Escuela de Ciencia Básicas, Tecnología e Ingeniería Integrar es fácil
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INTEGRAR INTEGRAR ES FACIL FA CIL
Existen varios métodos de integración cuyo fin es solucionar los distintos tipos de integrales que nos pueden aparecer en un parcial, Quiz o taller, entre ellos tenemos: 1. Las integrales dir ecta ectas: s: están solucionadas en libros o se tomaron a través del tiempo como ciertas, entre ellas podemos nombrar:
∫ sen( x )dx = − cos( x ) + k ∫ cos( x)dx = sen( x) + k ∫
e dx = e + k x
dx
∫ x
x
= Ln x + k x
a
∫ a dx = Ln(a ) + k x
∫
sec ( x )dx = tg ( x ) + k 2
∫ sen( x )tg ( x )dx = sec( x) + k y otras más…
2. Fórmula clásica: Integrales que se solucionan con la formula siempre y cuando n ≠
∫ ∫
4 xdx =
x dx =
4 x
(1+1)
(1 + 1) x
−1 Ejemplos:
+ k = 2 x 2 + k
⎛ 1 ⎞ ⎜ +1 ⎟ ⎝ 2 ⎠
⎛ 1 ⎞ ⎜ + 1⎟ ⎝ 2 ⎠
+ k =
2 x
⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠
3
+ k
∫
a x n dx =
( +1)
ax n
(n + 1)
+ k
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5 x
(8+1)
∫ 5 x dx = (8 + 1) + k = 8
∫ x
0.86
dx
∫ x
(0.86 + 1)
= ∫ x dx = −2
2
∫ ( x
dx =
x (0.86+1)
6
x (
5 x
9
+ k =
−2+1)
(− 2 + 1)
+ 3 x + x + 6)dx = 2
(9 )
+ k
x (1.86 )
+ k
1.86
+ k =
x
x (
−1)
−1
(6+1)
(6 + 1)
+
+ k =
3 x 3
3
+
−1 x
x
+ k
2
2
+ 6 x =
x
(7 )
7
+ x + 3
x
2
2
+ 6 x + k Y otras
3. Integrales con ayuda del algebra: se solucionan utilizando la factorización, la simplificación, identidades trigonométricas y la división sintética entre otras:
∫
4 x
2
∫
4 x
2
2 − 4 x − 8 4( x − x − 2 ) 4( x + 1)( x − 2) = = 4( x − 2) = 4 x − 8 Entonces: dx = ( x + 1) ( x + 1) x + 1
− 4 x − 8 2 dx =∫ (4 x − 8)dx = 2 x − 8 x + k x + 1
x + 1
∫ x − 5 dx
Podemos realizar división sintética:
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x + 1
− x +
x − 5 5
1
x + 1
Es decir:
______
x − 5
=1+
6
x − 5
Por lo tanto la integral se soluciona así:
6
x + 1
∫ x − 5
∫ ∫
( x
∫
dx =
dx + 6
dx
∫ x − 5
= x + 6 Ln x −
5
+ k
2 + 3 x 2 − 18 x ) x + k dx = ∫ xdx = ( x − 3)( x + 6) 2 3
sen ( x ) cos ( x ) 1 − cos
2
( x )
dx
Utilizando la identidad trigonométrica:
sen
2
( x ) + cos 2 ( x ) = 1
tenemos que:
sen ( x ) =
∫
1 − cos
sen ( x ) cos ( x ) 1 − cos
2
( x )
2
( x )
dx =
Entonces la solución es:
∫ cos xdx
= senx + k
3 x
∫ x + 5dx
Por división sintética (Se emplea cuando el exponente del numerador el mayor o
igual al exponente del denominador)
3 x
∫ x + 5
∫
dx = 3 dx − 15
dx
∫ x + 5 = 3 x − 15 Ln x + 5 + k
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4. Por sustitución: Se emplea esta técnica cuando es posible obtener la derivada de un término en función del otro término. Ejemplos:
senx
∫ cos
2
x
dx Sabemos que senx es la derivada del cos x para la solución debemos:
PASO 1:
U = Cosx
PASO 2:
du = sen ( x )dx
PASO 3:
dx =
du sen ( x )
PASO 4: Reemplazar los anteriores valores en la ecuación original
⎧ u = cos ( x ) ⇒ dx ⇒ ⎨ 2 x ⎩ du = − sen ( x )dx
senx
∫ cos
∫
senx u
2
du
− Sen ( x )
d φ
∫ sec φ csc φ = ∫ sen φ cos φ d φ Al realizar la sustitución:
u = senφ du = cos φ d φ d φ =
du cos φ
Obtenernos
Por trigonometría.
