Integración Casos en los cuales se utilizan métodos numéricos en lugar de los analíticos 3,500
3 2
0
2 cos(1 x ) 2
1 0.5 sen x
e 0.5 x dx
x
f(x)
0,25 0,75 1,25 1,75
2,727 2,811 2,605 2,863
3,000
2,500
2,000
1,500
1,000
0,500
0,000 0
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
Las integrales surgen cuando se desea determinar el cambio en una cantidad y cuya razón de cambio con respecto a otra variable x es descripta por la relación:
1,75
dy dx
el cambio en y desde y a hasta y b es:
2
2,25
2,5
2,75
f ( x)
yb
xb
ya
xa
dy f ( x)dx
Integración
Suma de áreas xb
yb ya f ( x )dx xa
Area infinitesimalmente pequeña
f(x) b
yb
∆y
dy
Magnitud del cambio
a
ya Area bajo la curva
xa
∆x
dx
xb
Fórmulas cerradas de Newton-Cotes Incluyen los puntos
Espaciamiento constante entre valores
extremos en los cálculos
de la variable independiente
xb
xb
f ( x)dx f ( x)dx n
xa
Trapecios
Polinomio de orden 1
xa
Simpson 1/3
Polinomio de orden 2
Simpson 3/8
Polinomio de orden 3
Regla del trapecio
xb
xb
f ( x)dx f ( x)dx 1
x a
16,000
f(xb)
14,000
x a
12,000
I ( x b x a )
10,000
f ( x a ) f ( x b )
8,000 6,000
2
Error f(xa)
4,000
f(0.5) = 2.817
2,000 0,000 0
0,5
xa
1
1,5
2
2,5
I = 19.262938 Er% = ?
3
3,5
xb
4
f(3.5) = 13.419
I ≈ (3.5-0.5)×(2.817+13.419)/2 = 24.353
Regla del trapecio múltiple 16,000 14,000
f(xn)
12,000
h
10,000
intervalo se xn x1 El divide en n
n
segmentos de igual ancho
8,000 6,000
Error
4,000
f(x1)
2,000
I ( x b x a )
f ( x a ) f ( xb ) 2
0,000 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
4
xn
x1
I h
h
3,5
f ( x2 ) f ( x1 ) 2
h
f ( x3 ) f ( x2 )
I f ( x1 ) 2 f ( xi ) f ( xn ) 2 i2 n 1
2
... h
f ( xn ) f ( xn 1 ) 2
f ( x ) f ( x )
f ( x1 ) 2 I ( xn x1 )
n 1
i
i 2
2n
n
Regla de Simpson 1/3
x3
x3
f ( x)dx f ( x)dx
Polinomio de Lagrange
2
x1
x1
( x x2 )( x x3 ) ( x x1 )( x x3 ) ( x x1 )( x x2 ) f ( x2 ) f ( x3 ) I f ( x1 ) dx ( x1 x2 )( x1 x3 ) ( x2 x1 )( x2 x3 ) ( x3 x1 )( x3 x2 ) x1 x3
I
16,000 14,000
h 3
f ( x1 ) 4 f ( x2 ) f ( x3 )
f(x2)
12,000
h
( x3 x1 )
2 Cantidad de segmentos
10,000 8,000
Error 6,000
f(x1)
4,000
f(x0)
2,000
I ( x3 x1 )
0,000 0
0,5
x0
1
1,5
2
x1
2,5
3
3,5
x2
4
f ( x1 ) 4 f ( x2 ) f ( x3 ) 6
Regla de Simpson 1/3 múltiple x3
x5
xn
x1
x3
xn2
I f ( x ) dx f ( x )dx ...
