Descripción: buen libro, a qui les dejo el solucionario dela 6 edicion de ingenieria economica de tarquin , hasta el 4 capitulo , poco ire subiendo las otras partes
buen libro, a qui les dejo el solucionario dela 6 edicion de ingenieria economica de tarquin , hasta el 4 capitulo , poco ire subiendo las otras partesDescripción completa
Descripción completa
Descripción completa
problemas resueltos del libro blank tarquin, facultad de ingenieria industrial universidad de guayaquil.
Descripción: inge ec.
algunos conceptos de ingenieria economicaDescripción completa
Ingenieria EconomicaDescripción completa
todo un cuatrimestre sobre los temas de Ingenieria Economica y sus elementosDescripción completa
inersionesDescripción completa
Ingenieria EconomicaDescripción completa
Sext ,~?"e /
" INGENIERIA INGENIERIA " ECONOMICA ECONOMICA /
Leland Leland Blank, Blank, P. E. American University Emiratos Árabes Árabes Unidos American University of of Sharjah, Sharjah, Emiratos Unidos yy Texas A&M A&M University University
Anthony Anthony Tarquin, Tarquin, P. E. University Paso University ofTexas ofTexas at El Paso
Traducción: Traducción:
Javier Javier Enríquez Enríquez Brito Brito Investigación de Operaciones Mtro. en Investigación Operaciones Universidad Nacional Autónoma Autónoma de México México Universidad Nacional
Revisión técnica: técnica: Revisión
Filiberto Filiberto González González Hernández Hernández Departamento de Ingeniería Ingeniería Industrial Industrial Departamento Instituto Tecnológico Estudios Superiores Instituto Tecnológico yy de Estudios Superiores de Monterrey, Monterrey, CEM CEM
MÉXICO· BOGOTÁ· BOGOTÁ· BUENOS BUENOS AIRES· AIRES· CARACAS· CARACAS· GUATEMALA· GUATEMALA· LISBOA MÉXICO· LISBOA MADRID • NUEVA NUEVA YORK YORK • SAN SAN JUAN SANTIAGO MADRID JUAN • SANTIAGO AUCKLAND • LONDRES LONDRES • MILÁN MILÁN • MONTREAL· MONTREAL· NUEVA DELHI DELHI AUCKLAND NUEVA SAN FRANCISCO FRANCISCO • SINGAPUR SINGAPUR • ST. LOUIS LOUIS • SIDNEY SIDNEY • TORONTO TORONTO SAN
•
Director Higher Higher Education: Education: Miguel Miguel Ángel Ángel Toledo Toledo Castellanos Castellanos Director Director editorial: editorial: Ricardo Ricardo A. del Bosque Bosque Alayón Alayón Director sponsor: Pablo Pablo Eduardo Eduardo Roig Roig V ázquez ázquez Editor sponsor: Editor Editora de desarrollo: desarrollo: Diana Diana Karen Karen Montaño Montaño González González Editora Supervisor de producción: producción: Zeferino Zeferino García García García García Supervisor
Ingeniería económica económica Ingeniería Sexta edición edición Sexta Prohibida la reproducción reproducción total total o parcial esta obra, obra, Prohibida parcial de esta por cualquier medio, medio, sin la autorización autorización escrita escrita del editor. editor. por cualquier
Impreso Impreso en México México Impreso Impreso por por Litográfica Litográfica Ingramex Ingramex
Printed Printed in in Mexico Mexico Printed by Printed by Litográfica Litográfica Ingramex Ingramex
The McGraw'HiII Componies
,.,: ~
Este libro libro está dedicado dedicado a nuestras constante nuestras madres madres por por su constante motivación para tener todos los aspectos aspectos de nuestra tener éxito éxito en todos de nuestra vida.
CONTENIDO CONTENIDO~'/
-
Prefacio
Capítulo Capítulo 1
xvii
Así Así COMIENZA COMIENZA TODO TODO Fundamentos Fundamentos de ingeniería ingeniería económica 1.1 1.2 1.2 l.3 1.3 l.4 1.4 1.5 l.6 1.6 1.7 l.8 1.8 l.9 1.9 l.l0 1.10 l.l1 1.11 l.12 1.12
Capítulo Capítulo 2
¿Por qué qué es importante importante la ¿Por la ingeniería ingeniería económica económica para para los los ingenieros ingenieros (y otros otros profesionales)? profesionales)? Papel de la ingeniería ingeniería económica Papel económica en en la la toma toma de de decisiones decisiones Realización estudio de ingeniería ingeniería económica económica Realización de un estudio Tasa tasa de rendimiento rendimiento Tasa de interés interés y tasa Equivalencia Equivalencia Interés Interés simple simple y compuesto compuesto Terminología Terminología y símbolos símbolos Introducción por computadora computadora Introducción a las las soluciones soluciones por Tasa de rendimiento rendimiento Tasa mínima mínima atractiva atractiva de Flujos estimación yy diagramación diagramación Flujos de efectivo: efectivo: estimación Regla del del 72: estimaciones estimaciones del para duplicar Regla del tiempo tiempo y tasa tasa de interés interés para duplicar una una cantidad de dinero dinero cantidad Aplicación de la hoja hoja de Aplicación de cálculo: cálculo: interés interés simple simple yy compuesto compuesto yy estimaciones estimaciones de flujos variables flujos de efectivo efectivo variables Ejemplos adicionales adicionales Ejemplos Resumen Resumen del del capítulo capítulo Problemas Problemas Problemas FI Problemas de de repaso repaso FI Ejercicio ampliado ampliado Efectos Ejercicio Efectos del del interés interés compuesto compuesto Estudio de de caso caso Descripción Estudio Descripción de las las alternativas alternativas para para la fabricación fabricación de revestimientos revestimientos para para refrigerador refrigerador
Factores: cómo el tiempo afectan al dinero tiempo y el interés interés afectan dinero 2.1 2.1 2.2 2.2 2.3 2.4 2.4 2.5 2.6 2.6 2.7 2.8 2.8 2.9
Factores PlF) Factores de pago pago único único (F/P (FIP y PIF) capital en en series uniformes Factores Factores de valor valor presente presente y de recuperación recuperación de capital series uniformes (P/A AlP) (PIA y AlP) Derivación fondo de amortización amortización y el factor factor de cantidad cantidad Derivación del del factor factor de fondo compuesta uniforme (A/F F/A) compuesta serie serie uniforme (A/F y F/A) Interpolación en tablas tablas de Interpolación de interés interés Factores de gradiente aritmético (P/G AlG) Factores gradiente aritmético (PIG y AlG) Factores gradiente geométrico geométrico Factores para para series series gradiente Cálculo de tasas interés desconocidas desconocidas Cálculo tasas de de interés Cálculo de años años desconocidos desconocidos Cálculo del del número número de Aplicación cálculo-análisis de sensibilidad básico Aplicación de las hojas hojas de cálculo-análisis sensibilidad básico Ejemplo Ejemplo adicional adicional Resumen Resumen del del capítulo capítulo Problemas Problemas
Problemas de repaso repaso FI Problemas Estudio de caso caso ¿Qué i,Qué diferencia diferencia pueden pueden hacer hacer los años Estudio interés compuesto? compuesto? y el interés
Capítulo 3 Capítulo
Combinación de factores factores Combinación 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
Capítulo 4 Capítulo
Tasas de interés interés nominales nominales y efectivas efectivas Tasas de 4.1 4.1 4.2 4.2 4.3 4.4 4.4 4.5 4.6 4.6 4.7 4.7 4.8 4.8 4.9 4.9
-
Capítulo Capítulo 5
Cálculos para series uniformes diferidas Cálculos para series uniformes que son diferidas Cálculos que involucran involucran series series uniformes uniformes y cantidades cantidades únicas únicas colocadas colocadas Cálculos aleatoriamente aleatoriamente Cálculos para gradiente diferido diferido Cálculos para gradiente Gradientes aritméticos aritméticos diferidos diferidos decrecientes decrecientes Gradientes Aplicación de las hojas hojas de cálculo: cálculo: uso de funciones funciones diferentes diferentes Aplicación Ejemplo adicional adicional Ejemplo Resumen del del capítulo capítulo Resumen Problemas Problemas Problemas de repaso FI Problemas repaso FI Ejercicio ampliado ampliado Preservación de tierra Ejercicio Preservación tierra para para uso público público
Fórmulas para interés nominal efectiva Fórmulas para las tasas tasas de interés nominal y efectiva Tasas de interés Tasas interés efectivas efectivas anuales anuales Tasas interés efectivas cualquier periodo Tasas de interés efectivas para para cualquier periodo Relaciones de equivalencia: equivalencia: comparación Relaciones comparación entre entre la duración duración del periodo periodo de pago capitalización (PP (PP versus pago y del periodo periodo de capitalización versus PC) PC) Relaciones Relaciones de equivalencia: equivalencia: pagos pagos únicos únicos con con PP PP :2: ~ PC Relaciones Relaciones de equivalencia: equivalencia: series series con con PP PP :2: ~ PC Relaciones Relaciones de equivalencia: equivalencia: pagos pagos únicos únicos y series series con con PP < PC PC Tasa Tasa de interés interés efectiva efectiva para para capitalización capitalización continua continua Tasas Tasas de interés interés que que varían varían con con el tiempo tiempo Resumen Resumen del del capítulo capítulo Problemas Problemas Problemas Problemas de de repaso repaso FI FI Estudio Estudio de de caso caso Financiamiento Financiamiento de de vivienda vivienda
HERRAMIENTAS HERRAMIENTAS PARA EVALUACiÓN EVALUACiÓN DE ALTERNATIVAS ALTERNATIVAS Análisis Análisis del del valor valor presente presente 5.1 5.2 5.2
174 174 176
5.3 5.3 5.4 5.4 5.5 5.5 5.6 5.6 5.7 5.7
Formulación Formulación de de alternativas alternativas mutuamente mutuamente excluyente excluyentess Análisis Análisis de valor valor presente presente de de alternativas alternativas con con vidas vidas iguales iguales Análisis Análisis de de valor valor presente presente de de alternativas alternativas con con vida vida diferente diferente Análisis Análisis de de valor valor futuro futuro Cálculo Cálculo y análisis análisis del del costo costo capitalizado capitalizado Análisis Análisis del del periodo periodo de de recuperación recuperación Costo Costo de de ciclo ciclo de de vida vida
5.8 5.8 5.9 5.9
Valor Valor presente presente de de bonos bonos Aplicaciones Aplicaciones de de la la hoja hoja de de cálculo: cálculo: análisis análisis de de VP VP yy periodo periodo de de recuperación recuperación
201 204 204
178
180 183 185 192 192 196 196
CONTENIDO CONTENIDO
Resumen del Resumen del capítulo capítulo Problemas Problemas Problemas de repaso FI FI Problemas de repaso Evaluación retiro del Seguro Ejercicio Ejercicio ampliado ampliado Evaluación de las estimaciones estimaciones de retiro Seguro ~ci~ ~ci~
Estudio recuperación de un programa programa Estudio de de caso caso Programa Programa de evaluación evaluación de recuperación de excusados muy baja baja descarga excusados (retretes) (retretes) de muy descarga
Capítulo Capítulo 6
valor anual Análisis del valor anual 6.1 6.2 6.3 6.4
Ventajas y aplicaciones valor anual Ventajas aplicaciones del análisis análisis del valor anual Cálculo valores del VA Cálculo de la recuperación recuperación de capital capital y de valores Alternativas de evaluación mediante el análisis valor anual Alternativas evaluación mediante análisis del valor anual permanente VA (valor (valor anual) anual) de una inversión inversión permanente Resumen del Resumen del capítulo capítulo Problemas Problemas Problemas de repaso FI FI Problemas de repaso Estudio caso Ambiente Ambiente cambiante valor anual Estudio de de caso cambiante de un análisis análisis de valor anual
Capítulo Capítulo 7
tasa de rendimiento: alternativa Análisis de de tasa de rendimiento: alternativa única 7.1 7.2 7.3 7.3 7.4 7.5 7.6 7.6
Capítulo Capítulo 8
Interpretación valor de una tasa tasa de rendimiento rendimiento Interpretación del valor Cálculos tasa de rendimiento rendimiento utilizando utilizando una ecuación ecuación de VP o VA Cálculos de la tasa Precauciones método TR Precauciones cuando cuando se usa el método Valores Valores múltiples múltiples de la tasa tasa de rendimiento rendimiento múltiples Tasa de rendimiento rendimiento compuesta: valores i* múltiples compuesta: eliminación eliminación de valores Tasa rendimiento de una una inversión bonos Tasa de rendimiento inversión en bonos Resumen del Resumen del capítulo capítulo Problemas Problemas repaso FI FI Problemas de Problemas de repaso Ejercicio pobre clasificación Ejercicio ampliado ampliado 1: El costo costo de una pobre clasificación crediticia crediticia mejor vender vender un negocio? negocio? Ejercicio Ejercicio ampliado ampliado 2: ¿Cuándo ¿Cuándo es mejor Estudio tasas de rendimiento rendimiento múltiples múltiples Estudio de de caso caso Bob Bob aprende aprende acerca acerca de tasas
tasa de rendimiento: alternativas múltiples Análisis de de tasa de rendimiento: alternativas múltiples 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7
¿Por necesario el análisis ¿Por qué es necesario análisis incremental? incremental? Cálculo flujo de efectivo para análisis Cálculo del flujo efectivo incremental incremental para análisis con TR Interpretación tasa de rendimiento rendimiento Interpretación de la tasa sobre sobre la inversión inversión adicional adicional Evaluación tasa de rendimiento rendimiento utilizando utilizando VP: incremental incremental y de punto punto Evaluación de la tasa de equilibrio equilibrio Evaluación Evaluación de la tasa tasa de rendimiento rendimiento utilizando utilizando VA Análisis TR de múltiples múltiples alternativas mutuamente excluyentes Análisis alternativas mutuamente excluyente s todos en uno Aplicación de hoja hoja de cálculo: Aplicación cálculo: análisis análisis VP, VA y TR, TR, todos Resumen del capítulo Resumen capítulo Problemas Problemas Problemas de repaso FI Problemas de repaso FI
xi
210 210 218 2W 2W
221
224 226 228 231 237 240 240 240 240 244 245
248 250 253 259 260 260 266 273 275 276 282 282
284 284 285
288 290 291 294 295 304
305 3ll 3ll 313 314 320
xii
CONTENIDO CONTENIDO
Capítulo Capítulo 9
Ejercicio ampliado Análisis de TR TR incremental incremental cuando Ejercicio ampliado Análisis cuando son son inciertas inciertas las estimadas de alternativas las vidas vidas estimadas de las las alternativas
321
Estudio de de caso Tantas opciones. opciones. ¿Puede padre un un recién recién Estudio caso 1 Tantas ¿Puede ayudar ayudar a su padre graduado graduado en ingeniería? ingeniería?
322
Estudio de de caso Estudio caso 2 tasas tasas de interés interés
324
beneficio/costo y economía público Análisis beneficio/costo economía del sector sector público 9.1 9.1 9.2 9.2 9.3 9.3 9.4 9.4
Proyectos del del sector público Proyectos sector público Análisis beneficio/costo beneficio/costo de un solo proyecto Análisis solo proyecto Selección alternativas mediante mediante el análisis B/C incremental incremental Selección de alternativas análisis B/C Análisis alternativas múltiples excluyente s Análisis B/C B/C incremental incremental de de alternativas múltiples mutuamente mutuamente excluyentes Resumen del del capítulo Resumen capítulo Problemas Problemas Problemas de de repaso repaso FI FI Problemas Ejercicio ampliado Costos para proporcionar proporcionar un un servicio Ejercicio ampliado Costos para servicio de camión camión bomberos contra incendios de bomberos contra incendios Estudio de de caso Estudio caso Alumbrado Alumbrado de carreteras carreteras
Capítulo 10 Capítulo
de decisiones: decisiones: método, TMAR y atributos atributos múltiples Toma de método, TMAR múltiples 10.1 10.1 10.2 10.2 10.3 10.3 10.4 10.4 10.5 10.5 10.6 10.6 10.7 10.7
10.8 10.8
_
Capítulo Capítulo 11
Comparación de alternativas alternativas mutuamente mutuamente excluyentes diferentes métodos métodos Comparación de excluyente s con con diferentes de evaluación de evaluación TMAR en relación relación al costo del capital TMAR costo del capital Mezcla deuda-capital deuda-capital propio propio y costo costo promedio promedio ponderado ponderado del del capital Mezcla capital Determinación del del costo del capital deuda Determinación costo del capital de deuda Determinación del del costo patrimonial (o social) TMAR Determinación costo del del capital capital patrimonial social) y de la TMAR Efecto de de la mezcla mezcla deuda-capital deuda-capital propio riesgo de inversión Efecto propio sobre sobre el riesgo de inversión Análisis de múltiples: identificación Análisis de atributos atributos múltiples: identificación e importancia importancia de de cada cada atributo atributo Medida de evaluación para atributos múltiples Medida evaluación para atributos múltiples Resumen del del capítulo Resumen capítulo Problemas Problemas Ejercicio ampliado Énfasis en lo correcto correcto Ejercicio ampliado Énfasis Estudio de de caso deuda o patrimonial? patrimonial? Estudio caso ¿Qué ¿Qué elegir: elegir: financiamiento financiamiento de deuda
TOMA PROYECTOS REALES TOMA DE DECISIONES DECISIONES EN PROYECTOS Decisiones de reemplazo conservación reemplazo y conservación Decisiones de 11.1 11.2 11.2 11.3 11.3 11.4 11.4 11.5 11.5
e
Análisis de VP VP cuando Análisis cuando están están presentes presentes múltiples múltiples
Fundamentos análisis de reemplazo Fundamentos del del análisis reemplazo Vida útil útil económica Vida económica Realización de reemplazo Realización de un análisis análisis de de reemplazo Consideraciones adicionales adicionales en un análisis análisis de de reemplazo Consideraciones reemplazo Análisis de reemplazo reemplazo durante periodo de Análisis durante un periodo de estudio estudio específico específico Resumen del del capítulo Resumen capítulo Problemas Problemas Problemas de de repaso repaso FI FI Problemas
Ejercicio ampliado ampliado económica bajo condiciones cambiantes cambiantes Ejercicio Vida útil útil económica bajo condiciones Estudio de de caso caso Análisis Análisis de reemplazo equipo minero minero Estudio reemplazo para para equipo
Capítulo 12 12 Capítulo
Selección de proyectos proyectos independientes limitaciones Selección independientes con limitaciones presupuesta les presupuestales 12.1 12.2 12.3 12.4
Capítulo Capítulo 13 13
Análisis del punto punto de equilibrio equilibrio 13.1 13.2 13 .2 13.3 13 .3
-
Capítulo 14 14 Capítulo
Capítulo Capítulo 15 15
Panorama general general del racionamiento racionamiento de capital capital entre entre proyectos Panorama proyectos Racionamiento del capital capital utilizando utilizando el análisis análisis VP para Racionamiento para proyectos proyectos vida igual igual con vida Racionamiento de capital capital utilizando análisis VP para Racionamiento utilizando el análisis para proyectos proyectos de vida vida diferente diferente Formulación de problemas elaboración del presupuesto gastos Formulación problemas en la elaboración presupuesto de gastos capital utilizando lineal de capital utilizando programación programación lineal Resumen del del capítulo capítulo Resumen Problemas Problemas Estudio de de caso caso Educación Educación en ingeniería ingeniería para toda la vida vida Estudio para toda ambiente web en un ambiente web
Análisis de punto punto de equilibrio equilibrio para Análisis para un un proyecto proyecto único único Análisis de punto equilibrio entre entre dos alternativas alternativas Análisis punto de equilibrio Aplicación en hoja cálculo: uso SOLVER de Excel Excel para análisis Aplicación hoja de cálculo: uso de SOLVER para el análisis del punto punto de equilibrio equilibrio Resumen del del capítulo capítulo Resumen Problemas Problemas Estudio de de caso caso Costos Costos del proceso agua en una Estudio proceso de tratamiento tratamiento de agua una planta planta
xiii
441 442 442
444 446 446
448 451
455 459 459 460 460 463
466 468 475 480 480 484 484 484 484 490 490
REDONDEANDO EL ESTUDIO ESTUDIO REDONDEANDO Efectos de la inflación inflación Efectos 14.1 14.1 14.2 14.3 14.4
Comprensión del impacto impacto de la inflación inflación Comprensión Cálculos de valor valor presente ajustado por inflación Cálculos presente ajustado por inflación Cálculos de valor valor futuro futuro ajustados ajustados por por la inflación inflación Cálculos Cálculos de recuperación recuperación del capital capital ajustados ajustados por inflación Cálculos por inflación Resumen del del capítulo capítulo Resumen Problemas Problemas Problemas de de repaso repaso FI FI Problemas Ejercicio ampliado ampliado Inversiones de ingreso ingreso fijo contra las fuerzas fuerzas Ejercicio Inversiones fijo contra inflación de la inflación
Estimación de costos y asignación asignación de costos indirectos indirectos Estimación 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6
Comprensión de cómo cómo se logra logra la estimación estimación de costos costos Comprensión Índices de costos costos Índices Relaciones de estimación estimación de costo: costo: ecuaciones ecuaciones costo-capacidad costo-capacidad Relaciones Relaciones de estimación estimación de costos: costos: método método de factor factor Relaciones Tasa de costos costos indirectos indirectos tradicionales tradicionales y asignación asignación Tasa Costeo basado basado en actividades actividades (CBA) (CBA) para para costos costos indirectos indirectos Costeo
496 498 501 507 512 513 514 519 519
522 522 524 528 532 534 536 540 540
xiv
CONTENIDO
Resumen del capítulo Problemas Problemas de repaso FI Estudio de caso Estimaciones de costo total para optimizar dosis de coagulantes Estudio de caso Comparación de costo indirecto de una unidad de esterilización de equipo médico
545 546 556 556 559
(
Capítulo 16
Métodos de depreciación 16.1 16.2 16.3 16.4
Terminología de depreciación Depreciación en línea recta (LR) Depreciación de saldo decreciente (SD) y de saldo doble decreciente Sistema modificado acelerado de recuperación de costos (SMARC)
16.5 16.6
Determinación del periodo de recuperación del SMARC Métodos de agotamiento Resumen del capítulo Problemas Problemas de repaso FI Depreciación de la suma de dígitos anuales (SDA) Cambio entre métodos de depreciación Determinación de tasas SMARC Problemas del apéndice
16A.1 16A.2 16A.3
Capítulo 17
Análisis económico después de impuestos 17.1
Terminología para el impuesto sobre la renta y su relación con corporaciones (e individuos)
17.2 17.3
Flujo de efectivo antes y después de impuestos Efectos de los diferentes métodos de depreciación y periodos de recuperación sobre los impuestos Recobro de depreciación y ganancias (pérdidas) de capital: para corporaciones Evaluacióndespués de impuestos de VP, VA Y TR
17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9
Aplicaciones en hoja de cálculo: análisis TR incremental después de impuestos Análisis de reemplazo después de impuestos Análisis del valor agregado después de impuestos Análisis de proyectos internacionales después de impuestos Resumen del capítulo Problemas Estudio de caso Evaluación por deuda y capital propio
Capítulo 18
562
602 604 609 612 616 622 628 631 636 640 642 643
después de impuestos del financiamiento
Análisis de sensibilidad formalizado y decisiones de valor esperado 18.1 18.2 18.3 18.4
Determinación de la sensibilidad para variación de parámetros Análisis de sensibilidad formalizado utilizando tres estimaciones Variabilidad económica y el valor esperado Cálculos de valor esperado para alternativas
656
660 662 670 672 673
Materi Tac
CONTENIDO CONTENIDO
18.5
Capítulo 19
Más sobre variaciones y toma de decisiones bajo riesgo 19.1 19.2 19.3 19.4 19.5
Apéndice Apéndice A
A.5 A.5 A.6 A.6
Introducción al uso Excel Introducción uso de Excel Organización (distribución) (distribución) de la hoja cálculo Organización hoja de cálculo Funciones de Excel Excel importantes importantes para ingeniería económica económica Funciones para la ingeniería SOLVER: herramienta de Excel Excel para análisis de equilibrio equilibrio y del tipo SOLVER: una herramienta para análisis "¿qué "¿qué si ...... ?" Lista de las funciones funciones financieras financieras de Excel Excel Lista Mensajes de error error Mensajes
básicos de los los informes de contabilidad contabilidad Elementos básicos las razones financieras y de las B.l B.l B.2 B.2 B.3
Materiales referencia Materiales de referencia Tablas Tablas de factores factores de interés compuesto compuesto interés Índice Índice
Interpretación de certidumbre, certidumbre, riesgo incertidumbre Interpretación riesgo e incertidumbre Elementos importantes importantes para toma de decisiones decisiones bajo Elementos para la toma bajo riesgo riesgo Muestras aleatorias aleatorias Muestras Valor esperado y desviación desviación estándar estándar Valor esperado Muestreo de Monte Monte CarIo Carlo y análisis análisis mediante simulación Muestreo mediante simulación Ejemplos adicionales adicionales Ejemplos Resumen del del capítulo capítulo Resumen Problemas Problemas Ejercicio ampliado ampliado Uso simulación y el GNA GNA de Excel Excel para análisis Ejercicio Uso de simulación para análisis de sensibilidad sensibilidad
Evaluación de alternativas alternativas por árbol de decisión decisión Evaluación por etapas etapas utilizando utilizando un árbol Resumen del del capítulo capítulo Resumen Problemas Problemas Ejercicio ampliado ampliado Análisis de alternativas alternativas desde diferentes ángulos ángulos Ejercicio Análisis desde diferentes Estudio de de caso caso Análisis Análisis de sensibilidad sensibilidad en proyectos sector público: Estudio proyectos del sector público: planes suministro de agua agua planes de suministro
773 775 775 805 805
general El balance balance general Estado de resultados resultados y estado estado del costo costo de lo vendido vendido Estado Razones financieras financieras Razones Problemas Problemas
PREFACIO J:: PREFACIO El propósito propósito principal principal de este principios y aplieste libro libro es presentar presentar en forma forma clara clara los principios aplicaciones una gran caciones del análisis análisis económico, económico, a través través de una gran diversidad diversidad de ejemplos ejemplos orientaorientados a la ingeniería, ingeniería, con con el apoyo apoyo de ejercicios ejercicios al final final de cada cada capítulo capítulo y opciones opciones de aprendizaje basadas en herramientas aprendizaje basadas herramientas electrónicas. electrónicas. A lo largo largo de todas todas las ediciones ediciones de este este título, presentar el material título, nuestro nuestro objetivo objetivo ha sido sido presentar material de la manera manera más más clara clara y concisa, concisa, sin sacrificar presacrificar el alcance alcance o la comprensión comprensión del lector. lector. En la sección sección que que sigue sigue a este este prefacio para facio se describe describe la secuencia secuencia de los temas temas y la flexibilidad flexibilidad con con que que se cuenta cuenta para seleccionar posibilitar el alcance seleccionar los capítulos, capítulos, a fin de posibilitar alcance de objetivos objetivos en otros otros cursos. cursos.
NIVEL NIVEL ACADÉMICO ACADÉMICO Y USO USO DE DE TEXTO TEXTO El mejor puede dar texto es para para enseñar mejor uso uso que que se le puede dar al texto enseñar o aprender aprender en una una carrera carrera universitaria y como como libro libro de referencia referencia para llevar a cabo cabo los cálculos cálculos básicos análisis universitaria para llevar básicos del análisis ingeniería económica. económica. El libro libro es adecuado adecuado para curso de un semestre semestre o un trimestre trimestre de ingeniería para un curso de análisis proyectos o análisis análisis económico económico de ingeniería, ingeniería, análisis análisis de proyectos análisis de costos costos en ingeniería. Además, Además, en en virtud éste se adapta ingeniería. virtud de la estructura estructura conductista conductista del del libro, libro, éste adapta perfectamente a las necesidades pretendan conocer por perfectamente necesidades de lps los lectores lectores que que pretendan conocer el material material por primera vez de forma forma independiente independiente y para para aquellos aquellos que sencillamente desean desean hacer hacer un primera vez que sencillamente repaso. Los Los estudiantes estudiantes deberían deberían contar contar con con un nivel nivel de conocimientos conocimientos de por por lo menos menos repaso. segundo segundo o tercer tercer semestre semestre de universidad universidad con con la finalidad finalidad de que que aprecien aprecien mejor mejor el contexto de ingeniería ingeniería que rodea rodea a los problemas. problemas. No No se requieren requieren conocimientos conocimientos previos previos contexto cálculo para para comprender comprender las operaciones operaciones que que se llevan llevan a cabo, cabo, aunque aunque el material material de cálculo será más significativo por lo tanto, significativo y, por tanto, el aprendizaje aprendizaje resultará resultará más más fácil fácil y ameno ameno si se está está familiarizado familiarizado con con la la terminología terminología de la ingeniería. ingeniería. Sin Sin embargo, embargo, el enfoque enfoque estructurado permite al practicante practicante que estructurado en el diseño diseño del texto texto permite que no conoce conoce los fundamentos fundamentos de la economía utilizar el texto para aprender, economía y la ingeniería ingeniería utilizar texto para aprender, comprender comprender y aplicar aplicar correctamente principios y técnicas para una correctamente los principios técnicas para una adecuada adecuada toma toma de decisiones. decisiones.
LO NUEVO NUEVO EN EN ESTA ESTA EDICIÓN EDICIÓN Para Para la sexta sexta edición edición se han han conservado conservado el diseño diseño y estructura estructura básicos básicos de las ediciones ediciones anteriores. anteriores. Sin embargo, embargo, hay hay cambios cambios considerables. considerables. Entre Entre los más más significativos significativos se encuentran encuentran los siguientes: siguientes: Más problemas al final nuevos. Más de 80% 80% de los problemas final de cada cada capítulo capítulo se revisaron revisaron o son son nuevos. Se actualizaron basan en el tiempo, impuesactualizaron los materiales materiales que que se basan tiempo, como como las tasas tasas de impuestos y los índices índices de costo. costo. Es más más visible visible la dimensión dimensión internacional internacional del del libro. libro. esta edición, edición, muchos muchos de los Problemas Problemas de Repaso Repaso de Fundamentos Fundamentos de Ingeniería Ingeniería En esta (FI) son nuevos. nuevos.
ESTRUCTURA ESTRUCTURA DE DE LA OBRA OBRA Y OPCIONES OPCIONES DE ESTUDIO ESTUDIO DE DE LOS LOS CAPÍTULOS CAPÍTULOS El texto por módulos, permite organizar texto se redactó redactó por módulos, lo cual cual permite organizar los temas temas de diversas diversas formas, formas, según según los diferentes diferentes objetivos, objetivos, estructuras estructuras y límites límites de tiempo tiempo en los cursos. cursos. Hay Hay un
--~-----
xviii xviii
PREFACIO PREFACIO
total de 19 capítulos capítulos repartidos repartidos en cuatro cuatro niveles. niveles. Como Como lo indica indica el diagrama diagrama de flujo flujo total de la página página siguiente, siguiente, algunos algunos capítulos capítulos se estudian estudian en orden orden secuencial; secuencial; sin embargo, embargo, el diseño por módulos permite una diseño por módulos permite una gran gran flexibilidad flexibilidad en la elección elección y orden orden de los temas. temas. La gráfica gráfica de estudio estudio progresiva capítulos -después -después diagrama de flujoflujoLa progresiva de los capítulos del diagrama muestra muestra algunas algunas de las opciones opciones para para abordar abordar capítulos, capítulos, antes antes de lo que que indica indica el orden orden numérico. Por Por ejemplo, ejemplo, si el curso curso incluye incluye el análisis análisis después después de impuestos impuestos en la primera numérico. primera parte del parte del semestre semestre o trimestre, trimestre, el capítulo capítulo 16 y las primeras primeras secciones secciones del del capítulo capítulo 17 se pueden pueden examinar examinar en cualquier cualquier momento momento después después del capítulo capítulo 6 sin el peligro peligro de omitir omitir información fundamental. fundamental. Hay Hay entradas entradas principales principales y alternativas alternativas para mayoría de información para la mayoría las categorías categorías de inflación, inflación, estimación, estimación, impuestos impuestos y riesgo. riesgo. Las Las entradas entradas alternativas alternativas se indican indican por por medio medio de una una flecha flecha punteada punteada sobre sobre la gráfica. gráfica. material del nivel nivel uno uno hace hace hincapié hincapié en las habilidades habilidades de cálculo básicas; así, El material cálculo básicas; estos capítulos capítulos constituyen constituyen un requisito requisito previo previo para para los capítulos capítulos restantes restantes de la obra. obra. estos Los Los capítulos capítulos del nivel nivel dos dos están están consagrados consagrados principalmente principalmente a las técnicas técnicas analíticas analíticas más más comunes comunes para para comparar comparar alternativas. alternativas. Aunque Aunque es recomendable recomendable cubrir cubrir todos todos los capítulos 5 capítulos de este este nivel, nivel, sólo sólo se hace hace referencia referencia amplia amplia a los dos primeros primeros -capítulos -capítulos y 66- en el resto resto de la obra. obra. Los Los tres tres capítulos capítulos del nivel nivel tres muestran muestran la forma forma de aplicar aplicar las las técnicas técnicas del del nivel nivel dos dos para para evaluar evaluar activos activos actualmente actualmente en uso uso o alternativas alternativas independientes; independientes; mientras mientras que que los capítulos capítulos del del nivel nivel cuatro cuatro resaltan resaltan las consecuencias consecuencias de los impuestos, impuestos, de la toma estimación de toma de decisiones decisiones y de otros otros conceptos conceptos en la estimación costos, costos, el costeo costeo basado basado en actividades, actividades, el análisis análisis de sensibilidad sensibilidad y el riesgo, riesgo, de acuerdo acuerdo con con el tratamiento tratamiento que que se les da utilizando utilizando la simulación simulación Monte Monte CarIo. Carlo.
Organización final de capítulo Cada Organización de los capítulos capítulos y de los ejercicios ejercicios de final capítulo Cada capítulo capítulo incluye incluye un objetivo objetivo general general y una una serie serie gradual gradual de objetivos objetivos de aprendizaje, aprendizaje, seguida seguida por por el material material de estudio. estudio. Los Los encabezados encabezados de sección sección corresponden corresponden a cada cada objetivo objetivo de aprendizaje; aprendizaje; por por ejemplo, ejemplo, la sección sección 5.1 contiene contiene el material material perteneciente perteneciente al primer primer objetivo del capítulo. capítulo. Cada Cada sección sección incluye incluye uno uno o más más ejemplos ejemplos ilustrativos ilustrativos resueltos resueltos a objetivo mano, bien, por mano, o bien, por ambas ambas técnicas, técnicas, a mano mano y por por computadora. computadora. Los ejemplos ejemplos se separan separan del material material del texto texto e incluyen incluyen comentarios comentarios referentes referentes a la solución, solución, así como como enlaces enlaces pertinentes a otros otros temas temas del libro. libro. Los Los resúmenes resúmenes al final final de cada cada capítulo capítulo fusionan fusionan de pertinentes manera nítida nítida los conceptos conceptos y temas temas principales principales cubiertos cubiertos con con el propósito propósito de reforzar reforzar manera el aprendizaje aprendizaje del estudiante estudiante antes antes de abordar abordar los ejercicios ejercicios de fin de capítulo. capítulo. Los Los problemas problemas no resueltos resueltos de fin de capítulo capítulo se agrupan agrupan y se clasifican clasifican según según el mismo mismo orden orden general general de las secciones secciones del capítulo. capítulo. Este Este enfoque enfoque brinda brinda la oportunidad oportunidad de aplicar aplicar el material material por por sección sección o programar programar la resolución resolución del problema problema cuando cuando se haya haya concluido concluido el estudio estudio del capítulo. capítulo. Los Los apéndices apéndices A y B tienen tienen información información complementaria: complementaria: una una introducción introducción elemenelemental a las hojas hojas de cálculo cálculo (Microsoft (Microsoft Excel) Excel) para para lectores lectores que que no se encuentran encuentran familiafamiliarizados rizados con ellas;'los ellas.los conceptos conceptos básicos básicos de la contabilidad contabilidad y de los informes informes corporativos, corporativos, y las respuestas respuestas finales finales a los problemas problemas selectos selectos ordenados ordenados por por capítulo. capítulo. Las Las tablas tablas de factores factores de interés interés se localizan localizan al final final de la obra obra para para que que resulten resulten de fácil fácil acceso. acceso. Por Por último, último, los forros forros internos internos permiten permiten una una consulta consulta rápida rápida de la notación notación de factores, factores, fórmulas fórmulas y diagramas diagramas de flujo, flujo, además además de una una guía guía del formato formato de las funciones funciones de la hoja hoja de cálculo cálculo más más comúnmente comúnmente utilizadas. utilizadas. En la contraportada contraportada aparece aparece un glosario glosario de términos términos comunes comunes y símbolos símbolos empleados empleados en la ingeniería ingeniería económica. económica.
N 1
~
el
xix
PREFACIO
Estructura por niveles
Capítulo 1 Fundamentos de ingeniería económica
Capítulo 2 Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dinero
NIVEL UNO
Capítulo 3 Combinación
de factores
Capítulo 4 Tasas de interés nominales y efectivas
I Capítulo 7 Análisis de tasa de rendimiento: alternativa única
Capítulo 5
Capítulo 6
Análisis del valor presente
Análisis del valor anual
Capítulo 9
Capítulo 8 Análisis de tasa de rendimiento: alternativas múltiples
NIVEL DOS
Análisis beneficio! costo y economía del sector público
I
I Capítulo 10 Toma de decisiones: método, TMAR y atributos múltiples
I
I NIVEL TRES
NIVEL CUATRO
J
l
Capítulo 12
Capítulo 11 Decisiones de reemplazo y conservación
Capítulo 13
Selección de proyectos independientes con limitaciones presupuestales
Análisis del punto de equilibrio
I
I
I
I
Capítulo 14
Capítulo 15
Capítulo 16
Capítulo 18
Efectos de la inflación
Estimación de costos y asignación de costos indirectos
Métodos de depreciación
I $o
Capítulo 17 Análisis económico después de impuestos
Análisis de sensibilidad formalizado y decisiones de valor esperado
Capítulo 19 Más sobre variaciones y toma de decisiones bajo riesgo
xx
PREFACIO
OPCIONES DE ESTUDIO DE LOS CAPÍTULOS
Ro Jol Jol Na Ct Se Le Jo: Jo
Los temas pueden estudiarse en el punto señalado o en cualquier punto de ahí en adelante (las entradas alternativas se indican con el símbolo -+ - - -) Progresión numérica a través de los capítulos 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Estimación de costos
Inflación
Análisis de sensibilidad adicional y riesgo
Fundamentos Factores Más factores i efectiva Valor presente Valor anual
o W
Ki
...•......••
R(
...•......••
7. Tasa de rendimi ento 8. Más TR 9. Beneficio/costo
10. 11. 12. 13.
Impuestos y depreciación
....
GI M Ja Ri -,
A
~----,
Elecciones Remplazo Presupuesto de capital Punto de equilib rio
~-----
,.---114.
-------
-------
Inflación
----------------
1 115.
Estimación
VV S1 D
" ----------
M
"
TI N F S,
1 116. 117.
Depreciación Después de impuestos
118. 119.
1 1
D
Análisis de sensibilidad
I
A 1-
Riesgo y simulación
1
G
e R
AGRADECIMIENTOS Hay mucha gente que labora en universidades, en la industria y la práctica independiente que colaboró en la elaboración de esta obra. Estamos agradecidos con cada uno de ellos por sus contribuciones y el privilegio que nos brindaron de trabajar con ellos. Algunas de estas personas son las siguientes: Roza Abubaker, American University of Sharjah Robyn Adams, 12th Man Foundation, Texas A&M University Jeffrey Adler, Mindbox, Inc., y originalmente de Rensselaer Polytechnic Institute Richard H. Bernhard, North Carolina State University Stanley F. Bullington, Mississippi State University Peter Chan, CSA Engineering, Inc.
Tamb anteri p
mejor en la: Estan
PREFACIO PREFACIO
Ronald Ronald T. Cutwright, Cutwright, Florida Florida A&M A&M University University John F. Dacquisto, Dacquisto, Gonzaga Gonzaga University University John John John Yancey Yancey Easley, Easley, Mississippi Mississippi State State University University New Mexico Nader Nader D. Ebrahimi, Ebrahimi, University University of of New Mexico Charles Charles Edmonson, Edmonson, University University of of Dayton, Dayton, Ohio Ohio Sebastian of Michigan Sebastian Fixson, Fixson, University University of Michigan Louis Louis Gennaro, Gennaro, Rochester Rochester Institute Institute of of Technology Technology Joseph Joseph Hartman, Hartman, Lehigh Lehigh University University John John Hunsucker, Hunsucker, University University of of Houston Houston Cengiz University, Turkey Cengiz Kahraman, Kahraman, Istanbul Istanbul Technical Technical University, Turkey Walter E. LeFevre, Walter LeFevre, University University of of Arkansas Arkansas Kim Kim LaScola LaScola Needy, Needy, University University of of Pittsburgh Pittsburgh Robert Robert Lundquist, Lundquist, Ohio Ohio State State University University Gerald T. Machulak, Machulak, Arizona Arizona State State University University Gerald Wisconsin, Platteville Mike Mike Momot, Momot, University University of ofWisconsin, Platteville James S. Noble, University of of Missouri-Columbia Missouri-Columbia James Noble, University Richard Richard Patterson, Patterson, University University of of Florida Florida Antonio Antonio Pertence, Pertence, Jr. Jr.,, Faculdade Faculdade de Sabara, Sabara, Minas Minas Gerais, Gerais, Brazil Brazil William William R. R. Peterson, Peterson, Old Old Dorninion Dorninion University University Stephen M. Robinson, Robinson, University University of of Wisconsin-Madison Wisconsin-Madison Stephen David David Salladay, Salladay, San San Jose Jose State State University University Mathew Sanders, Sanders, Kettering Kettering University University Mathew Sastri, formerly formerly ofTexas ofTexas A&M A&M University University Tep Sastri, Michael J. J. Schwandt, Schwandt, Tennessee Tennessee Technological Technological University University Michael Frank Sheppard, Sheppard, III, I1I, The The Trust Trust for Public Public Land Land Frank Sallie Sheppard, Sheppard, American American University University of of Sharjah Sharjah Sallie Don Srnith, Srnith, Texas Texas A&M A&M University University Don Alan Stewart, Stewart, Accenture Accenture LLP LLP Alan Mathias Mathias Sutton, Sutton, Purdue Purdue University University Ghassan Tarakji, Tarakji, San San Francisco Francisco State State University University Ghassan Ciriaco Valdez-Flores, Valdez-Flores, Sielken Sielken and and Associates Associates Consulting Consulting Ciriaco Richard West, Sanders and and West West Richard West, CPA, CPA, Sanders También deseamos deseamos agradecerle agradecerle a Jack Jack Beltrán Beltrán por por su precisión precisión al revisar revisar ésta ésta y las También anteriores ediciones. ediciones. Su trabajo trabajo ayudará ayudará a que que este este libro libro sea sea un éxito. éxito. anteriores Por último, último, serán serán bien bien recibidos recibidos los los comentarios comentarios y las sugerencias sugerencias del del lector lector para para Por mejorar tanto tanto el contenido contenido del libro libro como como el Centro Centro de Aprendizaje Línea. Contáctenos Contáctenos mejorar Aprendizaje en Línea. direcciones [email protected], [email protected], [email protected][email protected]. en las direcciones [email protected] y [email protected]. Estaremos atentos atentos a sus opiniones. opiniones. Estaremos Lee Lee Blank Blank Tony Tarquin Tarquin
xxi
ESTtJ
RECORRIDO GUIADO GUIADO EJEMPLOS DEL CAPíTULO Los lectores EJEMPLOS Y EJERCICIOS EJERCICIOSDEL lectores de este libro cuentan cuentan con diversas diversas maneras maneras de reforzar problemas del final final del capítulo, problemas que se reforzar los conceptos conceptos que han aprendido. aprendido. Los problemas capítulo, los problemas presentan a lo largo del capítulo, problemas ampliados, prácticos y los problemas problemas de presentan capítulo, los problemas ampliados, los casos casos prácticos repaso de FI (Fundamentos Ingeniería) ofrecen (Fundamentos de Ingeniería) ofrecen al lector lector la oportunidad oportunidad de aprender aprender el análisis análisis económico en gran variedad variedad de formas. formas. Los diversos diversos ejercicios ejercicios implican implican formas sencillas sencillas de trabajo, trabajo, económico problemas de repaso repaso de un solo paso y la necesidad necesidad de responder responder ampliamente ampliamente a preguntas preguntas complejas complejas problemas aplican a la realidad realidad mundial. ejemplos que aparecen aparecen en el capítulo capítulo también también son una forma forma útil que aplican mundial. Los ejemplos reforzar los conceptos conceptos aprendidos. aprendidos. para reforzar
ANAl
"..,
..
