Compilacion de los metodos numericos mas utilizados y programados en Matlab, para resolver ecuaciones, sistemas de ecuaciones, integracion, diferenciacion, ecuaciones diferenciales, etc.
Descripción: empleo de java en metodos numericos.
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Metodos Numericos aplicados con software
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Metodos Numericos para Ingenieria MecanicaDescripción completa
INTRODUCCION En la ingeniería y en cualquier ciencia, es común contar con un conjunto de datos (valores discretos) a lo largo de un comportamiento continuo. Sin embargo, en muchas ocasiones se requiere tener conocimiento de una estimación en puntos entre os valores discretos. Ejemplos! " En la termodin#mica se utili$an tablas de vapor que relacionan la presión y el volumen especí%ico a una temperatura particular. particular. " En los negocios se cuenta con in%ormación de número de pie$as vendidas y la &anancia obtenida. a palabra interpolación signi%ica pasar una curva por un conjunto dado de puntos. 'atem#ticamente 'atem#ticamente el problema de interpolación es que dado un conjunto de puntos en la gr#%ica de una %unción, encontrar una %unción interpolante cuya gr#%ica pase por no o m#s puntos seleccionados seleccionados.. a interpolación es el c#lculo de valores para una %unción tabulada en puntos que no aparecen en la tabla. Esto es, aproimar in%ormación discreta o %unciones complejas a %unciones analíticamente analíticamente sencillas. Esto es muy necesario en el campo de la ingeniería. os nombres de muchos matem#ticos %amosos est#n asociados con procedimientos de interpolación! &auss, *e+ton, essel y Stirling por mencionar algunos. a necesidad de interpolar se inició precisamente con los primeros estudios de -stronomía cuando el movimiento de cuerpos celestes debía de determinarse a partir e observaciones periódicas. -ctualmente las calculadoras calculadoras y las computadoras calculan los valores de las %unciones trigonom/tricas y logarítmicas por lo que ya no es necesario interpolar para conocer valores de senos o cosenos o cualquier otra %unción matem#tica como se hacía anteriormente. Sin embargo los m/todos num/ricos constituyen la base de procedimientos como derivación e integración num/rica y solución de ecuaciones di%erenciales ordinarias y parciales. 0ambi/n, estos m/todos demuestran resultados teóricos importantes sobre polinomios y la eactitud eactitud de los m/todos m/todos num/ricos. 1nterpolar con polinomios sirve como una ecelente introducción a ciertas t/cnicas para tra$ar curvas curvas suaves.
INTERPOLACION Dentro de los procesos manipulados en métodos numéricos el manejo de la interpolació interpolación n es muy importante puesto !ue permite permite estimar estimar "alores intermedios intermedios entre datos datos de#inidos de#inidos por puntos $e%&n $e%&n '() el método método m*s com&n !ue se usa para este propósito es la interpolación polinomial+ Recuerde !ue la #órmula %eneral para un polinomio de n,ésimo %rado es 2 n f ( ( x )=a 0+ a1 x + a2 x + … + a n x Dados n - ( puntos .ay uno y sólo un polinomio de %rado/ n !ue pasa a tra"és de todos los puntos+ Por ejemplo .ay sólo una l0nea recta 1es decir un polinomio de primer %rado2 !ue une dos puntos 1#i%ura (+( a2+ De manera similar &nicamente una par*3ola une un conjunto de tres puntos 1#i%ura (4+( b2+ La L a interpolación polinomial polinomial consis consiste te en determi determinar nar el polino polinomio mio &nico de n,ésimo %rado !ue se ajuste a n - ( puntos+ Este polinomio entonces proporciona una #órmula para calcular "alores intermedios+ Aun!ue .ay uno y sólo un polinomio de n,ésim ,ésimo o %rado %rado !ue se ajust ajusta a a n - ( puntos E5iste una %ran "ariedad de #ormas matem*ticas en las cuales puede e5presarse este Polinomio+