I 2h
f ( x1 ) 4 f ( x2 ) f ( x3 ) 6
2h
I ( x3 x1 )
f ( x)dx
f ( x3 ) 4 f ( x4 ) f ( x5 ) 6
( xn x1 ) n
f ( x1 ) 4 I ( xn x1 ) Cantidad de segmentos
6 h
... 2h
( x3 x1 ) 2
f ( xn 2 ) 4 f ( xn 1 ) f ( xn )
n 1
h
f ( x1 ) 4 f ( x2 ) f ( x3 )
6 n 2
f ( xi ) 2 f ( x j ) f ( xn )
i 2, 4, 6
j 3,5, 7
3n
Se utiliza cuando hay una cantidad impar de puntos
Regla de Simpson 3/8 h
x4
x4
f ( x)dx f ( x)dx
( x4 x1 )
3
x1
3 I
3h 8
f ( x1 ) 3 f ( x2 ) 3 f ( x3 ) f ( x4 )
x1
Se utiliza cuando hay 4 puntos
16,000
f(x4)
14,000 12,000
f(x3)
10,000 8,000
Error
6,000 4,000
I ( x4 x1 )
f(x2)
2,000
f(x1)
0,000 0
0,5
x1
1
1,5
x2
2
2,5
x3
3
3,5
x4
4
f ( x1 ) 3 f ( x2 ) 3 f ( x3 ) f ( x4 ) 8
Comparación de errores 1,6405 puntos 3 4 5 6 7 9 9
Trapecio 1,0688 1,3696 1,4848 1,5399 1,5703 1,6008
Error% 35 17 9 6 4 2
Simpson 1,3675 1,5192 1,6235 1,6451 1,6372 1,6395 1,6381
Error% 17 7 1 0,28 0,20 0,06 0,15
(3/8) (1/3 + 3/8)
(1/3 + 3/8)
Cálculo del trabajo que varía con la distancia F F = cte W=F*d
F
xa
xa
xb
F ≠ cte
F θ
xa
W
F
∫
W= F(x)cos(θ(x))dx xb
xb
W xa
xb
Cálculo del trabajo que varía con la distancia DATOS
x(ft) 0 5 10 15 20 25 30
W=∫F(x)cos(θ (x))dx 7 puntos equidistantes
F(x) (lb) ang (rad) F(x)*cos(ang) 0 0 0,0000 9 1,4 1,5297 13 0,75 9,5120 14 0,9 8,7025 10,5 1,3 2,8087 12 1,48 1,0881 5 1,5 0,3537
12,0 10,0 8,0
Trapecio múltiple = 119,0892 Simpson 1/3 múltiple = 117,1271
6,0 4,0 2,0 0,0 0
5
10
15
20
F(x)cos(ang)
25
30
35
Cálculo del trabajo que varía con la distancia W=∫F(x)cos(θ (x))dx
x(ft) 0 5 10 15 20 30 40
5 3
7 puntos no equidistantes
F(x) (lb) ang (rad) F(x)*cos(ang) 0 0 0,0000 9 1,4 1,5297 13 0,75 9,5120 14 0,9 8,7025 10,5 1,3 2,8087 12 1,48 1,0881 5 1,5 0,3537
12,0 10,0
Simpson 1/3 múltiple = 104,603
8,0
Simpson 1/3 = 25,049
6,0
129,652
4,0 2,0 0,0 0
10
20
F(x)cos(ang)
30
40
50
Datos: xn, x1, ptos, función
f ( x ) f ( x )
f ( x1 ) 2
function [y]=f(x) y = evstr(funcion) endfunction
I ( xn x1 )
n 1
i
n
i 2
2n
funcion=input('f(x)= ','s')
h
( xn x1 ) n
segmentos
n1
h = (xn-x1)/(n-1) //paso
for x = (x1+h):h:(xn-h) f ( x ) i I = I + f(x) i 2
I = h*(f(x1) + 2*I + f(xn))/2
end //for
Datos: xn, x1, v n= length(v)
h
( xn x1 )
f ( x ) f ( x )
f ( x1 ) 2 I ( xn x1 )
h = (xn-x1)/(n-1) //paso
n
I = h*(v(1)+2*I + v(n))/2
i
n
i2
2n n 1
f ( xi ) i 2
segmentos
n 1
for i = 2:n-1 I = I + v(i) end //for
3 3.5
0.5
2 cos(1 x 2 ) 1 0.5 senx
e
0.5 x
dx
-->deff('y=f(x)','y=(2+cos(1+x.^1.5)/sqrt(1+0.5*sin(x)))*exp(0.5*x)') x
-->I=intg(0.5,3.5,f) I = 19.262938
Valor similar al obtenido con PlanMaker
0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5
f(x) 2.817 2.811 2.722 2.605 2.584 2.863 3.694 5.295 7.710 10.628 13.278 14.536 13.419 19.2639582