8 Análisis de tasa de rendimiento: alternativas múltiples Capítulo 9 Análisis beneficio/ costo y economía del sector público Capítulo 10 Toma de decisiones: método, TMAR y atributos múltiples

Capítulo 11 Decisiones de reemplazo y conservación Capítulo 12 Selección de proyectos independientes con limitaciones presupuestales Capítulo 13 Análisis del punto de equilibrio

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Capítulo 14 Efectos de la inflación Capítulo 15 Estimación de costos y asignación de costos indirectos Capítulo 16 Métodos de depreciación Capítulo 17 Análisis económico después de impuestos Capítulo 18 Análisis de sensibilidad formalizado y decisiones de valor esperado Capítulo 19 Más sobre variaciones y toma de decisiones bajo riesgo

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pre, alte yen dec forr pre' me pro

Este nivel incluye los temas que ayudan a mejorar mejorar su habilidad para realizar un Este su habilidad estudio de ingeniería económica completo completo sobre una una o más más alternativas. En estudio alternativas. En métodos de los capítulos previos, se incorporan los efectos de la los métodos se incorporan la inflación, la depreciación, depreciación, los los impuestos impuestos sobre la la renta en la en todos todos los tipos tipos de estudios estudios y Se tratan varias varias técnicas de estimación de costos para los costos indirectos. Se predecir mejor los flujos de efectivo, efectivo, con la la finalidad la selección de predecir finalidad de basar la más precisas. Los Los últimos alternativas sobre estimaciones más últimos dos capítulos incluacerca del uso de la la ingeniería económica económica en la la toma de yen material adicional acerca Se desarrolla una una versión ampliada del análisis decisiones. Se análisis de sensibilidad; sensibilidad; se se el enfoque enfoque para para examinar parámetros que varían formaliza el varían sobre un rango predecible de valores. valores. Por Por último, último, se predecible se consideran de manera explícita los elementos de riesgo riesgo y probabilidad, probabilidad, usando valores análisis mentos usando valores esperados, esperados, análisis probabilístico y simulación en computadora computadora con base en Monte Monte Carla. Carlo. probabilístico dichos temas pueden cubrirse antes en el texto, dependienVarios de dichos texto, dependienlos objetivos objetivos del curso. curso. Utilice la carta en el "Prefacio" "Prefacio" para do de los determinar los los puntos apropiados cuales presentar presentar el material. material. determinar apropiados en los cuales

14Efectos Efectos de de la inflación O o I ~

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la Este capítulo se se concentra en el entendimiento entendimiento y la la forma de considerar Este considerar la dinero en el tiempo. tiempo. La La inflación es es una una inflación en los cálculos de valor del dinero la cual todos todos los individuos individuos se se enfrentan casi casi de manera cotidiana cotidiana realidad con la la vida tanto tanto profesional como personal. en la La tasa tasa de inflación anual anual se se observa de cerca cerca y se se analiza analiza históricamente históricamente a La gubernamentales, negocios negocios y corporaciones corporaciones industriales. través de unidades gubernamentales, Un estudio estudio de ingeniería económica puede puede tener tener diferentes diferentes resultados en un Un ambiente donde donde la la inflación es es una una seria seria preocupación preocupación en comparación comparación con ambiente donde se se le trate con menor menor consideración. consideración. En En los últimos últimos años del siglo aquel donde principios del siglo XXI, XXI, la la inflación no ha ha sido una una preocupación preocupación imporimporxx, y a principios tante en Estados Estados Unidos o las las naciones más más industrializadas. Sin Sin embargo, embargo, la la tasa de inflación es es sensible a los factores reales, reales, y percibidos, percibidos, de la la economía. tasa Factores tales como el costo de la la energía, las las tasas tasas de interés, la la disponibilidisponibiliFactores la escasez escasezde materiales, la la estabilidad estabilidad dad y costo de trabajadores capacitados, la de materiales, tangibles, tienen impactos impactos a corto corto y largo plazos política y otros rubros menos tangibles, la tasa tasa de inflación. En En algunas industrias, es vital que los efectos de la la sobre la se integren integren en un un análisis análisis económico. económico. Aquí se se cubren las las técnicas inflación se básicas para para hacerlo. básicas

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OBJETIVOS OBJETIVOS DE DE APRENDIZAJE APRENDIZAJE Objetivo general: general: considerar considerar la la inflación inflación en en un un análisis análisis de de ingeniería ingeniería económica. económica. Objetivo

Este Este capítulo capítulo ayudará ayudará al al lector lector a: a:

la na na

1. 1. Determinar Determinar la la diferencia diferencia que que hace hace la la inflación inflación entre entre el el dinero d inero ahora yy el el dinero dinero en en el el futuro. futuro . ahora

Impacto de de la la inflación inflación Impacto

I ---..--- I II VP con con inflación inflación VP

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VA con con inflación inflación VA

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2. Calcular el el valor valor presente presente con con un ajuste ajuste por por la la inflación. inflación . 2. Calcular

3. Determinar la tasa de de interés interés real y calcular calcular el el valor valor futuro futuro con 3 . Determinar un ajuste por por la inflación. inflación . 4. Calcular Calcular un monto monto de de dinero dinero anual en dólares dólares futuros futuros que que sea equivalente equivalente a una suma presente presente o futura futura determinada. determinada.

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498

CAPÍTULO CAPÍTULO 14

14.1 14.1

Efectos Efectos de la inflación inflación

El

COMPRENSiÓN COMPRENSiÓN DEL IMPACTO IMPACTO DE LA INFLACiÓN INFLACiÓN

La mayoría conscientes del hecho mayoría de las personas personas están están bien conscientes hecho de que $20 hoy no compran compran la misma misma cantidad cantidad de lo que se compraba compraba con $20 en 1995 o en 1996, y mucho mucho menos lo que se compraba compraba en 1980. ¿Por ¿Por qué? Principalmente Principalmente debido debido a la inflación. inflación. La inflación inflación es un un incremento incremento en la cantidad cantidad de dinero dinero necesaria necesaria para La para obtener la misma misma cantidad cantidad de producto producto o servicio servicio antes antes del precio precio inflado. inflado. tener

La inflación inflación ocurre ocurre porque porque el valor valor de la moneda moneda ha cambiado: cambiado: se ha reducido. reducido. El valor valor del dinero dinero ha disminuido disminuido y, como como resultado, resultado, se necesitan necesitan más dólares dólares para para menos bienes. bienes. Éste inflación. Para cantidades monetarias monetarias menos Éste es un signo de inflación. Para comparar comparar cantidades que ocurren ocurren en diferentes diferentes periodos, periodos, los dólares dólares valorados valorados en forma diferente diferente deben deben convertirse convertirse primero primero a dólares dólares de valor valor constante constante para para representar representar el mismo mismo poder poder de compra compra en el tiempo. tiempo. Esto es especialmente especialmente importante importante cuando cuando se consideran consideran canticantidades de dinero dinero futuras, futuras, como es el caso con todas las evaluaciones evaluaciones de alternativas. alternativas. El dinero dinero en un periodo periodo de tiempo tiempo ttI] puede puede llevarse llevarse al mismo mismo valor valor que el dinero en otro periodo periodo de tiempo tiempo t 2 usando usando la ecuación: ecuación: dinero · do t]tI == dólares en el periodo t2 l peno neri -dólares - - - - - - "periodo - - - --"-peno --------"-----"-D o'1ares en el tasa de inflación inflación entre entre t]tI y t22

[14.1]

Dólares Dólares fnturos futuros == dólares dólares de hoy( hoy(11 + J)" J)"

[14.2J

[14.3]

Es correcto correcto expresar expresar cantidades cantidades futuras (infladas) (infladas) en términos términos de dólares dólares de valor valor constante, constante, y viceversa, viceversa, mediante mediante la aplicación aplicación de las últimas últimas dos ecuaciones. ecuaciones. Así es como se determinan determinan el índice índice de precios precios al consumidor consumidor (IPC) y los índices índices de estimación estimación de costos costos (del siguiente siguiente capítulo). capítulo). Como Como ejemplo, ejemplo, utilice utilice el precio precio de una hamburguesa hamburguesa de McDonald's McDonald's en cierto cierto lugar lugar de Texas. $2.23

agosto agosto de 2004

Si durante pasado la inflación durante el año pasado inflación fue de 4% 4% en promedio, promedio, en dólares dólares de valor valor constante de 2003, este costo es el equivalente equivalente al del año pasado pasado constante $2.23/(1.04) == $2.14 $2.14 $2.23/(1.04)

agosto de 2003

m;

E~

4~ na 1C m dé $1 dé dé

b~

Los dólares periodo t,t ] se denominan dólares en el periodo denominan dólares dólares de valor valor constante constante o dólares dólares de hoy. Los dólares futuros o dólares corrientes dólares en el periodo periodo t2 se llaman llaman dólares dólares futuros corrientes de entonces. representa la tasa de inflación entonces. Si f representa inflación por periodo periodo (año) y n es el número número de periodos periodos de tiempo tiempo (años) entre t]tI y t 22, la ecuación ecuación [14.1] se convierte convierte en: dólares dólares futuros futuros Dólares Dólares de valor valor constante constante = == dólares dólares de hoy == -------- - - - - (l (1 + .f)" J)"

Si [1·

SE

al S(

ci

p

-------------------------------------------------~... SECCIÓN 14.1 SECCIÓN

Comprensión del impacto inflación Comprensión impacto de la inflación

499

El precio precio pronosticado pronosticado en 2005 es no

,y la

b·

El fa as

en de

tias. el

.1]

es de ro

.2]

.3] de

s. de de

$2.23(1.04) = = $2.32 $2.23(1.04)

agosto de 2005 agosto

inflación promedia anualmente 4% durante durante los 10 años siguientes, siguientes, la ecuación ecuación Si la inflación promedia anualmente siguiente para pronosticar pronosticar en 2014 el precio precio de una Big Mac, de la siguiente [14.3] se usa para manera: manera:

$2.23/(1.04)10 = $3.30

agosto de 2014 agosto

Esto representa representa un incremento incremento de 48% sobre sobre el precio 2004 con con inflación inflación de Esto precio de 2004 considera un promedio tanto a nivel nivel nacional nacional como como interinter4%, lo cual se considera promedio bajo, bajo, tanto nacional. inflación fuera fuera de 6% en promedio, Mac costaría costaría dentro dentro de nacional. Si la inflación promedio, la Big Mac $3.99, lo que equivale equivale a un incremento incremento de 79%. 79%. En ciertas ciertas regiones 10 años $3.99, regiones del mundo, economía tan mundo, la hiperinflación hiperinflación puede puede promediar promediar 50% en un año. En una una economía desafortunada, la Big Mac Mac pasaría dólares a su equivalente equivalente de desafortunada, pasaría en 10 años de $2.23 dólares $128.59. Esta Esta es la razón experimentan hiperinflación $128.59. razón por por la que los países países que experimentan hiperinflación deben devaluar devaluar su moneda factores de 100 y 1 000 si persisten inaceptables deben moneda en factores persisten tasas tasas inaceptables inflación . de inflación. contexto industrial industrial o de negocios, inflación razonablemente En un contexto negocios, a una tasa de inflación razonablemente baja que promedie promedie 4% anual, el equipo o los servicios con un costo inicial de $209 000 incrementarán en 48% hasta $309000 durante durante un periodo Esto es se incrementarán hasta $309000 periodo de 10 años. Esto cualquier consideración consideración de la tasa de rendimiento requerida se coloque coloque antes de que cualquier rendimiento requerida generadora de ingreso ingreso del equipo. equipo. No cometa cometa errores: la inflainflasobre la habilidad habilidad generadora nuestra economía. economía. ción es una fuerza fuerza formidable formidable en nuestra realidad existen existen tres diferentes diferentes tasas que son importantes: importantes: la tasa tasa de interés interés En realidad (i), la tasa tasa de interés interés del mercado mercado (if ) y la tasa de inflación inflación (j). (j). Sólo las dos real (i), primeras interés . primeras son tasas de interés. Tasa de interés interés real real o libre libre de inflación inflación i. i. A esta genera el interés interés Tasa esta tasa se genera cuando se ha retirado efecto de los cambios cambios (inflación) (inflación) en el valor valor de la cuando retirado el efecto moneda. Por Por lo tanto, la tasa de interés interés real presenta ganancia real en el moneda. presenta una ganancia poder compra. (La ecuación ecuación usada calcular i, con la influencia influencia de la poder de compra. usada para para calcular inflación removida, removida, se derivará derivará más tarde, en la sección sección 14.3.) La tasa de inflación rendimiento real que por lo común común se aplica aplica a los individuos individuos es de cerca cerca de rendimiento Ésta es la tasa de "inversión "inversión segura". segura". La tasa tasa real requerida requerida 3.5% anual. Ésta para corporaciones (y muchos muchos individuos) individuos) se coloca coloca sobre sobre esta tasa de separa corporaciones guridad cuando cuando se establece establece una TMAR TMAR sin ajuste por inflación. inflación. guridad Tasa de interés interés ajustada ajustada a la inflación inflación iJ. i¡- Como Como su nombre nombre lo indica, indica, se trata trata Tasa tasa de interés interés que se ha ajustado ajustado para tomar en cuenta cuenta la inflación. inflación. La de la tasa para tomar interés de mercado, mercado, que es la que escuchamos escuchamos mencionar mencionar todos los tasa de interés ajustada a la inflación. inflación. Es una combinación combinación de la tasa tasa de días, es una tasa ajustada interés real i y la tasa de inflación inflación f, i. y, por consiguiente, consiguiente, cambia cambia a medida medida interés

Tasa de inversión segura

500

CAPÍTULO inflación CAPÍTULO 14 Efectos Efectos de la inflación

que cambia cambia la tasa de inflación. inflación. Se conoce conoce también también como como tasa de interés interés inflada. inflada.

2

a

Tasa de inflación inflación f. Como Como se describió describió antes, es una medida medida de la tasa de cambio cambio en el valor valor de la moneda. moneda. Cuando TMAR de una compañía compañía se ajusta Cuando la TMAR ajusta por la inflación, inflación, se hace referencia referencia a ésta como una TMAR TMAR ajustada ajustada a la inflación. inflación. La determinación determinación de este valor valor se ésta como analiza analiza en la sección sección 14.3. La deflación deflación es lo opuesto opuesto de la inflación inflación en el sentido en que cuando cuando se presenta, presenta, el poder presente. poder de compra compra de la unidad unidad monetaria monetaria es mayor mayor en el futuro que en el presente. Es decir, en el futuro futuro se requeriría requeriría menos menos dinero dinero para para comprar comprar la misma misma cantidad cantidad de bienes bienes o servicios servicios que el necesitado necesitado hoy. Es mucho mucho más común común que haya haya inflación inflación que deflación, deflación, en especial especial al nivel de economías economías nacionales. nacionales. En condiciones condiciones de economía economía deflacionaria, deflacionaria, la tasa de interés interés del mercado mercado siempre siempre es menor menor que la tasa interés real. de interés deflación temporal temporal de los precios precios puede puede ocurrir ocurrir en sectores sectores específicos específicos de la La deflación economía debido debido a la introducción introducción de productos productos mejorados, mejorados, tecnología tecnología más barata barata economía o materiales materiales y productos productos importados importados que obligan obligan la disminución disminución de los precios. precios. En situaciones normales, normales, los precios precios se igualan igualan a un nivel competitivo competitivo después después de un situaciones corto corto tiempo. tiempo. Sin embargo, embargo, la deflación deflación durante durante un periodo periodo breve breve en un sector sector específico de la economía economía puede puede producirse mediante el dumping. dumping. Un ejemplo ejemplo de específico producirse mediante dumping dumping es la importación importación que un país hace hace de materiales materiales como como el acero, acero, cemento cemento o autos, que provienen provienen de competidores competidores internacionales internacionales a precios precios muy bajos bajos en autos, comparación con los del mercado mercado local local o del país objeto objeto del dumping dumping. . Los precios precios comparación bajarán para para el consumidor, consumidor, con lo que se obliga obliga a los fabricantes fabricantes nacionales nacionales a bajarán reducir precios para poder competir. competir. Si los fabricantes nacionales no estuvieran estuvieran reducir sus precios para poder fabricantes nacionales condiciones financieras financieras podrían fracasar y los artículos artículos importados importados en buenas buenas condiciones podrían fracasar reemplazarían a los locales. locales. Así, los precios regresarían a niveles niveles normales normales y de reemplazarían precios regresarían hecho inflarían con el tiempo tiempo si la competencia competencia local local se hubiera hubiera reducido reducido en hecho se inflarían forma significativa. significativa. forma Cuando la inflación inflación ha estado estado presente presente en la economía economía durante durante periodos periodos Cuando prolongados, tener tener una tasa tasa moderada moderada de deflación deflación suena suena bien en apariencia. apariencia. Sin prolongados, embargo, si ocurre ocurre la deflación deflación en un nivel nivel más más general, general, digamos digamos nacional, nacional, es embargo, probable que vaya vaya acompañada acompañada de escasez escasez de dinero dinero para para capital capital nuevo. nuevo. Otro Otro probable resultado es que los individuos individuos y familias familias tienen tienen menos menos dinero dinero para gastar debido debido resultado para gastar menos trabajos, trabajos, ausencia ausencia de crédito crédito, , y dificultad dificultad para para obtener obtener préstamos; préstamos; a menos prevalece una una apretada apretada situación situación de dinero. dinero. Conforme Conforme éste éste escasea, escasea, se dispone dispone de prevalece menos para para dedicarlo dedicarlo al crecimiento crecimiento industrial industrial y a la inversión inversión de capital. capital. En caso caso menos extremo, esta esta situación situación podría podría evolucionar evolucionar a una una espiral espiral deflacionaria deflacionaria que trastortrastorextremo, economía en su totalidad totalidad. . Esto Esto ocurrió ocurrió notablemente notablemente en una una ocasión ocasión en ne la economía Estados Unidos, Unidos, durante durante la Gran Gran Depresión Depresión de la década década de los años treinta treinta del Estados siglo xx. cálculos de ingeniería ingeniería económica económica que toman toman en cuenta cuenta la deflación deflación usan Los cálculos mismas relaciones relaciones que para para la inflación. inflación. Para una equivalencia equivalencia básica básica entre entre el las mismas dinero de hoy y del futuro se emplean emplean las ecuaciones ecuaciones [14.2] y [14.3], excepto excepto que la dinero inflación es un valor valor -f -f Por ejemplo, ejemplo, si se estima estima que la deflación deflación será de tasa de inflación

1 ( (i

r r

e 1 r

------~--------------------------------------~

~

SECCIÓN 14.2 Cálculos de valor presente ajustado por inflación

és

2% anual, un activo que ahora cueste $10 000 tendría un costo inicial dentro de 5 años determinado por la ecuación [14.3].

de

10 000(1 -

ft = 10 000(0.98)5 = 10 000(0.9039) = $9 039

aa se

14.2

ta, te. de ón de sa

Cuando las cantidades de dólares en periodos diferentes están expresadas como dólares de valor constante, las cantidades equivalentes presentes y futuras se determinan utilizando la tasa de interés real i. Los cálculos implicados en dicho procedimiento se ilustran en la tabla 14.1, donde la tasa de inflación es de 4% anual. La columna 2 indica el incremento provocado por la inflación durante cada uno de los próximos 4 años, en el costo de un artículo que hoy vale $5 000. La columna 3 muestra el costo en dólares futuros, y la columna 4 presenta el costo en dólares de valor constante mediante la ecuación [14.2]. Cuando los dólares futuros de la columna 3 se convierten en dólares de valor constante (columna 4), el costo es siempre de $5 000, lo mismo que el costo al principio. Tal predicción resulta cierta cuando los costos están aumentando en una cantidad exactamente igual a la tasa de inflación. El costo real del artículo (ajustado a la inflación) dentro de 4 años será $5 849; sin embargo, en dólares de valor constante el costo dentro de 4 años aun ascenderá a $5 000. La columna 5 muestra el valor presente de los $5 000 futuros a la tasa de interés real i = 10% anual. Entonces se llega a dos conclusiones. Para f = 4%, dentro de 4 años, los $5 000 de hoy se incrementarán hasta $5 849; mientras que $5000 dentro de 4 años tienen ahora un VP de solamente $3 415 dólares de valor constante, a una tasa de interés real de 10% anual. La figura 14.1 presenta las diferencias, durante un periodo de 4 años, de una cantidad de valor constante de $5 000, los costos de dólares futuros con una inflación de 4%, y el valor presente a un interés real de 10% considerando inflación.

la ta

os de en

CÁLCULOS DE VALOR PRESENTE AJUSTADO POR INFLACiÓN

os In

es o o s;

de o ¡-

n

Año, n (1)

Incremento en costo debido a la inflación de 4%

(2)

Costo en dólares futuros (3)

$5000(0.04) == $200 5 200(0.04) = 208 5408(0.04) = 216 5 624(0.04) == 225

$5000 5200 5408 5624 5849

1

el la

O 1 2 3 4

Costo futuro en dólares de valor constante (4) = (3)/1.04n $5000 5200/(1.04)1 5408/(1.04)2 5624/(1.04)3

= 5 000 = 5 000 = 5 000

5 849/(1.04t == 5 000

Valor presente, a la j real = 10% (5) = (4)(P/F, 10%, n) $5000 4545 4132 3757 3415

501

502

Figura 14.1 14.1 Figura Comparación Comparación de de dólares dólares valor constante, constante, de valor dólares futuros futuros y sus sus dólares valores presentes. valores presentes.

CAPÍTULO 14 CAPÍTULO

Efectos de la inflación inflación Efectos

6000

Incremento Incremento en el el costo costo en

Costo real con Costo real con inflación inflación de de 4% 4%

S5 $5 '049 %49

5000

lII)