16i%ura (+(2+Ejemplos de interpolación polinomial7 a2 de primer %rado 1lineal2 !ue une dos puntos b2 de $e%undo %rado 1cuadr*tica o para3ólica2 !ue une tres puntos c 2 de tercer %rado % rado 1c&3ica2+ Tomado Tomado de '()+ Primero empe8aremos a tra3ajar con los polinomios de menor %rado entonces tra3ajaremos con interpolación lineal+
INTERPOLACION Dentro de los procesos manipulados en métodos numéricos el manejo de la interpolació interpolación n es muy importante puesto !ue permite permite estimar estimar "alores intermedios intermedios entre datos datos de#inidos de#inidos por puntos $e%&n $e%&n '() el método método m*s com&n !ue se usa para este propósito es la interpolación polinomial+ Recuerde !ue la #órmula %eneral para un polinomio de n,ésimo %rado es 2 n f ( ( x )=a 0+ a1 x + a2 x + … + a n x Dados n - ( puntos .ay uno y sólo un polinomio de %rado/ n !ue pasa a tra"és de todos los puntos+ Por ejemplo .ay sólo una l0nea recta 1es decir un polinomio de primer %rado2 !ue une dos puntos 1#i%ura (+( a2+ De manera similar &nicamente una par*3ola une un conjunto de tres puntos 1#i%ura (4+( b2+ La L a interpolación polinomial polinomial consis consiste te en determi determinar nar el polino polinomio mio &nico de n,ésimo %rado !ue se ajuste a n - ( puntos+ Este polinomio entonces proporciona una #órmula para calcular "alores intermedios+ Aun!ue .ay uno y sólo un polinomio de n,ésim ,ésimo o %rado %rado !ue se ajust ajusta a a n - ( puntos E5iste una %ran "ariedad de #ormas matem*ticas en las cuales puede e5presarse este Polinomio+
16i%ura (+(2+Ejemplos de interpolación polinomial7 a2 de primer %rado 1lineal2 !ue une dos puntos b2 de $e%undo %rado 1cuadr*tica o para3ólica2 !ue une tres puntos c 2 de tercer %rado % rado 1c&3ica2+ Tomado Tomado de '()+ Primero empe8aremos a tra3ajar con los polinomios de menor %rado entonces tra3ajaremos con interpolación lineal+
INTERPOLACION LINEAL Es uno de los procesos m*s sencillos cuando se re!uiere estimar "alores en %ra#icas puesto !ue y utili8amos l0neas rectas la #ormula !ue se usa pro"iene de un an*lisis y de#inición de tri*n%ulos semejantes+
16i%ura (+92+Es!uema %r*#ico de la interpolación lineal+ Las *reas som3readas indican los tri*n%ulos $emejantes usados para o3tener la #órmula de la interpolación lineal '()+ f 1 ( x )− f ( x 0 ) x − x 0
=
f ( ( x 1) − f ( x 0) x 1− x 0
Despejando # ₁152 se tiene
f 1 ( x )= f ( ( x x 0 ) +
f ( ( x x 1 )− f ( ( x 0 ) x1− x 0
( x − x ) 0
:ue es una #órmula de interpolaci interpolación ón lineal+ La notación notación # ₁152 desi%na !ue éste es un poli polino nomi mio o de inte interp rpol olac ació ión n de prim primer er %rad %rado+ o+ O3se O3ser" r"e e !ue !ue adem adem*s *s de representar la pendiente de la l0nea !ue une los puntos el término
f ( ( x 1) − f ( ( x x 0 ) x 1− x 0
Es una apro5imación en di#erencia di"idida #inita a la primer deri"ada cuanto menor sea el inter"alo entre los datos mejor ser* la apro5imación+ Esto se de3e al .ec.o de !ue con#orme el inter"alo disminuye una #unción continua estar* mejor apro5imada por una l0nea recta+