• D,
·u
k"" // k""
PROBLEMAS PROBLEMAS :;;~:~:~,;:~'P,"dóo"'''Yb)m",",m,"" :~;~:~:~,;:~'P,"d;,""'Y b) m",",m,""
Ttpos de deproyectos TillOS proyectos 5.1 5.1
PROBLEMAS DE FIN DE CAPíTULO CAPíTULO PROBLEMAS Como en las ediciones ediciones anteriores, anteriores, cada cada capítulo capítulo Como contiene muchos muchos ejercicios ejercicios para para trabajo trabajo en casa casa que contiene representativos de la realidad realidad mundial. mundial. El 80% son representativos ejercicios que aparecen aparecen al final final del capítulo capítulo de los ejercicios revisados o son nuevos nuevos para para esta esta edición. edición. han sido revisados
Al evaluar proyectos con elmé\(xlodel el método del valor 5.2 Alcvaluarproyccloscon
~~i~n~~sC;~~~~~~e~~I~~~~~~b~~~~ti~~
5.3 ~~i~n~~Scyn~~~~~~e~~l~~~~~~b~~~~ti~~ 5.3
prescnrc.gcerro se sabe cuál(es) cuál(es) selccciona seleccionar r prescnlc,¿cómo
definen ingreso o proyecto proyecto de servicios: servicios: defi nen un ingreso
Cash flows
o
Land
$ 1" $ ·2$ 3 4
s
n $
urchases 4,000,000 3,000,000
Parks develo menl I I
2.250,000 1,687,500 1265,625
$ $ $
949,219,:
17 J pro. 11.788.797 pU«h."" ,i: Pvatces r $
'W. 1 ;22
PROBLEMAS DE DE REPASO PROBLEMAS REPASO FI
6.14 Pllra Paral:1$::llternat;v::lsmutua.mcntcexc1uycn· l:t$ahem:llivllsmutuamcnlecxcluyentcs quc sc se muestran a cOf\linuación. conünuacíéndeterles dctercuá.lo cuálcs deben sclcecionarsc. seleccionarse. mine euS.loeuáles Alt ...... ~tiv~
V~lor ~ ... ""'I,
Slaiio
-25000
--12000 12 000 <0000 <0000 "000 "000 o) Sólo A a)
SóloD b) 5óloO el SóIoAy SóIoAyB B e) SóIoCyD O d) SóIoCy 6.25
v¡¡lor anual (en los años anos 1I al infinilo) de de El v:l101" SSOooodc hoy. hoy. SlOoooanualesen SIOoooanualesen Iosañas los años SSOooode
donador planea dard dar dinero ahora y nida. El donador inero ahora pcracadaunode los2añossiguientes. los 2 años siguientes. Si Sicl pllrtlcadaunode el donación es exactameme Ie monto de cada donación exaelamcnte la la cantidad que debe donarse cada misma, laeantidadquedebedonarseeada ano con i==8% 8% anual,es anual,es muyccrcanaa: muyccrcana a: añoeoni $190820 a) $190 820 b) $ $122280 b) 122280 e) $127460 e) $127460 d)) S132()40 S132040 d i.Cu~nIOdebe depositar cada año año una per6.27 ¡,Cu.inlO debe depositar scaa en su euenla ceenra dc oe ahorros para el retiro, SOIttI durante lO 10 años e inieiandoalwro iniciando ahora (es decir. decir, dUr;\l!te 550 000 años O a 9), si desea poder retirar $50 anuales para para siempre. yempkzaah*=csto ycmptcua hscer estc dentro de 30 30 años? aiIos? Suponga Suponga que la cuenta dentro de 10% 10% anual. gana un interés de al $4239 S4 239 a) bl $4662 $4662 b} e) el
$4974 S4974
el) $547 $54111 d}
..•
'a.
capí de la 1 Civil, como tecnol
AMPLIADOS EJERCICIOS AMPLIADOS Los ejercicios ejercicios ampliados ampliados han sido Los diseñados para para requerir análisis de diseñados requerir un análisis cálculo con énfasis énfasis general general en hoja de cálculo análisis de sensibilidad. sensibilidad. un análisis
Noto; La con\'ención ccnvencién de ~ignos signos que se emplea emplea en Nota: el examen de FI puede ser contraria a la que aquf c:Juamc:ndcFIpucdc:scrconll1lriaalaqueaquí seUliliu, decir, que cn en el examen cosse utilia Es decir. e'-amen de FI,Ios A, los CQSlOSpueden ser positÍ\"os positivos yYlos lOS pueden scr los ingresos negativos.
,,.
$
550,000 650,000 759,000
P rorparke :Tº,.I.p resenl",ºrth: 1,3B2,19lt-$ ~~,.ql.58?:
vrs. 1 and2=
PROBLEMAS DE REPASO REPASO DE EXAMEN EXAMEN PROBLEMAS FUNDAMENTOS DE INGENIERíA INGENIERíA (FI) DE FUNDAMENTOS problemas de repaso repaso de examen examen abarcan abarcan los Los problemas mismos temas temas que el examen examen FI y están están escritos escritos en mismos mismo formato formato de opción opción múltiple múltiple que se emplea emplea el mismo examen. Todos estos estos problemas son nuevos nuevos en el examen. problemas son para edición. para esta edición.
CASOS PRÁCTICOS Todos Todos los los casos casos prácticos prácticos representan representan tratamientos tratamientos y ejercicios ejercicios profundos profundos del del mundo mundo real real que que cubren cubren un amplio amplio espectro espectro del del análisis análisis económico económico y de la profesión profesión de la la ingeniería. ingeniería.
ESTUDIO DE DE CASO CASO ESTUDIO fo1NANCIAMI ENTO DE DE VIVIENDA. VIVIEN DA FlNANQAMIENTO Introducd6n
Capítulo 1 Fundamentos de ingeniería económica Capítulo 2 Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dinero Capítulo 3 Combinación de factores Capítulo 4 Tasas de interés nominales y efectivas
tituys valor
NIVEL DOS Herramientas para evaluación de alternativas
NIVEL TRES Toma de decisiones en proyectos reales
NIVEL CUATRO Redondeo del estudio
Capítulo 5 Análisis del valor presente
Capítulo 11 Decisiones de reemplazo y conservación
Capítulo 14 Efectos de la inflación
Capítulo 6 Análisis del valor anual Capítulo 7 Análisis de tasa de rendimiento: alternativa única Capítulo 8 Análisis de tasa de rendimiento: alternativas múltiples Capítulo 9 Análisis beneficio/costo y economía del sector público Capítulo 10 Toma de decisiones: método, TMAR y atributos múltiples
Capítulo 12 Selección de proyectos independientes con limitaciones presupuestales Capítulo 13 Análisis del punto de equilibrio
Capítulo 15 Estimación de costos y asignación de costos indirectos Capítulo 16 Métodos de depreciación Capítulo 17 Análisis económico después de impuestos Capítulo 18 Análisis de sensibilidad formalizado y decisiones con valor esperado Capítulo 19 Más sobre variaciones y toma de decisiones bajo riesgo
E dos E estos atrás cuatr funci
En la ingeniería ecofundamentos de la En estos estos cuatro capítulos se se presentan los fundamentos nómica nómica.. Al concluir concluir el primer primer nivel, el lector lector comprenderá comprenderá y abordará probleproblemas mas que incluyen los conceptos conceptos de valor valor del del dinero dinero en el tiempo, tiempo, flujos de efectivo efectivo en diferentes diferentes momentos momentos con diferentes diferentes cantidades cantidades y equivalencia equivalencia a diferentes tasas técnicas que se tasas de interés. Las Lastécnicas se dominen dominen en esta esta sección constituyen la la base base para para que un un ingeniero ingeniero en cualquier cualquier disciplina disciplina tome tome en cuenta el valor económico económico en casi casi cualquier cualquier entorno entorno de proyectos. En En este nivel se se exponen y aplican los ocho factores comúnmente comúnmente utilizados en en todos todos los cálculos de la la ingeniería económica. Las Las combinaciones combinaciones de estos factores permiten permiten desplazar los valores monetarios monetarios hacia hacia delante delante y hacia hacia atrás atrás en en el tiempo tiempo y a diferentes diferentes tasas tasas de interés. Asimismo, después de estos cuatro capítulos, el lector lector se se sentirá cómodo cómodo trabajando trabajando con muchas de las las funciones de la la hoja de cálculo de Excel Excel para para resolver problemas.
1 1 o o 1¡
Fundamentos Fundamentos de ingeniería ingeniería económica económica de La La necesidad de la la ingeniería económica económica se se encuentra motivada motivada principalmenprincipalmente por por el trabajo trabajo que llevan a cabo los ingenieros ingenieros al al analizar, analizar, sintetizar sintetizar y obteobtener conclusiones en proyectos la proyectos de cualquier cualquier envergadura. En En otras palabras, la ingeniería económica económica es es un un punto punto medular medular en la la toma de de decisiones. decisiones. Tales Tales decisiones implican los elementos elementos básicos de flujos de de efectivo, efectivo, tiempo tiempo y tasas tasas de de interés. Este Este capítulo capítulo explica los conceptos conceptos fundamentales fundamentales y la la terminoloterminología gía necesarios para que un un ingeniero ingeniero combine combine esos esos tres elementos elementos esenciales y formule formule técnicas matemáticamente matemáticamente correctas para resolver problemas problemas que lo llevarán a tomar tomar mejores decisiones. En En el presente capítulo capítulo se se incluyen muchos de los términos términos comunes que se se utilizan en la la toma de decisiones decisiones económicas, micas, los cuales cuales se se emplearán en capítulos subsecuentes de la la obra. Los Los iconos al margen sirven para remitir remitir al al lector lector a información información más más elemental elemental y adicional adicional que aparece antes o después en el libro. Los Los estudios estudios de caso caso incluidos incluidos después de los problemas problemas de final de capítulo tulo se se concentran en en el desarrollo desarrollo de alternativas en la la ingeniería económica. económica.
ObjE
-
-
-
F~
I
«« u
-
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Objetivo general: comprender
los conceptos fundamentales
de la ingeniería económica.
Este capítulo ayudará al lector a: Preguntas
I
1. Conocer el tipo de preguntas que la ingeniería económica puede responder.
Toma de decisiones
I I
2. Determinar el papel que desempeña la ingeniería económica en el proceso de toma de decisiones.
Enfoque del estudio
Tasa de interés
Equivalencia
, ~
Interés simple y compuesto
3. Identificar los elementos necesarios para llevar a cabo con éxito un estudio de ingeniería económica.
4. Realizar cálculos sobre tasas de interés y tasas de retorno.
5. Entender el significado de la equivalencia en términos económicos.
6. Calcular el interés simple y el interés compuesto para uno o más periodos de interés.
Símbolos
I
Funciones de la hoja de cálculo
7. Identificar y aplicar la terminología y simbología en la ingeniería económica.
9. Comprender el significado y aplicar el concepto de tasa mínima
Tasa mínima atractiva
atractiva de rendimiento (TMAR).
de rendimiento
Flujos de efectivo
I
Tiempo de duplicación
Hojas de cálculo
10. Entender el concepto de flujos de efectivo, su estimación y representación gráfica. 11. Aplicar la regla del 72 para estimar una tasa de interés compuesto o el número de años para que se duplique una cantidad en valor presente.
I
12. Crear una hoja de cálculo que incluya el interés simple y el interés compuesto, incorporando el análisis de sensibilidad.
6
CAPÍTULO
1
Fundamentos
de ingeniería económica
1.1
¿POR QUÉ ES IMPORTANTE LA INGENIERíA ECONÓMICA PARA LOS INGENIEROS (y otros profesionales)? Las decisiones que toman ingenieros, gerentes, presidentes de corporaciones e individuos, por lo general son el resultado de elegir una alternativa sobre otra. A menudo las decisiones reflejan la elección fundamentada de una persona sobre cómo invertir mejor fondos, también llamados capital. Con frecuencia el monto del capital está restringido, así como el efectivo disponible de una persona a menudo se encuentra limitado. La decisión sobre cómo invertir capital indudablemente cambiará el futuro, con esperanza de mejorar; es decir, que se le agregará valor. Los ingenieros desempeñan un papel esencial en las decisiones que tienen que ver con la inversión de capital, basadas en sus esfuerzos de análisis, síntesis y diseño. Los factores que se toman en cuenta en la toma de decisiones constituyen una combinación tanto de factores económicos como no económicos. Otros factores pueden ser de naturaleza intangible, como la conveniencia, la buena voluntad, la amistad y otros. Fundamentalmente la ingeniería económica implica formular, estimar y evaluar los resultados económicos cuando existan alternativas disponibles para llevar a cabo un propósito definido. Otra forma de definir la ingeniería económica consiste en describirla como un conjunto de técnicas matemáticas que simplifican las comparaciones económicas. Para numerosas corporaciones, en especial las más grandes, muchos de sus proyectos y servicios tienen alcance internacional: pueden desarrollarse en un país para aplicarse en otro, el personal y las plantas ubicadas en diversos sitios de todo el mundo separan en forma rutinaria el diseño del producto de su manufactura, así como de los consumidores que lo adquieren. Los enfoques que se presentan aquí se implantan sin dificultad tanto en empresas multinacionales como dentro de un país o localidad únicos. El uso correcto de las técnicas de ingeniería económica tiene una importancia especial porque virtualmente cualquier proyecto -local, nacional o internacional- afectará los costos y/o los ingresos. Algunas de las preguntas típicas que puede suscitar el material de este libro se plantean a continuación.
•
¿
p
¿
n
¿
11
d Indivi
•
¿ ¿
n
•
¿
r
•
¿ ¿ 2
•
D~ es
fn lid
al] al en
Se Al si,
Actividades de la ingeniería
• •
•
• •
¿Debería incorporarse una nueva técnica de financiamiento en la fabricación de cojinetes para frenos de automóvil? Si un sistema de visión computarizada sustituye al inspector en lo que se refiere a llevar a cabo pruebas de calidad en una línea de ensamble de automóviles, ¿disminuirán los costos de operación en un periodo de cinco años? ¿Puede una decisión económicamente adecuada mejorar el centro de producción de material estructural con agentes reforzadores de una fábrica de aviones con el objetivo de reducir costos 20%? ¿Debería construirse un paso a desnivel debajo de una vía rápida en una ciudad de 25000 habitantes, o debería ampliarse la vía rápida a lo largo de la ciudad? ¿Se conseguirá la tasa de retorno requerida si instalamos la nueva tecnología del mercado en nuestra línea de fabricación del láser médico?
Proyectos del sector público y agencias gubernamentales
•
¿Cuánto dinero debe recaudarse con el nuevo impuesto en la ciudad para mejorar el sistema de distribución de electricidad?
1.2
Lag lo h tonu renc una del.
SECCIÓN 1.2 1.2 Papel Papel de la ingeniería ingeniería económica económica en en la toma decisiones SECCIÓN toma de decisiones
• • •
7
¿En este punto punto los beneficios beneficios superan superan a los costos costos en la construcción construcción de un puente sobre sobre un canal canal intracostero? intracostero? puente ¿Es efectivo para el Estado nueva efectivo para Estado compartir compartir el costo costo de la construcción construcción de una nueva contratista? ruta de peaje peaje con un contratista? ¿Debería universidad estatal privada para para que ésta ¿Debería la universidad estatal contratar contratar a una institución institución privada imparta cursos cursos universitarios debería impartirlos impartirlos el personal imparta universitarios propedéuticos propedéuticos o debería personal docente universidad? docente de la propia propia universidad?
Individuos Individuos
• •
¿Debo pagar el saldo de mi tarjeta tarjeta de crédito prestado? ¿Debo pagar crédito con dinero dinero prestado? ¿Qué representan representan mis estudios universitarios en mi carrera profesional en térestudios universitarios carrera profesional minos financieros? financieros? minos ¿Constituyen buen negocio negocio las deducciones ¿Constituyen un buen deducciones federales federales del impuesto impuesto sobre sobre la renta para para la hipoteca hipoteca de mi casa pagos de la hipoteca? hipoteca? casa o debería debería agilizar agilizar los pagos ¿Qué tasa de retorno retorno obtuvimos nuestra inversión obtuvimos en nuestra inversión en acciones? acciones? ¿Debería comprar comprar o financiar financiar mi próximo automóvil, o conservar conservar el que tengo ¿Debería próximo automóvil, tengo continuar pagando crédito? ahora y continuar pagando el crédito?
•
EJEMPLO EJEMPLO
1 .1
<
_
Dos una compañía mecánico y una una empresa Dos ingenieros ingenieros directivos directivos de una compañía de diseño diseño mecánico empresa de análisis análisis estructural menudo laboran virtud de que estructural a menudo laboran conjuntamente. conjuntamente. Han Han decidido decidido que, que, en en virtud que con con frecuencia realizan viajes viajes comerciales juntos por por la región, región, deberían posibifrecuencia realizan comerciales juntos deberían considerar considerar la posibilidad de comprar comprar un avión avión del del cual cual sean sean copropietarias copropietarias las dos dos compañías. compañías. ¿Cuáles ¿Cuáles son son lidad algunas preguntas de naturaleza naturaleza económica responder algunas de las las preguntas económica que que los los ingenieros ingenieros deberían deberían responder al evaluar poseer un avión realizando viajes viajes evaluar las las alternativas alternativas de 1. 1. poseer avión en en común común o 2. continuar continuar realizando en aviones aviones comerciales? comerciales? Solución Solución
Algunas preguntas (y lo que requiere para para responderlas) responderlas) para Algunas preguntas que se requiere para cada cada alternativa alternativa son son las las siguientes: siguientes: ¿Cuánto necesitan estimaciones ¿Cuánto costará costará el avión avión cada cada año? año? (Se (Se necesitan estimaciones de de costos.) costos.) ¿Cuánto requiere un plan plan de financiamiento.) ¿Cuánto costará costará el avión? avión? (Se (Se requiere financiarniento.) ¿Reportan ventajas los los impuestos? necesita información ¿Reportan ventajas impuestos? (Se (Se necesita información sobre sobre la ley ley fiscal fiscal y las las tasas tasas de de impuestos.) impuestos.) ¿En basa la elección una alternativa? requiere un criterio ¿En qué qué se basa elección de de una alternativa? (Se (Se requiere criterio de selección.) selección.) ¿Qué tasa de retorno? (Se necesitan ecuaciones.) ¿Qué se espera espera de la tasa de retorno? (Se necesitan ecuaciones.) ¿Qué sucederá sucederá si llegamos llegamos a volar que calculamos calculamos hoy? (Se re¿Qué volar más más o menos menos de lo que hoy? (Se requiere un análisis quiere un análisis de de sensibilidad.) sensibilidad.)
1.2 1.2
PAPEL DE LA INGENIERíA INGENIERíA ECONÓMICA ECONÓMICA EN LA TOMA TOMA DE DECISIONES DECISIONES
La gente toma decisiones; matemáticas u otras herramientas herramientas decisiones; ni las computadoras, computadoras, las matemáticas ingeniería económica económica ayudan ayudan a la gente a lo hacen. Las técnicas técnicas y modelos modelos de la ingeniería tomar decisiones. marco de refedecisiones. Como las decisiones decisiones influyen influyen en lo que se hará, el marco rencia temporal básicamente elfuturo. temporal de la ingeniería ingeniería económica económica es básicamente elfuturo. Por lo tanto, en un análisis de ingeniería constituyen las mejores estimaciones ingeniería económica económica los números constituyen estimaciones de lo que se espera que ocurrirá. Dichas estimaciones menudo implican estimaciones a menudo implican los tres
SiS1;
8
CAPÍTULO 1 Fundamentos Fundamentos de ingeniería ingeniería económica económica CAPÍTULO
elementos esenciales esenciales ya mencionados: mencionados: flujos de efectivo, efectivo, su tiempo tiempo de ocurrencia ocurrencia y elementos estiman a futuro y serán de alguna alguna manera manera diferentes diferentes las tasas de interés, los cuales se estiman realmente ocurra, ocurra, principalmente principalmente como consecuencia consecuencia de las circunstancias circunstancias de lo que realmente cambiantes y no planeadas planeadas de los eventos. En otras palabras, la naturaleza naturaleza estocástica estocástica cambiantes estimaciones probablemente probablemente hará que el valor valor observado observado para para el futuro difiera difiera de las estimaciones estimación actual. de la estimación Por lo general, general, el análisis análisis de sensibilidad sensibilidad se lleva lleva a cabo durante durante el estudio estudio de Por ingeniería económica, económica, para para determinar determinar cómo podría podría cambiar cambiar la decisión decisión de acuerdo acuerdo ingeniería estimaciones variables, variables, en especial especial aquellas aquellas que podrían podrían variar variar de manera manera sigcon estimaciones nificativa. Por ejemplo, ejemplo, un ingeniero ingeniero que espera espera que los costos costos iniciales iniciales de desarrodesarronificativa. programa computacional computacional varíen ±20%, de un costo estimado estimado de $250 000 llo de algún programa (dólares), podría podría llevar llevar a cabo el análisis análisis económico económico para para estimaciones estimaciones iniciales iniciales de (dólares), costos de $200 000, $250 000 y $300 000. Otras estimaciones estimaciones inciertas inciertas referentes referentes costos proyecto pueden pueden "sondearse" "sondearse" aplicando aplicando un análisis análisis de sensibilidad. sensibilidad. (El análisis análisis al proyecto sensibilidad es fácil de llevar llevar a cabo utilizando utilizando hojas de cálculo cálculo electrónicas. de sensibilidad electrónicas. Las presentaciones tabulares tabulares y gráficas gráficas hacen hacen posible posible el análisis análisis sencillamente sencillamente campresentaciones biando los valores valores estimados. estimados. A lo largo de la obra obra y en los sitios web de apoyo apoyo biando aprovechamos las ventajas ventajas que proporciona proporciona el poder poder de las hojas de cálculo.) cálculo.) aprovechamos ingeniería económica económica se aplica, asimismo, asimismo, para para analizar analizar los resultados resultados del La ingeniería pasado. observados se evalúan evalúan para para determinar determinar si los resultados resultados satisfisatisfipasado. Los datos observados cieron el criterio criterio especificado, especificado, como, por ejemplo, ejemplo, la tasa de retorno retorno requerida. requerida. Por cieron ejemplo, supongamos supongamos que hace cinco años una compañía compañía de ingeniería ingeniería estadouniestadouniejemplo, dedicada al diseño diseño inició inició un servicio detallado de chasis chasis para para autoautodense dedicada servicio de diseño detallado móvil en Asia. Ahora Ahora el presidente presidente de la compañía compañía desea desea saber saber si el rendimiento rendimiento real móvil inversión ha superado superado el 15% anual. sobre la inversión Existe un procedimiento procedimiento importante importante para para abordar abordar la cuestión cuestión del desarrollo desarrollo y Existe elección de alternativas. alternativas. Los pasos pasos de este enfoque, enfoque, comúnmente comúnmente denominado denominado enfoelección solución de problemas decisiones, son los siguientes. siguientes. proceso de toma de decisiones, que de solución problemas o proceso
1. 2. 3.
Comprensión del problema problema y definición definición del objetivo. objetivo. Comprensión Recopilación de información información relevante. relevante. Recopilación Definición de posibles soluciones alternativas alternativas y realización realización de estimaestimaDefinición posibles soluciones ciones realistas. realistas. ciones Identificación de criterios criterios para para la toma toma de decisiones decisiones empleando empleando uno o 4. Identificación atributos. más atributos. Evaluación de cada alternativa alternativa aplicando aplicando un análisis análisis de sensibilidad sensibilidad 5. Evaluación para reforzar reforzar la evaluación. evaluación. para Elección de la mejor mejor alternativa. alternativa. 6. Elección Implantar la solución. solución. 7. Implantar Vigilar los resultados. resultados. 8. Vigilar
ingeniería económica económica desempeña desempeña el papel principal principal en todos los pasos pasos y es funLa ingeniería damental en los pasos pasos 2 a 6. Los pasos pasos 2 y 3 establecen establecen las alternativas alternativas y permiten permiten damental hacer las estimaciones estimaciones para para cada una de ellas. El paso 4 requiere requiere que el analista analista hacer identifique los atributos atributos para para la elección elección alternativa. alternativa. Este determina la etapa etapa identifique Este paso determina para la aplicación aplicación de la técnica. técnica. El paso 5 utiliza utiliza modelos modelos de ingeniería ingeniería económica económica para para completar completar la evaluación evaluación y realizar realizar cualquier cualquier análisis análisis de sensibilidad sensibilidad sobre el para decisión (paso 6). cual se base una decisión
Re
cO
bu
So
Su dis
qu el,
op
im tra da
Al
un
fié
pe
da cc de ec ec cc al
V~
men si ha futui el ea del (
económica en la toma de decisiones SECCIÓN 1.2 Papel de la ingeniería ingeniería económica
EJEMPLO EJEMPLO
1.2
Reconsidere las preguntas planteadas a los ingenieros en el ejemplo anterior, relativas a la ingeniería económica económica contricopropiedad del avión. Indique algunas formas en las que la ingeniería buye a la toma de decisiones entre dos alternativas. Solución Solución (transportación Supongamos que el objetivo es el mismo en el caso de cada ingeniero (transportación disponible y confiable que minimice el costo total). Aplique los pasos anteriores. ingeniería económica económica permite identificar identificar lo Pasos 2 yy 3: El esquema de un estudio de ingeniería que debería estimarse o recopilarse. Para la alternativa 1 (la compra del avión), se estima financiamiento y la tasa de interés, los costos anuales de el costo de compra, el método de financiamiento operación, el posible incremento en los ingresos por ventas anuales y las deducciones del renta. Para la alternativa 2 (el vuelo comercial) se estiman los costos de impuesto sobre la renta. transportación comercial, la cantidad de viajes, los ingresos anuales por ventas y otros transportación datos relevantes. relevantes. numéricamente denominado Paso 4: El criterio de selección es un atributo evaluado numéricamente medida de valor. Algunas medidas de valor son:
Valor presente presente (VP) (VA) Valor anual (VA) beneficio/costo (B/C) Razón beneficio/costo
Valor futuro (VF) recuperación Periodo de recuperación Tasa de retorno (TR) Valor económico agregado capitalizado (CC) Costo capitalizado
Al determinar una medida de valor, se considera el hecho de que el dinero de hoy tendrá un valor diferente en el futuro; es decir, que se toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo. Existen muchos atributos no económicos (sociales, ambientales, legales, políticos, personales, por nombrar sólo unos cuantos). Este ambiente de múltiples atributos puede personales, resultados económieconómidar como resultado el hecho de que se tenga menos confianza en los resultados exactamente la razón por la cual quien toma las cos del paso 6. Sin embargo, ésta es exactamente información adecuada para todos los factores -económicos -económicos y no decisiones debe tener información económicosinformada. En el caso que nos ocupa, el análisis económicos- para hacer una elección informada. copropiedad del avión (alternativa (alternativa 1); pero económico puede favorecer la alternativa de la copropiedad consecuencia de factores no económicos, uno o ambos ingenieros quizás elijan la como consecuencia alternativa 2. Pasos 5 yy 6: Los cálculos reales, el análisis de sensibilidad y la elección de alternativas se llevan a cabo en este punto.
concepto de valor valor del dinero en el tiempo tiempo se mencionó mencionó anteriormente. anteriormente. A El concepto menudo se dice que dinero llama dinero. De hecho, la afirmación afirmación es cierta, cierta, porque porque menudo decidimos invertir invertir dinero, dinero, intrínsecamente intrínsecamente esperamos esperamos tener tener más dinero dinero en el si hoy decidimos persona o empresa empresa solicita solicita un crédito crédito hoy, mañana deberá más que futuro. Si una persona mañana deberá capital del préstamo préstamo original. original. Este hecho hecho también también se explica explica por medio medio del valor valor el capital tiempo. del dinero en el tiempo. La variación variación de la cantidad cantidad del dinero dinero en un un periodo periodo de tiempo tiempo dado dado recireciLa nombre de valor valor de dinero dinero en el tiempo; tiempo; éste éste es el concepto concepto más imporbe el nombre más importante de la ingeniería ingeniería económica. económica. tante
9
10
CAPÍTULO 1
1.3
Fundamentos de ingeniería económica
REALIZACiÓN DE UN ESTUDIO DE INGENIERíA ECONÓMICA
A lo largo de este libro, los términos ingeniería económica,
Desci decisi darle cuant A , Bl . altern
perspectiva general del estudio de ingeniería económica. Dicho enfoque se esquematiza en la figura 1.1 para dos alternativas. En la figura 1.1 se describen los pasos del proceso de toma de decisiones.
verba cluye
análisis de ingeniería económica, toma de decisiones económicas, estudio de asignación de capital, análisis económico y otros semejantes se consideran sinónimos. Existe un enfoque general, denominado enfoque de estudio de ingeniería económica, que ofrece una
Pasos del proceso de toma de decisiones Paso 1
Problema identificado; Alternativa
1
objetivo definido
durante algún periodo de tiempo
0
Descripción e información
1/
Flojo. do"'OOti'M
~
Mejoramiento del equipo antiguo
1.'''7
Descripción e información
Flujl
Alternativa 2
lA
Equipo nuevo
Paso 3
anual inten la rer
el no] ració:
/
Paso 2
1
0,",00'
/
Anál
Flujos de efectivo durante algún periodo de tiempo
Estimaciones do o ingresos • Estrategias de financiamiento • Leyes tributarias
recib alterr blecí riacir sensi
1/
derar alten
/
Paso 4 Paso 5
Análisis mOdi,"~ un modelo de ingeniería económica /
Alternativa evaluada
1
•
<;c
v,,~
do!dinero o, o, tiempo • Tasa de interés • Medida de valor
Análisis mediante un modelo de ingeniería económica 1/ /
• Cálculo de la medida de valor
Alternativa 2 evaluada
Elecl una, plo, elige sobn aplic corm
alter la fo comi Atributos no económicos
Paso 6
Figura 1.1 Enfoque de estudio de ingeniería económica.
una]
por considerar
O O O O O O
o Implementación de la alternativa 1
O O O O O
sas a decii la rn o cu aplic anál sirve
SECCIÓN SECCIÓN 1.3
Realización Realización de un estudio estudio de ingeniería ingeniería económica económica
Descripción de las alternativas alternativas El resultado resultado del paso paso 1 del proceso proceso de toma toma de Descripción decisiones consiste consiste en un entendimiento entendimiento básico básico de lo que requiere requiere el problema problema para para decisiones darle solución. solución. Al principio principio llegan llegan a presentarse presentarse diversas diversas alternativas; alternativas; pero sólo unas cuantas serán viables viables y evaluadas evaluadas realmente. realmente. Si se han identificado identificado las alternativas alternativas cuantas D, aunque A, B Y e para para el análisis, análisis, cuando cuando el método método D, aunque no se le reconoce reconoce como como una alternativa, es el más atractivo, atractivo, seguramente seguramente se tomará tomará la decisión decisión equivocada. equivocada. alternativa, Las alternativas alternativas son opciones opciones independientes independientes que implican implican una una descripción descripción mejores estimaciones estimaciones de parámetros, parámetros, tales como como el costo inicial inicial (inverbal y las mejores cluyendo precio precio de compra, compra, desarrollo, desarrollo, instalación), instalación), vida útil, ingresos ingresos y egresos egresos cluyendo anuales anuales estimados, estimados, valor valor de salvamento salvamento (valor (valor de reventa reventa o canje), canje), una tasa de interés (tasa (tasa de rendimiento) rendimiento) y posiblemente posiblemente inflación inflación y efectos efectos del impuesto impuesto sobre la renta. Por lo general, general, las estimaciones estimaciones de los gastos gastos anuales anuales se agrupan agrupan y reciben reciben el nombre nombre de costos costos anuales anuales de operación operación (CAO) o costos costos de mantenimiento mantenimiento y operación ración (CMO).
Flujos de efectivo Flujos efectivo Las entradas entradas (ingresos) (ingresos) y salidas salidas (costos) (costos) estimadas estimadas de dinero dinero reciben el nombre nombre de flujos de efectivo. efectivo. Dichas Dichas estimaciones estimaciones se realizan realizan para para cada cada reciben alternativa (paso 3). Sin estimaciones estimaciones del flujo de efectivo efectivo durante durante un periodo periodo estaalternativa blecido resulta resulta imposible imposible llevar llevar a cabo un estudio estudio de ingeniería ingeniería económica. económica. La vablecido riación riación esperada esperada de los flujos de efectivo efectivo indica indica una necesidad necesidad real de un análisis análisis de sensibilidad sensibilidad en el paso 5. Análisis mediante un modelo modelo de ingeniería ingeniería económica económica Los cálculos cálculos que consiconsiAnálisis mediante dinero en el tiempo tiempo se realizan realizan sobre los flujos de efectivo efectivo de cada cada deran el valor valor del dinero alternativa alternativa para para obtener obtener la medida medida de valor.
Elección valores de la medida Elección de alternativa alternativa Se comparan comparan los valores medida de valor valor y se elige una alternativa. alternativa. Esto es el resultado resultado del análisis análisis de ingeniería ingeniería económica. económica. Por Por ejemplo, el resultado resultado de un análisis análisis de tasa de rendimiento rendimiento puede puede ser el siguiente: siguiente: se elige la alternativa alternativa 1, donde donde se estima estima una tasa de rendimiento rendimiento de 18.4% anual, sobre la alternativa alternativa 2, cuya cuya tasa de rendimiento rendimiento anual esperada esperada es de 10%. Se puede puede aplicar aplicar una combinación combinación de criterios criterios económicos económicos utilizando utilizando la medida medida de valor, así como los factores factores no económicos económicos e intangibles, intangibles, para para facilitar facilitar la elección elección de una alternativa. alternativa. Si sólo se define define una alternativa alternativa viable, viable, hay una segunda segunda alternativa alternativa presente presente en la forma de alternativa alternativa de no hacer hacer algo. Es una alternativa alternativa llamada llamada también también dejar dejar como está o statu quo. qua. Se puede puede elegir elegir no hacer hacer algo si ninguna ninguna alternativa alternativa posee posee medida de valor valor favorable. favorable. una medida Estemos o no conscientes, conscientes, a diario empleamos empleamos criterios criterios para para elegir elegir entre entre diverEstemos sas alternativas. alternativas. Por ejemplo, ejemplo, cuando cuando nos dirigimos dirigimos a la universidad universidad en automóvil, automóvil, decidimos decidimos tomar tomar la mejor mejor ruta. Pero, ¿cómo ¿cómo definimos definimos lo mejor? ¿La mejor mejor ruta es la más segura, segura, la más corta, corta, la más rápida, rápida, la más barata, barata, la que tiene mejor mejor paisaje, paisaje, o cuál? Es obvio obvio que, dependiendo dependiendo del criterio criterio o combinación combinación de criterios criterios que se aplique para para identificar identificar la mejor, cada cada vez podría podría elegirse elegirse una ruta diferente. diferente. En el financieras análisis económico, económico, las unidades financie ras (dólares (dólares u otra moneda) moneda) generalmente generalmente sirven de base tangible Por consiguiente, tangible para para realizar realizar la evaluación. evaluación. Por consiguiente, cuando cuando exis-
11
G---
12
CAPÍTULO CAPÍTULO 1
Fundamentos económica Fundamentos de de ingeniería ingeniería económica
ten diversas diversas formas de conseguir conseguir un objetivo objetivo establecido, establecido, se elegirá elegirá la alternativa alternativa con el costo menor o la utilidad utilidad neta neta global costo global global menor global mayor. después de impuestos proyecto de evaluaUn análisis análisis después impuestos se lleva lleva a cabo durante durante el proyecto evaluación, por lo general general con efectos efectos significativos significativos sólo sobre sobre la depreciación depreciación de activos activos y los impuestos impuestos sobre sobre la renta consideren. Los impuestos impuestos establecidos establecidos por renta que se consideren. los gobiernos locales, estatales, normalmente adquieren gobiernos locales, estatales, federales federales e internacionales internacionales normalmente adquieren la forma de un impuesto sobre la renta por ingresos, un impuesto al valor forma impuesto sobre renta ingresos, impuesto valor agregado agregado (IVA), impuestos impuestos de importación, importación, impuestos impuestos sobre sobre la venta, impuestos impuestos prediales prediales y otros. Los impuestos impuestos influyen influyen sobre sobre las estimaciones estimaciones de los flujos de efectivo efectivo de las otros. alternativas; alternativas; tienden tienden a mejorar mejorar las estimaciones estimaciones del flujo de efectivo efectivo en cuanto cuanto a costos, mismo tiempo costos, ahorros ahorros en gastos y depreciación depreciación de activos, activos, y al mismo tiempo reducen las estimaciones utilidad neta después estimaciones del flujo de efectivo efectivo del ingreso ingreso y de la utilidad después de impuestos. Pospondremos los detalles del análisis después de impuestos hasta que se puestos. Pospondremos detalles análisis después impuestos hasta hayan estudiado las herramientas fundamentales de la ingeniería ingeniería econóeconóhayan estudiado herramientas y técnicas técnicas fundamentales mica. Hasta entonces, consideraremos consideraremos que todas alternativas tienen Hasta entonces, todas las alternativas tienen el mismo mismo impuesto tributarias en vigor. (Si es necesario necesario estudiar impuesto gravado gravado por las leyes tributarias estudiar antes los efectos recomienda revisar revisar los capítulos efectos de los impuestos, impuestos, se recomienda capítulos 16 y 17 después después capítulos 6, 8 u 11.) de los capítulos Ahora fundamentos de la ingeniería económica que se apliAhora volvamos vol vamos a algunos algunos fundamentos ingeniería económica can en la práctica práctica diaria toma individual diaria de la ingeniería, ingeniería, así como como en la toma individual de decisiones.
1.4 1.4 TASA DE INTERÉS Y TASA DE RENDIMIENTO RENDIMIENTO
Tasa interés Tasa de interés de préstamo de un préstamo
El interés manifestación del valor valor del dinero tiempo. Desde perspecinterés es la manifestación dinero en el tiempo. Desde una perspectiva de cálculo, cálculo, el interés interés es la diferencia diferencia entre entre una cantidad cantidad final de dinero dinero y la cantidad original. nula o negativa, negativa, no hay interés. cantidad original. Si la diferencia diferencia es nula interés. Existen Existen dos variantes del interés: pagado y el interés paga cuanvariantes interés: el interés interés pagado interés ganado. ganado. El interés interés se paga cuando una una persona persona u organización organización pide pide dinero prestado (obtiene préstamo) y paga paga dinero prestado (obtiene un préstamo) una persona persona u organización una cantidad cantidad mayor. El interés interés se gana cuando cuando una organización ahorra, ahorra, invierte presta dinero recibe una una cantidad muestra que los invierte o presta dinero y recibe cantidad mayor. En seguida seguida se muestra cálculos y los valores numéricos para ambas variantes esencia, los mismos, cálculos valores numéricos para ambas variantes son, en esencia, mismos, aunque aunque las interpretaciones interpretaciones difieren. difieren. paga por por fondos que se piden piden prestados prestados (préstamo) El interés interés que se paga (préstamo) se determidetermimediante la relación relación na mediante Interés Interés
Prestatario Prestatario
Banco
= cantidad cantidad que se debe ahora ahora =
cantidad original original cantidad
•
• S
al
cr la in
s a.
[1.1]
Cuando el interés unidad de tiempo tiempo específica específica se expresa expresa Cuando interés pagado pagado con respecto respecto a una unidad como porcentaje suma original original (principal), (principal), el resultado como porcentaje de la suma resultado recibe recibe el nombre nombre de interés. tasa de interés. m "r·Tasa t eres ' (0.71) por unidad unidad de tiempo tiempo x 100 dee 'In interés (%) = interés interés acumulado acumulado por 100% /0 = -10 asa d
un aí Por 1, tan s< de UI
[1.2]
suma original original suma
La unidad interés. Por ahora, ahora, el unidad de tiempo tiempo de la tasa tasa recibe recibe el nombre nombre de periodo periodo de interés. periodo interés más comúnmente comúnmente utilizado tasa de interés interés es de periodo de interés utilizado para fijar una tasa
b
e e rr
SECCIÓN 1.4 SECCIÓN
interés y tasa tasa de rendimiento rendimiento Tasa de interés Tasa
posible considerar considerar periodos periodos de tiempo cortos, como como 1% mensual. mensual. un año. Es posible tiempo más cortos, siempre debería debería incluirse incluirse el periodo periodo de interés interés de la tasa de interés. interés. Si Por lo tanto, siempre ejemplo, 8.5%, se dará por supuesto supuesto un periodo periodo de interés interés tan sólo se fija la tasa, por ejemplo, de un año.
EJEMPLO EJEMPLO
1.3 1.3
..
