INGRESO MARGINAL
Ejercicio 1 1. En una fábrica se determinó que el ingreso está dado por I(x) = 2 !!x " !.#x2 pesos$ cuando se %ende x unidades de un cierto art&culo al mes. 'ctualmente se producen 1 unidades * se planea incrementar la producción en 1 unidad. a) +,uál es el ingreso marginal al producir la unidad 1- b) +/u0 ingreso real adicional generará la %enta de la unidad 1- c) ,alcula el error relati%o que se produce con la aproximación dada por el ingreso marginal. 2. El ingreso de una pequea empresa está dado por I(x) = !!x 3 2x 2 3 42! pesos$ cuando se producen x unidades mensuales. 5ara este tiempo se producen 1# unidades * se pro*ecta un incremento de la producción en 1 unidad. a) ,alcula la función de ingreso marginal. b) 6tili7a la función de ingreso marginal para determinar el ingreso que se obtendrá al %ender la unidad 1#-. c) 8alla el ingreso real que se obtendrá con la %enta de la unidad 1#-. d) ,alcula el error relati%o al reali7ar la aproximación al ingreso marginal. . El ingreso total de una pequea fábrica de estantes está dado por I(x) = #!x " !.1x 2 pesos$ cuando producen x unidades durante un mes. 'ctualmente se producen 1-! unidades al mes * se planea aumentar la producción mensual en 1 unidad. ,alcula$ utili7ando el análisis marginal$ el ingreso adicional que genera la producción * %enta de la unidad 1-1. . En el departamento de art&culos de sonido de una tienda se tiene que el ingreso total por las grabadoras que se %enden mensualmente es de I(x) = " !.!x2 3 !!x pesos$ donde x es el n9mero de grabadoras %endidas. 'ctualmente se %enden 1 444 unidades * se planea incrementar la producción * %enta en 1 unidad cada semana. a) ,alcula la función de ingreso marginal. b) 6tili7a la función de ingreso marginal para determinar el ingreso obtenido de la %enta de la unidad 2 !!!. c) 8alla el ingreso real de la %enta de la unidad 2 !!!. d) ,alcula el error absoluto * relati%o que se produce p roduce con la aproximación dada por el ingreso marginal. . :i la función ingreso total de una empresa está dada por I(x) = 1x " !.!1x 2 pesos$ donde x es el n9mero de art&culos %endidos.
a) ;etermina el ingreso marginal en x = 2!!$ x = !!$ x = !$ x = 4! * x = 1 !. b) 'nali7a los resultados del ingreso marginal encontrados antes.
-. 6na compa&a de transporte terrestre tiene un ingreso mensual de I(x) = 1! !!!x " 12x 2 pesos$ cuando el precio por pasajero es x pesos. a) ;etermina la función de ingreso marginal. b) ,alcula el ingreso marginal en x = #$ x = ! * x = 2. c) Interpreta los resultados. En los ejercicios a 4$ dada la ecuación de demanda< a) ;etermina la función de ingreso marginal. b) 6tili7a la función de ingreso marginal para calcular el ingreso obtenido en la %enta de la unidad sealada. c) ,alcula el ingreso real obtenido en la %enta de la unidad sealada. ;onde x es el n9mero de unidades * p precio< . a ecuación de demanda es x 3 2p = 1 -!! en la unidad -. #. a ecuación de demanda es 2!!p " 2 !!! 3 x = ! en la unidad !!. 4. a ecuación de demanda es x 3 !p = 1 !! en la unidad -. 1!. El departamento de promoción * desarrollo de una compa&a de art&culos para el >ogar desarrolla un programa de comerciali7ación de refrigeradores$ * se determinó que su demanda es de< p = " !.!x 3 4!!
!? x ?2! !!!
donde p denota el precio unitario del refrigerador en pesos * x la cantidad de demanda. a) +,uál es la función de ingreso b) +,uál es la función de ingreso marginal c) ,alcula el ingreso marginal cuando x = !!.
Ejemplo Resuelto
El ingreso total mensual de un pequeo industrial está representado por I(x) = 2!!x " !.-x 2 pesos$ cuando produce * %ende x unidades mensuales. 'ctualmente el industrial produce 1!! unidades al mes * planea incrementar la producción mensual en 1 unidad. a) 6tilicemos la función de ingreso marginal para estimar el ingreso que generará la producción * %enta de la unidad 1!1. b) 6tilicemos la función ingreso para calcular exactamente el ingreso que genera la producción * %enta de la unidad 1!1. c) ,alculemos el error absoluto * el error relati%o que se produce con la aproximación dada por el ingreso marginal. d) @ealicemos un análisis de los resultados obtenidos. :olución< a) para calcular el ingreso adicional que genera la producción * %enta de la unidad 1!1$ >acemos uso de la parte i7quierda de la expresión (2)$ es decir$ calculamos la deri%ada de la función ingreso$ que es<
I (x) = 2!! " 1.2x 5ara conocer el caso particular de la unidad 1!!$ e%aluamos la deri%ada de la función en x = 1!! * obtenemos< I (1!!) = 2!! " 1.2(1!!) = 2!! " 12! = A !#!
