1
UNIVERSIDAD JOSÉ ANTONIO PÁEZ CÁTEDRA: MATEMÁTICA II CARRERA: INGENIERÍA
Integración de potencias de seno y coseno Integración de potencias de secante y tangente
INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE SENO Y COSENO Las integrales de la forma
sen
m
x cos n xdx
Donde m y n son enteros positivos, y se evalúan de varias maneras según los valores de m y n, es decir, si m y n son impares o pares. Los procedimientos se describen en la siguiente tabla: TABLA 1. INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE SENO Y COSENO
CASO
PROCEDIMIENTO
IDENTIDADES RELEVANTES
n impar
Hacer la sustitución u=senx
cos 2 x = 1 − sen2 x
m impar
Hacer la sustitución u=cosx
sen 2 x = 1 − cos 2 x
Usar identidades para reducir las potencias de sen y cos
m y n pares
sen 2 x = 12 (1 − cos 2 x )
cos 2 x = 12 (1 + cos 2 x )
Es importante resaltar, que los exponentes m y n, están asociados a las funciones sen y cos, respectivamente.
Ejemplos Evalúe las siguientes integrales indefinidas:
1.
sen x cos 4
5
xdx
Puesto que n=5 (impar) se usará la siguiente sustitución o cambio de variable Cambio de variable (C.V.)
u = senx , derivando la expresión anterior: du = cos xdx
Comparando esta última expresión en la integral, debemos descomponer cos5 x
sen x cos 4
5
xdx = sen 4 x cos 4 x cos xdx
De la tabla 1, debemos sustituir la identidad relevante según el caso. Para el caso particular, cos 2 x = 1 − sen 2 x Profesor: Ricardo Osío Lara
2
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Integración de potencias de seno y coseno Integración de potencias de secante y tangente
sen x cos 4
5
xdx = sen 4 x cos 4 x cos xdx = sen4 x(cos2 x)2 cos xdx
sen x cos
5
xdx = sen 4 x cos 4 x cos xdx = sen4 x(1 − sen2 x)2 cos xdx
4
Aplicando la sustitución o cambio de variable en la última integral
sen
4
x(1 − sen2 x)2 cos xdx
4
2 2
u
u
4
1-u
du
(1 − u 2 )2 du = u 4 (1 − 2u 2 + u 4 )du = u 4 − 2u 6 + u8 )du = u 4 du − 2 u 6 du + u8 du
u5 u du − 2 u du + u du = 5 4
6
8
2 7 u9 − u + + C 7 9
Devolviendo el cambio de variable sen5 x 2 sen7 x sen9 x sen x cos xdx = 5 − 7 + 9 + C 4
2.
sen x cos 3
2
5
xdx
Puesto que m=3 (impar) se usará la siguiente sustitución o cambio de variable Cambio de variable (C.V.)
u = cos x , derivando la expresión anterior: du = − senxdx ó −du = senxdx
Comparando esta última expresión en la integral, debemos descomponer sen3 x
sen x cos 3
2
xdx = sen 2 x cos 2 xsenxdx
De la tabla 1, debemos sustituir la identidad relevante según el caso. Para el caso particular, sen 2 x = 1 − cos 2 x
sen x cos 3
2
xdx = sen 2 x cos 2 xsenxdx = (1 − cos 2 x ) cos2 xsenxdx
Aplicando la sustitución o cambio de variable en la última integral
(1
−
cos2 x ) cos2 xsenxdx 1-u
u
-du
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3
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Integración de potencias de seno y coseno Integración de potencias de secante y tangente
u5 (1 − u )u − du = (u − u )du = u du − u du = 5 2
2
4
2
4
2
u3 − + C 3
Devolviendo el cambio de variable cos5 x cos3 x sen x cos xdx = 5 − 3 + C 3
3.
sen x cos 4
4
2
xdx
Puesto que m=n=4 (pares), debemos re-escribir la integral para reducir a potencias de sen y cos
sen x cos 4
4
xdx = ( sen 2 x)2 (cos2 x )2 dx
De la tabla 1, debemos sustituir la identidad relevante según el caso. Para el caso particular, sen 2 x = 12 (1 − cos 2 x ) y cos 2 x = 12 (1 + cos 2 x ) 2
2
4 4 2 2 2 2 sen x cos xdx = ( sen x) (cos x) dx = [ 12 (1 − cos 2 x) ] [ 12 (1 + cos 2 x) ] dx
Aplicando propiedades de potenciación y diferencia de cuadrados 2
2
2
2 4 [ 12 (1 − cos 2 x) ] [ 12 (1 + cos 2 x) ] dx = 161 1 − cos (2 x) = 161 sen (2 x)dx
sen 2(2x)=1-cos 2(2x)
Aplicando la siguiente sustitución o cambio de variable Cambio de variable (C.V.) u = 2 x , derivando la expresión anterior: 1 16
du 2
=
dx
sen (2 x)dx = 161 sen u du2 = 321 sen udu 4
4
4
Para resolver esta integral debemos aplicar la siguiente formula de reducción: 3 1 1 4 2 sen udu = u − sen u + sen4 u + C 8 4 32 4 4 4 sen x cos xdx = 321 sen udu =
1 3 1 1 2 u sen u sen4u + C − + 32 8 4 32
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4
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Integración de potencias de seno y coseno Integración de potencias de secante y tangente
4 4 sen x cos xdx =
3 1 1 x − sen(4 x) + sen(8 x) + C 128 128 1024
INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE SECANTE Y TANGENTE Las integrales de la forma
tg
m
x sec n xdx
Donde m y n son enteros positivos, y se evalúan de varias maneras según los valores de m y n, es decir, si m y n son impares o pares. Los procedimientos se describen en la siguiente tabla: TABLA 2. INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE SECANTE Y TANGENTE
CASO
PROCEDIMIENTO
IDENTIDADES RELEVANTES
n par
Hacer la sustitución u=tgx
sec2 x = 1 + tg 2 x
m impar
Hacer la sustitución u=secx
tg 2 x = sec2 x − 1
m par y n impar
Reducir las potencias de sec solamente
tg 2 x = sec2 x − 1
Es importante resaltar, que los exponentes m y n, están asociados a las funciones tg y sec, respectivamente.