~~-----------------------------------.~

~~~---------------------------------eJ' Disminución $5000 Disminución

en el VP VP por por inflación la inflación y el el interés interés

4000

El sí 3000

donr

oo

2

3

Para

4

ecur

Tiempo, años años Tiempo,

Como se observa, observa, en el área sombreada sombreada el efecto efecto compuesto compuesto de la inflación inflación y las Como tasas de interés interés es grande. grande. Un método alternativo, y menos estimar la inflación inflación en un método alternativo, menos complicado, complicado, para para estimar análisis de valor implica el aj ajuste fórmulas mismas interés para análisis valor presente presente implica uste de las fórmulas mismas del interés para considerar la inflación. inflación. Considere Considere la fórmula fórmula PIF, donde donde i es la tasa de interés interés real. considerar P=F P = F __ __1__ __ (1 + i)" (1

cantidad en dólares dólares futuros futuros con la inflación inflación incorporada. incorporada. Y F es una cantidad Y F puede puede convertirse dólares de hoy utilizando ecuación [14.2]. vertirse en dólares utilizando la ecuación

can! puér igue

arin ya s efec Sil¡ tadc dól: sep enc

F F 1 (1 (1 + f)" (1 (1 + i)" i)" 1 =F 1

P= P=

= F - - -- (1 + i + f + if)" if)" (1

[14.4]

•

1 I

if se define define como como if,, la ecuación ecuación se convierte convierte en: Si el término término i + ff + if

[14.5]

SECCIÓN

14.2

TABLA

14.2

Cálculo del valor presente utilizando una tasa de interés inflada

Años, n (1)

Costo en dólares futuros

O

$5000 5200 5408 5624 5849

1 2 3 4

Cálculos de valor presente ajustado por inflación

(2)

(P/F,14.4%,n)

3) 1 0.8741 0.7641 0.6679 0.5838

VP (4) $5000 4545 4132 3757 3415

El símbolo if se denomina tasa de interés ajustada a la inflación y se define como: [14.6] donde i = tasa de interés real f = tasa de inflación Para una tasa de interés real de 10% anual y una tasa de inflación de 4% anual, la ecuación [14.6] produce una tasa de interés inflada de 14.4%. if = 0.10 + 0.04 + 0.10(0.04) = 0.144 La tabla 14.2 muestra el uso de i¡ = 14.4% en los cálculos de VP para una cantidad actual de $5 000, que se infla hasta $5 849 en dólares futuros, 4 años después de hoy. Como se muestra en la columna 4, el valor presente de cada año es igual al que se calcula en la columna 5 de la tabla 14.1. El valor presente de cualquier serie de flujos de efectivo -igual, gradiente aritmético o gradiente geométrico- puede encontrarse en forma similar. Es decir, ya sea i o if se introduce en los factores PIA, PIG o Pg, dependiendo de si el flujo de efectivo está expresado en dólares de valor constante (de hoy) o en dólares futuros. Si la serie está expresada en dólares de hoy, entonces su VP es sólo el valor descontado utilizando la tasa de interés real i. Si el flujo de efectivo está expresado en dólares futuros, el VP se obtiene usando if. Por otro lado, todos los dólares futuros se pueden convertir primero a dólares actuales utilizando la ecuación [14.2] y luego encontrando el VP a la i. EJEMPLO

14.1

. .

Un ex alumno de un departamento de ingeniería desea efectuar una donación al Fondo de Becas de su alma mater. Hay disponibles tres opciones. Plan A. Plan B. Plan C.

$60 000 ahora. $15000 anuales durante 8 años empezando dentro de 1 año. $50000 dentro de tres años y otros $80000 dentro de cinco años.

503

504

CAPÍTULO CAPÍTULO 14 Efectos Efectos de la inflación inflación

Desde la perspectiva perspectiva de la la universidad, universidad, ésta ésta desea desea elegir elegir el de Desde el plan plan que que maximiza maximiza el el poder poder de compra de los los dólares dólares recibidos. recibidos. El director director del del departamento departamento ha compra ha pedido pedido al profesor profesor de de ingeniería la inflación inflación en en los los cálculos. cálculos. Si ingeniería económica económica que que evalúe evalúe los los planes planes y que que considere considere la Si donación gana gana 10% 10% anual anual real real y se espera espera que que la tasa tasa de la donación de inflación inflación promedie promedie 3% 3% anual, anual, ¿cuál plan plan debe debe aceptar? aceptar? ¿cuál

b

Solución Solución

El método valor presente presente de de cada cada plan plan en en método de evaluación evaluación más más rápido rápido consiste consiste en estimar estimar el valor dólares fácil de de obtener obtener el valor valor presente presente es dólares de hoy. hoy. Para Para los los planes planes B y C, C, la forma forma más más fácil usando la tasa tasa de interés interés inflada. inflada. Mediante ecuación [14.6], usando Mediante la ecuación [14.6] ,

=

=

if = 0.10 0.03 + 0.10(0.03) 0.10(0.03) = 0.133 i¡ 0.10 + 0.03 0.133

VP VPAA = $60000 $60000 VP VPBB

= 000(4.7508) = = $71262 $71262 = $15 $15 000(P/A,13.3%,8) 000(P/A,13.3%,8) = = $15 $15 000(4.7508)

VPcc = $50 $50 000(P/F,13 000(P/F,13.3%,3) 80 000(P/F,13.3%,5) 000(P/F,13.3%,5) VP .3%,3) + 80

= $50 $50 000(0.68756) 000(0.68756) + 80000(0.53561) 80000(0.53561) == $77 = $77 227 227

,,,'L ·'tl.

¡~ ¡: 1;" Sol-R

Puesto elija el plan plan C. Puesto que que VP VPcc es el mayor mayor en términos términos de dólares dólares actuales, actuales, elija Para análisis análisis en hoja hoja de cálculo, cálculo, la la función función VP VP sirve Para sirve para para encontrar encontrar VP VPBn y VPc: VPc: + VP(l3.3%,5,,-80,000) VP(13 .3%,5,,-80,000) en en VP(13.3%,8,-15,000) en una VP(l3.3%,8,-15,000) una celda celda y VP(13.3%,3,,-50,000) VP(13.3%,3,,-50,000) otra otra celda. celda. Comentario Comentario

Los habrían calculado calculado convirtiendo convirtiendo Los valores valores presentes presentes de los los planes planes B y C también también se habrían = 3% en la ecuación ecuación [14.2] primero primero los los flujos flujos de efectivo efectivo a dólares dólares de hoy hoy utilizando utilizando f = 3% en [14.2] y luego usando usando la i real real de 10% 10% en los los factores factores PIE P/F. Este Este procedimiento procedimiento toma toma más más tiempo, tiempo, luego aunque aunque las las respuestas respuestas son son las mismas. mismas.

EJEMPLO",14.2

años que que tiene tiene una una tasa tasa de de didiEn En este este momento momento se pone pone a la venta venta un bono bono de $50 $50 000 000 a 15 años videndo de 10% 10% anual, anual, pagadera pagadera semestralmente. semestralmente. Si la la tasa tasa de rendimiento rendimiento esperada esperada por por videndo el comprador la tasa tasa de de inflación inflación esperaesperacomprador es de 8% 8% anual, anual, compuesto compuesto semestralmente, semestralmente, y si la % cada valor del del bono bono ahora ahora a) a ) sin sin ajuste ajuste da es de 2.5 2.5% cada periodo periodo de 6 meses, meses, ¿cuál ¿cuál es es el valor por inflación inflación y b) cuando cuando se considera considera la inflación? inflación? Encuentre Encuentre las las soluciones soluciones a mano mano y por por por computadora. computadora. Solución Solución a mano mano a)

Sin ajuste ajuste por por inflación: inflación: el dividendo dividendo semestral [(50 000)(0.10)]/2 Sin semestral es 11= = [(50 000)(0.10)]/2 = $2 $2 500. 500. A 4% nominal nominal por meses para para 30 30 periodos, periodos, el el VP un 4% por 6 meses VP es VP = = 2 500(P/A,4%,30) 500(P/A,4%,30) + 50 000(P/F,4%,30) 000(P/F,4%,30) = = $58 $58 645 645 VP

s a e n n

SECCIÓN 14.2 Cálculos de valor presente ajustado por inflación inflación

b)

505

Con inflación: Use la tasa inflada iJ' ¡f' if = 0.04 + 0.025 + (0.04)(0.025) (0.04)(0.025) = 0.066 por periodo periodo semestral VP = = 2 500(P/A,6.6%,30) 500(P/A,6.6%,30) + 50 000(P/F,6.6%,30) 000(P/F,6.6%,30) = 2 500(12.9244) 500(12.9244) + 50 000(0.1470)

= $39 660

Solución Solución por por computadora computadora a) y b) Ambos incisos requieren funciones sencillas de una sola celda en una hoja de

cálculo (figura 14.2). Sin ajuste por inflaCión, inflación, la función VP se desarrolla en B2 a la tasa nominal de 4% para 30 periodos; con inflación, inflación, la tasa es iJ i, = 6.6%, como antes se determinó. Vea las etiquetas de las celdas para los formatos.

Comentario Comentario diferencia de $18985 $18985 en los valore.s valores VP ilustra el inmenso impacto negativo hecho por La diferencia anual). Comprar el bono de $50 000 significa sólo 2.5% de inflación inflación cada 6 meses (5'.06% (5'.06%anual). recibir $75 000 en dividendos durante 15 15 años y los $50000 $50000 del principal principal en el año 15. 15. Esto sólo valdrá $39 660 en dólares de valor constante (de hoy).

,

Figura Figura 14.2 Valor Valor presente presente de de un un bono bono sin sin y con con ajuste ajuste por por inflación, inflación, ejemplo ejemplo 14.2. 14.2.

fIJ fII Sol-R

s

506

CAPÍTULO 14 Efectos de la inflación

EJEMPLO EJEMPLO

14.3

"' '

independiente está bajo contrato con Dow Chemical, y trabaja Una ingeniera ingeniera química independiente actualmente en un país con inflación int1ación relativamente relativamente elevada. elevada. Ella desea calcular un VP actualmente proyecto con costos estimados de $35 000 000 ahora y $7 000 000 anuales durante 5 años, code proyecto partir de entonces, durante los menzando dentro de 1 año con aumentos de 12% anual a partir siguientes 8 años. Emplee una tasa de interés real de 15% anual para hacer los cálculos int1ación y b) considerando considerando una tasa de inflación int1ación de 11 11% anual. a) sin un ajuste por inflación Solución Solución t1ujos de efectivo. El VP sin ajuste por inflación int1ación se ena) La figura 14.3 presenta los flujos Ygg = 12% en las ecuaciones [2.23] y [2.24] [2.24] para las series cuentra usando i = 15% Y

geométricas.

E

e: pl p: di el

-35 000-7 000-7 000(P/A,15%,4) 000(P/A,15%,4) VP = -35

77 -

OOO[l-G:~~)9]) )9]] OOO[l-G:~~

1 1

0.15-0.12 0.15-0.12

(P/F,15%,4) (P/F,15%,4)

-35 000-19 000 -19985 - 28247 28247 = -35 985=$-83232 =$-83232

En el factor P/A, n = 4, ya que el costo de $7 000 en el año 5 es el término Al Al en la [2.23]. ecuación [2.23]. int1ación, calcule la tasa de interés inflada int1ada mediante la ecuación Para ajustar por inflación, [14.6]. [14.6].

recti la cc intei poni una ecor de",

cien 15%anual i = 15% anual

VP= ? VP=

oo 1

2

3

4 5

oo

6

7

8

9 10 10 11 11 12 13 13

1 2 2 3 3 1

44

55

_____1_1 _____ 1_-' ~~ I $7 000 000 $7 840 840+ t $7 $7 $35000

14.

66

77

8

Año

geornétrica 9 Año de la serie geométrica

Enl tro i

1111 11 j

t

$17331 12% de incremento I increment0-l -J anual

Figura 14.3 14.3 Figura Diagrama de flujo de efectivo, ejemplo 14.3. 14.3. Diagrama

Dep nerr

SECCIÓN 14.3 14.3 Cálculos de valor futuro ajustados por la inflación

507

ii,f =0.15+0.11+(0.15)(0.11)=0.2765 = 0.15 + 0.11 + (0.15)(0.11) = 0.2765

=-35 VP = -35 000-7 000-7 000(P/A,27.65%,4) 000(P/A,27.65%,4) -_

7000[1-(~)9]1 7000[1-C~~~!5 YJ] 1.2765 (P/F,15%,4)

¡ 1

0.2765 - 0.12

(P/F,15%,4)

=-35 = -35 000 - 7000(2.2545) 7000(2.2545) - 30945(0.3766) 30945(0.3766) = $ - 62 436 =$-62436

Este resultado resultado demuestra que, en una economía economía con alta inflación, cuando se negocia la cantidad económicamente ventajoso para el cantidad de los pagos para reembolsar reembolsar un préstamo, es económicamente prestatario usar dólares futuros (inflados), siempre que sea posible, cuando realice los prestatario pagos. El valor presente de los dólares inflados futuros es significativamente significativamente menor cuanY, cuanto mayor sea la tasa de inflación, mayor será do se incluye el ajuste por inflación. Y, tamaño. el descuento, descuento, ya que los factores P/F PIF y P/A PIA disminuyen en tamaño.

Los dos últimos ejemplos parecen agregar credibilidad credibilidad a la filosofía filosofía de los diúltimos ejemplos parecen agregar rectivos financieros: "compre "compre ahora, pague después". Sin embargo, embargo, en cierto cierto punto, rectivos financieros: pague después". punto, compañía o el individuo individuo que contraen contraen deuda deuda tendrán liquidar las deudas deudas y los la compañía tendrán que liquidar intereses generados generados con los dólares dólares inflados. inflados. Si el efectivo efectivo no está fácilmente fácilmente disintereses ponible, saldarse las deudas. Esto puede ocurrir, por ejemplo, cuando cuando ponible, no pueden pueden saldarse puede ocurrir, por ejemplo, una compañía lanza lanza sin éxito éxito un nuevo cuando existe existe una seria caída caída en la una compañía nuevo producto, producto, cuando economía o cuando cuando un individuo individuo pierde empleo. En el largo plazo, enfoque economía pierde su empleo. plazo, este enfoque "compre ahora, ahora, pague después" debe debe ser atemperado atemperado con sólidas sólidas prácticas finande "compre pague después" prácticas financieras ahora, y en el futuro futuro.. cieras 14.3 14.3

CÁLCULOS DE VALOR FUTURO AJUSTADOS CÁLCULOS VALOR FUTURO AJUSTADOS INFLACiÓN POR LA INFLACiÓN

En los cálculos cálculos de valor cantidad futura futura puede cualquiera de cuavalor futuro, una una cantidad puede tener tener cualquiera tro interpretaciones interpretaciones distintas: distintas: cantidad real de dinero dinero que se acumulará acumulará en el tiempo Caso 1. La cantidad tiempo n. compra, en términos dólares de hoy (de valor constanCaso 2. El poder poder de compra, términos de dólares valor constante), de la cantidad cantidad real acumulada acumulada en el tiempo tiempo n. Caso 3. El número número de dólares dólares futuros futuros requeridos requeridos en el tiempo tiempo n para para mantener mantener compra que un dólar dólar de hoy; considera la el mismo mismo poder poder de compra hoy; es decir, se considera inflación, interés. inflación, pero pero no el interés. dólares requerido Caso 4. El número número de dólares requerido en el tiempo tiempo n para para mantener mantener el poder poder de compra compra yy obtener obtener una tasa específica específica de interés interés real. Dependiendo interpretación se está abordando, abordando, el valor calcula de maDependiendo de qué interpretación valor F se calcula diferente, como como se describe describe a continuación. continuación. Cada Cada caso se ilustra. nera diferente,

~I

~! r.r

'r, I

~,~===========================================-==========--====------------------------------~---------

508

CAPÍTULO 14 CAPÍTULO

Efectos de la inflación inflación Efectos

Caso 1: Cantidad Debe Cantidad real real acumulada acumulada Debe ser claro que F, la cantidad cantidad real de dinedinero acumulado, acumulado, se obtiene obtiene utilizando utilizando una tasa de interés interés ajustada ajustada (de mercado) mercado) a la inflación. inflación.

d d

[14.7]

F= 17=

Por ejemplo, ejemplo, cuando cuando se menciona menciona una tasa de mercado mercado de 10%, se incluye incluye la tasa tasa de inflación. periodo de 7 años, $1 000 se acumularán inflación. Durante Durante un periodo acumularán a

1

6

F= = 1 000(FIP,1O%,7) 000(FIP,1O%,7) = = $1 948

(

Caso 2: Valor constante poder de compra constante con poder compra El poder poder de compra compra de dólares dólares futuros futuros se determina determina utilizando utilizando primero primero una tasa de mercado mercado ii¡f para para calcular calcular F y luego (1 + fr f)n para luego dividiendo dividiendo entre (l para deflacionar deflacionar los dólares dólares futuros.

a

v e

n

F == P(l + == _.____-'-_---'-.-'-'_.c_. (l + .fY' (1 + .f)"

[14.8] [14.8]

f

En efecto, efecto, este procedimiento procedimiento reconoce reconoce que los precios precios aumentan aumentan por la inflación, inflación, de manera manera que $1 en el futuro comprará comprará menos menos que $1 ahora. El porcentaje porcentaje que se pierde pierde en el poder poder de compra compra es una medida medida de cuánto cuánto menos. Como Como ilustración, ilustración, suponga suponga los mismos mismos $1 000 ahora, una tasa de mercado mercado de 10% anual anual y una tasa de inflación compra se ha incrementado, pero sólo inflación de 4% anual. En 7 años, el poder poder de compra incrementado, pero hasta $1 481. hasta F= = 1000(FIP,1O%,7) 1000(FIP,1O%,7)

(1.04)7

a

11

F

t

(

=

$1948 $1 948 = $1 481 1.3159

1 e

(

Esto es $467 (o 24%) menos menos que los $1948 $1948 realmente realmente acumulados acumulados a 10% (caso 1). En consecuencia, consecuencia, concluimos concluimos que 4% de inflación inflación durante durante 7 años reduce reduce el poder poder compra del dinero dinero en 24%. de compra También También para para el caso 2, podría podría determinarse determinarse en forma forma equivalente equivalente la cantidad cantidad futura futura de dinero dinero acumulado acumulado con el poder poder de compra compra de hoy, calculando calculando la tasa de interés utilizándola en el factor interés real y utilizándola factor FIP FIP para para compensar compensar el poder poder de compra compra redureducido del dólar. Dicha Dicha tasa de interés interés real es i en la ecuación ecuación [14.6] [14.6].. = i + ff + if if if = = i(1 + f) + f = i(l

i == --"--l+f l+f

[14.9]

La tasa de interés interés real i representa representa la tasa a la cual los dólares dólares de hoy se expanden expanden con su mismo poder de compra mismo poder compra en dólares dólares futuros futuros equivalentes. equivalentes. Una Una tasa tasa de inflainflación mayor interés del mercado mayor que la tasa de interés mercado lleva lleva a una tasa de interés interés real neganegativa. El uso de dicha dicha tasa de interés interés es apropiado apropiado al calcular calcular el valor valor futuro futuro de una inversión inversión (como (como en una cuenta cuenta de ahorros ahorros o un fondo del mercado mercado de dinero), dinero), cuancuan-

t

1

¿

SECCIÓN 14.3 SECCIÓN

a

e

Cálculos de valor valor futuro futuro ajustados ajustados por por la inflación inflación Cálculos

no se consideran consideran los los efectos efectos de la la inflación. inflación. Para Para el ejemplo ejemplo de $1 000 000 en en dólares dólares do no hoy, a partir partir de de la ecuación ecuación [14.9]: [14.9]: de hoy,

= 0.10 0.10 - 0.04 0.04 = = 0.0577, 0.0577, o 5.77% 5.77% i= 0.04 1 + 0.04 = 1 000(F/P,5.77%,7) 000(F/P,5.77%,7) = $1481 $1481 F= = La tasa tasa de interés interés de mercado mercado de 10% 10% anual anual se ha ha reducido reducido a una una tasa tasa real real menor menor a La 6% anual anual debido debido a los los efectos efectos erosivos erosivos de la inflación. inflación. 6%

y

Cantidadfutura requerida, requerida, sin interés interés Aquí Aquí se reconoce reconoce que que los los precios precios Caso 3: CantidadJutura aumentan durante durante periodos periodos inflacionarios. inflacionarios. En En términos términos simples, simples, los los dólares dólares futuros futuros aumentan valen menos, por por lo que que se requieren requieren más. más. Ninguna Ninguna tasa tasa de interés interés se considera considera en valen menos, este caso. caso. Ésta Ésta es la situación situación presente presente si alguien alguien pregunta: pregunta: ¿cuánto ¿cuánto costará costará un un autoautoeste móvil dentro dentro de 5 años años si su costo costo actual actual es $20 $20 000 precio aumentará aumentará 6% 6% móvil 000 y su precio anual? (La (La respuesta respuesta es $26765.) $26765.) Ninguna Ninguna tasa tasa de interés, interés, sólo sólo la inflación, inflación, está está anual? involucrada. Para encontrar encontrar el costo costo futuro, futuro, sustituya sustituya f por por la tasa tasa de interés interés en en el involucrada. Para factor FIP FIP.. factor =P(1 +fY F = P(l +!Y

e e o

e

[14.10] [14.10]

Reconsidere los los $1 000 000 usados usados previamente. previamente. Si éstos éstos ascienden ascienden exactamente exactamente con con la Reconsidere tasa de inflación inflación de 4% 4% anual, anual, el costo costo dentro dentro de 7 años años será: será: tasa

F

d

= P(FlP,/,n) P(F/P,f,n) =

= 1 000(FlP,4%,7) 000(FIP,4%,7) = = $1 316 316 =

Inflación e interés interés real real Éste Éste es el caso caso aplicado aplicado cuando cuando se establece establece una una Caso 4: Inflación TMAR. Mantener Mantener el poder poder de compra compra y ganar ganar interés interés consideran consideran tanto tanto los los precios precios TMAR. crecientes (caso (caso 3) como como el valor valor del del dinero dinero en en el tiempo. tiempo. Si se debe debe mantener crecientes mantener crecimiento real real del del capital, capital, los los fondos fondos deben crecer a una una tasa tasa igualo igualo superior superior a la crecimiento deben crecer tasa de interés interés real real i más más una una tasa tasa igual igual a la tasa tasa de inflación inflación f. En En consecuencia, consecuencia, tasa para obtener obtener una una tasa tasa de de rendimiento rendimiento real real de 5.77%, 5.77%, cuando cuando la tasa tasa de inflación inflación es para 4%, if es la tasa tasa de mercado mercado (ajustada (ajustada a la inflación) inflación) que que debe debe utilizarse. utilizarse. Para Para la la 4%, misma cantidad cantidad de $1 000, 000, misma 0.0577 + 0.04 0.04 + 0.0577(0.04) 0.0577(0.04) = 0.10 0.10 ii¡f = 0.0577 000(FIP,1O%,7) = = $1948 $1948 F = 1 000(FIP,1O%,7)

n

a

Este cálculo cálculo muestra que $1 948 948 dentro dentro de 7 años años será será equivalente equivalente a $1 000 000 ahora ahora Este muestra que con un un rendimiento rendimiento real real de i = = 5.77% 5.77% anual anual e inflación inflación de f = = 4% 4% anual. anual. con La tabla tabla 14.3 14.3 resume resume qué qué tasa tasa se utiliza utiliza en en las las fórmulas fórmulas de equivalencia equivalencia en en La función de las las diferentes diferentes interpretaciones interpretaciones Los cálculos cálculos efectuados efectuados en en esta esta función de F. Los sección revelan revelan que que $1000 $1000 ahora una tasa tasa de de mercado mercado de de 10% 10% anual anual se acumulaacumulasección ahora a una ría hasta hasta $1948 $1948 en en 7 años; años; los los $1948 $1948 tendrían tendrían el poder poder de de compra compra de de $1481 $1481 dóladólaría res de de hoy hoy si f = = 4% 4% anual; anual; un un artículo artículo con con un costo costo de $1 000 000 ahora ahora costaría costaría $1 316 316 res dentro de 7 años años a una una tasa tasa de inflación inflación del del 4% 4% anual; anual; y tomaría tomaría $1 948 948 dólares dólares dentro futuros para para ser ser equivalente equivalente a $1 000 000 ahora, ahora, a una una tasa tasa de interés interés real real de 5.77% 5.77% con con futuros inflación considerada considerada en 4%. 4%. la inflación

509 509

510 510

CAPÍTULO 14 CAPÍTULO

TABLA TABLA

14.3 14.3

Efectos de la inflación inflación Efectos

futuro Valor futuro deseado deseado

Método Método de cálculo de cálculo

Caso 1: 1: Dólares Dólares actuales actuales Caso acumulados acumulados

Use la mercado Use la tasa tasa de de mercado establecida establecida i¡ i¡ en en las las fórmulas fórmulas de de equivalencia equivalencia Use la i¡ Use la tasa tasa de de mercado mercado i¡ en en equivalencia equivalencia y divida divida entre entre (1 (1 + f)" f)" o Use la Use la i real real Use la f en Use en lugar lugar de de i en en fórmulas fórmulas de de equi valencia equivalencia Calcule i¡ if y úsela Calcule úsela en las las fórmulas fórmulas de de equivalencia equivalencia

Caso 2: Poder Poder de compra compra de Caso dólares acumulados acumulados en dólares en términos de dólares dólares de hoy hoy términos

Caso 3: Dólares Dólares requeridos requeridos Caso para obtener obtener el mismo mismo para poder de compra compra poder Caso 4: Dólares Dólares futuros Caso futuros para mantener mantener el poder poder para de compra compra y ganar ganar un de rendimiento rendimiento

Establecimiento Establecimiento deTMAR de TMAR

satisfec

Métodos de cálculo para di versas versas interpretaciones de valor futuro Ejemplo Ejemplo para para P= = $1 000, 000, n = = 7, i¡ t, == 10%, f == 4%

aproxll real igi mismo

F= F = l1000(F/P,1O%,7) 000(FIP,1O%,7) Abb F = l1 000(FIP,1O%,7) 000(F/P,1O%,7) (1.04)7 (1.04)7 o

1000(FlP,5.77%,7) F= 1 000(FlP,5.77%,7) 1000(F/P,4%,7) F= 1000(FIP,4%,7)

F= 000(F/P,1O%,7) F = 1 000(FIP,10%,7)

mayor parte parte de las corporaciones corporaciones evalúan La mayor evalúan las alternativas alternativas a una una TMAR TMAR lo suficientemente grande grande para cubrir cubrir la inflación suficientemente inflación más algún algún rendimiento rendimiento mayor mayor que costo de capital, capital, y significativamente significativamente mayor su costo mayor que el rendimiento rendimiento de inversión inversión segura de aproximadamente aproximadamente 3.5% 3.5% mencionado consiguiente, para caso segura mencionado antes. Por Por consiguiente, para el caso TMAR resultante resultante normalmente normalmente será mayor mayor que la tasa de mercado 4, la TMAR mercado if.. El símTMARff se define define como como la TMAR bolo TMAR TMAR ajustada ajustada a la inflación, inflación, la cual se calcula calcula en forma similar similar a if.. una forma TMARff = = i + ff + i(f) i(f) TMAR

ran cion Sin que real una te Q

Sol a)

b)

[14.11]

rendimiento real i usada usada aquí es la tasa La tasa de rendimiento tasa requerida requerida por por la corporación corporación en relación con sus costos de capital. capital. Ahora, futuro se calcula relación Ahora, el valor valor futuro calcula como como =P(l TMARJ)" =P(FIP,TMARj,n) F= P(l + TMARJ)" = P(FIP, TMAR¡,n)

[14.12] [14.12]

ejemplo, si una compañía compañía tiene (costo de capital promedio ponderaPor ejemplo, tiene un CCPP CCPP (costo capital promedio ponderarequiere que un proyecto do) de 10% anual y requiere proyecto rinda rinda 3% anual anual por por encima encima de su rendimiento real es i = = 13%. La TMAR CCPP, el rendimiento TMAR ajustada ajustada a la inflación inflación se calcula calcula mediante la inclusión inclusión de la tasa de inflación mediante inflación de, digamos, digamos, 4% 4% anual. Entonces, Entonces, el VP, proyecto, se determinaría determinaría con la tasa obtenida VA o VF del proyecto, obtenida por por medio medio de la ecuación ecuación [14.11]. TMARff = = 0.13 + 0.04 + 0.13(0.04) TMAR 0.13(0.04) = = 17.52%

puede efectuar efectuar un cálculo cálculo similar similar para Se puede para un individuo individuo usando usando i como como la tasa tasa esperada que está sobre la tasa segura. Cuando real esperada tasa de inversión inversión segura. Cuando un individuo individuo está está

tasa bler del infl deb

SECCIÓN 14.3 SECCIÓN

Cálculos de valor valor futuro futuro ajustados ajustados por por la inflación inflación Cálculos

511

satisfecho con un rendimiento rendimiento real requerido requerido igual igual a una tasa de inversión inversión segura, segura, satisfecho aproximadamente i = = 3.5%, 3.5%, o una corporación corporación está satisfecha satisfecha con un rendimiento rendimiento aproximadamente inversión segura, segura, las ecuaciones ecuaciones [14.11] Y [14.6] tienen tienen el real igual a una tasa de inversión mismo resultado; resultado; es decir, TMAR TMARf f = = ii¡, para corporación individuo. mismo para la corporación o el individuo. , J

EJEMPLO EJEMPLO

14.4

..

Abbott Mining Mining Systems Systems quiere quiere determinar determinar si debe debe "comprar" "comprar" ahora ahora o más más tarde tarde para para mejomejoAbbott rar un equipo equipo usado usado en operaciones operaciones mineras mineras profundas profundas en una una de de sus operaciones operaciones internainternarar cionales. Si la compañía compañía elige elige el plan plan A, se comprará comprará el equipo equipo necesario necesario ahora ahora por por $200 $200 000. 000. cionales. Sin embargo, embargo, si la compañía compañía elige elige el plan plan 1, la compra compra se diferirá diferirá durante durante 3 años años y se espera espera Sin que el costo costo aumente aumente rápidamente rápidamente hasta hasta $340 $340 000. 000. Abbott Abbott es ambiciosa; espera una una TMAR TMAR que ambiciosa; espera real de 12% 12% anual. anual. La La tasa tasa de inflación inflación en el país país ha promediado promediado 6.75% anual. Sólo Sólo desde desde real 6.75% anual. una perspectiva perspectiva económica, económica, determine determine si la compañía compañía debería debería comprar comprar ahora ahora o más más adelanadelanuna cuando no se considera considera la inflación inflación y b) cuando cuando se considera considera la inflación. inflación. te a) cuando Solución Solución a) No No se considera considera la inflación. inflación. La La tasa tasa real, real, o TMAR, TMAR, es i = 12% 12% anual. anual. El costo costo del del plan I es de $340 $340 000 000 dentro dentro de tres tres años. años. Calcule Calcule F para plan A dentro dentro de 3 años años plan para el plan seleccione el plan plan con con el menor menor costo. costo. y seleccione FWA = -200 000(F/P,12%,3) = $-280 $-280 986 986 FW -200 000(F/P,12%,3) FW, = = $-340000 $-340000 FW¡

b)

Elija el plan plan A (compre (compre ahora) ahora). . Elija considera la inflación. inflación. Éste Éste es el caso caso 4; existe existe una una tasa tasa real real (12%) (12%) y la inflación inflación Se considera 6.75% debe debe tomarse tomarse en consideración. consideración. Primero, Primero, calcule calcule la TMAR TMAR ajustada ajustada por por la de 6.75% inflación mediante mediante la ecuación ecuación [14.11]. [14.11]. inflación i¡ = = 0.12 0.12 + 0.0675 0.0675 + 0.12(0.0675) 0.12(0.0675) = = 0.1956 0.1956 Utilice i¡ en el cálculo cálculo del del valor valor F para plan A en dólares dólares futuros. futuros. Utilice para el plan FWAA

= --200 000(F/P,19.56%,3) = = $-341 $-341 812 812 = 200 000(F/P,19.56%,3)

FW, = $-340 $-340 000 000 FW¡ Ahora se elige elige el plan plan r (compre (compre más más tarde), tarde), puesto puesto que que requiere requiere menos menos dólares dólares futufutuAhora ros equivalentes. equivalentes. La La tasa tasa de inflación inflación de 6.75% 6.75% anual anual ha ha elevado elevado el valor valor futuro futuro ros equivalente de los los costos, costos, en 21.6%: 21.6%: hasta $341 812. 812. Esto Esto es lo mismo mismo que que un increincreequivalente hasta $341 mento de 6.75% 6.75% anual, anual, compuesto durante 3 años, años, o (1.0675)3 (1.0675)3 - 1 = 21.6%. 21.6%. mento compuesto durante

mayoría de los países países con indicadores indicadores macroeconómicos macroeconómicos estables estables tienen tienen La mayoría inflación en el rango rango de 2 a 8% anual, aunque aunque la hiperinjlación hiperinflación es un protasas de inflación blema en naciones naciones donde donde existe existe inestabilidad inestabilidad política, política, gastos gastos excesivos excesivos por parte parte blema gobierno, balanza balanza comercial comercial internacional internacional débil, etcétera. etcétera. Las tasas de hiperhiperdel gobierno, inflación llegan llegan a ser muy altas: altas: 10% a 100% mensual. mensual. En tales casos, el gobierno gobierno inflación tomar medidas medidas drásticas: drásticas: redefine redefine la cotización cotización de la moneda moneda en términos términos de debe tomar

S~ 5, ~

512 512

CAPÍTULO CAPÍTULO 14 Efectos Efectos de la inflación inflación

las monedas bancos y corporaciones, corporaciones, y supervisa monedas de otros países, países, controla controla bancos supervisa el flujo objetivo de reducir reducir la inflación, inflación. de capital capital que entra entra y sale del país, con el objetivo gente gasta gasta todo su dinero dinero de En general, general, en un contexto contexto de hiperinflación, hiperinflación, la gente inmediato, mayor en el próximo próximo mes, semana inmediato, ya que el costo será mucho mucho mayor semana o día. hiperinflación produce produce en la capacidad capacidad que Para notar el efecto Para efecto desastroso desastroso que la hiperinflación una compañía tiene para para mantenerse, mantenerse, es preciso una compañía preciso trabajar trabajar de nuevo nuevo el ejemplo ejemplo 14.4b utilizando anual (sin consideconsideutilizando una tasa de inflación inflación de 10% mensual, mensual, es decir, 120% anual debe dispararse dispararse y el plan plan 1 es rar la capitalización cantidad FA debe capitalización de la inflación). inflación). La cantidad clara selección. selección. Por supuesto, supuesto, en dicho precio de la compra compra de una clara dicho entorno, entorno, el precio $340 000 para dentro de 3 años, en efecto efecto no estaría estaría garantizado, garantizado, de manemanepara el plan 11dentro totalidad del análisis análisis económico económico no es confiable. ra que la totalidad confiable. Las buenas buenas decisiones decisiones económicas en un contexto contexto de hiperinflación hiperinflación son muy difíciles utilizando económicas difíciles de tomar tomar utilizando métodos tradicionales tradicionales de ingeniería los métodos ingeniería económica, económica, ya que los valores valores futuros futuros estimados son muy poco poco confiables confiables y la disponibilidad disponibilidad futura futura del capital capital es incierta. incierta.

14.4 14.4

'\ ,,,lIKt

I\·I~.:Il. 1'.t'I'l~", IH \ ~:.. , \'h

CÁLCULOS DE RECUPERACiÓN RECUPERACiÓN DEL CAPITAL CAPITAL CÁLCULOS AJUSTADOS POR INFLACiÓN INFLACiÓN AJUSTADOS

cálculos de recuperación recuperación del capital capital usados En los cálculos usados para para los análisis análisis de VA, es particularmente importante importante que éstos incluyan incluyan la inflación, ticularmente inflación, debido debido a que los los dólares dólares de capital actual actual deben recuperarse dólares futuros capital recuperarse en dólares futuros inflados. inflados. Como Como los dólares dólares futupoder de compra compra que los dólares ros tienen menos poder dólares actuales, actuales, es obvio obvio que se requerequerirán más dólares dólares para para recuperar recuperar la inversión inversión presente. presente. Lo anterior anterior sugiere sugiere el uso de interés innada inflada en la fórmulaA/P. fórmulaAlP. Por ejemplo, $1000 hoy invierten $1000 la tasa de interés ejemplo, si se invierten a una tasa de interés interés real del 10% anual, cuando cuando la tasa tasa de inflación innación es de 8% anual, cantidad equivalente recuperarse cada la cantidad equivalente que debe recuperarse cada año durante durante 5 años en dólares dólares futuros sería: A

= 1 000(A/P,18.8%,5) 000(AlP,18.8%,5) = $325.59 = = $325.59

11Ir.

valor reducido reducido de los dólares significa que los Por otra parte, el valor dólares a través través del tiempo tiempo significa inversionistas pueden pueden gastar gastar menos dólares inversionistas dólares presentes presentes (de mayor mayor valor) valor) para para acumuacumucantidad determinada determinada de dólares dólares (inflados) sugiere el uso de lar la cantidad (innados) futuros. futuros. Así, se sugiere mayor tasa de interés, interés, es decir, la tasa i¡, iJ' para para producir producir un valor valor A menor menor en la una mayor fórmulaAlF. equivalente anual (con ajuste = $1 000 dentro dentro de A/F. El equivalente ajuste por por inflación) innación) de F = fórmula dólares futuros es: cinco años en dólares A

= 1 000(A/F,18.8%,5) 000(A/F,18.8%,5) = $137.59 = = $137.59

ilustra en el siguiente siguiente ejemplo. Este método método se ilustra ejemplo. comparación, la cantidad cantidad anual anual equivalente Por comparación, equivalente para para acumular acumular F = $1 000 a = 10% (sin ajuste por inflación) 000(AlF,10%,5) = $163.80. Por lo innación) es 1 000(A/F,10%,5) = $163.80. una i real = distribuidos uniformemente uniformemente deben repartirse repartirse tanto, cuando se fija F, los costos futuros distribuidos durante el periodo periodo más largo posible, posible, de manera durante manera que la inflación inflación tenga tenga el efecto efecto de reducir el pago involucrado involucrado (en este caso, $137.59 $137.59 contra $163.80). reducir contra $163.80).

RESUMEN CAPÍTULO RESUMEN DEL DEL CAPÍTULO

EJEMPLO

14.5

;~l~

¿¿Qué Qué cantidad requiere durante para acumular cantidad anual anual se requiere durante 5 años años para acumular la la cantidad cantidad de dinero dinero con con el mismo poder poder de compra compra que que $680.58 $680.58 hoy, interés de mercado 10% anual anual mismo hoy, si la tasa tasa de interés mercado es de 10% inflación es de 8% anual? anual? y la inflación Solución Solución Primero, número real real de dólares requerirán dentro Primero, encuentre encuentre el número dólares (inflados) (inflados) futuros futuros que que se requerirán dentro años. Éste Éste es el caso caso 3. de 5 años.

F = (poder (poder de compra compra actual)(1 actual)(1 + f)5 = 680.58(1.08)5 680.58(1.08)5 = $1 000 000 La cantidad cantidad real real del del depósito depósito anual anual se calcula interés (inflada) (inflada) de La calcula utilizando utilizando la tasa tasa de interés mercado de 10%. 10%. Éste Éste es el caso caso 4 usando en lugar lugar de P. mercado usando A en

A= = 1 000(NF,l0%,5) 000(NF,l0%,5) = = $163.80 $163.80 Comentario Comentario tasa de interés interés real 1.85%, como como se determina determina con con la la ecuación ecuación [14.9]. [14.9]. Para Para poner La tasa real es i = 1.85%, poner los cálculos cálculos anteriores anteriores en perspectiva, inflación es cero, cero, cuando cuando la tasa lo.s perspectiva, si la tasa tasa de inflación tasa de interés real real es de 1.85%, 1.85%, la cantidad cantidad de dinero dinero futura futura con con el mismo mismo poder compra que que interés poder de compra $680.58 de hoyes, en en efecto, efecto, $680.58. $680.58. Entonces, Entonces, la cantidad cantidad anual anual requerida acumu$680.58 de hoyes, requerida para para acumular este este monto futuro en en 5 años años es A = = 680.58(NF,1.85%,5) 680.58(NF,1.85%,5) = = $131.17. $131.17. Es Es decir, decir, $32.63 $32.63 lar monto futuro hecho de menor que que los los $163 $163.80 calculados antes, antes, donde donde f = 8%. 8%. Tal Tal diferencia diferencia se debe debe al hecho menor .80 calculados que durante durante periodos inflacionarios, los los dólares dólares depositados depositados tienen de compra compra que periodos inflacionarios, tienen más más poder poder de que los dólares dólares recuperados final del del periodo. compensar la diferencia en el poque recuperados al final periodo. Para Para compensar la diferencia poder de compra, compra, se requieren dólares de menor En tal caso, para der requieren más más dólares menor valor. valor. En tal caso, para mantener mantener el poder de compra compra equivalente equivalente en en f = = 8% anual, anual, se requiere $32.63 adicionales adicionales anuales. anuales. requiere de $32.63 poder La por qué, La lógica lógica analizada analizada aquí aquí explica explica por qué, en en épocas épocas de inflación inflación creciente, creciente, quienes quienes prestan dinero dinero (compañías (compañías de tarjetas de crédito, crédito, compañías compañías hipotecarias prestan tarjetas de hipotecarias y bancos) bancos) tientienden a incrementar incrementar aún aún más sus tasas interés de de mercado. En cada cada pago, gente tiende den más sus tasas de interés mercado. En pago, la gente tiende pagar menos menos de de la deuda deuda en en la que que ha incurrido, ya que utiliza cualquier exceso exceso de de a pagar ha incurrido, ya que utiliza cualquier dinero para para comprar artículos adicionales adicionales antes antes de de que que el precio se infle infle aún aún más. dinero comprar artículos precio se más. Además, Además, instituciones que que prestan deben tener dólares en el futuro futuro para cubrir lo.s los Co.stos costos las instituciones prestan deben tener más más dólares para cubrir mayores préstamo de dinero. mayores esperados esperados del del préstamo dinero. Toda Toda esta esta situación situación se debe debe al efecto. efecto en en espiral espiral inflación creciente. creciente. El El rompimiento dicho ciclo ciclo es difícil difícil de lo.grar lograr a nivel individe la inflación rompimiento. de dicho nivel individual y es mucho difícil de alterar alterar a nivel dual mucho más más difícil nivel nacional. nacional.

RESUMEN RESUMEN DEL CAPíTULO CAPíTULO inflación, tratada estimación como como una tasa interés, hace que el costo costo La inflación, tratada en su estimación tasa de interés, mismo producto servicio aumente aumente con el tiempo, debido al valor del mismo producto o servicio tiempo, debido valor reducido reducido del Existe una diversidad diversidad de formas formas para considerar la inflación inflación en los cálculos cálculos dinero. Existe para considerar ingeniería económica, económica, en términos dólares de hoy (valor (valor constante) constante) y en térde ingeniería términos de dólares dólares futuros. futuros. Algunas importantes son: minos de dólares Algunas relaciones relaciones importantes interés inflada: inflada: if == i + ff + if if Tasa de interés interés real: i = = (iff - f)/(1 Tasa de interés f) /(1 + f)f)

513 513

514

CAPÍTULO 14

Efectos de la inflación

VP de una cantidad futura considerando la inflación: P = F(P/F,if,n) Valor futuro de una cantidad presente en dólares de valor constante con el mismo poder de compra: F = P(F/P,i,n) Cantidad futura para cubrir una cantidad actual sin intereses: F = P(F/P,f,n)

14.~

Cantidad futura para cubrir una cantidad actual con intereses: F = P(F/P,if,n) Equivalente anual de una cantidad futura de dólares: A = F(AlF,if,n) Equivalente anual de una cantidad presente en dólares futuros: A = P(AlP,if,n) La hiperinflación implica valores de f muy altos. Los fondos disponibles se gastan de inmediato puesto que los costos aumentan tan rápidamente que las mayores entradas de efectivo no pueden compensar el hecho de que la moneda esté perdiendo su valor. En general, esto puede ocasionar un desastre financiero nacional cuando continúa durante periodos extendidos.

'." I

PROBLEMAS

J", f ~.,.

Ajustes por inflación

~I~l t" "

11

14.1

Describa cómo se convierte dinero inflado en dinero de valor constante.

14.2

¿Cuál es la tasa de inflación si algo cuesta exactamente el doble que 10 años antes?

14.3

En un intento por reducir la rotura de tuberías, el golpe hidráulico y la agitación del producto, una compañía química planea instalar varios humidificadores de pulsación resistentes al ataque químico. El costo de los humidificadores es hoy de $106 000, pero la empresa tiene que esperar hasta que se apruebe un permiso para su línea de conducción bidireccional entre el puerto y la planta. El proceso de aprobación tomará al menos 2 años por el tiempo que se requiere para preparar la declaración de impacto ambiental. Debido a la intensa competencia extranjera, el fabricante planea incrementar el precio sólo en un porcentaje igual a la tasa de inflación anual; si ésta fuera de 3% por año, calcule el costo de los humidificadores dentro de 2 años, en términos de: a) dólares corrientes de ese entonces, y b) dólares de hoy.

,~l. , ,"¡

I.~,

'.

lalll

14.4

Convierta $10 000 dólares presentes a dólares corrientes del año 10, si la tasa de inflación es de 7% anual.

14.5

Convierta $10 000 dólares futuros, en el año 10, en dólares de valor constante (no dólares equivalentes) de hoy, si la tasa de interés ajustada por inflación (mercado) es de 11% anual y la tasa de inflación es de 7% por año.

14.6

14.7

14.8

Convierta $10 000 dólares del futuro, en el año 10, en dólares de valor constante (no dólares equivalentes) de ahora, si la tasa de interés ajustada por inflación (mercado) es de 12% anual y la tasa de inflación es de 3% por año. Se espera que los costos estimados para mantenimiento y operación de cierta máquina sean de $13 000 anuales (dólares corrientes) en los años 1 a 3. Con una tasa de inflación de 6% por año, ¿cuál es la cantidad de valor constante (en términos de dólares de hoy) de la cantidad futura en dólares de cada año? Si la tasa de interés del mercado es de 12% anual y la tasa de inflación es 5% anual,

14.

14.

Ta:

14,

14

14

PROBLEMAS PROBLEMAS

determine número de dólares determine el número dólares futuros futuros en el año 5 que tengan poder de comcomtengan el mismo mismo poder pra que $2 000 de hoy. pra 14.9 Ford Motor precio anunció que el precio Motor Company Company anunció de su modelo modelo F-150 F-150 se incrementará incrementará durante durante los 2 años próximos próximos únicamente únicamente en un porcentaje igual a la tasa centaje igual tasa de inflación. inflación. Si el precio actual de uno de estos vehículos vehículos es precio de $21 000 000 y se espera espera que que la tasa tasa de inflación promedio, inflación sea de 2.8% anual en promedio, ¿cuál es el precio precio esperado esperado de la camioneta camioneta dentro de 2 años? dentro Higher 14.10 En un encabezado encabezado del Chronicle Chronicle of oi Higher Education se lee: "Los "Los costos Education costos de la educaeducación se elevan elevan más rápido rápido que la inflación". inflación". El artículo artículo afirma afirma que la colegiatura colegiatura en colegios y universidades universidades públicos se incremenincrementó 56% durante durante los últimos últimos 5 años. a) ¿Cuál ¿Cuál es el porcentaje porcentaje promedio promedio anual del increincremento tasa de inmento en dicho dicho tiempo? tiempo? b) Si la tasa flación puntos flación fue de 2.5% anual, ¿cuántos ¿cuántos puntos porcentuales aumentó porcentuales aumentó la colegiatura colegiatura anual anual por sobre sobre la tasa de inflación? inflación?

Una máquina máquina comprada por Holtzman 14.11 Una comprada por Holtzman Industries hace Industries tuvo un costo costo de $45 000 hace cuatro cuatro años. Si un equipo equipo similar similar cuesta cuesta hoy $55 000 YY su precio precio se incrementó incrementó sólo en la tasa tasa de inflación, tasa de inflación, ¿cuál ¿cuál fue la tasa inflación periodo de 4 años? inflación anual durante durante el periodo

Tasas mercado Tasas de interés interés real y de mercado 14.12 Diga respecto Diga las condiciones condiciones en las que, respecto de la tasa de interés interés real, el interés interés del merc) el cado es a) mayor mayor que, b) menor menor que, y e) mismo. mismo. 14.13 Calcule Calcule la tasa de interés interés ajustada ajustada por in14.13 cuando la tasa de inflación inflación es de 27% flación cuando (Caracas, 2004) 2004) y la tasa de interés interés anual (Caracas, real es de 4% por por año. 14.14 ¿Qué ¿Qué tasa inflación se obtiene obtiene a partir 14.14 tasa de inflación partir de una tasa de interés interés del mercado mercado de 15% por cuando la tasa de interés interés real es de 4% año, cuando anual? anual?

515 515

14.15 Qué tasa mercado tasa de interés interés trimestral trimestral del mercado asociaría con una tasa de inflación inflación de 5% se asociaría por trimestre trimestre y una tasa de interés interés real de trimestral? 2% trimestral? 14.16 14.16 Si la tasa tasa de interés interés del mercado mercado es de 48% anual, capitalizable capitalizable en forma forma mensual mensual (deanual, bido a la hiperinflación), bido hiperinflación), ¿cuál ¿cuál es la tasa de interés interés mensual mensual si la tasa de interés interés real es de 6% anual, anual, compuesto compuesto mensualmente? mensualmente? 14.17 14.17 ¿Qué ¿Qué tasa de rendimiento rendimiento obtendría obtendría un inversionista versionista sobre una tasa de rendimiento rendimiento de 25% anual, cuando cuando la tasa de inflación inflación es de 10% por año? 14.18 periodo 14.18 ¿Cuál ¿Cuál es la tasa de interés interés real por periodo semestral semestral si la tasa de interés interés del mercado mercado es de 22% anual, capitalizable capitalizable semestralsemestralmente, mente, y la tasa de inflación inflación es de 7% cada cada 6 meses? meses? 14.19 póliza de seguro 14.19 Una Una póliza seguro de vida vida con valor valor en efectivo efectivo pagará pagará una suma suma de $1 000 000 si el asegurado alcanza la edad de 65 años. Si la persona persona asegurada asegurada tendrá tendrá 65 años dentro de 27, ¿cuál valor de la cifra ¿cuál será el valor cifra de $1 000 000 en términos poder $1000000 términos de dólares con poder de compra de hoy, si la tasa de inflación es de 3% anual periodo de tiempo? anual durante durante dicho dicho periodo tiempo?

Comparación Comparación de alternativas alternativas con ajuste ajuste por inflación inflación 14.20 14.20 Un contratista contratista que construye construye y da mantemantenimiento a infraestructura infraestructura regional regional está por nimiento decidir decidir si compra compra ahora ahora una máquina máquina comcompacta direcpacta nueva nueva de perforación perforación horizontal horizontal direccional (PHD), (PHD), o espera espera 2 años para cional para la adquisición, momento momento en que el contrato contrato para quisición, para una tubería tubería larga larga haría haría necesario necesario el nuevo nuevo máquina PHD incluiría incluiría un diseño equipo. La máquina innovador de cargador cargador de tubo y un sistema sistema innovador acarreador maniobrable. El costo del sistema acarreador compra ahora, o $81 000 es de $68 000 si se compra adquieredentro años. Con una 1MAR 1MAR si se adquiere dentro de 2 años. interés real de 10% anual anual e inflación inflación de de interés compañía debe debe 5% por año, determine determine si la compañía

516

CAPÍTULO 14 CAPÍTULO

Efectos de la inflación inflación Efectos

comprar ahora ahora o después, después, a) sin ningún ningún comprar ajuste por inflación, inflación, y b) con la inflación inflación tomada en cuenta. tomada forma innovadora innovadora de pagar pagar por 14.21 Como una forma paquetes de software, software, una compañía compañía varios paquetes nueva de servicios servicios de alta tecnología tecnología ofrenueva pagarle a usted, usted, dueño dueño de otra otra empreempreció pagarle maneras: 1) pagar ahora sa, en una de tres maneras: pagar ahora 000, 2) pagar pagar $1.1 millones dentro de $400 000, millones dentro pagar dentro dentro de 5 años una can5 años, o 3) pagar tidad que tenga compra poder de compra tenga el mismo mismo poder obtener que $750 000 de hoy. Si usted quiere obtener una tasa de interés interés real de 10% por por año y la inflación es de 6% anual, ¿cuál oferta debe inflación ¿cuál oferta aceptar? aceptar? 14.22 Considere Considere las alternativas alternativas A y B, con base 14.22 base en sus valores valores presentes, presentes, con el uso de una tasa de interés inflainterés real de 10% por por año e inflación de 3% anual, a) sin hacer hacer ningún ningún ajuste ajuste por inflación, y b) con inflación considepor inflación, con la inflación considerada. rada.

Costo Costo inicial, inicial, $ Costo Costo de de operación operación anual, anual, $/año $/año Valor Valor de de rescate, rescate, $$ Vida, Vida, años años

Máquina Máquina A

Máquina Máquina B

-31000 -31000 -28000 -28000

-48000 -48000 -19000 -19000

5000 5000

7000 7000

5

5

14.23 Compare 14.23 Compare las alternativas alternativas que que se presentan presentan en seguida seguida con con base base en sus costos costos capitacapitalizados lizados con con ajustes ajustes incluidos incluidos por por inflación. inflación. Use Use una una ir = 12% anual anual y I= f= 3% anual. anual. Alternativa Alternativa X Alternativa Alternativa Y Costo Costo inicial, inicial, $$ Costo Costo de de operación operación anual, anual, $/año $/año Valor Valor de de rescate, rescate, $$ Vida, Vida, años años

-18500000 -18500000 -25000 -25000

-9000000 -9000000 -10 -10 000 000

105000 105000

82000 82000 10 10

14.24 14.24 Una Una ingeniera ingeniera debe debe recomendar recomendar una una de dos dos máquinas máquinas para para integrarla integrarla a una una línea línea de de manufactura manufactura actualizada. actualizada. Ella Ella obtiene obtiene estimaciones estimaciones de dos dos vendedores: vendedores: el vendevende-

dor A le da las estimaciones estimaciones en dólares dólares futuros (corrientes (corrientes para entonces), entonces), mientras mientras que el B le entrega entrega estimaciones estimaciones en dólares dólares de hoy (de valor valor constante). constante). La compañía compañía tiene una TMAR TMAR de 15% real anual y espera espera inflación sea de 5% anual. Use el que la inflación análisis análisis del VP para determinar determinar cuál máquimáquina debería debería recomendar recomendar la ingeniera. ingeniera.

Costo inicial, inicial, $ Costo Costo de de operación operación Costo anual, $/año $/año anual, Vida, años Vida, años

Vendedor Vendedor A, $ futuros futuros

Vendedor Vendedor B, $ de hoy de hoy

-60000 -60000 -55000 -55000

-95000 -95000 -35000 -35000

10

10

Valor otros cálculos inflación Valor futuro futuro y otros cálculos con inflación

14.25 Un ingeniero bono corporativo corporativo ingeniero compró compró un bono emitido por Finance Finance Bank Bank ligado ligado a la emitido por inflación interés del bono inflación (es decir, decir, el interés del bono cambia con la inflación), tiene un valor valor cambia inflación), que tiene nominal de $25 000. En la época época en que se nominal compró el bono, bono, el rendimiento rendimiento era era de compró 2.16% anual anual más más la inflación, inflación, pagadero pagadero en 2.16% forma mensual. mensual. La tasa tasa de interés interés del bono bono forma ajusta cada cada mes mes con con base base en el cambio cambio se ajusta Índice de Precios Precios al Consumidor Consumidor (lPC) (IPC) del Índice respecto al mismo mismo mes mes del año anterior. anterior. En respecto mes en particular, particular, el IPC IPC fue 3.02% 3.02% más más un mes que el del mes del año año anterior. anterior. alto que ¿Cuál es el rendimiento rendimiento nuevo nuevo del bono? bono? a) ¿Cuál interés se paga paga mensualmente, mensualmente, b) Si el interés ¿cuánto interés interés recibió recibió el ingeniero ingeniero en ¿cuánto dicho mes mes (es decir, después después del ajuste)? ajuste)? dicho 14.26 14.26 Un Un ingeniero ingeniero deposita deposita $10 $10 000 000 en en una una cuenta cuando cuando la tasa tasa de interés interés del mercado mercado cuenta anual y la la inflación inflación de 5% 5% por por es de 10% anual año. La La cuenta cuenta se mantiene mantiene sin movimiento movimiento año. durante durante 5 años. años. ¿Cuánto dinero dinero habrá habrá en en la la cuenta? cuenta? a) ¿Cuánto b) ¿Cuál ¿Cuál será será el poder poder de compra compra (de adquib) sición) en en términos términos de dólares dólares de hoy? hoy? sición) ¿Cuál es la la tasa tasa de rendimiento rendimiento real real que que c) ¿Cuál obtiene sobre sobre la la cuenta? cuenta? se obtiene

PROBLEMAS PROBLEMAS

14.27 Una compañía química desea reservar reservar dinero compañía química comprar dentro de 3 años ahora para para poder poder comprar registradores de datos nuevos. Se espera registradores espera que el precio precio de los registradores registradores se incremente incremente sólo en el porcentaje porcentaje inflacionario inflacionario de 3.7% anual durante durante cada próximos cada uno de los 3 próximos años. Si el costo total de los equipos equipos es hoy de $45000, $45000, determine esperado determine a) su costo esperado tendrá que dentro de 3 años, y b) ¿cuánto ¿cuánto tendrá reservar empresa ahora si percibe reservar la empresa percibe una tasa de interés de 8% anual? 14.28 rampa de emergencia 14.28 Construir Construir cierta cierta rampa emergencia en una autopista costp costó de $625 $625 000 000 hace años. autopista hace 7 años. ingeniero diseña diseña otra misUn ingeniero otra casi casi con las mismas estimaciones estimaciones y su costo costo ahora ahora sería sería de $740000. incrementado $740000. Si el costo se hubiera incrementado únicamente en el porcentaje porcentaje de la inflación inflación únicamente durante periodo de tiempo mencionado, mencionado, durante el periodo ¿cuál fue la tasa de inflación inflación anual? 14.29 Si usted usted hiciera hiciera una una inversión inversión en bienes 14.29 bienes raíces comerciales que le garantizaran raíces comerciales garantizaran la obtención neta obtención neta de $1.5 millones millones dentro dentro de 25 años, ¿cuál sería el poder poder de compra compra de ese dinero respecto respecto a dólares de hoy, si la tasa de interés anual y la ininterés del mercado mercado es de 8% anual flación permanece flación permanece en 3.8% por por año durante durante ese periodo periodo de tiempo? tiempo? 14.30 Goodyear Goodyear Tire Tire and and Rubber Corporation 14.30 Rubber Corporation puede comprar equipo equipo hoy por puede comprar por $80 000 o adquirirlo dentro $128000. adquirirlo dentro de 3 años en $128 000. El requerimiento requerimiento de TMAR TMAR para para la planta planta es un rendimiento rendimiento real de 15% por año. Si debe tenerse cuenta una tasa de inflación tenerse en cuenta inflación de 4% anual, ¿debe la compañía compañía comprar comprar la máquina ahora ahora o después? quina después? anual, 14.31 En un periodo periodo de inflación inflación de 3% anual, ¿cuánto costará una máquina máquina dentro de 3 años en términos términos de dólares dólares de valor valor constante, constante, si espera que el el costo hoyes hoyes de $40 000 y se espera máquina se incremente solamente costo de la máquina incremente solamente en el porcentaje porcentaje de la inflación? inflación?

14.32 En un periodo periodo de inflación inflación de 4% anual, ¿cuánto costará una máquina máquina dentro de 3 años en términos términos de dólares dólares de valor valor constante, constante, si

517 517

planea hoy cuesta cuesta $40 000 y el fabricante fabricante planea elevar el precio precio de modo que obtenga elevar obtenga una rendimiento real de 55% % anual durante durante tasa de rendimiento periodo de tiempo? tiempo? dicho periodo

14.33 Convierta dólares de hoya hoya dólares dólares Convierta $100 000 dólares corrientes de corrientes del año 10, cuando cuando la tasa tasa de deflacián deflación es de 1.5% anual. 14.34 Una invitada para 14.34 Una compañía compañía ha sido sido invitada para que invierta $1 000 000 en una sociedad invierta sociedad y reciba una cantidad total $2.5 una cantidad total garantizada garantizada de $2.5 millones años. La política millones después después de 4 años. política corporativa TMAR siempre corporativa establece establece que la TMAR siempre se establece establece 4% por arriba arriba del costo real del capital. Si la tasa de interés real pagado pagado sobre el capital por año, y capital es actualmente actualmente de 10% por se espera inflación durante durante el espera que la tasa de inflación periodo de 4 años sea de 3% anual, periodo anual, ¿se justifica económicamente la inversión? justifica económicamente inversión? 14.35 El Premio Premio Nobel Nobel se estableció estableció en 1901 con $150000; en 1996 se elevó elevó de $489 000 a $150000; $653000. a) ¿Con qué tasa de inflación $653000. inflación sería equivalente (en poder adquisitivo) el premio equivalente poder adquisitivo) premio de $653 000 de 1996, al premio premio original original de 1901? b) Si la fundación fundación espera espera que que en 1901? promedio anual de promedio la inflación inflación sea de 3.5% anual ¿qué monto 1996 a 2010, 2010, ¿qué monto debería debería tener tener el premio premio en 2010 2010 para para poseer poseer el mismo mismo valor valor que en 1996? 14.36 Los factores factores que incrementan costos y 14.36 incrementan los costos precios -en especial especial para precios -en para materiales materiales y manufacturas sensibles al mercado, nufacturas sensibles mercado, tecnología tecnología y disponibilidad disponibilidad de mano mano de obra- pueden pueden considerarse por separado con el uso de la considerarse por separado tasa de interés interés real i, la tasa de inflación/, inflación/, e incrementos adicionales que crecen crecen con tasa incrementos adicionales geométrica cantidad futura futura se calcula calcula geométrica g. La cantidad estimación actual por medio con base en una estimación medio de la relación: relación: f)"(1 + g)" g)" F = = P(1 + i)"(1 i)"(1 + f)"(1 = P[(1 = P[(1 + i)(1 + f)(1 f)(1 + g»)" g)]"

El producto producto de los dos primeros primeros términos términos encerrados entre entre paréntesis como resulencerrados paréntesis da como resultado la tasa de interés interés inflada inflada iij'l. La tasa geo-

518 518

CAPÍTULO 14 CAPÍTULO

Efectos de de la la inflación inflación Efectos

métrica es la misma misma que la usada usada en la serie serie métrica gradiente geométrico geométrico (véase (véase el capítulo capítulo 2). gradiente Por lo común común se aplica aplica a incrementos incrementos en el Por costo de mantenimiento mantenimiento y reparaciones reparaciones conconcosto maquinaria envejece, lo que está por por forme la maquinaria arriba de la tasa de inflación. inflación. Si el costo costo coarriba rriente de manufacturar manufacturar un subcomponente subcomponente rriente electrónico es de $250 000 anuales, ¿cuál es el valor equivalente equivalente dentro dentro de 5 años si se estivalor ma que las tasas promedio anuales son: i = = 5%, maque f = 3%, Yg Yg = = 2%, por por año? f=

Recuperación de capital capital con inflación inflación Recuperación 14.37 Aquatech Aquatech Mycrosystems Mycrosystems gastó gastó $183000 $183000 en protocolo de comunicaciones comunicaciones para para lograr lograr un protocolo operabilidad entre entre sus sistemas sistemas de utileutilela operabilidad rías. Si la compañía compañía usa una tasa de interés interés anual en dichas inversiones y real de 15% anual dichas inversiones un periodo periodo de recuperación recuperación de 5 años, ¿cuál ¿cuál es el valor gasto en dólares valor anual del gasto dólares corrientes rrientes de ese entonces, entonces, con una tasa de inflación anual? flación de 6% anual? 14.38 La compañía ADSL hizo una inversión compañía ADSL inversión de $40 millones millones en equipo equipo con la expectativa expectativa de recuperarlos recuperarlos en 10 años. La empresa empresa tiene una TMAR TMAR basada basada en una tasa de rendirendimiento miento real de 12% anual. Si la inflación inflación es de 7% por año, ¿cuánto debe obtener obtener la comalcanzar su expectativa, expectativa, pañía cada año para alcanzar a) en dólares dólares de valor valor constante, constante, y b) en dólares del futuro. 14.39 ¿Cuál es el valor valor anual en dólares dólares corriencorriendurante los años 1 a 5 de una cuenta cuenta de tes durante $750000 de ahora si la tasa de interés interés del $750000 mercado es de 10% anual, y la tasa de inflainflamercado ción es de 5% por año? 14.40 Un ingeniero mecánico recién graduado quiere formar un fondo de reserva como seguro neto para pagar sus gastos en el improbable caso de quedarse desempleado durante un breve $15000 duranperiodo. Se propone acumular $15000 te los 3 años siguientes, con la previsión de que la cantidad tenga el mismo poder adquihoy. Si la tasa esperada sitivo que $15 000 de hoy. del mercado sobre inversiones es de 8% por

año, y la inflación es en promedio de 2% anual, encuentre encuentre la cantidad por año necesaria necesaria para para cumplir cumplir la meta. 14.41 Un laboratorio laboratorio de investigación investigación en ingeingeniería niería genética genética animal, animal, con sede sede en Europa, Europa, planea planea hacer hacer un gasto gasto importante importante en equipo equipo de investigación. investigación. El laboratorio laboratorio necesita necesita $5 millones millones de dólares dólares de hoy, de manera manera que que pueda pueda efectuar efectuar la adquisición adquisición dentro dentro de 4 años. La tasa tasa de inflación inflación es estable estable de 5% por por año. a) ¿Qué ¿Qué cantidad cantidad de dólares dólares futuros futuros se necesitaría necesitaría al momento momento de comprarse comprarse el equipo equipo si se mantuviera mantuviera el poder poder adquisiadquisitivo? tivo? b) ¿Cuál ¿Cuál es la cantidad cantidad requerida requerida por por año del depósito, depósito, en un fondo que gana gana la tasa tasa del mercado mercado de 10% anual, para para garangarantizar tizar que la cantidad cantidad calculada calculada en el inciso inciso a) logre logre acumularse? acumularse? valor anual equivalente 14.42 a) Calcule Calcule el valor equivalente perpetuo en dólares del futuro (para los años ingreso de $50 000 de 1 al 00) para para un ingreso hoy y $50 00 cada año de ahí en adelante. Suponga que la tasa de interés del merSuponga cado es de 8% anual y la inflación inflación es en promedio de 4% anual. Todas las cantipromedio dades se piden en dólares futuros. cantidades se solicitan solicitan en dólares dólares b) Si las cantidades valor constante, constante, ¿cómo ¿cómo se encuentra encuentra de valor el valor valor anual en dólares dólares del futuro? futuro? máquinas de las que se dan detalles 14.43 Las dos máquinas continuación están en estudio para una opea continuación manufactura de chips. Suponga que ración de manufactura TMAR de la compañía compañía es un rendimiento rendimiento la TMAR inflación real de 12% anual y que la tasa de inflación máquina debe sees de 7% por año. ¿Cuál máquina leccionarse con base en un análisis de valor leccionarse estimaciones están en a) dólares anual, si las estimaciones de valor constante, y b) dólares del futuro. Máquina A Costo inicial, inicial, $ -150000 Costo -150000 Costo anual de mantenimiento mantenimiento -70000 Costo -70000 operación $/año $/año y operación 40000 rescate, $ Valor de rescate, 40000 Vida, años 5

Máquina B 025000 -1 025000 -5000 -5000 200000 200000

•

PI

1~

E

n

L

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b: ID

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1I

n

EJERCICIO AMPLIADO AMPLIADO EJERCICIO

519 519

PROBLEMAS PROBLEMAS DE REPASO FI FI 14.44 Para una tasa de interés de mercado mercado de 12% anual y una una tasa tasa de inflación inflación de 7% 7% anual, la tasa tasa de interés interés real anual es más cercacercana a: a) 4.7% 4.7% b) 7%

e) 12% 19.8% 19.8%

d)

14.45

14.46

Cuando todos los flujos de efectivo efectivo futuros Cuando se expresan expresan en dólares dólares corrientes, corrientes, la tasa que debe usarse para para encontrar valor debe usarse encontrar el valor presente presente es la: TMARreal a) TMARreal inflación b) Tasa de inflación interés inflada inflada e) Tasa de interés interés real d) Tasa de interés Para convertir dólares dólares de valor constante Para convertir valor constante dólares inflados, inflados, es necesario: en dólares necesario: entre (l (l + if)")" a) Dividir Dividir entre entre (l (l + f)" b) Dividir Dividir entre f) " entre (l (l + i)" e) Dividir Dividir entre d) Multiplicar (l + f)" Multiplicar por por (l f)"

14.47 Para Para convertir convertir dólares dólares inflados inflados en dólares dólares de valor valor constante, necesario: constante, es necesario: a) Dividir Dividir entre entre (1 + iifr' f )" b) Dividir Dividir entre f)" entre (1 + f)" e) Dividir Dividir entre entre (1 + i)" i)" (l + f)" d) Multiplicar Multiplicar por por (l f)" 14.48 tasa de interés mercado es 14.48 Cuando Cuando la tasa interés del mercado menor que la tasa tasa de interés real, entonces: entonces: menor interés real, a) La tasa tasa de interés mayor que interés inflada inflada es mayor la tasa tasa de interés interés real b) La tasa tasa de interés interés real es igual igual a cero condición deflacionaria deflacionaria e) Existe Existe una una condición d) Sucede Sucede todo lo anterior. anterior. 14.49

Cuando dólares dólares del futuro futuro se expresan expresan en Cuando términos dólares de valor constante, la términos de dólares valor constante, tasa debe usarse cálculos de tasa que debe usarse en los cálculos valor valor presente presente es la: interés real a) Tasa de interés interés del mercado b) Tasa de interés mercado inflación e) Tasa de inflación d) Tasa del mercado tasa de mercado menos menos la tasa inflación inflación

EJERCICIO AMPLIADO EJERCICIO AMPLIADO INVERSIONES DE INGRESO FIJO CONTRA LAS INVERSIONES DE INGRESO FIJO CONTRA LAS FUERZAS FUERZAS DE LA LA INFLACIÓN INFLACIÓN DE ahorros e inversiones inversiones que un individuo individuo mantiene deberían tener algún equiliequiliLos ahorros mantiene deberían tener algún entre patrimonio ejemplo, acciones acciones corporativas corporativas que dependen dependen del crecicrecibrio entre patrimonio (por ejemplo, miento del mercado dividendos) y las inversiones inversiones de ingreso ingreso fijo (es miento mercado e ingresos ingresos por por dividendos) decir, bonos bonos que pagan dividendos al comprador). comprador). Cuando Cuando la inflación inflación es moderadecir, pagan dividendos moderadamente elevada, elevada, los bonos convencionales ofrecen ofrecen un bajo compadamente bonos convencionales bajo rendimiento rendimiento en compaacciones, ya que el potencial ración con las acciones, potencial para para el crecimiento crecimiento de mercado mercado no se presenta con los bonos. adicional, la fuerza fuerza de la inflación presenta bonos. De manera manera adicional, inflación hace hace que los dividendos valgan futuros, debido debido a que no existe existe ajuste ajuste de inflainfladividendos valgan menos menos en los años futuros, cantidad de dividendos dividendos pagados conforme pasa embargo, ción en la cantidad pagados conforme pasa el tiempo. tiempo. Sin embargo, bonos en realidad ofrecen un ingreso ingreso estable estable que puede importante para los bonos realidad ofrecen puede ser importante para un individuo, y sirven sirven para capital invertido individuo, para preservar preservar el capital invertido en el bono, pues el valor valor nominal se regresa nominal regresa al vencimiento. vencimiento.

520

CAPÍTULO 14 Efectos CAPÍTULO Efectos de la inflación inflación

Harold ingeniero que quiere quiere un flujo de dinero dinero predecible Harold es un ingeniero predecible para para viajar viajar y vacacionar. salario lo suficientemente suficientemente alto como como para considerarse denvacacionar. Él tiene tiene un salario para considerarse tro de un rango impositivo relativamente elevado (28% o más). Como Como primer rango impositivo relativamente elevado primer paso, paso, decidió comprar comprar un bono debido al ingreso ingreso predecible decidió bono municipal, municipal, debido predecible y al hecho hecho de que dividendo está está completamente completamente libre de impuestos impuestos sobre sobre la renta, tanto federales el dividendo tanto federales como estatales. estatales. Él planea comprar un bono exento de impuesto impuesto que tiene como planea comprar bono municipal municipal exento tiene un valor valor nominal nominal de $25000, $25000, una tasa de 5.9% pagada anualmente y con vencipagada anualmente vencimiento miento en 12 años. Preguntas Preguntas Ayude a Harold análisis para siguiente, usando hoja de Harold con algún análisis para responder responder lo siguiente, usando una una hoja cálculo: cálculo: ¿Cuál es la tasa global si el bono conserva hasta 1. ¿Cuál tasa de rendimiento rendimiento global bono se conserva hasta su vencivencimiento? ¿Este valor alguno de los efectos efectos inherentes inherentes de la miento? ¿Este valor de rendimiento rendimiento tiene tiene alguno inflación incluidos incluidos en él? inflación 2. Harold decidir vender inmediatamente después después del tercer diviHarold puede puede decidir vender el bono bono inmediatamente tercer dividendo anual. ¿Cuál dendo ¿Cuál es el precio precio de venta venta mínimo mínimo si él quiere quiere lograr lograr un 7% de rendimiento rendimiento real y desea desea ajustarlo ajustarlo para para una una inflación inflación de 4% anual? anual? 3. Si Harold Harold tuviese tuviese necesidad necesidad de dinero dinero inmediatamente inmediatamente después después del tercer tercer pago pago dividendo, ¿cuál precio de venta venta mínimo mínimo del bono bono en dólares dólares futude dividendo, ¿cuál sería sería el precio vendiera por por una una cantidad cantidad que es equivalente poder de compra compra del ros, si él vendiera equivalente al poder precio original? original? precio Como seguimiento pregunta 3, ¿qué ocurre al precio precio de venta venta (en dólares dólares 4. Como seguimiento a la pregunta ¿qué ocurre futuros) 3 años después después de la compra, compra, si Harold Harold desea desea incluir incluir el poder poder de comcomfuturos) corriente de entonces entonces de cada cada uno de los dividendos dividendos en el cálculo cálculo para pra corriente para determinar el precio precio de venta? venta? Suponga Harold gasta gasta los dividendos dividendos inmeinmedeterminar Suponga que Harold diatamente diatamente después después de recibirlos. recibirlos. 5. Harold Harold planea planea retener retener el bono bono hasta hasta su vencimiento vencimiento en 12 años, pero pero necesita necesita rendimiento de 7% anual ajustado ajustado al 4% anual anual de inflación. inflación. Tal vez él esté esté un rendimiento dispuesto a comprar comprar el bono bono con un descuento, descuento, es decir, pagar pagar menos menos de los dispuesto $25000 ahora. ¿Cuál ¿Cuál es el máximo debería pagar $25000 máximo que debería pagar por por el bono? bono?

15 o o

«« u u

Estimación Estimación de de costos y asignación asignación de de costos indirectos indirectos

-

Hasta flujo de efectivo Hasta este momento, momento, los valores del flujo efectivo de costos e ingresos se se han En realidad, no lo están; deben han establecido establecido o supuesto como conocidos. conocidos. En deben estimarse. Este Este capítulo capítulo explica qué implica la la estimación de costos y aplica las las técnicas de estimación de costos. La La estimación estimación de costos es es importante importante en todos los aspectos de un todos un proyecto, proyecto, pero especialmente especialmente en las las etapas de concepción del proyecto, proyecto, el diseño preliminar, el diseño detallado detallado y el análisis análisis económico. económico. Cuando se se desarrolla un un proyecto proyecto en en los sectores público público o privado, preguntas formularán por preguntas acerca acerca de los costos e ingresos se se formularán por parte de los indifunciones : administración, viduos que representan diversas funciones: administración, ingeniería, construcción, producción, finanzas, seguridad, trucción, producción, calidad, finanzas, seguridad, ambiental, ambiental, legal y mercadotecnia, dotecnia, por por mencionar mencionar algunas. En En la la práctica de la la ingeniería, la la estimación de costos recibe mucho más más atención que la la estimación de ingresos; los costos son son el tema del presente capítulo. A diferencia diferencia de los costos directos directos por mano de obra y materiales, los costos indirectos fácilmente ubicados indirectos no son son fácilmente ubicados en un departamento, departamento, máquina o línea de proceso específicos. Por lo tanto, la asignación asignación de costos indirectos indirectos línea tanto, la para funciones tales como servicios servicios generales, seguridad seguridad,, administración y direcpara se realiza realiza usando algunas bases bases racionales. En En este ción, compras y calidad, se capítulo se método tradicional asignación método capítulo se cubren tanto tanto el método tradicional de asignaci ó n como el método de costeo basado en actividades actividades (CBA). (CBA). También se se realiza realiza la la comparación comparación entre estos dos enfoques. Se Se presentan dos estudios de caso caso.. El El primero primero se se centra en el análisis análisis de sensibilidad de estimación de costos, mientras que el segundo la asigsensibilidad segundo examina la indirectos en un un escenario manufacturero manufacturero.. nación de costos indirectos

-

-

Tase

-

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE APRENDIZAJE OBJETIVOS Objetivo general: general: efectuar efectuar estimaciones estimaciones de costos e incluir la dimensión dimensión de asignación asignación de costos Objetivo indirectos en un estudio estudio de ingeniería ingeniería económica. económica. indirectos Este capítulo capítulo ayudará al al lector lector a: a: Este

I ---1""1-- I Enfoques Enfoques

--....,.--- II índices índices de de costo costo

Ecuaciones costo-capacidad costo-capacidad Ecuaciones

-------- II Método de de factor Método factor

Tasasde asignación Tasas de costo indirecto y asignación

----.......,.jII Asignación Asignación eBA eBA

1. 1. Describir los diferentes diferentes enfoques enfoques para para estimación de costos costos..

2. Utilizar un un índice de costo para estimar un un costo presente a 2. partir de información información histórica histórica.. partir 3. Estimar el costo de un un componente, componente, sistema o planta utilizando utilizando 3. costo-capacidad. ecuaciones de costo-capacidad. 4. Estimar el costo de planta total total usando el método método de factor. 4. factor.

5.. Asignar Asignar costos indirectos indirectos utilizando utilizando las las tasas tasas de costos 5 indirectos tradicionales. indirectos tradicionales . 6. Asignar costos indirectos indirectos utilizando utilizando el método método de costeo 6 . Asignar basado en actividades actividades (CBA). (CBA) .

524

CAPÍTULO indirectos CAPÍTULO 15 Estimación Estimación de costos costos y asignación asignación de costos costos indirectos

15.1 15.1

I'~,

.

j ••..

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COMPRENSiÓN COMPRENSiÓN DE CÓMO CÓMO SE LOGRA LOGRA LA ESTIMACiÓN COSTOS ESTIMACiÓN DE COSTOS

La estimación realiza en las etapas etapas estimación del costo es una importante importante actividad actividad que se realiza iniciales de prácticamente cada actividad de la industria, los negocios y el gobierno. iniciales prácticamente cada actividad industria, negocios gobierno. En general, desarrollan ya sea para para un general, la mayoría mayoría de las estimaciones estimaciones de costo costo se desarrollan proyecto o un sistema; sin embargo, son muy comunes las combinaciones de ambos. proyecto sistema; embargo, comunes combinaciones ambos. Por lo general un proyecto involucra objetos físicos, como edificios, puentes, plantas general proyecto involucra objetos como edificios, puentes, plantas de manufactura y plataformas marinas de perforación, por mencionar sólo algunos. manufactura plataformas marinas perforación, por mencionar algunos. Un sistema procesos, software software sistema es, en general, general, un diseño diseño operacional operacional que involucra involucra procesos, y otros conceptos órdenes de compra, compra, algún algún conceptos no físicos; físicos; por ejemplo ejemplo un sistema sistema de órdenes paquete de software y un sistema de control remoto basado en Internet. En forma paquete software sistema control remoto basado Internet. forma adicional, para el desarrollo desarrollo inicial inicial adicional, las estimaciones estimaciones de costo costo generalmente generalmente se hacen hacen para proyecto o sistema, sistema, con los costos costos del ciclo ciclo de vida del proyecto vida de mantenimiento mantenimiento y actualización porcentaje del costo primario. Por Por supuesto, supuesto, muchos actualización estimados estimados como porcentaje costo primario. muchos proyectos tendrán elementos importantes que no son físicos, por deben proyectos tendrán elementos importantes físicos, por lo que deben desarrollarse estimaciones estimaciones de ambos ambos tipos. Por Por ejemplo, ejemplo, considere desarrollarse considere un sistema sistema de cómputo; no habría habría sistema sistema operacional operacional si únicamente red de cómputo; únicamente se estimara estimara el hardware hardware cómputo más los cables cables y conectores conectores inalámbricos; inalámbricos; tiene de cómputo tiene igual igual importancia importancia la estimación de los costos costos del software, software, el personal estimación personal y el mantenimiento. mantenimiento. Gran Gran parte parte del análisis proyectos de base base física. física. Sin embargo, embargo, la análisis que sigue sigue se concentra concentra en proyectos lógica se aplica aplica mucho estimación del costo costo por lógica mucho a la estimación por proyecto proyecto y diseños diseños de sistemas. sistemas. Hasta momento, se han proporcionado proporcionado o dado por conocidas casi casi todas todas las Hasta este momento, por conocidas estimaciones de flujo de efectivo efectivo en los ejemplos, ejemplos, problemas estimaciones problemas y ejercicios ejercicios del libro. libro. En la práctica práctica del mundo mundo real, real, los flujos de efectivo para costos costos e ingresos ingresos deben deben efectivo para estimarse proyecto o de la comparación comparación de alternativas. alternativas. estimarse antes de la evaluación evaluación de un proyecto Nos concentramos costos son los principales principales concentramos en la estimación estimación de costos costos porque porque los costos valores ingreso utilizadas utilizadas valores estimados estimados para para el análisis económico. económico. Las estimaciones estimaciones de ingreso por desarrollan por ventas y otros otros por los ingenieros ingenieros a menudo menudo se desarrollan por mercadotecnia, mercadotecnia, ventas departamentos. departamentos. Los costos costos directos. directos. HistóHistócostos están están constituidos constituidos por por costos costos indirectos indirectos y costos ricamente, cierto detalle, detalle, y después después se ricamente, sólo los costos costos directos directos se han estimado estimado con cierto incorporan estándar. Sin embargo, embargo, los incorporan los costos costos indirectos indirectos usando usando tasas y factores factores estándar. costos manufactura y ensamble ensamble se costos directos directos en la mayor mayor parte parte de los escenarios escenarios de manufactura han convertido mientras que convertido en porcentajes porcentajes pequeños pequeños del costo global global de producto, producto, mientras los costos concordancia, muchos muchos costos indirectos indirectos han llegado llegado a ser mucho mucho mayores. mayores. En concordancia, escenarios industriales industriales requieren requieren también también cierta cierta estimación estimación para escenarios para los costos costos indirectos. indirectos. La asignación mayor detalle detalle en secciones secciones asignación de los costos costos indirectos indirectos se analiza analiza con mayor posteriores costos directos. posteriores de este capítulo. capítulo. Aquí Aquí se analizan analizan primero primero los costos directos. Debido a que la estimación estimación de costos costos es una actividad actividad compleja, compleja, las siguientes Debido siguientes preguntas preguntas forman forman una estructura estructura para nuestro nuestro análisis. análisis.

• • • •

¿Qué deben estimarse? ¿Qué componentes componentes del costo deben estimarse? ¿Qué costos? ¿Qué enfoque enfoque debe aplicarse aplicarse para para la estimación estimación de costos? ¿Cuán precisas precisas deben ser serlas estimaciones? ¿Cuán las estimaciones? técnicas de estimación estimación se utilizarán? utilizarán? ¿¿Qué Qué técnicas

Cm

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SECCIÓN 15.1 SECCIÓN

Comprensión de cómo cómo se logra logra la estimación estimación de costos costos Comprensión

Costos pieza única Costos a estimar estimar Si un proyecto proyecto gira alrededor alrededor de una pieza única de equipo, equipo, por ejemplo ejemplo un robot robot industrial, industrial, los componentes componentes de costo serán serán significativamente significativamente sencillos sencillos y menos menos abundantes abundantes que los de un sistema sistema completo, completo, como como la línea línea de manufactura manufactura y prueba prueba de un producto producto nuevo. nuevo. En consecuencia, consecuencia, resulta resulta importante importante conocer conocer abiertamente abiertamente cuánto cuánto requerirá requerirá la tarea tarea de estimar estimar costos. costos. Ejemplos Ejemplos de componentes componentes de costos costos son el costo costo inicial inicial P y el costo costo anual de operación operación (COA), (COA), también costos M&O también llamado llamado costos M&O (mantenimiento (mantenimiento y operación) operación) de equipo. equipo. Cada Cada componente componente tendrá tendrá varios varios elementos elementos de costo, algunos algunos de los cuales cuales se estiman estiman de manera manera directa, directa, y otros requieren requieren el examen examen de registros registros de proyectos proyectos similares, similares, e incluso estimación. A continuación incluso otros deben deben modelarse modelarse usando usando una técnica técnica de estimación. continuación se listan listan algunos algunos elementos-muestra elementos-muestra de componentes componentes del costo inicial inicial y del COA. COA. Componente Componente del costo inicial inicial P: Elementos: Elementos: Costo Costo de equipo equipo Cargos entrega Cargos de entrega Costo Costo de instalación instalación Cobertura Cobertura de seguro seguro Entrenamiento Entrenamiento inicial inicial del personal personal que utilizará utilizará el equipo equipo El costo costo del equipo equipo entregado entregado es la suma suma de los dos primeros primeros elementos; elementos; el costo costo del equipo equipo instalado instalado agrega agrega el tercer tercer elemento. elemento. La recuperación recuperación de capital capital (RC) para para el costo A/P durante estimada costo inicial inicial se determina determina usando usando la TMAR TMAR y el factor factor A/P durante la vida vida estimada del equipo. equipo. Componente parte del costo anual Componente COA, una parte anual equivalente equivalente A: Elementos: Elementos: Costo Costo directo directo de mano mano de obra obra para para el personal personal de operación operación Materiales directos directos Materiales Mantenimiento (diario, (diario, periódico, periódico, reparaciones, reparaciones, etc.) Mantenimiento Reelaboración y reconstrucción Reelaboración reconstrucción Algunos de estos elementos, elementos, como costo del equipo, equipo, pueden pueden determinarse determinarse con Algunos como el costo mucha precisión; precisión; otros, como como los costos costos de mantenimiento, mantenimiento, son difíciles difíciles de calcular. calcular. mucha Cuando deben deben estimarse estimarse los costos costos para sistema completo, completo, el número número de los Cuando para un sistema componentes y los elementos elementos de los costos costos probablemente probablemente serán centenares. centenares. Por lo componentes necesario jerarquizar estimación. tanto, es necesario jerarquizar las tareas de estimación. Para ciertos ciertos proyectos proyectos (casas, (casas, oficinas, oficinas, carreteras carreteras y algunas algunas plantas químicas) Para plantas químicas) existen paquetes paquetes estándar estándar para para la estimación estimación de costos, costos, disponibles disponibles en formatos formato s imexisten presos o en software. ejemplo, los departamentos departamentos estatales estatales de carreteras carreteras utilizan utilizan presos software. Por ejemplo, paquetes de software software que facilitan facilitan la aplicación aplicación correcta correcta de los componentes componentes del costo paquetes (puentes, pavimento, pavimento, perfiles perfiles de corte corte y llenado, llenado, etc.), y estiman estiman los costos costos usando usando (puentes, relaciones interconstruidas interconstruidas probadas probadas en el tiempo. tiempo. Una vez que se han calculado calculado estos relaciones componentes, se incorporan incorporan las excepciones excepciones del proyecto proyecto específico. específico. Sin embargo, embargo, componentes, existen paquetes paquetes de software software que vengan vengan "enlatados" "enlatados" específicamente específicamente para para un no existen porcentaje de la estimación estimación de costos costos en industrias, industrias, en negocios negocios y en el sector sector alto porcentaje público. público.

525 525

526

Estimación de costos y asignación de costos indirectos

CAPÍTULO 15

Enfoque de la estimación de costo

Tradicionalmente, en la industria, negocios y sector público, se aplican enfoques ascendentes en la estimación del costo. Para una interpretación sencilla de dicho enfoque, véase la figura 15.1 (izquierda). El orden es el siguiente: se identifican los componentes del costo y sus elementos, se estiman los elementos del costo, y se suman los cálculos para obtener el costo directo total. Después se determina el precio al añadir costos indirectos y el margen de ganancia, que generalmente es un porcentaje del costo total. Este enfoque funciona adecuadamente cuando la competencia no es el factor dominante en la determinación del precio del producto o servicio. El enfoque ascendente considera el precio requerido como una variable salida, y los cálculos de costos como variables de entrada.

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yd de esp ayt

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de de,

fog La figura 15.1 (derecha) muestra un orden simplificado para el enfoque diseño-costo o descendentes. El precio competitivo establece el costo objetivo.

las

enf

talE El enfoque diseñar para el costo o descendente considera el precio competitivo como una variable de entrada y las estimaciones de costo como variables de salida.

Pn par

prc eve "V' d,

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Ir' '1

~ 1,

Figura 15.1 Procesos simplificados de estimación de costos para los enfoques ascendente y descendente,

~nfoque descendente

Precio requerido

Ganancia deseada

Costo total

mil

t

I

+

= Costos indirectos

Mantenimiento y operaciones

Estimaciones de componentes de costos

mil

Mano de obra directa Materiales directos

+t +t +t +

Equipo

y recuperación de capital

+

t t

-

Costos -directos-

t+ t+ t+

t t

Precio competitivo Ganancia permitida

=

Costo objetivo

la ( sir' el i

cm de

Costos indirectos

Mantenimiento y operaciones

Mano de obra directa

+

Materiales directos

+

Equipo y recuperación de capital

En la etapa de diseño

Antes de la etapa de diseño

Enfoque ascendente

Enfoque de diseñar para el costo

Estimaciones de componentes de costos

En los est Si 201 las En

suí or

SECCIÓN SECCIÓN 15.1

Comprensión Comprensión de cómo cómo se logra logra la estimación estimación de costos costos

Este precisión de la actividad Este enfoque enfoque le da mucho mucho énfasis énfasis a la precisión actividad de estimación estimación de precios. El costo podría desanimar personal técnico precios. costo objetivo objetivo deberá deberá ser realista realista o podría desanimar al personal técnico y de diseño. diseño. El enfoque primeras etapas enfoque diseñar diseñar para el costo se aplica aplica mejor mejor en las primeras etapas de diseño diseño de un producto producto nuevo diseño, así como nuevo o mejorado. mejorado. Los detalles detalles del diseño, como las opciones opciones específicas precios específicas del equipo, equipo, aún se desconocen; desconocen; sin embargo, embargo, las estimaciones estimaciones de precios ayudan para los diferentes ayudan a establecer establecer los costos costos objetivo objetivo para diferentes componentes. componentes. Este enfoque es útil para para fomentar nuevos, el mejoramiento mejoramiento del fomentar la innovación, innovación, los diseños diseños nuevos, proceso de manufactura, Éstos son algunos proceso manufactura, así como como su eficiencia. eficiencia. Éstos algunos de los elementos elementos esenciales esenciales en los sistemas sistemas de ingeniería ingeniería del valor valor y valor valor agregado. agregado. Por lo general, resultante es cierta combinación general, el enfoque enfoque resultante combinación de estas dos filosofías filosofías de estimación manera directa estimación de costos. Sin embargo, embargo, es útil comprender comprender de manera directa qué enfoque debe resaltarse. Históricamente, predominante en Históricamente, el enfoque ascendente es más predominante las culturas de ingeniería ingeniería occidentales, especialmente especialmente en Estados Unidos y Canadá. Canadá. El enfoque diseñar para el costo se considera rutinario en las culturas de ingeniería orienenfoque diseñar considera rutinario ingeniería orientales, especialmente especialmente en las naciones industrializadas como Japón y otros países asiáticos. Precisión estimaciones Ninguna estimación de costo costo se espera espera que sea Precisión de las estimaciones Ninguna estimación exacta; razonables y precisas precisas exacta; no obstante, obstante, se espera espera que sean lo suficientemente suficientemente razonables para apoyar precisión requerida requerida aumenta para apoyar el escrutinio escrutinio económico. económico. La precisión aumenta conforme conforme el proyecto progresa, progresa, desde el diseño preliminar hacia proyecto diseño preliminar hacia el diseño diseño detallado detallado y hasta hasta la evaluación económica. económica. Se espera espera que los costos estimados estimados realizados realizados antes y durante durante evaluación la etapa buenas estimaciones mano", que etapa del diseño diseño preliminar preliminar sean buenas estimaciones "de primera primera mano", sirvan presupuesto del proyecto. proyecto. Las técnicas sirvan como como entrada entrada al presupuesto técnicas de estimación, estimación, como como aplican en esta etapa. el método método unitario, unitario, se aplican El método popular muy preliminar. preliminar. El método unitario unitario es una técnica técnica de estimación estimación popular costo número de unidades unidades por por un factor costo estimado estimado total se obtiene obtiene al multiplicar multiplicar el número factor de costo por por unidad. unidad. Ejemplos Ejemplos de factores factores de costo costo son

El costo costo de operación operación por milla milla de un automóvil, automóvil, incluido incluido el combustible, combustible, los seguros, por milla) seguros, el uso y las descomposturas descomposturas (es decir, 34.5 centavos centavos por milla) Costo por superficie por Costo de construcción construcción de vivienda vivienda por superficie habitable habitable (es decir, $150 por pie cuadrado) cuadrado) Costo Costo de cable cable eléctrico eléctrico subterráneo subterráneo por milla milla Costo Costo de espacio espacio de estacionamiento estacionamiento en un garage garage Costo milla de construcción Costo por milla construcción de una calle suburbana suburbana con ancho ancho estándar están dar En las actividades de negocios cotidianas son evidentes los casos del método unitario. Si los costos de construcción promedio por pie cuadrado, construcción de vivienda vivienda son de $150 en promedio cuadrado, la estimación preliminar del costo para una casa de 200 pies cuadrados estimación preliminar cuadrados es de $300 000. Si viajar viajar en automóvil tiene un costo viaje de negocios negocios de automóvil tiene costo de $0.345 por milla, un viaje millas cuesta 200 millas cuesta aproximadamente aproximadamente $70, en lo concerniente concerniente al coche. coche. Si se utiliza utiliza en las etapas etapas tempranas tempranas y de diseño diseño conceptual, conceptual, es frecuente frecuente que estimaciones anteriores anteriores se denominen denominen como estimaciones estimaciones del orden de magnitud. magnitud. las estimaciones etapa de diseño diseño detallado, detallado, se espera espera que las estimaciones estimaciones de costo costo tengan En la etapa tengan suficiente exactitud exactitud para apoyar apoyar la evaluación evaluación económica económica de decisiones decisiones entre entre realizar suficiente realizar especificación de proyecto características propias, propias, pero en la etapa etapa o no. Toda especificación proyecto tiene características

527

528

CAPÍTULO 15 CAPÍTULO

Estimación de costos costos y asignación asignación de costos costos indirectos indirectos Estimación

diseño detallado detallado se espera espera un rango estimaciones de costos costos reales entre de diseño rango de estimaciones reales de entre ±5% y ±15%. ± 15%. Técnicas de estimación estimación de costos costos Los métodos como la opinión opinión de expertos expertos y la Técnicas métodos como comparación con instalaciones instalaciones comparables comparables sirven sirven como excelentes estimadores. estimadores. comparación como excelentes índices de de costos costos basa estimación de costos costos en experiencias experiencias de El uso de índices basa la presente presente estimación costos pasadas, considerando la inflación. inflación. Los modelos como las ecuaciones ecuaciones costocostocostos pasadas, considerando modelos como capacidad y el método método de de factor simples técnicas técnicas matemáticas aplicadas en la capacidad factor son simples matemáticas aplicadas etapa de diseño diseño preliminar. Estas relaciones relaciones de de estimación estimación de costos costos (REC) (REC) se preetapa preliminar. Estas presentan en las siguientes siguientes secciones. secciones. Existen Existen muchos adicionales analizados analizados sentan muchos métodos métodos adicionales diferentes sectores sectores industriales en manuales manuales y publicaciones publicaciones de diferentes industriales y de negocios. negocios. 15.2 15.2

íNDICES DE COSTOS

Un índice índice de de costos costos es una razón costo actual actual de un artículo artículo respecto costo razón del costo respecto de su costo algún momento Como tal, el índice índice es un número adimensional que en algún momento del pasado. pasado. Como número adimensional muestra el cambio cambio relativo costo a lo largo del tiempo. índices, el más muestra relativo del costo tiempo. De estos índices, familiar para gente es el índice índice de precios consumidor (lPC), (lPC), que familiar para la mayoría mayoría de la gente precios al consumidor señala la relación entre los costos costos presentes artículos señala relación entre presentes y pasados pasados para para muchos muchos de los artículos consumidores "típicos" "típicos" deben deben comprar. comprar. Dicho índice incluye incluye artículos artículos como como que los consumidores Dicho índice alquiler de vivienda, comida, transporte ciertos servicios. servicios. Otros Otros índices índices consideran consideran alquiler vivienda, comida, transporte y ciertos costo de equipos, servicios que son más pertinentes aplicaciones de el costo equipos, bienes bienes y servicios pertinentes para para aplicaciones ingeniería. La tabla algunos de los índices índices más comunes. comunes. ingeniería. tabla 15.1 es un listado listado de algunos ecuación general general para actualizar costos costos a través La ecuación para actualizar través del uso de un índice índice de costos durante durante un periodo desde el tiempo =O O (base) hasta t es: costos periodo desde tiempo t = hasta otro tiempo tiempo tes:

[15.1] donde C e,I == costo costo estimado estimado en el tiempo donde tiempo presente presente t eo == costo costo en el tiempo anterior too Ca tiempo anterior 1,1 = = valor índice en el tiempo 1 valor del índice tiempo t índice en el tiempo lo = valor valor del índice tiempo too general, los índices índices para equipo y materiales elaboran a partir En general, para equipo materiales se elaboran partir de una una mezcla componentes, a los cuales cuales se asignan asignan ciertos ciertos pesos, subdividiendo algualgumezcla de componentes, pesos, subdividiendo nas veces los componentes componentes en aspectos aspectos más básicos. ejemplo, el equipo, equipo, la básicos. Por ejemplo, maquinaria y los componentes componentes de apoyo apoyo del índice índice de costo costo de las plantas químicas maquinaria plantas químicas subdividen en maquinaria maquinaria de proceso, tuberías, válvulas válvulas y accesorios, accesorios, bombas se subdividen proceso, tuberías, bombas y compresores, etcétera. etcétera. Estos subcomponentes, subcomponentes, a su vez, se construyen construyen a partir compresores, partir de artículos aún más básicos como tubería tubería de presión, tubería negra negra y tubería tubería galvanigalvaniartículos básicos como presión, tubería tabla 15.2 muestra muestra el índice índice de costo costo de la planta Chemical Engineering, zada. La tabla planta de Chemical Engineering, índice de costo costo de construcción construcción de Engineering (ENR), y el índice índice el índice Engineering News News Record Record (ENR), costo de equipo equipo de Marshall Marshall & Swift Swift (M&S) (M&S) para de costo para varios varios años. Al periodo periodo base base 1957-1959 se le asigna asigna un valor índice del costo costo de planta de 1957-1959 valor de 100 para para el índice planta de Chemical Engineering (eE), , 1913 = índice ENR, = 100 para Chemical Engineering (CE) = 100 para para el índice ENR, y 1 926 = para el índice de costo costo de equipo equipo de M&S. M&S. índice

p( pi cr

cc si

e(

12

n

P l(

SECCIÓN 15.2 Índices de costos

TABLA TABLA

15.1 15.1

Tipos y fuentes de diversos índices de costos

Tipo de de índice Tipo

Precios Precios globales globales Consumidor (IPC) Consumidor Productor (mayorista) Productor Construcción Construcción Planta química global Equipo, maquinaria maquinaria y apoyos Mano de obra construcción de construcción Edificios Ingeniería Ingeniería y supervisión Engineering News Record Record global Engineering News Construcción Construcción Edificación Edificación Mano de obra común Mano de obra calificada Materiales Materiales tratamiento Índices de planta de tratamiento EPA de la laEPA Tratamiento Tratamiento avanzado en grandes ciudades (LCAT) (LCAT) convencional Tratamiento convencional en pequeñas ciudades (SCCT) Autopistas federales contratistas Costo de contratistas Equipo Equipo Marshall and Swift (M&S) global específicas M&S Industrias específicas Mano Mano de obra obra Producto por hora-hombre hora-hombre por industria industria

Fuente Fuente

Bureau of Labor Statistics U.S. Departarnent Departament of Labor Chemical Chemical Engineering Engineering

Engineering News Record Record (ENR) Engineering News (ENR)

Environmental Protection Protection Agency, EPA Environmental

Marshall & Swift

U.S. Departament Departament of Labor

valores actuales actuales y pasados pasados de varios índices índices pueden pueden obtenerse obtenerse de Internet. Internet. Los valores ejemplo, el índice índice de costo CE CE se encuentra encuentra disponible disponible en el sitio www.che.coml www.che.coml Por ejemplo, pindex. pindex. El índice índice de costos costos de construcción construcción ENR ENR se halla halla en www.construction. www.construction. com, donde se ofrece una serie exhaustiva de recursos com, donde ofrece una serie exhaustiva recursos relacionados relacionados con la construcción, construcción, inclusive inclusive de varios índices índices de costo costo ENR ENR y sistemas sistemas de estimación. estimación. El sitio www.eng-tips.com. usado por muchos profesionales de la ingeniería, www.eng-tips.com, usado muchos profesionales ingeniería, aparece aparece como grupo de conversación técnica acerca de todos los tipos de temas, incluyendo incluyendo como grupo de conversación técnica acerca la estimación. estimación. En las industrias índices de costos industrias manufacturera manufacturera y de servicios, servicios, los índices costos tabulados tabulados no están fácilmente disponibles. El índice de costos variará tal vez con la región están fácilmente disponibles. índice costos variará región del producto o servicio, servicio, y muchos muchos otros factores factores más. Cuando Cuando se estiman estiman país, el tipo de producto costos para para un sistema sistema de manufactura, manufactura, con frecuencia frecuencia es necesario necesario desarrollar desarrollar los costos

529

530

CAPÍTULO 15 Estimación de costos y asignación de costos indirectos

TABLA

15.2

Año

1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

Valores de índices seleccionados índice de costo Planta CE

índice de costo Construcción ENR

índice de costo Equipo M&S

325.3 318.4 323.8 342.5 355.4 357.6 361.3 358.2 359.2 368.1 381.1 381.8 386.5 389.5 390.6 394.1 394.3 395.6 401.7 434.6 (Mitad del año)

4195 4295 4406 4519 4615 4732 4835 4985 5210 5408 5471 5620 5826 5920 6059 6221 6343 6538 6694 7064 (Mitad del año)

789.6 797.6 813.6 852.0 895.1 915.1 930.6 943.1 964.2 993.4 1027.5 1039.2 1056.8 1 061.9 1068.3 1089.0 1093.9 1 104.2 1 123.6 1 136.0 (Estimado)

el índice de costos para las variables del costo de alta prioridad, tales como componentes subcontratados, materiales seleccionados y costos de mano de obra. El desarrollo del índice de costos requiere el costo real en diferentes momentos para una cantidad y calidad específicas del rubro. El periodo base es un tiempo seleccionado EJEMPLO

cuan (peri plica pola serie

II! u

si lo A

1: A S p. u:

12 e /J

li

15.1

Al evaluar la factibilidad de un proyecto de construcción importante, un ingeniero está interesado en determinar el costo de la mano de obra calificada para el trabajo. El ingeniero encuentra que un proyecto de complejidad y magnitud similares se terminó hace 5 años, con un costo de mano de obra calificada de $360000. El índice de mano de obra calificada ENR era entonces de 3496 y ahora se encuentra en 4038. ¿Cuál es el costo esperado de la mano de obra calificada para el nuevo proyecto?

o a

e

Solución

El tiempo base to es hace 5 años. Al utilizar la ecuación [15.1], la estimación del costo presente es Cr = 360 000 ( 4 038 ) 3496 = $415812

nob

pue liza ocu

--~-----~----------------------------------~ SECCIÓN 15.2 Índices de costos

cuando el índice se define con un valor base de 100 (o 1). El índice de cada año (periodo) se determina como el costo dividido entre el costo del año base y multiplicado por 100. Los valores de índice futuro pueden obtenerse utilizando extrapolación simple o técnicas matemáticas más avanzadas, tales como un análisis de serie de tiempo. El desarrollo de índices de costo se ilustra en el siguiente ejemplo.

Un ingeniero de manufactura en Hughes Industries está en el proceso de estimar los costos para una expansión de la planta. Dos artículos importantes usados en el proceso de elaboración son una tarjeta de circuitos subcontratada y una aleación de platino preprocesada. Los puntos de verificación sobre los precios contratados a través del Departamento de Compras, a intervalos de 6 meses (primero y tercer trimestres, o Q1 y Q3), muestran los siguientes costos históricos. Sea el primer trimestre de 2001 el periodo base, y determine los índices de costos utilizando una base de 100. Año Trimestre

1999 01

03

Tarjeta de circuito, $/unidad 57.00 56.90 Aleación de platino, $/onza 446 450

2001

2000 01

03

01

03

2002 01

56.90 56.70 56.60 56.40 56.25 455 575 610 625 635

Solución

Para cada artículo, el índice (lllo) se calcula con el costo del primer trimestre de 2001 usado para el valor lo. Como se indica por los índices de costos mostrados, el índice para la tarjeta de circuitos es estable, mientras que el índice de la aleación de platino aumenta continuamente. Año Trimestre

Índice de costo tarjeta de circuito Índice de costo aleación de platino

1999 01

03

2000 01

03

2001 01

100.71 100.53 100.53 100.17 100.00 73.11

73.77

74.59

03

99.65

2002 01

99.38

94.26 100.00 102.46 104.10

Comentario

El uso del índice de costos para predecir costos debería llevarse a cabo con una buena comprensión de la variable misma. Aumenta el índice de costos de la aleación de platino, aunque el platino es mucho más susceptible a las tendencias y condiciones del mercado económico, que el costo de la tarjeta de circuitos. Por consiguiente, los índices de costos con frecuencia son más confiables para estimar costos presentes y futuros a corto plazo.

Los índices de costos resultan sensibles, a través del tiempo, a los cambios tecnológicos. La cantidad y calidad predefinidas usadas para obtener valores de costo pueden ser difíciles de retener a lo largo del tiempo, así que puede ocurrir un "deslizamiento de índice". La actualización del índice y su definición son necesarios cuando ocurren cambios identificables.

531

532

CAPÍTULO CAPÍTULO 15 Estimación Estimación de costos costos y asignación asignación de costos costos indirectos indirectos

15.3 15.3

RELACIONES RELACIONES DE ESTIMACiÓN ESTIMACiÓN DE COSTO: COSTO: ECUACIONES ECUACIONES COSTO-CAPACIDAD COSTO-CAPACIDAD

variables de diseño diseño (velocidad, (velocidad, peso, peso, empuje, empuje, tamaño tamaño físico, etcétera) etcétera) para para planplanLas variables tas, equipo equipo y construcción construcción se determinan determinan en las etapas etapas iniciales iniciales de diseño. diseño. Las relarelaciones estimación de costos costos (REC) (REC) emplean emplean estas variables variables de diseño diseño para para predepredeciones de estimación costos. Por Por lo tanto, una REC es, por lo general, general, diferente diferente del método método de índice índice de cir costos. costos, debido debido a que el índice índice se basa basa sobre sobre el costo costo histórico histórico de una cantidad cantidad y cacostos, lidad definidas definidas de una variable. variable. Uno de los modelos modelos REC más ampliamente ampliamente utilizado utilizado es la ecuación ecuación de costocostocapacidad. Como Como el nombre nombre lo indica, indica, se trata trata de una ecuación ecuación que relaciona relaciona el capacidad. costo de un componente, componente, sistema sistema o planta capacidad. A ésta ésta también también se le cocosto planta con su capacidad. noce como modelo del dimensionamiento dimensionamiento y de la ley de la capacidad. capacidad. Puesto Puesto que noce como el modelo muchas ecuaciones ecuaciones de costo-capacidad costo-capacidad se representan representan gráficamente gráficamente como como una línea línea muchas recta sobre sobre papel papellogarítmico, común es recta logarítmico, una forma común

[15.2] donde Cl = costo costo a la capacidad capacidad Ql Ql donde = costo costo a la capacidad capacidad Q Q22 C2 = x = = exponente exponente de correlación correlación El valor valor del exponente exponente para diversos componentes, sistemas o plantas para diversos componentes, sistemas plantas completas completas se obtiene o se deriva de diversas fuentes, incluyendo Plant Design and Economicsfor obtiene deriva diversas fuentes, incluyendo Plant Design and Economics for Chemical Engineers, Chemical Engineering, Chemical Chemical Engineers, Preliminary Preliminary Plant Plant Design Design in Chemical Engineering, Chemical Engineers' Handbook, revistas técnicas (especialmente Chemical Engineering), Engineers ' Handbook, revistas técnicas (especialmente Chemical Engineering), la U.S. Environmental Environmental ProtectionAgency, ProtectionAgency, organizaciones organizaciones profesionales profesionales o comerciales, comerciales, firmas consultoras, consultoras, manuales manuales y compañías compañías de equipos. equipos. La tabla tabla 15.3 es un listado listado firmas parcial de valores valores habituales habituales del exponente exponente para para diversas diversas unidades. unidades. Cuando Cuando no se parcial conoce el valor valor de un exponente exponente para para una unidad unidad particular, acostumbra utilizar utilizar el conoce particular, se acostumbra valor promedio promedio de 0.6. De hecho, en la industria industria de procesamiento procesamiento químico, la ecuación ecuación [15.2] es referida referida como como el modelo modelo de los seis décimos. décimos. Usualmente, Usualmente, O O< x::; < x::; 1. Las economías de escala toman ventaja de los valores x < 1; si x = 1, está presente economías escala toman ventaja valores = está presente una relación lineal. Cuando x > 1, existen deseconomías de escala en cuanto espera relación Cuando existen deseconomías escala cuanto que se espera que un mayor mayor tamaño tamaño sea más costoso costoso que el de una relación relación puramente puramente lineal. lineal. Es especialmente especialmente poderoso poderoso combinar combinar el ajuste ajuste del tiempo tiempo del índice índice de costos costos (l/lo) de la ecuación ecuación [15.1] con una ecuación ecuación costo-capacidad costo-capacidad para para estimar estimar los cos(l/Jo) tos que cambian cambian con el tiempo. tiempo. Si el índice índice está está incluido incluido en los cálculos cálculos de costocostocapacidad de la ecuación [15.2], el costo en el tiempo t y en el nivel de capacidad capacidad 2 capacidad ecuación [15 .2], costo tiempo yen se escribe escribe como como el producto de dos términos independientes. producto términos independientes. = (costo (costo en el tiempo tiempo O Ode nivel 2) x (índice (índice de costo costo ajustado ajustado en el tiempo) tiempo) C2 ,t,( = de nivel

SECCIÓN SECCIÓN 15.3 15.3

TABLA TABLA

Relaciones de estimación estimación de de costo: costo: ecuaciones ecuaciones costo-capacidad costo-capacidad Relaciones

15.3 Valores exponenciales exponenciales para ecuaciones de costo-capacidad costo-capacidad 15.3 Valores para ecuaciones

Componentes/sistema/planta Componentes/sistema/planta

Planta de de Iodos lodos activados activados Planta Clasificador aeróbico aeróbico Clasificador Soplador Soplador Centrífuga Centrífuga Planta Planta de de cloro cloro Clarificador Clarificador Compresor, reciprocante reciprocante Compresor, (servicio de de aire) aire) (servicio Compresor Compresor Separador centrífugo Separador centrífugo Secador Secador Filtro de de arena arena Filtro Intercambiador de calor calor Intercambiador Planta de Planta de hidrógeno hidrógeno Laboratorio Laboratorio Laguna Laguna de aireación aireación Bomba Bomba centrífuga centrífuga Reactor Reactor Lecho secado de Lecho de de secado de Iodos lodos Pozo de Pozo de estabilización estabilización Tanque, Tanque, acero acero inoxidable inoxidable

Tamaño del del rango Tamaño rango

Exponente Exponente

l-100MGD l-100MGD 0.2-40MGD 0.2-40MGD 1000-7000 ft/min 1000-7000 ft/min 40-60 in in 40-60 000-350000 ton/año ton/año 3 000-350000 0.1 -100MGD 0.1-100MGD

0.84 0.84 0.14 0.14 0.46 0.46

5-300 hp 5-300 hp 200-2100 hp hp 200-2100 20-8000 20-8000 ft3/min ft3/min 15-400 ft2 15-400 ft2 0.5-200MGD 0.5-200MGD 500-3 000 500-3 000 ft2 ft2 500-20000 500-20 000 pced pced 0.05-50MGD 0.05 -50MGD 0.05-20MGD 0.05-20MGD 10-200 hp 10-200 hp 50-4000 gal 50-4000 gal 0.04-5 0.04-5 MGD MGD 0.01-0.2 0.01-0.2 MGD MGD 100-2000 gal 100-2000 gal

0.90 0.90 0.32 0.32 0.64 0.64 0.71 0.71 0.82 0.82 0.55 0.55 0.56 0.56 1.02 1.02 1.13 1.l3

=

=

0.71 0.71 0.44 0.44 0.98 0.98

0.69 0.69 0.74 0.74 1.35 1.35 0.14 0.14 0.67 0.67

=

NOTA: millón de NOTA: MGD MGD = millón de galones galones por por día; día; hp hp = caballos caballos de de fuerza; fuerza; pced pced = pies pies cúbicos cúbicos estándar estándar por por día. día.

Por lo general, subíndice tiempo. general, esto se expresa expresa sin el subíndice tiempo. Por lo tanto, C2

=c{~~-r[:J =c{~~-r[:J

[15.3] [15.3]

El siguiente siguiente ejemplo ejemplo ilustra ilustra el uso de esta esta relación. relación. EJEMPLO EJEMPLO

15.3 15.3

".

El costo costo total total de diseño diseño y construcción construcción de un un digestor digestor para para manejar manejar flujo flujo a una una tasa tasa de 500 500 000 000 galones $1.7 millones galones diarios diarios (MGD) (MGD) fue fue de de $1.7 millones en en el año año 2000. 2000. Estime Estime el costo costo actual actual para para una 15-3 para una tasa tasa de de flujo flujo de 2 MGD. MGD. El exponente exponente de de la la tabla tabla 15-3 para el rango rango de de 0.2 0.2 a 40 40 MGD MGD es 0.14. 225 para para este este año. año. 0.14. El El índice índice de costo costo en en 2000 2000 se ha ha actualizado actualizado de 131 a 225 Solución Solución La [15.2] estima sistema más pero debe La ecuación ecuación [15.2) estima el costo costo del del sistema más grande grande en en 2000, 2000, pero debe actualizarse actualizarse con para dólares La ecuación [15.3] realiza con el índice índice de de costo costo para dólares de de hoy. La ecuación [15.3) realiza ambas ambas operaciones operaciones a la vez. El corrientes es el siguiente: siguiente: la vez. El costo costo estimado estimado en en dólares dólares corrientes

e, 700000 ( 2.0 2.0 )O.14( )O.14( 225) 225 ) C, = 1 700000 0.5 0.5

=

131

=

= 1 700000(1.214)(1.718) $3546178 700000(1.214)(1.718) = $3546178

533

534

15 Estimación de costos y asignación de costos indirectos CAPÍTULO 15

15.4 15.4

Método unitario unitario Método

RELACIONES DE ESTIMACiÓN ESTIMACiÓN RELACIONES COSTOS: MÉTODO MÉTODO DE FACTOR FACTOR DE COSTOS:

modelo ampliamente ampliamente utilizado utilizado para Otro modelo para obtener obtener estimaciones estimaciones de costos costos preliminapreliminaprocesadoras se denomina denomina método plantas procesadoras res de plantas método de factor. fac tor. Mientras Mientras que los métométoantes analizados analizados pueden pueden utilizarse utilizarse para dos antes para estimar estimar los costos costos de grandes grandes artículos artículos equipo, procesos procesos y los costos costos de planta de equipo, planta totales, totales, el método método de factor factor se desarrolló desarrolló específicamente para para costos costos de planta específicamente planta totales. totales. El método método está está basado basado en la premisa premisa pueden obtenerse obtenerse costos costos de planta de que pueden planta totales totales bastante bastante confiables confiables multiplicando multiplicando costo del equipo principal por por ciertos el costo equipo principal ciertos factores. factores . Teniendo Teniendo en cuenta cuenta que los costos costos principal están fácilmente fácilmente disponibles, del equipo equipo principal disponibles, las estimaciones estimaciones rápidas rápidas de planta planta posibles si se conocen conocen los factores factores apropiados. son posibles apropiados. Con frecuencia frecuencia se hace hace referenreferenfactores como como factores factores Lang cia a dichos factores Lang en memoria memoria de Hans Hans J. Lang, Lang, quien quien fue el primero en proponer proponer el método método en 1947. primero forma más simple, simple, el método En su forma método de factor factor se expresa expresa en la misma misma forma forma que método unitario: unitario: el método [15.4] donde C T = = costo de planta planta total donde factor del costo global suma de factores h= = factor global o suma factores de costo costo individuales individuales CE = = costo total del equipo CE equipo más importante importante Observe que h puede puede ser un factor factor de costo Observe costo global global o, de manera manera más realista, realista, la componentes de costo costo individuales, individuales, tales como suma de los componentes como construcción, construcción, mantemantenimiento, mano de obra directa, directa, materiales indirecto. Esto sinimiento, materiales y elementos elementos de costo costo indirecto. enfoque de estimación estimación de costos 15.1. gue al enfoque costos presentado presentado en la figura figura 15 .1. trabajo original, original, Lang mostró En su trabajo mostró que los factores factores de costo costo directo directo e indirecto indirecto pueden combinarse combinarse en un factor factor global, pueden global, para para diversos diversos tipos de plantas, plantas, como como las siguientes: plantas plantas procesadoras procesadoras de sólidos, sólidos, 3.10; plantas fluidos y siguientes: plantas procesadoras procesadoras de fluidos sólidos, 3.63 3.63,, y plantas plantas procesadoras procesadoras de fluidos, sólidos, fluidos, 4.74. Tales factores factores revelan revelan que el planta instalada instalada es cierto costo total de la planta cierto número número de veces veces el costo costo inicial inicial del equipo equipo principal. principal. Refinamientos posteriores posteriores del método Refinamientos método de factor factor llevaron llevaron al desarrollo desarrollo de factofactoseparados para para componentes componentes de los costos res separados costos directos directos e indirectos. indirectos. Los costos costos diEJEMPLO EJEMPLO

15.4

~.

Petroleum ha aprendido que una expansión Un ingeniero con Phillips Petroleum expansión de la planta de proceso de fluidos y sólidos tendría un costo de equipo entregado entregado de $1.55 millones. millones . Si el factor de costo global para este tipo de planta es 3.63, estime el costo total de la planta. planta. Solución Solución

El costo total de la planta se estima por la ecuación ecuación [15.4]. 550000) CTT = 3.63(1 550000) = $5 626 500

estimación de costos: método de factor SECCIÓN 15.4 Relaciones de estimación

rectos, analizaron en la sección identificables rectos, como como se analizaron sección 15.1, son específicamente específicamente identificables con un producto, producto, función proceso. Los costos función o proceso. costos indirectos indirectos son aquellos aquellos que no se atribuyen varias, ya atribuyen directamente directamente a una sola función, función, sino que son compartidos compartidos por varias, necesarios para alcanzar el objetivo Ejemplos de costos costos indirectos indirectos que son necesarios para alcanzar objetivo global. Ejemplos son la administración administración general, general, servicios servicios de cómputo, cómputo, calidad, calidad, seguridad, seguridad, impuestos, impuestos, vigilancia para costos vigilancia y una diversidad diversidad de funciones funciones de apoyo. Los factores factores tanto tanto para costos directos partir de los costos directos como indirectos indirectos se desarrollan desarrollan algunas veces a partir costos del equipo equipo entregado veces, de los costos presente texto se entregado y, otras veces, costos del equipo equipo instalado. instalado. En el presente supondrá supondrá que todos los factores factores se aplican aplican a los costos costos del equipo equipo entregado, entregado, a menos menos que se especifique especifique lo contrario. contrario. Algunos para los costos Algunos de los factores factores para costos indirectos indirectos se aplican aplican sólo a los costos costos equipo, mientras otros se aplican aplican al costo costo directo directo total. En el primer del equipo, mientras que otros primer caso, el procedimiento procedimiento más simple simple consiste consiste en agregar agregar los factores factores de costos costos directos directos e indirectos multiplicar por el costo directos antes de multiplicar costo del equipo equipo entregado. entregado. El factor factor de costo costo global global h se escribe escribe como como n11

h=l+ h=l+

'Lf I..f

[15.5]

;=1 i=l

donde donde

fJ¡

factor por cada factor por cada componente componente de costo costo componentes componentes 1 a n, incluyendo incluyendo costo costo indirecto indirecto

Si se aplica costo indirecto indirecto al costo directo aplica el factor factor de costo directo total, sólo se suman suman los facdirecto para obtener obtener h. En consecuencia, consecuencia, la ecuación ecuación [15.4] se reescribe reescribe tores de costo directo como [15.6] donde donde h

fJ¡

factor factor de costo costo indirecto indirecto factores para componentes factores para componentes de costo costo directo directo

Los ejemplos ejemplos 15.5 y 15.6 ilustran ilustran estas ecuaciones. ecuaciones. EJEMPLO EJEMPLO

15.5 15.5

Se espera que el costo del equipo entregado para una pequeña pequeña planta de procesamiento procesamiento de sustancias químicas sea de $2 millones. Si el factor de costo directo es 1.61 1.61 y el factor de costo indirecto indirecto es 0.25, determine el costo total de la planta. Solución Solución

Puesto que todos los factores se aplican al costo del equipo entregado, se suman para obtener h, el factor de costo total en la ecuación [15.5]. h = 1 + 1.61 1.61 + 0.25 = 2.86

De acuerdo con la ecuación [15.4], el costo total de la planta es: CT = = 2.86(2 000 000) == $5 720 000

535

536

CAPÍTULO CAPíTULO 15

EJEMPLO EJEMPLO

Estimación de de costos costos y asignación indirectos asignación de costos costos indirectos Estimación

15.6

.~.

espera que que una de tratamiento agua de los siguientes siguientes costos costos Se espera una planta planta de tratamiento de de agua de desecho desecho tenga tenga los iniciales de de equipo equipo entregado: entregado: iniciales

Equipo Equipo

Costo Costo

Tratamiento preliminar preliminar Tratamiento Tratamiento primario Tratamiento pómario Lodo activado Lodo activado Clarificación Clarificación Clorinación Cloónación Digestión Digestión Filtración de vacío Filtración de vacío

Costo total Costo total

s

$30000 $30000 40000 40000 18000 18000 57000 57000 31000 31000 70000 70000 27000 27000 $273000 $273000

El factor costo para para la la instalación instalación de tubería, tubería, concreto, factor de de costo concreto, acero, acero, aislante, aislante, soportes, soportes, etcétera, etcétera, costo indirecto indirecto es 0.21 Determine es 0.49. El factor de construcción 0.53, y el factor 0.49. El factor de construcción es 0.53, factor de costo 0.21. . Determine todos los el costo total de la planta planta si a) todos costo total de la los factores factores de de costos costos se se aplican aplican al costo costo del del equipo equipo entregado de costo indirecto se aplica directo total. total. entregado y b) el factor factor de costo indirecto aplica al costo costo directo

deci Els dec utili ou Der

lo e ider

esu de t asig

pan

ala legr tera infe lo t

bas Solución Solución a) El costo de equipo total es es $273 Puesto que que tanto tanto los los factores del costo directo costo de equipo total $273 000. 000. Puesto factores del costo directo como del indirecto indirecto se como del se aplican aplican sólo sólo al costo costo del del equipo, equipo, el factor factor de de costo costo global global de de la ecuación [15.5] [15.5] es ecuación

del dire pm

h = 1 + 0.49 0.49 + 0.53 0.53 + 0.21 0.21 = 2.23 2.23

El total de de la la planta planta es El costo costo total CTT = 2.23(273 2.23(273 000) 000) = $608 $608 790 790 b)

Ahora se calcula calcula primero costo directo directo total, ecuación [15.6] [15.6] para estimar Ahora primero el costo total, y se usa usa la la ecuación para estimar el costo total de planta. costo total de la planta. h= h=

i¡;

1+ i¡; =1+0.49+0.53=2.02 1+ =1+0.49+0.53=2.02 ;= ;=11

[273000(2.02)](1.21) = $667 $667 267 CT = [273000(2.02)](1.21) 267

Comentario Comentario Advierta disminución en en el costo de la la planta planta cuando cuando se aplica aplica el costo costo indirecto indirecto Advierta la disminución costo estimado estimado de Esto ilustra ilustra la importancia importancia de de determinar determinar con sólo del equipo la parte parte a). Esto sólo al costo costo del equipo en la con exactitud exactitud qué de utilizarlos. utilizarlos. qué factores factores aplicar aplicar antes antes de

15.5 15.5

TASA DE COSTOS TRADICIONALES COSTOS INDIRECTOS INDIRECTOS TRADICIONALES Y ASIGNACiÓN ASIGNACiÓN

Los costos producción de un artículo prestación de un costos en que que se incurre incurre en la producción artículo o en la prestación servicio tienen tienen un seguimiento seguimiento y una asignación asignación mediante mediante un sistema contabilidad servicio sistema de contabilidad de costos. manufacturero, generalmente costos. En el ambiente ambiente manufacturero, generalmente se puede puede establecer establecer que la

El, si u

SECCIÓN SECCIÓN 15.5

Tasa Tasa de costos costos indirectos indirectos tradicionales tradicionales y asignación asignación

declaración declaración del costo costo de los bienes bienes vendidos vendidos es un producto producto final de dicho dicho sistema. sistema. El sistema sistema de contabilidad contabilidad de costos costos acumula acumula costos costos de materiales, materiales, costos costos de mano mano de obra obra y costos costos indirectos indirectos (llamados (llamados también también costos costos generales generales o gastos gastos de fábrica) fábrica) utilizando utilizando los centros centros de costos. costos. Todos los costos costos en los que incurre incurre un departamento departamento o línea línea de proceso proceso se reúnen reúnen bajo bajo un título título de centro centro de costos, costos, por por ejemplo, ejemplo, el Departamento Departamento 3X. Puesto Puesto que los materiales materiales directos directos y la mano mano de obra obra directa directa por lo común centro de costos, común son asignables asignables directamente directamente a un centro costos, el sistema sistema sólo necesita necesita identificar identificar y hacer hacer seguimiento seguimiento a dichos costos. costos. Por supuesto, supuesto, esto en sí mismo mismo no es una labor labor fácil y el costo costo del sistema sistema de seguimiento seguimiento llega llega a dificultar dificultar la recolección recolección de toda toda la información información de costos costos directos directos en el nivel nivel de detalle detalle que se desea. Una de las labores labores primordiales primordiales y más difíciles difíciles de la contabilidad contabilidad de costos costos es la asignación asignación de los costos costos indirectos indirectos cuando cuando es necesario necesario asignarlos asignados por separado separado a departamentos, producto. Los costos partamentos, procesos procesos y líneas líneas de producto. costos asociados asociados con los impuestos impuestos a la propiedad, propiedad, los departamentos departamentos de servicio servicio y mantenimiento, mantenimiento, el personal, personal, asesoría asesoría legal, calidad, calidad, supervisión, supervisión, compras, compras, servicios servicios públicos, públicos, desarrollo desarrollo de software, software, etcétera, tera, deben deben asignarse asignarse al centro centro de costos costos en uso. La recolección recolección detallada detallada de esta esta información es difícil difícil en términos términos de costos costos y con frecuencia frecuencia resulta resulta imposible; imposible; por información tanto, se utilizan utilizan esquemas esquemas de asignación asignación para para distribuir distribuir los gastos gastos sobre sobre una una lo tanto, razonable. En la tabla incluye un listado listado de las posibles posibles bases. bases. El costo costo base razonable. tabla 15.4 se incluye mano de obra obra directa, directa, las horas de mano mano de obra obra directa, directa, el espacio espacio y los materiales materiales de mano directos son las bases históricamente históricamente comunes. comunes. directos mayor parte parte de la asignación asignación se logra logra utilizando utilizando una tasa de costo indirecto indirecto La mayor predeterminada, calculada calculada mediante mediante la relación relación general: general: predeterminada,

costos costos indirectos indirectos estimados estimados Tasa Tasa de costo costo indirecto indirecto = = ----------------------nivel estimado estimado de la base base nivel

[15.7]

El costo costo indirecto indirecto estimado estimado es el monto monto asignado asignado a un centro centro de costo. Por ejemplo, ejemplo, división tiene dos departamentos departamentos de producción, utiliza el costo costo indirecto indirecto si una división producción, se utiliza TABLA

15.4 15.4 Bases de asignación de costos indirectos

Categoría Categoría de costos costos

de asignación asignación posibles posibles Bases de

Impuestos Impuestos Calefacción, luz luz Calefacción, Electricidad Electricidad

Espacio Espacio ocupado ocupado Espacio, de salida Espacio, uso, uso, número número de puntos puntos de salida Espacio, Espacio, horas horas de mano mano de obra obra directa, directa, costo costo de mano mano de obra obra directa, directa, horas horas de máquina máquina Costo Costo de materiales, materiales, número número de pedidos, pedidos, número artículos número de artículos Horas de mano mano de obra obra directa, directa, costo costo Horas mano de obra obra directa directa de mano Espacio ocupado, ocupado, costo costo de mano mano de obra obra Espacio directa directa Número accesos Número de accesos Número de inspecciones inspecciones Número de

Recepción, compra compra Recepción, Personal, taller de máquinas máquinas Personal, taller Mantenimiento de edificaciones edificaciones Mantenimiento Desarrollo de software software Desarrollo Control de calidad calidad Control

537

538 538

CAPÍTULO CAPÍTULO 15

EJEMPLO EJEMPLO

Estimación de costos costos y asignación asignación de costos costos indirectos indirectos Estimación

15.7 15.7

".

EnviroTech, Inc., está está calculando calculando tasas de costos costos indirectos indirectos para de proEnviroTech, Inc., tasas de para la manufactura manufactura de productos de de vidrio. La siguiente siguiente información información se obtuvo obtuvo del del presupuesto del último año para ductos vidrio. La presupuesto del último año para las tres máquinas utilizadas en la producción. las tres máquinas utilizadas en producción. Nivel estimado estimado Nivel de actividad actividad de

Fuente de de costo costo Fuente

de asignación asignación Base de

Máquina Máquina 1 Máquina Máquina 2 Máquina 3 Máquina

Costo de de mano de obra obra directa directa Costo mano de Horas de mano de obra obra directa directa Horas de mano de Costo de de material material directo directo Costo

$100000 $100000 2000 horas horas 2000 $250000 $250000

Determine cada máquina del costo costo indirecto indirecto anual anual estimado estimado Determine las tasas tasas para para cada máquina si el presupuesto presupuesto del $50 000 000 por cada una. es $50 por cada una. Solución Solución aplicar la ecuación ecuación [15.7] [15.7] para cada máquina, las tasas anuales son: son: Al aplicar para cada máquina, las tasas anuales T presupuesto indirecto .,.., d ' . 11 presupuesto indirecto asa d e maquilla ---"----"--------Lasa maquilla = --=---=--------costo de mano de obra obra directa directa costo mano de

50000 50000 100000 100000

= $0.50 $0.50 por dólar de de mano mano de de obra obra directa directa = por dólar presupuesto indirecto__ 50000 50000 ' . 2 __ -,p,-r_e_su-,p,-u_e_s_to_i_n_d_ir_e_c_to T asa de d e m~quina Tasa maquilla 2 = - - - ' ' - - - - ' - - - - - - - horas mano de de obra directa 2000 horas de mano obra directa 2000 $25 por de mano de obra obra directa directa = $25 por hora hora de mano de presupuesto indirecto ' . 3 presupuesto indirecto asa de maquilla Tasa maquilla = --"---=------costo de de material costo material

50000 50000

Sipru millo 500 son II el tip

e

:E prodt

ligera

espec manu es un se re incor dema ser la segúr bases yaqu unifo los c< activi {

las ta suma den o mula

250000 250000

$0.20 por dólar en material directo = $0.20 por dólar material directo Comentario Comentario Una vez que que se ha elaborado el producto, han calculado calculado los los costos costos y las las horas Una vez ha elaborado producto, y se han horas de mano mano de obra obra directa directa reales los costos costos de de materiales, cada dólar dólar de de costo costo de de mano de obra obra directa directa de reales y los materiales, cada mano de gastado en la máquina implica que que $0.50 $0.50 en en el costo costo indirecto indirecto se agregarán agregarán al costo costo del del gastado máquina 1 implica producto. similar, para para las máquinas suman los indirectos. producto. De De manera manera similar, máquinas 2 y 3 se suman los gastos gastos indirectos.

total asignado a un departamento departamento como de la la ecuación [15.7], para detotal asignado como el numerador numerador de ecuación [15.7], para determinar la tasa del departamento. departamento. El ejemplo ejemplo 15.7 15.7 ilustra ilustra la la asignación asignación cuando cuando el terminar la tasa del centro de costos es es una centro de costos una máquina. máquina. Cuando se se usa la misma de asignación asignación para distribuir costos costos indirectos indirectos a Cuando usa la misma base base de para distribuir varios centros de de costo, costo, se puede determinar una ejemplo, varios centros puede determinar una tasa global global o general. general. Por Por ejemplo, los materiales directos son son la la base la asignación asignación a cuatro cuatro líneas líneas de de proceso si los materiales directos base para para la proceso separadas, la la tasa general es separadas, tasa general total de costos costos indirectos indirectos total de Tasa de de costo costo indirecto indirecto = =--------------Tasa -------------total del costo costo de de materiales directos total del materiales directos

• VI ea' tm el

SECCIÓN

15.5

Tasa de costos indirectos tradicionales

y asignación

Si para las cuatro líneas se estiman totales de $500 000 en costos indirectos y de $3 millones en materiales para el próximo año, la tasa general indirecta por aplicar es = $0.167 por dólar de costo de materiales. Las tasas generales 500000/3000000 son más fáciles de calcular y aplicar, aunque no toman en cuenta las diferencias en el tipo de actividades logradas en cada centro de costo. En la mayoría de los casos, la maquinaria o los procesos agregan valor al producto final a tasas diferentes por unidad u hora de uso. Por ejemplo, la maquinaria ligera puede contribuir menos por hora que la más pesada y cara. Esto es cierto en especial cuando se usa tecnología avanzada en el proceso, por ejemplo una celda de manufactura automatizada que se emplee junto con métodos tradicionales como lo es un equipo de acabados no automatizado. El uso de tasas globales o conjuntas no se recomienda en estos casos, ya que el costo indirecto se asignaría en forma incorrecta. La maquinaria que contribuye con un valor más bajo acumularía demasiado al costo indirecto. El enfoque de la asignación del costo indirecto debe ser la aplicación de bases diferentes para distintas máquinas, actividades, etcétera, según se estudió antes e ilustró con el ejemplo 15.7. Es frecuente que el uso de bases apropiadas y distintas se denomine método de la tasa por hora de producción, ya que la tasa de costo se determina con base en el valor agregado, no con una tasa uniforme o global. Darse cuenta que es normal usar más de una base para asignar los costos indirectos ha conducido al empleo de métodos de costeo basados en actividades, como se estudia en la siguiente sección. Una vez transcurrido un periodo de tiempo (mes, trimestre o año), se utilizan las tasas de costo indirecto para obtener el cargo de costos indirectos, que luego se suma a los costos directos. Esto resulta en el costo total de producción, al cual se le denomina el costo de bienes vendidos, o costo de fábrica. Dichos costos son acumulados por el centro de costo. 15.8

EJEMPLO

.

Una vez determinadas las tasas de costos indirectos para EnviroTech (ejemplo 15.7), se calcula ahora el costo de fábrica total para un mes. Realice los cálculos utilizando los datos de la tabla 15.5. También calcule la varianza en la asignación de costos indirectos para el mes.

TABLA

15.5 Información mensual real utilizada para la asignación de costos indirectos

Fuente de costo Material Mano de obra

Número de máquina

Costo real

Horas reales

1 3

$3800 19550 2500 3200 2800

650 750 720

1

2 3

539

540

CAPÍTULO 15 CAPÍTULO

Estimación de costos asignación de costos costos indirectos indirectos Estimación costos y asignación

Solución Solución Empiece con con la relación del costo costo de de los los bienes (costo de de fábrica) fábrica) dada dada por Empiece relación del bienes vendidos vendidos (costo por la ecuación [B.1] [B.1] en en el apéndice apéndice B, la cual cual es ecuación

D

Costo de de los los bienes directos + mano mano de obra obra directa directa Costo bienes vendidos vendidos = materiales materiales directos costos indirectos indirectos + costos

dI ci ta pl

Para determinar determinar los los costos costos indirectos, indirectos, se utilizan las tasas del ejemplo ejemplo 15.7: 15.7: Para utilizan las tasas del Máquina 1, indirecto indirecto = = (costo (costo de de mano de obra)(tasa) obra)(tasa) = 2 500(0.50) 500(0.50) = = $1250 $1 250 mano de Máquina Máquina 2, indirecto indirecto = = (horas (horas de de mano de obra)(tasa) obra)(tasa) = 750(25.00) 750(25.00) = = $18 $18 750 750 Máquina mano de Máquina 3, indirecto indirecto = (costo (costo de materiales)(tasa) materiales)(tasa) = 19550(0.20) 19550(0.20) = $3 910 910 Máquina

pi

v.

al 1.

Costo indirecto indirecto total cargado = $23 $23 910 910 Costo total cargado

El mano de reales de la tabla tabla El costo costo de de fábrica fábrica es la suma suma de de los los costos costos de de mano de obra obra y materiales materiales reales 15.5 y el cargo para un total cargo del del costo costo indirecto indirecto para $55 760. 760. total de $55 Con base en presupuesto anual por máquina, máquina, un un mes Con base en el presupuesto anual de costo costo indirecto indirecto de $50 $50 000 000 por mes representa 1/12 del del total representa 1/12 total o

s

3(50000) 3(50000) Presupuesto mensual --'-----~ Presupuesto mensual = --'--------'12 $12 500 500 = $12 La varianza para el costo costo total indirecto es: La varianza para total indirecto

Varianza Varianza

= 12 12500 = 500 -

23910 = $-11 $-11 410 410 23 910 =

Ésta es una enorme subasignación subasignación presupuestaria, que se se carga carga mucho que lo asigasigÉsta una enorme presupuestaria, ya ya que mucho más más que nado. Los $12 $12 500 500 presupuestados subasignación nado. Los presupuestados para para las tres tres máquinas máquinas representan representan una una subasignación de 91.3% para un un mes mes del año puede agilizar 91.3% de los los costos costos indirectos. indirectos. Tal Tal análisis análisis sólo sólo para año puede agilizar la revisión de las tasas tasas y los costos para el presupuesto presupuesto de Enviro revisión costos indirectos indirectos para Enviro Tech. Tech.

costos indirectos indirectos totales correcto, los costos costos indirectos indirectos Si el presupuesto presupuesto de costos totales es correcto, cargados a todos los centros centros de costos costos para considerado deberían deberían igualar igualar cargados para el periodo periodo considerado cantidad de presupuesto. embargo, debido debido a que siempre siempre existe existe algún algún error error esta cantidad presupuesto. Sin embargo, cierta sobreasignación sobreasignación o subasignación subasignación relativa cargos en el presupuesto, presupuesto, habrá habrá cierta relativa a los cargos reales, cual se denomina denomina varianza varianza en la asignación. asignación. La experiencia experiencia en la estimaestimareales, lo cual costos indirectos indirectos ayuda ayuda a reducir contable. El ción de costos reducir la varianza varianza al final del periodo periodo contable. ejemplo 15.8 ilustra ilustra la asignación asignación de costos costos indirectos indirectos y el cálculo cálculo de la varianza. ejemplo varianza. Una vez determinadas posible efecUna determinadas las estimaciones estimaciones de los costos costos indirectos, indirectos, es posible tuar un análisis análisis económico económico de la operación operación presente operación propuesta. presente versus versus una operación propuesta. Dicho estudio estudio se describe describe en el ejemplo ejemplo 15.9. Dicho 15.6 15.6

COSTEO BASADO BASADO EN ACTIVIDADES (CBA) COSTEO ACTIVIDADES {CBA} COSTOS INDIRECTOS INDIRECTOS PARA COSTOS

Puesto que las tecnologías automatización, de software Puesto tecnologías de automatización, software y de manufactura manufactura han progresado, el número obra directa directa necesarias fabricar un gresado, número de horas horas de mano mano de obra necesarias para para fabricar

5

I d e

SECCIÓN

EJEMPLO

Costeo basado en actividades

15.6

15.9

(CBA) para costos indirectos

.

Durante varios años la Cuisinart Corporation ha comprado la garrafa ensamblada de su principal línea de cafeteras a un costo anual de $1.5 millones. Se ha hecho la sugerencia de elaborar el componente dentro de la empresa. En la tabla 15.6 se muestran las estimaciones de material, mano de obra y horas para los tres departamentos involucrados en las tasas de costo indirecto anual. La columna de horas asignadas es el tiempo necesario para producir las garrafas durante un año. El equipo debe comprarse con las siguientes estimaciones: costo inicial de $2 millones, valor de salvamento de $50 000 y vida de 10 años. Realice un análisis económico para la alternativa de fabricar la garrafa, suponiendo que la TMAR es una tasa de mercado de 15% anual.

TABLA

15.6

Estimación del costo de producción para el ejemplo 15.9 Costos indirectos

Departamento A B C

Costo mano de obra directa

Base, horas

Tasa por hora

Horas asignadas

Costo de material

Mano de obra Máquina Mano de obra

$10 5 15

25000 25000 10000

$200000 50000 50000

$200000 200000 100000

$300000

$500000

Solución Para fabricar los componentes dentro de la compañía, los COA están constituidos de mano de obra directa, material directo y costos indirectos. Use los datos de la tabla 15.6 para calcular la asignación de costos indirectos. Departamento

A:

25 OOO(1O)

$250000

Departamento

B:

25000(5)

125000

Departamento

C:

10000(15)

150000 $525000

COA = 500 000 + 300 000 + 525 000 = $1 325 000 El valor anual de la alternativa de fabricar es el total de la recuperación VAfabncar= -P(Alp,i,n) = -2000

de capital y el COA.

+ S(AlF,i,n) - COA

000(AlP,15%,1O) + 50 000(AlF,15%,10) - 1 325000

= $-1 721 037

En la actualidad, las garrafas se compran con un VA de VAcompra = $-1 500 000 Resulta más barato comprar, pues el VA de costos es menor.

541

542 542

CAPÍTULO 15 CAPÍTULO

Estimación de costos costos y asignación asignación de costos Estimación costos indirectos indirectos

producto se ha reducido reducido de manera manera sustancial. sustancial. Mientras producto Mientras en una una época época se consideraban consideraban porcentajes producto como como mano mano de obra, obra, ahora ahora el porcentajes del 35 al 45% del costo final del producto componente costo de manufactura manufactura componente de mano de obra es por lo común común del 5 al 10% del costo total. Sin embargo, ahora hasta hasta de 35% del costo costo de maembargo, el costo indirecto indirecto puede puede ser ahora nufactura mano de obra obra directa, directa, para para asignar asignar nufactura total. El uso de bases, bases, como como las horas horas de mano el costo indirecto para los ambientes ambientes automatizados automatizados y indirecto no tiene tiene la exactitud exactitud suficiente suficiente para de tecnología desarrollo de nuevos nuevos métodos métodos tecnología avanzada. avanzada. Este Este hecho hecho ha conducido conducido al desarrollo que complementan tradicionales que se basan, basan, de una forma forma complementan las asignaciones asignaciones de costos costos tradicionales u otra, en la ecuación utilizan de ordinario ordinario bases bases de asignación asignación ecuación [15.7]. Asimismo, Asimismo, se utilizan diferentes diferentes de las tradicionales. tradicionales. Es importante vista de la ingeniería ingeniería económica, económica, importante darse cuenta, cuenta, desde el punto punto de vista de cuándo sistemas de asignación asignación de costos costos tradicionales tradicionales con cuándo deben deben superarse superarse los sistemas mejores métodos tradicionales, tradicionales, en apariencia apariencia mejores métodos. métodos. Un producto producto que, usando usando métodos pudo haber utilidad, en realidad realidad quizá quizá sea un haber contribuido contribuido con una gran porción porción de la utilidad, perdedor forma más precisa. precisa. Las compañías compañías perdedor al asignarse asignarse los costos costos indirectos indirectos en forma que tienen una amplia variedad de productos y fabrican algunos en pequeños lotes tienen amplia variedad productos fabrican algunos pequeños lotes pueden encontrar que los métodos tradicionales de asignación tienden a subasignar subasignar los pequeños. Esto puede indicar que son rentables, costos indirectos a los productos de lotes pequeños. cuando en realidad se está perdiendo dinero con ellos. Además, por hora de producción, producción, el cual emplea emplea Además, debe usarse el método método de la tasa por bases de asignación agregado por por hora de operación, operación, asignación distintas y que depende depende del valor agregado según se estudió técnica mejorada mejorada para para asignar asignar el costo costo estudió en la sección sección 15.5. Una Una técnica indirecto Por su diseño, diseño, su meta meta es desadesaindirecto es el costeo costeo basado basado en actividades, actividades, CEA. CBA. Por rrollar agrupación de costos, costos, para para cada cada evento, evento, rrollar un centro centro de costos, costos, denominado denominado una agrupación que actúa como un impulsor de costos. En otras palabras, los impulsores o actividad, actividad, como impulsor costos. palabras, impulsores de costos consumo de un recurso recurso compartido compartido y costos realmente realmente impulsan impulsan o conducen conducen el consumo son cargados agrupaciones de costos costos son decargados en forma forma congruente. congruente. En general, general, las agrupaciones partamentos o funciones: compras, inspección, mantenimiento y tecnología de partamentos funciones: compras, inspección, mantenimiento tecnología información. Las actividades son eventos tales como pedidos de compras, adaptainformación. actividades eventos tales como pedidos compras, adaptaciones, reparaciones, activaciones de software, configuración de máquinas, tiempo ciones, reparaciones, activaciones software, configuración máquinas, tiempo de espera y cambios de ingeniería. espera cambios ingeniería. Algunos recomiendan descartar descartar los métodos métodos traAlgunos defensores defensores del método método CBA CBA recomiendan dicionales de contabilidad costos de una dicionales contabilidad de costos una compañía compañía y utilizar utilizar exclusivamente exclusivamente el enfoque, puesto puesto que el CBA CBA. Éste Éste no es un buen enfoque, CBA no es un sistema sistema de costos costos completo. El método CBA proporciona información que auxilia en el control completo. método proporciona información auxilia control de costos, en tanto que el método tradicional hace énfasis en la asignación y estimación costos, método tradicional hace énfasis asignación estimación del costo. Los dos sistemas manera conjunta, conjunta, con los métodos métodos sistemas funcionan funcionan bien bien de manera tradicionales asignando costos cuando existen bases directas identificables, por ejemtradicionales asignando cuando existen identificables, ejemplo, la mano de obra directa. El método CBA puede entonces utilizarse para continuar directa. método CBA puede entonces utilizarse para continuar asignando usan bases bases de actividad actividad como como la anasignando los costos costos de servicios servicios de apoyo apoyo que usan tes mencionada. mencionada. metodología CBA CBA involucra involucra un proceso proceso de dos pasos: La metodología pasos: agrupaciones de costos. costos. Generalmente, son funciones funciones 1. Definir Definir las agrupaciones Generalmente, éstas éstas son apoyo. de apoyo. impulsores de costo. costo. Éstos segui2. Identificar Identificar los impulsores Éstos ayudan ayudan a realizar realizar un seguimiento de los costos costos hasta hasta las las agrupaciones agrupaciones de miento de costo. costo.

Con men l:A se a: cada ejen

•

u

m lo pl ql

e je

a;

SECCIÓN SECCIÓN 15.6 15.6

Costeo (CBA) para para costos costos indirectos indirectos Costeo basado basado en actividades actividades CCBA)

Como ilustración, industrial tiene tiene tres departadepartailustración, una compañía compañía que produce produce un láser láser industrial mentos costos en el paso paso mentos de apoyo principales, principales, identificados identificados como como agrupaciones agrupaciones de costos 1: A, B Y YC. costo de apoyo apoyo anual para para el orientador orientador de costo 1: C. El costo costo de compra compra (paso (paso 2) se asigna órdenes de compra compra que asigna a estos departamentos departamentos con base base en el número número de órdenes cada departamento producción de láser. El departamento expide expide para para apoyar apoyar sus funciones funciones de producción ejemplo 15.10 ilustra basado en actividades. actividades. ejemplo ilustra el proceso proceso de aplicación aplicación del costo costo basado

EJEMPLO EJEMPLO

15.10

.

Una firma firma aeroespacial aeroespacial multinacional multinacional utiliza utiliza métodos métodos tradicionales tradicionales para Una para asignar asignar costos costos de de manufactura y apoyo apoyo gerencial gerencial para para su división división europea. europea. Sin Sin embargo, manufactura embargo, cuentas cuentas tales tales como como viajes de negocios negocios han han sido sido históricamente históricamente asignadas asignadas con con base emlos viajes base en en el número número de de empleados en las plantas plantas de Francia, Francia, Italia, Italia, Alemania Alemania y Grecia. Grecia. pleados presidente afirmó afirmó recientemente recientemente que probable que que algunas El presidente que es probable algunas líneas líneas de producto producto quizá estén estén generando generando muchos muchos más más viajes viajes de gerencia gerencia que que otros. Se ha sistema quizá otros. Se ha elegido elegido el sistema CBA para para mejorar mejorar el método método tradicional, tradicional, y asignar forma más costos de viaCBA asignar en forma más precisa precisa los los costos de viaje principales líneas líneas de producto producto en cada cada planta. planta. je a las principales Primero, suponga suponga que que la asignación asignación de los los gastos gastos de de viaje a) Primero, viaje totales totales observados observados de de $500 000 000 para para las plantas, plantas, utilizando utilizando una una base base tradicional tradicional del $500 del tamaño tamaño de de la la fuerza fuerza lalaboral es suficiente. suficiente. Si el total total de 29 100 100 empleados empleados se distribuye distribuye de la siguiente siguiente manera, boral manera, asigne los los $500000. $500000. asigne París, planta planta de Francia Francia París, 12 500 500 empleados empleados Florencia, planta de Italia Italia Florencia, planta 8 600 600 empleados empleados Hamburgo, planta planta de Alemania Alemania 200 empleados empleados Hamburgo, 4 200 Atenas, planta planta de Grecia Grecia 800 empleados empleados Atenas, 3 800 b)

Ahora, suponga que que la gerencia gerencia corporativa corporativa desea desea conocer conocer más sobre los Ahora, suponga más sobre los gastos gastos de de viaje con con base base en la línea línea de productos, productos, no sólo sólo la ubicación ubicación de viaje de la planta planta y el tamaño tamaño fuerza laboral. laboral. Se utilizará utilizará el método método CBA CBA con con la la finalidad de la fuerza finalidad de de asignar asignar costos costos de viaje para para las las principales principales líneas líneas de producto. producto. Los Los presupuestos presupuestos de viaje de apoyo apoyo anual anual de de la la planta indican indican que que se han han gastado gastado los siguientes siguientes porcentajes porcentajes en planta en viajes: viajes: París París Florencia Florencia Hamburgo Hamburgo Atenas Atenas

5% de $2 $2 millones millones 5% 15% de $500 $500 000 000 15% 17.5% de $1 millón millón 17.5% 30% de $500 $500 000 000 30%

Además, el estudio estudio indica indica que que en 1 año año fueron fueron procesados procesados un Además, un total total de de 500 500 comprocomprobantes de viaje viaje por por parte parte de la gerencia gerencia de las las principales principales cinco bantes cinco líneas líneas de de producto producto generadas en las las cuatro cuatro plantas. plantas. La La distribución distribución es de de la siguiente manera. generadas siguiente manera. París. París. Florencia. Florencia. Hamburgo. Hamburgo. Atenas. Atenas.

Líneas de producto: producto: 1 y 2; número número de de comprobantes: Líneas comprobantes: 50 50 para para la la línea 1,25 1,25 para para la línea línea 2. nea Líneas de producto: producto: 1,3 1,3 y 5; comprobantes: comprobantes: 80 para Líneas para la la línea línea 1, 30 30 para la línea línea 3, 30 30 para para la línea línea 5. para Líneas de producto: producto: 1,2 1,2 Y4; comprobantes: 100 100 para 1,25 Líneas Y4; comprobantes: para la línea línea 1,25 para la línea línea 2, 20 para para la línea línea 4. 4. para Línea de producto: producto: 5; comprobantes: comprobantes: 140 140 para Línea para la la línea línea 5. 5.

543

544

CAPÍTULO

15

Estimación

de costos y asignación de costos indirectos

Use el método CBA para determinar la forma en que las líneas de producto impulsan los costos de viaje en las plantas. Solución a) La ecuación [15.7] toma la forma de una tasa base por empleado: presupuesto de viaje Tasa de costos indirectos = --''----''-------''fuerza laboral total $500000

$17 .1821 por empleado

29100 Al utilizar esta base tradicional de la tasa multiplicada laboral se obtiene una asignación para cada planta.

..

~

:~~}I ¡,"

rf I

l,:

IJI!IJ

'~:l i¡J

'.,

.~ I

h~

•

I

S

b)

París:

$17.1821(12500)

Florencia:

$147766

Hamburgo:

$72 165

Atenas:

$65292

= $214 777

El método CBA se involucra más, ya que requiere la definición de una agrupación de costos y su tamaño (paso 1), así como la asignación a líneas de producto que utilizan el orientador de costos (paso 2). Las cantidades en las plantas serán diferentes de las de la parte a, ya que se están aplicando bases completamente diferentes. Paso 1. La agrupación de costos es la actividad de viajar, y el tamaño de la agrupación se determina a partir de los porcentajes del presupuesto de apoyo dedicado a viajes para cada planta. Al utilizarse la información de gastos de viaje en el planteamiento del problema, la agrupación de costos total de $500 000 debe asignarse a las cinco líneas de producto. Este número se determina a partir de la información del porcentaje del presupuesto, de la siguiente manera: 0.05(2000000)

h."

por el tamaño de la fuerza

Paso 2.

+ ... + 0.30(500 000)

= $500 000

El impulsor de costos del método CBA es el número de comprobantes de viaje obtenidos por la unidad gerencial responsable de cada línea de producto en cada planta. La asignación será directamente para los productos, no para las plantas. Sin embargo, la asignación de viaje a las plantas puede determinarse después, ya que se sabe cuáles líneas de producto se producen en cada planta. Para establecer una tasa de asignación CBA de los comprobantes de viaje mediante el impulsor de costos, puede utilizarse el formato de la ecuación [15.7].

Asignación CBA por comprobante

de viaje

agrupación de costos = -"'--"----------"---

de viaje total

número total de comprobantes $500000 500 = $1 000 por comprobante

sis ac

los la jus

• RE

Se me de

tra

----------------------------------------------------_r_ RESUMEN DEL CAPÍTULO

París Florencia Hamburgo Atenas Total

1

2

50 80 100

25

3

4

5

30 25

30 20 --

$230

$50

Total

$30

$20

140

$170

--

75 140 145 140

$500

La tabla 15.7 resume los comprobantes y su asignación por línea de producto y por ciudad. El producto 1 ($230 000) y el producto 5 ($170 000) impulsan los costos de viaje con base en el análisis CBA. La comparación de los totales por planta en la tabla 15.7 con los totales respectivos en el inciso a indica una diferencia sustancial en los montos asignados, especialmente a París, Hamburgo y Atenas. Esta comparación verifica la sospecha del presidente de que son las líneas de producto, no las plantas, las que orientan los requerimientos de viaje. Comentario Suponga que el producto 1 se ha elaborado en lotes pequeños en la planta de Hamburgo durante varios años. Este análisis, al compararse con el método tradicional de asignación de costos en el inciso a revela un hecho muy interesante. En el análisis CBA, a Hamburgo le ha sido asignado un total de $145 000 dólares de viaje, $100 000 de los cuales proceden del producto 1. En el análisis tradicional con base en el tamaño de la fuerza laboral, se asignó a Hamburgo sólo $72 165, cerca del 50% del monto del análisis CBA de mayor precisión. Este hecho debe señalar a la gerencia la necesidad de examinar las prácticas de tamaño de lote de manufactura en Hamburgo y quizá en otras plantas, en especial cuando un producto se está manufacturando actualmente en más de una planta.

En general, el análisis CBA es más costoso y consume más tiempo que un sistema tradicional de asignación de costos, aunque en muchos casos puede ayudar a comprender el impacto económico de las decisiones gerenciales, y a determinar los impulsores del costo real para cierto tipo de costos indirectos. Con frecuencia, la combinación de análisis CBA y análisis tradicionales revela áreas donde se justifican análisis económicos adicionales.

RESUMEN DEL CAPíTULO Se espera que la estimación de costos no sea exacta, pero debería ser lo suficientemente precisa como para apoyar un análisis económico exhaustivo usando un enfoque de ingeniería económica. Existen enfoques ascendentes y descendentes; cada uno trata de manera diferente las estimaciones de precio y costo.

545

CAPÍTULO CAPÍTULO 15

546 546

Estimación Estimación de costos costos y y asignación asignación de costos costos indirectos indirectos

Los costos pueden pueden actualizarse actualizarse vía un índice índice de costos, costos, el cual es una proporción proporción de los costos para el mismo momentos separados. mismo artículo artículo en dos momentos separados. El índice índice de precios precios al consumidor consumidor (IPC) es un ejemplo ejemplo frecuentemente frecuentemente citado citado de indexación indexación de costos. costos. La estimación estimación de costos costos se logra logra mediante mediante una diversidad diversidad de modelos modelos llamados llamados relaciones relaciones de estimación estimación de costos. Dos de ellos son: Ecuación costo-capacidad. Sirve Sirve para para estimar estimar costos costos a partir partir de variables variables de Ecuación costo-capacidad. diseño para diseño para equipo, equipo, materiales materiales y construcción. construcción.

15

Método de factor. factor. Sirve Método Sirve para para estimar estimar costos costos totales totales de planta. planta.

La asignación asignación de costos costos tradicional tradicional emplea emplea una tasa de costos costos indirecta indirecta determinada determinada para bases tales para una máquina, máquina, departamento, departamento, línea línea de producto, producto, etcétera. etcétera. Se utilizan utilizan bases como como el costo costo de mano mano de obra obra directa, directa, el costo costo de materiales materiales directos directos y horas horas de mano de obra obra directa. directa. Con la mayor mayor automatización automatización y el acelerado acelerado avance avance de tecnotecnología logía de información, información, se han desarrollado desarrollado nuevas nuevas técnicas técnicas de asignación asignación de costos costos indirectos. indirectos. El método método de costeo costeo basado basado en actividades actividades (CBA) es una excelente excelente técnitécnica para para complementar complementar el método método tradicional tradicional de asignación. asignación. método CBA CBA utiliza utiliza el razonamiento razonamiento de que los impulsores impulsores de costo costo son El método actividades: órdenes órdenes de compra, compra, inspecciones, inspecciones, instalaciones instalaciones de máquinas, máquinas, adaptaadaptaactividades: actividades impulsan impulsan los costos acumulados acumulados en agrupaciones agrupaciones de costos, ciones. Estas actividades común son departamentos departamentos o funciones funciones, , tales como como calidad, calidad, compras, compras, que por lo común contabilidad y mantenimiento. mantenimiento. Una Una mayor mayor comprensión comprensión de la forma forma en que la comcomcontabilidad pañía o la planta planta en realidad realidad acumula acumula los costos costos indirectos indirectos es un subproducto subproducto impañía portante de implementación implementación del método portante método CBA.

Sé L O E(

PROBLEMAS PROBLEMAS Enfoques de estimación estimación de costos costos Enfoques

15.1

Mencione tres elementos elementos de los siguientes siguientes Mencione costos pertenecientes pertenecientes a un sistema sistema nuevo de costos manufactura integrado integrado por computadora. computadora. manufactura Costo inicial inicial del equipo equipo a) Costo COA b) COA

Identifique una diferencia diferencia notable notable entre entre los 15.2 Identifique enfoques de abajo hacia hacia arriba arriba y de diseño diseño enfoques para hacer la estimación estimación de costos. costos. por costo, para Clasifique como como directo directo o indirecto indirecto a ca15.3 Clasifique costos siguientes, siguientes, asociados asociados da uno de los costos con la posesión de un automóvil. Suponga que costo directo directo de la posesión posesión es aquel aquel el costo conserva el carro como como una propiedad propiedad que conserva opera para para brindarle brindarle transporte transporte en el suya y opera momento que usted lo desee. Si no se decide, momento

establezca las condiciones condiciones en que el costo costo establezca sea directo directo e indirecto. indirecto. a) Gasolina Gasolina Cuota en la autopista autopista b) Cuota reparaciones después después de un c) Costo de las reparaciones accidente serio accidente Tarifa de inspección inspección anual d) Tarifa Impuesto federal federal sobre la gasolina gasolina e) Impuesto g) Pago mensual mensual del préstamo préstamo g) Estime el costo costo de comprar comprar un lote subur15.4 Estime bano, construir construir una casa casa y amueblarla, amueblada, por bano, medio de las siguientes siguientes estimaciones estimaciones de medio costos unitarios: costos unitarios: Tamaño de la propiedad: propiedad: 100 X 150 pies Tamaño Tamaño aproximado aproximado de la construcción: construcción: Tamaño recámaras, 50 X 46 pies con 75% 6 recámaras, espacio habitable habitable de espacio

1

1

PROBLEMAS PROBLEMAS

Precio Precio de la propiedad propiedad en el área subsuburbana: urbana: $2.50 $2.50 por por pie cuadrado cuadrado Costo promedio promedio de construcción: construcción: $125 por pie cuadrado cuadrado utilizable utilizable Muebles Muebles y acabados: acabados: $3 000 por recárecámara mara 15.5

Dos personas estimaciones de personas desarrollan desarrollan estimaciones costo inicial para construir construir un edificio edificio nuevo de 130 000 pies cuadrados cuadrados en un campus campus universitario. La persona persona A aplica aplica una estiestiuniversitario. mación de costo unitario unitario de propósito propósito gemación neral de $120 por pie cuadrado. El individuo individuo específico; utiliza utiliza estimaciones estimaciones del B es más específico; área y los factores unitario que se factores de costo unitario muestran muestran a continuación. continuación. ¿Cuáles ¿Cuáles son las estimaciones estimaciones del costo que desarrollaron desarrollaron las dos personas? personas? ¿Cómo ¿Cómo se comparan? comparan?

Tipo Tipo de uso Salón de clases clases Salón Laboratorio Laboratorio Oficinas Oficinas Equipamiento Equipamiento de laboratorios laboratorios Equipamiento Equipamiento restante restante

Porcentaje Porcentaje de área área

Costo Costo por por pie pie cuadrado, cuadrado, $

30 40 30 25

125 185 110 150

75

25

Índices Índices de costos costos 15.6 En 1995, el costo de un sistema sistema estándar estándar de enfriamiento enfriamiento era de $78 000. Si se aplica aplica el índice índice de costo de equipo equipo M&S, M&S, ¿cuál sería sería estimado para para un sistema sistema similar similar si el costo estimado el índice índice fuera de 1 200? 15.7

U se el índice de costos de construcción Use construcción ENR ENR para para determinar determinar cuánto cuánto costaría costaría hacer hacer una sección de autopista autopista similar a otra construida construida en 1995 cuyo costo fue de $2.3 millones. millones. U se el valor Use valor más actual actual del índice índice que se encuentre el sitio web de ENR. ENR. encuentre

15.8 En el sitio web que contiene contiene el índice índice de costos costos de la construcción construcción ENR ENR (enr.cons(enr.cons-

547

truction.com) se reportan reportan dos índices, índices, el de truction.com) costo de construcción construcción y el de costo costo de costo edificación. Localice Localice la sección donde se edificación. sección donde explique diferencia enexplique su uso, analice analice la diferencia tre ellos y explique explique en qué condiciones condiciones es apropiado uno u otro para elaborar estimaestimaapropiado para elaborar ciones de costo. costo. ciones 15.9 Si el costo una parte parte de cierto costo de una cierto equipo equipo fue de $20 000 cuando cuando el índice índice M &S fue de 915.1, ¿cuál ¿cuál fue el valor 915.1, valor del índice índice cuando cuando costo del mismo mismo equipo equipo se estimaba estimaba en el costo $30000? $30000? 15.10 Estime el valor valor del índice índice de costos costos de 15.10 a) Estime ENR para para el año 2002, 2002, la construcción construcción ENR mediante mediante la utilización utilización del del cambio cambio porcentual promedio promedio (compuesto) porcentual (compuesto) de su finalidad valor entre 1990 y 2000, con la finalidad pronosticar el valor valor en 2002. 2002. b) ¿¿Qué Qué de pronosticar tanta diferencia diferencia hay entre valores tanta entre los valores estimado histórico? estimado e histórico?

15.11 Un tipo tipo específico índice de costo costo de específico de índice obra tuvo un valor valor de 720 en 1985, mano de obra costo de mano mano de y de 1 315 en 2004. Si el costo construcción de inmuebles inmuebles fue obra en la construcción de $1.5 millones ¿cuál habrá millones en 2004, 2004, ¿cuál habrá sido en 1985? 15.12 índice de construcción construcción ENR ENR (véase 15.12 Use el índice (véase para actualizar costo de tabla 15-2) para la tabla actualizar el costo $325 000 de 1990 a su correspondiente correspondiente en 2004. 15.13 volvió a comprar para 15.13 En 1998 se volvió comprar equipo equipo para una planta planta de procesamiento procesamiento químico químico cuyo cuyo una costo fue de $2.5 millones. millones. En 1994 se había había adquirido equipo equipo similar similar para adquirido para otro sitio y ocurrió nuevo en 2002 2002 para para una una tercera tercera ocurrió de nuevo planta. El ingeniero ingeniero desea desea saber saber la tasa comcompuesta crecimiento del costo para el rango puesta del crecimiento ocurrieron las tres comde tiempo tiempo en que ocurrieron pras. Determine dicha tasa aplica Determine dicha tasa anual. Se aplica el índice plantas CE. índice de costos costos de plantas CEo 15.14 una persona persona hace hace de 1990 el año base base 15.14 Si una valor de 100 para para el índice índice de costos costos con el valor tabla 15-2), ¿cuál plantas CE de plantas CE (véase (véase tabla ¿cuál es

548

CAPÍTULO 15 15 Estimación Estimación de costos costos y asignación asignación de costos costos indirectos indirectos CAPÍTULO

proyectado del índice índice en: a) 2002, el valor proyectado calendario actual? (Recomen(Recomeny b) el mes calendario dación: use el sitio web en que aparece el ínobtener el valor más actual de dice a fin de obtener éste).

adquisición adquisición de la bomba bomba de 200 caballos caballos se retrasara 3 años, estime estime su costo futuro si retrasara espera que el índice índice de costo aumente aumente se espera durante dicho periodo periodo 20% a partir partir de su durante valor actual de 185. valor

Determine el incremento incremento porcentual porcentual promeprome15.15 Determine dio por año, entre 1990 y 2002, para el índice plantas CE. CEo de costos de plantas

implantar un proceso proceso de manu15.21 El costo de implantar factura que tiene capacidad capacidad para para 6 000 unifactura dades por día fue de $550 000. Si el costo planta con capacidad capacidad de 100000 100 000 unide una planta diarias fue de $3 millones, millones, ¿cuál es el dades diarias exponente en la ecuación ecuación de costovalor del exponente capacidad? capacidad?

Estime el valor valor para para 1995 del índice índice de 15.16 Estime equipo M &S, si en 1999 fue de costos de equipo M&S, y se incrementa incrementa 2% anual. 1 068.3 Y espectrómetro de masas puede puede comprarcomprar15.17 Un espectrómetro $60 000 hoy; el propietario propietario de un se por $60000 laboratorio de análisis análisis mineral mineral espera espera que laboratorio equipo aumente aumente exactamente exactamente el costo del equipo durante según la tasa de inflación inflación de equipos equipos durante los próximos próximos 10 años. a) Si la tasa de inflación se estima estima en 2% anual durante durante los flación próximos 3 años y en 5% anual partir de próximos anual a partir entonces, entonces, ¿cuánto ¿cuánto costará costará el espectrómetro espectrómetro dentro de 10 años si la TMAR TMAR del laboradentro laboratorio es de 10% anual? anual? b) Si el índice índice de costos aplicable aplicable al equipo equipo está está en 1 203 ahora, ¿cuál ¿cuál será dentro dentro de 10 años? Relaciones Relaciones entre entre costos costos y estimación estimación ¿Cuál es la diferencia diferencia fundamental fundamental entre entre es15.18 ¿Cuál timar timar un costo costo usando usando una una REC REC y un índice índice de costos? costos? 15.19 15.19 El costo costo de compra compra de un compresor compresor de alta alta calidad con 250 caballos calidad 250 caballos de fuerza fuerza fue de $13 000 000 hace hace poco poco tiempo. tiempo. ¿Cuál ¿Cuál sería sería el costo esperado de otro con 450 caballos costo esperado otro 450 caballos de fuerza? fuerza? 15.20 15.20 El El año año pasado pasado Janus Janus Corp. Corp. compró compró en en $20 $20 000 000 una una bomba bomba centrífuga centrífuga de 100 caballos ballos de fuerza fuerza y el impulsor impulsor asociado. asociado. En otras dos de sus plantas plantas la compañía compañía necesita necesita sistemas sistemas de bombeo bombeo adicionales, adicionales, uno de 200 200 caballos caballos y otro otro de 75. a) Calcule Calcule el costo costo de las dos bombas bombas nuevas. nuevas. b) En En caso caso de que la

estimado para para un sistema sistema ciclóniciclóni15.22 El costo estimado capacidad para para co de tubos múltiples múltiples con capacidad 60000 pies cúbicos por minuto es de $450 000. 60000 a) Si en la ecuación ecuación de costo-capacidad costo-capacidad se sustituye el costo real de $200 000 por un sustituye sistema de 35 35000 sistema 000 pies por minuto, minuto, ¿cuál ¿cuál es el valor valor del exponente exponente que se usó en ella? ella? b) ¿Qué ¿Qué puede puede concluirse concluirse acerca acerca de las economías de escala economías escala de los costos costos entre entre los sistemas? dos sistemas? 15.23 El costo 15.23 costo para para construir construir un sistema sistema de desulfurización sulfurización para para combustible combustible de quemaquemadores dores en una planta planta de 600 MW MW se estimó estimó en $250 $250 millones. millones. Si una una planta planta más pequepequeña tiene tiene un costo costo de $55 millones millones y el expoexponente nente en la ecuación ecuación de costo-capacidad costo-capacidad es 0.67, 0.67, ¿cuál ¿cuál fue el tamaño tamaño de la planta planta más pequeña pequeña que que sirvió sirvió como como base base para para la proproyección yección del costo? costo? 15.24 15.24 El costo costo anual anual de operación operación de una una planta planta de tratamiento tratamiento de agua agua por por filtración filtración en una una línea conductores se línea de fabricación fabricación de semi semiconductores estimó estimó en $1.5 millones millones por por año. El estimaestimado se basó basó en un costo costo de $200 $200 000 000 anuales anuales de una una planta planta de 1 MOD. MGD. Si el exponenexponente en la ecuación ecuación de de costo-capacidad costo-capacidad es 0.80, 0.80, ¿cuál ¿cuál fue fue el tamaño tamaño de la planta planta más más grande? grande? 15.25 15.25 En 2002 2002 se instaló instaló en el edificio edificio de las oficinas cinas generales generales de IDS un equipo equipo telefónico telefónico

15.2

15.2

15.2

PROBLEMAS PROBLEMAS

de tecnología tecnología nueva nueva con un costo total de millón. En el mismo mismo año se hizo la esti$1 millón. mación mación de que dentro dentro de 2 años se necesinecesisistema del mismo mismo tipo con el triple triple taría un sistema de capacidad, capacidad, de que esas economías economías de desarrollo tecnológico tecnológico garantizaban garantizaban escala y desarrollo un exponente exponente de 0.2 en la ecuación ecuación para el costo-capacidad, costo-capacidad, y de que sería suficiente suficiente un incremento incremento de 10% en el índice de costo. Finalmente Finalmente se instaló instaló en 2004 un sistema sistema con el triple triple de capacidad capacidad cuyo costo fue de $2 millones, millones, mientras mientras que el índice de costo costo había había ascendido ascendido a 25% en lugar lugar del 10% previsto. previsto. a) ¿Cuál ¿Cuál es la diferencia diferencia entre la estimación estimación que se hizo en 2002 y el costo costo real de 2004? Qué valor del exponente 2004? b) ¿¿Qué exponente debe debe usarse usarse en la ecuación ecuación de costo costo- capacidad capacidad para para estimar estimar en forma forma correcta correcta el costo real de $2 millones? millones? 15.26 Calcule Calcule el costo que tenía tenía en 2002 cierto cierto equipo equipo de procesamiento, procesamiento, si el costo de una una unidad unidad con con la mitad mitad del tamaño tamaño fue de $50 000 en 1998. El exponente exponente en la ecuaecuación de costo-capacidad costo-capacidad es de 0.24. Use el índice de costo de plantas CE para actualizar actualizar el costo. 15.27 Estime Estime el costo costo que que tuvo tuvo en 2002 2002 un compresor compresor de aire de turbina turbina de vapor vapor con 1 000 caballos caballos de fuerza fuerza si en 1995 el costo costo de otro con 200 caballos caballos fue de $160 000. El exponente exponente en la ecuación ecuación de costocostocapacidad capacidad es de 0.35. El índice índice de costo de equipo equipo se incrementó incrementó 35% entre entre los dos años. 15.28 En 1990 se construyó construyó en Chicago Chicago una insinstalación talación de 10 000 metros metros cuadrados cuadrados dendentro de una planta planta procesadora procesadora de alimentos, alimentos, para para manejar manejar el proceso, proceso, con un costo de $220 000. En 2002 se pidió pidió a un ingeniero ingeniero que estimara estimara el costo de una estructura estructura similar, pero para nueva en Lonpara una planta planta nueva Londres de 5 000 metros metros cuadrados. cuadrados. ¿Cuál fue la estimación estimación para 2002 si se aplica aplica el modelo de 6 décimas? décimas?

549 549

15.29 El costo costo del equipo para eliminar fósforo equipo para eliminar el fósforo de las aguas residuales residuales en una una planta planta de 50 MGD MGD será de $16 millones. millones. Si el factor factor de costo costo conjunto conjunto para para este este tipo de plantas plantas es costo total total esperado esperado de de 2.97, ¿cuál ¿cuál es el costo planta? la planta? 15.30 costo del del equipo equipo de un un sistema 15.30 El costo sistema de filtración recolección de partículas partículas de tela filtración y recolección es de $1.6 millones. El factor costo $1.6 millones. factor de costo directo es 1.52 y el indirecto indirecto es 0.31. Estime Estime directo el costo total de la planta planta si se aplica el factor de costo indirecto indirecto a) sólo al costo del equipo equipo entregado, costo directo directo total. entregado, y b) al costo 15.31 Durante Durante una una importante importante expansión expansión que tuvo lugar en 1994, Douwalla' Douwalla' a Import Import Company Company lugar desarrolló desarrolló una línea nueva nueva de procesamiento procesamiento en la que el costo costo del equipo entregado fue equipo entregado de $1.75 $1.75 millones. 11 años años después después el millones. 11 consejo directores decidió consejo de directores decidió incursionar incursionar en nuevos nuevos mercados mercados y espera espera construir construir la versión versión actual actual de la misma misma línea. Estime Estime el costo si son aplicables aplicables los siguientes costo siguientes faccosto de la construcción construcción es de tores: el de costo instalación de 0.509, 0.509, el de costo costo 0.20, el de instalación indirecto que se aplica aplica al equipo equipo de 0.25, y indirecto índice de costo costo total de la planta planta se ha el índice incrementado de 2 509 a 3 713 durante durante los incrementado mencionados. años mencionados. 15.32 Josefina Josefina es una una ingeniera ingeniera en asignación asignación temporal en una una operación operación de refinamiento refinamiento temporal en Seaside. Seaside. Ella estimación Ella ha revisado revisado una una estimación de costos por $450 000, que incluye incluye algunos algunos equipos procesamiento nuevos nuevos para para la equipos de procesamiento línea de etileno. etileno. El equipo equipo en sí se estima estima línea 000 con con un factor factor de costo costo de en $250 $250 000 construcción de 0.30 costo construcción 0.30 y un factor factor de costo instalación de 0.30. No se indica indica factor factor de instalación costo indirecto, indirecto, pero pero ella sabe de otras de costo partes partes que el costo costo indirecto indirecto es una una cantidad cantidad ajustable que aumenta aumenta el costo costo directo directo total total ajustable equipo de la línea. a) Si el factor de costo del equipo indirecto debería debería ser 0.40, determine determine si la indirecto estimación actual incluye un factor comestimación actual incluye factor comparable a este valor. b) Determine Determine el costo costo parable

550

CAPÍTULO 15

Estimación de costos y asignación de costos indirectos

estimado si se usa el factor de costo indirecto de 0.40.

Centro de costos

Costos indirectos asignados, $

Horas de operación estimadas

1 2 3 4

50000 100000 150000 200000

600 200 800 1200

Asignación de costo indirecto 15.33 Las horas de mano de obra directa se usan como base de asignación de los costos indirectos por trimestre. Se va asignar una cantidad total de $450 000 a cada planta, trimestralmente. a) Determine las tasas de costo indirecto para la planta de Humboldt para cada trimestre, si cada tipo de maquinado recibirá una asignación de 50% del costo indirecto. b) Determine la tasa global para el primer trimestre en Humboldt. Calcule la cantidad de costo indirecto que se carga a la maquinaria ligera con el uso exclusivo de esta tasa global trimestral, y el monto que se carga con el empleo de la tasa determinada en el inciso a). Si la tasa que es sensible al tipo de maquinado es correcta, ¿cuánto se carga de más o de menos a la maquinaria ligera, cuando se usa la tasa global? e) Determine la tasa global de costo indirecto para la planta de Concourse, para cada trimestre. Horas de mano de obra directa Trimestre T1 Maquinado Humboldt Concourse

15.35 Dirk, gerente de departamento en Chassis Fabrication, obtuvo los registros de finanzas y contabilidad que indican las tasas de asignación del costo indirecto para los 3 meses anteriores, así como las estimaciones para este mes y el próximo (septiembre y octubre). La base de asignación no se indica. El gerente de finanzas y contabilidad dice que no hay registro de la base utilizada; sin embargo, comunica a Dirk que no se preocupe por la asignación total, ya que ahora la tasa es constante de $1.25 y más baja que las anteriores.

Junio Julio Agosto Septiembre Octubre

Ligera

Pesada

Ligera

2000 1000

800 800

1500 800

1500 2000

15.34 Un departamento industrial tiene cuatro líneas de procesamiento, cada uno de estos es considerado un centro de costos separado para fines de asignación del costo indirecto. Las horas de operación de la máquina se usan como base de asignación para todas las líneas. Para el próximo año se asignará un total de $500 000 al departamento. Use los datos recabados este año para determinar la tasa de costo indirecto para cada línea.

Asignación

Cargado

1.50 1.33 1.37 1.25 1.25

20000 34000 35000 36000 36250

22000 38000 35000

Durante su evaluación, Dirk encuentra esta información adicional en los registros departamentales y contables.

Mes Junio Julio Agosto Septiembre Octubre

Pies cuadrados Mano de Costo de espacio obra directa de mate- en deparHoras Costo, $ riales, $ tamento 13 330 6400 6400 6400 8000

53000 25560 25560 27200 33200

54000 46000 57000 63000 65000

Pn En:

Tasa

Trimestre T2

Pesada

De

Sul

Costo indirecto, $ Mes

15

20000 20000 29000 29000 29000

As, d Ing

551

PROBLEMAS

a)

Determine la base de asignación para cada mes, y b) comente la aseveración del gerente de finanzas y contabilidad acerca de que la tasa ahora es constante y más baja que las anteriores.

15.36 Un fabricante que atiende la industria del transporte marítimo tiene cinco departamentos. Las asignaciones de costo indirecto durante 1 mes se detallan a continuación, junto con el espacio asignado, las horas de mano de obra directa y los costos de mano de obra directa, para cada departamento que fabrica directamente radares y equipos de sonar. Información real para 1 mes

Departamento Preparación Subensambles Ensamble final Aseguramiento de calidad Ingeniería

Asignación Espacio, de costos pies indirectos, $ cuadrados 20000 45000 10000

10000 18000 10000

15000 19000

1200 2000

Mano de obra directa Horas Costos, $ 480 31680 1000 103250 600 12460

Determine las tasas de asignación por departamento de manufactura con la finalidad de redistribuir la asignación de costos indirectos para los departamentos de Aseguramiento de Calidad e Ingeniería ($34 000) a los otros departamentos. Utilice las siguientes bases para determinar las tasas referentes a: a) espacio, b) horas de mano de obra directa y e) costos de mano de obra directa. 15.37 Para el problema 15.29, determine los cargos del costo indirecto real usando las tasas determinadas. Para cargos reales, use bases de horas de mano de obra directa para los departamentos de Preparación y Subensambles, y costos laborales directos para el departamento de Ensamble Final.

15.38 Calcule los cargos de costos indirectos reales y lasvarianzas de asignación para a) cada centro y b) el total para todos los centros planteados en el problema 15.27 utilizando las tasas de asignación de cuentas individuales. Las horas reales acreditadas a cada centro son las siguientes: #101 tiene 700 horas; #102, 450 horas, #103, 650 horas, y #104, 1 400 horas. 15.39 Las tasas de costos indirectos y las bases para los seis departamentos productores en Thunder Computers se indican a continuación. a) Utilice los datos registrados para distribuir costos indirectos a los departamentos. b) Determine la varianza de asignación en relación con un presupuesto de asignación de costos indirectos totales de $800 000. Horas de mano DepartaAsignación de obra mento Base* Tasa, $ directa 1 2 3 4 5 6 *HLD

HLD HM CLD CLD CLD HLD

= horas

máquina; CLD

250 0.95 1.25 5.75 3.45 0.75

Costos de mano de obra Horas de directa, $ máquina

5000 5000 10 500 12000 10200 19000

20000 35000 44100 84000 54700 69000

de mano de obra directa; HM

= costos

= horas

3500 25000 5000 40000 10200 60500 de

laborales directos.

15.40 En Haycrow Industries fue asignado un nuevo gerente de planta, quien revisó la información que aparece en la tabla del problema 15.39 y determinó que es demasiado complejo tener más de una base de asignación de costo indirecto. La base seleccionada es el costo de la mano de obra directa, por tanto, para este año se usará el promedio simple de las tasas de CMD en los departamentos 3,4 Y 5 para calcular los cargos indirectos reales. Determine la cantidad de cargos para los seis departamentos y la variación total relativa al presupuesto de $800 000 para asignar el costo indirecto.

552

CAPÍTULO

15

Estimación

15.41 Tocomo Industries atiende la industria del transporte marítimo. Las asignaciones de costos indirectos para 1 mes se detallan a continuación, junto con el espacio asignado, las horas de mano de obra directa y los costos de mano de obra directa para los tres departamentos que fabrican directamente radares y equipo de sonar. (Para referencia, ésta es la misma información presentada en el problema 15.29, aunque no se necesita haberlo resuelto para solucionar este problema.) Información real para 1 mes Departamento

Mano de Asignación Espacio, . de costos obra directa pies cuaindirectos, $ drados Horas Costos, $

Preparación Subensambles Ensamble final Aseguramiento de calidad Ingeniería

20000 45000 10000

10000 18000 10 000

15000 19000

1200 2000

480 1000 600

31680 103250 12460

La compañía elabora actualmente todos los componentes requeridos por el departamento de Preparación; además está considerando la compra de estos componentes en lugar de su fabricación. Un contratista externo ha ofrecido fabricar los artículos por $87 500 mensuales. a) Si los costos de Preparación en el mes específico mostrado se consideran buenas estimaciones para un estudio de ingeniería económica, y si se cargaron a Preparación materiales con valor de $41 000, haga una comparación de las alternativas de fabricar versus comprar. Suponga que los costos compartidos de los departamentos de preparación, de Aseguramiento de Calidad y de Ingeniería ascienden en total a $3 500 por mes.

de costos y asignación de costos indirectos

b)

Una tercera alternativa para la compañía es comprar equipo nuevo para el departamento de Preparación y continuar fabricando los componentes. La maquinaria costará $375 000, tendrá una vida de 5 años, sin valor de salvamento y un costo mensual de operación de $5 000. Se espera que dicha compra reduzca los costos de Aseguramiento de Calidad y de Ingeniería en $2 000 y $3 000, respectivamente, y que reduzca también las horas de mano de obra directa cada mes a 200, y los costos de mano de obra directa mensuales a $20000 para el departamento de Preparación. La redistribución de los costos indirectos de Aseguramiento de Calidad e Ingeniería a los tres departamentos de producción se basa en las horas de mano de obra directa. Si los demás costos permanecen iguales, compare tres costos: el costo actual de fabricar los componentes, el costo estimado si se compra el nuevo equipo y el costo del contratista externo. Elija la alternativa más económica. Se usa una TMAR de mercado de 12% anual, compuesta mensualmente, sobre la inversión de capital.

15.42 Una corporación opera tres plantas en un estado. Todas ellas fabrican las mismas líneas de accesorios de precisión y de alta presión para una gran variedad de las industrias procesadoras de petróleo, gas y químicos. Las oficinas corporativas venden y embarcan los productos terminados. Adicionalmente, los tres sitios comparten los mismos servicios de apoyo para compras, cómputo, ingeniería de diseño, ingeniería de procesos, recursos humanos, seguridad industrial y muchas otras funciones, cuyos costos se distribuyen anualmente a las tres plantas como una asignación de costos indirectos. Esta asignación reduce el ingreso total de la planta como fue determinado por el departamento de finanzas. Una de las

PI

Hl

Ti

P

e

PROBLEMAS PROBLEMAS

medidas rendimiento para para medidas principales principales de rendimiento cada gerente gerente de planta planta es la contribución contribución del ingreso ingreso corpoingreso neto de la planta planta al ingreso corpoconsecuencia, la asignación asignación de rativo. En consecuencia, costo indirecto una reducción reducción diindirecto anual anual es una recta a la línea línea base base de la planta. recta planta. Durante Durante los últimos últimos 5 años, un total de millones anuales anuales se han asignado $10 millones asignado a las tres plantas, base de las horas horas de plantas, sobre sobre la base mano de obra directa tienen los directa (HLD), (HLD), que tienen siguientes promedios promedios anuales. anuales. siguientes Planta Planta HLD HLD por por año año

A

e

200000

1800000 1800000

La contratación contratación de personal personal y las HLD han sido sido relativamente relativamente constantes constantes durante durante el periodo Entonces, la asignación periodo de 5 años. Entonces, asignación de costo usando una costo indirecto indirecto se determina determina usando tasa conocida gerente de planta. planta. conocida por cada cada gerente

costos indirectos totales totales costos indirectos Tasa de costo indirecto - - - - - - -indirecto = =--------HLD totales totales $10 millones millones

=----=

2.1 millones millones = $4.762 $4.762 por HLD =

Históricamente, la planta antigua, A, planta más antigua, Históricamente, establecido el estándar estándar para capacidad ha establecido para la capacidad planta anual. Se trata unidades de planta trata de 500 unidades diarias por cada 200 000 HLD, que es exacexacdiarias tamente la capacidad capacidad de la planta tamente planta A. Por lo laborales por tanto, a 250 días laborales por año, la capacidad para para cada cada planta planta que que se usa por cidad por la oficorporativa es como como sigue: cina corporativa

e

Planta Planta Capacidad, unidades/año unidades/año Capacidad,

11125000 125000

gerente de la planta planta B ha sido diligente diligente El gerente cuanto a mejorar mejorar la calidad, calidad, minimizar en cuanto minimizar

553

desperdicios trabajar más sobre desperdicios y trabajar sobre algún proceso, incentivar incentivar a los trabajadores, trabajadores, etcétera. etcétera. para asigÉl cree cree que el estándar estándar de HLD para nación indirecta representativo de la nación indirecta no es representativo planta B, cuando planta cuando se le compara compara con las estadísticas por el "número dísticas por "número embarcado" embarcado" de las plantas A y C. plantas a) Asigne Asigne los $10 millones millones de costo costo indirecto cón base en las HLD. recto eón base b) El gerente planta A propuso propuso que gerente de la planta utilice una general de cosse utilice una nueva nueva tasa general base de la to indirecto, indirecto, empleando empleando la base capacidad de producción producción total de la corcapacidad poración, en unidades unidades por por año. DeterDeterporación, mine esta tasa tasa y asigne millones mine asigne los $10 millones costo indirecto sobre esta esta base. de costo indirecto sobre base. e) Los registros registros indican indican que en los últimos últimos número de unidades embardos años el número unidades embarcadas con control control de calidad calidad pro promediacadas mediapara A, 60 000 000 para para B y ron 100 000 para 900 000 gerente de la planta 000 para para C. El gerente planta planta se B está está convencido convencido de que a su planta le asigna, y se le seguirá seguirá asignando, asignando, más costo indirecto indirecto de lo que debería debería ser, en costo parte parte debido debido al hecho hecho de que la planta planta B consistentemente consistentemente embarca embarca un mayor mayor porcentaje capacidad que las planporcentaje de su capacidad plantas A y C. Él propondrá desarrolle propondrá que se desarrolle un incentivo embarcar un número incentivo para para embarcar número calidad de unidades unidades ya verificadas verificadas en calidad tan cercano cercano como como sea posible posible a la capacidad cada planta. fórmula de pacidad de cada planta. La fórmula asignación usará asignación usará la tasa tasa basada basada en la capacidad de la planta capacidad planta de la parte parte b), aunque modificada aunque modificada con una proporción proporción adimensional que mida salida real en adimensional mida la salida relación relación con la capacidad capacidad de la planta. planta. Asignación costo indirecto Asignación de costo indirecto (capacidad de planta) (tasa) (capacidad planta) salida real/capacidad salida real/capacidad de planta planta Determine asignación por Determine la asignación por planta planta usando compárela con usando este método, método, y compárela cantidades asignadas asignadas determinadas determinadas las cantidades por los dos métodos anteriores. por métodos anteriores.

554

CAPÍTULO CAPÍTULO 15

Estimación costos indirectos indirectos Estimación de costos costos y asignación asignación de costos

Método Método CBA

15.43 Utilice Utilice la ecuación ecuación [15.7] y las bases bases prepresentadas en la tabla tabla 15.4 para para explicar explicar por sentadas qué una reducción reducción en las horas de mano de obra directa, junto con un incremento directa, junto incremento en las horas horas de mano de obra indirecta indirecta debido debido a la automatización automatización en una línea línea de producción, producción, quizá quizá requieran requieran el uso de nuevas nuevas bases para para asignar asignar los costos costos indirectos. indirectos. 15.44 Si el método método tradicional tradicional de asignación asignación de indirecto ayuda calcular el costo de costo indirecto ayuda a calcular fabricar fabricar una unidad unidad de producto, producto, ¿qué es a lo que el método método CBA ayuda ayuda con frecuencia frecuencia cuando cuando se estudia estudia el costo costo de hacer hacer una una unidad unidad de producto? producto? Travel distribuye distribuye los costos de la 15.45 SNTTA Travel comida comida para para sus cuatro cuatro hoteles hoteles en Europa Europa con base en el tamaño tamaño de su presupuesto. presupuesto. Para este año, en números Para números redondos, redondos, los presupuestos presupuestos y asignación asignación de costos costos indirectos por $1 $1 millón millón se distribuyen distribuyen a razón razón presupuesto total de los hoteles. hoteles. de 10% del presupuesto Sitio Sitio

A

B

e

D

noches-huésped. número promedio promedio noches-huésped. El número de noches alojamiento de los huéshuésnoches de alojamiento pedes cada sitio sitio es el que se muestra pedes en cada muestra enseguida: enseguida: Sitio Sitio

D

Periodo de estancia, noches Periodo estancia, noches

4.75

e) Comente acerca de la distribución distribución de los Comente acerca costos de la comida, costos comida, con el empleo empleo de ambos métodos. Identifique Identifique cualquiera cualquiera ambos métodos. de las otras actividades actividades (orientadores (orientadores de costo) deban considerarse considerarse para para el costo) que deban enfoque método CBA CBA que pudieran pudieran enfoque del método reflejar realista de los reflejar una asignación asignación realista costos indirectos. costos indirectos. el) Si se estableciera estableciera un esquema esquema nuevo nuevo de distribución millón de costo costo distribución de $1 millón indirecto (es decir, indirecto decir, uno distinto distinto al de 10% del presupuesto presupuesto total total del hotel), hotel), explique diferencia que habría habría en los explique la diferencia montos finales reales reales que se cargarán cargarán montos finales incisos a) y b). ¿Habría ¿Habría alguna alguna en los incisos diferencia variaciones de la asigdiferencia en las variaciones nación por ejemplo, ejemplo, la distribudistribunación si, por ción fuera de 30% a presupuestos presupuestos de ción fuera $3 millones millones o más, y sólo 20% a los de $3 millones millones o menos, menos, por por año?

Presupuesto, Presupuesto, $ 2 millones millones 3 millones millones 4 millones millones 1 millón millón Asignación, 000 300 000 400 000 100 000 Asignación, $ 200 200000 300000 400000 100000

a) Use el método método de asignación asignación CBA CBA con

un grupo de costo de $1 millón en costos comida. La actividad actividad es el número número de comida. de huéspedes huéspedes durante durante el año.

D

Sitio Sitio Huéspedes Huéspedes

1000 1000

b) Use nuevamente nuevamente el método método CBA, pero

ahora ahora la actividad actividad es el número número de

costos indirectos 15.46 Los costos indirectos se asignan asignan cada cada trimestre calendario a las tres líneas líneas promestre del calendario cesadoras utilizando cesadoras utilizando como como base base las horas horas de mano obra directa. directa. El equipo equipo nuevo nuevo mano de obra automatizado reducido en forma forma sigautomatizado ha reducido significativa la mano nificativa mano de obra obra directa directa y el tiemtiempo para una unidad, unidad, de manera manera que para producir producir una el gerente división planea planea utilizar utilizar como como gerente de división base el tiempo base tiempo de ciclo ciclo por por unidad unidad proproducida. Sin embargo, embargo, inicialmente, inicialmente, el gerente determinar lo que habría habría sido rente quiere quiere determinar asignación, si el tiempo la asignación, tiempo de ciclo ciclo hubiera hubiera sido la base anterior a la automatización. automatización. base anterior Utilice para determinar determinar Utilice los siguientes siguientes datos para la tasa de asignación asignación y los cargos cargos indirectos indirectos

Línea Horas dir Tiem¡ un Tiem¡ an

15.4~

555

PROBLEMAS

reales para las tres situaciones diferentes, si el monto a ser asignado en un trimestre promedio es $400 000. Comente sobre los cambios en la cantidad de los costos indirectos asignados por línea de procesamiento. Línea de procesamiento

10

11

Horas de mano de obra directa por trimestre Tiempo de ciclo por unidad ahora, segundos Tiempo de ciclo por unidad anteriormente, segundos

20000

12700

3.9 13.0

$200 200, utilizando los gastos en el programa de seguridad como la agrupación de costos y el número de accidentes como las actividades que impulsan los costos. Las estadísticas de accidentes indican lo siguiente para el año.

12

17.0 55.8

18600 Estado

Número de accidentes

California Arizona

425 135

24.8 28.5

e)

15.47 Este problema consta de tres partes que se construyen una a partir de cada una de las otras. El objetivo es comparar y formular comentarios sobre la cantidad de los costos indirectos asignados a las instalaciones generadoras de electricidad ubicadas en dos estados, para las diversas situaciones descritas en cada parte. a) Históricamente, Mesa Power Authority ha asignado los costos indirectos asociados con su programa de seguridad laboral, en sus plantas de California y Arizona, con base en el número de empleados. La información para asignar un presupuesto de $200 200 para este año es la siguiente:

Estado

Tamaño de la fuerza laboral

California Arizona

900 500

Un estudio adicional indica que el 80% de los costos indirectos del programa de seguridad se gasta en los trabajadores de las áreas de generación, y el 20% restante va para los empleados del área de oficinas. Debido a este aparente desequilibrio en gastos, se propone una asignación dividida de la cantidad de $200 200: 80% de los dólares totales asignados mediante CBA, siendo las actividades el número de accidentes que ocurren en las áreas de generación y siendo la agrupación de costos el 80% de los gastos totales del programa de seguridad, y 20% de los dólares totales utilizando el método de asignación tradicional de costos indirectos, siendo la base el número de empleados en el área de oficinas. Se han reunido los siguientes datos.

Número de empleados

Número de accidentes

Área de Área de Área de Área de Estado generación oficinas generación oficinas

b)

El jefe del departamento de contabilidad recomienda que se abandone el método tradicional y se utilice el costo basado en actividades para asignar los

California

300

600

405

20

Arizona

200

300

125

10

556

CAPÍTULO CAPÍTULO 15

Estimación de costos Estimación costos y asignación asignación de costos costos indirectos indirectos

PROBLEMAS PROBLEMAS DE REPASO FI 15.48 El costo costo de construir construir cierto cierto edificio edificio en 1999 fue de $400 $400 000. El índice índice de costos costos de construcción ENR fue de 6 059 para para ese construcción ENR momento. ahora dicho índice momento. Si ahora índice es de 6 950, costo de construir construir un edificio edificio similar similar es el costo lo más cercano cercano a: a) Menos Menos de $450 $450 000 b) $508300 $508300 e) $458800 $458800 $600 000 d) Más de $600 15.49 Un robot de la línea de montaje, montaje, el cual costó $75000 $75000 en 1995, tuvo un costo costo de $89 750 en 2004. Si el índice índice de costos costos de equipo equipo M&S fue de 1 027 en 1995, y el costo del M&S robot robot se incrementó incrementó exactamente exactamente en proporproporción a dicho valor del índice dicho índice, índice, el valor índice en 2004 fue lo más cercano cercano a: a) Ligeramente Ligeramente menor menor al al 250 b) 1 105.2 e) 914.6 914.6 d) Ligeramente Ligeramente mayor mayor a 1 400

bomba de turbina de 50 caballos de fuer15.50 Una bomba za fue comprada comprada en $2 100. Si el exponente exponente en la ecuación ecuación de costo-capacidad costo-capacidad tiene un valor valor de 0.76, es de esperarse esperarse que el costo costo de una turbina turbina de 200 caballos caballos sea de: a) Menos Menos de $5 000 b) $6020 $6020 e) $5975 $5975 d) Más de $6 100 costo de cierta cierta máquina máquina 15.51 En el año 2000 el costo fue de $15 000, cuando cuando el índice índice de costo costo M &S fue de 1 092. Si el índice índice actual actual es de 1 164 Y el exponente Yel exponente en la ecuación ecuación de costocapacidad capacidad tuvo un valor valor de 0.65, 0.65, el costo costo que tendría tendría hoy una máquina máquina similar similar con el doble de capacidad capacidad se estima estima en: doble a) Menos Menos de $24 000 b) $25 100 e) $28500 $28500 d) Más de $30 000

ESTUDIO ESTUDIO DE CASO CASO

ESTIMACIONES ESTIMACIONES DE DE COSTO COSTO TOTAL TOTAL PARA PARA OPTIMIZAR OPTIMIZAR DOSIS DOSIS DE COAGULANTES COAGULANTES Antecedentes Antecedentes En En el tratamiento tratamiento del del agua agua potable potable se realizan realizan diversos diversos procesos, aunque están asoprocesos, aunque tres tres de los más más importantes importantes están asociados ciados con con la remoción remoción de materia materia suspendida, suspendida, que que se conoce conoce como como turbiedad. turbiedad. La La remoción remoción de la turbiedad turbiedad se lleva lleva a cabo cabo agregando agregando sustancias sustancias químicas químicas que que provocan aglutinamiento (coagulación) (coagulación) de los pequeprovocan el aglutinamiento pequeños sólidos formando partículas más más ños sólidos suspendidos, suspendidos, formando partículas grandes que que pueden asentamiento grandes pueden retirarse retirarse mediante mediante el asentamiento (sedimentación). Las Las escasas escasas partículas que quedan quedan desdes(sedimentación). partículas que pués sedimentación se extraen extraen empleando empleando filtros filtros pués de la sedimentación de arena arena o carbón carbón (filtración). (filtración).

En En general, general, conforme conforme se aumenta aumenta la dosis dosis de sussustancias (hasta tancias químicas, químicas, ocurre ocurre más más "aglutinamiento" "aglutinamiento" (hasta cierto punto), manera que que hay cierto punto), de manera hay una una mayor mayor remoción remoción sedimentación. Esto Esto de partículas partículas a través través del proceso proceso de sedimentación. significa removerse menos menos partículas significa que que deben deben removerse partículas a través través de la filtración, filtración, lo cual, cual, en efecto, efecto, significa significa que que el filtro filtro tendrá que tanta frecuencia mediante no tendrá que limpiarse limpiarse con con tanta frecuencia mediante retrolavado. Por tanto, más más químicos menos retrolavado. Por lo tanto, químicos significa significa menos agua retrolavado, y viceversa. viceversa. Puesto tanto el agua de retrolavado, Puesto que que tanto agua retrolavado como agua de retrolavado como los los químicos químicos implican implican costos, costos, sería: ¿qué ¿qué cantidad cantidad de químicos químicos la pregunta pregunta principal principal sería:

557

ESTUDIO DE CASO

generará un costo global menor cuando los procesos químicos de coagulación y de filtración se consideran

Al sustituir la ecuación [15.8] en la ecuación [15.9] y multiplicar por el costo unitario del agua de $0.0608/ m", se encuentra el costo del agua de lavado frente a la

en conjunto?

turbiedad, Cn'

Formulación

Cn = -O.OO24F3 + 0.0749F2

Para minimizar el costo total asociado con la coagulación y con la filtración, es necesario obtener la relación entre la dosis de sustancias químicas y la turbiedad del agua después de la coagulación y la sedi-

+ 0.7263F2

-

agua producto. El costo del químico para coagulación por kilogramo o

CT = CB + C¿ = -O.0024F3

+ 0.0749F2

m3/1 000 m" de

Como muestra la figura 15.3, el costo mínimo ocurre a una dosis de 5.6 mg/L. Cuando se utiliza esta dosis, el

Turbiedad inicial, NTU PruebasJar

.20 + 35-40

.¡f

24

x 55-56

~ '"""

20

• 65-70 •. 85-100 0140

16

• Información de la planta de tratamiento

Q)

"" ::>

bll

ee Q)

"O "O

-e::>

~

Figura 15.2 Relación no lineal entre dosis de coagulación y turbiedad efluente de sedimentación en estanque. FUENTE: A. J. Tarquin, Diana Tsimis y Doug Rlttmann,

12

"Water

Plant

Optimizes Coagulant

"" "O

.s

[15.12] 0.615F + 3.791

Resultados

[15.9]

28

!i

-

Las ecuaciones [15.10] a [15.12] se representan gráficamente en la figura 15.3.

32 ::>

[15.11]

El costo total para el agua de retrolavado y los químicos, Cn se obtiene sumando las dos últimas ecuaciones.

donde T = turbiedad del agua asentada y F = dosis de coagulante en miligramos/litro (mg/L). En forma similar, la información de agua de retrolavado se describe por la ecuación:

donde B = tasa de agua de retrolavado, agua producto.

m? de

C¿ es $0.183

e; = 0.183F

0.0233F3 [15.8]

B = -0.549 + 1.697T

0.798F + 3.791 [15.10]

donde Cn = costo del agua de lavado, $/1000

mentación, pero antes de la filtración, Este procedimiento permite determinar los costos de los químicos para las diferentes estrategias de operación, Esta relación de costos, derivada utilizando el análisis de regresión polinomial, se muestra en la figura 15.2 y se describe en la siguiente ecuación: T= 37.0893 -7.7390F

-

;t

8

•

4

o

2

4

6

8

t

.. •

•• • • +

Dosages",

x

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 Dosis de sulfato férrico, rngIL

Water

Engineering and Management 136, núm. S (1989), pp. 43-47 .

558

CAPÍTULO 15 Estimación de costos y asignación de costos indirectos

3.5

Figura 15.3 Curva de costo total para dosis de coagulan te y agua de retrolavado.

3.0

'8

2.5

-

2.0

o o o

~

t:

\.)

FUENTE: A. J. Tarquin, Diana Tsimis y Doug Rittmann, "Water Plant Optimizes Coagulant Dosages", Water Engineering and Management 136, núm. S (1989). pp. 43-47.

1.5

El

'"o

u 1.0 0.5 0.0

O

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Dosis de sulfato férrico, mglL

costo total para coagulación y filtración es aproximadamente CT = $2.27 por 1 000 m3 de agua producto. Antes de este análisis, la planta estaba utilizando 12mg/ L. Los costos en 5.6 y 12 mg/L se muestran en la tabla 15.8. Como ilustración, a la tasa flujo promedio de 189250 m3/día, resulta un ahorro del 26%, el cual representa un ahorro en dólares anuales de más de $53 000.

Ejercicios para el estudio de caso 1. ¿Qué efecto tiene un incremento en el costo de los químicos sobre la dosis óptima?

TABLA

15.8

2. ¿Qué efecto tiene un incremento en el costo del agua para retrolavado sobre la dosis óptima? 3. ¿Cuál es el costo de los químicos para una dosis de 10 mg/L? 4. ¿Cuál es el costo del agua de retrolavado para una dosis de 14 mg/L? S. Si el costo de los químicos cambia a $0.2llkg, ¿cuál será el costo total de coagulación y de filtración a una dosis de 6 mg/L? 6. ¿Con qué costo de los químicos ocurrirá el costo total mínimo a 8 mg/L?

Costos operacionales para dosis de coagulante de 5.6 y 12 mg/L

Dosis de coagulante, mg/L

Costo de coagulante, $/1000 m3

Núm. de retrolavados por día*

Costo de agua para lavado, $/1000 m3

5.6 12.0

1.25 2.20

5.93 4.12

1.02 0.85

* Cantidad

promedio

de agua por retrolavado

es 305 rrr', y tasa de flujo promedio

Costo total, $/1000 m3

Ahorro en costos

2.27

26%

3.05 por día es 94 625 m3/día (25 MGD).

559

ESTUDIO DE CASO

ESTUDIO DE CASO COMPARACIÓN DE COSTO INDIRECTO DE UNA UNIDAD DE ESTERILIZACIÓN DE EQUIPO MÉDICO El producto

lecencia y asilos al nivel aproximado unidades al año.

Hace tres años, Medical Dynamics, una unidad de equipo médico de Johnson and Sons, Inc., inició la fabricación y venta de una unidad de esterilización portátil (Quik-Sterz), que puede colocarse en el cuarto de hospital de un paciente. Esta unidad esteriliza y permite

Procedimientos de asignación de costos Medical Dynamics históricamente

tener disponibles junto a la cama algunos de los instrumentos reutilizables que las enfermeras y médicos usualmente tendrían que recoger o recibirlos de un área central. Esta nueva unidad hace que los instrumentos estén disponibles en el lugar y momento de uso para pacientes con quemaduras y lesiones serias, que se encuentran internados en un cuarto normal de hospital. Existen a la venta dos modelos del Quik-Sterz. La versión estándar se vende en $10.75, y una versión premium con bandejas personalizadas y un sistema de batería de respaldo se vende en $29.75. El producto se ha vendido muy bien en hospitales, unidades de conva-

TABLA

15.9

de 1 millón de

ha usado un sistema

de asignación de costo indirecto con base en las horas directas de fabricación para todas sus otras líneas de producto. Se aplicó el mismo cuando se asignó el precio del Quik-Sterz. Sin embargo, Arnie, la persona que desarrolló el análisis de costo indirecto y estableció el precio de venta, ya no trabaja en la compañía, y el análisis detallado ya no está disponible. Mediante conversaciones telefónicas y por correo electrónico, Arnie mencionó que el precio actual se estableció aproximadamente 10% sobre el costo de fabricación total determinado hace 2 años, y que ciertos registros estaban disponibles en los archivos del departamento de diseño. Una búsqueda de estos archivos reveló la

Registros históricos de análisis de costos directo e indirecto para Quik-Sterz Evaluación de costo directo (CD) para Quik-Sterz

Modelo

Mano de obra directa, $/unidad*

Material directo, $/unidad

Mano de obra directa, horas/unidad

Total de horas de mano de obra directa

Estándar Premium

$ 5.00 10.00

$2.50 3.75

0.25 0.50

187500 125000

Evaluación de costo indirecto (CID) para Quik-Sterz

Modelo

Mano de obra directa, horas/unidad

Fracción CID asignada

1 3 2 Premium 0.50 3 *La tasa de mano de obra directa promedio es de $20 por hora. Estándar

0.25

CID asignado

Ventas, unidades/año

$1.67 millones

750000

$3.33 millones

250000

560

15 Estimación Estimación de costos y asignación de costos indirectos CAPÍTULO 15

TABLA TABLA

15.10 15.10

Agrupaciones de costos, costos, impulsores impulsores de costos costos y niveles actividad para QuikAgrupaciones niveles de actividad para el QuikSterz mediante mediante el método método de asignación asignación de costos costos indirectos indirectos con CBA Sterz con base base en CBA

Función de de Función agrupación de de costos costos agrupación

Actividad del Actividad del impulsor de de costos costos impulsor

Calidad Compras Programación Programación Preparación de la producción Preparación producción Operaciones de máquina Operaciones

Inspecciones Inspecciones Órdenes de compra Órdenes de cambio Preparaciones Preparaciones Horas-máquina Horas-máquina

Actividad, Actividad, volumen/año volumen/año

inspecciones 20 000 inspecciones 40 000 órdenes órdenes 1 000 órdenes 5 000 preparaciones preparaciones 10000 horas 10000

Costo real, real, Costo $/año $/año

800000 $ 800000 1200000 1200000 800 000 1000000 1000000 1200 000 1200

Nivel de de actividad actividad para para el año año Nivel Actividad Actividad

Inspecciones de calidad Inspecciones Órdenes de compra Órdenes para cambio de la programación programación Preparaciones de la producción Preparaciones producción Horas-máquina Horas-máquina

Estándar Estándar

8000 8000 30000 30000 400 1500 1500 7000 7000

manufactura y costos de la tabla 15.9. información de manufactura Es claro, a partir de éstos y otros registros, que Arnie tradicional de costo indirecto con empleó un análisis tradicional base en las horas de mano de obra directa para estimar el costo de fabricación total: de $9.73 por unidad para el modelo estándar, y de $27.07 por unidad unidad para el modelo premium. premium. El año pasado, la gerencia decidió colocar toda la planta sistema CBA de asignación asignación de costo costo planta en el sistema recopilados por indirecto. Las cifras de costos y ventas recopilados Quik-Sterz el año anterior todavía eran precisas. Se Quik-Sterz identificaron cinco agrupaciones de costos y sus residentificaron pectivos impulsores de costos para las operaciones de manufactura de Medical Medical Dynamics Dynamics (tabla (tabla 15.10). 15.10). manufactura Además, el número de actividades de cada modelo se resume en dicha tabla. De aquí en adelante se usará el modelo CBA, con la intención de determinar determinar el costo total y el precio con intención base resultados. La primera impresión del base en sus resultados. primera impresión personal de producción producción es que el nuevo sistema mosQuik-Sterz son trará que los costos indirectos para el Quik-Sterz aproximadamente mismos que que los los de otros otros aproximadamente los mismos productos durante los últimos años, cuando se vendieron un modelo estándar estándar y uno mejorado mejorado (premium) (premium). . De

Premium Premium

12000 12000 10000 10000 600 3500 3500 3000 3000 estándar recibirá manera predecible, dicen, el modelo estándar recibirá premium recibirá recibirá cerca de 1/3 del costo indirecto, y el premium Básicamente, existen tres razones por los 2/3 restantes. Básicamente, gerencia de producción favor las que la gerencia producción no está a favor versiones premium: cuestan demasiado demasiado de producir producir versiones premium: cuestan en términos de costos directos e indirectos, son mecompañía y requieren significanos rentables para la compañía tivamente más tiempo y más operaciones en su fabricación.

Ejercicios del del caso caso de estudio estudio Ejercicios asignación tradicional tradicional de costo indirecto 1. Emplee asignación indirecto para verificar los estimados de Arnie acerca de costo y precio. precio. 2. Utilice el método CBA para estimar la asignación indirecto y el costo total para cada modelo. de costo indirecto 3. Si los precios y el número de unidades vendidas son estándar y los mismos el próximo próximo año (750000 (750000 estándar 250000 premium), 250000 premium), y todos los demás costos permanecen constantes, compare la ganancia del QuikSterz bajo el método CBA con la ganancia usando método tradicional tradicional de asignación asignación de costo costo el método indirecto.

ESTUDIO ESTUDIO DE DE CASO CASO

¿Qué precios precios debe debe cargar cargar Medical Medical Dynamics Dynamics el el 4. ¿Qué próximo año año con con base base en en el el método método CBA CBA yy un un 10% 10% próximo de margen margen de de ganancia ganancia sobre sobre el el costo? costo? ¿Cuál ¿Cuál será será la la de ganancia total total que que se se espera espera del del Quik-Sterz Quik-Sterz si si las las ganancia ventas se se mantienen mantienen estables? estables? ventas

561 561

5. 5. Usando Usando los los resultados resultados anteriores, anteriores, comente comente acerca acerca de de las las observaciones observaciones de de primera primera impresión impresión yy las las prepredicciones dicciones del del personal personal de de la la gerencia gerencia de de producción producción acerca acerca del del Quik-Sterz Quik-Sterz cuando cuando se se anunció anunció la la aplicaaplicación ción del del método método CBA. CBA.

16 o o 11-

Métodos depreciación de depreciación En general, las las compañías recuperan en en libros sus sus inversiones de capital en en En activos tangibles tangibles -equipo, -equipo, computadores, computadores, vehículos, maquinaria y edificacioedificaciones- mediante mediante un proceso llamado depreciación. depreciación. Aunque Aunque el monto monto de deneses un un flujo de efectivo efectivo real, real, el el proceso de depreciar depreciar un activo, al al preciación no es cual cual se se hace hace referencia también también como recuperación capital, explica la la pérrecuperación de capital, debido a la la antigüedad, antigüedad, uso uso y obsolescencia. Aunque Aunque dida del valor del activo debido se conserve en en excelente condición condición de funcionamiento, funcionamiento, el hecho de un activo se que valga menos a través del tiempo tiempo se se considera en en los estudios de evaluala introducción introducción acerca acerca de los métodos métodos clásicos clásicos ción económica. Después de la depreciación se se analizará analizará el sistema sistema modificado modificado acelerado acelerado de recuperación recuperación de depreciación (SMARq, que es es un un sistema sistema estándar utilizado utilizado en Estados Estados Unidos de costos (SMARq, con propósitos impositivos. Es Escomún paísesusen los métodos clásicos clásicos con común que otros países usen los para calcular impuestos. para ¿Porqué es importante importante la la depreciación depreciación en en la la ingeniería económica? Porque Porque ¿Por qué es es un un gasto que que permite la deducción deducción de impuestos impuestos que se se incluye en en el el cálcu cálculo es permite la lo en prácticamente prácticamente todos todos los países países industrializados. La La depreciación depreciación de éstos en disminuye el el impuesto impuesto sobre la la renta mediante mediante la la re relación: disminuye lación : Impuestos = (ingreso - deducciones)(tasa de impuestos) Los impuestos sobre la la renta renta se se estudian con mayor detalle detalle en en el capítulo capítulo 17 17.. Los El presente capítulo concluye con una una introducción introducción a los dos métodos métodos de El agotamiento, los cuales cuales se se utilizan con el el propósito propósito de recuperar inversiones agotamiento, depósitos de recursos recursos naturales, como minerales, metales y made capital en depósitos dera.

«« u u

Nota importante: importante: En En un un curso, curso, para para considerar considerar inicialmente inicialmente la depreciadepreciaNota ción y el análisis análisis después después de impuestos, impuestos, cubra cubra este este capítulo capítulo y el siguiente siguiente ción "Análisis económico económico después después de impuestos" impuestos" después después de los capítulos capítulos 6 (VA), "Análisis (B/C) u 11 (Análisis (Análisis de reemplazo). reemplazo). Consulte Consulte el prefacio prefacio para para tener tener más 9 (B/C) más opciones acerca acerca del ordenamiento ordenamiento de los temas. temas. opciones

01

-

-

-

-

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE APRENDIZAJE OBJETIVOS Objetivo general: general: usar los los métodos métodos clásicos clásicos y aprobados aprobados por el gobierno gobierno para reducir reducir el valor valor Objetivo la inversión de capital capital en un un activo o recurso natural. natural. de la

Este capítulo capítulo ayudará al al lector lector a: a: Este Comprender y usar la la terminología terminología básica de la la depreciación depreciación. . 1. Comprender

Términos de de depreciación depreciación Términos

I ---;--- I I ----.--- I ---;--- II Línea recta recta

2. 2. Aplicar Aplicar el modelo modelo de depreciación depreciación en línea recta recta..

Saldo decreciente decreciente Saldo

Aplicar los modelos modelos de depreciación depreciación de saldo decreciente decreciente y 3. Aplicar doble decreciente. decreciente. doble

SMARC SMARC

4. Aplicar acelerado de recuperación Aplicar el sistema modificado modificado acelerado recuperación de costos (SMARC) (SMARC) de la la depreciación depreciación para las las corporaciones corporaciones de Estados Unidos. Elegir el periodo periodo de recuperación recuperación de un activo 5. Elegir activo para la la depreciación SMARC. depreciación del SMARC.

Periodo de recuperación recuperación Periodo de

----Agotamiento Agotamiento

II

Utilizar los métodos métodos de agotamiento porcentual 6. Utilizar agotamiento en costos y porcentual para inversiones inversiones en recursos naturales. naturales. Apéndices Apéndices del capítulo capítulo

Aplicar el método método de depreciación depreciación de la suma de los dígitos dígitos A 1. Aplicar anuales. anuales. A2 . Determinar Determinar cuándo cuándo cambiar cambiar de un modelo modelo de depreciación depreciación a A2. otro. otro . A3. Calcular Calcular tasas de depreciación depreciación del del SMARC usando usando el cambio cambio de modelo modelo de depreciación. depreciación .

564

CAPÍTULO 16 Métodos Métodos de depreciación depreciación CAPÍTULO

16.1

TERMINOLOGíA DE DEPRECIACiÓN DEPRECIACiÓN TERMINOLOGíA

continuación se definen definen algunos algunos términos términos comúnmente comúnmente utilizados utilizados en depreciadepreciaA continuación mayoría es aplicable aplicable tanto tanto a corporaciones corporaciones como como a individuos individuos que poseen poseen ción. La mayoría activos depreciables. depreciables. activos Depreciación es la reducción reducción en el valor valor de un activo. activo. El método método empleado empleado Depreciación para depreciar depreciar un activo es una forma forma de tomar tomar en consideración consideración el valor valor para decreciente del activo activo para para el propietario propietario y para para representar representar el valor valor (mon(mondecreciente disminución de los fondos fondos de capital capital invertidos invertidos en él. El monto monto de la to) de disminución depreciación anual D,no representa un flujo de efectivo efectivo real, ni refleja depreciación D,no representa refleja necesariamente el patrón activo durante durante su posesión. posesión. cesariamente patrón del uso real del activo Depreciación en libros libros y depreciación depreciación para para efecto efecto de impuestos impuestos son térmitérmiDepreciación empleados para para describir describir el propósito reducir el valor valor del activo. La nos empleados propósito de reducir depreciación se toma toma en cuenta cuenta por dos razones: razones: depreciación Para la contabilidad contabilidad financiera financiera interna interna de una empresa empresa o negocio. negocio. Ésta Ésta 1. Para depreciación en libros. es la depreciación Para cálculos cálculos impositivos impositivos por disposiciones disposiciones gubernamentales. gubernamentales. Ésta Ésta es 2. Para depreciación para efectos de impuestos. impuestos. la depreciación para efectos métodos aplicados aplicados para propósitos pueden utilizar o no las Los métodos para estos dos propósitos pueden utilizar mismas fórmulas, fórmulas, como como se analiza analiza más adelante. adelante. La depreciación depreciación en libros mismas indica la inversión inversión reducida reducida en un activo activo con base base en el patrón vigente y la indica patrón vigente vida útil esperada de dicho activo. Hay métodos clásicos de depreciación vida esperada dicho activo. métodos clásicos depreciación aceptados internacionalmente internacionalmente que se usan para determinar la depreciación depreciación aceptados para determinar en libros: en línea línea recta, de saldos saldos decrecientes decrecientes y el que rara rara vez se utiliza utiliza es el de la suma suma de los dígitos dígitos del año. El monto monto de la depreciación depreciación para para efecto de impuestos impuestos es importante importante en los estudios estudios de ingeniería ingeniería económica económica efecto después después de impuestos impuestos por lo siguiente: siguiente: En Estados Estados Unidos Unidos y muchos muchos países países industrializados, depreciaEn industrializados, la depreciación del impuesto impuesto anual anual es deducible deducible de impuestos; impuestos; es decir, decir, se resta resta ción ingreso cuando cuando se calcula calcula la cantidad cantidad de impuestos impuestos que que se adeuda adeuda del ingreso cada año. año. Sin Sin embargo, embargo, el monto monto de la depreciación para efecto efecto de cada depreciación para impuestos debe debe calcularse calcularse con un un método método aprobado aprobado por por el gobierno. gobierno. impuestos depreciación de impuestos impuestos se puede puede calcular calcular y referir referir de manera manera distinta distinta La depreciación países distintos distintos a Estados Estados Unidos. Unidos. Por ejemplo, ejemplo, el equivalente equivalente en Canadá Canadá en países TCC (tolerancia (tolerancia del costo costo de capital), capital), el cual se calcula calcula con base es el TCC base en el valor no depreciado depreciado de todas las propiedades corporativas que forman forman una valor propiedades corporativas activos, mientras mientras que en Estados Estados Unidos Unidos la depreciación depreciación clase particular particular de activos, puede determinarse para separado. puede determinarse para cada activo activo por separado. Donde se permite, depreciación para efecto de impuestos impuestos usualmenusualmenDonde permite, la depreciación para efecto basada en un método método acelerado; acelerado; por consiguiente, consiguiente, la depreciación depreciación te está basada para mayor que para para los primeros primeros años de uso es mayor para los años posteriores. posteriores. En Estados Unidos, Unidos, este método método se denomina denomina SMARC, SMARC, según según se estudiará estudiará en Estados secciones que siguen. siguen. De hecho, métodos acelerados acelerados difieren difieren parte las secciones hecho, los métodos parte del impuesto periodos posteriores posteriores de la vida del impuesto sobre la renta que se carga a periodos activo; no reducen reducen la cantidad cantidad total de impuestos. impuestos. activo;

SECCIÓN 16.1 SECCIÓN

Terminología de depreciación depreciación Terminología

565

Costo inicial inicial o base no ajustada ajustada es el costo costo del activo activo entregado entregado e instalado instalado Costo incluye precio precio de compra, compra, comisiones comisiones de entrega entrega e instalación, instalación, y otros que incluye costos prepacostos directos directos depreciables depreciables en los que se incurre incurre con la finalidad finalidad de prepaactivo para para su uso. El término término base no ajustada ajustada B, o simplemente simplemente rar el activo utiliza cuando cuando el activo es nuevo; nuevo; se emplea emplea el término término base base ajusbase, se utiliza tada cuando cuando se ha cargado cargado alguna alguna depreciación. depreciación.

El valor valor en libros libros representa representa la inversión inversión restante restante y no depreciada depreciada en los libros, libros, después de que el monto monto total de cargos cargos de depreciación depreciación a la fecha fecha se restó restó después base. En general, general, el valor valor en libros, libros, VLI , se determina determina al final de cada cada de la base. año, lo cual es consistente consistente con la habitual habitual convención convención de final de año. I,

El periodo periodo de recuperación recuperación es la vida depreciable, depreciable, n, del activo en años. Con frecuencia, existen existen diferentes diferentes valores valores n para para las depreciaciones depreciaciones en libros y frecuencia, para efecto efecto de impuestos. impuestos. Estos Estos valores valores pueden pueden ser diferentes diferentes de la vida para productiva estimada estimada del activo. productiva El valor valor de mercado, mercado, un término término también también empleado empleado en el análisis análisis de reemplareempla. zo, es la cantidad cantidad estimada estimada que ingresaría ingresaría si el activo se vendiera vendiera en el mercado abierto. abierto. Debido Debido a la estructura estructura de las leyes de depreciación, depreciación, el mercado valor en libros libros y el valor valor de mercado mercado llegan llegan a ser sustancialmente sustancialmente diferendiferenvalor tes. Por ejemplo, ejemplo, el valor valor de mercado mercado de un edificio edificio comercial comercial tiende tiende a aumentar, valor en libros se reducirá reducirá a medida medida que se consideren consideren los aumentar, pero el valor cargos de depreciación. depreciación. En contraste, contraste, una terminal terminal de computadora computadora puede puede cargos tener un valor valor de mercado mercado mucho mucho más bajo que su valor debido a tener valor en libros debido la tecnología tecnología rápidamente rápidamente cambiante. cambiante. valor de salvamento salvamento es el valor valor estimado estimado de intercambio intercambio o de mercado mercado al El valor valor de salvamento, salvamento, S, expresado expresado corno final de la vida útil del activo. El valor cantidad estimada dólares o corno un porcentaje porcentaje del costo costo inicial, inicial, una cantidad estimada en dólares puede ser positivo, positivo, cero o negativo negativo debido debido a los costos de desmantelamiento desmantelamiento puede y de remoción. remoción.

La tasa de depreciación depreciación o tasa de recuperación recuperación es la fracción fracción del costo costo inicial inicial elimina cada cada año por depreciación. Dicha tasa, denotada denotada por dI' d; pueque se elimina depreciación. Dicha misma cada cada año, denominándose denominándose entonces entonces tasa en línea línea recta, o de ser la misma diferente para para cada año del periodo periodo de recuperación. recuperación. diferente propiedad personal, personal, uno de los dos tipos de propiedad propiedad para para los que se La propiedad permite la depreciación, depreciación, está constituida constituida por las posesiones posesiones tangibles tangibles de permite corporación, productoras productoras de ingresos, ingresos, utilizadas utilizadas para para efectuar efectuar negouna corporación, cios. Se incluye incluye la mayor mayor parte parte de la propiedad propiedad industrial industrial y de servicio: servicio: vehículos, vehículos, equipo equipo de manufactura, manufactura, dispositivos dispositivos para para el manejo manejo de materiamateriales, computadoras computadoras y equipos equipos de red, teléfonos, teléfonos, mobiliario mobiliario de oficina, oficina, equipo equipo para para procesos procesos de refinación, refinación, activos activos de la construcción construcción y muchos muchos más. inmobiliaria incluye incluye el predio predio y todas sus mejoras: mejoras: edificios edificios de La propiedad propiedad inmobiliaria oficinas, estructuras de manufactura, manufactura, instalaciones instalaciones de prueba, bodegas, bodegas, aparoficinas, estructuras tamentos y otras estructuras. estructuras. El terreno en sí sí se considera considera propiedad inmotamentos El terreno propiedad inmobiliaria, pero no es depreciable. depreciable. biliaria, pero no

Valor de mercado

566

CAPÍTULO 16 Métodos Métodos de depreciación depreciación CAPÍTULO

La convención convención de medio medio año supone supone que se empieza empieza a utilizar utilizar los activos activos o se dispone dispone de ellos a mitad mitad de año, sin importar importar cuándo cuándo ocurren ocurren realmente realmente tales eventos eventos durante durante el año. En este texto y en la mayoría mayoría de los métodos métodos de depreciación depreciación para para efecto efecto de impuestos impuestos aprobados aprobados en Estados Estados Unidos Unidos se considera considera dicha dicha convención. convención. Existen Existen también también convenciones convenciones de mitad mitad de mes y de mitad mitad de trimestre. trimestre. Como Como se dijo antes, existen existen varios modelos modelos para para depreciar depreciar activos, activos, el de línea línea recta recta (LR) se ha usado usado a nivel nivel internacional internacional en forma forma histórica. histórica. Sin embargo, embargo, modelos modelos acelerados acelerados tales como como el modelo modelo de saldo decreciente decreciente (SD), reducen reducen el valor valor en libros a cero (o al valor valor de salvamento) salvamento) con más rapidez rapidez que el método método en línea línea recta, como como lo muestran muestran las curvas curvas generales generales de valor valor en libros de la figura figura 16.l. 16.l. Para los métodos recta, saldo decreciente métodos clásicos clásicos -línea -línea recta, decreciente y suma de los dígitos dígitos anuales anuales (SDA)(SDA)- existen existen funciones funciones de Excel Excel disponibles disponibles para para determinar determinar la depreciación ciación anual. Cada Cada función función se presentará presentará e ilustrará ilustrará conforme conforme se explique explique el métométoPuesto que el SDA se aplica aplica con menor menor frecuencia, frecuencia, se resumirá resumirá enel enel apéndice apéndice do. Puesto capítulo. de este capítulo. muchas reglas y excepciones excepciones a las leyes que rigen la Como es de esperar, existen muchas depreciación en un país. Una de ellas que podría podría ser de interés cuando se lleva a cabo depreciación económico para un negocio pequeño Estados Unidos, es la Deducción Deducción un análisis económico pequeño en Estados Sección 179. Se trata de un incentivo incentivo económico económico que cambia cambia con rapidez rapidez y está de la Sección pequeñas empresas empresas que invierten invierten capital en equipo usado en dirigido sobre todo a pequeñas especificado, toda la base de un activo se maneja maneja como forma directa. Hasta un monto especificado, negocios en el año de compra. Este tratamiento tratamiento fiscal reduce los impuestos impuestos gasto de negocios federales sobre la renta, igual que lo hace la depreciación, depreciación, pero se permite permite en lugar de federales depreciar el costo inicial durante varios años. El límite cambia cambia con el tiempo; en 2002 depreciar

era e invei fisca Dedl lerac todo sum: plaz gunc métc te es

ElS que anua aplic todo inve los r libre expl

prec las 1; ted 1 gene ción Serv carg espe parte

Figura 16.1 Figura Forma general general de las las Forma curvas de valor valor en en libros libros curvas para diferentes diferentes modelos modelos para depreciación. de depreciación.

16.: Lad disn cads

Tiempo, años años Tiempo,

Periodo de recuperación recuperación Periodo

de G repn alo se u

SECCIÓN SECCIÓN 16.2

Depreciación recta (LR) Depreciación en línea línea recta

era de $24 000, pero se incrementó incrementó a $100 000 en 2003 y a $102 000 en 2004. Las inversiones por arriba de estos límites se deprecian deprecian por medio del SMARC. SMARC. Las leyes inversiones fiscales de 2004 establecen establecen que para inversiones inversiones de capital superiores superiores a $410 000 la Deducción de la Sección Sección 179 se reduce reduce dólar por dólar. Deducción década de 1980 el gobierno gobierno estadounidense estadounidense estandarizó estandarizó los métodos métodos aceEn la década lerados para para propósitos propósitos de depreciación depreciación impositiva impositivafederal. todos los mélerados federal. En 1981, todos clásicos, incluyendo incluyendo las depreciaciones depreciaciones en línea decreciente y todos clásicos, línea recta, recta, saldo decreciente dígitos anuales, anuales, se inhabilitaron inhabilitaron como como deducibles deducibles de impuestos impuestos y se reemsuma de dígitos reemplazaron por el sistema sistema acelerado acelerado de recuperación recuperación de costos costos (SARC). plazaron (SARC). En una segunda vuelta vuelta de estandarización, estandarización, el SMARC SMARC (SARC (SARC modificado) modificado) se eligió eligió como gunda como el método de depreciación depreciación impositiva impositiva requerido requerido en 1986. Hasta Hasta esta fecha, lo siguienmétodo siguienEstados Unidos. Unidos. te es la ley en Estados depreciación para para efectos de impuestos impuestos debe calcularse calcularse usando La depreciación usando el depreciación en libros puede puede calcularse calcularse utilizando utilizando algún SMARC; la depreciación algún método clásico o el SMARC. SMARC incluye, incluye, de formas formas ligeramente ligeramente diferentes, diferentes, los métodos métodos SD y LR, aunEl SMARC aunmétodos no pueden pueden utilizarse utilizarse de manera manera directa directa si la depreciación depreciación que estos dos métodos anual será deducible todavía deducible de impuestos. impuestos. Muchas Muchas compañías compañías estadounidenses estadounidenses todavía aplican los métodos métodos clásicos clásicos para para llevar llevar sus propios propios libros, libros, debido debido a que estos aplican estos mémérepresentativos de cómo cómo los patrones patrones de uso del activo activo reflejan reflejan la todos son más representativos inversión de capital capital restante. restante. Además, Además, la mayor mayor parte países aún reconocen inversión parte de los países reconocen métodos clásicos clásicos en línea línea recta recta y de saldo decreciente decreciente para para fines fiscales fiscales o de los métodos causa de la importancia vigente de los métodos libros. A causa importancia vigente métodos de LR y SD, éstos éstos se explican en las siguientes siguientes dos secciones, secciones, antes del SMARC. SMARC. explican frecuencia ocurren ocurren revisiones revisiones a las leyes impositivas, impositivas, y las reglas reglas de deCon frecuencia preciación cambian cambian de tiempo tiempo en tiempo tiempo en Estados Estados Unidos Unidos y otros países. países. Aunque preciación Aunque impositivas y los lineamientos lineamientos de depreciación depreciación en el momento momento en que uslas tasas impositivas material sean ligeramente ligeramente diferentes, diferentes, los principios principios y las ecuaciones ted lea este material ecuaciones generales son universales. universales. Para mayor mayor información información acerca generales acerca de las leyes de depreciadepreciaimpositivas, consulte consulte al Departamento Departamento del Tesoro y el "Internal "Internal Revenue ción e impositivas, Revenue Service" de Estados Estados Unidos Unidos en la página página www.irs.gov. www.irs.gov. Publicaciones Publicaciones afines afines se desService" desAcrobat Reader. Reader. La Publicación Publicación 946, "Cómo "Cómo depreciar depreciar la propiedad", propiedad", es cargan vía Acrobat especialmente aplicable aplicable a este capítulo. capítulo. En ella se analizan analizan el SMARC SMARC y la mayor especialmente mayor parte de las leyes de depreciación depreciación impositiva impositiva para para empresas. empresas. parte 16.2 16.2

DEPRECIACiÓN EN LíNEA LíNEA RECTA (LR) DEPRECIACiÓN

depreciación en línea línea recta deriva deriva su nombre nombre del hecho valor en libros La depreciación hecho de que el valor libros disminuye linealmente linealmente con el tiempo. tiempo. La tasa de depreciación depreciación d = = l/n l/n es la misma disminuye misma periodo de recuperación recuperación n. cada año del periodo estándar contra el cual se comparan los otros modelos La línea recta se considera considera el estándar modelos depreciación. Para Para propósitos propósitos de depreciación depreciación en libros, ofrece ofrece una excelente de depreciación. excelente representación del valor en libros para cualquier cualquier activo que se utilice de manera manera regular representación regular número estimado estimado de años. Como se dijo antes, en Estados Estados Unidos a lo largo de un número Unidos no directamente para la depreciación depreciación impositiva, impositiva, pero es común común que se utilice se usa directamente utilice

567

568

depreciación CAPÍTULO 16 Métodos de depreciación

para fiscales en la mayor mayor parte embargo, el método método estaestapara fines fiscales parte de los países. países. Sin embargo, incluye una versión de depreciación depreciación por LR con un valor de dounidense del SMARC SMARC incluye dounidense grande que el que permite regularmente el SMARC SMARC (véase (véase la sección sección 16.5). n más grande permite regularmente depreciación LR anual se determina determina al multiplicar costo inicial inicial menos La depreciación multiplicar el costo menos el valor salvamento, por d. En forma forma de ecuación: ecuación: valor de salvamento, DI

= (B =

S)d S)d

B-S B-S

[16.1]

II 1l

Tiempo Tiempo

donde t donde DI D, B S d n

= año (t = = 1,2, .... = .. , n) = cargo cargo anual de depreciación = depreciación = costo costo inicial inicial o base ajustada base no ajustada = valor valor de salvamento salvamento estimado estimado =

depreciación = l/n = tasa de depreciación = periodo = periodo de recuperación recuperación

Puesto que el activo activo se deprecia deprecia por la misma cuantía cada cada año, el valor libros Puesto misma cuantía valor en libros después de t años de servicio, servicio, VL" VL será igual al costo inicial B menos menos la depreciadepreciadespués costo inicial " anual, por t.t. ción anual, VL,=B-tD,

[16.2]

Anteriormente se definió definió d, como como la tasa de depreciación depreciación para específico t.t. para un año específico Anteriormente No obstante, obstante, el modelo modelo LR tiene la misma misma tasa para para todos todos los años, es decir,

11

d=dt=d=d,=-

[16.3]

II

flI

formato para función de Excel Excel despliegue despliegue la depreciación depreciación anual anual D, DI en una El formato para que la función operación de celda celda es el siguiente: siguiente: sola operación

Sol-R

SLN(B,S,n) SLN(B,8,Il)

16

El) ció aUJ:1

EJEMPLO EJEMPLO

16.1 16.1

' ''",

salvamento de Si un activo tiene un costo inicial de $50 000 con un valor estimado de salvamento depreciación anual, y b) determine y represente $10 000 después de 5 años, a) calcule la depreciación represente gráficamente el valor en libros del activo después de cada año, utilizando el modelo de gráficamente depreciación en línea recta. depreciación Solución Solución depreciación de cada año para 5 años se encuentra mediante la ecuación [16.1]. a) La depreciación D, = =B- S = = 50 000 - 10 000 = = $8 000 n 5

cualquier celda para desplegar la DI de Ingrese la función SLN(50 000,10 000,5) en cualquier $8000. $8000.

am ruti

tajé del pri. dec tan en

En 10

SECCIÓN

b)

16.3

Depreciación

de saldo decreciente

(SD) y de saldo doble decreciente

El valor en libros después de cada año t se calcula mediante la ecuación [16.2]. Los valores VL, se representan gráficamente en la figura 16.2. Para los años 1 y 5, por ejemplo,

-

40

X

30

;>
8

@

20

<= <1.l

...

o Ol ;>

- 1(8000)

= $42

000

= 50000

- 5(8 000)

= $10

000

10

Sol-R

=S

D, = $8000

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

..."

.r

= 50 000

VLs

------1}

50 o o o

VL¡

569

O

S= $10000 2

3

4

5

Año!

Figura 16.2 Valor en libros de un activo depreciado,

16.3

utilizando

el modelo en línea recta, ejemplo

16.1.

DEPRECIACiÓN DE SALDO DECRECIENTE (SD) Y DE SALDO DOBLE DECRECIENTE

El método de saldo decreciente por lo general se aplica como el método de depreciación en libros. Al igual que el método LR, el SO está inherente en el método SMARC, aunque el método SO por sí mismo no puede utilizarse para determinar la depreciación anual deducible de impuestos en Estados Unidos. Este método se usa de manera rutinaria en la mayoría de los países para fines de depreciación fiscal y en libros. El método de saldo decreciente también se conoce como el método de porcentaje uniforme o fijo. La depreciación de SO acelera la reducción del valor del activo debido a que la depreciación anual se determina multiplicando el valor en libros al principio de cada año por un porcentaje fijo (uniforme) d, expresado en forma decimal. Si d = 0.1, entonces cada año se elimina el 10% del valor en libros. Por lo tanto, la cantidad de depreciación disminuye año con año. La tasa de depreciación anual máxima por el método SO es el doble de la tasa en línea recta, esto es, [16.4] En este caso, el método se conoce como de saldo decreciente doble (SDD). Si n = 10 años, la tasa SOO sería 2110 = 0.2, de manera que 20% del valor en libros se

Tiempo

570

CAPÍTULO 16 CAPÍTULO

Métodos Métodos de depreciación depreciación

remueve para el método método SD es 150% de remueve anualmente_ anualmente. Otro porcentaje porcentaje muy utilizado utilizado para la tasa LR, donde I_S /n donde d = = 1.S/n. La depreciación por el valor valor en libros libros depreciación para para el año t es la tasa fija d, multiplicada multiplicada por al final del año anterior_ anterior. [16.5]

[16 _7] [16.7]

VL, =B(l-dY

[16.8]

VL, =VL'_l-D,

[16.9]

importante entender entender que el valor valor en libros libros en el método método SD nunca nunca llega llega a cero, Es importante porque el valor valor en libros siempre siempre está disminuyendo disminuyendo en un porcentaje porque porcentaje fijo. fijo_ El valor valor salvamento implícito implícito después después de n años es la cantidad cantidad VLmm es decir, de salvamento salvamento implícito implícito = S implícito implícito = VLnn = B(l - d)n B(1d)" Valor de salvamento

[16.10] [16_10]

estima un valor valor de salvamento salvamento para para el activo, activo, este S estimado Si se estima este valor valor S estimado no se emplea en los métodos métodos SD o SDD para para calcular calcular la depreciación depreciación anual. emplea anual_ Sin embargo, embargo, implícito < S estimado, estimado, es correcto correcto dejar dejar de cargar cargar posteriores posteriores depreciaciones depreciaciones si el S implícito cuando el valor valor en libros esté en o por debajo debajo del valor valor de salvamento cuando salvamento estimádo. estimádo_ En mayoría de los casos, casos, el S estimado estimado está está en el rango rango de cero la mayoría cero al valor valor S implícito. implícito_ importante cuando cuando el método método del saldo decreciente (Este lineamiento lineamiento es importante decreciente puede puede usarse usarse directamente con fines de depreciación depreciación fiscaL) fiscal.) directamente establece el porcentaje porcentaje fijo d, es posible posible determinar determinar una una tasa tasa fija implíimplíSi no se establece usando el valor valor S S estimado, estimado, si S S > 0_ O. El rango rango para para d es O cita usando O < d < 2/n. 2/n_

r n

~ ~ Sol·E Sol-E

d. di

fi d)t-l

El valor formas: o utilizando utilizando la valor en libros libros en el año t se determina determina en una una de dos formas: tasa d y el costo actual anterior anterior valor valor costo inicial inicial B, o restando restando el cargo cargo de depreciación depreciación actual en libros_ libros. Las ecuaciones ecuaciones son:

implícita d implícita

01

ci

t _

=dB(1 -

e:

[16_6] [16.6]

Si el VLt _ II no se conoce, calcula usando usando B y d, dt de la conoce, la depreciación depreciación en el año t se calcula ecuación ecuación [16_61[16.6]. Dt

SI

la ft

te

La tasa de depreciación costo inicial inicial B, es: depreciación real para para cada cada año t,t, relativa relativa al costo d t=d(l-d)t-l = d( 1 - d)t - 1

L

S )11" == 1 - (; (B

[16.11]

funciones DDB y DB de Excel Excel se usan usan para para desplegar Las funciones desplegar cantidades cantidades de depredepreciación para para años específicos específicos (o cualquier cualquier otra unidad ciación unidad de tiempo). tiempo)_ La función función se repite en celdas celdas contiguas contiguas de una hoja de cálculo cálculo pues pues la cantidad repite cantidad de depreciación depreciación D, cambia con t_t. Para Para el método método de saldo decreciente decreciente doble Dt cambia doble es DDB(B,S,n,t,d) DDB(B,S,n,t,d)

le di v:

I

SECCIÓN 16.3 16.3 SECCIÓN

Depreciación de saldo saldo decreciente decreciente (SD) (SD) y de saldo saldo doble doble decreciente decreciente Depreciación

571

La entrada entrada d es la tasa fija expresada expresada como como un número número entre 1 y 2. Si se OInite, ornite, se supone que esta entrada opcional será 2 para para DDB. Una entrada entrada de d = = 1.5 hace supone entrada opcional hace que función DDB despliegue despliegue cantidades cantidades del método método de saldo decreciente decreciente al 150%. La la función función DDB automáticamente automáticamente verifica verifica para para determinar determinar cuándo cuándo el valor valor en libros función igual al valor valor S estimado. estimado. Ninguna Ninguna depreciación depreciación posterior posterior se carga cuando cuando esto es igual ocurre. (Con la finalidad finalidad de permitir permitir que se realicen realicen cargos cargos de depreciación depreciación complecompleocurre. tos,, asegúrese asegúrese que el S ingresado ingresado está está entre entre cero y el S implícito implícito a partir partir de la ecuatos [16.10].) Advierta Advierta que d = = 1 es el mismo mismo que la tasa en línea línea recta recta l/n l/n,, pero DI DI ción [16.10].) cantidad LR porque porque la depreciación depreciación en saldo decreciente decreciente está está determinadeterminano será la cantidad como un porcentaje valor en libros del año previo, previo, que es completamente completamente da como porcentaje fijo del valor diferente de los cálculos cálculos LR en la ecuación ecuación [16.1]. diferente función DB debe utilizarse utilizarse con cuidado. cuidado. Su formato formato es DB(B,S,n,t). La función DB(B,S,n,t). La tasa ingresa en la función función DB; d es un cálculo cálculo inherente inherente usando usando un equivaequivafija d no se ingresa cálculo de la ecuación ecuación [16.11]. Además, Además, sólo se mantienen mantienen tres lente en hoja de cálculo dígitos significativos significativos para para d, de manera manera que el valor valor en libros puede puede ir por por abajo del dígitos valor de salvamento salvamento estimado estimado debido debido a errores errores de redondeo. redondeo. En consecuencia, consecuencia, si se valor conoce la tasa de depreciación, depreciación, siempre siempre use la función asegurar los conoce función DDB DDB para para asegurar resultados correctos. correctos. Los siguientes siguientes dos ejemplos ejemplos ilustran ilustran las depreciaciones depreciaciones SD y resultados funciones en hojas de cálculo. cálculo. SDD y sus funciones EJEMPLO EJEMPLO

16.2

Funciones SDySDD SDySDD

1~

Un dispositivo dispositivo para para prueba prueba de fibras fibras ópticas ópticas será será depreciado depreciado con con el método método SDD. SDD. El El disdisUn positivo tiene tiene un un costo costo inicial inicial de $25 $25 000 000 y un valor valor de salvamento salvamento estimado estimado de $2500 $2500 positivo después de 12 años. años. a) CalCule Calcule su depreciación depreciación y su valor valor en en libros libros para para los los años años 1 y 4. después Escriba las las funciones funciones de Excel Excel para para mostrar mostrar la depreciación depreciación para para los años años 1 y 4. b) Calcule Calcule Escriba valor de salvamento salvamento implícito implícito después después de 12 años. años. el valor Solución Solución a) La tasa tasa de depreciación depreciación fija fija de SDD SDD es d = 2/n 2/n = 2/12 2/12 = 0.1667 0.1667 anual. anual. Use ecuacioa) La Use las ecuaciones [16.7] [16.7] y y [16.8] [16.8]. . nes Año Año 1:

DI = (0.1667)(25 (0.1667)(25 000)(1 000)(1 - 0.1667)1-1 0.1667)1-1 = $4167 $4167 VLI1 = 25000(125000(10.1667)1 = $20 $20 833 VL 0.1667)1

Año 4: Año

(0.1667)(25 000)(1 000)(1 - 0.1667)4-1 0.1667)4-1 = $2411 $2411 D4 = (0.1667)(25 VL44 = 25 000(1 000(1 - 0.1667)4 0.1667)4 = $12054 $12054 VL

b)

Las funciones funciones de SDD SDD para para DI y D4 son, son, respectivamente, respectivamente, DDB(25 DDB(25 000,2 000,2 500,12,1) 500,12,1) Las DDB(25 000,2 000,2 500,12,4). 500,12,4). Y DDB(25 De acuerdo acuerdo con con la ecuación ecuación [16.10], [16.10], el valor valor de salvamento salvamento implícito implícito después después de 12 De años es: es: años

Sol-R

implícito= 25 25000(10.1667y2 = $2 $2 803 S implícito= 000(1 - 0.1667)12 Puesto que que el S estimado estimado = $2 $2 500 500 es menor menor que que $2 803, 803, el activo activo no está está completacompletaPuesto mente depreciado depreciado cuando cuando alcanza alcanza su duodécimo duodécimo año año de vida vida esperada. esperada. mente

'1

572

EJEMPLO

CAPÍTULO

16.3

16 Métodos de depreciación

. Freeport-McMoRan Mining Company compró una unidad para calificar minerales áureos controlada por computadora por $80 000. La unidad tiene una vida anticipada de 10 años y un valor de salvamento de $10 000. Utilice los métodos SD y SDD para comparar el programa de depreciación y el valor en libros para cada año. Resuelva a mano y por computadora. Solución a mano Mediante la ecuación [16.11] se determina una tasa de depreciación

SD implícita.

"10

d=l(

10000 80000 )

=0.1877

Observe que 0.1877 < 2/n = 0.2, de manera que este modelo SD no excede el doble de la tasa en línea recta. La tabla 16.1 presenta los valores D, utilizando la ecuación [16.5] y los valores VL" de la ecuación [16.9] redondeada al dólar más cercano. Por ejemplo, en el año t = 2, los resultados SD son:

D2 = d(VL¡) = 0.1877(64 984) = $12197 VL2

= 64 984 -

12 197 = $52 787

Debido a que se redondea a dólares, se ha calculado una depreciación de $2 312 en el año 10, aunque se deducen $2 318 para hacer VLIO = S = $10000 en forma exacta. Cálculos similares para SDD con d = 0.2 resultan en las series de depreciación y de valor en libros en la tabla 16.1.

.~,

TABLA

16.1

Valores D, y VL, para depreciación SD y SDD. ejemplo 16.3

!JI

Saldo decreciente

~,,"I

~Sol·E

Año t

. Dt

VLt

O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

$15016 12197 9908 8048 6538 5311 4314 3504 2846 2318

$80000 64984 52787 42879 34831 28293 22982 18668 15164 12318 10000

•.

Decreciente

doble

D,

VL,

$16000 12800 10 240 8192 6554 5243 4194 3355 2684 737

$80000 64000 51200 40960 32768 26214 20972 16777 13 422 10 737 10000

Solución por computadora La hoja de cálculo en la figura 16.3 despliega los resultados para los métodos SD y SDD. Las gráficas de dispersión xy representan gráficamente los valores en libros para cada año.

SECCIÓN

16.3

Depreciación

de saldo decreciente

(SD) y de saldo doble decreciente

573

...,.--

•••u) e

ª ~

o

~

x

J

$80,000 $70,000 $60,000 $50,000 $40,000 $30,000 $20,000

r-,

""

.•...,

$10,000

$. 10

Año,!

Figura 16.3 Solución en hoja de cálculo para depreciación

anual y valores en libros para las depreciaciones

SO y SOO, ejemplo 16.3.

Como las tasas fijas son cercanas (0.1877 para SD y 0.2 para SDD) las series de depreciación anual y de valor en libros son aproximadamente iguales para los dos métodos. Comentario Advierta en las etiquetas de las celdas que la función DDB se utiliza en las columnas B y D para determinar la depreciación anual. La función DDB para el método de saldo decreciente tiene la tasa d ingresada como 1.877. Esto se hace por exactitud. Como se mencionó anteriormente, la función DB autornáticamente calcula la tasa implícita mediante la ecuación [16.11] y la mantiene sólo en tres dígitos significativos. En consecuencia, si la función DB se utilizara en la columna B (figura 16.3), la tasa fija aplicada sería 0.188. Los valores resultantes D, y VL, para los años 8, 9 Y 10 serían como sigue:

VL,

t

8 9 10

$3501 2842 2308

$15 120 12277 9969

574 574

16 Métodos de depreciación depreciación CAPÍTULO 16

implícita sin una verifiTambién es destacable el hecho de que la función DB usa la tasa implícita cación para detener el valor en libros en el valor de salvamento estimado. Entonces, VLIOIO estará ligeramente por debajo de S = $10000, $10000, como se indicó antes. Sin embargo, la relación diferente de la función DB para determinar determinar la depreciafunción DDB utiliza una relación correctamente la depreciación depreciación en el valor de salvamento ción anual, aquella que detiene correctamente E17. estimado, como se muestra en la figura 16.3, celda El7.

16.4 16.4

SISTEMA MODIFICADO MODIFICADO ACELERADO ACELERADO DE RECUPERACiÓN RECUPERACiÓN SISTEMA COSTOS (SMARC) (SMARC) DE COSTOS

Durante la década década de 1980, en Estados Estados Unidos Unidos se introdujo introdujo el SMARC SMARC como como el Durante método de depreciación depreciación impositiva impositiva requerido requerido para para todos los activos activos depreciables. depreciables. método Mediante el SMARC, SMARC, el acta de reforma reforma impositiva impositiva de 1986 definió definió las tasas de Mediante depreciación estatutarias estatutarias que tomaban tomaban ventaja ventaja de los métodos métodos acelerados acelerados SD y SDD. depreciación corporaciones tienen tienen libertad libertad de aplicar aplicar cualquiera cualquiera de los métodos métodos clásicos clásicos para para Las corporaciones depreciación en libros. depreciación Muchos aspectos aspectos del SMARC SMARC hacen hacen referencia referencia a asuntos asuntos específicos específicos de la conconMuchos tabilidad de depreciación depreciación de la ley de impuestos. impuestos. En este capítulo capítulo se estudian estudian sólo tabilidad elementos que afectan afectan materialmente análisis económico económico después después de impuesimpueslos elementos materialmente el análisis Información adicional adicional sobre sobre cómo cómo los métodos métodos SD, SDD y LR se incluyen incluyen en tos. Información SMARC y cómo cómo derivar derivar las tasas de depreciación depreciación se presenta presenta y se ilustra ilustra en el el SMARC apéndice del capítulo, capítulo, secciones secciones 16A.2 y 16A.3. apéndice SMARC calcula calcula los montos montos de depreciación depreciación anual utilizando utilizando la relación: relación: El SMARC [16.12] [16.12] donde la tasa de depreciación depreciación d, está dada en forma forma tabulada. tabulada. Como Como para para otros donde métodos, el valor en libros libros en el año t se determina determina restando restando la cantidad cantidad de depredepremétodos, ciación del valor valor en libros del año anterior, anterior, ciación

de: nal pre res!

[16.13]

can

VL,=VL'_I-D,

restando la depreciación depreciación total durante durante los años 1 hasta hasta (t - 1) del costo costo inicial. inicial. o restando

= costo costo inicialinicial- suma suma de la depreciación depreciación acumulada acumulada VL¡ = )j =,

=/

=

=B-LDj B - ID)

[16.14]

j=l j=1

costo inicial inicial B siempre siempre se deprecia deprecia completamente, completamente, puesto puesto que el SMARC SMARC suposupoEl costo = 0, aunque aunque haya haya un salvamento salvamento positivo positivo que sea realizable. realizable. ne que S = recuperación del SMARC SMARC están estandarizados estandarizado s a los valores valores Los periodos periodos de recuperación Y 20 años para propiedad personal. personal. El periodo periodo de recuperación recuperación de 3, 5, 7, 10, 15 Y para la propiedad propiedad inmobiliaria inmobiliaria para para estructuras estructuras comúnmente comúnmente es de 39 años, aunque aunque es de la propiedad posible justificar recuperación de 27.5 años para para la propiedad propiedad residencial residencial en posible justificar una recuperación renta. La sección sección 16.5 explica explica la forma forma de determinar determinar un periodo periodo de recuperación recuperación renta.

ner em mé

lo 1 eSt

en pOI

Ad qUl

SECCIÓN 16.4 Sistema modificado acelerado de recuperación de costos (SMARC)

, "TABLA

16.2 ,

Tasas de depreciación. di' aplicadas al costo inicial B mediante el método SMARC Tasa de depreciación (%) para cada periodo de recuperación de SMARC en años

Año

n=3

n=5

n=7

1 2 3 4 5

33.33 44.45 14.81 7.41

20.00 32.00 19.20 11.52 11.52

14.29 24.49 17.49 12.49 8.93

5.76

8.92 8.93 4.46

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

n=10

n = 15

n = 20

10.00 18.00 14.40 11.52 9.22

5.00 9.50 8.55 7.70 6.93

3.75 7.22 6.68 6.18 5.71

7.37 6.55 6.55 6.55 6.55

6.23 5.90 5.90 5.91 5.90

5.29 4.89 4.52 4.46 4.46

3.28

5.91 5.90 5.91 5.90 5.91

4.46 4.46 4.46 4.46 4.46

2.95

4.46 4.46 2.23

16 17-20 21

de SMARC permisible. Las tasas SMARC de depreciación sobre propiedad personal (valores di) para n = 3, 5, 7, 10, 15 Y 20 para su uso en la ecuación [16.12] se presentan en la tabla 16.2. (Tales valores se utilizan con frecuencia en los capítulos restantes del texto, de manera que sería conveniente marcar esta página.) Las tasas de depreciación SMARC incorporan el método SOO (d = 2/n) y se cambian a la depreciación LR durante el periodo de recuperación como un componente inherente para la depreciación de la propiedad personal. Las tasas SMARC empiezan con la tasa SOO o con la tasa SO de 150%, y se cambian cuando el método LR permite una depreciación más rápida. Para la propiedad inmobiliaria, el SMARC utiliza el método LR para n = 39 a lo largo del periodo de recuperación. El porcentaje anual de la tasa de depreciación es d = 1/39 = 0.02564. Sin embargo, el SMARC obliga a una recuperación parcial en los años 1 y 40. Las tasas SMARC de propiedad inmobiliaria, en cantidades porcentuales, son Año 1 Años 2-39 Año 40

100d¡ = 1.391 % 100d, = 2.564% 100d4o = 1.177 %

Advierta que todas las tasas de depreciación SMARC se presentan para 1 año más que el periodo de recuperación dado. También observe que la tasa del año extra es

575

CAPÍTULO 16 Métodos de depreciación

576

m Sol-E

la mitad de la tasa del año anterior, Este hecho sucede porque hay una convención de mitad de año incorporada dentro del SMARC. Tal convención supone que toda la propiedad entra en servicio en el punto medio del año fiscal de instalación. Por consiguiente, para fines impositivos, se aplica sólo el 50% de la depreciación SO del primer año. Así se elimina parte de la ventaja de la depreciación acelerada y requiere que se tome la depreciación de medio año en el año n + 1. En Excel no existe función alguna para el SMARC; es necesario ingresar las tasas di y configurar una función para DI = d13.

Baseline, una franquicia a nivel nacional de servicios de ingeniería ambiental, ha adquirido nuevas estaciones de trabajo, y un software para elaboración de modelos en 3D para sus 100 filiales a un costo de $4 000 por sitio. Se espera que el valor de salvamento estimado para cada sistema después de 3 años sea el 5% del costo inicial. El administrador de la franquicia en la oficina matriz de San Francisco desea comparar la depreciación de un modelo SMARC de 3 años (depreciación impositiva) con la de un modelo SDD de 3 años (depreciación en libros). El administrador de la franquicia tiene curiosidad de conocer la depreciación total durante los próximos 2 años. Use soluciones a mano y por computadora. Determine cuál modelo ofrece la depreciación total mayor después de 2 años. Calcule el valor en libros para cada modelo después de 2 años y al final del periodo de recuperación.

a) b)

Solución a mano

s

La base es B = $400 000 y el S estimado = 0.05(400 000) = $20000. Las tasas SMARC para n = 3 se obtuvieron de la tabla 16.2 y la tasa de depreciación para SDD es dmáx = 2/3 = 0.6667. La tabla 16.3 presenta los montos de depreciación y los valores en libros. La depreciación e~ el año 3 para SDD sería $44444(0.6667) = $29 629, excepto que esto haría el VL3 < $20 000. Sólo puede eliminarse el monto restante de $24 444. Los valores de depreciación acumulada de 2 años de la tabla 16.3 son:

a)

SMARC:

DI + D2 = $133 320 + 177 800 = $311120

SDD:

DI + D2 = $266 667 + 88 889 = $355 556

TABLA

16.3

Comparación entre SMARC y depreciación SMARC

Año

Tasa

O 1 2 3 4

0.3333 0.4445 0.1481 0.0741

Depreciación impositiva

$133320 177 800 59240 29640

son, ejemplo 16.4 SDD

Valor en libros

$400000 266680 88880 29640 O

Depreciación en libros

$266667 88889 24444

Valor en libros

$400000 133333 44444 20000

SECCIÓN SECCIÓN 16.4 16.4

b)

Sistema modificado acelerado de recuperación recuperación de de costos costos (SMARC) Sistema modificado acelerado de (SMARC)

577

La depreciación para fines impositivos, Baseline, Baseline, en en depreciación SDD SDD es mayor. mayor. (Recuerde (Recuerde que que para fines impositivos, Estados modelo SDD como aquí aquí se aplica.) aplica.) Estados Unidos, Unidos, no tiene tiene posibilidad posibilidad de elegir elegir el modelo SDD como Después del valor valor en en libros libros Después de 2 años, años, el valor valor en libros libros de SDD SDD en $44444 $44444 es 50% 50% del años para para SMARC debido a la la de SMARC SMARC de $88 $88 880. 880. Al final final de la recuperación recuperación (4 años SMARC debido convención años para para SDD) valor en libros libros convención de mitad mitad de año año incorporada, incorporada, y 3 años SDD), , el valor SMARC es VL VL44 = = O y el valor valor SDD SDD es es VL) = $20 $20 000. SMARC V~ = 000. Tal Tal hecho hecho ocurre ocurre porque porque la depreciación costo inicial, inicial, independientemente independientemente del del depreciación SMARC SMARC siempre siempre deduce deduce todo todo el costo valor para la la depreciación depreciación impositiva valor de salvamento salvamento estimado. estimado. Ésta Ésta es una una ventaja ventaja para impositiva del método método SMARC SMARC (a menos menos que que el activo activo se deseche del deseche por por más más de de su valor valor en libros libros depreciado con con el SMARC, SMARC, como como se estudiará estudiará en la sección 17.4). 17.4). depreciado la sección

mm

Solución por por computadora computadora Solución La figura figura 16.4 16.4 presenta presenta la solución solución en hoja hoja de cálculo cálculo utilizando La utilizando la función función DDB, DDB, en en la columna E, las tasas tasas SMARC SMARC en la columna columna B, y la ecuación [16.12] en columna ecuación [16.12) en la columna columna C. a)

5Sol-E 01·E

Los valores valores de depreciación depreciación acumulada acumulada a 2 años años son: son: Los $133,320 + 177,800 177,800 = $311 $311,120 $133,320 ,120 $266,667 + 88,889 88,889 = $355,556 $355,556 $266,667

SMARC, sume sume las las celdas C6 + C7: C7: SMARC, celdas C6 SDD, sume sume las celdas celdas E6 E6 + E7: SDD,

II!!II§I El

X lo!icrosoft E Kcel

SMARC _~~+-~T=as:::.a_-+i

. t··········

SDD

_D=e:.c.p:::.reC::.:ia:.:.Ci:::.ón~t-V:.:a:.:.lor:.:e:.:.n :.:Iib:.:ro.:..s+-_D::.:e:.c.p:::.reC::.:ia:.:.Ci.:..ón.:.....¡....:V:::.al.:..or:::.e....:n ':::.ib:::.ros::...¡...

0.3333

$133.320

$266,680

$266.667

·_,l

L

i

$133,333

_-::---i--:0:-4,...,4-::-4-:-5--+_,.-'-$::-:17::-:7~,8:-:0-::-0t---::$-=-88::-'-,-::-88,.-:0+-1---'$.§8,889 $44,444F=1=F6-E7~i O 1481 $59,240 $29,640 $24.444 $20,000 I 0.0741 "$29,640 ....·······$0 ················ ..·············t···¡ j

1.0000

$400,000

$3.§0,000j =SDD(B$1,F$1,3,A7)

······································1·······

•.•.•

.¡.....

+

j

+

¡........................

f······································,···,

Figura 16.4 16.4 Figura Comparación de de los los métodos métodos de de depreciación depreciación SMARC SMARC yy SDD Comparación SDD usando usando una una hoja hoja de de cálculo, cálculo, ejemplo ejemplo 16.4.

578

CAPÍTULO CAPÍTULO 16

b)

Métodos de depreciación Métodos depreciación

Los libros después Los valores valores en libros después de 2 años años son: son: SMARC, SMARC, celda celda D7: D7:

$88880 $88880

SDD, F7: SDD, celda celda F7:

$44444

Los periodos de recuperación recuperación están Los valores valores en en libros libros al final final de los los periodos están en en las las celdas celdas D9 D9 y F8. F8. Comentario Comentario Es recomendable recomendable establecer una plantilla plantilla de hoja para usarla usarla con problemas de establecer una hoja de cálculo cálculo para con problemas depreciación próximos capítulos. funciones de la figura depreciación en éste éste yy en en los próximos capítulos. El El formato formato yy las funciones figura 16.4 una buena buena plantilla plantilla para para los 16.4 son son una los métodos métodos SMARC SMARC y SDD. SDD.

E

1

(

SMARC simplifica simplifica los cálculos cálculos de depreciación, depreciación, pero cancela la flexibilidad flexibilidad El SMARC pero cancela para seleccionar seleccionar el modelo modelo para negocio o corporación. corporación. En general, general, puede hacerse para un negocio puede hacerse una comparación comparación económica económica que incluya incluya la depreciación depreciación con más rapidez rapidez y sin alterar la decisión decisión final, con la aplicación aplicación a las estimaciones estimaciones de flujo de efectivo efectivo del alterar modelo clásico clásico en línea línea recta, en vez del SMARC. SMARC. modelo 16.5 16.5

DETERMINACiÓN DEL PERIODO PERIODO DETERMINACiÓN RECUPERACiÓN DEL SMARC SMARC DE RECUPERACiÓN

vida útil esperada esperada de una propiedad estima en años y se utiliza como el valor La vida propiedad se estima utiliza como valor evaluación de alternativas alternativas y en los cálculos cálculos de depreciación. depreciación. Para Para la depredepren en la evaluación ciación en libros, valor n debería debería ser la vida vida útil esperada. esperada. Sin embargo, embargo, cuando cuando la ciación libros, el valor depreciación se aplicará aplicará como deducible deducible de impuestos, impuestos, el valor valor n deberá deberá ser menor. depreciación ventaja de un periodo recuperación más corto corto que la vida vida útil anticipada anticipada se La ventaja periodo de recuperación capitaliza mediante mediante el uso de modelos modelos de depreciación depreciación acelerada, acelerada, que deprecian deprecian capitaliza iniciales. Existen Existen tablas tablas que ayudan ayudan a determinar determinar la más de la base base B en los años iniciales. vida y el periodo impositivos. vida periodo de recuperación recuperación para para fines impositivos. El gobierno gobierno de Estados Estados Unidos exige que toda depreciable se claUnidos exige toda la propiedad propiedad depreciable sifique dentro dentro de una clase clase de propiedad identifique el periodo recuperación sifique propiedad que identifique periodo de recuperación permitido SMARC. La tabla tabla 16.4, un resumen material de la Publicación Publicación permitido por su SMARC. resumen de material ofrece un ejemplo ejemplo de los activos activos y de los valores SMARC. 946 de la IRS, ofrece valores n del SMARC. Prácticamente toda toda la propiedad considerada en un análisis análisis económico económico tiene un Prácticamente propiedad considerada valor n de SMARC SMARC de 3, 5, 7, 10, 15 o 20 años. valor tabla 16.4 proporciona valores n de SMARC cada propiedad. La tabla proporciona dos valores SMARC para para cada propiedad. El primero valor del sistema depreciación general primero es el valor sistema de depreciación general (SDG) que se utiliza utiliza en los ejemplos y problemas depreciación en la tabla 16.2 correscorresejemplos problemas de este libro. Las tasas de depreciación ponden valores n para columna SDG SOG y ofrecen ofrecen la depreciación depreciación más rápida rápida ponden a los valores para la columna permitida. método SDD SOO o el modelo modelo SD SO del 150% con un permitida. Las tasas utilizan utilizan el método cambio a la depreciación depreciación LR. Observe Observe que bajo SDG SOG a cualquier cualquier activo activo no señalado señalado cambio asigna automáticamente automáticamente un periodo recuperación de 7 años. en alguna alguna clase, se le asigna periodo de recuperación columna de la extrema extrema derecha derecha de la tabla tabla 16.4 lista lista el rango rango del periodo La columna periodo de recuperación del sistema depreciación alternativa alternativa (SDA). Este Este método método alternatialternatirecuperación sistema de depreciación depreciación LR durante durante un periodo recuperación más vo permite permite el uso de la depreciación periodo de recuperación

lar; val, SD cio va, ace cm jóv ran el ~

16 Ha zar Cul COI

---------------------------------------------""'"II~

SECCIÓN SECCIÓN 16.6 16.6

Métodos Métodos de agotamiento agotamiento

16.4 EjemIllo Ejemplo de periodos de (le recuIleración recupenición,SMARC diversas' 16.4 SMAR@ para diversas . , , '., . , (lescrinciones de activQ-s .• " , _ :,: .:~._ l,; ,': .', ' '.' . desc~ipciones.d.t; ast!X?s 11;:.: /'.:;>,:~.,:; \ . . . " Lo,..". o.!' ,r ~ ~ . ~ , ,"~,') , ,

TABlA TABt:A

y

2

,

:

~

'

w

SMARC Valor de de n, años años Valor Descripción Descripción del del activo activo (propiedad (propiedad personal personal

e inmobiliaria) inmobiliaria) Dispositivos especiales especiales para manufactura y manejo, manejo, Dispositivos para manufactura tractores, tractores, caballos caballos de carreras carreras Computadoras periféricos, equipo Computadoras y periféricos, equipo de duplicación, duplicación, automóviles, automóviles, camiones, camiones, autobuses, autobuses, contenedores contenedores de carga, carga, algún algún equipo equipo de manufactura manufactura Muebles manufactura; Muebles de de oficina; oficina; algún algún equipo equipo de de manufactura; vagones motores, rieles; rieles; maquinaria vagones de de ferrocarril, ferrocarril, motores, maquinaria natural; toda agrícola; para petróleo petróleo y gas agrícola; equipo equipo para gas natural; la propiedad propiedad no contenida contenida en otra clase Equipo para transporte Equipo para transporte de agua, agua, refinación refinación de petróleo, petróleo, procesamiento producto agrícola, manufactura procesamiento de de producto agrícola, manufactura barcos de bienes bienes duraderos, duraderos, construcción construcción de de barcos Mejoramiento Mejoramiento a terrenos, terrenos, muelles, muelles, carreteras, carreteras, drenajes, drenajes, puentes, jardinería, jardinería, tuberías, puentes, tuberías, equipos equipos de producción producción energía nuclear, nuclear, distribución distribución de teléfonos teléfonos de energía Alcantarillados municipales, municipales, construcciones construcciones agrícolas, agrícolas, Alcantarillados cambio de líneas líneas telefónicas, telefónicas, equipo equipo de producción cambio producción de energía energía (vapor (vapor e hidráulica), servicios de agua agua de hi~ráulica), servicios Propiedad residencial residencial para arrendar (casa, (casa, vivienda vivienda Propiedad para arrendar móvil) móvil) Propiedad no residencial pero no Propiedad residencial adherida adherida al terreno, terreno, pero no terreno en en sí el terreno

SDG

Rango Rango del del SAD

3

3-5 3-5

5

6-9.5 6-9.5

7

10-15 10-15

10

15-19 15-19

15

20-24 20-24

20

\

25-50 25-50

27.5 27.5

40 40

39

40 40

largo que el SDG. La convención convención de mitad mitad de año se aplica aplica y se ignora ignora cualquier cualquier valor valor de salvamento, salvamento, como sucede sucede en el SMAR@ SMARC regular. Por lo común, común, el uso del SDA es una opción opción que tienen tienen las compañías, compañías, aunque aunque es requerido requerido en algunas algunas situasituaciones de activos activos especiales. especiales. Puesto Puesto que requiere tiempo para depreciar el actiacticiones requiere más tiempo para depreciar vo, y como se requiere requiere el modelo modelo LR (eliminando (eliminando así la ventaja ventaja de la depreciación depreciación acelerada), acelerada), en general, general, el SDA no se considera considera una opción opción en los análisis análisis económieconómicos. Sin embargo, preferida por negocios embargo, algunas algunas veces veces esta opción opción LR elegible elegible es preferida negocios jóvenes, quienes beneficio fiscal de la depreciación jóvenes, quienes no necesitan necesitan el beneficio depreciación acelerada acelerada duprimeros años de operación propiedad de los activos. rante los primeros operación yy de propiedad activos. De seleccionarse seleccionarse el SDA, existen dI disponibles. existen tablas tablas de tasas d, disponibles.

16.6

MÉTODOS AGOTAMIENTO MÉTODOS DE AGOTAMIENTO

Hasta punto, se ha estudiado para activos pueden reemplaHasta este punto, estudiado la depreciación depreciación para activos que pueden reemplazarse. zarse. El agotamiento, agotamiento, aunque aunque similar similar a la depreciación, depreciación, es aplicable aplicable sólo a los recursos pueden reemplazarse cursos naturales. naturales. Cuando Cuando se extraen extraen los recursos, recursos, éstos no pueden reemplazarse o comprarse puede serlo una máquina, comprarse de nuevo nuevo en la misma misma forma forma que puede máquina, una compucompu-

579

580

CAPÍTULO CAPÍTULO 16

Métodos de depreciación Métodos depreciación

tadora O una estructura. naturales extraídos tadora estructura. El agotamiento agotamiento es aplicable aplicable a depósitos depósitos naturales extraídos de minas, minas, pozos, pozos, canteras, bosques y similares. canteras, depósitos depósitos geotérmicos, geotérmicos, bosques similares. Hay dos métodos de agotamiento: por costos porcentual. métodos agotamiento: el agotamiento agotamiento por costos y el agotamiento agotamiento porcentual. IRS Publication Publication 535, Business Business Expenses, Expenses, se dan detalles En la IRS detalles sobre sobre los impuestos impuestos en Estados Estados Unidos. Unidos. por costos, hace referencia referencia algunas veces como El agotamiento agotamiento por costos, al cual se hace algunas veces como agotamiento de factor, se basa basa en el nivel nivel de actividad actividad o uso, no en el tiempo, tiempo, como tamiento como en la depreciación. puede aplicarse recursos naturales. naturales. El depreciación. Éste puede aplicarse a la mayoría mayoría de los recursos factor de agotamiento agotamiento por costos para denotado por p" es la razón costo factor por costos para el año t,t, denotado por PI' razón del costo inicial recurso con respecto respecto al número unidades recuperables. inicial del recurso número estimado estimado de unidades recuperables. costo inicial inicial costo PI 'd d d Pt = = capacl id capaci a . e recursos

der taje 50c ing

Va!

Uti

ex:

pei

[16.15] [16.15]

cej

por agotamiento multiplicado por por el uso o volumen volumen del año. El El cargo cargo por agotamiento anual anual es PI p, multiplicado agotamiento por costo total no puede puede exceder agotamiento por exceder el costo costo inicial inicial del recurso. Si la capacidad propiedad se estima nuevamente en algún año futuro, se determina capacidad de la propiedad estima nuevamente determina nuevo factor base en la cantidad un nuevo factor de agotamiento agotamiento por costos, costos, con base cantidad no agotada agotada y en la nueva nueva estimación estimación de capacidad. capacidad.

de de

EJEMPLO EJEMPLO

ca cu

qu

'1F ~~~

16.5 16.5

Temple-Inland Corporation Corporation ha ha negociado los derechos derechos para cortar madera extenTemple-Inland negociado los para cortar madera en una una extensión bosques de propiedad privada privada por por $700 pueden obtenerse 350 sión de bosques de propiedad $700 000. 000. Se Se estima estima que que pueden obtenerse 350 millones pies de tabla de madera. millones de pies de tabla de madera. a) a)

b)

Determine la cuantía Determine cuantía del agotamiento agotamiento durante durante los los 2 años años iniciales, iniciales, si se cortan cortan 15 y 22 millones millones de pies de tabla de madera. 22 de pies de tabla de madera. Después de los pies pies de tabla tabla recuperables recuperables totales totales se estiman 450 millones millones Después de 2 años, años, los estiman en en 450 desde momento en nuevo factor desde el momento en que que se compraron compraron los los derechos. derechos. Calcule Calcule el nuevo factor de de agotamiento por costos año 3 y posteriores. posteriores. agotamiento por costos durante durante el año

Solución Solución ecuación 16.15 16.15 para calcular PI p, en en dólares dólares por de tabla. a) Utilice Utilice la ecuación para calcular por millón millón de pies pies de tabla.

PI por millón millón de pies pies de tabla tabla P, = $700 $700 000 000 = $2 $2 000 000 por 350 350

S

b) b)

Multiplique PI por la cosecha para obtener Multiplique p, por cosecha anual anual para obtener el agotamiento agotamiento de $30 $30 000 000 en en el año año de $44 $44 000 000 en el año año 2. Continúe Continúe utilizando p, hasta agotado un de 1 y de utilizando PI hasta haber haber agotado un total total de $700000. $700000. Después de 2 años ha agotado total de Un nuevo nuevo valor valor PI Después años se ha agotado un total de $74 $74 000. 000. Un P, debe debe calcucalcularse con con base en la inversión $700 000 - 74 74 000 000 = $626 $626 000. 000. Además, Además, con con larse base en inversiÓn restante, restante, $700000 estimación de de 450 de pies de tabla, queda un de 450 la nueva nueva estimación 450 millones millones de pies de tabla, queda un total total de 450 - 15 - 22 22 == 413 de pies Para los los años años t = factor de de agotamiento agotamiento 413 millones millones de pies de tabla. tabla. Para = 3, 4, ...... , el factor por costos es ahora: ahora: por costos P, PI

_ $626 000 __$626 000 413 413

$1516 por cada millón de pies de tabla $1516 por cada millón de pies de tabla

L C(

e:

SECCIÓN SECCIÓN 16.6 16.6

Métodos Métodos de agotamiento agotamiento

El agotamiento porcentual, el segundo agotamiento porcentual, segundo método método de agotamiento, agotamiento, es una consiconsideración para recursos recursos naturales. naturales. Cada Cada año puede puede agotarse agotarse un porcenporcenderación especial especial dada para taje constante constante dado del ingreso ingreso bruto bruto del recurso, recurso, siempre siempre que éste no exceda exceda el compañía. Para Para petróleo petróleo y gas, el límite límite es 100% de 50% del ingreso gravable gravable de la compañía. ingreso gravable. gravable. Entonces, Entonces, anualmente anualmente la cantidad cantidad agotada agotada se calcula calcula como: ingreso Valor del ag()talrH agotamiento personal ::::porcentaje

Utilizando Utilizando el agotamiento agotamiento porcentual, porcentual, los cargos totales totales por agotamiento agotamiento pueden pueden exceder exceder el costo costo inicial inicial sin límite. límite. Generalmente, Generalmente, el gobierno gobierno de Estados Estados Unidos Unidos no permite permite que el agotamiento agotamiento porcentual porcentual se aplique aplique a pozos pozos de petróleo petróleo y de gas (excepto los pequeños pequeños productores productores independientes) independientes) ni a la madera. madera. La cuantía cuantía del agotamiento agotamiento cada año se determina determina utilizando utilizando ya sea el método método de costo costo o el método método de porcentaje, porcentaje, como lo permita permita la ley. Por Por lo común, común, la cuantía cuantía del agotamiento agotamiento porcentual porcentual se prefiere prefiere debido debido a la posibilidad posibilidad de descontar descontar más del costo original original de la inversión. inversión. Sin embargo, embargo, la ley también también exige que se prefiera prefiera la cuantía cuantía de agotamiento agotamiento por costos, costos, si el agotamiento agotamiento porcentual porcentual es menor menor en cualquier quier año. De esta manera: manera:

Se deben deben calcular calcular ambos ambos montos montos de agotamiento agotamiento (el agotamiento agotamiento por por cosagotamiento porcentual porcentual [% Agot]) y aplicar aplicar cada cada año la tos [$Agot] y el agotamiento siguiente lógica. siguiente Agotamiento anual

e

{%

¿¿ <

agotamientos porcentuales porcentuales anuales anuales para para ciertos ciertos depósitos depósitos naturales naturales se indican indican a Los agotamientos continuación para para leyes impositivas impositivas estadounidenses. estadounidenses. Dichos Dichos porcentajes porcentajes llegan llegan a continuación cambiar de tiempo tiempo en tiempo. tiempo. cambiar Depósito Depósito Azufre, uranio, uranio, plomo, plomo, níquel, níquel, zinc zinc y algunos algunos Azufre, otros metales metales y minerales minerales otros Oro, plata, plata, cobre, cobre, mineral mineral de hierro hierro Oro, algunas arenas arenas bituminosas bituminosas y algunas Petróleo y pozos pozos de gas gas natural natural (varía) (varía) Petróleo Carbón, lignito, lignito, cloruro cloruro de sodio sodio Carbón, Gravilla, arena, arena, turba, turba, algunas algunas rocas rocas Gravilla, La mayoría mayoría de otros minerales, minerales, minerales minerales La de otros metálicos metálicos

Porcentaje Porcentaje 22% 22%

15 15-22 15-22 10 5 14

compró una una mina mina de oro oro por por $10 $10 millones, millones, que que tiene tiene un ingreso ingreso bruto bruto anticipado anticipado de Se compró $5.0 millones millones anualmente anualmente durante durante los los años años 1 a 5 y de $3.0 $3.0 millones millones anuales anuales después después del del $5.0

581

582

CAPÍTULO CAPÍTULO 16

Métodos Métodos de depreciación depreciación

año 5. Suponga no exceden año Suponga que que los los cargos cargos de agotamiento agotamiento no exceden el 50% 50% del del impuesto impuesto gravable. gravable. Calcule Calcule las las cantidades cantidades de agotamiento agotamiento anual anual para para la mina. mina. ¿Cuánto ¿Cuánto tiempo tiempo tardará tardará recuperecuperar la inversión inversión inicial inicial a ii = O%? O%? rar Solución Solución aplica el 15% 15% de agotamiento agotamiento al oro. oro. Las Las cantidades cantidades de agotamiento agotamiento son: son: Se aplica Años 1 a 5: Años

0.15(5.0 millones) millones) = $750 $750 000 000 0.15(5.0

Años de allí allí en adelante: adelante: Años

0.15(3.0 millones) millones) = = $450 $450 000 000 0.15(3.0

Un total total de $3.75 $3.75 millones millones se descuenta descuenta en en 5 años, años, y los los restantes restantes $6.25 $6.25 millones millones se desdesUn cuentan $450 000 000 anuales. anuales. El número número total total de años años es cuentan a $450 $6.25 millones millones = = 5 + 13.9 = = 18.9 5 + $6.25 $450000 $450000 La inversión inversión inicial inicial podría podría ser ser completamente completamente agotada agotada en 19 años. años. La

RESUMEN DEL CAPíTULO CAPíTULO RESUMEN depreciación puede puede determinarse determinarse para para registros registros internos internos de las compañías compañías (deLa depreciación preciación en libros) libros) o para para propósitos propósitos de impuesto renta (depreciación (depreciación preciación impuesto sobre la renta impositiva). En Estados Estados Unidos, Unidos, el método método SMARC SMARC es el único autorizado autorizado para para impositiva). realizar la depreciación depreciación impositiva. impositiva. En diversos diversos países países se aplican aplican los métodos métodos en realizar línea recta recta y de saldo decreciente decreciente para depreciación tanto tanto fiscal como como en para fines de depreciación línea libros. La depreciación depreciación no resulta resulta directamente directamente en un flujo de efectivo efectivo real. Es un libros. método de libro mediante mediante el cual se recupera recupera la inversión inversión de capital capital en propiedad propiedad método tangible. La cuantía cuantía de la depreciación depreciación anual es deducible deducible de impuestos, impuestos, lo cual tangible. puede generar generar cambios cambios reales reales del flujo de efectivo. efectivo. puede presentan aquí algunos algunos puntos puntos importantes importantes sobre los modelos modelos de línea línea recta, recta, Se presentan decreciente y SMARC. SMARC. En la tabla tabla 16.5 se resumen resumen las relaciones relaciones comunes comunes saldo decreciente para cada cada modelo. modelo. para Línea recta recta (LR) (LR) Línea

• • •

Cancela linealmente linealmente la inversión inversión de capital capital durante durante n años. Cancela considera siempre siempre el valor valor de salvamento salvamento estimado. estimado. Se considera modelo de depreciación depreciación no acelerada acelerada clásico. clásico. Es el modelo

RESUMEN

TABLA

16.5

DEL CAPÍTULO

Resumen de las relaciones comunes de modelos de depreciación

Modelo

SMARC

Tasa de depreciación

fija d

LR

2

No se define

n Tasa anual d,

SDD

n d(1- d)'-l

Tabla 16.2

n Depreciación

anual D,

d,B

B-S

n Valor en libros VL,

VL'_I-D,

B-tD,

d(VL'_I) B(I-

d)'

Saldo decreciente (SD)

• •

•

El modelo acelera la depreciación en comparación con el modelo en línea recta. El valor en libros se reduce cada año en un porcentaje fijo. La tasa más común es el doble de la tasa LR, denominada depreciación mediante saldo decreciente doble (SDD). Ésta tiene un salvamento implícito que puede ser menor que el salvamento estimado. No es un método de depreciación impositiva aprobado en Estados Unidos. Frecuentemente se le emplea con propósitos de depreciación en libros.

Sistema modificado acelerado de recuperación de costos (SMARC)

•

•

Es el único sistema de depreciación impositiva aprobado en Estados Unidos. Cambia automáticamente de SD o SDD a depreciación LR. Siempre se deprecia hasta llegar a cero; es decir, supone que S = o. Los periodos de recuperación se especifican por tipos de propiedad. Las tasas de depreciación se tabulan. El periodo de recuperación real es 1 año más largo debido a la convención impuesta de mitad de año. La depreciación en línea recta SMARC es una opción, aunque los periodos de recuperación son más largos que para SMARC regulares.

Los métodos de agotamiento por costo y porcentual recuperan la inversión en recursos naturales. El factor de agotamiento de costo anual se aplica a la cantidad extraída del recurso. Con el agotamiento por costos no puede recuperarse más de la inversión inicial. El agotamiento porcentual, que puede recuperar más que la inversión inicial, reduce el valor de la inversión en un porcentaje constante de ingreso bruto cada año.

583

584

CAPÍTULO 16 16 Métodos Métodos de depreciación depreciación CAPÍTULO

PROBLEMAS PROBLEMAS

Fundamentos de la depreciación depreciación Fundamentos 16.1

Escriba un término término diferente diferente que pueda pueda Escriba siguientes, y que tenga usarse en lugar de los siguientes, la misma misma interpretación interpretación respecto respecto de la depreciación de activos: tasa de depreciación, depreciación, preciación valor de mercado mercado justo, valor justo, periodo periodo de recupetangibles. ración y propiedades propiedades tangibles.

Establezca la diferencia diferencia entre depreciación depreciación 16.2 Establezca depreciación impositiva. impositiva. en libros y depreciación 16.3

Explique por qué el periodo Explique periodo de recuperarecuperaciónusado con propósitos depreciación ciónusado propósitos de depreciación impositiva puede ser diferente valor n impositiva puede diferente del valor estimado en un estudio de ingeniería estimado estudio ingeniería económica. nómica.

16.4 Explique Explique por por qué qué en Estados Estados Unidos Unidos la consideración consideración explícita explícita de la depreciación depreciación y los impuestos impuestos sobre la renta renta en un estudio estudio de ingeniería ingeniería económica económica pueden pueden hacer hacer la diferencia diferencia entre entre la decisión decisión de aceptar aceptar o rechazar rechazar una una alternativa alternativa para para adquirir adquirir un activo sujeto a depreciación. activo sujeto depreciación. 16.5 Visite el sitio sitio www.irs.gov www.irs.gov del U.S. Internal Internal Revenue Service y responda siguientes Revenue Service responda las siguientes preguntas preguntas acerca acerca de la depreciación depreciación y el SMARC SMARC con la consulta consulta en línea línea de la verversión actual actual de la Publication Publication 946 946 How How to Depreciate Depreciate Property. Property. a) ¿Cuál ¿Cuál es la definición definición de depreciación, depreciación, de acuerdo con el IRS? acuerdo con IRS? b) ¿Cuál ¿Cuál es la descripción descripción del término término valor de rescate? lor rescate? e) c) ¿Cuáles ¿Cuáles son los dos sistemas sistemas de depredepreciación dentro del SMARC ciación dentro SMARC y cuáles cuáles las principales principales diferencias diferencias entre entre ellos? ellos? d) ¿Cuáles ¿Cuáles son son las las propiedades propiedades enlistaenlistadas que que no pueden pueden depreciarse depreciarse con con el SMARC? SMARC?

16.6 Visite el sitio web del Canada Canada Customs Customs and Revenue Revenue Agency, Agency, ccra-adrc.gc.caltax, ccra-adrc.gc.ca/tax, y responda responda las preguntas preguntas que siguen siguen acerca acerca de la depreciación Canadá, con el uso depreciación en Canadá, del glosario ubicado bajo los impuestos, glosario ubicado impuestos, en sección de negocios. la sección negocios. a) ¿Cuál definición de depreciación? ¿Cuál es la definición depreciación? b) ¿¿Cuál Cuál es la tolerancia en el costo de capiequivalente tal (TCC) y cuál el término equivalente más parecido en el sistema estadounidense de depreciación? depreciación? c) definición completa completa de e) ¿Cuál ¿Cuál es la definición propiedad propiedad real? real? 16.7

Durante el último último mes de 2002, 2002, Status CorDurante Status Corporation poration compró compró un controlador controlador numérico numérico nuevo en $350000, costos adiadinuevo $350 000, del que los costos cionales de instalación instalación fueron fueron por por $40 000 000 cionales periodo de recuperación recuperación de 7 años años con y un periodo valor rescate estimado estimado de 10% del precio precio valor de rescate compra original. Status vendió en $45 000 de compra finales de 2005. 2005 . el sistema sistema a finales a) ¿Cuáles ¿Cuáles son los valores valores necesarios necesarios para para programa de depreciación depreciación desarrollar un programa desarrollar momento de la compra? compra? en el momento Mencione los valores valores numéricos numéricos de lo b) Mencione siguiente: vida vida remanente remanente en el momenmomensiguiente: compra, valor valor de mercado mercado en to de la compra, 2005, valor valor en libros libros en el momento momento de 2005, compra si se había había depreciado depreciado 65% la compra de la base base no ajustada. ajustada.

16.8 Un equipo equipo para para realizar realizar pruebas pruebas con con valor valor 16.8 $100 000 000 fue instalado instalado y depreciado depreciado dude $100 rante rante 5 años. años. Cada Cada año, año, el valor valor en en libros libros al final de año año se redujo redujo a una una tasa tasa de de 10% 10% del del valor valor en libros libros al principio principio del del año. El El sistesistema ma se vendió vendió por por $24 $24 000 000 al final final de de los los 5 años. a) Calcule Calcule el el monto monto de de la la depreciación depreciación anual. anual.

PROBLEMAS PROBLEMAS

¿Cuál tasa de depreciación ¿Cuál es la tasa depreciación real para para cada año? e) En el momento momento de la venta, ¿cuál es la diferencia valor en libros diferencia entre entre el valor libros y el valor mercado? valor de mercado? d) Represente valor en liRepresente gráficamente gráficamente el valor bros para cada cada uno de los 5 años.

b)

16.9

depreció un activo activo con base ajustada Se depreció base no ajustada de $50 000 durante = 10 años para fines durante nimp = para im p de depreciación fiscal, y de nlibros = 5 años depreciación nlibros = con fines fines de depreciación depreciación en libros libros. . La depreciación depreciación anual fue lIn lIn con el uso del valor remanente. Use U se Excel para valor de vida remanente. Excel para hacer valor anual en libros hacer una gráfica gráfica del valor libros para ambos métodos métodos de depreciación. depreciación.

Depreciación en línea línea recta Depreciación lnc. (HHCI) 16.10 Home Home Health Health Care, Care, lnc. (HHCl) adquirió adquirió una unidad unidad nueva nueva de imágenes imágenes por sonar sonar en $300 000 y la montó sobre un camión por $100 000 adicionales, $100000 adicionales, que incluyen incluyen el chasis por la del vehículo. vehículo. El sistema sistema formado formado por depreciarse como unidad y el camión van a depreciarse un solo activo. La vida funcional es de 8 años rescate se estima estima en 10% del y el valor de rescate precio de compra de la unidad de imágenes. compra imágenes. Haga a mano mano los cálculos cálculos de la deprea) Haga clásica en línea recta determinar ciación clásica rectá para determinar depreciación anual y el el valor de rescate, la depreciación valor en libros después después de 4 años. b) Desarrolle la hoja de cálculo de referencia referencia a celdas para obtener las respuestas obtener respuestas del inciso a) para los datos originales. e) Use la hoja de cálculo de Excel para obtener respuestas, si el obtener las respuestas, costo de la unidad de imágenes unidad imágenes por sonar sonar rebasara los $350000 y su vida esperada rebasara $350000 esperada disminuyera a 5 años. minuyera Cierto equipo equipo para aire cuesta cuesta 16.11 Cierto para manejar manejar aire $12 000 y tiene una vida de 8 años con valor de rescate monto de la rescate de $2 000. a) Calcule Calcule el monto depreciación recta para para cada depreciación en línea línea recta cada año. año. b) Determine valor en libros Determine el valor libros después después de 3 años. e) ¿Cuál tasa de depreciación? ¿Cuál es la tasa depreciación?

585

16.12 16.12 Un activo tiene base no ajustada de $200 000, valor de rescate rescate de $10 000 periodo un valor 000 y un periodo de recuperación recuperación de 7 años. una años. Escriba Escriba una función única de Excel para qesplegar función única Excel para desplegar el valor en libros libros después después de 5 años de depreciadepreciación en línea ción línea recta. 16.13 En 2004, Pharma16.13 En 2004, Simpson Simpson and and Jones Jones Pharmaceuticals máquiceuticals compró compró en $750 $750 000 una máquipara formar tabletas medicinales medicinales que na para formar tabletas requieren receta. receta. La empresa planeaba usar requieren empresa planeaba la máquina máquina durante durante 10 años, años, pero debido debido a la aceleración aceleración de su obsolescencia obsolescencia debe debe retirarla después Desarrolle la hoja hoja de retirarla después de 4. Desarrolle cálculo para obtener montos de la decálculo para obtener los montos preciación y el valor valor en libros, necesarios preciación libros, necesarios para responder responder lo siguiente: para siguiente: a) ¿Cuál monto de la inversión ¿Cuál es el monto inversión de capital remanente cuando capital remanente cuando el activo activo se retira por obsoleto? retira obsoleto? b) Si el activo vendiera en $75 000 al activo se vendiera final de 4 años, ¿cuál monto de ¿cuál sería sería el monto la inversión perdido, con base base inversión de capital capital perdido, en la depreciación recta? depreciación en línea línea recta? e) Si la máquina máquina de tecnología tecnología nueva nueva tuviera un costo tuviera costo estimado estimado de $300 $300 000, ¿cuántos más debe ¿cuántos años años más debe la empresa empresa conservar conservar y depreciar depreciar la máquina máquina que actualmente posee para para que actualmente posee que fueran fueran iguales valor en libros iguales su valor libros y el costo costo inicial máquina nueva? nueva? inicial de la máquina 16.14 Una estación trabajo de cómputo 16.14 Una estación de trabajo cómputo especializado especializado tiene un valor de B = = $50 000, con un periodo periodo de recuperación recuperación de 4 años. Haga grafique los valores para la Haga una tabla y grafique depreciación depreciación en LR, depreciación depreciación acumulada acumulada para cada y valor en libros para cada año, si: a) no hay valor de rescate, rescate, y b) S valor S== $16000. $16 000. e) Use una resolver este problema. problema. hoja de cálculo cálculo para resolver compañía posee activo tanto 16.15 Una Una compañía posee el mismo mismo activo en una planta planta ubicada ubicada en Estados Unidos Estados Unidos como en otra otra en la Unión Europea. Tiene Tiene como Unión Europea. valor de B = valor de un valor = $2 000 000 000 con valor rescate de 20% de B. B. Para Para fines de deprerescate depre-

I I

586 586

CAPÍTULO 16 Métodos Métodos de depreciación depreciación CAPÍTULO

Estados Unidos permiten permiten una ciación fiscal, Estados mientras que baja por línea recta en 5 años, mientras Unión Europea Europea permite permite la baja en 8 años. años. la Unión gerentes generales generales de las dos plantas plantas Los gerentes desean conocer conocer la diferencia diferencia entre: entre: a) el desean depreciación para para el año 5, yYb) monto de la depreciación después de 5 años. Use el valor en libros después únicaExcel y escriba escriba las ecuaciones ecuaciones en únicaExcel mente dos celdas a fin de responder responder a estas mente preguntas. preguntas.

Depreciación de saldo saldo decreciente decreciente Depreciación método de depreciación depreciación de saldo 16.16 Para el método decreciente, explique explique las diferencias diferencias entre entre decreciente, porcentual fija d, dmáx las tres tasas: tasa porcentual máx Y recuperación anual d,. d; la tasa de recuperación Stores comprará 16.17 General General Food Food Stores comprará equipo equipo nuenuevo para códigos de 96 bits que reempara leer códigos reemplazarán los antiguos plazarán antiguos códigos códigos de barras. barras. Como Como prueba, prueba, inicialmente inicialmente se adquirirán adquirirán método SDD 1 000 equipos. equipos. Va a usarse usarse el método para para depreciar depreciar la cantidad cantidad total de $50 000 durante durante un periodo periodo de recuperación recuperación de 3 años. Calcule Calcule y grafique grafique las curvas curvas de depredepreciación ciación acumulada acumulada y valor valor en libros, libros, a) a mano, mano, y b) con computadora. computadora.

16.18 Un activo tiene costo inicial inicial de $12 000, un periodo periodo de recuperación recuperación de 8 años y un valor valor de rescate rescate estimado estimado de $2 000. a) Use una una hoja hoja de cálculo cálculo para para desarrollar desarrollar el programa programa de depreciación depreciación por por los métodos métodos tanto tanto de LR como como de SDD. SDD . Grafique Grafique el el valor valor de la la depreciación depreciación LR y SDD en la misma misma gráfica gráfica del tipo dispersión dispersión X)I. X)I. b) Calcule Calcule la tasa anual de depreciación depreciación SDD para para cada cada año 1 a 8. 16.19 16.19 La La construcción construcción de de un almacén almacén para para la la empresa empresa Ace Ace Hardware Hardware cuesta cuesta $800 $800 000, 000, el cual cual tendrá tendrá una una vida vida de 15 años años con con valor valor de reventa reventa estimado estimado de 80% 80% del del costo costo de construcción. construcción. Sin Sin embargo, embargo, el inmueble inmueble va va a depreciarse depreciarse a cero cero durante durante un un periodo periodo de recuperación recuperación de 30 30 años. Calcule Calcule el cargo cargo por por depreciación depreciación anual anual para para los los años años 5, 10

y 25, con depreciación: depreciación: a) en línea recta, y b) por SD. c) ¿Cuál es el valor valor de rescate rescate

Depi

implícito implícito para la SDD?

16.2,

16.20 Allison Allison y Carl son ingenieros ingenieros civiles civiles que poseen poseen un negocio negocio de estudios estudios de suelos y agua, para para el cual han comprado comprado un equipo equipo de cómputo cómputo por $25 000. Ellos no esperan esperan que las computadoras computadoras tengan tengan un salvamensalvamenpositivo o valor de comercialización comercialización desto positivo anticipada de 5 años. Con pués de la vida anticipada propósitos propósitos de depreciación depreciación en libros, libros, quieren que el valor valor en libros se programe programe usando los siguientes siguientes métodos: métodos: LR, SD y SDD. Quieren Quieren usar usar una tasa de depreciación depreciación fija de 25% anual para para el modelo modelo SD. Utilice Utilice cálculo, o cálculos cálculos manuales, una hoja de cálculo, manuales, para para desarrollar desarrollar los programas. programas.

16.2:

16.2~

16.21 Equipo para enfriamiento enfriamiento por inmersión de componentes componentes electrónicos electrónicos tiene tiene un valor valor instalado de $182 000 con un valor de comercialización de $50 000 después de 18 años. Para los años 2 y 18, determine determine el cargo cargo a) Para anual por por depreciación depreciación con SD, y SD a anual mano. b) Use una una hoja hoja de cálculo cálculo para para mano. responder las preguntas anteriores responder preguntas anteriores y para determinar determinar el año en que se alcanza alcanza para el valor valor de rescate rescate de $50 $50 000 000 por por depreciación con SD depreciación 16.22 Use las estimaciones estimaciones B = = $182000, $182000, S = = 16.22 Use 000 yy n = 18 años (del problema problema 16.14) $50 000 para para escribir escribir la función función SDD SDD y determinar determinar depreciación en el año 18, usando usando la tasa tasa la depreciación depreciación implícita. implícita. de depreciación 16.23 Con Con propósitos propósitos de depreciación depreciación en libros, libros, 16.23 utiliza la depreciación depreciación de saldo saldo decreciendecreciense utiliza una tasa tasa 1.5 1.5 veces veces la tasa tasa de línea línea recrecte, a una para equipo equipo de control control de procesos procesos autoautota, para matizados, con con B B = $175 $175 000, 000, n = 12 YS YS = matizados, $32000. a) Calcule Calcule la depreciación depreciación y el $32000. valor en libros libros para para los años años 1 yy 12. b) b) ComComvalor pare el valor valor de salvamento salvamento estimado estimado y el pare valor en libros libros después después de de 12 años. c) EsEsvalor criba la la función función SD SD de de Excel, Excel, a fin fin de calcalcriba cular la la depreciación depreciación en cada cada año. cular

16.2~

16.2l

PROBLEMAS PROBLEMAS

Depreciación SMARC SMARC Depreciación 16.24 a) Desarrolle Desarrolle una una plantilla plantilla de hoja hoja de 16.24

cálculo para para calcular calcular la depreciación depreciación cálculo SMARC para para cualquier cualquier valor SMARC valor de B y todos los periodos periodos de recuperación todos recuperación permitidos. permitidos. Pruebe su plantilla plantilla con el cálculo cálculo del b) Pruebe programa de depreciación depreciación para programa para B == donde n = = 3 Yn $10 000, donde Y n == 10 años. Señale al menos ejemplos específicos específicos 16.25 Señale menos dos ejemplos propiedad personal propiedad inde propiedad personal y de propiedad mobiliaria que deben deben depreciarse depreciarse con el mobiliaria método SMARC. SMARC. método 16.26 Zahra Zahra es una ingeniera civil que trabaja una ingeniera trabaja para para Halcrow Engineering Consultants Halcrow Engineering Consultants en el Medio Oriente, Oriente, donde donde se utiliza Medio utiliza el método método de depreciación depreciación en línea línea recta algunos recta y (en algunos países) decreciente. Está países) el de saldo saldo decreciente. Está por por realizar un análisis después de impuestos realizar análisis después impuestos que involucra involucra un elemento elemento de equipo equipo de $500 000 000 y una vida de 10 años para una vida para el que es muy importante importante la baja acelerada baja acelerada de la inversión de capital. inversión capital. El valor valor de rescate rescate estimado es de $100 000. Para estimado $100 Para mostrarle mostrarle el efecto efecto de los diferentes diferentes métodos, métodos, calcule calcule la depreciación para depreciación para el primer primer año año con con los siguientes siguientes métodos: métodos: LR LR clásico, clásico, SDD, SDD, 150% del SD, y SMARC. SMARC. 16.27 Claude 16.27 Claude es un un ingeniero ingeniero economista economista en en Reynolds. Reynolds. Un Un nuevo nuevo activo activo de propiedad propiedad personal personal de $30 $30 000 000 debe debe depreciarse depreciarse utiliutilizando SMARC durante 7 años. Se espera zando SMARC durante años. espera que que el valor valor de salvamento salvamento sea sea $2000. $2000. a) Compare Compare los valores valores en libros libros para para la la dedepreciación SMARC y la depreciación preciación SMARC depreciación cláclásica sica LR LR durante durante 7 años. años. b) Represente Represente grágráficamente los valores en libros ficamente valores libros usando usando una una hoja hoja de cálculo. cálculo. 16.28 Cierto 16.28 Cierto activo activo perteneciente perteneciente a una una corpocorporación ración agrícola agrícola comercial comercial con con sede sede en en Estados Estados Unidos Unidos se compró compró en $50 $50 000 000 y tietiene una una vida vida útil útil de 7 años, años, con con valor valor de rereventa venta esperado esperado de 20% 20% del del costo costo inicial. inicial. El El

587

SMARC SMARC permite permite un periodo periodo de recuperarecuperación abreviado abreviado de 5 años. años. a) Prepare Prepare el programa programa de depreciación depreciación anual SMARC SMARC y los valores valores en libros. libros. b) Compare Compare los resultados anteriores anteriores con la depreciación depreciación SD y el valor valor en libros libros durante durante n = = 7 años que pudiera determinarse pudiera determinarse en otro país. e) Desarrolle dos gráficas rrolle gráficas del tipo de dispersión dispersión .xy xy en Excel Excel para para hacer hacer las comparaciones comparaciones solicitadas. solicitadas. 16.29 Un robot robot para para ensamble ensamble automatizado, automatizado, que tiene una vida cuesta cuesta $450 000 instalado, instalado, tiene depreciable depreciable de 5 años sin valor de salvamensalvamento. Un analista analista de la gerencia gerencia de finanzas finanzas utilizó depreciación LR clásica, clásica, para utilizó la depreciación para determinar libros al final del año terminar valores valores en libros para el robot robot al realizar realizar la evaluación para evaluación económica nómica original. original. Usted Usted está realizando realizando ahoahoreemplazo después ra un análisis análisis de reemplazo después de 3 años de servicio servicio y se da cuenta cuenta de que el robot debería debería haberse haberse depreciado depreciado usando usando robot SMARC con n = ¿Cuál es el monmonSMARC = 5 años. ¿Cuál diferencia en el valor valor en libros libros caucauto de la diferencia sado por por el método método LR LR clásico clásico después después de sado años? 3 años? 16.30 Desarrolle 16.30 Desarrolle el programa programa de depreciación depreciación SMARC SMARC para para un edificio edificio comercial comercial comcomprado prado en $1 800000 800000 por por Alpha Alpha Enterprises. Enterprises.

16.31 Bowlers.com Bowlers.com acaba acaba de instalar instalar equipo equipo y softsoftware depreciables depreciables por por valor valor de $100000, $100000, ware el cual cual representa representa lo último último en juegos juegos en línea nea automatizados automatizados que que pretenden pretenden que que el jujugador gador de bolos bolos disfrute disfrute el deporte deporte en la red red o la línea línea de tiro. No No se estima estima un valor valor de salvamento. La La compañía compañía puede puede depreciar depreciar salvamento. utilizando utilizando SMARC SMARC durante durante un periodo periodo de recuperación recuperación de 5 años, años, u optar optar por por el sistesistema ma alterno alterno SDA SDA durante durante 10 años años utilizando utilizando modelo en línea línea recta. recta. Las Las tasas tasas LR LR exiexiel modelo gen gen la convención convención de mitad mitad de año, es dedecir, sólo sólo el 50% 50% de de la la tasa tasa anual anual regular regular se aplica Construya las las aplica para para los años años 1 y 11. a) Construya curvas curvas de valor valor en en libros libros para para ambos ambos modemodelos en la misma misma gráfica. gráfica. Responda Responda lo siguiensiguiente te por por medio medio de de cálculos cálculos hechos hechos a mano mano

588

CAPÍTULO 16

Métodos de depreciación

o en computadora: b) Después de 3 años de uso, ¿cuál es el porcentaje de la base de $100000 eliminada por cada modelo?

ingreso sobre la renta en Estados Unidos. Suponga que no se excede el 50% del ingreso gravable de la compañía.

16.32 Una compañía compró equipo especializado para la manufactura de productos de hule (activo clase 30.11 en la IRS Publication 946) y espera usarlo sobre todo fuera de Estados Unidos. En este caso se requiere la alternativa SDA del SMARC para fines de depreciación fiscal. El gerente quiere conocer la diferencia en las tasas de recuperación anual entre la LR clásica, el SMARC, y la alternativa SDA del SMARC. Con el empleo de un periodo de recuperación de 3 años, excepto para la alternativa SDA (la cual requiere una recuperación con LR de 4 años), prepare con la convención del medio año incluida una sola gráfica donde se muestre las tasas de recuperación anual (en porcentaje) para los tres métodos.

16.35 Una compañía realiza operaciones mineras de cobre en varios estados. Una mina tiene los siguientes ingresos gravables y resultados de ventas. Determine el porcentaje anual de agotamiento para la mina. Use 2 000 libras por tonelada.

16.33 Explique por qué la combinación de tasas de recuperación acortadas y tasas de depreciación más altas en los años iniciales de la vida de un activo pueden ser financieramente ventajosas para una corporación. Agotamiento 16.34 Cuando hace 3 años WTA Corporation adquirió los derechos para explotar plata en una mina, por un precio total de $1 100000, se estimó que iban a obtenerse 350 000 onzas del metal durante los 10 años siguientes. Hasta hoy se ha extraído y vendido un total de 175000 onzas. a) ¿Cuál es el costo total de agotamiento permitido durante los 3 años? b) Nuevos ensayos exploratorios indican que en las vetas de la mina sólo quedan 100000 onzas. ¿Cuál es el factor de costo por agotamiento aplicable para el año próximo? e) Si este año se extrajeran 35 000 onzas adicionales y se vendieran a $5.50 cada una, determine si el monto del costo por agotamiento o cantidad porcentual de agotamiento está permitido para fines de

Año 1 2

3

Ingreso gravable, $

Ventas, ton

Precio de venta, $/libra

1500000 2000000 1000000

2000 4500 2300

0.80 0.78 0.65

16.36 Una compañía que construye autopistas ha explotado una cantera durante los últimos 5 años, tiempo durante el que se ha extraído el siguiente volumen (toneladas) por año: 60 000; 50 000, 58 000, 60 000 y 65 000. Se estima que la mina contiene un total de 2.5 millones de toneladas útiles y grava. El terreno de la cantera tuvo un costo inicial de $3.2 millones y la compañía tuvo un ingreso bruto de $30 por tonelada en el primer año, $25 en el segundo, $35 en los dos siguientes y $40 en el último. a) Calcule los cargos por agotamiento en cada año, con el empleo de los valores más grandes para los dos métodos de agotamiento. b) Calcule el porcentaje del costo inicial que se ha dado de baja en estos 5 años, con el uso de los cargos por agotamiento que obtuvo en el inciso a). e) Use una hoja de cálculo para resolver los incisos a) y b). á) Vuelva aresolverlos incisos a) y b) para el caso en que se reevaluara la explotación de la cantera después de los 3 primeros años de operación, y se pensara que contiene 1.5 millones de toneladas más.

PRC

16.3

16.3

16.2

16.,

PROBLEMAS PROBLEMAS DE DE REPASO REPASO FI FI

589 589

PROBLEMAS DE REPASO FI PROBLEMAS

16.37 Una Una máquina máquina con 5 años de vida vida tiene tiene un 16.37 valor de salcosto inicial inicial de $20 $20 000 000 yy un valor costo vamento de $2 000. Su costo costo anual anual de opeopevamento ración es de $8 000. 000. De De acuerdo acuerdo con con el ración método clásico clásico de línea línea recta, recta, el cargo cargo de método depreciación en el año 2 es más cercano cercano a: depreciación a) $3600 $3600 $4000 b) $4000 e) $11 600 d) $12000 $12000 16.38 Una Una máquina máquina con vida vida útil de 10 años va a 16.38 depreciarse por por medio medio del SMARC durante depreciarse SMARC durante máquina tiene tiene un costo costo inicial inicial 7 años. La máquina . de $35 000 con valor de rescate rescate de $5 000, mientras que su costo costo de operación operación es de mientras $7 000 por por año. año. El cargo por depreciación depreciación en el año 3 es lo más cercano cercano a: a) $3600 $3600 b) $4320 $4320 e) $5860 $5860 d) $6120 $6120 16.39 Un activo activo con un costo inicial inicial de $50000 $50000 se depreciará línea recta depreciará con el método método de línea recta periodo de 5 años. El activo tendurante durante un periodo drá un costo anual de operación operación de $20 000 y un valor de salvamento salvamento de $10 000. De acuerdo acuerdo con el método método de línea línea recta, recta, el valor en libros al final del año 3 será más cercano cercano a: a: a) $8000 $8000 b) $26000 $26000 e) $24000 $24000 d) $20000 $20000 16.40 Un activo con un costo inicial inicial de $50000 $50000 se deprecia deprecia con el método método SMARC SMARC durante un periodo periodo de 5 años. años. Si el activo tendrá tendrá un valor de salvamento salvamento de $20 000, su va-

lor lar en libros libros al final del año 2 será será más más cercercano cano a: a) $10 $10 000 000 b) $16000 $16000 e) $24000 $24000 d) d) $30000 $30000 16.41 Un activo activo con con un costo costo inicial inicial de $50000 $50000 se deprecia deprecia con con el método método en línea línea recta recta durante durante su vida vida de 5 años. Su costo costo de operación espera que que ración anual anual es de $20 000 000 yy se espera su valor valor de salvamento salvamento sea de $10000. $10 000. El valor valor en libros libros al final del año 5 será será más cercano a: cercano a) cero cero b) $8000 $8000 e) $10 000 000 d) $14000 $14000 16.42 Un activo activo tiene 16.42 tiene un costo costo inicial inicial de $50000, $50 000, un valor de salvamento salvamento estimado estimado de $10 000 Yse Yse depreció depreció con el método método SMARC. SMARC. Si su valor valor en libros libros al final del año 3 fue de 850 Y su valor $21 850 valor de mercado mercado fue de cantidad de depreciación depreciación carga$25 850, la cantidad contra el activo activo hasta da contra hasta ese momento momento fue más cercana cercana a: $18850 a) $18850 b) $21 $21850 850 $25850 e) $25850 $28150 d) $28 150 recuperación por depreciación depreciación 16.43 La tasa de recuperación compararla con la de cualque se usa para compararla quier otro método método es comúnmente: comúnmente: quier línea recta recta a) Tasa por línea SMARC b) Tasa por SMARC 2/n e) 2/n Suma de los dígitos dígitos del año d) Suma

590

CAPÍTULO CAPÍTULO 16

Métodos Métodos de depreciación depreciación

APÉNDICES DEL CAPíTULO APÉNDICES CAPíTULO 16 16A.1 16A.1

DEPRECIACiÓN DEPRECIACiÓN DE LA SUMA SUMA DE DíGITOS DíGITOS ANUALES ANUALES (SDA)

constituye una técnica técnica clásica clásica de depreciación depreciación acelerada acelerada que elimielimiEl método método SDA constituye na gran parte parte de la base base durante primer tercio del periodo periodo de recuperación; durante el primer recuperación; sin embargo, la cancelación cancelación no es tan rápida rápida como con SDD O o SMARC. SMARC. Dicha Dicha técnica técnica embargo, puede análisis de ingeniería ingeniería económica, económica, especialmente especialmente en las cuencuenpuede utilizarse utilizarse en los análisis depreciación de activos activos múltiples múltiples (depreciación (depreciación de grupo y compuesta). compuesta). tas de depreciación mecánica del método método implica implica la suma suma de los dígitos dígitos del año 1 hasta hasta el perioLa mecánica periorecuperación n. El cargo de depreciación depreciación para cualquier año dado se obtiene obtiene do de recuperación para cualquier multiplicando activo, menos cualquier valor salvamento, por la razón multiplicando la base base del activo, menos cualquier valor de salvamento, razón sobre la suma suma de los del número número de años restantes restantes en el periodo periodo de recuperación recuperación sobre dígitos anuales, anuales, SUMo SUMo dígitos depreciables restantes años depreciables restantes (b ase - va1or de sa1vamen = vamen to ) Daños t = suma de dígitos dígitos anuales anuales suma D = n - t + 1 (B _ S tI

donde SUM SUM es la suma suma de los dígitos dígitos della del 1 a n. donde n(n + 1) n(n

SUM = L j = ----'------'-SUM=Lj=-j=l j=l 2 j=1I

har exc del

16

[16A.l] [16A.l]

SUM SUM

COI

[16A.2]

El, val y t( bio ma

me bás

valor en libros libros para calcula como: El valor para un año t se calcula

VL VL, /

= = B _ t(n - 1/2 + 0.5) SUM SUM

(B (B _ S)

[16A.3]

depreciación disminuye disminuye cada cada año e iguala iguala al multiplicador multiplicador en la La tasa de depreciación ecuación [16A.l]. [16A.l]. ecuación ll 1- t + 1 dd_ll_-t+ t/SUM SUM

[16A.4] [1 6A.4]

r:

función SYD de la hoja cálculo despliega despliega la depreciación depreciación para La función hoja de cálculo para el año t.t. El formato de la función función es formato SYD(B,S,n,t) SYD(B,S,n,t)

EJEMPLO EJEMPLO

16A.1

Calcule los los cargos cargos por depreciación SDA SDA para año 2 de un equipo de electroóptica electroóptica con con Calcule por depreciación para el año un equipo B= = $25 000, 000, S = = $4 $4 000 000 Y periodo de recuperación de 8 años. años. y un un periodo recuperación de

SECCIÓN

l6A.2

Solución La suma de los dígitos del total de años es 36 y los montos de depreciación do año mediante la ecuación [16A.1] son 7 D2 = - (21000) 36

591

Cambio entre métodos de depreciación

para el segun-

= $4 083

La función SYD es SDY (25 000,4 000,8,2). Sol-R

La figura l6A.l es una gráfica de los valores en libros para un activo de $80 000 con S = $10 000 y n = 10 años utilizando los cuatro métodos de depreciación que se han aprendido. Las curvas SMARC, SDD y SDA tienen un trayecto muy similar excepto para el año 1 y para los años 9 hasta elll. Una hoja de cálculo y la gráfica de dispersión xy confirman los resultados de la figura 16A-l. 16A.2

CAMBIO ENTRE MÉTODOS DE DEPRECIACiÓN

El cambio entre modelos de depreciación puede ayudar a la reducción acelerada del valor en libros. También maximiza el valor presente de la depreciación acumulada y total durante el periodo de recuperación. Por consiguiente, en general, dicho cambio incrementa la ventaja para efecto de impuesto en años donde la depreciación es mayor. El enfoque que se desarrollará ahora forma parte inherente del SMARC. El cambio de un modelo SD al método LR es el más común porque generalmente ofrece una ventaja real, en especial si el modelo SD es el SDD. Las reglas básicas de cambio se resumen aquí.

Figura 16A.1

80

Comparación de los valores en libros utilizando depreciaciones LR, SDA, SDD y SMARC.

70 o o o

60

""X

50

~

.r >

LR

SDD

'"2 40

ª" ...



30

o

O;

>

20

s= $10000

10 I

O

2

3

4

5

6 Año

7

8

9

10

11

592

CAPÍTULO 16 CAPÍTULO

Métodos depreciación Métodos de depreciación

1. El cambio recomienda cuando modelo cambio se recomienda cuando la depreciación depreciación para para el año tt con el modelo utilizado actualmente menor que aquella para un modelo modelo nuevo. nuevo. La depreutilizado actualmente es menor aquella para depremonto más grande. ciación ciación seleccionada seleccionada D, es el monto grande. Durante el periodo periodo de recuperación recuperación sólo puede puede ocurrir 2. Durante ocurrir un cambio. cambio. 3. Independientemente Independientemente de los modelos modelos de depreciación utilizados, el depreciación (clásicos) (clásicos) utilizados, valor en libros nunca puede puede descender valor de salvamento valor libros nunca descender por debajo debajo del valor salvamento estimodelo SD, el valor valor de salvamento mado. Cuando Cuando se cambia cambia un modelo salvamento estimado, estimado, no el valor de salvamento utiliza para para calcular para el valor salvamento implicado, implicado, se utiliza calcular la depreciación depreciación para nuevo método: método: se supone en todos los casos. (Esto no aplica nuevo supone S == O Oen aplica al SMARC, SMARC, pues éste ya incluye pues incluye el cambio.) cambio.) nueva base base ajustada 4. La cuantía cuantía no depreciada, depreciada, es decir, VL" se usa como como la nueva ajustada para seleccionar mayor para para la próxima próxima decisión para seleccionar la D, mayor decisión de cambio. cambio. En todas las situaciones, situaciones, el criterio criterio es maximizar maximizar el valor valor presente presente de la depreciadepreciación total, VP D' mejor estrategia modelos de D' La mejor estrategia de cambio cambio es la combinación combinación de los modelos depreciación producen el valor valor presente presente más grande. depreciación que producen grande. l=n l=n

VPD == LD¡{PIF,i,t) LDlPIF,i,t)

[16A.5]

,~l

Esta lógica lógica minimiza minimiza la obligación tributaria en la parte parte inicial periodo de recurecuEsta obligación tributaria inicial del periodo peración de un activo. peración activo. ventajoso de un modelo modelo de cancelación rápida como El cambio cambio es más ventajoso cancelación rápida como SDD al modelo LR. Tal cambio predeciblemente ventajoso ventajoso si el valor valor de salvamento modelo cambio es predeciblemente salvamento implicado que se calcula calcula usando ecuación [16.10] excede excede el valor salvamenimplicado usando la ecuación valor de salvamento estimado estimado en el momento compra; es decir, se debe cambiar cambiar si: momento de la compra; [16A.6]

VL = = B(1 - d)" > S estimado estimado II II

Puesto Puesto que se supone supone que el S será cero por por la anterior anterior regla regla 3 y que VL será será mayor mayor cero, el cambio cambio de un modelo siempre es ventajoso. ventajoso. Dependiendo que cero, modelo SD a LR siempre Dependiendo de cambio puede los valores valores de d y n, el cambio puede ser mejor mejor en los últimos últimos años o en el último último deduce el monto implicado inherente inherente al año del periodo periodo de recuperación, recuperación, lo cual deduce monto S implicado modelo modelo SDD. El procedimiento cambiar de la depreciación depreciación SDD a la LR es: procedimiento para para cambiar II II

1. Para cada año t, calcule calcule los dos cargos cargos por depreciación: 1. Para cada por depreciación: Para Para SDD: ParaLR: ParaLR: 2.

D SDD _I) = d(VL¡ d(VL'_I) SDD =

D LR LR -

VL'_1 VL' _1 nn - t+ t+ 1

[16A.7] [16A.8]

Seleccione el mayor mayor valor depreciación. La depreciación depreciación para cada año es Seleccione valor de depreciación. para cada

[16A.9] 3.

calcule el valor depreciación total, utilizando Si es necesario, necesario, calcule valor presente presente de la depreciación utilizando la ecuación [16A.5]. [16A.5]. ecuación

SECCIÓN 16A.2

Cambio entre métodos de depreciación depreciación

Es aceptable, aceptable, aunque aunque en general general no es ventajoso ventajoso financieramente, financieramente, afirmar afirmar que cambio tendrá tendrá lugar lugar en un año específico, específico, por ejemplo, ejemplo, dictaminar dictaminar un cambio cambio de un cambio SDD a LR en el año 7 de un periodo de recuperación de 10 años. Si bien es periodo recuperación bien habitual habitual enfoque no se utilice, utilice, la técnica técnica de cambio cambio funcionará funcionará correctamente correctamente para para que este enfoque cualquier modelo de depreciación. cualquier modelo depreciación. Para utilizar utilizar una hoja hoja de cálculo cálculo para para el cambio, cambio, primero primero comprenda comprenda las reglas reglas Para de cambio del modelo de depreciación y practique el procedimiento de cambio cambio modelo depreciación practique procedimiento cambio de saldo decreciente a línea recta. Una vez comprendido, la mecánica del cambio decreciente línea Una comprendido, mecánica cambio puede acelerarse mediante la aplicación de la función DVS (disminución acelerarse mediante aplicación función (disminución variable variable del cálculo. Ésta Ésta es una función función muy poderosa poderosa que determina determina la saldo) de la hoja de cálculo. depreciación para para el año 1 o el total durante durante varios años, para para el cambio cambio SD a LR. El depreciación formato de la función función es formato DVS(B,S,n,Cinicial,t_final,d,sin_cambios) DVS(B,S,n,Cinicial,Cfinal,d,sin_cambios) El apéndice apéndice A explica explica todos los campos campos en detalle, detalle, aunque aunque para para aplicaciones aplicaciones sencisencinecesarios los valores valores DI anuales anuales de SDD y LR, las siguientes siguientes son llas, donde son necesarios entradas correctas: correctas: entradas Unicial es el año (t-1) (t-1) Unicial Cfinal es el año t Cfinal opcional; se supone supone 2 para SDD, el mismo mismo que en la función función DDB d es opcional; sin_cambios es un valor valor lógico lógico opcional: opcional: sin_cambios FALSO u omitido: omitido: ocurre ocurre cambio cambio a LR, si es ventajoso ventajoso FALSO VERDADERO: se aplican aplican los modelos modelos SDD o SD sin consideración consideración de VERDADERO: cambio a la depreciación depreciación LR cambio Ingresar VERDADERO VERDADERO para para la opción opción sin_cambios sin_cambios provocará, provocará, en efecto, efecto, que la Ingresar despliegue las mismas cantidades de depreciación depreciación que la función función DDB. función DVS despliegue mismas cantidades analiza en el ejemplo ejemplo 16A.2d. 16A.2d. Esto se analiza

principal de The Outback Steakhouse compró una copiadora copiadora de imágenes de La oficina principal documentos en línea por $100 000, con una vida útil estimada de 8 años y un periodo de recuperación de depreciación depreciación impositiva presente de la derecuperación impositiva de 5 años. Compare el valor presente preciación total por a) el método LR, b) el método SDD y e) el cambio de SDD a LR. preciación computadora y represente represente gráficamente gráficamente los d) Realice el cambio de SDD a LR usando una computadora valores en libros. Utilice una tasa de i = 15% anual. Solución a mano mano Solución En esta solución no está involucrado el método SMARC. a)

La ecuación [16.1] determina la depreciación LR anual. DI = 100000 100000 - 0= 0= $20 $20000 000 D, 5

593

m m Sol·E

CAPÍTULO 16 Métodos de depreciación

594

Puesto que D, es la misma para todos los años, el factor P/A reemplaza P/F para calcular VP o. VPo = 20 000(P/A,15%,5) = 20 000(3.3522) = $67044 b)

e)

Para el SDD, d = 2/5 = 0.40. Los resultados se muestran en la tabla 16A.1. El valor VPD = $69915 excede el valor de $67044 para la depreciación LR. Como se esperaba, la depreciación acelerada SDD maximiza VPo. Utilice el procedimiento de cambio de SDD a LR. 1. Los valores SDD para D, en la tabla 16A.l se repiten en la tabla 16A.2 para compararse con los valores de DLR de la ecuación [16A.8]. Los valores DLR cambian cada año puesto que VL'_Ies diferente. Solamente en el año 1, DLR = $20000, el mismo calculado en la parte a). Para ilustración, calcule un valor DLR para los años 2 y 4. Para t = 2, VL¡ = $60 000 usando el método SDD y DLR= 60000-0 5-2+1

=$15000

Para t = 4, VL3 = $21 600 mediante el método SDD y DLR = 21 600 - O = $10 800 5-4+1 2. La columna "D, más grande" indica un cambio en el año 4 con D4 = $10 800. DLR

= $12960 en el año 5 se aplicaría sólo si el cambio ocurriera en el año 5. La depreciación total con cambio es $100000 comparada con la cantidad SDD de $92224. 3. Con el cambio, VPD = $73 943, el cual es un incremento tanto sobre el modelo LR como sobre el modelo SDD.

~Sol-E

Solución por computadora d) En la figura 16A.2, columna D, están como entradas las funciones DVS para deter-

minar que el cambio de SDD a LR tendrá lugar en el año 4. Las entradas "2,FALSO"

TABLA

16A.1

Modelo SDD de depreciación y cálculos de valor presente para el ejemplo 16A.2b

Año t

Dt

VL,

(P/ F, 15%, t)

Valor presente de

O 1 2 3 4 5

$40000 24000 14400 8640 5184

$100000 60000 36000 21600 12960 7776

0.8696 0.7561 0.6575 0.5718 0.4972

$34784 18146 9468 4940 2577

Totales

$92224

o,

$69915

SECCIÓN 16A.2 Cambio entre métodos de depreciación

16A.2

TABLA

Depreciación y valor presente que permite el cambio de SDD a LR, ejemplo 16A.2c

t

OSDD

VLt

DLR

mayor

P/F

Valor presente de Dt

O 1 2 3 4* 5

$40000 24000 14400 8640 5184

$100000 60000 36000 21600 12960 7776

$20000 15000 12000 10800 12960

$ 40 000 24000 14400 10 800 10 800

0.8696 0.7561 0.6575 0.5718 0.4972

$34784 18146 9468 6175 5370

Totales

$92224

Modelo 500

Año

595

Modelo LR

OT

Factor

$73943

$100000

*Indica años de cambio de la depreciación SDD a la LR.

I!III[¡J

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Año

4

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.y.p de deer.

100,000 60,000

$

40,000

1$ I $

$ $

24,000 14,400

$ $

36,000 21,600

$ $

8,640 5,184

$ $

12,960 7,776

$69,916

..

I , I

- ..--

Cambio SDD a LR Depr. VL con cambio

~

$ $ $ $

40,000, 24,000' 14,400

$

10,800

$

10.800

-4---+...................

1-1

..

E

$ $ $ i

F '-- ..-- -1..- I •.. _._ .•... _.....•........ +-

I1=SDD($C$4,O,S,$AS) 1=1~----

~===:::::r===+--·-·--·-

1f181

~.--_._--+-----+

F

i

l· . . . VLparaSDD--

1

$

---.-..-+1.-----.--

$100,000

ª

$60,000

O

$40,000

~

$20,000

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Sheet3

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J

1

VLconcambio

I

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1

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3

Año

-

1-.'==+= ,==+===:;===+==.11

C:::¡-DVS($E$4,O,S,$A4,$AS,2,FALSO)

---

I · ··-·····-----¡--~=+====+===r====~-

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_ _.-~I-.---.--- ..~-----._+ .. _.. _ +-.- ..-+.. --~----.~.-~-----+------~----

12~1~11---______t--_·-~·-----_~------j------_~--·! Sheet2

I

1

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..--.+ ..

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$80,000

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1

21,600

$

1\

II I

100,000 60,000 36,000

_ ______t.....:$:!:.};·7~31,,~ 94.~3H_ ..

I

,. 1

= VPN(lS%,BS:B9)

I

I

Modelo SDD Depr. I VL para SDD

1 2 3 4

~5heet1

lZI ,----' ~ • A..

105%·

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AI8

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_ ó' ,x

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12 __ _.

10015

t Sheet4

Sheet5

Shee;6'

Sheet7 ¡

--

--.......J ~~---~-'