Un empleado empleado de LaserKinetics.com LaserKinetics.com solicita solicita un un préstamo préstamo de $10 $10 000 000 elide ell de mayo mayo y debe debe Un pagar un total total de $10 $10 700 700 exactamente exactamente un año año después. después. Determine interés y la tasa tasa de pagar Determine el interés de interés pagada. pagada. interés Solución Solución Aquí el problema problema se analiza analiza desde desde la perspectiva perspectiva del prestatario prestatario en virtud virtud de que que los $10 $10 700 700 Aquí pagan un préstamo. préstamo. Aplique Aplique la ecuación ecuación [1.1] [1.1] para para calcular calcular el interés interés pagado. pagan pagado. Interés == $10 $10 700 700 - $10 $10 000 000 == $700 $700 Interés La ecuación ecuación [l.2] [l.2] nos nos permite permite establecer establecer la tasa tasa de interés interés pagada pagada durante durante un año. año. La Tasa porcentual porcentual de interés interés == Tasa
Stereophonics, Inc., Inc., tiene tiene planes planes de solicitar solicitar un préstamo préstamo bancario bancario de $20 $20 000 000 durante durante un Stereophonics, año al 9% 9% de interés interés para para adquirir adquirir un un equipo equipo nuevo nuevo de grabación. grabación. a) Calcule Calcule el interés interés y la año cantidad total total debida debida después después de un año. año. b) Construya Construya una una gráfica gráfica de barras barras que que muestre muestre cantidad las cantidades cantidades original original y total total debida debida después después de un año, utilizadas utilizadas para para calcular calcular la tasa tasa de las un año, interés del del préstamo préstamo del del 9% anual. anual. interés Solución Solución Calcule el interés interés total total causado causado resolviendo resolviendo la la ecuación ecuación [1.2] [l.2] para para el interés interés causado. causado. a) Calcule Interés $20 000(0.09) == $1 800 800 Interés == $20000(0.09) La cantidad cantidad total total a pagar pagar es la suma suma del del principal principal y el interés. interés. La Total a pagar pagar == $20000 $20 000 + $1800 $1 800 == $21800 $21 800 Total
e
b)
La figura figura l.2 l.2 muestra muestra los los valores valores utilizados utilizados en la ecuación ecuación [1.2]: [l.2]: interés interés de $1 800, 800, La principal original original del del préstamo préstamo de $20 $20 000, 000, y periodo periodo de interés interés de un año. año. principal
Comentario Comentario Observe que que en el inciso inciso a), la cantidad cantidad total total a pagar también se calcula calcula de la siguiente siguiente Observe pagar también manera: manera: Adeudo total total == principal(l principal(1 + tasa tasa de interés) interés) == $20 $20 000(l.09) 000(l.09) = == $21 800 800 Adeudo
CAPÍTULO 1 Fundamentos económica CAPÍTULO Fundamentos de ingeniería ingeniería económica
•
$
800 $21 800
$2000~ $2000~
________ LJ ---]
-- P
Interés
b
=$1800
S
--f- ----
Cantidad original del préstamo
Tasa de interés $1800 $1800 $20 000 100% $20 000 X 100% = 9% anual
Ahora
1 año después
11
II
b
El El periodo
de interés es un año
Figura Figura 1.2 Valores utilizados para calcular calcular la tasa de interés del 9% anual (ejemplo lA). lA).
calc
Este método método se usará futuras para Este usará posteriormente posteriormente para para determinar determinar las las cantidades cantidades futuras para periodos periodos tiempo mayores de tiempo mayores dentro dentro de de un un periodo periodo de de interés. interés.
en é inte
(pOI
Tasa de de rendimiento rendimiento Tasa
Desde la perspectiva ahorrador, un prestamista, prestamista, o un inversionista, inversionista, el Desde perspectiva de un ahorrador, interés ganado ganado es la cantidad cantidad final menos cantidad inicial, inicial, o principal. principal. interés menos la cantidad
de la inversión
Interés generado generado = = cantidad cantidad total cantidad original original Interés total actual - cantidad
[1.3] [1.3]
interés generado durante un periodo específico de tiempo expresa como como porEl interés generado durante periodo específico tiempo se expresa centaje de la cantidad denomina tasa de rendimiento centaje cantidad original original y se denomina rendimiento (TR). Ahorrador Ahorrador
Banco Banco
'1'asa de d e ren diímíento (%) (01 vo ) rendimiento Tasa
==
interés acumulado acumulado interés por unidad unidad de tiempo tiempo Xx 100% por 1('001 , '/0 cantidad original original cantidad
[1.4] [1.4]
unidad de tiempo interés, La unidad tiempo para para la tasa tasa de retorno retorno recibe recibe el nombre nombre de periodo periodo de interés, mismo nombre cuando se ve desde desde la perspectiva el mismo nombre que cuando perspectiva del prestatario. prestatario. De nueva nueva cuenta, el periodo común es de un año. cuenta, periodo más común diversas industrias inversión En diversas industrias y escenarios, escenarios, el término término rendimiento rendimiento sobre sobre la inversión (RSI) se emplea emplea como como sinónimo sinónimo de TR, en particular cuando se asignan asignan grandes (RSI) particular cuando grandes capital a programas fondos de capital programas orientados orientados a la ingeniería. ingeniería. Aunque los valores ecuaciones [1.2] y [l.4] [l.4] son los mismos, Aunque valores numéricos numéricos de las ecuaciones mismos, término tasa de interés interés pagada adecuado para el término pagada es más adecuado para la perspectiva perspectiva del prestataprestatadesde la perspectiva inversionista. rio, y tasa de retorno retorno ganada ganada es mejor mejor desde perspectiva del inversionista.
eco inic disr el rr ene las más mvt que Uni con bon que clm
sól< vist la t. la 1
inci del por
SECCIÓN 1.4 Tasa de interés yy tasa de rendimiento rendimiento
EJEMPLO EJEMPLO
a) b)
1.5
e
cantidad depositada depositada hace un año si ahora se tienen $1 000 a una tasa de Calcule la cantidad interés del 5% anual. Determine la cantidad por intereses ganados durante este periodo.
Solución Solución a) acumulada es la suma del depósito original yy del interés ganado. Si a) La cantidad total acumulada
X es el depósito original,
=original + original (tasa de interés) Total acumulado = $1 000 ==X X + X(0.05) X(0.05)
X(l + 0.05) == 1.05X ==X(1
El depósito original es X = 1 000 = $952.38 X 1.05
b)
Aplique la ecuación [1.3] para determinar determinar el interés ganado. Interés = $1000 $1000 - 952.38 = $47.62
En los ejemplos ejemplos 1.3 a 1.5 el periodo periodo de interés interés era de un año, y los intereses intereses se calcularon periodo. Cuando periodo de interés interés calcularon al final de un periodo. Cuando se considera considera más de un periodo (por ejemplo, intereses que se pagarán pagarán después ejemplo, si quisiéramos quisiéramos calcular calcular los intereses después de 3 años ejemplo 1.4), es necesario definir si la naturaleza acumulación de los en el ejemplo necesario definir naturaleza de la acumulación intereses periodo al siguiente simple o compuesta. compuesta. intereses de un periodo siguiente es simple Una consideración para cualquier ingeniería Una consideración económica económica adicional adicional para cualquier estudio estudio de ingeniería económica varios comentarios comentarios imprescindibles imprescindibles en esta etapa económica es la inflación. inflación. Hay varios etapa inicial sobre inflación: en primer primer lugar, ésta representa una una inicial sobre los fundamentos fundamentos de la inflación: ésta representa disminución valor de una una moneda moneda determinada. comprará disminución del valor determinada. Es decir, $1 de hoy no comprará el mismo mismo número número de manzanas manzanas (o de otras cosas) hace 20 años. El cambio cambio cosas) que $1 de hace en el valor de la moneda moneda afecta afecta las tasas de interés interés del mercado. mercado. En palabras palabras sencillas, sencillas, interés bancario bancario reflejan reflejan dos cosas: la llamada llamada tasa tasa real de rendimiento rendimiento las tasas de interés inflación esperada. rendimiento posibilita más la tasa de inflación esperada. La tasa real de rendimiento posibilita que el inversionista compre más de lo que hubiera podido comprar comprar antes de invertir. Es común que las inversiones inversiones más seguras como los bonos bonos del gobierno gobierno de los Estados Estados seguras (tales como Unidos) Unidos) tengan tengan un 3 o un 4% de tasa real de rendimiento rendimiento incluida incluida en sus tasas conjuntas Entonces, una tasa de interés conjuntas de interés. interés. Entonces, interés de, digamos, digamos, 9% anual anual de un Estados Unidos Unidos significa bono del gobierno gobierno de los Estados significa que los inversionistas inversionistas esperan esperan inflación esté dentro dentro de un rango entre 5 y 6% anual. Así, queda queda que la tasa de inflación rango de entre claro que la inflación inflación ocasiona ocasiona que las tasas de interés interés se eleven. eleven. Desde el punto punto de vista vista de quien recibe un préstamo, préstamo, la tasa tasa de inflación Desde quien recibe inflación tan sólo es otra tasa implícita otra parte, parte, desde desde el punto punto de implícita en la tasa real de interés. interés. Por otra ahorrador o inversionista inversionista en una cuenta cuenta de interés interés fijo, la inflación inflación reduce vista del ahorrador la tasa real de rendimiento rendimiento sobre inversión. La inflación inflación significa costo y sobre la inversión. significa que el costo ganancia estimados estimados de un flujo flujo de efectivo efectivo aumentan aumentan con el tiempo. tiempo. Este Este la ganancia incremento se debe al valor cambiante cambiante del dinero que la inflación inflación fuerza fuerza en la moneda moneda incremento hace que el poder poder adquisitivo una unidad unidad monetaria monetaria (un dólar, de un país, lo que hace adquisitivo de una respecto a su valor valor en una época por ejemplo) ejemplo) sea menor menor respecto época anterior. El efecto efecto de la
CAPÍTULO CAPÍTULO 1 Fundamentos Fundamentos de ingeniería ingeniería económica económica
inflación menos hoy inflación inflación se observa observa en en que que la moneda moneda compra compra menos hoy que que antes. antes. La La inflación contribuye ocurra lo siguiente: contribuye a que que ocurra siguiente: • • • • •
La La reducción reducción del del poder poder de de compra. compra. El El incremento incremento en en el IPC IPC (índice (índice de de precios precios al consumidor). consumidor). El El incremento incremento en en el costo costo del del equipo equipo y su mantenimiento. mantenimiento. El contraEl incremento incremento en en el costo costo de de los los profesionales profesionales asalariados asalariados y empleados empleados contratados tados por por horas. horas. La las inverinverLa reducción reducción en en la la tasa tasa de de retomo retorno real real sobre sobre los los ahorros ahorros personales personales y las siones corporativas. corporativas. siones
En otras otras palabras, palabras, la inflación inflación puede contribuir materialmente materialmente a modificar modificar el En puede contribuir el análianálieconómico individual individual y empresarial. empresarial. sis económico Por lo general, general, los los estudios estudios de ingeniería ingeniería económica económica suponen suponen que que la la inflación Por inflación afecta por igual a todos todos los los valores valores estimados. estimados. De De acuerdo acuerdo con con esta esta postura, postura, una afecta por igual una tasa tasa interés o una una tasa tasa de retorno del del 8% 8% anual anual se aplicaría aplicaría a lo largo largo del del análisis análisis sin de interés de retomo sin tomar en cuenta cuenta una una tasa tasa de de inflación inflación adicional. adicional. No No obstante, obstante, si la inflación inflación se tomar se tomara en en cuenta cuenta de de manera manera explícita, explícita, y si ésta ésta estuviera estuviera reduciendo reduciendo el valor tomara valor del del dinero en en un un promedio promedio de, de, por por ejemplo, ejemplo, 4% 4% anual, anual, sería sería necesario necesario llevar llevar a cabo dinero cabo el el análisis económico económico aplicando aplicando una una tasa tasa de interés interés total total del del 12.32% 12.32% anual. anual. (Las (Las relacioanálisis relaciones importantes importantes se deducen deducen en en el capítulo capítulo 14.) 14.) Por Por otra otra parte, parte, si la TR TR establecida establecida nes sobre una una inversión inversión es 8% 8% con con la la inflación inflación incluida, incluida, la misma misma tasa tasa de de inflación inflación de sobre de 4% anual anual daría daría como resultado una una tasa tasa de de retomo retorno real real de de sólo sólo el 3.85% 3.85% anual. 4% como resultado anual.
sum Por vale
I
Así, de$ case son
intei desj
lar 1
1.5
EQUIVALENCIA EQUIVALENCIA
Los otra. Los términos términos equivalentes equivalentes se utilizan utilizan muy muy a menudo menudo para para pasar pasar de de una una escala escala a otra. Algunas Algunas equivalencias equivalencias comunes comunes o conversiones conversiones son son las las siguientes: siguientes:
l.O{ afin equ se v
Longitud: 100 100 centímetros centímetros = = 1 metro metro 1000 metros metros = = 1 kilómetro kilómetro 1000 Longitud: 3 pies 39.370 metro 12 pulgadas pulgadas = = 1 pie pie pies = = 1 yarda yarda 39.370 pulgadas pulgadas = 1 metro
Presión: Presión: 1 1 atmósfera atmósfera = = 11 newton/metro newton/metro" 2 1 atmósfera kilopascal atmósfera = = 103 pascales pascales = = 1 kilopascal Muchas medidas medidas equivalentes equivalentes son son una una combinación combinación de dos dos o más más escalas. escalas. Por Por ejemplo, Muchas ejemplo, kilómetros por por hora hora (kph) (kph) equivalen equivalen a 68 millas millas por por hora hora (mph), (mph), o a 1.133 1.133 110 kilómetros hora = =60 60 millas por minuto, minuto, con con base base en en que que 1 milla milla = = 1.6093 1.6093 kilómetros kilómetros y en en que que 1 hora millas por minutos. dos horas horas minutos. Puede Puede concluirse, concluirse, además, además, que que conducir conducir a 68 mph mph durante durante dos equivale un millas. Se equivale a viajar viajar aproximadamente aproximadamente un total total de de 220 220 kilómetros kilómetros o 136 136 millas. Se combinaron tiempo expresado millas y combinaron tres tres escalas escalas -el -el tiempo expresado en en horas, horas, la distancia distancia en en millas también para adicional también en en kilómetroskilómetrospara elaborar elaborar enunciados enunciados equivalentes. equivalentes. Un Un uso uso adicional de estas equivalencias entre dos dos de estas equivalencias consiste consiste en en calcular calcular el tiempo tiempo en en horas horas de de manejo manejo entre ciudades medio del en millas millas ciudades por por medio del empleo empleo de de dos dos mapas, mapas, uno uno que que indique indique la distancia distancia en y otro se usó usó la la otro que que la exprese exprese en en kilómetros. kilómetros. Obsérvese Obsérvese que que durante durante estos estos análisis análisis se relación cambiara, relación fundamental fundamental de de que que 1 milla milla = 1.6093 1.6093 kilómetros. kilómetros. Si esta esta relación relación cambiara, entonces entonces las las demás demás equivalencias equivalencias serían serían erróneas. erróneas. Cuando juntos, el valor de inteinteCuando se consideran consideran juntos, valor del del dinero dinero en en el tiempo tiempo y la la tasa tasa de rés que dos dos rés permiten permiten formular formular el concepto concepto de de equivalencia equivalencia económica, económica, que que implica implica que
y
Laj dife
• A
\!
g
o
SECCIÓN 1.5 SECCIÓN
Equivalencia Equivalencia
Figura Figura 1.3
Tasa de de interés interés de 6% 6% anual anual Tasa $94.34 $94.34
I
$5.66 $5.66
I
$6.00 $6.00
$100.00 $100.00
I
$6.00 $6.00
.
f) O 1) O
O
$106.00 $106.00 [) I
I
I
Hace Hace un año año
Ahora Ahora
Un Un año año después después
diferentes de dinero dinero en diferentes diferentes tiempos tiempos tienen tienen el mismo sumas diferentes mismo valor valor económico. económico. interés es de 6% anual, $100 hoy (tiempo Por ejemplo, ejemplo, si la tasa de interés (tiempo presente) presente) equiequidespués. valen a $106 un año después. Cantidad acumulada acumulada = = 100 + 100(0.06) 100(0.06) = = 100(1 + 0.06) Cantidad 0.06) = = $106 amigo nos ofreciera ofreciera un regalo regalo con un valor valor de $100 el día de hoyo hoyo uno Así, si un amigo después, no habría habría diferencia diferencia entre una oferta de $106 un año después, oferta y otra. En cualquier cualquier tendríamos $106 después después de un año. Sin embargo, embargo, las dos sumas de dinero caso tendríamos dinero equivalentes entre entre sí cuando cuando la tasa de interés interés es de 6% anual. Si la tasa son equivalentes tasa de interés fuera superior superior o inferior, inferior, $100 el día de hoy no equivaldrían $106 un año interés equivaldrían a $106 después. Además de la equivalencia equivalencia futura, se puede puede aplicar aplicar la misma Además misma lógica lógica para para calcucalcuequivalencia para para años anteriores. anteriores. Un total de $100 $100 ahora $100/ lar la equivalencia ahora equivale equivale a $100/ = $94.34 $94.34 hace un año a una tasa de interés interés de 6% anual. De estos 1.06 = estos ejemplos ejemplos se afirma lo siguiente: siguiente: $94.34 $94.34 el año pasado, pasado, $100 ahora afirma ahora y $106 un año después después son equivalentes a una tasa de interés interés de 6% anual. La equivalencia equivalencia de estas cantidades equivalentes cantidades verifica calculando calculando las dos tasas de interés interés para para periodos periodos de interés se verifica interés de un año. $6 ~ x 100% = -= 6% anual anual
$100
y
$5.66 -- - x 100% = = 6% anual anual $94.34 $94.34 figura 1.3 indica indica la cantidad cantidad de intereses intereses necesaria necesaria cada cada año para La figura para que estas tres diferentes sumas sean equivalentes equivalentes al 6% anual. diferentes EJEMPLO EJEMPLO
1.6
17
" c,
AC-Delco fabrica fabrica baterías baterías automotrices automotrices para para los los concesionarios concesionarios de General AC-Delco General Motors Motors a tratradistribuidores particulares. particulares. En general, las las baterías baterías se almacenan vés de distribuidores En general, almacenan un un año, año, y se agreagre5% anual anual al costo costo para para cubrir cubrir el cargo cargo del del manejo manejo de ga un 5% de inventario inventario para para el el dueño dueño del del contrato de distribución. distribución. Supongamos Supongamos que que usted usted es dueño dueño de contrato de las las instalaciones instalaciones de de Delco Delco ubicadas en el centro centro de la ciudad. ciudad. Realice Realice los cálculos cálculos necesarios necesarios con ubicadas con una una tasa tasa de de interés interés 5% anual anual para para demostrar demostrar cuáles cuáles de las siguientes siguientes declaraciones, declaraciones, referentes de 5% referentes a los los costos costos baterías, son son verdaderas verdaderas o falsas falsas. . de las baterías,
Equivalencia de de tres tres Equivalencia cantidades a una una tasa tasa de de cantidades interés de interés de 6% 6% anual. anual.
í,..-
18
CAPÍTULO 1 Fundamentos Fundamentos de ingeniería ingeniería económica
a) b) e) d) el)
e)
La cantidad cantidad de $98 hoy equivale a un costo de $105.60 un año después. equivale a $205 ahora. El costo de $200 de una batería para camión hace un año equivale equivale a $39.90 un año después. Un costo de $38 ahora equivale equivalente a $2887.14 $2887.14 hace un año. Un costo de $3 000 ahora es equivalente El cargo por manejo de inventario acumulado en un año sobre una inversión en baterías con un valor de $2 000 es de $100.
Solución Solución $105.60; por lo tanto, la declaración a) Suma total acumulada = 98(1.05) = $102.90 if= $105.60; declaración esfalsa. Otra forma de resolver este problema esfalsa. problema es la siguiente: el costo original es de 105.60/1.05 = $100.57 if= $98. 205.00/1.05 = $195.24 if= $200; por lo tanto, esfalsa. esfalsa. b) El costo anterior es de 205.00/1.05 e) El costo dentro de 1 año será de $38(1.05) = $39.90; verdadera. verdadera. d) El costo actual es de 2 887.1 887.14(1.05) el) 4(1.05) = $3 031.50 if= $3 000; falsa. falsa . e) El cargo es de 5% de interés anual, o 2000(0.05) 2000(0.05) = $100; verdadera. verdadera.
*
*
se m
v
pi ae
s¡
*
*
1.6 1.6
INTERÉS SIMPLE SIMPLE Y COMPUESTO COMPUESTO INTERÉS
Los términos términos interés, interés, periodo interés y tasa de interés interés (sección (sección 1.4) 1.4) son son útiles en Los periodo de interés útiles en cálculo de de sumas sumas de de dinero dinero equivalentes equivalentes para para un de interés en el pasado el cálculo un periodo periodo de interés en pasado periodo de de interés interés en en el futuro futuro. . Sin Sin embargo, embargo, para de un de interés, y un periodo para más más de un periodo periodo de interés, los términos términos interés interés simple interés compuesto se tornan importantes. los simple e interés compuesto se toman importantes. El interés interés simple se calcula calcula utilizando utilizando exclusivamente exclusivamente el principal El simple se principal e ignorando ignorando cualquier interés interés generado en los de interés simple cualquier generado en los periodos periodos de interés precedentes. precedentes. El El interés interés simple total durante durante varios siguiente manera: total varios periodos periodos se calcula calcula de de la la siguiente manera:
Interés = (principal)(número de periodos)(tasa de interés) Interés = (principal)(número
[1.5] [1.5]
donde la tasa tasa de de interés se expresa expresa en en forma forma decimal. decimal. donde interés se
Ene rés.
los Tan rés
Ir EJEMPLO EJEMPLO
1.7 1. 7
* ~'
•
Pacific Telephone Credit Union otorgó un préstamo a un miembro del personal de ingeniería para que éste adquiriera un avión a escala dirigido por un radio controlador. El $1 000 por tres años con un interés simple de 5% anual. ¿Cuánto préstamo asciende a $1 debe pagar el ingeniero al final de los tres años? Tabule los resultados. Solución Solución El interés para cada uno de los tres años es:
Interés anual = 1 000(0.05) = $50 El interés total de los tres años de acuerdo con la ecuación [1.5] es: Interés total
== 1 000(3)(0.05) == $150
El monto adeudado después de tres años es: Adeudo total = $1 000 + 150 = = $1000 = $1 150
•
SECCIÓN 1.6 Interés simple y compuesto
El interés acumulado de $50 en el primer año y el interés acumulado de $50 en el segundo año no generan intereses. El interés que se adeuda cada año se calcula exclusivamente sobre el principal de $1 000. Los detalles de los pagos del préstamo se tabulan en la tabla 1.1 desde el punto de vista del prestatario. El tiempo cero representa el presente, es decir, cuando se otorga el préstamo. No se hacen pagos sino hasta que concluya el tercer año. El monto que se adeuda cada año se incrementa uniformemente $50, en virtud de que el interés simple se calcula sólo sobre el principal del préstamo.
1.1
TABLA
Cálculos de interés simple
(1)
(2)
(3)
Cantidad obtenida en préstamo
Final del año O 1 2 3
Interés
(5)
(4)
Adeudo
Suma pagada
$1000 $50 50 50
$1050 1100 1 150
$
O O 1 150
En el caso del interés compuesto, el interés generado durante cada periodo de interés se calcula sobre el principal más el monto total del interés acumulado en todos los periodos anteriores. Así, el interés compuesto es un interés sobre el interés. También refleja el efecto del valor del dinero en el tiempo sobre el interés. El interés para un periodo ahora se calcula de la siguiente manera:
= (principal
Interés
EJEMPLO
1.8
+ todos los intereses acumulados)(tasa de interés) [1.6] .
Un ingeniero solicita a la cooperativa de crédito de la empresa un préstamo de $1 000 con un interés anual compuesto de 5%. Calcule el adeudo total después de tres años. Elabore una gráfica y compare los resultados de este ejemplo y del anterior. Solución El interés y el adeudo total de cada año se calcula por separado mediante la ecuación [1.6]. Interés del primer Adeudo total después del primer Interés del segundo Adeudo total después del segundo Interés del tercer Adeudo total después del tercer
Los detalles aparecen en la tabla 1.2. El plan de pagos es el mismo que el del ejemplo del interés simple: el pago único es el principal más los intereses acumulados al final de los tres años. La figura 1.4 muestra el adeudo al final de cada uno de los tres años. En el caso del interés compuesto, se reconoce la diferencia debida al valor del dinero en el tiempo. Aquí se paga un interés adicional de $1157.63 - $1 150 = $7.63 en comparación con el interés simple durante el periodo de 3 años.
o '" N
S S •..... •..... "" "",......... o
o o o '" '"o •.....
-
",""""" •.....
""
r-
Estí
r-r-:
w
s - Interés S C
S C
S C
simple C - Interés compuesto
""'" ""'"
tri
o '" N
o
""'"
""'"
C 2
'"""
o
""'"
S C 3
Final del año
Figura 1.4 Comparación
de los cálculos del interés simple y el interés compuesto
va\( con vak val< sí e
•
<') ......
o o
plo Ela
o
.--.-""
ti
O O
$
(ejemplos
1.7 y 1.8).
SECCIÓN 1.6 Interés simple y compuesto
Comentario Comentario
incrementa cada año. Si se contiLa diferencia entre el interés simple y el compuesto se incrementa núan haciendo cálculos para más años, 10, por ejemplo, ejemplo, la diferencia diferencia es de $128.90; $128.90; después de 20 años el interés compuesto compuesto es de $653.30 más que el interés simple. Si $7.63 no parece una diferencia significativa significativa en sólo 3 años, recordemos recordemos que la cantidad inicial es $1 000. Si estos mismos cálculos se hacen para una cantidad inicial de se tendrá $100 000 o $1 $1 000 000, hay que multiplicar multiplicar la diferencia diferencia por 100 o por 1 000, Y Yse compuesto es de vital impordinero real. Esto indica que el poder del cálculo del interés compuesto tancia en todos los análisis de tipo económico. económico.
Otra forma después de 3 años en el ejemOtra forma más breve breve de calcular calcular el adeudo adeudo total después ejemplo 1.8 consiste consiste en combinar combinar los cálculos cálculos en lugar lugar de llevarlos llevados a cabo año por año. El adeudo por año es el siguiente: adeudo total por siguiente: Año 1: 1: Año 2: Año 3:
calcula directamente; directamente; no se requiere ExpreEl total del año 3 se calcula requiere del total del año 2. Expresado de una manera manera general, general, el cálculo cálculo tendría tendría la siguiente siguiente forma: Adeudo total después después de cierta cierta cantidad cantidad de años = = Adeudo principal(l interés)"Úmero de míos principal(l + tasa de interés)"ÚmerocteaJios relación fundamental fundamental se utilizará utilizará repetidas repetidas veces en los capítulos capítulos posteriores. Esta relación posteriores. Para demostrar demostrar que los diferentes diferentes planes equiPara planes de pago pago de préstamos préstamos pueden pueden ser equivalentes, aunque aunque difieran difieran sustancialmente sustancialmente en cuanto cuanto a monto monto de un año a otro, otro, se valentes, combinan los conceptos conceptos de tasa de interés, interés, interés interés simple, simple, interés interés compuesto compuesto y equicombinan valencia. Esto Esto también también muestra muestra que existen existen varias formas de tomar tomar en cuenta cuenta el valencia. valor del dinero dinero en el tiempo. siguiente ejemplo ejemplo ilustra ilustra la idea idea de equivalencia equivalencia en valor tiempo. El siguiente diferentes planes planes de pago sí con diferentes pago del préstamo. préstamo.
EJEMPLO EJEMPLO
a)
1.9 1 .9
¡e
~
Demuestre el concepto de equivalencia equivalencia con los diferentes planes de pago de préstaDemuestre reembolsa un préstamo mos descritos en seguida. En cada plan se reembolsa préstamo de $5 000 en 5 años al 8% de interés anual. 1: Interés Interés simple; simple; pago pago del total total al final. • Plan Plan 1: final. No hay pago de intereses ni del principal hasta el fInal final del año 5. Los intereses se generan cada año exclusivamente sobre el principal. Plan 2: Interés Interés compuesto; compuesto; pago total al final. final. No hay pago de intereses ni pago del total • Plan del principal hasta el final del año 5. Los intereses se generan cada año sobre el acumulados. total del principal y todos los intereses acumulados.
21
I¡¡-
22
CAPÍTULO 1 Fundamentos de ingeniería económica
• Plan 3: Pago anual del interés simple; reembolso del principal al final. Los intereses acumulados se pagan cada año y todo el principal se reembolsa al final del año 5. • Plan 4: Pago anual del interés compuesto y de parte del principal. Los intereses generados y una quinta parte del principal ($1 000) se reembolsa cada año. El saldo vigente del préstamo se reduce cada año, de manera que el interés de cada año disminuye. • Plan 5: Pagos anuales iguales del interés compuesto y del principal. Se hacen pagos iguales cada año; una parte se destina al reembolso del principal y el resto cubre los intereses generados. Como el saldo del préstamo disminuye a un ritmo menor que en el plan 4, como consecuencia de los pagos iguales de fin de año, el interés disminuye, aunque a un ritmo más lento. b)
d Po
Hacer algún comentario sobre la equivalencia de cada plan a18% de interés simple o compuesto, según convenga.
Solución a) La tabla 1.3 muestra el interés, la cantidad del pago, el adeudo total al final de cada año y el monto total pagado durante el periodo de cinco años (totales de la columna 4).
TABLA
1.3
Diferentes planes de pago de $5 000 durante 5 años con un interés anual del 8%
(1 )
(2)
Final del año
Interés a pagar por el año
(3) Adeudo total al final del año
(4) Pago de fin de año
(5)
Adeudo total después del pago
Plan 1: Interés simple; pago total al final
O 1 2 3 4 5 Totales
$400.00 400.00 400.00 400.00 400.00
$5400.00 5800.00 6200.00 6600.00 7000.00
$5000.00 5400.00 5800.00 6200.00 6600.00
Lo
$5000.00 5400.00 5832.00 6298.56 6802.44
O so
$7000.00 $7000.00
Plan 2: Interés compuesto; pago del total al final
O 1
2 3 4 5 Totales
$400.00 432.00 466.56 503.88 544.20
$5400.00 5832.00 6298.56 6802.44 7346.64
$7346.64 $7346.64
re
SECCIÓN 1.6 Interés simple y compuesto
TABLA TABLA
1.3
(1 )
Final
año del año
(Continuación) (Continuación) (2) (2) Interés Interés pagar a pagar por el año año por
(3) (3) Adeudo Adeudo total al total final del del año año final
(4) Pago de Pago de fin de de año año
(5) (5) Adeudo Adeudo total total después después
Plan 3: Pago Pago anual anual del del interés interés simple; simple; reembolso reembolso del del principal Plan principal al al final final O O $400.00 1 $400.00 $5 400.00 $400.00 400.00 2 400.00 5 400.00 400.00 3 400.00 5 400.00 400.00 5 400.00 5400.00 400.00 4 400.00 5 400.00 5 400.00 5 400.00 $7 000.00 $7000.00 Totales Plan 4: Pago Pago anual anual del del interés interés compuesto compuesto y de parte del principal Plan parte del principal O O $400.00 1 $5400.00 $1400.00 $5400.00 $1400.00 320.00 2 4320.00 1320.00 4320.00 1320.00 3240.00 3 3240.00 240.00 1240.00 1240.00 2160.00 1 160.00 4 2160.00 160.00 1080.00 1080.00 5 80.00 1080.00 1080.00 Totales $6200.00 $6200.00 Plan 5: Pagos Pagos anuales anuales iguales iguales del del interés interés compuesto compuesto yy del del principal Plan principal O O $5400.00 $1252.28 11 $400.00 $5400.00 $1252.28 4479.54 1252.28 4479.54 1252.28 2 331.82 3485.43 1252.28 258.18 3485.43 3 1252.28 2411.80 4 2411.80 1252.28 1252.28 178.65 1252.28 92.76 1252.28 1252.28 5 1252.28 $6261.41 $6261.41 Totales
Los intereses (columna 2) se determinan de la siguiente manera: Plan 1 Plan Plan 2 Plan Plan 3 Plan Plan 4 Plan Plan 5 Plan
original)(0.08) Interés simple = (principal original)(0.08) Interés compuesto = = (adeudo total del año anterior)(0.08) anterior)(0.08) = (principal original)(0.08) original)(0.08) Interés simple = anterior)(0.08) Interés compuesto = (adeudo total del año anterior)(0.08) anterior)(0.08) Interés compuesto = (adeudo total del año anterior)(0.08)
Observe que los montos de los pagos anuales son diferentes en cada esquema de reembolreembolso y que los pagos totales en la mayoría de los planes son diferentes; aunque cada plan de exactamente 5 años. La diferencia diferencia en los pagos totales puede explicarreembolso requiere exactamente se 1. por el valor del dinero en el tiempo, 2. por el interés simple o compuesto, y 3. por el reembolso parcial del principal antes del año 5.
23
24
Fundamentos de ingeniería ingeniería económica económica CAPÍTULO 1 Fundamentos
b)
La tabla l.3 1.3 muestra que los $5000 $5000 en el tiempo cero equivalen a cada una de las siguientes cantidades: cantidades:
Plan 1 $7 000 al final del año 5 al 8% de interés simple. simple. Plan 2 $7 346.64 al final del año 5 al 8% de interés compuesto. Plan 3 $4000 $4000 anuales durante 4 años y $5 400 al final del año 5 al 8% de interés simple. Plan 4 Pagos decrecientes del interés y parciales del principal en los años 1 ($ ($11 400) a 5 ($1 ($1 080) al 8% de interés compuesto. Plan 5 $1252.28 $1252.28 anuales por 5 años a18% de interés compuesto. compuesto.
ejem aplic ingei
De 11 símb
Un estudio de ingeniería económica económica emplea el plan 5, el interés es compuesto y la cantidad que se paga es constante en cada periodo. Esta cantidad cubre el interés generado y un monto parcial del reembolso del principal.
1.7 1.7
TERMINOLOGíA TERMINOLOGíA Y SíMBOLOS SíMBOLOS
ecuaciones y procedimientos procedimientos de la ingeniería ingeniería económica económica emplean emplean los siguiensiguienLas ecuaciones términos y símbolos. símbolos. Incluyen Incluyen unidades muestra. tes términos unidades de muestra.
P= presente o tiemP = valor valor o cantidad cantidad de dinero dinero en un momento momento denotado denotado como como presente También P recibe recibe el nombre presente (VP), valor presente po O. O. También nombre de valor valor presente valor presente neto (VPN), efectivo descontado (VPN), flujo de efectivo descontado (FED) (FED) y costo costo capitalizado capitalizado (CC); (CC); unidades monetarias monetarias unidades F= recibe el nombre nombre = valor valor o cantidad cantidad de dinero dinero en un tiempo tiempo futuro. F también también recibe de valor unidades monetarias valor futuro (VF); unidades monetarias periodo. A= = serie de cantidades cantidades de dinero dinero consecutivas, consecutivas, iguales iguales y del final del periodo. denomina valor uniforme equivalenA también también se denomina valor anual (VA) y valor valor anual uniforme equivalenunidades monetarias te (VAUE);unidades (VAUE);unidades monetarias monetarias por año, unidades monetarias por mes mes n= número de periodos periodos de interés; = número interés; años, meses, días i= periodo; porcentaje porcentaje anual, porcentaje = tasa tasa de interés interés o tasa de retorno retorno por periodo; anual, porcentaje mensual; mensual; por ciento ciento diario diario t= expresado en periodos; periodos; años, = tiempo tiempo expresado años, meses, meses, días presentan una sola vez en el tiempo: Los símbolos símbolos P y F indican indican valores valores que se presentan tiempo: A tiene el mismo periodo de interés número especímismo valor valor una vez en cada cada periodo interés durante durante un número específico de periodos. periodos. Debe valor presente presente P representa representa una sola Debe quedar quedar claro claro que el valor suma algún momento momento anterior suma de dinero dinero en algún anterior a un valor valor futuro F, o antes de que se presente por primera primera vez un monto presente monto equivalente equivalente de la serie A. Es importante notar que el símbolo representa una cantidad uniforimportante notar símbolo A siempre siempre representa cantidad uniformisma cantidad cantidad cada cada periodo), extiende a través través de periome (es decir, la misma periodo), la cual se extiende periointerés consecutivos. consecutivos. Ambas Ambas condiciones condiciones deben deben darse antes de que la serie dos de interés pueda quedar representada representada por A. pueda quedar supuesto que la tasa tasa de interés interés i corresponde tasa de interés interés Se da por por supuesto corresponde a una tasa compuesto, a menos menos que específicamente específicamente se indique indique que se trata de una tasa tasa de compuesto, interés simple. simple. La tasa i se expresa expresa como porcentaje porcentaje por periodo interés; por interés periodo de interés;
•
A re
esto
E
SECCIÓN l.7
Terminología y símbolos Terminología
ejemplo, 12% anual. Amenos A menos que se indique indique lo contrario, contrario, se supondrá supondrá que la tasa se ejemplo, durante los n años o periodos periodos de interés. interés. En los cálculos cálculos que se realizan realizan en aplica durante ingeniería económica económica siempre siempre se utiliza utiliza el equivalente equivalente decimal decimal de i.i. ingeniería económica incluyen el elemento de tiempo t.t. Todos los problemas de la ingeniería económica restantes (P, F, A, n, i), 0, cada cada problema problema incluirá incluirá por lo menos menos cuatro cuatro De los cinco restantes estimados o se conocen. símbolos, P, F, A, n e i,i, cuando menos tres de los cuales están estimados EJEMPLO EJEMPLO
O 11.1 .10
~". ".
universidad trabaja en Boeing Aerospace. Tiene planes de soliUna recién graduada de la universidad abora para adquirir un automóvil. Decide que reembolsará reembolsará citar un préstamo de $10 000 ahora Identifique los símbolos todo el principal más 8% de intereses anuales después de 5 años. Identifique ingeniería económica económica necesarios necesarios para resolver resolver el problema, así como los valores que de ingeniería tienen para el adeudo total después de 5 años. Solución Solución En este caso, están involucradas involucradas P y F, ya que todas las cantidades son pagos únicos, así como ii y n. El tiempo está expresado en años.
en-
P = $10 000 P=
8'%
ii = 8'% anual
= 5 años n=
F=? F=?
F. Se desconoce la cantidad futura F. ffi-
nte
C); bre do. en-
EJEMPLO EJEMPLO
1 .11 .11
..
Suponga que obtiene un préstamo préstamo de $2 000 ahora al 7% anual durante 10 años, y debe Determine los símbolos que se requieren para reembolsarlo en pagos anuales iguales. Determine problema y sus valores. resolver el problema Solución Solución El tiempo se expresa en años.
= $2 $2000 P = 000 A = ? anuales durante 5 años ii = 7% anual n = 10 años
taje
:A eCÍ-
sola e se orrioerie erés a de por
ejemplos 1.10 y 1.11, el valor valor P es una entrada entrada para para el prestatario, prestatario, y F o En los ejemplos A representan representan un desembolso desembolso para para él. También También es correcto correcto invertir invertir la función función de símbolos. estos símbolos. EJEMPLO EJEMPLO
1 .1 2
~. "
.
El 1 de julio ElIde julio de 2002, su nuevo empleador, Ford Motor Company, deposita $5 000 en su bancaria como parte de su bono de empleo. La cuenta paga un interés del 5% cuenta bancaria
25
26
CAPÍTULO 1 Fundamentos Fundamentos de ingeniería económica económica
anual. Usted espera retirar una cantidad anual igual durante los siguientes 10 años. Identifique los símbolos y sus valores. Solución Solución
El tiempo se expresa en años. P = $5000 $5000 = ?7 anuales i = 5% anual n = 10 años
A
1.8 EJEMPLO EJEMPLO
1.13 1.1 3
.
