Integrales v v Imp

Cálculo integral en Rn César Asensio, Luis M. Esteban y Antonio R. Laliena Dpto. Matem´ atica Aplicada

E.U.P.L.A.

Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA)

Integrales m´ ultiples

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Índice

1

Integrales dobles sobre rectángulos

2

Integrales dobles sobre otras regiones

3

Cambios de variable

4

Integrales triples



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Integrales en rect´ angulos

Notación y definiciones Intervalo compacto en R2 : R = [a, b] × [c, d] ⊂ R2 Partición de R: P = {R1 , R2 , . . . , Rn } con Ri intervalos compactos, ∪ni=1 Ri = R, Ri ∩ Rj = ∅. i-ésimo subintervalo: Ri , i = 1, . . . , n. medida del i-ésimo subintervalo: ∆Ri es el área de Ri . Diámetro de la partici´ on: |P | = m´ ax{∆R1 , . . . , ∆Rn }. Una partición P 0 se dice más fina que otra P si P ⊂ P 0 . Partición inducida: P1 , P2 particiones de [a, b] y [c, d] respectivamente inducen una partici´ on de R P = {Ri,j | Ri,j = [xi−1 , xi ]×[xj−1 , xj ], i = 0, . . . , n, j = 0, . . . , m}. La medida de Ri,j es ∆Ri,j = ∆xi ∆yj . Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA)


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Sumas de Darboux

f : R ⊂ R2 → R acotada, P partici´ on de R Mi = sup{f (x)|x ∈ Ri },

S(P ) =

n X

Mi ∆Ri ,

mi = ´ınf{f (x)|x ∈ Ri }.

s(P ) =

i=1


n X

mi ∆Ri .

i=1


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Observaciones

m = ´ınf{f (x)|x ∈ R},

M = sup{f (x)|x ∈ R}

m(b − a)(d − c) ≤ s(P ) ≤ S(P ) ≤ M (b − a)(d − c). Principio de acotaci´ on del volumen: Si P 0 es más fina que P entonces s(P ) ≤ s(P 0 ) ≤ S(P 0 ) ≤ S(P ). s(P1 ) ≤ S(P2 ).



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La integral doble en sentido de Riemann Integral inferior de Darboux de f en [a, b] ZZ f (x, y)dxdy = sup{s(P ) | P es partición de R}. R

Integral superior de Darboux de f en [a, b] ZZ f (x, y)dxdy = ´ınf{S(P ) | P es partición de R}. R

Se cumple s(P ) ≤

RR R

f (x, y)dxdy ≤

RR

R f (x, y)dxdy

≤ S(P ).

ParaRR cualquier > 0 hay una partici´ on P con RR 0≤ f (x, y)dxdy−s(P ) < , 0 ≤ S(P )− R f (x, y)dxdy < . R



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La integral doble en sentido de Riemann (2) Función integrable Se dice que f : R ⊂ R2 → R, acotada, es integrable en sentido de Riemann en R si ZZ ZZ f (x, y)dxdy = f (x, y)dxdy. R

R

Al n´ umero anterior se le denomina integral (doble) definida en sentido de Riemann de f en R, se le representa por ZZ

Z f (x, y)dxdy ,

dZ b

también por

R

f (x, y)dxdy . c

a

NOTA: Las funciones continuas son integrables. Nos restringiremos al estudio de éstas. Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA)


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Interpretación geométrica Si f > 0 ZZ f (x)dxdy = Volumen R

Si f < 0 ZZ f (x)dxdy = −Volumen R

En general ZZ f (x)dxdy = Vol.f >0 − Vol.f <0 R



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Propiedades de la integral doble 1

Linealidad: f y g integrables en R; λ, µ ∈ R ZZ ZZ ZZ λf (x) + µg(x) dxdy = λ f (x)dxdy + µ g(x)dxdy. R

2

R

R

Integrabilidad de producto y cociente: f , g integrables en R f g es integrable en R. Si |g(x)| ≥ c > 0 entonces f /g es integrable en R.

3

Monoton´ıa: f , g integrables en R con f (x) ≤ g(x) entonces ZZ ZZ f (x)dxdy ≤ g(x)dxdy. R

4

R

Desigualdad de Cauchy–Schwarz: f , g integrables en R Z Z 2 Z Z ZZ 2 2 f (x)g(x)dxdy ≤ f (x) dxdy g(x) dxdy. R


R Integrales m´ ultiples

R 9 / 29


Propiedades de la integral doble (2) 5

Desigualdad triangular: f integrable en ZZ Z Z f (x)dxdy ≤

Aditividad respecto del intervalo: Sea f acotada en R y sea {R1 , R2 } una partici´ on de R. f es integrable en R si y solo si lo es en R1 y R2 . En este caso ZZ ZZ ZZ f (x)dxdy = f (x)dxdy + f (x)dxdy. R

7

f (x) dxdy.

