Universidad César Vallejo – Vallejo – Piura Piura Escuela de Administración Administración
Matemática para los Negocios
1. INTERES COMPUESTO 2.1 Introducción El Interés compuesto es el proceso mediante el cual el interés generado por un capital en una unidad de tiempo, se capitaliza, es decir se adiciona al capital anterior, formando un nuevo capital, el mismo que genera un nuevo interés en la siguiente unidad de tiempo y así sucesivamente durante el plazo pactado, experimentando al final de cada unidad de tiempo un crecimiento geométrico. Ejemplo: Hallar el interés compuesto sobre $1000 por 3 años si el interés de 5% es convertible anualmente en capital. El capital original es de $1000. El interés por un año es 1000(0,05)=$50. El capital al final del primer año es: 1000+50=$1050. El interés sobre el nuevo capital por un año e s: 1050(0,05)=$52,50. El capital al final del segundo año es: 1050+52,50=$1102,50. El interés sobre el nuevo capital por un año es: 1102,50(0,05)=$55,12. El capital al final del tercer año es: 1102.50+55,12=$1157,62. El interés compuesto es: 1157,62-1000=$157,62. Para el cálculo del interés compuesto es necesario tener en consideración: a) La tasa nominal anual (j). b) La tasa efectiva del periodo capitalizable (i). c) El número de días del periodo capitalizable (f). d) El numero de periodos de capitalización en el año (m), el cual se halla dividiendo el número de días del año bancario por f. e) El horizonte de tiempo (H): número de días de la operación. f) El numero de periodos de capitalización en el horizonte temporal (n).
2.2 Deducción de la fórmula Realizando el ejemplo anterior en forma abstracta podremos generalizar la fórmula para un numero de periodos “n” de capitalización. Es decir: El capital original es : C El interés por un periodo de tiempo es : I 1=C.i El capital al final del primer periodo de tiempo es : C1=C+C.i=C(1+i) El interés sobre el nuevo capital por un periodo d e tiempo es: I 2=C(1+i).i El capital al final del segundo periodo de tiempo es: C 2=C(1+i)+C(1+i).i=C(1+i)2 El interés sobre el nuevo capital por un periodo d e tiempo es: I 3=C(1+i)2.i El capital al final del tercer periodo de tiempo es: C3=C(1+i)2+C(1+i)2.i=C(1+i)3. Generalizando para un número de periodos “n” de capitalización obtendríamos la siguiente fórmula: n n C S 1 i S C 1 i o
Para una capitalización
Para una actualización
Donde: S= Monto Acumulado o Valor Futuro al final del enésimo periodo C= Capital Inicial o Valor Actual i= Tasa de interés efectiva por periodo n= Numero de periodos Lic. Fernando Abad Llacsahuanga
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Aplicando
la
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fórmula
del
ejemplo
anterior
obtendremos:
3
S 10001 0,05 $1157,62 Ejemplo: ¿Cuánto debo depositar hoy día para que dentro de 5 años reciba la suma de S/. 10000 si suponemos que la Caja Municipal paga una tasa de interés anual del 16%? C=? 10000 5 S= S/.10000 S/.4761,1 C 10000. 1 0,16 5 i= 0,16 1 0,16 n= 5 2.3 Tasas de Interés: Nominal, Efectiva, Tasa efectiva anual, y Tasas equivalentes 2.3.1. Tasa de Interés Nominal Cuando una tasa es susceptible de proporcionarse (dividirse o multiplicarse) para ser expresada en otra unidad de tiempo diferente a la original, con el objeto de capitalizarse una o más veces, recibe el nombre de tasa nominal. Hay que precisar que la tasa nominal siempre es anual, y además es una tasa referencial que como tal puede ser engañosa. Toda tasa de interés que sea compuesta, capitalizable o convertible, estará haciendo referencia a la tasa nominal que simbólicamente se representa por la letra “j”.
Ejemplo:
j= 17% capitalizablemente bimestralmente j= 12% capitalizablemente trimestralmente
2.3.2. Tasa de Interés Efectiva Es la que realmente actúa sobre el capital de una operación financiera y refleja el número de capitalizaciones que se experimentan durante un plazo determinado. Se obtiene de dividir de una tasa nominal anual “j”, capitalizable “m” veces al año.“m” es el número de veces que dividimos una tasa nominal en un año. m
j i 1 1 m Ejemplo: Si la tasa de interés es del 18% capitalizable mensualmente, entonces la tasa efectiva mensual se puede hallar fácilmente dividiendo j/m; es decir: i = 18%/12 = 1,5% mensual. Ejemplo: Se pide prestado $100, capitalizado trimestralmente. La tasa nominal anual es del 8% y la tasa efectiva esta expresada por los intereses que corresponden al préstamo. C = $100 J = 8% capitalizable trimestralmente t = 1 año; es decir n = 4
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n
4
j 0.08 S C.1 100.1 $108,24 4 m
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2.3.3. Tasas Equivalentes Son aquellas que en condiciones diferentes, producen la misma tasa efectiva anual. Mejor dicho dos tasas con diferentes periodos de capitalización, son equivalentes, si producen el mismo valor actual o futuro, en cualquier periodo. El procedimiento utilizado es el siguiente:
C1 i C1 i equiv n
n1
Como se comparan dos montos (S) cuyo capital es el mismo, la ecuación se simplifica a lo siguiente:
1 i n 1 iequiv n
1
i = tasa efectiva dada o conocida n = número de periodos o capitalizaciones en un año correspondientes a la tasa efectiva dada. iequiv = tasa efectiva equivalente que se desea conocer. n1 = número de periodos de capitalizaciones en un año correspondientes a la tasa de interés que se desea conocer.