"
Las Usted planea hacer un depósito único de $5000 $5000 ahora en una cuenta de inversión que $1 000 a fin de año durante 5 años, paga el 6% anual, y desea retirar una cantidad igual de $1 comenzando comenzando el siguiente año. Al final del sexto año, usted piensa cerrar la cuenta retirando el saldo. Defina los símbolos de ingeniería ingeniería económica económica que implica el problema. Solución Solución
El tiempo se expresa en años. P = $5 000 A = $1 $1 000 anuales durante 5 años F = ?7 al final del año 6 = 6% anual i = n = 5 años para la serie A y 6 para el valor F
EJEMPLO EJEMPLO
1 .14 .14
com
men celd det dise larg lo y
ben mer dea incl se p unj
A
El año pasado la abuela de Jane ofreció depositar suficiente dinero en una cuenta de aho$1000 000 este año para ayudar a Jane con los gastos de la universidad. a) rros que generará $1 Identifique los símbolos, y b) calcule la cantidad que se depositó hace exactamente exactamente un año Identifique retorno es de 6% anual. para ganar $1 000 de intereses ahora, si la tasa de retomo
cálc
nan inte port nic2
Solución Solución a) El tiempo se expresa en años. P = =7? i = 6% anual n = 1 año F = P + interés
$1000 = ?7 + $1000 b)
men
Remitiéndose a las ecuaciones [1.3] y [l.4], [l.4], sea F = = monto total hoy y P = = cantidad Remitiéndose original. Sabemos que F - P = $1 $1 000 es el interés acumulado. acumulado. Ahora se determina P para Jane y su abuela. F = P + P(tasa P(tasa de interés)
ante
mic
computadora SECCIÓN 1.8 Introducción Introducción a las soluciones por computadora
Los $1 000 de interés pueden expresarse expresarse de la siguiente manera: P(tasa de interés)] - P Interés = F - P = [P + P(tasa = P(tasa P(tasa de interés) $1000 $1000 == P(0.06) P(0.06)
P = 1000 P 1 000 = $16 666.67 0.06
1.8 1.8
INTRODUCCiÓN INTRODUCCiÓN A LAS SOLUCIONES SOLUCIONES POR COMPUTADORA COMPUTADORA
Fundamentos de ingeniería ingeniería económica económica CAPÍTULO 11 Fundamentos CAPÍTULO
~ Sol-R Sol-R
§l l!l Sol-E Sol-E
Si alguno de los parámetros parámetros no se relaciona relaciona con un problema problema específico, específico, se le puede puede omitir y se le supondrá supondrá un valor de cero. Si el parámetro parámetro omitido omitido es uno anterior, se debe introducir introducir una coma. Las últimas últimas dos funciones funciones requieren requieren que se introduzca introduzca una serie de números números en celdas celdas contiguas contiguas de la hoja hoja de cálculo; cálculo; no obstante, obstante, las primeras S5 se pueden pueden emplear emplear sin datos de apoyo. En todos los casos, casos, la función función primeras debe ir precedida precedida por un signo de igual igual (=) en la celda celda donde donde aparecerá aparecerá la respuesta. respuesta. Cada una de estas funciones funciones se explicará explicará y ejemplificará ejemplificará en la parte parte del texto Cada donde resulte más útil. Sin embargo, para obtener una idea de la manera donde resulte embargo, para obtener idea manera en que funcionan, el lector puede remitirse a los ejemplos 1.10 y 1.11. En el ejemplo funcionan, lector puede remitirse ejemplos ejemplo 1.10, se desconoce desconoce el valor valor futuro F, como como lo indica indica F = = ? que aparece aparece en la solución. solución. En el siguiente utilizar el valor valor del dinero para siguiente capítulo capítulo aprenderemos aprenderemos a utilizar dinero en el tiempo tiempo para calcular F, dados P, i Yn. Para determinar F en este ejemplo utilizando una hoja calcular dados Y n. Para determinar ejemplo utilizando una hoja de cálculo, tan sólo se introduce en cualquier celda la función VF precedida cálculo, introduce cualquier celda función precedida por por un signo de igual. El formato formato es el siguiente: siguiente: VF(Tasa, nper.iva) o VF(8%,5,,10000). VF(Tasa, nper"va) VF(8%,S,,10000). La coma coma se introduce introduce en virtud figura 1.Sa 1.5a es una virtud de que no hay valor valor para para A. La figura una imagen de pantalla de la hoja de cálculo de Excel en la función VF que se incorpora imagen pantalla cálculo Excel función VF incorpora a la celda celda B2. La respuesta $-14,693.28 aparece respuesta de $-14,693.28 aparece en la pantalla. pantalla. La respuesta respuesta está está en color color rojo en la pantalla real de Excel para indicar una cantidad negativa pantalla Excel para indicar una cantidad negativa desde desde la perspectiva del prestatario, cual se reembolsará después de 5S perspectiva prestatario, con la cual reembolsará el préstamo préstamo después años. La función función VF aparece aparece en la barra de fórmulas en la parte superior barra fórmulas parte superior de la hoja hoja de cálculo. hemos añadido añadido una una etiqueta celda para para mostrar mostrar el formato formato cálculo. Además, Además, hemos etiqueta de celda de la función función VF. busca el valor valor del monto monto anual anual uniforme uniforme A y se conocen conocen los En el ejemplo ejemplo 1.11 se busca valores de P, i Y n. Determine A utilizando la función PAGO(i%,n,P); en este Y Determine utilizando función PAGO(i%,n,P); este caso, caso, valores PAG0(7%,1O,2000). La figura 1.5b muestra el resultado en la celda C4. El formato PAGO(7%,1O,2000). figura l.Sb muestra resultado celda formato de la función función VF aparece aparece en la barra barra de fórmulas fórmulas junto junto con con la etiqueta etiqueta de la celda. celda. Como estas funciones son rápidas y fáciles de usar, las veremos Como funciones rápidas fáciles veremos con detalle detalle en diversos diversos ejemplos ejemplos a lo largo largo del texto. texto. Cuando Cuando sólo sólo una una función función proporciona proporciona la respuesta, aparece icono especial especial con dos banderas: banderas: Sol-R Sol-R (solución (solución rápida). rápida). En respuesta, aparece un icono los capítulos iniciales del nivel 1 se muestran las funciones generales y capítulos iniciales nivel muestran funciones generales específicas específicas de la hoja de cálculo. En los capítulos siguientes, hoja cálculo. capítulos siguientes, el icono icono Sol-R Sol-R aparece aparece al margen margen indica la función hoja de cálculo cálculo en la solución solución del ejemplo. ejemplo. y se indica función de la hoja Cuando utiliza el poder poder de la computadora computadora para para resolver resolver problemas problemas más más Cuando se utiliza complejos que que incluyen incluyen varias varias funciones funciones y quizá quizá un un diagrama diagrama (gráfica) (gráfica) de Excel, Excel, al complejos margen aparece aparece un icono icono con con un relámpago relámpago con con la leyenda leyenda Sol-E. Sol-E. Estas Estas hojas hojas de margen cálculo son mucho mucho más más complejas complejas y contienen contienen más más información información y cálculos, cálculos, en parparcálculo ticular cuando se realiza un análisis de sensibilidad. La solución por computadora ticular cuando realiza un análisis sensibilidad. La solución por computadora para para un ejemplo ejemplo siempre siempre aparece aparece después después de la solución solución a mano. mano. Como Como se menciomencionó antes, la función de la hoja de cálculo no representa un sustituto antes, función la hoja cálculo representa un sustituto de la la comprencomprensión y aplicación aplicación adecuadas adecuadas de las las relaciones relaciones de de la la ingeniería ingeniería económica. económica. Por Por lo lo tanto, las soluciones a mano y por computadora se complementan entre sí. tanto, soluciones mano por computadora se complementan entre
otr: inv.
ciói ori¡ razi ele: razi
1.9 1.9
TASA TASA MíNIMA MíNIMA ATRACTIVA ATRACTIVA DE DE RENDIMIENTO RENDIMIENTO
Para Para que que una una inversión inversión sea sea rentable, rentable, el inversionista inversionista (una (una corporación corporación o individuo) individuo) espera espera recibir recibir una una cantidad cantidad de dinero dinero mayor mayor de la la que que originalmente originalmente invirtió. invirtió. En En
rior mír rete con
SECCIÓN
1.9
29
Tasa mínima atractiva de rendimiento
Figura 1.5
e e a
Funciones de la hoja de . cálculo de Excel para a) el ejemplo 1.1O Y b) el ejemplo 1.11.
n
a e n
).
a a á a 5 a o
a)
o n
la n
b)
fa 0-
nlo
otras palabras, debe ser posible obtener una tasa de retorno o rendimiento sobre la inversión atractivos. En esta explicación se utilizará la definición de TR de la ecuación [2.4], es decir, la cantidad obtenida como ganancia dividida entre la cantidad original. En ingeniería, las alternativas se evalúan con base en un pronóstico de una TR razonable. Por consiguiente, se debe establecer una tasa razonable para la fase de elección de criterios en un estudio de ingeniería económica (figura 1.1). La tasa razonable recibe el nombre de tasa mínima atractiva de retorno (TMAR) y es superior a la tasa que ofrece un banco o alguna inversión segura que implique un riesgo mínimo. La figura 1.6 muestra las relaciones entre diferentes valores de la tasa de retorno. En Estados Unidos, la tasa actual de los bonos del tesoro a veces se utiliza como tasa segura de referencia.
Cap.
io
30
Figura 1.6 1.6 Figura Magnitud de de la la TMAR TMAR Magnitud con respecto respecto a otros otros con valores de de tasas tasas de de valores rendimiento. rendimiento.
CAPÍTULO CAPÍTULO 1
Fundamentos Fundamentos de de ingeniería ingeniería económica económica
Tasa Tasa de de rendimiento, rendimiento, porcentaje porcentaje
Tasa Tasa de de rendimiento rendimiento esperada esperada de de una una nueva nueva propuesta propuesta
cosn a cal nio
j
hace aune
Rango Rango para para la tasa tasa de de rendimiento rendimiento en en propuestas propuestas aceptadas, aceptadas, en en caso caso de de que que otras otras propuestas propuestas fueran fueran rechazadas rechazadas por por alguna alguna razón razón
Todas las las propuestas propuestas Todas deben deben ofrecer ofrecer al menos menos ---\+-- -__o+0-TMAR a fin de de que que la TMAR sean consideradas sean consideradas
TMAR TMAR
Tasa de rendimiento una Tasa rendimiento en una "inversión segura" segura" "inversión
TMAR también también recibe recibe el nombre nombre de tasa base para para proyectos; proyectos; es decir, que La TMAR para que se considere considere viable viable desde desde el punto punto de vista financiero, financiero, la TR esperada esperada debe para igualo superior superior a la TMAR TMAR o tasa base. Observe Observe que la TMAR TMAR no es una tasa ser igualo calcule como una TR. La TMAR TMAR es establecida establecida por dirección dirección (financiera) (financiera) y que se calcule utiliza como criterio criterio para valorar valorar la TR de una alternativa, alternativa, en el momento momento de se utiliza tomar decisiones decisiones de aceptación aceptación o rechazo. rechazo. tomar Para comprender comprender fundamentalmente fundamentalmente cómo cómo se fija y aplica aplica un valor valor para para la Para TMAR, debemos debemos volver volver al término término capital capital que se presentó presentó en la sección sección 1.1. La TMAR, palabra capital capital también también recibe recibe el nombre nombre de fondos capital y de inversión inversión de palabra fondos de capital capital. En general general el obtener obtener capital capital siempre siempre cuesta cuesta dinero dinero en la forma de interés. capital. interés, establecido establecido en la forma de tasa de porcentaje, porcentaje, recibe recibe el nombre nombre de costo El interés, ejemplo, si usted desea comprar comprar un nuevo equipo equipo de sonido, pero del capital. Por ejemplo, cuenta con suficiente suficiente dinero (capital), (capital), podría podría obtener obtener un préstamo préstamo de una socieno cuenta crédito con alguna alguna tasa de interés, digamos, digamos, del 9% anual, y pagar pagar en efectidad de crédito comerciante. O quizás utilice utilice su recién adquirida adquirida taIjeta tarjeta de crédito crédito y vo ahora al comerciante. mensualmente. Esta elección elección probablemente probablemente le costará costará por lo menos pagar el saldo mensualmente. podría utilizar utilizar los fondos de su cuenta cuenta de ahorros, ahorros, que obtiene obtiene 18% anual. O bien, podría rendimiento de 5% anual, y pagar en efectivo. efectivo. Las tasas de 9,18 9,18 yY5% constituyen un rendimiento 5% constituyen estimaciones del costo del capital para incrementar incrementar el capital y adquirir adquirir el sistema sistema sus estimaciones diferentes métodos métodos de financiamiento. financiamiento. Asimismo, Asimismo, las corporaciones corporaciones calculan calculan el por diferentes
Del resu com fonc pror
tar ( del ( nece
debr
rimi lacir nier
que sufi dem em¡: espf pro) flecJ fonc tierr capi
SECCIÓN 1.9 SECCIÓN
Tasa mínima mínima atractiva Tasa atractiva de rendimiento rendimiento
costo del capital proveniente de diferentes obtener los fondos fondos y llevar llevar capital proveniente diferentes fuentes fuentes para para obtener proyectos de ingeniería ingeniería y de otros tipos. a cabo proyectos En general, financiamiento de patrimopatrimogeneral, el capital capital se obtiene obtiene de dos formas: por por financiamiento proyectos, se acostumbra acostumbra nio y por financiamiento financiamiento de deuda. Para Para la mayoría mayoría de los proyectos, este tema tema con detalle, detalle, hacer una combinación combinación de ambos. El capítulo capítulo 10 analiza analiza este haremos una breve breve descripción descripción de él. aunque aquí haremos Financiamiento de patrimonio. patrimonio. La corporación corporación utiliza utiliza sus propios Financiamiento propios fondos fondos de efectivo a mano, ventas de existencias existencias o utilidades utilidades acumuladas. acumuladas. Un indiviefectivo individuo puede inversiones. En el ejemplo ejemplo puede utilizar utilizar su propio propio efectivo, efectivo, ahorros ahorros o inversiones. anterior, ahorros con e15% e15% consticonstianterior, la utilización utilización del dinero de la cuenta cuenta de ahorros tuye un financiamiento financiamiento de patrimonio. patrimonio. Financiamiento préstamos de fuentes fuentes exFinanciamiento de deuda. deuda. La corporación corporación obtiene obtiene préstamos ternas y reembolsa acuerdo con un programa programa reembolsa el principal principal y los intereses intereses de acuerdo semejante al de los planes planes de la tabla tabla 1.3. Las fuentes semejante fuentes del capital capital que se adeuda bonos, préstamos, fondos comunes comunes de capital capital adeuda pueden pueden ser bonos, préstamos, hipotecas, hipotecas, fondos riesgoso y muchos muchos más. Asimismo, Asimismo, los individuos riesgoso individuos pueden pueden utilizar utilizar fuentes fuentes de préstamos, crédito préstamos, tal como la tarjeta tarjeta de crédito crédito y las sociedades sociedades de crédito descritas descritas en el ejemplo ejemplo del equipo equipo de sonido. sonido.
ue
be sa )y
De la combinación patrimonio combinación del financiamiento financiamiento de deuda deuda y el financiamiento financiamiento de patrimonio resulta un costo promedio equipo de sonido promedio ponderado ponderado del capital capital (CPPC). (CPPC). Si el equipo sonido se compra compra con 40% del dinero dinero de la tarjeta tarjeta de crédito crédito al 18% anual, y el 60% de los fondos de la cuenta costo cuenta de ahorros, ahorros, que obtienen obtienen un crecimiento crecimiento de 5% anual, el costo promedio ponderado ponderado del capital capital es 0.4(18) 0.6(5) = = 10.2% anual. promedio 0.4(18) + 0.6(5) como criterio criterio para para acepacepPara una corporación, corporación, la TMAR establecida establecida utilizada utilizada como tar o rechazar costo promedio promedio ponderado ponderado rechazar una alternativa alternativa siempre siempre será superior superior al costo del capital fondos de capital capital capital con el que la corporación corporación debe cargar cargar para para obtener obtener los fondos necesarios. necesarios. Por lo tanto, la desigualdad desigualdad TIR TIR ~ ~ TMAR TMAR > costo del capital capital
[1.7]
de la La de
satisfacerse para para un proyecto aceptado. Algunas Algunas excepciones excepciones serían serían los requedebe satisfacerse proyecto aceptado. requerimientos protección ambiental, legisrimientos por la regulación regulación gubernamental gubernamental (seguridad, (seguridad, protección ambiental, legisde alto riesgo y muy lucrativas, etc. Los proyectos de ingelación, etc.), empresas empresas riesgo lucrativas, proyectos niería de valor agregado por lo común cumplen la ecuación [1.7]. valor agregado común cumplen ecuación frecuente que haya haya muchas alternativas de las que se espera Es frecuente muchas alternativas espera tengan tengan una una TIR TIR exceda la TMAR, TMAR, como se aprecia aprecia en la figura figura 1.6, pero que exceda pero podría podría no haber haber capital capital suficiente riesgo del proyecto proyecto es suficiente para para emprender emprender todas, o quizá quizá se estime estime que el riesgo demasiado proyectos nuevos nuevos que se demasiado alto para para efectuar efectuar la inversión. inversión. Por tanto, los proyectos emprenden rendimiento emprenden generalmente generalmente son aquellos aquellos que tienen tienen al menos menos una una tasa de rendimiento esperada destinan fondos. fondos. Un esperada tan alta como como la de otra alternativa alternativa a la que aún no se destinan proyecto nuevo de este tipo sería como TIR representada representada por por la proyecto como la propuesta propuesta con TIR flecha superior. Por ejemplo, Yque no pueden pueden asignarse asignarse ejemplo, suponga suponga que la TMAR TMAR = = 12% Yque para la propuesta propuesta 1 con TIR = = 13% debido debido a la carencia carencia de capital. fondos para capital. Al mismo mismo propuesta 2 tiene una TIR = = 14.5% YYcuenta tiempo, la propuesta cuenta con fondos fondos procedentes procedentes del disponible. Como Como la propuesta propuesta 1 no se acepta acepta debido debido a la falta capital disponible. falta de capital, capital, su
31
32
CAPÍTULO 1 Fundamentos Fundamentos de ingeniería ingeniería económica económica CAPÍTULO
TIR estimada de 13% se conoce costo de oportunidad; oportunidad; es decir, decir, se deja deja TIR estimada conoce como como el costo pasar la oportunidad oportunidad de obtener obtener un rendimiento rendimiento adicional adicional de 13%. pasar
1.10 1.10
FLUJOS DE EFECTIVO: EFECTIVO: ESTIMACiÓN ESTIMACiÓN Y DIAGRAMACIÓN DIAGRAMACIÓN
En la sección efectivo como como las entradas entradas y salidas salidas de sección 1.3 se describieron describieron los flujos de efectivo dinero. Estos flujos pueden valores observados. observados. Cada Cada individuo individuo o pueden ser estimaciones estimaciones o valores empresa ingresos (entradas)-; (entradas)-; y empresa cuenta cuenta con entradas entradas de efectivo efectivo -rendimientos -rendimientos e ingresos desembolsos (salidas)-. Estas Estas entradas entradas y desemboldesemboldesembolsos de efectivo efectivo -gastos -gastos y costos costos (salidas)-. sos constituyen representa las entradas entradas de constituyen los flujos de efectivo; efectivo; con un signo más representa efectivo efectivo. Los flujos de efectivo efectivo efectivo y con un signo menos representa representa las salidas salidas de efectivo. ocurren como un mes o un año. ocurren durante durante periodos periodos específicos, específicos, tales tales como De todos los elementos estudio de ingeniería ingeniería económica económica (figura (figura elementos del enfoque enfoque de estudio estimación de flujos de efectivo efectivo es probablemente 1.1), la estimación probablemente la más difícil difícil e inexacta. inexacta. Las estimaciones estimaciones relativas relativas a un estimaciones de flujos de efectivo efectivo son sólo eso: estimaciones futuro incierto. libro orientan orientan en el proceso proceso incierto. Una Una vez estimadas, estimadas, las técnicas técnicas de este libro de toma probada con el tiempo tiempo de la estitoma de decisiones. decisiones. Sin embargo, embargo, la exactitud exactitud probada mación alternativa claramente claramente determina determina la mación de entradas entradas y salidas salidas de efectivo efectivo de una alternativa calidad calidad del análisis análisis económico económico y su conclusión. conclusión. pueden constar constar de los siguientes siguientes elemenelemenLas entradas entradas de efectivo, efectivo, o ingresos, ingresos, pueden tos, dependiendo propuesta y de la clase clase de negocio negocio dependiendo de la naturaleza naturaleza de la actividad actividad propuesta que se emprendá. emprendá. Ejemplos Ejemplos de entradas entradas de efectivo efectivo (estimación) (estimación) Ingresos provenientes de una una alternativa). alternativa). Ingresos (por lo general general incrementales incrementales provenientes Reducciones (atribuibles a una una alternativa). alternativa). Reducciones en los costos costos de operación operación (atribuibles Valor de salvamento salvamento de activos. Recepción Recepción del principal principal de un préstamo. préstamo. Ahorros Ahorros en impuesto impuesto sobre la renta. Ingresos acciones y bonos. bonos. Ingresos provenientes provenientes de la venta de acciones Ahorros instalaciones. Ahorros en costos costos de construcción construcción e instalaciones. Ahorros capital corporativo. corporativo. Ahorros o rendimiento rendimiento de los fondos fondos de capital Las salidas estar constituidas constituidas por por los siguientes salidas de efectivo, efectivo, o desembolsos, desembolsos, pueden pueden estar siguientes elementos, naturaleza de la actividad actividad y del tipo elementos, dependiendo, dependiendo, de nueva nueva cuenta, cuenta, de la naturaleza de negocio. negocio. Ejemplos Ejemplos de salidas salidas de efectivo efectivo (estimación) (estimación) Costo Costo de adquisición adquisición de activos. activos. Costos de diseño de ingeniería. ingeniería. Costos Costos Costos de operación operación (anual e incremental). incremental). Costos remodelación. Costos de mantenimiento mantenimiento periódico periódico y de remodelación. Pagos del interés interés y del principal principal de un préstamo. Pagos préstamo. Costo de actualización (esperados o no esperados). Costo actualización (esperados esperados). Impuestos sobre la renta. Impuestos Gasto de fondos de capital capital corporativos. corporativos. Gasto
Lai en d nier tacii ciar
see
lor r
esta ció~ dos, estii
tim:
baje
es I
Pue tier aná
Sin loc 31 reti do
un ja. un: y 1: efe ble
per de los
SECCIÓN 1.10 SECCIÓN
eja
de 00
so stiala encio
Flujos de efectivo: efectivo: estimación estimación y diagramación diagramación Flujos
información necesaria llevar a cabo las estimaciones estimaciones puede estar disponible La información necesaria para para llevar puede estar disponible departamentos tales como como contabilidad, contabilidad, finanzas, finanzas, mercadotecnia, ingeen departamentos mercadotecnia, ventas, ventas, ingeniería, diseño, diseño, manufactura, servicios de campo campo y servicios servicios compucompumanufactura, producción, producción, servicios tacionales. exactitud de las estimaciones estimaciones depende depende en gran medida experientacionales. La exactitud medida de la experienestimación con situaciones situaciones similares. similares. Generalmente Generalmente cia de la persona persona que realiza realiza la estimación efectúan estimaciones estimaciones puntuales; obtiene la estimación estimación de un vase efectúan puntuales; es decir, que se obtiene elemento económico económico de una alternativa. alternativa. Si se adopta adopta un enfoque enfoque lor único para para cada cada elemento estadístico para estudio de la ingeniería ingeniería económica, económica, puede estimaestadístico para el estudio puede realizarse realizarse una estimación de rango rango o estimación estimación de distribución. distribución. Aunque cálculos son más complicacomplicación Aunque sus cálculos estadístico ofrece ofrece resultados completos cuando cuando se espera espera que las dos, un estudio estudio estadístico resultados más completos estimaciones clave varíen ampliamente. En gran parte estimaciones clave varíen ampliamente. parte de este libro utilizaremos utilizaremos estimaciones capítulos estudiaremos estudiaremos la toma decisiones timaciones puntuales. puntuales. En los últimos últimos capítulos toma de decisiones bajo riesgo. Una vez que se llevan llevan a cabo las estimaciones estimaciones de entradas entradas y salidas salidas de efectivo, efectivo, determinar el flujo de efectivo efectivo neto. es posible posible determinar Flujo de efectivo neto == ingresos ingresos - desembolsos desembolsos Flujo = entradas entradas de efectivo - salidas salidas de efectivo ==
[1.8]
efectivo normalmente lugar en puntos Puesto que los flujos de efectivo normalmente tienen tienen lugar puntos variables variables del tiempo dentro dentro de un periodo interés, se adopta supuesto que simplifica simplifica el periodo de interés, adopta un supuesto análisis. análisis. La convención convención de final implica la suposición suposición de que todos La final de periodo periodo implica todos los ocurren al final de un interés. Si varios ingreun periodo periodo de interés. varios ingreflujos de efectivo ocurren desembolsos se llevan llevan a cabo cabo dentro dentro de un periodo de interés interés determidetermiun periodo sos y desembolsos nado, supuesto que el flujo flujo de efectivo neto neto ocurre ocurre al final del por supuesto nado, se da por periodo interés. periodo de interés.
tes ipo
embargo, debe quedar quedar claro claro que aunque aunque las cantidades cantidades F o A convención se Sin embargo, A por convención localizan al final del periodo interés, el final del periodo periodo no necesariamente localizan periodo de interés, necesariamente es el 31 de diciembre. diciembre. En el ejemplo ejemplo 1.12, el depósito depósito se hizo el1 el1 de julio 31 julio de 2002, y los retiros se harían el 1 de julio cada uno de los siguientes siguientes 10 años. años. Así, harían elide julio de cada Así, fin de perioperiodel periodo de interés, interés, no no fin del año año calendario. calendario. do significa significa fin fin del periodo de fin del diagrama de flujo efectivo constituye constituye una herramienta importante en El diagrama flujo de efectivo herramienta muy importante un análisis análisis económico, económico, en particular cuando la serie del flujo de efectivo efectivo es complecompleparticular cuando ja. gráfica de los flujos de efectivo efectivo trazados sobre ja. Se trata trata de una representación representación gráfica trazados sobre una escala escala de tiempo. diagrama incluye incluye los datos conocidos, conocidos, los datos estimados estimados tiempo. El diagrama y la información información que se necesita. diagrama de flujo de necesita. Es decir, que una vez que el diagrama efectivo se encuentra encuentra completo, completo, otra persona debería ser capaz capaz de abordar abordar el proefectivo persona debería blema blema a partir partir del mismo. mismo. diagrama de flujo t = = O es el presente, presente, y t = = 1 es el final del El tiempo tiempo del diagrama periodo supondremos que los periodos expresan en años. La escala escala periodo 1. Por ahora, supondremos periodos se expresan figura 1.7 abarca abarca 5 años. Ya que la convención convención de final de año ubica de tiempo tiempo de la figura ubica efectivo al final de cada cada año, año, el "1" indica indica el final del año 1. los flujos de efectivo
33
34
CAPÍTULO 1 Fundamentos Fundamentos de ingeniería ingeniería económica económica CAPÍTULO
Figura 1.7 Escala típica de tiempo de flujo de efectivo durante 5 años años..
Año Año 1
Año Año 5
~
~
oo
2
3
I
I
4
5
•
Tiempo
Aunque diagrama de flujo de Aunque no es necesario necesario trazar trazar una escala escala exacta exacta en el diagrama efectivo, diagrama claro claro efectivo, probablemente probablemente se evitarán evitarán muchos muchos errores errores si se elabora elabora un diagrama para para aproximar aproximar la escala escala del tiempo tiempo y de las magnitudes magnitudes relativas relativas de los flujos de efectivo. efectivo. La dirección flechas del diagrama resulta importante. importante. dirección de las flechas diagrama de flujo de efectivo efectivo resulta Una flecha flecha vertical vertical que apunta apunta hacia hacia arriba arriba indica indica un flujo de efectivo Una efectivo positivo. positivo. Por Por el contrario, efectivo negativo. negativo. contrario, una flecha flecha que apunta apunta hacia hacia abajo indica indica un flujo de efectivo figura 1.8 ilustra ilustra un ingreso ingreso (entrada (entrada de efectivo) efectivo) al final del año 1 y desembolLa figura desembolsos iguales iguales (salidas (salidas de efectivo) efectivo) al final de los años 2 y 3. Antes signo en él, es Antes de dibujar dibujar un diagrama diagrama de flujo de efectivo efectivo y colocar colocar un signo necesario una persona persona necesario determinar determinar la perspectiva perspectiva o punto punto de vista. Como Como ejemplo, ejemplo, si una obtiene préstamo de $2500 $2500 para para comprar comprar en efectivo efectivo una Harley-Davidson obtiene un préstamo Harley-Davidson usausada de $2 000 y utiliza pueden adoptarse adoptarse utiliza el resto para para pagar pagar un trabajo trabajo de pintura, pintura, pueden diferentes perspectivas. perspectivas. Las perspectivas, perspectivas, los signos signos del flujo de efectivo diferentes efectivo y las cantidades son las siguientes. siguientes. tidades
Perspectiva Perspectiva
Flujo de de efectivo, efectivo, $
Sociedad Sociedad de crédito crédito La La persona persona como como prestatario prestatario La La persona persona como como comprador comprador de la motocicleta, motocicleta, y como como cliente del del servicio servicio cliente de pintura pintura Distribuidor Distribuidor de motocicletas motocicletas usadas usadas Propietario del Propietario del taller taller de pintura pintura
--2500 2500 +2500
--2000 2000
-500 +2000 +500 +500
+
Figu ra 1.8 Figura Ejemplo de flujos de efectivo positivo y negativo.
'"o '" ·u>
~~~------1-------~--------+----------~~------~-------1--------+----------~ Tiempo "t:l
~ ~
""o
ll
2
fi
te
e
SECCIÓN 1.10 1.10 SECCIÓN
EJEMPLO EJEMPLO
1.15 1.15
35
efectivo: estimación estimación y diagramación Flujos Flujos de efectivo: diagramación
.~
Reconsidere el ejemplo ejemplo 1.10, 1.10, donde donde se solicita solicita un préstamo $10 000 000 al 8% anual Reconsidere préstamo P = $10 anual y se pretende determinar determinar F después después de de 5 años. Construya el el diagrama flujo de efectivo. pretende años. Construya diagrama de de flujo de efectivo. Solución Solución figura 1.9 muestra muestra el diagrama diagrama de flujo de efectivo el punto La figura de flujo efectivo desde desde el punto de de vista vista del del prestaprestatario. La suma actual actual P constituye constituye una entrada de préstamo en en el una entrada de efectivo efectivo del del principal principal del del préstamo tario. La suma O, y la cantidad cantidad futura futura F es la salida salida de efectivo efectivo correspondiente correspondiente al pago año O, pago de de la la deuda deuda al final del del año año 5. La La tasa de interés interés debe el diagrama. final tasa de debe indicarse indicarse en en el diagrama.
F=? F=? Figura 1.9 Figura Diagrama de flujo flujo de efectivo efectivo (ejemplo 1.15). Diagrama (ejemplo 1.15).
EJEMPLO EJEMPLO
11.16 .16
:
Cada año año Exxon-Mobil Exxon-Mobil gasta gasta cantidades cantidades de dinero importantes sistemas mecánicos de Cada de dinero importantes en sistemas mecánicos de seguridad en sus operaciones operaciones alrededor alrededor del del mundo. Carla Ramos, ingeniera industrial seguridad mundo. Carla Ramos, ingeniera industrial para las las operaciones operaciones que que se llevan llevan a cabo cabo en en México Central, programa para México y América América Central, programa gastos gastos millón de dólares dólares ahora ahora yen y en cada cada uno siguientes cuatro cuatro años, años, exclusivamente exclusivamente de un millón uno de de los los siguientes para el mejoramiento mejoramiento de válvulas válvulas de alivio de presión Construya el diagrama para de alivio presión industriales. industriales. Construya diagrama flujo de efectivo efectivo para para determinar determinar el valor equivalente de de dichos dichos gastos gastos al final final del del año año de flujo valor equivalente 4, utilizando utilizando un costo costo del del capital capital estimado estimado para fondos seguros seguros al 12% 12% anual. anual. para fondos Solución Solución La figura figura 1.10 1.10 muestra muestra la serie serie de de flujos flujos de efectivo efectivo negativos (gastos) duranLa negativos y uniformes uniformes (gastos) duranperiodos, así así como como el valor desconocido de (flujo de efectivo positivo equivalente) de efectivo positivo equivalente) te 5 periodos, valor desconocido de F (flujo exactamente mismo momento momento que quinto gasto. exacta. mente en el mismo que el quinto gasto. Como Como los los gastos gastos comienzan comienzan a
i = 12% 12% i=
F =? F=?
¡ ¡ ¡ ¡ '1 ~:-----i-t-¡-¡-41-AñO
-1
O
2
~-----
A = $1 $1 000000 000000
Figura 1.10 Figura 1.10 Diagrama de flujo flujo de de efectivo efectivo (ejemplo 1.16). Diagrama (ejemplo 1.16).
3
Año
Año Año
36
CAPÍTULO
1
Fundamentos
de ingeniería económica
hacerse de inmediato, el primer millón de dólares aparece en el tiempo cero, no en el tiempo 1. Por lo tanto, el último flujo de efectivo negativo aparece al final del cuarto año, cuando también se presenta F. Para que este diagrama se asemeje al de la figura 1.9, con cinco años completos en la escala del tiempo, se agrega el año -1 antes del año O para completar el diagrama con 5 años completos. Esta adición demuestra que el año O es el punto que representa el final del periodo del año -1.
Un padre desea depositar una cantidad única desconocida en una oportunidad de inversión 2 años después de hoy, suficiente como para retirar $4 000 anuales que destinará para pagar la universidad durante 5 años comenzando dentro de 3 años. Si se estima que la tasa de rendimiento es de 15.5% anual, construya el diagrama de flujo de efectivo. Solución La figura 1.11 muestra los flujos de efectivo desde la perspectiva del padre. El valor presente P es una salida de efectivo dentro de 2 años por determinar (P = ?). Note que este valor presente no ocurre en el tiempo t = O, sino en un periodo anterior al primer valor A de $4 000, que constituye la entrada de efectivo del padre.
A = $4000
i = 15~%
I
'l
o
Por 14.l 14.: tien pan se e
el d val<
1 1 1 1-13
5
4
6
7
Año
p=?
Por reqi La
Figura 1.11 Diagrama
de flujo de efectivo (ejemplo
1.17).
Ejemplos adicionales 1.19 y 1.20.
lOC plo sirr
1.11
REGLA DEL 72: ESTIMACIONES DEL TIEMPO Y TASA DE INTERÉS PARA DUPLICAR UNA CANTIDAD DE DINERO
A veces resulta útil calcular el número de años n o la tasa de retorno i que se requiere para duplicar una cantidad de flujo de efectivo única. Para calcular ion, dado uno de los valores, se puede aplicar la regla del 72 para tasas de interés compuesto. Los cálculos son sencillos. El tiempo que se requiere para que una única cantidad inicial se duplique con un interés compuesto es aproximadamente igual a 72 dividido entre la tasa de retorno expresada como porcentaje.
. d0=-72 n estima l
[1.9]
1.1
El EXI
em
ans inu del
SECCIÓN
TABLA
1.4
1.12
Aplicación
de la hoja de cálculo: interés simple y compuesto
Estimacipnes de tiempos para duplicación aplicando la regla "de17/zy" el tiempo real con cálculos de interés compuesto" Tiempo para duplicación
Tasa de retorno, % anual 1 2 5 10 20 40
37
,
(años)
Estimación por la regla del 72
Años reales
72 36 14.4
70 35.3 14.3
7.2 3.6 1.8
7.5 3.9 2.0
Por ejemplo, una cantidad actual tardaría en duplicarse aproximadamente 72/5 = 14.4 años a una tasa de interés del 5% anual. (El tiempo real que se requiere es de 14.3 años, como se demostrará en el capítulo 2.) En la tabla 1.4 se comparan los tiempos estimados a partir de la regla del 72 con los tiempos reales que se requieren para llevar a cabo la duplicación a diferentes tasas compuestas. Como puede verse, se obtienen buenas estimaciones. Por otra parte, la tasa compuesta i, expresada en porcentaje, necesaria para que el dinero se duplique en un periodo específico n se calcula dividiendo 72 entre el valor conocido de n. .
l
. d 72 estima a =n
[1.10]
Por ejemplo, para duplicar cierta cantidad de dinero en un periodo de 12 años, se requeriría una tasa de retorno compuesta de aproximadamente 72/12 = 6% anual. La respuesta exacta es 5.946% anual. Si la tasa de interés es simple, se puede utilizar de forma análoga una regla del 100. En tal caso, las respuestas que se obtienen siempre serán exactas. Como ejemplo, el dinero se duplica exactamente en 12 años al 100/12 = 8.33% de interés simple; o bien, se duplica exactamente en 100/5 = 20 años a15% de interés simple.
1.12
APLICACiÓN DE LA HOJA DE CÁLCULO: INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO Y ESTIMACIONES DE FLUJOS DE EFECTIVO VARIABLES
El ejemplo siguiente demuestra la forma en que se aplica la hoja de cálculo de Excel para obtener valores futuros equivalentes. Un elemento clave consiste en el empleo de relaciones matemáticas desarrolladas en las celdas para llevar a cabo un análisis de sensibilidad con estimaciones variables de flujo de efectivo y de tasas de interés. Responder estas preguntas básicas con cálculos hechos a mano consumen demasiado tiempo; la hoja de cálculo facilita el trabajo.
1!l Sol·E
38
CAPÍTULO 1 Fundamentos Fundamentos de ingeniería ingeniería económica económica
EJEMPLO EJEMPLO
~ ~
1.18 1 .18
~.
Una empresa de arquitectura ubicada en Japón pidió a un grupo de ingeniería ingeniería de progracomputadora en Estados Unidos, que infunda la capacidad sensora del SIG (sismas de computadora tema de información geográfica) vía satélite a los programas de vigilancia vigilancia de estructuras altas, con el fin de detectar movimientos movimientos horizontales con una intensidad intensidad superior superior a podría resultar resultar muy beneficioso beneficioso para advertir advertir la esperada. Este programa de cómputo podría contra movimientos telúricos serios en las áreas propensas a temblores en Japón y Estados Unidos. Se estima que la inclusión incrementa los ingresos inclusión de datos exactos del SIG incrementa anuales sobre los ingresos actuales del sistema en $200 000 por cada uno de los siguientes perspectivas del proyecto abar2 años, y $300 000 por cada uno de los años 3 y 4. Las perspectivas can apenas 4 años debido a los rápidos avances mundiales en los programas de software para vigilancia de edificios. Elabore las hojas de cálculo para responder responder las siguientes preguntas. a)
b)
e)
Determine el valor futuro equivalente equivalente en el año 4 de los flujos de efectivo incrementados con una tasa de retorno de 8% anual. Proporcione Proporcione respuestas tanto para el interés simple como para el interés compuesto. instrucciones del inciso a) Repita las instrucciones a) si las estimaciones estimaciones del flujo de efectivo en los años 3 y 4 se incrementan incrementan de $300 000 a $600 000. El gerente de finanzas de la compañía compañía estadounidense estadounidense desea contemplar contemplar los efectos de una inflación de 4% anual en el análisis del inciso a). Como se señaló en la sección 1.4, la inflación reduce la tasa de rendimiento rendimiento real. Para una tasa de rendimiento rendimiento del 4% anual reduce el rendimiento a 3.85% anual. 8%, una tasa de inflación compuesta de de4%
Solución por por computadora computadora Solución l.12a-e muestran las soluciones. Las tres hojas de cálculo contienen la misma Las figuras 1.12a-e información; pero los valores de las celdas se han alterado según lo requiera requiera la pregunta. (En realidad, todas las preguntas planteadas planteadas aquí se pueden contestar en una sola hoja de cálculo simplemente cambiando cantidades. Las tres hojas de cálculo se muestran muestran exclusivamente con fines explicativos.) explicativos.) referencia las celdas, no los Las funciones de Excel se construyen tomando como referencia valores mismos, de tal manera que el análisis de sensibilidad necesidad sensibilidad se lleve a cabo sin necesidad variable de modificar la función. Este enfoque enfoque considera el valor en una celda como una variable global para la hoja de cálculo. cálculo. Por ejemplo, en todas las funciones, la tasa del 8% (de global interés simple o compuesto) en la celda B4 se designará con B4, no con 8%. Por consiconsiguiente, un cambio en la tasa sólo requiere una modificación en la entrada de la celda B4, no en cada relación y función de la hoja de cálculo donde se utilice el 8%. Las relaciones relaciones clave de Excel se especifican en las etiquetas de las celdas.
a)
8% de interés interés simple. simple. Las respuestas aparecen en las columnas C y D de la figura 1.12a. l.12a. El interés simple ganado cada año (columna C) incorpora la ecuación [1.15] un año a la vez, en la relación de interés, utilizando exclusivamente exclusivamente las cantidades cantidades de (FA) ($200,000 o $300,000) para determinar determinar el interés flujo de efectivo al fin de año (FA) para el próximo año. Dicho interés se suma al interés de todos los años anteriores. En unidades de $1,000, etiqueta de la celda) Año 2: C13 = = B12*B4 == $200(0.08) == $16 (véase la etiqueta Año 3: C14 = = C13 + B13*B4 == $16 + 200(0.08) ==$32
SECCIÓN 1.12 SECCIÓN
Aplicación cálculo: interés simple y compuesto compuesto Aplicación de la hoja hoja de cálculo: interés simple
b) DetermineF con las columnas de~--.-------~-flujo de efectivo.incrementadas : -----.--,..------... -~ ..------·-1---·--__ o,!
8.00%
Interéssimple III-::-J······c
, ,.,............. l··············································· l············································ f ..Eluio.d~efectivo Interés~nado. FA equivalente _. durante el año. acumulado.
~ 11~;;+---i:--1~$
Interéscomouesto Interés ganado. durante el año.
FI~jo.~eefectivo. l································· l··········· ,1 FA equivalente I-----t--HI acumulado.
ingeniería económica económica CAPÍTULO 1 Fundamentos Fundamentos de ingeniería
Interéssimple Flujode efectivo
Interéscompuesto Flujode efectivo
$ 407,700-$723,100 1,050,050
-$ $ $
Figura 1.12 1,12 Figura incluyendo un análisis de sensibilidad sensibilidad (ejemplo U8a-e). U8a-e). Solución en hoja de cálculo incluyendo
Año 4:
=
b)
c)
=
etiqueta de la C15 = C14 + B14*B4 = $32 + 300(0.08) = $56 (véase la etiqueta celda)
e Recordemos que un signo = debe preceder preceder a cada relación relación o función de la hoja de SUM(C12:C15), la cual presenta cálculo. La celda C16 contiene la función SUM(CI2:C15), presenta el interés encuentra en simple total de $104,000 durante los cuatro años. El valor futuro se encuentra incluye la cantidad acumulada acumulada de todos los D15, y es de F = $1,104,000, el cual incluye flujos de efectivo y todos los intereses simples. En unidades de $1,000, las funciones ejemplo son: del ejemplo Año 2: Año 4:
8% interés compuesto. compuesto. Consulte las columnas colurunas E yyF F de la figura 1.12a. 1.I2a. La estruc8% de interés
tura de la hoja de cálculo es la misma, salvo por el hecho de que gue la ecuación [1.6] se encuentra incorporada incorporada en los valores del interés compuesto compuesto de la columna columna E; de esta encuentra manera, el interés se añade al interés ganado. El interés de 8% se basa en un flujo de finál del año. año anterior. En unidades efectivo acumulado al final uniaades de $1,000,
C
la
Z~
EJE
•
IJ
U
ai
A
EJEMPLOS ADICIONALES ADICIONALES
Interés del año 2: El3 2: El3 = = F12*B4 = = $200(0.08) = = $16 =$416 Flujo de efectivo acumulado: Fl3 Fl3 = = B13 + E13 + F12 = = $200 + 16 + 200 = Interés del año 4:
F14*B4 = = $749.28(0.08) = = $59.942 E15 == F14*B.4 (véase la etiqueta de la celda)
El valor futuro equivalente equivalente se encuentra en la celda F15, donde F F= = $1,109,222 $1,109,222 aparece en la pantalla. Los flujos de efectivo equivalen a $1,104,000 a una tasa de interés simple de 8%, y a $1,109,222 a una tasa de interés compuesto de 8%. Si se utiliza una tasa de interés compuesto, el valor de F se incrementa por $5,222. Observe que no es posible utilizar la función VF en este caso, en virtud de que los valores de A no son los mismos durante los 4 años. En los siguientes capítulos aprenderemos cómo utilizar todas las funciones básicas de forma más versátil. inicializar la hoja de cálculo con las dos Consulte la figura 1.12b. Con el objetivo de inicializar estimaciones estimaciones de flujo de efectivo efectivo incrementadas, incrementadas, se reemplazan reemplazan los valores de $300,000 en B14 y B15 con $600,000. Todas las relaciones con la hoja de cálculo son idénticas; los nuevos valores del flujo de efectivo acumulado y de interés aparecen inmediatamente. Los valores equivalentes de F para el cuarto año se han incre8% (D15 y P15, PIS, respectivamentado para las tasas de interés simple y compuesto al a18% mente). La figura 1.12c es idéntica a la hoja de cálculo de la figura 1.12a, salvo por el hecho de que la celda B4 ahora contiene una tasa de 3.85%. El valor correspondiente correspondiente de F para el interés compuesto en FIS F15 ha disminuido a $1,051,247 de $1,109,222 $1,109,222 al 8%. Esto representa un efecto de la inflación de $57,975 en sólo 4 años. No sorprende que los gobiernos, empresas, ingenieros e individuos se preocupen preocupen cuando la inflación se eleva y la moneda vale menos con el paso del tiempo.
Comentario Comentario
Cuando se trabaja con una hoja de cálculo de Excel, es posible desplegar desplegar en pantalla todas las entradas y funciones oprimiendo simultáneamente que puede localisimultáneamente y <'>, ,que <->. Además, quizá resulte zarse en la parte superior izquierda del teclado en la tecla <->. necesario ampliar algunas columnas para que aparezca todo el contenido contenido de las funciones.
EJEMPLOS ADICIONALES ADICIONALES EJEMPLO
1.19
~
DIAGRAMAS DIAGRAMAS DE FLUJO FLUJO DE DE EFECTIVO EFECTIVO Una empresa dedicada al alquiler de equipo gastó $2 500 en una nueva compresora compresora de $2500 aire hace 7 años. El ingreso anual por concepto del alquiler de la compresora compresora fue de $750. Además, los $100 gastados en mantenimiento mantenimiento durante el primer año aumentaron $25 cada
año. La empresa tiene planes de vender la compresora al final del año siguiente en $150. Construya el diagrama de flujo desde la perspectiva de la empresa. Solución Denote ahora como el tiempo t = O. Los ingresos y costos para los años -7 a 1 (próximo año) aparecen en la siguiente tabla con los cálculos de flujo de efectivo neto efectuados mediante la ecuación [1.8]. Los flujos de efectivo neto (1 negativo y 8 positivos) aparecen en el diagrama de la figura 1.13.