=
1 cos ( x )
= Sec ( x ) + c
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∫
sen φ cos φ d φ =
u cos φ du cos φ
= udu =
u = x
xdx
∫ 1 + x xdx
∫ 1 + x
∫
4
4
=
=
( )
2 2
xdu 1 + u (2 x ) 2
tg ( x ) sec6 ( x )dx =
=
dx = 1
du
∫
2 1+ u
2
2
du
= 0.5 Artg ( x 2 ) + k
cos( x ) cos ( x ) 6
du = − senxdx
∫
− du
Por lo tanto:
2 x
sen( x )
u = cos x
dx =
2
du = 2 xdx
x 1+ x
0 . 5 sen φ + k
=
senx cos ( x )
− sen ( x )du u 7 sen ( x )
Realizando la sustitución:
7
=
x 5 x 3 + 1dx
Aplicando la sustitución
u
(
)
x 2 u 2 − 1 u (2udu ) 3 x
2
2
x
3
3
+
= x 3 +
2 udu
x
∫
u6
=
1 cos
6
( x )
senx
u =
∫
1
−7 u du = − ∫
=
= u
2
1 1
3 x
−
2
dx
1
= 2∫ (u 2 − 1)u 2 du = 2∫ u 4 du − 2∫ u 2 du
+ k
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∫ x
u = 1 − x
dx
u = 1 − x 2
1 − x
2udu
= −dx
− 2udu du ∫ (1 − u 2 )u = −2∫ du + ∫ u 2
5. Por partes : Es un método alternativo donde se aplica la formula:
∫ u.dv = u.v − ∫ v.du
Para quienes tenemos regular memoria la podemos recordar así: “ Una vaca menos la
integral vestida de uniforme”
∫ x. cos( x )dx Para escoger cual es U y cual es V utilizamos la palabra ILATE (Inversa- Logarítmica – Algebraica – Trigonométrica y Exponencial) de izquierda a derecha. Para nuestro ejemplo tenemos que X es algebraica y esta antes que
Cos ( x ) que es una trigonométrica, por lo
tanto ya tenemos nuestra U, lo que nos sobre es el V
u = x
v = cos x
du = dx
∫ vdv
dx = du
v = senx
=
∫ cos
xdx
Con la U derivamos y con la V integramos
Aplicamos nuestra formula:
∫ u.dv = u.v − ∫ v.du ∫
, Entonces:
xsenx − senxdx = xsenx + cos x + k
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Lnx
∫ x
2
∫
dx = x − 2 Lnxdx
u = ln x du dx
= =
dx
v = x
−2
x du
v =
−
1
x
x
1 − 1 dx ⎛ − 1 ⎞ ⎛ − 1 ⎞ = ⎜ ⎟ Lnx − + k ⎜ ⎟ Lnx − ∫ x x ⎝ x ⎠ x ⎝ x ⎠ La idea es analizar las integrales utilizando el primer método, si no es posible solucionarla tomamos el segundo método, si no es posible solucionarla por este método, entonces tomamos el terceros y así sucesivamente.
MUCHAS SUERTE!!!!!
