Integrais Triplas Jorge A. R. Durán
D.Sc., Professor Adjunto UFF – TMI – Volta Redonda
[email protected] versão: dezembro de 2004
Introdução:
Uma integral tripla envolve uma função f(x,y,z) e um sólido S do espaço tridimensional. tridimensional. Para resolve-la é necessário varrer completamente o interior do sólido na ordem mais adequada e identificada pela posição dos diferenciais na integral. Pela dificuldade em plotar e visualizar superfícies em 3D, não resulta incomum encontrar uma grande dificuldade entre os estudantes para definir a ordem e conseqüentemente os limites de integração. Felizmente hoje em dia existem programas de computador que permitem plotar estas superfícies e visualizar o sólido em que estamos integrando. Alguns autores chamam estes programas de Sistemas de Computação Algébrica ( SCA SCA) e as suas aplicações não se limitam, é claro, a plotar gráficos em 3D. Dentre estes programas os mais conhecidos são o MapleTM , MathLab, MathCad , Mathematica, e outros. Este material apresenta diversos exemplos de cálculo de integrais triplas mostrando em cada caso o sólido correspondente (desde um ou dois ângulos) com auxílio do MapleTM 6.0. Dúvidas e comentários sobre este e outros materiais disponíveis na página do autor http://www.professores.uff.br/duran/ http://www.professores.uff.br/duran/,, bem como alunos interessados em colaborar, são sempre bem vindos. Exemplos
1.
Calcule a Integral tripla de f(x,y,z)= sqrt(x2+y2) onde S é o sólido dentro do cilindro r = 1 e entre as superfícies 0 z sqrt(x2+y2) (Figura 1).
Figura 1 - Sólido dentro do cilindro r=1 e entre as superfícies 0 z sqrt(x2+y2). A superfície z = sqrt(x2+y2) (sqrt são as siglas de square root que significa “raiz quadrada” e que é utilizada na maioria dos programas disponíveis) disponíveis) é um cone invertido com vértice na origem. Em coordenadas cilíndricas é z=r. Podemos resolver esta