R

R

6

R

R1

R2

Teorema del valor medio: Si m ≤ f (x) ≤ M en R = [a, b] × [c, d], entonces existe m ≤ µ ≤ M cumpliendo ZZ f (x)dx = µ(b − a)(d − c). R



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Integrales iteradas Teorema de Fubini Si f : R ⊂ R2 → R es continua en R entonces se puede calcular por integración reiterada: ZZ

Z f (x, y)dxdy =

R


c

dZ b

Z bZ f (x, y)dx dy =

a

a


d

f (x, y)dy dx .

c

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Ejemplo Si R = [−1, 1] × [1, 2] y f (x, y) = x2 y entonces ZZ

2Z 1

Z f (x, y)dxdy =

R

R

1

−1

Z

2

Z

x ydx dy =

−1

1

de otra forma ZZ Z f (x, y)dxdy =

2

1

2 2

Z

1

x ydy dx =

1

−1

2 ydy = 1, 3

3 2 x dx = 1. 2

El código en wxMaxima Para la primera: integrate(integrate(x^ 2*y, y, 1, 2), x, -1, 1); Para la segunda: integrate(integrate(x^ 2*y, x, -1, 1), y, 1, 2); Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA)


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Integrales en otras regiones

Definición y observaciones Para una región acotada D, la integral doble de f : D ⊂ R2 → R se puede definir de forma similar al caso de un rectángulo. Las propiedades de la integral doble sobre regiones más generales son las mismas que para el caso de rectángulos. La forma práctica de calcularlas es recurrir al Teorema de Fubini, por integración reiterada. En ocasiones habrá que dividir el recinto de integración en subrrecintos más sencillos. Bandas horizontales. Bandas verticales.



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Integrales dobles sobre bandas horizontales y

D g2 (x) g1 (x)

a

←− x −→

ZZ f (x, y)dxdy = D Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA)

b

Z bZ a

g2 (x)

x

f (x, y)dy dx .

g1 (x)


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Ejemplo

ZZ

2

2

x y +10 dxdy =

D

Z 1

2Z

√

x

1−x

11

245 2 2 − 793 x y +10 dy dx = 540 2

2

C´ odigo en wxMaxima: assume(x>0); integrate(integrate(f(x,y), y, 1-x, sqrt(x)), x, 1, 2);



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Integrales dobles sobre bandas verticales y

d

D

↑ y ↓

h1 (y)

h2 (y)

c

x

ZZ

Z f (x, y)dxdy = D


c

d Z h2 (y)

f (x, y)dx dy .

h1 (y)


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Ejemplo

ZZ

3/2 Z 2 y

Z

4 y − x + 8 dxdy = D

0

y2

3663 4 y − x + 8 dx dy = 320

C´ odigo en wxMaxima: integrate(integrate(g(x,y), x, y^ 2, 2*y), y, 0, 3/2);



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Cambio del orden de integración En ocasiones es interesante cambiar el orden de integración. Por ejemplo ZZ Z 2 Z 2y 4 y − x + 8 dx dy 4 y − x + 8 dxdy = D

0

Z = 0

y2 √

4Z

x

x 2

208 4 y − x + 8 dy dx = , 15

como muestra el siguiente razonamiento gráfico



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Un ejemplo más complicado Para este recinto de integraci´ on

ZZ

4 y − x + 8 dxdy =

D

Z = 0

9/4 Z

√

Z

3/2 Z 2 y y2

0 x

4 y − x + 8 dy dx +

x 2


4 y − x + 8 dx dy

Z 3 Z 9/4

3/2 x 2


3663 4 y − x + 8 dy dx = . 320 19 / 29

Cambios de variable

Cambio de variable general

x = x(u, v), y su matriz jacobiana y = y(u, v)

Dado un cambio de variable

∂x  ∂u J =  ∂y ∂u 

se cumple ZZ

 ∂x ∂v   ∂y  ∂v

ZZ f (x(u, v), y(u, v))| det J|dudv

f (x, y)dxdy = D

D∗

donde D∗ es el recinto transformado de D por el cambio el cambio de variable.



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Cambios de variable

Ejemplo: cambio a polares Recinto en cartesianas

El cambio es ZZ

Recinto en polares

x = r cos θ, y el jacobiano vale det J = r. As´ı, y = r sin θ

Z p 2 2 xy x + y dxdy =

D Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA)

3

r

4

Z

2 Integrales m´ ultiples

π/2

sin θ cos θdθ dr.