~~~~~~~

Figura 16A.2 Cambio entre modelos de depreciación SDD a LR usando la función DVS de Excel, ejemplo 16A.2d.

596

CAPÍTULO CAPÍTULO 16

Métodos Métodos de depreciación depreciación

al final final de la función función DVS DVS son son opcionales opcionales (véase (véase la descripción descripción de de la función función DVS). DVS). Si se ingresa VERDADERO, se mantiene mantiene el modelo modelo de saldo ingresa VERDADERO, saldo decreciente decreciente a lo largo largo del periodo de recuperación, y las cantidades del periodo de recuperación, cantidades de de depreciación depreciación anual anual son son iguales iguales a las de la columna columna B. gráfica de de la la figura figura 16A2 16A.2 indica indica otra otra diferencia diferencia de B. La La representación representación gráfica en los métodos de depreciación. valor en libros para el modelos métodos depreciación. El El valor libros terminal terminal en en el año año 5 para modemientras que reduce a cero lo SDD SDD es VL VL55 = $7 776, 776, mientras que el cambio cambio de SDD SDD a LR LR reduce cero el valor valor libros. en libros. VP de depreciación. depreciación. Aquí Las VPN en la fila Las funciones funciones VPN fila 11 determinan determinan el VP Aquí los los resultados son los los mismos mismos que que los los de los los incisos incisos b) y e) anteriores. anteriores. El cambio cambio de SDD SDD resultados son LR tiene D' a LR tiene el valor valor mayor mayor VP VP D.

SMARC, los periodos 3,5,7 Y10 convención En el SMARC, periodos de recuperación recuperación de 3,5,7 Y 10 años con convención aplican en el cambio cambio de SDD a LR. Cuando Cuando sucede sucede el cambio cambio a de mitad mitad de año se aplican generalmente ocurre ocurre en los últimos LR, lo cual generalmente últimos 1 a 3 años del periodo periodo de recuperarecuperacualquier base carga en el año n + 1, de manera libros ción, cualquier base restante restante se carga manera que el valor valor en libros llegue a cero. Es usual aplicable permanezca después de llegue usual que el 50% del monto monto LR aplicable permanezca después haber ocurrido el cambio. cambio. Para Para los periodos haber ocurrido periodos de recuperación recuperación de 15 y 20 años, se aplica el SD de 150% con la convención convención de mitad cambio a LR. aplica mitad de año y el cambio valor presente depreciación VP DD siempre siempre indicará indicará cuál es el modelo El valor presente de la depreciación modelo más ventajoso. SMARC para (tabla ventajoso. Sólo las tasas SMARC para periodos periodos de recuperación recuperación SDG (tabla cambio SDD a LR. Las tasas SMARC SMARC alternativas alternativas para sistema 16.4) utilizan utilizan el cambio para el sistema depreciación alternativa alternativa tienen tienen periodos imponen de depreciación periodos de recuperación recuperación más largos e imponen modelo LR para recuperación. el modelo para todo el periodo periodo de recuperación.

L

Ll EJEMPLO EJEMPLO

16A.3 16A.3

ar

.~" ~,

g(

ejemplo 16A2, 16A.2, incisos incisos e) y d), el modelo cambio de SDD SDD a LR LR se aplicó aplicó a un En el ejemplo modelo de cambio un activo de $100 $100 000 000 y n= n= 5 años, años, produciendo = $73943 $73943 para 15%. Utilice SMARC produciendo VPDD = para ii= = 15%. Utilice SMARC activo para depreciar el mismo mismo activo activo utilizando años, y compacompapara depreciar utilizando un periodo periodo de de recuperación recuperación de 5 años, re los los valores valores VP VPD.

ei af

Sl pl

Solución Solución La 16A.3 resume cálculos de depreciación depreciación (utilizando (utilizando tasas 16.2), el La tabla tabla 16A3 resume los cálculos tasas de la tabla tabla 16.2), valor libros y el valor valor presente depreciación. Los Los valores valores VP VP D para los cuatro cuatro valor en libros presente de la depreciación. para los métodos son: métodos son: Cambio de SDD SDD a LR LR Cambio Saldo decreciente decreciente doble doble Saldo SMARC SMARC Línea recta Línea recta

$73943 $73943 $69916 $69916 $69016 $69016 $67044 $67044

El SMARC SMARC proporciona cancelación menos acelerada. Es Es decir, decir, en en parte debe a El proporciona una una cancelación menos acelerada. parte se debe que la convención convención de de mitad año no 50% de la depreciación depreciación SDD SDD del del primer que mitad de año no permite permite el 50% primer año (lo cual cual representa 20% del del costo costo inicial). inicial). Además, Además, el periodo del año representa al 20% periodo de recuperación recuperación del SMARC se amplía amplía al año año 6, reduciendo aún más VP D. D' SMARC reduciendo aún más el VP

ic D p el e;

SECCIÓN 16A.3

TABLA

t

16A.3

Determinación de tasas SMARC

Depreciación y valor en libros utilizando SMARC. ejemplo 16A.3 d,

Dt

VLt

$ 20 000 32000 19200 11 520 11520 5760

$100000 80000 48000 28800 17 280 5760 O

O

1 2 3 4 5 6

0.20 0.32 0.192 0.1152 1.1152 0.0576 -1.000

$100000 (=6

VPD = 2,D,(PIF,15%,t)

= $69 016

1= 1

16A.3

DETERMINACiÓN

DE TASAS SMARC

Las tasas de depreciación para SMARC incorporan el modelo de cambio de SD a LR para todos los periodos de recuperación SDG de 3 a 20 años. Durante el primer año, se realizan algunos ajustes para calcular la tasa SMARC. Los ajustes varían y, generalmente, no se consideran en detalle en los análisis económicos. La convención de mitad de año siempre se impone y cualquier valor en libros restante en el año n se deduce en el año n + l. Se supone el valor S = Opara todos los programas SMARC. Puesto que se utilizan diferentes porcentajes SD para los distintos valores de n, puede recurrirse al siguiente resumen para determinar los valores DI y VLI. Para identificar las depreciaciones SD y LR, respectivamente, se utilizan los símbolos DSD Y DLR• Para n = 3,5, 7 Y 10 Utilice la depreciación SDD con convención de medio año con cambio a la depreciación LR en el año t cuando DLR :2 DSD' Utilice las reglas de cambio de la sección 16A.2 y agregue medio año al calcular DLR para la cuenta de la convención de mitad de año. Las tasas de depreciación anuales son:

t=1 d

I

={±

[16A.10]

2 n

t=2,3,

...

597

598

CAPÍTULO 16 Métodos Métodos de depreciación depreciación

Los valores para cada valores de depreciación depreciación anuales anuales para cada año t aplicados aplicados a la base base ajustada ajustada son: son: DSD = dlVL dlVLt_1t)_ 1) SD = D D

= =

LR LR

[16A.ll] [l6A.ll]

VL 1 VL'_1 n - t + 1.5 t_

[16A.12] [l6A.12]

Cuando generalmente, en los últimos Cuando se realiza realiza el cambio cambio a una depreciación depreciación LR --generalmente, últimos 1 a 3 años del periodo periodo de recuperaciónrecuperación-, , cualquier cualquier valor valor en libros libros restante restante en el año n se retira retira en el año n + l. 1.

Para n = Y 20 Utilice Para = 15 15Y Utilice el SD de 150% con la convención convención de mitad mitad de año y el cambio cambio a LR cuando cuando DLR ~ D SD Mientras la depreciación depreciación LR sea más ventajosa, ventajosa, la LR ~ SD' ' Mientras depreciación depreciación SD anual se calcula calcula usando usando la forma forma de la ecuación ecuación [16A.7] [l6A. 7] = dlVL,_I) dlVLt_1) D SD SD =

donde donde

dd== ,t

EJEMPLO EJEMPLO

{

0.~5 0.~5

{ 1.50 n

tt=l =l

[16A.13]

tt=2,3, = 2,3 , ...

16A.4

Se ha comprado por $10 000 una máquina de tejer para un material que imita la gamuza recuperación SMARC a 5 años. a) Use las ecuaciones [16A.10] a periodo de recuperación con un periodo [l6A.12] para obtener la depreciación depreciación anual y el valor en libros. libros. b) b) Determine Determine las tasas de [16A.12] depreciación anual resultantes resultantes y compárelas con las tasas SMARC que se presentan presentan en la depreciación tabla 16.2 para n = 5.

S E

Solución Solución convención de mitad de año, utilice el procedimiento a) Con n = 5 Y la convención procedimiento de cambio de SDD a LR para obtener los resultados de la tabla l6A.4. l6A.4. El cambio a la depreciación depreciación LR, que ocurre en el año 4 cuando ambos valores de depreciación son iguales, se indica por $1152 DSD 152 SD = 0.4(2 880) = $1 DLR = = D

b)

2880 2880 1.5 5 - 4 + 1.5

= $1 $1 152 152 =

La depreciación LR de $576 en el año 6 es el resultado de la convención de mitad de año. Las tasas reales se calculan dividiendo los valores de la columna ""DI DI mayor" por el costo inicial de $10 000. Las tasas siguientes son las mismas que las tasas de la tabla 16.2. 4 2 3 5 6

¡-\ d,

0.20

0.32

0.192

0.1152

0.1152 ..

1

0.0576

1 t(

e

SECCIÓN 16A.3 Determinación de tasas SMARC

TABLA

16A.4

Montos de depreciación usados para determinar tasas SMARC para n = 5, ejemplo l6AA SDD

Años t

Depreciación

d,

Oso

OLR

0.2 0.4 0.4 0.4 0.4

$2000 3200 1920 1 152 691

$1818 1777 1371 1 152 1 152 576

LR

D, mayor VLt

O

el a

1 2 3 4 5 6

$2000 3200 1920 1 152 1 152 576

---

$10000 8000 4800 2880 1728 576 O

$10000

Resulta claro que es más fácil utilizar las tasas presentadas en la tabla 16.2 que determinar cada tasa SMARC empleando la lógica de cambio anterior. Pero la lógica que subyace a las tasas SMARC se describe aquí para aquellos interesados. Las tasas SMARC anuales pueden obtenerse utilizando la tasa aplicable para el método SD. Los subíndices SD y LR se insertaron junto con el año t. Para el primer año t = 1, 1 dSD1, =-n

Sólo para los propósitos de la suma, se introduce el subíndice i(i = 1,2, ... , t) en d. Entonces, las tasas de depreciación para los años t = 2, 3, "" n son: [16A,14]

l_iI,1

=

d

(

LR,I

di)

1=1

[16A.15]

n - t + 1.5

También, para el año n + 1, la tasa SMARC es la mitad de la tasa LR del año anterior n. d LR,II+1

=_1_

2d

[16A.16]

LR,n

Las tasas SD y LR se comparan cada año para determinar cuál es más grande y cuándo debería ocurrir el cambio a la depreciación LR.

599

600

CAPÍTULO 16 CAPÍTULO

EJEMPLO EJEMPLO

Métodos depreciación Métodos de depreciación

i' t""

16A.5 16A.5

Verifique las tasas tasas SMARC tabla 16.2 para un un periodo periodo de recuperación recuperación de Verifique SMARC en la tabla 16.2 para de 3 años. años. Las tasas son 33.33, 33.33, 44.45, 14.81 Y 7.41. 7.41. Las tasas en porcentaje porcentaje son 44.45, 14.81

16i

Solución Solución La tasa tasa fija para SDD = 3 es d == 2/3 2/3 = = 0.6667 Utilizando la convención mitad de La fija para SDD con con n = 0.6667. . Utilizando convención de mitad de año en en el año año 1 y las ecuaciones [16A.14] [16A.16], los son: año las ecuaciones [16A.14] a [16A.16], los resultados resultados son: d 0.5d = 0.5(0.6667) = 0.3333 elSD,1 = 0.5d = 0.5(0.6667) = 0.3333 SD•1 = el22•• d

La tasa tasa de de depreciación La depreciación acumulada acumulada es 0,3333, 0.3333. 0.6667(1 - 0.3333) 0.4445 dSO 0,3333) = 0.4445 SD,2,2 = 0.6667(1

(valor mayor) (valor mayor)

dLR,2,2 = 0.3333 = 0.2267 el = 1 - 0.3333 = 0.2267 LR 3 - 2 + 1.5

d33..

161

La tasa de depreciación depreciación acumulada acumulada es 0.3333 0.3333 + 0.4445 0.4445 = 0,7778, 0.7778. La tasa de dSD 0.6667(1 - 0.7778) 0.7778) = 0.1481 0.1481 SD•3•3 = 0.6667(1-

d ,3 = 1 - 0.7778 =0.1481 0.1481 dLR,3=1-0.7778 LR 3 - 3 + 1.5

Ambos valores valores son los mismos; mismos; cambie depreciación en línea línea recta. recta. Ambos son los cambie a la depreciación d¿ d 4•

La 50% de la última tasa LR. La tasa tasa es 50% la última tasa LR.

d = 0.5(d = 0.5(0.1481) 0.5(0.1481) = = 0.0741 d,4 = 0.5(dLRLR•3•)3 ) = 0.0741

16,

PROBLEMAS APÉNDICE PROBLEMAS DEL APÉNDICE Depreciación por suma Depreciación por suma de dígitos dígitos anuales anuales

16A.l 16A.l

Una compañía manufacturera europea Una compañía manufacturera europea tiene nuevo nuevo equipo inicial tiene equipo con un costo costo inicial 12000 euros, un valor salvamento de 12 000 euros, valor de salvamento estimado periodo de estimado de 2 000 euros euros y un periodo recuperación de 8 años. Use el método método recuperación SDA para para tabular tabular la depreciación depreciación anual anual valor en libros. y el valor libros.

16A.2 remoción de tie16A.2 Se espera espera que equipo equipo de remoción rra con un costo costo inicial inicial de $150 $150 000 tenga una vida estima que el vida de 10 años. Se estima valor de salvamento valor salvamento sea de 10% del costo inicial. inicial. Calcule Calcule el cargo cargo de depreciadeprecia-

valor en libros libros para ción y el valor para los años 2 y 7 utilizando utilizando el método método SDA.

16A.3 = $12 000, n == 6 años y S se estima 16A.3 Si B = estima en 15% de B, con el método método SDA determine a) el valor valor en libros libros después después de 3 mine años y b) la tasa tasa de depreciación depreciación y la cantidad cantidad de depreciación depreciación en el año 4. Métodos de cambio Métodos cambio

16A.4 Un activo tiene un costo 16A.4 Un activo tiene costo inicial inicial de $45 000, periodo de recuperación recuperación de 000, un periodo 5 años valor de salvamento años y un valor salvamento de $3 000. Utilice el procedimiento Utilice procedimiento de cam-

16

PROBLEMAS PROBLEMAS DEL DEL APÉNDICE APÉNDICE

depreciación SDD a LR, y calcucalcubio de depreciación valor presente presente de depreciación depreciación a i = = le el valor 18% anual.

16A.5

periodo Si B == $45 000, S == $3 000 y n == periodo recuperación de 5 años, use una hoja de recuperación hoja cálculo con i = = 18% anual para para maxide cálculo maximizar el valor valor presente presente de depreciación, depreciación, mizar considerando los siguientes siguientes métodos: métodos: considerando cambio de SDD a LR (éste se determinó determinó cambio problema 16A.4) y SMARC. SMARC. PuesPuesen el problema SMARC es el sistema sistema de depredepreto que SMARC ciación requerido requerido en Estados Estados Unidos, Unidos, cociación mente los resultados. resultados. mente

Industrias Hempsteed Hempsteed tiene una nueva 16A.6 Industrias nueva máquina de fresado fresado con B = = $110000, $110 000, n máquina Determine el = 10 años y S = $10 000. Determine programa de depreciación depreciación y el valor valor preprograma sente de depreciación depreciación a i = = 12% anual método SD de 175% para para los pricon el método primeros 5 años y cambio cambio al método método LR meros clásico para para los últimos últimos 5 años. Utilice Utilice clásico cálculo para para resolver una hoja de cálculo resolver este este problema. problema.

601

depreciación LR en algún algún punto depreciación punto en la vida vida del edificio? edificio? 16A.9 Si usted fuera de Estados 16A.9 usted reside reside fuera Estados Unidos, Unidos, investigue las leyes investigue leyes impositivas impositivas vigenvigentes para para depreciación depreciación (o recuperación recuperación de capital) capital) en su país, y compárelas compárelas con los métodos métodos clásicos clásicos de depreciación depreciación de LR y SD. También También compárelas compárelas con SMARC. En su comparación, comparación, resalte resalte cualquier cualquier diferencia significativa significativa en la filosofía filosofía de ferencia depreciación, periodos depreciación, periodos de recuperación recuperación y tasas de recuperación anuales. recuperación anuales. Tasas SMARC Tasas SMARC 16A.I0 Verifique 16A.I0 Verifique las tasas del periodo periodo de recuperación SMARC dado peración a 5 años para para el SMARC en la tabla tabla 16.2. Empiece Empiece con el modelo modelo SDD en el año 1 y cambie cambie a depreciadepreciación ción LR cuando cuando ofrezca ofrezca una tasa de recuperación cuperación mayor. 16A.ll 16A.ll

Un sistema sistema de grabación grabación de videos videos se compró hace años a un costo costo de compró hace 3 años 000. Se utilizaron $30 000. utilizaron un periodo periodo de recuperación de 5 años años y depreciación cuperación depreciación SMARC para cancelar la base. El sisteSMARC para cancelar ma será reemplazado reemplazado prematuramente prematuramente con un valor valor de intercambio intercambio de $5 000. ¿Cuál es la diferencia diferencia entre entre el valor ¿Cuál valor en libros y el valor libros valor de intercambio? intercambio?

Resuelva a mano o por computadora. computadora. Sea 16A.7 Resuelva B= 000, n == 8 años, S == $800 = $12 $12000, $800 e i = = 20% anual. a) Desarrolle Desarrolle el programa programa de depreciación y el VP de depreciación depreciación con depreciación método SDD. b) Realice Realice el cambio cambio a el método depreciación clásica clásica LR, y desarrolle desarrolle el depreciación nuevo programa programa de depreciación depreciación y el nuevo valor VPDD•• e) Determine Determine el programa programa valor SMARC y el valor valor VPDD para un periodo periodo SMARC recuperación de 7 años. ti) RepresenRepresende recuperación gráficamente las tres curvas de valor te gráficamente valor misma gráfica. gráfica. en libros sobre la misma

16A.12 Use cálculos en las ecuaciones 16A.12 Use los los cálculos las ecuaciones [16A.1O] a [16A.12] [16A.12] para determinar la [16A.1O] para determinar depreciación anual SMARC para depreciación anual SMARC para los siguientes = $50 000 y guientes datos de activo: B = un periodo periodo de recuperación recuperación de 7 años.

Reliant Electric Electric Company Company construyó construyó un 16A.8 Reliant edificio portátil portátil con un costo costo inigran edificio inisalvamento antianticial de $155 000 y un salvamento cipado de $50 000 después después de 25 años. cipado ¿Debería realizarse realizarse la depreciación depreciación a) ¿Debería mediante cambio de SDD a LR? b) mediante el cambio ¿Para qué valores valores de la tasa de depreciadeprecia¿Para uniforme, en el método método SD, sería sería ción uniforme, ventajoso cambiar cambiar de depreciación depreciación SD a ventajoso

16A.13 Las tasas de recuperación SMARC para 16A.13 recuperación SMARC para tres años son 33.33%, 33.33%, 44.45%, % 44.45%, 14.81 % Y 7.41 %, respectivamente. ¿Cuáles respectivamente. a) ¿Cuáles correspondientes para son las tasas tasas correspondientes para el modelo alternativo SMARC SMARC en línearecmodelo alternativo línea recta con la convención convención de medio medio año imimpuesta? Compare los valores puesta? b) Compare valores VP D para para = $80 000 e i = = estos dos métodos métodos si B = 15% anual.

17 o o

« u u

Análisis económico económico después de impuestos impuestos Este lo ofrece un inolog ía tributaria, Este capítu capítulo un panorama general de term terminología tributaría. tasas tasas de impuesto impuesto sobre la la renta y ecuaciones pertinentes pertinentes relacionadas con el análisis análisis económico económico después de impuestos. El cálculo para para la la conversión del fluj flujoo de efectivo estimado estimado antes de impuestos (FEAI), (FEAI), al al flujo de efectivo efectivo después de impuestos (FEDI), (FEDI), incluye la la consideración consideración de los efectos efectos significativos significativos de los impuestos que pudieran alterar la la decisión final, así así como el cálculo de la la magnitud del efecto efecto tributario tributario sobre el flujo de efectivo efectivo en la la vida de la la alternativa alternativa.. En En este capítulo se se explican las las comparaciones comparaciones entre alternativas mutuamente excluyentes, realizadas VA Y realizadas a partir partir de los métodos métodos de VP, VP,VA y TR, TR, después tomando en en cuenta implicaciones implicaciones tributarias tributarias importantes. importantes. Se de impuestos, tomando Se tributarios que ocurren al al presentan los estudios de reemplazo con los efectos tributarios momento de reemplazar al defensor. También se se analiza analiza el valor económico económico momento agregado después de impuestos impuestos en una una alternativa alternativa en el contexto contexto del análisis análisis agregado anual. Todos estos métodos métodos emplean los procedimientos procedimientos que se se estude valor anual. anteriores, con la la excepción de que ahora se se toman en en diaron en capítulos anteriores, consideración los efectos tributarios. tributarios. consideración Una evaluación después de impuestos realizada realizada por cualquier cualquier método método rereUna más cálculos que las las evaluaciones llevadas a cabo anteriormente. anteriormente. La La quiere más computadora es es una una herramienta que reduce significativamente significativamente el el tiempo tiempo de computadora análisis, debido debido a la la potencia potencia del formato formato de la la hoja de cálculo y de las las funciofuncioanálisis, nes que emplea emplea.. Se Se desarrollan los modelos modelos para para tabular tabular e ell flujo de efectivo efectivo nes computadora. . Se Se incluye información información después de impuestos a mano y por computadora adicional Estados Un Unidos -ley tributaria tributaria y tasas ad icional sobre impuestos federales de Estados idos -ley tasas tributarias actualizadas anualmenteanualmente- del Internal Revenue Revenue Service Service y sus sus putributarias más accesible, el sitio IRS IRSwww.irs.gov. blicaciones. De forma más www.irs.gov. Publications 542, Corporations, y 544, Sales Sales and Other Other Dispositions Dispositions of Assets Assets se se relaciona espeCorporations, capítulo.. En En la la última sección sección se se resumen resumen algunas diferencias cialmente con este capítulo Estados Un Unidos. en el ttratamiento ratamient o de los impuestos fuera de Estados idos. estudio caso brinda la la oportunidad oportunidad de llevar a cabo un un an análisis com-El estud io de caso álisis com pleto después de impuestos de deuda frente a ffinanciamiento pleto inanciam iento con capital prodepreciación del activo incluid incluida. Ésta es es una una aplicació aplicaciónn del modelo modelo d de pio, con depreciación a. Ésta e

generalizado del del flujo de de efectivo. efectivo. análisis generalizado

e

-

-

-

-

Rt

•

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Objetivo general: realizar una evaluación económica de una o más alternativas, tomando en cuenta el efecto del impuesto sobre la renta y otras normas tributarias pertinentes a este caso.

Este capítulo ayudará al lector a: Terminología

1. Emplear correctamente la terminología básica, y las tasas de impuesto sobre la renta para individuos y corporaciones contribuyentes.

y tasas

FEAI Y FEDI

I

I

2. Calcular el flujo de efectivo antes y después de impuestos.

Impuestos y depreciación

3. Demostrar la ventaja tributaria de la depreciación acelerada y un periodo de recuperación acortado.

Recobro de depreciación

4. Calcular el impacto tributario del recobro de depreciación y las ganancias (o pérdidas) de capital.

y ganancias de capital

5. Evaluar alternativas empleando el análisis de VP,VA y TR después de impuestos.

Análisis después de impuestos

Hojas de cálculo

I Reemplazo después de impuestos

Análisis de valor agregado

Impuestos fuera de Estados Unidos

I

6. Elaborar hojas de cálculo que estructuren una evaluación después de impuestos de dos o más alternativas. 7. Evaluar al defensor y retador en un estudio de reemplazo después de impuestos. 8. Evaluar alternativas empleando el análisis de valor económico agregado después de impuestos. 9. Comprender el impacto después de impuestos de las leyes fiscales en otros países en los que no se incluye Estados Unidos.

604

CAPÍTULO CAPÍTULO 17

17.1 17.1

Análisis impuestos Análisis económico económico después después de impuestos

TERMINOLOGíA TERMINOLOGíA PARA PARA EL IMPUESTO IMPUESTO SOBRE SOBRE LA RENTA RENTA Y SU RELACiÓN RELACiÓN CON CON CORPORACIONES CORPORACIONES (E INDIVIDUOS) INDIVIDUOS)

A continuación términos y relaciones relaciones básicos básicos de impuestos impuestos continuación se describen describen algunos algunos términos corporativos ingeniería económica. económica. corporativos básicos básicos útiles útiles en los estudios estudios de ingeniería total proveniente proveniente de fuentes fuentes que producen producen El ingreso ingreso bruto, bruto, m, lB, es el ingreso ingreso total entradas cualquier ingreso ingreso de otras fuentes fuentes entradas en una corporación, corporación, incluyendo incluyendo cualquier como permisos. Los ingresos ingresos se declaran declaran como serían serían ventas ventas de activos, activos, regalías regalías y permisos. en la sección resultados. sección respectiva respectiva en el estado estado de resultados. impuestos con base base en el ingreso ingreso El impuesto impuesto sobre sobre la renta renta es el monto monto de los impuestos declararse a la institución institución federal federal (o de menor bruto que debe declararse menor nivel) nivel) gubernagubernaporcentaje del ingreso ingreso gravable mental. Un gran porcentaje gravable en Estados Estados Unidos Unidos se basa basa en la fijación Interno de Ingresos Ingresos (IRS), fijación de impuestos impuestos a los ingresos. ingresos. El Servicio Servicio Interno que forma forma parte Tesoro de Estados Estados Unidos, Unidos, recauda recauda los parte del Departamento Departamento del Tesoro impuestos. renta de una una corporación corporación generalgeneralimpuestos. Los pagos pagos del impuesto impuesto sobre la renta mente último pago pago del año se presenta presenta con la mente se realizan realizan trimestralmente, trimestralmente, y el último devolución tributaria tributaria anual. Los impuestos devolución impuestos son flujos de efectivo efectivo reales. reales. GO, incluyen incluyen todos los costos Los gastos de operación, operación, GO, costos corporativos corporativos en los que se incurre negocio. Dichos gastos son deducibles deducibles incurre en las transacciones transacciones de un negocio. Dichos gastos de impuestos Para las alternativas alternativas de ingeniería económiimpuestos para para las empresas. empresas. Para ingeniería económica, los costos anual de operación) operación) y el de M&O M&O (mante(mantecostos como como el COA (costo (costo anual nimiento y operaciones) operaciones) son aplicables nimiento aplicables en este este caso. Los montos calcularse en un estudio estudio económico económico y montos de lB y GO deberán deberán calcularse expresarse expresarse de la siguiente siguiente manera: manera: Ingreso gastos == lB - GO Ingreso bruto bruto - gastos partir del cual se calculan calculan los impuestos. impuestos. El ingreso ingreso gravable, gravable, IG, es el monto monto a partir En el caso de las corporaciones, depreciación D D y los gastos gastos de operación operación corporaciones, la depreciación son deducibles deducibles de impuestos, impuestos, por por lo tanto, "

'1

IG

= ingreso ingreso bruto bruto - gastos = gastos - depreciación depreciación =IB-GO-D =m-GO-D

[17.1]

equivalente decimal, decimal, del ingreso ingreso La tasa tasa de impuestos, impuestos, T, es un porcentaje, porcentaje, o equivalente gravable impuestos, tabulada tabulada de acuerdo acuerdo gravable que se debe en impuestos. impuestos. La tasa de impuestos, con el nivel de IG, es progresiva, mayores conforme conforme el progresiva, es decir, las tasas son mayores IG aumenta. para el cálculo cálculo de impuestos impuestos emplea emplea el valor valor aumenta. La fórmula fórmula general general para T aplicable aplicable de la siguiente siguiente forma.

Impuestos Impuestos

= (tasa de impuestos impuestos aplicable) aplicable) = (ingreso (ingreso gravable) gravable) X (tasa = = (IG)(T)

[17.2]

monto remanente remanente anual anual La utilidad utilidad neta neta después después de impuestos impuestos (UNDI) es el monto restando renta del ingreso ingreso gravable gravable de la corporación. corporación. restando los impuestos impuestos sobre sobre la renta

UNDI = ingreso impuestos = IG IG - (IG)(T) (IG)(T) ingreso gravable gravable - impuestos = = (IG)(l(IG)(l- T)

[17.3]

par ing (irr cal la r En mil der sos for

pw inc

cOI

las de alu est fijé eje

COI

nel los

SECCIÓN 17.1 Terminología para el impuesto sobre la renta

605

Ésta es la cantidad de dinero reembolsado a la corporación como resultado del capital invertido durante el año. Se trata de un componente del análisis de valor agregado después de impuestos. A la UNDI también se le conoce como ingreso neto (IN) o como utilidad neta de operación después de impuestos (UNODI). Las agencias, ya sean federales o locales, se fundamentan en diferentes bases para el cálculo del ingreso tributario. Algunas bases (e impuestos) además de los ingresos son: ventas totales (impuesto sobre ventas); valor tasado de la propiedad (impuesto sobre la propiedad); impuesto al valor agregado (IVA); inversión neta de capital (impuesto al activo); ganancias en juegos de azar (parte del impuesto sobre la renta); y valor al menudeo de artículos importados (impuesto a las importaciones). En diferentes países, provincias y distritos tributarios locales se emplean bases similares y diferentes para el cálculo de sus impuestos. Los gobiernos que no recauden el impuesto sobre la renta deberán utilizar bases diferentes además de los ingresos para generar impuestos. Ninguna institución gubernamental sobrevive sin alguna forma de ingreso por impuesto. La tasa de impuestos federal anual, T, se basa en el principio de la tasa de impuestos graduada, lo cual significa que las corporaciones pagarán tasas más altas al incrementarse sus ingresos gravables. La tabla 17.1 presenta los valores T para las corporaciones estadounidenses. Las tasas y los límites del IG varían con base en las normas tributarias y en la interpretación del IRS de las disposiciones fiscales y de las condiciones económicas. De manera adicional, cada año el IRS revisa y/o altera los límites del IG tomando en consideración la inflación y otros factores. A esta acción se le denomina indexación. A la porción de cada nuevo dólar del IG se le fija un impuesto mediante lo que se conoce como tasas tributarias marginales. Por ejemplo, examine las tasas de impuestos que aparecen en la tabla 17.1. Un negocio con un IG anual de $50000 posee una tasa marginal del 15%. Sin embargo, un negocio con un IG = $100000 paga el 15% por los primeros $50 000, el 25% por los siguientes $25 000, y el 34% sobre lo restante.

TABLA

17.1 Tabulador de la tasa federal del impuesto sobre la renta corporativa de Estados Unidos (2003) (mil = $ en millones)

Límites IG (1)

$1-$50000 $50001-75000 $75001-100000 $100001-335000 $335001-10 mil De $10 a 15 mil De $15 a 18.33 mil Más de $18.33 mil

(2)

Tasa de impuestos T(3)

Impuesto máximo para el rango IG (4) = (2)T

Impuesto máximo incurrido (5)= Suma de (4)

$50000 25000 25000 235000 9.665 mil 5 mil 3.33 mil Ilimitado

0.15 0.25 0.34 0.39 0.34 0.35 0.38 0.35

$7500 6250 8500 91650 3.2861 mil 1.75 mil 1.267 mil Ilimitado

$ 7500 13750 22250 113900 3.4 mil 5.15 mil 6.417 mil Ilimitado

Rango IG

606

17 Análisis económico después de impuestos CAPÍTULO 17

Impuestos = = 0.15(50 0.15(50 000) + 0.25(75000 0.25(75000 - 50 000) + 0.34(100 0.34(100 000 --75000) Impuestos 75000) = $22 250 = impuestos progresiva progresiva ofrece ofrece una ligera ligera ventaja ventaja a los negosistema de la tasa de impuestos El sistema negogeneran pequeños pequeños ingresos ingresos gravables. gravables. Las tasas marginales marginales se encuentran cios que generan encuentran entre la mitad mitad y el 30% superior superior para para los valores valores de IG que exceden exceden (aproximada(aproximadaentre mente) $100000, $100000, mientras mientras que los impuestos impuestos gravables gravables menores menores tienen tienen tasas mente) tasas del rango del 15 al 25%. El ejemplo ejemplo 17.1 l7.1 ilustra ilustra más detalladamente detalladamente el empleo empleo de las rango impuestos progresivas. progresivas. tasas de impuestos Debido a que las tasas tributarias tributarias marginales marginales varían varían de acuerdo acuerdo al IG, no es Debido posible establecer establecer directamente directamente el porcentaje porcentaje de IG pagado pagado como como impuesto impuesto sobre posible sobre la parte, un valor numérico individual, individual, la tasa de impuestos impuestos promedio renta. Por otra parte, valor numérico promedio calcula de la siguiente siguiente manera: manera: se calcula impuestos promedio promedio = = Tasa de impuestos

pagado de impuestos impuestos total pagado ingreso gravable gravable ingreso

= =

impuestos impuestos

IG

[l7.4] [17.4]

Para un negocio negocio pequeño pequeño con un IG = $100000, $100000, el gravamen gravamen federal federal del imimPara puesto sobre la renta renta se promedia promedia en $22250/100000 $22250/100000 = = 22.25%. 22.25%. Si el IG = $15 puesto millones, la tasa de impuestos impuestos promedio promedio (tabla (tabla 17.1) es de $5.15 millones/15 millones/15 millomillones, millo34.33%. nes = 34.33%. Como se mencionó mencionó anteriormente, anteriormente, existen existen impuestos impuestos federales, federales, estatales Como estatales y loPor simplificación, simplificación, la tasa de impuestos impuestos empleada empleada en un estudio estudio económico cales. Por económico generalmente es una sola cifra, la tasa de impuestos impuestos efectiva, Te' Te, que toma toma en cuenta generalmente cuenta impuestos. Las tasas de impuestos impuestos efectivas efectivas se encuentran encuentran en el rango todos los impuestos. rango del razón para para utilizar utilizar la tasa de impuestos impuestos efectiva efectiva es que los impues35 al 50%. Una razón impuesestatales son deducibles deducibles en los cálculos cálculos para para los impuestos impuestos federales. federales. La tos estatales La tasa de impuestos efectiva efectiva y los impuestos impuestos se calculan calculan de la siguiente siguiente manera: manera: impuestos

= tasa tasa estatal estatal + (1(1- tasa tasa estatal)(tasa estatal)(tasa federal) federal) Te = Impuestos = = (IG)(T (IG)(Te)e ) Impuestos

[17.5] [17.6]

departamento de seguridad de OnStar tiene un ingreso bruto anual de $2 750 000 con Si el departamento depreciación totales de $1 $1 950000, 950000, a) calcule el impuesto impuesto sobre la renta federal gastos y depreciación exacto de la compañía. b) Calcule el total de los impuestos estatales y federales si la tasa de impuestos estatal es de 8% y se aplica 34% para la tasa promedio de impuesto federal. Solución Solución empleando a) Calcule el IG por medio de la ecuación [17.1] y el impuesto sobre la renta empleando las tasas que aparecen en la tabla 17.1. 950000 = $800000 $800000 IG = 2 750 000 - 1 950000 Impuestos = 50 000(0.15) 000(0.15) + 25 000(0.25) + 25 000(0.34) 000(0.39) + (800 000 - 335 000)(0.34) 000)(0.34) + 235 000(0.39) = 7 500 + 6 250 + 8 500 + 91650 = 91650 + 158 100 = $272 000

1

t

I

SECCIÓN 17.1 l7.1

Terminología para el impuesto sobre la renta

Un procedimiento procedimiento más rápido emplea el monto que aparece en la columna columna 5 de la tabla 17.1, que es más cercano al IG total y suma el impuesto para el siguiente siguiente rango delIG. dellG. Impuestos b)

= 113900 113900 + (800000 (800000 =

335 000)(0.34)

= $272 000 =

La ecuación [17.5] [l7.5] determina la tasa impositiva impositiva efectiva. T,= 0.08 + (1- 0.08)(0.34) 0.08)(0.34) = 0.3928

7.6]. Calcule el total de impuestos usando la ecuación [1 [17.6]. Impuestos = (IG)(T (IG)(Te) (800000)(0.3928) = $314 240 e ) = (800000)(0.3928) cantidades no son comparables debido a que el impuesto en el inciso a no Estas dos cantidades incluye los impuestos estatales.

importante comprender indiviEs importante comprender cómo cómo difieren difieren los cálculos cálculos de los impuestos impuestos individuales y corporativos. comparacorporativos. El ingreso ingreso bruto de un contribuyente contribuyente individual individual es comparable con el ingreso reemplazado por salarios. ingreso del negocio negocio reemplazado salarios. Sin embargo, embargo, para para un ingreso gravable gravable individual, individual, la mayoría mayoría de los gastos cotidianos cotidianos y de trabajo trabajo no son deducibles Para los deducibles de impuestos impuestos en el mismo mismo grado que lo son para las empresas. empresas. Para contribuyentes bruto se calcula contribuyentes individuales individuales el ingreso ingreso bruto calcula de la siguiente siguiente forma: Ingreso Ingreso bruto = = lB = = salarios salarios + intereses intereses y dividendos dividendos + otros ingresos ingresos Ingreso gravable gravable = lB - exenciones exenciones personales personales Ingreso - deducciones deducciones estandarizadas estandarizadas o especificadas especificadas

Impuestos (IG)(1) Impuestos = = (ingreso (ingreso gravable)(tasa gravable)(tasa de impuestos impuestos aplicable) aplicable) = = (IG)(1) Para el IG los gastos de operación operación de la corporación corporación se reemplazan reemplazan por exenciones exenciones individuales y deducciones deducciones específicas. específicas. Las exenciones exenciones pueden pueden ser para para usted, individuales usted, su esposa, esposa, hijos y otros dependientes. dependientes. Cada exención exención reduce reduce el IG en aproximadamente aproximadamente $3 000 por año, en función función de las actuales actuales tolerancias tolerancias para para exenciones. exenciones. Así como como en la estructura estructura tributaria tributaria de una corporación, corporación, las tasas tributarias tributarias para individuos individuos se gradúan gradúan de acuerdo acuerdo con el nivel del IG. Como Como se muestra muestra en la tabla 17-2, varían tabla varían de 15% a 35% del IG. EJEMPLO EJEMPLO

17.2 17.2

.,.

Josh y Allison presentan una declaración matrimonia~ matrimonial mancomunada mancomunada de impuestos al IRS. Durante el año sus dos empleos les suministraron un ingreso combinado de $82 000. Durante el año tuvieron su segundo hijo y planean utilizar la deducción estándar de $9 500 aplicable al año. Los dividendos e intereses son por $3 350 Y una inversión en acciones de Yuna un fondo mutualista tuvo ganancias de $2 500 sobre el capital. Actualmente, las exenciones personales son de $3 100. a) Calcule el monto exacto del impuesto federal que se debe. b) Calcule la tasa de impuestos promedio. promedio. e) ¿Cuál es el porcentaje porcentaje del ingreso bruto que consumen los impuestos federales?

607

608

17 Análisis económico después de impuestos CAPÍTULO 17

TABLA TABLA

Tabulador de la tasa tasa federal federal del impuesto impuesto sobre sobre la renta renta 17.2 Tabulador individuos en Estados Unidos, para para declaraciones declaraciones de los individuos Estados Unidos, conjuntas conjuntas de solteros solteros y casados casados (2003) (2003) Ingreso gravable, gravable, Ingreso

de impuestos impuestos T Tasa de (1 ) (1

0.10 0.15 0.25 0.28 0.33 0.35

Declaración Declaración conjunta conjunta de casados casados (3) de

Declaración individual individual Declaración

(2) (2) 0-7000 0-7000 7001-28400 7001-28400 28401-68800 28 401 -68 800 68801-143500 68801 -143500 143501-311 950 143501-311 311 950 Más de 311

$

0-14000 0-14000 14001-56800 14001-56800 56801-114650 56801-114650 114651-174700 114651-174700 174701-311 950 174701-311 311950 Más de 311950

1j El

Solución Solución a) Josh y Allison tienen cuatro exenciones personales y la deducción estándar de $9 500.

Ingreso bruto == salarios + intereses y dividendos + ganancias de capital = 82000 82000 + 3 550 + 2 500 = = $88 050 = Ingreso gravable == ingreso bruto - exenciones - deducciones 88050 - 4(3 100) - 9 500 = 88050 = $66 150 La tabla 17-2 inillca indica 25% de la tasa marginal. Con el uso de las columnas 1 y 3 los impuestos federales son de 14000(0.10) + (56 800 - 14000)(0.15) 14000)(0.15) Impuestos = 14000(0.10) 56800)(0.25) = + (66 150 - 56800)(0.25) = $10 $10158 = 158 b)

eó eo

an de en to

FI

ne la ec

fo

y tri

De la ecuación [17-4],

s

. dde impuestos . 10 promedio 10-158 158 Tasa promedIO e lmpuestos = - = 15.4% 66150 66150

e)

Esto indica que al gobierno de Estados Unidos se le paga 1 de cada 6 dólares de ingreso gravable. Del total de $88 050, el porcentaje que se paga en impuestos federales es de 10 158/ 88050 = 11 11.5%. 88050 .5%.

E

Sé:

bl

Comentario Comentario

Ha habido un debate permanente en el Congreso de Estados Unidos acerca de lo aconsejable individuales que sería cambiar de una estructura fiscal progresiva a otra plana para causantes inillviduales estructura así se aplica en algunos países). Hay muchas maneras de (actualmente una estructura legislar sobre los impuestos y la cantidad que se eligiera para la tasa plana daría lugar a controversia real. Por ejemplo, la estructura fiscal de tasa plana tal vez no permitiría permitiría una controversia

e

el el

SECCIÓN 17.2 Flujo de efectivo antes y después de impuestos

hacer deducciones estándar o por conceptos específicos y sólo tendría la tolerancia tolerancia de exenciones personales. En este caso, si hubiera una tasa plana de impuestos tan baja como únicamente por las cuatro exenciones personales, personales, los 15.% del ingreso bruto reducido únicamente cálculos quedarían así: Ingreso bruto == $88 050 Ingreso gravable por la tasa plana = = 88 050 - 4(3 100) == $75 650 Impuestos con la tasa plana = 75 650(0.15) = $1l $11 348 En este caso, una tasa plana de 15% 15% requeriría que esta familia pagara 11.7% más de impuestos ($11 ($11348) $10158 que resultan de usar tasas impositivas 348) en comparación con los $10158 progresivas.

17.2 17.2

FLUJO FLUJO DE EFECTIVO EFECTIVO ANTES ANTES Y DESPUÉS DE IMPUESTOS IMPUESTOS

El término flujo de efectivo término flujo efectivo neto (FEN), citado citado previamente previamente en el texto, se identifiidentificomo el mejor mejor cálculo cálculo del flujo de efectivo efectivo real por año. El FEN FEN se determina determina có como como como la entrada entrada de efectivo efectivo menos la salida salida de efectivo. efectivo. Desde Desde entonces, entonces, el monto monto anual del FEN se ha empleado en numerosas clcasiones para realizar FEN empleado numerosas ocasiones para realizar la evaluación evaluación alternativas utilizando utilizando los métodos métodos del VP, VA, TR Y YB/C. Ahora que se toman de alternativas B/C. Ahora toman en consideración el impacto sobre el flujo de efectivo de depreciación y los impuesconsideración impacto efectivo depreciación impuesrelacionados, es tiempo tiempo de aumentar aumentar la terminología. terminología. Se reemplaza reemplaza el término término tos relacionados, de flujo de efectivo efectivo antes de impuestos impuestos (FEA!), y se introduce introduce el térmiFEN por el deflujo no nuevo flujo de efectivo nuevo flujo efectivo después después de impuestos impuestos (FED!). FEAI Y Yel FEDI son flujos efectivo reales; esto significa significa que representan representan El FEAI el FEDI flujos de efectivo estimación del flujo real de dinero, que entra entra y sale de la corporación, corporación, como como la estimación consecuencia de la alternativa. alternativa. Los ejemplos ejemplos de esta sección sección explican explican cómo cómo transconsecuencia formar los flujos de efectivo efectivo de antes de impuestos impuestos a después después de impuestos, impuestos, a mano mano formar computadora, empleando empleando las tasas de impuesto impuesto sobre la renta renta y otras normas normas y por computadora, tributarias pertinentes pertinentes que se describirán describirán en las siguientes siguientes secciones. secciones. tributarias Una vez que que se desarrollan desarrollan los cálculos cálculos para para FEDI, FEDI, se realiza realiza la evaluación evaluación Una económica aplicando aplicando los mismos mismos métodos métodos y las directrices directrices de elección elección apliaplieconómica cados en capítulos capítulos previos. previos. Sin Sin embargo, embargo, el análisis análisis se realiza realiza sobre sobre los cados cálculos del FEDI. FEDI. cálculos cálculo anual del FEAI FEAI deberá deberá incluir incluir la inversión inversión de capital capital inicial inicial y el valor valor de El cálculo salvamento para para los años en que ocurran. ocurran. Al incorporar incorporar las definiciones definiciones del ingreso ingreso salvamento bruto y los gastos de operación, operación, el FEAI FEAI para para cualquier cualquier año se define define como: bruto FEAI = = ingreso ingreso bruto bruto - gastos gastos - inversión inversión inicial inicial + valor valor de salvamento salvamento FEAI =IB-GO-P+S =IB-GO-P+S

[17.7]

Como se mencionó mencionó en capítulos capítulos anteriores, anteriores, P es la inversión inversión inicial inicial (generalmente (generalmente Como O) y S es el valor valor de salvamento salvamento estimado estimado para para el año n. Una Una vez que se en el año O) calculan todos los impuestos, impuestos, el flujo de efectivo efectivo después después de impuestos impuestos anual anual es: calculan FEDI = = FEAI FEAI - impuestos impuestos FEDI

[17.8]

609

610

CAPÍTULO 17

Análisis económico después de impuestos

donde los impuestos se calculan al emplear la relación (lG)(1) o (IG)(TeJ, como se señaló previamente. Por la ecuación [17.1] sabemos que la depreciación D se resta para obtener el IG. Es muy importante comprender la importancia que juega la depreciación en los cálculos del impuesto sobre la renta y en la estimación del FEDI. La depreciación no es un flujo de efectivo. La depreciación es deducible de impuestos sólo para determinar el monto del impuesto sobre la renta, aunque no representa un flujo de efectivo directo después de impuestos para la corporación. Por lo tanto, el estudio de ingeniería económica después de impuestos deberá basarse en las estimaciones del flujo de efectivo real, es decir, en los cálculos del FEDI anual que no incluyan la depreciación como un flujo de efectivo negativo. De acuerdo con esto, si la expresión FEDI se determina al emplear la relación del IG, la depreciación no deberá ubicarse fuera del componente IG. Las ecuaciones [17.7] y [17.8] ahora se combinan de la siguiente manera: FEDI

= lB -

GO - P + S - (lB - GO - D)(Te)

[17.9]

En la tabla 17.3 se muestran los encabezados de columna sugeridos para FEAI y FEDI con cálculos a mano y por computadora. Las ecuaciones se presentan con los números de las columnas, con la tasa impositiva efectiva Teempleada para calcular el impuesto sobre la renta. Los gastos E y la inversión inicial P tendrán valores negativos. El valor IG en algunos años puede ser negativo debido a que el monto de depreciación es mayor que (IB - GO). Es posible considerar esto en un análisis detallado después de impuestos que emplee normas para adelantar o retrasar pérdidas operativas. De hecho, es una excepción que el estudio de ingeniería económica considere

TABLA

17.3 Encabezados de columnas de la tabla para el cálculo de a) FEAI y b) FEDI

a) Encabezado de tabla para FEAI

Año

Ingreso Gastos bruto de operación lB GO

y

Inversión P salvamento

S (3)

FEAI (4) (1) + (2) + (3)

Inversión P y salvamento

Depreciación

=

(1)

(2)

b) Encabezado de tabla para FEDI Ingreso bruto Año

lB

Gastos de operación GO

S

D

Ingreso gravable IG

(4)

(5) = (1) + (2) - (4)

Impuestos (lG)(TJ

FEDI (7) (1) + (2) + (3) - (6)

=

(1)

(2)

(3)

(6)

SECCIÓN 17.2 Flujo de efectivo antes y después de impuestos

611

detalladamente estas características. características. En su lugar, el impuesto impuesto sobre la renta tan detalladamente asociado negativo negativo se considera considera como ahorros ahorros de impuestos impuestos anuales. anuales. La suposición suposición asociado impuesto negativo negativo compensará compensará los impuestos impuestos para para el mismo mismo año entonces es que el impuesto entonces generadoras de ingresos ingresos de la corporación. corporación. en otras áreas generadoras

EJEMPLO EJEMPLO

17.3 17 .3

TransAmerica espera iniciar un nuevo servicio de mayor alcance La compañía de seguros TransAmerica instalaciones pequeñas se construirán en aproximadamente aproximadamente 35 el próximo año. Algunas instalaciones continente. El personal de la compañia ciudades de alto riesgo en todo el continente. compañía ofrecerá servicapacitación y asesoría a los ciudadanos y funcionarios públicos de ciudades y cios de capacitación prevención de incendios, disminución disminución de robos y temunicipios (departamentos) para la prevención potenciales a visitar las mas similares. Se invitará a los afiliados actuales y a los clientes potenciales instalación tenga un costo inicial de $550000 $550000 con un instalaciones. Se espera que cada instalación valor de reventa (salvamento) de $150 000 después de 6 años, que es el periodo en que la junta TransAmerica aprobó esta actividad. actividad. La depreciación depreciación del SMARC junta de directores de TransAmerica recuperación de 5 años. Un equipo de ingenieros de seguridad, permite un periodo de recuperación fundamentales del incremento actuarios y personal financiero estima que los resultados fundamentales costos. Si se neto anual de la corporación serán de $200 000 en ingresos y de $90 000 en costos. emplea una tasa de impuestos efectiva de 35%, tabule los cálculos para FEAI y FEDI. Solución a mano mano y por por computadora computadora Solución 17.1 presenta flujos de efectivo antes y desLa hoja de cálculo que aparece en la figura 17.1 pués de impuestos. El formato de tabla, idéntico para ambos cálculos, a mano y por computadora, emplea 17.3. Los cálculos se analizan y se desarrollan de putadora, emplea el formato de la tabla 17.3. la siguiente forma:

FEAI: Los gastos y la inversión inicial aparecen como flujos de efectivo negativos. El $150000 es un flujo de efectivo positivo en el valor de salvamento (reventa) de $150000 año 6. El FEAI se calcula por medio de la ecuación [17.7]. En el año 6, por ejemplo, la etiqueta de celda indica que FEAI66 = 200 000 - 90 000 + 150000 150 000 = $260 000 FEAI FEDI: La columna E para la depreciación del SMARC (tasas que aparecen en la tabla 16.2 para n = 5) sobre el periodo de 6 años cancela la inversión entera de $550 000. El ingreso gravable, los impuestos y el FEDI, ilustrados en las etiquetas de celda para el año 4, se calculan de la siguiente forma: = lB - 00 GO - D = = 200 000 - 90 000 - 63 360 = = $46 640 IG4 = = (IG)(0.35) = = (46640)(0.35) (46 640)(0.35) = = $16 324 Impuestos =

FEDl44 = = lB - 00 GO - impuestos FEDl

= 200 000 =

16324 = $93 676 90 000 - 16324

depreciación del SMARC es lo suficientemente suficientemente grande para causar que En el año 2, la depreciación ($-66000). Como se mencionó antes, el impuesto negativo el IG sea negativo ($-66000). ($-23 100) se considera como ahorros ahorros de impuesto impuesto en el año 2, incrementando incrementando de ($-23 esta manera el FEDI.

m m Sol·E Sol·E

612 612

CAPÍTULO 17 CAPÍTULO

X Mlclosoft Excel- Example 17.3

Análisis económico económico después después de impuestos impuestos Análisis

Sr;¡U3

de los de los

la tas:

Esto I ecuac S niend exced hasta perac 1 2

Come estipi

recta del S acele Figura Figura 17.1 Cálculo del del FEA! FEA! y del del FEDI FEDI empleando empleando la depreciación depreciación del del SMARC una tasa tasa de de impuestos impuestos efectiva efectiva de de 35%, 35%, ejemplo ejemplo Cálculo SMARC y una 17.3. 17.3.

Comentario Comentario El SMARC deprecia a un valor valor de salvamento Posteriormente se mostrarán mostrarán El SMARC se deprecia salvamento de S = O. Posteriormente las implicaciones implicaciones tributarias tributarias debidas debidas al recobro recobro de depreciación depreciación cuando cuando un activo activo se venlas se venSMARC se aplica depreciar completamente completamente el el de en en una una cantidad cantidad mayor mayor que que 0, y el SMARC aplica al depreciar activo a cero. cero. activo

estar tan bl valor

• Se $5 se de mi 1

SI pa

17.3 17.3

EFECTOS EFECTOS DE LOS DIFERENTES DIFERENTES MÉTODOS MÉTODOS DE DEPRECIACiÓN DEPRECIACiÓN Y PERIODOS PERIODOS DE RECUPERACiÓN RECUPERACiÓN SOBRE LOS IMPUESTOS IMPUESTOS

Se La

pesar de que el SMARC método tributario depreciación requerido requerido en A pesar SMARC es el método tributario de depreciación Estados Unidos, Unidos, es importante por qué las tasas tasas de depreciación Estados importante comprender comprender por depreciación acelerada ventaja tributaria, tributaria, con respecto respecto al método método en acelerada dan a la corporación corporación una ventaja línea recta con el mismo mismo periodo periodo de recuperación. recuperación. Al existir mayores en los línea recta existir tasas mayores primeros años del periodo periodo de recuperación recuperación se requieren requieren menos menos impuestos primeros impuestos debido debido a que es mayor mayor la reducción reducción en el ingreso Para evaluar evaluar el efecto tributario ingreso gravable. gravable. Para efecto tributario

SR

pa du en

so $3

-----------------------------------------------~"I'I SECCIÓN 17.3 17.3 Efectos de los diferentes métodos de depreciación

613

de los modelos presente modelos de depreciación depreciación se utiliza utiliza el criterio criterio de minimizar minimizar el valor valor presente de los impuestos impuestos totales. Es decir, para para un periodo periodo de recuperación recuperación n, se debe elegir elegir la tasa de depreciación produzca el mínimo presente para para impuestos. depreciación que produzca mínimo valor valor presente impuestos. t=n

VP¡mPuesto2.(impuestosen año t)(PIF,i,t,) t)(PIF,i,t,) VP¡mPuesto2.(impuestos en el año

VP de depreciación

[17.10]

1=1

Esto equivale equivale a maximizar maximizar el valor valor presente presente de la depreciación depreciación total VP VPD,D , en la ecuación [16A.5]. ecuación Se comparan comparan ahora ahora cualesquiera cualesquiera dos modelos modelos de depreciación depreciación diferentes, diferentes, suposuponiendo niendo lo siguiente: siguiente: 1) una tasa de impuestos impuestos constante constante de un solo valor, 2) el FEAI FEAI excede excede cada monto monto de depreciación depreciación anual, 3) el método método reduce reduce el valor valor en libros libros hasta hasta llegar llegar al mismo mismo valor valor de salvamento, salvamento, y 4) se utiliza utiliza el mismo mismo periodo periodo de recurecuperación. peración. Sobre Sobre la base de estas suposiciones suposiciones se cumple cumple lo siguiente: siguiente: Los impuestos impuestos totales totales pagados pagados son son iguales iguales para para todos todos los modelos modelos de 1. Los depreciación. depreciación. 2. El valor valor presente presente de los impuestos impuestos es menor menor para para los modelos modelos de depredepreciación acelerada. acelerada. ciación

Como Como se planteó planteó en el capítulo capítulo 16, el SMARC SMARC es el modelo modelo de depreciación depreciación tributaria tributaria estipulado estipulado en Estados Estados Unidos, Unidos, y la única única alternativa alternativa es la depreciación depreciación en línea línea recta recta SMARC SMARC con un periodo periodo de recuperación recuperación ampliado. ampliado. La cancelación cancelación acelerada acelerada del SMARC SMARC siempre siempre ofrecerá ofrecerá un VP¡mpuesto VP¡mpuesto menor menor comparado comparado con modelos modelos menos acelerados. acelerados. Si el modelo modelo SDD aún estuviera estuviera disponible disponible directamente, directamente, en lugar lugar de incorporado en los cálculos cálculos del SMARC, SMARC, en términos términos generales generales SDD no sería estar incorporado bueno como como el SMARC. SMARC. Este hecho hecho sucede sucede porque modelo SDD no reduce reduce el tan bueno porque el modelo valor en libros libros a cero, lo cual se ilustra ilustra en el ejemplo ejemplo 17.4. valor

Se está llevando a cabo un análisis después de impuestos para una máquina nueva de propuesta para una línea manufacturera manufacturera de fibra óptica. El FEAI para la máquina $50 000 propuesta recuperación de 5 años, utilice el criterio se estima en $20 000. Si se aplica un periodo de recuperación de valor presente de los impuestos, una tasa de impuestos efectiva de 35% y un rendidepreciaciones clásica en línea recta, miento del 8% anual para comparar lo siguiente: depreciaciones requerida. Para fines de comparación comparación utilice un periodo de 6 años SDD clásica y SMARC requerida. para ajustar la convención de mitad de año impuesta por el SMARC.

en

Solución Solución La tabla 17.4 presenta un resumen de depreciación anual, ingreso gravable e impuestos DI = $10 000 para cada modelo. Para la depreciación depreciación clásica en línea recta con n = 5, D, D6:== O O(columna FEA! de $20 000 está totalmente totalmente gravado a 35% (columna 3). El FEAI durante 5 años y D6 en el año 6. porcentaje del SDD clásico de d = = 2/n 2/n = = 0.40 se aplica para 5 años. El valor de El porcentaje $50000 salvamento implícito es $50 000 - 46 112 = $3 888, de manera que no todos los $50000 son deducibles de impuestos. Los impuestos incurridos utilizando el SDD clásico serían $1 361 361 más que para el modelo LR clásico. $3 888(0.35) = $1

I J.

1

$10000 10000 10000 10000 10000 20000

$10 000 10000 10000 10000 10000 O --$50000

-

0;0.

_

- -- -.-.

= 0.35(4)

$ 3 500 3500 3500 3500 3500 7000 --$24500 $18386

Impuestos

(5)

---

$46112

$20000 12000 7200 4320 2592 O

D,

(6)

O 8000 12800 15680 17408 20000

$

IG

(7)

Saldo decreciente

= 0.35(7)

O 2800 4480 5488 6093 7000 --$25 861* $18549

$

Impuestos

(8)

doble clásico

_____________

$50000

$10 000 16000 9600 5760 5760 2880

D,

(9)

~_p_ue_s_to_s_ac_u_m_ul_ad_o_s,_$

*Mayor que otros valores puesto que hay un valor de salvamento implícito de $3 888 no recuperado.

VPimpueSlo

Totales

+20000 +20000 +20000 +20000 +20000 +20000

IG

D,

1 2 3 4 5 6

(4)

(3)

(2)

Línea recta clásica

FEAI

t

_

$24500 $18 162

$ 3 500 1400 3640 4984 4984 5992

~.

= 0.35(10) Impuestos

(11)

tI1",<~~(l) ~~]. ~ ~ ~ ~

$10 000 4000 10400 14240 14240 17120

IG

(10)

SMARC

Comparación de impuestos y valor presente de impuestos para diferentes modelos de depreciación

(1)

17.4

Año

TABLA

:

SECCIÓN

17.3

Efectos de los diferentes métodos de depreciación

El SMARC cancela los $50 000 en 6 años empleando las tasas de la tabla 16.2. Los impuestos totales son $24 500, 10 mismo que para la depreciación LR clásica. Los impuestos anuales (columnas 5, 8 Y 11) se acumulan cada año para cada modelo en la figura 17.2. Observe el patrón de las curvas, específicamente los valores de impuestos totales más bajos en relación con el modelo LR después del año 1 para SMARC y en los años 1 a 4 para SDD. Estos valores de impuestos mayores para LR causan que el VP¡mpuesto sea mayor para la depreciación LR. Los valores presentes de impuestos que aparecen en la parte inferior de la tabla 17.4 se calculan por medio de la ecuación [17.10]. El VP¡mpuestodelSMARC es el valor menor en $18 162.

Figura 17.2

25000

Impuestos en los que se incurre mediante las diferentes tasas de depreciación durante un periodo de comparación de 6 años, ejemplo 17.4.

20000

EA

'"o

-g :; 15000

Método LR

8

"

u

'" V)

B 10000 V)

Método SMARC

" ]"" 5000

-'

O

-'

\ -'

2

3

4

5

6

Año r

Al comparar los impuestos para diferentes periodos de recuperación, se cambiará únicamente la cuarta suposición mencionada en el principio de esta sección: se aplica el mismo método de depreciación. Se puede demostrar que un periodo de recuperación menor ofrecerá una ventaja tributaria sobre un periodo más largo al emplear el criterio de minimizar el valor presente del impuesto, VPimpuesto"La comparación de impuestos indicará que: 1. 2.

Los impuestos totales pagados son iguales para todos los valores de n. El valor presente de los impuestos es menor para los valores más bajos den.

Ésta es la razón del porqué las corporaciones desean utilizar el periodo de recuperación SMARC menor permitido para propósitos del impuesto sobre la renta. El ejemplo 17.5 demuestra estas conclusiones empleando el modelo de depreciación clásico de línea recta, aunque también pueden demostrarse para el SMARC o cualquier otro método de depreciación tributaría que esté disponible.

615

616

CAPÍTULO CAPÍTULO 17

EJEMPLO EJEMPLO

Análisis económico Análisis económico después después de impuestos impuestos

17.5 17.5

.

Grupo una corporación manufacturera diversificada México, Grupo Grande Grande Maquinaria, Maquinaria, una corporación manufacturera diversificada situada situada en México, mantiene los activos activos depreciables depreciables en en sus sus operaciones operaciones europeas europeas en mantiene registros registros paralelos paralelos para para los Alemania. Esta para las multinacionales. Un Un grupo Alemania. Esta situación situación es común común para las corporaciones corporaciones multinacionales. grupo de registros corporativo y refleja estimada de de los los activos. activos. El segundo segundo registros es para para uso uso corporativo refleja la la vida vida útil útil estimada conjunto registros es para para fines conjunto de de registros fines del del gobierno gobierno extranjero, extranjero, específicamente específicamente para para depredepreciación. ciación. La un activo por $90 una vida vida útil útil estimada La compañía compañía acaba acaba de comprar comprar un activo por $90 000 000 con con una estimada de de años; sin embargo, embargo, la ley ley tributaria de Alemania de recuperación recuperación 9 años; tributaria de Alemania permite permite un un periodo periodo de más corto, Demuestre la ventaja ventaja tributaria tributaria para para el n menor menor si (lB más corto, de de 5 años. años. Demuestre (lB - GO) = $30000 una tasa tasa impositiva $30000 anuales, anuales, si se aplica aplica una impositiva efectiva efectiva de 35%, 35%, si el dinero dinero invertido invertido rinde el 5% permite la depreciación rinde 5% anual anual después después de impuestos impuestos y si se permite depreciación LR LR clásica. clásica. Ignore Ignore el efecto valor de efecto de de cualquier cualquier valor de salvamento. salvamento.

raciói mico preci mom tres e La

Solución Solución Determine por medio medio de las 7.2] , así Determine los impuestos impuestos anuales anuales por las ecuaciones ecuaciones [17.1] [17.1] Y [1 [17.2], así como como el para ambos valores n. valor presente presente de los impuestos usando la ecuación valor impuestos usando ecuación [17.10] [17.10] para ambos valores

Vida útil útil n = 9 años Vida años D $10 000 D== 90000 90000 = =$10000 9

.'"

.,,.

El

IG IG = 30 30 000 000 - 10 000 000 = $20 $20 000 000 anuales anuales Impuestos Impuestos = 20000(0.35) 20000(0.35) = $7 000 000 anuales anuales VPimpueslo = VPimpuestO = 7 000(PIA,5%,9) 000(PIA,5%,9) = = $49 $49 755 755 Impuestos totales = 7 000(9) Impuestos totales 000(9) = $63 $63 000 000 Periodo recuperación n = 5 años Periodo de recuperación años

'lO

'1

Utilice el mismo mismo periodo periodo de recuperación de 9 años, Utilice de recuperación años, aunque aunque la depreciación depreciación ocurre ocurre sólo sólo durante primeros 5 años. durante los primeros años. D = D,= I

90000 90000 = $18 $18 000 000 5 O O

1 1

t=la5 t=la5 t=6a9 t=6a9

(30 000 -18000)(0.35) -18000)(0.35) = $4 200 200 (30 000 = Impuestos = = { (30000)(0.35) (30000)(0.35) = = $10 $10 500 500 Impuestos

t=laS t=la5 t=6 a 9 t=6

VPimplleSlO = 4 200(PIA,5%,5) 200(PIA,5%,5) + 10 500(P/A,S%,4)(P/F,5%,5) VPimpuesto 500(P/A,5%,4)(P/F,5%,5)

= $47 $47 356 356 Impuestos totales = 4 200(5) 000 Impuestos totales 200(5) + 10 500(4) 500(4) = $63 $63 000

Costo ir

Se paga paga un un total total de $63 $63 000 000 en impuestos impuestos en en ambos ambos casos. casos. Sin Sin embargo, embargo, la cancelación cancelación más ahorro de impuestos, en en valor cerca de de produce un un ahorro de impuestos, valor presente, presente, de de cerca más rápida rápida para para n = 5 produce $2400 755 - 47 $2400 ($49 ($49 755 47 356). 356).

17.4 17.4

RECOBRO RECOBRO DE DEPRECIACiÓN DEPRECIACiÓN Y GANANCIAS GANANCIAS (PÉRDIDAS) (PÉRDIDAS) DE CAPITAL: para para corporaciones corporaciones

Todas las implicaciones resultado de implicaciones de impuestos impuestos analizadas analizadas en esta sección sección son el resultado la venta venta de un activo periodo de recuperecupeactivo depreciable depreciable antes, durante durante o después después de su periodo

v. lib

C

SECCIÓN 17.4 17.4 SECCIÓN

de depreciación depreciación y ganancias ganancias (pérdidas) (pérdidas) de de capital capital Recobro Recobro de

617 617

ración. Deberán tributarias en un análisis Deberán considerarse considerarse dichas dichas implicaciones implicaciones tributarias análisis econóeconómico después tamaño del después de impuestos impuestos en activos activos de alta inversión. inversión. La clave clave es el tamaño precio relativo al valor valor en libros precio de venta venta (valor (valor de salvamento salvamento o comercial) comercial) relativo libros en el momento plantean momento de la venta venta del activo activo y al costo costo inicial inicial de éste. En esta sección sección se plantean tres conceptos conceptos relevantes. relevantes. La ganancia una cantidad ganancia de capital capital (GC) (GC) es una cantidad en la cual se incurre incurre cuando cuando el precio propiedad depreciable precio de venta venta de un activo activo o propiedad depreciable excede excede su costo costo inicial. inicial. Véase tiempo de vender vender el activo: Véase la figura figura 17.3. Al tiempo Ganancia de capital capital Ganancia

= precio = precio de venta venta -

costo inicial inicial costo

GC=PV-P GC=PV-P

[17.11]

Ya que las ganancias predecir, generalmenganancias de capital capital a futuro son difíciles difíciles de predecir, generalmente no se detallan detallan en un estudio estudio económico económico después después de impuestos. impuestos. Los activos activos incrementan su valor constituyen una excepción, excepción, que con el paso paso del tiempo tiempo incrementan valor constituyen edificios y terrenos. como es el caso de edificios terrenos. Si se incluye, la ganancia ganancia se tasa como un ingreso gravable ordinario ingreso gravable ordinario a una tasa impositiva impositiva efectiva efectiva Te. Te. (En la legislación tributaria, existe una distinción entre entre una ganancia a corto corto plazo legislación tributaria, existe una distinción una ganancia plazo y ganancia a largo plazo, donde el activo activo se conserva conserva por lo menos menos un año.) una ganancia plazo, donde recobro de la depreciación depreciación (RD) (RD) ocurre ocurre cuando cuando el activo activo depreciable depreciable se venEl recobro cantidad mayor actual en libros libros VLtt•• Como Como se muestra de por una cantidad mayor que el valor valor actual muestra en la figura figura 17.3.

=

Recobro depreciación =precio libros Recobro de depreciación precio de venta venta - valor valor en libros

~="-~ ~="-~

Si el precio precio de venta venta (PV) al tiempo (PV) tiempo de la venta venta es:

[n~ [n~

La ganancia ganancia de capital, capital, La recobro depreciación recobro de depreciación capital es: o pérdida pérdida de capital

~--------------~ ~ - - --- - --- - --- - ~ GC GC Costo inicial inicial P -------------------< Costo

El efecto efecto tributario tributario para estudio después para un un estudio después de impuestos de impuestos es:

GC: gravada GC: gravada en Te (después de PC (después PC equivalente) equivalente)

Más Más RD RD

Valoren Valoren libros VL, VLt libros

Cero, $0 Cero,

RD: Te RD: gravada gravada en Te

PC: PC: puede puede únicamente únicamente equivaler a GC GC equivaler

Figura 17.3 17.3 Figura Resumen cálculo y Resumen del cálculo tratamiento tratamiento tributario tributario para para el recobro recobro de depreciación y ganancias depreciación ganancias (pérdidas) de capital. (pérdidas) capital.

618

CAPÍTULO CAPÍTULO 17

Análisis Análisis económico económico después después de impuestos impuestos

El recobro presente en un estudio estudio recobro de depreciación depreciación generalmente generalmente se encuentra encuentra presente después igual a la estimación estimación de después de impuestos. impuestos. En Estados Estados Unidos, Unidos, un monto monto igual valor cuando el activo activo se vende vende valor de salvamento salvamento puede puede anticiparse anticiparse como como RD cuando después correcta debido debido simdespués del periodo periodo de recuperación. recuperación. Esta Esta afirmación afirmación es correcta plemente a que el SMARC SMARC deprecia deprecia cada cada activo activo a cero plemente cero en años n + 1. La cantidad venta del cantidad se trata como como un ingreso ingreso gravable gravable ordinario ordinario en el año de venta activo. Cuando presenta también también una una Cuando el precio precio de venta venta excede excede al costo costo inicial, inicial, se presenta ganancia ganancia más el recobro recobro de ganancia de capital capital y el IG debido debido a la venta venta es la ganancia depreciación, este momento momento el RD es el depreciación, como aparece aparece en la figura figura 17.3. En este monto total de depreciació~. depreciación. monto La pérdida activo depreciable depreciable por por pérdida de capital capital (PC) (PC) ocurre ocurre cuando cuando se vende vende un activo menos de su valor valor actual en libros. menos Pérdida de capital capital = valor valor en libros libros - precio Pérdida precio de venta venta

PC PC =VLt-PV =VLt-PV

[17.13]

Un análisis pérdida de capital, capital, debianálisis económico económico generalmente generalmente no considera considera la pérdida simplemente a que no se puede puede calcular calcular para para una do simplemente una alternativa alternativa específica. específica. Sin embargo, impuestos debería debería tomar tomar en embargo, un estudio estudio de reemplazo reemplazo después después de impuestos cuenta cambiarse a un precio precio cuenta cualquier cualquier pérdida pérdida de capital capital si el defensor defensor debe cambiarse sacrificio. suministra un ahorro sacrificio. Para propósitos propósitos del estudio estudio económico, económico, esto suministra ahorro en impuestos tasa impositiva impositiva efectiva efectiva para para impuestos en el año del reemplazo. reemplazo. Utilice Utilice la tasa calcular estos ahorros ahorros se compensacompensacalcular los ahorros ahorros en impuestos. impuestos. Se supone supone que estos rán dentro de cualquier por medio medio de otros otros activos activos cualquier lugar lugar de la corporación corporación por productores productores de ingresos ingresos que generen generen impuestos. impuestos. La mayoría conservan en uso por por mayoría de activos activos depreciables depreciables de una corporación corporación se conservan consimás de un año. Cuando después del año 1, la consiCuando se vende vende tal activo, o se cambia cambia después deración deración tributaria tributaria en Estados Estados Unidos Unidos recibe recibe el nombre nombre de Transacción Transacción de la sección 1231, denominada Para determinar determinar el IG denominada así por la sección sección de normas normas del IRS. Para asociado, saldan con todas todas las asociado, todas las pérdidas pérdidas de capital capital de la corporación corporación se saldan ganancias directamente impuestos. impuestos. ganancias de capital, capital, debido debido a que las pérdidas pérdidas no reducen reducen directamente Por otra parte, la ganancia ganancia neta de capital ordinario. Además, Además, la capital se tasa como como un IG ordinario. complicación tributario diferente diferente de complicación del análisis análisis pudiera pudiera radicar radicar en el tratamiento tratamiento tributario las ganancias ganancias y pérdidas pérdidas a largo plazo plazo (transacciones (transacciones de la sección sección 1231), en comparación ventas de activos activos paración con las disposiciones disposiciones a corto plazo. plazo. Únicamente Únicamente si las ventas múltiples estudio después después múltiples y/o los intercambios intercambios de los activos activos se consideran consideran en un estudio de impuestos incluir este este tipo de pormenopormenoimpuestos de una alternativa alternativa puede puede ser necesario necesario incluir res. Estos detalles personal financiero. financiero. detalles generalmente generalmente se dejan a los contadores contadores y al personal (Sería 334 y 544). Para Para la mayoría mayoría (Sería interesante interesante consultar consultar las publicaciones publicaciones del IRS 334 de los estudios aplicar la tasa de impuestos impuestos estudios después después de impuestos, impuestos, es suficiente suficiente aplicar efectiva efectiva Te Te al IG de la alternativa, alternativa, en el año en que ocurra ocurra el RD, la GC o la PC, con ahorros en impuestos impuestos generados generados a partir partir de la Pe. pc. ahorros Finalmente, como el tratatrataFinalmente, es importante importante reconocer reconocer que esta descripción, descripción, así como miento individuos. Los miento tributario, tributario, corresponden corresponden a las corporaciones, corporaciones, y no a los individuos. contribuyentes mismos cálculos cálculos al vender vender contribuyentes individuales individuales emplean emplean esencialmente esencialmente los mismos

im

ID,

Ta va pa

arr ve

•

SECCIÓN 17.4 Recobro de depreciación depreciación y ganancias (pérdidas) de capital

inversiones tributarias varían varían significativainversiones o activos activos depreciados, depreciados, aunque aunque las tasas tributarias significativamente cuando mente cuando se aplican aplican a corporaciones, corporaciones, específicamente específicamente a ganancias ganancias de capital. capital. También, tributarias destinadas También, las leyes y las tasas tributarias destinadas a contribuyentes contribuyentes individuales individuales varían con más frecuencia. IRS en la red y consulte publicaciones varían frecuencia. Visite el sitio lRS consulte sus publicaciones para más detalle. para detalle. utilizada para para 10 IG en la ecuación La ecuación ecuación [17.1] Y la expresión expresión utilizada ecuación [17.9] se amplían por amplían ahora ahora para para incluir incluir las estimaciones estimaciones adicionales adicionales de flujo de efectivo efectivo por vender vender un activo. IG = ingreso gastos de operación operación - depreciación depreciación + recobro recobro de ingreso bruto bruto - gastos pérdida de capital depreciación depreciación + ganancia ganancia de capital capital - pérdida capital =m-GO-D+RD+GC-PC =IB-GO-D+RD+GC-PC EJEMPLO EJEMPLO

17.6 17.6

[17.14] [17.14]

.;

Biotech, una compañía compañía médica dedicada a la investigación experimentación, debe adinvestigación y experimentación, quirir un sistema de análisis de la célula ósea para el equipo de bioingenieros bioingenieros e ingenieros mecánicos mecánicos que estudian la densidad ósea en atletas. Una cláusula cláusula específica específica del contrato contrato de 3 años con la NBA suministrará suministrará un ingreso bruto adicional de $100000 $100000 anuales. La tasa de impuestos efectiva es de 35%. A continuación continuación aparecen las estimaciones estimaciones de ambas alternativas: alternativas:

Costo inicial, inicial, $ Gastos de operación, $ anuales Recuperación Recuperación en SMARC, años

Analizador Analizador 1

Analizador Analizador 2

150000 150000 30000 30000 5

225000 225000 10000 10000 5

Responda las siguientes preguntas, preguntas, resolviendo con ambos métodos: a mano y por computadora. concienzudo con los impuestos, desea emplear emplear a) El presidente presidente de Biotech, Biotech, que es muy concienzudo un criterio de minimización en el total de impuestos que se declararán durante los tres años del contrato. contrato. ¿Qué analizador analizador deberá comprarse? comprarse? b) Suponga que ya han transcurrido contrato, y la compañía compañía está a transcurrido los tres años del contrato, punto de vender el analizador. Emplee el mismo criterio tributario tributario para determinar determinar si cualquiera de los dos analizadores presentó alguna ventaja. Suponga Suponga también que el cualquiera precio de venta para el analizador analizador 2 el precio analizador 1 es de $130 000, y para el analizador de venta es de $225 000 en este segundo caso, igual a su costo inicial. Solución a mano mano Solución a) En la tabla 17.5 se detallan los cálculos tributarios. tributarios. Primero, se determina la depreciación SMARC anual; las tasas se indican en la tabla 16.2. Se emplea la ecuación [17.1],, IG = determinar el IG, después de lo cual se aplica una tasa =lB - GO - D para determinar [17.1] tributaria de 35% anual. Se suman los impuestos para el periodo de 3 años, sin considerar el valor del dinero en el tiempo. tiempo.

analizador 1: 1: $36 120 Total de impuestos para el analizador Total de impuestos para el analizador 2: $38 430

619 619

620

CAPÍTULO

b)

17 Análisis económico después de impuestos

El total de impuestos de ambos analizadores es muy cercano, aunque el analizador 1 ahorra $2 310 en impuestos. Cuando el analizador se vende después de los 3 años de servicio, existe un recobro de depreciación RD que se tasa al 35%. Dicho impuesto es adicional al impuesto del tercer año que aparece en la tabla 17.5. Para cada analizador, considere el RD por medio de la ecuación [17.12]; luego determine elIG, usando la ecuación [17.14], IG = lB - GO - D + RD. Calcule de nuevo el total de impuestos para los tres años, y elija el analizador con el total menor. Analizador

1:

RD = 130 000 - 43 200 = $86 800

IG para el año 3

=

100000 - 30 000 - 28800 + 86 800 = $128 000

Impuestos para el año 3 = 128000(0.35) = $44 800 Impuestos totales = 14000 + 7 700 + 44 800 = $66 500

64 800 = $160 200 IG para el año 10000 - 43200 + 160200 Impuestos para el año 3 = 207 000(0.35) = $72 450 Impuestos totales = 15 750 + 6 300 + 72 450 = $94 500

Analizador 2:

= 225 000 3 = 100000 -

RD

Ahora el analizador presenta ($94500 frente a $66 500).

una ventaja considerable

= $207 000

en los impuestos

totales

Solución por computadora a) La solución con el programa Excel que aparece en la figura 17.4 se concentra en las filas 5 a 9 (analizador 1) y en las filas 15 a 19 (analizador 2). Las etiquetas de celda

~

Sol·E

TABLA

17.5 Comparación Ingreso bruto

Año

lB

del total de impuestos de las dos alternativas, ejemplo l7.6a

Gastos de operación GO

Costo inicial

P

Depreciación SMARC

D Analizador

O 1 2 3

$30000 . 30000 30000

$30000 48000 28800

Analizador

O 1 2 3

$225000 $100000 100000 100000

$10 000 10000 10000

$45000 72000 43200

Ingreso gravable IG

Impuestos al 0.35 de ingreso gravable

$150000 120000 72 000 43200

$40000 22000 41200

$14000 7700 14420 --$36120

$225000 180000 108000 64 800

$45000 18000 46800

$15750 6300 16380 --$38430

1

$150000 $100000 100000 100000

Valor en libros VL

b)

2

C,

E!

al v¡

lü

SECCIÓN 17.4 17.4 SECCIÓN

Recobro de depreciación depreciación y ganancias ganancias (pérdidas) (pérdidas) de capital capital Recobro

621 621

J

4 5

Año O

6 7 8

1 2 3

1~

Año

I i $

1

40,000 22,000 41,200

$ $

lB

GO!

15 O 16 1 $ 100,000, 17 2 $100,000 I 18 3 ¡ $ 100,000 I 19 Totales 20 Tres totales 100,OOO! 21 revisados

I

s

P

S

O

; $(225,000) $(10,000)1 $(10,000)1 $(10,000)1 I $(10,000)1 225,000

s

s I

VL i $225,000 I

IG

24

$14,000 7,700 $14,420

!

I$

Impuestos

; __ . _

¡

45,OOO! $180,000 I $ 45,000 1$15'.;,¡75~0-+__ 72,000 I $108,OOOT$ 18,000, $ 6,300 43,200 I $ 64,800 I $ 46,800! $16,380 ! $38,430 43,200 I $ 64,800 ¡ $207,000 $72,450 94,500

-!__ -__ t-::-_-=--=--=-·-=-t-:-_-j¡

s

-:12 23

=SUM(H16:H17)+ H20

25 26

27 l••••

1 Sheetl

r....

R,;::8;;¡:a;;;,dY

Sheetl

Sheet3

Sheet4

Sheet5

"""'

Sheet6

""

Sheet7

Sheet8 -.

- ""-_ --------

.._ __.__ ._- __._-------------~'----

Figura 17.4 17.4 Figura depreciación en el total tributario, ejemplo 17.6. Análisis del impacto del recobro de depreciación

b)

K

muestran que que se aplican aplican las mismas mismas ecuaciones ecuaciones planteadas planteadas anteriormente. anteriormente. Los Los imimmuestran puestos totales se ubican en las las celdas celdas H9 H9 y H19 H19 para los analizadores analizadores 1 y 2, respecrespecpara los puestos totales ubican en tivamente. Como Como se esperaba, esperaba, el analizador analizador 1 presenta una diferencia diferencia en el total total de tivamente. presenta una impuestos. impuestos. Cuando el analizador analizador adquirido adquirido se vendió vendió en en el año año 3 (el analizador analizador 1 en en $130000 $130000 Cuando como aparece aparece en en la celda celda DIO, DIO, y y el analizador analizador 2 en $225 $225 000 000 de acuerdo acuerdo a la celda celda como D20), se reelaboran reelaboran los cálculos cálculos del del recobro recobro de depreciación, depreciación, el IG IG y los impuestos. impuestos. D20), En las filas filas 10 y 11, Yen en las las 20 y 21, 21, se presentan presentan los incrementos incrementos totales totales del del IG, IG, así así En como los impuestos. impuestos. Ahora Ahora el analizador analizador 1 presenta ventaja sustancial sustancial de $28 $28 000 000 como presenta una una ventaja en el total total de impuestos. impuestos. en

Comentario Comentario Es importante importante notar notar que en estos estos análisis análisis no no se considera considera el valor valor del del dinero dinero en el tiempo, tiempo, Es que en contrario de las evaluaciones evaluaciones de alternativas alternativas anteriores, anteriores, donde donde sí se consideró consideró dicha dicha al contrario variación. En la próxima sección la decisión decisión después después de impuestos impuestos recaerá sobre los anáanávariación. próxima sección recaerá sobre lisis de TR, tomando tomando como como base valores de FEDI. FEDI. lisis de VP, VA YTR, base los valores

CAPÍTULO 17 Análisis económico después de impuestos

622

17.5

EVALUACiÓN

DESPUÉS DE IMPUESTOS DE VP, VA YTR

Se establece la TMAR después de impuestos requerida empleando la tasa de interés de mercado, la tasa de impuestos efectiva de la corporación y su costo de capital promedio. La estimación del FEDI se utiliza para calcular el VP o el VA con la TMAR después de impuestos. Cuando se presentan valores del FEDI positivos y negativos, el resultado de VP o VA < O indica que no se logra la TMAR. Para un proyecto único o de elección de alternativas mutuamente excluyentes, aplique la misma lógica que se empleó en los capítulos 5 y 6. Las directrices son las siguientes:

ink

val opc

tad

Para un proyecto. VP o VA ~ O,el proyecto es financieramente viable debido a que se alcanza o se rebasa la TMAR después de impuestos. Dos o más alternativas. Seleccione la alternativa con el mejor (numéricamente mayor) valor de VP o VA. Si sólo se calculan costos en los FEDI, realice la estimación de los ahorros después de impuestos generados por los gastos de operación y la depreciación. Establezca un signo positivo a cada ahorro y aplique la directriz de elección citada en el párrafo anterior. Es importante recordar que la suposición de igual servicio requiere que el análisis de VP se lleve a cabo usando el mínimo común múltiplo (MCM) de las vidas de la alternativa. Este requisito deberá tomarse en cuenta para cada análisis, ya sea antes o después de impuestos. Puesto que las estimaciones del FEDI generalmente varían entre año y año en una evaluación después de impuestos, la hoja de cálculo acelera el análisis en comparación con la solución a mano. Para el análisis VA, emplee la función PAGO y la función VPN incluida para un ciclo de vida de la alternativa. El formato general es el siguiente, con la función VPN en cursivas:

'\ ~ " ••• '" •••

", '1: I

Hr

~Sol-E

PAGO(TMAR,n, VPN(TMAR,año _1_FEDI:año _n_FEDI) + año_O_FEDI) Para el análisis de VP, primero se debe obtener los resultados de la función PAGO, y enseguida realizar la función VP con el MCM de las alternativas. (Existe una función MCM en Excel). La celda que contenga el resultado de la función PAGO se introduce como el valor A. El formato general es el siguiente: VP(TMAR,MCM,_años,PAGO Jesultado Jelda)

So En

em

Al

P/.