Final
del año
Ingresos
-7 -6 -5
O
$
750 750 750 750 750 750 750 750 + 150
-4 -3 -2 -1
O 1
Costos
Flujo de efectivo neto
$2500 100 125 150 175 200 225 250 275
$-2500 650 625 600 575 550 525 500 625
$625
S
L
Sl S€
-
RE~
Lai
-7 -6
-5
-4
-3
-2
-1
o
1 Año
eval estu vale
dad
rés ~ P = $2500
el p
Figura 1.13 Diagrama de flujo de efectivo (ejemplo
1.19).
tabl: larg pue
EJEMPLO
1.20
DIAGRAMAS DE FLUJO DE EFECTIVO Claudia desea depositar una cantidad P de dinero ahora, de tal manera que pueda retirar una cantidad anual igual a A 1 = $2 000 anuales durante los primeros 5 años, empezando un año después del depósito, y desea retirar una cantidad anual diferente de A2 = $3 000 los siguientes 3 años. ¿Cómo se vería el diagrama de flujo de efectivo si i = 8.5% anual?
RESUMEN DEL CAPÍTULO RESUMEN DEL CAPÍTULO
Solución Solución La figura figura 1.14 1.14 muestra los diagramas diagramas de de flujo flujo de efectivo. efectivo. El El flujo flujo de efectivo efectivo negativo La muestra los negativo de salida P se presenta ahora. El El primer (flujo de efectivo efectivo positivo de entrada) entrada) para salida presenta ahora. primer retiro retiro (flujo positivo de para la serie A ll ocurre ocurre al final final del año año 1, YA ocurre en los los años años 6 a 8. serie YA22 ocurre A22 = $3000 $3000
=
Al $2000 Al = $2000
o O
t 1
2
3
4
5
6
7
8 Año
i=8.5% i=8.5%
p=? p=?
Figura Figura 1.14 Diagrama de flujo de efectivo con dos diferentes series A (ejemplo 1.20).
RESUMEN DEL CAPíTULO CAPíTULO RESUMEN ingeniería económica económica es la aplicación aplicación de factores factores económicos económicos y criterios criterios para La ingeniería para la evaluación de alternativas, alternativas, tomando cuenta el valor dinero en el tiempo. evaluación tomando en cuenta valor del dinero tiempo. El estudio de ingeniería ingeniería económica económica implica implica el cálculo cálculo de una medida específica de estudio medida específica valor económico económico de flujos de efectivo efectivo estimados estimados durante durante un periodo periodo determinado. determinado. concepto de equivalencia equivalencia permite entender en términos económicos la igualigualEl concepto permite entender términos económicos diferentes sumas sumas de dinero dinero en tiempos distintos. La diferencia diferencia entre entre intedad de diferentes tiempos distintos. rés simple simple (basado (basado exclusivamente exclusivamente en el principal) interés compuesto compuesto (basado (basado en principal) e interés el principal interés sobre sobre el interés) interés) se describió describió por medio fórmulas, principal y en el interés medio de fórmulas, gráficas. Este poder cálculo compuesto compuesto se nota tablas y gráficas. poder de cálculo nota particularmente particularmente a lo como en el caso del efecto efecto de la inflación inflación aquí exlargo de periodos periodos prolongados, prolongados, como puesto. TMAR constituye constituye una tasa de rendimiento como tasa La TMAR rendimiento razonable razonable establecida establecida como base para determinar si una alternativa alternativa es económicamente económicamente viable. TMAR siemsiempara determinar viable. La TMAR pre es superior superior al rendimiento inversión segura. segura. rendimiento de una inversión Asimismo, también aprendimos aprendimos lo siguiente siguiente respecto efectivo: Asimismo, también respecto de los flujos de efectivo: dificultades relativas estimación. Las dificultades relativas a su estimación. diferencia entre entre el valor estimado y el valor La diferencia valor estimado valor real. convención de final de año para efectivo. La convención para la ubicación ubicación de flujos de efectivo. cálculo del flujo de efectivo efectivo neto. El cálculo diferentes perspectivas determinar el signo del flujo de efectivo. efectivo. Las diferentes perspectivas para para determinar construcción de un diagrama diagrama de flujo efectivo. efectivo. La construcción
43
44
CAPÍTULO 1
Fundamentos de ingeniería económica
PROBLEMAS Conceptos básicos 1.1
¿Qué significa el término valor del dinero en el tiempo?
1.2
Mencione tres factores intangibles.
1.3
a) ¿Qué quiere decir criterio de evaluación? b) ¿Cuál es el criterio de evaluación principal que se usa en el análisis económico?
1.4
Analice la importancia de identificar las alternativas en el proceso de la ingeniería económica.
1.6
¿Cuál es la diferencia entre el interés simple y el compuesto?
1.8
1.12
Liste tres criterios de evaluación, además del económico, para seleccionar el mejor restaurante.
1.5
1.7
1.11
¿Qué significa tasa mínima aceptable de rendimiento?
1.13
1.10
Si las utilidades por cada acción de Ford Motor Company se incrementaron de 22 a 29 centavos en el trimestre entre abril y junio en comparación con el trimestre anterior, ¿cuál fue la tasa de incremento en las utilidades de dicho trimestre?
La compañía US Filter celebró un contrato, para una planta pequeña que desala agua, con el que espera obtener una tasa de rendimiento de 28% sobre su inversión. Si la empresa invirtió $8 millones en equipo durante el primer año, ¿cuál fue el monto de la utilidad en dicho año? Una compañía constructora que cotiza al público reportó que acababa de pagar un préstamo recibido un año antes. Si la cantidad total de dinero que pagó la empresa fue de $1.6 millones y la tasa de interés sobre el préstamo fue de 10% anual, ¿cuánto dinero recibió en préstamo la compañía un año antes?
1.15
Una compañía química que comienza a operar se fijó la meta de obtener una tasa de rendimiento de al menos 35% anual sobre su inversión. Si la empresa adquirió $50 millones como capital de riesgo, ¿cuánto debe percibir en el primer año?
¿Cuál es la diferencia entre financiamiento con deuda y con capital propio? Dé un ejemplo de cada uno.
La compañía Trucking Giant Yellow Corp. acordó comprar a la empresa rival Roadway en $966 millones a fin de reducir los costos denominados indirectos de oficina, por ejemplo los costos por nómina y seguros que tienen un monto de $45 millones al año. Si los ahorros fueran los que se planearon, ¿cuál sería la tasa de rendimiento de la inversión?
Cierta empresa de ingeniería que diseña construcciones terminó el proyecto de un dueto por el que obtuvo una utilidad de $2.3 millones en un año. Si la cantidad de dinero que invirtió la compañía fue de $6 millones, ¿cuál fue la tasa de rendimiento de la inversión?
1.14
Tasa de interés y tasa de rendimiento 1.9
Una compañía que ofrece una gran variedad de servicios recibió un préstamo de $2 millones para adquirir equipo nuevo y pagó el monto principal del crédito más $275 000 de intereses después de un año. ¿Cuál fue la tasa de interés del préstamo?
1.1l
1.11
Inti
1.21
1.2
1.2
1.2
Equivalencia 1.16
Con una tasa de interés de 8% por año, ¿a cuánto equivalen $10 000 de hoy, a) dentro de un año, y b) hace un año?
1.17
Una empresa mediana de consultoría en ingeniería trata de decidir si debe reemplazar su mobiliario de oficina ahora o esperar un
1.2
PROBLEMAS PROBLEMAS
año para hacerlo. Si espera espera un año, se piensa piensa que el costo $16000. costo será de $16 000. Con una tasa de interés interés de 10% por año, ¿cuál ¿cuál sería sería el costo costo equivalente equivalente hoy?
1.25
Es frecuente reciban frecuente que que las empresas empresas reciban préstamos que préstamos de dinero dinero con con acuerdos acuerdos que requieren pagos pagos periódicos periódicos exclusivamente exclusivamente requieren por concepto después paconcepto de interés, interés, para para después gar el monto una monto principal principal del préstamo préstamo en una sola exhibición. como éste, exhibición. Con un arreglo arreglo como una producuna compañía compañía que que manufactura manufactura productos químicos químicos para para control control de olores olores obtuvo obtuvo $400 000 a pagar pagar durante durante tres años al 10% de interés ¿Cuál es la diinterés compuesto compuesto anual. ¿Cuál ferencia pagada entre entre ferencia en la cantidad cantidad total pagada dicho acuerdo (identificado como plan dicho acuerdo (identificado como plan 1) yY el plan 2, con el cual la compañía compañía no paga paga intereses préstamo y lo intereses mientras mientras adeude adeude el préstamo paga paga después después en una sola exhibición? exhibición?
1.26
Cierta empresa empresa que manufactura manufactura a granel Cierta granel mezcladores en línea línea planea planea solicitar mezcladores solicitar un préstamo de $1.75 millones millones para para actualizar préstamo actualizar producción. Si obtiene obtiene el dinero una línea de producción. dinero ahora, puede tasa de 7.5% 7.5% puede hacerlo hacerlo con una una tasa de interés cinco años. Si interés simple simple anual por cinco lo obtiene tasa de interés interés obtiene el año próximo, próximo, la tasa será de 8% de interés interés compuesto compuesto anual, pero sólo será por cuatro años. a) ¿Cuánto ¿Cuánto interés (total) pagará pagará en cada cada escenario, escenario, y b) ¿la empresa ahora o empresa debe tomar tomar el préstamo préstamo ahora dentro dentro de un año? Suponga Suponga que la cantidad cantidad total cuando el total que se adeude adeude se pagará pagará cuando préstamo préstamo venza, venza, en cualquier cualquier caso.
¿Con qué tasa de interés interés son equivalentes equivalentes 1.18 ¿Con una inversión inversión de $40 000 hace hace un año y otra de $50 000 hoy? equivalen $100000 $100 000 1.19 ¿¿Con Con qué tasa de interés equivalen de ahora ahora a $80 000 de hace un año?
Interés Interés simple simple e interés interés compuesto compuesto 1.20
1.21
Ciertos certificados certificados de depósito depósito acumulan acumulan Ciertos interés simple simple de 10% anual. anual. Si una un interés compañía compañía invierte invierte ahora $240 000 en dichos certificados certificados para para la adquisición adquisición dentro dentro de tres años de una máquina máquina nueva, ¿cuánto ¿cuánto tendrá periodo de tendrá la empresa empresa al final de ese periodo tiempo? tiempo? banco local ofrece pagar pagar un interés interés Un banco local ofrece compuesto compuesto de 7% anual sobre las cuentas cuentas de ahorro ahorro nuevas. nuevas. Un banco banco electrónico electrónico ofrece ofrece 7.5% de interés interés simple simple anual por un certificado de depósito depósito a cinco años. ¿Cuál ¿Cuál certificado oferta atractiva para oferta resulta resulta más atractiva para una empresa presa que desea desea invertir invertir ahora ahora $1 000 000 para la expansión expansión dentro dentro de cinco cinco años de una planta? planta?
1.22 Badger Badger Pump Pump Company Company invirtió invirtió $500 000 hace cinco años en una nueva nueva línea línea de proproductos que ahora ahora reditúa reditúa $1000000. $1000000. ¿Qué tasa de rendimiento rendimiento percibió percibió la empresa empresa sobase de a) interés bre la base interés simple, y b) interés interés compuesto? compuesto?
Símbolos y hojas hojas de cálculo Símbolos cálculo
1.27
Defina los símbolos símbolos que se involucran involucran si una Defina compañía quiere saber saber compañía de construcción construcción quiere cuánto dentro de tres cuánto dinero dinero puede puede gastar gastar dentro años en lugar de gastar $50 000 para adquirir adquirir un camión camión nuevo nuevo hoy, cuando cuando la tasa es de interés compuesto compuesto anual. 15% de interés
1.28
Diga siguienDiga la finalidad finalidad de cada una una de las siguienfunciones disponibles disponibles en Excel. tes funciones Excel.
1.23 ¿Cuánto ¿Cuánto tiempo tiempo tomará tomará para para que una inversión se duplique duplique con 5% por año, con a) interés simple, interés compuesto. simple, y b) interés compuesto. 1.24 Una Una empresa empresa que manufactura manufactura oxidantes oxidantes termales termales regenerativos regenerativos hizo una inversión inversión reditúa $1 300000. 300000. hace diez años que ahora reditúa ¿De cuánto cuánto fue la inversión inversión inicial inicial con una tasa de 15% anual de a) interés interés simple, simple, y b) interés interés compuesto? compuesto?
¿Cuáles son los valores de los símbolos de ingeniería económica P, F, A, i Y n, en las funciones de Excel siguientes? Use a? para el símbolo por determinar. a) FV(7%,1O, 2000, 9 000) b) PMT(11 %,20, 14000) c) PV(8%,15, 1000,800)
1.35
Escriba el símbolo de ingeniería económica correspondiente a cada una de las funciones de Excel siguientes. a) PV b) PMT c) NPER d) IRR e) FV
1.36
¿En qué circunstancias puede quedar en blanco cierto parámetro que no se aplica en una función disponible en Excel? ¿Cuándo debe colocarse una coma en su lugar?
TMAR y costo de capital 1.32
1.33
1.34
Clasifique como segura o riesgosa cada una de las inversiones siguientes. a) Negocio de restaurante nuevo b) Cuenta de ahorros en un banco c) Certificado de depósito d) Bono del gobierno e) Idea de un pariente para hacerse rico rápido. Clasifique cada uno de los financiamientos que siguen como capital propio o con deuda. a) Dinero de ahorros b) Dinero de un certificado de depósito c) Dinero de un familiar que es socio del negocio d) Préstamo bancario e) Tarjeta de crédito Ordene de mayor a menor las siguientes tasas de rendimiento o interés: bono del gobierno, bono corporativo, tarjeta de crédito, préstamo bancario para negocio nuevo, interés sobre cuenta de cheques.
Califique de mayor a menor las tasas de interés que siguen: costo de capital, tasa de rendimiento aceptable sobre una inversión riesgosa, tasa mínima aceptable de rendimiento, tasa de rendimiento sobre una inversión segura, interés sobre una cuenta de cheques, interés sobre una cuenta de ahorros. Cinco proyectos diferentes tienen tasas de rendimiento calculadas de 8, 11, 12.4, 14 Y 19% por año. Una ingeniera quiere saber cuáles proyectos aceptar sobre la base de la tasa de rendimiento. Ella sabe gracias al departamento de finanzas que por lo general se usan fondos de la compañía, lo cual tiene un costo de capital de 18% por año, para financiar el 25% del capital de todos los proyectos. Después se le comunicó que el dinero obtenido por préstamos cuesta actualmente 10% por año. Si la TMAR se establece exactamente con el costo promedio ponderado del capital, ¿cuáles proyectos debieran aceptarse?
Duj
1.41
1.4:
PR
1.4~
1.4~
Flujos de efectivo 1.37
¿Qué significa la convención del final del periodo?
1.38
Identifique los siguientes flujos de entrada o salida de efectivo para Daimler-Chrysler: impuesto sobre la renta, interés sobre un préstamo, valor de rescate, reembolsos a los distribuidores, ingresos por ventas, servicios de contabilidad, reducciones de costo.
1.39
Construya un diagrama de flujo para los siguientes flujos de efectivo: flujo de salida de $10 000 en el tiempo cero, flujo de salida de $3 000 anual entre los años 1 y 3, y flujo de entrada de $9 000 entre los años 4 y 8 con una tasa de interés de 10% anual y un monto futuro desconocido en el año 8.
-
Construya un diagrama de flujo para encontrar el valor presente de un flujo de salida futuro de $40 000 en el año 5, con una tasa de interés de 15% anual.
En áre: ció¡
1.40
1.4'
1.4:
EJI
EF
47
EJERCICIO EJERCICIO AMPLIADO AMPLIADO
Duplicación del valor valor Duplicación
1.43
para calcular calcular el tiempo tiempo 1.41 Use la regla regla del 72 para que tomaría tomaría para para que una inversión inversión inicial inicial de $10 000 creciera creciera a $20 000, con una tasa de interés interés compuesto compuesto de 8% anual. anual.
Utilice Utilice la regla regla del 72 para estimar estimar la tasa necesitaría para que $5 000 de interés que se necesitaría convirtieran en $10 000 en cuatro cuatro años. se convirtieran
1.44
Si usted usted tiene ahora ahora $62 500 en su cuenta cuenta ahorros para para el retiro retiro y quiere quiere jubilarse de ahorros jubilarse cuando en ésta ésta haya $2 000 000, calcule calcule la cuando rendimiento que debe ganar la cuenta tasa de rendimiento cuenta para retirarse dentro de 20 años sin agregar agregar para retirarse dinero a la cuenta. más dinero
Calcule el tiempo tiempo que que se requiere requiere (de 1.42 Calcule acuerdo con la regla regla del 72) para para que el acuerdo dinero se cuadruplique cuadruplique con una una tasa tasa de dinero interés compuesto compuesto de 9% anual. interés
PROBLEMAS DE REPASO FI FI PROBLEMAS ejemplo de factor factor intangible intangible es 1.45 Un ejemplo a) Impuestos Impuestos materiales b) Costo de materiales Moral e) Moral Renta á) Renta tiempo que tomaría tomaría que el dinero dinero se 1.46 El tiempo duplicara con una tasa de interés interés simple simple de duplicara 5% anual es muy cercano cercano a a) 10 años b) 12 años e) 15 15 años á) 20 años
1.47
interés compuesto compuesto de 10% Con una tasa de interés anual, $10 $10 000 000 de hace hace un año ahora anual, año ahora equivalen a equivalen $8264 a) $8264 $9091 b) $9091 e) $11 000 á) $12 100
Una inversión inversión de $10 000 de hace nueve nueve 1.48 Una acumuló $20 000 de ahora. La tasa de años acumuló
compuesto ganada ganada sobre la inversión inversión interés compuesto está próxima a está muy próxima a) 6% b) 8% e) 10% á) 12%
1.49
mayor parte parte de los estudios estudios de ingeEn la mayor niería económica, económica, la mejor mejor alternativa alternativa es niería aquella que aquella mayor tiempo tiempo a) Durará Durará el mayor implantar b) Es más fácil de implantar Cuesta menos menos e) Cuesta correcta políticamente políticamente á) Es más correcta
1.50
El costo de la colegiatura en cierta universidad pública fue de $160 por hora-crédito hora-crédito hace pública cinco años. El costo actual (cinco años exactos después) es de $235. La tasa anual de increencuentra muy próxima próxima a mento se encuentra a) b) e) á)
4% 6%
8% 10%
AMPLIADO EJERCICIO AMPLIADO EFECTOS DEL DEL INTERÉS INTERÉS COMPUESTO COMPUESTO EFECTOS esfuerzo por mantenerse mantenerse dentro dentro de las normas normas de emisión emisión de ruidos ruidos en el En un esfuerzo procesos, National National Semiconductors Semiconductors necesita necesita utilizar utilizar instrumentos instrumentos de mediárea de procesos, compañía tiene tiene planes planes de comprar comprar nuevos nuevos sistemas sistemas portátiles portátiles al ción de ruidos. La compañía
~ ~ ser-s Sol·E
48
CAPÍTULO Fundamentos de ingeniería ingeniería económica CAPÍTULO 1 Fundamentos económica
costo costo de $9 000 cada cada uno. National estima que el costo final del próximo próximo año a un costo National estima $500 anuales anuales durante durante 3 años, después después de los cuales cuales los de mantenimiento mantenimiento será de $500 sistemas sistemas se desecharán desecharán a un costo costo de $2 000. 000.
Preguntas Preguntas 1.
2. 3. 4.
Construya el diagrama diagrama de flujo de efectivo. efectivo. Calcule Calcule el valor equivalente F desdesConstruya valor equivalente pués cálculos a mano, compuesto pués de 4 años, mediante mediante cálculos mano, para para una una tasa de interés interés compuesto de 8% anual. Determine cálculo. Determine el valor valor de F en la pregunta pregunta 1 utilizando utilizando una hoja hoja de cálculo. Determine costos de mantenimiento $300, $500 $500 y Determine el valor valor de F si los costos mantenimiento son de $300, $1000, cada uno de los 3 años. años. ¿Cuánto ¿Cuánto ha cambiado cambiado el valor $1 000, en cada valor de F? F? Calcule el valor dólares que se necesiCalcule valor de F F en la pregunta pregunta 1 en términos términos de los dólares necesitarán futuro con un ajuste ajuste de inflación incrementa la tarán en el futuro inflación del 4% anual. Esto incrementa tasa de interés interés del 8% a 12.32% anual.
ESTUDIO DE CASO DESCRIPCIÓN DE LA FABRICACIÓN DESCRIPCIÓN DE LAS LAS ALTERNATIVAS ALTERNATIVAS PARA PARA LA FABRICACIÓN DE REVESTIMIENTOS DE REVESTIMIENTOS PARA PARA REFRIGERADOR REFRIGERADOR Planteamiento del problema Planteamiento problema Las fábricas fábricas grandes de refrigeradores como Whirlpool, Las grandes de refrigeradores como Whirlpool, General Electric, subcontratar General Electric, Frigidaire Frigidaire y otras otras pueden pueden subcontratar de sus sus revestimientos de plástico el moldeo moldeo de revestimientos de plástico y tableros tableros de las las principales empresas subconsubconde puerta. puerta. Una Una de principales empresas tratistas nacionales Innovations Plastics. Se espera espera tratistas nacionales es Innovations Plastics. Se que aproximadamente aproximadamente años el mejoramiento de que en 2 años mejoramiento de mollas propiedades propiedades mecánicas mecánicas permita permita que que el plástico plástico moldeado soporte soporte cargas cargas verticales cada vez deado verticales y horizontales horizontales cada vez mayores, lo cual cual reduciría reduciría significativamente significativamente la necemayores, necesidad de las bisagras en alguna alguna estantería. estantería. Sin Sin sidad bisagras metálicas metálicas en embargo, para ingresar al mercado equipo embargo, para ingresar mercado se requerirá requerirá equipo moldeo de mejor calidad. El presidente de de la comcomde moldeo mejor calidad. El presidente pañía desea desea una sobre si Innovations pañía una recomendación recomendación sobre Innovations debería pensar ofrecer la nueva debería pensar en ofrecer nueva tecnología tecnología a los los prinprincipales fabricantes, fabricantes, así así como como una estimación de de la cipales una estimación la ininversión de capital capital necesaria entrar al mercado versión necesaria para para entrar mercado temtempranamente. pranamente. Usted como ingeniero Usted trabaja trabaja como ingeniero para para Innovations. Innovations. En En esta etapa, etapa, no se espera usted lleve cabo un anáanáesta espera que que usted lleve a cabo lisis económico económico de de ingeniería completo, en en virtud de lisis ingeniería completo, virtud de
que no hay suficiente información disponible. Se le que hay suficiente información disponible. le pide pide que formule alternativas que formule alternativas razonables, razonables, que que determine determine los los datos datos y estimaciones estimaciones necesarios necesarios para para cada cada alternativa alternativa y establezca (económicos y no establezca los los criterios criterios (económicos no económicos) económicos) que final. que deben deben aplicarse aplicarse para para tomar tomar la decisión decisión final.
Información Información Alguna en este este momento siAlguna información información útil útil en momento es la la siguiente: guiente: espera que que la equipo continúen continúen • Se espera la tecnología tecnología y el equipo vigentes aproximadamente 10 años años antes antes de que que se vigentes aproximadamente desarrollen nuevos desarrollen nuevos métodos. métodos. inflación y los impuestos impuestos sobre sobre la renta • La La inflación renta no no se tomarán en en cuenta cuenta en en el análisis. análisis. tomarán esperados sobre sobre el capital capital de de inin• Los Los rendimientos rendimientos esperados versión utilizados para para los los últimos versión utilizados últimos tres tres proyectos proyectos tecnológicos fueron las las tasas interés compuesto compuesto tecnológicos fueron tasas de de interés del 15,5 15,5 Y 18%. 18%. La de 5% 5% fue fue el criterio criterio para del La tasa tasa de para mejorar de seguridad seguridad para empleados en en mejorar un sistema sistema de para empleados un existente de de preparación de químicos. químicos. un proceso proceso existente preparación de
-
ESTUDIO DE DE CASO CASO ESTUDIO
• Un patrimonio supesupeUn financiamiento financiamiento de capital capital de patrimonio rior rior a los los $5 millones millones resulta resulta imposible. imposible. La La canticantidad dad del del financiamiento fmanciamiento de deuda deuda y su costo costo se desdesconocen. conocen. • Los Los costos costos anuales anuales de operación operación han han promediado promediado del costo costo inicial inicial del del equipo equipo principal. principal. un 8% del • El incremento incremento de los costos costos anuales anuales de capacitación capacitación los requerimientos requerimientos de salario salario para para el manejo manejo de y los los nuevos nuevos plásticos plásticos y del del nuevo nuevo equipo equipo de operaoperación pueden pueden variar variar de $800 $800 000 000 a $1.2 $1.2 millones millones de ción dólares. dólares. Hay Hay dos dos fábricas fábricas trabajando trabajando en la nueva nueva generación generación de equipos. equipos. Estas Estas dos dos opciones opciones se designan designan como como las alalternativas ternativas A y B.
Ejercicios Ejercicios del estudio estudio de caso caso 1. Aplique Aplique los los primeros primeros cuatro cuatro pasos pasos del del proceso proceso de toma de decisiones decisiones para describir en líneas líneas generageneratoma para describir les las alternativas alternativas e identifique identifique los los cálculos cálculos de nana-
turaleza económica que requerirán para para elaborar elaborar turaleza económica que se requerirán un análisis análisis de ingeniería económica económica para para el presipreside ingeniería dente. dente. 2. Identifique los factores factores y criterios criterios no no económicos económicos Identifique los que deben considerarse considerarse en en el momento momento de de elegir elegir alalque deben ternativa. ternativa. 3. Durante la investigación investigación que que lleva lleva a cabo cabo con con resresDurante la pecto la alternativa alternativa B con con el el fabricante, fabricante, usted usted se pecto a la entera de que que esta esta compañía compañía ya ya ha diseñado el proproentera de ha diseñado totipo una máquina máquina de de moldeo moldeo que que ha ha vendido vendido a totipo de una una compañía en en Alemania Alemania por por $3 millones millones (de (de dódóuna compañía lares). En En su investigación, investigación, usted usted descubre, descubre, además, además, lares). que la la empresa empresa alemana alemana no no aprovecha aprovecha toda toda la la capacapaque cidad cidad del del equipo equipo para para fabricar fabricar revestimiento revestimientoss plásplásticos. La La compañía compañía quiere quiere vender vender tiempo tiempo de uso uso del del ticos. equipo a Innovations, Innovations, para para que que ésta ésta fabrique fabrique sus sus proproequipo pios revestimientos revestimientos y los los distribuya distribuya en en Estados Estados UniUnipios dos. Esto Esto podría podría facilitar facilitar una una entrada entrada temprana en dos. temprana en mercado de Estados Estados Unidos. Unidos. Considere Considere ésta ésta como como el mercado la alternativa alternativa C y formule formule las las estimaciones estimaciones necesanecesarias rias para para evaluar evaluar C al mismo mismo tiempo tiempo que que las las alteralternativas nativas A A y B. B.
49
2 o o 1-
cómo Factores: cómo interés el tiempo tiempo y el interés afectan al dinero dinero afectan En el capítulo capítulo anterior anterior aprendimos aprendimos los conceptos conceptos básicos de la la ingeniería En su papel en la la toma de decisiones. El El flujo de efectivo efectivo resulta resulta económica y su fundamental económico. Los Los flujos de efectivo ocurren en fundamental en todo todo estudio económico. configuraciones y cantidades: cantidades: valores únicos aislados, series que muchas configuraciones son uniformes y series series que aumentan o disminuyen en cantidades o porcenson tajes constantes. El El presente capítulo realiza realiza deducciones deducciones para todos todos los factores utilizados comúnmente la ingeniería económica, que toman en cuencomúnmente en la ta el valor del dinero dinero en el tiempo. tiempo. La La aplicación de los factores se se ilustra mediante mediante el empleo empleo de sus sus formas Se incluyen las matemáticas y de un formato formato de notación estándar. Se las funciofunciones de las cálculo,, para trabajar trabajar de manera rápida con las las series nes las hojas de cálculo series de flujo de efectivo efectivo y para desarrollar análisis análisis de sensibilidad. sensibilidad . El El estudio estud io de caso caso se se enfoca en los impactos significativos significativos que el interés compuesto compuesto y el tiempo tiempo tienen sobre el valor y la la cantidad cantidad del de l dinero. dinero .
-
-
-
-
-
-
«« u u
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Objetivo general: deducir y usar los factores de ingeniería económica para explicar el valor del dinero en el tiempo.
Este capítulo ayudará al lector a: Factores FIP Y PIF
Factores PIA y A/P
I
1. Deducir y utilizar los factores de cantidad compuesta y de valor presente para pago único.
~
2. Deducir y aplicar los factores de valor presente y recuperación de capital de serie uniforme.
I
3. Deducir y emplear los factores de cantidad compuesta y fondo de amortización de serie uniforme.
I Factores FIA y A/F
I
4. Interpolación lineal para calcular el valor de un factor.
Interpole valores de factores
Factores PIG y A/G
I Gradiente
geométrico
Calcule;
,
~
,
5. Deducir y usar los factores del valor presente de gradiente aritmético y de serie uniforme.
6. Deducir y aplicar las fórmulas de gradiente geométrico.
7. Determinar la tasa de interés (tasa de retorno) de una secuencia de flujos de efectivo.
Calcule n
I
8. Determinar el número de años requeridos para lograr la equivalencia en una secuencia de flujos de efectivo.
Hojas de cálculo
I
9. Desarrollar una hoja de cálculo para realizar análisis de sensibilidad básico mediante las funciones de la hoja de cálculo.
52
CAPÍTULO CAPÍTULO 2
2.1
Factores: tiempo y el interés interés afectan afectan al dinero dinero Factores: cómo cómo el tiempo
FACTORES FACTORES DE PAGO PAGO ÚNICO ÚNICO (F/P (F/P Y P/F)
P=c
El El factor factor fundamental fundamental en en la ingeniería ingeniería económica económica es el que que determina determina la la cantidad cantidad de dinero periodos), a partir partir de de un valor único único dinero F que que se acumula acumula después después de de n años años (o periodos), un valor presente P con con interés una vez vez por por año por periodo). periodo). Recuerde presente interés compuesto compuesto una año (o por Recuerde que que el interés interés pagado pagado sobre interés compuesto compuesto se refiere refiere al interés sobre el interés. interés. Por Por consiguiente, consiguiente, si una cantidad P se se invierte invierte en en algún algún momento la cantidad cantidad de de dinero dinero F¡ que que se se una cantidad momento t = O, O, la habrá acumulado en en un año a partir del momento momento de de la la inversión inversión a una tasa de de habrá acumulado un año partir del una tasa interés de de i por anual será: será: interés por ciento ciento anual
o
F¡ =P+Pi =P+Pi
= P(1 P(1 + i) donde la la tasa tasa de de interés interés se expresa expresa en en forma forma decimal. decimal. Al final del del segundo segundo año, año, la donde Al final cantidad de de dinero dinero acumulada acumulada F la cantidad cantidad acumulada acumulada después después del del año año 1, más más cantidad F22 es la interés desde desde el final final del del año año 1, hasta final del del año año 2 sobre sobre la la cantidad cantidad total total F¡. el interés hasta el final F2=F¡+F¡i F2=F¡+F¡i
= P(1 P(1 + i) + P(1 P(1 + i)i
[2.1]
Ésta es la la lógica lógica que que se utiliza en el capítulo interés compuesto, compuesto, de de manera Ésta utiliza en capítulo 1 para para el interés manera específica en los los ejemplos ejemplos 1.8 y 1.18. 1.18. La La cantidad cantidad F se expresa expresa como: como: específica F22 se F22 = = P(l P(l + i + i + i22)) = P(1 + 2i + p) = P(1 i2) i)2 = P(l P(1 + i)2 En forma forma similar, similar, la la cantidad cantidad de de dinero dinero acumulada acumulada al final final del del año la En año 3, si se utiliza utiliza la ecuación [2.1], [2.1], será: será: ecuación
FigL Diag
La¡ únü cam fluj utili reci
clu SieJ mie cue el n
tor
F3 = F22 + F F3 = F22ii
es ( las
Al sustituir sustituir P(1 ii por simplificar, se obtiene obtiene Al P(1 + i)2 por F22 y simplificar, F3 i)3 F3 = P(1 P(1 + i)3 De acuerdo acuerdo con con los los valores valores anteriores, anteriores, por inducción matemática matemática es evidente evidente que que la la De por inducción fórmula puede generalizarse para años de de la siguiente manera: manera: fórmula puede generalizarse para n años la siguiente F=P(1 +it F=P(l +it
[2.2]
El factor factor (1 + ir se denominafactor denominafactor cantidad compuesta compuesta de pago único (FCCPU); (FCCPU); El de cantidad pago único pero general se se hace éste como como el factor Éste es el factor factor de pero en general hace referencia referencia a éste factor FIP. FIP. Éste de conversión que, que, cuando cuando se multiplica cantidad futura futura F de de una conversión multiplica por por P, produce produce la cantidad una inversión inicial inicial P después de de n años, años, a la la tasa tasa de de interés interés i. i. El El diagrama diagrama de de flujo flujo de de inversión P después efectivo se se muestra muestra en en la figura figura 2.1a. efectivo Invierta la situación situación para calcular el valor valor P para cantidad dada dada F que que ocuocuInvierta para calcular para una una cantidad rre en el futuro. futuro. Tan Tan sólo sólo resuelva la ecuación ecuación [2.2] [2.2] para periodos en resuelva la para P. rre n periodos 1-]] P- , -- 1 P-
ir
(l+i)" (1 +
-
'
[2.3]
yP rad per
SECCIÓN 2.1
Factores de pago único (F/P y P/F)
53
p=?
P = dado
i
o
= dado
n-2
2
i
n-l
o
n
= dado
2
n-2
F=?
n-l
n
F = dado b)
a)
Figura 2.1 Diagrama de flujo de efectivo para factores de pago único: a) determine
F y b) determine P.
La expresión entre corchetes se conoce como el factor de valor presente de pago único (FVPPU), o elfactor PIF. Tal expresión determina el valor presente P de una cantidad futura dada F, después de n años a una tasa de interés i. El diagrama de flujo de efectivo se muestra en la figura 2.1b. Observe que los dos factores derivados aquí son para pago único; es decir, se utilizan para encontrar la cantidad presente o futura cuando se tiene sólo un pago o recibo. Se ha adoptado una notación estándar para todos los factores. La notación incluye dos símbolos de flujo de efectivo, la tasa de interés y el número de periodos. Siempre está en la forma general (X/Y,i,n). La literal X representa lo que se busca; mientras que la literal Y representa lo que está dado. Por ejemplo, FIP significa encuentre F cuando P está dado. La i es la tasa de interés en porcentaje, y n representa el número de periodos implicados. En consecuencia, (FIP,6%,20) representa el factor que encuentra la cantidad futura F acumulada en 20 periodos si la tasa de interés es de 6% por periodo. La P está dada. La notación están dar, más simple de usar que las fórmulas y los nombres de los factores, se utilizará de aquí en adelante. La tabla 2.1 resume la notación estándar y las ecuaciones para los factores FIP y PIF. Esta información también está incluida dentro de los forros. Para simplificar los cálculos rutinarios de la ingeniería económica se han elaborado las tablas de valores del factor para tasas de interés desde 0.25 hasta 50%, y periodos del tiempo van desde 1 hasta grandes valores de n, dependiendo del valor i. TABLA
2.1
Factores F/P y P/F: notación y ecuaciones
Factor Notación
Nombre
(FIP,i,n)
Cantidad compuesta pago único Valor presente pago único
(P/F,i,n)
Encontrar /dado
Ecuación en notación estándar
Ecuación con fórmula de factor
Funciones de Excel
F/P
F = P(F/P,i,n)
F= P(l + i)"
FV(i%,n"P)
P/F
P = F(P/F,i,n)
P
= F[I/(l
+ i)"]
PV(i%,n"F)
54
CAPÍTULO CAPÍTULO 2
Factores: tiempo y el interés interés afectan afectan al dinero dinero Factores: cómo cómo el tiempo
Estas final del del libro, están ordenadas ordenadas de de acuerdo acuerdo con con facfacEstas tablas, tablas, que que se encuentran encuentran al final libro, están tores número de periodos n de de manera manera descendescentores a lo largo largo de la parte parte superior superior y con con el número de periodos dente discreto en en el el encabezado de cada cada tabla tabla enfatiza enfatiza el el dente a la izquierda. izquierda. La La palabra palabra discreto encabezado de que la convención convención de de final final de de periodo periodo y que que el el interés interés es comque dichas dichas tablas tablas utilizan utilizan la compuesto de interés. interés. Para Para un un factor, factor, tasa tasa de de interés interés y tiempo tiempo dados, dados, puesto una una vez vez cada cada periodo periodo de el valor la intersección intersección del del nombre nombre del del factor valor correcto correcto del del factor factor se encuentra encuentra en en la factor y n. Por /F,5 %, 10) encuentra en en la la columna /F de de la la tabla tabla Por ejemplo, ejemplo, el valor valor del del factor factor (P (P/F,5 1O) se encuentra columna P P/F 10 Este valor determina aplicando aplicando la la ecuación ecuación [2.3]. 10 en en el periodo periodo 10: 10: 0.6139. 0.6139. Este valor se se determina [2.3]. 1 (P/F,5%,1O) -(P/F,5%,1O) = =-(1 . (1 + 1 (1.05)10 (1.05)10
ir
1 1.6289 1.6289
= _1_ = 0.6139 =--=0.6139 Para la solución solución por computadora, el se calcula Para por computadora, el valor valor F se calcula con con la la función función VF VF usando usando el el formato formato Sol-R
VF(i%,n"P) VF(i%,n"P) Un signo signo = = debe debe preceder preceder a la se ingrese. Un la función función cuando cuando se ingrese. La La cantidad cantidad P se determidetermina utilizando utilizando la función función VP VP con el formato na con el formato VP(i%,n"F) VP(i%,I1"F) Estas funciones funciones se incluyen incluyen en ayuda en en Estas en la la tabla tabla 2.1. Consulte Consulte el apéndice apéndice A o la ayuda línea de Excel Excel para para mayor mayor información funciones VF línea información acerca acerca de de las las funciones VF y VP. Los Los ejemejemplos 2.1 2.1 y 2.2 ilustran ilustran soluciones soluciones con funciones. plos con computadora computadora para para ambas ambas funciones. EJEMPLO EJEMPLO
2.1 .
0<, 'i";"
ingeniero industrial industrial recibió recibió un bono $12 000 Un ingeniero bono de $12 000 que que desea desea invertir invertir ahora. ahora. Quiere Quiere calcular calcular el valor equivalente equivalente después después de 24 valor 24 años, años, cuando cuando planea planea usar usar todo todo el el dinero dinero resultante resultante como como enganche o pago pago inicial inicial de de una Suponga una enganche una casa casa de de vacaciones vacaciones en en una una isla. isla. Suponga una tasa tasa de retorno retorno anual para para cada cada uno uno de los puede pagar de 8% anual los 24 24 años. años. a) Determine Determine la la cantidad cantidad que que puede pagar inicialmente, usando usando tanto tanto la inicialmente, la notación notación estándar estándar como como la la fórmula fórmula de factor. factor. b) Use Use una una computadora para para encontrar encontrar la cantidad computadora cantidad antes antes mencionada. mencionada. a) Solución Solución a mano mano a) Los símbolos símbolos y sus valores valores son son Los P= $12 $12000 P= 000
F=? F=?
i = 8% anual anual
n = 24 24 años años
diagrama de flujo flujo de efectivo el mismo El diagrama efectivo es el mismo que que el de de la figura figura 2.1a. 2.1a. Notación estándar: estándar: Determine Determine F usando usando el factor factor FIP FIP para para 8% y 24 24 años. años. La La tabla tabla 13 Notación proporciona el valor valor del del factor. proporciona factor. F = P(Flp,i,n) 000(FIP,8%,24) P(Flp,i,n) = 12 000(FIP,8%,24) 12000(6.3412) = 12000(6.3412) $76094.40 = $76094.40
•
SECCIÓN 2.1
Factores de pago único (F/P P/F) (F/P y P/F)
55
Fórmula Fórmula de factor: factor: Aplique la ecuación [2.2] para calcular el valor futuro F: F = P(l P(1 + i)" = 12000(1 12000(1 + 0.08)24 0.08)24 = 12000(6.341181) 12000(6.341181) = $76094.17 $76094.17
La ligera diferencia diferencia en las respuestas se debe al error de redondeo introducido por los tabulados. Una interpretación valores de factor tabulados. interpretación equivalente equivalente de este resultado es que los $12000 $12000 actuales equivaldrán a $76094 $76094 después de 24 años de crecer al 8% por año, anualmente compuesto. b) Solución Solución por por computadora computadora Para encontrar encontrar el valor futuro use la función VF que tiene el formato VF(i%,n,A,P). VF(i%,n,A,P). La hoja de cálculo se desplegará desplegará como la que se muestra en la figura 1.Sa, I.Sa, excepto que la entrada de celda es VF(8%,24,,12 000). El valor F desplegado por Excel aparece como ($76,094.17) en rojo para indicar un flujo de efectivo de salida. La función VF realiza el Y presenta la respuesta en la pantalla. cálculo F = P(1 P(l + i)" = = 12,000(1 + 0.08)24 0.08)24Ypresenta
EJEMPLO EJEMPLO
Sol-R Sol-R
2.2
Hewlett-Packard Hewlett-Packard realizó un estudio que indica que $SO $SO 000 en la reducción de manteniprocesamiento, fue el resultado del miento este año (es decir, año cero), en una línea de procesamiento, mejoramiento mejoramiento de la tecnología de fabricación de circuitos integrados (CI), (el), con base en diseños que cambian rápidamente. a) b) b)
c)
Hewlett-Packard considera considera que este tipo de ahorro vale un 20% anual, encuentre encuentre Si Hewlett-Packard equivalente de este resultado después de S años. el valor equivalente mantenimiento ocurre ahora, calcule su valor equivalente equivalente Si el ahorro de $SO 000 en mantenimiento 3 años antes con un interés de 20% anual. Desarrolle una hoja de cálculo para responder los dos incisos anteriores a tasas compuestas de 20 y S% anuales. De manera adicional, elabore una gráfica de barras en Excel que indique los valores equivalentes, equivalentes, en los tres diferentes momentos, para ambos valores de la tasa de rendimiento.
Solución Solución a) El diagrama de flujo de efectivo aparece como en la figura 2.1a. 2.1a. Los símbolos y sus valores son
P = $SO 000
F=? F=?
i= = 20% anual
n= = S años
determinar F después de S años. Utilice el factor FIP para determinar
La función VF(20%,5"SOOOO) VF(20%,S"SOOOO)proporciona 2.2a, proporciona la misma respuesta. Véase la figura 2.2a, celda C4. En este caso, el diagrama de flujo de efectivo aparece como en la figura 2.1b, con F ubicado en el tiempo t = O OYel Yel valor P colocado 3 años antes en t = -3. -3. Los símbolos y sus valores son P=? P=?
F= $SO,OOO F= $SO,OOO
ii = 20% anual
= 3 años n=
Sol-R Sol-R
56
CAPÍTULO CAPÍTULO 2
Factores: cómo tiempo y el interés Factores: cómo el tiempo interés afectan afectan al dinero dinero
($124,41600):
($28.935.19)'
L_
=FV(20%,5,,50000)
___
7
,_ =PV(20%,3,,50000)
_
a)
G
H
---_._-_._----
!