Ejemplos Evalúe las siguientes integrales indefinidas: 1.
tg
2
x sec4 xdx
Puesto que n=4 (par) se usará la siguiente sustitución o cambio de variable
Profesor: Ricardo Osío Lara
5
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Integración de potencias de seno y coseno Integración de potencias de secante y tangente
Cambio de variable (C.V.) u = tgx , derivando la expresión anterior: du = sec2 xdx
Comparando esta última expresión en la integral, debemos descomponer sec4 x
tg
2
x sec4 xdx = tg 2 x sec2 x sec2 xdx
De la tabla 2, debemos sustituir la identidad relevante según el caso. Para el caso particular, sec2 x = 1 + tg 2 x
tg
2
x sec4 xdx = tg 2 x sec2 x sec2 xdx = tg 2 x(1 + tg 2 x) sec2 xdx
Aplicando la sustitución o cambio de variable en la última integral
tg
2
x (1 + tg 2 x ) sec2 xdx
2
u
2
1-u
du
u5 u (1 + u )du = u + u )du = u du + u du = 5 2
2
2
4
2
4
u3 + + C 3
Devolviendo el cambio de variable tg 5 x tg 3x tg x sec xdx = 5 + 3 + C 2
2.
tg
3
4
x sec3 xdx
Puesto que m=3 (impar) se usará la siguiente sustitución o cambio de variable Cambio de variable (C.V.)
u = sec x , derivando la expresión anterior: du = sec xtgxdx
Comparando esta última expresión en la integral, debemos descomponer sec3 x y tg 3 x
tg
3
x sec3 xdx = tg 2 x sec 2 x sec xtgxdx
De la tabla 2, debemos sustituir la identidad relevante según el caso. Para el caso particular, tg 2 x = sec2 x − 1 Profesor: Ricardo Osío Lara
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Integración de potencias de seno y coseno Integración de potencias de secante y tangente
tg
3
x sec3 xdx = tg 2 x sec 2 x sec xtgxdx = (sec2 x − 1) sec2 x sec xtgxdx
Aplicando la sustitución o cambio de variable en la última integral
(sec x 2
−
1) sec2 x sec xtgxdx
u -1
u
u5 (u − 1)u du = u − u )du = u du − u du = 5 2
2
4
2
4
2
du
u3 − + C 3
Devolviendo el cambio de variable sec5 x sec3 x tg x sec xdx = 5 − 3 + C 3
3.
tg
2
3
x sec xdx
Puesto que m=2 (par) y n=1 (impar) De la tabla 2, debemos sustituir la identidad relevante según el caso. Para el caso particular, tg 2 x = sec2 x − 1
tg
2
x sec xdx = (sec2 x − 1) sec xdx = (sec3 x − sec x )dx = sec3 xdx − sec xdx Integración por partes
1
sec xdx sec xdx = 2 sec xtgx 3
−
+
Integración inmediata
1 Ln sec x + tgx − Ln sec x + tgx + C 2
1 1 2 sec sec tg x xdx = xtgx − Ln sec x + tgx + C 2 2 Para la integración de potencias de cosecante y cotangente, debe aplicarse el mismo método que para potencias de secante y tangente. Sólo con reemplazar en la tabla 2; secante por cosecante
y, tangente por cotangente.
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7 Integración de potencias de seno y coseno Integración de potencias de secante y tangente
BIBLIOGRAFÍAS CONSULTADAS •
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•
ANTON, Howard. Cálculo y Geometría Analítica. Vol. 1 y 2. Editorial Limusa, S.A. de C.V. México. 1984. AYRES Jr, Frank y MENDELSON, Elliott. Cálculo. Serie Schaum. Cuarta edición. McGraw Hill Interamericana Editores, S.A. de C.V. México. 2006. LEITHOLD, Louis. El Cálculo. Séptima edición. Oxford University Press – Harla México, S.A. de C.V. México. 1998. MORÓN, William. Matemática II. Problemas resueltos. Valencia – Venezuela. 1990. SÁNCHEZ, Jorge. Cálculo Integral con Funciones Trascendentes Tempranas para Ciencias e Ingeniería. Inversora Hipotenusa. Barquisimeto – Venezuela. 2005.
Profesor: Ricardo Osío Lara