0 21 / 29

Cambios de variable

Otro ejemplo Consideremos el recinto limitado por lasrectas y = 4 − x, y = 6 − x, y + x = u, y = 3x e y = −4 + 3x. Tras el cambio el recinto se y − 3x = v, transforma en un intervalo compacto. Recinto previo al cambio


Recinto tras el cambio


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Integrales triples

Integrales triples sobre intervalos compactos Intervalo compacto en R3 : R = [a1 , a2 ] × [b1 , b2 ] × [c1 , c2 ] ⊂ R3 . Proceso de definición similar a las integrales dobles: particiones, sumas superiores e inferiores, principio de acotación, integrales superior e inferior y definici´ on de integral: ZZZ Z c2 Z b2 Z a2 f (x, y, z)dxdydz , o f (x, y, z)dxdydz . R

c1

b1

a1

Interpretación geométrica: suma a todo el volumen de los valores infinitesimales f (x, y, z)dxdydz. Propiedades: similares a las de las integrales dobles. Cálculo por integraci´ on iterada: Para f continua ZZZ Z c2 Z b2 Z a2 f (x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dx dy dz . R

c1

b1

a1

o en cualquier otro orden. Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA)


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Integrales triples

Integrales triples para regiones más generales

Para una región acotada D, la integral triple de f : D ⊂ R3 → R se puede definir de forma similar al caso de un intervalo compacto. Las propiedades de la integral triple sobre regiones más generales son las mismas que para el caso de intervalos compactos. La forma práctica de calcularlas es recurrir a la integración iterada. En ocasiones habrá que dividir el recinto de integraci´ on en subrrecintos más sencillos.



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Integrales triples

Un tipo de recinto para integración iterada

a ≤ x ≤ b g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x) h1 (x, y) ≤ z ≤ h2 (x, y)

ZZZ f (x, y, z)dxdydz = D

Z bZ a

g2 (x) Z h2 (x,y)

g1 (x)

f (x, y, z)dz dy dx .

h1 (x,y)

Se pueden definir recintos similares cambiando los ejes (y por tanto cambiando el orden de integraci´ on).



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Integrales triples

Ejemplo de integración iterada 1, √ −1 ≤ x ≤ √ 2 − 1−x ≤y ≤ 1 − x2 , 2 2 −2 + x + y ≤ z ≤ 2 − x2 − y 2 , f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 . ZZZ D

Z 1 Z −√1−x2 Z f (x, y, z)dxdydz = √

=


1−x2

−1

2−x2 −y 2

(x2+y 2+z 2 )dz dy dx

−2+x2 +y 2

23 π 6


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Integrales triples

Cambio de variable Cambio de variable   x = x(u, v, w), y = y(u, v, w),  z = z(u, v, w).

Matriz jacobiana  ∂x ∂x ∂x    J =  

∂u

∂v

∂w

∂y ∂u

∂y ∂v

∂y ∂w

∂z ∂u

∂z ∂v

∂z ∂w

    

se cumple ZZZ f (x, y, z)dxdydz D ZZZ = f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))| det J|dudvdw D∗

donde D∗ es el recinto transformado de D por el cambio el cambio de variable. Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA)


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Integrales triples

Cambio a coordenadas esféricas z Cambio de variable  r  x = r cos ϕ cos θ, y y = r cos ϕ sin θ, ϕ x θ  z = r sin ϕ. se cumple det J = r2 cos ϕ y por tanto ZZZ f (x, y, z)dxdydz D ZZZ f (x(r, θ, ϕ), y(r, θ, ϕ), z(r, θ, ϕ))r2 | cos ϕ|drdθdϕ =

D∗

donde D∗ es el recinto transformado de D por el cambio a esféricas: por ejemplo una esfera de radio 1 se transforma en el intervalo compacto [0, 1] × [0, 2π] × [−π/2, π/2]. Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA)


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Integrales triples

Cambio a coordenadas cil´ındricas z Cambio de variable   x = r cos θ, y = r sin θ, r x θ  z = z. se cumple det J = r y por tanto ZZZ f (x, y, z)dxdydz D ZZZ = f (x(r, θ, z), y(r, θ, z), z(r, θ, z))rdrdθdz

y

D∗

donde D∗ es el recinto transformado de D por el cambio a cil´ındricas: por ejemplo un cilindro de base circular de radio 1 y eje el eje z (entre −1 y 1) se transforma en el intervalo compacto [0, 1] × [0, 2π] × [−1, 1]. Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA)


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Integrales v v Imp

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