Ejemplo: El Banco Contimundo cobra por los préstamos personales una tasa efectiva mensual del 1,5%. Se desea calcular la tasa efectiva trimestral que tendrá que cobrar el banco para no afectar a su rentabilidad. i = 1,5% n = 12 (meses) iequiv = ? n1 = 4
1 0,01512 1 iequiv 4 3 i equiv 1 0,015 1 i equiv 4,5678%tri mestral
Ejemplo: ¿A qué tasa nominal capitalizable mensualmente equivale una tasa efectiva mensual del 1,5%? j = ? i = 1,5% mensual n = 12 m = 12
12
1 0,015 1 j 12 j 18% capitalizable mensualmente 12
2.4. Ecuaciones de Valor Ejemplo: Un empresario debe pagar S/. 5000 dentro de diez meses. Si desea cancelar el total de esta deuda al final del quinto mes. ¿Cuánto tendría que pagar suponiendo que el costo del dinero es del 36% anual (2.59548% mensual)?. Tomando como fecha focales las siguientes: a) Tomando como fecha focal el día de hoy b) Tomando como fecha focal al final del mes 5 c) Tomando como fecha focal al final del mes 8 d) Tomando como fecha focal al final del mes 10
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2.5. PROBLEMAS PROPUESTOS 1.
¿A qué tasa efectiva semestral equivale una tasa del 10% anual capitalizable semestralmente?
2.
¿A qué tasa nominal anual capitalizable trimestralmente equivale una tasa del 30% efectiva trimestral?
3.
¿A qué tasa efectiva anual equivale una t asa efectiva mensual del 1%?
4.
¿A qué tasa efectiva trimestral equivale una tasa efectiva anual de 46,41%?
5.
¿A qué tasa nominal anual capitalizable trimestralmente equivale una tasa efectiva anual del 46.41%?
6.
¿El Señor Pelayo ha solicitado un crédito de S/. 100 por el que se compromete a devolver S/. 150 luego de un año? a) Se pide hallar el costo anual del crédito(ie: TEA) b) Se pide hallar la tasa nominal capitalizable mensualmente mensualmente equivalente a una TEA del 50%
7.
¿Qué alternativa de crédito es más conveniente para usted? a) Un préstamo de S/. 100 con la condición de devolver S/. 127 luego de 8 meses. b) Un préstamo de S/. 100 con la condición de devolver S/. 123 luego de 6 meses.
8.
La compañía TH debe pagar al Banco Pacifico dos deudas de S/. 6000 y S/. 8000 respectivamente, respectivamente, la primera con vencimiento a 30 días y la segunda con vencimiento a 60 días. La Gerencia Financiera de TH, analizando su flujo de caja proyectado, conoce de la futura falta de efectivo para esas fechas, por lo que negociando con el Banco Pacifico se difieren ambos pagos para el dia 120, a una tasa efectiva mensual del 4%. ¿Qué importe deberá pagar TH el día 120?
9.
La empresa ROBALCA tiene en un bando una deuda de S/. 10000(incluyendo intereses)que dentro de 48 días por la cual paga una tasa efectiva mensual del 3%. Además tiene otra deuda de S/. 15000(incluyendo intereses) por la cual paga una tasa efectiva mensual del 4% y vence dentro de 63 días. La empresa propone pagar ambas deudas con el descuento de un pagare con valor nominal de S/. 24781.46 el mismo que v encerá dentro de 90 días contados a partir del día de hoy. ¿Qué t asa efectiva mensual está cobrando el banco?
10. Una inversión efectuada en el Mercado de Capitales produjo un interés de 3750 luego de 90 días. En ese lapso de t iempo la rentabilidad acumulada fue del 8%. ¿Cuál fue el importe original de la inversión? 11. La utilidad de un paquete de unos títulos valores adquiridos en la Mesa de Negociaciones hace 45 días fue de S/. 800. La tasa efectiva acumulada en 60 días por dichos t ítulos valores de dicha empresa fue del 3%. ¿Cuál fue el precio de adquisición de dichos títulos? 12. Hoy día la compañía PRESTO se dispone a pagar una deuda de S/. 10000 vencida hace cinco meses y otra de S/. 8000 que vencerá dentro de tres meses. Las deudas vencidas generan una tasa efectiva mensual del 2% y las deudas vigentes generan una tasa efectiva mensual del 1.5%. ¿Qué importe deberá cancelar la empresa? 13. En el año 2000, Manuel tiene deudas con el banco INTERCLAN cuyas fechas de vencimiento y montos son las siguientes: el 26/05 , S/. 4000; el 18/06, 5000; el 11/07, S/. 2000; y el 30/08 S/. 3000. El 26/05 Manuel paga al Banco INTERCLAN su deuda de S/. 4000 y le propone sustituir las tres deudas pendientes por un nuevo crédito a pagar por un importe de S/. 12000. Considerando una tasa efectiva mensual del 2% y que el banco acepte la propuesta el mismo 26/05. ¿En qué fecha vencería el nuevo crédito?. Considere tiempo aproximado.
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