I~~-------~'Exam~~0----~~::bd~~~~=:~~~I1===~-=-=-=-=-=t=-~-=-=-=-=-=-== Determine P and \: at varyi!!9llates
=PV(C5,3"
End 01 eadE uivalence al i =1 ___ 2 F'.~~~~~_"_9!'__
Figura Figura 2.2 2.2 de cálculo cálculo Q-solv Q-solv para ejemplo 2.2a y b; b) hoja de cálculo cálculo completa completa con con gráfica gráfica de de barras, ejemplo 2.2. a) Hoja Hoja de para el ejemplo hoja de barras, ejemplo 2.2.
•
SECCIÓN 2.1
(F/P y P/F) Factores de pago único (F/P P/F)
57
Use el factor P/F PIF para determinar P tres años antes. P= = F(P/F,i,n) F(PIF,i,n)
= $50,000(PlF,20%,3) $50,000(P/F,20%,3) =
50,000(0.5787) = $28,935.00 = 50,000(0.5787) equivalente es que $28,935 de hace tres años es lo mismo que $50,000 Un enunciado equivalente considerando una tasa en la actualidad, que crecerá a $124,415 dentro de cinco años, considerando compuesto anual de 20% por cada año. de interés compuesto VP(i%,n,A,F) y omita el valor A. La figura 2.2a muestra el resultado de Use la función VP(i%,n,A,F) ingresar VP(20%,3,,50000) VP(20%,3 ,,50000) en la celda F4, que es lo mismo que utilizar el factor PlF. PIF. Solución por por computadora computadora Solución e) La figura 2.2b es una solución completa en hoja de cálculo con una tabla de valores y una gráfica de barras. Se emplean dos columnas para efectuar cálculos primero con comparar los valores F y P. P. La 20 y 5%, de modo que sea posible tener la gráfica para comparar muestra los valores valores F usando la función VF con el formato VF(i%,5,0, VF(i%,5,0, fila 14 muestra -50,000), donde los valores i se toman de las celdas C5 y D5. El valor futuro F = -50,000), C14 es el mismo (considerando (considerando el redondeo) que el calculado calculado $124,416 en la celda Cl4 resultado sea un número líneas arriba. El signo menos para 50,000 asegura que el resultado gráfica. positivo en la gráfica. . encontrar los valores P en la fila 6. Por ejemplo, el La función VP se utiliza para encontrar -3 se determina en la celda C6 utilizando utilizando la función valor presente a 20% en el año -3 VP. El resultado P = $28,935 es el mismo que el obtenido previamente previamente al usar el VP. diferencia que generan, sobre PIF. La gráfica muestra visualmente la notable diferencia factor P/F. el periodo de 8 años, tasas de 20 y de 5%.
EJEMPLO EJEMPLO
2.3 2.3
""
.
consultor independiente independiente en ingeniería examinó algunos registros y encontró que el Un consultor costo de los suministros de oficina varía como se muestra en la gráfica circular de la equivalente en el año 10 sólo de las figura 2.3. Si el ingeniero quiere conocer el valor equivalente cantidades mayores, ¿cuál será éste a una tasa de interés de 5% anual? Año O Año
$600
Año 3 Año Año41----~------------Añ~-~o5 Año4'---~------------A~ñ--05
Figura 2.3 Gráfica circular circular de costos, costos, ejemplo ejemplo 2.3. Gráfica
Sol-R Sol-R
~ ~ Sol-E Sol-E
I 58
CAPÍTULO 2
Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dinero
F¡'
i=5%
O
2
1
3
$300
4
5
6
7
8
9
I
10
1
$400
$600
FiS Dia
Figura 2.4 Diagrama
p=
para un valor futuro en el año 10, ejemplo 2.3.
val
su Solución
S'
Dibuje el diagrama de flujo de efectivo para los valores $600, $300 y $400 desde la perspectiva del ingeniero (figura 2.4). Use factores FlP para encontrar F en el año 10. F = 600(F/P,5%,1 O) + 300(F/P,5%,8) + 400(F/P,5%,5)
El problema también puede resolverse encontrando el valor presente en el año O de los costos $300 y $400 con los factores P/F, y luego determinando el valor futuro del total en el año 10. P = 600 + 300(P/F,5%,2) + 400(P/F,5%,5) = 600 + 300(0.9070) + 400(0.7835)
Debe ser evidente que existen diversas maneras de enfrentar el problema, puesto que puede utilizarse cualquier año para encontrar el total equivalente de los costos antes de encontrar el valor futuro en el año 10. Como ejercicio, resuelva el problema usando el año 5 para el total equivalente y luego determine la cantidad total en el año 10. Todas las respuestas deberán ser iguales, salvo por cierto error de redondeo.
2.2
FACTORES DE VALOR PRESENTE Y DE RECUPERACiÓN DE CAPITAL EN SERIES UNIFORMES (P/A Y AlP)
El valor presente P equivalente de una serie uniforme A de flujo de efectivo al final del periodo se muestra en la figura 2.Sa. Puede determinarse una expresión para el
Pa
pO [2.
YS pn
SECCIÓN 2.2 2.2 SECCIÓN
Factores de valor capital Factores valor presente presente yy de recuperación recuperación de capital
59
P = dado dado
p=? P=?
dado i = dado
dado i = dado
o O
22
n-2 n-2
n-l
o O
nn
nn-2 - 2
22
(
1 1 1 1
( }
A = = dado dado
1 1
A = =? ? b) b)
a)
Figura 2.5 Figura Diagramas de de flujo flujo de de efectivo efectivo para determinar a) P de una serie uniforme Diagramas para determinar una serie uniforme y b) A para para un un valor valor presente. presente.
valor presente considerando cada cada valor como un valor calculando presente considerando valor de A como valor futuro F, calculando factor P/F PIF para luego sumar sumar los resultados: su valor valor presente presente con el factor para luego resultados:
[ 1] [ 1] [ 1] [ 1 ] [ 1]
P=A -- - + +A -- +A -- - + +···+A +A -- P = A [1] A [1] + A [1] ··· + A [1] + A [1] (1+ +i)' iY (1+ +0 (1+ +i)3 i)3 (1+ +ir-' i)"-I (1+ +ir i)" (1 (1 i) 2 2 (1 (1 (1
términos entre entre corchetes corchetes representan factores P/F PIF durante durante los años 1 Los términos representan los factores hasta n, respectivamente. factoriza A, respectivamente. Si se factoriza
simplificar la ecuación ecuación [2.4] y obtener obtener el factor factor PIA, esta ecuación ecuación P/A, multiplique multiplique esta Para simplificar por el factor factor (P/F,i (PIF,i%,l), 1/(1 + i). Esto da como como resultado ecuación %, l), el cual es 1/(1 resultado la ecuación Luego reste ecuación [2.4] de la ecuación ecuación [2.5] [2.5] que se presenta presenta más abajo. Luego reste la ecuación simplifique para obtener la expresión expresión para cuando i -:f:. O (ecuación (ecuación [2.6]). Esta Esta y simplifique para obtener para P cuando progresión progresión es como sigue.
Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dinero
El término entre corchetes en la ecuación [2.6] es el factor de conversión referido como factor de valor presente de serie uniforme (FVPSU). Se trata del factor PIA utilizado para calcular el valor P equivalente en el año Opara una serie uniforme de final de periodo de valores A, que empiezan al final del periodo 1 y se extienden durante n periodos. El diagrama de flujo de efectivo es la figura 2.5a. Para invertir la situación, se conoce el valor presente P y se busca la cantidad equivalente A de serie uniforme (figura 2.5b). El primer valor A ocurre al final del periodo 1, es decir, un periodo después de que P ocurre. Despeje A de la ecuación [2.6] para llegar a i(1+i)'.'] A = P -'---'[ (1+ i)" - 1
[2.7]
El término entre corchetes se denominafactor de recuperación del capital (FRC), o factor AlP. Con él se calcula el valor anual uniforme equivalente A durante n años de una P dada en el año 0, cuando la tasa de interés es i.
Estas fórmulas se derivan con el valor presente P y la primera cantidad anual uniforme A, con un año (o un periodo) de diferencia. Es decir, el valor presente P siempre debe localizarse un periodo antes de la primera A. Los factores y su uso para encontrar P y A se resumen en la tabla 2.2, y en los forros interiores. Las notaciones estándar para estos dos factores son (PIA, i%, n) y (Al?, i%, n). Las tablas 1 a 29 al final del libro incluyen los valores de los factores. Como por ejemplo, si i = 15 % y n = 25 años, el valor del factor PlA que registra en la tabla 19 es (PIA,15%,25) = 6.4641. Esto encontrará el valor presente equivalente a 15% anual, para cualquier cantidad A que ocurra de manera uniforme desde el año 1 hasta el 25. Cuando la relación entre corchetes en la ecuación [2.6] se utiliza para calcular el factor PIA, el resultado es el mismo a excepción de ciertos errores de redondeo. (P/A 15% 25)= (1 + i)" -1 = (1.15)25 -1 = 31.91895 =6.46415 " i(1 + i)" 0.15(1.15)25 4.93784
TABLA
2.2
Factores PIA y AIP: notación y ecuaciones
Factor
Encontrar
Notación
Nombre
/dado
(P/A,i,n)
Series uniformes de valor presente
PIA
(AlP,i,n)
Recuperación de capital
AlP
Fórmula del factor (1+ ir -1 i(1+i)"
Ecuación en notación estándar
P
= A(PIA,i,n)
PV(i%,n,,A)
A
= P(AlP,i,n)
PMT(i%,n"P)
i(l +i)" (l+i)" -1
Funciones de Excel
Le
al'
tal
añ
D< va
L2
po te.
•
r Factores de valor valor presente presente y de recuperación recuperación de capital capital Factores
SECCIÓN 2.2 SECCIÓN
61 61
funciones de hoja de cálculo cálculo son capaces capaces de calcular calcular los valores valores P y A en vez de Las funciones aplicar los factores factores PIA y AlP. A/P. La función función VP VP que usamos en la sección sección anterior anterior aplicar calcula el valor P para una A dada a lo largo de n años, y un valor valor F en el también calcula formato, que se presenta presenta en la sección sección 1.8, es año n, si se da éste. El formato,
Sol-R
VP(;%,n,A,F) VP(i%,n,A,F)
manera similar, el valor valor A se determina determina utilizando utilizando la función función PAGO PAGO para un De manera Oy aparte, si está dada. El formato formato es valor P dado en el año O y una F aparte, PAGO(i%,n,p,F) PAGO(i%,n,p,F)
función PAGO PAGO se demostró demostró en la sección sección 1.18 (figura (figura 1.5b) Y y se usa en ejemplos ejemplos La función posteriores. La tabla 2.2 incluye incluye funciones funciones VP VP y PAGO PAGO para para P y A, respectivamenrespectivamenposteriores. ejemplo 2.4 demuestra demuestra la función función VP. te. El ejemplo
EJEMPLO EJEMPLO
2.4
"~'.
¿Cuánto debería destinarse destinarse para para pagar ahora por por $600 garantizados cada año dudu¿Cuánto dinero dinero debería pagar ahora $600 garantizados cada año rante 16% anual? anual? rante 9 años, años, comenzando comenzando el próximo próximo año, año, a una una tasa tasa de rendimiento rendimiento de 16% Solución Solución El efectivo (figura El diagrama diagrama de de flujo flujo de de efectivo (figura 2.6) 2.6) se ajusta ajusta al factor factor PIA. PIA. El El valor valor presente presente es: P= 600(PlA,16%,9) = 600(PlA,16%,9)
La ingresada en una una celda celda de de una una hoja hoja de de cálculo cálculo desplegará desplegará la La función función VP(16%,9,600) VP(16%,9,600) ingresada respuesta $2 763.93. 763.93. respuesta P = $2
oo
22
3
A A
== $600 $600
44
55
6
77
8
Sol-R Sol-R
9
=
i = 16% 16%
p=? p=?
Figura Figura 2.6 2.6 Diagrama Diagrama para para encontrar encontrar P P usando usando el el factor factor PlA, PtA , ejemplo ejemplo 2.4. 2.4.
Comentario Comentario Otro Otro método método de de solución solución consiste consiste en en utilizar utilizar los los factores factores PIF PIF para para cada cada uno uno de de los los nueve nueve pagos pagos y agregar agregar los los valores valores presentes presentes resultantes, resultantes, para para obtener obtener la la respuesta respuesta correcta. correcta. Otra Otra forma forma es es calcular calcular el el valor valor futuro futuro F de de los los pagos pagos de de $600 $600 y luego luego encontrar encontrar el el valor valor presenpresente te del del valor valor F. Existen Existen diversas diversas formas formas de de resolver resolver un un problema problema de de ingeniería ingeniería económica. económica. Aquí Aquí sólo sólo se se presentan presentan los los métodos métodos más más directos. directos.
s
62 62
CAPÍTULO CAPÍTULO 2
2.3
Factores: Factores: cómo cómo el tiempo tiempo y el interés interés afectan afectan al dinero dinero
DERIVACiÓN DERIVACiÓN DEL FACTOR FACTOR DE FONDO FONDO DE AMORTIZACiÓN AMORTIZACiÓN Y EL FACTOR FACTOR DE CANTIDAD CANTIDAD COMPUESTA COMPUESTA SERIE UNIFORME UNIFORME (AlF (AlF y y F/ F/ A) A)
La forma más simple A /F consiste simple de derivar derivar el factor factor A/F consiste en sustituirlo sustituido en aquellos aquellos ya desarrollados. Por Por lo tanto, si P de la ecuación ecuación [2.3] se sustituye sustituye en la ecuación ecuación [2.7] desarrollados. resulta resulta la siguiente siguiente fórmula:
A= = F [ (l
11
+ i)" i)"
][ ][ i(l i(l + i)" ] (1 (1 + i)" i)" _ - 1
A F[. __ (l+i)"-1 (1+i)"-1
= l_·- ] A=F[-_i-_]
[2.8] (2.8]
La expresión expresión entre corchetes corchetes de la ecuación ecuación [2.8] es el factor factor de fondo de amortizaamortización o A/F, el cual determina valor anual determina la serie de valor anual uniforme uniforme que sería equivalente equivalente a un valor valor futuro determinado determinado F, lo cual se muestra muestra gráficamente gráficamente en la figura figura 2.7a. 2.7a.
La serie serie uniforme uniforme A se inicia inicia al final final del periodo periodo 1 y continúa continúa a lo largo largo del del La periodo de periodo de la F dada. dada.
uso cam
Elf
La ecuación ecuación [2.8] puede puede reordenarse reordenarse para para encontrar encontrar F para para una serie A dada en los periodos periodos 11 a n (figura (figura 2.7b). 2.7b). i)Il_1] (1 + i)"-I] F = = AA [(1+ -'----'--F i
[2.9] [2.9]
término entre corchetes corchetes se denomina denomina elÍactor esfactor de cantidad cantidad compuesta, compuesta, serie uniEl término forme (FCCSU), forme (FCCSU), o factor factor F/A. F/A. Cuando Cuando se multiplica multiplica por la cantidad cantidad anual uniforuniforme A dada, produce produce el valor valor futuro de la serie uniforme. uniforme. Es importante importante recordar recordar que la cantidad cantidad futura futura F ocurre ocurre durante durante el mismo mismo periodo periodo que la última última A. notación estándar estándar sigue sigue la misma misma forma forma que la de los otros factores. factores. Éstas La notación son (F/A,i,n) (F/A,i,n) y (A/F,i,n). La tabla tabla 2.3 resume resume las notaciones notaciones y las ecuaciones, ecuaciones, que también también se encuentran encuentran en los forros interiores interiores de este libro. Las tablas tablas 1 a 29 incluincluA/F. yen valores valores de los factores factores F/A y A/F. F=? F=?
F F== dada dada ii = = dada dada
ii = dada dada
O o
I
1
ll
r 2
n-2 n-2
n-l n-l
n
O o
I
A =? =? a)
Figura Figura 2.7 Diagramas Diagramas de flujo flujo de de efectivo efectivo para para a) determinar determinar A dada dada F, y b) determinar determinar F dada dada A.
1
r
2
n-2 n-2
( )
11 1 A
= = dada dada b)
n-l n-l
n
Est¡ en 1; la fr nati na 1 Laj
PA< Ppl
Si} entr ejen
•
SECCIÓN 2.3
TABLA
2.3
Derivación del factor de fondo de amortización
63
Factores F/A y A/F: notación y ecuaciones
Factor Notación Nombre
Encontrar /dado
(F/A,i,n)
Cantidad compuesta serie uniforme
F/A
(A/F,i,n)
Fondo de amortización
A/F
Fórmula del factor (1+i)"-l
(1+ i)" -1
Ecuación en notación estándar
Funciones de Excel
F
= A(F/A,i,n)
VF(i%,n,,A)
A
= F(A/F,i,n)
PAGO(i%,n"F)
Los factores de series uniformes se determinan simbólicamente mediante el uso de una forma de factor abreviada. Por ejemplo, F/A (F/P)(P/A), donde la cancelación de la P es correcta. Usando las fórmulas de factor se obtiene
=
-1]=
(F/A i n)=[(l+i)If][(l+iY ,, i(l + ir El factor AlF en la ecuación se resta la i.
(l+iY
-1 i
[2.8] también puede derivarse a partir del factor AlP si (AlF,i,n) = (AlP,i,n) - i
Esta relación se verifica de manera empírica en cualquier tabla del factor de interés en la parte final del texto, o matemáticamente si se simplifica la ecuación para derivar la fórmula del factor AlF. Esta relación se emplea más adelante para comparar alternativas con el método del valor anual. Para la solución por computadora, la función VF de la hoja de cálculo determina F para una serie A dada durante n años. El formato es VF(i%,Il,A,P) La P puede omitirse cuando no se da por separado algún valor presente. La función PAGO determina el valor A para n años, dado F en el año n y posiblemente un valor P por separado en el año O. El formato es
PAGO(i%,Il,P'F) Si P se omite, se debe ingresar la coma para que la computadora sepa que la última entrada es un valor F. Tales funciones se incluyen en la tabla 2.3. Los siguientes dos ejemplos incluyen las funciones VF y PAGO. EJEMPLO
2.5
;¡
Formasa Plastics tiene grandes plantas de fabricación en Texas y Hong Kong. Su presidente quiere saber el valor futuro equivalente de una inversión de capital de $1 millón cada año durante 8 años, empezando un año a partir de ahora. El capital de Formasa gana a una tasa del 14% anual.
Sol-R
64
CAPÍTULO
Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dinero
2
Solución El diagrama de flujo de efectivo (figura 2.8) muestra los pagos anuales que inician al final del año 1 y terminan en el año en que se desea calcular el valor futuro. Los flujos de efectivo se indican en unidades de $1 000. El valor F en 8 años es F
=
=
1 000(FIA,14%,8)
= $13
1 000(13.2328)
232.80
El valor futuro real será $13 232 800. La función es VF(14%,8,1000000).
~ Sol-R
F=? i = 14%
o
2
3
4
5
6
7
8
A=$IOOO
2.
Figura 2.8 Diagrama
EJEMPLO
para calcular F en una serie uniforme, ejemplo 2.5.
2.6
o
.
¿Cuánto dinero necesita depositar Carol cada año, empezando un año a partir de ahora, a 51/2% por año, para que pueda acumular $6 000 en siete años?
Solución El diagrama de flujo de efectivo desde la perspectiva factorAlF. A
de Carol (figura 2.9a) se ajusta al
= $6 000(AlF,5.5%,7) = 6 000(0.12096) = $725.76
por año
El valor del factor AlF de 0.12096 se calculó utilizando la fórmula del factor de la ecuación [2.8]. De manera alternativa, use la función PAGO como se muestra en la figura 2.9b para obtener A = $725.79 por año.
Sol-R
F
= $6000
tal 1m en de va ya en di:
eo be
do
las i
O
2
= 5~%
3
1, 4
5
6
7
S A=? a)
Figura 2.9 a) Diagrama de flujo de efectivo y b) función PAGO para calcular A, ejemplo 2.6.
va
SECCIÓN 2.4 SECCIÓN 2.4
Interpolación en tablas tablas de de interés interés Interpolación
Figura Figura 2.9 (Continuaci6n)
2.4
. INTERPOLACiÓN INTERÉS INTERPOLACIÓN EN TABLAS DE INTERÉS
Cuando no se las Cuando es necesario necesario localizar localizar el valor valor de de un un factor factor ion ion que que no se encuentra encuentra en en las tablas una de utilizando tablas de interés, interés, el valor valor deseado deseado puede puede obtenerse obtenerse en en una de dos dos formas: formas: 1. utilizando las fórmulas 2.3, o bien, bien, 2. interpolando interpolando linealmente linealmente fórmulas derivadas derivadas de de las las secciones secciones 2.1 a 2.3, entre más fácil más rápido rápido emplear las fórmulas entre los valores valores tabulados. tabulados. En En general, general, es más fácil y más emplear las fórmulas de una ya las las tiene tiene preprogramadas. preprogramadas. Además, Además, el el una calculadora calculadora u hoja hoja de cálculo cálculo que que ya valor lineal no no es valor correcto, valor obtenido obtenido a través través de la interpolación interpolación lineal es exactamente exactamente el valor correcto, ya que interpolación resulta resulta suficiente que las ecuaciones ecuaciones son son no lineales. lineales. Sin Sin embargo, embargo, la la interpolación suficiente mayoría de los los casos casos siempre siempre y cuando cuando los de ion ion no estén muy muy en la mayoría los valores valores de no estén distantes entre entre sí. distantes El primer lineal consiste los factores factores primer paso paso en en la la interpolación interpolación lineal consiste en en establecer establecer los conocidos (valores (valores 1 1y desconocidos, como como se muestra en la Se escriescriconocidos y 2) Ydesconocidos, muestra en la tabla tabla 2.4. 2.4. Se be despeja para para e, de de la la siguiente manera: be entonces entonces una una ecuación ecuación de razones razones y se despeja siguiente manera: a
b
e d
o
a cc=-d =- d b
[2.10] [2.10]
donde los números números que que se muestran muestran en en donde a, b, e y d representan representan las las diferencias diferencias entre entre los las tablas resta del valor tablas de interés. interés. El El valor valor de e de la la ecuación ecuación [2.10] [2.10] se suma suma o se resta del valor 1, dependiendo dependiendo de si el valor valor del del factor factor está está aumentando aumentando o disminuyendo, 1, disminuyendo, respectirespectivamente. procedimiento recién recién descrito. descrito. vamente. Los Los siguientes siguientes ejemplos ejemplos ilustran ilustran el procedimiento TABLA TABLA
2.4 2.4
Arreglo interpolación lineal lineal Arreglo para para la ínterpolacíón Factor Factor
;o on n
~[
b ~[
tabulado tabulado
valor 1 valor
deseado deseado
no listado listado no
tabulado tabulado
valor 2 valor
65 65
66
CAPÍTULO 2
EJEMPLO EJEMPLO
Factores: Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dinero
2.7
-:
'
Determine el valor del factor AlP AlP para una tasa de interés de 73% Determine 7.3% y n de 10 años, es decir, (AlP,73%, 10), (AlP,7.3%,1O). Solución Solución Los valores del factor AlP AlP para tasas de interés de 7 y 8% Yn Yn = 10 se indican en las tablas 12 y 13, respectivamente, 13, respectivamente.
b
l: L a
J!j
0'14238 ~ ] 0.14238
77% % 73% 7.3%
X
d
0,14903 0.14903
8%
desconocida X es el valor deseado del factor, La variable desconocida factor. De acuerdo con la ecuación [2,10], [2.10],
1 Puesto que el valor del factor está aumentando conforme conforme la tasa de interés se incrementa incrementa agregarse al valor del factor de 7%, de 7 a 8%, el valor de e debe agregarse 7%. Así, X = 0,14238 0.14238 + 0,00199 0.00199 = 0.14437 Comentario Comentario considera una buena práctica verificar lo razonable Se considera razonable de la respuesta respuesta final comprobando comprobando que X se encuentre entre entre los valores de los factores conocidos en las proporciones proporciones correccorrecaproximadamente. En este caso, ya que 0.14437 es menor que 05 tas aproximadamente. 0.5 de la distancia entre 0.14238 y 0.14903, la respuesta parece razonable. razonable. Si se aplica la ecuación [2.7], el valor exacto del factor es 0.144358.
fin. nal sur
gra cio mil un< vie ese sol am la e elc
EJEMPLO EJEMPLO
2.8 2.8
tive aps
~.
Determine Determine el valor del factor (PIF,4%,48). (P/F,4%,48). Solución Solución
[ 48%
X X
50
0.1407
2J :J
De acuerdo con la tabla 9 para un interés del 4%, los valores del factor PIF P/F para 45 y 50 años se calcula de la siguiente siguiente manera:
A/ G) Factores de gradiente aritmético (P/G (P/G y A/G)
67
Puesto que el valor del factor disminuye conforme conforme n aumenta, e se resta del valor del factor para n = 45. x = 0.1712 - 0.0183 = 0.1529
Comentario Comentario realizar interpolaciones Aunque es posible realizar interpolaciones lineales por dos vías, es mucho más sencillo y más preciso utilizar la fórmula del factor o una función de hoja de cálculo.
2.5 2.5
FACTORES ARITMÉTICO (P/G AlG) FACTORES DE GRADIENTE GRADIENTE ARITMÉTICO (P/G y y AlG)
Un gradiente aritmético es una serie efectivo que aumenta aumenta o disminuye disminuye gradiente aritmético serie de flujos flujos de efectivo en una cantidad cantidad constante. constante. Es decir, el flujo de efectivo, efectivo, ya sea ingreso ingreso o desembolso, desembolso, cambia por la misma cantidad aritmética aritmética cada cada periodo. cantidad del aumento aumento o de cambia misma cantidad periodo. La cantidad disminución es el gradiente. ejemplo, si un ingeniero ingeniero industrial industrial predice la disminución gradiente. Por ejemplo, predice que el aumentará en $ 500 anuales anuales hasta costo del mantenimiento mantenimiento de un robot robot aumentará hasta que la máquimáquina se desecha, desecha, hay una serie gradiente gradiente relacionada cantidad del gradiente gradiente es $500. relacionada y la cantidad fórmulas desarrolladas desarrolladas anteriormente anteriormente para cantidades de Las fórmulas para una serie A tienen tienen cantidades igual valor. En el caso de un gradiente, gradiente, el flujo de efectivo efectivo de cada cada fifinal de año de igual nal de año es diferente, diferente, de manera derivar nuevas fórmulas. Primero Primero manera que es preciso preciso derivar nuevas fórmulas. suponga que el flujo flujo de efectivo efectivo al final final del año 1 no forma forma parte serie del suponga parte de la serie gradiente, sino que es una cantidad cantidad base. Esto Esto es conveniente conveniente porque aplicagradiente, porque en las aplicaciones reales cantidad base general es mayor aumento o la disciones reales la cantidad base en general mayor o menor menor que el aumento minución gradiente. Por ejemplo, ejemplo, si una persona compra un automóvil automóvil usado minución del gradiente. persona compra usado con una garantía garantía de un año, se podría esperar que durante durante el primer operación tupodría esperar primer año de operación viera que pagar gasolina y el seguro. Suponga Suponga que dicho dicho costo costo es $1 500; pagar tan sólo la gasolina cantidad base. Después Después del primer es decir, $1 500 es la cantidad primer año, la persona persona tendría tendría que solventar el costo costo de las reparaciones, esperaría que tales costos costos solventar reparaciones, y razonablemente razonablemente se esperaría aumentaran cada cada año. Si se estima estima que los costos costos totales aumentarán en $50 cada cada año, aumentaran totales aumentarán cantidad al segundo segundo año sería $1 550, al tercero, sucesivamente hasta la cantidad tercero, $1 600, y así sucesivamente hasta cuando el costo costo total diagrama de flujo de efecefecel año n, cuando total sería $1 550 + (n - 1)50. El diagrama tivo para operación se muestra figura 2.10. Observe Observe que el gradiente gradiente ($50) para esta operación muestra en la figura aparece por primera entre los años 11yy 2, Yla cantidad base igual al gradiente. gradiente. aparece primera vez entre Yla cantidad base no es igual símbolo G para gradientes se define define como: El símbolo para los gradientes como: = cambio cambio aritmético aritmético constante constante en en la magnitud de los los ingresos ingresos o desembolsos desembolsos G= magnitud de de un siguiente; G puede ser positivo de un periodo periodo al siguiente; puede ser positivo o negativo. negativo.
Figura 2.10 2.10 Figura Diagrama de de una serie Diagrama una serie gradiente aritmético aritmético con con gradiente una cantidad base de una cantidad base de 500 Y un gradiente de de $1 500 un gradiente $50. $50.
68
CAPÍTULO
Figura 2.11
O
2
Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dinero
2
3
4
n- 1
5
n
fw
Serie gradiente aritmético convencional sin la cantidad base.
el
pn fw
G 2G 3G 4G
su de
(n - 2)G (n - I)G
El flujo de efectivo en el año n (CFn) se calcula como CF
:::
l1
base + (n -
cantidad
Si se ignora la cantidad base, se puede construir un diagrama de flujo de efectivo generalizado de gradiente aritmético (creciente), como se muestra en la figura 2.11. Observe que el gradiente empieza entre los años 1 y 2. A éste se le denomina gradiente
Fa
convencional.
Al Una compañía de ropa deportiva ha iniciado un programa para registrar su logo. Espera obtener ingresos de $80 000 por derechos el próximo año por la venta de su logo. Se espera que los ingresos por derechos se incrementen de manera uniforme hasta un nivel de $200 000 en 9 años. Determine el gradiente aritmético y construya el diagrama de flujo de efectivo. Solución La cantidad base es $80 000 y el aumento total de ingresos es Aumento en 9 años = 200 000 - 80 000 = 120 000
Le
Gradiente = aumento
se ce
n-l 120 000 = --= $15000
~ por ano
9-1
ot
El diagrama de flujo de efectivo se muestra en la figura 2.12. G = $15000
$200000 $185000 $170000
L,
$155000 $140000
(si 2. 2. en
$125000 $110000 $95000 $80000
1
t
O
2
3
4
Figura 2.12 Diagrama para la serie gradiente,
ejemplo 2.9.
5
6
7
8
9
Año
o
SECCIÓN SECCIÓN 2.5
Factores Factores de gradiente gradiente aritmético aritmético (P/G y A/G) A/G)
En el presente derivan tres factores presente texto se derivan factores para para los gradientes gradientes aritméticos: aritméticos: el factor PIG AlG para PIG para para el valor valor presente, presente, el factor factor AlG para serie anual y el factor factor FIG FIG para para el valor valor valor futuro. Existen Existen varias varias formas para para derivarlos. derivarlos. Aquí Aquí se usa el factor factor de valor presente presente con pago pago único (PIF,i,n); (PIF,i,n); aunque aunque se llega llega al mismo mismo resultado resultado utilizando utilizando los factores FIA o PIA. factores FIP, FIP, FIA PIA. En la figura 2.11 2.11 el valor valor presente presente en el año O sólo del gradiente gradiente es igual igual a la suma de los valores presentes de los pagos valores presentes pagos individuales, individuales, donde donde cada cada valor valor se consiconsicomo una cantidad cantidad futura. futura. dera como P == G(P/F,i,2) . G(P/F,i,2) + +2G(P/F,i,3) 2G(P/F,i,3) + +3G(P/F,i,4) 3G(P/F,i,4) + +..... +[(n - 2)G](P/F,i,n 1) + [en --1)G](P/F,i,n) l)G](P/F,i,n) 2)G](P/F,i,n --1)
La expresión expresión entre corchetes corchetes que se encuentra encuentra a la izquierda izquierda es la misma misma que la que presenta en la ecuación ecuación [2.4], donde donde se derivó el factor PIA. PIA. Sustituya Sustituya la forma se presenta cerrada cerrada del factor factor PIA PIA de la ecuación ecuación [2.6] [2.6] en la ecuación ecuación [2.13] [2.13] y despeje despeje P para para obtener obtener una relación relación simplificada. simplificada.
_11_]
ir -
_'_1 _] ir
P_ G 1 G[[ (1 (1+ i(l + i)" i)/1 - (1 (1+ if . - i i(l
[2.14]
La ecuación ecuación [2.14] es la relación relación general general para para convertir convertir un gradiente gradiente aritmético aritmético G (sin incluir incluir la cantidad cantidad base) para para n años en un valor valor presente presente en el año O. O.La figura La figura 2.13a se convierte en el flujo de efectivo equivalente que se indica en la figura 2.13a convierte efectivo equivalente indica figura 2.13b. factor de valor presente de gradiente factor PIG, 2.13b. El factor valor presente gradiente aritmético, aritmético, o factor PIG, se expresa expresa en dos formas formas distintas: distintas:
n)
irr ir
n_]ir
= !![(1 + i --1l ___ _ n_ ] P/G i n) = [ (1 + (P/G (1+ i)" , , i i(1 + (1
Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dinero
Figura 2.13 Diagrama de conversión de un gradiente aritmético a un valor presente.
t
p=? i=d~a 0I----+ __ 2+----13_-+4
__
H__ n_-+-l---ln
O
-.
pOI
del
_-+ __21-1--t~--+~---jf
fl-_n_-+-l----1n
de!
fun
cel efe
G 2G 3G (n - 2)G
mu la r
(n - l)G
a)
b)
Recuerde: el gradiente empieza en el año 2 y P está ubicado en el año O. La ecuación [2.14], expresada como una relación de ingeniería económica, tiene la siguiente forma: P
= G(P/G,i,n)
[2.16]
La serie anual uniforme equivalente (valor A) de un gradiente aritmético G se calcula multiplicando el valor presente de la ecuación [2.16] por la expresión del factor (A/P,i,n). En forma de notación estándar, el equivalente de la cancelación algebraica de P se utiliza para obtener el factor (A/G,i,n).
La expresión entre corchetes en la ecuación [2.17] se denomina elfactor de gradiente aritmético de una serie uniforme y se identifica por (A/G,i,n). Este factor convierte la figura 2.14a en la figura 2.14b. Figura 2.14 Diagrama de conversión de una serie gradiente aritmético a una serie anual uniforme equivalente.
A =?
,Jj
i = dado
O
2
3
4
n - 1
n
-
O
2
3
4
n - 1
n
De
don gra
•
1
11 r
s
G 2G 3G (n - 2)G
(n - l)G
e
(J
SECCIÓN 2.5
Factores de gradiente aritmético (P/G (P/G y A/G) A /G)
Los factores factores PIG y AlG interior de la A1G Y las relaciones relaciones se resumen resumen en el forro interior portada. Los valores factores se tabulan columnas situadas situadas más a la portada. valores de los factores tabulan en las dos columnas derecha en las tablas factores 1 a 29, al final de este libro. derecha tablas de factores No existe existe una función función directa directa de celda celda individual individual en una hoja hoja de cálculo cálculo para para determinar P o A con un gradiente gradiente aritmético. aritmético. Utilice función VNP determinar Utilice la función VNP para para P, y la después de que todos los flujos de efectivo efectivo se ingresen ingresen en las función PAGO para para A, después celdas. (El uso de las funciones para este tipo de series funciones VNP y PAGO para series de flujo de efectivo se analizan analizan en el capítulo capítulo 3.) efectivo Se puede puede derivar factor FIG (factor gradiente aritmético, aritmético, valor valor futuro) futuro) al derivar un factor (factor gradiente multiplicar FIP. El factor resultante, (FIG,i,n), entre multiplicar los factores factores PIG y FIP. factor resultante, entre corchetes, corchetes, y relación de ingeniería ingeniería económica económica son la relación
valor presente presente total total P T para El valor gradiente debe considerar considerar por separado para una serie gradiente por separado base y el gradiente. gradiente. En consecuencia, consecuencia, para efectivo que impliimplila base para series de flujo de efectivo gradientes convencionales: convencionales: quen gradientes • • •
La cantidad uniforme que empieza cantidad base base es la cantidad cantidad A de serie uniforme empieza en el año 1 y se extiende hasta el año n. Su valor valor presente presente se simboliza PAextiende hasta simboliza con PAPara un gradiente gradiente debe agregarse Para gradiente creciente, creciente, la cantidad cantidad gradiente agregarse a la cantidad cantidad de la serie uniforme. uniforme. El valor valor presente presente es P c. Para un gradiente restarse de la cantiPara gradiente decreciente, decreciente, la cantidad cantidad gradiente gradiente debe restarse cantidad de la serie uniforme. uniforme. El valor valor presente presente es -P c. -Pc.
Las ecuaciones ecuaciones generales para calcular valor presente presente total total P T de los gradientes generales para calcular el valor gradientes aritméticos convencionales convencionales son aritméticos PT=P: PT=P. - r¿ 1 1 +P c
PT=P YY PT=P -PG A A -Pe
[2.18]
De manera totales equivalentes manera similar, las series anuales anuales totales equivalentes son [2.19] cantidad base cantidad anual equivalente equivalente de la serie base anual y Ac Ac es la cantidad donde AA es la cantidad gradiente. gradiente. EJEMPLO EJEMPLO
2.10
emplear recursos fiscales ya destinados Tres condados adyacentes en Florida acordaron emplear condado. En una junta para remodelar remodelar los puentes mantenidos por el condado. junta reciente, los ingenieestimaron que, al final del próximo año, se depositará depositará un total de ros de los condados estimaron $500000 en una cuenta para la reparación de los viejos puentes de seguridad dudosa que $500000 se encuentran en los tres condados. Además, estiman que los depósitos aumentarán en $100000 por año durante 9 años a partir de ese momento, y luego cesarán. Determine las $100000 equivalentes de a) valor presente presente y de b) serie anual, si los fondos del condado cantidades equivalentes ganan intereses a una tasa del 5% anual.
71
Sol-R
72
CAPÍTULO 2
Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dinero Factores:
o o
2
3
$600 $600
$700 $700
4
5
$800 $800
$900 $900
6
7
8
9
10
$500 $500
$1000 00 $1000 $ $11 1100
$1200 $1200
$1300 $1300
$1400 $1400
Figura Figura 2.15 2.15 Serie Serie de de flujos flujos de de efectivo efectivo con con un gradiente gradiente aritmético aritmético convencional convencional (en (en 2.10. unidades de unidades de $1000), $1000), ejemplo ejemplo 2.10.
s
Solución Solución a) El diagrama diagrama de flujo de efectivo desde la perspectiva a) perspectiva del condado se muestra muestra en la figura 2.15. Se deben realizar realizar dos cálculos y luego se tiene que sumar: el primero presente del para el valor presente de la cantidad base PAoAo y el segundo para el valor presente presente total P T ocurre en el año O, lo cual se indica mediante gradiente gradiente P G' El valor presente la partición del diagrama de flujo de efectivo de la figura 2.16. En unidades de $1 000, el valor presente, a partir de la ecuación [2.18] es
%,10) PTT = 500(PIA,5 P 500(PlA,5%,1O)
+ 100(PIG,5%, 100(PIG,5%,1O)1O)
= 500(7.7217) + 100(31.652) = $7 026.05 b)
($7026050) ($7026050)
También aquí es necesario considerar ya la cantidad base. considerar por separado al gradiente ya AT se encuentra La serie anual total AT encuentra usando la ecuación [2.19] [2.19).. ATT== A
($909910) = $909.91 por año ($909910) y 10. y Ar AT ocurre desde el año 1 hasta el año 10.
Comentario Comentario Recuerde: Recuerde: los factores PIG PIG y AlG AlG determinan el valor presente presente y la serie anual sólo del gradiente. Cualquier Cualquier otro flujo de efectivo debe considerarse considerarse por separado. multiplicarse Si el valor presente presente ya está calculado [como en el inciso a)], a)), PTT puede multiplicarse AlP apropiado para obtener ATA T. por el factor AlP
El redondeo explica la diferencia diferencia de $40.
($909870) ($909870)
Laf tricc
SECCIÓN 2.6 SECCIÓN
PGf PGf: :~= ~= $100
PA = : = $500
$100
trr11 12
Factores para para series series gradiente gradiente geométrico geométrico Factores
~ ~
910
+
11
$lOO $100
Base Base
910 910
Gradiente Gradieote $900 $900
2
3
$600 $600
$700 $700
4
5
6
8
7
9
10
$500 $500
$800 $800
$900 $1000 $900
$1 000 $1 100 $
$1 100
Figura 2.16 2.16 Figura
1200 $1200
$1300 $1300
$1400 $1400
Diagrama de flujo de de efectivo efectivo con con partición partición (en (en unidades unidades de de $1000), $1000), ejemplo ejemplo 2.10. 2.10. Diagrama de flujo
Ejemplo adicional adicional 2.16. Ejemplo 2.6 2.6
FACTORES PARA SERIES FACTORES GRADIENTE GEOMÉTRICO GEOMÉTRICO GRADIENTE
común que las series series de flujo de efectivo, efectivo, tales como los costos costos de operación, operación, los Es común construcción y los ingresos, ingresos, aumenten aumenten o disminuyan disminuyan de un periodo periodo a otro costos de construcción mediante un porcentaje constante, por ejemplo, ejemplo, 5% anual. Esta Esta tasa de cambio unimediante porcentaje constante, cambio unidefine una serie gradiente efectivo. Además Además de los forme define gradiente geométrico geométrico de flujos de efectivo. utilizados hasta hasta el momento, momento, ahora ahora se necesita necesita el término término símbolos i y n utilizados
mediante la cual gg = = tasa de cambio cambio constante, constante, en forma forma decimal, decimal, mediante cantidades aumentan aumentan o disminuyen periodo al siguiente siguiente las cantidades disminuyen de un periodo figura 2.17 presenta presenta diagramas diagramas de flujo de efectivo efectivo para para series gradiente gradiente geomégeoméLa figura uniformes de aumento aumento o disminución. disminución. La serie empieza empieza en el año 1 a trico con tasas uniformes
73
74
CAPÍTULO CAPÍTULO 2
Factores: Factores: cómo cómo el tiempo tiempo y el interés interés afectan afectan al dinero dinero
pg = ?•
El
dada i = dada dada g == dada
oo
2
i = dada dada gg dada dada
==
4
3
oo
n
,
22 3 3 4
(
'----Al
!-A-(l - -1 -/f-A-(l
L- -
AI(l +g)
-
AI(l _ g? g)3 - AJ(1
........
AI(l+ gf AI(1 +
:j ':-J n
4
....
:7/
g? -'"
Jl
--
)" ),, - J1 g
En
cu pe
AI(l _ g)2 .", " A,(l-g?
""
'// '// A,(1 - g) AI(lg) '/
AI(l + g)" -
A, Al
l
b)
a)
Figura 2.17 Figura 2.17 Diagrama de de flujo flujo de de efectivo efectivo de de una una serie serie gradiente gradiente geométrico geométrico a) a) creciente creciente y b) b) decreciente decreciente y valor valor presente presente Pe' p •. Diagrama
una cantidad A" la cual no se considera cantidad inicial Al, considera una cantidad cantidad base, base, como en el gradiente gradiente aritmético. para determinar determinar el valor valor presente Pg para serie aritmético. La relación relación para presente total total Pg para toda toda la serie de flujo puede derivarse cada flujo de efectivo figura flujo de efectivo efectivo puede derivarse al multiplicar multiplicar cada efectivo en la figura 2.17 a por por el factor factor PlF: i)/l. 2.17a PIF: 1/(1 + iy.