Se

Le

fu ca or

Vi

pa

Paul es el encargado de diseñar las paredes interiores de un edificio industrial. En algunos lugares, es importante reducir la transmisión de ruido filtrado a través de la pared. Las dos opciones de construcción son: estuco sobre listón de metal (E) y ladrillo (L); cada una de estas alternativas presenta las mismas características de disminución de ruido, de aproximadamente 33 decibeles. Estas opciones reducirán los costos de atenuación de ruido en las áreas de oficinas adyacentes. Paul realiza las estimaciones para los costos

es

de

la

de

m

SECCIÓN 17.5 Evaluación después de impuestos de VP, VA y TR

623

iniciales y los ahorros después de impuestos anuales para ambos diseños. Emplee los valores del FEDI y a una TMAR después de impuestos de 7% anual para determinar qué opción es mejor en términos económicos. Resuelva ambos problemas a mano y por computadora. Plan E Año

FEOI

Año

FEOI

O

$-8800 5400 2040 2792

O

$-50000 14200 13 300 12400 11500 10 600

1-6 7-10 10

Solución

Plan L

1 2 3 4 5

a mano

En este ejemplo, se muestran los análisis de VP y VA. Desarrolle las relaciones de VA al emplear los valores del FEDI sobre la vida de cada plan. Elija el valor mayor. VAE = [-28 800 + 5 400(PlA,7%,6)

+ 2 040(PIA,7%,4)(PlF,7%,6)

+ 2 792(PIF,7%,1O)](AlP,7%,10) = $422

VAL= [-50000 + 14 200(PIF,7%,1) =

+ ... + 10 600(PlF,7%,5)](AlP,7%,5)

$327

Ambas alternativas son financieramente viables; sin embargo, elija el plan E, ya que posee el VAE mayor. Para el análisis de VP, el MCM es de 10 años. Utilice los valores anuales y el factor PIA para el MCM de 10 años y elija la alternativa de estuco en listón de metal, plan E. VPE = VAE(PIA,7%,1O)

= 422(7.0236) = $2 964

VPL = VAL(PIA,7%,10)= 327(7.0236)

=

$2 297

Solución por computadora

Los valores presente y anual se encuentran en las filas 17 y 18 de la figura 17.5. Las funciones se establecen de manera diferente con respecto de los ejemplos anteriores, a causa de la desigualdad de las vidas. Examine las etiquetas de celda que aparecen en el orden de desarrollo de cada alternativa. Para el plan E, primero se establece la función VPN en la celda B18 para determinar el VP, y enseguida la función PAGO en la celda B17 para calcular el VA.Advierta el signo menos en PAGO para corroborar que el resultado de esta función dio el signo correcto al valor presente, lo cual no será necesario en el caso de la función VPN, debido a que ésta toma el signo del flujo de efectivo directamente de la celda. En el plan L se llevan a cabo las funciones en el orden contrario. La función PAGO de la celda C17 incluye la función VPN sobre el año de vida 5. De nuevo, advierta el signo menos. Finalmente, la función VAde la celda C18 presenta el VP durante 10 años.

~Sol-E

624

CAPÍTULO 17 CAPÍTULO

Análisis económico después después de de impuestos impuestos Análisis económico

IllllraEi ~f¡JEi

X Mlclosoft 17.7 Mlclosolt Excel· E"cel- Example E"ample 17_ 7

Valo

Valo E

F

G

H

.---f----f----l------+----+----+----l.~

----_·----·1·-----·.·-----·---i--·---

4 -..-.---.- ---- -.----.-.----. Plan E Plan L -.-.--.-.--.---..-t----..-.--.----.--,------.--..---.+-------·--t-·-·-----·--·--·+---------·-+---····-·-·-·--··-···--+"1 5 Año FEOI FEOI O (28,800) $ (28 ,800) $ (50,000 ) 5,400 . . ~J4 , 4ºº ¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,.... . . . . . . . . . ... . . l ············································ · ; · ······....................... l ································ ¡·············································I·····:I . . . . . . .1.:.. ... . . .... 1. $~~,4qº 2 $ 5,400 $ 13,300 ~= ----::::.·-··---+--$-=-"I400- -$1-2~46o -'--------··-+------·--·-·+-··- ----··--)-·----·----1-----····--·----,··-·---·----·---1-;1 3 $ 5,400 $ ~~-_'::""--¡-::$-~400 ~. $ 5 400 ..... $11,5065 ·$···5,406 $ 10,600 $ 5,400 $ .6 $ 5,400 =VPN($C$2,B7:BI6)+B6 _____ ~I 1'-1:-7 $ 2,"040------i 3+--- 7 14 8 -. - $- 2:0406 7 8

. ___!___ .__.___J ____.____ _

15 _ _~ ____ t . _l~º±9 16 10 $ 4,832 17 am;;.~~o;e"vA $422 18 ~:~lY.P) ~~ 96~_ 5heetlti

Sheet2

La

SI

relat form

Si la estu:

tos s

Por I gene sis e el ef tos,

Sheet3 Sheet3

Ready

Figura 17.5 Evaluación de VP después de de impuestos, impuestos, ejemplo ejemplo 17.7. 17.7. Evaluación de VP y VA después

'tI

Comentario Comentario Es importante importante advertir advertir el signo signo menos funciones PAGO Es menos en las funciones PAGO y VA al utilizadas utilizarlas para para obtener los valores correspondientes de VP omite el signo signo respectivamente. Si se omite obtener valores correspondientes VP y VA, respectivamente. menos, anual y presente serán opuestos opuestos a la dirección dirección del del flujo flujo de efectivo efectivo menos, los valores valores anual presente serán correcto. Entonces, Entonces, los los planes en términos financieros, si no rinde viables en términos financieros, rinde al correcto. planes parecerían parecerían no viables menos TMAR después después de impuestos, impuestos, lo cual cual habría sucedido en el caso caso de este ejemmenos la TMAR habría sucedido este ejemplo. Sin embargo, embargo, se sabe sabe que que ambas ambas alternativas alternativas son son económicamente económicamente viables, plo. Sin viables, al tomar tomar como base solución a mano. (Para más información sobre sobre la convención convención del del como base la previa previa solución mano. (Para más información signo en las funciones funciones PAGO, PAGO, VA Y VPN, sitio de de ayuda ayuda en en línea línea de Excel.) Excel.) VPN, visite visite el sitio signo

Si h resu dele

•

li

u¡

d

n

t<

s a

emplear el método TR, TR, aplique aplique exactamente Al emplear exactamente el mismo mismo procedimiento procedimiento que se muestra capítulo 7 (de proyecto simple) y en el capítulo capítulo 8 (de dos o más muestra en el capítulo proyecto simple) alternativas) para deberá establecer establecer la relación alternativas) para las series del FEDI. FEDL Se deberá relación de VP o VA para estimación de la tasa /)'i* para para la estimación tasa de rendimiento rendimiento i* de un proyecto, proyecto, o !1i* para el FEDI FEDI incremental entre entre dos alternativas. alternativas. Dentro Dentro de la serie FEDI existir varias incremental FEDI pueden pueden existir varias raíces, como en cualquier cualquier serie de flujo de efectivo_ efectivo. Para simple, estaraíces, como Para un proyecto proyecto simple, blezca el VP o el VA igual resuelva para para i*_ blezca igual a cero y resuelva i".

----------------------------------------------III!""":~ SECCIÓN SECCIÓN 17.5

625

Evaluación Evaluación después después de impuestos impuestos de VP, VA y TR TR

t=n t=n

0= 0=

Valor presente: presente:

I. FEDI¡{P/F,i*,t) FEDI¡{P/F,i*,t)

[17.15]

t=) t=J

t=n t=n

0= 0=

Valor anual:

(A/P,i *,n) I. FEDIlP/F,i FEDIt(P/F,i *,t) (A/P,i

[17.16]

t= t=J)

La solución solución presentada presentada en la hoja hoja de cálculo cálculo para para i* sería útil al realizar realizar las series relativamente complejas del FEDI. Se lleva lleva a cabo al emplear emplear la función función TIR con el relativamente complejas formato formato general general TIR(año_O _FEDI:año_n_FEDI) TIR(año_O_FEDI:año_n_FEDI)

m m Sol-E Sol-E

Si la TR después después de impuestos impuestos es importante importante para para el análisis, análisis, pero los detalles detalles de un estudio estudio después después de impuestos impuestos no son de interés, interés, la TR (OTMAR) (OTMAR) antes de impuesimpuestos se ajusta ajusta con la tasa impositiva impositiva efectiva efectiva Te con la relación relación aproximante aproximante

. t = TR después de impuestos impuestos an t es d e lmpues _ os =- - - - =~- - - - - -----.:o --=-TR aD

[17.17]

1-T 1-Tee

ejemplo, suponga suponga que una empresa empresa tiene una tasa impositiva impositiva efectiva efectiva de 40% y Por ejemplo, generalmente generalmente emplea emplea una TMAR TMAR después después de impuestos impuestos de 12% anual en sus análisis económicos económicos que consideren consideren los impuestos impuestos de manera manera explícita. explícita. Para Para aproximar aproximar efecto de los impuestos impuestos sin especificar especificar detalles detalles en el estudio estudio después después de impuesimpuesel efecto TMAR antes de impuestos impuestos se calcula calcula de la siguiente siguiente forma: tos, la TMAR

TMAR TMAR antes de impuestos impuestos = =

0.12 = = 20% anual 1 - 0.40

Si la decisión decisión depende depende de la viabilidad viabilidad económica económica de un proyecto, proyecto, y el VP o VA resultante resultante es aproximadamente aproximadamente cero, deberán deberán tomarse tomarse en consideración consideración los detalles detalles del análisis análisis después después de impuestos. impuestos.

Una Una compañía compañía manufacturera manufacturera de fibra fibra óptica óptica que que opera opera en en Hong Hong Kong Kong gastó gastó $50 $50 000 000 para para una una maquinaria maquinaria de 5 años años de vida, vida, que que tiene tiene un FEAI FEAI anual anual proyectado proyectado de $20 $20 000 000 y una una depreciación depreciación anual anual de $10 $10 000. 000. La La compañía compañía tiene tiene una una Te de 40%. 40%. a) Determine Determine la tasa tasa de rendimiento después impuestos. b) b) Aproxime Aproxime la tasa rendimiento antes antes de impuesimpuesrendimiento después de de impuestos. tasa de rendimiento tos.

Solución Solución FEDI en en el año año O es $-50 $-50 000. 000. Para Para los los años años 1 a 5, combine combine las las ecuaciones ecuaciones [17.8] [17.8] a) El FEDI para calcular calcular el el FEDI. FEDI. y [17 .9] para FEDI FEDI

= = FEAI FEAI -

impuestos impuestos = = FEAI FEAI - (IB (lB - 00 00 - D)(T D)(Te)e ) = 20000 20000 - (20 (20 000 000 - 10000)(0.40) 10000)(0.40) = = $16000 $16000

Como Como el FEDI FEDI para para los los años años 1 a 5 tiene tiene el mismo mismo valor, valor, emplee emplee el factor factor PIA de la ecuación [17.15]. [17.15]. ecuación

626 626

CAPÍTULO 17 17 Análisis Análisis económico económico después después de de impuestos impuestos CAPÍTULO

0= 000 + 0= -50 -50000 + 16 16 000(PlA,i*,5) 000(P/A,i*,5) (PIA,i*,5) == 3.125 3.125 (P/A,i*,5)

b) b)

La solución solución ofrece ofrece una i* i* == 18.03% 18.03% como como la tasa de rendimiento rendimiento después después de impuesimpuestos. Utilice .17] para Utilice la ecuación ecuación [17 [17.17] para realizar realizar la estimación estimación del del rendimiento rendimiento antes antes de de impuestos. puestos.

Al

. 0.1803 ==.30 .O O5% ·Impuestos antes de Impuestos TR antes == 0.1803 0.40 11-- 0.40 real antes antes de impuestos impuestos al emplear emplear el FEA! FEA! = $20000 $20 000 para para 5 años años es de 28.65% 28.65% La i* real partir de la ecuación: ecuación: a partir

0= 0= -50 -50 000 000 + 20 000(P/A,i*,5) 000(P/A,i*,5)

E El efecto efecto tributario tributario se sobreestimará sobreestimará ligeramente ligeramente si se utiliza utiliza una una TMAR TMAR de 30.05% 30.05% análisis antes antes de impuestos. impuestos. en un análisis

Una evaluación evaluación de tasa de rendimiento rendimiento que se elabora elabora a mano de dos o más alternativas deberá emplear emplear una relación relación con base en el VP o el VA, para para determinar determinar alternati vas deberá rendimiento incremental FEDI incrementales incrementales entre dos alterel rendimiento incremental L':,.i* /::..i* de las series de FEDI alternativas. La solución solución por medio medio de la computadora computadora se logra logra al usar los valores nativas. valores incrementales del FEDI FEDI y la función TIR. Para Para realizar realizar la elección elección de alternativas alternativas incrementales mutuamente excluyente s con el método método TR, se aplican mutuamente excluyentes aplican los mismos mismos procedimientos procedimientos ecuaciones que aparecen aparecen en el capítulo capítulo 8. Para continuar con esta esta sección debey ecuaciones Para continuar sección se deberán revisar revisar las siguientes siguientes secciones secciones para para su completa completa comprensión: comprensión: Sección Sección 8.4 Sección Sección 8.5 Sección Sección 8.6 11,

Evaluación de TR usando usando el VP: incremental incremental y de punto punto de Evaluación equilibrio equilibrio Evaluación Evaluación TR TR empleando empleando el VA Análisis TR incremental incremental de alternativas alternativas múltiples múltiples y mutuamutuaAnálisis mente mente excluyente excluyentess

partir de este este repaso, repaso, se deberán deberán recordar recordar los siguientes siguientes factores factores importantes: importantes: A partir

Directriz de elección: elección: La La regla regla fundamental fundamental de la evaluación evaluación TR TR incremental incremental Directriz con una una TMAR TMAR establecida establecida es como como aparece aparece a continuación: continuación: con Seleccione Seleccione la la alternativa alternativa con con la la inversión inversión inicial inicial mayor, mayor, si la la inversión inversión extra extra se justifica justifica con con respecto respecto de de otra otra alternativa alternativa justificada. justificada.

TR incremental: incremental: El El análisis análisis incremental incremental deberá deberá llevarse llevarse a cabo. cabo. Los Los valores valores i*i* TR globales no pueden pueden depender depender de de la elección elección correcta correcta de de la la alternativa, alternativa, a difedifeglobales rencia del del método método de de VP VP oo VA aa partir partir de de la la TMAR, TMAR, que que determinará determinará la la correccorrecrencia ta ta alternativa. alternativa. Suposición de de igual igual servicio: servicio: El El análisis análisis incremental incremental TR TR requiere requiere que que se se evalúen evalúen Suposición alternativas durante durante iguales iguales periodos. periodos. El El MCM MCM de de las las dos dos vidas vidas de de las las alternaalternaalternativas tivas deberá deberá emplearse emplearse para para determinar determinar el el VP VP oo VA VA del del flujo flujo de de efectivo efectivo tivas

aplics bién E caso ( tivo s impu: las en (

medir cada; comp quier justifi

E

natív: por ct to de

Jof¡ un

un¡ má

pla sot res

F F

SECCIÓN SECCIÓN 17.5 17.5 Evaluación Evaluación después después de de impuestos impuestos de VP, VA y TR TR

627

incremental. única excepción, menciona en la sección incremental. (La única excepción, que se menciona sección 8.5, ocurre ocurre cuando realiza el análisis flujos de efectivo cuando se realiza análisis VA sobre sobrejlujos efectivo reales yy no sobre los incrementos; incrementos; por lo tanto, el análisis análisis de un ciclo de vida es aceptable aceptable en las respectivas respectivas vidas de las alternativas.) alternativas.) Alternativas de ingresos Alternativas ingresos y alternativas alternativas de servicio: servicio: Las alternativas alternativas de ingreingresos (flujos positivo y negativo) negativo) pueden pueden tratarse (flujos de efectivo efectivo positivo tratarse de forma forma diferente diferente a las alternativas alternativas de servicio servicio (estimaciones (estimaciones de flujo de efectivo efectivo sólo de costos). En el caso de las alternativas para llevar alternativas de ingresos, ingresos, la i* global global sirve sirve para llevar a cabo una selección pueden susselección inicial. inicial. Las alternativas alternativas donde donde i* < TMAR, TMAR, pueden traerse Una i* para para alternativas traerse de otras evaluaciones. evaluaciones. Una alternativas sólo de costos costos (de servicios) pueden determinarse, razón por por la que se requiere requiere un análisis vicios) no pueden determinarse, razón análisis incremental que incluya incluya todas las alternativas. incremental alternativas. principios y los mismos establecidos en el capítulo capítulo 8 se Estos principios mismos procedimientos procedimientos establecidos aplican a la serie FEDI. aplican FEDI. La tabla tabla de resumen resumen en la parte parte posterior posterior del libro libro (que tamtabla 10.2) detalla detalla los requisitos evaluación. En el bién es la tabla requisitos de todas las técnicas técnicas de evaluación. método TR, en la columna columna "Serie "Serie para evaluar" las palabrasjlujos caso del método para evaluar" palabras flujos de efecconvierten en valores valores FEDI. Además, Además, debe aplicarse aplicarse la TMAR TMAR después después de tivo se convierten impuestos como la directriz directriz de decisión decisión (columna (columna extrema derecha). Ahora, Ahora, todas impuestos extrema derecha). entradas para método TR son correctas correctas para análisis después después de impuestos. impuestos. las entradas para el método para un análisis genera la serie FEDI, FEDI, la TR del punto equilibrio se obtiene obtiene Una vez que se genera punto de equilibrio mediante una gráfica gráfica de VP en función función de i *. La solución solución de la ecuación ecuación de VP para mediante para alternativa con el MeM, MeM, a diferentes diferentes tasas de interés interés se calcula calcula a mano o por cada alternativa computadora, utilizando función VPN cálculo. En el caso de cualcualcomputadora, utilizando la función VPN de la hoja hoja de cálculo. TMAR después después de impuestos impuestos superior superior a la TR del punto equilibrio, no se quier TMAR punto de equilibrio, justifica inversión extra. justifica la inversión ejemplo 17.9 ilustra ilustra una evaluación después de impuestos impuestos de dos alterEl ejemplo evaluación TR después resueltas a mano. La siguiente siguiente sección sección incluye incluye más ejemplos ejemplos con solución solución nativas resueltas por computadora, computadora, donde donde se aplican aplican un análisis análisis incremental incremental TR y la gráfica gráfica del punequilibrio de VP en función función de i*. to de equilibrio EJEMPLO EJEMPLO

..:~:

17.9

Johnson Controls Controls debe debe decidir decidir entre entre dos dos alternativas alternativas en su planta sistema 1, Johnson planta del del noreste: noreste: el sistema sistema único automática con con circuitos circuitos integrados, integrados, requerirá un sistema único de montaje montaje por por máquina máquina automática requerirá una inversión actual actual de de $100 $100000; sistema 2, 2, una una combinación combinación de dos dos máquinas autouna inversión 000; el sistema máquinas automáticas, requiere $130000. La La gerencia gerencia pretende llevar a cabo cabo uno máticas, requiere un un total total de $130000. pretende llevar uno de los planes. Esta Esta empresa empresa manufacturera manufacturera espera espera un después de impuestos impuestos de 20% 20% planes. un rendimiento rendimiento después sobre las inversiones inversiones en tecnología. Elija uno de los los sistemas sistemas si la siguiente siguiente serie serie de de valosobre tecnología. Elija uno de valores FEDI FEDI de de costos costos se calculó calculó para años. res para los próximos próximos 4 años. Año Año

FEDI del del sistema sistema 1 FEDI FEDI del del sistema sistema 2 FEDI

o o

11

2

3 3

4

-100000 -100000 -130000 -130000

-35000 -35000 -20000 -20000

-30000 -30000 -20000 -20000

-20000 -20000 -10000 -10 000

-15000 -15000 -5000 -5000

VP función de de i* VP en función

628

CAPÍTULO CAPÍTULO 17

SECCI(

Análisis Análisis económico económico después después de impuestos impuestos

Solución Solución sistema 2 es la alternativa alternativa con con la inversión inversión adicional adicional que que debe debe justificarse. Como las las El sistema justificarse. Como vidas son son iguales, iguales, se elige elige el análisis análisis VP VP para para calcular calcular !::..i* t:..i*para para la serie incremental FEDI FEDI vidas serie incremental 000. de este este apartado. apartado. Todos Todos los los flujos flujos de efectivo efectivo se dividieron dividieron entre entre $1 $1000.

oo

Año Año

FEDI FEDI incremental, incremental, $1 000

-30 -30

+15 +15

2

3

4

+10 +10

+10 +10

+10 +10

Se formula formula una una ecuación ecuación para para VP VP con con el objetivo objetivo de calcular calcular el rendimiento rendimiento incremental incremental después después de impuestos. impuestos.

gara C14 incn justi caso

la se pUnl

ante este

-30 + 15(P/F,!::..i*,I) 15(P/F,t:..i*,1) + IO(PlA,!::..i* 1O(PlA,t:..i*,3)(P/F,t:..i*,1) =O -30 ,3)(P/F,!::..i*,I) =

COI

La indica un un rendimiento La solución solución indica rendimiento incremental incremental después después de impuestos impuestos de 20.10%, 20.10%, que que apenas supera supera el 20% 20% de la TMAR. TMAR. La La inversión inversión extra extra en el sistema sistema 2 se encuentra encuentra relatirelatiapenas vamente justificada. vamente justificada.

acm

Obs tal

i

estii mie

m m Sol·E set-s

17.6 17.6

APLICACIONES EN HOJA HOJA DE CÁLCULO: CÁLCULO: ANÁLISIS ANÁLISIS TR APLICACIONES INCREMENTAL INCREMENTAL DESPUÉS DE IMPUESTOS IMPUESTOS

sección incluimos incluimos dos ejemplos ejemplos de hojas de cálculo cálculo con análisis análisis TR desEn esta sección pués de impuestos. impuestos. Ambos Ambos ejemplos ejemplos se basan basan en soluciones soluciones ya vistas en este capítucapítulo. En el primer primer ejemplo ejemplo se determina determina la tasa de rendimiento rendimiento incremental incremental ¡}'i* f1i* y se destaca gráfica de VP en función destaca el uso de la gráfica función de i.i. El segundo segundo ejemplo ejemplo ilustra ilustra el análisis análisis TR incremental incremental cuando cuando se requiere requiere calcular calcular el FEDI FEDI utilizando utilizando una depredepreciación del SMARC. SMARC. ciación El procedimiento procedimiento bosquejado bosquejado en la sección sección 8.6 para llevar llevar a cabo un análisis análisis TR incremental incremental de dos o más alternativas alternativas se utiliza utiliza en cada cada uno de los siguientes siguientes ejemplos. procedimiento antes de ejemplos. Se recomienda recomienda el repaso repaso y comprensión comprensión de este procedimiento continuar. continuar.

'" 11, ", IH

'I~ (

IH

EJEMPLO EJEMPLO

17.10

'Y'"!iJ En el ejemplo ejemplo 17.7, 17.7, Paul Paul calculó calculó el FEDI FEDI para para materiales materiales de paredes paredes interiores interiores con con el el En propósito propósito de reducir reducir la filtración filtración de ruidos; ruidos; el plan plan E consiste consiste en construir construir con con estuco estuco sobre sobre metal metal laminado, laminado, y el plan plan L implica implica constrnir construir con con ladrillo. ladrillo. La La figura figura 17.5 17.5 muestra muestra tanto un análisis análisis VP VP durante durante 10 años años como como un análisis análisis VA durante durante las vidas respectivas. Se vidas respectivas. tanto eligió la alternativa alternativa E. Después Después de repasar repasar esta esta primera primera solución, solución, lleve lleve a cabo cabo una una evaluaevaluaeligió ción TR TR a la TMAR TMAR después después de impuestos impuestos del del 7% 7% anual. anual. ción

Solución por por computadora computadora Solución MCM es de 10 años años para para el análisis análisis TR incremental. El plan plan L requiere requiere una una inversión inversión El MCM TR incremental. adicional que que debe debe justificarse. Aplique el procedimiento procedimiento de la sección sección 8.6 8.6 al análisis análisis TR TR adicional justificarse. Aplique incremental. La La figura figura 17.6 17.6 muestra muestra el FEDI FEDI calculado calculado para para cada cada alternativa alternativa y la serie serie del incremental. FEDI incremental. incremental. Como Como se trata trata de alternativas alternativas de ingresos, ingresos, primero primero se calcula calcula í* i* para para FEDI

1

----------------------------------------------------~~ SECCIÓN 17.6 Aplicaciones impuestos Aplicaciones en hoja de cálculo: análisis TR incremental incremental después de impuestos

garantizar el hecho de que ambas alcancen, por lo menos, la TMAR de 7%. Las celdas C14 y D14 indican que así sucede. La función TIR en la celda E14 se aplica al FEDI incremental e indica que tli* = 6.35%. Como este valor es inferior a la TMAR, no se justifica la inversión adicional en muros de ladrillo. Se elige el plan E, el mismo que en el justifica VA. caso de los métodos VP y VA. En las filas 17 17 a 21 (figura 17.6), se emplea la función VPN para determinar determinar el VP de la serie FEDI de las alternativas para diferentes valores de i.i. La gráfica indica que la i* del punto de equilibrio ocurre en 6.35%, es decir, el mismo resultado que con la función TIR anterior. Siempre que la TMAR después de impuestos esté por encima de 6.35%, como en justifica la inversión adicional del plan L. este caso donde la TMAR = 7%, no se justifica Comentario Comentario Observe implica tres cambios de signo. La serie Observe que la serie del FEDI incremental incremental implica acumulativa también tiene tres cambios de signo (criterio de Norstrom). En consecuencia, consecuencia, tal vez haya múltiples valores de tli*. mediante la opción Si". La aplicación de la función TIR mediante estimar estimar no permite encontrar otras raíces reales en el intervalo normal de la tasa de rendimiento.

Raíces múltiples

$4,000 $3,000 ~ $2,000 Cl..

>

$1,000

$O+---r---r-~~~~~ _$1,0004

5%

-$2,000

Tasa de rendimiento

Figura Figura 17.6 (ejemplo 17.10). Evaluación Evaluación después de impuestos de dos alternativas con una gráfica de VP en función de i (ejemplo

629

17 Análisis económico después de impuestos CAPÍTULO 17

630

EJEMPLO EJEMPLO

17.11

'. analizadores de En el ejemplo 17.6 se inició un análisis después de impuestos de dos analizadores células óseas, como resultado de un nuevo contrato de 3 años con la NBA. El criterio para analizador 1 se basó en el total de impuestos para los tres años. La solución elegir el analizador completa en hoja de cálculo se muestra en la figura 17.4. completa Continúe con el análisis en hoja de cálculo llevando a cabo una evaluación TR desContinúe pués de impuestos, suponiendo que los analizadores se venden después de 3 años a las $130000 para el analizador analizador 1 y $225 $225000 000 para el sumas calculadas en el ejemplo 17.6: $130000 analizador analizador 2. La TMAR después de impuestos es de 10% anual. Solución por por computadora computadora Solución actualizada de la hoja de cálculo de la figura 17.4 La figura 17.7 representa representa una copia actualizada (columna I) 1) se donde se incluye la venta del analizador en el año 3. La serie del FEDI (columna determina utilizando la ecuación: FEDI = FEAI - impuestos; el ingreso gravable se calcu[17.14]. analizador 2 se vende en 7.14]. Por ejemplo, el año 3, cuando el analizador la mediante la ecuación [1 = $225 000, el cálculo del FEDI es: S=

FEDI3 = = FEAI - (IG)(T (lG)(Te) FEDIJ e)

= lB =

RD)(Te) GO - P + S - (lB - GO - D + RD)(T e)

depreciación RD es la suma por encima del valor en libros recibido del El recobro de la depreciación incluyendo el valor año 3 en el momento de la venta. De acuerdo con la ecuación [17.12] e incluyendo en libros en la celda F18, RD = precio de venta - VLJ3 = 225 000 - 64 800 = $160 200 Ahora, se determina el FEDI el año 3 para el analizador analizador 2. FEDI3 = = 100 100000 O + 225 000 FEDIJ 000 - 10 000 + O (100 000 - 10 000 - 43200 43200 + 160200)(0.35) 160200)(0.35) - (lOO 315000 - 207 000(0.35) = $242 550 = 315000 18 de la figura 17.7 siguen el mismo orden. El FEDI Las etiquetas de celda de la fila 18 incremental se calcula en la columna 1. J. incremental comparar las alternativas bosquejadas Se aplica el procedimiento procedimiento para comparar bosquejadas en la sección 19 8.6. Éstas son las alternativas de ingresos, de manera que los valores globales i* (celdas 19 119) indican que las dos series del FEDI son aceptables. El valor tli* 6.i* = 23.6% (celda e 119) elige el analizador analizador 2. Esta decisión J19) también supera la TMAR = 10%; por lo tanto se elige alternativa que requiere la mayor inverse rige por la directriz del método TR: se elige la alternativa incremental. sión justificada justificada desde una perspectiva perspectiva incremental. Comentario Comentario En la sección 8.4, la figura 8.5b 8.5b demostró la falacia de elegir una alternativa alternativa basada excluincremental. En este ejemplo se demuestra demuestra el sivamente en la TR. Debe utilizarse utilizarse la TR incremental. mismo hecho. Si se elige la alternativa alternativa de la mayor i*, el analizador analizador 1 se elige incorrectaincorrectamente. Cuando tli* 6.i* supera la TMAR, la inversión inversión mayor se elige correctamente, correctamente, el analianalizador (Il (110 Oe zador 2 en este caso. Para verificar, el VP al 10% se calcula para cada analizador 120). De nuevo, el analizador analizador 2 gana sobre la base de su VP mayor de $93 905. 120).

17.~ CUal

reerr plaz: los V difer posil

O qu

cuan sacri los 8 ante: de le aplic dele

SECCIÓN SECCIÓN 17.7

Análisis reemplazo después impuestos después de impuestos Análisis de reemplazo

$ (225,000)

t~~}ºº:ºº~O jlf~:C@íj_____J

$

100,000

$ (10,000)

$

100,000

$ (10,000)

~-l----:~----+.+.

$ 225,000

·ifl~~~ -=_-~==:=~----------------

$

i $ 225 000 45,000 i $ 180,000

__T~,:@:iG)_~_º~,-0~ ...º.9~ __ f-7---;'::; $

43,200

I

$ 64 800

-----1---

=B18+C18-E18+(D18-F18)

5heet!

Sheet2

Sheet3

Sheet4

Sheets

Figura Figura 17.7 17,7 Análisis Análisis TR TR incremental incremental del del FEDI FEDI con con recobro recobro de la depreciación depreciación en el último último año año (ejemplo (ejemplo 17.11). 17.11).

17.7 17.7

ANÁLISIS DE REEMPLAZO ANÁLISIS REEMPLAZO DESPUÉS DE IMPUESTOS IMPUESTOS

Cuando recién instalado posible Cuando un activo activo recién instalado (el defensor) defensor) se enfrenta enfrenta al desafío desafío de un posible reemplazo, reemplazo, los impuestos impuestos llegan llegan a tener tener impacto impacto en la decisión decisión del análisis análisis de reemreemplazo. Tal vez los impuestos pero la diferencia plazo, impuestos no reviertan reviertan la decisión decisión final, pero diferencia entre entre los valores pueden ser considerablemente valores de VA antes de impuestos impuestos pueden considerablemente distintos distintos de la diferencia después después de impuestos. impuestos, Puede Puede haber haber cuestiones cuestiones de impuestos impuestos el año del diferencia posible reemplazo, debido debido al recobro de la depreciación depreciación o a la ganancia capital, posible reemplazo, ganancia de capital, o quizá pérdida de capital quizá haya haya ahorros ahorros de impuestos impuestos como como resultado resultado de una una pérdida capital cuantificable, precio de cuantificable, en el caso de que sea necesario necesario vender vender al defensor defensor a un precio sacrificio. sacrificio. Además, Además, el análisis de reemplazo reemplazo después después de impuestos impuestos no toma en cuenta cuenta operación ni la depreciación depreciación deducibles deducibles de impuestos impuestos en un análisis análisis los gastos gastos de operación antes de impuestos. para calcular impuestos, La tasa impositiva impositiva efectiva efectiva Te Te se utiliza utiliza para calcular el monto monto impuestos anuales anuales (o ahorros ahorros en impuestos) impuestos) a partir partir del IG. En este caso se de los impuestos aplica procedimiento que en el análisis aplica el mismo mismo procedimiento análisis de reemplazo reemplazo antes de impuestos impuestos capítulo 11, aunque aunque ahora ahora para cálculos del FEDI. El procedimiento debería para los cálculos procedimiento debería del capítulo

631

632

CAPÍTULO CAPÍTULO 17

Análisis económico de impuestos Análisis económico después después de impuestos

comprenderse proseguir. Se recomienda recomienda prestar prestar atención comprenderse cabalmente cabalmente antes de proseguir. atención espeespesecciones 11.3 y 11.5. cial a las secciones mano de un análisis reemplazo El ejemplo ejemplo 17.12 contiene contiene una solución solución a mano análisis de reemplazo después utiliza un supuesto depreciación después de impuestos, impuestos, el cual utiliza supuesto simplificado simplificado de la depreciación clásica ejemplo 17.13 se resuelve clásica en línea línea recta recta LR. En el ejemplo resuelve el mismo mismo tipo de probleproblema por aunque se incluyen detalles de la depreciación SMARC. por computadora, computadora, aunque incluyen los detalles depreciación del SMARC. Esto brinda oportunidad de observar observar la diferencia diferencia en los valores entre los brinda una una oportunidad valores VA entre dos supuestos supuestos de depreciación. depreciación.

EJEMPLO EJEMPLO

17.12 17 .12

:¡ . ,.~. Midcontinent compró equipo equipo para extracción de de carbón carbón hace años Midcontinent Power Power Authority Authority compró para la extracción hace 3 años por $600 000. 000. La gerencia descubrió descubrió que que tecnológicamente equipo es obsoleto obsoleto ahora. ahora. por $600 La gerencia tecnológicamente el equipo nuevo equipo. valor comercial Se ha ha identificado identificado un nuevo equipo. Si se ofrece ofrece un valor comercial de $400000 $400000 como como valor de reemplazo aplicando una valor de cambio cambio del del equipo equipo actual, actual, lleve lleve a cabo cabo un análisis análisis de de reemplazo aplicando a) una una TMAR TMAR de impuestos TMAR antes antes de impuestos de de 10% 10% anual anual y b) una TMAR después después de de impuestos impuestos de de 7% 7% anual. una tasa impuestos efectiva anual. Suponga Suponga una tasa de impuestos efectiva de de 34%. 34%. Como Como supuesto supuesto simplificador, simplificador, utilice depreciación clásica clásica en en línea con S S= O para ambas alternativas. alternativas. =O para ambas utilice la depreciación línea recta recta con

Defensor Defensor

Valor comercial, Valor comercial, $ Costo Costo inicial, inicial, $ Costo Costo anual, anual, $ Periodo de recuperación, recuperación, años Periodo años

.

,~

Retador Retador

400000 400000 -100000 -100000 8 ((originalmente) originalmente)

1000000 1000000 -15000 -15000 5

E d

Solución Solución Suponga mediante análisis VUE (vida útil económica) ha determinado Suponga que que mediante análisis VUE (vida útil económica) se ha determinado que que los los para el defensor, total para para el mejores valores valores de la vida vida son más de mejores son de más de 5 años años para defensor, y 5 años años en en total retador.. retador a)

En el caso análisis de reemplazo reemplazo antes antes de impuestos, valores VA. El En caso del del análisis impuestos, calcule calcule los los valores valor comercial inicial, Po Po = $-400 VA del del defensor defensor incluye incluye el valor comercial como como costo costo inicial, $-400 000. 000.

v

VAo = -400 -400 000(AlP,1O%,5) 000(AlP,1O%,5) -100 -100 000 000 = $-205520 $-205520 VARR = -1000 -1000 000(AlP,10%,5) 000(AlP,10%,5) - 15 000 000 = $-278 $-278 800 800

b)

En el paso paso 1 del procedimiento del reemplazo (sección En del procedimiento del análisis análisis de de reemplazo (sección 11.3), 11.3), elegimos elegimos el plan de mantenerlo los VA óptimo. óptimo. Se Se conserva conserva al defensor defensor ahora ahora con con el plan de mantenerlo los 5 años años que que restan. defensor tiene costo anual anual equivalente equivalente menor de $73 $73 280 comparado restan. El El defensor tiene un un costo menor de 280 comparado con retador. Esta Esta solución solución completa tabla 17.6 con el del del retador. completa se incluye incluye en en la tabla 17.6 (izquierda) (izquierda) con con objetivo de de compararla compararla con con el análisis análisis después después de impuestos. impuestos. el objetivo En análisis de reemplazo reemplazo después después de impuestos, no hay hay efectos tributarios En el caso caso del del análisis impuestos, no efectos tributarios para el defensor defensor que que no sean los los impuestos impuestos sobre sobre la renta. anual LR LR para no sean renta. La La depreciación depreciación anual es de $75 000, 000, que cuando el equipo equipo se adquirió adquirió hace años. es de $75 que se determinó determinó cuando hace 3 años. D, = 600000/8 600000/8 = $75 $75 000 000

t = 1 a 8 años años

Vi

SECCIÓN

17.7

633

Análisis de reemplazo después de impuestos

La tabla 17.6 muestra el IG y los impuestos al 34%. Los impuestos son en realidad ahorros en impuestos de $59 500 anuales, como lo indica el signo menos. (Recuerde que en el caso de los ahorros en impuestos en un análisis económico, se supone que hay ingresos gravables positivos en cualquier otra parte de la corporación con el fin de deducir el ahorro). Ya que sólo se estiman los costos, el FEDI anual es negativo, pero los ahorros en impuestos de $59 500 lo han reducido. El FEDI Y el VA al 7% anual son: FEDI = FEAI - impuestos = -100 000 - (-59 500) = $-40 500 VAo = -400 000(A/P,7%,5) - 40500 = $-138 056 En el caso del retador, el recobro de la depreciación sobre el defensor ocurre cuando éste se reemplaza, como consecuencia de que la cantidad de intercambio de $400 000 es mayor que el valor actual en libros. En el año O para el retador, la tabla 17.6 incluye los siguientes cálculos para llegar a un impuesto de $8 500.

TABLA

17.6 Análisis de reemplazo antes de impuestos y después de impuestos (ejemplo 17.12) Antes de impuestos

Edad del defensor

Año

Gastos de operación GO

PyS

Después de impuestos

FEAI

Depreciación O

Ingreso gravable IG

Impuestos* al O.341G

$-175000 -175000 -175000 -175000 -l75000

$-59500 -59500 -59500 -59500 -59500

$+250001 -215000 -215000 -215000 -215000 -215000*

$ 8500 -73100 -73100 -73 100 -73 100 -73100

FEDI

DEFENSOR 3 4 5 6 7 8 VA al 10%

$-400000

O 1

2 3 4 5

$-100000 -100000 -100000 -100000 -100000

O

$-400000 -100000 -100000 -100000 -100000 -100000 $-205520

$75000 75000 75000 75000 75000 VAal7%

$-400000 -40500 -40500 -40500 -40500 -40500 $-138056

RETADOR O 1 2 3 4 5 VA al 10%

$-1000000 $-15000 -15000 -15000 -15000 -15000

O

$-1000000 -15000 -15000 -15000 -15000 -15000 $-278 800

$200000 200000 200000 200000 200000 VAa17%

*

El signo menos indica ahorros en impuestos para el año.

1

Recobro de la depreciación en el intercambio del defensor.

*

Supone que el valor de salvamento del retador conseguido en realidad es S = O; no hay impuestos.

$-1008500 +58100 +58100 +58100 +58100 +58100 $-187863

634

CAPÍTULO 17 económico después de impuestos 17 Análisis económico

Valor en libros del defensor, año 3: Recobro de la depreciación: intercambio, año O: Impuestos sobre el intercambio,

VL3 = 600 000 - 3(75 000) = $375 000 RD3 =IG =400 =400 000-375 RD3=IG 000-375 000=$25 000=$25 000 Impuestos Impuestos = 0.34(25 000) = $8 500

depreciación en LR es $1 000 000/5 = $200 000 anuales. Esto resulta en el ahorro La depreciación de impuestos y el FEDI es:

del1 reta lib ceh yel

Impuestos = (-15000 (-15000 - 200 000)(0.34) = $-73 $-73 100 FEDI = FEAI - impuestos = -15000 (-73 100) = $+58100 $+58100 FEAI-15000 - (-73 retador se vende por $0; no hay recobro de la depreciación. El año 5, se supone que el retador VA para el retador retador al 7% de TMAR después de impuestos es igual a: El VA VA RR = -1 VA -1 000 000(AlP,7%,5) 000(AlP,7%,5) + 58 100 = $-187863 $-187863 Se elige de nuevo el defensor; no obstante, la ventaja anual equivalente equivalente se ha reducido de $73 280 antes de impuestos a $49 807 después de impuestos. conserve al defensor Conclusión: Por medio de cualquier análisis, conserve defensor ahora y planee mantenerlo otros 5 años. Además, planee evaluar los cálculos para ambas alternativas dentro de 1 año. Si y cuando los cálculos de flujo de efectivo cambien cambien considerablemente, lleve a cabo otro análisis de reemplazo. blemente,

va lóg] un

Comentario Comentario

Si el valor comercial intercambio) hubiese sido menor que el valor en libros actual del comercial (de intercambio) defensor de $375 000, se presentaría presentaría una pérdida de capital en el año O, en lugar de un recobro de la depreciación. El ahorro en impuestos resultante resultante reduciría reduciría el FEDI (que dismiFEDI fuera negativo). Por ejemplo, una cantidad comercial de $350 000 nuiría los costos si el FEDIfuera $-25 000 y un ahorro en impuestos de daría como resultado un IG de $350 000 - 375 000 = $-25 $-8500 $-8500 en el año O. El FEDI es, entonces, de $-1000000 $-1000000 = (-8 (-8 500) = $-991500. $-991500.

j,

EJEMPLO EJEMPLO

17.13 17.13

~

~Sol·E Sol-E

. Repita el análisis de reemplazo reemplazo después de impuestos del ejemplo anterior (17 .12b), utilizando una depreciación depreciación del SMARC de 7 años para el defensor y una depreciación del SMARC de 5 años para el retador. Suponga que se vende cualquiera cualquiera de los activos después de 5 años en exactamente exactamente su valor en libros. Determine si las respuestas son significativamente diferentes de las obtenidas cuando se formuló la suposición simplificadora simplificadora cativamente de la depreciación depreciación LR clásica. Solución Solución

La figura 17.8 muestra el análisis completo. Refiérase Refiérase a los rótulos de las celdas para obtener los detalles de los cálculos. El SMARC requiere muchos más cálculos que la depreciación LR, aunque el proceso se simplifica depreciación simplifica enormemente enormemente utilizando una hoja de defensor, pero ahora con una ventaja de $44 142 cálculo. De nuevo se elige retener al defensor, depreciación anuales. Esta cantidad se compara con los $49 807 de ventaja utilizando la depreciación LR clásica clásica y la ventaja de $73 280 antes de impuestos del defensor. Por lo tanto, los impuestos y el SMARC reducen la ventaja económica económica del defensor, aunque no lo suficiente como para revertir la decisión de conservarlo.

F Al

SECCIÓN 17.7 Análisis de reemplazo después de impuestos

635

Hay otras diferencias dignas de mención en lo que se refiere a los resultados entre la depreciación LR y SMARC. Hay recobro de la depreciación depreciación en el año O por parte del intercambio del defensor por $400 000, un valor mayor que el valor en retador debido al intercambio libros del defensor con una vida de 3 años. Esta cantidad, $137 620, que se encuentra en la celda G 18, se considera como un ingreso gravable ordinario. Los cálculos a mano del RD 018, y el impuesto relacionado relacionado son los siguientes: VL33 == = costo inicial - depreciación del SMARC para 3 años = depreciación total del SMARC para los años 4 a 8 == = $262380 $262380 ==

Fll) (celda FU)

= IG 100o == = valor de intercambio V~ RD == intercambio - V~ == = 400000 400000 - 262380 262 380 == = $137 620

(celda GI8) 018)

= 137620(0.34) 137620(0.34) == = $46 790 Impuestos ==

(celda H18)

ecuaciones de la hoja de cálculo que repiten esta Véase las etiquetas de las celdas para las ecuaciones lógica. El supuesto de que el retador se vende después de 5 años a su valor en libros implica un flujo de efectivo positivo en el año 5. El registro de $57,600 en la celda C23 de la

M

K

FEOI 400.000

._._-----.-- ------ ._~~~-------_._----!-._._.__.~-_._._-_._IGI2I

Depr.

137.620 $ '$(15,000)

0.2º0.0.

$ 2.0º,0.0.0.. $ $ 320.000

.!.. _ ... !~.2.·0ºº.J $

$

34'4 deIG

46791:

FEOI!

¡

$

1.046791 (

(~15,OOO) ..J [1.3,100JL$ ....58,IOº: 335.000 $ (113,900)' $ 98.900 , (20!,º0_OJ...$ .....J7.0,~~01!$ ... _~~,3~.0

115.200

Figura 17.8 17.8 Figura depreciación SMARC, ejemplo 17.13. 17.13. Análisis de reemplazo después de impuestos usando la depreciación

¡

,

.

-

636

CAPÍTULO CAPÍTULO 17

Análisis económico económico después después de impuestos impuestos Análisis

figura refleja este este supuesto, ya que que la depreciación depreciación prevista prevista del del SMARC año 6 figura 17.8 17.8 refleja supuesto, ya SMARC el año sería de 1000000(0.0576) 1 000000(0.0576) $57 600. 600. La ecuación de cálculo B 15-F24 15-F24 en la sería = $57 La ecuación de la hoja hoja de cálculo la celda C23 C23 determina determina este valor utilizando [Nota: Si la la celda este valor utilizando la depreciación depreciación acumulada acumulada en en F24. F24. [Nota: cantidad S = =O O se anticipa anticipa definitivamente cantidad definitivamente después después de de 5 años, años, habría habría una una pérdida pérdida de capicapital de $57600. Esto implicaría implicaría un un ahorro impuestos de 57600(0.34) $57600. Esto ahorro adicional adicional en en impuestos 57600(0.34) = $19584 $19584 en el año Por el contrario, valor de salvamento mayor que que el valor valor en en libros, libros, se año 5. Por contrario, si el valor salvamento es mayor estimarían un recobro estimarían recobro de de la depreciación depreciación y un impuesto impuesto asociado.] asociado.] La etiqueta etiqueta de la FEDI se obtienen La la celda celda indica indica que que las las estimaciones estimaciones del del FEDI obtienen mediante mediante las las columnas C, C, D y H. Por ejemplo, en en la celda 119, el FEDI como CI9 C 19 + D 19 columnas Por ejemplo, celda 119, FEDI se determina determina como D19 - H19. Aun cuando cuando las las columnas columnas C y D normalmente normalmente no no contienen entradas, esta esta forma H19. Aun contienen entradas, forma general del FEDI la fórmula general para para el el cálculo cálculo del FED! funciona funciona adecuadamente adecuadamente cuando cuando la fórmula se arrastra arrastra a columna 1. 1. Por cálculo del en la correctamente la la columna Por lo tanto, tanto, el cálculo del FEDI FEDI en la celda celda 123 refleja refleja correctamente venta de la la hoja hoja de de cálculo. venta del retador retador en en el año año 5 sin sin alterar alterar la fórmula fórmula de cálculo.

17.8 ANÁLISIS VALOR AGREGADO AGREGADO DESPUÉS ANÁLISIS DEL VALOR DESPUÉS

apar ento que el pl

(gen ranu verti yen den viste

DE IMPUESTOS IMPUESTOS

Valor agregado agregado Valor

término valor valor agregado emplea para indicar que un producto servicio ha El término agregado se emplea para indicar producto o servicio incrementado su valor desde la perspectiva incrementado valor desde perspectiva del propietario, propietario, un inversionista inversionista o un consumidor. Es posible apalancar significativamente significativamente las actividades actividades de valor agreconsumidor. posible apalancar valor agreproceso. Por ejemplo, las cebollas cebollas crecen crecen y se venden gado de un proceso. Por ejemplo, venden en una granja granja por por centavos la libra. En la tienda centavos la centavos tienda llegan llegan a venderse venderse a un precio precio de 25 a 50 centavos cuando las cebollas cebollas se cortan cortan y se recubren especial, pueden libra. cuando recubren con una una mezcla mezcla especial, pueden freírse en aceite aceite caliente caliente y venderse como aros de cebolla cebolla por dólares la freírse venderse como por varios varios dólares esta manera, desde la perspectiva consumidor, se ha incrementado incrementado el libra. De esta manera, desde perspectiva del consumidor, agregado por el procesamiento cebollas crudas crudas en la tierra valor agregado procesamiento de las cebollas tierra hasta hasta los cebolla que se venden comida rápida. aros de cebolla venden en un restaurante restaurante o en una tienda tienda de comida rápida. Anteriormente, en el análisis análisis de VA antes de impuestos impuestos se introdujo introdujo brevemenAnteriormente, brevemenagregado. Cuando Cuando el análisis análisis de valor agregado se realiza después de te al valor agregado. valor agregado realiza después impuestos, el enfoque enfoque es ligeramente ligeramente diferente diferente del análisis análisis de FEDI impuestos, FEDr que se planteó planteó capítulo, antes en este capítulo, alternativa será será la misma ambos La decisión respecto respecto de una una alternativa misma que para para ambos métodos, el de valor agregado y el de FEDI, cálculos de métodos, valor agregado FEDI, pues pues el VA de los cálculos valor económico económico agregado agregado es el mismo estimaciones de VA y para las estimaciones valor mismo que para deFEDI. deFEDI. análisis de valor agregado comienza comienza con la ecuación ecuación [17.3], la utilidad El análisis valor agregado utilidad neta neta desimpuestos (UNDr), (UNDI), que incluye incluye la depreciación depreciación del año 1 al año n. Este pués de impuestos Este análisis es diferente diferente del FEDI, donde la depreciación depreciación se ha eliminado eliminado específicaespecíficaanálisis FEDr, donde mente, de manera manera que sólo las estimaciones estimaciones del flujo de efectivo efectivo real se emplean emplean mente, Oal desde el año O al año n. término valor económico agregado indica el valor agregaEl término valor económico agregado (VEA) indica valor monetario monetario agregaalternativa a la corporación. corporación. La técnica estudia a continuación continuación do por una alternativa técnica que se estudia

Yaq depr con raci: de 1< tera

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*A.l Chen

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SECCIÓN SECCIÓN 17.8

Análisis del valor valor agregado impuestos Análisis agregado después después de impuestos

apareció publicada en varios mediados de la década apareció publicada varios artículos* artículos* a mediados década de 1990 y desde desde entonces mucha popularidad popularidad como medio de evaluar entonces ha gozado gozado de mucha como un medio evaluar la capacidad capacidad que tiene tiene una corporación para incrementar incrementar su valor valor económico, corporación para económico, en especial especial desde desde el punto punto de vista vista de los accionistas. accionistas.

El VEA VEA anual monto remanente remanente de la utilidad utilidad neta neta después anual es el monto después de imimpuestos puestos (UNDI) (UNDI) en los libros libros de la corporación, corporación, después después de eliminar eliminar el cosVEA indica to del capital capital invertido invertido durante durante el año. año. Esto Esto significa significa que que VEA indica la contribución un proyecto proyecto a la ganancia neta de la corporación contribución de un ganancia neta corporación después después de impuestos. impuestos. El costo costo de capital capital invertido invertido es la tasa de rendimiento rendimiento después después de impuestos impuestos (generalmente valor TMAR) multiplicada por el valor valor en libros (generalmente el valor TMAR) multiplicada libros del activo activo durante el año. Éste rante Éste es el interés interés en que se incurre incurre por el nivel actual de capital capital invertido emplean diferentes diferentes métodos depreciación, tributaria vertido en el activo. (Si se emplean métodos de depreciación, tributaria yyen en libros, se utilizará utilizará el valor valor de depreciación depreciación en libros, debido debido a que representa representa de manera manera más exacta remanente invertido punto de exacta el capital capital remanente invertido en el activo activo desde desde el punto vista de la corporación). vista corporación). Las estimaciones estimaciones son de la siguiente siguiente manera: manera:

= = UNDI = UNDI -

VEA costo del capital invertido VEA = UNDI UNOI - costo capital invertido (tasa de interés interés después después de impuestos) impuestos) (tasa (valor en libros libros en el año año t - 1) (valor

= IG(l IG(l - Te) T.) =

(i)(VLt_t_11)) (i)(VL

[17.18]

Ya que ambos ambos valores, IG y el valor libros toman consideración la valores, el valor valor del lG valor en libros toman en consideración depreciación, el VEA VEA es una medida valor que incorpora incorpora el flujo de efectivo efectivo real depreciación, medida del valor cálculo del valor financiero aportado aportado a la corpocorpocon los flujos de no efectivo efectivo para para el cálculo valor financiero ración. Este valor financiero es el monto documentos públicos ración. Este valor financiero monto que se utiliza utiliza en los documentos públicos corporación (balance (balance general, general, estado estado de resultados, acciones, etcéetcéde la corporación resultados, reportes reportes de acciones, tera). Debido Debido a que las corporaciones corporaciones desean desean presentar presentar el máximo máximo valor valor posible, posible, a accionistas y a los dueños, dueños, el método apropiado desde desde el los accionistas método de VEA VEA podría podría ser más apropiado punto financiero que el método punto de vista vista financiero método de VA. VA. análisis VEA VEA es una serie de estimaciones estimaciones de VEA anuales. En El resultado resultado del análisis VEA anuales. análisis, se comparan comparan dos o más alternativas alternativas al calcular calcular las estimaciones estimaciones de VA este análisis, para después se elige elige la alternativa alternativa de mayor evalúa para el VEA VEA YY después mayor valor valor anual. Si sólo se evalúa Osignifica TMAR después después de impuestos, impuestos, de un proyecto, proyecto, VA> VA> O significa que está rebasada rebasada la TMAR manera agregado. manera que el proyecto proyecto será de valor valor agregado. Sullivan y Needy** demostrado que el VA de VEA Sullivan Needy** han demostrado VEA YY el VA del FEDI FEDl son idénticos en cantidad. cantidad. Así, se emplea emplea cualquiera cualquiera de los dos métodos métodos al tomar tomar la idénticos decisión. En una corporación, corporación, las estimaciones estimaciones anuales anuales del VEA indican indican el valor decisión. valor agregado generado generado por la alternativa, alternativa, mientras mientras que las estimaciones estimaciones anuales anuales de FEDl FEDI agregado describen el flujo de efectivo. efectivo. En el ejemplo ejemplo 17.14 se plantea comparación. describen plantea esta comparación. *A. Blair, Blair, EVA Fever; Management enero de de 1997 1997, , pp. 42-45; W. Freedman, Freedman, How do yOll add up? IIp? *A. EVA Feller, Management Today, enero pp. 42-45; How do you add Chemical Week, Week, 9 de de octubre, octubre, 1996, 1996, pp. 31-34. Chemical pp. 31-34. **W. G. Sullivan Sullivan y K. L. Needy, "Determination of of Economic Economic Value for a Proposed Proposed Investment Investment in Needy, "Determination Value Added Added for **W. New Manufacturing", en The The Engineering 45, núm. (2000), pp. New Manufacturing", en Engineering Economist, Economist, vol. vol. 45, núm. 2 (2000), pp. 166-181. 166-181.

637 637

17 Análisis económico después de impuestos CAPÍTULO 17

638

EJEMPLO EJEMPLO

17.14 17 .14

:~> Biotechnics Engineering Engineering ha desarrollado desarrollado dos planes mutuamente excluyentes para inverBiotechnics mutuamente excluyentes esperanza de incrementar incrementar sus ingresos generados por servisión en nuevo equipo con la esperanza cios de diagnóstico médico para cáncer a sus pacientes. Los cálculos se resumen a continuación. a) Utilice la depreciación depreciación clásica en línea recta, y una TMAR de 12% después de impuestos, una tasa impositiva problema por computadoimpositiva efectiva efectiva de 40%, y solucione solucione el problema computadora para realizar realizar dos análisis de valor anual después de impuestos: VEA y FEDI. FED!. b) Explique la diferencia fundamental entre los resultados resultados de los dos análisis.

l!l ~Sol-E set-a

Plan A

Plan B

Inversión inicial Ingreso bruto - gastos de operación

$500000 $500000 $170000 $170000 por año

Vida estimada Valor de salvamento

4 años Ninguno

$120000 $120000 $600 000 en el año 1, con decremento decremento de $50 000 por año 4 años Ninguno

Solución por por computadora computadora Solución a) Consulte la hoja de cálculo y las etiquetas de celda que aparecen en la figura 17.9. Evaluación información necesaria Evaluación VEA: toda la información necesaria para los cálculos VEA se determina en las columnas B a G. La utilidad neta después de impuestos (UNDI) que se muestra en la columna H se calcula utilizando la ecuación [17.3], lG IG - impuestos. impuestos. Los valores en libros (columna E) se emplean para determinar determinar el costo del capital 1,yy se aplican en el segundo término de la ecuación [17.18], invertido en la columna 1, _,), donde i es la TMAR después de impuestos de 12%. Esto representa representa el que es i(VLtt_,), monto de interés del 12% 12% anual, después de impuestos, para el capital actualmente actualmente invertido, como lo refleja el valor en libros al principio del año. La estimación estimación del 4. VEA anual es la suma de las columnas H e I1 (ecuación [17.18]) para los años 1 al a14. Note que para el año Note que no existe existe una una estimación estimación del del VEA VEA para año O, 0, puesto que la UNDI y el Finalmente, se selecciona selecciona el costo del capital invertido se calculan en los años 1 a n. Finalmente, VAmayor VA mayor del valor VEA (J21), lo cual indica que el plan B es mejor, y que el planA planA no tiene un rendimiento (Jl O). rendimiento de 12% (nO). Evaluación Evaluación FEDI: FEDI: como se muestra en las etiquetas de celda, se calculan las estimaciones estimaciones FEDI (columna K) usando la ecuación ecuación [17.8], lB - GO GO - P - impuestos. El VAde K21) de nuevo concluye que el plan B es mejor que el plan VA de FEDI (celda K2l) rendimiento TMAR después de impuestos de 12% (KI0). A, ya que éste no tiene un rendimiento (KI0). diferencia fundamental entre las series VEA y FEDI que aparecen en las b) ¿¿Cuál Cuál es la diferencia columnas J y K? Son claramente claramente equivalentes equivalentes desde el punto de vista del valor del dinero en el tiempo, dado que los valores anuales son los mismos en términos numéricos. Para responder considere que el plan A tiene una estimación estimación responder a la pregunta, considere obtener el VA constante de FEDI de $152 000 anuales. Para obtener VA de VEA, calcule a partir $-12 617 en los años 1 a 4, con una inversión inversión inicial de $500 000 que se distribude $-12 ya durante los 4 años de vida al emplear emplear el factor AIP AIP al 12%. Esto significa que un monto equivalente equivalente de $500 000(AlP,12%,4) 000(AlP,12%,4) = $164 617 se carga carga al flujo de efectivo de entrada en cada uno de los años 1 a 4. En efecto, el FEDI anual se reduce a consecuencia de dicho cargo. consecuencia

600,000, 500,000 I

$

300,000

I i

$ $ $ $

125,000 125,000 125,000 125,000

45,000 45,000 45,000 45,000

PLANB

$ $ $ $

$ $ $ $

18,000 18,000 18,000 18,000 $ $ $ $ 27.000

! $

27,000 ; $ 27,000 ¡ $ 27,000 , $

UNOI

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I

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$ $ $

=BI9-DI9

$ 300.000 $ 300,000 -+-",$--,:3.Q-º,000 $ 300,000,

1,200,000 $ $

120,000 80,000

$ $

=-O.12"EI9

100,00~~$_~40~,0~00~11.~$_-" $ $

300,000 200,000

=FI9-GI9

1-

1,200,000 SOO,OOO $ 600,000 $ 300,000 $

Figura 17.9 Comparación de alternativas al emplear los análisis de VEA y de FEDI, ejemplo 17.14.

$

_L~Q!\º.o-º-L

$ $

I I

500,000

n

mpuestos OAIG

Análisis de VEA Inversió n Deprecia - Valor en Ingreso mpuestos [Costo del --==;piP'--'-'--t-'='ciF!óC,n:'TL""'Rrl--':Ii\:'b':'ro":'s-~Vi;'L-+',g:-;ra::-v;;:ab=le;1G O."rTG- ---DNOI--Capl~ta;Tl-1i"'né:-v.+-'V"'EA=·---l

i$

I Inversió P

170,000 170,000 170,000 i 170,000 ;

-..,,-=---!'I"'B:----cG""'O.r,

$ $ $ $

lB - GOi

De reciació n L R

$

s

$ $ $ $

FEDI

1.200,000 480,000 420,000 360,000 300,000 3,388

--FEOI

Análisis

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17 Análisis económico después de impuestos CAPÍTULO 17

640

inicial)(AlP,12%,4) = $152000 $152000 - 500 000(AlP,12% 000(AlP,12%,4) FEDI - (inversión inicial)(AlP,12%,4) ,4) 152000 - 164617 164617 = -$12617 -$12617 152000 = VAde VEA demuestra que los dos métodos son Éste es el valor anual para ambas series, lo que demuestra equivalentes en términos económicos. Sin embargo, el método VEA indica una contribución anual estimada de una alternativa alternativa al valor de la corporación, ya que el corporación. Ésta es la razón del método FEDI calcula el flujo de efectivo real de la corporación. generalmente más popular con los ejecutivos corporativos corporativos porqué el método VEA es generalmente con respecto al método de flujo de efectivo.

M

Comentario Comentario P(AlP,i,n) = $500 000(AlP,12% 000(AlP,12%,4) exactamente el mismo que la ecuación ecuación El cálculo P(AlP,i,n) ,4) es exactamente

Recuperación de capital capital Recuperación

recuperación de capital, al suponer que el valor de salvamento calculado es cero. [6.3] en recuperación recuperación De esta manera, el costo del capital invertido para VEA es el mismo que la recuperación de capital que se planteó en el capítulo 6. Esto demuestra aún más por qué el método VA VA económicamente equivalente equivalente a la evaluación evaluación del VEA. es económicamente

17.9 17.9

"IU

ANÁLISIS DE PROYECTOS PROYECTOS INTERNACIONALES INTERNACIONALES ANÁLISIS IMPUESTOS DESPUÉS DE IMPUESTOS

Algunas preguntas preguntas fundamentales fundamentales que deben responderse responderse antes de realizar realizar un análisis Algunas después de impuestos con base corporativa para especificaciones internacionales, después impuestos base corporativa para especificaciones internacionales, son acerca acerca de las tolerancias tolerancias para para deducir deducir impuestos impuestos -depreciación, -depreciación, gastos de gastos negocios, evaluación de activos de capitaly la tasa efectiva del impuesto necesaria negocios, evaluación capitalefectiva impuesto necesaria para 7-6], impuestos para la ecuación ecuación [1 [17-6], impuestos = = IG(T IG(Te)' Como se dijo en el capítulo capítulo 16, la e). Como mayoría de los gobiernos gobiernos reconocen reconocen que utilizan utilizan los métodos métodos de línea línea recta recta (LR) y mayoría del saldo saldo decreciente decreciente (SD) para para hacer hacer la depreciación, depreciación, con algunas algunas variantes variantes para para determinar la tolerancia para la deducción anual de impuestos. Los gastos deducible determinar tolerancia deducción impuestos. deducibless varían mucho de un país a otro. Como ejemplo, a continuación se resumen algunos. varían mucho Como ejemplo, continuación resumen algunos. Canadá Canadá Depreciación: deducible y normalmente normalmente se basa cálculos del SD, aunque aunque Depreciación: es deducible basa en cálculos puede usarse usarse el de LR. Se aplica aplica una convención convención equivalente equivalente a la del medio medio puede primer año de la posesión. posesión. La tolerancia tolerancia del deducible deducible anual anual de año en el primer impuestos se denomina denomina tolerancia tolerancia de costo del capital capital (TCC). Al igual que en impuestos sistema estadounidense, estadounidense, las tasas de recuperación recuperación están están estandarizadas, estandarizadas, de el sistema cantidad por depreciar depreciar no refleja refleja necesariamente necesariamente la vida vida útil del modo que la cantidad activo. clases de activos activos se encuentran encuentran definidas definidas y las tasas de Tasa de clase y TCC: las clases depreciación anual se especifican especifican por clase. No se identifica identifica ningún ningún periodo periodo depreciación (vida) de recuperación recuperación específico, específico, en parte parte porque porque los activos activos de una clase clase (vida) particular se agrupan agrupan juntos TCC anual queda queda determinada determinada para para la clase clase particular juntos y la TCC completa, no por activos activos individuales. individuales. Existen Existen 44 clases clases y las tasas de TCC TCC completa, varían entre equivalente a un activo activo de 25 años de vida) para para varían entre 4% anual (el equivalente

J¡

SECCIÓN 17.9 17.9 SECCIÓN

Análisis de proyectos proyectos internacionales internacionales después después de impuestos impuestos Análisis

inmuebles (clase (clase 1) y 100% (1 año de vida) para aplicaciones aplicaciones de software, inmuebles software, porcelana, moldes, moldes, etcétera etcétera (clase mayor parte parte de las tasas están en el porcelana, (clase 12). La mayor rango de entre entre 10% y 30% anual. rango gastos de negocios negocios son deducibles deducible s de impuestos impuestos en el cálculo cálculo del IG. Gastos: los gastos relacionados con inversiones inversiones de capital capital no son deducibles, deducibles, ya que Los gastos relacionados se les trata por medio medio de la TCC. Internet: detalles disponibles disponibles en el sitio web de Revenue Revenue Canada, Canada, en la Internet: hay más detalles dirección www.ccra-adrc.gc.ca. www.ccra-adrc.gc.ca, en las secciones secciones "Forms" "Forms" y "Publications". "Publications". dirección México México

Depreciación: tolerancia totalmente totalmente deducible deducible para calcular el IG. Se Depreciación: es una tolerancia para calcular aplica el método método de LR con un índice índice para inflación considerada considerada cada cada año. aplica para la inflación Para uso parcial anual se utiliza depreciación prorrateada mensualmente. Para parcial utiliza depreciación prorrateada mensualmente. Para Para ciertos tipos de activos se permite deducción inmediata inmediata de cierto porcentaje permite una deducción porcentaje costo inicial inicial (este es un equivalente equivalente cercano cercano al deducible deducible de gastos gastos de del costo capital en Estados Estados Unidos). capital Unidos). encuentran identificados, identificados, aunque aunque no están están Clases yy tasas: los tipos de activos se encuentran definidos en lo específico como en otros países. Se -identifica a las clases definidos específico países. clases principales y las tasas de recuperación recuperación anual varían varían entre entre 5% para edificios principales para edificios (equivalente a una vida de 20 años) y 100% para maquinaria maquinaria ambiental. ambiental. La (equivalente mayoría de las tasas están están entre 10% y 30% anual. mayoría Impuesto utilidades: en México, México, el impuesto impuesto sobre sobre la renta renta se aplica aplica a las Impuesto a las utilidades: utilidades de los ingresos ingresos percibidos percibido s por los negocios. negocios. Son deducibles deducibles la utilidades mayoría de los gastos gastos de éstos. El impuesto impuesto sobre la renta renta se grava grava sólo una mayoría vez en el nivel federal federal y no se imponen imponen impuestos impuestos a nivel estatal. estatal. Impuesto activo neto (IAN): además además del impuesto renta, se paga paga un Impuesto al activo impuesto sobre la renta, impuesto de 1.8% del valor promedio de los activos localizados en México, impuesto valor promedio activos localizados México, pero impuesto sobre sobre la renta renta se acredita acredita a la deuda deuda del IAN. pero el impuesto Internet: mejor información información se obtiene obtiene por medio medio de sitios web de empresas empresas Internet: la mejor auxilian a corporaciones corporaciones internacionales internacionales que se ubican ubican en México. México. Un que auxilian ejemplo de ello es PriceWaterhouseCoopers, PriceWaterhouseCoopers, en la dirección dirección www.pwcglobal. www.pwcglobal. ejemplo com/mx/eng. com/mx/eng. Japón Japón

Depreciación: deducible por completo completo y se basa basa en los métodos métodos clásicos clásicos de Depreciación: es deducible Mediante depreciación depreciación puede recuperarse un total de 95% de la LR y el SD. Mediante puede recuperarse base no ajustada ajustada o costo costo inicial, inicial, según se define define en el capítulo capítulo 16, pero pero el base rescate de un activo se supone como ell el 10% adquisición. valor de rescate 0% de su costo de adquisición. inversión de capital capital se recupera recupera por cada activo activo o grupos grupos de activos activos La inversión por cada clasificados en forma similar. clasificados especifica una vida útil estatutaria estatutaria entre entre 4 y 24 años, con vida vida de Clase y vida: se especifica para edificios edificios de concreto concreto reforzado. reforzado. 50 años para gastos de negocios negocios son deducibles deducibles en el cálculo cálculo de los IG. Gastos: los gastos Internet: detalles disponibles disponibles en el sitio web del Ministerio Ministerio Japonés Japonés de Internet: hay más detalles Finanzas, en la dirección dirección www.mof.go.ip. www.mof.go.ip. Finanzas,

641

642

CAPÍTULO CAPÍTULO 17

TABLA TABLA

Análisis económico después de impuestos impuestos Análisis económico después

17.7 Resumen de tasas tasas de impuestos internacionales* 17.7 Resumen impuestos corporativos corporativos internacionales"

Ttv

anr Tasa del del impuesto impuesto aplicado aplicado sobre ingreso gravable, gravable, % sobre el ingreso 40 40 36 aa40 40 32 32 a 36 36 28 a 32 28 28 24 a 28 24 20 a 24 24 20 20 20

Para estos países Para estos países Estados Unidos, Unidos, Japón, Japón, Arabia Arabia Saudita Estados Saudita Canadá, Alemania, Sudáfrica Canadá, Alemania, Sudáfrica China, Francia, India, India, México, México, Nueva Nueva China, Francia, Zelanda, España, España, Turquía Zelanda, Turquía Australia, Indonesia, Indonesia, Reino Reino Unido, Unido, Australia, República de Corea República Corea Rusia, Taiwán Rusia, Taiwán Singapur Singapur Hong Kong, Kong, Islandia, Islandia, Irlanda, Irlanda, Hungría, Hong Hungría, Polonia Polonia

* Fuentes: tomado de de KPMG KPMG Corporate Rates Survey, Survey, enero de 2004 2004 (disponible Fuentes: tomado Corporate Tax Rates enero de (disponible en la dirección www.kpmg.comIRUT2000_prod/documents/9/2004ctrs.pdf). y de de sitios web en en los los dirección www.kpmg.comlRUT2000_prod/documents/9/2004ctrs.pdt). sitios web países de impuestos impuestos a las las corporaciones. países en en cuestión cuestión acerca acerca de corporaciones.

u,,,

efectiva varía forma considerable considerable de un país a otro. Algunos La tasa efectiva varía en forma Algunos países países recaudan los impuestos impuestos sólo a nivel federal, mientras imponen en recaudan nivel federal, mientras que otros los imponen varios niveles niveles de gobierno gobierno (federal, (federal, estatal estatal o provincial, condado y varios provincial, prefectura, prefectura, condado ciudad). En la tabla impositivas promedio ciudad). tabla 17-7 se presenta presenta un resumen resumen de las tasas impositivas promedio corporativas internacionales internacionales para diversos países industrializados. Ahí incluyen corporativas para diversos países industrializados. Ahí se incluyen impuestos sobre sobre la renta gobierno reportados dentro de cada cada impuestos renta en todos los niveles niveles de gobierno reportados dentro embargo, ciertos tipos de impuestos impuestos pueden establecidos por un gobierno gobierno país; sin embargo, pueden ser establecidos particular. Aunque impuestos varían otro, en particular. Aunque dichas tasas promedio promedio de impuestos varían de un año a otro, especial cuando cuando se legisla legisla una reforma reforma fiscal, puede aceptarse que la mayor mayor parte en especial puede aceptarse parte corporaciones enfrentan enfrentan tasas efectivas efectivas de entre 20% 20% a 40% 40% de su ingreso ingreso de las corporaciones gravable. Si se examinaran examinaran las tasas individuales individuales publicadas publicadas en años recientes recientes gravable. quedaría claro que los países, países, especialmente especialmente los europeos, europeos, han reducido reducido sus tasas de quedaría impuestos corporativos corporativos en forma forma considerable, considerable, en algunos algunos casos entre 15% y 20% impuestos Esta reducción reducción estimula estimula la inversión inversión corporativa corporativa y la expansión expansión de en un solo año. Esta negocios dentro dentro de las fronteras fronteras de cada país. los negocios

ind gar ea, red de eOI

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RESUMEN DEL CAPíTULO CAPíTULO RESUMEN análisis después después de impuestos impuestos generalmente generalmente no cambia cambia la decisión decisión de elegir elegir una El análisis una alternativa sobre otra; sin embargo, embargo, sí ofrece ofrece más claridad claridad en el cálculo cálculo del impacto impacto alternativa monetario de los impuestos. impuestos. Las evaluaciones evaluaciones después después de impuestos impuestos de VP, VA y monetario alternativas se realiza sobre las series de FEDI, emplean TR de una o más alternativas realiza sobre FEDI, que emplean exactamente los mismos aparecen en capítulos capítulos anteriores. anteriores. La exactamente mismos procedimientos procedimientos que aparecen

ti

PROBLEMAS PROBLEMAS

643

TMAR impuestos se utiliza en TMAR después después de de impuestos se utiliza en todos todos los los cálculos cálculos de de VP VP y VA, Y en en el análisis análisis TR TR incremental incremental al tomar tomar la la decisión decisión de de elegir elegir entre entre dos dos o más más alternativas. alternativas. Las renta para para las Las tasas tasas del del impuesto impuesto sobre sobre la la renta las corporaciones corporaciones y contribuyentes contribuyentes individuales progresivas: ingresos paindividuales en en Estados Estados Unidos Unidos son son progresivas: ingresos gravables gravables más más altos altos paUna tasa tasa impositiva impositiva efectiva efectiva Te Te de de valor valor individual individual se apliapligan mayores impuestos. Una gan mayores impuestos. ca un análisis ca generalmente generalmente en en un análisis económico económico después después de de impuestos. impuestos. Los Los impuestos impuestos se reducen debido a los reducen debido los factores factores que que son son deducibles, deducibles, como como la la depreciación depreciación y los los gastos gastos de flujo de de operación. operación. Debido Debido a que que la depreciación depreciación no no es un un flujo de efectivo, efectivo, es importante importante considerarla realizar los IG, y no considerarla sólo sólo al realizar los cálculos cálculos del del IG, no directamente directamente en en las las estimacioestimaciones del para el flujo nes del FEAI FEAI y FEDI. FEDI. En En consecuencia, consecuencia, la la relación relación clave clave y general general para flujo de de efectivo efectivo después después de de impuestos impuestos en en cada cada año año es: bruto - gastos FEAI FEAI = ingreso ingreso bruto gastos de de operación operación - inversión inversión inicial inicial + valor valor de de salvamento salvamento FEDI = = FEAI FEAI - impuestos impuestos = = FEAI FEAI - (ingreso (ingreso gravable)(T gravablejtf.)e ) FEDI IG IG = ingreso ingreso bruto bruto - gastos gastos de de operación operación - depreciación depreciación + recobro recobro de de depreciación depreciación Deberá Deberá determinarse determinarse el valor valor económico económico agregado agregado (VEA), (VEA), si la la contribución contribución calcucalculada una alternativa financiero corporativo medida económica. A lada de de una alternativa al valor valor financiero corporativo es es la la medida económica. A diferencia VEA incluye diferencia del del FEDI, FEDI, el VEA incluye el efecto efecto de de depreciación. depreciación. utilidad neta neta después VEA = VEA = utilidad después de de impuestos impuestos - costo costo del del capital capital invertido invertido = UNDI - (TMAR en libros) = UNDI (TMAR después después de de impuestos)(valor impuestos)(valor en libros)

= = IG IG -

impuestos impuestos - i(VL) i(VL)

Los VEA calculados calculados son mismos en Los valores valores anuales anuales equivalente equivalente de FEDI FEDI y de de VEA son los los mismos en términos numéricos, numéricos, debido términos debido a que que interpretan interpretan el costo costo anual anual de de la la inversión inversión de de capital capital de maneras distintas pero equivalentes, toma en valor del de maneras distintas pero equivalentes, cuando cuando se se toma en cuenta cuenta el valor del dinero dinero en tiempo. en el tiempo. En un análisis reemplazo, el impacto recobro de de depreciación depreciación En un análisis de de reemplazo, impacto tributario tributario del del recobro o la la pérdida de capital ocurren cuando el defensor se cambia por el este pérdida de capital ocurren cuando defensor cambia por retador; retador; este hecho se toma en consideración en un análisis después de impuestos. En este análihecho toma en consideración en un análisis después de impuestos. En este análisis se aplica aplica el procedimiento del análisis análisis de de reemplazo reemplazo que que se plantea en el capítulo capítulo sis procedimiento del plantea en 11. El El análisis tributario no cambiará la decisión de reemplazar o conservar deanálisis tributario no cambiará la decisión de reemplazar conservar al defensor, sin embargo, el efecto de los impuestos probablemente sí reducirá (una canfensor, sin embargo, efecto de los impuestos probablemente reducirá (una cantidad significativa) significativa) la la ventaja ventaja económica económica de una alternativa sobre sobre otra. otra. tidad una alternativa

PROBLEMAS PROBLEMAS Cálculos fiscales fiscales básicos Cálculos básicos 17.1 17.1

Escriba las las ecuaciones ecuaciones para calcular el IG IG yY Escriba para calcular la UNDI de una corporación, usando la UNDI de una corporación, usando solamente los los términos términos siguientes: siguientes: ingreso solamente bruto, tasa de impuestos, impuestos, gastos operagastos de operación, y depreciación. depreciación.

17.2 Describa Describa la diferencia diferencia básica entre un 17.2 básica entre un impuesto impuesto sobre un impuesto puesto sobre la renta y un individuo. para un un individuo. la propiedad, propiedad, para 17.3 De De la la lista lista que que aparece aparece abajo, abajo, seleccione seleccione de 17.3 entre los siguientes términos entre los siguientes términos relacionados relacionados con impuestos impuestos los que describan describan mejor cada con los que mejor cada

644

CAPÍTULO

17

Análisis económico después de impuestos

evento: depreciación, gastos de operación, ingreso gravable, impuesto sobre la renta, o utilidad después de impuestos. a) Una corporación reporta que tuvo una utilidad neta negativa de $200 000 sobre su declaración anual de ingresos. b) Se utilizó un activo con valor actual en libros de $80 000 sobre una línea nueva de procesamiento para incrementar en $200 000 las ventas de este año. c) Una máquina tiene una baja anual de $21 000 por LR. d) El costo de mantener equipo durante el año pasado fue de $3 680 200. e) El año pasado, un supermercado obtuvo $23 550 por ventas de boletos para sorteos. Con base en las ganancias pagadas a los poseedores de los boletos triunfadores, se envió un reembolso de $250 al gerente de la tienda. 17.4

Dos compañías presentan los siguientes valores en su devolución tributaria anual. Empresa 1

IIIH

Ingresos generados por ventas, $ Ingresos generados por intereses, $ Gastos de operación, $ Depreciación, $

1500000

Empresa 2 820000

31000

25000

-754000 148000

-591000 18000

Calcule el impuesto federal sobre la renta para el año. b) Determine el porcentaje de ingresos por ventas que cada compañía pagará en impuesto sobre la renta federal. c) Realice una estimación de los impuestos al emplear una tasa efectiva de 34% del IG completo. Determine el porcentaje de error relativo a los impuestos exactos en a). a)

17.5

El año pasado, una división de Compete. com, denominada dot.com, una firma de

servicio a la industria deportiva, que suministra análisis en tiempo real de la tensión mecánica por lesiones de los atletas, declaró $300 000 en ingreso gravable. Este año, el IG se calcula en $500 000. Calcule el impuesto federal sobre la renta y responda lo siguiente: a) ¿Qué tasa tributaria federal promedio se pagó el año pasado? b) ¿Qué es la tasa tributaria marginal federal sobre el IG adicional? c) ¿En cuánto se calcula la tasa tributaria federal promedio este año? d) ¿Cuál será la UNDI al considerar únicamente los $200 000 de ingreso gravable?

17.8

17.9 17.6 Yamachi y Nadler de Hawaii tienen un ingreso bruto de $6.5 millones durante el año. La depreciación y los gastos de operación totales fueron de $4.1 millones. Si la tasa tributaria combinada estatal y local es de 7.6%, utilice una tasa federal efectiva de impuesto sobre la renta de 34% y aplique la ecuación de la tasa tributaria efectiva. 17.7 Rotana Construction, Inc. ha operado durante los últimos 21 años en un estado del norte de Estados Unidos donde el impuesto estatal sobre la renta de las corporaciones es de 6% anual. Rotana paga un impuesto federal promedio de 23% y reporta un ingreso gravable de $7 millones. Debido a que la empresa está presionada por incrementos en el costo de la mano de obra, aumentos en las obligaciones sobre seguros y otros, el presidente quiere mudarla a otro estado a fin de reducir la carga fiscal total. Con la finalidad de atraer a la empresa, el nuevo estado tendría que estar dispuesto a ofrecer tolerancias fiscales o una cantidad libre de impuestos durante los dos primeros años. Usted es un ingeniero de Rotana y se le pide que haga lo siguiente: a) Determine la tasa efectiva de impuestos para Rotana.

FEA

17.11

17.1

17.1

645

PROBLEMAS PROBLEMAS

Calcule la tasa estatal estatal de impuestos impuestos neb) Calcule efectiva concesaria para reducir reducir la tasa efectiva cesaria junta en un 10% por año. junta Determine qué tendría tendría que hacer hacer el ese) Determine financiero para que tado nuevo nuevo en lo financiero Rotana se mudara mudara y redujera tasa Rotana redujera su tasa efectiva de impuestos impuestos a 22% por año. efectiva

17.8

Workman Tools declaró declaró un IG de $80000 $80000 Workman impuesto estael año pasado. pasado. Si la tasa del impuesto tal sobre sobre la renta determine a) la renta es de 6%, determine tasa de impuestos impuestos promedio promedio federal, federal, b) la tasa de impuestos impuestos efectiva efectiva global, e) impuesimpuestos totales impuestos totales con base base en la tasa de impuestos efectiva y d) los impuestos impuestos totales efectiva totales que se pagarán Estado y al gobierno gobierno federal. pagarán al Estado

17.9 Donald Donald es un ingeniero ingeniero civil con un salario salario anual de $98 000. Él recibe dividendos recibe dividendos e intereses de $7 500 este año. Las excepcioexcepciotereses nes y deducciones totales suman $10500. deducciones totales suman $10 500. a) Calcule los impuestos sobre la Calcule impuestos sobre renta renta federales derales como como persona persona física. b) Determine qué porcentaje salario Determine porcentaje del salario anual se pagará como impuesto sobre pagará como impuesto sobre la renta federal. renta federal. e) Calcule Calcule en cuánto cuánto tendría tendría que incremenincrementarse el total de exenciones tarse total exenciones y deducciodeducciones para para que los impuestos impuestos sobre la renta de Donald Donald disminuyeran disminuyeran un 10%. FEAlyFEDI FEAIY FEDI 17.10 ¿Cuál 17.10 ¿Cuál es la diferencia diferencia básica básica entre entre el flujo flujo de efectivo después de impuestos efectivo después impuestos (FEDI) (FEDI) y la la utilidad utilidad neta neta después después de de impuestos impuestos (UNDI)? (UNDI)? 17.11 Obtenga Obtenga una una relación relación general general para para calcular calcular el FEDI FEDI en la la situación situación de que que no hubiera hubiera depreciación depreciación anual anual por por deducir deducir y que que fuera fuera un año en el que que no ocurriera ocurriera inversión inversión P o rescate rescate S. 17.12 17.12 ¿En cuál cuál de los dos términos términos se aplica aplica la la depreciación, en el FEAI o en el FEDI, depreciación, FEA! FEDI, cuancuando se lleva lleva a cabo cabo un un análisis análisis de las las estimaestimaciones de flujos de efectivo de alternativas ciones flujos efectivo alternativas

desde la perspectiva perspectiva de la ingeniería ingeniería econóeconómica? cuatro años, ABB compró compró un activo 17.13 Hace cuatro en $300 000 cuyo valor valor estimado estimado de rescate es de $60 000. La depreciación depreciación fue de $60000 registraron los ingresos $60000 por año y se registraron ingresos brutos y gastos anuales que siguen. El activo se vendió vendió en $60 000 después después de 4 años. a) Haga tabla de flujos de efectivo Haga una tabla efectivo a mano después después de que aplique aplique una tasa efectiva efectiva de impuestos impuestos de 32%. Use el formato formato de la tabla tabla 17-3. b) Continúe tabla del inciso Continúe la tabla inciso anterior anterior y calcule calcule las estimaciones estimaciones de ingreso ingreso neto (IN). . e) Desarrolle hoja de cálculo Desarrolle una hoja cálculo y determine los valores valores anuales anuales del FEDI FEDI y el IN. Además, Además, grafíquelos grafíquelos contra contra el año de propiedad. propiedad. Año de de propiedad propiedad Ingreso Ingreso bruto, bruto, $ Gastos, Gastos, $

1

2

3

4

80 000 150000 150 000 120 000 100000 100 000 80000 120000 -20000 -40 000 -30000 -30000 -50000 -50000 - 20 000 -40000

17.14 Hace Hace cuatro cuatro años CHIPS, CillPS, Inc. adquirió adquirió un 17.14 activo por por $200 $200 000 con un salvamento salvamento esactivo timado S = $40 $40 000. 000. La La depreciación depreciación timado SMARC se cargó cargó durante durante un periodo periodo de reSMARC cuperación de 3 años. Se registraron registraron los incuperación gresos brutos brutos y los gastos gastos de operación operación que gresos muestran a continuación, continuación, y se aplicó aplicó una una se muestran tasa tributaria tributaria efectiva efectiva de 40%. 40%. Elabore Elabore una una tasa tabulación del FEDI FEDI a partir partir de la suposición suposición tabulación de que el activa acti vo fue a) descartado descartado por por $0 después de 4 años años y b) b) vendido vendido por por $20 $20 000 000 pués después de 4 años. años. Para Para este este cálculo cálculo solasoladespués mente, ignore ignore los impuestos impuestos en que que pudiera pudiera mente, haberse incurrido incurrido por por la venta venta del activo. activo. haberse Año de de propiedad propiedad Ingreso bruto, bruto, $ Ingreso Gastos, Gastos, $

1

2

3

4

80000 150000 120000 100000 -20000 -40000 -40000 -30000 -30 000 -50 - 50 000 000 -20000

646

CAPÍTULO

17

Análisis económico

17.15 Un ingeniero petrolero que labora para Halstrom Exploration debe calcular el flujo de efectivo antes de impuestos mínimo requerido, si el FEDI = $2 000 000. La tasa de impuestos efectiva federal es de 35% anual y la tasa tributaria estatal es de 4.5%. Se deducirá de los impuestos un total de $1 millón por depreciación este año. Calcule el FEAI requerido. 17.16 Una división de Hanes tiene al final del año los siguientes datos. Ingreso total = $48 millones Depreciación = $8.2 millones Gastos de operación = 28 millones Para una tasa efectiva federal de impuestos de 35% y otra estatal de 6.5%, determine a) FEDI, b) porcentaje del ingreso total que se gasta en impuestos, y e) ingreso neto en el año. 17.17 Wal-Mart Distribution Centres puso en servicio montacargas y bandas transportadoras que compró en $250 000. Use una hoja de cálculo para tabular los FEAI y FEDI Y la UNDI durante 6 años de propiedad, con el uso de una tasa efectiva de impuestos de 40% y los montos estimados de flujo de efectivo y depreciación que se muestran a continuación. Se espera que el valor de rescate sea de cero.

•• Al

Año 1 2 3

4 5 6

Ingreso bruto, $

Gastos de operación, $

90000 100000 60000 60000 60000 40000

-20000 -20000 -22000 -24000 -26000 -28000

Depreciación SMARC, $ 50000 80000 48000 28800 28800 14400

17.18 Una compañía que construye autopistas adquirió por $80 000 equipo para tender tuberías, el cual depreció con el uso de SMARC y un periodo de 5 años de recuperación. No tenía valor de rescate y generó montos anuales GI - E de $50 000, que se gravaron con 38% efectivo. La compañía decidió vender el equipo en forma prema-

después de impuestos

tura después de 2 años completos de uso intenso. a) Encuentre el precio si la compañía quiere venderlo en la cantidad exacta que refleje su valor en libros actual. b) Determine los valores FEDI si el equipo se vendió en realidad después de 2 años en la cantidad determinada en el inciso a) y no se adquirió un reemplazo.

17.2:

Efectos de los métodos de depreciación sobre los impuestos 17.19 Una empresa de fletes vía terrestre compró tráilers nuevos por $150000 y espera lograr un ingreso bruto de $80 000 sobre los gastos de operación los próximos 3 años. Los tráilers tienen un periodo de recuperación de 3 años. Suponga una tasa de impuestos efectiva de 35% y una tasa de intereses del 15% anual. a) Demuestre la ventaja de la depreciación acelerada al calcular el valor presente de los impuestos por el método SMARC frente al método LR clásico. Ya que el SMARC toma un año adicional para depreciar completamente, suponga que no hay FEAI para años posteriores al tercero, pero incluya cualquier impuesto negativo como ahorro en impuestos. b) Muestre que los impuestos totales son los mismos para ambos métodos. 17.20 Resuelva el problema 17.19 con el uso de una hoja de cálculo. 17.21 Realice un análisis por medio de una hoja de cálculo entre las siguientes dos opciones de depreciación, para una compañía que opera en un país sudamericano. Seleccione el método que sea preferible con base en el mejor VP del valor del impuesto con i = 8% y T= 40%.

Inversión inicial, $ FEAI, $/año Método de depreciación

Opción 1

Opción 2

-100000 40000

-100000 40000

Línea recta años

5

Valor Total $/af Tasa t

Méto:

Periol año

Saldo decreciente doble

Periodo de recuperación,

Costo

8

17.2

PROBLEMAS

17.22 Imperial Chem, Inc., una empresa internacional de productos químicos con sede en el Reino Unido, compró dos sistemas idénticos que se emplean en la manufacturación de fibra sintética. Un sistema se colocó en Pennsylvania, Estados Unidos, y el otro en Génova, Italia. Se calcula que cada uno de los dos sistemas generará un FEAI adicional anual de 65 000 dólares por los siguientes 6 años. La división de la empresa en Italia ya ha incorporado el sistema en su sucursal y quizá no aplique la depreciación SMARC. Suponga que el método clásico en línea recta fue el aprobado para corporaciones en el extranjero con unidades incorporadas en Italia. La unidad incorporada a Estados Unidos usa el SMARC igual que cualquier otra corporación con sede en este país. a) ¿Cuál es la diferencia en el valor presente de los impuestos y los impuestos totales para los 6 años? ¿Por qué no son iguales estos dos totales? Para este análisis, use los 6 años completos como periodo de evaluación y una tasa de interés de 12% anual. Ignore cualquier ganancia del capital, pérdidas o recaptura de depreciación en el momento de vender, y suponga que cualquier impuesto sobre una renta negativa es un ahorro fiscal. Activo establecido en Estados Unidos Costo inicial, $ Valor de salvamento, $ Total anual del FEAI, $/año Tasa tributaria Método de depreciación

Periodo de recuperación, años

Activo establecido en Italia

-250000 25000 65000

-250000 25000 65000

40 SMARC

40 LR clásica (sin convención a mitad de año)

5

5

17.23 Un activo con un costo inicial de $9 000 se depreció mediante SMARC en un periodo

647

de recuperación de 5 años. Se calcula el FEAI en $10 000 los primeros 4 años y $5 000 de ahí en adelante durante el tiempo que se conserve el activo. La tasa de impuestos efectiva es de 40%, y el dinero tiene un valor de 10% anual. ¿Cuánto del flujo de efectivo generado por el activa durante su periodo de recuperación se pierde por impuestos? Resuelva por medio de cálculos hechos a mano o con una hoja de cálculo, según indique el profesor. 17.24 Los ahorros efectivos de impuestos en un año, TS" debidos a la depreciación se calculan de la siguiente manera: TS, = (depreciación)(tasa tributaria efectiva) = (D,)(Te)

Desarrolle una relación para el valor presente de los ahorros en impuestos, VP Al, y explique cómo puede utilizarse en lugar del criterio del VP1MP para evaluar el efecto que tiene la depreciación sobre los impuestos. b) Calcule los VP Al para un activo sujeto al SMARC cuyo costo inicial es de $80 000, no tiene valor de rescate y su periodo de recuperación es de 3 años. Use valores de i = 10% anual y Te = 0.42.

a)

17.25 Un graduado de ingeniería se encarga del negocio de manufactura de herramientas Hartley Tools de su padre. La compañía ha adquirido un nuevo equipo por $200 000 con una vida esperada de 10 años y sin valor de salvamento. Para fines tributarios, las opciones son: • La alternativa de depreciación en línea recta con la convención a mitad de año y un periodo de recuperación de 10 años. • La depreciación SMARC con un periodo de recuperación de 5 años. El FEAI anticipado es de $60 000 anuales por sólo 10 años. La tasa tributaria efectiva para Hartley es de 42% e incluye todos los

648

CAPÍTULO 17 CAPÍTULO

Análisis económico económico después después de impuestos Análisis impuestos

impuestos. Elabore Elabore una hoja de cálculo cálculo para impuestos. para determinar lo siguiente: siguiente: determinar rendimiento antes de impuesimpuesa) Tasa de rendimiento durante un total de 11 11 años. tos durante rendimiento después de impuesb) Tasa de rendimiento durante un total de 11 11 años. tos durante método de depreciación depreciación que minimiminimie) El método valor de los impuestos impuestos de acuerdo acuerdo ce el valor tiempo. Emplee Emplee una tasa de intecon el tiempo. cualquier rés de 10% anual, y considere considere cualquier impuesto negativo negativo como un ahorro ahorro triimpuesto butario butario en el año en que ocurra. ocurra. Ganancias (pérdidas) (pérdidas) de capital capital Ganancias recobro de depreciación depreciación y recobro

.~ 11

.,,1 flZ;'

Determine cualquier cualquier recobro recobro de depreciadeprecia17.26 Determine ganancia (pérdida) (pérdida) de capital capital que se ción o ganancia genere por cada uno de los eventos eventos que se genere describen a continuación. continuación. Utilícelos Utilícelos para describen para determinar el monto monto del efecto efecto tributario, tributario, si determinar impuestos efectiva efectiva es de 30%. la tasa de impuestos franja de terreno terreno clasificada clasificada como como a) Una franja "Comercial A", que se compró "Comercial compró hace 8 años en $2.6 $2.6 millones millones se acaba acaba de años vender utilidad de 15%. vender con una utilidad Equipo para tierras que b) Equipo para movimiento movimiento de tierras se adquirió adquirió en $155 000 y se depreció depreció SMARC durante durante un periodo con el SMARC periodo de recuperación de 5 años, se vendió vendió al recuperación final del quinto quinto año de posesión final posesión en $10 000. $10000. activo depreciado depreciado con el SMARC SMARC e) Un activo recuperación de 7 años con periodo periodo de recuperación vendió después después de 8 en una canticantise vendió costo inicial inicial de dad igual a 20% de su costo $150000. $150000.

17.27 17.27 Determine Determine cualquier cualquier recuperación recuperación por por depreciación, ganancia ganancia o pérdida capital depreciación, pérdida de capital generada por por cada cada uno uno de los los eventos eventos generada descritos a continuación. continuación. Ú Úselos descritos selos para para determinar el monto del efecto efecto del impuesto impuesto determinar efectiva es de 40%. sobre la renta, si la tasa efectiva activo de 21 años años se retiró retiró del a) Un activo servicio vendió en $500. Cuando Cuando servicio y se vendió compró, se dio de alta en libros libros con se compró,

base de P = = $180 000, S = = $5000 $5 000 y una base = 18 años años.. Se utilizó utilizó depreciación depreciación n = clásica por línea recta recta para todo el clásica por línea para todo periodo recuperación. periodo de recuperación. b) Una alta tecnología Una máquina máquina de alta tecnología se vendió vendió internacionalmente intemacionalmente en $10 000 más que su precio precio de compra compra cuando cuando apenas tenía 1 año de servicio. servicio. El activo activo apenas tenía tenía valores valores de P = = $100 $100 000, 000, S = = depreció con el $1 000, n == 5 años y se depreció método SMARC para para 1 año. método del SMARC año. 17.28 Desarrolle Desarrolle una hoja hoja de cálculo cálculo en la que 17.28 modifique los encabezados encabezados de las columnas columnas modifique comparar gráfide la tabla 17-3b) para: a) comparar camente la serie anual de FEDI, FEDI, y b) comcamente parar forma numérica numérica el FEDI FEDI total de parar en forma los dos modelos modelos de depreciación depreciación (SMARC (SMARC convención de medio año. Para Para y LR) con la convención activos, use la situación situación siguiente: siguiente: los activos,

17.30

Activo Terreno Edificir Limpia Circula,

17.31

Costo inicial inicial = = $10 000 Costo Valor de rescate rescate estimado estimado = = $500 $500 Periodo de recuperación recuperación = = 5 años Periodo = $5 000 anual GI - E = durante 6 años durante

activo se vendió vendió en $500 después después de 6 El activo efectiva de impuestos impuestos años de uso. La tasa efectiva durante el tiempo fue de 38% en promedio promedio durante tiempo de su posesión. posesión. Merey Hospital Hospital es una corporación corporación lucrativa lucrativa 17.29 Mercy compró equipo equipo de esterilización esterilización a un que compró costo de $40 000. Se usó el SMARC SMARC con costo periodo recuperación de 5 años y valor valor periodo de recuperación rescate estimado estimado de $5 000 para de rescate para dar de baja inversión de capital. capital. El equipo equipo baja la inversión incrementó por ingreso bruto incrementó por año el ingreso bruto en $20000 gastos en $3 000. Después Después de $20 000 y los gastos completos tras la compra, compra, el hospital hospital 2 años completos vendió el equipo equipo en $21 000 a una clínica clínica vendió recientemente organizada. organizada. La tasa efectiva efectiva recientemente de impuestos impuestos es de 35 35%. Determine: a) los %. Determine: impuestos sobre la renta, renta, y b) el flujo de impuestos efectivo después de impuestos impuestos para el activo efectivo venta. en el año de su venta.

17.32

17.33

PROBLEMAS PROBLEMAS

17.30 Hace un par de años, la empresa empresa Health4All Health4All le compró compró un terreno, terreno, un edificio edificio y dos activos depreciables corporación. Redepreciables a otra corporación. cientemente, cientemente, la empresa empresa se deshizo deshizo de ellos. Utilice Utilice la información información de la siguiente siguiente tabla para pérdipara determinar determinar si existió existió ganancia ganancia o pérdida de capital capital y cuál fue el monto monto de éstas, y si ocurrió ocurrió recobro recobro de depreciación. depreciación.

Activo

Periodo Periodo de de recuperaPrecio de recuperacompra, $ compra, ción, $

Terreno Terreno -200000 -200 000 Edificio Edificio -800 -800 000 Limpiadora Limpiadora -50500 -50500 Circulador -lO -10000 Circulador 000

27.5 27.5 3 3

Valor actual en Precio de actual libros, $ venta, venta, $

300000 300000 15500 5000 5000

245000 245000 255000 255000 18500 10500

17.31 En el problema problema 17 .14b), CHIPS, CHIPS, lnc. vendió vida de 4 años en $20 000. El un activo activo con vida activo método activo se depreció depreció al aplicar aplicar el método SMARC Vuelva a calcular SMARC de 3 años. a) Vuelva calcular el FEDl FEDl en el año de venta, considerando considerando cualquier quier efecto efecto fiscal adicional adicional ocasionado ocasionado por el precio de venta de $20 000. b) ¿¿Cuál Cuál es el cambio en el FEDl FEDl por la cantidad cantidad del procambio blema 17.14? blema 17.32 (Utilice mismos datos de los activos (Utilice los mismos activos del problema 16.4). Un activo activo con costo costo inicial inicial problema de $45 000 tiene una vida de 5 años, un valor de rescate rescate de $3 000, y un FEAl previsto de FEAl previsto $15000 programa de $15000 por año. Determine Determine el programa depreciación depreciación con LR clásica, y para cambiar cambiar de SD a LR para maximizar maximizar la depreciación. depreciación. Use = 18 18% efecti va de impuestos impuestos U se una i = % Ytasa Ytasa efectiva de 50%, para determinar 50%, para determinar cuánto cuánto disminuye disminuye el valor valor presente presente de los impuestos impuestos si se permitiera el cambio. permitiera cambio. Suponga Suponga que el activo se vende vende en $3 000 000 en el año año 6 y que que cualquier negativo o pérdida pérdida de cualquier impuesto impuesto negativo capital momento de la venta venta genera capital en el momento genera ahorros ahorros en impuestos. impuestos. IRS Publication Publication 17.33 17.33 Consulte Consulte el sitio web de la IRS 544 capítulo acerca acerca 544 y utilice utilice el material material del capítulo del reporte reporte de pérdidas pérdidas y ganancias para ganancias para

649

explicar los cálculos cálculos necesarios explicar necesarios que determinan la ganancia ganancia y pérdida pérdida netas de capital, en la Sección transacciones de la Sección 1231 de transacciones propiedad. Describa mejor forma propiedad. Describa cuál es la mejor forma de reportadas reportarlas en una devolución devolución de impuesimpuestos corporativos. corporativos. Análisis económico después después de impuestos impuestos Análisis económico 17.34 Calcule Calcule el rendimiento 17.34 rendimiento requerido requerido antes de impuestos impuestos si se espera espera uno de 9% anual anual después impuestos, si el total de las tasas después de impuestos, estatal estatal y local local es de 6%. La tasa tasa federal federal efectiva es de 35%. efectiva

17.35 Una división Texaco-Chevron tiene un división de Texaco-Chevron lG de $8.95 millones lG millones para para el año fiscal. Si la tasa tasa estatal estatal de impuestos impuestos es de 5% en promedio en todos los estados promedio estados en que opera opera la corporación, corporación, encuentre encuentre la TIR equivalente equivalente después necesaria para para prodespués de impuestos impuestos necesaria yectos que se justifican justifican únicamente únicamente si deyectos muestran un rendimiento rendimiento de 22% anual muestran anual antes de impuestos. impuestos. 17.36 John alcanzó rendimiento anual de 8% alcanzó un rendimiento después de impuestos impuestos al invertir invertir en acciones. Su hermana hermana le dijo que éste era equivalente equivalente a un rendimiento rendimiento de 12% anual anual antes de impuestos. porcentaje de ingreso impuestos. ¿Qué ¿Qué porcentaje ingreso gravable supone supone ella que sería tomado tomado por gravable los impuestos renta? impuestos sobre sobre la renta? 17.37 Un ingeniero negocio ingeniero es copropietario copropietario de un negocio de renta propiedades inmobiliarias, renta de propiedades inmobiliarias, el cual cual acaba acaba de adquirir adquirir un complejo complejo de departamentos por medio medio departamentos en $3 500 000, por capital propio. propio. Para Para los 8 años siguiensiguiende capital bruto anual tes se espera espera un ingreso ingreso bruto anual de $480 $480 000 antes de impuestos, impuestos, afectado afectado por gastos gastos anuales anuales estimados estimados en $100 $100 000. Los propietarios esperan vender en el valor valor propietarios esperan vender calculado calculado actualmente actualmente de $4 050 050 000 000 después tasa de impuesto después de 8 años. La tasa impuesto que se aplica ingreso gravable aplica al ingreso gravable ordinario ordinario es depreciarse con de 30%. La propiedad propiedad va a depreciarse el método método de línea recta durante vida de línea recta durante su vida 20 años, con un valor valor de rescate rescate de cero.

CAPÍTULO 17 Análisis económico después de impuestos

650

Ignore la convención de medio año en los cálculos de la depreciación. a) Haga una tabla de los flujos de efectivo después de impuestos para los 8 años de posesión, y b) determine las tasas de rendimiento antes y después de impuestos. Use cálculos a mano O una presentación con plantilla del FEDI similar a la tabla 17-3, adaptada a la situación descrita.

determinar cuál vender. Cuando se compró, North Enterprises (NE) costó $20 millones, mientras que el costo de The Southern Exchange (TSE) fue de $40 millones. En el momento de la compra, hace 4 años, el costo de los activos de capital fue de $10 millones para NE y de $20 millones para TSE, y su depreciación continuará con el SMARC con n = 7 para los 4 años que les resta de vida. La compañía NE requerirá de inmediato fondos de inversión nuevos por $500 000 debido a algunas decisiones incorrectas que se tomaron previamente; pero TSE no requiere fondos de inversión nuevos. Se han hecho estimaciones anuales de ingreso bruto futuro (entradas) y gastos. Todos los valores que aparecen en la tabla están en unidades de $1000, la tasa efectiva de impuestos es de 35% anual y el consejo de directores estableció en 25% anual la TMAR corporativa después de impuestos. Para poder emitir la recomendación de cuál conservar y cuál vender, considere solamente los 4 años siguientes de flujos de efectivo después de impuestos, con la finalidad de determinar el valor de TIR de equilibrio (nota: como son corporaciones completas las que se analizan, un impuesto sobre la renta negativo no debe considerarse como ahorro fiscal. En ese caso, el monto del impuesto sobre la renta se estimaría de cero para un año).

17.38 Un activo tiene la siguiente serie de estimaciones FEAI y FEDI introducidas en las columnas y renglones de una hoja de cálculo. La compañía usa una tasa de rendimiento de 14% anual antes de impuestos y 9% anual después de éstos. Escriba las funciones de la hoja de cálculo para cada serie a fin de que aparezcan los tres resultados de VP, VA y TIR. Al resolver este problema use al menos las funciones de hoja de cálculo VPN, VA Y TIR. Columna

\\

;\1 I

Renglón

4 5 6 7 8 9 10

A Año

B CFBT, $

C CFAT, $

O

-200000 75000 75000 75000 75000 90000

-200000 62000 60000 52000 53000 65000

1 2 3 4 5

17.40 Un ingeniero civil debe elegir entre dos piezas de equipo que serán usadas para bombear concreto a una estructura de los cimientos.

17.39 NewsRecord, Inc., ha sido durante 4 años propietaria de dos compañías subsidiarias y espera conservar una de ellas otros 4 y vender la otra ahora. Se le pide a usted que realice un análisis económico a fin de

North Enterprises Años después de hoy

Ingreso bruto, $ Gastos, $

1 2000 -500

2 2500 -800

3 3000 -1100

Coste Valo FEA Vida

17.4

Coste

COA ValO

n, afí:

17.4

The Southern

(NE)

4 3500 -1400

1 4000 -800

2 3000 -1200

Exchange (SE)

3 2000 -1500

4 1000 -2000

Cosn

ValO COA Vida

651

PROBLEMAS

Máquina A Costo Valor FEAI, Vida,

inicial, $ de rescate, $ $/año años

Máquina B

-35500 4000 8000

-19000 3000 6500

7

7

Se ha estimado una vida útil de 7 años para ambas máquinas; sin embargo, la depreciación con el SMARC tiene lugar durante un periodo de recuperación de 5 años. La tasa efectiva de impuestos es de 40%, y la TMAR después de éstos es de 8% anual. Compare las dos máquinas por medio del análisis del valor presente después de impuestos, realizado a) por computadora, y . b) a mano. 17.41 Ned va a evaluar dos alternativas, ya que su jefe desea saber. el valor de la tasa de rendimiento en comparación con la TMAR corporativa de 7% después de impuestos que se utiliza para decidir acerca de inversiones nuevas de capital. Realice el análisis a) antes de impuestos, y b) después de éstos, con Te = 50% y depreciación por LR clásica (desarrolle la solución a mano o con hoja de cálculo, según indique su profesor).

x Costo inicial, $ COA, $/año Valor de rescate, $ n, años

-12000 -3000 3000 10

inicial, $ de rescate, $ $/año años

17.43 Un ingeniero senior de Tuskegee Industries desarrolló estimaciones unitarias de las más recientes máquinas para balancear llantas de camiones, que se utilizarán durante los 3 años siguientes. Se van a comprar hasta 1 000 unidades para 450 locales. Si la TMAR después de impuestos es de 8%, la depreciación fue hecha con el SMARC (sin GI - E en el año 4), y Te = 40%, a) desarrolle una gráfica de VP contra i que muestre la TIR de equilibrio después de impuestos, y b) use SOLVER para determinar el costo inicial de B para obtener los dos puntos de equilibrio si las demás estimaciones permanecen sin cambio.

y

-25000 -1500 5000 10

17.42 Dos máquinas tienen las siguientes estimaciones:

Costo Valor COA, Vida,

Cualquier máquina se usaría durante un total de 10 años para después ser vendida en el valor de rescate estimado. La TMAR antes de impuestos es de 14% anual, después de éstos es de 7% por año, y Te = 50%. Seleccione una de las máquinas con base en a) un análisis del VP antes de impuestos, b) un análisis del VP después de impuestos, con el empleo del método de depreciación por LR clásica durante la vida de 10 años, y e) un análisis del VP después de impuestos con depreciación por el SMARC y un periodo de recuperación de 5 años.

Máquina A

Máquina B

-15000 3000 -3000 10

-22000 5000 -1500 10

Alternativa A Costo inicial, $ Valor de rescate, $ GI - E, $/año Periodo de recuperación, años

-10 000 O 4500 3

Alternativa B

-13 000 2000 5000 3

17.44 El gerente de una planta europea que manufactura dulces debe seleccionar un sistema de irradiación nuevo a fin de garantizar la seguridad de ciertos productos, siempre y cuando sea económico. Las dos alternativas de que dispone tienen las siguientes estimaciones:

652

CAPÍTULO CAPÍTULO 17

Costo inicial, inicial, $ Costo FEAI, $/año $/año FEAI, Vida, años Vida, años

Análisis económico Análisis económico después después de impuestos impuestos

Sistema A Sistema

Sistema B Sistema

-150000 -150000 60000 3

-85000 -85000 20000 5

La compañía compañía se encuentra encuentra en el rango rango de impuesto y emplea emplea depreciación depreciación 35% de impuesto clásica por línea recta comparar las clásica por línea recta para para comparar alternativas con una TMAR alternativas TMAR de 6% anual. Para calcular calcular la depreciación depreciación se emplea emplea un Para sistema B puede valor de rescate rescate de cero. El sistema puede venderse después después de 5 años en 10% de su venderse inicial, mientras sistema A no costo inicial, mientras que el sistema valor de rescate rescate previsto. Determine tiene valor previsto. Determine económico. cuál es el más económico. cálculos hechos mano, y b) rela17.45 Use a) cálculos hechos a mano, relaencontrar ciones en una hoja de cálculo, para encontrar la tasa de rendimiento después de impuestos impuestos rendimiento después para equipo de una planta desalinizadora, para el equipo planta desalinizadora, durante un periodo equipo está durante periodo de 5 años. El equipo diseñado para trabajos especiales especiales y diseñado para hacer hacer trabajos costará $2 500, no tendrá tendrá valor costará valor de rescate rescate y no durará estima que los durará más de 5 años. Se estima ingresos menos egresos será igual a $1 500 ingresos menos egresos cada año adicional adicional en el año 1 y de $300 en cada efectiva de impuestos impuestos es de de uso. uso. La tasa tasa efectiva depreciación por LR clásica. clásica. 30%. 1) Use depreciación depreciación con el SMARC. SMARC. 2) Utilice Utilice depreciación Cierto equipo equipo de inspección inspección automática automática 17.46 Cierto comprado Stimson EngineeEngineecomprado en $78 000 por Stimson ring generó generó un flujo de efectivo efectivo promedio promedio anual de $26 $26 080 080 antes antes de impuestos, impuestos, anual durante su vida estimada estimada de 5 años, lo cual cual durante representa 20%. Sin Sin representa un rendimiento rendimiento de 20%. embargo, el funcionario funcionario encargado encargado de las embargo, finanzas corporativas corporativas determinó determinó que que el finanzas FEDI FEDI era de $18 000 para para el primer primer año y decrecería a $1 000 por de ahí en adelante adelante decrecería año. Si el presidente quiere obtener año. presidente quiere obtener un rendimiento de 12% anual anual después después de imimdimiento puestos, ¿durante cuántos cuántos años más debe debe puestos, ¿durante permanecer equipo en servicio? servicio? permanecer el equipo

17.47 Resuelva empleo 17.47 Resuelva el problema problema 17.46 con el empleo función VPN de Excel. Excel. de la función Haga una tabla FEDI para estimacio17.48 Haga tabla de FEDI para las estimaciones del problema depreciaproblema 17.42, mediante mediante depreciación clásica clásica por línea línea recta durante 10 años. recta durante a) Calcule la tasa de rendimiento de equilibrio por medio de una gráfica del VP contra i.i. Seleccione la mejor mejor máquina cada b) Seleccione máquina con cada uno de los siguientes siguientes valores valores de la TMAR TMAR después de impuestos: impuestos: 5%, 9%,10% 9%,10% Y 12% después anuales. anuales. ejemplo 17.8, 17.8, acerca acerca del fabricante fabricante 17.49 En el ejemplo cable de fibra óptica, óptica, se tiene que P == de cable = O, n = = 5, FEAI FEAI = = $20 000, y $50 000, S = Te = = 40%. Se usa depreciación depreciación por línea recta Te para calcular una i* = = 18.93% después después de para calcular impuestos. Si el propietario impuestos. propietario requiere requiere un rendimiento de 20% 20% anual anual después después de imimdimiento determine una estimación estimación permitida puestos, determine permitida para: costo inicial, inicial, y b) el FEAI FEAI anual. para: a) el costo Para obtener obtener estos valores, suponga que los Para valores, suponga demás parámetros conservan el valor demás parámetros conservan valor estimado en el ejemplo ejemplo 17.8, y que la tasa tasa efecefecimpuestos es de 40%. Resuelva Resuelva este tiva de impuestos problema problema a mano. mano.

Cm Cm

Vid Val

ca Val Mé

17.

Resuelva el problema 17.50 Resuelva problema 17.49 mediante mediante una hoja cálculo y la herramienta SOLVER hoja de cálculo herramienta SOLVER para anuales después después de para rendimientos rendimientos anuales impuestos de a) 20%, y b) 10%. Explique Explique impuestos por qué los valores FEAI aumentan aumentan valores de P y FEAI disminuyen si se usa TIR o disminuyen usa un valor valor de TIR mayor mayor o menor menor a 18.03%. Análisis reemplazo después después de impuestos impuestos Análisis de reemplazo Stella Needleson, empleada de 17.51 Se pidió pidió a Stella Needleson, empleada Scotty Paper Paper Company-Canada, Company-Canada, que deterdeterScotty minara si el proceso actual de eliminación eliminación minara proceso actual escribir debe debe conservarse conservarse o de papel papel para para escribir implantar otro nuevo amigable con el implantar nuevo más amigable ambiente. A continuación continuación se resumen ambiente. resumen las estimaciones o valores valores reales para timaciones para los dos proprocesos. Ella Ella hizo un análisis análisis de reemplazo reemplazo cesos. después de impuestos impuestos a 10% anual y una después una efectiva de impuestos impuestos de 32% para tasa efectiva para la

Cm

ca

Val Val Vid Añ:

PROBLEMAS PROBLEMAS

corporación, con la finalidad finalidad de determinar determinar corporación, debía elegirse elegirse el proceso proceso nuevo nuevo por que debía cuestiones de economía. economía. ¿Estaba ¿Estaba en lo cuestiones correcto? ¿Por qué sí o no? (Nota: (Nota: las leyes correcto? fiscales canadienses canadienses imponen el fiscales no imponen requerimiento de la mitad del año). requerimiento Proceso Proceso actual Costo inicial, inicial, hace hace 7 años, años, $ Costo Costo inicial, inicial, $ Costo Vida remanente, remanente, años años Vida Valor de mercado mercado actual, actual, $ Valor COA, , $/año $/año COA Valor de rescaste, Valor rescaste, $ Método depreciación Método de depreciación

Proceso Proceso nuevo

-450000 -450000

5 50000 50000 -160000 -160000 O O LR LR

-700000 -700000 10 -150000 -150000 50000 50000 LR LR

ingeniero de la ciudad 17.52 a) Un ingeniero ciudad de Los ÁnÁnCalifornia, analiza geles, California, analiza un proyecto proyecto de obras para obras públicas públicas con fines de lucro para portuaria con el uso de un la autoridad autoridad portuaria análisis reemplazo después análisis de reemplazo después de de impuestos, tanto del sistema sistema actual impuestos, tanto actual instalado instalado (defensor) (defensor) como como del retador. Los detalles presentan más detalles de ambos ambos se presentan abajo. valores están abajo. Todos los valores están expreexpresados sados en unidades unidades de $1000 $1 000 y se aplica aplica la tasa tasa estatal estatal efectiva efectiva de impuestos impuestos de 6%, 6%, pero pero no se imponen imponen impuestos impuestos federales. federales. Se requiere requiere el rendimiento rendimiento municipal municipal de 6% anual anual después después de impuestos. impuestos. Suponga Suponga que los rescates rescates en el futuro futuro ocurrirán ocurrirán en las cantidades cantidades estimadas estimadas y utilice utilice una una depreciación depreciación clásica clásica por por LR. Lleve Lleve a cabo cabo el análisis. análisis. b) ¿La ¿La decisión decisión sería sería diferente diferente si se realirealizara zara el análisis análisis del reemplazo reemplazo antes antes de impuestos, impuestos, con ii = 12% anual? anual?

Costo Costo inicial, inicial , $$ COA, COA, $/año $/año Valor Valor de de rescate, rescate, $ Valor Valor de de mercado, mercado, $$ Vida, Vida, años años Años Años en en servicio servicio

Defensor Defensor

Retador Retador

-28000 -28000 -1200 -1200 2000 2000 15000 15000 10 10 55

-15000 -15000 -1500 -1500 3000 3000

8

653

17.53 Suponga Suponga que han transcurrido transcurrido 5 años adicionales cionales en el problema problema 17.52a) 17.52a) y el retador retador ha funcionado funcionado durante durante todo ese tiempo. Un ingeniero ingeniero nuevo decide decide privatizar privatizar todas las entidades rentables del gobierno de la ciudad y vende en $10 000 000 el sistema sistema retador retador implantado. implantado. La decisión decisión tomada tomada 5 años antes, ¿fue correcta? correcta? Use los mismos mismos valores valores de antes: tasa efectiva efectiva de impuestos impuestos de 6%, 6%, tasa de rendimiento rendimiento de 6% anual después después impuestos, y depreciación depreciación clásica por LR. de impuestos, 17.54 17.54 Hace algunos años, Apple Crisp Foods firmó un contrato contrato para para dar servicios servicios de mantenimantenimiento a su flota de camiones camiones y automóviles, automóviles, ahora ahora se plantea plantea la renovación renovación del contrato contrato por un periodo periodo de 1 o 2 años. años. Si fuera por un año, el contrato contrato costaría costaría $300 000 anuales anuales y $240 000 por año si fuera por por 2. El vicepresidente de finanzas finanzas desea desea renovar renovar el conpresidente trato por 2 años sin mayor mayor análisis, pero el trato análisis, pero sería más económico de ingeniería ingeniería cree que sería económico realizar el mantenimiento mantenimiento al interior interior de la realizar empresa. Como Como gran parte está empresa. parte de la flota está envejeciendo y debe debe reemplazarse reemplazarse en el fuenvejeciendo turo cercano, se acordó un periodo de estudio estimaciones para para la alterde 3 años. Las estimaciones nativa de dar mantenimiento mantenimiento en la compañía compañía nativa (retador) (retador) son: Costo Costo inicial, inicial, $ COA, COA, $/año $/año Vida, Vida, años años Rescate Rescate estimado, estimado, $

Depreciación Depreciación con SMARC conSMARC

-800000 -800000 -120000 -120000 4 Pérdidas anuales anuales de de 25% 25 % del del P: Pérdidas Final del del año año 1 600 600 000 000 Final Final del del año año 22 400 400 000 000 Final Final del del año año 3 200 200 000 000 Final Final del del año año 4 Final OO Periodo de de recuperación recuperación de de 3 años años Periodo

La La tasa tasa efectiva efectiva de impuestos impuestos es de 35% 35 % y la TMAR después de impuestos es de 10% TMAR después impuestos anual. Realice un análisis después anual. Realice un análisis después de de impuestos impuestos y determine determine cuál cuál de de los los viceprevicepresidentes sidentes posee posee la mejor mejor estrategia estrategia para para los los 3 años siguientes. años siguientes.

654

CAPÍTULO 17 CAPÍTULO

Análisis económico después después de de impuestos impuestos Análisis económico

Diversos dispositivos dispositivos de seguridad seguridad nuclear 17.55 Diversos nuclear instalaron hace varios años se han deque se instalaron preciado inicial de $200 $200 000 a preciado de un costo inicial SMARC. Los disposidisposicero, por medio medio del SMARC. tivos pueden venderse en el mercado de equipos usados en una cifra estimada estimada en $15 000, continuar en servicio servicio durante durante o bien pueden pueden continuar actualización de $9 000 otros 5 años con una actualización ahora y un COA COA de $6 000 por año. La inahora versión actualizados se depreciaría depreciaría versión para para actualizarlos durante 3 años sin valor durante valor de rescate. rescate. El retaretador es un reemplazo reemplazo con tecnología tecnología más nueva y un costo costo inicial inicial de $40 000, n = 5 nueva = O. Las unidades incuunidades nuevas nuevas incuaños y S = rrirían gastos de operación operación por $7 000 al rrirían en gastos año. estudio, a) Utilice Utilice un periodo periodo de 5 años de estudio, tasa efectiva de impuestos impuestos de 40%, 40%, tasa efectiva TMAR de 12% anual después después de imTMAR puestos depreciación clásica línea puestos y depreciación clásica por línea recta convención del medio medio año), año), recta (sin convención para estudio de reemplazo para realizar realizar un estudio reemplazo después de impuestos. impuestos. después después b) Si es posible posible vender vender al retador retador después cantidad entre entre $2 000 de 5 años en una cantidad y $4 $4000, retador se volvería vol vería 000, ¿el VA del retador menos costoso? ¿Por ¿Por qué? menos o más costoso?

11"'"

Desarrolle una cálculo como como la 17.56 Desarrolle una hoja hoja de cálculo número ejemplo 17.3. Vuelva número 17-8 del ejemplo Vuelva a hacer análisis de reemplazo después de hacer el análisis reemplazo después impuestos con un valor valor de mercado impuestos mercado del defensor de $275 000 y considerando considerando que defensor interel retador retador se venderá venderá en el mercado mercado internacional cuenta nacional en $100 000. No se toma toma en cuenta calcular la depredepreel valor valor de rescate rescate para para calcular ciación del retador. ciación Hace tres años, Silver Silver House House Steel compró compró 17.57 Hace un sistema sistema de extinción extinción nuevo $550 000. nuevo en $550 momento se estimó estimó que su valor valor En aquel momento después de 10 de rescate rescate sería de $50 000 después espera que la vida remanente años y ahora se espera remanente años, con un COA COA de $27 000 por sea de 7 años,

nuevo recomendó recomendó la año. El presidente presidente nuevo sustitución prematura sistema por otro sustitución prematura del sistema cuesta $400 000 y tiene tiene una vida que cuesta vida de 12 años, un valor valor de rescate rescate de $35 000 y COA anual que se estima estima en $50 000. La COA TMAR de la corporación corporación es de 12% anual. TMAR quiere saber saber el valor El presidente presidente quiere valor del reemplazo, plazo, lo cual haría haría que la recomendación recomendación sustituir ahora ahora tuviera tuviera ventajas económide sustituir ventajas económiherramienta cas. Use Use una hoja de cálculo y la herramienta SOLVER para encontrar el valor SOLVER para encontrar valor mínimo mínimo de cambio, a) antes de impuestos, impuestos, y b) después después cambio, impuestos, con el empleo empleo de una de impuestos, una tasa tasa efectiva de impuestos impuestos de 30%. Para Para la soluefectiva depreciación clásica clásica por ción, use depreciación por LR para para ambos sistemas. Comente Comente las diferencias diferencias en ambos sistemas. debidas a la consideconsideel valor valor del reemplazo reemplazo debidas ración impuestos. ración de los impuestos. Valor económico agregado agregado Valor económico ¿Cuál es la relación valor 17.58 a) ¿Cuál relación del término término valor económico agregado agregado con el valor valor de la económico corporación? corporación? ¿Por qué un inversionista inversionista preferiría b) ¿Por preferiría utilizar en una corporación corporación pública lizar pública las estimaciones de VEA lugar de las estitimaciones VEA en lugar maciones FEDI en un proyecto? maciones del FEDI proyecto? 17.59 Un activo activo tiene costo inicial inicial de $12 000, 17.59 tiene un costo depreciación por LR de $4 000 cada cada año de depreciación años y su periodo periodo de recuperación recuperación de 3 años ningún FEAI que se ningún valor valor de rescate, rescate, y un FEAI estima en $5 000 anuales. anuales. La tasa tasa efectiva efectiva estima impuestos es de 50% y la TMAR TMAR después después de impuestos impuestos de Harriet Harriet Corporation Corporation es de de impuestos Obtenga la solución solución a mano 10% anual. Obtenga mano o cálculo, según según lo indique indique con una hoja hoja de cálculo, demostrar que: a) los su profesor, profesor, a fin de demostrar valores FEAI valores presentes presentes de las series VEA VEA y FEAI idénticos, y b) cuando cuando se carga carga el son idénticos, equivalente del costo costo inicial inicial contra contra el FEAI FEAI equivalente anual, el VP resultante resultante es igual al VP del ejemplo 17.14b). 17.14b). VEA, como se vio en el ejemplo

17.1

17.1

655

PROBLEMAS PROBLEMAS

a

e y

a

n

e s a

a n

r a

aparecen en el ejemplo ejemplo 17.60 Con los datos que aparecen 17.3 yYuna una tasa de interés de 10% anual, realice lo siguiente: siguiente: Determine las estimaciones estimaciones anuales anuales de a) Determine VEA. b) Muestre Muestre que el valor anual del VEA es numéricamente numéricamente igual a las estimaciones estimaciones valor de salvasalvadel VA de FEDI, si el valor mento mento real real en el año 6 es cero, y no $150000. $150000. (Esto logra logra que el FEDI FEDI en el año 6 sea igual a $82 588.)

17.61 Sun Microsystems Microsystems estableció estableció sociedades sociedades con diferentes diferentes corporaciones corporaciones manufacturemanufactureras que emplean emplean el software software Java en sus productos ductos industriales industriales y de consumo. consumo. Por lo tanto, tanto, fue necesario necesario crear crear una una rama rama que manejara manejara estas aplicaciones. aplicaciones. Un proyecto proyecto de grandes dimensiones dimensiones incluye incluye el uso de Java Java grandes dispositivos industriales comerciaen sus dispositivos industriales y comerciales para para la venta venta y preparación preparación de alimenalimentos. Se espera espera que el ingreso ingreso bruto y los gastos de operación operación sean acordes con la relación muestra a continuación continuación para para la estique se muestra mación mación de vida de 6 años. Si para para t = = 1a6 años años::

Ingreso = 2 800 000 Ingreso bruto bruto anual anual = - 100000(t) 100000(t)

Gastos = 950 000 Gastos anuales anuales = + 50 OOO(t) OOO(t) La tasa de impuestos impuestos efectiva efectiva es de 35%, la tasa de interés anual, y el métométointerés es de 12% anual, do de depreciación eligió para para los depreciación que se eligió $3000000 inversión es la al$3000000 en capital capital de inversión ternativa permite la ternativa SMARC SMARC de 5 años que permite depreciación recta con la convenconvendepreciación en línea línea recta mitad de año en los años 1 y 6. UtiliUtilición a mitad ce una hoja de cálculo para determinar: determinar: a) cálculo para contribución económica económica anual del proyecla contribución proyecto a la nueva valor anual nueva corporación corporación y b) el valor equivalente equivalente de estas contribuciones. contribuciones.

17.62 Repase descritas en los los Repase las situaciones situaciones descritas ejemplos 17.6 y 17 .11. Suponga conejemplos 17.11. Suponga que el contrato con la NBA NBA es ahora ahora de 6 años, que el ingreso operación ingreso bruto bruto y los gastos gastos de operación continúan este periodo periodo de 6 continúan durante durante todo este años, y que ningún analizador ha ningún equipo equipo analizador convertido valor de salvamenconvertido en efectivo su valor salvamento. Utilice VEA para para elegir elegir Utilice un análisis análisis de VEA entre las dos alternativas. TMAR es de alternativas. La TMAR 10% anual y Te = 35%.

656

CAPÍTULO 17 CAPÍTULO

Análisis económico económico después después de impuestos impuestos Análisis

ESTUDIO DE CASO CASO ESTUDIO

in

EVALUACIÓN DESPUÉS DESPUÉS DE IMPUESTOS IMPUESTOS DEL FINANCIAMIENTO FINANCIAMIENTO EVALUACIÓN DEUDA Y CAPITAL PROPIO POR DEUDA

cc

1)

Sl

La propuesta propuesta La Young Brothers, Brothers, Inc., Inc., una una Young empresa de ingeniería ingeniería apliapliempresa cada carreteras, localizada localizada cada a carreteras, Washington, dedeen Seattle, Seattle, Washington, sea ampliar ampliar sus sus servicios servicios a sea Portland, Oregon. Oregon. En En la hishisPortland, toria de la empresa, empresa, uno uno de toria dueños, Charles, Charles, siempre siempre los dueños, cuidado los intereses intereses financieros financieros de la compañía, compañía, y ha cuidado le preocupa preocupa el método método de financiamiento financiamiento para las nuenuepara las oficinas, área área de trabajo trabajo y el equipo equipo que que se utilizará utilizará vas oficinas, sucursal de Portland. Portland. Existen dos maneras maneras de fien la sucursal Existen dos nanciar el nuevo nuevo proyecto: proyecto: una una es obtener obtener una una deuda deuda nanciar financiera (préstamo) (préstamo) con con el banco banco de Seattle, Seattle, y la otra otra financiera financiamiento con con capital capital propio empresa, es el financiamiento propio de la empresa, pero desconoce la mejor mejor opción opción de combinar combinar ambas ambas pero se desconoce alternativas. Para Para solucionar solucionar este este problema problema Charles Charles leyó leyó alternativas. manual sobre sobre análisis análisis generalizado generalizado de flujo flujo de efecefecun manual tivo, y consideró consideró con con especial especial interés interés la sección sección relatirelatitivo, va análisis después después de impuestos impuestos de las las dos dos alternaalternava al análisis tivas planteadas planteadas para para el caso caso de su empresa: empresa: deuda deuda frente frente tivas propio. A continuación continuación se muestra muestra lo que que CharChara capital capital propio. les aprendió y resumió. resumió. les aprendió

Financiamiento con con capital capital propio propio Financiamiento deuda y de deuda (Copiado del del manual) manual) (Copiado Cuando una una empresa empresa emplea emplea préstamos préstamos y bonos bonos para para Cuando creación de capital, capital, se le conoce conoce como como financiamiento financiamiento la creación

por deuda (FD). (FD). Los Los préstamos préstamos requieren requieren pagos pagos de ininpor deuda terés periódicos, periódicos, y los bonos bonos a su vez vez requieren requieren del del pago pago terés periódico de dividendos dividendos al inversionista. inversionista. El El valor valor prinprinperiódico cipal del del préstamo préstamo o del del bono bono se reembolsa reembolsa después después de cipal número establecido establecido de años. años. Este Este flujo flujo de efectivo efectivo un número por bono bono o préstamo préstamo afecta afecta los los impuestos impuestos y al FEDI FEDI en por diferentes modos, modos, como como aparece aparece en la tabla. tabla. diferentes Sólo el interés interés del del préstamo los dividendos dividendos de Sólo préstamo yy los bonos son deducibles de impuestos. impuestos. Utilice Utilice el símbolo símbolo bonos son deducibles FD, para identificar la suma de estos dos factores. Para FD, para identificar la suma estos dos factores. Para desarrollar una una relación relación que que explique explique el efecto efecto tributatributadesarrollar rio del financiamiento de deuda, deuda, comience comience con con la la relarelario del financiamiento ción fundamental fundamental del del flujo flujo de efectivo efectivo neto, neto, es decir, decir, ción ingresos menos desembolsos. desembolsos. Identifique Identifique los los ingresos ingresos ingresos menos del financiarniento por deuda de la siguiente manera: del financiamiento por deuda siguiente manera:

FDo recibo principal principal del del préstamo préstamo FDa = recibo recibo de la venta venta del bono bono + recibo

cc

p,

ta

CI

pi m

el

C(

Vl

e

ta

Defina el desembolso desembolso por por financiamiento financiamiento por por deuda deuda de Defina la siguiente siguiente manera: manera:

FDv pago del del interés interés del del préstamo préstamo FDv = pago pago del del dividendo dividendo de bono bono + pago reembolso del del principal principal del del préstamo préstamo + reembolso + reembolso reembolso del del valor valor nominal nominal del del bono bono común que que un préstamo préstamo o una una venta venta de bonos, bonos, no Es común ambos al mismo mismo tiempo, tiempo, se involucre involucre en la adquisición adquisición ambos activo simple. simple. Los Los dos dos términos términos de la primera primera de un activo línea de la ecuación ecuación FDvrepresentan FDvrepresentan la FD, FD, que que se menmenlínea cionó anteriormente. anteriormente. cionó

Tipo de de deuda deuda Tipo

Flujo de de efectivo efectivo implicado implicado Flujo

Tratamiento tributario tributario Tratamiento

Efecto sobre sobre el FEOI FEOI Efecto

Préstamo Préstamo Préstamo Préstamo Préstamo Préstamo Bono Bono Bono Bono Bono Bono

Recibo de principal Recibo principal Interés pagado pagado Interés Reembolso de principal principal Reembolso Recibo del del valor valor nominal nominal Recibo Dividendo pagado pagado Dividendo Reembolso del del valor valor nominal nominal Reembolso

Sin efecto efecto Sin Deducible Deducible No deducible No deducible Sin efecto efecto Sin Deducible Deducible No deducible No deducible

Lo incrementa incrementa Lo Lo reduce reduce Lo Lo reduce reduce Lo Lo incrementa incrementa Lo Lo reduce reduce Lo Lo reduce reduce Lo

E

d

o

rr

CI

F I(

ir

ESTUDIO ESTUDIO DE DE CASO CASO

657 657

Si una una empresa empresa utiliza utiliza sus sus propios propios recursos recursos para para la inversión inversión de capital, capital, se le denominafinanciamiento denominafinanciamiento con capital propio (Fep) (Fep),, y este este financiamiento financiamiento incluye: incluye: 1) el uso de los los fondos fondos propios propios de la corporación, corporación, como como sus sus ganancias ganancias retenidas; retenidas; 2) la venta venta del del inventario inventario de la corporación, venta de los activos corporación, y 3) la venta activos corporativos corporativos para para incrementar incrementar el capital. capital. De De hecho, hecho, no existen existen venventajas tributarias tributarias directas directas debidas debidas al financiamiento financiamiento con con tajas capital capital propio. propio. Las Las ganancias ganancias retenidas retenidas y los dividendividendos de acciones acciones pagados pagados reducirán reducirán el flujo flujo de efectivo, efectivo, pero pero no no reducirán reducirán el IG. IG. Para explicar explicar el impacto impacto del financiamiento financiamiento con con caPara pital propio, propio, comience comience de nuevo nuevo con con la relación relación fundafundapital mental menos desmental de flujo flujo de efectivo efectivo neto: neto: ingresos ingresos menos desembolsos. embolsos. Los Los desembolsos desembolsos de capital capital propio, propio, definidos definidos FCPDo, , son porción del como como FCP son una una porción del costo costo inicial inicial del del actiactivo cubierto cubierto con con los recursos recursos propios propios de la corporación. corporación.

que el FD incluye el FD¡, que que es la porción porción deducideduciYa que FDo D incluye ble de impuestos impuestos del del financiamiento deuda, los los imimble financiamiento de deuda, puestos puestos son: son:

FCP FCP oD = fondos fondos propiedad propiedad de la corporación corporación

Después Después de asesorarse asesorarse con con su contador, contador, los hermanos hermanos acordaron las las siguientes siguientes estimaciones estimaciones para para la sucursal sucursal acordaron Portland: de Portland:

Cualquiera de los ingresos ingresos por por financiamiento financiamientode de capicapiCualquiera tal propio propio son: son:

Impuestos = (IG)(T,) (IG)(T,) Impuestos = (ingreso (ingreso bruto bruto - gastos gastos de operación) operación)

- depreciación depreciación - interés interés del del préstamo préstamo y los dividendos dividendos de los bonos(T,) bonos(Te) = (IB D - FD¡)(Te) FD¡)(Te ) (lB - GO GO - D Estas relaciones relaciones son son fáciles fáciles de aplicar cuando la ininEstas aplicar cuando versión versión incluye incluye sólo sólo 100% 100% de financiamiento financiamiento con con capicapital tal propio, propio, o financiamiento financiamiento de deuda deuda al 100%, 100%, ya que que únicamente los los términos términos relevantes relevantes tienen tienen valores valores didiúnicamente ferentes ferentes de cero. cero. Juntos Juntos forman forman el modelo modelo de análisis análisis generalizado generalizado de flujo flujo de efectivo. efectivo.

El cuadro cuadro financiero financiero

Inversión Inversión inicial inicial

FCPRR FCP

= = venta venta de los los activos activos corporativos corporativos + recibos recibos por por venta venta de de acciones acciones

= = $1 500000 500000

Ingreso 000 Ingreso bruto bruto anual anual = $700 $700000 $100000 Gastos Gastos de de operación operación anuales anuales = $100 000 Tasa % Tasa de impuestos impuestos efectiva efectiva = 35 35%

En FCPDo los dividendos P son parte de los En FCP dividendos de acciones acciones P son parte los desembolsos, desembolsos, pero pero son son pequeños pequeños en en comparación comparación con con otros otros desembolsos desembolsos y la habilidad habilidad de escogerlos escogerlos en el momento momento oportuno oportuno depende depende el éxito éxito financiero financiero de la corporación, por por lo que que pueden pueden ignorarse. ignorarse. corporación, Combine los términos términos FD FD y FCP FCP para para calcular calcular el Combine FEDI anual. anual. La La inversión inversión inicial inicial es igual igual al monto monto de FEDI fondos corporativos corporati vos propios propios comprometidos comprometidos al costo costo los fondos inicial de la alternativa; es decir, P = FCP • inicial de alternativa; decir, P =FCPDo. FEDI FEDI

= -- inversión inversión financiada financiada con con capital capital propio propio = ingreso bruto bruto - gastos gastos de operación operación + ingreso valor de salvamento salvamento - impuestos impuestos + valor + ingresos ingresos del del financiamiento financiamiento por por deuda deuda - desembolsos desembolsos + recibos del financiarniento recibos del financiamiento con capital capital propio propio con = -FCP -FCPD+ lB - GO GO + S - IG(Te) = IG(Te ) o + IB (FDR R - FD + (FD FDo) FCPRR D) + FCP

La inversión inversión inicial inicial completa completa de $1.5 $1.5 millones millones puede puede La depreciarse depreciarse aplicando aplicando SMARC SMARC con con periodo periodo de recuperecuperación de 5 años. ración años. Young Brothers Brothers no es una una empresa empresa pública, pública, por por lo Young que las ventas ventas de acciones acciones no son son una una opción opción de finanfinanque ciamiento con con capital capital propio; propio; entonces entonces deberán deberán utiliutiliciamiento zarse las las ganancias ganancias retenidas, retenidas, y un préstamo préstamo es el úniúnizarse medio viable viable para para el financiamiento financiamiento por por deuda. deuda. El co medio préstamo se solicitaría solicitaría al banco banco de Seattle Seattle con con interés interés préstamo simple de 6% 6% anual con base base en el préstamo préstamo principal principal simple anual con inicial. El reembolso reembolso será será distribuido distribuido en 5 pagos pagos anuaanuainicial. les iguales iguales del del interés interés y del del principal. principal. les El porcentaje porcentaje de de financiamiento financiamiento de deuda prinEl deuda es la principal preocupación Young Brothers. Brothers. Si la sucursal sucursal cipal preocupación de Young Portland no tiene tiene éxito, éxito, existe existe un compromiso compromiso de en Portland reembolso del del préstamo préstamo que que la sede sede en Seattle Seattle tendrá tendrá reembolso que pagar. pagar. Sin Sin embargo, embargo, si el financiamiento financiamiento se realiza realiza que

658

17 Análisis económico después de impuestos CAPÍTULO 17

principalmente a partir del capital propio, la empresa principalmente efectivo, y se limitará así estará por un tiempo pobre pobre de efectivo, establecer incluso proyectos pequesu capacidad de establecer ños, hasta que su capital se incremente de nuevo. Por

estudiarse opciones de financiamienfinanciamienlo tanto, deberán estudiarse deuda-capital propio (D - CP) de to con un rango de deuda-capital $1 500 000. Estas opciones se identifican en la siguiente tabla:

Deuda Deuda Porcentaje Porcentaje

0% 50 70 90

Capital propio propio Capital

Monto del del préstamo préstamo Monto

750000 $ 750000 1050000 1050000 1350000 1350000

Porcentaje Porcentaje

100% 50 30 10

Monto de de la inversión inversión Monto

$1 500000 500000 $1 750000 750000 450000 450000 150000 150000

Ejercicios del del estudio estudio de caso caso Ejercicios 1. Para cada opción, elabore un análisis en una hoja de cálculo que muestre el FEDI total y su valor presente durante un periodo de 6 años, que es el tiempo en que se notará la ventaja completa de la depreciación SMARC. Se espera un rendimiento después 10%. ¿Qué opción de financiamiende impuestos de 10%. (Sugerencia: : para la to es mejor para la empresa? (Sugerencia encabezados de columna serán: hoja de cálculo, los encabezados Año, lB - GO, interés del préstamo, principal del préstamo, inversión con capital propio, tasa de depreciación, depreciación, valor en libros, IG, impuestos y FEDI). 2. Observe los cambios en el FEDI durante los 6 años, CP. al mismo tiempo que varían los porcentajes D - CP. Si se ignora el valor del dinero en el tiempo, ¿cuál

es el monto constante por el que esta suma varía por financiamiento con cada 10% de incremento en el financiamiento capital propio? 3. Charles se dio cuenta de que el FEDI total y los valores presentes iban en sentidos opuestos, al tiemincrementaba el porcentaje de capital propo que se incrementaba pio. Charles desea saber por qué ocurre este fenómeno. ¿Cómo explicará Charles esto a su hermano? financiamiento, 4. Los hermanos decidieron dividir el financiamiento, mitad con deuda y mitad con capital propio. Charcontribuciones básicas adiles desea conocer qué contribuciones cionales al valor económico de la compañía debeagregar se por la nueva oficina oficina en Portland. Portland. rán agregarse estimaciones en ese mo¿Cuáles son las mejores estimaciones mento?

1 o o 1-

«« u u

Análisis de de sensibilidad sensibilidad formalizado y decisiones decisiones formalizado de de valor valor esperado esperado En En este capítulo se se incluyen varios temas relacionados con la la evaluación de alternativas, cuyas cuyas técnicas se se desarrollan con base base en en los métodos métodos y modelos modelos usados en en los los capítulos previos, especialmente especialmente aquellos de los primeros ocho capítulos y los fundamentos fundamentos del análisis análisis de punto punto de equilibrio equilibrio del capítulo 13 13.. El El presente capítulo deberá considerarse un un preámbulo preámbulo para para los tópicos tópicos de simulación y toma de decisiones bajo riesgo que se se presentan en el siguiente siguiente capítulo. Las rimeras dos secciones ampl ían nuestra Las p primeras amplían nuestra capacidad para para realizar un un análisis de sensibilidad de uno o más de sensibilidad más parámetros, y de una una alternativa complecompleta ta.. Luego se se revisan revisan la la determinación determinación y el uso uso de valor esperado esperado para las las series series efectivo.. Por último, último, se se cubre la la técnica del árbol árbol de de decisión. decisión. Tal Tal del flujo de efectivo enfoque al analista enfoque ayuda al analista a tomar tomar una una serie de decisiones económicas para para alternativas que tienen diferentes diferentes etapas, pero conectadas cercanamente. El El estudio estudio de caso caso examina un un análisis análisis de sensibilidad sensibilidad profundo profundo de un un proyecto proyecto de múltiples múltiples alternativas y de múltiples múltiples atributos atributos (factores) (factores) ubicado ubicado en el sector público. público.

Ob]r

y

s

-

-

-

-

-

OBJETIVOS OBJETIVOS DE APRENDIZAJE APRENDIZAJE Objetivo Objetivo general: general: realizar realizar un análisis análisis de de sensibilidad sensibilidad formal formal sobre sobre uno o más parámetros, parámetros, desarrollar evaluaciones de alternativas alternativas mediante mediante valor valor esperado esperado y árbol árbol de de decisiones. decisiones. y desarrollar evaluaciones de Este Este capítulo capítulo ayudará al al lector lector a: a: 1. medida de va lor para explicar explicar la 1. Calcular una una medida valor la sensibilidad sensibilidad a la la variación en uno o más parámetros. parámetros.

Sensibilidad a la variación variación Sensibilidad

I ----.----- I Tres estimaciones estimaciones

Valor esperado Valor esperado

---,.---

II

-----

3. Ca lcular el valor esperado Calcular esperado de una una variable.

4. Evaluar una lores esperados una alternativa alternativa utilizando utilizando va valores esperados de los flujos flujos de efectivo. efectivo.

Valor Valor esperado esperado del del flujo flujo de de efectivo efectivo

Árbol Árbol de de decisiones decisiones

2. Seleccionar rnati va empleando Seleccionar la la mejor mejor alte alternativa empleando tres estimaciones estimaciones para parámetros parámetros seleccionados. seleccionados.

II

5. Construir Construir un árbol de decisiones decisiones y usarlo para evaluar alternativas alternativas etapa por por etapa.