E;E y ln?=(+@(@B+ Después repita el procedimiento pero use un inter"alo menor de ln( a ln 1(+4?92+ O3ser"e !ue el "alor "erdadero de ln9 es >+?(@9+ Usamos la ecuación ecuación y una interpolació interpolación n lineal lineal para ln ln 192 desde 5 ₀=( .asta 5 ₁=? para o3tener 1.791759 −0 ( 2 −1 )=0.3583519 f ( 2 )=0 + 6 −1 1
:ue representa representa un error7 et=4++ et=4++ Con Con el inter"alo inter"alo menor desde 5 ₀=( .asta 5 ₁= se o3tiene 1.386294 −0 ( 2−1 )=0.4620981 f 1 ( 2 )=0 + 4− 1
1Ta3la (2+ Representación de "alores de acuerdo al inter"alo+ As0 usando el inter"alo m*s corto el error relati"o porcentual se reduce a et=++ El ejemplo anterior #ue tomado de '()+
6i%ura 1(+2 Dos interpolaciones lineales para estimar ln 9+ O3ser"e cómo el inter"alo menor proporciona una mejor estimación+ Tomado de '()+
EJEMPLO 2: Estime el sen (π/4) mediante interpolación lineal (0)0 ! sen (π/2)"
teniendo los valores de sen
L#e$o% e&ec#te de n#evo el procedimiento ! #se el intervalo menor de sin (π/') ("/2) ! sin (π/2)" samos la ec#ación ! #na interpolación lineal para sin (π/4) desde ₀0 *asta ₁ (π/2) para obtener 1− 0 π 1 π f 1 =0 + −0 = π 4 4 2
()
2
−0
( )
+#e representa #n error: et2,-2.,- 1on el intervalo menor desde ₀ (π/') *asta ₁ (π/2) se obtiene
>
f 1
( )= + π
1
4
2
1−
π 2
−
1
(
2 π
π 4
−
π 6
)=
5 8
6
s3 #sando el intervalo m5s corto el error relativo porcent#al se red#ce a et""-'""-
$e%&n '9) se de#ine !ue esta interpolación es la 3ase para "arios modelos numéricos #undamentales+ Al inte%rar la interpolación lineal se deduce el modelo de inte%ración llamado re$la del trapecio- El %radiente de la interpolación lineal es una apro5imación a la primera deri"ada de la #unción la interpolación lineal da como resultado una recta !ue se ajusta a dos puntos dados+ Por ') podemos "er con m*s detalle el desarrollo de la #ormula mediante tri*n%ulos semejantesF En una ta3la se representan al%unos "alores de la #unción pero no todos en ocasiones nos interesa el "alor de la #unción para un "alor de la "aria3le independiente distinto de los !ue #i%uran en la ta3la en este caso podemos tomar el m*s pró5imo al 3uscado o apro5imarnos un poco m*s por interpolación la interpolación casi siempre nos dar* un pe!ueGo error respecto al "alor de la #unción "erdadero pero siempre ser* menor !ue tomar el "alor m*s pró5imo de los !ue #i%uran en la ta3la "eamos cómo se calcula al "alor de la #unción para un "alor de la "aria3le independiente !ue se encuentre entre dos "alores de la ta3la por interpolación lineal+
16i%ura (+2+Representación %ra#ica del sistema para el desarrollo de tri*n%ulos semejantes ')+
Por la ta3la sa3emos !ue7 y( = #15(2 y9 = #1592 H !ueremos sa3er7 y = #152
$iendo 5( 5 59 La interpolación lineal consiste en tra8ar una recta !ue pasa por 15(y(2 y 159y92 y = r152 y calcular los "alores intermedios se%&n esta recta en lu%ar de la #unción y = #152 Para ello nos 3asamos en la semejan8a de tri*n%ulos
y
Esto es7
Despejando tenemos7
O lo !ue es lo mismo7 1
x 2− x ¿
¿ ¿
( x − x ) ( y − y ) = ¿ 1
1
El "alor 3uscado es7 1
x 2− x ¿
¿ ¿
( x − x ) ( y − y ) + y = ¿ 1
1
1
$i esta3lecemos una relación entre este sistema de interpolación es muy similar al método de la secante !ue se tra3aja en la solución de sistemas de ecuaciones no lineales puesto !ue consiste en #ormar "arias rectas .asta lle%ar a la ra08 solo !ue en este caso no lle%aremos a una ra08 sino a un "alor re!uerido+ INTERPOLACION CUADRATICA