Este resultado es una aproximación al ingreso que se genera al producir * %ender la unidad 1!1. b) El ingreso exacto que se produce por la unidad x 3 1 lo obtenemos usando la expresión (1)<
I(x 3 1) "I(x) = 2!! (x31)B !$- (x31) 2 " ( 2!!x " !.-x 2) = 2!!x 3 2!! " !.-(x31) 2 " 2!!x 3 !.-x 2 = 2!! " !.-((x31) 2 "x2) = 2!! " !.-(x 2 3 2x 3 1 " x 2)
= 2!! " !.- (2x 3 1) = 2!! " 1.2x " !.= 144. " 1.2x
,on el procedimiento anterior se determina una expresión$ la cual seala el resultado de la diferencia del ingreso de la unidad x 3 1 * la unidad x. '>ora bien$ el propósito es calcular el caso del ingreso cuando se produce * %ende la unidad 1!1. Entonces lo que >acemos es sustituir x por 1!! en la expresión encontrada< C (1!1) B C (1!!) = C (x 3 1) B C (x) = 144. B1.2 = 144. B 1.2(1!!) = A !4. c) El error absoluto se obtiene con la diferencia entre los resultados obtenidos en b) * a)$ es decir< D !4. " !#! D = D"!.-!D = !.-!
5ara obtener el error relati%o se sustitu*en los %alores que *a tenemos en la igualdad ()<
Error relati%o= !.-C !4. (1!!) = !.!14 d) 'l obser%ar las expresiones de los apartados a)$ b) * c) se tiene que el error absoluto cometido es constante$ A!.-!$ sin importar la posición que ocupe la nue%a unidad producida.
COSTO MARGINAL EJERCICIOS RESUELTOS
El costo total$ en pesos$ para producir x metros de cierta tela es<
,(x) = ! !!! 3 2!x 3 !.1x 2 3 !.!!2x a) Encontremos la función de costo marginal. b) ,alculemos , (1!!) * analicemos su signiFcado. c) ,omparemos , (1!!) con el costo de fabricación del 1!1B 0simo metros. d) ,alcula el error absoluto * relati%o que se cometen en la aproximación que da el costo marginal. :olución< a) Genemos que la función de costo marginal es la deri%ada de la función costo$ entonces< , (x) = 2! 3 !.2x 3 !.!!-x 2 b) El costo marginal en 1!! lo determinamos al e%aluar la deri%ada de la función costo en x =1!!$ por lo que obtenemos la siguiente expresión<
, (1!!) = 2! 3 !.2(1!!) 3 !.!!-(1!!) 2 = 1!!
Este resultado es una aproximación del costo de producir el 1!1B0simo metro de tela. c) El costo real de fabricación del 1!1B0simo metro de tela es igual al costo de producir 1!1 metros menos el costo de producir 1!! metros de tela$ es decir<
,(1!1) " ,(1!!)
En lugar de calcular espec&Fcamente este %alor$ se calcula la expresión general del costo de fabricación del x 3 1 " 0simo metro de tela< ,( x 3 1) " ,(x) = H! !!! 3 2!( x 3 1) 3 !.1( x 3 1) 2 3 !.!!2( x 3 1) B(! !!! 3 2!x 3 !.1x 2 3 !.!!2x ) =2! 3 !.1H( x 3 1) 2 " x2 !.!!2 H( x 3 1) " x = 2! 3 !.1( 2x 3 1) 3 !.!!2( x 2 3 x 3 1) = 2! 3 !.2x 3 !.1 3 !.!!-x 2 3 !.!!-x !.!!2 = 2!.1!2 3 !.2!-x 3 !.!!-x 2 ;e la expresión general sustituimos x por 1!!$ * esta operación nos permite obtener el costo de producción del 1!1B0simo metro de tela< ,(1!1) " ,(1!!) = 1!!.! d) ;e los resultados obtenidos en b) * c)$ el error absoluto$ que se calcula con el %alor absoluto de la diferencia entre el costo de producción del 1!1B0simo metro menos el costo de producción de los 1!! metros$ es< D1!!.! " 1!!D = !.!. 5ara determinar el error relati%o usamos la expresión ()< !.!C1!!.! (1!!) = !.-4
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. En una fábrica se determinó que cuando se produce x n9mero de cierto art&culo$ el costo total es de ,(x) = x 23 -x 3 12# pesos. a) ,alcula la función de costo marginal. b) Emplea la función de costo marginal para calcular el costo de fabricar la cuarta unidad. c) +,uál es el costo real de producir la cuarta unidad d) ;etermina el error absoluto * relati%o que se tiene en la aproximación al costo total. 2. El costo total$ en pesos$ de fabricar mensualmente x grabadoras en una compa&a$ está dada por ,(x) = 1# !!! 3 #!x 3 2x 2
a) ,alcula la función de costo marginal. b) Emplea la función de costo marginal para calcular el costo de fabricar la unidad 1!1. c) +,uál es el costo real de fabricar la unidad 1!1 d) ;etermina el error absoluto * relati%o que se cometen en la aproximación que da el costo marginal. . 6na fábrica de partes para juguetes estima que el costo total$ en pesos$ de producir x unidades de un prototipo está dado por ,(x) = !.!!1x 2 3 !.!-x 3 !!. a) ,alcula la función de costo marginal. b) Emplea la función de costo marginal para calcular el costo de fabricar 2!$ !!$ #!! * 1 2!! unidades. c) ,alcula el error absoluto * relati%o que se comete en la aproximación que da el costo marginal de la unidad 1 2!!.