662

CAPÍTULO CAPÍTULO 18 Análisis Análisis de sensibilidad sensibilidad formalizado formalizado y decisiones decisiones de valor valor esperado esperado

18.1 18.1

DETERMINACiÓN DETERMINACiÓN DE LA SENSIBILIDAD SENSIBILIDAD PARA PARA VARIACiÓN VARIACiÓN DE PARÁMETROS PARÁMETROS

El parámetro se usa El término término parámetro usa en en este este capítulo capítulo para para representar representar cualquier cualquier variable variable o factor factor para para el que que es necesario necesario un un valor valor estimado estimado o determinado. determinado. Ejemplos Ejemplos de paparámetros valor de salvamento, vida estimada, rámetros son son costo costo inicial, inicial, valor salvamento, COA, COA, vida estimada, tasa tasa de proproducción, ducción, costos costos de de materiales, materiales, etcétera. etcétera. Las Las estimaciones estimaciones como como la tasa tasa de de interés interés sobre sobre préstamos préstamos y la la tasa tasa de inflación inflación también también constituyen constituyen parámetros parámetros del del análisis. análisis. El El análisis análisis económico económico emplea emplea estimaciones estimaciones de valores valores futuros futuros de un un parámetro parámetro para para ayudar ayudar a quienes quienes toman toman decisiones. decisiones. Puesto Puesto que que las las estimaciones estimaciones futuras futuras siemsiempre proyecciones económicas. pre tienen tienen algún algún nivel nivel de error, error, existe existe imprecisión imprecisión en en las las proyecciones económicas. El El efecto efecto de la variación variación puede puede determinarse determinarse mediante mediante el análisis análisis de sensibilidad. sensibilidad. En este enfoque En realidad, realidad, hemos hemos aplicado aplicado este enfoque (de (de manera manera informal) informal) a través través de los los capícapítulos tulos anteriores. anteriores. Por Por lo común, común, se varía varía un un factor factor a la vez vez y se supone supone que que hay hay independencia con otros otros factores. factores. Este Este supuesto supuesto no es correcto correcto por por completo completo en independencia con situaciones situaciones del del mundo mundo real; real; aunque aunque resulta resulta práctico, práctico, en en general general es difícil difícil que que consiconsidere las dependencias dere en en forma forma precisa precisa las dependencias reales. reales. El El análisis análisis de de sensibilidad sensibilidad determina determina la la forma forma en en que que se alterarían alterarían una una medida medida de valor valor (VP, VA, VA, TR TR o B/C) B/C) y la la alternativa alternativa seleccionada, seleccionada, si un un parámetro parámetro particuparticular dentro de un de valores lar varía varía dentro un rango rango de valores establecido. establecido. Por Por ejemplo, ejemplo, la variación variación en en un un parámetro parámetro como como la la TMAR TMAR no alteraría alteraría la decisión decisión de seleccionar seleccionar una una alternativa, alternativa, cuando la decisión cuando todas todas las las alternativas alternativas comparadas comparadas rinden rinden más más que que la TMAR; TMAR; así, así, la decisión es relativamente relativamente insensible insensible a la la TMAR. TMAR. Sin Sin embargo, embargo, la variación variación en en el valor valor de de n puede puede indicar indicar que que la selección selección de de las las mismas mismas alternativas alternativas es muy muy sensible sensible a la vida vida estimada. estimada. En En general, general, las las variaciones variaciones en en la la vida, vida, en en costos costos anuales anuales e ingresos ingresos resultan resultan de variaciones en operación a diferentes variaciones en el precio precio de de venta, venta, de de operación diferentes niveles niveles de de capacidad, capacidad, de inflación, inflación, etcétera. etcétera. Por Por ejemplo, ejemplo, si un un nivel nivel de de operación operación de de 90% 90% de de la capacicapacide dad dad de de asientos asientos de de una una aerolínea aerolínea para para una una ruta ruta doméstica doméstica se compara compara con con el 50% 50% en una una ruta ruta internacional internacional nueva, nueva, el costo costo de de operación operación y el ingreso ingreso por por milla milla de de pasajepasajeaumentará, aunque aunque es probable probable que que la vida vida anticipada anticipada del del avión avión disminuya disminuya sólo sólo ro aumentará, ligeramente. De De ordinario, ordinario, para para aprender aprender cómo cómo la incertidumbre incertidumbre de de las las estimacioestimacioligeramente. nes nes afecta afecta el análisis análisis económico, económico, se estudian estudian varios varios parámetros parámetros importantes. importantes. Por Por lo común, común, el análisis análisis de de sensibilidad sensibilidad se concentra concentra en en la la variación variación esperada esperada en en las las estimaciones estimaciones de de P, COA, COA, S, n, costos costos unitarios, unitarios, ingresos ingresos unitarios unitarios y parámetros parámetros similares. similares. Dichos Dichos parámetros parámetros con con frecuencia frecuencia son son el resultado resultado de las las preguntas preguntas dudurante el diseño rante diseño y de sus sus respuestas, respuestas, como como se analizó analizó en en el capítulo capítulo 15. 15. Los Los parámetros parámetros que misma forma. que se basan basan en en tasas tasas de de interés interés no no se tratan tratan de de la la misma forma.

Los como Los parámetros parámetros como la la TMAR TMAR y otras otras tasas tasas de de interés interés (tasas (tasas de de préstapréstamo, mo, tasa tasa de de inflación) inflación) son son más más estables estables de de un un proyecto proyecto a otro. otro. Si se se realiza, realiza, el análisis análisis de de sensibilidad sensibilidad sobre sobre ellos ellos es para para valores valores específicos específicos o sobre sobre un un estrecho lo tanto, está más estrecho rango rango de de valores. valores. Por Por lo tanto, el análisis análisis de de sensibilidad sensibilidad está más limitado de limitado a parámetros parámetros de tasa tasa de de interés. interés. Es Es importante importante recordar recordar este este punto punto si se utiliza utiliza la la simulación simulación para para la la toma toma de de decisiodecisiones bajo riesgo nes bajo riesgo (capítulo (capítulo 19).

re ur eq

lit tn us

só re, ut

ci: ba he de rá ge 1.

2. 3. 4. 5.

ju d Ve

de

sil

•

SECCIÓN SECCIÓN 18.1

Determinación Determinación de la sensibilidad sensibilidad para para variación variación de parámetros parámetros

Graficar la sensibilidad sensibilidad de VP, VP, VA VAo estudiado(s) Graficar o TR versus el(los) parámetros(s) parámetros(s) estudiado(s) resulta muy útil. Dos alternativas alternativas pueden pueden compararse compararse respecto respecto de un parámetro parámetro y resulta un punto punto de equilibrio equilibrio dados. Se trata del valor valor en el que ambas ambas alternativas alternativas son equivalentes punto de equiequivalentes en términos términos económicos. económicos. Sin embargo, embargo, el diagrama diagrama del punto librio parámetro por diagrama. librio a menudo menudo representa representa sólo un parámetro diagrama. Por lo tanto, se consconstruyen parámetro. En truyen diversos diversos diagramas diagramas y se supone supone la independencia independencia de cada parámetro. usos anteriores punto de equilibrio, anteriores del análisis análisis del punto equilibrio, se calculó calculó la medida medida de valor valor sólo para para dos valores parámetro y se conectaron puntos con una línea valores de un parámetro conectaron los puntos línea recta. No obstante, parámetro, deberían obstante, si los resultados resultados son sensibles sensibles al valor valor de un parámetro, deberían utilizarse puntos intermedios para evaluar utilizarse diversos diversos puntos intermedios para evaluar mejor mejor la sensibilidad, sensibilidad, en espeespecial si las relaciones relaciones no son lineales. lineales. Cuando parámetros, un análisis Cuando se estudian estudian varios varios parámetros, análisis de sensibilidad sensibilidad resultaría resultaría bastante bastante complejo. complejo. Éste puede puede realizarse realizarse utilizando utilizando un parámetro parámetro a la vez con una hoja facilita la comparación hoja de cálculo cálculo o con cálculos cálculos manuales. manuales. La computadora computadora facilita comparación de múltiples parámetros y múltiples software grafica múltiples parámetros múltiples medidas medidas de valor, asimismo, asimismo, el software grafica rápidamente rápidamente los resultados. resultados. Al realizar procedimiento realizar un análisis análisis de sensibilidad sensibilidad completo completo se sigue este procedimiento general, general, cuyos cuyos pasos son:

1.

Determinar parámetro(s) de interés podrían variar variar respecto respecto del valor valor estiDeterminar qué parámetro(s) interés podrían mado más probable. probable. mado 2. Seleccionar rango probable probable de variación variación y su incremento para cada parámeSeleccionar el rango incremento para cada parámetro. 3. Elegir medida de valor. Elegir la medida 4. Calcular resultados para para cada parámetro utilizando utilizando la medida medida de valor valor como Calcular los resultados cada parámetro base. 5. Para mejor la sensibilidad, ilustre gráficamente parámetro versus Para interpretar interpretar mejor sensibilidad, ilustre gráficamente el parámetro versus la medida medida de valor.

Este procedimiento procedimiento del análisis análisis de sensibilidad sensibilidad debería debería indicar indicar qué parámetros parámetros justifican un estudio justifican estudio más detenido detenido o cuáles cuáles requieren requieren la consecución consecución de informainformación adicional. adicional. Cuando Cuando hay dos alternativas alternativas o más, es mejor mejor utilizar utilizar una medida medida de valor requieren esfuerzos valor VP o VA en el paso 3. Si se emplea emplea la TR, se requieren esfuerzos adicionales adicionales de análisis análisis incremental incremental entre alternativas. alternativas. El ejemplo ejemplo 18.1 ilustra ilustra el análisis análisis de sensibilidad para un proyecto. proyecto. sibilidad para EJEMPLO EJEMPLO

18.1

.

Wild nuevo activo Wild Rice, Rice, Inc., Inc., está está considerando considerando la compra compra de un nuevo activo para para el manejo manejo automaautomatizado del arroz. arroz. Las Las estimaciones estimaciones más más probables probables son son un costo costo inicial inicial de $80 $80 000, 000, un valor valor tizado de salvamento salvamento de cero cero y un flujo flujo de efectivo efectivo antes antes de impuestos impuestos (FEA!) (FEA!) por por año año t de de la forma $27 $27 000 000 - 2000t. La La TMAR TMAR de la compañía compañía varía entre 10 y 25% 25% anual anual para para los los varía entre forma diferentes diferentes tipos tipos de inversiones inversiones en en activos. activos. La La vida vida económica económica de maquinaria maquinaria similar similar varía varía entre entre 8 y 12 años. años. Evalúe Evalúe la sensibilidad sensibilidad de VP VP variando variando a) la TMAR, TMAR, a la vez vez que que supone supone valor n constante constante de 10 años años y b) n, mientras mientras la TMAR TMAR es constante constante al 15% 15% anual. anual. un valor Realice el análisis análisis a mano mano y por por computadora. computadora. Realice

663

VP

-. ~

Bajo Bajo

Alto Alto

Parámetros Parámetros

664

CAPÍTULO

18

Análisis de sensibilidad

formalizado

y decisiones de valor esperado

Solución a mano a) Siga el procedimiento anterior para comprender la sensibilidad de VP a la variación de la TMAR. 1. La TMAR es el parámetro de interés. 2. Seleccione incrementos de 5% para evaluar la sensibilidad a la TMAR; el rango es de 10 a 25%. 3. La medida de valor es VP. 4. Establezca la relación VPpara 10 años. Cuando la TMAR = 10%: VP = -80 000 + 25 OOO(P/A, 10%, 10) - 2 OOO(P/G,lO%,lO) = $27 830 El VP para los cuatro valores en intervalos de 5% son:

b)

TMAR

VP

10% 15 20 25

$ 27 830 11 512 -962 -10711

s 11 dI

5. En la figura 18.1 se muestra una gráfica de la TMAR contra el VP. La pendiente negativa pronunciada indica que la decisión de aceptar la propuesta con base en VP es bastante sensible a variaciones en la TMAR. Si ésta se establece en el extremo superior del rango, la inversión no resulta atractiva. 1. El parámetro es la vida n del activo. 2. Seleccione incrementos de 2 años para evaluar la sensibilidad de VP durante el rango de 8 a 12 años.

Figura 18.1 Gráfica de VP versus TMAR y n para análisis de sensibilidad, ejemplo 18.1.

20000

fh

..r 10000

~ ~ e, TMAR%

Ci

~

O

-10000

-20 ()()()

6

Vida n

665 665

SECCIÓN 18.1 18.1 Determinación de la sensibilidad sensibilidad para de parámetros SECCIÓN Determinación de para variación variación de parámetros

La medida valor es 3. La medida de de valor es VP. 4. Establezca Establezca la misma misma relación relación VP VP que para i = 15%. Los resultados resultados que en el inciso inciso a) para 15%. Los VP son: VP son: VP VP n

$ 7 221 221 11511 11511 13145 13 145

8 10 12

5. La La figura presenta una una gráfica VP contra medida de VP es posiposifigura 18.1 presenta gráfica VP contra n. Como Como la medida de VP tiva para para todos todos los valores de no se ve afectada tiva los valores de n, la decisión decisión de de invertir invertir no afectada en forma forma sustancial por la vida vida estimada. La curva para valores valores de sustancial por estimada. La curva VP VP sube sube para de n superiores superiores a 10. Esta Esta insensibilidad un insensibilidad a cambios cambios en el flujo flujo de de efectivo efectivo en el futuro futuro distante distante es un rasgo esperado, porque el factor PIF se vuelve vuelve menor menor conforme rasgo esperado, porque factor PIF conforme n aumenta. aumenta. Solución por por computadora computadora Solución La figura presenta dos hojas de VP versus versus La figura 18.2 18.2 presenta dos hojas de cálculo cálculo y las gráficas gráficas correspondientes correspondientes de de VP TMAR VP versus versus n (TMAR La relación relación general para los los valores valores del TMAR (n fijo) fijo) y VP (TMAR fija). fija). La general para del flujo flujo de de efectivo efectivo es:

~ m Sol-E Sol-E

_ i!i'

$30,000 $30,000 $25,000 $25,000 $20,000 $20,000
2 ~c: :ll:¡¡[1>

i" o,

eL

l5 (;

ro ~ >

$15,000 $15,000 $10,000 $10,000 $5,000 $5,000

$0 -$5,000 -$5,000

+--,---,---,--->r--, 5%

10% 10%

15% 15%

20

25% 25%

-$10,000 -$1 0,000 -$15,000 -$15 ,000 TMAR, TMAR, %

Figura 18.2 Figura Análisis de sensibilidad sensibilidad de VP para variaciones variaciones en la TMAR y la vida estimada, ejemplo 18.1.

x

18 Análisis de sensibilidad sensibilidad formalizado y decisiones de valor esperado CAPÍTULO 18

666

-$80,000 $30,000 $30,000

$25,000

$25,000 $25,000

$23,000

$20,000 $20,000

$21,000

'".&2
$19,000

$10,000 :Jl $10,000

i" 1----

--------.

$11,000 $9,000

~ "-

$5,000 $5,000

O ro >

$0 -$5,000 ·$5,000

~ +--.------r-~ 8

10

12 12

-$10,000 · $10,000

$7,000

._+i -,"$5"",0",0,,-01________ $3,000

$15,000 $15,000

e e

$17,000

_

_

-$15,000 ·$15,000 Vida, Vida, años años

Figura 18.2 18.2 Figura (Continuación)

Figl {-80 000 Flujo de efectivo, = {80000 +27 000 - 2 000 000, 1

OO t = 1, . ,. t= 1,... t= t=

VPpara valores i de 10 a 25% y valores n desde 8 hasta 12 años. La función VPN calcula VPpara xy de dispersión. dispersión. Como indica la solución a mano, de la misma forma se realiza la gráfica xy variaciones de n. El VP es sensible a los cambios en TMAR, pero no es muy sensible a las variaciones

Cuando se considera considera la sensibilidad sensibilidad de diversos Cuando diversos parámetros parámetros para para una alternatialternatiutilizando una sola medida medida de valor, elaborar la gráfica valor, es útil elaborar gráfica del cambio cambio porporva utilizando centual para para cada cada parámetro parámetro contra contra la medida figura 18.3 ilustra centual medida de valor, valor. La figura ilustra la TR contra seis parámetros parámetros diferentes alternativa. La variación contra diferentes para para una una alternativa. variación en cada cada paráparámetro se indica indica como como una desviación estimación más probable metro desviación porcentual porcentual de la estimación probable en el eje horizontaL horizontal. Si la curva curva de respuesta acerca a la horizontal horizontal respuesta de TR es plana plana y se acerca en el rango de la variación total graficada para un parámetro, sensibilirango variación graficada para parámetro, existe existe poca poca sensibilidad de TR a los cambios cambios en el valor del parámetro. Ésta es la conclusión para el valor parámetro. Ésta conclusión para

Gráfi

cost vem a -J aum

gráf ners segr de e sens dd

pun sari: tenc

SECCIÓN 18.1

667

Determinación de la sensibilidad para variación de parámetros

50% .---------------------------------------------------------------------~

40%

~o..

.,o

30%

e

..o

~ .9

'" ·s :a

20%

Q)

'"~

10%

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.,~

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0%

-10%

-20%

~----_.------._----_.------._----_1------._----_.------._----_.------~ -50%

-40%

-30%

-20%

-10%

0%

10%

20%

30%

% de cambio en parámetro individual Leyendas del parámetro o Precio de venta <> Material directo + Volumen de ventas

X Costo indirecto O Mano de obra directa t::.. Capital

Fuente: l. T. Blank y A. J. Tarquin, cap. 19, Engineering

Economy,

4 a. ed. Nueva York: McGraw-Hill, 1998.

Figura 18.3 Gráfica de análisis de sensibilidad

de variación porcentual

del estimado más probable.

costo indirecto de la figura 18.3. Por otra parte, TR es muy sensible al precio de venta. Una reducción de 30% del precio de venta esperado disminuye la TR de 20% a -10%, aproximadamente, mientras que un incremento de 10% en el precio la aumenta a cerca de 30%. Si se comparan dos alternativas y se busca la sensibilidad a un parámetro, la gráfica puede mostrar resultados marcadamente no lineales. Observe la forma general de las gráficas de sensibilidad en la figura 18.4. Las curvas se presentan como segmentos lineales entre puntos de cálculo específicos. La gráfica indica que el VP de cada plan es una función no lineal de las horas de operación. El plan A es muy sensible en el rango de O a 2000 horas, aunque es relativamente insensible después de 2000 horas. El plan B es más atractivo debido a su insensibilidad relativa. El punto de equilibrio está en aproximadamente 1 750 horas por año. Puede ser necesario representar gráficamente la medida de valor en puntos intermedios para entender mejor la naturaleza de la sensibilidad.

40%

50%

CAPÍTULO CAPÍTULO 18

668

Figura 18.4 18.4 Figura Muestra Muestra de sensibilidad sensibilidad VP VP para para horas horas de de operación operación en dos dos alternati vas. al ternati vas.

Análisis Análisis de sensibilidad sensibilidad formalizado formalizado y decisiones decisiones de valor valor esperado esperado

150

oo

g

100 lOO

b)

50

O O

1000

2000

3000

Horas Horas de de operación operación anuales anuales

EJEMPLO EJEMPLO

18.2 18.2

"~'.

I

Columbus, Columbus, Ohio, Ohio, necesita necesita repavimentar repavimentar un tramo tramo de autopista autopista de 3 kilómetros. kilómetros. Knobel Knobel Construction El primero Construction propuso propuso dos dos métodos métodos para para tal objetivo. objetivo. El primero es una una superficie superficie de conconcreto a un costo costo de $1.5 $1.5 millones millones y un mantenimiento mantenimiento anual anual de $10 $10 000. 000. creto segundo método método es una una cubierta asfalto con con un costo costo inicial inicial de de $1 millón millón y un El segundo cubierta de asfalto mantenimiento anual anual de de $50000. $50 000. Sin Sin embargo, embargo, Knobel Knobel requiere requiere que que cada cada tercer tercer año año el mantenimiento asfalto asfalto de la autopista autopista se.retoque seretoque a un costo costo de $75 $75 000. 000. La ciudad ciudad emplea emplea la tasa tasa de interés interés sobre sobre bonos, bonos, de 6% 6% en su última última emisión emisión de La bonos, de descuento. bonos, como como la tasa tasa de descuento. a) Determine Determine el número número de años años de equilibrio equilibrio de de los dos dos métodos. métodos. Si la ciudad ciudad espera espera que que una una interestatal interestatal reemplazará reemplazará este este tramo tramo de autopista autopista en en 10 años, años, ¿qué ¿qué método método debería debería elegir? elegir? b) Si el costo costo de retocado retocado aumenta aumenta en $5000 $5 000 por por kilómetro kilómetro cada cada 3 años, años, ¿la ¿la decisión decisión es sensible sensible a este este incremento? incremento?

~ ~ Sol-E

ID ID

Solución Solución por por computadora computadora a) Use Use análisis análisis VP VP para para determinar determinar el valor valor n de equilibrio. equilibrio.

VP VP de concreto concreto = VP VP de asfalto asfalto -1 -1 500000 500000 - 10 000(PlA,6%,n) 000(P/A,6%,n) = -1000000 -1000000 - 50 50 000(P/A,6%,n) 000(P/A,6%,n)

-75000[~.cPI ~75 OOo[~(P I F,6%, F,6%,j)]j)] donde donde j = 3, 6, 9, ... ... , n. La La relación relación puede puede replantearse replantearse y reflejar reflejar los flujos flujos de efectivo efectivo incrementales. incrementales. -500000+40 000(PIF,6%,n)+ + 75 000[~(PIF,6%,j)] 000[~(PIF,6%,j)] =O -500000+40 000(PIF,6%,n) =

[18.1] [18.1]

Fi SI

SECCIÓN SECCIÓN 18.1

669

Determinación para variación variación de de parámetros parámetros Determinación de la la sensibilidad sensibilidad para

valor de equilibrio determina con con la solución solución a mano El valor equilibrio n se determina mano a través través de de incrementar incrementar hasta que de VP VP negativos negativos a positivos. positivos. De De n hasta que la ecuación ecuación [18.1] [18.1] cambie cambie de valores valores de manera alternativa, la solución en hoja usando la la función función VPN, VPN, sirve para manera alternativa, solución en hoja de de cálculo, cálculo, usando sirve para encontrar el valor valor de equilibrio equilibrio n (figura (figura 18.5). 18.5). Las Las funciones funciones VPN VPN en en la la columna columna C encontrar son las las mismas mismas cada cada año, año, excepto excepto que que los los flujos flujos de son de efectivo efectivo se extienden extienden 1 año año para para cada cálculo cálculo de de valor valor presente. presente. En En aproximadamente aproximadamente n = 11.4 cada l1A años años (entre (entre las las celdas celdas C15 asfalto se equilibra equilibra económicamente. económicamente. C15 y CI6), CI6), la repavirnentación repavirnentación de concreto concreto y asfalto Puesto que el camino camino se necesitará necesitará durante durante 10 años Puesto que años más, más, el el costo costo adicional adicional del del conconcreto justificado; seleccione del asfalto. creto no está está justificado; seleccione la alternativa alternativa del asfalto. El costo cada 3 años. años. Ahora Ahora la la ecuación ecuación costo total total de retocamiento retocamiento aumentará aumentará en en $15000 $15 000 cada [18.1] [18.1] es:

b)

-500000+40 000(PIA,6%,n)+[ 75000+ -500000+40 000(PIA,6%,n)+[ 75000+ 15

;3)][

ooo( j ;3)][ ~(PIF,6%,j)] ~(PIF,6%,j)] ==OO OOO(

Ahora equilibrio n están años: 10.8 años usando usando Ahora los los valores valores de equilibrio están entre entre 10 y 11 11 años: 10.8 años interpolación E15). La decisión se ha ha vuelto vuelto margimargiinterpolación lineal lineal (figura (figura 18.5, 18.5, celdas celdas E14 E14 y E15). La decisión nal planeada para para dentro dentro de de 10 años. años. nal para para el asfalto, asfalto, ya que que la la interestatal interestatal está está planeada li!il§l El

X M,crosoft Excel . Example 18.2

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A

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Incisob)

115,000 40,000

$

$

$

187,464 160,861

s s

130,000 40,000

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176,889 150.287

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193,024 ¡

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Figura 18.5 18.5 Figura Sensibilidad del del punto punto de equilibrio equilibrio entre entre dos dos alternativas alternativas usando 18.2. Sensibilidad usando análisis análisis de de VP, VP, ejemplo ejemplo 18.2.

!!

~

,

670

CAPÍTULO Análisis de valor esperado decisiones de de valor esperado CAPÍTULO 18 Análisis de sensibilidad sensibilidad formalizado formalizado y decisiones

Es posible posible usar no económicas para determinar usar consideraciones consideraciones no económicas para determinar si el asfalto asfalto todavía es la mejor mejor alternativa. Una conclusión vueltodavía alternativa. Una conclusión es que que la decisión decisión del del asfalto asfalto se se vuelve más cuestionable conforme conforme aumentan aumentan los costos de de mantenimiento más cuestionable los costos mantenimiento para para la alteralternativa del valor de VP es sensible incrementar los los costos de nativa del asfalto; asfalto; esto esto es, es, el valor de VP sensible al incrementar costos de retocamiento. retocarniento.

18.2 18.2

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD ANÁLISIS SENSIBILIDAD FORMALIZADO FORMALIZADO UTILIZANDO UTILIZANDO TRES ESTIMACIONES ESTIMACIONES

posible examinar ventajas y desventajas Es posible examinar a cabalidad cabalidad las ventajas desventajas económicas económicas entre entre dos o tomando prestada, prestada, del campo proyectos, la noción noción más alternativas alternativas tomando campo del control control de proyectos, elaborar tres estimaciones estimaciones para cada parámetro: de elaborar para cada parámetro: una pesimista, pesimista, una muy muy probaprobaDependiendo de la naturaleza naturaleza de un parámetro, parámetro, la estimación ble y una optimista. optimista. Dependiendo estimación pesimista puede puede ser el menor menor valor valor (la vida vida de la alternativa pesimista alternativa es un ejemplo) ejemplo) o el valor más grande valor grande (como el costo costo inicial inicial de un activo). activo). Dicho enfoque permite estudiar Dicho enfoque formal formal nos permite estudiar la sensibilidad sensibilidad de la selección selección de las medidas de valor valor y de las alternativas, rango preestablecido preestablecido de variavariamedidas alternativas, dentro dentro de un rango ción para para cada parámetro. En general, medida de valor valor para para un cada parámetro. general, cuando cuando se calcula calcula la medida parámetro o una alternativa particular, se utiliza utiliza la estimación probable para para todos parámetro alternativa particular, estimación más probable los demás parámetros. Este enfoque, mismo del análisis demás parámetros. enfoque, que en esencia esencia es el mismo análisis de un parámetro a la vez de la sección parámetro sección 18.1, se ilustra ilustra en el ejemplo ejemplo 18.3.

EJEMPLO EJEMPLO

18.3 18.3

.

Una ingeniera está está evaluando evaluando tres alternativas para las cuales cuales formuló formuló tres estimaciones Una ingeniera tres alternativas para las tres estimaciones para la vida, vida, el valor valor de En la tabla tabla 18.1 las para de salvamento salvamento y los los costos costos anuales anuales de de operación. operación. En las estimaciones presentan en un un nivel por alternativa. Por ejemplo, estimaciones se presentan nivel de alternativa alternativa por alternativa. Por ejemplo, la alteralter$-4000 y n = 2 años. Los nativa B tiene tiene estimaciones pesimistas de nativa estimaciones pesimistas de S = $500, COA COA = $-4000 años. Los costos iniciales conocen, de manera que tienen análisis de de costos iniciales se conocen, manera que tienen el mismo mismo valor. valor. Realice Realice un un análisis más económica, utilizando el análisis una sensibilidad sensibilidad y determine determine la la alternativa alternativa más económica, utilizando análisis de de VA y una TMAR de 12% anual. anual. TMAR Solución Solución Para cada alternativa alternativa en en la tabla calcula el VA de de los los costos. costos. Por ejemplo, la la Para cada tabla 18.1, se calcula Por ejemplo, relación de para la estimación pesimista de relación de VA para estimación pesimista de la alternativa alternativa A es: VA = --20 000(AlP,12%,3) - 11 11 000 = $-19 $-19 327 20 000(AIP,12%,3)

La tabla tabla 18.2 presenta presenta todos todos los valores de La figura una gráfica La los valores de VA. La figura 18.6 es una gráfica de de VA versus las tres estimaciones de de vida cada alternativa. que el costo costo VA calculacalculatres estimaciones vida para para cada alternativa. Puesto Puesto que las estimaciones estimaciones MP MP para la alternativa alternativa B ($-8 ($-8 229) es es económicamente económicamente para la do utilizando utilizando las para las B se ve mejor a que mejor que el VA optimista optimista para las alternativas alternativas A y C, es claro claro que que la alternativa alternativa B se ve favorecida. favorecida.

18.2 Análisis de sensibilidad formalizado utilizando tres estimaciones

SECCIÓN

TABLA

18.1

Alternativas que compiten con tres estimaciones hechas para los parámetros de valor de salvamento, COA y vida. Valor de salvamento,

Costo inicial,

$

Estrategia

$

Vida n, años

COA,

$

Alternativa A Estimación

P MP O

-20000 -20000 -20000

O O O

-11 000 -9000 -5000

3 5 8

P MP O

-15000 -15000 -15000

500 1000 2000

-4000 -3,500 -2000

2 4 7

P MP O

-30000 -30000 -30000

3000 3000 3000

-8000 -7000 -3500

3 7 9

Alternativa B Estimación

Alternativa

e

Estimación

P

= pesimista;

MP

= más

probable; O

= optimista.

Comentario Aunque la alternativa que debería elegirse en este ejemplo es bastante obvia, por lo común éste no es el caso. Por ejemplo, en la tabla 18.2,si la alternativa B pesimista del VA equivalente fuera mucho mayor, por ejemplo, $-21 000 anuales (en lugar de $-12 640) y los VA optimistas para las alternativas A y C fueran menores que para B ($-5089), la elección de B no es clara o correcta. En tal caso, sería necesario seleccionar un conjunto de estimaciones (P, MP u O) sobre el cual se basa la decisión. En forma alternativa, las diferentes estimaciones pueden utilizarse en un análisis de valor esperado, que se presenta en la siguiente sección.

TABLA

18.2

Valores anuales, ejemplo 18.3 Valores VA alternativos

Estimación

A

B

C

P MP O

$-19327 -14548 -9026

$-12640 -8229 -5089

$-19601 -13 276 -8927

671

672

CAPÍTULO

18

Análisis de sensibilidad

formalizado

y decisiones de valor esperado

20

q

18

a A

16 o o o I

x

12

"" '"

10

~ o

.,

8

-< ;;..

6

u

u p

14

p

'"O

n

4

v

2

d

O

g 2

3

4

5

Vidan,

6

7

8

n

9

años

Figura 18.6 Gráfica de VA de costos para estimados

18.3

de vida diferentes,

VARIABILIDAD ECONÓMICA

I

ejemplo 18.3.

Y EL VALOR ESPERADO

Los ingenieros y los analistas económicos a menudo se enfrentan a estimaciones sobre un futuro incierto otorgando confiabilidad apropiada a la información pasada, si es que existe. Lo anterior significa que se utilizan la probabilidad y las muestras. De hecho, el uso del análisis probabilístico no es tan común como debería. La razón para ello no radica en que los cálculos sean difíciles de realizar o de entender, sino en que las probabilidades realistas asociadas con las estimaciones del flujo de efectivo son difíciles de efectuar. Para evaluar la deseabilidad de una alternativa, con frecuencia la experiencia y el juicio se emplean conjuntamente con las probabilidades y los valores esperados. El valor esperado puede interpretarse como un promedio de largo plazo observable, si el proyecto se repite muchas veces. Puesto que una alternativa específica se evalúa o se aplica sólo una vez, resulta una estimación puntual del valor esperado. Sin embargo, aun para una sola ocurrencia, el valor esperado es un número significativo. El valor esperado E(X) se calcula mediante la relación:

1

I iv-m

E(X)= I,xiP(X¡) i~l

donde

X¡ = valor de la variable X para i desde 1 hasta m valores distintos de que ocurra un valor específico de X

P(X¡) = probabilidad

[18.2]

SECCIÓN 18.4 18.4 SECCIÓN

Cálculos de valor Cálculos valor esperado esperado para para alternativas alternativas

Las probabilidades forma decimal, decimal, aunprobabilidades siempre siempre se expresan expresan correctamente correctamente en forma que de ordinario habla de ellas en porcentajes frecuencia se hace hace referencia referencia ordinario se habla porcentajes y con frecuencia a ellas como posibilidades; por ejemplo, posibilidades son de alrededor alrededor de 10%. como posibilidades; ejemplo, las posibilidades Al ubicar valor de la probabilidad cualquier otra otra relación, relación, ubicar el valor probabilidad en la ecuación ecuación [18.2] o cualquier utilice todas las ecuaciones utilice el equivalente equivalente decimal decimal de 10%, es decir, 0.1. En todas ecuaciones de probabilidad totalizar 1.0. probabilidad los valores valores P(X¡} P(X¡} para para una variable variable X deben deben totalizar i=m i=m

2,P(X¡ ) = = 1.0 2,P(X¡ i=1 i=1

Para simplificar, común se omitirá acompaña la X. X. simplificar, por lo común omitirá el subíndice subíndice i que acompaña representa los flujos de efectivo efectivo estimados, estimados, algunos algunos serán positivos Si X representa positivos y otros otros negativos. Si una serie del flujo de efectivo efectivo incluye incluye ingresos ingresos y costos, costos, y se calcula negativos. calcula el valor flujos de efectivo efectivo valor presente presente a la TMAR, TMAR, el resultado resultado es el valor valor esperado esperado de los flujos descontados, E(VP). E(VP). Si el valor esperado esperado es negativo, negativo, se espera descontados, espera que el resultado resultado global indica que global sea una salida salida de efectivo. efectivo. Por ejemplo, ejemplo, si E(VP) E(VP) = = $-1500, $-1500, ello indica espera que la propuesta propuesta rinda rinda la TMAR. TMAR. no se espera

EJEMPLO EJEMPLO

~~

18.4 18.4

hotel del del centro centro de la ciudad ciudad está está ofreciendo ofreciendo un nuevo nuevo servicio servicio para Un hotel para viajeros viajeros de de fin fin de de semana, a través través de su centro centro de de negocios negocios y de viajes. viajes. El El gerente gerente estima fin semana, estima que, que, para para un fin semana típico, típico, existe existe una una posibilidad posibilidad de SO% SO% de tener tener un flujo flujo de de efectivo efectivo neto neto de de de semana 000 y una una posibilidad posibilidad de 3S% 3S% de tener tener $10 $10 000. 000. También También estima $S 000 estima que que existe existe una una pequepequeposibilidad (S%) (S%) de que que no haya haya flujo efectivo y un 10% 10% de ña posibilidad flujo de efectivo de que que exista exista una una pérdida pérdida que es el costo costo estimado estimado para para personal personal adicional adicional y recursos de $SOO, que recursos para para ofrecer ofrecer el serviservicio. Determine Determine el flujo flujo de efectivo efectivo neto neto esperado. esperado. cio. Solución Solución Sea X el flujo flujo de efectivo efectivo neto neto en dólares, dólares, y sea sea P(X) P(X) la representación representación de Sea de las las probabilidaprobabilidades asociadas. asociadas. Con Con la ecuación ecuación [18.2] [18.2] se tiene tiene des

=

=

E(X) = S OOO(O.S) + 10 OOO(O.3S) 000(0.3S) + O(O.OS) - SOO(O.I) SOO(O.I) = $S 9S0 9S0 E(X) Aunque la la posibilidad posibilidad de "ningún "ningún flujo flujo de efectivo" aumenta ni disminuye Aunque efectivo" no aumenta disminuye E(X), E(X), se incluye porque porque hace hace que que los los valores valores de probabilidad probabilidad sumen sumen 1.0 y vuelve incluye vuelve completo completo el cálculo. cálculo.

18.4 18.4

CÁLCULOS DE VALOR VALOR ESPERADO ESPERADO PARA ALTERNATIVAS CÁLCULOS ALTERNATIVAS

cálculo de valor esperado esperado E(X) E(X) se utiliza utiliza en una diversidad diversidad de formas. El cálculo formas. Dos forpreparar información información para para incorporarla incorporarla en un análisis mas son: 1) preparar análisis más completo completo de ingeniería económica económica y 2) evaluar evaluar la viabilidad viabilidad esperada esperada de una ingeniería una alternativa alternativa formuformulada completamente. completamente. El ejemplo ejemplo 18.5 18.5 ilustra ilustra la primera primera situación situación y el ejemplo lada ejemplo 18.6 determina el VP esperado esperado cuando cuando se estiman estiman la serie serie del flujo de efectivo efectivo y las determina probabilidades. probabilidades.

673

674

CAPÍTULO

EJEMPLO

18

Análisis de sensibilidad

18.5

y decisiones de valor esperado

formalizado

'

Una empresa de energía eléctrica está experimentando dificultades en la obtención de gas natural para la generación de electricidad. Los combustibles diferentes del gas natural se compran con un costo extra, el cual se transfiere al consumidor. Los gastos de combustibles totales mensuales están promediando ahora $7750000. Un ingeniero de esta empresa de servicio calculó el ingreso promedio de los últimos 24 meses utilizando tres situaciones de mezcla de combustible, a saber, totalmente cargado de gas, menos de 30% de otros combustibles y el 30% o más de otros combustibles. La tabla 18.3 indica el número de meses que se presentó cada situación de mezcla de combustible. ¿La empresa de energía puede esperar cubrir los gastos mensuales futuros con base en información de 24 meses, si continúa un patrón similar de mezcla de combustible?

TABLA

18.3

Información de ingresos y de mezcla de combustible, ejemplo 18.5

Situación de mezcla de combustible

12 6 6

Solución Utilizando los 24 meses de información, combustible. Situación de mezcla de combustible Puro gas < 30% otros ;;:::30% otros

5270000 7850000 12130000

se estima una probabilidad

para cada mezcla de

Probabilidad de ocurrencia 12/24 = 0.50 6/24 = 0.25 6/24 = 0.25

La variable X representa el ingreso mensual promedio. determinar el ingreso mensual esperado. E(ingreso) = 5 270000(0.50)

•

Ingreso promedio, $ por mes

Últimos 24 meses

Puro gas < 30% otros ;;:::30% otros

, ,q

+ 7850000(0.25)

Utilice la ecuación

[18.2] para

+ 12 130000(0.25)

= 7630000 Con gastos que promedian $7750000, el faltante de ingreso mensual promedio es $120000. Para lograr equilibrio deben generarse otras fuentes de ingresos, o transferir al consumidor los costos adicionales.

•

SECCIÓN 18.4 Cálculos de valor esperado para alternativas alternativas

EJEMPLO EJEMPLO

18.6 18.6

,:' .:

Lite-Weight Wheelchair doblado de Wheelchair Company tiene una inversión sustancial en equipo de doblado años. Los acero tubular. Una nueva pieza del equipo cuesta $5 000 y tiene una vida de 3 años. condiciones económicas flujos de efectivo estimados (tabla 18.4) dependen de las condiciones económicas clasificadas como de recesión, estables o en expansión. Se estima la probabilidad probabilidad de que cada condiciones económicas prevalecerá prevalecerá durante el periodo de 3 años. Aplique el una de las condiciones análisis de valor esperado y de VP para determinar Utilice determinar si debe comprarse comprarse el equipo. Utilice = 15% anual. una TMAR =

TABLA TABLA

18.4 18.4

Flujo ejemplo 18.6 Flujo de efectivo efectivo del equipo equipo y probabilidades, probabilidades, ejemplo Condición Condición económica económica

Año Año

Estable Estable (Probo (Prob. = = 0.6) 0.6)

Recesión Recesión (Prob. (Prob. = 0.2) 0.2)

En expansión expansión (Prob. 0.2) (Prob. = 0.2)

Estimaciones Estimaciones del del flujo flujo de de efectivo efectivo anual, anual, $

O o 1 1

2 3

$-5000 $-5000 +2500 +2500 +2000 +2000 +1000 +1000

$-5000 $-5000 +2000 +2000 +2000 +2000 +2000 +2000

$-5000 $-5000 +2000 +2000 +3000 +3000 +3500 +3500

Solución Solución Determine primero el VP de los flujos de efectivo en la tabla 18.4 para cada condición condición económica Defina los subíndices subíndices R económica y después calcule E(VP) mediante la ecuación [18.2]. Defina expansión. Los para la economía en recesión, S para la estable y E para la economía en expansión. valores de VP para los tres escenarios son:

VPRR = = -5000 -5000 + 2 500(P/F,15%,1) 500(P/F,15%,1) + 2 000(P/F,15%2) 000(P/F,15%2) + 1 000(P/F,15%,3) 000(P/F,15%,3) = = -5 -5 000 + 4 344 = = $-656 $-656 VPss = = -5000 -5000 + 4 566 = = $-434 $-434 VP VP = -5000 + 6 309 = $+1309 VPee -5000 $+1309 Solamente en una economía en expansión los flujos de efectivo rendirán el15% el 15% y justifijustificarán la inversión. El valor presente esperado es: E(PW) ==

L P~[P(j)] L P~[P(j)] j=R,S.E } = R.S.e

= -656(0.2) --656(0.2) - 434(0.6) + 1309(0.2) 1309(0.2) = =$-130 =$-130 15%, E(VP) < O; O;de Al 15%, de manera que el equipo no se justifica justifica utilizando el análisis del valor esperado.

675

676

CAPÍTULO 18 CAPÍTULO

Análisis de sensibilidad sensibilidad formalizado formalizado y decisiones decisiones de valor valor esperado esperado Análisis

Comentario Comentario También es correcto correcto calcular calcular el E(flujo E(flujo de efectivo, efectivo, FE) FE) para para cada cada año año y luego luego determinar determinar También serie E(flujo E(flujo de efectivo), efectivo), porque porque el cálculo cálculo del VP VP es una una función función lineal lineal de los el VP de la serie flujos de efectivo. efectivo. El cálculo cálculo de E (flujo (flujo de efectivo) efectivo) primero primero puede puede ser ser más más fácil fácil en el flujos sentido de que que reduce reduce el número número de cálculos cálculos de VP. En este este ejemplo, ejemplo, determine determine E(FE,) E(FE,) sentido para cada cada año, año, y después después calcule calcule E(VP). E(VP). para E(FEo)o) = = $-5 $-5 000 000 E(FE E(FE¡) = = 2 500(0.2) 500(0.2) + 2 000(0.6) 000(0.6) + 2 000(0.2) 000(0.2) = = $2 100 100 E(FE,) E(FE2)2) = = $2 200 200 E(FE E(FE3)3) = $2 100 100 E(FE E(VP) 130 E(VP) = = -5000 -5000 + 2 100(P/F,15%,1) 100(P/F,15%,1) + 2 200(P/F,15%,2) 200(P/F,15%,2) + 2 100(P/F,I5%,3) 100(P/F,15%,3) = = $$-130

18.5 18.5

EVALUACiÓN DE ALTERNATIVAS EVALUACiÓN ALTERNATIVAS POR ETAPAS UTILIZANDO UN ÁRBOL UTILIZANDO UN ÁRBOL DE DECISiÓN DECISiÓN

alternativas puede requerir una serie de decisiones cuales el La evaluación evaluación de alternativas puede requerir decisiones en las cuales resultado de una etapa importante para toma de decisiodecisioresultado etapa es importante para la siguiente siguiente etapa etapa en la toma nes. Cuando definir claramente claramente cada alternativa alternativa económica desea Cuando es posible posible definir económica y se desea considerar explícitamente el riesgo, considerar explícitamente riesgo, es útil realizar realizar la evaluación evaluación utilizando utilizando un árbol incluye: bol de decisión, decisión, que incluye: • • • • • •

Más de una una etapa etapa de selección selección de alternativas. alternativas. La selección selección de una una alternativa alternativa en una una etapa etapa que conduce conduce a otra otra etapa. etapa. Resultados Resultados esperados esperados de una una decisión decisión en cada cada etapa. etapa. Estimaciones Estimaciones de probabilidad probabilidad para para cada cada resultado. resultado. Estimaciones Estimaciones del valor valor económico económico (costo (costo o ingreso) ingreso) para para cada cada resultado. resultado. Medida Medida del valor valor como como criterio criterio de selección, selección, tal como como E(VP). E(VP).

El árbol árbol de decisión decisión se construye construye de izquierda izquierda a derecha, derecha, e incluye incluye cada cada decisión decisión y resultado resultado posible. posible. Un cuadrado cuadrado representa representa un nodo nodo de decisiones decisiones con con las alternativas ternativas posibles posibles que se indican indican en las ramas ramas que que salen salen del nodo nodo de decisión decisión (figura gura 18.7a). Un círculo círculo representa representa un nodo nodo de probabilidad probabilidad con con resultados resultados posibles posibles y probabilidades probabilidades estimadas estimadas en las ramas ramas (figura (figura 18.7b). 18.7b). Como Como los resultados resultados siemsiempre pre siguen siguen a las decisiones, decisiones, se obtiene obtiene la estructura estructura en forma forma de árbol árbol de la figura figura 18.7c. Generalmente, Generalmente, cada cada rama rama de un árbol árbol de decisión decisión tiene tiene algún algún valor valor económico económico estimado estimado (al cual cual se hace hace referencia referencia frecuentemente frecuentemente como como retribución) retribución) en términos términos de costos, costos, ingresos ingresos o beneficios. beneficios. Estos Estos flujos flujos de efectivo efectivo se expresan expresan en términos términos de valores valores VP, VA o VF VF y se muestran muestran a la la derecha derecha de cada cada rama rama de resultados resultados finales. finales. Los Los valores valores del del flujo flujo de efectivo efectivo y de probabilidad probabilidad en cada cada rama rama de resultados resultados se utilizan utilizan para para calcular calcular el el valor valor económico económico esperado esperado de cada cada rama rama de de decisión. decisión. Este Este proceso, proceso, llamado llamado solución solución del árbol árbol o desdoblamiento, desdoblamiento, se explica explica después después del ejemplo ejemplo 18.7, el el cual cual ilustra ilustra la la construcción construcción de un un árbol árbol de de decisiones. decisiones.

I

SECCIÓN SECCIÓN 18.5 18.5

Figura Figura 18.7

Alternativas Alternativas

Nodo de Nodo

'ffi( d~~

Nodos de Nadas de decisión decisión y probabilidad empleados probabilidad empleados para para construir construir un árbol árbol de de decisión. decisión.

_

'--------Nodo de decisión a) Nodo decisión

0.53

Resultados Resultados Nodo de Nodo probOabilidzad probOabilidzad

0.2 0.2

~------------------~---------------

Probabilidades Probabilidades

0.3

'--------~---------------probabilidad b) Nodo Nodo de probabilidad

D D Resultados finales finales Resultados

Estructura del del árbol árbol e) Estructura

EJEMPLO EJEMPLO

18.7 18.7

677

Evaluación por etapas Evaluación de alternativas alternativas por etapas utilizando utilizando un un árbol árbol de decisión decisión

.::~ ~~:;

Jerry Hill Hill es presidente ejecutivo principal principal de una una firma firma estadounidense estadounidense de procesaprocesaJerry presidente y ejecutivo miento de alimentos: alimentos: Hill Hill Products Products and and Services. Services. Recientemente Recientemente fue fue contactado contactado por por una una miento gran cadena cadena internacional internacional de supermercados supermercados que que desea desea el mercadeo, mercadeo, dentro dentro del país, país, de su gran propia marca marca de cenas cenas congeladas congeladas para para microondas. microondas. La La oferta oferta hecha hecha a Jerry Jerry por corpopropia por la corporación del del supermercado supermercado exige exige que que se tome tome una una serie serie de dos dos decisiones, decisiones, ahora ahora y dentro dentro de ración años. La La decisión decisión actual actual comprende comprende dos dos alternativas: alternativas: 1) Arrendar instalaciones de la 2 años. Arrendar las instalaciones cadena de supermercados en los los Emiratos Emiratos Árabes Árabes Unidos Unidos (E.Á.U.), (E.Á.U.), que que se había había acordado acordado cadena de supermercados convertir en en una una instalación instalación de procesamiento procesamiento actual actual para para uso uso inmediato inmediato de la compañía compañía convertir Jerry, o O 2) construir construir yy adquirir adquirir una una instalación instalación de procesamiento procesamiento y empaque empaque en E.Á.U. E.Á.U. de Jerry, Los resultados posibles de esta esta primera primera etapa etapa de decisión decisión son son un buen buen o mal mal mercado, mercado, Los resultados posibles dependiendo respuesta del del público. público. dependiendo de la respuesta Las alternativas alternativas de decisión, decisión, 2 años años a partir partir de ahora, ahora, dependen dependen de la decisión decisión de Las arrendar o adquirir adquirir que que se tome tome ahora. ahora. Si Hill decide arrendar, arrendar, una una buena buena respuesta respuesta del del arrendar Hill decide mercado significa significa que que las alternativas alternativas de decisión decisión futuras futuras son son producir producir el doble, doble, lo mismo mismo mercado mitad del volumen volumen original. original. Ésta Ésta será será una una decisión decisión mutua mutua entre entre la cadena cadena de supersupero la mitad mercados y la compañia compañía de Jerry. Jerry. Una Una mala respuesta del mercado mercado indicará indicará la mitad mitad del mercados mala respuesta nivel producción o el retiro retiro completo completo del del mercado mercado de E.Á.U. E.Á.U. Los Los resultados resultados para decinivel de producción para decisiones futuras futuras son, son, nuevamente, nuevamente, buenas malas respuestas respuestas del del mercado. mercado. siones buenas y malas Como acordó acordó la compañía compañía de supermercados, supermercados, la la decisión decisión actual actual para para Jerry Jerry de adquiComo de adquirir la instalación instalación le permitirá fijar el nivel nivel de producción dentro de 2 años. años. Si la respuesta rir permitirá fijar producción dentro respuesta

678 678

CAPÍTULO de sensibilidad sensibilidad formalizado formalizado yy decisiones decisiones de de valor valor esperado esperado CAPÍTULO 18 18 Análisis Análisis de

Buena Mala Buena Mala Buena Buena Buena

Mala

Buena Mala Fuera del negocio Arrendar Arrendar

(L)

Adquirir Adquirir

(O) (O)

Buena Mala Buena Buena Buena

Mala Mala

Mala

Buena Mala Fuera del negocio

Figura Fig ura 18.8 18.8 Un Un árbol árbol de de decisión decisión de de dos dos etapas etapas que que identifica identifica alternativas alternativas yy resultados resultados posibles. posibles.

del del mercado mercado es es buena, buena, las las alternativas alternativas de de decisión decisión son son cuatro cuatro veces veces yy el el doble doble de de los los niveles niveles originales. originales. La La reacción reacción aa una una mala mala respuesta respuesta del del mercado mercado será será la la producción producción al al mismo mismo nivelo nivelo ninguna ninguna producción producción en en absoluto. absoluto. Construya Construya el el árbol árbol de de decisiones decisiones yy señale señale los los resultados resultados para para Hill Hill Products Products and and Services. Services.

SECCIÓN 18.5 SECCIÓN

Evaluación de alternativas alternativas por etapas utilizando árbol de decisión decisión Evaluación por etapas utilizando un un árbol

Solución Solución de un árbol árbol de de decisiones decisiones de de dos dos etapas etapas que que tenga alternativas ahora ahora y dentro Se trata trata de tenga las alternativas dentro dos años. años. Identifique Identifique los los nodos de decisión decisión iniciales iniciales y luego luego desarrolle desarrolle el de dos nodos y las ramas ramas de árbol utilizando los resultados cada decisión. decisión. resultados de de mercado mercado bueno bueno y malo malo para para cada árbol utilizando las ramas ramas y los La figura figura 18.8 18.8 detalla detalla las las etapas etapas de de decisión decisión y las las ramas de resultados. La ramas de resultados. Decisión ahora: Decisión ahora: Llámela DI. DI. Llámela Alternativas: arrendar (L) (L) y adquirir adquirir (O) Alternativas: arrendar Resultados: buenos y malos Resultados: buenos malos mercados mercados Decisiones dentro de de 2 años: años: Decisiones dentro Llámelas D2 Llámelas D2 a D5 D5 Resultados: fuera del del negocio Resultados : buen buen mercado, mercado, mal mal mercado mercado y fuera negocio Selección de de niveles de producción niveles de producción para para D2 D2 hasta hasta D5: D5: Selección Cuadruplique la la producción (4x); duplique duplique la producción (2x); nivel de producproducción (4x); producción (2x); nivel de producCuadruplique ción (lx); (Ix); la mitad de la producción (O.5x); suspenda suspenda la producción producción (Ox) mitad de producción (O.5x); ción Las alternativas alternativas para futuros niveles de producción (D2 hasta se agregan agregan al árbol árbol producción (D2 hasta D5) D5) se Las para futuros niveles de seguidas de de las buenas la decisión decisión de de suspensuspenbuenas y malas malas respuestas respuestas del mercado. mercado. Si se toma toma la seguidas der la producción en D3 salir del del negocio. der producción (Ox) en D3 o D5, D5, el único único resultado resultado es salir negocio.

Para utilizar decisiones con la finalidad finalidad de evaluar evaluar y seleccionar seleccionar Para utilizar el árbol de decisiones alternativas, es necesaria siguiente información información adicional adicional para alternativas, necesaria la siguiente para cada rama:

•

•

Probabilidad estimada estimada de que cada resultado resultado pueda Estas probabilidaProbabilidad pueda ocurrir. Estas probabilidadeben sumar sumar 1.0 para cada conjunto conjunto de resultados resultados (ramas) (ramas) que se generan generan des deben para cada decisión. de una decisión. Información económica económica para alternativa de decisión decisión y resultado resultado posible, Información para cada alternativa posible, como inversión inversión inicial inicial y flujos de efectivo efectivo estimados. estimados. tal como

decisiones se toman toman a partir estimación de probabilidad estimación Las decisiones partir de la estimación probabilidad y la estimación valor económico económico para rama de resultados. resultados. A menudo menudo se utiliza del valor para cada rama utiliza el valor valor presente TMAR en los cálculos cálculos del valor valor esperado esperado del tipo de la ecuación ecuación [18.2]. presente a la TMAR procedimiento general general para resolver el árbol mediante mediante análisis análisis VP es: El procedimiento para resolver 1.

2.

Empiece en la parte superior derecha derecha del árbol y determine determine el valor valor de VP para Empiece parte superior para cada rama considerando el valor dinero en el tiempo. cada rama de resultado, resultado, considerando valor del dinero tiempo. Calcule el valor esperado para cada alternativa alternativa de decisión. decisión. Calcule valor esperado para cada E(decisión) E(decisión)

= L~ (estimación (estimación de resultado)P(resultado) = resultado)P(resnltado)

[18.3]

donde la suma suma incluye incluye todos los resultados cada alternativa alternativa de donde resultados posibles posibles para para cada decisión. decisión. cada nodo de decisión, decisión, seleccione seleccione el mejor decisión): el costo costo 3. En cada mejor valor valor E(de decisión): mínimo estiman los ingresos ingresos y los costos). costos). mínimo o el valor valor máximo máximo (si se estiman 4. Continúe Continúe moviéndose izquierda del árbol hacia decisión de las raíces moviéndose a la izquierda hacia la decisión raíces para seleccionar la mejor alternativa. para seleccionar mejor alternativa. decisiones de regreso 5. Trace la mejor mejor ruta de decisiones regreso a través través del árbol.

679

680

CAPÍTULO 18 Análisis de sensibilidad formalizado y decisiones de valor esperado

3.

Se requiere una decisión ya sea para comercializar o para vender un nuevo invento. Si se comercializa el producto, la siguiente decisión es realizarlo a nivel internacional o nacional. Suponga que los detalles de las ramas de resultados producen el árbol de decisiones de la figura 18.9. Para cada resultado se indican las probabilidades y el VP de FEAI (flujo de efectivo antes de impuestos). Se trata de pagos estipulados en millones de dólares. Determine la mejor decisión en el nodo de decisiones DI. VPde FEA! ($ millón) 0.5 0.5 0.4 0.4 0.2 0.8

12 16 4

-3 1 6

-3 0.4 0.4 0.2

6 -2 2

1.0

9

o

5.

-

RESI

En es más 1 dos a difen cada S medí más 1 deter ne qu

1 Elija el valor esperado de decisión alternativa

Figura 18.9 Solución de un árbol de decisiones ejemplo 18.8.

con valor presente de valores de FEA!;

Solución

Utilice el procedimiento anterior para determinar que la alternativa de decisión DI, de vender el invento, debe maximizar E(VP de FEAI). 1. 2.

4.

Se ofrece el valor presente del FEAI. Calcule el VP esperado para alternativas de los nodos D2 y D3, utilizando la ecuación [18.3]. En la figura 18.9, a la derecha del nodo de decisión D2, los valores esperados de 14 y 0.2 en óvalos se determinan como: E(decisión internacional) = 12(0.5) + 16(0.5) = 14 E(decisión nacional) = 4(0.4) - 3(0.4) - 1(0.2) = 0.2 Los VP esperados de 4.2 y 2 para D3 se calculan en forma similar.

relaei

Esta! tivo), 1 alten sario dosp valor encoi

-

PRO

Sens

18.1

PROBLEMAS PROBLEMAS

3. 3. 4.

681

Elija Elija el valor valor mayor mayor esperado esperado en cada cada nodo nodo de decisión. decisión. Éstos Éstos son son 14 (internacional) (internacional) en D2 D2 y 4.2 4.2 (internacional) (internacional) en D3. D3. Calcule Calcule el VP VP esperado esperado para para las las dos dos ramas ramas DI. DI. E(decisión E(decisión de comercializar) comercializar) = 14(0.2) 14(0.2) + 4.2(0.8) 4.2(0.8) = 6.16 6.16 E(decisión de vender) = 9(1.0) = 9 E(decisión de vender) =9(1.0) =

s. 5.

El valor único resultado valor esperado esperado para para la decisión decisión de vender vender es simple, simple, puesto puesto que que el único resultado tiene tiene una una retribución retribución de 9. La La decisión decisión de vender vender genera genera el mayor mayor VP VP esperado esperado de 9. El mayor DI mayor VP VP esperado esperado del del camino camino de FEAI FEAI es seleccionar seleccionar la rama rama de venta venta en DI para obtener obtener $9 000 000 000 000 garantizados. garantizados. para

RESUMEN RESUMEN DEL CAPíTULO CAPíTULO En este capítulo, capítulo, el énfasis énfasis está en determinar determinar la sensibilidad sensibilidad a la variación variación en uno o más parámetros parámetros utilizando utilizando una medida medida de valor valor específica. específica. Cuando Cuando se comparan comparan alternativas, se calcula calcula y se representa representa gráficamente gráficamente la medida medida de valor valor para para dos alternativas, diferentes diferentes valores valores del parámetro, parámetro, con el propósito propósito de determinar determinar cuándo cuándo es mejor mejor alternativa. cada alternativa. Si se espera parámetros varíen predecible, la espera que diversos diversos parámetros varíen durante durante un rango rango predecible, medida de valor valor se grafica grafica y se calcula calcula con tres estimaciones estimaciones para para un parámetro: parámetro: medida probable, pesimista pesimista y optimista. optimista. Dicho Dicho enfoque enfoque formalizado formalizado resulta resulta útil para para más probable, determinar qué alternativa, alternativa, entre muchas, muchas, es mejor. En todos estos análisis análisis se supodeterminar ne que existe existe independencia independencia entre entre los parámetros. parámetros. La combinación combinación de estimaciones estimaciones de parámetros parámetros y de probabilidad probabilidad resulta resulta en la relación relación de valor valor esperado esperado E(X) = = ¿XP(X) LXP(X)

expresión también también se utiliza utiliza para para calcular calcular E(ingreso), E(ingreso), E( costo), E(flujo E(flujo de efecEsta expresión tivo), E(VP) E(VP) y E(i) E(i) para para toda la secuencia secuencia del flujo de efectivo efectivo de una alternativa. alternativa. árboles de decisiones decisiones se emplean emplean para para tomar tomar una serie de selecciones selecciones entre entre Los árboles alternativas. Ésta Ésta es una forma de tener tener en cuenta cuenta explícitamente explícitamente el riesgo. riesgo. Es necealternativas. sario efectuar para un árbol efectuar diversos diversos tipos de estimaciones estimaciones para árbol de decisiones: decisiones: resultaresultados para para cada decisión posible, flujos de efectivo decisión posible, efectivo y probabilidades. probabilidades. Los cálculos cálculos de valor valor esperado esperado se reúnen reúnen con cálculos cálculos de medidas medidas de valor valor para para resolver resolver el árbol árbol y encontrar encontrar las mejores mejores alternativas alternativas etapa etapa por etapa. etapa.

PROBLEMAS PROBLEMAS Sensibilidad Sensibilidad a la variación variación de parámetros parámetros 18.1

Unidad Central Central de Distribución La Unidad Distribución de Medicamentos dicamentos quiere quiere evaluar evaluar un nuevo nuevo siste-

ma para para el manejo manejo de materiales materiales en producproductos frágiles. frágiles. El equipo equipo completo completo costará costará $62 000 y tendrá tendrá una una vida vida útil de 8 años y un valor valor de salvamento salvamento de $1 500. El man-

682

CAPÍTULO CAPÍTULO 18

Análisis Análisis de de sensibilidad sensibilidad formalizado formalizado yy decisiones decisiones de de valor valor esperado esperado

tenimiento anual, anual, el combustible combustible y los coscostenimiento generales se estiman estiman en $0.50 $0.50 por por tototos generales nelada métrica métrica movida. movida. El costo costo laboral laboral será nelada por hora hora para para los salarios salarios regulares regulares de $8 por para las horas horas extra. extra. Es posible posible y de $16 para mover un total total de 20 toneladas toneladas en un perioperiomover horas. El centro centro maneja maneja entre entre 10 y do de 8 horas. toneladas diarias diarias de productos productos frágiles. frágiles. 30 toneladas utiliza una una TMAR TMAR de 10%. 10%. Determine Determine Se utiliza sensibilidad del valor valor presente presente del costo costo la sensibilidad anual por por volumen volumen movido. movido. Suponga anual Suponga que paga al operador operador 200 días de trabajo trabajo al se paga Utilice un incremento incremento de 10 toneladas toneladas año. Utilice métricas para para el análisis. análisis. métricas

18.2 Un equipo equipo alternativo alternativo se está está evaluando evaluando en términos económicos económicos por por tres ingenieros, ingenieros, términos por separado, Raytheon. El costo costo inicial inicial por separado, en Raytheon. estiman 6 años de vida vida será $77 000, y se estiman valor de salvamento salvamento de $10 000. Sin con un valor embargo, ingenieros están en desacuerdesacuerembargo, los ingenieros sobre el ingreso estimado que generará generará do sobre ingreso estimado el equipo. equipo. Joe ha hecho hecho una estimación estimación de $10 000 al año. Jane Jane determina $10000 determina que éste es muy bajo y estima estima $14000, $14000, mientras mientras que Carlos calcula calcula $18 000 anuales. Si la TMAR TMAR antes de impuestos impuestos es de 8% anual, utilice utilice el VP para para determinar determinar si estas estas diferentes diferentes estimaciones estimaciones cambiarán cambiarán la decisión decisión de comprar el equipo. equipo. 18.3 Realice el mismo análisis del problema problema 18.2 en una hoja de cálculo cálculo y realice realice una consideración deración después después de impuestos, impuestos, utilizanutilizando la depreciación depreciación SMARC SMARC a 5 años y una tasa impositiva impositiva efectiva efectiva de 35%. Utilice Utilice gastos anuales estimados estimados de $2 000. Determine la TMAR TMAR efectiva efectiva después de impuesimpuestos a partir partir de la TMAR TMAR antes de impuestos impuestos de 8%. 18.4 Una compañía compañía manufacturera manufacturera necesita 1 000 metros cuadrados cuadrados de espacio espacio para almacealmacenamiento. Una opción namiento. opción es la compra compra de un terreno por $80 000 y la construcción construcción de un edificio edificio provisional provisional de metal a razón de $70 por metro cuadrado. cuadrado. El presidente presidente espera espera vender la tierra por $100 000 y el edificio vender edificio

por por $20 $20 000 000 dentro dentro de 3 años. años. La La otra otra opopción ción es arrendar arrendar espacio espacio por por $2.50 $2.50 el metro metro cuadrado cuadrado por por mes pagadero pagadero al principio principio de de cada cada año. La TMAR TMAR es 20%. 20%. Utilice Utilice un un anáanálisis lisis de valor valor presente presente entre entre las alternativas alternativas de construir construir y arrendar arrendar para para determinar determinar la sensibilidad sensibilidad de la decisión, decisión, si los los costos costos de construcción construcción caen 10% y los costos costos de arrenarrendamiento damiento se incrementan incrementan a $2.75 $2.75 el metro metro cuadrado cuadrado por por mes. Showers diseñó 18.5 Custom Custom Baths Baths & Showers diseñó un nuevo nuevo sistema sistema de demostración. demostración. Para Para los los datos datos mostrados, mostrados, determine determine la sensibilidad sensibilidad de la tasa tasa de rendimiento rendimiento a la la cantidad cantidad del del gradiente gradiente de ingreso ingreso G para para valores valores desde desde $1500 $1500 hasta hasta $2 500. 500. Si la TMAR TMAR es de 18% anual, ¿esta ¿esta variación variación en el gradiente gradiente de iningresos gresos afectaría afectaría la decisión decisión para para construir construir el sistema sistema de demostración? demostración? Trabaje Trabaje este este problema a) a mano por computadora. problema mano y b) por computadora.

=

P = $74 $74000 000

n= = 10 años

s=o s=o

Gastos:

primer año, con incre$30 000 el primer incrementos de $3 000 por año en lo mentos sucesivo sucesivo Ingresos: $63 000 el primer primer año, con deIngresos: crementos de G anual anual en lo sucesucecrementos sivo

18.6

Considere los dos sistemas sistemas de aire acondiacondiConsidere cionado detallados detallados a continuación. continuación. cionado Sistema 1 Sistema

000 Costo inicial, inicial, $ Costo -10 000 -600 Costo de operación operación anual, anual, $/año $/año Costo Valor -100 Valor de salvamento, salvamento, $ -1750 Costo de un nuevo nuevo compresor compresor Costo -1750 y motor motor en la mitad mitad de la Y vida, $ vida, Vida, Vida, años años 8

Sistema 2 Sistema

--17000 17 000 -150 -300 -3000 -3000

12

Utilice un análisis de VA VA para determinar determinar la Utilice sensibilidad de la decisión decisión económica económica a los sensibilidad TMAR de 4%, 6% y 8%. Revalores de la TMAR

18.í

PROBLEMAS PROBLEMAS

presente gráficamente gráficamente la curva curva de sensibilisensibilipresente Trabaje este problema problema a) a mano y b) dad. Trabaje computadora. por computadora.

18.7

planean comprar comprar una casa de Clint y Anne planean tráiler de viaje y un vefin de semana, o un tráiler hículo de tracción tracción en las cuatro cuatro ruedas ruedas para hículo jalar el tráiler tráiler durante durante las vacaciones. vacaciones. Ellos jalar encontrado una extensión extensión de 5 acres con han encontrado pequeña a 25 millas millas de su casa. una casa pequeña costará $130000 $130 000 y estiman estiman que pueLes costará lugar por $145000, $145000, dentro dentro den vender vender el lugar cuando sus hijos crezcan. crezcan. Los de 10 años, cuando costos de seguro seguro y mantenimiento mantenimiento se esticostos aunque se espera espera man en $1 500 por año, aunque lugar de fin de semana semana permita permita a la que este lugar familia ahorrar ahorrar $150 por cada día que no familia por cada salgan de vacaciones. vacaciones. La La pareja pareja estima estima salgan que, aunque aunque la cabaña cabaña se encuentra encuentra a sólo casa, tendrán viajar 25 millas millas de la casa, tendrán que viajar 50 millas millas diarias cuando estén estén en la cabadiarias cuando ña, mientras visitan vecimientras trabajan trabajan en ella y visitan eventos locales. nos y eventos locales. En promedio, promedio, su automóvil galón de tomóvil recorre recorre 30 millas millas por por galón gasolina. gasolina. La combinación combinación de remolque remolque y vehícuvehículo costaría costaría $75000 $75000 y podría podría venderse venderse por por $20 000 000 dentro dentro de 10 años. Los costos costos de seguro seguro y de operación operación promediarán promediarán $1 750 anuales, anuales, aunque aunque se espera espera que esta esta alternaalternativa tiva ahorre ahorre $125 $125 por por día de vacación. vacación. En vacaciones vacaciones normales, normales, ellos ellos viajan viajan 300 300 mimillas cada cada día. El rendimiento rendimiento en millas millas por por galón remolque se esgalón para para el vehículo vehículo y el remolque timan timan al 60% del del auto auto de familia. familia. Suponga Suponga que los costos costos de gasolina gasolina son de $1.20 $1.20 por por galón. galón. El dinero dinero destinado destinado para para dicha dicha comcompra pra está está invertido invertido actualmente actualmente y gana gana un un promedio promedio de 10% por por año. Calcule Calcule el número número de equilibrio equilibrio de días de vacaciones vacaciones por por año para para los dos plaplanes. b) b) Determine Determine la sensibilidad sensibilidad de VA para para cada cada plan plan si el tiempo tiempo de vacaciones vacaciones puede puede variar variar hasta hasta ±40% ±40% del número número de equilibrio. equilibrio.

a)

683 683

e) Si Anne acaba de iniciar iniciar en un nuevo empleo empleo y tendrá sólo 14 días durante los años cercanos, cercanos, ¿cuál alternativa alternativa es mecostosa? nos costosa? 18.8 18.8

Calcule manualmente manualmente y elabore elabore una gráa) Calcule sensibilidad de la tasa de rendifica de la sensibilidad miento versus versus la tasa de interés interés de un bono miento a 15 años de $50 000 que se ofrece $50000 ofrece por $42 000 con pago pago de intereses intereses trimestratrimestrales sobre el mismo. mismo. Considere Considere tasas de 5%, 7% Y 9% para para el bono. b) Utilice Y9% Utilice el análisis análisis de hoja hoja de cálculo cálculo para para resolver resolver este problema. blema.

18.9

Se le ha ofrecido ofrecido a Leona Leona una oportunidad oportunidad de inversión inversión que requerirá requerirá un desembol desembol-so de efectivo efectivo de $30 000 ahora ahora para para una entrada $3500 entrada de efectivo efectivo de $3 500 por por cada año de inversión. inversión. Sin embargo, embargo, ella ella debe debe deterdeterminar ahora el número piensa minar ahora número de años que piensa conservar la inversión. inversión. Adicionalmente, Adicionalmente, si conservar conserva la inversión inversión durante se conserva durante 6 años, se devolverá inversionistas; pero devolverá $25 000 a los inversionistas; después de 10 años se anticipa anticipa que se dededespués volverá sólo $15 000 y después después de 12 años volverá estima que devolvería devolvería $8 000. Si actualactualse estima mente el dinero dinero tiene tiene un valor valor de 8% anual, anual, mente decisión es sensible sensible al periodo periodo de re¿la decisión tención? tención?

18.10 Un activo activo cuesta cuesta $8 000 000 y tiene tiene una una vida vida 18.10 máxima de 15 años. Se espera espera que su COA COA máxima $500 el primer primer año y aumente aumente por por un sea de $500 gradiente gradiente aritmético aritmético G entre entre $60 $60 y $140 $140 anual en lo sucesivo. sucesivo. Determine Determine la sensibisensibianual lidad de la vida vida económica económica del servicio servicio reslidad pecto al gradiente gradiente de costo costo en incrementos incrementos pecto $40, yy grafique grafique los resultados resultados sobre sobre la la de $40, misma gráfica. gráfica. Use U se una una tasa tasa de interés interés de 5 % misma anual. anual.

Para los planes planes A yy B elabore elabore la la gráfica gráfica de 18.11 Para sensibilidad de los valores valores de de VP VP al 20% 20% sensibilidad anual, para para el rango rango -50% - 50% a + +100%, 100%, de las anual, siguientes siguientes estimaciones estimaciones puntuales puntuales para para cada cada costo inicial, inicial, b) b) uno de los parámetros: parámetros: a) costo uno COA COA Ye) Y e) ingreso ingreso anual. anual.

684

CAPÍTULO

Costo inicial, $ COA, $/año Ingreso anual, $/año Valor de salvamento, $ Vida esperada, años

18

Análisis de sensibilidad

Plan A

Plan B

-500000 -75000 150000 50000 5

-375000 -80000 130000 37000 5

18.12 Utilice una hoja de cálculo para determinar y representar mediante gráfica la sensibilidad de la tasa de rendimiento respecto a un cambio de ±25% en a) el precio de compra y b) el precio de venta para la siguiente inversión. Un ingeniero compró un auto antiguo por $25 000 con el plan de realizar mejoras importantes y venderlo con una utilidad. Los gastos de mejoramiento fueron $5 500 el primer año, $1 590 el segundo año y $1 300 el tercer año. El vendió el auto después de 3 años por $35 000.

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t~

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18.13 Use una hoja de cálculo para representar, sobre una gráfica (similar a la figura 18.3), la sensibilidad de VA sobre el rango -30% a +50% de los parámetros a) costo inicial, b) COAy e) ingreso anual. Use una TMAR de 18% anual.

~,fi!l

".•~W "

Proceso

Estimación

~."IIJ

Costo inicial, $ Valor de salvamento, $ Vida, años COA, $/año Ingreso anual, $/año

-80000 10 000 10 -15000 39000

18.14 Represente mediante gráfica la sensibilidad de lo que una persona estaría dispuesta a pagar ahora, por un bono de $10 000 al 9% con vencimiento a 10 años, si hay un cambio de ±30% en a) el valor nominal, b) la tasa de dividendos o e) su tasa de rendimiento nominal deseada, que es de 8% anual compuesto semestralmente. Los dividendos del bono se pagan cada semestre.

formalizado

y decisiones de valor esperado

Tres estimaciones 18.15 Un ingeniero debe decidir entre dos formas de bombear concreto a los pisos superiores de un edificio de oficinas de siete pisos que va a construirse. El plan 1 exige la compra de equipo por $6 000, cuya operación cuesta entre $0.40 y $0.75 por tonelada métrica, con un costo muy probable de $0.50 por tonelada métrica. El activo puede bombear 100 toneladas métricas diarias. Si se compra, el activo durará 5 años, no tendrá valor de salvamento y se utilizará entre 50 y 100 días al año. El plan 2 es una opción de arriendo de equipo, y se espera que cueste a la compañía $2 500 anuales, con una estimación mínima de $1 800 y una máxima de $3 200 anuales. Además, se incurrirá en un costo laboral extra de $5 por hora para manejar el equipo arrendado durante 8 horas diarias. Represente mediante gráfica el VA de cada plan versus el costo de operación anual total o costo de arriendo al i = 12%. ¿ Qué plan debe recomendar el ingeniero si la estimación más probable de uso es a) 50 días al año y b) 100 días al año? 18.16 Una planta empacadora de carne debe decidir entre dos formas de enfriar jamones cocinados. Mediante atomizador se enfrían a 30°C utilizando aproximadamente 80 litros de agua para cada jamón. El método de inmersión emplea 40 litros por cada jamón, aunque se estima un costo inicial extra por equipo de $2 000 y costos de mantenimiento extra de $100 anuales durante la vida de 10 años. Se cocinan 10 millones de jamones por año y el agua cuesta $0.12 por 1 000 litros. Otro costo es $0.04 por 1 000 litros para tratamiento de agua residual, que se requiere para cualquier método. La TMAR es 15% anual. Si se selecciona el método de atomizador, la cantidad de agua utilizada puede variar de un valor optimista de 40 litros a un valor pesimista de 100 litros, siendo 80 litros la cantidad más probable. La técnica

18.

Val 18.

18.

685

PROBLEMAS PROBLEMAS

inmersión siempre siempre utiliza utiliza 40 litros litros por de inmersión jamón. ¿Cómo afectará afectará la decisión decisión econóeconójamón. ¿Cómo mica este uso variable variable del agua para para el mémica atomizador? todo del atomizador? 18.17 Cuando Cuando la economía economía del país se está está expanexpan18.17 diendo, la firma firma AB Investment Investment Company Company diendo, es optimista optimista y espera espera una una TMAR TMAR de 15% para para las nuevas nuevas inversiones. inversiones. Sin embargo, embargo, en una economía economía en recesión recesión el rendimienrendimiento esperado esperado es de 8%. Por lo general general se requiere Una econoquiere un rendimiento rendimiento de 10%. Una economía en expansión expansión hace que la estimación estimación de vida de los activos activos se reduzca reduzca en cerca cerca de 20%, y una economía economía en recesión recesión hace hace que los valores de n aumenten aumenten alrededor alrededor de 10%. Grafique presente Grafique la sensibilidad sensibilidad del valor valor presente versus versus a) la TMAR TMAR y b) los valores valores de las vidas para para los dos planes planes detallados detallados a concontinuación, tinuación, utilizando utilizando las estimaciones estimaciones más probables probables para para los demás demás factores. factores. e) ConConsiderando siderando todos todos sus análisis, análisis, ¿en qué escenario, de existir, debería plan debería rechazarse rechazarse el plan M o el plan plan Q?

Inversión Inversión inicial, inicial, $ Flujo de efectivo, efectivo, $/año $/año Flujo Vida, años años Vida,

Plan M

Plan Q Q

-100000 -100000 +15000 +15000 20

-110000 -110000 +19000 +19000 20

subcomponente. Las estimaciones, estimaciones, en un subcomponente. segundos, son 10,20,30 10,20,30 Y Y70. colosegundos, 70. a) Si se coloigual peso peso sobre cada cada estimación, estimación, ¿cuál ¿cuál ca igual tiempo esperado esperado para para planearlo? planearlo? b) Si es el tiempo rechaza el tiempo tiempo mayor, estime estime el tiemse rechaza esperado. ¿Parece ¿Parece que la estimación estimación mapo esperado. yor aumenta aumenta significativamente significativamente el valor valor esperado? perado?

18.20 La variable variable Y se define define como como 3n para para n = 1, 2, 3,4 3,4 con probabilidades probabilidades de 0.4, 0.3, 0.233 Y 0.067, respectivamente. Y0.067, respectivamente. Determine Determine el valor esperado esperado de Y. Y. espera que el valor valor del COA COA para para una 18.21 Se espera alternativa sea uno de dos valores. valores. Su comcomalternativa pañera de oficina oficina le dijo dijo a usted pañera usted que el valor inferior inferior es de $2 800 anuales. anuales. Si sus valor cálculos muestran muestran una probabilidad probabilidad de 0.75 cálculos para el valor valor superior superior y un valor valor esperado esperado para COA de $4575, $4575, ¿cuál es el valor de COA de COA superior utilizado utilizado en el cálculo cálculo del COA COA superior promedio? promedio?

18.22 Un total de 40 propuestas propuestas diferentes diferentes fueron evaluadas evaluadas por el Comité Comité de Desarrollo Desarrollo e Investigación vestigación Industrial Industrial durante durante el año papasado. Se aprobaron aprobaron 20. Las estimaciones estimaciones de tasa de rendimiento rendimiento se resumen resumen a conticontinuación nuación con los valores valores i* redondeados redondeados al entero más cercano. cercano. Para Para las propuestas propuestas entero aceptadas, calcule calcule la tasa de rendimiento rendimiento esaceptadas, perada E(i). E(i). perada

Valor esperado esperado 18.18 Calcule Calcule la tasa de flujo esperada esperada para para cada cada pozo pozo petrolero petrolero usando usando las siguientes siguientes estimaciones maciones de probabilidad. probabilidad.

-8 -5 -5

Flujo esperado, esperado, barriles/día barriles/día

100 Pozo Pozo norte norte Pozo este este Pozo

0.15 0.35

200 0.75 0.15

300 0.10 0.45

Propuesta Propuesta tasa tasa de de rendimiento, % rendimiento,

O O 5

400

8 10 15 15

0.05

18.19 18.19 Existen Existen cuatro cuatro estimaciones estimaciones efectuadas efectuadas para el tiempo para producir producir tiempo de ciclo anticipado anticipado para

Número Número de de propuestas propuestas 1

11 5 5 2 3 3

20

18.23 Starbreak Starbreak Foods Foods ha realizado realizado un análisis análisis económico económico para para una propuesta propuesta de servicio servicio

686

CAPÍTULO 18 Análisis de sensibilidad formalizado y decisiones de valor esperado

en una nueva región del país. Se ha utilizado el enfoque de tres estimaciones en el análisis de sensibilidad. Se espera que las estimaciones optimistas y pesimistas ocurran con una probabilidad de 15%. Emplee los VA que se muestran para calcular el VA esperado.

Valor VA, $

Optimista

Más probable

Pesimista

+300000

+50000

-25000

18.24 a) Determine el valor presente esperado de la siguiente serie de flujo de efectivo, si cada serie puede ocurrir con la probabilidad que aparece en el encabezado de cada columna. Sea i = 20% anual. b) Determine el VA esperado para la misma serie de flujo de efectivo. Flujo de efectivo anual, $/año Año

~ 1 ~~ ~I ~~:\¡

o 1 2

3

Probo

=

-5000 1000 1000 1000

0.5

Probo

=

0.2

-6000 500 1500 2000

Probo

=

0.3

-4000 3000 1200 -800

,11th

tI

'~n' .P'

~~It1

18.25 Un muy exitoso club de salud y recreación desea construir un refugio de montaña para escalamiento y ejercicio exterior al servicio de sus clientes. Debido a su ubicación, existe un 30% de probabilidad de una temporada de 120 días con buen clima exterior, un 50% de probabilidad de una temporada de 150 días y un 20% de probabilidad de una temporada de 165 días. La montaña se usará por un estimado de 350 personas cada día de la temporada de 4 meses (120 días), pero por sólo 100 diarias por cada día adicional que dure la temporada. La propuesta costará $375000 para construir y requerirá un trabajo de remodelación de $25 000 cada 4 años; además, el costo de seguros y mantenimiento será de $56000 anuales. La ta-

rifa de escalada será de $5 por persona. Si se anticipan una vida de 10 años y un rendimiento de 12% anual, determine si la expansión está económicamente justificada. 18.26 El dueño de la firmaAce Roofing puede invertir $200000 en equipo nuevo. Se anticipa una vida de 6 años y un valor de salvamento de 12% del costo inicial. El ingreso anual extra dependerá del estado de la industria de la vivienda y la construcción. Se espera que el ingreso adicional sea solamente de $20 000 anuales si continúa la depresión actual en la industria. Los especialistas de bienes raíces estiman una probabilidad de 50% de que la depresión persista 3 años y le dan una probabilidad de 20% de que continúe durante otros 3 años más. Sin embargo, si el mercado deprimido mejora, ya sea durante el primero o el segundo periodo de 3 años, se espera que el ingreso de la inversión aumente $35 000 anualmente. ¿La compañía puede esperar obtener un rendimiento de 8% anual sobre su inversión? Utilice el análisis de valor presente. 18.27 Jeremy tiene $5 000 para invertir. Si pone el dinero en un certificado de depósito (CD), tiene la certeza de recibir 6.35% efectivo anual durante 5 años. Si invierte el dinero en acciones, tiene una posibilidad 50-50 de una de las siguientes secuencias de flujos de efectivo para los próximos 5 años. Flujo de efectivo anual, $/año Probo

=

0.5

Probo

=

0.5

Año

Acciones 1

Acciones 2

O 1-4 5

-5000 +250 +6800

-5000 +600 +4000

Finalmente, Jeremy puede invertir sus $5 000 en bienes raíces durante 5 años con el siguiente flujo de efectivo y estimaciones de probabilidad.

Año

o 1

2

3 4 5

18.28

Mezd Porcer

PROBLEMAS

Flujo de efectivo anual, $/año Año

Probo

=

0.3

-5000 -425 -425 -425 -425 +9500

O

1 2 3 4 5

Probo

=

0.5

-5000 O O O O

+7200

Probo

=

687

interés reales a las cuales los fondos de inversión propios crecerán, así como el poder de compra en términos de dólares de hoy (valor constante) de la cantidad real acumulada después de 10 años.

0.2

-5000 +500 +600 +700 +800 +5200

12 ,~ 10

ec.

¿Cuál de las tres oportunidades de inversión ofrece la mejor tasa de rendimiento esperada para Jeremy?

'3

18.28 La firma California Company tiene $1 millón en un fondo de inversión que la junta directiva piensa situar en proyectos con mezclas diferentes D-P (Deuda/Capital propio), que varían de 20-80 a 80-20. Para ayudar con la decisión, la gráfica que aparece a continuación, preparada por el director financiero, de las tasas de rendimiento anual estimado actual del capital propio (i sobre el capital propio) versus diversas combinaciones D-P que se utilizarán. Todas las inversiones serán por 10 años sin flujos de efectivo intermedios que entren o salgan de los proyectos. La propuesta aprobada por la junta es invertir de la siguiente manera:

'"

Mezcla D-P Porcentaje

80-20 del grupo

20%

¿Cuál es la estimación actual de la tasa de rendimiento anual esperada sobre el capital propio de la compañía para las inversiones de $1 millón después de 10 años? b) ¿Cuál es la cantidad real de capital propio invertido ahora y cuál es la cantidad total esperada dentro de 10 años para el plan de inversión aprobado por la junta? e) Si se espera que la inflación pro medie 4.5% al año durante el próximo periodo de 10 años, determine tanto las tasas de

'g.

8 6

u

!:!

.g

4

+--~~

2

o 0-100

20-80

50-50

80-20

Mezcla D-P, %

18.29 Un hotel en Cedar Falls debe construir un muro de contención cerca de su estacionamiento, debido a la ampliación de la avenida principal de la ciudad, ubicada justo frente al hotel. La cantidad de lluvia experimentada en un breve periodo de tiempo puede provocar daño en cantidades diversas, y el costo de la pared aumentará de acuerdo a la finalidad de proteger contra mayores y más rápidas lluvias. Las probabilidades de una cantidad específica de lluvia en un periodo de 30 minutos y estimaciones de costo de la pared son las siguientes:

a)

Lluvia, pulgadas/ 30 minutos 2.0 2.25 2.5 3.0 3.25

Probabilidad de lluvias mayores 0.3 0.1 0.05 0.01 0.005

Costo inicial estimado de la pared, $ 200000 225000 300000 400000 450000

La pared se financiará a través de un préstamo al 6% anual sobre la cantidad total que

688

CAPÍTULO

18

Análisis de sensibilidad

formalizado

y decisiones de valor esperado

se reembolsará al término de un periodo de 10 años. Los registros indican que un daño promedio de $50 000 ha ocurrido con lluvias fuertes, debido a las relativamente pobres propiedades cohesivas del suelo a lo largo de la avenida principal. Se aplica una tasa de descuento de 6% anual. Encuentre la cantidad de lluvia contra la que se debe proteger mediante la elección de la pared con VA más bajo durante el periodo de 10 años.

Valor $30

0.4

100

18 0.6

-50

'-----------

500

90

Valor

Árboles de decisiones

0.3

$150

0.3 0.4

-30

18.30 Para la rama del árbol de decisiones que se muestra, determine los valores esperados de los dos resultados si ya se ha seleccionado la decisión 03 y se busca el valor de resultado máximo. (Esta rama de decisión forma parte de un árbol más grande.)

Probabilidad 0.2 0.35 0.45

0.4 0.6

Valor 55 -30

lO

0.5

200

0.5

-100

50

18.32 La decisión 04, que tiene 3 resultados posibles (x, y o z), debe tomarse en el año 3 de un periodo de estudio de 6 años con la finalidad de maximizar el valor esperado del valor presente. Utilizando una tasa de rendimiento de 15% anual, la inversión requerida en el año 3 y el flujo de efectivo estiFlujo de $1 000)

-17

Inversión efectivo requerida,

O

año 3 Alto $200 000

18.31 Un árbol de decisiones grande tiene una rama de resultados que se detalla para este problema. Si las decisiones 01, 02 Y 03 son todas opciones en un periodo de 1año, encuentre la ruta de decisión que maximiza el valor del resultado. Las inversiones específicas en dólares necesarias para los nodos de decisión 01, 02 Y03 se indican en cada rama.

75

Bajo

Alto

75000

Bajo

Año

ex

Año

Año

456

Probabilidad del resultado

$50

$50

$50

0.7

40

30

20

0.3

30

40

50

0.45

30

30

30

0.55

ISO

0.7

I I

O

Alto Bajo

350000

190 -30

170 -30

-30

0.3

18.

PROBLEMAS

mado para los años 4 a 6, determine qué decisión debería tomarse en el año 3. (Este nodo de decisión forma parte de un árbol más grande.)

acuerdo con especificaciones a un contratista. El costo estimado anual para cada alternativa depende de las circunstancias específicas de la planta, el productor o el contratista. Las circunstancias se detallan en la siguiente información, junto con una probabilidad de ocurrencia y el costo anual estimado. Construya y resuelva un árbol de decisiones para determinar la alternativa de menor costo para proporcionar los subensambles.

18.33 En una línea de ensamble final se necesita anualmente un total de 5 000 subensambles mecánicos, los cuales pueden obtenerse en una de tres formas: 1) Hacerlos en una de las tres plantas propiedad de la compañía; 2) comprarlos en el almacén del único fabricante, o 3) mandarlos fabricar de Alternativa de decisión 1. Fabricar

2. Comprar hecho

3. Mandarlos fabricar

Resultados

Probabilidad

Planta: A B C Cantidad: <5 000, paga prima 5 000 disponibles >5 000, obligado a comprar Entrega: Entrega oportuna Entrega tardía; comprar entonces al fabricante

18.34 El presidente de ChemTech está tratando de decidir si debe empezar una nueva línea de producto o comprar una pequeña compañía. Financieramente, no es posible hacer las dos cosas. Fabricar el producto durante un periodo de 3 años requerirá una inversión inicial de $250000. Los flujos de efectivo anuales esperados con las probabilidades en paréntesis son: $75 000 (0.5), $90 000 (0.4) y $150000 (0.1). Comprar la pequeña compañía costará $450 000 ahora. Los estudios de mercado indican una probabilidad de 55% de mayores ventas para la compañía, y una probabilidad de 45% de disminuciones severas con un flujo de efectivo anual de $25 000.

689

Costo anual para 5000 unidades, $/año

0.3 0.5 0.2

250000 400000 350000

0.2 0.7

550000 250000

0.1

290000

0.5

175000

0.5

450000

Si se experimentan disminuciones en el primer año, la compañía venderá inmediatamente (durante el año 1) a un precio de $200 000. Las mayores ventas podrían ser de $100 000 los dos primeros años. Si esto ocurre, se considerará una decisión de expandirse dos años después con una inversión adicional de $100 000. Esta inversión podría generar flujos de efectivo con las siguientes probabilidades: $120000 (0.3), $140000 (0.3), y $175000 (0.4). Si no se elige la expansión, se mantendrá el tamaño actual para que continúen las ventas previstas. Suponga que no hay valores de salvamento en ninguna de las inversiones. Uti-

690

CAPÍTULO 18 CAPÍTULO

Análisis sensibilidad formalizado formalizado y decisiones Análisis de sensibilidad decisiones de valor valor esperado esperado

descripción anterior anterior y un rendimienrendimienlice la descripción hacer lo que se into anual de 15% para hacer dica: Construya un árbol árbol de decisiones decisiones con a) Construya valores y probabilidades probabilidades mostodos los valores trados. trados. Determine los VP esperados esperados en el nodo b) Determine nodo decisión de "expansión/sin "expansión/sin expanexpande decisión después de dos años, siempre siempre y sión" después cuando las ventas hayan crecido. crecido. cuando

decisión debería debería tomare) Determine Determine cuál decisión tomarse ahora ahora para para ofrecer ofrecer el mayor mayor rendirendimiento ChemTech. miento posible posible para para ChemTech. d) á) Explique Explique en sus palabras palabras lo que sucedería esperados en cada dería a los valores valores esperados cada nodo decisiones, si se extiende extiende el nodo de decisiones, horizonte horizonte de planeación planeación más de tres tres años, y todos los valores valores del flujo de efectivo continúan continúan en la forma forma pronosefectivo pronosticada descripción. ticada en la descripción.

1'5:1 tt "tG AMPLIADO EJERCICIO AMPLIADO

ANÁLISIS DE DE ALTERNATIVAS ANÁLISIS ALTERNATIVAS DESDE DESDE DIFERENTES DIFERENTES ÁNGULOS ÁNGULOS Berkshire Controllers Controllers generalmente financia sus proyectos Berkshire generalmente financia proyectos de ingeniería ingeniería con una combinación de deuda combinación deuda y de capital capital propio. propio. Los rangos rangos resultantes resultantes de la TMAR TMAR van desde un bajo 8% anual, si el negocio negocio avanza avanza lento, lento, hasta hasta uno alto de 15% anual. Por lo común, se espera espera un rendimiento rendimiento de 10% anual. Además, Además, las estimaciones estimaciones de para los activos activos tienden vida para tienden a disminuir disminuir aproximadamente aproximadamente 20% de lo normal normal en un ambiente de negocios negocios vigoroso, ambiente vigoroso, y tienden tienden a aumentar aumentar en un 10% en una economía economía recesión. Las siguientes siguientes estimaciones en recesión. estimaciones son los valores valores más probables probables para para dos planes que actualmente actualmente se están planes están evaluando. evaluando. Use estos datos y una una hoja hoja de cálculo cálculo responder a las preguntas siguientes. para responder preguntas siguientes.

I

1 ñ

Plan Plan B

Costo inicial, Costo inicial, $ COA, $ por COA, por año año Valor de salvamento, $ Valor de salvamento, Vida estimada, Vida estimada, años años

Plan Plan A

Activo Activo 1

Activo Activo 2

-10 000 000 -500 - 500 1000 40

--30000 30000 -100 5000 40

-5000 -5000 -200 --200 200 20 p

y

Preguntas Preguntas 1. ¿Los valores valores de VP para sensibles a los cambios 1. para los planes planes A y B son sensibles cambios en la TMAR? TMAR? valores de VP son sensibles sensibles para variaciones en las estimaciones 2. ¿Los valores para las variaciones estimaciones de vida? Bosqueje los resultados anteriores en gráficas separadas para TMAR 3. Bosqueje resultados anteriores gráficas separadas TMAR y vida vida estimada. estimada. punto de equilibrio equilibrio para costo inicial inicial del plan A es sensible sensible a los cambios cambios 4. ¿ El punto para el costo TMAR conforme conforme el negocio en la TMAR negocio pasa pasa de vigoroso vigoroso a recesivo? recesivo?

n Vi

c.

L d

2 d

(\

691

ESTUDIO DE CASO

ESTUDIO DE CASO CASO ESTUDIO ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD SENSIBILIDAD EN EN PROYECTOS PROYECTOS DEL DEL SECTOR SECTOR PÚBLICO: PÚBLICO: ANÁLISIS DE PLANES DE DE SUMINISTRO SUMINISTRO DE DE AGUA AGUA PLANES Introducción Introducción

Resultados de la búsqueda Resultados búsqueda preliminar preliminar

Uno de los servicios básicos proporcionados proporcionados por los municipales es el suministro confiable y segobiernos municipales y exguro de agua. A medida que las ciudades crecen yextienden sus límites a las áreas periféricas, periféricas, con frecuencia heredan sistemas de agua que no fueron construidos normatividad de la ciudad. Algunas de acuerdo con la normatividad mejoramiento de estos sistemas resulta resulta más veces, el mejoramiento costoso que instalar uno adecuado desde el principio. Para evitar tales problemas, los funcionarios de la ciudad en ocasiones instalan sistemas de agua que sobreanticipándose pasan los límites existentes de la ciudad, anticipándose crecimiento futuro. Este estudio de caso fue exasí al crecimiento traído de un plan manejo de agua y de aguas aguas traído plan de manejo residuales a lo largo del país, y se limita sólo a algunas de las alternativas de suministro de agua.

18.5 presenta La tabla 18.5 presenta los resultados de la búsqueda utilizando los seis factores de calificación calificación en una escala de 1 a 5. Se determinó que las alternativas lA, lA, 3 Y Y4 4 fueron las tres mejores y se eligieron para posterior evaluación.

Procedimiento Procedimiento De entre una docena de planes sugeridos, se desarroejecutivo como llaron cinco métodos por un comité ejecutivo suministrar agua al área de esformas alternativas para suministrar tudio. Tales métodos se sometieron después a una evaidentificar las alternativas más luación preliminar preliminar para identificar calificación inicial se utilizaron prometedoras. En la calificación capacidad para atender el área, costos reseis factores: capacidad ingeniería, aspectos institucioinstituciolativos, factibilidad de ingeniería, nales, consideraciones consideraciones ambientales y requisito de tiempo de entrega. entrega. Cada factor llevó la misma ponderación ponderación y tuvo valores que oscilaron entre 1 y 5, siendo 5 el mejor. Después de haber identificado identificado las tres alternativas principales, cada una estuvo sujeta a una evaluación económica detallada para elegir la mejor de ellas. Las evaluaciones evaluaciones detalladas incluyeron una estimación del capital invertido de cada alternativa, amortizado en 20 años a un interés de 80/0 8% anual y los costos anuales mantenimiento y operación (M&O). El costo anual de mantenimiento VA) se dividió luego entre la población aten(un valor VA) dida para llegar al costo mensual por vivienda.

Estimaciones de costos detalladas detalladas Estimaciones para alternativas selectas selectas para alternativas Todos los montos son costos estimados.

Alternativa lA lA Costo de capital Terreno con servicio de agua: 1 720 hectáreas $8600000 @ $5 000 por hectárea $8600000 2560000 2560000 Planta de tratamiento principal principal 221425 221425 Estación de propulsión en la planta 50325 propulsión 50325 Represa en la estación de propulsión 40260 40260 Costo del lugar 3020000 transmisión desde el río 3020000 Línea de transmisión transmisión 23350 23350 Derecho de vía, línea de transmisión 2093500 2093500 Lechos de filtración 60400 Tubería para lechos de filtración 60400 510 000 Pozos de producción recolección del campo 77 000 Sistema de recolección 1450000 1450000 distribución Sistema de distribución 3784800 distribución adicional 3784800 Sistema de distribución 250000 250000 Represas represas, terreno Lugar de represas, y desarrollo 17 000 17000 Subtotal contingencias Ingeniería y contingencias

$22758 060 $22758060 5 641 940 5641940

400 000 $28 400000 Inversión total de capital mantenimiento y operación Costos anuales de mantenimiento 9 812 610 kWh por año Bombeo de 9812610 $785009 @ $0.08 por KWH $785 009

12

8

4

3

lA

Alternativa

Recibir agua de la ciudad y recargar pozos Planta conjunta para ciudad y condado Planta de tratamiento para condado Desalar aguas freáticas Desarrollar agua militar

Descripción

5

2

1 5

4

4

4

Costo relativo

4

5

5

Capacidad para abastecer el área

·~-~- ~¿.~

4

1

3

1

1

3

3

3

4

3

4

3

4

3

3

5

4

3

Requerimiento de entrega a tiempo

4

Consideraciones ambientales

Aspectos institucionales

Factibilidad de ingeniería

Factores

19

12

21

23

24

Total

1

11

11

11

1 '

1

1

::l

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...• po oo

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ESTUDIO ESTUDIO DE DE CASO CASO

Costo de de operación operación fijo fijo Costo Costo de operación operación variable variable Costo Impuestos para para derechos derechos de de agua agua Impuestos

180,520 180,520 46730 46730 48160 48160

Costos total total anual anual de M&O M&O Costos

$1 $1 060419 060419

Costos anuales anuales totales totales ==inversión inversión de capital capital Costos equivalente equivalente + costo costo de M&O M&O

693 693

Conclusión Conclusión Con Con base base en en el el costo costo por por vivienda vivienda mensual mensual más más bajo, bajo, la la alternativa alternativa 3 (una planta planta conjunta conjunta para para la la ciudad ciudad yy el el condado) condado) resulta resulta la más atractiva atractiva económicamente. económicamente.

Ejercicios Ejercicios del del estudio estudio de de caso caso

400 00(AIP,8%,20) 00(A/P,8%,20) = 28 400 060419 + 1 060419 060419 = 2 892 540 + 1 060419

= $3 952 959 mensual por vivienda vivienda para atender El costo promedio mensual el 95% de 4 980 viviendas es: Costo por vivienda = (3 952 959) ~ 2.- _1 _1__ _ _1_ 4980 0.95 12 4980 = $69.63 por mes

Alternativa 3 Alternativa Inversión total de capital = $29 600 000 Costo de M&O anual total = $867119 $867 119 Costo anual total

= 29600 29600 000(A/P,8%, 000(A/P,8%, 867119 20) + 867 119 = 3 014760 014 760 + 867 119 119

= $3881879 $3 881 879 Costo por vivienda

= $68.38 por mes

Alternativa Alternativa 4 Costo de capital total

= $29 000000 000 000

Costo de M&O anual total == $1 063 449 $1063449 Costo anual total

29000 (AIP,8%, = 29 000 000 (A/P,8%, 20) + 11 063 063 449 =2953650+ 11 063 063449 =2953650+ 449 == $4017099 $4017099

Costo Costo por por vivienda vivienda

== $70.76 $70.76 por por mes mes

1. Si el factor factor de consideraciones consideraciones ambientales ambientales era dar una una ponderación ponderación del doble de cualquiera cualquiera de los cinco factores restantes, ¿cuál sería su ponderación ponderación porcentual? centual? 2. Si los factores capacidad capacidad de suministro suministro del área y costo relativo pesaran 20%, y los cuatro factores restantes, 15% cada uno, ¿qué alternativas alternativas calificarían calificarían dentro de las tres primeras? 3. ¿En cuánto tendría tendría que disminuir la inversión inversión de capital de la alternativa alternativa 4 para hacerla hacerla más atractiva que la alternativa alternativa 3? 4. Si la alternativa alternativa lA lA atendiera el 100% de las viviendas en lugar del 95%, ¿en cuánto tendría que disminuir el costo mensual por vivienda? mur 5. 5. a) Realice un análisis de sensibilidad sobre los dos y el número parámetros de los costos de M&O y alternativa 3 side hogares para determinar si la alternativa gue siendo la mejor elección económica. En la tabla 18.6 se realizan tres estimaciones para cada parámetro. Los costos de M&O pueden variar parámetro. hacia arriba (pesimista) o hacia abajo (optimista) desde la estimación más probable presentada en la formulación del caso. El número estimado (4980) se determina como la estide hogares (4980) (opmación pesimista. Un crecimiento de 2 a 55% % (optimista) tenderá a disminuir el costo mensual por hogar. hogar. b) Considere el el costo mensual por hogar para la alb) 4, la estimación optimista. El número ternativa 4, 5% sobre 4 980, es es decir, decir, 5 230. 230. de hogares está 5% es el el número de hogares que tendrían que ¿Cuál es estar disponibles, con la finalidad de que esta estar el mismo mismo costo costo opción sólo tenga exactamente el por hogar que la alternativa 33 en en la estiestimensual por optimista de 55 230 230 hogares? hogares? mación optimista

694

CAPÍTULO

TABLA

Análisis de sensibilidad

18

18.6

formalizado

y decisiones de valor esperado

Estimaciones pesimista, más probable y optimista para dos parámetros Costos de M&O anuales

Alternativa lA Pesimista Más probable Optimista Alternativa 3 Pesimista Más probable Optimista Alternativa 4 Pesimista Más probable Optimista

+1% $1060419 -1%

+5% $867 119 0%

+2% $1063449 -10%

Número de hogares

4980 +2% +5%

4980 +2% +5%

4980 +2% +5%

19 o o 1-

u u

Más Más sobre sobre variaciones variaciones toma de de decisiones decisiones y toma bajo riesgo

Objl n

y

En este capítulo capítulo se se amplía nuestra capacidad para para analizar variaciones de estiEn la probabilidad probabilidad y tomar tomar decisiones bajo riesgo riesgo.. Las Lasbases maciones, considerar la bases analizadas incluyen distribuciones distribuciones de probabilidades, probabilidades, en especial sus sus gráficas analizadas y propiedades propiedades de valor esperado y de dispersión; muestreo aleatorio, aleatorio, y el uso de simulación para considerar las las variaciones en los estudios estudios de ingeniería económica.. económica Aunque elemental en su cobertura de variaciones y probabilidad, probabilidad, este cacaAunque elemental su cobertura pítulo presenta enfoques las primeras pítulo enfoques adicionales a los temas analizados en las la ingeniería económica secciones del capítulo capítulo 1: 1: el papel de la económica en la la toma de decisiones y el uso del análisis análisis económico económico en el proceso de solución de prodecisiones blemas. Dichas técnicas consumen más más tiempo tiempo que el uso de estimaciones estimaciones realizadas con certidumbre, certidumbre, de manera que deberían utilizarse para los parárealizadas metros considerados considerados esenciales. esenciales.

v

-

-

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE APRENDIZAJE OBJETIVOS Objetivo general: general: aprender aprender a incorporar incorporar la toma toma de de decisiones decisiones bajo bajo riesgo riesgo a los análisis análisis de de ingeingeObjetivo niería económica económica utilizando utilizando los fundamentos fundamentos de de las distribuciones distribuciones de de probabilidad. probabilidad, el muestreo muestreo niería y la simulación. simulación.

Este capítulo capítulo ayudará al al lector lector a: a: Este Certidumbre y riesgo riesgo Certidumbre

---'-1--

II

Variables y distribuciones distribuciones Variables

2. Construir Construir la la distribución distribución de probabi probabilidad la distribución distribución lidad y la acumulativa acumu lativa para una variable. variable . aleatoria a partir partir de la d distribución istribución 3. Desarrollar Desarrollar una muestra aleatoria acumulativa de una variable. acumulativa variable.

Muestra aleatoria aleatoria Muestra

4. desviación estándar valor esperado esperado y la desviación estándar de de una 4 . Estimar el valor población población a partir partir de una muestra aleatoria. aleatoria .

Promedio y dispersión dispersión Promedio

-----

Monte Car!o Monte Cario y simulación simulación

Comprender los d diferentes enfoques para la la toma 1. Comprender iferentes enfoques toma de decisiones bajo certidumbre certidumbre y bajo riesgo riesgo.. decisiones

II

5. Utilizar el muestreo muestreo Monte Carlo y el enfoque Monte Cario enfoque de simulación simulación alternativa. para seleccionar seleccionar una alternativa.

CAPÍTULO CAPÍTULO 19

698 698

19.1 19.1

Más toma de decisiones bajo riesgo decisiones bajo riesgo Más sobre sobre variaciones variaciones y toma

INTERPRETACiÓN INTERPRETACiÓN DE CERTIDUMBRE, CERTIDUMBRE, RIESGO RIESGO E INCERTIDUMBRE INCERTIDUMBRE

Todas las cosas mundo varían, varían, unas con respecto respecto a otras, a través través del tiempo tiempo y cosas en el mundo con entornos entornos diferentes. diferentes. Se garantiza garantiza que ocurrirán ocurrirán variaciones variaciones en la ingeniería ingeniería económica para el futuro. Excepto para económica debido debido a su énfasis énfasis en la toma toma de decisiones decisiones para Excepto para análisis del punto punto de equilibrio, análisis de sensibilidad el uso del análisis equilibrio, el análisis sensibilidad y una introintroducción breve a los valores prácticamente todas las estimaciones ducción muy breve valores esperados, esperados, prácticamente estimaciones aquí aquí desarrolladas desarrolladas han sido ciertas; es decir, no se han ingresado ingresado variaciones variaciones en las cantidades relación utilizada. utilizada. cantidades dentro dentro de los cálculos cálculos de VP, VA, TR, TR, o de cualquier cualquier relación Por ejemplo, próximo será de ejemplo, la estimación estimación de que el flujo de efectivo efectivo del año próximo certidumbre. La certidumbre, certidumbre, por supuesto, supuesto, no está está presente ahora en $+4 500 es de certidumbre. presente ahora mundo real y con seguridad seguridad no lo estará estará en el futuro. Se pueden observar resultados resultados el mundo pueden observar grado de certidumbre, certidumbre, pero incluso ello depende depende de la exactitud exactitud y con un alto grado pero incluso precisión escala o del instrumento instrumento de medición. medición. precisión de la escala hecho de permitir estudio de ingeniería ingeniería económica económica El hecho permitir que un parámetro parámetro de un estudio implica que se introducen introducen riesgo, riesgo, y posiblemente, incertidumbre. varíe implica posiblemente, incertidumbre. Riesgo. El riesgo cuando se anticipa anticipa que habrá habrá dos o más valores Riesgo. riesgo está presente presente cuando observables para parámetro y es posible estimar la probabilidad probabilidad de que observables para un parámetro posible estimar cada valor ocurra. Como Como ilustración, ilustración, la toma toma de decisiones decisiones bajo cada valor ocurra. bajo riesgo riesgo se presenta cuando una estimación estimación de flujo de efectivo efectivo anual anual tiene tiene 50-50 50-50 presenta cuando 0$-1000 toda 1000 o $+500. Por lo tanto, prácticamente prácticamente toda de probabilidad probabilidad de ser 0$toma de decisiones decisiones se realiza toma realiza bajo riesgo. Incertidumbre. toma de decisiones decisiones bajo incertidumbre significa significa que hay Incertidumbre. La toma bajo incertidumbre observables, aunque aunque las probabilidades ocurrencia dos o más valores valores observables, probabilidades de su ocurrencia no pueden estimarse o nadie está dispuesto dispuesto a asignar asignar las posibilidades. pueden estimarse nadie está posibilidades. En el análisis de incertidumbre incertidumbre con frecuencia frecuencia se hace referencia valores obanálisis referencia a los valores servables como como estados estados de la naturaleza. naturaleza. Por ejemplo, ejemplo, considere considere que los esservables inflación nacional nacional en un país específico específico tados de la naturaleza naturaleza para para la tasa de inflación durante los próximos aumenta 5 a 10% durante próximos 2 a 4 años, son: permanece permanece baja, baja, aumenta cada año, o aumenta aumenta 20 a 50% 50% anualmente. anualmente. Si absolutamente absolutamente no hay indicada cación de que los tres valores valores sean probables igual, o de que uno es más cación probables por igual, probable que los otros, ésta es una afirmación afirmación que indica decisiones probable indica la toma de decisiones bajo incertidumbre. bajo incertidumbre. ejemplo 19.1 explica explica la forma forma como como un parámetro describirse y represenEl ejemplo parámetro puede puede describirse represengráficamente para toma de decisiones decisiones bajo riesgo. tarse gráficamente para prepararse prepararse para para la toma riesgo.

EJEMPLO EJEMPLO

19.1

j

Charles y Sue Sue son son estudiantes estudiantes de último año en una casarse el Charles último año una universidad universidad y piensan piensan casarse próximo año. Con Con base en conversaciones conversaciones con con amigos amigos recién casados, la pareja decidió próximo año. base en recién casados, pareja decidió hacer estimaciones separadas separadas de lo que que cada cada uno espera que que costará costará la ceremonia, ceremonia, con con la hacer estimaciones uno espera posibilidad que cada cada estimación estimación realmente observada se exprese exprese como posibilidad de que realmente observada como porcentaje. porcentaje. a) Sus estimaciones estimaciones separadas separadas se tabulan tabulan en la parte superior de la figura figura 19.1. 19.1. Construya Construya Sus parte superior

ea

SECCIÓN 19.1 Interpretación de certidumbre, riesgo e incertidumbre

Charles Costo estimado,

$

699

Sue

Posibilidad, %

Costo estimado,

65 25 10

8000 10000 15000

3000 5000 10000

Posibilidad,%

33.3 33.3 33.3

80 65

Charles

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a) Valores específicos

Acuerdo

1 25-

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7 8 9 Costo, $1000 b) Rango continuo

Figura 19.1 Gráfica de las estimaciones de costo versus posibilidad

13

14

15

16

700

CAPÍTULO 19 CAPÍTULO

Más sobre variaciones decisiones bajo Más sobre variaciones y toma toma de decisiones bajo riesgo riesgo

posibilidad, dos dos gráficas: gráficas: una una de de los los costos costos estimados estimados de Charles Charles versus sus sus estimaciones estimaciones de posibilidad, y una Formule comentarios comentarios sobre sobre la forma forma de las las gráficas, gráficas, con con respecto cada una para para Sue. Sue. Formule respecto a cada una ellas. b) Después algún análisis análisis ellos ellos decidieron decidieron que que el costo costo de de la ceremonia ceremonia Después de de algún una de ellas. Y$10 000. valores entre deberá estar estar en en algún algún punto entre $7500 $7500 Y$10 000. Todos Todos los los valores entre los los dos dos límites límites deberá punto entre son igualmente igualmente probables con una de 1 en en 25. 25. Elabore Elabore una gráfica de estos estos son probables con una posibilidad posibilidad de una gráfica valores la posibilidad. posibilidad. valores versus la Solución Solución La figura figura 19.1a 19.1a presenta gráfica para estimaciones de de Charles Charles y Sue, Sue, con con las las a) La presenta la gráfica para las estimaciones escalas escalas de de costo costo alineadas. alineadas. Sue Sue espera espera que que el costo costo sea sea considerablemente considerablemente mayor mayor del del que espera espera Charles. Charles. Además, Sue asigna asigna posibilidades iguales (o uniformes) cada que Además, Sue posibilidades iguales uniformes) a cada valor. Charles asigna asigna una los valores de costo costo mínimo; valor. Charles una posibilidad posibilidad mucho mucho mayor mayor a los valores de mínimo; el 65% de sus sus posibilidades dedican a $3 000 000 y solamente solamente el 10% 10% a $10 $10 000, 000, que que es 65% posibilidades se dedican estimación de de costo costo medio Sue. Las Las gráficas gráficas muestran claramente las las diferentes diferentes la estimación medio de Sue. muestran claramente percepciones sobre los costos costos esperados esperados para percepciones sobre para su matrimonio. matrimonio. posibilidad de para el b) La La figura figura 19.1b 19.1b es la gráfica gráfica correspondiente correspondiente a una una posibilidad de 1 en 25 para continuo de costos costos desde desde $7 500 500 hasta $10 000. hasta $10 000. continuo

tann min metJ

Tom to d anál en u fom ríes¡

Comentario Comentario Una diferencia significativa significativa entre entre las estimaciones estimaciones de costo costo en en los los incisos incisos a) y b) estriba estriba Una diferencia en los los valores discretos y continuos. continuos. Charles Charles y Sue Sue primero estimaciones en valores discretos primero realizaron realizaron estimaciones específicas, discretas, discretas, con con las las posibilidades posibilidades asociadas asociadas con con cada cada valor. La estimación estimación en en específicas, valor. La acuerdo que que ellos ellos alcanzaron alcanzaron es un continuo de de valores desde $7 500 500 hasta $10 000 000 hasta $10 acuerdo un rango rango continuo valores desde con alguna alguna posibilidad posibilidad asociada asociada con con cada cada valor entre estos estos límites. límites. En En la siguiente siguiente sección sección con valor entre las dos variables -discretas se presenta se definen definen las dos clases clases de de variables -discretas y conse presenta el término término variable y se tinuas- que que se estudian estudian aquí. aquí. tinuas-

Antes iniciar un análisis análisis de ingeniería ingeniería económica, económica, es importante importante decidir decidir si el Antes de iniciar análisis realizará con certidumbre para todos todos los parámetros parámetros o si se introducirá análisis se realizará certidumbre para introducirá el riesgo. riesgo. A continuación presenta un resumen resumen del significado para cada continuación se presenta significado y uso para cada tipo de análisis. análisis.

Toma de decisiones Se trata trata de lo que se realizó realizó prácticamente prácticamente decisiones bajo bajo certidumbre certidumbre en todos los análisis hasta el momento. momento. Se efectúan análisis hasta efectúan e ingresan ingresan estimaciones estimaciones deterministas medidas de valor valor (VP, VA, VF, TR, Y la mini stas en las expresiones expresiones de las medidas TR, B/C) B/C) Y toma de decisiones basa en los resultados. resultados. Los valores valores estimados pueden consitoma decisiones se basa estimados pueden considerarse probablemente con toda toda la posibilidad posibilidad ubicada ubicada derarse como como los que ocurrirán ocurrirán más probablemente en la estimación habitual es una estimación estimación de un solo valor. Un ejemplo ejemplo habitual estimación del costo costo inicial realizada con certidumbre, P= Una gráfica inicial de un activo activo realizada certidumbre, por ejemplo, ejemplo, P = $50000. $50000. Una gráfica de P versus posibilidad tendrá tendrá la forma barra verversus posibilidad forma general general de la figura figura 19.1a con una barra posibilidad puesta puesta en ésta. Con frecuencia utiliza el tical en $50 000 y 100% de posibilidad frecuencia se utiliza término determinista, término determinista, en lugar lugar de certidumbre, certidumbre, cuando cuando se usan en forma forma exclusiva exclusiva estimaciones estimaciones de un solo valor. hecho, el análisis valores de un estimado De hecho, análisis de sensibilidad sensibilidad que usa diferentes diferentes valores estimado es simplemente simplemente otra otra forma forma de análisis análisis con certidumbre, certidumbre, excepto excepto que el análisis análisis se valores diferentes, valores resulrepite para valores diferentes, cada uno estimado estimado con certidumbre. certidumbre. Los valores

Tom para el us no e: mar

1

toma técni 1 análi riará se re

SECCIÓN SECCIÓN 19.1

Interpretación Interpretación de certidumbre, certidumbre, riesgo riesgo e incertidumbre incertidumbre

tantes de las medidas para determedidas de valor valor se calculan calculan y se ilustran ilustran de manera manera gráfica gráfica para minar la sensibilidad de la decisión a diferentes estimaciones para uno o más paráminar sensibilidad decisión diferentes estimaciones para parámetros. metros. Toma de decisiones decisiones bajo bajo riesgo riesgo Ahora Ahora formalmente formalmente se toma toma en cuenta cuenta el elemenelemento de posibilidad. difícil tomar tomar una decisión embargo, es más difícil decisión clara clara porque porque el posibilidad. Sin embargo, intenta considerar considerar la variación. Se permitirá permitirá que varíen uno o más parámetros parámetros análisis intenta en una alternativa. alternativa. Las estimaciones estimaciones se expresarán expresarán como como en el ejemplo ejemplo 19.1 o en formas un poco poco más complejas. complejas. En lo fundamental, fundamental, hay dos formas de considerar considerar el riesgo riesgo en un análisis: análisis: Análisis Análisis del del valor valor esperado. esperado. Utilice Utilice las posibilidades posibilidades y las estimaciones estimaciones de parámetro parámetro para para calcular calcular los valores valores esperados, esperados, E(parámetro), E(parámetro), mediante mediante fórmulas fórmulas como como la ecuación ecuación [18.2]. El análisis análisis arroja arroja series series de E(flujo E(flujo de efectivo), efectivo), E(COA) E(COA) y similares, similares, y el resultado resultado final final es el valor valor esperado esperado de una medida E(B/C) . Para medida de valor, como como E(VP) E(VP),, E(VA), E(VA), E(TR), E(TR), E(B/C). Para elegir elegir la alternativa, se-leccione se-leccione el valor valor esperado esperado más favorable favorable de la medida medida de valor. alternativa, forma elemental, elemental, esto es lo aprendido aprendido sobre los valores valores esperados esperados en el En forma capítulo 18. Los cálculos cálculos pueden pueden resultar resultar más elaborados, elaborados, aunque aunque el principio principio capítulo básicamente el mismo. mismo. es básicamente Análisis mediante mediante simulación. simulación. Utilice las estimaciones estimaciones de posibilidades posibilidades y Análisis Utilice parámetros, para para generar generar cálculos cálculos repetidos repetidos de la relación relación de la medida medida de parámetros, muestreo aleatorio aleatorio de una gráfica gráfica para para cada cada parámetro parámetro variable variable valor, con el muestreo similar a aquellos aquellos de la figura figura 19.1. Cuando Cuando se completa completa una muestra represimilar muestra representativa y aleatoria, aleatoria, se toma toma una alternativa alternativa utilizando utilizando una tabla o gráfica gráfica de sentativa resultados. En general, general, las gráficas gráficas forman forman parte parte importante importante de la toma toma los resultados. decisiones mediante mediante el análisis análisis de simulación. simulación. Básicamente, Básicamente, éste éste es el de decisiones enfoque analizado analizado en el resto de este capítulo. capítulo. enfoque decisiones bajo incertidumbre. incertidumbre. Cuando posibilidades no se conocen conocen Toma de decisiones Cuando las posibilidades para los estados estados de naturaleza valores) identificados identificados de los parámetros inciertos, para naturaleza (o valores) parámetros inciertos, decisiones con base en el valor valor esperado esperado bajo riesgo antes esbozado esbozado el uso de toma de decisiones opción. En efecto, efecto, es difícil difícil determinar determinar cuál criterio criterio utilizar utilizar aun para no es una opción. para todecisión. mar la decisión. fuera posible posible acordar acordar que que cada cada estado estado es igualmente igualmente probable, probable, entonces entonces Si fuera todos los estados estados tendrían tendrían la misma misma posibilidad posibilidad y la situación situación se reduce reduce a todos una toma toma de decisiones decisiones bajo bajo riesgo, riesgo, ya que que pueden pueden determinarse determinarse los valores valores una esperados. esperados. Debido a los enfoques enfoques relati relati vamente vamente inconclusos inconclusos y necesarios para incorporar incorporar la Debido necesarios para toma de decisiones decisiones bajo incertidumbre incertidumbre en un estudio ingeniería económica, económica, las toma estudio de ingeniería técnicas llegan llegan a ser bastante bastante útiles, útiles, aunque aunque están están más allá del alcance alcance de este texto. técnicas análisis de ingeniería ingeniería económica, económica, así como en todas las otras formas En un análisis formas de análisis y toma toma de decisiones, decisiones, los valores valores de parámetro parámetro observados observados en el futuro vaanálisis riarán respecto respecto del valor valor estimado estimado en el momento momento del estudio. estudio. No obstante, obstante, cuando cuando riarán realiza el análisis, análisis, no todos los parámetros parámetros deberán deberán considerarse considerarse como como probase realiza proba-

701

702

CAPÍTULO CAPÍTULO 19

Más bajo riesgo Más sobre sobre variaciones variaciones y y toma toma de decisiones decisiones bajo riesgo

bilísticos riesgo). Aquellos Aquellos que son estimables estimables con un grado grado de certidumbre certidumbre bilísticos (o bajo riesgo). relativamente elevado para el estudio. relativamente elevado deberían deberían fijarse para estudio. Por consiguiente, consiguiente, los métodos métodos muestreo, simulación simulación y análisis análisis de datos estadísticos estadísticos se emplean emplean selectivamente selectivamente de muestreo, considerados importantes importantes para el proceso decisiones. sobre los parámetros parámetros considerados proceso de toma toma de decisiones. Como se mencionó mencionó en el capítulo capítulo 18, los parámetros tasa de interés interés Como parámetros con base base en la tasa (TMAR, otras tasas de interés interés e inflación), inflación), por lo general general no se tratan tratan como como variables variables (TMAR, aleatorias en los análisis análisis que vienen vienen a continuación. continuación. Los parámetros como P, COA, aleatorias parámetros como costos de materiales materiales y unitarios, ingresos, etcétera, etcétera, son los objetivos objetivos en la toma toma n, S, costos unitarios, ingresos, decisiones bajo riesgo riesgo y en la simulación. simulación. Por Por lo común, variación anticipada anticipada de decisiones común, la variación interés está más encaminada encaminada por los enfoques enfoques del análisis análisis y predecible predecible en las tasas de interés sensibilidad, cubierto cubierto en las dos primeras secciones del capítulo capítulo 18. de sensibilidad, primeras secciones capítulo se concentra concentra en la toma toma de decisiones decisiones bajo riesgo riesgo en la El resto de este capítulo forma aplicada aplicada a un estudio estudio de ingeniería ingeniería económica. económica. Las siguientes siguientes tres secciones secciones forma proporcionan diseñar y realizar correctamente un proporcionan la base base material material necesaria necesaria para para diseñar realizar correctamente análisis de simulación simulación (sección (sección 19.5). análisis 19.2 19.2

ELEMENTOS IMPORTANTES IMPORTANTES PARA LA TOMA TOMA ELEMENTOS DE DECISIONES DECISIONES BAJO BAJO RIESGO RIESGO

Algunos fundamentos fundamentos de probabilidad estadística son esenciales esenciales para realizar coAlgunos probabilidad y estadística para realizar decisiones bajo riesgo riesgo mediante mediante el análisis del valor valor esperado esperado rrectamente la toma toma de decisiones rrectamente simulación. Estas Estas bases se explican explican aquí. (Si el lector lector ya está está familiarizado familiarizado con o la simulación. presente sección sección le servirá servirá de repaso.) repaso.) ellas, la presente Variable aleatoria aleatoria (o Variable) Variable) característica o parámetro puede tomar tomar Variable Es una característica parámetro que puede cualquiera entre diversos diversos valores. valores. Las variables variables se clasifican clasifican como como discretas discretas un valor cualquiera o continuas. continuas. Las variables variables discretas discretas tienen tienen diversos diversos valores valores aislados aislados y específicos, específicos, mientras que las variables variables continuas continuas pueden asumir cualquier cualquier valor valor entre entre dos límites límites mientras pueden asumir establecidos, llamados llamados rangos rangos de la variable. variable. establecidos, vida estimada estimada de un activo activo es una variable variable discreta. discreta. Como Como ejemplo, ejemplo, puede La vida puede esperarse que n tenga tenga los valores valores n = = 3, 5, 10 o 15 años y no otros. La tasa tasa de rendirendiesperarse miento es un ejemplo ejemplo de una variable variable continua; continua; i puede variar de --100% puede variar 100% a es miento -100% ::; ::;ii < oo. oo , El rango de valores valores posibles (discreto) e i (continuo) (continuo) se decir, -100% posibles para para n (discreto) muestra figura 19.2a. 19.2a. (En los textos textos de probabilidad, muestra en los ejes x de la figura probabilidad, las letras mayúsculas simbolizan simbolizan una variable, variable, por ejemplo ejemplo X, y las letras letras minúsculas, minúsculas, x, idenmayúsculas tifican un valor valor específico Aunque correcto, correcto, tal nivel nivel de rigor rigor en la tifican específico de la variable. variable. Aunque terminología no se incluye incluye en este capítulo. capítulo. terminología 00 00

número entre entre O O y 1.0 que expresa expresa la probabilidad forma Es un número probabilidad en forma decimal de que una variable variable aleatoria aleatoria (discreta (discreta o continua) continua) tome tome cualquier cualquier valor valor de decimal aquellos identificados identificados para simplemente la cantidad cantidad de poaquellos para ésta. La probabilidad probabilidad es simplemente sibilidad, dividida dividida entre 100. Por Por lo común, común, las probabilidades identifican como como sibilidad, probabilidades se identifican P(X¡) o P(X P(X = = X;), lo cual se lee como como la probabilidad variable X tome tome el probabilidad de que la variable valor realidad, para variable continua, continua, la probabilidad tome un valor de X; Xi. (En realidad, para una variable probabilidad de que tome valor es cero, como se mostrará mostrará en un ejemplo ejemplo posterior). suma de todas las solo valor posterior). La suma P(XJ para una variable variable debe ser 1.0, requisito analizado. La escala escala de probabilidad, P(X¡) requisito ya analizado. probabilidad,

Probabilidad Probabilidad

al la de Dj

ba di: nu

di

L, de

un

de

SECCIÓN

19.2

Elementos importantes

Variable discreta

para la toma de decisiones bajo riesgo

I

I

I

I

3

5

10

15

Figura 19.2 a) Escalas

de variables discretas y continuas y b) escalas para una variable versus su probabilidad.

Años

Vida estimada, n Variable continua

703

-100%

00

Tasa de rendimiento,

i

a)

1.0 0.8

~

Variable discreta

0.6


i:(

Vida estimada, probabilidad vs. años

0.4 0.2 O 3

10

5

15

n,años

1.0 0.8

~

Variable continua

0.6

i:(

Tasa de rendimiento, probabilidad vs. porcentaje

0.4 0.2

"'-10

-5

O

5

10

15

20

25

30

35 ...

i,%

b)

al igual que la escala porcentual para la posibilidad en la figura 19.1, se indica sobre la ordenada (eje y) de una gráfica. La figura 19.2b muestra el rango de probabilidad de Oa 1.0 para las variables aleatorias n e i. Distribución de la probabilidad Ésta describe la forma como se distribuye la probabilidad en los diferentes valores de una variable. Las distribuciones de variables discretas son significativamente diferentes de las distribuciones de variables continuas, como lo indica la gráfica inserta a la derecha. Los valores de probabilidad individual se expresan como P(X)

= probabilidad

de que X sea igual a Xi

[19.1]

La distribución puede desarrollarse en una de dos formas: enumerando cada valor de probabilidad para cada valor de variable posible (véase ejemplo 19.2), o mediante una descripción matemática o expresión que establezca la probabilidad en términos de los posibles valores de la variable (ejemplo 19.3).

P(Xi) Discreta

I

I1

L..l-L..L-L--1.-L-'--Xi

P(Xi) Continua

Xi

704

F(X¡)) F(Xi

CAPÍTULO 19 CAPÍTULO

Discreta Discreta

Más sobre sobre variaciones variaciones y toma toma de decisiones decisiones bajo Más bajo riesgo riesgo

Distribución acumulativa También llamada llamada distribución distribución de probabilidad Distribución acumulativa También probabilidad acumuacumuacumulación de la probabilidad probabilidad para para todos los valores lada, ésta es la acumulación valores de una una variable variable hasta un valor valor especificado especificado e incluyéndolo. incluyéndolo. Identificado Identificado por hasta por F(X), F(X), cada cada valor valor acumulado se calcula calcula como como mulado F(X) F(X)

F(X¡) F(Xi)

X¡ Xi

= suma suma de todas todas las probabilidades probabilidades basta = basta el valor valor X, Xi = P(X ::;dX¡) = P(XS:dX i)

[19.2]

distribución de probabilidad, probabilidad, las distribuciones Al igual que con una distribución distribuciones acumulativas acumulativas aparecen en forma forma diferente diferente para para las variables variables discretas discretas (escalonada) aparecen (escalonada) y continuas continuas (curva suave). Los siguientes siguientes dos ejemplos ejemplos ilustran ilustran las distribuciones (curva distribuciones acumulativas acumulativas corresponden a distribuciones distribuciones específicas específicas de probabilidad. probabilidad. En la siguiente que corresponden siguiente sección sección aspectos aprendidos aprendidos aquí sobre gráficas gráficas de F(X¡} para se utilizan utilizan los aspectos para desarrollar desarrollar una una muestra aleatoria. aleatoria. muestra X¡ Xi

EJEMPLO EJEMPLO

19.2

,:

Alvin es un médico médico e ingeniero ingeniero biomédico biomédico graduado graduado que A1vin que practica practica en en el Medical Medical Center Center Hospital. Él Él está está planeando planeando iniciar iniciar la prescripción prescripción de un un antibiótico antibiótico que Hospital. que puede puede reducir reducir las las infecciones en los pacientes pacientes con con lesiones lesiones en la pi'el. piel. Las Las pruebas pruebas indican medicamento indican que que el medicamento infecciones aplica hasta hasta 6 veces veces por por día día sin sin efectos efectos colaterales colaterales dañinos. dañinos. Si el medicamento se aplica medicamento no no se se utiliza, hay hay siempre siempre una una probabilidad probabilidad positiva positiva de que que la infección infección se utiliza, se reduzca reduzca gracias gracias al propio sistema sistema inmunológico inmunológico de la persona. persona. propio Los resultados publicados sobre sobre la la prueba prueba del del medicamento medicamento ofrecen Los resultados publicados ofrecen buenas buenas estimaciones de probabilidad probabilidad de una una reacción reacción positiva positiva (es decir, decir, reducción estimaciones reducción en en el el conteo conteo de infección) dentro dentro de las 48 horas horas para diferentes números números de la infección) para diferentes de tratamientos tratamientos diarios. diarios. Utilice Utilice las probabilidades probabilidades enumeradas continuación para construir construir una las enumeradas a continuación para una distribución distribución de de probabilidad y una una distribución distribución acumulativa acumulativa para para el número número de probabilidad de tratamientos tratamientos por por día. día.

s.s

Número de de Número tratamientos por por día tratamientos

Probabilidad de Probabilidad de reducción de reducción de la infección infección

o o

0.07 0.07 0.08 0.08 0.10 0.10 0.12 0.12 0.13 0.13 0.25 0.25 0.25 0.25

1 2 3 4 5 6

Solución Solución Defina la variable variable aleatoria aleatoria T como como el número número de de tratamientos tratamientos por día. Como Defina por día. Como T puede puede tomar solamente solamente siete siete valores valores diferentes, diferentes, ésta ésta es una una variable variable discreta. tomar discreta. La La probabilidad probabilidad de de una reducción reducción en en el conteo conteo de la infección infección se enumera enumera para para cada una cada valor valor en en la columna columna 2 de la tabla tabla 19.1. 19.1. La La probabilidad probabilidad acumulativa acumulativa F(T,) se se detennina determina utilizando utilizando la la ecuación ecuación [19.2] y agregando agregando todos todos los valores P(T,) P(T,) hasta hasta Ti, como como lo [19.2] los valores lo indica indica la la columna columna 3.

SECCIÓN

19.2

Elementos importantes

para la toma de decisiones bajo riesgo

Las figuras 19.3a y b muestran gráficas de la distribución de probabilidad y de la acumulativa, respectivamente, la suma de probabilidades para obtener F(T¡} da a la distribución acumulativa la apariencia de escalera, y en todos los casos el final F(T;) =1.0, puesto que el total de los valores P(T¡) debe ser igual a 1.0.

19.1

TABLA

Distribución de probabilidad y distribución acumulativa para el ejemplo 19.2

(3)

(2)

(1)

Número por día T¡

Probabilidad acumulativa

Probabilidad

O 1 2 3 4 5 6

P(T¡)

F(T¡)

0.07 0.08 0.10 0.12 0.13 0.25 0.25

0.07 0.15 0.25 0.37 0.50 0.75 1.00

peTO

F(Ti) 1.00

1.0

0.3

0.250.25 0.8 0.2 0.6

0.50

0.120.13 0.1

o

0.10

0.070.08

0.3

O

o

23456

Ti

o

a)

23456

Ti

b)

Figura 19.3 a) Distribución

de probabilidad

P(T¡}, y b) distribución

acumulativa

F(T¡} para el ejemplo 19.2.

Comentario En lugar de usar una forma tabular como la tabla 19.1 para expresar los valores P(T;) y F(T¡) es posible expresarlos para cada valor de la variable.

705

706

CAPÍTULO

19

Más sobre variaciones

P(Ti) =

0.07 0.08 0.10 0.12 0.13 0.25 0.25

y toma de decisiones bajo riesgo

TI =0 T2 = 1 T3 = 2 T4= 3 T, =4 T6= 5 T7= 6

F(Ti) =

0.07 0.15 0.25 0.37 0.50 0.75 1.00

TI =0 T2 = 1 T3=2 T4= 3 Ts =4 T6=5 T7= 6

En las situaciones básicas de ingeniería económica, la distribución de probabilidad para una variable continua se expresa comúnmente como una función matemática, como una distribución uniforme, una distribución triangular (ambas analizadas en el ejemplo 19.3 en términos del flujo de efectivo), o la más compleja, pero de uso más común, la distribución normal. Para las distribuciones de variables continuas, se utiliza de manera rutinaria el símbolo f(X) en lugar de P(X¡), y F(X) en lugar de F(X), simplemente porque la probabilidad puntual para una variable continua es cero. Por lo tanto,f(X) y F(X) son líneas y curvas continuas.

EJEMPLO

19.3

Como presidente de una firma de consultoría en sistemas de manufactura, Sallie ha observado flujos de efectivo mensuales durante los últimos 3 años en los registros de la compañía de dos clientes de mucho tiempo. Sallie concluye lo siguiente sobre las distribuciones de dichos flujos de efectivo mensuales:

Cliente 1 Flujo de efectivo, estimación

baja: $10 000

Flujo de efectivo, estimación alta: $15000 Flujo de efectivo más probable: el mismo para todos los valores Distribución

de probabilidad:

uniforme

Cliente 2 Flujo de efectivo, estimación baja: $20 000 Flujo de efectivo, estimación

alta: $30000

Flujo de efectivo más probable: $28000 Distribución de probabilidad: moda en $28 000 La moda de una variable es el valor observado más frecuente. Sallie supone que el flujo de efectivo es una variable continua, a la cual se hace referencia como C. a) Escriba y represente gráficamente las dos distribuciones de probabilidad y acumulativa para el flujo de efectivo mensual, y b) determine la probabilidad de que el flujo de efectivo mensual no sea más de $12 000 para el cliente 1 y no más de $25 000 para el cliente 2.

S TOI

el' a)

SECCIÓN

19.2

Elementos importantes

para la toma de decisiones bajo riesgo

Solución Todos los valores de flujo de efectivo están expresados en unidades de $1 000. Cliente 1: distribución mensual del flujo de efectivo La distribución de flujos de efectivo para el cliente 1, identificado por la variable Cl' sigue la distribución uniforme. La probabilidad y la probabilidad acumulativa toman las siguientes formas generales.

a)

valor bajo ~ Cl ~ valor alto

1 f(CJ= H-L F( C )

=

l

[19.3]

valor - bajo alto- bajo

valor bajo ~ CI

~

valor alto

[19.4J Para el cliente 1, el flujo de efectivo mensual se distribuye uniformemente con L = $10, H = $15 Y $10 s CI .5$15. La figura 19.4 es una graficación deflCI) y de F(CI) de las ecuaciones [19.3] y [19.4].

F(el)

Figura 19.4 Distribución uniforme para el flujo de efectivo mensual, ejemplo 19.3.

1.0

0.8

0.6

0.4 ¡(el)

0.2

0:

t----il-+----+---+--+--+I 15

10

e,

O 10

12

15

eJ

707

708

CAPÍTULO 19 CAPÍTULO

b)

Más sobre toma de de decisiones decisiones bajo bajo riesgo riesgo Más sobre variaciones variaciones yy toma

La probabilidad probabilidad de de que que el cliente cliente 1 tenga tenga un un flujo de efectivo mensual de de menos menos de de La flujo de efectivo mensual F(C¡) como 0.4, una posibilidad posibilidad $12 determina fácilmente partir de de la la gráfica gráfica F(C $12 se determina fácilmente a partir como 0.4, o una 1) de 40%. 40%. Si la la relación relación F(C F(C¡) se emplea emplea de de manera directa, el el cálculo cálculo es es de manera directa, 1) F($12)= = P(C ::;$12)= 12-10 12-10 =0.4 F($12) P(C¡1 ::;$12)= =0.4 5

Cliente 2: distribución del flujo Cliente distribución del flujo de efectivo efectivo mensual mensual a)

La La distribución distribución de de los los flujos flujos de de efectivo efectivo para para el el cliente cliente 2, identificado identificado por por la la variable variable C-o sigue sigue la distribución triangular. Esta forma Cz, distribución triangular. Esta distribución distribución de de probabilidad probabilidad tiene tiene la la forma de señala hacia arriba, con con el vértice en la de un un triángulo triángulo que que señala hacia arriba, vértice en la moda moda M, y con con líneas líneas de de pendiente los valores pendiente hacia hacia abajo abajo que que unen unen el el eje eje x en en cualquier cualquier lado lado hacia hacia los valores bajo bajo (L) y alto (H). La alto (H). La moda moda de la la distribución distribución triangular triangular tiene tiene el el valor valor de de probabilidad probabilidad máximo. máximo.

2

f(moda) =f(M) =--- f(moda) = f(M) = H-L H-L

[19.5] [19.5]

0.2

o

La está compuesta segmentos de La distribución distribución acumulativa acumulativa está compuesta de de dos dos segmentos de línea línea curvada curvada desde desde O O hasta hasta 1, con con un punto punto de de quiebre quiebre en en la moda, moda, donde donde M-L M-L F(rnoda) = -- - F(moda) = F(M) F(M) = H-L H-L

[19.6] [19.6]

Para $20, el $30 y el flujo más probable Para C22,, el valor valor bajo bajo es L = =$20, el alto alto es H = =$30 flujo de de efectivo efectivo más probable es la moda, $28. La [19.5] es moda, M = $28. La probabilidad probabilidad en en M de de la la ecuación ecuación [19.5]

2 2

2 2

f(28)=--=-=0.2 f(28) = -= - = 0.2 30-20 30-20 10 y el punto punto de de quiebre quiebre en en la la distribución distribución acurnulativa acumulativa ocurre ocurre en en C22 = =28. 28. Utilizando Utilizando la la ecua-ción [19.6], ecua-ción [19.6], F(28) F(28) = = 28 28 - 20 20 ==0.8 0.8 30-20 30-20

b)

La presenta las f( C22)) y F( f( C22)) está sesgada, La figura figura 19.5 presenta las gráficas gráficas para parafi F( C22).). Observe Observe que que fi está sesgada, ya punto medio medio del ya que que la la moda moda no no está está en en el el punto del rango rango H H - L, Y y F( C22)) es es una una curva curva conconti-nua suave en forma de ti-nua suave en forma de S con con un un punto punto de de inflexión inflexión en en la la moda. moda. De hay una De acuerdo acuerdo con con la distribución distribución acurnulativa acumulativa en en la la figura figura 19.5, 19.5, hay una posibilidad posibilidad esestimada 3l.25% de sea $25 $25 o menos. timada de de 31.25% de que que el el flujo flujo de de efectivo efectivo sea menos. F($25) F($25) = = P(C P(C22

Ejen

::; ::;

$25) = $25) = 0.3125 0.3125

Comentario Comentario Advierta f( C22)) y F( C22)) no se desarrollan Advierta que que las las relaciones relaciones generales generalesfiC F(C no se desarrollan aquí. aquí. La La variable variable C22 no no es una una distribución distribución uniforme; uniforme; es triangular. triangular. En En consecuencia, consecuencia, requiere requiere el el uso uso de de una una integral integral para para encontrar encontrar los los valores valores de de probabilidad probabilidad acumulativa acumulativa a partir partir de de la la distribución distribución de f( C2)·)· de probabilidad probabilidad fi

19.~ La es es el COm¡

distri la rm del e parar alten de le estirr una r de dt calct tro). Sabe sufic se su

SECCIÓN SECCIÓN 19.3

Muestras Muestras aleatorias aleatorias

F(C2)

Moda Moda

1.0 LO

0.8 -+---------1 0.8

0.6 0.6

Mr

a

o:t ~ o:t~ f(C2)2) f(C

20

28 28

30

0.4 0.4 0.3125 0.3125 0.2

O O 20

25 25

28 28

30 30

Figura 19.5 Figura 19.5 Distribución para flujos Distribución triangular triangular para flujos de de efectivo efectivo mensuales, mensuales. ejemplo ejemplo 19.3. 19.3.

Ejemplo adicional adicional 19.9. Ejemplo

19.3 ALEATORIAS 19.3 MUESTRAS MUESTRAS ALEATORIAS La estimación parámetro con un valor estimación de un parámetro valor individual individual en los capítulos capítulos anteriores anteriores es el equivalente población equivalente de tomar tomar una muestra muestra aleatoria aleatoria de tamaño tamaño 1 de una población completa posibles. Si se conocieran completa de valores valores posibles. conocieran todos los valores valores en la población población la distribución probabilidad y la distribución distribución de probabilidad distribución acumulativa acumulativa se conocerían. conocerían. Entonces, Entonces, muestra no sería sería necesaria. necesaria. Como Como ejemplo, ejemplo, suponga suponga que se utilizan utilizan estimaciones estimaciones la muestra del costo costo inicial, inicial, del costo costo anual de operación, operación, de la tasa tasa de interés interés y de otros parámetros para para calcular parámetros calcular un valor valor VP, con la finalidad finalidad de aceptar aceptar o rechazar rechazar una alternativa. población completa alternativa. Cada Cada estimación estimación es una muestra muestra de tamaño tamaño 1 de la población completa de los valores posibles para para cada parámetro. Ahora, valores posibles cada parámetro. Ahora, si se efectúa efectúa una segunda segunda estimación para cada parámetro y se determina estimación para cada parámetro determina un segundo segundo valor valor VP, se ha tomado tomado una muestra muestra de tamaño tamaño dos. Siempre Siempre que realizamos realizamos un estudio estudio de ingeniería ingeniería económica económica y empleamos empleamos la toma de decisiones bajo certidumbre, usamos un estimado para cada parámetro y para para decisiones bajo certidumbre, usamos estimado para cada parámetro calcular para cada parámecalcular una medida medida de valor valor (es decir, una muestra muestra de tamaño tamaño 1 para cada parámetro). El estimado estimado es el valor valor más probable, probable, es decir, un estimado estimado del valor valor esperado. esperado. Sabemos Sabemos que que todos todos los parámetros parámetros variarán variarán un poco; poco; aunque aunque algunos algunos son son lo suficientemente para que se determine suficientemente importantes, importantes, o variarán variarán lo suficiente, suficiente, como como para determine o se suponga probabilidad para para ellos, y que el parámetro parámetro se trate suponga una distribución distribución de probabilidad

709

710

CAPÍTULO 19 CAPÍTULO

Más sobre sobre variaciones decisiones bajo Más variaciones y toma toma de decisiones bajo riesgo riesgo

como una variable aleatoria. Esto Esto es usar como variable aleatoria. usar el riesgo, riesgo, y una muestra muestra de la distribución distribución de probabilidad parámetro (¡(X) para discreta f(X) para para continua) probabilidad del parámetro (j(X) para discreta o f(X) continua) ayuda ayuda a formular probabilidad acerca formular los enunciados enunciados de probabilidad acerca de los estimados. estimados. Este Este enfoque enfoque comcomplica un poco poco el análisis; también proporciona proporciona un sentido plica análisis; sin embargo, embargo, también sentido de confianza confianza (o posiblemente posiblemente una una falta de confianza tomada confianza en ciertos ciertos casos) casos) acerca acerca de la decisión decisión tomada en relación relación con la viabilidad viabilidad económica base en el parámetro parámetro económica de la alternativa, alternativa, con base variable. (Más adelante tomar variable. adelante analizaremos analizaremos este aspecto, aspecto, luego luego de aprender aprender cómo cómo tomar corectamente muestra aleatoria probabilidad.) corectamente una muestra aleatoria de cualquier cualquier distribución distribución de probabilidad.)