De acuerdo con '() una estrate%ia para mejorar la estimación consiste en introducir al%una cur"atura a la l0nea !ue une los puntos+ $i se tienen tres puntos como datos éstos pueden ajustarse en un polinomio de se%undo %rado 1tam3ién conocido como polinomio cuadr*tico o par*3ola2+ Una #orma particularmente con"eniente para ello es f 2 ( x )=b 0+ b1 ( x − x0 ) + b2 ( x − x 0 )( x − x1 )
O3ser"e !ue aun!ue la ecuación parece di#erir del polinomio %eneral 1interpolación lineal2 las dos ecuaciones son e!ui"alentes+ Lo anterior se demuestra al multiplicar los términos de la ecuación7 f ( x )=b + b x − b x + b x + b x x −b x x −b x x 2
2
0
1
1
0
2
2
0
1
2
0
2
1
O a%rupando términos 2 f 2 ( x )=a 0+ a1 x + a 2 x Donde a =b − b x + b x x 0
0
1
0
2
0
1
a1= b1−b 2 x 0−b 2 x 1 a2= b2
As0 las ecuaciones 1interpolación lineal2 e 1interpolación cuadr*tica2 son #ormas alternati"as e!ui"alentes del &nico polinomio de se%undo %rado !ue une los tres puntos+ Un procedimiento simple puede usarse para determinar los "alores de los coe#icientes+ Para encontrar 3 ₀ en la ecuación 1interpolación cuadr*tica2 se e"al&a con 5=5₀ para o3tener b0 =f ( x 0 ) ( 1 ) La ecuación 1(2 se sustituye en la 1interpolación cuadr*tica2 después se e"al&a en 5=5₁ para tener f ( x 1 ) −f ( x 0 ) b1= ( 2) x1 − x0 Por <imo las ecuaciones 1(2 y 192 se sustituyen en la 1interpolación cuadr*tica2 después se e"al&a en 5 =59 y 1lue%o de al%unas manipulaciones al%e3raicas2 se resuel"e para
f ( x 2 )− f ( x 1) b2=
x 2− x 1
–
f ( x 1 )− f ( x 0 ) x 1− x 0
x 2− x 0
(3 )
O3ser"e !ue como en el caso de la interpolación lineal 3( toda"0a representa la pendiente de la l0nea !ue une los puntos 5> y 5(+ As0 los primeros dos términos de la ecuación 1interpolación cuadr*tica2 son e!ui"alentes a la interpolación lineal de 5> a 5( como se especi#icó antes en la ecuación 1interpolación lineal2+ El <imo término b2 ( x − x 0 ) ( x − x 1)
Determina la cur"atura de se%undo %rado en la #órmula+ '() E;E
Con el polinomio e"al&e ln 9+ $OLUCION Aplicando la ecuación 1(2 se o3tiene b0 =0 La ecuación 192 da 1.386294 −0 b1= =0.4620981 4 −1 H con la ecuación 12 se lle%a a −1.386294 − 0.4620981 6 −4 =−0.0518731 6−1
1.791759
b2=
, $ustituyendo los "alores o3tenidos en los anteriores procesos tenemos el polinomio f 2 ( x )=0 + 0.4620981 ( x −1 )− 0.0518731 ( x −1 ) ( x −4 )
:ue se e"al&a en = 9 para f 2 ( 2 )=0.5658444
TAJLA INTERPOLACION+5ls5 1Ta3la 2+ Representación de "alores de acuerdo al inter"alo+ :ue representa un error relati"o de et = (4++ As0 la cur"atura determinada por la #órmula cuadr*tica 16i%ura (+B2 mejora la interpolación compar*ndola con el resultado o3tenido antes al usar las l0neas rectas del ejemplo ( y en la 16i%ura (+2+El anterior ejemplo #ue tomado de '()+
1#i%ura (+B2+ El uso de la interpolación cuadr*tica para estimar ln 9+ Para comparación se presenta tam3ién la interpolación lineal desde = ( .asta + '()+ EJEMPLO 4: &#ste #n polinomio de se$#ndo $rado a los tres p#ntos del e&emplo 2 x 0=0 f ( x 0 ) =0 x 1=
π
x 2=
π
3
2
f ( x 1) =
√ 3 2
f ( x 2 )=1
1on el polinomio eval6e sen (π/4)7OL18O9 plicando la ec#ación (") se obtiene b0 =0 La ec#ación (2) da √ 3
−0
2
b1=
π 3
=0,0144337567297406 −0
con la ec#ación () se lle$a a
1−
π b2=
2
√ 3 2
−
π
−0,0144337567297406
6
=−0.00011075485
π 2
−0
; 7#stit#!endo los valores obtenidos en los anteriores procesos tenemos el polinomio
( )
f 2 ( x )=0 + 0,0144337567297406 ( x )−0.00011075485 ( x ) x −
π 3
4
+#e se eval6a en
¿
π para
¿ f 2
( )= π 4
0,873797632095822
+#e representa #n error relativo de et 2',0<'442,'4422-
Este proceso nos permite tener el "alor re!uerido en menos repeticiones con respecto a la interpolación lineal+