Es mi fUI
sal
P = =~+ A,(l+g) A,(1+g)2 ... + A A,(l+g)"-' _A_I _ + A I (I+g) + A I (1+g)2 + ... I (1+g)"-1 g (1+i)1 (1+i)1 (1+i)3 (1 + ir i)" (1+ i)l (1+ i)l (1+ i)3 (1+
P (1 + g _ 1) _ A[(I+g)" A [ (1+ g p(l+g_I) __1_] g 11+ +i - 11 (1 + i)"+1 +i (1+ ir+l 11+
despeja Pg Pg y se simplifica. simplifica. Se despeja
g)/I) l-(~)/lJ
[
g:t= i g;t
[2.21]
¡-g z-g
término entre corchetes corchetes en la ecuación ecuación [2.21] es el factor de valor presente presente de la El término gradiente geométrico geométrico para valores de g que no son iguales a la tasa de interés serie gradiente notación estándar estándar usada es (PlA,g,i,n). (P/A,g,i,n). Cuando Cuando g == i, sustituya sustituya ii por g en la i. La notación ecuación ecuación [2.20] para obtener obtener 1 1 1 1 ) Pg = Al ( (1+ i) + (1 + i) + (1 + i) + ... + (1 + i)
A.
un
multiplican ambos lados por (1 (1 + g)/(1 g)/(l + i), se resta la ecuación ecuación [2.20] del resulresulSe multiplican factoriza Pg Pg y se obtiene: tado, se factoriza
1+ ( Pg = Al 1.1+i ~ = Al [ .1+i
re¡ lo
•
SECCIÓN 2.6
Factores para series gradiente geométrico
El término término 1/(1 + i) aparece aparece n veces, de modo que
P=~ P=~ g
[2.22]
(1 + i) (1
En resumen, resumen, la relación relación de ingeniería ingeniería económica económica y las fórmulas fórmulas de factor factor para para calcular P P,g en el periodo periodo t = = O para para una serie gradiente gradiente geométrico geométrico que inicia inicia en el cular periodo aumenta por una tasa constante periodo, son periodo 1 en la cantidad cantidad A 11 Y Yaumenta constante de g cada periodo,
r,y =A¡(PIA,g,i,n) =A¡(P/A,g,i,n) P
(PIA.g,i,II)=- =. (PIA.g,i,l/)
ii+g +g
n 1+i l+i
[2.23]
g:;é: s= ii [2.24]
gg =. =- i
posible derivar derivar factores factores para para los valores valores equivalentes equivalentes de A y F; sin embargo, embargo, es Es posible determinar la cantidad cantidad Pgy luego luego multiplicarla multiplicarla por los factores factores AlP AlP o FIP. FIP. más fácil determinar Como con las series de gradiente gradiente aritmético, aritmético, en las hojas de cálculo cálculo no existen existen Como funciones directas directas para para las series gradiente gradiente geométrico. geométrico. Una Una vez que se han ingreingrefunciones efectivo, P y A se determinan determinan usando usando las funciones funciones VPN VPN y PAGO, sado los flujos de efectivo, respectivamente. Sin embargo, embargo, siempre siempre es una opción opción desarrollar desarrollar en la hoja de cálcurespectivamente. función que utilice utilice la ecuación ecuación del factor factor para para determinar determinar un valor valor de P, F o lo una función ejemplo 2.11 se demuestra demuestra este enfoque enfoque para para encontrar encontrar el valor valor presente presente de A. En el ejemplo gradiente geométrico geométrico con las ecuaciones ecuaciones [2.24]. una serie gradiente EJEMPLO
. t'<
2.11
lnc., desarrollaron desarrollaron una Los ingenieros del SeaWorld, una división de Busch Gardens, lnc., modificación innovación en un deporte acuático existente para hacerlo más excitante. La modificación $8 000 y se espera que dure 6 años con un valor de salvamento de $1 $1 300 para cuesta sólo $8000 mantenimiento sea de $1 700 el primer el mecanismo solenoide. Se espera que el costo de mantenimiento 11% anual en lo sucesivo. Determine el valor presente equivalente de año, y que aumente 11 modificación y del costo de mantenimiento, mantenimiento, tanto a mano como con computadora. La la modificación tasa de interés es de 8% anual. Solución a mano mano Solución
El diagrama de flujo de efectivo (figura 2.18) muestra el valor de salvamento como un negativos. Con la ecuación [2.24] y g '" 7: flujo de efectivo positivo y todos los costos como negativos. r, La PTT total es i calcule Pg.
Figura Figura 2.18 2.18 Diagrama Diagrama de flujo flujo de efectivo efectivo de un gradiente gradiente geométrico, geométrico, ejemplo ejemplo 2.11. 2.11.
Factores: Factores: cómo cómo el tiempo tiempo y y el interés interés afectan afectan al dinero dinero
Figura Figura 2.19 2.19 Hoja Hoja de cálculo cálculo para determinar para determinar el valor valor presente presente de un gradiente gradiente geométrico geométrico con con g= %, ejemplo = 1111%, ejemplo 2.11 2.11..
I
Solución por por computadora computadora La figura figura 2.19 2.19 presenta presenta una una hoja hoja de cálculo cálculo con con el valor valor presente presente total total en en la celda celda B13. Bl3. La La La función función usada usada para para determinar determinar PTr== $-17,305.89 $-17,305.89 se detalla detalla en la etiqueta etiqueta de la celda. celda. Se Se trata trata de la la ecuación ecuación [2.25] [2.25] reescrita. reescrita. Puesto Puesto que que es compleja, compleja, las celdas celdas de las las columnas columnas C y D también tres elementos P"/", los también contienen contienen los los tres elementos de P"f, los cuales cuales se resumen resumen en D13 D13 para para llegar llegar al mismo mismo resultado. resultado.
~=~UlVl~VO:v~1 ,305[.~89~:==~t-j$I 17[,~30~5D.8~9U:::::::~r===2 __ -$17.305.89 I =+
-$17 r=t-$17,305.8911
i .
SECCIÓN SECCIÓN 2.7
2.7 2.7
Cálculo Cálculo de tasas tasas de interés interés desconocidas desconocidas
77
CÁLCULO CÁLCULO DE TASAS DE INTERÉS DESCONOCIDAS DESCONOCIDAS
En algunos dinero depositado algunos casos se conocen conocen la cantidad cantidad de dinero depositado y la cantidad cantidad de dinero recibido recibido luego luego de un número número especificado especificado de años, pero se desconoce desconoce la tasa de interés o la tasa de rendimiento. involucrados una cantidad única, rendimiento. Cuando Cuando hay involucrados cantidad única, una serie uniforme, pueuniforme, o un gradiente gradiente convencional convencional uniforme, uniforme, la tasa desconocida desconocida puedeterminarse para para i por una solución solución directa directa de la ecuación ecuación del valor del dinero de determinarse dinero embargo, cuando cuando hay pagos pagos no uniformes uniformes o muchos muchos factores, factores, el en el tiempo. Sin embargo, problema debe resolverse resolverse empleando empleando un método método de ensayo ensayo y error error o un método método problema numérico. Los problemas problemas más complicados complicados se estudiarán estudiarán en el capítulo capítulo 7. numérico. fórmulas de pago pago único pueden pueden reordenarse reordenarse con facilidad facilidad y expresarse expresarse en Las fórmulas términos de i, pero para para las ecuaciones ecuaciones de serie uniforme gradientes, comúncomúntérminos uniforme y de gradientes, resolver para valor del factor determinar la tasa de interés mente es necesario necesario resolver para el valor factor y determinar interés partir de las tablas de factores factores de interés. interés. Ambas Ambas situaciones situaciones se ilustran ilustran en los a partir siguientes ejemplos. ejemplos. siguientes
EJEMPLO EJEMPLO
2.1 2
Laurel puede puede hacer hacer una una inversión inversión de negocios negocios que que requiere requiere un gasto gasto de $3 000 ahora ahora Si Laurel con el objetivo objetivo de recibir recibir $5 000 dentro dentro de cinco cinco años, años, ¿cuál ¿cuál sería sería la tasa tasa de rendimiento rendimiento con sobre la inversión? inversión? Si Laurel Laurel puede puede recibir recibir 7% 7% anual anual de intereses intereses de un certificado certificado de sobre de depósito, ¿qué inversión debe debe realizarse? realizarse? depósito, ¿qué inversión Solución Solución Como sólo sólo hay hay fórmulas fórmulas de pago pago único único en este este problema, problema, la puede determinarse determinarse directadirectaComo la i puede mente a partir partir del del factor factor PIF. P/F. mente 11 P= i n) = = F(PIF F(P/F,i,n) = F_ F_ __ , , (1 (1+i)" +
1 1 = 5 000000- -5 33000 000 =
ir
(1 +i) +i) (1
5
1 0.600 = = (1 (1+ i)5 i= ( i=
1
)0.22 )0.
0.6
(10.76%) -1=0.1076 (10.76%) -1=0.1076
Alternativamente, la tasa tasa de de interés interés puede puede encontrarse encontrarse estableciendo estableciendo la relación relación PIF en Alternativamente, en notación estándar, estándar, resolviendo resolviendo para para el valor valor del del factor factor e interpolando interpolando en las las tablas. tablas. notación P== F(PIF,i,n) F(P/F,i,n) P
De acuerdo acuerdo con con las las tablas tablas de interés, interés, un factor factor PIF de 0.6000 para para n = 5 se encuentra encuentra entre De entre 11%. Interpolando entre entre estos estos dos dos valores, valores, se obtiene obtiene i = = 10.76%. 10.76%. 10 y 11 %. Interpolando
Cap. Cap. 7
78
CAPÍTULO 2 CAPÍTULO
Factores: cómo Factores: cómo el tiempo tiempo y el interés interés afectan afectan al dinero dinero
Puesto que que 10.76% 10.76% es Puesto es mayor mayor que que el 7% 7% disponible disponible en en certificados certificados de de depósito, depósito, LauLaurel debería realizar realizar la inversión rel debería inversión de de negocios. negocios. Como Como se recibirá recibirá la la mayor mayor tasa tasa de rendirendimiento en la inversión inversión del miento del negocio, negocio, es probable probable que que Laurel Laurel seleccione seleccione esta esta opción opción en en lugar lugar los certificados certificados de depósito. especificó el grado grado de riesgo riesgo asociado asociado de los depósito. No No obstante, obstante, no se especificó con la inversión inversión financiera. financiera. En con En efecto, efecto, el riesgo riesgo constituye constituye un parámetro parámetro importante importante y con con frecuencia conduce conduce a la frecuencia la elección elección de de la la inversión inversión con con la la menor menor tasa tasa de rendimiento. rendimiento. A A menos que que se especifique especifique lo contrario, menos contrario, en en los los problemas problemas en en este este texto texto se considerará considerará igual igual riesgo para para todas riesgo todas las alternativas. alternativas.
~ ~ Sol-E Sol·E
función TIR de la hoja La función hoja de cálculo cálculo es una de las más útiles útiles de todas las dispodisponibles. TIR significa significa tasa interna interna de rendimiento (internal rate ofreturn), rendimiento (internal ofreturn), que es un tema de interés interés en sí mismo, tema mismo, analizado analizado con detalle detalle en el capítulo capítulo 7. Sin embargo, embargo, incluso en la etapa etapa inicial inicial del análisis incluso análisis de la ingeniería ingeniería económica, económica, la función función TIR puede utilizarse utilizarse con beneficio puede beneficio para para determinar determinar la tasa de interés interés (o tasa de rendirendimiento), para para cualquier cualquier serie serie de flujos de efectivo efectivo que se ingrese ingrese en una serie de miento), una serie celdas contiguas contiguas de la hoja de cálculo, celdas cálculo, ya sea en forma forma vertical vertical u horizontal. horizontal. Es muy importante que cualesquiera cualesquiera años (periodos) (periodos) con flujo de efectivo importante efectivo cero cero tengan tengan una una entrada de 'O' en la celda. celda. Una suficiente, ya que entrada Una celda celda que se deja deja en blanco blanco no es suficiente, función TIR desplegaría desplegaría un valor formato básico la función valor incorrecto incorrecto de i. El formato básico es TIR(firsCccll:lasCccll) TIR(tirsCccll:lasCccll) FirsCcell y lasCcell last cell son las referencias FirsCcell referencias de las celdas celdas para para el inicio inicio y final de la serie efectivo. El ejemplo de flujos de efectivo. ejemplo 2.13 ilustra ilustra la función función TIR. también muy útil, es una alternativa TASA, también alternativa a TIR. TASA es una una función función de una celda que despliega despliega la tasa de interés celda interés compuesto compuesto (o tasa tasa de rendimiento) rendimiento) sólo cuancuanefectivo anuales, do los flujos de efectivo anuales, es decir, los valores valores A, son los mismos. mismos. Se pueden pueden ingresar valores valores presente presente y futuro formato es ingresar futuro diferentes diferentes del valor valor A. El formato TASA(number -ycars,A,P,F) TASA(number-ycars,A,P,F) incluye la cantidad El valor F no incluye cantidad A que ocurre ocurre en el año n. No es necesario necesario ingresar ingresar cada flujo de efectivo efectivo dentro cada dentro de las celdas celdas de la hoja hoja de cálculo cálculo para para usar usar TASA, de función debería modo que esta función debería utilizarse utilizarse siempre siempre que exista exista una una serie uniforme uniform! durante n años con valores valores establecidos ejemplo 2.13 ilustra durante establecidos asociados asociados P y/o F. El ejemplo ilustra la función TASA. función
EJEMPLO EJEMPLO
2.13 2.13
s (
o 1 q e b ti
.;:: Professional Engineers, Engineers, Inc., $500 por Professional Inc., requiere requiere colocar colocar $500 por año año en en la cuenta cuenta de de un fondo fondo de de amortización para para cubrir cubrir cualquier campo. amortización cualquier reparación reparación mayor mayor inesperada inesperada en el el equipo equipo de de campo. En un caso, caso, $500 $500 se depositaron depositaron a 15 años $10 000 años y cubrieron cubrieron un un costo costo de reparación reparación de $10 000 año 15. ¿Qué ¿Qué tasa tasa de en el año de rendimiento rendimiento ofreció ofreció esta esta práctica práctica a la la compañía? compañía? Resuelva Resuelva a mano y con con la ayuda ayuda de mano de una una computadora. computadora.
ej U dI
el
SECCIÓN 2.7 SECCIÓN 2.7
79
Cálculo de de tasas de interés interés desconocidas desconocidas Cálculo tasas de
Solución a mano mano Solución El diagrama diagrama de flujo flujo de de efectivo efectivo se muestra en la figura figura 2.20. 2.20. Cualquiera Cualquiera de de los los factores, factores, muestra en AlF AlF o F/A, puede puede utilizarse. utilizarse. Si se utiliza utiliza AlF: AlF: A= = F(AlF,i,n) F(AlF,i,n) 500 = 10 000(AlF,i,15) 000(AlF,i,15) 500 (AlF,i,15) = 0.0500 0.0500 (AlF,i,15) Según las tablas interés 8 y 9, bajo columna AlF AlF para años, el valor 0.0500 se para 15 años, valor 0.0500 Según tablas de interés bajo la columna encuentra entre entre 3 y 4%. interpolación, i = 3.98% 3.98% (que (que se considera considera un bajo bajo rendimienrendimienencuentra 4%. Por Por interpolación, to para de ingeniería). ingeniería). para un proyecto proyecto de
F=$LOOOO F=$LOOOO i =? =?
oo
2
3
4
5
6
7
8
9
10 la
11 11
12
13
14 15
A = $500 $500
Figura 2.20 Figura 2.20 Diagrama determinar la tasa de rendimiento, Diagrama para determinar rendimiento, ejemplo 2.13.
Solución por por computadora computadora Solución Consulte diagrama de flujo flujo de efectivo efectivo (figura (figura 2.20), completa la hoja de Consulte el diagrama 2.20), mientras mientras completa hoja de cálculo (figura (figura 2.21). aplicar una solución de de una sola celda celda usando función cálculo 2.21). Se puede puede aplicar una solución una sola usando la función TASA, ya que A = = $-500 $-500 ocurre ocurre cada cada año año y el valor valor F = = $10,000 $10,000 se presenta TASA, ya que presenta en el último último año de de la serie. serie. La La celda celda A3 contiene la función función TASA(15,-500" TASA(l5,-500" 10000), y la respuesta año A3 contiene 10000), la respuesta que se despliega despliega es 3.98%. 3.98%. El El signo signo menos en 500 500 indica indica el depósito depósito anual. anual. Es necesaria la necesaria la que menos en coma adicional adicional para indicar que que ningún está presente. función es rápida, coma para indicar ningún valor valor P está presente. Esta Esta función rápida, pero pero sólo permite limitada sensibilidad sensibilidad en el análisis; análisis; todos los valores que camcamsólo permite una una limitada todos los valores A tienen tienen que biar por cantidad. La función TIR TIR es mucho del biar por la misma misma cantidad. La función mucho mejor mejor para para responder responder preguntas preguntas del tipo "¿y qué qué pasa si ..... 1" ?" tipo "¿y pasa si. Para función TIR TIR y obtener obtener la misma ingrese el valor Para aplicar aplicar la función misma respuesta, respuesta, ingrese valor O en una una celda (para (para el año año O), O), seguido seguido de -500 -500 para años y 9,500 9,500 (de (de 10,000 10,000 - 500) 500) en en el año año 15. para 14 años celda La figura 2.21 contiene estos en las las celdas celdas D2 función La figura 2.21 contiene estos números números en D2 a D17. D17. Ingrese Ingrese la función TIR(D2:DI7) en cualquier cualquier celda celda sobre sobre la la hoja cálculo. Se despliega despliega la respuesta TIR(D2 :DI7) en hoja de cálculo. respuesta i = 3.98% en la celda celda E3. aconsejable ingresar ingresar el número de años años O hasta (15, en este este 3.98% E3 . Es Es aconsejable número de hasta n (15, ejemplo) en en la columna columna inmediatamente inmediatamente a la izquierda izquierda de de las las entradas entradas de de flujo flujo de de efectivo. efectivo. ejemplo) La función TIR TIR no necesita estos números, que la actividad actividad de de ingresar ingresar el flujo flujo La función necesita estos números, pero pero hace hace que efectivo sea sea más sencilla y más exacta. Ahora cambiar cualquier cualquier flujo flujo de de de efectivo más sencilla más exacta. Ahora se puede puede cambiar efectivo, y se desplegará desplegará de de inmediato inmediato una TIR. efectivo, una nueva nueva tasa tasa vía vía TIR.
Sol-R Sol-R
~
~Sol-E Sol-E
80
CAPÍTULO 2 CAPÍTULO
Factores: cómo cómo el tiempo tiempo y el interés interés afectan afectan al dinero dinero Factores:
•
2.~
s Figura Figura 2.21 Solución 2.13. Solución con con hoja hoja de cálculo cálculo para para tasa tasa de rendimiento rendimiento usando usando las las funciones funciones TASA TASA Y Y TIR, TIR, ejemplo ejemplo 2.13.
2.8
CÁLCULO CÁLCULO DEL NÚMERO NÚMERO DE AÑOS AÑOS DESCONOCIDOS DESCONOCIDOS
Para rendimiento estaPara que una serie de flujos de efectivo efectivo proporcione proporcione una tasa tasa de rendimiento blecida, (periodos) requerequeblecida, algunas algunas veces es necesario necesario determinar determinar el número número de años (periodos) ridos. Otras veces dinero estarán estarán veces se desea desea saber cuándo cuándo determinadas determinadas cantidades cantidades de dinero disponibles a partir partir de una inversión inversión propuesta. propuesta. En ambos ambos casos, casos, la incógnita disponibles incógnita es n. Para sección anteantePara encontrar encontrar esta variable variable se utilizan utilizan técnicas técnicas similares similares a las de la sección rior. Algunos manipulación de Algunos problemas problemas se resuelven resuelven directamente directamente para para n con una manipulación las fórmulas calcula usando usando fórmulas de pago único y de serie uniforme. uniforme. En otros casos, casos, n se calcula interpolación interpolación en las tablas de interés, interés, como se verá más adelante. adelante. La función rápidamente el función NPER NPER de la hoja de cálculo cálculo es útil para para encontrar encontrar rápidamente número formato es número de años (periodos) (periodos) n para para valores valores dados de A, P y/o F. El formato Sol-R Sol-R
NPER(i%,A,P,F) NPER(i%,A,P,F)
involucrado el valor futuro F, éste se omite; no obstante, obstante, deben Si no está involucrado deben ingresarse ingresarse presente P y una cantidad cantidad uniforme uniforme A. La entrada entrada A puede un valor presente puede ser cero cero sólo cuando cuando se conocen conocen cantidades cantidades únicas únicas P y F, como como en el ejemplo ejemplo siguiente. siguiente. Al menos una de las entradas para obtener obtener una una entradas debe tener tener un signo opuesto opuesto a las otras para respuesta de NPER. respuesta
Se cáh ría erre ger res
•
SECCIÓN 2.9 SECCIÓN 2.9
EJEMPLO EJEMPLO
2.14
Aplicación de las las hojas hojas de de cálculo-análisis cálculo-análisis de de ~ensibilidad ~ensibilidad básico básico Aplicación
81 81
.
¿Cuánto tiempo tomará tomará duplicar duplicar $1 000 000 si la la tasa tasa de interés interés es del del 5% anual? ¿Cuánto tiempo 5% anual?
Solución Solución valor n se determina determina ya ya sea mediante el factor FIP o el factor factor PIF. PIF. Utilizando factor El valor sea mediante factor FIP Utilizando el factor PIF, PIF, P = F(PlF,i,n) F(PIF,i,n)
Según la tabla tabla de de interés, interés, en valor 0.500 años. Por Por Según la en 5% el valor 0.500 se encuentra encuentra entre entre 14 y 15 años. interpolación, n = 14.2 14.2 años. interpolación, años. Use Use la la función función NPER(5%,0,-1000,2000) NPER(5%,0,-1000,2000) para para desplegar desplegar un un valor 14.21 años. de 14.21 años. valor n de
2.9
Sol-R Sol·R
APLICACiÓN DE LAS HOJAS APLICACiÓN HOJAS DE CÁLCULO-ANÁLISIS CÁLCULO-ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD SENSIBILIDAD BÁSICO BÁSICO
cálculos de ingeniería económica con las funciones funciones de la hoja Se han realizado realizado cálculos ingeniería económica hoja de cálculo VP, VF, PAGO, TIR Y YNPER sección 1.8. La mayocálculo NPER que se presentaron presentaron en la sección mayoría de las funciones funciones toman toman sólo una celda celda individual individual de la hoja hoja de cálculo cálculo para para encontrar la respuesta. ejemplo siguiente siguiente ilustra cómo resolver encontrar respuesta. El ejemplo ilustra cómo resolver un problema problema ligeramente implica análisis geramente más complejo, complejo, que implica análisis de sensibilidad; sensibilidad; es decir, ayuda ayuda a responder preguntas preguntas del tipo "¿y qué pasa pasa si ... ?" responder si...?"
EJEMPLO EJEMPLO
2.15
Un ingeniero ingeniero y un médico médico se asociaron para para desarrollar desarrollar una una importante importante mejora mejora en en cirugía cirugía Un se asociaron laparoscópica para para operaciones operaciones de de la vesícula vesÍCula biliar. biliar. Formaron Formaron una una pequeña pequeña compañía compañía laparoscópica para manejar manejar los los aspectos aspectos financieros de su asociación. asociación. La La compañía ya ha invertido para financieros de compañía ya ha invertido $500 000 en en el proyecto proyecto este este año año (t = O) O) Y espera espera gastar gastar $500 000 anualmente anualmente durante durante los los $500 000 $500 000 siguientes 4 años, Desarrolle una siguientes años, y posiblemente posiblemente durante durante más más años. años. Desarrolle una hoja hoja de de cálculo cálculo que que le le ayude a responder responder las las siguientes preguntas: ayude siguientes preguntas: a)
b)
Suponga que se gastan gastan $500 000 sólo durante 4 años años adicionales. adicionales. Si la la compañía Suponga que $500000 sólo durante compañía vende en millones los los derechos derechos para para usar la nueva nueva tecnología tecnología al final del año vende en $5 millones usar la final del año 5, ¿cuál es la anticipada? ¿cuál la tasa tasa de rendimiento rendimiento anticipada? El ingeniero ingeniero y el médico médico estiman estiman que que necesitarán necesitarán $500 000 por por año año durante durante más más de de 4 El $500000 años ¿Cuántos años, finalizar su trabajo años adicionales. adicionales. ¿Cuántos años, a partir partir de de ahora, ahora, tienen tienen para para finalizar trabajo de de desarrollo desarrollo y recibir recibir los los $5 millones millones por por derechos derechos de de patente patente para para obtener obtener al menos menos 10% por año? año? Suponga que los los $500 000 por por año año se gastan gastan a lo lo largo largo del del año año inmeinme10% por Suponga que $500 000 diatamente diatamente anterior anterior a la la recepción recepción de de los los $5 millones. millones.
Solución por computadora computadora Solución por La figura figura 2.22 2.22 presenta presenta la la hoja hoja de cálculo, cálculo, con con todos todos los los valores valores financieros financieros en en unidades La unidades de solución. de $1 000. 000. La La función función TIR TIR se emplea emplea a lo largo largo de de toda toda la la solución.
~ ~ ~ ~ Sol·E Sol-E
82
CAPÍTULO 2 CAPÍTULO
Factores: cómo cómo el tiempo tiempo y el interés interés afectan afectan al dinero dinero Factores:
La función función TIR(B6:Bll) TIR(B6:Bll) en la celda celda B15 BI5 despliega despliega ii = 24.07%. 24.07%. Advierta Advierta que que existe existe La en flujo de efectivo efectivo de $-500 $-500 en el año año O. El enunciado enunciado equivalente equivalente es: gastar gastar $500000 $500000 un flujo ahora y $500 $500 000 000 cada cada año año durante durante 4 años años más más equivale equivale a recibir recibir $5 millones millones al final final ahora del año año 5, cuando cuando la tasa tasa de interés interés es de 24.07% 24.07% anual. anual. del Encuentre tasa de rendimiento rendimiento para para un número número creciente creciente de años años en en que que se gasten gasten Encuentre la tasa los $500. $500. Las columnas C y D de la figura figura 2.22 2.22 presentan presentan los resultados resultados de las funfunlos Las columnas ciones TIR TIR con con el flujo efectivo de $5,000 $5,000 en diferentes diferentes años. años. Las Las celdas celdas C15 CI5 y ciones flujo de efectivo D15 muestran muestran rendimientos rendimientos sobre sobre lados lados opuestos opuestos de 10%. 10%. En En consecuencia, consecuencia, los $5 D15 millones deben deben recibirse recibirse en en algún algún momento momento previo previo al final final del del año año 7 para para lograr lograr más más millones rendimiento que que el 8.93% 8.93% que que se muestra celda D15 D15. . El ingeniero ingeniero y el médico médico rendimiento muestra en la celda tienen menos menos de 6 años años para completar su trabajo trabajo de desarrollo. desarrollo. tienen para completar
a)
b)
D
E
-----+--;p:O-a-:rt-;(-:a):----l---------:p:O-a-':rt-;(:-:b)----+-----{ Findi Fndn suchIhali > 10% I ¡Gel$5 million inyr 5 Gel$5 million in r 6 Gel$5 million inyr 7 i$ (500 l (500) ................................ , '.$: ··('5"0'0,')1 $. ..(500)$ ·(500)$ ···(500)'
i i
$ $
1
$
·-----''------;1-$-__
z.,__
(500) $ (500) $ (500) $ 5,000
$ $
24.07%
=IRR(B6:Bll)
(500) $ (500) $ (500) $
(500) (500) (500)
(500) $ 5,000 $
(500) (500)
14.80%
=IRR(C6:CI2)
Figura 2.22 2.22 Figura Solución con con hoja de cálculo cálculo que que incluye incluye análisis análisis de de sensibilidad, sensibilidad, ejemplo ejemplo 2.15. 2.15. Solución hoja de
CÁLCULO DE P, F Y A CÁLCULODEP,FY Explique por qué no pueden factores de serie serie uniforme calcular P o F diExplique por qué pueden utilizarse utilizarse factores uniforme para para calcular rectamente para para cualquiera cualquiera de los flujos flujos de efectivo efectivo mostrados mostrados en en la figura figura 2.23. 2.23. rectamente
83 83
EJEMPLO EJEMPLO ADICIONAL ADICIONAL
$100 $100
$100 $100
$100 $100
$100 $100
t -t-t-t t t t t--+-I 22
44
33
55
p=? P=? a) a)
A A
$550 ==$550
-tt t t-t t t
1--1
Oo
22
33
44
F=? F=? b) $1300 $1300 $1200 $1200 A
o O
2
PG=
s
$1100 $1 100
000 == $1 000
4
3
5
?
e)
01-----1
o
$150
$150
2
31
t t-11
$100
t
3
F=? F=?
Figura Figura 2.23 2.23 Diagramas Diagramas de de flujo flujo de de efectivo, efectivo, ejemplo ejemplo 2.16. 2.16.
Solución Solución a) El El factor factor PIA PIA no no puede puede utilizarse utilizarse para para calcular calcular P, P, ya ya que que el el recibo recibo de de $100 $100 anualmenanualmena) te te no no ocurre ocurre todos todos los los años años desde desde el el año año 11 hasta hasta el el año año 5. 5. b) b) Puesto Puesto que que no no hay hay A A == $550 $550 en en el el año año 5, 5, no no puede puede utilizarse utilizarse el el factor factor FlA FlA.. La La relación relación 550(FIA,i,4) daría daría como como resultado resultado el el valor valor futuro futuro en en el el año año 4, 4, no no en en el el año año 5. 5. FF == 550(FIA,i,4) e) El El primer primer valor valor del del gradiente gradiente G G= = $100 $100 ocurre ocurre en en el el año año 3. 3. El El uso uso de de la la relación relación PPGG = = e) 100(P/G,i%,4) 100(P/G,i%,4) permitirá permitirá calcular calcular PPGG en en el el año año 1, 1, no no en en el el año año O. O. (No (No se se incluye incluye aquí aquí elel valor valor presente presente de de la la cantidad cantidad base base de de $1 $1 000.) 000.) el) Los Los valores valores de de los los recibos recibos son son desiguales; desiguales; por por lo lo tanto, tanto, la la relación relación FF ==A(FIA,i,3) A(FlA,i,3) no no el) se se puede puede utilizar utilizar para para calcular calcular F. F.
Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dinero
2 RESUMEN DEL CAPíTULO En este capítulo las fórmulas y los factores derivados y aplicados se utilizaron para realizar cálculos de equivalencia para flujos de efectivo presentes, futuros, anuales y de gradiente. La capacidad para usar estas fórmulas y su notación estándar, tanto de forma manual como con hojas de cálculo, es crucial para completar un estudio de ingeniería económica. Al utilizar estas fórmulas y funciones de las hojas de cálculo, resulta posible convertir flujos de efectivo individuales en flujos de efectivo uniformes, gradientes en valores presentes y mucho más. Asimismo, es posible resolver para tasa de rendimiento i o tiempo n. Una cabal comprensión de cómo manipular flujos de efectivo usando el material de este capítulo le ayudará a enfrentar problemas financieros en su desempeño profesional, así como en la vida cotidiana.
2
PROBLEMAS Uso de las tablas de interés '111
2.4 Petroleum Products, Inc. es una compañía de ductos que proporciona derivados del petróleo a mayoristas del norte de los Estados Unidos y Canadá. La empresa estudia la compra de medidores de flujo de inserción de turbina que permitan vigilar mejor la integridad de los ductos. Si estos medidores impidieran una interrupción grave (gracias a la detección temprana de pérdida de producto) valuada en $600 000 dentro de cuatro años, ¿cuánto podría actualmente desembolsar la compañía con una tasa de interés de 12% anual?
2.1 Encuentre el valor numérico correcto de los factores siguientes, a partir de las tablas de interés: 1. (F/P,8%,25) 2. (P/A,3%,8) 3. (P/G,9%,20) 4. (FlA,15%,18) 5.
(AlP,30%,15)
Determinación de F, P Y A 2.2
La U.S. Border Patrol analiza la compra de un helicóptero nuevo para la vigilancia aérea de la frontera de Nuevo México y Texas con la República mexicana. Hace cuatro años se adquirió un helicóptero similar con un costo de $140 000. Con una tasa de interés de 7% anual, ¿cuál sería el valor equivalente actual de dicho monto?
2.3 Pressure Systems, Inc. fabrica transductores de nivel líquido de gran exactitud. Investiga si debe actualizar cierto equipo ahora o hacerlo después. Si el costo hoyes de $200000, ¿cuál será la cantidad equivalente dentro de tres años con una tasa de interés de 10% anual?
2.5
Sensotech, Inc., fabricante de sistemas de microelectrónica, supone que puede reducir en un 10% que sus productos sean retirados del mercado si compra software nuevo para detectar las partes defectuosas. El costo de dicho software es de $225000. a) ¿Cuánto tendría que ahorrar la compañía anualmente durante cuatro años para recuperar su inversión, si usa una tasa mínima aceptable de rendimiento de 15% anual? b) ¿Cuál fue el costo por año de los retiros del mercado antes de que se hubiera comprado el software si la compañía recuperó su inversión exactamente en cuatro años debido a la reducción del 10%?
2
2
2.]
2.l
PROBLEMAS PROBLEMAS
2.6
2.7
La empresa Mechanical Products Products empresa Thompson Thompson Mechanical planea reservar reservar $150 000 hoy para para tal vez planea reemplazar reemplazar sus grandes grandes motores motores sincrónicos sincrónicos pulido una vez que sea necesario. necesario. Si el de pulido reemplazo reemplazo no fuera necesario necesario durante durante siete años, años, ¿cuánto ¿cuánto tendría tendría la compañía compañía en la inversión inversión que reservó reservó si logra logra una tasa de rendimiento rendimiento de 18% anual? anual? La empresa empresa fabricante fabricante de carros carros Renault Renault firmó un contrato contrato de $75 millones millones conABB conABB de Zurich, Zurich, Suiza, para para automatizar automatizar las líneas de montaje montaje del chasis, los talleres talleres de ensamensamblado blado de la carrocería carrocería y los sistemas sistemas de control de línea. Si ABB recibirá pago dentro recibirá el pago dentro de dos años (cuando (cuando los sistemas sistemas queden queden listos), listos), ¿cuál ¿cuál es el valor valor actual actual del contrato contrato con un interés interés de 18% anual? anual?
2.8
Atlas Long-Haul Long-Haul Transportation Transportation analiza analiza la instalación instalación de registradores registradores de temperatura temperatura camiones frigoríficos frigorífico s Valutemp en todos sus camiones a fin de vigilar vigilar las temperaturas temperaturas mientras mientras éstos circulan. circulan. Si los sistemas sistemas disminuirán disminuirán reclamaciones por seguros seguros en $100 000 las reclamaciones dentro dentro de dos años, años, ¿cuánto ¿cuánto debe debe estar estar dispuesta dispuesta a pagar pagar ahora ahora la compañía compañía si usa una tasa de interés interés de 12% anual?
2.9
GE Marine Marine Systems Systems planea planea suministrar suministrar a un armador japonés turbinas aerodearmador japonés turbinas de gas aeroderivadoras rivadoras para para impulsar impulsar los destructores destructores de tipo 11 DD, de la Fuerza Japonesa de Auto11DD, defensa. defensa. El comprador comprador puede puede pagar pagar ahora ahora el importe importe total de $1 700 000 estipulado estipulado en el contrato, o una cantidad equivalente dentro de un año (cuando se necesitarán las turbinas). Con una tasa de interés de 18% anual, ¿cuál es la cantidad cantidad futura equivalente? equivalente?
2.10
¿Para ¿Para Coming, Coming, lnc., lnc., cuál es hoy el valor valor de un costo futuro de $162 000 dentro costo futuro dentro de seis años con una tasa de interés interés de 12% anual? anual?
2.11
¿Cuánto podría gastar ¿Cuánto podría gastar hoy en equipo equipo nuevo nuevo Cryogenics, Cryogenics, lnc., lnc., fabricante fabricante de sistemas sistemas de almacenamiento de energía almacenamiento energía basados basados en superconductores superconductores magnéticos, magnéticos, en lugar lugar de
85
dedicar $125000 $125000 dentro dentro de cinco cinco años si la dedicar rendimiento de la compañía compañía es de tasa de rendimiento 14% anual? anual? 2.12
V-Tek Systems Systems es un fabricante fabricante de compaccompactadores tadores verticales, verticales, y analiza analiza sus requerirequerimientos de flujo de efectivo para los próximos cinco años. reemplazar años. La compañía compañía espera espera reemplazar máquinas equipo de computamáquinas de oficina oficina y equipo computación en varios momentos momentos durante durante los cinco años del periodo periodo de planeación. planeación. EspecíficaEspecíficamente, mente, la empresa empresa espera espera gastar gastar $900 000 dentro dentro de dos años, $8 000 dentro dentro de tres, y $5 000 dentro de cinco. ¿Cuál es el valor presente de los gastos planeado planeado con una tasa de interés interés de 10% anual? anual?
2.13
Un sensor sensor de proximidad proximidad fijo al extremo extremo de un endoscopio endoscopio podría podría reducir reducir los riesgos durante la cirugía cirugía de ojos, porque porque alertaría alertaría a durante los médicos médicos de la localización localización del tejido tejido crítico de la retina. retina. Si con el uso de esta esta crítico tecnología tecnología cierto oftalmólogo oftalmólogo espera evitar demandas por $1.25 y $0.5 millones millones dentro demandas de dos y cinco años, respectivamente, ¿cuánto podría desembolsar desembolsar hoy si sus diversos costos por las demandas demandas sólo fueran el 10% del monto total de cada una de ellas? Use una interés de 8% anual. tasa de interés
2.14
El costo costo actual actual del seguro seguro por por adeudos adeudos para para cierta empresa empresa de consultoría consultoría es de $65 000. cierta Si se espera espera que el costo del seguro seguro se incremente mente 4% cada año, ¿cuál será el costo dentro de cinco años?
2.15
American American Gas Products Products produce produce un aparato aparato llamado Can-Emitor Can-Emitor que vacía vacía el contenido contenido llamado de las latas viejas de aerosol aerosol en dos o tres segundos. segundos. Esto evita evita tener tener que eliminarlas eliminarlas como peligrosos. Si cierta como desechos desechos peligrosos. cierta compacompaahorrar $75000 $75000 al año ñía de pinturas pinturas puede puede ahorrar costos de eliminación eliminación de desechos, desechos, en sus costos ¿cuánto ¿cuánto podría podría gastar gastar ahora ahora en el CanCanEmitor, si quiere quiere recuperar recuperar su inversión inversión en Emitor, tres años, con una tasa de interés interés de 20% anual? anual?
86
2.16
2.17
CAPÍTULO
2
Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dinero
Atlantic Metals and Plastic usa aleaciones de níquel-cromo para manufacturar conductores resistentes al calor. La compañía estudia un proceso nuevo de impresión templada para reducir sus costos. Si el proceso nuevo costaría hoy $1 800 000, ¿cuánto debe ahorrarse cada año para recuperar la inversión en seis años, con una tasa de interés de 12% anual?
línea suscriptora digital de alta velocidad (DSL), de $458 a $360 anual por línea consumidora. Un ISP particular, que tiene 20000 clientes, planea trasladar 90% de los ahorros a su clientela. ¿Cuál es el valor total futuro de estos ahorros durante un horizonte de cinco años con una tasa de interés de 8% anual? 2.21
El alga verde Chlamydomonas reinhardtii puede producir hidrógeno si se le priva de azufre por un periodo de hasta dos días. Una compañía pequeña necesita comprar equipo que cuesta $3 400 000 para comercializar el proceso. Si la empresa espera tener una tasa de rendimiento de 20% anual y recuperar su inversión en ocho años, ¿cuál debe ser el valor neto del hidrógeno que se produzca cada año?
A fin de mejorar la detección de grietas en sus aviones, la Fuerza Aérea de los Estados Unidos combinó procedimientos de inspección ultrasónica con calentamiento por láser para identificar agrietamiento s debidos al debilitamiento. La detección a tiempo de éstos podría reducir los costos de reparación hasta en $200 000 por año. ¿Cuál es el valor presente de estos ahorros en un periodo de cinco años, con una tasa de interés de 10% anual?
V2
2.:
2.;
GI
2.:
"I¡,
I
2.18
2.19
2.20
¿Cuánto dinero podría pedir prestado RTT Environmental Services para financiar un proyecto de rehabilitación de sitios, si espera ingresos de $280 000 anualmente durante un periodo de limpieza de cinco años? Se supone que los gastos asociados al proyecto sean de $90 000 por año. Use una tasa de interés de 10% anual. Western Playland and Aquatics Park gasta $75000 cada año en servicios de consultoría por la inspección de viajes. Una tecnología basada en elementos actuadores nuevos permite que los ingenieros simulen movimientos complejos en cualquier dirección controlados por computadora. ¿Cuánto podría permitirse gastar hoy el parque en la tecnología nueva si ya no fueran necesarios los servicios de consultoría anuales? Suponga que el parque usa una tasa de interés de 15% anual, y desea recuperar su inversión dentro de cinco años. Por medio de un acuerdo con Internet Service Providers (ISPs) Association, la empresa SBC Communications redujo el precio que ISPs cobra por revender su servicio de
2.22
2.23
2.24
Una recién egresada de ingeniería aprobó el examen de FI y recibió un aumento (al comienzo del primer año) de $2 000. Con una tasa de interés de 8% anual, ¿cuál es el valor presente de los $2 000 cada año, si espera ejercer su carrera profesional durante 35 años? Southwestern Moving and Storage quiere tener dinero suficiente para comprar un tractocamión nuevo dentro de tres años. Si la unidad costará $250 000, ¿cuánto debe reservar cada año la compañía si la cuenta rinde 9% al año? Vision Technologies, Inc. es una compañía pequeña que usa tecnología de banda ancha para desarrollar dispositivos capaces de detectar objetos (inclusive personas) dentro de los edificios, tras las paredes o bajo el piso. La empresa espera gastar $100 000 al año en mano de obra y $125 000 anuales en suministros, antes de que pueda comercializarse un producto. Con una tasa de interés de 15% anual, ¿cuál es la cantidad futura equivalente total de los gastos de la compañía al final de tres años?
2.~
2.2
2.:
2.3
PROBLEMAS PROBLEMAS
producen diez barriles diarios) producen menos menos de diez barriles diarios) disminuyan de acuerdo acuerdo con un gradiente gradiente disminuyan aritmético de $50 000 por ingrearitmético por año. Estos Estos ingreanuales se espera espera sean de $280 $280 000 (es sos anuales decir, al final final del año 1), y la compañía compañía decir, espera que la vida útil de los pozos espera pozos sea de cinco años. a) ¿Cuál ¿Cuál es el monto cinco monto del flujo efectivo en el año 3, y b) b) ¿cuál es el valor de efectivo valor equivalente en los años 1 a anual uniforme uniforme equivalente ingreso que generan generan los pozos, 5 del ingreso pozos, con una tasa de interés interés de 12% anual? anual?