Una muestra muestra aleatoria tamaño n es la selección Una aleatoria de tamaño selección en forma forma aleatoria aleatoria de n valores de una una población población con distribución probabilidad supuesta valores distribución de probabilidad supuesta o conocida, de manera manera que todos todos los valores valores de la variable variable tienen misma nocida, tienen la misma posibilidad de ocurrir muestra, así como se espera posibilidad ocurrir en la muestra, espera que que ocurran ocurran en la población. población. Suponga experiencia trabajando para Suponga que Yvon es una ingeniera ingeniera con 20 años de experiencia trabajando para la Comisión Aeronaves no Comerciales. Comisión de Seguridad Seguridad de las Aeronaves Comerciales. Para Para una aeronave aeronave de dos tripulantes, paracaídas a bordo. bordo. El estándar tripulantes, existen existen tres paracaídas estándar de seguridad seguridad establece establece que el 99% del tiempo, para tiempo, los tres paracaídas paracaídas deben deben estar estar "completamente "completamente listos listos para despliegues naciodespliegues de emergencia". emergencia". Yvon está relativamente relativamente segura segura de que, a nivel nacional, la distribución probabilidad de N, el número número de paracaídas paracaídas completamente distribución de probabilidad completamente listos, puede describirse mediante la distribución probabilidad listos, puede describirse mediante distribución de probabilidad P(N P(N = N) = = II

¡¡

0.005 0.005 0.015 0.060 0.060 0.920 0.920

Oparacaídas listos N=O paracaídas listos paracaídas listos N = = 1 paracaídas listos N= paracaídas listos = 2 paracaídas listos listos N = 3 paracaídas paracaídas listos

significa que el estándar estándar de seguridad seguridad claramente claramente no se alcanza alcanza a nivel nacional. Esto significa nacional. proceso de muestrear muestrear 200 aeronaves Yvon está en el proceso aeronaves (elegidas (elegidas aleatoriamente) aleatoriamente) corporativas y privadas privadas a través través del país para para determinar paracaídas están porativas determinar cuántos cuántos paracaídas están clasificados muestra es verdaderamente verdaderamente aleatoria sificados como como completamente completamente listos. Si la muestra aleatoria y la distribución probabilidad de Yvon es una una representación representación correcta distribución de probabilidad correcta de la dispodisponibilidad de paracaídas paracaídas real, los valores valores N observados nibilidad observados en las 200 aeronaves aeronaves se aproaproximarán a las mismas mismas proporciones proporciones que las probabilidades población, es decir, ximarán probabilidades de la población, 1 aeronave paracaídas listos, etcétera. muestra, es probable probable aeronave con O Oparacaídas etcétera. Como Como ésta es una muestra, que los resultados resultados no se ajusten población. Sin embargo, ajusten exactamente exactamente a la población. embargo, si los resultados relativamente cercanos, resultados de la muestra muestra sultados son relativamente cercanos, el estudio estudio indica indica que los resultados pueden seguridad de los paracaídas pueden ser útiles útiles al predecir predecir la seguridad paracaídas a lo largo del país. Para realizar realizar una una muestra muestra aleatoria, utilice números Para aleatoria, utilice números aleatorios aleatorios (NA) generados generados de una distribución probabilidad uniforme uniforme para para los números números discretos distribución de probabilidad discretos desde desde O hasta 9, es decir, hasta P(X;)= P(X)= 0.1

para X¡ = 0,1,2, paraX¡= 0,1,2, ... ... ,9

En forma forma tabular, los dígitos dígitos aleatorios aleatorio s generados generados de esta esta forma forma están de ordinario ordinario reunidos en grupos más. La tabla muestra reunidos grupos de dos dígitos, dígitos, tres dígitos dígitos o más. tabla 19.2 es una muestra de 264 dígitos números de dos dígitos. dígitos aleatorios aleatorios agrupados agrupados en números dígitos. Dicho Dicho formato formato es

51 73 10 45

68 75

mu res dos pro ea ¡ ciói nua

1. 2.

3.

4.

5.

• t

el

SECCIÓN 19.3 Muestras aleatorias

TABLA

51 73 10 45 68 75

82 48 42 44 65 52

19.2

Dígitos aleatorios agrupados en números de dos dígitos.

88 28 18 79 26 14

19 78 23 81 44 67

18 59 31 29 71 99

81 38 80 58 37 74

03 54 80 66 93 06

88 54 26 70 94 50

91 93 74 24 93 97

46 32 71 82 72 46

39 70 03 91 84 27

19 60 90 94 39 88

28 78 55 42 77 10

94 64 61 10 01 10

70 92 61 61 97 70

76 40 28 60 74 66

33 72 41 79 17 22

15 71 49 30 19 56

64 77 00 01 46 18

20 56 79 26 61 32

14 39 96 31 49 06

52 27 78 42 67 24

muy útil porque los números 00 a 99 se relacionan convenientemente con los valores de distribución acumulativa 0.01 a 1.00, lo cual hace fácil seleccionar un NA de dos dígitos e ingresar F(X) para determinar el valor de una variable con las mismas proporciones que ocurren en la distribución de probabilidad. Para aplicar esta lógica manualmente y desarrollar una muestra aleatoria de tamaño n de una distribución de probabilidad discreta conocida P(X), o de una distribución variable continuaf(X), puede utilizarse el siguiente procedimiento. 1.

Desarrolle la distribución acumulativa F(X) a partir de la distribución de probabilidad. Represente gráficamente F(X). 2. Asigne los valores NA desde 00 hasta 99 a la escala F(X) (el eje y) en la misma proporción que las probabilidades. Para el ejemplo sobre la seguridad del paracaídas, las probabilidades entre 0.0 y 0.15 están representadas por números aleatorios 00 a 14. Indique los NA en la gráfica. 3. Para utilizar una tabla de números aleatorios, determine el esquema o secuencia de selección de los valores NA, hacia abajo, hacia arriba, a lo largo, diagonalmente. Cualquier dirección y patrón es aceptable, pero el esquema debe utilizarse en forma consistente para una muestra completa. 4. Seleccione el primer número de la tabla NA, ingrese en la escala F(X), observe y registre el valor de la variable correspondiente. Repita este paso hasta que haya n valores de la variable que constituyan la muestra aleatoria. 5. Utilice n valores de muestra para el análisis y la toma de decisiones bajo riesgo. Éstos pueden incluir: • Graficación de la distribución de probabilidad muestral. • Desarrollo de enunciados de probabilidad sobre el parámetro. • Comparación de los resultados de la muestra con la distribución asumida de la población. • Determinación de estadísticas de muestreo (sección 19.4). • Realización de un análisis de simulación (sección 19.5).

IIIIIIIIIIIIIII~~: __'-----~--~~------~ Desarrolle una muestra aleatoria de tamaño 10 para la variable N, el número de meses, como describe la siguiente distribución de probabilidad:

711

712

CAPÍTULO

19

Más sobre variaciones

y toma de decisiones bajo riesgo

¡

0.20 N=24

P(N=N,)=

Solución Aplique el procedimiento

0.50

N=30

0.30

N=36

[19.7]

anterior utilizando los valores P(N = N;), en la ecuación [19.7].

1. La distribución acumulativa, 2. 3.

4. 5.

figura 19.6, es para la variable discreta N, que puede asumir tres valores diferentes. Asigne 20 números (00 hasta 19) a NI = 24 meses, donde P(N = 24) = 0.2; 50 números a N2 = 30, Y 30 números a N3 = 36. Inicialmente elija cualquier posición en la tabla 19.2, recorra la fila hacia la derecha y la fila inferior hacia la izquierda. (Puede desarrollarse cualquier rutina y utilizarse una secuencia diferente para cada muestra aleatoria.) Seleccione el número inicial 45 (fila 4, columna 1) e ingrese la figura 19.6 en el rango NA de 20 a 69 para obtener N = 30 meses. Elija y registre los nueve valores restantes de la tabla 19.2 como se muestra a continuación.

RN

45

44

79

29

81

58

66

70

24

82

N

30

30

36

30

36

30

30

36

30

36

COI

dif tiv, má:

p

aplica aleatc corre¡ el es el eje LyI.

Probabilidad acumulativa 1.0

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - .,....-.,.............,

Números aleatorios asignados 70-99

0.7

------------,--~--~"--~--1_---:~~~~~~--------45 .~

20-69

0.2

I

00-19 24

30

36

Ni, meses

Figura 19.6 Distribución acumulativa con valores de números aleatorios designados en proporción a las probabilidades, ejemplo 19.4.

19.7 ( de la: que la $12.2

SECCIÓN 19.3 Muestras aleatorias

713

Ahora, utilizando los 10 valores, desarrolle las probabilidades de la muestra. Meses N

Núm. de veces en la muestra

Probabilidad de la muestra

Ecuación [19.7] Probabilidad

O

0.00 0.60 0.40

0.2 0.5 0.3

24 30 36

6 4

Con sólo 10 valores se puede esperar que las estimaciones de probabilidad muestral sean diferentes de los valores en la ecuación [19.7]. Sólo el valor N = 24 meses es significativamente diferente, puesto que no ocurrió un NA de 19 o menos. En definitiva, una muestra más grande hará que las probabilidades estén más cercanas a la información original.

Para tomar una muestra aleatoria de tamaño n para una variable continua, se aplica el procedimiento anterior, excepto que se asignan los valores de los números aleatorios a la distribución acumulativa en una escala continua de 00 a 99 correspondiente a los valores F(X). Como ilustración, considere la figura 19.4, donde el es la variable de flujo de efectivo uniformemente distribuida para el cliente 1 en el ejemplo 19.3. Aquí L = $10, H = $15 y f(el) = 0.2 para todos los valores entre L y H (todos los valores se dividen entre $1000). F(el) se repite como figura 19.7 donde se muestran los valores de números aleatorios asignados en la escala de la derecha. Si se escoge el NA de dos dígitos, 45, en términos gráficos se estima que la el correspondiente será $12.25. Ésta también se interpola linealmente como $12.25 = 10 + (45/100)(15 - 10). Figura 19.7

Números aleatorios asignados

Probabilidad acumulativa 1.0

99

0.8

79

~ 0.6 Ü

59

G::"

Los números aleatorio s asignados a la variable continua de los flujos de efectivo del cliente l en el ejemplo 19.3.

A+---------------r--------45

0.4

39

0.2

19 00 10

11

12 12.25

13

14

15

el'

$1 000

714

CAPÍTULO 19 CAPÍTULO

m m SolSol-EE

Más sobre sobre variaciones variaciones y toma toma de de deeisiones decisiones bajo' bajo' riesgo riesgo Más

Para especial para para una una Para mayor mayor precisión precisión al desarrollar desarrollar una muestra muestra aleatoria, aleatoria, en especial variable pueden obtenerse obtenerse variable continua, continua, es posible posible utilizar utilizar NA de 3, 4 o 5 dígitos. dígitos. Éstos Éstos pueden a partir columnas y fipartir de la tabla tabla 19.2 combinando combinando simplemente simplemente los dígitos dígitos en las columnas las, o conseguirse grandes de dídíconseguirse a partir partir de tablas tablas con NA impresos impresos en grupos grupos más grandes muestreo basado basado en computadora, computadora, la mayoría mayoría de paquetes gitos. En el muestreo paquetes de software software simulación tienen tienen un generador generador de NA incorporado, incorporado, que arrojará arrojará valores de simulación valores en el rango identificada rango de O Oaa 1 a partir partir de una distribución distribución uniforme uniforme variable variable continua, continua, identificada entre 0.00000 0.00000 y en general general por el símbolo símbolo U(O, 1). 1). Los valores valores NA, usualmente usualmente entre 0.99999, empleando 0.99999, se utilizan utilizan para para muestreo muestreo directo directo de la distribución distribución acumulativa acumulativa empleando esencialmente funciones de Excel Excel esencialmente el mismo mismo procedimiento procedimiento aprendido aprendido aquí. Las funciones RAND y RANDBETWEEN RANDBETWEEN se describen describen en el apéndice apéndice A, sección sección A.3. RAND En general, aleatorio en cuanto cuanto general, se formula formula una pregunta pregunta inicial inicial en el muestreo muestreo aleatorio al tamaño resultados. Sin detamaño mínimo mínimo de n requerido requerido para para asegurar asegurar confianza confianza en los resultados. tallar la lógica grandes lógica matemática, matemática, la teoría muestral, muestral, que está basada basada en la ley de los grandes números estadística básica básica números y en el teorema teorema del límite límite central central (consulte (consulte un libro libro de estadística para suficiente. Sin para aprender aprender más sobre tales aspectos), aspectos), indica indica que una n de 30 es suficiente. embargo, como la ingeniería ingeniería embargo, puesto puesto que la realidad realidad no sigue la teoría teoría con exactitud, exactitud, y como económica práctica común común económica con frecuencia frecuencia maneja maneja estimaciones estimaciones superficiales, superficiales, la práctica son las muestras pequeñas como como 10 a muestras en el rango de 100 a 200. Pero, muestras muestras tan pequeñas 25 ofrecen bajo riesgo riesgo que una una ofrecen una base mucho mucho mejor mejor para para la toma toma de decisiones decisiones bajo estimación punto para estimación de un solo punto para un parámetro parámetro que se sabe varía varía significativamente. significativamente.

19.4 19.4 VALOR VALOR ESPERADO ESPERADO Y DESVIACiÓN DESVIACiÓN ESTÁNDAR ESTÁNDAR

Valor Valor esperado esperado

Dos medidas valor medidas o propiedades propiedades muy importantes importantes de una una variable variable aleatoria aleatoria son el valor esperado población para para esperado y la desviación desviación estándar. Si se conociera conociera la totalidad totalidad de la población una variable, general variable, estas propiedades propiedades se calcularían calcularían directamente. directamente. Puesto Puesto que en general no se conocen, estimarlas usando usando conocen, lo común común es utilizar utilizar las muestras muestras aleatorias aleatorias para para estimarlas la media continuación se media de la muestra muestra y su desviación desviación estándar, estándar, respectivamente. respectivamente. A continuación ofrece una muy breve propiedades breve introducción introducción a la interpretación interpretación y cálculo cálculo de estas propiedades usando usando una muestra muestra aleatoria aleatoria de tamaño tamaño n de la población. población. Los símbolos verdaderas de la símbolos usuales usuales son letras letras griegas griegas para para las medidas medidas verdaderas población población y las letras ordinarias ordinarias para para estimaciones estimaciones de la muestra. muestra. Medida verdadera verdadera de de población población Medida Símbolo Nombre Símbolo Nombre Valor Valor esperado esperado

t1 o E(X) ti

Desviación estándar estándar Desviación

(J

o -JVar(X) -JVar(X)

oN

Estimación de la muestra muestra Estimación de Símbolo Nombre Símbolo Nombre

Mu media verdadera Mu o media verdadera Sigma o desviación desviación Sigma estándar estándar verdadera verdadera

X

Media muestral muestral Media U Desviación soU Desviación estándar estándar muestral muestral

El valor que resultará resultará si la valor esperado esperado es el promedio promedio esperado esperado de largo largo plazo plazo que variable objeto de muestreo variable es objeto muestreo muchas muchas veces. El valor puesto que la poblapoblavalor esperado esperado de la población población no se conoce conoce exactamente, exactamente, puesto ción misma estima mediante mediante E(X) E(X) misma no se conoce conoce por completo, completo, de manera manera que ¡.t se estima

de

tid: trit tan

La, me me put

i el

•

SECCIÓN 19.4 Valor esperado y desviación desviación estándar

distribución o mediante ecuación [18.2], reperepede una distribución mediante X, la media media de la muestra. muestra. La ecuación continuación como ecuación ecuación [19.8], se utiliza calcular E(X) de una disdistida a continuación utiliza para para calcular tribución de probabilidad, probabilidad, y la ecuación media de la muestra, muestra, llamada tribución ecuación [19.9] es la media llamada también también promedio promedio muestral. muestral. Jl J..l

Población: Población:

= LX;P(X¡} LX¡P(X¡} [19.8] = x == suma suma de los valores valores de la muestra muestra

Distribución de probabilidad: probabilidad: E(X) Distribución E(X) Muestra: Muestra:

..

tamaño de la muestra muestra tamaño

rx¡

r.j;X¡

1l

n

[19.9]

LaJ¡ en la segunda segunda forma forma de la ecuación ecuación [19.9] es la frecuencia frecuencia de K; Laf Xi' es decir, el número de veces cada valor ocurre en la muestra. LaX resultante veces que cada valor ocurre muestra. LaX resultante no necesarianecesariamente observado de la variable; mente es un valor valor observado variable; es el valor valor promedio promedio de largo plazo plazo y puede cualquier valor dentro del rango omitirá el subíndice subíndice puede tomar tomar cualquier valor dentro rango de la variable. variable. (Se omitirá cuando no exista exista confusión.) confusión.) i en X y f cuando

EJEMPLO EJEMPLO

19.5

.

Kayeu, un ingeniero ingeniero de la firma Pacific NW Utilities, está pensando pensando probar diversas hipótesis sobre facturas de electricidad electricidad residencial en los países amerÍcanos americanos del norte y asiáticos. La variable de interés es X, X, la factura residencial residencial mensual en dólares de Estados Unidos (aproximada cercano)".Se (aproximada al dólar más cercano)". Se reunieron dos muestras pequeñas de diferentes países de Norteamérica Norteamérica y Asia. Estime el valor esperado de la población. ¿Parece estadístico) se hubieran obtenido de una que las muestras (desde un punto de vista no estadístico) población de facturas de electricidad electricidad o de dos poblaciones diferentes? diferentes? . población Norteamericanos, Norteamericanos, muestra muestra 1,1,$ $

275

Asiáticos, Asiáticos, muestra muestra 2, $ Solución Solución Utilizando [19.9],, para la media de la muestra, Utilizando la ecuación [19.9] muestra, Muestra 1: 1:

n=7 n=7

Muestra 2:

n=5 n=5

L.Xi L.X =655 I,X;=655

= 814 I,X; = i

X X == $116.29 X=$131.00 X=$131.00

diferencia aproximada de Con base únicamente en pequeños promedios muestrales, la diferencia )0 suficiente$15, que es menor del 10% de la factura promedio promedio más pequeña, no parece lo mente grande para concluir que las dos poblaciones son diferentes. Existen varias pruebas estadísticas disponibles para determinar si las muestras provienen de la misma o de diferente población. estadística básica para aprender aprender sobre éstas.) población. (Consulte un texto de estadística

715

716

CAPÍTULO 19 Más sobre variaciones y toma de decisiones bajo riesgo

Comentario Comentario Hay tres medidas frecuentemente frecuentemente utilizadas de tendencias centrales para la información. El promedio de la muestra es la más popular, pero la moda moda y la mediana mediana también son buenas medidas. La moda, que es el valor observado con mayor frecuencia, se utilizó en distribución triangular. No hay una moda específica específica en las dos el ejemplo 19.3 para la distribución diferentes. La mediana es el valor de muestras de Kayeu, puesto que todos los valores son diferentes. muestrales extremos, extremos, como lo en medio de la muestra, el cual no está sesgado por valores muestrales está la media. Las dos medianas en las muestras son $92 y $104. Con base sólo en las medianas, la conclusión es aún que las muestras no necesariamente necesariamente provienen provienen de dos poblaciones de facturas de electricidad.

La alrededor del valor La desviación desviación estándar estándar es la dispersión dispersión de valores valores alrededor valor espeesperado promedio muestral rado E(X) E(X) o del promedio muestral X. La desviación propiedad (J, que es la medida desviación estándar estándar de la muestra muestra s estima estima la propiedad medida de dispersión población alrededor Una disdispersión de la población alrededor del valor valor esperado esperado de la variable. variable. Una tribución probabilidad para para datos con una fuerte tribución de probabilidad fuerte tendencia tendencia central central está está agrupada agrupada más estrechamente menor que una estrechamente alrededor alrededor del centro centro de los datos y tiene una s menor distribución muestras con un valor valor s distribución más amplia, amplia, más dispersa. dispersa. En la figura figura 19.8, las muestras probabilidad más amplia amplia y plana. más grande grande --SISI y S,¡s~ tienen tienen una distribución distribución de probabilidad En realidad, realidad, con frecuencia frecuencia se hace referencia referencia a la varianza, varianza, i, S2, como como la medida medida de dispersión. dispersión. La desviación desviación estándar estándar es simplemente simplemente la raíz cuadrada cuadrada de la varianvarianza, de manera pueda utilizarse utilizarse cualquier manera que pueda cualquier medida. medida. Sin embargo, embargo, el valor valor s es lo ordinario al efectuar efectuar cálculos cálculos sobre riesgo y probabilidad. Matemátique se utiliza utiliza de ordinario probabilidad. Matemáticamente, las fórmulas fórmulas y los símbolos símbolos para varianza y la desviación desviación estándar estándar de camente, para la varianza partir de ésta ésta se reuna variable variable discreta discreta y de una muestra muestra aleatoria aleatoria de tamaño tamaño n a partir sumen sumen como como sigue:

cr

Población: cT = = Var Var (X) (X) Población:

y

(J (J

= ...[(i2 ."f(ii = ...JVar(X) ...JVar(X) =

Distribución probabilidad: Var(X)= ~)Xi - E(X)]2p(X) Distribución de probabilidad: Var(X)= LlX¡ E(X)]2p(X)

Figura Figura 19.8 Gráfica Gráfica de distribuciones distribuciones con valores valores diferentes de con diferentes de la media media y de la desviación estándar. estándar. desviación

!(X)

[19.10]

COI

La la I sig dir al¡ El he: se~

en de:

En

Pri ±3, tos cál

•

P(X) P(X)

s3

S4

X2 SI> S2

En

S4> s3

Valor esperado esperado y desviación desviación estándar estándar Valor

SECCIÓN 19.4 19.4 SECCIÓN

Muestra: Muestra:

S2

= nmestra)2 = suma suma de (valor (valor de la muestra muestra - promedio promedio de la muestra)! tamaño tamaño de la muestra muestra - 1 1

L(X; _1')2 _1')2 __ L(A'; 11-1 1l-1

[19.11]

s=JSi s=p

En general, varianza muestral muestral se aplica general, la ecuación ecuación [19.11] de la varianza aplica en una forma forma más conveniente en términos cálculo. conveniente términos del cálculo. 2 rr nn --2 2 'L¡;X L¡;X n :EX n-2- 2 s = -' --X = -'- ' --X =--' ---X =-'-' ---X n-l nn-l- l n-l n-l n-l n-l n-l

22

22

La desviación utiliza el promedio promedio muestral base sobre desviación estándar estándar utiliza muestral como base sobre la cual medir medir la dispersión puede tener dispersión de la información información mediante mediante el cálculo cálculo de (X - X), que puede tener un signo menos precisa la dispersión menos o un signo más. Para Para medir medir en forma forma precisa dispersión en ambas ambas direcciones promedio, (X - X) se eleva direcciones del promedio, eleva al cuadrado. cuadrado. Con la finalidad finalidad de retomar retomar dimensión de la variable cuadrada de la ecuación ecuación [19.11]. a la dimensión variable misma, se extrae la raíz cuadrada término (X - X)2 se denomina media, e históricamente históricamente se ha El término denomina desviación desviación cuadrada cuadrada media, hecho hecho referencia referencia a s como como la raíz de la desviación desviación cuadrada cuadrada media. media. La t; t. en la segunda forma forma de la ecuación ecuación [19. [19.12] frecuencia para calcular S2. segunda 12] utiliza utiliza la frecuencia para calcular S2 . sencilla de combinar promedio y la desviación Una forma forma sencilla combinar el promedio desviación estándar estándar consiste consiste porcentaje o fracción muestra que está dentro en determinar determinar el porcentaje fracción de la muestra dentro de ±l, ±1, ±2 o ±3 desviaciones desviaciones estándar estándar de la media, media, es decir,

para t = para = 1, 2 o 3

X±ts X±ts

[19.13] [19.131

En términos probabilidad, esto se expresa términos de probabilidad, expresa como: P(X - ts :;, X + ts) P(X ~ X :;, ~ X

[19.14]

Prácticamente estarán siempre rango deX Prácticamente todos los valores valores muestrales muestrales estarán siempre dentro dentro del rango deX de ±3s, porcentaje dentro variará dependiendo pun±3s, pero el porcentaje dentro de ±ls variará dependiendo de la forma forma como como los puntos de información información están distribuidos distribuidos alrededor alrededor de X. El ejemplo ejemplo siguiente siguiente ilustra ilustra el cálculo de s para estimar CYe o e incorpora incorpora s con el promedio muestral utilizandoX cálculo para estimar promedio muestral utilizandoX ± ts.

EJEMPLO EJEMPLO

19.6

.

~

a) Utilice las dos dos muestras muestras del del ejemplo ejemplo 19.5 para estimar la varianza varianza de de la población Utilice las para estimar población y la desviación para las desviación estándar estándar para las facturas facturas de de electricidad. electricidad. b) Determine Determine los los porcentajes porcentajes de de cada cada muestra muestra que que están están dentro dentro de los los rangos rangos de de 1 y 2 desviaciones desviaciones estándar estándar de de la la media. media.

Solución Solución a) Solamente para fines de de ilustración, ilustración, se aplican aplican las las dos dos reacciones diferentes con con el Solamente para fines reacciones diferentes objetivo objetivo de de calcular calcular s de de las las dos dos muestras. muestras. Para Para la muestra muestra 1 (Norteamérica) (Norteamérica) con con n = 7, se utiliza utiliza X para para identificar L(X -X? identificar los los valores. valores. La La tabla tabla 19.3 19.3 presenta presenta el cálculo cálculo de de I:(X para la Ecuación resultantes S2 y s son: para Ecuación [19.11], [19.11], con con X = $116.29. $116.29. Los Los valores valores resultantes son:

-x:/

717

718

CAPÍTULO

19

Más sobre variaciones

y toma de decisiones bajo riesgo

S2 = 37743.40

6290.57

6 s=$79.31 Para la muestra 2 (Asia), utilice Ypara identificar los valores. Con n = 5 Y Y = 131, la tabla 19.4 muestra ~y2 para la ecuación [19.12]. Entonces, S2 = 97041 -2(131)2

4

4

= 42 260.25

-1.25(17161)

= 2 809

s=$53 TABLA

S

19.3

Cálculo de la desviación están dar utilizando la ecuación [19.11] con X = $116.29, ejemplo 19.6

_X>2

x

(X-X>

(X

$ 40

-76.29 -50.29 -41.29

5820.16 2529.08 1704.86 590.00 86.30 1824.14

66 75 92

-24.29 -9.29 +42.71

107 159 275

+ 158.71

--

25188.86 $37.743.40

$814

TABLA

19.4

Cálculo de la desviación estándar utilizando la ecuación [19.121con Y = $131, ejemplo 19.6

y $ 84 90 104 187 190 $655

y2 7056 8100 10816 34969 36100 97041

La dispersión es menor para la muestra asiática ($53) que para la muestra norteamericana ($79.31).

SECCIÓN 19.4 Valor esperado y desviación estándar

• •• I

I

I

I

I

-80

-40

O

40

80

x= 116.29

··t

120

l·

X±

l·

•

•

I

I

I

I

160

200

240

280

X

-1

ls

·1

X±2s a)

y=

•• • I

I

I

I

40

80

120

l·

••

1

O

l·

131

Y± ls

I

I

I

160

200

240

Y

·1

Y±2s

·1

b)

Figura 19.9 Valores, promedios y rangos de desviación estándar para las muestras a) norteamericana y b) asiática, ejemplo 19.6. b)

La ecuación [19.13] determina los rangos deX ± ls y X ± 2s. Cuente el número de puntos de datos de muestra entre los límites y calcule el porcentaje correspondiente. Veauna gráfica de los datos y de los rangos de desviación están dar en la figura 19.9. Muestra norteamericana

X ± 1s = 116.29 ± 79.31

para un rango de $36.98 a $195.60

Hay seis de siete valores dentro de este rango, o un porcentaje de 85.7%. X ± 2s

=

116.29 ± 158.62

para un rango de $-42.33 a $274.91

Aún hay' seis de los siete valores dentro del rango X ± 2s. El límite $-42.33 es significativo solamente desde la perspectiva probabilística; desde un punto de vista práctico, utilice cero, es decir, ninguna cuantía cobrada. Muestra asiática Y± ls = 131 ± 53

para un rango de $78 a $184

Hay tres de cinco valores, o 60%, dentro del rango. Y±2s=131±106

para un rango de $25 a $237

Todos los cinco valores están dentro del rango -y ± 2s. Comentario

Una segunda medida de dispersión de uso común es el rango, que simplemente es la diferencia del valor más grande menos el valor más pequeño de la muestra. En estas dos muestras, las estimaciones del rango son $235 y $106.

719

720

CAPÍTULO 19 CAPÍTULO

Más sobre variaciones decisiones bajo Más sobre variaciones y toma toma de decisiones bajo riesgo riesgo

Antes de continuar ingeniería económica, Antes continuar con el análisis análisis de simulación simulación en ingeniería económica, sería sería de interés resumir las relaciones relaciones de valor valor esperado para interés resumir esperado y de desviación desviación estándar estándar para una variable variable continua, puesto que las ecuaciones continua, puesto ecuaciones [19.8] a [19.12] [19.12] consideran consideran solamente variables discretas. principales estriban estriban en que el símbolo solamente variables discretas. Las diferencias diferencias principales símbolo de suma reemplaza por la integral rango definido variable, el cual suma se reemplaza integral sobre sobre el rango definido de la variable, cual se identifica reemplaza por por el elemento identifica como R, yyen en que P(X) P(X) se reemplaza elemento diferencialf(X)dX. diferencialj(X)dX. Para probabilidad continua Para una distribución distribución de probabilidad continua determinadaf(X), determinadafi.X), las fórmulas fórmulas son Valor esperado: esperado:

Varianza: Varianza:

E(X) = LXf(X) dX dX E(X) =Lx/(X)

Var(X)

= IRX2f(X)

[19.15] [19.15] 2

dX -[E(X)]

[19.16] [19.16]

Para numérico, utilice utilice nuevamente nuevamente la distribución uniforme del ejemPara un ejemplo ejemplo numérico, distribución uniforme ejem(figura 19.4) sobre sobre el rango plo 19.3 (figura rango R desde desde $10 hasta hasta $15. Si se identifica identifica la variable como X, X, en lugar variable como lugar de CIl ,, lo siguiente siguiente es correcto. correcto. 1 f(X) = j(X) = -- = = 0.2 5

$1O:S;X:S;$15 $10 ~ X ~ $15

E(X) X(0.2) dX 11s == 0.1(225 --100) 100) == $12.5 E(X) = = f X(0.2) dX = = 0.lX2 0.lX2115 RR

lO

2 Var(X) fX2(0.2) dX _ (12.5)2 = (12.5)2 Var(X) = = fX (0.2) dX - (12.5)2 = 0.2 X3115 X3rS - (12.5)2 RR 10 3 JO

1000) --156.25 156.25 = == 0.06667(3 0.06667(3 375 --1000) = 2.08 .J2.08 = $1.44 $1.44 (J" = = -J2 .08 =

(J"

Por consiguiente, uniforme entre = $10 y HH == $15 tiene tiene un valor valor consiguiente, la distribución distribución uniforme entre L = esperado punto medio medio del rango, como una desviación esperado de $12.5 $12.5 (el punto como se esperaba), esperaba), y una desviación estándar estándar de $1.44.

Ejemplo Ejemplo adicional adicional 19.10.

19.5

MUESTREO ANÁLISIS MUESTREO DE MONTE MONTE CARLa CARLO y ANÁLISIS MEDIANTE MEDIANTE SIMULACiÓN SIMULACiÓN

Hasta todas las decisiones tomado usando usando estimaciones Hasta aquí, todas decisiones sobre sobre alternativas alternativas se han tomado estimaciones con certidumbre, posiblemente de alguna prueba de la decisión través de certidumbre, seguidas seguidas posiblemente alguna prueba decisión a través un análisis valores esperados. utilizará un análisis de sensibilidad sensibilidad o de valores esperados. En esta esta sección sección se utilizará enfoque material de las secciones secciones anteriores, enfoque de simulación simulación que incorpore incorpore el material anteriores, para para facilitar una alternativa facilitar la decisión decisión de ingeniería ingeniería económica económica sobre sobre una alternativa o entre entre dos o más alternativas. alternativas. La técnica técnica de muestreo muestreo aleatorio aleatorio analizada analizada en la sección sección 19.3 se denomina denomina muestreo Monte Carlo. El procedimiento procedimiento general muestreo de Monte general que se indica indica a continuación continuación

e

SECCIÓN SECCIÓN 19.5 19.5

Muestreo mediante simulación simulación Monte CarIo Carlo y análisis análisis mediante Muestreo de Monte

utiliza el muestreo muestreo de Monte Monte CarIo para para obtener obtener muestras muestras de tamaño tamaño n para para paráparáutiliza metros metros seleccionados seleccionados de alternativas alternativas formuladas. formuladas. Dichos Dichos parámetros, parámetros, que se espera espera varíen varíen de acuerdo acuerdo con una distribución distribución de probabilidad probabilidad establecida, establecida, garantizan garantizan la toma toma de decisiones decisiones bajo riesgo. Todos los demás demás parámetros parámetros en una alternativa alternativa se consideran pueden estimarse precisión consideran en certidumbre, certidumbre, es decir, se conocen conocen o pueden estimarse con precisión suficiente para considerarlos suficiente para considerarlos en certidumbre. certidumbre. Un supuesto supuesto importante importante se hace, hace, generalmente sin darse cuenta. cuenta. neralmente parámetros son independientes, independientes, es decir, la distribución distribución de una una Todos los parámetros variable no afecta afecta el valor valor de ninguna ninguna otra otra variable variable de la alternativa. alternativa. A variable hecho se hace hace referencia referencia como la propiedad variables aleatorias aleatorias este hecho propiedad de las variables independientes. independientes. enfoque de simulación simulación aplicado aplicado al análisis de ingeniería ingeniería económica económica se resume resume El enfoque siguientes pasos pasos básicos. básicos. en los siguientes Paso 1: 1: Formulación Formulación de alternativa(s). alternativa(s). Prepare cada cada alternativa alternativa en la forma forma que que se Paso de Prepare va a considerar, considerar, utilizando utilizando el análisis análisis de ingeniería ingeniería económica, económica, y seleccione seleccione la va medida de valor valor sobre sobre la cual cual se basará basará la decisión. decisión. Determine Determine la forma forma de la(s) la(s) medida relación(es) para para calcular calcular la medida medida de valor. valor. relación(es) Paso 2: Parámetros Parámetros con con variación. variación. Seleccione los parámetros parámetros en cada cada alternativa alternativa que que Paso Seleccione considerarán como como variables variables aleatorias. aleatorias. Estime Estime los los valores valores de todos todos los los demás demás se considerarán parámetros (en certidumbre) certidumbre) para para el análisis. análisis. parámetros Paso 3: Determinación de las las distribuciones distribuciones de probabilidad. probabilidad. Determine si cada cada Paso Determinación de de Determine variable es discreta discreta o continua, continua, y describa describa una una distribución distribución de probabilidad probabilidad para para variable cada variable variable en en cada cada alternativa. alternativa. En En lo posible, posible, utilice utilice distribuciones distribuciones estándar estándar cada con la finalidad finalidad de simplificar simplificar el proceso proceso de muestreo muestreo y prepararse prepararse para para la sicon mulación en la computadora. computadora. mulación Paso 4: 4: Muestreo Muestren aleatorio. aleatorio. Incorpore el procedimiento procedimiento de muestreo muestreo aleatorio aleatorio de la Incorpore Paso sección 19.3 19.3 (los (los primeros primeros cuatro cuatro pasos) pasos) en en este este procedimiento, procedimiento, lo cual cual resulta resulta sección en una una distribución distribución acumulativa, asignación de NA, NA, la selección selección de NA NA y una una en acumulativa, la asignación muestra de tamaño tamaño n para para cada cada variable. variable. muestra Paso 5: Cálculo Cálculo de de la la medida medida de de valor. valor. Calcule n valores valores de la medida valor selecselecPaso Calcule medida de valor cionada de la(s) la(s) relación(es) relación(es) determinada(s) determinada(s) en el paso paso 1. Utilice Utilice las las estimacioestimaciocionada nes hechas hechas bajo bajo certidumbre certidumbre y los los n valores valores de la muestra muestra para para los los parámetros parámetros nes variables. (En este paso paso se aplica aplica realmente realmente la propiedad propiedad de las variables variables aleatorias aleatorias variables. (En este independientes. ) independientes. Paso Descripción de de la la medida medida de de valor. valor. Construya la distribución distribución de probabilidad probabilidad Paso 6: Descripción Construya medida de valor valor utilizando utilizando entre entre 10 y 20 20 celdas celdas de información información y calcule calcule de la medida medidas tales tales como como X, s, s, X X ± ts y las las probabilidades probabilidades relevantes. relevantes. medidas Paso 7: Conclusiones. Conclusiones. Formule conclusiones conclusiones sobre sobre cada cada alternativa alternativa y decida decida cuál cuál debe debe Paso Formule elegirse. Si la(s) la(s) alternativa(s) alternativa(s) se ha(n) ha(n) evaluado evaluado anteriormente anteriormente bajo bajo el supuesto supuesto elegirse. certidumbre para para todos todos los parámetros, parámetros, la comparación comparación de resultados resultados puede puede de certidumbre ayudar a determinar determinar la decisión decisión final. final. ayudar

ejemplo 19.7 ilustra ilustra este procedimiento procedimiento utilizando utilizando un análisis análisis de simulación simulación El ejemplo manual abreviado, abreviado, y el ejemplo ejemplo 19.8 utiliza utiliza la simulación simulación en hoja de cálculo cálculo para para manual mismos estimados. estimados. los mismos

721

722

CAPÍTULO CAPÍTULO 19

EJEMPLO EJEMPLO

Más Más sobre sobre variaciones variaciones y toma toma de decisiones decisiones bajo bajo riesgo riesgo

19.7

Yvonne principal de una una cadena Unidos Yvonne Ramos Ramos es la ejecutiva ejecutiva principal cadena de 50 gimnasios gimnasios en en Estados Estados Unidos Un vendedor vonne dos y Canadá. Canadá. Un vendedor de equipo equipo le ofreció ofreció al a Ivonne dos oportunidades oportunidades de largo largo plazo plazo souso bre un un nuevo nuevo sistema bre sistema de ejercicio ejercicio aeróbico, aeróbico, que que se carga carga a los los clientes clientes de acuerdo acuerdo con con el uso por encima pagadas por por éstos. por encima de las las tarifas tarifas mensuales mensuales pagadas éstos. Como Como incentivo, incentivo, la oferta oferta de ventas ventas incluye una garantía de ingreso ingreso anual anual para uno de los sistemas sistemas durante durante los los primeros años. incluye una garantía para uno primeros 5 años. Puesto un concepto nuevo y arriesgado Puesto que que se trata trata de un concepto completamente completamente nuevo arriesgado de generación generación de ingresos, un análisis de ingresos, Yvonne Yvonne desea desea efectuar efectuar un análisis cuidadoso cuidadoso de cada cada alternativa. alternativa. Los Los detalles detalles para los dos para dos sistemas sistemas son son los los siguientes: siguientes: un periodo periodo fijado fijado de n = 7 años Sistema Sistema 1. El El costo costo inicial inicial es P = $12000 $12000 para para un años sin sin valor No se ofrece neto anual. valor de salvamento. salvamento. No ofrece garantía garantía sobre sobre el ingreso ingreso neto anual. neto Sistema Sistema 2. El costo costo inicial inicial es P = = $8 000, sin valor valor de salvamento salvamento y un ingreso ingreso neto anual garantizado garantizado de $1 000 durante durante los los primeros años, aunque aunque después después de tal tal primeros 5 años, anual periodo, no no habrá habrá garantía. puede ser periodo, garantía. El El equipo equipo con con actualizaciones actualizaciones puede ser útil útil hasta hasta 15 15 años, pero el número años, pero número exacto exacto no se conoce. conoce. En En cualquier cualquier momento momento después después de los los primeros 5 años posible la cancelación costo de penalización. penalización. primeros años es posible cancelación sin sin costo

s

Para cualquier cualquier sistema, sistema, se instalarán instalarán nuevas del equipo equipo sin costos costos adicionales. adicionales. Para nuevas versiones versiones del TMAR de 15% anual, anual, utilice análisis de VP VP para determinar si ninguno, Si se requiere requiere una una TMAR utilice el análisis para determinar ninguno, uno ambos sistemas sistemas deberían deberían instalarse. instalarse. uno o ambos Solución a mano mano Solución Las estimaciones estimaciones hechas Ivonne para correctamente el análisis análisis de simulación simulación Las hechas por por Ivonne para utilizar utilizar correctamente incluyen en los los siguientes siguientes pasos. se incluyen pasos.

Paso 1: Formulación Formulación de alternativas. alternativas. Mediante el el análisis análisis de VP VP se desarrollan desarrollan rerePaso Mediante laciones para sistema 1 y para sistema 2 incluyendo incluyendo los parámetros parámetros cocolaciones para el sistema para el sistema nocidos con con certidumbre. certidumbre. El símbolo símbolo FEN FEN identifica identifica los flujos flujos de efectivo efectivo nocidos netos (ingresos) (ingresos) y FEN FENGG es el FEN FEN garantizado garantizado de $1 000 para sistema 2. para el sistema netos

= -PI -P, + FEN¡(P/A,15%,I1¡) FEN,(PIA,15%,I1,) =

[19.17] [19.17]

VP22 = -P -P2 2 + FEN FENGG(PIA,15%,5) VP (PIA,15%,5)

[19.18] [19.18]

VP,I VP

+ FENzCPIA, FENiPIA, 15%,n 15%,n22-5)(PIF, 15%,5) - 5)(P/F,15 %,5) Paso 2: Parámetros Parámetros con variación. variación. Yvonne Yvonne resume los parámetros estimados con con Paso resume los parámetros estimados certidumbre y efectúa efectúa supuestos supuestos acerca acerca de distribución de probabilidad certidumbre de la distribución probabilidad sobre tres parámetros como variables variables aleatorias aleatorias. . bre los tres parámetros tratados tratados como Sistema Sistema 1

Certidumbre. P, = $12000; $12000; nI 11, = 7 años. años. Certidumbre. PI Variable. FEN FEN, I es una variable continua, continua, distribuida distribuida uniformemente enVariable. una variable uniformemente entre L = $-4 000 H = $6 000 anuales, anuales, ya que se considera considera un ya que un proyecto proyecto de tre inversión de alto alto riesgo. inversión riesgo. Sistema Sistema 2

Certidumbre. = $8000; $8000; FEN FENGG = = $1000 $1000 durante durante los los primeros años. Certidumbre. P 22 = primeros 5 años. Variable. FEN FEN22 es una variable discreta, discreta, distribuida distribuida uniformemente enVariable. una variable uniformemente entre los valores valores L = = $1000 $1000 Y H = = $6 000 sólo sólo en en incrementos incrementos de $1000, $1000, es tre decir, $1 $1 000, $2000, $2000, etcétera. etcétera. decir,

SECCIÓN

19.5

Muestreo de Monte Carlo y análisis mediante simulación

723

Variable. n2 es una variable continua que está distribuida uniformemente = 6 Y H = 15 años.

entre L

Ahora, escriba de nuevo las ecuaciones [19.17] y [19.18] para reflejarJas maciones hechas con certidumbre.

esti-

VP¡ = -12 000 + FENj(PIA,15%,7)

= -12 000 + FEN¡(4,1604)

[19.19]

VP2 = -8 000 + 1000(PIA,15%,5)

+ FENiPIA, 15%,n2-5)(P/F,15%,5)

[19.20]

= -4 648 + FEN2(PIA,15%,n2-5)(0.4972)

Paso 3. Determinación de distribuciones de probabilidad.

Paso 4.

La figura 19.10 (lado izquierdo) muestra las distribuciones de probabilidad supuestas para FEN¡, FEN2 y n2' Muestreo aleatorio. Yvonne decide sobre una muestra de tamaño 30 y aplica los primeros cuatro pasos de la muestra aleatoria planteados en la sección 19.3. La figura 19.10 (lado derecho) muestra las distribuciones acumulativas (paso 1) Y asigna N A a cada variable (paso 2). Los N A para FEN 2 identifican los valores del eje x, de manera que todos los flujos de efectivo netos serán en cuantías de $1 000. Para la variable continua n2, se utilizan valores de NA de tres dígitos para lograr que los números salgan en forma pareja y se muestran en celdas solamente como «indexadores" para fácil referencia cuando se utiliza un NA para encontrar el valor de una variable. Sin embargo, el número se aproxima al siguiente valor de n2más alto, porque esprobable que el contrato se cancele en una fecha de aniversario. Además, ahora pueden usarse directa-mente los factores tabulados de interés compuesto para (~- 5) años (véase tabla 19.5). Una vez que se seleccione el primer NA en forma aleatoria de la tabla 19.2, la secuencia (paso 3) utilizada será proceder hacia abajo en la tabla de NA de

S..•.

I1

FEN, NA* 18 59 31 29 71

FEN2

n2

Valor

NN

Valor

NA*

Valor

Redondeado!

$-2200 +2000 -1100 -900 +3100

10 10 77 42 55

$1000 1000 5000 3000 4000

586 379 740 967 144

11.3 9.4

12 10 13 15 8

* Inicie aleatoriamente

con la fila 1, columna 4 en la tabla 19.2.

t Inicie con la fila 6, columna 14.

* Inicie con la fila 4, columna 6. § El valor n2es aproximado.

12.7 14.4 7.3

724

Más sobre variaciones y toma de decisiones bajo riesgo

CAPÍTULO 19

NA

1.0

0.8

0.6

0.4 f(FEN,) 0.2

~t_~~-+V_M_ia~b_Ie_C_OtnM_._ua~ __ .¡.. _ - I I I I I . -4 -2 o 2 4 6

00-19

o L--+--t--+--t--+--t---4

o

-2

FEN,,$10oo

2

4

6

FEN" $1 000 F(FEN,)

NA

1.00

0.83

0.67 0.50

0.33 PCFEN,) 1

0.17

"6

o

o

2

3

4

FEN"$1

5

6

n

I

I

I

I

J

83-99

67-82

50-66

33-4 9

17-32

00-1 6

2

000

4 FEN"$1

6

000

NA

1.0

0.8

0.6

0.4 222-443

f(n,) Variable continua

1

0.2

9" O 6

10 ~, años

15

6

8

10 ~.

12 años

Figura 19.10 Distribuciones utilizadas para muestras aleatorias, ejemplo 19.7.

1415

19.5 Muestreo de Monte CarIo Carlo y análisis mediante simulación SECCIÓN 19.5

la columna y luego hacia arriba de la columna situada a la izquierda. La tabla 19.5muestra 19.5 muestra solamente los primeros cinco valores de NA seleccionados seleccionados para correspondientes tomados de las cada muestra y los valores de las variables correspondientes distribuciones acumulativas acumulativas en la figura 19.10 19.10 (paso 4). distribuciones Paso 5: Cálculo Cálculo de medida medida de valor. valor. Con los cinco valores muestrales en la tabla Paso 19.5, calcule los VP utilizando las ecuaciones [19.19] [19.19] y [19.20]. [19.20]. 19.5,

1. 2. 3. 4. 5.

VP¡ VP, VP¡ VP, VP¡ VP, VP¡ VP, VP¡

-12000 + (-2200)(4.1604) (-2200)(4.1604) = -12000 -12000 + 2000(4.1604) = -12000 -12000 + (21100)(4.1604) = -12000 -12000 + (2900)(4.1604) = -12000 = -12000 -12000 + 3100(4.1604) 3 100(4.1604) =

= $-16,576 = $-15,744 = $+897 $+897

1. 2. 3. 4. 5.

VP2 VP2 VP2 VP2 VP 2

= -4648 -4648 + 11 000(P/A,15%,7)(0.4 000(P/A,15%,7)(0.4 972) = = -4648 -4648 + 1 000(P/A,15%,5)(0.4 000(P/A,15%,5)(0.4 972) = -4648 -4648 + 5 000(P/A,15%,8)(0.4 000(P/A,15%,8)(0.4 972) -4648 + 3 000(P/A,15%,10)(0.4 000(P/A,15%,1O)(0.4 972) = -4648 = -4648 -4648 + 4 000(P/A,15%,3)(0.4 000(P/A,15%,3)(0.4 972) =

$-2 579 = $-2 $-2 981 = $-2 981 == $+6 507 $+2838 = $+2838 = $-107

=

$-21 153 = $-21153 = $-3 679

25 NA más para cada variable 19.2Yse Ahora, se han seleccionado 25 variable de la tabla 19.2 Yse VP. calculan los VP. Paso 6: Descripción Descripción de medida medida de valor. La figura 19.1la 19.1la y b presenta Paso presenta las distribuVP, y VP2 para las 30 muestras con 14 14 y 15 15 celdas, ciones de probabilidad probabilidad de VP¡ respectivamente, lo mismo que el rango de valores VP individuales y los valores deXy de s. de.Kydes. VP11•• Los valores de la muestra varían dentro de un rango de $-24481 $+12 962. Las medidas calculadas de los 30 valores son: hasta $+ 12 962.

X¡ = $-7729 $-7729 X¡ 190 s¡ = $10 190 $-3031 VP22•• Los valores de la muestra varían dentro de un rango de $-3031 $+10 324. Las medidas de la muestra son: hasta $+ 10 324.

X2 == $2 724 X S2

Paso 7. Paso

= $4 336 336 =

Conclusiones. Con seguridad, las muestras adicionales harán que la tendenConclusiones. distribuciones de VP sea más evidente, pudiendo reducir los cia central de las distribuciones conclusiones son valores s, que son bastante grandes. Por supuesto, muchas conclusiones distribuciones de VP, VP, aunque las siguienposibles una vez que se conocen las distribuciones aseveraciones parecen claras. tes aseveraciones Sistema 1. Con base en esta pequeña muestra muestra de 30 observaciones, Sistema observaciones, no no acepte esta alternativa. La probabilidad probabilidad de obtener una TMAR = 15% 15% es acepte relativamente baja, ya que la muestra indica una probabilidad relativamente probabilidad de 0.27 (8 de X¡ es bastante 30 valores) de que el VP sea positivo yX¡ bastante negativo. Aunque padeterminar que rece grande, la desviación estándar puede utilizarse para determinar

=

725

726

CAPÍTULO 19 Más sobre variaciones y toma de decisiones bajo riesgo

~-'----XI±ISI----~,1 Frecuencia

Xl = $-7729

ni =30

(J

SI = $10 190 Rango = $37 443

U t<

-

5 4

O

!--VP>

~

3 2

.. . ..-....

lo

1 O

-27

d

-24

-21

-18

a

. . .. . ... ... ... ~ ... f--

-15

-12

-6

-9

-3

O

3

6

r= 9

12

15

VPI, $1000 a) Sistema 1

l·

Frecuencia

X2 ±

5G = $2724

6 5

1-- VP>

4

•

-1

ls2

nz= 30 = $4 336 Rango = $13 355 S2

O

li d

3

Ti

2

....··

1 O -4

-3

-2

si

... -1

O

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

J

VP2, $1000 b) Sistema 2

li

SI n

Figura 19.11 Distribuciones 19.7.

s

de probabilidad

de valores VP simulados

para una muestra de tamaño 30, ejemplo

u

u

alrededor de 20 de los 30 valores de VP de la muestra (dos tercios) están dentro de los límites X ± l s, que son $-17 919 Y $2461. Una muestra más grande alteraría el presente análisis en alguna manera. Sistema 2. Si Yvonne está dispuesta a aceptar el compromiso de largo plazo que puede aumentar el FEN dentro de algunos años, la muestra de 30 observaciones indica que debe aceptar esta alternativa. A una TMAR de 15%, la simulación aproxima a 67% la posibilidad para un VP positivo (20 de los 30 valores VP en la figura 19.1lb son positivos). Sin embargo, la probabilidad de observar VP dentro de los límites X ± Ls ($-1 612 Y $7 060) es 0.53 (16 de 30 valores muestrales). Este hecho indica que la distribución muestral VP está dispersa más ampliamente alrededor de su promedio en comparación con la muestra de VP del sistema. Conclusión en este punto. Rechace el sistema 1; acepte el sistema 2, y observe cuidadosamente el flujo de efectivo neto, en especial después del periodo inicial de 5 años.

1 a e p e iJ

SECCIÓN SECCIÓN 19.5 19.5

Muestreo Muestreo de Monte Monte Carla Carlo y análisis análisis mediante mediante simulación simulación

727

Comentario Comentario Los Los estimados estimados en el ejemplo ejemplo 5.8 5.8 son son muy muy similares similares a los los mostrados mostrados aquí, aquí, excepto excepto que que todas las las estimaciones estimaciones se realizaron realizaron con con certidumbre certidumbre (FEN (FEN¡¡ = = $3 000, 000, FEN FEN22 = = $3 000 000 Y Y n22 todas = 14 años). evaluaron mediante años). Las Las alternativas alternativas se evaluaron mediante el método método del del periodo periodo de reemplazo reemplazo a una TMAR una TMAR = 15% 15% y se eligió eligió la primera primera alternativa. alternativa. No No obstante, obstante, el análisis análisis VP VP posterior posterior del del ejemplo ejemplo 5.8 5.8 seleccionó seleccionó la alternativa alternativa 2 basada, basada, en parte, parte, en el flujo flujo de efectivo efectivo mayor mayor anticipado en los últimos últimos años. años. anticipado

EJEMPLO EJEMPLO

19.8

".'

Ayude Ayude a Yvonne Yvonne Ramos Ramos a preparar preparar una una simulación simulación en hoja hoja de cálculo cálculo de Excel Excel para para el anáanálisis lisis de las las tres tres variables variables aleatorias aleatorias y de VP VP en el ejemplo ejemplo 19.7. 19.7. ¿Varía ¿Varía apreciablemente apreciablemente la distribución VP aquella desarrollada distribución VP de aquella desarrollada utilizando utilizando la simulación simulación manual? manual? ¿Parecen ¿Parecen aún aún razonables razonables las decisiones decisiones de rechazar rechazar la propuesta propuesta del del sistema sistema 1 y aceptar aceptar la propuesta propuesta del del sistema sistema 2? 2? Solución por por computadora Solución computadora Las figuras figuras 19.12 19.12 y 19.13 19.13 son son hojas hojas de cálculo cálculo que que logran logran la porción porción de simulación simulación del del Las análisis antes descrito, descrito, desde desde el paso paso 3 (determinación (determinación de la distribución distribución de probabilidad) probabilidad) análisis antes hasta el6 el6 (descripción (descripción de medida medida de valor). valor). La La mayoría mayoría de los los sistemas sistemas de hoja hoja de cálculo cálculo hasta son limitados limitados en la variedad distribuciones que que pueden pueden aceptar aceptar para para muestreo, muestreo, pero pero tieson variedad de distribuciones tienen disponibles disponibles aquellas aquellas típicas, típicas, tales tales como como la uniforme uniforme y la normal. normal. nen La figura figura 19.12 indica indica los los resultados resultados de una una muestra muestra pequeña pequeña de 30 valores valores (solamente (solamente La una porción porción de la hoja hoja de cálculo cálculo se imprime imprime aquí), aquí), a partir partir de las tres tres distribuciones distribuciones que que una utilizan funciones RAND RAND e IF IF (véase (véase secciÓn sección A.3, A.3, en el apéndice apéndice A.). A.). utilizan las funciones FENJ: J : Continua Continua uniforme uniforme desde desde $-4 $-4 000 000 hasta hasta $6000. $6000. La La relación relación en la columna columna FEN traduce los valores NA¡ (columna (columna A) en cantidades cantidades de FENl. FENl. B traduce los valores FEN2:2 : Discreta Discreta uniforme uniforme en incrementos incrementos de $1000 $1000 desde desde $1 000 000 hasta hasta $6000. $6000. FEN Las celdas celdas de la columna columna D despliegan despliegan FEN2 FEN2 en los los incrementos incrementos de $1000 $1 000 utiliutiliLas zando el operador operador lógico lógico SI para para traducir partir de los los valores valores NA2. NA2. zando traducir a partir n2: Continuo Continuo uniforme uniforme de 6 a 15 años. años. Los Los resultados resultados en la columna columna F son son valores n2: valores enteros obtenidos obtenidos utilizando utilizando la función función ENTERO ENTERO que que opera opera en los los valores valores NA3. NA3. enteros La figura figura 19.13 19.13 presenta las estimaciones estimaciones de las las dos dos alternativas alternativas planteadas planteadas en la sección sección La presenta las anterior. Los Los cálculos cálculos de VPl VP2 para para las las 30 repeticiones repeticiones de FEN1, FENl, FEN2 FEN2 y ~ n2 son son el anterior. VPI y VP2 equivalente en hoja de cálculo cálculo a las ecuaciones ecuaciones [19.19] [19.19] y [19.20] [19.20]. . El enfoque enfoque tabular tabular ememequivalente en hoja pleado aquí registra registra el número número de valores valores VP VP por debajo de cero cero ($0), ($0), y que que igualan igualan o pleado aquí por debajo exceden a cero cero utilizando operador SI. Por Por ejemplo, ejemplo, la celda celda C C17 contiene un 1, el cual cual 17 contiene exceden utilizando el operador indica que que VPI VPl > O O cuando cuando FENl FENl = = $3100 $3100 (en la celda celda B7 figura 19.12) 19.12) se utilizó B7 de la figura utilizó indica para calcular calcular VPl VPl = = $897 $897 por por medio medio de la ecuación ecuación [19.19]. [19.19]. Las Las celdas celdas en las filas filas 7 y 8 para muestran el número veces, en las las 30 muestras, muestras, que que el sistema sistema 1 y el sistema sistema 2 pueden pueden muestran número de veces,