Valores de factores factores 2.25
Determine siguienDetermine el valor valor numérico numérico de los siguientes factores factores utilizando b) utilizando a) interpolación interpolación y b) fórmula apropiada apropiada la fórmula 1. (P/F,18%,33) (P/F,18%,33) 2. (AlG,12%,54) (NG,12%,54)
2.26
Calcule el valor siguientes Calcule valor numérico numérico de los siguientes factores utilizando interpolación y b) la factores utilizando a) interpolación fórmula apropiada apropiada fórmula 1. (F/A,19%,20) (F/A,19%,20) 1. 2. (P/A,26%,15) (P/A,26%,15)
2.32 2.32
ingreso por concepto concepto del reciclado El ingreso reciclado de cartón en Fort Fort Bliss Bliss se ha estado estado elevando elevando a cartón una tasa constante constante de $1 000 en cada cada uno de los tres últimos últimos años. Si el de este año espera sea de (es decir, al final del año 1) se espera $4000, y la tendencia incremento conticonti$4000, tendencia de incremento núa ¿cuál será el ingreso ingreso núa hasta hasta el año 5, a) ¿cuál dentro de tres años (es decir, al final del año dentro b) ¿cuál es el valor ingre3), y b) valor presente presente del ingredurante el periodo cinco años, con una so durante periodo de cinco tasa de interés interés de 10% anual? anual?
2.33
Amazon estudia la adquisición adquisición de un sisAmazon estudia tema cómputo avanzado avanzado para cubicar las tema de cómputo para cubicar dimensiones de un libro libro (medir (medir su altualtudimensiones ra, longitud longitud y ancho ancho de modo modo que se use el tamaño adecuado de caja caja para enviarlo). tamaño adecuado para enviarlo). Esto ahorrará material, cartón y mano Esto ahorrará material, cartón mano de ahorros serán obra. Si en el primer primer año los ahorros $160 000 en el segundo, segundo, y de $150 000 y de $160 las cantidades cantidades se incrementan anualmente incrementan anualmente $10 000 durante durante ocho años, ¿cuál es el en $10000 valor sistema, con una valor presente presente del sistema, una tasa de interés anual? interés de 15% anual?
2.34
West Coast Coast Marine estudia la sustiMarine & RV estudia tución controladores de cable cable colgancolgantución de los controladores tes de sus grúas grúas más poderosas poderosas por por nuevos nuevos controladores portátiles controladores portátiles de teclado. teclado. La La compañía espera espera tener ahorros de $14 000 compañía tener ahorros en sus costos costos del primer primer año, y esta cantiincrementará anualmente anualmente $1 500 500 dad se incrementará durante cada cada uno de los cuatro cuatro años pródurante ximos. interés de 12% por ximos. Con una tasa tasa de interés por equivalente de año, ¿cuál es el valor valor anual equivalente ahorros? los ahorros?
Gradiente aritmético aritmético Gradiente 2.27
Una secuencia de flujo de efectivo efectivo inicia inicia en Una secuencia aumenta en $1 000 cada el año 1 en $3 000 y aumenta calcule el valor año hasta hasta el año 10. a) calcule valor del gradiente G, b) determine determine la cantidad cantidad de flugradiente jo efectivo en el año 8 y c) encuentre encuentre el jo de efectivo valor gradiente. valor de n para para el gradiente.
2.28
Cisco Systems Systems espera espera ventas descriCisco ventas que se describen en la secuencia secuencia de flujo de efectivo efectivo dada por 5k), en la que k está expresada expresada por (6 000 + 5k), en años y el flujo de efectivo en millones. Determine a) el valor del gradiente G, b) b) el monto de flujo de efectivo en el año 6 y c) el valor gradiente si el flujo de efectivo efectivo de n para para el gradiente termina termina en el año 12.
2.29
Para la secuencia secuencia de flujo de efectivo efectivo que 1,expresada comienza en el año 1, expresada por la relación 900 - 100k, donde krepresenta krepresenta los años 1 a 5, b) a) determine el valor del gradiente G, y b) calcule el flujo de efectivo en el año 5.
2.30
Omega Instruments Instruments presupuestó $300 000 Omega presupuestó $300 anuales a fin de pagar ciertas partes anuales pagar ciertas partes de cerámica durante los cinco cinco próximos mica durante próximos años. Si la compañía espera espera que el costo costo de las partes compañía partes incremente de manera se incremente manera uniforme uniforme de acuergradiente aritmético aritmético de $10 000 do con un gradiente por ¿cuál se espera espera que sea su costo por año, ¿cuál costo en el año 1 si la tasa de interés es de 10% anual?
2.31
Chevron- Texaco espera espera que los ingresos ingresos Chevron-Texaco provenientes provenientes de pozos stripper stripper (aquellos que
87
88
2.35
2.36
'1:
CAPÍTULO
del flujo neto de efectivo de la compañía, con una tasa de interés de 16% por año.
10
1
O $200
2
3
4
200 + G
200 + 2G
200 + 3G
Una compañía farmacéutica importante pronostica que en los años por venir podría verse involucrada en litigios relacionados con los efectos colaterales que se perciben en uno de sus medicamentos antidepresivos. A fin de preparar fondos destinados especialmente para esto, la empresa quiere tener dinero disponible dentro de seis años, que hoy tiene un valor presente de $50 000 000. La compañía espera reservar $6 000 000 el primer año e incrementar esta cifra de manera uniforme en cada uno de los cinco años siguientes. Si la empresa espera obtener 12% anual sobre el dinero que reserve, ¿cuánto debe incrementar cada año la cantidad reservada a fin de alcanzar su objetivo? Un fabricante de refacciones automotrices que comienza sus operaciones espera gastar $1 000 000 el primer año por concepto de publicidad, con cantidades que disminuyen $100000 cada año. Se espera que el ingreso sea de $4 000 000 el primer año y que aumente $500 000 anualmente. Determine el valor anual equivalente en los años 1 a 5
2.4
Gradiente geométrico 2.39
Suponga que le pidieran preparar una tabla de valores de los factores (como la que se encuentra al final del libro ) para calcular el valor presente de una serie de gradiente geométrico. Determine los tres primeros valores (es decir, para n = 1,2 Y3) para una tasa de interés de 10% anual, y una tasa de incremento de g de 4% anual.
2.40
Una ingeniera química que planea su jubilación depositará 10% de su salario cada año en un fondo accionario de alta tecnología. Si este año su salario es de $60 000 (es decir, al final del año 1) y espera que se incremente 4% cada año, ¿cuál será el valor presente del fondo después de 15 años si rinde 4% anual?
2.41
Se sabe que el esfuerzo que se requiere para mantener un microscopio electrónico de barrido se incrementa en un porcentaje fijo eada año. Una compañía de mantenimiento de equipos de alta tecnología ofrece sus servicios por una cuota de $25 000 para el primer año (es decir, al final del año 1), con incrementos de 6% anual a partir de entonces. Si una empresa de biotecnología desea celebrar un contrato de tres años para aprovechar las ventajas de ciertas exenciones fiscales temporales, ¿cuánto debe estar dispuesta a pagar si usa una tasa de interés de 15% anual?
Para el flujo de efectivo que se muestra a continuación, determine el valor de G que hará que el valor futuro en el año 4 sea igual a $6000 a una tasa de interés de 15% anual.
Flujo de efectivo
2.38
Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dinero
Ford Motor Company puede reducir en 80% el costo requerido por instalar instrumentos para recabar datos en los vehículos de prueba por medio de usar transductores de potencia de giroscopio desarrollados por MTS. a) Si se espera que el costo en este año (es decir, al final del año 1) sea de $2 000, ¿cuál fue el costo el año anterior a la instalación de los transductores? b) Si se espera que los costos se incrementen por año $250 durante los cuatro años siguientes (es decir, hasta el año 5), ¿cuál es el valor anual equivalente de los costos (años 1 a 5) con una tasa de interés de 18% anual?
Año
2.37
2
2.42
Hughes Cable Systems planea ofrecer a sus empleados un paquete de mejoras salariales cuya componente principal es la participación en las utilidades. Específicamente, la compañía reservaría 1% de las ventas totales para los bonos de fin de año de todos sus trabajadores. Se espera que las ventas sean de $5 000 000 el primer año y de $6 000 000 el segundo, con incrementos de 20% durante cada uno de los cinco años siguientes. Con una tasa de interés de 10% por año, ¿cuál es el valor anual equivalente en los años 1 a 5 del paquete de bonos?
2.4,
2.4:
2.41
2.4'
2.41
PROBLEMAS PROBLEMAS
2.43
2.44
2.45
2.46
Determine cuánto habría en una una Determine cuánto dinero dinero habría cuenta comenzó con con un cuenta de ahorros ahorros que que comenzó depósito de $2 000 en el año 1, y cantidades cantidades depósito posteriores que se incrementaban incrementaban 10% cada cada posteriores año. Use Use una una tasa de interés interés de 15% anual y periodo de siete siete años. un periodo encontró que el valor futuro en el año 10 Se encontró valor futuro de una serie gradiente gradiente geométrica geométrica de flujos de efectivo efectivo era de $80 000. Si la tasa de interés fue de 15% por por año, y de 9% la tasa tasa interés anual de incremento, monto del incremento, ¿cuál ¿cuál fue el monto efectivo en el año 11?? flujo de efectivo
Thomasville Furniture Furniture lndustries Industries ofrece Thomasville ofrece varios tipos tipos de telas telas de alto rendimiento rendimiento varios capaces resistir productos capaces de resistir productos químicos químicos tan dañinos dañinos como como el cloro. cloro. Cierta Cierta compañía compañía manufacturera del oeste medio de los Estados manufacturera Unidos que usa la tela tela en varios varios de sus Unidos que usa productos reportó reportó que el valor presente presente de productos sus compras material durante compras de este este material durante un periodo de cinco años había sido de $900 000. Si se sabe que los costos se incrementaron incrementaron en forma geométrica geométrica 5% por año durante durante ese periodo, y que la empresa periodo, empresa usa una tasa de interés de 15% anual para sus inversiones, inversiones, ¿cuál fue el costo de la tela en el año 2? Encuentre el valor valor presente presente de una una serie de Encuentre inversiones que comenzaron comenzaron con $1000 inversiones $1000 en el año 1 con incrementos incrementos anuales anuales de 10% durante durante 20 años. Suponga Suponga que la tasa de interés es de 10% anual. interés
Una empresa norte de 2.47 Una empresa de consultoría consultoría del norte California California quiere quiere comenzar comenzar a ahorrar ahorrar dinero para reemplazar reemplazar sus servidores servidores de red. Si invierte increinvierte $3 000 al final del año 1 e incrementa la cantidad menta cantidad invertida invertida 5% cada cada año, ¿cuánto habrá en la cuenta ¿cuánto habrá cuenta dentro dentro de cuatro cuatro años si percibe percibe intereses tasa de 8% intereses a una tasa anual? anual? 2.48
Una fabrica monitores Una compañía compañía que que fabrica monitores de sulfuro hidrógeno purgables purgables planea planea sulfuro de hidrógeno realizar depósitos de dinero dinero de manera realizar depósitos manera que cada ¿De cada uno sea 5% mayor mayor al anterior. anterior. ¿De cuánto cuánto debe ser el primer primer depósito depósito que haga haga
89
(al final del año 1) si éstos se extienden extienden hasta el año 10 y el cuarto cuarto de ellos es de $1 250? Emplee Emplee una una tasa de interés interés de 10% anual. Tasa de interés interés yy tasa tasa de rendimiento rendimiento 2.49
¿¿Qué Qué tasa tasa de interés interés compuesto compuesto anual anual es equivalente interés simple equivalente a 12% de interés simple anual, durante un periodo periodo de 15 años? durante años?
2.50 2.50
Una empresa ingeniería que Una empresa de consultoría consultoría en ingeniería cotiza bolsa paga paga un bono bono a cada cotiza en la bolsa cada ingeniero al final del año con base base en la ingeniero utilidad periodo. utilidad que se obtiene obtiene durante durante ese periodo. Si la inversión inversión inicial de la compañía compañía fue de $1 200 000, ¿qué tasa de rendimiento rendimiento ha ¿qué tasa obtenido sobre su inversión si el bono de cada ingeniero ingeniero ha sido de $3 000 por cada cada uno de los 10 últimos años? Suponga Suponga que la empresa empresa monetario tiene seis ingenieros ingenieros y que el bono monetario representa 5% de la utilidad utilidad de la compañía. representa compañía.
2.51
Danson !ron Inc. fabrica cojinetes Danson Iron Works, lnc. fabrica cojinetes esféricos para bombas bombas que operan operan esféricos angulares angulares para en ambientes hostiles. Si la compañía ambientes hostiles. compañía invirtió $2 400 400 000 en un proceso proceso que dejó invirtió utilidades de $760 utilidades $760 000 000 anuales anuales durante durante cinco rendimiento tuvo cinco años, ¿qué ¿qué tasa de rendimiento la compañía compañía sobre su inversión? inversión?
2.52
Una inversión inversión de $600 incrementó a Una $600 000 se incrementó $1 000 000 000 en un periodo periodo de cinco cinco años. ¿¿Cuál Cuál fue la tasa tasa de rendimiento rendimiento sobre sobre la inversión? inversión?
2.53
Una compañía compañía pequeña pequeña que se especializa Una especializa en recubrimientos recubrimientos en polvo polvo expandió expandió su edificio horno nuevo nuevo que tiene edificio y compró compró un horno el tamaño tamaño suficiente para tratar tratar carrocerías suficiente para carrocerías automóvil. El edificio edificio y horno costaron de automóvil. horno costaron $125 000, pero un negocio negocio nuevo de rodillos rodillos calientes ha incrementado su ingreso calientes incrementado ingreso anual en $520 000. Si los gastos de operación $520 gastos operación de gas, materiales, materiales, mano mano de obra, etc., tienen tienen un importe de $470000 por año, ¿qué importe $470000 por ¿qué tasa de rendimiento rendimiento se obtendrá inverobtendrá sobre sobre la inversión si en el cálculo cálculo sólo se incluye incluye los flujos de efectivo efectivo que que tienen tienen lugar lugar durante durante los cuatro siguientes? cuatro años siguientes?
90
2.54
2.55
CAPÍTULO 2
Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dinero
El plan de negocios para una compañía que inicia, dedicada a la fabricación de detectores portátiles de gases múltiples tiene flujos anuales de efectivo equivalentes a $400 000 para los cinco primeros años. Si el flujo de efectivo en el año 1 fue de $320 000 y el incremento posterior fue de $50 000 por año, ¿qué tasa de interés se usó para el cálculo? Una compañía nueva que fabrica arrancadores suaves de voltaje medio gastó $85 000 para construir un sitio web nuevo. El ingreso neto fue de $60 000 el primer año, con un incremento de $15 000 anuales. ¿Qué tasa de rendimiento tuvo la compañía en sus primeros cinco años?
2.58
Una ingeniera que invirtió muy bien planea jubilarse ahora porque tiene $2 000 000 en su cuenta de ahorro para el retiro. ¿En cuánto tiempo podrá retirar $100 000 anuales (el año 1 comienza a partir de ahora) si su cuenta gana intereses a una tasa de 4% anual?
2.59
Una compañía que manufactura sensores de viento ultrasónicos invirtió $1 500 000 hace dos años para adquirir parte de la propiedad de una compañía innovadora fabricante de chips. ¿Cuánto tomará (a partir de la inversión inicial) para que su participación en dicha empresa genere un valor de $3 000 000 si ésta crece a una tasa de 20% anual?
2.60
Número de años 2.56
,~ !~
2.57
Una empresa productora de válvulas de control de plástico tiene un fondo de $500 000 para reemplazo de equipo. Si la compañía gasta $75 000 por año en equipo nuevo, ¿cuántos años tomará reducir el fondo a menos de $75 000 con una tasa de interés de 10% anual? La empresa A&E estudia la compra por medio de un arrendamiento de largo plazo del edificio que ocupa actualmente, ya que el propietario del inmueble lo puso a la venta súbitamente. El edificio se ofrece a un precio de $170000. Como el arrendamiento de este año ya se pagó, el siguiente pago anual de $30 000 no se realizará sino hasta el término de este año. Debido a que la empresa A&E ha sido un buen inquilino, el propietario ofreció venderle el edificio en $160 000. Si la compañía lo compra sin enganche, ¿cuánto tiempo pasará antes de que recupere su inversión con una tasa de interés de 12% anual?
Un ingeniero mecánico planea jubilarse cuando tenga $1 600 000 en su cuenta de corretaje. Si comenzó con $100 000 en la cuenta, ¿cuánto tiempo pasará (a partir del momento en que comenzó) antes de que pueda jubilarse si la cuenta tiene una tasa de rendimiento de 18% anual?
2.61
¿Cuántos años tomará para que un depósito uniforme anual de tamaño A acumule 10 veces el monto de un solo depósito, si la tasa de rendimiento es de 10% por año?
2.62
¿Cuántos años se requieren para que una inversión de $10 000 en el año 1 con incremento s de 10% anual tengan un valor presente de $1 000 000 con una tasa de interés de 7% anual?
2.63
Una compañía constructora cuenta con la opción, en algún momento entre el día de hoy
2.6t
2.67
Se dijo a una persona que cierta secuencia de flujo de efectivo había comenzado con $3 000 en el año 1 con incrementos de $2 000 cada año. ¿Cuántos años son necesarios para que el valor anual equivalente de la secuencia sea de $12 000, con una tasa de interés de 10% anual? 2.68
PROBLEMAS DE REPASO FI 2.64
2.6:
Y los próximos cuatro años, de comprar una excavadora en $61 000. Si la empresa planea
PROBLEMAS
adquirir la máquina dentro de cuatro años, la cantidad equivalente presente que la compañía pagaría por ella estaría muy cerca de a) $41230 b) $46710 e) $48320 ti) Más de $49 000 2.65
El costo de la colegiatura en cierta universidad pública fue de $160 por hora-crédito hace cinco años. El costo hoy (exactamente cinco años después) es de $235. La tasa de incremento anual es la más cercana a a) 4% b) 6% e) 8% ti) 10%
2.66
El valor presente de un gradiente geométrico que se incrementa es de $23632. La tasa de interés es de 6% por año, y 4% la tasa de cambio anual. Si el monto del flujo de efectivo en el año 1 es de $3 000, el gradiente finaliza en el año a) 7 b) 9 e) 11 ti) 12
2.67
2.68
El ganador de una lotería megamillonaria obtuvo el premio mayor de $175 000000 y contó con la opción de recibir pagos de $7 000 000 anuales durante 25 años comenzando por el año 1 hoy, o tomar ahora $109 355000. ¿Con qué tasa de interés son equivalentes las dos opciones? a) 4% b) 5% e) 6% ti) 7% Un fabricante de válvulas de desagüe para sanitarios quiere tener disponibles $2 800 000 dentro de diez años, de modo que pueda iniciar una línea nueva de productos. Si la compañía planea depositar dinero cada año, con el inicio hoy del año 1, ¿cuánto tendrá que depositar cada vez con un interés
DE REPASO FI
91
de 6% anual a fin de disponer de $2 800 000 inmediatamente después de hacer el último depósito? a) Menos de $182 000 b) $182500 e) $191 300 ti) Más de $210 000 2.69
RubbermaidPlasticsCorp. invirtió$10 000 000 en equipo de manufactura para producir cestos pequeños para basura. Si la compañía usa una tasa de interés de 15% anual, ¿cuánto dinero tendría que ganar cada año si quisiera recuperar su inversión en siete años? a) $2403600 b) $3530800 e) $3941 800 ti) Más de $4 000 000
2.70
Un ingeniero deposita $8000 el año 1,$85 900 el año 2, y cada año las cantidades se incrementan en $500, hasta el año 10. Con una tasa de interés de 10% anual, el valor presente está muy cerca de a) $60600 b) $98300 e) $157200 ti) $173400
2.71
La cantidad de dinero que podría gastarse dentro de siete años, en lugar de gastar $50 000 ahora, con una tasa de interés de 18% por año, es la más cercana a a) $15700 b) $159300 e) $199300 ti) $259100
2.72
Un depósito de $10 000 dentro de 20 años, con una tasa de interés de 10% anual, tiene un valor presente muy próximo a a) $1 720 b) $1680 e) $1590 ti) $1490
2.73
El ingreso por ventas de un aditivo para gasolina limpiador de inyectores ha sido en promedio de $100 000 por año. Con una tasa
92
2.74
'~¡:I
2.75
2.76
2.77
CAPÍTULO
2
Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dinero
de interés de 18% anual, el valor futuro del ingreso en los años 1 a 5 está muy cerca de a) $496100 b) $652200 e) $715420 d) Más de $720 000
2.78
Los costos químicos asociados a un incinerador de gas con chimenea compres ora (para control de olores) han estado decreciendo de manera uniforme durante cinco años gracias a los aumentos en su eficiencia. Si el costo en el año 1 fue de $100 000 y disminuyó $5 000 por año hasta el quinto, el valor presente de los costos con 10% anual está muy cerca de a) Menos de $350 000 b) $402200 e) $515400 d) Más de $520 000
Un ingeniero civil deposita $10 000 por año en una cuenta para el retiro que tiene una tasa de rendimiento de 12% anual. La cantidad de dinero en la cuenta al término de 25 años está muy cerca de a) $670500 b) $902800 e) $1 180900 d) $1333300
2.79
El valor futuro (en el año 8) de $10 000 en el año 3, $10 000 en el año 5 y $10 000 en el año 8, con una tasa de interés de 12% anual, es muy cercano a a) $32100 b) $39300 e) $41670 d) $46200
2.80
Los costos de mantenimiento para un oxidante térmico regenerativo se han incrementado de manera uniforme durante cinco años. Si el costo en el año 1 fue de $8 000 y aumentó anualmente $900 hasta el quinto año, el valor presente de los costos con una tasa de interés de 10% anual está muy próximo a a) $31670 b) $33520 e) $34140 d) Más de $36 000
2.81
Una inversión de $100 000 generó un ingreso anual de $20000 durante 10 años. La tasa de rendimiento de la inversión es la más cercana a a) 15% b) 18% e) 21% d) 25%
2.82
Una compañía constructora invirtió $60 000 en una excavadora nueva. Si se espera que el ingreso proveniente del arrendamiento
El valor futuro en el año 10 de una inversión presente de $20 000, con una tasa de interés de 12% anual, es muy cercano a a) $62120 b) $67560 e) $71900 d) $81030 Una compañía manufacturera obtiene un préstamo de $100000 con la promesa de saldarlo en pagos anuales iguales durante un periodo de cinco años. Con una tasa de interés de 12% anual, cada pago estará cerca de a) $23620 b) $27740 e) $29700 d) $31 800 Simpson Electronics quiere tener $100 000 disponibles dentro de tres años para reemplazar una línea de producción. La cantidad de dinero que tendría que depositar cada año con una tasa de interés de 12% anual sería muy cercana a a) $22580 b) $23380
e) $29640 d)
Más de $30 000
-
ESTUDIO ESTUDIO DE DE CASO CASO
temporal temporal de la máquina máquina sea de $15 000 por tiempo que se requiere año, el periodo periodo de tiempo requiere para recuperar recuperar la inversión para inversión con una tasa de interés interés de 18% anual está está muy cerca cerca de
a) b)
e) d)
93
5 años 8 años 11 11 años 13 años
ESTUDIO ESTUDIO DE CASO CASO ¿QUÉ DIFERENCIA PUEDEN HACER HACER LOS LOS AÑos ¿QUÉ DIFERENCIA PUEDEN AÑos EL INTERÉS INTERÉS COMPUESTO? COMPUESTO? y EL
Dos situaciones mundo real situaciones del mundo real 1. La compra historia rerecompra de la isla isla de Manhattan. Manhattan. La La historia porta que la isla de Manhattan, Manhattan, en Nueva Nueva York, fue porta que la isla York, fue comprada por el equivalente comprada por equivalente de de $24 $24 en el año año 1626. 1626. En reconoció el 375 aniversario de En el año año 2001, 2001, se reconoció 375 aniversario la compra Manhattan. compra de Manhattan. El programa programa de opción Un 2. El opción de de compra compra de acciones. acciones. Un joven graduado una joven graduado de de la la escuela escuela de ingeniería ingeniería de una universidad de California una universidad California ingresó ingresó a trabajar trabajar en en una compañía por compañía a la edad edad de 22 años años y colocó colocó $50 $50 por mes mes en en la opción opción de compra compra de acciones. acciones. Dejó Dejó la la compañía compañía luego luego de 60 meses meses completos completos de empleo, empleo, a los 27 años, años, y no vendió vendió sus sus acciones. acciones. El El ingenieingenievalor de las acciones acciones hasta hasta que que ro no preguntó preguntó el valor tuvo tuvo 57 años, años, unos unos 30 30 años años después. después.
Ejercicios para estudio de caso Ejercicios para el estudio Acerca de la compra compra de la isla isla de Manhattan: Manhattan: Acerca
1. Las público se evalúan Las inversiones inversiones del del sector sector público evalúan al 6% anual. anual. Suponga Suponga que que Nueva invertido 6% Nueva York York ha ha invertido los los $24 $24 a una una tasa tasa conservadora conservadora del del 6%. 6%. Determine Determine el valor la isla Manhattan en valor de la compra compra de de la isla de Manhattan en el año año 2001 2001 al a) 6% 6% anual anual de interés interés simple simple y b) 6% anual anual de interés interés compuesto. compuesto. Observe Observe la diferencia diferencia significativa que que tiene tiene la composición a 6% 6% duranduransignificativa la composición periodo de de tiempo te un periodo tiempo largo largo (en (en este este caso, caso, 375 375 años). años). 2. ¿Cuál Nueva York York ¿Cuál es la cantidad cantidad equivalente equivalente que que Nueva habría habría tenido tenido que que desembolsar desembolsar en en 1626 1626 y cada cada año año
desde para igualar desde entonces, entonces, para igualar exactamente exactamente la canticantidad en en la parte anterior, al 6% 6% anual anual compuesto compuesto dad parte 1. anterior, anualmente? anualmente? Acerca programa de compra Acerca del programa compra de acciones: acciones: 1. Construya efectivo para para las Construya el diagrama diagrama de flujo flujo de efectivo edades edades desde desde 22 22 hasta hasta 57. 57. 2. El El ingeniero ingeniero ha ha aprendido aprendido que que durante durante los 30 años años de intervención, intervención, las las acciones acciones ganaron ganaron a una una tasa tasa de 1.25% por mes. $50 por por 1.25% por mes. Determine Determine el valor valor de los $50 mes mes cuando cuando el ingeniero ingeniero dejó dejó la compañía compañía luego luego de un total total de 60 compras. compras. 3. Determine Determine el valor valor de las las acciones acciones de la compañía compañía que tiene el ingeniero nueva cuenque tiene ingeniero a sus sus 57 años. años. De De nueva cuenobserve la diferencia ta, observe diferencia significativa significativa que que 30 30 años años han generado un 15% tasa compuesta. han generado a un 15% anual anual de de tasa compuesta. 4. Suponga Suponga que que el ingeniero ingeniero no deja deja los los fondos fondos inverinvertidos en acciones tidos acciones a los los 27 años años de edad. edad. Ahora Ahora determine termine la cantidad cantidad que que habría habría tenido tenido que que depositar depositar cada año, cada año, a partir partir de los 50 50 años años de edad, edad, para para hahacerlo cerlo equivalente equivalente al valor valor a la edad edad de 57, 57, calculado calculado en el punto punto 3. 3. anterior. anterior. Suponga Suponga que que los los 7 años años de depósito depósito obtienen obtienen un retorno retorno de 15% 15% anual. anual. Finalmente, compare compare la cantidad cantidad total total de dinero dinero de5. Finalmente, positado durante los los 5 años, años, cuando cuando el ingeniero ingeniero positado durante estaba en en sus sus veinte, veinte, con con la cantidad cantidad total total que que haestaba habría bría tenido tenido que que depositar depositar durante durante los 7 años años en en sus sus cincuenta, para tener tener la cantidad igual yyequivalencincuenta, para cantidad igual equivalente a los los 57 años, años, como como se determinó determinó en en el punto punto 3. anterior. anterior.
Combinación Combinación de factores
o o. --1 '((i :!
::J r-
,-~
« u u
La La mayoría de las las series series de flujo de efectivo efectivo estimadas no se se ajustan exactamente a las las series series para las las cuales fueron desarrolladas desarrolladas las las ecuaciones y los factores del capítulo combinar las capítulo 2. Por lo tanto, tanto, es es necesario combinar las ecuaciones. ecuaciones. Para Para una una secuencia de flujos de efectivo efectivo dada, en general, hay muchas formas correctas de determinar determinar el valor presente equivalente equivalente P, P, el valor futuro futuro F o el valor anual A. En este capítulo capítulo se se explica cómo combinar combinar los factores de ingeingeniería económica para afrontar afrontar situaciones más más complejas complejas que involucren series funciones de las ries uniformes uniformes diferidas diferidas y series series gradiente. gradiente. Las Lasfunciones las hojas de cálculo se se utilizan para acelerar los cálculos.
o
OBJETIVOS APRENDIZAJE OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Objetivo general: general: realizar realizar cálculos a mano mano y por por computadora computadora que que combinen Objetivo combinen varios varios factores factores ingeniería económica. económica. de ingeniería
Este a: Este capítulo capítulo ayudará al lector lector a:
II --~--......j Serie Serie diferida diferida
1. inar P, 1. Determ Determinar P, F o A de una una serie uniforme uniforme que empieza en un momento diferente al periodo momento diferente periodo 1. 1.
Series diferidas Series diferidas
2. cantidades únicas colocadas al azar y canti2. Calcular P, P, F o A de cantidades dades de serie uniforme. uniforme.
y cantidades cantidades únicas
Gradientes Gradientes diferidos diferidos
3. cá lculos de equivalencia equivalencia para flujos flujos de efectivo efectivo que 3. Efectuar cálculos invo lucren gradientes gradientes geométricos geométricos o aritméticos aritméticos diferidos. diferidos. involucren
Gradientes Gradientes decrecientes decrecientes
4. equivalencia para flujos de efectivo efectivo que impli4. Hacer cálculos de equivalencia impliquen gradientes gradientes aritméticos aritméticos decrecientes. decrecientes.
----Hojas Hojas de de cálculo cálculo
II
5. Demostrar Demostrar diferentes 5. diferentes funciones funciones de la hoja de cálculo cálcu lo y comparar comparar las soluciones a mano y por por computadora computadora. . las
96
CAPÍTULO CAPÍTULO 3
3.1
Combinación Combinación de factores factores
CÁLCULOS CÁLCULOS PARA PARA SERIES UNIFORMES UNIFORMES QUE QUE SON SON DIFERIDAS DIFERIDAS
Cuando Cuando una serie uniforme uniforme se inicia inicia en un momento momento diferente diferente del final del periodo periodo 1, se dice que se trata de una serie diferida. diferida. En este caso, pueden pueden utilizarse utilizarse diversos diversos métodos para encontrar encontrar el valor valor presente presente equivalente equivalente P. Por ejemplo, ejemplo, P de la serie serie métodos para uniforme uniforme que se muestra muestra en la figura 3.1 podría podría determinarse determinarse por cualquiera cualquiera de los siguientes siguientes métodos: métodos: Utilice PIF para Utilice el factor factor PIF para encontrar encontrar el valor valor presente presente de cada desembolso desembolso en el año O O y súmelos. súmelos. Aplique el factor factor FIP para determinar determinar el valor valor futuro de cada desembolso desembolso en el Aplique FIP para súmelos y luego calcule el valor valor presente presente del total mediante mediante P = = F(PI año 13, súmelos luego calcule F(PI F,i,13) . F,i,13).
• •
Emplee A(FIA,i,lO) Y Emplee el factor factor FIA para para encontrar encontrar la cantidad cantidad futura futura F = = A(FIA,i,10) y luego luego calcule F(P/F,i,13). calcule el valor valor presente presente mediante mediante P == F(P/F,i,13). Use el factor calcular el "valor factor PIA para para calcular "valor presente" presente" (que estará estará situado situado en el año 3, 3, no en el año O) y luego luego encuentre encuentre el valor valor presente presente en el año O O mediante mediante el factor factor (PIF,i,3). (PIF,i,3). (El valor valor presente presente se encierra encierra entre entre comillas comillas sólo aquí para para representar valor presente representar el valor presente como como está determinado determinado por el factor factor PIA en el año para diferenciarlo diferenciarlo del valor valor presente presente en el año O.) 3 y para
Por lo común calcular el valor común el último último método método se utiliza utiliza para para calcular valor presente presente de una serie uniforme uniforme que no empieza empieza al final del periodo periodo 1. 1. Para la figura figura 3.1, el "valor "valor presenpresente" obtenido obtenido mediante mediante el factor factor PIA estaría estaría situado situado en el año 3, lo cual se muestra muestra como P3 en la figura 3.2. Observe Observe que un valor valor P siempre siempre está situado situado 1 año o periodo antes de la primera periodo primera cantidad cantidad anual. ¿Por qué? Porque Porque el factor factor PIA se obtuobtuvo con P en el periodo periodo de tiempo tiempo O O y A empezando empezando al final del periodo periodo 1. 1. El error error ubicación inademás común común que se comete comete al trabajar trabajar problemas problemas de este tipo es la ubicación inadecuada cuada de P. Por consiguiente, consiguiente, es muy importante importante recordar recordar que:
Cuando PIA, el valor Cuando se utiliza utiliza el factor factor PIA, valor presente presente siempre siempre está situado situado un un periodo periodo antes antes de la primera primera cantidad cantidad de la serie serie uniforme. uniforme.
en se] FI.
01 el ( la:
ve] es da
1.
2. 3. 4. 5.
Figura Fig ura 3.1
o O
2
3
Serie uniforme uniforme diferida. diferida. Serie
I
I
I
4
5
6
7
8
9
10
11 11
12
13
¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡
Año Año
•
A A = = $50 $50
P3 =?
Figura 3.2 Figu ra 3. 2 Localización del valor valor Local izac ión del presente para para la serie serie presente uniforme diferida diferida de de la uniforme figura 3.l. 3.1. figura
Cálculos para para series series uniformes uniformes que Cálculos que son son diferidas diferidas
7
8
9
10
11 11
12 13 10
A
Año Año n
= = $50 $50
Para determinar derivado determinar un valor valor futuro, o valor valor F, recuerde recuerde que el factor factor F/A derivado en la sección cantidad de la sección 2.3 sitúa el valor valor F en el mismo mismo periodo periodo que la última última cantidad serie uniforme. cuando se utiliza utiliza uniforme. La figura figura 3.3 muestra muestra la ubicación ubicación del valor valor futuro futuro cuando para el flujo de efectivo efectivo de la figura figura 3.1. F/A para El valor futuro última futuro siempre siempre está situado situado en el mismo periodo periodo que la última cantidad cantidad de la serie uniforme uniforme al utilizar utilizar el factor factor F/A. F/A.
También factores P/A P/ A También es importante importante recordar recordar que el número número de periodos periodos n en los factores o F/A es igual al número ayuda renumerar renumerar número de flujos de la serie uniforme. uniforme. En general general ayuda el diagrama muestra diagrama de flujo de efectivo efectivo para evitar evitar errores errores en el conteo. conteo. La figura figura 3.3 muestra la figura figura 3.1 numerada numerada de nuevo nuevo para determinar determinar n = = 10. Como se expresó expresó anteriormente, anteriormente, muchos muchos métodos métodos pueden pueden utilizarse utilizarse para Como para resolresolproblemas que tiene una serie uniforme uniforme diferida. diferida. Sin embargo, embargo, en general, ver los problemas general, conveniente emplear emplear los factores factores de la serie uniforme uniforme que factores es más conveniente factores de canticantievitar errores errores es conveniente conveniente seguir seguir algunos algunos pasos pasos específicos: dad única. Para evitar específicos: diagrama de los flujos de efectivo efectivo positivo positivo y negativo. negativo. 1. Trace un diagrama Ubique el valor valor presente presente o el valor futuro de cada cada serie en el diagrama diagrama de flujo 2. Ubique efectivo. de efectivo. Determine n para para cada serie volviendo volviendo a numerar numerar el diagrama diagrama de flujo de efec3. Determine efectivo. diagrama de flujo de efectivo efectivo que represente represente el flujo de efectivo 4. Trace otro diagrama efectivo equivalente deseado. deseado. equivalente Determine y resuelva resuelva las ecuaciones. ecuaciones. 5. Determine ilustran a continuación. continuación. Estos pasos se ilustran
Un grupo grupo de tecnología tecnología en ingeniería ingeniería acaba acaba de comprar comprar un nuevo nuevo programa programa de diseño Un diseño asistido por por computadora computadora (CAD) (CAD) con con $5 000 000 de pago pago inicial, inicial, y pagos pagos anuales anuales de asistido de $500 $500 por por año durante durante 6 años años empezando empezando 3 años años a partir partir de la fecha fecha de la compra. compra. ¿Cuál año ¿Cuál es el valor valor presente de los los pagos pagos si la tasa tasa de interés interés es de 8% anual? anual? presente Solución Solución diagrama de flujo flujo de efectivo efectivo se muestra muestra en la figura figura 3.4. 3.4. El El símbolo El diagrama símbolo P PAA se utiliza utiliza en en todo este este capítulo capítulo para para simbolizar simbolizar el valor valor presente una serie serie anual anual uniforme uniforme A, y P~ P~ todo presente de una
Ubicación de de FF y Ubicación renumeración de de n para para renumeración serie uniforme uniforme diferida diferida la serie de de la figura figura 3.1. 3.1.
CAPÍTULO CAPÍTULO 3
98
Combinación Combinación de factores factores
i = = 8% 8% anual anual
una VPl entr
p~ p~ = =??
2
Año n
A
Del Fw
= = $500 $500 cálc func si e¡
P Po= $5000 o=$5000
Figura 3.4 Diagrama 3.1. Diagrama de flujo flujo de efectivo efectivo con con colocación colocación de valores valores P, ejemplo ejemplo 3.1.
s
representa Asimismo, P PTreprerepresenta el valor valor presente presente en un momento momento diferente diferente del del periodo periodo O. Asimismo, T representa la ubicación ubicación correcta correcta de de P~ P~ senta el valor valor total total presente presente en el tiempo tiempo O. También También se indican indican la y la nueva diagrama para obtener n. Observe P~ está ubicado ubicado en en el año año nueva numeración numeración del del diagrama para obtener Observe que que P~está año 3. Además, Además, n = 6, no 8, para para el factor Primero se debe debe encontrar 2, no en el año factor P/A. Primero encontrar el el valor de P~ P~ de la serie serie diferida. diferida. valor
p;. = $500(P/A ,8%,6) P~= $500(P/A,8%,6) Puesto en el el año año O: Puesto que que P~ P~ está está ubicado ubicado en el año año 2, es necesario necesario encontrar encontrar PAA en
Des,
celd guie
•
PA = (P/F,8 %,2) = P~ P~(P/F,8%,2)
El valor Po en en el año año O. valor presente presente total total se determina determina sumando sumando P PAA y el pago pago inicial inicial Po PT = PO+P PT=PO+P A A = = 5 000 000 + 500(PlA,8%,6)(P/F,8%,2) 500(P/A,8%,6)(P/F,8%,2)
Cuanto más compleja compleja se vuelva vuelva la serie de flujo de efectivo, efectivo, más útiles Cuanto útiles resultan resultan funciones de la hoja de cálculo. cálculo. Cuando Cuando la serie uniforme uniforme A está las funciones está diferida, diferida, la función encuentra el valor valor función VPN se usa para determinar determinar P, y con la función función PAGO se encuentra equivalenteA. La función función VPN, VPN, al igual que la función función VP, determina equivalenteA. determina los valores valores P; aunque misma forma forma que la aunque VPN puede puede manipular manipular directamente directamente de las celdas, celdas, en la misma función TIR, cualquier Ingrese los flujos flujos de función cualquier combinación combinación de flujos de efectivo. efectivo. Ingrese efectivo ingresar 'O' efectivo netos en celdas celdas contiguas contiguas (columnas (columnas o filas), asegurándose asegurándose de ingresar para para todos los flujos de efectivo efectivo cero. Use el formato formato VPN(i%,second_cell:lasCcell) ñrstcell + firsCceH VPN(i%,second_cell:lasCcell)
listada por por separado First_cell contiene First_cell contiene el flujo de efectivo efectivo para para el año O y debe ser listada separado para valor del dinero dinero en el para que VPN la tome tome en consideración consideración correctamente correctamente para para el valor tiempo. El flujo de efectivo efectivo en el año O Opuede O. puede ser O. tiempo.
aí
M af
SECCIÓN 3.1
Cálculos para series uniformes que son diferidas
99
El camino durante n años, años, para para camino más sencillo sencillo para para encontrar encontrar una A equivalente equivalente durante una serie diferida, toma de la función función diferida, es con la función función PAGO, donde donde el valor valor P se toma VPN anterior. El formato anterioridad, pero pero la formato es el mismo mismo que se aprendió aprendió con anterioridad, entrada entrada para para P es una referencia referencia de celda, no un número. número. PAGO(i%,Il,cclL PAGO(i%,Il,cclL with_P,F) with_P,F) manera alternativa, alternativa, se utiliza utiliza la misma misma técnica técnica cuando cuando se haya haya obtenido obtenido un valor De manera valor F F usando usando la función función VF. Ahora Ahora la última última entrada entrada en PAGO es "cell_with_F". "cell_with_F". Es muy afortunado una hoja hoja de afortunado que cualquier cualquier parámetro parámetro en una función función de una cálculo posible escribir cálculo pueda, pueda, en sí mismo, mismo, ser una función. En consecuencia, consecuencia, es posible escribir la función PAGO en una celda celda individual individual al insertar insertar la función función VPN función VF, función VPN (y la función si es necesario). necesario). El formato formato es
Sol-R Sol-R
PAGO(i%,Il,VPN(i%,second_cell:lasCcell)+firsCceH,F) PAGO(i%,Il,VPN(i%,second_ceU:lasCcell)+fjrsCceU,F) Desde celdas o una una Desde luego, la respuesta respuesta para para A es la misma misma para para la operación operación de dos celdas celda aplican en el sicelda individual, individual, en la función función insertada. insertada. Estas tres funciones funciones se aplican guiente guiente ejemplo. ejemplo. EJEMPLO EJEMPLO
3.2
.
La recalibración recalibración de dispositivos sensibles de medición cuesta $8000 $8 000 al año. Si la máquirecalibrará durante 6 años, iniciando 3 años después de la compra, calcule la serie na se recalibrará equivalente de 8 años al 16% anual. Demuestre las soluciones a mano y con uniforme equivalente computadora. Solución a mano mano Solución Las figuras 3.5a y b muestran el flujo de efectivo original y el diagrama deseado equivalente. Para convertir la serie diferida de $8 000 en una serie uniforme equivalente equivalente durante todos los periodos, primero convierta la serie uniforme en una cantidad de valor presente presente presentarán ambos o de valor futuro. Luego utilice el factor AlP AlP o el factor AlF. AlF. AquÍ Aquí se presentarán métodos.
Método del valor diferida en el Método valor presente. presente. (Véase la figura 3.5a.) Calcule P~ P~ para la serie diferida año 2 y PTen PTen el año O. O. P~ = 8 000(P/A,16%,6) P~= 000(P/A,16%,6)