mm Sol-E S ol-E

19 Más sobre variaciones y toma de decisiones bajo riesgo

CAPÍTULO

728

~~~~~B~~==~C~~==~D~~==~E~~~~F~~~~G~~~~H~~ Muestra FEN1

12.5625

de 30 valores NA2

-$2,800

83.61761

simulados FEN2

$6,000

NA3

N, años

556.277

12 -----~-~-~+-----_._--_._-_.)"'"

66.7821 48.33241

$2,600 $800

77.86991 8.43079!

$5,000 $1,000

91.3044 457.749

7 11

39 .38e61-------~$1-00--·--52-:s63r--$4;OOO----914 .543------1521.5429i-·$~960--~57.4B191--- $4,000

698.762

13

44.49961 32.9911 i 96.02491

$400 -$800 $5,600

1.932231 70.6307i 61.0023¡

$1,000 $5,000 $4,000

744.262 190.814 714.668

13 8

99.6675 13.956i

$5,900 -$2,700

55.7741i 98.91Di

$4,000 $6,000

648.227 199.949

I Random

mber.

-----+------~------~~

PWvaloe$

=Si(C13< =19, 1000,Si(C13< =32-,2000,Si(C 13< =49,3000, Si(C13 < = 66,4000,$ i(C 13< = 82,5000,si(C13< = 100,6000,6000»»»

Figura 19.12 Valores muestrales

generados

utilizando

una simulación

en hoja de cálculo, ejemplo 19.8.

retornar por lo menos la TMAR = 15% debido al correspondiente VP ~ O.También se indican los promedios y desviaciones estándar de la muestra. A continuación se presenta una comparación entre la simulación manual y la de la hoja de cálculo. Sistema 2 VP

Sistema 1 VP

-X,$

s,$

Núm. de PV~O

-X, $

s,$

Núm. de PV~O

Manual

-7729

10 190

8

2724

4336

20

Hoja de cálculo

-7105

13199

10

1649

3871

19

SECCIÓN SECCIÓN 19.5

Muestreo de de Monte análisis mediante mediante simulación Muestreo Monte Cario Carlo y análisis simulación

$8,000 $1,000 15%

n

TMAR

5

Resultados del análisis i 10: !

I

=tJ~~~~~~;~·.l~~;~~;.~~~~~.F~]~20I:.' # VP > = TMAR

¡

_.-...+$r649

VP Desv Es!

$13,199

i

729 729

_

19 . t··y-

-

-+

-

'1

+ .

$3,871

Cálculos de valor presente

---------,-----:-==,..."..,-::-:T----::".........,..;-~---...,__::_::_--=-=c::_r---:-r-::-I

_--:":-'::-'-_--+~~~'+_-:+--+-_-'-'-"'----!

$7,763

1

$202 ($885) $2,045 $5,352 ($607)

1 O 1 1 O

($2,Z88)

O

¡

·+······················-1·······-··

. $5,333 ~1¡~~~~~~~~~~

= -8000-VA(l5%,5,l000)+VA(l5%,5" (VA(l5%,'Números Aleatorios'!FlO=(VA($B$4,$B$3,

5,'Números Aleatorios'!DlO»)

- 'Números Aleatorios'IB 1O» - $B$2

19.13 Figura 19.13 Resultados de 30 valores valores de VP VP simulados simulados en Resultados en hoja hoja de de cálculo, cálculo, ejemplo ejemplo 19.8. 19.8.

Para la simulación simulación de hoja hoja de cálculo, cálculo, 10(33%) 10(33%) de exceden cero, cero, mientras Para de los los valores valores VPl VPl exceden mientras que la simulación simulación manual manual incluyó incluyó 8(27%) 8(27%) valores resultados comparativos comparativos que valores positivos. positivos. Estos Estos resultados cambiarán cada cada vez vez que que se active active la cálculo puesto que la función función ALEATORIO cambiarán la hoja hoja de de cálculo puesto que ALEATORIO prepara (en (en este este caso) caso) para para producir producir un cada vez. definir ALEAse prepara un nuevo nuevo NA NA cada vez. Es posible posible definir ALEATORIO para para mantener mantener los los mismos mismos valores de los los NA. guía del del usuario de Excel. TORIO valores de NA. Véase Véase la guía usuario de Excel. La conclusión de rechazar rechazar la propuesta propuesta del del sistema sistema 1 y de de aceptar aceptar el sistema sistema 2 todavía La conclusión todavía es apropiada apropiada para para la simulación simulación de de hoja hoja de de cálculo cálculo como como lo lo es para que hay hay para la manual, manual, ya ya que posibilidades comparables comparables de que que VP;::C posibilidades VP ~ o. O.

730

CAPÍTULO

Más sobre variaciones y toma de decisiones bajo riesgo

19

EJEMPLOS ADICIONALES

EJEMPLO

19.9

'

~',"

AFIRMACIONES DE PROBABILIDAD, SECCIÓN 19.2 Utilice la distribución acumulativa para la variable C, en la figura 19.4 (ejemplo 19.3, flujo de efectivo mensual para el cliente 1) para determinar las siguientes probabilidades: a)

Más de $14.

b)

Entre $12 y $13.

e)

No más de $11 o más de $14.

á)

Exactamente

$12.

Solución Las áreas sombreadas en la figura 19.14a a d indican los puntos en la distribución acumulativa F(C¡) utilizados para determinar las siguientes probabilidades. a)

La probabilidad de más de $14 por mes se determina fácilmente restando el valor de F(C,) en 14 del valor en 15. (Puesto que la probabilidad en un punto es cero para una variable continua, el signo igual no cambia el valor de la probabilidad resultante.) P(C, > 14)

P(C¡

s 15) -

P(C¡

F(15) - F(14)

s 14)

= 1.0 -

0.8

0.2 b)

P(12 ~ CI

s 13)

P(C¡ ~ 13)

= P(C¡

~ 12)

= 0.6

- 0.4

(0.2)

F(e¡)

F(e¡)

F(el)

1.0

F(el)

1.0

0.8

0.8 0.6 0.4

10

14 15

10

12 13

15

0.2 O

1011

14 15

el

el

el

a)

b)

e)

10

12

el d)

Figura 19.14 Cálculo de probabilidades de la distribución acumulativa para una variable continua que está distribuida de manera uniforme, ejemplo 19.9.

15

I

EJEMPLOS ADICIONALES ADICIONALES

P(C¡ :S $ 11) + P(C¡ > 14) 14) = [F(l1) [F(l1) - F(10)] F(10)] + [F(15) [F(15) - F(14)] F(14)]

e)

(0.2 - O) + (1.0 - 0.8) 0.2 + 0.2

0.4 0.4 P(C, P(C, = 12) = F(12) F(12) - F(12) F(12) = 0.0

d)

No hay área por debajo de la curva de distribución distribución acumulativa acumulativa en un punto para una variable continua, como se mencionó anteriormente. Si se utilizan dos puntos situados cerca, es posible obtener obtener una probabilidad, probabilidad, por ejemplo, entre 12.0 y 12.1, o entre 12 y 13, 13, como en el inciso b).

EJEM.PLO EJEM.PLO

19.10 19.10

_. . >

LA DISTRIBUCIÓN DISTRIBUCIÓN NORMAL, SECCIÓN 19.4 Camila es ingeniera ingeniera de seguridad seguridad regional de una cadena de franquicias de gasolina y de comida rápida. La sede principal qu~jas y varias demandas legales de empleados y clientes debido a ha recibido muchas quejas resbalones y caídas ocasionados por líquidos (agua, aceite, gas, refresco, etcétera) regaconcreto. La gerencia de la corporación corporación ha autorizado autorizado a cada dos sobre las superficies de concreto. localmente para aplicar a todas las superficies de concreto exterior exterior gerente regional actuar localmente un producto reciente de mercado, que absorbe hasta 100 veces su propio peso en líquido y, además, lo ha autorizado autorizado para cargar la instalación instalación en una cuenta de la sede principal. La carta de autorización autorización a Carnila Camila establece que, con base en su simulación simulación y en sus muestras población normal, el costo aleatorias aleatorias que suponen suponen una población costo de la instalación instalación localmente localmente organizada debe ser alrededor de $10 000 y casi siempre está dentro del rango de $8 000 a $12 000. Camila le pide a usted, TJ, graduado en ingeniería, escribir escribir un resumen completo sobre la distribución distribución normal, explicar explicar la afirmación del rango de $8 000 a $12 000 y explicar la frase "muestras aleatorias que suponen una población normal". Solución Solución Suponga que usted conservó este libro y un texto de estadística de ingeniería básica cuando respuesta a Camila utilizándolos, utilizándolos, además de se graduó y que ha desarrollado desarrollado la siguiente respuesta la carta de la sede principaL principal.

Camila:

constituye un resumen de la forma la sede principal La presente constituye principal parece estar utilizando utilizando la distribución normal. A manera de actualización actualización incluyo un resumen sobre la distribución distribución distribución normal. normaL Distribución normal, probabilidades yy muestras Distribución normal, probabilidades muestras aleatorias aleatorias

A la distribución distribución normal también se le conoce como curva de campana, distribución distribución gaussiana siana o distribución distribución de errores. errores. Ésta Ésta es, por un amplio amplio margen, margen, la distribución distribución de

731

732

CAPÍTULO 19 Más sobre variaciones y toma de decisiones bajo riesgo

probabilidad de uso más común en todas las aplicaciones, aplicaciones, la cual sitúa exactamente exactamente la probabilidad probabilidad en cualquier cualquier lado de la media o del valor esperado. Se utiliza mitad de la probabilidad para variables continuas durante todo el rango de números. La normal se usa para predecir en forma precisa muchos tipos de resultados, tales como valores IQ*, errores en manucaracterísticas como tamaño, volumen, peso, etcétera; y la disfactura en determinadas características tribución de ingresos por ventas, costos y muchos otros parámetros de un negocio alrededor de una media específica, razón por la cual es factible aplicarla en esta situación. distribución normal identificada identificada por el símbolo N(Jl,cr), N(Jl,d), donde J1 J1. es el valor espeLa distribución d es la varianza, o medida de dispersión, puede describirse describirse de la siguienrado o media, y cr te manera: probabilidad (figura 19.15a) y la dispersión dispersión de la J1. ubica la distribución de probabilidad La media J1 distribución varía con la varianza S2 S2 (figura 19.15b), 19.15b), haciéndose haciéndose más dispersa y más distribución plana para valores mayores de la varianza. estimaciones se identifican como media muestral Cuando se toma una muestra, las estimaciones a. J1. y desviación estándar muestral s para a. X para J1 probabilidad ¡(X) f(X) para una variable X es bastante complicaLa distribución normal de probabilidad da, ya que su fórmula es: ¡(X) f(X) = =

~)2]}

~ ~ exp {_[CX {_[(X - ~)2 ]}

a-v2n: a-v2n:

2a2(y-

donde exp representa representa el número e = = 2.71828+ Y y se eleva a la potencia potencia del término -[ ]. En resumen, si X recibe valores diferentes, para una media dada J1 -[ J1. y desviación parecida a las de la figura 19.15a 19.15a y b. b. estándar a, se desarrolla una curva parecida inmanejable, se desarrollan muestras aleatorias y afirmaciones afirmaciones de Puesto que f(X) es tan inmanejable, probabilidad transformación, denominada denominada distribución distribución estándar estándar normal normal probabilidad utilizando una transformación, (DEN), la cual utiliza J1 ya (población) o -X y s (muestra) para calcular calcular los valores de la J1. ya Z. variable Z. Población:

Muestra:

desviación de la media

X-Jl X-Jl

estándar desviación estándar

s

Z=-------Z=----------------

Z= X-X Z= X-X

[19.21]

[19.22]

s

La DEN paraZ para Z (figura 19.15c) 19.l5c) es la misma misma que para X, X, excepto que ésta siempre tiene una O y una desviación desviación estándar de 1, y se identifica identifica por el símbolo N(O,l). NCO,!). Por media de O consiguiente, los valores valores de probabilidad curva DEN pueden pueden determinarse determinarse consiguiente, probabilidad bajo bajo la curva información exactamente. Siempre es posible transferir de vuelta los valores originales de la infOlmación de la muestra despejando despejando la ecuación [19.21] para X: X=Za+ X=Za+ J1 J1.

[19.23]

probabilidad para Z y X se resumen en la siguiente tabla y se Diversas afirmaciones de probabilidad muestran en la curva de distribución distribución para Z en la figura 19.15c. *Coeficiente intelectual, por por las siglas siglas en inglés. inglés. *Coeficiente intelectual,

733

EJEMPLOS ADICIONALES

f(X) • Dispersión

igual

(u¡ =U2

= U3)

• Medias crecientes

¡.L¡

¡.Lz

¡.L3

X

a) f(X) • Dispersión creciente (u¡
'1


• Dos medias diferentes

¡.L¡

= ¡.L3

Si

X

¡.L2

b) f(X) Distribución

normal

¡.L-3u

X

feZ)

Distribución estándar

-3

-2

-1

o

2

normal

3 Z

e)

Figura 19.15 Distribución normal que muestra a) diferentes valores de la media u, b) diferentes valores de la desviación estándar a y e) relación de una X normal para la Z normal están dar.

CAPÍTULO 19 Más sobre variaciones variaciones y toma de decisiones bajo riesgo

734

Rango de la variable variable X Rango de

Probabilidad Probabilidad

¡.L la p. + la ¡.L±la p.±la ¡.L+ 2a p. + 2a ¡.L±2a p. ± 2a ¡.L+3a p.+3a ¡.L± 3a p. ± 3a

Rango de la variable variable Z Rango de

0.3413 0.6826 0.6826 0.4773 0.9546 0.4987 0.9974 0.9974

Oa11 -1 a 11 -1 11 O a 12 Oa -2 -2 a 12 O O a 13 -3 -3 a 13

probabilidad de esta tabulación y de la figura 19.15c Como ilustración, las afirmaciones de probabilidad 19.15c X y Z son: para X 2ade su media es 0.9546. probabilidad de que X X esté dentro de 2ade La probabilidad probabilidad de que Z esté dentro de 2a La probabilidad 2a de su media, que es la misma que entre - 2 y +2, es también 0.9546. los valores -2

s

Para tomar una muestra aleatoria N(p., cf), se utiliza utiliza una tabla de aleatoria de una población población normal N(¡.L,02), preparada especialmente. especialmente. (Las tablas de los valores DEN están números aleatorios DEN preparada disponibles en muchos libros de estadística.) estadística.) Los números números son realmente realmente valores valores de la disponibles N(O, 1) YYtienen valores tales como -2.1 - 2.10, + 1.24, etcétera. La traducción del distribución ZZ o N(O, O,+1.24, valor Z de nuevo a los valores de la muestra para X Zde X se realiza mediante la ecuación [19.23]. Interpretación del del memorando memorando de la sede sede principal principal Interpretación

afjrmación de que prácticamente prácticamente todas las cantidades cantidades de contrato local deberían estar La afirmación interpretarse de la siguiente entre $8 000 y $12000 $12000 puede interpretarse siguiente manera: se supone una distrip. = $10 000 yYuna desviación estándarde estándar de a= a = $667, o una bución normal con una media de ¡.L= varianza 0,000 ($667)2].El cf = ($667)2;es ($667)\ es decir, se supone una distribución N[$1 N[$1O,000 ($667f]. El valor varianza de 02 a= utilizando el hecho de que prácticamente prácticamente toda la probabilidad probabilidad (99.74%) a= $667 se calcula utilizando 3a de la media, como se afirmó antes. Por consiguiente, consiguiente, está dentro de 3ade 3a= 3a= $2 000

y

I F

e e g

d

e d

P ti

a= (redondeado) a = $667 (redondeado)

u

Como ilustración, seleccionan 6 números aleatorios DEN y se utilizan para tomar ilustración, si se seleccionan muestra de tamaño 6 de la distribución distribución normal N [$10 000 ($667n, ($667n, los resultados una muestra son los siguientes:

DEN aleatorio DEN número número aleatorio Z

- 2.10 -2.10 +3.12 -0.23 -0.23 +1.24 -2.61 -2.61 -0.99 -0.99

ecuación [19.23] X utilizando utilizando la ecuación [19.23] X = Za+ Za + ¡.L p.

==

X X (-2.10)(667) (- 2.10)(667) X X= = (+3.12)(667) (+3 .12)(667) X X = (-0.23)(667) (-0.23)(667) X = (+1.24)(667) X=(+1.24)(667) X = (-2.61)(667) (-2.61)(667) X X = (-0.99)(667) (- 0.99)(667)

=

+ + + + + +

10 000 10000 10000 10000 10 000 10 000 10000 10000 10 000 10 000

== $8599 $8599

e e e

•

F

= $12081 $12081 =

(

= $9847 $9847 $10 827 = $10827 $8259 = $8259

1

=

$9340 = $9340

735

PROBLEMAS PROBLEMAS

considera ésta ésta una de seis seis cantidades cantidades típicas contratar superficie superficie de de concreconcreSi se considera una muestra muestra de típicas al contratar to para lugares de de nuestra nuestra región, es $9 825 825 Ycinco seis valores valores están están dentro dentro para lugares región, el promedio promedio es Ycinco de seis del rango de del rango de $8000 $8 000 y $12 $12 000, 000, con con el sexto sexto estando estando solamente solamente $81 $81 por por encima encima del del límite superior. manera que no se deberían tener problemas problemas reales, reales, aunque superior. De De manera que no deberían tener aunque es importante importante que que vigilancia cercana sobre las porque el supuesto se conserve conserve una una vigilancia cercana sobre las cantidades cantidades de de los los contratos, contratos, porque supuesto de normal con una media media de Yprácticamente todas todas las de la distribución distribución normal con una de alrededor alrededor de de $10 $10 000 000 Yprácticamente las sumas del del contrato contrato dentro dentro de ±$2 000 de éste éste pueden correctas para sumas ±$2 000 pueden no resultar resultar correctas para nuestra nuestra región. región. Si usted usted tiene preguntas sobre por favor tiene preguntas sobre este este resumen, resumen, por favor contácteme. contácteme. TJ TJ

RESUMEN RESUMEN DEL CAPíTULO CAPíTULO decisiones bajo riesgo implica que algunos algunos parámetros La realización realización de la toma toma de decisiones riesgo implica parámetros de una alternativa variables aleatorias. utilizan sualternativa de ingeniería ingeniería se consideran consideran variables aleatorias. Se utilizan puestos sobre probabilidad de la variable variable para para explicar puestos sobre la forma forma de la distribución distribución de probabilidad explicar la forma varían las estimaciones valores de parámetros. parámetros. Además, Además, memeforma en que varían estimaciones de los valores didas tales como valor esperado didas tales como el valor esperado y la desviación desviación estándar estándar describen describen la forma forma característica característica de la distribución. distribución. En este capítulo capítulo se aprendieron aprendieron diversas diversas distribudistribuciones de poblaciones discretas y continuas, continuas, simples simples pero útiles, ciones poblaciones discretas útiles, utilizadas utilizadas en in- ' geniería uniformes y triangulares-, triangulares- , así como geniería económica económica --uniformes como la especificación especificación de distribuciones o la selección selección de una distribución distribución normal. distribuciones normal. Como la distribución distribución de probabilidad Como probabilidad de la población población para para un parámetro parámetro no se conoce muestra aleatoria tamaño n y se conoce completamente, completamente, en general general se toma toma una muestra aleatoria de tamaño determinan su promedio desviación estándar. estándar. Los resultados determinan promedio muestral muestral y su desviación resultados se utilizan utilizan para afirmaciones de probabilidad sobre el parámetro, cuales ayudan ayudan a para hacer hacer afirmaciones probabilidad sobre parámetro, las cuales tomar decisión final considerando considerando el riesgo. tomar la decisión riesgo. Carlo se combina combina con con las relaciones El método método de muestreo muestreo de Monte Monte Carlo relaciones de ingeniería económica económica para medidas como VP con la finalidad finalidad de aplicar aplicar un ingeniería medidas de valor valor como enfoque de simulación simulación al análisis análisis de riesgo. Los resultados análisis pueden enfoque resultados de ese análisis pueden compararse entonces entonces con decisiones decisiones cuando cuando se realizan estimaciones de parámetros compararse realizan estimaciones parámetros certidumbre. con certidumbre.

<,

PROBLEMAS PROBLEMAS Certidumbre, riesgo riesgo e incertidumbre incertidumbre Certidumbre,

19.1

Para cada cada situación, situación, determine determine 1) la(s) la(s) Para variable(s) es (son) variable(s) (son) discreta(s) discreta(s) o concontinua(s) información involucra tinua(s) y 2) si la información involucra certidumbre, riesgo incertidumbre. Si certidumbre, riesgo y/o incertidumbre. implica riesgo, gráficamente la implica riesgo, represente represente gráficamente

información en la forma forma general general de la fi fi-información gura 19.1. gura amigo en el negocio a) Un amigo negocio de bienes bienes raíces raíces cuale dice a usted usted que el precio precio por pie cuaaumentará lenta lenta drado para para casas nuevas nuevas aumentará durante los próximos o rápidamente rápidamente durante próximos 6 meses. meses.

736 736

CAPÍTULO CAPÍTULO 19

Más sobre variaciones y toma toma de bajo riesgo riesgo Más sobre variaciones de decisiones decisiones bajo

Su gerente personal que hay gerente informa informa al personal igual posibilidad ventas estén posibilidad de que las ventas entre 50 y 55 unidades unidades el próximo próximo mes. e) Jane recibió recibió su sueldo sueldo ayer y se dedudedujeron $400 para pagar los impuestos jeron para pagar impuestos sobre la renta. La cantidad retenida el mes cantidad retenida próximo próximo será será mayor mayor debido debido a un aumento mento en el salario salario de entre entre 3 y 5%. d) Hay una posibilidad posibilidad de 20% de lluvia lluvia y una posibilidad nieve para para posibilidad de 30% de nieve hoy.

Determine cada variable discreta Determine si cada variable es discreta continua. o continua. b) Elabore Elabore gráficas gráficas de las distribuciones distribuciones de probabilidad y de las distribuciones distribuciones probabilidad acumulativas para para N e i.i. acumulativas e) De la información información obtenida, obtenida, ¿cuál es la probabilidad de que una vivienda vivienda tenga tenga probabilidad 1 o 2 autos?, autos?, ¿y tres o más autos? autos? d) Utilice Utilice la información para estimar información de i para estimar las posibilidades posibilidades de que la tasa de interés entre 7 y 11 11% esté entre % anual.

b)

",111

a)

ingeniero aprendió aprendió que el resultado 19.2 Un ingeniero resultado de producción Y 2 000 unidaunidaproducción está entre entre 1 000 Y2 e190% des por semana el 90% del tiempo, y que puede caer debajo de 1000 o ir arriba arriba de 2000. Él quiere usar E(resultado) proceso de E(resultado) en el proceso decisiones. Identifique Identifique al menos toma de decisiones. menos dos piezas piezas de información información adicionales adicionales que deban obtenerse para finalizar obtenerse o suponerse suponerse para finalizar la información de salida salida para información para este caso. caso.

19.4 Un funcionario funcionario de la comisión comisión de lotería lotería estatal una muestra muestra de los compraestatal obtuvo obtuvo una compradores de billetes billetes de lotería lotería durante durante un peperiodo de 1 semana una localidad. riodo semana en una localidad. Las cantidades vuelta a los comcantidades distribuidas distribuidas de vuelta compradores y las probabilidades probabilidades asociadas para pradores asociadas para 5 000 boletas boletas son: Distribución, $ Distribución,

100 100

Probabilidad Probabilidad y Distribución Distribución

Probabilidad Probabilidad

0.007 0.007

Viviendas Viviendas

O o

~4 ~4

12 56 56 26 26 3 3

de préstamo, préstamo, ; Tasa de

Viviendas Viviendas

0.0-2 0.0-2 2.01-4 2.01-4 4.01-6 4.01-6 6.01-8 6.01-8 8.01-10 8.01 -1 0 10.01-12 10.01-12

22 22 10 12 42 42

1 2 3

8 6

Pará Coste Valor

encuesta en viviendas viviendas incluyó incluyó una pre19.3 Una encuesta gunta sobre el número número de automóviles automóviles en operación, posesión de operación, N, actualmente actualmente en posesión gente que vive en las residencias, residencias, y la tasa de interés, préstamo de tasa tasa más interés, i, sobre sobre el préstamo baja para autos. para 100 viautos. Los resultados resultados para viendas viendas se muestran muestran a continuación. continuación. Número Número de de autos, autos, N

19.6

Elabore la gráfica Elabore gráfica de la distribución distribución acumulativa de las ganancias. mulativa ganancias. b) Calcule valor esperado Calcule el valor esperado de la distridistribución dólares por billete. bución de los dólares billete. e) Si todos los billetes billetes cuestan cuestan $2, con base en esta muestra, ¿cuál es el ingreso esta muestra, ingreso de largo plazo plazo esperado para el estado esperado para estado por billete? billete?

a)

19.5

trabajando en dos proyectos proyectos indeBob está está trabajando independientes pendientes relacionados relacionados con probabilidad. probabilidad. comprende una El primero primero comprende una variable variable N, que fabricadas en forma forma es el número número de partes partes fabricadas consecutiva, cuyo cuyo peso sobrepasa el límite límite consecutiva, peso sobrepasa especificaciones de peso. La variable de especificaciones variable N describe por fórmula (0.5)N, (0.5)N, ya que se describe por la fórmula cada unidad 50-50 de cada unidad tiene tiene una una posibilidad posibilidad 50-50 estar por debajo o por encima del límite. límite. La estar por debajo por encima segunda comprende comprende la vida segunda vida de una una batería, batería, entre 2 y 5 meses. distribuL, que varía varía entre meses. La distribucon la ción de probabilidad probabilidad es triangular triangular con moda diseño. moda en 5 meses, meses, que es la vida del diseño. Algunas baterías fallan temprano, Algunas baterías fallan temprano, pero pero 2

de ~

Vida, COA

Pará

Cosu arri COA Tiem de:

19.í

737

PROBLEMAS

meses es la menor vida experimentada hasta ahora. a) Escriba y represente gráficamente las distribuciones de probabilidad y las distribuciones acumulativas para Bob. b) Determine la probabilidad de que N sea 1, 2 o 3 unidades consecutivas por encima del límite de peso. 19.6

compañías maduras (M) y jóvenes (Y). Los porcentajes de deuda varían entre 20 y 80% en su muestra. Carla definió DM como una variable para las compañías maduras de Oa 1, con DM = O interpretado como el nivel bajo de 20% de deuda, y DM = 1.0 como el nivel alto de 80% de deuda. La variable para los porcentajes de deuda de una corporación joven, Dr, se define en forma similar. Las distribuciones de probabilidad utilizadas para describir DM y D, son:

Se formuló una alternativa de comprar y una alternativa de arrendar equipo de levantamiento hidráulico. Utilice las siguientes estimaciones de parámetros y la información de distribución supuesta para elaborar gráficas de las distribuciones de probabilidad de los parámetros correspondientes. Rotule cuidadosamente los parámetros.

f(DM)

Valor estimado

Distribución

Alto

supuesta

Bajo

Costo inicial, $

25000

20000

Valor $ de salvamento, Vida, años

3000

2000

COA, $/año

9000

8

4 5000

Uniforme; continua Triangular; moda en $2 500 Triangular; moda en 6 Uniforme; continua

o
f(Dy) = 2DY

a)

Alternativa de compra Parámetro

O<ó,DM<ó, 1

= 3(1 - DM)2

19.8

1

Utilice diferentes valores de porcentaje de deuda entre 20% y 80% para calcular valores para las distribuciones de probabilidad y luego represéntelos gráficamente. b) ¿Qué puede comentar usted sobre la probabilidad de que alguna de las compañías madura o joven tenga un porcentaje de deuda bajo?, ¿y un alto porcentaje de deuda?

Una variable discreta X puede tomar valores enteros de 1 hasta 10. Una muestra de tamaño 50 arroja las siguientes estimaciones de probabilidad: 2

3

6

9

10

0.2

0.2

0.1

0.2

0.1

Alternativa de arriendo Valor estimado Parámetro

Alto

Bajo

0.2 Distribución supuesta

Escriba y represente gráficamente la distribución acumulativa. b) Calcule las siguientes probabilidades utilizando la distribución acumulativa: X está entre 6 y 10, YX tiene los valores 4,5 o 6. e) Utilice la distribución acumulativa para demostrar que P (X = 7 u 8) = 0.0. Aunque esta probabilidad es cero, se afirma que X puede adoptar valores enteros de 1a 10.¿Cómo explica usted la contradicción en esas dos afirmaciones?

a) Costo inicial arriendo, $ COA, $/año Tiempo de arriendo, años

19.7

2000 9000

1800 5000

2

2

Uniforme; continua Triangular, moda en $7 000 Certidumbre

Carla, profesional en estadística, trabaja en un banco. Ella recopiló información sobre la combinación deuda-capital propio en

738 738

CAPÍTULO CAPÍTULO 19 19 Más Más sobre sobre variaciones variaciones yy toma toma de de decisiones decisiones bajo bajo riesgo riesgo

Muestras aleatorias aleatorias Muestras 19.9 Utilice Utilice la la distribución distribución de de probabilidad probabilidad vava19.9 riable discreta discreta del del problema problema 19.8 19.8para para desadesariable rrollar una una muestra muestra de de tamaño tamaño 25. 25. Estime Estime rrollar las probabilidades probabilidades para para cada cada valor valor de de X X de de las su muestra muestra yy compárelas compárelas con con aquellas aquellas de de los los su valores P(XJ P(X;) originales. originales. valores 19.10 El El porcentaje porcentaje de de incremento incremento en en el el precio precio p 19.10 de una diversidad de productos alimenticios de una diversidad de productos alimenticios durante un un periodo periodo de de 11 año año varió varió del del 55 al al durante 10% en todos los casos. A causa de la dis10% en todos los casos. A causa de la tribución de de valores valores p, p, la la distribución distribución de de protribución babilidad supuesta para el año próximo es: babilidad supuesta próximo es:

su su sistema sistema de de hoja hoja de de cálculo) cálculo) para para generar generar 100 100 valores valores de de una una distribución distribución U(O,l) U(O,l).. a) a) Calcule Calcule el el promedio promedio yy compárelo compárelo con con 0.5, 0.5, el el valor valor esperado esperado para para una una muestra muestra aleatoria aleatoria entre entre O O yy 1.1. b) b) Para Para la la muestra muestra de de la la función función RAND, RAND, agrupe agrupe los los resultados resultados en en celdas celdas de de 0.1 0.1 de de ancho, ancho, es es decir, decir, 0.0-0.1,0.1-0.2, 0.0-0.1, 0.1-0.2, etcéetcétera, tera, donde donde se se excluya excluya el el valor valor del del límite límite superior superior de de cada cada celda. celda. Determine Determine la la probabilidad probabilidad para para cada cada agrupación agrupación aa partir de de los los resultados. resultados. ¿Se acerca su su muestra muestra a tener aproximadamente aproximadamente 10% 10% en cada celda?

19.14

19.15

Estimaciones Estimaciones muestrales muestrales f(X) = = 2X 2X f(X)

O:5:X:5: O~X~

11

donde

X={~ x={~

cuando p=5% cuando p = 5% cuando p cuando

= 10% 10% =

Para Para una variable variable continua, continua, la distribución distribución acumulativa f(X) en el acumulativa F(X) F(X) es la integral integral de dej{X) mismo mismo rango rango de la variable. variable. En este este caso, caso, F(X)

=x2

0:5:X:5:1 O~X~l

a) a) Gráficamente Gráficamente asigne asigne los NA NA a la la disdis-

tribución tribución acumulativa acumulativa y tome tome una una muesmuestra tra de tamaño tamaño 30 30 para para la la variable. variable. TransTransforme forme los los valores valores de X X en en tasas tasas de de ininterés. terés. b) b) Calcule Calcule el el valor valorpp promedio promedio de de la la muesmuestra. tra. 19.11 19.11 Desarrolle Desarrolle una una distribución distribución de de probabiliprobabili-

dad dad discreta discreta propia propia para para la la variable variable G, G, la la calificación calificación esperada esperada en en este este curso, curso, donde donde G G == A, A, B, B, C, C, D, D, FF oo 11(incompleto). (incompleto). Asigne Asigne números s aaF( F(G) G) yYtome tomeuna unamuesmuesnúmeros aleatorio aleatorios tra tra de de ella. ella. Ahora Ahora represente represente gráficamente gráficamente los los valores valores de de probabilidad probabilidad de de la la muestra muestra para para cada cada valor valor G. G. 19.12 19.12 Utilice Utilice lala función función ALEATORIO ALEATORIO oo ALEAALEA-

TORIO TORIO ENTRE ENTRE en en Excel Excel (o (o elel generador generador de de números números aleatorios aleatorios correspondiente correspondiente en en

19.13 19.13 Carol realizó realizó una muestra muestra de los costos costos de mantenimiento mensuales para máquinas mantenimiento mensuales máquinas de soldar automatizadas, un total de 100 veces soldar automatizadas, durante 1 año. Ella agrupó los costos durante Ella agrupó costos en celdas de $200, por ejemplo, $500 $700, celdas por ejemplo, $500 a $700, $600, $800, con celdas intermedias de con celdas intermedias $600, $800, $1 000, 000, etcétera, etcétera, e indicó indicó el número número de veces (frecuencia) que que se observó observó cada cada valor valor de (frecuencia) celda. La información de costos y frecuencia celda. La información costos frecuencia es la siguiente: siguiente: Celda Celda intermedia intermedia

Frecuencia Frecuencia

600 600 800 800 1000 1000 1200 1200 1400 1400 1600 1600 1800 1800 2000 2000

66 10 10 99 15 15 28 28 15 15 77 10 10

19.16

a) Estime Estimeelelvalor valoresperado esperadoyylaladesviación desviación a)

estándarde delos loscostos costosde demantenimiento mantenimiento estándar quelalacompañía compañíadebe debeanticipar anticiparcon conbase base que en lalamuestra muestrade de Carol. Carol. en b) ¿Cuál ¿Cuál es es lala mejor mejor estimación estimación del del porporb) centajede decostos costosque quecaerá caerádentro dentrode de22 centaje desviacionesestándar estándarde delalamedia? media? desviaciones

19.17 19.18

739

PROBLEMAS

e) Desarrolle una distribución de probabilidad de los costos de mantenimiento mensuales de la muestra de Carol e indique las respuestas a las dos preguntas anteriores sobre ésta. 19.14 a) Determine los valores del promedio muestral y la desviación estándar de la in-

formación planteada en el problema 19.8. b) Calcule los valores a 1 y 2 desviaciones estándar de la media. De los 50 puntos de muestra, ¿cuántos caen dentro de estos dos rangos? 19.15 a) Utilice las relaciones planteadas en la sec-

ción 19.4 para variables continuas con la finalidad de determinar el valor esperado y la desviación estándar para la distribución def(Dy) en el problema 19.7. b) ¿Es posible calcular la probabilidad de una variable continua X entre dos puntos (a, b) utilizando la siguiente integral? P(a::; X::; b) = ff(X)

30 semanas se resume mediante la siguiente distribución de probabilidad. Represente gráficamente la distribución y los estimados para el valor esperado y una desviación estándar en cualquier lado de E(Y) sobre la gráfica. y copias

12

P(Y)

1/2

Simulación 19.19 Carl, un colega de ingeniería, estimó flujos de efectivo netos después de impuestos (FEDI) para el plan en el cual está trabajando. El FEDI adicional de $2 800 en el año 10 es el valor de salvamento de los activos de capital.

dx

Año

FEOI, $

O

-28800 5400 2040 2800

1-6

Determine la probabilidad de que D; esté entre 2 desviaciones estándar del valor esperado. 19.16 a)

Use las relaciones de la sección 19.4 para variables continuas y determine E(X) y Var (X) para la distribución de DM en el problema 19.7.

7-10 10

El valor VP a la TMAR vigente del 7% anual es: VP

= 228 800 + 5 400(P/A,7%,6) + 2 040(P/A,7%,4)(PlF,7%,6)

b)

Determine la probabilidad de que DM esté dentro de dos desviaciones estándar del valor esperado. Use la relación en el problema 19.15.

19.17 Calcule el valor esperado para la variable N en el problema 19.5. 19.18 El gerente de una tienda de revistas está haciendo seguimiento a Y, el número de revistas semanales que quedan en las estanterías cuando sale una nueva edición. La información reunida durante un periodo de

+ 2 800(P/F,7%,1O)

= $2966 Carl espera que la TMAR varíe, sobre un rango relativamente estrecho, lo mismo que el FEDI, especialmente durante los años 7 a 10. Él está dispuesto a aceptar las otras estimaciones como seguras. Utilice los siguientes supuestos de distribución de probabilidad para la TMAR y el FEDI, y realice una simulación, con base manual o en computadora.

740

CAPÍTULO CAPÍTULO 19

Más variaciones y toma toma de decisiones bajo riesgo riesgo Más sobre sobre variaciones decisiones bajo

TMAR. uniforme en el ranranTMAR. Distribución Distribución uniforme go de 6 a 10%. FEDI, uniforFEDI, años 7 a 10. Distribución Distribución uniforme en el rango rango de $1 600 a $2 400 para para cada año. cada Represente mediante gráfica la distribución distribución Represente mediante gráfica VP resultante. ¿Debe aceptarse aceptarse el plan utiresultante. ¿Debe

lizando toma toma de decisiones bajo certilizando decisiones bajo certidumbre? riesgo? dumbre? ¿Bajo ¿Bajo riesgo? 19.20 problema 19.19 pero pero utilice utilice la 19.20 Repita Repita el problema distribución normal para para el FEDI FEDI entre distribución normal entre los esperado de $2 040 años 7 a 10 con un valor valor esperado Yuna desviación estándar estándar de $500. Y una desviación

EJERCICIO AMPLIADO EJERCICIO AMPLIADO USO DE SIMULACIÓN SIMULACIÓN Y EL GNA GNA DE DE EXCEL EXCEL USO DE Y EL PARA ANÁLISIS ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD PARA DE SENSIBILIDAD Nota: Este ejercicio ejercicio requiere aprenda y use el Generador Generador de Números requiere que usted usted aprenda Números Aleatorios (GNA) del paquete Herramientas de Análisis Datos de Microsoft Microsoft Aleatorios (GNA) paquete de Herramientas Análisis de Datos función de ayuda ayuda en línea línea explica explica cómo cómo iniciar iniciar y usar generar Excel. La función usar el GNA para para generar números aleatorios aleatorio s a partir variedad de distribuciones distribuciones de probabilidad: números partir de una variedad probabilidad: normal, uniforme (variable (variable continua), continua), binomial, Poisson y discreta. discreta. La opción opción discreta discreta se uniforme binomial, Poisson usa para generar números aleatorios a partir distribución de variables discretas para generar números aleatorios partir de una distribución variables discretas especifique sobre sobre la hoja opción es la que se emplea emplea más que usted usted especifique hoja de trabajo. trabajo. Esta Esta opción adelante para distribución uniforme discreta. adelante para la distribución uniforme discreta. Vuelva situación del ejemplo ejemplo 18.3, donde donde se comparan comparan tres alternativas alternativas Vuelva a leer la situación mutuamente excluyentes. Los parámetros salvamento S, costo costo anual de mutuamente excluyentes. parámetros de valor valor de salvamento operación (COA) (COA) y vida n se hacen enfoque de tres estimaciones estimaciones operación hacen variar variar usando usando el enfoque análisis de sensibilidad. sensibilidad. Establezca Establezca una simulación simulación al responder siguientes del análisis responder las siguientes preguntas, preguntas, usando usando los datos proporcionados. proporcionados. Preguntas Preguntas Familiarícese con la Herramienta Herramienta de Análisis Datos GNA de Excel Excel accioaccio1. Familiarícese Análisis de Datos nando ayuda y leyendo leyendo acerca acerca de la misma, cómo instalarla instalarla (si es nando el botón botón de ayuda misma, cómo necesario) aplicarla. necesario) y aplicarla. Desarrolle una muestra aleatorios a partir cada una de las 2. Desarrolle muestra de 10 números números aleatorios partir de cada siguientes distribuciones: distribuciones: siguientes Normal con una media desviación estándar estándar de 20. • Normal media de 100 y una desviación (continua) entre entre 5 y 10. • Uniforme Uniforme (continua) (discreta) entre entre 5 y 10, con una probabilidad para 5 hasta • Uniforme Uniforme (discreta) probabilidad de 0.2 para hasta 7, 0.05 para para 8 y 9, y 0.3 para para 10. simulación de 50 puntos TMAR 3. Desarrolle Desarrolle una simulación puntos muestrales muestrales de valores valores VA a una TMAR alternativas descritas descritas en el ejemplo ejemplo 18.3. Use las de 12% anual, para para las tres alternativas distribuciones de probabilidad especificadas a continuación. continuación. ¿Los resultados distribuciones probabilidad especificadas resultados simulación indican indican que la alternativa alternativa B sigue sigue siendo elección clara? clara? Si de su simulación siendo la elección no es así, ¿cuál ¿cuál es la mejor elección? mejor elección?

EJERCICIO

AMPLIADO

Alternativa Parámetro AOC

S n

A Normal Media $8 000 Desv. esto $1 000 Uniforme Oa$1000 Uniforme discreta 3 a 8 años con igual probabilidad

B Normal Media $3 000 Desv. esto $500 Uniforme $500 a $2 000 Uniforme discreta 3 a 7 años con igual probabilidad

e Normal Media $6 000 Desv. esto $700 Se fija en $3000 Uniforme discreta 5 a 8 años con igual probabilidad

741

'T--------------------------------------------------------------------------------------------~----------

APENDICE A

~, 8.

9.

USO DE HOJA HOJA DE CÁLCULO CÁLCULO USO DEL PROGRAMA PROGRAMA EXCEL EXCEL® Y DEL ® MICROSOFT DE MICROSOFT Este apéndice apéndice explica explica la distribución distribución de una hoja de cálculo cálculo y las funciones Este funciones de Excel de Microsoft Microsoft (en adelante adelante llamado llamado Excel) Excel) que son útiles en la ingeniería ingeniería ecoExcel económica. Remítase Remítase a la Guía del usuario usuario y al sistema sistema de ayuda ayuda de Excel Excel para nómica. para su computadora y versión versión de Excel Excel particulares. particulares. computadora

10. 11.

12.

nanc izqu vez l

Uso

1. A.1

INTRODUCCiÓN AL USO DE EXCEL INTRODUCCiÓN

Correr Excel en Windows Windows Correr Después de encender encender la computadora, haga click click sobre el Ícono de Microsoft Microsoft Excel Después computadora, haga Excel para iniciarlo. iniciarlo. Si el Ícono no se muestra, muestra, oprima oprima con el botón botón izquierdo izquierdo del ratón para ratón botón inicio inicio ubicado ubicado en la esquina esquina inferior inferior izquierda izquierda de la pantalla. pantalla. Mueva sobre el botón Mueva puntero del ratón a Programas Programas y se desplegará desplegará un submenú. submenú. Elija Elija el Ícono el puntero Ícono de Microsoft Excel Excel para para correrlo. correrlo. Microsoft ícono Excel Excel de Microsoft Microsoft no está en el submenú submenú de Programas, Programas, vaya Si el ícono vaya al ícono Office Office de Microsoft Microsoft y resalte resalte el Ícono Excel Excel de Microsoft. Microsoft. Oprima Oprima el botón Ícono botón del lado izquierdo izquierdo del ratón ratón para para correr correr Excel.

2. 3.

Otrc proc 1. 2. 3. 4.

5. Ingreso de una fórmula fórmula Ingreso continuación se detallan detallan algunos algunos cálculos cálculos a manera manera de ejemplo. ejemplo. El signo A continuación signo = es necesario para para ejecutar ejecutar cualquier cualquier cálculo cálculo de una fórmula fórmula o función función en una necesario una celda. Haga clic con el botón botón izquierdo izquierdo del ratón en la celda celda B4. 1. Haga B4. Escriba = 4+3, oprima oprima la tecla tecla -cEnter» y en B4 aparecerá aparecerá el resultado. resultado. 2. Escriba Para corregir, corregir, use el ratón ratón o las navegación> para para regresar regresar a B4, 3. Para oprima la tecla tecla o haga haga clic con el ratón ratón para para pasar pasar a la Barra Barra de Fórmulas oprima Fórmulas parte superior superior de la hoja hoja de cálculo. cálculo. en la parte Una vez colocado, colocado, oprima oprima la tecla tecla para para eliminar eliminar +3. 4. Una Escriba -3 -3 y oprima oprima . , 5. Escriba respuesta 1 aparece aparece en la celda celda B4. 6. La respuesta borrar la celda celda completamente, completamente, pase a la celda celda B4 y digite la tecla 7. Para borrar tecla vez. una vez.

6.

7. 8.

Para en a 1. 2.

Si el biar

SECCIÓN A.l SECCIÓN

8. 9. 10. 11. 11. 12.

Introducción al uso de Excel Introducción

Para salir, mueva esquina superior superior izquierda izquierda y Para mueva el puntero puntero del ratón ratón hacia hacia la esquina oprima el botón a la izquierda sobre Archivo en el menú de la barra oprima botón izquierda sobre Archivo menú barra superior. Mueva el ratón hacia abajo por el submenú de Archivo, resalte Mueva hacia por submenú Archivo, resalte Salir Salir y oprima oprima el botón botón del lado izquierdo. izquierdo. Cuando botón del lado izCuando aparezca aparezca el cuadro cuadro "Guardar "Guardar cambios", cambios", oprima oprima el botón quierdo en "No" para salir sin guardar. quierdo "No" para salir Si usted usted desea botón del lado izquierdo desea guardar guardar su trabajo, trabajo, oprima oprima el botón izquierdo en "Sí". "Sí". Digite el nombre de un archivo (por ej., calcs 1) y oprima el botón en "GuarDigite nombre archivo cales oprima botón "Guardar".

Las fórmulas hoja de trabajo pueden desplegar presiofórmulas y funciones funciones sobre la hoja trabajo se pueden desplegar presionando Control y '. El símbolo ' usualmente se encuentra en la esquina superior nando Control '. símbolo usualmente encuentra esquina superior izquierda izquierda del teclado, teclado, con el símbolo símbolo - (tilde). Presionar Presionar Control+ Control+ ' una segunda segunda vez ocultará ocultará las fórmulas fórmulas y funciones. funciones. funciones de Excel Uso de las funciones 1. Corra Corra Excel. 1. Excel. 2. Desplácese puntero del ratón Desplácese a la celda celda C3. (Mueva (Mueva el puntero ratón hacia hacia C3 y oprima oprima el botón del lado izquierdo). botón izquierdo). 3. Digite presione . preDigite =VA(5%,12,1O) y presione . Esta Esta función función calculará calculará el valor valor presente de 12 pagos pagos de $10 a una tasa de interés interés de 5% anual.

Otro uso: Para pagos de $10 a un interés Para calcular calcular el valor valor futuro de 12 pagos interés de 5% anual, proceda de la manera proceda manera siguiente: siguiente: Desplácese a la celda celda B3 y digite digite INTERÉS. INTERÉS. Desplácese Desplácese Desplácese a la celda celda C3 y digite digite 6% o =61100. =61100. Desplácese Desplácese a la celda celda B4 y digite digite PAGO. Desplácese representar el monto pago). Desplácese a la celda celda C4 y digite digite 10 (para (para representar monto de cada cada pago). s. Desplácese Desplácese a la celda NÚMERO DE PAGOS. celda B5 yy digite digite NÚMERO 6. Desplácese representar el número pagos). Desplácese a la celda celda C5 y digite digite 12 (para representar número de pagos). 7. Desplácese Desplácese a la celda celda B7 y digite digite VALOR FUTURO. FUTURO. 8. Desplácese presione . Desplácese a la celda celda C7 y digite digite =VF(C3,C5,C4) =VF(C3,C5,C4) y presione , La respuesta aparecerá puesta aparecerá en la celda celda C7. 1. 1. 2. 3. 4.

Para característica se utilizará utilizará repetidamente repetidamente Para editar editar los valores valores de cada cada celda celda (dicha (dicha característica en análisis análisis de sensibilidad sensibilidad y análisis análisis de equilibrio): equilibrio): 1. Desplácese Desplácese a la celda celda C3 y digite digite =51100 (se remplazará valor anterior). anterior). 1. remplazará el valor 2. El valor valor en la celda celda C7 cambiará cambiará su respuesta respuesta de manera manera automática. automática.

Referencias funciones Referencias de celdas celdas en fórmulas fórmulas y funciones Si en lugar número específico referencia de celda, posible camlugar de un número específico se usa una referencia celda, es posible cambiar el número análisis de sensibilidad sensibilidad sobre sobre cualquier cualquier variable variable número una vez y realizar realizar análisis

743

744

APÉNDICE A

Uso de hoja de cálculo y del programa Excel" de Microsoft

(entrada), a la que haga referencia mediante el número de celda, como CS. Tal enfoque define la celda referida como una variable global para la hoja de trabajo. Existen dos tipos de referencias de celdas: relativa y absoluta. Referencias relativas Si se ingresa una referencia de celda, por ejemplo, Al, en una fórmula o función que se copia o arrastra a otra celda, la referencia se cambia en relación con el movimiento de la celda original. Si la fórmula en CS es =A l, Yse copia en la celda C6, la fórmula cambia a =A2. Esta característica se usa cuando se arrastra una función a través de varias celdas, y la entrada fuente debe cambiar con la columna o fila. Referencias absolutas Si no se desea el ajuste de las referencias de celdas, coloque un signo $ enfrente de la parte de la referencia de celda que no debe ajustarse: la columna, la fila o ambas. Por ejemplo, =$A$l retendrá la fórmula cuando se mueva a cualquier parte de la hoja de trabajo. De manera similar, =$Al retendrá la columna A, pero la referencia relativa sobre 1 ajustará el número de fila sobre el movimiento en torno a la hoja de trabajo. Las referencias absolutas se usan en la ingeniería económica para análisis de sensibilidad de parámetros como TMAR, costo inicial y flujos de efectivo anuales. En tales casos, un cambio en la referencia absoluta de la entrada de celda puede ayudar a determinar la sensibilidad de un resultado, como VP o VA.

Impresión de la hoja de cálculo Defina primero la parte (o la totalidad) de la hoja de cálculo que se va a imprimir.

..

1. Desplace el puntero del ratón hacia la esquina superior izquierda de su hoja de cálculo. 2. Mantenga oprimido el botón izquierdo. (No suelte el botón izquierdo.) 3. Arrastre el ratón hacia la esquina inferior derecha de su hoja de cálculo o hacia donde usted desee detener la impresión. 4. Suelte el botón izquierdo. (Está listo para imprimir.) 5. Oprima el botón izquierdo del ratón en Archivo del menú de la barra superior. 6. Desplace el ratón hacia abajo para seleccionar Imprimir y oprima el botón izquierdo. 7. En la caja de diálogo Imprimir, oprima el botón del lado izquierdo en la opción Selección del cuadro Imprimir (o un comando similar). 8. Oprima el botón izquierdo en Aceptar para iniciar la impresión.

1. Op 2. Pru do

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Crear 1. e 2. D el

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11. P. Dependiendo del entorno de la computadora, es posible que se tenga que seleccionar una impresora de red y esperar turno para obtener la hoja impresa mediante un servidor.

ta

12. O

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13. P Cómo guardar

la hoja de cálculo

Usted puede guardar su hoja de cálculo en cualquier momento durante o después de terminar su trabajo. Se recomienda que guarde regularmente su trabajo.

el

di di s(

SECCIÓN SECCIÓN A.l A.l

1. 2. 3.

Introducción Introducción al uso de Excel Excel

Oprima el botón izquierdo en Archivo Archivo del menú menú de la barra barra superior. superior. Oprima botón del lado izquierdo Para primera vez, oprima botón del lado Para guardar guardar la hoja hoja de cálculo cálculo la primera oprima el botón lado izquierizquierdo en la opción opción Guardar Guardar como. Digite botón del lado Digite el nombre nombre del archivo, archivo, por ejemplo, ejemplo, calcs2 calcs2 y oprima oprima el botón izquierdo en Guardar. Guardar. izquierdo

Para primera vez, es Para guardar guardar la hoja hoja de cálculo cálculo después después de que se ha guardado guardado la primera decir, cuando nombre al archivo, botón del lado izcuando ya se le asignó asignó un nombre archivo, oprima oprima el botón quierdo barra superior, mueva el puntero puntero del ratón ratón hacia hacia quierdo en Archivo Archivo del menú menú de la barra superior, mueva abajo y oprima botón del lado izquierdo oprima el botón izquierdo en Guardar.

Crear una una gráfica gráfica de de barras barras Crear 1. Corra Corra Excel. 1. Desplácese a la celda celda Al Al y digite digite 1. 1. Baje Baje hacia hacia la celdaA2 celdaA2 y digite digite 2. Teclee 3 2. Desplácese en la celda celda A3, 4 en la celda celda A4 y 5 en la celda celda A5. 3. Desplácese Desplácese a la celda celda B 1 y digite 4. Digite Digite 3.5 en la celda celda B2, 5 en la celda celda B3, 7 en la celda celda B4, y 12 en la celda celda B5. 4. Mueva puntero del ratón ratón hacia botón del lado izMueva el puntero hacia la celda celda Al, Al, oprima oprima el botón quierdo arrastra el puntero puntero del ratón hacia la celda quierdo y sosténgalo, sosténgalo, a la vez que arrastra ratón hacia celda B5. (Deben (Deben resaltarse resaltarse todas las celdas celdas con números.) números.) S. Oprima botón izquierdo para Gráficos Oprima el botón izquierdo sobre sobre el botón botón de Asistente Asistente para Gráficos en la barra de herramientas. herramientas. barra 6. Seleccione Seleccione la opción opción Columna Columna en el paso 1 de 4 y elija elija el primer primer subtipo subtipo de gráfica gráfica de columnas. columnas. Oprima el botón botón izquierdo izquierdo y sostenga sostenga el botón botón Presionar Presionar para para ver muestra muestra 7. Oprima para determinar determinar que usted usted ha seleccionado seleccionado el tipo y estilo estilo de gráfico gráfico deseado. deseado. Oprima Oprima Siguiente. Siguiente. Puesto que los datos fueron fueron resaltados resaltados previamente, omitir el paso 2. 8. Puesto previamente, puede puede omitir Oprima botón izquierdo Oprima con el botón izquierdo sobre sobre Siguiente. Siguiente. 9. Para Para el paso 3 de 4, oprima oprima la etiqueta etiqueta Títulos Títulos y la caja caja Título Título del gráfico. gráfico. Digite Digite Muestra Muestra 1. 1. 10. Oprima botón izquierdo Oprima con el botón izquierdo sobre sobre la caja caja Eje categorías categorías (X) y digite digite Año, luego botón izquierdo luego oprima oprima el botón izquierdo sobre la caja caja Eje valores valores (Y) y digite digite Tasa de rendimiento. rendimiento. Existen Existen otras opciones opciones (Líneas (Líneas de división, división, Leyenda, Leyenda, etcétera) etcétera) etiquetas adicionales. adicionales. Cuando Cuando termine, termine, oprima botón izquierdo izquierdo sobre sobre en etiquetas oprima el botón Siguiente. Siguiente. 11. Para Para el paso 4 de 4, oprima oprima el botón botón izquierdo izquierdo sobre sobre Como Como objeto objeto en; se resalresalhoja 1. ta la hoja Oprima el botón botón izquierdo izquierdo sobre sobre Finalizar Finalizar y el gráfico gráfico aparece aparece sobre sobre la hoja hoja 12. Oprima cálculo. de cálculo. Para ajustar ajustar el tamaño tamaño de la ventana ventana del gráfico, gráfico, oprima oprima el botón izquierdo en 13. Para botón izquierdo cualquier parte dentro del gráfico gráfico para desplegar pequeños puntos en los lacualquier parte dentro para desplegar pequeños puntos esquinas. Las palabras Área del gráfico gráfico aparecerán aparecerán inmediatamente inmediatamente dos y las esquinas. palabras Área debajo de la flecha. flecha. Mueva Mueva el ratón ratón a un punto, oprima el botón izquierdo y debajo punto, oprima botón izquierdo sostenga, punto para sostenga, luego luego arrastre arrastre el punto para cambiar cambiar el tamaño tamaño del gráfico. gráfico.

745

746

APÉNDICE APÉNDICE A

Uso Uso de hoja hoja de cálculo cálculo y del programa programa Excel" Excel®de Microsoft Microsoft

Para botón izquierdo sostenga dentro dentro del marco Para mover mover el gráfico, gráfico, oprima oprima el botón izquierdo y sostenga marco del gráfico, sobre el gráfico gráfico, pero pero no sobre gráfico mismo. mismo. Un pequeño pequeño indicador indicador con flecruzadas aparecerá aparecerá tan pronto ocurra cualquier cualquier movimiento chas cruzadas pronto como como ocurra movimiento del ratón. ratón. Al cambiar cambiar la posición posición del ratón ratón todo el gráfico gráfico se mueve mueve a cualquier cualquier ubicación ubicación sobre la hoja hoja de trabajo. trabajo. 15. Para Para ajustar ajustar el tamaño tamaño del área gráfica gráfica (el gráfico gráfico en sí) dentro dentro del marco marco del gráfico, gráfico, oprima oprima el botón botón izquierdo izquierdo dentro dentro del gráfico. gráfico. Aparecerán Aparecerán las palabras palabras Área del gráfico. gráfico. Oprima Oprima el botón botón izquierdo izquierdo y sostenga punto de Área sostenga cualquier cualquier punto esquina lateral, y mueva mueva el ratón ratón para para cambiar cambiar el tamaño tamaño del gráfico gráfico hasta hasta el esquina o lateral, tamaño del marco marco del gráfico. gráfico. tamaño

14.

Para cambiar cualidades cualidades específicas específicas del gráfico están disponibles disponibles otras caractecaractePara cambiar gráfico están rísticas. Oprima el botón rísticas. Oprima botón izquierdo izquierdo dentro dentro del marco marco del gráfico gráfico y oprima oprima el botón botón Gráfico sobre barra de herramientas herramientas en la parte parte superior pantalla. Las opcioGráfico sobre la barra superior de la pantalla. opcioalterar Tipo de Gráfico, Gráfico, Datos Datos de origen origen y Opciones Opciones de Gráfico. Gráfico. Para Para obteobtenes son alterar ner ayuda función ayuda ayuda o experiexperiayuda detallada detallada acerca acerca de estas características, características, vea la función mente con el ejemplo columnas. mente ejemplo Gráfico Gráfico de columnas.

Crear una una gráfica gráfica de de dispersión dispersión xy Crear xy Este Este gráfico gráfico es uno de los usados usados con mayor mayor frecuencia frecuencia en los análisis análisis científicos, científicos, incluyendo económica. En él se representan incluyendo la ingeniería ingeniería económica. representan gráficamente gráficamente pares pares de datos y se pueden series de entradas sobre el eje Y. Y. La gráfica pueden colocar colocar múltiples múltiples series entradas sobre gráfica de dispersión dispersión .xy .xy es especialmente especialmente útil para para resultados resultados como como la gráfica gráfica de VP VS. vs . i, donde donde i es el eje X y el eje Y muestra muestra los resultados resultados de la función función VNA VNA para para varias varias alternativas. alternativas. 1. Corra 1. Corra Excel. Excel. Ingrese siguientes números Ingrese los siguientes números en las columnas columnas A, B YY C, respectivamente. respectivamente.

2. 2.

Columna Columna A, celdas celdas Al Al a A6: Tasa i%, 4,6, 4,6, 8, 9, 10 Columna B, celdas Columna celdas Bl B 1 a B6: $ para para A, 40, 55, 60, 45,10 45, 10 Columna C, celdas Cl a C6: $ para Columna celdas Cl para B, 100, 70, 65, 50, 30 Mueva sostenga mientras Mueva el ratón ratón a Al, Al, oprima oprima el botón botón izquierdo izquierdo y sostenga mientras arrastra arrastra hacia celda C6. Se resaltarán hacia la celda resaltarán todas todas las celdas, celdas, incluso incluso la celda celda de título título para para cada cada columna. columna. 4. Si todas las columnas entre sí, primero oprima y columnas del gráfico gráfico no son adyacentes adyacentes entre primero oprima sostenga la tecla Control sobre sobre el teclado durante la totalidad sostenga tecla Control teclado durante totalidad del paso paso 3. DesDespués arrastrar sobre sobre una columna columna de datos, suelte suelte momentáneamente momentáneamente el bopués de arrastrar tón izquierdo, superior de la siguiente siguiente columna columna (no izquierdo, luego luego muévase muévase a la parte parte superior adyacente) del gráfico. suelte la tecla Control hasta adyacente) gráfico. No suelte tecla Control hasta que se hayan hayan resaltado resaltado graficar. todas las columnas columnas que se van a graficar. 5. Oprima sobre el botón para gráficos sobre la barra Oprima el botón botón izquierdo izquierdo sobre botón Asistente Asistente para gráficos sobre barra de herramientas. herramientas. 6. Seleccione Seleccione la opción (dispersión) en el paso subtipo de opción .xy .xy (dispersión) paso 1 de 4, y elija elija un subtipo gráfico gráfico de dispersión. dispersión. 3.

El re ción deU lurnr estár corm

Obt 1. 2. 3.

4. 5. 6.

A.2 Una pregi cuen Ene

1. 2.

3.

1

pued prese de c( ident guía: se pr comj

más

SECCIÓN A.2 SECCIÓN A.2

747

Organización hoja de cálculo Organización (distribución) (distribución) de la hoja cálculo

El resto mismos que se detallaron resto de los pasos pasos (7 en adelante) adelante) son los mismos detallaron con antelaantelación para Leyenda en el paso paso 3 de 4 del proceso proceso para el gráfico gráfico de columnas. columnas. La etiqueta etiqueta Leyenda del Asistente partir de las coAsistente para gráficos gráficos desplegará desplegará las etiquetas etiquetas de las series series a partir lumnas inferior del título título puede puede resaltarse.) resaltarse.) Si los títulos títulos no lumnas resaltadas. resaltadas. (Sólo la fila inferior están identifican genéricamente genéricamente en la leyenda están resaltados, resaltados, los conjuntos conjuntos de datos datos se identifican leyenda como como Serie 1, 1, Serie 2, etcétera. etcétera.

Obtención Obtención de ayuda ayuda mientras mientras usa Excel 1. 1. Para obtener obtener información información adicional adicional general, general, oprima oprima el botón botón del lado izquierdo izquierdo sobre Ayuda (?) de la barra superior de menú. sobre barra superior 2. Oprima Excel de Microsoft. Microsoft. Oprima el botón botón del lado izquierdo izquierdo en Temas de ayuda ayuda de Excel 3. Por ejemplo, si usted desea saber más sobre la forma de guardar un archivo, ejemplo, usted desea saber sobre forma guardar archivo, digite la palabra guardar en la caja 1. digite palabra guardar 1. 4. En la caja 2 seleccione palabras de asociación Usted puede puede miseleccione las palabras asociación adecuadas. adecuadas. Usted rar palabras selectas en la caja 2 oprimiendo el botón del lado izquierdo palabras selectas oprimiendo botón izquierdo en palabras sugeridas. palabras sugeridas. 5. numerados en la caja s. Observe Observe los temas temas numerados caja 3. 6. Si usted encuentra un tema numerado usted encuentra tema numerado en la caja caja 3 que coincida coincida con lo que está buscando, oprima dos veces el botón del lado izquierdo tema seleccionabuscando, oprima botón izquierdo en el tema seleccionado en la caja 3.

A.2 A.2

ORGANIZACiÓN (DISTRIBUCiÓN) (DISTRIBUCiÓN) DE LA HOJA HOJA DE CÁLCULO CÁLCULO ORGANIZACiÓN

Una hoja de cálculo puede usar de diversas maneras para para obtener respuestas a cálculo se puede diversas maneras obtener respuestas preguntas primera es como una rápida rápida herramienta herramienta de solución, preguntas numéricas. numéricas. La primera como una solución, frecuentemente números o una una función predefinida. cuentemente con la entrada entrada de sólo unos cuantos cuantos números función predefinida. En el texto, dicha identifica mediante ícono Sol-R margen. dicha aplicación aplicación se identifica mediante el ícono Sol-R en el margen. Corra Excel. 1. Corra 2. Mueva Al y digite =SUMA(45,15,-20). La respuesta respuesta de 40 Mueva el ratón a la celda celda Al digite =SUMA(45,15,-20). aparecerá en la celda. celda. aparecerá 3. Mueva Mueva el ratón ratón a la celda =VF(8%,5,-2500). El número celda B4 y digite digite =VF(8%,5,-2500). número $14 666.50 666.50 se desplegará valor futuro desplegará como como el valor futuro al 8% anual anual al final del quinto quinto año de cinco cinco pagos pagos de $2 500 cada cada uno.

La segunda hoja de cálculo resultados segunda aplicación aplicación es más formal. formal. La hoja cálculo con los resultados puede hoja puede puede puede servir servir como documentación documentación de lo que significan significan las entradas; entradas; la hoja presentarse trabajo, un jefe jefe o un profesor; profesor; o la hoja hoja final puepresentarse a un compañero compañero de trabajo, de colocarse reporte a la gerencia. Este tipo de hoja hoja de cálculo colocarse dentro dentro de un reporte gerencia. Este cálculo se identifica presentan algunas identifica mediante mediante el ícono ícono Sol-E Sol-E en el texto. A continuación continuación se presentan algunas fundamentales, útiles elaboración de la hoja cálculo. En la figura figura A. 1, guías fundamentales, útiles en la elaboración hoja de cálculo. se presenta presenta una distribución vuelven más distribución muy simple. simple. Conforme Conforme las soluciones soluciones se vuelven complejas, hace a la hoja hoja de cálculo complejas, una disposición disposición ordenada ordenada de la información información hace cálculo más fácil de leer y utilizar.

~

~

Sol-R

~

~Sol-E Sol-E

748

APÉNDICE APÉNDICE A

Uso Excel®de de Microsoft Microsoft Uso de hoja hoja de cálculo cálculo y del del programa programa Excel"

[

oblig pong radas luta, vez, I

j

(

I --.---------+-~~~-"~-------(;{):I?-------l-----------~Año

...

Iflujode efectivo

flujo de efectivo

$ $

-!

$ $

5,000 I

5,OOoT

13-===lml'-1==2]OJ}iT~ 'i

4

Valor presente Valor futuro

L-

$

Flujode efectivo neto

I

f $20~~00~

'"'"

I Flujode efectivoneto I

ºH ~ ~ j~º!Qº9)Lt__ J~Q.gºº) _ l' $ 5,000 21 $ 5,000

-+-

$20~~OO~

~

~ ~ ~ ~

¡

$(20,000) $(20,000) $(40,000) $(40,000)

L==:: O

1

2

3

456 456

Año -,

~------~

(20,841)

($36,729)

fórrm deob colun

SUM

las se p

oport más j práct anual valor la fur funci.

1

..

Figura A.1 Figura Distribución muestra muestra Distribución de una una hoja hoja de cálculo cálculo con con estimados, estimados, resultados resultados de fórmulas fórmulas y funciones, funciones, y una una gráfica gráfica de dispersión dispersión xy. xy .

Agrupe los datos aconsejable organizar organizar los datos datos dados dados o Agrupe datos y las respuestas. respuestas. Es aconsejable estimados en la parte parte superior superior de la hoja de cálculo. breve etiqueta estimados cálculo. Se debe usar una una breve etiqueta =en la celdaA1 celdaA1 y el valor, 12%, en la para datos, por para identificar identificar los datos, por ejemplo, ejemplo, TMAR TMAR = Entonces B 1 puede para todas las entradas entradas que celda celda B 1. Entonces puede ser la celda celda de referencia referencia para requieran puede ser valioso valioso agrupar agrupar las respuestas respuestas requieran la TMAR. TMAR. De manera manera adicional, adicional, puede enmarcarla usando usando el botón botón Borde Borde exterior en un área y enmarcarla exterior de la barra barra de herramientas. herramientas. Con frecuencia, parte inferior inferior o superior frecuencia, la mejor mejor ubicación ubicación de las respuestas respuestas es en la parte superior de la columna función predefinida. predefinida. columna de entradas entradas usada usada en la fórmula fórmula o función Escriba para columnas filas. Cada Cada columna columna o fila deberá deberá etiquetarse etiquetarse Escriba títulos títulos para columnas y filas. de modo seleccionar de la modo que sus entradas entradas sean claras para para leer. Es muy sencillo sencillo seleccionar columna presente un breve breve título título en el encabezaencabezacolumna o fila equivocadas equivocadas cuando cuando no está está presente do de los datos. Escriba por separado flujos de efectivo ingresos yy costos. Cuando están están Escriba por separado los flujos efectivo de ingresos costos. Cuando involucrados como de costos, costos, se recomienda recomienda involucrados flujos de efectivo efectivo tanto de ingresos ingresos como ampliamente efectivo para para ingresos ingresos (usualmente (usualmente ampliamente que las estimaciones estimaciones del flujo de efectivo positivo) anuales (usualmen(usualmenpositivo) y el costo costo inicial, inicial, valor valor de salvamento salvamento y los costos costos anuales te negativos, número positivo) positivo) se ingresen ingresen en dos conegativos, con el salvamento salvamento como como un número lumnas combine en una una tercera tercera columna columna lumnas adyacentes. adyacentes. Luego Luego una fórmula fórmula que los combine mostrará ventajas inmediatas inmediatas a esta esta práctica: mostrará el flujo de efectivo efectivo neto. Existen Existen dos ventajas práctica: se cometen restas mentalmente, mentalmente, y se vuelvuelcometen pocos pocos errores errores cuando cuando se realizan realizan sumas sumas y restas ven más sencillos sencillos los cambios cambios en el análisis análisis de sensibilidad. sensibilidad.

dosu locar: useel de gn cuan:

A.3 DB{

Calcr n util el cál B (ba usa u

SECCIÓN A.3

ingeniería económica económica Funciones de Excel importantes para la ingeniería

referencias a celdas. El El uso uso de de referencias referencias a celdas celdas relativas relativas y absolutas absolutas es Use referencias obligado cuando cuando se espera espera efectuar efectuar algún algún cambio cambio en en las las entradas. entradas. Por Por ejemplo, ejemplo, susuobligado ponga que que la la TMAR TMAR se se ingresa ingresa en en la la celda que se se hacen hacen tres tres referencias referencias sepasepaponga celda B 1 Y que radas a la la TMAR TMAR en en las las funciones funciones de de la hoja hoja de de cálculo. cálculo. La La referencia referencia a celda celda absoabsoradas luta, ingresada ingresada como como $B$l $B$l en en las las tres tres funciones, funciones, permite permite que que la la TMAR TMAR cambie cambie una una luta, vez, no no tres. tres. vez, Obtenga una respuesta respuesta final través de la suma anidamiento. Cuando Cuando las las Obtenga final a través suma yy el anidamiento. fórmulas y funciones funciones se mantienen mantienen relativamente relativamente simples, simples, la la respuesta respuesta final final se puepuefórmulas de obtener obtener usando usando la la función función SUMA. SUMA. Por Por ejemplo, ejemplo, si el valor valor presente presente (VP) (VP) de de dos dos de columnas de de flujos flujos de de efectivo efectivo se se determina por separado, separado, entonces entonces el VP VP total total es la la columnas determina por SUMA de de los los subtotales. subtotales. Esta Esta práctica especialmente útil útil cuando cuando son son complejas complejas SUMA práctica es especialmente las series series de de flujo flujo de de efectivo. efectivo. las Aunque en Excel Excel se se permite permite el anidamiento anidamiento de de funciones, funciones, ello significa más más Aunque ello significa oportunidades para cometer cometer errores errores en en las las entradas. entradas. Separar Separar los los cálculos vuelve oportunidades para cálculos vuelve más fácil fácil para para el lector lector comprender comprender las las entradas. entradas. Una Una aplicación aplicación común común de de esta esta más práctica en en ingeniería económica es en en la la función función PAGO PAGO que que encuentra encuentra el valor práctica ingeniería económica valor anual de de una una serie serie de de flujo flujo de efectivo. La La función VNA puede puede anidarse anidarse como como el anual de efectivo. función VNA valor presente presente (P) dentro dentro de de PAGO. PAGO. De De manera manera alternativa, alternativa, puede puede aplicarse aplicarse primero primero valor la función VNA, VNA, después después de de lo cual cual la la celda celda con con la la respuesta respuesta VP VP se se refiere refiere en en la la la función función PAGO. (Véase la la sección sección 3.1 para para comentarios comentarios adicionales.) adicionales.) función PAGO. (Véase Prepare se va va a desarrollar desarrollar una una gráfica, gráfica, planee planee de de antemano antemano dejandejanPrepare un gráfico. gráfico. Si se do suficiente suficiente espacio espacio a la la derecha derecha de de los los datos datos y respuestas. respuestas. Las Las gráficas gráficas pueden pueden cocodo locarse sobre la la misma hoja de de trabajo trabajo o en en una una hoja hoja de de trabajo trabajo separada separada cuando cuando se se locarse sobre misma hoja use el Asistente Asistente para para gráficos, gráficos, como como se se analizó analizó en en la la sección sección A.1 A.1 acerca acerca de de la la creación creación use de gráficos. gráficos. Se Se recomienda recomienda la la colocación colocación en en la la misma misma hoja hoja de de trabajo, trabajo, especialmente especialmente de cuando los los resultados resultados del del análisis análisis de de sensibilidad sensibilidad se se representan representan gráficamente. gráficamente. cuando

A.3 A.3

FUNCIONES OE DE EXCEL IMPORTANTES IMPORTANTES PARA LA INGENIERíA INGENIERíA FUNCIONES ECONÓMICA (orden (orden alfabético) alfabético) ECONÓMICA

DB (Saldo decreciente)(corresponde decreciente}(corresponde a la sigla en inglés inglés OB) DB) OB Calcula las las cantidades cantidades de de depreciación depreciación para para un un activo activo durante durante un un periodo periodo específico específico Calcula utilizando el método método del del saldo saldo decreciente. decreciente. La La tasa tasa de de depreciación depreciación d utilizada utilizada en en n utilizando cálculo se determina determina a partir partir de de los los valores valores de de activo activo VS VS (valor (valor de de salvamento) salvamento) y el cálculo B (base (base o costo costo inicial) inicial) como como d = = 11- (VS/B)lln. (VS/B)lln. Ésta Ésta es la la ecuación ecuación [16.11] [16.11]. . Para Para d se se usa una una precisión precisión de de tres tres lugares lugares decimales. decimales. usa

=DB( costo,salvamento, costo,salvamento, vida.período.mes) =DB( vida,periodo,mes) costo costo salvamento salvamento vida vida periodo periodo mes

Costo inicial inicial o base base del activo. activo. Costo salvamento. Valor de salvamento. depreciación (periodo (periodo de recuperación) recuperación). . Vida de depreciación periodo, año, año, para cual debe debe calcularse calcularse la depreciación. depreciación. El periodo, para el cual (entrada opcional) opcional) Si se omite omite dicha dicha entrada, entrada, se supone supone un año (entrada completo durante durante el primer primer año. año. completo

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750

APÉNDICE APÉNDICE A

Uso de hoja de cálculo y del programa programa Excel®de Excel®de Microsoft Microsoft

Ejemplo Una Una máquina máquina nueva nueva cuesta Al cuesta $100000 $100000 y se espera espera que que dure dure, , 10 años. años. Al Ejemplo final valor de máquina es final de de los los 10 años, años, el valor de salvamento salvamento de de la la máquina es $50000. $50000. ¿Cuál ¿Cuál es es la la depreciación máquina en depreciación de de la la máquina en el el año año inicial inicial y en en el quinto quinto año? año? Depreciación Depreciación Depreciación Depreciación

para el primer primer año: =DB(100000,50000,10,l) para año: =DB(100000,50000,10,l) para el quinto año: =DB(100000,50000,1O,5) para el quinto año: =DB(100000,50000,1O,5)

DDB {Saldo doblemente doblemente decreciente} decreciente} DOS {corresponde {corresponde a la sigla en inglés inglés DOS} DDB} Calcula la depreciación depreciación de de un activo durante durante un específico n utilizando Calcula un activo un periodo periodo específico utilizando el método de puede ingresarse un factor para método de saldo saldo doblemente doblemente decreciente. decreciente. También También puede ingresarse un factor para algún otro depreciación de un factor algún otro método método de de depreciación de saldo saldo decreciente, decreciente, especificando especificando un factor en en la la función. función.

=DDH( costo,sal vamento, vida,periodo,factor) vida,periodo,factor) =DDH( costo.salvamento, costo costo salvamento salvamento vida vida periodo periodo factor factor

Costo base del activo. Costo inicial inicial o base activo. Valor de salvamento salvamento del activo. activo. Vida de depreciación. depreciación. Periodo, año, para para el cual Periodo, cual debe debe calcularse calcularse la depreciación. depreciación. (entrada utilizará (entrada opcional) opcional) Si se omite omite esta esta entrada, entrada, la función función utilizará método doblemente veces la tasa tasa en línea línea un método doblemente decreciente decreciente con 2 veces recta. Si, por por ejemplo, utilizará el método método de recta. ejemplo, la entrada entrada es 1.5, se utilizará saldo saldo decreciente decreciente del 150%. 150%.

Ejemplo Una Una máquina máquina nueva nueva cuesta 000 y se espera El Ejemplo cuesta $200 $200 000 espera que que dure dure 10 años. años. El valor de salvamento es $10 000. Calcule la depreciación de la máquina durante valor de salvamento es $10 000. Calcule la depreciación de la máquina durante el primero Finalmente, calcule para el primero y el el octavo octavo años. años. Finalmente, calcule la la depreciación depreciación para el quinto quinto año año utilizando un método del saldo decreciente del 175%. utilizando un método del saldo decreciente del 175%.

ti

Depreciación para para el primer año: =DDB(200000,10000,1O,1) Depreciación el primer año: =DDB(200000,10000,1O,1) Depreciación para para el año =DDB(200000,10000,10,8) Depreciación año octavo: octavo: =DDB(200000,10000,1O,8) Depreciación durante quinto año utilizando 175% Depreciación durante el quinto año utilizando 175% SD: SD: =DDB(200000,10000,10,5,1.75) =DDB(200000,10000,10,5,1.75)

Ejem, desee

de ea: habrá \

IF (fl Deter unap

puede de igi entre hasta

Ejem, conte

E Ejem

J

la cel E

PAG futuro}{corresponde a las siglas en inglés VF {valor futuro}{corresponde inglés FV}

{corr

Calcula valor futuro base en pagos periódicos periódicos a una una tasa tasa de Calcula el valor futuro con con base en los los pagos de interés interés espeespecífica. cífica.

Calcu cos C(

= VF( tasa,nper,pago, vp,tipo) = VF( tasa,nper,pago, vp.tipo) tasa tasa nper nper npago npago vp tipo tipo

Tasa de interés por periodo periodo de capitalización. interés por capitalización. Número de periodos periodos de capitalización. Número capitalización. Cantidad pago. Cantidad constante constante de pago. presente. Si no se espedifica Valor presente. espedifica el vp, la función función supondrá supondrá que éste éste es O. O. (entrada Digite un O o un 1. Un O representa los pagos pagos (entrada opcional) opcional) Digite Orepresenta hechos al final periodo, y un 1, los pagos pagos hechos hechos al principio principio del hechos final del periodo, mismo. Si se omite valor O. mismo. omite esta esta entrada, entrada, se supone supone un valor O.

SECCIÓN A.3

ingeniería económica económica Funciones de Excel importantes para la ingeniería

Ejemplo Jack pueda aumentar Ejemplo Jack desea desea abrir abrir una cuenta cuenta de ahorros ahorros que pueda aumentar como como lo desee. Depositará iniciarla y depositará depositará $500.00 $500.00 a la cuenta cuenta al principio desee. Depositará $12 000 al iniciarla principio cada mes, durante los próximos 0.25% mensual. ¿Cuánto de cada mes, durante próximos 24 meses. meses. El banco banco paga paga 0.25% mensual. ¿Cuánto habrá en la cuenta Jack al final de los 24 meses? meses? habrá cuenta de Jack =VF(0.25%,24,500,12000,l) Valor futuro en 24 meses: =VF(0.25%,24,500,12000,l) (función lógica lógica IF) IF (función

Determina cuál posibilidades entra entra en una una celda, base en el resultado resultado de Determina cuál de dos posibilidades celda, con base una prueba prueba de lógica prueba de lógica una lógica que se aplica aplica al contenido contenido de otra celda. celda. La prueba lógica puede consistir verificar una función o un solo valor, pero debe utilizar utilizar un operador puede consistir en verificar operador de igualdad respuesta es una cadena habrá que escribirla igualdad o desigualdad. desigualdad. Si la respuesta cadena de texto habrá escribirla entre comillas comillas (" "). Las respuestas otras funciones funciones lF. anidar entre respuestas pueden pueden ser otras IF. Es posible posible anidar hasta siete funciones realizar pruebas pruebas lógicas hasta funciones IF lF con la finalidad finalidad de realizar lógicas muy complejas. complejas.

= _lF_verdadero, _verdadero, valor valor_IF _IF_falso) _falso) = IF IF (prueba_lógica, (prueba_lógica, valor valor _IF valor Tf _verdadero valocIF _verdadero

Aquí puede puede usarse usarse cualquier hoja de Aquí cualquier función función de la hoja cálculo, inclusive inclusive una operación operación matemática. cálculo, matemática. Resultado Resultado si el argumento argumento de la prueba_lógica prueba_lógica es verdadero. verdadero. Resultado prueba_lógica es falso. Resultado si el argumento argumento de la prueba_lógica falso.

Ejemplo Si el valor valor de VP que está en la celda mayor o igual Ejemplo celda B3 es mayor igual a cero, cero, el contenido contenido de la celda celda B4 debe ser "seleccionar" "seleccionar" y "rechazar" "rechazar" si VP
IF(B3>=0, lF(B3>=0, "seleccionar", "seleccionar", "rechazar") "rechazar")

Ejemplo Si el valor valor VP en la celda mayor o igual Ejemplo celda C4 es mayor igual que cero, el contenido contenido de VP
=lF(C4<0, "rechazar" "rechazar" ,IF(C4>=200, ,IF(C4>=200, =IF(C4<0, "fantástico", "seleccionar")) "seleccionar")) "fantástico",

PAGOINT PAGOINT (pago (pago de de intereses) intereses) (corresponde (corresponde a las siglas siglas IPMT en inglés) inglés) Calcula periodo n dado dado con base base en pagos periódiCalcula el interés interés acumulado acumulado durante durante un periodo pagos periódicos constantes constantes y tasa de interés. interés. ::PAGOINT(tasa,per,npcs,vp,vf,tipo) =PAGOINT(tasa,per,npes,vp,vf,tipo) tasa tasa per per nper vp vf vf

interés por periodo capitalización. Tasa de interés periodo de capitalización. Periodo durante durante el cual cual debe debe calcularse calcularse el interés. interés. Periodo Número de periodos capitalización. Número periodos de capitalización. Valor presente. está especificado, especificado, la función función supondrá supondrá presente. Si el vp no está O. que éste es O. Valor futuro futuro.. Si se omite, omite, la función función supondrá supondrá que es O. O. vf puede puede considerarse también saldo de efectivo efectivo después después de efectuar efectuar considerarse también un saldo el último último pago. pago.

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752

APÉNDICE A Uso de hoja de cálculo y del programa Excel® Excel" de Microsoft Microsoft

tipo

(entrada opcional) opcional) Digite Digite un O o un 1. 1. Un O Orepresenta (entrada representa los pagos pagos hechos hechos al final del periodo, periodo, y un 1, los pagos pagos hechos hechos al principio principio del mismo. mismo. Si se omite, omite, se supondrá supondrá O. O.

Ejemplo Calcule Ejemplo Calcule el interés interés vencido vencido en el décimo décimo mes para para un préstamo préstamo de $20 000 a 48 meses. meses. La tasa de interés interés es 0.25% 0.25% por mes. Interés debido: =PAGOINT(0.25%, =PAGOINT(0.25%,10,48,20000) Interés 10,48,20000)

Por

dur añc eh

TIR (tasa interna interna de rendimiento) rendimiento) (corresponde (corresponde a las siglas IRR en inglés) inglés) Calcula la tasa interna interna de rendimiento rendimiento entre entre -100% -100% e infinito infinito para para una Calcula una serie serie de efectivo en periodos periodos regulares. regulares. flujos de efectivo

TIF =TIR(valores,estimación) =TIR( valores,estimación) valores valores

estimación estimación

Conjunto de números números en una columna columna (o fila) de una hoja hoja de Conjunto cálculo para para el (la) cual cual se calculará calculará la tasa de rendimiento. rendimiento. El cálculo conjunto conjunto de números números debe debe constar constar por por lo menos menos de un número número positivo y uno negativo. negativo. Los números números negativos negativos denotan denotan un positivo pago hecho hecho o una salida salida de efectivo efectivo y los números números positivos positivos pago denotan ingresos ingresos o entrada entrada de efectivo. efectivo. denotan (entrada opcional) opcional) Para Para reducir reducir el número número de iteraciones, iteraciones, puede (entrada puede agregarse agregarse una tasa de retorno retorno estimada. estimada. En la mayoría mayoría de los casos, casos, no se requiere requiere una aproximación aproximación y se supone supone inicialmente inicialmente una tasa tasa de rendimiento rendimiento de 10%. Si aparece aparece el error #NUM!, #NUM!, ensaye utilizando diferentes diferentes valores valores para para la error ensaye utilizando estimación. La entrada entrada de diferentes diferentes valores estimación hace estimación. valores de estimación hace posible determinar determinar las raíces raíces múltiples múltiples para la ecuación ecuación de tasa posible tasa de rendimiento rendimiento de una secuencia secuencia de flujo de efectivo efectivo no convencional. convencional.

Ejemplo John desea 000 en capicapiEjemplo desea iniciar iniciar un negocio negocio de imprenta. imprenta. Necesitará Necesitará $25 000 tal y anticipa primeros 5 anticipa que el negocio negocio generará generará los siguientes siguientes ingresos ingresos durante durante los primeros años. Calcule Calcule su tasa de rendimiento rendimiento después después de 3 años y después después de 5 años.

Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5

$5000 $5000 $7500 $7500 $8000 $8000 $10 000 $15000 $15000

Prepare un arreglo arreglo en la hoja de cálculo. cálculo. Prepare celda Al, Al, En la celda celda A2, En la celda En la celda celda A3, En la celda celda A4,

digite -25000 -25000 (negativo (negativo para para pagos). pagos). digite (positivo para para ingresos). ingresos). digite 5000 (positivo digite 7500. digite digite 8000.

(ee Cal

tivr

Ejl ne¡ ton

$1:

do de

SECCIÓN A.3

ingeniería económica económica Funciones de Excel importantes para la ingeniería

En la celdaA5, celdaA5, digite 10000. celda A6, digite digite 15000. En la celda consiguiente, las celdas celdas Al Al a A6 contienen contienen un arreglo arreglo de flujos de efectivo efectivo Por consiguiente, durante los primeros primeros 5 años, incluyendo incluyendo la salida salida de capital. capital. Observe Observe que cualquier cualquier durante unflujo de efectivo efectivo de cero debe tener tener un cero ingresado ingresado para asegurar que año con unflujo para asegurar valor del año se mantenga mantenga correctamente correctamente para cálculo. el valor para fines del cálculo. Para calcular calcular la tasa interna interna de rendimiento rendimiento después después de 3 años, pase celda Para pase a la celda digite =TIR(A1:A4). =TIR(A1:A4). A7, y digite Para calcular calcular la tasa tasa interna interna de rendimiento rendimiento después después de 5 años y especificar especificar un Para valor estimado estimado de 5%, desplácese desplácese a la celdaA8 celdaA8 y digite digite =TIR(A1:A6,5%) =TIR(A1:A6,5%) valor TIRM (Tasa (Tasa interna interna de retorno retorno modificada) modificada) TIRM (corresponde a las siglas MIRR en inglés) (corresponde Calcula la tasa interna interna de rendimiento rendimiento modificada modificada para para una serie de flujos de efecCalcula reinversión del ingreso ingreso y el interés interés a una tasa determinada. determinada. tivo, con la reinversión =TIRM( valores,tasadefinanciacióll,tasadereinversión) =TIRM(valores,tasadefinanciaciól1,tasadereinversión) valores valores

tasadefinanciación tasadefinanciación tasadereinversión tasadereinversión

refiere a un arreglo arreglo de celdas celdas en la hoja hoja de cálculo. cálculo. Se refiere números negativos negativos representan representan pagos pagos y los números números Los números positivos representan representan ingresos. ingresos. La serie de pagos pagos e positivos ingresos debe ocurrir en periodos regulares, y debe debe ingresos debe ocurrir periodos regulares, contener por por lo menos menos un número número positivo positivo y uno negativo. negativo. contener interés del dinero dinero utilizada utilizada en los flujos flujos de Tasa de interés efectivo. efectivo. interés para para las reinversiones reinversiones sobre sobre los flujos flujos de Tasa de interés efectivo positivos. positivos. (Ésta (Ésta no es la misma misma tasa de efectivo reinversión sobre sobre las inversiones netas cuando cuando la serie serie reinversión inversiones netas efectivo no es convencional. convencional. Véase Véase la de flujo de efectivo sección 7.5 para para comentarios.) comentarios.) sección

Ejemplo tienda de pasatiempos pasatiempos hace 4 años. Cuando Cuando empezó empezó el Ejemplo Jane abrió una tienda negocio, Jane obtuvo obtuvo $50000 $50000 en préstamos préstamos de un banco banco al 12% anual. Desde Desde ennegocio, negocio ha producido $10000 el primer primer año, $15000 $15000 el segundo segundo año, tonces, el negocio producido $10000 $18000 el tercer tercer año y $21000 $21 000 el cuarto cuarto año. Jane reinvierte reinvierte sus utilidades, utilidades, gananganan$18000 ¿Cuál es la tasa de rendimiento rendimiento modificada modificada después después de 3 años y do 85% anual. ¿Cuál después de 4 años? después celda Al, Al, digite digite --50000. En la celda 50000. celda A2, digite digite 10000. En la celda celda A3, digite digite 15000. En la celda celda A4, digite digite 18000. En la celda celda A5, digite digite 21000. 21000. En la celda Para calcular calcular la tasa de rendimiento rendimiento modificada modificada después después de 3 años, desplácese desplácese Para celda A6 y digite digite =TIRM(A1:A4,12%,8%). =TIRM(A1:A4,12%,8%). a la celda

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754

APÉNDICE A Uso de hoja de cálculo y del programa programa Excel® de Microsoft Excel®de

Para calcular calcular la tasa tasa de rendimiento modificada después después de 4 años, desplácese desplácese Para rendimiento modificada a la celda 7Y digite =TIRM(A1 celda A A7 Ydigite =TIRM(A1 :A5, 12%,8%). 12%,8%).

En En

NPER NPER (Número (Número de de periodos) periodos)

El vale efectiv.

Calcula número de periodos periodos para para que el valor presente de una inversión Calcula el número valor presente inversión iguale iguale un valor futuro especificado, con base en pagos regulares uniformes y una tasa valor especificado, base pagos regulares uniformes tasa de interés interés establecida. establecida.

PAGC

=NPER( =NPER( tasa,pago, tasa,pago, vp, vf,tipo) vf,tipo) tasa pago pago vp vf tipo

interés por periodo capitalización. Tasa de interés periodo de capitalización. Cantidad pagada durante cada cada periodo capitalización. Cantidad pagada durante periodo de capitalización. (suma global) global).. Valor presente presente (suma (entrada opcional) opcional) Valor futuro futuro o saldo saldo de efectivo efectivo después después del (entrada último función asumirá un valor valor O. O. último pago. pago. Si se omite omite vf, la fu nción asumirá (entrada opcional) opcional) Ingrese Ingrese O si los pagos vencen al final del (entrada pagos se vencen periodo capitalización, y 1 si los pagos vencen al principio periodo de capitalización, pagos se vencen principio del periodo. omite, se supone supone O. O. periodo. Si se omite,

Ejemplo Sally piensa abrir una cuenta cuenta de ahorro 0.25% mensual. mensual. Su Ejemplo Sally piensa abrir ahorro que paga paga 0.25% depósito inicial inicial es $3 000 y ella piensa depositar $250 $250 al principio cada mes. depósito piensa depositar principio de cada ¿Cuántos pagos tiene ella que hacer acumular $15000 $15000 con el propósito ¿Cuántos pagos tiene hacer para para acumular propósito de comprar comprar un nuevo nuevo auto?

Calculo turo al

t: n

v v

ti

Ejemp nuevo. ¿Cuále

Número =NPER(0.25%,-250,-3000,15000,l) Número de pagos: pagos: =NPER(0.25%,250,- 3000,15000,1) Pa VNA (Valor neto neto actual) VNA (Valor actual) (corresponde a las siglas en inglés inglés NPV) NPV) (corresponde Calcula el valor valor presente efectivo futuros futuros a una tasa de Calcula presente neto de una serie de flujos de efectivo interés establecida. establecida. interés

PAGC (corre

Calcul detem

=VNA(tasa,serie) =VNA(tasa,serie) tasa serie

interés por periodo capitalización. Tasa de interés periodo de capitalización. Serie de pagos ingresos dispuestos dispuestos en un rango celdas en la hoja Serie pagos e ingresos rango de celdas hoja cálculo. de cálculo.

Ejemplo Mark está considerando considerando la compra compra de una tienda tienda de deportes deportes por $100 000 Ejemplo Mark y espera recibir siguiente ingreso durante durante los próximos recibir el siguiente próximos 6 años del negocio: $25 000, $40000, $42000, $42000, $44000, $44000, $48 000, $50000. $50000. La tasa de interés interés es 8% anual. $40000, celda Al, Al, digite digite --100000. En la celda 100000. celda A2, digite digite 25000. En la celda celda A3, digite digite 40000. 40000. En la celda celda A4, A4, digite digite 42000. 42000. En la celda celda A5 A5,, digite digite 44000. 44000. En la celda celda A6, digite digite 48000. 48000. En la celda

Ejemp años s pal al A A

SECCIÓN A.3 Funciones de Excel importantes para la ingeniería ingeniería económica económica

En la celda 7, digite celda A A7, digite 50000. En la celda celda A8, digite digite =VNA(8%,A2:A7)+Al. =VNA(8%,A2:A7)+Al. El valor flujo de celda Al Al ya es un valor valor presente. presente. Cualquier Cualquier año con un flujo valor de la celda efectivo para asegurar efectivo cero debe tener tener una entrada entrada O Opara asegurar un resultado resultado correcto. correcto.

PAGO PAGO (Pagos) (corresponde (corresponde a las siglas en inglés inglés PMT) PMT) Calcula Calcula cantidades cantidades periódicas periódicas equivalentes equivalentes basadas basadas en valor valor presente presente y/o valor valor futuro a una tasa de interés interés constante. constante. =PA GO(tasa,aper,vp,vf,ti po) GO(tasa,aper, vp, vf,tipo) tasa nper nper vp vf tipo

Tasa de interés capitalización. interés por por periodo periodo de capitalización. Número Número total total de periodos. periodos. Valor presente. presente. Valor futuro. (entrada para los pagos (entrada opcional) opcional) Ingrese Ingrese O Opara pagos vencidos vencidos al final final del periodo periodo de capitalización, capitalización, y 1 si el pago pago se vence vence al principio principio de dicho dicho periodo. periodo. Si se omite omite esta entrada, entrada, se supone supone un valor valor O. O.

Ejemplo Jim piensa Ejemplo piensa conseguir conseguir un préstamo préstamo por $15000 $15000 para para comprar comprar un auto nuevo. La tasa de interés interés es 7%. Él desea desea pagar pagar el préstamo préstamo en 5 años (60 meses). meses). ¿Cuáles ¿Cuáles son sus pagos pagos mensuales? mensuales? Pagos mensuales: mensuales: =PGS(7%/12,60,15000) =PGS(7%/12,60,15000) Pagos PAGOPRIN (Pago (Pago del principal) principal) PAGOPRIN (corresponde a las siglas en inglés (corresponde inglés PPMT) PPMT)

Calcula Calcula el pago pago sobre el principal principal con base base en pagos pagos uniformes uniformes a una tasa de interés interés determinada. determinada. =PAGOPRIN(tasa,per,nper,vp,\rf,tipo) =PAGOPRIN(tasa,per,llper,Vp,\rf,tipo) tasa per per nper nper vp vf tipo

Tasa de interés interés por periodo periodo de capitalización. capitalización. Periodo para para el cual se requiere requiere el pago pago sobre sobre el principal. principal. Periodo Número Número total total de periodos. periodos. Valor presente. presente. Valor futuro. (entrada para pagos (entrada opcional) opcional) Ingrese Ingrese O Opara pagos que se vencen vencen al final del periodo periodo de capitalización, capitalización, y 1 si los pagos pagos vencen vencen al principio principio del periodo. periodo. Si se omite omite esta esta entrada, entrada, se supone supone un valor valor O. O.

Ejemplo Jovita Ejemplo Jovita está está pensando pensando invertir invertir $10000 $10 000 en equipo equipo que se espera espera dure 10 años sin valor valor de salvamento. salvamento. La tasa de interés interés es 5%. ¿Cuál ¿Cuál es el pago del principrincipal al final del año 4 y del año 8? PAGOPRIN(5%,4,1O,-10000) Al final del año 4: = PAGOPRIN(5 %,4,1O,-10000) Al final del año 8: = PAGOPRIN(5%,8,10,-10000) PAGOPRIN(5%,8,1O,-10000)

755

756

APÉNDICE A Uso de hoja de cálculo y del programa programa Excel" Excel®de Microsoft Microsoft APÉNDICE

VA (Valor actual actual o presente) presente) VA (Valor Calcula el valor futura de flujos de efectivo efectivo iguales iguales y una Calcula valor presente presente de una serie futura cantidad global global única interés constante. constante. cantidad única en el último último periodo periodo a una tasa tasa de interés

Ejemp ción d( tanto L

=VA(tasa,nper,pago,vf,tipo) =VA(tasa,nper,pago,vf,tipo) tasa tasa nper nper pago pago

vf tipo

interés por periodo capitalización. Tasa de interés periodo de capitalización. Número periodos. Número total total de periodos. Flujo de efectivo efectivo a intervalos intervalos regulares. Flujo regulares. Los números números negativos negativos representan (salidas de efectivo), efectivo), y los números representan pagos pagos (salidas números positivos, positivos, ingreso. el ingreso. Valor futuro futuro o saldo saldo de efectivo efectivo al final del último último pago. (entrada opcional) opcional) Ingrese Ingrese O O si los pagos (entrada pagos vencen vencen al final del periodo periodo capitalización, y 1 si los pagos cada de capitalización, pagos vencen vencen al principio principio de cada periodo capitalización. De omitirse, omitirse, se supone supone O. periodo de capitalización.

TASA Calcul ingres

Existen dos diferencias diferencias básicas entre la función función VA Yla función VNA: VA permite Existen básicas entre Y la función permite efectivo del principio principio o de final de periodo exige que todas cantidaflujos de efectivo periodo y exige todas las cantidamismo valor; mientras función VNA éstas pueden des tengan tengan el mismo mientras que para la función VNA éstas pueden variar. Ejemplo José está considerando considerando arrendar arrendar un auto por durante 3 años Ejemplo José por $300 al mes durante arriendo, él puede comprar el (36 meses). meses). Una Una vez transcurridos transcurridos los 36 meses meses de arriendo, puede comprar interés del 8% anual, encuentre encuentre el valor auto por por $12 000. Usando Usando un tasa de interés valor prepresente de esta esta opción. opción. sente Valor presente: presente: =VA(8%/12,36,-300,-12000) =VA(8%/12,36,- 300,-12000) Advierta colocados en las cantidades cantidades pago Advierta los signos menos menos colocados pago y vf. ALEATORIO (número aleatorio) aleatorio) ALEATORIO (número (corresponde a las siglas en inglés inglés RANO) RANO) (corresponde Los retornos distribuidos uniformemente l. ;;::: ;:::O retornos son números números distribuidos uniformemente que pueden pueden ser: l. OY Y< 1; 2. ;;::: ;:::O O YY < 100, o 3. entre entre los dos números números especificados. especificados. =ALEATORIOO =ALEATORIOO

para entre O y 1 para el rango rango entre

=ALEATORIOO*lOO =ALEATORIOO*100

para entre O Oyy 100 para el rango rango entre

=Al,EATORIOO*(b-a)+a =ALEATORIOO*(b-a)+a

para entre a y b para el rango rango entre

EjemJ sito in cadar los 3 ( rido p T;

SLN· (corr Calcu

entero mínimo generado a = número número entero mínimo que será generado entero máximo generado b = número número entero máximo que será generado La función función de Excel obtener un Excel ALEATORIO. ALEATORIO. ENTRE ENTRE (a,b) sirve también también para para obtener número aleatorio entre entre dos valores. número aleatorio valores. Ejemplo aleatorio s entre 5 y 10 con tres dígitos a la derecha derecha Ejemplo Grace necesita necesita números aleatorios decimal. ¿Cuál ¿Cuál es la función función Excel? Excel? En este caso a = 3 Yb del punto punto decimal. Y b = 10. Número aleatorio: =RANDO*5 Número aleatorio: =RANDO*5 + 5

Bjem; tiene mado

:c

SECCIÓN A.3

Funciones de Excel importantes para la ingeniería económica económica

Ejemplo números aleatorios Ejemplo Randi quiere quiere generar generar números aleatorios entre -10 -10 y 25. ¿Cuál es la función de Excel que debe usar? Los valores mínimo mínimo y máximo máximo son a = -10 Yb = 25, por -10 Yb tanto b - a = 25 -(-10) -(-10) = 35. Números =RANDO*35 - 10 Números aleatorios: aleatorios: =RANDO*35 TASA (tasa de interés) interés) (corresponde (corresponde a RATE en inglés) Calcula la tasa de interés interés por periodo capitalización para Calcula periodo de capitalización para una serie de pagos pagos o de ingresos. ingresos.

=TASA(nper,pago, vp, vf,tipo,estimado) vf,tipo,estimado) =TASA(nper,pago, vp, nper pago vp vf tipo

estimado estimado

Número periodos. Número total de periodos. Monto pago hecho hecho en cada periodo de capitalización. Monto del pago cada periodo capitalización. Valor presente. presente. futuro (no incluye incluye la cantidad cantidad pago). Valor futuro pago). (entrada para pagos pagos vencidos vencidos al final del (entrada opcional) opcional) Ingrese Ingrese O Opara periodo pagos vencen vencen al principio principio periodo de capitalización, capitalización, y 1 si los pagos cada periodo esta entrada, entrada, se de cada periodo de capitalización. capitalización. Si se omite mnite esta supone valor O. supone un valor O. (entrada opcional) opcional) Para cálculo, incluya incluya (entrada Para minimizar minimizar el tiempo tiempo de cálculo, una tasa tasa de interés valor de la estimación interés estimada. estimada. Si el valor estimación no se especifica, especifica, la función función supondrá supondrá una tasa de 10%. En general, general, esta converge hacia hacia una solución, tasa está esta función función converge solución, si la tasa está entre entre 0% y 100%.

Ejemplo banco. Ella Ella hará hará un depóEjemplo Mary Mary desea desea abrir abrir una cuenta cuenta de ahorros ahorros en un banco. depósito inicial para abrir piensa depositar inicial de $1000 $1000 para abrir la cuenta cuenta y piensa depositar $100 al principio principio de cada mes. Su plan es hacer hacer esto durante próximos 3 años (36 meses). meses). Al final de durante los próximos los 3 años, ella desea tener por lo menos menos $5 000. ¿Cuál mínimo requerequedesea tener ¿Cuál es el interés interés mínimo rido para obtener resultado? obtener este resultado? Tasa de interés: =TASA(36,-100,-1000,5000,1) =TASA(36,-100,-1000,5000,l) (Depreciación en línea recta) recta) SLN (Depreciación (corresponde (corresponde a las siglas en inglés inglés SLN) Calcula la depreciación depreciación en línea línea recta activo para determinado. Calcula recta de un activo para un año determinado.

=SLN(costo,salvamento,vida) =SLN(costo,salvamento,vida) costo costo salvamento salvamento vida vida

Costo inicial o base base del activo. Costo inicial activo. Valor de salvamento. salvamento. Vida de depreciación. depreciación.

Ejemplo una máquina por $100000. $100000. La máquina máquina Ejemplo María María compró compró una máquina de impresión impresión por tiene una vida de depreciación permitida de 8 años y un valor valor de salvamento depreciación permitida salvamento estimado de $15 000. ¿Cuál ¿Cuál es la depreciación depreciación cada cada año? Depreciación: Depreciación: =SLN =SLN (100000,15000,8) (100000,15000,8)

757

758 758

APÉNDICE de Microsoft APÉNDICE A A Uso Uso de de hoja de de cálculo cálculo y del del programa Excel® Excel®de

SYD (Depreciación (Depreciación por por el método método de la la suma de los los dígitos dígitos SYO del año) año) (corresponde (corresponde a las las siglas en inglés inglés SYO) SYD) del Calcula la depreciación depreciación por el método método de la suma de los dígitos del año de un activo Calcula específico. para un año específico.

Ejem una v saldo table

I I I

=SYD( =SYD( costo,salvamento, costo,salvamento, vida,periodo) vida,periodo) costo salvamento salvamento vida periodo periodo

Costo inicial inicial o base del activo. activo. Costo salvamento. Valor del salvamento. depreciación. Vida de depreciación. El año para para el cual se busca busca la depreciación. depreciación.

I

A.4

Ejemplo Ejemplo Jack Jack compró compró equipo equipo por $100000 $100000 que tiene una vida de depreciación depreciación de 10 años. El valor de salvamento salvamento es $10000. $10000. ¿Cuál es la depreciación depreciación para el año 1 y para el año 9? Depreciación para 1: = = SYD(100000,10000,1O,1) SYD(lOOOOO,10000, 10, l) Depreciación para el año 1: Depreciación para = SYD(100000,10000,1O,9) SYD(100000,10000,10,9) Depreciación para el año 9: =

SOL' celda al re, tipo'

(

DVS (Saldo (Saldo decreciente decreciente variable) OVS variable) (corresponde a las siglas VDB VOB en inglés) (corresponde

jetive de m; lor de

Calcula usando el método método del saldo decreciente con un cambio cambio a Calcula la depreciación depreciación usando saldo decreciente depreciación en línea depreciación línea recta recta en el año en que que la línea línea recta recta tiene tiene una una mayor mayor cantidad cantidad de depreciación. depreciación. Esta Esta función función aplica aplica de manera manera automática automática el cambio cambio de depredepreciación ciación SD a LR, a menos menos que que de manera manera específica específica se le instruya instruya no realizar realizar el cambio. cambio.

que v direci valor celda ciona

=DVS(costo,sal costo,sal vamento, vamento,vida,in vida,in ido icío_pcriodo,fin_llcriodo,factor,110 _periodo,tin_periodo,factor,no_cambio) _cambio) =DVS(

pudie deten

(

(

costo costo salvamento salvamento vida vida inicio_periodo inicio_periodo fin_periodo fin_periodo factor factor

Costo Costo inicial inicial del activo. activo. Valor Valor de de salvamento. salvamento. Vida Vida de de depreciación. depreciación. Primer periodo periodo para para calcular calcular la la depreciación. depreciación. Primer Último Último periodo periodo para para calcular calcular la la depreciación. depreciación. (entrada opcional) opcional) Si Si se omite, omite, la la función función usará usará la la tasa tasa (entrada doblemente decreciente decreciente de de 2/n, 2/n, o el el doble doble de de la la tasa tasa de de doblemente línea línea recta. recta. Otras Otras entradas entradas definen definen el el método método de de saldo saldo decreciente, decreciente, por por ejemplo, ejemplo, 1.5 para para el el saldo saldo decreciente decreciente de de 150%. 150%. (entrada (entrada opcional) opcional) Si Si se se omite omite oo ingresa ingresa como como FALSO, FALSO, la función función cambiará cambiará de de saldo saldo decreciente decreciente aa depreciación depreciación la en en línea línea recta recta cuando cuando la la última última es es mayor mayor que que la la depreciación SD. SD. Si Si se se ingresa ingresa como como VERDADERO, VERDADERO, la la depreciación función no no cambiará cambiará aa depreciación depreciación LR LR en en algún algún función momento durante durante la la vida vida de de depreciación. depreciación. momento

(

parán preci: verge las sr enter, digan cuan: perra incor

(

apare para ( zar la valor

SECCIÓN A.4 A.4 SECCIÓN

SOLVER: una una herramienta herramienta de Excel Excel para para análisis análisis de equilibrio equilibrio SOLVER:

Ejemplo Equipo comprado comprado recientemente recientemente con un costo costo inicial inicial de $300 000 tiene tiene Ejemplo Equipo depreciable de 10 años sin valor valor de salvamento. salvamento. Calcule Calcule la depreciación depreciación de una vida depreciable decreciente de 175% para para el primer primer año y el noveno noveno año, primero primero si es acepacepsaldo decreciente cambio a la depreciación depreciación LR, y luego luego si el cambio cambio no es permitido. permitido. table el cambio Depreciación para para el primer primer año, con cambio: cambio: =DVS(300000,0,1O,0,1,1.75) =DVS(300000,0,1O,0,1,1.75) Depreciación Depreciación para el noveno noveno año, con cambio: cambio: =DVS(300000,0,1O,8,9,1.75) =DVS(300000,0,1O,8,9,1.75) Depreciación para Depreciación para para el primer primer año, sin cambio: cambio: =DVS(300000,0,1O,0,1,1.75, =DVS(300000,0,1O,0,1,1.75, Depreciación VERDADERO) VERDADERO) Depreciación para noveno año, sin cambio: cambio: =DVS(300000,0,1O,8,9,1.75, =DVS(300000,0,1O,8,9,1.75, Depreciación para el noveno VERDADERO) VERDADERO) A.4 A.4

UNA HERRAMIENTA HERRAMIENTA DE EXCEL PARA ANÁLISIS ANÁLISIS SOLVER: UNA EQUILIBRIO Y DEL TIPO TIPO "¿QUÉ "¿QUÉ SI. .. ?" DE EQUILIBRIO

SOLVER es una poderosa poderosa herramienta herramienta usada usada para para cambiar cambiar el valor valor en una o más SOLVER valor de celda celda (objetivo) (objetivo) especificada. especificada. Es especialmente especialmente útil celdas con base en un valor realizar análisis análisis de equilibrio equilibrio y de sensibilidad sensibilidad para para responder preguntas del al realizar responder a preguntas "¿qué si si...?". figura A.2 se muestra muestra la plantilla plantilla SOLVER. tipo "¿qué ... ?". En la figura Cuadro Celda objetivo. objetivo. Ingrese nombre. La celda celda obCuadro Ingrese una referencia referencia a celda celda o nombre. jetivo misma debe contener contener una fórmula fórmula o función. función. El valor valor en la celda celda puepuejetivo en sí misma maximizarse (Max), minimizarse minimizarse (Min) o restringirse restringirse a un valor valor específico específico (Vade maximizarse lor de). Cuadro Cambiando Cambiando las celdas. Ingrese Ingrese la referencia referencia de celda celda para para cada cada celda Cuadro celda ajustarse, usando usando comas comas entre celdas celdas no adyacentes. adyacentes. Cada Cada celda celda debe estar estar que va a ajustarse, directa o indirectamente indirectamente relacionada relacionada con la celda celda objetivo. objetivo. SOLVER SOLVER propone propone un directa valor para para la celda celda cambiante cambiante con base base en la entrada entrada que se ofrece ofrece en tomo tomo a la valor celda objetivo. objetivo. El botón Estimar listará listará todas las posibles posibles celdas celdas que cambian cambian relarelacelda botón Estimar cionadas con la celda celda objetivo. objetivo. cionadas Cuadro siguientes restricciones. Cuadro Sujetas Sujetas a las siguientes restricciones. Ingrese Ingrese cualquier cualquier restricción restricción que pudiera aplicar, por ejemplo pudiera ejemplo $C$1 $C$l < $50,000. $50,000. Las variables variables enteras enteras y binarias binarias se determinan en este cuadro. cuadro. determinan Cuadro Opciones. Opciones. Las opciones opciones aquí aquí permiten permiten al usuario usuario especificar especificar varios varios Cuadro parámetros de la solución: solución: tiempo tiempo máximo máximo y número número de iteraciones iteraciones permitidas, permitidas, la parámetros precisión y la tolerancia tolerancia de los valores valores determinados, determinados, y los requerimientos requerimientos de conprecisión vergencia cuando cuando se determina determina la solución solución final. Además, Además, aquí es factible factible establecer establecer vergencia suposiciones de modelos modelos lineales lineales y no lineales. lineales. Si están implicadas implicadas variables variables las suposiciones enteras o binarias, binarias, la opción opción tolerancia tolerancia debe establecerse establecerse en un número número pequeño, enteras pequeño, digamos, 0.0001, 0.0001, lo cual es especialmente especialmente importante importante para para las variables variables binarias binarias digamos, cuando se selecciona selecciona entre proyectos proyectos independientes independientes (capítulo (capítulo 12). Si la tolerancia tolerancia cuando permanece en el valor valor preestablecido preestablecido de 5%, un proyecto proyecto puede puede incluirse incluirse de manera manera permanece incorrecta en la solución solución establecida establecida a un nivel muy bajo. incorrecta Cuadro Resultados de SOLVER. Cuadro Resultados SOLVER. Se presenta presenta luego luego de que se oprime oprime Resolver Resolver y aparece una solución. solución. Desde Desde luego, tal vez no se pueda pueda encontrar encontrar solución solución alguna alguna aparece para el escenario escenario descrito. descrito. Es posible posible actualizar actualizar la hoja de cálculo cálculo al oprimir oprimir UtiliUtilipara solución de SOLVER SOLVER o regresar regresar a las entradas entradas originales originales usando usando Restaurar Restaurar zar la solución valores originales. originales. valores

759

760

Figura A.2 Figura Plantilla SOLVER de Plantilla SOLVER Excel. Excel.

APÉNDICE A

Uso de hoja de cálculo y del programa programa Excel® Excel" de Microsoft Microsoft

ID ID 1&{ E1

Solver Solver Parameters Paremeters S~t Target Cen:

Equal To: • f!!.ax Changíng Cells:

' ~alue of:

lo

CUPO

PAGO PAGO

DB

DDB

TASA MaNE

A.S

FUNCIONES FINANCIERAS FINANCIERAS DE EXCEL LISTA DE LAS FUNCIONES

continuación se presentan listado y una breve descripción del producto A continuación presentan un listado breve descripción producto de las funciones financieras financieras de Excel. funciones se encuentran encuentran disponidisponifunciones Excel. * No todas estas funciones bles en todas las versiones Microsoft. El comando comando Complementos Complementos versiones del Excel Excel de Microsoft. puede ayudarle a determinar determinar si la función función está disponible disponible en el sistema sistema que el usuapuede ayudarle usuario utiliza. utiliza. INT.ACUM INT.ACUM INT.ACUM.V INT.ACUM.V AMORTIZ.PROGRE AMORTIZ.PROGRE AMORTIZ.LIN AMORTIZ.LIN CUPON.DIAS.L1 CUPON.DIAS.L1

CUPON.DIAS CUPON.DIAS

CUPON.DIAS.L2 CUPON.DIAS .L2

CUPON.FECHA.L2 CUPON.FECHA.L2 CUPON.NUM CUPON.NUM

obtiene el interés interés acumulado acumulado para valor bursátil Se obtiene para un valor bursátil (ACCRlNT) paga interés interés periódico. periódico. (ACCRINT) que paga obtiene el interés interés acumulado acumulado para valor bursátil Se obtiene para un valor bursátil interés al vencimiento. vencimiento. (ACCRINTM) (ACCRINTM) que paga paga interés obtiene la depreciación depreciación para cada periodo contable. Se obtiene para cada periodo contable. (AMORDEGRC) (AMORDEGRC) depreciación para contable. Se obtiene obtiene la depreciación para cada cada periodo periodo contable. (AMORLINC) (AMORLINC) obtiene el número número de días desde desde el principio Se obtiene principio del periodo cupón hasta hasta la fecha fecha de liquidación. liquidación. periodo del cupón (COUPDAYBS) (COUPDAYBS) obtiene el número número de días del periodo (entre dos Se obtiene periodo (entre cupones) donde donde se encuentra encuentra la fecha fecha de liquidación. liquidación. cupones) (COUPDAYS) (COUPDAYS) obtiene el número número de días desde desde la fecha fecha de Se obtiene liquidación hasta hasta la fecha fecha del próximo cupón. liquidación próximo cupón. (COUPDAYSNC) (COUPDAYSNC) obtiene la fecha fecha del próximo cupón después después de la Se obtiene próximo cupón fecha de liquidación. liquidación. (COUPNCD) (COUPNCD) fecha obtiene el número número de cupones cupones por entre la Se obtiene por pagar pagar entre fecha de liquidación liquidación y la fecha fecha de vencimiento. vencimiento. fecha (COUPNUM) (COUPNUM)

Los comandos comandos en en inglés inglés aparecen entre paréntesis. * Los aparecen entre paréntesis.

MONE

DURA

INT.El VF VF.PL

TASA PAGO

TIR PAGO

DURA

TIRM

TASA

NPER VNA

SECCIÓN A.5

CUPON.FECHA.Ll CUPON.FECHA.Ll PAGO.lNT.ENTRE PAGO.lNT.ENTRE PAGO.PRINC.ENTRE PAGO.PRINC.ENTRE

DB

DDB

TASA.DESC TASA.DESC MONEDA.DEC MONEDA.DEC

MONEDA.FRAC MONEDA.FRAC

DURACION DURACION INT.EFECTIVO INT.EFECTIVO VF VF.PLAN VF.PLAN

TASA.lNT TASA.lNT PAGOINT PAGOINT

TIR PAGO.INT PAGO.INT

DURACION.MODIF DURACION.MODIF

TIRM TIRM

TASA.NOMINAL TASA.NOMINAL NPER NPER

VNA

Lista de las funciones financieras de Excel

Se obtiene obtiene la fecha fecha del cupón cupón anterior anterior de la fecha fecha de liquidación. liquidación. (COUPPCD) (COUPPCD) Se obtiene obtiene el interés interés acumulado acumulado pagado pagado entre entre dos periodos. periodos. (CUMIPMT) (CUMIPMT) Se obtiene obtiene el principal principal acumulado acumulado pagado pagado sobre sobre un préstamo entre entre dos periodos. periodos. (CUMPRINC) (CUMPRINC) préstamo obtiene la depreciación depreciación de un activo activo durante durante un Se obtiene periodo determinado determinado utilizando método fijo de saldo saldo periodo utilizando el método decreciente. (DB) decreciente. Se obtiene obtiene la depreciación depreciación de un activo activo durante durante un periodo específico específico utilizando utilizando el método método de saldo saldo periodo doblemente decreciente decreciente o algún otro método método que usted usted doblemente especifique. (DDB) (DDB) especifique. obtiene la tasa de descuento descuento para para un valor valor bursátil. bursátil. Se obtiene (DISC) (DISC) Convierte el precio precio en dólares dólares expresado expresado como como Convierte fracción en un precio precio en dólares dólares expresado expresado como fracción número decimal. decimal. (DOLLARDE) (DOLLARDE) número Convierte el precio precio en dólares dólares expresado expresado como como número número Convierte decimal en un precio precio en dólares expresado como decimal dólares expresado fracción. (DOLLARFR) (DOLLARFR) fracción. obtiene la duración duración anual valor bursátil bursátil con Se obtiene anual de un valor pagos periódicos periódicos de intereses. intereses. (DURATION) (DURATION) pagos obtiene la tasa de interés interés efectiva efectiva anual. (EFFECT) (EFFECT) Se obtiene obtiene el valor valor futuro futuro de una inversión. inversión. (FV) Se obtiene obtiene el valor futuro de un principal principal inicial inicial Se obtiene valor futuro después de aplicar aplicar una serie serie de tasas tasas de interés interés después compuestas. (FVSCHEDULE) (FVSCHEDULE) compuestas. obtiene la tasa de interés interés para para la inversión inversión total total en Se obtiene valor bursátil. bursátil. (lNTRATE) un valor (INTRATE) obtiene el pago pago de intereses intereses para una inversión inversión Se obtiene durante un periodo periodo específico. específico. (IPMT) (IPMT) durante obtiene la tasa interna interna de rendimiento rendimiento para para una serie Se obtiene efectivo. (IRR) de flujos de efectivo. obtiene el interés interés pagado durante un periodo periodo Se obtiene pagado durante específico inversión. (Proporciona (Proporciona compatibilicompatibiliespecífico de una inversión. Lotus 1-2-3.) (ISPMT) (ISPMT) dad con Lotus obtiene la duración duración modificada modificada de Macauley para Se obtiene Macauley para valor nominal nominal supuesto supuesto de un valor bursátil bursátil con un valor (MDURATION) $100. (MDURATION) obtiene la tasa interna interna de rendimiento rendimiento donde donde los Se obtiene efectivo positivos positivos y negativos negativos se financian financian a flujos de efectivo diferentes. (MIRR) (MIRR) tasas diferentes. obtiene la tasa de interés interés nominal nominal anual. Se obtiene (NOMINAL) (NOMINAL) obtiene el número número de periodos periodos para para una inversión. inversión. Se obtiene (NPER) (NPER) obtiene el valor valor presente presente neto de una inversión inversión con Se obtiene flujos de efectivo efectivo periódicos periódicos y una base en una serie de flujos tasa de descuento. descuento. (NPV) (NPV) tasa

761

762

APÉNDICE A APÉNDICE

programa Excel® Uso de hoja de cálculo y del programa Excel" de Microsoft

PRECIO.PERIRREGULAR1 PRECIO.PERIRREGULARl

,.

Se obtiene precio de un valor valor bursátil bursátil con un obtiene el precio periodo inicial irregular irregular por cada $100 $100 de valor valor periodo inicial por cada nominal. (ODDFPRICE) nominal. (ODDFPRICE) RENDTO.PERIRREGULAR.1 Se obtiene rendimiento de un valor bursátil con un obtiene el rendimiento valor bursátil RENDTO.PERIRREGULAR.l periodo inicial irregular. irregular. (ODDFYIELD) (ODDFYIELD) periodo inicial obtiene el precio PRECIO.PERIRREGULAR.2 Se obtiene precio de un valor valor bursátil bursátil con un último último PRECIO.PERIRREGULAR2 periodo irregular por cada cada $100 $100 de valor valor nominal. periodo irregular nominal. (ODDLPRICE) (ODDLPRICE) RENDTO.PER.IRREGULAR2 Se obtiene rendimiento de un valor bursátil con un obtiene el rendimiento valor bursátil RENDTO.PERIRREGULAR.2 periodo final irregular. periodo irregular. (ODDLYIELD) (ODDLYIELD) PAGO Se obtiene pago periódico periódico para para una una anualidad. obtiene el pago anualidad. (PMT) (PMT) obtiene el pago sobre el principal inverPAGOPRIN PAGOPRIN Se obtiene pago sobre principal para para una inverdurante un periodo dado. (PPMT) (PPMT) sión durante periodo dado. PRECIO Se obtiene precio por por cada nominal de obtiene el precio cada $100 de valor valor nominal PRECIO valor bursátil bursátil que paga paga interés periódico. (PRICE) un valor interés periódico. (PRICE) obtiene el precio cada $100 de valor PRECIO.DESCUENTO PRECIO.DESCUENTO Se obtiene precio por cada valor nominal nominal de un valor descuento. (PRICEDISC) (PRICEDISC) valor bursátil bursátil con descuento. obtiene el precio cada $100 $100 de valor PRECIO. PRECIO. VENCIMIENTO VENCIMIENTO Se obtiene precio por por cada valor nominal nominal de un valor intereses al vencimiento. valor bursátil bursátil que paga paga intereses vencimiento. (PRICEMAT) (PRICEMAT) obtiene el valor inversión. (PV) VA Se obtiene valor presente presente de una una inversión. obtiene la tasa tasa de interés interés por TASA Se obtiene por periodo periodo de una una anualidad. (RATE) anualidad. CANTIDAD.RECIBIDA obtiene el monto CANTIDAD.RECIBIDA Se obtiene monto recibido recibido al vencimiento vencimiento de un valor completamente invertido. invertido. (RECEIVED) (RECEIVED) valor bursátil bursátil completamente obtiene la depreciación depreciación en línea línea recta activo SLN Se obtiene recta de un activo durante un periodo. (SLN) durante periodo. (SLN) obtiene la depreciación depreciación por suma de SYD Se obtiene por el método método de la suma dígitos del año de un activo activo durante durante un periodo los dígitos periodo determinado. (SYD) (SYD) determinado. LETRADE.TES.EQV.ABOND obtiene el rendimiento bono equivalente equivalente a LETRA.DE.TES .EQV.A.BOND Se obtiene rendimiento para para un bono una tesorería (US Treasury Treasury bill). (TBILLEQ) una letra de tesorería bill). (TBILLEQ) LETRA.DE.TES.PRECIO obtiene el precio cada $100 $100 de valor LETRA.DE.TES.PRECIO Se obtiene precio por por cada valor nominal nominal de una letra de tesorería Treasury bill). una letra tesorería (US Treasury bill). (TBILLPRICE) (TBILLPRICE) obtiene el rendimiento letra de tesorería LETRA.DE.TES.RENDTO LETRA.DE.TES.RENDTO Se obtiene rendimiento de una una letra tesorería (US Treasury bill). (TBILLYIELD) (TBILLYIELD) Treasury obtiene la depreciación depreciación de un activo activo durante durante un DVS Se obtiene periodo especificado o parcial, periodo especificado parcial, utilizando utilizando el método método de decreciente con un cambio cambio a línea línea recta cuando saldo decreciente recta cuando (VDB) éste es mejor. (VDB) TIRNO.PER obtiene la tasa interna de rendimiento TIRNO.PER Se obtiene tasa interna rendimiento para para un programa flujos de efectivo efectivo que no necesariamente programa de flujos necesariamente (XIRR) es periódico. periódico. (XIRR) VNANO.PER obtiene el valor valor presente VNA.NO .PER Se obtiene presente neto de un programa programa de flujos de efectivo efectivo que no necesariamente flujos necesariamente es periódico. periódico. (XNPV) (XNPV) obtiene el rendimiento valor bursátil RENDTO RENDTO Se obtiene rendimiento en un valor bursátil que paga paga interés periódico. (YIELD) interés periódico. (YIELD)

RENl

RENl

MucJ trigo

A.6

Si E~ mem

SECCIÓN A.6 Mensajes Mensajes de error

RENDTO.DESC RENDTO.DESC

RENDTO.VENCTO RENDTO.VENCTO

obtiene el rendimiento anual de un valor Se obtiene rendimiento anual valor bursátil bursátil con descuento. bono del tesoro. tesoro. (US descuento. Por Por ejemplo, ejemplo, un bono Treasury bill). (YIELDDlSC) Treasury bill). (YIELDDlSC) Se obtiene rendimiento anual valor bursátil bursátil obtiene el rendimiento anual de un valor que paga paga intereses intereses al vencimiento. vencimiento. (YIELDMAT) (YIELDMAT)

Muchas para otras Muchas más funciones funciones están están disponibles disponibles en Excel Excel para otras áreas: matemáticas matemáticas y trigonometría, hora, base base de datos, trigonometría, estadística, estadística, fecha fecha y hora, datos, lógica lógica e información. información. A.6 A.6

MENSAJES DE ERROR MENSAJES

Si Excel puede terminar una fórmula fórmula o de una función, Excel no puede terminar el cálculo cálculo de una función, aparece aparece un mensaje de error. Algunos mensajes comunes mensaje Algunos mensajes comunes son: #¡DlV/O! #N/A #N/A #¿NOMBRE? #¿NOMBRE? #¡NULO! #¡NULO! #¡NUM! #¡NUM! #¡REF! #¡REF! #¡VALOR! #¡VALOR! ##### #####

Está tratando tratando de dividir dividir entre entre cero. cero. Está Se refiere refiere a un valor valor que no está está disponible. disponible. Utiliza un nombre nombre que Excel Utiliza Excel no reconoce. reconoce. Especifica una intersección Especifica intersección inválida inválida de dos áreas. Utiliza un número número incorrectamente. Utiliza incorrectamente. Se refiere refiere a una celda válida. celda que no es válida. Utiliza un argumento Utiliza argumento u operando operando inválido. inválido. Produce Produce un resultado, resultado, o incluye incluye un valor valor numérico numérico constante, para ajustarse constante, que es demasiado demasiado largo largo para ajustarse a la celda. celda. (Ensanche (Ensanche la columna.) columna.)

763

APENDICE B~; APENDICE B :' ELEMENTOS ELEMENTOS BÁSICOS DE LOS INFORMES INFORMES DE CONTABILIDAD CONTABILIDAD Y DE LAS LAS RAZONES FINANCIERAS FINANCIERAS

E (

11

11

Este apéndice apéndice ofrece ofrece una descripción descripción fundamental fundamental de los estados estados financieros. financieros. Los documentos para revisar revisar o entender documentos que se analizan analizan aquí aquí sirven sirven para entender los estados estados finanpara reunir reunir información estudio de ingeniería cieros básicos y para cieros básicos información útil en un estudio ingeniería económica. económica. Fijo

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE APRENDIZAJE OBJETIVOS

d

N

Objetivo general: general: reconocer entender los elementos elementos básicos de los estados estados financieros financieros reconocer y entender básicos de razones financieras fundamentales. y de de las razones financieras fundamentales. Este Este apéndice apéndice ayudará al lector lector a: a:

-- ..... 1-- II Balance general general

Estado de resultados; Estado de resultados; costo vendido costo de de lo vendido

-----

Razones financieras Razones financieras

B.1

1. Identificar 1. Identificar las las categorías categorías principales principales de un balance general general y su su relación básica. 2. Identificar Identificar las las categorías categorías principales principales de un estado estado de resultados resultados vendido y sus y un estado estado de costo de lo vendido sus relaciones básicas. básicas.

.....II

TOll

por ejl se pre princij

3. Calcular e interpretar financieras fundamentales. fundamentales. interpretar las las razones financieras

EL EL BALANCE BALANCE GENERAL GENERAL

tributario están para una corporaEl año fiscal y el año tributario están definidos definidos en forma forma idéntica idéntica para corporación o para para un individuo: meses de duración. individuo: 12 meses duración. El año fiscal (AF) por lo general general no es el año de calendario para una corporación. EUA utiliza calendario (AC) para corporación. El gobierno gobierno de EUA utiliza el periodo octubre a septiembre septiembre como como su AF. Por ejemplo, octubre octubre de 2001 hasta periodo de octubre Por ejemplo, hasta septiembre septiembre de 2002 2002 es AF2002. AF2002. Para Para un ciudadano ciudadano individual, individual, el año fiscal fiscal o año tributario siempre es el año de calendario. calendario. tributario siempre Al final de cada cada año fiscal, una compañía compañía publica balance general. publica un balance general. Una muestra general para TeamWork Corporation se presenta B .1. muestra de balance balance general para Team Work Corporation presenta en la tabla tabla B.1. Ésta presentación anual de un estado momento particular, particular, Ésta es una presentación estado de la firma firma en un momento

P:

C: El balr

SECCIÓN B.1

TABLA TABLA

B.1

Balance general

Muestra de balance general TEAMWORK CORPORATION CORPORATION TEAMWORK Balance general general Balance Diciembre 31,2006 31, 2006 Diciembre

Activos Activos Circulante Circulante Efectivo Cuentas por cobrar Intereses acumulados por cobrar Inventarios Total activos corrientes

Pasivos Pasivos

$10 500 18700 18700 500 52000 52000

Cuentas por pagar Dividendos por pagar Documentos de largo plazo por pagar Bonos por pagar Total pasivos

$81 700 $81

$19700 $19700 7000 7000 16000 16000 20000 20000 $62700 $62700

Capital Capital

Fijos · Terrenos Construcciones y equipo Construcciones Menos: Reserva para depreciación $82 000 Total activos fijos activos Total acti vos

$25000 $25000 438000 438000

Acciones comunes preferenciales Acciones preferenciales Utilidades retenidas

$275000 $275000 100000 100000 25000 25000

356000 356000 381000 381000 $462700 $462700

Total capital Total pasivos y capital

400000 400000 $462700 $462700

ejemplo, de diciembre diciembre de 2006; sin embargo, embargo, por lo común común el balance balance general general por ejemplo, prepara trimestral trimestral o mensualmente. mensualmente. Observe Observe que se utilizan utilizan las tres categorías categorías se prepara principales. principales. Activos. Resumen Resumen de todos los recursos recursos poseídos poseídos por la compañía compañía o que se le Activos. adeudan a ésta. Hay dos clases clases principales principales de activos. activos. Los activos activos circuadeudan representan capital capital de trabajo trabajo de corto corto plazo plazo (efectivo, (efectivo, cuentas cuentas por lantes representan etcétera), que pueden pueden convertirse convertirse más fácilmente fácilmente a efectivo, efectivo, por lo cobrar, etcétera), general, en menos menos de 1 año. Se hace referencia referencia a los activos activos de largo plazo general, plazo como activos activos fijos (terreno, equipo, equipo, etcétera). etcétera). La conversión conversión de estas posefijos (terreno, como efectivo en un corto plazo plazo requeriría requeriría una una reorientación reorientación corporativa corporativa siones a efectivo importante. importante. Pasivos. Resumen Resumen de todas todas las obligaciones obligaciones financieras financieras (deudas, (deudas, hipotecas, hipotecas, Pasivos. préstamos, etcétera) etcétera) de una corporación. corporación. La deuda de bonos bonos se incluye incluye préstamos, aquí. Capital. Es un resumen resumen del valor financiero financiero de la propiedad, propiedad, incluyendo incluyendo las Capital. acciones emitidas emitidas y las utilidades utilidades retenidas retenidas por la corporación. corporación. acciones balance general general se construye construye utilizando utilizando la relación relación El balance Activos = = pasivos pasivos + capital capital Activos

765 765

766

APÉNDICE B

Elementos básicos de los informes de contabilidad contabilidad

categoría se divide divide adicionalmente adicionalmente en subcategorías subcategorías establa B.I B.l cada cada gran categoría En la tabla tándar. Por ejemplo, ejemplo, los activos activos circulantes circulantes se componen componen de efectivo, efectivo, cuentas cuentas por por tándar. cobrar, etcétera. etcétera. Cada Cada subdivisión subdivisión tiene una interpretación interpretación específica, específica, tal como cuencobrar, cobrar, que representa representa todo el dinero dinero adeudado adeudado a la compañía compañía por sus clienclientas por cobrar, habituales. tes habituales.

B.2

.:

ESTADO DE RESULTADOS Y ESTADO ESTADO ESTADO COSTO DE LO VENDIDO VENDIDO DEL COSTO

estado financiero, financiero, segundo segundo en importancia, importancia, es el estado estado de resultados resultados (tabla (tabla Otro estado B.2). El estado estado de resultados resultados resume resume las utilidades utilidades o las pérdidas pérdidas de la corporación corporación B.2). durante un periodo periodo establecido. establecido. Los estados estados de resultados resultados siempre siempre acompañan acompañan a los durante balances generales. generales. Las categorías categorías principales principales de un estado estado de resultados resultados son: balances

M¡

eo eo eo

Ingresos. Todas las ventas ventas y entradas entradas por intereses intereses que la compañía compañía recibió recibió Ingresos. durante el pasado pasado periodo periodo contable. contable. durante Gastos. Resumen Resumen de todos los gastos gastos durante durante el periodo. periodo. Algunas Algunas cantidades cantidades Gastos. gastos aparecen aparecen en otros estados, estados, por ejemplo, ejemplo, el costo costo de lo vendido vendido y de gastos impuestos sobre sobre la renta. de los impuestos estado de resultados, resultados, publicado publicado simultáneamente simultáneamente con el balance balance general, general, utiliza utiliza El estado ecuación básica: básica: la ecuación

El senta e lo veru do, COI to cue: genera como I zando

Ingresos - gastos gastos = = utilidad utilidad (o pérdida) pérdida) Ingresos

TABLA TABLA

8.2 8.2

Muestra del estado de resultados TEAMWORK CORPORATION CORPORATION TEAMWORK Estado de de resultados resultados Estado terminado el 31 de de diciembre, diciembre, 2006 2006 Año terminado

Ingresos Ventas Ventas Ingresos de intereses Ingresos totales Gastos Costo de lo vendido (de acuerdo con la tabla B.3) Por venta Administrativos Administrativos Otros Gastos totales Ingreso antes de impuestos Impuestos durante el año Utilidad neta neta durante durante el año Utilidad

e $505000 3500 3500 $508500 $290000 28000 28000 35000 35000 12000

El ren] cargad costos

B.3 365000 143500 64575 64 575 $ 78925

Losco los anr unaco que el deben;

SECCIÓN B.3

TABLA TABLA

B.3

767

Razones financieras

Muestra del estado del costo de lo vendido TEAMWORK TEAMWORK CORPORATION CORPORATION Estado vendido Estado del del costo costo de de lo vendido terminado el 31 Año terminado 31 de de diciembre. diciembre. 2006 2006

Materiales Materiales Inventario, enero 1,2002 1,2002 Compras durante el año Totales Menos: Inventario Inventario diciembre 31, 2002 Costo de materiales Mano de obra directa Costo primo Costos indirectos Costos de fabricación Incremento en el inventario de producto Menos: Incremento terminado durante el año Costo de lo vendido (en la tabla B.2)

$54000 $54000 174500 174500 $228500 $228500 50000 50000 $178 500 110000 110000 288500 288500 7000 7000 295500 295500 5500 5500 $290000 $290000

importante, el cual cual reprereprecosto de lo vendido El costo vendido es un término término de contabilidad contabilidad importante, senta el costo neto de generar generar el producto comercializado por costo de senta producto comercializado por la firma. El costo costo de fabricación. costo de lo vendilo vendido vendido también también recibe recibe el nombre nombre de costo fabricación. El costo vendicomo aquel que aparece aparece en la tabla determinar exactamente exactamente cuáncuándo, como tabla B.3, es útil al determinar to cuesta cuesta fabricar fabricar un producto específico durante durante un periodo establecido, por producto específico periodo establecido, por lo general un año. Observe Observe que el total del estado estado del costo costo de lo vendido ingresa general vendido se ingresa gastos en el estado estado de resultados. determina utilicomo un reglón reglón de gastos resultados. Este total total se determina utilizando las relaciones: zando relaciones: Costo de lo vendido = costo costo primo costo indirecto indirecto Costo vendido = primo + costo Costo primo = materiales directos + mano directa materiales directos mano de obra directa Costo primo =

[B .1] [B.1]

costos indirectos indirectos incluye incluye todos los costos costos indirectos indirectos y gastos gastos generales generales El renglón renglón costos cargados a un producto, centro de costo. Los métodos asignación de cargados producto, proceso proceso o centro métodos de asignación costos indirectos indirectos se analizan analizan en el capítulo capítulo 15. costos

8.3

RAZONES FINANCIERAS FINANCIERAS RAZONES

contadores, analistas financieros e ingenieros ingenieros economistas economistas utilizan con frecuencia frecuencia Los contadores, análisis de razones financieras para evaluar la salud financiera financiera (condición) (condición) de los análisis razones financieras para evaluar una compañía compañía en el tiempo industria. Debido Debido a tiempo y en relación relación con las normas normas de la industria. ingeniero economista economista debe debe comunicarse comunicarse continuamente continuamente con otros, él (ella) que el ingeniero debería tener conocimiento básico diversas razones. Para fines de compacompadebería tener un conocimiento básico de las diversas razones. Para

Costos indirectos indirectos Costos

768

APÉNDICE B APÉNDICE

contabilidad Elementos Elementos básicos básicos de de los los informes informes de de contabilidad

ración, es necesario necesario calcular calcular las razones compañías en la misma industria. La ración, razones para para compañías misma industria. mediana de valores valores de las razones industrias se publica anualmente por mediana razones en las industrias publica anualmente por fircomo Dun and Bradstreet Industry Norms Narms and and Key Business Business Ratios. Ratias. mas tales como Bradstreet en Industry razones se clasifican Las razones clasifican por por lo común común de acuerdo acuerdo con su papel papel de medición medición de la corporación. corporación. Razones de solvencia, solvencia. Capacidad Capacidad de satisfacer satisfacer las obligaciones obligaciones financieras financieras de Razones corto y de largo plazos. plazos. Razones eficiencia. Medidas capacidad de la gerencia gerencia para Medidas que reflejan reflejan la capacidad para Razones de eficiencia, utilizar y controlar controlar los activos. activos. utilizar Razones de rentabilidad. rentabilidad, Evalúan Evalúan la capacidad capacidad de obtener obtener un rendimiento rendimiento Razones corporación. para los propietarios propietarios de la corporación.

Es sil de cc Corp

Lacc veces barge come en in"

información numérica diferentes razones analizan aquí aquí La información numérica para para diferentes razones importantes importantes que se analizan obtuvo del balance balance general general y del estado estado de resultados B.l se obtuvo resultados de TeamWork, TeamWork, tablas tablas B.1 yB.2. yB.2.

Razó,

Razón corriente corriente (o índice índice de liquidez) liquidez) Esta analizar la conRazón Esta razón razón se utiliza utiliza para para analizar dición del capital capital de trabajo compañía; se define define como: como: dición trabajo de la compañía;

Para'

( l'rqui activos circulantes circulantes ' corriente ,° (o diIce d e 1° idez) activos azon corriente --------o 'IDd' lqm'd) ez == =--------R'azon pasivos circulantes pasivos circulantes í

pasivos circulantes circulantes incluyen como cuencuenLos pasivos incluyen todas las deudas deudas de corto corto plazo, plazo, tales tales como dividendos por Observe que en la razón corriente (o índice índice de liquidez) liquidez) tas y dividendos por pagar. Observe razón corriente solamente se utilizan utilizan datos asocia con los ingreingresolamente datos del balance balance general; general; es decir, no se asocia circulantes son B.l, los pasivos pasivos circulantes sos o los gastos. Para Para el balance balance general general de la tabla tabla B.1, $19700 + $7 000 = = $26 700 Y $19700 . diIce de de li 3 .06 Razón corriente (oo 10 índice liquidez) R'azon comente lqmidez) ez = = 81 700 = = 3.06 26700 26700

Los 2 aecio eione las 01 es del a su ii Otra

í

Puesto que los pasivos aquellas deudas deudas por siguienPuesto pasivos circulantes circulantes son aquellas por pagar pagar en el año siguiente, el valor valor de la razón 3.06 significa significa que los activos activos circulantes razón corriente corriente de 3.06 circulantes cubricubrideudas de corto aproximadamente 3 veces. rían las deudas corto plazo plazo aproximadamente veces. Son comunes comunes los valores valores para la razón corriente. de 2 a 3 para razón corriente. razón corriente corriente supone supone que el capital La razón capital de trabajo trabajo invertido invertido en inventario inventario pueconvertirse a efectivo efectivo de manera embargo, de convertirse manera bastante bastante rápida. rápida. Con Con frecuencia, frecuencia, sin embargo, puede obtenerse obtenerse una financiera de la posición financiera inmediata inmediata de puede una mejor mejor idea idea financiera posición financiera compañía, utilizando una compañía, utilizando la razón razón de la prueba prueba del ácido. Razón de la prueba (razón de liquidez liquidez rápida) Razón prueba del del ácido ácido (razón rápida) , , ,. Razon de la prueba ácido Razon prueba del aCldo

==

Ras» marg

La ul razór eión preei Corp

Esta Esta razón razón es:

activos activos líquidos lÍ(luidos pasivos circulantes pasivos circulantes

.

activos cirulantes cirulantes - inventarios inventarios activos pasivos circulantes pasivos circulantes

=------------=

Las ( ejerm verde razór

SECCIÓN B.3 SECCIÓN

Razones Razones financieras financieras

significativa para para la situación situación de emergencia emergencia cuando cuando la firma Es significativa firma debe cubrir cubrir deudas deudas corto plazo plazo utilizando utilizando sus activos activos fácilmente fácilmente convertibles. convertibles. Para de corto Para TeamWork TeamWork Corporation. Corporation.

' de 1a prue b a dl"d 81-700 - 52 000- -_ -_ 1.11 del ácido = 52000 1.11 R azon aCl =------e aCl --26700 26700 comparación de esta razón y la razón corriente corriente muestra muestra que aproximadamente La comparación aproximadamente 2 deudas corrientes corrientes de la compañía compañía están están invertidas invertidas en inventarios. veces las deudas inventarios. Sin emprueba del ácido de cerca cerca de 1.0 se considera, bargo, una razón de la prueba considera, en general, general, como una posición posición corriente corriente fuerte, fuerte, independientemente independientemente de la cantidad como cantidad de activos activos inventarios. en inventarios. Razón de deuda deuda Razón

Esta es una medida para la fortaleza financiera, según la definición: pasivos totales totales pasivos Razón de deuda deuda = = -"------~-----Razón activos totales activos totales

Team Work Corporation, Corporation, Para Team Razón de deuda deuda = = 62 700 = = 0.136 Razón 0.136 462700 462700 acreedores de TeamWork TeamWork tienen tienen 13.6% de la propiedad propiedad de la compañía Los acreedores compañía y sus accionistas 86.4%. Una Una razón deuda en el rango accionistas razón de deuda rango de 20% 20% o menos menos indica indica condicondiciones financieras financieras muy buenas, temor a una ciones buenas, con poco temor una reorganización reorganización forzada forzada por por obligaciones no pagadas. pagadas. Sin embargo, embargo, una compañía compañía virtualmente las obligaciones virtualmente sin deudas, deudas, razón de deuda deuda muy baja, tal vez no tenga tenga un futuro futuro prometedor debido es decir, con razón prometedor debido a su inexperiencia inexperiencia en el manejo manejo del financiamiento financiamiento con deuda deuda de corto corto y largo plazos. Otra medida patrimonio propio. propio. medida de fortaleza fortaleza financiera financiera es la mezcla mezcla de deuda deuda con patrimonio Razón de rendimiento rendimiento sobre sobre ventas ventas Esta razón, razón, frecuentemente frecuentemente citada, Razón citada, indica indica el margen de utilidad utilidad para para la compañía; compañía; se define define como: margen utilidad neta . . neta Rendimiento sobre sobre ventas ventas = = utilidad (lOO RendImIento (100 % ) ventas netas ventas netas utilidad neta neta es el valor valor después después de impuestos impuestos del estado La utilidad estado de resultados. resultados. Esta Esta utilidad obtenida obtenida por dólar dólar en ventas ventas e indica indica qué tan bien razón mide la utilidad bien la corporacorporapuede sostener sostener en condiciones condiciones adversas adversas a través través del tiempo, ción se puede tiempo, tales tales como como precios en descenso, descenso, costos costos en aumento aumento y ventas ventas en descenso. Para TeamWork precios descenso. Para TeamWork Corporation: Corporation: Rendimiento sobre ventas ventas = = 78925 78925 (100%) = 15.6% Rendimiento (100%) = 505000 505000 corporaciones pueden pueden indicar indicar razones razones bajas bajas de rendimiento rendimiento sobre sobre ventas, Las corporaciones ventas, por por ejemplo 2.5% a 4.0%, 4.0%, como indicadores indicadores de condiciones condiciones económicas económicas de receso. ejemplo receso. En verdad, para para un negocio negocio de un volumen volumen relativamente relativamente grande verdad, grande y de alta rotación, rotación, una una razón de ingresos de 3% es bastante constante bastante saludable. Por supuesto, supuesto, una razón en constante

769

770

APÉNDICE B APÉNDICE

Elementos básicos básicos de los Elementos los informes informes de de contabilidad contabilidad

decrecimiento indica indica aumento aumento en los gastos absorben la utilidecrecimiento gastos de la compañía, compañía, que absorben utilidespués de impuestos. impuestos. dad neta después

D

cias; s contar

Razón rendimiento de los activos Razón de rendimiento activos Éste es el indicador indicador clave clave de la rentabilidad rentabilidad puesto que evalúa evalúa la capacidad capacidad de la corporación puesto corporación para para transferir transferir activos activos en utilidad utilidad operaciones. La definición definición y el valor de operaciones. valor para para TeamWork TeamWork son: Rendimiento de los activos activos Rendimiento

==

utilidad utilidad neta neta (100%) 000%) activos activos totales totales

Ac COl!

las

(100%) = 17.1% 17.1 % = 78925 78925 (100%) 462700 462700 El uso eficiente eficiente de los activos activos indica indica que la compañía compañía debería debería obtener obtener un rendimienrendimienmientras que bajos rendimientos rendimientos generalmente acompañan a valores to alto; mientras generalmente acompañan valores bajos bajos de razón, comparados comparados con las razones esta razón, razones del correspondiente correspondiente grupo grupo industrial. industrial. Razón de rotación rotación del inventario inventario Aquí Razón Aquí se utilizan utilizan dos razones razones diferentes. diferentes. Ambas Ambas indican el número número de veces veces que el valor operaindican valor del inventario inventario promedio promedio pasa pasa por por las operaciones de la compañía. compañía. Si se desea desea la rotación inventario a ventas ciones rotación del inventario ventas netas, netas, la fórmula es: fórmula ventas ventas netas netas Ventas netas netas a inventario =--------Ventas inventario = -------inventario inventario promedio promedio donde el inventario inventario promedio promedio es la cifra donde cifra registrada registrada en el balance balance general. general. Para Para TeamWork Corporation esta razón Team Work Corporation razón es:

anur So

No

505000 = 505000 Ventas netas a inventario inventario = 52000 52000

== 9.71

esd

que

significa que el valor promedio Esto significa promedio del inventario inventario se ha vendido vendido 9.71 9.7 1 veces veces duranduranvalores de esta razón entre una industria te el año. Los valores razón varían varían bastante bastante entre industria y otra. otra. rotación del inventario inventario se relaciona Si la rotación relaciona con el costo de lo vendido, vendido, la razón razón a utilizar es: utilizar

d'd . t ' ' os to ddee 1loo ven loa mven arIO Costo vendido a inventario C

lo costo de--_ lo.- vendido vendido -- de - - ==--costo

inventario invent.a rio promedio promedio

Ahora, el inventario inventario promedio promedio se calcula Ahora, calcula como como el promedio promedio de los valores valores de inveninveninicial y final en el estado estado de costo costo de lo vendido. tario inicial vendido. Esta Esta razón razón se utiliza utiliza en general como como una medida medida de la tasa de rotación inventario en las compañías compañías general rotación de inventario manufactureras. Dicha Dicha razón razón varía según la industria, industria, aunque aunque la gerencia gerencia desea desea vermanufactureras. varía según relativamente constante constante a medida TeamWork, la relativamente medida que el negocio negocio aumenta. Para Para Team Work, usando usando valores de la tabla tabla B.3, los valores

' da'inventano .. = 290000 illlventano osto de 1o ven ddido loa C asto loa = 1 290000 50000) --(54000 (54000 + 50000) 2

== 5 .58

CO~

250

SECCIÓN B.3

Razones financieras

Desde luego existen muchas otras razones para utilizar en diversas circunstancias; sin embargo, las que aquí se presentan se utilizan comúnmente, tanto por los contadores como por los analistas económicos.

EJEMPLO

8.1

~

A continuación se presentan valores típicos de razones o porcentajes financieros de cuatro compañías nacionales analizadas. Comparta los valores de Team Work Corporation con las normas que se muestran y haga comentarios acerca de las diferencias y similitudes.

Razón o porcentaje Razón corriente Razón ácida Razón de deuda Rendimiento sobre los activos

Manufactura de vehículos de motor y sus refacciones

336105* 2.4 l.6 59.3% 40.9%

Transporte aéreo (tamaño medio)

Manufactura de maquinaria industrial

Muebles para el hogar

333200*

442000*

481 000* 0.4

1.7

0.3 96.8% 8.1%

0.9 6l.5% 6.4%

2.6 1.2 52.4% 5.1%

*Código del North American lndustry Classification System (NAICS) para el sector industrial en cuestión. FUENTE: L. Troy, Almanac of Business and Industrial Financial Ratios, 33a. edición anual, Prentice-Hall, Paramus, NJ, 2002. Solución No es correcto comparar las razones de una compañía con los índices de industrias distintas, es decir, con los de aquellas que tengan diferente código NAlCS. Por tanto, la comparación que sigue sólo tiene fines ilustrativos. Los valores correspondientes de Team Work son: Razón corriente = 3.06 Razón ácida = 1.11 Razón de deuda = 13.5% Rendimiento

sobre los activos = 17.1 %

TeamWork tiene una razón corriente mayor que todas las otras cuatro industrias, ya que 3.06 indica que puede cubrir 3 veces sus obligaciones actuales, en comparación con 2.6 y mucho menos en el caso del promedio de las corporaciones de transporte aéreo. Team Work tiene una razón de deuda significativamente más baja que cualquiera de las industrias que se muestran, por lo que es probable que tenga más salud financiera. El rendimiento sobre los activos, que es una medida de la capacidad de convertir éstos en utilidades, no es tan alto en Team Work como en la industria automotriz, pero Team Work compite bien con los demás sectores industriales. Para hacer una comparación justa de las razones de Team Work con otros valores es necesario tener las normas para su tipo de industria, así como los de otras corporaciones en la misma categoría NAICS y con el mismo tamaño de activos totales. Los activos corporativos se clasifican en categorías en unidades de $100 000; por ejemplo de 100 a 250, 1 001 a 5 000, más de 250 000, etcétera.

771

772

APÉNDICE B APÉNDICE

Elementos básicos básicos de los informes informes de contabilidad contabilidad Elementos

PROBLEMAS PROBLEMAS

LlBRI

siguiente información información financiera financiera (en miles de La siguiente dólares) corresponde corresponde al mes de julio julio 20XX para dólares) Non-Stop, lnc. Utilice Utilice esta información información para para reNon-Stop, problemas B.1 B.l a B.5. solver los problemas Situación actual, actual, julio 31, 20XX 20XX Situación julio 31, Cuenta Cuenta

B.l B.1

B.2

¿Cuál es el cambio cambio neto en el valor valor del inventario de materiales durante ventario materiales durante el mes?

B.3

Utilice Utilice la información información del resumen resumen para para desarrollar a) un estado jusarrollar estado de resultados resultados para paraju20XX y b) la ecuación ecuación básica lio 20XX básica del estado estado de resultados. resultados. e) ¿Qué porcentaje porcentaje de los ingresos gresos se reporta reporta como como ingreso ingreso después después de impuestos? impuestos?

Saldo Saldo

Cuentas por por pagar pagar Cuentas Cuentas por por cobrar cobrar Cuentas Bonos por por pagar pagar (20 años) años) Bonos Edificaciones (valor (valor neto) neto) Edificaciones Efectivo disponible disponible Efectivo Dividendos por por pagar pagar Dividendos Valor de inventario inventario (todos (todos los inventarios) inventario s) Valor Valor terrenos Valor terrenos Hipotecas largo plazo plazo por por pagar pagar Hipotecas de largo Utilidades Utilidades retenidas retenidas Valor acciones en circulación circulación Valor de acciones

$ 35000 35000 29000 29000 110000 110000 605000 605000 17000 17000 8000 8000 31000 31000 450000 450000 450000 450000 154000 154000 375000 375000

B.4

Mano Mano de obra obra directa directa Gastos Gastos Seguros Seguros Venta Venta Arrendamiento Arrendamiento Salarios Salarios Otros Otros Total Total Impuesto sobre la Impuesto sobre la renta renta Incremento Incremento del del inventario inventario de de producto producto terminado terminado Inventario Inventario de de materiales, materiales, julio julio 1, 20XX 20XX Inventario Inventario de de materiales, materiales, julio julio 31, 20XX 20XX Compras Compras de de materiales materiales Cargos Cargos de de gastos gastos generales generales Ingresos Ingresos por por ventas ventas

B.S B.5

Monto Monto

$ 50000 50000 $ 20000 20000 62000 62000 40000 40000 110000 110000 62000 62000 294000 294000 20000 20000 25000 25000 46000 46000 25000 25000 20000 20000 75000 75000 500000 500000

a) Calcule Calcule el valor valor de cada cada razón razón financiera financiera

que que utiliza utiliza solamente solamente información información del balance general del estado lance general estado que usted usted elaboró elaboró en el problema B.L b) ¿Qué porcentaje problema B.L ¿Qué porcentaje de la deuda está deuda corriente corriente de la compañía compañía no está disponible y en inventario? disponible inventario?

Transacciones Transacciones para para julio julio 20XX 20XX Categoría Categoría

Utilice la información información del resumen resumen de cuenUtilice para construir construir un balance balance general general para tas a) para Non-Stop, julio para deterNon-Stop, julio 31, 20XX, 20XX, y b) para minar el valor valor de cada cada término término en la ecuaecuaminar básica del balance balance general. general. ción básica

a) Calcule Calcule la razón razón de la rotación rotación de inveninven-

tario tario (con (con base base en las ventas ventas netas) netas) para para Non-Stop, Non-Stop, lnc., lnc., y establezca establezca su significado. significado. b) ¿Con ¿Con qué qué porcentaje porcentaje de cada cada dólar dólar de ventas ventas puede puede contar contar la compañía compañía como como utiliutilidad? e) Si Non-Stop Non-Stop es una una aerolínea, aerolínea, ¿cómo ¿cómo se compara compara su indicador indicador clave clave de la rentarentabilidad bilidad con con el valor valor de la razón razón mediana mediana de su NAICS? NAICS?

Bowm 2¡

Bussey p¡

Canad: M Collier p¡

Escher N Fabryc p¡

Innes,

H

Levy, ~ Vv Newna

9¡

Ostwal S¡ Ostwal M Park, ( S: Park, ( R Peurifc N Stewar 2¡ SUlliV2 U Thues¡ U White, Al Young

uso Gootfr

SITIC

Para e! Índice Índice

LIBROS DE TEXTO ACERCA DE TEMAS TEXTO ACERCA TEMAS RELACIONADOS RELACIONADOS Bowman, Applied Economic Economic Analysis Analysis for for Technologists, Engineers, and Managers, Technologists, Engineers, and Managers, Bowman, M. S. S.:: Applied 2a. ed. Nueva Jersey, 2a. ed.,, Pearson Pearson Prentice-Hall, Prentice-Hall, Upper Upper Saddle Saddle River, River, Nueva Jersey, 2003. 2003. Bussey, L. E. y T. G. Eschenbach: Eschenbach: The The Economic of Industrial ed., Economic Analysis Analysis of Industrial Projects, Projects, 2a. ed., Bussey, Pearson Nueva Jersey, Pearson Prentice-Hall, Prentice-Hall, Upper Upper Saddle Saddle River, River, Nueva Jersey, 1992. 1992. Canada, J. J. R., W. G. Sullivan Sullivan y J. A. White: White: Capital Capital Investment and Investment Analysis Analysis for for Engineering Engineering and Canada, Management, ed., Pearson Pearson Prentice-Hall, Prentice-Hall, Upper Upper Saddle Saddle River, River, Nueva Jersey, 1996. 1996. Nueva Jersey, Management, 2a. ed., Collier, C. A. A. y C. R. Glagola: Glagola: Engineering and Economic Cost Analysis, 3a. ed., ed., Pearson Pearson Engineering and Economic Cost Analysis, 3a. Collier, Prentice-Hall, Upper Upper Saddle Saddle River, River, Nueva Jersey, 1999. 1999. Prentice-Hall, Nueva Jersey, Eschenbach, T. G.: Engineering Theory to Practice, McGraw-Hill, Engineering Economy: Economy: Applying Applying Theory Practice, McGraw-Hill, Eschenbach, Nueva York, 1995. 1995. Nueva York, Fabrycky, W. J. G., J. Thuesen Thuesen y D. Yerma: Yerma: Economic ed., Pearson Pearson Economic Decision Decision Analysis, Analysis, 3a. ed., Fabrycky, Prentice-Hall, Upper Upper Saddle Saddle River, River, Nueva Jersey, 1998. 1998. Prentice-Hall, Nueva Jersey, Innes, J., F. Mitchell Mitchell y T. Yoshikawa: Costing for Engineers, John John Wiley Wiley & & Sons, Sons, Yoshikawa: Activity Activity Costing for Engineers, Innes, Hoboken, Nueva Jersey, 1994. 1994. Hoboken, Nueva Jersey, Levy, S. M.: Build, Operate, Transfer: Transfer: Paving Tomorrow's Infrastructure, John Build, Operate, Paving the Way for for Tomorrow's Infrastructure, John Levy, Wiley & & Sons, Sons, Hoboken, Jersey, 1996. 1996. Hoboken, Nueva Nueva Jersey, Wiley Newnan, G.,, T. G. Eschenbach Eschenbach y J. P. Lavelle: Lavelle: Engineering Engineering Economic Economic Analysis, Analysis, Newnan, D. G. 9a. ed., ed., Oxford Oxford University University Press, Press, Nueva York, 2004. 2004. 9a. Nueva York, Ostwald, P. F.: Construction Construction Cost Cost Analysis and Estimating Pearson Prentice-Hall, Upper Analysis and Estimating,; Pearson Prentice-Hall, Upper Ostwald, Saddle River, River, Nueva Jersey, 200l. 200l. Saddle Nueva Jersey, Ostwald, P. F. Y Y T. S. McLaren: McLaren: Cost Cost Analysis and Estimating and Ostwald, Analysis and Estimating for for Engineering Engineering and Management, Pearson Prentice-Hall, Prentice-Hall, Upper Upper Sadd]e Saddle River, River, Nueva Jersey, 2004. 2004. Management, Pearson Nueva Jersey, Park, C. S.: Contemporary Contemporary Engineering ed., Pearson Pearson Prentice-Hall, Prentice-Hall, Upper Upper Engineering Economics, Economics, 3a. ed., Park, Saddle River, River, Nueva Jersey, 2002. 2002. Saddle Nueva Jersey, Park, C. S.: Fundamentals of Engineering Prentice-Hall, Upper Upper Saddle Saddle Fundamentals of Engineering Economics, Economics, Pearson Pearson Prentice-Hall, Park, River, Nueva Jersey, 2004. 2004. River, Nueva Jersey, Peurifoy, R. L. yY G. G. D. D. Oberlender: Oberlender: Estimating Construction Costs, Costs, 5a. 5a. ed., ed., McGraw-Hill, McGraw-Hill, Estimating Construction Peurifoy, Nueva 2002. Nueva York, York, 2002. Stewart, R. D., D., R. M. M. Wyskida Wyskida y J. D. Johannes: Johannes: Cost Cost Estimator's Estimator's Reference Reference Manual, Manual, Stewart, ed., John John Wiley Wiley & & Sons, Sons, Hoboken, Hoboken, Nueva Jersey, 1995. 1995. 2a. ed., Nueva Jersey, Sullivan, W. G., E. Wicks Wicks y J. Luxhoj: Luxhoj: Engineering 12a. ed., ed., Pearson Pearson Prentice-Hall, Prentice-Hall, Engineering Economy, Economy, 12a. Sullivan, Upper Saddle Saddle River, River, Nueva Jersey, 2003 2003. . Upper Nueva Jersey, Thuesen, G. G. L. YY W. J. Fabrycky: Fabrycky: Engineering ed., Pearson Pearson Prentice-Hall, Prentice-Hall, Engineering Economy, Economy, 9a. ed., Thuesen, Upper Saddle Saddle River, River, Nueva Jersey, 200l. 200l. Upper Nueva Jersey, White, J. A., A., K. E. Case, Case, D. D. B. Pratt Pratt y M. M. H. Agee: Agee: Principles of Engineering White, Principies of Engineering Economic Economic Analysis, 4a. ed., ed., John John Wiley Wiley & & Sons, Sons, Nueva Jersey, 1997. 1997. Nueva Jersey, Analysis, 4a. Young, D.: D.: Modern John Wiley Wiley & & Sons, Sons, Hoboken, Hoboken, Nueva Jersey, 1993. 1993. Modern Engineering Engineering Economy, Economy, John Nueva Jersey, Young,

USO DE EXCEL EN INGENIERíA INGENIERíA ECONÓMICA ECONÓMICA USO Gootfried, Nueva York, Gootfried, B. B. S.: Spreadsheet Spreadsheet Too]s Tools for for Engineers Engineers Using Using Excel, Excel, McGraw-HilJ, McGraw-Hill, Nueva York, 2003 2003

SITIOS WEB WEB SITIOS Para este este libro: libro: www.rnhhe.comlcatalogs www.mhhe.comlcatalogs Para Índice de estimación estimación de costos costos de planta: www.che.comlpindex Índice planta: www.che.comlpindex Índice de estimación estimación de de costos costos de construcción: construcción: www.construction.com Índice www.construction.com

774 774

MATERIALES DE DE REFERENCIA REFERENCIA MATERIALES

PUBLICACIONES ESPECIALIZADAS ESPECIALIZADAS REVISTAS Y PUBLICACIONES Corporations, Publication Publication 542, 542, Departamento Departamento del Tesoro; Tesoro; Internal Internal Revenue Revenue Service; Service; Oficina Oficina Corporations, Publicaciones del Gobierno, Gobierno, Washington, Washington, DC, DC, publicación publicación anual. anual. de Publicaciones Engineering News-Record, News-Record, McGraw-Hill, McGraw-Hill, Nueva Nueva York, York, publicación publicación mensual. mensual. Engineering Harvard Business Business Review, Review, Harvard Harvard University University Press, Press, Boston, Boston, 6 números números por por año. año. Harvard How to deprecia depreciatete property, Publication 946, 946, Departamento Departamento del Tesoro; Tesoro; Internal Revenue How property, Publication Internal Revenue Service, Oficina de Publicaciones Publicaciones del Gobierno, Gobierno, Washington, Washington, DC, DC, publicación publicación anual. anual. Service, Oficina Journal of of Finance, American Finance Finance Association, Association, Nueva Nueva York, York, 5 números números por año. Journal Finance, American por año. Sales and and other other dispositions dispositions of oi assets, Publication 542, Departamento Departamento del Tesoro; Tesoro; Internal Internal Sales Publication 542, Revenue Oficina de Publicaciones Publicaciones del Gobierno, Gobierno, Washington, Washington, DC, DC, publicación publicación Revenue Service, Service, Oficina anual. anual. engineering economist, economist, publicación publicación conjunta conjunta de Engineering Engineering Economy Economy Divisions Divisions de ASEE ASEE The engineering lEE, publicada publicada por Taylor and and Francis, Francis, Filadelfia, Filadelfia, PA, publicación publicación trimestral. trimestral. e lEE, por Taylor Guide, Commerce Commerce Clearing Clearing House, Chicago, publicación annual. U.S. Master Master Tax Guide, House, Chicago, publicación annual.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 36 40 48 50

52 55 60 72 75 84 90 96 100 108 120 132 144 240 360 480

775

Tablas de factores de interés compuesto

0.25%

TABLA

1

Flujo de efectivo discreto: Factores de interés compuesto

Pagos únicos Cantidad compuesta n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 36 40 48 50 52 55 60 72 75 84 90 96 100 108 120 132 144 240 360 480

Valor presente

Pagos de serie uniforme Factor de amortización

Cantidad compuesta

Recuperación de capital

Gradientes aritméticos Valor presente

Gradiente de valor presente

PIG

FIP

PIF

AlF

FIA

AlP

PIA

1.0025 1.0050 1.0075 1.0100 1.0126 1.0151 1.0176 1.0202 1.0227 1.0253 1.0278 1.0304 1.0330 1.0356 1.0382 1.0408 1.0434 1.0460 1.0486 1.0512 1.0538 1.0565 1.0591 1.0618 1.0644 1.0671 1.0697 1.0724 1.0751 1.0778 1.0941 1.1050 1.1273 1.1330 1.1386 1.1472 1.1616 1.1969 1.2059 1.2334 1.2520 1.2709 1.2836 1.3095 1.3494 1.3904 1.4327 1.8208 2.4568 3.3151

0.9975 0.9950 0.9925 0.9901 0.9876 0.9851 0.9827 0.9802 0.9778 0.9753 0.9729 0.9705 0.9681 0.9656 0.9632 0.9608 0.9584 0.9561 0.9537 0.9513 0.9489 0.9466 0.9442 0.9418 0.9395 0.93'71 0.9348 0.9325 0.9301 0.9278 0.9140 0.9050 0.8871 0.8826 0.8782 0.8717 0.8609 0.8355 0.8292 0.8108 0.7987 0.7869 0.7790 0.7636 0.7411 0.7192 0.6980 0.5492 0.4070

1.00000 0.49938 0.33250 0.24906 0.19900 0.16563 0.14179 0.12391 0.11000 0.09888 0.08978 0.08219 0.07578 0.07028 0.06551 0.06134 0.05766 0.05438 0.05146 0.04882 0.04644 0.04427 0.04229 0.04048 0.03881 0.03727 0.03585 0.03452 0.03329 0.03214 0.02658 0.02380 0.01963 0.01880 0.01803 0.01698 0.01547 0.01269 0.01214 0.01071 0.00992 0.00923 0.00881 0.00808 0.00716 0.00640 0.00578 0.00305 0.00172 0.00108

1.0000 2.0025 3.0075 4.0150 5.0251 6.0376 7.0527 8.0704 9.0905 10.1133 11.1385 12.1664 13.1968 14.2298 15.2654 16.3035 17.3443 18.3876 19.4336 20.4822 21.5334 22.5872 23.6437 24.7028 25.7646 26.8290 27.8961 28.9658 30.0382 31.1133

1.00250 0.50188 0.33500 0.25156 0.20150 0.16813 0.14429 0.12641 0.11250 0.10138 0.09228 0.08469 0.07828 0.07278 0.06801 0.06384 0.06016 0.05688 0.05396 0.05132 0.04894 0.04677 0.04479 0.04298 0.04131 0.03977 0.03835 0.03702 0.03579 0.03464 0.02908 0.02630 0.02213 0.02130 0.02053 0.01948 0.01797 0.01519 0.01464 0.01321 0.01242 0.01173 0.01131 0.Dl058 0.00966 0.00890 0.00828 0.00555 0.00422 0.00358

0.9975 1.9925

0.3016

37.6206 42.0132 50.9312 53.1887 55.4575 58.8819 64.6467 78.7794 82.3792 93.3419 100.7885 108.3474 113.4500 123.8093 139.7414 156.1582 173.0743 328.3020 582.7369 926.0595

0.25%

2.9851 3.9751 4.9627 5.9478 6.9305 7.9107 8.8885 9.8639 10.8368 11.8073 12.7753 13.7410 14.7042 15.6650 16.6235 17.5795 18.5332 19.4845 20.4334 21.3800 22.3241 23.2660 24.2055 25.1426 26.0774 27.0099 27.9400 28.8679 34.3865 38.0199 45.1787 46.9462 48.7048 51.3264 55.6524 65.8169 68.3108 75.6813 80.5038 85.2546 88.3825 94.5453 103.5618 112.3121 120.8041 180.3109 237.1894 279.3418

0.9950 2.9801 5.9503 9.9007 14.8263 20.7223 27.5839 35.4061 44.1842 53.9133 64.5886 76.2053 88.7587 102.2441 116.6567 131.9917 148.2446 165.4106 183.4851 202.4634 222.3410 243.1131 264.7753 287.3230 310.7516 335.0566 360.2334 386.2776 413.1847 592.4988 728.7399 1040.06 1 125.78 1214.59 1353.53 1600.08 2265.56 2447.61 3029.76 3446.87 3886.28 4 191.24 4829.01 5852.11 6950.01 8117.41 19399 36264 53821

Gradiente de serie anual AlG 0.4994 0.9983 1.4969 1.9950 2.4927 2.9900 3.4869 3.9834 4.4794 4.9750 5.4702 5.9650 6.4594 6.9534 7.4469 7.9401 8.4328 8.9251 9.4170 9.9085 10.3995 10.8901 11.3804 11.8702 12.3596 12.8485 13.3371 13.8252 14.3130 17.2306 19.1673 23.0209 23.9802 24.9377 26.3710 28.7514 34.4221 35.8305 40.0331 42.8162 45.5844 47.4216 51.0762 56.5084 61.8813 67.1949 107.5863 152.8902 192.6699

776

Tablas de factores de interés compuesto

0.5%

TABLA

2

Flujo de efectivo discreto: Factores de interés compuesto

Pagos únicos Cantidad compuesta n I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1I 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 36 40 48 50 52 55 60 72 75 84 90 96 100 108 120 132 144 240 360 480

Valor presente

Pagos de serie uniforme Factor de amortización

Cantidad compuesta

Recuperación de capital

Gradientes aritméticos Valor presente

Gradiente de valor presente

Gradiente de serie anual

PIG

AlG

n

0.9901 2.9604 5.9011 9.8026 14.6552 20.4493

0.4988

2

0.9967 1.4938 1.9900 2.4855

4

2.9801 3.4738

7

FIP

PIF

AlF

FIA

AlP

PIA

1.0050 1.0100 1.0151 1.0202 1.0253 1.03P4 1.0355 1.0407 1.0459 1.0511 1.0564 1.0617 1.0670 1.0723 1.0777 1.0831 1.0885 1.0939 1.0994 1.1049 1.1104 1.1160 1.1216 1.1272 1.1328 1.1385 1.1442 1.1499 1.1556 1.1614 1.1967 1.2208 1.2705 1.2832 1.2961 1.3156 1.3489 1.4320 1.4536 1.5204 1.5666 1.6141 1.6467 1.7137 1.8194 1.9316

0.9950 0.9901 0.9851 0.9802 0.9754 0.9705

1.00000 0.49875 0.33167 0.24813 0.19801 0.16460 0.14073 0.12283 0.10891 0.09777 0.08866 0.08107 0.07464 0.06914 0.06436 0.06019 0.05651 0.05323 0.05030 0.04767 0.04528 0.04311 0.04113 0.03932 0.03765 0.03611 0.03469 0.03336 0.03213 0.03098 0.02542 0.02265 0.01849 0.01765 0.01689 0.01584 0.01433 0.01157 0.01102 0.00961 0.00883 0.00814 0.00773 0.00701 0.00610 0.00537 0.00476 0.00216 0.00100 0.00050

1.0000 2.0050 3.0150 4.0301 5.0503 6.0755 7.1059 8.1414 9.1821 10.2280 11.2792

1.00500 0.50375 0.33667 0.25313 0.20301 0.16960 0.14573 0.12783 0.11391 0.10277 0.09366 0.08607 0.07964 0.07414 0.06936 0.06519 0.06151 0.05823 0.05530 0.05267 0.05028 0.04811 0.04613 0.04432 0.04265 0.04111 0.03969 0.03836 0.03713 0.03598 0.03042 0.02765 0.02349 0.02265 0.02189 0.02084 0.01933 0.01657 0.01602 0.01461 0.01383 0.01314 0.01273 0.01201 0.01110 0.01037 0.00976 0.00716 0.00600 0.00550

0.9950 1.9851

2.0508 3.3102 6.0226 10.9575

0.9657 0.9609 0.9561 0.9513 0.9466 0.9419 0.9372 0.9326 0.9279 0.9233 0.9187 0.9141 0.9096 0.9051 0.9006 0.8961 0.8916 0.8872 0.8828 0.8784 0.8740 0.8697 0.8653 0.8610 0.8356 0.8191 0.7871 0.7793 0.7716 0.7601 0.7414 0.6983 0.6879 0.6577 0.6383 0.6195 0.6073 0.5835 0.5496 0.5177 0.4876 0.3021 0.1660 0.0913

12.3356 13.3972 14.4642 15.5365 16.6142 17.6973 18.7858 19.8797 20.9791 22.0840 23.1944 24.3104 25.4320 26.5591 27.6919 28.8304 29.9745 31.1244 32.2800 39.3361 44.1588 54.0978 56.6452 59.2180 63.1258 69.7700 86.4089 90.7265 104.0739 113.3109 122.8285 129.3337 142.7399 163.8793 186.3226 210.1502 462.0409 1004.52 1 991.49

0.5%

2.9702 3.9505 4.9259 5.8964 6.8621 7.8230 8.7791 9.7304 10.6770 11.6189 12.5562 13.4887 14.4166 15.3399 16.2586 17.1728 18.0824 18.9874 19.8880 20.7841 21.6757 22.5629 23.4456 24.3240 25.1980 26.0677 26.9330 27.7941 32.8710 36.1722 42.5803 44.1428 45.6897 47.9814 51.7256 60.3395 62.4136 68.4530 72.3313 76.0952 78.5426 83.2934 90.0735 96.4596 102.4747 139.5808 166.7916 181.7476

1

27.1755 34.8244 43.3865 52.8526 63.2136 74.4602 86.5835 99.5743 113.4238 128.1231 143.6634 160.0360 177.2322 195.2434 214.0611 233.6768 254.0820 275.2686 297.2281 319.9523 343.4332 367.6625 392.6324 557.5598 681.3347 959.9188 1035.70 1113.82 1235.27 1448.65 2012.35 2163.75 2640.66 2976.08 3324.18 3562.79 4054.37 4823.51 5624.59 6451.31 13 416 21403 27588

3.9668 4.4589 4.9501 5.4406 5.9302 6.4190 6.9069 7.3940 7.8803 8.3658 8.8504 9.3342 9.8172 10.2993 10.7806 11.2611 11.7407 12.2195 12.6975 13.1747 13.6510 14.1265 16.9621 18.8359 22.5437 23.4624 24.3778 25.7447 28.0064 33.3504 34.6679 38.5763 41.1451 43.6845 45.3613 48.6758 53.5508 58.3103 62.9551 96.1131 128.3236 151.7949

3 5 6 8 9

10 II

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

25 26 27

28 29 30 36 40 48 50 52 55 60 72

75 84 90 96 lO(

1m J2(

13;

\4L 24(

36( 48(

Tablas de factores de interés compuesto

0.75%

TABLA

3

777

Flujo de efectivo discreto: Factores de interés compuesto

Pagos únicos

Pagos de serie uniforme

0.75%

Gradientes aritméticos

Cantidad compuesta

Valor presente

Factor de amortización

Cantidad compuesta

Recuperación de capital

Valor presente

Gradiente de valor presente

Gradiente de serie anual

n

F/P

P/F

A/F

F/A

A/P

PIA

P/G

A/G

I

1.0075 1.0151 1.0227 1.0303 1.0381 1.0459 1.0537 1.0616 1.0696 1.0776 1.0857

0.9926 0.9852 0.9778 0.9706 0.9633 0.9562 0.9490 0.9420 0.9350 0.9280 0.9211 0.9142 0.9074 0.9007 0.8940 0.8873 0.8807 0.8742 0.8676 0.8612 0.8548 0.8484 0.8421 0.8358 0.8296 0.8234 0.8173 0.8112 0.8052 0.7992 0.7641 0.7416 0.6986 0.6883 0.6780 0.6630 0.6387 0.5839 0.5710 0.5338 0.5104 0.4881 0.4737 0.4462 0.4079

1.00000 0.49813 0.33085 0.24721 0.19702 0.16357 0.13967 0.12176 0.10782 0.09667 0.08755 0.07995 0.07352 0.06801 0.06324 0.05906 0.05537 0.05210 0.04917 0.04653 0.04415 0.04198 0.04000 0.03818 0.03652 0.03498 0.03355 0.03223 0.03100 0.02985 0.02430 0.02153 0.01739 0.01656 0.01580 0.01476 0.01326 0.01053 0.00998 0.00859 0.00782 0.00715 0.00675 0.00604 0.00517 0.00446 0.00388 0.00150 0.00055 0.00021

1.0000 2.0075 3.0226 4.0452 5.0756 6.1136 7.1595 8.2132 9.2748 10.3443 11.4219

1.00750 0.50563 0.33835 0.25471 0.20452 0.17107 0.14717 0.12926 0.11532 0.10417 0.09505 0.08745 0.08102 0.07551 0.07074 0.06656 0.06287 0.05960 0.05667 0.05403 0.05165 0.04948 0.04750 0.04568 0.04402 0.04248 0.04105 0.03973 0.03850 0.03735 0.03180 0.02903 0.02489 0.02406 0.02330 0.02226 0.02076 0.01803 0.01748 0.01609 0.01532 0.01465 0.01425 0.0\354 0.01267 0.01196 0.01138 0.00900 0.00805 0.00771

0.9852 2.9408 5.8525 9.7058 14.4866 20.1808 26.7747 34.2544 42.6064 51.8174 61.8740 72.7632 84.4720

0.4981

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 36 40 48 50 52 55 60 72 75 84 90 96 100 108 120 132 144 240 360 480

1.0938 1.1020 1.1103 1.1186 1.1270 1.1354 1.1440 1.1525 1.1612 1.1699 1.1787 1.1875 1.1964 1.2054 1.2144 1.2235 1.2327 1.2420 1.2513 1.3086 1.3483 1.4314 1.4530 1.4748 1.5083 1.5657 1.7126 1.7514 1.8732 1.9591 2.0489 2.1111 2.2411 2.4514 2.6813 2.9328 6.0092 14.7306 36.1099

0.3730 0.3410 0.1664 0.0679 0.0277

12.5076 13.6014 14.7034 15.8137 16.9323 18.0593 19.1947 20.3387 21.4912 22.6524 23.8223 25.0010 26.1885 27.3849 28.5903 29.8047 31.0282 32.2609 33.5029 41.1527 46.4465 57.5207 60.3943 63.3111 67.7688 75.4241 95.0070 100.1833 116.4269 127.8790 139.8562 148.1445 165.4832 193.5143 224.1748 257.7116 667.8869 1830.74 4681.32

0.9926 1.9777 2.9556 3.9261 4.8894 5.8456 6.7946 7.7366 8.6716 9.5996 10.5207 11.4349 12.3423 13.2430 14.1370 15.0243 15.9050 16.7792 17.6468 18.5080 19.3628 20.2112 21.0533 21.8891 22.7188 23.5422 24.3595 25.1707 25.9759 26.7751 31.4468 34.4469 40.1848 41.5664 42.9276 44.9316 48.1734 55.4768 57.2027 62.1540 65.2746 68.2584 70.1746 73.8394 78.9417 83.6064 87.8711 111.1450 124.2819 129.6409

96.9876 110.2973 124.3887 139.2494 154.8671 171.2297 188.3253 206.1420 224.6682 243.8923 263.8029 284.3888 305.6387 327.5416 350.0867 373.2631 524.9924 637.4693 886.8404 953.8486 1022.59 1 128.79 1 313.52 1791.25 1917.22 2308.13 2578.00 2853.94 3040.75 3419.90 3998.56 4583.57 5 169.58 9494.12 13312 15513

0.9950 1.4907 1.9851 2.4782 2.9701 3.4608 3.9502 4.4384 4.9253 5.4110 5.8954 6.3786 6.8606 7.3413 7.8207 8.2989 8.7759 9.2516 9.7261 10.1994 10.6714 11.1422 11.6117 12.0800 12.5470 13.0128 13.4774 13.9407 16.6946 18.5058 22.0691 22.9476 23.8211 25.1223 27.2665 32.2882 33.5163 37.1357 39.4946 41.8107 43.3311 46.3154 50.6521 54.8232 58.8314 85.4210 107.1145 119.6620

778

Tablas de factores de interés compuesto

1%

TABLA

4

Cantidad compuesta n

F/P

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1.0100 1.0201 1.0303 1.0406 1.0510 1.0615 1.0721 1.0829 1.0937 1.1046 1.1157 J.l268 1.1381 1.1495 1.1610 1.1726 1.1843 1.1961 1.2081 1.2202 1.2324 1.2447 1.2572 1.2697 1.2824

lO

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 36 40 48 50 52 55 60 72 75 84 90 96 100 108 120 132 144 240 360 480

1.2953 1.3082 1.3213 1.3345 1.3478 1.4308 1.4889 1.6122 1.6446 1.6777 1.7285 1.8167 2.0471 2.1091 2.3067 2.4486 2.5993 2.7048 2.9289 3.3004 3.7190 4.1906 10.8926 35.9496 118.6477

Valor presente

1%

Flujo de efectivo discreto: Factores de interés compuesto

Pagos únicos

Pagos de serie uniforme Factor de amortización

Cantidad compuesta

Gradientes aritméticos

Recuperación de capital

Valor presente

Gradiente de valor presente

Gradiente de serie anual

P/F

A/F

F/A

AlP

P/A

P/G

AlG

0.9901 0.9803 0.9706 0.9610 0.9515 0.9420 0.9327 0.9235 0.9143 0.9053 0.8963 0.8874 0.8787 0.8700 0.8613 0.8528 0.8444 0.8360 0.8277 0.8195 0.8114 0.8034 0.7954 0.7876 0.7798 0.7720 0.7644 0.7568 0.7493 0.7419 0.6989 0.6717 0.6203 0.6080 0.5961 0.5785 0.5504 0.4885 0.4741 0.4335 0.4084

1.00000 0.49751 0.33002 0.24628 0.19604 0.16255 0.13863 0.12069 0.10674 0.09558 0.08645 0.07885 0.07241 0.06690 0.06212 0.05794 0.05426 0.05098 0.04805 0.04542 0.04303 0.04086 0.03889 0.03707 0.03541 0.03387 0.03245 0.03112 0.02990 0.02875 0.02321 0.02046 0.01633 0.01551 0.01476 0.01373 0.01224 0.00955 0.00902 0.00765 0.00690 0.00625 0.00587 0.00518 0.00435 0.00368 0.00313 0.00101 0.00029 0.00008

1.0000 2.0100 3.0301 4.0604 5.1010 6.1520 7.2135 8.2857 9.3685 10.4622 11.5668 12.6825 13.8093 14.9474 16.0969 17.2579 18.4304

1.01000 0.50751 0.34002 0.25628 0.20604 0.17255 0.14863 0.13069 0.11674 0.10558 0.09645 0.08885 0.08241 0.07690 0.07212 0.06794 0.06426 0.06098 0.05805 0.05542 0.05303 0.05086 0.04889 0.04707 0.04541 0.04387 0.04245 0.04112 0.03990 0.03875 0.03321 0.03046 0.02633 0.02551 0.02476 0.02373 0.02224 0.01955 0.01902 0.01765 0.01690 0.01625 0.01587 0.01518 0.01435 0.01368 0.01313 0.01101 0.01029 0.01008

0.9901 1.9704 2.9410 3.9020 4.8534 5.7955 6.7282 7.6517 8.5660 9.4713

0.9803 2.9215 5.8044 9.6103 14.3205 19.9168 26.3812 33.6959 41.8435

0.4975

50.8067 60.5687 71.1126 82.4221 94.4810 107.2734 120.7834 134.9957 149.8950 165.4664 181.6950 198.5663 216.0660 234.1800 252.8945 272.1957 292.0702 312.5047 333.4863 355.0021 494.6207 596.8561 820.1460 879.4176 939.9175 1032.81 1 192.81 1597.87 1702.73 2023.32 2240.57 2459.43 2605.78 2898.42 3334.11 3761.69 4177.47

4.9005 5.3815 5.8607 6.3384

0.3847 0.3697 0.3414 0.3030 0.2689 0.2386 0.0918 0.0278 0.0084

19.6147 20.8109 22.0190 23.2392 24.4716 25.7163 26.9735 28.2432 29.5256 30.8209 32.1291 33.4504 34.7849 43.0769 48.8864 61.2226 64.4632 67.7689 72.8525 81.6697 104.7099 110.9128 130.6723 144.8633 159.9273 170.4814 192.8926 230.0387 271.8959 319.0616 989.2554 3494.96 11 765

10.3676 11.2551 12.1337 13.0037 13.8651 14.7179 15.5623 16.3983 17.2260 18.0456 18.8570 19.6604 20.4558 21.2434 22.0232 22.7952 23.5596 24.3164 25.0658 25.8077 30.1075 32.8347 37.9740 39.1961 40.3942 42.1472 44.9550 51.1504 52.5871 56.6485 59.1609 61.5277 63.0289 65.8578 69.7005 73.1108 76.1372 90.8194 97.2183 99.1572

6878.60 872Q.43 9511.16

0.9934 1.4876 1.9801 2.4710 2.9602 3.4478 3.9337 4.4179

6.8143 7.2886 7.7613 8.2323 8.7017 9.1694 9.6354 10.0998 10.5626 11.0237 11.4831 11.9409 12.3971 12.8516 13.3044 13.7557 16.4285 18.1776 21.5976 22.4363 23.2686 24.5049 26.5333 31.2386 32.3793 35.7170 37.8724 39.9727 41.3426 44.0103 47.8349 51.4520 54.8676 75.7393 89.6995 95.9200

n 1 2 3 4 5 6

7 8

9 10 11

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

23 24 25 26 27 28 29 30 36 40 48 50 52 55 60 72 75 84 90 96 100 108 120 132 144 240 360 480

779

Tablas de factores de interés compuesto

1.25%

TABLA 5

Flujo de efectivo discreto: Factores de interés compuesto

Pagos únicos

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15' 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 36 40 48 50 52 55 60 72 75 84 90 96 100 108 120 132 144 240 360 480

Cantidad compuesta FIP 1.0125 1.0252 1.0380 1.0509 1.0641 1.0774 1.0909 1.1045 1.1183 1.1323 1.1464 1.1608 1.1753 1.1900 1.2048 1.2199 1.2351 1.2506 1.2662 1.2820 1.2981 1.3143 1.3307 1.3474 1.3642 1.3812 1.3985 1.4160 1.4337 1.4516 1.5639 1.6436 1.8154 1.8610 1.9078 1.9803 2.1072 2.4459 2.5388 2.8391 3.0588 3.2955 3.4634 3.8253 4.4402 5.1540 5.9825 19.7155 87.5410 388.7007

Valor presente PIF 0.9877 0.9755 0.9634 0.9515 0.9398 0.9282 0.9167 0.9054 0.8942 0.8832 0.8723 0.8615 0.8509 0.8404 0.8300 0.8197 0.8096 0.7996 0.7898 0.7800 0.7704 0.7609 0.7515 0.7422 0.7330 0.7240 0.7150 0.7062 0.6975 0.6889 0.6394 0.6084 0.5509 0.5373 0.5242 0.5050 0.4746 0.4088 0.3939 0.3522 0.3269 0.3034 0.2887 0.2614 0.2252 0.1940 0.1672 0.0507 0.0114 0.0026

Pagos de serie uniforme Factor de amortización

AlF 1.00000 0.49680 0.32920 0.24536 0.19506 0.16153 0.13759 0.11963 0.10567 0.09450 0.08537 0.07776 0.07132 0.06581 0.06103 0.05685 0.05316 0.04988 0.04696 0.04432 0.04194 0.03977 0.03780 0.03599 0.03432 0.03279 0.03137 0.03005 0.02882 0.02768 0.02217 0.01942 0.01533 0.01452 0.01377 0.01275 0.01129 0.00865 0.00812 0.00680 0.00607 0.00545 0.00507 0.00442 0.00363 0.00301 0.00251 0.00067 0.00014 0.00003

Cantidad compuesta F/A

Recuperación de capital

1.0000 2.0125 3.0377 4.0756 5.1266 6.1907 7.2680 8.3589 9.4634 10.5817 11.7139

1.01250

12.8604 14.0211 15.1964 16.3863 17.5912 18.8111 20.0462 21.2968 22.5630 23.8450 25.1431 26.4574 27.7881 29.1354 30.4996 31.8809 33.2794 34.6954 36.1291 45.1155 51.4896 65.2284 68.8818 72.6271 78.4225 88.5745 115.6736 123.1035 147.1290 164.7050 183.6411 197.0723 226.0226 275.2171 332.3198 398.6021 1497.24 6923.28 31016

AlP 0.50939 0.34170 0.25786 0.20756 0.17403 0.15009 0.13213 0.11817 0.10700 0.09787 0.09026 0.08382 0.07831 0.07353 0.06935 0.06566 0.06238 0.05946 0.05682 0.05444 0.05227 0.05030 0.04849 0.04682 0.04529 0.04387 0.04255 0.04132 0.04018 0.03467 0.03192 0.02783 0.02702 0.02627 0.02525 0.02379 0.02115 0.02062 0.01930 0.01857 0.01795 0.01757 0.01692 0.01613 0.01551 0.01501 0.01317 0.01264 0.01253

1.25%

Gradientes aritméticos Valor presente P/A 0.9877 1.9631 2.9265 3.8781 4.8178 5.7460 6.6627 7.5681 8.4623 9.3455 10.2178 11.0793 11.9302 12.7706 13.6005 14.4203 15.2299 16.0295 16.8193 17.5993 18.3697 19.1306 19.8820 20.6242 21.3573 22.0813 22.7963 23.5025 24.2000 24.8889 28.8473 31.3269 35.9315 37.0129 38.0677 39.6017 42.0346 47.2925 48.4890 51.8222 53.8461 55.7246 56.9013 59.0865 61.9828 64.4781 66.6277 75.9423 79.0861 79.7942

Gradiente de valor presente PIG

Gradiente de serie anual

0.9755 2.9023 5.7569 9.5160 14.1569 19.6571 25.9949 33.1487 41.0973 49.8201 59.2967 69.5072 80.4320

0.4969

92.0519 104.3481 117.3021 130.8958 145.1115 159.9316 175.3392 191.3174 207.8499 224.9204 242.5132 260.6128 279.2040 298.2719 317.8019 337.7797 466.2830 559.2320 759.2296 811.6738 864.9409 946.2277 1084.84 1428.46 1515.79 1778.84 1953.83 2 127.52 2242.24 2468.26 2796.57 3109.35 3404.61 5101.53 5997.90 6284.74

AlG

0.9917 1.4845 1.9752 2.4638 2.9503 3.4348 3.9172 4.3975 4.8758 5.3520 5.8262 6.2982 6.7682 7.2362 7.7021 8.1659 8.6277 9.0874 9.5450 10.0006 10.4542 10.9056 11.3551 11.8024 12.2478 12.6911 13.1323 13.5715 16.1639 17.8515 21.1299 21.9295 22.7211 23.8936 25.8083 30.2047 31.2605 34.3258 36.2855 38.1793 39.4058 41.7737 45.1184 48.2234 51.0990 67.1764 75.8401 78.7619

Tablas de factores de interés compuesto

780

1.5%

TABLA

6

Flujo de efectivo discreto: Factores de interés compuesto

Pagos únicos

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 36 40 48 50 52 55 60 72 75 84 90 96 100 108 120 132 144 240 360 480

Cantidad compuesta FIP 1.0150 1.0302 J.0457 1.06J4 1.0773 1.0934 !.I098 !.I265 1.1434 1.1605 1.1779 1.1956 1.2136 1.2318 1.2502 1.2690 1.2880 1.3073 1.3270 1.3469 1.3671 1.3876 1.4084 1.4295 1.4509 J .4727 1.4948 1.5172 1.5400 1.5631 1.7091 1.8140 2.0435 2.1052 2.1689 2.2679 2.4432 2.9212 3.0546 3.4926 3.8189 4.1758 4.4320 4.9927 5.9693 7.1370 8.5332 35.6328 212.7038 1269.70

Valor presente PIF 0.9852 0.9707 0.9563 0.9422 0.9283 0.9145 0.9010 0.8877 0.8746 0.8617 0.8489 0.8364 0.8240 0.8118 0.7999 0.7880 0.7764 0.7649 0.7536 0.7425 0.7315 0.7207 0.7100 0.6995 0.6892 0.6790 0.6690 0.6591 0.6494 0.6398 0.5851 0.5513 0.4894 0.4750 0.4611 0.4409 0.4093 0.3423 0.3274 0.2863 0.2619 0.2395 0.2256 0.2003 0.1675 0.1401 0.1172 0.0281 0.0047 0.0008

Gradientes aritméticos

Pagos de serie uniforme Factor de amortización

AlF 1.00000 0.49628 0.32838 0.24444 0.19409 0.16053 0.13656 0.11858 0.10461 0.09343 0.08429 0.07668 0.07024 0.06472 0.05994 0.05577 0.05208 0.04881 0.04588 0.04325 0.04087 0.03870 0.03673 0.03492 0.03326 0.03173 0.03032 0.02900 0.02778 0.02664 0.02115 0.01843 0.01437 0.01357 0.01283 0.01183 0.01039 0.00781 0.00730 0.00602 0.00532 0.00472 0.00437 0.00376 0.00302 0.00244 0.00199 0.00043 0.00007 0.00001

Cantidad compuesta F/A

Recuperación de capital

1.0000 2.0150 3.0452 4.0909 5.1523 6.2296 7.3230 8.4328 9.5593 10.7027 11.8633 13.0412 14.2368 15.4504

1.01500 0.51128 0.34338 0.25944 0.20909 0.17553 0.J5156 0.13358 0.11961 0.10843 0.09929 0.09J68 0.08524 0.07972 0.07494 0.07077

16.6821 17.9324 19.2014 20.4894 21.7967 23.1237 24.4705 25.8376 27.2251 28.6335 30.0630 31.5140 32.9867 34.4815 35.9987 37.5387 47.2760 54.2679 69.5652 73.6828 77.9249 84.5296 96.2147 128.0772 136.9728 166.1726 187.9299 211.7202 228.8030 266.1778 331.2882 409.1354 502.2109 2308.85 14114 84580

AlP

0.06708 0.06381 0.06088 0.05825 0.05587 0.05370 0.05173 0.04992 0.04826 0.04673 0.04532 0.04400 0.04278 0.04164 0.03615 0.03343 0.02937 0.02857 0.02783 0.02683 0.02539 0.02281 0.02230 0.02102 0.02032 0.01972 0.01937 0.01876 0.01802 0.01744 0.01699 0.01543 0.01507 0.01501

1.5%

Valor presente PIA 0.9852 1.9559 2.9122 3.8544 4.7826 5.6972 6.5982 7.4859 8.3605 9.2222 10.0711 10.9075 11.7315 12.5434 13.3432 14.1313 14.9076 15.6726 16.4262 17.1686 17.9001 18.6208 19.3309 20.0304 20.7196 21.3986 22.0676 22.7267 23.3761 24.0158 27.6607 29.9158 34.0426 34.9997 35.9287 37.2715 39.3803 43.8447 44.8416 47.5786 49.2099 50.7017 51.6247 53.3137 55.4985 57.3257 58.8540 64.7957 66.3532 66.6142

Gradiente de valor presente P/G

Gradiente de serie anual

0.9707 2.8833 5.7098 9.4229

0.4963 0.9901 1.4814 1.9702 2.4566 2.9405 3.4219

13.9956 19.4018 25.6157 32.6125 40.3675 48.8568 58.0571 67.9454 78.4994 89.6974 101.5178 113.9400 126.9435 140.5084 154.6154 169.2453 184.3798 200.0006 216.0901 232.6310 249.6065 267.0002 284.7958 302.9779 321.5310 439.8303 524.3568 703.5462 749.9636 796.8774 868.0285 988.1674 1279.79 1352.56 1568.51 1709.54 1 847.47 1937.45 2112.13 2359.71 2588.71 2798.58 3870.69 4310.72 4415.74

AlG

3.9008 4.3772 4.8512 5.3227 5.7917 6.2582 6.7223 7.1839 7.6431 8.0997 8.5539 9.0057 9.4550 9.9018 10.3462 10.7881 11.2276 11.6646 12.0992 12.5313 12.9610 13.3883 15.9009 17.5277 20.6667 21.4277 22.1794 23.2894 25.0930 29.1893 30.1631 32.9668 34.7399 36.4381 37.5295 39.6171 42.5185 45.1579 47.5512 59.7368 64.9662 66.2883

781

Tablas de factores de interés compuesto

2%

TABLA

7

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 36 40 48 50 52 55 60 72 75 84 90 96 100 108 120 132 144 240 360 480

Cantidad compuesta FIP 1.0200 1.0404 1.0612 1.0824 1.1041 1.1262 1.1487 1.1717 1.1951 1.2190 1.2434 1.2682 1.2936 1.3195 1.3459 1.3728 1.4002 1.4282 1.4568 1.4859 1.5157 1.5460 1.5769 1.6084 1.6406 1.6734 1.7069 1.7410 1.7758 1.8114 2.0399 2.2080 2.5871 2.6916 2.8003 2.9717 3.2810 4.1611 4.4158 5.2773 5.9431 6.6929 7.2446 8.4883 10.7652 13.6528 17.3151 115.8887 1247.56 13 430

Pagos de serie uniforme

Valor presente PIF

Factor de amortización AlF

0.9804 0.9612 0.9423 0.9238 0.9057 0.8880 0.8706 0.8535 0.8368 0.8203 0.8043 0.7885 0.7730 0.7579 0.7430 0.7284 0.7142 0.7002 0.6864 0.6730 0.6598 0.6468 0.6342 0.6217 0.6095 0.5976 0.5859 0.5744 0.5631

1.00000 0.49505

0.5521 0.4902 0.4529 0.3865 0.3715 0.3571 0.3365 0.3048 0.2403 0.2265 0.1895 0.1683 0.1494 0.1380 0.1178 0.0929 0.0732 0.0578 0.0086 0.0008 0.0001

2%

Flujo de efectivo discreto: Factores de interés compuesto

Pagos únicos

0.32675 0.24262 0.19216 0.15853 0.13451 0.11651 0.10252 0.09133 0.08218 0.07456 0.06812 0.06260 0.05783 0.05365 0.04997 0.04670 0.04378 0.04116 0.03878 0.03663 0.03467 0.03287 0.03122 0.02970 0.02829 0.02699 0.02578 0.02465 0.01923 0.01656 0.01260 0.01182 0.01111 0.01014 0.00877 0.00633 0.00586 0.00468 0.00405 0.00351 0.00320 0.00267 0.00205 0.00158 0.00123 0.00017 0.00002

Gradientes aritméticos

Cantidad compuesta FIA

Recuperación de capital AlP

1.0000

1.02000 0.51505

0.9804 1.9416

0.34675 0.26262 0.21216 0.17853 0.15451 0.13651 0.12252 0.11133 0.10218 0.09456 0.08812 0.08260 0.07783 0.07365 0.06997 0.06670 0.06378 0.06116 0.05878 0.05663 0.05467 0.05287 0.05122 0.04970 0.04829 0.04699 0.04578 0.04465 0.03923 0.03656 0.03260 0.03182 0.03111 0.03014 0.02877 0.02633 0.02586 0.02468 0.02405 0.02351 0.02320 0.02267 0.02205 0.02158 0.02123 0.02017 0.02002 0.02000

2.8839 3.8077 4.7135 5.6014 6.4720 7.3255

2.0200 3.0604 4.1216 5.2040 6.3081 7.4343 8.5830 9.7546 10.9497 12.1687 13.4121 14.6803 15.9739 17.2934 18.6393 20.0121 21.4123 22.8406 24.2974 25.7833 27.2990 28.8450 30.4219 32.0303 33.6709 35.3443 37.0512 38.7922 40.5681 51.9944 60.4020 79.3535 84.5794 90.0164 98.5865 114.0515 158.0570 170.7918 213.8666 247.1567 284.6467 312.2323 374.4129 488.2582 632.6415 815.7545 5744.44 62328

Valor presente P/A

8.1622 8.9826 9.7868 10.5753 11.3484 12.1062 12.8493 13.5777 14.2919 14.9920 15.6785 16.3514 17.0112 17.6580 18.2922 18.9139 19.5235 20.1210 20.7069 21.2813 21.8444 22.3965 25.4888 27.3555 30.6731 31.4236 32.1449 33.1748 34.7609 37.9841 38.6771 40.5255 41.5869 42.5294 43.0984 44.1095 45.3554 46.3378 47.1123 49.5686 49.9599 49.9963

Gradiente de valor presente P/G

Gradiente de serie anual AlG

0.9612 2.8458 5.6173 9.2403 13.6801 18.9035 24.8779 31.5720

0.4950

38.9551 46.9977 55.6712 64.9475 74.7999 85.2021 96.1288 107.5554 119.4581 131.8139 144.6003 157.7959 171.3795 185.3309 199.6305 214.2592 229.1987 244.4311 259.9392 275.7064 291.7164 392.0405 461.9931 605.9657 642.3606 678.7849 733.3527 823.6975 1034.06 1084.64 1230.42 1322.17 1409.30 1464.75 1569.30 1710.42 1833.47 1939.79 2374.88 2482.57 2498.03

0.9868 1.4752 1.9604 2.4423 2.9208 3.3961 3.8681 4.3367 4.8021 5.2642 5.7231 6.1786 6.6309 7.0799 7.5256 7.9681 8.4073 8.8433 9.2760 9.7055 10.1317 10.5547 10.9745 11.3910 11.8043 12.2145 12.6214 13.0251 15.3809 16.8885 19.7556 20.4420 21.1164 22.1057 23.6961 27.2234 28.0434 30.3616 31.7929 33.1370 33.9863 35.5774 37.7114 39.5676 41.1738 47.9110 49.7112 49.9643

782

Tablas de factores de interés compuesto

3%

TABLA

8 Flujo de efectivo discreto: Factores de interés compuesto

Pagos únicos Cantidad compuesta n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 84 85 90 96 108 120

Valor presente

Pagos de serie uniforme Factor de amortización

Cantidad compuesta

Recuperación de capital

Gradientes aritméticos Valor presente

Gradiente de valor presente

Gradiente de serie anual

PIG

AlG

0.9426 2.7729 5.4383 8.8888 13.0762 17.9547 23.4806 29.6119 36.3088 43.5330 51.2482 59.4196 68.0141 77.0002 86.3477

0.4926

FIP

PIF

AlF

FIA

AlP

PIA

1.0300 1.0609 1.0927 1.1255 1.1593 1.1941 1.2299 1.2668 1.3048 1.3439 1.3842 1.4258 1.4685 1.5126 1.5580 1.6047 1.6528 1.7024 1.7535 1.8061 1.8603 1.9161 1.9736

0.9709 0.9426 0.9151 0.8885 0.8626 0.8375 0.8131 0.7894 0.7664 0.7441 0.7224 0.7014 0.6810 0.6611 0.6419 0.6232 0.6050 0.5874 0.5703 0.5537 0.5375 0.5219 0.5067 0.4919 0.4776 0.4637 0.4502 0.4371 0.4243 0.4120 0.4000

1.00000 0.49261 0.32353 0.23903 0.18835 0.15460 0.13051 0.11246 0.09843 0.08723 0.07808 0.07046 0.06403 0.05853 0.05377 0.04961 0.04595 0.04271 0.03981 0.03722 0.03487 0.03275 0.03081 0.02905 0.02743 0.02594 0.02456 0.02329 0.02211 0.02102 0.02000 0.01905 0.01816 0.01732 0.01654 0.01326 0.01079 0.00887 0.00735 0.006l3 0.00515 0.00434 0.00367 0.00311 0.00273 0.00265 0.00226 0.00187 0.00129 0.00089

1.0000 2.0300 3.0909 4.1836 5.3091 6.4684

1.03000 0.52261 0.35353 0.26903 0.21835 0.18460 0.16051 0.14246 0.12843 0.11723 0.10808 0.10046 0.09403 0.08853 0.08377 0.07961 0.07595 0.07271 0.06981 0.06722 0.06487 0.06275 0.06081 0.05905 0.05743 0.05594 0.05456 0.05329 0.05211 0.05102 0.05000 0.04905 0.04816 0.04732 0.04654 0.04326 0.04079 0.03887 0.03735 0.036l3 0.03515 0.03434 0.03367 0.03311 0.03273 0.03265 0.03226 0.03187 0.03129 0.03089

0.9709 1.9l35

2.0328 2.0938 2.1566 2.2213 2.2879 2.3566 2.4273 2.5001 2.5751 2.6523 2.7319 2.8l39 3.2620 3.7816 4.3839 5.0821 5.8916 6.8300 7.9178 9.1789 10.6409 11.9764 12.3357 14.3005 17.0755 24.3456 34.7110

0.3883 0.3770 0.3660 0.3554 0.3066 0.2644 0.2281 0.1968 0.1697 0.1464 0.1263 0.1089 0.0940 0.0835 0.0811 0.0699 0.0586 0.0411 0.0288

7.6625 8.8923 10.1591 11.4639 12.8078 14.1920 15.6178 17.0863 18.5989 20.1569 21.7616 23.4144 25.1169 26.8704 28.6765 30.5368 32.4529 34.4265 36.4593 38.5530 40.7096 42.9309 45.2189 47.5754 50.0027 52.5028 55.0778 57.7302 60.4621 75.4013 92.7199 112.7969 l36.0716 163.0534 194.3328 230.5941 272.6309 321.3630 365.8805 377.8570 443.3489 535.8502 778.1863 1123.70

3%

2.8286 3.7171 4.5797 5.4172 6.2303 7.0197 7.7861 8.5302 9.2526 9.9540 10.6350 11.2961 11.9379 12.5611 13.1661 13.7535 14.3238 14.8775 15.4150 15.9369 16.4436 16.9355 17.4131 17.8768 18.3270 18.7641 19.1885 19.6004 20.0004 20.3888 20.7658 21.1318 21.4872 23.1148 24.5187 25.7298 26.7744 27.6756 28.4529 29.1234 29.7018 30.2008 30.5501 30.6312 31.0024 31.3812 31.9642 32.3730

96.0280 106.0137 116.2788 126.7987 137.5496 148.5094 159.6566 170.9711 182.4336 194.0260 205.7309 217.5320 229.4137 24 1.36l3 253.3609 265.3993 277.4642 289.5437 301.6267 361.7499 420.6325 477.4803 531.7411 583.0526 631.2010 676.0869 717.6978 756.0865 784.5434 791.3529 823.6302 858.6377 917.60l3 963.8635

0.9803 1.4631 1.9409 2.4138 2.8819 3.3450 3.8032 4.2565 4.7049 5.1485 5.5872 6.0210 6.4500 6.8742 7.2936 7.7081 8.1179 8.5229 8.9231 9.3186 9.7093 10.0954 10.4768 10.8535 11.2255 11.5930 11.9558 12.3141 12.6678 13.0169 l3.3616 13.7018 14.0375 15.6502 17.1556 18.5575 19.8600 21.0674 22.1841 23.2145 24.1634 25.0353 25.6806 25.8349 26.5667 27.3615 28.7072 29.7737

.

'

783

Tablas de factores de interés compuesto

4%

TABLA

9

Pagos únicos

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [,5 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 96 108 120 144

Pagos de serie uniforme

Cantidad compuesta FIP

Valor presente PIF

Factor de amortización AlF

1.0400 1.0816 1.1249 1.1699 1.2J 67 1.2653 1.3159 1.3686 1.4233 1.4802 l.5395 1.6010 l.6651 1.7317 1.8009 1.8730 1.9479 2.0258 2.1068 2.1911 2.2788 2.3699 2.4647

0.9615 0.9246 0.8890 0.8548 0.8219 0.7903 0.7599 0.7307 0.7026 0.6756 0.6496 0.6246 0.6006 0.5775 0.5553 0.5339 0.5134 0.4936 0.4746 0.4564 0.4388 0.4220 0.4057

1.00000 0.49020 0.32035

2.5633 2.6658 2.7725 2.8834 2.9987 3.1187 3.2434 3.3731

0.3901 0.3751 0.3607 0.3468 0.3335

3.5081 3.6484 3.7943 3.9461 4.8010 5.8412 7.1067 8.6464 10.5196 12.7987 15.5716 18.9453 23.0498 28.0436 34.1193 43.1718 69.1195 110.6626 283.6618

0.3207 0.3083 0.2965 0.2851 0.2741 0.2636 0.2534 0.2083 0.1712 0.1407 0.1157 0.0951 0.0781 0.0642 0.0528 0.0434 0.0357 0.0293 0.0232 0.0145 0.0090 0.0035

4%

Flujo de efectivo discreto: Factores de interés compuesto

0.23549 0.18463 0.15076 0.12661 0.10853 0.09449 0.08329 0.07415 0.06655 0.06014 0.05467 0.04994 0.04582 0.04220 0.03899 0.03614 0.03358 0.03128 0.02920 0.02731 0.02559 0.02401 0.02257 0.02J24 0.02001 0.01888 0.01783 0.01686 0.01595 0.01510 0.01431 0.01358 0.01052 0.00826 0.00655 0.00523 0.00420 0.00339 0.00275 0.00223 0.00181 0.00148 0.00121 0.00095 0.00059 0.00036 0.00014

Cantidad compuesta FIA

Recuperación de capital AlP

1.0000

1.04000 0.53020 0.36035 0.27549 0.22463 0.19076 0.16661 0.14853 0.13449 0.12329 0.11415 0.10655 0.10014 0.09467 0.08994 0.08582 0.08220 0.07899 0.07614 0.07358 0.07128 0.06920 0.06731 0.06559 0.06401 0.06257 0.06124 0.06001 0.05888 0.05783 0.05686 0.05595 0.05510 0.05431 0.05358 0.05052 0.04826 0.04655 0.04523 0.04420 0.04339 0.04275 0.04223 0.04181 0.04148 0.04121 0.04095 0.04059 0.04036 0.04014

2.0400 3.1216 4.2465 5.4163 6.6330 7.8983 9.2142 10.5828 12.0061 J3.4864 15.0258 16.6268 18.2919 20.0236 21.8245 23.6975 25.6454 27.6712 29.7781 31.9692 34.2480 36.6179 39.0826 41.6459 44.3117 47.0842 49.9676 52.9663 56.0849 59.3283 62.7015 66.2095 69.8579 73.6522 95.0255 121.0294 152.6671 191.1592 237.9907 294.9684 364.2905 448.6314 551.2450 676.0901 827.9833 1054.30 1702.99 2741.56 7066.55

Gradientes aritméticos Valor presente PIA 0.9615 1.8861 2.7751 3.6299 4.4518 5.2421 6.0021 6.7327 7.4353 8.1109 8.7605 9.3851 9.9856 10.5631 11.1184 11.6523 12.1657 12.6593 13.1339 13.5903 14.0292 14.4511 14.8568 15.2470 15.6221 15.9828 16.3296 16.6631 16.9837 17.2920 17.5885 17.8736 18.1476 18.4112 18.6646 19.7928 20.7200 21.4822 22.1086 22.6235 23.0467 23.3945 23.6804 23.9154 24.1085 24.2673 24.4209 24.6383 24.7741 24.9119

Gradiente de valor presente P/G

Gradiente de serie anual AlG

0.9246 2.7025 5.2670 8.5547

0.4902

12.5062 17.0657 22.1806 27.8013 33.8814 40.3772 47.2477 54.4546 61.9618 69.7355 77.7441 85.9581 94.3498 102.8933 111.5647 120.3414 129.2024 138.1284 147.1012 156.1040 165.1212 174.1385 183.1424 192.1206 201.0618 209.9556 218.7924 227.5634 236.2607 244.8768 286.5303 325.4028 361.1638 393.6890 422.9966 449.2014 472.4789 493.0408 511.1161 526.9384 540.7369 554.9312 576.8949 592.2428 610.1055

0.9739 1.4510 1.9216 2.3857 2.8433 3.2944 3.7391 4.1773 4.6090 5.0343 5.4533 5.8659 6.2721 6.6720 7.0656 7.4530 7.8342 8.2091 8.5779 8.9407 9.2973 9.6479 9.9925 10.3312 10.6640 10.9909 11.3120 11.6274 11.9371 12.2411 12.5396 12.8324 13.1198 14.4765 15.7047 16.8122 17.8070 18.6972 19.4909 20.1961 20.8206 21.3718 21.8569 22.2826 22.7236 23.4146 23.9057 24.4906

784

Tablas de factores de interés compuesto

5%

TABLA

10

Pagos únicos Cantidad compuesta

Valor presente

5%

Flujo de efectivo discreto: Factores de interés compuesto Pagos de serie uniforme Factor de amortización

Cantidad compuesta

Recuperación de capital

Gradientes aritméticos Valor presente

Gradiente de valor presente

Gradiente de serie anual

PIG

AlG

n

F/P

PIF

AlF

AlP

PIA

1

1.0500

0.9524

1.00000

1.0000

1.05000

0.9524

2

1.1025

0.9070

0.48780

2.0500

0.53780

1.8594

0.90'70'

0.4878

3

1.1576

0'.8638

0'.31721

3.1525

0.36721

2.7232

2.6347

0.9675

4

1.2155

0.8227

0'.23201

4.3101

0'.2820'1

3.5460'

5.10'28

1.4391

5

1.2763

0.7835

0.18097

5.5256

0.230'97

4.3295

8.2369

1.90'25

6

1.3401

0.7462

0'.14702

6.80'19

0'.1970'2

5.0757

11.9680

2.3579

7

1.4071

0'.7107

0'.12282

8.1420'

0'.17282

5.7864

16.2321

2.80'52

8

1.4775

0'.6768

0'.10472

9.5491

0.15472

6.4632

20.970'0'

3.2445

9

1.5513

0'.6446

0'.0'90'69

11.0'266

0'.14069

7.1078

26.1268

3.6758

10

1.6289

0.6139

0.07950'

12.5779

0.12950'

7.7217

31.6520'

4.0'991

11

1.7103

0.5847

0'.0'7039

14.20'68

0'.12039

8.3064

37.4988

4.5144

12

1.7959

0'.5568

0.06283

15.9171

0.11283

8.8633

43.6241

4.9219

13

1.8856

0'.530'3

0'.0'5646

17.7130'

0'.10'646

9.3936

49.9879

5.3215

14

1.9799

0'.50'51

0'.0'5102

19.5986

0'.10'102

9.8986

56.5538

5.7133

15

2.0'789

0'.4810

0'.0'4634

21.5786

0.09634

10'.3797

63.2880'

6.0'973

16

2.1829

0.4581

0'.04227

23.6575

0'.09227

10.8378

70.1597

6.4736

17

2.2920'

0'.4363

0.03870'

25.840'4

0.08870

11.2741

77.1405

6.8423

18

2.4066

0'.4155

0.03555

28.1324

0'.0'8555

11.6896

84.2043

7.2034

FIA

19

2.5270

0'.3957

0.03275

30'.5390'

0.0'8275

12.0'853

91.3275

7.5569

20'

2.6533

0'.3769

0'.0'3024

33.0'660

0'.0'80'24

12.4622

98.4884

7.90'30'

21

2.7860

0.3589

0'.0'280'0

35.7193

0.07800'

12.8212

105.6673

8.2416

22

2.9253

0.3418

0.0'2597

38.5052

0'.07597

13.1630'

112.8461

8.5730

23

3.0715

0'.3256

0.02414

41.4305

0.07414

13.4886

120.0'0'87

8.8971

24

0.3101

0.02247

44.5020

0.07247

13.7986

127.1402

9.2140

25

3.2251 3.3864

0.2953

0'.0'20'95

47.7271

0.0'7095

14.0939

134.2275

9.5238

26

3.5557

0.2812

0.01956

51.1135

0.06956

14.3752

141.2585

9.8266

27

3.7335

0'.2678

0.0'1829

54.6691

0'.0'6829

14.6430'

148.2226

10.1224

28

3.920'1

0'.2551

0.01712

58.40'26

0.06712

14.8981

155.110'1

10'.4114

29

4.1161

0'.2429

0'.0'1605

62.3227

0.0660'5

15.1411

161.9126

10.6936

30

0.2314

0'.0'1505

66.4388

0.06505

15.3725

168.6226

10.9691

31

4.3219 4.5380

0.2204

0.01413

70.760'8

0.06413

15.5928

175.2333

11.2381

32

4.7649

0.2099

0.0'1328

75.2988

0'.0'6328

15.80'27

181.7392

11.50'0'5

33

5.00'32

0'.1999

0.01249

80'.0'638

0.0'6249

16.0'0'25

188.1351

11.7566

34

5.2533

0'.190'4

0'.0'1176

85.0'670

0'.0'6176

16.1929

194.4168

12.0063

35

5.5160

0'.1813

0.01107

90.3203

0.06107

16.3742

20'0.5807

12.2498

40'

7.0'400'

0.1420'

0.0'0828

120.7998

0'.05828

17.1591

229.5452

13.3775

45

8.9850

0.1113

0.00626

159.7002

0'.0'5626

17.7741

255.3145

14.3644

50

11.4674

0.0872

0.00478

209.3480'

0'.0'5478

18.2559

277.9148

15.2233

55

14.6356

0'.0'683

0.0'0'367

272.7126

0.0'5367

18.6335

297.5104

15.9664

60

18.6792

0'.0535

0'.00'283

353.5837

0.05283

18.9293

314.3432

16.60'62

65

23.8399

0.0419

0.0'0219

456.7980

0'.0'5219

19.1611

328.6910

17.1541

70'

30'.4264

0'.0'329

0.00'170'

588.5285

0'.0'5170'

19.3427

340.8409

17.6212

75

38.8327

0'.0'258

0'.00132

756.6537

0.05132

19.4850'

351.0721

18.0176

80'

49.5614

0'.0'20'2

0.0010'3

971.2288

0.05103

19.5965

359.6460'

18.3526

85

63.2544

0'.0'158

0.0'0080

1245.09

0.05080

19.6838

366.8007

18.6346

90

80'.730'4

0.0124

0.0'0063

1594.61

0'.05063

19.7523

372.7488

18.8712

95

103.0347

0.0097

0.00049

2040'.69

0'.0'5049

19.8059

377.6774

19.0689

96

108.1864

0'.0'0'92

0'.0'0'0'47

2 143.73

0'.0'5047

19.8151

378.5555

19.10'44

98

119.2755

0.0084

0.00'042

2365.51

0.05042

19.8323

380.2139

19.1714

100'

131.5013

0.0076

0'.00038

2610.0'3

0.05038

19.8479

381.7492

19.2337

-----------------------------------------------"!"""-,.785

Tablas de factores de interés compuesto

6%

'fABLA

11

Pagos únicos

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 96 98 100

Pagos de serie uniforme

Cantidad compuesta FIP

Valor presente PIF

Factor de amortización

1.0600 1.1236 1.1910 1.2625 1.3382 1.4185 1.5036 1.5938 1.6895 1.7908 1.8983 2.0122 2.1329 2.2609 2.3966 2.5404 2.6928 2.8543 3.0256 3.2071 3.3996 3.6035 3.8197 4.0489 4.2919 4.5494 4.8223 5.1117 5.4184

0.9434 0.8900 0.8396 0.7921 0.7473 0.7050 0.6651 0.6274 0.5919 0.5584 0.5268 0.4970 0.4688 0.4423 0.4173

1.00000 0.48544 0.31411 0.22859 0.17740 0.14336 0.11914 0.10104 0.08702 0.07587 0.06679 0.05928 0.05296 0.04758 0.04296 0.03895 0.03544 0.03236 0.02962 0.02718 0.02500 0.02305 0.02128 0.01968 0.01823 0.01690 0.01570 0.01459 0.01358 0.01265 0.01179 0.01100 0.01027 0.00960 0.00897 0.00646 0.00470 0.00344 0.00254 0.00188 0.00139 0.00103 0.00077 0.00057 0.00043 0.00032 0.00024 0.00022 0.00020 0.00018

5.7435 6.0881 6.4534 6.8406 7.2510 7.6861 10.2857 13.7646 18.4202 24.6503 32.9877 44.1450 59.0759 79.0569 105.7960 141.5789 189.4645 253.5463 268.7590 301.9776 339.3021

0.3936 0.3714 0.3503 0.3305 0.3118 0.2942 0.2775 0.2618 0.2470 0.2330 0.2198 0.2074 0.1956 0.1846 0.1741 0.1643 0.1550 0.1462 0.1379 0.1301 0.0972 0.0727 0.0543 0.0406 0.0303 0.0227 0.0169 0.0126 0.0095 0.0071 0.0053 0.0039 0.0037 0.0033 0.0029

6%

Flujo de efectivo discreto: Factores de interés compuesto

AlF

Cantidad compuesta F/A

Recuperación de capital AIP

1.0000 2.0600 3.1836 4.3746 5.6371 6.9753 8.3938 9.8975 11.4913

1.06000 0.54544 0.37411 0.28859 0.23740 0.20336 0.17914 0.16104 0.14702 0.13587 0.12679 0.11928 0.11296 0.10758 0.10296 0.09895 0.09544 0.09236 0.08962 0.08718 0.08500 0.08305 0.08128 0.07968 0.07823 0.07690 0.07570 0.07459 0.07358 0.07265 0.07179 0.07100 0.07027 0.06960 0.06897 0.06646 0.06470 0.06344 0.06254 0.06188 0.06139 0.06103 0.06077 0.06057 0.06043 0.06032 0.06024 0.06022 0.06020 0.06018

13.1808 14.9716 16.8699 18.8821 21.0151 23.2760 25.6725 28.2129 30.9057 33.7600 36.7856 39.9927 43.3923 46.9958 50.8156 54.8645 59.1564 63.7058 68.5281 73.6398 79.0582 84.8017 90.8898 97.3432 104.1838 111.4348 154.7620 212.7435 290.3359 394.1720 533.1282 719.0829 967.9322 1300.95 1746.60 2342.98 3 141.08 4209.10 4462.65 5016.29 5638.37

Gradientes aritméticos Valor presente PIA 0.9434 1.8334 2.6730 3.4651 4.2124 4.9173 5.5824 6.2098 6.8017 7.3601 7.8869 8.3838 8.8527 9.2950 9.7122 10.1059 10.4773 10.8276 11.1581 11.4699 11.7641 12.0416 12.3034 12.5504 12.7834 13.0032 13.2105 13.4062 13.5907 13.7648 13.9291 14.0840 14.2302 14.3681 14.4982 15.0463 15.4558 15.7619 15.9905 16.1614 16.2891 16.3845 16.4558 16.5091 16.5489 16.5787 16.6009 16.6047 16.6115 16.6175

Gradiente de valor presente PIG

Gradiente de serie anual AIG

0.8900 2.5692 4.9455 7.9345 11.4594 15.4497 19.8416 24.5768 29.6023 34.8702 40.3369 45.9629 51.7128

0.4854

57.5546 63.4592 69.4011 75.3569 81.3062 87.2304 93.1136 98.9412 104.7007 110.3812 115.9732 121.4684 126.8600 132.1420 137.3096 142.3588 147.2864 152.0901 156.7681 161.3192 165.7427 185.9568 203.1096 217.4574 229.3222 239.0428 246.9450 253.3271 258.4527 262.5493 265.8096 268.3946 270.4375 270.7909 271.4491 272.0471

0.9612 1.4272 1.8836 2.3304 2.7676 3.1952 3.6133 4.0220 4.4213 4.8113 5.1920 5.5635 5.9260 6.2794 6.6240 6.9597 7.2867 7.6051 7.9151 8.2166 8.5099 8.7951 9.0722 9.3414 9.6029 9.8568 10.1032 10.3422 10.5740 10.7988 11.0166 11.2276 11.4319 12.3590 13.1413 13.7964 14.3411 14.7909 15.1601 15.4613 15.7058 15.9033 16.0620 16.1891 16.2905 16.3081 16.3411 16.3711

786

Tablas de factores de interés compuesto

7%

TABLA

12

Pagos únicos

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 96 98 100

Valor presente PIF

Factor de amortización AlF

Cantidad compuesta FIA

1.0700 1.1449 1.2250 1.3108 1.4026 1.5007 1.6058 1.7182 1.8385 1.9672

0.9346 0.8734 0.8163 0.7629 0.7130 0.6663 0.6227 0.5820 0.5439 0.5083 0.4751 0.4440 0.4150 0.3878 0.3624 0.3387 0.3166

1.00000 0.48309 0.31105 0.22523 0.17389 0.13980 0.11555 0.09747 0.08349 0.07238 0.06336 0.05590 0.04965 0.04434 0.03979 0.03586 0.03243 0.02941 0.02675 0.02439 0.02229 0.02041 0.01871 0.01719 0.01581 0.01456 0.01343 0.01239 0.01145 0.01059 0.00980 0.00907 0.00841 0.00780 0.00723 0.00501 0.00350 0.00246 0.00174 0.00123 0.00087 0.00062 0.00044 0.00031 0.00022 0.00016 0.00011 0.00011 0.00009 0.00008

1.0000 2.0700 3.2149 4.4399

2.7590 2.9522 3.1588 3.3799 3.6165 3.8697 4.1406 4.4304 4.7405 5.0724 5.4274 5.8074 6.2139 6.6488 7.1143 7.6123 8.1451 8.7153 9.3253 9.9781 10.6766 14.9745 21.0025 29.4570 41.3150 57.9464 81.2729 113.9894 159.8760 224.2344 314.5003 441.1030 618.6697 661.9766 757.8970 867.7163

0.2959 0.2765 0.2584 0.2415 0.2257 0.2109 0.1971 0.1842 0.1722 0.1609 0.1504 0.1406 0.1314 0.1228 0.1147 0.1072 0.1002 0.0937 0.0668 0.0476 0.0339 0.0242 0.0173 0.0123 0.0088 0.0063 0.0045 0.0032 0.0023 0.0016 0.0015 0.0013 0.0012

Gradientes aritméticos

Pagos de serie uniforme

Cantidad compuesta FIP

2.1049 2.2522 2.4098 2.5785

7%

Flujo de efectivo discreto: Factores de interés compuesto

5.7507 7.1533 8.6540 10.2598 11.9780 13.8164 15.7836 17.8885 20.1406 22.5505 25.1290 27.8881 30.8402 33.9990 37.3790 40.9955 44.8652 49.0057 53.4361 58.1767 63.2490 68.6765 74.4838 80.6977 87.3465 94.4608 102.0730 110.2182 118.9334 128.2588 138.2369 199.6351 285.7493 406.5289 575.9286 813.5204 1146.76 1614.13 2269.66 3189.06 4478.58 6287.19 8823.85 9442.52 10 813 12 382

Recuperación de capital AlP 1.07000 0.55309 0.38105 0.29523 0.24389 0.20980 0.18555 0.16747 0.15349 0.14238 0.13336 0.12590 0.11965 0.11434 0.10979 0.10586 0.10243 0.09941 0.09675 0.09439 0.09229 0.09041 0.08871 0.08719 0.08581 0.08456 0.08343 0.08239 0.08145 0.08059 0.07980 0.07907 0.07841 0.07780 0.07723 0.07501 0.07350 0.07246 0.07174 0.07123 0.07087 0.07062 0.07044 0.07031 0.07022 0.07016 0.07011

Valor presente PIA 0.9346 1.8080 2.6243 3.3872 4.1002 4.7665 5.3893 5.9713 6.5152 7.0236 7.4987 7.9427 8.3577 8.7455 9.1079 9.4466 9.7632 10.0591 10.3356 10.5940 10.8355 11.0612 11.2722 11.4693 11.6536 11.8258 11.9867 12.1371 12.2777 12.4090

Om011

12.5318 12.6466 12.7538 12.8540 12.9477 13.3317 13.6055 13.8007 13.9399 14.0392 14.1099 14.1604 14.1964 14.2220 14.2403 14.2533 14.2626 14.2641

0.07009 0.07008

14.2669 14.2693

Gradiente de valor presente PIG 0.8734 2.5060 4.7947 7.6467 10.9784 14.7149 18.7889 23.1404 27.7156 32.4665 37.3506 42.3302 47.3718 52.4461 57.5271 62.5923 67.6219 72.5991 77.5091 82.3393 87.0793 91.7201 96.2545 100.6765 104.9814 109.1656 113.2264 117.1622 120.9718 124.6550 128.2120 131.6435 134.9507 138.1353 152.2928 163.7559 172.9051 180.1243 185.7677 190.1452 193.5185 196.1035 198.0748 199.5717 200.7042 201.5581 201.7016 201.9651 202.2001

Gradiente de serie anual AlG 0.4831 0.9549 1.4155 1.8650 2.3032 2.7304 3.1465 3.5517 3.9461 4.3296 4.7025 5.0648 5.4167 5.7583 6.0897 6.4110 6.7225 7.0242 7.3163 7.5990 7.8725 8.1369 8.3923 8.6391 8.8773 9.1072 9.3289 9.5427 9.7487 9.9471 10.1381 10.3219 10.4987 10.6687 11.4233 12.0360 12.5287 12.9215 13.2321 13.4760 13.6662 13.8136 13.9273 14.0146 14.0812 14.1319 14.1405 14.1562 14.1703

787

Tablas de factores de interés compuesto

8%

TABLA

13

Pagos únicos

n I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 6 98 LOO

Pagos de serie uniforme

Cantidad compuesta FIP

Valor presente PIF

Factor de amortización

1.0800 1.1664 1.2597 1.3605 1.4693 1.5869 1.7138 1.8509 1.9990 2.1589 2.3316 2.5182 2.7196 2.9372 3.1722 3.4259 3.7000 3.9960 4.3157 4.6610 5.0338 5.4365

0.9259 0.8573 0.7938 0.7350 0.6806 0.6302 0.5835 0.5403 0.5002 0.4632 0.4289

1.00000 0.48077

5.8715 6.3412 6.8485 7.3964 7.9881 8.6271 9.3173 10.0627 10.8677 11.7371 12.6760 13.6901 14.7853 21.7245 31.9204 46.9016 68.9139 101.2571 148.7798 218.6064 321.2045 471.9548 693.4565 1018.92 1497.12 1616.89 1 885.94 2 199.76

0.3971 0.3677 0.3405 0.3152 0.2919 0.2703 0.2502 0.2317 0.2145 0.1987 0.1839 0.1703 0.1577 0.1460 0.1352 0.1252 0.1159 0.1073 0.0994 0.0920 0.0852 0.0789 0.0730 0.0676 0.0460 0.0313 0.0213 0.0145 0.0099 0.0067 0.0046 0.0031 0.0021 0.0014 0.0010 0.0007 0.0006 0.0005 0.0005

8%

Flujo de efectivo discreto: Factores de interés compuesto

A/F

0.30803 0.22192 0.17046 0.13632 0.11207 0.09401 0.08008 0.06903 0.06008 0.05270 0.04652 0.04130 0.03683 0.03298 0.02963 0.02670 0.02413 0.02185 0.01983 0.01803 0.01642 0.01498 0.01368 0.01251 0.01145 0.01049 0.00962 0.00883 0.00811 0.00745 0.00685 0.00630 0.00580 0.00386 0.00259 0.00174 0.00118 0.00080 0.00054 0.00037 0.00025 0.00017 0.00012 0.00008 0.00005 0.00005 0.00004 0.00004

Cantidad compuesta FIA

Recuperación de capital A/P

1.0000

1.08000

2.0800 3.2464 4.5061 5.8666 7.3359 8.9228 10.6366 12.4876 14.4866 16.6455 18.9771 21.4953 24.2149 27.1521 30.3243 33.7502 37.4502 41.4463 45.7620 50.4229 55.4568

0.56077 0.38803 0.30192 0.25046 0.21632 0.19207 0.17401 0.16008 0.14903 0.14008 0.13270 0.12652 0.12130 0.11683 0.11298 0.10963 0.10670 0.10413 0.10185 0.09983 0.09803 0.09642 0.09498 0.09368 0.09251 0.09145 0.09049 0.08962 0.08883 0.08811 0.08745 0.08685 0.08630 0.08580 0.08386 0.08259 0.08174 0.08118 0.08080 0.08054 0.08037 0.08025 0.08017 0.08012 0.08008 0.08005 0.08005 0.08004 0.08004

60.8933 66.7648 73.1059 79.9544 87.3508 95.3388 103.9659 1I3.2832 123.3459 134.2135 145.9506 158.6267 172.3168 259.0565 386.5056 573.7702 848.9232 1253.21 I 847.25 2720.08 4002.56 5886.94 8655.71 12724 18702 20199 23562 27485

Gradientes aritméticos Valor presente PIA 0.9259 1.7833 2.5771 3.3121 3.9927 4.6229 5.2064 5.7466 6.2469 6.7101 7.1390 7.5361 7.9038 8.2442 8.5595 8.8514 9.1216 9.3719 9.6036 9.8181 10.0168 10.2007 1O.3711 10.5288 10.6748 10.8100 10.9352 11.0511 11.1584 11.2578 11.3498 11.4350 11.5139 11.5869 11.6546 11.9246 12.1084 12.2335 12.3186 12.3766 12.4160 12.4428 12.4611 12.4735 12.4820 12.4877 12.4917 12.4923 12.4934 12.4943

Gradiente de valor presente PIG

Gradiente de serie anual

0.8573 2.4450

0.4808

4.6501 7.3724 10.5233 14.0242 17.8061 21.8081 25.9768 30.2657 34.6339 39.0463 43.4723 47.8857 52.2640 56.5883 60.8426 65.0134 69.0898 73.0629 76.9257 80.6726 84.2997 87.8041 91.1842 94.4390 97.5687 100.5738 103.4558 106.2163 108.8575 111.3819 113.7924 116.0920 126.0422 133.7331 139.5928 144.0065 147.3000 149.7387 151.5326 152.8448 153.8001 154.4925 154.9925 155.3524 155.4112 155.5176 155.6107

A/G

0.9487 1.4040 1.8465 2.2763 2.6937 3.0985 3.4910 3.8713 4.2395 4.5957 4.9402 5.2731 5.5945 5.9046 6.2037 6.4920 6.7697 7.0369 7.2940 7.5412 7.7786 8.0066 8.2254 8.4352 8.6363 8.8289 9.0133 9.1897 9.3584 9.5197 9.6737 9.8208 9.9611 10.5699 11.0447 11.4107 11.6902 11.9015 12.0602 12.1783 12.2658 12.3301 12.3772 12.4116 12.4365 12.4406 12.4480 12.4545

788

Tablas de factores de interés compuesto

9%

TABLA

14

Cantidad compuesta

Valor presente

Pagos de serie uniforme

Gradientes aritméticos

Factor de amortización

Cantidad compuesta

Recuperación de capital

Valor presente

Gradiente de valor presente

Gradiente de serie anual

PIG

AlG

n

FIP

PIF

AlF

F/A

AlP

P/A

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 96 98 100

1.0900 1.1881 1.2950 1.4116 1.5386 1.6771 1.8280 1.9926

0.9174 0.8417 0.7722 0.7084 0.6499 0.5963 0.5470 0.5019 0.4604 0.4224

1.00000 0.47847 0.30505 0.21867 0.16709 0.13292 0.10869 0.09067 0.07680 0.06582 0.05695 0.04965 0.04357 0.03843 0.03406 0.03030 0.02705 0.02421 0.02173 0.01955 0.01762 0.01590 0.01438 0.01302 0.01181

1.0000 2.0900 3.2781 4.5731 5.9847 7.5233 9.2004 11.0285 13.0210 15.1929 17.5603 20.1407 22.9534 26.0192 29.3609 33.0034 36.9737 41.3013 46.0185 51.1601 56.7645 62.8733 69.5319 76.7898 84.7009 93.3240 102.7231 112.9682 124.1354 136.3075 149.5752 164.0370 179.8003 196.9823 215.7108 337.8824 525.8587 815.0836 1260.09 1944.79 2998.29 4619.22 7113.23 10951 16855 25939 39917 43510 51696 61423

1.09000

0.9174 1.7591

2.1719 2.3674 2.5804 2.8127 3.0658 3.3417 3.6425 3.9703 4.3276 4.7171 5.1417 5.6044 6.1088 6.6586 7.2579 7.9111 8.6231 9.3992 10.2451 lJ.1671 12.1722 13.2677 14.4618 15.7633 17.1820 18.7284 20.4140 31.4094 48.3273 74.3575 114.4083 176.0313 270.8460 416.7301 641.1909 986.5517 1517.93 2335.53 3593.50 3916.91 4653.68 5529.04

9%

Flujo de efecti,vo discreto: Factores de interés compuesto

Pagos únicos

n

0.3875 0.3555 0.3262 0.2992 0.2745 0.2519 0.2311 0.2120 0.1945 0.1784 0.1637 0.1502 0.1378 0.1264 0.1160 0.1064 0.0976 0.0895 0.0822 0.0754 0.0691 0.0634 0.0582 0.0534 0.0490 0.0318 0.0207 0.0134 0.0087 0.0057 0.0037 0.0024 0.0016 0.0010 0.0007 0.0004 0.0003 0.0003 0.0002 0.0002

Om072

0.00973 0.00885 0.00806 0.00734 0.00669 0.00610 0.00556 0.00508 0.00464 0.00296 0.00190 0.00123 0.00079 0.00051 0.00033 0.00022 0.00014 0.00009 0.00006 0.00004 0.00003 0.00002 0.00002 0.00002

0.56847 0.39505 0.30867 0.25709 0.22292 0.19869 0.18067 0.16680 0.15582 0.14695 0.13965 0.13357 0.12843 0.12406 0.12030 0.11705 0.11421 0.11173 0.10955 0.10762 0.10590 0.10438 0.10302 0.10181 0.10072 0.09973 0.09885 0.09806 0.09734 0.09669 0.09610 0.09556 0.09508 0.09464 0.09296 0.09190 0.09123 0.09079 0.09051 0.09033 0.09022 0.09014 0.09009 0.09006 0.09004 0.09003 0.09002 0.09002 0.09002

2.5313 3.2397 3.8897 4.4859 5.0330 5.5348 5.9952 6.4177 6.8052 7.1607 7.4869 7.7862 8.0607 8.3126 8.5436 8.7556 8.9501 9.1285 9.2922 9.4424 9.5802 9.7066 9.8226 9.9290 10.0266 10.1161 10.1983 10.2737 10.3428 10.4062 10.4644 10.5178 10.5668 10.7574 10.8812 10.9617 11.0140 11.0480 11.0701 11.0844 11.0938 11.0998 11.1038 11.1064 11.1080 11.1083 11.1087 11.1091

0.8417 2.3860 4.5113 7.1110 10.0924 13.3746 16.8877 20.5711 24.3728 28.2481 32.1590 36.0731 39.9633 43.8069 47.5849 51.2821

0.4785

1

0.9426 1.3925 1.8282

2

2.2498 2.6574 3.0512 3.4312

5

3.7978 4.1510 4.4910 4.8182 5.1326 5.4346

65.0509 68.2048 71.2359

5.7245 6.0024 6.2687 6.5236 6.7674 7.0006 7.2232 7.4357

74.1433 76.9265 79.5863 82.1241 84.5419 86.8422 89.0280 91.1024 93.0690 94.9314 96.6935 98.3590 105.3762 110.5561 114.3251 117.0362 118.9683 120.3344 121.2942 121.9646 122.4306 122.7533 122.9758 123.1287 123.1529 123.1963 123.2335

7.6384 7.8316 8.0156 8.1906 8.3571 8.5154 8.6657 8.8083 8.9436 9.0718 9.1933 9.3083 9.7957 10.1603 10.4295 10.6261 10.7683 10.8702 10.9427 10.9940 11.0299 11.0551 11.0726 11.0847 11.0866 11.0900 11.0930

54.8860 58.3868 61.7770

3

4

6

7

8

9

1

1

1

1

l·

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

789

Tablas de factores de interés compuesto

10%

TABLA

15

Flujo de efectivo discreto: Factores de interés compuesto

Pagos únicos Cantidad compuesta n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 96 98 100

Valor presente

Pagos de serie uniforme Factor de amortización

Cantidad compuesta

Recuperación de capital

Gradientes aritméticos Valor presente

Gradiente de valor presente

Gradiente de serie anual

PIG

AlG

0.8264 2.3291 4.3781 6.8618 9.6842 12.7631 16.0287 19.4215

0.4762

FIP

PIF

AlF

F/A

AlP

PIA

1.1000 1.2100 1.3310 1.4641 1.6105 1.7716 1.9487 2.1436 2.3579 2.5937 2.8531 3.1384 3.4523

0.9091 0.8264 0.7513 0.6830 0.6209 0.5645 0.5132 0.4665 0.4241

1.00000 0.47619

1.0000

1.10000 0.57619 0.40211 0.31547

0.9091 1.7355 2.4869

3.7975 4.1772 4.5950 5.0545 5.5599 6.]]59 6.7275 7.4002 8.1403 8.9543 9.8497 10.8347 11.9182 13.1100 14.4210 15.8631 17.4494 19.1943 21.1138 23.2252 25.5477 28.1024 45.2593 72.8905 117.3909 189.0591 304.4816 490.3707 789.7470 1271.90 2048.40 3298.97 5313.02 8556.68 9412.34 11 389 13 781

0.3855 0.3505 0.3186 0.2897 0.2633 0.2394 0.2176 0.1978 0.1799 0.1635 0.1486 0.1351 0.1228 0.1117 0.1015 0.0923 0.0839 0.0763 0.0693 0.0630 0.0573 0.0521 0.0474 0.0431 0.0391 0.0356 0.0221 0.0137 0.0085 0.0053 0.0033 0.0020 0.0013 0.0008 0.0005 0.0003 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001

0.30211 0.21547 0.16380 0.12961 0.10541 0.08744 0.07364 0.06275 0.05396 0.04676 0.04078 0.03575 0.03147 0.02782 0.02466 0.02193 0.01955 0.01746 0.01562 0.01401 0.01257 0.01130 0.Ql017 0.00916 0.00826 0.00745 0.00673 0.00608 0.00550 0.00497 0.00450 0.00407 0.00369 0.00226 0.00139 0.00086 0.00053 0.00033 0.00020 0.00013 0.00008 0.00005 0.00003 0.00002 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001

2.1000 3.3100 4.6410 6.1051 7.7156 9.4872 11.4359 13.5795 15.9374 18.5312 21.3843 24.5227 27.9750 31.7725 35.9497 40.5447 45.5992 51.1591 57.2750 64.0025 71.4027 79.5430 88.4973 98.3471 109.1818 121.0999 134.2099 148.6309 164.4940 181.9434 201.1378 222.2515 245.4767 271.0244 442.5926 718.9048 1163.91 1 880.59 3034.82 4893.71 7887.47 12709 20474 32980 53120 85557 94113

0.26380 0.22961 0.20541 0.18744 0.17364 0.16275 0.15396 0.14676 0.14078 0.13575 0.13147 0.12782 0.12466 0.12193 0.11955 0.11746 0.11562 0.11401 0.11257 0.11130 0.11017 0.10916 0.10826 0.10745 0.10673 0.10608 0.10550 0.10497 0.10450 0.10407 0.10369 0.10226 0.10139 0.10086 0.10053 0.10033 0.10020 0.10013 0.10008 0.10005 0.10003 0.10002 0.10001 0.10001 0.10001 0.10001

10%

3.1699 3.7908 4.3553 4.8684 5.3349 5.7590 6.1446 6.4951 6.8137 7.1034 7.3667 7.6061 7.8237 8.0216 8.2014 8.3649 8.5136 8.6487 8.7715 8.8832 8.9847 9.0770 9.1609 9.2372 9.3066 9.3696 9.4269 9.4790 9.5264 9.5694 9.6086 9.6442 9.7791 9.8628 9.9148 9.9471 9.9672 9.9796 9.9873 9.9921 9.9951 9.9970 9.9981 9.9988 9.9989 9.9991 9.9993

22.8913 26.3963 29.9012 33.3772 36.8005 40.1520 43.4164 46.5819 49.6395 52.5827 55.4069 58.1095 60.6893 63.1462 65.4813 67.6964 69.7940 71.7773 73.6495 75.4146 77.0766 78.6395 80.1078 81.4856 82.7773 83.9872 88.9525 92.4544 94.8889 96.5619 97.7010 98.4705 98.9870 99.3317 99.5606 99.7120 99.8118 99.8773 99.8874 99.9052 99.9202

0.9366 1.3812 1.8101 2.2236 2.6216 3.0045 3.3724 3.7255 4.0641 4.3884 4.6988 4.9955 5.2789 5.5493 5.8071 6.0526 6.2861 6.5081 6.7189 6.9189 7.1085 7.2881 7.4580 7.6186 7.7704 7.9137 8.0489 8.1762 8.2962 8.4091 8.5152 8.6149 8.7086 9.0962 9.3740 9.5704 9.7075 9.8023 9.8672 9.9113 9.9410 9.9609 9.9742 9.9831 9.9889 9.9898 9.9914 9.9927

790

Tablas de factores de interés compuesto

11%

TA8LA

16

Flujo de efectivo discreto: Factores de interés compuesto

Pagos únicos

Pagos de serie uniforme

Cantidad compuesta FIP

Valor presente PIF

I

1.1100

0.9009

1.00000

2

1.2321

0.8116

0.47393

3

1.3676

0.7312

0.29921

4

1.5181

0.6587

0.21233

n

Factor de amortización AlF

Cantidad compuesta F/A

11%

Gradientes aritméticos

Recuperación de capital AlP

Valor presente PIA

1.0000

1.11000

0.9009

2.1100

0.58393

1.7125

3.3421

0.40921

4.7097

0.32233

Gradiente de valor presente PIG

Gradiente de serie anual AlG

n I 2

0.8116

0.4739

2.4437

2.2740

0.9306

3.1024

4.2502

1.3700

4

3

5

1.6851

0.5935

0.16057

6.2278

0.27057

3.6959

6.6240

1.7923

5

6

1.8704

0.12638

7.9129

0.23638

4.2305

9.2972

2.1976

6

7

2.0762

0.5346 0.4817

0.10222

9.7833

0.21222

4.7122

12.1872

2.5863

8

2.3045

0.4339

0.08432

11.8594

0.19432

5.1461

15.2246

2.9585

9

2.5580

0.3909

0.07060

14.1640

0.18060

5.5370

18.3520

3.3144

10

2.8394

0.3522

0.05980

16.7220

0.16980

5.8892

21.5217

3.6544

11

3.1518

0.3173

0.05112

19.5614

0.16112

6.2065

24.6945

3.9788

12

3.4985

0.2858

0.04403

22.7132

0.15403

6.4924

27.8388

4.2879

13

0.2575

0.03815

26.2116

0.14815

6.7499

30.9290

4.5822

14

3.8833 4.3104

0.2320

0.03323

30.0949

0.14323

6.9819

33.9449

4.8619

15

4.7846

0.2090

0.02907

34.4054

0.13907

7.1909

36.8709

5.1275

16

5.3109

0.1883

0.02552

39.1899

0.13552

7.3792

39.6953

5.3794

17

5.8951

0.1696

0.02247

44.5008

0.13247

7.5488

42.4095

5.6180

18

6.5436

0.1528

0.01984

50.3959

0.12984

7.7016

45.0074

5.8439

19

7.2633

0.1377

0.01756

56.9395

0.12756

7.8393

47.4856

6.0574

20

8.0623

0.1240

0.01558

64.2028

0.12558

7.9633

49.8423

6.2590

21

8.9492

0.1117

0.01384

72.2651

0.12384

8.0751

52.0771

6.4491

22

9.9336

0.1007

0.01231

81.2143

0.12231

8.1757

54.1912

6.6283

23

11.0263

0.0907

Om097

91.1479

0.12097

8.2664

56.1864

6.7969

24

12.2392

0.0817

0.00979

102.1742

0.11979

8.3481

58.0656

6.9555

25

13.5855

0.0736

0.00874

114.4133

0.11874

8.4217

59.8322

7.1045

26

15.0799

0.0663

0.00781

127.9988

0.11781

8.4881

61.4900

7.2443

27

16.7386

0.0597

0.00699

143.0786

0.11699

8.5478

63.0433

7.3754

28

18.5799

0.0538

0.00626

159.8173

0.11626

8.6016

64.4965

7.4982

29

20.6237

0.0485

0.00561

178.3972

0.11561

8.6501

65.8542

7.6131

30

22.8923

0.0437

0.00502

199.0209

0.11502

8.6938

67.1210

7.7206

31

25.4104

0.0394

0.00451

221.9132

0.11451

8.7331

68.3016

7.8210

32

28.2056

0.0355

0.00404

247.3236

0.11404

8.7686

69.4007

7.9147

33

31.3082

0.0319

0.00363

275.5292

0.11363

8.8005

70.4228

8.0021

34

34.7521

0.0288

0.00326

306.8374

0.11326

8.8293

71.3724

8.0836

35

38.5749

0.0259

0.00293

341.5896

0.11293

8.8552

72.2538

8.1594

40

65.0009

0.0154

0.00172

581.8261

0.11172

8.9511

75.7789

8.4659

45

109.5302

0.0091

0.00101

986.6386

0.11101

9.0079

78.1551

8.6763

50

184.5648

0.0054

0.00060

1668.77

0.11060

9.0417

79.7341

8.8185

55

311.0025

0.0032

0.00035

2818.20

0.11035

9.0617

80.7712

8.9135

60

524.0572

0.0019

0.00021

4755.07

0.11021

9.0736

81.4461

8.9762

65

883.0669

0.0011

0.00012

8018.79

0.11012

9.0806

81.8819

9.0172

70

1488.02

0.0007

0.00007

13518

0.11007

9.0848

82.1614

9.0438

75

2507.40

0.0004

0.00004

22785

0.11004

9.0873

82.3397

9.0610

80

4225.11

0.0002

0.00003

38401

0.11003

9.0888

82.4529

9.0720

85

7119.56

0.0001

0.00002

64 714

0.11002

9.0896

82.5245

9.0790

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85

791

Tablas de factores de interés compuesto

12%

TABLA

17

Flujo de efectivo discreto: Factores de interés compuesto

Pagos únicos Cantidad compuesta

Valor presente

Pagos de serie uniforme Factor de amortización

Cantidad compuesta

Recuperación de capital

Gradientes aritméticos Valor presente

Gradiente de valor presente

Gradiente de serie anual

PIG

AlG

0.7972 2.2208 4.1273 6.3970 8.9302 11.6443 14.4714 17.3563

0.4717 0.9246 1.3589 1.7746

n

FIP

PIF

AlF

FIA

AlP

PIA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85

1.1200 1.2544 1.4049 1.5735 1.7623 1.9738 2.2107 2.4760

0.8929 0.7972 0.7118 0.6355 0.5674 0.5066 0.4523 0.4039

1.0000

0.3606 0.3220 0.2875 0.2567 0.2292 0.2046 0.1827 0.1631 0.1456 0.1300 0.1161 0.1037 0.0926 0.0826 0.0738 0.0659 0.0588 0.0525 0.0469 0.0419 0.0374 0.0334 0.0298 0.0266 0.0238 0.0212 0.0189 0.0107 0.0061 0.0035 0.0020 0.0011 0.0006 0.0004 0.0002 0.0001 0.0001

1.12000 0.59170 0.41635 0.32923 0.27741 0.24323 0.21912 0.20130 0.18768 0.17698 0.16842 0.16144 0.15568 0.15087 0.14682 0.14339 0.14046 0.13794 0.13576 0.13388 0.13224 0.13081 0.12956 0.12846 0.12750 0.12665 0.12590 0.12524 0.12466 0.12414 0.12369 0.12328 0.12292 0.12260 0.12232 0.12130 0.12074 0.12042 0.12024 0.12013 0.12008 0.12004 0.12002 0.12001 0.12001

0.8929 1.6901 2.4018

2.7731 3.1058 3.4785

1.00000 0.47170 0.29635 0.20923 0.15741 0.12323 0.09912 0.08130 0.06768 0.05698 0.04842 0.04144 0.03568 0.03087 0.02682 0.02339 0.02046 0.01794 0.01576 0.01388 0.01224 0.01081 0.00956 0.00846 0.00750 0.00665 0.00590 0.00524 0.00466 0.00414 0.00369 0.00328 0.00292 0.00260 0.00232 0.00130 0.0074 0.00042 0.00024 0.00013 0.00008 0.00004 0.00002 0.00001 0.00001

3.8960 4.3635 4.8871 5.4736 6.1304 6.8660 7.6900 8.6128 9.6463 10.8038 12.1003 13.5523 15.1786 17.0001 19.0401 21.3249 23.8839 26.7499 29.9599 33.5551 37.5817 42.0915 47.1425 52.7996 93.0510 163.9876 289.0022 509.3206 897.5969 1581.87 2787.80 4913.06 8658.48 15259

2.1200 3.3744 4.7793 6.3528 8.1152 10.0890 12.2997 14.7757 17.5487 20.6546 24.1331 28.0291 32.3926 37.2797 42.7533 48.8837 55.7497 63.4397 72.0524 81.6987 92.5026 104.6029 118.1552 133.3339 150.3339 169.3740 190.6989 214.5828 241.3327 271.2926 304.8477 342.4294 384.5210 431.6635 767.0914 1358.23 2400.02 4236.01 7471.64 13174 23223 40934 72 146

12%

3.0373 3.6048 4.1114 4.5638 4.9676 5.3282 5.6502 5.9377 6.1944 6.4235 6.6282 6.8109 6.9740 7.1196 7.2497 7.3658 7.4694 7.5620 7.6446 7.7184 7.7843 7.8431 7.8957 7.9426 7.9844 8.0218 8.0552 8.0850 8.1116 8.1354 8.1566 8.1755 8.2438 8.2825 8.3045 8.3170 8.3240 8.3281 8.3303 8.3316 8.3324 8.3328

20.2541 23.1288 25.9523 28.7024 31.3624 33.9202 36.3670 38.6973 40.9080 42.9979 44.9676 46.8188 48.5543 50.1776 51.6929 53.1046 54.4177 55.6369 56.7674 57.8141 58.7821 59.6761 60.5010 61.2612 61.9612 62.6052 65.1159 66.7342 67.7624 68.4082 68.8100 69.0581 69.2103 69.3031 69.3594 69.3935

2.1720 2.5512 2.9131 3.2574 3.5847 3.8953 4.1897 4.4683 4.7317 4.9803 5.2147 5.4353 5.6427 5.8375 6.0202 6.1913 6.3514 6.5010 6.6406 6.7708 6.8921 7.0049 7.1098 7.2071 7.2974 7.3811 7.4586 7.5302 7.5965 7.6577 7.8988 8.0572 8.1597 8.2251 8.2664 8.2922 8.3082 8.3181 8.3241 8.3278

792

Tablas de factores de interés compuesto

14%

TABLA

18

Flujo de efectivo discreto: Factores de interés compuesto

Pagos únicos

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 II

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85

Cantidad compuesta F/P 1.1400 1.2996 1.4815 1.6890 1.9254 2.1950 2.5023 2.8526 3.2519 3.7072 4.2262 4.8179 5.4924 6.2613 7.1379" 8.1372 9.2765 10.5752 12.0557 13.7435 15.6676 17.8610 20.3616 23.2122 26.4619 30.1666 34.3899 39.2045 44.6931 50.9502 58.0832 66.2148 75.4849 86.0528 98.1002 188.8835 363.6791 700.2330 1348.24 2595.92 4998.22 9623.64 18530 35677 68693

Valor presente P/F 0.8772 0.7695 0.6750 0.5921 0.5194 0.4556 0.3996 0.3506 0.3075 0.2697 0.2366 0.2076 0.1821 0.1597 0.1401 0.1229 0.1078 0.0946 0.0829 0.0728 0.0638 0.0560 0.0491 0.0431 0.0378 0.0331 0.0291 0.0255 0.0224 0.0196 0.0172 0.0151 0.0132 0.0116 0.0102 0.0053 0.0027 0.0014 0.0007 0.0004 0.0002 0.0001 0.0001

Pagos de serie uniforme Factor de amortización AlF 1.00000 0.46729 0.29073 0.20320 0.15128 0.11716 0.09319 0.07557 0.06217 0.05171 0.04339 0.03667 0.03116 0.02661 0.02281 0.01962 0.01692 0.01462 0.01266 0.01099 0.00954 0.00830 0.00723 0.00630 0.00550 0.00480 0.00419 0.00366 0.00320 0.00280 0.00245 0.00215 0.00188 0.00165 0.00144 0.00075 0.00039 0.00020 0.00010 0.00005 0.00003 0.00001 0.00001

14%"

"

"

Cantidad compuesta F/A

Recuperación de capital AlP

1.0000

1.14000 0.60729 0.43073 0.34320 0.29128 0.25716 0.23319 0.21557 0.20217 0.19171 0.18339 0.17667 0.17116 0.16661 0.16281 0.15962 0.15692 0.15462 0.15266 0.15099 0.14954 0.14830

2.1400 3.4396 4.9211 6.6101 8.5355 10.7305 13.2328 16.0853 19.3373 23.0445 27.2707 32.0887 37.5811 43.8424 50.9804 59.1176 68.3941 78.9692 91.0249 104.7684 120.4360 138.2970 158.6586 181.8708 208.3327 238.4993 272.8892 312.0937 356.7868 407.7370 465.8202 532.0350 607.5199 693.5727 1342.03 2590.56 4994.52 9623.13 18535 35694 68733

0.14723 0.14630 0.14550 0.14480 0.14419 0.14366 0.14320 0.14280 0.14245 0.14215 0.14188 0.14165 0.14144 0.14075 0.14039 0.14020 0.14010 0.14005 0.14003 0.14001 0.14001 0.14000 0.14000

Gradientes aritméticos Valor presente PIA

Gradiente de valor presente P/G

Gradiente de serie anual AlG

0.7695 2.1194 3.8957 5.9731 8.2511 10.6489 13.1028 15.5629 17.9906 20.3567 22.6399 24.8247 26.9009 28.8623 30.7057 32.4305

0.4673

0.8772 1.6467 2.3216 2.9137 3.4331 3.8887 4.2883 4.6389 4.9464 5.2161 5.4527 5.6603 5.8424 6.0021 6.1422 6.2651 6.3729 6.4674 6.5504 6.6231 6.6870 6.7429 6.7921 6.8351 6.8729 6.9061 6.9352 6.9607 6.9830 7.0027 7.0199 7.0350 7.0482 7.0599 7.0700 7.1050 7.1232 7.1327 7.1376 7.1401 7.1414 7.1421 7.1425 7.1427 7.1428

,

34.0380 35.5311 36.9135 38.1901 39.3658 40.4463 41.4371 42.3441 43.1728 43.9289 44.6176 45.2441 45.8132 46.3297 46.7979 47.2218 47.6053 47.9519 49.2376 49.9963 50.4375 50.6912 50.8357 50.9173 50.9632 50.9887 51.0030 51.ü108

0.9129 1.3370 1.7399 2.1218 2.4832 2.8246 3.1463 3.4490 3.7333 3.9998 4.2491 4.4819 4.6990 4.9011 5.0888 5.2630 5.4243 5.5734 5.7111 5.8381 5.9549 6.0624 6.1610 6.2514 6.3342 6.4100 6.4791 6.5423 6.5998 6.6522 6.6998 6.7431 6.7824 6.9300 7.0188 7.0714 7.1020 7.1197 7.1298 7.1356 7.1388 7.1406 7.1416

n

793

Tablas de factores de interés compuesto

15%

TABLA

19

Flujo de efectivo discreto: Factores de interés compuesto

~

Pagos únicos Cantidad compuesta n

F/P

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85

1.1500 1.3225 1.5209 1.7490 2.0114 2.3131 2.6600 3.0590 3.5179 4.0456 4.6524 5.3503 6.1528 7.0757 8.1371 9.3576 10.7613 12.3755 14.2318 16.3665 18.8215 21.6447 24.8915 28.6252 32.9190 37.8568 43.5353 50.0656 57.5755 66.2118 76.1435 87.5651 100.6998 115.8048 133.1755 267.8635 538.7693 1083.66 2179.62 4384.00 8817.79 17736 35673 71751

,

Pagos de serie uniforme

Valor presente

Factor de amortización

Cantidad compuesta

PIF

AlF

0.8696 0.7561 0.6575 0.5718 0.4972 0.4323 0.3759 0.3269 0.2843 0.2472 0.2149 0.1869 0.1625 0.1413 0.1229 0.1069 0.0929 0.0808 0.0703 0.0611 0.0531 0.0462 0.0402 0.0349 0.0304 0.0264 0.0230 0.0200 0.0174 0.0151 0.0131 0.0114 0.0099 0.0086 0.0075 0.0037 0.0019 0.0009 0.0005 0.0002 0.0001 0.0001

1.00000 0.46512 0.28798 0.20027 0.14832 0.11424 0.09036 0.07285 0.05957 0.04925 0.04107 0.03448 0.02911 0.02469 0.02102 0.01795 0.01537 0.01319 0.01134 0.00976 0.00842 0.00727 0.00628 0.00543 0.00470 0.00407 0.00353 0.00306 0.00265 0.00230 0.00200 0.00173 0.00150 0.00131 0.00113 0.00056 0.00028 0.00014 0.00007 0.00003 0.00002 0.00001

15%

Gradientes aritméticos

Recuperación de capital

Valor presente

Gradiente de valor presente

Gradiente de serie anual

FIA

AlP

PIA

PIG

AlG

1.0000 2.1500 3.4725

1.15000

0.8696 1.6257

4.9934 6.7424 8.7537 11.0668 13.7268 16.7858 20.3037 24.3493 29.0017 34.3519 40.5047 47.5804 55.7175 65.0751 75.8364 88.2118 102.4436 118.8101 137.6316 159.2764 184.1678 212.7930 245.7120 283.5688 327.1041 377.1697 434.7451 500.9569 577.1005 664.6655 765.3654 881.1702 1 779;09 3585.13 7217.72 14524 29220 58779

0.61512 0.43798 0.35027 0.29832 0.26424 0.24036 0.22285 0.20957 0.19925 0.19107 0.18448 0.17911 0.17469 0.17102 0.16795 0.16537 0.16319 0.16134 0.15976 0.15842 0.15727 0.15628 0.15543 0.15470 0.15407 0.15353 0.15306 0.15265 0.15230 0.15200 0.15173 0.15150 0.15131 0.15113 0.15056 0.15028 0.15014 0.15007 0.15003 0.15002 0.15001 0.15000 0.15000 0.15000

2.2832 2.8550 3.3522 3.7845 4.1604 4.4873 4.7716 5.0188 5.2337 5.4206 5.5831 5.7245 5.8474 5.9542 6.0472 6.1280 6.1982 6.2593 6.3125 6.3587 6.3988 6.4338 6.4641 6.4906 6.5135 6.5335 6.5509 6.5660 6.5791 6.5905 6.6005 6.6091 6.6166 6.6418 6.6543 6.6605 6.6636 6.6651 6.6659 6.6663 6.6665 6.6666 6.6666

0.7561 2.0712 3.7864 5.7751 7.9368 10.1924 12.4807 14.7548 16.9795 19.1289 21.1849 23.1352 24.9725 26.6930 28.2960 29.7828 31.1565 32.4213 33.5822 34.6448 35.6150 36.4988 37.3023 38.0314 38.6918 39.2890 39.8283 40.3146 40.7526 41.1466 41.5006 41.8184 42.1033 42.3586 43.2830 43.8051 44.0958 44.2558 44.3431 44.3903 44.4156 44.4292 44.4364 44.4402

0.4651 0.9071 1.3263 1.7228 2.0972 2.4498 2.7813 3.0922 3.3832 3.6549 3.9082 4.1438 4.3624 4.5650 4.7522 4.9251 5.0843 5.2307 5.3651 5.4883 5.6010 5.7040 5.7979 5.8834 5.9612 6.0319 6.0960 6.1541 6.2066 6.2541 6.2970 6.3357 6.3705 6.4019 6.5168 6.5830 6.6205 6.6414 6.6530 6.6593 6.6627 6.6646 6.6656 6.6661

Tablas de factores de interés compuesto

794

16%

TABLA

20

Flujo de efectivo discreto: Factores de interés compuesto

Pagos únicos

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 24 26 28 30 32 34 35 36 38 40 45 50 55 60

Cantidad compuesta FIP 1.1600 1.3456 1.5609 1.8106 2.1003 2.4364 2.8262 3.2784 3.8030 4.4114 5.1173 5.9360 6.8858 7.9875 9.2655 10.7480 12.4677 14.4625 16.7765 19.4608 26.1864 35.2364 47.4141 63.8004 85.8499 115.5196 155.4432 180.3141 209.1643 281.4515 378.7212 795.4438 1670.70 3509.05 7370.20

Valor presente PIF 0.8621 0.7432 0.6407 0.5523 0.4761 0.4104 0.3538 0.3050 0.2630 0.2267 0.1954 0.1685 0.1452 0.1252 0.1079 0.0930 0.0802 0.0691 0.0596 0.0514 0.0382 0.0284 0.0211 0.0157 0.0116 0.0087 0.0064 0.0055 0.0048 0.0036 0.0026 0.0013 0.0006 0.0003 0.0001

Pagos de serie uniforme Factor de amortización AlF

Cantidad compuesta FIA

Recuperación de capital AlP

1.00000 0.46296 0.28526 0.19738 0.14541 0.11139 0.08761 0.07022 0.05708 0.04690 0.03886 0.03241 0.02718 0.02290 0.01936 0.01641 0.01395 0.01188 0.01014 0.00867 0.00635 0.00467 0.00345 0.00255 0.00189 0.00140 0.00104 0.00089 0.00077 0.00057 0.00042 0.00020 0.00010 0.00005 0.00002

1.0000

1.16000 0.62296 0.44526 0.35738 0.30541 0.27139 0.24761 0.23022 0.21708 0.20690 0.19886 0.19241 0.18718 0.18290 0.17936 0.17641 0.17395 0.17188 0.17014 0.16867 0.16635 0.16467 0.16345 0.16255 0.16189 0.16140 0.16104 0.16089 0.16077 0.16057 0.16042 0.16020 0.16010 0.16005 0.16002

2.1600 3.5056 5.0665 6.8771 8.9775 11.4139 14.2401 17.5185 21.3215 25.7329 30.8502 36.7862 43.6720 51.6595 60.9250 71.6730 84.1407 98.6032 115.3797 157.4150 213.9776 290.0883 392.5028 530.3117 715.7475 965.2698 1120.71 1 301.03 1752.82 2360.76 4965.27 10 436 21925 46058

16%

;.

Gradientes aritméticos Valor presente PIA 0.8621 1.6052 2.2459 2.7982 3.2743 3.6847 4.0386 4.3436 4.6065 4.8332 5.0286 5.1971 5.3423 5.4675 5.5755 5.6685 5.7487 5.8178 5.8775 5.9288 6.0113 6.0726 6.1182 6.1520 6.1772 6.1959 6.2098 6.2153 6.2201 6.2278 6.2335 6.2421 6.2463 6.2482 6.2492

Gradiente de valor presente PIG

Gradiente de

0.7432 2.0245 3.6814 5.5858 7.6380 9.7610 11.8962 13.9998 16.0399 17.9941 19.8472 21.5899 23.2175 24.7284 26.1241 27.4074 28.5828 29.6557 30.6321 32.3200 33.6970 34.8114 35.7073 36.4234

0.4630

36.9930 37.4441 37.6327 37.8000 38.0799 38.2992 38.6598 38.8521 38.9534 39.0063

serie anual

AlG

0.9014 1.3156 1.7060 2.0729 2.4169 2.7388 3.0391 3.3187 3.5783 3.8189 4.0413 4.2464 4.4352 4.6086 4.7676 4.9130 5.0457 5.1666 5.3765 5.5490 5.6898 5.8041 5.8964 5.9706 6.0299 6.0548 6.0771 6.1145 6.1441 6.1934 6.2201 6.2343 6.2419

n

795

Tablas de factores de interés compuesto

18%

TABLA

21

Flujo de efectivo discreto: Factores de interés compuesto

Pagos únicos

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 24 26 28 30 32 34 35 36 38 40 45 50 55 60

Pagos de serie uniforme

Cantidad compuesta F/P

Valor presente P/F

Factor de amortización AlF

Cantidad compuesta F/A

Recuperación de capital AlP

1.1800 1.3924 1.6430 1.9388

0.8475 0.7182 0.6086 0.5158 0.4371 0.3704 0.3139

1.00000 0.45872 0.27992 0.19174 0.13978 0.10591 0.08236 0.06524 0.05239 0.04251 0.03478 0.02863 0.02369 0.01968 0.01640 0.01371 0.01149 0.00964 0.00810 0.00682 0.00485 0.00345 0.00247 0.00177 0.00126 0.00091 0.00065 0.00055 0.00047 0.00033 0.00024 0.00010 0.00005 0.00002

1.0000 2.1800 3.5724 5.2154 7.1542 9.4420 12.1415 15.3270 19.0859 23.5213 28.7551 34.9311 42.2187 50.8180 60.9653 72.9390 87.0680 103.7403 123.4135 146.6280 206.3448 289.4945 405.2721 566.4809 790.9480 1 103.50 1538.69 1816.65 2144.65 2988.39 4163.21 9531.58 21813 49910 114190

1.18000 0.63872 0.45992 0.37174 0.31978 0.28591 0.26236 0.24524 0.23239 0.22251 0.21478 0.20863 0.20369 0.19968 0.19640 0.19371 0.19149 0.18964 0.18810 0.18682 0.18485 0.18345 0.18247 0.18177 0.18126 0.18091 0.18065 0.18055 0.18047 0.18033 0.18024 0.18010 0.18005 0.18002 0.18001

2.2878 2.6996 3.1855 3.7589 4.4355 5.2338 6.1759 7.2876 8.5994 10.1472 11.9737 14.1290 16.6722 19.6733 23.2144 27.3930 38.1421 53.1090 73.9490 102.9666 143.3706 199.6293 277.9638 327.9973 387.0368 538.9100 750.3783 1 716.68 3927.36 8984.84 20555

0.2660 0.2255 0.1911 0.1619 0.1372 0.1163 0.0985 0.0835 0.0708 0.0600 0.0508 0.0431 0.0365 0.0262 0.0188 0.0135 0.0097 0.0070 0.0050 0.0036 0.0030 0.0026 0.0019 0.0013 0.0006 0.0003 0.0001

18%

Gradientes aritméticos Valor presente PIA 0.8475 1.5656 2.1743 2.6901 3.1272 3.4976 3.8115 4.0776 4.3030 4.4941

Gradiente de valor presente PIG

Gradiente de serie anual AlG

0.7182 1.9354 3.4828 5.2312 7.0834 8.9670 10.8292 12.6329 14.3525 15.9716 17.4811

0.4587

4.6560 4.7932 4.9095 5.0081 5.0916 5.1624 5.2223 5.2732 5.3162 5.3527 5.4099 5.4509 5.4804

18.8765 20.1576 21.3269 22.3885 23.3482 24.2123 24.9877 25.6813 26.8506 27.7725 28.4935

5.5016 5.5168 5.5277 5.5356 5.5386 5.5412 5.5452 5.5482 5.5523 5.5541 5.5549 5.5553

29.0537 29.4864 29.8191 30.0736 30.1773 30.2677 30.4152 30.5269 30.7006 30.7856 30.8268 30.8465

0.8902 1.2947 1.6728 2.0252 2.3526 2.6558 2.9358 3.1936 3.4303 3.6470 3.8449 4.0250 4.1887 4.3369 4.4708 4.5916 4.7003 4.7978 4.9632 5.0950 5.1991 5.2810 5.3448 5.3945 5.4328 5.4485 5.4623 5.4849 5.5022 5.5293 5.5428 5.5494 5.5526

796

Tablas de factores de interés compuesto

20%

TABLA

22

Flujo de efectivo discreto: Factores de intel~és compuesto ~

Pagos únicos Cantidad compuesta

Valor presente

f:

Pagos de serie uniforme Factor de amortización

Cantidad compuesta

Recuperación de capital

Gradientes aritméticos Valor presente

Gradiente de valor presente

Gradiente de serie anual

P/G

AlG

0.6944 1.8519

0.4545

n

FIP

PIF

AlF

FIA

AlP

PIA

I

1.2000 1.4400 1.7280

0.8333 0.6944 0.5787 0.4823 0.4019

1.00000 0.45455 0.27473 0.18629 0.13438 0.10071 0.07742 0.06061 0.04808 0.03852 0.03110 0.02526 0.02062 0.01689 0.01388 0.01144 0.00944 0.00781 0.00646 0.00536 0.00369 0.00255 0.00176 0.00122 0.00085 0.00059 0.00041 0.00034 0.00028 0.00020 0.00014 0.00005 0.00002 0.00001

1.0000 2.2000 3.6400 5.3680 7.4416

1.20000 0.65455 0.47473 0.38629 0.33438 0.30071 0.27742 0.26061 0.24808 0.23852 0.23110 0.22526 0.22062 0.21689 0.21388 0.21144 0.20944 0.20781 0.20646 0.20536 0.20369 0.20255 0.20176 0.20122 0.20085 0.20059 0.20041 0.20034 0.20028 0.20020 0.20014 0.20005 0.20002 0.20001

0.8333 1.5278

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 24 26 28 30 32 34 35 36 38 40 45 50 55

2.0736 2.4883 2.9860 3.5832 4.2998 5.1598 6.1917 7.4301 8.9161 10.6993 12.8392 15.4070 18.4884 22.1861 26.6233 31.9480 38.3376 55.2061 79.4968 114.4755 164.8447 237.3763 341.8219 492.2235 590.6682 708.8019 1020.67 1469.77 3657.26 9 100.44 22645

0.3349 0.2791 0.2326 0.1938 0.1615 0.1346 0.1122 0.0935 0.0779 0.0649 0.0541 0.0451 0.0376 0.0313 0.0261 0.0181 0.0126 0.0087 0.0061 0.0042 0.0029 0.0020 0.0017 0.0014 0.0010 0.0007 0.0003 0.0001

9.9299 12.9159 16.4991 20.7989 25.9587 32.1504 39.5805 48.4966 59.1959 72.0351 87.4421 105.9306 128.1167 154.7400 186.6880 271.0307 392.4842 567.3773 819.2233 1 181.88 1704.11 2456.12 2948.34 3539.01 5098.37 7343.86 18281 45497

20%

~

2.1065 2.5887 2.9906 3.3255 3.6046 3.8372 4.0310 4.1925 4.3271 4.4392 4.5327 4.6106 4.6755 4.7296 4.7746 4.8122 4.8435 . 4.8696 4.9094 4.9371 4.9563 4.9697 4.9789 4.9854 4.9898 4.9915 4.9929 4.9951 4.9966 4.9986 4.9995 4.9998

0.8791 1.2742 1.6405 1.9788

3.2986 4.9061 6.5806 8.2551 9.8831 11.4335 12.8871 14.2330 15.4667

2.2902 2.5756 2.8364 3.0739 3.2893 3.4841

16.5883 17.6008 18.5095 19.3208 20.0419 20.6805 21.2439 ?1.7395

3.6597 3.8175 3.9588 4.0851 4.1976 4.2975 4.3861 4.4643

22.5546 23.1760 23.6460 23.9991 24.2628 24.4588 24.6038 24.6614 24.7108 24.7894 24.8469 24.9316 24.9698 24.9868

4.5941 4.6943 4.7709 4.8291 4.8731 4.9061 4.9308 4.9406 4.9491 4.9627 4.9728 4.9877 4.9945 4.9976

Tablas de factores de interés compuesto

22%

TABLA

,

23

Flujo de efectivo discreto: Factores de interés compuesto

~

Pagos únicos

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 24 26 28 30 32 34 35 36 38 40 45 50 55

Cantidad compuesta FIP 1.2200 1.4884 1.8158 2.2153 2.7027 3.2973 4.0227 4.9077 5.9874 7.3046 8.9117 10.8722 13.2641 16.1822 19.7423 24.0856 29.3844 35.8490 43.7358 53.3576 79.4175 118.2050 175.9364 261.8637 389.7579 580.1156 863.4441 1053.40 1285.15 1912.82 2847.04 7694.71 20797 56207

Valor presente PIF 0.8197 0.6719 0.5507 0.4514 0.3700 0.3033 0.2486 0.2038 0.1670 0.1369 0.1122 0.0920 0.0754 0.0618 0.0507 0.0415 0.0340 0.0279 0.0229 0.0187 0.0126 0.0085 0.0057 0.0038 0.0026 0.0017 0.0012 0.0009 0.0008 0.0005 0.0004 0.0001

797

_

~

'W

_

~

v

Pagos de serie uniforme Factor de amortización A/F

1.00000 0.45045 0.26966 0.18102 0.12921 0.09576 0.07278 0.05630 0.04411 0.03489 0.02781 0.02228 0.01794 0.01449 0.01174 0.00953 0.00775 0.00631 0.00515 0.00420 0.00281 0.00188 0.00126 0.00084 0.00057 0.00038 0.00026 0.00021 0.00017 0.00012 0.00008 0.00003 0.00001

Gradientes aritméticos

Cantidad compuesta FIA

Recuperación de capital A/P

1.0000

1.22000 0.67045 0.48966 0.40102

0.8197 1.4915

0.34921 0.31576 0.29278 0.27630 0.26411 0.25489 0.24781 0.24228 0.23794 0.23449 0.23174 0.22953 0.22775 0.22631 0.22515 0.22420 0.22281 0.22188 0.22126 0.22084 0.22057 0.22038 0.22026 0.22021 0.22017 0.22012 0.22008 0.22003 0.22001 0.22000

2.8636 3.1669 3.4155

2.2200 3.7084 5.5242 7.7396 10.4423 13.7396 17.7623 22.6700 28.6574 35.9620 44.8737 55.7459 69.0100 85.1922 104.9345 129.0201 158.4045 194.2535 237.9893 356.4432 532.7501 795.1653 1185.74 1767.08 2632.34 3920.20 4783.64 5837.05 8690.08 12937 34971 94525

22%

•

Valor presente PIA

2.0422 2.4936

3.6193 3.7863 3.9232 4.0354 4.1274 4.2028 4.2646 4.3152 4.3567 4.3908 4.4187 4.4415 4.4603 4.4882 4.5070 4.5196 4.5281 4.5338 4.5376 4.5402 4.5411 4.5419 4.5431 4.5439 4.5449 4.5452 4.5454

Gradiente de valor presente PIG

Gradiente de serie anual

0.6719 1.7733

0.4505

3.1275 4.6075 6.1239 7.6154 9.0417 10.3779 11.6100 12.7321 13.7438 14.6485 15.4519 16.1610 16.7838 17.3283 17.8025 18.2141 18.5702 19.1418 19.5635 19.8720 20.0962 20.2583 20.3748 20.4582 20.4905 20.5178 20.5601 20.5900 20.6319 20.6492 20.6563

A/G

0.8683 1.2542 1.6090 1.9337 2.2297 2.4982 2.7409 2.9593 3.1551 3.3299 3.4855 3.6233 3.7451 3.8524 3.9465 4.0289 4.1009 4.1635 4.2649 4.3407 4.3968 4.4381 4.4683 4.4902 4.5060 4.5122 4.5174 4.5256 4.5314 4.5396 4.5431 4.5445

l 798

Tablas de factores de interés compuesto

24%

TABLA

24

Flujo de efectivo discreto: Factores de interés compuesto Pagos de serie uniforme

Pagos únicos Cantidad compuesta

Valor presente

Factor de amortización

Cantidad compuesta

Recuperación de capital

Valor presente

Gradiente de valor presente

Gradiente de serie anual

PIG

AlG

0.6504 1.6993

0.4464

n

FIP

PIF

AlF

FIA

AlP

PIA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 24 26 28 30 32 34 35 36 38 40 45 50 55

1.2400 1.5376 1.9066 2.3642

0.8065 0.6504 0.5245 0.4230 0.3411 0.2751 0.2218 0.1789 0.1443 0.1164 0.0938 0.0757 0.0610 0.0492 0.0397 0.0320 0.0258 0.0208 0.0168 0.0135 0.0088 0.0057 0.0037 0.0024 0.0016 0.0010 0.0007 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001

1.00000 0.44643 0.26472 0.17593 0.12425 0.09107 0.06842 0.05229 0.04047 0.03160 0.02485 0.01965 0.01560 0.01242 0.00992 0.00794 0.00636 0.00510 0.00410 0.00329 0.00213 0.00138 0.00090 0.00058 0.00038 0.00025 0.00016 0.00013 0.00010 0.00007 0.00004 0.00002 0.00001

1.0000 2.2400 3.7776 5.6842 8.0484 10.9801 14.6153 19.1229 24.7125 31.6434 40.2379 50.8950 64.1097 80.4961 100.8151 126.0108 157.2534 195.9942 244.0328 303.6006 469.0563 723.4610 1 114.63 1716.10 2640.92 4062.91 6249.38 7750.23 9611.28 14781 22 729 66640

1.24000 0.68643 0.50472 0.41593 0.36425 0.33107 0.30842 0.29229 0.28047 0.27160 0.26485 0.25965 0.25560 0.25242 0.24992 0.24794 0.24636 0.24510 0.24410 0.24329 0.24213 0.24138 0.24090

0.8065 1.4568 1.9813 2.4043 2.7454 3.0205 3.2423 3.4212

2.9316 3.6352 4.5077 5.5895 6.9310 8.5944 10.6571 13.2148 16.3863 20.3191 25.1956 31.2426 38.7408 48.0386 59.5679 73.8641 113.5735 174.6306 268.5121 412.8642 634.8199 976.0991 1500.85 I 861.05 2307.71 3548.33 5455.91 15995 46890

24%

Gradientes aritméticos

0.24058 0.24038 0.24025 0.24016 0.24013 0.24010 0.24007 0.24004 0.24002 0.24001 0.24000

3.5655 3.6819 3.7757 3.8514 3.9124 3.9616 4.0013 4.0333 4.0591 4.0799 4.0967 4.1103 4.1300 4.1428 4.1511 4.1566 4.1601 4.1624 4.1639 4.1664 4.1649 4.1655 4.1659 4.1664 4.1666 4.1666

I

2.9683 4.3327 5.7081 7.0392 8.2915 9.4458 10.4930 11.4313 12.2637 12.9960 13.6358 14.1915 14.6716 15.0846 15.4385 15.7406 15.9979 16.4011 16.6891 16.8930 17.0365 17.1369 17.2067 17.2552 17.2734 17.2886 17.3116 17.3274 17.3483 17.3563 17.3593

0.8577 1.2346 1.5782 1.8898 2.1710 2.4236 2.6492 2.8499 3.0276 3.1843 3.3218 3.4420 3.5467 3.6376 3.7162 3.7840 3.8423 3.8922 3.9712 4.0284 4.0695 4.0987 4.1193 4.1338 4.1440 4.1479 4.1511 4.1560 4.1593 4.1639 4.1653 4.1663

2 3 4

799

Tablas de factores de interés compuesto

',25% ~ AY

~,,%\t

,

" TABLA

,,-,"'.

ffh

25 ,Flujo de efectivo discreto: Factores de interés compuesto '" :;--l

-~~~

. '"

Pagos únicos

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 24 26 28 30 32 34 35 36 38 40 45 50 55

Cantidad compuesta F/P 1.2500 L5625 1.9531 2.4414 3.0518 3.8147 4.7684 5.9605 7.4506 9.3132 11.6415 14.5519 18.1899 22.7374 28.4217 35.5271 44.4089 55.5112 69.3889 86.7362 1355253 211.7582 330.8722 516.9879 807.7936 1262.18 1972.15 2465.19 3081.49 4814.82 7523.16 22959 70065

Valor presente P/F 0.8000 0,6400 05120 0.4096 0.3277 0.2621 02097 0.1678 0.1342 0.1074 0.0859 0.0687 0.0550 0.0440 0.0352 0.0281 0.0225 0.0180 0.0144 0.0115 0.0074 0.0047 0.0030 0.0019 0.0012 0.0008 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001

'"

'

>

~t~'"

"=""S"

"'"

~

~

Factor de amortización AlF

Cantidad compuesta F/A

Recuperación de capital AlP

1.00000 0.44444

1.0000 2.2500 3.8125 5.7656 8.2070 11.2588 15.0735 19.8419 25.8023 33.2529 42.5661 54.2077 68.7596 86.9495 109.6868 138.1085 173.6357 218.0446 273.5558 342.9447 538.1011 843.0329 1319.49 2063.95 3227.17 5044.71 7884.61 9856.76 12322 19255 30089 91831

1.25000 0.69444 0.51230 0.42344

0.26230 0.17344 0.12185 0,08882 0.06634 0.05040 0.03876 0.03007 0.02349 0.01845 0.01454 0.01150 0.00912 0.00724 0.00576 0.00459 0.00366 0.00292 0.00186 0.00119 0.00076 0.00048 0.00031 0.00020 0.00013 0.00010 0.00008 0.00005 0.00003 0.00001

0.37185 0.33882 0.31634 0.30040 0.28876 0.28007 0.27349 0.26845 0.26454 0.26150 0.25912 0.25724 0.25576 0.25459 0.25366 0.25292 0.25186 0.25119 0.25076 0.25048 0.25031 0.25020 0.25013 .025010 0.25008 0.25005 0.25003 0.25001 0.25000 0.25000

"

Gradientes

Pagos de serie uniforme Valor presente PIA 0.8000 1.4400 1.9520 2.3616 2.6893 2.9514 3,1611 3.3289 3.4631 3.5705 3.6564 3.7251 3.7801 3.8241 3.8593 3.8874 3.9099 3.9279 3.9424 3.9539 3.9705 3.9811 3.9879 3.9923 3.9950 3.9968 3.9980 3.9984 3.9987 3.9992 3.9995 3.9998 3.9999 4.0000

25%"

~

Gradiente de valor presente P/G 0.6400 L6640 2.8928 4,2035 5.5142 6.7725 7.9469 9.0207 9.9870 10.8460 11.6020 12.2617 12.8334 13.3260 13.7482 14.1085 14.4147 14.6741 14.8932 15.2326 15.4711 15.6373 15.7524 15.8316 15.8859 15.9229 15.9367 15.9481 15.9651 15.9766 15.9915 15.9969 15.9989

,

aritméticos Gradiente de serie anual AlG 0.4444 0.8525 1.2249 1.5631 1.8683 2.1424 2.3872 2.6048 2.7971 2.9663 3.1145 3.2437 3.3559 3.4530 3.5366 3.6084 3.6698 3.7222 3.7667 3.8365 3.8861 3.9212 3.9457 3.9628 3.9746 3.9828 3.9858 3.9883 3.9921 3.9947 3.9980 3.9993 3.9997

800

Tablas de factores de interés compuesto

, 30%

TABLA

26

Flujo de efectivo discreto; Factores de interés c0mpuesto '"

'

Pagos únicos Valor presente PIF

Factor de amortización

n

Cantidad compuesta FIP

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 24 25 26 28 30 32 34 35

1.3000 1.6900 2.1970 2.8561 3.7129 4.8268 6.2749 8.1573 10.6045 13.7858 17.9216 23.2981 30.2875 39.3738 51.1859 66.5417 86.5042 112.4554 146.1920 190.0496 321.1839 542.8008 705.6410 917.3333 1550.29 2620.00 4427.79 7482.97 9727.86

0.7692 0.5917 0.4552

1.00000 0.43478

0.3501 0.2693 0.2072 0.1594 0.1226 0.0943 0.0725 0.0558 0.0429 0.0330 0.0254 0.0195 0.0150 0.0116 0.0089 0.0068 0.0053 0.0031 0.0018 0.0014 0.0011 0.0006 0.0004 0.0002 0.0001 0.0001

,

/",

~ ~,f

Pagos de serie uniforme

AlF

0.25063 0.16163 0.11058 0.07839 0.05687 0.04192 0.03124 0.02346 0.01773 0.01345 0.01024 0.00782 0.00598 0.00458 0.00351 0.00269 0.00207 0.00159 0.00094 0.00055 0.00043 0.00033 0.00019 0.00011 0.00007 0.00004 0.00003

Cantidad compuesta F/A

Recuperación de capital AlP

1.0000 2.3000 3.9900 6.1870 9.0431 12.7560 17.5828 23.8577 32.0150 42.6195 56.4053 74.3270 97.6250 127.9125 167.2863 218.4722 285.0139 371.5180 483.9734 630.1655 1067.28 1806.00 2348.80 3054.44 5164.31 8729.99 14756 24940 32423

1.30000 0.73478 0.55063 0.46163 0.41058 0.37839 0.35687 0.34192 0.33124 0.32346 0.31773 0.31345 0.31024 0.30782 0.30598 0.30458 0.30351 0.30269 0.30207 0.30159 0.30094 0.30055 0.30043 0.30033 0.30019 0.30011 0.30007 0.30004 0.30003

,

'2

'

~,

:

30% y

y

Gradientes aritméticos Valor presente P/A 0.7692 1.3609 1.8161 2.1662 2.4356 2.6427 2.8021 2.9247 3.0190 3.0915 3.1473 3.1903 3.2233 3.2487 3.2682 3.2832 3.2948 3.3037 3.3105 3.3158 3.3230 3.3272 3.3286 3.3297 3.3312 3.3321 3.3326 3.3329 3.3330

Gradiente de valor presente PIG

Gradiente de serie anual

0.5917 1.5020 2.5524 3.6297 4.6656 5.6218 6.4800 7.2343 7.8872 8.4452

0.4348 0.8271 1.1783 1.4903 1.7654

8.9173 9.3135 9.6437 9.9172 10.1426 10.3276 10.4788 10.6019 10.7019 10.8482 10.9433 10.9773 11.0045 11.0437 11.0687 1l.0845 11.0945 11.0980·

AlG

2.0063 2.2156 2.3963 2.5512 2.6833 2.7952 2.8895 2.9685 3.0344 3.0892 3.1345 3.1718 3.2025 3.2275 3.2646 3.2890 3.2979 3.3050 3.3153 3.3219 3.3261 3.3288 3.3297

Tablas de factores de interés compuesto

35%

TABLA

27

Flujo de efectivo discreto: Factores de interés compuesto

Pagos únicos

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 24 25 26 28 30 32 34 35

Pagos de serie uniforme

Cantidad compuesta F/P

Valor presente P/F

Factor de amortización A/F

Cantidad compuesta F/A

Recuperación de capital A/P

1.3500

0.7407 0.5487 0.4064

1.00000 0.42553 0.23966 0.15076 0.10046 0.06926 0.04880 0.03489 0.02519 0.01.832

1.0000

1.35000

2.3500 4.1725 6.6329 9.9544 14.4384 20.4919 28.6640 39.6964 54.5902 74.6967 101.8406 138.4848 187.9544 254.7385 344.8970 466.6109 630.9247 852.7483 1 152.21 2 102.25 3833.71 5 176.50 6989.28 12740 23222 42324 77 137

0.77553 0.58966

1.8225 2.4604 3.3215 4.4840 6.0534 8.1722 11.0324 14.8937 20.1066 27.1439 36.6442 49.4697 66.7841 90.1585 121.7139 164.3138 221.8236 299.4619 404.2736 736.7886 1342.80 1812.78 2447.25 4460.11 8128.55 14814 26999 36449

0.3011 0.2230 0.1652 0.1224 0.0906 0.0671 0.0497 0.0368 0.0273 0.0202 0.0150 0.0111 0.0082 0.0061 0.0045 0.0033 0.0025 0.0014 0.0007 0.0006 0.0004 0.0002 0.0001 0.0001

801

0.01339 0.00982 0.00722 0.00532 0.00393 0.00290 0.00214 0.00158 0.00117 0.00087 0.00048 0.00026 0.00019 0.00014 0.00008 0.00004 0.00002 0.00001 0.00001

0.50076 0.45046 0.41926 0.39880 0.38489 0.37519 0.36832 0.36339 0.35982 0.35722 0.35532 0.35393 0.35290 0.35214 0.35158 0.35117 0.35087 0.35048 0.35026 0.35019 0.35014 0.35008 0.35004 0.35002 0.35001 0.35001

35%

Gradientes aritméticos Valor presente PIA 0.7407 1.2894 1.6959 1.9969 2.2200 2.3852 2.5075 2.5982 2.6653 2.7150 2.7519 2.7792 2.7994 2.8144 2.8255 2.8337 2.8398 2.8443 2.8476 2.8501 2.8533 2.8550 2.8556 2.8560 2.8565 2.8568 2.8569 2.8570 2.8571

Gradiente de valor presente PIG

Gradiente de

0.5487 1.3616

0.4255

2.2648 3.1568 3.9828 4.7170 5.3515 5.8886 6.3363 6.7047 7.0049 7.2474 7.4421 7.5974 7.7206 7.8180 7.8946 7.9547 8.0017 8.0669 8.1061 8.1194 8.1296 8.1435 8.1517 8.1565 8.1594 8.1603

serie anual

A/G

0.8029 1.1341 1.4220 1.6698 1.8811 2.0597 2.2094 2.3338 2.4364 2.5205 2.5889 2.6443 2.6889 2.7246 2.7530 2.7756 2.7935 2.8075 2.8272 2.8393 2.8433 2.8465 2.8509 2.8535 2.8550 2.8559 2.8562

802

Tablas de factores de interés compuesto

40%

TABLA

28

Flujo de efectivo discreto: Factores de interés compuesto ~,

Pagos únicos Cantidad compuesta

Valor presente

~

~

~

,,"

"','¡

Pagos de serie uniforme

>.>G

W'<~,,-

,

Gradientes

f;'~~~

40% '-' • w"~"

'M'<'

aritméticos

Factor de amortización

Cantidad compuesta

Recuperación de capital

Valor presente

Gradiente de valor presente

Gradiente de serie anual

PIA

PIG

AlG

0.5102 1.2391

3.9970 4.4713

0.4167 0.7798 1.0923 1.3580 1.5811 1.7664 1.9185

4.8585 5.1696 5.4166 5.6106 5.7618 5.8788 5.9688 6.0376 6.0901 6.1299 6.1601 6.1828 6.2127 6.2294 6.2347 6.2387 6.2438 6.2466 6.2482 6.2490 6.2493

2.0422 2.1419 2.2215 2.2845 2.3341 2.3729 2.4030 2.4262 2.4441 2.4577 2.4682 2.4761 2.4866 2.4925 2.4944 2.4959 2.4977 2.4988 2.4993 2.4996 2.4997

n

FIP

PIF

AlF

FIA

AlP

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 24 25 26 28 30 32 34 35

1.4000 1.9600 2.7440 3.8416 5.3782 7.5295 10.5414 14.7579 20.6610 28.9255 40.4957 56.6939 79.3715 111.1201 155.5681 217.7953 304.9135 426.8789 597.6304 836.6826 1639.90 3214.20 4499.88 6299.83 12348 24201 47435 92972

0.7143 0.5102 0.3644 0.2603 0.1859 0.1328 0.0949 0.0678 0.0484 0.0346 0.0247 0.0176 0.0126 0.0090 0.0064 0.0046 0.0033 0.0023 0.0017 0.0012 0.0006 0.0003 0.0002 0.0002 0.0001

1.00000 0.41667

1.0000 2.4000 4.3600 7.1040 10.9456 16.3238 23.8534 34.3947 49.1526 69.8137 98.7391 139.2348 195.9287 275.3002 386.4202 541.9883 759.7837 1064.70 1491.58

1.40000 0.81667 0.62936 0.54077 0.49136 0.46126 0.44192

0.22936 0.14077 0.09136 0.06126 0.04192 0.02907 0.02034 0.01432 0.01013 0.00718 0.00510 0.00363 0.00259 0.00185 0.00132 0.00094 0.00067 0.00048 0.00024 0.00012 0.00009 0.00006 0.00003 0.00002 0.00001

2089.21 4097.24 8033.00 11 247 15747 30867 60501

0.42907 0.42034 0.41432 0.41013 0.40718 0.40510 0.40363 0.40259 0.40185 0.40132 0.40094 0.40067 0.40048 0.40024 0.40012 0.40009 0.40006 0.40003 0.40002 0.40001 0.40000 0.40000

0.7143 1.2245 1.5889 1.8492 2.0352 2.1680 2.2628 2.3306 2.3790 2.4136 2.4383 2.4559 2.4685 2.4775 2.4839 2.4885 2.4918 2.4941 2.4958 2.4970 2.4985 2.4992 2.4994 2.4996 2.4998 2.4999 2.4999 2.5000 2.5000

2.0200 2.7637 3.4278

803

Tablas de factores de interés compuesto

'50%

TABLA

29

Flujo de efectivo discreto: Factores de interés compuesto ,

~

Pagos únicos

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 24 25 26 28 30 32 34 35

~"

Cantidad compuesta FIP

Valor presente PIF

1,5000

0,6667

1,00000

1,0000

1,50000

22500 33750 5,0625 75938 113906 17,0859 25,6289 38,4434 51,6650

OA444

OAOOOO

02963 0,1975 0,1317 0,0878 0,0585 0,0390 0,0260 0,0173 0,0116 0,0077 0,0051 0,0034 0,0023 0,0015 0,0010 0,0007 0,0005 0,0003 0,0001 0,0001

0,21053 0,12308 0,07583 0,04812 0,03108

25000 4,7500 8,1250 13,1875 20,7813 32,1719 492578 74.8867 113,3301 170,9951

0,90000 0,71053 0,62308 057583 0,54812 0,53108 052030 051335 050882 0,50585 0,50388 0,50258 050172 050114 0,50076 050051 050034 0,50023 0,50015 0,50007 050003 050002 050001 050001 050000 050000 0,50000 050000

86A976

129,7463 194,6195 291,9293 437,8939 656,8408 985,2613 1471,89 2216,84 332526 7481,83 16834 25251 37877 85223

"'" ~ ",'&'

Pagos de serie uniforme Factor de amortización A/F

0,02030 0,01335 0,00882 0,00585 0,00388 0,00258 0,00172 0,00114 0,00076 0,00051 0,00034 0,00023 0,00015 0,00007 0,00003 0,00002 0,00001 0,00001

Cantidad compuesta FIA

257A927

387,2390 581,8585 873,7878 1311,68 I 968,52 2953,78 443L68 6648,51 14962 33666 50500 75752

Recuperación de capital A/P

50%

, •

Gradientes aritméticos Valor presente PIA 0,6667 Lll11 1,4074 1,6049 1,7366 1,8244 L8829 1,9220 1,9480 1,9653 L9769 L9846 1,9897 1,9931 L9954 1,9970 1,9980 1,9986 L9991 1,9994 1,9997 L9999 L9999 L9999 2,0000 2,0000 1,0000 2,0000 2,0000

Gradiente de valor presente P/G

Gradiente de serie anual A/G

OA444

OAOOO

L0370 L6296 2,1564

0.7368 1,0154 1,2417

25953 2,9465 32196

IA226

3A277

35838 3,6994 3,7842 3,8459 3,8904 3,9224 3,9452 3,9614 3,9729 3,9811 3,9868 3,9936 3,9969 3,9979 3,9985 3,9993 3,9997 3,9998 3,9999 3,9999

1,5648 1,6752 1,7596 1,8235 1,8713 1,9068 1,9329 1,9519 1,9657 1,9756 L9827 1,9878 L9914 L9940 1,9971 1,9986 1,9990 1,9993 1,9997 1,9998 L9999 2,0000 2,0000

A A, 24, 27 Acciones Acciones comunes, comunes, 368, 368, 376 376 modelo MPAC, MPAC, 377 377 modelo preferenciales, preferenciales, 368, 368, 376 376 Acciones Acciones comunes, comunes, 368, 368, 376 376 Acciones Acciones de preferencia, preferencia, 368, 368, 376 376 Activos. Activos. Véanse Véanse también también Agotamiento; Agotamiento; Depreciación; Depreciación; Valor Valor de salvamento; salvamento; Valor Valor en libros; libros; Vida Vida costo costo hundido, hundido, 409 409 en la hoja hoja de balance, balance, 765 765 estudios estudios de reemplazo, reemplazo, 228. 228. Véase Véase también también Análisis Análisis del del reemplazo reemplazo recuperación recuperación de capital, capital, 229 229 rendimiento sobre sobre los, 770 770 rendimiento Activos circulantes, circulantes, 765 765 Activos Activos Activos fijos fijos, , 765 765 Agotamiento Agotamiento costo, 580, 580, 581 costo, porcentaje, 581 porcentaje, Agotamiento porcentual. porcentual. Véase Véase Agotamiento Agotamiento Agotamiento Ahorros, impuestos, impuestos, 611, 611, 631 Ahorros, Alternativa de la línea línea recta recta en Alternativa SMARC, 574-576, 574-576, 583 583 SMARC, Alternativa (proyecto) (proyecto) de no hacer hacer Alternativa algo, 11 11,, 176, 176, 179 algo, análisis B/C, B/C, 340 340 Y el análisis tasa de rendimiento, rendimiento, 295 295,, y la tasa 305-306, 308 308 305-306, proyectos independientes, independientes, y los proyectos 447,448 447,448 Al ternati vas (proyectos) (proyectos) Alternativas calificación basada basada en atributos, atributos, calificación 386-387 386-387 descripción, 11 11 descripción, elección, 11 11 elección, simulación, 721, 721, 722 722 en la simulación, independientes, 176-178, 176-178, 295, 295, independientes, 347. Véase Véase también 347. también Presupuestación de capital capital Presupuestación ingreso, 178 ingreso,

mutuamente excluyentes, 170, mutuamente excluyentes, 170, 231-237 , 364-367 231-237,364-367 servicio, 178 servicio, tipos de estimación flujo de tipos estimación de flujo de efectivo, 228-229 efectivo, 228-229 vida infinita vida infinita (inversión (inversión permanente), 237-239, 345 345 permanente), 237-239, y el análisis de la recuperación, recuperación, 193 análisis de y el análisis del equilibrio, equilibrio, 300 300 análisis del y la tasa de rendimiento rendimiento tasa de incremental, 624-626 incremental, 624-626 y VEA™, 636-637 VEA™, 636-637 Alternativas de ingresos, ingresos, 178,291 Alternativas 178, 291,, 306,627 306,627 Alternativas de servicio, 178, Alternativas de servicio, 178, 291 y la tasa rendimiento tasa de rendimiento incremental, incrernental, 627 627 Alternativas igual, Alternativas de servicio servicio igual, 178-180,294,311-313,628 178-180,294,311-313,628 Alternativas de vida Alternativas vida diferentes, diferentes, 180-183, 204-207 180-183,204-207 Alternativas vida finita, finita, 190 190 Alternativas de vida Alternativas independientes, 176-178, Alternativas independientes, 176-178, 295,347. Véase también 295 , 347. Véase también Presupuestación de Presupuestación de capital capital Alternativas múltiples Alternativas múltiples análisis beneficio/costo análisis beneficio/costo para, para, 339-349 339-349 independientes, 176-178, 176-178,295,347 independientes, 295, 347 Véase también Véase también Presupuestación de capital Presupuestación capital mutuamente excluyentes, 176, mutuamente excluyentes, 176, 232, 364-367 232, 364-367 tasa de rendimiento cremen tal, tasa rendimiento in incremental, 305-311 305-311 Alternativas mutuamente Alternativas mutuamente excluyentes, 176 176 excluyentes, selección del selección del método método de evaluación, 364-367 evaluación, 364-367 valor anual, y el valor anual, 231-237 231 -237 valor presente, 178-183 y el valor presente, 178-183 Amortización. Véase Véase Depreciación Depreciación Amortización. Análisis de recuperación Análisis recuperación análisis con análisis con hoja hoja de cálculo, cálculo, 208-210 208-210 cálculo, 192-196, 192-196,208-209 cálculo, 208-209 definición, 192 definición, 192

limitaciones, 194 limitaciones, 194 usos, 193, usos, 193, 195 Análisis Análisis de de recuperación recuperación descontado, descontado, 192-196 192-196 Análisis de de sensibilidad. Análisis sensibilidad. Véanse Véanse también Análisis también Análisis del equilibrio; SOLVER equilibrio; SOLVER parámetro, 662-670 de un parámetro, 662-670 663 enfoque, 8, 663 enfoque, referencia a celdas celdas de Excel", Excel R , y referencia 257,743-744 257,743-744 Análisis del del equilibrio. equilibrio. Véanse Análisis Véanse Análisis de también Análisis también sensibilidad; VP contra contra sensibilidad; VP gráfica ii gráfica Análisis del del reemplazo reemplazo Análisis activos de vida vida diferente, diferente, 425, 425 , 432 432 activos antes de de impuestos, impuestos, 406-432 406-432 antes costos hundidos, hundidos, 409 409 costos costos costos iniciales, iniciales, 409 409 después de de impuestos, impuestos, 631-636 después 631-636 enfoque del del costo costo de oportunidad, oportunidad, enfoque 409,424 409,424 enfoque enfoque del del flujo flujo de efectivo, efectivo, 424 424 ganancias ganancias y pérdidas, pérdidas, 631 necesidad necesidad de, de, 408 408 panorama, panorama, 419 419 recobro recobro de de la la depreciación, depreciación, 631 un año año adicional, adicional, 419 419 valor valor anual, anual, 410, 410, 412-416, 412-416, 425-432 425-432 valor valor de de mercado, mercado, 408-410, 408-410, 413 413 vida vida útil útil económica, económica, 408, 408, 411-418 411-418 Y periodos periodos de de estudio, estudio, 425-432 425-432 Análisis Análisis del del reemplazo reemplazo después después de de impuestos, 631-636 impuestos, 631-636 Análisis incremental incremental beneficio/costo beneficio/costo Análisis para 339-342 para dos dos alternativas, alternativas, 339-342 para tres para tres alternativas alternativas o más, más, 342-349 342-349 Año(s). Véanse también también Convención Convención Año(s). Véanse del del medio medio año; año; Depreciación Depreciación con suma de con la la suma de los los dígitos dígitos del del año; año; Estudios Estudios de de reemplazo reemplazo de de un un año año adicional adicional desconocidos, 80-81 desconocidos, 80-81 fiscal fiscal contra contra calendario, calendario, 764 764 símbolos, 24 símbolos, 24

806

ÍNDICE

Y la convención del final del periodo, 33-34 Año fiscal, 764 Años (vida) desconocidos, 80-81 Apalancamiento,381 Aspectos internacionales contratos, 333 deflación, 500 depreciación, 564, 567-568, 640-642 después de impuestos, 640-642 diseño y manufactura, 6 estimación del costo, 526 hiperinflación,5ll Atributos evaluación múltiple, 387-390 identificación de, 383-384 ponderación, 384-387

B Base no ajustada, 565 B/C. Véase Razón beneficio/costo Beneficios directos contra implícitos, 342 en proyectos públicos, 329, 335, 342,349,377,378 Beneficios directos, 342-343 Bonos cálculo del interés, 201 e inflación, 519-520 para proyectos del sector público, 329 periodos de pago, 201 tasa de rendimiento, 273-275 tipos, 201-202, 329 valor presente, 201 Y deuda por financiamiento, 368, 373-376,381 Bonos certificados, 201 Bonos convertibles, 201 Bonos del Tesoro, 201, 330 Bonos hipotecarios, 202 Bonos municipales, 202, 329, 519-520

e c. Véase Tasa externa de rendimiento Cambios de signo, número de, 260-265

Canadá, depreciación e impuestos, 640 Cantidad base definida, 71 y gradiente diferido, 106, III CAO. Véase Costos anuales de operación Capital costo de. Véase Costo de capital de trabajo, 768 deuda contra patrimonio propio, 31,368 invertido, costo de, 637 limitado (racionamiento), 370, 446-459 no recuperado, 409 Capital de trabajo, 768 Capital del propietario, 368, 765 Capital invertido, costo de, 637 Capital no recuperado. Véase Costos hundidos Capitalización anual, 134-140, 157 continua, 155-157 entre periodos, 153-155 frecuencia, 132, 139, 141 tiempo de duplicación, 19-24, 36-37 y el interés simple, 18-24 Capitalización continua, 155-157 Cargar hacia atrás y cargar hacia delante (flujo de efectivo que entra y sale), 609 CAUE. Véase Valor anual Centros de costo, 536-540 Certidumbre, 698, 700, 710 Ciclo de vida, costo del, 196-201 Ciclo de vida y el valor anual, 226 Colocación temporal de dólares, 33, 498-499 Componentes de costo, 524-526 Computadoras, usos, 27-28, 37-41. Véase también Hoja de cálculo Conjuntos, 446, 448 Contabilidad (financieras) estados, 766-767 razones, 767-771 Contra beneficios, 329, 334 Contratos, tipos, 333

Convención de final de periodo, 33 Convención del medio año, 566, 576,579 Corporaciones apalancadas,380-381 valor financiero, 637 Corporaciones muy apalancadas, 381-382 Costeo basado en actividades (CBA), 540-545 Costo, agotamiento del. Véase Agotamiento Costo, orientadores de, 540-545 Costo anual equivalente. Véase Valor anual Costo de capital contra TMAR, 30, 367-370 costo disminuido del, 412 definido, 30-31, 229, 367-368 e inflación, 512-513 en la evaluación de alternativas, 185-192 para financiamiento con capital propio, 376-379 para financiamiento de la deuda, 373-376 promedio ponderado, 31, 371-373 y análisis del reemplazo, 416, 425,428 y el valor presente, 185 y la mezcla deuda-capital propio, 371-373,379-382 y los proyectos públicos, 328-329, 348 y VEA™, 638 Costo de capital invertido, 637 Costo de fabricación, 539, 767 Costo de los bienes vendidos, 537, 539,766-767 establecimiento, 766-767 Costo de oportunidad, 32, 368 y el análisis del reemplazo, 411,424 Costo del ciclo de vida, 196-201 Costo grupal, 540-545 Costo inicial, ll, 409, 476. Véase también Inversión inicial en hoja de cálculo Excel", 748 y análisis de sensibilidad, 670 y depreciación, 564, 574, 617 y estimación, 524-526

Cost Cost Cost

Cost

Cost

en Y Cost

Cost Cost

Cost

Cost

Cost Cost Cost Cost Cost de y,

Y Cost ea en

tal

va y, y, Cost Cost CPP

ÍNDICE ÍNDICE

Costo promedio promedio ponderado ponderado del del Costo capital, 31 31,, 371-373 371-373 capital, Costo promedio promedio por por unidad, unidad, 473 473 Costo Costo uniforme uniforme anual anual equivalente, equivalente, Costo 408. Véase Véase también también Valor Valor 408. anual anual Costos. Véanse Véanse Costo capital; Costo de capital; Costos. Costos incrementales; incrementales; Costo Costos Costo oportunidad de oportunidad Costos anuales anuales de operación operación (CAO), (CAO), Costos 11,229,411-412,475 11 , 229,411 -412, 475 hojas de cálculo cálculo de Excel ExcelRR, , 748 748 en hojas estimación, 525 y la estimación, Costos de construcción, construcción, cambio cambio en Costos los, 73 los, Costos de instalación, instalación, 409 409 Costos Costos de M & & O. Véanse Véanse Costos Costos Costos anuales de operación; operación; Costos Costos anuales mantenimiento y de mantenimiento operación operación Costos de mantenimiento mantenimiento y Costos operación (M & & O), 385, 385, operación 604. Véanse Véanse también también Costo Costo 604. ciclo de vida; vida; Costos Costos del ciclo anuales de operación operación anuales Costos de operación. Véanse Costos Costos Costos operación. Véanse anuales de operación; operación; anuales Estimación del costo costo Estimación Costos de planta, planta, 534-536 534-536 Costos Costos directos, directos, 524-528, 524-528, 534-536 534-536 Costos Costos fijos, fijos, 468-469, 468-469, 476 476 Costos Costos hundidos, hundidos, 409 409 Costos Costos incrementales incrementales Costos definición, 294-295 294-295 definición, análisis beneficio/costo, beneficio/costo, y el análisis 339-348 339-348 tasa de rendimiento, rendimiento, 295-311 295-311 y la tasa Costos indirectos indirectos Costos cargo, 539 539 cargo, declaración de bienes bienes en la declaración vendidos, 767 767 vendidos, tasas, 536-540 536-540 tasas, varianza en la asignación, asignación, 540 540 varianza y el costeo costeo basado basado en actividades, actividades, 540-545 540-545 método del factor, factor, 534-536 534-536 y el método Costos marginales, marginales, 416 416 Costos Costos variables, variables, 468-472 468-472 Costos CPPC. Véase Véase Costo Costo promedio promedio CPPC. ponderado del del capital capital ponderado

Criterio de 629 Criterio de Norstrom, Norstrom, 261, 261 , 629 Curva en forma de campana. Véase Curva en forma campana. Véase Distribución Distribución normal normal

D DB, función, función, 570-571, 570-571, 749-750 DB, 749-750 DDB, , función, función, 570-574,750 570-574, 750 DDB Decisión, árboles 676-677 Decisión, árboles de, de, 676-677 Decisiones, fabricar fabricar o comprar, Decisiones, comprar, 228, 228, 477. también Análisis 477. Véase Véase también Análisis del del equilibrio equilibrio Decisiones, toma Decisiones, toma de de atributos, 383-387 383-387 atributos, bajo certidumbre, bajo certidumbre, 700, 700, 709 709 bajo incertidumbre, bajo incertidumbre, 701 bajo riesgo, bajo riesgo, 702-708 702-708 lineamientos, 367 367 lineamientos, papel de la ingeniería papel ingeniería económica, económica, 7-9 7-9 Deducción de gastos 566 Deducción gastos de de capital, capital, 566 Defensor, análisis Defensor, análisis en el análisis análisis del del reemplazo, reemplazo, 408-409,411,631-636 408-409, 411,631-636 evaluación de alternativas alternativas en la la evaluación múltiples, 305-311 múltiples, 305-311 Deflación, 500 500 Deflación, Depósitos geotérmicos. Véase Depósitos geotérmicos. Véase Agotamiento Agotamiento Depreciación. Véanse Véanse también también Depreciación. Análisis Análisis del del reemplazo; reemplazo; Depreciación Depreciación recapturada; recapturada; Tasa Tasa de depreciación depreciación acelerada, 564 564 acelerada, alternativa de alternativa de la la línea línea recta, recta, 574-575 574-575 convención del 566, 576 576 convención del medio medio año, año, 566, definida, 564 564 definida, impuesto, 564 564 impuesto, libro, 564, 564, 567, 567, 637 libro, 637 línea recta, línea recta, 566-569, 566-569, 582 582 funciones 757-759 funciones de Excel", Excel R, 757-759 métodos de cambio, 591-597, 758 métodos cambio, 591-597, 758 no usada, 567 no usada, 567 saldo decreciente, 565, 569-570, 569-570, saldo decreciente, 565, 758-759 758-759 saldo decreciente 569-574 saldo decreciente doble, doble, 569-574 SARC,567 SARC,567 SDG,578 SDG,578 sistema alternativo, 578 sistema alternativo, 578

807

SMARC, 567, 567, 574-578, 574-578, 599-601 599-601 SMARC, periodo periodo de de recuperación recuperación para, para, 574,578-579,583,597 574, 578-579, 583,597 valor 594 valor presente, presente, 594 suma de los 566, suma los dígitos dígitos del del año, año, 566, 590-591, , 758 590-591 758 tasa 565 tasa de, de, 565 tasa 565 tasa de recuperación, recuperación, 565 vida vida de de clase, clase, 581 y los sobre la los impuestos impuestos sobre la renta, renta, 562,567,610-611 562,567,610-611 yVEA™,643 yVEA™,643 Depreciación 564, 613 613 Depreciación acelerada, acelerada, 564, Depreciación 564, 567, 567,637 Depreciación en en libros, libros, 564, 637 Depreciación 567-569, Depreciación en línea línea recta, recta, 567-569, 616-621. Véase Véase también también 616-621. Alternativas Alternativas Depreciación 564 Depreciación fiscal, fiscal, 564 Depreciación saldo decreciente, Depreciación por por saldo decreciente, 565, 569-570 569-570 565, en Excel 749-750, 758 758 ExcelRR, , 749-750, Depreciación suma de los Depreciación por por suma los dígitos 565, 569, 569, 758 dígitos del del año, año, 565, 758 Depreciación Depreciación recapturada recapturada (recobro) (recobro) definición, 617 definición, 617 e impuestos, impuestos, 617, 617, 622-623, 622-623, 643 643 en reemplazo, 631-636 en estudios estudios de reemplazo, 631-636 Descartes, 262, 264 Descartes, regla regla de, de, 260, 260, 262, 264 Descuento, 349 Descuento, tasa tasa de, de, 330, 330, 349 Desembolsos, Desembolsos, 32, 32, 254 254 Después Después de de impuestos impuestos financiamiento financiamiento por por deuda deuda contra contra patrimonio propio, patrimonio propio, 656-658 656-658 flujo flujo de de efectivo, efectivo, 609-612, 609-612, 622-628, 622-628, 643 643 internacional, internacional, 640-642 640-642 tasa tasa de rendimiento, rendimiento, 624-627 624-627 y depreciación, depreciación, 564 564 y el CPPC, CPPC, 373 373 11-12, y elección elección de alternativas, alternativas, 11-12, 640 640 Y la la TMAR, TMAR, 369, 369, 622 622 Y valor valor anual, anual, 622-624 622-624 Desviación Desviación cuadrada cuadrada media, media, 717 717 Desviación Desviación cuadrada cuadrada media, media, raíz raíz de de la, 717 717 Desviación dar Desviación están estándar definición, 716-717 716-717 definición, para para variables variables continuas, continuas, 720 720 para para variables variables discretas, discretas, 716-719 716-719

808

ÍNDICE ÍNDICE

Deuda, Deuda, capital capital de, 368, 368, 373-376 373-376 Deuda-capital propio, propio, mezcla mezcla de, Deuda-capital 371-373,379-382 371-373,379-382 Deuda, razón razón de, 769 769 Deuda, Diagramas de flujo flujo de efectivo, efectivo, Diagramas 33-36, 41-43 33-36,41-43 partición, partición, 73 Diferencia Diferencia beneficio beneficio y costo, costo, 334-336 334-336 Dinero Dinero e inflación, inflación, 15,498-499 15,498-499 unidades financieras, unidades financieras, 11 11 valor valor del tiempo, tiempo, 9 Dinero Dinero recibido recibido en préstamo. préstamo. Véase Véase Deuda, Deuda, capital capital de Distribución Distribución normal, -735 normal, 706, 70.6, 731 731-735 normal -735 normal estándar, estándar, 731 731-735 triangular, triangular, 706, 70.6, 708-709 70.8-70.9 uniforme, 706, 70.6, 707, 70.7, 713 713 uniforme, Distribución acumulativa, acumulativa, 704-708 70.4-70.8 Distribución Distribución de Gauss. Distribución Gauss. Véase Véase Distribución normal normal Distribución Distribución de probabilidad, probabilidad, 703 70.3,, 721 Distribución variables continuas, continuas, 702, 70.2, 721 de variables variables discretas, discretas, 704-705 70.4-70.5 de variables simulación, 721 en la simulación, propiedades, 716, 716, 721 propiedades, Excel",R , 740 740. Y Excel y las muestras, muestras, 709, 70.9, 716 716 Distribución, Distribución, estimaciones estimaciones de, de, 33 Distribución normal, 706, Distribución normal, 70.6, 731-735 731-735 Distribución normal estándar, Distribución normal estándar, 731-733 731-733 Distribución Distribución triangular, triangular, 706, 70.6, 708-709 70.8-70.9 Distribución Distribución uniforme, uniforme, 706, 70.6, 707, 70.7, 713 713 Dividendos, Dividendos, 201, 20.1, 376-377 376-377 Dólares Dólares de hoy contra contra futuros, futuros, 498-499 498-499 DVS, DVS, función, función, 593, 593, 595-596, 595-596, 758 758

E E-solución E-solución (Sol-E), (Sol-E), 28 Ecuaciones Ecuaciones de costo-capacidad, costo-capacidad, 532-533 532-533 Eficiencia, Eficiencia, razones razones de, 768 768 Enfoque Enfoque de abajo-arriba, abajo-arriba, 526-527 526-527 Enfoque diseño por Enfoque del diseño por costo, costo, 526-527 526-527 Equivalencia, Equivalencia, 16-18,21-24,253 16-18,21-24,253 periodo periodo de capitalización capitalización mayor mayor que que el periodo periodo de pago, pago, 153-155 153-155

periodo menor periodo de capitalización capitalización menor que el periodo periodo de pago, que pago, 145-152 145-152 Equivalencia Equivalencia económica. económica. Véase Véase Equivalencia Equivalencia Error, distribución distribución del. Véase Error, del. Véase Distribución Distribución normal normal Estado ganancias. Estado de pérdidas pérdidas y ganancias. Véase Declaración Declaración de Véase utilidades utilidades Estimación Estimación de flujo flujo de efectivo, efectivo, 11,32-36, 11,32-36, 329-330 329-330. de tasas 36-37 tasas de interés, interés, 36-37 del tiempo 36-37 tiempo de duplicación, duplicación, 36-37 incertidumbre, 7. Véase Véase también e incertidumbre, también Incertidumbre Incertidumbre método 534-536 método del del factor, factor, 534-536 TMAR 625 TMAR antes antes de impuestos, impuestos, 625 y alternativas, alternativas, 11 11 y análisis 662, análisis de sensibilidad, sensibilidad, 662, 670-672 670.-672 Estimación Estimación del costo costo e índices índices de costo, costo, 528-531 528-531 e inflación, inflación, 15 enfoques, enfoques, 526-527 526-527 método método del del costo-capacidad, costo-capacidad, 532-533 532-533 método 534-536 método del del factor, factor, 534-536 método método unitario, unitario, 527 527 Estimación más Estimación más probable, probable, 670-671 670.-671 Estimación optimista, optimista, 670.-671 Estimación 670-671 Estimación pesimista, pesimista, 670.-671 Estimación 670-67 1 Estimación del factor, Estimación por por el método método del factor, 534-536 534-536 Estimación razonable, razonable, 670.-671 Estimación 670-671 Estimaciones 33, 672, 702 Estimaciones puntuales, puntuales, 33, 672, 70.2 Estudio Estudio de caso caso análisis de la recuperación, recuperación, análisis 221-223 221-223 análisis de sensibilidad, sensibilidad, 556-558 556-558 análisis análisis del del equilibrio, equilibrio, 490.-493 análisis 490-493 análisis del del reemplazo, reemplazo, 442-443 análisis 442-443 descripción de alternativas, alternativas, 48-49 descripción 48-49 estimación del del costo, costo, 556-561 556-561 estimación financiamiento de vivienda, financiamiento vivienda, 168-170. 168-170 deuda contra contra financiamiento por por deuda financiamiento 40.1-402, 656-658 capital propio, 401-402, 656-658 interés 48-49, 93 interés compuesto, compuesto, 48-49,

proyecto público, público, 360.-361 360-361 proyecto selección de proyectos proyectos selección independientes, 463-465 463-465 independientes, tasas de interés interés múltiples, múltiples, 324-325 324-325 tasas tasas de de rendimiento, rendimiento, 285-287 285-287 tasas valor anual, anual, 245-246 245-246 valor venta del del negocio, negocio, 322-323 322-323 venta Estudios de de reemplazo reemplazo de de un año año Estudios adicional, 419 419 adicional, Etapa de de construcción, construcción, 198 Etapa Etapa de de desecho, desecho, 198 Etapa Etapa 198 Etapa de de eliminación, eliminación, 198 Etapa de de implantación, implantación, 198 Etapa Etapa de uso, Etapa uso, 198 198 Etapas de diseño, diseño, preliminar preliminar y Etapas detallado, 197,200 detallado, 197, 20.0. Evaluación, criterios criterios de, de, 11,364-367 Evaluación, 11, 364-367 Evaluación Evaluación de atributos atributos múltiples, múltiples, 382-390 382-390. Evaluación, método método de, de, 364-367 364-367 Evaluación, Excel", Véanse también Excel R• Véanse también Funciones Funciones específicas; específicas; Hoja Hoja de cálculo cálculo distribución la hoja hoja de de cálculo, cálculo, distribución de la 747-749 747-749 funciones anidadas, 749 749 funciones anidadas, fundamentos , 742-747 742-747 fundamentos, generación de números números aleatorios, generación aleatorios, 740. 740 gráficas, 749 gráficas, 749 introducción, 27-31 27-31 introducción, lista de funciones, lista funciones, 760-763 760.-763 mensajes de error, mensajes error, 763 763 mostrar entradas, mostrar entradas, 32 32 VP después después de de impuestos, impuestos, VA Yy VP 623-624 623-624 depreciación, 565, y depreciación, 565, 568, 568, 570-575, 570.-575, 577-578, 592, 592, 595 595 577-578, análisis del del equilibrio, equilibrio, 480.-484 480-484 YYel análisis la programación programación lineal, lineal, 456-459 456-459 y la y la la simulación, simulación, 727-729 727-729 tasa de rendimiento, rendimiento, 265, 265, 310 310 y la tasa valor del del reemplazo, reemplazo, 423-424 423-424 y valor

Fact Fact Fact y

y Fact Fact

Fact

Fact,

Fact,

Factl

Facli fo gr

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F F, 24, 27 F , 24,27 Factor A/F, A/F, 62 62 Factor Factor A/G, A/G, 70.. 70. Véase también Factor Véase también Gradiente Gradiente aritmético aritmético Factor AIP, 60.-61, 60-61 , 229 229 Factor

se! tal Fact< pa se'

ÍNDICE ÍNDICE

Factor Factor de cantidad cantidad compuesta compuesta de pago único, único, 52 pago Factor Factor de fondo fondo de amortización amortización (AIF) (A/F), , 62-65 62-65 Factor de recuperación recuperación de capital Factor capital únicas aleatorias, y cantidades cantidades únicas aleatorias, 101 valor anual y el valor anual equivalente, equivalente, 229 229 Factor valor presente presente de pago Factor de valor de pago único, 53-54 único, 53-54 Factor Factor F/A, F/A, 62. Véase Véase también también Serie Serie uniforme, factor uniforme, factor de de cantidad cantidad compuesta compuesta Factor 71. Véase Véase también también Factor F/G, F/G, 71. Gradiente aritmético aritmético Gradiente Factor FIP, 50. 50. Véase Factor Véase también también Factores pago único único Factores de pago Factor Factor P/A, P/A, 58-59, 58-59, 73-76. 73-76. Véanse Véanse también valor también Factores Factores de de valor presente; Gradiente presente; Gradiente geométrico; uniforme geométrico; Serie Serie uniforme Factor Factor PIF, 52. 52. Véase Véase también también Factor Factor de valor valor presente de pago pago presente de único único Factor Factor P/G, P/G, 69. Véase Véase también también Gradiente Gradiente aritmético aritmético Factores. Véase Factores. Véase también también Factores Factores de de valor presente presente valor fondo fondo de de amortización, amortización, 62-65 62-65 gradiente gradiente aritmético, 67-73 67-73 aritmético, geométrico, geométrico, 73-76 73-76 intangibles, intangibles, 6 interés en forma interés capitalizable capitalizab1e en forma continua, continua, 157 interés interés capitalizable capitalizable en forma forma discreta, discreta, 153-156 153-156 múltiples (combinación), múltiples (combinación), 94 94 notación, 53, 53, 60, notación, 60, 63 obtención, obtención, 52-76 52-76 pago 52-58 pago único, único, 52-58 recuperación de capital. capital. Véase Véase recuperación de Factor recuperación de Factor de recuperación capital capital serie uniforme, 58-65, serie uniforme, 58-65, 83 tablas, 53-54, tablas, 53-54, 775-803 775-803 Factores Factores de de cantidad cantidad compuesta compuesta pago único único (FIP) pago (FIP),, 52 serie uniforme (F/A), serie uniforme (F/A), 62

Factores valor presente presente Factores de valor factor pago único, único, 53-54 factor de de pago 53-54 gradiente, gradiente, 67-73 67-73 serie uniforme, 58-60 58-60 serie uniforme, Factores del pago único, único, 52-58 Factores del pago 52-58 Factores Factores intangibles, intangible s, 6. Véanse Véanse también también Evaluación Evaluación de de atributos atributos múltiples múltiples; ; Factores Factores no económicos económicos Factores Factores no económicos, económicos, 11 Fase Fase de adquisición, adquisición, 197, 197, 199 199 Fase de operación, Fase operación, 198-200 198-200 Fases de Fases de sistemas, sistemas, 197-198 197-198 FEAI. Véase FEAI. Véase Flujo Flujo de de efectivo efectivo antes antes de de impuestos impuestos FEDI. Véase Véase Flujo Flujo de de efectivo efectivo FEDI. después después de de impuestos impuestos Financiamiento. Financiamiento. Véase Véase Financiamiento con con capital capital Financiamiento propio. Véase propio. Véase también también Bonos; Bonos; Financiamiento por deuda Financiamiento por deuda Financiamiento a plazos, plazos, 252 Financiamiento 252 Financiamiento propio, Financiamiento con con capital capital propio, 31,368 31,368 Financiamiento Financiamiento de deuda, deuda, 31, 31, 368 368 apalancamiento, apalancamiento,381381 costos costos del, del, 373-376 373-376 en hoja de balance, balance, 765 en la hoja 765 y la inflación, inflación, 506-507 506-507 Financiamiento del del capital, capital, 31 31,, 368. 368. Financiamiento Véase Véase también también Costo Costo de de la deuda deuda de de capital capital capital propio, 31 capital propio, 31,, 368, 368, 656-658 656-658 deuda contra contra capital capital propio, deuda propio, 401 -402, 656-658 401-402,656-658 mixto (deuda (deuda y capital capital propio), mixto propio), 371"373,379-382 371"373,379-382 Flujo de de efectivo. efectivo. Véanse Véanse también también Flujo Flujo Flujo de de efectivo; efectivo; Flujos Flujos discretos discretos de efectivo; efectivo; Gradiente aritmético aritmético Gradiente Flujo de efectivo efectivo Flujo antes antes de impuestos, impuestos, 610-611 610-611 cero, 746,755 cero, 114,206, 114,206,746,755 como variable continua, 707-709 707-709 como variable continua, continuo, continuo, 157 definido, definido, 11 descontado, descontado, 174, 174, 673 673 después después de de impuestos, impuestos, 609-611 609-611 y VEA™, VEA™, 637-639 637-639

809

diagrama, diagrama, gradiente gradiente convencional, convencional, 72 diagramación, 41-43, 73 diagramación, 34-36, 34-36, 41-43, ,32-36,228-230, estimación, estimación, 11 11,32-36,228-230, 329-330 329-330 factores factores de la serie, serie, 73-75 73-75 flujo flujo de entrada entrada y flujo flujo de de salida, salida, 32,254 32,254 futuro, futuro, 751-752 751-752 incremental, 291-294, 291-294, 303, 303, 304 304 incremental, después después de impuestos, impuestos, 626-630 626-630 ingresos ingresos contra contra servicio, servicio, 178 más allá periodo de estudio, más allá del del periodo estudio, 181 neto, 33, 101,459,609-610 neto, 33,101,459,609-610 Excel",R , 748 748 en Excel periodo de recuperación, recuperación, y periodo 192-193 192-193 neto positivo, positivo, y la la TR, neto TR, 266 266 no convencional, convencional, 260-265 260-265 periódico, 187-189 periódico, 187-189 real contra real contra incremental, incremental, 627 627 recurrente y no recurrente, recurrente, 186 recurrente serie serie convencional, convencional, 259, 259, 260 260 series con con cantidades cantidades únicas, series únicas, 101 -106 101-106 reemplazo, 424, 424, y análisis análisis del del reemplazo, 631-636 631-636 VPN, 206 Y la función función VPN, 206 proyectos del sector público, Y los los proyectos sector público, 329-330 329-330 Flujo impuestos Flujo de de efectivo efectivo antes antes de de impuestos (FEAI), (FEAI), 609-612, 609-612, 643 643,, 680 680 Flujo Flujo de efectivo efectivo cero cero en funciones funciones de Excel Excel",R, 115,206, 115,206,753, 755 753, 755 de Flujo de efectivo efectivo descontado descontado Flujo de (ningún), (ningún), 174, 174, 673 673 Flujo de Flujo de efectivo efectivo después después de impuestos impuestos (FEDI), (FEDI), 609-612, 609-612, 622-628, 622-628, 643 643 YVEA TM, 636-640 636-640 YVEA™, Flujo Flujo de de efectivo efectivo incremental, incremental, 291-294,304-305,624-627 291-294,304-305,624-627 Flujos continuos continuos de de fondos fondos Flujos capitalización capitalización continua, continua, 153-157 153-157 factores factores de de interés interés compuesto, compuesto, 775-803 775-803 Flujos de recurrentes, Flujos de efectivo efectivo no recurrentes, 186 186 Flujos efectivo periódicos, 186-188 Flujos de efectivo periódicos, 186-188 Flujos de recurrentes, 186 Flujos de efectivo efectivo recurrentes,

810

ÍNDICE

G Ganancias del capital de corto y largo plazos, 618 definidas, 617 impuestos por las, 619-620 Ganancias (utilidades) retenidas (conservadas), 31, 368, 377 Ganancias y pérdidas. Véanse Ganancias del capital; Pérdidas del capital Gastos, 604, 718. Véanse también Costos; Estimación del costo GNA, función, 740 Gradiente( s) aritmético( s) cantidad, 67 cantidad base, 71, 106 convencional, 68, 72, 106 creciente, 71 decreciente, 71, 111-113 definido, 67 diferido, 106-111 obtención de factores para los, 69-70 serie uniforme anual equivalente, 62 uniforme, 70 uso de hoja de cálculo, 72 valor presente, 69 Gradiente convencional, 68, 72 Gradiente geométrico, 73-76 diferido, 110 factores, 73-76 Y la inflación, 503 Gradiente uniforme. Véase Gradiente aritmético Gradientes aritméticos. Véase Gradiente aritmético Gradientes decrecientes, 71, 111-113 Gradientes intercambiados. Véase Gradiente aritmético Gráficas de dispersión. Véase Gráficas de Excel" tipo xy Gráficas de Excel" tipo xy, 258, 746-747 Gráficas en Excel", 747-749

H Hiperinflación,449-511 Hoja de balance categorías, 765

ecuación básica, 765 Y razones de negocio, 767 Hoja de cálculo. Véase también Excel" análisis del reemplazo, 416-418, 423-427 después de impuestos, 635-636 para interés simple y compuesto, 37-41 incremental, después de impuestos, 628-631 referencia absoluta a celdas, 257, 749 valor anual, 234, 236 y el análisis B/C, 338, 346-347 y el análisis de equilibrio, 475-476 Y el análisis de sensibilidad, 665-666, 668-669 y el FEDI con depreciación, 613-614 y el valor presente, 204-210 Y la inflación, 506-507 y la serie uniforme diferida, 114 y la tasa de rendimiento, 77-80, 257,263,275,299,302, 311-313 y proyectos independientes, 453, 457-459 yVEA™,638 Horizonte de planeación. Véase Periodo de estudio

i, 24,27.

Véanse también Tasa de interés; Tasa efectiva de interés; Tasa interna de rendimiento i*, 253-259. Véanse también Tasa de rendimiento; TMAR i', Véase Tasa compuesta de rendimiento IF, función, en Excel", 751 Impuesto sobre la renta corporativa, 605 definido, 604 internacional, 640-642 negativo, 610-611 tasa promedio de impuestos, 606

tasas efectivas, 605, 631 y el flujo de efectivo, 609-612, 622-628,643 y el valor anual, 228 y ganancias y pérdidas de capital, 616-619 y la depreciación, 562, 567, 610-611 recobro, 612, 617 y los causantes individuales, 607-608 Impuestos. Véanse también Después de impuestos; Impuesto sobre la renta; Utilidad gravable tasas, 607-609 y el capital propio (patrimonial), 376-377 y la depreciación, 562 Y la deuda de capital, 373-376 y la TMAR, 369-370 Incertidumbre, 698, 701 Índice de rentabilidad, 248. Véase también Tasa de rendimiento Índices de costos, 528-531 Indización, impuestos sobre la renta, 605 Inflación definición, 15,499 elevada, 511, 513 impacto de la, 15, 498-499 suposición en el VP y VA, 181, 226 y el análisis de sensibilidad, 662 y el valor futuro, 507-512 y el valor presente, 501-507 y la recuperación de capital, 512-513 y la TMAR, 499-500, 509-511 y tasas de interés, 499 Ingeniería económica definida, 6 enfoque de estudio, 10-12 papel en la toma de decisiones, 7-9 terminología y símbolos, 24 usos, 6-9 Ingreso anual estimado, 11 bruto y neto, 604, 605 en hoja de cálculo ExcelR, 748 gravable, 604, 618

IJ Ii Ii IJ

Ii IJ

IJ

I1 I1 IJ I1

I1

11

I1 I1

I1 Ii

IJ

ÍNDICE ÍNDICE

és

to ta,

26

-9

Ingreso Ingreso anual anual estimado, estimado, 11 Ingreso 604 Ingreso bruto, bruto, 604 Ingreso (IN), 605 605 Ingreso neto neto (IN), Ingresos, Ingresos, declaración declaración de de categorías, 766 766 categorías, ecuación ecuación básica, básica, 766 766 razones, razones, 769 769 Inicial, 11 Inicial, costo, costo, 11 Interés Interés acumulado Véase acumulado en en Excel". Excel R• Véase Función Función IPMT IPMT capitalizable forma continua, capitalizable en en forma continua, 155-157 155-157 compuesto, 18-24,40,48-49 compuesto, 18-24,40,48-49 de los los bonos, bonos, 201 definido, definido, 12 entre 153-155 entre periodos, periodos, 153-155 simple, 18-19,37-38 18-19,37-38 simple, tasa. Véase Tasa(s) tasa. Véase Tasa(s) de de interés interés Interés 18-24,40, Interés compuesto, compuesto, 18-24,40, 749-763. Véase Véase también también 749-763. Capitalización Capitalización Interés periodos, 153-155 Interés entre entre periodos, 153-155 Interés simple, 18-19,37-38 18-19,37-38 Interés simple, Interpolación Interpolación en tablas tablas de interés, interés, 65-67, 138 138 65-67, Inversión(es). Véase Inversión Inversión inicial inicial Inversión(es). Véase adicional, adicional, 294-295, 294-295, 305-308 305-308 ingreso 519-520 ingreso fijo, fijo, 519-520 neta, neta, 268-271 268-271 permanente, permanente, 237-239 237-239 segura, 201 segura, 201 Inversión Inversión adicional, adicional, 294-295, 294-295, 305-308 305-308 Inversión Inversión de de capital capital y evaluación evaluación de de alternativas, 178 alternativas, 178 Inversión 519-520. Inversión de ingreso ingreso fijo, fijo, 519-520. Inversión Véase Costo Costo inicial inicial Inversión inicial. inicial. Véase definida, definida, 228 228 en en el análisis análisis con con hoja hoja de de cálculo, cálculo, 205 205 en en el análisis análisis del del reemplazo, reemplazo, 409, 409, 424-425 424-425 más baja, más baja, 308-310 308-310 mayor, mayor, 291, 291, 293, 293, 300, 300, 306 306 Inversión neta Inversión neta del del proyecto proyecto (procedimiento), (procedimiento), 267-273 267-273 Inversión Véase Costo Costo de de Inversión perpetua. perpetua. Véase capital capital Inversión segura, 28-29, 377 Inversión segura, 28-29, 201, 201, 377

811

Inversiones Inversiones permanentes, permanentes, 237-239. 237-239. Véase también Véase también Costo Costo de capital capital IPMT, función, función, 751-752 751-752

MVCA. Véase Modelo del valor MVCA. Véase Modelo del valor del del capital capital activo activo

L

n, 24, Véanse también 24, 27, 27, 106-108. 106-108. Véanse también Análisis Análisis de de la recuperación; recuperación; Interpolación Interpolación en tablas tablas de de tasas tasas de interés; interés; Mínimo Mínimo común múltiplo; común múltiplo; Periodo Periodo de estudio estudio Notación 53, 60, 60, 63, 63, Notación por por factores, factores, 53, 69, 69, 74 74 NPER, función, NPER, función, 754 754 y el valor valor anual, anual, 238-239 238-239 y n desconocida, 80 desconocida, 80 Números Números aleatorios, aleatorios, 710, 710, 711 generación generación de, de, 756-757 756-757

Ley Ley de de los los exponentes exponentes y modelo modelo del del dimensionamiento, 532 dimensionamiento, 532 Likert, Likert, escala, escala, 386-387 386-387

M M m. Véase Periodo m. Véase Periodo de de capitalización, capitalización, número número por por año año Materiales. Véase Costos Costos directos directos Materiales. Véase Media. Véase Valor Valor esperado esperado Media. Véase Mediana, Mediana, 716 716 Medida 11,721 Medida de de valor, valor, 9, 11,721 Método del atributo Método del atributo ponderado, ponderado, 390 390 Método Véase Método del del porcentaje porcentaje fijo. fijo. Véase Depreciación saldo Depreciación por por saldo decreciente decreciente Método Método del del porcentaje porcentaje uniforme. uniforme. Véase Depreciación Véase Depreciación por por saldo decreciente saldo decreciente Método 383-384 Método Delphi, Delphi, 383-384 Método 527 Método unitario, unitario, 527 México, México, depreciación depreciación e impuestos, impuestos, 641 Mínimo 180-181, Mínimo común común múltiplo, múltiplo, 180-181, 183 en el análisis con hoja hoja de cálculo, análisis con de cálculo, 204 204 en evaluación, en los los métodos métodos de de evaluación, 365-366 365-366 y el flujo flujo de efectivo incremental, de efectivo incremental, 291-294,304 291-294,304 y el valor anual, 226, valor anual, 226, 234 234 y el valor Y valor futuro, futuro, 183 183 y la la tasa tasa de de rendimiento rendimiento incremental, 304-305, incremental, 296, 296, 304-305, 626-627 626-627 y los los proyectos proyectos independientes, independientes, 455 455 Moda, 706, 716 716 Moda, 706, Modelo del capital activo activo Modelo del valor valor del del capital (MPAC),377-378 (MPAC),377-378 Muestras aleatorias, 709-7 709-714, 721 Muestras aleatorias, 14, 721 Muestreo, 709-714 Muestreo, 709-714 Monte Caria, 720-732 720-732 Monte Carla,

N N

o Obligaciones, Obligaciones, 765 765 Obsolescencia, Obsolescencia, 408 408 Oportunidad 369 Oportunidad de inversión, inversión, 369 Ordenamiento, 303 Ordenamiento, inconsistencia inconsistencia de, de, 303

p P, 24, 24, 27 27 PAGO, función, 755 PAGO, función, 755 y cantidades cantidades únicas únicas aleatorias, aleatorias, 104-105 104-105 y el análisis análisis B/C, B/C, 338 338 y el análisis análisis del del reemplazo, reemplazo, 413 413 y el análisis análisis después después de de impuestos, 623-624 impuestos, 623-624 y el costo costo capitalizado, capitalizado, 191 y el factor factor de de fondo fondo de de amortización, amortización, 64 64 y el valor anual, 233, 364 el valor anual, 233, 364 y el valor valor presente presente de la la serie serie Y uniforme, uniforme, 61 y el VNA VNA anidado, anidado, 749 749 y la la recuperación recuperación de de capital, capital, 231 y la la vida vida útil útil económica, económica, 414 414 y las las series series diferidas, 98-99, 110 diferidas, 98-99, y los los gradientes gradientes aritméticos, aritméticos, 71 71 Y y los los gradientes gradientes geométricos, geométricos, 75 Pago Pago de préstamos, préstamos, 21-23 21-23 Pasivos Pasivos circulantes, circulantes, 768 768

812 812

ÍNDICE ÍNDICE

Pérdidas Pérdidas de capital capital definidas, definidas, 618 618 impuestos impuestos por por las, las, 618 618 Periodo Periodo de capitalización capitalización continuo, 155-157 155-157 continuo, definido, definido, 132 mensual, mensual, 147 número por año, número por año, 134 134 y el periodo periodo de pago, pago, 144-155 144-155 y la tasa tasa efectiva efectiva anual, anual, 137 Periodo Periodo de estudio estudio ejemplo en hoja hoja de cálculo, cálculo, 204-208 204-208 ejemplo servicio servicio igual, igual, 179,450 179,450 Y el análisis Yel análisis del reemplazo, reemplazo, 410, 410, 421 Y el análisis análisis del del VF, 183 y el valor valor anual, anual, 226, 226, 234-236 234-236 Y el valor valor de salvamiento, salvamiento, 229 229 y la evaluación evaluación del VP, 180-183 180-183 y la presupuestación presupuestación de capital, capital, 447 447 Periodo Periodo de interés, interés, 12, 14 Periodo de pago. Periodo pago. Véase Véase Análisis Análisis de la recuperación recuperación Periodo Periodo de pago pago cantidad única, única, 145-147, 145-147, 153-155 153-155 cantidad de los bonos, bonos, 201 definido, definido, 140 función Excel Excel'',R, 755 755 función más más largo largo que que el periodo periodo de capitalización, capitalización, 145-152 145-152 periodo de capitalización capitalización igual, igual, 148 periodo Periodo de recuperación Periodo recuperación definido, definido, 565 565 efecto efecto sobre sobre los impuestos, impuestos, 615-617 615-617 opción opción de la línea línea recta, recta, 583 583 SMARC, SMARC, 574, 574, 577-580, 577-580, 597-601 597-601 Perspectiva Perspectiva para para análisis análisis del del reemplazo, reemplazo, 409-410 409-410 y el sector sector público, público, 331-334 331-334 Poder Poder de compra, compra, 507-508, 507-508, 510 510 PPMT, PPMT, función, función, 755 755 Presupuestación. Presupuestación. Véase Véase Presupuestación Presupuestación de capital capital Presupuestación de capital capital Presupuestación conjuntos mutuamente mutuamente conjuntos excluyentes, 448 448 excluyentes, descripción, 444, 444, 446-448 446-448 descripción, programación lineal, lineal, 455-459 455-459 programación proyectos de vida vida diferente, diferente, proyectos 451-455 451-455

proyectos 448-451 proyectos de vida vida igual, igual, 448-451 solución en hoja hoja de cálculo, cálculo, solución 456-459 456-459 suposición suposición de la reinversión, reinversión, 448-449 448-449 uso presente, 448-455 uso del del valor valor presente, 448-455 flujo neto neto de efectivo, efectivo, 459 459 y el flujo Probabilidad Probabilidad definida, definida, 672, 672, 702 702 en los los árboles árboles de decisión, decisión, 678-681 678-681 y el valor valor esperado, esperado, 675, 675, 714-715 714-715 Procedimiento Procedimiento de la inversión inversión neta, neta, 267-273 267-273 Programación Programación lineal, lineal, 455-456 455-456 Programación Programación lineal lineal entera, entera, 455-456 455-456 Promedio. Promedio. Véase Véase Valor Valor esperado esperado Propiedad, clase clase de, 578-579 578-579 Propiedad, Propiedad Propiedad de la sección sección 185, 566 566 Propiedad Propiedad inmobiliaria, inmobiliaria, 565, 565, 574, 574, 575 575 Propiedad personal, Propiedad personal, 565 565,, 574, 574, 575, 575, 578-579 578-579 Propiedades Propiedades de las variables variables aleatorias aleatorias independientes, independientes, 721 Proyectos Proyectos contingentes, contingentes, 446 446 Proyectos Proyectos de exploración, exploración, 193, 195-196 195-196 Proyectos Proyectos del del sector sector público, público, 328-334 328-334 análisis análisis beneficio/costo, beneficio/costo, 334-339 334-339 contratos contratos BOT, BOT, 334 334 costo costo capitalizado, capitalizado, 185-192 185-192 estimación, estimación, 329, 329, 349 349 negocios negocios conjuntos, conjuntos, 333 333 y el valor valor anual, anual, 237 237 Proyectos Proyectos dependientes, dependientes, 446 446 Proyectos Proyectos gubernamentales. gubernamentales. Véase Véase Proyectos Proyectos del sector sector público público Prueba Prueba del del signo signo del del flujo flujo de flujo flujo acumulado, acumulado, 261 Punto Punto de equilibrio, equilibrio, 468, 468, 667 667

R r.r. Véase Véase Tasa Tasa de interés interés nominal nominal RAND, función, función, 727-729, 727-729, 756 756 RAND, Rango, 719 719 Rango, Rango (jerarquización) (jerarquización) y técnica técnica de Rango de tasa, 387 387 la tasa, Razón beneficio/costo beneficio/costo Razón análisis incremental, incremental, 339-342 339-342 análisis

cálculo, cálculo, 334-339 334-339 convencional, 334-335 334-335 convencional, cuándo usarla, usarla, 366 366 cuándo modificada, 335 335 modificada, para dos dos alternativas, alternativas, 339-342 339-342 para para tres tres alternativas alternativas o más, más, para 342-348 342-348 Razón beneficio/costo convencional, convencional, Razón beneficio/costo 334-335 334-335 Razón beneficio/costo beneficio/costo modificada, modificada, Razón 335 335 Razón de circulante circulante (corriente), (corriente), 768 768 Razón Razón de la prueba prueba del del ácido, ácido, 768 768 Razón Razón de liquidez liquidez rápida, rápida, 768 768 Razón Razón Razón de rotación rotación del del inventario, inventario, 770 770 Razones contabilidad (financieras), (financieras), Razones contabilidad 767-770 767-770 Razones de rentabilidad, rentabilidad, 768 768 Razones RC!. Véase Rendimiento Rendimiento sobre sobre RC!. Véase capital capital invertido invertido Recuperación Recuperación de de capital, capital, 228-231. 228-231. Véanse también Véanse también Depreciación; Factor Factor AIP AIP Depreciación; Recuperación de de capital capital por por activos. activos. Recuperación Véase Depreciación Véase Depreciación Recuperación sin sin rendimiento rendimiento Recuperación (sencilla), 194 (sencilla), 194 Recursos naturales. naturales. Véase Recursos Véase Agotamiento Agotamiento Redondeo, error, error, 55, 55, 106 106 Redondeo, Referencia absoluta absoluta de de celda, celda, 258 258 Referencia Referencias a celdas, celdas, 749 749 Referencias absoluta, 258 258 absoluta, signo, 258, 751 -752 signo, 258, 751-752 Regla de los los signos, signos, 260-261, 260-261, 262, 262, Regla 264,313 264,313 Regla 179 Regla del del 72, 72, 36, 36, 179 Regla del del 100, Regla 100, 37 Reinversión, suposición en en la Reinversión, suposición presupuestación presupuestación de capital, capital, 448-449 448-449 Relación de costo costo total total (costo (costo de de Relación ciclo de de vida) vida) ciclo convención de de los los signos, 244 convención signos, 244 de de la la propiedad propiedad de de los los activos, activos, 229 229 de operación, operación, 73-75 73-75 del del capital capital invertido, invertido, 367-370,615 367-370, 615 del 196-201 del ciclo ciclo de de vida, vida, 196-201 directos, 524-528, 534-536 534-536 directos, 524-528, en proyectos 329 proyectos públicos, públicos, 329

Re

Re Re Re

Re Re Re Re

Rl.

Rü

RP

s s.1 Sal

ÍNDICE ÍNDICE

al,

8

70

s.

9 15

estimación, 524-528 524-528 estimación, fijos, fijos, 468-469, 468-469, 475 475 hundidos, 409 hundidos, 409 indirectos, 534-545, 534-545, 767 767 indirectos, marginales, marginales, 416 416 periódicos, 186 periódicos, 186 variables, variables, 468-469, 468-469, 476, 476, 479 479 VAUE. Véase Véase Valor anual VAUE. Valor anual uniforme equivalente uniforme equivalente y ahorros ahorros aparentes, aparentes, 200 200 y evaluación evaluación de de alternativas, alternativas, 178 178 y valor valor anual, anual, 229 229 Relación total total de costo, costo, 469. 469. Véase Véase Relación también Análisis Análisis de también equilibrio equilibrio Rendimiento porcentual anual Rendimiento porcentual anual (RPA),132 (RPA),132 Rendimiento sobre sobre el capital Rendimiento el capital invertido, 268 268 invertido, Rendimiento Rendimiento sobre sobre la inversión inversión (RSI), 14,248. Véase (RSI), 14, 248. Véase también Tasa Tasa de rendimiento rendimiento también Rendimiento razón de Rendimiento sobre sobre la razón activos, 770 770 activos, Rendimiento sobre sobre la razón razón de Rendimiento ventas, 769 769 ventas, Rendimiento sobre sobre las ventas, ventas, 769 769 Rendimiento Retador Retador en el análisis análisis del del reemplazo, reemplazo, 408, 408, 409,411,425,432 411,425,432 409, evaluación de alternativas alternativas en la evaluación múltiples, 306, 306, 343 343 múltiples, Véase Rendimiento Rendimiento sobre sobre la RI. Véase inversión inversión Riesgo Riesgo descripción, 698 698 descripción, y el análisis análisis de la recuperación, recuperación, 193, 195 193, Y el muestreo muestreo aleatorio, aleatorio, 710 710 Y mezcla deuda-capital deuda-capital propio, y la mezcla propio, 379-382 379-382 TMAR, 369, 369, 379 379 y la TMAR, YY la toma toma de decisiones, decisiones, 698-709 698-709 RPA,132 RPA,132

s s. Véase Desviación Desviación estándar están dar S. Véase Saldo decreciente decreciente doble doble (SDD), (SDD), 569, 569, Saldo 577-578 577-578

cambio, 591-596 591-596 en el cambio, ExcelRR, , 573 573 en Excel tiempo de duplicación, duplicación, 36 tiempo y los los impuestos, impuestos, 613 613 Saldo no recuperado, recuperado, 250-251, 250-251, 267 267 Saldo Selección del del método método de evaluación, evaluación, Selección 364-367 364-367 Serie Serie convencional convencional de flujo flujo de efectivo, 260, 260, 272 272 efectivo, Serie no no convencional convencional de flujo flujo de Serie efectivo, 260-266 260-266 efectivo, Serie no simple simple de flujo flujo de efectivo, efectivo, Serie 260-266 260-266 Serie uniforme uniforme Serie descripción, 24 descripción, diferidas, 96, 96, 97, 97,114-117 diferidas, 114-117 factor de cantidad cantidad compuesta, compuesta, factor 62-65 62-65 factores de valor valor presente, 58-60, factores presente, 58-60, 82-83, 117-11 117-1188 82-83, periodo capitalización mayor mayor al periodo de capitalización periodo 153-155 periodo de pago, pago, 153-155 periodo capitalización menor periodo de capitalización menor al periodo de pago, 147-152 periodo de pago, 147-152 Series diferidas, diferidas, 96-106 96-106 Series Series simples simples de flujo flujo de efectivo, efectivo, Series 260 260 Símbolos, 24 24 Símbolos, Simulación, 701, 701, 721-730 721-730 Simulación, Simulación con con métodos métodos Monte Monte Simulación Carlo, 720-730 Carlo, 720-730 Sistema acelerado acelerado de recuperación Sistema recuperación costos (SARC), (SARC), 567 567 de costos Sistema de depreciación depreciación alternativa alternativa Sistema (SDA),578 (SDA),578 Sistema, fases fases del, del, 197-198 197-198 Sistema, SLN, función, 757 SLN, función, 568, 568, 757 SMARC (Sistema (Sistema modificado modificado SMARC acelerado de recuperación recuperación de acelerado capital), 574-578 574-578 capital), alternativa en línea línea recta recta (ALR), (ALR), alternativa 579 579 en el ejemplo ejemplo FEDI, FEDI, 610-611 610-611 en Estados Unidos, Unidos, requerido, requerido, 567, 567, 577 577 Estados intercambio, 591-597 591-597 intercambio, periodo recuperación, 574, 574, periodo de recuperación, 578-579, 597 597 578-579, tasas de depreciación, depreciación, 574-578 574-578 tasas uso de la computadora, computadora, 577-578 577-578 uso depreciación, 592 592 VP, depreciación,

813 813

Solución rápida, Solución rápida, 28 Solvencia, razones 768 Solvencia, razones de, 768 SOLVER, 457-459, 457-459, 480-484, 480-484, 759-760 759-760 SOLVER, aplicación de hoja cálculo, aplicación hoja de cálculo, 480-483 480-483 contra análisis análisis de sensibilidad, sensibilidad, contra 466, 662-663 662-663 466, costo promedio 473 costo promedio por por unidad, unidad, 473 costos fijos fijos, , 468-473 468-473 costos descripción, 466 descripción, 466 dos alternativas, alternativas, 475-479, 475-479, 484 484 dos proyecto único, 468-475, 468-475, 484 484 proyecto único, tres alternativas alternativas o más, más, 457 457 tres variable, 475 475 variable, decisiones fabricar fabricar o comprar, y decisiones comprar, 477 477 valor anual, anual, 228 228 y el valor tasa de rendimiento, rendimiento, 299, 299, 304, 304, y la tasa 627 627 Y recuperación, recuperación, 192,473-475 192,473-475 Y SUMA, función, función, 749 749 SUMA, SYD, función, función, 590, 590, 758 758 SYD,

T Tablas Tablas factores factores de interés interés compuesto, compuesto, 775-803 775-803 interpolación, 65-67 65-67 interpolación, tasas efectivas efectivas de interés, interés, 138 tasas Tablas de interés interés Tablas capitalización discreta, discreta, 775-803 775-803 capitalización interpolación, 65-67, 65-67, 136 interpolación, Tasa de cupón, cupón, 201 Tasa Tasa de depreciación depreciación Tasa línea recta, recta, 565 565 línea saldo decreciente, decreciente, 569 569 saldo SMARC,597-599 SMARC, 597-599 suma de los dígitos dígitos del año, 590-591 590-591 suma Tasa de descuento descuento social, social, 330, 330, 349 349 Tasa Tasa(s) de interés. interés. Véase Véase también también Tasa(s) Tasa efectiva efectiva de interés interés Tasa ajustado por inflación, 499 499 ajustado por inflación, definición, 12-13 12-13 definición, desconocida, 77-79 77-79 desconocida, Excel",R , 757 757 en Excel estimación, estimación, 36 expresiones, 133 expresiones, inflación libre libre (real), (real), 499, 499,507-513 inflación 507-513 interpolación, 65-67 65-67 interpolación,

814

ÍNDICE

mercado, 499 múltiple, 324-325 nominal contra efectivo, 130-134 para el sector público, 330 sobre el saldo no recuperado (TR),250-251 variable en el tiempo, 157-159 y el análisis de sensibilidad, 662 y el análisis del equilibrio, 476 y el riesgo, 377-378 Tasa de interés anual efectiva, 134-140 nominal, 134, 135 Tasa de interés del mercado. Véase Tasa(s) de interés Tasa de interés desconocida, 77-79 Tasa de interés nominal, 130, 132 anual, 134, 135 cualquier periodo de pago, 134, 135 de los bonos, 203-204 y tasas efectivas, 135, 142 Tasa de productividad por hora, 539 Tasa de recuperación. Véase Tasa de depreciación Tasa de reinversión, 267 Tasa de rendimiento. Véase también Tasa de rendimiento incremental compuesta, 266-273, 296 de equilibrio, 300, 627 definida, 14,250 después de impuestos, 624-630 determinación de la, 77-79, 253-260 e inflación, 15,499,509-510 en ExcelR, 27, 752, 757 en la presupuestación de capital, 455-459 externa, 267 financiamiento a plazos, 251-252 inconsistencia de ordenación, 303 incremental, 290-294 interna, 78, 266, 752-753 método de evaluación, 366 mínima atractiva. Véase Tasa mínima atractiva de rendimiento múltiple, 259-273, 285-287 precauciones, 259-260 sobre bonos, 273-275

sobre capital de deuda, 373-376 sobre el capital propio, 376-379 sobre la inversión adicional, 294-295 soluciones por computadora, 255, 257,259-260,263,264, 274-275 y alternativas mutuamente excluyentes, 290 y análisis de sensibilidad, 663 y el valor anual, 259, 304-305 y el valor presente, 253-258, 295-303 y proyectos independientes, 295 y tasa de reinversión, 267 Tasa de rendimiento antes de impuestos cálculo, 250-260 Y después de impuestos, 370, 625 Tasa de rendimiento compuesta (TRC), 266-273, 296 Tasa de rendimiento incremental para alternativas múltiples, 305-310,624-627 para dos alternativas, 295-305, 624-627 vidas desiguales, 365, 455 Tasa de rendimiento múltiple. Véase también Procedimiento de inversión neta definición, 259 determinación, 261-263 eliminación, 266 presencia de, 260 Tasa efectiva de impuestos, 606, 632 Tasa efectiva de interés anual, 134-140 de los bonos, 203 definida, 131-132, 159 gráfica del flujo, 171 para capitalización continua, 155-157 para cualquier periodo de tiempo, 140-143 y la tasa nominal, 605, 631 y los periodos de capitalización, 137,140-142 Tasa en línea recta, 566, 568 Tasa externa de rendimiento, 267. Véase también Tasa de rendimiento

TASA, función, 78-79, 255, 757 Tasa interna de rendimiento, 266. Véase también Tasa de rendimiento Tasa mínima atractiva de rendimiento (TMAR) ajustada por inflación, 499, 510-511 antes de impuestos, 625 como tasa base, 30 definición, 20-29 después de impuestos, 369, 622, 627,638 en el análisis de sensibilidad, 663 en la evaluación de alternativas, 178-179,181,183-185, 231-232 establecimiento de la, 28-32, 253, 367-371 y CPPC, 31, 379 y la presupuestación de capital, 447-455 y la tasa de rendimiento, 294-295, 296,300,303,306 y los bonos, 203 y los proyectos independientes, 448-455 Tasa porcentual anual (TPA), 132 Tasa por rebasar. Véase Tasa mínima atractiva de rendimiento porcentual Tasa promedio de impuestos, 606 Tasa real de interés, 499, 502, 505, 510 Tasas de impuesto (tributarias) marginales, 605 Tasas de impuestos progresivos, 605 Tasas indirectas. Véase Costos indirectos Tiempo tasas de interés en el, 157-159 unidades de, 24 Tierra, 565 Tierra (planta) factores de la, 534 Tipos de comparación, selección de, 364-367 TIR. Véase Tasa de rendimiento compuesta TIR, función, 78-80, 255, 752-753 incremental después de impuestos, 629 TIRM, función, 273, 753

TM.

TPA TR. Trar

U Util

ne

Y y Utili

Utili

V

Valo

Valo ar

cc ct d,

de

ev in so

ve

Y

y,

y' y, y, y

Y y

ÍNDICE ÍNDICE

TMAR. TMAR. Véase Véase Tasa Tasa mínima mínima atractiva atractiva de rendimiento rendimiento TPA,132 TPA,132 TR. Tasa de rendimiento TR. Véase Véase Tasa rendimiento Transacciones Transacciones de la sección, sección, 127,618 127, 618

uu Utilidad Utilidad (ingreso) (ingreso) gravable, gravable, 604-605,618 604-605,618 negativa, 612-613 negativa, 612-613 y el FEDI, FEDI, 611 Y la depreciación, depreciación, 606 606 Utilidad neta neta de operación operación después después Utilidad impuestos (UNODI), (UNODI), 605 605 de impuestos Utilidad neta neta después después de impuestos impuestos Utilidad (UNDI), 604, 604, 637, 637, 643 643 (UNDI),

v Valor agregado agregado después después de Valor impuestos, análisis análisis de, impuestos, 636-640. Véase Véase también también 636-640. Valor económico económico agregado agregado Valor Valor anual anual Valor análisis después después de impuestos, impuestos, análisis 622-624 622-624 componentes, 229-231 229-231 componentes, cuándo usarlo, usarlo, 366 366 cuándo costos de operación operación anual, anual, de los costos 411 proyectos de vida vida infinita, de proyectos infinita, 237-240 237-240 evaluación por por medio medio del, 226 226 evaluación inversión equivalente, equivalente, 229, 229, 237 237 inversión soluciones en computadora, computadora, 233, 233, soluciones 235-236, 238-239 235 -236, 238-239 ventajas, 226-265 226-265 ventajas, análisis B/C, B/C, 335-338, 335-338, 341, 341, y el análisis 346,347 346,347 y el análisis análisis de sensibilidad, sensibilidad, 663 663 análisis del del equilibrio, equilibrio, 476 476 y el análisis análisis del reemplazo, reemplazo, 408, 408, y el análisis 410,412-416,425-432 410,412-416,425-432 valor presente, presente, 226 226 y el valor inflación, 226, 226, 512-513 512-513 y la inflación, recuperación del del capital capital más más y la recuperación el interés, interés, 229-231 229-231 tasa de rendimiento, rendimiento, 258, 258, y la tasa 304-305 304-305

y la tasa tasa de rendimiento rendimiento incremental, incremental, 624-627 624-627 Valor Valor anual anual equivalente. equivalente. Véase Véase Valor Valor anual anual Valor Valor de cambio, cambio, 409, 409, 565. 565. Véanse Véanse también también Valor Valor de mercado; mercado; Valor Valor de salvamento salvamento Valor Valor de mercado mercado como como valor valor de salvamento, salvamento, 229, 229, 409 409 en el análisis análisis del del reemplazo, reemplazo, 408-410 408-410 en el análisis recta (LR), análisis en línea línea recta (LR), 416 416 estimación estimación del, del, 416-418 416-418 depreciación, 565 565 y depreciación, alternativas de vida vida y el VP, alternativas diferente, 181 diferente, Valor de reemplazo, reemplazo, 424-425 424-425 Valor Valor de salvamento. salvamento. Véase Véase también también Valor Valor Valor de cambio cambio actualización para para el periodo periodo de actualización estudio, 365 365 estudio, definido, 11, 229 229 definido, del reemplazo, reemplazo, 406, 406, en el análisis análisis del 408,411-412 408,411-412 valor de mercado, mercado, 408, 408, 412, 412, 418 418 y el valor VP excedente excedente del del MCM, MCM, 181 y el VP depreciación, 565, 565, 570, 570, 572, 572, y la depreciación, 576,592 576,592 recuperación de capital, capital, 229 229 y la recuperación proyectos públicos, públicos, 334 334 y los proyectos Valor del del dinero dinero en el tiempo, tiempo, 9, Valor 13l. Véase Véase también también Inflación Inflación 131. costo capitalizado, capitalizado, 186 y costo equivalencia, 16-18 16-18 y equivalencia, recuperación sin rendimiento, rendimiento, 193 y recuperación Valor del sistema general de Valor sistema general depreciación (SDG), (SDG), 578 578 depreciación Valor económico económico agregado agregado (VEA), (VEA), Valor 228, 636-640, 636-640, 643 643 228, Valor en libros libros Valor contra valor valor de mercado, mercado, 576 576 contra definido, 565 565 definido, método de la suma suma de los dígitos dígitos método del año, año, 589 589 del método en línea línea recta, recta, 567 567 método por el método del saldo saldo por método del decreciente, 572 572 decreciente, por el método método del del saldo saldo por decreciente doble, doble, 572 572 decreciente

815 815

por por medio medio del del SMARC, SMARC, 574, 574, 576 576 y el VEA™, VEA™, 637 637 Valor Valor esperado esperado cálculo, 564 564 cálculo, definido, definido, 714 714 en la simulación, simulación, 721, 721, 728, 728, 729 729 y árboles árboles de decisión, decisión, 678-681 678-681 y decisiones decisiones con con riesgo, riesgo, 701 Valor Valor financiero financiero de las las corporaciones, corporaciones, 637 637 Valor Valor futuro. futuro. Véase Véase también también Análisis Análisis de sensibilidad sensibilidad a partir partir del del valor valor anual, anual, 226 226 cálculo, 71 cálculo, cuándo usarlo, usarlo, 183 cuándo series diferidas, diferidas, 96-98, 96-98, 101 de series Excel",R, 750-751 en Excel 750-751 evaluación (análisis) (análisis) por por medio medio evaluación 183-185 de, 183-185 inflación, 507-512, 507-512, 514 514 y la inflación, tasa efectiva efectiva de interés, interés, 134 y la tasa Valor, medida medida de, 9, 721 Valor, Valor neto, neto, 765 765 Valor Valor nominal nominal de los bonos, bonos, 201 Valor Valor presente, presente, 176-210 176-210 Valor análisis después después de impuestos, impuestos, análisis 622-624 622-624 bonos, 201-204 201-204 de bonos, depreciación, 594-595 594-595 de la depreciación, evaluación de alternativas, alternativas, 174 en la evaluación simulación, 721, 721, 722 722 en la simulación, series diferidas, diferidas, 96-98 96-98 en series factor de pago pago único, único, 52-54 52-54 factor impuestos sobre sobre la renta, renta, 622 622 impuestos método de evaluación, evaluación, 360 360 método para vidas vidas diferentes, diferentes, 180-183 180-183 para para vidas vidas iguales, iguales, 178-180 178-180 para serie gradiente gradiente geométrico, geométrico, 73-76 73-76 serie suposiciones, 185 suposiciones, análisis de sensibilidad, sensibilidad, 663-666 663-666 y el análisis análisis del del equilibrio, equilibrio, 476 476 y el análisis y el costo costo de ciclo ciclo de vida, vida, 197 valor anual, anual, 226 226 y el valor inflación, 501-507 501-507 y la inflación, presupuestación de capital, capital, y la presupuestación 455-459 455-459 tasa de rendimiento, rendimiento, 254-257, 254-257, y la tasa 295-303 295-303 tasas de interés interés múltiples, múltiples, y las tasas 260-265, 324-325 324-325 260-265,

816 816

ÍNDICE ÍNDICE

y proyectos proyectos independientes, independientes, 451-457 451-457 Valor Valor presente presente neto. neto. Véanse Véanse Valor Valor presente; presente; VPN, VPN, función función Valor, reventa, reventa, 11. Véanse Véanse también también Valor Valor de intercambio; intercambio; Valor Valor salvamento de salvamento Valor uniforme uniforme anual anual equivalente. equivalente. Valor Véase Valor Valor anual anual Véase Valores definidos, definidos, 377 377 Valores Variable. Véase Véase Variables Variables aleatorias aleatorias Variable. Variables aleatorias aleatorias Variables continuas, 702, 702, 703, 703, 707-709, 707-709, continuas, 713-714,720,722-723,740 713-714,720,722-723,740 desviación estándar, estándar, 716-717 716-717 desviación discretas, 702-705, 702-705, 710-713, 710-713, discretas, 716-719, 722-723, 722-723, 740 740 716-719, distribución acumulada, acumulada, 704-709 704-709 distribución distribución de probabilidad probabilidad de distribución las, 703 703,, 705-706, 705-706, 709, 709, 714 714 las, valor esperado, esperado, 714-716 714-716 valor Variación de parámetros, 662-670 Variación parámetros, 662-670 Varianza Varianza asignación de costos, costos, 540 540 en la asignación definición, 716 716 definición, fórmula para para la, 717-720 717-720 fórmula distribución normal, normal, 731-732 731-732 y la distribución VAUE. Véase Véase Valor Valor anual anual uniforme uniforme VAUE. equivalente equivalente función, 750-751 750-751 VF, función, factores de pago pago único, único, 54-55 y factores 54-55

montos únicos y montos únicos aleatorios, aleatorios, 104-105 104-105 y series series uniformes uniformes cambiadas, cambiadas, 115 Vida Vida costo mínimo, mínimo, 411 costo desconocida, desconocida, 80-81 80-81 en la simulación, simulación, 740 740 finita, finita, 190 190 infinita o muy muy larga, larga, 186,237, 186,237, infinita 328,347 328,347 recuperación (impuesto), (impuesto), 567 recuperación 567 útil, 11, 578 578 útil, Vida de clase, clase, 578 578 Vida Vida de costo costo mínimo mínimo del del activo. activo. Vida Véase Vida Vida útil útil económica económica Véase Vida de reemplazo. reemplazo. Véase Véase Vida Vida útil útil Vida económica económica Vida de retiro. retiro. Véase Véase Vida Vida útil útil Vida económica económica Vida de servicio, servicio, 180. Véase Véase Vida también Vida Vida útil útil económica económica también Vida infinita, infinita, 185,237-239,328,347 185,237-239,328,347 Vida Vida útil útil económica económica (VUE), (VUE), 408, 408, Vida 411-418,424 411-418,424 Vidas Vidas desiguales (diferentes), (diferentes), 291-292, 291-292, desiguales 310,349,365,425,476 310,349,365,425,476 iguales, 178-180,291 178-180,291-292,448-451 iguales, -292,448-451 múltiplo común, común, 180-181 180-181 múltiplo perpetuas (largas), (largas), 186,233, 186,233,328328 perpetuas tasa de rendimiento, rendimiento, 291-294 291-294 y la tasa proyectos independientes, independientes, 448 y los proyectos 448

VP VP contra contra la gráfica gráfica i, 255, 255, 300-303, 300-303, 630 630 VP VP (VA), (VA), función función, , 27, 27, 61 61,, 756 756 Y el valor valor presente, presente, 365 y el valor valor presente presente de una una serie serie uniforme, 61 uniforme, función NPV, NPV, 754 754 y la función series uniformes uniformes diferidas, diferidas, y las series 114-115 114-115 y los los bonos, bonos, 204 204 y un pago pago único, único, 54, 54, 57 VPN (NPV, (NPV, VNA) VNA) función, función, 754 754 VPN análisis de sensibilidad, sensibilidad, 666, 666, 669 669 análisis anidamiento en PAGO, PAGO, 235, 235, 414, 414, anidamiento 749 749 combinación, 98,100,111, 98,100,111, combinación, 114-115 114-115 después de impuestos, impuestos, 623, 623, después 624 624 en VP VP contra contra gráficas gráficas de i,i, 255, 255, 258 258 gradientes geométricos, geométricos, 75 gradientes para gradientes aritméticos, aritméticos, 71 para gradientes proyectos independientes, independientes, 452 452 proyectos valor presente, presente, 205-208 205-208 y el valor VUE. Véase Véase Vida Vida útil útil económica económica VUE.

w Web (sitios), IRS IRS,, 602 602 Web (sitios), Blank y Tarquin, Tarquin, xxi Blank

Comparación de las alternativas con exclusividad mutua mediante distintos métodos de evaluación Método de evaluación

Valor presente

Valor futuro

Valor anual

Relación de equivalencia

Vidas de las alternativas

Tiempo para el análisis

Evaluar esta serie

Tasa de interés

Seleccione una alternativa con

Referencia a la sección

PW

Igual

Vidas

Flujos de efectivo

MARR

MejorPW

5.2

PW

Desigual

LCM

Flujos de efectivo

MARR

MejorPW

5.3

PW

Periodo de estudio

Periodo de estudio

Flujos de efectivo actualizados

MARR

MejorPW

5.3

Costo capitalizado (CC)

Hacia el infinito

Infinidad

Flujos de efectivo

MARR

MejorCC

5.5

FW

Beneficio/ Costo

*Alternativa

5.4

AW

Igualo desigual

Vidas

Flujos de efectivo

MARR

MejorAW

6.3

AW

Periodo de estudio

Periodo de estudio

Flujos de efectivo actualizados

MARR

MejorAW

6.3

AW

Hacia el infinito

Infinidad

Flujos de efectivo

MARR

MejorAW

6.4

PWoAW

Igual

Vidas

Flujos incrementales de efectivo

Encuentre /::"i*

Último /::"i* MARR

>

LCMde pares

Flujos incrementales de efectivo

Encuentre

Último /::"i* MARR

>

/::"i*

PWoAW Tasa de retorno

Igual al valor presente para vidas iguales, vidas desiguales y periodo de estudio

Desigual

8.4

8.4

AW

Desigual

Vidas

Flujos de efectivo

Encuentre /::"i*

Último /::"i* MARR

>

PWoAW

Periodo de estudio

Periodo de estudio

Flujos incrementales de efectivo actualizados

Encuentre

>

/::"i*

Último /::"i* MARR

AW

Igualo desigual

Vidas

Flujos incrementales de efectivo

Tasa de descuento

Último /::"B/C > 1.0 9.3

AWoPW

Hacia el infinito

Infinidad

Flujos in cremen tales de efectivo

Tasa de descuento

Último /::"B/C > 1.0 9.3

PW

Igualo desigual

LCMde pares

Flujos incrementales de efectivo

Tasa de descuento

Último /::"B/C > 1.0 9.3

con el valor numérico más elevado tiene el costo equivalente

más bajo o el ingreso equivalente

8.5 8.4

más alto.

Glosario de términos comunes

Término

Símbolo

Cantidad o valor anual

AoVA

Descripción (con la sección en que se hace la primera referencia entre paréntesis) Valor anual equivalente de todos los flujos de entrada y salida de efectivo durante la vida estimada (1.7, 6.1).

Costo de operación anual

COA

Costos anuales estimados de mantener y fomentar la alternativa (1.3).

Razón beneficio/costo

B/C

Razón de los beneficios a los costos de un proyecto, términos del VP, VA o VF (9.2).

Punto de equilibrio

QEQ

Valor en libros

VL

Remanente de la inversión de capital en un activo, después de tomar en cuenta la depreciación (16.1).

Presupuesto

b

Cantidad de dinero disponible para proyectos de inversión de capital (12.1).

RCoA

Costo anual equivalente de poseer un activo más el rendimiento requerido sobre la inversión inicial (6.2).

Costo capitalizado

CCoP

Valor presente de una alternativa que durará para siempre (o un tiempo muy largo) (5.5).

Flujo de efectivo

FE

Cantidades reales de efectivo que se recibe (entradas) y desembolsa (salidas) (1.10).

Flujo de efectivo antes o después de impuestos

FEAlo FEDT

Monto del flujo de efectivo antes o después de que se aplique impuestos relevantes (17.2).

Tasa de rendimiento compuesta

-r 1

Tasa de rendimiento única cuando se aplica una tasa e de reinversión a una serie de flujo de efectivo con tasa múltiple (7.5).

Estimación de relaciones de costo

C2 o CT

Relaciones que emplean a las variables de diseño y a los cambios de los costos en el tiempo, para estimar los costos actuales y futuros (15.3-4).

Costo de capital

io VACC

Tasa de interés que se paga por usar fondos de capital. Incluye fondos tanto propios como de deuda. Si se considera a estos dos tipos, se trata del costo promedio ponderado del capital (10.2-3).

Mezcla de propios-deuda

D-P

Porcentaje del capital de inversión propio y de deuda que utiliza una corporación (1.9-10.3).

Depreciación

D

Reducción del valor de los activos, por medio de modelos y reglas específicos; existen métodos para hacer la depreciación en libros y la fiscal (16.1).

Tasa de deprecicación

d,

Tasa anual para reducir el valor de los activos por medio de modelos de depreciación (16.1).

Vida económica de servicio

VES o n

Número de años para la que el VA de los costos es mínimo (11.2).

Valor (promedio) esperado

X , f.L o E(X)

Valor esperado de una variable en el largo plazo si se muestrea muchas veces (18.3, 19.4).

Gastos

E

Todos los costos corporativos en que se incurre al realizar transacciones de negocios (17.1).

Costo inicial

P

Costo inicial total: compras, construcción, 16.1).

Recuperación

de capital de capital

Cantidad con la que los ingresos son iguales alternativas son equivalentes (1.3.1).

se expresa en

a los costos, o dos

preparación,

etcétera (1.3,

(Continúa)

Descripción (con la sección en que se hace la primera referencia entre paréntesis)

Término

Símbolo

Cantidad o valor anual

FoVF

Cantidad a cierto periodo futuro de tiempo en consideración valor del tiempo del dinero (1.7).

Gradiente, aritmético

G

Cambio uniforme (+ o -) en el flujo de efectivo cada periodo de tiempo (2.5, 3.3-4).

Gradiente, geométrico

g

Tasa constante del cambio (+ o -) cada periodo de tiempo (2.6).

Ingreso bruto

lB

Ingresos de todas las fuentes para las empresas o las personas (17.1).

Tasa de inflación

f

Tasa que refleja los cambios en el valor de una moneda con respecto al tiempo (14.1).

Tasa de interés

ior

Interés expresado como un porcentaje de la cantidad original por periodo de tiempo; tasas nominal (r) y efectiva (i) (1.4,4.1).

Vida (estimada)

n

Número de años o periodos en los que se hará uso de una alternativa activo; el periodo de evaluación (1.7).

Costo del ciclo de vida

CCV

Evaluación de los costos para un sistema con relación a todas sus etapas, posibilidad de diseñar para su fallecimiento (5.7).

Medición del valor

varios

Valor, tal como VP, VA, i", utilizado para juzgar la viabilidad económica (1.2).

Tasa mínima atractiva de retorno

TMAR

Valor mínimo de la tasa de retorno para que una alternativa sea financieramente viable (1.9, 10.2).

Flujo neto de efectivo

FNE

Cantidad real resultante de efectivo que fluye hacia adentro y hacia fuera durante cierto periodo de tiempo (1.10).

Valor neto presente

VNP

Otro nombre para valor presente, VP.

Periodo de retorno

nI'

Número de años para recuperar la inversión inicial y la tasa de retorno establecida (5.6).

Cantidad presente o valor

PoVP

Valor del dinero actual o representado

Distribución de probabilidad

P(X)

Distribución (19.2).

Variable aleatoria

X

Parámetro o característica que puede tomar los distintos discretos o continuos (19.2).

Tasa de retorno

i*

Tasa de interés compuesto sobre saldos no pagados o no recuperados tales como los resultados de la cantidad final en un saldo de cero (7.1).

Periodo de recuperación

n

Número de años para que un activo se deprecie por completo (16.1).

Valor de salvamento

S

Valor comercial o mercantil esperado cuando se dispone o se comercia con un activo (16.1).

Desviación están dar

sou

Medida de dispersión con relación al valor esperado o promedio (19.4).

Ingreso gravable

IG

Cantidad en la que se basan los impuestos (17.1).

Tasa fiscal

T

Tasa decimal, generalmente graduada, utilizada para incorporar impuestos personales o corporativos (17.1).

Tasa fiscal (efectiva)

Te

Tasa fiscal de un solo dígito que incorpora diversas tasas y bases (17.1).

o

como presente (17, 5.1).

con valores distintos de una variable. valores,

los

Indicador de un periodo de tiempo (1.7).

Tiempo Valor agregado

de probabilidad

con el

VEA

Valor económico agregado que refleja las utilidades netas después de impuestos (UNDI) después de eliminar el costo del capital invertido durante el año (l7.8).